---
abstract: |
    Рассматривается линейное пространство, образованное элементами конечного поля ${\mathbb{F}}_q$, где $q=p^r$, над ${\mathbb{F}}_p$. Пусть $\{a_1,\ldots,a_r\}$ – базис этого пространства. Тогда каждый элемент $x\in{\mathbb{F}}_q$ имеет единственное представление в виде $\sum_{j=1}^r c_ja_j$, где $c_j\in{\mathbb{F}}_p$. Зафиксируем множества $D_1,\ldots,D_r\subset{\mathbb{F}}_p$ и рассмотрим множество $W=W(D_1,\ldots,D_r)$ тех элементов $x\in{\mathbb{F}}_q$, для которых $c_j\in D_j$ при всех $1{\leqslant}j {\leqslant}r$.

    В работе доказана оценка на количество квадратов во множестве $W$, из которой вытекают следующие два утверждения:

    1\) если для некоторого $\varepsilon>0$ выполнено ${\prod\limits}_{i=1}^r|D_i| {\geqslant}(2r-1)^rp^{r(1/2+\varepsilon)}$, то справедлива асимптотическая оценка $|W\cap Q|=|W|\left(\frac12+O(p^{-\varepsilon/2})\right)$;

    2\) при $\prod\limits_{i=1}^r |D_i|{\geqslant}8(2r-1)^rp^{r/2}$ во множестве $W$ имеются ненулевые квадраты.

    *Ключевые слова:* конечные поля, квадраты, суммы характеров.
---

УДК 517

**О КВАДРАТАХ В СПЕЦИАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВАХ КОНЕЧНОГО ПОЛЯ[^1]**

М.Р. Габдуллин (г. Москва)

Введение.
=========

При любом фиксированном $b\in\mathbb{N}$, $b{\geqslant}2$, каждое число $n\in\mathbb{N}$ единственным образом представимо в системе счисления с основанием $b$:

$$n=\sum\limits_{j=0}^{r-1} c_jb^j, \,\,\,\,\,\,\, 0{\leqslant}c_j {\leqslant}b-1, \,\,\, c_{r-1}{\geqslant}1.$$

Во многих работах (см., например, [@1]-[@11.5]) изучались арифметические свойства чисел с ”пропущенными” цифрами, т.е. тех чисел, $b$-ичная запись которых состоит из заданных цифр.

В [@12] C. Dartyge и A. Sárközy рассмотрели аналог этой задачи в конечных полях. Пусть $\mathbb{F}_q$ — поле из $q=p^r$ элементов, $r{\geqslant}2$, $\{a_1,\ldots,a_r\}$ — базис $\mathbb{F}_q$ над $\mathbb{F}_p$, $\mathcal{D}\subset\mathbb{F}_p$. Положим $$W_{{\mathcal{D}}}=\left\{ x_1a_1+\ldots+x_ra_r \,|\, x_i\in {\mathcal{D}}\right\}.$$ Обозначим через $Q$ множество ненулевых квадратов поля $F_q$. Положим $Q_0=Q\cup\{0\}.$ Будем считать, что $p{\geqslant}3$, так как в случае $p=2$ мы имеем ${\mathbb{F}}_q=Q_0.$

В недавней работе C.Dartyge, C.Mauduit, A.Sárközy [@13] было показано, что если множество ${\mathcal{D}}$ достаточно велико, то во множестве $W_{{\mathcal{D}}}$ имеются квадраты.

<span style="font-variant:small-caps;">Теорема A</span>. *Пусть $2{\leqslant}|{\mathcal{D}}|{\leqslant}p-1.$ Тогда* $$\left||W_{{\mathcal{D}}}\cap Q_0|-\frac{|W_{{\mathcal{D}}}|}{2}\right| {\leqslant}\frac{1}{2\sqrt{q}}\left(|{\mathcal{D}}|+p\sqrt{p-|{\mathcal{D}}|}\right)^r.$$ Эта оценка нетривиальна, если $|{\mathcal{D}}|{\geqslant}\frac{(\sqrt5-1)p}{2}(1+o_p(1))$.

