Prezenta teorio de la Lorentz-grupo
#000000
La Lorentz-grupo estas Lie grupo de simetrioj de la spactempo de speciala teorio de relativeco.
Tiu grupo povas esti realigita kiel kolekto de matricoj, lineartransformoj, aŭ unuargumentaj operatoroj sur iu hilberta spaco;
ĝi havas gamon da reprezentantaroj.
En iu relativiste senvaria fizika teorio, tiuj reprezentantaroj devas eniri en iu modo;
[nb 1] fiziko mem devas esti farita de ili.
Efektive, speciala teorio de relativeco kune kun kvantuma mekaniko estas la du fizikaj teorioj kiuj estas plej plene establitaj, [nb 2] kaj la konjunkcio de tiuj du teorioj estas la studo de la senfin-dimensiaj unitariaj reprezentadoj de la Lorentz-grupo.
Tiuj havas ambaŭ historian gravecon en ĉefa fiziko, same kiel ligojn al pli konjektaj aktualaj teorioj.
#000002
La plena teorio de la finhav-dimensiaj reprezentadoj de la Lie-algebro de la Lorentz-grupo estas deduktita uzante la ĝeneralan kadron de la prezenta teorio de semikuracherbaj Lie-algebroj.
1) akiriĝas utiligante la Lie-korespondadon kaj la matriceksponenton.
La reprezentantoj de tempinversigo kaj spacinversio ricevas en spacinversio kaj tempinversigo, kompletigante la finhav-dimensian teorion por la plena Lorentz-grupo.
La ĝeneralaj trajtoj de la ( m, n) reprezentantaroj estas skizitaj.
Ago sur funkciaj spacoj estas konsiderita, kun la ago sur sferaj harmonoj kaj la Riemann P-funkcioj ekaperantaj kiel ekzemploj.
#000003
La evoluo de la prezenta teorio historie sekvis la evoluon de la pli ĝenerala teorio de prezenta teorio de semikuracherbogrupoj, plejparte pro Élie Cartan kaj Hermann Weyl, sed la Lorentz-grupo ankaŭ ricevis specialan atenton pro sia graveco en fiziko.
Famaj kontribuantoj estas fizikisto E. P. Wigner kaj matematikisto Valentine Bargmann kun sia Bargmann-Wigner-programo, [1] unu konkludo de kiu estas, proksimume, klasifiko de ĉiuj unitariaj reprezentadoj de la enhomogena Lorentz-grupo sumiĝas al klasifiko de ĉiaj ajn relativistaj ondekvacioj.
La klasifiko de la neredukteblaj senfin-dimensiaj reprezentadoj de la Lorentz-grupo estis establita fare de la doktora studento de Paul Dirac en teoriaj fizikoj, Harish-Chandra, poste turnis matematikiston, [nb 3] en 1947.
#000004
La ne-teknika enkonduko enhavas iom da antaŭkondiĉmaterialo por legantoj ne alkutimiĝintaj al prezenta teorio.
Normaj rezultoj utiligitaj ĉi tie de ĝenerala finhav-dimensia prezenta teorio estas skizitaj en teknika enkonduko al finhav-dimensia prezenta teorio.
La Lie-algebrobazo kaj aliaj adoptitaj konvencioj ricevas en konvencioj kaj Lie-algebrobazoj.
Ekzistas altagrade detala artikolo sur la donaco submetata esti trovita ĉe Wikiversity.
#000005
Simetrio de spaco kaj tempo
Ordinaraj lorencaj transformoj matricoj ne sufiĉas
Senfin-dimensiaj reprezentantaroj per ago sur vektoraj spacoj de funkcioj
Senfin-dimensiaj reprezentantaroj rigardite kiel senfin-dimensiaj matricoj
#000007
3 la unitara truko de Weyl
2 Lie-algebroreprezentantaroj de grupaj prezentoj
3 grupaj prezentoj de Lie-algebroreprezentantaroj
#000009
2 Lie-algebroreprezentantaroj de grupaj prezentoj
3 grupaj prezentoj de Lie-algebroreprezentantaroj
#000010
1 La ( μ, ν) reprezentantaroj de sl (2, C)
2 La ( m, n) reprezentantaroj de tiel (3;
#000011
1 Surjectiveness de eksponenta mapo por TIEL (3, 1)
#000012
Ne-teknika enkonduko al prezenta teorio
#000015
La nuna celo estas ilustri la rolon de prezenta teorio de grupoj en matematiko kaj en fiziko.
Rigoro kaj detalo prenas la malantaŭan sidlokon, kia la ĉefcelo estas fiksi la nocion de finhav-dimensiaj kaj senfin-dimensiaj reprezentadoj de la Lorentz-grupo.
La leganto alkutimiĝinta al tiuj konceptoj devus ŝnursalti for.
#000016
Simetrio de spaco kaj tempo
#000017
La Lorentz-grupo enhavas ĉiujn rotaciomatricojn, etenditajn al kvar dimensioj kun nuloj en la unua vico kaj la unua kolumno krom la supra forlasis elementon kiu estas unu, kiel elementoj.
#000019
Ekzistas, krome, matricoj tiuj efikaj Lorentz-akceloj.
Tiuj povas esti opiniitaj de, en la pasiva vido, kiel (senprokraste!
donante al la koordinatsistemo (kaj kun ĝi la observanto) rapidecon en elektita direkto.
#000020
Finfine, du specialaj transformoj kutimas inversigi la koordinatsistemon en spaco, spacinversio, kaj en tempo, tempinversigo.
En la unua kazo, la spaco kunordigitaj aksoj estas inversigitaj.
Ĉi-lasta estas inversigo de la tempodirekto.
Tio estas opiniita de, en la pasiva vido, kiel havado de la observanto metita lian horloĝon ĉe minuso kion ĝi montras kaj tiam havas la manojn de la horloĝo moviĝas maldekstrume.
#000021
Matematike la Lorentz-grupo estas difinita kiel la aro de transformoj konservantaj la dulinearan formon
#000022
kie la maldekstramana flanko estas la Minkowski-interna produkto de du okazaĵoj en spactempo, kaj la dekstra flanko estas la spactempintervalo, vidas klasikan grupon por matematika detalo.
#000023
En la spactempo de speciala teorio de relativeco, nomita spaco de Minkowski, spaco kaj tempo estas interplektitaj.
Tiel la kvar koordinatoj de punktoj en spactempo, nomitaj la okazaĵoj, ŝanĝo laŭ manieroj neatendita antaŭ la apero de speciala teorio de relativeco, kun tempodilatiĝo kaj longokuntiriĝo kiel du tujaj sekvoj.
La kvar-dimensiaj matricoj de lorencaj transformoj kunmetas la Lorentz-grupon.
Ĝiaj elementoj reprezentas simetriojn, kaj ĵus ŝatas fizikaj objektoj povas esti rotaciitaj utiligante rotaciomatricojn, la samaj fizikaj objektoj (kies koordinatoj nun inkludas la tempokoordinaton) povas esti transformitaj utiligante la matricojn reprezentante lorencaj transformoj.
Aparte, la kvar-vektora reprezentado okazaĵo en Lorentz-kadro transformas kiel
#000024
La baza kvalito de ĉiu finhava grupo estas ĝia multipliktabelo, ankaŭ nomita Cayley-tablo, kiu protokolas la rezulton de multobligado de iujn ajn du elementoj.
Reprezentado de grupo povas esti opiniita de nova aro da elementoj, finhav-dimensiaj aŭ senfin-dimensiaj matricoj, donante la saman multipliktabelon post mapado de la aĝaj elementoj al la novaj elementoj en unu-al-unu modo.
[nb 5] La sama tenas vera koncerne senfinan grupon kiel la turnada grupo TIEL (3) aŭ la Lorentz-grupon.
La multipliktabelo estas ĵus pli malfacila bildigi koncerne grupon de nenombrebla grandeco (sama grandeco kiel la aro de realoj).
Unudirekta farendaĵo tion estas al bonordo la elementoj de la grupo kie orda pli sensenta ρ estas la ordospeco.
La "senfina Cayley-tablo" tiam estas indeksita per du ordaj numeraloj 0 ≤ α, β ≤ ρ skribita sur Cantor-normala formularo.
#000025
Ordinaraj lorencaj transformoj matricoj ne sufiĉas
#000026
La objektoj por esti transformitaj povas esti iom alia ol ordinaraj fizikaj objektoj etendantaj en tri spaca grandeco (kaj tempo, se la kadro ne estas la ripozokadro).
Ĝi estas ĉar tiuj objektoj tiu prezenta teorio estas necesa por la matematika priskribo de transformoj stimulitaj per ordinaraj lorencaj transformoj de spactempo.
Ekzemple, la elektromagneta kampo ofte estas (naive) antaŭvidita per la tasko al ĉiu punkto en spactempo de tridimensia vektoro reprezentanta la kampon kaj alian tridimensian vektoron reprezentantan la kampon.
