En konveksa geometrio, konveksa aro estas subaro de afina spaco kiu estas fermita sub konveksaj kombinaĵoj.
Pli specife, en eŭklida spaco, konveksa regiono estas regiono kie, por ĉiu paro de punktoj ene de la regiono, ĉiu punkto sur la aerlinio segmento kiu aliĝas al la paro de punktoj estas ankaŭ ene de la regiono.
Ekzemple, solida kubo estas konveksa aro, sed io ajn tio estas kavaj aŭ havas entranĉon, ekzemple, lunark formon, estas ne konveksaj.
#000001
La limo de konveksa aro ĉiam estas konveksa kurbo.
La intersekciĝo de ĉiuj konveksaj aroj enhavantaj antaŭfiksitan subaron A da eŭklida spaco estas nomita la konveksa koverto de A.
Ĝi estas la plej malgranda konveksa aro enhavanta A.
#000002
Konveksa funkcio estas real-aprezita funkcio difinita sur intervalo kun la posedaĵo kiu ĝia surskribo (la aro de punktoj sur aŭ super la grafeo de la funkcio) estas konveksa aro.
Konveksa minimumigo estas subkampo de Optimumigo kiu studas la problemon de minimumigado de konveksaj funkcioj super konveksaj aroj.
La branĉo de matematiko dediĉita al la studo de trajtoj de konveksaj aroj kaj konveksaj funkcioj estas nomita konveksa analizo.
#000003
La nocio de konveksa aro povas esti ĝeneraligita kiel priskribite malsupre.
#000004
0 Tradukita artikolo 1 En vektoraj spacoj 1.1
3 konveksaj kovertoj kaj Minkowski-sumoj 3.1
4 Ĝeneraligoj kaj etendaĵoj por konvekseco 4.1
#000005
Lasu S esti vektora spaco super la realaj nombroj, aŭ, pli ĝenerale, super iu ordigita kampo.
Aro C en S laŭdire estas konveksa se, por ĉio x kaj y en C kaj ĉio t en la intervalo (0, 1), la poento (1 − t) x -+ ty ankaŭ apartenas al C.
En aliaj vortoj, ĉiu punkto sur la liniparto liganta x kaj y estas en C.
Tio implicas ke konveksa komenciĝite reala aŭ kompleksa topologia vektora spaco estas pad-ligita, tiel ligita.
Krome, C estas strikte konveksa se ĉiu punkto sur la liniparto liganta x kaj y krom la finpunktoj estas ene de la interno de C.
#000006
Aro C estas nomita absolute konveksa ĉu ĝi estas konveksa kaj ekvilibra.
#000007
La konveksaj subgrupoj de R (la aro de realaj nombroj) estas simple la intervaloj de R .
Kelkaj ekzemploj de konveksaj subgrupoj de la Eŭklida aviadilo estas solidaj regulaj plurlateroj, solidaj trianguloj, kaj intersekciĝoj de solidaj trianguloj.
Kelkaj ekzemploj de konveksaj subgrupoj de Eŭklida 3-dimensia spaco estas la arĥimedaj solidoj kaj la platonaj korpoj.
La Kepler-Poinsot-pluredroj estas ekzemploj de ne-konveksaj aroj.
#000008
Aro kiu ne estas konveksa estas nomita ne-konveksa aro.
Plurangulo kiu ne estas konveksa plurangulo foje estas nomita konkava plurangulo, [4] kaj kelkaj fontoj pli ĝenerale uzas la esprimon konkava aro por signifi ne-konveksan aron, [5] sed la plej multaj aŭtoritatoj malpermesas tiun uzokutimon.
#000009
La komplemento de konveksa aro, kiel ekzemple la surskribo de konkava funkcio, foje estas nomita inversa konveksa aro, precipe en la kunteksto de matematika Optimumigo.
#000010
Se S estas konveksa aro en n-dimensia regiono, tiam por iu kolekto de r, r > 1, n-dimensia vektoroj u 1
Ur en S, kaj por iu nenegativnombroj λ
λr tia ke λ 1
λr = 1, tiam unu havas:
#000011
Vektoro de tiu tipo estas konata kiel konveksa kombinaĵo de u 1
#000012
La kolekto de konveksaj subgrupoj de vektora spaco havas la sekvajn trajtojn: [9]
#000013
La malplena aro kaj la tuta vektora spaco estas konveksaj.
