When you construe it as "cause the mouse to have something," you're doing something to the mouse, and therefore you express it as, "Give the mouse the muffin."
כשמפרשים זאת כמו "גרום לעכבר שיהיה משהו", אתם עושים משהו לעכבר, ולכן מבטאים זאת כ"תן לעכבר עוגייה."