Iswa nonb Pi a
Modelizasyon Matematik
Istwa nonb Pi a
Ansyen yo te kon'n fasilman kalkile perimèt avèk lè figi sa yo : kare ; rektang; tryang ;Poligòn regilye yo. Sepandan yo pat janm rankontre anken misté lan kalkil sa yo :
Te gen yon preyokipasyon ase pouse la kay matematisyen ansyen yo , dèke yo te konnen kòman yo ka kalkile perimèt avèk lè yon rektang , yon kare , yon tryang , yon ekzagon regilye e la trye , yo te enterese pou te kakile tou, perimèt avèk lè yon sèk . Paske yon sèk pou yo , sete figi ki te plis pafè donk li te dwe ekziste yon metòd pou jwen valè perimèt avèk lè yon sèk.Se konsa , matematisyen babilonyen yo ; egipsyen yo ; grèk yo lan chèche fason pou yo te jwen perimèt avèk lè yon disk , yo tombe bab pou bab fas ak yon misterye rapò , se rapò sa a ke nou pral chèche konprann kòman chak sivilizasyon te konnen li .Premye tras ekzistans rapò sa a , li remonte o zanviron 2000 ane avan J.-C. lakay Babilonyen yo e Egipsyen yo .Sepandan nonb sa a , pral fasine tout moun :Grèk yo, Chinwa yo , indyen yo , menm lan bib la ou jwenn ni . Nou jwenn ni lan prèske tout domèn matematik yo : Jeometrie , analiz , aljèb , pwobabilite e la trye.
Se rapò sa a nap pale a :
Ou ka poze tèt ou kesyon sa a : lan ki ane yo te dekouvri nonb sa a ki se rapò perimèt yon sèk sou dyamèt li ? nou pas ditou kon nen , men se rezilta de yon prosesis ki trè long .Lan civilzasyon ansyen yo kote yo te kon'n itilize figi de baz yo ( sèk , kare .......) anpil pou yon seri de bezwen pratik , se la yo te dekouvri ke kosyan perimèt yon sèk sou dyamèt li te toujou menm , e yo pat gen anken ide sou nati kosayan sa a .Yo pat menm kon nen si valè yo te jwen pou li yo te ekzat , ni yo pat gen ankenn konsyans si yo ta pral tonbe sou yon nouvo objè matematik.Donk , se nonb sa a ki te fasine ansyen yo anpil e ki kontinye ap fasine nou jiska prezan .
Ansyen yo pat bay rapò sa a ankenn non.William Oughtred (1574-1660) an 1647 avèk Isaac Barrow (1630-1677) te itilize senbòl π a pou te reprezante perimèt yon sèk ki gen pou dyamèt 1. Men , premye moun ki pral itilize li an tan ke rapò sikonferans pa dyamèt yon sèk se William Jones (1707-1783) an 1706. Se pou tèt sa ke yo kwè ke li te itilize notasyon π a ,paske se premye lèt lan mo grèk perimetron ki vle di perimèt.Aan kreyòl noatasyon sa a ki se Π li pwononse konsa : Pi ,menm bagay ak lang franse a . Lan lang Anglè li pwononse Pay .
Euler , itilize lèt π a , lan yon ouvraj sou seri matematik yo ,an 1737 epi, an 1748 lan yon lòt ouvraj sou entrodiksyon sou analiz enfintezimal, sa ki pral fè notasyon π a enpoze li definivman lan mond matematik la .
Definisyon(1)
Nonb Pi a se rapò sikonferans ou perimèt yon sèk sou dyamèt li :
Se istwa rapò sa a ke nou pral chèche konprann avèk ou .Yon rapò ki trè selèb an matematik e ki pa janm sispann pwovoke enterè lakay matematisyen yo .
Valè rapò a pa depann de sèk ou chwazi a .
Sa vle di ke kosyan perimét yon sék pa dyamét sék la tojou menm bagay ,kit sék la piti kit li gwo. Klasikman se demonstrasyon ke nou pral fè la a ke yo itilize pou yo ka demontre bagay sa a:
An nou konsidere 2 sèk C avèk c ki gen menm sant epi ki gen pou reyon respektif e pou perimèt respektif e .Nap enskri lan chak sèk yo yon poligòn regilye ki gen n kote . Nou divize 2 sèk yo an n tryang a pati de n kote poligòn yo .
Perimèt gwo poligòn nan li vo :
Perimèt ti poligòn nan li vo :
Si nou fè rapò yo nap vin gen yen :
Si nou aplike teyorèm Talès la sou tryang (AOB) ak tryan (mOn) nap vin gen :
Kòm e nap vin gen :
Plis kote poligòn yo ap ogmante se plis poligòn yo ap apwoche yo de sèk yo .Sa vle di ke lòske alò e .
Pa konsekan nou ka ekri an tèm apwoksimatif :
Efektivman valè rapò perimèt yon sèk sou dyamèt sèk la li konstant.E konstant sa a nou relle li Pi :
Yo rele li tou konstant Achimèd la .
Pou kisa Pi parèt tou lè yap kalkile mezi sifas yon disk ou yon sèk ?
