En matematiko, kampo estas aro sur kiu aldono, subtraho, multipliko, kaj dividado estas difinitaj, kaj kondutas kiel kiam ili estas aplikitaj al raciaj kaj realaj nombroj.
Kampo estas tiel fundamenta algebra strukturo, kiu estas vaste uzita en algebro, nombroteorio kaj multaj aliaj lokoj de matematiko.
#000001
La plej konataj kampoj estas la kampo de raciaj nombroj kaj la kampo de realaj nombroj.
La kampo de kompleksaj nombroj ankaŭ estas vaste uzita, ne nur en matematiko, sed ankaŭ en multaj lokoj de scienco kaj inĝenieristiko.
Multaj aliaj kampoj, kiel ekzemple kampoj de raciaj funkcioj, algebrafunkciaj kampoj, algebranombraj kampoj, kaj p-adic kampoj estas ofte uzitaj kaj studitaj en matematiko, precipe en nombroteorio kaj algebra geometrio.
La plej multaj kriptigaj protokoloj dependas de finhavaj kampoj, t.e., kampoj kun finhave multaj elementoj.
#000002
La rilato de du kampoj estas esprimita per la nocio de kampetendaĵo.
Galeza teorio, iniciatita de Evariste Galois en la 1830-aj jaroj, estas dediĉita al komprenado de la simetrioj de kampetendaĵoj.
Inter aliaj rezultoj, tiuj teoriekspozicioj kiuj fiŝhokas triigo kaj krklokvadratigo ne povas esti faritaj per kompaso kaj liniilo.
Krome, ĝi montras ke kvintaj ekvacioj estas algebre nesolveblaj.
#000003
Kampoj funkcias kiel bazaj nocioj en pluraj matematikaj domajnoj.
Tio inkludas malsamajn branĉojn de analizo, kiuj estas bazitaj sur kampoj kun kroma strukturo.
Bazaj teoremoj en analizo dependas de la strukturaj trajtoj de la kampo de realaj nombroj.
Plej grave por algebraj celoj, ĉiu kampo povas esti utiligita kiel la Skalaroj por vektora spaco, kio estas la normigita ĝenerala kunteksto por lineara algebro.
Numero-kampoj, la gefratoj de la kampo de raciaj nombroj, estas studitaj profundaj en nombroteorio.
Funkciokampoj povas helpi priskribi trajtojn de geometriaj objektoj.
#000004
La aldonaĵo kaj la multiplika grupo de kampo
#000006
Konstruante kampojn el ringoj 6.1-a
Konstruante kampojn ene de pli granda kampo
#000007
Lineara algebro kaj komuta algebro
Finhavaj kampoj: kriptografio kaj teorion de kodigo
#000008
En nuksoŝelo, kampo estas aro, kune kun du funkcioj difinitaj sur tiu aktoraro: aldonfunkcio skribita kiel + b , kaj multiplikfunkcio skribita kiel ⋅ b , kiuj ambaŭ kondutas simile kiam ili kondutas por raciaj nombroj kaj realaj nombroj, inkluzive de la ekzisto de aldona inversa −a por ĉiuj elementoj , kaj de multiplika inversa b −1 por ĉiu nonzerelemento b.
Tio permesas al ni konsideri ankaŭ la tielnomitajn inversajn operaciojn de subtraho − b , kaj dividadon / b , per difinado:
#000009
Formale, kampo estas aro kune kun du operacioj nomitaj aldono kaj multipliko.
Operacio estas mapado kiu asocias elementon de la aro al ĉiu paro de ĝiaj elementoj.
La sekvo de la aldono de a kaj b estas nomita la sumo de a kaj b kaj indikita + b .
Simile, la sekvo de la multipliko de a kaj b estas nomita la produkto de a kaj b , kaj indikita ab aŭ ⋅ b .
Tiuj operacioj estas postulataj por kontentigi la sekvajn trajtojn, referitajn kiel kampaksiomoj.
En la sekvaj difinoj, , b kaj c estas arbitraj elementoj de F .
#000010
Asocieco de aldono kaj multipliko:
Komuteco de aldono kaj multipliko:
Aldonaĵo kaj multiplika identeco : tie ekzistu du malsamaj elementoj 0 kaj 1 en F tia ke + 0 = a kaj
Additive inverses : por ĉiu en F , tie ekzistas elemento en F indikis − , vokis aldona inversa de , tia ke
Multiplicative inverses : por ĉiu ≠ 0 en F , tie ekzistas elemento en F , indikita per −1 , 1/ , aŭ 1 / , nomite la multiplika inversa de , tia ke
Distribueco de multipliko super aldono:
#000011
Kampoj ankaŭ povas esti difinitaj laŭ malsama, sed ekvivalentaj manieroj.
Oni povas alternative difini kampon per kvar operacioj (aldoni, subtrahi, multobligas, disigas), kaj iliajn postulatajn trajtojn.
Dividado de nul estas, de difino, ekskludita.
Por eviti ekzistecajn kvantorojn, kampoj povas esti difinitaj per du operacioj (aldono kaj multipliko), du unupartaj operacioj (donante la aldonajn kaj inversojn, respektive), kaj du nulary operacioj (la konstantoj 0 kaj 1).
Tiuj operacioj tiam estas kondiĉigitaj de la kondiĉoj supre.
Tiu aliro evitas ekzistecajn kvantorojn, kiu estas grava en helpema matematiko kaj komputiko.
#000012
La abstrakte postulataj kampaksiomoj reduktas al normaj trajtoj de raciaj nombroj.
Ekzemple, la leĝo de Distribueco povas esti pruvita jene: [4]
#000014
La realaj nombroj R , kun la kutimaj operacioj de aldono kaj multipliko, ankaŭ formi kampon.
La kompleksaj nombroj C konsistas el esprimoj
#000015
kie mi estas la imaginara unuo, t.e., (ne-reala) pli sensenta kontentigado mi 2 = −1.
Aldono kaj multipliko de realaj nombroj estas difinitaj laŭ tia maniero ke ĉiuj kampaksiomoj tenas por C .
