Wikipedia's Manifold as translated by GramTrans
#000000
En matematiko, dukto estas topologia spaco kiu loke similas eŭklidan spacon proksime de ĉiu punkto.
Pli ĝuste, ĉiu punkto de n-dimensia dukto havas kvartalon kiu estas homeomorfa al la eŭklida spaco de dimensio n.
En tiu pli preciza terminologio, dukto estas referita kiel n-dukto.
#000001
Unu-dimensiaj duktoj inkludas liniojn kaj cirklojn, sed ne ok-formojn (ĉar ili havas krucantajn punktojn kiuj ne estas loke homeomorfaj al Euclidean 1-spaca).
Dudimensiaj duktoj ankaŭ estas nomitaj surfacoj.
Ekzemploj inkludas la aviadilon, la sferon, kaj la Toron, kiuj povas ĉiu esti enkonstruitaj (formita sen mem-intersekciĝoj) en tridimensia reala spaco, sed ankaŭ la botelo de Klein kaj reela projekcia ebeno, kiuj ĉiam mem-intersekcos kiam mergite en tridimensia reala spaco.
#000002
Kvankam dukto loke similas eŭklidan spacon, signifante ke ĉiu punkto havas najbarecon homeomorfan al malferma subaro de eŭklida spaco, tutmonde ĝi ne: duktoj ĝenerale ne estas homeomorfaj ĝis eŭklida spaco povas.
Ekzemple, la surfaco de la sfero ne estas homeomorfa al eŭklida spaco, ĉar (inter aliaj trajtoj) ĝi havas la tutmondan topologian posedaĵon de kompakteco kiu al eŭklida spaco mankas, sed en regiono ĝi povas esti mapita per mapprojekcioj de la regiono en la Eŭklidan aviadilon (en la kunteksto de duktoj ili estas nomitaj furorlisto ).
Kiam regiono aperas en du najbara furorlisto, la du reprezentantaroj ne koincidas precize kaj transformo estas bezonita por pasi de unu al la alia, vokis transirmapon.
#000003
La koncepto de dukto estas centra al multaj partoj de geometrio kaj moderna matematika fiziko ĉar ĝi permesas al komplikaj strukturoj esti priskribitaj kaj komprenitaj laŭ la pli simplaj lokaj topologiaj trajtoj de eŭklida spaco.
Duktoj kompreneble ekestas kiel Solvaĵaj aroj de sistemoj de ekvacioj kaj kiel grafeoj de funkcioj.
#000004
Duktoj povas esti provizitaj per kroma strukturo.
Unu grava klaso de duktoj estas la klaso de diferencialduktoj;
tiu diferenciebla strukturo permesas al kalkulado esti farita sur duktoj.
Riemaniana metriko sur dukto permesas al distancoj kaj anguloj esti mezuritaj.
Simplektaj duktoj funkcias kiel la fazaj spacoj en la Hamiltoniana formalismo de klasika mekaniko, dum kvar-dimensiaj Lorentzianaj duktoj modeligas spactempon en ĝenerala relativeco.
#000005
1 Interna kaj ekstera vido
#000007
Genro kaj la Euler karakteriza
#000008
Surfaco estas dudimensia dukto, signifante ke ĝi loke similas la Eŭklidan aviadilon proksime de ĉiu punkto.
Ekzemple, la surfaco de globo povas esti priskribita per kolekto de mapoj (nomitaj furorlisto), kiuj kune formas atlason de la globo.
Kvankam neniu individua mapo estas sufiĉa kovri la tutan surfacon de la globo, ĉiu loko en la globo estos en almenaŭ unu el la furorlisto.
#000009
Multaj lokoj aperos en pli ol unu diagramo.
Ekzemple, mapo de Nordameriko verŝajne inkludos partojn de Sudameriko kaj la arkta cirklo.
Tiuj regionoj de la globo estos priskribitaj en plena en aparta furorlisto, kiuj en victurno enhavos partojn de Nordameriko.
Ekzistas rilato inter apuda furorlisto, vokis transirmapon kiu permesas al ili esti konstante flikita kune por kovri la tutaĵon de la globo.
#000010
Priskribi la kunordigitan furorliston sur surfacoj eksplicite postulas scion de funkcioj de du variabloj, ĉar tiuj flikaj funkcioj devas mapi regionon en la aviadilo al alia regiono de la aviadilo.
Tamen, unu-dimensiaj ekzemploj de duktoj (aŭ kurboj) povas esti priskribitaj kun funkcioj de ununura variablo nur.
#000011
Post linio, la cirklo estas la plej simpla ekzemplo de topologia dukto.
Topologio ignoras fleksi, tiel ke malgranda peco de cirklo estas traktita precize la sama kiel malgranda peco de linio.
Pripensu, ekzemple, la pintparton de la trigonometria cirklo, x 2 + y 2 = 1, kie la y-koordinato estas pozitiva (indikita per la flava cirkla arko en figuro 1).
Ĉiu punkto de tiu arko povas esti unike priskribita memstare x-koordinato.
Tiel, projekcio sur la unua koordinato estas kontinua, kaj invertebla, mapante de la supra arko ĝis la malferma intervalo (−1, 1):
#000012
Tiaj funkcioj kune kun la malfermaj regionoj ili mapi estas nomitaj furorlisto .
Simile, ekzistas furorlisto por la fundo (ruĝa), lasitaj (blua), kaj dekstraj (verdaj) partoj de la cirklo:
#000013
Kune, tiuj partoj kovras la tutan cirklon kaj la kvar furorlisto formas atlason por la cirklo.
#000014
Tia funkcio estas nomita transirmapo .
#000015
La pinto, fundo, maldekstro, kaj dekstra furorlisto montras ke la cirklo estas dukto, sed ili ne formas la nuran eblan atlason.
Furorlisto ne devas esti geometriaj projekcioj, kaj la nombro da furorlisto estas demando pri elekto.
#000016
Ĉi tie s estas la deklivo de la linio tra la punkto ĉe koordinatoj ( x, y) kaj la fiksa pivotpunkto (−1, 0);
t sekvas simile, sed kun pivotpunkto (+1, 0).
La inversa mapado de s supre ( x, y) ricevas per
#000017
Ĝi povas facile esti konfirmita tiu x 2 + y 2 = 1 por ĉiuj valoroj de la deklivo s.
Tiu du furorlisto disponigas duan atlason por la cirklo, kun
#000018
Ĉiu diagramo preterlasas ununuran punkton, aŭ (−1, 0) por s aŭ (+1, 0) por t, tiel ke nek diagramo sole estas sufiĉa kovri la tutan cirklon.
Povas esti pruvite ke estas ne eble kovri la plenan cirklon per kantfurorlisto.
Ekzemple, kvankam estas eble konstrui cirklon el unulinia intervalo per interkovrado kaj "gluado" la finoj, tio ne produktas diagramon;
parto de la cirklo estos mapita al ambaŭ finoj tuj, perdante invertibilecon.
