En matematiko, lineara bildigo (ankaŭ nomita linia mapado, lineartransformo aŭ, en kelkaj kuntekstoj, lineara funkcio) estas mapado V → W inter du moduloj (inkluzive de vektoraj spacoj) sub kiu konservas (en la signifo difinita) la operaciojn de aldono kaj skalara multipliko.
#000001
Grava speciala kazo estas kiam V = da W , en kiu kazo la mapo estas nomita linearoperatoro, [1] aŭ endomorfismo de V .
Foje la esprimo lineara funkcio havas la saman signifon kiel lineara bildigo, dum en analitika geometrio jes.
#000002
Lineara bildigo ĉiam mapas liniajn subspacojn sur liniaj subspacoj (eventuale de pli malalta dimensio);
ekzemple ĝi mapas aviadilon tra la origino al aviadilo, aerlinio aŭ punkto.
Linearaj bildigoj ofte povas esti reprezentitaj kiel matricoj, kaj simplaj ekzemploj inkludas rotacion kaj reflektadajn lineartransformojn.
#000003
En la lingvo de abstrakta algebro, lineara bildigo estas modulo homomorfism.
En la lingvo de teorio de kategorioj ĝi estas morfismo en la kategorio da moduloj super antaŭfiksita ringo.
#000004
0 Tradukita artikolo1 Difino kaj unuaj sekvoj
5 Formante novajn linearajn bildigojn de antaŭfiksitaj
7 Kerno, bildo kaj la rang-nevalideca teoremo
9 Algebraj klasifikoj de lineartransformoj
#000005
Lasu V kaj W esti vektoraj spacoj pli ol la sama kampo K.
V → W laŭdire estas lineara bildigo se por ĉiuj du vektoroj x kaj y en V kaj ajna skalarα en K, la sekvaj du kondiĉoj estas kontentigitaj:
#000006
Tio estas ekvivalenta al postulado de la sama por iu lineara kombinaĵo de vektoroj, t.e. tio por iuj vektoroj x 1
ksm ∈ V kaj Skalaroj 1
∈ K , la sekva egaleco tenas estas :
#000007
Indikante la nul elementojn de la vektoraj spacoj V kaj W je 0 V kaj 0 W respektive, ĝi sekvas tiun f ( 0 V
0 W ĉar lasante α = 0 en la ekvacio por homogeneco de grado 1,
#000008
Foje, V kaj W povas esti konsiderita kiel vektoraj spacoj super malsamaj kampoj.
Estas tiam necese precizigi kiuj pri tiuj grundaj kampoj estas uzitaj en la difino de "linia".
Se V kaj W estas konsiderita spacoj pli ol la kampo K suprajn, ni parolas pri K-linia mapoj.
Ekzemple, la konjugacio de kompleksaj nombroj estas R-linia mapo C → C , sed ĝi ne estas C-linia.
#000009
Lineara bildigo de V ĝis K (kun K rigardite kiel vektora spaco super si mem) estas vokita al linia funkcia.
#000010
Tiuj deklaroj ĝeneraligas al iu maldekstra-modulo R da M super ringo R sen modifo, kaj al iu dekstra-modulo sur malantaŭenigo de la skalara multipliko.
#000011
Se V kaj W estas finhav-dimensiaj vektoraj spacoj kaj bazo estas difinita por ĉiu vektora spaco, tiam ĉiu lineara bildigo de V ĝis W povas esti reprezentita per matrico.
Tio estas utila ĉar ĝi permesas konkretajn kalkulojn.
Matricoj donas ekzemplojn de linearaj bildigoj: se A estas reala m × n matrico, tiam f ( x
X priskribas linearan bildigon R da n → R da m (vidu eŭklidan spacon).
#000013
Tiam ĉiu vektoro v en V estas unike determinita per la koeficientoj c 1
c n en la kampo R:
#000014
V → W estas lineara bildigo,
#000015
kiu implicas ke la funkcio f estas totale kialigita de la vektoroj f ( v 1
Tiam ni povas reprezenti ĉiun vektoron f ( v j ) kiel
#000016
Tiel, la funkcio f estas totale kialigita de la valoroj de ij .
Se ni metis tiujn valorojn en m × n matricon M, tiam ni povas komforte uzi ĝin por komputi la vektorproduktadon de f por iu vektoro en V.
Por ricevi M, ĉiu kolono j de M estas vektoro
#000017
egalrilatante al f ( v j ) kiel difinite supre.
