“奇偶原理”非常简单,但有时在解题中会起到“四两拨千斤”的作用。“奇偶原理”回顾:<br>奇+奇=偶;奇+偶=奇;偶+偶=偶;<br>奇-奇=偶;奇-偶=奇;偶-偶=偶;<br>奇*奇=奇;奇*偶=偶;<br>(加减不改变奇偶性)<br>下面是AwesomeMath2018数学夏令营试题:<br>Question: Find, with proof, all triples (x, y, z) of positive integers such that<br>咋一看,这道题非常复杂,一个方程三个未知数,且x在指数上,根本无法求解,连有多少个解都很难知道。那么,接下去看如何利用上述“奇偶原理”举重若轻的解决上述问题。<br>(1) 判断x, y, z的奇偶性<br>因为x, y, z都是正整数(不能等于零),因此<br>必定为偶数。LHS为偶数,那么RHS也必定为偶数,所以<br>必定为奇数,那么y、z中一个为奇数,另一个为偶数。不妨假设,y为奇数, z为偶数。<br>(2) 确定x的值<br>根据上述分析,令<br>,<br>, 带入式子<br>,<br>化简:<br>,<br>两边同除以2,可得:<br>.<br>根据上式,可知RHS必定是奇数,那么LHS也只能是奇数。而如果x>2,那么LHS是偶数,上式必定不成立。因此,x=1。<br>(3) 计算y, z的值<br>至此,已经知道x=1,带入方程中化简可得:<br>.<br>因为y, z为正整数,所以k为自然数,n为正整数,且<br>。<br>因为k(k+1)必定为偶数,那么根据“奇偶原理”,n也必定是偶数,而偶数的平方末位只有可能是:0,4,6;再考虑连续两位整数的乘积其末位数字只有可能是:0,2,6。而LHS末位是4,那么<br>与k(k+1)之和末位是4的,n只有可能是2,8,12,18,22。那么只需要验证z=4, 16,24, 36,44五种情况就可以了。带入<br>,只有z=44时,y=9符合。<br>综上所述,(x, y, z)=(1,9,44) 或(1,44,9)。<br>一道难题通过简单的奇偶分析,一步一步推导,最后竟只有两组解,这是多么美妙的一个过程!<br>P.S. 一己拙见,欢迎交流指正。<br>想了解其他国际竞赛和数学知识可参阅
“社会保障卡专栏”的社会保障卡余额查询网页免费使用服务。手机如有上网功能也可以登录该网站进行查询。<br>莫志承介绍,该系统设有社会保障卡交易明细查询、个人基本信息查询及修改、密码修改等基本功能,通过系统,市民可以通过电脑或手机在网上快捷查询医保个人账户消费记录以及医保账户余额等信息。<br>去年5月,我市首张社会保障卡发放以来,目前全市共发放社会保障卡近180万张。原医保IC卡在今年底前与新社保卡可并行使用,没有办理社会保障卡的参保人在医疗费用结算时仍按原医保IC卡的结算方式结算。明年1月1日起,原医保IC卡的余额自动转到新社保卡上。