如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。(1)等比数列的通项公式是:若通项公式变形为(n∈N*),当q>0时,则可把看作自变量n的函数,点(n,)是曲线上的一群孤立的点。(2) 任意两项,的关系为(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:,k∈{1,2,…,n}(4)等比中项:当r满足p+q=2r时,那么则有,即为与的等比中项。(5) 等比求和:①当q≠1时,或②当q=1时,记,则有在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。①若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;②在等比数列中,当q≠-1,或q=-1且k为奇数时,依次每 k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.(5) 等比数列前n项之和①当q≠1时,或②当q=1时,在等比数列中,首项a1与公比q都不为零.注意:上述公式中a^n表示A的n次方。等比数列在生活中也是常常运用的。如:银行有一种支付利息的方式---复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利。
我在很多平台看到过这个方法,不知道这个方法的原作者是谁。<br>所以,如有冒犯之处,请留言<br>的常规解法<br>例:<br><img>,求前<br><img>项和<br><img><br>分析:通项公式的形式是:等差数列 乘以 等比数列(简称差比数列)。必用错位相减法无疑了。<br><img>直接上图,懒着一步一步编辑了<br>事实上,做的多了你会发现①②③都是套路,真正困难的是④的计算(计算的难点在于到指数的化简),一不留神就算错。<br>我们今天要说的公式就是为了避开这步运算!<br>所有错位相减的题型,结果都可以归结为一个公式:<br><img><br>(别问我公式怎么来的,说了你也记不住,记住了你也用不上)<br>其中<br><img>就是等比数列中的公比,是已知的;<br><img>是两个常数,这两个常数也是有公式的,但是真的不是一点半点的复杂<br>那<br><img>到底是什么呢,我们可以用以下的待定系数法<br>一方面<br><img><br>另一方面代入我们的公式<br><img><br>这样就有了第一个方程:<br><img><br>同理,一方面<br><img><br>另一方面代入公式<br><img><br>这样就有了第二个方程:<br><img><br>解方程组很easy,<br><img><br>代入公式,直接得到答案<br><img><br>是不是很神奇~<br>