Por difini ĝin pli klare, por iu kolono j kiu egalrilatas al la mapa f ( v j ),
#000018
kie M estas la matrico de f.
La simbol∗ indikas ke ekzistas aliaj kolonoj kiuj kune kun kolono j konsistigas totalon de n kolonoj de M.
En aliaj vortoj, ĉiu kolono j = 1, ...
, n havas ekvivalentan vektoron f ( v j ) kies kunordigas 1j
mj estas la elementoj de kolono j.
Ununura lineara bildigo povas esti reprezentita per multaj matricoj.
Tio estas ĉar la valoroj de la elementoj de matrico dependas de la bazoj elektitaj.
#000019
La matricoj de lineartransformo povas esti reprezentitaj vide:
#000020
En dudimensia spaco R 2 linearaj bildigoj estas priskribitaj per 2 × 2 realaj matricoj.
#000021
Formiĝado nova linia mapas de antaŭfiksitaj
#000022
La kunmetaĵo de linearaj bildigoj estas linia: se f:
W kiun=→ Z estas linia, tiam tiel estas ilia kunmetaĵo g ∘ f:
Ĝi sekvas el tio ke la klaso de ĉiuj vektoraj spacoj pli ol antaŭfiksita kampo K, kune kun K-linia mapoj kiel morfismoj, formas kategorion.
#000023
La inversa de lineara bildigo, se difinite, estas denove lineara bildigo.
#000024
V → W estas linia, tiam tiel estas ilia punktmanier sumo da f 1 + f 2 (kiu estas difinita per ( f 1 + f 2) ( x
#000025
V → W estas linia kaj estas elemento de la grundkampo K, tiam la mapo af, difinita per ( af) ( x
( f ( x), estas ankaŭ linia.
#000026
Tiel la aro L ( V, W) de linearaj bildigoj de V ĝis W mem formas vektoran spacon pli ol K, foje indikis Hom ( V, W).
Krome, en la kazo tiu V = W , tiu vektora spaco (indikita Fino ( V) estas asocieca algebro sub kunmetaĵo de mapoj, ĉar la kunmetaĵo de du linearaj bildigoj denove estas lineara bildigo, kaj la kunmetaĵo de mapoj ĉiam estas asocieca.
Tiu kazo estas traktita en pli da detalo malsupre.
#000027
Donita denove la finhav-dimensia kazo, se bazoj estis elektitaj, tiam la kunmetaĵo de linearaj bildigoj egalrilatas al la matrica multipliko, la aldono de linearaj bildigoj egalrilatas al la matricaldono, kaj la multipliko de linearaj bildigoj kun Skalaroj korespondas al la multipliko de matricoj kun Skalaroj.
#000028
V → V estas endomorfismo de V;
la aro de tute tiaj endomorfismoj Fino ( V) kune kun aldono, kunmetaĵo kaj skalara multipliko super kiel difinite formas asociecan algebron kun neŭtra elemento pli ol la kampo K (kaj aparte ringo).
La multiplika neŭtra elemento de tiu algebro estas la identecmap identigaĵo:
#000029
Endomorfismo de V kiu ankaŭ estas izomorfio estas nomita aŭtomorfismo de V.
La kunmetaĵo de du aŭtomorfismoj denove estas aŭtomorfismo, kaj la aro de ĉiuj aŭtomorfismoj de V formas grupon, la aŭtomorfismogrupon de V kiu estas indikita fare de Aut ( V) aŭ Gl ( V).
Ĉar la aŭtomorfismoj estas ĝuste tiuj endomorfismoj kiuj posedas enversojn sub kunmetaĵo, Aut ( V) estas la grupo de unuoj en la ringo Fino ( V).
#000030
Se V havas finhavan dimension n, tiam Fino ( V) estas izomorfa ĝis la asocieca algebro de ĉiuj n × n matricoj kun kontribuoj en K.
La aŭtomorfismogrupo de V estas izomorfa al la ĝenerala lineara grupo Gl ( n, K) de ĉiuj n × n inverteblaj matricoj kun kontribuoj en K.
#000031
Kerno, bildo kaj la rang-nevalideca teoremo
#000032
V → W estas linia, ni difinas la kernon kaj la bildon aŭ intervalon de f de
#000033
ker ( f) estas subspaco de V kaj im ( f) estas subspaco de W.
