En lineara algebro, premmapado estas speco de lineara bildigo kiu konservas Eŭklidan areon de regionoj en la karteza aviadilo, sed ne estas rotacio aŭ tondmapado.
#000001
Por fiksa pozitiva reala nombro , la mapado
#000002
estas la premo mapado kun parametro .
#000003
hiperbolo estas, se u = hakilo kaj v = y / , tiam uv = ksy kaj la punktoj de la bildo de la premmapado estas sur la sama hiperbolo kiel ( x, y) estas.
Tial estas nature pensi pri la premmapado kiel hiperbola rotacio, kiel faris Émile Borel en 1914, [1] de analogeco kun cirklaj rotacioj kiuj konservas cirklojn.
#000004
1 Logaritmo kaj hiperbola angulo
#000005
Premmapado movas unu purpuran hiperbolan sektoron al alia kun la sama areo.
Ĝi ankaŭ premas bluajn kaj verdajn rektangulojn.
#000007
Se r kaj s estas pozitivaj realaj nombroj, la kunmetaĵo de iliaj premmapadoj estas la premmapado de ilia produkto.
Tial la kolekto de premmapadoj formas unu-parametran grupon izomorfa ĝis la multiplikan grupon de pozitivaj realaj nombroj.
Aldona vido de tiu grupo ekestiĝas de konsidero de hiperbolaj sektoroj kaj iliaj hiperbolaj anguloj.
#000008
De la perspektivo de la klasikaj grupoj, la grupo de premmapadoj estas TIEL + (1,1), la identeckomponento de la senfina ortogonala grupo de 2 × 2 realaj matricoj konservantaj la kvadratan formon u 2 − v 2 .
Tio estas ekvivalenta al konservado de la form ksy per la ŝanĝo de bazo
#000009
kaj egalrilatas geometrie al konservado de hyperbolae.
La perspektivo de la grupo de premmapadoj tiel hiperbola rotacio estas analogaj al interpretado de la grupo TIEL (2) (la Koneksa komponanto de la definitiva ortogonala grupo) konservante kvadratan formon x 2 + y 2 ) kiel esti cirklaj rotacioj.
#000010
Notu ke la So + " notacio egalrilatas al la fakto kiu la reflektadoj
#000011
ne estas permesitaj, kvankam ili konservas la formon (laŭ x kaj y tiuj estas x ↦ y, y ↦ x kaj x
la kroma" + " en la hiperbola kazo (kiel komparite kun la cirkla kazo) estas necesa precizigi la identeckomponenton ĉar la grupo O (1,1) havas 4
Koneksaj komponantoj, dum la grupo O (2) havas 2 komponentojn:
TIEL (1,1) havas 2 komponentojn, dum TIEL (2) nur havas 1-an La fakton ke la premtransformaĵoj konservas areon kaj orientiĝon egalrilatas al la inkludo de subgrupoj TIEL ⊂ Sl - en tiu kazo TIEL (1,1) ⊂ Sl (2) - de la subgrupo de hiperbolaj rotacioj en la speciala linia grupo de transformaĵoj konservantaj areon kaj orientiĝon ( volumenoformo).
En la lingvo de Möbius transformas, la premtransformoj estas la hiperbolaj elementoj en la klasifiko de elementoj.
#000012
En studado de lineara algebro ekzistas la sole abstraktaj aplikoj kiel ekzemple ilustraĵo de la eksterordinar-valora putriĝo aŭ en la grava rolo de la premmapado en la strukturo de 2 × 2 realaj matricoj.
Tiuj aplikoj estas iom banalaj komparite kun du fiziko kaj filozofia aplikiĝo.
#000013
En fluidodinamiko unu el la fundamentaj decidproponoj de nekunpremebla fluo implikas forkiĝon de fluo kuranta supren kontraŭ nemovebla muro.
Reprezentante la muron de la akso y = 0 kaj prenante la parametron r = eksp ( t) kie t estas tempo, tiam la premmapadon kun parametro r aplikita al komenca likvaĵoŝtato produktas fluon kun forkiĝo maldekstre kaj rajto de la akso x = 0-a La sama modelo donas al likvaĵo konverĝon kiam tempo estas prizorgita returniten.
Efektive, la areo de iu hiperbola sektoro estas senvaria sub premado.
#000014
Por alia aliro al fluo kun hiperbolaj flulinioj, vidas la artikolan potencialfluon, sekcio- "potencojuron kun n = 2".
#000015
kie K situas en la intervalo [−1, 1].
La flulinioj sekvas la kurbojn
#000017
tiel negativo K korespondas al elipso kaj pozitivo K al hiperbolo, kun la rektangula kazo de la premmapado egalrilatanta al K = 1.
#000018
Stokisto kaj Hosoi [4] priskribis ilian aliron al angulfluo jene:
#000019
ni proponas alternativan formuliĝon respondeci pri la angul-simila geometrio, surbaze de la uzo de hiperbolaj koordinatoj, kio permesas grandan analizan progreson direkte al persistemo de la fluo en Plateau-limo kaj fiksitaj likvaj fadenoj.
Ni pripensas regionon de fluo formanta angulon de π /2 kaj markitaj maldekstre kaj fundo proksime de simetriaviadiloj.
#000020
Stokisto kaj Hosoi tiam memoras Moffatt [5] konsideron de "fluo en angulo inter rigidaj limoj, induktitaj per arbitra tumulto ĉe granda distanco."
#000021
Por libera likvaĵo en kvadratangulo, la kontraŭsimetria) fluofunkcio de Moffatt ( ...
[indikas] ke hiperbolaj koordinatoj estas efektive la natura elekto por priskribi tiujn fluojn.
#000022
La esprimo premo transformo estis uzita en tiu kunteksto en artikolo liganta la Lorentz-grupon kun Jones-kalkulado en optiko.
#000024
La are-marinada posedaĵo de premmapado havas aplikon en metado de la fundamento da la transcendaj funkcioj natura logaritmo kaj ĝia inversa la eksponenta funkcio:
#000025
Sektoro (, b) estas la hiperbola sektoro akirita kun centraj radioj al (, 1/ ) kaj ( b, 1/ b).
#000026
Se bc = anonco, tiam ekzistas premmapado kiu movoj la sektoro (, b) al sektoro ( c, d).
#000027
Pruvo: Prenu parametron r = c / tiel ke ( u, v
#000028
Teoremo ( Gregoire de Saint-Vincent 1647)
Se bc = anonco, tiam la kvadraturo de la hiperbolksy = 1 kontraŭ la asimptoto havas egalajn areojn inter a kaj b komparite kun inter c kaj d.
#000029
, montras ke la hiperbola sektorareo estas egala al la areo laŭ la asimptoto.
La teoremo tiam sekvas el la lemo.
#000030
Ekzemple, norman pozicioperspektivon kiu kuras de (1, 1) supre ( x, 1/ x), oni povas peti "Kiam SIC la hiperbolan angulon egalan unu'on?"
La respondo estas la transcenda nombro x = e.
#000032
Premo kun r = kiun e movas al la unuoperspektivo al unu inter ( e, 1/ e) kaj ( e, 1/ e) kiu subtendas sektoron ankaŭ de areo unu.
#000033
egalrilatas al la asimptota indekso realigita kun ĉiu sumo de areoj
#000034
kiu prototipa aritmetika vico A estas Nd kie A = 0 kaj d = 1.
#000035