#000027
Kiam spaco estas rotaciita, la klasike atendata aĵo okazas.
La kampo kaj la kampovektoroj ĉe elektita punkto rotacias kun konservita longo kaj angulo inter ili.
#000028
Sub Lorentz akcelas ili kondutas alimaniere, montrante ke la du vektoroj ne estas apartaj fizikaj objektoj.
La elektraj kaj magnetaj komponentoj miksas.
La elektromagnetkampa tensoro elmontras la manifeste kovariaĵan matematikan strukturon de la elektromagneta kampo.
Ĝi havas ses sendependajn komponentojn ĉe okazaĵo.
#000029
[nb 6] Finhav-dimensiaj reprezentantaroj de matricoj
#000030
La problemo de prezenta teorio de la Lorentz-grupo estas, en la finhav-dimensia kazo, trovi novajn arojn da matricoj, ne nepre 4 × 4 en grandeco kiu kontentigas la saman multipliktabelon kiel la matricoj en la origina Lorentz-grupo.
Revenante al la ekzemplo de la elektromagneta kampo, 6 × 6 matricoj estas necesaj tio povas esti aplikita al ses-dimensia kolumna vektoro enhavanta la ĉion kune ses komponentoj de la elektromagneta kampo.
Tiel 6 × 6-matrices estas serĉita por, tia ke
#000031
ĝuste esprimas la transformon de la elektromagneta kampo sub la lorenca transformo λ.
[nb 7] La sama rezonado povas esti aplikita al la bispinoroj de Dirac.
Dum tiuj havas 4 komponentojn, la originalon 4 × 4-matrices en la Lorentz-grupo estas malkonvenaj, eĉ kiam limigite al rotacioj.
Plia 4 × 4-reprezentantara estas necesa.
#000032
Senfin-dimensiaj reprezentantaroj per ago sur vektoraj spacoj de funkcioj
#000034
Senfin-dimensiaj reprezentantaroj estas kutime realigitaj kiel funkciante sur aktoraroj de realaj aŭ kompleks-aprezitaj funkcioj sur aktoraro Xa dotis kun grupa ago.
Aro estanta dotita kun grupa ago A volas diri, en esenco, tion se x ∈ Xa kaj g ∈ G tiu A ( g) x = y kun y ∈ Xa .
#000035
La punkto por fari estas ke denove
#000036
kaj ekzistas reprezentado de G.
Tiu reprezentado de G estas finhav-dimensia se kaj nur se X estas finhava aro.
Tiu metodo estas tre ĝenerala, kaj tipe vektoraj spacoj de pli specialecaj funkcioj sur metas proksime ĉe mano estas esploritaj.
#000037
Ĉi tie L da g indikas maldekstran agon (je g), R da g indikas dekstran agon (je g), kaj C da g indikas konjugacion (je g).
Kun tiu speco de ago, la vektoroj kiujn estaĵo agis estas funkcioj.
#000038
La celo en la senfin-dimensia kazo de la prezenta teorio estas klasifiki ĉiujn malsamajn eblajn reprezentantarojn, kaj elmontri ilin laŭ vektoraj spacoj de funkcioj kaj la agon de la norma reprezentantaro en la argumentoj de la funkcioj.
#000039
Senfin-dimensiaj reprezentantaroj rigardite kiel senfin-dimensiaj matricoj
#000040
Por rilatigi reprezentantarojn sur senfin-dimensiaj spacoj al la finhav-dimensiaj kazoj, ordigita bazo estas elektita ĉar la vektora spaco de funkcioj kaj la ago sur bazaj funkcioj sub antaŭfiksita transformo estas ekzamenita.
La bildo de la bazo funkcias sub transformo, esprimita kiel lineara kombinaĵo kiun la bazo funkcias estas surpaperigitaj.
Eksplicite, se f 1, f 2
#000041
La koeficientoj de la bazaj funkcioj en la esprimo por ĉiu transformis bazan funkcion estas kolono en la reprezentantmatrico.
Ĝenerale, la rezulta matrico estas nombreble senfina en dimensio:
#000042
Denove, estas postulate ke la aro de senfinaj matricoj akiris tiun manierstandon en ekzakta korespondado kun la originalo 4 × 4-matrices kaj ke la multipliktabelo estas la ĝusta - tiu el la 4 × 4-matrices.
[nb 9] devus esti emfazite ke en la senfin-dimensia kazo, la konzerno malofte estas la kompletaj matricoj.
Ili estas eksponitaj ĉi tie nur por elstarigi la komunan fadenon.
Sed individuaj matricelementoj estas ofte komputitaj, precipe por la Lie-algebro (malsupre).
#000043
La Lorentz-grupo estas Lie grupo kaj havas kiel tia Lie-algebron, La Lie-algebro estas vektora spaco de matricoj kiuj povas esti diritaj modeligi la grupon proksime de la identeco.
Ĝi estas dotita kun multiplikoperacio, la Lie krampo.
Kun ĝi, la produkto en la grupo povas alproksimiĝi al la identeco estu esprimita en Lie algebraj esprimoj (sed ne laŭ precipe simpla maniero).
La ligo inter la (matrico-) Lie-algebro kaj la (matrico-) Lie-grupo estas la matriceksponento.
Ĝi estas unu-al-unu proksime de la identeco en la grupo.
#000044
Pro tio ĝi ofte sufiĉas por trovi reprezentadojn de la Lie-algebro.
Lie-algebroj estas multe pli simplaj objektoj ol Lie-grupoj por labori kun.
Pro la fakto ke la Lie-algebro estas finhav-dimensia vektora spaco, koncerne la Lorentz Lie-algebron la dimensio estas 6, unu bezono nur trovas finhavan nombron da reprezentaj matricoj de la Lie-algebro, unu por ĉiu elemento de bazo de la Lie-algebro kiel vektora spaco.
La resto sekvas el etendaĵo de lineareco, kaj la reprezentado de la grupo akiriĝas per potenco.
#000045
Unu ebla elekto de bazo por la Lie-algebro estas, en la normreprezentantaro, donita en konvencioj kaj Lie-algebrobazoj.
#000046
Multaj el la reprezentantaroj, kaj finhav-dimensiaj kaj senfin-dimensiaj, estas gravaj en teoriaj fizikoj.
Reprezentantaroj prezentiĝas en la priskribo de kampoj en klasika kampa teorio, plej grave la elektromagneta kampo, kaj de partikloj en relativista kvantuma mekaniko, same kiel de kaj partikloj kaj kvantekampoj en kvantuma kampa teorio kaj de diversaj objektoj en teorio de kordoj kaj pretere.
La prezenta teorio ankaŭ disponigas la teorian grundon por la koncepto de spino.
La teorio eniĝas en ĝenerala relativeco en la senco ke en sufiĉe malgrandaj regionoj de spactempo, fiziko estas tiu de speciala teorio de relativeco.
#000047
La finhav-dimensiaj neredukteblaj ne-unitariaj reprezentantaroj kune kun la neredukteblaj senfin-dimensiaj unitariaj reprezentadoj da la enhomogena Lorentz-grupo, la Poincare-grupo, estas la reprezentantaroj kiuj havas rektan fizikan signifon.
#000048
Senfin-dimensiaj unitariaj reprezentadoj de la Lorentz-grupo ekaperas per limigo de la neredukteblaj senfin-dimensiaj unitariaj reprezentadoj de la Poincaré-grupo reaganta al la hilbertaj spacoj de relativista kvantuma mekaniko kaj kvantuma kampa teorio.
Sed tiuj estas ankaŭ de matematika intereso kaj de ebla rekta fizika signifo en aliaj roloj ol tiu de nura restrikto.
Ekzistis konjektaj teorioj, [8] [9] (tensoroj kaj spinoroj havas senfinajn ekvivalentojn en la ekspansors de Dirac kaj la ekspinors de Harish-Chandra) kongruaj kun relativeco kaj kvantuma mekaniko, sed ili trovis neniun elprovitan fizikan aplikiĝon.
Modernaj konjektaj teorioj eble havas similajn ingrediencojn per malsupre.
#000049
De la perspektivo ke la celo de matematiko devas klasifiki kaj karakterizi, la prezenta teorio de la Lorentz-grupo estas ekde 1947 preta ĉapitro.
Sed en unuiĝo kun la Bargmann-Wigner-programo, ekzistas (en 2006) ankoraŭ nesolvite sole matematikaj problemoj, ligitaj al la senfin-dimensiaj unitariaj reprezentantaroj.
#000050
La neredukteblaj senfin-dimensiaj unitariaj reprezentantaroj eble nerektan signifon por fizika realeco en konjektaj modernaj teorioj ĉar la (ĝeneraligis) Lorentz-grupo prezentiĝas kiel la malgranda grupo de la Poincare-grupo de spacosimilaj vektoroj en pli alta spactempodimensio.
