En matematiko, Zermelo-Fraenkel aroteorio, nomita laŭ matematikistoj Ernst Zermelo kaj Abraham Fraenkel, estas unu el pluraj aksiomaj sistemoj kiuj estis proponitaj en la frua dudeka jarcento por formuli teorion de aroj liberaj de paradoksoj kiel ekzemple la paradokso de Russell.
Zermelo-Fraenkel aroteorio kun la historie kontestata libera-elekto-aksiomo inkludita estas ofte mallongigita ZFC, kie C signifas elekton.
Multaj verkintoj uzas ZF por rilati al la aksiomoj de Zermelo-Fraenkel aroteorio kun la libera-elekto-aksiomo ekskludis.
Hodiaŭ ZFC estas la normformularo de aksioma aroteorio kaj kiel tia estas la plej ofta fundamento de matematiko.
#000001
ZFC estas celita formaligi ununuran primitivan nocion, tiu de hereda motivita aro, tiel ke ĉiuj unuoj en la universo de diskurso estas tiaj aroj.
Tiel la aksiomoj de ZFC rilatas nur al puraj aroj kaj malhelpas ĝiajn modelojn enhavado urelementoj (elementoj de aroj kiuj ne estas sin aroj).
Krome, bonordaj klasoj (kolektoj de matematikaj objektoj difinitaj per posedaĵo dividita memstare membroj kiuj estas tro grandaj por esti aroj) povas nur esti traktitaj nerekte.
Specife, ZFC ne enkalkulas la ekziston de universala aro (aro enhavanta ĉiujn arojn) nek por senrestrikta kompreno, tiel evitante la paradokson de Russell.
Von Neumann-Bernays-Gödel aroteorio (NBG) estas ofte uzita konservativa etendaĵo de ZFC kiu permesas eksplicitan traktadon de bonordaj klasoj.
#000002
Formale, ZFC estas unu-ordigitteorio en unuaorda logiko.
La signaturo havas egalecon kaj ununuran primitivan duargumentan rilaton, aromembrecon, kiu estas kutime indikita ∈.
La formulo kiun ∈ b signifas ke la aro estas membro de la aro b (kiu ankaŭ estas legita, " estas elemento de b " aŭ " estas en b ").
#000003
Ekzistas multaj ekvivalentaj formuliĝoj de la ZFC aksiomoj.
La plej multaj el la ZFC-aksiomoj deklaras la ekziston de akurataj aroj difinitan de aliaj aroj.
enhavante saman a kaj b.
Aliaj aksiomoj priskribas trajtojn de metita membreco.
Celo de la ZFC-aksiomoj estas tiel ĉiu aksiomo devus esti vera se interpretite kiel deklaro pri la kolekto de ĉiuj aroj en la Von Neumann-universo (ankaŭ konata kiel la akumula hierarkio).
#000004
La metamatematiko de ZFC estis grandskale studita.
Gravaj rezultoj en tiu areo establis la sendependecon de la kontinuo-hipotezo de ZFC, kaj de la libera-elekto-aksiomo de la ceteraj ZFC-aksiomoj.
La konsistenco de teorio kiel ekzemple ZFC ne povas esti pruvita ene de la teorio mem.
#000005
Ekzistas multaj ekvivalentaj formuliĝoj de la ZFC-aksiomoj;
por diskuto de tio vidi Fraenkel, Bar-Hillel & Lévy 1973.
La sekva akurata aksiomaro estas de Kunen (1980).
La aksiomoj en si mem estas esprimitaj en la simboleco de unua ordlogiko.
La rilata angla prozo estas nur intencita por helpi la intuicion.
#000009
Du aroj estas egalaj (estas la sama aro) se ili havas la samajn elementojn.
#000011
\displaistile \foral ks\foral y [\foral z (z\in ks\Leftrightarow z\in y) \Rightarow x y].
#000012
La konversacio de tiu aksiomo sekvas el la anstataŭigposedaĵo de egaleco.
