En matematiko, diferencialdukto estas speco de dukto kiu estas sufiĉe loke simila al linia spaco permesi al tia farendaĵo kalkuladon.
Ĉiu dukto povas esti priskribita per kolekto de furorlisto, ankaŭ konata kiel atlaso.
Oni tiam povas uzi ideojn de kalkulado laborante ene de la individua furorlisto, ĉar ĉiu diagramo kuŝas ene de linia spaco por kiu la kutimaj reguloj de kalkulado validas.
Se la furorlisto estas konvene kongrua (nome, la transiro de unu diagramo ĝis alia estas diferenciebla), tiam komputadoj faritaj en unu diagramo estas validaj en iu alia diferenciebla diagramo.
#000001
En formalaj esprimoj, diferencialdukto estas topologia dukto kun tutmonde difinita diferenciga strukturo.
Al ĉiu topologia dukto povas ricevi diferencigan strukturo loke uzante la homeomorfiojn en sia atlaso kaj la norman diferencigan strukturon sur linia spaco.
Indukti tutmondan diferencialstrukturon sur la lokaj koordinatsistemoj induktitaj per la homeomorfioj, ilia kunmetaĵo sur furorlistintersekciĝoj en la atlaso devas esti diferencieblaj funkcioj sur la ekvivalenta linia spaco.
En aliaj vortoj, kie la domajnoj de furorlisto interkovras, la koordinatojn difinitajn per ĉiu diagramo estas postulataj por esti diferencieblaj kun respekto al la koordinatoj difinitaj per ĉiu diagramo en la atlaso.
La mapoj kiuj rilatigas la koordinatojn difinitajn per la diversa furorlisto unu al la alia estas nomitaj transirmaps.
#000002
2 Klavvektoroj kaj la diferencialo
Distingeblo de mapadoj inter duktoj
#000006
2 Klavvektoroj kaj la diferencialo
#000007
La apero de diferenciala geometrio kiel klara disciplino estas ĝenerale kreditita al Carl Friedrich Gauss kaj Bernhard Riemann.
Riemann unua priskribis duktojn en sia fama Habilitiĝoprelego [1] antaŭ la fakultato ĉe Distrikto Göttingen.
Li instigis la ideon de dukto per intuicia procezo de variigado de antaŭfiksita objekto en nova direkto, kaj klarvide priskribis la rolon de koordinatsistemoj kaj furorliston en postaj formalaj evoluoj:
#000008
Having constructed the notion of a manifoldness of n dimensions, and found that its true character consists in the property that the determination of position in it may be reduced to n determinations of magnitude, ...
#000009
La verkoj de fizikistoj kiel ekzemple James Clerk Maxwell, [2] kaj matematikistoj Gregorio Ricci-Curbastro kaj Tullio Levi-Civita [3] kaŭzis la evoluon de tensoranalizo kaj la nocio de kunvarianco, kiu identigas internan geometrian posedaĵon kiel tia kiu estas senvaria kun respekto al kunordigitaj transformoj.
Tiuj ideoj trovis esencan aplikon en la ĝenerala relativismo de Einstein kaj ĝia subesta ekvivalentprincipo.
Moderna difino de 2-dimensia dukto ricevis fare de Hermann Weyl en lia 1913 libro pri Riemann-facoj.
La vaste akceptita ĝenerala difino de dukto laŭ atlaso ŝuldiĝas al Hassler Whitney.
#000010
Prezento de topologia dukto estas sekunde nombrebla
interspacigi tion estas loke homeomorfa al linia spaco, per kolekto (nomita atlaso ) de homeomorfioj nomitaj furorlisto.
La kunmetaĵo de unu diagramo kun la inversa de alia diagramo estas funkcio nomita transirmapo , kaj difinas homeomorfion de malferma subaro de la linia spaco sur alia malferma subaro de la linia spaco.
Tio formaligas la nocion de "flikado kune pecoj de spaco por fari dukton" - la dukto produktis ankaŭ enhavas la datenojn de kiel ĝi estis flikita kune.
Tamen, malsamaj atlasoj (flikadoj) povas produkti "la saman" dukton;
dukto ne venas kun preferata atlaso.
Kaj, tiel, oni difinas topologian dukton esti spaco kiel supra kun ekvivalentklaso de atlasoj, kie oni difinas ekvivalentecon de atlasoj malsupre.
#000011
Ekzistas kelkaj malsamaj specoj de diferencialduktoj, depende de la precizaj distingeblopostuloj sur la transirfunkcioj.
Kelkaj komunaj ekzemploj inkludas la sekvantajn.
#000012
Dum ekzistas senchava nocio de Ck atlaso, ekzistas neniu klara nocio de Ck dukto krom C 0 (kontinuaj mapoj: topologia dukto) kaj C ∞ (glataj mapoj: difencigebla plurejo), ĉar por ĉiu Ck - strukturo kun k > 0, ekzistas unika Ck - ekvivalento da C ∞ - strukturo (ĉiu Ck - strukturo estas unike glatigieblaj al C ∞ - strukturo) - rezulto de Whitney.
