Quadratic integer
संख्या सिद्धांत में, द्विघात पूर्णांक सामान्य पूर्णांकों का द्विघात क्षेत्रों में सामान्यीकरण है। द्विघात पूर्णांक दो डिग्री के बीजगणितीय पूर्णांक हैं, अर्थात, और (सामान्य) पूर्णांकों के साथ रूप के समीकरणों के समाधान। जब बीजगणितीय पूर्णांकों पर विचार किया जाता है, तो सामान्य पूर्णांकों को अक्सर परिमेय पूर्णांक कहा जाता है। द्विघात पूर्णांकों के सामान्य उदाहरण परिमेय पूर्णांकों के वर्गमूल हैं, जैसे, और जटिल संख्या, जो गौसी पूर्णांक उत्पन्न करती है। एक अन्य सामान्य उदाहरण एकता का गैर-वास्तविक घन मूल है, जो आइजेनस्टीन पूर्णांक उत्पन्न करता है। द्विघात पूर्णांक कई डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान में पाए जाते हैं, जैसे कि पेल के समीकरण, और अभिन्न द्विघात रूपों से संबंधित अन्य प्रश्न। द्विघात पूर्णांकों के वलय का अध्ययन बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के कई प्रश्नों के लिए बुनियादी है। मध्यकालीन भारतीय गणितविदों ने पहले ही उसी के द्विघात पूर्णांकों के गुणन की खोज की थी, जिससे वे पेल के समीकरण के कुछ मामलों को हल कर सके। द्विघात पूर्णांकों में दिया गया लक्षण वर्णन पहली बार 1871 में रिचर्ड डेडेकिंड द्वारा दिया गया था। परिभाषा एक द्विघात पूर्णांक दो डिग्री का एक बीजगणितीय पूर्णांक है। अधिक स्पष्ट रूप से, यह एक जटिल संख्या है, जो पूर्णांक के साथ रूप के समीकरण को हल करती है। प्रत्येक द्विघात पूर्णांक जो एक पूर्णांक नहीं है, परिमेय नहीं है-अर्थात्, यह एक वास्तविक अपरिमेय संख्या है यदि और गैर-वास्तविक यदि-और एक विशिष्ट रूप से निर्धारित द्विघात क्षेत्र में स्थित है, अद्वितीय वर्ग-मुक्त पूर्णांक के वर्गमूल द्वारा उत्पन्न का विस्तार जो कुछ पूर्णांक के लिए संतुष्ट करता है। यदि धनात्मक है, तो द्विघात पूर्णांक वास्तविक है। यदि, यह काल्पनिक है (यानी, जटिल और गैर-वास्तविक)। द्विघात पूर्णांक (साधारण पूर्णांकों सहित) जो एक द्विघात क्षेत्र से संबंधित हैं, एक अभिन्न क्षेत्र बनाते हैं जिसे पूर्णांक का वलय कहा जाता है। हालांकि किसी दिए गए द्विघात क्षेत्र से संबंधित द्विघात पूर्णांक एक वलय बनाते हैं, सभी द्विघात पूर्णांकों का समूह एक वलय नहीं है क्योंकि यह योग या गुणन के तहत बंद नहीं होता है। उदाहरण के लिए, और द्विघात पूर्णांक हैं, लेकिन नहीं हैं, क्योंकि उनके न्यूनतम बहुपदों में डिग्री चार होती है। स्पष्ट प्रतिनिधित्व यहाँ और निम्नलिखित में, जिन द्विघात पूर्णांकों को माना जाता है वे एक द्विघात क्षेत्र से संबंधित हैं जहाँ एक वर्ग-मुक्त पूर्णांक है। यह व्यापकता को प्रतिबंधित नहीं करता है, क्योंकि समानता (किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए) का तात्पर्य है कि का एक तत्व एक द्विघात पूर्णांक है यदि और केवल दो पूर्णांक हैं और ऐसा है कि या, यदि दोनों का एक गुणक है और दोनों विषम हैं। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक द्विघात पूर्णांक लिखा जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं, और जहां द्वारा परिभाषित किया गया है (जैसा कि वर्ग-मुक्त माना गया है, मामला असंभव है, क्योंकि इसका मतलब होगा कि वर्ग 4 द्वारा विभाज्य है)। मानक और संयुग्मन एक द्विघात पूर्णांक लिखा जा सकता है, जहां और दोनों पूर्णांक हैं, या केवल अगर, विषम पूर्णांक के दोनों आधे हैं। इस तरह के द्विघात पूर्णांक का मानक है। एक द्विघात पूर्णांक का मानक हमेशा एक पूर्णांक होता है। यदि, एक द्विघात पूर्णांक का मानक एक जटिल संख्या के रूप में इसके निरपेक्ष मूल्य का वर्ग है (यह गलत है यदि)। मानक एक पूरी तरह से गुणक फलन है, जिसका अर्थ है कि द्विघात पूर्णांकों के उत्पाद का मानक हमेशा उनके मानदंडों का उत्पाद होता है। प्रत्येक द्विघात पूर्णांक में एक संयुग्म होता है एक द्विघात पूर्णांक में इसके संयुग्म के समान मानक होता है, और यह मानक द्विघात पूर्णांक और इसके संयुग्म का गुणनफल है। किसी योग या द्विघात पूर्णांकों के गुणनफल का संयुग्म संयुग्मों का योग या गुणनफल (क्रमशः) होता है। इसका मतलब है कि संयुग्मन पूर्णांकों के वलय का एक स्वचालित रूप है-नीचे देखें। चतुर्भुज पूर्णांक वलय प्रत्येक वर्ग-मुक्त पूर्णांक (0 और 1 से भिन्न) एक द्विघात पूर्णांक वलय को परिभाषित करता है, जो समाकलन क्षेत्र है जिसमें बीजगणितीय पूर्णांक शामिल हैं। इसे अक्सर दर्शाया जाता है, क्योंकि यह पूर्णांकों की वलयिका है, जो पूर्णांक का अभिन्न समापन है। वलय में सभी समीकरणों के सभी मूल होते हैं जिनका विभेदक एक पूर्णांक के वर्ग द्वारा का गुणनफल होता है। विशेष रूप से, समीकरण का मूल होने के नाते, जिसका विभेदक है। किसी भी पूर्णांक का वर्गमूल एक द्विघात पूर्णांक होता है, जैसा कि प्रत्येक पूर्णांक को लिखा जा सकता है, जहाँ एक वर्ग-मुक्त पूर्णांक होता है, और इसका वर्गमूल इसका मूल होता है। द्विघात पूर्णांकों के कई वलय में अंकगणित की मौलिक प्रमेय सही नहीं है। हालाँकि, आदर्शों के लिए एक अद्वितीय गुणनखंडन है, जिसे इस तथ्य से व्यक्त किया जाता है कि बीजगणितीय पूर्णांकों का प्रत्येक वलय एक डेडेकाइंड क्षेत्र है। बीजगणितीय पूर्णांकों के सबसे सरल उदाहरण होने के नाते, द्विघात पूर्णांक आमतौर पर बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के अधिकांश अध्ययनों के प्रारंभिक उदाहरण हैं। द्विघात पूर्णांक वलय के चिह्न के आधार पर दो वर्गों में विभाजित होते हैं। यदि, के सभी तत्व वास्तविक हैं, और रिंग एक वास्तविक द्विघात पूर्णांक रिंग है। यदि, के एकमात्र वास्तविक तत्व साधारण पूर्णांक हैं, और रिंग एक जटिल द्विघात पूर्णांक रिंग है। वास्तविक द्विघात पूर्णांक वलय के लिए, वर्ग संख्या-जो अद्वितीय गुणनखंडन की विफलता को मापती है-OEIS A003649 में दी गई है; काल्पनिक मामले के लिए, वे OEIS A000924 में दिए गए हैं। एक द्विघात पूर्णांक पूर्णांक के वलय में एक इकाई