En matematiko, la cirklogrupo, indikita je T, estas la multiplika grupo de ĉiuj kompleksaj nombroj kun absoluta valoro 1, t.e., la trigonometria cirklo en la kompleksa ebeno.
#000001
La cirklogrupo formas subgrupon de C ×, la multiplika grupo de ĉiuj nonzero-kompleksnombroj.
Ĉar C × estas abela, ĝi sekvas tiun T estas ankaŭ.
La cirklogrupo ankaŭ estas la grupo U (1) de 1×1 unuecmatricoj;
tiuj reagas al la kompleksa ebeno per rotacio koncerne la originon.
La cirklogrupo povas esti parametrigita per la angulo θ de rotacio de
#000002
Tio estas la eksponenta mapo por la cirklogrupo.
#000003
La cirklogrupo ludas centran rolon en Pontryagin-dueco, kaj en la teorio de Lie-grupoj.
#000004
La notacio T por la cirklogrupo devenas de la fakto ke T da n (la rekta produkto de T kun si mem n tempoj) estas geometrie n - Toro.
La cirklogrupo tiam estas al 1-torus.
#000005
2 Topologia kaj analiza strukturo
#000006
Unudirekta pensi pri la cirklogrupo estas ke ĝi priskribas kiel por aldoni angulojn, kie nur anguloj inter 0° kaj 360° estas licaj.
Ekzemple, la diagramo ilustras kiel por adicii 150° ĝis 270°.
La respondo devus esti 150° + 270° = 420°, sed dum pensado laŭ la cirklogrupo, ni devas "forgesi" la fakton ke ni envolvis unufoje ĉirkaŭ la cirklo.
Tial ni adaptas nian respondon de 360° kiu donas 420° = 60° ( modema adoleskanto 360°).
#000007
Alia priskribo estas laŭ ordinara aldono, kie nur numeroj inter 0 kaj 1 estas permesitaj (kun 1 korespondante al plena rotacio).
Por atingi tion, ni eble devos forĵeti for ciferojn okazantajn antaŭ la decimalpunkto.
Ekzemple, kiam ni laboras kun 0.784 + 0.925 + 0.446, la respondo devus esti 2.155, sed ni forĵetas for la gvidadon 2, tiel ke la respondo (en la cirklogrupo) estas justa 0.155.
#000008
La cirklogrupo estas pli ol nur abstrakta algebra objekto.
Ĝi havas naturan topologion kiam rigardite kiel subspaco de la kompleksa ebeno.
Ĉar multipliko kaj inversio estas kontinuaj funkcioj sur C ×, la cirklogrupo havas la strukturon de topologia grupo.
Krome, ĉar la trigonometria cirklo estas fermita subaro de la kompleksa ebeno, la cirklogrupo estas fermita subgrupo de C × (mem rigardita kiel topologia grupo).
#000009
Oni povas diri eĉ pli.
La cirklo estas 1-dimensia reala dukto kaj multipliko kaj inversio estas real-analizaj mapoj sur la cirklo.
Tio donas la cirklon grupigas la strukturon de unu-parametra grupo, kazo de Lie grupo.
Fakte, ĝis izomorfio, ĝi estas la unika 1-dimensia kompakta, ligita Mensoggrupo.
Krome, ĉiu n-dimensia kompakta, ligita, abela Mensoggrupo estas izomorfa al T da n .
#000010
La cirklaj grupekspozicioj supren en gamo da formoj en matematiko.
Ni listigas kelkajn el la pli oftaj formoj ĉi tie.
#000011
Notu ke la oblikvo (/) indikas ĉi tie kvocientogrupon.
#000012
La aro de ĉiuj 1×1 unuecmatricoj evidente koincidas kun la cirklogrupo;
la unitaria kondiĉo estas ekvivalenta al la kondiĉo ke ĝia elemento havas absolutan valoron 1-an Tial, la cirklogrupo estas kanone izomorfa ĝis U (1), la unua unitaria grupo.
#000013
La eksponenta funkcio kaŭzas grupan homomorfism eksp:
R → T de la aldonaĵaj realaj nombroj R ĝis la cirklogrupo T per la mapo
#000014
La lasta egaleco estas eŭlera formulo.
La reala pli sensenta θ egalrilatas al la angulo sur la trigonometria cirklo kiel mezurite de la pozitiva absciso.
