Formulo de Faà di Bruno
#000001
Kalkulado de varioj estas speco de matematiko implikanta maksimumon kaj minimumojn, ke scienco kutimis produkti signifajn teoriojn.
Ĝi estas kampo de analitiko kiu utiligas variojn, kiuj estas groŝmonoj en funkcioj kaj funktional, por trovi maksimumon kaj minimumojn de funktional, kiuj estas mapadoj de aro de funkcioj ĝis la realaj nombroj.
[Noto 1] Functionals ofte estas esprimita kiel definitivaj integraloj implikantaj funkciojn kaj iliajn derivaĵojn.
Funkcioj kiuj maksimumigas aŭ minimumigas funktional povas esti trovitaj utiligantaj la Euler-Lagrange-ekvacion de la kalkulado de varioj.
#000002
Simpla ekzemplo de tia problemo estas trovi la kurbon de plej mallonga longo ligi du punktojn.
Se ekzistas neniuj limoj, la solvo estas evidente aerlinio inter la punktoj.
Tamen, se la kurbo estas limigita por kuŝi sur surfaco en spaco, tiam la solvo estas malpli evidenta, kaj eventuale multaj solvoj povas ekzisti.
Tiaj solvoj estas konataj kiel geodesics.
Rilata problemo estas prezentita per la principo de Fermat: lumo sekvas la padon de plej mallonga optika longo liganta du punktojn, kie la optika longo dependas sur la materialo de la komunikilo.
Unu ekvivalenta koncepto en mekaniko estas la principo de malplej ago.
#000003
Multaj gravaj problemoj implikas funkciojn de pluraj variabloj.
Solvoj de limo aprezas problemojn por la Laplace-ekvacio kontentigas la Dirichlet-principon.
La problemo de altebenaĵo postulas trovi surfacon de minimuma areo kiu enhavas antaŭfiksitan konturon en spaco: solvo ofte povas esti trovita trempante kadron en solvaĵo de sapsapumo.
Kvankam tiaj eksperimentoj relative facile rezulteblas, ilia matematika interpreto estas malproksima de kuracherbo: povas ekzisti pli ol unu loke minimumigante surfacon, kaj ili povas havi ne-sensignifan topologion.
#000004
Ĝeneraligo al aliaj limaj valorproblemoj
#000006
1 Ligo kun la ondekvacio
#000009
1 Malforta kaj forta ekstremumoj
3 Vojo de lumo kaj principo de Fermat
#000010
La kalkulado de varioj povas esti dirita al komenci kun la brakistokrona kurbo problemo levita fare de Johann Bernoulli (1696).
Ĝi tuj okupis la atenton de Jakob Bernoulli kaj la Marquis de l'Hôpital, sed Leonhard Euler unue ellaboris la subjekton, komenciĝante en 1733.
Lagrange estis influita per la laboro de Euler por kontribui signife al la teorio.
Post kiam Euler vidis la 1755-datita laboron de la 19-jaraĝa Lagrange, Euler finis sian propran parte geometrian aliron en favoro de la sole analiza aliro de Lagrange kaj renomis la subjekton la kalkulado de varioj en sia 1756 prelego Elementa Calculi Variationum.
#000011
Legendre (1786) metis malsupren metodon, ne totale kontentigan, por la diskriminacio de maksimumo kaj minimumoj.
Isaac Newton kaj Gottfried Wilhelm Leibniz ankaŭ donis iom da frua atento al la subjekto.
Al tiu diskriminacio Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mikhail Ostrogradsky (1834), kaj Carl Jacobi (1837) estis inter la kontribuantoj.
Grava ĝenerala laboro estas tiu de Sarrus (1842) kiu estis densigita kaj plibonigita fare de Cauchy (1844).
Aliaj valoraj disertaĵoj kaj memuaroj estis skribitaj fare de Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858), kaj Carll (1885), sed eble la plej grava laboro de la jarcento estas tiu de Weierstrass.
Lia famkonata kurso en la teorio estas epokfara, kaj povas esti asertite ke li estis la unua se temas pri meti ĝin sur certan kaj senduban fundament.