В работе [@14] автором были доказаны следующие два утверждения, ослабляющие условие на мощность множества ${\mathcal{D}}$, гарантирующее наличие квадратов во множестве $W_{{\mathcal{D}}}$.

<span style="font-variant:small-caps;">Теорема B.</span> *Пусть $2r-1{\leqslant}p^{1/2}$, $\delta=\left(\sqrt p(2r-1)\right)^{2-r}$. Тогда при $|{\mathcal{D}}|{\geqslant}(1+\delta)(2r-1)p^{1/2}$ справедливо $|W_{{\mathcal{D}}}\cap Q|{\geqslant}1.$*

<span style="font-variant:small-caps;">Теорема C.</span> *Пусть $r{\geqslant}20,$ $C(r)=\exp\left(\frac{4\log r+8}{r}\right)=1+o(1), \, r\to\infty$. Тогда при $|{\mathcal{D}}|{\geqslant}C(r) p^{\frac12}\exp\left(\frac{\log p+4\log\log p}{r}\right)$ справедливо $|W_{{\mathcal{D}}}\cap Q|{\geqslant}1$.*

В частности, из теоремы C следует, что при большом $r$ во множестве $W_{{\mathcal{D}}}$ есть квадраты уже при $|{\mathcal{D}}|>p^{1/2}$. Отметим, что при $r \gg \frac{\log p}{\log\log p}$, более точный результат дает теорема C, а иначе — теорема B.

В работе R.Dietmann, C.Elsholtz, I.E.Shaprlinski [@15], была рассмотрена более общая задача. Пусть $D_1,\ldots,D_r$ – подмножества $\mathbb{F}_p$. Положим $$W=W(D_1,\ldots,D_r)=\left\{ x_1a_1+\ldots+x_ra_r \,|\, x_i\in D_i  \right\}.$$ Авторы работы [@15] отмечают, что доказательство теоремы А [@13] переносится на случай, когда множества $D_i$ различны, а именно, при $\min\limits_{1{\leqslant}i{\leqslant}r} |D_i| {\geqslant}\frac{(\sqrt5-1)p}{2}(1+o_p(1))$ справедливо $|W\cap Q_0|{\geqslant}1$, и доказывают более сильное утверждение.

<span style="font-variant:small-caps;">Теорема D</span> ([@15], теорема 3.5). *Для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что для любых множеств $D_1,\ldots,D_r$, удовлетворяющих условиям* $$\prod_{i=1}^r |D_i| {\geqslant}p^{(1/2+\varepsilon)r^2/(r-1)}$$ *и* $$\min\limits_{1{\leqslant}i{\leqslant}r} |D_i| {\geqslant}p^{\varepsilon}$$ *справедливо* $|W\cap Q_0|=\left(\frac12+O(p^{-\delta})\right)|W|$.

По аналогии с работой [@15], теорема B также может быть перенесена на случай различных множеств $D_i$. В настоящей работе будет доказана следующая

**Теорема.** *Справедлива оценка* $$\begin{gathered}
\left| |W\cap Q|-\frac{|W|}{2} \right| {\leqslant}\\
\frac12\left(|W|^{1-1/(2r)}p^{1/4}(2r-1)^{1/2} + |W|^{1/(2r)}(\frac14p^{3/4}r^{3/2}+p^{1/2})+1\right). \label{T}\end{gathered}$$

Из этой теоремы вытекает аналог теоремы D, а также теорема о достаточных условиях существования квадратов во множестве $W$.

<span style="font-variant:small-caps;">Следствие 1.</span> *Пусть для некоторого $\varepsilon>0$ выполнено* $${\prod\limits}_{i=1}^r|D_i|{\geqslant}(2r-1)^rp^{r(1/2+\varepsilon)}.$$

*Тогда* $|W\cap Q|=|W|\left(\frac12+O(p^{-\varepsilon/2})\right)$, *причем постоянная в знаке $O$ абсолютна.*.

Отметим, что следствие 1 усиливает теорему D при фиксированном $r$ (так как в нём отсутствует требование $\min\limits_{1{\leqslant}i{\leqslant}r} |D_i| {\geqslant}p^{\varepsilon}$).

