En matematiko, la Riemann-sfero, nomita laŭ la 19-a-jarcenta matematikisto Bernhard Riemann, estas modelo de la plilongigita kompleksa ebeno, la kompleksa ebeno kaj plie punkto ĉe senfineco.
Tiu plilongigita aviadilo reprezentas la plilongigitajn kompleksajn nombrojn, t.e., la kompleksaj nombroj kaj plie valor∞ por senfineco.
Kun la Riemann-modelo, la punkto-" ∞" estas proksima al tre nombregoj, ekzakte kiam la poento "0" estas proksima al tre malmultoj.
#000001
La plilongigitaj kompleksaj nombroj estas utilaj en kompleksa analitiko ĉar ili enkalkulas dividadon de nul en kelkaj cirkonstancoj, en maniero kiel kiu igas esprimojn kiel ekzemple 1/0 = ∞ bonkondutaj.
Ekzemple, ĉiu racia funkcio sur la kompleksa ebeno povas esti etendita al kontinua funkcio sur la Riemann-sferon, kun la poloj de la racia funkciomapado al senfineco.
Pli ĝenerale, ĉiu meromorfa funkcio povas esti opiniita de kiel kontinua funkcio kies kodomajno estas la Riemann-sfero.
#000002
En geometrio, la Riemann-sfero estas la prototipa ekzemplo de Riemann-faco, kaj estas unu el la plej simplaj kompleksaj duktoj.
En projekcia geometrio, la sfero povas esti opiniita de kiel la kompleksa projekcia linio P 1 ( C), la projekcia regiono de ĉiuj kompleksaj linioj en C 2.
Ĉar kun iu kompakta Riemann-faco, la sfero ankaŭ povas esti rigardita kiel projekcia algebra kurbo, igante ĝin fundamenta ekzemplo en algebra geometrio.
Ĝi ankaŭ trovas servaĵon en aliaj disciplinoj kiuj dependas de analizo kaj geometrio, kiel ekzemple kvantuma mekaniko kaj aliaj branĉoj de fiziko.
#000003
1 Plilongigitaj kompleksaj nombroj 1.1
3 Kiel la kompleksa projekcia linio
#000004
La plilongigitaj kompleksaj nombroj konsistas el la kompleksaj nombroj C kune kun ∞.
, kaj estas ofte indikita aldonante iun ornamadon al la litero C, kiel ekzemple
#000005
Geometrie, la aro de plilongigitaj kompleksaj nombroj estas referita kiel la Riemann-sfero (aŭ plilongigita kompleksa ebeno).
#000006
Aldono de kompleksaj nombroj povas esti etendita per difinado, por z ∈ C,
#000007
por iu komplekso pli sensenta z, kaj multipliko povas esti difinita per
#000008
por ĉiu nonzero-kompleksnombroj z, kun ∞ ⋅ ∞ = ∞.
Notu ke ∞ + ∞, ∞ - ∞ kaj 0-⋅ ∞ estas lasitaj nedifinitaj.
Male al la kompleksaj nombroj, la plilongigitaj kompleksaj nombroj ne formas kampon, ĉar ∞ ne havas multiplikan inversan.
#000009
Ajna racia funkcio f (z) = g (z) /h (z) (en aliaj vortoj, f (z) estas la rilatumo de polinomfunkcioj g (z) kaj h (z) de z kun kompleksaj koeficientoj, tia ke g (z) kaj h (z) havas neniun komunan faktoron) povas esti etendita al kontinua funkcio sur la Riemann-sferon.
Specife, sekompleksa nombro estas tia ke la denominatoronul sed la numeratoro estasestas nonzero, tiampovas esti difinita kiel ∞.
Krome, f (∞) povas esti difinita kiel la limo de f (z) kiel z → ∞, kiu povas esti finhava aŭ senfina.
#000011
La aro de kompleksaj raciaj funkcioj kiuj ne estas ĉie nul - kies matematika simbolo estas C (z) formularo ĉiaj ajn holomorfaj funkcioj de la Riemann-sfero ĝis si mem, kiam ĝi estas rigardita kiel Riemann-faco, krom la konstanta funkcio prenanta la valor∞ ĉie.
