En matematiko, parametrikaj ekvacioj difinas grupon de kvantoj kiel funkciojn de unu aŭ pluraj sendependaj variabloj nomitaj parametroj.
Parametrikaj ekvacioj estas ofte utiligitaj por esprimi la koordinatojn de la punktoj kiuj konsistigas geometrian objekton kiel ekzemple kurbo aŭ surfaco, en kiu kazo la ekvacioj estas kolektive nomitaj parametrika reprezentantaro aŭ parametroigo de la objekto.
#000001
formo parametrika reprezentado de la trigonometria cirklo, kie t estas la parametro.
#000002
Aldone al kurboj kaj surfacoj, parametrikaj ekvacioj povas priskribi duktojn kaj algebrajn variecojn de pli alta dimensio, kun la nombro da parametroj estantaj egala al la dimensio de la dukto aŭ diverseco, kaj la nombro da ekvacioj estantaj egala al la dimensio de la spaco en kiu la dukto aŭ diverseco estas pripensitaj (ĉar kurboj la dimensio estas unu kaj unu parametro estas utiligitaj, por surfacdimensio du kaj du parametroj, ktp.).
#000003
Parametrikaj ekvacioj estas ofte utiligitaj en kinematiko, kie la trajektorio de objekto estas reprezentita per ekvacioj dependantaj ĝustatempe kiel la parametro.
Pro tiu aplikiĝo, ununura parametro ofte estas etikedita t;
tamen, parametroj povas reprezenti aliajn fizikajn kvantojn (kiel ekzemple geometriaj variabloj) aŭ povas esti selektitaj propraaŭtoritate por oportuno.
pli ol unu aro de parametrikaj ekvacioj povas precizigi la saman kurbon.
#000004
3 Ekzemploj en du dimensioj 3.1
4 Ekzemploj en tri dimensioj 4.1
#000005
En kinematiko, la padoj de objektoj tra spaco estas ofte priskribitaj kiel parametrikaj kurboj, kie ĉiu spaca koordinato dependas eksplicite de sendependa parametro (kutime tempo).
Uzita laŭ tiu maniero, la aro de parametrikaj ekvacioj por la koordinatoj de la objekto kolektive konsistigas vektor-aprezitan funkcion por pozicio.
Tiaj parametrikaj kurboj tiam povas esti integra kaj nuancita esprimmaniero.
Tiel, se la pozicio de partiklo estas priskribita parametrical kiel
#000006
tiam ĝia rapideco povas esti trovita kiel
#000007
Alia grava uzo de parametrikaj ekvacioj estas en la kampo de komputil-helpata dezajno (CAD).
Ekzemple, pripensas la sekvajn tri reprezentantarojn, ĉiuj pri kiuj estas ofte uzitaj por priskribi planar kurbojn.
#000008
La unuaj du tipoj estas konataj kiel analizisto, aŭ ne-parametric, reprezentadoj de kurboj;
se komparite kun parametrikaj reprezentantaroj por uzo en CAD-aplikoj, ne-parametric reprezentantaroj havas mankojn.
Aparte, la ne-parametric reprezentantaro dependas de la elekto de la koordinatsistemo kaj ne pruntedonas sin bone al geometriaj transformoj, kiel ekzemple rotacioj, tradukoj, kaj malpliigo;
ne-parametric reprezentantaroj tial pli malfacilaigas generi punktojn sur kurbo.
Tiuj problemoj povas esti traktitaj reverkante la ne-parametric ekvaciojn en parametrika formo.
#000009
Multaj problemoj en entjergeometrio povas esti solvitaj utiligante parametrikajn ekvaciojn.
La plej vaste konataj tia solvo estas la solvo de Eŭklido en entjeroj por la gamboj , b kaj la hipotenuzo c de primitiva orta triangulo:
#000010
kiu estas parametrika sur la Interprim entjeroj m kaj n de kontraŭa egaleco.
#000011
Se unu el tiuj ekvacioj povas esti solvitaj por t, la esprimo akirita povas esti anstataŭigita en la alian ekvacion por akiri ekvacion implikantan x kaj y nur.
#000012
Se la parametrigo ricevas per raciaj funkcioj
#000013
kie p, q, r estas aro-maniero Interprim polinomoj, rezulta komputado permesas al implicitize.
