Mensoga sfergeometrio estas geometria teorio de planar aŭ spaca geometrio en kiu la baza termino estas la cirklo aŭ sfero.
Ĝi estis lanĉita fare de Sophus Lie en la deknaŭa jarcento.
La ĉefideo kiu kondukas al Lie-sfergeometrio estas ke linioj (aŭ aviadiloj) devus esti rigarditaj kiel cirkloj (aŭ sferoj) de senfina radiuso kaj tio indikas en la aviadilo (aŭ spaco) devus esti rigardita kiel cirkloj (aŭ sferoj) de nulradiuso.
#000001
La spaco da cirkloj en la aviadilo (aŭ sferoj en spaco), inkluzive de punktoj kaj linioj (aŭ aviadiloj) montriĝas por dukto konata kiel la Lie-Kvadriko ( Kvadrikohipersurfaco en projekcia spaco).
Mensoga sfergeometrio estas la geometrio de la Lie-Kvadriko kaj la Lie-transformoj kiuj konservas ĝin.
Tiun geometrion povas malfacili bildigi ĉar Lie-transformoj ne konservas punktojn ĝenerale: punktoj povas esti transformitaj en cirklojn (aŭ sferojn).
#000002
Por pritrakti tion, kurboj en la aviadilo kaj surfacoj en spaco estas studitaj uzante siajn kontaktoliftojn, kiuj estas determinitaj memstare klavspacoj.
Tio disponigas naturan konscion de la oskuladcirklo al kurbo, kaj la kurbiĝosferoj de surfaco.
Ĝi ankaŭ enkalkulas naturan traktadon de Dupin-ciclides kaj koncipa solvo de la problemo de Apolonio.
#000003
Mensoga sfergeometrio povas esti difinita en iu dimensio, sed la kazo de la aviadilo kaj 3-dimensia spaco estas la plej gravaj.
En ĉi-lasta kazo, Lie rimarkis rimarkindan similecon inter la Lie-Kvadriko de sferoj en 3-grandeca, kaj la spacon de linioj en 3-dimensia projekcia spaco, kiu ankaŭ estas Kvadrikhipersurfaco en 5-dimensia projekcia spaco, nomita la Plücker- aŭ Klein-Kvadriko.
Tiu simileco kondukis Mensogon al lia fama "lini-sfera korespondado" inter la spaco de linioj kaj la spaco de sferoj en 3-dimensia spaco.
#000004
2 Mensoga sfergeometrio en la aviadilo 2.1
3 Mensoga sfergeometrio en spaco kaj pli alta grandeco 3.1
Tri dimensioj kaj la lini-sfera korespondado
#000005
Tri dimensioj kaj la lini-sfera korespondado
#000006
Tiuj objektoj, t.e., la punktoj, orientis cirklojn kaj orientis liniojn en la aviadilo, aŭ la punktoj, orientis sferojn kaj orientis aviadilojn en spaco, estas foje nomitaj ciklojn aŭ Lie-cikloj.
Ĝi turnas ke ili formas Kvadrikhipersurfacon en projekcia spaco de dimensio 4 aŭ 5, kiu estas konata kiel la Lie-Kvadriko.
La naturaj simetrioj de tiu Kvadriko formas grupon de transformoj konataj kiel la Lie-transformoj.
Tiuj transformoj ne konservas punktojn ĝenerale: ili estas transformaĵoj de la Lie-Kvadriko, ne de la aviadilo/sfero kaj plie punkto ĉe senfineco.
La punkt-marinadaj transformoj estas ĝuste la transformo de Möbius.
La Lie-transformoj kiuj fiksas la idealan punkton ĉe senfineco estas la Laguerre transformoj de Laguerre-geometrio.
Tiuj du subgrupoj generas la grupon de Lie-transformoj, kaj ilia intersekciĝo estas la Möbius transformas tiun solvon la ideala punkto ĉe senfineco, nome la afinajn konformajn mapojn.
#000008
Mensoga sfergeometrio en la aviadilo
#000009
La Lie-Kvadriko de la aviadilo estas difinita jene.
Lasu R 3,2 indiki la spacon R 5 el 5-tuples de realaj nombroj, provizitaj per la signaturo (3,2) simetria dulineara formo difinita per
#000010
La projekcia spaco R P4 estas la spaco de linioj tra la origino en R 5 kaj estas la spaco de nonzervektoroj x en R 5 supre por skali, kie x = ( x 0, x 1, x 2, x 3, x 4).
