Derive | Kreyonomi
Archives du mot-clé Derive
avril 4, 2019 Analiz, Ekonomi, Matematikderivasyon enplisit, derivasyon logaritmik, Derive, koub nivo, Règ kalkil deriveokennnon
mars 29, 2019 Analiz, Matematikderivasyon logaritmik, Derive, Feynman, logaritm, Règ kalkil deriveokennnon
Derive: yon istwa kafe cho nan gòdèt emaye (1)
août 31, 2018 Analiz, Ekonomi, MatematikAnaliz, demitanjant, Derive, klostik, tanjantStevens Azima
Ou lakay ou. Li fè cho deyò a, men lakay ou klimatize. 20 degre nan tout pyès kay yo nan moman an. Pou kounye a, ou nan salamanje a. Ou gen yon bèl gòdèt kafe cho cho cho sou tab la. Tanperati li se 100 degre Celcius. Lontan ou te konn bwè kafe cho anpil, bò 70 degre yo, men depi lè ou aprann bwè kafe twò cho ogmante risk pou ou devlope yon kansè nan gòjèt ou, ou fè kwa. Ou di ou ap kòmanse bwè kafe ou yo a 50 degre pito, ni pi cho ni pi frèt. Ou gen yon tèmomèt espesyal ki fèt pou bweson cho (ou achte l depi apre ou te fin boule nan yon chokola cho), men ou pa wè ou menm ki pral plede sèvi avèk li chak 3 segonn. Sa ou ta renmen pito, se konnen a ki vitès kafe ou a ap refwadi e apre konbyen tan egzakteman li ap soti nan 100 degre li ye a pou li rive nan 50 degre ou pa ka tann nan? Eske gen yon fason ou ka konnen pou chak moman ki tanperati kafe ou a?
Yon tèmomèt pou bwason ki cho
Ou konnen, tout jan tout jan, kafe ou a gen pou gen menm tanperati ak salamanje a (sa vle di 20 degre), si ou pa gentan fin bwè li. Dènye fwa a, pou ou te ka konn a ki vitès li ap vin frèt, ou te deside gade apre konbyen tan li vin frèt nèt. Ou wè sa te pran 30 minit. Sa vle di li te soti nan 100 degre pou tonbe 20 degre (ki vle di li te pèdi 80 degre) nan espas 30 minit. Kidonk, ou te konkli vitès refwadisman kafe a lè ou lakay ou se . Ositou, kòm ou te bezwen kafe 100 degre ou a pèdi 50 degre pou li ka rive 50 degre, ou kouri fè ti lojik règ an twa yo te montre ou lekòl la: si nan yon minit kafe ou a pèdi 2,66 degre, ebyen kantite minit li ap bezwen pou li pèdi 50 degre se . Sou baz sa ou te konkli apre 19 minit anviwon, kafe ou a ta dwe rive 50 degre, kidonk l ap cho ase san li pa depase limit.
Ou deside mete alam nan sou 20 minit ou fini pou plis prekosyon, olye 19 minit. Ou di konsa, ebyen pandan gwo 20 minit sa, ou ap tou pwofite fè yon ti rechèch sou Google pou ka wè si pa gen yon bon pwochen ki atake pwoblèm egzistansyèl refwadisman kafe a deja.
Apre plizyè minit ap antre mo kle ki pa gen rapò, ou resi tonbe sou yon atik Wikipedia ki pale sou yon swadizan Lwa Refwadisman Newton ki gen yon derive ladan. Kòm ou konn siyifikasyon derive yo depi lè ou te aprann li lekòl, kè w manke ale paske ou gentan santi ou fè yon erè, ou kouri al chèche sou Google si pa gen kèk egzanp eksperyans ki fèt deja pou gade kòman yon kafe refwadi anmezi tan ap pase, epi ou tonbe sou koub pi ba a ki di apre 20 minit, tanperati yon kafe ki te a 100 degre nan yon pyès 20 degre (tankou salamanje ou a) ap gentan desann a anviwon 30 degre! Menm kote a alam ou te mete sou telefòn ou an sonnen. Ou kouri al goute kafe a, ou dekouvri li gentan tyèd tyèd… Se pa ti dekouraje ou pa dekouraje.
Men kisa ki te pase menm ki fè kalkil ou te fè yo pa t mache? Se sa nou pral dekouvri nan biyè blòg sa a gras ak nosyon derive a, yon nosyon dimansyon wòdpòte nou te gentan esplike istwa li ak ti mesye Isaac Newton epi Leibniz yo. Nou t ap prepare teren an depi lontan tou ak nosyon fonksyon an, montedesann ki gen nan fonksyon yo, nosyon pant lan epi limit yo pou nou te ka ofri yon bèlantre sou nosyon fondamantal sa a nan Analiz. Pwomès se dèt. Jodi a nou pral dekòtike sa ki derive a.
