Shulba Sutras
शुल्व सूत्र या शुल्बसूत्र (संस्कृतः शुल्बसूत्र;: "तार, रस्सी, रस्सी") श्रौत अनुष्ठान से संबंधित सूत्र ग्रंथ हैं और इसमें अग्नि-वेदी निर्माण से संबंधित ज्यामिति है। उद्देश्य और उत्पत्ति शुल्ब सूत्र श्रौत सूत्र नामक ग्रंथों के बड़े संग्रह का हिस्सा हैं, जिन्हें वेदों का परिशिष्ट माना जाता है। वे वैदिक काल से भारतीय गणित के ज्ञान के एकमात्र स्रोत हैं। अद्वितीय अग्नि-वेदी आकृतियाँ देवताओं के अद्वितीय उपहारों से जुड़ी थीं। उदाहरण के लिए, "जो स्वर्ग की इच्छा रखता है, उसे बाज के रूप में एक अग्नि-वेदी का निर्माण करना है"; "कछुए के रूप में एक अग्नि-वेदी का निर्माण उस व्यक्ति द्वारा किया जाना है जो ब्रह्म की दुनिया को जीतने की इच्छा रखता है" और "जो मौजूदा और भविष्य के दुश्मनों को नष्ट करना चाहते हैं, उन्हें एक अग्नि-वेदी का निर्माण करना चाहिए। चार प्रमुख शुल्ब सूत्र, जो गणितीय रूप से सबसे महत्वपूर्ण हैं, वे हैं जिनका श्रेय बौधायन, मानव, अपस्तंब और कात्यायन को दिया जाता है। उनकी भाषा देर से वैदिक संस्कृत है, जो मोटे तौर पर पहली सहस्राब्दी ईसा पूर्व के दौरान एक रचना की ओर इशारा करती है। सबसे पुराना सूत्र बौधायन का है, जिसे संभवतः 800 ईसा पूर्व से 500 ईसा पूर्व के आसपास संकलित किया गया था। पिंगरी का कहना है कि अपस्तंब संभवतः अगला सबसे पुराना है; वह स्पष्ट उधार के आधार पर कात्यायन और मानव को कालानुक्रमिक रूप से तीसरे और चौथे स्थान पर रखता है। प्लोफकर के अनुसार, कात्यायन की रचना "शायद चौथी शताब्दी ईसा पूर्व के मध्य में पाणिनि द्वारा संस्कृत के महान व्याकरणिक संहिताकरण" के बाद की गई थी, लेकिन उन्होंने मानव को उसी अवधि में रखा है जब बौद्धायन लिखा गया था। वैदिक ग्रंथों की रचना के संबंध में, प्लोफकर लिखते हैं, एक पवित्र भाषण के रूप में संस्कृत की वैदिक पूजा, जिनके दिव्य रूप से प्रकट ग्रंथों को लिखित रूप में प्रसारित करने के बजाय पढ़ा, सुना और याद किया जाना था, ने सामान्य रूप से संस्कृत साहित्य को आकार देने में मदद की। .. इस प्रकार ग्रंथों की रचना ऐसे प्रारूपों में की जाती थी जिन्हें आसानी से याद किया जा सकता थाः या तो संक्षिप्त गद्य सूत्र (सूत्र, एक शब्द जिसे बाद में सामान्य रूप से एक नियम या एल्गोरिथ्म के अर्थ में लागू किया गया) या पद्य, विशेष रूप से शास्त्रीय काल में। स्वाभाविक रूप से, याद रखने में आसानी कभी-कभी समझने में आसानी के साथ हस्तक्षेप करती है। नतीजतन, अधिकांश ग्रंथों को एक या अधिक गद्य टिप्पणियों द्वारा पूरक किया गया था। "प्रत्येक शुल्बा सूत्र के लिए कई टिप्पणियां हैं, लेकिन ये मूल कार्यों के लंबे समय बाद लिखी गई थीं। उदाहरण के लिए, अपस्तम्ब पर सुंदरराज की टिप्पणी 15वीं शताब्दी