En matematiko, ringo estas unu el la fundamentaj algebraj strukturoj uzitaj en abstrakta algebro.
Ĝi konsistas el aro provizita per du operacioj kiuj ĝeneraligas la aritmetikoperaciojn de aldono kaj multipliko.
Tra tiu ĝeneraligo, teoremoj de aritmetiko estas etenditaj al ne-nombraj objektoj kiel ekzemple polinomoj, serioj, matricoj kaj funkcioj.
#000001
La konceptigo de ringoj komenciĝis en la 1870-aj jaroj kaj kompletigita en la 1920-aj jaroj.
Esencaj kontribuantoj inkludas Dedekind, Hilbert, Fraenkel, kaj Noether.
Ringoj unue estis formaligitaj kiel ĝeneraligo de Dedekind-domajnoj kiuj okazas en nombroteorio, kaj de polinomringoj kaj ringoj de Invariantoj kiuj okazas en algebra geometrio kaj invarianta teorio.
Poste, ili ankaŭ pruvis esti utilaj en aliaj branĉoj de matematiko kiel ekzemple geometrio kaj analitiko.
#000002
Ringo estas abela grupo kun sekunda operacio kiu estas asocieca, estas distribua super la abela grupoperacio, kaj havas neŭtran elementon.
Per etendaĵo de la entjeroj, la abela grupoperacio estas nomita aldono kaj la dua operacio estas nomita multipliko.
#000003
Ĉu ringo estas kommutativa aŭ ne (t.e., ĉu la ordo en kiu du elementoj estas multobligitaj ŝanĝoj aŭ ne la rezulto) havas profundajn implicojn sur ĝia konduto kiel abstrakta objekto.
Kiel rezulto, komutringa teorio, ofte konata kiel komuta algebro, estas esenca temo en ringa teorio.
Ĝia evoluo estis tre influita per problemoj kaj ideoj okazantaj nature en algebra nombroteorio kaj algebra geometrio.
Ekzemploj de komutaj ringoj inkludas la aron de entjeroj provizitaj per la aldono- kaj multiplikoperacioj, la aro de polinomoj provizitaj per la aldono kaj multipliko de funkcioj, la kunordigitaj ringo de afina algebra diverseco, kaj la ringo de entjeroj de numero-kampo.
Ekzemploj de nonkomutative-ringoj inkludas la ringon de n × n realaj kvadratmatricoj kun n ≥ 2, grupringojn en prezenta teorio, funkciigistalgebrojn en funkcionala analitiko, ringojn de diferencialaj operatoroj en la teorio de diferencialaj operatoroj, kaj la kohomologioringon de topologia spaco en topologio.
#000004
Centra simpla algebro kaj Brauer-grupo
#000008
Funkciokampo de nereduktebla algebra diverseco
#000009
La plej konata ekzemplo de ringo estas la aro de ĉiuj entjeroj, Z, konsistante el la nombroj
#000010
La konataj trajtoj ĉar aldono kaj multipliko de entjeroj funkcias kiel modelo por la aksiomoj por ringoj.
#000011
Ringo estas aro R provizita per operacioj [1] + kaj
kontentigante la sekvajn tri arojn de aksiomoj, nomitaj la ringaksiomoj [2] [3] [4]
#000012
R estas abela grupo sub aldono, kun la signifo tio
#000013
b + c) por ĉio , b, c en R (+ estas asocieca).
+ b = b + por ĉio , b en R (+ estas kommutativa).
Ekzistas elemento 0 en R tia ke + 0 = por ĉio en R (0 estas la aldona identeco).
Por ĉiu en R tie ekzistas − en R tia ke
) = 0 (− estas la aldonaĵo inversa de ).
#000014
R estas al monoida sub multipliko, kun la signifo tio:
#000015
b ⋅ c) por ĉio , b, c en R (⋅ estas asocieca).
Ekzistas elemento 1 en R tia ke ⋅ 1 = a kaj 1 ⋅ = por ĉio en R (1 estas la multiplika identeco).
#000016
3-a Multipliko estas distribua kun respekto al aldono:
#000017
⋅ c) por ĉio , b, c en R (lasita Distribueco).
c ⋅ ) por ĉio , b, c en R (dekstra Distribueco).
#000018
Kiel klarigite en § Historio malsupre, multaj verkintoj sekvas alternativan kongreson en kiu ringo ne estas difinita por havi multiplikan identecon.
Tiu artikolo enkondukas la kongreson kiu, se alie ne deklaris, ringo estas supozitaj havi tian identecon.
Strukturo kontentiganta ĉiujn aksiomojn krom eventuale la ekzisto de multiplika identeco 1 estas nomita rng (aŭ foje pseŭd-ringa ).
Ekzemple, la aro de eĉ entjeroj kun la kutima + kaj ⋅ estas rng, sed ne ringo.
#000019
La operacio-+ kaj ⋅ estas nomitaj aldono kaj multipliko, respektive.
La multipliksimbol⋅ ofte estas preterlasita, tiel ke la apudmeto de ringelementoj estas interpretita kiel multipliko.
Ekzemple, ksy signifas x ⋅ y .
#000020
Kvankam ringaldono estas kommutativa, ringomultipliko ne estas postulata por esti kommutativa:
ab ne devas nepre korespondi al ba.
Ringoj kiuj ankaŭ kontentigas komutecon por multipliko (kiel ekzemple la ringo de entjeroj) estas nomitaj komutaj ringoj .
Libroj pri komuta algebro aŭ algebra geometrio ofte enkondukas la kongreson tiu "ringo" intencas "komuta ringo", por simpligi terminologion.
