\section{Parties positives d'un r\'eseau\label{section positive}}

\medskip

Le but de cette section est d'\'etudier l'ensemble des parties positives
de $\Lambda$. Nous munirons cet ensemble d'une topologie dans la section suivante.

\def{\mathrm{tor}}{{\mathrm{tor}}}

\bigskip

\subsection{D\'efinitions, pr\'eliminaires\label{sous positive}}
Une partie $X$ de $\Lambda$ est dite {\it positive} si les conditions
suivantes sont satisfaites~:
\begin{itemize}\itemindent1cm
\itemth{P1} $\Lambda=X \cup (-X)$.

\itemth{P2} $X+X \subset X$.

\itemth{P3} $X \cap (-X)$ est un sous-groupe de $\Lambda$.
\end{itemize}
Nous noterons $\PC\! os(\Lambda)$ l'ensemble des parties
positives de $\Lambda$. Donnons quelques exemples.
Pour commencer, notons que $\Lambda \in \PC\! os(\Lambda)$.
Soit $\Gamma$ un groupe totalement ordonn\'e et soit $\varphi : \Lambda \rightarrow \Gamma$
un morphisme de groupes. Posons
$$\Pos(\varphi)=\{\lambda \in \Lambda~|~\varphi(\lambda) \mathop{\geqslant}\nolimits 0\}$$
$$\Pos^+(\varphi)=\{\lambda \in \Lambda~|~\varphi(\lambda) > 0\}.\leqno{\text{et}}$$
Alors il est clair que
\refstepcounter{theo}$$~\label{noyau pos}
\Ker \varphi = \Pos(\varphi) \cap \Pos(-\varphi) = \Pos(\varphi) \cap -\Pos(\varphi)
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
et que
\refstepcounter{theo}$$~\label{positif exemple}
\text{\it $\Pos(\varphi)$ est une partie positive de $\Lambda$}.
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$

\bigskip

\begin{lem}\label{proprietes positives}
Soit $X$ une partie positive de $\Lambda$. Alors~:
\begin{itemize}
\itemth{a} $-X \in \PC\! os(\Lambda)$.

\itemth{b} $0 \in X$.

\itemth{c} Si $\lambda \in \Lambda$ et si $r \in \ZM_{>0}$ est tel que
$r\lambda \in X$. Alors $\lambda \in X$.

\itemth{d} $\Lambda/(X \cap (-X))$ est sans torsion.
\end{itemize}
\end{lem}

\bigskip

\begin{proof}
(a) est imm\'ediat.
(b) d\'ecoule de la propri\'et\'e (P1) des parties positives.
(d) d\'ecoule de (c). Il nous reste \`a montrer (c).
Soient $\lambda \in \Lambda$ et $r \in \ZM_{>0}$ tels que $r\lambda \in X$.
Si $\lambda \not\in X$, alors $-\lambda \in X$
d'apr\`es la propri\'et\'e (P1).
D'o\`u $\lambda=r\lambda + (r-1)(-\lambda) \in X$ d'apr\`es (P2), ce qui est contraire
\`a l'hypoth\`ese. Donc $\lambda \in X$.
\end{proof}

\bigskip

Nous allons montrer une forme de r\'eciproque facile \`a la propri\'et\'e
\ref{positif exemple}. Soit $X \in \PC\! os(\Lambda)$. Notons
$\can_X : \Lambda \rightarrow \Lambda/(X \cap(-X))$ le morphisme canonique. Si $\gamma$ et $\gamma'$
appartiennent \`a $\Lambda/(X \cap(-X))$, nous \'ecrirons $\gamma \mathop{\leqslant}\nolimits_X \gamma'$ s'il existe
un repr\'esentant de $\gamma' - \gamma$ appartenant \`a $X$. Il est facile
de v\'erifier que
\refstepcounter{theo}$$~\label{relation independante}
\text{\it $\gamma \mathop{\leqslant}\nolimits_X \gamma'$ si et seulement si tout repr\'esentant
de $\gamma'-\gamma$ appartient \`a $X$.}
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
On d\'eduit alors facilement des propri\'et\'es (P1), (P2) et (P3)
des parties positives que
\refstepcounter{theo}$$~\label{ordre X}
\text{\it $(\Lambda/(X \cap (-X)),\mathop{\leqslant}\nolimits_X)$ est un groupe ab\'elien
totalement ordonn\'e}
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
et que
\refstepcounter{theo}$$~\label{X pos}
X=\Pos(\can_X).
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$

\bigskip

\subsection{Cons\'equences du th\'eor\`eme de Hahn-Banach}
Si $X$ est une partie positive de $\Lambda$, on pose
$X^+=X \setminus (-X)$. On a alors
\refstepcounter{theo}$$~\label{disjonction}
\Lambda = X \hskip1mm\dot{\cup}\hskip1mm (-X^+) = X^+ \hskip1mm\dot{\cup}\hskip1mm (-X)
= X^+ \hskip1mm\dot{\cup}\hskip1mm (X \cap (-X)) \hskip1mm\dot{\cup}\hskip1mm (-X^+),
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
o\`u $\dot{\cup}$ d\'esigne l'union disjointe.
De plus, si $\varphi : \Lambda \rightarrow \Gamma$ est un morphisme de groupes
ab\'eliens et si $\Gamma$ est un groupe totalement ordonn\'e, alors
\refstepcounter{theo}$$~\label{pos plus}
\Pos^+(\varphi) = \Pos(\varphi)^+.
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
Si $\varphi$ est une forme lin\'eaire sur $V$, nous noterons abusivement
$\Pos(\varphi)$ et $\Pos^+(\varphi)$ les parties $\Pos(\varphi|_\Lambda)$ et
$\Pos^+(\varphi|_\Lambda)$ de $\Lambda$.

\bigskip

\begin{lem}\label{equivalent separant}
Soit $X$ une partie positive propre de $\Lambda$, soit $\Gamma$ un groupe ab\'elien
totalement ordonn\'e archim\'edien
et soit $\varphi : \Lambda \rightarrow \Gamma$ un morphisme de groupes.
Alors les conditions suivantes sont \'equivalentes~:
\begin{itemize}
\itemth{1} $X \subseteq \Pos(\varphi)$;

\itemth{2} $X^+ \subseteq \Pos(\varphi)$;

\itemth{3} $\Pos^+(\varphi) \subseteq X^+$;

\itemth{4} $\Pos^+(\varphi) \subseteq X$.
\end{itemize}
\end{lem}

\begin{proof}
Il est clair que (1) implique (2) et que (3) implique (4).

\medskip

Montrons que (2) implique (3). Supposons
donc que (2) est v\'erifi\'ee. Soit $\lambda \in \Lambda$ tel que
$\varphi(\lambda) > 0$ et supposons que $\lambda \not\in X^+$.
Alors, d'apr\`es \ref{disjonction}, $\lambda \in -X$.
Or, si $\mu \in \Lambda$, il existe $k \in \ZM_{> 0}$ tel que
$\varphi(\mu - k \lambda)=\varphi(\mu)-k\varphi(\lambda) < 0$ (car $\Gamma$ est archim\'edien). Donc $\mu-k\lambda \not\in X^+$
d'apr\`es (2). Donc $\mu - k \lambda \in -X$ d'apr\`es \ref{disjonction}.
Donc, $\mu=(\mu -k\lambda) + k\lambda \in (-X)$. Donc $\Lambda \subseteq -X$,
ce qui est contraire \`a l'hypoth\`ese.

\medskip

Montrons que (4) implique (1).
Supposons donc que $\Pos^+(\varphi) \subseteq X$.
En prenant le compl\'ementaire dans $\Lambda$,
on obtient $(-X^+)=(-X)^+ \subseteq \Pos(-\varphi)$ et donc,
puisque (2) implique (3), on a $\Pos^+(-\varphi) \subseteq -X^+$.
En reprenant le compl\'ementaire dans $\Lambda$, on
obtient $X \subseteq \Pos(\varphi)$.
\end{proof}

\bigskip

Nous aurons aussi besoin du lemme suivant~:

\bigskip

\begin{lem}\label{solutions}
Soient $\lambda_1$,\dots, $\lambda_n$ des \'el\'ements de $\Lambda$ et supposons
trouv\'e un $n$-uplet $t_1$,\dots, $t_n$ de nombres r\'eels
{\bfseries\itshape strictement} positifs tels que $t_1 \lambda_1 + \cdots + t_n \lambda_n=0$.
Alors il existe des entiers naturels non nuls $r_1$,\dots, $r_n$ tels que
$r_1 \lambda_1 + \cdots + r_n \lambda_n = 0$.
\end{lem}

