Nicolas Bourbaki
निकोलस बोरबाकी () गणितविदों के एक समूह का सामूहिक छद्म नाम है, जो मुख्य रूप से इकोले नॉर्मल सुपरियर (ई. एन. एस.) के फ्रांसीसी पूर्व छात्र हैं। 1934-1935 में स्थापित, बोरबाकी समूह मूल रूप से विश्लेषण में एक नई पाठ्यपुस्तक तैयार करने का इरादा रखता था। समय के साथ यह परियोजना बहुत अधिक महत्वाकांक्षी हो गई, जो बोरबाकी नाम के तहत प्रकाशित पाठ्यपुस्तकों की एक बड़ी श्रृंखला में विकसित हुई, जिसका उद्देश्य आधुनिक शुद्ध गणित का इलाज करना था। इस श्रृंखला को सामूहिक रूप से एलिमेंट्स डी मैथेमेटिक (गणित के तत्व) के रूप में जाना जाता है, जो समूह का केंद्रीय कार्य है। श्रृंखला में इलाज किए गए विषयों में सेट सिद्धांत, अमूर्त बीजगणित, टोपोलॉजी, विश्लेषण, लाइ समूह और लाइ बीजगणित शामिल हैं। बोरबाकी की स्थापना प्रथम विश्व युद्ध के प्रभावों के जवाब में की गई थी, जिसके कारण फ्रांसीसी गणितविदों की एक पीढ़ी की मृत्यु हो गई थी; परिणामस्वरूप, युवा विश्वविद्यालय प्रशिक्षकों को दिनांकित ग्रंथों का उपयोग करने के लिए मजबूर होना पड़ा। स्ट्रासबर्ग विश्वविद्यालय में पढ़ाते समय, हेनरी कार्टन ने अपने सहयोगी आंद्रे वेइल से उपलब्ध पाठ्यक्रम सामग्री की अपर्याप्तता की शिकायत की, जिसने वेइल को सामूहिक रूप से एक आधुनिक विश्लेषण पाठ्यपुस्तक लिखने के लिए पेरिस में दूसरों के साथ एक बैठक का प्रस्ताव रखने के लिए प्रेरित किया। समूह के मुख्य संस्थापक कार्टन, क्लाउड चेवलली, जीन डेलसार्टे, जीन ड्यूडोन और वेइल थे; अन्य लोगों ने समूह के शुरुआती वर्षों के दौरान संक्षिप्त रूप से भाग लिया, और समय के साथ सदस्यता धीरे-धीरे बदल गई है। यद्यपि पूर्व सदस्य समूह के साथ अपनी पिछली भागीदारी पर खुले तौर पर चर्चा करते हैं, बोरबाकी की अपनी वर्तमान सदस्यता को गुप्त रखने की प्रथा है। समूह का नाम 19वीं शताब्दी के फ्रांसीसी जनरल चार्ल्स-डेनिस बोरबाकी से लिया गया है, जिन्होंने फ्रेंको-प्रशिया युद्ध में नाटकीय नुकसान झेलने से पहले सफल सैन्य अभियानों का करियर बनाया था। इसलिए यह नाम 20वीं शताब्दी के शुरुआती फ्रांसीसी छात्रों के लिए परिचित था। वेइल ने एक ई. एन. एस. छात्र प्रैंक को याद किया जिसमें एक उच्च वर्ग के व्यक्ति ने प्रोफेसर के रूप में प्रस्तुत किया और "बोरबाकी की प्रमेय" प्रस्तुत की; नाम को बाद में अपनाया गया था। बोरबाकी समूह एलिमेंट्स का मसौदा तैयार करने और विस्तार करने के उद्देश्य से नियमित रूप से निजी सम्मेलन आयोजित करता है। उपसमितियों को विषय सौंपे जाते हैं, मसौदों पर बहस की जाती है, और किसी पाठ को प्रकाशन के लिए उपयुक्त समझने से पहले सर्वसम्मत समझौते की आवश्यकता होती है। हालांकि धीमी और श्रम-गहन, प्रक्रिया के परिणामस्वरूप एक ऐसा कार्य होता है जो कठोरता और व्यापकता के लिए समूह के मानकों को पूरा करता है। समूह सेमिनाइर बोरबाकी से भी जुड़ा हुआ है, जो समूह के सदस्यों और गैर-सदस्यों द्वारा प्रस्तुत व्याख्यानों की एक नियमित श्रृंखला है, जिसे लिखित दस्तावेजों के रूप में भी प्रकाशित और प्रसारित किया जाता है। बोरबाकी ई. एन. एस. में एक कार्यालय रखता है। निकोलस बोरबाकी 20वीं शताब्दी के गणित में प्रभावशाली थे, विशेष रूप से शताब्दी के मध्य के दौरान जब एलिमेंट्स के खंड अक्सर दिखाई देते थे। यह समूह अपनी कठोर प्रस्तुति और संरचनावाद की व्यापक, अंतःविषय अवधारणा से संबंधित एक गणितीय संरचना की धारणा को पेश करने के लिए गणितविदों के बीच जाना जाता है। बोरबाकी के काम ने नए गणित को सूचित किया, जो 1960 के दशक के दौरान प्राथमिक गणित शिक्षा में एक प्रवृत्ति थी। हालाँकि समूह सक्रिय बना हुआ है, लेकिन माना जाता है कि एलिमेंट्स के नए संस्करणों के कभी-कभार प्रकाशन के कारण इसका प्रभाव कम हो गया है। हालाँकि, 2012 के बाद से समूह ने चार नए (या महत्वपूर्ण रूप से संशोधित) खंड प्रकाशित किए हैं, जो सबसे हाल ही में 2023 में (वर्णक्रमीय सिद्धांत का इलाज) प्रकाशित हुए हैं। इसके अलावा, कम से कम तीन और खंड तैयार किए जा रहे हैं। पृष्ठभूमि चार्ल्स-डेनिस सौटर बोरबाकी का जन्म 22 अप्रैल 1816 को पाउ, बैसेस-पाइरेनेस, अब पाइरेनेस-अटलांटिक, फ्रांस में यूनानी मूल के एक परिवार में हुआ था। वह नेपोलियन तृतीय के युग के दौरान एक सफल जनरल बन गए, जिन्होंने क्रीमियन युद्ध और अन्य संघर्षों में सेवा की। हालाँकि, फ्रेंको-प्रशिया युद्ध के दौरान, चार्ल्स-डेनिस बोरबाकी को एक बड़ी हार का सामना करना पड़ा। मेट्ज़ की घेराबंदी के समय, उन्हें शांति सम्मेलन के झूठे बहाने ब्रिटेन का लालच दिया गया था, और महाद्वीप में लौटने पर उन्हें बेल्फोर्ट की घेराबंदी उठाने का काम सौंपा गया था, एक प्रयास जो विफल रहा। चार्ल्स-डेनिस बोरबाकी को स्विस सीमा के पार अपनी सेना-आर्मी डी ल 'एस्ट-के साथ पीछे हटने के लिए मजबूर होना पड़ा। बल को स्विस द्वारा निरस्त्र कर दिया गया था, और जनरल ने असफल रूप से आत्महत्या का प्रयास किया। चार्ल्स-डेनिस बोरबाकी की बाद में 27 सितंबर 1897 को मृत्यु हो गई, और उनकी हार की नाटकीय कहानी फ्रांसीसी चेतना में प्रवेश कर गई। 20वीं शताब्दी की शुरुआत में, प्रथम विश्व युद्ध ने सभी व्यवसायों और सामाजिक वर्गों के यूरोपीय लोगों को प्रभावित किया, जिसमें गणितशास्त्री और पुरुष छात्र शामिल थे जो मोर्चे पर लड़े और मारे गए। उदाहरण के लिए, फ्रांसीसी गणितशास्त्री गैस्टन जूलिया, जो अस्थिभंग के अध्ययन में अग्रणी थे, ने युद्ध के दौरान अपनी नाक खो दी और जीवन भर अपने चेहरे के प्रभावित हिस्से पर चमड़े का पट्टा पहना। ई. एन. एस. छात्रों की मृत्यु के परिणामस्वरूप फ्रांसीसी गणितीय समुदाय में एक खोई हुई पीढ़ी पैदा हो गई; युद्ध में मरने वाले ई. एन. एस. गणित के छात्रों (और आम तौर पर फ्रांसीसी छात्रों) का अनुमानित अनुपात समय के अंतराल (सी. 1900-1918, विशेष रूप से 1910-1916) और मानी गई आबादी के आधार पर एक चौथाई से आधे तक होता है। इसके अलावा, बोरबाकी के संस्थापक आंद्रे वेइल ने अपने संस्मरण अपरेंटिसशिप ऑफ ए मैथमेटिसियन में टिप्पणी की कि फ्रांस और जर्मनी ने युद्ध के दौरान अपने बुद्धिजीवियों के साथ अलग-अलग दृष्टिकोण अपनाएः जबकि जर्मनी ने अपने युवा छात्रों और वैज्ञानिकों की रक्षा की, फ्रांस ने इसके बजाय समानता की फ्रांसीसी संस्कृति के कारण उन्हें मोर्चे पर प्रतिबद्ध किया। 