La ekvivalentaj senfin-dimensiaj unitariaj reprezentadoj de la (ĝeneraligita) Poincaré-grupo estas la tielnomitaj takionaj reprezentantaroj.
Takion aperas en la spektro de bosonaj ŝnuroj kaj estas rilataj al malstabileco de la vakuo.
Eĉ se takion eble ne estas realigitaj en naturo, tiuj reprezentantaroj devas esti matematike komprenitaj por kompreni teorion de kordoj.
Tio estas tiel ĉar takioŝtatoj manifestas por aperi en superŝnurteorioj ankaŭ en provoj krei realismajn modelojn.
#000051
Unu malferma problemo (aktuale en 2006) estas la kompletigo de la Bargmann-Wigner-programo por la Izometria grupo TIEL ( D - 2, 1) de la de Sitter-spactempo Ds D - 2 .
#000052
Estas ofte en matematiko rigardi la Lorentz-grupon por esti, ĉefe, la Möbius-grupo al kiu ĝi estas izomorfa.
La grupo povas esti reprezentita laŭ aro de funkcioj difinitaj sur la Riemann-sfero.
Tiuj estas la Riemann P-funkcioj, kiuj estas esprimeblaj kiel supergeometriaj funkcioj.
#000053
Dum la elektromagneta kampo kune kun la gravitkampo estas la nuraj klasikaj kampoj disponigantaj precizajn priskribojn de naturo, aliaj specoj de klasikaj kampoj estas gravaj ankaŭ.
En la aliro al kvantuma kampa teorio (QFT) referita kiel dua kvantigado, la deirpunkto estas unu aŭ pluraj klasikaj kampoj, kie ekz. la undoroj solvantaj la dirakan ekvacion estas konsideritaj klasikajn kampojn tidligere (dua) kvantigado.
Dum dua kvantigado kaj la Lagrangiana formalismo asociita kun ĝi ne estas fundamenta aspekto de QFT, [14] estas la kazo ke ĝis nun ĉiuj kvantumaj kampa teorioj povas esti kontaktitaj tiun manieron, inkluzive de la norma modelo.
En tiuj kazoj, ekzistas klasikaj versioj de la kampoekvacioj sekvantaj el la Euler-Lagrange-ekvacioj derivitaj de la Lagrangian uzanta la principon de malplej ago.
Tiu kampoekvacioj devas esti relativiste senvariaj, kaj iliaj solvoj (kiuj kvalifikiĝos tiel relativistaj undoroj laŭ la difino malsupre) devas transformi sub iu reprezentado de la Lorentz-grupo.
#000054
La ago de la Lorentz-grupo sur la spaco de kampokonfiguracioj (kampokonfiguracio estas la spactempohistorio da speciala solvo, ekz. la elektromagneta kampo en ĉio el spaco super ĉiama estas unu -kampa konfiguracio) similas la agon sur la hilbertaj spacoj de kvantuma mekaniko, krom ke la kolektorkrampoj estas anstataŭigitaj per kampoteoriaj Poisson-krampoj.
#000055
Por la nunaj celoj la sekva difino estas farita: [16]
Relativista undoro estas aro de n funkcioj ψ α sur spactempo kiel kiu transformas sub arbitra bonorda lorenca transformo λ
#000056
kie D [λ] estas n - dimensia matricoreprezentanto de λ apartenanta al iu rekta sumo de la ( m, n) reprezentantaroj por esti lanĉita malsupre.
#000057
La plej utilaj relativistaj kvantumaj mekanikoj
unu-partiklaj teorioj (ekzistas al neniu tute kohera tiaj teorioj) estas la Klein-Gordon ekvacio [17] kaj la diraka ekvacio [18] en sia origina konteksto.
Ili estas relativiste senvariaj kaj iliaj solvoj transformas sub la Lorentz-grupo kiel Lorentz-Skalaroj ( ( m, n) = (0, 0) kaj bispinoroj respektive ( (0, 1 / 2
La elektromagneta kampo estas relativista undoro laŭ tiu difino, transformante sub (1, 0) ⊕ (0, 1).
#000058
La senfin-dimensiaj reprezentantaroj povas esti uzitaj en la analizo de disvastigo.
#000059
En QFT, la postulo je relativista envarianco eniras, inter aliaj manieroj en tio ke la S-matrico nepre devas esti Poincaré Invarianto.
Tio havas la implicon kiu ekzistas unu aŭ pli senfin-dimensia reprezentado de la Lorentz-grupo reaganta al Fock-spaco.
[nb 10] Unudirekta garantii la ekziston de tiaj reprezentantaroj estas la ekzisto de Lagrangiana priskribo (kun modestaj postuloj truditaj, vidas la referencon) de la sistemo uzanta la kanonikan formalismon, el kiu realigo de la generatoroj de la Lorentz-grupo povas esti konkludita.
#000060
La transformoj de kampofunkciigistoj ilustras la komplementan rolludoite fare de la finhav-dimensiaj reprezentadoj de la Lorentz-grupo kaj la senfin-dimensiaj unitariaj reprezentadoj de la Poincare-grupo, travivante la profundan unuecon inter matematiko kaj fiziko.
Por ilustraĵo, pripensu la difinon de iu n-komponento
Surbaze de matricreprezentantaro kiel supra, relativista kampofunkciigisto estas aro de n funkciigisto aprezita funkcioj sur spactempo laŭ kiu transformas sub bonordaj lorencaj transformoj λ [25] [26]
#000061
Ĉi tie U [λ] estas la unitaria funkciigisto reprezentanta λ sur la hilberta spaco sur kiu ψ estas difinita.
Per konsideroj de diferencigaj limoj ke la kampofunkciigisto devas esti submetita por priskribi ununuran partiklon kun definitiva maso da m kaj turnadi s (aŭ heleco), ĝi estas deduktita tio [27] [nb 11]
#000062
kie †, estas interpretita kiel kreado kaj neniigfunkciigistoj respektive.
#000063
kaj simile por la neniigfunkciigisto.
La punkto por esti farita estas ke la kampofunkciigisto transformas laŭ finhav-dimensia ne-unitaria reprezentado de la Lorentz-grupo, dum la kreadfunkciigisto transformas sub la senfin-dimensia unitaria reprezentado de la Poincare-grupo karakterizita per la maso kaj spino ( m, s) de la partiklo.
La ligo inter la du estas la undoroj, ankaŭ nomitaj koeficientfunkcioj
#000064
tio kunportas kaj la indeksojn ( x, α) funkciigitajn fare de lorencaj transformoj kaj la indeksoj ( p, σ) funkciigitaj per Poincaré-transformoj.
Tio povas esti nomita la Lorentz-Poincaré-ligo.
Ankaŭ elmontru la ligon, submetas ambaŭ flankojn de ekvacio (Ks1) lorenca transformo rezultanta enen por ekz. u,
#000065
kie D estas la ne-unitaria Lorentz-grupreprezentanto de λ kaj D ( j) estas unitaria reprezentanto de la tielnomita Wigner-rotacio R asociita al λ kaj p kiu venas de la reprezentado de la Poincaré-grupo, kaj s estas la spino de la partiklo.
#000066
Ĉiuj ĉi-supraj formuloj, inkluzive de la difino de la kampofunkciigisto laŭ kreado kaj neniigfunkciigistoj, same kiel la diferencialaj ekvacioj kontentigitaj fare de la kampofunkciigisto por partiklo kun precizigita tumoro, spino kaj la ( m, n) reprezentantaro sub kiu ĝi laŭsupoze transformas, [nb 12] kaj ankaŭ tiun de la undoro, povas esti derivitaj de grupoteoriaj konsideroj sole post kiam la kadroj de kvantumaj mekanikoj kaj speciala teorio de relativeco ricevas.
#000067
En teorioj en kiuj spactempo povas havi pli ol D = 4 dimensiojn, la ĝeneraligitaj Lorentz-grupoj O ( D − 1;
1) de la konvena dimensio prenas la lokon de O (3;
#000068
Prezenta teorio de grupoj ĝenerale, kaj Lie-grupoj aparte, estas riĉega temo.
La plena Lorentz-grupo estas neniu escepto.
La Lorentz-grupo havas kelkajn trajtojn kiu igas ĝin "plaĉaj" kaj aliajn kiuj igas ĝin "ne tre plaĉa" ene de la kunteksto de prezenta teorio.
La grupo estas simplanima kaj tiel semikuracherbo, sed ne estas ligita, kaj neniu el siaj komponentoj estas simple ligitaj.
Eble plej grave, la Lorentz-grupo ne estas kompakta.
#000070
Por finhav-dimensiaj reprezentantaroj, la ĉeesto de semisimpleco decidas ke la Lorentz-grupo povas esti traktis laŭ la saman manieron kiel aliajn semikuracherbogrupojn utiligantajn bonevoluintan teorion.
