Việc tiên đề hóa (axiomatization) toán học, theo mô hình tác phẩm Elements của Euclid, đã đạt đến một mức độ rộng và chặt chẽ mới vào cuối thế kỉ 19, đặc biệt là trong số học (nhờ vào công Richard Dedekind và Giuseppe Peano) và hình học (nhờ vào công của David Hilbert). Tuy nhiên, vào đầu thế kỉ 20, lý thuyết tập hợp, một ngành toán mới phát minh bởi Georg Cantor, và được đẩy vào chỗ khủng hoảng bởi Bertrand Russell với sự khám phá ra nghịch lý nổi tiếng của ông ta (về tập hợp của các tập hợp không thuộc chính nó), đã chưa được công thức hóa. Nghịch lý Russell bao gồm quan sát rằng nếu như tập hợp x (của tập các tập hợp không phải là thành viên của chính nó) là một thành viên của chính nó, thì nó phải thuộc về tập hợp các tập hợp không thuộc về chính nó, và do vậy không thể thuộc về chính nó; mặt khác, nếu như tập x không thuộc chính nó, thì nó phải thuộc tập của các tập hợp không thuộc chính nó, và do vậy nó phải thuộc về chính nó.