Sous: Ecole Polytechnique Montréal
Lojik ki dèyè derive a
Pou nou konprann sa ki pase nan egzanp kafe cho nou sot pran an, an nou gade 3 fason diferan yo konn entèprete derive a. Nou ap kòmanse ak sa ki pi pratik la pou nou ale nan sa ki pi abstrè oswa pi fòmèl la.
Premye fason nou ka imajine sa ki yon derive, se wè l tankou yon vitès. Men se pa nenpòt ki vitès. Vitès nou pi abitye avè l la se yon vitès mwayèn li ye, sa vle di jan yon deplasman fèt sou yon entèval tan. Tankou lè nou di vitès yon machin se 30 kilomèt/è, se tankou nou di, si li t ap suiv yon liy dwat, li t ap bat 30 kilomèt nan espas inèdtan. Men yon vitès mwayèn pa di nou pou entèval tan ki pi piti yo, men kòman machin nan t ap woule. Reflechi byen. Yon machin ki bat 30 kilomèt nan inèdtan te ka toujou fè ti kanpe nan wout, ralanti, epi akselere, ralanti ankò. Sèl sa ki konte, se pou li pran egzakteman inèdtan pou li bat 30 kilomèt la. Li klè 30 kilomèt/è pa yon vitès egzajere. Men sa ka toujou rive, pandan inèdtan sa a gen moman kote machin nan t ap kouri tout boulin e si se nan moman sa yo li frape yon moun, li ka tou voye moun nan nan peyi san chapo.
Vitès mwayèn nan se tankou mwayèn ou te konn fè pou yon trimès lè ou te lekòl, si ou pa pase pou trimès la sa pa vle di ou te remèt monnen nan tout matyè yo: sa ka toujou rive gen yon matyè ou te fè 100 sou 100 pou li. Kidonk vitès mwayèn nan gen enfòmasyon li pa ban nou. Se vre li di nou men kòman sa dewoule anndan yon entèval tan, men li pa di nou kòman sa dewoule achak moman, lapoula: li pa pèmèt nou konn sa ki ap pase lè pa gen entèval ditou. Tankou lè yon machin fè aksidan, sa ki plis enterese nou se pa vitès li te genyen sou yon entèval, men pito vitès li te genyen lapoula a, nan moman menm li te fè aksidan an. Lè nou di derive a kapab yon vitès la, se vitès sa a ki nan lespri nou.
Nan biyè nou te ekri sou nosyon pant lan, nou te wè pant yon dwat pa janm chanje, li toujou menm bagay la sou kèlkelanswa pati nou pran nan dwat la. Nou te sèvi ak egzanp yon mòn n ap monte ki apik. Kèlkeswa kote ou ye a, nivo apik pant lan apik la (an nou rele sa a apikite oswa panchman pant lan) pa chanje, kit ou nan pye mòn nan kit ou toupre tèt mòn nan.
Nou te wè, tank nou ap monte mòn nan, gen 2 bagay ki ap varye an menm tan: altitid nou (wotè nou parapò ak pye mòn nan) ak deplasman nou annavan (distans orizontal ki separe nou ak pye mòn nan). E pant lan se rapò premye a sou dezyèm nan ki ban nou li. Kidonk pant lan se yon mwayèn li ye tou, varyasyon altitid la sou varyasyon deplasman orizontal la. Men e si nou pa annafè ak yon liy dwat?
Reflechi byen. Gen mòn ki yon ti jan bonbe. Okòmansman pant lan ka apik apre sa tank ou ap pwoche tèt mòn nan se tank pant lan ap vin dous jouk finalman ou rive nan yon plato anvan ou tonbe desann. Li klè sa nou te rele pant lan pa fiks ankò lè sa a. Lè konsa, pant lan pa ka di nou sa ki ap pase tou de varyab yo yonn parapò ak lòt pou chak moman. Soti la al la tou pre a, pant lan gen dwa pa twò chanje, men soti nan pye mòn nan rive sou plato a gen gwo chanjman nan pant lan (sou plato a pa gen pant ditou pandan nan pye mòn nan pant lan te apik). Se sa ki fè, kounye a, pou nou kalkile pant nou an, nou oblije travay sou ti entèval piti piti si se pa sa sa p ap mache.
