En matematiko, Hopf-algebro, nomita laŭ Heinz Hopf, estas strukturo kiu estas samtempe ( unita asocieca) algebro kaj (kounita koasociative) koalgebro, kie la kongrueco de tiuj strukturoj faras ĝi bialgebro, kaj tio krome estas provizita per kontraŭaŭtomorfismo kontentiganta certan trajton.
La prezenta teorio de Hopf-algebro estas precipe interesa, ekde la ekzisto de kongrua komultipliko, kounuo, kaj antipodo enkalkulas la konstruadon de tensorproduktoj de reprezentantaroj, sensignifaj reprezentantaroj, kaj duoblaj reprezentantaroj.
#000001
Hopf-algebroj okazas nature en algebra topologio, kie ili originis kaj estas rilatita al la H-spaca koncepto, en grupa skem teorio, en teorio de grupoj (per la koncepto de grupringo), kaj en multnombra aliaj lokoj, igante ilin verŝajne la plej konata speco de bialgebro.
Hopf-algebroj ankaŭ estas volitaj en sia propra rajto, kun multe da laboro sur specifaj klasoj de ekzemploj unuflanke kaj klasifikaj problemoj sur la alia.
#000002
9 Notoj kaj referencoj 9.1
#000003
Formale, Hopf-algebro estas (asocieca kaj koasociative) bialgebro H pli ol kampo K kune kun K-linia mapo S:
H → H (nomita la antipodo) tia ke la sekva diagramo navedas:
#000004
Ĉi tie δ estas la komultipliko de la bialgebro, ∇ sia multipliko, η sia trupo kaj ε sia kounuo.
En la sumles Sweedler-notacio, tiu posedaĵo ankaŭ povas esti esprimita kiel
#000005
Kiel por algebroj, oni povas anstataŭigi la subestan kampon K per komuta ringo R en ĉi-supra difino.
#000006
La difino de Hopf-algebro estas mem-duobla (same reflektite en la simetrio de ĉi-supra diagramo), do se oni povas difini dualon de H (kiu ĉiam estas ebla se H estas finhav-dimensia), tiam ĝi estas aŭtomate Hopf-algebro.
#000007
La antipodo S foje estas postulata por havi K-linia inversan, kiu estas aŭtomata en la finhav-dimensia kazo, aŭ se H estas kommutativa aŭ kokomutative (aŭ pli ĝenerale kvazaŭtriangula).
#000008
Ĝenerale, S estas kontraŭhomomorphism, [3] tiel ke S 2 estas homomorfism, kio estas tial aŭtomorfismo se S estis invertebla (kiel povas esti necesa).
#000009
La antipodo estas analogaĵo al la inversiomapo sur grupo kiu sendas g al g −1.
#000012
Subalgebro A da Hopf algebro H estas Hopf-subalgebro se ĝi estas subcoalgebra de H kaj la antipodo S mapas A en A.
En aliaj vortoj, Hopf-subalgebro A estas Hopf-algebro en ĝia propra rajto kiam la multipliko, komultipliko, kounuo kaj kontraŭo de H estas malvastanimaj al A (kaj plie la identeco 1 de H estas postulata por esti en A).
La Nichols-Zoeller-liberecteoremo establis (en 1989) ke la naturulo A-module H estas libera de finhava rango se H estas finhav-dimensia: ĝeneraligo de la teoremo de Lagrange por subgrupoj.
Kiel konsekvenco de tio kaj integrita teorio, Hopf-subalgebro de semikuracherbo finhav-dimensia Hopf-algebro estas aŭtomate semikuracherbo.
#000013
Hopf-subalgebro A laŭdire estas dekstra normalo en Hopf-algebro H ĉu ĝi kontentigas la kondiĉon de stabileco, adr ( h) ( A
Dum ĉio h en H, kie la dekstradjunkto mapanta adr estas difinita per adr ( h) (
Simile, Hopf-subalgebro A estas lasita normala en H se ĝi estas stabila sub la maldekstra adjunkta mapado difinita per adl ( h) (
La du kondiĉoj de normaleco estas ekvivalentaj se la antipodo S estas bijektive, en kiu kazo A laŭdire estas normala Hopf-subalgebro.
