En ringa teorio, branĉo de abstrakta algebro, komuta ringo estas ringo en kiu la multiplikoperacio estas kommutativa.
La studo de komutaj ringoj estas nomita komuta algebro.
Komplemente, nonkomutative-algebro estas la studo de nonkomutative-ringoj kie multipliko ne estas aŭ ne estas postulataj por esti kommutativa.
#000001
Ringo estas aro R provizita per du operacioj, t.e. operacioj kombinantaj iujn ajn du elementojn de la ringo al triono.
Ili estas nomitaj aldono kaj multipliko kaj ofte indikitaj per" + "kaj" ⋅";
Formi ringon tiujn du operaciojn devas kontentigi kelkajn trajtojn: la ringo devas esti abela grupo sub aldono same kiel monoida sub multipliko, kie multipliko distribuas super aldono;
La neŭtraj elementoj por aldono kaj multipliko estas indikitaj 0 kaj 1, respektive.
#000003
Se la multipliko estas kommutativa, t.e.
#000004
tiam la ringo R estas nomita kommutativa.
En la resto de tiu artikolo, ĉio ringoj ne estos kommutativaj, se eksplicite deklarite alie.
#000005
Grava ekzemplo, kaj en iom da signifo decida, estas la ringo de entjeroj Z kun la du operacioj de aldono kaj multipliko.
Ĉar la multipliko de entjeroj estas kommutativa operacio, tio estas komuta ringo.
Ĝi estas kutime indikita Z kiel mallongigo de la germana vorto Zahlen (nombroj).
#000006
Kampo estas komuta ringo kie ĉiu ne-nula elemento estas invertebla;
t.e., havas multiplikan inversan b tia ke ⋅ b = 1-a Tial, de difino, ĉiu kampo estas komuta ringo.
La raciaj, realo- kaj kompleksaj nombroj formas kampojn.
#000007
Se R estas antaŭfiksita komuta ringo, tiam la aro de ĉiuj polinomoj en la variablo Xa kies koeficientoj estas en R formas la polinomringon, indikis R [ X].
La sama tenas vera por pluraj variabloj.
#000008
Se V estas iu topologia spaco, ekzemple subaro de iu R da n , realo- aŭ kompleks-aprezitaj kontinuaj funkcioj sur V formas komutan ringon.
La sama estas vera por diferencieblaj aŭ holomorfaj funkcioj, kiam la du konceptoj estas difinitaj, kiel ekzemple ĉar V kompleksa dukto.
#000009
Kontraste al kampoj, kie ĉiu nonzerelemento estas multiplicative invertebla, la koncepto de dividebleco por ringoj estas pli riĉa.
Elemento de ringo R estas nomita unuo se ĝi posedas multiplikan inversan.
Alia speciala speco de elemento estas la nul dividantoj, t.e. ne-nula elemento tia ke tie ekzistas ne-nula elemento b de la ringo tia ke ab = 0.
Se R posedas neniujn nul dividantojn, ĝi estas nomita integrita domajno (aŭ domajno).
Elemento kontentigado n = 0 por iu pozitiva entjero n estas nomitaj nilpotent.
#000010
La lokalizo de ringo estas proceso en kiu kelkaj elementoj estas igitaj inverteblaj, t.e. inversoj estas aldonitaj al la ringo.
Konkrete, se S estas multiplicative fermita subaro de R (t.e. kiam ajn s, t ∈ S tiam tiel estas Skt.) tiam la lokalizo de R je S, aŭ ringo de frakcioj kun denominatoroj en S, kutime indikitan S −1 R konsistas el simboloj
#000011
submetita al certaj reguloj ke mimick la nuligfamiliarulo de raciaj nombroj.
Efektive, en tiu lingvo Q estas la lokalizo de Z ĉe ĉiuj nonzerentjeroj.
Tiu konstruo laboras por iu integrita domajno R anstataŭe de Z.
−1 R estas kampo, nomita la kvocientkampo de R.
#000012
Multaj el la sekvaj nocioj ankaŭ ekzistas por ne nepre komutaj ringoj, sed la difinoj kaj trajtoj estas kutime pli d komplikaj.
Ekzemple, ĉiuj idealoj en komuta ringo estas aŭtomate duflankaj, kiu simpligas la situacion konsiderinde.
#000013
Por ringo R, R - modulo M estas kio estas vektora spaco al kampo.
