En matematiko, homologio [1] estas ĝenerala maniero asocii sekvenco de algebraj objektoj kiel ekzemple abelaj grupoj aŭ moduloj al aliaj matematikaj objektoj kiel ekzemple topologiaj spacoj.
Homologiogrupoj estis origine difinitaj en algebra topologio.
Similaj konstruoj estas haveblaj en multaj aliaj kuntekstoj, kiel ekzemple abstrakta algebro, grupoj, Lie-algebroj, galeza teorio, kaj algebra geometrio.
#000001
La origina instigo por difinado de homologiogrupoj estis la observado ke du formoj povas esti distingitaj ekzamenante siajn truojn.
Ekzemple, cirklo ne estas disko ĉar la cirklo havas truon tra ĝi dum la disko estas solida, kaj la ordinara sfero ne estas cirklo ĉar la sfero enfermas dudimensian truon dum la cirklo enfermas unu-dimensian truon.
Tamen, ĉar truo ne estas "tie", estas ne tuj evidente kiel difini truon aŭ kiel distingi malsamajn specojn de truoj.
Homologio estis origine rigora matematika metodo por difinado kaj klasifikado de truoj en dukto.
Loze parolante, ciklo estas fermita subdukto, limo estas ciklo kiu ankaŭ estas la limo de (malferma aŭ fermita) subdukto kaj homologioklaso (kiu reprezentas truon) estas ekvivalentklaso de ciklaj modullimoj.
Ne-sensignifa ekvivalentklaso estas tiel reprezentita per ciklo kiu ne estas la limo de iu subdukto.
Hipoteza dukto kies limo estus tiu speciala ciklo kiu estas kial tiu ciklo estas indika de la ĉeesto de truo. ne estas "
#000002
Ekzistas multaj malsamaj homologecaj teorioj.
Speciala speco de matematika objekto, kiel ekzemple topologia spaco aŭ grupo, povas havi unu aŭ pluraj rilatajn homologecajn teoriojn.
Kiam la subesta objekto havas geometrian interpreton like topologiaj spacoj faras, la a homologiogrupo reprezentas konduton unika al dimensio n.
Ĝenerale, la plej multaj homologiogrupoj aŭ moduloj ekestas kiel derivitaj funktoroj sur konvenajn abelajn kategoriojn.
Ili disponigas konkretajn priskribojn de la fiasko de funktoro por esti precizaj.
De tiu abstrakta perspektivo, homologiogrupoj estas determinitaj per celoj de derivita kategorio.
#000003
Apliko en scienco kaj inĝenieristiko
#000005
Homologeca teorio povas esti dirita komenci kun la Euler-pluredroformulo, aŭ Euler karakteriza.
Tio estis sekvita per la difino de Riemann de genro kaj n-obla ligitecaj nombraj Invariantoj en 1857 kaj la pruvo de Betti en 1871 el la sendependeco de "homologionombroj" de la elekto de bazo.
#000006
Homologio mem estis evoluigita kiel maniero analizi kaj klasifiki duktojn laŭ iliaj cikloj - fermitaj bukloj (aŭ pli ĝenerale subduktoj) kiuj povas esti tiritaj sur antaŭfiksita n dimensiodukto sed ne ade misformitaj en unu la alian.
Tiuj cikloj ankaŭ estas foje opiniitaj de kiel tranĉoj kiuj povas esti gluitaj reen kune, aŭ kiel zipoj kiuj povas esti fiksitaj kaj malfiksitaj.
Cikloj estas klasifikitaj per dimensio.
#000007
La Jordania kurbteoremo montras ke ĉiu arbitra ciklo kiel ekzemple c povas esti simile ŝrumpita al punkto.
Ĉiuj cikloj sur la sfero povas tial esti ade transformitaj en unu la alian kaj aparteni al la sama homologioklaso.
Ili laŭdire estas homologaj renuligi.
Tranĉi dukton laŭ ciklo homologa al nul apartigas la dukton en du aŭ pli da komponentoj.
Ekzemple, tranĉi la sferon laŭ produktas du hemisferojn.
#000008
Tio ne estas ĝenerale vera de cikloj sur aliaj surfacoj.
Cikloj a kaj b ne povas esti ŝrumpitaj signife.