Ekzemple, la distribua leĝo devigas
#000016
La kompleksaj nombroj formas kampon.
Kompleksaj nombroj povas esti geometrie reprezentitaj kiel punktoj en la aviadilo, kaj aldonresp.
multipliko de tiaj nombroj tiam egalrilatas al aldonado de resp.
La kampoj de realaj kaj kompleksaj nombroj estas uzitaj ĉie en matematiko, fiziko, inĝenieristiko, statistiko, kaj multaj aliaj sciencaj disciplinoj.
#000018
En antikvo, pluraj geometriaj problemoj koncernis la (enen) fareblecon de konstruado de certaj nombroj per kompaso kaj liniilo.
Ekzemple, estis nekonate al la grekoj ke ĝi estas ĝenerale malebla al trisekto antaŭfiksita angulo.
Tiuj problemoj povas esti solvitaj uzante la kampon de konstrueblaj nombroj.
Realaj konstrueblaj nombroj estas, de difino, longoj de linipartoj kiuj povas esti konstruitaj el la punktoj 0 kaj 1 en finhave multaj ŝtupoj uzantaj nur kompason kaj liniilon.
Tiuj nombroj, dotitaj kun la kampoperacioj de realaj nombroj, limigitaj al la konstrueblaj nombroj, formas kampon, kiu konvene inkludas la kampon Q de raciaj nombroj.
La ilustraĵo montras la konstruadon de kvadrataj radikoj de konstrueblaj nombroj, ne nepre enhavite ene de Q .
#000019
Aldone al konataj aroj de nombroj kiel ekzemple la rationals, ekzistas aliaj, malpli tujaj ekzemploj de kampoj.
La sekva ekzemplo estas kampo konsistanta el kvar elementoj nomitaj O , mi , A , kaj B .
La notacio estas elektita tia ke O ludas la rolon de la aldona neŭtra elemento (indikita 0 en la aksiomoj supre), kaj I estas la multiplika identeco (indikita 1 en la aksiomoj supre).
La kampaksiomoj povas esti konfirmitaj utiligante iu pli da kampa teorio, aŭ per rekta komputado.
#000020
mi = A , kiu korespondas al A
A = mi + B = A , kiel postulite per la Distribueco.
#000021
Tiu kampo estas nomita finhava kampo kun kvar elementoj, kaj estas indikita F 4 aŭ Gf (4).
La subaro konsistanta el O kaj I (elstarigita en ruĝa en la tabeloj ĉe la dekstro) ankaŭ estas kampo, konata kiel la binara kampo F 2 aŭ Gf (2).
En la kunteksto de komputilscienco- kaj bulea algebro, O kaj mi ofte estas indikitaj respektive per falsa kaj vera, la aldono tiam estas indikita XOR (ekskluziva aŭ), kaj la multipliko estas indikita KAJ.
En aliaj vortoj, la strukturo de la binara kampo estas la baza strukturo kiu permesas komputikon kun pecoj.
#000022
En tiu sekcio, F indikas arbitran kampon kaj a kaj b estas arbitraj elementoj de F .
#000023
Aparte, oni povas dedukti la aldonaĵon inversan de ĉiu elemento tuj kiam oni scias —1.
#000024
Se ab = 0 tiam aŭ b devas esti 0-a Efektive, se ≠ 0, tiam 0 = —1 ⋅0 = —1 ( ab
Tio signifas ke ĉiu kampo estas integrita domajno.
#000025
La aksiomoj koncerne la aldonoperacion en kampo F estas la tre samaj aksiomoj de abela grupo.
Tiu grupo estas indikita je ( F
aŭ ofte ankaŭ simple kiel F kaj nomite la aldona grupo de la kampo F .
, respektive), obeante la Distribuecon de unu super la alia.
[nb 1] Kelkaj elementaj deklaroj pri kampoj povas tial esti akiritaj uzante ĝeneralajn faktojn de grupoj.
Ekzemple, la aldona kaj invers − a kaj −1 aroj unike determinitaj per .
#000026
La postulo 1 ≠ 0 estas enhavitaj en la difino de kampo pro la sekva kialo: se 1 0, tio implicas ke ĉiu elemento de F estus 0.
La rezulta sensignifa ringo (kiu konsistas nur el ununura elemento), ne estas konsiderita kiel kampo, ekde la multiplika grupo de tiu laŭdira kampo estus malplena, kontraŭdirante norman kongreson en teorio de grupoj.
#000027
Ĉiu finhava subgrupo de la multiplika grupo de kampo estas cikla.
#000028
Aldone al la multipliko de du elementoj de F, estas eble difini la produkto n ⋅ de arbitra elemento de F de pozitiva entjero n esti la n - faldosumo
#000029
(kiu estas elemento de F .
#000030
Se ekzistas neniu pozitiva entjero tia ke
#000031
tiam F laŭdire havas karakterizaĵon 0.
Ekzemple, Q havas karakterizaĵon 0 ĉar neniu pozitiva entjero n estas nul.
Alie, se ekzistas pozitiva entjero n kontentiganta tiun ekvacion, la plej malgrandan tia pozitiva entjero povas esti montrita esti primo.
Ĝi estas kutime indikita per p kaj la kampo laŭdire havas karakterizan p tiam.
Ekzemple, la kampo F 4 havas karakterizaĵon 2 poste (en la notacio de ĉi-supra adiciotabelo) mi + mi = O.
#000032
Se F havas karakterizan p , tiam p ⋅ = 0 por ĉio en F .
#000033
ekde ĉiu alia binomaj koeficientoj aperantaj en la binomo formulo estas disigebla de p .
( p faktoroj) estas la p - th-potenco, t.e., la p - faldoprodukton el la elemento .
#000034
estas kongrua kun la aldono en F (kaj ankaŭ kun la multipliko), kaj estas tial kampo homomorfism.
La ekzisto de tiu homomorfism igas kampojn en karakterizaĵo p tre diferencaj de kampoj de karakterizaĵo 0.
#000035
Neformale, subkampo E estas kampo enhavita en alia kampo F .
