The previously mentioned 10-parameter group in R3 related to pentaspherical coordinates is extended to the 15-parameter group of Lie sphere transformations related to "hexaspherical coordinates" (named by Klein in 1893) by adding a sixth homogeneous coordinate related to the radius.
Die vorher erwähnte konforme 10-Parameter-Gruppe in R3 mit pentasphärischen Koordinaten, wird erweitert zur 15-Parameter-Gruppe der Lieschen Kugeltransformationen, wobei gemäß Klein (1893) von nun an „hexasphärische Koordinaten“ zu benutzen sind, da eine sechste homogene Koordinate hinzugefügt wird die sich auf den Radius bezieht.