Hilbert-problemo publikigite en 1900 apogita pluevoluigo.
#000012
Kaj fortaj kaj malfortaj ekstremoj de funktional estas por spaco de kontinuaj funkcioj sed malfortaj ekstremoj havas la kroman postulon ke la unuaj derivaĵoj de la funkcioj en la spaco estu kontinuaj.
Tiel forta ekstremo ankaŭ estas malforta ekstremo, sed la konversacio eble ne tenas.
Verdiktofortaj ekstremoj estas pli malfacilaj ol verdiktaj malfortaj ekstremoj.
Ekzemplo de necesa kondiĉo kiu estas utiligita por trovado de malfortaj ekstremoj estas la Euler-Lagrange-ekvacio.
#000015
Trovi la ekstremojn de funktional estas simila al trovado de la maksimumo kaj minimumoj de funkcioj.
La maksimumo kaj minimumoj de funkcio povas situi trovante la punktojn kie ĝia derivaĵo malaperas (t.e., estas egala al nul).
La ekstremoj de funktional povas esti akiritaj trovante funkciojn kie la funkcia derivaĵo estas egala al nul.
Tio kondukas al solvado de la rilata Euler-Lagrange-ekvacio.
#000016
[Noto 6] Pripensu la funkcian
#000017
x 1, x 2 estas konstantoj,
y ( x) estas dufoje ade diferenciebla,
L ( x, y ( x), y ′ ( x) estas dufoje ade diferenciebla kun respekto al ĝiaj argumentoj x, y, y ′.
#000018
x 1, x 2 estas konstantoj,
#000019
y ( x) estas dufoje ade diferenciebla,
#000020
L ( x, y ( x), y ′ ( x) estas dufoje ade diferenciebla kun respekto al ĝiaj argumentoj x, y, y ′.
#000021
Se la funkcia J [ y] ekhavas lokan minimumon ĉe f, kaj η ( x) estas arbitra funkcio kiu havas almenaŭ unu derivaĵon kaj malaperas ĉe la finpunktoj x 1 kaj x 2, tiam por iu pli sensenta ε proksime al 0,
#000022
La esprimo εη estas nomita la vario de la funkcio f kaj estas indikita per δf.
#000023
Anstataŭiganta f + εη por y en la funkcia J [ y
la rezulto estas funkcio de ε ,
#000024
Ĉar la funkcia J [ y] havas minimumon por y = f, la funkcio φ ( ε) havas minimumon ĉe ε = 0 kaj tiel, [Noto 7]
#000026
Taking the total derivative of L[x, y, y ′] , where y = f + ε η and y ′ = f ′ + ε η′ are functions of ε but x is not,
#000028
L [ x, f, f ′] kiam ε = 0 kaj ni uzis integriĝon de partoj.
La lasta oficperiodo malaperas ĉar η = 0 ĉe ks1 kaj ks2 de difino.
Ankaŭ, kiel antaŭe menciite la maldekstra flanko de la ekvacio estas nul tiel ke
#000029
Laŭ la fundamenta lemo de kalkulado de varioj, la parto de la integrand en krampoj estas nul, t.e.
#000030
kiu estas nomita la Euler-Lagrange-ekvacio.
Maldekstramana flanko de tiu ekvacio estas nomita la funkcia derivaĵo de J [ f] kaj estas indikita δJ / δf ( x).
#000031
Ĝenerale tio donas duaordan ordinaran diferencialan ekvacion kiu povas esti solvita por akiri la ekstremal funkcion f ( x).
La Euler-Lagrange-ekvacio estas necesa, sed ne sufiĉa, kondiĉo por ekstremo da J [ f].
Sufiĉa kondiĉo por minimumo ricevas en la sekcio Varioj kaj sufiĉa stato por minimumo.
#000032
Por ilustri tiun proceson, pripensi la problemon de trovado al la ekstremal funkcio y = f ( x), kiu estas la plej mallonga kurbo kiu ligas du punktojn ( x 1, y 1) kaj ( x 2, y 2).
