Listo de teorio de grupo-temoj
#000001
Glosaro de teorio de grupoj
#000002
Ĝenerala linia Gl ( n)
#000003
Speciala linia Sl ( n)
#000004
Speciala unitaria Su ( n)
#000006
Partikla fiziko kaj prezenta teorio
#000008
En matematiko, la unitaria grupo de grado da n, indikitan U ( n), estas la grupo de n × n unuecmatricoj, kun la grupoperacio de matrica multipliko.
La unitaria grupo estas subgrupo de la ĝenerala lineara grupo Gl ( n, C).
Hyperorthogonal-grupo estas arkaika nomo por la unitaria grupo, precipe super finhavaj kampoj.
#000009
En la simpla kazo da n = 1, la grupo U (1) egalrilatas al la cirklogrupo, konsistante el ĉiuj kompleksaj nombroj kun absoluta valoro 1 sub multipliko.
Ĉiuj unitariaj grupoj enhavas kopiojn de tiu grupo.
#000010
La unitaria grupo U ( n) estas reala Mensoggrupo de dimensio n 2.
La Lie-algebro de U ( n) konsistas el n × n kontraŭmemadjunktaj matricoj, kun la Lie krampo donita per la kolektoro.
#000011
La ĝenerala unitaria grupo (ankaŭ nomita la grupo de unitariaj egalecoj) konsistas el ĉiuj matricoj A tia ke A ∗ A estas nonzermultoblo de la identa matrico, kaj estas ĵus la produkto de la unitaria grupo kun la grupo de ĉiuj pozitivaj multobloj de la identa matrico.
#000012
Parencaj grupoj 3.1 2-out-of-3 posedaĵo
Specialaj unitariaj kaj projekciaj unitariaj grupoj
1 Unitaria grupo de kvadrata modulo
#000013
1 Unitaria grupo de kvadrata modulo
#000015
Ni tiam havas mallongan precizan sekvencon de Lie-grupoj:
#000016
Tio sekvas el la lemo de Schur.
#000017
La unitaria grupo U ( n) estas dotita per la relativa topologio kiel subaro de M ( n, C), la aro de ĉiuj n × n kompleksoomatricoj, sin homeomorfaj al 2n 2-dimensiaj
#000018
Kiel topologia spaco, U ( n) estas kaj kompakta kaj ligita.
La kompakteco de U ( n) sekvas el la Heine-Borel-teoremo kaj la fakto ke ĝi estas fermita kaj saltita subaro de M ( n, C).
Montri ke U ( n) estas ligita, memoras ke ĉiu unuecmatrico A povas esti diagonaligita per alia unuecmatrico S.
Ĉiu diagonala unuecmatrico havendaĵo kompleksajn nombrojn de absoluta valoro 1 sur la ĉefdiagonalo.
#000019
Pado en U ( n) de la identeco ĝis A tiam estas donita per
#000020
La unitaria grupo ne estas simple ligita;
la fundamenta grupo de U ( n) estas senfina cikla por ĉiu n:
#000021
Vidi tion, notas ke ĉi-supra disfendado de U ( n) kiel semidirekt-produkto de Su ( n) kaj U (1) induktas topologian produktostrukturon sur U ( n), tiel ke
#000022
Nun ke la unua unitaria grupo U (1) estas topologie cirklo, kio estas konata havi fundamentan grupon izomorfan al Z, kaj la inkludmapo U ( n) → U ( n + 1) estas izomorfio sur π 1.
(Ĝi havas kvocienton la Stiefel-dukto.
#000023
La determinantmapdet: U ( n) → U (1) induktas izomorfion de fundamentaj grupoj, kun la disfendado U (1) → U ( n) induktante la inversan.
#000024
La Weyl-grupo de U ( n) estas la simetria grupo Sn, reagante al la diagonala Toro permutante la kontribuojn:
#000025
La unitaria grupo estas la 3-obla intersekciĝo de la ortogonalaj, simplektic, kaj kompleksaj grupoj:
#000026
Tiel unitaria strukturo povas esti vidita kiel ortogonala strukturo, kompleksa strukturo, kaj simplektic-strukturo, kiuj estas postulata por esti kongruaj (kun la signifo tiu unu uzas la saman J en la kompleksa strukturo kaj la simplektic-formularo, kaj ke tiu J estas ortogonala;
skribi ke ĉiuj grupoj kiel matricgrupoj fiksas J (kiu estas ortogonala) kaj certigas kongruecon).
