En abstrakta algebro, dividita kompleksa nombro (aŭ hiperbola nombro, ankaŭ surprizita nombro, duobla nombro) havas du realnombrajn komponentojn x kaj y, kaj estas skribita z = al x -+ ij, j2 = +1.
La konjugato de z estas z ∗ = x -− ij.
Ekde j2 = +1, la produkto de pli sensenta z kun ĝia konjugato estas z z ∗ = x 2 − y 2, izotropa kvadrata formo, N ( z
#000001
La amasiĝo D de ĉiu dividitaj kompleksaj nombroj z = x -+ ij:
x, y ∈ R (kie j2 = +1), formas algebron super la kampo de realaj nombroj.
Du disig-kompleksaj nombroj w kaj z havas produktowz kiu kontentigas N ( wz
Tiu konsisto de N super la algebroprodukto faras ( D
#000002
Simila algebro bazita sur R 2 kaj komponent-rilataj operacioj de aldono kaj multipliko, ( R 2
ksy), kie ksy estas la kvadrata formo sur R 2, ankaŭ formas kvadratan regionon.
#000003
rilatigas proporciajn kvadratajn formojn, sed la mapado ne estas izometrio ekde la multiplika identeco (1,1) de R 2 estas ĉe distanco√2 de 0, kiu estas normaligita en D.
#000004
Split-kompleksa nombroj havas multaijn aliajn nomojn;
Vidu la artikolan Motor-variablon por funkcioj de disig-kompleksa nombro.
#000005
Konjugato, modulus, kaj dulineara formo
#000006
Disig-kompleksa nombro estas orda duopo de realaj nombroj, skribitaj en la formo
#000007
kie x kaj y estas realaj nombroj kaj la kvanto da j kontentigas
#000008
Ĝi estas tiu signoŝanĝo kiu distingas la disig-kompleksajn nombrojn de la prizonpastro kompleksa tiajn.
La kvanto da j ĉi tie ne estas reala nombro sed sendependa kvanto;
tio estas, ĝi ne estas egala al ±1.
#000009
La kolekto de tute tia z estas nomita la disig-kompleksa aviadilo.
Aldono kaj multipliko de disig-kompleksaj nombroj estas difinitaj per
#000010
Tiu multipliko estas kommutativa, asocieca kaj distribuas super aldono.
#000011
Ĵus kiel por kompleksaj nombroj, oni povas difini la nocion de disig-kompleksa konjugato.
#000012
la konjugato de z estas difinita kiel
#000013
La konjugato kontentigas similajn trajtojn al kutima kompleksa konjugito.
#000014
Tiuj tri trajtoj implicas ke la disig-kompleksa konjugato estas aŭtomorfismo de ordo 2.
#000015
La modulus da disig-kompleksa pli sensenta z = x + j y ricevas per la izotropa kvadrata formo
#000016
Ĝi havas la kunmetaĵan algebro posedaĵon:
#000017
\displaistile \lVert zw\rVert \lVert z\rVert \lVert w\rVert.
#000018
Tamen, tiu kvadrata formo ne estas pozitive difinita sed prefere havas signaturon (1, −1), tiel ke la modulus estas ne normo.
#000019
La rilata dulineara formo ricevas per
#000020
Alia esprimo por la modulus tiam estas
#000021
\displaistile \lVert z\rVert \langle z, z\rangle.
#000022
Ĉar ĝi ne estas pozitive difinita, tiu dulineara formo ne estas interna produkto;
tamen la dulineara formo estas ofte referita kiel senfina interna produkto.
Simila fitraktado de lingvo nomas la modulus normo.
#000023
La multiplika inversa de invertebla elemento ricevas per
#000024
Split-kompleksa nombroj kiuj ne estas inverteblaj estas nomitaj nulvektoroj.
Tiuj estas ĉiuj el la formo ( ± j ) por iu reala nombro .
#000025
Ekzistas du nesensignifaj idempotent-elementoj donitaj per e = (1 − j)/2 kaj e ∗ = (1 + j)/2.
Memoru ke idempotent signifas tiun e = al e kaj e ∗ e ∗ = e ∗ .
Ambaŭ de tiuj elementoj estas nulo:
#000026
Estas ofte oportune utiligi e kaj e ∗ kiel alternan bazon por la disig-kompleksa aviadilo.
Tiu bazo estas nomita la diagonala bazo aŭ nulo bazo.