Fakte, ĉiu Ck - strukturo estas unike glatigiebla al C ω-strukturo.
Krome, du Ck atlasoj kiuj estas ekvivalentaj al unuopaĵo C ∞ atlaso estas ekvivalentaj kiel Ck atlasoj, tiel ke du apartaj Ck atlasoj ne kolizias.
Diferenciga strukturo: Ekzisto- kaj unikecteoremoj por detaloj.
Tiel oni uzas la esprimojn "diferencialdukto" kaj "difencigeblan plurejon" interŝanĝeble;
tio estas en ekstrema kontrasto al Ck mapoj, kie ekzistas senchavaj diferencoj por malsama k. Ekzemple, la Nash-enkonstruadoteoremo deklaras ke ĉiu dukto povas esti Ck izometre enkonstruita en eŭklida spaco R da N - por ĉiu 1 ≤ k ≤ ∞ ekzistas sufiĉe granda N, sed N dependas de k.
#000014
Aliflanke, kompleksaj duktoj estas signife pli restriktaj.
Ekzemple, la teorem ŝtatoj de Chow kiuj ĉiu projekcia kompleksa dukto estas fakte projekcia diverseco - ĝi havas algebran strukturon.
#000015
homeomorfio de U α estas sur malferma subaro de n-dimensia reala spaco.
La transirmapoj de la atlaso estas la funkcioj
#000017
Ĉiu topologia dukto havas atlason.
Ck - atlaso estas atlaso kies transirmapoj estas Ck .
Topologia dukto havas C atlasan kaj ĝenerale Ck - dukto havas Ck - atlason.
Kontinua atlaso estas C 0 atlaso, glata atlaso estas C ∞ atlaso kaj analiza atlaso estas C ω atlaso.
Se la atlaso estas almenaŭ C 1, ĝi ankaŭ estas nomita diferenciga strukturo aŭ diferenciebla strukturo.
Holomorfa atlaso estas atlaso kies subesta eŭklida spaco estas difinita pri la kompleksa kampo kaj kies transirmapoj estas biholomorfaj.
#000018
La nocio de pseŭdogrupo [7] disponigas flekseblan ĝeneraligon de atlasoj por permesi al gamo da malsamaj strukturoj esti difinita sur duktoj laŭ unuforma maniero.
Pseŭdogrupo konsistas el topologia spaco S da kaj amasiĝo γ konsistanta el homeomorfioj de malfermaj subaroj de S ĝis aliaj malfermaj subaroj de S tia ke
#000020
Tiuj lastaj tri kondiĉoj estas analogaj al la difino de grupo.
Notu ke γ ne devas esti grupo, aliflanke, ĉar la funkcioj ne estas tutmonde difinitaj sur S.
Ekzemple, la kolekto de ĉiuj loka Ck
difeomorfismoj sur R da n formas pseŭdogrupon.
Ĉiuj biholomorfismoj inter malfermitaj aroj en C da n formas pseŭdogrupon.
Pli da ekzemploj inkludas: orientiĝo konservanta mapojn de R da n , simplektomorfisms, transformo de Möbius, afinaj transformoj,.
Tiel vasta gamo de funkcioklasoj determinas pseŭdogrupojn.
#000022
Diferencialdukto tiam estas atlaso kongrua kun la pseŭdogrupo de C k funkcioj sur R da n .
Kompleksa dukto estas atlaso kongrua kun la biholomorfaj funkcioj sur malferma komenciĝas C da n .
Tiel pseŭdogrupoj disponigas ununuran kadron en kiu priskribi multajn strukturojn sur duktoj de graveco al diferenciala geometrio kaj topologio.
#000024
Aparte, tiu lasta stato signifas ke ĉiu funkcio h en C da k ( V), por V, povas esti skribita unike kiel h ( x
x n ( x), kie H estas k-tempo diferenciebla funkcio sur f ( V) (malfermita aro en R da n ).
Tiel, la fask-teoria vidpunkto estas ke la funkcioj sur diferencialdukto povas esti esprimitaj en lokaj koordinatoj kiel diferencieblaj funkcioj sur R da n , kaj fortiori tio estas sufiĉa karakterizi la diferencigan strukturon sur la dukto.
#000026
Simila, sed pli teknika, aliro al difinado de diferencialduktoj povas esti formulita uzante la nocion de ringita spaco.
Tiu aliro estas forte influita per la teorio de kabaloj en algebra geometrio, sed utiligas lokajn ringojn de la bakterioj de diferencieblaj funkcioj.
Ĝi estas aparte populara en la kunteksto de kompleksaj duktoj.
#000027
Ni komencas priskribante la bazan strukturfaskon sur R da n .
Se U estas malfermita aro en R da n , lasu
#000028
konsisti el ĉiuj real-aprezitaj k-tempo ade diferencieblaj funkcioj sur U.
Ĉar U varias, tio determinas faskon da ringoj sur R da n.
La tigo O p por p ∈ R da n konsistas el bakterioj de funkcioj proksime de p, kaj estas algebro pli ol R.
