En matematiko, afina spaco estas geometria strukturo kiu ĝeneraligas certajn trajtojn de paralellinioj en eŭklida spaco.
En afina spaco, ekzistas neniu eminenta punkto kiu funkcias kiel origino.
Tial, neniu vektoro havas fiksan originon kaj neniu vektoro povas esti unike asociita al punkto.
En afina spaco, ekzistas anstataŭe delokiĝvektoroj inter du punktoj de la spaco.
Tiel sonas racie por subtrahi du poentojn de la spaco, donante vektoron, sed ne sonas racie por aldoni du poentojn de la spaco.
Same, sonas racie por aldoni vektoron al punkto de afina spaco, rezultigante novan punkton delokigitan de la deirpunkto per tiu vektoro.
#000001
La plej simpla ekzemplo de afina spaco estas linia subspaco de vektora spaco kiu estis tradukita for de la origino.
En finhava grandeco, tia afina subspaco egalrilatas al la Solvaĵa aro de enhomogena linia sistemo.
La delokiĝvektoroj por tiu afina spaco vivas en la Solvaĵa aro de la ekvivalenta homogena linia sistemo, kio estas linia subspaco.
Liniaj subspacoj, en kontrasto, ĉiam enhavas la originon de la vektora spaco.
#000002
Subtraho kaj la aksiomoj de Weyl
#000004
La sekva karakterizado povas esti pli facila por kompreni ol la kutima formala difino: afina spaco estas kio estas maldekstre de vektora spaco post kiam vi forgesis kiu punkto estas la origino (aŭ, en la vortoj de la franca matematikisto Marcel Berger, "afina spaco estas nenio pli ol vektora spaco ĉion pri kies originon ni provas forgesi, de aldonado de tradukoj al la linearaj bildigoj" [1] ).
Imagu ke Alice scias ke certa punkto estas la fakta origino, sed Bob kredas ke alia punkto - nomu ĝin p - estas la origino.
Du vektoroj, a kaj b , estas aldonotaj.
Bob tiras sagon de punkto p ĝis punkto kaj alian sagon de punkto p ĝis punkto b , kaj kompletigas la paralelogramon por trovi kion Bob pensas estas + b , sed Alice scias ke li fakte komputis
#000005
Simile, Alice kaj Bob povas analizi ajnan linearan kombinaĵon de a kaj b , aŭ de iu finhava aro de vektoroj, kaj ĝenerale ricevas malsamajn respondojn.
Tamen, se la sumo de la koeficientoj en lineara kombinaĵo estas 1, tiam Alice kaj Bob alvenos ĉe la sama respondo.
#000006
Tiam, por ĉiu koeficientoj λ + (1 − λ) = 1, Alice kaj Bob priskribas la saman punkton kun la sama lineara kombinaĵo, komencante de malsamaj originoj.
#000008
Dum Alice konas la "linian strukturon", kaj Alice kaj Bob konas la "afinan strukturon" - t.e. la valoroj de afinaj kombinaĵoj, difinitaj kiel linearaj kombinaĵoj en kiuj la sumo de la koeficientoj estas 1-a subesta aro kun afina strukturo estas afina spaco.
#000009
Afina regiono [2] estas aro A kune kun vektora spaco V pli ol kampo F kaj transitiva kaj libera grupa ago de V (kun aldono de vektoroj kiel grupa ago) sur A.
(T.e., afina regiono estas ĉefa homogena regiono por la ago de V.
#000010
Eksplicite, afina spaco estas punktaro A kune kun mapo
#000011
(Ekde la grupo V estas abela, ekzistas neniu diferenco inter siaj maldekstraj kaj dekstraj agoj, tiel ke estas ankaŭ allaseble meti vektorojn dekstraflanke.
#000012
Elektante originon, o, oni povas tiel identigi A kun V, tial turni A en vektoran spacon.
Inverse, ĉiu vektora spaco, V, estas afina regiono super si mem.
