En matematika teorio de grupoj, la Schur-multiplikato aŭ Schur multiplicator estas la dua homologiogrupo H 2 ( G, Z) de grupo G.
Ĝi estis lanĉita fare de Issai Schur ( 1904) en lia laboro sur projekciaj reprezentantaroj.
#000001
Ekzemple, la Schur-multiplikato de la nonabelian grupo de ordo 6 estas la sensignifa grupo ĉar ĉiu Sylow-subgrupo estas cikla.
La Schur-multiplikato de la elementa abela grupo de ordo 16 estas elementa abela grupo de ordo 64, montrante ke la multiplikato povas esti strikte pli granda ol la grupo mem.
La Schur-multiplikato de la kvaropgrupo estas sensignifa, sed la Schur-multiplikato de dihedra 2-groups havas ordon 2.
#000004
La Schur-multiplikatoj de la finhavaj simplanimaj grupoj ricevas ĉe la listo de finhavaj simplanimaj grupoj.
La kovraj grupoj de la alternaj kaj simetriaj grupoj estas de konsiderinda lastatempa intereso.
#000005
La origina instigo de Schur por studado de la multiplikato devis klasifiki projekciajn reprezentadojn de grupo, kaj la moderna formuliĝo de lia difino estas la dua kohomologiogrupo H 2 ( G, C ×).
Projekcia reprezentantaro estas tre kiel grupa prezento krom ke anstataŭe de homomorfism en la ĝeneralan linearan grupon Gl ( n, C), oni prenas homomorfism en la projekcian ĝeneralan linearan grupon PGL ( n, C).
En aliaj vortoj, projekcia reprezentantaro estas reprezentantarmodulo la centro.
#000006
La studo de tiaj kovrogrupoj kaŭzis nature la studon de centra kaj tigo etendaĵoj.
#000008
Centra etendaĵo de grupo G estas etendaĵo
#000009
kie K ≤ Z ( C) estas subgrupo de la centro de C.
#000010
Tigo etendaĵo de grupo G estas etendaĵo
#000011
C ′ estas subgrupo de la intersekciĝo de la centro de C kaj la derivita subgrupo de C;
tio estas pli restrikta ol centrejo.
#000012
Se la grupo G estas finhava kaj oni pripensas nur tigon etendaĵoj, tiam ekzistas plej granda grandeco por tia grupo C, kaj por ĉiu C da tiu grandeco la subgrupo K estas izomorfa al la Schur-multiplikato de G.
Se la finhava grupo G estas krome perfekta, tiam C estas unika ĝis izomorfio kaj estas sin perfekta.
Tia C ofte estas nomita universalaj perfektaj centraj etendaĵoj de G, aŭ kovrogrupo (kiam ĝi estas diskreta analogaĵo de la universala kovrospaco en topologio).
Se la finhava grupo G ne estas perfekta, tiam ĝia Schur kovranta grupojn (tute tia C da maksimumajn ordon) estas nur izoklinika.
#000013
Ĝi ankaŭ estas nomita pli nelonge universala centra etendaĵo, sed noto ke ekzistas neniu plej granda centra etendaĵo, ĉar la rekta produkto de G kaj abela grupo formas centran etendaĵon de G de arbitra grandeco.
#000014
Tigo etendaĵoj havas la belan posedaĵon kiu ĉiu lifto de elektroproduktilo de G estas elektroproduktilo de C.
Se la grupo G estas prezentita laŭ libera grupo F sur aktoraro de generatoroj, kaj normala subgrupo R generita fare de aro de rilatoj sur la generatoroj, tiel ke G ≅ F / R, tiam la kovrogrupo mem povas esti donacita laŭ F sed pli malgranda normala subgrupo S, C ≅ F / S.
Ĉar la rilatoj de G precizigas elementojn de K kiam konsiderite parton de C, oni havendaĵo S
#000015
Fakte se G estas perfekta, tio estas ĉio de tio estas bezonita:
Pro tiu simpleco, ekspozicioj kiel ekzemple ( Askbaker 2000, §33) tenilo la perfekta kazo unue.
