El matematiko, ne-eŭklida geometrio konsistas el du geometrioj bazitaj sur aksiomoj proksime rilatitaj al tiuj precizigantaj eŭklidan geometrion.
Kiel eŭklida geometrio kuŝas ĉe la intersekciĝo de metrika geometrio kaj afina geometrio, ne-eŭklida geometrio ekestas kiam aŭ la metrika postulo estas rilaksita, aŭ la paralela postulato estas anstataŭigita kun alternativo unu.
En ĉi-lasta kazo oni akiras hiperbolan geometrion kaj elipsan geometrion, la tradiciajn ne-eŭklidajn geometriojn.
Kiam la metrika postulo estas rilaksita, tiam ekzistas afinaj aviadiloj asociitaj kun la planar algebroj kiuj kaŭzas kinematajn geometriojn kiuj ankaŭ estis nomitaj ne-eŭklida geometrio.
#000001
La esenca diferenco inter la metrikaj geometrioj estas la naturo de paralelaj linioj.
La kvina postulato de Eŭklido, la paralela postulato, estas ekvivalenta al la postulato de Playfair, kiu deklaras ke, ene de dudimensia aviadilo, por iu antaŭfiksita linio l kaj punkto A, kio ne estas sur l, ekzistas same unu linio tra A kiu ne intersekcas l.
En hiperbola geometrio, kompare, ekzistas senlime multaj linioj tra A ne intersekcante l, dum en elipsa geometrio, ĉiu linio tra A intersekcas l.
#000002
Alia maniero priskribi la diferencojn inter tiuj geometrioj devas pripensi ke du aerlinioj senfine etendis en dudimensia aviadilo kiuj estas ambaŭ perpendikularan al tria linio:
#000003
En eŭklida geometrio la linioj restas ĉe konstanta distanco de unu la alian (signifante ke linio tirita perpendikulara al unu linio ĉe iu punkto intersekcos la alian linion kaj la longo de la liniparto interliganta la punktojn de intersekciĝo restas konstanta) kaj estas konataj kiel paraleloj.
En hiperbola geometrio ili "kurbigas for" de unu la alian, pliiĝi en distanco kiel unu moviĝas pli malproksima de la punktoj de intersekciĝo kun la komunpaŝtejo perpendikulara;
tiuj linioj ofte estas nomitaj ultraparaleloj.
En elipsa geometrio la linioj "kurbiĝas direkte al" unu la alian kaj intersekcas.
#000004
Dum eŭklida geometrio, nomite laŭ la greka matematikisto
Eŭklido, inkludas iujn el la plej malnova konata matematiko, ne-eŭklidaj geometrioj ne estis vaste akceptitaj kiel legitimaj ĝis la 19-a jarcento.
#000006
Se aerlinio falas sur du aerlinioj tiumaniere ke interno-perspektivoj sur la sama flanko estas kune malpli ol du ortoj, tiam la aerlinioj, se produktite senfine, renkontas sur tiu flanko sur kiu estas la anguloj malpli ol la du ortoj.
#000008
3-a priskribi cirklon kun iu centro kaj distancigi [radiuson].
#000012
4-a Tiuj tute rajtoperspektivoj estas unu egala al la alia.
#000013
La teoremoj de Ibn al-Haytham, Khayyam kaj al-Tusi sur kvarlateroj, inkluzive de la Lambert-kvarlatero kaj Saccheri-kvarlatero, estis "la unuaj malmultaj teoremoj de la hiperbolaj kaj la elipsaj geometrioj."
Tiuj teoremoj kune kun iliaj alternativaj postulatoj, kiel ekzemple la aksiomo de Playfair, ludis gravan rolon en la pli posta evoluo de ne-eŭklida geometrio.
Tiuj fruaj provoj ĉe defiado de la kvina postulato havis konsiderindan influon sur ĝia evoluo inter pli postaj eŭropaj geometristoj, inkluzive de Vitelono, Levi-monto Gerson, Alfonzo, John Wallis kaj Saccheri.
Ĉiuj tiuj fruaj provoj faris ĉe provado formuli ne-eŭklida geometrio tamen disponigis mankhavajn pruvojn de la paralela postulato, enhavanta supozojn kiuj estis esence ekvivalentaj al la paralela postulato.
Tiuj fruaj provoj faris, aliflanke, disponigi kelkajn fruajn trajtojn de la hiperbolaj kaj elipsaj geometrioj.
#000015
Khayyam, ekzemple, provita por derivi ĝin de ekvivalenta postulato li formulis de "la principoj de la filozofo" ( Aristotelo):
" Two convergent straight lines intersect and it is impossible for two convergent straight lines to diverge in the direction in which they converge. " [3] Khayyam tiam konsiderita la tri kazodekstra, obtuza, kaj akuta ke la pintkunvenperspektivoj de Saccheri-kvarlatero povas preni kaj post pruvado kelkaj teoremoj pri ili, li ĝuste refutis la obtuzajn kaj akutajn kazojn bazitajn sur lia postulato kaj tial derivis la klasikan postulaton de Eŭklido kiun li ne ekkomprenis estis ekvivalenta al sia propra postulato.
