La nocio de linio aŭ aerlinio estis lanĉita fare de maljunegaj matematikistoj por reprezenti rektajn objektojn (t.e., havante neniun kurbiĝon) kun nekonsiderinda larĝo kaj profundo.
Linioj estas idealigo de tiaj objektoj.
Ĝis la 17-a jarcento, linioj estis difinitaj tiumaniere: "La [rekta aŭ kurba] linio estas la unua specio de kvanto, kiu havas nur unu dimension, nome longon, sen iu larĝo nek profundo, kaj nenio alia ol la fluo aŭ kuro de la punkto [ ...
foriros de ĝia imaga movante iun spuron en longo, esceptita de iu larĝo.
La aerlinio estas ke kiu estas same plilongigita inter siaj punktoj."
#000001
Eŭklido priskribis linion kiel "breadtleslongon" kiu "kuŝas egale kun respekto al la punktoj sur si mem";
li lanĉis plurajn postulatojn kiel bazaj nepruveblaj trajtoj de kiuj li konstruis ĉion el geometrio, kiu nun estas nomita eŭklida geometrio por eviti konfuzon kun aliaj geometrioj kiuj estis lanĉitaj ekde la fino de la 19-a jarcento (kiel ekzemple ne-eŭklida, projekcia kaj afina geometrio).
#000002
En moderna matematiko, surbaze de la amaso da geometrioj, la koncepto de linio estas proksime ligita al la maniero kiel la geometrio estas priskribita.
Ekzemple, en analitika geometrio, linio en la aviadilo ofte estas difinita kiel la aro de punktoj kies koordinatoj kontentigas antaŭfiksitan linearan ekvacion, sed en pli abstrakta konteksto, kiel ekzemple incidencgeometrio, linio povas esti sendependa objekto, aparta de la aro de punktoj kiuj situas sur ĝi.
#000003
Kiam geometrio estas priskribita fare de aro de aksiomoj, la nocio de linio estas kutime lasita nedifinita (tielnomita primitiva objekto).
La trajtoj de linioj tiam estas determinitaj per la aksiomoj kiuj rilatas al ili.
Unu avantaĝo al tiu aliro estas la fleksebleco kiun ĝi donas al uzantoj de la geometrio.
Tiel en diferenciala geometrio linio povas esti interpretita kiel geodezia (plej mallonga pado inter punktoj), dum en kelkaj projekciaj geometrioj linio estas 2-dimensia vektora spaco (ĉiuj linearaj kombinaĵoj de du sendependaj vektoroj).
Tiu fleksebleco ankaŭ etendas preter matematiko kaj, ekzemple, permesilfizikistoj por pensi pri la pado de malpeza radio kiel esti linio.
#000004
Ĉiuj difinoj estas finfine cirklaj en naturo ĉar ili dependas de konceptoj kiuj devas sin havas difinojn, dependecon kiu ne povas esti daŭrigita senfine sen revenado al la deirpunkto.
Eviti tiun malican cirklon certajn konceptojn devas esti prenitaj kiel primitivaj konceptoj;
esprimoj al kiuj ricevas neniun difino.
En geometrio, estas ofte la kazo ke la koncepto de linio estas prenita kiel primitivulo.
En tiuj situacioj kie linio estas difinita koncepto, kiel en kunordigita geometrio, iuj aliaj fundamentaj ideoj estas prenitaj kiel primitivuloj.
Kiam la liniokoncepto estas primitivulo, la konduto kaj trajtoj de linioj estas diktitaj per la aksiomoj kiujn ili devas kontentigi.
#000006
En ne-aksioma aŭ simpligita aksioma traktado de geometrio, la koncepto de primitiva nocio povas esti tro abstrakta por esti traktita.
En tiu cirkonstanco estas eble ke priskribo aŭ mensa bildo de primitiva nocio estas disponigitaj por doni fonduson por konstrui la nocion sur kiu formale estus bazitaj sur la (nedeklaritaj) aksiomoj.
Priskriboj de tiu tipo povas esti referitaj, fare de kelkaj verkintoj, kiel difinoj en tiu neformala stilo de prezento.