#000021
La aldona grupo de ringo estas la ringo provizita ĵus per la strukturo de aldono.
Kvankam la difino supozas ke la aldona grupo estas abela, tio povas esti konkludita el la aliaj ringaksiomoj.
#000022
Kelkaj bazaj trajtoj de ringo tuj sekvas el la aksiomoj:
#000023
La aldonaĵidenteco, la aldonaĵo inversa de ĉiu elemento, kaj la multiplika identeco estas unikaj.
Por iu elemento x en boksejo R, oni havas ks0 = 0 = 0x kaj (- 1) x = - x.
Se 0 = 1 en boksejo R (aŭ pli ĝenerale, 0 estas unuelemento), tiam R havas nur unu elementon, kaj estas nomita la nul ringo.
La binomo formulo tenas por iu naveda paro de elementoj (t.e., ajna x kaj y tia ke ksy = iks).
#000024
Tiam Z 4 estas ringo: ĉiu aksiomo sekvas el la ekvivalenta aksiomo por Z.
#000025
La aro de 2-by-2 matricoj kun realnombraj kontribuoj estas skribita
#000026
Kun la operacioj de matricaldono kaj matrica multipliko, tiu aro kontentigas ĉi-suprajn ringaksiomojn.
tiu ekzemplo montras ke la ringo estas nonkomutative.
#000027
Pli ĝenerale, por iu ringo R, kommutativa aŭ ne, kaj ajna nenegativentjero n, oni povas formi la ringon de n - flank-n matricoj kun kontribuoj en R: vidu matricringon.
#000028
La studo de ringoj originis de la teorio de polinomringoj kaj la teorio de algebraj entjeroj.
En 1871, Richard Dedekind difinis la koncepton de la ringo de entjeroj de numero-kampo.
En tiu kunteksto, li lanĉis la esprimojn "ideala" (inspiriten per la nocio de Ernst Kummer de ideala nombro) kaj "modulon" kaj studis iliajn trajtojn.
Sed Dedekind ne uzis la esprimon "ringo" kaj ne difinis la koncepton de ringo en ĝenerala konteksto.
#000029
La esprimo "Zahlring" (pli sensenta ringo) estis elpensita fare de David Hilbert en 1892 kaj publikigis en 1897.
En 19-a-jarcenta germano, la vorto "ringo" povis signifi "unuiĝo", kiu daŭre estas utiligita hodiaŭ en la angla en limigita signifo (ekz., spionringo), [10] tiel se tio estis la etimologio tiam kiun ĝi estus simila al la maniero- "grupo" eniris matematikon estante ne-teknika vorto por "kolekto de rilataj aĵoj".
Laŭ Harvey Cohn, Hilbert uzis la esprimon por ringo kiu havis la posedaĵon de "rondiri rekte reen" al elemento de si mem.
Specife, en boksejo de algebraj entjeroj, ĉiuj altaj potencoj de algebra entjero povas esti skribitaj kiel integrita kombinaĵo de fiksa aro de pli malaltaj potencoj, kaj tiel la potencoj "biciklas reen".
ĝenerale, n estos integrita lineara kombinaĵo de 1, , kaj 2.
#000030
La unua aksioma difino de ringo ricevis fare de Adolf Fraenkel en 1914, [12] [13] sed liaj aksiomoj estis pli striktaj ol tiuj en la moderna difino.
Ekzemple, li postulis ĉiun ne-nul-dividanton havi multiplikan inversan.
En 1921, Emmy Noether donis la modernan aksioman difinon de (kommutativa) ringo kaj evoluigis la fundamentojn de komutringa teorio en ŝia artikolo Idealtheorie in Ringbereichen.
#000031
Fraenkel devigis ringon havi multiplikan identecon 1, [16] dum Noether ne faris.
#000032
Plej multe de la aŭ ĉiuj libroj pri algebro [17] [18] ĝis ĉirkaŭ 1960 sekvis la kongreson de Noether de ne postulado de 1-a Ekfunkciigo en la 1960-aj jaroj, iĝis ĉiam pli ofte vidi librojn inkluzive de la ekzisto de 1 en la difino de ringo, precipe en progresintaj libroj de famaj verkintoj kiel ekzemple Artin, [19] Atiyah kaj MacDonald, [20] Bourbaki, [21] Eisenbud, [22] kaj Lang.
Sed eĉ hodiaŭ, tie restas multaj libroj kiuj ne postulas 1.
#000033
Alfrontita kun tiu terminologia ambigueco, kelkaj verkintoj provis trudi siajn opiniojn, dum aliaj provis adopti pli precizajn esprimojn.
#000034
En la unua kategorio, ni trovas ekzemple Gardner kaj Wiegandt, kiuj argumentas ke se oni postulas ĉiujn ringojn havi 1, tiam kelkaj sekvoj inkludas la mankon de ekzisto de senfinaj rektaj sumoj de ringoj, kaj la fakton ke bonorda rekta sumands de ringoj ne estas subringoj.
Ili finas ke "en multaj, eble plej, branĉoj de ringa teorio la postulo de la ekzisto de unuecelemento ne estas prudenta, kaj tial neakceptebla."
#000035
En la dua kategorio, ni trovas verkintojn kiuj uzas la sekvajn esprimojn: [25]
#000036
La polinomringo R [ X] de polinomoj super ringo R estas sin ringo.
