Kompleksa nombro estas nombro kiu povas esti esprimita en la formo + busoj , kie a kaj b estas realaj nombroj, kaj mi estas solvo de la ekvacio x 2 = −1, kiu estas nomita imaga nombro ĉar ekzistas neniu reala nombro kiu kontentigas tiun ekvacion.
Por la komplekso numeras + busoj , estas nomita la reela parto , kaj b estas nomita la imaginara parto .
Malgraŭ la historia nomenklaturo "imagaj", kompleksaj nombroj estas rigarditaj en la matematikaj sciencoj tiel ekzakte kiel "realoj" kiel la realaj nombroj, kaj estas fundamentaj en multaj aspektoj de nia priskribo de la natura mondo.
#000001
La kompleksanombra sistemo povas esti difinita kiel la algebra etendaĵo de la ordinaraj realaj nombroj per imaga nombro mi .
Tio signifas ke kompleksaj nombroj povas esti aldonitaj, subtrahitaj, kaj multobligis, kiel polinomoj en la variablo mi , kun la regulo mi 2 = −1 trudis.
Krome, kompleksaj nombroj ankaŭ povas esti dividitaj per nonzero-kompleksnombroj.
Totala, la kompleksanombra sistemo estas kampo.
#000002
Plej grave la kompleksaj nombroj kaŭzas la algebra bazteoremo: ĉiu ne-konstanta polinom ekvacio kun kompleksookoeficientoj havas kompleksoosolvon.
Tiu posedaĵo estas vera de la kompleksaj nombroj, sed ne la realoj.
La 16-a-jarcenta itala matematikisto Gerolamo Cardano estas meritigita je lanĉado de kompleksaj nombroj en siaj provoj trovi solvojn al triagradaj ekvacioj.
#000003
Geometrie, kompleksaj nombroj etendas la koncepton de la unu-dimensia numero-linio al la dudimensia kompleksa ebeno uzante la abscison por la reela parto kaj la y-akson por la imaginara parto.
La komplekso numeras + busoj povas esti identigita kun la punkto (, b) en la kompleksa ebeno.
Komplekso numeri kies reelan parton estas nul laŭdire estas sole imaga;
la punktoj por tiuj nombroj situas sur la y-akso de la kompleksa ebeno.
Komplekso numeri kies imaginaran parton estas nul povas esti rigardita kiel reala nombro;
ĝia punkto situas sur la absciso de la kompleksa ebeno.
Kompleksaj nombroj ankaŭ povas esti reprezentitaj en polusa formo, kiu asocias ĉiun kompleksan nombron kun it distanco de la origino (sia magnitudo) kaj kun speciala angulo konata kiel la argumento de tiu kompleksa nombro.
#000004
Karteza formo kaj difino tra ordaj duopoj
#000006
Multipliko kaj dividado en polusa formo
#000007
Kompleksaj eksponentaj kaj rilataj funkcioj
#000008
Kompleksaj nombroj permesas solvojn al certaj ekvacioj kiuj havas neniujn solvojn en realaj nombroj.
#000009
havas neniun realan solvon, ĉar la kvadrato de reala nombro ne povas esti negativa.
Kompleksaj nombroj disponigas solvon al tiu problemo.
La ideo estas etendi la realajn nombrojn kun nedeterminita mi (foje nomita la imaginara unuo) tio estas prenita por kontentigi la rilaton mi 2 = −1, tiel ke solvoj al ekvacioj kiel la antaŭirado tia povas esti trovitaj.
En tiu kazo la solvoj estas −1 + 3i kaj −1 − 3i , kiel povas esti konfirmitaj utiligante la fakton tio mi 2 = −1:
#000010
Laŭ la algebra bazteoremo, ĉiuj polinomekvacioj kun realaj aŭ kompleksookoeficientoj en ununura variablo havas solvon en kompleksaj nombroj.
#000011
Kompleksa nombro estas kelkaj el la formo + busoj , kie a kaj b estas realaj nombroj kaj mi estas nedeterminita kontentigado mi 2 = −1.
Ekzemple, 2 + 3i estas kompleksa nombro.
#000012
Kompleksa nombro povas tial esti difinita kiel polinomo en la unuopaĵo nedeterminita mi , kun la rilato mi 2 + 1 = 0 trudita.
De tiu difino, kompleksaj nombroj povas esti aldonitaj aŭ multobligitaj, uzante la aldonon kaj multiplikon por polinomoj.
Formale, la aro de kompleksaj nombroj estas la kvocientringo de la polinomringo en la nedeterminita mi , de la idealo generita per la polinomo mi 2 + 1 (vidu malsupre).
#000013
La realoj numeras estas nomita la reela parto de la komplekso numeras + busoj ;
la reala pli sensenta b estas nomita la imaginara parto de + busoj .
De tiu kongreso, la imaginara parto ne inkludas faktoron de mi: tial b, ne busoj , estas la imaginara parto.
La reela parto de kompleksa nombro z estas indikita fare de Re ( z) aŭ R ( z);
la imaginara parto de kompleksa nombro z estas indikita fare de Im ( z) aŭ I ( z).
#000014
Realoj numeras ladskatolon estu rigarditaj kiel komplekso numeras + 0i kies imaginara parto estas 0-a A sole imaga nombro busoj estas kompleksa nombro 0 + busoj kies reela parto estas nul.
Oni ofte skribas por + 0i kaj busoj por 0 + busoj .
Krome, kiam la imaginara parto estas negativa, oni ofte skribas − busoj kun b > 0 anstataŭe de
b) mi , ekzemple 3 − 4i anstataŭe de 3 + (−4) mi .
#000015
Kompleksa nombro povas tiel esti identigita kun orda duopo (Re ( z), Im ( z) en la karteza aviadilo, identigo foje konata kiel la karteza formo de z.
Fakte, kompleksa nombro povas esti difinita kiel orda duopo (, b), sed tiam regas por aldono kaj multipliko ankaŭ devas esti inkludita kiel parto de la difino (vidi malsupre).
William Rowan Hamilton lanĉis tiun aliron al difini la kompleksanombran sistemon.
#000016
Kompleksa nombro povas esti rigardita kiel punkto aŭ poziciovektoro en dudimensia karteza koordinatsistemo nomita la kompleksa ebeno aŭ Argand-diagramo (vidu Pedoe 1988 kaj Solomentsev 2001), nomita laŭ Jean-Robert Argand.
