Liber Abaci
(लिबर अब्बासी के रूप में भी वर्तनी; "गणना की पुस्तक") पीसा के लियोनार्डो द्वारा अंकगणित पर एक ऐतिहासिक 1202 लैटिन पांडुलिपि है, जिसे मरणोपरांत फिबोनाची के नाम से जाना जाता है। हिंदू-अरबी अंक प्रणाली का वर्णन करने और आधुनिक "अरबी अंकों" से मिलते-जुलते प्रतीकों का उपयोग करने वाली पहली पश्चिमी पुस्तकों में से एक थी। वाणिज्यिक व्यापारियों और गणितविदों दोनों के अनुप्रयोगों को संबोधित करके, इसने प्रणाली की श्रेष्ठता और इन ग्लिफ़ों के उपयोग को बढ़ावा दिया। यद्यपि पुस्तक के शीर्षक का अनुवाद कभी-कभी "द बुक ऑफ द एबेकस" के रूप में किया जाता है, नोट करता है कि इसे "एबेकस" नामक गणना उपकरणों के संदर्भ में पढ़ना एक त्रुटि है। बल्कि, "अबेकस" शब्द का उपयोग उस समय किसी भी रूप में गणना को संदर्भित करने के लिए किया जाता था; दो "बी" के साथ वर्तनी "अबेकस" (जो कि मूल लैटिन पांडुलिपि में लियोनार्डो ने इसे कैसे लिखा था) था, और अभी भी इटली में है, जिसका उपयोग हिंदू-अरबी अंकों का उपयोग करके गणना को संदर्भित करने के लिए किया जाता है, जो भ्रम से बच सकता है। पुस्तक एक अबेकस की सहायता के बिना गणना करने के तरीकों का वर्णन करती है, और जैसा कि पुष्टि करता है, इसके प्रकाशन के बाद सदियों तक अल्गोरिस्मिस्ट (जिसमें गणना की शैली का प्रदर्शन किया गया था) अबेकिस्टों (परंपरावादियों जिन्होंने रोमन अंकों के साथ संयोजन में अबेकस का उपयोग करना जारी रखा) के साथ संघर्ष में रहे। गणित के इतिहासकार कार्ल बोयर ने अपने गणित के इतिहास में इस बात पर जोर दिया है कि हालांकि "लिबर abaci.is अबेकस पर नहीं", फिर भी. "यह बीजगणितीय तरीकों और समस्याओं पर एक बहुत ही गहन ग्रंथ है जिसमें हिंदू-अरबी अंकों के उपयोग की दृढ़ता से वकालत की जाती है।" खंडों का सारांश पहला खंड हिंदू-अरबी अंक प्रणाली का परिचय देता है, जिसमें विभिन्न प्रतिनिधित्व प्रणालियों के बीच परिवर्तित करने के तरीके शामिल हैं। इस खंड में परीक्षण विभाजन का पहला ज्ञात विवरण भी शामिल है जो यह परीक्षण करने के लिए है कि क्या कोई संख्या समग्र है और यदि है, तो इसे फैक्टरिंग करें। दूसरा खंड वाणिज्य से उदाहरण प्रस्तुत करता है, जैसे मुद्रा और माप का रूपांतरण, और लाभ और ब्याज की गणना। तीसरे खंड में कई गणितीय समस्याओं पर चर्चा की गई है; उदाहरण के लिए, इसमें शामिल हैं (च। II.12) चीनी शेष प्रमेय, पूर्ण संख्याएँ और मर्सेन अभाज्य संख्याओं के साथ-साथ अंकगणितीय श्रृंखला और वर्ग पिरामिडल संख्याओं के लिए सूत्र। इस अध्याय के एक अन्य उदाहरण में खरगोशों की आबादी में वृद्धि शामिल है, जहां समाधान के लिए एक संख्यात्मक अनुक्रम उत्पन्न करने की आवश्यकता होती है। हालाँकि यह समस्या लियोनार्डो से बहुत पहले की है, लेकिन उनकी पुस्तक में इसका समावेश इसलिए है कि आज फिबोनाची अनुक्रम का नाम उनके नाम पर रखा गया है। चौथा खंड वर्गमूल जैसी अपरिमेय संख्याओं के संख्यात्मक और ज्यामितीय दोनों, सन्निकटन प्राप्त करता है। इस पुस्तक में यूक्लिडियन ज्यामिति के प्रमाण भी शामिल हैं। बीजगणितीय समीकरणों को हल करने की फिबोनाची की विधि 10 वीं शताब्दी के शुरुआती मिस्र के गणितशास्त्री अबू कामिल शुजा इब्न असलम के प्रभाव को दर्शाती है। भिन्नों के लिए फिबोनाची का संकेतन पढ़ने में, परिमेय संख्याओं के लिए फिबोनाची के संकेतन