Krome, ĉiuj reprezentantaroj estas konstruitaj de la neredukteblaj, ĉar la Lie-algebro posedas la kompletan reducibilecposedaĵon.
[nb 15] [36] Sed, la ne-kompakteco de la Lorentz-grupo, en kombinaĵo kun manko de simpla ligiteco, ne povas esti traktita en ĉiuj aspektoj kiel en la simpla kadro kiu validas por simple ligitaj, kompaktaj grupoj.
Non-kompakteco implicas, por ligita simplanima Mensoggrupo, ke neniuj nesensignifaj finhav-dimensiaj unitariaj reprezentantaroj ekzistas.
Manko de simpla ligiteco donas pliiĝon por reklami reprezentadojn de la grupo.
La ne-ligiteco signifas ke, por reprezentadoj da la plena Lorentz-grupo, tempinversigo kaj spaco inversio havas al traktanta aparte.
#000071
Teknika enkonduko al finhav-dimensia prezenta teorio
#000073
La kaŝa sekcio enhavas skizon de rezultoj utiligitaj en la daŭrigo.
#000074
La unua paŝo sumiĝas al analizo de hipotezitaj reprezentantaroj rezultigantaj provan klasifikon.
La dua paŝo estas fakta realigo de tiuj reprezentantaroj.
#000075
Reala Lie-algebro estas kutime kompleksifieita ebliga analizo en algebre fermita kampo.
Labori super la kompleksaj nombroj krome koncedas pli belajn bazojn.
La sekva teoremo validas: realaj liniaj finhav-dimensiaj reprezentadoj de reala Lie-algebro ampleksas kompleksajn liniajn reprezentadojn de ĝia kompleksigado.
La reala linia reprezentantaro estas nereduktebla se kaj nur se la ekvivalenta komplekso linia reprezentantaro estas neredukteblaj.
Krome, kompleksa semikuracherbo Lie-algebro havas la kompletan reducibilecposedaĵon.
Tio signifas ke ĉiu finhav-dimensia reprezentantaro putriĝas kiel rekta sumo de neredukteblaj reprezentantaroj.
#000076
Klasifikado amounts to studying irreducible complex linear representations of the (complexified) Lie algebra.
#000077
La unua paŝo devas hipotezi la ekziston de neredukteblaj reprezentantaroj.
La trajtoj de tiuj hipotezaj reprezentantaroj estas esploritaj, ĉefe uzante la Lie-algebron.
#000078
Kondiĉoj sur aktoraroj de trajtoj de neredukteblaj reprezentantaroj necesaj por la ekzisto de nereduktebla reprezentantaro estas establitaj.
La aroj de trajtoj koncerne estas nomitaj pezoj.
En la plej simpla priskribo, [65] pezo λ por reprezentantaro ( π, V) estas samtempa Eigen-valoro ( λ ( H 1
λ ( Hn ) por la reprezentantoj sub π de la elementoj de ordigita bazo ( H 1
Cartan subalgebra estas, por kompleksaj semikuracherbaj Lie-algebroj, maksimuma kommutativa subalgebro tia ke ĉiu anonco H, kie anonco H estas la reprezentanto de H en la adjunkta reprezentantaro estas diagonalizabla.
#000079
Parta mendado sur la aktoraro de pezoj estas difinita, kaj la nocio de plej alta pezo laŭ tiu parta mendado estas establita por iu aro de wheight'oj.
Uzante la strukturon en la Lie-algebro, la nocioj domina pezo kaj integrita pezo estas difinitaj.
Plej alta pezo kiun ciklaj reprezentantaroj estas neredukteblaj kaj plej alta pezo ciklaj reprezentantaroj kun la sama plej alta pezo estas isomormhic.
#000080
An irreducible representation is highest weight cyclic with a dominant integral highest weight.
#000081
Paŝo du temas pri konstruado de la reprezentantaroj kiujn tiu paŝo unu enkalkulas.
#000082
Paŝo unu havas la flankavantaĝon ke la strukturo de la neredukteblaj reprezentantaroj estas pli bone komprenita.
Reprezentantaroj putriĝas kiel rektaj sumoj da pezospacoj, kie la pezospaco egalrilatas al la plej alta pezo unu-dimensia.
Ripeta apliko de la reprezentantoj de certaj elementoj de la Lie-algebro vokis malaltigajn funkciigistojn donas aron de generatoroj por la reprezentantaro kiel vektora spaco.
La apliko de unu tia funkciigisto sur vektoro kun definitivaj pezrezultoj aŭ en nul aŭ vektoro kun strikte pli malalta pezo.
Kreskigi operators laboras simile, kun sed rezultojn en vektoro kun strikte pli alta pezo aŭ nul.
La reprezentantoj de la Cartan-subalgebroleĝoj diagonale en bazo de pezvektoroj.
#000083
Ekzistas pluraj normaj manieroj konstrui neredukteblaj reprezentantaroj:
#000084
Tiu aliro estas sole Lie algebra.
(Ĝenerale uzebla al kompleksaj semikuracherbaj Lie-algebroj.
Konstruo utiliganta la Peter-Weyl-teoremon, ankaŭ anoncis la kompaktan grupaliron.
(Ĝenerale uzebla al kompleksaj semikuracherbaj Lie-algebroj.
(Ĝenerale uzebla al kompleksaj semikuracherbaj Lie-algebroj.
Elfarante normajn operaciojn sur konataj reprezentantaroj, aparte aplikante Clebsch-Gordan dekomosition al tensorproduktoj de reprezentantaroj.
En la plej simplaj kazoj, konstruo de komence.
#000085
Each dominant integral weight of a complex semisimple Lie-algebro gives rise to an irreducible highest weight cyclic representation. These are the only irreducible representations.
#000086
La unitara truko de Weyl
#000087
Por kelkaj semikuracherbo Lie-algebroj, aparte ne-kompaktaj, estas pli facile daŭrigi nerekte per la unitara truko de Weyl anstataŭe de uzado de la teoremo de Cartan rekte.
#000088
La korespondado konservas ekvivalentecon kaj ireducibilecon.
#000089
Finhava-dimensieco de reprezentantaroj estas implicite supozita.
#000090
Se K estas simple ligita, la unitarantruko ankaŭ povas esti deklarita jene.
#000091
La objektoj en la sekva listo estas en ekzakta korespondado:
#000092
La Lie-korespondado poste estas utiligita por akirado de grupaj prezentoj de la Koneksa komponanto de la Lorentz-grupo, TIEL (3, 1) + .
Tio estas realigita prenante la matriceksponenton de la matricoj de la Lie-algebroreprezentantaro.
Subtileco ekestas pro la (en fizikidiomo) duoble ligita naturo de TIEL (3, 1) + .
#000093
La Lie-korespondado donas rezultojn nur por la Koneksa komponanto de la grupoj, kaj tiel la komponentoj de la plena Lorentz kiuj enhavas la operaciojn de tempinversigo kaj spacinversio estas traktitaj aparte, plejparte de fizikaj konsideroj, difinante reprezentantojn por la spacinversio kaj tempinversigmatricoj.
#000094
La Lie-korespondado por liniaj grupoj kaj Lie-algebroj estas deklarita por referenco.
La Lie-korespondado legas en moderna lingvo, ĉi tie specialigita al liniaj Mensoggrupoj, jene:
#000095
Ĝi estas eksplicite komputita utiligi [nb 22]
#000096
Tio, kompreneble, tenas por la Lorentz-grupo aparte, sed ne ĉiuj Lie-algebroreprezentantaroj ekestas tiun manieron ĉar ili ekvivalentaj grupaj prezentoj eble ne ekzistas kiel bonordaj reprezentantaroj, t.e. ili estas projekciaj, vidas malsupre.
#000097
Povas esti montrite ke simpla ligiteco de G estas sufiĉa kondiĉo por (G2) por doni reprezentantaron, sed ĝi ne estas necesa kondiĉo.
#000098
G → H satisfying the first line in (G2) .
Se G ne estas simple ligita, tiam ekzistas unika reprezentantaro π c de la universala kovrogrupo Gc de G kontentiganta la saman ekvacion kiel la unua ekvacio en (G2) .
Ĝi estas sekvo de ĉi-supra teoremo.Se la kerno de la kovromapo estas inkludita en la kerno de π c , tiam la reprezentado de π c descendas al unika reprezentado de G.
Tio estas esence sekvo de variaĵo de la unua-izomorfia teoremo.
Se la kerno de la kovromapo ne estas inkludita en la kerno de π c , tiam (ne-unika) projekcia reprezentado de G rezultoj.
#000099
Se la kerno de la kovromapo estas inkludita en la kerno de π c , tiam la reprezentado de π c descendas al unika reprezentado de G.
Tio estas esence sekvo de variaĵo de la unua-izomorfia teoremo.
Se la kerno de la kovromapo ne estas inkludita en la kerno de π c , tiam (ne-unika) projekcia reprezentado de G rezultoj.