La intersekciĝo de iu kolekto de konveksaj aroj estas konveksa.
sekvenco de konveksaj subgrupoj estas konveksa aro.
Por la antaŭa posedaĵo de sindikatoj de ne-malkreskantaj sekvencoj de konveksaj aroj, la restrikto al nestitaj aroj estas grava: La unio de du konveksaj aroj ne devas esti konveksa.
#000014
Fermitaj konveksaj aroj estas konveksaj aroj kiuj enhavas siajn ĉiujn limpunktojn.
Ili povas esti karakterizitaj kiel la intersekciĝoj de fermitaj duon-spacoj (aroj de punkto en spaco kiuj mensogas sur kaj al unu flanko de hiperebeno).
#000015
De kio ĵus estis dirita, estas klare ke tiaj intersekciĝoj estas konveksaj, kaj ili ankaŭ estos fermitaj aroj.
Por pruvi la konversacio, t.e., ĉiu konveksa aro povas esti reprezentita kiel tia intersekciĝo, oni bezonas la apogan hiperebenteoremon en la formo kiu por antaŭfiksita fermita konveksa aro C kaj punkto P ekster ĝi, ekzistas fermita duon-spaca H kiu enhavas C kaj ne P.
La apoga hiperebenteoremo estas speciala kazo de la Hahn-Banach-teoremo de funkcionala analitiko.
#000016
Lasu C esti konveksa korpo en la ebeno.
Ni povas gravuri rektangulon r en C tia ke homoteta kopio R da r estas limita koncerne C. The-pozitivan homotetyoproporcion estas maksimume 2 kaj: [11]
#000017
(r) konveksaj kovertoj kaj Minkowski-sumoj
#000018
Ĉiu subaro A da la vektora spaco estas enhavita ene de plej malgranda konveksa aro (nomita la konveksa koverto de A), nome la intersekciĝo de ĉiuj konveksaj aroj enhavantaj A.
La konveksa-koverta funkciigisto Conv () havas la karakterizajn trajtojn de karenfunkciigisto:
#000019
La konveksa-koverta operacio estas necesa por la aro de konveksaj aroj por formi kradon, en kiu la " kunligo- " operacio estas la konveksa koverto de la unio de du konveksaj aroj
#000021
La intersekciĝo de iu kolekto de konveksaj aroj estas sin konveksa, tiel la konveksaj subgrupoj de (reala aŭ kompleksa) vektorspaca formo kompleta krado.
#000022
En reala vektora spaco, la Minkowski-sumo de du (ne-malplenaj) aroj, S 1 kaj S 2 , estas difinita por esti la aro S 1 + S 2 formita per la aldono de vektoroj element-maniero de la summand-aroj
#000023
Pli ĝenerale, la Minkowski-sumo de finhava familio de (ne-malplenaj) aroj Sn estas la aro formita per element-rilata aldono de vektoroj
#000024
enhavi nur la nul vektoron 0 havas specialan gravecon: Por ĉiu ne-malplena subaro S da vektora spaco
#000025
estas la neŭtra elemento de sumo de Minkowski (sur la kolekto de ne-malplenaj aroj).
#000026
Sumo de Minkowski kondutas bone kun respekto al la operacio de prenado de konveksaj kovertoj, kiel montrite per la sekva propono:
#000027
Tiu rezulto tenas pli ĝenerale por ĉiu finhava kolekto de ne-malplenaj aroj:
#000029
En matematika terminologio, la operacioj de Minkowski-sumigo kaj de formado de konveksaj kovertoj estas navedaj operacioj.
#000030
La Minkowski-sumo de du kompaktaj konveksaj aroj estas kompakta.
La sumo de kompakta konveksa aro kaj fermita konveksa aro estas fermita.
#000031
Ĝeneraligoj kaj etendaĵoj por konvekseco
#000032
La nocio de konvekseco en la eŭklida spaco povas esti ĝeneraligita modifante la difinon en kelkaj aŭ aliaj aspektoj.
