In mathematics, a chain complex is an algebraic structure that consists of a sequence of abelian groups (or modules) and a sequence of homomorphisms between consecutive groups such that the image of each homomorphism is included in the kernel of the next. Associated to a chain complex is its homology, which describes how the images are included in the kernels.

A cochain complex is similar to a chain complex, except that its homomorphisms are in the opposite direction. The homology of a cochain complex is called its cohomology.

In algebraic topology, the singular chain complex of a topological space X is constructed using continuous maps from a simplex to X, and the homomorphisms of the chain complex capture how these maps restrict to the boundary of the simplex. The homology of this chain complex is called the singular homology of X, and is a commonly used invariant of a topological space.

Chain complexes are studied in homological algebra, but are used in several areas of mathematics, including abstract algebra, Galois theory, differential geometry and algebraic geometry. They can be defined more generally in abelian categories.

Definitions
A chain complex  is a sequence of abelian groups or modules ..., A0, A1, A2, A3, A4, ... connected by homomorphisms (called boundary operators or differentials) , such that the composition of any two consecutive maps is the zero map. Explicitly, the differentials satisfy , or with indices suppressed, . The complex may be written out as follows.

The cochain complex  is the dual notion to a chain complex. It consists of a sequence of abelian groups or modules ..., A0, A1, A2, A3, A4, ... connected by homomorphisms  satisfying . The cochain complex may be written out in a similar fashion to the chain complex.

The index n in either An or An is referred to as the degree (or dimension). The difference between chain and cochain complexes is that, in chain complexes, the differentials decrease dimension, whereas in cochain complexes they increase dimension. All the concepts and definitions for chain complexes apply to cochain complexes, except that they will follow this different convention for dimension, and often terms will be given the prefix co-. In this article, definitions will be given for chain complexes when the distinction is not required.

A bounded chain complex is one in which almost all the An are 0; that is, a finite complex extended to the left and right by 0. An example is the chain complex defining the simplicial homology of a finite simplicial complex. A chain complex is bounded above if all modules above some fixed degree N are 0, and is bounded below if all modules below some fixed degree are 0. Clearly, a complex is bounded both above and below if and only if the complex is bounded.

The elements of the individual groups of a (co)chain complex are called (co)chains. The elements in the kernel of d are called (co)cycles (or closed elements), and the elements in the image of d are called (co)boundaries (or exact elements). Right from the definition of the differential, all boundaries are cycles. The n-th (co)homology group Hn (Hn) is the group of (co)cycles modulo (co)boundaries in degree n, that is,

Exact sequences

An exact sequence (or exact complex) is a chain complex whose homology groups are all zero. This means all closed elements in the complex are exact. A short exact sequence is a bounded exact sequence in which only the groups Ak, Ak+1, Ak+2 may be nonzero. For example, the following chain complex is a short exact sequence.

In the middle group, the closed elements are the elements pZ; these are clearly the exact elements in this group.

Chain maps
A chain map f between two chain complexes  and  is a sequence  of homomorphisms  for each n that commutes with the boundary operators on the two chain complexes, so . This is written out in the following commutative diagram.

A chain map sends cycles to cycles and boundaries to boundaries, and thus induces a map on homology .

A continuous map f between topological spaces X and Y induces a chain map between the singular chain complexes of X and Y, and hence induces a map f* between the singular homology of X and Y as well. When X and Y are both equal to the n-sphere, the map induced on homology defines the degree of the map f.

The concept of chain map reduces to the one of boundary through the construction of the cone of a chain map.

Chain homotopy

A chain homotopy offers a way to relate two chain maps that induce the same map on homology groups, even though the maps may be different. Given two chain complexes A and B, and two chain maps , a chain homotopy is a sequence of homomorphisms  such that . The maps may be written out in a diagram as follows, but this diagram is not commutative.

The map hdA + dBh is easily verified to induce the zero map on homology, for any h. It immediately follows that f and g induce the same map on homology. One says f and g are chain homotopic (or simply homotopic), and this property defines an equivalence relation between chain maps.

Let X and Y be topological spaces. In the case of singular homology, a homotopy between continuous maps  induces a chain homotopy between the chain maps corresponding to f and g. This shows that two homotopic maps induce the same map  on singular homology. The name "chain homotopy" is motivated by this example.

Examples

Singular homology

Let X be a topological space. Define Cn(X) for natural n to be the free abelian group formally generated by singular n-simplices in X, and define the boundary map  to be

where the hat denotes the omission of a vertex. That is, the boundary of a singular simplex is the alternating sum of restrictions to its faces. It can be shown that ∂2 = 0, so  is a chain complex; the singular homology  is the homology of this complex.

