En matematiko, ago de grupo estas maniero interpreti la elementojn de la grupo kiel "reagante" al iu spaco en maniero kiel kiu konservas la strukturon de tiu spaco.
Oftaj ekzemploj de spacoj kiu grupigas agon estas aroj, vektoraj spacoj, kaj topologiaj spacoj.
Agoj de grupoj sur vektoraj spacoj estas nomitaj reprezentadoj de la grupo.
#000001
Kelkaj grupoj povas esti interpretitaj kiel reagante al spacoj laŭ kanonika [ klarigo bezonata ] maniero.
Ekzemple, la simetria grupo de finhava aro konsistas el ĉiuj bijektive transformoj de tiu aro;
tiel, surŝmiri ajnan elementon de la permutadogrupo al elemento de la aro produktos alian elementon de la aro.
Pli ĝenerale, geometriaj simetria grupoj kiel ekzemple la homeomorfiogrupo de topologia spaco aŭ la ĝenerala lineara grupo de vektora spaco, same kiel iliaj subgrupoj, ankaŭ koncedas kanonikajn agojn.
Por aliaj grupoj, interpreto de la grupo laŭ ago devos eble esti precizigita, aŭ ĉar la grupo ne reagas kanone al iu spaco aŭ ĉar la kanonika ago ne estas la ago de intereso.
Tiu ago ne estas kanonika.
#000002
La ago asignas permutaĵon de X al ĉiu elemento de la grupo en tia maniero tio:
#000003
la neŭtra elemento de G ricevas la identectransformon de X;
ĉiu produktogk de du elementoj de G ricevas la kunmetaĵon de la permutaĵoj asignitaj al g kaj k.
#000004
La abstraktado disponigita per grupaj agoj estas potenca, ĉar ĝi permesas al geometriaj ideoj esti aplikitaj al pli abstraktaj objektoj.
Multaj objektoj en matematiko havas naturajn grupajn agojn difinitaj sur ili.
Aparte, grupoj povas reagi al aliaj grupoj, aŭ eĉ al ili mem.
Pro tiu ĝeneraleco, la teorio de grupaj agoj enhavas larĝ-atingantajn teoremojn, kiel ekzemple la orbitstabiligilteoremo, kiu povas esti utiligita por pruvi profundajn rezultojn en pluraj kampoj.
#000005
Orbit-stabiligila teoremo kaj la lemo de Burnside
#000007
Forte kontinua grupa ago kaj glataj punktoj
#000008
Se G estas grupo kaj X estas aro, tiam ( forlasita) grupa ago φ de G sur X estas funkcio
#000009
tio kontentigas la sekvajn du aksiomojn (kie ni indikas φ ( g, x) kiel g.
#000010
(Ĉi tie, e indikas la neŭtran elementon de la grupo G.
x) por ĉiu g, h en G kaj ĉio x en X.
(Ĉi tie, gh indikas la rezulton de aplikado de la grupoperacio de G al la elementoj g kaj h.
#000011
(Ĉi tie, e indikas la neŭtran elementon de la grupo G.
#000012
x) por ĉiu g, h en G kaj ĉio x en X.
(Ĉi tie, gh indikas la rezulton de aplikado de la grupoperacio de G al la elementoj g kaj h.
#000013
El tiuj du aksiomoj, ĝi sekvas tion por ĉiu g en G, la funkcio kiu mapas x en X al g.
x estas bijektivemapo de X ĝis Xa (ĝia inversa estante la funkcio kiu mapas x al g −1.
Tial, oni povas alternative difini grupan agon de G sur X kiel grupon homomorfism de G en la simetrian grupon Sym ( X) de ĉiuj ensurĵetoj de X ĝis Xa.
#000015
En kompleta analogeco, oni povas difini dekstran grupan agon de G sur X kiel operacion Xa × G → Xan mapadon ( x, g) al x.
g kaj kontentigante la du aksiomojn:
#000016
h por ĉiu g, h en G kaj ĉio x en X;
#000017
La diferenco inter maldekstraj kaj dekstraj agoj estas en la sinsekvo en kiu produkto kiel gh reagas al x.
