Kunvarianco kaj kontraŭvarianco de vektoroj
#000000
Wikipedia's Covariance and contravariance of vectors as translated by GramTrans
#000001
e 1, e 2, e 3 al la kunordigitaj kurboj ( maldekstre),
duobla bazo, kovektorbazo, aŭ reciproka bazo
e 1, e 2, e 3 kunordigi surfacojn ( dekstrajn),
#000002
e 1, e 2, e 3 al la kunordigitaj kurboj ( maldekstre),
#000003
duobla bazo, kovektorbazo, aŭ reciproka bazo
#000004
e 1, e 2, e 3 kunordigi surfacojn ( dekstrajn),
#000005
En plurlineara algebro kaj tensoranalizo, kunvarianco kaj kontraŭvarianco priskribas kiel la kvanta priskribo de certaj geometriaj aŭ fizikaj unuoj ŝanĝiĝas kun ŝanĝo de bazo.
#000006
En fiziko, bazo foje estas opiniita de kiel aro de referencaksoj.
Ŝanĝo de skalo sur la referencaksoj egalrilatas al ŝanĝo de unuoj en la problemo.
Ekzemple, en varia skalo de metroj ĝis centimetroj (t.e., disigante la skalon de la referencaksoj de 100), la komponentoj de laŭmezura rapidecvektoro multobligos de 100-a Vektorekspoziciaĵo tiun konduton de varia skalo inverse al ŝanĝoj en skalo al la referencaksoj: ili estas kontraŭvariaĵo.
Kiel rezulto, vektoroj ofte havas unuojn de distanco aŭ distanctempoj iun alian unuon (kiel la rapideco).
#000007
En kontrasto, kovektoroj (ankaŭ nomitaj duoblaj vektoroj) tipe havas unuojn de la inversa de distanco aŭ la inversa de distanctempoj iun alian unuon.
Ekzemplo de kovektoro estas la gradiento, kiu havas unuojn de spaca derivaĵo, aŭ distancon −1.
La komponentoj de kovektoroj ŝanĝiĝas en laŭ la saman manieron kiel ŝanĝoj al skalo de la referencaksoj: ili estas kovariaĵo.
#000008
La komponentoj de vektoroj kaj kovektoroj ankaŭ transformas en tiujn saman edukadon sub pli ĝeneralaj ŝanĝoj en bazo:
#000009
Kurbaj koordinatsistemoj, kiel ekzemple cilindraj aŭ sferaj koordinatoj, ofte estas uzitaj en fizikaj kaj geometriaj problemoj.
Asociita al iu koordinatsistemo estas natura elekto de kunordigita bazo por vektoroj bazitaj ĉe ĉiu punkto de la spaco, kaj kunvarianco kaj kontraŭvarianco estas precipe gravaj por komprenado kiel la kunordigita priskribo de vektoro ŝanĝiĝas preterpase de unu koordinatsistemo al alia.
#000011
La esprimoj kovariaĵo kaj kontraŭvariaĵo estis lanĉitaj fare de James Joseph Sylvester en 1853 en la kunteksto de algebra invarianta teorio, kie, ekzemple, sistemo de sistemo de ekvacioj estas kontraŭvariaĵo en la variabloj.
En la leksikono de teorio de kategorioj, kunvarianco kaj kontraŭvarianco estas trajtoj de funktors;
bedaŭrinde, estas la malsupra-indeksaj objektoj (kovektors) kiu senmarke havas retirojn, kiuj estas kontraŭvariaĵo, dum la supra-indeksaj objektoj (vektoroj) anstataŭe havas prokrastas, kiuj estas kovariaĵo.
Tiu terminologia konflikto povas esti evitita vokante kontraŭvariaĵfunktoro- "kofunktorojn" - en akordo kun la "kovektoro-" terminologio, kaj daŭrigante la tradicion de trakti vektorojn kiel la koncepton kaj kovektorojn kiel la kokoncepto.
