En la matematika kampo de topologio, homeomorfio aŭ topologia izomorfio aŭ busoj kontinua funkcio estas kontinua funkcio inter topologiaj spacoj kiu havas kontinuan inversan funkcion.
Homeomorfioj estas la izomorfioj en la kategorio da topologiaj spacoj - t.e., ili estas la mapadoj kiuj konservas ĉiujn topologiajn trajtojn de antaŭfiksita spaco.
Du spacetoj kun homeomorfio inter ili estas nomitaj homeomorfaj, kaj de topologia vidpunkto ili estas la samaj.
La vorto homeomorfio venas de la grekaj vortoj ὅμοιος ( homoios) = simila kaj μορφή ( morfē) = formo, formiĝas.
#000001
Malglate parolante, topologia spaco estas geometria objekto, kaj la homeomorfio estas kontinua pliigo kaj fleksado de la objekto en novan formon.
Tiel, kvadrato kaj cirklo estas homeomorfaj al unu la alian, sed sfero kaj Toro ne estas.
Ofte-ripeta matematika ŝerco estas tiuj pintologiistoj ne povas rakonti la diferencon inter kaftaso kaj berlinano, [2] ĉar sufiĉe fleksebla berlinano povus esti transformita al la formo de kaftaso kreante ridetotruon kaj laŭstadie pligrandigantan ĝin, konservante la berlinantruon en la tenilo de taso.
#000002
X → Y inter du topologiaj spacoj ( X, Tx ) kaj ( Y, Ty ) estas nomita homeomorfio se ĝi havas la sekvajn trajtojn:
#000003
f estas ensurĵeto ( unu-al-unu kaj sur),
la inversa funkcio f −1 estas kontinua ( f estas senkaŝa mapado).
#000004
Funkcio kun tiuj tri trajtoj foje estas nomita bikontinua.
Se tia funkcio ekzistas, ni diras X kaj Y estas homeomorfaj.
Mem-homeomorfio estas homeomorfio de topologia spaco kaj sin.
La homeomorfioj formas ekvivalentrilaton sur la klaso de ĉiuj topologiaj spacoj.
La rezultaj ekvivalentklasoj estas nomitaj homeomorfioklasoj.
#000005
La unuo 2-diska D2 kaj la unuokvadrato en R 2 estas homeomorfaj.
[ klarigo bezonis ] La malferma intervalo (, b) estas homeomorfa al la realaj nombroj R por iu< b. (En tiu kazo, bikontinua antaŭa mapado ricevas per f ( x) = 1/( − x) + 1/( b − x) dum aliaj tiaj mapadoj ricevas per skvamaj kaj tradukitaj versioj de la sunbruno aŭ arg-tanh funkcioj).
S1 × S1 kaj la dudimensia Toro estas homeomorfaj.
[ klarigo bezonis ] (" To a topologist, there is no difference between " a square whose opposite sides are identified in direct-parallel (equipollent) fashion, and the surface of a torus.) Ĉiu unuforma izomorfio kaj izometra izomorfio estas homeomorfio.
La rektlinia sfera projekcio estas homeomorfio inter la unuobla pilko en R 3 kun ununura punkto forigita kaj la aro de ĉiuj punktoj en R 2 (2-dimensia aviadilo).
Se G estas topologia grupo, ĝia inversiomapohomeomorfio estas.
Ankaŭ, por iu, la maldekstra traduko, la dekstra traduko, kaj la interna aŭtomorfismohomeomorfioj estas.
#000006
R da m kaj R da n ne estas homeomorfa por m ≠ n.
La Eŭklida reala linio ne estas homeomorfa al la trigonometria cirklo kiel subspaco de R 2 , ĉar la trigonometria cirklo estas kompakta kiel subspaco de Euclidean R 2 sed la reala linio ne estas kompakta.
#000007
La tria postulo, tiu f −1 esti kontinua, estas esenca.
Pripensu ekzemple la funkcion f: [0, 2π) → S1 (la trigonometria cirklo endifinite per f (φ) = (cos (φ), peko (φ).
Tiu funkcio estas bijektive kaj kontinua, sed ne homeomorfio ( S1 estas kompakta sed [0, 2π) estas ne).
La funkcio f −1 ne estas kontinua ĉe la punkto (1, 0), ĉar kvankam f −1 mapas (1, 0) al 0, ĉiu kvartalo de tiu punkto ankaŭ inkludas punktojn ke la funkcio mapas proksime al 2π, sed la punktoj kiujn ĝi mapas al nombroj intere situas ekster la kvartalo.
#000008
Homeomorfioj estas la izomorfioj en la kategorio da topologiaj spacoj.
Kiel tia, la kunmetaĵo de du homeomorfioj denove estas homeomorfio, kaj la aro de ĉiuj mem-homeomorfioj Xa → Xa formas grupon, nomitan la homeomorfiogrupo de X, ofte indikis Homeo ( X);
tiu grupo povas ricevi topologion, kiel ekzemple la kompakt-malferma topologio, igantan ĝin topologia grupo.
#000009
Por kelkaj celoj, la homeomorfiogrupo hazarde estas tro granda, sed per la isotopyo rilato, oni povas redukti tiun grupon al la mapada klasgrupo.
#000010
Simile, kiel kutime en teorio de kategorioj, surbaze de du spacetoj kiuj estas homeomorfaj, la spaco de homeomorfioj inter ili, Homeo ( X, Y), estas torsor ĉar la homeomorfio grupigas Homeo ( X) kaj Homeo ( Y), kaj surbaze de specifa homeomorfio inter X kaj Y, ĉiuj tri aroj estas identigitaj.
#000011
La intuicia kriterio de pliigo, fleksado, tondado kaj gluado reen kune prenas certan kvanton de praktiko por uzi ĝuste - ĝi eble ne estas evidenta de la priskribo super tiu misformado liniparto ĝis punkto estas nepermesebla, ekzemple.
Estas tiel grave ekkompreni ke ĝi estas la formala difino donita supre kiun tio nombras.
#000013
Tiu karakterizado de homeomorfio ofte kondukas al konfuzo kun la koncepto de homotopy, kiu estas fakte difinita kiel kontinua deformado, sed de unu funkcio ĝis alia, prefere ol unu spaceto al alia.
Koncerne homeomorfion, antaŭvidi kontinuan deformadon estas mensa ilo por konservado trako de kiu punktoj sur spaco X egalrilatas al kiujn punktojn sur Y - oni ĵus sekvas ilin kiam X misformas.
Koncerne homotopy, la kontinua deformado de unu mapo ĝis la aliaj estas de la esenco, kaj ĝi estas ankaŭ malpli restrikta, ekde neniu el la mapoj implikitaj devas esti unu-al-unu aŭ sur.
Homotopy kondukas al rilato sur spacojn:
#000014
Ekzistas nomo por la speco de deformado implikita en bildigado de homeomorfio.
Ĝi estas (krom kiam tondado kaj regluado estas postulataj) isotopy inter la identecmapo sur X kaj la homeomorfio de X ĝis Y.
#000015
Unuforma izomorfio estas izomorfio inter unuformaj spacoj
Izometra izomorfio estas izomorfio inter metrikaj spacoj
Homeomorfio (grafeteorio) (proksime rilatita al grafeosubsekcio)
#000016