一、一周知识概述<br>本周主要是讲解等差数列前n项和公式、性质及应用,通过学习,使同学们了解等差数列前n项和公式推导过程(倒序求和),掌握等差数列前n项和公式的两种不同形式,并能利用它们解决一些实际问题,培养学生对数学的理解能力,观察能力以及对数学公式的应用能力和分析问题、解决问题的能力.<br>二、重难点知识概述<br>1、在推导等差数列前n项和公式的过程中用到了数列求和的两种基本思想方法——分组求和法及倒序相加法.<br>2、前n项求和公式为<br>当d≠0时,Sn是关于n的二次函数且常数项为0,可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列的前n项和问题,如可以根据二次函数的图象了解Sn的增、减变化及最值等问题.当d=0时,{an}是常数列,Sn=na1,若a1不为零,则Sn是关于n的一次(正比例)函数,若a1=0,则Sn=0.<br>3、设数列{an}是等差数列,项数为m,其奇数项之和为S奇,偶数项之和记为S偶,那么当项数m为偶数2n时,S偶-S奇=nd,<br>;当项数m为奇数2n+1时,S奇-S偶=an+1,<br>.(不必强记这些结论,关键是掌握其证法,对于提高解题的灵活性是有益的.)<br>4、若{an},{bn}为等差数列,前n项和为An,Bn,则<br>.<br>5、若{an}为等差数列,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,仍为等差数列.<br>6、等差数列前n项和Sn是关于n的二次函数(d≠0),而且常数项为零,这是等差数列前n项和公式的形式特征,我们可以根据这个特征,判断<br>不可能是等差数列的前n项和,利用Sn=an2+bn有时可使计算更简便.<br>7、在解决等差数列有关问题时,涉及的五个量an,n,d,a1,Sn通过方程组知三可求二.<br>8、前n项和Sn与通项an的关系是:Sn=a1+a2+…+an<br>由Sn求an一定要讨论n=1,然后进行综合.<br>二、例题讲解<br>例1、在等差数列{an}中,已知a6+a9+a12+a15=34,求前20项之和.<br>例2、已知数列{an}的前n项和为Sn,(1)设Sn=3n2-2n,求证{an}成等差数列;(2)若Sn=3n2-2n-1,问{an}是否为等差数列?<br>例3、等差数列{an}中,a1>0,前n项之和为Sn,且S7=S13,问n为何值时,Sn最大?<br>例4
<img><br>一、题型分类讲解<br>等差数列及其变式<br>【例题1】2,5,8,()<br>A 10 B 11 C 12 D 13<br>【解答】从上题的前3个数字可以看出这是一个典型的等差数列,即后面的数字与前面数字之间的差等于一个常数。题中第二个数字为5,第一个数字为2,两者的差为 3,由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律,那么在此基础上对未知的一项进行推理,即8+3=11,第四项应该是11,即答案为B。<br>【例题2】3,4,6,9,(),18<br>A 11 B 12 C 13 D 14<br>【解答】答案为C。这道题表面看起来没有什么规律,但稍加改变处理,就成为一道非常容易的题目。顺次将数列的后项与前项相减,得到的差构成等差数列1,2, 3,4,5,……。显然,括号内的数字应填13。在这种题中,虽然相邻两项之差不是一个常数,但这些数字之间有着很明显的规律性,可以把它们称为等差数列的变式。<br>等比数列及其变式<br>【例题3】3,9,27,81()<br>A 243 B 342 C 433 D 135<br>【解答】答案为A。这也是一种最基本的排列方式,等比数列。其特点为相邻两个数字之间的商是一个常数。该题中后项与前项相除得数均为3,故括号内的数字应填243。<br>【例题4】8,8,12,24,60,()<br>A 90 B 120 C 180 D 240<br>【解答】答案为C。该题难度较大,可以视为等比数列的一个变形。题目中相邻两个数字之间后一项除以前一项得到的商并不是一个常数,但它们是按照一定规律排列的;1,1.5,2,2.5,3,因此括号内的数字应为60×3=180。这种规律对于没有类似实践经验的应试者往往很难想到。我们在这里作为例题专门加以强调。该题是1997年中央国家机关录用大学毕业生考试的原题。