En nombroteorio, du entjeroj a kaj b laŭdire estas relative ĉefaj, reciproke primo, [1] aŭ Interprimo (ankaŭ skribita ko-ĉefa) se la nura pozitiva entjero ( faktoro) kiu disigas ambaŭ de ili estas 1-a Sekve, ĉiu primo kiu disigas unun ne disigas la aliajn.
Tio estas ekvivalenta al ilia plej granda komuna divizoro estanta 1.
#000001
La numeratoro kaj denominatoro de reduktita frakcio estas Interprimo.
Kiel specifaj ekzemploj, 14 kaj 15 estas Interprimo, estante ofte disigeblaj nur de 1, dum 14 kaj 21 −1 estas la nura Entjerinterprimo al ĉiu entjero, ne estas numeroj 1 kaj kaj ili estas la nuraj entjeroj estantaj Interprimo kun 0.
#000002
Normigitaj notacioj por relative ĉefaj entjeroj a kaj b estas:
#000003
Rapida maniero determini ĉu du nombroj estas Interprimo ricevas per la eŭklida algoritmo.
#000004
La nombro da Entjerinterprimo al pozitiva entjero n , inter 1 kaj n , ricevas per Eulera fi-funkcio (aŭ la Fiofunkcio de Euler) φ ( n).
#000005
Aro de entjeroj ankaŭ povas esti nomita Interprimo se ĝiaj elementoj dividas neniun komunpaŝtejon pozitiva faktoro krom 1-an A pli forta kondiĉo sur aktoraro de entjeroj estas parrilata Interprimo, kio signifas ke a kaj b estas Interprimo por ĉiu paro (, b) de malsamaj entjeroj en la aro.
Interprimo estas, sed ĝi ne estas pairŭise Interprimo ekde 2 kaj 4 estas ne relative ĉefaj.
#000006
Kelkaj kondiĉoj estas ekvivalentaj al a kaj b estanta Interprimo:
#000007
Neniu primo disigas kaj a kaj b .
Tie ekzistu entjeroj x kaj y tia ke hakil + de = 1 (vidu la identecon de Bézout).
La entjero b havas multiplikan inversan modulon : tie ekzistas entjero y tia ke de ≡ 1 (modema adoleskanto ).
En ring-teoria lingvo, b estas unuo en la boksejo Z / Z de entjermodulo .
Ĉiu paro de kongruecrilatoj por nekonata entjero x , de la formo x ≡ k (modema adoleskanto ) kaj x ≡ l (da modema adoleskanto b), havas solvon ( ĉina resto teoremo);
fakte la solvoj estas priskribitaj per ununura kongruecrilatmodul ab .
La plej malgranda komuna oblo de a kaj b estas egala al ilia produkto ab , t.e. LCM (, b
#000008
Kiel sekvo de la tria poento, se a kaj b estas Interprimo kaj br ≡ b ( modema adoleskanto ), tiam r ≡ s (modema adoleskanto ).
Tio estas, ni povas "dividi per b " dum laborado de kun modulo .
Krome, se b 1 kaj b 2 estas ambaŭ Interprimo kun , tiam tiel estas ilia produkto b 1 b 2 (modulo ĝi estas produkto de inverteblaj elementoj, kaj tial invertebla);
tio ankaŭ sekvas el la unua poento de la lemo de Eŭklido, kiu deklaras ke se primo pli sensenta p disigas produktobc, tiam p disigas almenaŭ unu el la faktoroj b, c.
#000009
Kiel sekvo de la unua poento, se a kaj b estas Interprimo, tiam tiel estas ajnaj funkciigas k kaj b l .
#000010
Se a kaj b estas Interprimo kaj dislimoj la produktobc, tiam dislimoj c.
Tio povas esti rigardita kiel ĝeneraligo de la lemo de Eŭklido.
#000011
La du entjeroj a kaj b estas Interprimo se kaj nur se la punkto kun koordinatoj (, b) en karteza koordinatsistemo estas "videbla" de la origino (0,0), en la senco ke ekzistas neniu punkto kun entjerkoordinatoj sur la liniparto inter la origino kaj (, b).