La planar Mensog-Kvadriko Q konsistas el la poentoj [ x] el projekcia spaco reprezentita per vektoroj x kun x
#000011
Rilatigi tion al planar geometrio estas necese fiksi orientitan temposimilan linion.
La elektitaj koordinatoj indikas utiligi la punkton [1,0, 0,0, 0] ∈ R P4.
Ĉiu punkto en la Lie-Kvadriko Q tiam povas esti reprezentita per vektoro al x = λ (1,0, 0,0, 0) + v, al kie v estas ortogonala (1,0, 0,0, 0).
#000012
La ortogonala spaco al (1,0, 0,0, 0), intersekcis kun la Lie-Kvadriko, estas la du dimensia ĉielosfero S en Minkowski-spactempo.
Tio estas la Eŭklida aviadilo kun ideala punkto ĉe senfineco, kiun ni prenas por esti [0,0, 0,0, 1]: la finhavaj poentoj ( x, y) en la aviadilo estas tiam reprezentitaj per la punktoj [ v] = [0, x, y, −1, ( x 2 + y 2)/2];
#000013
Resumi: ekzistas ekzakta korespondado inter punktoj sur la Lie-Kvadriko kaj cirkulas en la aviadilo, kie ciklo estas aŭ orientita cirklo (aŭ aerlinio) aŭ punkto en la aviadilo (aŭ la punkto ĉe senfineco);
la punktoj povas esti opiniitaj de kiel cirkloj de radiuso nul, sed ili ne estas orientitaj.
#000015
Supozu ke du cikloj estas reprezentitaj per punktoj [ x
y = 0 se kaj nur se la ekvivalentaj cikloj "kisas", t.e. ili renkontas unu la alian kun orientita unua ordkontakto.
, tiam tio ĵus signifas tio [ x] kuŝas sur la cirklo egalrilatanta al [ y];
tiu kazo estas tuja de la difino de tiu cirklo (se [ y] egalrilatas al punktocirklo tiam x
#000016
Tial restas pripensi la kazo ke nek [ x] nek [ y] estas en S.
Sen perdo de ĝeneraleco, ni tiam povas preni x = (1,0, 0,0, 0) + v kaj y = (1,0, 0,0, 0) + w, kie v kaj w estas spacosimilaj unuoblaj vektoroj en (1,0, 0,0, 0) ⊥.
Ili tial aŭ koincidas aŭ intersekcas en 2-dimensia subspaco.
En ĉi-lasta kazo, la 2-dimensia subspaco povas aŭ havi signaturon (2,0), (1,0), (1,1), en kiu kazo la ekvivalentaj du cirkloj en S intersekcas en nul, unu aŭ du poentojn respektive.
Tial ili havas unuan ordkontakton se kaj nur se la 2-dimensia subspaco estas degenerita (signaturo (1,0), kiu tenas se kaj nur se la interspaco de v kaj w estas degenerita.
De la identeco de Lagrange, tio tenas se kaj nur se ( v
y = 1 ± 1-a La kontakto estas orientitaj se kaj nur se v
#000017
La incidenco de cikloj en Mensoga sfergeometrio disponigas simplan solvon al la problemo de Apolonio.
Tiu problemo koncernas konfiguracion de tri apartaj cirkloj (kiuj povas esti punktoj aŭ linioj): la celo estas trovi ĉiun alian cirklon (inkluzive de punktoj aŭ linioj) kiu estas klavo al ĉiu tri el la originaj cirkloj.
Por senmarka konfiguracio de cirkloj, ekzistas maksimume ok tiaj klavcirkloj.
#000018
Se anstataŭe x, y kaj z estas linie sendependaj tiam la subspaco V ortogonala al ĉiu tri estas 2-dimensiaj.
Ĝi povas havi signaturon (2,0), (1,0), aŭ (1,1), en kiu kazo ekzistas nul, unu aŭ du solvoj por [ q] respektive.
(La signaturo ne povas esti (0,1) aŭ (0,2) ĉar ĝi estas ortogonala al spaco enhavanta pli ol unu nullinio.
