Tiên đề nền tảng thiết lập rằng tất cả các tập hợp đều có thể xây dựng từ dưới lên trong một các bước theo thứ tự kế tiếp nhau bằng các nguyên lý của Zermelo và Frankel, trong một cách thức rằng nếu một tập hợp thuộc về một tập khác thì tập thứ nhất cần phải đi trước tập thứ hai trong trật tự (do vậy loại trừ khả năng một tập hợp thuộc về chính nó.) Để biểu diễn rằng sự thêm vào của các tiên đề mới vào các tiên đề khác không sản sinh ra các mâu thuẫn, von Neumann giới thiệu một phương pháp biểu diễn (gọi là "phương pháp các mô hình nội tại") mà sau này trở thành những công cụ quan trọng của lý thuyết tập hợp.