La Euler-anguloj estas tri anguloj lanĉitaj fare de Leonhard Euler por priskribi la orientiĝon de rigida korpo kun respekto al fiksa koordinatsistemo.
Ili ankaŭ povas reprezenti la orientiĝon de movebla referenca kadro en fiziko aŭ la orientiĝon de ĝenerala bazo en 3-dimensia lineara algebro.
#000001
Ĉiu orientiĝo povas esti realigita kunmetante tri elementajn rotaciojn , t.e. rotaciojn koncerne la aksojn de koordinatsistemo.
Euler-anguloj povas esti difinitaj per tri el tiuj rotacioj.
Ili ankaŭ povas esti difinitaj per elementa geometrio kaj la geometria difino montras ke tri rotacioj ĉiam estas sufiĉaj atingi ajnan kadron.
#000002
La tri elementaj rotacioj povas esti eksteraj (rotacioj ĉirkaŭ la aksooksiz de la origina koordinatsistemo, kiu estas supozita resti senmova), aŭ internaj (rotacioj ĉirkaŭ la aksoj de la rotacia koordinatsistemo XYZ, solidary kun la kortuŝa korpo, kiu ŝanĝas sian orientiĝon post ĉiu elementa rotacio).
#000003
Euler-anguloj estas tipe indikitaj kiel α, β, γ, aŭ φ, θ, ψ.
Malsamaj verkintoj povas uzi malsamajn arojn de rotaciaksoj por difini Euler-angulojn, aŭ malsamajn nomojn por la samaj anguloj.
Tial, ĉiu diskuto utiliganta Euler-angulojn ĉiam devus esti antaŭita per ilia difino.
#000004
Sen pripensado de la ebleco de uzado de du malsamaj konvencioj por la difino de la rotaciaksoj (internaj aŭ eksteraj), tie ekzistas dek du eblaj sekvencoj de rotaciaksoj, disigitaj en du grupoj:
#000005
Tait-Bryan anguloj ankaŭ estas nomitaj Cardan-anguloj;
aŭ devio, tonalto, kaj rulo.
Foje, ambaŭ specoj de sekvencoj estas nomitaj "Euler anguloj".
En tiu kazo, la sekvencoj de la unua grupo estas nomitaj bonordaj aŭ klasikaj Euler-anguloj.
#000006
Precesio, nuksigo kaj interna rotacio
#000008
La aksoj de la origina kadro estas indikitaj kiel x, y, z kaj la aksoj de la rotaciita kadro kiel X, Y, Z.
Uzante ĝin, la tri Euler-anguloj povas esti difinitaj jene:
#000009
Euler-anguloj inter du referencaj kadroj estas difinitaj nur ĉu ambaŭ kadroj havas la saman handednes.
#000010
Internaj rotacioj estas elementaj rotacioj kiuj okazas koncerne la aksojn de koordinatsistemo XYZ alkroĉita al kortuŝa korpo.
Tial, ili ŝanĝas sian orientiĝon post ĉiu elementa rotacio.
La XYZ sistemo rotacias, dum ksiz estas fiksa.
Komencante kie XYZ interkovras ksiz, kunmetaĵo de tri internaj rotacioj povas esti utiligita por etendi sia manon ajnan celorientiĝon al XYZ.
#000011
Euler-anguloj povas esti difinitaj per internaj rotacioj.
La rotaciita kadro XYZ povas esti imagita esti komence akordigita kun ksiz, antaŭ spertado de la tri elementaj rotacioj reprezentitaj per Euler-anguloj.
Ĝiaj sinsekvaj orientiĝoj povas esti indikitaj jene:
#000012
Por la super-listigita sekvenco de rotacioj, la vico de nodoj N povas esti simple difinita kiel la orientiĝo de X post la unua elementa rotacio.
Tial, N povas esti simple indikita x.
Krome, ĉar la tria elementa rotacio okazas koncerne Z, ĝi ne ŝanĝas la orientiĝon de Z.
Tial Z koincidas kun z′′.
Tio permesas al ni simpligi la difinon de la Euler-anguloj jene:
#000014
Eksteraj rotacioj estas elementaj rotacioj kiuj okazas koncerne la aksojn de la fiksa koordinatsistemksiz.
