Wikipedia's Area as translated by GramTrans
#000000
Areo estas la kvanto kiu esprimas la amplekson de dudimensia figuro aŭ formon, aŭ planar lamena, en la aviadilo.
Surfacareo estas sia analogaĵo sur la dudimensia surfaco de tridimensia objekto.
Areo povas esti komprenita kiel la kvanto de materialo kun antaŭfiksita dikeco kiu estus necesa formi modelon de la formo, aŭ la kvanton de farbo necesa kovri la surfacon per ununura mantelo.
Ĝi estas la dudimensia analogaĵo de la longo de kurbo (unu-dimensia koncepto) aŭ la volumeno de solido (tridimensia koncepto).
#000001
La areo de formo povas esti mezurita komparante la formon kun kvaranguloj de fiksa grandeco.
En la Sistemo Internacia de Unuoj (SI), la norma unuo de areo estas la kvadrata metro (skribita kiel m2), kio estas la areo de kvadrato kies flankoj estas unu metron longaj.
Formo kun areo de tri kvadrataj metroj havus la saman areon kiel tri tiaj kvaranguloj.
En matematiko, la unuokvadrato estas difinita por havi areon unun, kaj la areon de iu alia formo aŭ surfaco estas sendimensia reala nombro.
#000002
Ekzistas pluraj bonkonataj formuloj por la areoj de simplaj formoj kiel ekzemple trianguloj, rektanguloj, kaj cirkloj.
Utiligante tiujn formulojn, la areo de iu plurangulo povas esti trovita dividante la plurangulon en triangulojn.
Por formoj kun kurba limo, kalkiĝo estas kutime postulata por komputi la areon.
Efektive, la problemo de determinado de la areo de aviadilciferoj estis grava instigo por la historia evoluo de kalkulado.
#000003
Por solida formo kiel ekzemple sfero, konuso, aŭ cilindro, la areo de sia limsurfaco estas nomita la surfacareo.
Formuloj por la surfacareoj de simplaj formoj estis komputitaj fare de la malnovgrekaj, sed komputi la surfacareon de pli d komplika formo kutime postulas plurvariablan kalkulon.
#000004
Areo ludas gravan rolon en moderna matematiko.
Aldone al ĝia evidenta graveco en geometrio kaj kalkulado, areo estas rilatita al la difino de determinantoj en lineara algebro, kaj estas baza posedaĵo de surfacoj en diferenciala geometrio.
En analizo, la areo de subaro de la aviadilo estas difinita uzante Lebesgue-iniciaton, [8] kvankam ne ĉiu subaro estas mezurebla.
Ĝenerale, areo en pli alta matematiko estas vidita kiel speciala kazo de volumeno por dudimensiaj regionoj.
#000005
Areo povas esti difinita helpe de aksiomoj, difinante ĝin kiel funkcion de kolekto de certaj aviadilciferoj al la aro de realaj nombroj.
Povas esti pruvite ke tia funkcio ekzistas.
#000006
2 Dissekcio, paralelogramoj, kaj trianguloj
#000010
Aliro al difinado kio estas signifita per "areo" estas tra aksiomoj.
"Areo" povas esti difinita kiel funkcio de kolekto M de speciala speco de aviadilciferoj (nomitaj mezureblaj aroj) al la aro de realaj nombroj kiu kontentigas la sekvajn trajtojn:
#000012
Se S kaj T estas en M tiam tiel estas S ∪ T kaj S ∩ T, kaj ankaŭ ( S ∪ T
Se aro S estas en M kaj S estas kongrua al T tiam T estas ankaŭ en M kaj ( S
Ĉiu rektangulo R estas en M.
Se la rektangulo havas longo h kaj larĝo k tiam ( R
Lasu Q esti aro enfermita inter du-ŝtupaj regionoj S kaj T.
Paŝoregiono estas formita de finhava unio de apudaj rektanguloj ripozigantaj sur ofta bazo, t.e. S ⊆ Q ⊆ T.
