En matematiko, la integralo de ne-negativa funkcio de ununura variablo povas esti rigardita, en la plej simpla kazo, kiel la areo inter la grafeo de tiu funkcio kaj la x - akso.
La Lebesgue-integralo etendas la integritan al pli granda klaso de funkcioj.
Ĝi ankaŭ etendas la domajnojn sur kiuj tiuj funkcioj povas esti difinitaj.
#000002
Long antaŭ la apero de la 20-a jarcento, matematikistoj jam komprenis ke por ne-negativaj funkcioj kun sufiĉe glata grafeo - kiel ekzemple kontinuaj funkcioj sur fermitajn saltitajn intervalojn - la areo sub la kurbo povus esti difinita kiel la integralo, kaj komputis uzanta-aproksimadoteknikojn sur la regiono de pluranguloj.
Tamen, kiel la bezono pripensi pli neregulaj funkcioj ekestis - ekz., kiel rezulto de la limigaj procezoj de analitiko kaj la matematika teorio de verŝajneco - ĝi iĝis klara ke pli zorgemaj aproksimadoteknikoj estis necesaj por difini taŭgan integralon.
Ankaŭ, oni eble deziros integri sur spacoj pli da generalo ol la reala linio.
La Lebesgue-integralo disponigas la dekstrajn abstraktadojn necesaj farendaĵo tiun gravan taskon.
#000003
La Lebesgue-integralo ludas gravan rolon en probablokalkulo, en la branĉo de matematiko nomita reela analitiko kaj en multaj aliaj kampoj en la matematikaj sciencoj.
Ĝi estas nomita laŭ Henri Leon Lebesgue (1875-1941), kiu lanĉis la integralon ( Lebesgue 1904).
Ĝi ankaŭ estas pivota parto de la aksioma teorio de verŝajneco.
#000004
La esprimo Lebesgue integriĝo povas signifi aŭ la ĝeneralan teorion de integriĝo de funkcio kun respekto al ĝenerala kvanto, kiel lanĉite fare de Lebesgue, aŭ la specifa kazo de integriĝo de funkcio difinis sur sub-domajno de la reala linio kun respekto al Lebesgue-iniciato.
#000005
La integralo de funkcio f inter limoj a kaj b povas esti interpretita kiel la areo sub la grafeo de f .
Tio estas facila por kompreni por konataj funkcioj kiel ekzemple polinomoj, sed kion laŭ kion ĝi signifas por pli ekzotikaj funkcioj?
Ĝenerale, por kiu klaso de funkcioj faras "areon sub la kurbo" soni racie?
La respondo al tiu demando havas grandan teorian kaj praktikan gravecon.
#000007
Kiel parto de ĝenerala movado direkte al rigoro en matematiko en la deknaŭa jarcento, matematikistoj provis surŝmiri integralan kalkulon certa fundament.
La Riemann-integralo - svatita fare de Bernhard Riemann (1826-1866) - estas larĝe sukcesa provo disponigi tian fonduson.
La difino de Riemann komenciĝas per la konstruado de sekvenco de facile kalkulitaj areoj kiuj konverĝas al la integralo de antaŭfiksita funkcio.
Tiu difino estas sukcesa en la senco ke ĝi donas la atendatan respondon por multaj jam-solvitaj problemoj, kaj donas utilajn rezultojn por multaj aliaj problemoj.
#000008
Tamen, Riemann-integriĝo ne interagas bone kun ĉarmaj limoj de sekvencoj de funkcioj, igante tiajn limigajn procezojn malfacilaj analizi.
Tio estas grava, ekzemple, en la studo de Fourier-serio, Fourier transformas, kaj aliaj temoj.
La Lebesgue-integralo povas pli bone priskribi kiel kaj kiam estas eble preni limojn sub la integrita signo (per la potenca monotona konverĝteoremo kaj dominita konverĝteoremo).
#000009
Dum la Riemann-integralo konsideras la areon sub kurbo faritan el vertikalaj rektanguloj, la Lebesgue-difino pripensas horizontalajn slabojn kiuj ne estas nepre ĵus rektanguloj, kaj tiel ĝi estas pli fleksebla.
, La Lebesgue-difino estas ebla kalkuli integralojn por pli larĝa klaso de funkcioj.
Ekzemple, la Dirichlet-funkcio, kiu estas 0 kie ĝia argumento estas neraciaj kaj 1 alie, havas Lebesgue-integralon, sed ne havas Riemann-integralon.