En la kazo kiun la subspaco havas signaturon (1,0), la unika solvo q kuŝas en la interspaco de x, y kaj z.
#000020
La ĝenerala solvo al la Apoloniana problemo akiriĝas inversigante orientiĝojn de kelkaj el la cirkloj, aŭ ekvivalente, per pripensado de la triopoj ( x, ρ ( y), z
#000021
Notu ke la triopo ( ρ ( x), ρ ( y), ρ ( z) donas la samajn solvojn kiel ( x, y, z), sed kun totala ĉesigo de orientiĝo.
Tiel ekzistas maksimume 8 solvcirkloj al la Apoloniana problemo se ĉiuj tri cirkloj ne renkontas tanĝante ĉe ununura punkto, kiam ekzistas senlime multaj solvoj.
#000022
Mensogtransformoj ofte povas esti uzitaj por simpligi geometrian problemon, per ŝanĝado de cirkloj en liniojn aŭ punktojn.
#000024
Kontaktu elementojn kaj kontaktu liftojn
#000025
La fakto ke Mensogtransformoj ne konservas punktojn ĝenerale povas ankaŭ esti malhelpo al komprenema Mensoga sfergeometrio.
Aparte, la nocio de kurbo ne estas Lie-Invarianto.
Tiu malfacileco povas esti mildigita per la observado kiu ekzistas Mensogo senvarian nocion de kontaktelemento.
#000026
Orientita kontakto elemento en la ebeno estas paro konsistanta el punkto kaj orientita (t.e., direktis) linio tra tiu punkto.
La punkto kaj la linio estas okazaĵaj cikloj.
La esenca observado estas ke la aro de ĉiu ciklokazaĵo kun kaj la punkto kaj la linio estas Mensoga senvaria objekto: aldone al la punkto kaj la linio, ĝi konsistas el ĉiuj cirkloj kiuj faras orientitan kontakton kun la linio ĉe la antaŭfiksita punkto.
Ĝi estas nomita pencil of Lie cycles, aŭ simple kontaktelemento.
#000027
Notu ke la cikloj estas tute okazaĵaj kun unu la alian ankaŭ.
Laŭ la Lie-Kvadriko, tio signifas ke krajono de cikloj estas (projekcia) linio kuŝanta tute sur la Lie-Kvadriko, t.e., ĝi estas la projektivigo de totale nula dudimensia subspaco de R 3,2: la reprezentantvektoroj por la cikloj en la krajono estas tute ortogonalaj al unu la alian.
#000028
La aro da ĉiuj linioj sur la Lie-Kvadriko estas 3-dimensia dukto nomita la spaco de kontaktelementoj Z 3.
La Lie-transformoj konservas la kontaktelementojn, kaj reagas transitive al Z 3.
Por antaŭfiksita elekto de punktocikloj (la punktoj ortogonalaj al elektita temposimila vektoro v), ĉiu kontaktelemento enhavas unikan punkton.
Tio difinas mapon de Z 3 ĝis la 2-sfera S 2 kies fibroj estas cirkloj.
Tiu mapo ne estas Lie-Invarianto, ĉar punktoj ne estas Lie-Invarianto.
#000029
R 2 esti orientita kurbo.
Tiam γ determinas mapon λ de la intervalo [, b] ĝis Z 3 sendante t al la kontaktelemento egalrilatanta al la punkto γ ( t) kaj la orientita linioklavo al la kurbo ĉe tiu punkto (la linio en la direkto γ '(
Tiu mapo λ estas nomita la kontaktolifto de γ.
#000030
Fakte Z 3 estas kontaktodukto, kaj la kontaktostrukturo estas Lie Invarianto.
Ĝi sekvas ke orientitaj kurboj povas esti studitaj en Mensoga senvaria vojo per siaj kontaktoliftoj, kiuj povas esti karakterizitaj, senmarke kiel Legendrianaj kurboj en Z 3.
Pli ĝuste, la klavspaco al Z 3 ĉe la punkto egalrilatanta al nulo 2-dimensia subspaco π de R 3,2 estas la subspaco de tiuj linearaj bildigoj (modema adoleskanto π):
#000031
kaj la kontaktodistribuo estas la subspaco Hom ( π, π ⊥ / π) de tiu klavspaco en la spaco Hom ( π, R 3,2 / π) de linearaj bildigoj.