Pli ĝuste, E estas subaro de F kiu enhavas 1, kaj estas fermita sub aldono, multipliko, aldonaĵo inversa kaj multiplika inversa de nonzerelemento.
Tio signifas tiun 1 ∊ E , tion, por ĉio , b ∊ E kaj + b kaj
b estas en E .
Krome, por ĉio ≠ 0 en E , oni havas − kaj 1/ estas en E .
Estas rekte antaŭen konfirmi ke subkampo estas efektive kampo.
#000036
Kampo homomorphisms estas mapoj f:
1F , kie e 1 kaj e 2 estas arbitraj elementoj de E .
Se f ankaŭ estas surjektive, ĝi estas nomita izomorfio (aŭ la kampo E kaj F estas nomitaj izomorfa).
#000037
Kampo estas nomita ĉefa kampo se ĝi havas neniujn bonordajn (t.e., strikte pli malgrandajn) subkampojn.
Ĉiu kampo F enhavas ĉefan kampon.
Se la karakterizaĵo de F estas p (primo), la ĉefa kampo estas izomorfa al la finhava kampo F da p lanĉita malsupre.
Alie la ĉefa kampo estas izomorfa al Q .
#000038
Finite fields (ankaŭ nomitaj Galois-kampoj) estas kampoj kun finhave multaj elementoj, kies numero ankaŭ estas referita kiel la ordo de la kampo.
Ĉi-supra enkonduka ekzemplo F 4 estas kampo kun kvar elementoj.
Ĝia subkampo F 2 estas la plej malgranda kampo, ĉar de difino kampo havas almenaŭ du apartajn elementojn 1 ≠ 0.
#000039
La plej simplaj finhavaj kampoj, kun ĉefa ordo, estas plej rekte alireblaj uzante modulan aritmetikon.
Por fiksa pozitiva entjero n , artimetika "modulo n " rimedo por labori kun la nombroj
#000040
Ĉiu finhava kampo F havas q = p n elementoj, kie p estas ĉefa kaj n ≥ 1.
Tiu deklaro tenas ĉar F povas esti rigardita kiel vektora spaco super sia ĉefa regiono.
La dimensio de tiu vektora spaco estas nepre finhava, diras n , kiu implicas la asertitan deklaron.
#000042
Kampo kun q = p n elementoj povas esti konstruitaj kiel la disfendadkampo de la polinomo
#000043
Tia serioza kampo estas etendaĵo de F da p en kiu la polinom f havas q nulojn.
Tio signifas ke f havas tiel multajn nulojn kiam ebla ekde la grado da f estas q .
Por q = 22 = 4, ĝi povas esti kontrolita kazo per kazo uzanta ĉi-supran multipliktabelon kiun ĉiuj kvar elementoj de F 4 kontentigas la ekvacion x 4 = x , tiel ke ili estas nuloj de f .
Kompare, en F 2 , f havas nur du nulojn (nome 0 kaj 1), tiel ke f ne fendetiĝas en liniajn faktorojn en tiu pli malgranda kampo.
Pliprofundigante plu bazajn kamp-teoriajn nociojn, povas esti montrite ke du finhavaj kampoj kun la sama ordo estas izomorfaj.
Estas tiel kutime paroli pri la finhava kampo kun q elementoj, indikitaj je F da q aŭ Gf ( q).
#000044
Historie, tri algebraj disciplinoj kondukis al la koncepto de kampo: la demandon de solvado de polinomekvacioj, algebra nombroteorio, kaj algebra geometrio.
Unua paŝo direkte al la nocio de kampo estis farita en 1770 fare de Lagrange, kiu observis tiun permutanta la nulojn x 1, x 2, x 3 el kuba polinomo en la esprimo
#000045
(kun ω estas tria radiko de unu) nur donas du valorojn.
Tiun manieron, Lagrange koncipe klarigis la klasikan solvmetodon de del Ferro kaj Viète, kiujn enspezon de reduktado de triagrada ekvacio por nekonata x al duagrada ekvacio por x 3 .
Kune kun simila observado por ekvacioj de grado 4, Lagrange tiel ligis kio poste iĝis la koncepto de kampoj kaj la koncepto de grupoj.
Vandermonde, ankaŭ en 1770, kaj laŭ pli plena mezuro, Gauss, en lia Disquisitiones Arithmeticae (1801), studis la ekvacion
#000046
por ĉefa p kaj, denove uzante modernan lingvon, la rezultan ciklan Galois-grupon.
Gauss deduktis ke regula p - gon povas esti konstruita se p = 22 k + 1.
Konstruante en la laboro de Lagrange, kiun Paolo Ruffini asertis (1799) ke kvintaj ekvacioj (polinomoj ekvacioj de grado 5) ne povas esti solvitaj algebre, aliflanke liaj argumentoj estis mankhavaj.
Tiuj interspacoj estis plenigitaj fare de Abelo en 1824.
Évariste Galois, en 1832, elpensis necesajn kaj sufiĉajn kriteriojn por polinomekvacio esti algebre solvebla, tiel establante en efiko kio estas konata kiel galeza teorio hodiaŭ.
Kaj Abelo kaj Galois laboris kun kio hodiaŭ estas nomita algebranombra kampo, sed elpensis nek eksplicitan nocion de kampo, nek de grupo.
#000047
Proksime de kampo ni signifos ĉiun senfinan sistemon de realaj aŭ kompleksaj nombroj tiel fermiĝis en si mem kaj perfektigi tiun aldonon, subtrahon, multiplikon, kaj dividadon de iuj du el tiuj nombroj denove al rendimentoj kelkajn el la sistemon.
#000049
Komuta ringo estas aro, provizita per aldono kaj multiplikoperacio, kontentigante ĉiujn aksiomojn de kampo, krom la ekzisto de inversoj −1 .
Ekzemple, la entjeroj Z formas komutan ringon, sed ne kampon: la reciproka de entjero n ne estas sin entjero, krom se n = ±1.