Ciklo c povas esti ŝrumpita al punkto, tiel ke estas homologe renuligi.
#000009
Se la Torsurfaco estas tranĉita laŭ kaj a kaj b, ĝi povas esti malfermita eksteren kaj platigita en rektangulon aŭ, pli komforte, kvadrato.
Unu kontraŭ paro de flankoj reprezentas la tranĉon laŭ , kaj la aliaj kontraŭ paro reprezentas la tranĉon laŭ b.
#000010
La randoj de la kvadrato tiam povas esti gluitaj reen kune laŭ malsamaj manieroj.
La kvadrato povas esti tordita por permesi al randoj renkonti en la kontraŭa direkto, kiel montrite per la sagoj en la diagramo.
Ĝis simetrio, ekzistas kvar apartaj manieroj glui la flankoj, ĉiu kreante malsaman surfacon:
#000011
Estas teoremo ke la re-gluita surfaco devas mem-intersekci (kiam mergite en Eŭklida 3-spaca).
Kiel la Toro, cikloj a kaj b ne povas esti ŝrumpitaj dum c povas esti.
Sed male al la Toro, sekvante b antaŭen dekstran rondaj kaj malantaŭaj reversoj maldekstre kaj dekstra, ĉar b okazas por kruci super la tordaĵo donita al unu kunligo.
Se egaldistanca tranĉo sur unu flanko de b estas farita, ĝi revenas sur la alian flankon kaj iras je la surfaco dua fojo antaŭ revenado al ĝia deirpunkto, tranĉante torditan rubandon de Möbius.
Ĉar loka maldekstre kaj dekstre povas esti propraaŭtoritate reorientigita laŭ tiu maniero, la surfaco kiel tutaĵo laŭdire estas ne-orientable.
#000012
La nereduktita formo, ĝenerale reprezentita kiel la Boy surfaco, estas vide kompleksa, tiel ke duongloba enkonstruado estas montrita en la diagramo, en kiuj antipodaj punktoj ĉirkaŭ la rando kiel ekzemple A kaj A′ estas identigitaj kiel la sama punkto.
Denove, a kaj b estas ne-shrinkable dum c estas.
Sed tiu tempon, kaj a kaj b inversigas maldekstre kaj dekstre.
#000013
Cikloj povas esti akompanitaj aŭ aldonitaj kune, kia a kaj b sur la Toro estis kiam ĝi estis tranĉita malfermiĝu kaj platigita malsupren.
En la botelo de Klein-diagramo, iras ĉirkaŭ unu vojon kaj − iras je la kontraŭan vojon.
Se estas opiniita de kiel tranĉo, tiam − ladskatolo estu opiniitaj de kiel glua operacio.
Farante tranĉon kaj tiam re-gluanten ĝi ne ŝanĝas la surfacon, tiel
#000014
Sed nun pripensas du ciklojn.
Ĉar la botelo de Klein estas nonorientabla, vi povas transporti unu el ili ĉiuj la vojon je la botelo (laŭ la b-ciklo), kaj ĝi revenos kiel − .
Tio estas ĉar la botelo de Klein estas farita de cilindro, kies ciklaj finoj estas gluitaj kune kun kontraŭaj orientiĝoj.
) = 0-a Tiu fenomeno estas nomita tordo.
Simile, en la projekcia aviadilo, post la senŝrumpa ciklo b rondo dufoje rimarkinde kreas sensignifan ciklon kiu povas esti ŝrumpita al punkto;
tio estas, b + b = 0-a Ĉar b devas esti sekvita ĉirkaŭe dufoje por atingi nulciklon, la surfaco laŭdire havas tordkoeficienton de 2-a Tamen, sekvi b-ciklo ĉirkaŭe dufoje en la botelo de Klein donas simple al b + b = 2b, ekde tiu ciklo vivas en tord-libera homologioklaso.
Tio egalrilatas al la fakto ke en la fundamenta plurangulo da la botelo de Klein, nur unu paro de flankoj estas gluita kun tordaĵo, dum en la projekcia aviadilo ambaŭ flankoj estas perversaj.
#000015
Kvadrato estas kuntirebla topologia spaco, kiu implicas ke ĝi havas sensignifan homologion.
