Las funciones holomorfas son el principal objeto de estudio del análisis complejo; son funciones que se definen sobre un subconjunto del plano complejo C{\displaystyle \mathbb {C} } y con valores en C{\displaystyle \mathbb {C} }, que son complejo-diferenciables en algún entorno de un punto de su dominio. En este caso se dice que la función es holomorfa en ese punto.[1]​ Si la función es holomorfa en cada punto de su dominio, se dice que es holomorfa en su dominio. Esta condición es mucho más fuerte que la diferenciabilidad en caso real e implica que la función es infinitamente diferenciable y que puede ser descrita mediante su serie de Taylor.
El término función analítica se usa a menudo en vez del de "función holomorfa", especialmente para cuando se trata de la restricción a los números reales de una función holomorfa. Una función que sea holomorfa sobre todo el plano complejo se dice función entera. La frase "holomorfa en un punto a" significa no solo diferenciable en a, sino diferenciable en todo un disco abierto centrado en a, en el plano complejo.[2]​
Las funciones holomorfas también se denominan a veces funciones regulares. Una función holomorfa cuyo dominio es todo el plano complejo se denomina función entera. La frase "holomorfa en un punto z0" significa no sólo diferenciable en z0, sino diferenciable en todas partes dentro de alguna vecindad de z0 en el plano complejo.[3]​