Wikipedia's Rotation formalisms in three dimensions as translated by GramTrans
#000000
En geometrio, diversaj formalismoj ekzistas por esprimi rotacion en tri dimensioj kiel matematika transformo.
En fiziko, tiu koncepto estas aplikita al klasikaj mekanikoj kie rotacia (aŭ angul) kinematiko estas la scienco de kvanta priskribo de sole rotacia decidpropono.
La orientiĝo de objekto ĉe antaŭfiksita momento estas priskribita per la samaj iloj, kiel ĝi estas difinita kiel imaga rotacio de referencallokigo en spaco, prefere ol fakte observita rotacio de antaŭa allokigo en spaco.
#000001
Laŭ la rotacioteoremo de Euler la rotacio de rigida korpo (aŭ tridimensia koordinatsistemo kun la fiksa origino) estas priskribita per ununura rotacio koncerne iun akson.
Tia rotacio povas esti unike priskribita per minimumo de tri realaj parametroj.
Tamen, pro diversaj kialoj, ekzistas pluraj manieroj reprezenti ĝin.
Multaj el tiuj reprezentantaroj uzas pli ol la necesa minimumo de tri parametroj, kvankam ĉiu el ili daŭre havas nur tri gradojn da libereco.
#000002
Ekzemplo kie rotacioreprezentantaro estas uzita estas en komputila vizio, kie aŭtomatigita observanto devas spuri celon.
Lasu nin pripensi rigidan korpon, kun tri ortogonalaj unuoblaj vektoroj aljarditaj al ĝia korpo (reprezentante la tri aksojn de la loka koordinatsistemo de la objekto).
La baza problemo estas precizigi la orientiĝon de tiuj tri unuoblaj vektoroj, kaj tial la rigidan korpon, kun respekto al la koordinatsistemo de la observanto, rigarditan kiel referencallokigo en spaco.
#000003
Rotacio kiun formalismoj estas temigis bonordajn ( orientiĝ-marinadajn) moviĝojn de la eŭklida spaco kun unu fikspunkto, al kiu rotacio rilatas.
Kvankam fizikaj moviĝoj kun fikspunkto estas grava kazo (kiel ekzemple tiaj priskribitaj en la centro-de-amasa kadro, aŭ moviĝoj de junto), tiu aliro kreas scion pri ĉiuj moviĝoj.
Ĉiu memmovado de la eŭklida spaco putriĝas al rotacio ĉirkaŭ la origino kaj traduko.
Whikever la ordo de ilia kunmetaĵo estos, la "pura" rotaciokomponento ne ŝanĝiĝus, unike determinita per la kompleta decidpropono.
#000008
Oni ankaŭ povas kompreni "purajn" rotaciojn tiel linearaj bildigoj en vektora spaco provizita per Euclidean-strukturo, ne kiel mapoj de punktoj de ekvivalenta afina spaco.
En aliaj vortoj, rotacioformalismo kaptas nur la rotacian parton de decidpropono, kiu enhavas tri gradojn da libereco, kaj ignoras la translational parton, kiu enhavas pliajn tri.
#000009
La supre menciita triado de unuoblaj vektoroj ankaŭ estas nomita bazo.
Precizigi la koordinatojn ( komponentoj) de vektoroj de tiu bazo en ĝia aktuala (rotaciite) pozicio, laŭ la referenco (ne-rotaciita) kunordigitajn aksojn, tute priskribos la rotacion.
#000010
Tiuj parametroj povas esti skribitaj kiel la elementoj de 3 × 3 matricon A, vokis rotaciomatricon.
Tipe, la koordinatoj de ĉiu el tiuj vektoroj estas aranĝitaj laŭ kolono de la matrico (tamen, atentas ke alternativa difino de rotaciomatrico ekzistas kaj estas vaste uzita, kie la vektorkoordinatoj difinitaj supre estas aranĝitaj per vicoj [1] )
#000011
La elementoj de la rotaciomatrico estas ne ĉio sendependaj - kiam la rotacioteoremo de Euler diktas, la rotaciomatrico havas nur tri gradojn da libereco.
#000012
La rotaciomatrico havas la sekvajn trajtojn:
#000013
Estas reala, ortogonala matrico, tial ĉiu el ĝiaj vicoj aŭ kolonoj reprezentas unuoblan vektoron.
