Wikipedia's Logarithm as translated by GramTrans
#000000
En matematiko, la logaritmo estas la inversa operacio al potenco, ekzakte kiam dividado estas la inversa de multipliko kaj inverse.
Tio signifas ke la logaritmo de nombro estas la eksponento al kiu alia fiksa nombro, la bazo , devas esti levita por produkti tiun nombron.
En la plej simpla kazo la logaritmokalkuloj ripetis multiplikon de la sama faktoro;
Pli ĝenerale, potenco permesas al ajna pozitiva reala nombro esti levita al iu reala potenco, ĉiam produktante pozitivan rezulton, tiel ke la logaritmo povas esti kalkulita por iuj du pozitivaj realaj nombroj b kaj x kie b ne estas egala al 1.
La logaritmo de x por bazigi b , indikis tagalon b ( x) (aŭ arbotrunko b x kiam neniu konfuzo estas ebla), estas la unika reala pli sensenta y tia ke b y = x .
#000001
La logaritmo por bazigi 10 (tion estas b = 10) estas nomita la komuna logaritmo kaj havas multajn aplikojn en scienco kaj inĝenieristiko.
La natura logaritmo havas la pli sensentan e ( ≈ 2.718) kiel it bazo;
ĝia uzo estas ĝeneraligita en matematiko kaj fiziko, pro sia pli simpla derivaĵo.
La binara logaritmo uzas malnobla 2 (tio estas b = 2) kaj estas ofte uzita en komputado.
#000002
Logaritmoj estis lanĉitaj fare de John Napier en la frua 17-a jarcento kiel rimedo por simpligi kalkulojn.
Ili estis rapide adoptitaj fare de navigistoj, sciencistoj, inĝenieroj, kaj aliaj por prezenti komputadojn pli facile, uzante glitkalkulilojn kaj logaritmotablojn.
Tedaj plurdigitaj multiplikŝtupoj povas esti anstataŭigitaj per tablolistkontroloj kaj pli simpla aldono pro la fakto - grava en sia propra rajto - ke la logaritmo de produkto estas la sumo de la logaritmoj de la faktoroj:
#000003
kondiĉe ke b , x kaj y estas ĉiu pozitivaj kaj b ≠ 1.
La aktuala nocio de logaritmoj venas de Leonhard Euler, kiu ligis ilin al la eksponenta funkcio en la 18-a jarcento.
#000004
Logaritma pesilo reduktas vastajn kvantojn al malgrandegaj ampleksoj.
Ekzemple, la decibelo (dB) estas unuo uzita por esprimi tagalo-proporciojn, plejparte por signalpotenco kaj amplitudo (de kiu sonpremo estas ofta ekzemplo).
En kemio, pH estas logaritma kvanto por la acideco de akva solvaĵo.
Logaritmoj estas ordinaraj en sciencaj formuloj, kaj en mezuradoj de la komplekseco de algoritmoj kaj de geometriaj objektoj nomitaj fraktaloj.
Ili helpas al priskribanta frekvenco proporcioj de muzikaj intervaloj, aperas en formuloj nombrantaj primojn aŭ aproksimantaj Faktorialojn, informi kelkajn modelojn en psikofiziko, kaj povas helpi pri krimmedicina kontado.
#000005
En laŭ la saman manieron ĉar la logaritmo inversigas potencon, la kompleksoologaritmo estas la inversa funkcio de la eksponenta funkcio aplikita al kompleksaj nombroj.
La diskreta logaritmo estas alia variaĵo;
ĝi havas uzojn en publikŝlosila kriptografio.
#000006
Produkto, kvociento, potenco, kaj radiko
#000008
Integrita reprezentado de la natura logaritmo
#000009
Inverses de aliaj eksponentaj funkcioj
#000010
La ideo de logaritmoj devas inversigi la operacion de potenco, t.e., levanta nombron al potenco.
Ekzemple, la tria potenco (aŭ kubo) de 2 estas 8, ĉar 8 estas la produkto de tri faktoroj de 2:
#000011
Ĝi sekvas ke la logaritmo de 8 kun respekto al bazo 2 estas 3, tiel log2 8 = 3.
#000012
La tria potenco de iu pli sensenta b estas la produkto de tri faktoroj egala al b.
Pli ĝenerale, levi b al la a potenco, kie n estas natura nombro, estas farita multobligante n faktorojn egala al b.
Al la a potenco de b estas skribita b n , tiel ke
#000013
Potenco povas esti etendita al b y , kie b estas pozitiva nombro kaj la eksponento y estas ajna reala nombro.
Ekzemple, b −1 estas la reciproka de b, t.e., 1/ b .
(Por pliaj detaloj, inkluzive de la formulo b m + n = b m
b n , vidas potencon aŭ [1] por elementa disertaĵo.
#000014
La logaritmo de pozitiva reala nombro x kun respekto al bazb, pozitiva reala nombro ne egala al 1, [nb 1] estas la eksponento de kiu b devas esti levita por doni x.
En aliaj vortoj, la logaritmo de x bazigi b estas la solvo y al la ekvacio [2]
#000015
La logaritmo estas indikita " arbotrunko b x " (okulfrapa kiel "la logaritmo de x por bazigi b " aŭ "la baz-b logaritmon de x " aŭ (plej ofte) "la tagalon, bazigi b, de x "), tia ke la difina identeco de supre iĝas
#000016
En la ekvacio y = registradas b x , la valoro y estas la respondo al la demando "Al kiu potenco devas b estu levita, por doni x?
Tiu demando kiu estas farita en la sekcio " Complex-logaritmon " malsupre, kaj estas pli grandskale esplorita en la artikolo en kompleksoologaritmo ankaŭ povas .
#000017
Por iu bazb, arbotrunko b b = 1 kaj arbotrunko b 1 = 0, ekde b 1 = b kaj b 0 = 1, respektive.
#000018
Pluraj gravaj formuloj, foje nomitaj logaritmaj identecoj aŭ logaritmaj leĝoj, rilatigas logaritmojn unu al la alia.
#000019
La logaritmo de produkto estas la sumo de la logaritmoj de la nombroj estantaj multobligita;
la logaritmo de la rilatumo de du nombroj estas la diferenco de la logaritmoj.
