Wikipedia's Holonomy as translated by GramTrans
#000000
En diferenciala geometrio, la holonomio de ligo sur difencigebla plurejo estas ĝenerala geometria sekvo de la kurbeco de la ligo alĝustiganta la amplekson al kiu paralela transporto ĉirkaŭ fermitaj bukloj ne konservas la geometriajn datenojn estante transportita.
Por plataj ligoj, la rilata holonomio estas speco de monodromio, kaj estas esence tutmonda nocio.
Por kurbaj ligoj, holonomio havas nesensignifajn lokajn kaj tutmondajn ecojn.
#000001
Ajna speco de ligo sur dukto kaŭzas, tra siaj paralelaj transportmapoj, iun nocion de holonomio.
La plej oftaj formoj de holonomio estas por ligoj posedantaj iun specon de simetrio.
Gravaj ekzemploj inkludas: holonomio de la Levi-Civita ligo en rimana geometrio (nomita Riemaniana holonomio), holonomio de ligoj en vektorfaskoj, holonomio de Cartan-ligoj, kaj holonomio de ligoj en ĉeffaskoj.
En ĉiu el tiuj kazoj, la holonomio de la ligo povas esti identigita kun Lie grupo, la holonomiogrupo.
La holonomio de ligo estas proksime rilatita al la kurbeco de la ligo, per la Ambrozia-kantistteoremo .
#000002
La studo de Riemaniana holonomio kaŭzis kelkajn gravajn evoluojn.
La holonomio estis lanĉita fare de Cartan (1926) por legi kaj klasifiki simetriajn spacojn.
Ĝi ne estis ĝis multe pli poste tiu holonomio grupoj estus uzita por studi rimanan geometrion en pli ĝenerala konteksto.
En 1952 Georges de Rham pruvis la de Rham-putriĝteoremon, principon por dividado de Riemaniana dukto en kartezan produkton de Riemanianaj duktoj dividante la klavfaskon en neredukteblajn spacojn sub la ago de la lokaj holonomiogrupoj.
Poste, en 1953, M. Berger klasifikis la eblan neredukteblan holonomies.
La putriĝo kaj klasifiko de Riemaniana holonomio havas aplikojn al fiziko kaj teorion de kordoj.
#000003
Holonomy de ligo en vektorfasko
Holonomy de ligo en ĉeffasko
#000005
1 Aplikoj por teorion de kordoj
#000007
Holonomy de ligo en vektorfasko
#000008
Lasu E esti rekta k vektorfasko super glata multnombra M kaj lasi ∇ esti ligo sur E.
Surbaze de pecmaniera glata buklo γ: [0,1] → M bazita ĉe x en M, la ligo difinas paralela transport mapo P γ:
Tiu mapo estas kaj linia kaj invertebla kaj tiel difinas elementon de la ĝenerala lineara grupo Gl ( Eks- ).
La holonomiogrupo de ∇ bazita ĉe x estas difinita kiel
#000009
La limigita holonomiogrupo bazita ĉe x estas la subgrupa Hol0 x (∇) venanta de kuntireblaj bukloj γ.
#000010
Se M estas ligita tiam la holonomiogrupo dependas de la bazpunkto x nur supren al konjugacio en Gl ( k, R).
Eksplicite, se γ estas pado de x ĝis y en M tiam
#000011
Elektaj malsamaj identigoj de Eks- kun R da k ankaŭ donas al konjugato subgrupojn.
Foje, precipe ĝenerale aŭ neformalaj diskutoj (kiel ekzemple malsupre), oni povas faligi referencon al la bazpunkto, kun la kompreno kiu la difino estas bona supren al konjugacio.
#000012
Hol0 (∇) estas al ligita, Lie-subgrupo de Gl ( k, R).
Hol0 (∇) estas la identeckomponento de Hol (∇).
grupa homomorfism π1 ( M) → Hol (∇)/ Hol0 (∇), kie π1 ( M) estas la fundamenta grupo de M, kiu sendas la homotopyoklason [γ] al la kun-grupo Pγ
Se M estas simple ligita tiam Hol (∇) = Hol0
∇ estas plata (t.e. havas malaperan kurbiĝon) se kaj nur se Hol0 (∇) estas sensignifa.
