Wikipedia's Bijection as translated by GramTrans
#000000
En matematiko, ensurĵeto, bijektivefunkcio aŭ ekzakta korespondado estas funkcio inter la elementoj de du aroj, kie ĉiu elemento de unu aro estas parigita kun precize unu elemento de la alia aro, kaj ĉiu elemento de la alia aro estas parigita kun ekzakte unu elemento de la unua aro.
En matematikaj esprimoj, bijektivefunkcio f:
X → Y estas al unu-al-unu (injektivo) kaj sur (surjektive) mapado de aro X al aro Y.
#000001
Ensurĵeto de la aro X ĝis la aro Y havas inversan funkcion de Y ĝis X.
Se X kaj Y estas finhavaj aroj, tiam la ekzisto de ensurĵeto signifas ke ili havas la saman nombron da elementoj.
Por senfinaj aroj la bildo estas pli d komplika, kondukante al la koncepto de povo de aro, maniero distingi la diversajn grandecojn de senfinaj aroj.
#000002
Bijektivefunkcio de aro ĝis si mem ankaŭ estas nomita permutaĵo .
#000003
Bijective-funkcioj estas esencaj al multaj areoj de matematiko inkluzive de la difinoj de izomorfio, homeomorfio, difeomorfismo, permutadogrupo, kaj projekcia mapo.
#000004
Batiladgrupigo de basbalo aŭ kriketteamo
Sidlokoj kaj studentoj de klasĉambro
#000006
Por parigo inter X kaj Y (kie Y ne devas esti diferenca de X) por esti ensurĵeto, kvar trajtoj devas teni:
#000007
ĉiu elemento de X devas esti parigita kun almenaŭ unu elemento de Y,
neniu elemento de X povas esti parigita kun pli ol unu elemento de Y,
ĉiu elemento de Y devas esti parigita kun almenaŭ unu elemento de X, kaj
neniu elemento de Y povas esti parigita kun pli ol unu elemento de X.
#000008
Kontentigante trajtojn (1) kaj (2) rimedojn ke ensurĵeto estas funkcio kun domajno Xa.
Oni pli ofte vidas trajtojn (1) kaj (2) skriba kiel ununura deklaro: Ĉiu elemento de X estas parigita kun ekzakte unu elemento de Y.
Funkcioj kiuj kontentigas posedaĵon (3) laŭdire estas " sur Y " kaj estas nomitaj surjektion (aŭ surĵetoj).
Funkcioj kiuj kontentigas posedaĵon (4) laŭdire estas unu-al-unuj funkcioj " kaj estas nomitaj injektoj (aŭ enĵetoj).
Kun tiu terminologio, ensurĵeto estas funkcio kiu estas kaj surjektion kaj injekto, aŭ uzante aliajn vortojn, ensurĵeto estas funkcio sur kiu estas kaj unu-al-unu kaj«".
#000009
foje uzita por indiki surjektion kaj la rightŭards sagon per pikhokumita vosto ( U+ 21A3 ↣ RIGHTwARDS SAGO KUN VOSTO)
foje uzita por indiki injektojn.
#000010
Batiladgrupigo de basbalo aŭ kriketteamo
#000011
Pripensu la batiladgrupigon de basbalo aŭ kriketteamo (aŭ ajna listo de ĉiuj ludantoj de iu sportteamo kie ĉiu ludanto tenas specifan punkton en grupigo).
La aro X estos la ludantoj sur la teamo (de grandeco naŭ koncerne basbalon) kaj la aro Y estos la pozicioj en la batilado ordonos (ke unua, dua, tria, ktp.) La "parigo" ricevas per kiu ludanto estas en kiu pozicio en tiu sinsekvo.
Posedaĵo (1) estas kontentigita ĉar ĉiu ludanto estas ie en la listo.
Posedaĵo (2) estas kontentigita ĉar neniu ludanto batas en du (aŭ pli da) pozicioj en la sinsekvo.
Posedaĵo (3) diras tio por ĉiu pozicio en la sinsekvo, ekzistas iu ludanto batanta en tiuj pozicio- kaj posedaĵo (4) ŝtatoj ke du aŭ pli da ludantoj neniam batas en la sama pozicio en la listo.
#000012
Sidlokoj kaj studentoj de klasĉambro
#000013
En klasĉambro ekzistas certa nombro da sidlokoj.
Grupo de studentoj eniras la ĉambron kaj la instrukciisto demandas al ili ĉiu esti sesila.
Post rapida rigardo ĉirkaŭ la ĉambro, la instrukciisto deklaras ke ekzistas ensurĵeto inter la aro de studentoj kaj la aro de sidlokoj, en kie ĉiu studento estas parigita kun la sidloko ili sidas.
Kio la instrukciisto observita por atingi tiun konkludon estis ke:
#000014
Ĉiu studento estis en sidloko (ekzistis neniu unu reputacio),
Neniu studento estis en pli ol unu sidloko,
Ĉiu sidloko havis iun sidante tie (ekzistis neniuj malplenaj sidlokoj), kaj
Neniu sidloko havis pli ol unu studenton en ĝi.