Por maldekstraj batalh leĝoj unue kaj estas sekvita je g, dum por dekstraj batalg leĝoj unue kaj estas sekvita je h.
Pro la formulo ( gh) −1 = h −1 g −1 , oni povas konstrui maldekstran agon el dekstra ago per kunmetado kun la inversa operacio de la grupo.
Ankaŭ, dekstra ago de grupo G sur X estas la sama aĵo kiel maldekstra ago de ĝia kontraŭa grupo G operacio sur X.
Estas tiel sufiĉe nur pripensi maldekstrajn agojn sen iu perdo de ĝeneraleco.
#000018
La ago de la modula grupo sur la Poincaré-duon-aviadilo ankaŭ vagas.
La vagantaj agoj donitaj supre ankaŭ estas konvene malkontinuaj.
Se G estas diskreta tiam bonordeco estas ekvivalenta al bonorda malkontinueco por G-ago.
#000022
Se X estas ne-nula modulo super ringo R kaj la ago de G estas R-linia tiam ĝi laŭdire estas
#000023
Nereduktebla se ekzistas neniu nonzera bonorda senvaria submodulo.
#000024
Pripensu grupon G reaganta al aktoraro X.
La okulkavo de elemento x en X estas la aro de elementoj en X al kiu x povas esti proponita per la elementoj de G.
La okulkavo de x estas indikita per G.
#000025
La difinaj trajtoj de grupo garantias ke la aro de orbitoj de (punktoj x en) X sub la ago de G formas sekcion de X.
La rilata ekvivalentrilato estas difinita dirante x ∼ y se kaj nur se tie ekzistas g en G kun g.
La orbitoj tiam estas la ekvivalentklasoj sub tiu rilato;
du elementoj x kaj y estas ekvivalentaj se kaj nur se iliaj orbitoj estas la samaj;
#000026
La grupa ago estas transitiva se kaj nur se ĝi havas nur unu orbiton, t.e. se tie ekzistas x en X kun G.
Tio estas la kazo se kaj nur se G.
#000027
La aro de ĉiuj orbitoj de X sub la ago de G estas skribita kiel X / G (aŭ, malpli ofte:
G '\' "\" Xa), kaj estas nomita la kvociento de la ago.
En geometriaj situacioj ĝi povas esti nomita la orbitspaco , dum en algebraj situacioj ĝi povas esti nomita la spaco de monervariaĵoj , kaj skriba XG , kompare kun la Invariantoj (fikspunktoj), indikis XG : la monervariaĵoj estas kvociento dum la Invariantoj estas subset. La monervariaĵterminologio kaj notacio estas utiligita precipe en grupkohomologio kaj gruphomologio, kiuj uzas la saman supermanuskripton/indeksookongreson.
#000028
Ni nomas la subaron Y Invarianto sub G se G.
Y = Y (kiu estas ekvivalenta al G.
En tiu kazo, G ankaŭ funkciigas sur Y limigante la agon al Y.
La subaro Y estas nomita fiksa sub G se g.
Ĉiu subaro kiu estas fiksa sub G ankaŭ estas senvaria sub G, sed ne inverse.
#000029
Ĉiu orbito estas senvaria subaro de X en kiu G leĝoj transitive.
La ago de G sur X estas transitiva se kaj nur se ĉiuj elementoj estas ekvivalentaj, signifante ke ekzistas nur unu orbito.
#000030
G-senvaria elemento de X estas x ∈ X tia ke g.
La aro de tute tia x estas indikita XG kaj nomita la G-invariants de X.
Kiam X estas G-modulo , XG estas la zerotgrupa kohomologio grupo de G kun koeficientoj en X, kaj la pli altaj kohomologiogrupoj estas la derivitaj funktoroj de la funktoro de G-senvaria.
#000031
Surbaze de g en G kaj x en X kun g.
x = x , ni diras ke x estas fikspunkto de g kaj ke g fiksas x.