Krome, la Lebesgue-integralo de tiu funkcio estas nul, kiu konsentas kun la intuicio ke dum elektado de reala nombro unuforme ĉe hazarda de la unuobla intervalo, la probableco de elektado de racia nombro devus esti nul.
#000010
mi devas pagi certan sumon, kiun mi kolektis en I poŝo.
mi prenas la fakturojn kaj monerojn el I poŝo kaj donas ilin al la kreditoro en la sinsekvo kiun mi trovas al ili ĝis mi atingis la totalan sumon.
Sed I povas daŭrigi alimaniere.
Post kiam mi prenis la tutan monon el I poŝo kiun mi ordigas al la fakturoj kaj moneroj laŭ identaj valoroj kaj tiam mi pagas la plurajn stakojn unu- post la alie al la kreditoro.
#000012
La kompreno estas tiu unu devus povi rearanĝi la valorojn de funkcio libere, konservante la valoron de la integralo.
Tiu procezo de rearanĝo povas konverti tre patologian funkcion en tian kiu estas "bela" de la perspektivo de integriĝo, kaj tiel lasas tiajn patologiajn funkciojn esti integritaj.
#000013
Ricevi iun intuicion ĉirkaŭ la malsamaj aliroj al integriĝo, lasis nin imagi ke ni volas trovi la volumenon de monto (super marnivelo).
#000014
Dividu la fundamenton de la monto en du kradojn da 1-metra kvadrato ĉiu;
unu krado kie ĉiuj kvadratfinoj super la monto krom ĉe unu poento (la maksaproksimado), kaj alia krado kie ĉiu kvadrato finiĝas sub la monto krom ĉe unu poento (la min.aproksimado).
La volumeno de iu ununura kradkvadrato estas sama 1 -m2 × (la alteco de tiu kvadrato).
Al La totalvolumeno estas alproksimigita de supre kaj malsupre per ĉiu respektiva krado, kaj konverĝas (sub antaŭfiksitaj kondiĉoj) al ilia mezvaloro kiam ĉiu kradareo estas reduktita.
#000015
Remizo altecmapo de la monto, kie apudaj konturoj estas 1 metro de alteco dise.
La volumeno el tero kiun ununura konturslabo enhavas estas sama 1 m × (kiu la areo de konturo).
Al La totalvolumeno estas alproksimigita per la sumo de tiuj volumoj kaj konverĝas (sub antaŭfiksitaj kondiĉoj) al unika sumo kiam la alteco de ĉiu slabo estas reduktita.
#000016
Folland resumas la diferencon inter la Riemann- kaj Lebesgue-aliroj tiel: "por komputi la Riemann-integralon de f , oni dividas la domajnon [, b] en subintervalojn", dum en la Lebesgue-integralo, "oni en efiko dividas la intervalon de f ."
#000017
Difini la Lebesgue-integralon postulas la formalan nocion de kvanto kiu, malglate, asocias al ĉiu aro A de realaj nombroj nenegativnombron da μ ( A) reprezentanta la "grandecon" de A .
Tiu nocio de "grandeco" devus konsenti kun la kutima longo de intervalo aŭ disan union de intervaloj.
Supozu ke f: R → R + estas ne-negativa real-aprezita funkcio.
Utiligante la "partigon la intervalon da f " filozofion, la integralo de f devus esti la sumo super t da la elementa areo enhavita en la maldika horizontala strio inter y = t kaj y = dt + t .
Tiu elementa areo estas justa
#000018
La Lebesgue-integralo de f tiam estas difinita per [2]
#000019
kie la integralo dekstraflanke estas ordinara nedeca Riemann-integralo (noto tiu f ∗ estas ne-negativa malkreskanta funkcio, kaj tial havas klare difinitan nedecan Riemann-integralon).
Por taŭga klaso de funkcioj (la mezureblaj funkcioj), tio difinas la Lebesgue-integralon.
#000020
Ĝenerala (ne nepre pozitiva) funkcio f estas Lebesgue integrabla se la areo inter la grafeo de f kaj la x - akso estas finhavaj:
#000021
En tiu kazo, la integralo estas, kiel en la Riemaniana kazo, la diferenco inter la areo super la x - akso kaj la areo sub la x - akso:
#000022
La diskuto kiu sekvas egalas la plej oftan klarigantan aliron al la Lebesgue-integralo.