#000100
Proksime de la identeco t.e. por X en sufiĉe malgranda malferma najbareco, (G2) rendimentoj, de la Baker-Campbell-Hausdorff-formulo kaj tiu eksp estas unu-al-unuj sur tiu najbareco, unika lokulo homomorfism.
Reprezentantoj de elementoj g ege de la identeco estas difinitaj selektante padon de la identeco ĝis g, dividante ĝin fajne sufiĉe tiel ke ĉi-supra posedaĵo povas esti uzita.
La rezulto uzanta (G2) povas tiam nur dependi de la homotopyoklaso (en la normreprezentado de G) de la pado utiligita en la (provite) difino de π.
En victurno, tio dependas nur de kiu X en la Lie-algebro kutimas reprezenti elementon g en la normreprezentantaro (kaj estas uzita en (G2) .En la simple ligita kazo, ekzistas nur unu homotopyoklaso, kaj (G2) estas malambigua eĉ ege de la identeco.
En la ne-simple ligita kazo, ekzistas karto π 1 homotopyoklasoj, kaj (G2) estas laŭ certa mezuro ambigua ege de la identeco.
#000102
En la simple ligita kazo, ekzistas nur unu homotopyoklaso, kaj (G2) estas malambigua eĉ ege de la identeco.
En la ne-simple ligita kazo, ekzistas karto π 1 homotopyoklasoj, kaj (G2) estas laŭ certa mezuro ambigua ege de la identeco.
#000103
Bildan vidon da kiel la universala kovrogrupo enhavas ĉion tiaj homotopyoklasoj, kaj teknika difino de ĝi (kiel aro kaj kiel grupo) ricevas en geometria vido.
#000104
Ili estas eksplicite donitaj en konvencioj kaj Lie-algebrobazoj.
#000105
La Lie-algebro estas kompleksifieita, kaj la bazo estas ŝanĝita al la komponentoj de [82]
#000106
kie mi, j, k estas indeksoj kiujn ĉiu prenas valorojn 1, 2, 3, kaj εijk estas la tridimensia Levi-Civita simbolo.
#000107
De kompakteco, Peter-Weyl-teoremo aplikas al Su (2) × Su (2), [85] kaj tial ortonormaleco de neredukteblaj karakteroj povas esti apelaciita al.
La neredukteblaj unitariaj reprezentadoj de Su (2) × Su (2) estas ĝuste la tensorproduktoj de neredukteblaj unitariaj reprezentadoj de Su (2).
#000109
Per alogo al simpla ligiteco, la dua deklaro de la unitara truko estas aplikita.
La objektoj en la sekva listo estas en ekzakta korespondado:
#000110
Tensorproduktoj de reprezentantaroj ekaperas sur la Lie-algebronivelo kiel ĉiu el ambaŭ de [nb 24]
#000112
kie Identigaĵo estas la identecfunkciigisto.
Ĉi tie, ĉi-lasta interpreto, kiu sekvas el (G6) , estas intencita.
(La plej altaj pezoj estas fakte 2μ = 0, 1, 2, ...
#000113
Eksplicitaj realigoj kaj grupaj prezentoj poste ricevas.
#000114
La ( μ, ν) reprezentantaroj de sl (2, C)
#000115
Ĉio kion aliaj estas realaj liniaj nur.
Reprezentantaroj sur la formo ( ν, ν) aŭ ( μ, ν
ν, μ) ricevas per realaj matricoj (la lasta ne estas neredukteblaj).
#000116
(La etikedado estas kutime en la matematikliteraturo 0, 1, 2, ...
Ĉi tie la tensorprodukto estas interpretita en la antaŭa signifo de (A0) .
Tiuj reprezentantaroj estas konkrete realigitaj malsupre.
#000117
La ( m, n) reprezentantaroj de tiel (3;
#000118
Tiel la finhavaj dimensiaj neredukteblaj reprezentadoj de la Lorentz-algebro estas klasifikitaj fare de orda duopo de duon-entjeroj m = al μ kaj n = ν , konvencie skribitaj kiel unu el
#000119
kie V estas finhav-dimensia vektora spaco.
Tiuj estas, ĝis similectransformo, unike donitaj fare de [nb 26]
#000120
kie δ indikas la delton de Kronecker.
En komponentoj, kun − m ≤ , a′ ≤ m , da=− n ≤ b, b′ ≤ n , la reprezentantaroj ricevas per [89]
#000123
Ĉar por iu nereduktebla reprezentantaro por kiu m ≠ n estas esence funkciigi super la kampo de kompleksaj nombroj, la rekta sumo de reprezentantaroj ( m, n) kaj ( n, m) havi specialan signifon por fizikoj, ĉar ĝi permisiloj por uzi linearoperatorojn super realaj nombroj.
#000125
La aliro en tiu sekcio estas bazita sur teoremoj kiuj, en victurno, estas bazitaj sur la fundamenta Mensogokorespondado.
La Lie-korespondado estas en esenco vortaro inter ligitaj Mensoggrupoj kaj Lie-algebroj.
#000127
Tiu difino validas ĉu la rezulta reprezentantaro estas projekcia aŭ ne.
#000128
De praktika perspektivo, estas grave ĉu la unua formulo en (G2) povas esti utiligita por ĉiuj elementoj de la grupo.
#000129
Uzi (Mensogo) kun π estanta la diferencialo de p ĉe la identeco.
#000130
Finfine, reciklas la argumenton ree, sed nun kun la konata izomorfio inter TIEL (3;
#000131
La Lorentz-grupo estas duoble ligita, t.e. π 1 (TIEL (3;
1) estas grupo kun du ekvivalentklasoj de bukloj kiel ĝiaj elementoj.
#000132
kie u estas unitaria kun determinanto oni, tial en Su (2), kaj h estas Hermitianaj kun spuro nul.
La spuro kaj determinant kondiĉoj implicas: [97]
#000134
1) estas grupo kun du ekvivalentklasoj de bukloj kiel ĝiaj elementoj, aŭ metitaj pli simple, TIEL (3;
#000135
1) +) havas du elementojn, kelkaj reprezentadoj de la Lie-algebro cedos projekciajn reprezentantarojn.
[nb 30] Post kiam estas konata ĉu reprezentantaro estas projekcia, formulo (G2) validas por ĉiuj grupelementoj kaj ĉiuj reprezentantaroj, inkluzive de la projekciaj - kun la kompreno kiu la reprezentanto de grupelemento dependos de kiu elemento en la Lie-algebro (la X en (G2) ) kutimas reprezenti la grupelementon en la normreprezentantaro.
#000136
Por la Lorentz-grupo, la ( m, n) - reprezentantaro estas projekcia kiam m + n estas duon-entjero.
#000137
Por projekcia reprezentantaro π de TIEL (3;
#000138
ekde iu buklo en TIEL (3;
1) + krucis dufoje, pro la duobla ligiteco, estas kuntirebla al punkto, tiel ke ĝia homotopyoklaso estas tiu de konstanta mapo.
Ĝi sekvas tiun π estas duobla-aprezita funkcio.
Ĝi ne estas ebla al konstante elektis signon por akiri kontinuan reprezentadon de ĉiuj el TIEL (3;
1) + , sed tio estas ebla loke ĉirkaŭ iu punkto.
#000139
La kovrogrupo Sl (2, C)
#000140
kie la sigmoj estas la Pauli-matricoj.
#000141
Tiel, la mapo J mi ↔ j mi , K mi ↔ k mi , etendita per lineareco estas izomorfio.
#000142
1) + , indikas ĝian homotopyoklason je [ pg ] kaj luigita πg estu la aro de tute tiaj homotopyoklasoj.
#000143
kaj dotu ĝin kun la multiplikoperacio
#000144
la universala kovrogrupo de TIEL (3;
Ĉar ĉiu πg havas du elementojn, proksime de ĉi-supra konstruo, ekzistas 2:1 kovromapo p:
1) + estas simple donita per p ( g, [ pg
#000145
Ĝia kerno devas aparte preni la identan matricon al si mem, A † IA = A † A = mi kaj tial A † = −1 .
Tiel HAKILO = XA por A en la kerno tiel, de la lemo de Schur, [nb 31] A estas multoblo de la identeco, kiu devas esti ± mi ekde det A = 1.
#000146
Tio signifas ke p ( A) apartenas al la plena Lorentz-grupo TIEL (3;
1) estas ligita, kaj tial estas enhavita en TIEL (3;
#000148
1) + , izomorfa al la grupo G de supra.
#000149
La matrico q povas esti skribita
#000151
Ili povas esti (kaj kutime estas) surpaperigitaj de komence.
La holomorfaj grupaj prezentoj (signifantaj kiujn la ekvivalenta Lie-algebroreprezentantaro estas kompleksaj linia) estas parencaj al la kompleksaj liniaj Lie-algebroreprezentantaroj per potenco.
Ili povas esti eksponentiateitaj ankaŭ.
