Algebraj variecoj estas la centraj studobjektoj en algebra geometrio.
Klasike, algebra diverseco estas difinita kiel la aro de solvoj de sistemo de polinomekvacioj super la realaj aŭ kompleksaj nombroj.
Modernaj difinoj ĝeneraligas tiun koncepton laŭ pluraj malsamaj manieroj, provante konservi la geometrian intuicion malantaŭ la origina difino.
#000001
Konvencioj koncerne la difinon de algebra diverseco malsamas iomete.
Ekzemple, kelkaj difinoj disponigas tiun algebran diversecon estas neredukteblaj, kio signifas ke ĝi ne estas la unio de du pli malgrandaj aroj kiuj estas fermitaj en la Zariski-topologio.
Sub tiu difino, ne-neredukteblaj algebraj variecoj estas nomitaj algebraj aroj.
Aliaj konvencioj ne postulas ireducibilecon.
#000002
La koncepto de algebra diverseco estas simila al tiu de analiza dukto.
Grava diferenco estas ke algebra diverseco povas havi eksterordinarajn punktojn, dum dukto ne povas.
#000003
La algebra bazteoremo establas ligon inter algebro kaj geometrio per montrado ke mona polinomo (algebra objekto) en unu variablo kun kompleksanombraj koeficientoj estas determinita fare de la aro de ĝiaj radikoj (geometria objekto) en la kompleksa ebeno.
Ĝeneraligante tiun rezulton, Hilbert's Nullstellensatz disponigas fundamentan korespondadon inter idealoj de polinomringoj kaj algebraj aroj.
Utiligante la Nullstellensatz kaj rilatajn rezultojn, matematikistoj establis fortan korespondadon inter demandoj en algebraj aktoraroj kaj demandoj de ringa teorio.
Tiu korespondado estas la specifeco de algebra geometrio.
#000004
Projekciaj specoj kaj kvazaŭ-projekciaj specoj
1 Ekzisto de ne-quasiprojective abstraktaj algebraj variecoj
#000006
1 Ekzisto de ne-quasiprojective abstraktaj algebraj variecoj
#000007
Afina diverseco super algebre fermita kampo estas koncipe la plej facila speco de diverseco por difini, kiu estos farita en tiu sekcio.
Venonta, oni povas difini projekciajn kaj kvazaŭ-projekciajn specojn laŭ simila maniero.
La plej ĝenerala difino de diverseco akiriĝas flikante kune pli malgrandajn kvazaŭ-projekciajn specojn.
Estas ne evidente ke oni povas konstrui vere novajn ekzemplojn el specoj laŭ tiu maniero, sed Nagata donis ekzemplon de tia nova diverseco en la 1950-aj jaroj.
#000008
Lasu k esti algebre fermita kampo kaj lasi A da n esti afina n-spaco super k.
La polinomoj f en la boksejo k [ x 1
ksn ] povas esti rigardita kiel k-aprezi funkcioj sur A da n analizante f ĉe la punktoj en A da n , t.e. elektante valorojn en k por ĉiu xi .
Por ĉiu aro S de polinomoj en k [ x 1
ksn ], difinas la nul-lokuso Z ( S) por esti la aro de punktoj en A da n sur kiu la funkcioj en S samtempe malaperas, tio devas diri
#000009
Subaro V de A da n estas nomita afina algebra aro se V = da Z ( S) por iu S.
: 3 nereduktebla afina algebra aro ankaŭ estas nomita afina diverseco.
: 3 (Multaj verkintoj utiligas la frazon afina diverseco por rilati al iu afina algebra aro, nereduktebla aŭ ne [noto 1] )
#000010
Al afinaj specoj povas ricevi naturan topologio deklarante la fermitajn arojn por esti ĝuste la afinaj algebraj aroj.
Tiu topologio estas nomita la Zariski-topologio.
#000011
Surbaze de subaro V de A da n , ni difinas I ( V) por esti la idealo de ĉiuj polinomfunkcioj malaperantaj sur V:
#000012
Por iu afina algebra aro V, la kunordigita ringo aŭ strukturringo de V estas la kvociento de la polinomringo de tiu idealo.
#000013
Projekciaj specoj kaj kvazaŭ-projekciaj specoj
#000014
Lasu k esti algebre fermita kampo kaj lasi P n esti la projekcia n-spaco super k.
ksn ] estu homogena polinomo de grado da d.
Estas ne klare difinite analizi f en punktoj en P n en homogenaj koordinatoj.