#000052
En la hierarkio de algebraj strukturoj kampoj povas esti karakterizita kiel tiuj komutaj ringoj R en kiu ĉiu nonzerelemento estas unuo (kiu volas diri ĉiu elemento estas invertebla).
Simile, kampoj estas tiuj komutaj ringoj kiuj havas ĝuste du apartajn idealojn, (0) kaj R .
Kampoj ankaŭ estas ĝuste tiuj komutaj ringoj en kiu (0) estas la nura ĉefidealo.
#000053
Surbaze de komuta ringo R, ekzistas du manieroj konstrui kampon ligitan al R , t.e., du manieroj modifi R tia ke ĉiuj nonzerelementoj iĝas inverteblaj: formante la kampon de frakcioj, kaj formado de restaĵkampoj.
La kampo de frakcioj de Z estas Q , la rationals, dum la restaĵkampoj de Z estas la finhava kampo F
#000054
Estas rekte antaŭen montri ke, se la ringo estas integrita domajno, la aro de la frakcioj formas kampon.
#000056
La kampo F ( x) de la raciaj frakcioj super kampo (aŭ integrita domajno) F estas la kampo de frakcioj de la polinomringo F [ x].
La kampo F ( x) de serio de Laurent
#000057
pli ol kampo F estas la kampo de frakcioj de la ringo F [ x] de formala potencvico (en kiu k ≥ 0).
Ĉar ĉiu serio de Laurent estas frakcio de potencvico dividita per potenco de x (kontraste al arbitra potencvico), la reprezentado de frakcioj estas malpli grava en tiu situacio, tamen.
#000058
Krome la kampo da frakcioj, kiuj embed R injektively en kampon, kampo povas esti akirita de komuta ringo R per surjektive-mapo sur kampo F .
Ĉiu kampo akirita laŭ tiu maniero estas kvociento R / m , kie m estas maksimuma idealo de R .
Se R havas nur unu maksimuman idealan m , tiu kampo estas nomita la restaĵkampo de R .
#000059
La idealo generita per ununura polinomo f en la polinomboksejo R = E [ X] (super kampo E) estas maksimumaj se kaj nur se f estas nereduktebla en E , t.e., se f ne povas esti esprimita kiel la produkto de du polinomoj en E [ X] de pli malgranda grado.
#000060
Tiu kampo F enhavas elementon x (nome la restaĵoklaso de X ) kiu kontentigas la ekvacion
#000061
Ekzemple, C akiriĝas de R tuŝante la imaginaran unuon simbolon I kiu kontentigas f (mi) = 0, kie f ( X
Krome, f estas nereduktebla pli ol R , kiu implicas ke la mapo kiu sendas polinom f ( X
R [ X] al f ( mi) donas izomorfion
#000062
Kampoj povas esti konstruitaj ene de antaŭfiksita pli granda kontenerkampo.
Supozi surbaze de kampo E , kaj kampo F enhavanta E kiel subkampo.
Por iu elemento x de F , ekzistas plej malgranda subkampo de F enhavanta E kaj x , nomitan la subkampo de F generita per x kaj indikita E ( x).
La transiro de E ĝis E ( x) estas referita tuŝante elementon al E.
Pli ĝenerale, por subaro S ⊂ F , ekzistas minimuma subkampo de F enhavanta E kaj S , indikitan per E ( S).
#000064
La compositum de du subkampoj E kaj E estas de iu kampo F estas la plej malgranda subkampo de F enhavanta kaj E kaj E'. kiujn La compositum povas esti uzita por konstrui la plej grandan subkampon el F kontentiganta certan trajton, ekzemple la plej granda subkampo de F kiu estas, en la lingvo lanĉita malsupre, algebra super E .
#000065
La nocio de subkampo E ⊂ F ankaŭ povas esti rigardita de la kontraŭa perspektivo, per rilatado al F estanta kampetendaĵo (aŭ ĵus etendaĵo) de E , indikita per
#000066
Baza datumo de kampetendaĵo estas sia grado [ F:
E], t.e., la dimensio de F kiel E - vektora spaco.
Ĝi kontentigas la formulon [29]
#000068
Pivota nocio en la abstraktaĵostudo de kampetendaĵoj F / E estas algebraj elementoj x ∊ F .
Tiuj estas radikoj (aŭ nuloj) de polinomoj, t.e., ili kontentigas polinomekvacion
#000070
por konvenaj koeficientoj e n
Ekzemple, mi ∊ C estas algebraj pli ol R kaj eĉ super Q ĉar ĝi kontentigas la ekvacion
#000071
Kampetendaĵo en kiu ĉiu elemento de F estas algebra super E estas nomita algebra etendaĵo.
Ĉiu finhava etendaĵo estas nepre algebra, kiel povas esti konkludita el ĉi-supra multiplicativecformulo.
#000072
La subkampo E ( x) generita per elemento x , ĉar supra, estas algebra etendaĵo de E se kaj nur se x estas algebra ero.
Tio devas diri, ĉu x estas algebra, ĉiuj aliaj elementoj de E ( x) estas nepre algebraj ankaŭ.
Krome, la grado da la etendaĵo E ( x
E , t.e., la dimensio de E ( x) kiel E - vektora spaco, korespondas al la minimuma grado da n tia ke ekzistas polinomekvacio implikanta x , kiel supra.
Se tiu grado estas n , tiam la elementoj de E ( x) havas la formon
#000073
Ekzemple, la kampo Q ( mi) de Gaŭsianaj rational'oj estas la subkampo de C konsistanta el ĉiuj nombroj da la formo + busoj kie kaj a kaj b estas raciaj nombroj: sumand de la formo mi 2 (kaj simile por pli altaj eksponentoj) ne devas esti pripensitaj ĉi tie, ekde + bus + Cio 2 povas esti simpligitaj al − c + busoj .
#000074
La supre menciita kampo de raciaj frakcioj da E ( X), kie X estas nedeterminita, estas ne algebra etendaĵo de E ĉar ekzistas neniu polinomekvacio kun koeficientoj en E kies nul estas X .