Pli ĝuste, la implica ekvacio estas la fortrezultanto kun respekto al t da ksr ( t
p ( t) kaj jaro ( t
#000014
En pli alta dimensio (ĉiu el ambaŭ pli ol du koordinatoj de pli ol unu parametro), la implicigo de raciaj parametrikaj ekvacioj povas de finita kun Gröbner-baz komputado;
vidu Gröbner-baz§ Implicigo en pli alta dimensio.
#000015
En kelkaj kazoj ekzistas neniu ununura ekvacio en fermita formo kiu estas ekvivalenta al la parametrikaj ekvacioj.
#000016
Preni la ekzemplon de la cirklo de radiuso supran, la parametrikajn ekvaciojn
#000017
povas esti simple esprimita laŭ x kaj y per la pitagorea trigonometria identeco:
#000018
kiu estas facile identigebla kiel speco de koniko (en tiu kazo, cirklo).
#000019
La plej simpla ekvacio por parabolo,
#000020
Pli ĝenerale, ajna kurbo donita per eksplicita ekvacio
#000022
Pli sofistika ekzemplo estas la sekvanta.
Pripensu la trigonometrian cirklon kiu estas priskribita per la ordinara (karteza) ekvacio
#000023
Tiu ekvacio povas esti parameterigita jene:
#000024
Kun la karteza ekvacio estas pli facile kontroli ĉu punkto situas sur la cirklo aŭ ne.
Kun la parametrika versio estas pli facile akiri punktojn en intrigo.
#000025
En kelkaj kuntekstoj, parametrikaj ekvacioj implikantaj nur raciajn funkciojn (kiu estas frakcioj de du polinomoj) estas preferitaj, se ili ekzistas.
Koncerne la cirklon, tia racia parametroigo estas
#000026
Kun tiu parametrika ekvacio, la punkto (- 1 , 0) ne estas reprezentita per reala valoro de t , sed proksime de la limo de x kaj y kiam t tendencas al senfineco.
#000027
Elipso en kanonika pozicio (centro ĉe origino, grava akso laŭ la Absciso) kun semi-aksoj a kaj b povas esti reprezentita parametrical kiel
#000028
Elipso en ĝenerala pozicio povas esti esprimita kiel
#000029
ĉar la parametro t distingiĝas de 0 ĝis 2π.
#000030
Lissajoza kurbo estas simila al elipso, sed la x kaj y-sinusoidoj ne estas en fazo.
En kanonika pozicio, Lissajoza kurbo ricevas per
#000031
Orientokcidenta malfermaĵhiperbolo povas esti reprezentita parametrical per
#000032
Nord-suda malfermaĵhiperbolo povas esti reprezentita parametrical kiel
#000033
En ĉiu formuloj ( h, k) estas la centrokoordinatoj de la hiperbolo, estas la longo de la semi-grava akso, kaj b estas la longo de la malgranda duonakso.
#000034
Hipotrokoida estas kurbo spurita per punkto ĉemetita al cirklo de radiuso r ruliĝanta ĉirkaŭ la interno de fiksa cirklo de radiuso R, kie la punkto estas ĉe distanco d de la centro de la interna cirklo.
#000035
Hipotrokoida por kiu r = d
Hipotrokoida por kiu R = 5, r = 3, d = 5
#000036
La parametrikaj ekvacioj por la hipotrokoidoj estas:
#000037
Parametrikaj ekvacioj estas oportunaj por priskribado de kurboj en higher-dimensiaj spacoj.
#000038
priskribas tridimensian kurbon, la helicon, kun radiuso de kaj altiĝantaj per 2πb sekcioj per turno.
Notu ke la ekvacioj estas identaj en la aviadilo al tiuj por cirklo.
Tiaj esprimoj kiel tiu supre estas ofte skribitaj kiel
#000039
kie r estas tridimensia vektoro.
#000040
Toro kun grava radiuso R kaj negrava radiuso r povas esti difinita parametrical kiel
#000041
kie la du parametroj t kaj u ambaŭ varias inter 0 kaj 2π.
#000042
Ĉar u distingiĝas de 0 ĝis 2π la punkto sur la surfaco moviĝas koncerne mallongan cirklon pasantan tra la truo en la Toro.
Ĉar t distingiĝas de 0 ĝis 2π la punkto sur la surfaco moviĝas koncerne longan cirklon ĉirkaŭ la truo en la Toro.
#000043
Retoprogramo por tiri parametrikajn kurbojn sur la aviadilo
#000045