Listo de teorio de grupo-temoj
#000001
Ĝenerala linia Gl ( n)
#000002
Speciala linia Sl ( n)
#000003
Speciala ortogonala TIEL ( n)
#000004
En algebro, cikla grupo aŭ monogena grupo estas grupo kiu estas generita per ununura elemento.
Tio estas, ĝi konsistas el aro de elementoj kun ununura invertebla asocieca operacio, kaj ĝi enhavas elementon g tia ke ĉiu alia elemento de la grupo povas esti akirita plurfoje aplikante la grupoperacion aŭ ĝian inversan al g.
Ĉiu elemento povas esti skribita kiel potenco de g en multiplika notacio, aŭ kiel multoblo de g en aldona notacio.
Tiu elemento g estas nomita generatoro de la grupo.
#000006
Ĉiu senfina cikla grupo estas izomorfa al la aldona grupo de Z, la entjeroj.
Ĉiu finhava cikla grupo de ordo n estas izomorfa al la aldona grupo de Z / n Z, la entjermodulo n.
Ĉiu cikla grupo estas abela grupo (signifante ke ĝia grupoperacio estas kommutativa), kaj ĉiu finhave generita abela grupo estas rekta produkto de ciklaj grupoj.
#000007
Tensorprodukto kaj Hom de ciklaj grupoj
6 Parencaj klasoj de grupoj 6.1
#000008
Tensorprodukto kaj Hom de ciklaj grupoj
#000009
Grupo G estas nomita cikla ĉu tie ekzistas elemento g en G tia ke G
Ekde iu grupo generita per elemento en grupo estas subgrupo de tiu grupo, montrante ke la nura subgrupo de grupo G kiu enhavas g estas G mem sufiĉas por montri ke G estas cikla.
#000010
grupo de ordo 6 estas, tiam g 6 = g 0, kaj G estas ciklaj.
kun aldonmodulo 6-a Ekzemple, 1 + 2 ≡ 3 (modema adoleskanto 6) korespondas al g 1
g 2 = g 3 , kaj 2 + 5 ≡ 1 (modema adoleskanto 6) egalrilatas al g 2
Oni povas uzi la izomorfion χ difinita per χ ( g da I
#000011
La nomo "cikla" povas esti misgvida: [2]
estas eble generi senlime multajn elementojn kaj ne formi iujn ajn laŭvortajn ciklojn;
tio estas, ĉiu g da n estas klara.
(Ĝi povas esti opiniita de kiel havante unu senlime longan ciklon.
Grupo generita laŭ tiu maniero (ekzemple, la unua frisgrupo, p1) estas nomita senfina cikla grupo, kaj estas izomorfa al la aldona grupo de la entjeroj, ( Z
#000012
La francaj matematikistoj konataj kiel Nicolas Bourbaki nomis ciklan grupon monogena grupo, kaj nomis nur finhavajn monogenajn grupojn "ciklaj grupoj", evitante la esprimon "senfina cikla grupo".
#000013
La aro de entjeroj, kun la operacio de aldono, formas grupon.
Ĝi estas senfina cikla grupo, ĉar ĉiuj entjeroj povas esti skribitaj kiel finhava sumo aŭ diferenco de kopioj de la numero 1-a En tiu grupo, 1 kaj −1 estas la nuraj generatoroj.
Ĉiu senfina cikla grupo estas izomorfa al tiu grupo.
#000014
Por ĉiu pozitiva entjero n, la aro de entjermodulo n, denove kun la operacio de aldono, formas finhavan ciklan grupon, la grupon Z /( n).
Elemento g estas generatoro de tiu grupo se g estas relative ĉefa al n.
Tiel, la nombro da malsamaj generatoroj estas φ ( n), kie φ estas la Euler-totientfunkcio, la funkcio kiu nombras la nombron da nombroj modulon n kiuj estas relative ĉefaj al n.
Ĉiu finhava cikla grupo estas izomorfa al grupo Z /( n), kie n estas la ordo de la grupo.
