请详细解答数学里的欧拉公式，并分四个要点进行说明。
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欧拉公式是数学中的一个重要公式，它将指数函数、三角函数和复数紧密联系起来。以下是对欧拉公式的详细解释，分四个要点进行说明：

1. **公式表达**：  
   欧拉公式通常表示为：  
   \[  
   e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta  
   \]  
   其中，\( e \) 是自然对数的底数，\( i \) 是虚数单位，满足 \( i^2 = -1 \)，\( \theta \) 是实数变量。

2. **几何意义**：  
   欧拉公式在复平面上有重要的几何解释。公式 \( e^{i\theta} \) 表示复平面上的一个点，其模为 1，角度为 \( \theta \)。这意味着 \( e^{i\theta} \) 表示以原点为中心的单位圆上的一个点，角度为 \( \theta \)。

3. **推广形式**：  
   欧拉公式可以推广到复数域，形式为：  
   \[  
   e^{a + ib} = e^a (\cos b + i\sin b)  
   \]  
   其中，\( a \) 和 \( b \) 是实数，表示复数的实部和虚部。

4. **应用领域**：  
   欧拉公式在数学和物理中有广泛的应用，尤其是在傅里叶分析、信号处理、量子力学和电路分析等领域。它简化了复杂函数的表达和计算，提供了一种将指数函数和三角函数联系起来的统一框架。
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