En algebro, kiu estas larĝa dividado de matematiko, abstrakta algebro (foje nomita moderna algebro) estas la studo de algebraj strukturoj.
Algebraj strukturoj inkludas grupojn, ringojn, kampojn, modulojn, vektorajn spacojn, kradojn, kaj algebrojn.
La esprimo abstrakta algebro estis elpensita en la frua 20-a jarcento por distingi tiun studfakon de la aliaj partoj de algebro.
#000001
Algebraj strukturoj, kun siaj rilataj homomorfismoj, formas matematikajn kategoriojn.
Teorio de kategorioj estas potenca formalismo por analizado kaj komparado de malsamaj algebraj strukturoj.
#000002
Universala algebro estas parenca temo kiu studoj la naturo kaj teorioj de diversaj specoj de algebraj strukturoj kiel tutaĵo.
Ekzemple, universala algebro studas la totalan teorion de grupoj, kiel distingite de studado de akurataj grupoj.
#000003
Kiel en aliaj partoj de matematiko, konkretaj problemoj kaj ekzemploj ludis gravajn rolojn en la evoluo de abstrakta algebro.
Tra la fino de la deknaŭa jarcento, multaj - eble plej - de tiuj problemoj estis laŭ iu maniero ligita al la teorio de algebraj ekvacioj.
#000004
Solvado de sistemoj de linearaj ekvacioj, kiuj kondukis al lineara algebro
Provoj trovi formulojn por solvoj de ĝeneralaj polinom ekvacioj de pli alta grado kiu rezultigis eltrovon de grupoj kiel abstraktaj manifestiĝoj de simetrio
Aritmetikaj enketoj de kvadrataj kaj pli altaj gradformularoj kaj diofantaj ekvacioj, kiuj rekte produktis la nociojn de ringo kaj idealo.
#000005
Multaj lernolibroj en abstrakta algebro komenciĝas per aksiomaj difinoj de diversaj algebraj strukturoj kaj tiam daŭrigas establi siajn trajtojn.
Tio kreas malveran impreson kiu en algebraksiomoj venis unue kaj tiam funkciis kiel instigo kaj kiel bazo de plia studo.
La vera ordo de historia evoluo estis preskaŭ sama la kontraŭo.
Ekzemple, la hiperkompleksaj nombroj da la deknaŭa jarcento havis kinematajn kaj fizikajn instigojn nur defiitaj kompreno.
La plej multaj teorioj kiuj nun estas rekonitaj kiel partoj de algebro komenciĝis kiel kolektoj de malsimilaj faktoj de diversaj branĉoj de matematiko, akiris oftan temon kiu funkciis kiel kerno ĉirkaŭ kiu diversaj rezultoj estis grupigitaj, kaj finfine iĝis unuigita sur bazo de ofta aro de konceptoj.
Arketipa ekzemplo de tiu progresema sintezo povas esti vidita en la historio de teorio de grupoj.
#000006
Ekzistis pluraj fadenoj en la frua evoluo de teorio de grupoj, en moderna lingvo loze egalrilatante al nombroteorio, teorio de ekvacioj, kaj geometrio.
#000007
Leonhard Euler konsideris algebrajn operaciojn sur nombroj modulo entjero, modula aritmetiko, en sia ĝeneraligo de malgranda teoremo de Fermat.
Tiuj enketoj estis prenitaj multe plu fare de Carl Friedrich Gauss, kiu pripensis la strukturon de multiplikaj grupoj de restaĵmodema adoleskanto n kaj establis multajn trajtojn de ciklaj kaj pli ĝeneralaj abelaj grupoj kiuj ekestas laŭ tiu maniero.
En liaj enketoj de kunmetaĵo de binaraj kvadrataj formoj, Gauss eksplicite deklaris la asociecan leĝon por la kunmetaĵo de formoj, sed kiel Euler antaŭ li, li ŝajnas estinti pli interesita pri konkretaj rezultoj ol en ĝenerala teorio.
En 1870, Leopold Kronecker donis difinon de abela grupo en la kunteksto de idealaj klasgrupoj de numero-kampo, ĝeneraligante la laboron de Gauss;
sed ĝi ekaperas li ne ligis sian difinon kun antaŭa laboro sur grupoj, precipe permutadogrupoj.
En 1882, pripensante la saman demandon, Heinrich M. Weber realigis la ligon kaj donis similan difinon kiu implikis la nuligposedaĵon sed preterlasis la ekziston de la inversa elemento, kiu estis sufiĉa en lia kunteksto (finiaj grupoj).
#000008
Permutaĵoj estis studitaj fare de Joseph-Louis de Lagrange en lia 1770 artikolo Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Thoughts on the algebraic solution of equations) dediĉita al solvoj de algebraj ekvacioj, en kiuj li lanĉis Lagrange-dissolvilojn.
La celo de Lagrange estis kompreni kial ekvacioj de triono kaj kvara grado koncedas formulojn por solvoj, kaj li identigis kiel esencaj objektoj permutaĵojn de la radikoj.