#000012
Tensoroj estas objektoj en plurlineara algebro kiu povas havi aspektojn de kaj kunvarianco kaj kontraŭvarianco.
#000013
4 Covariant kaj kontraŭvariaĵkomponentoj de vektoro kun metriko 4.1
#000014
En fiziko, vektoro tipe ekestas kiel la rezulto de mezurado aŭ serioj de mezuradoj, kaj estas reprezentita kiel listo (aŭ Opo) de nombroj kiel ekzemple
#000015
La nombroj en la listo dependas de la elekto de koordinatsistemo.
Ekzemple, se la vektoro reprezentas pozicion kun respekto al observanto ( poziciovektoro), tiam la koordinatsistemo povas esti akirita de sistemo de rigidaj bastonoj, aŭ referencaksoj, laŭ kiu la komponentoj v 1, v 2, kaj v 3 estas laŭmezuraj.
Ke vektoro por reprezentus geometrian objekton, devas esti eble priskribi kiel ĝi aspektas en iu alia koordinatsistemo.
Tio devas diri, la komponentoj de la vektoroj transformos laŭ certa maniero preterpase de unu koordinatsistemo ĝis alia.
#000016
Kompare, kovariaĵvektoro havas komponentojn tiu ŝanĝo kontraŭe al la koordinatoj aŭ, ekvivalente, transformas kiel la referencaksoj.
Ekzemple, la komponentoj de la gradient vektoro de funkcio
#000018
transformu kiel la referencaksoj mem.
Kiam nur rotacioj de la aksoj estas pripensitaj, la komponentoj de kontraŭvariaĵo kaj kovariaĵvektoroj kondutas en laŭ la saman manieron.
Estas nur kiam aliaj transformoj estas permesitaj ke la diferenco iĝas ŝajna.
#000019
La ĝenerala formuliĝo de kunvarianco kaj kontraŭvarianco rilatas al kiel la komponentoj de kunordigita vektoro transformas sub ŝanĝo de bazo ( pasiva transformo).
Tiel luigita V esti vektora spaco de dimensio n super la kampo de Skalaroj S, kaj lasi ĉiun el f
Y n ) estu bazo de V.
[noto 1] Ankaŭ, lasis la ŝanĝo de bazo de f ĝis f ′ ricevi per
#000020
Ĉi tie, ĉiu vektoro Y j de la f ′ bazo estas lineara kombinaĵo de la vektoroj X I de la f bazo, tiel ke
#000021
kie v I [ f] estas Skalaroj en S konata kiel la komponentoj de v en la f bazo.
Indiku la kolumnan vektoron de komponentoj de v de v [ f]:
#000022
tiel tio ( 2 ) povas esti rewriten kiel matricprodukto
#000023
La vektoro v ankaŭ povas esti esprimita laŭ la f ′ bazo, tiel ke
#000024
Tamen, ekde la vektoro v mem estas senvaria sub la elekto de bazo,
#000025
La envarianco de v kombinita kun la rilato ( 1 ) inter f kaj f ′ implicas tion
#000026
Ĉar la komponentoj de la vektoro v transformas kun la inversa de la matrico A, tiuj komponentoj laŭdire transformas kontravariantly sub ŝanĝo de bazo.
#000027
La maniero A rilatigas la du parojn estas prezentita en la sekva neformala diagramo uzante sagon.
La inversigo de la sago indikas kontraŭvariaĵoŝanĝon:
#000028
Linia funkcia α sur V estas esprimita unike laŭ it'oj komponentoj (Skalaroj en S) en la f bazo kiel
#000029
Tiuj komponentoj estas la ago de α sur la bazvektoroj X I de la f bazo.
