Listo de teorio de grupo-temoj
#000001
Ĝenerala linia Gl ( n)
#000002
Speciala linia Sl ( n)
#000003
Speciala ortogonala TIEL ( n)
#000004
Speciala unitaria Su ( n)
#000005
Partikla fiziko kaj prezenta teorio
#000007
la sama notacio E6 estas utiligita por la ekvivalenta radikkrado, kiu havas rangon 6-an La nomon E6 venas de la Cartan-mortiga klasifiko de la kompleksaj simplaj Lie-algebroj (vidu Élie Cartan § Laboron).
Tio klasifikas Lie-algebrojn en kvar senfinajn seriojn etikedita A da n , B n , C da n , D n , kaj kvin esceptoj etikedis E6-, E kun nombro , E8 , F4 , kaj G2 .
La E6 algebro estas tiel unu el la kvin esceptoj.
#000008
La fundamenta grupo de la kompleksa formo, kompakta reala formo, aŭ ajna algebra versio de E6 estas la cikla grupo Z / 3Z, kaj ĝia ekstera aŭtomorfismogrupo estas la cikla grupo Z / 2Z.
Ĝia fundamenta reprezentantaro estas 27-dimensia (kompleksa), kaj bazo ricevas per la 27 linioj sur kuba surfaco.
La duobla reprezentantaro, kiu estas enekvivalento, ankaŭ estas 27-dimensia.
#000009
En partiklaj fizikoj, E6 ludas rolon en kelkaj grandiozaj unuigitaj teorioj.
#000010
Ekzistas unika kompleksa Lie-algebro de tipo E6, egalrilatante al kompleksa grupo de kompleksa dimensio 78-a kiun La kompleksa adjunkta Mensoggrupo E6 de kompleksa dimensio 78 povas esti konsiderita simplaniman realan Mensoggrupon de reala dimensio 156-a Tio havas fundamentan grupon Z / 3Z, havas maksimuman kompaktan subgrupon la kompakta formo (vidi malsupre) de E6, kaj havas eksteran aŭtomorfismogrupon ne-cikla de ordo 4 generite per kompleksa konjugacio kaj de la ekstera aŭtomorfismo kiu jam ekzistas kiel kompleksa aŭtomorfismo.
#000012
Same kiel la kompleksa Mensoggrupo de tipo E6, ekzistas kvin realaj formoj de la Lie-algebro, kaj ekvivalente kvin realaj formoj de la grupo kun sensignifa centro (ĉiuj el kiuj havas algebran duoblan kovron, kaj tri el kiuj havas plu ne-algebrajn kovrojn, donante plu realajn formojn), ĉio el reala dimensio 78, jene:
#000013
La EIV-formularo de E6 estas la grupo de kolineations (lini-marinadaj transformoj) de la oktoniona projekcia aviadila OPERACIO 2.
Ĝi ankaŭ estas la grupo de determinant-konservado de lineartransformoj de la escepta Jordania algebro.
La escepta Jordania algebro estas 27-dimensia, kiu klarigas kial la kompakta reala formo de E6 havas 27-dimensian kompleksooreprezentantaron.
La kompakta reala formo de E6 estas la Izometria grupo de 32-dimensia Riemaniana dukto konata kiel la "bioktoniona projekcia aviadilo";
similaj konstruoj por E kun nombro kaj E8 estas konataj kiel la Rosenfeld-projekciaj aviadiloj, kaj estas parto de la Freudenta magia kvadrato.
#000015
Super la kampo de realaj nombroj, la reala komponento de la identeco de tiuj algebre torditaj formoj da E6 koincidas kun la tri realaj Mensoggrupoj menciitaj supre, sed kun subtileco koncerne la fundamentan grupon: ĉiuj adjunktaj formoj de E6 havas fundamentan grupon Z / 3Z en la signifo de algebra geometrio, kun Galois-ago kiel sur la triaj radikoj de unueco;
tio signifas ke ili koncedas ekzakte unu trioblan kovron (kiu povas esti sensignifa en la realaj punktoj);
la pli malproksima ne-kompaktaj realaj Mensogaj grupformularoj de E6 estas tial ne algebraj kaj allasas neniujn fidelajn finhav-dimensiajn reprezentantarojn.
