Wikipedia's Curvature as translated by GramTrans
#000000
Termino kurbeco estas uzata precipe en matematiko por esprimi dekliniĝon de rekta direkto.
#000001
Kurbeco origine signifas (speciala) eco de la kurboj:
#000002
Tiel kurbeco estas rilata al kelkaj interrilataj konceptoj en malsamaj areoj de geometrio. Intuicie, kurbeco estas la kvanto, per kiu geometria objekto dekliniĝas de rekteco aŭ ebeneco, sed ĉi tiu estas difinita en malsama manieroj depende de la ĉirkaŭteksto. Estas ŝlosila distingo inter ekstera kurbeco, kiu estas difinita por objektoj enigitaj en alia spaco (kutime eŭklida spaco) kvazaŭ tiu kiu rilatas al la kurbecoradiuso de cirkloj, kiuj tuŝas la objekton, kaj apriora kurbeco (kurbeca tensoro) kiu estas difinita je ĉiu punkto en diferencialebla dukto. Ĉi tiu artikolo traktas unuavice la unuan koncepton.
#000005
La origina ekzemplo de ekstera kurbeco estas tiu de cirklo kiu havas kurbecon egalan al la inverso de ĝia radiuso ĉie. Pli malgrandaj cirkloj kurbiĝas pli akre, kaj de ĉi tie havas pli altan kurbecon. Plie, la kurbeco de glata kurbo estas difinita kiel la kurbeco de ĝia kurbecocirklo je ĉiu punkto.
#000006
En ebeno, tio estas skalara kvanto, sed en tri aŭ pli multaj dimensioj ĝi estas priskribita per kurbeca vektoro, kiu prenas en konsidero direkton de la kurbiĝo kaj ankaŭ ĝian akrecon. La kurbeco de pli kompleksaj objektoj (kiel surfacoj aŭ eĉ n-dimensiaj spacoj) estas priskribita per pli kompleksaj objektoj de lineara algebro, kiel la ĝenerala rimana kurbeca tensoro.
#000007
La resto de ĉi tiuj artikolo pridiskutas, el matematika perspektivo, iujn geometriajn ekzemplojn de kurbeco: la kurbeco de kurbo enigita en ebeno kaj la kurbeco de surfaco en eŭklida 3-spaco.
#000008
Por ebena kurbo C, la kurbeco ĉe donita punkto P havas grandecon egalan al la inverso de la radiuso de kurbecocirklo kiu tuŝas la kurbon ĉe la donita punkto, kaj estas vektoro montranta rekte al tiu cirkla centro. Ju pli malgranda la radiuso r de la kurbecocirklo, des pli granda la grandeco de la kurbeco (1/r) estas; tiel ke kie kurbo estas "proksimume rekta", la kurbeco estas proksimume al nulo, kaj kie la kurbo spertas striktan turnon, la kurbeco estas granda.
#000011
La grandeco de kurbeco ĉe punktoj sur fizikaj kurboj povas esti mezurita en dioptrioj; dioptrio estas la mezurunuo egala al 1 dividita per metro.
#000012
Rekto havas kurbecon 0 ĉie; cirklo de radiuso r havas kurbecon 1/r ĉie.
#000013
Por ebena kurbo donita parametre kiel c(t) = (x(t), y(t) la kurbeco estas
#000014
kie ĉiu punkto signifas diferencialadon kun respekto al t.
#000015
Por ebena kurbo donita implice kiel f(x, y)=0 la kurbeco estas
#000016
tio estas, la diverĝenco de la direkto de la gradiento de f.
#000017
Ĉi tiu lasta formulo ankaŭ donas la meznombran kurbecon de hipersurfaco en eŭklida spaco (kun precizo de multiplika konstanto).
#000018
Estu la parabolo . Oni povas parametrigi la kurbon simple kiel ,
#000019
Por kurbo donita parametre kiel c(t) = (x(t), y(t), z(t) la kurbeco estas
#000021
kie and estas la unua kaj la dua derivaĵoj de c(t), respektive.
#000022
Vidu ankaŭ en tordeco de kurbo.
#000023
Kurbeco de surfacoj en 3-spaco
#000024
Por du-dimensiaj surfacoj enigitaj en eŭklida spaco R3 estas du specoj de kurbeco: gaŭsa kurbeco kaj meznombra kurbeco. Por kalkuli tiujn ĉe donita punkto de la surfaco, konsideru la komunaĵon de la surfaco kun ebeno enhavanta normalan vektoron de la surfaco ĉe la punkto. Ĉi tiu komunaĵo estas ebena kurbo kaj havas kurbecon; se oni variigos la ebenon, tiu kurbeco ŝanĝiĝas, kaj estas du ekstremaj valoroj — la maksimuma kaj la minimuma kurbecoj, nomataj kiel la ĉefaj kurbecoj, k1 kaj k2, la ekstremaj direktoj estas nomataj kiel la ĉefaj direktoj.