Elementoj, kiel ekzemple X , kiuj ne estas algebraj estas nomitaj transcendaj.
Neformale parolante, la nedeterminita X kaj ĝiaj potencoj ne interagas kun elementoj de E .
Simila konstruo povas esti aranĝita kun aro de indeterminatoj, anstataŭe de ĵus unu.
#000075
Denove, la kampetendaĵo E ( x
E diskutita supre estas esenca ekzemplo: se x ne estas algebra (t.e., x ne estas radiko de polinomo kun koeficientoj en E ), tiam E ( x) estas izomorfa al E ( X).
Tiu izomorfio akiriĝas anstataŭigante x ĝis Xa en raciaj frakcioj.
#000076
Subaro S da kampo F estas transcendecbazo se ĝi estas algebre sendependa (malpermeso kontentigas iujn ajn polinomrilatojn) super E kaj se F estas algebra etendaĵo de E ( S).
Ĉiu kampetendaĵo F / E havas transcendecbazon.
Tiel, kampetendaĵoj povas esti dividitaj en tiajn de la formo E ( S
E ( sole transcendaj etendaĵoj) kaj algebraj etendaĵoj.
#000077
Kampo estas algebre fermita se ĝi ne havas iujn ajn strikte pli grandajn algebrajn etendaĵojn aŭ, ekvivalente, se entute polinomekvacio
#000078
f 1 x + f 0 = 0, kun koeficientoj f n
#000079
havas solvon x ∊ F .
De la algebra bazteoremo, C estas algebre fermita, t.e., ĉiu polinomekvacio kun kompleksaj koeficientoj havas kompleksan solvon.
La raciaj kaj la realaj nombroj ne estas algebre fermitaj ekde la ekvacio
#000080
ne havas ajnan racian aŭ realan solvon.
Kampo enhavanta F estas nomita tegaĵo de F ĉu ĝi estas algebra pli ol F (malglate parolante, ne tro granda komparite kun F ) kaj estas algebre fermita (sufiĉe granda por enhavi solvojn de ĉiuj polinomekvacioj).
#000081
De ĉi-supra, C estas tegaĵo de R .
La situacio kiu la tegaĵo estas finhava etendaĵo de la kampo F estas tre speciala: de la Artin-Schreier-teoremo, la grado da tiu etendaĵo estas nepre 2, kaj F estas elemente ekvivalenta al R .
Tiaj kampoj ankaŭ estas konataj kiel reelaj fermita kampoj.
#000082
Ĉiu kampo F havas tegaĵon, kio estas krome unika supren al (ne-unika) izomorfio.
Ĝi estas ofte referita kiel la tegaĵo kaj indikita F .
Ekzemple, la tegaĵo Q de Q estas nomita la kampo de algebraj nombroj.
La kampo F estas kutime sufiĉe implica ĉar ĝia konstruo postulas la ultrafiltrillemon, aro-teorian aksiomon kiu estas pli malforta ol la libera-elekto-aksiomo.
En tiu rilato, la tegaĵo de F da q , estas escepte simpla.
Ĝi estas la unio de la finhavaj kampoj enhavantaj F da q (tiuj de ordo q n ).
Por iu algebre fermita kampo F da karakterizaĵo 0, la tegaĵo de la kampo F ( t) de serio de Laurent estas la kampo de Puiseux-serialoj, akiritaj tuŝante radikojn de t .
#000083
Ĉar kampoj estas ĉieaj en matematiko kaj pretere, ekzistas pluraj rafinadoj de la koncepto kiuj estas adaptitaj al la bezonoj de speciala matematika areo.
#000084
Kampo F estas nomita ordigita kampo se entute du elementoj povas esti komparitaj, tiel ke x + y ≥ 0 kaj ksy ≥ 0 kiam ajn x ≥ 0 kaj y ≥ 0.
Ekzemple, la realoj formas ordigitan kampon, kun la kutima mendanta ≥.
La Artin-Schreier-teoremo deklaras ke kampo povas esti ordonita se kaj nur se ĝi estas formale reala kampo, kio signifas tiel ajnan duagradan ekvacion
#000085
nur havas la solvon x 1 = x 2
La aktoraro de ĉiaj ajn ordoj pri fiksa kampo F estas izomorfa ĝis la aro de ringohomomorfismoj de la Witt-ringo W ( F) de kvadrataj formoj pli ol F, al Z.
#000086
Archimedean-kampo estas ordigita kampo tia ke por ĉiu elemento tie ekzistas finhava esprimo
#000087
kies valoro estas pli bonega ol tiu elemento, t.e., ekzistas neniuj senfinaj elementoj.
Ekvivalente, la kampo enhavas neniujn infinitesimal'ojn (elementoj kiuj estas pli malgrandaj ol ĉiuj raciaj nombroj);
aŭ, ankoraŭ ekvivalenta, la kampo estas izomorfa al subkampo de R .
#000088
Ekde ĉiu bonorda subkampo de la realoj ankaŭ enhavas tiajn interspacojn, R estas la unika kompleta ordigis kampon, ĝis izomorfio.
Pluraj bazaj rezultoj en kalkulado sekvas rekte el tiu karakterizado de la realoj.
#000090
La hiperrealoj R ÷ formas ordigitan kampon kiu ne estas Archimedean.
Ĝi estas etendaĵo de la realoj akiritaj senfinajn kaj infinitezimalajn nombrojn.
Tiuj estas pli grandaj, respektive pli malgrandaj ol iu reala nombro.
La hipereals formas la bazan bazon de ne-norma analizo.
#000091
Alia rafinado de la nocio de kampo estas topologia kampo, en kiu la aro F estas topologia spaco, tia ke ĉiuj operacioj de la kampo (aldono, multipliko, la mapoj
a kaj ↦ −1 ) estas kontinuaj mapoj kun respekto al la topologio de la spaco.
La topologio de ĉiuj kampoj diskutitaj malsupre estas induktita de metriko, t.e., funkcio
#000092
kiu mezuras distancon inter iuj du elementoj de F .
#000093
La kampo Q p estas uzita en nombroteorio kaj p - adicanalizo.