<span style="font-variant:small-caps;">Следствие 2.</span> *Пусть ${\prod\limits}_{i=1}^r|D_i|{\geqslant}8(2r-1)^rp^{r/2}$. Тогда $|W\cap Q|{\geqslant}1.$*

Доказательство теоремы будет изложено в разделе 2; оно основывается на оценке сумм характеров специального вида, полученной D.Wan в [@15.5] и сформулированной в удобном для нас виде A. Winterhof в [@16].

<span style="font-variant:small-caps;">Лемма</span>. *Пусть $\chi$ – мультипликативный характер порядка $s$ в ${\mathbb{F}}_{q}$ и $\alpha,\beta\in{\mathbb{F}}_{q}$ – несопряжённые порождающие элементы ${\mathbb{F}}_{q}$ над ${\mathbb{F}}_p$. Тогда*

$$\left|\sum\limits_{\xi\in{\mathbb{F}}_p}\chi\left((\xi+\alpha)(\xi+\beta)^{s-1}\right)\right| {\leqslant}(2r-1)p^{1/2}.$$

Следствия 1 и 2 будут доказаны в разделе 3.

Автор признателен С.В. Конягину и рецензенту за полезные обсуждения результатов.

Доказательство теоремы.
=======================

Через $\chi$ обозначим квадратичный характер на $\mathbb{F}_q$; cчитаем, что $\chi(0)=0$. Пусть $0$ не принадлежит некоторому $D_i$. Тогда

$$|W\cap Q|=\frac12\sum\limits_{x\in W} (1+\chi(x))=\frac12|W|+\frac12\sum\limits_{x\in W} \chi(x)=\frac12|W|+\frac12\sum\limits_{x\in W} \chi(x).$$ Если же $0\in D_i$ при всех $i$, то $$|W\cap Q|=\frac12\sum\limits_{x\in W\setminus\{0\}} (1+\chi(x))=\frac12(|W|-1)+\frac12\sum\limits_{x\in W} \chi(x).$$ Таким образом, всегда справедливо неравенство $$\left| |W\cap Q|-\frac{|W|}{2} \right| {\leqslant}\frac12+\frac12\left|{\sum\limits}_{x\in W} \chi(x)\right|,  \label{0}$$ и для доказательства теоремы нужно оценить сумму характеров $\left|\sum\limits_{x\in W}\chi(x)\right|$. Положим $D=D_2\times\ldots\times D_r$ и $b_j=a_j/a_1$. Тогда $b_1=1$ и $\{1,b_2,\ldots,b_r\}$ — базис. Имеем $$\left| \sum\limits_{x\in W} \chi(x)\right| {\leqslant}\sum\limits_{c_1\in D_1}\left| \sum\limits_{c_j\in D_j,\, j{\geqslant}2} \chi(c_1a_1+\ldots+c_ra_r)\right| {\leqslant}|D_1|^{1/2}A^{1/2}, \label{1}$$ где $$A=
\sum\limits_{c_1\in D_1}\left| \sum\limits_{(c_2,\ldots,c_r)\in D} \chi(c_1+c_2b_2\ldots+c_rb_r)\right|^2.$$ Пусть $L_d$ — множество тех наборов $(c_2,\ldots,c_r)\in D$, для которых элемент $c_2b_2+\ldots+c_rb_r$ лежит в подполе порядка $p^d$ и не лежит ни в каком подполе меньшего порядка. Ясно, что $D=\bigsqcup\limits_{d|r} L_d$, причем $L_1=\{0\}$, если $0\in D_i$ при всех $2{\leqslant}i {\leqslant}r$, и $L_1=\emptyset$ иначе. Для $d|r$ определим функцию $f_d(x) \colon D_1\to\mathbb{C}$, $f_d(c)=\sum\limits_{(c_2,\ldots,c_r)\in L_d} \chi(c+c_2b_2+\ldots+c_rb_r)$. Напомним, что $l_2$-норма функции $g \colon D_1\to\mathbb{C}$ определяется как $\| g \|_2 = \left(\sum\limits_{x\in D_1}|g(x)|^2 \right)^{1/2}$. Тогда в силу неравенства треугольника

$$A^{1/2}=\left\| \sum_{d|r} f_d \right\|_2 {\leqslant}\sum\limits_{d|r} \|f_d\|_2 = \sum\limits_{d|r} A_d^{1/2}. \label{A^{1/2}}$$