#000014
La difino por holonomio de ligoj sur ĉeffaskenspezo en paralelmodo.
Lasu G esti Lie grupo kaj P rektoro G-bundle super glata multnombra M kiu estas parakompaktujo.
Lasu ω esti ligo sur P.
Surbaze de pecmaniera glata buklo γ: [0,1] → M bazita ĉe x en M kaj punkto p en la fibro super x, la ligo difinas unikan horizontalan lifton tia ke.
La finpunkto de la horizontala lifto,, ne ĝenerale estas p sed prefere iu alia punkto p
g en la fibro super x.
Difini ekvivalentrilat sur P per dirado ke p ~ q se ili povas esti eniritaj per pecmaniero al glata horizontala pado en P.
#000016
La holonomiogrupo de ω bazita ĉe p tiam estas difinita kiel
#000017
La limigita holonomiogrupo bazita ĉe p estas la subgrupa Hol0 p (ω) venanta de horizontalaj liftoj de kuntireblaj bukloj γ.
#000018
Se M kaj P estas ligitaj tiam la holonomiogrupo dependas de la bazpunkto p nur supren al konjugacio en G.
Eksplicite, se q estas ajna alia elektita bazpunkto por la holonomio, tiam tie ekzistas unika g ∈ G tia ke q p g.
Kun tiu valoro de g,
#000019
Krome, se p q tiam Hol p (ω) = Hol q (ω).
Kiel supre, foje unu faligas referencon al la bazpunkto de la holonomiogrupo, kun la kompreno kiu la difino estas bona supren al konjugacio.
#000020
Hol0 p (ω) estas ligita Mensogsubgrupo de G.
Hol0 p (ω) estas la identeckomponento de Hol p (ω).
Ekzistas natura, surjektive grupa homomorfism π1 ( M) → Hol p (ω)/ Hol0 p (ω).
Se M estas simple ligita tiam Holp (ω) = Hol0 p (ω).
ω estas plata (t.e. havas malaperan kurbiĝon) se kaj nur se Hol0 p (ω) estas sensignifa.
#000022
Ĉar kun la holonomiogrupoj, la holonomiofasko ankaŭ transformas ekvivariantly ene de la ĉirkaŭa ĉeffasko P.
En detalo, se q ∈ P estas alia elektita bazpunkto por la holonomio, tiam tie ekzistas unika g ∈ G tia ke q p g (poste, de supozo, M estas pad-ligita).
Kiel sekvo, la induktitaj ligoj sur holonomiofaskoj egalrilatantaj al malsamaj elektoj de bazpunkto estas kongruaj unu kun la alia: iliaj paralelaj transportmapoj malsamos je ĝuste la sama elemento g.
#000024
La holonomiofasko H ( p) estas ĉeffasko por Holp (ω), kaj tiel ankaŭ koncedas agon da la limigita holonomiogrupo Hol0 p (ω) (kiu estas normala subgrupo de la plena holonomiogrupo).
La diskreta grupo Holp (ω)/ Hol0 p (ω) estas nomita la monodromiogrupo de la ligo;
ĝi reagas al la kvocientfasko H ( p)/ Hol0 p (ω).
Tiu ago de la fundamenta grupo estas monodromioreprezentado de la fundamenta grupo.
#000025
P → M estas ĉeffasko, kaj ω estas ligo en P, tiam kiun la holonomio de ω povas esti malvastanima al la fibro super malferma subaro de M.
Efektive, se U estas ligita malferma subaro de M, tiam ω limigas por doni ligon en la fasko π −1 U super U.
malvastanima holonomio) de tiu fasko estos indikita fare de Hol p (ω, U) (resp.
Hol p 0 (ω, U) por ĉiu p kun π ( p
#000026
La loka holonomiogrupo ĉe punkto p estas difinita per
#000028
La loka holonomiogrupo havas la sekvajn trajtojn:
#000030
Ĝi estas ligita Mensogsubgrupo de la limigita holonomiogrupo Hol p 0 (ω).
Ĉiu punkto p havas najbarecon V tia ke Hol p ÷ (ω) =Hol p 0 (ω, V).
Aparte, la loka holonomiogrupo dependas nur de la punkto p, kaj ne la elekto de sekvenco U k kutimis difini ĝin.