\bigskip

\begin{proof}
Notons $\SC$ l'ensemble des $n$-uplets $(u_1,\dots,u_n)$
de nombres r\'eels qui satisfont
$$\begin{cases}
u_1+\cdots + u_n = 1, &\\
u_1 \lambda_1 + \cdots + u_n \lambda_n = 0.&\\
\end{cases}$$
\'Ecrit dans une base de $\Lambda$, ceci est un syst\`eme lin\'eaire
d'\'equations \`a coefficients dans $\QM$. Le proc\'ed\'e d'\'elimination de
Gauss montre que l'existence d'une solution {\it r\'eelle} implique
l'existence d'une solution {\it rationnelle}
$t^\circ = (t_1^\circ,\dots, t_n^\circ)$
et l'existence de vecteurs $v_1$,\dots, $v_r \in \QM^n$ tels que
$$\SC=\{t^\circ + x_1 v_1 + \cdots +x_r v_r~|~(x_1,\dots,x_r) \in \RM^r\}.$$
En particulier, il existe $x_1$,\dots, $x_r \in \RM$ tels que
$$(t_1,\dots,t_n) = t^\circ + x_1 v_1 + \cdots +x_r v_r.$$
Puisque $t_1$,\dots, $t_n$ sont strictement positifs,
il existe $x_1'$,\dots, $x_r'$ dans $\QM$ tels que les
coordonn\'ees de $t^\circ + x_1' v_1 + \cdots +x_r' v_r$ soient
strictement positives. Posons alors
$(u_1,\dots,u_n)=t^\circ + x_1' v_1 + \cdots +x_r' v_r$.
On a donc $u_i \in \QM_{> 0}$ pour tout $i$ et
$$u_1 \lambda_1 + \cdots + u_n \lambda_n = 0.$$
Quitte \`a multiplier par le produits des d\'enominateurs des $u_i$,
on a trouv\'e $r_1$,\dots, $r_n \in \ZM_{> 0}$ tels que
$$r_1 \lambda_1 + \cdots + r_n \lambda_n = 0,$$
comme attendu.
\end{proof}

\bigskip

\begin{theo}\label{hahn banach}
Soit $X$ une partie positive de $\Lambda$ diff\'erente de $\Lambda$. Alors~:
\begin{itemize}
\itemth{a} Il existe une forme lin\'eaire $\varphi$ sur $V$ telle que
$X \subseteq \Pos(\varphi)$.

\itemth{b} Si $\varphi$ et $\varphi'$ sont deux formes lin\'eaires
sur $V$ telles que $X \subseteq \Pos(\varphi) \cap \Pos(\varphi')$,
alors il existe $\kappa \in \RM_{> 0}$
tel que $\varphi'=\kappa \varphi$.
\end{itemize}
\end{theo}

\bigskip

\begin{proof}
Notons $\CC^+$ l'enveloppe convexe de $X^+$.
Notons que $X^+$ (et donc $\CC^+$)
est non vide car $X \neq \Lambda$. Nous allons commencer
par montrer que $0 \not\in \CC^+$. Supposons donc que $0 \in \CC^+$.
Il existe donc $\lambda_1$,\dots, $\lambda_n$ dans $X^+$ et $t_1$,\dots, $t_n$
dans $\RM_{> 0}$ tels que
$$\begin{cases}
t_1+\cdots + t_n = 1, &\\
t_1 \lambda_1 + \cdots + t_n \lambda_n = 0.&\\
\end{cases}$$
D'apr\`es le lemme \ref{solutions}, il existe $r_1$,\dots, $r_n \in \ZM_{> 0}$
tels que $m_1 \lambda_1 = - (m_2 \lambda_2 + \cdots + m_n \lambda_n)$. Donc
$m_1\lambda_1 \in X \cap -X$
(voir la propri\'et\'e (P2)). Donc, d'apr\`es le lemme
\ref{proprietes positives} (a) et (c), on a $\lambda_1 \in X \cap -X$,
ce qui est impossible car $\lambda_1 \in X^+ = X \setminus (-X)$.
Cela montre donc que
$$0 \not\in \CC^+.$$
L'ensemble $\CC^+$ \'etant convexe, il d\'ecoule du th\'eor\`eme de
Hahn-Banach qu'il existe une forme lin\'eaire non nulle $\varphi$
sur $V$ telle que
$$\CC^+ \subseteq \{\lambda \in V~|~\varphi(\lambda) \mathop{\geqslant}\nolimits 0\}.$$
En particulier,
$$X^+ \subseteq \CC^+ \cap \Lambda \subseteq \Pos(\varphi).\leqno{(*)}$$
D'apr\`es le lemme \ref{equivalent separant}, et puisque
$\RM$ est archim\'edien, on a bien $X \subseteq \Pos(\varphi)$.
Cela montre (a).

\medskip

Soit $\varphi'$ une autre forme lin\'eaire telle que $X \subseteq \Pos(\varphi')$.
Posons $U=\{\lambda \in V~|~\varphi(\lambda) > 0$ et $\varphi'(\lambda) < 0\}$.
Alors $U$ est un ouvert de $V$. Fixons une $\ZM$-base $(e_1,\dots,e_d)$
de $\Lambda$. Si $U \neq \varnothing$, alors il existe
$\lambda \in \QM \otimes_\ZM \Lambda$ et $\varepsilon \in \QM_{> 0}$ tels que
$\lambda$, $\lambda + \varepsilon e_1$,\dots, $\lambda+\varepsilon e_d$ appartiennent \`a $U$.
Quitte \`a multiplier par le produit des d\'enominateurs de
$\varepsilon$ et des coordonn\'ees de $\lambda$ dans la base $(e_1,\dots,e_d)$,
on peut supposer que $\lambda \in \Lambda$ et $\varepsilon \in \ZM_{> 0}$. Mais
il est clair que $U \cap X^+=\varnothing$ et $U \cap (-X^+) = \varnothing$.
Donc $U \cap \Lambda$ est contenu dans $X \cap (-X)$. Ce dernier
\'etant un sous-groupe, on en d\'eduit que $\varepsilon e_i \in X \cap (-X)$
pour tout $i$. D'o\`u, d'apr\`es le lemme \ref{proprietes positives} (c),
$e_i \in X \cap (-X)$ pour tout $i$. Donc $X=\Lambda$, ce qui
est contraire \`a l'hypoth\`ese. On en d\'eduit que $U$ est
vide, c'est-\`a-dire qu'il existe $\kappa \in \RM_{> 0}$ tel que
$\varphi'=\kappa\varphi$. D'o\`u (b).
\end{proof}

\bigskip

Si $\varphi$ est une forme lin\'eaire sur $V$, nous noterons
${\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ sa classe dans $V^*/\RM_{>0}$. Nous noterons $p : V^* \longrightarrow V^*/\RM_{>0}$
la projection canonique. L'application $\Pos : V^* \rightarrow \PC\! os(\Lambda)$
se factorise \`a travers $p$ en une application $\Posbar :
V^*/\RM_{>0} \rightarrow \PC\! os(\Lambda)$
rendant le diagramme
$$\diagram
V^* \ddrrto^{\displaystyle{\Pos}} \ddto_{\displaystyle{p}}&& \\
&&\\
V^*\!/\RM_{>0} \rrto^{\displaystyle{\Posbar}} && \PC\! os(\Lambda)
\enddiagram$$
commutatif. D'autre part,
si $X \in \PC\! os(\Lambda)$, nous noterons $\pi(X)$ l'unique
\'el\'ement ${\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}} \in V^*/\RM_{>0}$ tel que $X \subseteq \Posbar({\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}})$
(voir le th\'eor\`eme \ref{hahn banach}). On a donc d\'efini
deux applications
$$\diagram
V^*/\RM_{>0}\rrto^{\displaystyle{\Posbar}} &&
\PC\! os(\Lambda) \rrto^{\displaystyle{\pi}} && V^*\!/\RM_{>0}
\enddiagram$$
et le th\'eor\`eme \ref{hahn banach} (b) montre que
\refstepcounter{theo}$$~\label{pi pos}
\pi \circ \Posbar = \Id_{V^*\!/\RM_{>0}}.
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
Donc $\pi$ est surjective et $\Posbar$ est injective.
En revanche, ni $\pi$, ni $\Posbar$ ne sont des bijections (sauf
si $\Lambda$ est de rang $1$). Nous allons d\'ecrire les fibres de $\pi$~:

\bigskip

\begin{prop}\label{fibres pi}
Soit $\varphi$ une forme lin\'eaire non nulle sur $V$. Alors
l'application
$$\fonction{i_{{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}}}{\PC\! os(\Ker \varphi|_\Lambda)}{\pi^{-1}({\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}})}{X}{X
\cup \Pos^+(\varphi)}$$
est bien d\'efinie et bijective. Sa r\'eciproque est l'application
$$\fonctio{\pi^{-1}({\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}})}{\PC\! os(\Ker \varphi|_\Lambda)}{Y}{Y \cap \Ker \varphi|\lambda.}$$
\end{prop}

\noindent{\sc Remarque - }
Il est facile de voir que $\pi^{-1}(\bar{0})=\{\Lambda\}$. Nous
pouvons aussi d\'efinir une application
$i_{\bar{0}} : \PC\! os(\Lambda) \rightarrow \PC\! os(\Lambda)$
par la m\^eme formule que dans la proposition
\ref{fibres pi}~: alors $i_{\bar{0}}$ est tout simplement
l'application identit\'e mais on a dans ce cas-l\`a
$\pi^{-1}(\bar{0})\neq i_{\bar{0}}(\PC\! os(\Lambda))$.~$\SS \square$

\bigskip

\begin{proof}
Montrons tout d'abord que l'application $i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ est bien d\'efinie.
Soit $X \in \PC\! os(\Ker \varphi|\Lambda)$. Posons $Y=X \cup \Pos^+(\varphi)$.
Montrons que $Y$ est une partie positive de $\Lambda$. Avant cela,
notons que
$$Y \subseteq \Pos(\varphi).\leqno{(*)}$$

(1) Si $\lambda \in \Lambda$, deux cas se pr\'esentent. Si $\varphi(\lambda) \neq 0$,
alors $\lambda \in \Pos^+(\varphi) \cup -\Pos^+(\varphi) \subseteq Y \cup (-Y)$.
Si $\varphi(\lambda)=0$, alors $\lambda \in \Ker \varphi|_\Lambda$, donc
$\lambda \in X \cup (-X) \subseteq Y \cup (-Y)$ car $X$ est
une partie positive de $\Ker \varphi|_\Lambda$. Donc $\Lambda=Y \cup (-Y)$.