#000030
Sub la ŝanĝo de bazo de f al f ′ ( 1 ), la komponentoj transformas tiel ke
#000031
Indiku la vicvektoron de komponentoj de α de α [ f]:
#000032
Ĉar la komponentoj de la linia funkcia α transformas kun la matrico A, tiuj komponentoj laŭdire transformas kovariantly sub ŝanĝo de bazo.
#000033
La maniero A rilatigas la du parojn estas prezentita en la sekva neformala diagramo uzante sagon.
Kovariaĵrilato estas indikita ĉar la sagoj vojaĝas en la sama direkto:
#000034
Ĉu kolumnvektora reprezentantaro estis uzita anstataŭe, la transformleĝo estus la transmeti
#000035
La elekto de bazo f sur la vektora spaco V difinas unike aron de kunordigitaj funkcioj sur V, per
#000036
La koordinatoj sur V estas tial kontraŭvariaĵo en la senco ke
#000037
Inverse, sistemo de n kvantoj da v mi kiuj transformas like la koordinatoj x mi sur V difinas kontraŭvariaĵvektoron.
Sistemo de n kvantoj kiuj transformas kontraŭe al la koordinatoj tiam estas kovariaĵvektoro.
#000038
Tiu formuliĝo de kontraŭvarianco kaj kunvarianco ofte estas pli natura en aplikoj en kiu ekzistas kunordigita spaco ( dukto) sur kiu vektoroj vivas kiel klavvektoroj aŭ kotanĝantvektoroj.
Surbaze de loka koordinatsistemo x I sur la dukto, la referencaksoj por la koordinatsistemo estas la vektoraj kampoj
#000039
Tio kaŭzas la kadron f
X n ) ĉe ĉiu punkto de la koordinatpeceto.
#000040
Se y I estas malsama koordinatsistemo kaj
#000041
tiam la framo f estas rilatita al la framo f de la inversa de la Jakobiana matrico de la kunordigita transiro:
#000042
Tiel klavvektoro estas difinita per
#000043
Tia vektoro estas kontraŭvariaĵo kun respekto al ŝanĝo de kadro.
Sub ŝanĝoj en la koordinatsistemo, oni havas
#000044
Tial, la komponentoj de klavvektoro transformas per
#000045
Sekve, sistemo de n kvantoj da v I depende de la koordinatoj kiuj transformas laŭ tiu maniero sur morto de unu koordinatsistemo ĝis alia estas nomita kontraŭvariaĵvektoro.
#000046
En vektora spaco V pli ol kampo K kun simetria dulineara formo g:
V × V → K (kiu povas esti referita kiel la metrika tensoro), ekzistas malmulte da distingo inter kovariaĵo kaj kontraŭvariaĵvektoroj, ĉar la dulineara formo permesas al kovektoroj esti identigitaj kun vektoroj.
Tio estas, vektoro v unike determinas kovektoron α per
#000047
Inverse, ĉiu kovektoro α determinas unikan vektoron v de tiu ekvacio.
Pro tiu identigo de vektoroj kun kovektoroj, oni povas paroli pri la kovariaĵkomponentoj aŭ kontraŭvariaĵkomponentoj de vektoro, t.e., ili estas ĵus reprezentadoj de la sama vektoro utiligantaj la reciprokan bazon.
#000048
X n ) de V, ekzistas unika reciproka bazo f nombro
Y n ) de V determinita postulante tion
#000049
Laŭ tiuj bazoj, ĉiu vektoro v povas esti skribita laŭ du manieroj:
#000050
La komponentoj v mi [ f] estas la kontraŭvariaĵkomponentoj de la vektoro v en la bazo f, kaj la komponentoj v mi [ f] estas la kovariaĵkomponentoj de v en la bazo f.
La terminologio estas pravigita ĉar sub ŝanĝo de bazo,
#000051
En la Eŭklida aviadilo, la skalarprodukto permesas ke vektoroj estus identigitaj kun kovektoroj.