La eigenvalues de A estas
#000014
kie mi estas la norma imaginara unuo kun la posedaĵo mi 2 = −1
#000015
La determinanto de A estas +1, ekvivalenta al la produkto de siaj Eigen-valoroj.
#000016
La ajgenvektoro egalrilatanta al la Eigen-valoro de 1 estas la aldonita Euler-akso, ĉar la akso estas la nura (nonzero-) vektoro kiu restas senŝanĝa maldekstra-multobligante (rotacia) ĝin kun la rotaciomatrico.
#000017
Al ĉi-supraj trajtoj estas ekvivalentaj:
#000018
Tiuj deklaroj konsistas el totalo de 6 kondiĉoj (la vektora produto enhavas 3), forlasante la rotaciomatricon kun nur 3 gradoj da libereco, kiel postulate.
#000019
(Noto la ordo, ekde la vektoro estanta rotaciita estas multobligita de la dekstro).
La facileco de kiu vektoroj povas esti rotaciitaj uzante rotaciomatricon, same kiel la facilecon de kombinado de sinsekvaj rotacioj, igas la rotaciomatricon utila kaj populara maniero reprezenti rotaciojn, eĉ se ĝi estas malpli konciza ol aliaj reprezentantaroj.
#000020
De la rotacioteoremo de Euler ni scias ke ĉiu rotacio povas esti esprimita kiel ununura rotacio koncerne iun akson.
La akso estas la unuobla vektoro (unika krom signo) kiu restas senŝanĝa per la rotacio.
La signifo de la angulo ankaŭ estas unika, kie ĝia signo estas determinita per la signo de la rotaciakso.
#000021
Ĉar la akso estas normaligita, ĝi havas nur du gradojn da libereco.
La angulo aldonas la trian gradon de libereco al tiu rotacioreprezentantaro.
#000022
Oni povas deziri esprimi rotacion kiel rotaciovektoro, aŭ Euler-vektoro, ne-normaligitan tridimensian vektoron la direkton de kiu precizigas la akson, kaj la longo de kiu estas θ,
#000023
La rotaciovektoro estas en kelkaj kuntekstoj utila, ĉar ĝi reprezentas tridimensian rotacion kun nur tri skalar valoroj (siaj komponentoj), reprezentante la tri gradojn da libereco.
Tio ankaŭ estas vera por reprezentantaroj surbaze de sekvencoj de tri Euler-anguloj (vidu malsupre).
#000024
Kombinado du sinsekvaj rotacioj, ĉiu reprezentita per Euler-akso kaj angulo, ne estas simplaj, kaj fakte ne kontentigas la leĝon de vektoraldono, kiu montras ke finhavaj rotacioj ne estas vere vektoroj entute.
Estas plej bone utiligi la rotaciomatricon aŭ kvaropnotacion, kalkuli la produkton, kaj tiam transformas reen al Euler-akso kaj angulo.
#000025
La ideo malantaŭ Euler-rotacioj devas disfendi la kompletan rotacion de la koordinatsistemo en tri pli simplajn konstituigajn rotaciojn, nomitaj Precesio, Nutation, kaj interna rotacio, estante ĉiu de ili pliigo en unu el la Euler-anguloj.
Rimarkas ke la ekstera matrico reprezentos rotacion proksimume unu el la aksoj de la referenca kadro, kaj la interna matrico reprezentas rotacion proksimume unu el la kortuŝa framakso.
La mezmatrico reprezentas rotacion ĉirkaŭ meza akso nomita vico de nodoj.
#000026
Tamen, la difino de Euler-anguloj ne estas unika kaj en la literaturo multaj malsamaj konvencioj estas uzitaj.
Tiuj konvencioj dependas de la aksoj koncerne kiujn la rotacioj estas aranĝitaj, kaj sia sekvenco (ĉar rotacioj ne estas kommutativaj).
#000027
La kongreso estanta uzita estas kutime indikita precizigante la aksojn koncerne kiujn la sinsekvaj rotacioj (antaŭ esti kunmetitaj) okazas, rilatante al ili de indekso (1, 2, 3) aŭ letero (X, Y, Z).
La inĝenieraj kaj robotikkomunumoj tipe utiligas 3-1-3 Euler-angulojn.
Rimarku ke post kunmetado de la sendependaj rotacioj, ili ne rotacias koncerne sian akson pli longe.
La plej ekstera matrico rotacias la aliajn du, postlasante la duan rotaciomatricon super la vico de nodoj, kaj la tria unu en framkotransloĝiĝo kun la korpo.