Tamen, ĉar f estas homogena, f ( λks 0
ksn ), sonas racie por demandi ĉu f malaperas ĉe punkto [ x 0
Por ĉiu aro S de homogenaj polinomoj, difinas la nul-lokuson de S por esti la aro de punktoj en P n sur kiu la funkcioj en S malaperas:
#000015
Subaro V de P n estas nomita projekcia algebra aro se V = da Z ( S) por iu S.
: 9 nereduktebla projekcia algebra aro estas nomita projekcia diverseco.
#000016
Projekciaj specoj ankaŭ estas provizitaj per la Zariski-topologio deklarante ĉiujn algebrajn arojn por esti fermitaj.
#000017
Surbaze de subaro V de P n , lasis I ( V) esti la idealo generita per ĉiuj homogenaj polinomoj malaperantaj sur V.
Por iu projekcia algebra aro V, la kunordigita ringo de V estas la kvociento de la polinomringo de tiu idealo.
#000018
Kvazaŭ-projekcia diverseco estas Zariski-malferma subaro de projekcia diverseco.
Rimarku ke ĉiu afina diverseco estas kvazaŭ-projekcia.
Avizo ankaŭ kiu la komplemento de algebra aro en afina diverseco estas kvazaŭ-projekcia diverseco;
en la kunteksto de afinaj specoj, tia kvazaŭ-projekcia diverseco estas kutime ne nomita diverseco sed konstruebla aro.
#000019
La plej frua sukcesa provo por difini algebran diversecon abstrakte, sen enkonstruado, estis farita fare de André Weil.
En lia Foundations of Algebraic Geometry (Fundamentoj de Algebra geometrio) , Weil difinis abstraktan algebran diversecon uzantan valortaksojn.
Claude Chevalley faris difinon de skemo, kiu helpis similan al, sed estis pli ĝenerala.
Tamen, la difino de Alexander Grothendieck de skemo estas pli ĝenerala daŭre kaj ricevis la plej ĝeneraligitan akcepton.
En la lingvo, de Grothendieck abstrakta algebra diverseco estas kutime difinita por esti integrita, separita skemo de finhava tipo super algebre fermita kampo, [noto 2] kvankam kelkaj verkintoj faligas la ireducibilecon aŭ la reduktitecon aŭ la apartvesteckondiĉon aŭ permesas al la subesta kampo esti ne algebre fermita.
[noto 3] Klasikaj algebraj variecoj estas la kvasiprojektive-integralo separitaj finhavaj tipkabaloj super algebre fermita kampo.
#000021
Unu el la plej fruaj ekzemploj de ne-quasiprojective algebra diverseco ricevis fare de Nagata.
La ekzemplo de Nagata ne estis kompleta (la analogaĵo de kompakteco), sed baldaŭ poste li trovis algebran surfacon kiu estis kompleta kaj ne-projekcia.
Ekde tiam aliaj ekzemploj estis trovitaj.
#000022
Subdiverseco estas subaro de diverseco kiu estas sin diverseco (kun respekto al la strukturo induktita de la ĉirkaŭa diverseco).
Ekzemple, ĉiu malferma subaro de diverseco estas diverseco.
#000023
Hilbert's Nullstellensatz diras ke tio fermis subvarieties de afina aŭ projekcia diverseco estas en ekzakta korespondado kun la ĉefidealoj aŭ homogenaj ĉefidealoj de la kunordigita ringo de la diverseco.
#000024
Lasu k = C , kaj 2 esti la dudimensia afina regiono pli ol C.
Polinomoj en la boksejo C [ x, y] povas esti rigarditaj kiel komplekso aprezita funkcioj sur 2 per analizado ĉe la punktoj en 2.
Lasu subaron S da C [ x, y ununuran elementon f ( x, y):
#000025
\displaistile f (x, y) = xy1.
#000026
La nul-lokuso de f ( x, y) estas la aro de punktoj en 2 sur kiuj tiu funkcio malaperas: ĝi estas la aro de ĉiuj paroj de kompleksaj nombroj ( x, y) tia ke y = 1 − x.
Tio estas kiel la ekvacio de linio, sed ĝi estas dudimensia dukto ĉar la variabloj estas kompleksaj nombroj.
Tio estas la aro Z ( f):
#000027
Tiel la subaro V = da Z ( f) de 2 estas algebra aro.
La aro V ne estas malplena.
Ĝi estas nereduktebla, ĉar ĝi ne povas esti skribita kiel la unio de du bonordaj algebraj subaroj.
Tiel ĝi estas afina algebra diverseco.
