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```
Slide 1:
Longitudinal Static Stability
Recall that the eigenvalues of the short period (SP) dynamics are given by
$$
\lambda^2-M\_q \lambda-M\_\alpha=0
$$
Horizontal tail and the wing "stabilize" $M\_q$
HT "stabilizes" $M\_\alpha$, but the wing does not necessarily do as much
Today's class: a closer look at $M\_\alpha$
- Static stability and $M\_\alpha$
- Stability metric: static margin
- Stick-free and stick-fixed static stability

Slide 2:
Review of Stability
So far: an aircraft is stable if it rejects a disturbance; i.e., the aircraft
returns to the intended equilibrium as t goes to 1
A di↵erent perspective on stability: when the aircraft is disturbed from
the equilibrium, do the forces and moments instantaneously try to restore
the equilibrium?
Strictly speaking, the initial response
Type of disturbance: perturbation in the position of the aircraft
Analogy motivated by the classic example of a ball and a
curved surface

Slide 3:
- Formal definition: a system is statically stable if, upon a disturbance $\Delta x$, the force $F$ produced by the system is such that $F \cdot \Delta x<0$
- This is considered to be a necessary condition for stability (in the sense of asymptotic convergence to equilibrium)
Example (spring-mass system): let $\ddot{x}=F=-k x$, where $k>0$
- Clearly, $x \cdot F=-k x^2<0$. Hence, the system is statically stable
- Eigenvalues: $\lambda= \pm i \sqrt{k} \Longrightarrow$ the system is marginally stable

Slide 4:
Example (spring-mass system): let ̈x = F = 2 ̇x - x, with the initial

condition x(0) = 0.1, x ̇(0) = 0
The initial force F(0) =

x(0), and x(0) · F(x(0)) < 0.

The system is statically stable
Eigenvalues:

\lambda = 1 the system is unstable

Thus, static stability is not a sufficient condition for stability
Static stability is determined only by the stiffness of the system
Why bother about static stability?
-Historical evolution of ideas
-Design parameters

Slide 5:
Framework for Longitudinal Static Stability

Set lateral-directional variables to zero
Assume \alpha is small
Analysis for the wing, followed by wing + HT

Slide 6:
Single Wing: Trim
- Suppose the wing $A C$ is at a distance $x\_{A C}$ from the CG of the aircraft. We first determine the trim $\alpha$ by setting $M^0=0$ (about the CG)
$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{2} \rho V^2 S\left(c C\_{m\_{A C}}+x\_{A C}\left(C\_{L\_0}+C\_{L\_\alpha} \alpha^0\right)\right)=0 \\
\Longrightarrow \quad & \alpha^0=-\frac{c C\_{m\_{A C}}+x\_{A C} C\_{L\_0}}{x\_{A C} C\_{L\_\alpha}}
\end{aligned}
$$
Trimmed value of lift (with $C\_{m\_{A C}}<0$ )
$$
L^0=\frac{1}{2} \rho V^2 S\left(-\frac{c C\_{m\_{A C}}}{x\_{A C}}\right) \begin{cases}>0, & x\_{A C}>0 \\ <0, & x\_{A C}<0\end{cases}
$$

Slide 7:
Suppose the AoA is perturbed by $\Delta \alpha$ (small). The instantaneous pitching moment is given by
$$
\Delta M=x\_{A C} L\_\alpha \Delta \alpha
$$
Static stability: need $\Delta \alpha \cdot \Delta M<0$, i.e., $x\_{A C}<0$
Condition for static stability of a wing: wing must be behind the CG
But we need $x\_{A C}>0$ for positive lift!
Two ways to tackle this problem:
- Use a flap and active control
- Use a horizontal tail

Slide 8: Trimming with a Horizontal Tail
Let $\alpha^0$ be the trim angle of attack of the aircraft. We will assume that:
The wing inclination angle $i\_w=0$ and the tail is symmetric
The tail incidence angle $i\_t$ can be varied as a control input
The effect of downwash is negligible
The lift on the tail is given by
$$
L\_t=\frac{1}{2} \rho V^2 S\_t C\_{L\_\alpha}\left(\alpha+i\_t\right)
$$
Note: if the tail has an elevator instead of variable $i\_t$ as the control input, then
$$
L\_t=\frac{1}{2} \rho V^2 S\_t\left(C\_{L\_\alpha}\left(\alpha+i\_t\right)+C\_{L\_{\delta e}} \delta\_e\right)
$$

Slide 9:
At trim, $M=M^{\text {wing }}+M^{\text {tail }}=0$ about the $C G$; i.e.,
$$
\begin{aligned}
& M^{\text {wing }}+L^{\text {wing }} x\_{A C}=I\_t L^{\text {tail }} \\
\text { Thus, } & x\_{A C}\left(C\_{L 0}+C\_{L\_\alpha} \alpha^0\right)+c C\_{m a c}=\frac{I\_t S\_t}{S} C\_{L\_\alpha}\left(\alpha^0+i\_t\right) \\
\text { i.e., } \quad & \frac{x\_{A C}}{c}\left(C\_{L 0}+C\_{L\_\alpha} \alpha^0\right)+C\_{m a c}=V\_H C\_{L\_\alpha}\left(\alpha^0+i\_t\right)
\end{aligned}
$$
The trim $A \circ A$ is given by
$$
\alpha^0=\frac{1}{\left(V\_H-x\_{A C} / c\right) C\_{L\_\alpha}}\left(\left(x\_{a c} / c\right) C\_{L 0}+C\_{m a c}\right)-\left(\frac{V\_H}{V\_H-x\_{A C} / c}\right) i\_t
$$
Usually, $V\_H>x\_{A C} / c$. Therefore, as $i\_t$ increases (i.e., deflects downwards), the trim $\alpha^0$ reduces, and vice-versa.
Therefore, the tail-based control surface allows the aircraft to trim across a wide range of values of lift (and flight speeds). The same principle applies to elevator-based control.

Slide 10: Static Stability
Suppose that the angle of attack is perturbed by a small $\Delta \alpha$. Then,
Change in lift on the wing: $\Delta L^w=\frac{1}{2} \rho V^2 S C\_{L\_\alpha} \Delta \alpha$
Change in lift on HT: $\Delta L^t=\frac{1}{2} \rho V^2 S\_t C\_{L\_\alpha} \Delta \alpha$
Net change in pitching moment
$$
\Delta M=\Delta L^w x\_{A C}-\Delta L^t I\_t=\frac{1}{2} \rho V^2 S c C\_{L\_\alpha} \Delta \alpha\left(\frac{x\_{A C}}{c}-V\_H\right)
$$
Need $\Delta \alpha \times \Delta M<0$ for static stability
Aircraft is longitudinally statically stable only if $V\_H>\frac{X\_{A C}}{c}$

Slide 11: Interpreting the Static Stability Condition
Static stability condition: $V\_H>X\_{A C} / C$
The critical location of the $C G$ at which $c V\_H=x\_{A C}$ is called the neutral point (NP)
- CG ahead of NP: statically stable
- CG behind NP: statically unstable
If the whole aircraft were viewed as a single wing, then the NP corresponds the location of the $A C$ of the complete aircraft
We define the static margin:
$$
\mathrm{SM}=\frac{x\_{N P}-x\_{A C}}{c}
$$
An aircraft is loaded on the ground with payload and fuel so that the static margin never decreases below a threshold
```

Now get started with your tutoring for lecture 10
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