है यदि और केवल यदि इसका मानक या है। पहले मामले में इसका गुणक व्युत्क्रम इसका संयुग्म है। यह दूसरे मामले में इसके संयुग्म का निषेध है। यदि, के पूर्णांकों के वलय में अधिकतम छह इकाइयाँ होती हैं। गौसी पूर्णांक () के मामले में, चार इकाइयाँ हैं। आइजेनस्टीन पूर्णांक () के मामले में, छह इकाइयाँ हैं। अन्य सभी नकारात्मक के लिए, केवल दो इकाइयाँ हैं, जो और हैं। यदि, के पूर्णांकों के वलय में असीम रूप से कई इकाइयाँ हैं जो इसके बराबर हैं, जहां एक मनमाना पूर्णांक है, और एक विशेष इकाई है जिसे मौलिक इकाई कहा जाता है। एक मौलिक इकाई को देखते हुए, तीन अन्य मौलिक इकाइयाँ हैं, इसका संयुग्म और यह भी और आम तौर पर, "मौलिक इकाई" को अद्वितीय इकाई कहा जाता है जिसका निरपेक्ष मान 1 से अधिक (एक वास्तविक संख्या के रूप में) होता है। यह एक अद्वितीय मौलिक इकाई है जिसे, के साथ और धनात्मक (पूर्णांक या पूर्णांक के आधे) के रूप में लिखा जा सकता है। 10 सबसे छोटे धनात्मक वर्ग-मुक्त के लिए मौलिक इकाइयाँ हैं,, (स्वर्ण अनुपात),,,,,,,,। बड़े के लिए, मौलिक इकाई के गुणांक बहुत बड़े हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, मौलिक इकाइयाँ क्रमशः और हैं। जटिल द्विघात पूर्णांक वलय के उदाहरण <0 के लिए, एक जटिल (काल्पनिक या अन्यथा गैर-वास्तविक) संख्या है। इसलिए, एक द्विघात पूर्णांक वलय को बीजगणितीय जटिल संख्याओं के समूह के रूप में मानना स्वाभाविक है। एक उत्कृष्ट उदाहरण है, गॉसियन पूर्णांक, जिसे कार्ल गॉस ने 1800 के आसपास अपने द्विघात पारस्परिकता नियम को बताने के लिए पेश किया था। इन तत्वों को आइजेनस्टीन पूर्णांक कहा जाता है। ऊपर उल्लिखित दोनों वलय अनुरूप रूप से साइक्लोटोमिक क्षेत्रों क्यू (ζ4) और क्यू (ζ3) के पूर्णांकों के वलय हैं। इसके विपरीत, Z [] एक डेडेकिंड डोमेन भी नहीं है। उपरोक्त दोनों उदाहरण प्रमुख आदर्श वलय हैं और मानक के लिए यूक्लिडियन क्षेत्र भी हैं। यह ऐसा मामला नहीं है जिसके लिए एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र भी नहीं है। इसे निम्नलिखित रूप में दिखाया जा सकता है। हमारे पास कारक 3 हैं, और अपरिवर्तनीय हैं, क्योंकि उनमें सभी 9 का मानक है, और यदि वे अपरिवर्तनीय नहीं थे, तो उनके पास मानक 3 का एक कारक होगा, जो असंभव है, कम से कम 4 होने से अलग एक तत्व का मानक। इस प्रकार 9 का अपवर्तनीय कारकों में गुणनखंडन अद्वितीय नहीं है। आदर्श और अभाज्य नहीं हैं, क्योंकि एक साधारण गणना से पता चलता है कि उनका गुणनफल 3 द्वारा उत्पन्न आदर्श है, और यदि वे अभाज्य थे, तो इसका मतलब यह होगा कि 3 अपूरणीय नहीं होगा। वास्तविक द्विघात पूर्णांक वलय के उदाहरण के लिए, एक धनात्मक अपरिमेय वास्तविक संख्या है, और संबंधित द्विघात पूर्णांक वलय बीजगणितीय वास्तविक संख्याओं का एक समूह है। पेल के समीकरण के समाधान, एक डायोफैंटाइन समीकरण जिसका व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है, इन वलय की