Se la fonlogiko ne inkludas egalecon "=", x = y povas esti difinita kiel mallongigo por la sekva formulo: [4]
#000013
En tiu kazo, la aksiomo de ekstensioneco povas esti reformulita kiel
#000015
kiu diras ke se x kaj y havas la samajn elementojn, tiam ili apartenas al la samaj aroj.
#000016
2-a Aksiomo de reguleco (ankaŭ nomita la Aksiomo de fundamento)
#000017
Ĉiu ne-malplena aro x enhavas membron y tia ke x kaj y estas dismeti arojn.
#000018
\displaistile \foral x [\eksists (a\in x) \Rightarow \eksists y (i\in ks\land \lnot \eksists z (z\in i\land z\in x)].
#000019
Tio implicas, ekzemple, ke neniu aro estas elemento de si mem kaj tiel ĉiu aro havas ordan rangon.
#000020
3-a-aksioma skemo de specifo (ankaŭ nomita la aksiomskemo de apartigo aŭ de limigita kompreno)
#000021
\eksist i\foral x [ks\in i\Leftrightarow (ks\in z\land \fi)].
#000023
Notu ke la aksiomskemo de specifo povas nur konstrui subarojn, kaj ne permesas la konstruadon de aroj de la pli ĝenerala formo:
#000024
Tiu restrikto estas necesa eviti la paradokson kaj ĝiajn variaĵojn de Russell kiuj akompanas naivan aroteorion kun senrestrikta kompreno.
#000025
En iu alia aksiomatizations de ZF, tiu aksiomo estas redunda en tio kiun ĝi sekvas el la aksiomskemo de anstataŭaĵo kaj la aksiomo de la malplena aro.
#000026
Ekzemple, se w estas ajna ekzistanta aro, la malplena aro povas esti konstruita kiel
#000027
Tiel la aksiomo de la malplena aro estas implicita per la naŭ aksiomoj prezentitaj ĉi tie.
La aksiomo de ekstensioneco implicas ke la malplena aro estas unika (ne faras dependi de w).
#000028
Se x kaj y estas aroj, tiam tie ekzistas aro kiu enhavas x kaj y kiel elementoj.
#000029
\displaistile \foral ks\foral i\eksistoj z (ks\in z\land i\in z).
#000030
La aksiomskemo de specifo devas esti utiligita por redukti tion al aro kun ekzakte tiuj du elementoj.
La aksiomo de parigo estas parto de Z, sed estas redunda en ZF ĉar ĝi sekvas el la aksiomskemo de anstataŭaĵo, se ni ricevas aron kun almenaŭ du elementoj.
La ekzisto de aro kun almenaŭ du elementoj estas certigita per aŭ la aksiomo de senfineco, aŭ de la aksiomskemo de specifo kaj la aksiomo de la aro de ĉiuj subaroj aplikita dufoje al iu aro.
#000031
La unio super la elementoj de aro ekzistas.
#000032
La aksiomskemo de anstataŭaĵo asertas ke la bildo de aro sub iu difinebla funkcio ankaŭ falos ene de aro.
#000033
\foral x (ks\in A\Rightarrow \eksists!
#000034
Pli ordinarlingve, tie ekzistas aro X havanta senlime multajn membrojn.
(Devas esti establite, aliflanke, ke tiuj membroj estas tute malsamaj, ĉar se du elementoj estas la samaj, la sekvenco lopos ĉirkaŭe en finhava ciklo de aroj.
La aksiomo de reguleco malhelpas tion de okazego.
#000036
De difino aro z estas subaro de aro x se kaj nur se ĉiu elemento de z ankaŭ estas elemento de x:
#000038
\displaistile (z\subseteq x) \Leftrightarow (\foral q (q\in z\Rightarow q\in x).
#000039
La Aksiomo de Aro De Ĉiuj Subaroj deklaras tio por iu aro x, ekzistas aro y kiu enhavas ĉiun subaron de x:
#000040
\displaistile \foral ks\eksisti\foral z [z\subseteq ks\Rightarow z\in y].
