Bhāskara II
भास्कर द्वितीय (सी. 1114-1185), जिन्हें भास्करचार्य ("भास्कर, शिक्षक") के रूप में भी जाना जाता है, और भास्कर द्वितीय के रूप में भास्कर प्रथम के साथ भ्रम से बचने के लिए, एक भारतीय गणितशास्त्री और खगोलशास्त्री थे। छंदों से, उनकी मुख्य कृति, सिद्धांत शिरोमणि में, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि उनका जन्म 1114 में विज्जादविदा (विज्जालविदा) में हुआ था और वे पश्चिमी घाट की सतपुड़ा पर्वत श्रृंखलाओं में रहते थे, जिन्हें विद्वानों द्वारा महाराष्ट्र के वर्तमान खानदेश क्षेत्र में स्थित चालीसगांव में पटाना शहर माना जाता है। वह एकमात्र प्राचीन गणितशास्त्री हैं जिन्हें एक स्मारक पर अमर कर दिया गया है। महाराष्ट्र के एक मंदिर में, माना जाता है कि उनके पोते चंगदेव द्वारा बनाए गए एक शिलालेख में भास्कराचार्य की कई पीढ़ियों के साथ-साथ उनके बाद की दो पीढ़ियों के लिए उनके पैतृक वंश को सूचीबद्ध किया गया है। कोलब्रुक, जो (1817) भास्कराचार्य द्वितीय के गणितीय क्लासिक्स का अनुवाद करने वाले पहले यूरोपीय थे, इस परिवार को गोदावरी के तट पर रहने वाले महाराष्ट्रीयन ब्राह्मणों के रूप में संदर्भित करते हैं। विद्वानों, गणितविदों और खगोलविदों के एक हिंदू देशस्थ ब्राह्मण परिवार में जन्मे, भास्कर द्वितीय प्राचीन भारत के मुख्य गणितीय केंद्र उज्जैन में एक ब्रह्मांडीय वेधशाला के नेता थे। भास्कर और उनकी कृतियाँ 12वीं शताब्दी में गणितीय और खगोलीय ज्ञान में महत्वपूर्ण योगदान का प्रतिनिधित्व करती हैं। उन्हें मध्ययुगीन भारत का सबसे महान गणितशास्त्री कहा जाता है। उनकी मुख्य कृति सिद्धांत-सिरोमणि, ("ग्रंथों के मुकुट" के लिए संस्कृत) को चार भागों में विभाजित किया गया है जिन्हें लीलावती, बीजगनिटा, ग्रहगनिटा और गोलाध्याया कहा जाता है, जिन्हें कभी-कभी चार स्वतंत्र कृतियाँ भी माना जाता है। ये चार खंड क्रमशः अंकगणित, बीजगणित, ग्रहों के गणित और क्षेत्रों से संबंधित हैं। उन्होंने करण कौतुहल नामक एक और ग्रंथ भी लिखा। तारीख, स्थान और परिवार भास्कर आर्य मीटर के एक श्लोक में अपनी जन्म तिथि और अपनी प्रमुख कृति की रचना की तारीख देते हैंः इससे पता चलता है कि उनका जन्म शक युग (1114 ईस्वी) के 1036 में हुआ था, और उन्होंने 36 साल की उम्र में सिद्धांत शिरोमणि की रचना की थी। सिद्धांत शिरोमणि 1150 ईस्वी के दौरान पूरी हुई थी। उन्होंने 69 वर्ष की आयु में (1183 में) करण-कुटौला नामक एक और कृति भी लिखी। उनकी कृतियाँ ब्रह्मगुप्त, श्रीधर, महावीर, पद्मनाभ और अन्य पूर्ववर्तियों के प्रभाव को दर्शाती हैं। भास्कर सह्याद्री के आसपास पाटन (चालीसगांव) के पास स्थित पटनादेवी में रहते थे। उनका जन्म विज्जादविदा (विज्जालविदा) के पास एक देशस्थ ऋग्वेदी ब्राह्मण परिवार में हुआ था। भास्कर के सिद्धांत शिरोमणि पर टिप्पणीकार मुनीश्वर (17वीं शताब्दी) ने अपनी कृति मारीसी टीका में विजादविदा के स्थान के बारे