La arklongo de la kurbo ricevas per
#000033
La Euler-Lagrange-ekvacio nun estos utiligita por trovi la ekstremal funkcion f ( x) kiu minimumigas la funkcian A [ y
#000034
Ĉar f ne aperas eksplicite en L, la unuan semestron en la Euler-Lagrange-ekvacio malaperas por ĉiu f ( x) kaj tiel,
#000035
Anstataŭigante L kaj prenante la partan derivaĵon,
#000036
Prenante la derivitan d/dks kaj simpligado donas,
#000037
kiu implicas ke la plej mallonga kurbo kiu ligas du punktojn ( x 1, y 1) kaj ( x 2, y 2) estas
#000038
kaj ni tiel trovis la ekstremal funkcion f ( x) kiu minimumigas la funkcian A [ y] tiel ke A [ f] estas minimumo.
Notu ke y = f ( x) estas la ekvacio por aerlinio, en aliaj vortoj, la plej mallonga distanco inter du punktoj estas aerlinio.
#000039
En fizikproblemoj ĝi ofte montriĝas tiu ∂ L
En tiu kazo, la Euler-Lagrange-ekvacio povas esti simpligita al la Beltrami-identeco: [14]
#000040
Maldekstramana flanko estas la Legendre-transformo de L kun respekto al f ′.
#000041
La intuicio malantaŭ tiu rezulto estas ke, se la varia x estas fakte tempo, t , tiam la deklar ∂ L
t = 0 implicas ke la Lagrangian estas temp-sendependa.
De la teoremo de Noether, ekzistas rilata konservita kvanto: la Hamiltonian, kiu (ofte) koincidas kun la energio de la sistemo.
Tio estas (minus) la konstanto en la identeco de Beltrami.
#000042
La diskuto tiel longe supozis ke ekstremal funkcioj posedas du kontinuajn derivaĵojn, kvankam la ekzisto de la integralo J postulas nur unuajn derivaĵojn de testfunkcioj.
La kondiĉo kiu la unua vario malaperas ĉe ekstremal povas esti rigardita kiel malforta formo de la Euler-Lagrange-ekvacio.
La teoremo de Du Bois-Reymond asertas ke tiu malforta formo implicas la fortan formon.
Se L havas kontinuajn unua kaj dua derivaĵojn kun respekto al ĉiuj ĝiaj argumentoj, kaj se
#000044
Hilbert estis la unua se temas pri doni bonajn kondiĉojn por la Euler-Lagrange-ekvacioj por doni senmovan solvon.
Ene de konveksa areo kaj pozitiva trifoje diferenciebla Lagrangian la solvoj estas kunmetitaj de nombrebla kolekto de sekcioj kiuj aŭ iras laŭ la limo aŭ kontentigas la Euler-Lagrange-ekvaciojn en la interno.
#000045
Tamen Lavrentiev en 1926 montris ke ekzistas cirkonstancoj kie ekzistas neniu optimumsolvo sed kiujn tia povas esti kontaktita propraaŭtoritate proksime per kreskantaj nombroj da sekcioj.
#000046
Ĉi tie zigzago pado donas pli bonan solvon ol iu glata pado kaj pliigi la nombron da sekcioj plibonigas la solvon.
#000047
Ekzemple, se φ ( x, y) indikas la delokiĝon de membrano super la domajno D en la x, y ebeno, tiam ĝia potenciala energio estas proporcia al it surfacareo:
#000048
La problemo de altebenaĵo konsistas el trovado de funkcio kiu minimumigas la surfacareon supozante devigajn valorojn sur la limo de D;
la solvoj estas nomitaj minimumaj surfacoj.
La Euler-Lagrange-ekvacio por tiu problemo estas nelinia:
#000049
Estas ofte sufiĉe pripensi nur malgrandajn delokiĝojn de la membrano, per kies energiodiferenco de neniu delokiĝo estas aproksimita
#000051
La funkcia V estas minimumigota inter ĉiu testfunkcioj φ kiuj supozas devigajn valorojn sur la limo de D.