#000014
Normala Hopf-subalgebro A en H kontentigas la kondiĉon (de egaleco de subaroj de H):
HA + = A + H kie A + indikas la kernon de la kounuo sur K.
Tiu normaleckondiĉo implicas ke HA + estas Hopf-idealo de H (t.e. algebridealo en la kerno de la kounuo, koalgebro koketinterkonsento kaj stabila sub la antipodo).
Kiel sekvo oni havas kvocientan Hopf-algebron H / HA + kaj al epimorfismo H → H / A + H, teorion analoga al tiu de normalaj subgrupoj kaj kvocientogrupojn en teorio de grupoj.
#000015
Hopf-ordo O pli ol integrita domajno R kun kampo de frakcioj da K estas ordo en Hopf-algebro H pli ol K kiu estas fermita sub la algebro- kaj koalgebroperacioj: aparte, la komultipliko δ mapas O al O ⊗ O.
#000016
Grup-simila elemento estas elemento x tia ke δ ( x
La grup-similaj elementoj formas grupon kun inversa fakto de la antipodo.
Primitiva elemento x kontentigas δ ( x
#000017
Krome, ni povas difini la sensignifan reprezentantaron kiel la bazkampon K kun
#000019
Finfine, la duobla reprezentado de A povas esti difinita: ĉu M estas A-modulo kaj M÷ estas sia duobla spaco, tiam
#000020
La rilato inter δ, ε, kaj S certigas ke certaj naturaj homomorfismoj de vektoraj spacoj estu efektive homomorfismoj de A-modulo.
Ekzemple, la naturaj izomorfioj de vektoraj spacoj M → M ⊗ K kaj M → K ⊗ M ankaŭ estas izomorfioj de A-modulo.
Ankaŭ, la mapo de vektoraj spacoj M÷ ⊗ M → K kun f ⊗ m → f ( m) ankaŭ estas homomorfism de A-modulo.
Tamen, la mapo M ⊗ M÷ → K ne estas nepre homomorfism de A-modulo.
#000021
Notu ke funkcioj sur finhava grupo povas esti identigitaj per la grupringo, kvankam tiuj estas pli nature opiniitaj de kiel duoble - la grupringo konsistas el finhavaj sumoj de elementoj, kaj tiel pariĝas kun funkcioj sur la grupo analizante la funkcion sur la sumigitaj elementoj.
#000022
La kohomologialgebro de Lie-grupo estas Hopf-algebro: la multipliko estas disponigita per la taso-produkto, kaj la komultipliko
#000023
per la grupmultipliko G × G → G.
Tiu observado estis fakte fonto de la nocio de Hopf-algebro.
Uzante tiun strukturon, Hopf pruvis strukturteoremon por la kohomologialgebro de Lie-grupoj.
#000024
Ĉiuj ekzemploj supre estas aŭ kommutativaj (t.e. la multipliko estas kommutativa) aŭ ko-kommutativaj (t.e. [16] δ = T ∘ δ kie la twist map [17] T:
Aliaj interesaj Hopf-algebroj estas certaj "deformadoj" aŭ " kvantigadoj " de tiuj de ekzemplo 3 kiuj estas nek kommutativaj nek ko-kommutativaj.
Tiuj Hopf-algebroj ofte estas nomitaj kvantegrupoj , esprimo kiu ĝis nun estas nur loze difinita.
Ili estas gravaj en nonkomutative-geometrio, la ideo estanta la sekvantaj: norma algebra grupo estas bone priskribita memstare norma Hopf-algebro de regulaj funkcioj;
ni tiam povas pensi pri la misformita versio de tiu Hopf-algebro kiel priskribado certa "ne-norma" aŭ "quantigita" algebra grupo (kiu ne estas algebra grupo entute).
Dum tie ne ŝajnas esti rekta maniero difini aŭ manipuli tiujn ne-normajn objektojn, oni daŭre povas labori kun iliaj Hopf-algebroj, kaj efektive oni identigas ilin kun iliaj Hopf-algebroj.