#000015
La entjero kaj modulaj aldonoperacioj, uzitaj por difini la ciklajn grupojn, estas ambaŭ la aldonoperacioj de komutaj ringoj, ankaŭ indikis Z kaj Z /( n).
Se p estas primo, tiam Z /( p) estas finhava kampo, kaj estas kutime anstataŭe skribita kiel F da p aŭ Gf ( p).
Ĉiu kampo kun p elementoj estas izomorfa al tiu-ĉi.
#000016
La cikla grupo ( Z / p Z) × por primo pli sensenta p, estas ankaŭ skribita ( Z / p Z) ÷ ĉar ĝi konsistas el la ne-nulaj elementoj de la finhava kampo de ordo p.
Pli ĝenerale, ĉiu finhava subgrupo de la multiplika grupo de iu kampo estas cikla.
#000018
La aro de turnaj simetrioj de plurangulo formas finhavan ciklan grupon.
Se ekzistas n malsamaj manieroj mapi la plurangulo al si mem per rotacio (inkluzive de la nulrotacio) tiam tiu grupo estas izomorfa al Z n .
En tri aŭ pli alta grandeco tie povas ekzisti aliaj finhavaj geometriaj simetria grupoj kiuj estas ciklaj, sed tio ne formas la aron de rotacioj ĉirkaŭ ununura akso.
#000019
La grupo S 1 el ĉiuj rotacioj de cirklo (la cirklogrupo) estas ne cikla.
Male al la senfina cikla grupo, ĝi estas ne eĉ nombrebla.
Tie ankaŭ ekzistu aliaj senfinaj turnadaj grupoj (kiel ekzemple la aro de rotacioj de raciaj anguloj) kiuj estas nombreblaj sed ne ciklaj.
#000020
a radiko de unu povas esti opiniita de kiel komplekso numeri kies an potencon estas 1-a Kiu estas, ĝi estas radiko de la polinomo x n − 1-a kiujn La aj radikoj de unueco formas al cikla grupo de ordo n sub multipliko.
formas ciklan grupon sub multipliko.
La Galois-grupo de la kampetendaĵo de la raciaj nombroj generitaj per la aj radikoj de unueco formas malsaman grupon.
Ĝi estas izomorfa al la multiplika grupmodulo n, kiu havas ordon φ ( n) kaj estas cikla por kelkaj sed ne ĉio n.
#000021
Kampetendaĵo estas nomita cikla etendaĵo se ĝia Galois-grupo estas cikla grupo.
La Galois-grupo de ĉiu finhava etendaĵo de finhava kampo estas finhava kaj cikla, kun ripeti de la Frobenius-endomorfismo kiel sia generatoro.
Inverse, surbaze de finhava kampo F kaj finhava cikla grupo G, ekzistas finhava kampetendaĵo de F kies Galois-grupo estas G.
#000022
Ĉiuj subgrupoj kaj kvocientogrupoj de ciklaj grupoj estas ciklaj.
Specife, ĉiuj subgrupoj de Z estas de la formo m da Z, kun m entjer≥0. Ĉiuj tiuj subgrupoj estas apartaj de unu la alian, kaj krom la sensignifa grupo (por m = 0) ĉiuj estas izomorfaj al Z.
La krado de subgrupoj de Z estas izomorfa ĝis la dualo de la krado de naturaj nombroj ordonitaj per dividebleco.
Aparte, ĉar la primoj estas la nombroj kun neniuj nesensignifaj dividantoj, cikla grupo estas simplanima se kaj nur se ĝia ordo (la nombro da ĝiaj elementoj) estas primo.
#000023
Oni povas anstataŭe skribi la grupon multiplicative, kaj indiki ĝin je C da n , kie n estas la ordo por finiaj grupoj kaj je C por la senfina cikla grupo.
#000025
Ĉiu cikla grupo estas abela.
Tio estas, ĝia grupoperacio estas kommutativa:
gh = hg (por ĉiu g kaj h en G).
Tio estas klara por la grupoj de entjero kaj modula aldono ekde r + s ≡ s + r (modema adoleskanto n), kaj ĝi sekvas por ĉiuj ciklaj grupoj ĉar ili estas tute izomorfaj al grupo generita per aldonoperacio.