Tio estas, elementoj en modulo povas esti aldonitaj;
ili povas esti multobligitaj per elementoj de R kun la samaj aksiomoj kiel por vektora spaco.
La studo de moduloj estas signife pli engaĝita ol tiu el vektoraj spacoj en lineara algebro, ĉar pluraj feaŭture de vektoraj spacoj malsukcesas por moduloj ĝenerale: modulnet ne estu libera, t.e., de la formo
#000014
Eĉ por liberaj moduloj, la rango de libera modulo (t.e. la analogaĵo de la dimensio de vektoraj spacoj) eble ne estas klare difinita.
Finfine, submoduloj de finhave generitajn modulojn ne devas esti finhave generitaj (se R ne estas Noeteriana, vidas malsupre).
#000015
Idealoj de ringo R estas la submodules de R, t.e., la moduloj enhavis en R.
En pli da detalo, idealo I estas ne-malplena subaro de R tia ke por ĉiu r en R, mi kaj j en mi, kaj ri kaj mi + j estas en mi.
Por diversa aplikoj, kompreni la idealojn de ringo gravegas, sed ofte unu enspezo studante modulojn ĝenerale.
#000016
kaj R, la tuta ringo.
Tiuj du idealoj estas la nuraj ĝuste se R estas kampo.
Surbaze de iu subaro F
j ∈ J da R (kie J estas iom da indekso metis), la idealo generita je F estas la plej malgranda idealo kiu enhavas F.
Ekvivalente, ĝi ricevas per finhavaj linearaj kombinaĵoj
#000017
Se F konsistas el ununura elemento r, la idealo generita je F konsistas el la multobloj de r, t.e., la elementoj de la formo r por arbitraj elementoj s.
Tia idealo estas nomita ĉefidealo.
Se ĉiu idealo estas ĉefidealo, R estas nomita ĉefidealringo;
du gravaj kazoj estas Z kaj k [ X], la polinomringo super kampo k.
Tiuj du estas krome domajnoj, tiel ke ili estas nomitaj ĉefaj idealaj domajnoj.
#000018
Male al por ĝeneralaj ringoj, por ĉefa ideala domajno, la trajtoj de individuaj elementoj estas forte ligitaj al la trajtoj de la ringo kiel tutaĵo.
Ekzemple, ĉiu ĉefa ideala domajno R estas unika faktorigaddomajno (UFD) kiu signifas ke ĉiu elemento estas produkto de neredukteblaj elementoj, laŭ (supren al restrukturado de faktoroj) unika maniero.
Ĉi tie, elemento en domajno estas nomita nereduktebla se la nura maniero esprimi ĝi kiel produkto
#000019
estas de aŭ b aŭ c estanta unuo.
Ekzemplo, grava en kampa teorio, estas neredukteblaj polinomoj, t.e., neredukteblaj elementoj en k [ X], por kampo k.
La fakto ke Z estas UFD povas esti deklarita pli elemente per dirado ke ĉiu natura nombro povas esti unike malkonstruita kiel produkto de potencoj de primoj.
Ĝi ankaŭ estas konata kiel la bazteoremo de aritmetiko.
#000020
Elemento estas ĉefa elemento se kiam ajn dislimoj produktobc, dislimoj b aŭ c.
En domajno, esti ĉefa implicas ekzistanta nereduktebla.
La konversacio estas vera en unika faktorigaddomajno, sed falsa ĝenerale.
#000021
La difino de idealoj estas tia ke "disigi" mi "eksteren" donas alian ringon, la faktorringon R / mi: ĝi estas la aro de kun-grupoj de mi kune kun la operacioj
#000022
Ekzemple, la ringo Z / n Z (ankaŭ indikis Z n ), kie n estas entjero, estas la ringo de entjermodulo n.
Ĝi estas la bazo de modula aritmetiko.
#000023
Idealo estas bonorda se ĝi estas strikte pli malgranda ol la tuta ringo.
Idealo kiu ne estas strikte enhavita en iu bonorda idealo estas nomita maksimuma.Ideala m estas maksimuma se kaj nur se R / m estas kampo.Krom la nul ringo, ĉiu ringo (kun identeco) posedas almenaŭ unu maksimuman idealon;
tio sekvas el la lemo de Zorn.
