Ĝeneralaĵoj de la absoluta valoro por realaj nombroj okazas en multaj matematikaj kontekstoj.
Ekzemple, absoluta valoro ankaŭ estas difinita por la kompleksaj nombroj, la kvaropoj, ordigis ringojn, kampojn kaj vektorajn spacojn.
La absoluta valoro estas proksime rilatita al la nocioj de magnitudo, distanco, kaj normo en diversaj matematikaj kaj fizikaj kuntekstoj.
#000002
1 Pruvo de la neegalaĵo de triangulo por kompleksaj nombroj
#000004
Rilato kun la signuma funkcio
#000005
La vertikala drinkejnotacio ankaŭ prezentiĝas en kelkaj aliaj matematikaj kuntekstoj: ekzemple, se aplikite al aro, kutimas indiki ĝian kardinalecon;
se aplikite al matrico, kutimas indiki ĝian determinanton.
Tiel, zorgo devas esti elmontrita por interpreti vertikalajn brikojn kiel absolutvalora signo nur kiam la argumento estas algebra objekto por kiu la nocio de absoluta valoro estas difinita (ekz., elemento de normeita dividadalgebro kiel reala nombro, kompleksa nombro, kvaropo, ktp.).
#000007
Kiel povas esti vidita de ĉi-supra difino, la absoluta valoro de x ĉiam estas aŭ pozitiva aŭ nul, sed neniam negativo.
#000009
De analitikgeometria perspektivo, la absoluta valoro de reala nombro estas la distanco de tiu nombro de nul laŭ la realnombra linio, kaj pli ĝenerale la absoluta valoro de la diferenco de du realaj nombroj estas la distanco inter ili.
Efektive, la nocio de abstrakta distancfunkcio en matematiko povas esti observita estanta ĝeneralaĵo de la absoluta valoro de la diferenco (vidu " Distancon " malsupre).
#000010
Ĉar la kvadratradika notacio sen signo reprezentas la pozitivan kvadratan radikon, ĝi sekvas tion
#000011
por realaj valoroj de (ekvacio (1).
Tiu identeco foje estas utiligita kiel difino de absoluta valoro de realaj nombroj.
#000012
La absoluta valoro havas la sekvajn kvar fundamentajn trajtojn (, b estas realaj nombroj):
#000013
La neegalaĵo de triangulo, ekvivalenta al Subadicia funkcio
#000014
Kelkaj kromaj utilaj trajtoj ricevas malsupre.
Tiuj trajtoj estas aŭ implicitaj per aŭ ekvivalenta al la trajtoj donitaj per ekvacioj (2) - (5).
#000016
Idempotence (la absoluta valoro de la absoluta valoro estas la absoluta valoro)
Egaleco ( reflekta simetrio de la grafeo)
Identeco de indiscernible'oj (ekvivalentaj al pozitiva-certeco)
Neegalaĵo de triangulnombraj Example-normoj (ekvivalentaj al Subadicia funkcio)
Konservado de dividado (ekvivalenta al multiplicativeco)
Inversa neegalaĵo de triangulo (ekvivalenta al Subadicia funkcio)
#000017
Du aliaj utilaj trajtoj koncerne neegalaĵojn estas:
#000018
Tiuj rilatoj povas esti uzitaj por solvi neegalaĵojn implikantajn absolutajn valorojn.
#000019
Absoluta valoro kutimas difini la absolutan diferencon, la norman metrikon sur la realaj nombroj.
#000020
Ĉar la kompleksaj nombroj ne estas ordonitaj, la difino surbaze de supre por la reala absoluta valoro ne povas esti rekte ĝeneraligita por kompleksa nombro.
Tamen la geometria interpreto de la absoluta valoro de reala nombro kiel sia distanco de 0 povas esti ĝeneraligita.
La absoluta valoro de kompleksa nombro estas difinita kiel sia distanco en la kompleksa ebeno de la origino utiliganta la pitagorean teoremon.
Pli ĝenerale la absoluta valoro de la diferenco de du kompleksaj nombroj estas egala al la distanco inter tiuj du kompleksaj nombroj.