#000041
La aksiomskemo de specifo tiam estas utiligita por difini la aron de ĉiuj subarojn P (x) kiel la subaron de tia y enhavanta la subarojn de x precize:
#000042
Alternativaj formoj de tiuj aksiomoj ofte estas renkontitaj, kelkaj el kiuj estas listigitaj en Jech (2003).
Kelkaj ZF-aksiomigoj inkluzivas aksiomon asertante ke la malplena aro ekzistas.
La aksiomoj de parigo, unio, anstataŭaĵo, kaj aro de ĉiuj subaroj ofte estas deklaritaj ke tiel ke la membroj de la aro x kies ekzisto estas asertita estas ĵus tiuj aroj kiujn la aksiomo asertas x devas enhavi.
#000043
Por iu aro X, ekzistas duargumenta rilato R kiuj bon-ordoj X.
Tio signifas ke R estas linia ordo sur X tia ke ĉiu nonemptyosubaro de X havas membron kiu estas minimuma malpli ol R.
#000045
Antaŭfiksitaj aksiomoj 1-8, ekzistas multaj deklaroj indikeble ekvivalentaj al aksiomo 9, la plej konata de kiu estas la libera-elekto-aksiomo (AC), kiu iras jene.
Lasu X esti aro kies membroj estas tute ne-malplenaj.
Tiam tie ekzistas funkcio f de X ĝis la unio de la membroj de X, vokis " elektofunkcion ", tia ke por ĉiu Y ∈ X unu havas f ( Y
Ekde la ekzisto de elektofunkcio kiam X estas finhava aro estas facile pruvita de aksiomoj 1-8, AC nur gravas por certaj senfinaj aroj.
AC estas karakterizita kiel nonkonstruktive ĉar ĝi asertas la ekziston de elekto metita sed diras nenion koncerne kiel la elekton metita estas "konstruota."
Multe da esplorado serĉis karakterizi la difineblon (aŭ manki de tio) de certaj aroj kies ekziston AC asertas.
#000047
Unu instigo por la ZFC-aksiomoj estas la akumula hierarkio de aroj prezentitaj fare de John von Neumann.
En tiu vidpunkto, la universo de aroteorio estas konstruita en stadioj, kun unu scenejo por ĉiu numero.
En stadio 0 ekzistas neniuj aroj ankoraŭ.
Ĉe ĉiu sekva stadio, aro estas aldonita al la universo ĉu ĉiuj siaj elementoj estis aldonita en antaŭaj stadioj.
Tiel la malplena aro estas aldonita en stadio 1, kaj la aro enhavanta la malplenan aron estas aldonita en stadio 2.
La kolekto de ĉiuj aroj kiuj akiriĝas laŭ tiu maniero, dum ĉiuj stadioj, estas konata kiel V. The-aroj en V povas esti aranĝitaj en hierarkion per asignado al ĉiu aro la unua fazo ĉe kiu tiu aro estis aldonita al V.
#000049
Estas indikeble ke aro estas en V se kaj nur se la aro estas pura kaj motivita;
kaj indikebla ke V kontentigas ĉiujn aksiomojn de ZFC, se la klaso de ordaj numeraloj havas konvenajn reflektadotrajtojn.
Ekzemple, supozas ke aro x estas aldonita en stadio α, kio signifas ke ĉiu elemento de x estis aldonita en stadio pli frue ol α.
Tiam ĉiu subaro de x ankaŭ estas aldonita en stadio α, ĉar ĉiuj elementoj de iu subaro de x ankaŭ estis aldonitaj antaŭ scenejo α.
Tio signifas tiel ajnan subaron de x kiun la aksiomo de apartigo povas konstrui estas aldonita en stadio α, kaj ke la aro de ĉiuj subaroj de x estos aldonita en la venonta stadio poste al α.
Por kompleta argumento ke V kontentigas ZFC vidu Shoenfield (1977).
#000050
La bildo de la universo de aroj tavoligitaj en la akumulan hierarkion estas karakterizaĵo de ZFC kaj rilataj aksiomaj aroteorioj kiel ekzemple Von Neumann-Bernays-Gödel aroteorio (ofte nomita NBG) kaj Mors-Kelley-aroteorio.