La ( μ, 0) - reprezentantaroj estas kompleksaj liniaj kaj estas (izomorfaj al) la plej altaj pezo-reprezentantaroj.
Tiuj estas kutime indeksitaj kun nur unu entjero (sed duon-entjeroj estas uzitaj ĉi tie).
#000153
La matematikkongreso estas uzita en tiu sekcio por oportuno.
Lie-algebrelementoj malsamas je faktoro de mi kaj ekzistas neniu faktoro da mi en la eksponenta mapado komparite kun la fizikkongreso uzita aliloke.
#000154
Tiu elekto de bazo, kaj la notacio, estas norma en la matematika literaturo.
#000155
la elementoj de kiuj estas
#000156
Trajtoj de la ( m, n) reprezentantaroj
#000159
Ireducibileco sekvas el la unitara truko [75] kaj ke reprezentantaro π de Su (2) × Su (2) estas neredukteblaj ĉu kaj nur se π = πμ ⊗ πν , [nb 35] kie πμ, πν estas neredukteblaj reprezentadoj de Su (2).
Unikeco sekvas el ke la π m estas la nuraj neredukteblaj reprezentadoj de Su (2), kio estas unu el la konkludoj de la teoremo de la plej alta pezo.
#000160
La ( m, n) reprezentantaroj estas ( 2m + 1) ( 2n + 1) - dimensia.
#000161
uzas, kie R + estas la aro de pozitivaj radikoj, ρ estas la plej alta pezo, kaj δ estas duono de la sumo de la pozitivaj radikoj.
La plej alta pezo estas 2μ .
Prenante tensorproduktojn, la rezulto sekvas.
#000162
Se reprezentantaro π de Lie-grupo G ne estas fidela, tiam N = ker π estas nesensignifa normala subgrupo.
#000163
1) + , la unua kazo poste estas ekskludita TIEL (3;
[nb 37] La dua kazo (kaj la unua kazo) estas ekskludita ĉar TIEL (3;
[nb 38] Por la tria kazo, TIEL (3;
1) + estas sensignifa, kaj tio ekskludas la trian kazon.
La konkludo estas tiel ĉiu reprezentantaro π: TIEL (3;
1) + → Gl ( V) da kaj ĉiu projekcia reprezentantaro π: TIEL (3;
1) + → PGL ( W) por V, W finhav-dimensiaj vektoraj spacoj estas fidelaj.
#000165
Utiligante la fundamentan Mensogokorespondadon, la deklaroj kaj la rezonado supre tradukiĝas rekte al Lie-algebroj kun (abelaj) nesensignifaj ne-diskretaj normalaj subgrupoj anstataŭigite per (unu-dimensiaj) nesensignifaj idealoj en la Lie-algebro, [114] kaj la centro de TIEL (3;
#000166
[nb 42] Koncerne la Lorentz-grupon, tio ankaŭ povas esti vidita rekte de la difinoj.
La reprezentadoj de A kaj B uzita en la konstruo estas Hermitianaj.
Tio signifas ke J estas Hermitiana, sed K estas kontraŭ-Hermita.
La ne-unitarity ne estas problemo en kvantuma kampa teorio, ĉar la objektoj kauzo de maltrankvilo ne estas postulataj por havi Lorentz-senvarian pozitivan definitivan normon.
#000168
La ( m, n) reprezentantaro estas, aliflanke, unitaria kiam limigite al la rotaciosubgrupo TIEL (3), sed tiuj reprezentantaroj ne estas neredukteblaj kiel reprezentadoj de TIEL (3).
Clebsch-Gordan putriĝo povas esti uzita montrante ke ( m, n) reprezentantaro havi TIEL (3) - senvariaj subspacoj de plej alta pezo (spino) m + n, m + n − 1, ...
, [121] kie ĉiu ebla plej alta pezo (spino) ekzakte unufoje okazas.
Pezosubspaco de plej alta pezo (spino) j estas ( 2j + 1) - dimensia.
Tiel ekzemple, la ( 1 / 2 , 1 / 2 ) reprezentantaro havas spinon 1 kaj spinon 0 subspacojn de dimensio 3 kaj 1 respektive.
#000169
Ĉar la angulmovokvanta funkciigisto estas evoluita je J = A + B , la plej altan spinon en kvantuma mekaniko de la rotaciosub-reprezentantaro estos ( m + n) ħ kaj la "kutimaj" reguloj de aldono de angulmomenta kaj la formalismo de 3-j simboloj, 6-j simboloj, ktp. uzas.
#000170
Konstruado de pura spino n / 2 reprezentantaroj por iu n (sub TIEL (3) de la neredukteblaj reprezentantaroj implikas ĉarmajn tensorproduktojn de la Dirac-reprezentantaro kun ne-spina reprezentantaro, ekstraktado de taŭga subspaco, kaj finfine trudanta diferencigajn limojn.
#000172
La sekvaj teoremoj estas uzitaj por ekzameni ĉu la duobla reprezentado de nereduktebla reprezentantaro estas izomorfa al la origina reprezentantaro:
#000173
La aro de pezoj de la duobla reprezentado de nereduktebla reprezentado de semikuracherbo Lie-algebro estas, inkluzive de diversecoj, la negativo de la aro de pezoj por la origina reprezentantaro.
Du neredukteblaj reprezentantaroj estas izomorfaj se kaj nur se ili havas la saman plej altan pezon.
[nb 43] Por ĉiu semikuracherbo Lie-algebro tie ekzistas unika elemento w0 de la Weyl-grupo tia ke se μ estas domina integrita pezo, tiam w 0
μ) estas denove domina integrita pezo.
#000174
Ĉi tie, la elementoj da la Weyl-grupo estas konsideritaj ortogonalajn transformojn, reagante per matrica multipliko, al la reala vektora spaco de radikoj.
Se − I estas elemento de la Weyl-grupo de semikuracherba Lie-algebro, tiam w 0
Ĝi sekvas tiel ĉiun πμ , μ = 0, 1, ...
[nb 45] Inspektado montras al tiu w α ⋅ w β
Utiligante la fakton tion se π, σ estas Lie-algebroreprezentantaroj kaj π ≅ σ , tiam π ≅ σ, [128] la konkludo por TIEL (3;
#000175
Tio sekvas el tiu kompleksa konjugacio navedas kun aldono kaj multipliko.
#000176
kie la deklaro por la grupaj prezentoj sekvas el eksp ( X ) = eksp ( X) .
Ĝi sekvas ke la neredukteblaj reprezentantaroj ( m, n) havas realan matricreprezentantojn se kaj nur se m = n .
Redukteblaj reprezentantaroj sur la formo ( m, n
n, m) havas realajn matricojn ankaŭ.
#000178
Same, reprezentado (π, V) de grupo G cedas reprezentantaron π sur Fino ( V) de G, daŭre indikis π, donitan per [131]
#000180
ĉiam ekzistu por iu matrico al Lie-grupo, kaj estas plej gravaj por enketo de la prezenta teorio ĝenerale, kaj por iu antaŭfiksita Mensoggrupo aparte.
#000181
Apliki tion al la Lorentz-grupo, se (π, V) estas projekcia reprezentantaro, tiam rekta kalkulo utiliganta (G kun nombro) spektaklojn ke la induktita reprezentantaro sur Fino ( V) estas bonorda reprezentantaro, t.e. reprezentantaro sen fazfaktoroj.
#000182
Por simpleco, pripensu nur la "diskretan parton" de Fino ( H), t.e., surbaze de bazo por H, la aro de konstantaj matricoj de diversa dimensio, inkluzive de eventuale senfina grandeco.
La induktita 4-vektorreprezentado de supra sur tiu simpligita Fino ( H) havas senvarian 4-dimensian subspacon kiu estas enhavita per la kvar gama-matricoj.
(La metrika kongreso estas malsama en la ligita artikolo.
#000184
kie, kiel estas kutima, reprezentantaro estas konfuzita kun sia reprezentantarspaco.
#000185
Krome, ili havas la anstataŭigrilatojn da la Lorentz Lie-algebro, [136]
#000186
Por detaloj, vidu bispinoro kaj Dirac-algebro.
#000187
Ekzistas amaso da aliaj reprezentantaroj kiuj povas esti konkluditaj el la neredukteblaj, kiel ekzemple tiuj akiritaj prenante rektajn sumojn, tensorproduktoj, kaj kvocientoj de la neredukteblaj reprezentantaroj.
Tiuj reprezentantaroj estas ĝenerale ne ireducible.
#000188
La Lorentz-grupo kaj ĝia Lie-algebro havas la kompletan reducibilecposedaĵon.
Tio signifas ke ĉiu reprezentantaro maldikiĝas al rekta sumo de neredukteblaj reprezentantaroj.
La redukteblaj reprezentantaroj tial ne estos diskutitaj.