En tiu aliro, la teorio de integriĝo havas du apartajn partojn:
#000023
Teorio de mezureblaj aroj kaj iniciatoj sur tiuj aktoraroj
Teorio de mezureblaj funkcioj kaj integraloj sur tiuj funkcioj
#000024
La funkcio kies integralo troveblas tiam estas aproksimita per certaj tielnomitaj simplaj funkcioj, kies integraloj povas esti skribitaj laŭ la iniciato.
La integralo de la origina funkcio tiam estas la limo de la integralo de la simplaj funkcioj.
#000025
Mezura teorio estis komence kreita por disponigi utilan abstraktadon de la nocio de longo de subaroj da la reala linio - kaj, pli ĝenerale, areon kaj volumenon de subaroj de eŭklidaj spacoj.
Aparte, ĝi disponigis sisteman respondon al la demando de kiu subaroj de R havas longon.
Ĉar pli postaj aroteorio evoluoj montris (vidu ne-mezureblan aron), estas fakte maleble asigni longon al ĉiuj subaroj de R en maniero kiel kiu konservas iun naturan aditivecon kaj tradukon envariancotrajtoj.
Tio indikas ke elekti taŭgan klason de mezureblaj subaroj estas esenca antaŭkondiĉo.
#000026
La Riemann-integralo uzas la nocion de longo eksplicite.
Efektive, la elemento de kalkulo por la Riemann-integralo estas la rektangulo [, b
c, d], kies areo estas kalkulita por esti ( b − ) ( d − c).
La kvanto da b − estas la longo de la bazo de la rektangulo kaj d − c estas la alteco de la rektangulo.
Riemann povis nur uzi planar rektangulojn por alproksimiĝi al la areo sub la kurbo, ĉar ekzistis neniu adekvata teorio por mezurado pli ĝeneralaj aroj.
#000027
En la evoluo de la teorio en la plej multaj modernaj lernolibroj (post 1950), la aliro al iniciato kaj integriĝo estas aksioma.
Tio signifas ke kvanto estas ajna funkcio μ difinita sur certa klaso X de subaroj de aro E, kiu kontentigas certan liston de trajtoj.
Tiuj trajtoj povas esti montritaj teni en multaj malsamaj kazoj.
#000028
Ni komencas kun iniciatspaco ( E, X, μ) kie E estas aro, X estas σ-algebro de subaroj de E , kaj μ estas ( ne-negativa) kvanto sur E difinita sur la aktoraroj de X .
#000029
Ekzemple, E povas esti Eŭklida n - spaco R n aŭ iu Lebesgue-mezurebla subaro de ĝi, X estas la σ-algebro de ĉiuj Lebesgue-mezureblaj subaroj de E , kaj μ estas la Lebesgue-iniciato.
En la matematika teorio de verŝajneco, ni limigas nian studon al verŝajnec iniciato μ, kiu kontentigas μ ( E) = 1.
#000030
La teorio de Lebesgue difinas integralojn por klaso de funkcioj vokis mezureblajn funkciojn.
Real-aprezita funkcio f sur E estas mezurebla se la antaŭ-bildo de ĉiu intervalo de la formo ( t
#000031
Ni povas montri ke tio estas ekvivalenta al postulado ke la antaŭ-bildo de iu Borel subaro de R estu en X .
La aro da mezureblaj funkcioj estas fermita sub algebraj operacioj, sed pli grave ĝi estas fermita sub diversaj specoj de punkt-maniero sinsekvaj limoj:
#000032
estas mezureblaj se la origina sekvenco ( f k ) k , kie k ∈ N, konsistas el mezureblaj funkcioj.
#000033
por mezureblaj real-aprezitaj funkcioj f difinita sur E en stadioj:
#000034
Indikilo funkcias: Por asigni valoron al la integralo de la indikilfunkcio 1 S da mezurebla aro S kongrua kun la antaŭfiksita mezuras al μ, la nura akceptebla elekto devas meti:
#000035
Rimarkas ke la rezulto povas esti egala al +∞, se μ ne estas finhava kvanto.
#000036
Simplaj funkcioj: finhava lineara kombinaĵo de indikilfunkcioj
#000037
kie la koeficientoj k estas realaj nombroj kaj kiujn la aroj Sk estas mezureblaj, estas nomitaj mezurebla simpla funkcio.
Ni etendas la integralon de lineareco por ne-malaprobi mezureblajn simplajn funkciojn.
