En matematiko, la reala linio, aŭ realnombra linio estas la linio kies punktoj estas la realaj nombroj.
Tio estas, la reala linio estas la aro R da ĉiuj realaj nombroj, rigardita kiel geometria spaco, nome la eŭklida spaco de dimensio oni.
Ĝi povas esti opiniita de kiel vektora spaco (aŭ afina spaco), metrika spaco, topologia spaco, iniciatspaco, aŭ linia kontinuumo.
#000001
Nur ŝatu la aron de realaj nombroj, la reala linio estas kutime indikita je la simbolo R (aŭ alternative,, la letero " R " en tabulo aŭdaca).
Tamen, ĝi foje estas indikita R 1 por emfazi sian rolon kiel la unua eŭklida spaco.
#000002
Tiu artikolo temigas la aspektojn de R kiel geometria spaco en topologio, geometrio, kaj reela analitiko.
La realaj nombroj ankaŭ ludas gravan rolon en algebro kiel kampo, sed en tiu kunteksto R estas malofte referita kiel linio.
Por pli da informoj pri R en ĉiuj ĝiaj alivestiĝoj, vidas realan nombron.
#000003
La reala linio estas linia kontinuumo sub la normo
Specife, la reala linio estas linie ordonita per
<, kaj tiu mendado estas densa kaj havas la malplej-supra-malliberan posedaĵon.
#000004
Aldone al ĉi-supraj trajtoj, la reala linio havas neniun maksimumon aŭ minimuman elementon.
Ĝi ankaŭ havas nombreblan densan subaron, nome la aron de raciaj nombroj.
Estas teoremo ke ĉiu linia kontinuumo kun nombrebla densa subaro kaj neniu maksimumo aŭ minimuma elemento estas ord-izomorfaj al la reala linio.
#000005
La reala linio ankaŭ kontentigas la nombreblan ĉenkondiĉon: ĉiu kolekto de reciproke dismetas, nonempty malfermaj intervaloj en R estas nombreblaj.
En orda teorio, la fama Suslin-problemo demandas ĉu ĉiu linia kontinuumo kontentiganta la nombreblan ĉenkondiĉon kiu havas neniun maksimumon aŭ minimuma elemento estas nepre ord-izomorfa al R .
Tiu deklaro estis montrita esti sendependa de la norma aksioma sistemo de aroteorio konata kiel ZFC.
#000006
La reala linio formas metrikan spacon, kun la distancfunkcio donita per absoluta diferenco:
#000007
La metrika tensoro estas klare la 1-dimensia Eŭklida metrika.
Ekde la n - dimensia Eŭklida metriko povas esti reprezentita en matricformularo kiel la n per n identa matrico, la metriko sur la reala linio estas simple la 1 de 1 identa matrico, t.e. 1.
#000008
- pilko en R centris ĉe p estas simple la malferma intervalo ( p − ε, p + ε).
#000009
Tiu reala linio havas plurajn gravajn trajtojn kiel metrika spaco:
#000010
La reala linio estas kompleta metrika spaco, en la senco ke ĉiu koŝia vico de punktoj konverĝas.
La reala linio estas pad-ligita, kaj estas unu el la plej simplaj ekzemploj de geodezia metrika spaco
La Hausdorff-dimensio de la reala linio estas egala al unu.
#000011
La reala linio portas norman topologion kiu povas esti lanĉita laŭ du malsamaj, ekvivalentaj manieroj.
Unue, ĉar la realaj nombroj estas totale ordonitaj, ili portas ordotopologion.
Due, la realaj nombroj heredas metrikan topologion de la metrika difinis supre.
La ordotopologio kaj metrika topologio sur R estas la samaj.
Kiel topologia spaco, la reala linio estas homeomorfa al la malferma intervalo (0, 1).
#000012
La reala linio estas sensignife topologia dukto de dimensio 1.
Ĝis homeomorfio, ĝi estas unu el nur du malsamaj 1-manifolds sen limo, la alia estaĵo la cirklo.
Ĝi ankaŭ havas norman diferencieblan strukturon sur ĝi, igante ĝin diferencialdukto.
(Supren al difeomorfismo, ekzistas nur unu diferenciebla strukturo kiun la topologia spaco apogas.
#000013
La reala linio estas loke kompakta kaj parakompaktujo, same kiel duanombrebla kaj normala.
Ĝi ankaŭ estas pad-ligita, kaj estas tial ligita ankaŭ, kvankam ĝi povas esti malkonektita forigante ĉiun poenton.
La reala linio ankaŭ estas kuntirebla, kaj kiel tia ĉiuj siaj homotopyogrupoj kaj reduktitaj homologio grupoj estas nul.
#000014
Kiel loke kompakta spaco, la reala linio povas esti kompaktifieita laŭ pluraj malsamaj manieroj.
La unu-punkta Kompaktigo de R estas cirklo (nome la reala projekcia linio), kaj la ekstra punkto povas esti opiniita de kiel sennoma senfineco.
Alternative, la reala linio havas du finojn, kaj la rezulta Finkompaktigo estas la plilongigita reala linio
Ekzistas ankaŭ la Stone-Čech-Kompaktigo de la reala linio, kiu implikas aldoni senfinan nombron da kromaj punktoj.
#000015
En kelkaj kuntekstoj, estas helpeme meti aliajn topologiojn sur la aktoraron de realaj nombroj, kiel ekzemple la mimimumlima topologio aŭ la Zariski-topologio.
Por la realaj nombroj, ĉi-lasta estas la sama kiel la finhava komplementtopologio.
#000016
La reala linio estas vektora spaco super la kampo R da realaj nombroj (t.e., super si mem) de dimensio 1.
Ĝi havas norman internan produkton, igante ĝin eŭklida spaco.
(La interna produkto estas simple ordinara multipliko de realaj nombroj.
La normnormo sur R estas simple la absolutvalora funkcio.
#000017
La reala linio portas kanonikan kvanton, nome la Lebesgue-iniciaton.
Tiu iniciato povas esti difinita kiel la kompletigo de Borel-kvanto difinita sur R , kie la iniciato de iu intervalo estas la longo de la intervalo.
#000018
Lebesgue-iniciato sur la reala linio estas unu el la plej simplaj ekzemploj de Haar-kvanto sur loke kompakta grupo.
#000019
La reala linio estas unu-dimensia subspaco de reala algebro A kie R ⊂ A.
Simile, la algebro de kvaropoj
#000020
Kiam la reala algebro estas rekta sumo tiam konjugacio sur A estas lanĉita per la mapadode subspaco V.
El tiu maniero la reala linio konsistas el la fikspunktoj de la konjugacio.
#000021