La funkcioj de C (z) formas algebran kampon, konatan kiel la kampo de raciaj funkcioj sur la sfero.
#000012
Ekzemple, surbaze de la funkcio
#000013
ni povas difini f (5) = ∞, ĉar la denominatoro estas nul ĉe z = 5, kaj f (∞) = 3 ekde f (z) → 3 kiel z → ∞.
Utiligante tiujn difinojn, f iĝas kontinua funkcio de la Riemann-sfero ĝis si mem.
#000014
Kiel unu-dimensia kompleksoodukto, la Riemann-sfero povas esti priskribita per du furorlisto, ambaŭ kun domajno egala al la kompleksanombra ebeno C.
Lasu ζ esti kompleksa nombro en unu kopio de C, kaj lasu ξ esti kompleksa nombro en alia kopio de C.
Identigu ĉiun nonzero-kompleksnombron ζ de la unua C kun la nonzero-kompleksnombro 1/ξ de la dua C.
#000015
estas vokita la transirmapo inter la du kopioj de C - la tielnomita furorlisto - gluanta ilin kune.
Ĉar la transirmapoj estas holomorfaj, ili difinas kompleksan dukton, nomitan la Riemann-sfero.
Kiel kompleksa dukto de 1 kompleksa dimensio (t.e., 2 reala grandeco), tio ankaŭ estas nomita Riemann-faco.
#000016
Intuicie, la transirmapoj indikas kiel por glui du aviadilojn kune por formi la Riemann-sferon.
La aviadiloj estas gluitaj en "intern-ekstera" maniero, tiel ke ili preskaŭ interkovras ĉie, kun ĉiu aviadilkontribuado ĵus unun punkton (ĝian origino) maltrafado de la alia aviadilo.
En aliaj vortoj, (preskaŭ) ĉiu punkto en la Riemann-sfero havas kaj ζ valoron kaj ξ valoron, kaj la du valoroj estas ligitaj per ζ = 1/ξ.
La punkto kie ξ = 0 tiam devus havi ζ-valoron "1=/=0";
en tiu signifo, la origino de la ξ-diagramo ludas la rolon de" ∞" en la ζ-diagramo.
Simetrie, la origino de la ζ-diagramo ludas la rolon de ∞ en la ξ-diagramo.
#000017
Topologie, la rezulta spaco estas la unu-punkta Kompaktigo de aviadilo en la sferon.
Tamen, la Riemann-sfero ne estas simple topologia sfero.
Ĝi estas sfero kun klare difinita kompleksa strukturo, tiel ke ĉirkaŭ ĉiu punkto sur la sfero ekzistas najbareco kiu povas esti biholomorficaly identigita kun C.
#000018
Aliflanke, la uniformigteoremo, centra rezulto en la klasifiko de Riemann-facoj, ŝtatoj ke la nuraj simple-ligitaj unu-dimensiaj kompleksaj duktoj estas la kompleksa ebeno, la hiperbola aviadilo, kaj la Riemann-sfero.
De tiuj, la Riemann-sfero estas la nura unu kiu estas fermita surfaco ( kompakta surfaco sen limo).
Tial la dudimensia sfero koncedas unikan kompleksoostrukturon iĝantan ĝin unu-dimensia kompleksoodukto.
#000019
Kiel la kompleksa projekcia linio
#000020
La Riemann-sfero ankaŭ povas esti difinita kiel la kompleksa projekcia linio.
Tio estas la subaro de C 2 konsistante el ĉiuj paroj (α, β) de kompleksaj nombroj, ne ambaŭ nul, modulo la ekvivalentrilato
#000021
La kompleksa ebeno C, kun kunordigita ζ, povas esti mapita en la kompleksan projekcian linion per
#000022
Alia kopio de C kun kunordigita ξ povas esti mapita enen per
#000023
Tiu du kompleksa furorlisto kovras la projekcian linion.
