33...fxe5 34.Bxe5 g5 35.Bg6+ Kf8 36.Qxd7 Qa7 37.Qf5+ Kg8 38.d7 1–0 Evans Gambit, C52 1.e4 e5 2.Nf3 Nc6 3.Bc4 Bc5 4.b4 Bxb4 5.c3 Ba5 6.0–0 Qf6 7.d4 Nge7 8.Bg5 Qd6 9.d5 Nd8 10.Qa4 b6 11.Na3 a6 12.Bb3 Bxc3 13.Rac1 Qb4 14.Nb5 Qxb5 15.Qxb5 axb5 16.Rxc3 c5 17.dxc6 Ndxc6 18.Bxe7 Kxe7 19.Bd5 f6 20.Bxc6 dxc6 21.Rxc6 Bd7 22.Rxb6 Rhb8 23.Rxb8 Rxb8 24.Rb1 Bc6 25.Re1 Ra8 26.Re2 Ra4 27.Rb2 Rxe4 28.h3 Kd6 29.Nd2 Ra4 30.f3 f5 31.Kf2 Ra3 32.Nb1 Rd3 33.Ke2 e4 34.Nd2 Ra3 35.fxe4 fxe4 36.Nb1 Rg3 37.Kf2 Rd3 38.Ke2 h5 39.Nd2 Rg3 40.Kf2 Ra3 41.Nf1 Bd5 42.Rxb5 Rxa2+ 43.Ke3 Rxg2 44.Kd4 Bc6 45.Rxh5 Ra2 46.Ne3 Rd2+ 47.Kc4 Bd7 48.Rg5 Be6+ 49.Kb4 Rd4+ 50.Kb5 Rd3 51.Nc4+ Bxc4+ 52.Kxc4 Rd1 53.Rxg7 e3 54.Rb7 Ke5 55.Kc3 Ke4 56.Kc2 Rf1 0–1 Queen's Gambit Declined, Chigorin Defense, D07 1.Nf3 d5 2.d4 Bg4 3.c4 Nc6 4.e3 e5 5.Qb3 Bxf3 6.gxf3 exd4 7.cxd5 Ne5 8.exd4 Nd7 9.Nc3 Qe7+ 10.Be3 Qb4 11.Qc2 Ngf6 12.Bb5 Rd8 13.0–0–0 a6 14.Ba4 Be7 15.Rhg1 g6 16.Bh6 b5 17.Bb3 Nb6 18.Rge1 Kd7 19.Bf4 Rc8 20.a3 Qa5 21.Bg5 Ng8 22.Bxe7 Nxe7 23.Ne4 Rb8 24.Nf6+ Kd8 25.Rxe7!
इसी प्रकार, ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,} उदाहरण ( 2 x − 3 y ) 2 = ( 2 x ) 2 + 2 ( 2 x ) ( − 3 y ) + ( − 3 y ) 2 {\displaystyle (2x-3y)^{2}=(2x)^{2}+2(2x)(-3y)+(-3y)^{2}\,} सरल करने पर: ( 2 x − 3 y ) 2 = 4 x 2 − 12 x y + 9 y 2 {\displaystyle (2x-3y)^{2}=4x^{2}-12xy+9y^{2}\,} ( x + a ) ( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + a b {\displaystyle (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab\,} उदाहरण ( 3 x + 4 ) ( 3 x − 7 ) = ( 3 x ) ( 3 x ) + ( 3 x ) ( − 7 ) + ( 3 x ) ( 4 ) + ( 4 ) ( − 7 ) {\displaystyle (3x+4)(3x-7)=(3x)(3x)+(3x)(-7)+(3x)(4)+(4)(-7)\,} पदों को एकत्र करने पर: ( 3 x + 4 ) ( 3 x − 7 ) = 9 x 2 − 21 x + 12 x − 28 {\displaystyle (3x+4)(3x-7)=9x^{2}-21x+12x-28\,} या: ( 3 x + 4 ) ( 3 x − 7 ) = 9 x 2 − 9 x − 28 {\displaystyle (3x+4)(3x-7)=9x^{2}-9x-28\,} ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 {\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\,} उदाहरण ( 3 x + 5 y ) ( 3 x − 5 y ) = {\displaystyle (3x+5y)(3x-5y)=\,} ( 3 x ) ( 3 x ) + ( 3 x ) ( − 5 y ) + ( 5 y ) ( 3 x ) + ( 5 y ) ( − 5 y ) {\displaystyle (3x)(3x)+(3x)(-5y)+(5y)(3x)+(5y)(-5y)\,} पदों को एकत्र करने पर: ( 3 x + 5 y ) ( 3 x − 5 y ) = 9 x 2 − 25 y 2 {\displaystyle (3x+5y)(3x-5y)=9x^{2}-25y^{2}\,} ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( a b + a c + b c ) {\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+ac+bc)\,} ( a + b + c + d ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2 ( a b + a c + a d + b c + b d + c d ) {\displaystyle (a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\,} उदाहरण ( 3 x + 2 y − 5 z ) 2 = ( 3 x + 2 y − 5 z ) ( 3 x + 2 y − 5 z ) {\displaystyle (3x+2y-5z)^{2}=(3x+2y-5z)(3x+2y-5z)\,} गुणा करने पर: ( 3 x + 2 y − 5 z ) 2 = 3 x ⋅ 3 x + 3 x ⋅ 2 y + 3 x ⋅ ( − 5 z ) {\displaystyle (3x+2y-5z)^{2}=3x\cdot 3x+3x\cdot 2y+3x\cdot (-5z)\,} + 2 y ⋅ 3 x + 2 y ⋅ 2 y + 2 y ⋅ ( − 5 z ) {\displaystyle +2y\cdot 3x+2y\cdot 2y+2y\cdot (-5z)\,} + ( − 5 z ) ⋅ 3 x + ( − 5 z ) ⋅ 2 y + ( − 5 z ) ⋅ ( − 5 z ) {\displaystyle +(-5z)\cdot 3x+(-5z)\cdot 2y+(-5z)\cdot (-5z)\,} पदों को एकत्र करने के बाद: ( 3 x + 2 y − 5 z ) 2 = 9 x 2 + 4 y 2 + 25 z 2 + 2 ( 6 x y − 15 x z − 10 y z ) {\displaystyle (3x+2y-5z)^{2}=9x^{2}+4y^{2}+25z^{2}+2(6xy-15xz-10yz)\,} या: ( 3 x + 2 y − 5 z ) 2 = 9 x 2 + 4 y 2 + 25 z 2 + 12 x y − 30 x z − 20 y