#000052
Kondiĉe ke u havas du derivaĵojn, ni povas uzi la diverĝencan teoremon por akiri
#000053
Ĉar v malaperas sur C kaj la unua vario malaperas, la rezulto estas
#000054
por ĉiuj glatigas funkcioj v kiuj malaperas sur la limo de D.
La pruvo por la kazo de unu-dimensiaj integraloj povas esti adaptita al tiu kazo por montri tion
#000055
La malfacileco kun tiu rezonado estas la supozo ke la minimumiga funkcio u havendaĵo du derivaĵojn.
Riemann argumentis ke la ekzisto de glata minimumiga funkcio estis certigita per la ligo kun la fizika problemo: membranoj efektive supozas konfiguraciojn kun minimuma potenciala energio.
Riemann nomis tiun ideon la Dirichlet-principo en honoro de sia instruisto Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
Tamen Weierstrass donis ekzemplon de variational problemo kun neniu solvo: minimumigi
#000056
Pli ĝenerala esprimo por la potenciala energio de membrano estas
#000058
La funkcio kiu minimumigas la potencialan energion kun neniu restrikto sur siaj limvaloroj estos indikita per u.
Kondiĉe ke f kaj g estas kontinuaj, regulecteorio implicas ke la minimumiga funkcio u havos du derivaĵojn.
En prenado de la unua vario, neniu limcirkonstancbezono estu trudita sur la pliigo v.
#000059
Se ni uzas la diverĝencan teoremon, la rezulto estas
#000060
Se ni unua aro v = 0 sur C, la limintegralo malaperas, kaj ni finas kiel antaŭ tio
#000061
Tiam se ni permesas al v supozi arbitrajn limvalorojn, tio implicas ke u devas kontentigi la limcirkonstancon
#000062
Notu ke tiu limcirkonstanco estas sekvo de la minimumiga posedaĵo de u: ĝi ne estas trudita anticipe.
Tiaj kondiĉoj estas nomitaj naturaj limcirkonstancoj.
#000063
Per konvena elekto de c, V povas supozi ajnan valoron se la kvanto ene de la krampoj ne malaperas.
Tial, la variational problemo estas sensenca krom se
#000064
Tiu kondiĉo implicas ke netaj eksteraj fortoj sur la sistemo estas en ekvilibro.
Se tiuj fortoj estas en ekvilibro, tiam la variational problemo havas solvon, sed ĝi ne estas unika, ĉar arbitra konstanto povas esti aldonita.
Pliaj detaloj kaj ekzemploj estas en Courant kaj Hilbert (1953).
#000065
Kaj unu-dimensiaj kaj plurdimensiaj Eigen-valorproblemoj povas esti formulitaj kiel variational problemoj.
#000066
kie φ estas limigita al funkcioj kiuj kontentigas la limcirkonstancojn
#000068
La primara variational problemo estas minimumigi la rilatumon Q/R inter ĉiu φ kontentigante la finpunktokondiĉojn.
Ĝi estas montrita sub ke la Euler-Lagrange-ekvacio por la minimumiga u estas
#000069
kie λ estas la kvociento
#000070
Povas esti montrite (vidu Gelfand kaj Fomin 1963) ke la minimumiga u havas du derivaĵojn kaj kontentigas la Euler-Lagrange-ekvacion.
ĝi estas la plej malsupra Eigen-valoro por tiu ekvacio kaj limcirkonstancoj.
Tiu variational karakterizado de Eigen-valoroj kondukas al la Rayleigh-Ritz-metodo: elektu aproksiman u kiel linearan kombinaĵon de bazaj funkcioj (ekzemple trigonometria funkcio) kaj aranĝu finhav-dimensian minimumigon inter tiaj linearaj kombinaĵoj.
Tiu metodo ofte estas surprize preciza.
#000071
La venonta plej malgranda Eigen-valoro kaj eigenfunktion povas esti akiritaj minimumigante Q sub la kroma limo
#000072
Tiu proceduro povas esti etendita por akiri la kompletan sekvencon de Eigen-valoroj kaj eigenfunktion por la problemo.