1920 के दशक के दौरान गणित के छात्रों की एक अगली पीढ़ी ने ई. एन. एस. में भाग लिया, जिसमें वेइल और अन्य, बोरबाकी के भावी संस्थापक शामिल थे। एक छात्र के रूप में अपने समय के दौरान, वेइल ने एक शरारत को याद किया जिसमें एक उच्च वर्ग के व्यक्ति ने प्रोफेसर के रूप में प्रस्तुत किया और एक गणित व्याख्यान दिया, जो एक संकेत के साथ समाप्त हुआः "बोरबाकी का सिद्धान्तः आपको निम्नलिखित को साबित करना है।" वेइल को 1910 के आसपास इसी तरह के एक स्टंट के बारे में भी पता था जिसमें एक छात्र ने काल्पनिक, गरीब राष्ट्र "पोल्डेविया" से होने का दावा किया और जनता से दान के लिए अनुरोध किया। वेइल की संस्कृत सीखने और भगवद गीता पढ़ने के बाद भाषाओं और भारतीय संस्कृति में गहरी रुचि थी। ई. एन. एस. से स्नातक होने और डॉक्टरेट प्राप्त करने के बाद, वेइल ने भारत में अलीगढ़ मुस्लिम विश्वविद्यालय में अध्यापन कार्य किया। वहाँ वेइल की मुलाकात गणितशास्त्री दामोदर कोसांबी से हुई, जो अपने एक सहयोगी के साथ सत्ता संघर्ष में लगे हुए थे। वेइल ने सुझाव दिया कि कोसांबी एक "बोरबाकी" से संबंधित सामग्री के साथ एक लेख लिखें, ताकि सहकर्मी को अपना ज्ञान दिखाया जा सके। लेख में चर्चा की गई सामग्री का श्रेय "अल्पज्ञात रूसी गणितशास्त्री डी. बोरबाकी को देते हुए कोसांबी ने सुझाव लिया, जिन्हें क्रांति के दौरान जहर दिया गया था।" यह गणितीय साहित्य में पहला लेख था जिसमें "बोरबाकी" नाम की सामग्री थी। भारत में वेइल का प्रवास अल्पकालिक था; उन्होंने अलीगढ़ में गणित विभाग को नया रूप देने का प्रयास किया, लेकिन सफलता नहीं मिली। विश्वविद्यालय प्रशासन ने वेल को बर्खास्त करने और उनके सहयोगी विजयराघवन को खाली पद पर पदोन्नत करने की योजना बनाई। हालांकि, वेइल और विजयराघवन एक-दूसरे का सम्मान करते थे। नाटक में कोई भूमिका निभाने के बजाय, विजयराघवन ने इस्तीफा दे दिया, बाद में वेइल को योजना के बारे में सूचित किया। वेइल एक और शिक्षण पद की तलाश में यूरोप लौट आए। वे अपने मित्र और सहयोगी हेनरी कार्टन के साथ स्ट्रासबर्ग विश्वविद्यालय में शामिल हुए। स्ट्रासबर्ग में एक साथ रहने के दौरान, वेइल और कार्टन नियमित रूप से कलन निर्देश के लिए उपलब्ध पाठ्यक्रम सामग्री की अपर्याप्तता के बारे में एक-दूसरे से शिकायत करते थे। अपने संस्मरण अप्रेंटिसशिप में, वेइल ने अपने समाधान का वर्णन निम्नलिखित शब्दों में कियाः "1934 के अंत में एक सर्दियों के दिन, मुझे एक महान विचार आया जो मेरे कॉमरेड द्वारा इन निरंतर पूछताछ को समाप्त कर देगा। 'हम पाँच या छह दोस्त हैं', मैंने कुछ समय बाद उनसे कहा, 'जो विभिन्न विश्वविद्यालयों में एक ही गणित पाठ्यक्रम के प्रभारी हैं। आइए हम सभी एक साथ आएं और इन मामलों को हमेशा के लिए विनियमित करें, और इसके बाद, मुझे इन प्रश्नों से मुक्त कर दिया जाएगा। मैं इस तथ्य से अनजान था कि उस समय बोरबाकी का जन्म हुआ था। कार्टन ने खाते की पुष्टि की। बोरबाकी सामूहिक की पहली अनौपचारिक बैठक सोमवार, 10 दिसंबर 1934 को दोपहर में लैटिन क्वार्टर में कैफे ग्रिल-रूम ए. कैपॉलेड, पेरिस में हुई। छह गणितशास्त्री उपस्थित थेः हेनरी कार्टन, क्लाउड चेवलली, जीन डेलसार्टे, जीन ड्यूडोन, रेने डी पॉसेल और आंद्रे वेल। अधिकांश समूह पेरिस के बाहर स्थित थे और जूलिया सेमिनार में भाग लेने के लिए शहर में थे, जो गैस्टन जूलिया की मदद से तैयार किया गया एक सम्मेलन था जिसमें कई भविष्य के बोरबाकी सदस्यों और सहयोगियों ने प्रस्तुत किया था। समूह ने फ्रांसीसी विश्वविद्यालयों में कलन निर्देश को मानकीकृत करने के उद्देश्य से सामूहिक रूप से विश्लेषण पर एक ग्रंथ लिखने का संकल्प लिया। इस परियोजना का उद्देश्य विशेष रूप से एडौर्ड गोरसैट के पाठ को हटाना था, जिसे समूह ने बुरी तरह से पुराना पाया, और स्टोक्स के प्रमेय के अपने उपचार में सुधार करना था। संस्थापकों को गोटिंगन स्कूल के विचारों को शामिल करने की इच्छा से भी प्रेरित किया गया था, विशेष रूप से प्रतिपादक हिल्बर्ट, नोथर और बी. एल. वैन डेर वेर्डेन। इसके अलावा, प्रथम विश्व युद्ध के बाद, फ्रांसीसी गणित को गिरावट से बचाने के लिए एक निश्चित राष्ट्रवादी आवेग था, विशेष रूप से जर्मनी के साथ प्रतिस्पर्धा में। जैसा कि ड्यूडोन ने एक साक्षात्कार में कहा, "घमंड करने का कोई मतलब नहीं है, मैं कह सकता हूं कि यह बोरबाकी था जिसने फ्रांसीसी गणित को विलुप्त होने से बचाया था।" जीन डेलसार्टे प्रस्तावित परियोजना के सामूहिक पहलू के लिए विशेष रूप से अनुकूल थे, यह देखते हुए कि इस तरह की कार्य शैली समूह के काम को कॉपीराइट के संभावित बाद के व्यक्तिगत दावों से बचा सकती है। जैसा कि विभिन्न विषयों पर चर्चा की गई थी, डेलसार्टे ने यह भी सुझाव दिया कि काम सबसे अमूर्त, स्वयंसिद्ध शब्दों में शुरू किया जाए, जिसमें सभी गणित की पूर्व शर्तों को नए सिरे से विश्लेषण किया जाए। समूह इस विचार पर सहमत हो गया और प्रस्तावित कार्य के इस मूलभूत क्षेत्र को "एब्स्ट्रैक्ट पैकेट" (पैक्वेट एब्स्ट्रैट) के रूप में संदर्भित किया गया। कार्यशील शीर्षकों को अपनाया गयाः समूह ने खुद को विश्लेषण पर ग्रंथ के लिए समिति के रूप में प्रस्तुत किया, और उनके प्रस्तावित काम को विश्लेषण पर ग्रंथ (ट्रेइट डी 'एनालिसिस) कहा गया। कुल मिलाकर, सामूहिक ने जुलाई 1935 में अपने पहले आधिकारिक, स्थापना सम्मेलन से पहले ए. कैपॉलेड में दस प्रारंभिक द्विसाप्ताहिक बैठकें आयोजित कीं। इस प्रारंभिक अवधि के दौरान, पॉल डुब्रेल, जीन लेरे और स्ज़ोलेम मंडेलब्रोज्ट शामिल हुए और भाग लिया। डुब्रेल और लेरे ने अगली गर्मियों से पहले बैठकों को छोड़ दिया, और क्रमशः नए प्रतिभागियों जीन कूलम्ब और चार्ल्स एहरेसमैन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया। समूह का आधिकारिक स्थापना सम्मेलन 10 से 17 जुलाई 1935 तक बेसे-एन-चांडेस में आयोजित किया गया था। आधिकारिक स्थापना के समय, सदस्यता में 10 दिसंबर 1934 के पहले दोपहर के भोजन में कुलम्ब, एहरेसमैन और मंडेलब्रोज्ट के साथ छह प्रतिभागी शामिल थे। 16 जुलाई को, सदस्यों ने अनुत्पादक कार्यवाही की ऊब को कम करने के लिए सैर की। अस्वस्थता के दौरान, कुछ लोगों ने पास के लाक पाविन में दुबला होने का फैसला किया, बार-बार चिल्लाते हुए "बोरबाकी!" पहले आधिकारिक सम्मेलन के समापन पर, समूह ने अपना नाम बदलकर "बोरबाकी" रख लिया, जैसा कि वेइल और अन्य लोगों द्वारा याद किया गया था। 1935 के दौरान, समूह ने अपने नाम के तहत एक लेख प्रकाशित करके अपने सामूहिक छद्म नाम के गणितीय व्यक्तित्व को स्थापित करने का भी संकल्प लिया। पहला नाम तय करना पड़ता था; किसी भी लेख के प्रकाशन के लिए एक पूरा नाम आवश्यक था। इसके लिए, रेने डी पॉसेल की पत्नी एवलिन ने निकोलस के पहले नाम के साथ छद्म नाम को "बपतिस्मा" दिया, और बोरबाकी की "गॉडमदर" बन गई। इसने बोरबाकी से संबंधित सामग्री के साथ एक दूसरे लेख के प्रकाशन की अनुमति दी, इस बार "उनके" अपने नाम के तहत। हेनरी कार्टन के पिता एली कार्टन, जो एक गणितशास्त्री और समूह के समर्थक भी थे, ने प्रकाशकों को लेख प्रस्तुत किया, जिन्होंने इसे स्वीकार कर लिया। बोरबाकी की स्थापना के समय, रेने डी पॉसेल और उनकी पत्नी एवलिन तलाक लेने की प्रक्रिया में थे। एवलिन ने 1937 में आंद्रे वेल से पुनर्विवाह किया और डी पॉसेल ने कुछ समय बाद बोरबाकी समूह को छोड़ दिया। घटनाओं के इस क्रम ने अटकलों को जन्म दिया है कि डी पॉसेल ने पुनर्विवाह के कारण समूह छोड़ दिया, हालांकि इस सुझाव की संभवतः ऐतिहासिक रूप से गलत के रूप में भी आलोचना की गई है, क्योंकि माना जाता है कि डी पॉसेल एवलिन के साथ आंद्रे की शादी के बाद वर्षों तक बोरबाकी में सक्रिय रहे। द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान बोरबाकी का काम काफी धीमा हो गया, हालांकि समूह बच गया और बाद में फला-फूला। बोरबाकी के कुछ सदस्य यहूदी थे और इसलिए कुछ समय पर यूरोप के कुछ हिस्सों से भागने के लिए मजबूर थे। वेइल, जो यहूदी थे, ने 1939 की गर्मियाँ फिनलैंड में अपनी पत्नी एवलिन के साथ लार्स अहलफोर्स के मेहमानों के रूप में बिताईं। सीमा के पास उनकी यात्रा के कारण, दंपति पर शीतकालीन युद्ध की शुरुआत के निकट फिनिश अधिकारियों द्वारा सोवियत जासूसों के रूप में संदेह किया गया था, और बाद में आंद्रे को गिरफ्तार कर लिया गया था। एक उपाख्यान के अनुसार, वेइल को फांसी दी जानी थी, लेकिन अपने मामले का उल्लेख रॉल्फ नेवनलिन्ना को देने के