La logaritmo de la p-th potenco de nombro estas p tempigas la logaritmon de la nombro mem;
la logaritmo de p-th radiko estas la logaritmo de la nombro dividita per p.
La sekva tablo listigas tiujn identecojn kun ekzemploj.
#000020
La logaritmoregistro b x povas esti komputita de la logaritmoj de x kaj b kun respekto al arbitra bazk utiliganta la sekvan formulon:
#000021
Komencante de la difina identeco
#000022
ni povas apliki tagalon k al ambaŭ flankoj de tiu ekvacio, por veni
#000023
Tipaj sciencaj kalkuliloj kalkulas la logaritmojn al bazoj 10 kaj e .
Logaritmoj kun respekto al iu bazb povas esti determinitaj utiligante ĉiu el ambaŭ de tiujn du logaritmojn de la antaŭa formulo:
#000024
Surbaze de numero x kaj ĝia logaritmo registradas b x al nekonata bazo b, la bazo ricevas per:
#000025
Inter ĉiuj elektoj por la bazo, tri estas precipe oftaj.
Tiuj estas b = 10, b = e (la neracia matematika konstanta ≈ 2.71828), kaj b = 2 (la binaraj logaritmo).
En analitiko, la logaritmo bazigi e estas ĝeneraligita pro siaj specialaj analizaj trajtoj klarigitaj malsupre.
Aliflanke, bazo-10 logaritmoj facile uzeblas por manaj kalkuloj en la decimala aroj de nombroj: [5]
#000026
Tiel, log10 x estas rilatita al la nombro da decimalciferoj de pozitiva entjero x: la nombro da ciferoj estas la plej malgranda entjero strikte pli granda ol log10 x.
La venonta entjero estas 4, kio estas la nombro da ciferoj de 1430.
Kaj la natura logaritmo kaj la logaritmo bazigi du estas utiligitaj en informa teorio, egalrilati al la uzo de noktas aŭ pecojn kiel la fundamentaj mezurunuoj de informo, respektive.
Binaraj logaritmoj ankaŭ estas utiligitaj en komputado, kie la binara sistemo estas ĉiea, en muzikteorio, kie tonaltproporcio de du (la oktavo) estas ĉiea kaj la cendo estas la binara logaritmo (skalita antaŭ 1200) de la proporcio inter du apudaj egale-moderigitaj tonaltoj, kaj en fotarto por mezuri eksponvaloroojn.
#000027
La sekva tablo listigas oftajn notaciojn por logaritmoj al tiuj bazoj kaj la kampoj kie ili estas uzitaj.
Multaj disciplinoj skribas loĝ anstataŭe de tagalo b x , kiam la celita bazo povas esti determinita de la kunteksto.
La notacio b loĝ ankaŭ okazas.
La "ISO notation" kolono listigas nomojn proponitajn fare de la Internacia Organizaĵo por Normigado ( ISO 31-11).
Ĉar la notaciologaritmo x estis utiligita por ĉiuj tri bazoj (aŭ kiam la bazo estas nedeterminita aŭ malgrava), la celita bazo ofte devas esti konkludita surbaze de kunteksto aŭ disciplino.
En komputado kaj matematiko, tagalo kutime rilatas al log2 kaj tagalo e , respektive.
En alia kuntekstoregistro ofte signifas log10 .
#000028
La historio de logaritmo en deksepa jarcento Eŭropo estas la eltrovo de nova funkcio kiu etendis la sferon de analizo preter la amplekso de algebraj metodoj.
La metodo de logaritmoj estis publike prezentita fare de John Napier en 1614, en libro titolita Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Mirificus Logarithmorum Canonis Descriptio) ( Description of the Wonderful Rule of Logarithms (Priskribo de la Mirinda Regulo de Logaritmoj).
Antaŭ la invento de Napier, ekzistas aliaj teknikoj de similaj ampleksoj, kiel ekzemple la prosthaphaeresis aŭ la uzo de tabloj de progresadoj, grandskale evoluigitaj fare de Jost Bürgi ĉirkaŭ 1600.
#000029
La komuna logaritmo de nombro estas la indekso de tiu potenco de dek kiu korespondas al la nombro.
Parolado de nombro kiel postuli tiel multaj figuroj estas malglata aludo al ofta logaritmo, kaj estis referitaj fare de Arkimedo kiel la "ordo de nombro".
La unuaj realaj logaritmoj estis heŭristikaj metodoj por iĝi multiplikon aldono, tiel faciligante rapidan komputadon.
Kelkaj el tiuj metodoj uzis tablojn derivitajn de trigonometriaj identecoj.
Tiaj metodoj estas nomitaj prosthaphaeresis.
#000030
Invento da la funkcio nun konata tiel natura logaritmo komenciĝis kiel provo elfari kvadraturon de rektangula hiperbolo de Grégoire de Saint-Vincent, belga jezuito loĝanta en Prago.
Arkimedo skribis The Quadrature of the Parabola (La Kvadraturo de la Parabolo) en la tria jarcento a.K., sed kvadraturo por la hiperbolo eskapis ĉiujn klopodojn ĝis Saint-Vincent publikigis siajn rezultojn en 1647.
La rilato kiun la logaritmo disponigas inter geometrika nobrovico en it argumento kaj aritmetika vico de valoroj, instigis A. A. de Sarasa por fari la ligon de la kvadraturo de Saint-Vincent kaj la tradicio de logaritmoj en prosthaphaeresis, kondukante al la esprimo "hiperbolan logaritmon", sinonimon por natura logaritmo.
Baldaŭ la nova funkcio estis aprezita fare de Christiaan Huygens, Patavii, kaj James Gregory.
#000031
Logaritmotabloj, glitkalkuliloj, kaj historiaj aplikoj
#000032
De simpligado de malfacilaj kalkuloj, logaritmoj kontribuitaj al la antaŭeniĝo de scienco, aparte astronomio.
Ili estis kritikaj ĝis progresoj en geodezio, ĉiela navigacio, kaj aliaj domajnoj.