Aparte, tio estas loka ringo kies unika maksimuma idealo konsistas el tiuj funkcioj kiuj malaperas ĉe p.
La paro ( R da n , O) estas ekzemplo de loke ringita regiono: ĝi estas topologia spaco provizita per fasko kies tigoj estas ĉiu lokaj ringoj.
#000029
Diferencialdukto (da klaso Ck) konsistas el paro ( M, O M ) kie M estas sekunde nombrebla
la spaco, kaj O M estas fasko da loka R-algebras difinita sur M, tia ke la loke ringita regiono ( M, O M ) estas loke izomorfa al ( R da n , O).
Laŭ tiu maniero, diferencialduktoj povas esti opiniitaj de kiel kabaloj formitaj laŭ R da n .
Tio signifas ke, [9] por ĉiu punkto p ∈ M, ekzistas najbareco U de p, kaj paro de funkcioj ( f, f nombro) kie
#000030
R da n estas homeomorfio sur malfermita aro en R da n .
U ) estas izomorfio de faskoj.
La lokalizo de f nombro estas izomorfio de lokaj ringoj
#000031
Fina avantaĝo de tiu aliro estas ke ĝi enkalkulas naturajn rektajn priskribojn de multaj el la fundamentaj studobjektoj al diferenciala geometrio kaj topologio.
#000033
La kotanĝantospaco ĉe punkto estas Ip / Ip 2, kie Ip estas la maksimuma idealo de la tigo O M, p .
Ĝenerale, la tuta kotanĝantfasko povas esti akirita per rilata tekniko (vidu kotanĝantfaskon por detaloj).
Serio de Taylor (kaj jetoj) povas esti kontaktitaj en koordinat-sendependa maniero uzanta la I p - adicfiltradon sur O M, p .
La klavfasko (aŭ pli ĝuste sia fasko da sekcioj) povas esti identigita kun la fasko da morfismoj de O M en la ringon de duoblaj nombroj.
#000034
Reala aprezita funkcio f sur n-dimensia diferenciebla multnombra M estas nomita diferenciebla ĉe punkto p ∈ M ĉu ĝi estas diferenciebla en iu kunordigita diagramo difinita ĉirkaŭ p.
En pli precizaj esprimoj, se ( U, φ) estas diagramo kie U estas malfermita aro en M enhavanta p kaj φ:
U → R da n estas la mapo difinanta la diagramon, tiam f estas diferenciebla se kaj nur se
#000035
estas diferenciebla ĉe φ ( p).
Ĝenerale ekzistos multaj disponebla furorlisto;
tamen, la difino da distingeblo ne dependas de la elekto de diagramo ĉe p.
Ĝi sekvas el la derivaĵo de funkcia komponaĵo aplikita al la transirfunkcioj inter unu diagramo kaj alia ke se f estas diferenciebla en iu speciala diagramo ĉe p, tiam ĝi estas diferenciebla en ĉiuj furorlisto ĉe p.
Analogaj konsideroj validas por difinado de Ck funkcioj, glataj funkcioj, kaj analizaj funkcioj.
#000036
Ekzistas diversaj manieroj difini la derivaĵon de funkcio sur diferencialdukto, la plej fundamenta el kiu estas la unudirekta derivaĵo.
La difino de la unudirekta derivaĵo estas malfaciligita per la fakto ke dukto malhavos taŭgan afinan strukturon kun kiu difini vektorojn.
La unudirekta derivaĵo tial rigardas kurbojn en la dukto anstataŭe de vektoroj.
#000037
Surbaze de reala aprezita funkcio f sur m dimensia diferenciebla multnombra M, la unudirekta derivaĵo de f ĉe punkto p en M estas difinita jene.
Supozu ke γ ( t) estas kurbo en M kun γ (0) = p, kio estas diferenciebla en la senco ke ĝia kunmetaĵo kun iu diagramo estas diferenciebla kurbo en R da m .
Tiam la unudirekta derivaĵo de f ĉe p laŭ γ estas
#000038
If γ1 and γ2 are two curves such that γ1(0) = γ2(0) = p, and in any coordinate chart φ,
#000039
tiam, de la derivaĵo de funkcia komponaĵo, f havas la saman unudirektan derivaĵon ĉe p laŭ γ1 kiel laŭ γ2.
Tio signifas ke la unudirekta derivaĵo dependas nur de la klavvektoro de la kurbo ĉe p.
Tiel la pli abstrakta difino de unudirekta diferencigo adaptita al la kazo de diferencialduktoj finfine kaptoj la intuiciaj ecoj de unudirekta diferencigo en afina regiono.
#000040
Klavvektoro ĉe p ∈ M estas ekvivalentklaso de diferencieblaj kurboj γ kun γ (0) = p, modulo la ekvivalentrilato de unuaorda kontakto inter la kurboj.
#000041
Tial, la ekvivalentklasoj estas kurboj tra p kun deviga rapidecvektoro ĉe p.
