简介 通俗地认为,通常包含所有有理数和无理数的集合就是实数集,通常用大写字母R表示。18世纪,微积分学奔尝在实数的基础上发展起来。但当时的实数集并没有精确捆组炼的定义。直到1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。定义是由四组公理为基础的: 加法定理 1.1.对于任意属于集合R的元素a、b,可以定义它们的加法a+b,且a+b属于R;1.2.加法有恒元0,且a+0=0+a=a(从而存在相反数);1.3.加法有交换律,a+b=b+a;1.4.加法有结合律,(a+b)+c=a+(b+c)。 乘法定理 2.1对于任意属于集合R的元素a、b,可以定义它们的乘法a·b,且a·b属于R;2.2乘法有恒元1,且a·1=1·a=a(从而除0外存在倒数);2.3乘法有交换律,a·b=b·a;2.4乘法有结合律,(a·b)·c=a·(b·c);2.5乘法对加法有分配律,即a·(b+c)=(b+c)·a=a·b+a·c。 序公理 3.1∀x、y∈R,xy中有且只有一个成立;3.2若x0,则x·z<y·z;3.4传递性:若x<y,y<z,则x<z。 完备公理 (1)任何一个应多寻杠非空有上界的集合(包含于R)必有上确界。(2)设A、B是两请尝页个包含于R的集合,且对任何x属于A,y属于B,都有x<y,那估企询么必存在c属于R,使得对任何x属于A,y属于B,都有x<c<y。符合以上四组公理的任何一个集合都叫做删户剃实芝企户煮数集,实数集的元素称为实数。
设V是由函数e和e生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的,所有它们形成了V的基。设R[x]指示所有实数多项式的向量空间;则 (1, x, x, ...)是R[x]的基。R[x]的维度因此等于aleph-0。 如上所述,一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合,同时也是极小的生成集合。可以证明,如果向量空间拥有一组基,那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基(也称为基的扩充定理),每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地,在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。