#000032
Por ĉiu x en X, ni difinas la stabiligilsubgrupon de G kun respekto al x (ankaŭ nomita la izotropecgrupo aŭ malmulte da grupo [8] ) kiel la aro de ĉiuj elementoj en G kiuj fiksas x:
#000033
Tio estas subgrupo de G, kvankam tipe ne normalunu.
La ago de G sur X estas libera se kaj nur se ĉiuj stabiligiloj estas sensignifaj.
La kerno N de la homomorfism kun la simetria grupo, G → Sym ( X), ricevas per la intersekciĝo de la stabiligiloj Ĝ por ĉio x en X.
Se N estas sensignifa, la ago laŭdire estas fidela (aŭ efika).
#000034
Lasu x kaj y esti du elementoj en X, kaj lasu g esti grupelemento tia ke y = g.
Tiam la du stabiligilo grupigas Ĝ kaj Gy estas ligita fare de Gy = al g Ĝ g −1 .
Pruvo: de difino, h ∈ Gy se kaj nur se h.
Uzanta g −1 al ambaŭ flankoj de tiu egaleco donas ( g −1 hg).
tio estas, g −1 hg ∈ Ĝ .
#000035
La supre diras ke la stabiligiloj el elementoj en la sama orbito estas konjugato al unu la alian.
Tiel, al ĉiu orbito, oni povas asocii konjugacyoklason de subgrupo de G (t.e., la aro de ĉiuj konjugatoj de la subgrupo).
Maksimuma orbitspeco ofte estas nomita ĉeforbitspeco.
#000036
Orbitoj kaj stabiligiloj estas proksime rilatitaj.
Por fiksa x en X, pripensu la mapon de G ĝis X evoluita je g ↦ g.
La bildo de tiu mapo estas la orbito de x kaj la kobildo estas la aro de ĉiuj maldekstraj kun-grupoj de Ĝ .
La normkvocientteoremo de aroteorio tiam donas naturan ensurĵeton inter G / Ĝ kaj G.
Specife, la ensurĵeto estas evoluita je hGks ↦ h.
Tiu rezulto estas konata kiel la orbit-stabiligila teoremo.
De pli kategoria perspektivo, la orbit-stabiligila teoremo venas de la fakto ke ĉiu G-aro estas sumo de kvocientoj de la G-aro G.
#000037
Se G estas finhava tiam la orbit-stabiligila teoremo, kune kun la teoremo de Lagrange, donas
#000038
Tiu rezulto estas aparte utila ĉar ĝi povas esti utiligita por nombrado de argumentoj (tipe en situacioj kie X estas finhava ankaŭ).
#000039
Rezulto proksime rilatita al la orbit-stabiligila teoremo estas la lemo de Burnside:
#000041
kie Xg estas la aro de punktoj fiksitaj je g.
Tiu rezulto estas plejparte de uzo kiam G kaj X estas finhavaj, kiam ĝi povas esti interpretita jene: la nombro da orbitoj estas egala al la meza nombro da punktoj fiksitaj per grupelemento.
#000042
Fiksante grupon G, la aro de formalaj diferencoj de finhavaj G-aro formas ringon vokis la Burnside-ringon de G, kie aldono korespondas por disan union, kaj multiplikon al karteza produkto.
#000043
Plue la stabiligiloj de la ago estas la verticgrupoj, kaj la orbitoj de la ago estas la komponentoj, de la ago groupoidaj.
Por pli da detaloj, vidu la libro Topology and groupoids referenceita malsupre.
#000044
\displaistile \skriptstile p: '\' "\";
Tio permesas rilaton inter tiaj morfismoj kaj kovrantaj mapoj en topologio.
#000045
Morfismoj kaj izomorfioj inter G-aro
#000046
Se X kaj Y estas du G-aro, ni difinas morfismon de X ĝis Y por esti funkcio f:
f ( x) por ĉiu g en G kaj ĉio x en X.
Morfismoj de G-aro ankaŭ estas nomitaj ekvivariaĵmapoj aŭ G-mapo.
#000047
La kunmetaĵo de du morfismoj denove estas morfismo.
