Bu keçid əsasında kombinatoriyada yanma limanının lemma bəzi praktik tətbiqləri nələrdir?
Burnside's Lemma, bəzən yanıqların sayılması teoremi, kauchy-frobenius lemma, orbit sayma teoremi və ya yandırılmayan lemma, riyazi obyektləri sayarkən simmetriyanı nəzərə alınmaqda çox vaxt faydalı olan bir nəticə deyilir.Onun müxtəlif eponimləri William Burnside, George Pólya, Augustin Louis Cauchy və Ferdinand Georg Frobenius'a əsaslanır.Nəticə, yalnız "son sifariş qrupları qruplarının nəzəriyyəsi haqqında" kitabında "onun kitabında" onun kitabında onu sitat gətirən yanğından qaynaqlanır (1887).Burnside's Lemma, simmetriya nəzərə alınmaqla fərqli obyektlərin sayılması ilə eyni şey olan "Orbits" sayılır.Fərqli obyektlərin ekvivalentlik əlaqəsi r-yə qədər sayılması və ya kanonik formada olan obyektləri saymaq üçün başqa yollar.

Aşağıdakılarda, G hər g-də hər g üçün bir X.-də bir X.-də olan son bir qrup olaq, G-də, X-də olan hər g-də e-dəki elementlər dəsti olan G (həmçinin G) tərəfindən G), yəni, XG = {x ∈ x |G.X = X}.Burnside's Lemma, nəql olunan orbitlərin sayına görə aşağıdakı formula iddia edir | X / G |:

|
�
/
�
|
=
1
|
�
|
Σ
�
∈
�
|
�
�
|
.
{\ DisplayStyle | X / G | = {\ frac {1} {| g |}} {Sum _ {g \ in g} |
Beləliklə, orbitlərin sayı (təbii bir nömrə və ya + ∞), G (hansının təbii bir nömrəsi və ya sonsuzluğu olan) hesabların orta sayına bərabərdir.G sonsuzdursa, Bölmə | G |yaxşı müəyyən edilə bilməz;Bu vəziyyətdə kardinal arifmetikada aşağıdakı ifadə:

|
�
|
|
�
/
�
|
=
Σ
�
∈
�
|
�
�
|
.
{\ DisplayStyle | G || X / G | = \ cəmi _ {g \ in g} | x ^ {g} |.}
Əyləncəli tətbiqlərin nümunələri
Boyunbağılar
Uzunluğu 3-in 8 mümkün bir vektoru var, lakin uzunluğu 3: 000, 001, 011 və 111-in yalnız dörd fərqli 2 rəngli boyunbağı, çünki 100 və 010, çünki 100 və 010 rotasiya yolu ilə 001-ə bərabərdir;Eynilə 110 və 101-ci il 011-ə bərabərdir. Formula bu vəziyyətdə 3 (null rotasiya daxil olmaqla) və hər dönmə nəticəsində dəyişməz qalmış bir bit vektorlarının sayı olan fırlanma sayına əsaslanır.Bütün 8 bit vektoru, null fırlanma ilə dəyişməz, iki (000 və 111) digər iki rotasiyanın hər biri tərəfindən dəyişməz, verilir:
4-ə
=
1
3-cü
(
Əqrəb
+
2-ci
+
2-ci
)
{\ DisplayStyle 4 = {\ frac {1} {3}} (8 + 2 + 2)}.

Uzunluğu 4 üçün 16 mümkün vektor var;4 rotasiya;Null fırlanma bütün 16 bit vektoru dəyişməz yola düşür;1 dönmə və 3 dönmə hər biri iki bit vektoru dəyişməz (0000 və 1111);2 dönmə 4 bit vektoru dəyişməz (0000, 0101, 1010 və 1111);Vermə:
Əqrəb
=
1
4-ə
(
16
+
2-ci
+
4-ə
+
2-ci
)
{\ DisplayStyle 6 = {\ frac {1} {4}} (16 + 2 + 4 + 2)}.Bunlar bunlardır: 0000, 0001, 0011, 0101, 0111 və 1111.