La tegaĵo Q p portas unikan normon etendantan tiu sur Q p , sed ne estas kompleta.
La kompletigo de tiu tegaĵo, aliflanke, estas algebre fermita.
Pro ĝia malglata analogeco al la kompleksaj nombroj, ĝi estas nomita la kampo de kompleksop-adicnombroj kaj estas indikita je C da p .
#000095
La sekvaj topologiaj kampoj estas nomitaj lokaj kampoj : [41]
#000096
finhavaj etendaĵoj de Q p (lokaj kampoj da karakteriza nul)
finhavaj etendaĵoj de F da p ( t), la kampo de serio de Laurent pli ol F da p (lokaj kampoj de karakteriza p ).
#000097
Tiuj du specoj de lokaj kampoj dividas kelkajn fundamentajn similecojn.
En tiu rilato, la elementoj p ∈ Q p kaj t ∈ F da p ( t) (referita kiel uniformizer) egalrilatas al unu la alian.
La unua manifestiĝo de tio estas sur elementa nivelo: la elementoj de ambaŭ kampoj povas esti esprimitaj kiel potencvico en la uniformizer, kun koeficientoj en F da p .
(Tamen, ĉar la aldono en Q p estas farita uzante porti, kio ne estas la kazo en F da p ( t), tiuj kampoj ne estas izomorfaj.
La sekvaj faktoj montras ke tiu supraĵa simileco iras multe pli profunda:
#000098
Ĉiu unua ord deklaro kiu estas vera por preskaŭ ĉio Q p ankaŭ estas vera por preskaŭ ĉiu F p t).
Apliko de tio estas la Ax-Kochen-teoremo priskribanta nulojn de homogenaj polinomoj en Q p .
Malsovaĝe multbranĉaj etendaĵoj de ambaŭ kampoj estas en ensurĵeto unu al la alia.
Tuŝi arbitran p - povoradikojn de p (en Q p ), respektive de t (en F da p ( t), donas (senfinajn) etendaĵojn de tiuj kampoj konataj kiel perfektoidaj kampoj.
Frape, la Galois-grupoj de tiuj du kampoj estas izomorfaj, kio estas la unua rigardeto de rimarkinda paralelo inter tiuj du kampoj: [42]
#000099
Diferencigaj kampoj estas kampoj provizitaj per derivaĵo, t.e., permesas preni derivaĵojn de elementoj en la kampo.
Ekzemple, la kampo R ( X), kune kun la norma derivaĵo de polinomoj formas diferencigan kampon.
Tiuj kampoj estas centraj al diagnozalternativo-galezteorio, variaĵo de galeza teorio traktanta liniajn diferencialajn ekvaciojn.
#000100
Galeza teorio studas algebrajn etendaĵojn de kampo studante la simetrion en la aritmetikoperacioj de aldono kaj multipliko.
Grava nocio en tiu areo estas finhavaj Galois-etendaĵoj F / E kiuj estas de difino tiuj kiuj estas separeblaj kaj normalaj.
La primitiva elementteoremo montras ke finhavaj separeblaj etendaĵoj estas nepre simplaj, t.e., de la formo
#000101
kie f estas nereduktebla polinomo (same supre).
Por tia etendaĵo, estante normalaj kaj separeblaj rimedoj ke ĉiuj nuloj de f estas enhavitaj en F kaj ke f havas nur simplajn nulojn.
Ĉi-lasta kondiĉo ĉiam estas kontentigita se E havas karakterizaĵon 0.
#000102
0 (kie f estas rigardita kiel polinomo en E ( 0
n −1), por kelkaj indeterminatoj mi , E estas ajna kampo, kaj n ≥ 5).
#000104
La tensorprodukto de kampoj ne estas kutime kampo.
Ekzemple, finhava etendaĵo F / E de grado da n estas Galois-etendaĵo se kaj nur se ekzistas izomorfio de F - algebroj
#000105
Tiu fakto estas la komenco de la galeza teorio, de Grothendieck sekvoriĉa etendaĵo de galeza teorio uzeblaj al algebro-geometriaj objektoj.
#000106
Bazaj Invariantoj de kampo F inkludas la karakterizaĵon kaj la transcendecgradon da F super ĝia ĉefa regiono.
Ĉi-lasta estas difinita kiel la maksimuma nombro da elementoj en F kiuj estas algebre sendependaj super la ĉefa kampo.
Du algebre fermita kampo E kaj F estas izomorfaj ĝuste se tiuj du datenoj konsentas.
Tio implicas ke ĉiuj du nenombreblaj algebre fermitaj kampoj de la sama kardinaleco kaj la sama karakterizaĵo estas izomorfaj.
Ekzemple, Q p , C da p kaj C estas izomorfaj (sed ne izomorfaj kiel topologiaj kampoj).
#000107
En modela teorio, branĉo de matematika logiko, du kampoj E kaj F estas nomitaj elemente ekvivalentaj se ĉiu matematika deklaro kiu estas vera por E ankaŭ estas vera por F kaj inverse.
La matematikaj deklaroj koncerne estas postulataj por esti unuaordaj frazoj (implikante 0, 1, la aldonon kaj multiplikon).
#000108
φ ( E) = "por iu n > 0, ajnaj polinomo de grado da n en E havas nulon en E " (kiujn kvantojn al dirado ke E estas algebre fermita).
#000109
La Lefschetz-principo deklaras ke C estas elemente ekvivalenta al iu algebre fermita kampo F da karakteriza nul.
Krome, ĉiu fiksa deklaro φ tenas en C se kaj nur se ĝi tenas en iu algebre fermita kampo de sufiĉe alta karakterizaĵo.
#000110
Se U estas ultrafiltrilo sur aktoraro I, kaj F mi estas kampo por ĉiu mi en mi , la ultraprodukto de la F mi kun respekto al U estas kampo.
#000111
ĉar ĝi kondutas laŭ pluraj manieroj kiel limo de la kampo F da I :
La teoremo de łoś deklaras tiel ajnan unuan orddeklaron kiu tenas por ĉiuj krom finhave multaj F da I , ankaŭ tenas por la ultraprodukto.