Por finhava cikla grupo de ordo n, kaj ĉiu elemento e de la grupo, e n estas la neŭtra elemento de la grupo.
Tio denove sekvas uzante la izomorfion al modula aldono, ekde kn ≡ 0 (modema adoleskanto n) por ĉiu entjero k.
#000027
Se d estas dividanto de n, tiam la nombro da elementoj en Z / n kiuj havas ordon d estas φ ( d), kaj la nombro da elementoj kies ordo disigas d estas sama d.
Se G estas finhava grupo en kiu, por ĉiu n > 0, G enhavas maksimume n elementojn de ordo disiganta n, tiam G devas esti cikla.
[noto 3] La ordo de elemento m da la grupo estas n / gcd ( n, m).
#000028
(sekvenco A003277 en la OEIS) Fakte, pli sensenta n estas cikla nombro se kaj nur se gcd ( n, φ ( n) = 1, kie φ estas la Eulera fi-funkcio.
#000030
La difino tuj implicas ke ciklaj grupoj havas grupprezenton C ∞
x n ⟩ por finhava n.
#000031
La prezenta teorio de la cikla grupo estas kritika bazkazo por la prezenta teorio de pli ĝeneralaj finiaj grupoj.
En la kompleksa kazo, reprezentado de cikla grupo putriĝas en rektan sumon de liniaj karakteroj, igante la ligon inter karaktero teorio kaj prezenta teorio travidebla.
En la pozitiva karakterizaĵkazo, la neputrivaj reprezentadoj de la cikla grupo formas modelon kaj induktan bazon por la prezenta teorio de grupoj kun ciklaj Sylow-subgrupoj kaj pli ĝenerale la prezentan teorion de blokoj de cikla difekto.
#000032
Cikla grafeo ilustras la diversajn ciklojn de grupo kaj estas precipe utila en bildigado de la strukturo de malgrandaj finiaj grupoj.
Cikla grafeo por cikla grupo estas simple cirkla grafeo, kie la grupordo estas egala al la nombro da nodoj.
Ununura generatoro difinas la grupon kiel unudirektan padon en la grafeo, kaj la inversa generatoro difinas malantaŭen padon.
Sensignifaj padoj (identeco) povas esti tiritaj kiel buklo sed estas kutime subpremitaj.
Z2 foje estas tirita kun du kurbaj randoj kiel multigrafo.
#000033
Ciklagrupaj Z n , ordo n, estas ununura ciklo grafeis simple kiel n-flanka plurangulo kun la elementoj ĉe la verdglacioj.
Kiam n = ab kun a kaj b estanta relative ĉefa (t.e., gcd (, b) = 1), ciklagrupa Z n povas esti malkonstruita en rektan produkton Z a × Z b .
#000034
Cayley-grafo estas grafeo difinita de paro ( G, S) kie G estas grupo kaj S estas aro de generatoroj por la grupo;
ĝi havas verticon por ĉiu grupelemento, kaj randon por ĉiu produkto el elemento per generatoro.
Koncerne finhavan ciklan grupon, per ĝia ununura generatoro, la Cayley-grafo estas cikla grafeo, kaj por senfina cikla grupo per ĝia generatoro la Cayley-grafo estas duoble senfina padgrafo.
Tamen, Cayley-grafoj povas esti difinitaj de aliaj aroj de generatoroj ankaŭ.
La Cayley-grafoj de ciklaj grupoj kun arbitraj generatoraroj estas nomitaj cirkulantografoj.
Tiuj grafeoj povas esti reprezentitaj geometrie kiel aro de same spacigitaj punktoj sur cirklo aŭ sur linio, kun ĉiu punkto ligita al najbaroj kun la sama aro de distancoj kiel unu la alian punkto.
Ili estas samaj la vertico-transitivaj grafeoj kies geometria simetria grupo inkludas transitivan ciklan grupon.
#000035
Simile, la endomorfismoringo de la aldona grupo de Z estas izomorfa al la ringo Z.
#000037
Tiu subgrupo estas cikla de ordogcd ( m, n), kiu kompletigas la pruvon.
