When you construe it as "cause the mouse to have something," you're doing something to the mouse, and therefore you express it as, "Give the mouse the muffin."
Если подразумевается, что мышь ("mouse") владеет чем-либо, и мы совершаем действия с мышью, тогда мы говорим: "Give the mouse the muffin" (без предлога to).