La loka holonomio estas ekvivariaĵo kun respekto al traduko de elementoj de la strukturgrupo G de P;
(Notu tion, proksime de posedaĵo 1.
, la loka holonomiogrupo estas ligita Mensogsubgrupo de G, tiel ke la adjunkto estas klare difinita.
#000031
La loka holonomiogrupo ne estas bonkonduta kiel tutmonda objekto.
Aparte, ĝia dimensio povas malsukcesi esti konstanta.
Tamen, la sekva teoremo tenas:
#000032
Se la dimensio de la loka holonomiogrupo estas konstanta, tiam la loka kaj limigita holonomio konsentas: Hol÷ p (ω) = Hol p 0 (ω).
#000033
La Ambrozia-kantistteoremo ligas la holonomion de ligo en ĉeffasko kun la kurbiĝformularo de la ligo.
Igi tiun teoremon kredinda, pripensi la konatan kazon de afina ligo (aŭ ligo en la klavfasko - la Levi-Civita ligo, ekzemple).
La kurbiĝo ekestas kiam oni vojaĝas ĉirkaŭ infinitezimala paralelogramo.
#000034
En detalo, se σ: [0, 1] × [0, 1] → M estas surfaco en M parametrigita de paro de variabloj x kaj y, tiam vektoro V povas esti transportita ĉirkaŭ la limo de σ: unue antaŭen ( x, 0), tiam antaŭen (1, y), sekvita per ( x, 1) irado en la negativa direkto, kaj tiam (0, y) reen al la punkto de origino.
Tio estas speciala kazo de holonomiobuklo: la vektoro V estas agita sur per la holonomia grupelemento egalrilatanta al la lifto de la limo de σ.
La kurbiĝo eniras eksplicite kiam la paralelogramo estas ŝrumpita al nul, per krucado de la limo de pli malgrandaj paralelogramoj super [0, x] × [0, y].
Tio egalrilatas al prenado de derivaĵo de la paralelaj transportmapoj ĉe x = y = 0:
#000035
kie R estas la kurbiĝtensoro.
Tiel, malglate parolante, la kurbiĝo donas la infinitezimalan holonomion super fermita buklo (la infinitezimala paralelogramo).
Pli formale, la kurbiĝo estas la diagnozalternativo de la holonomiago ĉe la identeco de la holonomiogrupo.
En aliaj vortoj, R ( X, Y) estas elemento de la Lie-algebro de Hol p (ω).
#000036
Ĝenerale, konsideru la holonomion de ligo en ĉeffasko P → M super P kun strukturgrupo G.
Indikante la Lie-algebron de G je g, la kurbiĝformularo de la ligo estas g-aprezi 2-forma ω sur P.
#000037
La kiun Lie-algebro de Hol p (ω) estas enhavita per ĉiuj elementoj de g da la formωq ( X, Y) kiel q varias super ĉiuj punktoj kiuj povas esti akompanitaj al p per horizontala kurbo ( q p), kaj Xa kaj Y estas horizontalaj klavvektoroj ĉe q.
Alternative, la teoremo povas esti reproponita laŭ la holonomiofasko: [5]
La Lie-algebro de Holp (ω) estas la subspaco de g enhavita per elementoj de la formo ω q ( X, Y) kie q ∈ H ( p) kaj Xa kaj Y estas horizontalaj vektoroj ĉe q.
#000038
Unu el la plej fruaj fundamentaj rezultoj sur Riemaniana holonomio estas la teoremo de Borel & Lichnerowicz (1952), kiu asertas ke la holonomiogrupo estas fermita Mensogsubgrupo de O ( n).
#000040
Lasu x ∈ M esti arbitra punkto.
Tiam la holonomiogrupo Hol ( M) reagas al la klavspactx M.
Tiu ago povas aŭ esti nereduktebla kiel grupa prezento, aŭ reduktebla en la senco ke ekzistas disfendado de Tx M en ortogonalajn subspacojn Tx M = T′ x M ⊕ T′′ x M, ĉiu el kiu estas senvaria sub la ago de Hol ( M).
En ĉi-lasta kazo, M laŭdire estas reduktebla.
#000042
Supozu ke M estas reduktebla dukto.
