En matematiko, la harmonia serio estas la diverĝa senfina serio:
#000001
1 Malkonverĝo de harmona serio
2 Harmona serio kun pli altaj gradoj
#000003
La fakto ke la harmonia serio diverĝas estis unue pruvita en la 14-a jarcento fare de Nikolao de Oresme, [1] sed tiu atingo falis en obskurecon.
Pruvoj ricevis en la 17-a jarcento fare de Pietro Mengoli, [2]
Johann Bernoulli, [3] kaj Jakob Bernoulli.
#000004
Historie, harmoniaj sekvencoj havis certan popularecon kun arkitektoj.
Tio estis tiel precipe en la baroka periodo, kiam arkitektoj uzis ilin por establi la proporciojn de etaĝomapoj, de altecoj, kaj por establi harmoniajn rilatojn inter kaj internaj kaj eksteraj arkitekturaj detaloj de preĝejoj kaj palacoj.
#000005
La harmonia serio estas kontraŭintuicia al studentoj unue renkontante ĝin, ĉar ĝi estas diverĝa serio eĉ se la limo de la a esprimo ĉar n iras al senfineco estas nul.
La diverĝo de la harmonia serio ankaŭ estas la fonto de kelkaj ŝajnaj paradoksoj.
Unu ekzemplo de tiuj estas la " vermo sur la kaŭĉuka rubando ".
Supozu ke vermo rampas laŭ 1-metra kaŭĉuka rubando en la sama tempo kiam la kaŭĉuka rubando estas unuforme etendita.
Se la vermo vojaĝas 1 centimetron je minuto kaj la grupo etendas 1 metron je minuto, ĉu la vermo iam atingos la finon de la kaŭĉuka rubando?
La respondo, kontraŭintuicie, estas "jes", ĉar post n minutoj, la rilatumo de la distanco vojaĝita per la vermo al la sumlongo de la kaŭĉuka rubando estas
#000006
(Fakte la fakta rilatumo estas iomete malpli ol tiu sumo kiam la grupo disetendiĝas ade).
La kialo estas ke la grupo disetendiĝas malantaŭ la vermo ankaŭ;
poste, la vermo ricevas preteren la mezvojan markon kaj la grupo malantaŭe disetendiĝas ĉiam pli pli rapide ol la grupo plej antaŭe.
#000007
Ĉar la serio iĝas arbitre granda kiam n iĝas pli granda, poste tiu rilatumo devas superi 1, kiu implicas ke la vermo atingas la finon de la kaŭĉuka rubando.
Tamen, la valoro de n ĉe kiu tio okazas devas esti ekstreme granda: ĉirkaŭ e 100, nombro superanta 1043.
Kvankam la harmonia serio diverĝas, certe tiel tre malrapide.
#000008
Alia problemo implikanta la harmonian serion estas la Jeep-problemo.
#000009
Alia ekzemplo estas: donita kolekton de identaj domeno, estas klare eble stakigi ilin ĉe la rando de tablo tiel ke ili pendas super la rando de la tablo sen falado.
La kontraŭintuicia rezulto estas tiu unu povas stakigi ilin en tia maniero por igi la superpendaĵon arbitre granda, disponigitan ke ekzistas sufiĉe daj domeno.
#000010
Pli simpla ekzemplo, aliflanke, estas la naĝanto kiu daŭrigas aldoni pli da rapideco kie tuŝado de la muroj de la naĝejo.
La naĝanto komencas transiri 10-metran naĝejon kun rapideco de 2 m/s, kaj kun ĉiu kruco, pliaj 2 m/s estas aldonitaj al la rapideco.
En teorio, la rapideco de la naĝanto estas senlima, sed la nombro da naĝejkrucoj necesaj por veni al tiu rapideco iĝas tre granda;
ekzemple, veni al la lumrapideco (ignorante specialan teorion de relativeco), la naĝanto devas transiri la naĝejon 150 milionojn da tempoj.
Kontraŭe al tiu granda nombro, la "tempo" postulata por atingi antaŭfiksitan rapidecon dependas de la sumo de la serio ĉe iu antaŭfiksita nombro da naĝejkrucoj (ripetoj):
#000011
Kalkuli la sumon (ripete) montras ke veni al la lumrapideco ke la tempo postulis estas nur 94 sekundoj.
