D. R. Kaprekar
दत्तात्रेय रामचंद्र कापरेकर (; 17 जनवरी 1905-1986) एक भारतीय मनोरंजक गणितशास्त्री थे जिन्होंने कापरेकर, हर्षद और स्व-संख्याओं सहित प्राकृतिक संख्याओं के कई वर्गों का वर्णन किया और कापरेकर के स्थिरांक की खोज की, जिसका नाम उनके नाम पर रखा गया था। कोई औपचारिक स्नातकोत्तर प्रशिक्षण नहीं होने और एक स्कूल शिक्षक के रूप में काम करने के बावजूद, उन्होंने बड़े पैमाने पर प्रकाशन किया और मनोरंजक गणित हलकों में प्रसिद्ध हो गए। कापरेकर ने अपनी माध्यमिक विद्यालय की शिक्षा ठाणे में प्राप्त की और गुवाहाटी के कॉटन कॉलेज में अध्ययन किया। 1927 में, उन्होंने गणित में एक मूल कार्य के लिए रैंगलर आर. पी. परांजपे गणितीय पुरस्कार जीता। उन्होंने 1929 में स्नातक की डिग्री प्राप्त करते हुए मुंबई विश्वविद्यालय में भाग लिया। कभी भी कोई औपचारिक स्नातकोत्तर प्रशिक्षण प्राप्त नहीं करने के बाद, अपने पूरे करियर (1930-1962) के लिए वे भारत के देवलाली महाराष्ट्र में सरकारी जूनियर स्कूल में एक स्कूल शिक्षक थे। एक जगह से दूसरी जगह साइकिल चलाते हुए उन्होंने निजी छात्रों को अपरंपरागत तरीकों से भी पढ़ाया, खुशी-खुशी नदी के किनारे बैठे और "प्रमेय के बारे में सोचते हुए"। उन्होंने बड़े पैमाने पर प्रकाशित किया, आवर्ती दशमलव, जादू वर्ग और विशेष गुणों वाले पूर्णांक जैसे विषयों के बारे में लिखा। उन्हें "गणितानंद" के नाम से भी जाना जाता है। काफी हद तक अकेले काम करते हुए, कापरेकर ने संख्या सिद्धांत में कई परिणामों की खोज की और संख्याओं के विभिन्न गुणों का वर्णन किया। कापरेकर के स्थिरांक और कापरेकर संख्याओं के अलावा, जो उनके नाम पर रखे गए थे, उन्होंने स्वयं संख्या या देवलाली संख्या, हर्षद संख्या और डेमलो संख्या का भी वर्णन किया। उन्होंने कोपरनिकस जादू वर्ग से संबंधित कुछ प्रकार के जादू वर्ग का भी निर्माण किया। शुरू में उनके विचारों को भारतीय गणितविदों द्वारा गंभीरता से नहीं लिया गया था, और उनके परिणाम बड़े पैमाने पर निम्न-स्तरीय गणित पत्रिकाओं में प्रकाशित हुए थे या निजी तौर पर प्रकाशित हुए थे, लेकिन अंतर्राष्ट्रीय प्रसिद्धि तब आई जब मार्टिन गार्डनर ने मार्च 1975 में मैथमेटिकल गेम्स फॉर साइंटिफिक अमेरिकन के अपने कॉलम में कापरेकर के बारे में लिखा था। आज उनका नाम प्रसिद्ध है और कई अन्य गणितविदों ने उनके द्वारा खोजे गए गुणों का अध्ययन किया है। कापरेकर का स्थिरांक 1949 में, कापरेकर ने 6174 संख्या के एक दिलचस्प गुण की खोज की, जिसे बाद में कापरेकर स्थिरांक नाम दिया गया। उन्होंने दिखाया कि 6174 अंत में पहुँच जाता है क्योंकि कोई बार-बार उच्चतम और निम्नतम संख्याओं को घटाता है जिन्हें चार अंकों के एक समूह से बनाया जा सकता है जो सभी समान नहीं हैं। इस प्रकार, 1234 से शुरू करते हुए, हमारे पास हैः 4321-1234 = 3087, फिर 8730-0378 = 8352, और 8532-2358 = 6174। इस बिंदु से आगे दोहराने पर वही संख्या (7641-1467 = 6174) निकलती है। सामान्य तौर पर, जब ऑपरेशन अभिसरण करता है तो यह अधिकतम सात पुनरावृत्तियों में ऐसा करता है। 