#000033
[] n-admirinda artifiko kiu, per reduktado al kelkaj tagoj la laboro de multaj monatoj, duobligas la vivon de la astronomo, kaj ŝparas al li la erarojn kaj abomenon neapartigebla de longaj kalkuloj."
#000034
Por manaj kalkuloj kiuj postulas ĉiu rimarkebla precizeco, elfaranta la avizojn de la du logaritmoj, kalkulantaj ilian sumon aŭ diferencon, kaj kontrolantaj la antilogaritmon estas multe pli rapida ol elfarado de la multipliko per pli fruaj metodoj kiel ekzemple prosthaphaeresis, kiu dependas de trigonometriaj identecoj.
Kalkuloj de potencoj kaj radikoj estas reduktitaj al multiplikoj aŭ sekcioj kaj listkontroloj per
#000036
Multaj logaritmotabloj donas logaritmojn aparte disponigante la karakterizaĵon kaj mantison de x, tio devas diri, la entjerparton kaj la frakciecan parton de log10 x .
x estas unu pluso la karakterizaĵo de x, kaj iliaj significand'oj estas la samaj.
Tio etendas la amplekson de logaritmotabloj: surbaze de tablo listiganta log10 x por ĉiuj entjeroj x aranĝante de 1 ĝis 1000, la logaritmo de 3542 estas aproksimita per
#000037
Alia kritika aplikiĝo estis la glitkalkulilo, paro de logaritme disigis pesilon utiligitajn por kalkulo, kiel ilustrite ĉi tie:
#000038
La ne-glita logaritma skalo, la regulo de Gunter, estis inventita baldaŭ post la invento de Napier.
William Oughtred plifortigis ĝin por krei la glitkalkulilon - paron de logaritma skvamomovable kun respekto al unu la alian.
Kvara Moselibro estas metitaj dum turniĝado iom post iom de en ĉe distancoj proporciaj al la diferencoj inter siaj logaritmoj.
Turniĝi iom post iom supran en konvene sumiĝas al meĥanike aldonado de logaritmoj.
Ekzemple, aldonante la distanco de 1 ĝis 2 sur malsupra skalo al la distanco de 1 ĝis 3 sur supra skalo donas produkton de 6, kiu estas legita for ĉe la subaĵo.
La glitkalkulilo estis esenca memcela ilo por inĝenieroj kaj sciencistoj ĝis la 1970-aj jaroj, ĉar ĝi permesas, ĉe la elspezo de precizeco, multe pli rapida komputado ol teknikoj bazitaj sur tabloj.
#000039
Pli profunda studo de logaritmoj postulas la koncepton de funkcio .
Funkcio estas regulo ke, surbaze de unu nombro, produktas alian nombron.
Ekzemplo estas la funkcio produktanta la x-th potencon de b de iu reala nombro x, kie la bazb estas fiksa nombro.
#000040
Por pravigi la difinon de logaritmoj, estas necese montri ke la ekvacio
#000041
havas solvon x kaj ke tiu solvo estas unika, kondiĉe ke y estas pozitiva kaj ke b estas pozitiva kaj neegala ĝis 1-a A-pruvo de tiu fakto postulas la mezvaloro-teoremon de elementa kalkulado.
Tiu teoremo deklaras ke ke kontinua funkcio kiu produktas du valorojn m kaj n ankaŭ produktas ajnan valoron kiu kuŝas inter m kaj n.
Funkcio estas kontinua se ĝi ne "saltas", t.e., se ĝia grafeo povas esti desegnita sen levado de la skribilo.
#000042
Tiu posedaĵo povas esti montrita teni por la funkcio f ( x
Ĉar f rigardas arbitre granda kaj propraaŭtoritate malgrandajn pozitivajn valorojn, ajnan pli sensentan y > 0 mensogojn inter f ( x 0) kaj f ( x 1) kiel taŭgan x 0 kaj x 1 .
Tial, la mezvaloro-teoremo certigas ke la ekvacio f ( x
#000043
La unika solvo x estas la logaritmo de y por bazigi b, arbotrunko b y .
La funkcio kiu asignas al y it logaritmon estas nomita logaritmofunkcio aŭ logaritma funkcio (aŭ ĵus logaritmo).
#000044
La funkcioregistro b x estas esence karakterizita per ĉi-supra produktoformulo
#000045
Pli ĝuste, la logaritmo al iu baz b > 1 estas la nura kreskanta funkcio f de la pozitivaj realoj ĝis la realoj kontentigantaj f ( b) = 1 kaj [35]
#000046
La formulo por la logaritmo de potenco diras aparte tion por iu numero x,
#000047
En prozo, preni la x-th potencon de b kaj tiam la baz-b logaritmo donas reen x.
Inverse, surbaze de pozitiva nombro da y, la formulo
#000048
diras tio unuan prenante la logaritmon kaj tiam eksponentiating donas reen y.
Tiel, la du eblaj manieroj kombini (aŭ kunmeti) logaritmoj kaj potenco donas reen la originan nombron.
Tial, la logaritmo bazigi b estas la inversa funkcio de f ( x
#000049
Inversaj funkcioj estas proksime rilatitaj al la originaj funkcioj.
Iliaj grafeoj egalrilatas al unu la alian sur interŝanĝado de la x- kaj la y-koordinato (aŭ sur reflektado ĉe la diagonala linio x = y), kiel montrite ĉe la dekstro: punkto ( t, u = b t ) en la grafeo de f donas punkton ( u, t = registradas b u) en la grafeo de la logaritmo kaj inverse.
Kiel sekvo, tagalo b ( x) diverĝas al senfineco (iĝas pli granda ol iu antaŭfiksita nombro) se x kreskas al senfineco, kondiĉe ke b estas pli bonega ol unu.
En tiu kazo, tagalo b ( x) estas kreskanta funkcio.
Por b < 1, arbotrunko b ( x) tendencas al minuso senfinecon anstataŭe.
Kiam x aliroj nul, arbotrunko b x iras al minuso senfinecon por b > 1 (kaj plie senfineco por b < 1, respektive).
#000050
Analizaj trajtoj de funkcioj pasas al siaj enversoj.
