exp : type.

z    : exp.
s    : exp -> exp.
case' : exp -> exp -> (exp -> exp) -> exp.
pair : exp -> exp -> exp.
fst  : exp -> exp.
snd  : exp -> exp.
lam  : (exp -> exp) -> exp.
app  : exp -> exp -> exp.
letv : exp -> (exp -> exp) -> exp.
letn : exp -> (exp -> exp) -> exp.
fix  : (exp -> exp) -> exp.


eval : exp -> exp -> type.
ev_z : eval z z.
ev_s : {E:exp} {V:exp} eval E V -> eval (s E) (s V).
ev_case_z :
   {E1:exp} {E2:exp} {E3:exp -> exp} {V:exp}
      eval E1 z -> eval E2 V -> eval (case' E1 E2 (\x. E3 x)) V.
ev_case_s :
   {E1:exp} {E2:exp} {E3:exp -> exp} {V1':exp} {V:exp}
      eval E1 (s V1') -> eval (E3 V1') V -> eval (case' E1 E2 (\x. E3 x)) V.
ev_pair :
   {E1:exp} {E2:exp} {V1:exp} {V2:exp}
      eval E1 V1 -> eval E2 V2 -> eval (pair E1 E2) (pair V1 V2).
ev_fst : {E:exp} {V1:exp} {V2:exp} eval E (pair V1 V2) -> eval (fst E) V1.
ev_snd : {E:exp} {V1:exp} {V2:exp} eval E (pair V1 V2) -> eval (snd E) V2.
ev_lam : {E:exp -> exp} eval (lam (\x. E x)) (lam (\x. E x)).
ev_app :
   {E1:exp} {E2:exp} {E1':exp -> exp} {V2:exp} {V:exp}
      eval E1 (lam (\x. E1' x)) -> eval E2 V2 -> eval (E1' V2) V -> eval (app E1 E2) V.
ev_letv :
   {E1:exp} {E2:exp -> exp} {V1:exp} {V:exp}
      eval E1 V1 -> eval (E2 V1) V -> eval (letv E1 (\x. E2 x)) V.
ev_letn :
   {E1:exp} {E2:exp -> exp} {V:exp}
      eval (E2 E1) V -> eval (letn E1 (\x. E2 x)) V.
ev_fix : {E:exp -> exp} {V:exp} eval (E (fix (\x. E x))) V -> eval (fix (\x. E x)) V.