La nombroj estas konvencie punktskribitaj utiligante la reelan parton kiel la horizontalan komponenton, kaj imaginaran parton kiel vertikalo (vidu Figure 1).
Tiuj du valoroj kutimis identigi antaŭfiksitan kompleksan nombron estas tial nomitaj ĝia kartezaj, rektangulaj, aŭ algebra formo.
#000017
Poziciovektoro ankaŭ povas esti difinita laŭ sia magnitudo kaj direkto relative al la origino.
Tiuj estas emfazitaj en la polusa formo de kompleksa nombro.
Uzi la polusan formon de la kompleksa nombro en kalkuloj povas konduki al pli intuicia interpreto de matematikaj rezultoj.
Precipe, la operacioj de aldono kaj multipliko alfrontas tre naturan geometrian karakteron kiam kompleksaj nombroj estas rigarditaj kiel poziciovektoroj: aldono egalrilatas al vektoraldono dum multipliko egalrilatas al multobligado de iliaj magnitudoj kaj aldonado de iliaj argumentoj (t.e. la anguloj ili faras kun la absciso).
Rigardite laŭ tiu maniero al la multipliko de kompleksa nombro de mi egalrilatas al rotaciado de la poziciovektoro maldekstrume per kvaronturno ( 90°) koncerne la originon:
(a+ busoj) mi = akeo + busoj 2 = - b+ akeo .
#000018
La solvo en radikaluloj (sen trigonometria funkcio) de ĝenerala triagrada ekvacio enhavas la kvadratajn radikojn de negativaj nombroj kiam ĉiuj tri radikoj estas realaj nombroj, situacio kiu ne povas esti ĝustigita per faktorigado helpis per la racia radiktesto se la kubiko estas nereduktebla (la tielnomitaj casuj irreducibilis).
Tiu enigmo gvidis itala matematikisto Gerolamo Cardano elpensi kompleksaj nombroj en ĉirkaŭ 1545, [11] kvankam lia kompreno estis rudimenta.
#000019
Laboro en la problemo de ĝeneralaj polinomoj finfine kondukis al la algebra bazteoremo, kiu montras ke kun kompleksaj nombroj, solvo ekzistas al ĉiu polinom ekvacio de grado oni aŭ pli alta.
Kompleksaj nombroj tiel formas algebre fermitan kampon, kie ĉiu polinom ekvacio havas radikon.
#000020
Multaj matematikistoj kontribuis al la plenformiĝo de kompleksaj nombroj.
La reguloj por aldono, subtraho, multipliko, kaj dividado de kompleksaj nombroj estis evoluigitaj fare de la itala matematikisto Rafael Bombelli.
Pli abstrakta formalismo por la kompleksaj nombroj estis plue evoluigita fare de la irlanda matematikisto William Rowan Hamilton, kiu etendis tiun abstraktadon al la teorio de kvaropoj.
#000021
Ĉar ĝi estas polinomo en la nedeterminita mi , + ib povas esti skribita anstataŭe de + busoj , kio ofte estas oportuna kiam b estas radikalulo.
En kelkaj disciplinoj, aparte elektromagnetismo kaj elektrotekniko, j estas uzita anstataŭe de mi , [14] ĉar mi estas ofte uzita por elektra kurento.
En tiuj kazoj kompleksaj nombroj estas skribitaj kiel + bj aŭ + jb .
#000022
Du kompleksaj nombroj estas egalaj se kaj nur se kaj iliaj realaj kaj imaginaraj partoj estas egalaj.
Se la kompleksaj nombroj estas skribitaj en polusa formo, ili estas egalaj se kaj nur se ili havas la saman argumenton kaj la saman magnitudon.
#000023
Ĉar kompleksaj nombroj estas kompreneble opiniitaj de kiel ekzistante sur dudimensia aviadilo, ekzistas neniu natura linia mendado sur la aktoraro de kompleksaj nombroj.
Krome, ekzistas neniu linia mendado sur la kompleksaj nombroj kiu estas kongrua kun aldono kaj multipliko - la kompleksaj nombroj ne povas havi la strukturon de ordigita kampo.
Tio estas ĉar ĉiu kvadrato en ordigita kampo estas almenaŭ 0, sed mi 2 = −1.
#000024
La kompleksa konjugito de la kompleksa nombro z = x -+ ii estas difinita por esti x -− ii .
#000025
La realaj kaj imaginaraj partoj de kompleksa nombro z povas esti eltiritaj uzante la konjugaton:
#000026
Krome, kompleksa nombro estas reala se kaj nur se ĝi korespondas al sia propra konjugato.
#000027
Konjugacio distribuas super la normaj aritmetikoperacioj:
#000028
Kompleksaj nombroj estas aldonitaj aparte aldonante la realajn kaj imaginarajn partojn de la sumands.
#000029
Simile, subtraho estas difinita per
#000030
Utiligante la bildigon de kompleksaj nombroj en la kompleksa ebeno, la aldono havas la sekvan geometrian interpreton: la sumo de du kompleksaj nombroj A kaj B, interpretita kiel punktoj de la kompleksa ebeno, estas la punkto X akirita konstruante paralelogramon, tri el kies verdglacioj estas O, A kaj B.
Ekvivalente, X estas la punkto tia ke la trianguloj kun verdglacioj O, A, B, kaj Xa, B, A, estas kongruaj.
#000031
La multipliko de du kompleksaj nombroj estas difinita per la sekva formulo:
#000032
Aparte, la kvadrato de mi estas −1:
#000034
La antaŭa difino de multipliko de ĝeneralaj kompleksaj nombroj sekvas nature el tiu fundamenta posedaĵo de mi.
Efektive, se mi estas traktita kiel nombro tiel ke di signifas d tempojn mi , ĉi-supra multiplikregulo estas identaj al la kutima regulo por multobligado de du sumoj de du esprimoj.
#000035
La dividado de du kompleksaj nombroj estas difinita laŭ kompleksoomultipliko, kiu estas priskribita supre, kaj realan dividadon.
Kiam almenaŭ unu el c kaj d estas ne-nula, ni havas
#000036
Dividado povas esti difinita laŭ tiu maniero pro la post observado:
#000037
Kiel montrite pli frue, c − di estas la kompleksa konjugito de la denominatoro c + di .
Almenaŭ unu el la reelparta c kaj la imaginara parto d de la denominatoro devas esti nonzero por dividado por esti difinita.