Libera modulo super R da senfina dimensio
Libera modulo de senfina dimensio se c estas transcenda nombro, libera modulo de finhava dimensio se c estas algebra entjero
#000039
La aro de naturaj nombroj N kun la kutimaj operacioj ne estas ringo, poste ( N, +) estas ne eĉ grupo (la elementoj ne estas tute inverteblaj kun respekto al aldono).
Ekzemple, ekzistas neniu natura nombro kiu povas esti aldonita al 3 por iĝi 0 kiel rezulto.
Ekzistas natura maniero igi ĝin ringo aldonante negativajn nombrojn al la aro, tiel akirante la ringon de entjeroj.
La naturaj nombroj (inkluzive de 0) formas algebran strukturon konatan kiel semiringo (kiu havas ĉiujn la trajtoj de ringo krom la aldona inversa posedaĵo).
#000041
Tiam R estas rng, sed ne ringo: la diraka delta funkcio havas la posedaĵon de multiplika identeco, sed ĝi ne estas funkcio kaj tial estas ne elemento de R.
#000042
Rajto kiun nul dividanto estas difinita simile.
#000043
Unu ekzemplo de nilpotentelemento estas nilpotentmatrico.
Nilpotentelemento en nonzerboksejo estas nepre nuldividanto.
#000044
Unu ekzemplo de idempotent-elemento estas projekcio en lineara algebro.
#000045
La aro de unuoj de ringo estas grupo sub ringomultipliko;
#000046
Subaro S da R laŭdire estas subringo ĉu ĝi povas esti rigardita kiel ringo kun la aldono kaj la multipliko limigita de R ĝis S.
Se ĉiuj ringoj estus supozitaj, per kongreso, por havi multiplikan identecon, tiam esti subringo oni ankaŭ postulus S dividi la saman neŭtran elementon kiel R.
Tiel se ĉiuj ringoj estis supozitaj havi multiplikan identecon, tiam bonorda idealo ne estas subringo.
#000047
Ekzemple, la ringo Z de entjeroj estas subringo de la kampo de realaj nombroj kaj ankaŭ subringo de la ringo de polinomoj Z [ X] (en ambaŭ kazoj, Z enhavas 1, kio estas la multiplika identeco de la pli grandaj ringoj).
Aliflanke, la subaro de eĉ entjeroj 2Z ne enhavas la neŭtran elementon 1 kaj tiel ne kvalifikas kiel subringo.
#000048
Intersekciĝo de subringoj estas subringo.
La plej malgranda subringo enhavanta antaŭfiksitan subaron E de R estas vokita subringon generitan per E.
Tia subringo ekzistas ĉar ĝi estas la intersekciĝo de ĉiuj subringoj enhavantaj E.
#000049
Por ringo R, la plej malgranda subringo enhavanta 1 estas nomita la karakteriza subringo de R.
Ĝi povas esti akirita aldonante kopiojn de 1 kaj −1 kune multajn fojojn en iu miksaĵo.
Se n estas la plej malgranda pozitiva entjero tia ke tio okazas, tiam n estas nomita la karakterizaĵo de R.
#000050
nomite la centro de R.
Pli ĝenerale, surbaze de subaro X de R, lasis S esti la aro de ĉiuj elementoj en R kiuj navedas kun ĉiu elemento en X.
Tiam S estas subringo de R, nomita la centraliganto (aŭ navediformiko) de X.
La centro estas la centraliganto de la tuta ringo R.
Elementoj aŭ subaroj de la centro laŭdire estas centraj en R;
ili generas subringon de la centro.
#000051
La difino de idealo en boksejo estas analoga al tiu de normala subgrupo en grupo.
Sed, en aktualeco, ĝi ludas rolon de idealigita ĝeneraligo de elemento en boksejo;
Kiel elementoj de ringoj, la studo de idealoj estas centra al struktura kompreno de ringo.
#000052
t.e., la aro de finhavaj sumoj
#000053
Subaro I laŭdire estas duflanka idealo aŭ simple idealo ĉu ĝi estas kaj maldekstra idealo kaj dekstra idealo.
Partia aŭ duflanka idealo tiam estas aldona subgrupo de R.
ĝi estas la plej malgranda maldekstro ideala entenanta E.
Simile, oni povas pripensi la dekstran idealon aŭ la duflanka idealo generis de subaro de R.
#000054
ili estas nomitaj la ĉefaj maldekstraj idealoj kaj dekstrajn idealojn generitajn per x.
Ekzemple, la aro de ĉiuj pozitivaj kaj negativaj multobloj de 2 kune kun 0 formo idealo de la entjeroj, kaj tiu idealo estas generita per la entjero 2-a Fakte, ĉiu idealo de la ringo de entjeroj estas ĉefa.
#000055
Kiel grupo, ringo laŭdire estas kuracherbo ĉu ĝi estas nonzero kaj ĝi havas neniujn bonordajn nonzerajn duflankajn idealojn.
Kommutativa simplanima ringo estas ĝuste kampo.
#000056
Ringoj ofte estas studitaj kun specialaj kondiĉoj metite sur siajn idealojn.
Ekzemple, ringo en kiu ekzistas neniu strikte kreskanta senfina ĉeno de maldekstridealoj estas nomita maldekstra Noeteriana ringo.
Ringo en kiu ekzistas neniu strikte malkreskanta senfina ĉeno de maldekstro idealoj estas nomitaj maldekstra Artiniana ringo.
Estas iom surpriza fakto ke maldekstre Artiniana ringo estas lasita Noeteriana (la Hopkins-Levitzki-teoremo).
La entjeroj, aliflanke, formas Noeterianan ringon kiu ne estas Artiniana.