#000073
La variational problemo ankaŭ validas por pli ĝeneralaj limcirkonstancoj.
Anstataŭe de postulanta ke φ malaperas ĉe la finpunktoj, ni eble ne trudas ajnan kondiĉon ĉe la finpunktoj, kaj metas
#000074
Se ni unue postulas ke v malaperas ĉe la finpunktoj, la unua vario malaperos por tute tia v nur se
#000075
Se u kontentigas tiun kondiĉon, tiam la unua vario malaperos por arbitra v nur se
#000076
Tiuj lastaj kondiĉoj estas la naturaj limcirkonstancoj por tiu problemo, ĉar ili ne estas truditaj sub juraakuzaj funkcioj por la minimumigo, sed estas anstataŭe sekvo de la minimumigo.
#000077
Eigenvalue-problemoj en pli alta grandeco estas difinitaj en analogeco kun la unu-dimensia kazo.
Ekzemple, surbaze de domajno D kun limo B en tri dimensioj ni povas difini
#000078
La minimumiga u ankaŭ devas kontentigi la naturan limcirkonstancon
#000080
Tiu rezulto dependas sur la regulecteorio por elipsaj partaj diferencialaj ekvacioj;
vidu Jost kaj Li-Jost (1998) por detaloj.
Multaj etendaĵoj, inkluzive de tutecrezultoj, asimptotaj trajtoj de la eigenvalues kaj rezultoj koncerne la nodojn de la eigenfunktion estas en Courant kaj Hilbert (1953).
#000081
Kelkaj aplikoj de la kalkulado de varioj inkludas:
#000082
La principo de Fermat deklaras ke lumo prenas padon kiu (loke) minimumigas la optikan longon inter it'oj finpunktoj.
#000084
Post integriĝo de partoj de la unua oficperiodo ene de krampoj, ni akiras la Euler-Lagrange-ekvacion
#000086
La malpezaj radioj povas esti determinitaj integrante tiun ekvacion.
Tiu formalismo estas uzita en la kunteksto de Lagrangiana optiko kaj Hamiltoniana optiko.
#000087
Ekzistas malkontinueco de la refrakta indico kiam lumo eniras aŭ forlasas lenson.
#000088
Tiam la Euler-Lagrange-ekvacio tenas kiel antaŭe en la regiono kie x
x > 0, kaj fakte la pado estas aerlinio tie, ĉar la refrakta indico estas konstanta.
Ĉe la x = 0, f devas esti kontinua, sed f povas esti malkontinua.
Post integriĝo de partoj en la apartaj regionoj kaj utiligado de la Euler-Lagrange-ekvacioj, la unua vario prenas la formon
#000089
La leĝo de Snell por refrakto postulas ke tiuj esprimoj estu egalaj.
Ĉar tiu kalkulo montras, la leĝo de Snell estas ekvivalenta al malaperado de la unua vario de la optika padlongo.
#000090
La principo de Fermat en tri dimensioj
#000091
La optika longo de la kurbo ricevas per
#000092
Notu ke tiu integralo estas senvaria kun respekto al ŝanĝoj en la parametrika reprezentado de C.
La Euler-Lagrange-ekvacioj por minimumiga kurbo havas la simetrian formon
#000093
Ĝi sekvas el la difino kiun tiu P kontentigas
#000094
Tial, la integralo ankaŭ povas esti skribita kiel
#000095
Tiu formo indikas ke se ni povas trovi funkcio ψ kies gradienton ricevas per P, tiam la integralo A estas evoluita per la diferenco de ψ ĉe la finpunktoj de la intervalo de integriĝo.
Tiel la problemo de studado de la kurboj kiuj igas la integralon senmova povas esti rilatita al la studo de la ebenaj surfacoj de ψ.
Por trovi tian funkcion, ni kontaktas la ondekvacion, kiu regas la disvastigon de lumo.
Tiu formalismo estas uzita en la kunteksto de Lagrangiana optiko kaj Hamiltoniana optiko.
#000096
La ondekvacio por enhomogena medio estas
#000097
kie c estas la rapideco, kiu ĝenerale dependas sur X.
