Quadratic integer
نمبر تھیوری میں، کواڈریٹک انٹیجرز کواڈریٹک فیلڈز میں معمول کے انٹیجرز کی عمومی شکل ہوتی ہے۔ کواڈریٹک انٹیجرز ڈگری دو کے الجبرائی انٹیجرز ہیں، یعنی فارم کی مساوات کے حل اور (عام) انٹیجرز کے ساتھ۔ جب الجبرائی انٹیجرز پر غور کیا جاتا ہے، تو عام انٹیجرز کو اکثر عقلی انٹیجرز کہا جاتا ہے۔ کواڈریٹک انٹیجرز کی عام مثالیں عقلی انٹیجرز کے مربع جڑیں ہیں، جیسے کہ، اور پیچیدہ نمبر، جو گوسیائی انٹیجرز پیدا کرتا ہے۔ ایک اور عام مثال اتحاد کی غیر حقیقی کیوبک جڑ ہے، جو آئزنسٹین انٹیجرز پیدا کرتی ہے۔ کواڈریٹک انٹیجرز بہت سے ڈیوفنٹائن مساوات کے حل میں پائے جاتے ہیں، جیسے پیل کی مساوات، اور انٹیگرل کواڈریٹک شکلوں سے متعلق دیگر سوالات۔ الجیبرک نمبر تھیوری کے بہت سے سوالات کے لیے کواڈریٹک انٹیجرز کے رنگوں کا مطالعہ بنیادی ہے۔ تاریخ قرون وسطی کے ہندوستانی ریاضی دانوں نے پہلے ہی اسی کے کواڈریٹک انٹیجرز کا ضرب دریافت کر لیا تھا، جس کی وجہ سے وہ پیل کی مساوات کے کچھ معاملات کو حل کر سکے۔ کواڈریٹک انٹیجرز کی خصوصیت سب سے پہلے 1871 میں رچرڈ ڈیڈیکنڈ نے دی تھی۔ تعریف کواڈریٹک انٹیجر ڈگری دو کا الجبرائی انٹیجر ہے۔ مزید واضح طور پر، یہ ایک پیچیدہ عدد ہے، جو انٹیجرز کے ساتھ فارم کی مساوات کو حل کرتا ہے۔ ہر کواڈریٹک انٹیجر جو انٹیجر نہیں ہے وہ عقلی نہیں ہے-یعنی، یہ ایک حقیقی غیر معقول نمبر ہے اگر اور غیر حقیقی اگر-اور ایک منفرد طور پر طے شدہ کواڈریٹک فیلڈ میں واقع ہے، جو کہ منفرد مربع سے پاک انٹیجر کے مربع جڑ سے پیدا ہونے والی توسیع ہے جو کچھ انٹیجر کو مطمئن کرتی ہے۔ اگر مثبت ہے، تو کواڈریٹک انٹیجر حقیقی ہے۔ اگر، یہ خیالی ہے (یعنی پیچیدہ اور غیر حقیقی)۔ کواڈریٹک انٹیجرز (بشمول عام انٹیجرز) جو ایک کواڈریٹک فیلڈ سے تعلق رکھتے ہیں ایک انٹیگرل ڈومین بناتے ہیں جسے انٹیجرز کی رنگ کہا جاتا ہے۔ اگرچہ کسی دیئے گئے کواڈریٹک فیلڈ سے تعلق رکھنے والے کواڈریٹک انٹیجرز ایک رنگ بناتے ہیں، لیکن تمام کواڈریٹک انٹیجرز کا سیٹ رنگ نہیں ہوتا ہے کیونکہ یہ اضافہ یا ضرب کے تحت بند نہیں ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، اور کواڈریٹک انٹیجر ہیں، لیکن اور نہیں ہیں، کیونکہ ان کے کم از کم کثیر الجہتی کی ڈگری چار ہوتی ہے۔ واضح نمائندگی یہاں اور مندرجہ ذیل میں، کواڈریٹک انٹیجرز جو ایک کواڈریٹک فیلڈ سے تعلق رکھتے ہیں جہاں ایک مربع فری انٹیجر ہے۔ یہ عامیت کو محدود نہیں کرتا ہے، کیونکہ مساوات (کسی بھی مثبت عدد کے لیے) کا مطلب ہے کہ ایک عنصر کواڈریٹک عدد ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب دو عدد ہوں اور ایسا ہو کہ یا، اگر ساتھ کا ایک ضرب ہو اور دونوں عجیب ہوں۔ دوسرے لفظوں میں، ہر کواڈریٹک عدد لکھا جا سکتا ہے، جہاں اور وہ عدد ہیں، اور جہاں اس کی تعریف کی گئی ہے (جیسا کہ مربع سے پاک سمجھا جاتا ہے، معاملہ ناممکن ہے، کیونکہ اس کا مطلب یہ ہوگا کہ مربع 4 سے تقسیم ہوتا ہے)۔ نارم اور کنجگیشن ایک کواڈریٹک انٹیجر لکھا جا سکتا ہے، جہاں اور یا تو دونوں انٹیجر ہیں، یا، صرف اس صورت میں جب، عجیب انٹیجرز کے دونوں ہاف ہوں۔ اس طرح کے کواڈریٹک انٹیجر کا معیار ہے۔ کواڈریٹک انٹیجر کا معیار ہمیشہ ایک انٹیجر ہوتا ہے۔ اگر، کواڈریٹک انٹیجر کا معیار ایک پیچیدہ نمبر کے طور پر اس کی مطلق قدر کا مربع ہے (اگر یہ غلط ہے)۔ معمول ایک مکمل طور پر ضرب فنکشن ہے، جس کا مطلب ہے کہ کواڈریٹک انٹیجرز کے پروڈکٹ کا معیار ہمیشہ ان کے اصولوں کا پروڈکٹ ہوتا ہے۔ ہر کواڈریٹک انٹیجر میں ایک کنجوگیٹ ہوتا ہے۔ ایک کواڈریٹک انٹیجر کا معیار اس کے کنجوگیٹ جیسا ہی ہوتا ہے، اور یہ معیار کواڈریٹک انٹیجر اور اس کے کنجوگیٹ کا پروڈکٹ ہوتا ہے۔ کسی مجموعہ یا کواڈریٹک انٹیجرز کے پروڈکٹ کا کنجوگیٹ کنجوگیٹس کا مجموعہ یا پروڈکٹ (بالترتیب) ہوتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ کنجگیشن انٹیجرز کی رنگ کی ایک آٹومورفزم ہے-نیچے دیکھیں۔ کواڈریٹک انٹیجر بجتی ہے ہر مربع فری انٹیجر (0 اور 1 سے مختلف) ایک کواڈریٹک انٹیجر رنگ کی وضاحت کرتا ہے، جو اس میں موجود الجبرائی انٹیجرز پر مشتمل انٹیگرل ڈومین ہے۔ یہ وہ سیٹ ہے جہاں، اور بصورت دیگر۔ اسے اکثر ظاہر کیا جاتا ہے، کیونکہ یہ انٹیجرز کی رنگ ہے، جو کہ انٹیگرل کلوزر ہے۔ رنگ تمام مساوات کے تمام جڑوں پر مشتمل ہوتا ہے جن کا ڈسکریمیننٹ ایک انٹیجر کے مربع کے ذریعہ پروڈکٹ ہوتا ہے۔ خاص طور پر اس کا تعلق مساوات کی جڑ ہونے کی وجہ سے ہے، جس کا امتیاز ہے۔ کسی بھی عدد کا مربع جڑ ایک مربع عدد ہوتا ہے، جیسا کہ ہر عدد کو لکھا جا سکتا ہے، جہاں مربع سے پاک عدد ہوتا ہے، اور اس کا مربع جڑ اس کا جڑ ہوتا ہے۔ ریاضی کا بنیادی نظریہ کواڈریٹک انٹیجرز کے بہت سے رنگوں میں درست نہیں ہے۔ تاہم، آئیڈیلز کے لیے ایک منفرد فیکٹرائزیشن ہے، جس کا اظہار اس حقیقت سے ہوتا ہے کہ الجبرائی انٹیجرز کی ہر رنگ ایک ڈیڈیکائنڈ ڈومین ہے۔ الجبرائی انٹیجرز کی آسان ترین مثالیں ہونے کے ناطے، کواڈریٹک انٹیجرز عام طور پر الجبرائی نمبر تھیوری کے زیادہ تر مطالعات کی ابتدائی مثالیں ہیں۔ کواڈریٹک انٹیجر رنگز کی علامت کے لحاظ سے دو کلاسوں میں تقسیم ہوتے ہیں۔ اگر، کے تمام عناصر حقیقی ہیں، اور رنگ ایک حقیقی کواڈریٹک انٹیجر رنگ ہے۔ اگر، کے صرف حقیقی عناصر عام انٹیجرز ہیں، اور رنگ ایک پیچیدہ کواڈریٹک انٹیجر رنگ ہے۔ حقیقی کواڈریٹک انٹیجر رنگز کے لیے، کلاس نمبر-جو منفرد فیکٹرائزیشن کی ناکامی کی پیمائش کرتا ہے-OEIS A003649 میں دیا گیا ہے ؛ خیالی معاملے کے لیے، وہ OEIS A000924 میں دیے گئے ہیں۔ ایک کواڈریٹک انٹیجر اگر اور صرف اس صورت میں اگر اس کا معیار یا ہو تو انٹیجرز کی رنگ میں ایک یونٹ ہے۔ پہلی صورت میں اس کا ضرب الٹا اس کا کنجوگیٹ ہوتا ہے۔ یہ دوسرے معاملے میں اس کے کنجوگیٹ کی نفی ہے۔ اگر انٹیجرز کی انگوٹی میں زیادہ سے زیادہ چھ اکائیاں ہوتی ہیں۔ گوسی انٹیجرز () کے معاملے میں، چار اکائیاں ہیں۔ آئزنسٹین انٹیجرز () کے معاملے میں، چھ اکائیاں ہیں۔ دیگر تمام منفی کے لیے، صرف دو اکائیاں ہیں، جو اور ہیں۔ اگر انٹیجرز کی انگوٹی میں لامحدود بہت سی اکائیاں ہیں جو اس کے برابر ہیں، جہاں ایک صوابدیدی عدد ہے، اور ایک مخصوص اکائی ہے جسے بنیادی اکائی کہا جاتا ہے۔ ایک بنیادی اکائی کو دیکھتے ہوئے، تین دیگر بنیادی اکائیاں ہیں، اس کا کنجوگیٹ اور عام طور پر، "بنیادی اکائی" کو منفرد اکائی کہا جاتا ہے جس کی مطلق قیمت 1 سے زیادہ ہوتی ہے (حقیقی تعداد کے طور پر)۔ یہ ایک منفرد بنیادی اکائی ہے جسے مثبت (انٹیجرز یا انٹیجرز کے نصف) کے ساتھ لکھا جا سکتا ہے۔ 10 سب سے چھوٹے مثبت مربع سے پاک کے لیے بنیادی اکائیاں ہیں،، (سنہری تناسب)،،،،،،،،۔ بڑے کے لیے، بنیادی اکائی کے گتانک بہت بڑے ہو سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، بنیادی اکائیاں بالترتیب، اور ہیں۔ پیچیدہ کواڈریٹک انٹیجر رنگز کی مثالیں <0 کے لیے، ایک پیچیدہ (خیالی یا بصورت دیگر غیر حقیقی) نمبر ہے۔ لہذا، کواڈریٹک انٹیجر رنگ کو الجبرائی پیچیدہ اعداد کے مجموعے کے طور پر سمجھنا فطری ہے۔ ایک کلاسیکی مثال، گاؤسی انٹیجرز ہے، جسے کارل گاؤس نے 1800 کے آس پاس اپنے دو طرفہ باہمی قانون کو بیان کرنے کے لیے متعارف کرایا تھا۔ ان عناصر کو آئزنسٹین انٹیجرز کہا جاتا ہے۔ اوپر بیان کردہ دونوں حلقے اسی کے مطابق سائکلوٹومک فیلڈز Q (ζ4) اور Q (ζ3) کے انٹیجرز کے حلقے ہیں۔ اس کے برعکس، Z [] ایک ڈیڈیکائنڈ ڈومین بھی نہیں ہے۔ مذکورہ بالا دونوں مثالیں پرنسپل آئیڈیل رنگز ہیں اور معمول کے لیے یوکلڈین ڈومینز بھی ہیں۔ یہ ایسا معاملہ نہیں ہے جس کے لیے ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین بھی نہیں ہے۔ اسے مندرجہ ذیل طور پر دکھایا جا سکتا ہے۔ ہمارے پاس عوامل 3 ہیں، اور ناقابل کٹوتی ہیں، کیونکہ ان سب کا معیار 9 ہے، اور اگر وہ ناقابل کٹوتی نہیں ہوتے تو ان کے پاس معمول 3 کا عنصر ہوتا، جو ناممکن ہے، کم از کم 4 ہونے سے مختلف عنصر کا معیار۔ اس طرح ناقابل کٹوتی عوامل میں 9 کی فیکٹرائزیشن منفرد نہیں ہے۔ آئیڈیلز اور پرنسپل نہیں ہیں، جیسا کہ ایک سادہ حساب سے پتہ چلتا ہے کہ ان کا پروڈکٹ 3 سے پیدا ہونے والا آئیڈیل ہے، اور اگر وہ پرنسپل ہوتے تو اس کا مطلب یہ ہوتا کہ 3 ناقابل کٹوتی نہیں ہوگا۔ حقیقی کواڈریٹک انٹیجر رنگز کی مثالیں، ایک مثبت غیر معقول حقیقی نمبر ہے، اور متعلقہ کواڈریٹک انٹیجر رنگ الجبرائی حقیقی نمبروں کا ایک مجموعہ ہے۔ پیل کی مساوات کے حل، ایک ڈیوفنٹائن مساوات جس کا وسیع پیمانے پر مطالعہ کیا گیا ہے، ان رنگوں کی اکائیاں ہیں۔ کیونکہ، سنہری تناسب ہے۔ اس انگوٹھی کا مطالعہ پیٹر گستاو لیجین ڈیرچلیٹ نے کیا تھا۔ اس کی اکائیوں کی شکل ہوتی ہے، جہاں ایک صوابدیدی عدد ہوتا ہے۔ یہ رنگ یوکلڈین سطح پر 5 گنا گردشی ہم آہنگی کا مطالعہ کرنے سے بھی پیدا ہوتا ہے، مثال کے طور پر، پینروز ٹائلنگ۔ ہندوستانی ریاضی دان برہم گپتا نے پیل کی مساوات کا علاج کیا، جو کہ رنگ کے مطابق ہے۔ کچھ نتائج 1657 میں پیئر فرمیٹ نے یورپی برادری کے سامنے پیش کیے تھے۔ کواڈریٹک انٹیجرز کے پرنسپل رنگ منفرد فیکٹرائزیشن پراپرٹی کی تصدیق ہمیشہ کواڈریٹک انٹیجرز کے رنگوں کے لیے نہیں کی جاتی ہے، جیسا کہ اوپر کے معاملے میں دیکھا گیا ہے۔ تاہم، جہاں تک ہر ڈیڈیکائنڈ ڈومین کا تعلق ہے، کواڈریٹک انٹیجرز کی ایک رنگ ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ایک پرنسپل آئیڈیل ڈومین ہو۔ یہ تب ہوتا ہے جب اور صرف اس صورت میں جب متعلقہ کواڈریٹک فیلڈ کا کلاس نمبر ایک ہو۔ کواڈریٹک انٹیجرز کے خیالی حلقے جو پرنسپل آئیڈیل حلقے ہیں، مکمل طور پر طے کیے گئے ہیں۔ یہ اس کے لیے ہیں۔ یہ نتیجہ سب سے پہلے گاؤس نے قیاس کیا تھا اور کرٹ ہیگنر نے ثابت کیا تھا، حالانکہ ہیگنر کے ثبوت پر اس وقت تک یقین نہیں کیا گیا جب تک کہ ہیرالڈ اسٹارک نے 1967 میں بعد میں ثبوت نہیں دیا (اسٹارک-ہیگنر تھیوریم دیکھیں)۔ یہ مشہور کلاس نمبر کے مسئلے کا ایک خاص معاملہ ہے۔ بہت سے معروف مثبت انٹیجرز ہیں، جن کے لیے کواڈریٹک انٹیجرز کی رنگ ایک پرنسپل آئیڈیل رنگ ہے۔ تاہم، مکمل فہرست معلوم نہیں ہے ؛ یہ بھی معلوم نہیں ہے کہ ان پرنسپل آئیڈیل رنگوں کی تعداد محدود ہے یا نہیں۔ کواڈریٹک انٹیجرز کے یوکلڈین حلقے جب کواڈریٹک انٹیجرز کا دائرہ ایک پرنسپل آئیڈیل ڈومین ہوتا ہے، تو یہ جاننا دلچسپ ہوتا ہے کہ آیا یہ یوکلڈین ڈومین ہے۔ اس مسئلے کو مکمل طور پر مندرجہ ذیل طریقے سے حل کیا گیا ہے۔ یوکلڈین فنکشن کے طور پر معیار سے لیس، منفی کے لیے ایک یوکلڈین ڈومین ہے جب، اور، مثبت کے لیے، کب۔ کواڈریٹک انٹیجرز کی کوئی دوسری رنگ نہیں ہے جو یوکلڈین فنکشن کے طور پر معمول کے ساتھ یوکلڈین ہو۔ منفی کے لیے، کواڈریٹک انٹیجرز کی ایک انگوٹی یوکلڈین ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کے لیے معمول یوکلڈین فنکشن ہو۔ اس کے بعد، کواڈریٹک انٹیجرز کے چار متعلقہ حلقے پرنسپل آئیڈیل ڈومینز کی نایاب معروف مثالوں میں سے ہیں جو یوکلڈین ڈومینز نہیں ہیں۔ دوسری طرف، عام ریمن مفروضے سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ حقیقی کواڈریٹک انٹیجرز کی ایک رنگ جو ایک پرنسپل آئیڈیل ڈومین ہے، کچھ یوکلڈین فنکشن کے لیے ایک یوکلڈین ڈومین بھی ہے، جو درحقیقت معمول سے مختلف ہو سکتا ہے۔ اقدار وہ پہلی تھیں جن کے لیے کواڈریٹک انٹیجرز کی انگوٹی یوکلڈین ثابت ہوئی، لیکن نارم-یوکلڈین نہیں۔ ۔