Partikla fiziko kaj prezenta teorio
#000002
la Killing formularo, κ (x, y) = tr (anonco ( x) anonco ( y), estas ne-degenerita,
#000003
3 Ligo kun kompaktaj Mensoggrupoj
#000004
Ekzemploj de semikuracherbo Lie-algebroj, kun notacio venas de klasifiko de Dynkin-diagramoj, estas:
#000005
Tiuj Lie-algebroj estas numeritaj tiel ke n estas la rango.
Krom certaj esceptoj en malalta grandeco, multaj el tiuj estas simplaj Lie-algebroj, kiuj estas fortiori semikuracherbo.
Tiuj kvar familioj, kune kun kvin esceptoj ( E6-, E kun nombro, E8, F4, kaj G2), estas fakte la nuraj simplaj Lie-algebroj super la kompleksaj nombroj.
#000006
Ĉiu semikuracherbo Lie-algebro super algebre fermita kampo de karakterizaĵo 0 estas rekta sumo de simplaj Lie-algebroj (de difino), kaj la finhav-dimensiaj simplaj Lie-algebroj falas en kvar familioj - , Bn, Cn, kaj Dn - kun kvin esceptoj E6-, E kun nombro, E8, F4, kaj G2.
Simplaj Lie-algebroj estas klasifikitaj per la ligitaj Dynkin-diagramoj, montritaj dekstraflanke, dum semikuracherbo Lie-algebroj egalrilatas al ne nepre ligitaj Dynkin-diagramoj, kie ĉiu komponento de la diagramo egalrilatas al sumand de la putriĝo de la semikuracherba Lie-algebro en simplajn Lie-algebrojn.
#000007
La klasifikenspezo per pripensado de Cartan-subalgebro (maksimuma abela Lie-algebro;
egalrilatas al maksimuma Toro en Lie-grupo) kaj la adjunkta ago de la Lie-algebro sur tiu subalgebro.
La radiksistemo de la ago tiam ambaŭ determinas la originan Lie-algebron kaj havendaĵo tre limigitan formon, kiu povas esti klasifikita per la Dynkin-diagramoj.
#000008
La klasifiko estas ĝenerale konsiderita unu el la plej elegantaj rezultoj en matematiko - mallonga listo de aksiomrendimentoj, per relative mallonga pruvo, kompleta sed ne-sensignifa klasifiko kun surpriza strukturo.
Tio devus esti komparita kun la klasifiko de finhavaj simplanimaj grupoj, kio estas signife pli d komplika.
#000009
Se oni komencas numeradon pli malalta, la listigo estas redunda, kaj oni havas esceptajn izomorfiojn inter simplaj Lie-algebroj, kiuj estas reflektitaj en izomorfioj de Dynkin-diagramoj;
la En povas ankaŭ esti etendita malsupren, sed sub E6 estas izomorfaj al aliaj, ne-esceptaj algebroj.
#000010
Super ne-algebre fermita kampo, la klasifiko estas pli d komplika - oni klasifikas simplajn Lie-algebrojn super la tegaĵo, tiam por ĉiu el tiuj, oni klasifikas simplajn Lie-algebrojn super la origina kampo kiuj havas tiun formon (super la fino).
Ekzemple, klasifiki simplajn realajn Lie-algebrojn, oni klasifikas realajn Lie-algebrojn kun antaŭfiksita kompleksigado, kiuj estas konataj kiel realaj formoj de la kompleksa Lie-algebro;
tio povas esti farita per Satake-diagramoj, kiuj estas Dynkin-diagramoj kun kromaj datenoj ("ornamadoj").
#000011
Estas eble evoluigi la teorion de kompleksaj semikuracherbaj Lie-algebroj de la kompakta grupperspektivo, [4] kondukante al pli simpla maniero evoluigi la ekziston kaj trajtojn de Cartan-subalgebroj.
#000012
La semikuracherbo Lie-algebroj super la kompleksaj nombroj unue estis klasifikitaj fare de Wilhelm Killing (1888-90), kvankam al lia pruvo mankis rigoro.
Lia pruvo fariĝis rigora fare de Élie Cartan (1894) en lia PH.
tezo, kiu ankaŭ klasifikis semikuracherbajn realajn Lie-algebrojn.
Tio poste estis rafinita, kaj la nuna klasifiko per Dynkin-diagramoj ricevis flank tiam 22-jaraĝan Eugene Dynkin en 1947.
Kelkaj negravaj modifoj estis faritaj (precipe fare de J. P. Serre), sed la pruvo estas senŝanĝa en it'oj havendaĵoj kaj povas esti trovita en iu normreferenco, kiel ekzemple ( Humphreys 1972).