Tio estas nomita " raciigo " de la denominatoro (kvankam la denominatoro en la fina esprimo eble estos neracia reala nombro).
#000038
La reciproka de nonzero-kompleksnombro z = x -+ ii ricevas per
#000039
Tiu formulo povas esti uzita por komputi la multiplikan inversan de kompleksa nombro se ĝi ricevas en rektangulaj koordinatoj.
Inversiva geometrio, branĉo de geometrio studanta reflektadojn pli da generalo ol tiaj koncerne linion, ankaŭ povas esti esprimita laŭ kompleksaj nombroj.
En la sendostacia analizo de elektraj cirkvitoj, la kompleksa konjugito estas uzita en trovado de la ekvivalenta impedanco kie la maksimuma potencotransiga teoremo estas utiligita.
#000040
kie sgn estas la signum funkcio.
#000041
Alternativa maniero difini punkto P en la kompleksa ebeno, krom uzado de la x- kaj y-koordinato, devas uzi la distancon de la punkto de O, la punkto kies koordinatoj estas (0, 0) (la origino), kune kun la angulo subtendita inter la pozitiva reala akso kaj la liniparta OPERACIO en maldekstrume direkto.
Tiu ideo kondukas al la polusa formo de kompleksaj nombroj.
#000042
La absoluta valoro (aŭ modulus aŭ magnitudo) de kompleksa nombro z = x -+ ii estas [19]
#000043
Se z estas reala nombro (t.e., se y = 0), tiam r
Tio estas, la absoluta valoro de reala nombro korespondas al sia absoluta valoro kiel kompleksa nombro.
#000044
De la teoremo de Pitagoro, la absoluta valoro de kompleksa nombro estas la distanco al la origino de la punkto reprezentanta la kompleksan nombron en la kompleksa ebeno.
#000045
La kvadrato de la absoluta valoro estas
#000046
Normale, kiel surbaze de supra, la ĉefvaloro en la intervalo (−π, π] estas elektita.
Valoroj en la intervalo [0,2π) akiriĝas adiciante 2π ĉu la valoro estas negativa.
La valoro de φ estas esprimita en Radianoj en tiu artikolo.
Ĝi povas pliiĝi de iu entjermultoblo de 2π kaj trankviligi donas la saman angulon.
Tial, la argfunkcio foje estas konsiderita multivalueitan.
La polusa angulo por la kompleksa nombro 0 estas nedeterminita, sed arbitra elekto de la angulo 0 estas ofta.
#000047
La valoro de φ korespondas al la rezulto de atan2:
#000048
Kune, r kaj φ kolapsas alian de reprezentado de kompleksaj nombroj, la polusan formo, ĉar la kombinaĵo de modulus kaj argumento plene precizigas la pozicion de punkto sur la aviadilo.
Reakiri la originalon rektangulan kunordigas de la polusa formo estas farita per la formulo nomita trigonometria formo
#000049
\displaistile z r (\kos \varfi +i\sin \varfi).
#000050
Uzi eŭleran formulon tion povas esti skribita kiel
#000051
Uzante la cis funkcion, al kiun tio foje estas mallongigita
#000052
En angulnotacio, ofte utiligita en elektroniko por reprezenti fasor kun amplitudo r kaj fazo φ, ĝi estas skribita kiel [21]
#000053
Formuloj por multipliko, dividado kaj potenco estas pli simplaj en polusa formo ol la ekvivalentaj formuloj en kartezaj koordinatoj.
Surbaze de du kompleksaj nombroj z 1 = r 1 (cosφ1 + I pekas φ1) kaj z 2 = r 2 (cosφ2 + I pekas φ2), pro la bonkonataj trigonometriaj identecoj
#000054
En aliaj vortoj, la absolutaj valoroj estas multobligitaj kaj la argumentoj estas aldonitaj doni la polusan formon de la produkto.
Ekzemple, multobligante de mi egalrilatas al kvaron-turno maldekstrume, kiu donas reen mi 2 = −1.
La bildo ĉe la dekstro ilustras la multiplikon de
#000055
Ĉar la arksunbrun funkcio povas esti aproksimita altagrade efike, formuloj kiel tio - konataj kiel Machin-similaj formuloj - estas utiligitaj por alt-precizecaj aproksimadoj de π.
#000057
Eŭlerformulo ŝtatoj tio, por iu reala nombro x,
#000058
kie e estas la fundamento de la natura logaritmo.
Tio povas esti pruvita tra indukto observante tion
#000059
, kaj de pripensado la serio de Taylor vastiĝoj de e ixa , x kaj peko x :
#000060
La rearanĝo de esprimoj estas pravigita ĉar ĉiu serio estas absolute konverĝa.
#000061
Ĝi sekvas el eŭlera formulo tion, por iu kompleksa nombro z skribita en polusa formo,
#000062
kie r estas ne-negativa reala nombro, unu ebla valoro por la kompleksa logaritmo de z estas
#000063
Ĉar kosinuso kaj sine estas periodaj funkcioj, aliaj eblaj valoroj povas esti akiritaj.
#000065
Por trakti la ekziston de pli tiu ebla valoro por antaŭfiksita enigaĵo, la kompleksa logaritmo povas esti konsiderita multi-aprezitfunkcio, kun
#000066
Alternative, branĉotranĉao povas esti uzita por difini unu-aprezitan "branĉon" de la kompleksa logaritmo.
#000067
por difini kompleksan potencon, kiu estas same multi-aprezit:
#000069
Kiam n estas entjero, tio simpligas al formulo de de Moivre:
#000070
La aj radikoj de z ricevas per
#000071
por iu entjero k kontentiganta 0 ≤ k ≤ n − 1.
Ĉi tie n √ r estas la kutima (pozitiva) a radiko de la pozitiva reala pli sensenta r.
Dum la a radiko de pozitiva reala pli sensenta r estas elektita esti la pozitiva reala nombro c kontentiganta c n = r ekzistas neniu natura maniero distingi unu speciala kompleksan a radiko de kompleksa nombro.
Tial, la a radiko de z estas konsiderita multivalueitan funkcion (en z), kontraste al kutima funkcio f, ĉar kiu f ( z) estas unike difinita nombro.
#000072
(kiu tenas por pozitivaj realaj nombroj), enen generalo ne tenas por kompleksaj nombroj.
#000073
La aro C da kompleksaj nombroj estas kampo.
