请详细解释“虚数”和“复数”的区别和联系，回答必须从三个方面进行分析：数学定义、实际应用和历史发展，每一个方面都要包含一定长度，且每个方面不得少于一段落，用标准markdown格式输出。
user
```markdown
# 虚数与复数的区别和联系

## 数学定义

### 虚数
虚数是指实数不能满足的数的平方根。定义上，虚数单位 \( i \) 满足 \( i^2 = -1 \)。任何虚数都可以表示为 \( ai \)，其中 \( a \) 是实数。虚数不能在实数轴上表示，但可以在复数平面上表示。

### 复数
复数是包含了实部和虚部的数，通常表示为 \( z = a + bi \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 都是实数，\( i \) 是虚数单位。复数可以看作是实数和虚数的组合，具有广泛的应用于数学和工程等领域。

## 实际应用

### 虚数
虚数在物理学特别是在电磁学和量子力学中有着重要的应用。在交流电路中，虚数用于表示电感的电流或电容的电压。量子力学中的波函数也涉及到虚数。

### 复数
复数在工程学、物理学、信号处理中都有应用。在信号处理中，复数用于复频率分析和傅里叶变换。在工程学中，特别是在电路分析中，复数用于表示阻抗和相位。

## 历史发展

### 虚数
虚数的概念始于16世纪，由意大利数学家Gerolamo Cardano在研究三次方程时引入。起初，虚数被视为“想像中的数”，因为它们不能直接表示实际量，直到18世纪末它们在方程求解中被广泛接受。

### 复数
复数的历史可以追溯到16世纪初期，由意大利数学家Rafael Bombelli在解决三次方程时引入。复数的发展在工程和物理等领域的应用推动了复杂分析学科的发展，如微积分在复数域的研究。

```
assistant