Gauss composition law
ریاضی میں، نمبر تھیوری میں، گاؤس کمپوزیشن کا قانون ایک قاعدہ ہے، جسے کارل فریڈرک گاؤس نے ایجاد کیا تھا، تاکہ انٹیگرل بائنری کواڈریٹک فارمز (IBQFs) پر بائنری آپریشن انجام دیا جا سکے۔ گاؤس نے اس اصول کو 1801 میں شائع ہونے والی نمبر تھیوری پر ایک نصابی کتاب ڈسکوزیشنز ارتھمیٹیکی میں آرٹیکل 234-244 میں پیش کیا۔ گاؤس کمپوزیشن قانون آئی بی کیو ایف کے نظریہ میں سب سے گہرے نتائج میں سے ایک ہے اور گاؤس کے قانون کی تشکیل اور اس کی خصوصیات کے ثبوت جیسا کہ گاؤس کے ذریعہ دیئے گئے ہیں عام طور پر انتہائی پیچیدہ اور بہت مشکل سمجھے جاتے ہیں۔ بعد کے کئی ریاضی دانوں نے ساخت کے قانون کی تشکیل کو آسان بنایا ہے اور اسے عددی حساب کے لیے موزوں شکل میں پیش کیا ہے۔ اس تصور کو کئی سمتوں میں عمومی بھی پایا گیا ہے۔ انٹیگرل بائنری کواڈریٹک شکلیں فارم کا ایک اظہار، جہاں تمام انٹیجر ہوتے ہیں، کو انٹیگرل بائنری کواڈریٹک فارم (IBQF) کہا جاتا ہے۔ اگر شکل نسبتا پرائم ہو تو اسے ابتدائی آئی بی کیو ایف کہا جاتا ہے۔ اس مقدار کو آئی بی کیو ایف کا ڈسکریمیننٹ کہا جاتا ہے۔ ایک عدد کچھ آئی بی کیو ایف کا تبعیض ہے اگر اور صرف اگر۔ اسے بنیادی امتیازی قرار دیا جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب مندرجہ ذیل بیانات میں سے ایک مربع سے پاک ہو، جہاں اور مربع سے پاک ہو۔ اگر اور پھر مثبت قطعی کہا جاتا ہے ؛ اگر اور پھر منفی قطعی کہا جاتا ہے ؛ اگر تب غیر معینہ مدت کہا جاتا ہے۔ آئی بی کیو ایف کی مساوات دو آئی بی کیو ایف کو مساوی (یا، مناسب طور پر مساوی) کہا جاتا ہے اگر انٹیجرز α، β، γ، δ موجود ہیں اور اشارے اس حقیقت کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں کہ دونوں شکلیں مساوی ہیں۔ رشتہ "" تمام آئی بی کیو ایف کے سیٹ میں ایک مساوات کا رشتہ ہے۔ مساوات کلاس جس سے آئی بی کیو ایف کا تعلق ہے اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ دو آئی بی کیو ایف اور انہیں نامناسب طور پر مساوی کہا جاتا ہے اگر اور آئی بی کیو ایف کے سیٹ میں نامناسب طور پر مساوی ہونے کا تعلق بھی ایک مساوات کا تعلق ہے۔ یہ آسانی سے دیکھا جا سکتا ہے کہ مساوی آئی بی کیو ایف (مناسب طریقے سے یا غلط طریقے سے) میں ایک ہی امتیازی سلوک ہوتا ہے۔ گاوس کی ساخت کے قانون کی تشکیل تاریخی سیاق و سباق مندرجہ ذیل شناخت، جسے برہم گپتا شناخت کہا جاتا ہے، ہندوستانی ریاضی دان برہم گپتا (598-668) کو معلوم تھا جس نے اسے مثبت عددوں کے مربع جڑوں کے لیے مسلسل بہتر فریکشنل تخمینوں کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا: اس شناخت کو اس شکل میں لکھا جا سکتا ہے جہاں. آئی بی کیو ایف کا گاؤس کا کمپوزیشن قانون اس شناخت کو اس شکل کی شناخت کے لیے عام کرتا ہے جہاں تمام آئی بی کیو ایف ہیں اور مصنوعات کے لکیری امتزاج ہیں۔ آئی بی کیو ایف کے کمپوزیشن قانون میں درج ذیل آئی بی کیو ایف پر غور کریں: اگر انٹیجرز تلاش کرنا ممکن ہے اور اس طرح کہ درج ذیل چھ نمبروں میں ± 1 کے علاوہ کوئی مشترکہ تقسیم نہیں ہے، اور اس طرح کہ اگر ہم مندرجہ ذیل تعلق کو یکساں طور پر مطمئن ہونے دیں، تو فارم کو فارم اور کا مرکب کہا جاتا ہے۔ یہ بات قابل ذکر ہے کہ دو آئی بی کیو ایف کا مرکب، اگر موجود ہے تو، منفرد نہیں ہے۔ مثال مندرجہ ذیل بائنری کواڈریٹک شکلوں پر غور کریں: ہمارے پاس ہے۔ ان چھ اعداد میں ±1 کے علاوہ کوئی مشترکہ تقسیم کار نہیں ہے۔ جانے دو۔ اس کے بعد اس کی تصدیق کی جا سکتی ہے۔ اس لیے یہ اور کا مرکب ہے۔ دو آئی بی کیو ایف کے مرکب کو تلاش کرنے کے لیے ایک الگورتھم مندرجہ ذیل الگورتھم کو دو آئی بی کیو ایف کے مرکب کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ الگورتھم مندرجہ ذیل آئی بی کیو ایف کو ایک ہی امتیازی سلوک کے ساتھ دیا گیا ہے: کمپیوٹ کمپیوٹ کمپیوٹ اس طرح سے کہ کمپیوٹ کمپیوٹ کمپیوٹ کمپیوٹ پھر تاکہ یہ اور کا مرکب ہو۔ ساخت کے قانون کی خصوصیات مرکب کا وجود دو آئی بی کیو ایف کا مرکب صرف اس صورت میں موجود ہے جب ان میں ایک ہی امتیازی سلوک ہو۔ مساوی شکلیں اور ساخت کا قانون آئی بی کیو ایفز ہونے دیں اور مندرجہ ذیل مساوات ہونے دیں: اگر اور کا مرکب ہے، اور اور کا مرکب ہے، تو پھر بائنری آپریشن آئیے ایک فکسڈ انٹیجر بنیں اور ڈسکریمیننٹ کے تمام ممکنہ آئی بی کیو ایفز کے سیٹ پر غور کریں۔ اس سیٹ میں مساوات کے سلسلے کے تحت مساوات کلاسوں کا مجموعہ ہونے دیں۔ " دو عناصر ہونے دیں۔ آئی بی کیو ایف اور ان کا مرکب بنیں۔ پھر درج ذیل مساوات ایک اچھی طرح سے متعین بائنری آپریشن کی وضاحت کرتی ہے۔ گروپ جی ڈی سیٹ بائنری آپریشن کے تحت ایک محدود ابیلین گروپ ہے۔ گروپ میں شناختی عنصر = ان کا الٹا ہے۔ کمپوزیشن قانون کے لیے جدید نقطہ نظر آئی بی کیو ایف کے کمپوزیشن قانون کے لیے جدید نقطہ نظر کا درج ذیل خاکہ ڈنکن اے بیویل کے ایک مونوگراف پر مبنی ہے۔ مزید تفصیلات اور اس کے تحت دیے گئے تمام بیانات کے ثبوت کے لیے کتاب سے مشورہ کیا جا سکتا ہے۔ کواڈریٹک الجبرائی اعداد اور انٹیجرز آئیے انٹیجرز کا مجموعہ ہوں۔ اس کے بعد، اس حصے میں، کے عناصر کو عقلی عدد کہا جائے گا تاکہ انہیں الجبرائی عدد سے الگ کیا جا سکے جس کی وضاحت ذیل میں کی گئی ہے۔ ایک پیچیدہ عدد کو کواڈریٹک الجبرائی عدد کہا جاتا ہے اگر یہ اس شکل کی مساوات کو مطمئن کرتا ہے جہاں۔ کواڈریٹک الجیبرک انٹیجر کہا جاتا ہے اگر یہ اس شکل کی مساوات کو مطمئن کرتا ہے جہاں کواڈریٹک الجیبرک نمبر اس شکل کے نمبر ہوتے ہیں جہاں اس کے علاوہ کوئی مربع عنصر نہیں ہوتا ہے۔ انٹیجر کو الجبرائی انٹیجر کا ریڈیکینڈ کہا جاتا ہے۔ کواڈریٹک الجبرائی نمبر کے معیار کی تعریف اس طرح کی گئی ہے۔ آئیے عقلی اعداد کا میدان بنیں۔ سب سے چھوٹا فیلڈ جس میں اور ایک کواڈریٹک الجبرائی نمبر ہے وہ کواڈریٹک فیلڈ ہے جس پر مشتمل ہے اور اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ اس فیلڈ کو اس طرح دکھایا جا سکتا ہے کہ فیلڈ کے ڈسکریمیننٹ کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ مربع عوامل کے بغیر ایک عقلی عدد ہو (سوائے 1 کے)۔ ریڈیکنڈ کے کواڈریٹک الجبرائی انٹیجرز کے سیٹ کو اس کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے۔ یہ سیٹ عام اضافہ اور ضرب کے تحت ایک رنگ کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ اگر ہم پھر جانے دیں۔ کواڈریٹک فیلڈز میں آئیڈیلز کو انٹیجرز کی رنگ میں ایک آئیڈیل ہونا چاہیے ؛ یعنی، کسی بھی اور کسی کے لیے اس طرح کا ایک نان ایمپٹی سب سیٹ ہونا چاہیے۔ (جیسا کہ یہاں بیان کیا گیا ہے ایک آئیڈیل کو بعض اوقات فریکشنل آئیڈیل سے ممتاز کرنے کے لیے ایک انٹیگرل آئیڈیل کہا جاتا ہے جس کی وضاحت ذیل میں کی گئی ہے۔) اگر ایک آئیڈیل ہے تو اس طرح کا کوئی بھی عنصر مل سکتا ہے جس کی شکل میں منفرد طور پر نمائندگی کی جا سکتی ہے۔ عناصر کے اس جوڑے کو آئیڈیل کی بنیاد کہا جاتا ہے۔ اس کی نشاندہی تحریری طور پر کی جاتی ہے۔ کے معیار کی تعریف اس طرح کی گئی ہے۔ معیار بنیاد کے انتخاب سے آزاد ہے۔ کچھ خاص آئیڈلز دو آئیڈلز کا پروڈکٹ اور، جس کی طرف اشارہ کیا گیا ہے، وہ آئیڈیل ہے جو کے-لکیری امتزاج سے پیدا ہوتا ہے۔ فریکشنل آئیڈیل کواڈریٹک فیلڈ کا ایک ذیلی مجموعہ ہے جس کے لیے درج ذیل دو خصوصیات ہیں: کسی کے لیے اور کسی کے لیے۔ ایک فکسڈ الجبرائی عدد موجود ہے جیسے کہ ہر ایک کے لیے،۔ ایک آئیڈیل کو پرنسپل آئیڈیل کہا جاتا ہے اگر اس طرح کا الجبرائی عدد موجود ہو۔ اس بنیادی آئیڈیل کو اس کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے۔ یہ اہم نتیجہ ہے: "کسی بھی آئیڈیل (انٹیگرل یا فریکشنل) کو دیکھتے ہوئے، ایک انٹیگرل آئیڈیل موجود ہے جیسے کہ پروڈکٹ آئیڈیل ایک پرنسپل آئیڈیل ہے۔" آئیڈیلز کے سیٹ میں ایک مساوات کا تعلق دو (انٹیگرل یا فریکشنل) آئیڈیلز اور ایری کو مساوی کہا جاتا ہے، اگر اس طرح کا کوئی پرنسپل آئیڈیل ہو۔ اگر کا معیار مثبت ہے تو یہ آئیڈیلز تنگ طور پر مساوی ہیں۔ جیسا کہ یہاں بیان کیا گیا ہے، آئیڈیلز کے سیٹ میں مساوی یا تنگ مساوی ہونے کا رشتہ درحقیقت ایک مساوات کا رشتہ ہے۔ مساوات کی کلاسیں (بالترتیب، تنگ مساوات کی کلاسیں) کواڈریٹک الجبرائی انٹیجرز کے رنگ کے فریکشنل آئیڈیلز کی مثالیں کے ضرب کے تحت ایک ابیلین گروپ تشکیل دیتی ہیں۔ گروپ کی شناخت تمام پرنسپل آئیڈیلز کی کلاس ہے (بالترتیب، تمام پرنسپل آئیڈیلز کی کلاس)۔ آئیڈیلز کی کلاسوں اور آئیڈیلز کی تنگ کلاسوں کے گروپوں کو کلاس گروپ اور آئیڈیلز کا تنگ کلاس گروپ کہا جاتا ہے۔ بائنری کواڈریٹک شکلیں اور آئیڈیلز کی کلاسیں بنیادی نتیجہ جو آئی بی کیو ایف اور آئیڈیلز کی کلاسوں کو جوڑتا ہے اب اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے: "ڈسکریمیننٹ کی بائنری کواڈریٹک شکلوں کی کلاسوں کا گروپ کواڈریٹک نمبر فیلڈ کے تنگ کلاس گروپ کے لیے آئسومورفک ہے"۔ کینیڈا کے امریکی فیلڈز میڈل جیتنے والے ریاضی دان منجول بھارگوا نے کمپوزیشن کے قانون کے بارے میں بھارگوا کے نقطہ نظر نے بائنری کواڈریٹک شکلوں اور اس طرح کی دیگر شکلوں کے کمپوزیشن قوانین کا مطالعہ کرنے کے لیے آٹھ انٹیجرز (شکل دیکھیں) کی ایک ترتیب متعارف کرائی، جسے بھارگوا کیوب کہا جاتا ہے۔ اس مکعب کے مخالف چہروں سے وابستہ میٹرکس کی وضاحت کرتے ہوئے جیسا کہ ذیل میں دیا گیا ہے، بھارگو نے تین آئی بی کیو ایفز کی تعمیر کی: بھارگو نے ایک بھارگو مکعب کو گاؤس کمپوزیشن قانون سے جوڑتے ہوئے درج ذیل نتیجہ قائم کیا: "اگر ایک مکعب اے تین قدیم بائنری کواڈریٹک شکلوں کو جنم دیتا ہے تو ق 1، ق 2، ق 3، پھر ق 1، ق 2، ق 3 میں ایک ہی امتیاز ہوتا ہے، اور ان تینوں شکلوں کا پروڈکٹ گاؤس کمپوزیشن کے ذریعے بیان کردہ گروپ میں شناخت ہے۔ اس کے برعکس، اگر ق 1، ق 2، ق 3 ایک ہی ڈسکریمیننٹ کی کوئی بھی تین قدیم بائنری کواڈریٹک شکلیں ہیں جن کا پروڈکٹ گاؤس کی ساخت کے تحت شناخت ہے، تو وہاں ایک مکعب اے موجود ہے جس سے ق 1، ق 2، ق 3 "حاصل ہوتا ہے۔ ۔