где $$A_d= \sum\limits_{x\in D_1}\left| \sum\limits_{(c_2,\ldots,c_r)\in L_d} \chi(x+c_2b_2+\ldots+c_rb_r)\right|^2 .$$ По определению множества $L_d$ при любом наборе $(c_2,\ldots,c_r)\in L_d$ элемент $c_2b_2+\ldots+c_rb_r$ порождает подполе порядка $p^d$. Учитывая, что каждый такой элемент имеет не более $d$ сопряженных, и применяя лемму к парам несопряженных элементов, при $d>1$ имеем $$\begin{gathered}
 A_d{\leqslant}\sum\limits_{(c_2,\ldots,c_r), (c'_2,\ldots,c'_r)\in L_d} \left|\sum\limits_{x\in F_p}  \chi(x+c_2b_2+\ldots+c_rb_r)\overline{\chi}(x+c'_2b_2+\ldots+c'_rb_r)\right|
{\leqslant}\\
\sum\limits_{(c_2,\ldots,c_r)\in L_d} \left(dp+(|L_d|-d)(2d-1)p^{1/2}\right){\leqslant}(2d-1)p^{1/2}|L_d|^2+dp|L_d|.\end{gathered}$$ Кроме того, $A_1{\leqslant}|D_1|{\leqslant}p.$ Обозначим $\mathcal{J}=\{d|r : d>1 \,\mbox{и}\, L_d \neq\emptyset \}$. Тогда при $d\in\mathcal{J}$ в силу неравенства $\sqrt{A+B}{\leqslant}\sqrt{A}\left(1+\frac{B}{2A}\right)$, верного при всех положительных $A$ и $B$, получаем $$A_d^{1/2}{\leqslant}(2d-1)^{1/2}p^{1/4}|L_d|+\frac{dp^{3/4}}{2(2d-1)^{1/2}}.$$ Из этой оценки и неравенства (\[A\^[1/2]{}\]) имеем $$A^{1/2}{\leqslant}p^{1/4}S_1+\frac12p^{3/4}S_2+p^{1/2},$$ где $$\begin{gathered}
S_1=\sum\limits_{d\in \mathcal{J}} (2d-1)^{1/2}|L_d|,\quad
S_2=\sum\limits_{d\in\mathcal{J}}\frac{d}{(2d-1)^{1/2}}.\end{gathered}$$ Учитывая, что $\sum\limits_{d|r} |L_d|=|D_2|\ldots|D_r|$, получаем $$S_1{\leqslant}(2r-1)^{1/2}|D_2|\ldots|D_r|,\quad
S_2{\leqslant}\sum\limits_{d\in \mathcal{J}} d^{1/2} {\leqslant}\frac12r^{3/2}.$$ (Последняя оценка проверяется непосредственно при $2{\leqslant}r{\leqslant}7$, а при $r {\geqslant}8$ вытекает из неравенств $r^{1/2}{\leqslant}\frac16r^{3/2}$ и $\sum\limits_{d{\leqslant}r/2} d^{1/2}{\leqslant}\frac23(r/2+1)^{3/2}{\leqslant}\frac13r^{3/2}.$) Значит, $$A^{1/2}{\leqslant}p^{1/4}(2r-1)^{1/2}|D_2|\ldots|D_r|+\frac14p^{3/4}r^{3/2}+p^{1/2}.$$ Подставляя последнее неравенство в (\[1\]), получим $$\begin{gathered}
\left| \sum\limits_{x\in W} \chi(x)\right| {\leqslant}|D_1|^{1/2}\left(p^{1/4}(2r-1)^{1/2}|D_2|\ldots|D_r| + \frac14p^{3/4}r^{3/2}+p^{1/2}\right) =\\ 
|D_1|^{-1/2}p^{1/4}(2r-1)^{1/2}|W|+|D_1|^{1/2}\left(\frac14p^{3/4}r^{3/2}+p^{1/2}\right)\end{gathered}$$ Аналогично получается оценка $$\begin{gathered}
\left| \sum\limits_{x\in W} \chi(x)\right| {\leqslant}|D_i|^{-1/2}p^{1/4}(2r-1)^{1/2}|W|+|D_i|^{1/2}\left(\frac14p^{3/4}r^{3/2}+p^{1/2}\right)\end{gathered}$$ Выберем $i$ так, чтобы эта оценка была наилучшей. Рассмотрим функцию\
$H(x)=x^{-1/2}p^{1/4}(2r-1)^{1/2}|W|+x^{1/2}\left(\frac14p^{3/4}r^{3/2}+p^{1/2}\right)$, $1{\leqslant}x {\leqslant}|W|$. Имеем

$$H'(x)=\frac{\frac14p^{3/4}r^{3/2}+p^{1/2}}{2x^{1/2}} - \frac{p^{1/4}(2r-1)^{1/2}|W|}{2x^{3/2}},$$ и $H'(x)=0$ при $x=4|W|p^{-1/2}\frac{(2r-1)^{1/2}}{r^{3/2}+4p^{-1/4}}{\geqslant}2|W|p^{-1/2}r^{-1}{\geqslant}|W|^{1/2}$ при $|W|{\geqslant}8p^{r/2}(2r-1)^r$. Таким образом, минимум функции $H(x)$ достигается при $x{\geqslant}|W|^{1/2}{\geqslant}|W|^{1/r}$. Мы можем выбрать $i$ так, что $|D_i|{\geqslant}|W|^{1/r}$; так как $H'(x)<0$ при $|W|^{1/r}{\leqslant}x {\leqslant}|W|^{1/2}$, то можно гарантировать оценку $$\begin{gathered}
 \left| \sum\limits_{x\in W} \chi(x)\right| {\leqslant}H(|W|^{1/r})= \\ |W|^{1-1/(2r)}p^{1/4}(2r-1)^{1/2}+|W|^{1/(2r)}\left(\frac14p^{3/4}r^{3/2}+p^{1/2}\right).\end{gathered}$$ Из неравенства (\[0\]) и последней оценки вытекает утверждение теоремы.

Доказательство следствий.
=========================

**Доказательство следствия 1.** Из теоремы следует, что

$$|W\cap Q|=|W|\left(\frac12+O\left( |W|^{-1/(2r)}p^{1/4}(2r-1)^{1/2}+|W|^{-(2r-1)/(2r)}p^{3/4}r^{3/2} \right)\right).$$ При $|W|{\geqslant}(2r-1)^rp^{r(1/2+\varepsilon)}$ имеем $|W|^{-1/(2r)}{\leqslant}(2r-1)^{-1/2}p^{-1/4}p^{-\varepsilon/2}$ и $$|W\cap Q|=|W|\left(\frac12+O\left(p^{-\varepsilon/2}+r^{2-r}p^{1-r/2}p^{-(2r-1)\varepsilon/2}\right)\right).$$ Так как $r{\geqslant}2$, то отсюда вытекает утверждение следствия 1.

**Доказательство следствия 2.** Во множестве $W$ есть квадраты, если правая часть неравенства (\[T\]) строго меньше, чем $|W|-1$. Это равносильно условию $$|W|^{1-1/r}\left(|W|^{1/(2r)}-p^{1/4}(2r-1)^{1/2}\right) > \frac14p^{3/4}r^{3/2}+p^{1/2}+|W|^{-1/(2r)}.$$ Покажем, что последнее неравенство выполнено при $|W|{\geqslant}8(2r-1)^rp^{r/2}$. Имеем $|W|^{1/(2r)}{\geqslant}\left(e^2(2r-1)^rp^{r/2}\right)^{1/(2r)}{\geqslant}(1+1/r)(2r-1)^{1/2}p^{1/4}$ и $$\begin{gathered}
|W|^{1-1/r}\left(|W|^{1/(2r)}-(2r-1)^{1/2}p^{1/4}\right){\geqslant}\frac1r(2r-1)^{1/2}p^{1/4}(2r-1)^{r-1}p^{(r-1)/2} =\\
\frac1r(2r-1)^{r-1/2}p^{(r-1)/2+1/4} {\geqslant}\frac34p^{3/4}r^{3/2}>\frac14p^{3/4}r^{3/2}+p^{1/2}+|W|^{-1/(2r)}.\end{gathered}$$ Здесь предпоследнее неравенство очевидно при $r{\geqslant}3$ и легко проверяется при $r=2$; последнее неравенство следует из неравенства $\frac12p^{3/4}r^{3/2}> p^{1/2}+(2r-1)^{-1/2}p^{-1/4}$, верного при всех $p{\geqslant}3$, $r{\geqslant}2$.