La disig-kompleksa pli sensenta z povas esti skribita en la nulbazo kiel
#000027
Se ni indikas la pli sensentan z = kiun ae + estus ∗ por realaj nombroj a kaj b de (, b), tiam disig-kompleksa multipliko ricevas per
#000028
En tiu bazo, iĝas klare ke la disig-kompleksaj nombroj estas ring-izomorfaj al la rekta sumo R ⊕ R kun aldono kaj multipliko difinis pairŭise.
#000029
La disig-kompleksa konjugato en la diagonala bazo ricevas per
#000030
\displaistile \lVert (, b) \rVert ventromuskolo.
#000031
Kvankam kuŝante en la sama izomorfioklaso en la kategorio da boksejoj, la disig-kompleksa aviadilo kaj la rekta sumo de du realaj linioj malsamas en ilia enpaĝigo en la karteza aviadilo.
La izomorfio, kiel planar mapado, konsistas el kontraŭ-dekstruma rotacio per 45° kaj dilatiĝo de √ 2 .
La dilatiĝo aparte foje kaŭzis konfuzon lige kun areoj de hiperbolaj sektoroj.
#000032
Dudimensia reala vektora spaco kun la Minkowski-interna produkto estas vokita (1 + 1) - dimensia spaco de Minkowski, ofte indikis R 1,1.
Ekzakte kiel multe de la geometrio de la Eŭklida aviadilo R 2 povas esti priskribita kun kompleksaj nombroj, la geometrio de la Minkowski-aviadilo R 1,1 povas esti priskribita kun disig-kompleksaj nombroj.
#000033
hiperbolo estas por ĉiu nonzero en R.
La hiperbolo konsistas el dekstra kaj maldekstra branĉo pasanta tra (, 0) kaj (− , 0).
La kazo = 1 estas nomita la unuohiperbolo.
#000034
kun supra kaj malsupra branĉo pasanta tra (0, ) kaj (0, − ).
La hiperbolo kaj konjugathiperbolo estas apartigitaj per du diagonalaj asimptotoj kiuj formas la aron de nulelementoj:
#000035
Tiuj du linioj (foje nomitaj la nulkonuso) estas perpendikularaj en R 2 kaj havas dekliv±1.
#000036
Split-kompleksa nombroj z kaj w laŭdire estas hiperbol-ortogonalaj se ⟨ z, w ⟩ = 0.
Dum analoge al ordinara Orteco, precipe ĉar ĝi estas konata kun ordinara kompleksanombra aritmetiko, tiu kondiĉo estas pli subtila.
Ĝi formas la bazon por la samtempa hipereben koncepto en spactempo.
#000037
La analogo de eŭlera formulo por la disig-kompleksaj nombroj estas
#000038
Tio povas esti derivita de potencvicvastiĝo utiliganta la fakton ke kaŭĉukbastonego havas nur eĉ potencojn dum ke por sinh havas strangajn potencojn.
Por ĉiuj realaj valoroj de la hiperbola angulo θ la disig-kompleksa pli sensenta λ = eksp ( jθ) havas normon 1 kaj kuŝas sur dekstra branĉo de la unuohiperbolo.
Kvara Moselibro kiel ekzemple λ estis nomitaj hiperbolaj versor'oj.
#000040
Ĉar λ havas modulus 1, multobligi ajnan disig-kompleksan pli sensentan z de λ konservas la modulus da z kaj reprezentas hiperbolan rotacion (ankaŭ nomitan Lorentz-akcelo aŭ premmapado).
Multobligi de λ konservas la geometrian strukturon, prenante hiperbolojn al ili mem kaj la nulkonuson al si mem.
#000041
La aro de ĉiuj transformoj de la disig-kompleksa aviadilo kiuj konservas la modulus (aŭ ekvivalente, la internan produkto) formas grupon vokis la ĝeneraligitan ortogonalan grupon O (1, 1).
Tiu grupo konsistas el la hiperbolaj rotacioj, per kiuj formas subgrupon indikis TIEL + (1, 1), kombinitan kun kvar diskretaj reflektadoj donitaj
#000042
(1,1) sendanta θ al rotacio de eksp ( jθ) estas grupizomorfio ĉar la kutima eksponenta formulo validas:
#000043
Se disig-kompleksa pli sensenta z ne kuŝas sur unu el la diagonaloj, tiam z havas polusan putriĝon.
#000044
En abstraktaalgebraj periodoj, la disig-kompleksaj nombroj povas esti priskribitaj kiel la kvociento de la polinomringo R [ x] per la idealo generita per la polinomo x 2 − 1,
#000045
La bildo de x en la kvociento estas la "imaga" unuo da j.