#000019
La sfero estas ekzemplo de surfaco.
La unuobla pilko de implica ekvacio
#000020
la kvar alia furorlisto estas disponigitaj per simila konstruo per la du aliaj kunordigitaj aviadiloj.
#000021
Kiel por la cirklo, oni povas difini unu diagramon kiu kovras la tutan sferon ekskludante unu poenton.
Tiel du furorlisto estas sufiĉa, sed la sfero ne povas esti kovrita per kantfurorlisto.
#000022
Tiu ekzemplo estas historie signifa, ĉar ĝi instigis la terminologion;
iĝis ŝajne ke la tuta surfaco de la Tero ne povas havi aviadilreprezentantaron konsistantan el ununura mapo (ankaŭ nomita "diagramo", vidi maran mapon), kaj tial oni bezonas atlasojn por kovrado de la tuta tersurfaco.
#000023
Rigarditan uzante kalkuladon, la cirkla transirfunkcio T estas simple funkcio inter malfermaj intervaloj, kiu donas signifon al la deklaro kiun tiu T estas diferenciebla.
La transirmapo T, kaj ĉiuj aliaj, estas diferenciebla sur (0, 1);
tial, kun tiu atlaso la cirklo estas diferencialdukto .
Ĝi ankaŭ estas glata kaj analizisto ĉar la transirfunkcioj havas tiujn trajtojn ankaŭ.
#000024
Aliaj cirklotrajtoj permesas al ĝi renkonti la postulojn de pli specialecaj specoj de dukto.
Ekzemple, la cirklo havas nocion de distanco inter du punktoj, la arklongo inter la punktoj;
tial ĝi estas Riemaniana dukto .
#000025
Duktoj ne devas esti ligitaj (ĉio en "unu peco");
ekzemplo estas paro de apartaj cirkloj.
#000026
Duktoj ne devas esti fermitaj;
tiel liniparto sen siaj finpunktoj estas dukto.
Kaj ili neniam estas nombreblaj, se la dimensio de la dukto ne estas 0-a Lokado tiuj liberecoj kune, aliaj ekzemploj de duktoj estas parabolo, hiperbolo (du malfermaj, senfinaj pecoj), kaj la lokuso de punktoj sur kuba kurbo y 2 = x 3 − x (fermita buklopeco kaj malferma, senfina peco).
#000027
Tamen, nediskuteblaj estas ekzemploj kiel du kortuŝaj cirkloj kiuj partumas punkton por formi figuron;
ĉe la komuna punkto kontentiga diagramo ne povas esti kreita.
Eĉ kun la fleksado permesita per topologio, la najbareco de la komuna punkto aspektas pli kiel "+", ne linion.
"+ "ne estas homeomorfa al fermita intervalo (liniparto), ekde forigado de la centropunkto de la" +" donas spacon per kvar komponentoj (t.e. pecoj), dum forigi punkton de fermita intervalo donas spacon kun maksimume du pecoj;
topologiaj operacioj ĉiam konservas la nombron da pecoj.
#000028
Neformale, dukto estas spaco kiu estas "formita laŭ" eŭklida spaco.
#000029
Ekzistas multaj malsamaj specoj de duktoj, depende de la kunteksto.
En geometrio kaj topologio, ĉiuj duktoj estas topologiaj duktoj, eventuale kun kroma strukturo, kiel ekzemple diferenciebla strukturo.
Dukto povas esti konstruita donante kolekton de kunordigita furorlisto, kiu estas kovraĵo de malfermitaj aroj kun homeomorfioj al eŭklida spaco, kaj flikado funkcias: homeomorfioj de unu regiono de eŭklida spaco ĝis alia regiono se ili egalrilatas al la sama parto de la dukto en du malsama kunordigita furorlisto.
Al dukto povas ricevi kroman strukturo se la flikadfunkcioj kontentigas aksiomojn preter kontinueco.
Ekzemple, diferencialduktoj havas homeomorfiojn sur imbrikitaj najbarecoj difeomorfaj kun unu la alian, tiel ke la dukto havas klare difinitan aron de funkcioj kiuj estas diferencieblaj en ĉiu najbareco, kaj tiel diferencieblaj sur la dukto kiel tutaĵo.
#000030
Formale, (topologia) dukto estas sekunde nombrebla
Hausdorff-spaco kiu estas loke homeomorfa ĝis eŭklida spaco.
#000031
Duaj nombreblaj kaj Hausdorff estas punkt-metitaj kondiĉoj;
due nombrebla ekskludas spacojn kiuj estas en iom da signifo "tro grandaj" kiel ekzemple la longŝnuro, dum Hausdorff ekskludas spacojn kiel ekzemple "la linio kun du originoj" (tiuj ĝeneraligoj de duktoj estas diskutitaj en ne-Hausdorffoduktoj).
#000032
Locally homeomorphic al eŭklida spaco signifas ke ĉiu punkto havas najbarecon homeomorfan al malferma Eŭklida n-pilko ,
#000033
Pli ĝuste, loke homeomorfa ĉi tie signifas ke ĉiu punkto m en la dukto M havas malferman najbarecon homeomorfan al malferma najbareco en eŭklida spaco, ne al la unuopilko specife.
Topologiaj aŭ diferencialduktojn, oni ankaŭ povas peti ke ĉiu punkto havas najbarecon homeomorfan al ĉio el eŭklida spaco (kiam tio estas difeomorfa al la unuopilko), sed tio ne povas esti farita por kompleksaj duktoj, ĉar la kompleksa unuopilko ne estas holomorfa ĝis kompleksa spaco.
#000034
Ĝenerale duktoj estas prenitaj por havi fiksan dimension (la spaco devas esti loke homeomorfa al fiksa n-pilko), kaj tian spaco estas nomita n-dukto ;
tamen, kelkaj verkintoj koncedas duktojn kie malsamaj punktoj povas havi malsaman grandecon.
Se dukto havas fiksan dimension, ĝi estas nomita pura dukto .
Ekzemple, la sfero havas konstantan dimension de 2 kaj estas tial pura dukto dum la disan union de sfero kaj linio en tri-dimensia spaco ne estas pura dukto.
Ĉar dimensio estas loka Invarianto (t.e. la mapo sendanta ĉiun punkton al la dimensio de sia kvartalo super kiu diagramo estas difinita, estas loke konstanta), ĉiu Koneksa komponanto havas fiksan dimension.
#000035
Skem-teorie, dukto estas loke ringita spaco, kies strukturfasko estas loke izomorfa ĝis la fasko da kontinuaj (aŭ diferencieblaj, aŭ kompleks-analizaj, ktp.) funkcioj sur eŭklida spaco.
Tiu difino estas plejparte uzita dum diskutado de analizaj duktoj en algebra geometrio.
#000036
La sfera la Tero estas navigita utiligante platajn mapojn aŭ mapas, kolektis en atlaso.