Следствие доказано.

Заключение.
===========

В работе доказана оценка на количество квадратов во множестве $W$, дающая аналог результата из работы [@15], а также достаточные условия на существование квадратов во множестве $W$.

Этот результат является обобщением теоремы B предыдущей работы автора [@14].

[99]{}

Banks W.D., Conflitti A., Shparlinski I.E. Character sums over integers with restricted $g$-ary digits // Illinois J. Math. 2002. Vol. 46, №3. P. 819-836.

Banks W.D., Shparlinski I.E. Arithmetic properties of numbers with restricted digits. Acta Arith. 2004. Vol. 112. P. 313-332.

Col S. Propriétés multiplicatives d’entiers soumis à des contraintes digitales. Thèse de doctorat de mathématiques de l’Université Henri Poincaré-Nancy. 2006. Vol.1.

Col S. Diviseurs des nombres ellipséphiques. Periodica Mathematica Hungarica. 2009. Vol. 58, №1. P. 1-23.

Coquet J. On the uniform distribution modulo one of some subsequences of polynomial sequences. J. Number Theory. 1978. Vol. 10, №3. P. 291-296.

Coquet J. On the uniform distribution modulo one of some subsequences of polynomial sequences. J. Number Theory. 1980. Vol. 12, №2. P. 244-250.

Coquet J. Graphes connexes, représentation de entiers et équirépartition. J. Number Theory. 1983. Vol. 16, №3. P. 363-375.

Dartyge C., Mauduit C. Nombres presque premiers dont l‘écriture en base $r$ ne comporte pas certain chiffres. Journal of Number Theory. 2000. Vol. 81. P. 270-291.

Dartyge C., Mauduit C. Ensembles de densité nulle contenant des entiers possédant au plus deux facteurs premiers. Journal of Number Theory. 2001. Vol. 91. P. 230-255.

Drmota M., Mauduit C. Weyl sums over integers with affine digits restriction. Journal of Number Theory. 2010. Vol. 30. P. 2404-2427.

Erdős P., Mauduit C., Sárközy A. On the arithmetic properties of integers with missing digits I: Distribution in residue classes. Journal of Number Theory. 1998. Vol. 70, №2. P. 99-120.

Konyagin S.V., Mauduit C., Sárközy A. On the number of prime factors of integers characterized by digits properties. Period. Math. Hung. 2000. Vol. 40. P. 37-52.

Dartyge C., Sárközy A. The sum of digits function in the finite field. Proc. Amer. Math. Soc. 2013. Vol. 141, №12. P. 4119-4124. Dartyge C., Mauduit C., Sárközy A. Polynomial values and generators with missing digits in finite fields. Functiones et Approximatio. 2015. Vol. 52, №1. P. 65–74.

Габдуллин М.Р. О квадратах во множестве элементов конечного поля с ограничениями на коэффициенты при разложении по базису \[отправлена в печать\].

Dietmann R., Elsholtz C., Shparlinski I.E. Prescribing the binary digits of squarefree numbers and quadratic residues. arXiv: 1601.04754v1.

Wan D. Generators and irreducible polynomials over finite fields. Math. Comp. 1997. Vol. 66. P. 1195 - 1212.

Winterhof A. Characters sums, primitive elements, and powers in finite fields. Journal of Number Theory. 2001. Vol. 91. P. 153-161.

[^1]: Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 14-11-00702).