La sekva dimensio formulo estas konata kiel la rang-nevalideca teoremo:
#000034
La nombro malklara (im ( f) ankaŭ estas nomita la rango de f kaj skribita kiel rango ( f), aŭ foje, ρ ( f);
la nombro malklara (ker ( f) estas nomita la nevalideco de f kaj skribita kiel nulo ( f) aŭ ν ( f).
Se V kaj W estas finhav-dimensiaj, bazoj estis elektitaj kaj f estas reprezentita per la matrico A, tiam la rango kaj nevalideco de f estas egala al la rango kaj nevalideco de la matrico A, respektive.
#000035
Tio estas la duobla nocio al la kerno: ekzakte ĉar la kerno estas subspaco de la domajno, la ko-kerno estas kvociento spaco de la target. Formale, oni havas la precizan sekvencon
#000036
Tiuj povas esti interpretitaj tiel: surbaze de lineara ekvacio f ( v
#000037
la kerno estas la spaco de solvoj al la homogena ekvacio f ( v) = 0, kaj ĝia dimensio estas la nombro da gradoj da libereco en solvaĵo, se ĝi ekzistas;
la ko-kerno estas la spaco de limoj kiuj devas esti kontentigitaj se la ekvacio estas havi solvon, kaj ĝia dimensio estas la nombro da limoj kiuj devas esti kontentigitaj ke la ekvacio por havus solvon.
#000038
La dimensio de la ko-kerno kaj la dimensio de la bildo (la rango) aldonas ĝis la dimensio de la celspaco.
Por finhava grandeco, tio decidas ke la dimensio de la kvocientospaco W / f ( V) estas la dimensio de la cela spacminuso la dimensio de la bildo.
#000039
Kiel simpla ekzemplo, pripensu la mapo f:
Tiam por ekvacio f ( x, y
, b) por havi solvon, ni havendaĵo = 0 (unu limo), kaj en tiu kazo la solvospaco estas ( x, b) aŭ ekvivalente deklarita, (0, b
x, 0), (unu grado da libereco).
#000040
Ekzemplo ilustranta la senfin-dimensian kazon estas havigita per la mapo f:
La reverssituacio akiras dum la mapo h:
Ĝia bildo estas la tuta celspaco, kaj tial ĝia ko-kerno havas dimension 0, sed ĉar ĝi mapas ĉiujn sekvencojn en kiuj nur la unua elemento estas ne-nula al la nul sekvenco, ĝia kerno havas dimension 1.
#000041
Por linearoperatoro kun finhav-dimensia kerno kaj ko-kerno, oni povas difini indekson kiel:
#000042
nome la gradoj da liberecminuso la nombro da limoj.
#000043
Por transformo inter finhav-dimensiaj vektoraj spacoj, tio estas ĵus la diferenco malklara ( V) − malklara ( W), de rango-nevalideco.
Tio donas indikon de kiom multaj solvoj aŭ sur kiom multajn limojn oni havas: se mapante de pli granda regiono ĝis pli malgranda, la mapo povas esti, kaj tiel havos gradojn da libereco eĉ sen limoj.
Inverse, se mapante de pli malgranda regiono ĝis pli granda, la mapo ne povas esti sur, kaj tiel oni havos limojn eĉ sen gradoj da libereco.
#000044
La indekso de funkciigisto estas ĝuste la Euler karakteriza por la 2-termina komplekso 0 → V → W → 0-a En operatora teorio, la indekso de Fredholm funkciigistoj estas studobjekto, kun grava rezulto estas la Atiyah-kantistindicteoremo.
#000045
T estas unu-al-unu kiel mapo de aroj.
T estas mona aŭ maldekstra-nuligebla, kio devas diri, por iu vektora spaco U kaj ajna paro de linearaj bildigoj R:
U → V, la ekvacio Tr = Ts implicas R = da S.
T estas maldekstra-invertebla, kio devas diri tie ekzistas lineara bildigo S:
W → V tia ke St estas la identecmapo sur V.
#000049
T estas sur kiel mapo de aroj.
T estas eposa aŭ dekstra-nuligebla, kio devas diri, por iu vektora spaco U kaj ajna paro de linearaj bildigoj R:
W → U, la ekvacio RT = St implicas R = da S.
T estas dekstra-invertebla, kio devas diri tie ekzistas lineara bildigo S:
W → V tia ke Ts estas la identecmapo sur W.
#000050
Se, por iu pozitiva entjero n, la n-th ripetas de T, Tn , estas idente nul, tiam T laŭdire estas nilpotent.