में जानकारी दी हैः यह विवरण महाराष्ट्र में विदर्भ क्षेत्र के पास और गोदावरी नदी के तट के पास स्थित है। हालाँकि, सटीक स्थान के बारे में विद्वानों में मतभेद हैं। कई विद्वानों ने पाटन के पास के स्थान को (जलगांव जिले की चालीसगांव तालुका) में रखा है, जबकि विद्वानों के एक वर्ग ने इसे आधुनिक बीड शहर के रूप में पहचाना है। कुछ स्रोतों ने विजालविद की पहचान कर्नाटक में बीजापुर या बीदर के रूप में की। तेलंगाना में विज्जालाविदा की पहचान बसर के साथ करने का भी सुझाव दिया गया है। कहा जाता है कि भास्कर मध्ययुगीन भारत के प्रमुख गणितीय केंद्र उज्जैन में एक खगोलीय वेधशाला के प्रमुख थे। इतिहास में दर्ज है कि उनके परदादा ने दरबारी विद्वान के रूप में वंशानुगत पद संभाला था, जैसा कि उनके बेटे और अन्य वंशजों ने किया था। उनके पिता महेश्वर (महेश्वरपाध्याय) एक गणितशास्त्री, खगोलशास्त्री और ज्योतिषी थे, जिन्होंने उन्हें गणित पढ़ाया, जिसे बाद में उन्होंने अपने बेटे लोकसमुद्र को दे दिया। लोकसमुद्र के पुत्र ने 1207 में भास्कर के लेखन के अध्ययन के लिए एक विद्यालय स्थापित करने में मदद की। 1185 ईस्वी में उनकी मृत्यु हो गई। सिद्धांत-सिरोमणि लीलावती पहला खंड लीलावती (जिसे पतिगणिता या अंकगणिता के नाम से भी जाना जाता है), जिसका नाम उनकी बेटी के नाम पर रखा गया है, में 277 छंद हैं। इसमें गणना, प्रगति, माप, क्रमपरिवर्तन और अन्य विषय शामिल हैं। बीजगणिता बीजगणिता (बीजगणित) के दूसरे खंड में 214 छंद हैं। यह शून्य, अनंत, धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं, और पेल के समीकरण (जिसे अब कहा जाता है) सहित अनिश्चित समीकरणों पर चर्चा करता है, इसे एक कुटाका विधि का उपयोग करके हल करता है। विशेष रूप से, उन्होंने उस मामले को भी हल किया जो सदियों बाद फर्माट और उनके यूरोपीय समकालीनों से बच गया था। ग्रहगणिता तीसरे खंड ग्रहगणिता में ग्रहों की गति का उपचार करते समय उन्होंने उनकी तात्कालिक गति पर विचार किया। वह इस अनुमान पर पहुंचेः इसके लिए 451 छंद हैं। के करीब, या आधुनिक संकेतन मेंः उनके शब्दों मेंः यह परिणाम मुंजालचार्य (या मंजुलाचार्य) मानसम द्वारा भी पहले देखा गया था, साइन की एक तालिका के संदर्भ में। भास्कर ने यह भी कहा कि अपने उच्चतम बिंदु पर किसी ग्रह की तात्कालिक गति शून्य होती है। गणित में भास्कर के कुछ योगदानों में निम्नलिखित शामिल हैंः एक ही क्षेत्र की दो अलग-अलग तरीकों से गणना करके और फिर a2 + b2 = c2 प्राप्त करने के लिए शब्दों को रद्द करके पाइथागोरियन प्रमेय का प्रमाण। लीलावती में, द्विघात, घन और चतुर्थक अनिश्चित समीकरणों के समाधानों की व्याख्या की गई है। अनिश्चित द्विघात समीकरणों के समाधान (अक्ष 2 + b = y 2 प्रकार के)। रैखिक और द्विघात अनिश्चित समीकरणों (कुट्टक) के पूर्णांक समाधान। उनके द्वारा दिए गए नियम (वास्तव में) 17वीं शताब्दी के पुनर्जागरण यूरोपीय गणितविदों द्वारा