Kun tiu priskribo, estas klare ke la disig-kompleksaj nombroj formas komutan ringon kun karakterizaĵo 0-a Krome, se ni difinas skalaran multiplikon en la evidenta maniero, la disig-kompleksaj nombroj fakte formas kommutativan kaj asociecan algebron super la realoj de dimensio du.
La algebro ne estas dividadalgebro aŭ kampo ĉar la nulelementoj ne estas inverteblaj.
Fakte, ĉiuj la nonzeraj nulelementoj estas nul dividantoj.
Ĉar aldono kaj multipliko estas kontinuaj operacioj kun respekto al la kutima topologio de la aviadilo, la disig-kompleksaj nombroj formas topologian ringon.
#000046
La algebro de disig-kompleksaj nombroj formas kunmetaĵalgebron poste
#000047
De la difino estas ŝajne ke la ringo de disig-kompleksaj nombroj estas izomorfa al la grupringo R [ C2] de la cikla grupo C2 pli ol la realaj nombroj R.
#000048
Oni povas facile reprezenti disig-kompleksajn nombrojn de matricoj.
#000049
povas esti reprezentita per la matrico
#000050
Aldono kaj multipliko de disig-kompleksaj nombroj tiam estas donitaj per matricaldono kaj multipliko.
La modulus da z ricevas per la determinanto de la ekvivalenta matrico.
En tiu reprezentantaro, disig-kompleksa konjugacio egalrilatas al multobligi sur same flankoj de la matrico
#000051
Por iu reala nombro , hiperbola rotacio de hiperbola fiŝhokas egalrilatas al multipliko de la matrico
#000052
tiel la du parametrigitaj hiperboloj estas alportitaj en korespondadon kun S.
#000053
Notu ke en la kunteksto da 2 × 2 realaj matricoj ekzistas fakte granda nombro da malsamaj reprezentadoj de disig-kompleksaj nombroj.
Ĉi-supra diagonala reprezentantaro reprezentas la Jordanian kanonikan formon de la matricreprezentado de la disig-kompleksaj nombroj.
Por disig-kompleksa pli sensenta z
x, y) donita fare de la sekva matricreprezentantaro:
#000054
ĝia Jordania kanonika formo ricevas per:
#000055
La uzo de disig-kompleksaj nombroj devenas de 1848 kiam James Cockle rivelis sian tesarines.
William Kingdon Clifford uzis disig-kompleksajn nombrojn por reprezenti sumojn de spinoj.
Clifford lanĉis la uzon de disig-kompleksaj nombroj kiel koeficientoj en kvaropalgebro nun nomitaj disigo-biquaternion.
Li nomis ĝiajn elementojn "motoroj", esprimo en paralela kun la "rotoro-" ago de ordinara kompleksa nombro prenita de la cirklogrupo.
Etendante la analogecon, funkciojn de motorovaria kontrasto al funkcioj de ordinara kompleksa variablo.
#000056
Ekde la frua dudeka jarcento, la disig-kompleksa multipliko estis ofte vidita kiel Lorentz-akcelo de spactempo aviadilo.
En tiu modelo, la pli sensenta z = x + y j reprezentas okazaĵon en spaci-tempa aviadilo, kie x estas mezurita en nanosekundoj kaj y en la piedoj de Mermin.
La modelo diras ke z povas esti atingita de la origino enirante referencan kadron de rapideco kaj atendante ρ nanosekundojn.
#000057
esprimaj produktoj sur la unuohiperbolo ilustras la aditivecon de rapidecoj por samliniaj rapidecoj.
Samtempeco de la okazaĵoj dependas de rapideco ;
#000058
la vico de la okazaĵoj samtempaj kun la origino estas en la referenca kadro kun rapideco .
Du okazaĵoj z kaj w estas hiperbol-ortogonalaj kiam z ∗ w + zw ∗ = 0.
Kanonika okazaĵeksp ( aj) kaj j eksp ( aj) estas hiperbolaj ortogonalaj kaj kuŝas sur la aksoj de referenca kadro en kiu la okazaĵoj samtempa kun la origino estas proporciaj al j eksp ( aj).
#000059
En 1961 Warmus daŭrigis lian ekspozicion, rilatante al la komponentoj de proksimuma nombro kiam mezpunkto kaj radiuso de la intervalo indikis.
#000064
Malsamaj verkintoj utiligis bonegan gamon da nomoj por la disig-kompleksaj nombroj.
#000065
Split-kompleksa nombroj kaj iliaj higher-dimensiaj parencoj ( disigo-kvaropoj /kokvaropoj kaj disigo-octonion) estis en tempoj referitaj kiel "Musean nombroj", ĉar ili estas subaro de la hipernombro programo evoluigita fare de Charles Musès.
#000067