#000013
La unikec posedaĵo certigas ke subtraho de iuj du elementoj de A estas bone difinita, produktante vektoron de V:
#000014
la unika vektoro estas en V tia ke.
#000015
Oni povas ekvivalente difini afinan spacon kiel punktaron A, kune kun vektora spaco V, kaj subtrahmapon
#000016
Tiuj du trajtoj estas nomitaj la aksiomoj de Weyl.
#000018
Por iu elekto de origino o, kaj du poentoj , b en A kaj skalar λ, ekzistas unika elemento de A, indikita pertia ke
#000019
Tiu elemento povas esti montrita esti sendependa de la elekto de origino o.
Anstataŭe de arbitraj linearaj kombinaĵoj, nur tiaj afinaj kombinaĵoj de punktoj havas signifi.
#000020
Kiam infanoj trovas la respondojn al sumoj kiel ekzemple 4 + 3 aŭ 4 − 2 nombrante dekstran aŭ maldekstre sur numero-linio, ili traktas la numero-linion kiel unu-dimensian afinan spacon.
Ĉiu kun-grupo de subspaco V de vektora spaco estas afina spaco super tiu subspaco.
Se T estas matrico kaj b kuŝas en sia kolumnospaco, la aro de solvoj de la ekvacio T x = b estas afina spaco super la subspaco de solvoj de T x = 0.
La solvoj de enhomogena linia diferenciala ekvacio formas afinan spacon super la solvoj de la ekvivalenta homogena lineara ekvacio.
Ĝeneraligante ĉion el ĉi-supra, se T:
V → W estas linia mapado kaj y kuŝas en ĝia bildo, la aro de solvoj x ∈ V al la ekvacio T x = y estas kun-grupo de la kerno de T, kaj estas tial afina regiono super Ker T .
#000021
Afina subspaco (foje nomita linia multnombra, linia diverseco, aŭ apartamento ) de vektora spaco V estas subaro fermiĝis sub afinaj kombinaĵoj de vektoroj en la spaco.
#000022
afina spaco estas, kiefamilio de vektoroj estas en V;
tiu spaco estas la afina interspaco de tiuj punktoj.
Vidi ke tio estas efektive afina regiono, observas ke tio metas kunportas transitivan agon de la vektorsubspaco W da V
#000023
Tiu afina subspaco povas esti ekvivalente priskribita kiel la kun-grupo de la W-ago
#000024
kie p estas ajna elemento de A, aŭ ekvivalente kiel iu ebena aro de la kvocientmapo V → V / W .
Elekto de p donas bazpunkton de A kaj identigon de W kun A, sed ekzistas neniu natura elekto, nek natura identigo de W kun A.
#000025
Lineartransformo estas funkcio kiu konservas ĉiujn linearajn kombinaĵojn;
afina transformo estas funkcio kiu konservas ĉiujn afinajn kombinaĵojn.
Linia subspaco estas afina subspaco enhavanta la originon, aŭ, ekvivalente, subspacon kiu estas fermita sub linearaj kombinaĵoj.
#000026
Ekzemple, en, la origino, linioj kaj aviadiloj tra la origino kaj la tuta spaco estas liniaj subspacoj, dum punktoj, linioj kaj aviadiloj ĝenerale same kiel la tuta spaco estas la afinaj subspacoj.
#000027
Afinaj kombinaĵoj kaj afina dependeco
#000028
Afina kombinaĵo estas lineara kombinaĵo en kiu la sumo de la koeficientoj estas 1-a Ekzakte kiam membroj de aro de vektoroj estas linie sendependaj se neniu estas lineara kombinaĵo de la aliaj, tiel ke ankaŭ ili estas afine sendependaj se neniu estas afina kombinaĵo de la aliaj.
La aro de linearaj kombinaĵoj de aro de vektoroj estas ilia "linia interspaco" kaj ĉiam estas linia subspaco;
la aro de ĉiuj afinaj kombinaĵoj estas ilia "afina interspaco" kaj ĉiam estas afina subspaco.