Simile, diferencialdukto povas esti priskribita utiligante matematikajn mapojn, nomitajn kunordigita furorlisto, kolektis en matematika atlaso.
Estas ne ĝenerale eble priskribi dukton kun nur unu diagramo, ĉar la tutmonda strukturo de la dukto estas diferenca de la simpla strukturo de la furorlisto.
Ekzemple, neniu ununura plata mapo povas reprezenti la tutan la Teron sen apartigo de apudaj ecoj trans la limoj aŭ multobligo de la mapo de priraportado.
Kiam dukto estas konstruita el multobla interkovriĝo mapas, la regionoj kie ili interkovras portu informojn esencaj al komprenado de la tutmonda strukturo.
#000037
Kunordigita mapo, kunordigita diagramo, aŭ simple diagramo, de dukto estas invertebla mapo inter subaro de la dukto kaj simpla spaco tia ke kaj la mapo kaj ĝia inversa konservas la deziratan strukturon.
Por topologia dukto, la simpla spaco estas subaro de iu eŭklida spaco R da n kaj intereso temigas la topologian strukturon.
Tiu strukturo estas konservita per homeomorfioj, inverteblaj mapoj kiuj estas kontinuaj en ambaŭ indikoj.
#000038
Koncerne diferencialdukton, aro de furorlisto nomitaj atlaso permesas al ni farendaĵo kalkuladon sur duktoj.
Polaraj koordinatoj, ekzemple, formas diagramon por la aviadilo R 2 minus la pozitiva absciso kaj la origino.
Alia ekzemplo de diagramo estas la mapχtop menciita en la sekcio supra, diagramo por la cirklo.
#000039
La priskribo de la plej multaj duktoj postulas pli ol unu diagramon (kantfurorlisto estas adekvata por nur la plej simplaj duktoj).
Specifa kolekto de furorlisto kiu kovras dukton estas nomita atlaso .
Atlaso ne estas unika kiam ĉiuj duktoj povas esti kovritaj multoblaj manieroj uzantaj malsamajn kombinaĵojn de furorlisto.
Du atlasoj laŭdire estas ekvivalentaj ĉu ilia unio ankaŭ estas atlaso.
#000040
La atlaso enhavanta ĉian ajn furorliston kongruan kun antaŭfiksita atlaso estas nomita la maksimuma atlaso (t.e. ekvivalentklaso enhavanta tiun antaŭfiksitan atlason (sub la jam difinita ekvivalentrilato donita en la antaŭa paragrafo).
Male al ordinara atlaso, la maksimuma atlaso de antaŭfiksita dukto estas unika.
Kvankam ĝi estas utila por difinoj, ĝi estas abstrakta objekto kaj ne uzita rekte (ekz. en kalkuloj).
#000041
Furorlisto en atlaso povas interkovri kaj ununura punkto de dukto povas esti reprezentita en pluraj furorlisto.
Se du furorlisto interkovras, partoj de ili reprezentas la saman regionon de la dukto, ekzakte kiam mapo de Eŭropo kaj mapo de Azio povas ambaŭ enhavi Moskvon.
Surbaze de du imbrikita furorlisto, transirfunkcio povas esti difinita kiu iras de malferma pilko en R da n al la dukto kaj tiam reen al alia (aŭ eble la saman) malferman pilkon en R da n .
La rezulta mapo, kiel la mapo T en la cirklekzemplo supra, estas nomita ŝanĝo de koordinatoj, kunordigita transformo, transirfunkcio, aŭ transirmapo.
#000042
Atlaso ankaŭ povas esti utiligita por difini kroman strukturon sur la dukto.
La strukturo unue estas difinita en ĉiu diagramo aparte.
Se ĉiuj transirmapoj estas kongruaj kun tiu strukturo, la strukturo transdonas al la dukto.
#000043
Tio estas la norma maniero kiel diferencialduktoj estas difinitaj.
Se la transiro funkcias da atlaso por topologia dukto konservas la naturan diferencialstrukturon de R da n (t.e., se ili estas difeomorfismoj), la diferencigajn strukturtranslokigojn al la dukto kaj iĝas ĝin diferencialdukto.
Kompleksaj duktoj estas lanĉitaj laŭ analoga maniero per postulado ke la transirfunkcioj de atlaso estas holomorfaj funkcioj.
Por simplektaj duktoj, la transirfunkcioj devas esti simplektomorfismoj.
#000044
La strukturo sur la dukto dependas de la atlaso, sed foje malsamaj atlasoj povas esti diritaj kaŭzi la saman strukturon.
Tiaj atlasoj estas nomitaj kongruaj.
#000045
En teknika lingvo, dukto kun limo estas spaco enhavanta kaj internajn punktojn kaj limpunktojn.
La homeomorfio devas sendi ĉiun limpunkton al punkto kun x 1 = 0.
#000048
Lasu M esti dukto kun limo.
La internon de M, indikis Int M, estas la aro de punktoj en M kiuj havas najbarecojn homeomorfaj al malferma subaro de R da n .
La limo de M, indikis ∂ M, estas la komplemento de Int M en M.
La limo kiun punktoj povas esti karakterizitaj kiel tiuj punktoj kiuj alteriĝas sur la limhiperebenon ( x n = 0) de R n kelkajn kunordigas diagramon.
#000049
Se M estas dukto kun limo de dimensio n, tiam Int M estas dukto (sen limo) de dimensio n kaj ∂ M estas dukto (sen limo) de dimensio n − 1.
#000050
Ununura dukto povas esti konstruita laŭ malsamaj manieroj, ĉiu substrekante malsaman aspekton de la dukto, tiel kondukante al iomete malsama vidpunkto.
#000051
Eble la plej simpla maniero por konstrui dukton estas tiu uzitan en la ekzemplo supre pri la cirklo.
Unue, subaro de R 2 estas identigita, kaj tiam atlaso kovranta tiun subaron estas konstruita.
La koncepto de dukto kreskis historie de konstruoj kiel tio.
Jen estas alia ekzemplo, aplikante tiun metodon al la konstruado de sfero:
#000052
Sfero povas esti traktita en preskaŭ laŭ la saman manieron kiel la cirklo.
En matematiko sfero estas ĵus la surfaco (ne la solida interno), kiu povas esti difinita kiel subaro de R 3:
#000053
La sfero estas dudimensia, tiel ke ĉiu diagramo mapos parton de la sfero al malferma subaro de R 2.
Pripensu la nordan hemisferon, kio estas la parto kun pozitiva z koordinato (kolora ruĝa en la bildo dekstraflanke).
La funkcio χ difinita per
#000054
mapas la nordan hemisferon al la malferma unuodisko projekciante ĝin sur la ( x, y) aviadilo.
Simila diagramo ekzistas por la suda hemisfero.
Kune kie du furorlisto projekcias sur la ( x, z) aviadilo kaj du furorlisto projekcianta sur la ( y, z) aviadilo, atlaso de ses furorlisto akiriĝas kiu kovras la tutan sferon.
