En geometrio, inversiva geometrio estas la studo de tiuj trajtoj de figuroj kiuj estas konservitaj per ĝeneraligo de speco de transformo de la Eŭklida aviadilo, nomita inversio .
Tiuj transformoj konservas angulojn kaj mapon ĝeneraligitajn cirklojn en ĝeneraligitajn cirklojn, kie ĝeneraligita cirklo volas diri aŭ cirklon aŭ linion (loze parolante, cirklo kun senfina radiuso).
Multaj malfacilaj problemoj en geometrio iĝas multe pli akordiĝemaj kiam inversio estas uzita.
#000001
La koncepto de inversio povas esti ĝeneraligita al higher-dimensiaj spacoj.
#000002
1 Kompaso kaj liniilkonstruo (punktekstere cirklo)
2 Kompaso kaj liniilkonstruo (punkto ene de cirklo)
#000004
Ekzemplo hiperboloida de unu tuko
Rektlinia sfera projekcio kiel la inversio de sfero
#000005
Inversigi nombron en aritmetiko kutime intencas "preni ĝian reciprokan".
Proksime rilatita ideo en geometrio estas tiu de "inversigado" punkto.
En la ebeno, la inversa de punkto P kun respekto al referenccirklo (Ø) kun centro O kaj radiuso r estas punkto P ', kuŝante sur la radio de O tra P tia ke
#000006
Tio estas nomita cirklinversio aŭ ebeninversio.
La inversio prenanta ajnan punkton P (krom O) al it bildo P ' ankaŭ manĝas P ' reen al P, do la rezulto de uzado de la sama inversio dufoje estas la identectransformo en ĉiuj punktoj de la ebeno krom O.
Por igi inversion involucio ĝi estas necesa enkonduki punkton ĉe senfineco, ununura punkto metita sur ĉiujn liniojn, kaj etendi la inversion, de difino, por interŝanĝi la centron O kaj tiun punkton ĉe senfineco.
#000007
Ĝi sekvas el la difino kiu la inversio de iu punkto ene de la referenccirklo devas kuŝi ekster ĝi, kaj inverse, kun la centro kaj la punkto ĉe senfineco ŝanĝanta poziciojn, dum ĉiu punkto sur la cirklo estas netuŝita (estas senvaria sub inversio).
En resumo, la pli proksima punkto al la centro, la pli malproksima for ĝia transformo, kaj inverse.
#000008
Kompaso- kaj liniilkonstruo (punktekstere cirklo)
#000009
Kompaso- kaj liniilkonstruo (punkto ene de cirklo)
#000012
La inversa, kun respekto al la ruĝa cirklo, de cirklo ekzamenanta O (bluan) estas linio ne ekzamenante O (verdan), kaj inverse.
La inversa, kun respekto al la ruĝa cirklo, de cirklo ne ekzamenanta O (bluan) estas cirklo ne ekzamenante O (verdan), kaj inverse.
Inversio kun respekto al cirklo ne mapas la centron de la cirklo al la centro de ĝia bildo
#000015
La inversa, kun respekto al la ruĝa cirklo, de cirklo ekzamenanta O (bluan) estas linio ne ekzamenante O (verdan), kaj inverse.
#000016
Inversio kun respekto al cirklo ne mapas la centron de la cirklo al la centro de ĝia bildo
#000017
La inversio de aro de punktoj en la aviadilo kun respekto al cirklo estas la aro de enversoj de tiuj punktoj.
La sekvaj trajtoj igas cirklinversion utila.
#000018
Cirklo kiun enirpermesiloj tra la centro O de la referenccirklo inversigas al linio ne pasante tra O, sed paralela al la klavo al la origina cirklo ĉe O, kaj inverse;
dum linio pasanta tra O estas inversa en si mem (sed ne Punktmanierinvarianton).
Cirklo ne pasanta tra O inversigas al cirklo ne pasante tra O.
Se la cirklo renkontas la referenccirklon, tiuj senvariaj punktoj de intersekciĝo estas ankaŭ sur la inversa cirklo.
Cirklo (aŭ linio) estas senŝanĝa per inversio se kaj nur se ĝi estas ortogonala al la referenccirklo ĉe la punktoj de intersekciĝo.