#000057
Por komutaj ringoj, la idealoj ĝeneraligas la klasikan nocion de dividebleco kaj putriĝo de entjero en primojn en algebro.
#000058
Homomorfism de ringo ( R
al ringo ( S, ‡,÷) estas funkcio f de R ĝis S kiu konservas la ringoperaciojn;
nome, tia ke, por ĉio , b en R la sekvaj identecoj tenas:
#000059
Se oni laboras per ne nepre unitaj ringoj, tiam la tria kondiĉo estas faligita.
#000060
Ringo homomorfism laŭdire estas izomorfio ĉu tie ekzistas inversa homomorfism al f (t.e., ringo homomorfism inversa funkcio).
Ĉiu bijektive ringo homomorfism estas ringizomorfio.
Ringo homomorfism inter la sama ringo estas nomita endomorfismo kaj izomorfio inter la sama ringo aŭtomorfismo.
#000061
estas homomorfism de la ringo Z ĝis la kvocientringo Z / 4Z ("kvocientringo" estas difinita malsupre).
Lasu R esti komuta ringo de ĉefa karakteriza p.
Por iu ringo R, ekzistas unika ringo homomorfism Z → R kaj unika ringo homomorfism R →0.
Epimorfismo (t.e., dekstra-cancelable morfismo) de ringoj ne devas esti surjektive.
Algebro homomorfism de k-algebro ĝis la endomorfismalgebro de vektora spaco super k estas nomita reprezentado de la algebro.
#000062
La kerno estas duflanka idealo de R.
La bildo de f, aliflanke, estas ne ĉiam idealo, sed ĝi ĉiam estas subringo de S.
#000063
Doni ringon homomorfism de komuta ringo R ĝis ringo A kun bildo enhavite en la centro de A estas la sama kiel por doni strukturon de algebro pli ol R al A (en specialaj elastecoj strukturo de A-modulo).
#000064
La kvocientringo de ringo, estas analoga al la nocio de kvocientogrupo de grupo.
Pli formale, surbaze de ringo ( R
kaj duflanka idealo I de ( R
, la kvocientringo (aŭ faktororingo) R/I estas la aro de kun-grupoj de mi (kun respekto al la aldona grupo de ( R
t.e. kun-grupoj kun respekto al ( R, +) kune kun la operacioj:
#000065
por ĉiu , b en R.
#000066
la fakto konata kiel la unua -izomorfia teoremo.
La lasta fakto implicas ke fakte ĉiu surjektive-ringo homomorfism kontentigas la universalan posedaĵon ekde la bildo de tia mapo estas kvocientringo.
#000067
(decembro 2015) En teorio de grupoj, oni povas pripensi la agon de grupo sur aktoraro.
Doni grupan agon, ekzemple, G reagantan al aktoraro S, devas doni grupon homomorfism de G ĝis la aŭtomorfismogrupo de S (t.e., la simetria grupo de S.
#000068
Laŭ multe lasama maniero, oni povas pripensi ringagon;
tio estas, ringa homomorfism f de ringo R ĝis la endomorfismoringo de abela grupo M.
Oni kutime skribas rm aŭ r ⋅ m por f ( r) m kaj nomas M maldekstra modulo pli ol R.
Se R estas kampo, tio kvantoj al donado de strukturo de vektora spaco sur M.
#000069
Aparte, ringo R estas maldekstra modulo pli ol R mem tra l:
R → Finu ( R), l ( r) x = rks (nomitan maldekstra regula reprezentado de R).
Kelkaj ring-teoriaj konceptoj povas esti deklaritaj en modul-teoria lingvo: ekzemple, subaro de ringo R estas maldekstra idealo de R se kaj nur se ĝi estas R-submodule kun respekto al la maldekstra R-module strukturo de R.
Maldekstra idealo estas ĉefa se kaj nur se ĝi estas cikla submodulo.
#000070
Z-modulo estas la sama aĵo kiel abela grupo;
tio permesas al tia utiligi la modulan teorion por studi abelajn grupojn.
Ekzemple, ĝenerale, se M estas maldekstra modulo super ringo R kiu estas cikla;
t.e., M = Rx por proksimume x, tiam M estas izomorfa al la kvociento de R de la kerno de R → M , r ↦ rks .
Aparte, se R estas Z, tiam ĉiu cikla grupo (kiu estas cikla kiel Z-modulo) estas de la formo Z / n Z, reakirante la kutiman klasifikon de ciklaj grupoj.
#000071
Vidu § Domajnojn por ekzemplo de aplikiĝo al lineara algebro.
#000072
Ĉiu ringo homomorfism induktas la strukturon de modulo: se f:
R → S estas ringo homomorfism, tiam S estas maldekstra modulo pli ol R de la formulo:
Modulo kiu ankaŭ estas ringo estas nomita algebro super la bazringo (disponigita la bazringo estas centra).
#000073
Ekzemplo: Geometrie, modulo povas esti rigardita kiel algebra ekvivalento de vektorfasko.
Lasu E esti vektorfasko inte kompakta spaco, kaj γ ( E) la spaco de ĝiaj sekcioj.
Tiam γ ( E) estas modulo super la ringo R de kontinuaj funkcioj sur la bazregiono.
La teoremo de cigno deklaras ke, per γ, la kategorio da vektorfaskoj estas ekvivalenta al la kategorio da finhave generis projekciajn R-modulo ("projekcia" egalrilatas al loka sensignifigo.
#000074
En petskribo, oni ofte elpensas ringon sumigante modulojn.