#000012
En signifo ke povas fariĝi preciza, la verŝajneco ke du hazarde elektitaj entjeroj estas Interprimo estas 6/ π2 (vidu pin), kio estas proksimume 61%.
#000013
Du naturaj nombroj a kaj b estas Interprimo se kaj nur se la numeroj 2 a − 1 kaj 2 b − 1 estas Interprimo.
Kiel ĝeneraligo de tio, sekvanta facile el la eŭklida algoritmo en baz n > 1:
#000014
povas ankaŭ esti nomitaj Interprimo aŭ Armanierinterprimo ĉu la plej granda komuna divizoro de ĉiuj elementoj de la aro estas 1-a Ekzemple, la entjeroj 6, 10, 15 estas Interprimo ĉar 1 estas la nura pozitiva entjero kiu disigas ĉion el ili.
#000015
Se ĉiu paro en aro de entjeroj estas Interprimo, tiam la aro laŭdire estas parrilata Interprimo (aŭ parrilata relative primo, reciproke Interprimo aŭ reciproke relative primo).
Parrilata koprimeco estas pli forta kondiĉo ol armanierkoprimeco;
ĉiu parrilata Interprimo finhava aro ankaŭ estas Armanierinterprimo, sed la reverso ne estas vera.
Ekzemple, la entjeroj 4, 5, 6 estas (armaniero) Interprimo (ĉar la nura pozitiva entjero disiganta ĉion el ili estas 1), sed ili ne estas parrilata Interprimo (ĉar gcd (4, 6) = 2).
#000016
La koncepto de parrilata koprimeco estas grava kiel hipotezo en multaj rezultoj en nombroteorio, kiel ekzemple la ĉina restteoremo.
#000017
Ĝi estas ebla por senfina aro de entjeroj por esti parrilata Interprimo.
Rimarkindaj ekzemploj inkludas la aron de ĉiuj primoj, la aron de elementoj en la sekvenco de Sylvester, kaj la aron de ĉiuj Fermat Nombroj.
#000018
Du idealoj A kaj B en la komuta ringo R estas nomitaj Interprimo (aŭ komaksimal) se A + B = R.
Tio ĝeneraligas la identecon de Bézout: kun tiu difino, du ĉefidealoj () kaj ( b) en la boksejo de entjeroj Z estas Interprimo se kaj nur se a kaj b estas Interprimo.
Se la idealoj A kaj B de R estas Interprimo, tiam AB- = A ∩ B;
krome, se C estas tria idealo tia ke A enhavas BC, tiam A enhavas C.
La ĉina restteoremo povas esti ĝeneraligita al iu komuta ringo, utiligante Interprimidealojn.
#000019
Surbaze de du hazarde elektitaj entjeroj a kaj b, estas akcepteble demandi kiom verŝajne ĝi estas ke a kaj b estas Interprimo.
En tiu persistemo, estas oportune utiligi la karakterizadon tiu a kaj b estas Interprimo se kaj nur se neniu primo disigas ambaŭ de ili (vidu bazteoremo de aritmetiko).
#000020
Ĉiu finhava kolekto de divideblecokazaĵoj asociitaj al apartaj primoj estas reciproke sendependa.
Ekzemple, kaze de du okazaĵoj, nombro estas disigebla de primoj p kaj q se kaj nur se ĝi estas disigebla de pq;
ĉi-lasta okazaĵo havas verŝajnecon 1/ pq.
Se oni faras la heŭristikan supozon ke tia rezonado povas esti etendita al senlime multaj divideblecokazaĵoj, oni estas kondukis al diveno ke la verŝajneco ke du nombroj estas Interprimo ricevas per produkto dum ĉiuj primoj,
#000021
Ĉi tie ζ rilatas al la Riemann zetafunkcio, ke la identeco rilatiganta la produkton dum primoj al ζ (2) estas ekzemplo de Euler-produkto, kaj la taksado de ζ (2) kiel π 2 /6 estas la Bazela problemo, solvita fare de Leonhard Euler en 1735.
