La natura logaritmo de nombro estas sia logaritmo al la fundamento de la matematika konstanto
e , kie e estas neracia kaj transcenda nombro ĉirkaŭ egala al 7000271828182845899♠ 2.
La natura logaritmo de x estas ĝenerale skribita kiel ln x , registradas e x , aŭ foje, ĉu la baze estas implica, simple registradas x .
Krampoj foje estas aldonitaj por klareco, donante ln ( x), arbotrunko e ( x) aŭ tagalon ( x).
Tio estas farita aparte kiam la argumento al la logaritmo ne estas ununura simbolo, por malhelpi ambiguecon.
#000001
La natura logaritmo de x estas la potenco al kiu e devus esti levita por esti x.
La natura tagalo de e mem, ln ( e), estas 1, ĉar e 1 = e , dum la natura logaritmo de 1, ln (1), estas 0, ekde e 0 = 1.
#000002
La natura logaritmo povas esti difinita por iu pozitiva reala nombro kiel la areo sub la kurbo y = 1/ x de 1 ĝis (la areo estanta prenita kiel negativo kiam < 1).
La simpleco de tiu difino, kiu estas egalita en multaj aliaj formuloj implikantaj la naturan logaritmon, kondukas al la esprimo "natura".
La difino de la natura logaritmo povas esti etendita por doni al logaritmo valorojn por negativaj nombroj kaj por ĉiuj ne-nulaj kompleksaj nombroj, kvankam tio kaŭzas multi-aprezitfunkcion: vidu Kompleksan logaritmon.
#000003
La natura logaritmofunkcio, se konsiderite real-aprezitan funkcion de reala variablo, estas la inversa funkcio de la eksponenta funkcio, kondukante al la identecoj:
#000004
Kiel ĉiuj logaritmoj, la natura logaritmomapmultipliko en aldonon:
#000005
Tiel, la logaritmofunkcio estas grupizomorfio de pozitivaj realaj nombroj sub multipliko ĝis la grupo de realaj nombroj sub aldono, reprezentita kiel funkcio:
#000007
Logaritmoj povas esti difinitaj al iu pozitiva bazo krom 1, ne nur e.
Tamen, logaritmoj en aliaj bazoj devias nur de konstanta multiplikato de la natura logaritmo, kaj estas kutime difinitaj laŭ ĉi-lasta.
Ekzemple, la binara logaritmo estas la natura logaritmo dividita per ln (2), la natura logaritmo de 2.
Logaritmoj estas utilaj por solvado ekvacioj en kiuj la nekonataĵo prezentiĝas kiel la eksponento de iu alia kvanto.
Ekzemple, logaritmoj estas utiligitaj por solvi por la duoniĝotempo, kadukiĝkonstanto, aŭ nekonata tempo en eksponentatomdisfalaj problemoj.
Ili estas gravaj en multaj branĉoj de matematiko kaj la sciencoj kaj estas uzitaj en financo por solvi problemojn implikantajn kumulinterezon.
#000008
De Lindemann-Weierstras-teoremo, la natura logaritmo de iu pozitiva algebra nombro krom 1 estas transcenda nombro.
#000009
duoniĝotempoj eksponenta kresko kaj kadukiĝo
#000010
pruvo ke e estas neracia
#000011
Kun La koncepto de la natura logaritmo estis laborita fare de Gregoire de Saint-Vincent kaj Alphonse Antonio de Sarasa antaŭ 1649.
Ilia laboro implikis kvadraturon de la hiperbol ksy = 1 de persistemo de la areo de hiperbolaj sektoroj.
Ilia solvo generis la necesaĵo- "hiperbolan logaritmo-" funkcion havante trajtojn nun asociitaj kun la natura logaritmo.
#000013
Frua mencio de la natura logaritmo estis de Nicholas Mercator en lia laboro Logarithmotechnia publikigita en 1668, [3] kvankam la matematikinstruisto John Speidell jam havis en 1619 kompilanta tablon de kio fakte estis efike naturaj logaritmoj.
#000014
La notacio- " ln x " kaj " arbotrunko e x " ambaŭ rilatas malambigue al la natura logaritmo de x.
" registradu ke x " sen eksplicita bazo povas ankaŭ rilati al la natura logaritmo.
Tiu uzokutimo estas ofta en matematiko kaj kelkaj sciencaj kuntekstoj same kiel en multaj programlingvoj.