Tiuj ne estas veraj difinoj kaj ne povus esti uzitaj en formalaj pruvoj de deklaroj.
La "difino" de linio en Elementoj de Eŭklido falas en tiun kategorion.
Eĉ en la kazo kie specifa geometrio estas estado pripensita (ekzemple, eŭklida geometrio), ekzistas neniu ĝenerale akceptita interkonsento inter verkintoj kiel al kia neformala priskribo de linio devus esti kiam la subjekto ne estas traktita formale.
#000007
Kiam geometrio unue estis formaligita de Eŭklido en la Elementoj , li difinis ĝeneralan linion (rektan aŭ kurban) esti "breadtleslongo" kie aerlinio estas linio "kiu kuŝas egale kun la punktoj sur si mem".
Tiuj difinoj helpas malgrandan al ĉar ili uzesprimoj kiuj ne estas, sin, difinitaj.
Fakte, Eŭklido ne utiligis tiujn difinojn en tiu laboro kaj verŝajne inkludis ilin ĵus por igi ĝin malbari al la leganto kio estis diskutita.
En moderna geometrio, linio estas simple prenita kiel nedifinita objekto kun trajtoj donite per aksiomoj, [6] sed foje estas difinita kiel aro de punktoj obeantaj linian rilaton kiam iu alia baza termino estas lasita nedifinita.
#000008
En aksioma formuliĝo de eŭklida geometrio, kiel ekzemple tiu de Hilbert (la originaj aksiomoj de Eŭklido enhavis diversajn difektojn kiuj estis korektitaj fare de modernaj matematikistoj), [7] linio estas deklarita havi certajn trajtojn kiuj rilatigas ĝin al aliaj linioj kaj punktoj.
Ekzemple, por ĉiuj du apartaj poentoj, ekzistas unika linio enhavanta ilin, kaj ĉiuj du apartaj linioj krucas en maksimume unu poento.
En du dimensioj, t.e., la Eŭklida aviadilo, du linioj kiuj ne krucas estas nomitaj paralelaj.
En pli alta grandeco, du linioj kiuj ne krucas estas paralelaj se ili estas enhavitaj en aviadilo, aŭ distordas se ili ne estas.
#000009
Ĉiu kolekto de finhave multaj linioj dividas la aviadilon en konveksajn plurangulojn (eventuale nelimigitajn);
tiu sekcio estas konata kiel aranĝo de linioj.
#000010
Linioj en karteza aviadilo aŭ, pli ĝenerale, en afinaj koordinatoj, povas esti priskribitaj algebre per linearaj ekvacioj.
En du dimensioj, la ekvacio por ne-vertikalaj linioj ofte estas donita en la dekliv-interkapta formo :
#000011
m estas la deklivo aŭ gradiento de la linio.
b estas la Y-detranĉo de la linio.
x estas la sendependa variablo de la funkcio y = f ( x).
#000012
m estas la deklivo aŭ gradiento de la linio.
#000013
b estas la Y-detranĉo de la linio.
#000014
x estas la sendependa variablo de la funkcio y = f ( x).
#000015
kun fiksaj realaj koeficientoj , b kaj c tia ke a kaj b estas ne ambaŭ nul.
Uzante tiun formon, vertikalaj linioj korespondas al la ekvacioj kun b = 0.
#000016
Ekzistas multaj variaĵvojoj skribi la ekvacion de linio kiuj povas ĉio esti transformitaj de unu ĝis alia per algebra manipulado.
Tiuj formoj (vidu linearan ekvacion por aliaj formoj) estas ĝenerale nomitaj per la speco de informoj (datenoj) pri la linio kiu estas necesa por surpaperigi la formon.
Kelkaj el la gravaj datenoj de linio estas ĝia deklivo, x-interkapta, konataj punktoj sur la linio kaj Y-detranĉo.