An reyalite, menm lè nou pa annafè ak yon dwat ankò, pati ki koube a, si nou ta zoume li alenfini, t ap rive yon kote nou t ap gen enpresyon se yon liy dwat li ye olye li yon koub. Ou ka fè eksperyans lan, trase yon koub nan yon paj kaye, rale kamera telefòn ou, ba li gwo zoum nan pati ki bonbe a epi fè foto a. Ou ap sezi wè nan foto a pati ki te bonbe a vin mwens bonbe, ou ka menm gen enpresyon li vin dwat. Kidonk, lè nou konsantre nou sou yon ti entèval zuit zuit (tèlman zuit ou sanse kapab konfonn li ak yon pwen), nou finalman jwenn yon dwat ki konfonn ak pati sa a nan koub nou an (ki vle di ang yo fòme ansanm sou entèval zuit zuit sa a li egal 0, gade nan animasyon pi ba a jan dwat n ap pale a sanble fè yon sèl ak koub la nan pwen an). Dwat sa a, tankou tout dwat, gen yon sèl pant toupatou. Dwat sa nou jwenn nan yo rele li tanjant koub nou an. Kidonk pant dwat sa a, pou ti entèval zuit zuit nou te pran an (« pwen an ») li konfonn ak pant koub nou an. Yo rele pant tanjant sa a « derive » koub la nan pwen sa a. Li klè si nou pwolonje tanjant sa a ap rive yon kote li ap detache ak « pwen » nou te pran sou koub la. Men nou kapab refè menm bagay la pou lòt pwen yo epi finalman jwenn yon tanjant pou chak pwen. Nan egzanp mòn ki genyen fòm bonbe nou te pran an, pant tanjant lan nan yon pwen, sa vle di derive a, di mwen lè mwen nan pozisyon sa a sou mòn nan, men nan ki degre mòn nan panche nan pwen sa a egzakteman.
Tanjant yon koub nan yon pwen Sous: Wikipedia
Nou sot wè 2 nan entèpretasyon derive yo: li kapab yon vitès, li kapab pant tanjant yon koub. Vitès an jeneral se deplasman parapò ak tan, men nou te ka fè menm lojik la pou kèlkelanswa 2 varyab nou pran: tanperati parapò ak tan (egzanp kafe a), popilasyon parapò ak tan (grandisman popilasyon an, nan demografi), lajan parapò ak volim pwodiksyon (resèt majinal nan ekonomi), elatriye. Se poutèt sa, olye nou di vitès, pou nou pi jeneral, nou kapab di to varyasyon pito. Kòm vitès nou ap pale a se yon vitès lapoula, enstantane, ebyen nou kapab di derive a se yon to varyasyon enstantane. Kounye a, pou nou rive nan twazyèm entèpretasyon derive a, nou kapab mande tèt nou si pa gen yon fòmil jeneral ki anglobe tout sa yo e ki ta ka tou sèvi nou definisyon nosyon derive a? Repons lan se wi. An nou gade.
Kòman yo defini vitès? Si deplasman an ap fèt sou yon liy dwat, vitès la se deplasman/(entèval tan). Si nou rele pozisyon an y, deplasman an se varyasyon pozisyon y la, si nou rele tan an t, entèval tan an se varyasyon tan t a.
Sa a se yon vitès mwayèn. Nou te di derive a gen pou wè ak yon entèval tan zuit zuit, ki tèlman piti ou ta kapab menm di vo zewo. Kidonk, vitès enstantane nou an an reyalite se yon limit li ye, limit vitès mwayèn nou an lè . Kidonk
Menm jan an tou, nou te wè pant yon dwat se rapò varyasyon y la sou varyasyon x.
Nou sot wè derive a se jeneralizasyon nosyon pant lan pou koub yo lè nou konsantre nou sou yon ti entèval x ki tèlman piti ou ta kapab di finalman entèval sa a se zewo. Lè konsa, pati sa nou pran nan koub la vin sanble ak yon liy dwat yo rele tanjant e pant tanjant sa a se li nou rele derive a. Kidonk, pou nou te jwenn tanjant sa a, se nou te oblije fè. Dwat ou t ap jwenn si ou pa t fè a t ap rele sekant, paske entèval x la t ap tèlman gwo dwat nou t ap chèche a t ap oblije koupe koub nou an nan plizyè pwen san li pa bay enpresyon li fè yon sèl ak koub la nan vwazinaj pwen ki enterese nou an. Dènye pwen sa enpòtan, se li ki pèmèt nou distenge sekant ak tanjant, paske anyen pa anpeche yon tanjant koupe yon koub nan plizyè pwen menm jan ak yon sekant. Kidonk, pou nou retounen, pant tanjant lan se:
Sou baz de fòmil sa yo, nou kapab pwopoze yon fòmil jeneral pou yon fonksyon an jeneral. Varyasyon y la se . Si entèval x nou pran an soti nan ale nan yon kèlkonk, ebyen nou genyen . Derive a nou ap jwenn li lè , osnon nou te ka di tou .