Daŭrigi ĉi-supran geometrian ekzemplon, lasis L esti liniofasko en algebra diverseco (γ ( L) estas modulo super la kunordigita ringo de la diverseco).
Tiam la rekta sumo de moduloj
#000075
havas la strukturon de komuta ringo;
ĝi estas nomita la sekcioringo de L.
Precipe grava kazo estas kiam L estas la kanonika liniofasko kaj tiam R estas la kanonika ringo de la bazdiverseco.
#000076
Lasu R kaj S esti ringoj.
Tiam la produkto R × S povas esti provizita per la sekva natura ringostrukturo:
#000077
Tiam la ĉina restteoremo diras ke ekzistas kanonika ringizomorfio:
#000078
kiel rekta sumo de abelaj grupoj (ĉar por abelaj grupoj finhavaj produktoj estas la sama kiel rektaj sumoj).
Klare la rekta sumo de tiaj idealoj ankaŭ difinas produkton de ringoj kiu estas izomorfa al R.
Ekvivalente, la supre povas esti farita tra centraj idempotent'oj.
Assume R havas ĉi-supran putriĝon.
#000080
Denove, oni povas inversigi la konstruon.
#000081
Grava apliko de senfina rekta produkto estas la konstruado de projekcia limo de ringoj (vidu malsupre).
Alia aplikiĝo estas limigita produkto de familio de ringoj (kp. adeleringo).
#000082
Surbaze de simbolo t (nomita variablo) kaj komuta ringo R, la aro de polinomoj
#000083
formas komutan ringon kun la kutima aldono kaj multipliko, enhavanta R kiel subringo.
Ĝi estas nomita la polinomringo pli ol R.
#000084
ĝia regiono de frakcioj estas la kampo de raciaj funkcioj.
#000085
Surbaze de elemento x de S, oni povas pripensi la ringon homomorfism
#000086
ĝi estas la sama aĵo kiel la subringo de S generita je R kaj x.
#000087
Ekzemplo: lasu f esti polinomo en unu variablo;
t.e., elemento en polinomboksejo R.
#000088
La anstataŭigo estas speciala kazo de la universala posedaĵo de polinomringo.
Ekzemple, elektante bazon, simetria algebro kontentigas la universalan posedaĵon kaj tiel estas polinomringo.
#000089
Doni ekzemplon, lasis S esti la ringo de ĉiuj funkcioj de R ĝis si mem;
la aldono kaj la multipliko estas tiuj de funkcioj.
Lasu x esti la identofunkcio.
La universala posedaĵo diras ke al tiu mapo etendas unike
#000090
La rezulta mapo estas injektivo se kaj nur se R estas senfina.
#000091
Lasu k esti algebre fermita kampo.
Aparte, multaj lokaj problemoj en algebra geometrio povas esti atakitaj tra la studo de la generatoroj de idealo en polinomboksejo.
#000092
kune kun multipliko kaj aldono kiuj imitas tiujn por konverĝaj serioj.
Notu ke formala potencvicringo ne havas la universalan posedaĵon de polinomringo;
serio eble ne konverĝas post anstataŭigo.
La grava avantaĝo de formala potencvicringo super polinomringo estas ke ĝi estas loka (fakte, kompleta).
#000094
Lasu R esti ringo (ne nepre kommutativa).
La aro de ĉiuj kvadratmatricoj de grandeco n kun kontribuoj en R formas ringon kun la enir-rilata aldono kaj la kutima matrica multipliko.
Ĝi estas nomita la matricringo kaj estas indikita per M n ( R).
#000095
Ajna ringo homomorfism R → S induktas M n ( R) → M n ( S);
fakte, ĉiu boksejo homomorfism inter matricringoj ekestas laŭ tiu maniero.
#000096
La Artin-Wedderburn-teoremo deklaras ĉiu semikuracherbringo (kp. malsupre) estas de tiu formo.
#000097
Ringo R kaj la matricringo M n ( R) super ĝi estas Morita ekvivalento: la kategorio da dekstraj moduloj de R estas ekvivalenta al la kategorio da dekstraj moduloj super M n ( R).
Aparte, duflankaj idealoj en R korespondas en unu-al-unuj ĝis duflankaj idealoj en M n ( R).
#000098
La aŭtomorfismoj de la projekcia linio super ringo ricevas per homografioj de la 2x2 matricringo.
#000099
Lasu R mi estu sekvenco de ringoj tia ke R mi estas subringo de R mi +1 por ĉio mi.
#000101
Ĉiu komuta ringo estas la kolimo de finhave generitaj subringoj.
#000102
Projekcia limo (aŭ filtrita limo) de ringoj estas difinita jene.
#000103
Por ekzemplo de projekcia limo, vidu nombrokompletigon.
#000104
La lokalizo ĝeneraligas la konstruadon de la kampo de frakcioj de integrita domajno al arbitra ringo kaj moduloj.
#000105
La lokalizo estas ofte aplikita al komuta ringo R kun respekto al la komplemento de ĉefidealo (aŭ unio de ĉefidealoj) en R.
Tio estas la kialo de la terminologio- "lokalizo".
La kampo de frakcioj de integrita domajno R estas la lokalizo de R ĉe la ĉefidealo nul.
#000106
La plej gravaj trajtoj de lokalizo estas la sekvantaj: kiam R estas komuta ringo kaj S multiplicative fermita subaro
#000107
Rimarko: lokalizo estas neniu helpo en pruvado de tutmonda ekzisto.
Unu kazo da tio estas ke se du moduloj estas izomorfaj ĉe ĉiuj ĉefidealoj, ĝi ne sekvas ke ili estas izomorfaj.