Nelonge, tio signifas ke la sekvaj faktoj tenas: unue, ĉiuj du kompleksaj nombroj povas esti aldonitaj kaj multobligitaj por doni alian kompleksan nombron.
Due, por iu kompleksa nombro z, ĝia aldona inversa − z ankaŭ estas kompleksa nombro;
kaj trie, ĉiu nonzero-kompleksnombro havas reciprokan kompleksan nombron.
Krome, tiuj operacioj kontentigas kelkajn leĝojn, ekzemple la leĝon de komuteco de aldono kaj multipliko por iu du kompleksaj nombroj z 1 kaj z 2 :
#000074
Tiuj du leĝoj kaj la aliaj postuloj pri kampo povas esti pruvitaj per la formuloj antaŭfiksitaj supre, utiligante la fakton ke la realaj nombroj mem formas kampon.
#000075
Male al la realoj, C ne estas ordigita kampo, kiu devas diri, ke estas ne eble difini rilato z 1 < z 2 kiun tio estas kongrua kun la aldono kaj multipliko.
Fakte, en iu ordigita kampo, la kvadrato de iu elemento estas nepre pozitiva, tiel ke mi 2 = −1 malhelpas la ekziston de mendado sur C.
#000076
Kiam la subesta kampo por matematika temo aŭ konstrukcio estas la kampo da kompleksaj nombroj, la nomo de la temo estas kutime modifita por reflekti tiun fakton.
kompleksa analitiko, kompleksa matrico, kompleksa polinomo, kaj kompleksa Lie-algebro.
#000077
Surbaze de iu komplekso numeras (nomite koeficientoj) 0
#000078
ĉu almenaŭ unu kompleksa solvo z havas, kondiĉe ke almenaŭ unu el la pli altaj koeficientoj 1
Tio estas la deklaro de la algebra bazteoremo , de Carl Friedrich Gauss kaj Jean le Rond d'Alembert.
Pro tiu fakto, C estas nomita algebre fermita kampo.
Tiu posedaĵo ne tenas por la kampo de raciaj nombroj Q (la polinomo x 2 − 2 ne havas racian radikon, ekde √ 2 ne estas racia nombro) nek la realaj nombroj R (la polinomo x 2 + ne havas realan radikon por > 0, ekde la dua potenco de x estas pozitiva por iu reala nombro x).
#000079
Ekzistas diversaj pruvoj de tiu teoremo, aŭ per analizaj metodoj kiel ekzemple la teoremo de Liouville, aŭ topologia ili kiel ekzemple la volvaĵnombro, aŭ pruvo kombinanta galezan teorion kaj la fakton ke ĉiu reala polinomo de stranga grado havas almenaŭ unu realan radikon.
#000080
Pro tiu fakto, teoremoj kiuj tenas por iu algebre fermita kampo, validas por C.
Ekzemple, ĉiu ne-malplena kompleksa kvadratmatrico havas almenaŭ unu (komplekso) Eigen-valoron.
#000081
La antaŭa karakterizado de C priskribas nur la algebrajn aspektojn de C.
Tio devas diri, la trajtoj de proksimeco kaj kontinueco, kiuj materio en lokoj kiel ekzemple analizo kaj topologio, ne estas traktita.
La sekva priskribo de C kiel topologia kampo (t.e., kampo kiu estas provizita per topologio, kiu permesas la nocion de konverĝo) enkalkulas la topologiajn trajtojn.
C enhavas subaron P (nome la aro de pozitivaj realaj nombroj) de nonzerelementoj kontentigantaj la sekvajn tri kondiĉojn:
#000083
P estas fermita sub aldono, multipliko kaj prenado de inverses.
Se x kaj y estas apartaj elementoj de P , tiam aŭ x − y aŭ y − x estas en P .
Se S estas ajna nonemptyosubaro de P , tiam S + P = x + P por iu x en C.
#000084
Krome, C havas nesensignifan involutive
aŭtomorfismo x ↦ x ÷ (nome la kompleksa konjugacio), tia ke x x ÷ estas en P por iu nonzero x en C.
#000085
Ĉiu kampo F kun tiuj trajtoj povas esti dotita kun topologio prenante la arojn B ( x, p
kiel bazo, kie x varias super la kampo kaj p varias super P .
Kun tiu topologio F estas izomorfa kiel topologia kampo al C.
#000086
La nur ligis loke kompakta
topologiaj kampoj estas R kaj C.
Tio donas alian karakterizadon de C kiel topologia kampo, ĉar C povas esti distingita de R ĉar la nonzero-kompleksnombroj estas ligitaj, dum la nonzeraj realaj nombroj ne estas.
#000087
La aro C da kompleksaj nombroj povas esti difinita kiel la aro R 2 el ordaj duopoj (, b) de realaj nombroj, en kiuj la sekvaj reguloj por aldono kaj multipliko estas truditaj: [27]
#000088
Estas tiam nur demando pri notacio esprimi (, b) kiel + busoj .
#000089
Kvankam tiu malalt-nivela konstruo precize priskribas la strukturon de la kompleksaj nombroj, la sekva ekvivalenta difino rivelas la algebran naturon de C pli tuj.
Tiu karakterizado dependas de la nocio de kampoj kaj polinomoj.
Kampo estas aro dotita per aldono, subtraho, multipliko kaj dividadoperacioj kiuj kondutas kiel estas konataj de, ekzemple, raciaj nombroj.
#000090
devas teni por iujn ajn tri elementojn x, y kaj z de kampo.
La aro R da realaj nombroj formas kampon.
Polinom p ( X) kun realaj koeficientoj estas esprimo de la formo
#000091
La kutima aldono kaj multipliko de polinomoj dotas la aron R [ X] de tute tiaj polinomoj per ringo strukturo.
Tiu ringo estas nomita la polinomringo super la realaj nombroj.
#000092
La aro de kompleksaj nombroj estas difinita kiel la kvocientringo R [ X]/( X 2 + 1).
Tiu etendaĵkampo enhavas du kvadratajn radikojn de −1, nome (la kun-grupoj de) X kaj − Xa , respektive.
(La kun-grupoj de) 1 kaj Xa formo bazo de R [ X]/( X 2 + 1) kiel reala vektora spaco, kiu signifas ke ĉiu elemento de la etendaĵkampo povas esti unike skribita kiel lineara kombinaĵo en tiujn du elementojn.