#000032
Ĝi sekvas ke mergita Legendriana kurbo λ en Z 3 preferata Mensogciklo asociis al ĉiu punkto sur la kurbo: la derivaĵo de la mergado je t estas 1-dimensia subspaco de Hom ( π, π ⊥ / π) kie π = λ ( t);
la kerno de iu nonzerelemento de tiu subspaco estas klare difinita 1-dimensia subspaco de π, t.e., punkto sur la Lie-Kvadriko.
#000033
En pli konataj esprimoj, se λ estas la kontaktolifto de kurbo γ en la ebeno, tiam la preferata ciklo ĉe ĉiu punkto estas la oskuladcirklo.
En aliaj vortoj, post prenado de kontaktoliftoj, multe de la baza teorio de kurboj en la aviadilo estas Lie Invarianto.
#000034
Mensoga sfergeometrio en spaco kaj pli alta grandeco
#000035
Mensoga sfergeometrio en n-grandeco akiriĝas anstataŭigante R 3,2 (egalrilatante al la Lie-Kvadriko en n = 2 dimensiojn) je R da n + 1, 2.
Tio estas R da n + 3 provizita per la simetria dulineara formo
#000036
La Lie-Kvadriko Q n denove estas difinita kiel la aro de [ x
x = 0-a La Kvadriko parameterigas orientitan ( n - 1) sferojn en n-dimensia spaco, inkluzive de hiperebenoj kaj punktosferojn kiel limigado de kazoj.
Notu ke Q n estas (n-+ 1) dimensia dukto (sferoj estas parameterigitaj memstare centro kaj radiuso).
#000037
La incidencrilato portas sen ŝanĝo: la sferoj egalrilatante al punktoj [ x
Q n orientis unuan ordkontakton se kaj nur se x
y = 0-a La grupo de Lie-transformoj nun estas O (n-+ 1, 2) kaj la Lie-transformoj konservas incidencon de Lie-cikloj.
#000038
La spaco da kontaktelementoj estas ( 2n - 1) dimensia kontaktodukto Z 2n - 1: laŭ la antaŭfiksita elekto de punktosferoj, tiuj kontaktelementoj egalrilatas al paroj konsistantaj el punkto el n-dimensia regiono (kiu povas esti la punkto ĉe senfineco) kune kie orientita hiperebeno pasas tra tiu punkto.
La spaceto Z 2n - 1 estas tial izomorfaj al la projektivigita kotanĝantfasko de la n-sfero.
Tiu identigo ne estas senvaria sub Lie-transformoj: en Lie senvariaj esprimoj, Z 2n - 1 estas la spaco de (projekciaj) linioj sur la Lie-Kvadriko.
#000039
Ĉiu mergita orientita hipersurfaco en n-dimensia spaco havas kontaktolifton al Z 2n - 1 determinite memstare orientitaj klavspacoj.
Ekzistas jam ne preferata Mensogciklo asociita al ĉiu punkto: anstataŭe, ekzistas n - 1 tiaj cikloj, egalrilatante al la kurbiĝosferoj en eŭklida geometrio.
#000040
La problemo da Apolonio havas naturan ĝeneraligon implikantan n + 1 hipersferoj en n grandeco.
#000041
En la kazo da n = 3, la Kvadriko Q 3 en P ( R 4,2) priskribas la (Mensogo-) geometrion de sferoj en Euclidean 3-spaca.
Mensogo rimarkis rimarkindan similecon kun la Klein-korespondado por linioj en 3-dimensia spaco (pli ĝuste en R P3).
#000042
Tiuj estas la homogenaj koordinatoj de la projekcia linio eniranta x kaj y.
Ekzistas ses sendependaj koordinatoj kaj ili kontentigas ununuran rilaton, la Plücker-rilaton
#000043
Ĝi sekvas ke ekzistas ekzakta korespondado inter linioj en R P3 kaj punktoj sur la Klein-Kvadriko, kio estas la Kvadrikhipersurfaco de punktoj [ p 01, p 23, p 02, p 31, p 03, p 12] en R P5 kontentiganta la Plücker-rilaton.
#000044
La kvadrata formo difinanta la Plücker-rilaton venas de simetria dulineara formo de signaturo (3,3).
En aliaj vortoj, la spaco de linioj en R P3 estas la Kvadriko en P ( R 3,3).