\smallskip

(2) Soient $\lambda$, $\mu \in Y$. Montrons que $\lambda+\mu \in Y$.
Si $\varphi(\lambda+\mu) > 0$, alors $\lambda+\mu \in \Pos^+(\varphi) \subseteq Y$.
Si $\varphi(\lambda+\mu)=0$, alors il r\'esulte de $(*)$ que
$\varphi(\lambda)=\varphi(\mu)=0$, donc $\lambda$, $\mu \in \Ker \varphi|_\Lambda$.
En particulier, $\lambda$, $\mu \in X$ et donc
$\lambda+\mu \in X+X \subseteq X \subseteq Y$.
Donc $Y + Y \subseteq Y$.

\smallskip

(3) On a $Y \cap (-Y)=X \cap (-X)$, donc $Y \cap (-Y)$ est un sous-groupe
de $\Lambda$.

\medskip

Les points (1), (2) et (3) ci-dessus montrent que $Y$ est une partie
positive de $\Lambda$. L'inclusion $(*)$ montre que $\pi(Y)={\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$,
c'est-\`a-dire que $Y \in \pi^{-1}({\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}})$. Donc l'application
$i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ est bien d\'efinie.

\medskip

Elle est injective car, si $X \in \PC\! os(\Ker \varphi|_\Lambda)$, alors
$X \cap \Pos^+(\varphi) = \varnothing$. Montrons maintenant
qu'elle est surjective. Soit $Y \in \pi^{-1}({\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}})$.
Posons $X=Y \cap \Ker \varphi|_\Lambda$. Alors $X$ est une partie
positive de $\Ker \varphi|_\Lambda$ d'apr\`es le corollaire
\ref{pos inclusion}. Posons $Y'=X \cup \Pos^+(\varphi)$.
Il nous reste \`a montrer que $Y=Y'$.

Tout d'abord, $\Pos^+(\varphi) \subseteq Y$ car $\pi(Y)={\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$
par hypoth\`ese
et $X \subseteq Y$. Donc $Y' \subseteq Y$. R\'eciproquement,
si $\lambda \in Y$, deux cas se pr\'esentent. Si $\varphi(\lambda) > 0$,
alors $\lambda \in \Pos^+(\varphi) \subseteq Y'$. Si $\varphi(\lambda)=0$,
alors $\lambda \in Y \cap \Ker \varphi|_\Lambda=X \subseteq Y'$.
Dans tous les cas, $\lambda \in Y'$.
\end{proof}

\bigskip

\example{maximal}
Si $\varphi$ est une forme lin\'eaire non nulle sur $V$, alors
$\Pos(\varphi) = i_{{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}}(\Ker \varphi|_\Lambda)$.~$\SS \square$

\bigskip

Nous pouvons maintenant classifier les parties positives de
$\Lambda$ en termes de formes lin\'eaires. Notons $\FC(\Lambda)$
l'ensemble des suites finies $(\varphi_1,\dots,\varphi_r)$
telles que (en posant $\varphi_0=0$), pour tout $i \in \{1,2,\dots,r\}$,
$\varphi_i$ soit une forme lin\'eaire non nulle sur
$\RM \otimes_\ZM (\Lambda \cap \Ker \varphi_{i-1})$.
Par convention, nous supposerons que la suite vide, not\'ee $\varnothing$,
appartient \`a $\FC(\Lambda)$.

Posons $d = \dim V$.
Notons que, si $(\varphi_1,\dots,\varphi_r) \in \FC(\Lambda)$, alors $r \mathop{\leqslant}\nolimits d$.
Nous d\'efinissons donc l'action suivante de $(\RM_{>0})^d$ sur $\FC(\Lambda)$~:
si $(\kappa_1,\dots,\kappa_d) \in (\RM_{>0})^d$ et si
$(\varphi_1,\dots,\varphi_r) \in \FC(\Lambda)$, on pose
$$(\kappa_1,\dots,\kappa_d)\cdot (\varphi_1,\dots,\varphi_r) =
(\kappa_1 \varphi_1,\dots,\kappa_r \varphi_r).$$
Munissons $\RM^r$ de l'ordre lexicographique~: c'est un groupe ab\'elien
totalement ordonn\'e et $(\varphi_1,\dots,\varphi_r) : \Lambda \rightarrow \RM^r$
est un morphisme de groupes. Donc $\Pos(\varphi_1,\dots,\varphi_r)$ est
bien d\'efini et appartient \`a $\PC\! os(\Lambda)$. En fait, toute
partie positive de $\Lambda$ peut \^etre retrouv\'ee ainsi~:

\bigskip

\begin{prop}\label{surjection pos}
L'application
$$\fonctio{\FC(\Lambda)}{\PC\! os(\Lambda)}{{\boldsymbol{\varphi}}}        \def\pht{{\tilde{\varphi}}}{\Pos({\boldsymbol{\varphi}}}        \def\pht{{\tilde{\varphi}})}$$
est bien d\'efinie et induit une bijection
$\FC(\Lambda)/(\RM_{> 0})^d \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \PC\! os(\Lambda)$.
\end{prop}

\noindent{\sc Remarque - } Dans cette proposition, on a pos\'e
par convention $\Pos(\varnothing)=\Lambda$.~$\SS \square$

\bigskip

\begin{proof}
Cela r\'esulte imm\'ediatement d'un raisonnement par r\'ecurrence
sur le rang de $\Lambda$ en utilisant le th\'eor\`eme \ref{hahn banach}
et la proposition \ref{fibres pi}.
\end{proof}

\bigskip

Si ${\boldsymbol{\varphi}}}        \def\pht{{\tilde{\varphi}} \in \FC(\Lambda)$, nous noterons $\bar{{\boldsymbol{\varphi}}}        \def\pht{{\tilde{\varphi}}}$ sa classe
dans $\FC(\Lambda)/(\RM_{>0})^d$ et nous poserons
$\Posbar(\bar{{\boldsymbol{\varphi}}}        \def\pht{{\tilde{\varphi}}})=\Pos({\boldsymbol{\varphi}}}        \def\pht{{\tilde{\varphi}})$. Comme corollaire de la proposition
\ref{surjection pos}, nous obtenons une classification des ordres
totaux sur $\Lambda$ (compatibles avec la structure de groupe),
ce qui est un r\'esultat classique \cite{robbiano}.
En fait, se donner un ordre
total sur $\Lambda$ est \'equivalent \`a se donner une partie
positive $X$ de $\Lambda$ telle que $X \cap (-X)=0$. Notons
$\FC_0(\Lambda)$ l'ensemble des \'el\'ements $(\varphi_1,\dots,\varphi_r) \in \FC(\Lambda)$
tels que $\Lambda \cap \Ker \varphi_r = 0$.

\bigskip

\begin{coro}\label{ordres totaux}
L'application d\'ecrite dans la proposition \ref{surjection pos} induit
une bijection entre l'ensemble $\FC_0(\Lambda)/(\RM_{> 0})^d$ et l'ensemble
des ordres totaux sur $\Lambda$ compatibles avec la structure
de groupe.
\end{coro}

\bigskip

\subsection{Fonctorialit\'e}
Soit $\sigma : \Lambda' \rightarrow \Lambda$ un morphisme de groupes ab\'eliens.
Le r\'esultat suivant est facile~:

\bigskip

\begin{lem}\label{sigma}
Si $X$ est une partie positive de $\Lambda$,
alors $\sigma^{-1}(X)$ est une partie positive de $\Lambda'$.
\end{lem}

\begin{proof}
Soit $X \in \PC\! os(\Lambda)$. Posons $X' = \sigma^{-1}(X)$.
Montrons que $X' \in \PC\! os(\Lambda')$.

\medskip

(1) On a $X' \cup (-X') = \sigma^{-1}(X \cup (-X))=\sigma^{-1}(\Lambda)=\Lambda'$.

\smallskip

(2) Si $\lambda'$ et $\mu'$ sont deux \'el\'ements de $X'$, alors
$\sigma(\lambda')$ et $\sigma(\mu')$ appartiennent \`a $X$. Donc $\sigma(\lambda')+\sigma(\mu') \in X$.
En d'autres termes, $\lambda' + \mu' \in X'$. Donc $X'+X' \subseteq X'$.