#000038
Pluraj aliaj klasoj de grupoj estis difinitaj memstare rilato al la ciklaj grupoj:
#000039
Grupo estas nomita praktike cikla ĉu ĝi enhavas ciklan subgrupon de finhava indekso (la nombro da kun-grupoj kiun la subgrupo havas).
En aliaj vortoj, ĉe ĉiu elemento en praktike cikla grupo povas esti alveninta aplikante membron de la cikla subgrupo al membro en certa finhava aro.
Ĉiu cikla grupo estas praktike cikla, kiel estas ĉiu finhava grupo.
Senfina grupo estas praktike cikla se kaj nur se ĝi estas finhave generita kaj havas ekzakte du finojn;
[noto 4] ekzemplo de tia grupo estas la produkto de Z /( n) kaj Z, en kiu la faktoro Z havas finhavan indekson n.
Ĉiu abela subgrupo de Gromov-hiperbola grupo estas praktike cikla.
#000040
Loke cikla grupo estas grupo en kiu ĉiu finhave generita subgrupo estas cikla.
Ekzemplo estas la aldona grupo de la raciaj nombroj: ĉiu finhava aro de raciaj nombroj estas aro de entjermultobloj de ununura ununombra frakcio, la inversa da sia plej malsupra komuna denominatoro, kaj generas kiel subgrupo ciklan grupon de entjermultobloj de tiu ununombra frakcio.
Grupo estas loke cikla se kaj nur se ĝia krado de subgrupoj estas distribukadro.
#000041
Cikle ordigita grupo estas grupo kune kun cikla ordo konservita per la grupstrukturo.
Al ĉiu cikla grupo povas ricevi strukturo kiel cikle ordigita grupo, kongrua kun la mendado de la entjeroj (aŭ la entjermodulo la ordo de la grupo).
Ĉiu finhava subgrupo de cikle ordigita grupo estas cikla.
#000042
Metaciclic-grupo estas grupo enhavanta ciklan normalan subgrupon kies kvociento ankaŭ estas cikla.
Tiuj grupoj inkludas la ciklajn grupojn, la diciklajn grupojn, kaj la rektajn produktojn de du ciklaj grupoj.
La policiklaj grupoj ĝeneraligas metaciclic-grupojn permesante pli ol unu nivelon de centra vastigaĵo.
Grupo estas policikla se ĝi havas finhavan descendan sekvencon de subgrupoj, ĉiu el kiu estas normala en la antaŭa subgrupo kun cikla kvociento, finiĝante en la sensignifa grupo.
Ĉiu finhave generita abela grupo aŭ nilpotentogrupo estas policiklaj.
#000043
Grupo estas nomita monogena if it admits a system of generators consisting of a single element. A finite monogenous group is called cikla.
^ The infinite cikla grupo written multiplicatively may be written C (most common), C ∞ (the subscript being interpreted as the order of the group), or even C0 (to fit the statement C n ≅ Z / n Z , n ≥ 0, as given cikla grupo in nLab ).
^ This implication remains true even if only prime values of n are considered.
(And observe that when n is prime, there is exactly one element whose order is a proper divisor of n , namely the identity.
See in particular p. 126 : " If G has two ends, the explicit structure of G is well known:
G is an extension of a finite group by either the infinite cikla grupo or the infinite dihedral group. "
#000044
Grupo estas nomita monogena if it admits a system of generators consisting of a single element. A finite monogenous group is called cikla.
#000045
Ciklaj grupoj de malgranda ordo sur GroupNames
#000049
En grupa teorio, cikla grupo estas grupo kiu povas esti generita per sola ero, en senso ke la grupo havas eron a (nomitan kiel naskanto de la grupo) tia ke, ĉiu ero de la grupo estas povo de a.
#000050
Pro izomorfio tie ekzistas akurate unu cikla grupo por ĉiu finia nombro de eroj, kaj unu malfinia cikla grupo. De ĉi tie, la ciklaj grupoj estas la plej simplaj grupoj kaj ili estas plene klasifikitaj.
#000051
Ciklaj simetriaj grupoj en 3D
#000052