Grava romanpaŝo alogita de Lagrange tiu papero estis la abstraktaĵvido de la radikoj, t.e. kiel simboloj kaj ne kiel nombroj.
Tamen, li ne pripensis kunmetaĵon de permutaĵoj.
Serendipitous, la unua eldono de Meditationes Algebraicae de Edward Waring ( Meditations on Algebra) ekaperis en la sama jaro, kun vastigita versio publikigite en 1782.
Militado pruvis la ĉefteoremo sur simetriaj funkcioj, kaj speciale konsideris la rilaton inter la radikoj de kvarta ekvacio kaj ĝia dissolvilo kuba.
Mémoire sur la résolution des équations ( Memoire on the Solving of Equations) de Alexandre Vandermonde (1771) evoluigis la teorion de simetriaj funkcioj de iomete malsama angulo, sed kiel Lagrange, kun la celo de komprenado de solveblo de algebraj ekvacioj.
#000009
Kronecker claimed in 1888 that the study of modern algebra began with this first paper of Vandermonde. Cauchy states quite clearly that Vandermonde had priority over Lagrange for this remarkable idea, which eventually led to the study of group theory. [1]
#000010
Paolo Ruffini estis la unua persono se temas pri evoluigi la teorion de permutadogrupoj, kaj kiel siaj antaŭuloj, ankaŭ en la kunteksto de solvado de algebraj ekvacioj.
Lia celo estis establi la maleblecon de algebra solvo al ĝenerala algebra ekvacio de grado pli alta ol kvar.
Survoje al tiu celo li lanĉis la nocion de la ordo de elemento de grupo, konjugacy, la cikloputriĝon de elementoj de permutadogrupoj kaj la nocioj de primitivulo kaj imprimitive kaj pruvis kelkajn gravajn teoremojn rakontantajn tiujn konceptojn, kiel ekzemple
#000011
if G is a subgroup of S5 whose order is divisible by 5 then G contains an element of order 5.
#000012
se en tia grupon unu havas la anstataŭigojn S kaj T tiam unu havas la Anstataŭigst.
#000014
La abstrakta nocio de grupo aperis por la unua fojo en la artikoloj de Arthur Cayley en 1854.
Cayley realigis ke grupo ne devu esti permutadogrupo (aŭ eĉ finhava), kaj povas anstataŭe konsisti el matricoj, kies algebraj trajtoj, kiel ekzemple multipliko kaj inverses, li sisteme esploris en sukcesi jarojn.
Multe pli posta Cayley revizitus la demandon ĉu abstraktaj grupoj estis pli ĝeneralaj ol permutadogrupoj, kaj establi ke, fakte, ĉiu grupo estas izomorfa al grupo de permutaĵoj.
#000016
Ekzemploj de algebraj strukturoj kun ununura operacio estas:
#000020
Pli d komplikaj ekzemploj inkludas:
#000021
Pro ĝia ĝeneraleco, abstrakta algebro estas uzita en multaj kampoj de matematiko kaj scienco.
Ekzemple, algebra topologio uzas algebrajn objektojn al studotopologioj.
La konjekto de Poincaré, pruvita en 2003, asertas ke la fundamenta grupo de dukto, kiu ĉifras informojn pri ligiteco, povas esti uzita por determini ĉu dukto estas sfero aŭ ne.
Algebra nombroteorio studas diversajn numero ringojn kiuj ĝeneraligas la aron de entjeroj.
Uzante ilojn de algebra nombroteorio, Andrew Wiles pruvis la lastan teoremon de Fermat.
#000022
En fiziko, grupoj kutimas reprezenti simetrioperaciojn, kaj la uzokutimo de teorio de grupoj povis simpligi diferencialajn ekvaciojn.
En gaŭĝa teorio, la postulo de loka simetrio povas esti utiligita por dedukti la ekvaciojn priskribante sistemon.
La grupoj kiuj priskribas tiujn simetriojn estas Lie-grupoj, kaj la studo de Lie-grupoj kaj Lie-algebroj rivelas multon koncerne la fizikan sistemon;
ekzemple, la nombro da fortaviad-kompanioj en teorio estas egala al dimensio de la Lie-algebro, kaj tiuj bosonoj interagas kun la forto kiun ili mediacias se la Lie-algebro estas nonabelian.
#000023
Diferencialaj ekvacioj / dinamikaj sistemoj
#000026
Ĉi tiu artikolo estas pri la branĉo de matematiko. Por aliaj uzoj de la vorto "algebro" vidi artikolon algebro (apartigilo).
#000027
Abstrakta algebro estas kampo de matematiko koncernanta studon de algebraj strukturoj - grupoj, ringoj, kampoj, moduloj, vektoraj spacoj, kaj aroteorio. Enkonduko de abstrakta algebro estis motivigita pro la bezono de plirigorigo en matematiko.
#000028
La termino abstrakta algebro estas uzata por diferencigi la kampon de "baza algebro", kiu studas regulojn por formuloj kaj algebraj esprimoj engaĝantaj reelajn nombrojn kaj kompleksajn nombrojn; ĝi estis iam sciita kiel moderna algebro dum la unua duono de la 20-a jarcento.
#000029