Ekzistas 3 × 3 × 3 = 27 eblaj kombinaĵoj de tri bazaj rotacioj sed nur 3 × 2 × 2 = 12 el ili povas esti uzita por reprezentado arbitra 3D rotacioj kiel Euler-anguloj.
Tiuj 12 kombinaĵoj evitas sinsekvajn rotaciojn ĉirkaŭ la sama akso (kiel ekzemple XXY) kiu reduktus la gradojn da libereco kiu povas esti reprezentita.
#000028
Tial, Euler-anguloj neniam estas esprimitaj laŭ la ekstera kadro, aŭ laŭ la ko-kortuŝa rotaciita korpkadro, sed en miksaĵo.
Aliaj konvencioj (ekz., rotaciomatrico aŭ kvaropoj) kutimas eviti tiun problemon.
#000029
En aviad orientiĝo de la aviadilo estas kutime esprimita kiel internaj Tait-Bryan-anguloj sekvantaj z-y'-x′′ kongreson, kiuj estas nomitaj gvidaj, alteco kaj banko , aŭ devio, tonalto kaj rulo.
#000030
Kvaropoj, kiuj formas kvar-dimensian vektoran spacon, pruvis tre utilaj en reprezentado de rotacioj pro pluraj avantaĝoj super la aliaj reprezentantaroj menciitaj en tiu artikolo.
#000031
Kvaropreprezentado de rotacio estas skribita kiel versor (normaligita kvaropo)
#000032
la komponentoj de tiu versor estas esprimitaj jene:
#000034
La lasta oficperiodo (en nia difino) ofte estas nomita la skalaresprimo, kiu havas it originon en kvaropoj kiel kiam komprenite kiel la matematika etendaĵo de la kompleksaj nombroj, skribitaj
#000036
Kvaropmultipliko, kiu kutimas precizigi sintezan rotacion, estas farita en la sama maniero kiel multipliko de kompleksaj nombroj, krom ke la ordo de elementoj devas esti enkalkulita, ĉar multipliko ne estas kommutativa.
En matricnotacio ni povas skribi kvaropon multiplikon kiel
#000037
Kombinado du sinsekvaj kvaroprotacioj estas tial ekzakte same simplaj kiel uzado de la rotaciomatrico.
#000038
Pli kompakta ol la matricreprezentantaro kaj malpli sentema al je eraroj
kiel la orientiĝoŝanĝoj, evitante malkontinuajn saltojn (enecaj ĝis tridimensiaj parametrigoj)
Esprimo de la rotaciomatrico laŭ kvaropparametroj implikas neniun trigonometrian funkcion
Estas simple kombini du individuajn rotaciojn reprezentitajn kiel kvaropoj uzantaj kvaropprodukton
#000041
Kiel rotaciomatricoj, kvaropoj foje devas esti re-normaligitaj pro preterpasaj eraroj, por certigi ke ili egalrilatas al validaj rotacioj.
La komputila kosto de re-normaliganta kvaropo, aliflanke, estas multe malpli ol por normaligado de 3 × 3 matrico.
#000042
Rodriges-parametroj povas esti esprimitaj laŭ Euler-akso kaj angulo jene, [2]
#000044
Tio havas malkontinuecon ĉe 180° ( π Radianoj): ĉiu vektoro, r, kun normo de π Radianoj reprezentas la saman rotacion kiel − r.
#000045
Simile, la Gibbs-reprezentantaro povas esti esprimita jene,
#000046
Rotacio g sekvita per rotacio f en la Gibbs-reprezentantaro havas la simplan formon
#000047
Hodiaŭ, la plej simpla maniero pruvanta tiu formulo estas en la (fidela) kamizolreprezentantaro, kie g = da=∧ n sunbruniĝas , ktp.
#000048
La Gibbs-vektoro havas la avantaĝon (aŭ malavantaĝo, depende de kunteksto) kiu 180° rotacioj ne povas esti reprezentitaj en ĝi.
(Eĉ uzante glitkom nombrojn kiuj inkludas senfinecon, rotaciodirekto ne povas esti klare difinita;
ekzemple, naive, 180° rotacio ĉirkaŭ la akso (1, 1, 0) estus (∞, ∞, 0), koncerne kiun estas la sama reprezentantaro kiel 180° rotacio (1, 0.0001, 0).