Tiel, kiel f ( x
b x estas kontinua kaj diferenciebla funkcio, do estas tagalo b y .
Proksimume, kontinua funkcio estas diferenciebla se ĝia grafeo havas neniujn akrajn "angulojn".
Krome, ĉar la derivaĵo da f ( x) analizas al ln ( b) b x proksime de la trajtoj de la eksponenta funkcio, la derivaĵo de funkcia komponaĵo implicas ke per la derivaĵo de tagalo b x ricevas [34] [37]
#000051
Tio estas, la deklivo da la klavo tuŝanta la grafeon de la baz-b logaritmo ĉe la punkto ( x, arbotrunko b ( x) egalas 1/( x ln ( b).
#000052
La derivaĵo de ln x estas 1/ x;
tio implicas ke ln x estas la unika kontraŭderivitan de 1/ x kiu havas la valoron 0 por x = 1.
Tio estas tiu tre simpla formulo kiu instigis por deklari "naturulo" la naturan logaritmon;
tio ankaŭ estas la unu el ĉefkialoj de la graveco de la konstanta e .
#000053
La derivaĵo kun ĝeneraligita funkcia argumento f ( x) estas
#000054
La kvociento ĉe la dekstra flanko estas nomita la logaritma derivaĵo de f.
Computing F estas estas estas ( x) estas per la derivaĵo de ln ( f ( x) estas konata kiel logaritma diferencigo.
La kontraŭderivita de la natura logaritmo ln ( x) estas: [39]
#000055
Rilataj formuloj, kiel ekzemple Malderivaĵoj de logaritmoj al aliaj bazoj povas esti derivitaj de tiu ekvacio uzante la ŝanĝo de bazoj.
#000056
La natura logaritmo de t korespondas al la integralo de 1/ x dks de 1 ĝis t:
#000057
En aliaj vortoj, ln ( t) korespondas al la areo inter la absciso kaj la grafeo de la funkcio 1/ x , intervalante de x = 1 ĝis x = t (figuro ĉe la dekstro).
Tio estas sekvo de la infinitezimalteoremo kaj la fakto ke la derivaĵo de ln ( x) estas 1/ x .
La dekstra flanko de tiu ekvacio povas funkcii kiel difino de la natura logaritmo.
Produkto- kaj potenclogaritmoformuloj povas esti derivitaj de tiu difino.
Ekzemple, la produktoformulln ( tu) = ln ( t) + ln ( u) estas deduktita kiel:
#000058
La egaleco (1) dividas la integralon en du partojn, dum la egaleco (2) estas ŝanĝo de variablo ( w = x / t ).
En la ilustraĵo malsupre, la disfendado egalrilatas al dividado de la areo en la flavajn kaj bluajn partojn.
Rescaling maldekstra mano blua areo vertikale per la faktoro t kaj ŝrumpiĝo ĝi de la sama faktoro horizontale ne ŝanĝas sian grandecon.
Movante ĝin konvene, la areo konvenas la grafeon de la funkcio f ( x) = 1/ x denove.
Tial, la maldekstramanaj blua areo, kiu estas la integralo de f ( x) de t ĝis tu estas la sama kiel la integralo de 1 ĝis u.
Tio pravigas la egalecon (2) kun pli geometria pruvo.
#000059
La potencformulln ( t da r
r ln ( t) povas esti derivita laŭ simila maniero:
#000060
La dua egaleco uzas ŝanĝon de variabloj ( integriĝo per anstataŭigo), w = x 1/ r .
#000061
La sumo super la reciprocals de naturaj nombroj,
#000062
estas vokita la harmonia serio.
Ĝi estas proksime ligita al la natura logaritmo: ĉar n tendencas al senfineco, la diferenco,
#000063
konverĝas (t.e., iĝas propraaŭtoritate proksima) al nombro konata kiel la konstanto de Eŭlero-Mascheroni.
Tiu rilato helpas pri analizado de la prezento de algoritmoj kiel ekzemple vivantspeco.
#000064
Ekzistas ankaŭ iuj aliaj integritaj reprezentadoj de la logaritmo kiuj estas utilaj en kelkaj situacioj:
#000065
La unua identeco povas esti konfirmita per montrado ke ĝi havas la saman valoron ĉe x = 1, kaj la sama derivaĵo.
La dua identeco povas esti pruvita per skribado
#000066
kaj tiam enigante la Laplace-transformon de cos ( kst) (kaj cos ( t).
#000067
Realaj nombroj kiuj ne estas algebraj estas nomitaj transcendaj;
Preskaŭ ĉiuj realaj nombroj estas transcendaj.
La logaritmo estas ekzemplo de transcenda funkcio.
La Gelfond-Schneider teoremo asertas ke logaritmoj kutime prenas transcendaj, t.e., "malfacilaj" valoroj.
#000068
Logaritmoj facile komputeblas en kelkaj kazoj, kiel ekzemple log10 (1000) = 3.
Ĝenerale, logaritmoj povas esti kalkulitaj uzante potencvicon aŭ la aritmetik-geometrian meznombron, aŭ esti prenitaj de prekalkulita logaritmotablo kiu disponigas fiksan precizecon.
La metodo, de Neŭtono ripeta metodo solvi ekvaciojn ĉirkaŭ, povas ankaŭ esti uzita por kalkuli la logaritmon, ĉar ĝia inversa funkcio, la eksponenta funkcio, povas esti komputita efike.
Uzante datumtrovado-tabelojn, CORDIC-similaj metodoj povas esti uzitaj por komputi logaritmojn se la nuraj haveblaj operacioj estas aldono kaj peco ŝanĝiĝas.
Krome, la binara logaritmalgoritmo kalkulas funt. ( x) rekursive baziten sur ripetaj kvadraturoj de x, ekspluatante la rilaton
#000069
Por ĉiu reala pli sensenta z kiu kontentigas 0< z < 2, la sekva formulo tenas:
#000070
Tio estas stenografio por dirado ke ln ( z) povas esti proksimigita al pli kaj pli preciza valoro per la sekvaj esprimoj:
#000071
Ekzemple, kun z = 0.1 la unuaorda aproksimado donas al ln (1.1) ≈ 0.1, kio estas malpli ol 5% de la ĝusta valoro 0.0953.