La ĝenerala kazo por la Schur-multiplikato estas simila sed certigas ke la etendaĵo estas tigo etendaĵo per limigado al la derivita subgrupo de F: M ( G
Tiuj estas ĉiuj iomete pli postaj rezultoj de Schur, kiu ankaŭ donis kelkajn utilajn kriteriojn por kalkulado de ili pli eksplicite.
#000016
De kombina grupa teorio, grupo ofte originas de prezento.
Unu grava temo en tiu areo de matematiko devas studi prezentojn kun tiel malmultaj rilatoj kiel eble, kiel ekzemple unu relatorgrupoj kiel Baumslag-Solitar-grupoj.
Tiuj grupoj estas senfinaj grupoj per du generatoroj kaj unu rilato, kaj malnova rezulto de Schreier montras tion en iu prezento per pli da generatoroj ol rilatoj, la rezulta grupo estas senfina.
La limokazo estas tiel tre interesa: finiaj grupoj kun la sama nombro da generatoroj kiel rilatoj laŭdire havas mankon nul.
Ke grupo havus mankon nul, la grupon havendaĵo sensignifan Schur-multiplikaton ĉar la mimimumnombro de generatoroj de la Schur-multiplikato ĉiam estas malpli ol aŭ egala al la diferenco inter la nombro da rilatoj kaj la nombro da generatoroj, kio estas la negativa manko.
Efika grupo estas unu kie la Schur-multiplikato postulas tiun nombron de generatoroj.
#000017
Sufiĉe lastatempa temo de esplorado estas trovi efikajn prezentojn por ĉiuj finhavaj simplanimaj grupoj kun sensignifaj Schur-multiplikatoj.
Tiaj prezentoj estas en iom da signifo interesaj ĉar ili estas kutime mallongaj, sed ili estas malfacile troveblaj kaj labori kun ĉar ili estas mis-taŭgaj ĝis normaj metodoj kiel ekzemple kun-gruplistigo.
#000018
En topologio, grupoj ofte povas esti priskribitaj kiel finhave prezentitaj grupoj kaj fundamenta demando devas kalkuli ilian integritan homologion Hn ( G, Z).
Aparte, la dua homologio ludas specialan rolon kaj tio igis Hopf trovi efikan metodon por kalkulado de ĝi.
La metodo ( Hopf 1942) enestas ankaŭ konata kiel la integrita homologioformulo de Hopf kaj estas identa al la formulo de Schur por la Schur-multiplikato de finhava grupo:
#000019
kie G ≅ F / R kaj F estas libera grupo.
La sama formulo ankaŭ tenas kiam G estas perfekta grupo.
#000020
La rekono kiuj tiuj formuloj estis la sama kaŭzis Eilenberg kaj Mac Lane la kreadon de kohomologio de grupoj.
#000021
kie la stelo indikas la algebran duoblan grupon.
Krome kiam G estas finhava, ekzistas nenatura izomorfio
#000022
La Hopf-formulo por H 2 ( G) estis ĝeneraligita al pli alta grandeco.
Por unu aliro kaj referencoj vidas la paperon de Everaert, Gran kaj Van der Lindenon listigitan malsupre.
#000023
Perfekta grupo estas unu kies unua integrita homologio malaperas.
Superperfekta grupo estas unu kies unuaj du integritaj homologiogrupoj malaperas.
La Schur-kovroj de finhavaj perfektaj grupoj estas superperfektaj.
Acikla grupo estas grupo ĉio el kies reduktita integrita homologio malaperas.
#000024
La dua algebra K-grupa K2 ( R) de komuta ringo R povas esti identigita kun la dua homologiogrupo H 2 ( E ( R), Z) de la grupo E ( R) de (senfinaj) elementaj matricoj kun kontribuoj en R.
#000025
La referencoj de Clair Miller donas alian vidon de la Schur Multiplikato kiel la kerno de morfismo κ: G ∧ G → G induktita per la kolektormapo.
#000026