请给我提供三个练习维度空间变换的数学题。
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1. 在二维平面上，有一线性变换 \(T\) 将向量 \( \vec{v} = (x,y) \) 变换为 \( T(\vec{v}) = (2x + y, x - 3y) \)。若给定一个单位圆 \( x^2 + y^2 = 1 \)，求变换后的图形方程。

2. 在三维空间中，考虑一个绕 \( z \) 轴旋转 \( \theta \) 角度的线性变换 \( R \)，其变换矩阵为 
\[ R = \begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \]
若给定一个点 \( P(1, 0, 0) \)，当 \( \theta = \frac{\pi}{3} \) 时，求该点变换后的位置。

3. 平面内的一个变换 \( S \)，以原点为中心，在保持与 \( x \) 轴夹角不变的情况下，执行拉伸变换，使得 \( x \) 方向上的所有点保持不变， \( y \) 方向上的点变为其原来的 \(2\) 倍距离。若给定一个梯形 \(ABCD\)，其中 \(A(1, 2), B(2, 2), C(3, 1)\)，和 \( D(2, 1) \)，求变换后梯形的顶点坐标。
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