La kolekto de ĉiuj klavvektoroj ĉe p formas vektoran spacon: la klavspaco al M ĉe p, indikis T da p M.
#000042
Se X estas klavvektoro ĉe p kaj f diferenciebla funkcio difinita proksime de p, tiam diferencigante f laŭ iu kurbo en la ekvivalentklaso difinante X donas klare difinitan unudirektan derivaĵon laŭ X:
#000043
Denove, la derivaĵo de funkcia komponaĵo establas ke tio estas sendependa de la libereco en selektado de γ el la ekvivalentklaso, ĉar ĉiu kurbo kun la sama unua ordkontakto cedos la saman unudirektan derivaĵon.
#000044
Se la funkcio f estas fiksa, tiam la mapado
#000045
linia funkcia estas sur la klavspaco.
Tiu linia funkcia estas ofte indikita per df ( p) kaj estas nomita la diferencialo de f ĉe p:
#000046
Unu el la topologiaj ecoj de la fasko da diferencieblaj funkcioj sur diferencialdukto estas ke ĝi koncedas sekciojn de unueco.
Tio distingas la diferencigan strukturon sur dukto de pli fortaj strukturoj (kiel ekzemple analizaj kaj holomorfaj strukturoj) kiuj ĝenerale ne havas sekciojn de unueco.
#000047
Supozu ke M estas dukto da klaso Ck, kie 0 ≤ k ≤ ∞.
estu senkaŝa kovraĵo de M.
kolekto de real-aprezita Ck funkcioj φ I estas sur M kontentiganta la sekvajn kondiĉojn:
#000048
La subtenoj de la φ mi estas kompakta kaj loke finhava;
La subteno de φ mi estas tute enhavita en U α por iu α;
La φ I sumigas al unu ĉe ĉiu punkto de M:
#000049
Ĉiu senkaŝa kovro de Ck dukto M havas Ck sekcion de unueco.
Tio enkalkulas certajn konstruojn de la topologio de Ck funkcioj sur R da n esti portita al la kategorio da diferencialduktoj.
Aparte, estas eble diskuti integriĝon elektante sekcion de unueco malĉefa al speciala kunordigita atlaso, kaj aranĝante la integriĝon en ĉiu diagramo de R da n .
Sekcioj de unueco tial enkalkulas certan aliajn specojn de funkciaj spacoj esti pripensitaj: ekzemple Lp spacoj, Sobolev-spacoj, kaj aliaj specoj de spacoj kiuj postulas integriĝon.
#000051
Distingeblo de mapadoj inter duktoj
#000052
Por Ck dukto M, la aro de real-aprezitaj Ck funkcioj sur la dukto formas algebron sub punktmanieraldono kaj multipliko, nomita la algebro de skalaraj kampoj aŭ simple la algebro de Skalaroj.
Tiu algebro havas la konstantan funkcion 1 kiel la multiplika identeco, kaj estas diferenciebla analogaĵo de la ringo de regulaj funkcioj en algebra geometrio.
#000054
Estas eble rekonstrui dukton de ĝia algebro de Skalaroj, unue kiel aro, sed ankaŭ kiel topologia spaco - tio estas apliko de la Banach-ŝtonteoremo, kaj estas pli formale konata kiel la spektro de C÷ algebro.
Unue, ekzistas ekzakta korespondado inter la punktoj de M kaj la algebrohomomorfismoj φ:
R, ĉar tia homomorfism φ korespondas kodimensio unu idealo en Ck ( M) (nome la kerno de φ), kiu estas nepre maksimuma idealo.
Inverse, ĉiu maksimuma idealo en tiu algebro estas idealo de funkcioj malaperantaj ĉe ununura punkto, kiu montras ke MSpec (la Maksimumi Specifo) de Ck ( M) reakiras M kiel punktaro, kvankam fakte ĝi reakiras M kiel topologia spaco.
#000055
Oni povas difini diversajn geometriajn strukturojn algebre laŭ la algebro de Skalaroj, kaj tiuj difinoj ofte ĝeneraligas al algebra geometrio (interpretante ringojn geometrie) kaj operatora teorio (interpretante banaĥajn spacojn geometrie).
Ekzemple, la klavfasko al M povas esti difinita kiel la derivaĵoj de la algebro de glataj funkcioj sur M.
#000056
Tiu "algebroigo" da dukto (anstataŭiganta geometrian objekton kun algebro) kondukas al la nocio de C÷ algebro - kommutativa C÷ algebra estaĵo ĝuste la ringo de Skalaroj de dukto, de Banach-ŝtono, kaj permesas al tia konsideri nonkomutative C÷ algebroj ne-kommutativajn ĝeneraligojn de duktoj.
Tio estas la bazo de la kampo de nonkomutative-geometrio.
#000057
La klavspaco de punkto konsistas el la eblaj unudirektaj derivaĵoj ĉe tiu punkto, kaj havas la saman dimension n kiel la dukto faras.
Por aro de (ne-eksterordinara) koordinat ksk lokulo al la punkto, la kunordigitaj derivaĵojtipe difinu bazon de la klavspaco.
