Principles of Hindu Reckoning
हिंदू गणना के सिद्धांत (किताब फाई उसुल हिसाब अल-हिंद) 10वीं और 11वीं शताब्दी के फारसी गणितशास्त्री कुष्यार इब्न लब्बान द्वारा लिखी गई एक गणित पुस्तक है। यह हिंदू-अरबी अंकों (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9) का उपयोग करते हुए हिंदू अंकगणित के बारे में अरबी में मौजूद दूसरी सबसे पुरानी पुस्तक है, जो अबुल अल-हसन अहमद इब्न इब्राहिम अल-उग्लिडिस द्वारा 952 में लिखी गई किबाब अल-फुसुल फाई अल-हिसुब अल-हिंदी से पहले है। हालाँकि अल-ख्वार्ज़ीमी ने 825 में हिंदू अंकगणित के बारे में एक पुस्तक भी लिखी थी, लेकिन उनका मूल अरबी खो गया था, और केवल 12वीं शताब्दी का अनुवाद मौजूद है। कुश्यार इब्न लब्बान ने हिंदू गणना के लिए भारतीय स्रोतों का उल्लेख नहीं किया, और इससे पहले की कोई भारतीय पुस्तक मौजूद नहीं है जिसमें इस पुस्तक में चर्चा किए गए समान विषयों को शामिल किया गया हो। भारत में 10वीं और 11वीं शताब्दी में हिंदू गणना के लिए हिंदू गणना के सिद्धांत विदेशी स्रोतों में से एक थे। 1963 में मार्टिन लेवी और मार्विन पेट्रुक द्वारा उस समय की एकमात्र मौजूदा अरबी पांडुलिपि से इसका अंग्रेजी में अनुवाद किया गया थाः इस्तांबुल, आया सोफिया लाइब्रेरी, एमएस 4857 और शालम बेन जोसेफ 'अनाबी द्वारा एक हिब्रू अनुवाद और टिप्पणी। भारतीय धूल बोर्ड हिंदू अंकगणित चीनी गिनती बोर्ड के समान एक धूल बोर्ड पर आयोजित किया गया था। डस्ट बोर्ड एक सपाट सतह होती है जिसमें रेत की एक परत होती है और ग्रिड के साथ पंक्तिबद्ध होती है। चीनी गिनती की छड़ के अंकों की तरह, एक रेत बोर्ड ग्रिड पर एक खाली शून्य के लिए खड़ा था, और शून्य संकेत आवश्यक नहीं था। गिनती बोर्ड के विपरीत अंकों को बदलने में मिटाना और फिर से लिखना शामिल है। सामग्री केवल एक अरबी प्रति मौजूद है, जो अब इस्तांबुल में हागिया सोफिया पुस्तकालय में रखी गई है। टिप्पणी के साथ एक हिब्रू अनुवाद भी है, जिसे ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय के बोडलियन पुस्तकालय में रखा गया है। 1965 में यूनिवर्सिटी ऑफ विस्कॉन्सिन प्रेस ने अरबी और हिब्रू दोनों संस्करणों पर आधारित मार्टिन लेवी और मार्विन पेट्रुक द्वारा अनुवादित इस पुस्तक का एक अंग्रेजी संस्करण प्रकाशित किया। इस अंग्रेजी अनुवाद में मूल अरबी पाठ की प्रतिकृति की 31 प्लेटें शामिल थीं। हिंदू गणना के सिद्धांतों में दो भाग होते हैं जो उनके समय भारत में दो अंकों की प्रणाली में अंकगणित से संबंधित होते हैं। भाग I में मुख्य रूप से घटाव, गुणन, विभाजन, वर्गमूल के निष्कर्षण और स्थान मूल्य हिंदू-संख्या प्रणाली में घनमूल के दशमलव एल्गोरिदम पर चर्चा की गई। हालांकि, "आधा" पर एक खंड को अलग तरीके से माना गया था, यानी दशमलव और सेक्साजेसिमल अंकों के संकर के साथ। सुंजी सुआनजिंग में चीनी एल्गोरिथ्म के साथ दशमलव हिंदू एल्गोरिथ्म के बीच समानता आश्चर्यजनक है, सिवाय ऑपरेशन के आधे होने के, क्योंकि चीन में कोई संकर दशमलव/सेक्साजेसिमल गणना नहीं थी। भाग II में