#000019
Se cirklo q pasas tra du apartaj poentoj A kaj A kiuj estas enversoj kun respekto al cirklo k, tiam la cirkloj k kaj q estas ortogonalaj.
Se la cirkloj k kaj q estas ortogonalaj, tiam aerlinio pasanta tra la centro O de k kaj intersekcanta q, faras tion ĉe inversaj punktoj kun respekto al k.
Surbaze de triangulo OAB en kiu O estas la centro de cirklo k, kaj indikas la inverses de A kaj B de A kaj B kun respekto al k, tiam
#000020
La punktoj de intersekciĝo de du cirkloj p kaj q ortogonalaj al cirklo k, estas enversoj kun respekto al k.
Se M kaj M estas inversaj punktoj kun respekto al cirklo k sur du kurboj m kaj la enversoj de m, ankaŭ kun respekto al k, tiam la klavoj al m kaj M estas ĉe la punktoj M kaj M estas aŭ perpendikulara al la rekta vicas MM aŭ formon kun tiu linio samdueĝa triangulo kun baz-MM.
Inversio lasas la iniciaton de anguloj senŝanĝa, sed inversigas la orientiĝon de orientitaj anguloj.
#000021
Notu ke la centro de cirklo (ne tra la centro de inversio) estanta inversigita kaj la centro de it bildo sub inversio estas samlinia kun la centro de la referenccirklo.
Tiu fakto povas esti utiligita por pruvi ke la Euler-linio de la en tuŝtriangulo de triangulo koincidas kun sia OI-linio.
La pruvo malglate iras kiel malsupren:
#000022
Samseksemulo kun respekto al la encirklo de triangula ABC.
La mediala triangulo de la en tuŝtriangulo estas inversa en triangulan ABC, kun la signifo la cirkumcenter de la mediala triangulo, t.e., la naŭ-punkta centro de la en tuŝtriangulo, la encentro kaj cirkumcenter de triangula ABC estas samlinia.
#000023
Ĉiuj du ne-intersekcantaj cirkloj povas esti inversaj en samcentrajn cirklojn.
Tiam la inversiva distanco (kutime indikita δ) estas difinita kiel la natura logaritmo de la rilatumo de la radiusoj de la du samcentraj cirkloj.
#000024
Krome, ĉiuj du ne-intersekcantaj cirkloj povas esti inversaj en kongruajn cirklojn, uzante cirklon de inversio centrita ĉe punkto sur la cirklo de kontraŭegaleco.
#000025
La Peaucellier-Lipkin-ligo estas mekanika efektivigo de inversio en cirklo.
Ĝi disponigas precizan solvon al la grava problemo de transformado inter linia kaj cirkla movo.
#000026
Se punkto R estas la inversa de punkto P tiam la linioj perpendikularaj al la linio PR tra unu el la poentoj estas la polusa de la alia punkto (la polo).
#000027
Poloj kaj polar'oj havas plurajn utilajn trajtojn:
#000028
Se punkto P situas sur linio l, tiam la polo L de la linio l kuŝas sur la polusa p de punkto P.
Se punkto P moviĝas laŭ linio l, ĝia polusa p rotacias koncerne la polon L de la linio l.
Se du klavlinioj povas esti kreitaj de poluso ĝis la cirklo, tiam ĝia polusa pasas tra ambaŭ klavpunktoj.
Se punkto situas sur la cirklo, ĝia polusa estas la klavo tra tiu punkto.
Se punkto P situas sur sia propra polusa linio, tiam P estas sur la cirklo.
Ĉiu linio havas, ekzakte unu polo.
#000029
Cirklinversio estas ĝeneraligebla sfere inversion en tri dimensioj.
Kiam kun la 2D versio, sfero inversigas al sfero, krom ke se sfero pasas tra la centro O de la referencosfero, tiam ĝi inversigas al ebeno.
Ĉiu ebeno ne pasanta tra O, inversigas al sfertuŝado ĉe O.
Cirklo, t.e., la intersekciĝo de sfero per sekantebeno, inversigas en cirklon, krom ke se la cirklo pasas tra O ĝi inversigas en linion.
Tio reduktas al la 2D kazo kiam la sekantebeno pasas tra O, sed estas vera 3D fenomeno se la sekantebeno ne pasas tra O.