Por nonzerξ kaj ζ la post identigoj
#000024
montri ke la transirmapoj estas ζ = 1/ξ kaj ξ = 1/ζ, same supraj.
#000025
Tiu traktado de la Riemann-sfero ligas plej facile al projekcia geometrio.
Ekzemple, ĉiu linio (aŭ glata konusforma) en la kompleksa projekcia aviadilo estas biholomorfa al la kompleksa projekcia linio.
Ĝi ankaŭ estas oportuna por studado de la aŭtomorfismoj de la sfero, poste en tiu artikolo.
#000026
La Riemann-sfero povas esti bildigita kiel la unuobla pilko x 2 + y 2 + z 2 = 1 en la tridimensia reala spaceto R 3.
Ĝis tiu fino, pripensu la rektlinian sferan projekcion de la unuoblapilka minuso la punkto (0, 0, 1) sur la aviadilo z = 0, kiu ni identigas per la kompleksa ebeno de ζ = x -+ iy.
En kartezaj koordinatoj ( x, y, z) kaj sferaj koordinatoj (φ, θ) sur la sfero (kun φ la zenito kaj θ la azimuto), la projekcio estas
#000027
Simile, rektlinia sfera projekcio de (0, 0, −1) sur la aviadilo z = 0, identigita kun alia kopio de la kompleksa ebeno per ξ = x − I y, estas skribitaj
#000028
Por kovri la unuoblan pilkon, oni bezonas la du rektliniajn sferan projekciojn: la unua kovros la tutan sferon krom la punkto (0, 0, 1) kaj la dua krom la punkto (0, 0, −1).
Tial, oni bezonas du kompleksajn ebenojn, unu por ĉiu projekcio, kiu povas esti intuicie vidita kiel gluita dors-al-dorsa ĉe z = 0-an Noton ke la du kompleksaj ebenoj estas identigitaj alimaniere per la aviadilo z = 0-a orientiĝo-inversigo estas necesa konservi konsekvencan orientiĝon sur la sfero, kaj aparte kompleksa konjugacio igas la transirmapojn esti holomorfaj.
#000029
La transirmapoj inter ζ-koordinatoj kaj ξ-koordinatoj akiriĝas kunmetante unun projekcion kun la inversa de la aliaj.
Ili montriĝas por ζ = 1/ξ kaj ξ = 1/ζ, kiel priskribite supre.
Tiel la unuobla pilko estas difeomorfa al la Riemann-sfero.
#000030
Riemann-faco ne venas ekipita kun iu akurata Riemaniana metriko.
La konforma strukturo de la Riemann-faco faras, aliflanke, determini klason de metriko: ĉiuj tiuj kies malĉefa konforma strukturo estas la antaŭfiksita unu.
En pli da detalo: La kompleksa strukturo de la Riemann-faco unike determinas metrikon supren al konforma ekvivalenteco.
(Du metriko laŭdire estas konforme ekvivalentaj ĉu ili malsamas per multipliko per pozitiva glata funkcio.
Inverse, ĉiu metriko sur orientita surfaco unike determinas kompleksan strukturon, kiu dependas de la metriko nur supren al konforma ekvivalenteco.
Kompleksaj strukturoj sur orientita surfaco estas tial en ekzakta korespondado kun konformaj klasoj de metriko sur tiu surfaco.
#000032
Ene de antaŭfiksita konforma klaso, oni povas uzi konforman simetrion por trovi reprezentanton metrika kun oportunaj trajtoj.
Aparte, ekzistas ĉiam kompleta metriko kun obstina kurbiĝo en iu antaŭfiksita konforma klaso.
#000033
Koncerne la Riemann-sferon, la Gauss-kapotteoremo implicas ke konstant-kurbiĝa metriko havendaĵo pozitivan kurbiĝon K.
Ĝi sekvas ke la metriko devas esti izometra al la sfero de radiusoen R 3 per rektlinia sfera projekcio.
