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从案例中看如何落实基本活动经验的积累

作者：张冬梅来源：《华人时刊·校长》2013年第06期

案例《课程标准（2011年版）》特别强调：“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。”显然，课标把“基本活动经验”提到了重要的地位，期待老师能给学生更多的探索空间，埋下更多的创造种子，提高数学教学的价值。那么，如何在课堂教学中落实基本活动经验的逐步积累呢？下面借前不久执教的一堂练习课来作一些阐述。这是苏教版四年级上册P21页上的一道思考题，教材的意图很明显，想让学生在操作中发现问题，体会规律。教学时，为了丰富习题的数学意义，让学生能从中感悟数学思想，积累数学活动经验，我把教材进行了一定的改造。教学流程如下：研究问题1出示问题1

平面上有50个点（任意3个点不在一条直线上），过其中两点画一条直线，最多可以画多少条直线？你能画一画，表示出自己的思考过程，然后解决问题吗？

研究1.个体研究，独立思考。（稍后，发现个别学生无从下手。）师：大家先停一停，老师想采访大家一下，我发现有些同学无从下手，不知道该怎么画，你们猜猜原因是什么呢？生1：50个点太多了，画起来不容易。生2：每3个点不在一条直线上，要画完这样的50个点就很麻烦。师：是啊，这可怎么办呢？生3：我们不用画50个点的，可以先试着研究几个点，少一些的点，看看会不会有什么发现。生4：我们知道2个点可以确定一条直线，我们可以先从2个点开始研究。2.小组研究。师：刚才每个同学都有了自己的独立思考，又听取了别人的提醒，你现在又有什么新的想法呢？四人小组互相说说自己的想法，然后再一起研究。全班分享1.从2个点开始研究的方法。⑴小组1（甲、乙、丙、丁四人）汇报并生生互动：生甲：（边板演边讲）通过2个点能画一条直线，如果再画上第3个点，就又能画出2条直线，这样一共就画出了3条直线。如果再画上第4个点，你们知道又能画出几条直线呢？生2：3条。生甲：为什么呢？生3：因为这第4个点可以分别跟前3个点确定一条直线。

生甲：是的，同学们看这样就一共画出了6条直线。生乙：我建议大家可以先这样研究下去，看看能不能发现规律。

生丙：我还想提醒大家，可以列张表格进行研究，这样容易发现规律。

师：那好，我们接受他们小组的建议，继续他们的研究，并完成书P21的表格。（每个小组再次研究这种方法，并填写表格，解决问题。）

⑵再交流。

生丁：我们先来看看我们的答案：

大家都做对了吗？

……生丁：大家说，我们还需要继续一个一个地添“点”，再继续画下去吗？生4：不用了，我们已经发现规律了，大家看，1+2=3，3+3=6，6+4=10，10+5=15，所以7个点能画15+6=21（条），8个点能画21+7=28（条）……这样一直加下去，有50个点，就要加到49。生5：我们也发现规律了，2个点能画一条直线，3个点能画1+2=3（条）直线，4个点能画1+2+3=6（条）直线，5个点能画1+2+3+4=10（条）直线，6个点能画1+2+3+4+5=15（条）直线。所以50个点能画1+2+3+…+49=1225（条）直线。生丁：对的。但是我想问问大家，你们知道为什么3个点的时候是1+2=3（条）吗？生6：因为2个点的时候能画1条直线，添上第3个点，又能画出2条新的直线，所以是1+2=3（条）。师插话：真是一个极好的问题！我也想知道，你们说50个点能画1+2+3+…+49=1225（条）直线，算式中的49表示什么？48呢？生7：49就是第50个点能分别跟前面的49个点画出一条直线；48是第49个点能跟前面的48个点分别画出1条直线；以此类推。（全班热烈的掌声）

……

师：问题解决了，能说说你们有什么体会？

生甲：遇到难题，我们可以画画图、分析分析，就可以看出规律了。

生乙：我们是从最简单的情况开始想起的，等发现规律了，就好了。

……2.选择点少的一种情况进行研究的方法。

小组2（A、B、C、D四人）汇报并生生互动：

生A：我们小组研究的方法跟刚才的方法不同。因为50个点太多了，有些复杂，我们就画了5个点进行研究。大家看，第1个点能分别跟其他4个点画出1条直线，共画出了4条；第2个点能跟剩下的3个点画出3条新的直线，第3个点又能画出2条，第4个点就只能跟最后一个点画出一条新的直线了，所以5个点能画4+3+2+1=10（条）直线。

生8：可是你们没有说50个点能画多少条直线呀？

生B：我补充。你们看，如果是5个点，通过第一个点最多能画出4条直线，然后分别是3条、2条、1条，最后的结果是4+3+2+1，所以50个点就能画49+48+47+…+1=1225（条）直线。