Kiam la koeficient ak estas ne-negativa, ni metis
#000038
La kongreso 0-× ∞ = 0 devas esti uzitaj, kaj la rezulto povas esti senfina.
Eĉ se simpla funkcio povas esti skribita laŭ multaj manieroj kiel lineara kombinaĵo de indikilfunkcioj, la integralo ĉiam estas la sama.
Tio povas esti montrita uzante la aditivecposedaĵon de iniciatoj.
#000039
Iom da prizorgo estas necesa dum difinado de la integralo de real-aprezita simpla funkcio, por eviti la nedifinitan esprimon
: oni supozas ke la reprezentantaro
#000040
estas tia ke μ ( S da k
kiam ajn k ≠ 0.
Tiam ĉi-supra formulo por la integralo de f sonas racie, kaj la rezulto ne dependas sur la akurata reprezentado de f kontentiganta la supozojn.
#000041
Se B estas mezurebla subaro da E kaj s estas mezurebla simpla funkcio oni difinas
#000042
Non-negativaj funkcioj: Lasu f esti ne-negativa mezurebla funkcio sur E , kiun ni permesas ekhavi la valor+∞, en aliaj vortoj, f prenas ne-negativajn valorojn en la plilongigita realnombra linio.
#000043
Ni devas montri ke tiu integralo koincidas kun la antaŭirado unu, difinita sur la aktoraro de simplaj funkcioj, kiam E estas segmento [, b].
Ekzistas ankaŭ la demando de ĉu tio korespondas en iu vojo al Riemann-nocio de integriĝo.
Estas eble pruvi ke la respondo al ambaŭ demandoj estas jes.
#000044
Ni difinis la integralon de f por iu ne-negativan plilongigitan real-aprezitan mezureblan funkcion sur E.
Por kelkaj funkcioj, tiu integrita ∫ E f dμ estas senfina.
#000045
Subskribitaj funkcioj: Por pritrakti subskribitajn funkciojn, ni bezonas kelkaj pli da difinoj.
Se f estas mezurebla funkcio da la aro E al la realoj (inkluzive de ±∞), tiam ni povas skribi
#000046
Notu ke kaj f + kaj f − estas ne-negativaj mezureblaj funkcioj.
#000047
ni diras ke f estas Lebesgue integrabla.
#000049
Ĝi turnas ke tiu difino donas la dezirindajn trajtojn de la integralo.
#000050
Kompleksaj aprezitaj funkcioj povas esti simile integritaj, per pripensado de la reela parto kaj la imaginara parto aparte.
#000051
Se h = f + ig por real-aprezitaj integrablaj funkcioj f, g, tiam per la integralo de h estas difinita
#000052
La funkcio estas Lebesgue integrabla se kaj nur se ĝia absoluta valoro estas Lebesgue integrabla (vidu Absolute integrablan funkcion).
#000053
Pripensu la indikilfunkcion de la raciaj nombroj, 1 Q .
Tiu funkcio estas nenie kontinua.
#000054
Tiel la supraj Darboŭ-sumoj estas ĉio oni, kaj la pli malaltaj Darboŭ-sumoj estas ĉiuj nul.
#000055
Teknika temo en Lebesgue-integriĝo estas ke la domajno de integriĝo estas difinita kiel aro (subaro de iniciatspaco), kun neniu nocio de orientiĝo.
En elementa kalkulado, oni difinas integriĝon kun respekto al orientiĝo:
#000056
Ĝeneraligante tion al pli alta grandeca rendimentintegriĝo de diferencigaj formoj.
Kompare, Lebesgue-integriĝo disponigas alternativan ĝeneraligon, integrante super subaroj kun respekto al kvanto;
tio povas esti notateita kiel
#000057
indiki integriĝon pli ol subaro A .
Por detaloj sur la rilato inter tiuj ĝeneraligoj, vidas Diferencigan form§ Relation kun iniciatoj.
#000058
Ĉi tie ni diskutas la limigojn de la Riemann-integralo kaj la pli grandan amplekson ofertitan per la Lebesgue-integralo.
Tiu diskuto supozas laborkomprenon de la Riemann-integralo.
#000059
La aperon de Fourier-serio, multaj analizaj problemoj implikantaj integralojn elpensis kies kontentiga solvo postulis interŝanĝante limprocezojn kaj integritajn signojn.
Tamen, la kondiĉoj sub kiu la integraloj
#000060
estas egalaj pruvis tre pasema en la Riemann-kadro.