(Unudirekta por klarigi ke tio estas ke la lokalizo permesas oni rigardi modulon kiel faskon super ĉefidealoj kaj fasko estas esence loka nocio.
#000108
En teorio de kategorioj, lokalizo de kategorio sumiĝas al farado de kelkaj morfismizomorfioj.
Elemento en komuta ringo R povas esti opiniita de kiel endomorfismo de iu R-modulo.
Tiel, kategorie, lokalizo de R kun respekto al subaro S da R estas funktoro de la kategorio da R-modulo ĝis si mem kiu sendas elementojn de S rigardita kiel endomorfismoj al aŭtomorfismoj kaj estas universala kun respekto al tiu posedaĵo.
#000109
Lasu R esti komuta ringo, kaj lasu mi estu idealo de R.
Ĉi-lasta homomorfism estas injektivo se R estas noeterian-integraldomajno kaj I estas bonorda idealo, aŭ se R estas noeterian loka ringo kun maksimuma idealo I, de la intersekciĝteoremo de Krull.
La konstruo estas aparte utila kiam I estas maksimuma idealo.
#000110
La baza ekzemplo estas la kompletigo Z p de Z ĉe la ĉefidealo ( p) generita je primo p
ĝi estas nomita la ringo de p-adic entjeroj.
La kompletigo povas en tiu kazo esti konstruita ankaŭ el la p-adic absoluta valoro sur Q.
Ĝi difinas distancfunkcion sur Q kaj la kompletigo de Q kiam metrika spaco estas indikita per Q p .
Ĝi denove estas kampo ĉar la kampoperacioj ampleksas la kompletigon.
#000111
Kompleta ringo havas multe pli simplan strukturon ol komuta ringo.
Tio posedas al la Cohen-strukturteoremo, kiu diras, malglate, ke kompleta loka ringo emas aspekti pli kiel formala potencvicringo aŭ kvociento de ĝi.
Aliflanke, la interagado inter la integrita fino kaj kompletigo estis inter la plej gravaj aspektoj kiuj distingas modernan komutringan teorion de la klasikaĵo unuj evoluigita per similaĵoj de Noether.
Patologiaj ekzemploj trovitaj fare de Nagata kaŭzis la reekzamenon de la roloj de Noetherian-ringoj kaj instigis, inter aliaj aĵoj, la difinon de elstara ringo.
#000112
La plej ĝenerala maniero por konstrui ringon estas per precizigado de generatoroj kaj rilatoj.
Lasu F esti libera ringo (t.e., libera algebro super la entjeroj) kun la aro X de simboloj;
t.e., F konsistas el polinomoj kun integritaj koeficientoj el nenavedadvariabloj kiuj estas elementoj de X.
Ĵus kiel en la grupkazo, ĉiu ringo povas esti reprezentita kiel kvociento de libera ringo.
#000114
Nun, ni povas trudi rilatojn inter simboloj en X prenante kvocienton.
Eksplicite, se E estas subaro de F, tiam la kvocientringo de F de la idealo generita per E estas nomitaj la ringo per generatoroj X kaj rilatoj E.
Se ni utiligis ringon, ekzemple, A kiel bazrondon anstataŭe de Z, tiam la rezulta ringo estos finita A.
#000115
Lasu A, B esti algebroj super komuta ringo R.
tensorprodukto de algebroj, ŝanĝo de ringoj.
#000116
Nonzer ringo kun neniuj nonzernul-dividantoj estas nomita domajno.
Kommutativa domajno estas nomita integrita domajno.
La plej gravaj integritaj domajnoj estas ĉefidealdomajnoj, PID por fuŝkontakto, kaj kampoj.
Ĉefa ideala domajno estas integrita domajno en kiu ĉiu idealo estas ĉefa.
Grava klaso de integritaj domajnoj kiuj enhavas PID estas unika faktorigaddomajno (UFD), integrita domajno en kiu ĉiu neunuelemento estas produkto de ĉefaj elementoj (elemento estas ĉefaj se ĝi generas ĉefidealon.
La fundamenta demando en algebra nombroteorio estas sur la amplekso al kiu la ringo de (ĝeneraligita) entjeroj en numero-kampo, kie "idealo" koncedas ĉefan faktorigadon, ne estas PID.
#000117
Inter teoremoj koncerne PID, la plej gravan unu estas la strukturteoremo por finhave generitaj moduloj super ĉefa ideala domajno.
La teoremo povas esti ilustrita per la post aplikiĝo al lineara algebro.
#000118
En algebra geometrio, tiu de UFD ekesti pro glateco.
Pli ĝuste, punkto en diverseco (super perfekta kampo) estas glata se la loka ringo ĉe la punkto estas regula loka ringo.
Regula loka ringo estas UFD.
#000120
La sekvanta estas ĉeno de klasenfermaĵoj kiu priskribas la rilaton inter ringoj, domajnoj kaj kampoj:
#000121
Komutringaj ⊃ integraldomajno ⊃ integrite fermis domajno ⊃ unikan faktorigaddomajno ⊃ ĉefaj idealaj domajno ⊃ Eŭklidaj domajno ⊃ kampoj
#000122
Dividadrondo estas ringo tia ke ĉiu ne-nula elemento estas unuo.
Elstara ekzemplo de dividadrondo kiu ne estas kampo estas la ringo de kvaropoj.
Ĉiu centraliganto en dividadrondo ankaŭ estas dividadrondo.
Aparte, la centro de dividadrondo estas kampo.