En la ζ-diagramo sur la Riemann-sfero, la metriko kun K = 1 ricevas per
#000034
En realo kunordigas ζ = u + iv, la formulo estas
#000035
Ĝis konstanta faktoro, tiu metriko konsentas kun la norma Fubini-studmetriko sur kompleksa projekcia spaco (de kiu la Riemann-sfero estas ekzemplo).
#000036
Ĝis skalado, tio estas la nura metriko sur la sfero kies grupo de izometrioj estas 3-dimensia (kaj neniu estas pli ol 3-dimensia);
al tiu grupo estas telefonita TIEL (3).
En tiu signifo, tio estas senkompare la plej simetria metriko sur la sfero.
#000037
La studo de iu matematika objekto estas helpita per kompreno da sia grupo de aŭtomorfismoj, kun la signifo la mapoj de la objekto ĝis si mem kiuj konservas la esencan strukturon de la objekto.
Koncerne la Riemann-sferon, aŭtomorfismo estas invertebla biholomorfa mapo de la Riemann-sfero ĝis si mem.
Ĝi turnas ke la nuraj tiaj mapoj estas la transformo de Möbius.
Tiuj estas funkcioj de la formo
#000039
kie , b, c, kaj d estas kompleksaj nombroj tia ke.
Ekzemploj de transformo de Möbius inkludas dilatiĝojn, rotaciojn, tradukojn, kaj kompleksan inversion.
Fakte, ĉiu transformo de Möbius povas esti skribita kiel kunmetaĵo de tiuj.
#000040
La transformo de Möbius estas enspezige rigarditaj kiel transformoj sur la kompleksa projekcia linio.
En projekciaj koordinatoj, la transformo f povas esti skribita
#000041
Tiel la transformo de Möbius povas esti priskribitaj kiel 2 × 2 kompleksaj matricoj kun nonzerdeterminanto;
du matricoj donas la saman transformon de Möbius se kaj nur se ili malsamas de nonzerfaktoro.
Tiel la transformo de Möbius precize egalrilatas al la projekciaj lineartransformoj PGL (2, C).
#000042
Se oni dotas la Riemann-sferon kun la Fubini-studmetriko, tiam ne ĉiuj transformo de Möbius estas izometrioj;
ekzemple, la dilatiĝoj kaj tradukoj ne estas.
La izometrioj formas bonordan subgrupon de PGL (2, C), nome PSU (2).
Tiu subgrupo estas izomorfa al la turnada grupo TIEL (3), kio estas la grupo de simetrioj de la unuobla pilko en R 3 (kiu, kiam limigite al la sfero, iĝas la izometrioj de la sfero).
#000043
En kompleksa analitiko, meromorfa funkcio sur la kompleksa ebeno (aŭ sur iu Riemann-faco, por tiu afero) estas rilatumf/g de du holomorfaj funkcioj f kaj g.
Kiel mapo al la kompleksaj nombroj, ĝi estas nedifinita kie ajn g estas nul.
Tamen, ĝi induktas holomorfan mapon (f, g) al la kompleksa projekcia linio kiu estas klare difinita eĉ kie g = 0-a Tiu konstruo estas helpemaj en la studo de holomorfaj kaj meromorfaj funkcioj.
Ekzemple, sur kompakta Riemann-faco ekzistas neniuj ne-konstantaj holomorfaj mapoj al la kompleksaj nombroj, sed holomorfaj mapoj al la komplekso projekcia linio estas abundaj.
#000044
La Riemann-sfero havas multajn uzojn en fiziko.
En kvantumaj mekanikoj, punktoj sur la kompleksa projekcia linio estas naturvaloroj por fotonaj polusiĝo ŝtatoj, spino statoj de masivaj eroj de spino 1/2, kaj 2-ŝtataj partikloj ĝenerale (vidu ankaŭ Quantum-pecon).
La Riemann-sfero estis proponita kiel relativista modelo por la ĉielosfero.
En teorio de kordoj, la ŭorldshets de ŝnuroj estas Riemann-facoj, kaj la Riemann-sfero, estanta la plej simpla Riemann-faco, ludas signifan rolon.
Ĝi ankaŭ estas grava en tŭistorteorio.
#000045