Wikipedia's Angle as translated by GramTrans
#000000
En planar geometrio, angulo estas la figuro formita per du radioj, nomitaj la flankoj de la angulo, havante oftan finpunkton, nomitan la vertico de la angulo.
Anguloj formitaj per du radioj kuŝas en aviadilo, sed tiu aviadilo ne devas esti Eŭklida aviadilo.
Anguloj ankaŭ estas formitaj per la intersekciĝo de du aviadiloj en Eŭklidaj kaj aliaj spacoj.
Tiuj estas nomitaj duedraj anguloj.
Anguloj formitaj per la intersekciĝo de du kurboj en aviadilo estas difinitaj kiel la angulo determinita per la klavradioj ĉe la punkto de intersekciĝo.
Similaj deklaroj tenas en spaco, ekzemple, la sfera angulo formita per du ĉefcirkloj sur sfero estas la duedra angulo inter la aviadiloj determinitaj per la ĉefcirkloj.
#000001
Angulo ankaŭ kutimas indiki la iniciaton de angulo aŭ de rotacio.
Tiu iniciato estas la rilatumo de la longo de cirkla arko al sia radiuso.
Koncerne geometrian angulon, la arko estas centrita ĉe la vertico kaj markita fare de la flankoj.
Kaze de rotacio, la arko estas centrita en la centro de la rotacio kaj markita per iu alia punkto kaj ĝia bildo per la rotacio.
#000002
La vorto angulo venas de la latinaĵo angulus, kun la signifo "angulo";
parencaj vortoj estas la greka ἀγκύλος (ankilοs), signifo "kurbaj, kurbaj", kaj la angla vorto " maleolo ".
Ambaŭ estas ligitaj kun la proto-ind-eŭropa radiko ÷ ank-, intencante "fleksi" aŭ "riverenci".
#000003
Eŭklido difinas aviadilperspektivon kiel la inklinon al unu la alian, en aviadilo, de du linioj kiuj renkontas unu la alian, kaj ne kuŝas rekte kun respekto al unu la alian.
Laŭ Proklo angulo devas esti aŭ kvalito aŭ kvanto, aŭ rilato.
La unua koncepto estis utiligita fare de Eudemus, kiu rigardis angulon kiel devion de aerlinio;
la dua de Carpus of Antioch (Manradiko de Antioĥio), kiu rigardis ĝin kiel la intervalon aŭ interspacon inter la intersekcaj linioj;
Eŭklido adoptis la trian koncepton, kvankam liaj difinoj de dekstraj, akraj, kaj obtuzaj anguloj estas certe kvantaj.
#000004
Alternativaj manieroj mezuri la grandeco de angulo
#000006
3 Ĉiutaga kaj figura senco
#000007
En matematikaj esprimoj, oni ofte utiligas grekajn leterojn (α, β, γ, θ, φ, ...
funkcii kiel variabloj signifantaj la grandecon de iom da angulo.
(Por eviti konfuzon kun ĝia alia signifo, la simbolo π estas tipe ne uzita por tiu celo.
Minusklaj romiaj leteroj (, b, c, ...
estas ankaŭ uzitaj, kiel estas mahusklaj romiaj leteroj en la kunteksto de pluranguloj.
Vidu la figurojn en tiu artikolo por ekzemploj.
#000008
En geometriaj figuroj, anguloj ankaŭ povas esti identigitaj per la etikedoj ĉemetitaj al la tri poentoj kiuj difinas ilin.
#000009
Eble, angulo indikis, ekzemple, ∠BAC eble rilatos al iuj da kvar anguloj: la dekstruma angulo de B ĝis C, la livuma angulo de B ĝis C, la dekstruma angulo de C ĝis B, aŭ la livuma angulo de C ĝis B, kie ke la direkto en kiu la angulo estas mezurita determinas it signon (vidu Pozitivajn kaj negativajn angulojn).
Tamen, en multaj geometriaj situacioj estas evidente de kunteksto ke la pozitiva angulo malpli ol aŭ egala al 180 gradoj estas signifita, kaj neniu ambigueco ekestas.