इकाइयाँ हैं। क्योंकि, यह स्वर्ण अनुपात है। इस अंगूठी का अध्ययन पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट ने किया था। इसकी इकाइयों का रूप होता है, जहाँ एक मनमाना पूर्णांक होता है। यह वलय यूक्लिडियन तल पर 5 गुना घूर्णन समरूपता के अध्ययन से भी उत्पन्न होता है, उदाहरण के लिए, पेनरोज़ झुकाव। भारतीय गणितशास्त्री ब्रह्मगुप्त ने पेल के समीकरण का इलाज किया, जो रिंग के अनुरूप है। कुछ परिणाम 1657 में पियरे फर्माट द्वारा यूरोपीय समुदाय को प्रस्तुत किए गए थे। द्विघात पूर्णांकों के प्रमुख वलय अद्वितीय गुणनखंडन गुण हमेशा द्विघात पूर्णांकों के वलय के लिए सत्यापित नहीं किया जाता है, जैसा कि के मामले में ऊपर देखा गया है। हालाँकि, प्रत्येक डेडेकाइंड डोमेन के लिए, द्विघात पूर्णांकों का एक वलय एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन है यदि और केवल तभी जब यह एक प्रमुख आदर्श डोमेन हो। यह तभी होता है जब संबंधित द्विघात क्षेत्र की वर्ग संख्या एक हो। द्विघात पूर्णांकों के काल्पनिक वलय जो प्रमुख आदर्श वलय हैं, पूरी तरह से निर्धारित किए गए हैं। ये इसके लिए हैं। इस परिणाम का अनुमान पहली बार गॉस द्वारा लगाया गया था और कर्ट हेगनर द्वारा साबित किया गया था, हालांकि हेगनर के प्रमाण पर तब तक विश्वास नहीं किया गया था जब तक कि हैरोल्ड स्टार्क ने 1967 में बाद में प्रमाण नहीं दिया था (स्टार्क-हीगनर प्रमेय देखें)। यह प्रसिद्ध वर्ग संख्या समस्या का एक विशेष मामला है। कई ज्ञात धनात्मक पूर्णांक हैं, जिनके लिए द्विघात पूर्णांकों का वलय एक प्रमुख आदर्श वलय है। हालाँकि, पूरी सूची ज्ञात नहीं है; यह भी ज्ञात नहीं है कि इन प्रमुख आदर्श वलय की संख्या सीमित है या नहीं। द्विघात पूर्णांकों के यूक्लिडियन वलय जब द्विघात पूर्णांकों का एक वलय एक प्रमुख आदर्श क्षेत्र होता है, तो यह जानना दिलचस्प होता है कि क्या यह एक यूक्लिडियन क्षेत्र है। इस समस्या को पूरी तरह से निम्नानुसार हल किया गया है। एक यूक्लिडियन फलन के रूप में मानक से लैस, नकारात्मक के लिए एक यूक्लिडियन डोमेन है जब, और, सकारात्मक के लिए, कब। द्विघात पूर्णांकों का कोई अन्य वलय नहीं है जो यूक्लिडियन फलन के रूप में मानक के साथ यूक्लिडियन है। ऋणात्मक के लिए, द्विघात पूर्णांकों का एक वलय यूक्लिडियन है यदि और केवल तभी जब मानक इसके लिए एक यूक्लिडियन फलन हो। यह इस प्रकार है कि, क्योंकि, द्विघात पूर्णांकों के चार संबंधित वलय प्रमुख आदर्श डोमेन के दुर्लभ ज्ञात उदाहरणों में से हैं जो यूक्लिडियन डोमेन नहीं हैं। दूसरी ओर, सामान्यीकृत रीमान परिकल्पना का तात्पर्य है कि वास्तविक द्विघात पूर्णांकों का एक वलय जो एक प्रमुख आदर्श क्षेत्र है, कुछ यूक्लिडियन फलन के लिए एक यूक्लिडियन क्षेत्र भी है, जो वास्तव में सामान्य मानदंड से भिन्न हो सकता है। मान वे पहले थे जिनके लिए द्विघात पूर्णांकों का वलय यूक्लिडियन साबित हुआ था, लेकिन मानक-यूक्लिडियन नहीं। ।