Bir kubun rənglənməsi
Üç rəngdən istifadə edən bir kubun üzlərinin fırlanan fərqli rəngləmə sayı bu düsturdan aşağıdakı kimi müəyyən edilə bilər.

X müəyyən bir istiqamətdə bir küpə tətbiq edilə bilən 36 mümkün üz rəng birləşməsinin dəsti ol və kubun qubu qodu qəpik qrupunu təbii qaydada istifadə etsin.Sonra x-nin iki elementi eyni orbitə, birinin digərinin fırlanması olduqda eyni orbitə aiddir.Dönən rəngləmə rənglərinin sayı beləliklə orbitlərin sayı ilə eynidir və G.-nin 24 elementi üçün sabit dəstlərin ölçülərini saymaqla tapıla bilər.


Rəngli üzlərlə kub
Bütün 36 elementdən ibarət olan bir şəxsiyyət elementi
Altı 90 dərəcə üz döngələri, hər biri x dəyişməz elementlərin 33-ü tərk edir
Üç 180 dərəcə üz döngələri, hər biri x dəyişməz elementlərin 34-ü buraxır
Səkkiz 120 dərəcə olan vertex dönüşü, hər biri x dəyişməz elementlərindən 32-ni tərk edir
Altı 180 dərəcə dəri düz dönüşlər, hər biri x dəyişməz elementlərin 33-ü buraxır
Bu avtomobillərin ətraflı müayinəsi burada tapıla bilər.

Bununla orta düzəliş ölçüsü belədir

1
24
(
3-cü
Əqrəb
+
Əqrəb
⋅
3-cü
3-cü
+
3-cü
⋅
3-cü
4-ə
+
Əqrəb
⋅
3-cü
2-ci
+
Əqrəb
⋅
3-cü
3-cü
)
=
57.
{\ frac {1} {24}} \ sol (3 ^ {6} \ \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 3 ^ {4} \ cdot 3 ^ {2} +6 \ cdot 3^ {3} \ sağ) = 57.
Deməli, üç rəngdə bir kubun üzlərinin 57 fırtasyonla fərqli rənglənməsi var.Ümumiyyətlə, n rənglərdə bir kubun üzlərinin fırlanan fərqli rəngləmə sayı

1
24
(
�
Əqrəb
+
3-cü
�
4-ə
+
Əqrəb
�
3-cü
+
Əqrəb
�
2-ci
)
.
{\ frac {1} {24}} \ sol (n ^ {6} + 3n ^} + 12n ^ {{} + 8n ^ {2} \ sağa).
8 Queens puzzle
Səkkiz Queens puzzledə 92 həlli var, onlardan 12-si pundamental həllər lövhənin rotasiya və əks olunmasına qədər fərqlənir.Null hərəkəti də daxil olmaqla 8 rotasiya və əksik birləşmə var.Null hərəkət bütün 92 həlli dəyişməz yola düşür.92 həldən dördü 180 ° fırlanma ilə dəyişməz simmetrikdir.Bu verir:
Əqrəb
=
1
Əqrəb
(
92
+
4-ə
)
{\ DisplayStyle 12 = {\ frac {1} {8}} (92 + 4)}.
* Boyunbağı sayma problemi: Hər bir muncuqun iki rəngdən biri ola biləcəyi müxtəlif uzunluqların fırlanan fərqli boyunbağlarını saymaq.Məqalə 3 və 4 uzunluğundakı boyunbağı sayır və cavab müvafiq olaraq 4 və 6-dır.
* Bir kub probleminin rənglənməsi: bir kubun üzlərinin fırlanan fərqli rənglərini sayın.Məqalə 3 rəng istifadə edildikdə və cavab 57-dir.
* 8 Queens Puzzle: Problemin klassik bir versiyası 8x8 lövhəsinə 8x8 lövhəyə 8x8 lövhəyə yerləşdirməyin müxtəlif yollarını sayır (cavab 92-dir).Burnside's Lemma tətbiqi ilə məqalə, cavab olaraq 12-də rotasiya və əks olunma üçün kraliçaların müxtəlif yerləşdirilməsinin sayını sayır.