Se ekzistas unika pli sensenta c tia ke ( S) ≤ c ≤ ( T) por tute tiaj paŝoregionoj S kaj T, da tiam ( Q
#000013
Povas esti pruvite ke tia areofunkcio fakte ekzistas.
#000014
Ĉiu longecunuo havas ekvivalentan sekcion de areo, nome la areon de kvadrato kun la antaŭfiksita flanklongo.
Tiel areoj povas esti mezuritaj en kvadrataj metroj ( m2), kvadrataj centimetroj ( cm2), kvadratomilimetroj ( m2), kvadrataj kilometroj ( km2), kvadratfutoj ( ft2), kvadratoterenoj ( id2), kvadrataj mejloj ( mi2), kaj tiel antaŭen.
Algebre, tiuj trupoj povas esti opiniitaj de kiel la kvaranguloj de la ekvivalentaj longosekcioj.
#000015
La SI-unuo da areo estas la kvadrata metro, kiu estas konsiderita SI-derivita unuo.
#000016
Kalkulo de la areo de kvadrato kies longo kaj larĝo estas 1 metro estus:
#000017
1 metro x 1 metro = 1 m2
#000018
kaj tial, alia kvadrato kun malsamaj flankoj povas esti kalkulita kiel:
#000019
3 metroj x 2 metroj = 6 m2.
Tio estas, aliflanke, ekvivalenta al 6 milionoj da milimetroj kvadrata.
#000020
1-kilometra kvadrato = 1,000,000 metrojn kvadrata
1-metra kvadrato 10,000 -centimetra kvadrato = 1,000,000-milimetra kvadrato
1-centimetra kvadrato = 100 milimetrojn kvadrata
#000021
En ne-metrikaj unuoj, la konvertiĝo inter du kvadratekzempleroj estas la kvadrato de la konvertiĝo inter la ekvivalentaj longosekcioj.
#000022
la rilato inter kvadratfutoj kaj kvadratcoloj estas
#000023
1 kvadratfuto = kiun 144 kvadrato rampas,
#000024
1 kvadratjardo = 9 kvadratfutoj
#000025
1 kvadratcolo = 6.4516 kvadrataj centimetroj
1 kvadrata mejlo = 2.
#000026
Ekzistas pluraj aliaj komunaj unuoj por areo.
La " Estas " estis la origina unuo de areo en la metra sistemo, kun;
#000027
1 estas = 100 kvadrataj metroj
#000028
Kvankam la estas falis el uzo, la hektaro kutimas daŭre ofte mezuri teron: [11]
#000029
1 hektaro = 100 Areso = 10,000 kvadrataj metroj = 0.01 kvadrataj kilometroj
#000030
Aliaj nekutimaj metrikaj mezurunuoj de areo inkludas la tetrad, la hektad, kaj la miriadon.
#000031
La akreo ankaŭ kutimas ofte mezuri kamparajn regionojn, kie
#000032
1 akreo = 4,840 kvadrato iardas = 43,560 kvadratfutojn.
#000033
Akreo estas ĉirkaŭ 40% de hektaro.
#000034
Sur la atomskalo, areo estas mezurita en unuoj de garbejoj, tia ke: [11]
#000035
1 garbejo = kiun 10 −28 kvadrato mezuras.
#000036
La garbejo estas ofte uzita en priskribado de la transversa sekca areo de interagado en nuklea fiziko.
#000037
En la 5-a jarcento a.K., Hippocrates of Chios (Hipopotamlignaj kestoj de Ĥio) estis la unua se temas pri montri ke la areo de disko (la regiono enfermita fare de cirklo) estas proporcia al la kvadrato de it diametro, kiel parto de lia kvadraturo de la duonluno de Hipokrato, [12] sed ne identigis la konstanton de proporcieco.
Eudoxus of Cnidus (Eudoxus de Cnidus), ankaŭ en la 5-a jarcento a.K., ankaŭ trovis ke la areo de disko estas proporcia al sia radiuso kvadratis.
#000039
Poste, Book I de Elementoj de Eŭklido traktis egalecon de areoj inter dudimensiaj figuroj.