को समझना सहायक है, एक ऐसा संकेतन जो उस समय तक आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले मिस्र के अंशों और आज भी उपयोग में आने वाले अश्लील अंशों के बीच के रूप में मध्यवर्ती है। फिबोनाची का संकेतन आधुनिक अंश संकेतन से तीन प्रमुख तरीकों से अलग हैः आधुनिक संकेतन आम तौर पर उस पूरी संख्या के दाईं ओर एक अंश लिखते हैं जिसमें इसे जोड़ा जाता है, उदाहरण के लिए 7/3 के लिए। इसके बजाय फिबोनाची उसी अंश को बाईं ओर, यानी, लिखेंगे। फिबोनाची ने एक समग्र अंश संकेतन का उपयोग किया जिसमें अंशों और भाजकों का एक क्रम एक ही अंश पट्टी साझा करता था; इस तरह के प्रत्येक शब्द दिए गए अंश के एक अतिरिक्त अंश को नीचे और उसके दाईं ओर सभी भाजकों के उत्पाद से विभाजित करते हैं। वह है, और। संकेतन को दाएँ से बाएँ पढ़ा जाता था। उदाहरण के लिए, 29/30 को मान का प्रतिनिधित्व करते हुए लिखा जा सकता है। इसे मिश्रित मूली संकेतन के एक रूप के रूप में देखा जा सकता है, और वजन, माप और मुद्रा की पारंपरिक प्रणालियों से निपटने के लिए बहुत सुविधाजनक था। उदाहरण के लिए, लंबाई की इकाइयों के लिए, एक फुट एक यार्ड का 1/3 है, और एक इंच एक फुट का 1/12 है, इसलिए 5 गज, 2 फुट और इंच की मात्रा को एक समग्र अंश के रूप में दर्शाया जा सकता हैः यार्ड। हालांकि, पारंपरिक उपायों के लिए विशिष्ट संकेतन, जबकि इसी तरह मिश्रित मूलांकों पर आधारित हैं, विभाजक को स्पष्ट रूप से नहीं लिखते हैं; फिबोनाची के संकेतन में स्पष्ट भाजक उन्हें सुविधाजनक होने पर विभिन्न समस्याओं के लिए विभिन्न मूलांकों का उपयोग करने की अनुमति देते हैं। सिगलर एक उदाहरण भी बताते हैं जहाँ फिबोनाची मिश्रित अंशों का उपयोग करता है जिसमें सभी भाजक 10 होते हैं, जो भिन्नों के लिए आधुनिक दशमलव संकेतन को पूर्वनिर्धारित करते हैं। फिबोनाची ने कभी-कभी एक-दूसरे के बगल में कई अंश लिखे, जो दिए गए अंशों के योग का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, 1/3+1 4 = 7/12, इसलिए इस तरह का एक संकेतन उस संख्या का प्रतिनिधित्व करेगा जिसे अब अधिक सामान्य रूप से मिश्रित संख्या, या बस अनुचित अंश के रूप में लिखा जाएगा। इस रूप के संकेतन को बार में दिखाई देने वाले विराम द्वारा अंश पट्टी को साझा करने वाले अंशों और भाजकों के अनुक्रमों से अलग किया जा सकता है। यदि सभी अंश इस रूप में लिखे गए अंश में 1 हैं, और सभी भाजक एक दूसरे से अलग हैं, तो परिणाम संख्या का मिस्र का अंश प्रतिनिधित्व है। इस संकेतन को कभी-कभी समग्र अंश संकेतन के साथ भी जोड़ा जाता थाः एक दूसरे के बगल में लिखे गए दो समग्र अंश भिन्नों के योग का प्रतिनिधित्व करेंगे। इस संकेतन की जटिलता संख्याओं को कई अलग-अलग तरीकों से लिखने की अनुमति देती है, और फिबोनाची ने प्रतिनिधित्व की एक शैली से दूसरी शैली में परिवर्तित करने के लिए कई तरीकों का वर्णन किया है। विशेष रूप से, अध्याय II. 7 में एक अनुचित अंश को मिस्र के अंश में परिवर्तित करने के तरीकों की एक सूची है, जिसमें मिस्र के अंशों के लिए लालची एल्गोरिदम भी शामिल है, जिसे फिबोनाची-सिल्वेस्टर विस्तार के रूप में भी जाना जाता है। मोडस इंडोरम में, फिबोनाची का कहना है कि निम्नलिखित सकारात्मक मोडस इंडोरम (भारतीयों की विधि) की शुरुआत है, जिसे आज हिंदू-अरबी अंक प्रणाली या आधार-10 स्थितिगत संकेतन