#000052
Tiel, e 1 kaj e 2 estas perpendikulara al unu la alian, kiel estas e 2 kaj e 1, kaj la longoj de e 1 kaj e 2 normaligis kontraŭ e 1 kaj e 2, respektive.
#000053
Ekzemple, [2] supozas ke ni ricevas bazon e 1, e 2 konsistante el paro de vektoroj farantaj 45° angulon unu kun la alia, tia ke e 1 havas longon 2 kaj e 2 havas longon 1-an Tiam la duoblaj bazvektoroj ricevas jene:
#000054
e 2 estas la rezulto de rotaciado de e 1 tra angulo de 90° (kie la senco estas mezurita supozante la paron e 1, e 2 esti pozitive orientita), kaj tiam remalpliigo tiel ke e 2 ⋅ e 2 = 1 tenas.
e 1 estas la rezulto de rotaciado de e 2 tra angulo de 90°, kaj tiam remalpliigo tiel ke e 1 ⋅ e 1 = 1 tenas.
#000055
Uzante tiujn regulojn, ni trovas
#000056
Tiel la ŝanĝo de bazmatrico en irado de la origina bazo ĝis la reciproka bazo estas
#000057
La kovariaĵkomponentoj akiriĝas egaligante la du esprimojn por la vektoro v:
#000058
En la tridimensia eŭklida spaco, oni ankaŭ povas determini eksplicite la duoblan bazon al antaŭfiksita aro de bazvektoroj e 1, e 2, e 3 el E 3 kiuj ne estas nepre supozitaj esti ortogonalaj nek de unuonormo.
La kontraŭvariaĵo- (duoblaj) bazvektoroj estas:
#000059
Eĉ kiam la e mi kaj e mi ne estas ortonormalaj, ili daŭre estas reciproke reciprokaj:
#000060
Tiam la kovariaĵkoordinatoj de iu vektoro v povas esti akiritaj per la skalarprodukto de v kun la kontraŭvariaĵaj bazvektoroj:
#000061
Same, la kontraŭvariaĵkomponentoj de v povas esti akiritaj de la skalarprodukto de v kun konvariaĵaj bazvektoroj, viz.
#000062
Tiam v povas esti esprimita laŭ du (reciprokaj) manieroj, viz.
#000063
Kombinante ĉi-suprajn rilatojn, ni havas
#000064
kaj ni povas konverti de kontraŭvariaĵo ĝis kovariaĵbazo kun
#000065
La indeksoj de kovariaĵo kunlaboras, vektoroj, kaj tensoroj estas indeksoj.
Se la kontraŭvariaĵaj bazvektoroj estas ortonormalaj tiam ili estas ekvivalentaj al la kovariaĵaj bazvektoroj, tiel ke ekzistas neniu bezono distingi inter la kovariaĵo kaj kontraŭvariaĵkoordinatoj.
#000066
Pli ĝenerale, en n-dimensia eŭklida spaco V, se bazo estas
#000067
la reciproka bazo ricevas per
#000068
De kie la koeficientoj e ij estas la kontribuoj de la inversa matrico
#000069
La kovariaĵo kaj kontraŭvariaĵkomponentoj de iu vektoro
#000070
estas rilataj kiel supra de
#000071
En la kampo de fiziko, la adjektiv kovariaĵo ofte estas utiligita neformale kiel sinonimo por Invarianto.
Ekzemple, la ekvacio de Schrödinger ne konservas sian skriban formon sub la kunordigitaj transformoj de speciala teorio de relativeco.
Tiel, fizikisto eble diros ke la ekvacio de Schrödinger ne estas kovariaĵo.
En kontrasto, la Klein-Gordon ekvacio kaj la diraka ekvacio konservas ilian skriban formon sub tiuj kunordigitaj transformoj.
Tiel, fizikisto eble diros ke tiuj ekvacioj estas kovariaĵo.
#000072
Malgraŭ tiu uzokutimo de "kovariaĵo", estas pli precize diri ke la Klein-Gordon- kaj dirakaj ekvacioj estas senvariaj, kaj ke la ekvacio de Schrödinger ne estas senvaria.