#000030
La plej simpla surfaco (krom aviadilo) estas la sfero.
La unua bildo montras ne-sensignifan inversion (la centro de la sfero ne estas la centro de inversio) de sfero kune kun du ortogonalajn intersekcante krajonojn de cirkloj.
#000031
La inversio de cilindro, konuso kaj Torresp.
#000032
Sferoido estas surfaco de revolucio kaj enhavas krajonon de cirkloj kiu estas mapita sur krajono de cirkloj (vidu bildon).
La inversa bildo de sferoido, kiu estas neniu sfero, estas al neniu sheroida plu.
Ĝi estas surfaco de grado 4.
#000033
Ekzemplo hiperboloida de unu tuko
#000034
Hiperboloida de unu tuko, kiu estas surfaco de revolucio enhavas krajonon de cirkloj kiu estas mapita sur krajono de cirkloj.
Hiperboloida de unu tuko enhavas kromajn du krajonojn de linioj, kiuj estas mapitaj sur krajonoj de cirkloj.
La bildekspozicioj unu tia linio (blua) kaj ĝia inversio.
#000035
Rektlinia sfera projekcio kiel la inversio de sfero
#000036
Tiu mapado povas esti farita per inversio de la sfero sur sia klavaviadilo.
Ili estas la projekciolinioj de la rektlinia sfera projekcio.
#000037
La 6-sferaj koordinatoj estas koordinatsistemo por tri-dimensia spaco akirita inversigante la kartezajn koordinatojn.
#000038
Unu el la unua pripensi fundamentojn de inversiva geometrio estis Mario Pieri en 1911 kaj 1912.
Edward Kasner skribis sian disertaĵon sur "Invarianta teorio de la inversio-grupo".
#000039
Pli lastatempe la matematika strukturo de inversiva geometrio estis interpretita kiel incidencostrukturo kie la ĝeneraligitaj cirkloj estas nomitaj "blokoj": En incidencgeometrio, ĉiu afina aviadilo kune kun ununura punkto ĉe senfineco formas Möbius-aviadilon, ankaŭ scianta kiel inversiva aviadilo.
La punkto ĉe senfineco estas aldonita al ĉiuj linioj.
Tiuj Möbius-aviadiloj povas esti priskribitaj aksiome kaj ekzisti en kaj finhavaj kaj senfinaj versioj.
#000040
Modelo por la Möbius-aviadilo kiu venas de la Eŭklida aviadilo estas la Riemann-sfero.
#000041
Laŭ Coxeter, [8] la transformo per inversio en cirklo estis inventita fare de L. I. Magnus en 1831.
Ekde tiam tiu mapado fariĝis avenuo al pli alta matematiko.
Tra kelkaj ŝtupoj de apliko de la cirkla inversiomapo, studento de transformgeometrio baldaŭ aprezas la signifon de tiu de Felix Klein
Erlangen-programo, elkreskaĵo de certaj modeloj de hiperbola geometrio
#000042
La kombinaĵo de du inversioj en samcentraj cirklorezultoj en simileco, homotetio, aŭ dilatiĝo karakterizis per la rilatumo de la cirkloradiusoj.
#000043
Reprezalio estas ŝlosilo en transformteorio kiel generatoro de la Möbius-grupo.
La aliaj generatoroj estas traduko kaj rotacio, ambaŭ konataj tra fizikaj manipuladoj en la ĉirkaŭa 3-spaca.
Enkonduko da reprezalio (dependanto sur cirklinversio) estas kio produktas la strangan naturon de Möbius-geometrio, kiu foje estas identigita kun inversiva geometrio (de la Eŭklida aviadilo).
Tamen, inversiva geometrio estas la pli granda studo ĉar ĝi inkludas la krudan inversion en cirklo (ankoraŭ ne transformita, kun konjugacio, en reprezalion).
Inversiva geometrio ankaŭ inkludas la konjugacio mapadon.
Nek konjugacio nek inversio-en-cirklo estas en la Möbius-grupo ĉar ili estas ne-konformaj (vidu malsupre).
Möbius-grupelementoj estas analizaj funkcioj de la tuta aviadilo kaj tiel estas nepre konformaj.