La matematikisto Arkimedo uzis la ilojn de eŭklida geometrio por montri ke la areo ene de cirklo estas egala al tiu de orta triangulo kies bazo havas la longon de la cirkonferenco de la cirklo kaj kies alteco korespondas al la cirklo radiuso, en lia libro Measurement of a Circle .
(La cirkonferenco estas 2π r, kaj la areo de triangulo estas duono de la bazfojoj la alteco, donante la areon π r 2 por la disko.
Arkimedo aproksimis la valoron de π (kaj tial la areo de unu-radiusa cirklo) kun sia duobliga metodo, en kiu li gravuris regulan triangulon en cirklo kaj notis ĝian areon, tiam duobligis la nombron da flankoj por doni regulan heksagonon, tiam plurfoje duobligis la nombron da flankoj kiam la areo de la plurangulo venis pli proksimen kaj pli proksime al tiu de la cirklo (kaj faris la saman kun limitaj pluranguloj).
#000040
Svisa sciencisto Johann Heinrich Lambert en 1761 pruvis ke π, la rilatumo de la areo de cirklo al sia kvadratita radiuso, estas neracia, signifante ke ĝi ne estas egala al la kvociento de iuj du alikvotoj.
En 1794 franca matematikisto Adrien-Marie Legendre pruvis ke π2 estas neracia;
tio ankaŭ pruvas ke π estas neracia.
En 1882, germana matematikisto Ferdinand von Lindemann pruvis ke π estas transcenda (ne la solvo de iu polinomekvacio kun raciaj koeficientoj), konfirmante supozon faritan fare de kaj Legendre kaj Euler.
#000041
Ardeo (aŭ Hero) de Aleksandrio trovita kio estas konata kiel formulo de Heron por la areo de triangulo laŭ it'oj flankoj, kaj pruvo povas esti trovita en lia libro, Metrica, skribita proksimume 60 p.K.
Estis sugestite ke Arkimedo sciis la formulon pli ol du jarcentojn pli frue, [16] kaj ĉar Metrica estas kolekto de la matematika scio havebla en la praa mondo, estas eble ke surbaze de la formulo datas de antaŭ la referenco en tiu laboro.
#000042
En 499 Aryabhata, granda matematikisto - astronomo de la klasika aĝo de hinda matematiko kaj hinda astronomio, esprimis la areon de triangulo tiel duono-la baztempoj la alteco en la Aryabhatiya (parto 2.6).
#000043
En la 7-a jarcento p.K., Brahmagupta evoluigis formulon, nun konatan kiel la formulo de Brahmagupta, por la areo de cikla kvarlatero ( kvarlatero gravurita en cirklo) laŭ ĝiaj flankoj.
En 1842 la germanaj matematikistoj Carl Anton Bretschneider kaj Karl Georg Christian von Staudt sendepende trovis formulon, konatan kiel la formulo de Bretschneider, por la areo de iu kvarlatero.
#000045
La evoluo de kartezaj koordinatoj de René Descartes en la 17-a jarcento permesis la evoluon de la formulo de la geodeziisto por la areo de iu plurangulo kun konataj vertic lokoj de Gauss en la 19-a jarcento.
#000046
La evoluo da integrala kalkulo en la malfrua 17-a jarcento provizitaj iloj kiuj povus poste esti uzitaj por komputado de pli d komplikaj areoj, kiel ekzemple la areo de elipso kaj la surfacareoj de diversaj kurbaj tridimensiaj objektoj.
#000047
, n) de kies n verdglacioj estas konata, la areo ricevas per la formulo de la geodeziisto: [18]
#000048
kie kiam mi = n, tiam mi +1 estas esprimitaj kiel modulus da n kaj tiel rilatas al 0.
#000049
La plej baza areoformulo estas la formulo por la areo de rektangulo.
Surbaze de rektangulo kun longo l kaj larĝo w, la formulo por la areo estas: [2]
#000050
Tio estas, la areo de la rektangulo estas la longo multobligita per la larĝo.