#000049
Modifis Rodriges-parametrojn (MRPoj) povas esti esprimita laŭ Euler-akso kaj angulo per
#000050
La modifita Rodriges-parametroigo partumas multajn karakterizaĵojn kun la rotaciovektorparametrigo, inkluzive de la okazo de malkontinuaj saltoj en la parametrospaco dum inkrementado de la rotacio.
#000051
Vidu difinon en Wolfram Mathworld.
#000052
Ekzistas ĝenerale du solvoj en (−π, π] 3 intervalo.
Ekzistas senlime multaj sed nombreble multaj solvoj ekstere de intervalo (−π, π] 3.
Ĉu ĉiuj matematikaj solvoj petas pri antaŭfiksita aplikiĝo dependas de la situacio.
#000056
La aksoj de la rotacio dependas de la specifa kongreso estanta uzitaj.
#000058
Notu: Tio estas valida por dekstra sistemo, kio estas la kongreso uzita en preskaŭ ĉiuj inĝenieristiko- kaj fizikdisciplinoj.
#000059
Alternative, la sekva metodo povas esti uzita:
#000061
Nombra malprecizaĵo povas esti reduktita evitante situaciojn en kiuj la denominatoro estas proksima al nul.
Unu el la aliaj tri metodaspektoj jene: [4]
#000062
Ni pripensos la x-kongresan 3-1-3 eksteran Euler Angles por la sekva algoritmo.
La kondiĉoj de la algoritmo dependas de la kongreso uzitaj.
#000064
La derivaĵo estas prilaborita laŭ [5] jene:
#000068
\displaistile \skriptstile r (t) '\' "\";
#000069
La derivaĵo de vektoro estas la linia rapideco de sia pinto.
En tiu specifa kazo, la rilato inter la linia rapidecvektoro kaj la angulrapida vektoro estas
#000070
De la transitiveco de la supre menciitaj ekvacioj,
#000071
Inverse, la derivaĵo de la kvaropo estas
#000072
La formalismo de geometria algebro (GA) disponigas etendaĵon kaj interpreton de la kvaropmetodo.
Centra al GA estas la geometria produkto de vektoroj, etendaĵo de la tradiciaj internaj kaj vektoraj produtoj, donitaj per
#000073
Tiu bivektoro priskribas la aviadilon perpendikularan al kio la vektora produto de la vektoroj revenus.
#000074
Bivectors en GA havas kelkajn nekutimajn trajtojn komparite kun vektoroj.
#000075
Tiu rezulto tenas ĝenerale por ĉio bivektorojn, kaj kiel rezulto la bivektoro ludas rolon similan al la imaginara unuo.
#000076
La esprimoj tiam estas komputitaj:
#000077
La sekvo de la rotacio tiam estas
#000078
Tiu rotacioformulo estas valida ne nur por vektoroj krom por iu multivektoro.
Krome, kiam Euler-anguloj estas utiligitaj, la komplekseco de la operacio estas multe reduktita.
Kunmetitaj rotacioj venas de multobligado de la rotoroj, tiel ke la totala rotoro de Euler-anguloj estas
#000080
Tiuj rotoroj revenas for el la eksponentoj kiel tiel:
#000081
Tiel, la kunmetitaj rotacioj de Euler-anguloj iĝas serio de ekvivalentaj rotacioj en la origina fiksa kadro.
#000082
Dum rotoroj en geometria algebro preskaŭ laboras idente al kvaropoj en tri dimensioj, la potenco de tiu formalismo estas sia ĝeneraleco: tiu metodo estas konvena kaj valida en spacoj kun iu nombro da grandeco.
En 3D, rotacioj havas tri gradojn da libereco, gradon por ĉiu linie sendependa aviadilo (bivektoro) en kiun la rotacio povas okazi.
Estis konate ke paroj de kvaropoj povas esti uzitaj generi rotaciojn en 4D, donante ses gradojn da libereco, kaj la geometria algebraliro konfirmas tiun rezulton: en 4D, ekzistas ses linie sendependaj bivektoroj kiuj povas esti utiligitaj kiel la generatoroj de rotacioj.
#000083
Elements of Vector Analysis , New Haven, p. 67
^ Direct and inverse kinematics lecture notes, page 5
^ Mebius, Johan (2007). "Derivation of the Euler-Rodrigues formula for three-dimensional rotations from the general formula for four-dimensional rotations". arXiv:math/0701759.
^ [1] Physics - Mark Ioffe - W (t) laŭ matrices
^ [2] Physics - Kinematics - angula rapido
#000084