[nb 1] En iuj aliaj kuntekstoj, aliflanke, " registradu ke x " povas esti uzita por indiki la komunan (bazo 10) logaritmon.
#000015
Historie, la notacioj " l " kaj " l " estis en uzo almenaŭ ekde la 1730-aj jaroj, [5] [6] kaj ĝis minimume la 1840-aj jaroj, [7] tiam "tagalo."
aŭ "registradu", [9] minimume ekde la 1790-aj jaroj.
Finfine, en la dudeka jarcento, la notacio- "Registro" [10] kaj "lago" [11] estas atestitaj.
#000016
Origino de la terminonatura logaritmo
#000017
Ekzistas kelkaj bazaj karakterizaĵoj kiujn logaritmoj al iu bazo havas komune.
Ĉefo inter ili estas ke la logaritmo de la numero unu estas nul.
#000018
Kio igas naturajn logaritmojn unikaj troveblas ĉe la ununura punkto kie ĉiuj logaritmoj estas nul, nome la logaritmon de la numero unu.
Ĉe tiu specifa punkto la "deklivo" de la kurbo de la grafeo de la natura logaritmo estas ankaŭ ĝuste oni.
Logaritmoj al pli alte malnobla ol e, kiel ekzemple tiuj al la malnoblaj 10, ekspozicias deklivon ĉe tiu punkto malpli ol unu, dum logaritmoj al pli malalta malnobla ol e, kiel ekzemple tiuj al la malnoblaj 2, ekspozicias deklivon ĉe tiu punkto pli bonega ol unu.
Dum la metodoj por komputado de la "valoro" de e fascinas de diversaj matematikaj perspektivoj, ili ĉiuj povas esti opiniitaj de kiel rezultiĝante el la postkuro de tiu kondiĉo.
#000019
Alia maniero konceptigi tio devas ekkompreni ke, por iu numera valoro proksima al la nombro unu, la natura logaritmo povas esti komputita subtrahante la nombron unu de la numera valoro.
Ekzemple, la natura logaritmo de 1.01 estas 0.01 al precizeco pli bone ol 5 partoj per mil.
Kun simila precizeco oni povas aserti ke la natura logaritmo de 0.99 estas negativa 0.01.
La precizeco de tiu koncepto pliiĝas kiel unu aliras la numeron unu daŭre pli proksime, kaj atingas tutecon de precizeco ĝuste tie.
Laŭ la sama mezuro kiu la numero unu mem estas numero komunpaŝtejo al ĉiuj sistemoj de nombrado, tiel ke ankaŭ la natura logaritmo estas sendependa de ĉiuj sistemoj de nombrado.
En la angla lingvo la esprimo adoptita por enkapsuligi tiun koncepton estas la vorto "natura".
#000020
Komence, ĝi eble ŝajnos ke ĉar la komuna numera sistemo estas malnobla 10, tio malnobla estus pli "natura" ol baze.
Sed matematike, la numero 10 ne estas precipe signifa.
Ĝia uzo kulture - kiel la bazo por la numeraj sistemoj de multaj socioj - verŝajne ekestiĝas de la tipa numero de homoj de fingroj.
Aliaj kulturoj surbaze siajn nombrajn sistemojn de tiaj elektoj kiel 5, 8, 12, 20, kaj 60.
#000021
tagalo e estas "natura" tagalo ĉar de ĝi aŭtomate originas, kaj tiel ofte en ekaperas, matematiko.
Ekzemple, pripensas la problemon de diferencigado de logaritma funkcio: [16]
#000022
Se la baz b korespondas al e, tiam la derivaĵo estas simple 1/ x, kaj ĉe x = 1 tiu derivaĵo korespondas al 1-a Alia signifo en kiu la bazo-e-logaritmo estas la plej natura estas ke ĝi povas esti difinita sufiĉe facile laŭ simpla integralo aŭ serio de Taylor kaj tio ne estas vera de aliaj logaritmoj.
#000023
Pliaj opinioj de tiu natureco giveas neniun uzon de kalkiĝo.
Ekzemple, ekzistas kelkaj simplaj serioj implikantaj la naturan logaritmon.
Pietro Mengoli kaj Nicholas Mercator nomis ĝin logarithmus-naturalis kelkajn jardekojn antaŭ Neŭtono kaj Leibniz evoluigis kalkiĝon.
#000024
Formale, ln () povas esti difinita kiel la areo sub la hiperbolo 1/ x.
