The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing
द कॉम्पेंडियस बुक ऑन कैल्क्युलेशन बाय कम्प्लीशन एंड बैलेंसिंग (;), जिसे अल-जबर (अरबीः الجابر) के नाम से भी जाना जाता है, बीजगणित पर एक अरबी गणितीय ग्रंथ है जो बगदाद में लगभग 820 ईस्वी में फारसी बहुश्रुत मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज़्मी द्वारा लिखा गया था। यह गणित के इतिहास में एक ऐतिहासिक कार्य था, जिसने बीजगणित को एक स्वतंत्र विषय के रूप में स्थापित किया। अल-जबर ने दूसरी डिग्री तक बहुपद समीकरणों के सकारात्मक मूल को हल करने का एक विस्तृत विवरण प्रदान किया। यह प्राथमिक बीजगणित पढ़ाने वाला पहला पाठ था, और अपने लिए बीजगणित पढ़ाने वाला पहला पाठ था। इसने "कमी" और "संतुलन" की मौलिक अवधारणा भी पेश की (जिसे मूल रूप से अल-जबर शब्द संदर्भित किया गया था), एक समीकरण के दूसरे पक्ष में घटाई गई शर्तों का स्थानांतरण, अर्थात। समीकरण के विपरीत पक्षों पर समान शब्दों का रद्दीकरण। गणित इतिहासकार विक्टर जे. काट्ज़ अल-जबर को पहला सच्चा बीजगणित पाठ मानते हैं जो अभी भी मौजूद है। 1145 में चेस्टर के रॉबर्ट द्वारा लैटिन में अनुवादित, इसका उपयोग सोलहवीं शताब्दी तक यूरोपीय विश्वविद्यालयों की प्रमुख गणितीय पाठ्यपुस्तक के रूप में किया गया था। कई लेखकों ने इस नाम के तहत ग्रंथ भी प्रकाशित किए हैं, जिनमें अबू हनीफा अल-दीनवारी, अबू कामिल शुजा इब्न असलम, अबू मुहम्मद अल-अदली, अबू यूसुफ अल-मिसी, 'अब्द अल-हामिद इब्न तुर्क, सिंध इब्न अली, साहल इब्न बिशर और सराफद्दीन अल-तूसी शामिल हैं। लिगेसी आर. राशिद और एंजेला आर्मस्ट्रांग लिखते हैंः जे. जे. ओ 'कॉनर और ई. एफ. रॉबर्टसन ने मैकटूटर हिस्ट्री ऑफ मैथेमैटिक्स आर्काइव में लिखाः पुस्तक द्विघात समीकरणों को हल करने और कुछ अन्य समस्याओं के लिए ज्ञात नियमों का संकलन और विस्तार था, और इसे बीजगणित की नींव माना जाता है, जो इसे एक स्वतंत्र अनुशासन के रूप में स्थापित करता है। बीजगणित शब्द इस पुस्तक में वर्णित समीकरणों के साथ बुनियादी कार्यों में से एक के नाम से लिया गया है, जो चेस्टर के रॉबर्ट द्वारा इसके लैटिन अनुवाद का अनुसरण करता है। द्विघात समीकरण यह पुस्तक द्विघात समीकरणों को छह मूल प्रकारों में से एक में वर्गीकृत करती है और मूल समीकरणों को हल करने के लिए बीजगणितीय और ज्यामितीय विधियाँ प्रदान करती है। इतिहासकार कार्ल बोयर ने पुस्तक में आधुनिक अमूर्त संकेतनों की कमी के बारे में निम्नलिखित टिप्पणी की हैः इस प्रकार समीकरणों को मौखिक रूप से "वर्ग" (जो आज "x2" होगा), "मूल" (जो आज "x" होगा) और "संख्या" ("स्थिरांक": साधारण वर्तनी संख्याएँ, जैसे "बयालीस") के संदर्भ में वर्णित किया गया है। आधुनिक संकेतनों के साथ छह प्रकार हैंः वर्ग समान मूल (अक्ष2 = bx) वर्ग समान संख्या (अक्ष2 = c) मूल समान संख्या (bx = c) वर्ग और मूल समान संख्या (अक्ष2 + bx = c) वर्ग और संख्या समान मूल (अक्ष2 + c = bx) मूल और संख्या समान वर्ग (bx + c = x2) इस्लामी गणितशास्त्री, हिंदुओं के विपरीत, नकारात्मक संख्याओं के साथ बिल्कुल भी व्यवहार नहीं करते थे; इसलिए वर्गीकरण में bx + c = 0 जैसा समीकरण दिखाई नहीं देता है, क्योंकि सभी गुणांक सकारात्मक होने पर इसका कोई सकारात्मक समाधान नहीं होता है। इसी तरह समीकरण प्रकार 4,5 और 6, जो आधुनिक आंख के बराबर दिखते हैं, को अलग किया गया क्योंकि सभी गुणांक सकारात्मक होने चाहिए। अल-जबर ("फोर्सिंग", "रिस्टोरिंग") ऑपरेशन समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ एक कम मात्रा को स्थानांतरित कर रहा है। अल-ख्वारिज़्मी के उदाहरण में (आधुनिक संकेतन में), "x2 = 40x − 4x2" को अल-गबर द्वारा "5x2 = 40x" में बदल दिया जाता है। इस नियम का बार-बार प्रयोग गणना से नकारात्मक मात्राओं को समाप्त कर देता है। अल-मुकबला (, "संतुलन" या "संबंधित") का अर्थ है दोनों तरफ से समान धनात्मक मात्रा का घटावः "x2 + 5 = 40x + 4x2" को "5 = 40x + 3x2" में बदल दिया जाता है। इस नियम के बार-बार उपयोग से प्रत्येक प्रकार ("वर्ग"/"मूल"/"संख्या") की मात्राएं समीकरण में अधिक से अधिक एक बार दिखाई देती हैं, जिससे यह देखने में मदद मिलती है कि सकारात्मक गुणांक और समाधानों तक सीमित होने पर समस्या के केवल 6 मूल समाधान योग्य प्रकार हैं। पुस्तक के बाद के भाग द्विघात समीकरणों को हल करने पर निर्भर नहीं हैं। क्षेत्रफल और आयतन पुस्तक का दूसरा अध्याय क्षेत्र और आयतन खोजने के तरीकों को सूचीबद्ध करता है। इनमें पाई (π) के सन्निकटन शामिल हैं, जिन्हें तीन तरीकों से दिया गया है, जैसे 3 1/7, σ10, और 62832/20000। यह बाद का अनुमान, 3.1416 के बराबर, पहले भारतीय आर्यभट्टीय (499 ईस्वी) में दिखाई दिया था। अन्य विषय अल-ख्वारिज़्मी यहूदी कैलेंडर और चंद्र महीनों और सौर वर्षों के अभिसरण द्वारा वर्णित 19-वर्षीय चक्र की व्याख्या करते हैं। पुस्तक का लगभग आधा हिस्सा विरासत के इस्लामी नियमों से संबंधित है, जो जटिल हैं और जिनके लिए प्रथम क्रम के बीजगणितीय समीकरणों में कौशल की आवश्यकता होती है। ।