La kolekto de klavspacoj ĉiupunkte povas en victurno esti transformita en dukton, la klavfaskon, kies dimensio estas 2n.
La klavfasko estas kie klavvektoroj kuŝas, kaj estas sin diferencialdukto.
La Lagrangian estas funkcio sur la klavfasko.
Oni ankaŭ povas difini la klavfaskon kiel la faskon de 1-jets de R (la reala linio) ĝis M.
#000058
Oni povas konstrui atlason por la klavfasko konsistanta el furorlisto bazitaj sur U α × R da n , kie U α indikas unu el la furorlisto en la atlaso por M.
Ĉiu el tiu nova furorlisto estas la klavfasko por la furorlisto U α.
La transirmapoj en tiu atlaso estas difinitaj de la transirmapoj sur la origina dukto, kaj retenas la originan distingebloklason.
#000059
La duobla spaco de vektora spaco estas la aro de realajn aprezitajn linearajn funkciojn sur la vektora spaco.
La kotanĝantospaco ĉe punkto estas la dualo de la klavspaco ĉe tiu punkto, kaj la kotanĝantfasko estas la kolekto de ĉiuj kotanĝantospacoj.
#000060
Kiel la klavo faskigas la kotanĝantfaskon estas denove diferencialdukto.
La Hamiltonian estas Skalaro sur la kotanĝantfasko.
La totala spaco de kotanĝantfasko havas la strukturon de simplekta dukto.
Kotanĝantvektoroj foje estas nomitaj kovektoroj .
Oni ankaŭ povas difini la kotanĝantfaskon kiel la faskon de 1-jets de funkcioj de M ĝis R.
#000061
Elementoj de la kotanĝantospaco povas esti opiniitaj de kiel infinitezimalaj delokiĝoj: ĉu f estas diferenciebla funkcio kiun ni povas difini ĉe ĉiu punkto p kotanĝantvektor dfp , kiu sendas klavvektoron Xp al la derivaĵo de f asociita kun Xp .
Tamen, ne ĉiu kovektorkampo povas esti esprimita tiun manieron.
Tiuj kiuj povas estas referitaj kiel precizaj diferencialoj.
Por antaŭfiksita aro de lokulo kunordigas ksk la diferencialdks k p formu bazon de la kotanĝantospaco ĉe p.
#000062
La tensorfasko estas la rekta sumo de ĉiuj tensorproduktoj da la klavfasko kaj la kotanĝantfasko.
Ĉiu elemento de la fasko estas tensorkampo, kiu povas funkcii kiel multilinia funkciigisto pri vektoraj kampoj, aŭ pri aliaj tensorkampoj.
#000063
La tensorfasko ne estas diferencialdukto en la tradicia signifo, ĉar ĝi estas senfina dimensia.
Ĝi estas tamen algebro super la ringo de skalarfunkcioj.
Ĉiu tensoro estas karakterizita per siaj rangoj, kiuj indikas kiom multaj klavo kaj kotanĝantfaktoroj ĝi havas.
Foje tiuj rangoj estas referitaj kiel kovariaĵo kaj kontraŭvariaĵ rangoj, signifante klavon kaj kotanĝantrangojn, respektive.
#000064
Kadro (aŭ, en pli precizaj esprimoj, klavokadro) estas ordigita bazo de speciala klavspaco.
Same, klavkadro estas linia izomorfio de R da n al tiu klavspaco.
Kortuŝa klavkadro estas ordigita listo de vektoraj kampoj kiuj donas bazon ĉe ĉiu punkto de sia domajno.
Oni ankaŭ povas rigardi kortuŝan kadron kiel sekcion de la framfasko F ( M), Gl ( n, R) ĉeffasko konsistigita de la aro de ĉiuj kadroj super M.
La framfasko estas utila ĉar tensorkampoj sur M povas esti rigarditaj kiel ekvivariaĵo vektor-aprezitaj funkcioj sur F ( M).
#000065
Sur dukto kiu estas sufiĉe glataj, diversaj specoj de jetfaskoj ankaŭ povas esti pripensitaj.
La (unuaorda) klavfasko de dukto estas la kolekto de kurboj en la duktomodulo la ekvivalentrilato de unuaorda kontakto.
De analogeco, la k-th orda klavfasko estas la kolekto da kurbmodulo la rilato de k-th ordkontakto.
Same, la kotanĝantfasko estas la fasko de 1-jets de funkcioj sur la dukto: la k-jeta fasko estas la fasko de iliaj k-jeto.
Tiuj kaj aliaj ekzemploj de la ĝenerala ideo de jetfaskoj intrigas signifan rolon en la studo de diferencialaj operatoroj je duktoj.
#000066
La nocio de kadro ankaŭ ĝeneraligas al la kazo de higher-ordaj jetoj.
Difinu k-th ordkadron por esti la k-jeto de difeomorfismo de R da n ĝis M.