#000025
Ĉi tie oni adoptas la konvencion, ke kurbeco estas prenita esti pozitiva se la kurbo kurbiĝas en la sama direkto kiel la surfaca elektita normala, alie negativa.
#000026
La gaŭsa kurbeco, nomita pro Carl Friedrich Gauss, estas egala al la produto de la ĉefaj kurbecoj, k1k2. Ĝi havas la dimension 1/longo2 kaj estas pozitiva por sfero, negativa por unu-folio hiperboloido kaj nulo por ebeno kaj por cilindra surfaco. Ĝi difinas ĉu surfaco estas loke konveksa (kiam ĝi estas pozitiva) aŭ loke sela (kiam ĝi estas negativa).
#000027
La pli supra difino de gaŭsa kurbeco estas ekstera en tio, ke ĝi uzas la surfacan enigon en R3, normalajn vektorojn, eksterajn ebenojn kaj tiel plu. Gaŭsa kurbeco estas tamen fakte apriora propraĵo de la surfaco, signife ĝi ne dependas de la aparta enigo de la surfaco; intuicie, tio signifas, ke formikoj loĝantaj sur la surfaco povas difini la gaŭsan kurbecon. Formale, gaŭsa kurbeco nur dependas de la rimana metriko de la surfaco. Tio estas la fama Theorema Egregium de Gaŭso, kiun li fundamentis dum kiam li okupiĝis pri geografiaj katastroj kaj mapo-farado.
#000028
Apriora difino de la gaŭsa kurbeco je punkto P estas jena: imagu formikon kiu estas ligita al P kun mallonga fadeno de longo r. Ŝi kuras ĉirkaŭ P dum la fadeno estas plene streĉita kaj mezuras la longon C(r) de unu kompleta promeno ĉirkaŭ P. Se la surfaco estis plata, ŝi devus trovi ke C(r) = 2πr. Sur aliaj surfacoj, la formulo por C(r) estos malsama, kaj la gaŭsa kurbeco K ĉe la punkto P povas esti komputita kiel
#000029
La integralo de la Gaŭsa kurbeco super la tuta surfaco estas proksime rilatanta al la surfaca eŭlera karakterizo; vidu en la gaŭso-kufa teoremo.
#000030
La meznombra kurbeco estas egala al la sumo de la ĉefaj kurbecoj, (k1+k2)/2. Ĝi havas la dimension 1/longo. Meznombra kurbeco estas proksime rilatanta al la unua variado de surfaca areo, en aparta minimuma surfaco kiel sapa filmo havas meznombran kurbecan nulon kaj sapa efervesko havas konstantan meznombran kurbecon. Malsimile al gaŭsa kurbeco, la meznombra kurbeco dependas de la enigo, ekzemple, cilindro kaj ebeno estas loke izometria sed la meznombro kurbeco de ebeno estas nulo dum tiu de cilindro estas ne nulo.
#000031
En kosmologio estas konsiderita la koncepto de kurbeco de spaco, kiu estas la kurbeco de respektivaj pseŭdo-rimanaj duktoj (en:pseudo-Riemannian_manifold); vidu kurbecon de rimanaj duktoj.
#000032
Spaco sen kurbeco estas nomata kiel ebena spaco aŭ eŭklida spaco. Vidu ankaŭ en formo de la universo (en:shape of the universe).
#000033
Kurbeca formo por la adekvata nocio de kurbeco por vektoraj pakaĵoj kaj ĉefaj pakaĵoj kun ligo.
Kurbeco de rimanaj duktoj por ĝeneraligoj de gaŭsa kurbeco al pli alte dimensiaj rimanaj duktoj.
Kurbeca vektoro kaj geodezia kurbeco por adekvataj nocioj de kurbeco de kurboj en rimanaj duktoj, de iu ajn dimensio.
Diferenciala geometrio de kurboj por plena traktado de kurboj enigitaj en eŭklida spaco de ajna dimensio.
Gaŭsa surĵeto por pli geometriaj propraĵoj de gaŭsa kurbeco.
Gaŭso-kufa teoremo por rudimenta apliko de kurbeco.
#000034