Ekvivalente, elementoj de la etendaĵkampo povas esti skribitaj kiel ordaj duopoj (, b) de realaj nombroj.
La kvocientringo estas kampo, ĉar la ( X 2 + 1) estas primo ideala en R [ X], ĉefa ideala domajno, kaj tial estas al maksimuma ideala.
#000093
La formuloj por aldono kaj multipliko en la boksejo R [ X], modulo la rilato ( X 2 = 1 egalrilatas al la formuloj por aldono kaj multipliko de kompleksaj nombroj difinitaj kiel ordaj duopoj.
Tiel la du difinoj de la kampo C estas izomorfaj (kiel kampoj).
#000094
Akceptante ke C estas algebre fermita, ĉar ĝi estas algebra etendaĵo de R en tiu aliro, C estas tial la tegaĵo de R .
#000095
Komplekso numeras + busoj povas ankaŭ esti reprezentita per 2 × 2
matricoj kiuj havas la sekvan formon:
#000096
Ĉi tie la kontribuoj a kaj b estas realaj nombroj.
La sumo kaj produkto de du tiaj matricoj denove estas de tiu formo, kaj la sumo kaj produkto da kompleksaj nombroj egalrilatas al la sumo kaj produkto de tiaj matricoj, la produkto estanta:
#000097
La geometria priskribo de la multipliko de kompleksaj nombroj ankaŭ povas esti esprimita laŭ rotaciomatricoj utiligante tiun korespondadon inter kompleksaj nombroj kaj tiaj matricoj.
Krome, la kvadrato de la absoluta valoro de kompleksa nombro esprimis kiam matrico estas egala al la determinanto de tiu matrico:
#000098
Vidu la artikolon sur 2 × 2 realaj matricoj por aliaj reprezentadoj de kompleksaj nombroj.
#000099
La studo de funkcioj de kompleksa variablo estas konata kiel kompleksa analitiko kaj havas grandegan praktikan uzon en aplika matematiko same kiel en aliaj branĉoj de matematiko.
Ofte, la plej naturaj pruvoj por deklaroj en reela analitiko aŭ ebena nombroteorio utiligas teknikojn de kompleksa analitiko (vidu priman teoremon por ekzemplo).
Male al realaj funkcioj, kiuj estas ofte reprezentitaj kiel dudimensiaj grafeoj, kompleksaj funkcioj havas kvar-dimensiajn grafeojn kaj povas utile esti ilustritaj kolor-kodigante tridimensian grafeon sugesti kvar dimensiojn, aŭ vigligante la dinamikan transformon de la kompleksa funkcio de la kompleksa ebeno.
#000100
La nocioj de konverĝaj serioj kaj kontinuaj funkcioj en (reala) analizo havas naturajn analogaĵojn en kompleksa analitiko.
Sekvenco de kompleksaj nombroj laŭdire konverĝas se kaj nur se ĝiaj realaj kaj imaginaraj partoj faras.
Tio estas ekvivalenta al la (ε, δ) difino de limoj, kie la absoluta valoro de realaj nombroj estas anstataŭigita per tiu el kompleksaj nombroj.
De pli abstrakta perspektivo, C, dotita kun la metriko
#000101
kompleta metrika spaco, kiu precipe inkludas la neegalaĵon de triangulo estas
#000102
por iu du kompleksaj nombroj z 1 kaj z 2 .
#000103
Kiel en reela analitiko, tiu nocio de konverĝo estas uzita por konstrui kelkajn elementajn funkciojn: la eksponentfunkcia eksp ( z), ankaŭ skriba e z , estas difinita kiel la senfina serio
#000104
kaj la serio difinanta la realan trigonometrian funkcion sine kaj kosinuso, same kiel hiperbolaj funkcioj kiel ekzemple sinh ankaŭ portas al kompleksaj argumentoj sen ŝanĝo.
#000105
por iu reala pli sensenta φ, aparte
#000106
Male al en la situacio de realaj nombroj, ekzistas senfineco de kompleksaj solvoj z de la ekvacio
#000107
por iu kompleksanombra w ≠ 0.
Povas esti montrite ke eventuala tia solvo z - nomita kompleksa logaritmo de w - kontentigas
#000108
kie arg estas la argumento difinita supre, kaj ln la (reala) natura logaritmo.
Ĉar arg estas multivalueita funkcio, unika nur ĝis multoblo de 2π, tagalo ankaŭ estas multivalueita.
La ĉefvaloro de tagalo ofte estas prenita limigante la imaginaran parton al la intervalo (−π, π].
#000109
Kompleksa potenco z ω estas difinita kiel
#000110
Sekve, ili estas ĝenerale multi-aprezit.
Por ω = 1/ n , por iu natura pli sensenta n, tio reakiras la ne-unikecon de aj radikoj menciitaj supre.
#000111
Kompleksaj nombroj, male al realaj nombroj, ne ĝenerale kontentigas la nemodifitan potencon kaj logaritmidentecojn, precipe kiam naive traktite kiel unu-aprezitaj funkcioj;
vidu fiasko de potenco kaj logaritmidentecoj.
#000112
Ambaŭ flankoj de la ekvacio estas multivalueitaj per la difino de kompleksa potenco donita ĉi tie, kaj la valoroj maldekstre estas subaro de tiuj dekstraflanke.
#000113
C → C estas nomita holomorfa ĉu ĝi kontentigas la Cauchy-Riemann ekvaciojn.
Ekzemple, ajna R-linia mapo C → C povas esti skribita en la formo
#000114
kun kompleksaj koeficientoj a kaj b.
Tiu mapo estas holomorfa se kaj nur se b = 0.
#000115
Kompleksa analitiko montras kelkajn ecojn ne ŝajna en reela analitiko.
Ekzemple, ĉiuj du holomorfaj funkcioj f kaj g kiuj konsentas pri propraaŭtoritate malgranda malferma subaro de C nepre konsentas ĉie.
Meromorfaj funkcioj, funkcioj kiuj povas loke esti skribitaj kiel f ( z)/( z − z 0) n kun holomorfa funkcio f, daŭre dividas kelkajn el la ecoj de holomorfaj funkcioj.
Aliaj funkcioj havas esencajn specialaĵojn, kiel ekzemple peko (1/ z) ĉe z = 0.
