我正在研究常系数线性微分方程，请帮我解释一下初值条件和边值条件的区别，并在回答中插入两个案例以帮助我更好地理解。请回答采用markdown格式输出，且删除“案例”这两个字。
user
在常系数线性微分方程的问题中，初值条件和边值条件都是用来限制解的性质和行为，但它们适用的情况和含义有所不同。

- **初值条件**是指方程的解在某个特定点（通常是初始点，比如 \(t=0\)）的值，以及直到可能的高阶导数的值。初值条件主要用于初始值问题中，这种问题关心的是在初始状态给定的情况下，系统的未来行为。当一个微分方程附加了若干个初值条件，且条件的数量等于方程的阶数时，这种方程通常是适定的，即它的解存在、唯一且稳定性好。

- **边值条件**则是指在不同的两个或多个点上解的值或导数值的条件。边值问题关心的是解在整个定义区域内的行为，而不是仅仅关注一个点上的初始状态。边值条件对于物理工程中的许多问题尤为重要，比如热传导问题、弹性力学中的应力-应变问题等，这些情况下，解在边界上的特定行为往往是重要的研究对象。

### Case 1: 初值条件
考虑一个简单的一阶线性常微分方程:
\[ x'(t) = \lambda x(t), \quad \lambda \ne 0 \]
这里的初始条件可以设为 \(x(0) = x_0\)，其中 \(x_0\) 是给定的常数。这意味着，当 \(t=0\) 时刻，函数的值已知。这是一个典型的初值问题，解可以通过简单的积分找到：\(x(t) = x_0 e^{\lambda t}\)。

### Case 2: 边值条件
再来考虑二阶线性微分方程:
\[ x''(t) + 4x(t) = 0 \]
如果给定边值条件为 \(x(0) = 0\) 和 \(x(\pi) = 0\)，那么这就是一个边值问题。解的形式为 \(x(t) = A \sin(2t) + B \cos(2t)\)，根据边值条件，我们知道 \(B=0\)（由 \(x(0)=0\)），而 \(A\) 可以为任意值，但由于 \(x(\pi)=0\) 必须成立，这里只有 \(A=0\) 才能满足条件，故解为 \(x(t)=0\)。

这些示例展示了如何通过不同的条件来寻找或限制微分方程的解。理解这两种条件对于解决实际问题非常关键。
assistant