#000024
Ringo estas nomita Noeteriana (en honoro de Emmy Noether, kiu evoluigis tiun koncepton) se ĉiu ascendanta ĉeno de idealoj
#000025
iĝas senmova, t.e. iĝas konstanta preter iom da indekso n.
Ekvivalente, ĉiu idealo estas generita per finhave multaj elementoj, aŭ, ankoraŭ ekvivalenta,submodules of finitely generated modules are finitely generated.
#000026
Esti Noetherian estas tre grava finiteckondiĉo, kaj la kondiĉo estas konservita sub multaj operacioj kiuj okazas ofte en geometrio.
Ekzemple, se R estas Noeteriana, tiam tiel estas la polinomringo R [ X 1, X 2
X n ] (de la bazteoremo de Hilbert), ajna lokalizo S −1 R, kaj ankaŭ ajna faktorringo R / mi.
#000027
Ĉiu ne-noetherian ringo R estas la unio de ĝiaj Noeterianaj subringoj.
Tiu fakto, konata kiel Noeteriana aproksimado, permesas etendi certajn teoremojn al ne-Noetherian ringoj.
#000028
Ringo estas nomita Artiniana (post Emil Artin), se ĉiu descenda ĉeno de idealoj
#000029
Malgraŭ la du kondiĉoj ekaperantaj simetriaj, Noeterianaj ringoj estas multe pli da generalo ol Artinianaj ringoj.
Ekzemple, Z estas Noeteriana, ĉar ĉiu idealo povas esti generita per unu elemento, sed ne estas Artiniana, kiel la ĉeno
#000030
La spektro de komuta ringo
#000032
Kiel estis menciita supre, Z estas unika faktorigaddomajno.
Tio ne estas vera por pli ĝeneralaj ringoj, ĉar algebristoj realigis en la 19-a jarcento.
#000033
ekzistas du vere apartaj manieroj de skribo 6 kiel produkto:
#000034
Ĉefidealoj, kontraste al ĉefaj elementoj, disponigas manieron eviti tiun problemon.
Ĉefidealo estas bonorda (t.e., strikte enhavita en R) idealo tia ke, kiam ajn la produktoab de iuj du ringelementoj a kaj b estas en p, almenaŭ unu el la du elementoj jam estas en p.
(La kontraŭa konkludo tenas por iu idealo, de difino).
Tiel, se ĉefidealo estas ĉefa, ĝi estas ekvivalente generita de primelemento.
Tio limigas la uzokutimon de ĉefaj elementoj en ringa teorio.
#000035
Ĉiu maksimuma idealo estas ĉefidealo aŭ, pli nelonge, estas ĉefa.
Krome, idealo I estas ĉefa se kaj nur se la faktorringo R / I estas integrita domajno.
Pruvi ke idealo estas ĉefa, aŭ ekvivalente ke ringo havas neniujn nul-dividantojn povas esti tre malfacila.
Ankoraŭ alia maniero esprimi la sama devas diri ke la komplemento da R '\' "\" p estas multiplicative fermita.
La lokalizo ( R '\' "\" p) −1 R estas sufiĉe gravaj por havi it propran notacion:
Tiu ringo havas nur unu maksimuman idealon, nome PR p .
Tiaj ringoj estas nomitaj lokaj.
#000036
La spectrum of a ring R, [nb 1] indikita fare de Spec R, estas la aro de ĉiuj ĉefidealoj de R.
Ĝi estas provizita per topologio, la Zariski-topologio, per kiu reflektas la algebrajn trajtojn de R: bazo de malfermaj subaroj ricevas
#000037
, kie f estas ajna ringelemento.
#000038
Interpretanta f kiel funkcio kiu prenas la valoron f modeman adoleskanton p (t.e., la bildo de f en la restaĵkampo R / p), tiu subaro estas la lokuso kie f estas ne-nula.
La spektro ankaŭ igas precizan la intuicion tiu lokalizo kaj faktorringoj estas komplementaj: la naturaj mapoj R → R da f kaj R → R / Fr korespondas, post dotado de la spektroj de la ringoj koncernitaj kun ilia Zariski-topologio, al komplementaj senkaŝaj kaj fermitaj mergadoj respektive.
Eĉ por bazaj ringoj, kiel ekzemple ilustrita por R = da Z ĉe la dekstro, la Zariski-topologio estas tre diferenca de tiu sur la aktoraro de realaj nombroj.