लिए, जिन्होंने वेइल की सजा को कम करने के लिए कहा। हालाँकि, इस विवरण की सटीकता संदिग्ध है। वेइल 1941 में संयुक्त राज्य अमेरिका पहुंचे, बाद में 1947 से 1958 तक शिकागो विश्वविद्यालय में बसने से पहले 1945 से 1947 तक साओ पाउलो में एक और शिक्षण कार्यकाल लिया और अंत में प्रिंसटन में इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी में बस गए, जहाँ उन्होंने अपना शेष कार्यकाल बिताया। हालांकि वेइल बोरबाकी सामूहिक के संपर्क में रहे और युद्ध के बाद समय-समय पर यूरोप और समूह का दौरा किया, लेकिन बोरबाकी के साथ उनकी भागीदारी का स्तर स्थापना के समय कभी वापस नहीं आया। दूसरी पीढ़ी के बोरबाकी सदस्य लॉरेंट श्वार्ट्ज भी यहूदी थे और उन्हें ग्रामीण विची फ्रांस में एक गणित शिक्षक के रूप में पिकअप का काम मिला। एक गाँव से दूसरे गाँव जाते हुए, श्वार्ट्ज ने नाजियों द्वारा कब्जा किए जाने से बचने के लिए अपनी गतिविधियों की योजना बनाई। एक अवसर पर श्वार्ट्ज ने खुद को एक निश्चित गाँव में रात भर फंसा हुआ पाया, क्योंकि उनका अपेक्षित परिवहन घर उपलब्ध नहीं था। शहर में दो सराय थींः एक आरामदायक, अच्छी तरह से नियुक्त, और एक बहुत गरीब जिसमें कोई हीटिंग और खराब बिस्तर नहीं थे। श्वार्ट्ज की प्रवृत्ति ने उन्हें गरीब सराय में रहने के लिए कहा; रात भर, नाजियों ने अच्छी सराय पर छापा मारा, जिससे गरीब सराय अनियंत्रित हो गई। इस बीच, एक कैथोलिक, जीन डेलसार्टे को 1939 में एक ऑडियो टोही बैटरी के कप्तान के रूप में जुटाया गया था। उन्हें फ्रांस के पूर्वोत्तर भाग से दक्षिण की ओर इकाई के पीछे हटने का नेतृत्व करने के लिए मजबूर होना पड़ा। स्विस सीमा के पास से गुजरते समय, डेलसार्टे ने एक सैनिक को यह कहते हुए सुना कि "हम बोरबाकी की सेना हैं"; 19वीं शताब्दी के जनरल के पीछे हटने के बारे में फ्रांसीसी जानते थे। डेलसार्टे ने संयोग से सामूहिक नाम के समान पीछे हटने का नेतृत्व किया था। युद्ध के बाद से वर्तमान तक, युद्ध के बाद, बोरबाकी ने अपने काम की योजना को मजबूत किया और एक उत्पादक दिनचर्या में बस गया। बोरबाकी ने 1950 और 1960 के दशक के दौरान नियमित रूप से एलिमेंट्स के खंड प्रकाशित किए, और इस अवधि के दौरान इसके सबसे बड़े प्रभाव का आनंद लिया। समय के साथ संस्थापक सदस्यों ने धीरे-धीरे समूह छोड़ दिया, धीरे-धीरे जीन-पियरे सेरे और अलेक्जेंडर ग्रोथेन्डिक सहित युवा नवागंतुकों के साथ प्रतिस्थापित किया गया। सेरे, ग्रोथेन्डिक और लॉरेंट श्वार्ट्ज को युद्ध के बाद की अवधि के दौरान क्रमशः 1954,1966 और 1950 में फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया गया था। बाद के सदस्यों एलेन कॉनेस और जीन-क्रिस्टोफ योकोज़ को भी क्रमशः 1982 और 1994 में फील्ड्स मेडल मिला। वैज्ञानिक पुरस्कार स्वीकार करने की बाद की प्रथा कुछ संस्थापकों के विचारों के विपरीत थी। 1930 के दशक के दौरान, वेल और डेलसार्टे ने नोबेल भौतिकी पुरस्कार विजेता जीन पेरिन द्वारा प्रस्तावित एक फ्रांसीसी राष्ट्रीय वैज्ञानिक "पदक प्रणाली" के खिलाफ याचिका दायर की। वेइल और डेलसार्टे ने महसूस किया कि इस तरह की प्रणाली की स्थापना से वैज्ञानिक समुदाय में असंवैधानिक क्षुद्रता और ईर्ष्या बढ़ेगी। इसके बावजूद, बोरबाकी समूह ने पहले अपने सामान्य संचालन का समर्थन करने के लिए पेरिन को सरकारी अनुदान के लिए सफलतापूर्वक याचिका दायर की थी। संस्थापकों की तरह, ग्रोथेन्डिक भी शांतिवादी कारणों से पुरस्कारों के खिलाफ थे। हालांकि ग्रोथेन्डिक को 1966 में फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया गया था, लेकिन उन्होंने सोवियत सरकार के विरोध में मास्को में समारोह में भाग लेने से इनकार कर दिया। 1988 में, ग्रोथेन्डिक ने पुरस्कार राशि स्वीकार करने की कोई व्यक्तिगत आवश्यकता नहीं, हाल ही में प्रासंगिक उत्पादन की कमी और वैज्ञानिक समुदाय के सामान्य अविश्वास का हवाला देते हुए क्राफोर्ड पुरस्कार को पूरी तरह से अस्वीकार कर दिया। यहूदी अराजकतावादी माता-पिता के घर में जन्मे, ग्रोथेन्डिक होलोकॉस्ट से बच गए और युद्ध के दौरान खराब शिक्षा के बावजूद फ्रांसीसी गणितीय समुदाय में तेजी से आगे बढ़े। ग्रोथेन्डिक के शिक्षकों में बोरबाकी के संस्थापक शामिल थे, और इसलिए वे समूह में शामिल हो गए। ग्रोथेन्डिक की सदस्यता के दौरान, बोरबाकी अपने मूलभूत दृष्टिकोण के बारे में एक गतिरोध पर पहुंच गया। ग्रोथेन्डिक ने समूह के काम में सुधार की वकालत की, जिसमें सेट सिद्धांत के विपरीत श्रेणी सिद्धांत को इसके सैद्धांतिक आधार के रूप में उपयोग किया गया। प्रस्ताव को अंततः आंशिक रूप से अस्वीकार कर दिया गया क्योंकि समूह पहले से ही कई पहले से प्रकाशित खंडों के साथ क्रमिक प्रस्तुति के एक कठोर ट्रैक के लिए खुद को प्रतिबद्ध कर चुका था। इसके बाद, ग्रोथेन्डिक ने "गुस्से में" बोरबाकी को छोड़ दिया। सामूहिक के जीवनीकारों ने श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में शुरुआत करने के लिए बोरबाकी की अनिच्छा को एक छूटे हुए अवसर के रूप में वर्णित किया है। हालाँकि, बोरबाकी ने 2023 में घोषणा की है कि श्रेणी सिद्धांत पर एक पुस्तक वर्तमान में तैयार की जा रही है (इस खंड के अंतिम पैराग्राफ के नीचे देखें)। स्थापना अवधि के दौरान, समूह ने पेरिस के प्रकाशक हर्मन को एलिमेंट्स की किश्तें जारी करने के लिए चुना। हर्मन का नेतृत्व एनरिक फ्रीमैन ने किया था, जो वित्तीय जोखिम के बावजूद समूह की परियोजना को प्रकाशित करने के इच्छुक संस्थापकों के मित्र थे। 1970 के दशक के दौरान, बोरबाकी ने कॉपीराइट और रॉयल्टी भुगतान के मामलों पर हर्मन के साथ एक लंबी कानूनी लड़ाई में प्रवेश किया। हालाँकि बोरबाकी समूह ने मुकदमा जीत लिया और एलिमेंट्स के सामूहिक कॉपीराइट को बरकरार रखा, लेकिन विवाद ने समूह की उत्पादकता को धीमा कर दिया। पूर्व सदस्य पियरे कार्टियर ने मुकदमे को एक अलौकिक जीत के रूप में वर्णित करते हुए कहाः "हमेशा की तरह कानूनी लड़ाई में दोनों पक्ष हार गए और वकील अमीर हो गए।" एलिमेंट्स के बाद के संस्करण मैसन द्वारा प्रकाशित किए गए थे, और आधुनिक संस्करण स्प्रिंगर द्वारा प्रकाशित किए गए थे। 1980 के दशक से 2000 के दशक तक, बोरबाकी ने बहुत कम प्रकाशित किया, जिसके परिणामस्वरूप 1998 में ले मोंडे ने सामूहिक रूप से "मृत" घोषित किया। हालाँकि, 2012 में बोरबाकी ने बीजगणित के संशोधित अध्याय 8, बीजगणितीय टोपोलॉजी पर एक नई पुस्तक के पहले 4 अध्यायों और वर्णक्रमीय सिद्धांत पर दो खंडों (जिनमें से पहला 1967 के संस्करण का एक विस्तारित और संशोधित संस्करण है, जबकि बाद वाले में तीन नए अध्याय शामिल हैं) के साथ एलिमेंट्स का प्रकाशन फिर से शुरू किया। इसके अलावा, दो नवीनतम खंडों के पाठ से पता चलता है कि श्रेणी सिद्धांत और मॉड्यूलर रूपों पर पुस्तकें वर्तमान में तैयार की जा रही हैं (बीजगणितीय टोपोलॉजी पर पुस्तक के बाद के भाग के अलावा)। कार्य विधि बोरबाकी एलिमेंट्स के विस्तार के उद्देश्य से आवधिक सम्मेलन आयोजित करता है; ये सम्मेलन समूह के कार्य जीवन की केंद्रीय गतिविधि हैं। उपसमितियों को विशिष्ट सामग्री पर मसौदा लिखने के लिए सौंपा जाता है, और मसौदों को बाद में प्रस्तुत किया जाता है, जोरदार बहस की जाती है, और सम्मेलनों में फिर से तैयार किया जाता है। प्रकाशन के लिए किसी भी सामग्री को स्वीकार्य मानने से पहले सर्वसम्मति से समझौते की आवश्यकता