#000055
Tio povas esti facile ĝeneraligita al higher-dimensiaj sferoj.
#000056
Dukto povas esti konstruita gluante kune pecojn en kohera maniero, transformante ilin en interkovrado de furorlisto.
Tiu konstruo estas ebla por iu dukto kaj tial ĝi ofte estas utiligita kiel karakterizado, precipe por diferencieblaj kaj Riemanianaj duktoj.
Ĝi temigas atlason, ĉar la pecetoj kompreneble disponigas furorliston, kaj ĉar ekzistas neniu eksterspaco implikita ĝi kondukas al interna vido de la dukto.
#000057
La dukto estas konstruita precizigante atlason, kio estas sin difinita per transirmapoj.
Punkto de la dukto estas tial ekvivalentklaso de punktoj kiuj estas mapitaj al unu la alian per transirmapoj.
Furorlisto mapas ekvivalentklasojn al punktoj de ununura peceto.
Ekzistas kutime fortaj postuloj sur la konsistenco de la transirmapoj.
Por topologiaj duktoj ili estas postulataj por esti homeomorfioj;
se ili ankaŭ estas difeomorfismoj, la rezulta dukto estas diferencialdukto.
#000058
Tio povas esti ilustrita kun la transirmapo t = da 1 ⁄ s de la dua duono de la cirklekzemplo.
Komencu kun du kopioj de la linio.
Uzu la kunordigitan s por la unua kopio, kaj t por la dua kopio.
Nun, gluas ambaŭ kopiojn kune identigante la punkton t en la dua kopio kun la punkto s = 1 ⁄ t en la unua kopio (la punktoj t = 0 kaj s = 0 ne estas identigitaj kun iu punkto en la unua kaj dua kopio, respektive).
#000059
La unua konstruo kaj tiu konstruo estas tre similaj, sed ili reprezentas sufiĉe malsamajn vidpunktojn.
En la unua konstruo, la dukto estas vidita kiel integriĝinta en iu eŭklida spaco.
Tio estas la ekstera vido.
Kiam dukto estas rigardita laŭ tiu maniero, estas facile uzi intuicion de eŭklidaj spacoj difini kroman strukturon.
Ekzemple, en eŭklida spaco estas ĉiam klare ĉu vektoro ĉe iu punkto estas tanĝanta aŭ normala al iu surfaco tra tiu punkto.
#000060
La ĉifonkudraĵkonstruo ne uzas ajnan enkonstruadon, sed simple rigardas la dukton kiel topologian spacon flank itself.
Tiu abstrakta sinteno estas nomita la interna vido.
Ĝi povas fari ĝi pli malmola imagi kian klavvektoro eble estos, kaj ekzistas neniu interna nocio de normala fasko, sed anstataŭe ekzistas interna stabila normala fasko.
#000061
La n-sfero S da n estas ĝeneralaĵo de la ideo de cirklo (1-sfera) kaj sfero (2-sfera) al pli alta grandeco.
N-sfero S da n povas esti konstruita gluante kune du kopiojn de R da n .
La transirmapo inter ili estas difinita kiel
#000062
Tiu funkcio estas sia propra inversa kaj tiel povas esti uzita en ambaŭ indikoj.
Ĉar la transirmapo estas glata funkcio, tiu atlaso difinas difencigeblan plurejon.
En la kazo da n = 1, la ekzemplo simpligas al la cirklekzemplo donita pli frue.
#000063
Estas eble difini malsamajn punktojn de dukto esti sama.
Tio povas esti bildigita kiel gluante tiujn punktojn kune en ununura punkto, formante kvocientospacon.
Ekzistas, aliflanke, neniu kialo atendi tiajn kvocientospacojn esti duktoj.
Inter la eblaj kvocientospacoj kiuj ne estas nepre duktoj, orbifold'oj kaj CW-kompleksoj estas konsideritaj kiel relative bonkondutaj.
Ekzemplo de kvocientospaco de dukto kiu ankaŭ estas dukto estas la reala projekcia spaco identigita kiel kvocientospaco de la ekvivalenta sfero.
#000064
Unu metodo de identigado punktoj (gluantaj ilin kune) estas tra dekstra (aŭ maldekstro) ago de grupo, kiu reagas al la dukto.
Du poentoj estas identigitaj se tia estas proponita sur la aliajn per iom da grupelemento.
Se M estas la dukto kaj G estas la grupo, la rezulta kvocientospaco estas indikita per M / G (aŭ G '\' "\" M).
#000065
Duktoj kiuj povas esti konstruitaj identigante punktojn inkludas Toroj kaj realajn projekciajn spacojn (komencante per aviadilo kaj sfero, respektive).
#000066
Du duktoj kun limoj povas esti gluitaj kune laŭ limo.
Se al tio estas farita la dekstran maniero, la rezulto ankaŭ estas dukto.
Simile, du limoj da ununura dukto povas esti gluitaj kune.
#000067
Formale, la gluado estas difinita per ensurĵeto inter la du limoj [ dubindaj - ĵetdiskoj ].
Du poentoj estas identigitaj kiam ili estas mapitaj sur unu la alian.
Por topologia dukto tiu ensurĵeto devus esti homeomorfio, alie la rezulto ne estos topologia dukto.
Simile por diferencialdukto ĝi devas esti difeomorfismo.
Por aliaj duktoj aliaj strukturoj devus esti konservitaj.
#000068
Finhava cilindro povas esti konstruita kiel dukto per komencado kun strio [0, 1] × [0, 1] kaj gluado paro de kontraŭaj randoj taŭga difeomorfismo.
Projekcia aviadilo povas esti akirita gluante sferon kun truo en ĝi al rubando de Möbius laŭ iliaj respektivaj cirklaj limoj.
#000069
La karteza produkto de duktoj ankaŭ estas dukto.
#000070
La dimensio de la produktodukto estas la sumo de la grandeco de siaj faktoroj.
Ĝia topologio estas la produktotopologio, kaj karteza produkto de furorlisto estas diagramo por la produktodukto.
Tiel, atlaso por la produktodukto povas esti konstruita utiligante atlasojn por siaj faktoroj.
Se tiuj atlasoj difinas diferencigan strukturon sur la faktoroj, la ekvivalenta atlaso difinas diferencigan strukturon sur la produktodukto.
La sama estas vera por iu alia strukturo difinita sur la faktoroj.
Se unu el la faktoroj havas limon, la produktodukto ankaŭ havas limon.
Kartezaj produktoj povas esti uzitaj por konstrui Toroj kaj finhavajn cilindrojn, ekzemple, kiel S al 1 × S 1 kaj S 1 × [0, 1], respektive.
#000071
La studo de duktoj kombinas multajn gravajn areojn de matematiko: ĝi ĝeneraligas konceptojn kiel ekzemple kurboj kaj surfacoj same kiel ideoj de lineara algebro kaj topologio.
#000072
Antaŭ ol la moderna koncepto de dukto ekzistis pluraj gravaj rezultoj.