Ĝi turnis ke ĉiu finhava domajno (aparte finhava dividado sonoregas) estas kampo;
aparte kommutativa ( la malgranda teoremo de la Wedderburn).
#000123
Ĉiu modulo super dividadrondo estas libera modulo (havas bazon);
sekve, multe de lineara algebro povas esti aranĝita super dividadrondo anstataŭe de kampo.
#000124
La studo da konjugacyoklasoj kompreneblas elstare en la klasika teorio de dividadrondoj.
Cartan fame demandis la sekvan demandon: surbaze de dividadrondo D kaj bonorda sub-dividado-ringo S kiu ne estas enhavita en la centro, ĉu ĉiu interna aŭtomorfismo de D limigas al aŭtomorfismo de S?
La respondo estas negativa: tio estas la Cartan-Brauer-Hua teoremo.
#000125
Ringo estas nomita semikuracherbringo se ĝi estas semikuracherbo kiel maldekstra modulo (aŭ dekstra modulo) super si mem;
t.e., rekta sumo de simplaj moduloj.
Ringo estas nomita semiprimitivulringo se ĝia Jacobson-radikalulo estas nul.
(La Jacobson-radikalulo estas la intersekciĝo de ĉiuj maksimumaj maldekstraj idealoj.
Ringo estas semikuracherbo se kaj nur se ĝi estas artinian kaj estas semiprimitivulo.
#000127
Algebro super kampo k estas artinian se kaj nur se ĝi havas finhavan dimension.
Tiel, semikuracherbalgebro super kampo estas nepre finhav-dimensia, dum simpla algebro povas havi senfinan dimension;
ekz., la ringo de diferencialaj operatoroj.
#000128
Ĉiu modulo super semikuracherbringo estas semikuracherbo.
(Pruvo: ĉiu libera modulo super semikuracherbringo estas klare semikuracherbo kaj ĉiu modulo estas kvociento de libera modulo.
#000129
Matricringo super dividadrondo estas semikuracherbo (fakte simpla).
( La teoremo de Maschke) La Weyl-algebro (super kampo) estas simplanima ringo;
ĝi ne estas semikuracherbo ĉar ĝi havas senfinan dimension kaj tiel ne artinian.
#000130
Semisimplicity estas proksime rilatita al separabileco.
Se okazas por esti kampo, tiam tio estas ekvivalenta al la kutima difino en kampa teorio (kp. separebla etendaĵo.
#000131
Por kampo k, k-algebro estas centra se ĝia centro estas k kaj estas simpla se ĝi estas simplanima ringo.
Ĉar la centro de simpla k-algebro estas kampo, ĉiu simpla k-algebro estas centra simpla algebro super sia centro.
En tiu sekcio, centra simpla algebro estas supozita havi finhavan dimension.
Ankaŭ, ni plejparte fiksas la bazkampon;
tiel, algebro rilatas al k-algebro.
#000132
La Skolem-Noether-teoremo deklaras ke ĉiu aŭtomorfismo de centra simpla algebro estas interna.
#000133
De la Artin-Wedderburn-teoremo, centra simplanima algebro estas la matricringo de dividadrondo;
tiel, ĉiu similecklaso estas reprezentita fare de unika dividadrondo.
#000134
Azumaya algebroj ĝeneraligas la nocion de centraj simplaj algebroj al kommutativa loka ringo.
#000135
La valortaksoorondo de v estas la subringo de K konsistanta el nul kaj ĉio nonzerf tia ke v ( f) ≥ 0.
#000136
Ĝi ankaŭ venas kun la valortakso v tia ke v ( f) estas la malplej elemento en la subteno de f.
La subringo konsistanta el elementoj kun finhava subteno estas nomita la grupringo de G (kiu sonas racie eĉ se G ne estas kommutativa).
Se G estas la ringo de entjeroj, tiam ni retrovas la antaŭan ekzemplon (de identigado de f kun la serio kies a koeficiento estas f ( n).
#000137
Ringo povas esti rigardita kiel abela grupo (de uzado de la aldonoperacio), kun ekstra strukturo: nome, ringomultipliko.
En laŭ la saman manieron, ekzistas aliaj matematikaj objektoj kiuj povas esti konsideritaj ringojn kun ekstra strukturo.
#000138
Asocieca algebro estas ringo kiu ankaŭ estas vektora spaco pli ol kampo K tia ke la skalara multipliko distribuas super la ringomultipliko.
Ekzemple, la aro de n - flank-n matricoj pli ol la reala kampo R havas dimension n 2 kiel reala vektora spaco.
Ekzemple, n - al flank-n matricoj super la realaj nombroj povus ricevi aŭ al la Eŭklida topologio, aŭ la Zariski-topologion kaj en ambaŭ kazoj oni akirus topologian ringon.
Λ-ringo estas komuta ringo R kune kun operacioj λ n :
R → R kiuj estas kiel n-th
#000139
La nocio ludas centran regulon en la algebra aliro al la Riemann-Roch teoremo.
#000140
Kelkaj ekzemploj de la ĉie-eco de ringoj
#000141
Multaj malsamaj specoj de matematikaj objektoj povas esti fruktodone analizitaj laŭ iu rilata ringo.
#000142
Al iu topologia spaco X oni povas asocii ĝian integritan kohomologioringon
#000143
Kohomologiogrupoj poste estis difinitaj laŭ homologiogrupoj en maniero kiel kiu estas proksimume analoga al la dualo de vektora spaco.
Por scii ĉiu individua integrita homologiogrupo estas esence la sama kiel konanta ĉiun individuan integritan kohomologiogrupon, pro la universala koeficientteoremo.