Tout fòmil sa yo defini menm bagay la: nosyon derive a nan yon pwen pou yon fonksyon f(x).
Yo konn note valè sa nou jwenn nan plizyè fason. Gen omwen 5 fason
Premye a se notasyon Lagrange lan, dezyèm nan ak twazyèm nan se Leibniz ki vin ak yo, katriyèm nan se notasyon Newton nan (nou plis jwenn li nan domèn fizik), dènye a se Euler ki te konn itilize l. Gen plizyè lòt notasyon ankò (sitou pou fonksyon plizyè varyab yo), men sa ki enpòtan se konnen tout sa nou sot bay yo vle di derive yon fonksyon (f) nan yon pwen ( ) parapò ak yon varyab ( ).
Lè li posib pou nou jwenn yon fonksyon ki di nou pou kèlkeswa pwen nou chwazi anndan yon domèn, men konbyen derive fonksyon an ap bay nan pwen sa a, yo konn an nik mete nan plas a pou montre fwa sa nou annafè ak yon fonksyon derive. Egzanp, Lwa Refwadisman Newton nan se yon fonksyon derive li ye. Li di nou pou chak tanperati yon objè omojèn (nou te sipoze kafe cho a omojèn) ki ap refwadi rive pran, men ki vitès refwadisman li nan moman li rive nan tanperati sa a. Nan egzanp kafe nou an, si $latex T_{kafe}(t)$ se tanperati kafe a an fonksyon tan an epi $latex T_{salamanje}$ se tanperati salamanje a, yon valè fiks, ebyen lwa refwadisman Newton di nou achak moman men ki vitès refwadisman kafe a:
kote se yon koyefisyan refwadisman ki pran yon valè fiks nan eksperyans lan. Nou kapab remake valè derive a (ki vle di vitès refwadisman an) pa fiks, li fonksyon tanperati kafe a ki li menm ap dekwat anmezi tan ap pase.
Kidonk nou kapab wè operasyon nou rele derive a gen yon dimansyon wòdpòte paske nenpòt kote ki gen yon fonksyon ki konekte varyab ak lòt varyab, gen posiblite pou nou foure yon derive ladan. Men nou bezwen konnen plis sou fonksyon derive yo anvan nou kòmanse sèvi ak li, nou pa ka ap antre nan won san baton. Nan seksyon ki vin apre a, nou pral dekouvri kèk mak fabrik fonksyon derive a, jan ou kapab jwe avèk li, sou ki kondisyon. Sa ou panse si nou kite derive a prezante tèt li poukont li epi ban nou règ jwèt la dirèkteman pito?
Non pa m se derive
Nan seksyon sa a nou pral fè konesans. Ou pral sezi wè lè ou pot fonksyon yo ban mwen kisa m fè yo, men tou sou ki kondisyon m ap dakò jwe jwèt la.
Premye bagay pou ou byen konnen sou mwen, mwen se limit yon fonksyon oswa yon ekspresyon. E tankou tout limit, mwen gen lè m, swivan fonksyon ou pote ban mwen an. Gen fonksyon ou ap pote ban mwen, m ap nik di ou non m pa kapab. Gen lòt fonksyon m ap asepte, men m ap di w gen kèk zòn nan fonksyon sa a ki se zòn nondwa pou mwen, m pa pral la. Espesyalman, gen yon kondisyon mwen pa negosye si ou vle mwen travay sou yon fonksyon oswa sou yon pwen anndan yon fonksyon pou ou: se kesyon kontinite a. Kreyonomi te gentan esplike nou sa sa ye. Men m ap fè yon ti rapèl pou moun pa di si yo te konnen.
Kontinite se lè pa gen okenn twou nan fonksyon an, ki vle di ou ta kapab trase koub li a sou yon kaye san ou pa oblije leve men yon kote apre sa pou w kontinye. An jeneral, pou gen kontinite nan yon pwen, fòk limit fonksyon an nan pwen sa (nou sipoze li egziste) egal valè fonksyon an nan pwen sa.
Ou vle m montre ou depi m yon kote, kontinite pa ka pa la? An n ale!
