A função zeta está intimamente relacionada aos números primos. Por exemplo, o fato mencionado acima de que existem infinitos primos também pode ser visto usando a função zeta: se houvesse apenas primos finitos, então ζ (1) teria um valor finito. No entanto, a série harmônica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... diverge (isto é, excede qualquer número determinado), portanto, deve haver infinitos primos. Outro exemplo da riqueza da função zeta e um vislumbre da moderna teoria dos números algébricos é a seguinte identidade (problema de Basileia), devido a Euler,
O que significa quando uma série harmônica diverge?
excede qualquer número