दिए गए नियमों के समान हैं। अक्ष 2 + bx + c = y रूप के अनिश्चित समीकरणों को हल करने के लिए एक चक्रीय चक्रवाला विधि। इस समीकरण के समाधान का श्रेय पारंपरिक रूप से 1657 में विलियम ब्रॉन्कर को दिया गया था, हालांकि उनकी विधि चक्रवाल विधि की तुलना में अधिक कठिन थी। x2 − ny2 = 1 (तथाकथित "पेल का समीकरण") समस्या का समाधान खोजने के लिए पहली सामान्य विधि भास्कर द्वितीय द्वारा दी गई थी। दूसरे क्रम के डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान, जैसे 61x2 + 1 = y2। इस समीकरण को 1657 में फ्रांसीसी गणितशास्त्री पियरे डी फर्माट द्वारा एक समस्या के रूप में प्रस्तुत किया गया था, लेकिन 18 वीं शताब्दी में यूलर के समय तक यूरोप में इसका समाधान अज्ञात था। एक से अधिक अज्ञात के साथ द्विघात समीकरणों को हल किया, और नकारात्मक और तर्कहीन समाधान पाए। गणितीय विश्लेषण की प्रारंभिक अवधारणा। अभिन्न कलन की दिशा में उल्लेखनीय योगदान के साथ-साथ असीम कलन की प्रारंभिक अवधारणा। व्युत्पन्न और विभेदक गुणांक के सन्निकटन की खोज के बाद विभेदक कलन की कल्पना की गई। उल्लिखित रोल की प्रमेय, विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण प्रमेयों में से एक, माध्य मूल्य प्रमेय का एक विशेष मामला है। उनके कार्यों में सामान्य माध्य मूल्य प्रमेय के निशान भी पाए जाते हैं। त्रिकोणमितीय फलन और सूत्र के व्युत्पन्न की गणना की। (नीचे गणना अनुभाग देखें।) सिद्धांत-सिरोमणि में, भास्कर ने कई अन्य त्रिकोणमितीय परिणामों के साथ गोलाकार त्रिकोणमिति विकसित की। (नीचे त्रिकोणमिति खंड देखें।) अंकगणितीय भास्कर के अंकगणितीय पाठ लीलावती में परिभाषाओं, अंकगणितीय शब्दों, ब्याज गणना, अंकगणितीय और ज्यामितीय प्रगति, समतल ज्यामिति, ठोस ज्यामिति, गनोमन की छाया, अनिश्चित समीकरणों को हल करने की विधियों और संयोजनों के विषय शामिल हैं। लीलावती को 13 अध्यायों में विभाजित किया गया है और इसमें गणित, अंकगणित, बीजगणित, ज्यामिति और थोड़ी सी त्रिकोणमिति और माप की कई शाखाएं शामिल हैं। अधिक विशेष रूप से सामग्री में शामिल हैंः परिभाषाएँ। शून्य के गुण (विभाजन सहित, और शून्य के साथ संचालन के नियम)। आगे व्यापक संख्यात्मक कार्य, जिसमें ऋणात्मक संख्याएँ और सर्ड्स का उपयोग शामिल है। अंकगणितीय शब्दों, गुणन की विधियों और वर्ग का अनुमान। तीन का व्युत्क्रम नियम, और 3,5,7,9 और 11 के नियम। ब्याज और ब्याज की गणना से जुड़ी समस्याएं। अनिश्चित समीकरण (कुट्टक), पूर्णांक समाधान (प्रथम और द्वितीय क्रम)। इस विषय में उनका योगदान विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, क्योंकि उनके द्वारा दिए गए नियम (वास्तव में) 17वीं शताब्दी के पुनर्जागरण यूरोपीय गणितविदों द्वारा दिए गए नियमों के समान हैं, फिर भी उनका काम 12वीं शताब्दी का था। भास्कर की हल करने की विधि आर्यभट्ट और बाद के गणितविदों के काम में पाए जाने वाले तरीकों में