Alia ekzemplo estas la filo de al-Tusi, Sadr al-Din (foje konata kiel "Pseudo-Tusi"), kiu skribis libron pri la subjekto en 1298, bazita sur la pli postaj pensoj de al-Tusi, kiuj prezentis alian hipotezon ekvivalenta al la paralela postulato.
"Li esence reviziis kaj la Eŭklidan sistemon de aksiomoj kaj postulatoj kaj la pruvoj de multaj proponoj de la Elementoj."
Lia laboro estis publikigita en Romo en 1594 kaj estis studita fare de eŭropaj geometristoj, inkluzive de Saccheri [4] kiuj kritikis tiun laboron same kiel tiun de Wallis.
#000016
Giordano Vitale, en lia libro Euclide restituo (1680, 1686), uzis la Saccheri-kvarlateron por pruvi ke se tri poentoj estas egaldistancaj sur la bazo AB- kaj la montpinto KD, tiam AB- kaj KD estas ĉie egaldistanca.
#000017
Ĉe tiu tempo estis ĝenerale kredite ke la universo funkciis laŭ la principoj de eŭklida geometrio.
#000021
Bernhard Riemann, en fama prelego en 1854, fondis la kampon de rimana geometrio, diskutante aparte la ideojn nun nomitajn duktoj, Riemannian metrika, kaj kurbiĝo.
Li konstruis senfinan familion el geometrioj kiuj ne estas Eŭklidaj donante formulon por familio de Riemanianaj metriko sur la unuopilko en eŭklida spaco.
La plej simpla el tiuj estas nomita elipsa geometrio kaj estas konsiderite kiel ne-eŭklida geometrio pro ĝia manko de paralelaj linioj.
#000023
Formulante la geometrion laŭ kurbiĝtensoro, Riemann permesis al ne-eŭklida geometrio esti aplikita al pli alta grandeco.
#000024
Arthur Cayley notis ke distanco inter punktoj ene de konusforma povus esti difinita laŭ logaritmo kaj la projekcia trans-proporcia funkcio.
La metodo fariĝis nomis la Cayley-Klein metrika ĉar Felix Klein ekspluatis ĝin por priskribi la ne-eŭklidajn geometriojn en artikoloj [13] en 1871 kaj 73 kaj poste en libroformo.
La Cayley-Klein metriko disponigis laboraktivajn modelojn da hiperbolaj kaj elipsaj metrikaj geometrioj, same kiel eŭklidan geometrion.
#000026
Ekzistas kelkaj matematikistoj kiuj etendus la liston de geometrioj kiuj devus esti nomitaj "ne-eŭklidaj" laŭ diversaj manieroj.
#000028
Du dimensia eŭklida geometrio estas modeligita per nia nocio de "plata aviadilo."
#000033
La plej simplanima modelo por elipsa geometrio estas sfero, kie linioj estas " ĉefcirkloj " (kiel ekzemple la ekvatoro aŭ la meridianoj sur planedo), kaj indikas unu kontraŭ la alia (nomitaj antipodaj punktoj) estas identigitaj (konsideritaj kiel la sama).
Tio ankaŭ estas unu el la normaj modeloj de la reela projekcia ebeno.
La diferenco estas ke kiel modelo de elipsa geometrio metriko estas lanĉita permesante la mezuradon de longoj kaj anguloj, dum kiel modelo de la projekcia aviadilo ekzistas ne tia metriko.
#000034
En la elipsa modelo, por iu antaŭfiksita linio l kaj punkto A, kiu ne estas sur l, ĉiuj linioj tra A intersekcos l.
#000035
En la hiperbola modelo, ene de dudimensia aviadilo, por iu antaŭfiksita linio l kaj punkto A, kiu ne estas sur l, ekzistas senlime multaj linioj tra A kiuj ne krucas l.
#000037
En tri dimensioj, ekzistas ok modeloj de geometrioj.
Ekzistas Euclidean, elipsa, kaj hiperbolaj geometrioj, kiel en la dudimensia kazo;
miksitaj geometrioj kiuj estas parte Eŭklidaj kaj parte hiperbolaj aŭ sferaj;
torditaj versioj de la miksitaj geometrioj;
kaj unu nekutima geometrio kiu estas tute anizotropa (t.e. ĉiu direkto kondutas alimaniere).
#000039
Eŭklidaj kaj ne-eŭklidaj geometrioj kompreneble havas multajn similajn trajtojn, nome tiujn kiuj ne dependas sur la naturo de paraleleco.
Tiu komuneco estas la temo de absoluta geometrio (ankaŭ nomita neŭtrala geometrio).
Tamen, la trajtoj kiuj distingas unun geometrion de la aliaj estas tiuj kiuj historie ricevis la plej multe de la atenton.