Alie, kongreso povas esti enkondukita tiel ke ∠BAC ĉiam rilatas al la livuma (pozitiva) angulo de B ĝis C, kaj ∠CAB al la livuma (pozitiva) angulo de C ĝis B.
#000010
La nomoj, intervaloj, kaj distancemaj trupoj estas montritaj en tabelo malsupre:
#000012
Kiam du aerlinioj krucas ĉe punkto, kvar anguloj estas formitaj.
Pairŭise tiuj anguloj estas nomitaj laŭ sia loko relative al unu la alian.
#000014
Paro de anguloj unu kontraŭ la alia, formita per du intersekcante aerliniojn kiuj formas "Xan" similan formon, estas nomitaj vertikalaj anguloj aŭ kontraŭ anguloj aŭ vertikale kontraŭ anguloj.
Ili estas mallongigitaj kiel vert. op. ∠s.
#000015
La egaleco de vertikale kontraŭ anguloj estas nomita la vertikala angulteoremo.
Eudemus de Rodiso atribuis la pruvon al Thales of Miletus (Thale de Mileto).
La propono montris ke ekde ambaŭ de paro de vertikalaj anguloj estas suplementaj al ambaŭ de la najbaraj anguloj, la vertikalaj anguloj estas egalaj en iniciato.
Laŭ historia Noto, [7] kiam Taleso vizitis Egiptujon, li observis ke kiam ajn la egiptoj kreus du krucantajn liniojn, ili mezurus la vertikalajn angulojn por certigi ke ili estis egalaj.
Taleso finis ke tiu unu povis pruvi ke ĉiuj vertikalaj anguloj estas egalaj se kiel ekzemple oni akceptis kelkajn ĝeneralajn nociojn: ĉiuj rektaj anguloj estas egalaj, egaluloj aldonitaj al egaluloj estas egalaj, kaj egaluloj subtrahitaj de egaluloj estas egalaj.
#000016
Najbaraj anguloj, ofte mallongigitaj kiel adj. ∠s, estas anguloj kiuj dividas oftan verticon kaj randon sed ne partumas iujn ajn internajn punktojn.
En aliaj vortoj, ili estas anguloj kiuj estas flank-al-flanke, aŭ apudaj, dividante "brakon".
Najbaraj anguloj kiuj sumo al orto, rekta angulo aŭ plena angulo estas specialaj kaj estas respektive nomitaj komplementaj, suplementaj kaj eksplementary perspektivoj (vidu "Kombinaĵo-angulo-parojn" malsupre).
#000018
Transversalo estas linio kiu intersekcas paron de (ofte paralelaj) linioj kaj estas rilata al alternaj internperspektivoj, ekvivalentaj anguloj, internperspektivojn, kaj eksterperspektivojn.
#000019
Ekzistas tri specialaj angulparoj kiuj implikas la sumigon de anguloj:
#000020
Komplementanguloj estas angulo pariĝas kies iniciatojn sumigas al unu orto ( 1 / 4 turno, 90°, aŭ π / 2 Radianoj).
Se la du komplementanguloj estas apudaj sia ne-komuna flankformo orto.
En eŭklida geometrio, la du akutaj anguloj en orta triangulo estas komplementaj, ĉar la sumo de internaj anguloj de triangulo estas 180 gradoj, kaj la orto mem respondecas pri naŭdek gradoj.
#000021
La adjektivo komplementa estas de latina complementum, asociita kun la verbkomplere, "por plenigi supren".
Akuta angulo estas "plenanil" de it komplemento por formi orton.
La diferenco inter angulo kaj orto estas nomita la komplemento de la angulo.
(La klavo de angulo korespondas al la kotanĝanto de sia komplemento al kaj sia sekanto korespondas al la kosekanto de sia komplemento.
La prefikso "ko-" en la nomoj de kelkaj trigonometriaj rilatumoj rilatas al la vorto "komplementa".
#000022
La adjektivo komplementa estas de latina complementum, asociita kun la verbkomplere, "por plenigi supren".
