Du kategorioj estas la samaj se ili havas la saman kolekton de objektoj, la saman kolekton de sagoj, kaj la saman asociecan metodon de kunmetado de ajna paro el sagoj.
Du kategorioj ankaŭ povas esti konsideritaj " ekvivalentaj " por celoj de teorio de kategorioj, eĉ se ili ne estas ĝuste la samaj.
#000002
Bonkonataj kategorioj estas indikitaj per mallonga kapitaligita vorto aŭ mallongigo en grasa skribo aŭ kursivo: ekzemploj inkludas aron , la kategorion da aroj kaj arfunkciojn;
Sonoregu , la kategorio da ringoj kaj ringohomomorfismoj;
kaj Pinto , la kategorio da topologiaj spacoj kaj kontinuaj mapoj.
Ĉiuj la antaŭiradkategorioj havas la identecmapon kiel identecsago kaj kunmetaĵon kiel la asocieca operacio sur sagoj.
#000003
La klasika kaj daŭre eluzita teksto en teorio de kategorioj estas Categories for the Working Mathematician (Kategorioj por la Laboraktiva Matematikisto) de Saunders Mac Lane.
Aliaj referencoj ricevas en la Referencoj malsupre.
La bazaj difinoj en tiu artikolo estas enhavitaj ene de la unuaj malmultaj ĉapitroj de iuj da tiuj libroj.
#000004
3 Malgrandaj kaj grandaj kategorioj
5 Konstruado de novaj kategorioj 5.1
#000005
Ekzistas multaj ekvivalentaj difinoj de kategorio.
Oni ofte utiligis difinon estas kiel sekvas.
#000006
tia ke la sekvaj aksiomoj tenas:
#000008
( identeco) por ĉiu objekto x, tie ekzistas morfismo 1 x :
x → x (kelkaj verkintoj skribas identigaĵon x ) postulis la identecmorfismon x, tia ke por ĉiu morfismo f:
→ x kaj ĉiu morfismo g:
#000009
De tiuj aksiomoj, oni povas pruvi ke ekzistas same unu-identeca morfismo por ĉiu objekto.
Kelkaj verkintoj utiligas burĝonantan varion de la difino en kiu ĉiu objekto estas identigita kun la ekvivalenta identecmorfismo.
#000010
Kategorio C estas nomita malgranda ĉu kaj ob ( C) kaj hom ( C) estas fakte aroj kaj ne bonordaj klasoj, kaj grandaj alie.
Loke malgranda kategorio estas kategorio tia ke por ĉiuj objektoj a kaj b, la hom-unuaklasa hom (, b) estas aro, vokis homset.
Multaj gravaj kategorioj en matematiko (kiel ekzemple la kategorio da aroj), kvankam ne malgrande, estas almenaŭ loke malgrandaj.
#000012
La klaso de ĉiuj aroj kune kun ĉiuj funkcioj inter aroj, kie kunmetaĵo estas la kutima funkcia komponaĵo, formas grandan kategorion, aron .
Ĝi estas la plej baza kaj la plej ofte uzita kategorio en matematiko.
La kategorio Rel konsistas el ĉiuj aroj, kun duargumentaj rilatoj kiel morfismoj.
Abstraktado de rilatoj anstataŭe de funkcioj donas alegoriojn anstataŭe de kategorioj.
#000013
Ĉiu klaso povas esti rigardita kiel kategorio kies nuraj morfismoj estas la identecmorfismoj.
Tiaj kategorioj estas nomitaj diskretaj.
Por iu antaŭfiksita aro I, la diskreta kategorio sur I estas la malgranda kategorio kiu havas la elementojn de mi kiel objektoj kaj nur la identecmorfismojn kiel morfismoj.
Diskretaj kategorioj estas la plej simpla speco de kategorio.
#000014
Ĉiu preordigita aro ( P, ≤) formas malgrandan kategorion, kie la objektoj estas la membroj de P, la morfismoj estas sagoj indikantaj de x ĝis y kiam x ≤ y.
Inter ĉiuj du objektoj povas ekzisti maksimume unu morfismo.