#000073
Ne-eŭklida geometrio pripensas spacojn kie tiu de Eŭklido
Sakeri unue studis tiajn geometriojn en 1733 sed serĉis nur por kontraŭpruvi ilin.
Gauss, Bolyai kaj Lobachevsky sendepende malkovris al ili 100 jarojn poste.
Ilia esplorado malkovris du specojn de spacoj kies geometriaj strukturoj devias de tiu de klasika eŭklida spaco;
tiuj kaŭzis hiperbolan geometrion kaj elipsan geometrion.
En la moderna teorio de duktoj, tiuj nocioj korespondas al Riemanianaj duktoj kun konstanta negativo kaj pozitiva kurbiĝo, respektive.
#000074
Carl Friedrich Gauss eble estis la unua se temas pri konsideri abstraktajn spacojn matematikajn objektojn en sia propra rajto.
Lia theorema egregium donas metodon por komputado de la kurbeco de surfaco sen pripensado de la ĉirkaŭa spaco en kiu la surfaco situas.
Tia surfaco faris, en moderna terminologio, esti nomita dukto;
kaj en modernaj esprimoj, la teoremo pruvis ke la kurbeco de la surfaco estas interna posedaĵo.
Multnombra teorio temigis ekskluzive tiujn internajn trajtojn (aŭ Invariantojn), dum plejparte ignorante la eksterajn trajtojn de la ĉirkaŭa spaco.
#000075
Alia, pli topologia ekzemplo de interna posedaĵo de dukto estas ĝia Euler karakteriza.
Leonhard Euler montris ke por konveksa hiperpluredro en la tridimensia eŭklida spaco kun V verdglacioj (aŭ anguloj), E randoj, kaj F alfrontas,
#000076
La sama formulo tenos ĉu ni projekcias la verdglaciojn kaj randojn de la hiperpluredro sur sfero, krei topologian mapon kun V verdglacioj, E randoj, kaj F alfrontas, kaj fakte, restos veraj por iu sfera mapo, eĉ se ĝi ne ekestiĝas de iu konveksa hiperpluredro.
Tiel 2 estas topologia Invarianto de la sfero, nomita ĝia Euler karakteriza.
Aliflanke, Toro povas esti tranĉaĵigita malferma memstare "paralelaj" kaj "meridianaj" cirkloj, krei mapon kun V = 1 vertico, E = 2 randoj, kaj F = 1 alfrontas.
Tiel la Euler karakteriza por la Toro estas 1 − 2 + 1 = 0-a La Euler karakteriza por aliaj surfacoj estas utila topologia Invarianto, kiu povas esti etendita al pli alta grandeco uzanta Betti-nombrojn.
En la meza deknaŭa jarcento, la Gauss-kapotteoremo ligis la eŭleran karakterizon al la Gaussian-kurbiĝo.
#000077
Enketoj de Niels Henrik Abel kaj Carl Gustav Jacobi sur inversion de elipsaj integraloj en la unua duono de 19-a jarcento igis ilin pripensi specialajn specojn de kompleksaj duktoj, nun konataj kiel Jacobians.
Bernhard Riemann plue kontribuis al ilia teorio, klarigante la geometrian signifon de la procezo de analiza daŭrigo de funkcioj de kompleksaj variabloj.
#000078
Alia grava fonto de duktoj en 19-a-jarcenta matematiko estis analiza mekaniko, kiel evoluigite fare de Siméon Poisson, Jacobi, kaj William Rowan Hamilton.
La eblaj statoj de mekanika sistemo supozeble estas punktoj de abstrakta spaco, faza spaco en Lagrangianaj kaj Hamiltonianaj formalismoj de klasika mekaniko.
Tiu spaco estas, fakte, alt-dimensia dukto, kies dimensio egalrilatas al la gradoj da libereco de la sistemo kaj kie la punktoj estas precizigitaj memstare ĝeneraligitaj koordinatoj.
Por senafekta movado de liberaj partikloj la dukto estas ekvivalenta al la eŭklida spaco, sed diversaj konservadaj leĝoj limigas ĝin al pli d komplikaj formacioj, ekz. Liouville-Toroj.
La teorio de rotacia solida korpo, evoluigita en la 18-a jarcento fare de Leonhard Euler kaj Joseph-Louis de Lagrange, donas alian ekzemplon kie la dukto estas nesensignifa.
Geometriaj kaj topologiaj aspektoj de klasika mekaniko estis emfazitaj fare de Henri Poincaré, unu el la fondintoj de topologio.
#000079
En lia tre influa artikolo, Analizo situs, [4]
Henri Poincaré donis difinon de (diferenciebla) dukto ( variété) kiu funkciis kiel antaŭulo al la moderna koncepto de dukto.
#000081
En la unua sekcio de Analizo situs, Poincaré difinas dukton kiel la ebenan aron de ade diferenciebla funkcio inter eŭklidaj spacoj kiu kontentigas la nedegenerechipotezon de la implica funkcioteoremo.
En la tria sekcio, li komencas per rimarkado ke la grafeo de ade diferenciebla funkcio estas dukto en ĉi-lasta signifo.
Li tiam proponas novan, pli generalon, difinon da dukto bazita sur "ĉeno de duktoj" ( une chaîne des variété'oj).
#000082
La nocio de Poincaré de ĉeno de duktoj estas antaŭulo al la moderna nocio de atlaso.
Laŭ tiu maniero li prezentas antaŭulon al la nocio de diagramo kaj de transirmapo.
Notu ke estas implice en Analizo situs ke dukto akiris kiam "ĉeno" estas subaro de eŭklida spaco.
#000083
De la implica funkcioteoremo, ĉiu subdukto de eŭklida spaco estas loke la grafikaĵo.
#000084
Hermann Weyl donis internan difinon por diferencialduktoj en sia prelegokurso sur Riemann-facoj en 1911-1912, malfermante la vojon al la ĝenerala koncepto de topologia spaco kiu sekvis baldaŭ.
Dum la 1930a Hassler Whitney kaj aliaj klarigis la bazajn aspektojn de la subjekto, kaj tiel intuicioj devenantaj de ĉi-lasta duono de la 19-a jarcento iĝis precizaj, kaj formiĝis tra diferenciala geometrio kaj Mensoga teorio de grupoj.
Precipe, la Whitney-enkonstruadoteoremo [6] montris ke la interna difino laŭ furorlisto estis ekvivalenta al la difino de Poincaré laŭ subaroj de eŭklida spaco.
#000085
La plej simpla speco de dukto por difini estas la topologia dukto, kiu aspektas loke pli kiel iu "ordinara" eŭklida spaco R da n .
Formale, topologia dukto estas topologia spaco
loke homeomorfa al eŭklida spaco.
Tio signifas ke ĉiu punkto havas kvartalon por kiu tie ekzistas homeomorfio ( bijektive
kontinuaj funkcias kies inversa ankaŭ estas kontinua) mapante tiun kvartalon al R da n .
Tiuj homeomorfioj estas la furorlisto de la dukto.
#000087
Ĝi estas ke topologia dukto aspektas loke pli kiel eŭklida spaco en sufiĉe malforta maniero: dum por ĉiu individua diagramo estas eble distingi diferencieblajn funkciojn aŭ iniciatodistancojn kaj angulojn, simple de virto de esti topologia dukto spaco ne havas ajnan specialan kaj konsekvencan elekton de tiaj konceptoj.
Por diskuti tiajn trajtojn por dukto, oni bezonas precizigi plian strukturon kaj pripensi diferencialduktojn kaj Riemanianaj duktoj diskutis malsupre.
Aparte, la sama subesta topologia dukto povas havi plurajn reciproke malkongruajn klasojn de diferencieblaj funkcioj kaj senfinan nombron da manieroj precizigi distancojn kaj angulojn.
#000088
Kutime kromaj teknikaj supozoj sur la topologia spaco estas faritaj por ekskludi patologiajn kazojn.
Estas kutime postuli ke la spaco estu Hausdorff kaj sekundo nombrebla.
#000089
La dimensio de la dukto ĉe certa punkto estas la dimensio de la eŭklida spaco kiu la furorlisto ĉe tiu punktomapo al (pli sensenta n en la difino).
Ĉiuj punktoj en ligita dukto havas la saman dimension.
Kelkaj verkintoj postulas ke ĉiuj furorlisto de topologia dukto mapas al eŭklidaj spacoj de sama dimensio.
En tiu kazo ĉiu topologia dukto havas topologian Invarianton, sian dimension.
Aliaj verkintoj permesas disajn uniojn de topologiaj duktoj kun malsama grandeco por esti nomitaj duktoj.
#000090
Por la plej multaj aplikoj specialaĵospeco de topologia dukto, nome diferencialdukto, estas uzita.
Se la loka furorlisto sur dukto estas kongrua en certa signifo, oni povas difini indikojn, klavspacojn, kaj diferencieblajn funkciojn sur tiu dukto.
Aparte estas eble uzi kalkuladon sur diferencialdukto.
Ĉiu punkto de n-dimensia diferencialdukto havas klavspacon.
Tio estas n-dimensia eŭklida spaco konsistanta el la klavvektoroj de la kurboj tra la punkto.
#000091
Du gravaj klasoj de diferencialduktoj estas glataj kaj analizaj duktoj .
Por difencigeblaj plurejoj la transirmapoj estas glataj, kiu estas senlime diferencieblaj.
Analizaj duktoj estas difencigeblaj plurejoj kun la kroma kondiĉo kiu la transirmapoj estas analizaj (ili povas esti esprimitaj kiel potencvico).
Al la sfero povas ricevi analizan strukturo, kiel la plej multaj konataj kurboj kaj surfacoj povas.
#000092
Ekzistas ankaŭ topologiaj duktoj, t.e., loke eŭklidaj spacoj, kiuj posedas neniujn diferencieblajn strukturojn entute.
#000093
Rektigebla aro ĝeneraligas la ideon de pecmaniero glatan aŭ rektigeblan kurbon al pli alta grandeco;
tamen, rektigeblaj aroj ne estas en ĝeneralaj duktoj.
#000094
Por mezuri distancojn kaj angulojn sur duktoj, la dukto devas esti Riemaniana.
"Riemannian dukto" estas diferencialdukto en kiu ĉiu klavspaco estas provizita per interna produkto ⟨⋅, ⋅⟩ en maniero kiu varias glate de transterena konkurso.
Surbaze de du klavvektoroj u kaj v, la interna produkto⟨ u, v ⟩ donas realan nombron.
La punkto- (aŭ Skalaro) produkto estas tipa ekzemplo de interna produkto.
Tio permesas al tia difini diversajn nociojn kiel ekzemple longo, anguloj, areoj (aŭ volumoj), kurbiĝo kaj diverĝo de vektoraj kampoj.
#000095
Al ĉiuj diferencialduktoj (de konstanta dimensio) povas ricevi la strukturo de Riemaniana dukto.
La eŭklida spaco mem portas naturan strukturon da Riemaniana dukto (la klavspacoj estas kompreneble identigitaj kun la eŭklida spaco mem kaj portas la norman skalarprodukton de la spaco).
Multaj konataj kurboj kaj surfacoj, inkluzive de ekzemple ĉiuj n-sfero, estas precizigitaj kiel subspacoj de eŭklida spaco kaj heredas metrikon de ilia enkonstruadoj en ĝi.
#000096
Ĉiu Riemaniana dukto estas Finsler-dukto.
#000098
Mensoggrupoj, nomitaj laŭ Sophus Lie, estas diferencialduktoj kiuj ankaŭ portas la strukturon de grupo kiu estas tia ke la grupoperacioj estas difinitaj per glataj mapoj.
#000099
Vektorspaco kun la grupoperacio de vektoraldono estas ekzemplo de ne-kompakta Mensoggrupo.
Simpla ekzemplo de kompakta Mensoggrupo estas la cirklo: la grupoperacio estas simple rotacio.
Tiu grupo, konata kiel U (1), povas esti ankaŭ karakterizita kiel la grupo de kompleksaj nombroj de modulus 1 kun multipliko kiel la grupoperacio.
#000100
Aliaj ekzemploj de Lie-grupoj inkludas specialajn grupojn da matricoj, kiuj estas ĉiuj subgrupoj de la ĝenerala lineara grupo, la grupo da n de n matricoj kun ne-nula determinanto.
Se la matrickontribuoj estas realaj nombroj, tio estos n 2-dimensia malligita dukto.
La ortogonalaj grupoj, la geometriaj simetria grupoj de la sfero kaj hipersferes, estas n ( n −1)/2 dimensioduktoj, kie n −1 estas la dimensio de la sfero.
Pliaj ekzemploj povas esti trovitaj en la tabelo de Lie-grupoj.
#000101
Malsamaj nocioj de duktoj havas malsamajn nociojn de klasifiko kaj Invarianto;
en tiu sekcio ni temigas glatajn fermitajn duktojn.
#000103
La klasifiko de glataj fermitaj duktoj estas bone komprenita en principo, krom en dimensio 4: en malalta grandeco (2 kaj 3) ĝi estas geometria, per la uniformigteoremo kaj la solvo de la konjekto de Poincaré, kaj en alta dimensio (5 kaj supra) ĝi estas algebra, per kirurgioteorio.
Tio estas klasifiko en principo: la ĝenerala demando de ĉu du difencigeblaj plurejoj estas difeomorfaj ne estas komputebla ĝenerale.
Plue, specifaj komputadoj restas malfacilaj, kaj ekzistas multaj malfermaj demandoj.
#000104
Orienteblaj surfacoj povas esti bildigitaj, kaj iliaj difeomorfismoklasoj listigita, de genro.