#000044
Ekzemple, Smogorzhevsky [9] evoluigas plurajn teoremojn de inversiva geometrio antaŭ komencado de Lobakevskiana geometrio.
#000046
En n-dimensia spaco per kie ekzistas sfero de radiuso r, inversio en la sfero ricevas
#000048
La transformo per inversio en hiperebenoj aŭ hipersferoj enen En povas esti uzita por generi dilatiĝojn, tradukojn, aŭ rotaciojn.
Efektive, du samcentraj hipersferoj, uzitaj por produkti sinsekvajn inversiojn, rezultigi dilatiĝon aŭ kuntiriĝon sur la centro de la hipersferes.
Tia mapado estas nomita simileco.
#000049
Kiam du paralelaj hiperebenoj kutimas produkti sinsekvajn reflektadojn, la rezulto estas traduko.
Kiam du hiperebenoj intersekcas en (n) - plataj, sinsekvaj reflektadoj produktas rotacion kie ĉiu punkto de la (n) plata estas fikspunkto de ĉiu reflektado kaj tiel de la kunmetaĵo.
#000050
Ĉio el tiuj estas konformaj mapoj, kaj fakte, kie la spaco havas tri aŭ pli da grandeco, la mapadoj generitaj per inversio estas la nuraj konformaj mapadoj.
La teoremo de Liouville estas klasika teoremo de konforma geometrio.
#000051
La aldono de punkto ĉe senfineco al la spaco superfluigas la distingon inter hiperebeno kaj hipersfero;
pli alta dimensia inversiva geometrio estas ofte studita tiam en la supozita kunteksto de n-sfero kiel la bazspaco.
La transformoj de inversiva geometrio ofte estas referitaj kiel transformo de Möbius.
Inversive-geometrio estis aplikita al la studo de kolorecoj, aŭ partigon, de n-sfero.
#000052
En la kompleksa ebeno, la plej evidenta cirkla inversiomapo (t.e., uzante la trigonometrian cirklon centris ĉe la origino) estas la kompleksa konjugito de la kompleksa inversa mapo prenanta z al 1/z.
La kompleksa analiza inversa mapo estas konforma kaj ĝia konjugato, cirklinversio, estas kontraŭkonforma.
En tiu kazo homografio estas konforma dum kontraŭhomography estas kontraŭkonforma.
#000054
Inversiva geometrio kaj hiperbola geometrio
#000055
La ( n − 1) sfero kun ekvacio
#000056
havos pozitivan radiuson tiel longan kiel 1 2
n 2 estas pli bonega ol c, kaj sur inversio donas la sferon
#000057
Tial, ĝi estos senvaria sub inversio se kaj nur se c = 1-a Sed tio estas la kondiĉo de esti ortogonalaj al la unuobla pilko.
Tial ni estas gvidis pripensi la ( n − 1) sferojn kun ekvacio
#000058
kiuj estas senvariaj sub inversio, ortogonala al la unuobla pilko, kaj havas centrojn ekstere de la sfero.
Tiujn kune kie la subspachiperebenoj apartigas hemisferojn estas la hipersurfaces de la Poincaré-diskomodelo de hiperbola geometrio.
#000059
Ĉar inversio en la unuobla pilko lasas la sferojn ortogonalaj al ĝi Invarianto, la inversio mapas la punktojn ene de la unuobla pilko al la ekstero kaj inverse.
Tio estas tial vera ĝenerale de ortogonalaj sferoj, kaj aparte inversio en unu el la sferoj ortogonala al la unuobla pilko mapas la unuoblan pilkon al si mem.
Ĝi ankaŭ mapas la internon de la unuobla pilko al si mem, kun punktoj ekster la ortogonala sfero mapante internon, kaj inverse;
tio difinas la reflektadojn de la Poincaré-diskomodelo ĉu ni ankaŭ inkluzivas kun ili la reflektadojn tra la diametroj apartigante hemisferojn de la unuobla pilko.
Tiuj reflektadoj generas la grupon de izometrioj de la modelo, kiu rakontas al ni ke la izometrioj estas konformaj.
Tial, la angulo inter du kurboj en la modelo estas la sama kiel la angulo inter du kurboj en la hiperbola spaco.
#000060
Inversio de kurboj kaj surfacoj (germanaj)
#000061