Per daŭrado preter tiu punkto (superante la lumrapideco, denove ignorante specialan teorion de relativeco), la tempo okupita por transiri la naĝejon fakte aliros nul kiam la nombro da ripetoj iĝas tre granda, kaj kiam la tempo postulata por transiri la naĝejon ŝajnas tendenci renuligi (ĉe senfina nombro da ripetoj), kiujn la sumo de ripetoj (kiujn tempo prenita por totala naĝejo krucas) diverĝos kun tre malrapida rapideco.
#000012
Ekzistas pluraj bonkonataj pruvoj de la diverĝo de la harmonia serio.
Kelkaj el ili ricevas malsupre.
#000013
Unudirekta pruvi diverĝo devas kompari la harmonian serion kun alia diverĝa serio:
#000014
Ĉiu esprimo de la harmonia serio estas pli bonega ol aŭ egala al la ekvivalenta esprimo de la dua serio, kaj tial la sumo de la harmonia serio devas esti pli bonega ol la sumo de la dua serio.
Tamen, la sumo de la dua serio estas senfina:
#000015
Ĝi sekvas (per la kompartesto) ke la sumo de la harmonia serio devas esti senfina ankaŭ.
Pli ĝuste, la komparo supre pruvas tion
#000016
por ĉiu pozitiva entjero k.
#000017
Tiu pruvo, proponita fare de Nikolao de Oresme, laŭ multaj en la matematika komunumo por estas alta punkto de mezepoka matematiko.
Ĝi daŭre estas norma pruvo instruita en matematikklasoj hodiaŭ.
La kondensadotesto de Cauchy estas ĝeneraligo de tiu argumento.
#000018
Estas eble pruvi ke la harmonia serio diverĝas komparante sian sumon kun malregula integralo.
Specife, pripensas la aranĝon de rektanguloj montritaj en la figuro dekstren.
Ĉiu rektangulo estas 1 ekzempleron larĝa kaj 1/ n ekzemplerojn alta, tiel ke la suma areo de la rektanguloj estas la sumo de la harmonia serio:
#000019
Tamen, la suma areo sub la kurbo y = 1/ x de 1 ĝis senfineco ricevas per malregula integralo:
#000020
Ĉar tiu areo estas totale enhavita ene de la rektanguloj, la suma areo de la rektanguloj devas esti senfina ankaŭ.
Pli ĝuste, tio pruvas tion
#000021
La ĝeneraligo de tiu argumento estas konata kiel la integrita testo.
#000022
La harmonia serio diverĝas tre malrapide.
Ekzemple, la sumo de la unuaj 1043 oficperiodoj estas malpli ol 100.
Tio estas ĉar la partaj sumoj de la serio havas logaritman kreskon.
#000023
kiela konstanto de Eŭlero-Mascheroni estas kajkiel kiuj aliroj 0iras al senfineco.
Leonhard Euler pruvis kaj tion kaj ankaŭ la pli frapan fakton ke la sumo kiu inkludas nur la reciprocals de primoj ankaŭ diverĝas, t.e.
#000024
La a parta sumo de la diverĝa harmonia serio,
#000025
estas vokita la a harmonia nombro .
#000026
La diferenco inter la a harmonia nombro kaj la natura logaritmo de n konverĝas al la konstanto de Eŭlero-Mascheroni.
#000027
La diferenco inter apartaj harmoniaj nombroj neniam estas entjero.
#000028
Neniuj harmoniaj nombroj estas entjeroj, krom n = 1.
#000029
estas konata kiel la alterna harmonia serio.
Tiu serio konverĝas per la alterna seria provo.
Aparte, la sumo estas egala al la natura logaritmo de 2:
#000030
Tiu formulo estas speciala kazo de la Mercator serio, la serio de Taylor por la natura logaritmo.
Pruvo sen vortoj kiu la sumo estasestis montrita fare de Matt Hudelson.
#000031
Rilata serio povas esti derivita de la serio de Taylor por la arkklavo:
#000032
La ĝenerala harmonia serio estas de la formo
#000034
Per la kompartesto, ĉio ĝenerala harmonia serio diverĝas.
#000035
Ĝeneraligo de la harmonia serio estas la p-serio (aŭ hiperharmoniaj serioj), difinita kiel
#000036
por iu pozitiva reala pli sensenta p.
Kie p = 1, la p-serio estas la harmonia serio, kiu diverĝas.
Aŭ la integrita testo aŭ la Cauchy-kondensadotesto montras ke la p-serio konverĝas por ĉio p > 1 (en kiu kazo ĝi estas nomita la tro-harmonia serio) kaj diverĝas por ĉiu p ≤ 1-a Se p > 1 tiam la sumo de la p-serio estas ζ ( p), t.e., la Riemann zetafunkcio analizis ĉe p.
#000037
La problemo de trovado de la sumo por p = 2 estas nomita la Bazela problemo.
La valoro de la sumo por p = 3 estas vokitaj Konstanto de Apéry.
#000038
por iu pozitiva reala pli sensenta p.
Tio povas esti montrita per integrita testo por diverĝi por p ≤ 1 sed konverĝi por ĉiu p > 1.
#000040
Por iu konveksa, real-aprezita funkcio φ tia ke
#000041
la serio ∑ n ≥1 φ ( n −1) estas konverĝaj.
#000042
kie la s n estas sendependajn, idente distribuis hazardajn variablojn preni la valorojn +1 kaj −1 kun egala verŝajneco 1/2, estas bonkonata ekzemplo en probablokalkulo por serio de hazardaj variabloj kiu konverĝas kun verŝajneco 1.
La fakto de tiu konverĝo estas facila sekvo de aŭ la Kolmogorov-tri-seria teoremo aŭ de la proksime rilatita Kolmogorov-maksimuma malegaleco.
Byron Schmuland de la Universitato de Alberto plue ekzamenis [11] [12] la trajtojn de la hazarda harmonia serio, kaj montris ke la konverĝa estas hazarda variablo kun kelkaj interesaj trajtoj.
Aparte, la probablodensa funkcio de tiu hazarda variablo analizis ĉe +2 aŭ ĉe −2 prenoj sur la valoro 0.
La artikolo de Schmuland klarigas kial al tiu verŝajneco estas tiel proksima, sed ne precize, 1/8-a La preciza valoro de tiu verŝajneco ricevas per la senfina kosinusa produktintegralo [13]
#000043
La malplenigita harmonia serio kie ĉio el la esprimoj en kiuj la cifero 9 aperas ie ajn en la denominatoro estas forigitaj povas esti montrita konverĝi kaj ĝia valoro estas malpli ol 80.
Fakte kiam esprimojn enhavanta ajnan specialan ŝnuron de ciferoj estas forigitaj la serio konverĝas.
#000044
Listo de sumoj de reciprocals
#000045
La diferenciala ekvacio de Riemann
#000050
Harmona serio – nombra serio kiu havas aspekton:
#000051
Harmona serio estas malkonverĝa - suba pruvo de tiu fakto devenas de Nikolao de Oresme kaj estas unu el gravaj sukcesoj de mezepoka matematiko.
#000053
Ĉar sumo de nombroj en ĉiu krampo estas 1/2, vico de partaj sumoj de serio ne havas limeson.
#000054
Tiel nomata ĝenerala harmona serio
#000055
Oni povas pruvi[noto 1], ke makkonverĝa estas ankaŭ serio de inversoj de primoj.
#000056
Sekvaj partaj sumoj de harmona serio
#000057
tiel nomataj harmonaj nombroj, kreskas malrapide, ĉar ekzistas ekvacio:
#000058
kaj γ estas tiel nomata konstanto de Euler. Tio signifas, ke harmona serio kreskas same rapide kiel natura logaritmo.
#000059
Harmona serio kun pli altaj gradoj
#000060
Harmona serio kun grado α havas aspekton:
#000061
La serio estas konverĝa por α>1 kaj malkorverĝa alikaze. Se α povus esti kompleksa nombro kaj por ĉiu α kiam serio estas korverĝa kunigos ĝia sumo, tiel verkata funkcio estas funkcio ς de Riemann:
#000062
Tiu funkcio estas grava en teorio de nombroj. Kaj kunigas kun ĝi fama hipotezo de Riemann.
#000063
Ankaŭ Alterna harmona serio estas ankaŭ konverĝa, sed nur kondiĉe
#000064
Tiu rezultas ekzemple el disvolvo de funkcio natura logaritmo en serio de Taylor.
#000065