duoniĝotempoj eksponenta kresko kaj kadukiĝo
#000001
pruvo ke e estas neracia
#000002
Eŭlera formulo, nomita laŭ Leonhard Euler, estas matematika formulo en kompleksa analitiko kiu establas la fundamentan rilaton inter la trigonometria funkcio kaj la kompleksa eksponenta funkcio.
Eŭlerformulo-ŝtatoj tio, por iu reala nombro x :
#000003
kie e estas la fundamento de la natura logaritmo, mi estas la imaginara unuo, kaj cos kaj peko estas la trigonometriafunkcia kosinuso kaj sine respektive, kun la argumento x donita en Radianoj.
Tiu kompleksa eksponenta funkcio foje estas indikita cis ( x) (" kosinuso kaj plie mi sine ").
La formulo daŭre estas valida se x estas kompleksa nombro, kaj tiel kelkaj verkintoj nomas la pli ĝeneralan kompleksooversion eŭlera formulo.
#000004
Eŭlera formulo estas ĉiea en matematiko, fizikoj, kaj inĝenieristiko.
La fizikisto Richard Feynman nomis la ekvacion "nia juvelo" kaj "la plej rimarkinda formulo en matematiko."
#000005
2 Aplikoj en kompleksanombra teorio
6 Difinoj de kompleksa potenco 6.1
#000006
ĉi-supra ekvacio rakontas al ni ion ĉirkaŭ kompleksaj logaritmoj.
Bernoulli, aliflanke, ne analizis la integralon.
#000008
La korespondado de Bernoulli kun Euler (kiu ankaŭ sciis ĉi-supran ekvacion) montras ke Bernoulli ne plene komprenis kompleksajn logaritmojn.
Euler ankaŭ sugestis ke la kompleksaj logaritmoj povas havi senlime multajn valorojn.
#000009
Staloj sopiris la fakton ke kompleksa logaritmo povas havi senlime multajn valorojn, malsamante de multobloj de 2iπ, pro la periodeco de la trigonometria funkcio.
#000011
1740 Euler turnis lian atenton al la eksponenta funkcio anstataŭe de logaritmoj, kaj akiris la formulon utiligitan hodiaŭ kiu estas nomita laŭ li.
Ĝi estis publikigita en 1748, akirita komparante la seriovastiĝojn de la eksponentaj kaj trigonometriaj esprimoj.
#000012
Neniu el tiuj matematikistoj vidis la geometrian interpreton de la formulo;
la vido de kompleksaj nombroj kiel punktoj en la kompleksa ebeno estis priskribita proksimume 50 jarojn poste fare de Caspar Wessel.
#000013
Tiu formulo povas esti interpretita kiel dirado ke la funkcio eiφ estas unuo kompleksa nombro, t.e., spuras eksteren la trigonometrian cirklon en la kompleksa ebeno kiel φ intervaloj tra la realaj nombroj.
Ĉi tie, φ estas la angulo kiun linio liganta la originon kun punkto sur la trigonometria cirklo faras kun la pozitiva reala akso, mezuris kontraŭe dekstrume kaj en Radianoj.
#000014
La origina pruvo estas bazita sur la serio de Taylor vastiĝoj de la eksponentfunkcia ez (kie z estas kompleksa nombro) kaj de peko x kaj cos x por realaj nombroj x (vidu malsupre).
Fakte, la sama pruvo montras ke eŭlera formulo estas eĉ valida por ĉiuj kompleksaj nombroj x .
#000015
Punkto en la kompleksa ebeno povas esti reprezentita per kompleksa nombro skribita en kartezaj koordinatoj.
Eŭlera formulo disponigas rimedon de konvertiĝo inter kartezaj koordinatoj kaj polaraj koordinatoj.
La polusa formo simpligas la matematikon kiam uzite en multipliko aŭ povoj de kompleksaj nombroj.
Ĉiu komplekso pli sensenta z = x -+ iy , kaj ĝia kompleksa konjugito, z = x -− iy , povas esti skribita kiel
#000016
φ estas la argumento de z - t.e., la angulo inter la absciso kaj la vektoro z mezuris maldekstrume kaj en Radianoj - kiu estas difinita ĝis aldono de 2π.
Multaj tekstoj skribas al θ = sunbruno −1 ( y / x) anstataŭe de θ = atan2 ( y, x), sed la unua ekvacio bezonas alĝustigon kiam x ≤ 0-a Tio estas ĉar, por iu reala x, y ne kaj nul, la anguloj de la vektoroj (x, y) kaj (- x, - y) malsamas je π Radianoj, sed havas la identan valoron de sunbruno (θ) = i/ks.
#000017
Nun, manĝante tiun derivitan formulon, ni povas uzi eŭleran formulon por difini la logaritmon da kompleksa nombro.
Farendaĵo tion, ni ankaŭ utiligas la difinon de la logaritmo (kiel la inversa funkciigisto de potenco) tio
#000018
kaj valida por iuj kompleksaj nombroj a kaj b.