#000189
La (eventuale projekcia) ( m, n) reprezentantaro estas nereduktebla kiel reprezentantaro TIEL (3;
1) + , la identeckomponento da la Lorentz-grupo, en fizikterminologio la bonorda orthochronoza Lorentz-grupo.
Se m = n ĝi povas esti ampleksitaj reprezentadon de ĉiuj el O (3;
1), la plena Lorentz-grupo, inkluzive de spacegalecinversio kaj tempinversigo.
La reprezentantaroj ( m, n
n, m) povas esti etendita same.
#000190
Ĝi estas tiuj trajtoj de K kaj J sub P kiuj instigas la esprimojn vektoro por K kaj pseŭdovektoro aŭ aksan vektoron por J .
Se P estas inkludota en π, tiam konsistenco kun (F kun nombro) postulas tion
#000192
Se egaleco estas inkludita kun minussigno (la 1×1 matrico [−1]) en la (0,0) reprezentantaro, ĝi estas nomita pseudoscalar reprezentantaro.
#000194
De eksplicite inkluzive de reprezentanto por T , same kiel unu por P , reprezentado de la plena Lorentz-grupo O (3;
Subtila problemo aperas tamen en petskribo al fizikoj, aparte-kvantuma mekaniko.
Dum pripensado de la plena Poincaré-grupo, kvar pliaj generatoroj, la Pμ , aldone al la Ji kaj Ki generas la grupon.
Tiuj estas interpretitaj kiel generatoroj de tradukoj.
La tempo-komponento P 0 estas la Hamiltonian H .
La funkciigisto T kontentigas la rilaton [140]
#000195
De ĵus nuligado de la rezulto THT de la i, la −1
H implicus ke por ĉiu ŝtat ψ kun pozitiva energio E en hilberta spaco de kvantumaj statoj kun temp-inversiga envarianco, ekzistus ŝtato π ( T −1) ψ kun negativenergio − E .
La funkciigisto π ( T) estas tial elektita kontraŭlinia kaj kontraŭunitaria, tiel ke ĝi antikomute kun mi, rezultigante THT −1 = H , kaj ĝia ago pri hilberta spaco same iĝas kontraŭlinia kaj kontraŭunitaria.
Ĝi povas esti esprimita kiel la kunmetaĵo de kompleksa konjugacio kun multipliko per unuecmatrico.
Tio estas matematike solida, vidas la teoremon de Wigner, sed kun tre striktaj postuloj pri terminologio, π ne estas reprezentantaro.
#000196
Dum konstruado teorioj kiel ekzemple QED kiu estas senvaria sub spacegaleco kaj tempinversigo, Dirac-spinors povas esti uzita, dum teorioj kiuj ne faras, kiel ekzemple la elektromalforta forto, devas esti formulitaj laŭ Weyl-spinoroj.
La Dirac-reprezentantaro, ( 1 / 2 , 0) ⊕ (0, 1 / 2 ), estas kutime prenita por inkludi kaj spacegaleco- kaj tempinversiojn.
Sen spacegalecinversio, ĝi ne estas nereduktebla reprezentantaro.
#000197
La tria diskreta simetrio eniranta en la CPT-teoremo kune kun P kaj T , pagendaĵa konjugacio-simetrio C , havas nenion rekte farendaĵo kun Lorentz-envarianco.
#000198
produktas alian funkcio πf ∈ V .
Ĉi tie π x estas n-dimensia reprezentantaro, kaj π estas eventuale senfin-dimensia reprezentantaro.
Speciala kazo de tiu konstruo estas kiam V estas spaco da funkcioj difinitaj sur la linia grupo G mem, rigardita kiel n-dimensia
Tio estas la scenaro en kiu la Peter-Weyl-teoremo kaj la Borel-Weil teoremo estas formulitaj.
La unua montras la ekziston de Fourier-putriĝo de funkcioj sur kompakta grupo en karakterojn de finhav-dimensiaj reprezentantaroj.
#000199
La sekvanta ekzempligas agon de la Lorentz-grupo kaj la rotaciosubgrupo sur kelkaj funkciaj spacoj.
#000200
La subgrupo TIEL (3) de tridimensiaj Eŭklidaj rotacioj havas senfin-dimensian reprezentantaron sur la hilberta spaco
#000201
Arbitra kvadrata integrabla funkcio f tia la unuobla pilko povas esti esprimita kiel [145]
#000202
kie la f lm estas ĝeneraligitaj Fourier-koeficientoj.
#000203
La Lorentz grupa ago limigas al tiu de TIEL (3) kaj estas esprimita kiel
#000204
kie la D l akiriĝas de la reprezentantoj de stranga dimensio de la generatoroj de rotacio.
#000205
La identeckomponento da la Lorentz-grupo estas izomorfa al la Möbius-grupo M.
Tiu grupo povas esti opiniita de tiel konformaj mapadoj de aŭ la kompleksa ebeno aŭ, per rektlinia sfera projekcio, la Riemann-sfero.
Laŭ tiu maniero, la Lorentz-grupo mem povas esti opiniita da kiel funkciante konforme sur la kompleksa ebeno aŭ sur la Riemann-sfero.
#000206
En la aviadilo, transformo de Möbius karakterizita per la komplekso numeras , b, c, d reagas al la aviadilo laŭ [146]
#000207
kaj povas esti reprezentita per kompleksaj matricoj
#000208
ekde multipliko de nonzera kompleksa Skalaro ne ŝanĝas f.
#000209
La Riemann P-funkcioj, solvoj de la diferenciala ekvacio de Riemann, estas ekzemplo de aro de funkcioj kiuj transformas inter ili mem sub la ago de la Lorentz-grupo.
La Riemann P-funkcioj estas esprimitaj kiel [147]
#000210
kie la , b, c, α, β, γ, α′, β′, γ′ estas kompleksaj konstantoj.
La P-funkcio sur la dekstra flanko povas esti esprimita uzante normajn supergeometriajn funkciojn.
#000211
La aro de konstantoj 0, ∞, 1 en la supra vico sur maldekstramana flanko estas la regulaj eksterordinaraj punktoj de la hipergeometria ekvacio de la Gauss.
Ĝiaj eksponentoj, t.e. solvoj de la indicial ekvacio, por vastiĝo ĉirkaŭ la eksterordinara poento 0 estas 0 kaj 1 − c , egalrilatante al la du linie sendependaj solvoj, [nb 46] kaj por vastiĝo ĉirkaŭ la eksterordinara poento 1 ili estas 0 kaj c − − b .
Simile, la eksponentoj por ∞ estas a kaj b por la du solvoj.
#000212
kie la kondiĉo (foje nomita la identeco de Riemann) [152]
#000214
sur la eksponentoj de la solvoj de la diferenciala ekvacio de Riemann estis uzita por difini γ ′.
#000215
La unua aro de konstantoj sur maldekstramana flanko en (T1) , , b, c indikas la regulajn eksterordinarajn punktojn de la diferenciala ekvacio de Riemann.
La dua aro, α, β, γ , estas la ekvivalentaj eksponentoj ĉe , b, c por unu el la du linie sendependaj solvoj, kaj, sekve, α′, β′, γ′ estas eksponentoj ĉe , b, c por la dua solvo.
#000216
Difinu agon da la Lorentz-grupo sur la aktoraro de ĉiuj Riemann P-funkcioj unue metante
#000217
kie P estas Riemann P-funkcio.
La rezulta funkcio denove estas Riemann P-funkcio.
La efiko de la transformo de Möbius de la argumento estas tiu da translokado de la poloj al novaj lokoj, tial ŝanĝante la kritikajn punktojn, sed ekzistas neniu ŝanĝo en la eksponentoj de la diferenciala ekvacio kiun la nova funkcio kontentigas.
La nova funkcio estas esprimita kiel
#000219
Tiun migrovojon de evoluo komencanta kun Dirac (1936) sur kie li elpensis matricojn U kaj B necesa por priskribo da pli alta spino (komparu Dirac-matricojn), ellaboris de Fierz (1939), vidu ankaŭ Fierz & Pauli (1939), kaj proponis antaŭulojn de la Bargmann-Wigner-ekvacioj.
En Dirac (1945) li proponis konkretan senfin-dimensian reprezentantaron interspacigu kies elementojn estis nomitaj ekspansor kiel ĝeneraligo de tensoroj.
[nb 47] Tiuj ideoj estis asimilitaj fare de Harish-Chandra kaj vastigitaj kun ekspinor kiel senfin-dimensia ĝeneraligo de spinoroj en lia 1947 artikolo.
#000220
La Plancherel-formulo por tiuj grupoj unue estis akirita fare de Gelfand kaj Naimark tra implikis kalkulojn.
Elementaj raportoj pri tiu aliro povas esti trovitaj en Rühl (1970) kaj Knapp (2001).
#000221
La teorio de sferaj funkcioj por la Lorentz-grupo, necesa por furiera analizo en la hiperboloida modelo de 3-dimensia hiperbola spaco sidanta en spaco de Minkowski estas sufiĉe pli facila ol la ĝenerala teorio.