\smallskip

(3) On a $X' \cap (-X') = \sigma^{-1}(X \cap (-X))$, donc l'ensemble
$X' \cap (-X')$ est un sous-groupe de $\Lambda'$.
\end{proof}

\bigskip

\begin{coro}\label{pos inclusion}
Si $\Lambda'$ est un sous-groupe de $\Lambda$ et si $X$ est une partie
positive de $\Lambda$, alors $X \cap \Lambda'$ est une partie positive de $\Lambda'$.
\end{coro}

\bigskip

Si $\sigma : \Lambda' \rightarrow \Lambda$ est un morphisme de groupes ab\'eliens, nous noterons
$\sigma^* : \PC\! os(\Lambda) \rightarrow \PC\! os(\Lambda')$, $X \mapsto \sigma^{-1}(X)$ induite
par le lemme \ref{sigma}. Si $\tau : \Lambda'' \rightarrow \Lambda'$
est un morphisme de groupe ab\'eliens, il est alors facile
de v\'erifier que
\refstepcounter{theo}$$~\label{composition}
(\tau \circ \sigma)^* = \sigma^* \circ \tau^*.
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$

D'autre part, si on note $V' = \RM \otimes_\ZM \Lambda'$, alors
$\sigma$ induit une application $\RM$-lin\'eaire
$\sigma_\RM : V' \longrightarrow V$ dont nous noterons
$\lexp{t}{\sigma_\RM} : V^* \longrightarrow V^{\prime *}$ l'application duale
et $\lexp{t}{{\bar{\s}}}               \def\sigh{{\hat{\s}}}_\RM : V^*/\RM_{>0} \longrightarrow V^{\prime *}/\RM_{> 0}$
l'application (continue) induite.
Il est alors facile de v\'erifier que le diagramme
\refstepcounter{theo}$$~\label{diag sigma}
\diagram
V^*/\RM_{>0} \rrto^{\displaystyle{\Posbar}} \ddto^{\displaystyle{\lexp{t}{{\bar{\s}}}               \def\sigh{{\hat{\s}}}_\RM}} &&
\PC\! os(\Lambda) \rrto^{\displaystyle{\pi}} \ddto^{\displaystyle{\sigma^*}} &&
V^*/\RM_{>0} \ddto^{\displaystyle{\lexp{t}{{\bar{\s}}}               \def\sigh{{\hat{\s}}}_\RM}} \\
&&&&\\
V^{\prime *}/\RM_{>0} \rrto^{\displaystyle{\Posbar'}} &&
\PC\! os(\Lambda') \rrto^{\displaystyle{\pi'}} &&
V^{\prime *}/\RM_{>0}
\enddiagram
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
est commutatif (o\`u $\Posbar'$ et $\pi'$ sont les analogues de $\Posbar$ et $\pi$
pour le r\'eseau $\Lambda'$).

\bigskip

\section{Topologie sur $\PC\! os(\Lambda)$}

\medskip

Dans cette section, nous allons d\'efinir sur $\PC\! os(\Lambda)$ une topologie
et en \'etudier les propri\'et\'es. Nous allons notamment montrer que la
plupart des applications introduites dans la section pr\'ec\'edente
($\Posbar$, $\pi$, $i_{{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}}$,...) sont continues.

\bigskip

\subsection{D\'efinition}
Si $E$ est une partie de $\Lambda$,
nous poserons
$$\UC(E)=\{X \in \PC\! os(\Lambda)~|~X \cap E=\varnothing\}.$$
Si $\lambda_1$,\dots, $\lambda_n$ sont des \'el\'ements de $\Lambda$, nous
noterons pour simplifier $\UC(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ l'ensemble
$\UC(\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\})$. Si cela est n\'ecessaire, nous noterons ces ensembles
$\UC_\Lambda(E)$ ou $\UC_\Lambda(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$. On a alors
\refstepcounter{theo}$$~\label{u inter}
\UC(E)=\bigcap_{\lambda \in E} \UC(\lambda).
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
Notons que
\refstepcounter{theo}$$~\label{u vide}
\UC(\varnothing)=\PC\! os(\Lambda)\qquad\text{et}\qquad \UC(\Lambda)=\{\varnothing\}.
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
D'autre part, si $(E_i)_{i \in I}$ est une famille de parties de $\Lambda$, alors
\refstepcounter{theo}$$~\label{u intersection}
\bigcap_{i \in I} \UC(E_i) = \UC\bigl(\bigcup_{i \in I} E_i\bigr).
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
Une partie $\UC$ de $\PC\! os(\Lambda)$ sera dite {\it ouverte} si,
pour tout $X \in \UC$, il existe une partie {\bf finie} $E$ de $\Lambda$ telle
que $X \in \UC(E)$ et $\UC(E) \subset \UC$. L'\'egalit\'e
\ref{u intersection} montre que cela d\'efinit bien une topologie
sur $\PC\! os(\Lambda)$.

\bigskip

\begin{prop}\label{connexite}
Si $\UC$ est un ouvert de $\PC\! os(\Lambda)$ contenant $\Lambda$, alors
$\UC=\PC\! os(\Lambda)$. En particulier, $\PC\! os(\Lambda)$ est connexe.
Si $\Lambda \neq 0$, alors il n'est pas s\'epar\'e.
\end{prop}

\bigskip

\begin{proof}
Par d\'efinition, il existe une partie finie $E$ de $\Lambda \setminus \Lambda$
telle que $\UC(E) \subseteq \UC$. Mais on a forc\'ement $E=\varnothing$,
donc $\UC=\PC\! os(\Lambda)$ d'apr\`es \ref{u vide}. D'o\`u le
r\'esultat.

Le fait que $\PC\! os(\Lambda)$
n'est pas s\'epar\'e (lorsque $\Lambda \neq 0$) en d\'ecoule~:
le point $\Lambda$ de $\PC\! os(\Lambda)$ ne peut \^etre
s\'epar\'e d'aucun autre.
\end{proof}

\bigskip

\example{Z}
L'espace topologique $\PC\! os(\ZM)$ n'a que trois points~:
$\ZM$, $\ZM_{\mathop{\geqslant}\nolimits 0}$ et $\ZM_{\mathop{\leqslant}\nolimits 0}$. Sur ces trois points,
seul $\ZM$ est un point ferm\'e et $\ZM_{\mathop{\geqslant}\nolimits 0}$ et $\ZM_{\mathop{\leqslant}\nolimits 0}$
sont des points ouverts (en effet, $\{\ZM_{\mathop{\geqslant}\nolimits 0}\} = \UC(-1)$
et $\{\ZM_{\mathop{\leqslant}\nolimits 0}\} = \UC(1)$).~$\SS \square$

\bigskip

Il est clair que la topologie sur $\PC\! os(\Lambda)$ d\'efinie ci-dessus
est la topologie induite par une topologie sur l'ensemble des parties
de $\Lambda$ (d\'efinie de fa\c{c}on analogue)~: cette derni\`ere est tr\`es
grossi\`ere mais sa restriction \`a $\PC\! os(\Lambda)$ est plus int\'eressante.

\medskip

Nous aurons besoin de la propri\'et\'e suivante des ensembles $\UC(E)$~:

\bigskip

\begin{lem}\label{uce vide}
Soit $E$ une partie {\bfseries\itshape finie} de $\Lambda$. Alors les assertions suivantes
sont \'equivalentes~:
\begin{itemize}
\itemth{1} $\UC(E)=\varnothing$.

\itemth{2} Il existe $n \mathop{\geqslant}\nolimits 1$, $\lambda_1$,\dots, $\lambda_n \in E$ et
$r_1$,\dots, $r_n \in \ZM_{>0}$ tels que $\displaystyle{\sum_{i=1}^n r_i\lambda_i=0}$.

\itemth{3} Il n'existe pas de forme lin\'eaire $\varphi$ sur $V^*$
telle que $\varphi(E) \subset \RM_{>0}$.
\end{itemize}
\end{lem}

\bigskip

\begin{proof}
S'il existe une forme lin\'eaire $\varphi$ sur $V^*$
telle que $\varphi(E) \subseteq \RM_{>0}$, alors $\Pos(-\varphi) \in \UC(E)$, et
donc $\UC(E) \neq \varnothing$. Donc (1) $\Rightarrow$ (3).

\medskip

Supposons trouv\'es $\lambda_1$,\dots, $\lambda_n \in E$ et $r_1$,\dots, $r_n \in \ZM_{>0}$
tels que $r_1\lambda_1 + \cdots + r_n \lambda_n = 0$. Alors, si $X \in \UC(E)$,
on a $-\lambda_2$,\dots, $-\lambda_n \in X$. Mais
$r_1\lambda_1 = -r_2\lambda_2 - \cdots - r_n \lambda_n \in X$,
donc $\lambda_1 \in X$, ce qui contredit l'hypoth\`ese. Donc (2) $\Rightarrow$ (1).