#000039
La spektro enhavas la aron de maksimumaj idealoj, kio estas foje indikita mSpec ( R).
Por algebre fermita kampo k, mSpec (k [ T 1
f m ) estas en ensurĵeto kun la aro
#000040
Tiel, maksimumaj idealoj reflektas la geometriajn trajtojn de Solvaĵaj aroj de polinomoj, kio estas komenca instigo por la studo de komutaj ringoj.
Tamen, la konsidero de ne-maksimumaj idealoj kiel parto de la geometriaj trajtoj de ringo estas utila pro pluraj kialoj.
Ekzemple, la minimumaj ĉefidealoj (t.e., tiuj ne strikte enhavantaj pli malgrandajn) egalrilatas al la neredukteblaj komponentoj de Spec R.
Por Noetherian-ringo R, Spec R havas nur finhave multajn neredukteblajn komponentojn.
Tio estas geometria revortigo de primara putriĝo, laŭ kiu ĉiu idealo povas esti malkonstruita kiel produkto de finhave multaj ĉefidealoj.
Tiu fakto estas la finfina ĝeneraligo de la putriĝo en ĉefidealojn en Dedekind-boksejoj.
#000041
La nocio de spektro estas la komuna bazo de komuta algebro kaj algebra geometrio.
La datumo de la spaco kaj la fasko estas nomita afina skemo.
Krome, tiom unu-al-unu korespondado inter ringoj kaj afinaj kabaloj ankaŭ estas kongrua kun ringohomomorfismoj: ajna f:
R → S kaŭzas kontinuan mapon en la kontraŭa direkto
#000042
La rezulta ekvivalenteco de la du menciitaj kategorioj trafe reflektas algebrajn trajtojn de ringoj en geometria maniero.
#000044
Similaj al la fakto ke duktoj estas loke donitaj per malfermaj subaroj de R da n , afinaj kabaloj estas lokaj modeloj por kabaloj, kiuj estas la studobjekto en algebra geometrio.
Tial, pluraj nocioj koncerne komutajn ringojn devenas de geometria intuicio.
#000045
La Krull-dimensio (aŭ dimensio) malklara R da ringo R mezuras la "grandecon" de ringo malglate parolante, nombrante sendependajn elementojn en R.
La dimensio de algebroj super kampo k povas esti aksiomigita per kvar trajtoj:
#000046
La dimensio estas loka posedaĵo: malklara R = sup∊ Spec R malklara R p
La dimensio estas sendependa de nilpotentelementoj: se mi ⊆ R estas nilpotent tiam malklara R = malklara R / mi.
La dimensio restas konstanta sub finhava etendaĵo: se S estas R-algebro kiu estas finhave generita kiel R-modulo, tiam malklara S = malklara R.
La dimensio estas laŭnormigita per malklara k [ X 1
Tiu aksiomo estas instigita rigardante la polinomringon en n variabloj kiel algebran analogon de n-dimensia spaco.
#000047
La dimensio estas difinita, por iu ringo R, kiel la Preciza supra rando de longoj n de katenoj de ĉefidealoj
#000048
Ekzemple, kampo estas nul-dimensia, ĉar la nura ĉefidealo estas la nul idealo.
La entjeroj estas unu-dimensiaj, ĉar katenoj estas de la formo (0) ⊊ ( p), kie p estas primo.
Por ne-Noetherian ringoj, kaj ankaŭ nelokaj ringoj, la dimensio povas esti senfina, sed Noeterianaj lokaj ringoj havas finhavan dimension.
Inter la kvar aksiomoj supraj, la unuaj du estas elementaj sekvoj de la difino, dum la restanta du ĉarniro en gravaj faktoj en komuta algebro, la iro-supren teoremo kaj la ĉefa ideala teoremo de Krull.
#000049
Ringo homomorfism aŭ, pli ordinarlingve, simple mapo, estas mapo f:
#000050
Tiuj kondiĉoj certigas f (0) = 0-a simile kiel por aliaj algebraj strukturoj, ringo homomorfism estas tiel mapo kiu estas kongrua kun la strukturo de la algebraj objektoj koncernitaj.
En tia situacio S ankaŭ estas nomita R-algebro, per komprenado ke s en S povas esti multobligita de iom da r de R, per metado
#000051
La kerno kaj bildo de f estas difinitaj per ker ( f
kaj mi estas ( f
La kerno estas idealo de R, kaj la bildo estas subringo de S.
