次の数学的帰納法を証明してください。

∀n∈ℕ, 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2
了解です！私は数学的帰納法を使用して、この式を証明することができます。

まず、基本事項を示す必要があります。この基本事項は、次の式を使用して証明できます。

1 = (1)^2

次に、帰納法の仮定を設定する必要があります。この仮定は、次のように表現できます。

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k^2

ここで、kは自然数です。

次に、帰納法のステップを実行する必要があります。このステップでは、次の式を証明する必要があります。

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)^2

これを証明するには、帰納法の仮定を使用する必要があります。

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k^2

次に、式に(2(k + 1) - 1)を追加します。

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = k^2 + (2(k + 1) - 1)

= k^2 + 2k + 1

= (k + 1)^2

これで、帰納法のステップが完了し、式が証明されました。

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2

この式は、正確であることが証明されました。