Akuta angulo estas "plenanil" de it komplemento por formi orton.
#000023
La diferenco inter angulo kaj orto estas nomita la komplemento de la angulo.
#000024
(La klavo de angulo korespondas al la kotanĝanto de sia komplemento al kaj sia sekanto korespondas al la kosekanto de sia komplemento.
#000025
La prefikso "ko-" en la nomoj de kelkaj trigonometriaj rilatumoj rilatas al la vorto "komplementa".
#000026
Du anguloj kiuj sumigas al rekta angulo ( 1 / 2 turno, 180°, aŭ π Radianoj) estas nomitaj suplementaj anguloj.
#000027
Se la du suplementaj anguloj estas apudaj (t.e. havas oftan verticon kaj dividas nur unu flankon), iliaj ne-komunaj flankoj formas aerlinion.
Tiaj anguloj estas nomitaj linia paro de anguloj.
Tamen, suplementaj anguloj ne devas esti sur la sama linio, kaj povas esti apartigitaj en spaco.
Ekzemple, najbaraj anguloj de paralelogramo estas suplementaj, kaj kontraŭ anguloj de cikla kvarlatero (unu kies verdglacioj ĉiuj atakas ununura cirklo) estas suplementa.
#000029
Se punkto P estas ekstera al cirklo kun centro O, kaj Se la klavlinioj de P tuŝas la cirklon je punktoj T kaj Q, tiam ∠TPQ kaj ∠TOQ estas suplementaj.
#000030
La pekoj de suplementaj anguloj estas egalaj.
Iliaj kosinusoj kaj klavoj (krom se nedifinite) estas egalaj en magnitudo sed havas kontraŭ signoj.
#000031
En eŭklida geometrio, ĉiu sumo de du anguloj en triangulo estas suplementa al la tria, ĉar la sumo de internaj anguloj de triangulo estas rekta angulo.
#000032
Du anguloj kiuj sumigas al kompleta angulo (1 turno, 360°, aŭ 2π Radianoj) estas nomitaj eksplementary-perspektivoj aŭ konjugatperspektivoj.La diferenco inter angulo kaj kompleta angulo estas nomita la eksplement de la angulo aŭ konjugato de angulo.
#000033
La diferenco inter angulo kaj kompleta angulo estas nomita la eksplement de la angulo aŭ konjugato de angulo.
#000034
En eŭklida geometrio, la iniciatoj de interno-perspektivoj de triangulo konektiĝas al π Radianoj, 180°, aŭ 1 / 2 turnas;
la iniciatoj de interno-perspektivoj de simpla konveksa kvarlatero adicias ĝis 2π Radianojn, 360°, aŭ 1 turnon.
Ĝenerale, la iniciatoj de interno-perspektivoj de simpla konveksa plurangulo kun n flankoj konektiĝas al ( n − 2) π Radianoj, aŭ 180 ( n − 2) gradoj, ( 2n − 4) ortoj, aŭ ( n / 2 − 1) turnas.
#000036
En eŭklida geometrio, la sumo de la eksterperspektivoj da simpla konveksa plurangulo estos unu plena turno (360°).
La eksterperspektivo ĉi tie povus esti nomita suplementa eksterperspektivo.
Eksterperspektivoj estas ofte uzitaj en Logo Turtle Geometry dum tirado de regulaj plurlateroj.
#000037
La angulo inter du aviadiloj (kiel ekzemple du apudaj vizaĝoj de pluredro) estas nomita duedra angulo .
Ĝi povas esti difinita kiel la akuta angulo inter du linionormalo al la aviadiloj.
La angulo inter aviadilo kaj intersekca aerlinio estas egala al naŭdek gradoj minus la angulo inter la intersekca linio kaj la linio kiu ekzamenas la punkton de intersekciĝo kaj estas normalaj al la aviadilo.
#000038
La grandeco de geometria angulo estas kutime karakterizita per la signifo de la plej malgranda rotacio kiu mapas unu el la radioj en la aliaj.
Anguloj kiuj havas la saman grandecon laŭdire estas egalaj aŭ kongruaj aŭ egalaj en iniciato.
