Yuktibhāṣā
یوکتی بھاشا (یوکتی بھاشا)، جسے گانیتا-یوکتی-بھاشا بھی کہا جاتا ہے اور (انگریزی: فلکیاتی استدلال کا مجموعہ)، ریاضی اور فلکیات پر ایک بڑا مقالہ ہے، جسے کیرالہ اسکول آف میتھمیٹکس کے ہندوستانی ماہر فلکیات جیستادیوا نے 1530 کے آس پاس لکھا تھا۔ ملیالم میں لکھا گیا مقالہ، سنگمگرام کے مادھو، نیلکنتھا سومایاجی، پرمیشور، جیشتا دیو، اچیوتا پشارتی، اور کیرالہ اسکول کے دیگر ماہر فلکیات-ریاضی دانوں کی دریافتوں کا ایک مجموعہ ہے۔ یہ سنسکرت ورژن میں بھی موجود ہے، جس میں غیر واضح مصنف اور تاریخ ہے، جو ملیالم اصل کے کسی نہ کسی ترجمہ کے طور پر تشکیل دی گئی ہے۔ اس کام میں ان نظریات کے ثبوت اور مشتقات شامل ہیں جو یہ پیش کرتا ہے۔ جدید مورخین ہندوستانی ریاضی کے کاموں کی بنیاد پر، جو سب سے پہلے دستیاب ہوئے، یہ دعوی کرتے تھے کہ فلکیات اور حساب کتاب میں ابتدائی ہندوستانی اسکالرز کے پاس ثبوتوں کی کمی تھی، لیکن یہ دوسری صورت میں ظاہر ہوتا ہے۔ اس کے کچھ اہم موضوعات میں افعال کی لامحدود سیریز کی توسیع شامل ہے۔ پاور سیریز، بشمول π اور π/4 ؛ سائن، کوسین اور آرکٹینجینٹ کی مثلثی سیریز ؛ ٹیلر سیریز، بشمول سائن اور کوسین کے دوسرے اور تیسرے آرڈر کے تخمینے ؛ ریڈی، قطر اور فریم۔ بنیادی طور پر نیلکنتھا کے تنتر سمگرہ میں نتائج کے لیے استدلال فراہم کرتا ہے۔ اسے ابتدائی متن سمجھا جاتا ہے جس میں کیلکولس کے کچھ خیالات جیسے ٹیلر اور انفینیٹی سیریز دیے گئے ہیں، جو نیوٹن اور لیبنز سے دو صدیوں پہلے کے ہیں۔ یہ مقالہ ہندوستان سے باہر بڑی حد تک کسی کا دھیان نہیں گیا تھا، کیونکہ یہ ملیالم کی مقامی زبان میں لکھا گیا تھا۔ جدید دور میں، ریاضی میں وسیع تر بین الاقوامی تعاون کی وجہ سے، وسیع تر دنیا نے اس کام کا نوٹس لیا ہے۔ مثال کے طور پر، آکسفورڈ یونیورسٹی اور رائل سوسائٹی آف گریٹ برطانیہ دونوں نے ہندوستانی نژاد کے ابتدائی ریاضیاتی نظریات کو منسوب کیا ہے جو ان کے مغربی ہم منصبوں سے پہلے کے ہیں۔ مواد میں کیرالہ کے ابتدائی اسکول، خاص طور پر مادھو اور نیلکنتھا کی زیادہ تر پیش رفت شامل ہیں۔ متن کو دو حصوں میں تقسیم کیا گیا ہے-پہلا ریاضیاتی تجزیہ سے متعلق ہے اور دوسرا فلکیات سے متعلق ہے۔ اس کے علاوہ، مسلسل متن میں مضامین یا موضوعات میں مزید تقسیم نہیں ہے، اس لیے شائع شدہ ایڈیشن ادارتی فیصلے کی بنیاد پر کام کو ابواب میں تقسیم کرتے ہیں۔ ریاضی کے ریاضی کے حصے میں زیر بحث اس مضامین کو سات ابواب میں تقسیم کیا جا سکتا ہے: پریکرما: لاجسٹکس (آٹھ ریاضیاتی کارروائیاں) دشپرشنا: لاجسٹکس سے متعلق دس مسائل بھنگنیتا: فریکشنز کا ریاضی ٹریراشیکا: تین کوٹکروں کی حکمرانی: پلورائزیشن (لکیری غیر متعین مساوات) پریدھی ویاس: دائرے اور قطر کے درمیان تعلق: دائرے کے دائرے اور قطر کے تناسب کے لیے لامحدود سیریز اور تخمینے گیانائن: rines کی مشتق: لامحدود سیریز اور سینوں کے لیے تخمینہ۔ اس کے پہلے چار ابواب ابتدائی ریاضی پر مشتمل ہیں، جیسے تقسیم، پایتھاگورین تھیوریم، مربع جڑیں وغیرہ۔ دائرے کے دائرے پر چھٹے باب تک نئے خیالات پر بحث نہیں کی جاتی ہے۔ مادھو کے ذریعہ دریافت کردہ الٹا ٹینجینٹ کی پاور سیریز کے لیے مشتق اور ثبوت پر مشتمل ہے۔ متن میں، جیستادیوا نے مادھو کی سیریز کو مندرجہ ذیل انداز میں بیان کیا ہے: جدید ریاضیاتی اشارے میں، یا، جس کا اظہار ٹینجینٹس کے لحاظ سے کیا گیا ہے، جسے یورپ میں روایتی طور پر جیمز گریگوری کے بعد گریگوری کی سیریز کہا جاتا تھا، جس نے اسے 1671 میں دوبارہ دریافت کیا تھا۔ متن میں مادھو کی π کی لامحدود سیریز کی توسیع بھی شامل ہے جسے انہوں نے آرک ٹینجینٹ فنکشن کی توسیع سے حاصل کیا۔ جسے یورپ میں روایتی طور پر لیبنز سیریز کہا جاتا تھا، گوٹ فرائیڈ لیبنز کے نام پر جس نے اسے 1673 میں دوبارہ دریافت کیا۔ اس سلسلے کے عقلی تخمینے کا استعمال کرتے ہوئے، اس نے نمبر π کی اقدار کو 3.14159265359 کے طور پر، 11 اعشاریہ تک درست، اور 3.1415926535898 کے طور پر، 13 اعشاریہ تک درست دیا۔ متن میں π کی قدر کا حساب لگانے کے دو طریقے بیان کیے گئے ہیں۔ سب سے پہلے، π کی اصل لامحدود سیریز کو تبدیل کر کے تیزی سے متغیر ہونے والی سیریز حاصل کریں۔ ایسا کرنے سے، لامحدود سلسلے کی پہلی 21 اصطلاحات کو 11 اعشاریہ مقامات کے تخمینے کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا گیا۔ دوسرا طریقہ یہ تھا کہ بقیہ اصطلاح کو π کی اصل سیریز میں شامل کیا جائے۔ بقیہ اصطلاح کا استعمال n = 76 پر درستگی کے π سے 13 اعشاریہ مقامات کے تخمینے کو بہتر بنانے کے لیے کی لامحدود سیریز کی توسیع میں کیا گیا تھا۔ ان کے علاوہ، اس میں بہت سے ابتدائی اور پیچیدہ ریاضیاتی موضوعات شامل ہیں، جن میں سائن اور کوسین افعال کی توسیع کے ثبوت شامل ہیں۔ لکیری مساوات کے نظاموں کے سائن اور کوسین انٹیجر حل کے لیے مجموعہ اور فرق کے فارمولے (کٹکارم کے نام سے جانے والے نظام کا استعمال کرتے ہوئے حل کیے گئے) سیریز کے ہندسی مشتقات۔ کچھ افعال کے لیے ٹیلر سیریز کے ابتدائی بیانات فلکیات کے آٹھ سے سترہ ابواب فلکیات کے مضامین سے متعلق ہیں: سیاروں کے مدار، آسمانی دائرے، عروج، انحطاط، سمت اور سائے، کروی مثلث، ایلیپس اور پارلاکس اصلاح۔ کتاب میں بیان کردہ سیاروں کا نظریہ اس سے ملتا جلتا ہے جسے بعد میں ڈینش ماہر فلکیات ٹائکو براہی نے اپنایا تھا۔ آٹھ ابواب میں جن موضوعات کا احاطہ کیا گیا ہے ان میں سیاروں، زمین اور آسمانی شعبوں کے اوسط اور حقیقی طول البلد کا حساب لگانا، چڑھائی، انحطاط، طول البلد وغیرہ سے متعلق پندرہ مسائل، وقت، مقام، سمت وغیرہ کا تعین، گنومونک سائے، چاند گرہن، ویاتی پاٹا (جب سورج اور چاند کا ایک ہی انحطاط ہوتا ہے)، سیاروں اور چاند کے مراحل کے لیے مرئیت کی اصلاح شامل ہیں۔ خاص طور پر، گرہاگتی: سیاروں کی حرکت، بھگولا: رقم کا دائرہ، مدھی گرہ: اوسط سیارے، سوریاسفوٹا: حقیقی سورج، گرہاسفوٹا: حقیقی سیارے بھو-ویو-بھگولا: زمین کے دائرے، ماحول، اور ستارے، آیانکالنا: مساوی پنکداش-پرشنا کی پیش قدمی: کروی مثلث سے متعلق پندرہ مسائل ڈگ-جنا: واقفیت، چایا-گنیتا: سایہ کی گنتی، لگنا: ایکلیپٹک کا عروج نقطہ، نیتی-لمبانا: پارلاکسس۔ متن کا ریاضی کا حصہ، ملیالم میں نوٹوں کے ساتھ، پہلی بار 1948 میں راما ورما تھمپورن اور اخلیشور ایر نے شائع کیا تھا۔ پورے ملیالم متن کا پہلا تنقیدی ایڈیشن، انگریزی ترجمہ اور تفصیلی وضاحتی نوٹوں کے ساتھ، 2008 میں سپرنگر کے ذریعہ دو جلدوں میں شائع کیا گیا تھا۔ تیسرا حجم، جس میں سنسکرت گنیتایکتی بھاسا کا ایک تنقیدی ایڈیشن ہے، 2009 میں انڈین انسٹی ٹیوٹ آف ایڈوانسڈ اسٹڈی، شملہ نے شائع کیا تھا۔ یوکتی بھاس کے اس ایڈیشن کو دو جلدوں میں تقسیم کیا گیا ہے: جلد اول ریاضی سے متعلق ہے اور جلد دوم فلکیات سے متعلق ہے۔ ہر جلد کو تین حصوں میں تقسیم کیا گیا ہے: پہلا حصہ یوکتی بھاس کے متعلقہ ملیالم حصے کا انگریزی ترجمہ ہے، دوسرے حصے میں ترجمہ کے بارے میں تفصیلی وضاحتی نوٹ شامل ہیں، اور تیسرے حصے میں ملیالم اصل کا متن دوبارہ پیش کیا گیا ہے۔ انگریزی ترجمہ کے وی کا ہے۔ شرما اور وضاحتی نوٹ کے راماسبرامنین، ایم ڈی سرینیواس، اور ایم ایس سری رام نے فراہم کیے ہیں۔ یوکتی بھاسا کا ایک اوپن ایکسیس ایڈیشن 2020 میں سیاہنا فاؤنڈیشن نے شائع کیا ہے۔ ۔