ईस्वी के अंत से आती है और बौधायन पर द्वारकानाथ की टिप्पणी सुंदरराज से ली गई प्रतीत होती है। स्ताल के अनुसार, शुल्बा सूत्रों में वर्णित परंपरा के कुछ पहलुओं को "मौखिक रूप से प्रसारित" किया गया होगा, और वह दक्षिण भारत के उन स्थानों की ओर इशारा करते हैं जहां अभी भी अग्नि-वेदी अनुष्ठान का अभ्यास किया जाता है और एक मौखिक परंपरा संरक्षित है। हालाँकि, भारत में अग्नि-वेदी परंपरा काफी हद तक समाप्त हो गई, और प्लोफकर ने चेतावनी दी कि जिन क्षेत्रों में यह प्रथा बनी हुई है, वे एक अखंड परंपरा के बजाय बाद के वैदिक पुनरुद्धार को प्रतिबिंबित कर सकते हैं। शुल्बा सूत्रों में वर्णित वेदी निर्माण के पुरातात्विक प्रमाण विरल हैं। कौसांबी में जी. आर. शर्मा द्वारा की गई खुदाई में दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व की एक बड़ी बाज के आकार की अग्नि वेदी (शायनासिटी) मिली थी, लेकिन यह वेदी शुल्बा सूत्रों द्वारा निर्धारित आयामों के अनुरूप नहीं है। शुल्बा सूत्रों की सामग्री संभवतः स्वयं कृतियों से भी पुरानी है। सतपथ ब्राह्मण और तैत्तिरीय संहिता, जिनकी सामग्री दूसरी सहस्राब्दी के अंत या पहली सहस्राब्दी ईसा पूर्व की शुरुआत की है, उन वेदियों का वर्णन करती है जिनके आयाम 15 पद और 36 पद के पैरों के साथ दाहिने त्रिकोण पर आधारित प्रतीत होते हैं, जो बौधायन शुल्ब सूत्र में सूचीबद्ध त्रिकोणों में से एक है। कई गणितविदों और इतिहासकारों ने उल्लेख किया है कि सबसे पुराने ग्रंथ 800 ईसा पूर्व में वैदिक हिंदुओं द्वारा 2000 ईसा पूर्व की मौखिक परंपरा के संकलन के आधार पर लिखे गए थे। यह संभव है, जैसा कि गुप्ता द्वारा प्रस्तावित किया गया है, कि ज्यामिति को अनुष्ठान की जरूरतों को पूरा करने के लिए विकसित किया गया था। कुछ विद्वान और आगे जाते हैंः स्टाल भारतीय और यूनानी ज्यामिति के लिए एक सामान्य अनुष्ठान मूल की परिकल्पना करते हैं, जो दोहरीकरण और अन्य ज्यामितीय परिवर्तन समस्याओं के लिए समान रुचि और दृष्टिकोण का हवाला देते हैं। सीडेनबर्ग, वान डेर वेर्डेन के बाद, गणित के लिए एक अनुष्ठानिक उत्पत्ति को अधिक व्यापक रूप से देखते हैं, यह मानते हुए कि प्रमुख प्रगति, जैसे कि पायथागोरियन प्रमेय की खोज, केवल एक स्थान पर हुई, और वहाँ से बाकी दुनिया में फैल गई। वान डेर वेर्डेन ने उल्लेख किया है कि सुलभा सूत्रों के लेखक 600 ईसा पूर्व से पहले मौजूद थे और यूनानी ज्यामिति से प्रभावित नहीं हो सकते थे। जबकि बोयर ने पुराने बेबीलोन के गणित (लगभग 2000 ईसा पूर्व-1600 ईसा पूर्व) को एक संभावित उत्पत्ति के रूप में उल्लेख किया है, हालांकि यह भी कहा है कि शुल्बा सूत्रों में एक सूत्र है जो बेबीलोन के स्रोतों में नहीं पाया जाता है। के. एस. कृष्णन ने