Aplikita al ĉi-supra frazo φ, tio montras ke ekzistas izomorfio [nb 4]
#000112
La Ax-Kochen-teoremo menciita supre ankaŭ sekvas el tio kaj izomorfio de la ultraprodukts (en ambaŭ kazoj dum ĉiu primoj p )
#000113
Krome, modela teorio ankaŭ studas la logikajn trajtojn de diversaj aliaj specoj de kampoj, kiel ekzemple reelaj fermita kampoj aŭ eksponentaj kampoj (kiuj estas provizitaj per eksponentfunkcia eksp:
#000114
Por kampoj kiuj ne estas algebre fermitaj (aŭ ne separeble fermiĝis), la absoluta Galois-grupo Gal ( F) estas principe grava: etendante la kazon de finhavaj Galois-etendaĵoj skizitaj supre, tiu grupo regas ĉiujn finhavajn separeblajn etendaĵojn de F .
De elementaj rimedoj, la grupo Gal ( F da q ) povas esti montrita esti la Prüfer-grupo, la profinitkompletigo de Z .
Tiu deklaro inkludas la fakton ke la nuraj algebraj etendaĵoj de Gal ( F da q ) estas la kampaj Gal ( F da q n ) por n > 0, kaj ke per la Galois-grupoj de tiuj finhavaj etendaĵoj ricevas
#000115
Priskribo laŭ generatoroj kaj rilatoj ankaŭ estas konata pro la Galois-grupoj de p - adic-numero-kampoj (finhavaj etendaĵoj de Q p ).
#000116
Reprezentadoj da Galois-grupoj kaj de parencaj grupoj kiel ekzemple la Weil-grupo estas fundamentaj en multaj branĉoj de aritmetiko, kiel ekzemple la Langlands-programo.
La kohomologia studo de tiaj reprezentantaroj estas farita uzante Galois-kohomologion.
Ekzemple, la Brauer-grupo kiu estas klasike difinita por esti la grupo de centra kuracherbo F - algebroj, povas esti reinterpretita kiel Galois-kohomologiogrupo, nome
#000117
Milnor K-teorio estas difinita kiel
#000118
La normrestaĵizomorfioteoremo, pruvita ĉirkaŭ 2000 fare de Vladimir Voevodsky, rilatigas tion al Galois-kohomologio per izomorfio
#000119
Algebra K-teorio estas rilatita al la grupo de inverteblaj matricoj kun koeficientoj la antaŭfiksita kampo.
Ekzemple, la proceso de prenado de la determinanto da invertebla matrico kondukas al izomorfio K1 ( F
La teoremo de Matsumoto montras ke K2 ( F) konsentas per K2 M ( F).
En pli altaj gradoj, K-teorio deturniĝas de Milnor K-teorio kaj restas malmola komputi ĝenerale.
#000120
Lineara algebro kaj komuta algebro
#000121
Se ≠ 0, tiam la ekvacio
#000122
havas unikan solvon x en F , nome x = b / .
Tiu observado, kiu estas tuja sekvo de la difino de kampo, estas la esenca ingredienco uzita por montri ke ĉiu vektora spaco havas bazon.
Malglate parolante, tio permesas elekti koordinatsistemon en iu vektora spaco, kio gravegas en lineara algebro kaj de teoria perspektivo, kaj ankaŭ por praktikaj aplikoj.
#000123
Moduloj (la analogo de vektoraj spacoj) super la plej multaj ringoj, inkluzive de la ringo Z de entjeroj, havas pli d komplikan strukturon.
Akurata situacio ekestas kiam ringo R estas vektora spaco pli ol kampo F en sia propra rajto.
Tiaj ringoj estas nomitaj F - algebroj kaj estas studitaj profundaj en la areo de komuta algebro.
Ekzemple, Noether-normaligo asertas ke al ĉiu finhave generita F - algebro estas proksime rilatitaj (pli ĝuste, finhave generitaj kiel modulo super) polinomringo F [ x 1
#000124
Finhavaj kampoj: kriptografio kaj teorion de kodigo
#000125
Vaste aplikata kriptiga rutino utiligas la fakton tiu diskreta potenco, t.e., komputiko
#000126
( n faktoroj, por entjero n ≥ 1)
#000127
en (granda) finhava kampo F da q povas esti farita multe pli efike ol la diskreta logaritmo, kio estas la inversa operacio, t.e., determinante la solvon n al ekvacio
#000128
En elipsa kurbokriptografio, la multipliko en finhava kampo estas anstataŭigita per la operacio de aldonado de punktoj sur elipsa kurbo, t.e., la solvoj de ekvacio de la formo
#000129
Finhavaj kampoj ankaŭ estas uzitaj en teorio de kodigo kaj kombinatoriko.
#000130
Funkcioj sur topologia spaco X povas esti aldonitaj kaj multobligita punktmaniero, t.e.,
#000131
Por havi inversojn postulas pripensantajn rilatumojn de funkcioj, t.e., esprimoj de la formo
#000132
Tiaj rilatumoj formas kampon, nomitan la funkciokampo de X .
Tiu koncepto estas de uzo kiam X estas kompleksa dukto Xa .
En tiu kazo, f kaj g estas holomorfaj funkcioj, t.e., kompleksaj diferencieblaj funkcioj.
Iliaj rilatumoj estas referitaj kiel meromorfaj funkcioj.
#000133
La funkciokampo de algebra variaĵo X (geometria objekto difinita per polinomekvacioj) konsistas el rilatumoj de regulaj funkcioj, t.e., rilatumoj de polinomfunkcioj f kaj g .
La funkciokampo de la n - dimensia spaco super kampo k estas k ( x 1
x n ), t.e., la kampo konsistanta el rilatumoj de polinomoj f kaj g el n indeterminatoj.
La funkciokampo de X estas la sama kiel tiu el iu malferma densa subdiverseco.
En aliaj vortoj, la funkciokampo estas imuna al anstataŭigado Xa per (iomete) pli malgranda subdiverseco.
