Sixth power
अंकगणित और बीजगणित में एक संख्या n की छठी शक्ति n के छह उदाहरणों को एक साथ गुणा करने का परिणाम है। तोः। छठी शक्तियाँ किसी संख्या को उसकी पाँचवीं शक्ति से गुणा करके, किसी संख्या के वर्ग को उसकी चौथी शक्ति से गुणा करके, एक वर्ग को घन करके या एक घन को वर्ग करके बनाई जा सकती हैं। पूर्णांकों की छठी शक्तियों का क्रम हैः 0,1,64,729,4096,15625,46656,117649,262144,531441,1071561,2985984,4826809,7529536,11390625,1677216,24137569,34012224,47045881,64000000,85766121,113379904,148035889,191102976,244140625,308915776,387420489,481890304,। इनमें महत्वपूर्ण दशमलव संख्याएँ 106 (एक मिलियन), 1006 (एक छोटे पैमाने पर खरब और लंबे पैमाने पर अरब), 10006 (एक क्विंटिलियन और लंबे पैमाने पर खरब) आदि शामिल हैं। वर्ग और घन पूर्णांक की छठी शक्तियों को उन संख्याओं के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो एक साथ वर्ग और घन हैं। इस तरह, वे अंकीय संख्याओं के दो अन्य वर्गों के अनुरूप हैंः वर्ग त्रिकोणीय संख्याएँ, जो एक साथ वर्ग और त्रिकोणीय हैं, और कैननबॉल समस्या के समाधान, जो एक साथ वर्ग और वर्ग-पिरामिड हैं। वर्ग और घन के साथ उनके संबंध के कारण, छठी शक्तियाँ मोर्डेल वक्रों के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं, जो इस रूप के दीर्घवृत्ताकार वक्र होते हैं जब छठी शक्ति से विभाज्य होता है, तो इस समीकरण को उसी रूप का एक सरल समीकरण देने के लिए उस शक्ति से विभाजित करके कम किया जा सकता है। संख्या सिद्धांत में एक प्रसिद्ध परिणाम, जिसे रुडोल्फ फुएटर और लुई जे. मोर्डेल द्वारा सिद्ध किया गया है, बताता है कि, जब एक पूर्णांक है जो छठी शक्ति (असाधारण मामलों और के अलावा) से विभाज्य नहीं है, तो इस समीकरण का या तो दोनों के साथ कोई तर्कसंगत समाधान नहीं है और गैर-शून्य या उनमें से अनंत रूप से कई। रॉबर्ट रिकॉर्डे के पुरातन संकेतन में, एक संख्या की छठी शक्ति को "ज़ेनज़ीक्यूब" कहा जाता था, जिसका अर्थ है घन का वर्ग। इसी तरह, भास्कर द्वितीय द्वारा 12वीं शताब्दी के भारतीय गणित में उपयोग की गई छठी शक्तियों के लिए संकेतन ने भी उन्हें या तो घन का वर्ग या वर्ग का घन कहा। छठी शक्तियों के कई ज्ञात उदाहरण हैं जिन्हें सात अन्य छठी शक्तियों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन केवल छह छठी शक्तियों के योग के रूप में व्यक्त होने वाली छठी शक्ति का कोई उदाहरण अभी तक ज्ञात नहीं है। यह इसे घातांक k = 1,2,., 8 वाली शक्तियों के बीच अद्वितीय बनाता है, जिनमें से अन्य को प्रत्येक को k अन्य k-th शक्तियों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और जिनमें से कुछ (यूलर की शक्तियों के योग अनुमान का उल्लंघन करते हुए) को और भी कम k-th शक्तियों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। वारिंग की समस्या के संबंध में, प्रत्येक पर्याप्त रूप से बड़े पूर्णांक को पूर्णांकों की अधिकतम 24 छठी शक्तियों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। डायोफैंटाइन समीकरण के अनंत रूप से कई अलग-अलग गैर-तुच्छ समाधान हैं यह साबित नहीं हुआ है कि क्या समीकरण का एक गैर-तुच्छ समाधान है, लेकिन लैंडर, पार्किन और सेल्फ्रिज अनुमान का मतलब है कि ऐसा नहीं है। अन्य गुण 7 से विभाज्य हैं यदि n 7 से विभाज्य नहीं है। ।