#000025
Tiu funkcio estas logaritmo ĉar ĝi kontentigas la fundamentan posedaĵon de logaritmo:
#000026
Tio povas esti montrita disfendante la integralon kiu difinas ln ( ab) en du partojn kaj tiam farado de la varia anstataŭigo x = Ta en la dua parto, jene:
#000027
La nombro da e estas difinita kiel la unika reala nombro tia ke ln () = 1.
#000029
Alternative, se la eksponenta funkcio estis difinita unue, diru uzante senfinan serion, la natura logaritmo povas esti difinita kiel sia inversa funkcio, t.e., ln estas tiu funkcio tia ke eksp (ln ( x
Ekde la intervalo de la eksponenta funkcio en realaj argumentoj estas ĉiuj pozitivaj realaj nombroj kaj ĉar la eksponenta funkcio estas strikte kreskanta, tio estas klare difinita por ĉio pozitiva x.
#000030
Tial, ni volas montri tion
(\alpha x) (Notu ke ni ankoraŭ ne pruvis ke tiu deklaro estas vera.
#000031
Tial, ni volas montri tion
#000032
(\alpha x) (Notu ke ni ankoraŭ ne pruvis ke tiu deklaro estas vera.
#000033
La derivaĵo de la natura logaritmo ricevas per
#000034
Pruvo 1 de la unua parto de la infinitezimalteoremo:
#000035
Tio kondukas al la serio de Taylor por ln (1 + x) proksimume 0;
ankaŭ konate kiel la Mercator serio
#000036
Nuntempe, pli formale, oni povas pruvi ke la harmonia serio stumpigita je N estas proksima al la logaritmo de N, kiam N estas granda.
#000037
Ĉe dekstra estas bildo de ln (1 + x) kaj kelkaj el ĝiaj Taylor-polinomoj ĉirkaŭ 0-a Tiuj aproksimadoj konverĝas al la funkcio nur al la regiono −1< x ≤ 1;
ekstere de tiu regiono la higher-gradaj Taylor-polinomoj estas pli malbonaj aproksimadoj por la funkcio.
#000038
Anstataŭigante x − 1 per x, ni akiras alternativoformularon por ln (x) mem, nome
#000039
Ĝi ankaŭ povas esti skribita kiel:
#000040
Uzante la Euler transformas sur la Mercator serio, oni akiras la sekvantan, kiu estas valida por iu x kun absoluta valoro pli granda ol 1:
#000041
La natura logaritmo en integriĝo
#000042
Jen estas ekzemplo koncerne g ( x) = sunbruno ( x):
#000044
Lasanta f ( x) = cos ( x):
#000045
kie C estas arbitra konstanto de integriĝo.
#000046
La natura logaritmo povas esti integrita uzante integriĝon de partoj:
#000047
Por kalkuli la nombrvaloron de la natura logaritmo de nombro, la serio de Taylor-vastiĝo povas esti rewriten kiel:
#000048
Por akiri pli bonan rapidecon de konverĝo, la sekva identeco povas esti uzita.
#000049
Por ln ( x) kie x > 1, la pli proksima la valoro de x estas al 1, la pli rapidaj la indico de konverĝo.
La identecoj asociitaj kun la logaritmo povas esti plibonigitaj por ekspluati tion:
#000050
Tiaj teknikoj estis uzitaj antaŭ kalkuliloj, per rilatado al nombraj tabloj kaj elfarado de manipuladoj kiel ekzemple tiuj supre.
#000051
La natura logaritmo de 10, kiu havas la decimalan vastiĝon 2.30258509 ...
, [21] ludas rolon ekzemple en la komputado de naturaj logaritmoj de nombroj reprezentitaj en scienca notacio, kiel mantiso multobligita fare de potenco de 10:
#000052
Por komputi la naturan logaritmon kun multaj ciferoj da precizeco, la serio de Taylor-aliro ne estas efika ĉar la konverĝo estas malrapida.
Se x estas proksime de 1, alternativo estas uzi la metodon de Neŭtono por inversigi la eksponentan funkcion, kies serio konverĝas pli rapide.
Por optimuma funkcio, la ripeto simpligas al
#000053
kiu havas kuban konverĝon al ln ( x).
#000054
Alia alternativo por ekstreme alta precizeckalkulo estas la formulo [22] [23]
#000055
kie M indikas la aritmetik-geometrian meznombron de 1 kaj 4/s, kaj
#000056
kun m elektita tiel ke p pecetoj da precizeco estas ekhavitaj.
(Por la plej multaj celoj, la valoro de 8 por m estas sufiĉa.