Permesante al la poento x variigi, la faskojn T′ M kaj T′′ M formita per la redukto de la klavspaco ĉe ĉiu punkto estas glataj distribuoj kiuj estas integrablaj en la signifo de Frobenius.
La integritaj duktoj de tiuj distribuoj estas komplete geodeziaj subduktoj.
Tiel M estas loke karteza produkta M′ × M′′.
La (loka) de Rham-izomorfio sekvas daŭrigante tiun procezon ĝis kompleta redukto de la klavspaco estas realigita: [6]
#000043
Se, krome, M estas supozita esti geodezie kompleta, tiam la teoremo tenas tutmonde, kaj ĉiu Mejl. estas geodezie kompleta dukto.
#000046
Duktoj kun holonomio Sp ( n)
Sp (1) estis samtempe volita en 1965 de Edmond Bonan kaj Vivian Yoh Kraines kaj ili konstruis la paralelon 4-forman.
#000048
Duktoj kun holonomio G2 aŭ Spin (7) estis unue lanĉitaj fare de Edmond Bonan en 1966, kiu konstruis ĉiujn paralelajn formojn kaj montris ke tiuj duktoj estis Ricci-plataj.
#000049
(La origina listo de Berger ankaŭ inkludis la eblecon de Spin (9) kiel subgrupo de TIEL (16).
Riemanianaj duktoj kun tia holonomio poste estis montritaj sendepende fare de D. Alekseevski kaj Bruna-grizo por esti nepre loke simetriaj, t.e., loke izometraj al la Cayley-aviadilo F4 /Spin (9) aŭ loke plataj.
Estas nun konata ke ĉiuj tiuj eblecoj okazas kiel holonomiogrupoj de Riemanianaj duktoj.
La lastaj du esceptoj estis la plej malfacile troveblaj.
Vidu G2 multnombra kaj Spin (7) dukton.
#000050
Notu ke Sp ( n) ⊂ Su ( 2n) ⊂ U ( 2n) ⊂ TIEL ( 4n), tiel ke ĉiu hiperkähler dukto estas Calabi-Yau-dukto, ĉiu Calabi-Yau-dukto estas Kähler-dukto, kaj ĉiu Kähler-dukto estas orientebla.
#000051
La stranga listo supre estis klarigita per la pruvo de Simons de la teoremo de Berger.
Simpla kaj geometria pruvo de la teoremo de Berger ricevis fare de Carlos E. Olmos en 2005.
Unu unua montras ke se Riemaniana dukto ne estas loke simetria spaco kaj la reduktita holonomio reagas neredukteble al la klavspaco, tiam ĝi reagas transitive al la unuobla pilko.
La Lie-grupoj reagantaj transitive al sferoj estas konataj: ili konsistas el la listo supraj, kune kun 2 ekstraj kazoj: la grupo Turniĝas (9) reagi al R 16, kaj la grupo T
Sp ( m) reagante al R 4m .
Finfine oni kontrolas ke la unua el tiuj du ekstraj kazoj nur okazas kiel holonomiogrupo por loke simetriaj spacoj (kiuj estas loke izomorfaj al la Cayley-projekcia aviadilo), kaj la dua ne okazas entute kiel holonomiogrupo.
#000052
[ citaĵo bezonis ] Riemanianaj simetriaj regionoj, kiuj estas loke izometraj ĝis homogenaj regionoj G / H havas lokan holonomion izomorfaj al H.
Tiuj ankaŭ estis tute klasifikitaj.
#000054
La unitariaj kaj specialaj unitariaj holonomioj ofte estas studitaj lige kun tŭistorteorio, [10] same kiel en la studo de preskaŭ kompleksaj strukturoj.
#000058
Riemanianaj duktoj kun speciala holonomio ludas gravan rolon en teorio de kordoj
Tio estas ĉar specialaj holonomioduktoj koncedas kovariantly konstanton (paralelan) spinors kaj tiel konservas iun frakcion de la origina supersimetrio.
Plej gravaj estas Kompaktigoj sur Calabi-Yau-duktoj kun Su (2) aŭ Su (3) holonomio.
Ankaŭ gravaj estas Kompaktigoj sur G 2 duktoj.