An nou di mwen menm mwen egziste nan yon pwen x=a. Sa vle di derive a bay yon nonb fiks e nou kapab ekri, dapre definisyon mwen an:
Men ti fraksyon nou wè ki apre limit la, ou kapab remake si mwen miltipliye li pa ap rete nimeratè a sèlman e si apre sa mwen ajoute sou sa ki rete a (nimeratè a), ebyen yo prale ap rete sèlman. Kidonk, m ta kapab ekri konsa:
Alèkile, mwen p ap fache si ou mande m pouki tout vire won sa a. Ebyen pa bliye nan definisyon kontinite a te gen yon limit ki te egal yon limit . Kounye a si ou gade fòmil nou sot jwenn pou la ou ap wè agoch gen adwat gen , ki vle di tout jwè nou bezwen nan egalite ki defini kontinite a yo tout sou teren. Li rete pou nou mete balon nan pye yo, balon sa pa lòt, se operasyon limit la. Si nou aplike limit lè x ap pwoche a pou chak bò ekwasyon ki pi wo a, men sa nou ap jwenn:
Kounye a si adwat la nou fè limit la antre, nou ap jwenn:
Toujou nan bò dwat la, premye limit la nou konnen l, se mwen an pèsòn-derive a-,dezyèm limit la lè nou bay x valè ap L ap égal zewo, epi finalman twazyèm limit la se limit yon konstant ( ) l ap egal konstant lan ankò. Boutanfen,
Dènye espresyon nou ankadre a pwouve fonksyon la kontini vre nan pwen a jan nou te anonse sa. Kidonk, ki di yon fonksyon derivab, di fonksyon sa kontini paske depi yon fonksyon pa kontini, derive li pa ka egziste. Men kounye a, kesyon m gen pou ou? Eske sa vle di depi fonksyon an kontini li derivab otomatikman? Pran ti tan reflechi sou sa pandan m ap kite Kreyonomi repran kòn nan.
Derive ak kontinite: yon lanmou a sans inik
Nan matematik, depi ou di tèl sitiyasyon enplike yon lòt sitiyasyon sa pa otomatikman vle di lòt sitiyasyon sa a enplike premye a. « » pa vle di « « . Baze sou premye a pou kouri konkli dezyèm nan se yon fot, yon sofis, yon erè lojik ki pote non afimasyon konsekan an, ki vle di ou fè yon konsekans pase pou yon koz. Bon, nòmalman se pa sèl nan matematik sa (ta dwe) konsa, men sa rive souvan nan rezònman moun ap fè depi ou di moun kouri sipoze tou…Ou vle yon prèv? Chaje nan medya yo ak anba bouch politisyen yo…Bon, men yon egzanp yo konn pran pou montre poukisa se yon erè.
Si yo di w depi lapli tonbe atè a ap mouye, epi kòm ou wè atè a mouye, ou baze sou sa sèlman pou ou konkli lapli te tonbe, ou fè yon fot rezònman paske atè a ki mouye a pa sifi pou ou konkli lapli a te tonbe (gen lòt rezon ki te ka esplike sa). Sa pa vle di sa ou di a pa vre non (sa ka rive lapli te tonbe vre), paske menm yon fo rezònman ka bay bon rezilta (pwofesè k ap korije egzamen konn reyalite sa byen).