#000026
Gradigis Hopf-algebrojn estas ofte uzitaj en algebra topologio: ili estas la natura algebra strukturo sur la rekta sumo de ĉiuj homologio aŭ kohomologio grupoj de H-spaco.
#000027
Loke kompaktaj kvantegrupoj ĝeneraligas Hopf-algebrojn kaj portas topologion.
La algebro de ĉiuj kontinuaj funkcioj sur Lie grupo estas loke kompakta kvantegrupo.
#000028
Quasi-Hopf-algebroj estas ĝeneraligoj de Hopf-algebroj, kie koasocieco nur tenas supren al tordaĵo.
Ili estis uzitaj en la studo de la Knizhnik-Zamolodchikov-ekvacioj.
#000029
Multiplikataj Hopf-algebroj lanĉitaj fare de Alfons Van Daele en 1994 [19] estas ĝeneraligoj de Hopf-algebroj kie komultipliko de algebro (kun aŭ ŭitoutunuo) ĝis la multiplikatalgebro de tensorproduktalgebro de la algebro kun si mem.
#000030
Hopf-grupo - (Co) algebroj lanĉitaj fare de V.G.Turaev en 2000 ankaŭ estas ĝeneraligoj de Hopf-algebroj.
#000031
Malfortaj Hopf-algebroj, aŭ kvantegrupoidoj, estas ĝeneraligoj de Hopf-algebroj.
Kiel Hopf-algebroj, malfortaj Hopf-algebroj formas mem-duoblan klason de algebroj;
t.e., se H estas (malforta) Hopf-algebro, do estas H ÷, la duobla regiono de liniaj formoj sur H (kun respekto al la algebro-coalgebra strukturo akirita de la natura parigo kun H kaj ĝia coalgebra-algebra strukturo).
Malforta Hopf-algebro H estas kutime prenita por esti
#000032
finhav-dimensia algebro kaj koalgebro kun koprodukto δ:
H → H ⊗ H kaj kounuo ε:
H → k kontentiganta ĉiujn aksiomojn de Hopf-algebro krom eventuale δ (1) ≠ 1 ⊗ 1 aŭ ε ( ab) ≠ ε () ε ( b) por kelkaj , b en H.
Anstataŭe oni postulas la sekvantan:
#000033
por ĉio , b, kaj c en H.
#000034
por ĉio en H (la dekstra flanko estas la interesa projekcio kutime indikita je π R ( da) aŭ ε s ( al) kun bildo separebla subalgebro indikita fare de H. aŭ H );
por ĉio en H (alia interesa projekcio kutime indikita je π R ( da) aŭ ε t ( al) kun bildo separebla algebra HL aŭ Ht , kontraŭ-izomorfa al HL per S);
#000036
Notu ke se δ (1) = 1 ⊗ 1, tiuj kondiĉoj reduktas al la du kutimaj kondiĉoj sur la kontraŭo de Hopf-algebro.
#000037
La aksiomoj estas parte elektitaj tiel ke la kategorio da H-modulo estas rigida monoidal kategorio.
La unuo H-module estas la separebla algebra HL menciita supre.
#000038
Ekzemple, finhava groupoida algebro estas malforta Hopf-algebro.
Aparte, la groupoida algebro [n] kun unu paro de invertebla sag eij kaj eji inter mi kaj j [ n] enestas izomorfa al la algebro H da n x n matricoj.
La malforta Hopf-algebrostrukturo sur tiu unuopo H ricevas per koprodukto δ ( eij
eij ⊗ eij , kounuo ε ( eij ) = 1 kaj antipodo S ( eij
La separebla subalgebraj HL kaj H. koincidas kaj estas malcentraj komutaj algebroj en tiu speciala kazo (la subalgebro de diagonalaj matricoj).
#000039
Fruaj teoriaj kontribuoj al malfortaj Hopf-algebroj troveblas en [20] same kiel [21]
#000040
Grupoj povas esti aksiomigitaj per la samaj diagramoj (ekvivalente, operacioj) kiel Hopf-algebro, kie G estas prenita por esti aro anstataŭe de modulo.
#000041
En tiu filozofio, grupo povas esti opiniita de kiel Hopf-algebro super la " kampo kun unu elemento ".
#000043