Principles of Hindu Reckoning
ہندو حساب کے اصول (کتاب فی اسول حصاب الہند) ایک ریاضی کی کتاب ہے جو 10 ویں اور 11 ویں صدی کے فارسی ریاضی دان کشیار ابن لببان نے لکھی ہے۔ یہ ہندو-عربی ہندسوں (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9) کا استعمال کرتے ہوئے ہندو ریاضی کے بارے میں عربی میں موجود دوسری قدیم ترین کتاب ہے، اس سے پہلے کباب الفسل فائی الحساب الہندی ابو الحسان احمد ابن ابراہیم الغلیدیس نے 952 میں لکھی تھی۔ اگرچہ الخوارزیمی نے 825 میں ہندو ریاضی کے بارے میں ایک کتاب بھی لکھی تھی، لیکن اس کا عربی اصل کھو گیا تھا، اور صرف 12 ویں صدی کا ترجمہ موجود ہے۔ کشیار ابن لببان نے ہندو حساب کے ہندوستانی ذرائع کا ذکر نہیں کیا، اور اس سے پہلے کوئی ہندوستانی کتاب موجود نہیں ہے جس میں ان ہی موضوعات کا احاطہ کیا گیا ہو جن پر اس کتاب میں بحث کی گئی ہے۔ ہندو حساب کے اصول ہندوستان میں 10 ویں اور 11 ویں صدی میں ہندو حساب کے غیر ملکی ذرائع میں سے ایک تھے۔ اس کا انگریزی میں ترجمہ مارٹن لیوی اور مارون پیٹرک نے 1963 میں اس وقت کے واحد موجودہ عربی مخطوطات سے کیا تھا: استنبول، آیا صوفیہ لائبریری، ایم ایس 4857 اور شالم بین جوزف انابی کا عبرانی ترجمہ اور تفسیر۔ ہندوستانی ڈسٹ بورڈ ہندو ریاضی چینی گنتی بورڈ کی طرح ڈسٹ بورڈ پر کی گئی تھی۔ ڈسٹ بورڈ ایک چپٹی سطح ہوتی ہے جس پر ریت کی پرت ہوتی ہے اور گرڈ سے ڈھکی ہوتی ہے۔ چینی گنتی کی چھڑی کے اعداد کی طرح، ریت کے بورڈ کے گرڈ پر ایک خالی صفر کے لیے کھڑا ہوتا تھا، اور صفر کا نشان ضروری نہیں تھا۔ ہندسوں کی تبدیلی میں گنتی بورڈ کے برعکس مٹانا اور دوبارہ لکھنا شامل ہے۔ مواد صرف ایک عربی کاپی موجود ہے، جو اب استنبول کی آیا صوفیہ لائبریری میں رکھی گئی ہے۔ تفسیر کے ساتھ ایک عبرانی ترجمہ بھی ہے، جو آکسفورڈ یونیورسٹی کی بوڈلین لائبریری میں رکھا گیا ہے۔ 1965 میں یونیورسٹی آف وسکونسن پریس نے اس کتاب کا انگریزی ایڈیشن شائع کیا جس کا ترجمہ مارٹن لیوی اور مارون پیٹرک نے کیا تھا، جو عربی اور عبرانی دونوں ایڈیشنوں پر مبنی تھا۔ اس انگریزی ترجمہ میں اصل عربی متن کی نقالی کی 31 پلیٹیں شامل تھیں۔ ہندو حساب کے اصول دو حصوں پر مشتمل ہیں جو اس کے وقت ہندوستان میں دو ہندسوں کے نظام میں ریاضی سے متعلق ہیں۔ حصہ اول میں بنیادی طور پر گھٹاؤ، ضرب، تقسیم، مربع جڑ اور کیوبک جڑ کو نکالنے کے اعشاریہ الگورتھم سے نمٹا گیا۔ تاہم، "ہافونگ" پر ایک حصے کے ساتھ مختلف سلوک کیا گیا، یعنی اعشاریہ اور سیکساجسیمل ہندسوں کے ہائبرڈ کے ساتھ۔ سنزی سوانجنگ میں چینی الگورتھم کے ساتھ اعشاریہ ہندو الگورتھم کے درمیان مماثلت حیرت انگیز ہے، سوائے آپریشن کے آدھے ہونے کے، کیونکہ چین میں کوئی ہائبرڈ اعشاریہ/سیکسیجیمل حساب نہیں تھا۔ حصہ دوم سیکساجسیمل نمبر سسٹم میں گھٹاؤ، ضرب، تقسیم، مربع جڑ اور کیوبک جڑ کے نکالنے کے عمل سے متعلق تھا۔ چین میں صرف پوزیشنل اعشاریہ ریاضی تھی، کبھی بھی کوئی سیکسیجیمل ریاضی نہیں تھی۔ ابو حسن القلیدیسی کی کتاب الفسل فی الحساب الحندی (القلیدیسی کے ریاضیات) کے برعکس جہاں اضافہ، گھٹاؤ، ضرب اور تقسیم کے بنیادی ریاضیاتی عمل کو الفاظ میں بیان کیا گیا تھا، ابن لببان کی کتاب نے حساب کے حقیقی طریقہ کار فراہم کیے جن کا اظہار ہندو عربی ہندسوں میں کیا گیا تھا۔ اعشاریہ ریاضی کے اضافے کشار ابن لببان نے دو اعداد کے اضافے کو تفصیل سے بیان کیا۔ ہندو اضافہ سنزی سوانجنگ میں چھڑی کے اعداد کے اضافے سے ملتا جلتا ہے دوسری صف کے علاج میں معمولی فرق تھا، ہندو حساب میں، ریت کے بورڈ پر کھینچے گئے دوسری صف کے ہندسے شروع سے آخر تک برقرار رہے، جبکہ چھڑی کیلکولس میں، نچلی قطاروں سے سلاخوں کو جسمانی طور پر ہٹا دیا گیا اور اوپری قطار میں جوڑ دیا گیا، ہندسوں کے حساب سے ہندسے۔ تخفیف اپنی کتاب کے تیسرے حصے میں، کشیار ابن لببان نے 5625 سے 839 کے تخفیف کے لیے مرحلہ وار الگورتھم فراہم کیا۔ دوسری صف کے ہندسے ہر وقت اپنی جگہ پر رہے۔ راڈ کیلکولس میں، دوسری صف سے ہندسوں کو حساب میں ہندسوں کے حساب سے ہٹا دیا گیا، جس سے صرف نتیجہ ایک صف میں رہ گیا۔ ضرب کشیار ابن لببان ضرب سنزی ضرب کا ایک تغیر ہے۔ ڈویژن پروفیسر لام لی یونگ نے دریافت کیا کہ کشیار ابن لببان کی طرف سے بیان کردہ ہندو تقسیم کا طریقہ 5 ویں صدی کے سنزی سوانجنگ میں راڈ کیلکولس ڈویژن سے بالکل ملتا جلتا ہے۔ مکمل طور پر ایک جیسی شکل، طریقہ کار اور بقیہ حصے کے علاوہ، ایک بتانے والا نشان جو اس تقسیم الگورتھم کی ابتدا کا انکشاف کرتا ہے وہ 243 کے بعد گمشدہ 0 میں ہے، جسے حقیقی ہندو ہندسے میں 2430 کے طور پر لکھا جانا چاہیے، 243 خالی نہیں ؛ خالی جگہ چھڑی کے اعداد (اور اباکس) کی ایک خصوصیت ہے۔ ہندو حساب میں 2 سے تقسیم کریں 2 سے تقسیم کریں یا "نصف" کو اعشاریہ اور جنسی اعداد کے ہائبرڈ کے ساتھ سمجھا جاتا تھا: اس کا حساب اعشاریہ ریاضی کے طور پر بائیں سے دائیں نہیں، بلکہ دائیں سے بائیں کیا جاتا تھا: پہلے ہندسے 5 کو آدھے کرنے کے بعد 2 حاصل کریں، 5 کو 2 سے تبدیل کریں، اور اس کے نیچے 30 لکھیں: 5622 30 حتمی نتیجہ: 2812 30 مربع جڑ کو نکالنے کے لیے کشیر ابن لیببن نے مربع جڑ کو نکالنے کے لیے الگورتھم کو بیان کیا جس کی مثال کشیر ابن لیببن مربع جڑ نکالنے کا الگورتھم بنیادی طور پر سنزی الگورتھم کی طرح ہے۔ سنزی الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے غیر کامل مربع جڑ کا تخمینہ اعشاریہ حصے میں حقیقی قدر سے قدرے زیادہ نتیجہ دیتا ہے، لیب کا مربع جڑ تخمینہ۔ سیکسیجیمل ریاضی ضرب ہندو سیکسیجیمل ضرب کی شکل ہندو اعشاریہ ریاضی سے بالکل مختلف تھی۔ کشیار ابن لببان کی 25 ڈگری 42 منٹ کو 18 ڈگری 36 منٹ سے ضرب دینے کی مثال عمودی طور پر 18۔ |25 36 | |42 کے طور پر لکھی گئی تھی جس میں اثر کشیار ابن لببان کے ہندو حساب کے اصولوں کے درمیان ایک خالی جگہ تھی جس نے بعد کے عربی الگورسٹوں پر مضبوط اثر ڈالا۔ ان کے شاگرد النساوی نے اپنے استاد کے طریقہ کار پر عمل کیا۔ 13 ویں صدی کے الگورسٹ، جورڈنس ڈی نیمور کا کام النساوی سے متاثر تھا۔ 16 ویں صدی کے آخر تک، ابن لببان کا نام اب بھی ذکر کیا جاتا تھا۔ ۔