三个集合容斥问题是公务员考试的常考题型,大部分考生虽然熟知三集合容斥问题的常用公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C,但是不一定能把题目做对,究其原因是没有理解公式的准确含义。下面通过一道典型例子讲解下蕴含在这个公式下的深层次含义。<br>【例】<br>某公司组织运动会,据统计,参加百米跑项目的有86人,参加跳高项目的有65人,参加拔河项目的有104人。其中,至少参加两种项目的人数有73人,三项都参加的有32人。则该公司参赛的运动员有( )人。<br>A.89 B.121 C.150 D.185<br>【错误解析】<br>设参加百米跑、跳高、拔河项目的运动员分别构成集合A、B、C,运用三集合容斥问题公式“A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C”求解。由A∩B+B∩C+A∩C表示的是参加两种项目的总人数,可得A∩B+B∩C+A∩C=73-32=41。而A∩B∩C=32,则A∪B∪C=86+65+104-41+32=246(人)。没有答案。<br>【错解门诊】<br>上述解法虽然选对了公式,但是没有算出正确答案,其最大的错误在于没有真正理解A∩B+B∩C+A∩C的含义。<br>A∩B+B∩C+A∩C=只参加两种项目的人数+3×参加三种项目的人数。而至少参加两种项目的人数有73人=只参加两种项目的人数+参加三种项目的人数。两式对比发现,前式比后式多了“2×参加三种项目的人数”。<br>【正确解析】<br>选C。设参加百米跑、跳高、拔河项目的运动员分别构成集合A、B、C,根据三集合容斥问题公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C,A∩B+B∩C+A∩C=73+2×32=137,A∩B∩C=32,则A∪B∪C=86+65+104-137+32=150(人)。<br>【指点迷津】<br>对于三个集合容斥问题,建议画出文氏图来辅助求解。具体操作过程如下:<br>确定分类标准→把集合对应圈圆→确定各圆圈位置关系→确定各集合逻辑、数量关系。<br>一般地,三个集合容斥问题的文氏图如下:<br><img><br>上图中需要注意的是:A∩B+B∩C+A∩C=只重复两次的情况+3×重复三次的情况。<br>这样,A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C=三个圆各自情况之和-只重复两次的情况-2×重复三次的情况。<br>从上述解析中可以看出,对于容斥问题,仅仅通过背背、套套公式是不能解决问题的,而是要真正理解公式所表达的含义,只能这样才能做到举一反三,不会出现“本来会做,但是换种说法就不会做”的情况。<br>欢迎扫描下方二维码加入国家公务员考试网(http://www.chinagwy.org/)微信平台。<br><img>
红四军的密码天才,可惜29岁英年早逝,徐帅的六字题词他当之无愧 孙子说:“明君贤将,所以动而胜人,成功出于众者,先知也。”英明的君主,贤能的将领,之所以一出兵就能战胜对手,功业超出众人之上,就在于事先能够掌握对手的情况。 孙子这段话,可以说是揭示出了取胜之道的一个核心奥秘:取胜其实非常简单,就是要提前获取对手的信息。能做到这一条,就能打胜仗;不能做到这一条,就会打败仗。 在战争史上,很多漂亮的仗之所以能够打成,归根结底,一方面是由于指挥者指挥艺术的高明,另一方面也离不开情报的作用。 四渡赤水,伟人军事生涯中最得意的一笔,红军以两万多人的兵力,在国民党40万大军的围追堵截之下,在敌重兵集团之间穿插迂回,灵活机动,忽东忽西,神出鬼没,完全牵着国民党军队的鼻子走,最后摆脱追敌,扬长而去,可以说是将伟人的指挥艺术发挥得淋漓尽致。 但是,“用兵真如神”的背后,是红军的情报工作人员做出了巨大的贡献。 这一点,主席也深深认同:“红四方面军电台有功劳,在我们困难的时候,特别是在四渡赤水和云、贵、川、湘一带遇到困难时,及时提供了情报,使我们比较顺利地克服了困难。” 以上的这一段评价,是对封存于历史档案中鲜为人知历史的客观描述,同时也是对蔡威在中国革命史上的地位的准确定位。 蔡威是谁? 他是我党“看不见的战线”上的英雄,密码天才,红四方面军电子侦察事业的创始人之一。 蔡威,生于福建宁德城关一个大家族,在上海读书期间加入中国共产党。不久,他奉命回闽东和郑长璋等人传播革命火种,后不幸被捕。获救后,他再赴上海,埋名隐姓参加地下党的无线电特训班。