Kiel speciala kazo, kiel l = w koncerne kvadraton, la areon de kvadrato kun flanklongo s ricevas per la formulo: [1]
#000051
La formulo por la areo de rektangulo sekvas rekte el la bazaj trajtoj de areo, kaj foje estas prenita kiel difino aŭ aksiomo.
Aliflanke, se geometrio estas evoluigita antaŭ artimetika, tiu formulo povas esti utiligita por difini multiplikon de realaj nombroj.
#000052
La plej multaj aliaj simplaj formuloj por areo sekvas el la metodo de dissekcio.
Tio implikas tranĉi formon en pecojn, kies areoj devas sumigi al la areo de la origina formo.
#000053
Por ekzemplo, ĉiu paralelogramo povas esti subdividita en trapezon kaj ortan triangulon, kiel montrite en figuro maldekstren.
Se la triangulo estas proponita al la alia flanko de la trapezo, tiam la rezulta figuro estas rektangulo.
Ĝi sekvas ke la areo de la paralelogramo estas la sama kiel la areo de la rektangulo: [2]
#000054
Tamen, la sama paralelogramo ankaŭ povas esti tranĉita laŭ diagonalo en du kongruajn triangulojn, kiel montrite en la figuro dekstren.
Ĝi sekvas ke la areo de ĉiu triangulo estas duono de la areo de la paralelogramo: [2]
#000055
Similaj argumentoj povas esti utiligitaj por trovi areoformulojn por la trapezo [21] same kiel pli d komplikaj pluranguloj.
#000056
La formulo por la areo de cirklo (pli konvene nomita la areo enfermis de cirklo aŭ la areo de disko) estas bazita sur simila metodo.
Surbaze de cirklo de radiuso r , estas eble dividi la cirklon en sektorojn, kiel montrite en la figuro dekstren.
Ĉiu sektoro estas ĉirkaŭ triangula laŭ formo, kaj la sektoroj povas esti rearanĝitaj por formiĝi kaj aproksimi paralelogramon.
La alteco de tiu paralelogramo estas r , kaj la larĝo estas duono de la cirkonferenco de la cirklo, aŭ πr .
Tiel, la suma areo de la cirklo estas πr 2 : [2]
#000057
Kvankam la dissekcio uzita en tiu formulo estas nur proksimuma, la eraro iĝas pli malgranda kaj pli malgranda kiel la cirklo estas dividita en pli kaj pli dajn sektorojn.
La limo da la areoj de la proksimumaj paralelogramoj estas sama πr 2 , kio estas la areo de la cirklo.
#000058
Tiu argumento estas fakte simpla apliko de la ideoj de kalkulado.
En antikvaj tempoj, la metodo da elĉerpiĝo estis uzita laŭ simila maniero trovi la areon de la cirklo, kaj tiu metodo nun estas rekonita kiel antaŭulo al integrala kalkulo.
Uzante modernajn metodojn, la areo de cirklo povas esti komputita utiligante definitivan integralon:
#000059
La formulo por la areo enfermita per elipso estas rilatita al la formulo de cirklo;
por elipso kun semi-gravaj kaj malgrandaj duonaksoj x kaj y la formulo estas: [2]
#000060
La plej multaj bazaj formuloj por surfacareo povas esti akiritaj tranĉante surfacojn kaj platigante ilin eksteren.
Ekzemple, se la flanksurfaco da cilindro (aŭ ajna prismo) estas tranĉita laŭlonge, la surfaco povas esti platigita eksteren en rektangulon.
Simile, se tranĉo estas farita laŭ la flanko de konuso, la flanksurfaco povas esti platigita eksteren en cirklosektoron, kaj la rezulta areo komputis.
#000061
La formulon por la surfacareo de sfero malfacilas pli derivi: ĉar sfero havas nonzeran Gaŭsian kurbiĝon, ĝi ne povas esti platigita eksteren.
La formulo por la surfacareo de sfero unue estis akirita fare de Arkimedo en lia laboro On the Sphere and Cylinder .
#000062
kie r estas la radiuso de la sfero.
Kiel kun la formulo por la areo de cirklo, ĉiu derivaĵo de tiu formulo esence utiligas metodojn similajn al kalkiĝo.