Fakte, se tiu metodo estas uzita, Neŭtono-inversio de la natura logaritmo povas inverse esti uzita por kalkuli la eksponentan funkcion efike.
(La konstantoln 2 kaj π povas esti antaŭ-komputita al la dezirata precizeco uzante plurajn konataj rapide konverĝantaj serioj.
#000057
Surbaze de propono de William Kahan kaj unue efektivigita en la Hewlett-Packard HP-41C kalkulilo en 1979, kelkaj kalkuliloj, komputilalgebraj sistemoj kaj programlingvoj (ekzemple C99 [24] ) disponigas specialan naturan logaritmon kaj plie 1 funkcias alternative nomita LN1+X, Ln (1-X), lnp1 (x), [25] [26] ln1p (x) aŭ log1p (x) [24] doni pli precizajn rezultojn por valoroj de x proksima al nul kompariblis al uzado de ln (ks+1) rekte.
Tiu funkcio estas efektivigita utiligante malsaman internan algoritmon por eviti mezan rezulton proksime de 1, tiel permesante al kaj la argumento kaj al la rezulto esti proksime de nul.
Similaj inversaj funkcioj nomis ekspm1 (x) , [24] ekspm (x) [25] [26] aŭ eksp1m (x) ekzistas ankaŭ.
#000058
La komputadokomplekseco de komputado de la natura logaritmo (uzanta la aritmetik-geometrian meznombron) estas O ( M ( n) ln n).
Ĉi tie n estas la nombro da ciferoj da precizeco ĉe kiu la natura logaritmo estas analizota kaj M ( n) estas la komputadokomplekseco de multobligado de du n-cifera nombroj.
#000059
Dum neniuj simplaj daŭraj frakcioj estas haveblaj, pluraj ĝeneraligitaj daŭraj frakcioj estas, inkluzive de:
#000060
Tiuj daŭraj frakcioj - precipe la lasta - konverĝas rapide por valoroj proksime al 1-a Tamen, la naturaj logaritmoj de multe pli grandaj nombroj povas facile esti komputitaj plurfoje aldonante tiujn de pli malgrandaj nombroj, kun simile rapida konverĝo.
#000061
Ekzemple, ekde 2 = 1.
253 × 1.024, la natura logaritmo de 2 povas esti komputita kiel:
#000062
0243, eĉ la natura logaritmo de 10 simile povas esti komputita kiel:
#000063
La eksponenta funkcio povas esti etendita al funkcio kiu donas kompleksan nombron kiel e x por iu arbitra kompleksa nombro x;
simple uzu la senfinan serion kun x komplekso.
Tiu eksponenta funkcio povas esti inversigita por formi kompleksan logaritmon kiu ekspozicias la plej multajn el la trajtoj de la ordinara logaritmo.
Ekzistas du malfacilaĵoj implikitaj: neniu x havas e x = 0;
kaj ĝi montriĝas tiun e 2π mi = 1 = e 0 .
Ekde la multiplika posedaĵo daŭre laboras por la kompleksa eksponenta funkcio, e z = e z + 2π ki , por ĉiu kompleksa z kaj entjeroj k.
#000064
Tiel la logaritmo ne povas esti difinita por la tuta kompleksa ebeno, kaj eĉ tiam ĝi estas multi-aprezit - ĉiu kompleksoologaritmo povas esti ŝanĝita en "ekvivalentan" logaritmon aldonante ajnan entjermultoblon de 2π mi ĉe volo.
La kompleksa logaritmo povas nur esti unu-aprezita sur la tranĉaviadilo.
kaj kvankam mi 4 = 1, 4 tagalo ( mi) povas esti difinita kiel 2π mi, aŭ 10π mi aŭ − 6π mi,.
#000065
Rakontofadenoj de la natura logaritmo funkcias sur la kompleksa ebeno ( ĉefbranĉo)
z = ventromuskoloj (Im (ln ( x + ii)
z = ventromuskoloj (ln ( x + ii)
Supermeto de la antaŭaj tri grafeoj
#000066
z = ventromuskoloj (Im (ln ( x + ii)
#000067
z = ventromuskoloj (ln ( x + ii)
#000068
Supermeto de la antaŭaj tri grafeoj
#000069
Aproksimante naturajn eksponentojn (tagalo bazigas e)
John Napier - eltrovinto de logaritmoj
Nicholas Mercator - unue uzi la esprimon naturan logaritmon
#000070