#000116
Kompleksaj nombroj havas esencajn konkretajn aplikojn en gamo da sciencaj kaj rilataj lokoj kiel ekzemple signal-prilaborado, fermitcikla regilo, elektromagnetismo, fluidodinamiko, kvantuma mekaniko, kartografio, kaj vibradanalizo.
Kelkaj aplikoj de kompleksaj nombroj estas:
#000117
En fermitcikla regilo, sistemoj ofte estas transformitaj de la tempodomajno ĝis la frekvencdomajno utiligante la Laplace-transformon.
La poloj kaj nuloj de la sistemo tiam estas analizitaj en la kompleksa ebeno.
La radiklokuso, Nyquist-intrigo, kaj Nichols-intrig teknikoj ĉiuj faras uzon de la kompleksa ebeno.
#000118
En la radika lokusmetodo, estas aparte grave ĉu la poloj kaj nuloj estas en la maldekstro aŭ rajto duonaj aviadiloj, t.e. havas reelan parton pli grandan ol aŭ malpli ol nul.
Se linia, temp-senvaria (LTI) sistemo havas polojn kiuj estas
#000119
en la dekstro duona aviadilo, ĝi estos malstabila,
ĉio en la maldekstro duona aviadilo, ĝi estos stabila,
sur la imaga akso, ĝi havos marĝenan stabilecon.
#000120
Se sistemo havas nulojn en la dekstro duona aviadilo, ĝi estas neminimuma fazo sistemo.
#000121
En aplikataj kampoj, kompleksaj nombroj ofte kutimas komputi certajn real-aprezitajn malregulajn integralojn, per kompleks-aprezitaj funkcioj.
Pluraj metodoj ekzistas farendaĵo tion;
#000122
En fluidodinamiko, kompleksaj funkcioj kutimas priskribi eblan fluon en du dimensioj.
#000123
En diferencialaj ekvacioj, ĝi estas kutima por unue trovas ĉiujn kompleksajn radikojn r de la karakteriza ekvacio de linia diferenciala ekvacio aŭ ekvaciosistemo kaj tiam provas solvi la sistemon laŭ bazfunkcioj de la formo f ( t
Same, en diferencekvacioj, la kompleksaj radikoj r de la karakteriza ekvacio de la diferenca ekvaciosistemo estas uzitaj, por provi solvi la sistemon laŭ bazfunkcioj de la formo f ( t
#000124
En elektrotekniko, la konverto de Fourier estas utiligita por analizi ŝanĝiĝantajn tensiojn kaj fluojn.
La traktado de rezistiloj, kondensiloj, kaj induktoroj tiam povas esti unuigitaj prezentante imagajn, frekvenc-dependajn rezistojn por ĉi-lastaj du kaj kombinante ĉiujn tri en ununura kompleksa nombro nomita la impedanco.
Tiu aliro estas nomita fasor kalkulado.
#000125
En elektrotekniko, la imaginara unuo estas indikita per j , por eviti konfuzon kun mi, kiu estas ĝenerale en uzo por indiki elektran kurenton, aŭ, pli precipe, mi, kiu estas ĝenerale en uzo por indiki tujan elektran kurenton.
#000126
Ĉar la tensio en AC serilokaro oscilas, ĝi povas esti reprezentita kiel
#000127
Por akiri la mezureblan kvanton, la reela parto estas prenita:
#000128
Se Fourier-analizo estas utiligita por skribi antaŭfiksita real-aprezita signalo kiel sumo de periodaj funkcioj, tiuj periodaj funkcioj ofte estas skribitaj kiam komplekso aprezis funkciojn de la formo
#000130
kie ω reprezentas la angulfrekvencon kaj la kompleksa nombro A ĉifras la fazon kaj amplitudon kiel klarigite supre.
#000131
Tiu uzo ankaŭ estas etendigita en cifereca signal-prilaboradon kaj cifereca prilaboro de bildoj, kiuj utiligas ciferecajn versiojn de Fourier-analizo (kaj ondet analizon) por elsendi, kunpremi, reestigas, kaj alie procezon ciferecaj sonsignaloj, daŭre bildoj, kaj videsignalojn.
#000132
Alia ekzemplo, signifa al la du flankogrupoj de amplitudomodulado de AM-radio, estas:
#000133
La kompleksanombra kampo estas interna al la matematikaj formuloj de kvantuma mekaniko, kie komplekso hilbertaj spacoj disponigas la kuntekston por unu tia formuliĝo kiu estas oportuna kaj eble plej norma.
La originaj fundamentformuloj de kvantumaj mekanikoj - la ekvacio de Schrödinger kaj la matricmekaniko de Heisenberg - faras uzon de kompleksaj nombroj.
#000134
En speciala kaj ĝenerala relativeco, kelkaj formuloj por la metriko sur spactempo iĝas pli simplaj se oni prenas la tempokomponenton de la spactempokontinuumo por esti imaga.
(Tiu aliro jam ne estas norma en klasika relativeco, sed estas uzita laŭ esenca maniero en kvantuma kampa teorio.
Kompleksaj nombroj estas esencaj al spinoroj, kiuj estas ĝeneraligo de la tensoroj uzitaj en relativeco.
#000135
Certaj fraktaloj estas punktskribitaj en la kompleksa ebeno, ekz. la Mandelbrot metita kaj Julie metas.
#000136
Ĉiu triangulo havas unikan Steiner-enelipson - elipson ene de la triangulo kaj klavo al la mezpunktoj de la tri flankoj de la triangulo.
La fokusoj de la Steiner-enelipso de triangulo povas esti trovitaj jene, laŭ la teoremo de Marden: [30]
Indiku la verdglaciojn de la triangulo en la kompleksa ebeno kiel = x A + y A mi , b = x B + y B mi , kaj c = x C da + y C mi .
Marden's Theorem diras ke la solvoj de tiu ekvacio estas la kompleksaj nombroj indikantaj la lokojn de la du fokusoj de la Steiner-enelipso.
#000137
Kiel menciite supre, ĉiu nekonstanta polinomekvacio (en kompleksaj koeficientoj) havas solvon en C.
Nil fortiori, la sama estas vera se la ekvacio havas raciajn koeficientojn.
La radikoj de tiaj ekvacioj estas nomitaj algebraj nombroj - ili estas ĉefstudobjekto en algebra nombroteorio.
Komparita al Q , la tegaĵo de Q, kiu ankaŭ enhavas ĉiujn algebrajn nombrojn, C havas la avantaĝon de esti facile komprenebla en geometriaj esprimoj.