\medskip

Il nous reste \`a montrer que (3) $\Rightarrow$ (2). Supposons que (2) n'est pas vraie.
Nous allons montrer qu'alors (3) n'est pas vraie en raisonnant par r\'ecurrence sur
la dimension de $V$ (c'est-\`a-dire le rang de $\Lambda$).
Posons
$$\CC=\{t_1\lambda_1+\cdots t_n \lambda_n~|~n \mathop{\geqslant}\nolimits 1,
~\lambda_1,\dots, \lambda_n \in \Lambda,~t_1,\dots,t_n \in \RM_{>0}\}.$$
Alors $\CC$ est une partie convexe de $V$ contenant $E$ et, d'apr\`es
le lemme \ref{solutions} et le fait que (2) ne soit pas vraie, on a
$0 \not\in \CC$. Par cons\'equent, il r\'esulte du th\'eor\`eme de Hahn-Banach
qu'il existe une forme lin\'eaire non nulle $\varphi$ telle que
$\varphi(\CC)\subseteq \RM_{\mathop{\geqslant}\nolimits 0}$. Posons $\Lambda'=(\Ker \varphi)\cap \Lambda$ et
$E' = E \cap \Lambda$. Alors l'assertion (2) pour $E'$ n'est pas vraie elle aussi donc,
par hypoth\`ese de r\'ecurrence, il existe un forme lin\'eaire $\psi$ sur
$V'=\RM \otimes_\ZM \Lambda' \subseteq V$ telle que $\psi(E') \subset \RM_{>0}$.
Soit $\psit$ une extension de $\psi$ \`a $V$.
Puisque $\varphi(E \setminus E') \subset \RM_{>0}$, il existe $\varepsilon > 0$ tel que
$\varphi(\lambda) + \varepsilon \psit(\lambda) > 0$ pour tout $\lambda \in E\setminus E'$.
Mais on a aussi, si $\lambda \in E'$, $\varphi(\lambda)+\varepsilon\psit(\lambda) = \varepsilon \psit(\lambda) > 0$.
Donc $(\varphi + \varepsilon \psit)(E) \subset \RM_{>0}$.
\end{proof}

\bigskip

Si $\EC$ est une partie de $\PC\! os(\Lambda)$, nous noterons
$\overline{\EC}$ son adh\'erence dans $\PC\! os(\Lambda)$.

\bigskip

\begin{coro}\label{adherence u}
Soit $E$ une partie {\bfseries\itshape finie} de $\Lambda$ telle que $\UC(E) \neq \varnothing$. Alors
$$\overline{\UC(E)} = \PC\! os(\Lambda) \setminus \Bigl(\bigcup_{\lambda \in E} \UC(-\lambda)\Bigr).$$
\end{coro}

\bigskip

\begin{proof}
Posons
$$\OC=\bigcup_{\lambda \in E} \UC(-\lambda)$$
$$\FC=\PC\! os(\Lambda) \setminus \OC. \leqno{\text{et}}$$
Alors $\FC$ est ferm\'e dans $\PC\! os(\Lambda)$ et contient $\UC(E)$.
Donc $\overline{\UC(E)} \subseteq \FC$.

R\'eciproquement, soit $X \in \PC\! os(\Lambda) \setminus \overline{\UC(E)}$.
Nous devons montrer que
$$X \in \OC.\leqno{(?)}$$
Puisque $\PC\! os(\Lambda) \setminus \overline{\UC(E)}$ est un ouvert, il existe
une partie finie $F$ de $\Lambda$ telle que $X \in \UC(F)$ et
$\UC(F) \subseteq \OC$. En particulier, $\UC(F) \cap \UC(E) = \varnothing$.
En d'autres termes, d'apr\`es \ref{u intersection}, on a
$\UC(E \cup F) = \varnothing$.
Donc, d'apr\`es le lemme \ref{uce vide}, il existe $m \mathop{\geqslant}\nolimits 0$, $n \mathop{\geqslant}\nolimits 0$,
$\lambda_1$,\dots, $\lambda_m \in E$, $\mu_1$,\dots, $\mu_n \in F$,
$r_1$,\dots, $r_m$, $s_1$,\dots, $s_n \in \ZM_{>0}$ tels que
$$r_1\lambda_1 + \cdots + r_m \lambda_m + s_1 \mu_1 + \cdots + s_n \mu_n=0$$
et $m+n \mathop{\geqslant}\nolimits 1$. En fait, comme $\UC(E)$ et $\UC(F)$ sont toutes deux non vides,
il d\'ecoule du lemme \ref{uce vide} que $m$, $n \mathop{\geqslant}\nolimits 1$.

Si $X \not\in \OC$, alors $-\lambda_i \in X$ pour tout $i$, ce qui implique
que $s_1 \mu_1 + \cdots + s_n \mu_n \in X$. Cela ne peut se produire que si au moins
l'un des $\mu_j$ appartient \`a $X$, mais c'est impossible car $F \cap X =\varnothing$.
D'o\`u (?).
\end{proof}

\bigskip

\example{viditude}
Le corollaire \ref{adherence u} n'est pas forc\'ement vrai si $\UC(E)=\varnothing$.
En effet, si $\lambda \in \Lambda \setminus\{0\}$, alors $\UC(\lambda,-\lambda)=\varnothing$ mais,
du moins lorsque $\dim V \mathop{\geqslant}\nolimits 2$, on a $\UC(\lambda) \cup \UC(-\lambda) \neq \PC\! os(\Lambda)$.~$\SS \square$

\bigskip

\subsection{Fonctorialit\'e}
Si $\Lambda'$ est un autre r\'eseau et si $\sigma : \Lambda' \rightarrow \Lambda$ est un
morphisme de groupes et si $E'$ est une partie de $\Lambda'$, alors
\refstepcounter{theo}$$~\label{sigma continue}
(\sigma^*)^{-1}\bigl(\UC_{\Lambda'}(E')\bigr)=\UC_\Lambda\bigl(\sigma(E')\bigr).
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
\begin{proof}[Preuve de \ref{sigma continue}]
Soit $X$ une partie positive de $\Lambda$. Alors
$X \in (\sigma^*)^{-1}\bigl(\UC_{\Lambda'}(E')\bigr)$
(resp. $X \in \UC_\Lambda\bigl(\sigma(E')\bigr)$)
si et seulement si $\sigma^{-1}(X) \cap E' = \varnothing$
(resp. $X \cap \sigma(E') = \varnothing$).
Il est alors facile de v\'erifier que ces deux derni\`eres conditions sont
\'equivalentes.
\end{proof}

Cela implique le r\'esultat suivant~:

\bigskip

\begin{prop}\label{continu}
L'application $\sigma^* : \PC\! os(\Lambda) \rightarrow \PC\! os(\Lambda')$ est continue.
\end{prop}

\bigskip

\subsection{Continuit\'e}
D'apr\`es la section \ref{section positive}, nous avons \'equip\'e
l'espace topologique $\PC\! os(\Lambda)$ de
deux applications $\Posbar : V^*/\RM_{> 0} \rightarrow \PC\! os(\Lambda)$ et
$\pi : \PC\! os(\Lambda) \rightarrow V^*/\RM_{>0}$ telles que
$\pi \circ \Posbar = \Id_{V^*/\RM_{>0}}$. Nous montrerons dans le
th\'eor\`eme \ref{pi pos continues} que ces applications
sont continues (lorsque $V^*/\RM_{>0}$ est bien s\^ur muni de
la topologie quotient) et nous en d\'eduirons quelques autres
propri\'et\'es topologiques de ces applications.
Avant cela, introduisons la notation suivante~: si $E$
est une partie finie de $\Lambda$, on pose
$$\VC(E)=\{{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}\in V^*/\RM_{> 0}~|~\forall~\lambda \in E,~\varphi(\lambda) < 0\}.$$
Si cela est n\'ecessaire, nous noterons $\VC_\Lambda(E)$ l'ensemble $\VC(E)$.
Alors
$$p^{-1}(\VC(E))=\{\varphi \in V^*~|~\forall~\lambda \in E,~\varphi(\lambda) < 0\}.$$
Donc $p^{-1}(\VC(E))$ est ouvert, donc $\VC(E)$ est ouvert
dans $V^*/\RM_{>0}$ par d\'efinition de la topologie quotient.

\bigskip

\begin{prop}\label{pi pos continues}
Les applications $\Posbar$ et $\pi$ sont continues. De plus~:
\begin{itemize}
\itemth{a} $\Posbar$ induit un hom\'eomorphisme sur son image.

\itemth{b} L'image de $\Posbar$ est dense dans $\PC\! os(\Lambda)$.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{proof}
Soit $E$ une partie finie de $\Lambda$. Alors
\refstepcounter{theo}$$~\label{pos uc}
\Posbar^{-1}(\UC(E))=\VC(E).
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
Donc $\Posbar^{-1}(\UC(E))$ est un ouvert de $V^*/\RM_{>0}$. Donc
$\Posbar$ est continue.

Montrons maintenant que $\pi$ est continue. Nous proc\`ederons
par \'etapes~:

\medskip

\begin{quotation}
\begin{lem}\label{base ouverts}
Les $\VC(E)$, o\`u $E$ parcourt l'ensemble des parties
finies de $\Lambda$, forment une base d'ouverts de $V^*/\RM_{>0}$.
\end{lem}

\begin{proof}[Preuve du lemme \ref{base ouverts}]
Soit $\UC$ un ouvert de $V^*/\RM_{>0}$ et soit $\varphi$ une forme lin\'eaire
sur $V$ telle que ${\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}} \in \UC$.
Nous devons montrer qu'il existe une partie finie $E$ de $V$
telle que ${\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}} \in \VC(E)$ et $\VC(E) \subset \UC$.

