Rank of a partition
ریاضی میں، خاص طور پر نمبر تھیوری اور کمبینٹوریکس کے شعبوں میں، مثبت عدد کی تقسیم کا درجہ تقسیم سے وابستہ ایک مخصوص عدد ہوتا ہے۔ درحقیقت ادب میں درجہ بندی کی کم از کم دو مختلف تعریفیں نظر آتی ہیں۔ پہلی تعریف، جس کے ساتھ اس مضمون کا زیادہ تر تعلق ہے، یہ ہے کہ پارٹیشن کا درجہ وہ نمبر ہے جو پارٹیشن میں حصوں کی تعداد کو پارٹیشن کے سب سے بڑے حصے سے گھٹ کر حاصل کیا جاتا ہے۔ اس تصور کو فری مین ڈائیسن نے جریدے یوریکا میں شائع ہونے والے ایک مقالے میں متعارف کرایا تھا۔ اسے ہندوستانی ریاضیاتی باصلاحیت سری نواس رامانوجن کے دریافت کردہ پارٹیشن فنکشن کی کچھ ہم آہنگی کی خصوصیات کے مطالعہ کے تناظر میں پیش کیا گیا تھا۔ ایک مختلف تصور، جو ایک ہی نام کا اشتراک کرتا ہے، امتزاج میں استعمال ہوتا ہے، جہاں درجہ بندی کو تقسیم کے ڈرفی مربع کے سائز کے طور پر لیا جاتا ہے۔ تعریف ایک مثبت عدد n کی تقسیم سے ہمارا مطلب ایک محدود ملٹی سیٹ λ = {λk، λk−1، ہے۔ ۔ ۔ ، مثبت انٹیجرز کا λ1} مندرجہ ذیل دو شرائط کو پورا کرتا ہے: λk ≤۔ ۔ ۔ ≤ λ2 ≤ λ1> 0. λk + ۔ ۔ + λ2 + λ1 = n۔ اگر λk، ۔ ۔ ، λ2، λ1 الگ ہیں، یعنی، اگر λk>۔ ۔ ۔ > λ2> λ1> 0 تب پارٹیشن λ کو n کی سخت پارٹیشن کہا جاتا ہے۔ انٹیجر λk، λk−1،.، λ1 پارٹیشن کے حصے ہیں۔ تقسیم λ میں حصوں کی تعداد k ہے اور تقسیم میں سب سے بڑا حصہ λk ہے۔ تقسیم λ کی درجہ بندی (چاہے وہ عام ہو یا سخت) کی تعریف λk−k کے طور پر کی گئی ہے۔ n کی تقسیم کی صفوں میں درج ذیل اقدار ہوتی ہیں اور کوئی دوسری نہیں: n−1، n−3، n−4،۔ ۔ ۔ ، 2، 1، 0، −1، −2،۔ ۔ ۔ ، − (n−4)، − (n−3)، − (n−1)۔ درج ذیل جدول نمبر 5 کے مختلف حصوں کی صفوں کو بتاتا ہے۔ انٹیجر 5 نوٹیشن کے پارٹیشنوں کے رینک درج ذیل نوٹیشن اس بات کی وضاحت کے لیے استعمال کیے جاتے ہیں کہ کتنے پارٹیشنوں کا دیا ہوا رینک ہے۔ فرض کریں کہ n، q ایک مثبت عدد ہیں اور m کوئی بھی عدد ہے۔ n کی تقسیم کی کل تعداد کو p (n) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ رینک m کے ساتھ n کی تقسیم کی تعداد کو N (m، n) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ m ماڈیولو q کے درجہ کے ساتھ n کی تقسیم کی تعداد کو N (m، q، n) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ n کی سخت پارٹیشنوں کی تعداد کو Q (n) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ رینک m کے ساتھ n کی سخت تقسیم کی تعداد کو R (m، n) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ m ماڈیولو q سے مطابقت رکھنے والے رینک کے ساتھ n کی سخت پارٹیشنوں کی تعداد کو T (m، q، n) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، p (5) = 7، N (2، 5) = 1، N (3، 5) = 0، N (2، 2، 5) = 5۔ ق (5) = 3، آر (2، 5) = 1، آر (3، 5) = 0، ٹی (2، 2، 5) = 2۔ کچھ بنیادی نتائج فرض کریں کہ n، q ایک مثبت عدد ہیں اور m کوئی بھی عدد ہے۔ 1919 میں شائع ہونے والے ایک مقالے میں رامانوجن کی ہم آہنگی اور ڈائیسن کے قیاس سری نواس رامانوجن نے پارٹیشن فنکشن p (n) پر مشتمل درج ذیل ہم آہنگی کو ثابت کیا: p (5n + 4) ष्ण 0 (موڈ 5) p (7n + 5) ष्ण 0 (موڈ 7) p (11n + 6) ष्ण 0 (موڈ 11) اس نتیجے پر تبصرہ کرتے ہوئے، ڈائیسن نے نوٹ کیا کہ ""۔ ۔ ۔ اگرچہ ہم یہ ثابت کر سکتے ہیں کہ 5n + 4 کی پارٹیشنوں کو پانچ یکساں متعدد ذیلی کلاسوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، لیکن ثبوتوں سے اس بات کا کوئی ٹھوس اندازہ حاصل کرنا تسلی بخش نہیں ہے کہ تقسیم کیسے کی جائے گی۔ ہمیں ایک ایسے ثبوت کی ضرورت ہے جو افعال پیدا کرنے کے لیے اپیل نہیں کرے گا۔ ۔ ۔ "۔ ڈائیسن نے اپنے لیے مقرر کردہ کام کو پورا کرنے کے لیے پارٹیشن کے رینک کا خیال متعارف کرایا۔ اس نئے خیال کو استعمال کرتے ہوئے، اس نے درج ذیل قیاس آرائیاں کیں: N (0,5,5n + 4) = N (1,5,5n + 4) = N (2,5,5n + 4) = N (3,5,5n + 4) = N (4,5,5n + 4) N (0,7,7n + 5) = N (1,7,7n + 5) = N (2,7n + 5) =۔ ۔ ۔ = N (6، 7، 7n + 5) ان قیاس آرائیوں کو 1954 میں آٹکن اور سوئنرٹن ڈائر نے ثابت کیا تھا۔ مندرجہ ذیل جدولوں سے پتہ چلتا ہے کہ کس طرح انٹیجرز 4 (5 × n + 4 n = 0 کے ساتھ) اور 9 (5 × n + 4 n = 1 کے ساتھ) کی پارٹیشن پانچ یکساں تعداد میں ذیلی کلاسوں میں تقسیم ہو جاتی ہیں۔ انٹیجر 4 کی پارٹیشنز انٹیجر 9 کی پارٹیشنز جنریٹنگ فنکشنز p (n) کی جنریٹنگ فنکشن کو اویلر نے دریافت کیا تھا اور یہ اچھی طرح سے جانا جاتا ہے۔ N (m, n) کے لیے جنریٹنگ فنکشن ذیل میں دی گئی ہے: Q (n) کے لیے جنریٹنگ فنکشن ذیل میں دی گئی ہے: R (m, n) کے لیے جنریٹنگ فنکشن ذیل میں دی گئی ہے: متبادل تعریف امتزاج میں، پارٹیشن کا فقرہ درجہ بعض اوقات ایک مختلف تصور کو بیان کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے: پارٹیشن کا درجہ λ سب سے بڑا عدد i ہے جس میں λ کے کم از کم i حصے ہوتے ہیں جن میں سے ہر ایک i سے چھوٹا نہیں ہوتا ہے۔ مساوی طور پر، یہ ینگ ڈائیگرام یا λ کے لیے فیررس ڈائیگرام میں مرکزی ڈائیگنل کی لمبائی ہے، یا λ کے ڈرفی مربع کی سائیڈ لمبائی ہے۔ 5 کی پارٹیشنوں کی صفوں کا جدول ذیل میں دیا گیا ہے۔ انٹیجر 5 کے پارٹیشنوں کے رینک رینک پارٹیشن فنکشن کے لیے مزید پڑھنے والے غیر علامتی فارمولے: رینک فنکشن کے لیے ہم آہنگی: رینک کو بی جی رینک میں عام کرنا: