Let the linear mapping f map V to W, and let the linear mapping g map W to U. Then one can get g ∘ f ( v ) = g ( f i j v i b W j ) = g j k f i j v i b U k . {\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=g({f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j})={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{U}} ^{k}.} Or in matrix form: g ∘ f ( v ) = G F v , {\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=\mathbf {G} \mathbf {F} \mathbf {v} ,} in which the i-row, j-column element of F, denoted by Fij, is fji, and Gij=gji.
În matematică, și mai precis în algebra liniară și analiza funcțională, nucleul (de asemenea, cunoscut sub numele de kernel sau ker, după notația practicată) al unei aplicații liniare L : V → W între două spații vectoriale V și W, este mulțimea tuturor elementelor v din V pentru care L(v) = 0 , unde 0 indică vectorul nul din W. Adică, în notația de construcție a mulțimilor, Nucleul lui L este un subspatiu vectorial al domeniului V. În aplicația liniară L : V → W , două elemente din V au aceeași imagine în W dacă și numai dacă diferența lor aparține nucleului lui L: L ( v 1 ) = L ( v 2 ) ⇔ L ( v 1 − v 2 ) = 0 . {\displaystyle L(\mathbf {v} _{1})=L(\mathbf {v} _{2})\;\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\;L(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})=\mathbf {0} {\text{.}}} Rezultă că imaginea L este izomorfă cu factorul lui V în raport cu nucleul: i m ⁡ ( L ) ≅ V / ker ⁡ ( L ) . {\displaystyle \mathop {\mathrm {im} } (L)\cong V/\ker(L){\text{.}}} Acest lucru implică teorema rangului: dim ⁡ ( ker ⁡ L ) + dim ⁡ ( i m ⁡ L ) = dim ⁡ ( V ) . {\displaystyle \dim(\ker L)+\dim(\mathop {\mathrm {im} } L)=\dim(V){\text{.}}\,} Dimensiunea imaginii lui L se numește „rang”, iar cea a nucleului se numește „defect”.