Madhava's sine table
مادھو کی سائن ٹیبل مثلثی سائنوں کی میز ہے جسے 14 ویں صدی کے کیرالہ کے ریاضی دان-ماہر فلکیات مادھو کے سنگمگرام (c. 1340-c. 1425) نے تعمیر کیا تھا۔ جدول میں چوبیس زاویوں کے مثلثی سنوں کو 3.75° سے 90° تک 3.75° کے مراحل میں درج کیا گیا ہے (دائیں زاویہ کے 1/24، 90°)۔ میز کو کٹاپیادی نظام کا استعمال کرتے ہوئے دیواناگری حروف تہجی کے حروف میں انکوڈ کیا گیا ہے، جس میں اندراجات سنسکرت میں ایک نظم کی آیات کی ظاہری شکل دیتے ہیں۔ سائن ٹیبل پر مشتمل مادھو کا اصل کام نہیں ملا ہے۔ میز کو نیلکنتھا سومایاجی (1444-1544) کے آریہ بھٹیہ بھاشیا میں اور سنکرا ویرار (تقریبا) کے تانترسم گرہ کی یوکٹیڈیپکا/لگھوورتی تفسیر میں بھی دوبارہ پیش کیا گیا ہے۔ 1500-1560)۔ جدول نیچے دی گئی تصویر میں مادھو کی سائن ٹیبل دیوانگری میں دی گئی ہے جیسا کہ سی کے کے ذریعہ ریاضی کی ثقافتی بنیادوں میں دوبارہ پیش کیا گیا ہے۔ راجو۔ پہلی بارہ لائنیں ٹیبل میں اندراجات پر مشتمل ہیں۔ تیرہویں سطر کا آخری لفظ اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ یہ "جیسا کہ مادھو نے بتایا ہے"۔ مادھو کی میز میں اقدار مادھو کی طرف سے درج کردہ اقدار کے معنی کو سمجھنے کے لیے کسی ایسے زاویے پر غور کریں جس کی پیمائش A ہے۔ اکائی رداس اور مرکز O کے دائرے پر غور کریں۔ دائرے کے آرک پی کیو کو مرکز O پر ایک زاویہ A کو کم کرنے دیں۔ پرپینڈکولر کیو آر کو کیو سے او پی پر ڈراپ کریں ؛ پھر لائن سیگمنٹ آر کیو کی لمبائی زاویہ اے کے ٹرگونومیٹرک سائن کی قیمت ہے۔ فرض کریں کہ پی ایس دائرے کا ایک آرک ہے جس کی لمبائی RQ حصے کی لمبائی کے برابر ہے۔ مختلف زاویہ اے کے لیے، مادھو کی میز آرک منٹ، آرک سیکنڈ اور آرک سیکنڈ کے ساٹھویں حصے میں متعلقہ زاویوں پی او ایس کی پیمائش دیتی ہے۔ مثال کے طور پر، A کو ایک زاویہ ہونے دیں جس کی پیمائش 22.50 ° ہے۔ مادھو کی میز میں، 22.50 ° سے مطابقت رکھنے والا اندراج آرک منٹ، آرک سیکنڈ اور زاویہ کے آرک سیکنڈ کے ساٹھویں حصے میں پیمائش ہے جس کی ریڈین پیمائش sin 22.50 ° کی قدر ہے، جو کہ 0.3826834 ہے۔ 21.92614 ڈگری میں تبدیل کرنے کے لیے 0.3826834 ریڈینس کو 180/سے ضرب دیں، جو کہ 1315 آرک منٹ 34 آرک سیکنڈ 07 آرک سیکنڈ ایک آرک سیکنڈ کے ساٹھویں حصے ہیں، جو کہ مختصر طور پر 13153407 ہے۔ کٹاپیاڈی نظام میں ہندسوں کو الٹی ترتیب میں لکھا جاتا ہے، تاکہ 22.50 ° سے مطابقت رکھنے والا اندراج 70435131 ہو۔ مادھو کی میز سے مثلثی سائنوں کی ماخوذیت ایک زاویہ کے لیے جس کی پیمائش A ہے، پھر میز کی ہر لکیر آٹھ ہندسوں کی وضاحت کرتی ہے۔ پھر کیرالہ کے ریاضی دانوں کے کٹاپیادی نظام کے اصولوں کے مطابق ہمارے پاس مادھو کی پائی کی قدر ہے عددی حسابات کو مکمل کرنے کے لیے پائی () کی قدر معلوم ہونی چاہیے۔ خود مادھو کی طرف سے شمار کردہ قدر کا استعمال کرنا مناسب ہے (جو 11 اعشاریہ مقامات پر درست ہے)۔ نیلکنتھا سومایاجی نے اپنی آریہ بھتیہ بھاشیا میں اس کی یہ قدر اس طرح دی ہے: آخری دو لائنوں کا نقل حرفی: وبودھا-نیترا-گج-اہی-ہوٹاسن تری-گنا-وید-بھ-ورن-بہاوہ نو-نکاروا-میتے ورتی وستارے پریدھی-مانم ادھم جگدور بدھہ مختلف الفاظ بھوٹاسامکھیا نظام کے نام سے جانے والی اسکیم میں انکوڈ کردہ کچھ نمبروں کی نشاندہی کرتے ہیں۔ ان کے ذریعے انکوڈ کیے گئے الفاظ اور اعداد (اکائیوں کی جگہ سے شروع کرتے ہوئے) کے معنی آیت کے درج ذیل ترجمہ میں تفصیل سے بیان کیے گئے ہیں: "دیوتا (وبودھا: 33)، آنکھیں (نیترا: 2)، ہاتھی (گج: 8)، سانپ (آہو: 8)، آگ (ہوٹاسن: 3)، تین (تری: 3)، خوبیاں (گن: 3)، وید (وید: 4)، نکشتر (بھ: 27)، ہاتھی (ورن: 8)، اور بازو (بھاوہ: 2)-عقلمند کہتے ہیں کہ جب دائرے کا قطر نو ہوتا ہے تو یہ اس کے دائرے کی پیمائش ہوتی ہے۔ لہذا، بھوتسمکھیا نظام کا استعمال کرتے ہوئے نظم کا ترجمہ صرف یہ پڑھے گا کہ "2827433388233، جیسا کہ عقلمند کہتے ہیں، ایک دائرے کا دائرہ ہے جس کا قطر نو-نکھروا (900,000,000، 000) ہے"۔ یعنی 2827433388233 (نظم کی پہلی دو لائنوں کا نمبر الٹا ترتیب میں) کو نوا-نکروا (900,000,000,000) سے تقسیم کریں تاکہ اس کی قیمت حاصل کی جا سکے۔ اس حساب سے قیمت = 3.1415926535922 حاصل ہوتی ہے۔ یہ وہ قدر ہے جو مادھو نے اپنے مزید حسابات میں استعمال کی ہے اور 11 اعشاریہ مقامات کے لیے درست ہے۔ مثال مادھو کے ٹیبل میں زاویہ 45.00 ° سے مطابقت رکھنے والے درج ذیل ہندسوں کی فہرست دی گئی ہے: اس سے پیمائش کے ساتھ زاویہ حاصل ہوتا ہے۔ 45.00 ° کے مثلثی سائن کی قیمت جیسا کہ مادھو کے ٹیبل میں دی گئی ہے، مذکورہ بالا اظہار میں مادھو کے حساب کردہ ویلیو کو تبدیل کر رہی ہے، sin 45° 0.70710681 پایا جاتا ہے۔ یہ 6 اعشاریہ مقامات کے لیے درست ہے۔ مادھو کی سائن اقدار کی درستگی نیچے دیے گئے جدول میں 24 زاویوں کے لیے 3.75 ڈگری سے 90 ڈگری تک 3.75 ڈگری (پہلا کالم) کے مراحل میں اندراجات ہیں۔ دوسرے کالم میں وہ اقدار ہیں جو مادھو نے دیواناگری میں اپنی استعمال کردہ شکل میں درج کی ہیں۔ (یہ پی کے کی ملیالم کمنٹری آف کرناپدھتی سے لیے گئے ہیں۔ کورو اور سی کے کی طرف سے ریاضی کی ثقافتی بنیادوں میں دی گئی میز سے قدرے مختلف ہیں۔ راجو۔) تیسرے کالم میں دوسرے کالم میں لائنوں کے آئی ایس او 15919 نقل ہوتے ہیں۔ دوسرے کالم کے نمبروں کو چوتھے کالم میں عربی ہندسوں میں آرک منٹ، آرک سیکنڈ، اور آرک سیکنڈ کے ساٹھویں حصوں میں ڈی کوڈ کیا گیا ہے۔ مادھو کی میز میں بیان کردہ نمبروں سے اخذ کردہ مثلثی سنوں کی اقدار پانچویں کالم میں درج ہیں، جس کے لیے مادھو کی قدر 3.1415926535922 کا استعمال کیا گیا ہے۔ 8 مقامات پر سینوں کی اصل اقدار چھٹے کالم میں درج ہیں۔ مادھو کا حساب کتاب کا طریقہ مادھو کا کوئی کام باقی نہیں بچا ہے جس میں اس کے ذریعہ سائن ٹیبل کے حساب کتاب کے لیے استعمال کیے گئے طریقوں کی تفصیل دی گئی ہو۔ تاہم کیرالہ کے بعد کے ریاضی دانوں بشمول نیلکنتھا سومایاجی (تنترسنگرہ) اور جیشتا دیوا (یوکتی بھاشا) کی تحریروں سے جو مادھو کے کارناموں کے کافی حوالہ دیتے ہیں، یہ قیاس کیا جاتا ہے کہ مادھو نے اپنے سائن ٹیبل کا حساب sin x کی پاور سیریز کی توسیع کا استعمال کرتے ہوئے کیا: