En geometría y física, una norma en un espacio vectorial es un operador que permite definir una noción de "longitud" o "tamaño" de cualquier vector. Más concretamente, dado un espacio vectorial V{\displaystyle V}, una aplicación de V{\displaystyle V} en el conjunto de los números reales se dice que es una norma si es no negativa, se anula únicamente en el vector nulo y satisface la desigualdad triangular y una especie de homogeneidad.
El ejemplo por antonomasia es la norma euclídea en Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, definida mediante ‖(x1,…,xn)‖=x12+⋯+xn2{\displaystyle \|(x_{1},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}}, y que se interpreta como la distancia en línea recta al cero. 
No obstante, en un mismo espacio vectorial puede haber muchas maneras de definir una norma, y cada una le confiere una estructura distinta de espacio normado. De hecho, en Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} existen otras normas distintas de la euclídea, como la norma ‖⋅‖1{\displaystyle \|\cdot \|_{1}}, también llamada  del taxista.
Todo producto escalar ⟨,⟩:V×V→R{\displaystyle \langle ,\rangle :V\times V\to \mathbb {R} } produce una norma definida como ‖v‖=⟨v,v⟩{\displaystyle \|v\|={\sqrt {\langle v,v\rangle }}}. 
Cualquier norma ‖⋅‖{\displaystyle \|\cdot \|} en V{\displaystyle V} genera una distancia en V{\displaystyle V} mediante d(x,y)=‖y−x‖{\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|}; o en el espacio afín asociado mediante d(p,q)=‖pq→‖{\displaystyle d(p,q)=\|{\vec {pq}}\|}.