3.1.3 导数的概念和几何意义(1 ) 一、教学目标 (一)知识目标 1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵. 2.通过函数图象直观了解导数的几何意义. (二)能力目标 掌握用定义法求函数的导数的一般步骤,并能利用函数的导数知识解决一些应用性问题. (三)情感目标 通过“极限法”的学习,提高学生的数学素质,加强学生分析问题和解决问题的能力,认识事物之间的相互联系,会用联系的观点看问题. 二、教学重点 导数的定义与求导的方法. 三、教学难点 对导数概念的理解. 四、教学过程: (一)复习引入 师:前面我们研究了两类问题,一类来自物理学,涉及平均速度和瞬时速度;另一类问题来自几何学,涉及割线斜率和切线斜率.你们能否将这两类问题所涉及的共性表述出来? 生:这两类问题都涉及到以下几件事: (1)一个函数 f(x); (2)f(x+d)-f(x); (3)dx f d x f ) ( ) ( − +; (4)当 d 趋于 0 时,dx f d x f ) ( ) ( − +趋于一个确定的常数. 师:很好,我们发现上述两类问题虽然来自的学科领域,但有着相同的数学模型,今天我们就一起来研究这个数学模型——导数的概念和几何意义. (二)探求新知 1.增量、变化率的概念 对于函数 ) , ( ), (0 0 0y x P x f y = 是函数图象上的一点, ) , (1 1y x Q 是另一点,自变量从x 0 变化为 x 1 时,相应的函数值有 y 0 变为 y 1 ,其中 x 1 -x 2 叫做自变量 x 的增量,记为 △ x, y 1 -y 0 叫做函数的增量(也叫函数的差分),记为 △ y,则 ). ( ) (0 1x f x f y − = ΔxyΔΔ叫做函数的变化率(或函数 ) (x f 在步长为 △ x 的差商). ★ 光滑曲线上某点切线的斜率的本质——函数平均变化率的极限. ★ 物体运动的瞬时速度的本质——位移平均变化率的极限. 2.导数定义 设函数 ) (x f 在包含x 0 的某个区间上有定义,如果比值dx f d x f ) ( ) (0 0− +在 d趋于0时,(d≠0)趋于确定的极限值,则称此极限值为函数 ) (x f 在 x=x 0 处的, 导数或微商,记做
导数相关概念<br>导数:导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中,物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。<br>1、一阶导数的几何意义是求原来曲线在任意一点的切线的斜率,得出来的是一个函数,叫做导函数,简称导数.它是一个计算任何点的斜率的通式. 2、令一阶导数为0,就是找到有水平切线的点.<br>3、一阶导数等于0只是有极值的必要条件,不是充分条件,也就是说: 有极值的地方,其切线的斜率一定为0; 切线斜率为0的地方,不一定是极值点. 例如,y = 3, 处处导数为0,可是它并无极值点. 所以,在一阶导数等于0的地方,还必须计算二阶导数,才能作出充分的判断.<br>4、二阶导数导数大于0的几何意义是:曲线向上开口(Concave up); 二阶导数导数小于0的几何意义是:曲线向下开口(Concave down). 如果二阶导数也为0,就不是极值点,而是拐点(POI = Point of Inflection), 也就是向上开口与向下开口的转折点(这个转折点不用Turning Point表达, 因为turning point一词已经被使用于极值点,所以另取一名POI,以免混淆). 原问题改为:“为什么要令一阶导数为0才能求极值?”,这样会更确切一些. 因为求极值时,“当且仅当”一阶导数为0,才有可能是极值点; 在计算极值时,“令且仅令”一阶导数为0,才能计算出极值点。<br>六、最后<br>参考书籍:<br>从零开始学Python数据分析与挖掘-刘顺祥<br>参考视频:<br>网易云课堂相关视频<br>接下来会做多元线性回归模型及一元非线性回归模型的推导过程及实际应用,尽请关注。