Sekve, kromaj tranĉoj malkonektas ĝin.
La kvadrato ne estas la nura formo en la aviadilo kiu povas esti gluita en surfacon.
Gluado kontraŭ flankoj de oklatero, ekzemple, produktas surfacon kun du truoj.
Fakte, ĉiuj fermitaj surfacoj povas esti produktitaj gluante la flankojn de iu plurangulo kaj ĉiuj eben-flankaj pluranguloj ( 2n-gons) povas esti gluitaj por fari malsamajn duktojn.
Inverse, fermita surfaco kun n ne-nulaj klasoj povas esti tranĉita en 2n-gon.
Varioj ankaŭ estas eblaj, ekzemple heksagono povas ankaŭ esti gluitaj por formi Toron.
#000016
La unua rekonebla teorio de homologio estis publikigita fare de Henri Poincaré en lia pionira papero- " Analizo situs ", J. Ecole polytech. (2) 1.
La papero prezentis homologioklasojn kaj rilatojn.
La eblaj konfiguracioj de orienteblaj cikloj estas klasifikitaj per la Betti-nombroj da la dukto (Betti-nombroj estas rafinado de la Euler karakterizaj).
Klasifiki la ne-orientablen ciklojn postulas kromajn informojn pri tordkoeficientoj.
#000017
La kompleta klasifiko de 1- kaj 2-manifolds ricevas en la tabelo.
#000018
NOTOJ: Por ne-orientable surfaco, truo estas ekvivalenta al du kruc-ĉapoj.
Ĉiu 2-multnombra estas la koneksa sumo de g Toroj kaj c projekciaj aviadiloj.
#000019
Dukto kun limo aŭ malferma dukto estas topologie apartaj de fermita dukto kaj povas esti kreitaj farante tranĉon en iu taŭga fermita dukto.
Ĝi povas esti kreita tranĉante sensignifan ciklon en iu 2-multnombra kaj konservante la pecon forigis, per trapikado de la sfero kaj etendado de la trapikiĝo larĝa, aŭ tranĉante la projekcian aviadilon.
Ĝi ankaŭ povas esti vidita kiel plenigo-la cirklo en la aviadilo.
#000020
Kiam du cikloj povas esti ade misformitaj en unu la alian, tiam tranĉante antaŭen oni produktas la saman formon kiel tranĉado antaŭen la alia, ĝis iom da fleksado kaj pliigo.
En tiu kazo la du cikloj laŭdire estas homologaj aŭ kuŝi en la sama homologioklaso.
Plie, se unu ciklo povas esti ade misformita en kombinaĵon de aliaj cikloj, tiam tranĉi antaŭen la komencan ciklon estas la sama kiel tranĉanta laŭ la kombinaĵo de aliaj cikloj.
Ekzemple, tranĉi laŭ figuro 8 estas ekvivalenta al tranĉado laŭ ĝiaj du loboj.
En tiu kazo, la figuro 8 laŭdire estas homologa al la sumo de ĝiaj loboj.
#000021
Du malfermaj duktoj kun similaj limoj (supren al iom da fleksado kaj pliigo) povas esti gluitaj kune por formi novan dukton kiu estas ilia koneksa sumo.
#000022
Tiu geometria analizo de duktoj ne estas rigora.
En serĉo por pliigita rigoro, Poincaré daŭriĝis por evoluigi la simplicial homologion de triangulita dukto kaj por krei kio estas nun nomita ĉenkomplekso.
Tiuj ĉenkompleksoj (ekde tre ĝeneraligita) formas la bazon por la plej multaj modernaj traktadoj de homologio.
#000023
En tiaj traktadoj ciklo ne devu esti kontinua: cikla estas aro de punktoj, kaj tranĉi laŭ tiu ciklo egalrilatas al trapikado de la dukto.
Sur surfaco, tranĉi laŭ 1-ciklaj rendimentoj aŭ malkonektis pecojn aŭ pli simplan formon.
2-cikla egalrilatas al kolekto de integriĝintaj surfacoj kiel ekzemple sfero aŭ Toro,.
#000024
Emmy Noether kaj, sendepende, Leopold Vietoris kaj Walther Mayer plue evoluigis la teorion de algebraj homologiogrupoj en la periodo 1925-28.
