Trong một công trình đi kèm vào năm 1936, von Neumann chứng minh (cùng với Garrett Birkhoff) rằng vật lý lượng tử cũng cần một loại logic khác hẳn với thứ logic cổ điển. Chẳng hạn, ánh sáng (hạt photon) không thể đi qua hai bộ lọc tiếp nối nhau được phân cực vuông góc lẫn nhau (v.d. một theo phương ngang và một theo phương đứng), và do vậy, a fortiori (hơn thế nữa), nó không thể xuyên qua một bộ lọc thứ ba được phân cực chéo thêm vào hai bộ lọc kia, dù là đặt trước hay đặt sau chúng. Nhưng nếu như bộ lọc thứ ba này được thêm vào ở vị trí "chính giữa" hai cái kia, thì các photon sẽ thật sự đi xuyên qua. Và sự kiện thực nghiệm này được diễn dịch thành logic như là "tính phi giao hoán" của phép giao ( A ∧ B ) ≠ ( B ∧ A ) {\displaystyle (A\land B)\neq (B\land A)} . Nó cũng cho thấy rằng những luật phân phối của logic cổ điển, P ∨ ( Q ∧ R ) = ( P ∨ Q ) ∧ ( P ∨ R ) {\displaystyle P\lor (Q\land R)=(P\lor Q)\land (P\lor R)} và P ∧ ( Q ∨ R ) = ( P ∧ Q ) ∨ ( P ∧ R ) {\displaystyle P\land (Q\lor R)=(P\land Q)\lor (P\land R)} , là không còn đúng được nữa cho lý thuyết vật lý lượng tử. Lý do cho việc này là vì một phép giao lượng tử, không giống như trường hợp phép giao cổ điển, có thể là đúng khi cả hai mệnh đề trong phép giao đều sai và điều này, chính nó, là vì trong vật lý lượng tử thường xuyên xảy ra một cặp khả năng (pair of alternatives) là xác định về ngữ nghĩa, trong khi mỗi thành phần là bất định. Tính chất này có thể được minh họa bởi một ví dụ đơn giản. Giả sử chúng ta đang xem xét các hạt (chẳng hạn như electron) với spin (momentum góc) không phải là các số nguyên mà chỉ có hai giá trị xảy ra: dương hay âm. Sau đó, một nguyên lý bất định thiết lập rằng spin, tương đối với hai trục khác nhau (v.d. x và y) cho kết quả là một cặp các giá trị không tương thích nhau. Giả sử rằng trạng thái ɸ của một electron nào đó kiểm chứng mệnh đề "spin của electron x có giá trị dương". Dựa vào quy luật bất định, giá trị của spin theo trục y sẽ hoàn toàn bất định cho ɸ. Do đó, ɸ không thể kiểm chứng cả mệnh đề "spin theo trục y dương" hay là mệnh đề "spin theo trục y âm." Dù thế nào đi nữa, giao của hai mệnh đề "spin theo trục y là dương hay spin theo trục y là âm" phải đúng cho ɸ. Trong trường hợp phân phối, do đó là có thể có tình huống mà trong đó A ∧ ( B ∨ C ) = A ∧ 1 = A {\displaystyle A\land (B\lor C)=A\land 1=A} , trong khi ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ) = 0 ∨ 0 = 0 {\displaystyle (A\land B)\lor (A\land C)=0\lor 0=0} .