其实,在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数、偶数。凡是能被2整除的数叫偶数,大于零的偶数又叫双数;<br>凡是不能被2整除的数叫奇数,大于零的奇数又叫单数。<br>因为偶数是2的倍数,所以通常用2n这个式子来表示偶数(n在这里是整数)。<br>因为任何奇数除以2其余数都是1,所以通常用式子2n-1来表示奇数(n在这里是整数)。<br>奇数和偶数常用的性质<br>性质1①两个偶数的和或者差仍然是偶数。<br>偶数+偶数=偶数,偶数-偶数=偶数<br>例如:6+4=10,12-4=8等。<br>②两个奇数的和或差也是偶数。<br>奇数+奇数=偶数,奇数-奇数=偶数<br>例如:7+3=10,5-3=2等。<br>③奇数与偶数的和或差是奇数。<br>例如:7+4=11,13-4=9等。<br>④单数个奇数的和是奇数,双数个奇数的和是偶数,几个偶数的和仍是偶数。<br>奇数+奇数……+奇数(单数个奇数)=奇数<br>例如:3+5+7+9+11=35<br>奇数+奇数……+奇数(双数个奇数)=偶数<br>例如:3+5+7+9+11+13=48<br>偶数+偶数……+偶数=偶数<br>例如:2+4+6+8+10=30,10+12+14+16+18+20=90<br>性质2 ①奇数与奇数的积是奇数。<br>奇数×奇数=奇数<br>例如:3×5=15,7×9=63等<br>②偶数与整数的积是偶数。<br>偶数×整数(可奇可偶)=偶数<br>例如:4×2=8,6×5=30等。<br>性质3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。<br>奇数≠偶数<br>例如:5≠6, 7≠8等等<br>记忆诀窍:<br>相加:相同为偶,不同为奇<br>相乘:有偶即偶,无偶为奇<br>实战演练<br>例1. 有5张扑克牌,画面向上。小明每次翻转其中的4张,那么,他能在翻动若干次后,使5张牌的画面都向下吗?<br>分析与解答:同学们可以试验一下,只有将一张牌翻动奇数次,才能使它的画面由向上变为向下。<br>要想使5张牌的画面都向下,那么每张牌都要翻动奇数次。<br>5个奇数的和是奇数,所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下。<br>而小明每次翻动4张,不管翻多少次,翻动的总张数都是偶数。<br>所以无论他翻动多少次,都不能使5张牌画面都向下。<br>例2. 甲盒中放有180个白色围棋子和18
奇偶性是函数的基本性质,奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于$y$轴对称.一般地,如果一个函数的图象关于点$(a,b)$中心对称,或者关于直线$x=m$对称,我们称这样的函数具有对称性(严格来说是具有广义奇偶性).<br>问题一 如果函数$f(x)$满足函数方程$f(x+1)=f(-x+1)$,那么函数$f(x)$具有什么性质?<br>问题二 如果函数$f(x)$的对称中心为$(1,2)$,那么$f(x)$满足什么样的函数方程?<br>问题三 如果函数$y=f(x+1)$是奇函数,那么$f(x)$满足什么样的函数方程?<br>问题四 函数$y=f(x+1)$关于$x=1$对称的函数解析式是什么?<br>本篇针对这四个问题一一解决,我们先从基本的概念开始.在本篇中,默认抽象的$f(x)$(即没有给出解析式的$f(x)$)定义域为$\mathcal{R}$,且函数方程都是对定义域内所有$x$成立的.为了方便,我们把“函数图象关于$\cdots$的对称”简要说成“函数关于$\cdots$的对称”.<br>一、轴对称<br>函数$f(x)$的图象关于直线$x=a$对称,可以用图象上的点来描述,即若$x$轴上的两个点关于$a$对称(考虑数轴上点的对称),则它们对应的函数值相等,如图:<br>关于$a$对称的点的横坐标$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=2a$,所以我们通过“和”去考虑就可以很好地绕开$f$括号内的各种形式上的变化,得到:<br>若两个数的和为定值$2a$时,对应的函数值相等,那么这个函数的图象关于直线$x=a$轴对称.反之也成立.<br>比如:(1)若$f(x)=f(4-x)$,括号内的和为$4$,所以$f(x)$关于直线$x=2$对称;<br>(2)若$f(-x-1)=f(x-3)$,括号内的和为$-4$,所以$f(x)$关于直线$x=-2$对称;<br>(3)如果$f(x)$的对称轴为$x=2$,那么有$$\begin{split} &f(x)=f(4-x),f(x+2)=f(2-x),\\&f(2x+2016)=f(-2x-2012),\cdots.\end{split}$$<br>二、中心对称<br>函数$f(x)$的图象关于点$(a,b)$对称,可以用图象上的点来描述,即若$x$轴上的两个点关于$a$对称,则它们对应的函数值关于$b$对称.