Laŭ tiu maniero, algebraj metodoj povas esti uzitaj por studi geometriajn demandojn kaj inverse.
Kun algebraj metodoj, pli specife aplikante la maŝinaron de kampa teorio al la numero-kampo enhavanta radikojn de unueco, povas esti montrite ke estas ne eble konstrui regulan naŭeĝon uzantan nur kompason kaj liniilon - sole geometrian problemon.
#000138
Alia ekzemplo estas gaŭsaj entjeroj, t.e., nombroj da la formo x -+ iy , kie x kaj y estas entjeroj, kiuj povas esti uzitaj por klasifiki sumojn de kvaranguloj.
#000139
Analitika nombroteorio studas nombrojn, ofte entjerojn aŭ rational'ojn, per ekspluatado de la fakton ke ili povas esti rigarditaj kiel kompleksaj nombroj, en kiuj analizaj metodoj povas esti uzitaj.
Tio estas farita ĉifrante numero-teoriajn informojn en kompleks-aprezitaj funkcioj.
Ekzemple, la Riemann zetafunkcio ζ ( j) estas rilatita al la distribuado de primoj.
#000140
La plej frua pasema referenco al kvadrataj radikoj de negativaj nombroj eble povas esti dirita okazi en la laboro de la greka matematikisto
#000141
La impeto studi kompleksajn nombrojn mem unue ekestis en la 16-a jarcento kiam algebraj solvoj por la radikoj de kubaj kaj kvartaj polinomoj estis malkovritaj fare de italaj matematikistoj (vidu Niccolò Fontana Tartaglia, Gerolamo Cardano).
Estis baldaŭ realigite ke tiuj formuloj, eĉ se oni estis nur interesita pri realaj solvaĵoj, foje postulis la manipuladon de kvadrataj radikoj de negativaj nombroj.
#000142
Ĉe unu ekrigardo tio aspektas pli kiel sensencaĵo.
Kompreneble tiu speciala ekvacio povas esti solvita ĉe vido sed ĝi ilustras ke kiam ĝeneralaj formuloj estas utiligitaj por solvi triagradajn ekvaciojn kun realaj radikoj tiam, kiam pli postaj matematikistoj montris rigore, la uzo de kompleksaj nombroj estas neevitebla.
Rafael Bombelli estis la unua por eksplicite trakti tiujn ŝajne paradoksajn solvojn de triagradaj ekvacioj kaj evoluigis la regulojn por kompleksa aritmetiko provanta solvi tiujn problemojn.
#000143
La esprimo "imaga" por tiuj kvantoj estis elpensita fare de René Descartes en 1637, kvankam li estis ĉe peno por substreki ilian imagan naturon [34] [ ...
#000144
foje nur imaga, kiu estas oni povas imagi nekredeblaj mi diris en ĉiu ekvacio, sed foje tie ekzistas neniu kvanto kiu egalas tion kiun ni imagas.
#000145
([...] quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imagine.)
#000146
en la kazo kiam kaj a kaj b estas negativaj eĉ ĝenis Euler.
Tiu malfacileco poste kondukis al la kongreso de uzado de la speciala simbolo I modloko de √ −1 por protekti sin kontraŭ tiu eraro.
[ citaĵo bezonis ] Eĉ tiel, Euler pripensis natura prezenti studentojn al kompleksaj nombroj multe pli frue ol jes hodiaŭ.
En lia rudimenta algebro lernolibro, Elements of Algebra (Elementoj de Algebra), li lanĉas tiujn nombrojn preskaŭ tuj kaj tiam uzas ilin laŭ natura maniero ĝenerale.
#000147
En la 18-a-jarcentaj kompleksaj nombroj akiris pli larĝe uzon, kiam estis rimarkite ke formala manipulado de kompleksoesprimoj povus esti uzita por simpligi kalkulojn implikantajn trigonometrian funkcion.
Ekzemple, en 1730 Abraham de Moivre notis ke la komplikaj identecoj rilatigantaj trigonometrian funkcion de entjermultoblo de angulo al potencoj de trigonometria funkcio de tiu angulo povis esti simple re-esprimitaj de la sekva bonkonata formulo kiu portas sian nomon, formulon de de Moivre:
#000148
de formale manipulado de kompleksa potencvico kaj observita ke tiu formulo povus esti utiligita por redukti ajnan trigonometrian identecon al multe pli simplaj eksponentaj identecoj.
#000150
La ideo de kompleksa nombro kiel punkto en la kompleksa ebeno ( supre) estis unue priskribita fare de Caspar Wessel en 1799, kvankam ĝi estis anticipita jam 1685 en la de Algebra tractatus de Wallis.
#000151
La memoraĵo de Wessel aperis en la Konferencartikoloj de la Kopenhaga Akademio sed iris plejparte nerimarkita.
En 1806 Jean-Robert Argand sendepende emisiis pamfleton sur kompleksaj nombroj kaj disponigis rigoran pruvon de la algebra bazteoremo.
Carl Friedrich Gauss pli frue publikigis esence topologian pruvon de la teoremo en 1797 sed esprimis siajn dubojn tiutempe koncerne "la veran metafizikon de la kvadrata radiko de −1".
Daŭris ĝis 1831 ke li venkis tiujn dubojn kaj publikigis sian disertaĵon sur kompleksaj nombroj kiel punktoj en la aviadilo, plejparte establante modernan notacion kaj terminologion.
En la komenco de la 19-a jarcento, aliaj matematikistoj malkovris sendepende la geometrian reprezentadon de la kompleksaj nombroj: Buée, Mourey, Warren, Français kaj lia frato, Belavito.
#000152
La angla matematikisto Godfrey Harold Hardy rimarkis ke Gauss estis la unua matematikisto se temas pri uzi kompleksajn nombrojn laŭ "vere memcerta kaj scienca maniero" kvankam matematikistoj kiel ekzemple Niels Henrik Abel kaj Carl Gustav Jacob Jacobi nepre uzis ilin rutine antaŭ ol Gauss publikigis sian disertaĵon de 1831.
Augustin Louis Cauchy kaj Bernhard Riemann kune alportis la fundamentajn ideojn de kompleksa analitiko al alta stato de kompletigo, komenciĝante ĉirkaŭ 1825 en la kazo de Cauchy.
#000153
La komunaj esprimoj uzitaj en la teorio estas ĉefe pro la fondintoj.