Ekzistas iuj aliaj teknikaj malfacilaĵoj kun la Riemann-integralo.
Tiuj estas interligitaj kun la lim-prenanta malfacileco diskutita supre.
#000061
Kiel montrite supre, la indikilfunkcio 1 Q sur la rationals ne estas Riemann integrabla.
Aparte, la Monotona konverĝteoremo malsukcesas.
esti listigo de ĉiuj raciaj nombroj en [0, 1] (ili estas nombreblaj tiel tio povas esti farita.
#000062
La funkcio g da k estas nul ĉie, krom sur finhava aktoraro de punktoj.
Tial ĝia Riemann-integralo estas nul.
Ĉiu g da k estas ne-negativa, kaj tiu sekvenco de funkcioj estas monotonical kreskanta, sed sia limo kiel k
1 Q estas, kio ne estas Riemann integrabla.
#000063
La Riemann-integralo povas nur integri funkciojn sur saltita intervalo.
Ĝi povas tamen esti etendita al nelimigitaj intervaloj prenante limojn, tiel longajn kiel kiel ekzemple tio ne donas respondon
#000064
Integrado sur strukturoj krom eŭklida spaco.
La Riemann-integralo estas nesolveble ligita al la ordostrukturo de la reala linio.
#000065
Bazaj teoremoj de la Lebesgue-integralo
#000066
La Lebesgue-integralo ne distingas inter funkcioj kiuj malsamas nur sur aktoraro de μ-iniciata nul.
Por igi tion preciza, funkcioj f kaj g laŭdire estas egalaj preskaŭ ĉie (a.e.
#000067
Se f, g estas ne-negativaj mezureblaj funkcioj (eventuale supozante la valor+∞) tia ke f = g preskaŭ ĉie, tiam
#000068
Al spriteco, la integralo respektas la ekvivalentrilaton de preskaŭ ĉie egaleco.
#000069
Se f, g estas funkcioj tia ke f = g preskaŭ ĉie, tiam f estas Lebesgue integrablaj se kaj nur Se g estas Lebesgue integrabla, kaj la integraloj de f kaj g estas la samaj se ili ekzistas.
#000070
Lineareco: Se f kaj g estas Lebesgue-integrablaj funkcioj kaj a kaj b estas realaj nombroj, tiam af + bg estas Lebesgue integrablaj kaj
#000072
Monotonicity: Se f ≤ g , tiam
#000073
k ∈ N estas sekvenco de ne-negativaj mezureblaj funkcioj tia ke
#000074
Tiam, la punktmanierlimo f de f k estas Lebesgue mezurebla kaj
#000075
La valoro de iuj da la integraloj estas permesita esti senfina.
#000076
k ∈ N estas sekvenco de ne-negativaj mezureblaj funkcioj, tiam
#000077
Denove, la valoro de iuj da la integraloj povas esti senfina.
#000078
Tiam, f estas Lebesgue integrabla kaj
#000080
Por ilustri kelkajn el la pruvteknikoj uzitaj en Lebesgue-integriĝteorio, ni skizas pruvon da la supre menciita Lebesgue-monotona konverĝteoremo.
k ∈ N estu ne-malkreskanta sekvenco de ne-negativaj mezureblaj funkcioj kaj metu
#000081
Proksime de la monotonecposedaĵo de la integralo, estas tuje ke:
#000082
kaj la limo dekstraflanke ekzistas, ĉar la sekvenco estas monotona.
Ni nun pruvas la malegalecon en la alia direkto.
Ĝi sekvas el la difino de integralo kiu ekzistas ne-malkreskanta sekvenco ( g da n ) da ne-negativaj simplaj funkcioj tia ke g da n ≤ f kaj
#000083
Tial, ĝi sufiĉas por pruvi tion por ĉiu n ∈ N,
#000084
Ni montros ke se g estas simpla funkcio kaj
#000085
Detruante la funkcion g en ĝiajn konstantajn valorpartojn, tio reduktas al la kazo en kiu g estas la indikilfunkcio de aro.
La rezulto kiun ni devas pruvi tiam estas
#000086
k ∈ N estas nemalpliiĝadsekvenco de ne-negativaj mezureblaj funkcioj sur E tia ke
#000087
por preskaŭ ĉio x ∈ A .
#000088
Pruvi tiun rezulton, fiksi ε > 0 kaj difini la sekvencon de mezureblaj aroj
#000089
De monotoneco de la integralo, ĝi sekvas tion por iu k ∈ N,
#000090
Ĉar preskaŭ ĉiu x estas en Bk por sufiĉe granda k , ni havas
#000091
ĝis aro de iniciato 0.