#000017
Se ks0 ≠ ks1 , kiel tiu ekvacio povas esti rewriten
#000018
En tri dimensioj, linioj ne povas esti priskribitaj per ununura lineara ekvacio, tiel ke ili estas ofte priskribitaj per parametrikaj ekvacioj:
#000019
x, y, kaj z estas ĉiuj funkcioj de la sendependa varia t kiu varias super la realaj nombroj.
( x 0, y 0, z 0) ĉiu punkto estas sur la linio.
, b, kaj c estas rilatita al la deklivo de la linio, tia ke la vektoro (, b, c) estas paralela al la linio.
#000020
x, y, kaj z estas ĉiuj funkcioj de la sendependa varia t kiu varias super la realaj nombroj.
#000021
( x 0, y 0, z 0) ĉiu punkto estas sur la linio.
#000022
, b, kaj c estas rilatita al la deklivo de la linio, tia ke la vektoro (, b, c) estas paralela al la linio.
#000023
Ili ankaŭ povas esti priskribitaj kiel la samtempaj solvoj de du linearaj ekvacioj
#000024
Tio poste sekvas en tri dimensioj kiujn ununura lineara ekvacio tipe priskribas al aviadilo kaj linio estas kio estas kutima por du apartaj intersekcaj aviadiloj.
#000025
La normala formo (ankaŭ nomita la Hesio-normala formularo, [9] post la germana matematikisto Ludwig Otto Hesse), estas bazita sur la normala segmento por antaŭfiksita linio, kiu estas difinita por esti la liniparto tirita de la origino perpendikulara ĝis la linio.
Tiu segmento ligas la originon kun la plej proksima punkto sur la linio al la origino.
La normala formo de la ekvacio de aerlinio sur la aviadilo ricevas per:
#000026
kie θ estas la angulo de inklino da la normala segmento (la orientita angulo de la unuobla vektoro de la absciso ĝis tiu segmento), kaj p estas la (pozitiva) longo de la normala segmento.
La normala formo povas esti derivita de la ĝenerala formo dividante ĉiujn la koeficientoj per
#000027
En polaraj koordinatoj sur la Eŭklida aviadilo la dekliv-interkapta formo de la ekvacio de linio estas esprimita kiel:
#000029
kie m estas la deklivo da la linio kaj b estas la Y-detranĉo.
Kiam θ = 0 kiujn la grafeo estos nedifinita.
La ekvacio povas esti rewriten por elimini malkontinuecojn tiumaniere:
#000030
\displaistile r\sin \theta mr\cos \theta +b.
#000031
En polaraj koordinatoj sur la Eŭklida aviadilo, la interkaptoformularo de la ekvacio de linio kiu estas ne-horizontala, ne-vertikala, kaj ne pasas tra polo povas esti esprimita kiel,
#000032
Ĉi-supra ekvacio ne estas uzebla por vertikalaj kaj horizontlinioj ĉar en tiuj kazoj unu el la interkaptoj ne ekzistas.
Vertikala linio kiu ne pasas tra la polo ricevas per la ekvacio
#000033
Simile, horizontlinio kiu ne pasas tra la polo ricevas per la ekvacio
#000034
La ekvacio de linio kiel kiu pasas tra la polo estas simple donita:
#000035
kie m estas la deklivo de la linio.
#000036
Radio komencanta ĉe punkto A estas priskribita limigante λ.
Unu radio akiriĝas se λ ≥ 0, kaj la kontraŭa radio venas de λ ≤ 0.
#000037
En tri-dimensia spaco, unua-grada ekvacio en la variabloj x, y, kaj z difinas aviadilon, tiel du tiaj ekvacioj, kondiĉe ke la aviadiloj kiujn ili donas pliiĝo supre estas ne paralela, difinas linion kiu estas la intersekciĝo de la aviadiloj.
Pli ĝenerale, en n-dimensia spacn unuagradaj ekvacioj en la n kunordigitaj variabloj difinas linion sub taŭgaj kondiĉoj.