La kompakta reala formo de E6 same kiel la nekompaktujo formas EI E6 (6) kaj EIV E6 (-26) estas dirita esti interna aŭ de tipo 1 E6 signifante ke ilia klaso kuŝas en H 1 ( k, E6, anonco) aŭ ke kompleksa konjugacio induktas la sensignifan aŭtomorfismon sur la Dynkin-diagramo, dum la aliaj du realaj formoj laŭdire estas eksteraj aŭ de tipo 2 E6.
#000017
Super finhavaj kampoj, la Lang-Steinberg-teoremo implicas ke H 1 ( k, E6) = 0, signifante ke E6 havas ekzakte unu torditan formon, konatan kiel 2 E6: vidu malsupre.
#000018
La Dynkin-diagramo por E6 ricevas per, kiel kiu ankaŭ povas esti tiritaaŭ.
#000019
Kvankam ili turnadis ses-dimensian spacon, ĝi estas multe pli simetria konsideri ilin vektorojn en ses-dimensia subspaco de naŭ-dimensia spaco.
#000020
Alternativa (6-dimensia) priskribo de la radiksistemo, kiu estas utila en konsideri E6 × Su (3) subgrupon de E8, estas la sekvanta:
#000021
kaj ĉiuj la sekvaj radikoj kun nepara nombro da plus-signoj
#000022
Tiel la 78 generatoroj konsistas el la sekvaj subalgebroj:
#000023
Tiuj havas ne-nulan lastan eniron.
1 generatoro kiu estas ilia nememspegulsimetriecgeneratoro, kaj estas la sesa Cartan-generatoro.
#000024
Unu elekto de simplaj radikoj por E6 ricevas per la vicoj de la sekva matrico, indeksita en la sinsekvo:
#000027
La Weyl-grupo de E6 estas de ordo 51840: ĝi estas la aŭtomorfismogrupo de la unika simplanima grupo de ordo 25920 (de kiu povas esti priskribita kiel iu:
#000028
La Lie-algebro E6 havas F4 subalgebron, kio estas la fiksa subalgebro de ekstera aŭtomorfismo, kaj Su (3) × Su (3) × Su (3) subalgebro.
Aliaj maksimumaj subalgebroj kiuj havas gravecon en fiziko (vidu malsupre) kaj povas esti legitaj de la Dynkin-diagramo, estas la algebroj de TIEL (10) × U (1) kaj Su (6) × Su (2).
#000029
Aldone al la 78-dimensia adjunkta reprezentantaro, ekzistas du duoblaj 27-dimensiaj " vektoro- " reprezentantaroj.
#000030
La karakteroj de finhav-dimensiaj reprezentadoj de la realaj kaj kompleksaj Lie-algebroj kaj Mensoggrupoj estas ĉiuj donitaj fare de la Weyl-karaktero formulo.
La grandeco el la plej malgrandaj neredukteblaj reprezentantaroj estas (sekvenco A121737 en la OEIS):
#000031
La substrekitaj esprimoj en la sekvenco supre estas la grandeco de tiuj neredukteblaj reprezentantaroj poseditaj per la adjunkta formo de E6 (ekvivalente, tiuj kies pezoj apartenas al la radikkrado de E6), dum la plena sekvenco donas la grandecon de la neredukteblaj reprezentadoj de la simple ligita formo de E6.
#000032
La simetrio da la Dynkin-diagramo de E6 klarigas kial multaj grandeco okazas dufoje, la ekvivalentaj reprezentantaroj estantaj ligitaj per la ne-sensignifa ekstera aŭtomorfismo;
tamen, ekzistas foje eĉ pli da reprezentantaroj ol tio, kiel ekzemple kvar el dimensio 351, du el kiuj estas fundamentaj kaj du el kiuj ne estas.