सुधार थी। उनका काम इसके व्यवस्थितकरण, बेहतर तरीकों और उनके द्वारा पेश किए गए नए विषयों के लिए उत्कृष्ट है। इसके अलावा, लीलावती में उत्कृष्ट समस्याएं थीं और यह माना जाता है कि भास्कर का इरादा यह रहा होगा कि 'लीलावती' के एक छात्र को विधि के यांत्रिक अनुप्रयोग के साथ खुद को चिंतित करना चाहिए। बीजगणित उनकी बीजगणिता ("बीजगणित") बारह अध्यायों में एक कृति थी। यह पहचानने वाला पहला पाठ था कि एक सकारात्मक संख्या के दो वर्गमूल (एक सकारात्मक और नकारात्मक वर्गमूल) होते हैं। उनका काम बीजगणिता प्रभावी रूप से बीजगणित पर एक ग्रंथ है और इसमें निम्नलिखित विषय शामिल हैंः सकारात्मक और नकारात्मक संख्याएँ। 'अज्ञात' (अज्ञात मात्राओं का निर्धारण शामिल है)। अज्ञात मात्राओं का निर्धारण करना। सर्ड्स (इसमें सर्ड्स और उनके वर्गमूल का मूल्यांकन करना शामिल है)। कुट्टका (अनिश्चित समीकरणों और डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए)। सरल समीकरण (दूसरी, तीसरी और चौथी डिग्री का अनिश्चित)। एक से अधिक अज्ञात वाले सरल समीकरण। अनिश्चित द्विघात समीकरण (अक्ष 2 + b = y 2 प्रकार के)। दूसरी, तीसरी और चौथी डिग्री के अनिश्चित समीकरणों के समाधान। द्विघात समीकरण। एक से अधिक अज्ञात के साथ द्विघात समीकरण। कई अज्ञात उत्पादों के साथ संचालन। भास्कर ने अक्ष 2 + bx + c = y रूप के अनिश्चित द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक चक्रीय, चक्रवाल विधि प्राप्त की। समस्या Nx 2 + 1 = y 2 (तथाकथित "पेल का समीकरण") के समाधान खोजने के लिए भास्कर की विधि काफी महत्वपूर्ण है। त्रिकोणमिति सिद्धांत शिरोमणि (1150 में लिखी गई) भास्कर के त्रिकोणमिति के ज्ञान को दर्शाती है, जिसमें साइन टेबल और विभिन्न त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंध शामिल हैं। उन्होंने अन्य दिलचस्प त्रिकोणमितीय परिणामों के साथ-साथ गोलाकार त्रिकोणमिति भी विकसित की। विशेष रूप से भास्कर अपने पूर्ववर्तियों की तुलना में अपने लिए त्रिकोणमिति में अधिक रुचि रखते थे, जो इसे केवल गणना के लिए एक उपकरण के रूप में देखते थे। भास्कर द्वारा दिए गए कई दिलचस्प परिणामों में, उनके कार्यों में पाए गए परिणामों में 18 और 36 डिग्री के कोणों की गणना, और अब और के लिए प्रसिद्ध सूत्र शामिल हैं। कैलकुलस उनकी कृति, सिद्धांत शिरोमणि, एक खगोलीय ग्रंथ है और इसमें कई सिद्धांत हैं जो पहले के कार्यों में नहीं पाए गए थे। असीम कलन और गणितीय विश्लेषण की प्रारंभिक अवधारणाओं के साथ-साथ त्रिकोणमिति, विभेदक कलन और अभिन्न कलन में कई परिणाम जो काम में पाए जाते हैं, विशेष रुचि के हैं। साक्ष्यों से पता चलता है कि भास्कर अंतर कलन के कुछ विचारों से परिचित थे। भास्कर 'विभेदक कलन' में भी गहराई से जाते हैं और सुझाव देते हैं कि विभेदक गुणांक फलन के चरम मूल्य पर गायब हो जाता है, जो 'असीम' की अवधारणा के ज्ञान का संकेत देता है। उनके काम में रोल के