Surbaze de du orienteblaj surfacoj, oni povas determini ĉu ili estas difeomorfaj komputante siajn respektivajn genrojn kaj komparadon: ili estas difeomorfaj se kaj nur se la genroj estas egalaj, tiel ke la genro formas kompletan aron de Invariantoj.
#000105
Tio estas multe pli dura en pli alta grandeco: higher-dimensiaj duktoj ne povas esti rekte bildigitaj (kvankam vida intuicio estas utila en komprenado de ili), nek iliaj difeomorfismoklasoj povas esti listigitaj, nek povas unu ĝenerale determini ĉu du malsamaj priskriboj de higher-dimensia dukto rilatas al la sama objekto.
#000106
Tamen, oni povas determini ĉu du duktoj estas malsamaj se ekzistas iu interna karakterizaĵo kiu diferencigas ilin.
Tiaj kriterioj estas ofte referitaj kiel Invariantoj , ĉar, dum ili povas esti difinitaj laŭ iu prezento (kiel ekzemple la genro laŭ triangulado), ili estas la samaj relative al ĉiaj ajn priskriboj de speciala dukto: ili estas senvariaj sub malsamaj priskriboj.
#000107
Naive, oni povis esperi evoluigi arsenalon de senvariaj kriterioj kiuj definitive klasifikus ĉiujn duktojn supren al izomorfio.
Bedaŭrinde, estas konata ke por duktoj de dimensio 4 kaj pli alte, neniu programo ekzistas tion povas decidi ĉu du duktoj estu difeomorfaj.
#000108
Difencigeblaj plurejoj havas riĉulon metitan de Invariantoj, venante de punkt-metita topologio, klasika algebra topologio, kaj geometria topologio.
La plej konataj Invariantoj, kiuj estas videblaj por surfacoj, estas Orientebleco (normala Invarianto, ankaŭ detektita per homologio) kaj genro (homologia Invarianto).
#000109
Glataj fermitaj duktoj havas neniujn lokajn Invariantojn (krom dimensio), kvankam geometriaj duktoj havas lokajn Invariantojn, precipe la kurbecon de Riemaniana dukto kaj la tordo de dukto provizita per afina ligo.
Tiu distingo inter lokaj Invariantoj kaj neniuj lokaj Invariantoj estas ofta maniero distingi inter geometrio kaj topologio.
Ĉiuj Invariantoj de glata fermita dukto estas tiel tutmondaj.
#000110
Algebra topologio estas fonto de kelkaj gravaj tutmondaj senvariaj trajtoj.
Kelkaj esencaj kriterioj inkludas la simple ligitan posedaĵon kaj Orienteblecon (vidu malsupre).
Efektive, pluraj branĉoj de matematiko, kiel ekzemple homologio kaj homotopeca teorio, kaj la teorio de karakterizaj klasoj estis fondita por studi senvariajn trajtojn de duktoj.
#000111
En grandeco du kaj pli alte, simpla sed grava senvaria kriterio estas la demando de ĉu dukto koncedas senchavan orientiĝon.
Pripensu topologian dukton kun furorlisto mapanta al R da n .
Surbaze de ordigita bazo por R da n , diagramo kaŭzas sian pecon de la dukto al si mem akiras senton de mendado, kiu en 3-grandeca povas esti rigardita kiel aŭ lerta aŭ maldekstramana.
Imbrikita furorlisto ne estas postulata por konsenti en sia signifo de mendado, kiu donas al duktoj gravan liberecon.
Por kelkaj duktoj, kiel la sfero, furorlisto povas esti elektitaj tiel ke imbrikitaj regionoj konsentas pri sia "handedness";
Por aliaj, tio estas malebla.
Ĉi-lasta ebleco estas facila por preteratenti, ĉar ĉiu fermita surfaco enkonstruita (sen mem-intersekciĝo) en tri-dimensia spaco estas orientebla.
#000112
Kelkaj ilustraj ekzemploj de ne-orientable duktoj inkludas: (1)
la rubando de Möbius, kiu estas dukto kun limo, (2) la botelo de Klein, kiu devas intersekci sin en it 3-spaca reprezentantaro, kaj (3) la reela projekcia ebeno, kiu ekestas nature en geometrio.
#000113
Komenciĝi kun sfero centris sur la origino.
Ĉiu linio tra la origino trapikas la sferon en du kontraŭ punktoj nomitaj antipodoj.
Kvankam ekzistas neniu maniero farendaĵo tiel fizike, estas eble (pripensante kvocientospacon) matematike kunfandi ĉiun antipodparon en ununuran punkton.
La fermita surfaco tiel produktita estas la reela projekcia ebeno, ankoraŭ plia ne-orientable surfaco.
Ĝi havas kelkajn ekvivalentajn priskribojn kaj konstruojn, sed tiu itinero klarigas it nomon: ĉiuj punktoj sur iu antaŭfiksita linio tra la originprojekto al la sama "punkto" sur tiu "aviadilo".
#000116
Por dudimensiaj duktoj ŝlosilo senvaria posedaĵo estas la genro, aŭ la "nombro da teniloj" ĉi-tie en surfaco.
Toro estas sfero kun unu tenilo, duobla Toro estas sfero kun du teniloj,.
Efektive, estas eble plene karakterizi kompaktajn, dudimensiajn duktojn surbaze de genro kaj Orientebleco.
En higher-dimensiaj duktoj genro estas anstataŭigita per la nocio de eŭlera karakterizo, kaj pli ĝenerale Betti-nombroj kaj homologio kaj kohomologio.
#000117
Ekzakte ĉar ekzistas diversaj specoj de duktoj, ekzistas diversaj specoj de mapoj de duktoj.
Aldone al kontinuaj funkcioj kaj glataj funkcioj ĝenerale, ekzistas mapoj kun specialaj trajtoj.
En geometria topologio baztipo estas enkonstruadoj, de kiu noda teorio estas centra ekzemplo, kaj ĝeneraligoj kiel ekzemple mergadoj, subakvigoj, kovrante spacojn, kaj multbranĉajn kovrospacojn.
Bazaj rezultoj inkludas la Whitney-enkonstruadoteoremon kaj mergan teoremon de Whitney.
#000118
En rimana geometrio, oni povas demandi ke mapoj konservus la Riemanianan metrikon, kondukante al nocioj de izometraj enkonstruadoj, izometraj mergadoj, kaj Riemanianaj subakvigoj;
baza rezulto estas la Nash-enkonstruadoteoremo.
#000119
Baza ekzemplo de mapoj inter duktoj estas skalar-aprezitaj funkcioj sur dukto,
#000120
foje vokis regulajn funkciojn aŭ funktional, de analogeco kun algebra geometrio aŭ lineara algebro.
Tiuj estas de intereso kaj en sia propra rajto, kaj studi la subestan dukton.
#000121
En geometria topologio, plej ofte volitaj estas Morsfunkcioj, kiuj donas tenilkorp putriĝojn, dum en analitiko, oni ofte studas solvon al partaj diferencialaj ekvacioj, grava ekzemplo de kiu estas furiera analizo, kie oni studas harmoniajn funkciojn: la kerno de la laplaca operatoro.