La akumula hierarkio ne estas kongrua kun aliaj aroteorioj kiel ekzemple New Foundations.
#000051
Estas eble ŝanĝi la difinon de V tiel ke ĉe ĉiu stadio, anstataŭe de aldoni ĉiuj subaroj de la unio de la antaŭaj stadioj, subaroj estas nur aldonitaj ĉu ili estas difineblaj en certa signifo.
Tio rezultigas pli "mallarĝan" hierarkion kiu donas al la konstruebla universo L, kiu ankaŭ kontentigas ĉiujn aksiomojn de ZFC, inkluzive de la libera-elekto-aksiomo.
Ĝi estas sendependa de la ZFC-aksiomoj ĉu V = L.
Kvankam la strukturo de L estas pli regula kaj bonkonduta ol tiu de V, malmultaj matematikistoj argumentas ke V = L devus esti aldonita al ZFC kiel kroma aksiomo.
#000052
La aksiomskemoj de anstataŭaĵo kaj apartigo ĉiu enhavas senlime multajn kazojn.
Montague (1961) inkludis rezulton unue pruvis en sia 1957 PH.
tezo: se ZFC estas kohera, ĝi estas malebla al aksiomatize ZFC utiliganta nur finhave multajn aksiomojn.
Aliflanke, Von Neumann-Bernays-Gödel aroteorio (NBG) povas esti finhave aksiomigita.
La ontologio de NBG inkludas bonordajn klasojn same kiel arojn;
aro estas ajna klaso kiu povas esti membro de alia klaso.
NBG kaj ZFC estas ekvivalentaj aroteorioj en la senco ke ĉiu teoremo ne mencianta klasojn kaj indikebla en unu teorio povas esti pruvita en la aliaj.
#000053
Se kohere, ZFC ne povas pruvi la ekzisto de la nealireblaj kardinaloj tiu teorio de kategorioj postulas.
Enormaj aroj de tiu speco estas eblaj se ZF estas pliigita kun la aksiomo de Tarski.
Supozante ke aksiomo fariĝas la aksiomojn de senfineco, aron de ĉiuj subarojn, kaj elekto ( 7 − 9 supraj) en teoremojn.
#000056
Devigado pruvas ke la sekvaj deklaroj estas sendependaj de ZFC:
#000058
La konsistenco de V L estas indikebla de internaj modeloj sed ne devigado: ĉiu modelo de ZF povas esti polurita por iĝi modelo de ZFC-+ V L.
La Diamanto-Principo implicas la Kontinuo-hipotezon kaj la negacion de la Suslin Hypothesis.
La aksiomo de Martin kaj plie la negacio de la Kontinuo-hipotezo implicas la Suslin Hypothesis.
La konstruebla universo kontentigas la Ĝeneraligi Kontinuuman Hipotezon, la Diamanto-Principon, la Aksiomon de Martin kaj la Kurepa Hypothesis.
La fiasko de la Kurepa hipotezo estas ekvikonsistent kun la ekzisto de forte nealirebla kardinalo.
#000060
Vario sur la metodo de devigado ankaŭ povas esti utiligita por montri la konsistencon kaj unprovabilecon de la libera-elekto-aksiomo, t.e., ke la libera-elekto-aksiomo estas sendependa de ZF.
La konsistenco de elekto povas esti (relative) facile konfirmita per pruvado ke la interna modelo L kontentigas elekton.
(Tiel ĉiu modelo de ZF enhavas submodelon de ZFC, tiel ke Con (ZF) implicas Con (ZFC).
Ekde devigado de konservaĵelekto, ni ne povas rekte produkti modelon kontraŭdirantan elekton de modelo kontentiganta elekton.
Tamen, ni povas uzi devigi krei modelon kiu enhavas taŭgan submodelon, nome unu kontentigan ZF sed ne C.