Kidonk, pou nou retounen sou koze relasyon ki konekte derivablite ak kontinite a, sèl sa nou pwouve pou kounye a se , nou pa pwouve . E nou pa t ap kapab pwouve li nonplis, paske gen egzanp fonksyon ki kontini byen pwòp nan yon pwen epoutan yo pa derivab nan pwen sa a. Bon sa ki pi rèd la (gen moun ki dezòd wi), Karl Weierstrass, yon kokennchenn matematisyen alman, te menm jwenn egzanp yon seri fonksyon ki kontini toupatou, nan tout kò yo, epoutan yo pa derivab okenn kote ditou! Nou ap depoze seri fonksyon sa yo la pou listwa (se yon fonksyon lè ou trase li ki sanble ak yon pil madjigridji kote chak pati se yon madjigridji ankò, tankou yon fraktal):
Yon reprezantasyon fonksyon Weierstrass la Sous: Wikipedia
Mwen mize sou egzanp sa a nonsèlman paske li enteresan men tou paske li montre jan mwen fonksyone. An jeneral, depi koub yon fonksyon gen kote li pwenti (tankou yon V oswa yon m pa bezwen konnen si fonksyon an kontini, mwen pa annafè ak kote ki gen pwent yo. Derive pa danse kole ak pwent sa yo nan yon fonksyon (dayè gad fonksyon Weierstrass la, se pik sèlman ki fè l, Henri Poincarré te rele fonksyon sa yo mons e li te gen rezon). Sandipetèt, ka ki pi senp fonkson ki gen mòd pwent sa yo se fonksyon valè absoli a,
Fonksyon valè absoli x la Sous: Wikipedia
Fonksyon sa a kontini toupatou, ni nan 0 kote ki gen pwent lan. Men si nou byen sonje entèpretesayon jewometrik derive a, nou ap wè ozalantou a menm si mwen ta zoume l zoume l zoume l, m p ap janm jwenn koub la vin sanble ak yon dwat, li ap toujou genyen fòm pwenti a. Se vre gen yon dwat (orizontal) ki touche koub valè absoli a nan yon sèl pwen nan vwazinaj a, men nou pa ka rele li yon tanjant paske dwat sa a pa fòme yon ang ki egal 0 avèk koub la, koub la pa konfonn ak li nan vwazinaj a. Kidonk li pa ban nou okenn enfòmasyon sou konpòtman koub la nan vwazinaj pwen sa a, an reyalite se jis kwaze yo kwaze, men yonn pa konn lòt. Kidonk derive a pa egziste nan zòn ki pwenti a. An jeneral, gen 2 kategori zòn pwenti sou yon koub yo konn distenge, nan tou 2 ka sa yo derive a p ap egziste. An nou dekouvri yo.
Yon ang ki mennen nan chimen pwennfèpa
Anvan mwen prezante yo, m ap raple derive se yon limit li ye, tankou tout limit ou kapab idantifye yon limit adwat ak yon limit agoch. Pou chak limit yon sèl bò sa yo ou ap jwenn yon rezilta ki kapab menm oswa diferan. Yonn kapab egal enfini oswa yon nonb fiks. Si li bay yon nonb fiks, nonb fiks sa a se pant yon tanjant li ye, men kòm se sou yon sèl bò nou ap travay yo pa rele dwat la tanjant, yo rele l demitanjant pito.
Nòmalman, pou limit global la egziste, fòk tou 2 limit yon sèl bò yo egziste (egal yon nonb fiks) e fòk yo egal. Egal la vle di tou, tou 2 demitanjant yo ap menm, yonn ap konfonn ak lòt e ang yo fòme ansanm nan ap egal zewo. Se lè sa a nou kapab di derive a egziste nan pwen sa a. Ebyen an nou gade kisa ki pase tout bon lè nou gen yon zòn ki pwenti nan koub yon fonksyon. Nan desen ki pi ba a (se sou nèt la mwen pran l wi, tanpri souple, se pa mwen ki fè l…), nou kapab wè kote ki gen pwent lan kote 2 demitanjant yo (ble a ak vèt la) fòme yon ang olye yo konfonn, kidonk derive a pa egziste la (tankou nan ka valè absoli a).
An jeneral, nou ap distenge 2 tip zòn pwenti nan yon koub: pwen ang yo ak pwen rebwousman yo (souvan, n ap rele yo pito pwen pwennfèpa oswa pwennfèpa senpman).
Pwen ang yo ou jwenn yo lè 2 demitanjant yo egziste men yo diferan (lè konsa yo fòme yon ang) oubyen lè se yon sèl ki egziste. Pwennfèpa yo menm, yo pa mennen ou nan okenn demitanjant (pant yo enfini), se tankou yon enpas, e lè ou ap soti ladan yo ou gen enpresyon ou pran direksyon opoze ak direksyon ou te pran lè ou t ap rantre a (se tankou ou te kase tèt tounen). Pou nou pi presi, ou gen yon pwen rebwousman oswa pwennfèpa se lè derive agoch la ak derive adwat la yonn bay plis enfini lòt la bay mwens enfini nan pwen an.
Pou egzanp pwen ang yo, nou te wè valè absoli a ak egzanp yon pwen nan yon koub kote gen yon ang ki fòme nan pwen sa a ant 2 demitanjant diferan. Pou egzanp pwen pwennfèpa yo, nou kapab jwenn kèk nan reyalite a. Yonn nou renmen anpil se egzanp kadyoyid la (yo rele li konsa paske li gen yon fòm kè). Nou kapab kreye li tou ak 2 sentant kòb pandan yonn ap woule sou lòt la oswa gras ak yon efè optik (yo rele fòm sa yo kostik) nan yon tas oswa nenpòt veso won tankou yon ti chodyè (gade dezyèm imaj la). Nou gen pou nou ajoute yon foto nou fè apati eksperyans pa nou, ret branche.