Ondofrontoj por lumo estas karakterizaĵsurfacoj por tiu parta diferenciala ekvacio: ili kontentigas
#000098
Ni povas serĉi solvojn en la formo
#000100
En tiu kazo, ψ kontentigas
#000102
laŭ sistemo de kurboj ( la malpezaj radioj) per kiuj ricevas
#000103
Tiuj ekvacioj por solvo da unuaorda parta diferenciala ekvacio estas identaj al la Euler-Lagrange-ekvacioj se ni faras la identigon
#000104
Ni finas ke la funkcio ψ estas la valoro de la minimumiga integralo A kiel funkcio de la supra finpunkto.
Tio estas, kiam familio de minimumigado de kurboj estas konstruita, la valoroj de la optika longo kontentigas la karakterizan ekvacion korespondante la ondekvacion.
Tial, solvi la rilatan partan diferencialan ekvacion de unua ordo estas ekvivalenta al trovado de familioj de solvoj de la variational problemo.
Tio estas la esenca enhavo de la Hamilton-Jacobi teorio, kiu validas por pli ĝeneralaj variational problemoj.
#000105
En klasika mekaniko, la ago, S, estas difinita kiel la tempintegralo de la Lagrangian, L.
La Lagrangian estas la diferenco de energioj,
#000106
kie T estas la kineta energio de mekanika sistemo kaj U sia potenciala energio.
La principo de Hamilton (aŭ la batalprincipo) deklaras ke la decidpropono de konservativa holonomic (integrablaj limoj) mekanika sistemo estas tia ke la batalintegralo
#000107
estas senmova kun respekto al varioj en la pado x (t).
La Euler-Lagrange-ekvacioj por tiu sistemo estas konataj kiel la ekvacioj de Lagrange:
#000108
kaj ili estas ekvivalentaj al la ekvacioj de Neŭtono de moviĝo (por tiaj sistemoj).
#000109
La konjugatmomenta P estas difinita per
#000110
La Hamiltonian estas la sumenergio de la sistemo:
Analogeco kun la principo de Fermat indikas ke solvoj de la ekvacioj de Lagrange (la partiklotrajektorioj) povas esti priskribitaj laŭ ebenaj surfacoj de iu funkcio de X.
Tiu funkcio estas solvo de la Hamilton-Jacobi ekvacio:
#000111
Varioj kaj sufiĉa kondiĉo por minimumo
#000112
Kalkulado de varioj temas pri varioj de funktional, kiuj estas groŝmonoj en la valoro de la funktional pro groŝmonoj en la funkcio kiu estas sia argumento.
La unua vario [Noto 9] estas difinita kiel la linia parto de la ŝanĝo en la funkcia, kaj la dua vario [Noto 10] estas difinita kiel la kvadrata parto.
#000113
Ekzemple, se J [ y] estas al funkcia kun la funkcio y = y ( x) kiel it argumento, kaj ekzistas groŝmono en it argumento de y ĝis y + h , kie h = h ( x) estas funkcio en la sama funkcia spaco kiel y , tiam la ekvivalenta ŝanĝo en la funkcia estas
#000114
[Noto 11] La funkcia J [ y] laŭdire estas diferenciebla se
#000115
La funkcia J [ y] laŭdire estas dufoje diferenciebla se
#000117
La dua vario δ 2 J [ h] laŭdire estas forte pozitivaj se
#000119
dum ĉio h kaj por iu konstanta k > 0 .
#000120
Utiligante ĉi-suprajn difinojn, aparte la difinoj de unua vario, dua vario, kaj forte pozitiva, la sekva sufiĉa kondiĉo por minimumo de funkcia povas esti deklarita.
#000121
La funkcia J [ y] havas minimumon ĉe y = ŷ se ĝia unua-varia δJ [ h] = 0 ĉe y = ŷ kaj ĝia dua vario δ 2 J [ h] estas forte pozitivaj ĉe y = ŷ .