Singular homology is a useful invariant of topological spaces up to homotopy equivalence. The degree zero homology group is a free abelian group on the path-components of X.

de Rham cohomology

The differential k-forms on any smooth manifold M form a real vector space called Ωk(M) under addition. 
The exterior derivative d maps Ωk(M) to Ωk+1(M), and d = 0 follows essentially from symmetry of second derivatives, so the vector spaces of k-forms along with the exterior derivative are a cochain complex.

The cohomology of this complex is called the de Rham cohomology of M.  The homology group in dimension zero is isomorphic to the vector space of locally constant functions from M to R. Thus for a compact manifold, this is the real vector space whose dimension is the number of connected components of M.

Smooth maps between manifolds induce chain maps, and smooth homotopies between maps induce chain homotopies.

Category of chain complexes
Chain complexes of K-modules with chain maps form a category ChK, where K is a commutative ring.

If V = V and W = W are chain complexes, their tensor product  is a chain complex with degree n elements given by 

and differential given by 
  
where a and b are any two homogeneous vectors in V and W respectively, and  denotes the degree of a.

This tensor product makes the category ChK into a symmetric monoidal category. The identity object with respect to this monoidal product is the base ring K viewed as a chain complex in degree 0. The braiding is given on simple tensors of homogeneous elements by 

The sign is necessary for the braiding to be a chain map.

Moreover, the category of chain complexes of K-modules also has internal Hom: given chain complexes V and W, the internal Hom of V and W, denoted Hom(V,W), is the chain complex with degree n elements given by  and differential given by
 .
We have a natural isomorphism

Further examples 
Amitsur complex
A complex used to define Bloch's higher Chow groups
Buchsbaum–Rim complex
Čech complex
Cousin complex
Eagon–Northcott complex
Gersten complex
Graph complex
Koszul complex
Moore complex
Schur complex

See also
 Differential graded algebra
 Differential graded Lie algebra
 Dold–Kan correspondence says there is an equivalence between the category of chain complexes and the category of simplicial abelian groups.
 Buchsbaum–Eisenbud acyclicity criterion
 Differential graded module

References

 
 

Homological algebra
Differential topology
호몰로지 대수학에서 사슬 복합체(-複合體, )는 일련의 멱영 사상들을 갖춘, 아벨 범주의 대상들의 열이다. 이를 사용하여 호몰로지 대수학 및 호몰로지 · 코호몰로지의 개념을 추상적으로 정의할 수 있다.

정의 
아벨 범주 가 주어졌다고 하자. (예를 들어, 아벨 군이나 가군, 또는 아벨 군 값을 갖는 층 등이 있다.)

 속의 사슬 복합체 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 각 정수 에 대하여, 의 대상 
 각 정수 에 대하여, 의 사상 

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 모든 정수 에 대하여, 
이 경우,  사상 은 경계 사상(境界寫像, )라고 하고, 의 원소는 i차 사슬()이라고 한다. 인 i차 사슬 을 차 순환(次循環, )이라고 한다.

공사슬 복합체(共사슬複合體, }) 는 유사하지만, 첨자의 위치와 화살표의 방향이 반대이다.

이 경우,  사상 은 공경계 사상(共境界寫像, )라고 하고, 의 원소는 i차 공사슬(次共사슬, )이라고 한다. 인 i차 공사슬 을 차 공순환(次共循環, )이라고 한다.

 속의 사슬 복합체들과 이들 사이의 사슬 사상들의 범주는 라고 한다. 마찬가지로, 공사슬 복합체들과 공사슬 사상들의 범주는 라고 한다. 물론, 이 둘은 (차수를 로 대응시킬 때) 같은 범주를 표기하는 서로 다른 두 방법일 뿐이지만, 용도에 따라 두 표기법 가운데 하나가 더 선호되는 경우가 많다.

사슬 사상 
아벨 범주  속의 두 사슬 복합체 ,  사이의 사슬 사상(사슬寫像, ) 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 각 정수 에 대하여,  속의 사상 
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 각 정수 에 대하여, . 즉, 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.

마찬가지로, 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상 또한 같은 방식으로 정의된다. 아벨 범주  속의 두 공사슬 복합체 ,  사이의 공사슬 사상() 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 각 정수 에 대하여,  속의 사상 
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 각 정수 에 대하여, . 즉, 다음 그림이 가환 그림을 이룬다.

사슬 복합체와 사슬 사상의 범주는  또는 로 표기된다. 이는 사슬을 뜻하는  또는 복합체를 뜻하는 를 딴 것이다.

사슬 호모토피 

임의의 두 사슬 복합체 에 대하여, 그 사이의 사슬 사상의 집합

위에는 사슬 호모토피라는 동치 관계가 존재한다. 사슬 사상의 호모토피류는 유도 범주의 사상을 이룬다.