La nova kombineca topologio formale traktis topologiajn klasojn kiel abelajn grupojn.
Homologiogrupoj estas finhave generitaj abelaj grupoj, kaj homologioklasoj estas elementoj de tiuj grupoj.
La Betti-nombroj da la dukto estas la rango de la libera parto de la homologiogrupo, kaj la ne-orientable cikloj estas priskribitaj per la tordparto.
#000025
La posta disvastiĝo de homologiogrupoj alportis ŝanĝon de terminologio kaj vidpunkto de "kombineca topologio" ĝis " algebra topologio ".
Algebra homologio restas la primara metodo de klasifikado de duktoj.
#000026
Neformale, la homologio de topologia spaco X estas aro de topologiaj Invariantoj de X reprezentita fare de ĝiaj homologiogrupoj
#000027
Ĝi havas unuopaĵon Koneksa komponanto kaj unu-dimensia truo, sed neniuj higher-dimensiaj truoj.
La ekvivalentaj homologiogrupoj ricevas kiel
#000028
La ekvivalentaj homologiogrupoj estas [15]
#000029
Ĝenerale por n-dimensia sfera Sn , la homologiogrupoj estas
#000030
Dudimensia pilko B 2 estas solida disko.
Ĝi havas ununuran pad-ligitan komponenton, sed kontraste al la cirklo, havas ne unu-dimensiajn aŭ higher-dimensiajn truojn.
Ĝenerale, por n-dimensia pilka Bn , [15]
#000031
La Toro havas ununuran pad-ligitan komponenton, du sendependajn unu-dimensiajn truojn (indikitajn fare de cirkloj en ruĝa kaj blua) kaj unu- du-dimensian truon kiel la interno de la Toro.
La ekvivalentaj homologiogrupoj estas [16]
#000032
La konstruo komenciĝas kun objekto kiel ekzemple topologia spaco Xa, sur kiu oni unue difinas ĉenkomplekson C ( X) ĉifranta informojn pri X.
Ĉenkomplekso estas sekvenco de abelaj grupoj aŭ moduloj C 0, C 1, C 2, ...
#000033
Tio estas, por ĉiu n,
#000034
t.e., la konstanta mapo sendanta ĉiun elementon de C da n +1 al la grupidenteco en C da n −1.
#000035
Ĉar ĉiu ĉengrupo Cn estas abela ĉiuj siaj subgrupoj estas normalaj.
Tiam oni povas krei la kvocientogrupon
#000036
nomite la a homologiogrupo de X .
La elementoj de Hn ( X) estas nomitaj homologioklasoj.
Ĉiu homologioklaso estas ekvivalentklaso dum cikloj kaj du cikloj en la sama homologioklaso laŭdire estas homologaj.
#000037
Ĉenkomplekso laŭdire estas preciza ĉu la bildo de la ( n +1) th-mapo ĉiam estas egala al la kerno de la a mapo.
La homologiogrupoj de X tial mezuras "ke kiom longe" la ĉenkomplekso asociita al X estas de esti precizaj.
#000038
La reduktitaj homologiogrupoj de ĉenkomplekso C ( X) estas difinitaj kiel homologioj de la pliigita ĉenkomplekso [20]
#000039
Aliflanke, ekzistas iloj kiuj igas la taskon pli facila.
#000041
La simplicial homologio grupigas Hn ( X) de simplicial komplekso X estas difinitaj uzante la simplicial-ĉenkomplekson C ( X), kun Cn ( X) la liberan abelan grupon generitan per la n-simplices de X.
La eksterordinaraj homologio grupoj Hn ( X) estas difinitaj por iu topologia spaco Xa, kaj konsentas kun la simplicial-homologiogrupoj por simplicial komplekso.
#000042
Kohomologiogrupoj estas formale similaj al homologiogrupoj: oni komencas kun koĉenkomplekso, kio estas la sama kiel ĉenkomplekso sed kies sagoj, nun indikis dn , punkton en la direkto de kreskanta n prefere ol malpliigado de n;
La a kohomologiogrupo de X tiam estas la kvocientogrupo
#000043
en analogeco kun la a homologiogrupo.