#000222
Ĉefserio por Sl (2, C)
#000223
por k entjero, ν reala kaj kun z = reiθ .
la nuraj ripetoj, t.e. izomorfioj de reprezentantaroj, okazas kiam k estas anstataŭigita per − k .
Kie k = 0, tiuj reprezentantaroj konsistigas la tielnomitan sferan ĉefserion.
#000224
Ireducibileco povas esti kontrolita en gamo da vojoj:
#000226
La reprezentantaro jam estas nereduktebla sur B.
Tio povas esti vidita rekte, sed ankaŭ estas speciala kazo da ĝeneralaj rezultoj sur ireducibileco de induktitaj reprezentantaroj pro François Bruhat kaj George Mackey, fidante je la Bruhat-putriĝo G = B ∪ BsB kie s estas la Weyl-grup elemento [158]
#000227
Komplementa serio por Sl (2, C)
#000228
La reprezentantaroj en la komplementa serio estas neredukteblaj kaj pairŭise ne-izomorfaj.
Kiel reprezentado de K, ĉiu estas izomorfa ĝis la hilbertspacaj rekta sumo de ĉiuj strangaj dimensiaj neredukteblaj reprezentadoj de K = Su (2).
#000229
Plancherel-teoremo por Sl (2, C)
#000230
Ekde − mi funkcias kiel (−1) k sur la ĉefserio kaj sensignife sur la resto, tiuj donos ĉiujn neredukteblajn unitariajn reprezentadojn de la Lorentz-grupo, kondiĉe ke k estas prenita por esti eĉ.
#000231
(La unua nur implikas ĉefserioreprezentantarojn kun k eĉ kaj ĉi-lastan nur tiujn kun k = 0.
#000232
Difinu hilbertan spacon H de
#000233
La mapo U kontentigas la interplektan posedaĵon
#000234
Se f 1, f 2 estas en Ccm ( G) tiam de unitareco
#000235
La lastaj du prezentitaj formuloj estas kutime referitaj kiel la Plancherel-formulo kaj la Fourier-inversio formulo respektive.
Ĝi povas esti etendita al multe pli larĝaj klasoj de funkcioj kontentigantaj moderajn distingeblokondiĉojn.
#000236
Klasifikado de reprezentadoj de TIEL (3, 1)
#000237
La strategio sekvita en la klasifiko de la neredukteblaj senfin-dimensiaj reprezentantaroj estas, en analogeco al la finhav-dimensia kazo, supozi ke ili ekzistas, kaj esplori siajn trajtojn.
Tiel unue supozu ke nereduktebla forte kontinua senfin-dimensia reprezentantaro π H sur hilberta spaco H da TIEL (3;
1) + estas ĉe mano.
Poste TIEL (3) subgrupo estas, π H estas reprezentado de ĝi ankaŭ.
Ĉiu nereduktebla subreprezentantaro de TIEL (3) estas finhav-dimensia, kaj la So (3) reprezentantaro laboras redukteblaj pri rekta sumo de neredukteblaj finhav-dimensiaj unitariaj reprezentadoj de TIEL (3) se π H estas unitaria.
#000238
La ŝtupoj estas la sekvantaj:
#000239
Elektis taŭgan bazon de ofta eigenvektors de J 2 kaj J 3 .
Komputi matricelementojn de J 1, J 2, J 3 kaj K 1, K 2, K 3 .
Postulu unitarecon kune kun ortonormaleco de la bazo.
#000240
Unu taŭga elekto de bazo kaj etikedado ricevas per
#000241
kie la etikedoj j 0 kaj j 1 estis faligita ĉar ili estas la samaj por ĉiuj bazvektoroj en la reprezentantaro.
#000243
la triobla ( K mi , K mi , K mi
K estas vektorfunkciigisto [172] kaj la Wigner-Eckart teoremo [173] petas pri komputado de matricelementoj inter la ŝtatoj reprezentitaj per la elektita bazo.
#000244
kie la supermanuskripto (1) signifas ke la difinitaj kvantoj estas la komponentoj da sfera tensorfunkciigisto de rekta k = 1 (per kiu klarigas la faktor √ 2 ankaŭ) kaj la indeksoj 0, ±1 estas referita kiel q en formuloj malsupre, ricevas [175]
#000245
Ĉi tie la unuaj faktoroj sur la dekstraj flankoj estas Clebsch-Gordan koeficientoj por kunligado de j ′ kun k por ricevi j.
La duaj faktoroj estas la reduktitaj matricelementoj.
Ili ne dependas de m, m′ aŭ q, sed dependas de j, j′ kaj, kompreneble, K .
Por kompleta listo de ne-malaperaj ekvacioj, vidu Harish-Chandra (1947, p. 375).
#000246
La venonta paŝo devas postuli ke la Lie-algebrorilatoj tenu, t.e. tion
#000247
Tio rezultigas aron de ekvacioj [176] por kiuj la solvoj estas [177]
#000248
La altrudo de la postulo da unitareco da la ekvivalenta reprezentado da la grupo limigas la eblajn valorojn por la arbitraj kompleksaj nombroj j 0 kaj ξ j .
Unitarity de la grupa prezento tradukiĝas al la postulo de la Lie-algebroreprezentantoj estantaj Hermitiana, signifante
#000249
kie β j estas la angulo de B j sur polusa formo.
#000250
Tio montras ke la reprezentadoj de supre estas ĉiuj senfin-dimensiaj neredukteblaj unitariaj reprezentantaroj.
#000254
La metriko de elekto ricevas per η = diag (−1, 1, 1, 1), kaj la fizikkongreso por Lie-algebroj kaj la eksponenta mapado estas uzita.
Tiuj elektoj estas arbitraj, sed post kiam ili estas faritaj, fiksitaj.
Unu ebla elekto da bazo por la Lie-algebro estas, en la 4-vektorreprezentantaro, donita per:
#000255
En tridimensia notacio, tiuj estas [183]
#000256
La elekto de bazo supre kontentigas la rilatojn, sed aliaj elektoj estas eblaj.
La multobla uzo de la simbolo J super kaj en la daŭrigo devus esti observita.
#000257
De prenado, en victurno, m = 1 / 2 , n = 0 kaj m = 0, n = 1 / 2 kaj per metado
#000258
en la ĝenerala esprimo (G kun nombro) , kaj uzante la sensignifajn rilatojn 11 = 1 kaj J (0) = 0, ĝi sekvas
#000259
Tiuj estas la maldekstramanaj kaj lertaj Weyl-spinor reprezentantaroj.
Ili reagas per matrica multipliko al 2-dimensiaj kompleksaj vektoraj spacoj (kun elekto de bazo) V L kaj V da R , kies elemento ψL kaj ψR estas nomitaj maldekstro- kaj lertaj Weyl-spinoroj respektive.
#000260
ilia rekta sumo kiel reprezentantaroj estas formita, [184]
#000261
Tio estas, ĝis similectransformo, la ( 1 / 2 , 0) ⊕
La reprezentantaro povas esti akirita en pli ĝenerala kaj baza sendependa vojo uzanta Clifford-algebrojn.
#000262
Prezenta teorio de la Poincaré-grupo
#000263
Harish-Chandra poste skribis "ke Tiu rimarko konfirmis mian kreskantan konvinkiĝon ke mi ne havis la misteran sesan sencon kiun oni devas sukcedi en fiziko kaj mi baldaŭ decidis relokiĝi al matematiko."
#000265
Dirac tamen indikis la temon de sia disertaĵo, la klasifiko da la neredukteblaj senfin-dimensiaj reprezentadoj de la Lorentz-grupo.
#000266
2) kaj referencoj donitaj en tiuj verkoj.
#000268
Devus esti rimarkite ke altaj turnadas teorioj ( s > 1) renkontmalfacilaĵojn.
Vidu Weinberg (2002, Section 5.8), sur ĝenerala ( m, n) kampoj, kie tio estas traktita en iom da profundo, kaj referencojn en tio.
Altaj spinpartikloj rezignas dubo ekzisti, ekz. nukleoj, la konataj ĵus estas ne elementaj.
#000269
Oni diras ke grupo havas la kompletan reducibilecposedaĵon se ĉiu reprezentantaro putriĝas kiel rekta sumo de neredukteblaj reprezentantaroj.
#000270
Alia sekvo estas tiel ĉiu kompakta Mensoggrupo havas la kompletan reducibilecposedaĵon, signifante ke ĉiuj ĝiaj finhav-dimensiaj reprezentantaroj putriĝas kiel rekta sumo de neredukteblaj reprezentantaroj.
#000272
Estas ankaŭ vere ke ekzistas neniuj senfin-dimensiaj neredukteblaj unitariaj reprezentadoj de kompaktaj Mensoggrupoj, deklaris, sed ne pruvita en Greiner & Müller (1994, Section 15.2.
#000273