प्रमेय के प्रारंभिक रूप का प्रमाण है। रोल के प्रमेय के आधुनिक सूत्रीकरण में कहा गया है कि यदि, तो कुछ के लिए। इस खगोलीय कार्य में उन्होंने एक ऐसी प्रक्रिया दी जो असीम methods.In शब्दों के अग्रदूत की तरह दिखती है अर्थात यदि वह साइन का व्युत्पन्न है, हालांकि उन्होंने व्युत्पन्न पर धारणा विकसित नहीं की। भास्कर इस परिणाम का उपयोग ग्रहण के समय की सटीक भविष्यवाणी करने के लिए आवश्यक मात्रा, ग्रहण के स्थिति कोण का पता लगाने के लिए करते हैं। ग्रह की तात्कालिक गति की गणना करने में, ग्रहों की क्रमिक स्थितियों के बीच का समय अंतराल एक त्रुति या एक सेकंड के ए से अधिक नहीं था, और उनके वेग का माप समय की इस असीम इकाई में व्यक्त किया गया था। वे जानते थे कि जब कोई चर अधिकतम मूल्य प्राप्त करता है, तो उसका अंतर गायब हो जाता है। उन्होंने यह भी दिखाया कि जब कोई ग्रह पृथ्वी से सबसे दूर या उसके सबसे करीब होता है, तो केंद्र का समीकरण (यह मापने के लिए कि एक ग्रह उस स्थिति से कितना दूर है जिसमें इसकी भविष्यवाणी की गई है, यह मानते हुए कि यह समान रूप से आगे बढ़ रहा है) गायब हो जाता है। इसलिए उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि कुछ मध्यवर्ती स्थिति के लिए केंद्र के समीकरण का अंतर शून्य के बराबर है। इस परिणाम में, सामान्य माध्य मूल्य प्रमेय के निशान हैं, जो विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण प्रमेयों में से एक है, जो आज आमतौर पर रोल के प्रमेय से प्राप्त होता है। साइन के व्युत्क्रम अंतर्वेशन के लिए औसत मूल्य सूत्र की स्थापना बाद में परमेश्वर ने 15वीं शताब्दी में भास्कर की लीलावती पर एक टिप्पणी लीलावती भाष्य में की थी। माधव (1340-1425) और केरल स्कूल के गणितविदों (परमेश्वर सहित) ने 14वीं शताब्दी से 16वीं शताब्दी तक भास्कर के काम का विस्तार किया और भारत में कलन के विकास को और आगे बढ़ाया। खगोल विज्ञान 7वीं शताब्दी में ब्रह्मगुप्त द्वारा विकसित एक खगोलीय मॉडल का उपयोग करते हुए, भास्कर ने कई खगोलीय मात्राओं को सटीक रूप से परिभाषित किया, उदाहरण के लिए, पार्श्व वर्ष की लंबाई, पृथ्वी को सूर्य की परिक्रमा करने के लिए आवश्यक समय, लगभग 365.2588 दिन जो सूर्यसिद्धांत के समान है। आधुनिक स्वीकृत माप 365.25636 दिन है, जो 3.5 मिनट का अंतर है। उनका गणितीय खगोल विज्ञान पाठ सिद्धांत शिरोमणि दो भागों में लिखा गया हैः पहला भाग गणितीय खगोल विज्ञान पर और दूसरा भाग गोले पर। पहले भाग के बारह अध्यायों में निम्नलिखित विषयों को शामिल किया गया हैः ग्रहों के माध्य देशांतर। ग्रहों के वास्तविक देशांतर। दैनिक आवर्तन की तीन समस्याएं। (दैनिक गति एक खगोलीय शब्द है जो पृथ्वी के चारों ओर, या अधिक सटीक रूप से दो खगोलीय ध्रुवों के आसपास सितारों की स्पष्ट दैनिक गति को संदर्भित करता है। यह अपनी धुरी पर पृथ्वी के घूर्णन के कारण होता है, इसलिए प्रत्येक तारा स्पष्ट रूप से एक वृत्त