होती है। सामग्री के एक टुकड़े के लिए कई वर्षों की अवधि में छह या अधिक मसौदों की आवश्यकता हो सकती है, और कुछ मसौदों को कभी भी पूर्ण कार्य के रूप में विकसित नहीं किया जाता है। इसलिए बोरबाकी की लेखन प्रक्रिया को "सिसिफियन" के रूप में वर्णित किया गया है। यद्यपि विधि धीमी है, यह एक अंतिम उत्पाद देता है जो गणितीय कठोरता के लिए समूह के मानकों को संतुष्ट करता है, जो ग्रंथ में बोरबाकी की मुख्य प्राथमिकताओं में से एक है। कठोरता पर बोरबाकी का जोर हेनरी पोइनकेरे की शैली की प्रतिक्रिया थी, जिन्होंने पूरी तरह से प्रस्तुति की कीमत पर मुक्त-प्रवाहित गणितीय अंतर्ज्ञान के महत्व पर जोर दिया। परियोजना के शुरुआती वर्षों के दौरान, ड्यूडोन ने समूह के लेखक के रूप में काम किया, कई अंतिम मसौदों का लेखन किया जो अंततः प्रकाशित हुए। इस उद्देश्य के लिए, ड्यूडोन ने एक अवैयक्तिक लेखन शैली को अपनाया जो उनकी अपनी नहीं थी, बल्कि जिसका उपयोग पूरे समूह को स्वीकार्य सामग्री तैयार करने के लिए किया जाता था। ड्यूडोन ने अपनी व्यक्तिगत शैली को अपने काम के लिए सुरक्षित रखा; बोरबाकी के सभी सदस्यों की तरह, ड्यूडोन ने भी अपने नाम के तहत सामग्री प्रकाशित की, जिसमें नौ-खंड एलिमेंट्स डी 'एनालिसिस शामिल था, जो स्पष्ट रूप से विश्लेषण और बोरबाकी के प्रारंभिक इरादों के साथ एक टुकड़े पर केंद्रित था। बोरबाकी के एलिमेंट्स के अधिकांश अंतिम मसौदों में चित्रों का उपयोग करने से सावधानीपूर्वक परहेज किया गया, केवल पाठ और सूत्रों पर आधारित एक औपचारिक प्रस्तुति का समर्थन किया गया। इसके लिए एक अपवाद झूठ समूहों और झूठ बीजगणित (विशेष रूप से अध्याय 4-6 में) का उपचार था, जिसमें आरेखों और चित्रों का उपयोग किया गया था। काम के इस हिस्से में चित्रण को शामिल करना आर्मंड बोरेल के कारण था। बोरेल बहुसंख्यक-फ्रांसीसी समूह में अल्पसंख्यक-स्विस थे, और "स्विस किसान" के रूप में स्वयं को बदनाम करते हुए बताते हैं कि दृश्य शिक्षा स्विस राष्ट्रीय चरित्र के लिए महत्वपूर्ण थी। इस काम में चित्रण की कमी के बारे में पूछे जाने पर, पूर्व सदस्य पियरे कार्टियर ने जवाब दियाः सम्मेलन ऐतिहासिक रूप से शांत ग्रामीण क्षेत्रों में आयोजित किए गए हैं। ये स्थान जीवंत, कभी-कभी गरमागरम बहसों के विपरीत हैं जो हुई हैं। लॉरेंट श्वार्ट्ज ने एक प्रकरण की सूचना दी जिसमें वेइल ने एक मसौदे के साथ कार्टन के सिर पर थप्पड़ मारा। होटल के मालिक ने घटना को देखा और मान लिया कि समूह अलग हो जाएगा, लेकिन श्वार्ट्ज के अनुसार, "दस मिनट के भीतर शांति बहाल हो गई।" बोरबाकी के भीतर बहस की ऐतिहासिक, टकराव शैली का श्रेय आंशिक रूप से वेल को दिया गया है, जो मानते थे कि नए विचारों के व्यवस्थित चर्चा की तुलना में टकराव में पैदा होने की बेहतर संभावना है। श्वार्ट्ज ने एक और सचित्र घटना का उल्लेख कियाः ड्यूडोन इस बात पर अड़े थे कि एकीकरण से पहले कार्य में स्थलवैज्ञानिक वेक्टर रिक्त स्थान दिखाई देने चाहिए, और जब भी कोई सुझाव देता कि आदेश को उलट दिया जाए, तो वह जोर से अपने इस्तीफे की धमकी देते। यह समूह के बीच एक मजाक बन गया; रोजर गोडमेंट की पत्नी सोनिया ने एक सम्मेलन में भाग लिया, इस विचार से अवगत थीं, और सबूत मांगे। जैसे ही सोनिया एक बैठक में पहुंची, एक सदस्य ने सुझाव दिया कि एकीकरण को टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान से पहले दिखाई देना चाहिए, जिससे ड्यूडोन की सामान्य प्रतिक्रिया शुरू हो गई। गरमागरम बहस की ऐतिहासिक संस्कृति के बावजूद, बोरबाकी बीसवीं शताब्दी के मध्य के दौरान फला-फूला। इस तरह के सामूहिक, आलोचनात्मक दृष्टिकोण को बनाए रखने की बोरबाकी की क्षमता को "कुछ असामान्य" के रूप में वर्णित किया गया है, जो इसके अपने सदस्यों को भी आश्चर्यचकित करता है। संस्थापक हेनरी कार्टन के शब्दों में, "कि एक अंतिम उत्पाद बिल्कुल भी प्राप्त किया जा सकता है, एक प्रकार का चमत्कार है जिसे हम में से कोई भी समझा नहीं सकता है।" यह सुझाव दिया गया है कि समूह बच गया क्योंकि इसके सदस्य व्यक्तिगत मतभेदों के बावजूद अपनी सामूहिक परियोजना के महत्व में दृढ़ता से विश्वास करते थे। जब समूह कठिनाइयों को पार करता है या एक विचार विकसित करता है जो उन्हें पसंद है, तो वे कभी-कभी ल 'एस्प्रिट ए सूफले ("आत्मा सांस लेती है") कहते हैं। इतिहासकार लिलियन ब्यूलिउ ने उल्लेख किया कि "आत्मा"-जो एक अवतार हो सकता है, कार्य में समूह की मानसिकता, या बोरबाकी "स्वयं"-एक आंतरिक संस्कृति और पौराणिक कथाओं का हिस्सा था जिसका उपयोग समूह अपनी पहचान बनाने और काम करने के लिए करता था। हास्य समूह की संस्कृति का एक महत्वपूर्ण पहलू रहा है, जिसकी शुरुआत वेल की "बोरबाकी" और "पोल्डेविया" से जुड़े छात्र प्रैंक की यादों से हुई है। उदाहरण के लिए, 1939 में समूह ने "बेट्टी बोरबाकी" (निकोलस की बेटी) की शादी की घोषणा एक "एच. पेटार्ड" (एच. "पटाखे फोड़ने वाले" या "हेक्टर पेटार्ड"), एक "शेर शिकारी" से की। हेक्टर पेटार्ड अपने आप में एक छद्म नाम था, लेकिन मूल रूप से बोरबाकी सदस्यों द्वारा गढ़ा गया नहीं था। पेटार्ड उपनाम की उत्पत्ति राल्फ पी. बोस, फ्रैंक स्मिथिस और अन्य प्रिंसटन गणितविदों द्वारा की गई थी जो बोरबाकी परियोजना से अवगत थे; उनसे प्रेरित होकर प्रिंसटन के गणितविदों ने "शेर के शिकार के गणित" पर एक लेख प्रकाशित किया। बोआस और स्मिथिस से मिलने के बाद, वेइल ने शादी की घोषणा की, जिसमें कई गणितीय श्लेष शामिल थे। बोरबाकी के आंतरिक समाचार पत्र ला ट्रिबू को कभी-कभी किसी दिए गए सम्मेलन का वर्णन करने के लिए हास्यपूर्ण उपशीर्षक के साथ जारी किया गया है, जैसे कि "द एक्स्ट्राऑर्डिनरी कांग्रेस ऑफ ओल्ड फॉगीज़" (जहां 30 से अधिक उम्र के किसी भी व्यक्ति को एक नकली माना जाता था) या "द कांग्रेस ऑफ द मोटराइजेशन ऑफ द ट्रॉटिंग एस" (एक अभिव्यक्ति जिसका उपयोग गणितीय प्रमाण, या प्रक्रिया के नियमित रूप से प्रकट होने का वर्णन करने के लिए किया जाता है)। 1940-1950 के दशक के दौरान, अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी को बोरबाकी से व्यक्तिगत सदस्यता के लिए आवेदन प्राप्त हुए। जे. आर. क्लाइन ने उन्हें अस्वीकार कर दिया, जिन्होंने इकाई को एक सामूहिक माना और उन्हें संस्थागत सदस्यता के लिए फिर से आवेदन करने के लिए आमंत्रित किया। जवाब में, बोरबाकी ने एक अफवाह फैलाई कि राल्फ बोस एक वास्तविक व्यक्ति नहीं थे, बल्कि गणितीय समीक्षाओं के संपादकों का एक सामूहिक छद्म नाम था, जिसके साथ बोस संबद्ध थे। बोआस को निशाना बनाने का कारण यह था कि वह समूह को उसके शुरुआती दिनों में जानता था जब वे गोपनीयता के साथ कम सख्त थे, और उन्होंने एनसाइक्लोपीडिया ब्रिटानिका के लिए एक लेख में उन्हें एक सामूहिक के रूप में वर्णित किया था। नवंबर 1968 में, एक सेमिनार के दौरान निकोलस बोरबाकी की एक नकली श्रद्धांजलि जारी की गई थी। समूह ने आंतरिक उपयोग के लिए "बोरबाकी" शब्द के कुछ रूप विकसित किए। "बोरबाकी" संज्ञा उचित समूह या एक व्यक्तिगत सदस्य को संदर्भित कर सकती है, जैसे। "आंद्रे वेल एक बोरबाकी था।" "बोरबाकिस्ट" का उपयोग कभी-कभी सदस्यों को संदर्भित करने के लिए किया जाता है, लेकिन यह सहयोगियों, समर्थकों और उत्साही लोगों को भी दर्शाता है। "बोरबाकाइज़" का अर्थ है एक खराब मौजूदा पाठ को लेना और एक संपादन प्रक्रिया के माध्यम से इसे सुधारना। बोरबाकी