“奇偶原理”非常简单,但有时在解题中会起到“四两拨千斤”的作用。“奇偶原理”回顾:<br>奇+奇=偶;奇+偶=奇;偶+偶=偶;<br>奇-奇=偶;奇-偶=奇;偶-偶=偶;<br>奇*奇=奇;奇*偶=偶;<br>(加减不改变奇偶性)<br>下面是AwesomeMath2018数学夏令营试题:<br>Question: Find, with proof, all triples (x, y, z) of positive integers such that<br>咋一看,这道题非常复杂,一个方程三个未知数,且x在指数上,根本无法求解,连有多少个解都很难知道。那么,接下去看如何利用上述“奇偶原理”举重若轻的解决上述问题。<br>(1) 判断x, y, z的奇偶性<br>因为x, y, z都是正整数(不能等于零),因此<br>必定为偶数。LHS为偶数,那么RHS也必定为偶数,所以<br>必定为奇数,那么y、z中一个为奇数,另一个为偶数。不妨假设,y为奇数, z为偶数。<br>(2) 确定x的值<br>根据上述分析,令<br>,<br>, 带入式子<br>,<br>化简:<br>,<br>两边同除以2,可得:<br>.<br>根据上式,可知RHS必定是奇数,那么LHS也只能是奇数。而如果x>2,那么LHS是偶数,上式必定不成立。因此,x=1。<br>(3) 计算y, z的值<br>至此,已经知道x=1,带入方程中化简可得:<br>.<br>因为y, z为正整数,所以k为自然数,n为正整数,且<br>。<br>因为k(k+1)必定为偶数,那么根据“奇偶原理”,n也必定是偶数,而偶数的平方末位只有可能是:0,4,6;再考虑连续两位整数的乘积其末位数字只有可能是:0,2,6。而LHS末位是4,那么<br>与k(k+1)之和末位是4的,n只有可能是2,8,12,18,22。那么只需要验证z=4, 16,24, 36,44五种情况就可以了。带入<br>,只有z=44时,y=9符合。<br>综上所述,(x, y, z)=(1,9,44) 或(1,44,9)。<br>一道难题通过简单的奇偶分析,一步一步推导,最后竟只有两组解,这是多么美妙的一个过程!<br>P.S. 一己拙见,欢迎交流指正。<br>想了解其他国际竞赛和数学知识可参阅
在反映社会经济发展与增长状况时,经常用的发展速度、增长速度和平 均递增速度等之间的区别、联系和意义是什么?<br>发展速度和增长速度都是用来表示某一时期内某一种经济指标发展变化状况的动态相对数。它们都把对比的两个时期的发展水平抽象成为一个比例数,来表示某一事物在这段对比时期内发展变化的方向和程度,分析研究事物发展变化规律。但两者又有明显的区别。<br>发展速度是反映某种社会现象发展程度的相对指标,它是报告期发展水平与基期发展水平之比,也就是把基期发展水平定为1(或100%),报告期发展水平相当于基期水平的相对数值。计算公式为:<br>发展速度(%)= 某指标报告期数值/该指标基期数值×100%<br>上式当比例数值较大时,则用倍数表示较为合适。如某地增加值1995年为366亿元,1994年为328亿元,1995年与1994年之比,366÷328=1.12,这表明1995年(报告期)发展速度为(或相当于)1994年(基期)的112%(或1.12倍)。<br>而增长速度则是反映社会经济现象增长程度的相对指标,它是报告期增长量与基期发展水平之比。其计算公式为:<br>增长速度(%)= (某指标报告期数值-该指标基期数值)/该指标基期数值 ×100%<br>计算结果若是正值,则叫增长速度,也可叫增长率;若是负值,则叫降低速度,也可叫降低率。如上例的增长速度为:(366-328)÷328=0.12,用百分数表示为12%,即1995年比1994年增长了12%,由此可知,增长速度=发展速度-1(或100%)。