解答下面这道数学题，并以markdown格式输出答案，注意在公式中使用 $ 来标识数学表达式：求函数 $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$ 的导数。
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好的，下面是以markdown格式输出的答案：

为了求函数 $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$ 的导数，我们应用商规则。设 $u = x^2 - 1$ 和 $v = x^2 + 1$，则 $u' = 2x$ 和 $v' = 2x$。根据商规则，$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。

代入 $u$, $u'$, $v$ 和 $v'$ 的值：

\[
f'(x) = \frac{(2x)(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}
\]

化简得到：

\[
f'(x) = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}
\]

所以，$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$ 的导数为 $f'(x)=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$。
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