Abelse groep
Een abelse groep, ook wel commutatieve groep genoemd, is een groep die voldoet aan de additionele eis dat het product van twee elementen niet afhangt van de volgorde waarin de groepsbewerking wordt uitgevoerd (het axioma van commutativiteit). Abelse groepen zijn genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Henrik Abel. Abelse groepen veralgemenen de rekenkunde van de optelling van de gehele getallen.
Het concept van een abelse groep is een van de eerste concepten die men tegenkomt in de abstracte algebra. Modules en vectorruimtes kunnen als verfijningen van abelse groepen worden gezien. De theorie van de abelse groepen is in het algemeen eenvoudiger dan die van de niet-abelse groepen. Eindige abelse groepen worden goed begrepen. De theorie van de oneindige abelse groepen is echter een gebied waarnaar ook nu nog veel onderzoek wordt verricht.
Inhoud
Definitie[bewerken]
Aan deze eigenschap moet voldaan zijn wil een groep abels zijn:
- voor alle elementen in de groep (commutativiteit).
Voorbeelden[bewerken]
Abelse groepen[bewerken]
In elementaire wiskunde zijn veel voorbeelden van abelse groepen te vinden, zoals:
- De additieve groep van de gehele getallen , evenals de additieve groepen , en .
- De multiplicatieve groep van de rationale getallen zonder nul, is abels. Hetzelfde geldt voor de groepen , .
- De eindige groepen , de cyclische groepen van orde n, zijn abels.
Niet-abelse groepen[bewerken]
De volgende groepen zijn niet abels:
- De permutatiegroep op drie elementen is een groep die uit zes elementen bestaat. Deze groep is niet abels, evenals de permutatiegroepen op meer dan drie elementen.
- De verzameling van alle inverteerbare echte, dat wil zeggen , -matrices, voorzien van de matrixvermenigvuldiging, is een groep met als neutraal element de eenheidsmatrix. Deze groep is niet abels; de enige elementen die met alle andere elementen commuteren, zijn de herschalingen van de eenheidsmatrix.
- De groep van de euclidische transformaties van het vlak, is niet abels; in het algemeen commuteren bijvoorbeeld de translaties (verschuivingen) niet met de rotaties (draaiingen). Merk hierbij op dat de groep van de rotaties en de groep van de translaties wel abels zijn.
Bijzondere eigenschappen van abelse groepen[bewerken]
- Deelgroepen van een abelse groep zijn ook abels.
- Deelgroepen van een abelse groep zijn normale deelgroepen.
- Quotiënten van een abelse groep (en een normaaldeler, zijn ook abels. In het bijzonder is het homomorfe beeld van een abelse groep ook abels.
- De directe som van abelse groepen is ook abels.
Abelse groepen met bijzondere eigenschappen[bewerken]
De cyclische groepen[bewerken]
De abelse groepen die door een enkel element worden voortgebracht, zijn de cyclische groepen. De enige voorbeelden van cyclische groepen zijn:
- De oneindige cyclische groep . Op isomorfisme na, is dit de enige oneindige cyclische groep.
- De quotiënten van , namelijk de groepen . Op isomorfisme na, is de enige cyclische groep van orde n.
Deze groepen sommen dus alle cyclische groepen op. Merk op dat de directe som van twee cyclische groepen cyclisch kán maar niet hoéft te zijn. Zo is de som van en een cyclische groep van orde 6, terwijl de som van met de abelse, niet-cyclische Viergroep van Klein is.
De eindig voortgebrachte abelse groepen[bewerken]
Een algemenere klasse van abelse groepen is die van de eindig voortgebrachte abelse groepen (e.v. abelse groepen), de abelse groepen die door eindig veel elementen (de generatoren) worden voortgebracht.
- De cyclische groepen zijn de e.v. groepen die door een enkel element kunnen worden voortgebracht.
- De Viergroep van Klein is een e.v. groep die kan worden voortgebracht door twee elementen, maar niet door minder.
- De groepen , en zijn echter niet eindig voortgebracht.
De hoofdstelling van de e.v. abelse groepen karakteriseert alle e.v. abelse groepen:
-
- Stelling: De eindig voortgebrachte abelse groepen zijn de directe sommen van de cyclische groepen.
Net zoals in het geval van de cyclische groepen zijn er dus aftelbaar veel e.v. abelse groepen, zijn ze alle gekend en hebben ze een relatief eenvoudige structuur.
Zie ook[bewerken]
- Groepen en groepentheorie voor een algemenere theorie.
- De mate waarin een gegeven groep niet abels is, wordt heel precies weergegeven door de commutatordeelgroep.
- Nilpotente en oplosbare groepen, natuurlijke veralgemeningen van groepen met een commutatieve groepsbewerking. In de theorie van de Lie-algebra's spelen de abelse, nilpotente en oplosbare Lie algebra's een analoge rol.
- De hoofdstelling van eindig voortgebrachte modulen over hoofdideaaldomeinen.