#000027
Fakte, ĝi estas la intersekciĝo de iu du el tiuj tri;
tiel kongrua ortogonala kaj kompleksa strukturo induktas simplektic-strukturon, kaj tiel antaŭen.
#000028
Sur la nivelo de ekvacioj, tio povas esti vidita jene:
#000029
Ĉiuj du el tiuj ekvacioj implicas la tria.
#000030
Sur la nivelo de formoj, tio povas esti vidita per malkonstruado de Hermita formiĝas en siajn realaj kaj imaginarajn partojn: la reela parto estas simetria (ortogonala), kaj la imaginara parto estas misoblikva-simetria (simplektic) - kaj tiuj estas ligitaj per la kompleksa strukturo (kiu estas la kongrueco).
Sur preskaŭ Kähler-dukto, oni povas skribi tiun putriĝon kiel h = g + iω , kie h estas la Hermitiana formo, ke g estas la Riemaniana metriko, mi estas la preskaŭ kompleksa strukturo, kaj ω estas la preskaŭ-simplektic-strukturo.
#000031
De la perspektivo de Lie-grupoj, tio povas parte esti klarigita jene: O ( 2n) estas la maksimuma kompakta subgrupo de Gl ( 2n, R), kaj U ( n) estas la maksimuma kompakta subgrupo de kaj Gl ( n, C) kaj Sp ( 2n).
Tiel la intersekciĝo O ( 2n) ∩ Gl ( n, C) aŭ O ( 2n) ∩ Sp ( 2n) estas la maksimuma kompakta subgrupo de ambaŭ de tiuj, tiel U ( n).
De tiu perspektivo, kio estas neatendita estas la intersekciĝo Gl ( n, C) ∩ Sp ( 2n) = U ( n).
#000032
Ekzakte ĉar la ortogonala grupo O ( n) havas la specialan ortogonalan grupon TIEL ( n) kiel subgrupo kaj la projekcia ortogonala grupo PADO ( n) kiel kvociento, kaj la projekcia speciala ortogonala grupo PSO ( n) kiel subkvociento, la unitaria grupo U ( n) asociis al ĝi la specialan unitarian grupon Su ( n), la projekcian unitarian grupon PU ( n), kaj la projekcian specialan unitarian grupon PSU ( n).
Tiuj estas rilataj kiel per la kommutativa diagramo ĉe dekstra;
precipe, ambaŭ projekciaj grupoj estas egalaj:
#000033
En la lingvo de G-strukturo, dukto kun U ( n) strukturo estas preskaŭ Hermitiana dukto.
#000034
Ambaŭ tiuj aŭtomorfismoj estas aŭtomorfismoj de la algebra grupo, havas ordon 2, kaj navedas, kaj la unitaria grupo estas la fikspunktoj de la produktaŭtomorfismo, kiel algebra grupo.
La klasika unitaria grupo estas reala formo de tiu grupo, egalrilatante al la norma Hermitiana formo ψ, kiu estas pozitiva definitiva.
#000035
Tio povas esti ĝeneraligita laŭ kelkaj manieroj:
#000036
ĝeneraligi al alia Hermita formas rendimentojn senfinaj unitariaj grupoj U ( p, q);
la kampetendaĵo povas esti anstataŭigita per iu grado al 2 separebla algebro, plej precipe grado 2 etendaĵo de finhava kampo;
#000037
konsiderante ĝeneraligitan unitarian grupon algebran grupon, oni povas transpreni ĝiajn punktojn diversaj algebroj.
#000038
Analoga al la senfinaj ortogonalaj grupoj, oni povas difini senfinan unitarian grupon, per pripensado de la transformaĵoj kiuj konservas antaŭfiksitan Hermitianan formon, ne nepre pozitiva definitiva (sed ĝenerale prenita por esti ne-degeneritaj).
Ĉi tie oni laboras kun vektora spaco super la kompleksaj nombroj.
#000039
Surbaze de Hermitiana formo ψ sur kompleksa vektora spaco V, la unitaria grupo U (ψ) estas la grupo de transformaĵoj kiuj konservas la formon: la transformaĵo M tia ke ψ ( Mv, Mw) = ψ ( v, w) por ĉiu v, w ∈ V .
