Tiên đề lý thuyết tập hợp được phát triển bởi Ernst Zermelo vào năm 1907 ngược lại dễ sử dụng và thành công hơn, trong đó schema of replacement của ông là cần thiết để bổ xung vào. Zermelo thêm nó vào hệ thống Zermelo-Fraenkel năm 1930, mà ông gọi tắt là hệ thống-ZF. Ông đã thiết kế nó cho Urelement mà không phải là tập hợp, nhưng có thể là phần tử của tập hợp và được xem như cái Cantor gọi là "đối tượng của quan điểm của chúng tôi." Lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel, tuy nhiên, theo ý tưởng Fraenkel là lý thuyết tập hợp thuần túy mà đối tượng hoàn toàn là các tập hợp.