#000052
Ringo homomorfism estas nomita izomorfio se ĝi estas bijektive.
Ekzemplo de ringizomorfio, konata kiel la ĉina restteoremo, estas
#000053
p k estas produkto de pairŭise apartaj primoj.
#000054
Komutaj ringoj, kune kun ringohomomorfismoj, formas kategorion.
La ringo Z estas la komenca objekto en tiu kategorio, kio signifas ke por iu komuta ringo R, ekzistas unika ringo homomorfism Z → R.
Per tiu mapo, entjero n povas esti rigardita kiel elemento de R.
#000055
kiu estas valida por ĉiuj du elementoj a kaj b en iu komuta ringo R estas komprenitaj en tiu signifo interpretante la binomaj koeficientoj kiel elementoj de R utiliganta tiun mapon.
#000056
En kelkaj kazoj, la tensorprodukto povas helpi trovi T-algebro kiu rilatigas al Z kiam S rilatigas al R.
#000058
R-algebro S estas nomita finhave generita (kiel algebro) ĉu ekzistas finhave multaj elementoj s 1
s n tia ke ĉiu elemento de s estas esprimebla kiel polinomo en la s mi .
Ekvivalente, S estas izomorfa al
#000059
Multe pli forta kondiĉo estas tiu S estas finhave generita kiel R-modulo , kio signifas ke ĉiu s povas esti esprimita kiel R-linia kombinaĵo de iu finhava metita s 1
#000060
Ringo estas nomita loka ĉu ĝi havas nur ununuran maksimuman idealon, indikitan je m.
Por iu (ne nepre loka) ringo R, la lokalizo
#000061
ĉe ĉefa ideala p estas loka.
Tiu lokalizo reflektas la geometriajn trajtojn de Spec R "ĉirkaŭ p ".
Pluraj nocioj kaj problemoj en komuta algebro povas esti reduktitaj al la kazo kiam R estas loka, produktante lokajn ringojn precipe profunde volita klaso de ringoj.
La restaĵkampo de R estas difinita kiel
#000062
Ĉiu R-modulo M donas k-vektora spacon donitan per M / Mm.
La lemo de Nakayama montras ke tiu trairejo konservas gravajn informojn: finhave generita modulo M estas nul se kaj nur se M / Mm estas nul.
#000063
La k-vektora spaceto m / m 2 estas algebra enkarniĝo de la kotanĝantospaco.
Neformale, la elementoj de m povas esti opiniitaj de kiel funkcioj kiuj malaperas ĉe la punkto p, dum m 2 enhavas tiujn kiuj malaperas kun ordo minimume 2-a Por iu Noeteriana loka ringo R, la malegaleco
#000064
malklara k m / m 2 ≥ malklara R
#000065
tenas veran, reflektante la ideon ke la kotanĝanto (aŭ ekvivalente la klavo) spaco minimume havas la dimension de la spaco Spec R.
Se egaleco tenas vera en tiu takso, R estas nomita regula loka ringo.
Noeteriana loka ringo estas regula se kaj nur se la ringo (kiu estas la ringo de funkcioj sur la klavkonuso)
#000066
estas izomorfa ĝis polinomringo super k.
Larĝe parolante, regulaj lokaj ringoj estas iom similaj al polinomringoj.
Regulaj lokaj ringoj estas UFD.
#000067
Diskretaj valortaksoorondoj estas provizitaj per funkcio kiuj asignas entjeron al iu elemento r.
Tiu nombro, nomita la valortakso de r povas esti neformale opiniita de kiel nulo aŭ polordo de r.
Diskretaj valortaksoorondoj estas ĝuste la unu-dimensiaj regulaj lokaj ringoj.
Ekzemple, la ringo de bakterioj de holomorfaj funkcioj sur Riemann-faco estas diskreta valortaksoorondo.
#000068
De la ĉefa ideala teoremo, de Krull baza rezulto en la dimensioteorio de ringoj, la dimensio de
#000069
estas almenaŭ r − n.
Ringo R estas nomita kompleta intersekciĝringo se ĝi povas esti prezentita en maniero kiel kiu ekhavas tiu minimuma ligis.
Tiu nocio ankaŭ estas plejparte volita por lokaj ringoj.
Ĉiu regula loka ringo estas kompleta intersekciĝringo, sed ne inverse.