#000122
Kalkulo de variadoj estas kampo de matematiko kiu okupiĝas pri trovado de ekstremumaj funkcioj de funkcionaloj. La ekstremumaj funkcioj estas tiuj ĉe kiuj donita funkcionalo atingas maksimuman aŭ minimuman valoron. Ĉi tiuj funkcionaloj kutime estas integraloj engaĝantaj nekonatan funkcion kaj ĝiajn derivaĵojn. Tiel kalkulo de variadoj rilatas al funkcionaloj same kiel ordinara infinitezima kalkulo rilatas al funkcioj.
#000129
Unu el la plej simplaj ekzemploj de ĉi tia problemo estas trovado de kurbo kiu estas la plej mallonga konekto de du punktoj. Se ne estas limigoj, la solvaĵo estas evidente rekta streko inter la punktoj. Tamen, se la kurbo estas limigita al kuŝi sur surfaco en spaco, la solvaĵo estas malpli evidenta, kaj eble multaj malsamaj samlongaj solvaĵoj povas ekzisti. Ĉi tiaj solvaĵoj estas la geodeziaj kurboj. Rilatanta problemo estas afektita per principo de Fermat en optiko: lumo sekvas la vojon de plej mallonga optika longo konektanta la du punktojn, kie la optika longo dependas de la materialo tra kiu iras la lumo. Unu respektiva koncepto en mekaniko estas la principo de plej malgranda ago.
#000130
Multaj gravaj problemoj engaĝas funkciojn de kelkaj variabloj. Solvaĵoj de randaj valoraj problemoj por la laplaca ekvacio kontentigas la principon de Dirichlet. Problemo de Plateau postulas trovadon de surfaco de minimuma areo kiu havas donitan randon en spaco; eksperimente la solvaĵoj povas troviĝi per drata konturo kaj sapa solvaĵo. Povas esti pli ol unu loke minimumiganta surfaco, kaj ili povas havi ne simplajn topologiojn.
#000131
J(y0)-J(y) havas la saman signon. Tipe, V estas spaco de r fojojn kontinue diferencialeblaj funkcioj sur kompakta subaro E de la reela linio, kun la normo donita per
#000133
Ĉi tiu normo estas sumo de precizaj supraj randoj de y kaj ĝiaj derivaĵoj.
#000134
Se y0 estas forta ekstremumo por J tiam ĝi estas ankaŭ malforta ekstremumo, sed la malo povas ne esti vera. Trovado de forta ekstremumo estas kutime pli malfacila ol trovado de malforta ekstremumo. Pli sube estas konsiderata trovado de la malfortaj ekstremumoj.
#000136
Ambaŭ malforta ekstremumo kaj forta ekstremumo estas fakte lokaj ekstremumoj.
#000137
Sub idealaj kondiĉoj, la maksimumoj kaj minimumoj de donita funkcio povas esti trovitaj per trovo de punktoj kie ĝia derivaĵo estas nula. Analoge, solvaĵoj de glata variada problemo povas esti ricevitaj per solvado de la asociita ekvacio de Eŭlero-Lagrange. Por ke ilustri ĉi tiun procezon, konsideru problemon de trovado de la plej mallonga kurbo en la ebeno kiu konektas du punktoj (x1, y1) kaj (x2, y2).