Tio kaŭzas tiajn funkciojn kiel la sferaj harmonoj, kaj varmigi kern metodojn de studado duktoj, kiel ekzemple aŭdado de la formo de tamburo kaj kelkajn pruvojn de la Atiyah-kantisto indeksi teoremon.
#000122
La difino de dukto povas esti ĝeneraligita faligante la postulon de finhava dimensieco.
Tiel senfina dimensiodukto estas topologia spaco loke homeomorfa al topologia vektora spaco super la realoj.
Tio preterlasas la punkt-metitajn aksiomojn, permesante pli altajn kardinalecojn kaj ne-Hausdorffoduktojn;
kaj ĝi preterlasas finhavan dimension, permesante al strukturoj kiel ekzemple hilbertaj duktoj esti formitaj laŭ hilbertaj spacoj, Banach-duktoj por esti formita laŭ banaĥaj spacoj, kaj Fréchet-duktoj por esti formita laŭ Fréchet-spacoj.
Kutime oni malstreĉas unun aŭ la alian kondiĉon: duktoj kun la punkt-metitaj aksiomoj estas volitaj en ĝenerala topologio, dum senfin-dimensiaj duktoj estas volitaj en funkcionala analitiko.
#000124
Orbifold estas ĝeneraligo de dukto enkalkulanta certajn specojn de " neordinaraĵoj " en la topologio.
Malglate parolante, ĝi estas spaco kiu loke aspektas pli kiel la kvocientoj de iu simpla spaco ( ekz. eŭklida spaco) per la agoj de diversaj finiaj grupoj.
La neordinaraĵoj egalrilatas al fikspunktoj de la grupaj agoj, kaj la agoj devas esti kongruaj en certa signifo.
#000125
Non-eksterordinaraj algebraj variecoj super la realaj aŭ kompleksaj nombroj estas duktoj.
Oni ĝeneraligas tion unue permesante neordinaraĵojn, due permesante malsamajn kampojn, kaj trie kopiante la flikan konstruadon de duktoj: ekzakte ĉar dukto estas gluita kune de malfermaj subaroj de eŭklida spaco, algebra diverseco estas gluita kune de afinaj algebraj variecoj, kiuj estas nul aroj de polinomoj super algebre fermitaj kampoj.
Kabaloj estas same gluitaj kune de afinaj kabaloj, kiuj estas ĝeneraligo de algebraj variecoj.
Ambaŭ estas rilatitaj al duktoj, sed estas konstruitaj algebre uzante faskojn anstataŭe de atlasoj.
#000126
Pro eksterordinaraj punktoj, diverseco estas ĝenerale ne dukto, kvankam lingve la franca variété, germana Mannigfaltigkeit kaj angla dukto estas plejparte sinonimaj.
En la franca algebra diverseco estas nomita une variété algébrique ( algebra diverseco), dum difencigebla plurejo estas nomita une variété différentielle ( diferenciga diverseco).
#000127
"Plurtavola spaco" estas spaco kiu povas esti dividita en pecojn ("tavoloj"), kun ĉiu tavolo dukto, kie la tavoloj konvenas kune laŭ devigaj manieroj (formale, filtrado per fermitaj subaroj).
Ekzistas diversaj teknikaj difinoj, precipe Whitney tavoligis spacon (vidu Whitney-kondiĉojn) por difencigeblaj plurejoj kaj topologie plurtavolan spacon por topologiaj duktoj.
Bazaj ekzemploj inkludas dukton kun limo (supra dimensiodukto kaj kodimensio 1 limo) kaj dukto kun anguloj (supra dimensiodukto, kodimensio 1 limo, kodimensio 2 anguloj).
Whitney tavoligis spacojn estas larĝa klaso de spacoj, inkluzive de algebraj variecoj, analitikaj diversaĵoj, semialgebraic-aroj, kaj subanalizaj aroj.
#000128
CW-komplekso estas topologia spaco formita gluante diskojn de malsama dimensieco kune.
Ĝenerale la rezulta spaco estas eksterordinara, kaj tial ne dukto.
Tamen, ili estas de centra intereso en algebra topologio, precipe en homotopeca teorio, ĉar ili facile komputas kun kaj neordinaraĵebla estas ne konzerno.
#000129
Homologiodukto estas spaco kiu kondutas kiel dukto de la perspektivo de homologeca teorio.
Tiuj estas ne ĉiuj duktoj, sed (en alta dimensio) povas esti analizitaj per kirurgioteorio simile al duktoj, kaj malsukceso esti dukto estas loka obstrukco, kiel en kirurgioteorio.
#000130
Ĝi estas algebro kun respekto al la punktmanieraldono kaj multipliko.
Supozu ankaŭ ke la sekvaj kondiĉoj tenas.
#000131
Afina geodezia: padoj sur duktoj
Unudirekta statistiko: statistiko sur duktoj
#000132
Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. The 1851 doctoral thesis in which "manifold" (Mannigfaltigkeit) first appears.
Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. The 1854 Göttingen inaugural lecture (Habilitationsschrift).
#000135
kunvarianco kaj kontraŭvarianco de vektoroj
#000137
En matematiko, sternaĵo estas spaco kiu, en unua plana vido, similas la familiaran spacon de eŭklida geometrio, sed kiu povas havi pli komplikan strukturon kiam vidita entute. Sfero, idealigita versio de la surfaco de la Tero, estas sternaĵo. Loke la Tero aspektas kvazaŭ ĝi estas plata, sed vidita entute ĝi estas ronda. sternaĵo povas esti konstruita per gluado de apartaj eŭklidaj spacoj kune; ekzemple, monda mapo povas esti farita per gluado de multaj mapoj de lokaj regionoj kune.
#000138
Alia ekzemplo de sternaĵo estas cirklo. Malgranda peco de cirklo aspektas kiel (malmulte-kurba) porcio de rekta segmento, sed entute la cirklo kaj la segmento estas malsamaj unu-dimensia sternaĵoj. Cirklo povas esti formita per flekso de rekta segmento kaj gluigo de ĝiaj randoj kune. La surfaco de sfero kaj la surfaco de toro estas ekzemploj de du-dimensia sternaĵoj. sternaĵoj estas gravaj objektoj, en matematiko kaj fiziko ĉar ili permesas al pli komplikaj strukturoj esti esprimitaj kaj komprenitaj en terminoj de la bone komprenataj propraĵoj de pli simplaj spacoj.
#000139
Aldonaj strukturoj estas ofte difinitaj sur sternaĵoj. Ekzemploj de sternaĵoj kun aldona strukturo estas diferencialeblaj sternaĵoj sur kiuj oni povas uzi kalkulon kaj kvar-dimensia pseŭdo-Rimana sternaĵo kiu modelas spacon kaj tempon en fizika relativeco.
#000140