La kolekto de ĉiuj k-th ordkadroj, Fk ( M), estas ĉefgk fasko super M, kie Gk estas la grupo de k-jeto ;
t.e., la grupo konsistigita de k-jeto de difeomorfismoj de R da n kiuj fiksas la originon.
Notu ke Gl ( n, R) estas nature izomorfa al G 1, kaj subgrupo de ĉiu Gk , k ≥ 2-a Aparte, sekcio de F 2 ( M) donas al la kadro komponentojn de ligo sur M.
Tiel, la kvocientfasko F 2 ( M)/Gl ( n, R) estas la fasko de liniaj ligoj super M.
#000067
Multaj el la teknikoj de multivariate kalkiĝo ankaŭ validas, mutatis mutandis , por diferencialduktoj.
Oni povas difini la unudirektan derivaĵon da diferenciebla funkcio laŭ klavvektoro al la dukto, ekzemple, kaj tio kondukas al rimedo de ĝeneraligado de la tuteca derivaĵo de funkcio: la diagnozalternativo.
De la perspektivo de kalkiĝo, la derivaĵo de funkcio sur dukto kondutas laŭ multe lasama maniero kiel la ordinara derivaĵo de funkcio difinita sur eŭklida spaco, minimume loke.
Ekzemple, ekzistas versioj de la implicaj kaj inversa funkcioteoremoj por tiaj funkcioj.
#000068
Ekzistas, aliflanke, gravaj diferencoj en la kalkiĝo de vektoraj kampoj (kaj tensorkampoj ĝenerale).
Resume, la unudirekta derivaĵo de vektora kampo aŭ minimume ne difinita en simpla maniero. ne estas
Pluraj ĝeneraligoj de la derivaĵo da vektora kampo (aŭ tensorkampo) ekzistas, kaj kaptas certajn formalajn ecojn de diferencigo en eŭklidaj spacoj.
La ĉefo inter tiuj estas:
#000069
La Lie derivaĵo, kiu estas unike difinita per la diferenciga strukturo, sed ne kontentigas kelkajn el la kutimaj ecoj de unudirekta diferencigo.
Afina ligo, kiu ne estas unike difinita, sed ĝeneraligas en pli kompleta maniero la ecojn de ordinara unudirekta diferencigo.
Ĉar afina ligo ne estas unika, ĝi estas kroma peco de datenoj kiuj devas esti precizigitaj sur la dukto.
#000070
Ideoj de integrala kalkulo ankaŭ portas al diferencigaj duktoj.
Tiuj estas kompreneble esprimitaj en la lingvo de ekstera kalkulado kaj diferencigaj formoj.
La bazteoremoj de integrala kalkulo en pluraj variabloj - nome teoremo de Green, la diverĝenca teoremo, kaj teoremo de Stokes - ĝeneraligas al teoremo (ankaŭ nomita teoremo de Stokes) rakontanta la eksteran derivaĵon kaj integriĝon super subduktoj.
#000071
Diferencieblaj funkcioj inter du duktoj estas necesaj por formuli taŭgajn nociojn de subduktoj, kaj aliajn rilatajn konceptojn.
M → N estas diferenciebla funkcio de diferenciebla multnombra M de dimensio m ĝis alia diferenciebla multnombra N da dimensio n, tiam la diagnozalternativo de f estas mapa df:
Ĝi ankaŭ estas indikita fare de Tf kaj nomita la klavmapo.
Ĉe ĉiu punkto de M, tio estas lineartransformo de unu klavspaco ĝis alia:
#000072
La rango de f ĉe p estas la rango de tiu lineartransformo.
#000073
Kutime la rango de funkcio estas punktmanierposedaĵo.
Tamen, se la funkcio havas maksimuman rangon, tiam la rango restos konstanta en najbareco de punkto.
Diferenciebla funkcio "kutime" havas maksimuman rangon, en preciza signifo donita per la teoremo de Sard.
Funkcioj de maksimuma rango ĉe punkto estas nomitaj mergadoj kaj subakvigoj:
#000074
sistemo de lokaj koordinatoj de M estas en najbareco de p.
Subakvigoj formas la fundamenton da la teorio de fibrigoj kaj fibrofaskojn.
#000076
Lie derivaĵo, nomita laŭ Sophus Lie, estas derivaĵo pri la algebro de tensorkampoj super dukto M.
La vektora spaco de ĉiuj Lie-derivaĵoj sur M formas senfinan dimensian Lie-algebron kun respekto al la Lie krampo difinita per
#000077
La Lie-derivaĵoj estas reprezentitaj per vektoraj kampoj, kiel infinitezimalaj generatoroj de fluoj ( aktivaj difeomorfismoj) sur M.
Aspektante ĉe ĝi la alia maniero rondo, la grupo de difeomorfismoj de M havas la rilatan Lie-algebrostrukturon, de Lie-derivaĵoj, laŭ maniero rekte analoga al la Lie teorio de grupoj.
#000078
La ekstera kalkulado enkalkulas ĝeneraligon de la gradiento, diverĝo kaj buklo funkciigistoj.