Plie, forigi ambiguecon, la transformo de kiu la envarianco estas analizita devus esti indikita.
#000073
Ĉar la komponentoj de vektoroj estas kontraŭvariaĵo kaj tiuj de kovektoroj estas kovariaĵo, la vektoroj mem ofte estas referitaj kiel estante kontraŭvariaĵo kaj la kovektors kiel kovariaĵo.
#000074
La distingo inter kunvarianco kaj kontraŭvarianco estas precipe grava por komputadoj kun tensoroj, kiuj ofte miksis variancon.
Tio signifas ke ili havas kaj kovariaĵon kaj kontraŭvariaĵkomponentojn, aŭ kaj vektoron kaj kovektorkomponentojn.
La valento de tensoro estas la nombro da variaĵo kaj kovariaĵperiodoj, kaj en Einstein-notacio, kovariaĵkomponentoj havas pli malaltajn indeksojn, dum kontraŭvariaĵkomponentoj havas suprajn indeksojn.
La dueco inter kunvarianco kaj kontraŭvarianco intervenas kiam ajn vektoro aŭ tensorkvanto estas reprezentitaj per ĝiaj komponentoj, kvankam moderna diferenciala geometrio uzas pli sofistikajn indeks-liberajn metodojn por reprezenti tensorojn.
#000075
En tensoranalizo, kovariaĵ vektoro varias tiamaniere reciproke al ekvivalenta kontraŭvariaĵvektoro.
Esprimoj por longoj, areoj kaj volumoj de objektoj en la vektora spaco povas tiam ricevi laŭ tensoroj kun kovariaĵo kaj kontraŭvariaĵindeksoj.
Sub simplaj vastiĝoj kaj kuntiriĝoj de la koordinatoj, la reciprokeco estas preciza;
sub afinaj transformoj la komponentoj de vektoro miksiĝas dum irado inter kovariaĵo kaj kontraŭvariaĵesprimo.
#000076
Sur dukto, tensorkampo tipe havos multoblajn, suprajn kaj pli malaltajn indeksojn, kie Einstein-notacio estas vaste utiligita.
Kiam la dukto estas provizita per metriko, kovariaĵo- kaj kontraŭvariaĵindeksoj iĝas tre proksime rilatitaj unu al la alia.
Contravariant-indeksoj povas esti igitaj kovariaĵindeksoj per kontraktiĝado kun la metrika tensoro.
La reverso estas ebla per kontraktiĝado kun la (matrico) inversa de la metrika tensoro.
Notu tion ĝenerale, ne tia rilato ekzistas en spacoj ne dotite kun metrika tensoro.
Krome, de pli abstrakta starpunkto, tensoro estas simple "tie" kaj ĝiaj komponentoj de ambaŭ specoj estas nur kalkulaj artefaktoj kies valoroj dependas de la elektitaj koordinatoj.
#000077
La klarigo en geometriaj esprimoj estas ke ĝenerala tensoro havos kontraŭvariaĵindeksojn same kiel kovariaĵindeksojn, ĉar ĝi havas partojn kiuj vivas en la klavfasko same kiel la kotanĝantfasko.
#000078
En teorio de kategorioj, ekzistas kovariaĵfunktoroj kaj kontraŭvariaĵfunktoroj.
La tasko de la duobla spaco al vektora spaco estas normekzemplo de kontraŭvariaĵfunktoro.
Kelkaj konstruadoj de plurlineara algebro estas de "miksita" varianco, kiu malhelpas ilin esti funktoroj.
#000079
Du-punkta tensoro, ĝeneraligo permesanta al indeksoj reference multoblajn vektorbazojn
#000081
^ Bazo f povas ĉi tie enspezige esti rigardita kiel linia izomorfio de R da n ĝis V.
#000082