की हास्य संस्कृति को समूह के सामाजिक सामंजस्य और जीवित रहने की क्षमता में एक महत्वपूर्ण कारक के रूप में वर्णित किया गया है, जो गरमागरम बहस के तनाव को कम करता है। "बेट्टी _ बोरबाकी" में पंजीकृत एक ट्विटर खाता समूह की गतिविधि पर नियमित अपडेट प्रदान करता है। वर्क्स बोरबाकी के काम में पाठ्यपुस्तकों की एक श्रृंखला, मुद्रित व्याख्यान टिप्पणियों की एक श्रृंखला, पत्रिका लेख और एक आंतरिक समाचार पत्र शामिल हैं। पाठ्यपुस्तक श्रृंखला एलिमेंट्स डी मैथमेटिक (गणित के तत्व) समूह का केंद्रीय कार्य है। सेमिनाइर बोरबाकी एक व्याख्यान श्रृंखला है जो समूह के तत्वावधान में नियमित रूप से आयोजित की जाती है, और दिए गए भाषणों को व्याख्यान टिप्पणियों के रूप में भी प्रकाशित किया जाता है। जर्नल लेखों को बोरबाकी के लेखकत्व के साथ प्रकाशित किया गया है, और समूह एक आंतरिक समाचार पत्र ला ट्रिबू (द ट्राइब) प्रकाशित करता है जो वर्तमान और पूर्व सदस्यों को वितरित किया जाता है। एलिमेंट्स डी मैथमेटिक एलिमेंट्स की सामग्री को पुस्तकों में विभाजित किया गया है-चर्चा के प्रमुख विषय, खंड-व्यक्तिगत, भौतिक पुस्तकें और अध्याय, परिणामों के कुछ सारांश, ऐतिहासिक टिप्पणियों और अन्य विवरणों के साथ। एलिमेंट्स के खंडों का एक जटिल प्रकाशन इतिहास रहा है। सामग्री को नए संस्करणों के लिए संशोधित किया गया है, अपने इच्छित तार्किक अनुक्रम के क्रम से बाहर कालानुक्रमिक रूप से प्रकाशित किया गया है, एक साथ समूहीकृत किया गया है और बाद के खंडों में अलग-अलग विभाजित किया गया है, और अंग्रेजी में अनुवाद किया गया है। उदाहरण के लिए, बीजगणित पर दूसरी पुस्तक मूल रूप से आठ फ्रांसीसी खंडों में जारी की गई थीः पहला 1942 में अकेले अध्याय 1 था, और आखिरी 1980 में अकेले अध्याय 10 था। इस प्रस्तुति को बाद में पांच खंडों में संक्षिप्त किया गया था, जिसमें पहले खंड में अध्याय 1-3, दूसरे में अध्याय 4-7 और प्रत्येक अध्याय 8-10 काम के उस हिस्से के तीसरे से पांचवें खंड तक शेष थे। बोरबाकी के बीजगणित के अंग्रेजी संस्करण में तीन खंडों के अनुवाद शामिल हैं जिनमें अध्याय 1,4-7 और 8 शामिल हैं, जिसमें अध्याय 9 और 10 अंग्रेजी में उपलब्ध नहीं हैं। जब बोरबाकी के संस्थापकों ने एलिमेंट्स पर काम करना शुरू किया, तो उन्होंने मूल रूप से इसे "विश्लेषण पर ग्रंथ" के रूप में माना, प्रस्तावित काम का एक ही नाम (ट्रेटे डी 'एनालिसिस) का कार्य शीर्षक था। प्रारंभिक भाग विश्लेषण से पहले गणित की नींव के साथ व्यापक रूप से निपटना था, और इसे "एब्स्ट्रैक्ट पैकेट" के रूप में संदर्भित किया गया था। समय के साथ, सदस्यों ने काम के इस प्रस्तावित "प्रारंभिक खंड" को इस हद तक विकसित किया कि यह कई खंडों के लिए चलेगा और काम का एक प्रमुख हिस्सा शामिल होगा, जिसमें सेट सिद्धांत, अमूर्त बीजगणित और टोपोलॉजी शामिल हैं। एक बार जब परियोजना का दायरा अपने मूल उद्देश्य से बहुत आगे बढ़ गया, तो कार्यशील शीर्षक ट्रेटे डी 'एनालिसिस को एलिमेंट्स डी मैथमेटिक के पक्ष में हटा दिया गया। असामान्य, एकवचन "गणित" का उद्देश्य गणित की एकता में बोरबाकी के विश्वास को दर्शाना था। एलिमेंट्स की पहली छह पुस्तकें, जो काम की पहली छमाही का प्रतिनिधित्व करती हैं, को क्रमिक रूप से क्रमांकित किया जाता है और तार्किक रूप से क्रमबद्ध किया जाता है, जिसमें दिए गए कथन को केवल पहले के परिणामों के आधार पर स्थापित किया जाता है। इस कार्य के पहले भाग में समूह की शैली में स्थापित गणित (बीजगणित, विश्लेषण) को शामिल करते हुए उपशीर्षक लेस स्ट्रक्चर्स फॉन्डामेंटेल्स डी ल 'एनालिसिस (विश्लेषण की मौलिक संरचनाएं) था। कार्य के दूसरे भाग में अनुसंधान के आधुनिक क्षेत्रों (झूठ समूह, कम्यूटेटिव बीजगणित) का वर्णन करने वाली अनगिनत पुस्तकें शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक में पहले भाग को एक साझा आधार के रूप में माना गया है, लेकिन एक दूसरे पर निर्भरता के बिना। नए शोध विषयों से युक्त कार्य के इस दूसरे भाग में कोई संबंधित उपशीर्षक नहीं है। हर्मन द्वारा प्रकाशित एलिमेंट्स के खंडों को प्रकाशन के कालक्रम द्वारा अनुक्रमित किया गया था और उन्हें फासिक्युल्सः एक बड़े काम में किश्तों के रूप में संदर्भित किया गया था। कुछ खंडों में गणित की पाठ्यपुस्तक में सामान्य परिभाषाएँ, प्रमाण और अभ्यास शामिल नहीं थे, लेकिन बिना प्रमाण के बताए गए किसी दिए गए विषय के परिणामों का केवल सारांश था। इन खंडों को फासिक्युलस डी रिजुल्टाट्स के रूप में संदर्भित किया गया था, जिसके परिणामस्वरूप फासिक्युल हर्मन के संस्करण के एक खंड को संदर्भित कर सकता है, या काम के "सारांश" खंडों में से एक (जैसे। एक विशिष्ट मात्रा के बजाय सामग्री का उल्लेख करते हुए, "परिणामों की किश्त" के बजाय "परिणामों के सारांश" के रूप में अनुवादित किया जाता है)। बोरबाकी के एलिमेंट्स का पहला खंड 1939 में प्रकाशित किया गया था, जो कि सेट्स के सिद्धांत में परिणामों का सारांश था। इसी तरह काम की बाद की पुस्तकों में से एक, डिफरेंशियल एंड एनालिटिक मैनिफोल्ड्स में परिणामों के सारांश के केवल दो खंड शामिल थे, जिसमें सामग्री का कोई अध्याय प्रकाशित नहीं हुआ था। एलिमेंट्स की बाद की किश्तें 1980 और 1990 के दशक के दौरान कभी-कभी दिखाई दीं। कम्यूटेटिव बीजगणित (अध्याय 8-9) का एक खंड 1983 में प्रकाशित किया गया था, और 1998 में उसी पुस्तक के दसवें अध्याय के प्रकट होने तक कोई अन्य खंड जारी नहीं किया गया था। 2010 के दशक के दौरान, बोरबाकी ने अपनी उत्पादकता में वृद्धि की। बीजगणित के आठवें अध्याय का एक पुनर्लिखित और विस्तारित संस्करण 2012 में प्रकाशित हुआ, बीजगणितीय टोपोलॉजी का इलाज करने वाली एक नई पुस्तक के पहले चार अध्याय 2016 में प्रकाशित हुए, और वर्णक्रमीय सिद्धांत के संशोधित और विस्तारित संस्करण के पहले दो अध्याय 2019 में जारी किए गए, जबकि शेष तीन (पूरी तरह से नए) अध्याय 2023 में प्रकाशित हुए। सेमिनाएर बोरबाकी 1948 से नियमित रूप से आयोजित किया जा रहा है, और व्याख्यान गैर-सदस्यों और सामूहिक सदस्यों द्वारा प्रस्तुत किए जाते हैं। सेमिनाइर बोरबाकी ने अपने लिखित अवतार में एक हजार से अधिक अभिलिखित व्याख्यान दिए हैं, जिन्हें कालानुक्रमिक रूप से सरल संख्याओं द्वारा दर्शाया गया है। जून 1999 में जीन-पियरे सेरे द्वारा लाइ समूहों के विषय पर दिए गए व्याख्यान के समय, श्रृंखला में दिए गए कुल व्याख्यानों की संख्या 864 थी, जो मुद्रित सामग्री के लगभग 10,000 पृष्ठों के अनुरूप थी। लेख कई पत्रिका लेख गणितीय साहित्य में बोरबाकी की सामग्री या लेखकत्व के साथ प्रकाशित हुए हैं; एलिमेंट्स के विपरीत, वे आम तौर पर व्यक्तिगत सदस्यों द्वारा लिखे गए थे और समूह सर्वसम्मति की सामान्य प्रक्रिया के माध्यम से तैयार नहीं किए गए थे। इसके बावजूद, जीन ड्यूडोन के निबंध "द आर्किटेक्चर ऑफ मैथेमैटिक्स" को बोरबाकी के घोषणापत्र के रूप में जाना जाता है। ड्यूडोन ने गणित में अति विशेषज्ञता के मुद्दे को संबोधित किया, जिसके लिए उन्होंने गणित की अंतर्निहित एकता (गणित के विपरीत) का विरोध किया और गणितीय संरचनाओं को उपयोगी उपकरणों के रूप में प्रस्तावित किया जिन्हें कई विषयों पर लागू किया जा सकता है, जो उनकी सामान्य विशेषताओं को दर्शाते हैं। इस विचार को स्पष्ट करने के लिए, ड्यूडोन ने अंकगणित और ज्यामिति में तीन अलग-अलग प्रणालियों