#000021
En la kunteksto de abstrakta algebro, ĉar la pozitivaj realaj nombroj formas subgrupon de la kompleksaj nombroj sub multipliko, ni povas pensi pri absoluta valoro kiel endomorfismo de la multiplika grupo de la kompleksaj nombroj.
#000022
y indiku la realajn kaj imaginarajn partojn de z, respektive.
Kiam la imaginara parto y estas nul tio koincidas kun la difino de la absoluta valoro de la reala nombro x.
#000024
Kiel kie kompleksa nombro z estas esprimita en polusa formo
#000025
kun r ≥ 0 kaj θ = atan2 (y, x) la fazo de z, ĝia absoluta valoro estas
#000026
La absoluta valoro de kompleksa nombro povas esti skribita en la kompleksoanalogo de ekvacio (1) supre kiel:
#000027
kie z estas la kompleksa konjugito de z.
Notu tion, ekvacio (1) ne estas, ĝenerale, vera por kompleksa z:
#000028
La kompleksa absoluta valoro dividas ĉiujn trajtojn de la reala absoluta valoro donita en ekvacioj (2) - (11) supre.
#000029
La post komputado tiam havigas la deziratan malegalecon:
#000030
La reala absolutvalora funkcio estas kontinua ĉie.
Ĝi estas diferenciebla ĉie krom x = 0-a Ĝi monotonical malpliiĝas sur la intervalo (−∞, 0] kaj monotonical pliiĝanta sur la intervalo [0, +∞).
Ekde reala nombro kaj ĝia kontraŭe havas la saman absolutan valoron, ĝi estas ebena funkcio, kaj estas tial ne invertebla.
La reala absolutvalora funkcio estas pecmaniero linia, konveksa funkcio.
#000031
Kaj la realaj kaj kompleksaj funkcioj estas idempotent.
#000032
La absolutvalora funkcio de reala nombro resendas it valoron sendependa de it signo, dum la signo (aŭ signum) funkcio resendas la signon de nombro sendependa de ĝia valoro.
La sekvaj ekvacioj montras al la rilato inter tiujn du funkciojn:
#000033
La reala absolutvalora funkcio havas derivaĵon por ĉiu x ≠ 0, sed ne estas diferenciebla ĉe x = 0.
Ĝia derivaĵo por x ≠ 0 ricevas per la paŝofunkcio: [13]
#000034
ĉe x = 0 estas la intervalo [−1,1].
#000035
La kompleksa absolutvalora funkcio estas kontinua ĉie sed kompleksa diferenciebla nenie ĉar ĝi malobservas la Cauchy-Riemann ekvaciojn.
#000036
La kontraŭderivita (senfina integralo) de la absolutvalora funkcio estas
#000038
kie C estas arbitra konstanto de integriĝo.
#000039
La absoluta valoro estas proksime rilatita al la ideo de distanco.
Kiel notite supre, la absoluta valoro de reala aŭ kompleksa nombro estas la distanco de tiu nombro ĝis la origino, laŭ la realnombra linio, por realaj nombroj, aŭ en la kompleksa ebeno, por kompleksaj nombroj, kaj pli ĝenerale, la absoluta valoro de la diferenco de du realaj aŭ kompleksaj nombroj estas la distanco inter ili.
#000040
La norma eŭklida distanco inter du punktoj
#000041
en Eŭklida n-spaco estas difinita kiel:
#000042
Ĉi-supraj spektakloj ke la "absoluta valoro" distanco por la realaj nombroj aŭ la kompleksaj nombroj, konsentas kun la norma eŭklida distanco ili heredas kiel rezulto de konsideri ilin kiel tiuj kaj dudimensiajn eŭklidajn spacojn respektive.
#000044
La trajtoj de la absoluta valoro de la diferenco de du realaj aŭ kompleksaj nombroj: ne-negativeca, identeco de indiscernible'oj, simetrio kaj la neegalaĵo de triangulo antaŭfiksita supran, povas esti observita instiganta la pli ĝeneralan nocion de distancfunkcio jene:
#000045
Reala aprezita funkcio d sur aktoraro X × X estas nomita metriko (aŭ distancfunkcio) sur X, se ĝi kontentigas la sekvajn kvar aksiomojn: [16]
#000046
kie − estas la aldonaĵo inversaj de , kaj 0 estas la aldonaĵo neŭtrelemento.