#000048
Se morfismo f estas bijektive, tiam ĝia inversa ankaŭ estas morfismo, kaj ni nomas f kaj la du G-aro X izomorfio kaj Y estas nomita izomorfa;
por ĉiuj praktikaj celoj, ili estas neapartigeblaj en tiu kazo.
#000049
Ĉiu kutima kliento kiun G ago estas izomorfa al la ago de G sur G donita per maldekstra multipliko.
Ĉiu libera G ago estas izomorfa al G × S , kie S estas iu aro kaj G reagas al G × S per maldekstra multipliko al la unua koordinato.
( S povas esti manĝita por esti la aro de okulkavoj Xa / G.
Ĉiu transitiva G ago estas izomorfa ĝis maldekstra multipliko de G sur la aktoraro de maldekstraj kun-grupoj de iu subgrupo H da G.
( H povas esti manĝita por esti la stabiligilgrupo de iu elemento de la origina G-aro.
#000050
Kun tiu nocio de morfismo, la kolekto de ĉiuj G-aro formas kategorion;
tiu kategorio estas Grothendieck-topos (fakte, supozante klasikan metalogikon, tiu topos eĉ estos Bulea).
#000051
Oni ofte pripensas kontinuajn grupajn agojn: la grupo G estas topologia grupo, X estas topologia spaco, kaj la mapo G × Xa → X estas kontinuaj kun respekto al la produktotopologio de G × Xa .
La spaco X ankaŭ estas nomita G-spaco en tiu kazo.
Tio estas efektive ĝeneraligo, ĉar ĉiu grupo povas esti konsiderita topologia grupo uzante la diskretan topologion.
Ĉiuj konceptoj lanĉitaj supre daŭre laboro en tiu kunteksto, aliflanke ni difinas morfismojn inter G-spaco por esti kontinuaj mapoj kongrua kun la ago de G.
La kvociento Xa / G heredas la kvocienttopologion de X, kaj estas nomita la kvocientospaco de la ago.
Ĉi-supraj deklaroj pri izomorfioj por regulaj, liberaj kaj transitivaj agoj jam ne estas validaj por kontinuaj grupaj agoj.
#000052
Se X estas regula kovrospaco de alia topologia spaco Y, tiam la ago de la ferdeka transformgrupo sur X estas konvene malkontinua same kiel estanta libera.
Ĉiu libera, konvene malkontinua ago de grupo G sur pad-ligitan topologian spacon X ekestas tiumaniere: kiun la kvocientmapo X kiun=↦ X / G estas regula kovromapo, kaj la ferdeka transformgrupo estas la antaŭfiksita ago de G sur X.
Krome, se X estas simple ligita, la fundamenta grupo de X / G estos izomorfa al G.
#000053
Tiuj rezultoj estis ĝeneraligitaj en la libro Topology and Groupoids referenceita malsupre por akiri la bazaĵon groupoidan de la orbitspaco de malkontinua ago de diskreta grupo sur Hausdorff-spaco, kiel, sub akcepteblaj lokaj kondiĉoj, la orbito groupoidaj de la bazaĵo groupoida de la spaco.
Tio permesas kalkulojn kiel ekzemple la fundamenta grupo de la simetria kvadrato de spaceto Xa, nome la orbitospaco de la produkto de X kun si mem sub la tordaĵago de la cikla grupo de ordo 2 sendadon ( x, y) al ( y, x).
#000054
Ago de grupo G sur loke kompakta spaco X estas kokompaktujo se tie ekzistas kompakta subaro A da X tia ke GA = X .
Por konvene malkontinua ago, kokompakteco estas ekvivalenta al kompakteco de la kvocientospaco X/G.
#000055
La ago de G sur X laŭdire estas bonorda se la mapado G × Xa → Xa × X kiu sendas ( g, x
g.ks, x) estas bonorda mapo.
#000056
Grupa ago de topologia grupo G sur topologia spaco X laŭdire estas forte kontinua se por ĉio x en X, la mapo g ↦ g.
x estas kontinua kun respekto al la respektivaj topologioj.
Tia ago stimulas agon sur la spaco de kontinuaj funkcioj sur X per difinado ( g.
x) por ĉiu g en G, f kontinua funkcio sur X, kaj x en X.