Se T da 2 = T, tiam T laŭdire estas idempotent
Se T = Ki, kie k estas iu skalaro, tiam T laŭdire estas skala transformo aŭ skalarmultiplika mapo;
#000051
Surbaze de lineara bildigo kiu endomorfismo kies matrico estas A, en la bazo B de la spaco estas ĝi transformas vektorkoordinatojn [u] kiel [v] = A [u].
Ĉar vektoroj ŝanĝiĝas kun la inversa de B (vektoroj estas kontraŭvariaĵo) ĝian inversan transformon estas [v] = B [xxx].
#000052
Anstataŭigante tion en la unua esprimo
#000053
Tial, la matrico en la nova bazo estas A′ = B −1 AB-, estante B la matrico de la antaŭfiksita bazo.
#000054
Lineartransformo inter topologia vektoro interspacigas, ekzemple normeita interspacigas, povas esti kontinua.
Se ĝia domajno kaj kodomajno estas la samaj, ĝi tiam estos Kontinua lineara operatoro.
Linearoperatoro sur normeita linia spaco estas kontinua se kaj nur se estas saltite, ekzemple, kiam la domajno estas finhav-dimensia.
Senfin-dimensia domajno povas havi malkontinuajn linearoperatorojn.
#000056
Ekzemplo de nelimigita, tial malkontinua, lineartransformo estas diferencigo sur la spaco de glataj funkcioj provizitaj per la Precizosupraranda normo (funkcio kun malgrandaj valoroj povas havi derivaĵon kun grandaj valoroj, dum la derivaĵo de 0 estas 0).
Por specifa ekzemplo, peko ( nks)/ n konverĝas al 0, sed ĝia derivita cos ( nks) ne faras, tiel ke diferencigo ne estas kontinua ĉe 0 (kaj per vario de tiu argumento, ĝi ne estas kontinua ie).
#000057
Specifa apliko de linearaj bildigoj estas por geometriaj transformoj, kiel ekzemple tiuj faritaj en komputila grafiko, kie la traduko, rotacio kaj malpliigo de 2D aŭ 3D objektoj estas prezentitaj per la uzo de transformmatrico.
Liniaj mapadoj ankaŭ estas utiligitaj kiel mekanismo por priskribado de ŝanĝo: ekzemple en kalkulado egalrilati al derivaĵoj;
aŭ en relativeco, utiligita kiel aparato por konservi trakon de la lokaj transformoj de referencaj kadroj.
#000058
Alia apliko de tiuj transformoj estas en Kompililoptimumigoj de nestitbukla kodo, kaj en paraleligado de kompililteknikoj.
#000059
^ Linear transformations of V into V are often called linear operators on V Rudin 1976 , p. 207
^ Rudin 1991, p. 14 nun Supozas ke X kaj Y estas vektoraj spacoj super la sama skalara kampo.
^ Rudin 1991, p. 14 Liniaj mapadoj da X sur ĝia skalara kampo estas nomitaj liniaj funktional.
3 Vector spaces associated with a matrix or lineartransformo, p. 6
^ Nistor, Victor (2001), "Index theory", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4: "La ĉefdemando en indicteorio estas disponigi indicformulojn por klasoj de Fredholm-funkciigistoj ...
Indekso kiun teorio fariĝis subjekto sur sia propra nur post M. F. Atiyah kaj I. Singer publikigis iliajn indicteoremojn"
#000060
kunvarianco kaj kontraŭvarianco de vektoroj
#000062
En matematiko, lineara bildigo aŭ lineara transformo estas funkcio inter du vektoraj spacoj, kiu konservas operaciojn de vektora adicio kaj skalara multipliko. Alivorte, ĝi konservas linearajn kombinaĵojn.
#000063
En la lingvo de abstrakta algebro, lineara bildigo estas homomorfio de vektoraj spacoj.
#000064
Se V kaj W estas vektoraj spacoj super la sama korpo K, f : V → W estas lineara bildigo, se por ĉiuj du vektoroj x kaj y el V kaj ĉiu skalaro a el K validas la sekvaj du kondiĉoj:
#000065
Tiuj ĉi kondiĉoj estas ekvivalentaj al tio, ke por ĉiuj vektoroj x1, ..., xm kaj skalaroj a1, ..., am validas:
#000066
Broŝuro "Fundamentoj de lineara algebro" (pdf-dosiero, 27 p.)
#000067