Liber Abaci
(جسے لبیر عباسی بھی کہا جاتا ہے ؛ "حساب کی کتاب") ریاضی پر لیونارڈو آف پیسا کا ایک تاریخی 1202 لاطینی مسودہ ہے، جسے بعد از مرگ فبونیکی کے نام سے جانا جاتا ہے۔ پریمائز پہلی مغربی کتابوں میں سے ایک تھی جس نے ہندو-عربی عددی نظام کو بیان کیا اور جدید "عربی ہندسوں" سے مشابہت رکھنے والی علامتوں کا استعمال کیا۔ تجارتی تاجروں اور ریاضی دانوں دونوں کی درخواستوں سے خطاب کرتے ہوئے، اس نے نظام کی برتری اور ان گلیفوں کے استعمال کو فروغ دیا۔ اگرچہ کتاب کے عنوان کا ترجمہ بعض اوقات "دی بک آف دی اباکس" کے طور پر کیا جاتا ہے، لیکن نوٹ کرتا ہے کہ اسے "اباکس" نامی حساب کتاب کے آلات کے حوالے سے پڑھنا ایک غلطی ہے۔ بلکہ، لفظ "اباکس" اس وقت کسی بھی شکل میں حساب کا حوالہ دینے کے لیے استعمال کیا جاتا تھا۔ ہجے "اباکس" دو "بی" کے ساتھ (جس طرح لیونارڈو نے اصل لاطینی مخطوطات میں اس کی ہجے کی تھی)، اور اب بھی اٹلی میں ہے، جو ہندو-عربی ہندسوں کا استعمال کرتے ہوئے حساب کا حوالہ دینے کے لیے استعمال ہوتا ہے، جو الجھن سے بچ سکتا ہے۔ کتاب میں اباکس کی مدد کے بغیر حساب کتاب کرنے کے طریقوں کو بیان کیا گیا ہے، اور جیسا کہ اس کی تصدیق ہوتی ہے، اس کی اشاعت کے بعد صدیوں تک الگورزمسٹ (جس انداز میں حساب کتاب کا مظاہرہ کیا گیا تھا اس کے پیروکار) اباکسسٹ (روایت پسند جنہوں نے رومن ہندسوں کے ساتھ مل کر اباکس کا استعمال جاری رکھا) کے ساتھ تنازعہ میں رہے۔ ریاضی کے مورخ کارل بوئیر نے اپنی ریاضی کی تاریخ میں اس بات پر زور دیا ہے کہ اگرچہ "لبرل abaci.is ابیکس پر نہیں ہے"، اس کے باوجود "یہ الجبرائی طریقوں اور مسائل پر ایک بہت ہی مکمل مقالہ ہے جس میں ہندو-عربی ہندسوں کے استعمال کی سختی سے وکالت کی گئی ہے۔" حصوں کا خلاصہ پہلا حصہ ہندو-عربی عددی نظام کو متعارف کراتا ہے، جس میں مختلف نمائندگی کے نظاموں کے درمیان تبدیلی کے طریقے بھی شامل ہیں۔ اس حصے میں آزمائشی تقسیم کی پہلی معلوم تفصیل بھی شامل ہے تاکہ یہ جانچ کی جا سکے کہ آیا کوئی عدد جامع ہے اور، اگر ایسا ہے تو، اسے فیکٹر کرنا۔ دوسرا حصہ تجارت سے مثالیں پیش کرتا ہے، جیسے کرنسی اور پیمائش کی تبدیلی، اور منافع اور سود کا حساب۔ تیسرے حصے میں متعدد ریاضیاتی مسائل پر تبادلہ خیال کیا گیا ہے ؛ مثال کے طور پر، اس میں (ch. II.12) چینی بقیہ تھیوریم، کامل اعداد اور مرسین پرائم کے ساتھ ساتھ ریاضی کی سیریز اور مربع اہرام نمبروں کے لیے فارمولے۔ اس باب کی ایک اور مثال میں خرگوش کی آبادی میں اضافہ شامل ہے، جہاں حل کے لیے عددی ترتیب پیدا کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ اگرچہ یہ مسئلہ لیونارڈو سے بہت پہلے کا ہے، لیکن اس کی کتاب میں اس کی شمولیت یہی وجہ ہے کہ آج فبونیکی ترتیب کا نام ان کے نام پر رکھا گیا ہے۔ چوتھا حصہ مربع جڑوں جیسے غیر معقول اعداد کے عددی اور ہندسی دونوں اندازوں کو اخذ کرتا ہے۔ اس کتاب میں یوکلڈین جیومیٹری کے ثبوت بھی شامل ہیں۔ الجبرائی مساوات کو حل کرنے کا فبونیکی کا طریقہ 10 ویں صدی کے ابتدائی مصری ریاضی دان ابو کامل شجاع ابن اسلم کے اثر کو ظاہر کرتا ہے۔ حصوں کے لیے فبونیکی کا اشارہ پڑھنے میں، عقلی اعداد کے لیے فبونیکی کے اشارے کو سمجھنا مددگار ہے، ایک ایسا اشارے جو اس وقت تک عام طور پر استعمال ہونے والے مصری حصوں اور آج بھی استعمال ہونے والے فحش حصوں کے درمیان شکل میں انٹرمیڈیٹ ہے۔ فبونیکی کا نوٹیشن جدید فریکشن نوٹیشن سے تین کلیدی طریقوں سے مختلف ہے: جدید نوٹیشن عام طور پر اس پورے نمبر کے دائیں طرف ایک فریکشن لکھتا ہے جس میں اسے شامل کیا جاتا ہے، مثال کے طور پر 7/3 کے لیے۔ فبونیکی اس کے بجائے وہی حصہ بائیں طرف، یعنی، لکھیں گے۔ فبونیکی نے ایک جامع فریکشن نوٹیشن کا استعمال کیا جس میں ہندسوں اور ڈینومینیٹرز کی ایک ترتیب ایک ہی فریکشن بار کا اشتراک کرتی ہے۔ ایسی ہر اصطلاح دیئے گئے عدد کے ایک اضافی حصے کی نمائندگی کرتی ہے جسے نیچے اور اس کے دائیں طرف کے تمام ڈینومینیٹرز کے پروڈکٹ سے تقسیم کیا جاتا ہے۔ یعنی، اور۔ اشارے کو دائیں سے بائیں پڑھا گیا۔ مثال کے طور پر، 29/30 کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے، جو قدر کی نمائندگی کرتا ہے۔ اسے مخلوط ریڈکس نوٹیشن کی ایک شکل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، اور وزن، پیمائش اور کرنسی کے روایتی نظاموں سے نمٹنے کے لیے بہت آسان تھا۔ مثال کے طور پر، لمبائی کی اکائیوں کے لیے، ایک فٹ ایک گز کا 1/3 ہے، اور ایک انچ ایک فٹ کا 1/12 ہے، لہذا 5 گز، 2 فٹ، اور انچ کی مقدار کو جامع حصے کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے: گز۔ تاہم، روایتی اقدامات کے لیے عام اشارے، جب کہ اسی طرح مخلوط ریڈکس پر مبنی ہوتے ہیں، ڈینومینیٹرز کو واضح طور پر نہیں لکھتے ہیں۔ فبونیکی کے اشارے میں واضح ڈینومینیٹرز اسے آسان ہونے پر مختلف مسائل کے لیے مختلف ریڈکس استعمال کرنے کی اجازت دیتے ہیں۔ سگلر ایک ایسی مثال کی طرف بھی اشارہ کرتا ہے جہاں فبونیکی جامع حصوں کا استعمال کرتا ہے جس میں تمام ڈینومینیٹرز 10 ہوتے ہیں، جو حصوں کے لیے جدید اعشاری اشارے کی پیش گوئی کرتے ہیں۔ فبونیکی نے بعض اوقات ایک دوسرے کے ساتھ کئی حصوں کو لکھا، جو دیئے گئے حصوں کے مجموعے کی نمائندگی کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، 1/3+1 4 = 7/12، لہذا اس طرح کا ایک اشارہ اس نمبر کی نمائندگی کرے گا جسے اب زیادہ عام طور پر مخلوط نمبر، یا صرف نامناسب حصہ کے طور پر لکھا جائے گا۔ اس شکل کے اشارے کو بار میں نظر آنے والے وقفے سے فریکشن بار کا اشتراک کرنے والے ہندسوں اور ڈینومینیٹرز کے سلسلے سے ممتاز کیا جا سکتا ہے۔ اگر تمام عدد اس شکل میں لکھے گئے حصے میں 1 ہیں، اور تمام ڈینومینیٹر ایک دوسرے سے مختلف ہیں، تو نتیجہ تعداد کی مصری حصہ کی نمائندگی ہے۔ اس نوٹیشن کو بعض اوقات جامع فریکشن نوٹیشن کے ساتھ بھی جوڑا جاتا تھا: ایک دوسرے کے ساتھ لکھے گئے دو جامع فریکشن فریکشن کے مجموعے کی نمائندگی کرتے ہیں۔ اس اشارے کی پیچیدگی نمبروں کو بہت سے مختلف طریقوں سے لکھنے کی اجازت دیتی ہے، اور فبونیکی نے نمائندگی کے ایک انداز سے دوسرے انداز میں تبدیل کرنے کے کئی طریقے بیان کیے۔ خاص طور پر، باب II. 7 میں ایک نامناسب حصے کو مصری حصے میں تبدیل کرنے کے طریقوں کی ایک فہرست شامل ہے، جس میں مصری حصوں کے لیے لالچی الگورتھم بھی شامل ہے، جسے فبونیکی-سلویسٹر توسیع بھی کہا جاتا ہے۔ موڈس انڈورم میں، فبونیکی کا کہنا ہے کہ مندرجہ ذیل میں مثبت موڈس انڈورم (ہندوستانیوں کا طریقہ) متعارف کرایا گیا ہے، جسے آج ہندو عربی عددی نظام یا بیس-10 پوزیشنل نوٹیشن کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اس نے ایسے ہندسوں کو بھی متعارف کرایا جو جدید عربی ہندسوں سے بہت ملتے جلتے تھے۔ چونکہ میرے والد ہمارے وطن سے دور پسان تاجروں کے لیے قائم کردہ بگیا کسٹم ہاؤس میں ایک سرکاری اہلکار تھے جو اکثر وہاں جمع ہوتے تھے، اس لیے انہوں نے مجھے اپنی جوانی میں اپنے پاس لایا، تاکہ میرے لیے ایک مفید اور آرام دہ مستقبل تلاش کر سکیں۔ وہ چاہتے تھے کہ میں وہاں ریاضی کی تعلیم حاصل کروں اور کچھ دن پڑھایا جائے۔ وہاں نو ہندوستانی شخصیات کے فن کی ایک شاندار تعلیم سے، اس فن کے تعارف اور علم نے مجھے سب سے بڑھ کر بہت خوش کیا، اور میں نے ان سے سیکھا، جو بھی اس میں سیکھا گیا، قریبی مصر، شام، یونان، سسلی اور پروونس سے، اور ان کے مختلف طریقے، کاروبار کے کون سے مقامات پر میں نے بعد میں زیادہ مطالعہ کے لیے کافی سفر کیا، اور میں نے جمع ہونے والے تنازعات سے سیکھا۔ لیکن یہ، مجموعی طور پر، الگورتھم اور یہاں تک کہ پایتھاگورین آرکس، میں اب بھی ہندوستانی طریقہ کار کے مقابلے میں تقریبا ایک غلطی سمجھتا ہوں۔ لہذا ہندوستانی طریقہ کار کو سختی سے اپناتے ہوئے، اور اس کے مطالعہ پر توجہ دیتے ہوئے، اپنی عقل سے کچھ کا اضافہ کرتے ہوئے، اور ٹھیک ٹھیک یوکلیڈین ہندسی فن سے کچھ اور، اس رقم کو جو میں اس کتاب میں سمجھ سکتا تھا، اس کا اطلاق کرتے ہوئے، میں نے اسے الگ الگ ابواب میں جمع کرنے پر کام کیا، جس میں میں نے تقریبا ہر اس چیز کے لیے کچھ ثبوت دکھائے جو میں نے رکھی تھی، تاکہ مزید یہ کہ یہ طریقہ باقی چیزوں سے بالاتر ہو، یہ سائنس شوقین لوگوں کو سکھائی جائے، اور اطالوی لوگوں کو سب سے بڑھ کر، جو اب تک کم سے کم پائے جاتے ہیں۔ اگر اتفاق سے، میں نے کچھ کم یا زیادہ مناسب یا ضروری چھوڑ دیا ہے، تو میرے لیے آپ کی التجا کی جاتی ہے، کیونکہ کوئی بھی ایسا نہیں ہے جس میں غلطی نہ ہو، اور ہر چیز میں مکمل طور پر محتاط ہو۔ نو ہندوستانی اعداد و شمار یہ ہیں: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ان نو اعداد و شمار کے ساتھ، اور نشان 0 کے ساتھ جسے عرب زیفر کہتے ہیں کوئی بھی نمبر جو بھی لکھا ہوا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، اپنی کتاب میں انہوں نے 0-9 ہندسوں اور جگہ کی قیمت کے استعمال کی وکالت کی۔ اس وقت تک یورپ رومن ہندسوں کا استعمال کرتا تھا، جس سے جدید ریاضی تقریبا ناممکن ہو جاتی تھی۔ اس طرح اس کتاب نے اعشاریہ ہندسوں کے پھیلاؤ میں اہم کردار ادا کیا۔ تاہم، جیسا کہ اوری لکھتے ہیں، ہندو-عربی نظام کا پھیلاؤ "طویل عرصے سے تیار" تھا، جس کو وسیع پیمانے پر پھیلنے میں مزید کئی صدیوں کا وقت لگا، اور یہ 16 ویں صدی کے آخر تک مکمل نہیں ہوا، صرف 1500 کی دہائی میں پرنٹنگ کی آمد کے ساتھ ڈرامائی طور پر تیز ہوا۔ متن کی تاریخ اس مخطوطے کا پہلا ظہور 1202 میں ہوا تھا۔ اس ورژن کی کوئی کاپیاں معلوم نہیں ہیں۔ مائیکل اسکاٹ کے لیے وقف کا ایک نظر ثانی شدہ ورژن، 1227 عیسوی میں شائع ہوا۔ اس متن کے کچھ حصوں پر مشتمل کم از کم انیس مخطوطات موجود ہیں۔ تیرہویں اور چودھویں صدی کے اس مخطوطے کے تین مکمل نسخے ہیں۔ تیرہویں اور پندرہویں صدی کے درمیان مزید نو نامکمل کاپیاں معلوم ہیں، اور ہو سکتا ہے کہ ابھی تک ان کی شناخت نہیں ہوئی ہو۔ بون کامپیگنی کے 1857 کے اطالوی ترجمہ تک اس کا کوئی معلوم طباعت شدہ ورژن موجود نہیں تھا۔ پہلا مکمل انگریزی ترجمہ سگلر کا 2002 کا متن تھا۔ ۔