#000040
Antaŭ ol la modeloj de ne-eŭklida aviadilo estis prezentitaj fare de Beltrami, Klein, kaj Poincaré, eŭklida geometrio staris senkontesta kiel la matematika modelo de spaco.
Krome, ekde la substanco de la temo en sinteza geometrio estis ĉefa ekspoziciaĵo de racio, la Eŭklida sinteno reprezentis absolutan aŭtoritaton.
#000043
La eltrovo de la ne-eŭklidaj geometrioj disvastiĝis kiu iris longen preter la limoj de matematiko kaj scienco.
La traktado de la filozofo Immanuel Kant da homa scio havis specialan rolon por geometrio.
Ĝi estis lia ĉefekzemplo de sinteza apriora scio;
ne derivite de la sencoj nek deduktita tra logiko - nia kono de spaco estis vero ke kun ni estis naskita.
Bedaŭrinde por Kant, lia koncepto de tiu neŝanĝeble vera geometrio estis Eŭklida.
Teologio ankaŭ estis trafita per la ŝanĝo de absoluta vero al relativa vero en la maniero kiel ke matematiko estas rilatita al la mondo ĉirkaŭ ĝi, tio estis sekvo de tiu paradigmoŝanĝo.
#000044
En analitika geometrio aviadilo estas priskribita kun kartezaj koordinatoj:
#000047
kaj tiu kvanto estas la kvadrato de la eŭklida distanco inter z kaj la origino.
#000049
Por planar algebro, ne-eŭklida geometrio ekestas en la aliaj kazoj.
Kiam ε2 = +1, tiam z estas disig-kompleksa nombro kaj konvencie j anstataŭigas epsilonon.
#000050
Kie ε2 = 0, tiam z estas duobla nombro.
#000051
Tiu aliro al ne-eŭklida geometrio klarigas la ne-eŭklidajn angulojn: la parametroj de deklivo en la duobla numero-aviadilo kaj hiperbola angulo en la disig-kompleksa aviadilo egalrilatas al angulo en eŭklida geometrio.
Efektive, ili ĉiu ekestas en polusa putriĝo de kompleksa nombro z.
#000052
Hiperbola geometrio trovis aplikon en kinematiko kun la kosmologio lanĉita fare de Hermann Minkowski en 1908.
Minkowski enkondukis esprimojn kiel monda linio kaj bonordan tempon en matematika fiziko.
Li ekkomprenis ke la subdukto, de la okazaĵoj unu momento de bonorda tempo en la estontecon, povus esti konsiderita hiperbola spaco de tri dimensioj.
Jam en la 1890a Alexander Macfarlane mapis tiun subdukton tra lia Algebra of Physics (Algebro de Fiziko) kaj hiperbolaj kvaropoj, kvankam Macfarlane ne uzis kosmologian lingvon kiel Minkowski faris en 1908.
La signifa strukturo nun estas nomita la hiperboloida modelo de hiperbola geometrio.
#000053
La ne-eŭklidaj planar algebroj apogas kinematajn geometriojn en la aviadilo.
Ekzemple, la disig-kompleksa pli sensenta z = e aj povas reprezenti spactempokazaĵon unu momento en la estontecon de referenca kadro de rapidec A.) Krome, multipliko de z sumiĝas al Lorentz-akcelo mapanta la kadron kun rapideco nul al tio kun rapideco .
#000054
Kinemata studo faras uzon de la duoblaj nombroj reprezenti la klasikan priskribon de moviĝo en absoluta tempo kaj spaco: La ekvaciojestas ekvivalentaj al tondo mapanta en lineara algebro:
#000055
Kun duoblaj nombroj la mapado estas [30]
#000056
Alia vido de speciala teorio de relativeco kiel ne-eŭklida geometrio estis avancita fare de E. B. Wilson kaj Gilbert Lewis en Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences en 1912.
Ili reorganizis la analitikan geometrion implican en la disig-kompleksa numero-algebro en sintezan geometrion de regiono kaj deprenoj.
#000057
La romano Inverted World de Christopher Priest priskribas la lukton de vivado sur planedo kun la formo de rotacia pseŭdosfero.
#000063
La Nombro de la Besto de Robert Heinlein utiligas ne-eŭklidan geometrion por klarigi tujan transporton tra spaco kaj tempo kaj inter paralelaj kaj fikciaj universoj.
#000064
Antichamber de Alexander Bruce uzas ne-eŭklidan geometrion por krei minimuman, Escher-similan mondon, kie geometrio kaj spaco sekvas nekonatajn regulojn.
#000065
sciencfikcio metante por tiu de FASA
militludo, rolludo kaj fikcio, faster-ol-luma vojaĝado kaj komunikadoj estas eblaj helpe de Polydimensional Non-Euclidean Geometry de Hsieh Ho, publikigita iam en la mezo de la 22-a jarcento.
#000067
Filozofio de scienco Dedukt-nomological modelo
Rilato inter religio kaj scienco
#000077