#000044
La malsamaj specoj de homologeca teorio ekestiĝas de funktormapado de diversaj kategorioj da matematikaj objektoj al la kategorio da ĉenkompleksoj.
En ĉiu kazo la kunmetaĵo de la funktoro de objektoj ĝis ĉenkompleksoj kaj la funktoro de ĉenkompleksoj ĝis homologiogrupoj difinas la totalan homologiofunktoron por la teorio.
#000045
La instiga ekzemplo venas de algebra topologio: la simplicial homologio de simplicial komplekso Xa.
Ĉi tie estas la libera abela grupo aŭ modulo kies generatoroj estas la n-dimensia orientitaj simplekse de X.
La mapadoj estas nomitaj la limmapadoj kaj sendas la simplan kun verdglacioj
#000046
(kiu estas konsiderita 0 se n = 0).
#000047
Se ni prenas la modulojn por esti finitaj kampo, tiam la dimensio de la a homologio de X montriĝas por esti la nombro da "truoj" en X ĉe dimensio n.
Ĝi povas esti komputita metante matric reprezentadojn de tiuj limmapadoj en Smith-normalan formon.
#000048
Utiligante simplicial-homologiekzemplon kiel modelon, oni povas difini eksterordinaran homologion por iu topologia spaco Xa.
Ĉenkomplekso por X estas difinita per prenado por esti la libera abela grupo (aŭ libera modulo) kies generatoroj estas ĉiuj kontinuaj mapoj de n-dimensia
La homomorfisms ∂ n ekestiĝas de la limmapoj de stultullaŭsoj.
#000049
En abstrakta algebro, unu uzas homologion por difini derivitajn funktorojn, ekzemple la Tor-funktorojn.
Ĉi tie oni komencas per iu kovariaĵaldonaĵfunktoro F kaj iu modulo Xa.
La ĉenkomplekso por X estas difinita jene: unue trovu liberan modulon F 1 kaj surjektive homomorfism p 1:
Tiam oni trovas liberan modulon F 2 kaj surjektive-homomorfism p 2:
Daŭrante en tiu modo, sekvenco de liberaj moduloj Fn kaj homomorfismo pn povas esti difinitaj.
Aplikante la funktoron F al tiu sekvenco, oni akiras ĉenkomplekson;
la homologio Hn de tiu komplekso dependas nur de F kaj Xa kaj estas, de difino, la aj derivitan funktoron de F, surŝmirita al X.
#000050
Ĉenkompleksoj formas kategorion: morfismo de la ĉenkomplekso ( dn :
→ A n-1) al la ĉenkomplekso ( en :
Bn → B n-1) estas sekvenco de homomorfismo fn :
La a homologio Hn povas esti rigardita kiel kovariaĵfunktoro de la kategorio da ĉenkompleksoj ĝis la kategorio da abelaj grupoj (aŭ moduloj).
#000051
Se la ĉenkomplekso dependas de la objekto Xa en kovariaĵmaniero (signifante ke ĉiu morfismo X → Y induktas morfismon de la ĉenkomplekso de X ĝis la ĉenkomplekso de Y), tiam la Hn estas kovariaĵfunktoroj de la kategorio kiun tiu X apartenas supre en la kategorio da abelajn grupojn (aŭ modulojn).
#000052
La nura diferenco inter homologio kaj kohomologio estas ke en kohomologio la ĉenkompleksoj dependas en kontraŭvariaĵ maniero de X, kaj ke tial la homologiogrupoj (kiuj estas nomitaj kohomologiogrupoj en tiu kunteksto kaj indikitaj fare de Hn ) formas kontraŭvariaĵ funktorojn de la kategorio tiu X apartenas supre en la kategorio da abelajn grupojn aŭ modulojn.
#000053
→ A n-1) estas ĉenkomplekso tia ke ĉiuj krom finhave multaj estas nul, kaj la aliaj estas finhave generitaj abelaj grupoj (aŭ finhav-dimensiaj vektoraj spacoj), tiam ni povas difini la eŭleran karakterizon
#000054
(uzante la rangon koncerne abelajn grupojn kaj la Hamel-dimension koncerne vektorajn spacojn).