का वर्णन किया और दिखाया कि सभी को एक समूह, एक विशिष्ट प्रकार की (बीजगणितीय) संरचना के उदाहरण के रूप में वर्णित किया जा सकता है। ड्यूडोन ने स्वयंसिद्ध विधि को "गणित के लिए 'टेलर प्रणाली" के रूप में इस अर्थ में वर्णित किया कि इसका उपयोग समस्याओं को कुशलता से हल करने के लिए किया जा सकता है। इस तरह की प्रक्रिया में प्रासंगिक संरचनाओं की पहचान करना और विशिष्ट समस्या के लिए दी गई संरचना के बारे में स्थापित ज्ञान को लागू करना शामिल होगा। कोसांबी ने लेख में सामग्री का श्रेय "डी. बोरबाकी" को दिया, जो साहित्य में इसी नाम के बोरबाकी का पहला उल्लेख है। अनुमानित लेखकः आंद्रे वेल। अनुमानित लेखकः जीन ड्यूडोन। अनुमानित लेखकः जीन ड्यूडोन। तीन लेखों की श्रृंखला में दूसरा। अनुमानित लेखकः जीन ड्यूडोन या आंद्रे वेल। अनुमानित लेखकः जीन ड्यूडोन। अनुमानित लेखकः आंद्रे वेल। अनुमानित लेखकः हेनरी कार्टन या जीन ड्यूडोन। अनुमानित लेखकः जीन ड्यूडोन। पुस्तक के अध्याय L 'Architecture des mathématiques का अधिकृत अनुवाद, जो एक पत्रिका लेख के रूप में अंग्रेजी में दिखाई देता है। अनुमानित लेखकः जीन ड्यूडोन और लॉरेंट श्वार्ट्ज। ला ट्रिबू ला ट्रिबू बोरबाकी का आंतरिक समाचार पत्र है, जो वर्तमान और पूर्व सदस्यों को वितरित किया जाता है। समाचार पत्र आमतौर पर हाल के सम्मेलनों और गतिविधियों को हास्यपूर्ण, अनौपचारिक तरीके से दस्तावेज करता है, जिसमें कभी-कभी कविता भी शामिल होती है। सदस्य पियरे सैमुअल ने कई वर्षों तक समाचार पत्र के कथात्मक खंड लिखे। ला ट्रिबू और संबंधित दस्तावेजों के प्रारंभिक संस्करणों को बोरबाकी द्वारा सार्वजनिक रूप से उपलब्ध कराया गया है। इतिहासकार लिलियन ब्यूलिउ ने ला ट्रिबू और बोरबाकी के अन्य लेखन की जांच की, जिसमें समूह के हास्य और निजी भाषा को "स्मृति की कला" के रूप में वर्णित किया गया जो समूह और उसके संचालन के चुने हुए तरीकों के लिए विशिष्ट है। समूह की गोपनीयता और अनौपचारिक संगठन के कारण, व्यक्तिगत स्मृतियों को कभी-कभी खंडित तरीके से दर्ज किया जाता है, और अन्य सदस्यों के लिए इसका महत्व नहीं हो सकता है। दूसरी ओर, सदस्यों की मुख्य रूप से फ्रांसीसी, ई. एन. एस. पृष्ठभूमि, समूह की प्रारंभिक अवधि और सफलताओं की कहानियों के साथ, एक साझा संस्कृति और पौराणिक कथाओं का निर्माण करती है जो समूह की पहचान के लिए तैयार की जाती है। ला ट्रिबू आमतौर पर किसी भी आगंतुक, परिवार के सदस्य या उपस्थित अन्य दोस्तों के साथ एक सम्मेलन में उपस्थित सदस्यों को सूचीबद्ध करता है। स्थान या स्थानीय "प्रॉप्स" (कार, साइकिल, दूरबीन, आदि) का हास्यपूर्ण विवरण। यह स्मृति उपकरण के रूप में भी काम कर सकता है। 2000 तक, बोरबाकी के "लगभग चालीस" सदस्य रहे हैं। ऐतिहासिक रूप से समूह की संख्या किसी भी समय लगभग दस से बारह सदस्यों तक रही है, हालांकि यह स्थापना के समय संक्षिप्त (और आधिकारिक रूप से) नौ सदस्यों तक सीमित था। बोरबाकी की सदस्यता को पीढ़ियों के संदर्भ में वर्णित किया गया हैः पहली तीन पीढ़ियों के बाद लगभग बीस बाद के सदस्य थे, जिसमें वर्तमान प्रतिभागी शामिल नहीं थे। बोरबाकी में अपनी वर्तमान सदस्यता को गुप्त रखने की प्रथा है, एक ऐसी प्रथा जिसका उद्देश्य यह सुनिश्चित करना है कि इसके उत्पादन को बोरबाकी छद्म नाम के तहत एक सामूहिक, एकीकृत प्रयास के रूप में प्रस्तुत किया जाए, न कि किसी एक लेखक (जैसे। कॉपीराइट या रॉयल्टी भुगतान के उद्देश्यों के लिए)। इस गोपनीयता का उद्देश्य अवांछित ध्यान को रोकना भी है जो सामान्य संचालन को बाधित कर सकता है। हालाँकि, पूर्व सदस्य प्रस्थान पर बोरबाकी की आंतरिक प्रथाओं पर स्वतंत्र रूप से चर्चा करते हैं। संभावित सदस्यों को सम्मेलनों में आमंत्रित किया जाता है और गिनी पिग्स के रूप में शैलीबद्ध किया जाता है, एक प्रक्रिया जिसका उद्देश्य नवागंतुक की गणितीय क्षमता का परीक्षण करना है। समूह और संभावना के बीच समझौते की स्थिति में, संभावना अंततः एक पूर्ण सदस्य बन जाती है। समूह की आयु सीमा होनी चाहिएः सक्रिय सदस्यों के 50 वर्ष की आयु (या लगभग) में सेवानिवृत्त होने की उम्मीद है। 1956 के एक सम्मेलन में, कार्टन ने वेल का एक पत्र पढ़ा जिसमें संस्थापक सदस्यों के "धीरे-धीरे गायब होने" का प्रस्ताव दिया गया था, जिससे युवा सदस्यों को बोरबाकी के संचालन की पूरी जिम्मेदारी लेने के लिए मजबूर होना पड़ा। माना जाता है कि इस नियम के परिणामस्वरूप 1958 तक कर्मियों का पूर्ण परिवर्तन हो गया था। हालाँकि, इतिहासकार लिलियन ब्यूलिउ ने इस दावे की आलोचना की है। उन्होंने बताया कि उन्हें कभी भी नियम की लिखित पुष्टि नहीं मिली, और संकेत दिया कि अपवाद भी रहे हैं। आयु सीमा को संस्थापकों के इरादे को व्यक्त करने के लिए सोचा जाता है कि परियोजना को अनिश्चित काल तक जारी रखना चाहिए, लोगों द्वारा उनकी सर्वश्रेष्ठ गणितीय क्षमता पर संचालित किया जाना चाहिए-गणितीय समुदाय में, एक व्यापक विश्वास है कि गणितशास्त्री युवा होने पर अपना सर्वश्रेष्ठ काम करते हैं। पूर्ण सदस्यों में कोई आधिकारिक पदानुक्रम नहीं है; सभी समान रूप से काम करते हैं, किसी भी समय सम्मेलन की कार्यवाही को बाधित करने या प्रस्तुत की गई किसी भी सामग्री को चुनौती देने की क्षमता रखते हैं। हालाँकि, आंद्रे वेइल को स्थापना अवधि के दौरान "बराबर के बीच पहले" के रूप में वर्णित किया गया है, और उन्हें कुछ सम्मान दिया गया था। दूसरी ओर, समूह ने इस विचार का भी मजाक उड़ाया है कि बड़े सदस्यों को अधिक सम्मान दिया जाना चाहिए। बोरबाकी सम्मेलनों में सदस्यों के परिवार, दोस्तों, आने वाले गणितविदों और समूह के अन्य गैर-सदस्यों ने भी भाग लिया है। बोरबाकी में कभी भी महिला सदस्य होने के बारे में पता नहीं है। 20वीं शताब्दी के गणित में बोरबाकी का प्रभाव और आलोचना प्रभावशाली थी और मानविकी और कला पर इसका कुछ अंतःविषय प्रभाव पड़ा, हालांकि बाद के प्रभाव की सीमा विवाद का विषय है। समूह की प्रस्तुति के तरीके, इसकी कार्य शैली और गणितीय विषयों के चयन के लिए प्रशंसा और आलोचना की गई है। प्रभाव बोरबाकी ने कई गणितीय संकेतन पेश किए जो उपयोग में बने हुए हैं। वेइल ने नॉर्वेजियन वर्णमाला का अक्षर लिया और इसका उपयोग खाली समूह को दर्शाने के लिए किया। यह संकेतन पहली बार सेट के सिद्धांत पर परिणामों के सारांश में दिखाई दिया, और उपयोग में है। इंजेक्टिव, सर्जेक्टिव और बाइजेक्टिव शब्दों को उन कार्यों को संदर्भित करने के लिए पेश किया गया था जो कुछ गुणों को संतुष्ट करते हैं। बोरबाकी ने कुछ ज्यामितीय वस्तुओं के लिए सरल भाषा का उपयोग किया, उन्हें "पैरेललोटोप" या "हाइपरफेरोइड्स" के विपरीत पाव्स (पक्का पत्थर) और बोल्स (गेंद) नाम दिया। इसी तरह टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के अपने उपचार में, बोरबाकी ने एक बैरल को एक ऐसे समूह के रूप में परिभाषित किया जो उत्तल, संतुलित, अवशोषित और बंद होता है। समूह को इस परिभाषा पर गर्व था, यह मानते हुए कि वाइन बैरल का आकार गणितीय वस्तु के गुणों को दर्शाता है। बोरबाकी ने सामग्री के एक विशेष रूप से कठिन टुकड़े को इंगित करने के लिए अपने पाठ के किनारों में एक "खतरनाक मोड़" प्रतीक का भी उपयोग किया। बोरबाकी ने 1950 और 1960 के दशक के दौरान अपने सबसे बड़े प्रभाव का आनंद लिया, जब एलिमेंट्स की किश्तों को अक्सर प्रकाशित किया जाता था। बोरबाकी का मानव विज्ञान और मनोविज्ञान सहित अन्य क्षेत्रों पर कुछ अंतःविषय प्रभाव था। यह प्रभाव संरचनावाद के संदर्भ में था, जो मानविकी में एक विचार विद्यालय है जो अन्य फ्रांसीसी बुद्धिजीवियों द्वारा विभिन्न क्षेत्रों में अपनाई जाने वाली वस्तुओं पर वस्तुओं के बीच संबंधों पर जोर देता है। 