#000038
En pli ĝenerala eŭklida spaco, R da n (kaj analoge en ĉiu alia afina spaco), la linio L pasanta tra du malsamaj poentoj a kaj b (konsiderita vektorojn) estas la subaro
#000039
La direkto de la linio estas de ( t = 0) ĝis b ( t = 1), aŭ en aliaj vortoj, en la direkto de la vektoro b − .
Malsamaj elektoj de a kaj b povas doni la saman linion.
#000040
Tri poentoj laŭdire estas samliniaj ĉu ili kuŝas sur la sama linio.
Tri poentoj kutime determinas aviadilon, sed koncerne tri samliniajn poentojn tio ne okazas.
#000041
En afinaj koordinatoj, en n-dimensia spaco la punktoj X = ( x 1, x 2
z n) estas samliniaj se la matrico
#000042
havas rangon malpli ol 3-a Aparte, por tri poentoj en la aviadilo ( n = 2), ĉi-supra matrico estas kvadrata kaj la punktoj estas samliniaj se kaj nur se ĝia determinanto estas nul.
#000043
Ekvivalente por tri poentoj en aviadilo, la punktoj estas samliniaj se kaj nur se la deklivo inter unu paro de punktoj korespondas al la deklivo inter iu alia paro de punktoj (en kiu kazo la deklivo inter la restanta paro de punktoj korespondos al la aliaj deklivoj).
Per etendaĵo, k punktoj en aviadilo estas samliniaj se kaj nur se entute ( k) paroj de punktoj havas la saman parrilatajn deklivojn.
#000044
En eŭklida geometrio, la eŭklida distanco d (, b) inter du punktoj a kaj b povas esti uzita por esprimi la kollinearecon inter tri punktoj de: [10]
#000045
La punktoj , b kaj c estas samliniaj se kaj nur se d ( x,
d ( c, b) implicas x = c.
#000046
Tamen, ekzistas aliaj nocioj de distanco (kiel ekzemple la Manhatana distanco) por kiu tiu posedaĵo ne estas vera.
#000047
En la geometrioj kie la koncepto de linio estas primitiva nocio, kiel povas esti la kazo en kelkaj sintezaj geometrioj, aliaj metodoj de determina kollineareco estas necesaj.
#000048
En signifo, [12] ĉiuj linioj en eŭklida geometrio estas egalaj, en tio, sen koordinatoj, oni ne povas rakonti ilin unu krom la alia.
Tamen, linioj povas ludi specialajn rolojn kun respekto al aliaj objektoj en la geometrio kaj esti dividitaj en tipojn laŭ tiu rilato.
Ekzemple, kun respekto al konusforma ( cirklo, elipso, parabolo, aŭ hiperbolo), linioj povas esti:
#000049
klavlinioj, kiuj tuŝas la konusforman ĉe ununura punkto;
sekantoj, kiuj krucas la konusforman ĉe du poentoj kaj pasas tra ĝia interno;
eksteraj linioj, kiuj ne renkontas la konusforman ĉe iu punkto de la Eŭklida aviadilo;
ĉeflinio, kies distanco de punkto helpas establi ĉu la punkto estas sur la konusforma.
#000050
En la kunteksto da determinado de paraleleco en eŭklida geometrio, transversalo estas linio kiu intersekcas du aliajn liniojn kiuj povas aŭ ne esti paralela al unu la alian.
#000051
Por pli ĝeneralaj algebraj kurboj, linioj ankaŭ povis esti:
#000052
i-akra linioj, renkontantaj la kurbon en mi punktojn nombris sen diverseco, aŭ
asimptotoj, kiujn kurbo aliras propraaŭtoritate proksime sen tuŝado de ĝi.
#000053
Kun respekto al trianguloj ni havas:
#000054
Por konveksa kvarlatero kun maksimume du paralelaj flankoj, la Neŭtono-linio estas la linio kiu ligas la mezpunktojn de la du diagonaloj.
#000055
Por heksagono kun verdglacioj kuŝas sur konusforma ni havas la Paskalo-linion kaj, en la speciala kazo kie la konusforma estas paro de linioj, ni havas la Pappus linion.
#000056
Paralelaj linioj estas linioj en la sama aviadilo kiuj neniam krucas.