La komunnomo "ĝeneraligis ke konvekseco" estas uzita, ĉar la rezultaj objektoj retenas certajn trajtojn de konveksaj aroj.
#000033
Lasu C esti aro en reala aŭ kompleksa vektora spaco.
C estas stelo konveksa se tie ekzistas x 0 en C tia ke la liniparto de x 0 ĝis iu punkto y en C estas enhavita en C.
Tial ne-malplena konveksa aro ĉiam estas stel-konveksa sed stel-konveksa aro ne estas ĉiam konveksa.
#000034
Ekzemplo de ĝeneraligita konvekseco estas ortogonala konvekseco.
#000035
Aro S en la eŭklida spaco estas nomita ortogonale konveksa aŭ ort-konveksa, ĉu ĉiu segmento paralela al iuj da la kunordigitaj aksoj ligantaj du poentoj de S kuŝas komplete ene de S.
Estas facile pruvi ke intersekciĝo de iu kolekto de ortokonveks-aroj estas ortokonveks.
Iuj aliaj trajtoj de konveksaj aroj estas validaj ankaŭ.
#000036
La difino de konveksa aro kaj konveksa koverto etendas nature al geometrioj kiuj ne estas Eŭklidaj difinante geodezie konveksan aron esti unu kiu enhavas la geodesics interligante iujn ajn du poentojn en la aro.
#000037
Konvekseco povas esti etendita por spaceto Xa dotis kun la ordotopologio, uzante la tutecan ordon
#000038
La nocio de konvekseco povas esti ĝeneraligita al aliaj objektoj, se certaj trajtoj de konvekseco estas elektitaj kiel aksiomoj.
#000040
Surbaze de aro Xa, konvekseco super X estas kolekto C de subaroj de X kontentigante la sekvajn aksiomojn: [9]
#000041
La malplena aro kaj X estas en C
La intersekciĝo de iu kolekto de C estas en C .
La unio de ĉeno (kun respekto al la inkludrilato) de elementoj de C estas en C .
#000042
La elementoj de C estas nomitaj konveksaj aroj kaj la paro ( X, C) estas nomita konveksecspaco.
Por la ordinara konvekseco, la unuaj du aksiomoj tenas, kaj la tria unu estas sensignifa.
#000043
Por alternativa difino de abstrakta konvekseco, pli taŭga ĝis diskreta geometrio, vidas la konveksajn geometriojn asociitajn kun antimatroidoj.
#000044
La teoremo (de Carathéodory konveksa koverto)
#000045
Topologia tensorprodukto ( de hilbertaj spacoj)
#000048
Spektra teorio ( de ODEoj
#000049
La senvaria subspaco de Lomonosov
#000050
En eŭklida spaco, objekto estas konveksa se por ĉiu paro de punktoj en la objekto, ankaŭ ĉiu punkto en la rekta segmento kiu kunigas la unuaj du punktojn estas en la objekto. Objekto kiu ne estas konveksa estas nomata kiel ne konveksa aŭ konkava.
#000051
Estu C aro en reela aŭ kompleksa vektora spaco. C estas konveksa se por ĉiuj x kaj y en C kaj ĉiuj t en la intervalo [0,1], la punkto
#000052
estas en C. En aliaj vortoj, ĉiu punkto sur la streko konektanta punktojn x kaj y estas en C. Ĉi tio implicas ke konveksa aro estas koneksa.
#000053
Aro C estas absolute konveksa se ĝi estas konveksa kaj balancita.
#000054
La konveksaj subaroj de R (la aro de reelaj nombroj) estas simple intervaloj de R.
#000055
Ekzemploj de konveksaj subaroj de eŭklida 2-spaco estas triangulo kaj la 2-dimensia unuobla pilko. Ekzemploj de nekonveksaj aroj subaroj de eŭklida 3-spaco estas steloj.
#000056
Ekzemploj de konveksaj subaroj de eŭklida 3-spaco estas la arĥimedaj solidoj, la platonaj solidoj kaj la 3-dimensia unuobla pilko. Ekzemploj de nekonveksaj aroj subaroj de eŭklida 3-spaco estas la pluredroj de Keplero-Poinsot.