1943 में, आंद्रे वेल न्यूयॉर्क में मानवविज्ञानी क्लाउड लेवी-स्ट्रॉस से मिले, जहाँ दोनों ने एक संक्षिप्त सहयोग किया। लेवी-स्ट्रॉस के अनुरोध पर, वेइल ने समूह सिद्धांत पर आधारित गणितीय मॉडल का उपयोग करते हुए ऑस्ट्रेलियाई आदिवासी समाज के भीतर चार वर्गों के लोगों के लिए विवाह के नियमों का वर्णन करते हुए एक संक्षिप्त परिशिष्ट लिखा। परिणाम को लेवी-स्ट्रॉस की एलिमेंट्री स्ट्रक्चर्स ऑफ किनशिप में एक परिशिष्ट के रूप में प्रकाशित किया गया था, जो मानव संस्कृतियों में पारिवारिक संरचनाओं और अनाचार निषेध की जांच करने वाला एक काम है। 1952 में, जीन ड्यूडोन और जीन पियाजे ने गणितीय और मानसिक संरचनाओं पर एक अंतःविषय सम्मेलन में भाग लिया। ड्यूडोन ने बोरबाकी की परियोजना के संदर्भ में गणितीय "मातृ संरचनाओं" का वर्णन कियाः संरचना, पड़ोस और क्रम। पियाजे ने तब बच्चों की मानसिक प्रक्रियाओं पर एक भाषण दिया, और माना कि उन्होंने अभी-अभी जिन मनोवैज्ञानिक अवधारणाओं का वर्णन किया था, वे अभी-अभी डायडोन द्वारा वर्णित गणितीय अवधारणाओं के समान थे। पियाजे के अनुसार, दोनों एक-दूसरे से प्रभावित थे। मनोविश्लेषक जैक्स लैकन को बोरबाकी की सहयोगात्मक कार्य शैली पसंद आई और उन्होंने मनोविज्ञान में एक समान सामूहिक समूह का प्रस्ताव रखा, एक ऐसा विचार जो साकार नहीं हुआ। बोरबाकी को उत्तर-संरचनावादी दार्शनिकों द्वारा भी उद्धृत किया गया था। गिल्स डेलेउज़ और फेलिक्स ग्वाटारी ने अपने संयुक्त कार्य एंटी-ओडिपस में पूँजीवाद की आलोचना की। लेखकों ने बोरबाकी द्वारा स्वयंसिद्ध विधि (सत्य स्थापित करने के उद्देश्य से) के उपयोग को प्रबंधन प्रक्रियाओं के लिए एक अलग प्रति-उदाहरण के रूप में उद्धृत किया जो इसके बजाय आर्थिक दक्षता चाहते हैं। लेखकों ने बोरबाकी के स्वयंसिद्ध के बारे में कहा कि "वे एक टेलर प्रणाली नहीं बनाते हैं", जो "द आर्किटेक्चर ऑफ मैथेमैटिक्स" में ड्यूडोन द्वारा उपयोग किए गए वाक्यांश को उलटते हैं। द पोस्टमॉडर्न कंडीशन में, जीन-फ्रांकोइस लियोटार्ड ने "ज्ञान की वैधता" की आलोचना की, वह प्रक्रिया जिसके द्वारा बयानों को मान्य माना जाता है। एक उदाहरण के रूप में, लियोटार्ड ने बोरबाकी को एक ऐसे समूह के रूप में उद्धृत किया जो नियमों की एक दी गई प्रणाली के भीतर ज्ञान का उत्पादन करता है। लियोटार्ड ने बोरबाकी के पदानुक्रमित, "संरचनावादी" गणित की तुलना रेने थॉम के आपदा सिद्धांत और बेनोइट मंडेलब्रोट के अस्थिभंग के साथ की, जिसमें बाद के "उत्तर आधुनिक विज्ञान" के लिए वरीयता व्यक्त की गई, जिसने गणित को "अस्थिभंग, आपदा और व्यावहारिक विरोधाभास" के साथ समस्याग्रस्त कर दिया। हालांकि जीवनीकार अमीर अक्सेल ने 20वीं शताब्दी के मध्य के दौरान अन्य विषयों पर बोरबाकी के प्रभाव पर जोर दिया, मौरिस मशाल ने बोरबाकी के प्रभाव के दावों को निम्नलिखित शब्दों में नियंत्रित कियाः गणित पर "संरचनावाद" के प्रभाव की भी आलोचना की गई थी। गणितीय इतिहासकार लियो कोरी ने तर्क दिया कि बोरबाकी का गणितीय संरचनाओं का उपयोग एलिमेंट्स के भीतर महत्वहीन था, जिसे थ्योरी ऑफ सेट्स में स्थापित किया गया था और बाद में कभी-कभी उद्धृत किया गया था। कोरी ने बोरबाकी द्वारा प्रचारित गणित के "संरचनात्मक" दृष्टिकोण को "ज्ञान की छवि" के रूप में वर्णित किया-एक वैज्ञानिक विषय के बारे में एक अवधारणा-जो विषय के "ज्ञान के निकाय" में एक वस्तु के विपरीत है, जो विषय में ही वास्तविक वैज्ञानिक परिणामों को संदर्भित करता है। कला में भी बोरबाकी का कुछ प्रभाव था। साहित्यिक सामूहिक औलिपो की स्थापना 24 नवंबर 1960 को बोरबाकी की स्थापना के समान परिस्थितियों में की गई थी, जिसमें सदस्य शुरू में एक रेस्तरां में मिलते थे। हालाँकि औलिपो के कई सदस्य गणितशास्त्री थे, लेकिन समूह का उद्देश्य भाषा के साथ खेलकर प्रयोगात्मक साहित्य बनाना था। औलिपो ने अक्सर गणितीय रूप से आधारित सीमित लेखन तकनीकों का उपयोग किया, जैसे कि एस + 7 विधि। औलिपो के सदस्य रेमंड क्यूनेउ ने 1962 में बोरबाकी सम्मेलन में भाग लिया। 2016 में, अर्थशास्त्रियों के एक अनाम समूह ने अमेरिकी आर्थिक समीक्षा में प्रकाशित एक पेपर के लेखकों और संपादक पर अकादमिक कदाचार का आरोप लगाते हुए एक नोट लिखा। यह नोट निकोलस बोरबाकी को श्रद्धांजलि देने के लिए निकोलस बेयरबाकी के नाम से प्रकाशित किया गया था। 2018 में, अमेरिकी संगीत जोड़ी ट्वेंटी वन पायलट्स ने ट्रेंच नामक एक अवधारणा एल्बम जारी किया। एल्बम की वैचारिक रूपरेखा नौ "बिशप" द्वारा शासित "डेमा" का पौराणिक शहर था; बिशपों में से एक का नाम "निको" था, जो निकोलस बोरबाकी के लिए छोटा था। एक अन्य बिशप का नाम आंद्रे था, जो आंद्रे वेल को संदर्भित कर सकता है। एल्बम के जारी होने के बाद, "निकोलस बोरबाकी" के लिए इंटरनेट खोजों में तेजी आई। बोरबाकी के काम की प्रशंसा कुछ गणितविदों ने की है। एक पुस्तक समीक्षा में, एमिल आर्टिन ने एलिमेंट्स को व्यापक, सकारात्मक शब्दों में वर्णित कियाः एलिमेंट्स के खंडों में, लाइ ग्रुप्स और लाइ अल्जेब्रास पर बोरबाकी के काम को "उत्कृष्ट" के रूप में पहचाना गया है, जो इस विषय पर एक मानक संदर्भ बन गया है। विशेष रूप से, पूर्व सदस्य आर्मंड बोरेल ने अध्याय 4-6 के साथ खंड को "बोरबाकी की सबसे सफल पुस्तकों में से एक" के रूप में वर्णित किया। कार्य के इस भाग की सफलता का श्रेय इस तथ्य को दिया गया है कि पुस्तकों की रचना की गई थी जबकि इस विषय के प्रमुख विशेषज्ञ बोरबाकी सदस्य थे। जीन-पियरे बोर्गुइगनन ने सेमिनेयर बोरबाकी के लिए प्रशंसा व्यक्त करते हुए कहा कि उन्होंने इसके व्याख्यानों में बड़ी मात्रा में सामग्री सीखी है, और नियमित रूप से इसके मुद्रित व्याख्यान टिप्पणियों का उल्लेख किया है। उन्होंने "कुछ शानदार और बहुत चतुर प्रमाण" रखने के लिए एलिमेंट्स की भी प्रशंसा की। बोरबाकी की आलोचना की कई गणितविदों द्वारा भी आलोचना की गई है-जिसमें इसके अपने पूर्व सदस्य भी शामिल हैं-विभिन्न कारणों से। आलोचनाओं में दूसरों की कीमत पर एलिमेंट्स के भीतर कुछ विषयों की प्रस्तुति का विकल्प, दिए गए विषयों के लिए प्रस्तुति की विधि को नापसंद करना, समूह की कार्य शैली को नापसंद करना और विशेष रूप से 1950 और 1960 के दशक में सामूहिक के सबसे उत्पादक वर्षों के दौरान बोरबाकी की परियोजना और उसकी पुस्तकों के आसपास एक कथित अभिजात्य मानसिकता शामिल है। एलिमेंट्स पर बोरबाकी के विचार-विमर्श के परिणामस्वरूप कुछ विषयों को शामिल किया गया, जबकि अन्य पर विचार नहीं किया गया। जब 1997 के एक साक्षात्कार में एलिमेंट्स से छोड़े गए विषयों के बारे में पूछा गया, तो पूर्व सदस्य पियरे कार्टियर ने जवाब दियाः हालाँकि बोरबाकी ने गणित को अपनी नींव से ही इलाज करने का संकल्प लिया था, लेकिन सेट सिद्धांत के संदर्भ में समूह के अंतिम समाधान में कई समस्याओं का सामना करना पड़ा। बोरबाकी के सदस्य तर्कविदों के विपरीत गणितशास्त्री थे, और इसलिए समूह की गणितीय तर्क में सीमित रुचि थी। जैसा कि बोरबाकी के सदस्यों ने स्वयं सेट सिद्धांत पर पुस्तक के बारे में कहा था, यह "दर्द और आनंद के बिना लिखा गया था, लेकिन हमें इसे करना पड़ा।" ड्यूडोन ने व्यक्तिगत रूप से कहीं और टिप्पणी की कि नब्बे प्रतिशत गणितविदों को गणितीय तर्क के लिए "एक अंजीर की परवाह नहीं है"। जवाब में, तर्कशास्त्री एड्रियन मथियास ने बोरबाकी के मूलभूत ढांचे की कड़ी आलोचना की, यह देखते हुए कि इसने गोडेल के परिणामों को ध्यान में नहीं रखा। बोरबाकी ने नए गणित को भी प्रभावित किया, जो प्राथमिक और माध्यमिक स्तरों पर पश्चिमी गणित शिक्षा में एक असफल सुधार था, जिसने ठोस उदाहरणों पर अमूर्तता पर जोर दिया। 