Si $\varphi=0$, alors $\UC=V^*/\RM_{>0}$ et le r\'esultat est clair.
Nous supposerons donc que $\varphi \neq 0$. Il existe alors $\lambda_0 \in \Lambda$
tel que $\varphi(\lambda_0) > 0$. Quitte \`a remplacer $\varphi$ par un multiple
positif, on peut supposer que $\varphi(\lambda_0)=1$. Notons $\HC_0$ l'hyperplan
affine $\{\psi \in V^*~|~\psi(\lambda_0)=1\}$. Alors l'application naturelle
$\HC_0 \rightarrow V^*/\RM_{>0}$ induit un hom\'eomorphisme
$\nu : \HC_0 \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \VC(-\lambda_0)$.
De plus, $\varphi=\nu^{-1}(\varphi) \in \HC_0$. Donc $\varphi \in \nu^{-1}(\UC \cap \VC(-\lambda_0))$.
Il suffit dons de v\'erifier que les intersections finies de demi-espaces
ouverts {\it rationnels} (i.e. de la forme $\{\psi \in \HC_0~|~\psi(\lambda) > n\}$ o\`u
$n \in \ZM$ et $\lambda \in \Lambda \setminus \ZM \lambda_0$)
forment une base de voisinages de l'espace affine $\HC_0$, ce qui est imm\'ediat.
\end{proof}
\end{quotation}

\medskip

Compte tenu du lemme \ref{base ouverts}, il suffit de montrer que,
si $E$ est une partie finie de $\Lambda$, alors $\pi^{-1}(\VC(E))$
est un ouvert de $\PC\! os(\Lambda)$. De plus,
$$\VC(E)=\bigcap_{\lambda \in E} \VC(\lambda).$$
Par cons\'equent, la continuit\'e de $\pi$
d\'ecoulera du lemme suivant:

\medskip

\begin{quotation}
\begin{lem}\label{image inverse}
Si $\lambda \in \Lambda$, alors $\pi^{-1}(\VC(\lambda))$ est un ouvert de
$\PC\! os(\Lambda)$.
\end{lem}

\begin{proof}[Preuve du lemme \ref{image inverse}]
Soit $X \in \pi^{-1}(\VC(\lambda))$ et soit $\varphi=\pi(X)$.
Par d\'efinition, $\varphi(\lambda) < 0$ et donc $\lambda \not\in X$.
Soit $e_1$,\dots, $e_n$ une $\ZM$-base de $\Lambda$. Il existe un entier
naturel non nul $N$ tel que $\varphi(\lambda \pm \displaystyle{\frac{1}{N}e_i}) < 0$ pour
tout $i$. Quitte \`a remplacer $\lambda$ par $N\lambda$, on peut supposer que
$\varphi(\lambda \pm e_i) < 0$ pour tout $i$. On pose alors
$$E=\{\lambda+e_1,\lambda-e_1,\dots,\lambda+e_n,\lambda-e_n\}.$$
Alors $X \in \UC(E)$ par construction. Il reste \`a montrer
que $\UC(E) \subseteq \pi^{-1}(\VC(\lambda))$. Soit $Y \in \UC(E)$
et posons $\psi = \pi(Y)$. Supposons de plus que $\psi \not\in \VC(\lambda)$.
On a alors $\psi(\lambda) \mathop{\geqslant}\nolimits 0$. D'autre part, $\psi(\lambda \pm e_i) \mathop{\leqslant}\nolimits 0$ pour tout $i$.
Cela montre que $2\psi(\lambda)=\psi(\lambda+e_1)+\psi(\lambda-e_1) \mathop{\leqslant}\nolimits 0$, et donc
$\psi(\lambda)=\psi(\lambda+e_i)=0$, et donc $\psi(e_i)=0$ pour tout $i$. Donc $\psi$
est nulle et donc $Y=\Lambda$, ce qui contredit le fait que
$Y \in \UC(E)$. Cela montre donc que $\psi \in \VC(\lambda)$, comme attendu.
\end{proof}
\end{quotation}

\medskip

Puisque $\pi$ et $\Posbar$ sont continues et v\'erifient
$\pi \circ \Posbar = \Id_{V^*/\RM_{>0}}$, $\Posbar$ induit un
hom\'eomorphisme sur son image. D'o\`u (a).

\medskip

L'assertion (b) d\'ecoule du lemme suivant (qui est une cons\'equence imm\'ediate
de l'\'equivalence entre (1) et (3) dans le lemme \ref{uce vide}) et de \ref{pos uc}~:
\begin{quotation}
\begin{lem}\label{non vide}
Soit $E$ une partie finie de $\Lambda$ telle que $\UC(E) \neq \varnothing$.
Alors $\VC(E) \neq \varnothing$.
\end{lem}

\end{quotation}

La preuve de la proposition \ref{pi pos continues} est termin\'ee.
\end{proof}

\bigskip

Nous allons maintenant \'etudier les propri\'et\'es topologiques des
applications $i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$.

\bigskip

\begin{prop}\label{proprietes topologie}
Soit $\varphi \in V^*$ et supposons $\varphi \neq 0$. Alors~:
\begin{itemize}
\itemth{a}
$\displaystyle{\bigcap_{\stackrel{\UC {\mathrm{~ouvert~de~}}\PC\! os(\Lambda)}{\Pos(\varphi) \in \UC}}
\UC = i_{{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}}\bigl(\PC\! os(\Ker \varphi|_\Lambda)\bigr)} = \pi^{-1}({\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}})$.

\itemth{d} $i_{{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}}$ est continue et induit un hom\'eomorphisme sur son image.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{proof}
(a) Notons $I_\varphi$ l'image de $i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$. On a alors, d'apr\`es
le lemme \ref{equivalent separant},
$$I_\varphi=\{X \in \PC\! os(\Lambda)~|~\Pos^+(\varphi) \subseteq X\}.\leqno{(*)}$$
Si $\UC$ est un ouvert contenant $\Pos(\varphi)$,
alors il existe une partie finie $E$ de $\Lambda \setminus \Pos(\varphi)$
telle que $\UC(E) \subseteq \UC$. Mais, si $X$ est dans l'image de
$i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$, alors $X \subseteq \Pos(\varphi)$, donc $X \cap E = \varnothing$.
Et donc $X \in \UC$, ce qui montre que
$$I_\varphi \subseteq
\bigcap_{\stackrel{\UC {\mathrm{~ouvert~de~}}\PC\! os(\Lambda)}{\Pos(\varphi) \in \UC}}
\UC.$$
Montrons l'inclusion r\'eciproque. Soit $X \in \PC\! os(\Lambda)$ tel
que $X \not\in I_\varphi$. Posons $\psi=\pi(X)$. Alors ${\bar{\psi}}}             \def\psih{{\hat{\psi}} \neq {\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$
donc, d'apr\`es la preuve du th\'eor\`eme \ref{hahn banach}, il existe
$\lambda \in \Lambda$ tel que $\varphi(\lambda) < 0$ et $\psi(\lambda) > 0$. On a donc,
d'apr\`es le lemme \ref{equivalent separant}, $X \not\in \UC(\lambda)$.
D'autre part, $\Pos(\varphi) \in \UC(\lambda)$. D'o\`u (a).

\medskip

Montrons (b).
On note $\pi_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}} : I_\varphi \rightarrow \PC\! os(\Ker \varphi|_\Lambda)$,
$X \mapsto X \cap \Ker \varphi|_\Lambda$. D'apr\`es la
proposition \ref{fibres pi}, $\pi_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ est la bijection
r\'eciproque de $i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}} : \PC\! os(\Ker \varphi|_\Lambda) \rightarrow I_\varphi$.
Il nous faut donc montrer que $i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ et $\pi_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$
sont continues. Si $F$ est une partie finie de
$\Ker \varphi|_\Lambda$, nous noterons $\UC_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}(F)$ l'analogue de
l'ensemble $\UC(F)$ d\'efini \`a l'int\'erieur de $\PC\! os(\Ker \varphi|_\Lambda)$.

Soit $E$ une partie finie de $\Lambda$. Nous voulons montrer
que $i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}^{-1}(\UC(E))$ est un ouvert de $\PC\! os(\Ker \varphi|_\Lambda)$.
S'il existe $\lambda \in E$ tel que
$\varphi(\lambda) > 0$, alors $\UC(E) \cap I_\varphi = \varnothing$ (voir $(*)$). On peut
donc supposer que $\varphi(\lambda) \mathop{\leqslant}\nolimits 0$ pour tout $\lambda \in E$.
Il est alors facile de v\'erifier que
$$i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}^{-1}(\UC(E)) = \UC_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}(E \cap \Ker \varphi|_\Lambda).$$
Donc $i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ est continue.

Soit $F$ une partie finie de $\Ker \varphi|_\Lambda$. Alors
$$\pi_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}^{-1}(\UC_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}(F)) =\UC(F) \cap I_\varphi.$$
Donc $\pi_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ est continue.
\end{proof}

Nous allons r\'esumer dans le th\'eor\`eme suivant
la plupart des r\'esutats obtenus dans cette sous-section.

\bigskip

\begin{theo}\label{theo:topologie}
Supposons $\Lambda \neq 0$ et soit $\varphi \in V^*$, $\varphi \neq 0$.
\begin{itemize}
\itemth{a} $\PC\! os(\Lambda)$ est connexe. Il n'est pas s\'epar\'e si $\Lambda \neq 0$.

\itemth{b} Les applications
$\pi : \PC\! os(\Lambda) \rightarrow V^*/\RM_{>0}$ et $\Posbar : V^*/\RM_{>0} \rightarrow \PC\! os(\Lambda)$
sont continues et v\'erifient $\pi \circ \Posbar = \Id_{V^*/\RM_{>0}}$.