Intersekci liniojn partumas ununuran punkton komune.
Similaj linioj koincidas kun unu la alian - ĉiu punkto kiu estas sur ĉiu unu el ili estas ankaŭ sur la alia.
#000057
Perpendikularaj linioj estas linioj kiuj krucas laŭ ortoj.
#000058
En tri-dimensia spaco, misoblikvaj linioj estas linioj kiuj ne estas en la sama aviadilo kaj tiel ne intersekcas unu la alian.
#000059
En multaj modeloj da projekcia geometrio, la reprezentado de linio malofte obeas al la nocio de la "rekta kurbo" kiam ĝi estas bildigita en eŭklida geometrio.
En elipsa geometrio ni vidas tipan ekzemplon de tio.
En la sfera reprezentado de elipsa geometrio, linioj estas reprezentitaj per ĉefcirkloj de sfero kun diametre kontraŭ punktoj identigitaj.
En malsama modelo de elipsa geometrio, linioj estas reprezentitaj per Euclidean aviadiloj pasantaj tra la origino.
Eĉ se tiuj reprezentantaroj estas vide apartaj, ili kontentigas ĉiujn trajtojn (kiel ekzemple, du poentoj determinantaj unikan linion) kiuj igas ilin taŭgaj reprezentantaroj por linioj en tiu geometrio.
#000060
Surbaze de linio kaj ajna punkto A sur ĝi, ni povas konsideri A kiel malkonstruado de tiu linio en du partojn.
Ĉiu tia parto estas nomita radio (aŭ duon-linio) kaj la punkto A estas nomita it komenca punkto.
La punkto A estas konsiderita kiel membro de la radio.
Intuicie, radio konsistas el tiuj punktoj sur linio pasanta tra A kaj procedo senfine, komencante je A, en unu direkto nur laŭ la linio.
Tamen, por utiligi tiun koncepton de radio en pruvoj pli preciza difino estas postulata.
#000061
Surbaze de apartaj punktoj A kaj B, ili determinas unikan radion kun komenca punkto A.
Kiel du poentoj difinas unikan linion, tiu radio konsistas el ĉiuj punktoj inter A kaj B (inkluzive de A kaj B) kaj ĉiuj punktoj C sur la linio tra A kaj B tia ke B estas inter A kaj C.
Tio estas, en tempoj, ankaŭ esprimita kiel la aro de ĉiuj punktoj C tia ke A ne estas inter B kaj C.
Punkto D, sur la linio determinita je A kaj B sed ne en la radio kun komenca punkto A determinita per B, determinos alian radion kun komenca punkto A.
Kun respekto al la AB- radio, la AD radio estas nomita la kontraŭa radio.
#000062
Tiel, ni dirus ke du malsamaj poentoj, A kaj B, difinas linion kaj putriĝon da tiu linio en la disan union de malferma segmento ( A, B) kaj du radiojn, BC kaj AD (la punkto D ne estas partoprenigita la diagramo, sed estas maldekstren de A sur la linio AB-).
Tiuj ne estas kontraŭ radioj ĉar ili havas malsamajn komencajn punktojn.
#000063
En eŭklida geometrio du radioj kun ofta finpunkto formas angulon.
#000064
La difino de radio dependas sur la nocio de betŭenes por punktoj de linio.
Ĝi sekvas tiujn radiojn ekzistas nur por geometrioj por kiuj tiu nocio ekzistas, tipe eŭklidan geometrion aŭ afinan geometrion super ordigita kampo.
Aliflanke, radioj ne ekzistas en projekcia geometrio nek en geometrio super ne-ordigita kampo, kiel la kompleksaj nombroj aŭ ajna finhava kampo.
#000065
En topologio, radio en spaceto X estas kontinua enkonstruado R + → Xa.
Kutimas difini la gravan koncepton de fino de la spaco.
#000066
Liniparto estas parto de linio kiu estas saltita proksime de du apartaj finpunktoj kaj enhavas ĉiun punkton sur la linio inter siaj finpunktoj.
