Runge–Kutta methods are methods for the numerical solution of the ordinary differential equation

Explicit Runge–Kutta methods take the form

Stages for implicit methods of s stages take the more general form, with the solution to be found over all s

Each method listed on this page is defined by its Butcher tableau, which puts the coefficients of the method in a table as follows:

For adaptive and implicit methods, the Butcher tableau is extended to give values of , and the estimated error is then
.

Explicit methods

The explicit methods are those where the matrix  is lower triangular.

Forward Euler

The Euler method is first order. The lack of stability and accuracy limits its popularity mainly to use as a simple introductory example of a numeric solution method.

Explicit midpoint method

The (explicit) midpoint method is a second-order method with two stages (see also the implicit midpoint method below):

Heun's method

Heun's method is a second-order method with two stages.  It is also known as the explicit trapezoid rule, improved Euler's method, or modified Euler's method.  (Note: The "eu" is pronounced the same way as in "Euler", so "Heun" rhymes with "coin"):

Ralston's method

Ralston's method is a second-order method with two stages and a minimum local error bound:

Generic second-order method

Kutta's third-order method

Generic third-order method
See Sanderse and Veldman (2019).

for α ≠ 0, , 1:

Heun's third-order method

Van der Houwen's/Wray third-order method

Ralston's third-order method

Ralston's third-order method is used in the embedded Bogacki–Shampine method.

Third-order Strong Stability Preserving Runge-Kutta (SSPRK3)

Classic fourth-order method

The "original" Runge–Kutta method.

3/8-rule fourth-order method

This method doesn't have as much notoriety as the "classic" method, but is just as classic because it was proposed in the same paper (Kutta, 1901).

Ralston's fourth-order method

This fourth order method has minimum truncation error.

Embedded methods
The embedded methods are designed to produce an estimate of the local truncation error of a single Runge–Kutta step, and as result, allow to control the error with adaptive stepsize. This is done by having two methods in the tableau, one with order p and one with order p-1.

The lower-order step is given by

where the  are the same as for the higher order method. Then the error is

which is . The Butcher Tableau for this kind of method is extended to give the values of

Heun–Euler
The simplest adaptive Runge–Kutta method involves combining Heun's method, which is order 2, with the Euler method, which is order 1. Its extended Butcher Tableau is:

The error estimate is used to control the stepsize.

Fehlberg RK1(2) 
The Fehlberg method has two methods of orders 1 and 2. Its extended Butcher Tableau is:

The first row of b coefficients gives the second-order accurate solution, and the second row has order one.

Bogacki–Shampine

The Bogacki–Shampine method has two methods of orders 2 and 3. Its extended Butcher Tableau is:

The first row of b coefficients gives the third-order accurate solution, and the second row has order two.

Fehlberg

The Runge–Kutta–Fehlberg method has two methods of orders 5 and 4; it is sometimes dubbed RKF45 . Its extended Butcher Tableau is:
 

The first row of b coefficients gives the fifth-order accurate solution, and the second row has order four.
The coefficients here allow for an adaptive stepsize to be determined automatically.

Cash-Karp

Cash and Karp have modified Fehlberg's original idea. The extended tableau for the Cash–Karp method is

The first row of b coefficients gives the fifth-order accurate solution, and the second row has order four.

Dormand–Prince

The extended tableau for the Dormand–Prince method is

The first row of b coefficients gives the fifth-order accurate solution, and the second row gives the fourth-order accurate solution.

Implicit methods

Backward Euler

The backward Euler method is first order. Unconditionally stable and non-oscillatory for linear diffusion problems.

Implicit midpoint

The implicit midpoint method is of second order. It is the simplest method in the class of collocation methods known as the Gauss-Legendre methods. It is a symplectic integrator.

Crank-Nicolson method

The Crank–Nicolson method corresponds to the implicit trapezoidal rule and is a second-order accurate and A-stable method.

Gauss–Legendre methods

These methods are based on the points of Gauss–Legendre quadrature. The Gauss–Legendre method of order four has Butcher tableau:

The Gauss–Legendre method of order six has Butcher tableau:

Diagonally Implicit Runge–Kutta methods 

Diagonally Implicit Runge–Kutta (DIRK) formulae have been widely used for the numerical solution of stiff initial value problems;

the advantage of this approach is that here the solution may be found sequentially as opposed to simultaneously.

The simplest method from this class is the order 2 implicit midpoint method.

Kraaijevanger and Spijker's two-stage Diagonally Implicit Runge–Kutta method:

Qin and Zhang's two-stage, 2nd order, symplectic Diagonally Implicit Runge–Kutta method:

Pareschi and Russo's two-stage 2nd order Diagonally Implicit Runge–Kutta method:

This Diagonally Implicit Runge–Kutta method is A-stable if and only if .  Moreover, this method is L-stable if and only if  equals one of the roots of the polynomial , i.e. if .
Qin and Zhang's Diagonally Implicit Runge–Kutta method corresponds to Pareschi and Russo's Diagonally Implicit Runge–Kutta method with .