#000039
En iom daj kuntekstoj, kiel ekzemple identigado de punkto sur cirklo aŭ priskribado de la orientiĝo de objekto en du dimensioj relative al referencorientiĝo, anguloj kiuj malsamas de preciza multoblo de plena turno estas efike ekvivalentaj.
En aliaj kuntekstoj, kiel ekzemple identigado de punkto sur spiral kurbo aŭ priskribado de la akumula rotacio de objekto en du dimensioj relative al referencorientiĝo, anguloj kiuj malsamas de ne-nula multoblo de plena turno ne estas ekvivalentaj.
#000040
Por mezuri angulonθ, cirkla arko centrita ĉe la vertico de la angulo estas tirita, ekz. kun paro de kompasoj.
La rilatumo de la longosde la arko de la radiusorde la cirklo estas la iniciato de la angulo en Radianoj.
#000041
La iniciato de la angulo en alia angulunuo tiam akiriĝas multobligante it iniciaton en Radianoj de la skalfaktoro k / 2π , kie k estas la iniciato de kompleta turno en la elektita unuo (ekzemple 360 por gradoj aŭ 400 por gradian'oj):
#000042
La angulaldonpostulato deklaras ke se B estas en la interno de angulo AOC, tiam
#000044
La iniciato de la angulo AOC estas la sumo de la iniciato de angulo AOB kaj la iniciato de angulo BOC.
En tiu postulato ĝi ne gravas enen kiu unuo la angulo estas distancemaj tiel longe kiel ĉiu angulo estas laŭmezura en la sama unuo.
#000045
Trupoj kutimis reprezenti angulojn estas listigitaj malsupre en descenda magnitudsinsekvo.
De tiuj unuoj, la grado kaj la Radiano estas senkompare la plej ofte uzis.
Anguloj esprimitaj en Radianoj estas sendimensiaj por la celoj de dimensia analizo.
#000046
La plej multaj trupoj de angulmezurado estas difinitaj tia ke unu turno (t.e. unu plena cirklo) estas egala al n unuoj, por iu tuta pli sensenta n.
La du esceptoj estas la Radiano kaj la diametroparto.
#000047
Kvadranto ( n = 4)
#000050
La kvadranto estas 1 / 4 el turno, t.e. orto .
Ĝi estas la unuo uzita en Elementoj de Eŭklido.
En la germana la simbol ∟ estis uzita por indiki kvadranton.
#000051
Sekstanto ( n = 6)
La sekstanto ( angulo de la egallatera triangulo ) estas 1 / 6 el turno.
Ĝi estis la unuo uzita fare de la babilonanoj, [16] kaj estas aparte facila por konstrui per reganto kaj kompasoj.
La grado, arkminuto kaj sekundo da arko estas seksagesimal subunuoj de la babilona unuo.
#000052
Sekstanto ( n = 6)
#000053
La Radiano estas la angulo subtendita per arko de cirklo kiu havas la saman longon kiel la radiuso de la cirklo.
La kazo de Radiano por la formulo surbaze de pli frue, Radiano da n = 2π ekzempleroj akiriĝas metante k = 2π / 2π = 1-a Unu turno estas 2π Radianoj, kaj unu Radiano estas 180 / π gradoj, aŭ proksimume 57.2958 gradoj.
La Radiano estas mallongigita vico, kvankam tiu simbolo ofte estas preterlasita en matematikaj tekstoj, kie Radianoj estas supozitaj krom se precizigite alie.
Kiam Radianoj estas uzitaj anguloj estas konsideritaj sendimensiajn.
La Radiano estas uzita en praktike ĉio al matematika laboro preter simpla praktika geometrio, konvena, ekzemple, al la plaĉaj kaj "naturaj" trajtoj kiujn la trigonometria funkcio elmontras kiam iliaj argumentoj estas en Radianoj.
La Radiano estas la (derivita) unuo de angulmezurado en la SI sistemo.
#000054
Horloĝpozicio ( n = 12)
Horloĝpozicio estas la relativa direkto de objekto priskribita utiligante la analogecon de 12-hora horloĝo.
