From this we can also conclude that if the Mertens function is defined by M ( x ) = ∑ n ≤ x μ ( n ) {\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)} then the claim that M ( x ) = O ( x 1 2 + ε ) {\displaystyle M(x)=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)} for every positive ε is equivalent to the Riemann hypothesis (J.E. Littlewood, 1912; see for instance: paragraph 14.25 in Titchmarsh (1986)).
Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε επίσης ότι αν η συνάρτηση του Mertens ορίζεται από M ( x ) = ∑ n ≤ x μ ( n ) {\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)} τότε ο ισχυρισμός ότι M ( x ) = O ( x 1 2 + ε ) {\displaystyle M(x)=O(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon })} για κάθε θετικό ε είναι ισοδύναμη με την υπόθεση Ρίμαν (J.E. Littlewood, 1912; βλέπε για παράδειγμα: σημείο 14.25 σε Titchmarsh (1986)).