#000057
Se estas konveksa aro, por (ĉiu, iu) en , kaj ĉiuj nenegativaj nombroj tiaj ke , la vektoro estas en . Vektoro de ĉi tiu speco estas sciata kiel konveksa kombinaĵo de .
#000058
La komunaĵo de ĉiu kolekto de konveksaj aroj estas konveksa, do la konveksa subaroj de reela aŭ komplekso vektora spaco formas plenan kradon. Ĉi tio ankaŭ signifas ke por ĉiu subaro A de la vektora spaco ekzistas la plej malgranda konveksa aro kiu enhavas na A. Ĉi tiu enhavanta aro estas nomata kiel la konveksa koverto de A, kaj la koverto estas komunaĵo de ĉiuj konveksaj aroj enhavantaj ne A.
#000059
Fermitaj konveksaj aroj povas esti priskribitaj kiel komunaĵoj de fermitaj duonspacoj (fermita duonspaco estas aro de punktoj en spaco, ĉiu el kiuj situas en certa hiperebeno aŭ je unu certa flanko de ĉi tiu hiperebeno). Klaras ke ĉi tia komunaĵo de duonspacoj estas konveksa, kaj fermiĝi, ĉar eroj de la kombinaĵo estas konversaj kaj fermitaj. Por pruvi tion ke ĉiu konveksa aro povas esti prezentita kiel ĉi tia komunaĵo, bezonatas la apoga hiperebena teoremo en tiu formo ke por ĉiu donita fermita konveksa aro C kaj punkto P ekster ĝi, ekzistas fermita duonspaco H tia ke ĝi enhavas ne C kaj ne enhavas na P. La apoga hiperebena teoremo estas speciala okazo de la Hahn-Banaĥa teoremo de funkcionala analitiko.
#000060
Estu C reela aŭ kompleksa vektora spaco. C estas stelo-konveksa se ekzistas en C tia ke la rekta streko de al ĉiu punkto y en C estas enhavita en C. De ĉi tie konveksa aro estas ĉiam stelo-konveksa sed stelo-konveksa objekto estas ne ĉiam konveksa.
#000061
La difino de konveksa aro kaj konveksa koverto etendas al neeŭklida geometrio per difino de geodezie konveksa aro kiel tiu kiu) enhavas la geodeziajn strekojn kunigantajn ĉiujn du punktojn en la aro.
#000062
La nocio de konvekseco en la eŭklida spaco povas esti ĝeneraligita per modifo de la difino en iu aspekto. La komuna nomo "ĝeneraligita konvekseco" estas uzata, ĉar la rezultantaj objektoj havas certajn propraĵojn de konveksaj aroj.
#000063
Ekzemplo de ĝeneraligita konvekseco estas perpendikulara konvekseco aŭ orta konvekseco.
#000064
Aro S en la eŭklida spaco estas perpendikulare konveksa aŭ orte konveksa, se ĉiu streko paralelo al iu el la koordinataj aksoj konektanta du punktoj de S kuŝas entute en S. Eblas pruvi ke komunaĵo de ĉiu kolekto de orte konveksaj aroj estas orte konveksa. Iuj aliaj propraĵoj de konveksaj aroj estas validaj same bone.
#000065
Donita aro X, konvekseco super X estas kolekto de subaroj de X kontentigantaj jenajn aksiomojn:
#000066
La malplena aro kaj X estas en
La komunaĵo de ĉiu subkolekto de estas en .
La unio de ĉeno (kun respekto al la inkluziveca rilato) de eroj de estas en .
#000067
La eroj de estas nomataj kiel konveksaj aroj kaj la paro (X, ) estas nomata kiel konvekseca spaco. Por la ordinara konvekseco, la unuaj du aksiomoj veras, kaj la tria unu estas bagatela.
#000068
Ekzistas ankaŭ la alternativa difino de abstrakta konvekseco, pli konvena al diskreta geometrio.
#000069
Lenso (optiko) - pri konveksaj lensoj
#000070