#000028
La nul-lokuso de g ( x, y) estas la aro de punktoj en 2 sur kiuj tiu funkcio malaperas, tio estas la aro de punktoj ( x, y) tia ke x 2 + y 2 = 1-a Ĉar g ( x, y) estas absolute nereduktebla polinomo, tio estas algebra diverseco.
La aro de it'oj realaj punktoj (kiu estas la punktoj por kiuj x kaj y estas realaj nombroj), estas konata kiel la trigonometria cirklo;
tiu nomo ankaŭ estas ofte donita al la tuta diverseco.
#000029
La sekva ekzemplo estas nek hipersurfaco, nek linia spaco, nek ununura punkto.
Lasis 3 esti la tridimensia afina regiono pli ol C.
La aro de punktoj ( x, x 2, x 3) por x en C estas algebra diverseco, kaj pli ĝuste algebra kurbo kiu ne estas enhavita en iu ebeno.
[noto 4] Ĝi estas la tordita kubiko montrita en ĉi-supra figuro.
Ĝi povas esti difinita per la ekvacioj
#000030
La fakto ke la aro de la solvoj de tiu sistemo de ekvacioj estas nereduktebla bezonas pruvon.
La plej simplaj rezultoj de la fakto kiu la projekcio ( x, y, z
x, y) estas injektivo sur la aktoraro de la solvoj kaj ke ĝia bildo estas nereduktebla aviadilkurbo.
#000031
Por pli malfacilaj ekzemploj, simila pruvo ĉiam povas ricevi, sed povas implici malfacilan komputadon: unue Gröbner-baz komputado por komputi la dimension, sekvitan per hazarda linia ŝanĝo de variabloj (ne ĉiam bezonis);
tiam Gröbner-baz komputado por alia monomial mendado por komputi la projekcion kaj pruvi ke ĝi estas senmarke injektivo kaj ke ĝia bildo estas hipersurfaco, kaj finfine polinomfaktorigado pruvi la ireducibilecon de la bildo.
#000032
Projekcia diverseco estas fermita subdiverseco de projekcia spaco.
Tio estas, ĝi estas la nul lokuso de aro de homogenaj polinomoj kiuj generas ĉefidealon.
#000033
Aviadilo kiun projekcia kurbo estas la nul lokuso de nereduktebla homogena polinomo en tri indeterminatoj.
La projekcia linio P 1 estas ekzemplo de projekcia kurbo, ĉar ĝi prezentiĝas kiel la nul lokuso de unu homogena koordinato en la projekcia aviadilo.
Por alia ekzemplo, unue pripensas la afinan kuban kurbon:
#000034
en la 2-dimensia afina spaco (super kampo de karakteriza ne du).
Ĝi havas la rilatan kuban homogenan polinomekvacion:
#000035
kiu difinas kurbon en P 2 nomite elipsa kurbo.
La kurbo havas genron oni ( genroformulo);
aparte, ĝi ne estas izomorfa al la projekcia linio P 1, kiu havas genron nul.
Uzi genron por distingi kurbojn estas tre baza: fakte, la genro estas la unua Invarianto oni uzas klasifiki kurbojn (vidu ankaŭ la konstruadon de modulus de algebraj kurboj).
#000036
Lasu V esti finhav-dimensia vektora spaco.
La Grasmaniana variaĵo G n ( V) estas la aro de ĉiuj n-dimensia subspacoj de V.
Ĝi estas projekcia diverseco: ĝi estas enkonstruita en projekcian regionon per la Plücker-enkonstruado:
#000037
ekstera potenco de V kaj la krampo [ w] volas diri la linion enhavitan per la nonzervektoro w.
#000038
La Grasmaniana diverseco venas kun natura vektorfasko (aŭ loke libera fasko por esti preciza) nomita la taŭtologia fasko, kiu estas grava en la studo de karakterizaj klasoj kiel ekzemple Chern-klasoj.
#000039
Algebra diverseco povas esti nek afina nek projekcia.
Doni ekzemplon, lasis X = P 1 × A 1 kaj p:
X → A 1 la projekcio.
Ĝi estas algebra diverseco ĉar ĝi estas produkto de specoj.
Ĝi ne estas afina ekde P 1 estas fermita subdiverseco de X (kiel la nul lokuso de p) sed afina diverseco ne povas enhavi projekcian diversecon de pozitiva dimensio kiel fermita subdiverseco.