Mezi sifas yon disk nou rele li lè disk la .Se savan grèk ke yo rele Achimèd la ki pral fè nou konprann depi ke nou gen perimèt yon sèk nou ka jwenn lè sèk la . Konside yon disk ki gen pou bò yon sèk ki li menm gen pou sant C e pou reyon R .Nou konnen ke perimèt sèk la se P=2PiR.
Nou enskri yon poligon regilye ki gen n kote lan sèk la.Nap divize disk la an n sektè angilè kote yo chak gen pou baz kote polygon nan ,ki se n tryang izosèl ki egal .Pou nou ka senplifye pwoblèm nan ,nou divize disk la an 12 sektè ki egal.
Sepandan,demonstrayon ke nou pal fè la a se pa li menm ke Achimèd te fè a ,se pito yon demontrasyon ki trè senp pou w konprann. Nou pral aliye sektè sa yo an 2 ranje :
Si nou foure premye ranje a lan dezyèm nan nap vin jwen ekzakteman yon figi ki vin bay sansibleman yon paralelogram ke nou kalifye de paralelogram ondile akoz de baz tryang yo ki se yon seri de bout sèk.
Plis nonb kote poligon yo ap ogmante se plis paralelgram ondile a ap vin yon parlelogram ki gen pou wotè H=reyon sèk la e ki gen pou baz B=mwatye perimèt poligòn nan .
Ki donk lè disk la ap egal avèk lè paralelogramm nan :
An nou kalkile Lè paralelogram nan :
A pati de sa nou ka vin gen yon novel definisyon pou nonb Pi a :
Definisyon(2)
Nonb pi a se rapò ki se lè yon disk divize pa reyon disk la o kare :
Pi la kay Babilonyen yo
2000 ane avan Jezi Kri lan Babiblòn , bagay ki pi ansyen kote nonb pi a te parèt se tablèt kineyifòm babiblonyen sa a ke yo te dekouvri an 1936 lan yon zòn yo rele Suse an Mezopotami ki se Irak jodi a.
Si nou kwè tablèt la epi ak sa anpil istoryen ap di , tabklèt la eksprime rapò perimèt yon ekzagòn ak perimèt yon sèk ki sikonskri lan ekzagòn konsa lan baz 60 :
Ki jodi a yo ezsprime konsa :
Se pito yon apwoksimasyon pou nonb pi a,ke babilonyen te jwenn :
Nou remake ke se yon sèl desimal ki ekzat , se chif 1 an .
Pi Lakay Ejipsyen yo
Sou yon papiris ke yo batize papiris Rhind nan ,gen yon tèks ki mansyone yon resèt ki endike kòman ou ka jwenn lè yon disk ki gen pou dyamèt D :
Retire yon nevyèm sou dyamèt D a
Miltiplye rezilta a pa li menm
Ki vin bay :
Poukisa yo fé sa ? papiris la pa di poukisa .Sepandan gen yen yon eksplikasyon ke anpil istoryen bay ki ta sanble posib:
Yo ta divize sék la an 9 pati ki egal . Yo konstri yon kare ki gen pou kote 8 lan 9 pati sa yo epi ki santre sou sant sék la. Se bagay sa a , nou rele kwadrati sék la,ki vle di konstri yon kare e yon sèk ki menm perimèt , menm lè avèk règ e konpa.Sa ki fè ke papiris la pral di ke lè sèk sa a egal a lè kare nou sot kontri a ( figi ki a goch la).Se kòm si papiris la ta di sa, jis pou konpanse 4 kwen kare yo ki depase sèk la avék 4 kwen sek la ki depase kare a . Donk a priyori se yon bon ide . Kare sa a li gen pou lè C x C , donk A(kare) = A(sèk) . Èske li jist , sa yo di a ? Evidamman li fo , men li pa totalman fo .Pou sa ,nou pral bay kòman egipsyen yo te pwosede ki fè ke lan tire konklizyon sa a , yo te rive tonbe sou nonb pi a , ki li menm pita li pral vin yon objè matematik ki pral atire anpil atansyon matamatisyen yo .
Kare gen pou kote :
Donk lè kare ap egal a :
Ki vin ekri konsa :
Kòm Nap vin gen :
Sa ki fè ke :
Kòm daprè papiris la Disk la avèk kare gen menm lè donk :
Nonb sa a :
Se li menm ke yon seri de istoryen rele Pi ejipsyen an :
Men an realite se yon valè apwoche de nonb pi a ke li ye : .Se ankò yon sèl desimal ki ekzat lan apwoksinasyon sa a ,ki se chif 1 an .
Pi lan labib kay Pèp Izraèl la (-550)
Nou jwenn lan premye liv wa a ,pasaj sa a:
1 wa chapit 7 vèsè 23 :
Li fè yon gwo basen an kwiv tou won. Li te mezire 10 koude lajè anndan ak 5 koude pwofondè. Wonn li te mezire 30 koude .
ki fè ke daprè la bib nap gen :
ki donk
se valè sa a ke labib jwenn pou nonb Pi a .