पर चलता है, जिसे दैनिक वृत्त कहा जाता है।) सिजिजिज। चंद्र ग्रहण। सूर्य ग्रहण। ग्रहों के अक्षांश। सूर्योदय समीकरण चंद्रमा का अर्धचंद्र। ग्रहों का एक दूसरे के साथ संयोजन। स्थिर तारों के साथ ग्रहों का संयोजन। सूर्य और चंद्रमा के मार्ग। दूसरे भाग में क्षेत्र पर तेरह अध्याय हैं। इसमें निम्नलिखित विषयों को शामिल किया गया हैः क्षेत्र के अध्ययन की प्रशंसा। गोले की प्रकृति। कॉस्मोग्राफी और भूगोल। ग्रहों की औसत गति। ग्रहों का विलक्षण एपिसाइक्लिक मॉडल। आर्मिलरी स्फीयर। गोलाकार त्रिकोणमिति। दीर्घवृत्त गणनाएँ। ग्रहों का पहला दर्शन। चन्द्र अर्धचंद्र की गणना करना। खगोलीय उपकरण। ऋतुओं। खगोलीय गणना की समस्याएं। इंजीनियरिंग एक स्थायी गति मशीन का सबसे पहला संदर्भ 1150 का है, जब भास्कर द्वितीय ने एक ऐसे चक्र का वर्णन किया था जिसके बारे में उन्होंने दावा किया था कि यह हमेशा के लिए चलेगा। भास्कर द्वितीय ने एक माप उपकरण का उपयोग किया जिसे यष्टि-यंत्र के नाम से जाना जाता है। यह उपकरण एक साधारण छड़ी से लेकर वी-आकार के कर्मचारियों तक भिन्न हो सकता है जो विशेष रूप से एक कैलिब्रेटेड पैमाने की मदद से कोण निर्धारित करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। अपनी पुस्तक लीलावती में किंवदंतियों के अनुसार, वे तर्क देते हैंः "इस मात्रा में भी, जिसका भाजक शून्य है, तब भी कोई परिवर्तन नहीं होता है जब कई मात्राएँ उसमें प्रवेश कर चुकी होती हैं या [उसमें से] बाहर आ गई होती हैं, ठीक वैसे ही जैसे विनाश और सृष्टि के समय जब प्राणियों की भीड़ [उनमें से] प्रवेश करती है और बाहर आती है, तो अनंत और अपरिवर्तनीय [विष्णु] में कोई परिवर्तन नहीं होता है।" "देखो!" कई लेखकों द्वारा यह कहा गया है कि भास्कर द्वितीय ने एक आरेख बनाकर और एकल शब्द "देखो!" प्रदान करके पायथागोरस प्रमेय को साबित किया। कभी-कभी भास्कर का नाम हटा दिया जाता है और इसे हिंदू प्रमाण के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसे स्कूली बच्चे अच्छी तरह से जानते हैं। हालाँकि, जैसा कि गणित इतिहासकार किम प्लोफकर बताते हैं, एक तैयार उदाहरण प्रस्तुत करने के बाद, भास्कर द्वितीय पाइथागोरियन प्रमेय बताते हैंः इसके बाद आता हैः प्लोफकर का सुझाव है कि यह अतिरिक्त कथन व्यापक "देखो!" का अंतिम स्रोत हो सकता है। किंवदंती। विरासत भारत में कई संस्थानों और कॉलेजों का नाम उनके नाम पर रखा गया है, जिनमें पुणे में भास्कराचार्य प्रतिष्ठान, दिल्ली में भास्कराचार्य कॉलेज ऑफ एप्लाइड साइंसेज, गांधीनगर में भास्कराचार्य इंस्टीट्यूट फॉर स्पेस एप्लीकेशन एंड जियो-इंफॉर्मेटिक्स शामिल हैं। 20 नवंबर 1981 को भारतीय अंतरिक्ष अनुसंधान संगठन (इसरो) ने गणितशास्त्री और खगोलशास्त्री को सम्मानित करते हुए भास्कर द्वितीय उपग्रह का प्रक्षेपण किया। इनविस मल्टीमीडिया ने 2015 में गणितशास्त्री पर एक लघु भारतीय वृत्तचित्र भास्कराचार्य का विमोचन किया। ।