#000061
La projekto por unuigi metitajn teoriulojn malantaŭ kromaj aksiomoj solvi la Kontinuo-hipotezon aŭ aliaj meta-matematikaj ambiguecoj foje estas konataj kiel "Gödel's programo".
Matematikistoj nuntempe diskutas kiujn aksiomojn estas la plej kredindaj aŭ "memevidentaj", kiuj aksiomoj estas la plej utilaj en diversaj domajnoj, kaj ronde al kiu gradutileco devus esti komercitaj for kun probableco;
iu " Multuniverso " metis teoriulojn argumentas ke utileco devus esti la sola finfina kriterio en kiu aksiomoj por kutime adopti.
Unu direkto premas vastigado de la "ripeta" koncepto de aro por produkti aro-teorian universon kun interesa kaj kompleksa sed sufiĉe akordiĝema strukturo adoptante devigantajn aksiomojn;
alia lernejo rekomendas por pli bonorda, malpli malordigita universo, eble temigis "kerno-" internan modelon.
#000063
Por kritiko de aroteorio ĝenerale, vidas Obĵetojn al aroteorio
#000064
ZFC estis kritikita kaj por esti troe forta kaj por esti troe malforta, same kiel por ĝia malsukceso kapti objektojn kiel ekzemple bonordaj klasoj kaj la universala aro.
#000065
Multaj matematikteoremoj povas esti pruvitaj en multe pli malfortaj sistemoj ol ZFC, kiel ekzemple Peano-aritmetiko kaj duaorda aritmetiko (kiel esplorite per la programo de inversa matematiko).
Saunders Mac Lane kaj Solomon Feferman havas ambaŭ igite tiu punkto.
Kelkaj el "ĉefa matematiko" (matematiko ne rekte ligita kun aksioma aroteorio) estas preter Peano-aritmetiko kaj duaorda aritmetiko, sed daŭre, tute tia matematiko povas esti aranĝita en ZC ( Zermelo aroteorio kun elekto), alia teorio pli malforta ol ZFC.
Multo de la potenco de ZFC, inkluzive de la aksiomo de reguleco kaj la aksiomskemo de anstataŭaĵo, estas inkludita ĉefe por faciligi la studon de la aroteorio mem.
#000066
Aliflanke, inter aksiomaj aroteorioj, ZFC estas relative malforta.
Male al New Foundations, ZFC ne koncedas la ekziston de universala aro.
Tial la universo de aroj sub ZFC ne estas fermita sub la elementaj operacioj de la algebro de aroj.
Male al von Neumann-Bernays-Gödel aroteorio (NBG) kaj Mors-Kelley-aroteorio (MK), ZFC ne koncedas la ekziston de bonordaj klasoj.
Pli malproksima relativa malforto de ZFC estas ke la libera-elekto-aksiomo inkludita en ZFC estas pli malforta ol la aksiomo de tutmonda elekto inkludita en NBG kaj MK.
#000067
Ekzistas multaj matematikaj deklaroj nedecideblaj en ZFC.
Tiuj inkludas la kontinuo-hipotezon, la Whitehead-problemon, kaj la normalan Moore-spacsupozon.
Kelkaj el tiuj supozoj estas indikeblaj kun la aldono da aksiomoj kiel ekzemple la aksiomo de Martin, grandaj kapaksiomoj al ZFC.
Kelkaj aliaj estas deciditaj en ZF+AD kie AD estas la aksiomo de Determineco, forta supozo malkongrua kun elekto.
Unu altiro de grandaj kapaksiomoj estas ke ili ebligas multajn rezultojn de ZF+AD esti establitaj en ZFC ĝislimita per iu granda kapaksiomo (vidu projekcian Determinecon).
La Mizar sistemo kaj Metamath adoptis Tarski-Grothendieck aroteorion, etendaĵon de ZFC, tiel ke pruvoj implikantaj Grothendieck-universojn (renkontitajn en teorio de kategorioj kaj algebra geometrio) povas esti formaligitaj.
#000068
Derivaĵo en Metamatematiko da versio de la apartigskemo de versio de la anstataŭiga skemo.
#000074