#000063
Tiu formulo povas esti uzita se la alteco h estas konata.
Tiu formulo estas ankaŭ konata kiel la ŝulaĉformulo kaj estas facila maniero solvi por la areo de kunordigita triangulo anstataŭigante la 3 poentojn ( ks1, i1), ( ks2, i2), kaj ( ks3, i3).
La ŝulaĉformulo ankaŭ povas esti utiligita por trovi la areojn de aliaj pluranguloj kiam iliaj verdglacioj estas konataj.
Alia aliro por kunordigita triangulo devas uzi kalkiĝon por trovi la areon.
Tiu rezulto estas konata kiel la teoremo de Pick.
#000064
La areo inter pozitiv-aprezita kurbo kaj la absciso, mezurita inter du valoroj a kaj b (b estas difinita kiel la pli granda de la du valoroj) sur la absciso, ricevas per la integralo de ĝis b de la funkcio kiu reprezentas la kurbon: [1]
#000065
La areo inter la grafeoj de du funkcioj estas egala al la integralo de unu funkcio, f ( x), minus la integralo de la alia funkcio, g ( x):
#000066
Areo limigita per funkcio r = r (θ) esprimis en polaraj koordinatoj estas: [1]
#000067
(vidu teoremon de Green) aŭ la z-komponento de
#000068
Saltita areo inter du kvadrataj funkcioj
#000069
Por trovi la saltitan areon inter du kvadrataj funkcioj, ni subtrahas unun de la aliaj por skribi la diferencon kiel
#000070
kie f ( x) estas la kvadrata supra ligita kaj g ( x) estas la kvadrataj pli malaltan ligita.
Difinu la discriminanton de f ( x) - g ( x) kiel
#000071
Simpligante la integritan formulon inter la grafeoj de du funkcioj (kiel donite en la sekcio supre) kaj uzado la formulo de Vieta, ni povas akiri [25] [26]
#000072
Ĉi-supraj restaĵoj valida se unu el la saltaj funkcioj estas linia anstataŭe de kvadrata.
#000073
prismo: 2B-+ PH, kie B estas la areo de bazo, P estas la perimetro de bazo, kaj h estas la alteco de la prismo.
#000074
Ĉi-supraj kalkuloj montras kiel trovi la areojn de multaj komunaj formoj.
#000075
La areoj de neregulaj pluranguloj povas esti kalkulitaj uzante la formulo de la " geodeziisto ".
#000076
Rilato de areo al perimetro
#000077
La isoperimetric-malegaleco deklaras ke, por fermita kurbo de longo L (ke tiel la regiono ĝi enfermas havas perimetron L) kaj por areo A da la regiono kiun ĝi enfermas,
#000078
kaj egaleco tenas se kaj nur se la kurbo estas cirklo.
Tiel cirklo havas la plej grandan areon de iu fermis figuron kun antaŭfiksita perimetro.
#000079
Ĉe la alia ekstremaĵo, figuro kun antaŭfiksita perimetro L povis havi propraaŭtoritate malgrandan areon, kiel ilustrite per rombo kiu estas "renversita" propraaŭtoritate longe tiel ke du el ĝiaj anguloj estas propraaŭtoritate proksimaj al 0° kaj la aliaj du estas propraaŭtoritate proksimaj al 180°.
#000080
Por cirklo, la rilatumo de la areo al la cirkonferenco (la esprimo por la perimetro de cirklo) korespondas al duono de la radiuso r.
Tio povas esti vidita de la areoformulπr 2 kaj la cirkonferencformulo 2πr.
#000081
La areo de regula plurlatero estas duona it perimetro tempigas la apotem (kie la apotem estas la distanco de la centro ĝis la plej proksima punkto sur iu flanko).
#000082
Duobligi la randlongojn de plurangulo obligas ĝian areon per kvar, sur kio estas du (la rilatumo de la nova al la malnova flanklongo) levis al la du-potenco (la dimensio de la spaco la plurangulo baziĝas).