Ke tiu mapo estas homomorfism sekvas el la fakto ke la multipliko de unuo-kompleksnombroj egalrilatas al aldono de anguloj:
#000015
Tiu eksponenta mapo estas klare surĵeto de R ĝis T.
Ĝi ne estas, aliflanke, injektivo.
La kerno de tiu mapo estas la aro de ĉiuj entjer multobloj de 2π.
De la unua-izomorfia teoremo ni tiam havas tion
#000016
Post remalpliigo ni ankaŭ povas diri ke T estas izomorfa al R / Z.
#000017
Se kompleksaj nombroj estas realigitaj kiel 2×2 realaj matricoj (vidu kompleksan nombron), la unuo-kompleksnombroj korespondas al 2×2 ortogonalaj matricoj kun unuodeterminanto.
#000018
La cirklogrupo estas tial izomorfa al la speciala ortogonala grupo TIEL (2).
Tio havas la geometrian interpreton tiu multipliko je unuo kompleksa nombro estas bonorda rotacio en la kompleksa ebeno, kaj ĉiu tia rotacio estas de tiu formo.
#000019
Ĉiu kompakta Mensoggrupo G de dimensio> 0 havas subgrupon izomorfan al la cirklogrupo.
Tio signifas ke, pensante laŭ simetrio, kompakta geometria simetria grupo aganta ade povas esti atendita havi unu-parametrajn cirklosubgrupojn agantajn;
la sekvoj en fizikaj sistemoj vidiĝas ekzemple ĉe rotacia envarianco, kaj spontanea simetriofendo.
#000020
La cirklogrupo havas multajn subgrupojn, sed siajn nura bonorda fermis subgrupojn konsistas el radikoj de unueco: Por ĉiu entjero n > 0, la n th radikoj de unueco formas ciklan grupon de ordo n, kiu estas unika ĝis izomorfio.
#000021
La reprezentadoj de la cirklogrupo facile priskribeblas.
Ĝi sekvas el la lemo de Schur kiu la neredukteblaj kompleksoo reprezentadoj de abela grupo estas tute 1-dimensiaj.
Ĉar la cirklogrupo estas kompakta, ajna reprezentantaro ρ:
C ×, devas preni valorojn en U (1) ≅ T.
Tial, la neredukteblaj reprezentadoj de la cirklogrupo estas ĵus la homomorfismoj de la cirklogrupo ĝis si mem.
#000022
Tiuj reprezentantaroj estas ĉiu enekvivalento.
La reprezentantaro φ − n estas konjugato al φ n ,
#000023
Tiuj reprezentantaroj estas ĵus la karakteroj de la cirklogrupo.
La karaktero grupo de T estas klare senfina cikla grupo generita per φ1:
#000024
La neredukteblaj realaj reprezentadoj de la cirklogrupo estas la sensignifa reprezentantaro (1-dimensiaj) kaj la reprezentantaroj
#000025
En tiu sekcio ni forgesos ĉion pri la topologia strukturo de la cirklogrupo kaj rigardos nur ĝian strukturon kiel abstraktan grupon.
#000027
La cirklogrupo T estas disigebla grupo.
Ĝia tordsubgrupo ricevas fare de la aro de ĉiuj aj radikoj de unueco por ĉiu n, kaj estas izomorfa al Q / Z.
La strukturteoremo por disigeblaj grupoj kaj la libera-elekto-aksiomo kune rakontas al ni ke T estas izomorfa al la rekta sumo de Q / Z kun kelkaj kopioj de Q.
[ citaĵo bezonis ] La nombro da kopioj de Q devas esti c (la kardinaleco de la kontinuumo) en ordo por la kardinaleco de la rekta sumo por esti ĝusta.
Sed la rekta sumo de c kopioj de Q estas izomorfa al R, ĉar R estas vektora spaco de dimensio c super Q.
#000028
povas esti pruvita en laŭ la saman manieron, ĉar C × ankaŭ estas disigeblan abelan grupigas kies tordsubgrupo estas la sama kiel la tordsubgrupo de T.
#000029
Grupo de raciaj punktoj sur la trigonometria cirklo
#000030
Homeomorfio kaj la Grupo-Strukturo sur Cirklo
#000031