Two-stage 2nd order Diagonally Implicit Runge–Kutta method:

Again, this Diagonally Implicit Runge–Kutta method is A-stable if and only if .  As the previous method, this method is again L-stable if and only if  equals one of the roots of the polynomial , i.e. if .

Crouzeix's two-stage, 3rd order Diagonally Implicit Runge–Kutta method:

Crouzeix's three-stage, 4th order Diagonally Implicit Runge–Kutta method:

with .

Three-stage, 3rd order, L-stable Diagonally Implicit Runge–Kutta method:

with 

Nørsett's three-stage, 4th order Diagonally Implicit Runge–Kutta method has the following Butcher tableau:

with  one of the three roots of the cubic equation .  The three roots of this cubic equation are approximately , , and .  The root  gives the best stability properties for initial value problems.

Four-stage, 3rd order, L-stable Diagonally Implicit Runge–Kutta method

Lobatto methods

There are three main families of Lobatto methods, called IIIA, IIIB and IIIC (in classical mathematical literature, the symbols I and II are reserved for two types of Radau methods).  These are named after Rehuel Lobatto as a reference to the Lobatto quadrature rule, but were introduced by Byron L. Ehle in his thesis.  All are implicit methods, have order 2s − 2 and they all have c1 = 0 and cs = 1.  Unlike any explicit method, it's possible for these methods to have the order greater than the number of stages. Lobatto lived before the classic fourth-order method was popularized by Runge and Kutta.

Lobatto IIIA methods

The Lobatto IIIA methods are collocation methods. The second-order method is known as the trapezoidal rule:

The fourth-order method is given by

These methods are A-stable, but not L-stable and B-stable.

Lobatto IIIB methods

The Lobatto IIIB methods are not collocation methods, but they can be viewed as discontinuous collocation methods . The second-order method is given by

The fourth-order method is given by

Lobatto IIIB methods are A-stable, but not L-stable and B-stable.

Lobatto IIIC methods

The Lobatto IIIC methods also are discontinuous collocation methods. The second-order method is given by

The fourth-order method is given by

They are L-stable. They are also algebraically stable and thus B-stable, that makes them suitable for stiff problems.

Lobatto IIIC* methods

The Lobatto IIIC* methods are also known as Lobatto III methods (Butcher, 2008), Butcher's Lobatto methods (Hairer et al., 1993), and Lobatto IIIC methods (Sun, 2000) in the literature. The second-order method is given by

Butcher's three-stage, fourth-order method is given by

These methods are not A-stable, B-stable or L-stable. The Lobatto IIIC* method for  is sometimes called the explicit trapezoidal rule.

Generalized Lobatto methods
One can consider a very general family of methods with three real parameters  by considering Lobatto coefficients of the form
,
where
.
For example, Lobatto IIID family introduced in (Nørsett and Wanner, 1981), also called Lobatto IIINW, are given by

and

These methods correspond to , , , and .  The methods are L-stable. They are algebraically stable and thus B-stable.

Radau methods

Radau methods are fully implicit methods (matrix A of such methods can have any structure). Radau methods attain order 2s − 1 for s stages. Radau methods are A-stable, but expensive to implement. Also they can suffer from order reduction.
The first order Radau method is similar to backward Euler method.

Radau IA methods
The third-order method is given by

The fifth-order method is given by

Radau IIA methods
The ci of this method are zeros of
. 
The third-order method is given by

The fifth-order method is given by

Notes

References
 
 .
 .
 .

Numerical differential equations
Mathematics-related lists
룽게-쿠타 방법은 다음 상미분방정식의 수치해법이다
 
이 수치해법은 다음의 형태를 가진다.

 
 
 
 
 
 

이 문서에 있는 모든 방법은 다음과 같이 계수를 배열한 Butcher 테이블로 정의하였다:

명시적 방법 
명시적 방법은 행렬 이 하삼각행렬인 방법이다.

오일러 
오일러 방법은 일차이다. 안정성과 정확성이 부족하기 때문에 주로 수치 해석 방법의 간단한 예제로 사용한다.

명시적 중간점 방법 
(명시적) 중간점 방법은 두 단계의 이차 방법이다(아래의 암시적 중간점 방법을 보라):

호인의 방법 
호인의 방법은 두 단계의 이차 방법이다(또한 명시적 사다리꼴 공식으로도 알려져 있다):

랄스톤 방법 
랄스톤 방법은 두 단계 이차 방법이고 최소 지역오차 경계가 있다:

일반적인 이차 방법

쿠타 삼차 방법

고전적 사차 방법 
"원조" 룽게-쿠타 방법이다.

3/8-규칙 사차 방법 
이 방법은 "고전적" 방법만큼 악명높진 않지만 같은 논문에서 제시되었기 때문에 동일하게 고전적이다(Kutta, 1901).

내장형 방법 
내장형 방법은 룽게-쿠타 한 단계의 지역 절단 오차를 계산하기 위해 설계되었고, 결과로 적응형 단계 크기로 오차를 조절할 수 있게 되었다. 이것은 테이블에 있는 p차와 p-1차의 두 방법을 사용한다.

