请根据数学归纳法证明，对于所有正整数n，$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$。用数学归纳法需要包含以下几个部分：
**基础步骤（Base Case）**、**归纳假设（Inductive Hypothesis）**、**归纳步骤（Inductive Step）**。并且回答中提到的所有n都应该用粗体表示。
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我们来使用数学归纳法证明对于所有正整数**n**，$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$。

### 基础步骤（Base Case）
首先，我们证明当**n**=1时，等式成立。
- 左边的和为1。
- 右边的表达式为$\frac{1(1+1)}{2} = 1$。
因此，左边等于右边，等式成立。

### 归纳假设（Inductive Hypothesis）
假设当**n**=**k**时，等式成立，即：
$$
1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}
$$

### 归纳步骤（Inductive Step）
现在，我们需要证明当**n**=**k**+1时，等式也成立。
左边为：
$$
1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)
$$
根据归纳假设，上式等于：
$$
= \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
$$
这正是**n**=**k**+1时，等式右边的表达式。因此，归纳步骤成立。

通过基础步骤和归纳步骤，我们证明了对于所有正整数**n**，$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$。
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