¿Cómo hacer La diferenciación implícita?
Utilizar técnicas avanzadas
Conecta los valores (x, y) a fin de hallar (dy/dx) para cualquier punto. Utiliza la regla de la cadena para funciones dentro de otras funciones. Para ecuaciones con variables x, y, z, halla (dz/dx) y (dz/dy).
¡Felicitaciones! Has diferenciado la ecuación de manera implícita, ¡lo cual no es una tarea fácil para los principiantes! Utilizar esta ecuación para hallar la pendiente (dy/dx) para cualquier punto (x, y) es tan simple como conectar los valores x e y para el punto en el lado derecho de la ecuación y luego resolver (dy/dx). Por ejemplo, supongamos que queremos hallar la pendiente en el punto (3, -4) para la ecuación anterior. Para hacerlo, deberemos sustituir 3 por x y -4 por y, resolviendo de la siguiente manera:  (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4) (dy/dx) = (-2(-4)2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4) (dy/dx) = (-2(16) - 6 + 5)/(2(2(3)(-4)) (dy/dx) = (-32) - 6 + 5)/(2(2(-12)) (dy/dx) = (-33)/(2(2(-12)) (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48 o 0.6875. Cuando se trata de problemas de cálculo (incluyendo los problemas de diferenciación implícita), es muy importante conocer la regla de la cadena. La regla de la cadena establece que para una función F(x) que puede escribirse como (f o g)(x), la derivada de F(x) es igual a f'(g(x))g'(x). Para problemas de diferenciación implícita que tengan una mayor dificultad, esto significa que es posible diferenciar diversas “partes” individuales de la ecuación y luego ensamblar el resultado. Como un ejemplo simple, supongamos que necesitamos hallar la derivada de sen(3x2 + x) como parte de un problema de diferenciación implícita más grande para la ecuación sen(3x2 + x) + y3 = 0. Si consideramos sen(3x2 + x) como "f(x)" y 3x2 + x como "g(x)", podremos hallar la diferenciación de la siguiente manera:  f'(g(x))g'(x) (sen(3x2 + x))' × (3x2 + x)' cos(3x2 + x) × (6x + 1) (6x + 1)cos(3x2 + x) Si bien no es común en el cálculo básico, algunas aplicaciones avanzadas pueden requerir realizar la diferenciación implícita de más de dos variables. Por cada variable adicional, necesitarás hallar una derivada extra con respecto a x. Por ejemplo, si trabajas con las variables x, y, z, necesitarás hallar (dz/dy) y (dz/dx). Podemos hacerlo al diferenciar la ecuación con respecto a x dos veces. La primera vez colocaremos un (dz/dx) cada vez que diferenciemos un término con z y la segunda colocaremos un (dz/dy) cada vez que diferenciemos una z. Luego, será cuestión de resolver (dz/dx) y (dz/dy).  Por ejemplo, supongamos que queremos diferenciar x3z2 - 5xy5z = x2 + y3. En primer lugar, realicemos la diferenciación con respecto a x y coloquemos (dz/dx). ¡No olvides aplicar la regla del producto donde sea apropiado!  x3z2 - 5xy5z = x2 + y3  3x2z2 + 2x3z(dz/dx) - 5y5z - 5xy5(dz/dx) = 2x 3x2z2 + (2x3z - 5xy5)(dz/dx) - 5y5z  = 2x (2x3z - 5xy5)(dz/dx) = 2x - 3x2z2 + 5y5z (dz/dx) = (2x - 3x2z2 + 5y5z)/(2x3z - 5xy5)   Ahora, hagamos lo mismo para (dz/dy)  x3z2 - 5xy5z = x2 + y3  2x3z(dz/dy) - 25xy4z - 5xy5(dz/dy) = 3y2  (2x3z - 5xy5)(dz/dy) = 3y2 + 25xy4z (dz/dy) = (3y2 + 25xy4z)/(2x3z - 5xy5)
Using Advanced Techniques