#000033
La fundamentaj reprezentantaroj havas grandecon 27, 351, 2925, 351, 27 kaj 78 (egalrilatante al la ses nodoj en la Dynkin-diagramo en la sinsekvo elektita por la Cartan-matrico supra, t.e., la nodoj estas legitaj en la kvin-noda ĉeno unue, kie la lasta nodo estas ligita al la meza).
#000034
La E6 hiperpluredro estas la konveksa koverto de la radikoj de E6.
Ĝi tial ekzistas en 6 dimensioj;
ĝia geometria simetria grupo enhavas la Coxeter-grupon por E6 kiel indekso 2 subgrupo.
#000035
La grupoj de tipo E 6 super arbitraj kampoj (aparte finhavaj kampoj) estis prezentitaj antaŭ Dickson ( 1901, 1908).
#000037
La punktoj super finhava kampo kun q elementoj de la (disfenditaj) algebra grupo E6 (vidu supre), ĉu de la adjunkto (centerles) aŭ simple ligis formon (ĝian algebran universalan kovro), donas finhavan Chevalley-grupon.
Tio estas proksime ligita al la grupo skribita E6 ( q), aliflanke ke ekzistas ambigueco en tiu notacio, kiu povas signifi plurajn aĵojn:
#000038
(malofte) la finhava grupo konsistante el la punktoj pli ol F da q de la adjunkta formo de E6 (por klareco, tio povas esti skribita E6, anonco ( q), kaj estas konata kiel la "adjunkta" Chevalley-grupo de tipo E6 pli ol F da q ), aŭ
la finhava grupo kiu estas la bildo de la natura mapo de la unua ĝis ĉi-lasta: tio estas kion estos indikita per E6 ( q) en la sekvanta, kiel estas plej ofta en tekstoj traktantaj finiajn grupojn.
#000039
De la finhava grupperspektivo, la rilato inter tiuj tri grupoj, kiu estas tre analoga al tio inter Sl ( n, q), PGL ( n, q) kaj PSL ( n, q), povas esti resumita jene:
E6 ( q) estas simpla por iu q, E6, sc ( q) estas it Schur-kovro, kaj E6, anonco ( q) kuŝas en it aŭtomorfismogrupo;
krome, kiam q −1 ne estas disigebla de 3, ĉiuj tri koincidas, kaj alie (kiam q estas kongrua al 1 modema adoleskanto 3), la Schur-multiplikato de E6 ( q) estas 3 kaj E6 ( q) estas de indekso 3 en E6, anonco ( q), kiu klarigas kial E6, sc ( q) kaj E6, anonco ( q) ofte estas skribita kiel 3
3-a De la algebra grupperspektivo, estas malpli ofte por E6 ( q) rilati al la finhava simplanima grupo, ĉar ĉi-lasta ne estas laŭ natura maniero la aro de punktoj de algebra grupo pli ol F da q male al E6, sc ( q) kaj E6, anonco ( q).
#000040
Preter tiu "dividita" (aŭ "solvita") formo de E6, ekzistas ankaŭ unu alia formo de E6 pli ol la finhava kampo F da q , konata kiel 2 E6, kiu akiriĝas per tordado de la ne-sensignifa aŭtomorfismo de la Dynkin-diagramo de E6.
Konkrete, 2 E6 ( q), kiu estas konata kiel Steinberg-grupo, povas esti vidita kiel la subgrupo de E6 ( q 2) fiksita per la kunmetaĵo de la ne-sensignifa diagramaŭtomorfismo kaj la ne-sensignifa kampaŭtomorfismo de F da q 2 .
Tordado ne ŝanĝas la fakton ke la algebra fundamenta grupo de 2 E6, anonco estas Z / 3Z, sed ĝi ŝanĝas tiujn q por kiu la kovro de 2 E6, anonco de 2 E6, sc estas ne-sensignifa sur la F da q - punktoj.