Ĝi turnas ke la eŭlera karakterizo ankaŭ povas esti komputita sur la nivelo de homologio:
#000055
kaj, precipe en algebra topologio, tio disponigas du manierojn komputi la gravan senvarian χ por la objekto X kiu kaŭzis la ĉenkomplekson.
#000056
Ĉiuj mapoj en tiu longa preciza sekvenco estas induktitaj per la mapoj inter la ĉenkompleksoj, krom la mapoj Hn (C) → H n-1 (A) La lasta estas nomitaj devontigaj homomorfismoj kaj estas disponigitaj per la zigzaglemo.
Tiu lemo povas esti aplikita al homologio en multaj maniero kiel kiuj helpas pri kalkulado de homologiogrupoj, kiel ekzemple la teorioj de relativa homologio kaj Mayer-Vietoris-sekvencoj.
#000058
Rimarkindaj teoremoj pruvis uzi homologion inkludas la sekvantajn:
#000059
La Brouwer-fikspunktoteoremo: Se f estas ajna kontinua mapo de la pilka Bn ĝis si mem, tiam ekzistas fiksa indikas ∈ Bn kun f (
Envarianco de domajno: Se U estas malferma subaro de R da n kaj f:
U → R da n estas injektivo kontinua mapo, tiam V = f ( U) estas malfermaj kaj f estas homeomorfio inter U kaj V.
La teoremo pri erinaco: ĉiu vektora kampo sur la 2-sfera (aŭ pli ĝenerale, la 2k-sfero por iu k ≥ 1) malaperas ĉe iu punkto.
La Borsuk-Ulam teoremo: ĉiu kontinua funkcio de n-sfero en Eŭklidan n-spaco mapas iun paron de antipodaj punktoj al la sama punkto.
(Du poentoj sur sfero estas nomitaj antipodaj ĉu ili estas en precize kontraŭ indikoj de la centro de la sfero.
#000060
En topologia datuma analitiko, datumserioj estas rigarditaj kiel punkta nub specimenigo de multnombra aŭ algebra diverseco enkonstruita en eŭklida spaco.
Per ligado nearest najbarpunktoj en la nubo en trianguladon, simplicial aproksimado de la dukto estas kreita kaj ĝia simplicial homologio povas esti kalkulita.
Trovaj teknikoj fortike kalkuli homologion utiligantan diversajn trianguladstrategiojn super multobla longopesilo estas la temo de persista homologio.
#000061
En sensilretoj, sensiloj povas komuniki informojn tra ad hoc reto kiu dinamike ŝanĝiĝas en tempo.
Por kompreni la tutmondan kuntekston de tiu aro de lokaj mezuradoj kaj komunikadpadojn, estas utile komputi la homologion de la reta topologio analizi, ekzemple, truojn en priraportado.
#000062
En dinamiksistemaj teorio en fiziko, Poincaré estis unu el la unua se temas pri pripensi la interagadon inter la senvaria dukto de dinamika sistemo kaj ĝiaj topologiaj Invariantoj.
Morsteorio rilatigas la dinamikon de gradientofluo sur dukto al, ekzemple, sia homologio.
Floer-homologio etendis tion al senfin-dimensiaj duktoj.
La KAM kiun teoremo establis al tiuj periodaj orbitoj povas sekvi kompleksajn trajektoriojn;
aparte, ili povas formi plektaĵojn kiuj povas esti esploritaj uzante Floer-homologion.
#000063
En unu klaso de finhavaj elementmetodoj, lim-valoraj problemoj por diferencialaj ekvacioj implikantaj la Hodge-Laplace-funkciigiston povas devi esti solvitaj pri topologie nesensignifaj domajnoj, ekzemple, en elektromagnetaj simulaĵoj.
Pri tiuj simulaĵoj, solvo estas helpita fiksante la kohomologioklason de la solvo bazita sur la elektitaj limcirkonstancoj kaj la homologio de la domajno.
FEM-domajnoj povas esti triangulitaj, de kiuj la simplicial homologio povas esti kalkulita.
#000064
Homologiaj supozoj en komuta algebro
Listo de kohomologioteorioj - ankaŭ havas liston de homologecaj teorioj
#000066
Malfermitan aron / fermitan aron
#000069