#000019
por iu z ≠ 0-a Preno la logaritmo de ambaŭ flankoj montras tion:
#000020
kaj fakte tio povas esti utiligita kiel la difino por la kompleksa logaritmo.
La logaritmo de kompleksa nombro estas tiel multi-aprezitfunkcio, ĉar φ estas multi-aprezit.
#000021
Finfine, la alia eksponenta leĝo
#000022
kiu povas esti observita tenanta por ĉiu entjeroj k, kune kun eŭlera formulo, implicas plurajn trigonometriajn identecojn same kiel formulon de de Moivre.
#000023
Eŭlera formulo disponigas potencan ligon inter analizo kaj trigonometrio, kaj disponigas interpreton de la sine kaj kosinusfunkcioj kiel pezbalancitaj sumoj de la eksponenta funkcio :
#000024
La du ekvacioj supre povas esti derivitaj per aldonado aŭ subtrahado de Euler-formuloj :
#000025
kaj solvado por aŭ kosinuso aŭ sine.
#000026
Tiuj formuloj eĉ povas funkcii kiel la difino de la trigonometria funkcio por kompleksaj argumentoj x.
Ekzemple, lasante x = iy, ni havas :
#000027
Kompleksaj eksponentoj povas simpligi trigonometrion, ĉar ili pli facile manipuleblas ol siaj sinusoidal komponentoj.
Unu tekniko estas simple konverti sinusoidojn en ekvivalentajn esprimojn laŭ eksponentoj.
Post la manipuladoj, la simpligita rezulto daŭre estas real-aprezita.
#000028
Alia tekniko devas reprezenti la sinusoidojn laŭ la reela parto de kompleksa esprimo, kaj elfari la manipuladojn en la kompleksa esprimo.
#000029
Tiu formulo estas uzita por rekursiva generacio de cos ( nks) por entjervaloroj de n kaj arbitra x (en Radianoj).
#000030
Tiuj observaĵoj povas esti kombinitaj kaj resumitaj en la kommutativa diagramo malsupre:
#000031
En diferencialaj ekvacioj, la funkcio eiks ofte kutimas simpligi derivaĵojn, eĉ se la fina respondo estas reala funkciimplikado sine kaj kosinuso.
La kialo de tio estas ke la kompleksa eksponento estas la eigenfunktion de diferencigo.
Eŭlera idento estas facila sekvo de eŭlera formulo.
#000032
En elektronika inĝenieristiko kaj aliaj kampoj, signaloj de kiuj periode varias dum tempo ofte estas priskribitaj kiel kombinaĵo sine kaj kosinusfunkcioj (vidu Fourier-analizon), kaj tiuj estas pli komforte esprimitaj kiel la reela parto de eksponentaj funkcioj kun imagaj eksponentoj, uzante eŭleran formulon.
Ankaŭ, fasoranalizo de cirkvitoj povas inkludi eŭleran formulon por reprezenti la impedancon de kondensilo aŭ induktoro.
#000033
La eksponenta funkcio eks por realaj valoroj de x povas esti difinita laŭ kelkaj malsamaj ekvivalentaj manieroj (vidu Karakterizadoj de la eksponenta funkcio).
Pluraj de tiuj metodoj povas esti rekte etenditaj por doni difinojn de ez por kompleksaj valoroj de z simple anstataŭigante z modloko de x kaj uzante la kompleksajn algebrajn operaciojn.
Aparte ni povas uzi ĉiu el ambaŭ de la du sekvaj difinoj kiuj estas ekvivalentaj.
De pli progresinta perspektivo, ĉiu el tiuj difinoj povas esti interpretita kiel donado de la unika analiza daŭrigo de eks- al la kompleksa ebeno.
#000034
Uzi la rilatumteston kiun ĝi estas ebla montri ke tiu potencvico havas senfinan radiuson de konverĝo, kaj tiel difinas ez por ĉiu kompleksa z .
#000035
Diversaj pruvoj de la formulo estas eblaj.
#000036
Jen estas pruvo de eŭlera formulo utiliganta potencvicvastiĝojn same kiel bazajn faktojn pri la potencoj de mi: [5]
#000037
Utiligante nun la potencvicdifinon de supre ni vidas tion por realaj valoroj de x
#000038
En la lasta paŝo ni simple rekonis la Maclaurin-serialon por cos (x) kaj peko (x).
La rearanĝo de esprimoj estas pravigita ĉar ĉiu serio estas absolute konverĝa.
#000039
Alia pruvo [6] estas bazita sur la fakto ke ĉiuj kompleksaj nombroj povas esti esprimitaj en polaraj koordinatoj.
Tial por iom da r kaj θ depende de x ,
#000040
Nun de iuj da la difinoj de la eksponenta funkcio povas esti montrite ke la derivaĵo de e ixa estas Ie ixa .
Tial, diferencigi ambaŭ flankojn donas
#000041
Ĉi tiu artikolo estas pri eŭlera formulo en kompleksa analitiko. Por eŭlera formulo en algebra topologio kaj pluredra kombinatoriko vidu en eŭlera karakterizo.