#000079
La fasko de diferencigaj formoj, ĉe ĉiu punkto, konsistas el ĉiuj komplete kontraŭsimetria
plurlinearaj funkcioj sur la klavo interspacigas ĉe tiu punkto.
Ĝi estas nature dividita en n-formo por ĉiu n maksimume egala al la dimensio de la dukto;
n-formo estas n-varia formo, ankaŭ nomita formo de grado da n.
La 1-forms estas la kotanĝantvektoroj, dum la 0-forms estas ĵus skalarfunkcioj.
Ĝenerale, n-formo estas tensoro kun kotanĝantrango n kaj klavrango 0-a Sed ne ĉiu tia tensoro estas formo, ĉar formo devas esti kontraŭsimetria.
#000080
Ekzistas mapo de Skalaroj ĝis kovektoroj nomitaj la eksterderivaĵo
#000081
Tiu mapo estas tiu kiu rilatigas kovektorojn al infinitezimalaj delokiĝoj, menciis supre;
kelkaj kovektoroj estas la eksteraj derivaĵoj de skalarfunkcioj.
Ĝi povas esti ĝeneraligita en mapon de la n-formo sur la ( n +1) formoj.
Surŝmiri tiun derivaĵon dufoje produktos nulformularon.
Formoj kun nul derivaĵo estas nomitaj fermitaj formoj, dum formoj kiuj estas sin eksteraj derivaĵoj estas konataj kiel precizaj formoj.
#000082
La spaco de diagnozalternativoformularoj ĉe punkto estas la arketipa ekzemplo de ekstera algebro;
tiel ĝi posedas kojnoprodukton, mapante k-formo kaj l-formo al ( k + l) forma.
La ekstera derivaĵo etendiĝas al tiu algebro, kaj kontentigas version de la derivaĵo de produto:
#000083
De la diferencialformularoj kaj la ekstera derivaĵo, oni povas difini la de Rham-kohomologion de la dukto.
La absoluta n kohomologiogrupo estas la kvocientogrupo de la fermitaj formoj de la precizaj formoj.
#000084
Ĉiu topologia dukto en dimensio 1, 2, aŭ 3 havas unikan diferencigan strukturon (ĝis difeomorfismo);
tiel la konceptoj de topologia kaj diferencialdukto estas apartaj nur en pli alta grandeco.
Estas konata ke en ĉiu pli alta dimensio, ekzistas kelkaj topologiaj duktoj kun neniu glata strukturo, kaj kelkaj kun multoblaj ne-diffeomorphic strukturoj.
#000085
La ekzisto de ne-smoothable duktoj estis pruvita fare de Kervaire (1960), vidas Kervaire-dukton, kaj poste klarigita en la kunteksto de la teoremo de Donaldson (komparu hilbertan kvinan problemon);
idealekzemplo de ne-smoothable dukto estas la E8 dukto.
#000086
La klasika ekzemplo de duktoj kun multoblaj malkongruaj strukturoj estas la ekzotikaj 7-sferes de John Milnor.
#000087
Ĉiu duanombrebla 1-multnombra sen limo estas homeomorfa al disan union de nombreble multaj kopioj de R (la reala linio) kaj S (la cirklo);
la nuraj ligitaj ekzemploj estas R kaj S, kaj de tiuj nur S estas kompaktaj.
En pli alta grandeco, klasifikteorio normale temigas nur kompaktajn ligitajn duktojn.
#000088
Por klasifiko de 2-manifolds, vidas surfacon: aparte kompaktaj ligitaj orientitaj 2-manifolds estas klasifikitaj per ilia genro, kio estas nenegativentjero.
#000089
Klasifiko de 3-manifolds sekvas en principo el la geometrigo de 3-manifolds kaj diversaj rekonrezultoj por geometrizabla 3-manifolds, kiel ekzemple Mostow-rigideco kaj la algoritmo de Sela por la izomorfioproblemo por hiperbolaj grupoj.
#000090
La klasifiko de n-dukto por n pli granda ol tri povas esti malebla, eĉ supren al homotopyekvivalenteco.
Surbaze de iu finhave prezentita grupo, oni povas konstrui fermitan 4-multnombran havante tiun grupon kiel fundamenta grupo.
Ĉar ekzistas neniu algoritmo por decidi la izomorfioproblemon por finhave prezentitaj grupoj, ekzistas neniu algoritmo por decidi ĉu du 4-manifolds havu la saman fundamentan grupon.
Ekde la antaŭe priskribitaj konstrurezultoj en klaso de 4-manifolds kiuj estas homeomorfaj se kaj nur se iliaj grupoj estas izomorfaj, la homeomorfioproblemo por 4-manifolds estas nedecidebla.
Krome, ĉar eĉ rekoni ke la sensignifa grupo estas nedecidebla, estas ne eĉ eble ĝenerale decidi ĉu dukto havas sensignifan fundamentan grupon, t.e. estas simple ligita.
#000091
Simple ligis 4-manifolds estis klasifikita supren al homeomorfio fare de Liberulo uzanta la intersekciĝformon kaj Kirby-Siebenmann-Invarianton.