Tamen, la avantaĝo de la kohomologiogrupoj estas ke ekzistas naturprodukto, kiu estas analoga al la observado ke oni povas multobligi punktmanieron k - multilinia formo kaj l-multilinear formularo por ricevi ( k + l) multilinear formularon.
#000144
La ringostrukturo en kohomologio disponigas la fundamenton por karakterizaj klasoj de fibraj pakaĵoj, komunaĵan teorion sur duktoj kaj algebrajn variecojn, Schubert-kalkuladon kaj multe pli.
#000145
Al iu grupringo aŭ Hopf-algebro estas asociita ĝia reprezentantarrondo aŭ "Verda ringo".
La aldona grupo de la reprezentantarrondo estas la libera abela grupo kies bazo estas la neputrivaj moduloj kaj kies aldono egalrilatas al la rekta sumo.
Esprimi modulon laŭ la bazo trovas neputrivan putriĝon de la modulo.
La multipliko estas la tensorprodukto.
Kiam la algebro estas semikuracherbo, la reprezentantarrondo estas ĵus la karaktero ringo de karaktero teorio, kio estas pli daaŭ malpli la Grothendieck-grupo donita ringostrukturon.
#000147
Al iu nereduktebla algebra diverseco estas asociita ĝia funkcio regiono.
La punktoj da algebra diverseco egalrilatas al valortaksoorondoj enhavitaj en la funkciokampo kaj enhavantaj la kunordigitan ringon.
La studo de algebra geometrio faras pezan uzon de komuta algebro por studi geometriajn konceptojn laŭ ring-teoriaj trajtoj.
Biraciaj geometrio studoj mapas inter la subrings de la funkciokampo.
#000148
Ĉiu simplicial komplekso havas rilatan vizaĝringon, ankaŭ nomitan sia Stanley-Reisner-ringo.
Tiu ringo reflektas multajn el la kombinecaj trajtoj de la simplicial komplekso, tiel ke ĝi estas da speciala intereso en algebra kombinatoriko.
Aparte, la algebra geometrio de la Stanley-Reisner-ringo kutimis karakterizi la nombrojn da vizaĝoj en ĉiu dimensio de simplicial hiperpluredroj.
#000149
La monoida ago da ringo R sur abela grupo estas simple R-modulo .
Esence, R-modulo estas ĝeneraligo de la nocio de vektora spaco - kie prefere ol vektora spaco super kampo, oni havas "vektoran spacon super ringo".
#000150
Ĉiu ringo povas esti vidita kiel prealdona kategorio kun ununura objekto.
Estas tial nature konsideri arbitrajn prealdonajn kategoriojn esti ĝeneraligoj de ringoj.
Kaj efektive, multaj difinoj kaj teoremoj origine donitaj por ringoj povas esti tradukitaj al tiu pli ĝenerala kunteksto.
Aldonaj funktoroj inter prealdonaj kategorioj ĝeneraligas la koncepton de ringo homomorfism, kaj idealoj en aldonaj kategorioj povas esti difinitaj kiel aroj de morfismoj fermitaj sub aldono kaj sub kunmetaĵo kun arbitraj morfismoj.
#000153
Algebristoj difinis strukturojn pli da generalo ol ringoj per malfortiĝado aŭ faligado de kelkajn el ringaksiomoj.
#000154
Rng estas la sama kiel ringo, krom ke la ekzisto de multiplika identeco ne estas supozita.
#000155
Nonasociative-ringo estas algebra strukturo kiu kontentigas ĉiujn la ringaksiomoj sed la asocieco kaj la ekzisto de multiplika identeco.
Tie ekzistas kelkajn strukturteorio por tiaj algebroj kiu ĝeneraligas la analogajn rezultojn por Lie-algebroj kaj asociecaj algebroj.
#000156
[ citaĵo bezonis ] Semiring
#000157
Semiringo akiriĝas malfortigante la supozon kiu ( R, +) estas abela grupo al la supozo kiu ( R, +) estas kommutativan monoidan, kaj adiciante la aksiomon tiujn 0
0 = 0 por ĉio en R (ĉar ĝi jam ne sekvas el la aliaj aksiomoj).
#000158
En algebra geometrio, ringoskemo super bazoskemo S estas ringobjekto en la kategorio da S-skemo.
Unu ekzemplo estas la ringoskemo W da n super Spec Z, kiu por iu komuta ringo A resendas la ringon W da n ( A) de p-isotypic Witt-vektoroj de longo n pli ol A.
#000160
En praktiko, oni ofte difinas ringospektron kiel monoidan objekton en bona kategorio da spektroj kiel ekzemple la kategorio da simetriaj spektroj.
#000161
Ringo estas algebra strukturo (R, +, ·) tiel, kiel
#000168
La neŭtran elementon de (R,+) oni nomas nulo (0).
Se ekzistas neŭtra elemento de (R,·), ĝi nomiĝas unu kaj (R,+,·) unuhavanta ringo.
Se (R, ·) estas eĉ komuta duongrupo, oni nomas (R,+,·) komuta ringo (kaj tiam oni nur devas validigi unu el la du distribuecaj aksiomoj, ĉar ili ekvivalentas).
#000170
La substrukturoj de ringoj estas la idealoj kaj subringoj (tiuj ĉi estas subaroj, kiuj mem estas ringoj kun la samaj operacioj, kaj kun la sama unu se ringoj devas esti unuhavantaj).
#000171
la aro de entjeraj nombroj
por ĉiu natura nombro n la aro de la n-dimensiaj matricoj
#000172