#000070
Ringo R estas aro-teoria kompleta intersekciĝo se la reduktita ringo kunlaboris al R, t.e., tiu akirita disigante eksteren ĉiujn nilpotentelementojn, estas kompleta intersekciĝo.
Aktuale en 2017, ĝi estas en generalnekonataĵo, ĉu kurboj en tri-dimensia spaco estas aro-teoriaj kompletaj intersekciĝoj.
#000071
La profundo de loka ringo R estas la nombro da elementoj en kelkaj (aŭ, kiel povas esti montrita, ajna) maksimuma regula sekvenco, t.e., sekvenco 1
n ∈ m tia ke en ĉio mi estas ne-nulaj dividantoj
#000072
Por iu loka Noeteriana ringo, la malegaleco
#000073
profundo ( R) ≤ malklara ( R)
#000074
Loka ringo en kiu egaleco okazas estas nomita Cohen-Macaulay-ringo.
Lokaj kompletaj intersekciĝringoj, kaj fortiori, regulaj lokaj ringoj estas Cohen-Macaulay, sed ne inverse.
Cohen-Macaulay kombinas dezirindajn trajtojn de regulaj ringoj (kiel ekzemple la posedaĵo de esti universale ĉenlinioringoj, kio signifas ke la (Co) dimensio de primoj estas bonkonduta), sed estas ankaŭ pli fortikaj sub prenado de kvocientoj ol regulaj lokaj ringoj.
#000075
Ekzistas pluraj manieroj konstrui novajn ringojn el antaŭfiksitaj.
La celo de tiaj konstruoj ofte estas plibonigi certajn trajtojn de la ringo igi ĝin pli volonte komprenebla.
Ekzemple, integrita domajno kiu estas integrite fermita en sia regiono de frakcioj estas nomita normala.
Tio estas dezirinda posedaĵo, ekzemple ajna normala unu-dimensia ringo estas nepre regula.
Igi [ klarigon bezonis ] ringonormalon estas konata kiel normaligo.
#000076
Kompletaj lokaj ringoj kontentigas la lemon de Hensel, kio malglate parolante permesas etendi solvojn (de diversaj problemoj) super la restaĵkampo k al R.
#000078
Pluraj pli profundaj aspektoj de komutaj ringoj estis studitaj uzante metodojn de homologia algebro.
Hokster (2007) listigas kelkajn malfermajn demandojn en tiu areo de aktiva esplorado.
#000079
Projekciaj moduloj povas esti difinitaj por esti la rekta sumands de liberaj moduloj.
Se R estas loka, ĉiu finhave generita projekcia modulo estas fakte libera, kiu donas kontenta al analogeco inter projekciaj moduloj kaj vektorfaskoj.
La Quillen-Suslin teoremo asertas tiel ajnan finhave generitan projekcian modulon super k [ T 1
Loka Noeteriana ringo estas regula se kaj nur se ĝia tutmonda dimensio estas finhava, diras n, kio signifas ke ĉiu finhave generita R-modulo havas rezolucion proksime de projekciaj moduloj de longo maksimume n.
#000080
La pruvo de tio kaj aliaj rilataj deklaroj dependas de la uzokutimo de homologiaj metodoj, kiel ekzemple la EXT-funktoro.
Tiu funktoro estas la derivita funktoro de la funktoro
#000081
Ĉi-lasta funktoro estas preciza se M estas projekcia, sed ne alie: por surjektive-mapo E → F da R-modulo, mapo M → F ne devas etendiĝi al mapo M → E.
La pli altaj EXT-funktoroj mezuras la ne-precizecon de la Hom-funktoro.
La graveco de tiu normkonstruo en homologiaj algebrotigoj povas esti vidita de la fakto ke loka Noeteriana ringo R kun restaĵkampo k estas regula se kaj nur se
#000082
malaperas por ĉiu sufiĉe granda n.
Krome, la grandeco de tiuj ext-grupoj, konataj kiel Betti-nombroj, kreskas polinomial en n se kaj nur se R estas loka kompleta intersekciĝ ringo.
Esenca argumento en tiaj konsideroj estas la Koszul-komplekso, kiu disponigas eksplicitan liberan rezolucion de la restaĵkampo k de loka ringo R laŭ regula sekvenco.