2 E6, sc ( q) estas kovraĵo de 2 E6 ( q), kaj 2 E6-, anonco ( q) kuŝas en it aŭtomorfismogrupo;
kiam q +1 ne estas disigebla de 3, ĉiuj tri koincidas, kaj alie (kiam q estas kongrua al 2 modema adoleskanto 3), la grado da 2 E6, sc ( q) inte 2 E6 ( q) estas 3 kaj 2 E6 ( q) estas de indekso 3 el 2 E6, anonco ( q), kiu klarigas kial 2 E6, sc ( q) kaj 2 E6-, anonco ( q) ofte estas skribita kiel 3
#000041
Du notational temoj devus esti levitaj koncerne la grupojn 2 al E6 ( q).
Unu estas ke tio foje estas skribita 2 E6 ( q 2), notacio kiu havas la avantaĝon de transmeti pli facile al la Suzuki- kaj Ree-grupoj, sed la malavantaĝo de deviado de la notacio por la F da q - punktoj de algebra grupo.
Alia estas ke dum 2 E6, sc ( q) kaj 2 E6-, anonco ( q) estas la F da q - punktoj de algebra grupo, la grupo koncernita ankaŭ dependas de q (ekz., la punktoj pli ol F da q 2 el la sama grupo estas la solvita E6, sc ( q 2) kaj E6, anonco ( q 2).
#000042
La grupoj E6 ( q) kaj 2 E6 ( q) estas simplanimaj por iu q, [4] [5] kaj konsistigas du el la senfinaj familioj en la klasifiko de finhavaj simplanimaj grupoj.
Ilia ordo ricevas per la sekva formulo (sekvenco A008872 en la OEIS):
#000043
La ordo de E6, sc ( q) aŭ E6, anonco ( q) (ambaŭ estas egalaj) povas esti akiritaj forigante la disigadfaktorgcd (3, q −1) de la unua formulo (sekvenco A008871 en la OEIS), kaj la ordo de 2 E6, sc ( q) aŭ 2 E6-, anonco ( q) (ambaŭ estas egalaj) povas esti akiritaj forigante la disigadfaktorgcd (3, q +1) de la dua (sekvenco A008915 en la OEIS).
#000044
supergravito en kvin dimensioj, kiu estas dimensia redukto de 11 dimensia supergravito, koncedas E6 bosonan tutmondan simetrion kaj al Sp (8) bosonan lokan simetrion.
La fermionoj estas en reprezentadoj de Sp (8), la mezurilkampoj estas en reprezentado de E6 , kaj la Skalaroj estas en reprezentado de ambaŭ (Gravitons estas subĉemizoj kun respekto al ambaŭ).
Fizikaj ŝtatoj estas en reprezentadoj de la kun-grupo E6 /Sp (8).
#000046
En grandiozaj unuigteorioj, E6 prezentiĝas kiel ebla mezurilgrupo kiu, post it fendo, kaŭzas la Su (3) × Su (2) × U (1)
mezurilgrupo da la norma modelo (ankaŭ vidas Gravecon en fiziko de E8).
Unudirekta de atingado de tio estas tra krevado al TIEL (10) × U (1).
La adjunkta 78 reprezentantaro kolapsas, kiel klarigite supre, en adjunktaj 45, spinoro 16 kaj 16 same kiel subĉemizo de la So (10) subalgebro.
Inkluzive de la U (1) pagendaĵo ni havas
#000047
Kie la indekso indikas la U (1) pagendaĵon.
#000048
Same, la fundamenta reprezentantaro 27 kaj ĝia konjugato 27 rompas en Skalaron 1, vektoro 10 kaj spinoro, aŭ 16 aŭ 16 :
#000049
Tiel, oni povas ricevi al la elementaj fermionoj de al la Norma modelo kaj Higgs-bosonon.
#000050
Historio de teorio de kordoj Unua superŝnurcirkulado
#000053