Depende de kiel la liniparto estas difinita, aŭ de la du finpunktoj povas aŭ eble ne estas parto de la liniparto.
Du aŭ pli da linipartoj povas havi kelkajn el la samaj rilatoj kiel linioj, kiel ekzemple esti paralelaj, intersekcante, aŭ distordas, sed male al linioj ili povas esti neniu el tiuj, se ili estas koplanaraj kaj aŭ ne intersekcas aŭ estas samliniaj.
#000067
La "mallongeco" kaj "svelteco" de linio, interpretis kiel la posedaĵo ke la distanco laŭ la linio inter iuj du el ĝiaj punktoj estas minimumigitaj (vidu neegalaĵon de triangulo), povas esti ĝeneraligita kaj kondukas al la koncepto de geodesics en metrikaj spacoj.
#000068
Distanco de punkto ĝis linio
#000069
^ In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel [...] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude. [...] La ligne droicte est celle qui est également estenduë entre ses poincts." Pages 7 and 8 of Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).
^ Bôcher, Maxime (1915), Plane Analytic Geometry: With Introductory Chapters on the Differential Calculus, H. Holt, p. 44 .
^ Alessandro Padoa , Un nouveau système de définitions pour la géométrie euclidienne, Internacia Kongreso de Matematikistoj , 1900
^ Bertrand Russell , The Principles of Mathematics , p.410
^ Technically, the collineation group acts transitively on the set of lines.
^ On occasion we may consider a ray without its initial point.
Such rays are called open rays, kontraste al the typical ray which would be said to be closed .
#000070
Rekto estas speciala speco de kurbo. En ĉiutaga lingvo signifas ne kurba, sen larĝa. Ĉi tiu priskribo bone priskribas rekton en kartezia koordinato. Sed en matematiko estas ankaŭ aliaj koordinatoj. Tiam rekto nomiĝas geodezia linio.
#000074
Rekto estas aro de punktoj tiaj, ke distanco inter laŭvolaj du punktoj estas plej mallonga.
#000077
Rekto en 2D kartezia spaco
#000078
Universala ekvacio de rekto estas formulo:
#000079
kie A, B, C - laŭvolaj reelaj nombroj .Sed almenaŭ unu el A kaj B ne estas nulo.
#000080
(x, y) - koordinatoj de punkto en rekto.
#000081
Vektoro [A, B] estas orta al rekto, kaj vektoro [-A, B] estas paralela al rekto.
#000082
Rimarku: unu rekto povas havi pli ol unu universala ekvacio. Sed koeficiento devas: . Ĉar oni sufiĉas ke universala ekvacio multiplikas de laŭvola ne nula nombro kaj oni estos alia ekvacio sed ĝi priskribos saman rekton.
#000083
Ĉar mulataj universalaj ekvacioj povas priskribi unu rekto, tial oni estas ebleco por ke normi trans oni dividas koeficientoj , i per longeco de normo de direkta vektoro:
#000084
por oni eblas doni laŭvolan signon al .
#000085
Koeficientoj de ĉi tiu ekvacio estas de speciala signifo, ĉar oni skribas ankaŭ kiel:
#000086
ĉi tiu estas normala ekvacio de rekto kaj estas angulo inter rekto kaj kaj estas distanco inter centro de sistemo de koordinatoj kaj rekto. Kaj .
#000087
Direkta ekvacio de rekto estas formulo:
#000088
kaj a, b estas reelaj nombroj.
#000089
a estas direkta faktoro de rekto. Ĉiuj du rektoj kun sama direkta faktoro estas paralela. Kaj estas ekvivalento al tangento de angulo inter rekto kaj Ox.
b estas libera faktoro. Valoro de libera faktoro estas punkto en kiu rekto kruciĝas kun Ox.
#000090
Rekto l kun nenula direkta vektoro , kaj trakuras tra punkto estas aro de punktoj :
#000091
kaj estas laŭvolaj reelaj nombroj, sed kaj ne povas esti nulo samtempe tiam sistemo estos priskribi nur unu punkton ne ĉiun rekton.
#000092