\itemth{c} $\Posbar$ induit un hom\'eomorphisme sur son image~; cette
image est dense dans $\PC\! os(\Lambda)$.

\itemth{d} $\pi^{-1}({\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}})$ est l'intersection des voisinages de $\Pos(\varphi)$
dans $\PC\! os(\Lambda)$.

\itemth{e} $i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ est un hom\'eomorphisme.
\end{itemize}
\end{theo}

\bigskip

\section{Arrangements d'hyperplans}

\medskip

L'application continue $\Pos : V^* \rightarrow \PC\! os(\Lambda)$
a une image dense. Nous allons \'etudier ici comment se
transpose la notion d'arrangement d'hyperplans (et les
objets attach\'es~: facettes, chambres, support...)
\`a l'espace topologique $\PC\! os(\Lambda)$ \`a travers $\Pos$.
Cela nous permettra d'\'enoncer les conjectures sur
les cellules de Kazhdan-Lusztig sous la forme la plus g\'en\'erale
possible \cite[Conjectures A et B]{bonnafe}.

\bigskip

\subsection{Sous-espaces rationnels}
Si $E$ est une partie de $\Lambda$, on pose
$$\LC(E)=\{X \in \PC\! os(\Lambda)~|~E \subset X \cap (-X)\}.$$
Si cela est n\'ecessaire, nous le noterons $\LC_\Lambda(E)$.
On appelle {\it sous-espace rationnel} de $\PC\! os(\Lambda)$
toute partie de $\PC\! os(\Lambda)$ de la forme $\LC(E)$, o\`u
$E$ est une partie de $\Lambda$. Si $\lambda \in \Lambda\setminus \{0\}$,
on notera $\HC_\lambda$ le sous-espace rationnel $\LC(\{\lambda\})$~:
un tel sous-espace rationnel sera appel\'e un {\it hyperplan
rationnel}. Notons que
\refstepcounter{theo}$$~\label{partage espace}
\PC\! os(\Lambda)= \UC(\lambda) \hskip1mm\dot{\cup}\hskip1mm \HC_\lambda \hskip1mm\dot{\cup}\hskip1mm \UC(-\lambda).
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
La proposition suivante justifie quelque peu la terminologie~:

\begin{prop}\label{topo espace}
Soit $E$ est une partie de $\Lambda$. Notons $\Lambda(E)$ le sous-r\'eseau
$\Lambda \cap \sum_{\lambda \in E} \QM E$ de $\Lambda$ et soit $\sigma_E : \Lambda \rightarrow \Lambda/\Lambda(E)$
l'application canonique. Alors~:
\begin{itemize}
\itemth{a} $\LC(E)=\displaystyle{\bigcap_{\lambda \in E\setminus\{0\}} \HC_\lambda} =
\{X \in \PC\! os(\Lambda)~|~\Lambda(E) \subseteq X\}$.

\itemth{b} $\LC(E)$ est ferm\'e dans $\PC\! os(\Lambda)$.

\itemth{c} $\Pos^{-1}(\LC(E))=\{\varphi \in V^*~|~\forall~\lambda \in E,~\varphi(\lambda)=0\}=E^\perp$.

\itemth{d} $\Posbar(\pi(\LC(E)) \subseteq \LC(E)$.

\itemth{e} $\Posbar^{-1}(\LC(E))=\pi(\LC(E))$.

\itemth{f} $\LC(E)=\overline{\Pos(\Pos^{-1}(\LC(E)))}$ .

\itemth{g} L'application $\sigma_E^* : \PC\! os(\Lambda/\Lambda(E)) \rightarrow \PC\! os(\Lambda)$
a pour image $\LC(E)$ et induit un hom\'eomorphisme
$\PC\! os(\Lambda/\Lambda(E)) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \LC(E)$.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{proof}
La premi\`ere \'egalit\'e de (a) est imm\'ediate. La deuxi\`eme
d\'ecoule de la proposition \ref{proprietes positives} (c).
(b) d\'ecoule de (a) et de \ref{partage espace}.
(c) est tout aussi clair.

\medskip

(d) Si $X \in \Posbar(\pi(\LC(E))$, alors il existe
$Y \in \LC(E)$ tel que $X=\Posbar(\pi(Y))$. Posons ${\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}} = \pi(Y)$,
o\`u $\varphi \in V^*$. Alors $E \subseteq Y \cap (-Y)$ et
$Y \subseteq \Pos(\varphi)$. Or, $\varphi(\lambda)=0$ si $\lambda \in Y \cap (-Y)$,
donc $X=\Pos(\varphi) \in \LC(E)$.

\medskip

(e) D'apr\`es (d), on a $\pi(\Lambda(E)) \subseteq \Posbar^{-1}(\LC(E))$.
R\'eciproquement, soit $\varphi$ un \'el\'ement de $\Pos^{-1}(\LC(E))$, alors
${\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}=\pi(\Posbar({\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}})) \in \pi(\LC(E))$. D'o\`u (e).

\medskip

(f) Notons $\FC_E=\Pos(\Pos^{-1}(\LC(E)))$.
On a $\FC_E \subseteq \LC(E)$ donc
il d\'ecoule du (a) que $\overline{\FC}_E \subseteq \LC(E)$.
R\'eciproquement, soit $F$ une partie finie de $\Lambda$ telle que $\UC(F) \cap \FC_E = \varnothing$.
Nous devons montrer que $\UC(F) \cap \LC(E)=\varnothing$. Or, le fait que $\UC(F) \cap \FC_E=\varnothing$
est \'equivalent \`a l'assertion suivante (voir (c))~:
$$\forall~\varphi \in E^\perp,~\forall~\lambda \in F,~\varphi(\lambda) \mathop{\geqslant}\nolimits 0.$$
Or, si $\varphi \in E^\perp$, alors $-\varphi \in E^\perp$, ce qui implique que~:
$$\forall~\varphi \in E^\perp,~\forall~\lambda \in F,~\varphi(\lambda) = 0.$$
En d'autres termes, $F \subseteq (E^\perp)^\perp \cap \Lambda = \Lambda(E)$. Mais,
si $X \in \LC(E)$, alors $\Lambda(E) \subseteq X$ d'apr\`es (a). Donc
$X \not\in \UC(F)$, comme esp\'er\'e.

\medskip

(g) Le fait que l'image de $\sigma_E^*$ soit
$\LC(E)$ d\'ecoule de (a). D'autre part, $\sigma_E^*$ est continue d'apr\`es la
proposition \ref{continu}. Notons
$$\fonction{\gamma_E}{\LC(E)}{\PC\! os(\Lambda/\Lambda(E))}{X}{X/\Lambda(E).}$$
Alors $\gamma_E$ est la r\'eciproque de $\sigma_E^*$. Il ne nous reste
qu'\`a montrer que $\gamma_E$ est continue. Soit donc $F$ une partie finie de $\Lambda/\Lambda(E)$
et notons ${\tilde{F}}}  \def\fti{{\tilde{f}}}  \def\FCt{{\tilde{\mathcal{F}}}$ un ensemble de repr\'esentants des \'el\'ements de $F$ dans $\Lambda$.
On a
\begin{eqnarray*}
\gamma_E^{-1}(\UC_{\Lambda/\Lambda(E)}(F))&=&\{X \in \LC(E)~|~\forall~\lambda \in F,~\lambda \not\in X/\Lambda(E)\}\\
&=&\{X \in \PC\! os(\Lambda)~|~\Lambda(E) \subseteq X\text{ et }\forall~\lambda \in F,~\lambda \not\in X/\Lambda(E)\}\\
&=&\{X \in \PC\! os(\Lambda)~|~\Lambda(E) \subseteq X\text{ et }\forall~\lambda \in {\tilde{F}}}  \def\fti{{\tilde{f}}}  \def\FCt{{\tilde{\mathcal{F}}},~\lambda \not\in X\}\\
&=&\{X \in \LC(E)~|~\forall~\lambda \in {\tilde{F}}}  \def\fti{{\tilde{f}}}  \def\FCt{{\tilde{\mathcal{F}}},~\lambda \not\in X\}\\
&=&\LC(E) \cap \UC_\Lambda({\tilde{F}}}  \def\fti{{\tilde{f}}}  \def\FCt{{\tilde{\mathcal{F}}}).
\end{eqnarray*}
Donc $\gamma_E^{-1}(\UC_{\Lambda/\Lambda(E)})$ est un ouvert de $\LC(E)$. Cela montre la continuit\'e de
$\gamma_E$.
\end{proof}

\bigskip

\subsection{Demi-espaces}
Soit $\HC$ un hyperplan rationnel de $\PC\! os(\Lambda)$ et soit $\lambda\in \Lambda\setminus\{0\}$
tel que $\HC=\HC_\lambda$. D'apr\`es \ref{partage espace},
l'hyperplan $\HC$ nous d\'efinit une unique relation d'\'equivalence
$\smile_{\!\HC}$ sur $\PC\! os(\Lambda)$ pour laquelle les classes d'\'equivalence
sont $\UC(\lambda)$, $\HC$ et $\UC(-\lambda)$~: notons que cette relation
ne d\'epend pas du choix de $\lambda$. De plus~:

\bigskip

\begin{prop}\label{composantes connexes}
$\HC$ est un ferm\'e de $\PC\! os(\Lambda)$ et $\UC(\lambda)$ et $\UC(-\lambda)$
sont les composantes connexes de $\PC\! os(\Lambda)\setminus \HC$. De plus
$$\overline{\UC(\lambda)}=\UC(\lambda) \cup \HC_\lambda.$$
\end{prop}

\bigskip

\begin{proof}
La derni\`ere assertion est un cas particulier du corollaire
\ref{adherence u}.