3 अंकों के लिए एक समान स्थिरांक 495 है। हालांकि, आधार 10 में ऐसा एक स्थिरांक केवल 3 या 4 अंकों की संख्या के लिए मौजूद है; 10 के अलावा अन्य अंकों की लंबाई या आधारों के लिए, ऊपर वर्णित कापरेकर का नियमित एल्गोरिथ्म सामान्य रूप से कई अलग-अलग स्थिरांक या दोहराए गए चक्रों में समाप्त हो सकता है, जो प्रारंभिक मूल्य पर निर्भर करता है। कापरेकर के स्थिरांक का परीक्षण करने के लिए पायथन कोड पायथन कोडः कापरेकर _ कॉन्स्टैंट = 6174 n = 1234 प्रिंट (f 'n = {n}') जबकि सहीः सीमा में i के लिए अंक = [] (4): digits.append (n% 10) n/= 10 digits.sort (उल्टा = सच) बड़े = 0 अंकों में d के लिएः बड़े = बड़े * 10 + d digits.sort () छोटे = 0 अंकों में d के लिएः छोटे = छोटे * 10 + d n = बड़े-छोटे प्रिंट (f '{बड़ेः> 4}-{छोटेः> 4} = {n:> 4') यदि n = = = कापरेकर संख्या इस गुण के साथ एक धनात्मक पूर्णांक है कि यदि इसका वर्ग किया जाता है, तो इसके प्रतिनिधित्व को दो धनात्मक पूर्णांक भागों में विभाजित किया जा सकता है जिसका योग मूल संख्या के बराबर है (जैसे। 45, चूंकि 452 = 2025, और 20+25 = 45, भी 9,55,99 आदि) हालाँकि, इस प्रतिबंध पर ध्यान दें कि दोनों संख्याएँ धनात्मक हैं; उदाहरण के लिए, 100 एक कापरेकर संख्या नहीं है, भले ही 1002 = 10000, और 100+00 = 100 हो। एक वर्ग के सबसे दाहिने अंकों को लेने और इसे सबसे बाएं अंकों से बने पूर्णांक में जोड़ने के इस ऑपरेशन को कापरेकर ऑपरेशन के रूप में जाना जाता है। 9, 99, 999, के अलावा आधार 10 में कापरेकर संख्याओं के कुछ उदाहरण हैंः देवलाली या स्व-संख्या 1963 में कापरेकर ने उस गुण को परिभाषित किया जिसे स्व-संख्या के रूप में जाना जाता है, पूर्णांक के रूप में जो किसी अन्य संख्या को लेने और उसमें अपने अंकों को जोड़ने से उत्पन्न नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 21 एक स्व संख्या नहीं है, क्योंकि इसे 15ः15 + 1 + 5 = 21 से उत्पन्न किया जा सकता है। लेकिन 20 एक स्व संख्या है, क्योंकि इसे किसी अन्य पूर्णांक से उत्पन्न नहीं किया जा सकता है। उन्होंने इस संपत्ति को किसी भी संख्या में सत्यापित करने के लिए एक परीक्षण भी दिया। इन्हें कभी-कभी देवलाली संख्या के रूप में संदर्भित किया जाता है (उस शहर के नाम पर जहां वे रहते थे); हालाँकि यह उनका पसंदीदा पदनाम प्रतीत होता है, "स्व संख्या" शब्द अधिक व्यापक है। कभी-कभी इन्हें बाद के पदनाम के बाद कोलंबियाई संख्या भी नामित किया जाता है। हर्षद संख्या कापरेकर ने उन हर्षद संख्याओं का भी वर्णन किया जिन्हें उन्होंने हर्षद नाम दिया, जिसका अर्थ है "आनंद देना" (संस्कृत हर्ष, आनंद + दा तद्धिता प्रत्यय, कारक); इन्हें इस गुण से परिभाषित किया जाता है कि वे अपने अंकों के योग से विभाज्य हैं। अतः 12, जो 1 + 2 = 3 से विभाज्य है, एक कठोर संख्या है। कनाडाई गणितशास्त्री इवान एम. निवेन द्वारा 1977 में इन पर दिए गए व्याख्यान के बाद इन्हें निवेन संख्या भी कहा गया। जो संख्याएँ सभी आधारों (केवल 1,2,4 और 6) में कठोर होती हैं, उन्हें सर्व-हर्ष संख्या कहा जाता है। कठोर संख्या और उनके वितरण, आवृत्ति आदि पर बहुत काम किया गया है। आज संख्या सिद्धांत में काफी रुचि का विषय है। डेमलो नंबर कापरेकर ने डेमलो नंबरों का भी अध्ययन किया, जिसका नाम तत्कालीन जी. आई. पी. रेलवे पर बॉम्बे से 30 मील दूर एक ट्रेन स्टेशन डेमलो (जिसे अब डोंबीवली कहा जाता है) के नाम से लिया गया था, जहां उन्हें उनका अध्ययन करने का विचार आया था। इनमें से सबसे प्रसिद्ध अद्भुत डेमलो संख्या 1,121,12321,1234321 हैं, जो 1,11,1111, के वर्ग हैं।