Ramanujan–Nagell equation
गणित में, संख्या सिद्धांत के क्षेत्र में, रामानुजन-नागेल समीकरण एक वर्ग संख्या और एक संख्या के बीच एक समीकरण है जो दो की घात से सात कम है। यह एक घातीय डायोफैंटाइन समीकरण का एक उदाहरण है, एक समीकरण जिसे पूर्णांक में हल किया जाना है जहां एक चर एक प्रतिपादक के रूप में दिखाई देता है। समीकरण का नाम श्रीनिवास रामानुजन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अनुमान लगाया था कि इसके केवल पाँच पूर्णांक समाधान हैं, और ट्रिग्वे नागेल के नाम पर, जिन्होंने अनुमान को साबित किया। इसका तात्पर्य है कि न्यूनतम हैमिंग दूरी 5 या 6 के साथ पूर्ण द्विआधारी कोड का अस्तित्व नहीं है। समीकरण है और प्राकृतिक संख्या n और x में समाधान तब मौजूद होते हैं जब n = 3,4,5,7 और 15 होता है। यह अनुमान 1913 में भारतीय गणितशास्त्री श्रीनिवास रामानुजन द्वारा लगाया गया था, 1943 में नॉर्वे के गणितशास्त्री विल्हेम लजुन्ग्रेन द्वारा स्वतंत्र रूप से प्रस्तावित किया गया था, और 1948 में नॉर्वे के गणितशास्त्री ट्रिगवे नागेल द्वारा साबित किया गया था। n के मान x के मानों के अनुरूप हैंः-x = 1,3,5,11 और 181। त्रिकोणीय मर्सेन संख्याएँ 2b−1 (मर्सेन संख्याएँ) रूप की सभी संख्याएँ जो त्रिकोणीय हैं, उन्हें खोजने की समस्या समतुल्य हैः b के मान केवल n−3 के हैं, और संबंधित त्रिकोणीय मर्सेन संख्याएँ (जिन्हें रामानुजन-नागेल संख्याएँ भी कहा जाता है) हैंः x = 1,3,5,11 और 181 के लिए, 0,1,3,15,4095 देते हुए और अधिक नहीं। रामानुजन-नागेल प्रकार के समीकरण निश्चित डी, ए, बी और चर एक्स, एन के लिए रूप का एक समीकरण रामानुजन-नागेल प्रकार का कहा जाता है। सीगल के परिणाम का तात्पर्य है कि प्रत्येक मामले में समाधानों की संख्या सीमित है। रामानुजन-नागेल प्रकार के समीकरण को तीन मॉर्डेल वक्रों (अनुक्रमित) में घटाया जाता है, जिनमें से प्रत्येक में पूर्णांक समाधानों की एक सीमित संख्या होती हैः,,। रामानुजन-नागेल समीकरण के अनुरूप मामले को छोड़कर, के साथ समीकरण के अधिकतम दो समाधान हैं। डी के असीम रूप से कई मान हैं जिनके लिए दो समाधान हैं, जिनमें शामिल हैं। लेबेस्ग्यू-नागेल प्रकार के समीकरण निश्चित डी, ए और चर एक्स, वाई, एन के लिए रूप का एक समीकरण लेबेस्ग्यू-नागेल प्रकार का कहा जाता है। इसका नाम विक्टर-एमेडी लेबस्ग्यू के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने साबित किया कि समीकरण का कोई गैर-तुच्छ समाधान नहीं है। शोरे और तिजडेमन के परिणाम बताते हैं कि प्रत्येक मामले में समाधानों की संख्या सीमित है। बुगौद, मिग्नोटे और सिक्सेक ने इस प्रकार के समीकरणों को ए = 1 और 1 ≤ डी ≤ 100 के साथ हल किया। विशेष रूप से, रामानुजन-नागेल समीकरण के निम्नलिखित सामान्यीकरणः सकारात्मक पूर्णांक समाधान केवल तब होते हैं जब x = 1,3,5,11, या 181 हो। ।