Oni imagas horloĝsurfacon kuŝanta aŭ vertikala aŭ apartamento antaŭ si, kaj identigas la dek du hormarkadojn kun la indikoj en kiuj ili indikas.
#000055
Horloĝpozicio ( n = 12)
#000056
Horperspektivo ( n = 24)
La astronomia horperspektivo estas 1 / 24 el turno.
Ĉar tiu sistemo estas alirebla al mezurado objektoj kiuj cirkulas foje je tago (kiel ekzemple la relativa pozicio da steloj), la seksagesimal subunuoj estas vokitaj ete de tempo kaj sekundo da tempo.
Notu ke tiuj estas apartaj de, kaj 15 fojojn pli granda ol, protokolo kaj sekundoj da arko.
#000057
Horperspektivo ( n = 24)
#000058
(Kompaso) punkto aŭ vento ( n = 32)
La punkto, utiligita en navigacio, estas 1 / 32 el turno.
Ĉiu punkto estas subdividita en kvar kvaron-punktoj tiel ke 1 turno korespondas al 128 kvaron-punktoj.
#000059
(Kompaso) punkto aŭ vento ( n = 32)
#000060
La punkto, utiligita en navigacio, estas 1 / 32 el turno.
Ĉiu punkto estas subdividita en kvar kvaron-punktoj tiel ke 1 turno korespondas al 128 kvaron-punktoj.
#000061
Hexacontade ( n = 60)
La heksakontade estas unuo de 6° ke Eratosteno uzita, tiel ke tuta turno estis dividita en 60 ekzemplerojn.
#000062
Hexacontade ( n = 60)
#000063
La heksakontade estas unuo de 6° ke Eratosteno uzita, tiel ke tuta turno estis dividita en 60 ekzemplerojn.
#000064
- La pechus estis babilona unuo egala al proksimume 2° aŭ 2 1 / 2 °.
#000065
La binara grado, ankaŭ konata kiel la binara Radiano (aŭ cefalofo), estas 1 / 256 el turno.
La binara grado estas uzita en komputiko tiel ke angulo povas esti efike reprezentita en ununura bajto (kvankam al limigita precizeco).
Aliaj iniciatoj de angulo utiligita en komputiko povas esti bazitaj sur disigado de unu tuta iĝi 2 n egalaj partoj por aliaj valoroj de n.
#000066
La grado, indikita fare de malgranda supermanuskriptocirklo (°), estas 1/360 el turno, tiel ke unu turno estas 360°.
La kazo de gradoj por la formulo surbaze de pli frue, grado da n = 360° ekzempleroj akiriĝas fiksante k = 360° / 2π .
Unu avantaĝo de tiu maljuna seksagesimal subunuo estas tiel multaj anguloj oftaj en simpla geometrio estas mezuritaj kiel tutaĵo nombro da gradoj.
Frakcioj de grado povas esti skribitaj en normala decimalnotacio (ekz. 3.5° por tri-kaj-duono gradoj), sed la "etaj" kaj "duaj" seksagesimal subunuoj de la "grado-minute-dua" sistemo ankaŭ estas en uzo, precipe por geografiaj koordinatoj kaj en astronomio kaj balistiko:
#000067
La diametroparto (foje uzita en islama matematiko) estas 1 / 60 Radianoj.
Unu "diametroparto" estas ĉirkaŭ 0.95493°.
Ekzistas proksimume 376.991 diametropartoj per turno.
#000068
Diplomiĝinto ( n = 400)
La diplomiĝinto, ankaŭ nomita grado, gradian, aŭ gon, estas 1 / 400 el turno, tiel ke orto estas 100 gradusoj.
Ĝi estas decimala subunuo de la kvadranto.
Kilometro estis historie difinita kiel centi-diplomiĝinto de arko laŭ ĉefcirklo de la Tero, tiel ke la kilometro estas la decimala analogaĵo al la seksagesimal marmejlo.
La diplomiĝinto estas uzita plejparte en triangulado.
