In a Riemannian manifold M with metric tensor g, the length of a continuously differentiable curve γ :  → M is defined by L ( γ ) = ∫ a b g γ ( t ) ( γ ˙ ( t ) , γ ˙ ( t ) ) d t . {\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.} The distance d(p, q) between two points p and q of M is defined as the infimum of the length taken over all continuous, piecewise continuously differentiable curves γ :  → M such that γ(a) = p and γ(b) = q.
Σε μια κατά Ρίμαν πολλαπλότητα M με μετρικό τανυστή g, το μήκος μιας  συνεχώς διαφορίσιμης καμπύλης γ : → M ορίζεται από τον τύπο L ( γ ) = ∫ a b g γ ( t ) ( γ ˙ ( t ) , γ ˙ ( t ) ) d t . {\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.} Η απόσταση d(p, q) μεταξύ δύο σημείων p και q του M ορίζεται ως το μέγιστο κάτω πέρας του μήκους που λαμβάνεται από όλες τις συνεχείς, τμηματικά συνεχώς διαφορίσιμες καμπύλες γ : → M τέτοιες ώστε γ(a) = σ και γ(b) = q.