La XYZ sistemo rotacias, dum ksiz estas fiksa.
Komencante kie XYZ interkovras ksiz, kunmetaĵo de tri eksteraj rotacioj povas esti utiligita por etendi sia manon ajnan celorientiĝon al XYZ.
La Euler aŭ Tait-Bryan anguloj ( α, β, γ) estas la amplitudoj de tiuj elementaj rotacioj.
Ekzemple, la celorientiĝo povas esti atingita jene:
#000015
La XYZ sistemo rotacias koncerne la z akson de α.
La absciso nun estas laŭ angulo α kun respekto al la absciso.
La XYZ sistemo denove rotacias koncerne la abscison de β.
La Z akso nun estas laŭ angulo β kun respekto al la z akso.
La XYZ sistemo rotacias trian fojon koncerne la z akson de γ.
#000016
En sumo, la tri elementaj rotacioj okazas koncerne z, x kaj z.
Efektive, tiu sekvenco ofte estas indikita z-x-z (aŭ 3-1-3).
Aroj de rotaciaksoj asociitaj kun kaj bonordaj Euler-anguloj kaj Tait-Bryan anguloj estas ofte nomitaj utiligi tiun notacion (vidu supre por detaloj).
#000017
Ekzistas ses eblecoj de elektado de la rotaciaksoj por bonordaj Euler-anguloj.
En ĉio el ili, la unua kaj tria rotaciaksoj estas la samaj.
La ses eblaj sekvencoj estas:
#000018
Anguloj estas ofte difinitaj laŭ la dekstra regulo.
Nome, ili havas pozitivajn valorojn kiam ili reprezentas rotacion kiu prezentiĝas dekstruma kie aspektado en la pozitiva direkto de la akso, kaj negativaj valoroj kiam la rotacio prezentiĝas kontraŭ-dekstruma.
La kontraŭkongreso (maldekstramana regulo) estas malpli ofte enkondukita.
#000020
Pri la intervaloj (utiligantaj intervalnotacion):
#000021
for α and γ, the range is defined modulo 2π radians. For instance, a valid range could be [−π, π).
for β, the range covers π radians (but can't be said to be modulo π). For example, it could be [0, π] or [−π/2, π/2].
#000022
La anguloj α, β kaj γ estas unike determinitaj krom la eksterordinara kazo ke la ksy kaj la XY aviadiloj estas identaj, t.e. kiam la z akso kaj la Z akso havas la saman aŭ kontraŭ indikoj.
Efektive, se la z akso kaj la Z akso estas la samaj, β = 0 kaj nur ( α + γ) estas unike difinitaj (ne la individuaj valoroj), kaj, simile, se la z akso kaj la Z akso estas kontraŭaj, β = π kaj nur ( α − γ) estas unike difinita (ne la individuaj valoroj).
Tiuj ambiguecoj estas konataj kiel gimbalseruro en aplikoj.
#000023
Precesio, nuksigo, kaj interna rotacio (spino) estas difinitaj kiel la movadoj akiritaj ŝanĝante unu el la Euler-anguloj forlasante la alian du konstanton.
Tiuj moviĝoj ne estas esprimitaj laŭ la ekstera kadro, aŭ laŭ la ko-kortuŝa rotaciita korpkadro, sed en miksaĵo.
Ili konsistigas miksitajn rotaciajn aksojn sistemo, kie la unua angulo movas la vicon de nodoj ĉirkaŭ la ekstera akso z, la dua rotacias ĉirkaŭ la vico de nodoj kaj la tria unu estas interna rotacio ĉirkaŭ akso fiksita en la korpo kiu movoj.
#000024
La senmova difino implicas tion:
#000025
α reprezentas rotacion ĉirkaŭ la z akso,
β reprezentas rotacion ĉirkaŭ la N akso,
γ reprezentas rotacion ĉirkaŭ la Z akso.
#000026
Se β estas nul, ekzistas neniu rotacio koncerne N.