#000073
Alia serio estas bazita sur la area hiperbola klavo funkcio:
#000074
por iu reala pli sensenta z > 0.
[nb 5] [50] Utiligante sigmonotacion, tio ankaŭ estas skribita kiel
#000075
Tiu serio povas esti derivita de ĉi-supra serio de Taylor.
Ĝi konverĝas pli rapide ol la serio de Taylor, aparte se z estas proksima al 1-a Ekzemple, por z = 1.5, la unuaj tri oficperiodoj de la dua serio aproksimas ln (1.5) kun eraro de proksimume 6994300000000000000♠ 3 × 10 −6 .
La rapida konverĝo por z proksime al 1 povas esti prenita avantaĝo de enen la sekva maniero: surbaze de malalt-precizeca aproksimado y ≈ ln ( z) kaj lokado
#000076
la logaritmo de z estas:
#000077
\displaistile \ln (z) y=\ln (A).
#000078
Ju pli bona la komenca aproksimado y estas, la pli proksima A estas al 1, tiel ke ĝia logaritmo povas esti kalkulita efike.
Ladskatolo estu kalkulita uzante la eksponentan serion, kiu konverĝas rapide disponigis y estas ne tro granda.
Kalkuli la logaritmon de pli granda z povas esti reduktita al pli malgrandaj valoroj de z skribante z =
#000079
Proksime rilatita metodo povas esti uzita por komputi la logaritmon de entjeroj.
El ĉi-supra serio, ĝi sekvas tion:
#000080
Se la logaritmo de granda entjero n estas konata, tiam tiu serio donas rapidan konverĝantan serion por tagalo ( n +1).
#000081
La aritmetik-geometria meznombro donas altajn precizecaproksimadojn de la natura logaritmo.
Sasaki kaj Kanada montris en 1982 ke ĝi estis precipe rapida por precizecoj inter 400 kaj 1000 decimalaj lokoj, dum serio de Taylor-metodoj estis tipe pli rapidaj kiam malpli precizeco estis necesa.
En ilia laboro ln ( x) estas proksimigita al precizeco de 2 − p (aŭ p precizaj pecoj) per la sekva formulo (pro Carl Friedrich Gauss): [51]
#000082
Ĉi tie M ( x, y) indikas la aritmetik-geometrian meznombron de x kaj y.
La du nombroj rapide konverĝas al ofta limo kiu estas la valoro de M ( x, y).
m estas elektita tia ke
#000083
Pli granda m igas al la M ( x, y) kalkulon preni pli da ŝtupoj (la inicialoj x kaj y estas pli for tute malsama tiel ĝi prenas pli da ŝtupoj por konverĝi) sed donas pli da precizeco.
La konstantoj pi kaj ln (2) povas esti kalkulitaj kun rapide konverĝantaj serioj.
#000084
Dum en Los Alamos Nacia Laboratorio laboranta pri la Projekto Manhattan, Richard Feynman evoluigis iomete prilaboran algoritmon kiu estas simila al longa dividado kaj poste estis uzita en la Ligo-Maŝino.
Ĉiu bazo povas esti uzita por la logaritmotablo.
#000085
Sciencaj kvantoj ofte estas esprimitaj kiel logaritmoj de aliaj kvantoj, uzante logaritman skalon.
Ekzemple, la decibelo estas mezurunuo asociita kun logaritma-skalo
Ĝi estas bazita sur la komuna logaritmo de rilatumoj - 10 fojojn la komuna logaritmo de potenco proporcio aŭ 20 fojojn la komuna logaritmo de tensio proporcio.
Kutimas kvantigi la perdon de tensioniveloj en elsendado de elektraj signaloj, [57] por priskribi fortonivelojn de sonoj en akustiko, [58] kaj la absorbon de lumo en la kampoj de spektrometrio kaj optiko.
La signalo-bruo-rilatumo priskribanta la kvanton de nedezirata bruo rilate al (senchava) signalo ankaŭ estas mezurita en decibeloj.
En simila vejno, la pinto signalo-bruo-rilatumo kutimas ofte taksi la kvaliton de sono kaj bildkunpremad metodojn utiligantajn la logaritmon.
#000087
Semilog (tagal-linia) grafeoj utiligas la logaritman skalkoncepton por bildigo: unu akso, tipe la vertikalo unu, estas skalita logaritme.
Ekzemple, la diagramo ĉe la dekstro kunpremas la krutan pliiĝon de 1 miliono ĝis 1 duiliono ĝis la sama spaco (sur la y-akso) kiel la pliiĝo de 1 ĝis 1 milionoj.
En tiaj grafeoj, eksponentaj funkcioj de la formo f ( x
b x prezentiĝu kiel aerlinioj kun deklivo egala al la logaritmo de b.
Tagal-registraj grafeoj skalas ambaŭ aksojn logaritme, kiu kaŭzas funkciojn de la formo f ( x
x k por esti prezentita kiel aerlinioj kun deklivo egala al la eksponento k.
Tio estas uzita en bildigado kaj analizado de povaj leĝoj.
#000089
Logaritmoj okazas en pluraj leĝoj priskribantaj homan percepton: [65]
La leĝo de kampulo proponas logaritman rilaton inter la tempo kiun individuoj prenas por elekti alternativon kaj la nombron da elektoj kiujn ili havas.
La leĝo de Fitts antaŭdiras ke la tempo postulata por rapide moviĝi al celareo estas logaritma funkcio de la distanco al kaj la grandeco de la celo.
En psikofiziko, la Weber-Fechner-leĝo proponas logaritman rilaton inter stimulo kaj sensacio kiel ekzemple la fakta vs. la perceptita pezo de objekto persono portas.
(Tiu "leĝo", aliflanke, estas malpli preciza ol pli lastatempaj modeloj, kiel ekzemple la potencjuro de la Stevens.
#000090
Psikologiaj studoj fondas ke individuoj kun malmulte da matematikeduko emas taksi kvantojn logaritme, t.e., ili poziciigas nombron sur nemarkita linio laŭ ĝia logaritmo, tiel ke 10 estas poziciigitaj kiel finoj al 100 kiel 100 estas al 1000.