#000154
La proceso de etendado de la kampo R da realoj al C estas konata kiel la Cayley-Dickson konstruo.
Ĝi povas esti portita plu al pli alta grandeco, donante la kvaropojn H kaj oktonion O kiuj (kiel reala vektora spaco) estas de dimensio 4 kaj 8, respektive.
En tiu kunteksto la kompleksaj nombroj estis nomitaj la binarions.
#000156
Tamen, ekzakte kiel aplikado de la konstruo al realoj perdas la posedaĵon de mendado, pli da trajtofamiliarulo de realaj kaj kompleksaj nombroj malaperas kun kreskanta dimensio.
La kvaropoj estas nur misoblikva kampo, t.e. por proksimume x, y :
x por du kvaropoj, la multipliko de oktonion ne (aldone al ne esti kommutativa) estas asocieca: por proksimume x, y, z :
#000157
Realoj, kompleksaj nombroj, kvaropoj kaj oktonion estas ĉiu normeis dividadalgebrojn pli ol R.
Tamen, de la teoremo de Hurwitz ili estas la nuraj.
La venonta paŝo en la Cayley-Dickson konstruo, la sedenions, fakte ne havas tiun strukturon.
#000158
La Cayley-Dickson konstruo estas proksime rilatita al la regula reprezentado de C, opiniita de kiel R - algebro ( R-vektora spaco kun multipliko), kun respekto al la bazo (1, mi).
Tio signifas la sekvantan: la R-linia mapo
#000159
por iu fiksa kompleksa nombro w povas esti reprezentita per 2 × al 2 matrico (post kiam bazo estis elektita).
Kun respekto al la bazo (1, mi), tiu matrico estas
#000160
t.e., tiu menciita en la sekcio sur matricreprezentado de kompleksaj nombroj supre.
Dum tio estas linia reprezentado de C en la 2 × 2 realaj matricoj, ĝi ne estas la nura unu.
#000161
havas la posedaĵon kiu ĝia kvadrato estas la negativo de la identa matrico:
#000162
estas ankaŭ izomorfa al la kampo C, kaj evoluas alternativan kompleksan strukturon sur R 2.
Tio estas ĝeneraligita per la nocio de linia kompleksoostrukturo.
#000163
Hypercomplex-nombroj ankaŭ ĝeneraligas R, C, H, kaj O.
Ekzemple, tiu nocio enhavas la disig-kompleksajn nombrojn, kiuj estas elementoj de la ringo R [ x]/( x 2 − 1) (kontraste al R [ x]/( x 2 + 1).
En tiu boksejo, la ekvacio 2 = 1 havas kvar solvojn.
#000164
La kampo R estas la kompletigo de Q, la kampo de raciaj nombroj, kun respekto al la kutima absoluta valoro
Aliaj elektoj de metriko sur Q kondukas al la kampo Q p de p-adic nombroj (por iu primo p) kiuj estas tiel analogaj al R.
Ekzistas neniuj aliaj nesensignifaj manieroj kompletigi Q ol R kaj Q p , de la teoremo de Ostrowski.
Tiu kampo estas nomita p-adic kompleksaj nombroj per analogeco.
#000165
La kampo R kaj Q p kaj iliaj finhavaj kampetendaĵoj, inkluzive de C, estas lokaj kampoj.
#000166
Cirkla movo uzante kompleksajn nombrojn
#000167
Milda enkonduko al la historio de kompleksaj nombroj kaj la komencoj de kompleksa analitiko.
#000171
Progresinta perspektivo sur la historia evoluo de la koncepto de nombro.
#000172
Kompleksa nombro estas nombro, kiu havas aspekton z=a+bi, kie a kaj b estas reelaj nombroj, kaj i2 egalas al la nombro -1. La signo i estas por imaginara unuo, a = Re z nomiĝas reela parto de kompleksa nombro kaj b = Im z - imaginara parto. Reelaj nombroj estas aparta kazo de kompleksaj nombroj, kie b=0.
#000175
Operacioj de adicio kaj multipliko por kompleksaj nombroj estas difinitaj nature laŭ la koncernaj reguloj sur plurtermoj kaj kun kondiĉo , t.e.
#000176
Multobligado kaj adiciado estas komutecaj kaj asociecaj kaj estas ligitaj kun rilato de distribueco. Por ili ekzistas ankaŭ inversaj operacioj, t.e. subtraho kaj divido (escepte de divido je 0). Tiamaniere, kompleksaj nombroj faras kampon kaj estas signataj per . Tial unu prezento de kompleksaj nombroj estas per vektoroj, tiel formantaj la kompleksan ebenon: (anstataŭ a ofte uzatas x, kaj anstataŭ b uzatas y)
#000177
Ĉiu kompleksa nombro povas esti esprimita ne nur en siaj karteziaj koordinatoj sed ankaŭ per la polusaj koordinatoj de la punkto (la polusa varianto estas nomata ankaŭ trigonometria prezento, aŭ polusa formo). La kompleksa nombro z prezenteblas kartezie per
#000178
estas modulo (aŭ absoluta valoro) de z, la distanco inter z kaj punkto (0,0)
#000179
En trigonometria formo operacioj de multobligado kaj divido pli facilas:
#000180
Uzante ilin por potencigo kaj radikigo oni atingas formulon de de Moivre:
#000181
Do en kampo de kompleksaj nombroj ĉiu nombro havas precize n radikojn de nivelo n.
#000182
La unuaj imaginaraj variabloj aperis en verkoj de Gerolamo Cardano "Granda arto aŭ pri algebraj reguloj" (1545), sekve al la provoj kalkuli la radikojn de 3-a grada ekvacio, sed li traktis ilin senutilaj kaj netaŭgaj por la uzo. Unue la gravecon de tiu fenomeno taksis alia italo R. Bombelli (1572), kiu donis kelkajn simplajn regulojn de operacioj sur kompleksaj nombroj. La gravajn kontribuojn por la evoluo de kompleksaj nombroj faris Abraham de Moivre, R. COTES, Leonhard Euler. La termino "kompleksa nombro" estis enkondukita en 1803 de L. Carnot, sed ĝi fariĝis vaste uzata nur post verkoj de Carl Friedrich Gauss (1831). Al William Rowan Hamilton apartenas la grava spaca generaligo de kompleksaj nombroj, konstruo de la teorio pri kvaternionoj.
#000183