En lineara algebro, lineartransformoj povas esti reprezentitaj per matricoj.
#000001
por iu m × n matrico A, nomita la transformmatrico de T .
Ekzistas alternativaj esprimoj de transformmatricoj implikantaj vicvektorojn kiuj estas preferitaj fare de kelkaj verkintoj.
#000002
Matricoj permesas al arbitraj lineartransformoj esti elmontritaj en kohera formato, taŭga por komputado.
Tio ankaŭ permesas al transformoj esti interligitaj facile (de multobligado de iliaj matricoj).
#000004
Lineartransformoj ne estas la nuraj kiuj povas esti reprezentitaj per matricoj.
Kelkaj transformoj kiuj estas ne-liniaj sur n-dimensia eŭklida spaco R da n povas esti reprezentitaj kiel lineartransformoj sur la n 1-dimensia spaco R da n +1.
Tiuj inkludas kaj afinajn transformojn (kiel ekzemple traduko) kaj projekciajn transformojn.
Tial, 4×4 transformmatricoj estas vaste utiligitaj en 3D komputila grafiko.
Tiu n kiun 1-dimensiaj transformmatricoj estas nomitaj, depende de sia aplikiĝo, afintransformaj matricoj, projekciaj transformmatricoj, aŭ pli ĝenerale ne-liniaj transformmatricoj.
Kun respekto al n-dimensia matrico, n 1-dimensia matrico povas esti priskribita kiel pliigita matrico.
#000005
En la fizikaj sciencoj, aktiva transformo estas unu kiu fakte ŝanĝas la fizikan pozicion de sistemo, kaj sonas racie eĉ en la foresto de koordinatsistemo dum pasiva transformo estas ŝanĝo en la kunordigita priskribo de la fizika sistemo ( ŝanĝo de bazo).
La distingo inter aktivaj kaj pasivaj transformoj estas grava.
Per, per transformo, matematikistoj kutime volas diri aktivajn transformojn, dum fizikistoj povis signifi ĉiu el ambaŭ.
#000006
Metita alimaniere, pasiva transformo nomas priskribon de la sama objekto rigardite de du malsamaj kunordigitaj kadroj.
#000007
Trovante la matricon de transformo
#000008
Uzi ĉi-supran procezon (supozu ke n = 2 en tiu kazo) rivelas tion
#000009
Devas notiĝi ke la matricreprezentado de vektoroj kaj funkciigistoj dependas de la elektita bazo;
simila matrico rezultiĝos el alterna bazo.
Tamen, la metodo trovi la komponentojn restas la sama.
#000010
La rezulta ekvacio estas konata kiel Eigen-valorekvacio.
La eigenvektors kaj Eigen-valoroj estas derivitaj de ĝi per la karakteriza ekvacio .
#000011
Kun diagonaligo, estas ofte eble tradukiĝi al kaj de eigenbase'oj.
#000012
Ekzemploj en 2D komputila grafiko
#000013
La plej multaj komunaj geometriaj transformoj kiuj konservas la originon fiksis estas liniaj, inkluzive de rotacio, skalante, tondado, reflektadon, kaj ortogonalan projekcion;
se afina transformo ne estas pura traduko ĝi retenas iun punkton fiksa, kaj tiu punkto povas esti elektita kiel origino por igi la transformon linia.
En du dimensioj, lineartransformoj povas esti reprezentitaj uzante 2×2 transformmatricon.
#000014
Streĉado en la xy-aviadilo estas lineartransformo kiu pligrandigas ĉiujn distancojn en speciala direkto de konstanta faktoro sed ne influas distancojn en la perpendikulara direkto.
Ni nur pripensas streĉadojn laŭ la absciso kaj ipsilonakso.
Streĉado laŭ la absciso havas la formonx' = kx; y' = ypor iu pozitiva konstantok.
(Notu tion sek1 estas>, tiam tio vere estas "streĉado";
sek1 estas<, ĝi estas teknike "kunpremado", sed ni daŭre nomas ĝin streĉado.
Ankaŭ, sek= 1, tiam la transformo estas identeco, t.e. ĝi havas neniun efikon.
#000015
La matrico asociita kun streĉado per faktoroklaŭ la absciso ricevas per:
#000016
Simile, streĉado de faktoroklaŭ la ipsilonakso havas la formonx' = x; y' = ky, do la matrico asociita kun tiu transformo estas
#000017
Skribita en matricformularo, tio iĝas: [4]
#000018
Tiuj formuloj supozas ke la absciso indikas dekstra kaj la ipsilonakso indikas supren.
En formatoj kiel ekzemple SVG kie la ipsilonakso indikas malsupren, tiuj matricoj devas esti interŝanĝitaj.
#000019
Por tondmapado (vide simila al oblikva), ekzistas du eblecoj.
#000020
Ĉar kun reflektadoj, la ortogonala projekcio sur linio kiu ne pasas tra la origino estas afina, ne linia, transformo.
#000021
Paralelaj projekcioj ankaŭ estas lineartransformoj kaj povas esti reprezentitaj simple per matrico.
Tamen, perspektivaj projekcioj kaj reprezenti tiujn kun matrico, ne estas homogenaj koordinatoj povas esti uzitaj.
#000022
La matrico por rotacii angulon θ koncerne la akson difinitan per unuobla vektoro ( l, m, n) estas [5]
#000023
Notu ke tiuj estas specialaj kazoj de Householder-reflektado en du kaj tri dimensioj.