z {\displaystyle (3x+2y-5z)^{2}=9x^{2}+4y^{2}+25z^{2}+12xy-30xz-20yz\,} ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 {\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,} काशी (Cauchy) सर्वसमिका: ( a + b ) 3 = a 3 + b 3 + 3 a b ( a + b ) {\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)\,} उदाहरण ( x + 2 y ) 3 = x 3 + 3 ( x ) 2 ( 2 y ) + 3 ( x ) ( 2 y ) 2 + ( 2 y ) 3 {\displaystyle (x+2y)^{3}=x^{3}+3(x)^{2}(2y)+3(x)(2y)^{2}+(2y)^{3}\,} पदों का समूह बनाने के बाद: ( x + 2 y ) 3 = x 3 + 6 x 2 y + 12 x y 2 + 8 y 3 {\displaystyle (x+2y)^{3}=x^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}+8y^{3}\,} इसी प्रकार, ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 {\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,} काशी (Cauchy) सर्वसमिका: ( a − b ) 3 = a 3 − b 3 − 3 a b ( a − b ) {\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-b^{3}-3ab(a-b)\,} उदाहरण ( x − 2 y ) 3 = x 3 − 3 ( x ) 2 ( 2 y ) + 3 ( x ) ( 2 y ) 2 − ( 2 y ) 3 {\displaystyle (x-2y)^{3}=x^{3}-3(x)^{2}(2y)+3(x)(2y)^{2}-(2y)^{3}\,} पदों का समूह बनाने के बाद: ( x − 2 y ) 3 = x 3 − 6 x 2 y + 12 x y 2 − 8 y 3 {\displaystyle (x-2y)^{3}=x^{3}-6x^{2}y+12xy^{2}-8y^{3}\,} ( x 2 + x + 1 ) ( x 2 − x + 1 ) = x 4 + x 2 + 1 {\displaystyle (x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=x^{4}+x^{2}+1\,} a 3 + b 3 + c 3 − 3 a b c = ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − a b − b c − a c ) {\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)\,} a 3 + b 3 + c 3 − 3 a b c = 1 2 ( a + b + c )  {\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc={\frac {1}{2}}(a+b+c)\,} ( a + b ) 2 + ( a − b ) 2 = 2 ( a 2 + b 2 ) {\displaystyle (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})\,} ( a + b ) 2 − ( a − b ) 2 = 4 a b {\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab\,} ( a + b ) 4 − ( a − b ) 4 = 8 a b ( a 2 + b 2 ) {\displaystyle (a+b)^{4}-(a-b)^{4}=8ab(a^{2}+b^{2})\,} ( a 2 + b 2 ) ( x 2 + y 2 ) = ( a x + b y ) 2 + ( a y − b x ) 2 {\displaystyle (a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})=(ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2}\,} ( a 2 + b 2 + c 2 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) = ( a x + b y + c z ) 2 + ( a y − b x ) 2 + ( a z − c x ) 2 + ( b z − c y ) 2 {\displaystyle (a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(ax+by+cz)^{2}+(ay-bx)^{2}+(az-cx)^{2}+(bz-cy)^{2}\,} घनों का योग a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) {\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,} घनों का अन्तर a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) {\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,} nवें घातों का योग यदि और केवल यदि "n" विषम संख्या हो तो, a n + b n = ( a + b ) ( a n − 1 − a n − 2 b + a n − 3 b 2 − ⋯ + b n − 1 ) {\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdots +b^{n-1})\,} nवें घातों का अन्तर a n − b n = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + a n − 3 b 2 + ⋯ + b n − 1 ) {\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdots +b^{n-1})\,} निम्नलिखित सूत्र किसी घन को दो वर्गों के अन्तर के रूप में अभिव्यक्त करता है- a 3 = ( ( a + 1 ) a 2 ) 2 − ( ( a − 1 ) a 2 ) 2 {\displaystyle a^{3}=\left({\frac {(a+1)a}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {(a-1)a}{2}}\right)^{2}} ब्रह्मगुप्त सर्वसमिका द्विपद त्रिपद गुणनखण्ड पॉस्कल त्रिभुज साँचा:Lien BA