3.1.3 导数的概念和几何意义(1 ) 一、教学目标 (一)知识目标 1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵. 2.通过函数图象直观了解导数的几何意义. (二)能力目标 掌握用定义法求函数的导数的一般步骤,并能利用函数的导数知识解决一些应用性问题. (三)情感目标 通过“极限法”的学习,提高学生的数学素质,加强学生分析问题和解决问题的能力,认识事物之间的相互联系,会用联系的观点看问题. 二、教学重点 导数的定义与求导的方法. 三、教学难点 对导数概念的理解. 四、教学过程: (一)复习引入 师:前面我们研究了两类问题,一类来自物理学,涉及平均速度和瞬时速度;另一类问题来自几何学,涉及割线斜率和切线斜率.你们能否将这两类问题所涉及的共性表述出来? 生:这两类问题都涉及到以下几件事: (1)一个函数 f(x); (2)f(x+d)-f(x); (3)dx f d x f ) ( ) ( − +; (4)当 d 趋于 0 时,dx f d x f ) ( ) ( − +趋于一个确定的常数. 师:很好,我们发现上述两类问题虽然来自的学科领域,但有着相同的数学模型,今天我们就一起来研究这个数学模型——导数的概念和几何意义. (二)探求新知 1.增量、变化率的概念 对于函数 ) , ( ), (0 0 0y x P x f y = 是函数图象上的一点, ) , (1 1y x Q 是另一点,自变量从x 0 变化为 x 1 时,相应的函数值有 y 0 变为 y 1 ,其中 x 1 -x 2 叫做自变量 x 的增量,记为 △ x, y 1 -y 0 叫做函数的增量(也叫函数的差分),记为 △ y,则 ). ( ) (0 1x f x f y − = ΔxyΔΔ叫做函数的变化率(或函数 ) (x f 在步长为 △ x 的差商). ★ 光滑曲线上某点切线的斜率的本质——函数平均变化率的极限. ★ 物体运动的瞬时速度的本质——位移平均变化率的极限. 2.导数定义 设函数 ) (x f 在包含x 0 的某个区间上有定义,如果比值dx f d x f ) ( ) (0 0− +在 d趋于0时,(d≠0)趋于确定的极限值,则称此极限值为函数 ) (x f 在 x=x 0 处的, 导数或微商,记做
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下:<br>1、求导的线性:对函数的线性组合求导,等于先对其中每个部分求导后再取线性组合(即①式)。<br>2、两个函数的乘积的导函数:一导乘二+一乘二导(即②式)。<br>3、两个函数的商的导函数也是一个分式:(子导乘母-子乘母导)除以母平方(即③式)。<br>4、如果有复合函数,则用链式法则求导。<br>扩展资料:<br>不是所有的函数都有导数,一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在,则称其在这一点可导,否则称为不可导。然而,可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。