== Álgebra de las funciones (con valores) reales ==
Sea X{\displaystyle X} un conjunto cualquiera no vacío y sea F(X,R){\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })} el conjunto formado por todas las funciones de X{\displaystyle X} en R{\displaystyle \mathbb {R} }.
Muchas de las operaciones y propiedades algebraicas de los números reales se pueden extender a F(X,R){\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}, como veremos a continuación.
Sean f,g:X→R{\displaystyle f,g:X\rightarrow {\mathbb {R} }} elementos de F(X,R){\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}. Se definen a continuación operaciones entre esas funciones. 

Suma de funciones: f+g:x↦f(x)+g(x){\displaystyle f+g:x\mapsto f(x)+g(x)}
Resta de funciones: f−g:x↦f(x)−g(x){\displaystyle f-g:x\mapsto f(x)-g(x)}
Producto de funciones: fg:x↦f(x)g(x){\displaystyle fg:x\mapsto f(x)g(x)}También, se puede extender a relaciones de igualdad.

f<g{\displaystyle f<g\,} si y solo si, para todo x,f(x)<g(x){\displaystyle x,f(x)<g(x)}.La manera en que se hace la extensión, garantiza que muchas de las propiedades de los números reales se extienden a F(X,R){\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}. Se indican a continuación aquellas más importantes.

La suma de funciones es asociativa, conmutativa, y con neutro la función constante x↦0{\displaystyle x\mapsto 0}, con opuesto aditivo −f:x→−f(x){\displaystyle -f:x\rightarrow -f(x)\,} para cada función f{\displaystyle f}.
La resta es tal que f−g=f+(−g){\displaystyle f-g=f+(-g)}.
La multiplicación es asociativa, conmutativa, y con neutro la función constante x↦1{\displaystyle x\mapsto 1}, pero solamente las funciones que nunca tiene valor nulo tienen recíprocos.
La multiplicación es distributiva respecto a la suma.Nótese que todas las propiedades  anteriores son análogas a las propiedades  de los números reales. Hay, sin embargo, propiedades "extrañas". Por ejemplo, Cuando el conjunto X tiene al menos dos elementos, hay divisores de cero en  F(X,R){\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}. En efecto, supongamos que X={a,b}{\displaystyle X=\{a,b\}} y definamos f,g:X→R{\displaystyle f,g:X\rightarrow {\mathbb {R} }}
tales que f(a)=1,f(b)=0{\displaystyle f(a)=1,f(b)=0} y g(a)=0{\displaystyle g(a)=0} y g(b)=1{\displaystyle g(b)=1}. Se ve, inmediatamente, que el producto  fg{\displaystyle fg} es la función constante 0, o sea la función cero, aunque ninguno de los factores lo es.
El conjunto F(X,R){\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })} junto con sus operaciones es importante por la gran cantidad de ejemplos diversos que se obtienen al seleccionar el conjunto X.

Sea X={1,2}{\displaystyle X=\{1,2\}\,}. Entonces, cada función de F(X,R){\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })} define una pareja de números f(1),f(2){\displaystyle f(1),f(2)} que si consideramos el orden natural en X, podemos escribir como el para ordenado (f(1),f(2)){\displaystyle (f(1),f(2))}. Esto nos dice que, en este caso, podemos identificar F(X,R){\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })} con el conjunto de todos los pares posibles de números reales, o sea con R2{\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}}.
Sea X={1,2,3}{\displaystyle X=\{1,2,3\}\,} Razonado como arriba, podemos identificar a F(X,R){\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })} con R3{\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}.
Sea X={1,2,3,…,n}{\displaystyle X=\{1,2,3,\ldots ,n\}} Razonado como arriba, podemos identificar a F(X,R){\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })} con Rn{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}.Note que en cada uno de los ejemplos anteriores, el conjunto de pares, tríos, duplas ordenadas aparece provisto de una suma y multiplicación. La suma coincide con la suma vectorial usual y la multiplicación por constantes con la multiplicación por escalar.

Sea X=N{\displaystyle X={\mathbb {N} }}, el conjunto de los números naturales. En este caso, F(X,R){\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })} es el conjunto de todas las sucesiones de números reales provisto como la suma y multiplicación usual de sucesiones.