Reflektado pri linio aŭ aviadilo kiu ne ekzamenas la originon estas ne lineartransformo - ĝi estas afina transformo - kiel 4x4 afintransforma matrico, ĝi povas esti esprimita jene (supozante ke la normalo estas unuobla vektoro):
#000024
Se la 4-a komponento de la vektoro estas 0 anstataŭe de 1, tiam la direkto de nur la vektoro estas reflektita kaj ĝia longo restas senŝanĝa, kvazaŭ ĝi estus spegulitaj tra paralela aviadilo kiu enirpermesiloj tra la origino.
Vidu homogenajn koordinatojn kaj afinajn transformojn malsupre por plia klarigo.
#000025
Unu el la ĉefinstigoj por utiligado de matricoj por reprezenti lineartransformojn estas ke transformoj tiam povas esti facile kunmetitaj ( kombinitaj) kaj inversigitaj.
#000026
Kunmetaĵo estas plenumita per matrica multipliko.
Se A kaj B estas la matricoj de du lineartransformoj, tiam la efiko de surŝmirado de unua A kaj tiam B al vektoro x ricevas per:
#000027
(Tio estas nomita la asocieca posedaĵo.
En aliaj vortoj, la matrico de la kombinita transformo A sekvita per B estas simple la produkto de la individuaj matricoj.
Notu ke la multipliko estas farita en la kontraŭa sinsekvo de la angla frazo: la matrico de " sekvita per B " estas BA, ne AB-.
#000028
Sekvo de la kapablo kunmeti transformojn multobligante iliajn matricojn estas ke transformoj ankaŭ povas esti inversigitaj simple inversigante siajn matricojn.
Tiel, −1 reprezentas la transformon kiu "malfaras" A.
#000029
Por reprezenti afinajn transformojn kun matricoj, ni povas uzi homogenajn koordinatojn.
Tio intencas reprezenti 2-vektoron ( x, y) kiel 3-vektoro ( x, y, 1), kaj simile por pli alta grandeco.
Uzante tiun sistemon, traduko povas esti esprimita kun matrica multipliko.
#000030
Ĉiuj ordinaraj lineartransformoj estas inkluditaj en la aro de afinaj transformoj, kaj povas esti priskribitaj kiel simpligita formo de afinaj transformoj.
Tial, ĉiu lineartransformo ankaŭ povas esti reprezentita per ĝenerala transformmatrico.
Ĉi-lasta akiriĝas vastigante la ekvivalentan lineartransformmatricon per unu vico kaj kolono, plenigante la ekstran spacon kun nuloj krom la malsupra-dekstra angulo, kiu devas esti atribuita al 1-a Ekzemple, la kontraŭ-dekstruma rotaciomatrico de supre iĝas:
#000031
Utiligante transformmatricojn enhavantajn homogenajn koordinatojn, tradukoj iĝas linie sendependaj, kaj tiel povas esti senjunte miksitaj kun ĉiuj aliaj specoj de transformoj.
La kialo estas ke la reala aviadilo estas mapita al la w = 1 aviadilo en reala projekcia spaco, kaj tiel traduko en reala eŭklida spaco povas esti reprezentita kiel tondo en reala projekcia spaco.
Kvankam traduko estas ne-linia transformo en 2-D aŭ 3-D eŭklida spaco priskribita per kartezaj koordinatoj (t.e. ĝi ne povas esti kombinita kun aliaj transformoj konservante komutecon kaj aliajn trajtojn), ĝi iĝas, en 3-D aŭ 4-D projekcia spaceto priskribita per homogenaj koordinatoj, simpla lineartransformo ( tondo).
#000032
Pli afinaj transformoj povas esti akiritaj per kunmetaĵo de du aŭ pli da afinaj transformoj.
#000033
Dum uzado de afinaj transformoj, la homogena komponento da kunordigita vektoro (normale nomita w) neniam estos ŝanĝita.
Oni povas tial sekure supozi ke ĝi ĉiam estas 1 kaj ignoras ĝin.
Tamen, tio ne estas vera dum utiligado de perspektivaj projekcioj.
#000034
Alia speco de transformo, da graveco en 3D komputilgrafikoj, estas la perspektiva projekcio.
Dum paralelaj projekcioj estas utiligitaj por projekcii punktojn sur la bildaviadilo laŭ paralelaj linioj, la perspektivprojekciajn projektopunktojn sur la bildaviadilo laŭ linioj kiuj eliras el ununura punkto, nomita la centro de projekcio.
Tio signifas ke objekto havas pli malgrandan projekcion kiam ĝi estas malproksime de la centro de projekcio kaj pli granda projekcio kiam ĝi estas pli proksima.
#000035
La plej simpla perspektiva projekcio utiligas la originon kiel la centron de projekcio, kaj z = 1 kiel la bildaviadilon.
Ni povas esprimi tion en homogenaj koordinatoj kiel:
#000036
Post aranĝado de la matrica multipliko, la homogena komponento wc faras, ĝenerale, ne esti egala al 1-a Tial, mapi reen en la realan aviadilon kiun ni devas elfari la homogenajn disigas aŭ perspektivo dividas per dividanta ĉiun komponenton per wc :
#000037
Pli d komplikaj perspektivaj projekcioj povas esti kunmetitaj kombinante tiu-ĉin kun rotacioj, pesilo, tradukojn, kaj tondojn por movi la bildaviadilon kaj centron de projekcio kie ajn ili estas dezirataj.
#000038