उल्लेख किया है कि शुल्बा सूत्र मेसोपोटामिया के पायथागोरस ट्रिपल से पहले के हैं। सीडेनबर्ग का तर्क है कि या तो "पुराने बेबीलोनिया को भारत से पाइथागोरस की प्रमेय मिली या पुराने बेबीलोनिया और भारत ने इसे किसी तीसरे स्रोत से प्राप्त किया।" सीडेनबर्ग का सुझाव है कि यह स्रोत सुमेरियन हो सकता है और 1700 ईसा पूर्व से पहले का हो सकता है। इसके विपरीत, पिंगरी ने आगाह किया कि "[वेदी निर्माताओं के] कार्यों में ज्यामिति की अनूठी उत्पत्ति को देखना एक गलती होगी; भारत और अन्य जगहों पर अन्य, चाहे व्यावहारिक या सैद्धांतिक समस्याओं के जवाब में, उनके समाधानों को स्मृति के लिए प्रतिबद्ध किए बिना या अंततः पांडुलिपियों में प्रतिलिपि बनाए बिना अच्छी तरह से आगे बढ़े होंगे।" प्लोफकर इस संभावना को भी बढ़ाते हैं कि "मौजूदा ज्यामितीय ज्ञान को सचेत रूप से अनुष्ठान अभ्यास में शामिल किया गया था।" शुल्ब सूत्रों की सूची अपस्तम्ब बौधायन कत्यायन मैत्रयानिया (कुछ हद तक मानव पाठ के समान) वराह (पांडुलिपि में) वधुला (पांडुलिपि में) हिरण्यकेशी (अपस्तम्ब शुल्ब सूत्र के समान) गणित पाइथागोरियन प्रमेय और पाइथागोरियन त्रिभुज सूत्र में पाइथागोरियन प्रमेय के कथन शामिल हैं, दोनों एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के मामले में और सामान्य मामले में, साथ ही साथ पाइथागोरियन त्रिगुणों की सूची भी शामिल हैं। उदाहरण के लिए, बौधायन में नियम इस प्रकार दिए गए हैंः एक वर्ग का विकर्ण [वर्ग के] क्षेत्रफल का दोगुना उत्पन्न करता है। 1. 12 है। एक आयत की चौड़ाई की लंबाई से अलग से उत्पन्न होने वाले [वर्गों के] क्षेत्र एक साथ diagonal.1.13 द्वारा उत्पादित [वर्ग के] क्षेत्र के बराबर होते हैं। यह 3 और 4,12 और 5,15 और 8,7 और 24,12 और 35,15 और 36 भुजाओं वाले आयतों में देखा जाता है। इसी तरह, अग्नि-वेदिकाओं में समकोण बनाने के लिए अपस्तम्ब के नियम निम्नलिखित पायथागोरियन त्रिगुणों का उपयोग करते हैंः इसके अलावा, सूत्र एक वर्ग के निर्माण के लिए प्रक्रियाओं का वर्णन करते हैं जिसका क्षेत्रफल या तो योग या दो दिए गए वर्गों के अंतर के बराबर होता है। दोनों निर्माण एक आयत के विकर्ण पर सबसे बड़े वर्ग को वर्ग होने देते हुए आगे बढ़ते हैं, और दो छोटे वर्गों को उस आयत के किनारों पर वर्ग होने देते हैं। यह दावा कि प्रत्येक प्रक्रिया वांछित क्षेत्र का एक वर्ग उत्पन्न करती है, पाइथागोरियन प्रमेय के कथन के बराबर है। एक अन्य निर्माण एक दिए गए आयत के बराबर क्षेत्र के साथ एक वर्ग का उत्पादन करता है। प्रक्रिया आयत के अंत से एक आयताकार टुकड़े को काटना और इसे किनारे पर चिपकाना है ताकि मूल आयत के बराबर क्षेत्र का एक नोमोन बनाया जा सके। चूँकि नोमोन दो वर्गों का अंतर