Laŭ matricoj, reprezenti la formon de matrico indikis φ, tio diras tiun M ∗ φM = φ.
#000040
Ĵus kiel por simetriaj formoj super la realoj, Hermitianaj formoj estas determinitaj per signaturo, kaj estas ĉio unitarie kongruaj al diagonala formo kun p kontribuoj de 1 en la diagonalaj kaj q kontribuoj de −1-a La ne-degenerita supozo estas ekvivalentaj al p + q = n .
En norma bazo, tio estas reprezentita kiel kvadrata formo kiel:
#000041
kaj kiel simetria formo kiel:
#000042
La rezulta grupo estas indikita U ( p, q).
#000043
[ clarification needed ] Further, all non-degenerate Hermita forms on a vektora spaco over a finite field are unitarily congruent to the standard one, represented by the identa matrico, that is, any Hermita form is unitarily equivalent to
#000044
Tiel oni povas difini (unikan) unitarian grupon de dimensio n por la etendaĵo F da q 2 / F da q, indikis aŭ kiel U ( n, q) aŭ U ( n, q 2) depende de la verkinto.
La subgrupo de la unitaria grupo konsistanta el matricoj de determinanto 1 estas nomita la speciala unitaria grupo kaj indikita Su ( n, q) aŭ Su ( n, q 2).
Por oportuno, tiu artikolo uzos la U ( n, q 2) kongreson.
La centro de la speciala unitaria grupo havas ordogcd ( n, q + 1) kaj konsistas el tiuj unitariaj Skalaroj kiuj ankaŭ havas ordon disigantan n.
La kvociento de la unitaria grupo de ĝia centro estas nomita la projekcia unitaria grupo , PU ( n, q 2), kaj la kvociento de la speciala unitaria grupo fare de ĝia centro estas la projekcia speciala unitaria grupo PSU ( n, q 2).
, Su ( n, q 2) estas perfekta grupo kaj PSU ( n, q 2) estas finhava simplanima grupo, ( Arbareto 2002, Thm.
#000045
Pli ĝenerale, surbaze de kampo k kaj grado separebla k-algebro K (kiu povas esti kampetendaĵo sed ne devi esti), oni povas difini unitariajn grupojn kun respekto al tiu etendaĵo.
#000046
Tio ĝeneraligas kompleksan konjugacion kaj la konjugacio de grado 2 finhavajn kampetendaĵojn, kaj permesas al tia difini Hermitianajn formojn kaj unitariajn grupojn kiel suprajn.
#000047
Surbaze de malsama formo, ili estas A ∗ φA = φ.
La unitaria grupo estas tiel algebra grupo, per kies punktoj pli ol k-algebro R ricevas:
#000048
Por la kampetendaĵo C / R kaj la normo (pozitiva definitiva) Hermita formas, tiuj donas algebran grupon kun realaj kaj kompleksaj punktoj donite per:
#000049
Fakte, la unitaria grupo estas linia algebra grupo.
#000050
La unitaria grupo de kvadrata modulo estas ĝeneralaĵo de la linia algebra grupo U ĵus difinita, kiu asimilas kiel specialaj kazoj multajn malsamajn klasikajn algebrajn grupojn.
La difino iras reen al la disertaĵo de Anthony Bak.
#000051
Por difini ĝin, oni devas difini kvadratajn modulojn unue:
#000052
Paro ( R, λ) tia ke R estas ringo kaj λ formparametro estas nomita formringo.
#000053
Kvadrata modulo inte ( R, λ) estas triopo ( M, h, q) tia ke M estas R-modulo kaj ( h, q) estas λ-kvadrata formo.
#000054
Al iu kvadrata modulo ( M, h, q) difinita per J-sesquilinear formularo f sur M super formringo ( R, λ) oni povas asocii la unitarian grupon
#000055
La unitariaj grupoj estas la aŭtomorfismoj de du polinomoj en realaj ne-kommutativaj variabloj:
#000056
La du Invariantoj aparte estas Invariantoj de O ( 2n) kaj Sp ( 2n, R).
Kombinis ili faras la Invariantojn de U ( n) kiu estas subgrupo de ambaŭ tiuj grupoj.
La variabloj devas esti ne-kommutativaj en tiuj Invariantoj alie kiujn la dua polinomo estas idente nul.
#000057
La klasifikadspaco por U ( n) estas priskribita en la artikola klasifikadspaco por U (n).
#000058