“奇偶原理”非常简单,但有时在解题中会起到“四两拨千斤”的作用。“奇偶原理”回顾:<br>奇+奇=偶;奇+偶=奇;偶+偶=偶;<br>奇-奇=偶;奇-偶=奇;偶-偶=偶;<br>奇*奇=奇;奇*偶=偶;<br>(加减不改变奇偶性)<br>下面是AwesomeMath2018数学夏令营试题:<br>Question: Find, with proof, all triples (x, y, z) of positive integers such that<br>咋一看,这道题非常复杂,一个方程三个未知数,且x在指数上,根本无法求解,连有多少个解都很难知道。那么,接下去看如何利用上述“奇偶原理”举重若轻的解决上述问题。<br>(1) 判断x, y, z的奇偶性<br>因为x, y, z都是正整数(不能等于零),因此<br>必定为偶数。LHS为偶数,那么RHS也必定为偶数,所以<br>必定为奇数,那么y、z中一个为奇数,另一个为偶数。不妨假设,y为奇数, z为偶数。<br>(2) 确定x的值<br>根据上述分析,令<br>,<br>, 带入式子<br>,<br>化简:<br>,<br>两边同除以2,可得:<br>.<br>根据上式,可知RHS必定是奇数,那么LHS也只能是奇数。而如果x>2,那么LHS是偶数,上式必定不成立。因此,x=1。<br>(3) 计算y, z的值<br>至此,已经知道x=1,带入方程中化简可得:<br>.<br>因为y, z为正整数,所以k为自然数,n为正整数,且<br>。<br>因为k(k+1)必定为偶数,那么根据“奇偶原理”,n也必定是偶数,而偶数的平方末位只有可能是:0,4,6;再考虑连续两位整数的乘积其末位数字只有可能是:0,2,6。而LHS末位是4,那么<br>与k(k+1)之和末位是4的,n只有可能是2,8,12,18,22。那么只需要验证z=4, 16,24, 36,44五种情况就可以了。带入<br>,只有z=44时,y=9符合。<br>综上所述,(x, y, z)=(1,9,44) 或(1,44,9)。<br>一道难题通过简单的奇偶分析,一步一步推导,最后竟只有两组解,这是多么美妙的一个过程!<br>P.S. 一己拙见,欢迎交流指正。<br>想了解其他国际竞赛和数学知识可参阅
头皮屑多主要有两种原因,生理性原因下只是在梳头时有头皮屑掉落,可能是突然发生的,这种情况一般是洗发水不当引起的;另一种主要是因为细菌、真菌感染或者脂溢性皮炎引起的,此时头皮油腻粗糙,头皮屑增多,头皮发红。突然出现头皮屑增多的话,可以在日常生活中注意洗发剂的选择即可,而病理性原因导致的头皮屑持续增多则需要药物进行治疗。<br>1.改善洗发习惯<br>这种情况一般是换洗发剂之后出现,停止使用当前洗发剂,挑选合适不刺激的洗发剂使用,适当减少洗头发次数,用温水洗头发;也有可能是染发烫发拉直头发后对头皮刺激引起的,尽可能减少对头皮刺激;饮食清淡,忌吃辛辣油腻的食物,少熬夜,保证充足的睡眠,勤洗枕套晒枕头。<br>2.药物治疗<br>如果头皮屑多且伴有头皮发痒增厚的话,考虑是脂溢性皮炎。建议前往医院检查,在医生的指导下针对性用药。合并真菌感染的话外用克霉唑软膏,可以使用酮康唑洗剂洗发。