Kreskanta eduko ŝanĝas tion al linia takso (poziciigante 1000 10x kiel ege for) en kelkaj cirkonstancoj, dum logaritmoj estas utiligitaj kiam la nombroj por esti punktskribitaj estas malfacilaj konspiri linie.
#000091
Logaritmoj ekestas en probablokalkulo: la regulo de grandaj nomroj diktas ke, por justa monero, ĉar la nombro da moneroĵetoj pliiĝas al senfineco, la observita proporcio de ĉefaliroj duono.
La fluktuoj de tiu proporcio ĉirkaŭ duono estas priskribitaj per la leĝo da la ripetita logaritmo.
#000092
Logaritmoj ankaŭ okazas en tagal-normalaj distribuoj.
Kiam la logaritmo de hazarda variablo havas normalan distribuon, la variablo laŭdire havas tagal-normalan distribuon.
Tagal-normalaj distribuoj estas renkontitaj en multaj kampoj, kie ajn variablo estas formita kiel la produkto de multaj sendependaj pozitivaj hazardaj variabloj, ekzemple en la studo de turbuleco.
#000093
Logaritmoj estas utiligitaj por maksimum-verŝajneca takso de parametrikaj statistikaj modeloj.
Por tia modelo, la verŝajnecfunkcio dependas de almenaŭ unu parametro kiu devas esti taksita.
Maksimumo de la verŝajnecfunkcio okazas ĉe la sama parametro-valoro kiel maksimumo de la logaritmo de la verŝajneco (la " arbotrunko-verŝajneco "), ĉar la logaritmo estas kreskanta funkcio.
La tagalo-verŝajneco estas pli facila por maksimumigi, precipe por la multobligitaj verŝajnecoj por sendependaj hazardaj variabloj.
#000094
La leĝo de Benford priskribas la okazon de ciferoj en multaj datumserioj, kiel ekzemple altaĵoj de konstruaĵoj.
Laŭ la leĝo de Benford, la verŝajneco ke la unua decimalcifero de objekto en la datenprovaĵo estas d (de 1 ĝis 9) korespondas al log10 ( d + 1) − log10 ( d), ĉiaokaze de la mezurunuo.
Tiel, proksimume 30% de la datenoj povas esti atenditaj havi 1 kiel unua fingro, 18% komencas kun 2, ktp.
Revizoroj ekzamenas deviojn de la leĝo de Benford por detekti fraŭdan kontadon.
#000095
Analizo de algoritmoj estas branĉo de komputado kiu studas la prezenton de algoritmoj (komputilaj programoj solvantaj certan problemon).
Logaritmoj estas valoraj por priskribado algoritmoj kiuj dividas problemon en pli malgrandajn, kaj interligas la solvojn de la subproblemoj.
#000096
Ekzemple, trovi nombron en ordigita listo, la binara serĉalgoritmo kontrolas la mezeniron kaj enspezon kun la duono antaŭ aŭ post la mezeniro ĉu la nombro ankoraŭ estas ne trovita.
Tiu algoritmo postulas, averaĝe, log2 ( N) komparojn, kie N estas la longo de la listo.
Simile, la kunfandordigan algoritmon aranĝas neordigitan liston dividante la liston en duonojn kaj ordigante tiujn unue antaŭ kunfandado de la rezultoj.
Kunfandordigajn algoritmojn tipe postulas tempon ĉirkaŭ proporciaj al N
La bazo de la logaritmo ne estas precizigita ĉi tie, ĉar la rezulto nur ŝanĝiĝas de konstanta faktoro kiam alia bazo estas uzita.
Konstanta faktoro estas kutime ignorita en la analizo da algoritmoj sub la norma uniforma kostmodelo.
#000097
Funkcio f ( x) laŭdire kreskas logaritme ĉu f ( x) estas (precize aŭ ĉirkaŭ) proporcia al la logaritmo de x.
(Biologiaj priskriboj de organismokresko, aliflanke, uzas tiun esprimon por eksponenta funkcio.
Ekzemple, ĉiu natura nombro N povas esti reprezentita en binara formo en ne pli ol log2 ( N) + 1
En aliaj vortoj, la kvanto de memoro bezonata por stoki N kreskas logaritme kun N.
#000098
Entropio estas larĝe kvanto de la malsano de iu sistemo.
En statistika termodinamiko, la entropio S da iu fizika sistemo estas difinita kiel
#000099
La sumo estas finita ĉiaj ajn ŝtatoj I de la sistemo koncernita, kiel ekzemple la pozicioj de gaspartikloj en ujo.
Krome, p mi estas la verŝajneco ke la ŝtato mi estas ekhavita kaj k estas la konstanto de Boltzmann.
Simile, entropio en informa teorio mezuras la kvanton de informoj.
Se mesaĝricevanto povas atendi ĉiun el N eblaj mesaĝoj kun egala verŝajneco, tiam la informkvanton perita per ĉiu tia mesaĝo estas kvantigita kiel log2 ( N) pecoj.
#000100
Lyapunov-eksponentoj utiligas logaritmojn por mezuri la gradon da kaoteco de dinamika sistemo.
Ekzemple, por partiklo moviĝanta sur ovalan bilardtablon, eĉ groŝmonojn de la komenca kondiĉrezulto en tre malsamaj padoj de la partiklo.
Tiaj sistemoj estas kaosaj laŭ determinisma maniero, ĉar malgrandaj mezureraroj de la komenca ŝtato antaŭvideble kondukas al plejparte malsamaj finaj ŝtatoj.
Almenaŭ unu Lyapunov-eksponento de determinisme kaosa sistemo estas pozitiva.
#000101
Logaritmoj okazas en difinoj de la dimensio de fraktaloj.
Fraktaloj estas geometriaj objektoj kiuj estas mem-similaj: malgrandaj partoj minimume reproduktas, malglate, la tutan tutmondan strukturon.
La Sierpinski-triangulo (bildigita) povas esti kovrita per tri kopioj de si mem, ĉiu havante flankojn duono de la origina longo.
Tio faras la Hausdorff-dimension de tiu strukturln (3)/ln (2) ≈ 1.58.