Kiel sekvo, Z koincidas kun z, α kaj γ reprezentas rotaciojn koncerne la saman akson ( z), kaj la fina orientiĝo povas esti akirita kun ununura rotacio koncerne z, per angulo egala al α + γ.
#000027
La pinto turniĝas ĉirkaŭ sia propra akso de simetrio;
tio egalrilatas al sia interna rotacio.
Ĝi ankaŭ rotacias ĉirkaŭ sia pivota akso, kun sia centro de maso orbita la pivota akso;
Finfine, la pinto povas vobli supren kaj malsupren;
la inklinperspektivo estas la nuksigperspektivo.
La sama ekzemplo povas esti vidita kun la movadoj de la tero.
#000028
Kvankam ĉiuj tri movadoj povas esti reprezentitaj fare de rotaciofunkciigisto kun konstantaj koeficientoj en iu kadro, ili ne povas esti reprezentitaj fare de tiuj funkciigistoj al ĉio en la sama tempo.
Surbaze de referenca kadro, maksimume unu el ili estos koeficient-libera.
Nur precesio povas esti esprimita ĝenerale kiel matrico en la bazo de la spaco sen dependencajoj de la aliaj anguloj.
#000029
Tiuj movadoj ankaŭ kondutas kiel gimbalaro.
Se ni supozas aron de kadroj, kapablaj movi ĉiun kun respekto al la unua laŭ nur unu angulo, kiel gimbal, tie ekzistos ekstera fiksa kadro, unu fina kadro kaj du kadroj en la mezo, kiuj estas nomitaj "mezaj kadroj".
La du en la mezlaboro kiel du-gimbalrings kiuj permesas la lastan kadron se temas pri atingi ajnan orientiĝon en spaco.
#000030
La dua speco de formalismo estas nomita Tait-Bryan anguloj, post Peter Guthrie Tait kaj George H. Bryan.
Ĝi estas la kongreso normale uzita por aerspacaj aplikoj, tiel ke nul-grada alteco reprezentas la horizontalan sintenon.
Tait-Bryan anguloj reprezentas la orientiĝon de la aviadilo kun respekto al la mondkadro.
Dum traktado aliajn veturilojn, malsamaj aksookonvencioj estas eblaj.
#000031
La difinoj kaj notacioj uzis ĉar Tait-Bryan-anguloj estas similaj al tiuj priskribitaj supre por bonordaj Euler-anguloj ( geometria difino, interna rotaciodifino, ekstera rotaciodifino).
La nura diferenco estas ke Tait-Bryan-anguloj reprezentas rotaciojn proksimume tri apartaj aksoj (ekz. x-y-z, aŭ x-y'-z′′), dum bonordaj Euler-anguloj uzas la saman akson por kaj la unuaj kaj triaj elementaj rotacioj (ekz., z-x-z, aŭ z-x'-z′′).
#000032
Tio implicas malsaman difinon por la vico de nodoj en la geometria konstruo.
En la bonorda Euler-angulkazo ĝi estis difinita kiel la intersekciĝo inter du homologaj kartezaj aviadiloj (paralelo kie Euler-anguloj estas nul;
En la dua unu, ĝi estas difinita kiel la intersekciĝo de du ne-homologaj aviadiloj (perpendikularaj kiam Euler-anguloj estas nul;
#000033
La tri elementaj rotacioj povas okazi aŭ koncerne la aksojn de la origina koordinatsistemo, kiu restas senmova ( eksteraj rotacioj), aŭ koncerne la aksojn de la rotacia koordinatsistemo, kiu ŝanĝas it orientiĝon post ĉiu elementa rotacio ( internaj rotacioj).
#000034
Ekzistas ses eblecoj de elektado de la rotaciaksoj por Tait-Bryan-anguloj.
La ses eblaj sekvencoj estas:
#000035
Tait-Bryan-kongreso estas vaste uzita en inĝenieristiko kun malsamaj celoj.
Ekzistas pluraj aksookonvencioj en praktiko por elektado de la movaj kaj fiksaj aksoj, kaj tiuj konvencioj determinas la signojn de la anguloj.
Tial, signoj devas esti studitaj en ĉiu kazo singarde.