घटाव, गुणन, विभाजन, वर्गमूल और घनमूल के निष्कर्षण के संचालन पर चर्चा की गई। चीन में केवल स्थितिगत दशमलव अंकगणित था, कभी भी कोई सेक्साजेसिमल अंकगणित नहीं था। अबुल-हसन अल-उकलिदिसी की किताब अल-फुसुल फाई अल-हिसाब अल-हिंदी (अल-उकलिदिसी की अंकगणित) के विपरीत, जहां जोड़, घटाव, गुणन और विभाजन के बुनियादी गणितीय संचालन को शब्दों में वर्णित किया गया था, इब्न लब्बान की पुस्तक ने हिंदू-अरबी अंकों में व्यक्त वास्तविक गणना प्रक्रियाएं प्रदान कीं। दशमलव अंकगणित जोड़ कुश्यार इब्न लब्बान ने दो संख्याओं के जोड़ का विस्तार से वर्णन किया। दूसरी पंक्ति के उपचार में मामूली अंतर था, हिंदू गणना में, रेत बोर्ड पर खींचे गए दूसरी पंक्ति के अंक शुरू से अंत तक बने रहे, जबकि रॉड कलन में, निचली पंक्तियों से छड़ को भौतिक रूप से हटा दिया गया था और ऊपरी पंक्ति में जोड़ दिया गया था, अंक दर अंक। अपनी पुस्तक के तीसरे खंड में, कुश्यार इब्न लब्बान ने 5625 से 839 के घटाव के लिए चरण-दर-चरण एल्गोरिथ्म प्रदान किया। दूसरी पंक्ति के अंक हर समय अपने स्थान पर बने रहे। छड़ कलन में, गणना में दूसरी पंक्ति से अंकों को अंकों द्वारा हटा दिया गया था, जिससे केवल एक पंक्ति में परिणाम रह गया था। गुणन कुश्यार इब्न लब्बान गुणन सुन्ज़ी गुणन की एक भिन्नता है। डिवीजन प्रोफेसर लाम ले योंग ने पाया कि कुश्यार इब्न लब्बान द्वारा वर्णित हिंदू विभाजन विधि पूरी तरह से 5 वीं शताब्दी के सुंजी सुआनजिंग में छड़ कलन विभाजन के समान है। पूरी तरह से समान प्रारूप, प्रक्रिया और शेष अंश के अलावा, एक बताने वाला संकेत जो इस विभाजन एल्गोरिथ्म की उत्पत्ति का खुलासा करता है, वह 243 के बाद लापता 0 में है, जिसे सच्चे हिंदू अंक में 2430 के रूप में लिखा जाना चाहिए, न कि 243 खाली; खाली स्थान छड़ अंकों (और अबेकस) की एक विशेषता है। हिंदू गणना में 2 से विभाजित करें, 2 से विभाजित करें या "आधा करें" को दशमलव और लैंगिक अंकों के संकर के साथ माना जाता थाः इसकी गणना बाएं से दाएं दशमलव अंकगणित के रूप में नहीं की गई थी, बल्कि दाएं से बाएं की गई थीः पहले अंक 5 को आधा करने के बाद 2 प्राप्त करें, 5 को 2 से बदलें, और इसके नीचे 30 लिखेंः 5622 30 अंतिम परिणामः 2812 30 वर्गमूल के निष्कर्षण ने वर्गमूल के निष्कर्षण के लिए एल्गोरिथ्म का वर्णन किया है, उदाहरण के लिए कुश्यार इब्न लब्बान वर्गमूल निष्कर्षण एल्गोरिथ्म मूल रूप से सुंजी एल्गोरिथ्म के समान है। सेक्साजेसिमल अंकगणित गुणन हिंदू सेक्साजेसिमल गुणन प्रारूप हिंदू दशमलव अंकगणित से पूरी तरह से अलग था। कुश्यार इब्न लब्बान के 25 डिग्री 42 मिनट को 18 डिग्री 36 मिनट से गुणा करने के उदाहरण को ऊर्ध्वाधर रूप से 18। कुष्यार इब्न लब्बान के हिंदू गणना के सिद्धांतों के बीच एक खाली स्थान के साथ लिखा गया था। उनके छात्र अल-नसावी ने अपने शिक्षक के तरीके का पालन किया। 13वीं शताब्दी के अल्गोरिस्ट, जॉर्डनस डी नेमोर का काम अल-नसावी से प्रभावित था। 16वीं शताब्दी के अंत तक, इब्न लब्बान के नाम का अभी भी उल्लेख किया गया था। ।