#000069
Diplomiĝinto ( n = 400)
#000070
La kilometrodeko estas pluraj unuoj kiuj estas ĉirkaŭ egala al miliradian.
Ekzistas pluraj difinoj variantaj de 0.05625 ĝis 0.06 gradoj (3,375 ĝis 3,6 minutoj), kie la miliradian estas ĉirkaŭ 0.05729578 gradoj (3.43775 minutoj).
En NATO-landoj, ĝi estas difinita kiel 1 / 6400 el cirklo.
Ĝia valoro estas ĉirkaŭ egala al la angulo subtendita per larĝo de 1 metro vide de 1 km fore ( 2π / 6400 = 0.0009817 ...
#000071
La dua de arko (aŭ arksekundo, aŭ ĵus due) estas 1 / 60 el arkminuto kaj 1 / 3600 de grado.
Ĝi estas indikita antaŭ duobla primo (′′).
#000073
Kvankam la difino da la mezurado de angulo ne apogas la koncepton de negativa angulo, estas ofte utile trudi kongreson kiu permesas pozitivaj kaj negativaj angulvaloroj reprezenti orientiĝojn kaj/aŭ rotaciojn enen kontraŭ indikoj relative al iu referenco.
#000074
En dudimensia karteza koordinatsistemo, angulo estas tipe difinita memstare du flankoj, kun ĝia vertico ĉe la origino.
La komenca flanko estas sur la pozitiva absciso, dum la alia flanko aŭ fina flanko estas difinitaj per la iniciato de la komenca flanko en Radianoj, gradoj, aŭ turnas.
Kie pozitivaj anguloj reprezentas rotaciojn direkte al la pozitiva ipsilonakso kaj negativaj anguloj reprezentante rotaciojn direkte al la negativa ipsilonakso.
Kiam kartezaj koordinatoj estas reprezentitaj per norma pozicio, difinita per la absciso aldekstre kaj la ipsilonakso supren, pozitivaj rotacioj estas livumaj kaj negativaj rotacioj estas dekstruma.
#000075
En multaj kuntekstoj, angulo de − θ estas efike ekvivalenta al angulo de "unu plena turnminuso θ ".
Ekzemple, orientiĝo reprezentis kiel −45° estas efike ekvivalentaj al orientiĝo reprezentis kiel 360° − 45° aŭ 315°.
Kvankam la fina pozicio estas la sama, fizika rotacio (movado) de −45° ne estas la sama kiel rotacio de 315° (ekzemple, la rotacio de persono tenanta balailon ripozantan sur polvokovrita planko forlasus vide malsamajn spurojn de balaitaj regionoj sur la plankon).
#000076
En tridimensia geometrio, "dekstrume" kaj "kontraŭhorloĝe" havas neniun absolutan signifon, tiel ke la direkto de pozitivaj kaj negativaj anguloj devas esti difinita relative al iu referenco, kiu estas tipe vektoro pasanta tra la vertico de la angulo kaj perpendikulara al la aviadilo en kiu la radioj de la angulo kuŝas.
#000077
En navigacio, pendaĵoj estas mezuritaj relative al nordo.
De kongreso, rigardita de supre, biradperspektivoj estas pozitiva dekstrume, tiel ke birado de 45° egalrilatas al nordorienta orientiĝo.
Negativaj pendaĵoj ne estas uzitaj en navigacio, tiel ke nordokcidenta orientiĝo egalrilatas al birado de 315°.
#000078
Ekzistas pluraj alternativoj al mezurado de la grandeco de angulo de la angulo de rotacio.
La grado de deklivo , aŭ gradiento estas egala al la klavo de la angulo, aŭ foje (malofte) la sine.
Gradiento ofte estas esprimita kiel procento.
Por tre malgrandaj valoroj (malpli ol 5%), la grado de deklivo estas ĉirkaŭ la iniciato de la angulo en Radianoj.
#000079
En racia geometrio la disvastiĝo inter du linioj estas difinita ĉe la kvadrato de la sine de la angulo inter la linioj.