Tiel per nombrebla aditiveco de μ , kaj ĉar Bk pliiĝas kun k ,
#000092
kreskanta nombra vico estas, tial ĝia limo ekzistas, eĉ se ĝi estas egala al ∞.
#000096
por ĉiu n , tiel ke
#000097
Nun ni devas establi la inversan malegalecon.
Solvo α ∈ (0, 1), lasis φ esti simplanima funkcio kun 0 ≤ φ ≤ f kaj lasi
#000098
Tio estas vera por ĉiu n , inkluzive de la limo:
#000099
Tio estis vera por ĉiu α ∈ (0, 1), tiel ke ĝi restas vera por α = 1, kaj prenante la Precizan supran randon super simpla φ ≤ f de la difino de integriĝo en L + ,
#000100
Nun ni havas ambaŭ neegalaĵojn, tiel ke ni montris la Monotone Convergence-teoremon:
#000101
L + , la aro de pozitivaj mezureblaj funkcioj de X → [0, ∞].
#000102
Estas eble evoluigi la integralon kun respekto al la Lebesgue-iniciato sen fidado je la plena maŝinaro de mezura teorio.
Unu tia aliro estas disponigita per la Daniell-integralo.
#000103
Ekzistas ankaŭ alternativaliro al evoluigado de la teorio de integriĝo per metodoj de funkcionala analitiko.
La Riemann-integralo ekzistas por iu kontinua funkcio f de kompakta subteno difinita sur R n (aŭ fiksa malferma subaro).
Integraloj da pli ĝeneralaj funkcioj povas esti konstruitaj komencante de tiuj integraloj.
#000104
Lasu Ccm esti la spaco de ĉiuj real-aprezis kompakte apogitajn kontinuajn funkciojn de R. Define normo sur Ccm de
#000105
Tiam Ccm estas normeita vektora spaco (kaj aparte, ĝi estas metrika spaco.
Ĉiuj metrikaj spacoj havas Hausdorff-kompletigojn, do lasis L 1 esti ĝia kompletigo.
Tiu spaco estas izomorfa al la spaco de Lebesgue-integrabla funkciomodulo la subspaco de funkcioj kun integrita nul.
Krome, la Riemann-integral ∫ estas al unuforme kontinua funkcia kun respekto al la normo sur Ccm , kiu estas densa en L 1 .
Tial ∫ havas unikan etendaĵon al ĉio de L 1 .
Tiu integralo estas ĝuste la Lebesgue-integralo.
#000106
Pli ĝenerale, kiam la iniciatspaco sur kiu la funkcioj estas difinitaj ankaŭ estas loke kompaktan
topologia spaco (kiel estas la kazo kun la realaj nombroj R), iniciatoj kongrua kun la topologio en taŭga signifo ( Radoniniciatoj, da kiuj la Lebesgue-iniciato estas ekzemplo) integralo kun respekto al ili povas esti difinitaj en la sama maniero, komencante de la integraloj de kontinuaj funkcioj kun kompakta subteno.
Pli ĝuste, la kompakte apogitaj funkcioj formas vektoran spacon kiu portas naturan topologion, kaj (Radono-) kvanto estas difinita kiel kontinua linia funkcia sur tiu spaco.
La valoro de kvanto ĉe kompakte apogita funkcio tiam estas ankaŭ de difino la integralo de la funkcio.
Oni tiam daŭrigas vastigi la iniciaton (la integralo) al pli ĝeneralaj funkcioj de kontinueco, kaj difinas la iniciaton de aro kiel la integralon de ĝia indikilfunkcio.
Tio estas la aliro prenita fare de Bourbaki (2004) kaj certa nombro da aliaj verkintoj.
#000107
La ĉefcelo de Lebesgue-integralo devas disponigi integritan nocion kie limoj de integraloj tenas sub mildaj supozoj.
Ekzistas neniu garantio ke ĉiu funkcio estas Lebesgue integrabla.
Sed povas okazi tiuj malregulaj integraloj ekzisti por funkcioj kiuj ne estas Lebesgue integrablaj.
#000108
super la tuta reala linio.
Tiu funkcio ne estas Lebesgue integrabla, kiel
#000109
ĝi estas dufoje la Dirichlet-integralo.
#000110
Diferencigo sub la integrita signo
#000128