Ĝi ne estas projekcia aŭ ĉar ekzistas nekonstanto regula funkcio sur X;
#000040
Alia ekzemplo de ne-afina ne-projekcia diverseco estas X = 2 - (0, 0) (kp. morfismo de specoj numero Ekzemploj.
#000041
Afina algebra aro V estas diverseco se kaj nur se I ( V) estas ĉefidealo;
ekvivalente, V estas diverseco se kaj nur se ĝia kunordigita ringo estas integrita domajno.
afina algebra aro povas esti skribita unike kiel finhava unio de algebraj variecoj (kie neniu el la specoj en la putriĝo estas subdiverseco de iu alia).
La dimensio de diverseco povas esti difinita laŭ diversaj ekvivalentaj manieroj.
Vidu Dimensio de algebra diverseco por detaloj.
#000042
Tiu difino funkcias super iu kampo k.
Ĝi permesas al vi glui afinajn specojn (laŭ oftaj malfermitaj aroj) sen maltrankvilado ĉu la rezulta objekto povas esti metita en iun projekcian spacon.
Tio ankaŭ kondukas al malfacilaĵoj ĉar oni povas lanĉi iom patologiajn objektojn, ekz. afina linio kun nul duobliĝis.
Tiaj objektoj estas kutime ne konsideritaj specoj, kaj estas eliminitaj postulante la kabalojn subesta diverseco esti apartigitaj.
(Strikte parolante, ekzistas ankaŭ tria kondiĉo, nome, tiu unu bezonas nur finhave multajn afinajn pecetojn en la difino supre.
#000045
Kelkaj modernaj esploristoj ankaŭ forigas la restrikton en diverseco havanta integritan domajnan afinan furorliston, kaj kiam parolado de diverseco nur postulas ke la afina furorlisto havas sensignifan nulradikalulon.
#000046
Kompleta diverseco estas diverseco tia ke ĉiu mapo de malferma subaro de neeksterordinara kurbo en ĝi povas esti etendita unike al la tuta kurbo.
Ĉiu projekcia diverseco estas kompleta, sed ne inverse.
#000047
Tiuj specoj estis nomitaj "specoj en la signifo de Serre", ekde la baza artikolo de Serre FAC sur faskokohomologio estis skribita por ili.
Ili restas tipaj objektoj al komenco studi en algebra geometrio, eĉ se pli ĝeneralaj objektoj ankaŭ estas uzitaj laŭ helpmaniero.
#000048
Unudirekta tio kondukas al ĝeneralaĵoj devas permesi redukteblajn algebrajn arojn (kaj kampoj k kiuj ne estas algebre fermitaj), tiel ke la ringoj R eble ne estas integritaj domajnoj.
Pli signifa modifo devas permesi nilpotent'ojn en la fasko da boksejoj.
Nilpotent en kampo devas esti 0: tiuj se permesite en kunordigitaj boksejoj ne estas viditaj kiel kunordigitaj funkcioj.
#000049
De la kategoria perspektivo, nilpotent'oj devas esti permesitaj, por havi finhavajn limojn de specoj (por ricevi fibroproduktojn).
[ citaĵo bezonis ] Geometrie tio diras ke fibroj de bonaj mapadoj povas havi "infinitezimalan" strukturon.
En la teorio de kabaloj de Grothendieck tiuj punktoj estas ĉiu akordigis: sed la generalskemo estas malproksima de havado de la tuja geometria enhavo de diverseco.
#000050
Ekzistas pliaj ĝeneraligoj nomitaj algebraj spacoj kaj stakoj.
#000051
Algebra dukto estas algebra diverseco kiu ankaŭ estas al m-dimensia
dukto, kaj tial ĉiu sufiĉe malgranda loka peceto estas izomorfa al km .
Ekvivalente, la diverseco estas glata (libera de eksterordinaraj punktoj).
Kiam k estas la realaj nombroj, R, algebraj duktoj estas nomitaj Nash-duktoj.
Algebraj duktoj povas esti difinitaj kiel la nul aro de finhava kolekto de analizaj algebraj funkcioj.
Projekciaj algebraj duktoj estas ekvivalenta difino por projekciaj specoj.
La Riemann-sfero estas unu ekzemplo.
#000052
Diverseco (malambiguigo) - listiganta ankaŭ plurajn matematikajn signifojn
Eksterordinara punkto de algebra diverseco
#000053
^ Hartshorne, p.xv, notes that his choice is not conventional;
see for example, Harris, p.3
Algebra geometrio and Arithmetic Curves , p. 55 Definition 2.3.
that it is irreducible is stated as an exercise in Hartshorne p.7
#000054