user
Return your final response within \boxed{}. Find all functions \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) that satisfy for all \( x, y \in \mathbb{R} \):

\[ 
f(y-f(x)) = f(x) - 2x + f(f(y)) 
\]
assistant
<|begin_of_thought|>

Deep Thought is thinking for 7.5 million years.

<|end_of_thought|>

<|begin_of_solution|>


Nous voulons trouver toutes les fonctions \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) qui satisfont l'équation fonctionnelle suivante pour tous \( x, y \in \mathbb{R} \):

\[
f(y - f(x)) = f(x) - 2x + f(f(y))
\]

1. **Injectivité de \( f \)**:
    
    Pour prouver que \( f \) est injective, supposons que \( f(a) = f(b) \). Nous allons montrer que cela implique \( a = b \).

    Écrivons l'équation fonctionnelle pour \( x = a \) et \( x = b \):

    \[
    f(y - f(a)) = f(a) - 2a + f(f(y))
    \]

    \[
    f(y - f(b)) = f(b) - 2b + f(f(y))
    \]

    Puisque \( f(a) = f(b) \), nous avons:

    \[
    f(y - f(a)) = f(a) - 2a + f(f(y)) = f(b) - 2b + f(f(y)) = f(y - f(b))
    \]

    En comparant les deux équations, nous obtenons:

    \[
    f(a) - 2a = f(b) - 2b
    \]

    Donc,

    \[
    2a = 2b \quad \Rightarrow \quad a = b
    \]

    Donc, \( f \) est injective.

2. **Établir \( f(0) = 0 \)**:

    Supposons \( x = 0 \) et \( y = f(0) \) dans l'équation fonctionnelle:

    \[
    f(f(0) - f(0)) = f(0) - 2 \cdot 0 + f(f(f(0)))
    \]

    Simplifions cette expression:

    \[
    f(0) = f(0) + f(f(f(0)))
    \]

    \[
    f(f(f(0))) = 0
    \]

    Prenons maintenant \( x = f(f(0)) \) et \( y = 0 \):

    \[
    f(0 - f(f(f(0)))) = f(f(f(0))) - 2f(f(0)) + f(f(0))
    \]

    Nous savons que \( f(f(f(0))) = 0 \), donc ceci se simplifie à:

    \[
    f(0) = 0 - 2f(f(0)) + f(f(0))
    \]

    \[
    f(f(0)) = -2f(f(0))
    \]

    \[
    3f(f(0)) = 0 \quad \Rightarrow \quad f(f(0)) = 0
    \]

    Appliquons \( f \) des deux côtés:

    \[
    f(f(f(0))) = f(0)
    \]

    Comme nous avions déjà \( f(f(f(0))) = 0 \), nous obtenons:

    \[
    f(0) = 0
    \]

3. **Prouver \( f(y) = y \)**:
    
    Suppléons \( x = 0 \) dans l'équation initiale:

    \[
    f(y - f(0)) = f(0) - 2 \cdot 0 + f(f(y))
    \]

    Puisque \( f(0) = 0 \):

    \[
    f(y) = f(f(y))
    \]

    Par injectivité de \( f \), cela signifie que:

    \[
    y = f(y)
    \]

    Nous devons vérifier que \( f(y) = y \) est bien une solution de l'équation fonctionnelle:

    Remplaçons \( f(y) = y \) dans l'équation:

    \[
    f(y - f(x)) = f(x) - 2x + f(f(y))
    \]

    LHS:

    \[
    f(y - x) = y - x
    \]

    RHS:

    \[
    x - 2x + y = y - x
    \]

    Les deux côtés sont égaux, donc \( f(y) = y \) satisfait bien l'équation fonctionnelle.

**Conclusion**:
Les seules fonctions \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) qui satisfont l'équation fonctionnelle donnée sont les fonctions d'identité.

\[
\boxed{f(y) = y}
\]

<|end_of_solution|>