Brahmagupta's identity
बीजगणित में, ब्रह्मगुप्त की पहचान कहती है कि, दिए गए रूप की दो संख्याओं का गुणनफल स्वयं उस रूप की एक संख्या है। दूसरे शब्दों में, ऐसी संख्याओं का समुच्चय गुणन के तहत बंद होता है। विशेष रूप सेः समीकरण के प्रत्येक पक्ष का विस्तार करके (1) और (2) दोनों को सत्यापित किया जा सकता है। इसके अलावा, (2) को (1) से, या (1) को (2) से, b को −b में बदलकर प्राप्त किया जा सकता है। यह पहचान पूर्णांक के वलय और परिमेय संख्याओं के वलय दोनों में होती है, और आम तौर पर किसी भी परिवर्तनीय वलय में होती है। पहचान तथाकथित फिबोनाची पहचान (जहाँ n = 1) का एक सामान्यीकरण है जो वास्तव में डायोफेंटस के अंकगणित (III, 19) में पाया जाता है। उस पहचान की खोज एक भारतीय गणितशास्त्री और खगोलशास्त्री ब्रह्मगुप्त (598-668) ने की थी, जिन्होंने इसे सामान्यीकृत किया और इसका उपयोग अपने अध्ययन में किया जिसे अब पेल का समीकरण कहा जाता है। उनके ब्रह्मस्फुतसिद्धांत का संस्कृत से अरबी में मोहम्मद अल-फजारी द्वारा अनुवाद किया गया था, और बाद में 1126 में लैटिन में अनुवाद किया गया था। यह पहचान बाद में 1225 में फिबोनाची की बुक ऑफ स्क्वेयर्स में दिखाई दी। पेल के समीकरण पर अनुप्रयोग इसके मूल संदर्भ में, ब्रह्मगुप्त ने अपनी खोज को उस समाधान पर लागू किया जिसे बाद में पेल के समीकरण कहा गया, अर्थात् x2 − Ny2 = 1। इस रूप में पहचान का उपयोग करते हुए वह नए ट्रिपल को उत्पन्न करने के लिए ट्रिपल (x1, y1, k1) और (x2, y2, k2) की "रचना" करने में सक्षम थे, जो x2-Ny2 = k के समाधान थे, न केवल इसने एक समाधान से शुरू होने वाले x2-Ny2 = 1 के अनंत समाधान उत्पन्न करने का एक तरीका दिया, बल्कि इस तरह की संरचना को k1k2 से विभाजित करके, पूर्णांक या "लगभग पूर्णांक" समाधान भी प्राप्त किए जा सकते थे। 1150 में भास्कर द्वितीय द्वारा दिए गए पेल समीकरण को हल करने की सामान्य विधि, अर्थात् चक्रवाला (चक्रीय) विधि भी इसी पहचान पर आधारित थी। ।