Lojik konstriksyon yon kadyoyid. Sous: Wikipedia
Yon kadyoyid nan reyalite a. Sous : StackExchange
Sa w panse si ou siprann yon zanmi w, mennaj ou oswa mari ou/madanm ou ak yon sikloyid pandan ou ap ofri li yon tas kafe? Anka pa ka se ta ti boubout la, ou pa janm konnen, li ka twouve w jènjan tankou Edward Nygma nan Gotham. 😉
Fen yon kòmansman
Bon nou fin antre nan nannan derive a, nan yon pwochen biyè ki ap dezyèm pati biyè sa a, nou pral wè lòt aspè ak kèk pwolonjman nosyon an (kalkil sou derive yo, derive pi wo degré yo, derive plizyè varyab, derivasyon vektoryèl, derivasyon konplèks, elt.).
Annapre nou ap gen pou nou dekouvri dividal aplikasyon zouti sa a nan plizyè domèn (espesyalman nan ekonomi) ansanm ak richès nosyon sa a. Rete branche. Kite yon kòmantè pou nou si ou gen yon ti tan.
Kwazman pant ak limit [1/2]
juin 17, 2018 Analiz, MatematikAnaliz, Derive, liy dwat, pantStevens Azima
Branch yo rele Analiz matematik la chita sou 3 gwo zouti: limit, derive ak entegral. Bon, nou te ka menm di li chita sou limit sèlman, paske jan nou ap gen pou nou wè sa ni derive ni entegral se limit yo ye tou.
Se Isaac Newton ak Gottfried Wilhelm Leibniz ki fonde branch sila a, blòk 17yèm syèk yo. Yonn nan rezònman branch sa a rann popilè se lojik kalkil sou entèval zuilit zuilit yo (kalkil enfinitezimal). Alòs depi tan lontan, tankou depi sou Archimède yo, moun te konn sèvi ak rezònman sa, men se apati Newton epi Leibniz fondasyon branch sa a poze epi yo kòmanse sèvi avè l nan tout sòs. Gen fanm tou, avan oswa apre Newton ki pote kontribisyon yo, men malerezman listwa pa brake ase pwojektè sou kontribisyon sa yo.
Antouka, jodi a fizik, biyoloji, chimi, ekonomi , elt. sèvi anpil ak zouti Analiz yo, sitou sa yo rele derive a. Si ou konprann sa derive a ye, ou ka di ou konprann yon nan toujou nan nannan branch yo rele Analiz matematik la. Nan seri 3 biyè blòg sa yo, nou pral esplike sa derive a ye ak poukisa li enpòtan. Nan biyè sa n ap konsantre sou nosyon « pant » lan, apre sa nan lòt la n ap gade nosyon limit la, boutofen nan twazyèm biyè a n ap prezante sa ki derive a.
Pant yon dwat
Nou tout konn sa yon pant ye. Yonn nan imaj ki ka kouri monte nan tèt nou se yon mòn yon moun ap eseye monte. Gen mòn ki pi rèd pase lòt: genyen ki prèske plat, gen lòt ki pike monte. Plis mòn nan « panche », se plis pant lan dous, plis li kanpe se plis pant lan rèd. Men pant lan, nan matematik, se pa sèl enfòmasyon sa li ban nou. An nou reprann egzanp mòn nan. Imajine ou fin monte mòn nan, epi lè w rive sou tèt li w ap pare pou w al desann sou lòt bò mòn nan. Bò pou desann mòn nan gen yon pant tou, men gen yon gwo diferans ant monte a ak desann nan.
Kit se moman w ap monte a, kit se moman w ap desann nan, direksyon kote ou prale a pa chanje. Alòs kisa ki chanje? Enbyen, lè ou t ap monte a, chak pa ou fè nan direksyon kote w prale a te voye w pi wo (altitid ou te ogmante). Men lè w rive sou lòt bò mòn nan, chak pa ou fè nan menm direksyon an, se pi ba li voye w (altitid ou ap bese). Poutèt sa, nou kapab di monte a te gen yon pant pozitif, desann nan te gen yon pant negatif. Si gen yon chif ki ka mezire pant lan, gen 2 enfòmasyon li ta dwe ban nou: 1) nivo panche liy n ap suiv la panche (pant dous oswa pant rèd), epitou 2) nan ki sans liy nan panche (monte oswa desann).