Alia logaritmo-bazita nocio de dimensio akiriĝas nombrante la nombron da kestoj necesaj por kovri la fraktalon koncernitan.
#000102
Logaritmoj estas rilatitaj al muzikaj tonoj kaj intervaloj.
En egalŝtupa agordo, la frekvencoproporcio dependas nur de la intervalo inter du tonoj, ne de la specifa frekvenco, aŭ tonalto, de la individuaj tonoj.
Ekzemple, la noto A havas frekvencon de 440 Hz kaj B bemola havas frekvencon de 466 Hz.
La intervalo inter A kaj B bemola estas duontono, kiel estas tiu inter B bemola kaj B (frekvenco 493 Hz).
#000103
Tial, logaritmoj povas esti utiligitaj por priskribi la intervalojn: intervalo estas mezurita en duontonoj prenante la bazo-21/12 logaritmon de la frekvenco proporcio, dum la bazo-21/1200 logaritmo de la frekvencoproporcio esprimas la intervalon en cendoj, centonoj de duontono.
Ĉi-lasta estas uzita por pli bona kodigado, ĉar ĝi estas bezonita por ne-egalaj temperamentoj.
#000104
Naturaj logaritmoj estas proksime ligitaj al nombrado de primoj (2, 3, 5, 7, 11, ...
, grava temo en nombroteorio.
Por iu entjero x, la kvanto de primoj malpli ol aŭ egala al x estas indikita π ( x) .
La prima teoremo asertas ke π ( x) estas ĉirkaŭ donita per
#000105
en la senco ke la rilatumo de π ( x) kaj ke frakcialiroj 1 kie x tendencas al senfineco.
Kiel sekvo, la verŝajneco ke hazarde elektita nombro inter 1 kaj x estas ĉefa estas inverse proporcia al la nombro da decimalciferoj de x.
Multe pli bona takso de π ( x) ricevas per la ofseto al integrala eksponenta funkcio Lion ( x), difinitan per
#000106
La Riemann-hipotezo, unu el la plej malnovaj malfermaj matematikaj supozoj, povas esti deklarita laŭ komparado de π ( x) kaj Lio ( x).
La Erdős-Kac-teoremo priskribanta la nombron da apartaj primaj faktoroj ankaŭ implikas la naturan logaritmon.
#000107
La logaritmo de n uzina, n!
#000108
Tio povas esti uzita por akiri la formulon, de Stirling aproksimadon de n!
#000109
La komplekso numeras solvadon la ekvacio
#000110
Ĉi tie, z estas kompleksa nombro.
Kompleksa nombro estas ofte reprezentita kiel z = x-+ iy , kie x kaj y estas realaj nombroj kaj mi estas la imaginara unuo.
Tia nombro povas esti bildigita per punkto en la kompleksa ebeno, kiel montrite ĉe la dekstro.
La polusa formo ĉifras ne-nulan kompleksan nombron z memstare absoluta valoro, t.e., la distancon r al la origino, kaj angulon inter la absciso kaj la linio pasanta tra la origino kaj z.
Tiu angulo estas nomita la argumento de z.
La absoluta valoro r de z estas
#000111
La argumento ne estas unike precizigita per z: kaj φ kaj la φ + de φ = 2π estas argumentoj de z ĉar adiciante 2π
Radianoj aŭ 360 gradoj [nb 6] al φ egalrilatas al "bobeni" ĉirkaŭ la origino maldekstrume per turno.
La rezulta kompleksa nombro denove estas z, kiel ilustrite ĉe la dekstro.
Tamen, ekzakte unu argumento φ kontentigas − π < φ- kaj φ ≤ π.
Ĝi estas nomita la ĉefargumento, indikita Arg ( z), kun ĉefurbo A.
(Alternativa normaligo estas 0 ≤ Arg ( z
#000112
sine kaj kosinuso, aŭ la kompleksa eksponento, respektive, r kaj φ estas tia ke la sekvaj identecoj tenas: [94]
#000113
Tio implicas ke la th potenco de e korespondas al z, kie
#000114
φ estas la ĉefargumento Arg ( z) kaj n estas arbitra entjero.
Eventuala tia estas nomita kompleksa logaritmo de z.
Ekzistas senlime multaj el ili, kontraste al la unike difinita reala logaritmo.
Se n = 0, estas nomitaj la ĉefvaloro de la logaritmo, indikis Log ( z).
La ĉefargumento de iu pozitiva reala nombro x estas 0;
tial Log ( x) estas reala nombro kaj korespondas al la reala (natura) logaritmo.
Tamen, ĉi-supraj formuloj por logaritmoj de produktoj kaj potencoj ne ĝeneraligas al la ĉefvaloro de la kompleksa logaritmo.
#000115
La ilustraĵo ĉe la dekstro prezentas Log ( z).
La malkontinueco, t.e., la salto en la nuanco ĉe la negativa parto de la x- aŭ reala akso, estas kaŭzita de la salto de la ĉefargumento tie.
Tiu lokuso estas nomita branĉotranĉao.
Tiu konduto povas nur esti evitita finante la intervallimigon sur φ.
Tiam la argumento de z kaj, sekve, ĝia logaritmo iĝas multi-aprezitfunkcioj.
#000116
Potenco okazas en multaj lokoj de matematiko kaj ĝia inversa funkcio estas ofte referita kiel la logaritmo.
Ekzemple, la logaritmo de matrico estas la (multi-aprezit) inversa funkcio de la matriceksponento.
Alia ekzemplo estas la p-adic logaritmo, la inversa funkcio de la p-adic eksponento.
Ambaŭ estas difinitaj per serio de Taylor analogaj al la reala kazo.
En la kunteksto de diferenciala geometrio, la eksponenta mapo mapas la klavspacon ĉe punkto de dukto al najbareco de tiu punkto.
Ĝia inversa ankaŭ estas nomita la logaritma (aŭ tagalo) mapo.
#000117
En la kunteksto de finiaj grupoj potenco ricevas plurfoje multobligante unu grupelementon b kun si mem.
La diskreta logaritmo estas la entjero n solvanta la ekvacion
#000118
kie x estas elemento de la grupo.