……比较中体会

师：同学们用不同的方法都解决了问题，但是大家有没有从不同的方法中看到相同的东西？

生9：我们最后得到的算式其实是相同的，一个是1+2+3+…+49=1225（条），另一种方法是49+48+47+…+1=1225（条）。

生10：我发现两种方法找到的规律其实是一样的，只是反过来了。

生11：这两种方法在思考的时候，都不是直接画出50个点进行研究，都是先研究点比较少的情况。

生12：都是研究点少的情况，再发现规律以后，算出50个点能画出多少条直线的。

师：是的，先研究简单的情况，然后发现规律后去解决复杂的问题，这是一种重要的数学思想和方法。

板书：

师：老子说过：“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细。”其实说的就是这个道理。研究问题2出示问题2一张桌子可以坐6人（如左下图），两张桌子拼起来可以坐10人（如右下图）。那么照这样算，招聘会时把20张桌子拼了起来，可以坐多少人？2.学生独立试做。3.交流分享。方法一：6+19×4=82（人）方法二：4×20+2=82（人）方法三：5×2+4×18=82（人）（追问1：为什么不去画出20张桌子拼在一起的示意图？追问2：不同的方法又有着怎样相同的策略？）

故事设疑

故事激趣

在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。

不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必在大片上面。当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。

于是，人们都惶恐不安，终日担心着：当僧侣把金片移完时，地球就会毁灭。可是当一个数学家听说了这件事情以后，却只是淡淡地一笑。

带着疑问走出课堂

数学家为什么会淡淡地一笑？事情的结果到底怎样呢？请每个课外学习小组合作研究，下周三全班交流你们的研究成果。

思考

数学活动经验是一种过程性知识，数学活动经验是学生在数学活动过程中内化了的数学知识、技能及情感体验，既包括学生的日常生活经验，又包括学生在学校数学课程中获得的经验。数学经验的获得依赖于多种数学活动，比如观察、理解、提问、建模、论证等。一般而言，经验极具个性，是个体的自我创造、个性的再现。从上面的案例中可以看到关于积累数学活动经验的一些做法：

恰当利用素材，设计有效的数学活动

数学课堂教学必须结合具体内容让学生在数学学习活动中去“经历过程”。有效的数学活动并非一定是操作活动，一道数学问题的分析与解决过程就可以是一个“有效的数学活动”，关键是怎样让这样的过程更“有效”。分析学生已有的数学活动经验与新知识之间的结合点，这是设计有效的数学活动的前提。在这堂课学习前，学生已经知道两点能确定一条直线，也有了一定的找规律的经验，那么故意制造矛盾冲突——把平面上的点增加到50个，学生发现不能直接通过画图找到答案，于是便开始深入地思考与研究，有效的探究活动就这样开始了。

尊重个性差异，积累合作交流的活动经验

“活动经验”一定与“经验”密不可分，当然就与“人”密不可分，即学生本人要把活动中的经历、体会总结上升为“经验”。既可以是活动当时的经验，也可以是延时反思的经验。既可以是学生自己摸索出来的经验，也可以是受别人启发得出的经验。但关健是，这些“经验”必须转化和建构为属于学生本人的东西，才可以认为学生获得了“活动经验”。

这样，我们在组织数学活动时，一方面要尊重学生的个性差异，关注学生独立思考的过程与结果。另一方面，要让学生积极参与互动，关注学生的合作研究与相互交流。上面的案例，首先给了每个孩子独立思考的空间，虽然个别孩子无所适从，但是这表面上看起来的“空白”，却让学生体会了问题的困难所在，使得后面的合作探究有了思考的目标与方向。更值得一提的是，在“全班分享”这一环节，教师给了学生充分的自由，表达的自由、思考的自由、精神的自由，学生在相互交流中再认识，在相互质疑中再发现，从中体会到的合作研究与相互交流的活动经验却是不可忽视的。

提供广阔的探索空间，渗透内在的思想方法经验

小学数学教材体系有两条线索，一条是数学知识（这是明线），一条是数学思想方法（这是暗线）。由于教材对完美演绎形式的追求往往掩盖了内在的思想和方法，所以教师要深入分析教材，明确概念和例题的本质是什么？从怎样的材料出发，经过怎样的过程概括而来？最终要形成怎样的数学结构？组成怎样的知识体系？领悟怎样的数学思想方法？

上面的案例，不仅培养了学生的几何直观，也让学生真实体验了“从简单情况想起”的数学方法。在这里又不难看到学生感悟了数学抽象、数学推理的思想……

一堂课下来，学生不仅学习了知识结论，更重要的是经历了数学思想与方法的积淀、凝聚过程，学生所感悟到的数学思想将使他一生受益。

关注反思与提炼，把感性认识提升为数学活动经验

让学生动手“做”数学，不能仅仅满足于让学生动手操作解决问题。如果学生的思维仅停留于感性经验的层面上，不能在感性认识中揭示、获取理性的经验，那么他们对数学问题的思考就无法摆脱具体、直观的感性经验的束缚，数学抽象思维能力就不能得到训练与发展。因此，教学时，我们要将学习过程中那些有关的智力活动变为思维的对象，引导学生进行反思与提炼。

上面的案例中，如果数学活动停止于问题解决时，那么学生的认识仍然只是停留在感性的层面上。因此，教师不仅让学生充分地参与探究活动，更关注学生问题解决后的反思与提练，适时地引导学生观察、思考、发现、比较，帮助学生进行经验显性化。这样才能学以致用、举一反三，灵活地运用数学概念解决问题。

作为一线数学教师，我们真的应该站在为学生终身发展的高度，努力与学生一同实践，在教学中开展有意义的数学活动，提升学生数学活动经验，促进学生的数学素养从“双基”向多元发展。

（南京市琅琊路小学）