Matematisyen yo gen yon jan yo reprezante epi senplifye tout sa nou sot di yo. Imajine liy dwat nou pral etidye a se yon bò mòn nan. Lè m kòmanse monte mòn nan, gen 2 bagay ki pran chanje an menm tan: wotè m parapò ak atè a (altitid mwen) epi distans orizontal ki separe mwen ak anba mòn nan (ki vle di, mwen nonsèlman pral pi wo, men mwen pral pi devan tou.
Nan yon repè katezyen, altitid la m ka reprezante l ak yon [y] epi deplasman orizontal mwen parapò ak kote m demare a m ka reprezante l ak yon [x] (gade desen pi ba a). Si pandan m ap monte mòn nan, mwen fè yon premye ti kanpe akoz fatig, ti monte m sot fè a gentan chanje pozisyon [y] mwen an, ki soti nan [Y0] pou ale nan [Y1]. Varyasyon an se (Y1-Y0). Menm jan an tou, pozisyon [x] mwen an chanje. Mwen soti nan [X0] pou m ale nan [X1]. Varyasyon an se (X1-X0). Kounye a nou ap chèche yon mezi pou nosyon « pant » lan, e nou te wè mezi sa a ta dwe ban nou 2 enfòmasyon pou pi piti: sans chanjman [y] la parapò ak sans chanjman [x] la epi gwosè pant lan. Yon mezi matematik ki rive rasanble tou de enfòmasyon sa yo se: m=(Y1-Y0)/(X1-X0), sa vle di varyasyon nan [y] divize pa varyasyon nan [x]. Se rezilta divizyon sa a matematisyen yo rele pant yon dwat.
An nou pran liy [x] la ak liy [y] la nou fè yo fòme yon triyang, tankou nan desen pi wo a. Triyang sa ap yon triyang rektang kanmèm e si nou sonje trigonometri nou, tanjant ang liy dwat mwen an fòme avèk aks ki gen [x] yo, li egal longè kote ki anfas ang lan (ki se egzakteman varyasyon [y] la, [Y1-Y0]) divize pa longè kote orizontal la, [X1-X0]. Kidonk, sa nou rele pant dwat la, se menm li menm ki tanjant ang ant liy n ap etidye a epi aks ki gen [x] yo sou li a. Yonn nan konsekans sa genyen, li montre montre pant lan p ap chanje menm si nou agrandi triyang lan, paske ang lan p ap chanje, kidonk tanjant ang lan p ap chanje nonplis. Vrèmanvre, nan menm egzanp mòn lan, si liy n ap monte a dwat, monte pi wo nan mòn nan se pa sa k ap fè pant lan ni pi dous ni pi rèd. Pant yon dwat pa chanje. Sa gen anpil konsekans enteresan. An nou fè yon bilan sou sa nou konprann.
Yon bilan
Nan biyè nou te ekri sou fonksyon yo, nou te wè fonksyon yo gen yon jan yo sanble tout enfòmasyon sou koneksyon ki genyen nan mitan plizyè varyab. Sa enteresan anpil paske nan lasyans nou toujou ap chèche konprann relasyon ki genyen ant plizyè varyab ak fenomèn. Fonksyon ki pi senp nou te idantifye se fonksyon liy nan, ki ba ou yon liy dwat lè trase l. Kounye a nou sot wè yon premye enfòmasyon kle fonksyon sa a ka revele nou sou relasyon 2 varyab yo se nosyon pant lan. Pant lan di nou jis nan ki pwen chanjman yon varyab afekte lòt varyab la e nan ki sans li fè sa. Si pant yon dwat y=f(x) egal 2, sa vle si gen yon inite ki ajoute sou [x], ebyen se 2 inite ki ap ajoute sou [y]. Alèkile nou sot aprann, pant yon liy dwat pa janm chanje, kidonk sou nenpòt ki entèval (ant 2 pwen) ou mezire l, ou ap toujou jwenn menm rezilta a.
Men, pant yon dwat pa chanje vle di tou, si pant lan ta chanje, konnen se pa ak yon dwat ou te annafè. Kidonk nosyon pant nou an manke jeneral, paske li esklav liy dwat yo e nan reyalite a pa toujou gen liy dwat: konn gen monte desann nan fonksyon nou ap etidye yo ak tout kalte mouvman yon liy dwat pa ka dekri. Nan ka sa yo, rezilta nou ap jwenn pou pant lan ap depann de entèval nou chwazi yo. Pwochen zouti nou pral gade plis an detay e ki ap pèmèt nou atake ka ki pi konplike sa yo, se nosyon limit lan. Se li ki pral pèmèt nou ramne kesyon derive a ak yon senp kesyon pant yon liy dwat.
Nan pwochen biyè a, se sa nou pral fè.