Aranĝi la potencon povas esti farita efike, sed la diskreta logaritmo verŝajne estas tre malmola kalkuli en kelkaj grupoj.
Tiu malsimetrio havas gravajn aplikojn en publikŝlosila kriptografio, kiel ekzemple ekzemple en la Diffie-Hellman-esenca interŝanĝo, rutino kiu permesas sekurajn interŝanĝojn de kriptigaj ŝlosiloj super nesekurigitaj informkanaloj.
La logaritmo de Zech estas rilatita al la diskreta logaritmo en la multiplika grupo de ne-nulaj elementoj de finhava kampo.
#000119
Pliaj logaritmo-similaj inversaj funkcioj inkludas la duoblan logaritmo ln (ln ( x), la statiston- aŭ hiper-4-logaritmon (burĝonanta vario de kiu estas nomita ripetita logaritmo en komputado), la Lambert W-funkcion, kaj la logit.
Ili estas la inversaj funkcioj de la duobla eksponenta funkcio, Supereksponento, de f ( w
ŭew , [101] kaj de la loĝistika funkcio, respektive.
#000120
De la perspektivo de teorio de grupoj, la identecregistro ( lumdisko) = tagalo ( c) + registro ( d) esprimas grupizomorfion inter pozitivaj realoj sub multipliko kaj realoj sub aldono.
Logaritmaj funkcioj estas la nuraj kontinuaj izomorfioj inter tiuj grupoj.
Per tiu izomorfio, la Haar-iniciato ( Lebesgue-iniciato) dks sur la realoj egalrilatas al la Haar-iniciato dks / x sur la pozitivaj realoj.
#000121
Logaritma unu-formoj df / f aperas en kompleksa analitiko kaj algebra geometrio kiel diferencigaj formoj kun logaritmaj poloj.
#000122
La polilogaritmo estas la funkcio difinita per
#000123
Ĝi estas rilatita al la natura logaritmo de Li1 ( z) = −ln (1 − z).
Krome, Lio s (1) korespondas al la Riemann zetafunkcio ζ ( j).
#000124
La logaritmo de iu nombro y je iu bazo a estas tiu nombro x, por kiu validas
#000128
La natura logaritmo estas logaritmo kun bazo e.
#000129
Natura logaritmo estas la inversa funkcio de eksponenta funkcio.
#000130
Logaritmo kun bazo a estas la inversa funkcio de eksponenta funkcio kun la sama bazo y = ax kiel funkcio de x. (Se la potenciga funkcio estas konsiderata kiel funkcio de a, ĝia inverso estas la x-a radiko.)
#000131
Oni notas la logaritman funkcion de x je bazo a per la simbolo "logax". La logaritmaj funkcioj je diversaj bazoj a kaj b diferencas je konstanta faktoro, kiu egalas al logab = 1/logba.
#000132
Natura logaritmo estas skribita kiel "ln x".
#000133
En la historio de matematiko logaritmoj havis grandan signifon, ĉar multipliko de nombro egalas al adicio de iliaj logaritmoj, kaj adicio estas multe pli facile kaj rapide farebla ol multipliko (sen poŝkalkulilo). Tial iam ĉiu matematikisto kaj inĝeniero posedis libron kun tabeloj de logaritmoj (je bazo 10, kvar- aŭ kvin-ciferaj), per kiuj li povis multipliki pli rapide. Sur la sama principo baziĝas la glitkalkulilo, kiu havas logaritmajn skalojn, kiuj estas (fizike, per apudmeto) adiciataj.
#000134
Kiam elektronikaj kalkuliloj ne ekzistis, la plej rapida maniero trovi (dekumajn) logaritmojn estis konsulti tabel-libron. La matematikisto Henry Briggs en 1617 publikigis la unuan tian tabelon, kiu enhavis 14-poziciajn logaritmojn de ĉiuj entjeroj ĝis 20.000 kaj de 90.000 al 100.000. La nederlandano Adrian VLACQ en 1628 komplementis la intervalon de 20.000 al 90.000 (kun 10 pozicioj).
#000135
14 pozicioj estas tre multaj, sed ili ne estis vere utiligeblaj en la praktiko, ĉar la logaritmojn de nombroj inter la listigitaj oni devis poli, kaj tio perdigis multon el la mirinda 14-pozicia precizeco.
#000136
Ĉar la logaritmoj de iu nombro kaj de ĝia dekoblo diferencas ekzakte je 1, ne necesas listigi ĉiujn nombrojn ek de 1; sufiĉas ajna intervalo inter iu nombro kaj ĝia dekoblo. Nunaj logaritmaj tabeloj kutime uzas la intervalon inter 0,1 kaj 1,0.
#000137
Ĉe uzo de logaritma tabelo por multipliko oni distingas inter la entjera kaj la frakcia partoj de la logaritmo. La entjera parto, kiu respondas al potencoj de 10 (do al la pozicio de la komo), nomiĝas karakteristiko, la frakcia parto mantiso.
#000138
La karakteristiko estas do tio, kion en komputa matematiko oni nomas eksponento, dum ke la mantiso estas la logaritmo de tio, kion la komputa matematiko nomas signifikaĵo.
#000139
La dekumaj logaritmoj (logaritmoj je bazo 10) estas nomataj laŭ la menciita Henry Briggs kiel "logaritmoj de Briggs". Logaritmoj je la bazo e nomiĝas "logaritmoj de Euler" aŭ "naturaj logaritmoj", mallonge ln (latine logarithmus naturalis). En komputiko gravas la "duumaj logaritmoj" (je bazo 2) kaj foje la "dek-ses-umaj logaritmoj" (je bazo 16).
#000140
La vorto logaritmo devenas el la helena lingvo, en kiu arithmos (αριθμoς) signifas "nombro" kaj logos (λoγoς) havas multegajn signifojn, inter ili "rilato".
#000141
La simbolo de la logaritmo, la tri literoj "log", havas propran unikodan signon kun la numero 13266 (log).
#000142
Inversaj hiperbolaj funkcioj estas difinitaj en la kompleksa ebeno per esprimoj kun logaritmoj
#000143