请给我一张从二维平面内的坐标点 $(x_1, y_1)$ 出发到点 $(x_2, y_2)$ 的路径长度小于等于 $r$ 的所有可能路径的路径数目的计算公式，输出格式为 Latex。
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设起点为 $(x_1, y_1)$，终点为 $(x_2, y_2)$，路径长度限制为 $r$。则路径数目的计算公式为：

\[
N = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{r - d}{\sqrt{2}} \rfloor} \binom{k + d - 1}{k}
\]

其中 $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ 为起点到终点的欧几里得距离，$\lfloor \cdot \rfloor$ 表示向下取整，$\binom{n}{k}$ 为二项式系数。这个公式计算了在长度限制 $r$ 内所有可能的路径数目。
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