\medskip

Montrons pour finir que $\UC(\lambda)$ est connexe. Soient $\UC$ et $\VC$ deux ouverts
de $\UC(\lambda)$ tels que $\UC(\lambda)=\UC \coprod \VC$. Alors
$$\Pos^{-1}(\UC(\lambda))=\Pos^{-1}(\UC) \coprod \Pos^{-1}(\VC).$$
Mais $\Pos^{-1}(\UC(\lambda))=\{\varphi \in V^*~|~\varphi(\lambda) < 0\}$. Donc
$\Pos^{-1}(\UC(\lambda))$ est connexe. Puisque $\Pos$ est continue,
cela implique que $\Pos^{-1}(\UC)=\varnothing$ ou $\Pos^{-1}(\VC)=\varnothing$.
Le lemme \ref{non vide} implique que $\UC=\varnothing$ ou $\VC=\varnothing$.
\end{proof}

\bigskip

Si $X \in \PC\! os(\Lambda)$, nous noterons $\DC_\HC(X)$ la classe
d'\'equivalence de $X$ sous la relation $\smile_{\! \HC}$. Il r\'esulte
de la proposition \ref{composantes connexes} que $\overline{\DC_\HC(X)}$ est
une r\'eunion de classes d'\'equivalences pour $\smile_{\! \HC}$.

\bigskip

\subsection{Arrangements}
Nous travaillerons d\'esormais sous l'hypoth\`ese suivante~:

\bigskip

\begin{quotation}
{\it Fixons maintenant, et ce jusqu'\`a la fin de cette section,
un ensemble {\bfseries\itshape fini} ${\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$ d'hyperplans rationnels de $\PC\! os(\Lambda)$.}
\end{quotation}

\bigskip

Nous allons red\'efinir, dans notre espace $\PC\! os(\Lambda)$, les notions
de {\it facettes}, {\it chambres} et {\it faces} associ\'ees \`a ${\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$,
de fa\c{c}on similaire \`a ce qui se fait pour les arrangements
d'hyperplans dans un espace r\'eel
\cite[Chapitre V, \S 1]{bourbaki}. Les propri\'et\'es des
applications $\pi$ et $\Posbar$ \'etablies pr\'ec\'edemment
permettent facilement de d\'emontrer les r\'esultats
analogues.

Nous d\'efinissons la relation $\smile_{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$ sur $\PC\! os(\Lambda)$ de la
fa\c{c}on suivante~:
si $X$ et $Y$ sont deux \'el\'ements de $\PC\! os(\Lambda)$, nous \'ecrirons
$X \smile_{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}} Y$ si $X \smile_{\!\HC} Y$ pour tout $\HC \in {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$.
Nous appellerons {\it facettes} (ou {\it ${\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$-facettes}) les classes
d'\'equivalence pour la relation $\smile_{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$. Nous appellerons {\it chambres} (ou
{\it ${\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$-chambres}) les facettes qui ne rencontrent aucun hyperplan de
${\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$. Si $\FC$ est une facette, nous noterons
$$\LC_{{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}} ( \FC) = \bigcap_{\overset{\HC \in {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}}{\FC \subset \HC}} \HC,$$
avec la convention habituelle que $\LC_{{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}} ( \FC) = \PC\! os (\Lambda)$ si
$\FC$ est une chambre. Nous l'appellerons le {\it support} de $\FC$ et
nous appellerons {\it dimension} de $\FC$ l'entier
$$\dim \FC = \dim_{\RM} \Pos^{- 1} ( \LC_{{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}} ( \FC)) .$$
De m\^eme nous appellerons {\it codimension} de $\FC$ l'entier
$$\codim \FC=\dim_\RM V - \dim \FC.$$
Avec ces d\'efinitions, une chambre est une facette de codimension $0$.

\bigskip

\begin{prop}\label{facettes}
Soit $\FC$ une facette et soit $X \in \FC$. Alors~:
\begin{itemize}
\itemth{a} $\FC=\displaystyle{\bigcap_{\HC \in {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}}} \DC_\HC(X)$.

\itemth{b} $\overline{\FC}=\displaystyle{\bigcap_{\HC \in {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}}} \overline{\DC_\HC(X)}$.

\itemth{c} $\overline{\FC}$ est la r\'eunion de $\FC$ et de facettes de dimension
strictement inf\'erieures.

\itemth{d} Si $\FC'$ est une facette telle que $\overline{\FC}=\overline{\FC}'$,
alors $\FC=\FC'$.
\end{itemize}
\end{prop}

\bigskip

\begin{proof}
(a) est une cons\'equence des d\'efinitions. Montrons (b). Posons
$${\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}_1=\{\HC \in {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}~|~\FC \subseteq \HC\}$$
$${\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}_2={\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}} \setminus {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}_1.$$
Pour tout $\HC \in {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$, on fixe un \'el\'ement $\lambda(\HC) \in \Lambda$ tel que
$\HC=\HC_{\lambda(\HC)}$~: si de plus $\HC \in {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}_2$, on choisit $\lambda(\HC)$ de sorte
que $\FC \subseteq \UC(\lambda(\HC))$. On pose
$$E_i=\{\lambda(\HC)~|~\HC \in {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}_i\}.$$
Par cons\'equent,
$$\FC=\LC \cap \UC(E_i).$$
Puisque $\LC$ est ferm\'e, $\overline{\FC}$ est aussi l'adh\'erence de $\FC$ dans
$\LC$. En utilisant alors l'hom\'eomorphisme
$\sigma_{E_1}^* : \PC\! os(\Lambda/\Lambda(E_1)) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \LC$
de la proposition \ref{topo espace} (g),
on se ram\`ene \`a calculer l'adh\'erence de $\sigma_{E_1}^{* -1}(\FC)$
dans $\PC\! os(\Lambda/\Lambda(E_1))$. Mais
$$\sigma_{E_1}^{* -1}(\FC)=
\sigma_{E_1}^{* -1}(\UC_\Lambda(E_2))=\UC_{\Lambda/\Lambda(E_1)}(\sigma_{E_1}(E_2)).$$
Or, d'apr\`es le corollaire \ref{adherence u}, on a
$$\overline{\UC_{\Lambda/\Lambda(E_1)}(\sigma_{E_1}(E_2))} =
\PC\! os(\Lambda/\Lambda(E_1)) \setminus
\bigl(\bigcup_{\lambda \in E_2} \UC_{\Lambda/\Lambda(E_1)}(\sigma_{E_1}(-\lambda))\bigr).$$
Par cons\'equent,
$$\overline{\FC}=\LC \cap \sigma_{E_1}^*\Bigl(\PC\! os(\Lambda/\Lambda(E_1)) \setminus
\bigl(\bigcup_{\lambda \in E_2} \UC_{\Lambda/\Lambda(E_1)}(\sigma_{E_1}(-\lambda))\bigr)\Bigr),$$
et donc
$$\overline{\FC}=\LC \cap
\Bigl(\bigcap_{\lambda \in E_2} \bigl(\PC\! os(\Lambda)\setminus
\UC_\Lambda(-\lambda)\bigr) =
\bigcap_{\lambda \in E_1 \cup E_2} \overline{\DC_{\HC_\lambda}(X)},$$
comme attendu.

\medskip

Montrons maintenant (c). D'apr\`es (b), $\overline{\FC}$ est bien une r\'eunion
de facettes. Si de plus $\FC'$ est une facette diff\'erente de $\FC$ et contenue
dans $\overline{\FC}$, l'assertion (b) montre qu'il existe $\HC \in {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}_2$
tel que $\FC' \subseteq \HC$. Donc $\FC' \subseteq \LC_{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}(\FC) \cap \HC$,
et $\dim \Pos^{-1}\bigl(\LC_{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}(\FC) \cap \HC\bigr) =
\dim \Pos^{-1}\bigl(\LC_{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}(\FC)\bigr)-1$. D'o\`u (c).

\medskip

L'assertion (d) d\'ecoule imm\'ediatement de (c).
\end{proof}

\bigskip

On d\'efinit une relation $\hspace{0.1em}\mathop{\preccurlyeq}\nolimits\hspace{0.1em}$ (ou $\preccurlyeq_{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$ s'il est n\'ecessaire de
pr\'eciser) entre les facettes~: on \'ecrit $\FC \hspace{0.1em}\mathop{\preccurlyeq}\nolimits\hspace{0.1em} \FC'$ si
$\overline{\FC} \subseteq \overline{\FC}'$ (c'est-\`a-dire si $\FC \subseteq \overline{\FC}'$).
La proposition \ref{facettes} (d) montre que~:

\bigskip

\begin{coro}\label{ordre facettes}
La relation $\hspace{0.1em}\mathop{\preccurlyeq}\nolimits\hspace{0.1em}$ entre les facettes est une relation d'ordre.
\end{coro}

\bigskip