20वीं शताब्दी के मध्य के दौरान, बुनियादी गणित शिक्षा में सुधार आधुनिक अर्थव्यवस्था के लिए गणितीय रूप से साक्षर कार्यबल बनाने और सोवियत संघ के साथ प्रतिस्पर्धा करने की कथित आवश्यकता से प्रेरित था। फ्रांस में, इसने 1967 के लिच्नेरोविज़ आयोग का नेतृत्व किया, जिसकी अध्यक्षता आंद्रे लिच्नेरोविज़ ने की और इसमें कुछ (तत्कालीन वर्तमान और पूर्व) बोरबाकी सदस्य शामिल थे। हालांकि बोरबाकी सदस्यों ने पहले (और व्यक्तिगत रूप से) विश्वविद्यालय स्तर पर गणित निर्देश में सुधार किया था, लेकिन प्राथमिक और माध्यमिक स्तरों पर नए गणित के कार्यान्वयन में उनकी प्रत्यक्ष भागीदारी कम थी। नए गणित सुधारों के परिणामस्वरूप निर्देशात्मक सामग्री जो छात्रों और शिक्षकों दोनों के लिए समझ से बाहर थी, युवा छात्रों की संज्ञानात्मक जरूरतों को पूरा करने में विफल रही। सुधार के प्रयास की ड्यूडोन और संक्षिप्त संस्थापक बोरबाकी प्रतिभागी जीन लेरे द्वारा भी कड़ी आलोचना की गई थी। फ्रांसीसी गणितविदों के अलावा, फ्रांसीसी सुधारों को सोवियत में जन्मे गणितशास्त्री व्लादिमीर अर्नोल्ड की कड़ी आलोचना का भी सामना करना पड़ा, जिन्होंने तर्क दिया कि मास्को में एक छात्र और शिक्षक के रूप में उनके समय में, गणित का शिक्षण विश्लेषण और ज्यामिति में दृढ़ता से निहित था, और शास्त्रीय यांत्रिकी की समस्याओं के साथ जुड़ा हुआ था; इसलिए, फ्रांसीसी सुधार सोवियत वैज्ञानिक शिक्षा का अनुकरण करने का एक वैध प्रयास नहीं हो सकते हैं। 1997 में, पेरिस में गणितीय शिक्षण पर एक सम्मेलन में बोलते हुए, उन्होंने बोरबाकी पर टिप्पणी करते हुए कहाः "वास्तविक गणितशास्त्री गिरोह नहीं बनाते हैं, बल्कि कमजोर लोगों को जीवित रहने के लिए गिरोह की आवश्यकता होती है।" और सुझाव दिया कि "अति-अमूर्तता" पर बोरबाकी का बंधन 19वीं शताब्दी में गणितविदों के समूहों के समान था जो यहूदी-विरोध पर बंधे थे। ड्यूडोन ने बाद में खेद व्यक्त किया कि बोरबाकी की सफलता ने व्यावहारिक गणित की कीमत पर फ्रांस में शुद्ध गणित की उपेक्षा में योगदान दिया था। एक साक्षात्कार में, उन्होंने कहाः "यह कहना संभव है कि पोइनकेरे के बाद चालीस वर्षों तक फ्रांस में कोई गंभीर व्यावहारिक गणित नहीं था। यहाँ तक कि शुद्ध गणित के लिए एक धृष्टता भी थी। जब कोई एक प्रतिभाशाली छात्र को देखता है, तो वह उससे कहता है कि 'आपको शुद्ध गणित करना चाहिए।' दूसरी ओर, एक औसत दर्जे के छात्र को यह सोचते हुए व्यावहारिक गणित करने की सलाह दी जाएगी, "यह सब वह कर सकता है! .. वास्तव में सच्चाई इसके विपरीत है। जब तक आप शुद्ध गणित में अच्छा काम नहीं कर लेते, तब तक आप व्यावहारिक गणित में अच्छा काम नहीं कर सकते। क्लॉड चेवलली ने बोरबाकी के भीतर एक अभिजात्य संस्कृति की पुष्टि करते हुए इसे "अन्य गणितविदों पर हमारी श्रेष्ठता की पूर्ण निश्चितता" के रूप में वर्णित किया। अलेक्जेंडर ग्रोथेन्डिक ने भी बोरबाकी के भीतर एक अभिजात्य मानसिकता की पुष्टि की। कुछ गणितविदों, विशेष रूप से ज्यामितिविदों और व्यावहारिक गणितविदों ने बोरबाकी के प्रभाव को दमघोंटू पाया। 1958 में संयुक्त राज्य अमेरिका में प्रवास करने का बेनोइट मंडेलब्रोट का निर्णय फ्रांस में बोरबाकी के प्रभाव से बचने की इच्छा से प्रेरित था। एलिमेंट्स की कई संबंधित आलोचनाओं ने इसके लक्षित दर्शकों और इसकी प्रस्तुति के इरादे को चिंतित किया है। एलिमेंट्स के खंड पाठकों के लिए एक नोट के साथ शुरू होते हैं जिसमें कहा गया है कि श्रृंखला "शुरुआत में गणित को लेती है, और पूर्ण प्रमाण देती है" और यह कि "हमारे द्वारा चुनी गई व्याख्या की विधि स्वयंसिद्ध और अमूर्त है, और आम तौर पर सामान्य से विशेष तक आगे बढ़ती है"। प्रारंभिक भाषा के बावजूद, बोरबाकी के इच्छित दर्शक गणित में पूर्ण शुरुआती नहीं हैं, बल्कि स्नातक, स्नातक छात्र और प्रोफेसर हैं जो गणितीय अवधारणाओं से परिचित हैं। क्लॉड चेवलली ने कहा कि एलिमेंट्स "एक नौसिखिया के लिए बेकार हैं", और पियरे कार्टियर ने स्पष्ट किया कि "गलतफहमी यह थी कि यह सभी के लिए एक पाठ्यपुस्तक होनी चाहिए। यह एक बड़ी आपदा थी। काम को दो हिस्सों में विभाजित किया गया है। जबकि पहली छमाही-स्ट्रक्चर्स फॉन्डामेंटेल्स डी ल 'एनालिसिस-स्थापित विषयों का इलाज करती है, दूसरी छमाही कम्यूटेटिव बीजगणित और वर्णक्रमीय सिद्धांत जैसे आधुनिक शोध क्षेत्रों से संबंधित है। कार्य में यह विभाजन ग्रंथ के इरादे में एक ऐतिहासिक परिवर्तन से संबंधित है। एलिमेंट्स की सामग्री में प्रमेय, प्रमाण, अभ्यास और संबंधित टिप्पणी, गणित की पाठ्यपुस्तकों में सामान्य सामग्री शामिल है। इस प्रस्तुति के बावजूद, पहली छमाही मूल शोध के रूप में नहीं लिखी गई थी, बल्कि स्थापित ज्ञान की एक पुनर्गठित प्रस्तुति के रूप में लिखी गई थी। इस मायने में, एलिमेंट्स का पहला भाग एक पाठ्यपुस्तक श्रृंखला की तुलना में एक विश्वकोश के समान था। जैसा कि कार्टियर ने टिप्पणी की, "गलतफहमी यह थी कि कई लोगों ने सोचा कि इसे उसी तरह पढ़ाया जाना चाहिए जैसे इसे किताबों में लिखा गया था। आप बोरबाकी की पहली पुस्तकों को गणित के विश्वकोश के रूप में सोच सकते हैं। यदि आप इसे एक पाठ्यपुस्तक मानते हैं, तो यह एक आपदा है। एलिमेंट्स के पहले भाग में सामग्री की सख्त, क्रमबद्ध प्रस्तुति किसी भी आगे के परिवर्धन के लिए आधार बनाने के लिए थी। हालाँकि, आधुनिक गणितीय अनुसंधान में विकास बोरबाकी की संगठनात्मक योजना के संदर्भ में अनुकूलन करना मुश्किल साबित हुआ है। इस कठिनाई को चल रहे शोध की तरल, गतिशील प्रकृति के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है, जो नया होने के कारण, हल नहीं हुआ है या पूरी तरह से समझा नहीं गया है। बोरबाकी की शैली को एक विशेष वैज्ञानिक प्रतिमान के रूप में वर्णित किया गया है जिसे प्रतिमान परिवर्तन में प्रतिस्थापित किया गया है। उदाहरण के लिए, इयान स्टीवर्ट ने गाँठ सिद्धांत में वॉन जोन्स के उपन्यास कार्य को टोपोलॉजी के एक उदाहरण के रूप में उद्धृत किया जो बोरबाकी की प्रणाली पर निर्भरता के बिना किया गया था। बोरबाकी का प्रभाव समय के साथ घटता गया है; इस गिरावट को आंशिक रूप से कुछ आधुनिक विषयों की अनुपस्थिति के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है-जैसे कि श्रेणी सिद्धांत-ग्रंथ से। हालाँकि कई आलोचनाओं ने सामूहिक परियोजना में कमियों की ओर इशारा किया है, लेकिन एक ने इसकी ताकत की ओर भी इशारा किया हैः बोरबाकी इस अर्थ में "अपनी सफलता का शिकार" था कि उसने जो करने के लिए निर्धारित किया था उसे पूरा किया, आधुनिक गणित पर एक संपूर्ण ग्रंथ प्रस्तुत करने के अपने मूल लक्ष्य को प्राप्त किया। इन कारकों ने जीवनीकार मौरिस मशाल को बोरबाकी के साथ अपने व्यवहार को निम्नलिखित शब्दों में समाप्त करने के लिए प्रेरित कियाः