#000048
La fundamentaj trajtoj de la absoluta valoro por realaj nombroj donitaj en (2) - (5) supra, povas esti uzitaj por ĝeneraligi la nocion de absoluta valoro al arbitra kampo, jene.
#000049
Real-aprezita funkcio v pri kampo F estas nomita absoluta valoro (ankaŭ modulus, magnitudo, valoro, aŭ valortakso) [18] se ĝi kontentigas la sekvajn kvar aksiomojn:
#000050
Subadicia funkcio aŭ la neegalaĵo de triangulo
#000051
Kie 0 indikas la aldonan neŭtran elementon de F.
Ĝi sekvas el pozitiva-certeco kaj multiplicativeco tiun v ( 1) = 1, kie 1 indikas la multiplikan neŭtran elementon de F.
La realaj kaj kompleksaj absolutaj valoroj difinitaj supre estas ekzemploj de absolutaj valoroj por arbitra kampo.
#000052
Se v estas absoluta valoro sur F, tiam la funkcio d sur F × F , difinita per d (, b
v ( − b), estas metriko kaj la sekvantaroj estas ekvivalentaj:
#000053
Absoluta valoro kiu kontentigas ajnan (tial ĉio) de ĉi-supraj kondiĉoj laŭdire estas ne-Archimedean, alie kiun laŭdire estas Archimedean.
#000054
Denove la fundamentaj trajtoj de la absoluta valoro por realaj nombroj povas esti uzitaj, kun burĝonanta modifo, por ĝeneraligi la nocion al arbitra vektora spaco.
#000055
Real-aprezita funkcio sur vektora spaco V pli ol kampo F, reprezentita kiel ‖
‖ , estas nomita absoluta valoro, sed pli kutime normo , se ĝi kontentigas la sekvajn aksiomojn:
#000056
Por ĉio en F, kaj v , u en V,
#000057
Pozitiva homogeneco aŭ pozitiva skaleblo
Subadicia funkcio aŭ la neegalaĵo de triangulo
#000058
La normo de vektoro ankaŭ estas nomita sia longo aŭ magnitudo.
#000059
Kaze de eŭklida spaco R da n , la funkcio difinita per
#000060
ĉu normo estas nomita la Eŭklida normo.
Kiam la realaj nombroj R estas konsideritaj la unu-dimensian vektoran spacon R 1 , la absoluta valoro estas normo, kaj estas la p-normo (vidu Lp spacon) por iu p.
Fakte la absoluta valoro estas la "nura" normo sur R 1 , en la senco ke, por ĉiu norm ‖
La kompleksa absoluta valoro estas speciala kazo de la normo en interna produktospaco.
Ĝi estas identa al la Eŭklida normo, se la kompleksa ebeno estas identigita per la Eŭklida aviadilo R 2 .
#000061
Ĉiu kunmetaĵalgebro A havas involucion x → x ÷ vokis al sia konjugacio.
La produkto en A da elemento x kaj ĝia konjugato x ÷ estas skribita N ( x
x x ÷ kaj nomite la normo de x.
#000062
La realaj nombroj R, kompleksaj nombroj C, kaj kvaropoj H estas ĉiuj kunmetaĵalgebroj kun normoj donitaj per definitivaj kvadrataj formoj.
La absoluta valoro en tiuj dividadalgebroj ricevas per la kvadrata radiko de la kunmetaĵa algebronormo.
#000063
Ĝenerale la normo de kunmetaĵalgebro povas esti kvadrata formo kiu ne estas definitiva kaj havas nulvektorojn.
Tamen, kiel en la kazo de dividadalgebroj, kiam elemento x havas ne-nulan normon, tiam x havas multiplikan inversan fakton de x ÷/ N ( x).
#000064
Komputike, la matematika funkcio por fari ĉi tiun kalkulon estas nomata kiel abs().
#000069
La absoluta valoro de kompleksa nombro estas difinita kiel ĝia distanco al nulo en la kompleks-nombra ebeno. Se a kaj b estas la reela kaj imaginara partoj de iu kompleksa nombro, ĝia absoluta valoro estas .
#000070