낮은차수의 단계는 다음과 같다
 
이때 는 고차 방법과 같다. 그러면 오차는 다음과 같다
 
이 오차는 . 이런 종류의 방법의 Butcher 테이블은

호인-오일러 
가장 간단한 적응형 룽게-쿠타 방법은 이차인 호인의 방법과 일차인 오일러 방법을 결합한 것이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:
 
추정 오차는 단계크기를 조절하는데 사용된다.

펠버그 RK1(2) 
펠버그 방법은 일차와 이차의 두 방법을 가진다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

b 계수의 첫 줄은 일차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다.

보가키–샴폐인 
보가키-샴폐인 방법은 이차와 삼차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

b 계수의 첫 줄은 삼차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다.

펠버그 
룽게-쿠타-펠버그 방법은 오차와 사차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

b 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.

캐쉬-카프 
캐쉬와 카프는 펠버그의 원래 아이디어를 수정했다. 캐쉬-카프 방법의 확장된 테이블은 다음과 같다:

b 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.

도르몬드–프린스 
도르몬드-프린스 방법의 확장된 테이블은 다음과 같다

b 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.

암시적 방법

역 오일러 
역 오일러 방법은 일차이다. 선형 확장 문제에 대해서 조건적 안정하고 진동이 없다.

암시적 중간점 
암시적 중간점 방법은 이차이다. 이것은 배열 방법 중 가우스 방법이라는 그룹에서 가장 간단한 방법이다. 이는 사교 적분자이다.

가우스-르장드르 방법 
이 방법들은 가우스-르장드르 구적법에 기반하고 있다. 4차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다:
 
6차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다:

로바토 방법 
로바토 방법의 주요 세 방법은 IIIA, IIIB 그리고 IIIC로 불린다(고전 수학 문헌에서 기호 I과 II는 라다우 방법의 주 종류에 예약되어 있었다). 이것들은 리후엘 로바토(Rehuel Lobatto)의 이름을 따왔다. 모두 암시적 방법이고, 2s-2차 방법이며, 모두 c1 = 0이고 cs = 1이다. 다른 어떤 명시적 방법과는 달리, 이 방법들은 더 큰 단계도 가능하다. 로바토는 룽게와 쿠타가 고전적인 사차 방법을 만들기 전에 살았었다.

로바토 IIIA 방법 
로바토 IIIA 방법은 배열 방법이다. 이차 방법은 사다리꼴 공식으로 알려져있다:
 
4차 방법은 다음과 같다
 
이 방법은 A-안정하지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다.

로바토 IIIB 방법 
로바토 IIIB 방법은 배열 방법이 아니지만 불연속적 배열 방법으로 볼 수 있다. 이차 방법은 다음과 같다
 
4차 방법은 다음과 같다
 
로바토 IIIB 방법은 A-안정적이지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다.

로바토 IIIC 방법 
로바토 IIIC 방법도 불연속적 배열 방법이다. 이차 방법은 다음과 같다
 
4차 방법은 다음과 같다
 
이것은 L-안정하다. 이것들은 게다가 대수적으로 안정하고, 따라서 B-안정하기 때문에 딱딱한 방정식에 적합하다.

로바토 IIIC* 방법 
로바토 IIIC* 방법은 문헌에서 로바토 III 방법(Butcher, 2008), Butcher의 로바토 방법(Hairer et al, 1993), 그리고 로바토 IIIC 방법(Sun, 2000)이라고도 알려져 있다. 아차 방법은 다음과 같다
 
4차 방법은 다음과 같다
 
이 방법은 A-안정하지도, B-안정하지도, L-안정하지도 않다. .

일반화된 로바토 방법 
다음의 형태를 가지는 로바토 계수를 고려함으로써 세 실수 변수
 ,
여기서,
 .
예를 들면, (Nørsett and Wanner, 1981)에 소개되었고 로바토 IIINW라고도 불리는 로바토 IIID는 다음의 형태를 가진다
 
그리고
 
이 방법은 , , , 그리고 . 이 방법은 L-안정적이다. 또한 대수적으로 안정적이기 때문에 B-안정적이다.

라다우 방법 
라다우 방법은 완전히 암시적 방법이다(이런 방법의 행렬 A는 어떤 구조도 가질 수 있다). 라다우 방법은 s 단계에 2s-1차이다. 라다우 방법은 A-안정적이지만 구현하는데 비용이 많이 든다. 게다가 차수의 감소로 어려움이 있을 수 있다.
일차 라다우 방법은 역 오일러 방법과 유사하다

라다우 IA 방법 
삼차 방법은 다음과 같다
 
5차 방법은 다음과 같다

라다우 IIA 방법 
이 방법의 ci는 다음의 근이다
 
. 삼차 방법은 다음과 같다
 
5차 방법은 다음과 같다

같이 보기 
 룽게-쿠타-펠베르크 방법

참조 

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수학에 관한 목록
수치미분방정식
룽게-쿠타 방법