Glata 4-multnombra teorio povas esti multe pli komplika, kiel la ekzotikaj glataj strukturoj sur R 4 montras.
#000092
Tamen, la situacio konvenas pli akordiĝema por al simple ligitaj difencigeblaj plurejoj de dimensio≥ 5, kie la h-cobordismoteoremo povas esti utiligita por redukti la klasifikon al klasifiko supren al homotopyekvivalenteco, kaj kirurgioteorio povas esti uzita.
Tio estis aranĝita por disponigi eksplicitan klasifikon de simple ligita 5-manifolds per Dennis Barden.
#000093
Riemaniana dukto estas diferencialdukto sur kiu la klavspacoj estas provizitaj per internaj produktoj en diferenciebla modo.
La interna produkto kiun strukturo ricevas en la formo de simetria 2-tensora nomis la Riemannian metrika.
Tiu metriko povas esti uzita al interkonvertitvektoroj kaj kovektors, kaj difini rangon 4 Riemann-kurbiĝo tensoro.
Sur Riemannian multnombra unu havas nociojn de longo, volumeno, kaj angulo.
Al ĉiu diferencialdukto povas ricevi Riemanianan strukturo.
#000094
Pseŭdo-Riemannian dukto estas variaĵo da Riemaniana dukto kie la metrika tensoro estas permesita havi senfinan signaturon (kontraste al pozitive difinita unu).
Pseŭd-Riemannian duktoj da signaturo (3, 1) estas gravaj en ĝenerala relativeco.
Al ne ĉiu diferencialdukto povas ricevi pseŭdo-Riemannian strukturo;
ekzistas topologiaj restriktoj sur fari tion.
#000095
Finsler-dukto estas ĝeneraligo de Riemaniana dukto, en kiu la interna produkto estas anstataŭigita kun vektornormo;
tio permesas la difinon de longo, sed ne angulon.
#000096
Simplekta dukto estas dukto provizita per fermita, nedegenerulo
Tiu kondiĉo devigas simplektajn duktojn esti eben-dimensiaj.
Kotanĝantfaskoj, kiuj ekestas kiel fazaj spacoj en Hamiltoniana mekaniko, estas la instiga ekzemplo, sed multaj kompaktduktoj ankaŭ havas simplektic-strukturon.
Ĉiuj orienteblaj surfacoj enkonstruitaj en eŭklida spaco havas simplektic-strukturon, la subskribitan areoformon sur ĉiu klavspaco induktita per la ĉirkaŭa Eŭklida interna produkto.
[noto 1] Ĉiu Riemann-faco estas ekzemplo de tia surfaco, kaj tial simplekta dukto, kiam konsiderite realan dukton.
#000097
Lie grupo estas C ∞ dukto kiu ankaŭ portas grupon strukturi kies produkto- kaj inversioperacioj estas glataj kiel mapoj de duktoj.
Tiuj objektoj ekestas nature en priskribado de simetrioj.
#000098
La kategorio da difencigeblaj plurejoj kun glataj mapmankoj certaj dezirindaj trajtoj, kaj homoj provis ĝeneraligi difencigeblajn plurejojn por ĝustigi tion.
Difeologiaj spacoj uzas malsaman nocion de diagramo konata kiel "intrigo".
Frölicher-spacoj kaj orbifold'oj estas aliaj provoj.
#000099
Rektigebla aro ĝeneraligas la ideon da pec-maniero glata aŭ rektigebla kurbo al pli alta grandeco;
tamen, rektigeblaj aroj ne estas en ĝeneralaj duktoj.
#000100
Banach-duktoj kaj Fréchet-duktoj, en specialaj duktoj de mapadoj estas senfinaj dimensiaj diferencialduktoj.
#000101
Enkonduko al matematiko de ĝenerala relativeco
Listo de formuloj en rimana geometrio
#000102
^ This form is clearly nondegenerate, and it must be closed because it is top-dimensional with respect to the surface ;
this reflects the exceptional isomorphism of Lie groups Sp (2, R ) ≅ Sl (2, R ) between the symplectic group (corresponding to symplectic structure) and the special linear group (corresponding to orientable structure).
Note that a symplectic structure requires an additional integrability condition, beyond this isomorphism of groups: it is not just a G-structure .
#000103
^ Maxwell mem laboris kun kvaropoj prefere ol tensoroj, sed liaj ekvacioj por elektromagnetismo estis utiligitaj kiel frua ekzemplo de la tensorformalismo;
viduDimitrienko, Yuriy I. (2002), Tensor Analysis and Nonlinear Tensor Functions, Springer, p. xi, ISBN 9781402010156 .
^ Kobayashi and Nomizu (1963), Volume 1.
^ This definition can be found in MacLane and Moerdijk (1992).
For an equivalent, ad hoc definition, see Sternberg (1964) Chapter II.
These are the first examples of exotic spheres.
However, 3-duktoj are only classified in the sense that there is an (impractical) algorithm for generating a non-redundant list of all compact 3-duktoj.
#000104