In the other direction it cannot be too small: Selberg (1946) showed that S(T) ≠ o((log T)1/3/(log log T)7/3), and assuming the Riemann hypothesis Montgomery showed that S(T) ≠ o((log T)1/2/(log log T)1/2).
Στην άλλη κατεύθυνση, δεν μπορεί να είναι πάρα πολύ μικρή: Σέλμπεργκ (1946) showed that S(T) ≠ o((log T)1/3/(log log T)7/3), και υποθέτοντας ότι η υπόθεση Ρίμαν Μοντγκόμερι έδειξε ότι S(T) ≠ o((log T)1/2/(log log T)1/2).