Ekde la sine de angulo kaj la sine de ĝia suplementa angulo estas la sama, ajna angulo de rotacio kiu mapas unu el la linioj en la aliajn antaŭecojn al la sama valoro por la disvastiĝo inter la linioj.
#000080
Astronomoj mezuras angulapartigon de objektoj en gradoj de sia punkto de observado.
#000081
0.5° estas ĉirkaŭ la larĝo de la suno aŭ luno.
1° estas ĉirkaŭ la larĝo de etfingro ĉe la longo de brako.
10° estas ĉirkaŭ la larĝo de fermita pugno ĉe la longo de brako.
20° estas ĉirkaŭ la larĝo de manojpato ĉe la longo de brako.
#000082
Tiuj mezuradoj evidente dependas de la individua temo, kaj la supre devus esti traktitaj kiel malglata proksimuma regulo aproksimadoj nur.
#000083
La angulo inter linio kaj kurbo (miksita angulo) aŭ inter du intersekcantaj kurboj (kurba angulo) estas difinita por esti la angulo inter la klavoj ĉe la punkto de intersekciĝo.
Diversaj nomoj (nun malofte, se iam, uzis) doniĝis al specialaj kazoj: - amficirtic (Gr.
ἀμφί, sur same flankoj, κυρτός, konveksa) aŭ cisoidal (Gr.
ξυστρίς, ilo por bataletado), concav-konveksa;
κοίλη, kavaĵo) aŭ anguluslunularis, bikonkava.
#000084
La malnovgrekaj matematikistoj sciis kiel bisekci angulon (dividu ĝin en du angulojn de egala iniciato) uzantan nur kompason kaj liniilon, sed povis nur trisekton certajn angulojn.
En 1837 Pierre Wantzel montris ke por la plej multaj anguloj tiu konstruo ne povas esti prezentita.
#000085
En la eŭklida spaco, la angulo θ inter du vektoroj u kaj v estas rilatita al ilia skalarprodukto kaj iliaj longoj de la formulo
#000086
Tiu formulo liveras facilan metodon trovi la angulon inter du aviadiloj (aŭ kurbaj surfacoj) de iliaj normalaj vektoroj kaj inter misoblikvaj linioj de iliaj vektorekvacioj.
#000087
Por difini angulojn en abstrakta reala interna produktospaco, ni anstataŭigas la Eŭklidan skalarprodukton ( · )
#000088
En kompleksa interna produktospaco, la esprimo por la kosinuso supre povas doni ne-realajn valorojn, tiel ke kun ĝi estas anstataŭigita
#000089
aŭ, pli ofte, uzante la absolutan valoron, kun
#000090
en hilberta spaco povas esti etendita al subspacoj de iu finhava grandeco.
#000091
En rimana geometrio, la metrika tensoro kutimas difini la angulon inter du klavoj.
Kie U kaj V estas klavvektoroj kaj g ij estas la komponentoj de la metrika tensoro G,
#000092
Hiperbola angulo estas argumento de hiperbola funkcio ekzakte kiel la cirkla angulo estas la argumento de cirkla funkcio.
La komparo povas esti bildigita kiel la grandeco de la malfermoj de hiperbola sektoro kaj cirkla sektoro ekde la areoj de tiuj sektoroj egalrilatas al la angulmagnitudoj en ĉiu kazo.
Male al la cirkla angulo, la hiperbola angulo estas nelimigita.
Kiam la cirklaj kaj hiperbolaj funkcioj estas rigarditaj kiel senfinaj serioj en sia angulargumento, la cirklaj ĵus alternseriajn formularojn de la hiperbolaj funkcioj.
Tiu teksado de la du specoj de angulo kaj funkcio estis klarigita fare de Leonard Euler en Enkonduko la Analizo de la Infinito .
#000093
Anguloj en geografio kaj astronomio
#000094
En geografio, la loko de iu punkto sur la Tero povas esti identigita uzante geografian koordinatan sistemon .
Tiu sistemo precizigas la latitudon kaj longitudon de iu loko laŭ anguloj subtenditaj en la centro de la Tero, utiligante la ekvatoron kaj (kutime) la Greenwich-meridianon kiel referencojn.