#000037
La intervalo por la anguloj ψ kaj φ kovras 2π Radianojn.
Por θ la intervalo kovras π.
#000038
Tiuj anguloj estas normale prenitaj kiel unu en la ekstera referenca kadro ( irado, porti), unu en la interna kortuŝa kadro ( banko) kaj unu en meza kadro, reprezenti altecon aŭ inklinon respektas la horizontalon, kiu estas ekvivalenta al la vico de nodoj por tiu celo.
#000039
Por aviadilo, ili povas esti akiritaj kun tri rotacioj ĉirkaŭ ĝiaj ĉefaksoj se farite en la bonorda sinsekvo.
Devio akiros la biradon, tonalto donos la altecon kaj rulo donas la bankperspektivon.
Tial, en aerospaco ili foje estas nomitaj devio, tonalto kaj rulo.
Rimarkas ke tio ne funkcios se la rotacioj estas uzitaj en ĉiuj alia sinsekvo aŭ se la aviadilaksoj komenciĝas en iu pozicio ne-ekvivalenta al la referenca kadro.
#000040
Tait-Bryan anguloj, sekvantaj z-y'-x′′ (internaj rotacioj) kongreson, ankaŭ estas konataj kiel naŭtikaj anguloj, ĉar ili povas esti uzitaj por priskribi la orientiĝon de ŝipo aŭ aviadiloj, aŭ Cardan-angulojn, post la itala matematikisto kaj fizikisto Gerolamo Cardano, kiu unue priskribis en detalo la Cardan-suspendon kaj la kardanartikon.
#000041
Ofta problemo estas trovi la Euler-angulojn de antaŭfiksita kadro.
La plej rapida maniero ricevanta ilin devas skribi la tri antaŭfiksitaj vektoroj kiel kolonoj de matrico kaj kompari ĝin kun la esprimo de la teoria matrico (vidu pli postan tablon de matricoj).
Tial la tri Euler Angles povas esti kalkulita.
Tamen, la sama rezulto povas esti atingita evitanta-matricalgebro kaj uzanta nur elementan geometrion.
Ĉi tie ni prezentas la rezultojn por la du plej ofte uzitaj konvencioj: ZXZ por bonorda Euler celas kaj ZYX por Tait-Bryan.
Rimarkas ke ĉiu alia kongreso povas esti akirita ĵus ŝanĝante la nomon de la aksoj.
#000042
Supozante kadron kun unuoblaj vektoroj ( X, Y, Z) donite per iliaj koordinatoj kiel en la ĉefdiagramo, ĝi povas esti vidita tio:
#000043
kaj finfine, uzante la inversan kosinus funkcion,
#000044
Supozante kadron kun unuoblaj vektoroj ( X, Y, Z) donite per iliaj koordinatoj kiel en tiu nova diagramo (rimarku ke la Angulteto estas negativa), ĝi povas esti vidita tio:
#000045
laŭ maniero analoga al la antaŭa:
#000046
Serĉante similajn esprimojn al la antaŭaj:
#000047
Notu ke la inversaj sine kaj kosinusfunkcioj donas du eblajn valorojn por la argumento.
En tiu geometria priskribo nur unu el la solvoj estas valida.
Kiam Euler Angles estas difinita kiel sekvenco de rotacioj, ĉiuj solvoj povas esti validaj, sed ekzistos nur unu ene de la angulo varias.
Tio estas ĉar la sekvenco de rotacioj por atingi la celkadron ne estas unika se la intervaloj ne estas antaŭe difinitaj.
#000048
Por komputilaj celoj, povas esti utile reprezenti la angulojn uzante atan2 (y, x).
#000049
Euler-anguloj estas unu maniero reprezenti orientiĝojn.
Ekzistas aliaj, kaj estas eble ŝanĝi al kaj de aliaj konvencioj.
Tri parametroj ĉiam estas postulataj por priskribi orientiĝojn en 3-dimensia
Ili povas ricevi laŭ pluraj manieroj, Euler-anguloj estantaj unu el ili;
vidu furorlisto sur TIEL (3) por aliaj.