유계 사슬 복합체 
의 다음과 같은 부분 범주들이 흔히 사용된다.
 는 음의 차수 성분들이 모두 0인 사슬 복합체들의 범주이다.

 마찬가지로, 는 음의 차수 성분들이 모두 0인 공사슬 복합체들의 범주이다. (이는 양의 차수 성분들이 모두 0인 사슬 복합체로 여겨질 수 있다.)

 는 유계 사슬 복합체(有界사슬複合體, ), 즉 유한 개의 차수를 제외한 나머지 성분들이 모두 0인 사슬 복합체들의 범주이다.

연산

현수 
아벨 범주  속의 사슬 복합체

와 정수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 차 현수(次懸垂, ) 는 다음과 같은 사슬 복합체이다.

즉, 각 성분의 차수를 만큼 추가하고, 만약 가 홀수라면 경계 사상에 음부호를 붙인 것이다.

직합 · 핵 · 여핵 · 상 · 여상 
사슬 복합체의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 따라서, 아벨 범주에서 정의되는 모든 연산들이 정의될 수 있다.

예를 들어, 두 사슬 복합체  의 직합 은 다음과 같다.
  (
 
 

마찬가지로, 사슬 복합체 사상

의 핵

및 여핵

및 상

및 여상

이 성분별로 정의된다.

호몰로지 

사슬 복합체 의 경우, 호몰로지

를 정의할 수 있다. 이 경우, 모든 경계 사상을 0으로 잡으면 이는 사슬 복합체를 이룬다. 만약 사슬 복합체 대신 공사슬 복합체를 사용하는 경우, 이 연산은 코호몰로지라고 불린다.

두 사슬 복합체 ,  사이의 유사동형(類似同型, )은 다음과 같은 사슬 사상 이다.
 로부터 유도되는 호몰로지 사상 는 각 성분마다 동형 사상이다.

서로 동형인 두 사슬 복합체는 유사동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

텐서곱과 내적 사상 대상 

가환환  위의 결합 대수  위의 -쌍가군들의 아벨 범주 
를 생각하자. 이 속에서, 두 사슬 복합체

가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 각 성분별 텐서곱을 통해, 다음과 같은 이중 사슬 복합체 를 정의할 수 있다.

이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체 를 와 의 텐서곱이라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.

이 텐서곱의 항등원은 다음과 같은, 하나만의 성분을 갖는 사슬 복합체이다.

그렇다면, 은 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 마찬가지로,
 
 
 
역시 각각 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

특히,  속의 모노이드 대상을 미분 등급 대수라고 한다.

또한, 의 두 사슬 복합체 , 에 대하여,  다음과 같은 내적 사상 대상(內的寫像對象, )

을 정의할 수 있다.

이에 따라, 쌍가군 범주 위의 사슬 복합체 범주 는 닫힌 모노이드 범주를 이룬다.

유도 범주 

사슬 복합체의 범주 에서, 유사동형들을 동형 사상이 되게 국소화하면, 유도 범주 를 얻으며, 표준적 함자

가 존재한다.

성질 
사슬 복합체의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 사슬 복합체의 호모토피 범주 및 유도 범주는 가법 범주이지만 일반적으로 아벨 범주가 아니다.

모형 범주 구조 
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주  위의, 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.

마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주  위의, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.

이 모형 범주 구조에 대한 호모토피 범주는 유도 범주이다.

예

돌트-칸 대응 

아벨 범주 위의 단체 대상 에 대하여, 항상 정규화 사슬 복합체 라는 사슬 복합체를 대응시킬 수 있다. 이는 함자를 이루며, 사실 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 와 단체 대상의 범주  사이의 동치 및 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다.

이를 돌트-칸 대응이라고 한다.

마찬가지로, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 는 쌍대 단체 대상의 범주 와 동치이며, 또한 이는 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다.

이중 사슬 복합체 

아벨 범주  위의 사슬 복합체의 범주  역시 아벨 범주이므로, 그 위의 사슬 복합체를 취할 수 있다. 이를 이중 사슬 복합체(二重사슬複合體, )라고 한다.

역사 
(공)사슬 복합체의 개념은 대수적 위상수학에서 호몰로지·코호몰로지를 정의하기 위하여 개발되었다. 대수적 위상수학에서는 위상 공간의 특이 호몰로지를 정의하기 위하여 특이 사슬 복합체라는 사슬 복합체를 정의한다. 이후 사슬 복합체의 개념은 층 코호몰로지 · 군 코호몰로지 등 다른 코호몰로지 이론의 발달로 더 중요해졌으며, 호몰로지 대수학의 발달로 추상적으로 정의되었다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

호몰로지 대수학