“奇偶原理”非常简单,但有时在解题中会起到“四两拨千斤”的作用。“奇偶原理”回顾:<br>奇+奇=偶;奇+偶=奇;偶+偶=偶;<br>奇-奇=偶;奇-偶=奇;偶-偶=偶;<br>奇*奇=奇;奇*偶=偶;<br>(加减不改变奇偶性)<br>下面是AwesomeMath2018数学夏令营试题:<br>Question: Find, with proof, all triples (x, y, z) of positive integers such that<br>咋一看,这道题非常复杂,一个方程三个未知数,且x在指数上,根本无法求解,连有多少个解都很难知道。那么,接下去看如何利用上述“奇偶原理”举重若轻的解决上述问题。<br>(1) 判断x, y, z的奇偶性<br>因为x, y, z都是正整数(不能等于零),因此<br>必定为偶数。LHS为偶数,那么RHS也必定为偶数,所以<br>必定为奇数,那么y、z中一个为奇数,另一个为偶数。不妨假设,y为奇数, z为偶数。<br>(2) 确定x的值<br>根据上述分析,令<br>,<br>, 带入式子<br>,<br>化简:<br>,<br>两边同除以2,可得:<br>.<br>根据上式,可知RHS必定是奇数,那么LHS也只能是奇数。而如果x>2,那么LHS是偶数,上式必定不成立。因此,x=1。<br>(3) 计算y, z的值<br>至此,已经知道x=1,带入方程中化简可得:<br>.<br>因为y, z为正整数,所以k为自然数,n为正整数,且<br>。<br>因为k(k+1)必定为偶数,那么根据“奇偶原理”,n也必定是偶数,而偶数的平方末位只有可能是:0,4,6;再考虑连续两位整数的乘积其末位数字只有可能是:0,2,6。而LHS末位是4,那么<br>与k(k+1)之和末位是4的,n只有可能是2,8,12,18,22。那么只需要验证z=4, 16,24, 36,44五种情况就可以了。带入<br>,只有z=44时,y=9符合。<br>综上所述,(x, y, z)=(1,9,44) 或(1,44,9)。<br>一道难题通过简单的奇偶分析,一步一步推导,最后竟只有两组解,这是多么美妙的一个过程!<br>P.S. 一己拙见,欢迎交流指正。<br>想了解其他国际竞赛和数学知识可参阅
奇偶性是函数的基本性质,奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于$y$轴对称.一般地,如果一个函数的图象关于点$(a,b)$中心对称,或者关于直线$x=m$对称,我们称这样的函数具有对称性(严格来说是具有广义奇偶性).<br>问题一 如果函数$f(x)$满足函数方程$f(x+1)=f(-x+1)$,那么函数$f(x)$具有什么性质?<br>问题二 如果函数$f(x)$的对称中心为$(1,2)$,那么$f(x)$满足什么样的函数方程?<br>问题三 如果函数$y=f(x+1)$是奇函数,那么$f(x)$满足什么样的函数方程?<br>问题四 函数$y=f(x+1)$关于$x=1$对称的函数解析式是什么?<br>本篇针对这四个问题一一解决,我们先从基本的概念开始.在本篇中,默认抽象的$f(x)$(即没有给出解析式的$f(x)$)定义域为$\mathcal{R}$,且函数方程都是对定义域内所有$x$成立的.为了方便,我们把“函数图象关于$\cdots$的对称”简要说成“函数关于$\cdots$的对称”.<br>一、轴对称<br>函数$f(x)$的图象关于直线$x=a$对称,可以用图象上的点来描述,即若$x$轴上的两个点关于$a$对称(考虑数轴上点的对称),则它们对应的函数值相等,如图:<br>关于$a$对称的点的横坐标$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=2a$,所以我们通过“和”去考虑就可以很好地绕开$f$括号内的各种形式上的变化,得到:<br>若两个数的和为定值$2a$时,对应的函数值相等,那么这个函数的图象关于直线$x=a$轴对称.反之也成立.<br>比如:(1)若$f(x)=f(4-x)$,括号内的和为$4$,所以$f(x)$关于直线$x=2$对称;<br>(2)若$f(-x-1)=f(x-3)$,括号内的和为$-4$,所以$f(x)$关于直线$x=-2$对称;<br>(3)如果$f(x)$的对称轴为$x=2$,那么有$$\begin{split} &f(x)=f(4-x),f(x+2)=f(2-x),\\&f(2x+2016)=f(-2x-2012),\cdots.\end{split}$$<br>二、中心对称<br>函数$f(x)$的图象关于点$(a,b)$对称,可以用图象上的点来描述,即若$x$轴上的两个点关于$a$对称,则它们对应的函数值关于$b$对称.