简介 通俗地认为,通常包含所有有理数和无理数的集合就是实数集,通常用大写字母R表示。18世纪,微积分学奔尝在实数的基础上发展起来。但当时的实数集并没有精确捆组炼的定义。直到1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。定义是由四组公理为基础的: 加法定理 1.1.对于任意属于集合R的元素a、b,可以定义它们的加法a+b,且a+b属于R;1.2.加法有恒元0,且a+0=0+a=a(从而存在相反数);1.3.加法有交换律,a+b=b+a;1.4.加法有结合律,(a+b)+c=a+(b+c)。 乘法定理 2.1对于任意属于集合R的元素a、b,可以定义它们的乘法a·b,且a·b属于R;2.2乘法有恒元1,且a·1=1·a=a(从而除0外存在倒数);2.3乘法有交换律,a·b=b·a;2.4乘法有结合律,(a·b)·c=a·(b·c);2.5乘法对加法有分配律,即a·(b+c)=(b+c)·a=a·b+a·c。 序公理 3.1∀x、y∈R,xy中有且只有一个成立;3.2若x0,则x·z<y·z;3.4传递性:若x<y,y<z,则x<z。 完备公理 (1)任何一个应多寻杠非空有上界的集合(包含于R)必有上确界。(2)设A、B是两请尝页个包含于R的集合,且对任何x属于A,y属于B,都有x<y,那估企询么必存在c属于R,使得对任何x属于A,y属于B,都有x<c<y。符合以上四组公理的任何一个集合都叫做删户剃实芝企户煮数集,实数集的元素称为实数。
"集合是收集起来的一些东西,通常是数字。我们把所有元素(也称 ""成员"")以逗号分隔,放在大括號里:<br>集合论常用符号<br>使用符号可以节省时间和空间。以下是集合论里常用的符号<br>在下面的例子里,C = {1,2,3,4},D = {3,4,5}<br>符号l意思例子<br>A⊆ B子集:A 含有 B 的一些(或所有)元素{3,4,5}⊆ D<br>A⊂ B真子集:A 含有 B 的一些元素{3,5}⊂ D<br>A⊄ B非子集:A 不是 B 的子集{1,6} ⊄ C<br>A⊇ B超集:A 有B的所有元素,或更多{1,2,3} ⊇ {1,2,3}<br>A⊃ B真超集:A 有B的所有元素及更多{1,2,3,4} ⊃ {1,2,3}<br>A⊅ B非超集:A 不是 B 的超集{1,2,6}⊅ {1,9}<br>b∉ A不是…的元素:b不是 A 的元素6∉ {1,2,3,4}<br>A = B相等:有相同的元素<br>A×B笛卡尓积:第一个对象是A的成员<br>而第二个对象是B的成员<br>的所有可能有序对的集<br>= {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}<br>|A|基数:集A的元素的个数|{3,4}| = 2<br>∀对于所有∀x>1, x2>x<br>∃存在∃ x | x2>x<br>∴因此a=b∴ b=a"