Notu ke, dum ĉiu kontinua grupa ago estas forte kontinua, la konversacio ne estas en ĝenerala vera.
#000057
La subspaco de glataj punktoj por la ago estas la subspaco de X de poentoj x tia ke g ↦ g.
t.e., ĝi estas kontinua kaj ĉiuj derivaĵoj [ kie?
#000058
Oni ankaŭ povas pripensi agojn de monoidoj sur aktoraroj, per utiliganta la samajn du aksiomojn kiel suprajn.
Tio ne difinas bijektivemapojn kaj ekvivalentrilatojn tamen.
#000059
Anstataŭe de agoj sur aktoraroj, oni povas difini agojn de grupoj kaj monoidoj sur celoj de arbitra kategorio: komencu kun objekto X de iu kategorio, kaj tiam difini agon sur X kiel monoida homomorfism en la monoida de endomorfisms de X.
Se X havas subestan aron, tiam ĉiujn difinojn kaj faktoj deklaritaj supre povas esti portitaj.
Ekzemple, se ni prenas la kategorion da vektoraj spacoj, ni akiras grupajn prezentojn en tiu modo.
#000060
Oni povas rigardi grupon G kiel kategorion kun ununura objekto en kiu ĉiu morfismo estas invertebla.
A (maldekstre) grupa ago estas tiam nenio sed (kovariaĵo-) funktoro de G ĝis la kategorio da aroj, kaj grupa prezento estas funktoro de G ĝis la kategorio da vektoraj spacoj.
Morfismo inter G-aro tiam estas natura transformo inter la grupagaj funktoroj.
En analogeco, ago de groupoida estas funktoro de la groupoida ĝis la kategorio da aroj aŭ ĝis iu alia kategorio.
#000061
Aldone al kontinuaj agoj de topologiaj grupoj sur topologiaj spacoj, oni ankaŭ ofte pripensas glatajn agojn de Lie-grupoj sur difencigeblaj plurejoj, regulajn agojn de algebraj grupoj en algebraj variecoj, kaj agojn de grupkabaloj en kabaloj.
Ĉio el tiuj estas ekzemploj de grupobjektoj reagantaj al celoj de ilia respektiva kategorio.
#000062
Ĉi tiu artikolo estas pri matematika koncepto. Pro la sociologia termino vidu artikolon grupa ago (sociologio).
#000066
En matematiko, simetria grupo priskribas ĉiujn simetriojn de objektoj. Ĉi tio estas formaligita per nocio de grupa ago: ĉiu ero de la grupo "agas" tiel ke ĝi surĵetas laŭ "simetrio" erojn de iu aro. En ĉi tiu okazo, la grupo estas ankaŭ nomata kiel permuta grupo (aparte se la aro estas finia aŭ ne estas vektora spaco) aŭ transforma grupo (aparte se la aro estas vektora spaco kaj la grupo agas kiel linearaj transformoj de la aro). Permuta prezento de grupo G estas prezento de G kiel grupo de permutoj de la aro (kutime se la aro estas finia), kaj povas esti priskribita kiel grupa prezento de G per permutaj matricoj, kaj estas kutime konsiderita en la finidimensia okazo - ĝi estas la sama kiel grupa ago de G sur ordita bazo de vektora spaco.
#000067
Se estas grupo kaj estas aro, tiam grupa ago de sur estas duuma funkcio (kie la surĵeto de kaj estas skribita kiel ) kiu kontentigas jenajn du aksiomojn:
#000068
por ĉiu ( estas identa ero de )
#000069
De ĉi tiuj du aksiomoj sekvas ke por ĉiu kiu estas funkcio kiu surĵetas al estas reciproke unuvalora surĵeto de al . Pro tio oni povas alternative kaj ekvivalente difini grupan agon de sur kiel grupa homomorfio , kie estas grupo de ĉiuj reciproke unuvaloraj surĵetoj de al .
#000070
Se grupa ago estas donita, oni ankaŭ diras ke G agas sur aro X aŭ X estas G-aro.
#000071