#000015
La instrukciisto povis fini ke ekzistis ekzakte tiel multaj sidlokoj kia ekzistis studentoj, sen devi nombri ĉiu el ambaŭ metitan.
#000016
Pli matematikaj ekzemploj kaj kelkaj ne-ekzemploj
#000017
Ensurĵeto f kun domajno Xa (indicite per f:
X → Y en funkcia notacio) ankaŭ difinas rilaton komencantan en Y kaj irantan al X (de turnado de la sagoj).
La proceso de "turnado de la sagoj" por arbitra funkcio ne faras, ĝenerale, doni funkcion, sed trajtoj (3) kaj (4) de ensurĵeto diras ke tiu inversa rilato estas funkcio kun domajno Y.
Krome, trajtoj (1) kaj (2) tiam eldiro kiu tiu inversa funkcio estas surjektion kaj injekto, t.e., la inversa funkcio ekzistas kaj ankaŭ estas ensurĵeto.
Funkcioj kiuj havas inversajn funkciojn laŭdire estas inverteblaj.
Funkcio estas invertebla se kaj nur se ĝi estas ensurĵeto.
#000019
Deklarite en konciza matematika skribmaniero, funkcio f:
X → Y estas bijektive se kaj nur se ĝi kontentigas la kondiĉon
#000020
por ĉiu y en Y ekzistas unika x en X kun y = f ( x).
#000021
Daŭrante kun la basbalbatiladgrupigekzemplo, la funkcio kiu estas difinita prenas kiel enigaĵo la nomon de unu el la ludantoj kaj produktaĵoj la pozicion de tiu ludanto en la batiladsinsekvo.
Ĉar tiu funkcio estas ensurĵeto, ĝi havas inversan funkcion kiu prenas kiel enigaĵo pozicion en la batiladsinsekvo kaj produktaĵojn la ludanton kiuj estos batilado en tiu pozicio.
#000022
Y → Z estas ensurĵeto.
#000023
Se X kaj Y estas finhavaj aroj, tiam tie ekzistas ensurĵeto inter la du aroj X kaj Y se kaj nur se X kaj Y havas la saman nombron da elementoj.
Efektive, en aksioma aroteorio, tio estas prenita kiel la difino de "sama nombro da elementoj" ( ekvinumeroseco), kaj ĝeneraligante tiun difinon al senfinaj aroj kondukas al la koncepto de povo de aro, maniero distingi la diversajn grandecojn de senfinaj aroj.
#000024
Ensurĵetoj kaj teorio de kategorioj
#000026
Ensurĵetoj estas ĝuste la izomorfioj en la kategoria aro de aroj kaj arfunkcioj.
Tamen, la ensurĵetoj ne estas ĉiam la izomorfioj por pli kompleksaj kategorioj.
Ekzemple, en la kategorio Grp de grupoj, la morfismoj devas esti homomorfismoj ĉar ili devas konservi la grupstrukturon, tiel ke la izomorfioj estas grupizomorfioj kiuj estas bijektivehomomorfismoj.
#000027
La nocio de ekzakta korespondado ĝeneraligas al partaj funkcioj, kie ili estas nomitaj partaj ensurĵetoj, kvankam partaj ensurĵetoj estas nur postulataj por esti injektivo.
La kialo de tiu rilakso estas ke (bonorda) parta funkcio jam estas nedifinita por parto de it domajno;
tiel ekzistas neniun devigi kialon limigi ĝian inversan esti totala funkcio, t.e. difinita ĉie pri ĝia domajno.
La aro de ĉiuj partaj ensurĵetoj sur antaŭfiksita bazaktoraro estas nomita la simetria inversa Duongrupo.
#000028
Alia maniero difini la sama nocio estas diri ke parta ensurĵeto de A ĝis B estas ajna rilato R (kiu montriĝas por parta funkcio) kun la posedaĵo kiun tiu R estas la grafeo de ensurĵeto f:
A′ → B′, kie A′ estas subaro de A kaj B′ estas subaro de B.
#000029
Kiam la parta ensurĵeto estas sur la sama aktoraro, ĝi foje estas nomita unu-al-unu parta transformo .
Ekzemplo estas la transformo de Möbius simple difinita sur la kompleksa ebeno, prefere ol sia kompletigo al la plilongigita kompleksa ebeno.
#000030
Tiu temo estas baza koncepto en aroteorio kaj povas esti trovita en iu teksto kiu inkludas enkondukon al aroteorio.
Preskaŭ ĉiuj tekstoj kiuj traktas enkondukon al skribpruvoj inkludos sekcion pri aroteorio, tiel ke la temo povas esti trovita en iu da tiuj:
#000032
La leĝoj de De Morgan
#000036
Povo de aro ( granda)
#000037
Matematika funkcio nomiĝas ensurĵeto aŭ inversigebla (dissurĵeto, bijekcio), se ĝi estas enĵeto kaj surĵeto.
#000038
Oni povas difini ensurĵetan funkcion ankaŭ sen uzo de la nocioj enĵeto kaj surĵeto:
#000039
Estu bildigo (ĵeto) de al , t.e. .
#000040
nomiĝas ensurĵeto, se por ĉiu el ekzistas unu kaj nur unu el kun .
#000041