Kvankam tio ne estas la sama kiel la Lie-Kvadriko, "korespondado" povas esti difinita inter linioj kaj sferoj uzantaj la kompleksajn nombrojn: se x
x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5) estas poento sur la (kompleksifieita) Lie-Kvadriko (t.e., la x mi estas prenitaj por esti kompleksaj nombroj), tiam
#000045
difinas punkton sur la kompleksifieita Klein-Kvadriko (kie i2 = —1).
#000046
Mensoga sfergeometrio disponigas naturan priskribon de Dupin-ciklidus-leŭciskoj.
Tiuj estas karakterizitaj kiel la komunan koverton da du unu'a-parametrofamilioj de sferoj S ( j) kaj T ( t), kie S kaj T estas mapoj de intervaloj en la Lie-Kvadrikon.
En ordo por ofta koverto ekzisti, S ( j) kaj T ( t) devas esti okazaĵaj por ĉio s kaj t, t.e., iliaj reprezentaj vektoroj devas turnadis nulan 2-dimensian subspacon de R 4,2.
Tial ili difinas mapon en la spacon de kontaktelementoj Z 5.
Tiu mapo estas Legendriana se kaj nur se la derivaĵoj de S (aŭ T) estas ortogonalaj al T (aŭ S), t.e., se kaj nur se ekzistas ortogonala putriĝo de R 4,2 en rektan sumon de 3-dimensiaj subspacoj σ kaj τ de signaturo (2,1), tia ke S prenas valorojn enen σ kaj T prenas valorojn enen τ.
Inverse tia putriĝo unike determinas kontaktolifton de surfaco kiu envolvas du unu'a-parametrofamiliojn de sferoj;
la bildo de tiu kontaktolifto ricevas per la nulaj 2-dimensiaj subspacoj kiuj intersekcas σ kaj τ en paro de nullinioj.
#000047
Tia putriĝo estas ekvivalente donita, ĝis signelekto, per simetria endomorfismo de R 4,2 kies kvadrato estas la identeco kaj kies ±1-ajgenspacoj estas σ kaj τ.
Uzante la internan produkton sur R 4,2, tio estas determinita per kvadrata formo sur R 4,2.
#000048
Por resumi, Dupin-ciklidus-leŭciskoj estas determinitaj per kvadrataj formoj sur R 4,2 tia ke la rilata simetria endomorfismo havas kvadraton egala al la identeco kaj ajgenspacoj de signaturo (2,1).
#000049
Tio disponigas unu manieron vidi ke Dupin-ciklidus-leŭciskoj estas ciklidus-leŭciskoj, en la senco ke ili estas nul-aroj de kvartic de speciala formo.
Por tio, noto ke kiel en la planar kazo, 3-dimensia eŭklida spaco enkonstruas en la Lie-Kvadrikon Q 3 kiel la aro de punktosferoj krom la ideala punkto ĉe senfineco.
Eksplicite, la punkto (x, y, z) en eŭklida spaco egalrilatas al la punkto
#000050
Ciklidus-leŭcisko konsistas el la punktoj [0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5
Q 3 kiuj kontentigas kroman kvadratan rilaton
#000051
por iu simetria 5 × 5 matrico A
La klaso da ciklidus-leŭciskoj estas natura familio de surfacoj en Mensoga sfergeometrio, kaj la Dupin-ciklidus-leŭciskoj formas naturan subfamilion.
#000052
^ The definitive modern textbook on Lie sphere geometry is Cecil 1992 .
Almost all the material in this article can be found there.
Mensogo estis precipe kontenta kun tiu atingo: vidu Helgason 1994, p. 7.
^ The Lie sphere approach is discussed in Zlobec & Mramor Kosta 2001 ;
for a classification of solutions using Laguerre geometry, see Knight 2005 .
^ This problem and its solution is discussed by Zlobec & Mramor Kosta 2001 .
^ The following discussion is based on Helgason 1994 , pp. 4-5.
#000053
La teoremo de Descartes, ankaŭ povas impliki konsideri linion cirklon kun senfina radiuso.
#000054
" Sur kompleksoj - aparte, linio- kaj sferkompleksoj - per aplikoj al la teorio de partaj diferencialaj ekvacioj " angla traduko de la esenca artikolo de Lie pri la subjekto
#000056