Ekzemple, la afina interspaco de aro de du poentoj estas la linio kiu enhavas ambaŭ;
la afina interspaco de aro de tri ne-samliniaj poentoj estas la aviadilo kiu enhavas ĉiujn tri.
#000029
estas linie dependaj se tie ekzistu Skalaroj 1, 2
n , ne ĉiuj nul, por kiu
#000030
Simile ili estas afine dependaj se krome la sumo de koeficientoj estas nul:
#000031
kondiĉo kiu certigas ke la kombinaĵo ( 1 ) igas senti kiel delokiĝvektoro.
#000032
Geometriaj objektoj kiel punktoj kaj vektoroj
#000033
En afina regiono, geometriaj objektoj havas du malsamajn (kvankam rilatajn) priskribojn sur lingvoj de punktoj (elementoj de A) kaj vektoroj (elementoj de V).
Vektorpriskribo povas precizigi objekton nur supren al tradukoj.
#000034
Afina spaco estas kutime studita kiel analitika geometrio uzanta koordinatojn, aŭ ekvivalente vektorajn spacojn.
Ĝi ankaŭ povas esti studita tiel sinteza geometrio de surpaperigado de aksiomoj, kvankam tiu aliro estas multe malpli ofta.
Ekzistas pluraj malsamaj sistemoj de aksiomoj por afina spaco.
#000035
Coxeter (1969, p. 192) aksiomatize afina geometrio (super la realoj) kiel ordigita geometrio kune kun afina formo de la teoremo de Desargues kaj aksiomo deklarante ke en aviadilo ekzistas maksimume unu linio tra antaŭfiksita punkto ne renkontan antaŭfiksitan linion.
#000036
Afinaj aviadiloj kontentigas la sekvajn aksiomojn ( Cameron 1991, ĉapitro 2): (en kiu du linioj estas nomitaj paralelaj ĉu ili estas egalaj aŭ dismetas):
#000037
Ĉiuj du apartaj poentoj situas sur unika linio.
Surbaze de punkto kaj linio ekzistas unika linio kiu enhavas la punkton kaj estas paralela al la linio
Tie ekzistu tri ne-samliniaj poentoj.
#000038
Same kiel afinaj aviadiloj super kampoj (aŭ dividadrondoj), ekzistas ankaŭ multaj ne-Desarguesian aviadiloj kontentigantaj tiujn aksiomojn.
( Cameron 1991, ĉapitro 3) donas aksiomojn por higher-dimensiaj afinaj spacoj.
#000039
Afinaj spacoj estas subspacoj de projekciaj spacoj: afina aviadilo povas esti akirita de iu projekcia aviadilo forigante linion kaj ĉiujn punktojn sur ĝi, kaj inverse ĉiu afina aviadilo povas esti uzitaj por konstrui projekcian aviadilon kiel fino aldonante linion ĉe senfineco kies punktoj egalrilatas al ekvivalentklasoj de paralellinioj.
#000040
Plu, transformoj de projekcia spaco kiuj konservas afinan spacon (ekvivalente, kiuj postlasas la hiperebenon ĉe senfineco
Invarianto kiel aro) rendimentotransformoj de afina spaco.
Inverse, ĉiu afina lineartransformo etendas unike al projekcia lineartransformo, tiel ke la afina grupo estas subgrupo de la projekcia grupo.
Ekzemple, transformo de Möbius (transformoj de la kompleksa projekcia linio, aŭ Riemann-sfero) estas afinaj (transformoj de la kompleksa ebeno) se kaj nur se ili fiksas la punkton ĉe senfineco.
#000041
Tamen, oni ne povas preni la projektivigon de afina spaco, tiel ke projekciaj spacoj ne estas nature kvocientoj de afinaj spacoj: oni povas nur preni la projektivigon de vektora spaco, ĉar la projekcia spaco estas linioj tra antaŭfiksita punkto, kaj ekzistas neniu eminenta punkto en afina spaco.
Se oni elektas bazpunkton (kiel nul), tiam afina spaco iĝas vektora spaco, kiun oni tiam povas projektivize, sed tio postulas elekton.
#000042