La ekzisto de identecmorfismoj kaj la kunmeteblo de la morfismoj estas garantiita per la refleksiveco kaj la transitiveco de la preordo.
Per la sama argumento, ajna partordon kaj ĉiu ekvivalentrilato povas esti vidita kiel malgranda kategorio.
Ĉiu numero povas esti vidita kiel kategorio kiam rigardite kiel ordigita aro.
#000015
Ĉiu monoida (ajna algebra strukturo kun ununura asocieca operacio kaj neŭtra elemento) formas malgrandan kategorion kun ununura objekto x.
(Ĉi tie, x estas ajna fiksis metas.
La morfismoj de x ĝis x estas ĝuste la elementoj de la monoida, la identecmorfismo de x estas la identeco de la monoida, kaj la kategoria kunmetaĵo de morfismoj ricevas per la monoida operacio.
Pluraj difinoj kaj teoremoj pri monoidoj povas esti ĝeneraligitaj por kategorioj.
#000016
Ĉiu grupo povas esti vidita kiel kategorio kun ununura objekto en kiu ĉiu morfismo estas invertebla (ĉar ĉiu morfismo f ekzistas morfismo g kiu estas kaj maldekstra kaj dekstra inversa al f sub kunmetaĵo) rigardante la grupon kiel reagante al si mem per maldekstra multipliko.
Morfismo kiu estas invertebla en tiu signifo estas nomita izomorfio.
#000017
Groupoida estas kategorio en kiu ĉiu morfismo estas izomorfio.
Grupoidoj estas ĝeneraligoj de grupoj, grupaj agoj kaj ekvivalentrilatoj.
#000018
generas malgrandan kategorion: la objektoj estas la verdglacioj de la grafeo, kaj la morfismoj estas la padoj en la grafeo (pliigita kun bukloj kiel bezonate) kie kunmetaĵo de morfismoj estas interligo de padoj.
Tia kategorio estas vokita la liberan kategorion generitan per la grafeo.
#000019
La klaso de ĉiuj preordigitaj aroj kun monotonaj funkcioj kiel morfismoj formas kategorion, Ord .
Ĝi estas konkreta kategorio, t.e. kategorio akirita alkonstruante iun specon de strukturo sur aro, kaj postulante ke morfismoj estas funkcioj tiu rilato tio alkonstruis strukturon.
#000020
La klaso de ĉiuj grupoj kun gruphomomorfismoj kiel morfismoj kaj funkcia komponaĵo kiel la kunmetaĵoperacio formas grandan kategorion, Grp .
Kiel Ord, Grp estas konkreta kategorio.
La kategoria Ab , konsistante el ĉiuj abelaj grupoj kaj iliaj gruphomomorfismoj, estas plena subkategorio de Grp, kaj la prototipo de abela kategorio.
Aliaj ekzemploj de konkretaj kategorioj ricevas per la sekva tablo.
#000021
La kategorio Cat konsistas el ĉiuj malgrandaj kategorioj, kun funktoroj inter ili kiel morfismoj.
#000023
Ĉiu kategorio C povas sin esti konsiderita novan kategorion laŭ malsama maniero: la objektoj estas la sama kiel tiuj en la origina kategorio sed la sagoj estas tiuj de la origina kategorio inversigita.
Tio estas nomita la duobla aŭ kontraŭ kategorio kaj estas indikita C operacio.
#000024
Se C kaj D estas kategorioj, oni povas formi la produktkategorion C × D: la objektoj estas paroj konsistantaj el unu objekto de C kaj unu de D, kaj la morfismoj ankaŭ estas paroj, konsistante el unu morfismo el C kaj unu el D.
Tiaj paroj povas esti kunmetitaj komponentmaniero.
#000025
La sekvaj tri deklaroj estas ekvivalentaj:
#000027
f estas monomorfismo kaj revoko;
f estas epimorfismo kaj sekcio;
#000028
Rilatoj inter morfismoj (kiel ekzemple fg = h) povas plej komforte esti reprezentitaj kun kommutativaj diagramoj, kie la objektoj estas reprezentitaj kiel punktoj kaj la morfismoj kiel sagoj.
#000029
Pli alta teorio de kategorioj
#000031