#000022
Ekzistas neniu maniero elekti pozitivan entjeron ĉe hazarda tiel ke ĉiu pozitiva entjero okazas kun egala verŝajneco, sed deklaroj pri "hazarde elektitaj entjeroj" kiel ekzemple tiuj supre povas esti formaligitaj uzante la nocion de natura denseco .
#000023
Pli ĝenerale, la probableco de k hazarde elektitaj entjeroj estantaj Interprimo estas 1/ ζ ( k).
#000024
Tiu skemo estas ĝisfunda kaj ne-redunda kun neniuj malvalidaj membroj.
#000025
En matematiko, entjeroj a kaj b estas interprimoj se ili ne havas komunajn divizorojn escepte de 1, aŭ, ekvivalente, se ilia plej granda komuna divizoro estas 1.
#000029
Ekzemple, 12 kaj 55 estas interprimoj, sed 12 kaj 33 estas ne interprimoj ĉar ili estas ambaŭ divideblaj per 3. Nombro 1 estas interprimo al ĉiu entjero.
#000030
Rapida maniero por kontroli ĉu du nombroj estas interprimoj estas per kalkulado de ilia plej granda komuna divizoro, ekzemple per la eŭklida algoritmo. Prima faktorigo (por posta komparo de la faktoroj) estas multe pli malrapida por grandaj nombroj.
#000031
Eŭlera φ funkcio de pozitiva entjero n estas kvanto de entjeroj inter 1 kaj n kiuj estas interprimoj al n.
#000032
Estas kondiĉoj kiuj estas ekvivalentaj al tio ke a kaj b estas interprimoj.
#000033
Du entjeroj a kaj b estas interprimoj se kaj nur se ekzistas entjeroj x kaj y tiaj ke ax+by=1 (vidu en idento de Bézout).
#000034
Du entjeroj a kaj b estas interprimoj se kaj nur se b havas inverson module a, do se ekzistas entjero y tia ke by ≡ 1 (mod a). En aliaj vortoj, b estas unuo en la ringo Z/aZ de entjeroj module a.
#000035
Sekve de tio, se a kaj b estas interprimoj kaj br ≡ bs (mod a), tiam r ≡ s (mod a) (ĉar oni povas "dividi per b" laborante module a).
#000036
Du entjeroj a kaj b estas interprimoj se kaj nur se en kartezia koordinato rekta streko (a, b)-(0, 0) ne trapasas la aliajn punktojn kun ambaŭ entjeraj koordinatoj.
#000037
Du entjeroj a kaj b estas interprimoj se kaj nur se nombroj 2a-1 kaj 2b-1 estas interprimoj.
#000038
Se a kaj b estas interprimoj, kaj a kaj c estas interprimoj, tiam a kaj bc estas ankaŭ interprimoj, ĉar bc havas nur primajn faktorojn de b kaj c, kaj neniu el tiuj estas primaj faktoroj de a.
#000039
Se a kaj b estas interprimo kaj a dividas produton bc, tiam a dividas na c. Ĉi tio povas esti vidita kiel ĝeneraligo de eŭklida lemo, kiu diras ke se p estas primo, kaj p dividas produton bc, tiam p dividas na b aŭ p dividas na c.
#000040
La probablo ke du hazarde elektitaj entjeroj a kaj b estas interprimoj estas 6/(π2)≈0,6.
#000041
a kaj b estas interprimoj se kaj nur se ne ekzistas primo kiu dividas ambaŭ ilin.
#000042
Ĉi tie ζ estas la rimana ζ funkcio. La egaleco de la produto tra primoj al ζ(2) estas ekzemplo de eŭlera produto. Egaleco de ζ(2) al π2/6 estas la problemo de Basel, solvita de Leonhard Euler en 1735.
#000044
Pli ĝenerale, la probablo de tio ke k hazarde elektitaj entjeroj estas ĉiuj inter si interprimoj estas 1/ζ(k).
#000045
Reale la entjeroj estas elektataj hazarde inter 1 kaj iu entjera supera baro N. Tiam por ĉiu N, estas probablo P(N) ke du tiel hazarde elektitaj nombroj estas interprimoj. Ĉi tiu probablo ne estas akurate 6/(π2), sed en la limigo kun estas .
#000046