#000134
La funkciokampo kaptas gravajn geometriajn informojn pri X kiel ekzemple it dimensio, kiu korespondas al la transcendecgrado da k ( X).
Por kurboj (t.e., la dimensio estas oni), la funkciokampo k ( X) estas tre proksima al X : se X estas glata kaj bonorda (la analogo de esti kompakta), Xa povas esti rekonstruita, ĝis izomorfio, de k ( X).
[nb 5] En pli alta dimensio la funkciokampo memoras malpli, sed daŭre decidajn informojn pri X .
La studo de funkcio lanĉas kaj ilian geometrian signifante en pli alta grandeco estas referita kiel biracia geometrio.
La minimuma modelaro provas identigi la plej simplajn (en certa preciza signifo) algebrajn variecojn kun deviga funkciokampo.
#000135
Mallokaj kampoj estas en la spotlumo en algebra nombroteorio kaj artimetika geometrio.
Ili estas, de difino, pli sensentaj kampoj (finhavaj etendaĵoj de Q ) aŭ funkciokampoj pli ol F da q (finhavaj etendaĵoj de F da q ( t).
Kiel por lokaj kampoj, tiuj du specoj de kampoj dividas plurajn similajn ecojn, eĉ se ili estas de karakterizaĵo 0 kaj pozitiva karakterizaĵo, respektive.
Tiu funkciokampanalogeco povas helpi formi matematikajn atendojn, ofte unue komprenante demandojn pri funkciokampoj, kaj poste trakta la numero-kampo kazo.
Ĉi-lasta ofte estas pli malfacila.
Ekzemple, la Riemann-hipotezo koncerne la nulojn da la Riemann zetafunkcio (malferma aktuale en 2017) povas esti rigardita kiel estante paralela al la Weil-supozoj (pruvitaj en 1974 fare de Deligne).
#000136
Cyclotomic-kampoj estas inter la plej intense volitaj numero-kampoj.
Ili estas de la formo Q (ζ n ), kie ζ n estas primitiva n - th radiko de unu, t.e., kompleksa nombro kontentiganta ζ n = 1 kaj ζ m ≠ 1 por ĉiu m < n .
Por n estanta regula primo, Kummer uzis ciclotomic-kampojn por pruvi la lastan teoremon de Fermat, kiu asertas la neekzistadon de raciaj nonzersolvoj al la ekvacio
#000137
Lokaj kampoj estas kompletigoj de mallokaj kampoj.
La teoremo de Ostrowski asertas ke la nuraj kompletigoj de Q , malloka kampo, estas la loka kampo Q p kaj R .
Studi artimetikajn demandojn en mallokaj kampoj foje povas esti farita per rigardado la ekvivalentajn demandojn loke.
Tiu tekniko estas nomita la lok-tutmonda principo.
Ekzemple, la Hasse-Minkowski-teoremo reduktas la problemon da trovaj raciaj solvoj de duagradaj ekvacioj al solvado de tiuj ekvacioj en R kaj Q p , kies solvoj povas facile esti priskribitaj.
#000138
Male al por lokaj kampoj, la Galois-grupoj de mallokaj kampoj ne estas konataj.
Inversa galeza teorio studas la (neklarigitan) problemon ĉu ĉiu finhava grupo estas la Galois-grupo Gal ( F / Q) por iu numero-kampo F .
Klasa kampa teorio priskribas la abelajn etendaĵojn, t.e., tiajn kun abela Galois-grupo, aŭ ekvivalente la abelianigitajn Galois-grupojn de mallokaj kampoj.
Klasika deklaro, la Kronecker-Vebera teoremo, priskribas la maksimuman abelan Q ab etendaĵon de Q : ĝi estas la kampo
#000139
akirite tuŝante ĉion primitivan n - th-radikojn de unueco.
Kronecker's Jugendtraum petas simile eksplicitan priskribon de F ab de ĝeneralaj numero-kampoj F .
Por ĝeneralaj numero-kampoj, ne tia eksplicita priskribo estas konata.
#000140
Aldone al la kroma strukturo kiun kampoj povas ĝui, kampoj koncedas diversajn aliajn rilatajn nociojn.
Ekde 0 ≠ 1 en iu kampo, ĉiu kampo havas almenaŭ du elementojn.
Tamen, ekzistas koncepto de kampo kun unu elemento kiu estas proponita esti limo de la finhava kampo F
Aldone al dividadrondoj, ekzistas diversaj aliaj pli malfortaj algebraj strukturoj ligitaj al kampoj kiel ekzemple kvazaŭkampoj, preskaŭ-kampoj kaj semikampoj.
#000141
Ekzistas ankaŭ bonordaj klasoj kun kampostrukturo, kiuj foje estas nomitaj Kampoj, kun ĉefurbo F. The superrealaj nombroj formas Kampon enhavantan la realojn, kaj estus kampo krom la fakto ke ili estas bonorda klaso, ne aro.
La nimbers, koncepto de ludoteorio formas Kampon.
#000142
Faligi unun aŭ plurajn aksiomojn en la difino de kampo kondukas al aliaj algebraj strukturoj.
Kiel estis menciita supre, komutaj ringoj kontentigas ĉiujn aksiomojn de kampoj, krom inversoj.
Faligi anstataŭe la kondiĉon tiun multiplikon estas kommutativaj plumboj al la koncepto de dividadrondo aŭ misoblikva kampo.
[nb 6] La nura dividadrings kiuj estas finhav-dimensia R - vektoraj spacoj estas R mem, C (kampo), la kvaropoj H (en kiu multipliko estas ne-kommutativa), kaj la oktonions O (en kiu multipliko estas nek kommutativa nek asocieca).
Tiu fakto estis pruvita uzi metodojn de algebra topologio en 1958 de Kervaire kaj Bott / Milnor.
La neekzistado de strang-dimensia dividadalgebro estas pli klasika.
Ĝi povas esti konkludita el la teoremo pri erinaco ilustrita ĉe la dekstro.
#000143