请解释什么是神经网络，并以数学公式表示其基本结构。
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神经网络是一种由多层神经元构成的计算模型，旨在模仿人脑处理信息的方式。每一层神经元接收上一层的输出，并通过非线性激活函数处理数据，然后将结果传递给下一层。

### 基本结构
神经网络通常由三个主要部分组成：输入层、隐藏层和输出层。

#### 输入层
输入层接收外部数据，通常表示为向量 \( \mathbf{x} \)。

#### 隐藏层
隐藏层是神经网络的核心部分，包含多个神经元，每个神经元通过以下公式计算输出：
\[ z_j = \sum_{i} w_{ij} x_i + b_j \]
其中，\( w_{ij} \) 是连接输入 \( x_i \) 和神经元 \( j \) 的权重，\( b_j \) 是神经元的偏置。

激活函数 \( \sigma \) 将线性输出 \( z_j \) 转换为非线性输出：
\[ a_j = \sigma(z_j) \]
常用的激活函数包括 ReLU、Sigmoid 和 Tanh。

#### 输出层
输出层接收隐藏层的输出，并通过类似的方式计算最终输出：
\[ y_k = \sum_{j} w_{jk} a_j + b_k \]
其中，\( w_{jk} \) 是连接隐藏层神经元 \( j \) 和输出层神经元 \( k \) 的权重，\( b_k \) 是输出层神经元的偏置。

### 数学公式
综合以上各部分，神经网络的基本结构可以表示为一个复合函数：
\[ y = \sigma(\mathbf{W} \mathbf{a} + \mathbf{b}) \]
其中，\( \mathbf{W} \) 是权重矩阵，\( \mathbf{a} \) 是隐藏层的激活值向量，\( \mathbf{b} \) 是偏置向量。

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