On the other hand, an easy argument shows that any k {\displaystyle k} -paradoxical tournament must have at least 2 k + 1 − 1 {\displaystyle 2^{k+1}-1} players, which was improved to ( k + 2 ) 2 k − 1 − 1 {\displaystyle (k+2)2^{k-1}-1} by Esther and George Szekeres (1965).
Pe de altă parte, se poate ușor demonstra că orice graf turneu k-paradoxal trebuie să aibă cel puțin 2 k + 1 − 1 {\displaystyle 2^{k+1}-1} jucători, rezultat care a fost îmbunătățit la ( k + 2 ) 2 k − 1 − 1 {\displaystyle (k+2)2^{k-1}-1} de către Esther⁠(d) și George Szekeres⁠(d) (1965).