#000050
La plej uzita orientiĝreprezentantaro estas la rotaciomatricoj, la akso-angulo kaj la kvaropoj, ankaŭ konataj kiel Euler-Rodriges parametroj, kiuj disponigas alian mekanismon por reprezentado de 3D rotacioj.
Tio estas ekvivalenta al la speciala unitaria gruppriskribo.
#000051
Esprimaj rotacioj en 3D kiel unuokvaropoj anstataŭe de matricoj havas kelkajn avantaĝojn:
#000052
Interligi rotaciojn estas komputile pli rapida kaj nombre pli stabila.
Eltirante la angulon kaj rotacia akso estas pli simpla.
Kvaropoj ne suferas de gimbalseruro kiel Euler-anguloj faras.
#000053
Ĉiuokaze, la rotacia matrickalkulo estas la unua paŝo por akirado de la aliaj du reprezentantaroj.
#000054
Ĉiu orientiĝo povas esti realigita kunmetante tri elementajn rotaciojn, komencante de konata norma orientiĝo.
Ekvivalente, ĉiu rotaciomatrico R povas esti malkonstruita kiel produkto de tri elementaj rotaciomatricoj.
#000055
rotaciomatrico kiu povas esti uzita por reprezenti kunmetaĵon de eksteraj rotacioj koncerne aksojn z, y, x, en tiu sinsekvo), aŭ kunmetaĵon de internaj rotacioj koncerne aksoox-y'-z′′ (en tiu sinsekvo) estas.
Tamen, kaj la difino de la elementaj rotaciomatricoj X, Y, Z, kaj ilia multiplikordo dependas de la elektoj prenitaj fare de la uzanto koncerne la difinon de kaj rotaciomatricoj kaj Euler-anguloj (vidi, ekzemple, Ambiguecojn en la difino de rotaciomatricoj).
Bedaŭrinde, malsamaj aroj de konvencioj estas adoptitaj fare de uzantoj en malsamaj kuntekstoj.
La sekva tablo estis konstruita laŭ tiu aro de konvencioj:
#000056
Ĉiu matrico estas intencita reprezenti aktivan rotacion (la kunmetaj kaj trankvilaj matricoj laŭsupoze reagas al la koordinatoj de vektoroj difinitaj en la komenca fiksa referenca kadro kaj donas kiel rezulto la koordinatojn de rotaciita vektoro difinita en la sama referenca kadro).
Ĉiu matrico estas intencita reprezenti antaŭbaloton la kunmetaĵo de eksteraj rotacioj (kiu egalrilatas al la helpema taksado de la R-matrico per la multipliko de tri vere elementaj matricoj), kaj sekundaran la kunmetaĵon de tri neelementaj matricoj reprezentantaj tutmonde internajn rotaciojn (ĉirkaŭ la aksoj de la rotacia referenca kadro, en inversa sinsekvo).
Dekstraj donitaj referencaj kadroj estas adoptitaj, kaj la dekstra regulo kutimas determini la signon de la anguloj α, β, γ.
#000057
Por la konsidero de simpleco, la sekva tablo uzas la sekvan nomenklaturon:
#000058
1, 2, 3 reprezentas la angulojn α, β kaj γ, t.e. la angulojn egalrilatantajn al la unua, sekundo kaj triaj elementaj rotacioj respektive.
Xa, Y, Z estas la matricoj reprezentantaj la elementajn rotaciojn koncerne la aksojn x, y, z de la fiksa kadro (ekz., X 1 reprezentas rotacion koncerne x de angulo α).
s kaj c reprezentas sine kaj kosinuso (ekz., s 1 reprezentas la sine de α).
Ĉiu matrico estas indikita per la formulo uzita por kalkuli ĝin.
#000059
Ŝanĝi la formulojn por la kontraŭa direkto de, ŝanĝi la signojn de la sine funkcioj.
Por ŝanĝi la formulojn por pasivaj rotacioj (aŭ trovi inversan aktivan rotacion), transmeti la matricojn (tiam ĉiu matrico transformas la komencajn koordinatojn de vektoro restado fiksis al la koordinatoj de la sama vektoro mezurita en la rotaciita referencsistemo;
sama rotaciakso, samaj anguloj, sed nun la koordinatsistemo rotacias, prefere ol la vektoro).