है, इसलिए समस्या को पिछले निर्माणों में से एक का उपयोग करके पूरा किया जा सकता है। ज्यामिति बौधायन शुल्ब सूत्र ज्यामितीय आकृतियों जैसे वर्ग और आयतों का निर्माण देता है। यह कभी-कभी एक ज्यामितीय आकार से दूसरे में ज्यामितीय क्षेत्र-संरक्षित परिवर्तन भी देता है। इनमें एक वर्ग को एक आयत, एक समद्विबाहु त्रिभुज, एक समद्विबाहु त्रिभुज, एक समभुज और एक वृत्त में बदलना और एक वृत्त को एक वर्ग में बदलना शामिल है। इन ग्रंथों में अनुमान, जैसे कि एक वृत्त का वर्ग में परिवर्तन, अधिक सटीक बयानों के साथ साथ-साथ दिखाई देते हैं। एक उदाहरण के रूप में, चौक की परिक्रमा करने का कथन बौधायन में इस प्रकार दिया गया हैः यदि यह एक वर्ग को एक वृत्त में बदलना चाहता है, तो [लंबाई की एक डोर] आधा विकर्ण [वर्ग के] केंद्र से पूर्व तक फैला हुआ है [इसका एक हिस्सा वर्ग के पूर्वी हिस्से के बाहर स्थित है]; एक तिहाई [बाहर पड़े हिस्से] के साथ शेष [आधे विकर्ण के] में जोड़ा जाता है, [आवश्यक] वृत्त खींचा जाता है। और वृत्त के वर्ग का कथन इस प्रकार दिया गया हैः 2.10। एक वृत्त को वर्ग में बदलने के लिए, व्यास को आठ भागों में विभाजित किया जाता है; एक [ऐसा] भाग उनतीस भागों में विभाजित होने के बाद उनमें से अट्ठाईस से कम हो जाता है और आगे छठे [बचे हुए भाग के] आठवें [छठे भाग के] से कम हो जाता है। वैकल्पिक रूप से, [व्यास] को पंद्रह भागों में विभाजित करें और इसे उनमें से दो से कम करें; यह वर्ग [वांछित] का अनुमानित पक्ष देता है। 2. 1 और 2.10 में निर्माण π का मान 3.088 के रूप में देते हैं, जबकि 2.11 में निर्माण π को 3.004 के रूप में देता है। वर्गमूल वेदी निर्माण से भी 2 के वर्गमूल का अनुमान लगाया गया जैसा कि तीन सूत्रों में पाया गया है। बौधायन सूत्र में यह इस प्रकार दिखाई देता हैः 2.12। माप को इसके तीसरे से बढ़ाया जाना है और इस [तीसरे] को फिर से अपने चौथे से घटाकर उस चौथे के चौंतीसवें भाग से; यह एक वर्ग के विकर्ण [जिसका पक्ष माप है] का [मान] है। जो दो के वर्गमूल के मूल्य की ओर ले जाता हैः वास्तव में, वर्गमूल की गणना करने की एक प्रारंभिक विधि कुछ सूत्रों में पाई जा सकती है, इस विधि में पुनरावर्ती सूत्र शामिल हैः x के बड़े मानों के लिए, जो a के सापेक्ष r के मानों के लिए गैर-पुनरावर्ती पहचान पर आधारित है। यह भी सुझाव दिया गया है, उदाहरण के लिए बर्क द्वारा कि 2 के इस सन्निकटन का तात्पर्य ज्ञान है कि 2 अतार्किक है। यूक्लिड के तत्वों के अपने अनुवाद में, हीथ ने तर्कहीनता की खोज के लिए आवश्यक कई मील के पत्थरों की रूपरेखा तैयार की है, और इस बात के प्रमाण की कमी की ओर इशारा किया है कि भारतीय गणित ने शुल्बा सूत्र के युग में उन मील के पत्थरों को हासिल किया था। ।