#000138
La arka longo estas donita per
#000139
La funkcio f devas havi almenaŭ unu derivaĵon por ke kontentigi la postulojn por valida apliko de la funkcio, plu, se f0 estas loka minimumo kaj f1 estas ajna funkcio kiu egalas al nulo je la finaj punktoj x1 kaj x2 kaj kun almenaŭ unu derivaĵo, tiam
#000140
por ĉiu nombro ε proksime al 0. Pro tio, la derivaĵo de kun respekto al ε (la unua variado de A) devas strebi al nulo kiam ε strebas al nulo. Tial
#000141
por ĉiu elekto de la funkcio f1. Oni povas interpreti ĉi tiu kondiĉon kiel la nuliĝo de ĉiuj direktaj derivaĵoj de A[f0] en la spaco de diferencialeblaj funkcioj, kaj ĉi tiu estas formaligita per postulo de tio ke la derivaĵo de Fréchet de A nuliĝas je f0. Se preni ke f0 havas du kontinuaj derivaĵoj (aŭ se konsideri malfortajn derivaĵojn), tiam eblas uzi popartan integraladon:
#000142
La unua termo estas nulo ĉar v(x)=f1(x) nuliĝas je x1 kaj x2. Pro tio,
#000143
por ĉiu dufoje diferencialebla funkcio f1 kiu nuliĝas je la finpunktoj x1 kaj x2. Ĉi tio estas speciala okazo de la fundamenta lemo de kalkulo de variadoj:
#000144
por ĉiu diferencialebla funkcio f1(x) kiu nuliĝas je la finpunktoj de la intervalo. Pro tio ke f1(x) estas ajna funkcio en la integralada limigo, oni konkludas ke H(x) = 0. Pro tio,
#000145
El ĉi tiu ekvacio sekvas ke
#000146
kaj de ĉi tie la ekstremumaj funkcioj estas rektoj.
#000147
Simila kalkulo veras en la ĝenerala okazo kie
#000148
kaj f estas postulita al havi du kontinuajn derivaĵojn. Denove, oni trovas ekstremumojn f0 per preno ke , preno de derivaĵo kun respekto al ε, kaj poste preno de ε=0:
#000149
kie estas uzata la ĉena regulo en la dua linio kaj poparta integralado en la tria. Same kiel antaŭe, la lasta termo en la tria linio estas nula pro elekto de f1. Fine, laŭ la fundamenta lemo de kalkulo de variadoj, oni trovas ke L kontentigas ekvacion Eŭlero-Lagrange:
#000150
Ĝenerale ĉi tio donas ordinaran diferencialan ekvacion de la dua ordo kiu povas esti solvita por ricevi la ekstremuman f. La ekvacio de Eŭlero-Lagrange estas necesa sed ne sufiĉa kondiĉo por la ekstremumo.
#000151
Vojo de lumo kaj principo de Fermat
#000152
Kalkulo de variadoj povas esti uzata por trovi vojon de lumo. Principo de Fermat statas ke lumo iras laŭ vojo kiu loke minimumigas optikan longon inter la finpunktoj. Se la x-koordinato estas elektita kiel parametro laŭ la vojo, kaj y=f(x) laŭ la vojo, tiam la optika longo estas
#000153
kie la refrakta indico n(x, y) dependas de la materialo en ĉiu punkto.
#000154
Oni provu , tiam la unua variado de A (la derivaĵo de A je ε) estas
#000155
Post poparta integralado de la unua termo en krampoj, rezultiĝas la ekvacio de Eŭlero-Lagrange
#000156
La vojo de lumo povas esti difinita per integralado de ĉi tiu ekvacio.
#000157
Estas nekontinueco de la refrakta indico je surfaco de lenso aŭ la alia objekto farita el materialo kun malsama refrakta indico. Estu la refrakta indico n(x, y) difinita kiel
#000158
kie n- kaj n+ estas konstantoj. Tiam la ekvacio de Eŭlero-Lagrange veras kiel antaŭe en la regionoj x<0 kaj x>0, kaj fakte la vojo estas rekto en ĉiu aparta regiono ĉar la refrakta indico estas konstanto. Je x=0, f devas esti kontinua, sed f' povas esti nekontinua. Post poparta integralado en la apartaj regionoj kaj uzante la ekvacion de Eŭlero-Lagrange, la unua variado prenas formon
#000159
La faktoro ĉe n- estas la sinuso de angulo de la radio kun la x-akso (kiu estas orta al surfaco disdividanta volumenojn kun malsamaj refraktaj indicoj), kaj la faktoro ĉe n+ estas la sinuso de angulo de la refraktita radio kun la x-akso. Vojo de la lumo estas tia ke nuliĝas la unua variado de la optika voja longo, kio tuj donas la leĝon de Snell por refrakto, kiu statas ke ĉi tiuj termoj estu egalaj.
#000160
Fundamenta lemo de kalkulo de variadoj
Principo de plej malgranda ago
#000161