#000059
Sur la vojo al lia klasifiko de Riemanianaj holonomiogrupoj, Berger evoluigis du kriteriojn kiuj devas esti kontentigitaj per la Lie-algebro de la holonomiogrupo de tord-libera afina ligo kiu ne estas loke simetria: unu el ili, konataj kiel la unua kriterio de Berger, estas sekvo de la Ambrozia-kantistteoremo, kiun la kurbiĝo generas la holonomialgebron;
la alia, konata kiel la dua kriterio de Berger, venas de la postulo ke la ligo ne devus esti loke simetria.
Berger prezentis liston de grupoj agantaj neredukteble kaj kontentigantaj tiujn du kriteriojn;
tio povas esti interpretita kiel listo de eblecoj por neredukteblaj afinaj holonomioj.
#000061
La Merkulov-Schwachhöfer-klasifiko estis klarigita konsiderinde per ligo inter la grupoj en la listo kaj certaj simetriaj spacoj, nome la Hermitaj simetriaj spacoj kaj la kvaropo-Kähler simetriaj spacoj.
La rilato estas precipe klara koncerne kompleksajn afinajn holonomiojn, kiel montrite per Skŭakhöfer (2001).
#000063
Lasu V esti finhav-dimensia komplekso-vektorspaco, lasu H ⊂ Aut ( V) esti nereduktebla semikuracherbkomplekso ligis Lie-subgrupon kaj luigitan K ⊂ H esti maksimuma kompakta subgrupo.
#000064
Se ekzistas nereduktebla Hermita simetria regiono de la formo G /(U (1)
K), tiam kaj H kaj C ÷
H estas ne-simetriaj neredukteblaj afinaj holonomiogrupoj, kie V la klavoreprezentado de K.
Se ekzistas nereduktebla kvaropo-Kähler simetria regiono de la formo G /(Sp (1)
K), tiam H estas ne-simetriaj neredukteblaj afinaj holonomiogrupoj, kiel estas C
H se malklara V = 4-a Ĉi tie la kompleksifieita klavreprezentado de Sp (1)
K estas C 2 ⊗ V, kaj H konservas kompleksan simplektic-formularon sur V.
#000065
Tiuj du familioj cedas ĉiujn ne-simetriajn neredukteblajn kompleksajn afinajn holonomiogrupojn krom la sekvanta:
#000066
Uzante la klasifikon de Hermitsimetriaj spacoj, la unua familio donas al la sekva kompleksa afina holonomio grupojn:
#000067
kie Z C estas aŭ sensignifa, aŭ la grupo C ÷.
#000068
Uzante la klasifikon de kvaropo-Kähler simetriaj regionoj, la dua familio donas al la sekva kompleksa simplektic al grupoj: holonomion
#000069
(En la dua vico, Z C devas esti sensignifa krom se n = 2.
#000070
De tiuj listoj, analogo de la rezulto de Simon ke Riemanianaj holonomiogrupoj reagas transitive al sferoj povas esti observita: la kompleksaj holonomioreprezentantaroj estas ĉiuj prehomogenaj vektoraj spacoj.
Koncipa pruvo de tiu fakto ne estas konata.
#000071
Ekzistas simila vorto, " holomorpha ", kiu estis lanĉita per du el la studentoj, Briot de Cauchy (1817-1882) kaj Bouquet (1819-1895), kaj venas de la greka ὅλος ( holoj) signifo "tuta", kaj μορφή ( morfē) elvokiva "formularo" aŭ "aspekto".
La etimologio de "holonomio" partumas la unuan parton kun "holomorpha" ( holoj).
#000073
"Estas rimarkinde forte trovi la etimologion de holonomic (aŭ holonomio) sur la reto.
mi trovis la sekvantan (dank'al John Conway de Princeton):
'I believe it was first used by Poinsot in his analysis of the motion of a rigid body. In this theory, a system is called " holonomic " if, in a certain sense, one can recover global information from local information, so the meaning " entire-law " is quite appropriate. The rolling of a ball on a table is non-holonomic, because one rolling along different paths to the same point can put it into different orientations. However, it is perhaps a bit too simplistic to say that " holonomy " means " entire-law " .
The " nom " root has many intertwined meanings in Greek, and perhaps more often refers to " counting " .
It comes from the same Indo-European root as our word " number. "
#000074