#000060
La Euler-anguloj formas diagramon sur ĉio el TIEL (3), la speciala ortogonala grupo de rotacioj en 3D spaceto.
La diagramo estas glata krom polusa kunordigita stilneordinaraĵo laŭ β = 0. See furorlisto sur TIEL (3) por pli kompleta traktado.
#000061
La spaco de rotacioj estas nomita enen ĝenerala "La Hypersphere de rotacioj ", kvankam tio estas misnomo: la grupo Spin (3) estas izometra al la hipersfero S 3, sed la rotaciospaco TIEL (3) estas anstataŭe izometra al la reala projekcia regiono RP 3 2-obla kvocientospaco de la hipersfero.
Tiu 2-to-1 ambigueco estas la matematika origino de spino en fiziko.
#000062
Simila tri angulputriĝo aplikas al Su (2), la speciala unitaria grupo de rotacioj en komplekso 2D spaceton, kun la diferenco kiun tiu β intervalas de 0 ĝis 2π.
Tiuj ankaŭ estas nomitaj Euler-anguloj.
#000063
Ekzemple, generi unuforme randomigitajn orientiĝojn, lasi α kaj γ esti unuformaj de 0 ĝis 2π, lasi z esti unuforma de −1 ĝis 1, kaj lasi β = arckojn ( z).
#000064
Aliaj trajtoj de Euler-anguloj kaj rotacioj ĝenerale povas esti trovitaj de la Geometria algebro (GA).
GA estas higher-nivela abstraktado, en kiu la kvaropoj estas ebena subalgebro.
#000065
Estas eble difini parametrojn analogajn al la Euler-anguloj en grandeco pli alte ol tri.
#000066
La nombro da gradoj da libereco de rotaciomatrico ĉiam estas malpli ol la dimensio de la matrico kvadratis.
Tio estas, la elementoj de rotaciomatrico estas ne ĉio tute sendependaj.
Ekzemple, la rotaciomatrico en dimensio 2 havas nur unu gradon da libereco, ĉar ĉiuj kvar el ĝiaj elementoj dependas de ununura angulo de rotacio.
Rotaciomatrico en dimensio 3 (kiu havas naŭ elementojn) havas tri gradojn da libereco, egalrilatante al ĉiu sendependa rotacio, ekzemple de it'oj tri Euler-anguloj aŭ magnitudklaso unu (unuo) kvaropo.
#000067
En TIEL (4) la rotaciomatrico estas difinita per du kvaropoj, kaj estas tial 6-parametra (tri gradoj da libereco por ĉiu kvaropo).
La 4 × 4 rotaciomatricoj havas tial 6 el 16 sendependaj komponentoj.
#000068
Ĉiu aro de 6 parametroj kiuj difinas la rotaciomatricon povus esti konsiderita etendaĵo de Euler-anguloj al dimensio 4.
#000069
Ĝenerale, la nombro da eulerperspektivoj en dimensio D estas kvadrata en D;
#000070
Ilia ĉefa avantaĝo super aliaj orientiĝopriskriboj estas ke ili estas rekte mezureblaj de gimbal pliiĝis en veturilo.
Ĉar giroskopoj retenas sian rotaciakson konstanta, anguloj mezuritaj en girkadro estas ekvivalentaj al anguloj mezuritaj en la laboratoriokadro.
Tial, giroj kutimas scii la faktan orientiĝon pri movado de kosmoŝipo, kaj Euler-anguloj estas rekte mezureblaj.
Interna rotacioperspektivo ne povas esti legita de ununura gimbal, tiel ke devas ekzisti pli ol unu gimbal en kosmoŝipo.
Normale ekzistas almenaŭ tri por redundo.
Ekzistas ankaŭ rilato al la bonkonata gimbal-serur problemo de mekanika inĝenierado [5] .
#000071
Dum studado de rigidaj korpoj ĝenerale, oni vokas ke la ksiz sistemspaco kunlaboras, kaj la XYZ sistemkorpo kunlaboras.