#000083
La tensorprodukto estas alia ne-preciza funktoro signifa en la kunteksto de komutaj ringoj: por generalo R-module M, la funktoro
#000084
Se ĝi estas preciza, M estas nomita plata.
Malgraŭ estado difinita laŭ homologia algebro, plateco havas profundajn geometriajn implicojn.
Ekzemple, se R-algebro S estas plata, la grandeco de la fibroj
#000085
(por ĉefidealoj p en R) havas la "atendatan" dimension, nome malklara S − malklara R + malklara ( R / p).
#000086
De la teoremo de Wedderburn, ĉiu finhava dividadrondo estas kommutativa, kaj tial finhava kampo.
Alia kondiĉo certiganta komutecon de ringo, pro Jacobson, estas la sekvanta: por ĉiu elemento r de R tie ekzistas entjero n > 1 tia ke r n = r .
Se, r 2 = r por ĉiu r, la ringo estas nomita Bulea ringo.
Pli ĝeneralaj statoj kiuj garantias komutecon de ringo ankaŭ estas konataj.
#000087
Se la R da I estas ligita per diferencial∂ tia ke abstrakta formo de la derivaĵo de produto tenas, t.e.,
#000089
R estas nomita kommutativa diferenciga gradigita algebro (cdga).
Ekzemplo estas la komplekso de diferencigaj formoj sur dukto, kun la multipliko donita per la ekstera produkto, estas cdga.
La kohomologio de cdga estas gradigit-kommutativa ringo, foje referita kiel la kohomologioringo.
Larĝaj intervalekzemploj de gradigitaj ringoj ekestas laŭ tiu maniero.
Ekzemple, la Lazard-ringo estas la ringo de kobordismoklasoj de kompleksaj duktoj.
#000090
Gradigit-kommutativa ringo kun respekto al ordigo de Z /2 (kontraste al Z) estas nomita superalgebro.
#000091
Rilata nocio estas preskaŭ komuta ringo, kio signifas ke R estas filtrita en tia maniero kiu la rilata gradigita ringo
#000092
Ekzemplo estas la Weyl-algebro kaj pli ĝeneralaj ringoj de diferencialaj operatoroj.
#000093
Simplicial komuta ringo estas simplicial objekto en la kategorio da komutaj ringoj.
Ili estas konstrubriketoj por (konektiva) derivita algebra geometrio.
Proksime rilatita sed pli ĝenerala nocio estas tiu de E ∞ - ringo.
#000094
La ringo de matricoj ne estas kommutativa, ĉar matrica multipliko ne estas kommutativa.
Tamen, ĉiuj du matricoj A kaj B kiuj navedas povas esti samtempe diagonaligitaj, t.e., ekzistas invertebla matrico P tia ke kaj CICO −1 kaj PBP −1 estas diagonalaj matricoj.
Tiu fakto faras reprezentantarojn de kommutativaj Mensoggrupoj precipe pli simplanimaj kompreni ol ĝenerale.
#000095
Ekzemplo estas la doni de matricoj de dividitaj diferencoj kun respekto al fiksa aro de nodoj.
#000096
^ This notion can be related to the spectrum of a linearoperatoro, see Spectrum of a C ÷ algebra and Gelfand representation .
#000098
En ringa teorio, branĉo de abstrakta algebro, komuta ringo estas ringo en kiu la multiplika operacio obeas la komutan leĝon. Ĉi tiu signifas ke se a kaj b estas iuj eroj de la ringo, tiam a×b=b×a.
#000101
Studo de komutaj ringoj estas nomata kiel komuta algebro.
#000102
La plej grava ekzemplo estas la ringo de entjeroj kun la du operacioj, adicio kaj multipliko. Ordinara multipliko de entjeroj estas komuta. Ĉi tiu ringo estas kutime signifita kiel Z de la germana vorto Zahlen (nombroj).
La racionalaj nombroj, reelaj nombroj kaj kompleksaj nombroj formas komutajn ringojn; fakte, ili estas eĉ kampoj.
Pli ĝenerale, ĉiu kampo estas komuta ringo, do la klaso de kampoj estas subklaso de la klaso de komutaj ringoj.
La plej facila ekzemplo de ne-komuta ringo estas la aro de ĉiu kvadrataj 2*2 matricoj kies elementoj estas reelaj nombroj. La matrica multipliko
#000104
estas ne egala al la multipliko en la kontraŭa ordo:
#000105