#000013
Sekvo de semisimpleco estas teoremo pro Weyl: ĉiu finhav-dimensia reprezentantaro estas tute reduktebla;
tio estas ĉar ĉiu senvaria subspaco de la reprezentantaro ekzistas senvaria komplemento.
Senfin-dimensiaj reprezentadoj de semikuracherbo Lie-algebroj ne estas ĝenerale tute redukteblaj.
#000014
La adjunkta reprezentantaro estas injektivo, kaj tiel semikuracherbo Lie-algebro ankaŭ estas linia Lie-algebro sub la adjunkta reprezentantaro.
Tio povas konduki al iu ambigueco, ĉar ĉiu Lie-algebro jam estas linia kun respekto al iu alia vektora spaco ( la teoremo de Ado), kvankam ne nepre tra la adjunkta reprezentantaro.
Sed en praktiko, tia ambigueco malofte okazas.
#000016
Ĉiu endomorfismo x el finhav-dimensia vektora spaco super algebre fermita kampo povas esti malkonstruita unike en diagonalizabla (aŭ semikuracherbon) kaj nilpotentparton
#000017
tia ke s kaj n navedas kun unu la alian.
Krome, ĉiu el s kaj n estas polinomo en x.
Tio estas sekvo de la Jordania putriĝo.
#000018
La rango de kompleksa semikuracherbo Lie-algebro estas la dimensio de iuj da ĝiaj Cartan-subalgebroj.
#000020
La finhav-dimensiaj, neredukteblaj reprezentadoj de semikuracherbo Lie-algebro estas klasifikita per teoremo de la plej alta pezo.
Unu rimarkinda aspekto de tiu teorio estas la Weyl-karaktero formulo.
#000021
Kvankam ekzistas teorio de Cartan-subalgebroj por iu Lie-algebro, la koncepto havas specialan gravecon kaj specialan formon koncerne kompleksajn semikuracherbajn Lie-algebrojn.
Grava unua paŝo en la studo de semikuracherbo Lie-algebroj devas pruvi la ekziston de Cartan-subalgebroj, kaj sian unikecon supren al aŭtomorfismo.
(Se oni supozas la ekziston de kompakta reala formo, la ekzisto de Cartan-subalgebro estas multe pli simpla establi.
#000022
Efektive, la klasifiko de kompleksa semikuracherbo Lie-algebroj priskribitaj supre venas de klasifiko de la rilataj radiksistemoj, kiuj en victurno estas klasifikitaj memstare Dynkin-diagramoj.
#000023
La signifo de semisimpleco venas unue de la Levi-putriĝo, kiu deklaras ke ĉiu finhava dimensia Lie-algebro estas la semidirekt-produkto de solvebla idealo (sia radikalulo) kaj semikuracherbalgebro.
Aparte, ekzistas neniu nonzera Lie-algebro kiu estas kaj solvebla kaj semikuracherbo.
#000024
Semisimple Lie-algebroj havas tre elegantan klasifikon, en ekstrema kontrasto al solveblaj Lie-algebroj.
Semisimple Lie-algebroj super algebre fermita kampo estas tute klasifikitaj memstare radiksistemo, kiuj estas en victurno klasifikita per Dynkin-diagramoj.
Semisimple-algebroj super ne-algebre fermitaj kampoj povas esti komprenitaj laŭ tiuj super la tegaĵo, kvankam la klasifiko estas iom pli malsimpla;
vidu realan formon por la kazo de realaj semikuracherbaj Lie-algebroj, kiuj estis klasifikitaj fare de Élie Cartan.
#000025
Plue, la prezenta teorio de semikuracherbo Lie-algebroj estas multe pli puraj ol tio por ĝeneralaj Lie-algebroj.
Ekzemple, la Jordania putriĝo en semikuracherbo Lie-algebro koincidas kun la Jordania putriĝo en ĝia reprezentantaro;
tio ne estas la kazo por Lie-algebroj ĝenerale.
#000026
Semisimple Lie-algebroj koncedas certajn ĝeneraligojn.
Unue, multaj deklaroj kiuj estas veraj por semikuracherbo Lie-algebroj estas veraj pli ĝenerale por reduktivaj Lie-algebroj.
Abstrakte, reduktiva Lie-algebro estas unu kies adjunkta reprezentantaro estas tute reduktebla, dum konkrete, reduktiva Lie-algebro estas rekta sumo de semikuracherba Lie-algebro kaj abela Lie-algebro;
Multaj trajtoj de semikuracherbo Lie-algebroj dependas nur de reducibileco.
#000027