Sed se la unu-dimensiaj longoj de fraktalo partoprenigita du dimensioj estas ĉiuj duobligis, la spacan enhavon de la fraktalskvamoj de du-potenco tion estas ne nepre entjero.
Tiu potenco estas nomita la fraktaldimensio de la fraktalo.
#000083
Ekzistas senfineco de linioj kiuj bisekcas la areon de triangulo.
Tri el ili estas la medianoj de la triangulo (kiuj ligas la mezpunktojn de la flankoj kun la kontraŭaj verdglacioj), kaj tiuj estas samtempaj ĉe la centroido de la triangulo;
efektive, ili estas la nuraj areobisekciiloj kiuj ekzamenas la centroidon.
Ĉiu linio tra triangulo kiu disfendas kaj la areon kaj ĝian perimetron de la triangulo en duono ekzamenas la encentron de la triangulo (la centro de sia encirklo).
Ekzistas aŭ unu, du, aŭ tri el tiuj por iu antaŭfiksita triangulo.
#000084
Ĉiu linio tra la mezpunkto de paralelogramo bisekcas la areon.
#000085
Ĉiuj areobisekciiloj de cirklo aŭ alia elipso ekzamenu la centron, kaj ĉiuj kordoj tra la centro bisekcas la areon.
Koncerne cirklon ili estas la diametroj de la cirklo.
#000086
Surbaze de dratkonturo, la surfaco de malplej areo stringanta ("plenigaĵo") ĝi estas minimuma surfaco.
#000087
La demando de la plenigaĵareo de la Riemaniana cirklo restas malferma.
#000088
La cirklo havas la plej grandan areon da iu dudimensia objekto havanta la saman perimetron.
#000089
Cikla plurangulo (oni gravuris en cirklo) havas la plej grandan areon de iu plurangulo kun antaŭfiksita nombro da flankoj de la samaj longoj.
#000090
Versio de la isoperimetric-malegaleco por trianguloj deklaras ke la triangulo de plej granda areo inter ĉiuj tiuj kun antaŭfiksita perimetro estas egallateraj.
#000091
La triangulo de plej granda areo de ĉiu tiuj gravuritaj en antaŭfiksita cirklo estas egallateraj;
kaj la triangulo de plej malgranda areo da ĉiuj tiuj limitaj ĉirkaŭ antaŭfiksita cirklo estas egallatera.
#000092
Brahmagupta kvarlatero, cikla kvarlatero kun entjerflankoj, entjerodiagonaloj, kaj entjerareo.
Triangulo de Heron, triangulo kun entjerflankoj kaj entjerareo.
Listo de neegalaĵo de trianguloj numero Areo
Unu-sepona areotriangulo, interna triangulo kun unu-sepono la areo de la referencotriangulo.
#000093
La teoremo, de Routh ĝeneraligo de la unu-sepona areotriangulo.
#000094
Grandecoj (areo) - listo de areoj de grandeco.
Pentagon-nombro Derivation da la areoformulo
Planimeter, instrumento por mezurado de malgrandaj areoj, ekz. en mapoj.
Kvarlatera numero Areo de konveksa kvarlatero
Robbins-kvinangulo, cikla kvinangulo kies flanklongoj kaj areo estas ĉiu raciaj nombroj.
#000095
Areo estas la kvanto esprimanta la grandecon de regiono en la ebeno (du dimensioj). Ĝi estas parto de la tera surfaco, kun difinitaj limoj aŭ difinita uzo.
#000097
La areo de ortangulo estas kalkulata per la formulo a×b, kie a kaj b estas la longeco kaj la larĝeco de la ortangulo.
#000098
La SI-unuo de areo estas kvadrata metro (m2). Aliaj unuoj estas la kvadrata kilometro ktp. kaj la hektaro (100m×100m=10.000m2).
#000099
Disvastiĝa areo estas esprimo por difini tiun teran surfacon de bestospecioj, kiun ili konkeris, tie disvastiĝis.
#000100
Komparoj de kvadrata futo kaj kvadrata jardo kun kvadrata metro.
#000101