के रूप में जाना जाता है। इसने ऐसे अंकों को भी पेश किया जो आधुनिक अरबी अंकों से बहुत मिलते-जुलते थे। चूंकि मेरे पिता हमारी मातृभूमि से दूर बुगिया कस्टमहाउस में एक सार्वजनिक अधिकारी थे, जो अक्सर वहां इकट्ठा होने वाले किसान व्यापारियों के लिए स्थापित किया गया था, इसलिए उन्होंने मुझे अपनी युवावस्था में उनके पास लाया, ताकि मेरे लिए एक उपयोगी और आरामदायक भविष्य की तलाश हो; वे चाहते थे कि मैं गणित के अध्ययन में रहूं और कुछ दिनों तक पढ़ाया जाए। वहाँ नौ भारतीय हस्तियों की कला में एक अद्भुत शिक्षा से, कला के परिचय और ज्ञान ने मुझे सबसे अधिक प्रसन्न किया, और मैंने उनसे सीखा, जो भी इसमें सीखा गया था, पास के मिस्र, सीरिया, ग्रीस, सिसिली और प्रोवेंस से, और उनके विभिन्न तरीके, जिन व्यवसाय के स्थानों पर मैंने बाद में बहुत अध्ययन के लिए यात्रा की, और मैंने एकत्रित विवादों से सीखा। लेकिन यह, कुल मिलाकर, एल्गोरिथ्म और यहां तक कि पायथागोरियन चाप, मैं अभी भी भारतीय विधि की तुलना में लगभग एक त्रुटि मानता हूं। इसलिए भारतीय पद्धति को सख्ती से अपनाते हुए, और इसके अध्ययन पर ध्यान देते हुए, अपनी समझ से कुछ जोड़ते हुए, और सूक्ष्म यूक्लिडियन ज्यामितीय कला से कुछ और जोड़ते हुए, इस पुस्तक में जो राशि मैं समझ पाया, उसे लागू करते हुए, मैंने इसे xv अलग-अलग अध्यायों में रखने का काम किया, जो लगभग हर उस चीज के लिए कुछ प्रमाण दिखाता है जिसे मैंने रखा है, ताकि आगे, यह विधि बाकी से परिपूर्ण हो जाए, इस विज्ञान को उत्सुक लोगों को और अन्य सभी से ऊपर इतालवी लोगों को सिखाया जाए, जो अब तक न्यूनतम के बिना पाए जाते हैं। यदि संयोग से, कुछ कम या अधिक उचित या आवश्यक जिसे मैंने छोड़ दिया है, तो मेरे लिए आपका अनुग्रह अनुरोध किया जाता है, क्योंकि कोई भी ऐसा नहीं है जो दोषरहित है, और सभी चीजों में पूरी तरह से चौकस है। नौ भारतीय आकृतियाँ हैंः 9 8 7 6 5 4 3 2 1 इन नौ आकृतियों के साथ, और चिह्न 0 के साथ जिसे अरब ज़फ़िर कहते हैं, कोई भी संख्या जो भी लिखी गई है। दूसरे शब्दों में, अपनी पुस्तक में उन्होंने 0-9 अंकों और स्थान मूल्य के उपयोग की वकालत की। इस समय तक यूरोप रोमन अंकों का उपयोग करता था, जिससे आधुनिक गणित लगभग असंभव हो गया था। इस प्रकार इस पुस्तक ने दशमलव अंकों के प्रसार में महत्वपूर्ण योगदान दिया। हालाँकि, जैसा कि ओरे लिखते हैं, हिंदू-अरबी प्रणाली का प्रसार "लंबे समय तक चला" था, जिसे व्यापक रूप से फैलने में कई और शताब्दियाँ लगीं, और 16 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध तक पूरा नहीं हुआ, केवल 1500 के दशक में मुद्रण के आगमन के साथ नाटकीय रूप से तेजी आई। पाठ्य इतिहास पांडुलिपि की पहली उपस्थिति 1202 में हुई थी। इस संस्करण की कोई प्रतियाँ ज्ञात नहीं हैं। माइकल स्कॉट को समर्पित एक संशोधित संस्करण, 1227 ईस्वी में दिखाई दिया। इस पाठ के कुछ हिस्सों वाली कम से कम उन्नीस पांडुलिपियाँ मौजूद हैं। तेरहवीं और चौदहवीं शताब्दी की इस पांडुलिपि के तीन पूर्ण संस्करण हैं। तेरहवीं और पंद्रहवीं शताब्दी के बीच नौ और अधूरी प्रतियां ज्ञात हैं, और हो सकता है कि अभी तक उनकी पहचान नहीं की गई हो। बोनकॉम्पैग्नी के 1857 के इतालवी अनुवाद तक इसका कोई ज्ञात मुद्रित संस्करण नहीं था। पहला पूर्ण अंग्रेजी अनुवाद सिगलर का 2002 का पाठ था। ।