La spackoordinatoj estas traktitaj kiel nekortuŝaj, dum la korpkoordinatoj estas konsideritaj integriĝintaj en la kortuŝa korpo.
Kalkuloj implikantaj akceladon, angulakcelado, angula rapido, angula movokvanto, kaj kineta energio ofte estas plej facilaj en korpkoordinatoj, ĉar tiam la momento de inerciotensoro ne ŝanĝiĝas en tempo.
Se unu ankaŭ diagonalizes la rigida korpmomento de inerciotensoro (kun naŭ komponentoj, ses el kiuj estas sendependaj), tiam unu havas aron de koordinatoj (nomitaj la ĉefaksoj) en kiu la momento de inerciotensoro havas nur tri komponentojn.
#000072
La angula rapido de rigida korpo prenas simplan formon utiligantan Euler-angulojn en la kortuŝa kadro.
La rigidaj korpekvacioj de ankaŭ la Euler estas pli simplaj ĉar la inerciotensoro estas konstanta en tiu kadro.
#000073
En materiala scienco, kristalografa teksturo (aŭ preferata orientiĝo) povas esti priskribita utiligante Euler-angulojn.
En teksturanalizo, la Euler-anguloj disponigas matematikan bildigon de la orientiĝo de individuaj kristalitoj ene de polikristala materialo, enkalkulante la kvantan priskribon de la makroskopa materialo.
La plej ofta difino de la anguloj ŝuldiĝas al Bunge kaj egalrilatas al la ZXZ kongreso.
Estas grave noti, aliflanke, ke la aplikiĝo ĝenerale implikas aksootransformojn de tensorkvantoj, t.e. pasivajn rotaciojn.
Tiel la matrico kiu egalrilatas al la Bunge Euler-anguloj estas la transmeti de tio montrita en la tabelo supre.
#000074
Euler-anguloj, normale en la Tait-Bryan kongreso, estas ankaŭ utiligitaj en robotiko por parolado pri la gradoj da libereco de pojno.
Ili ankaŭ estas uzitaj en Elektronika stabileckontrolo laŭ simila maniero.
#000075
Pafadkontrolsistemoj postulas ĝustigojn pafil-ordigi angulojn (birado kaj alteco) kompensi por ferdekkliniĝo (tonalto kaj ruliĝi).
En tradiciaj sistemoj, stabiliga giroskopo kun vertikala spinakso korektas por ferdekkliniĝo, kaj stabiligas la optikajn vidindaĵojn kaj radarantenon.
Tamen, pafiltuboj indikas en direkto diferencaj de la vidlinio ĝis la celo, por anticipi celmovadon kaj falon de la kuglo pro gravito, inter aliaj faktoroj.
Pafilrajdĉevaloj ruliĝas kaj disponas per la ferdekaviadilo, sed ankaŭ postulas stabiligon.
Pafilmendoj inkludas angulojn komputitajn de la vertikalaj girdatenoj, kaj tiuj komputadoj implikas Euler-angulojn.
#000076
Euler-anguloj ankaŭ estas utiligitaj grandskale en la kvantuma mekaniko de angula movokvanto.
En kvantumaj mekanikoj, eksplicitaj priskriboj de la reprezentadoj de TIEL (3) estas gravegaj por kalkuloj, kaj preskaŭ la tuta laboro estis farita utiligante Euler-angulojn.
En la frua historio de kvantumaj mekanikoj, kiam fizikistoj kaj apotekistoj havis akre negativan reagon direkte al abstrakta grupo teoriaj metodoj (nomitaj la Gruppenpest), dependeco en Euler-anguloj ankaŭ estis esencaj por baza teoria laboro.
#000077
Multaj mobilkomputikaparatoj enhavas akcelometrojn kiuj povas determini la Euler-angulojn de tiuj aparatoj kun respekto al la gravita altiro de la tero.
Tiuj estas uzitaj en aplikoj kiel ekzemple ludoj, vezik-horizontalil simulaĵoj, kaj kalejdoskopoj.
#000078
[ citaĵo bezonis ] Vidu ankaŭ
#000079
Konvertiĝo inter kvaropoj kaj Euler-anguloj
#000080