#000045
En matematiko, eŭlera formulo, estas idento en kompleksa analitiko kiu donas interrilaton inter la trigonometriaj funkcioj kaj kompleksa eksponenta funkcio. Ĝi statas, ke por ĉiu kompleksa nombro x,
#000046
kie e estas la bazo de la natura logaritmo,
#000047
i estas la imaginara unuo,
cos kaj sin estas la trigonometriaj funkcioj kosinuso kaj sinuso, kun la argumento x donita en radianoj.
#000048
i estas la imaginara unuo,
#000049
cos kaj sin estas la trigonometriaj funkcioj kosinuso kaj sinuso, kun la argumento x donita en radianoj.
#000050
La formulo estas ankoraŭ valida se x estas ajna kompleksa nombro, kvankam la originala eŭlera formulo temas pri reela x.
#000051
La originala pruvo estas bazita sur la serio de Taylor de la eksponenta funkcio ez (kie z estas kompleksa nombro) kaj de sin x kaj cos x por reelaj nombroj x. Fakte, la sama pruvo montras ke la eŭlera formulo veras por ĉiu kompleksa z.
#000052
Tiel eix = cos x + i sin x.
#000053
Ĉi tiu formulo povas esti interpretita kiel tio ke valoro de funkcio eix desegnas la unuoblan cirklon en la kompleksa ebeno kiam x ŝanĝiĝas tra la reelaj nombroj. Ĉi tie, x estas la angulo inter linio konektanta la punkton sur la unua cirklo kun punkto z=0 kaj la pozitiva reela akso, mezurita en radianoj tiel ke laŭhorloĝnadla direkto estas pozitiva.
#000054
Kompleksa nombro respektivas al punkto en la kompleksa ebeno kiu kutime estas prezentita en karteziaj koordinatoj. Eŭlera formulo provizas konvertiĝon al la polusaj koordinatoj. Tiel ĉiu kompleksa nombro z = x+iy povas esti skribita kiel
#000055
kie x = Re(z) - la reela parto
#000056
y = Im(z) - la imaginara parto
φ = atan2 (y, x) - la argumento - la angulo priskribita pli supre
#000057
y = Im(z) - la imaginara parto
#000058
φ = atan2 (y, x) - la argumento - la angulo priskribita pli supre
#000059
Ĝia kompleksa konjugito estas tiam
#000060
Per ĉi tiu formulo, oni povas difini la logaritmon de kompleksa nombro. Logaritmo estas la inversa funkcio de potencigo tiel ke por ĉiu kompleksa a
#000061
por ĉiu kompleksaj a kaj b rezultiĝas
#000062
por ĉiu nenula z. Preno de la logaritmo de ambaŭ flankoj montras ke:
#000063
kaj fakte ĉi tiu povas esti uzata kiel difino por la kompleksa logaritmo. La logaritmo de kompleksa nombro estas tial multvalora funkcio, ĉar φ estas multvalora.
#000064
Eŭlera formulo provizas prezentojn de la sinuso kaj kosinuso por ĉiu kompleksa x per eksponentoj:
#000065
Ĉi tiuj du identoj pli supre povas esti derivitaj per adicio aŭ subtraho de du ekzempleroj de eŭlera formulo:
#000066
kaj solvado por kosinuso aŭ sinuso.
#000067
Ĉi tiuj formuloj povas eĉ servi kiel difinoj de sinuso kaj kosinuso por kompleksaj argumentoj x. Se preni x = iy rezultiĝas formuloj pri rilato de kosinuso kaj sinuso al hiperbola kosinuso kaj hiperbola sinuso:
#000068
kiu veras por ĉiu entjera k kune kun la eŭlera formulo implicas kelkajn trigonometriajn identojn kaj formulon de de Moivre.
#000069
En diferencialaj ekvacioj, la funkcio eix estas ofte uzata por plisimpligi derivaĵoj, eĉ se la fina respondo estas reela funkcio kun sinuso kaj kosinuso.
#000070
En elektrotekniko kaj aliaj kampoj, signaloj kiuj ŝanĝiĝas periode kun tempo estas ofte priskribitaj kiel kombinaĵo de sinusa kaj kosinusa funkcioj (vidu en analitiko de Fourier), kaj ilin estas oportune esprimi kiel reela parto de kompleksaj eksponentaj funkcioj.
#000071
Eŭlera formulo estis pruvita unuafoje de Roger Cotes en 1714 en formo
#000072
ln(cos x + i sin x) = ix
#000073
kie "ln" estas natura logaritmo, kun bazo e.
#000074
Eŭlero publikigis la identon en ĝia aktuala formo en 1748, kun lia pruvo surbaze de egaleco de la malfiniaj serioj de ambaŭ flankoj.
#000075
Neniu el ili vidis la geometria interpretado de la formulo, la prezento de kompleksaj nombroj kiel punktoj en la kompleksa ebeno aperis nur je 50 jaroj poste de Caspar Wessel.
#000076
Eŭlera idento - specifa okazo de la eŭlera formulo por x=π
#000077