#000095
En astronomio, antaŭfiksita punkto sur la ĉielosfero (t.e., la ŝajna pozicio de astro) povas esti identigita uzante plurajn astronomiaj koordinatsistemoj , kie la referencoj varias laŭ la speciala sistemo.
Astronomoj mezuras la angulapartigon de du steloj imagante du liniojn tra la centro de la Tero, ĉiu intersekcante unu el la steloj.
La angulo inter tiuj linioj povas esti mezurita, kaj estas la angulapartigo inter la du steloj.
#000096
En kaj geografio kaj astronomio, ekviddirekto povas esti precizigita laŭ vertikala angulo kiel ekzemple alteco / alteco kun respekto al la horizonto same kiel la azimuto kun respekto al nordo.
#000097
Astronomoj ankaŭ mezuras la ŝajnan grandecon de objektoj kiel angula diametro.
Ekzemple, la plenluno havas angulan diametron de ĉirkaŭ 0.5°, kiam rigardite de la Tero.
Oni povis diri, "la diametro de La Luno subtendas angulon de duona grado."
La malgrand-angula formulo povas esti utiligita por konverti tian angulmezuradon en distancon/grandecproporcion.
#000098
Teoremo pri la cirkonferenca angulo kaj la centra angulo
Solida angulo por koncepto de angulo en tri dimensioj.
#000099
^ Tiu aliro postulas tamen kroman pruvon ke la iniciato de la angulo ne ŝanĝiĝas kun varia radiusor, aldone al la temo de "mezursekcioj elektitaj."
Pli glata aliro estas mezuri la angulon de la longo de la ekvivalenta trigonometriacirkla arko.
Ĉi tie "trupo" povas esti elektita por esti sendimensia en la senco ke ĝi estas la reala nombro 1 asociita kun la unuo segmentas sur la reala linio.
#000100
Angulo estas figuro formata de du strekoj etendantaj el punkto, la vertico de la angulo. Anguloj estas studataj en geometrio kaj trigonometrio.
#000105
Por mezuri angulon, cirklo kun centro ĉe la vertico estu desegnita. La radiana mezuro de la angulo estas la longeco de la arko eltranĉita de la cirklo dividite per la longeco de la radiuso de la cirklo. La grada mezuro de la angulo estas la longeco de la arko dividite per la longeco de la cirkonferenco de la cirklo, kaj multiplikite per 360. La simbolo por gradoj estas superskribita cirkleto, kiel en 360°.
#000106
2π radianoj egalas al 360° (plena cirko), do unu radiano estas ĉirkaŭ 57° kaj unu grado estas π/180 radianoj.
#000107
Matematikistoj ĝenerale preferas la radianan mezuron, ĉar ĝi forigas la arbitreco de la nombro 360 de la grada sistemo kaj ĉar la trigonometriaj funkcioj havas pli simplajn tajlorajn seriojn se oni uzas la radianan sistemon. La SI-sistemo de unuoj uzas radianojn kiel (derivita) unuo de anguloj.
#000108
Angulo de π/2 radianoj aŭ 90° (kvarono de plena cirklo) nomiĝas orta angulo. Anguloj pli malgrandaj ol orta angulo nomiĝas akuta angulo. Angulo pli granda ol orta angulo nomiĝas malakuta aŭ obtuza angulo.
#000109
Angulo de π radianoj aŭ 180° (duono de plena cirklo) nomiĝas streĉita angulo. Angulo malpli granda ol streĉita angulo angulo nomiĝas konveksa angulo. Angulo pli granda ol streĉita angulo nomiĝas malkonveksa aŭ konkava angulo.
#000110
Angulo estas nefermita spaco limigita de du aŭ kelkaj sin reciproke renkontantaj surfacoj; ekzemple "La veturilo turnis angulen." En figura senco angulo estas malvasta, malofte vizitata aŭ rigardata loko. Angulo ankaŭ povas esti nedifinita loko ("la kvar anguloj de la tero").
#000111