En matematiko, kompakta ( topologia) grupo estas topologia grupo kies topologio estas kompakta.
Kompaktaj grupoj estas natura ĝeneraligo de finiaj grupoj kun la diskreta topologio kaj havas trajtojn kiuj portas en signifa modo.
Kompaktaj grupoj havas bon-understood teorion, rilate al grupaj agoj kaj prezenta teorio.
#000001
En la sekvanta ni supozos ke ĉiuj grupoj estas Hausdorff-spacoj.
#000002
5 prezenta teorio de ligita kompakta Mensoggrupo 5.1
7 De kompakta ne-kompaktigi grupojn
#000003
Mensoggrupoj formas tre simpatian klason de topologiaj grupoj, kaj la kompaktaj Mensoggrupoj havas precipe bonevoluintan teorion.
Bazaj ekzemploj de kompaktaj Mensoggrupoj inkludas [1]
#000004
la cirklogrupo T kaj la Toro grupigas T
la ortogonalaj grupoj O ( n), la speciala ortogonala grupo TIEL ( n) kaj ĝia kovra spingrupo Spin ( n),
la unitaria grupo U ( n) kaj la speciala unitaria grupo Su ( n),
la simplektic-grupo Sp ( n),
la kompaktaj formoj de la esceptaj Mensoggrupoj:
#000005
La klasifikteoremo de kompaktaj Mensoggrupoj deklaras tio supren al finhavaj etendaĵoj kaj finhavaj kovroj tio elĉerpas la liston de ekzemploj (kiu jam inkludas kelkajn redundojn).
Tiu klasifiko estas priskribita en pli da detalo en la venonta subfako.
#000006
Surbaze de iu kompakta Mensoggrupo G oni povas preni ĝian identeckomponenton G 0, kiu estas ligita.
La kvocientogrupo G / G 0 estas la grupo de komponentoπ0 ( G) kiu devas esti finhava ĉar G estas kompakta.
Ni tial havas finhavan etendaĵon
#000007
Dume, por ligitaj kompaktaj Mensoggrupoj, ni havas la sekvan rezulton: [2]
#000008
Teoremo: Ĉiu ligita kompakta Mensoggrupo estas la kvociento de finhava centra subgrupo de produkto de simple ligita kompakta Mensoggrupo kaj Toro.
#000009
Tiel, la klasifiko de ligitaj kompaktaj Mensoggrupoj povas en principo esti reduktita al kono de la simple ligitaj kompaktaj Mensoggrupoj kune kun informoj pri iliaj centroj.
#000010
Finfine, ĉiu kompakta, ligita, simple-ligita Mensoggrupo K estas produkto de kompaktujo, ligita, simple-ligita simpla Mensoggrupoj K I ĉiu el kiu estas izomorfa al ekzakte unu el la sekvantaroj:
#000011
aŭ unu el la kvin esceptaj grupoj G2- , F4 , E6 , E kun nombro , kaj E8 .
La restriktoj sur n devas eviti specialajn izomorfiojn inter la diversaj familioj por malgrandaj valoroj de n.
Por ĉiu el tiuj grupoj, la centro estas konata eksplicite.
#000013
Inter grupoj kiuj ne Lie-grupoj estas, kaj tiel ne portas la strukturon de dukto, ekzemploj estas la aldona grupo Z p de p-adicentjeroj, kaj konstruoj de ĝi.
Fakte ĉiu profinitgrupo estas kompakta grupo.
Tio signifas ke Galois-grupoj estas kompaktaj grupoj, baza fakto por la teorio de algebraj etendaĵoj koncerne senfinan gradon.
#000014
Pontryagin-dueco disponigas grandan liveradon de ekzemploj de kompaktaj kommutativaj grupoj.
Tiuj estas en dueco kun abelaj diskretaj grupoj.
#000015
Kompaktaj grupoj ĉiuj portas Haar-kvanton, [3] kiuj estos senvaria per kaj maldekstra kaj dekstra traduko (la modulus funkcio devas esti kontinuaj homomorfism ĝis pozitivaj realoj (R +, ×), kaj tiel 1).
En aliaj vortoj, tiuj grupoj estas unimodulaj.
Haar-iniciato estas facile normaligita por esti verŝajneckvanto, analoga al dθ/2π sur la cirklo.
#000016
Tia Haar-kvanto estas en multaj kazoj facilaj komputi;
ekzemple por ortogonalaj grupoj ĝi estis konata al Adolf Hurwitz, kaj en la Lie-grupkazoj povas ĉiam ricevi per senvaria diferenciga formo.
En la profinitkazo ekzistas multaj subgrupoj de finhava indekso, kaj Haar-iniciato de kun-grupo estos la reciproka de la indekso.
Tial, integraloj ofte estas komputeblaj sufiĉe rekte, fakto uzita konstante en nombroteorio.
#000017
La prezenta teorio de kompaktaj grupoj (ne nepre Lie-grupoj kaj ne nepre ligis) estis fondita per la Peter-Weyl-teoremo.
Hermann Weyl daŭriĝis por doni al la detala karaktero teorio de la kompaktaj ligitaj Mensoggrupoj, surbaze de maksimuma Tor teorio.
La rezulta Weyl-karaktero formulo estis unu el la influaj rezultoj de dudeka-jarcenta matematiko.
(Tiu teorio estas priskribita en detalo en la venonta sekcio.
#000018
Kombinaĵo de la laboro de Weyl kaj la teoremo de Cartan donas enketon de la tuta prezenta teorio de kompaktaj grupoj G.
Tio estas, de la Peter-Weyl-teoremo la neredukteblaj unitariaj reprezentantaroj ρ de G estas en unitarian grupon (de finhava dimensio) kaj la bildo estos fermita subgrupo de la unitaria grupo de kompakteco.
La teoremo de Cartan deklaras ke Im (ρ) devas sin esti Lie-subgrupo en la unitaria grupo.
Se G ne estas sin Lie-grupo, devas ekzisti kerno al ρ.
Plue oni povas formi inversan sistemon, por la kerno de ρ pli malgranda kaj pli malgranda, de finhav-dimensiaj unitariaj reprezentantaroj, kiu identigas G kiel inversa limo de kompaktaj Mensoggrupoj.
Ĉi tie la fakto ke en la limo fidela reprezentado de G estas trovita estas alia sekvo de la Peter-Weyl-teoremo,
#000019
La nekonata parto de la prezenta teorio de kompaktaj grupoj estas tiel, malglate parolante, reĵetita sur la kompleksaj reprezentadoj de finiaj grupoj.
Tiu teorio estas sufiĉe riĉa je detalo, sed estas kvalite bone komprenita.
#000020
Prezenta teorio de ligita kompakta Mensoggrupo
#000021
Kun Certaj simplaj ekzemploj de la prezenta teorio de kompaktaj Mensoggrupoj povas esti laboritaj permane, kiel ekzemple la reprezentadoj de la turnada grupo TIEL (3), la speciala unitaria grupo Su (2), kaj la speciala unitaria grupo Su (3).
Ni temigas ĉi tie la ĝeneralan teorion.
Vidu ankaŭ la paralelan teorion de reprezentadoj de semikuracherba Lie-algebro.
#000022
Al tiu integreckondiĉo estas rilatita, sed ne identa al, la nocio de integrita elemento en la konteksto de semikuracherbaj Lie-algebroj.
#000025
Tamen, la restrikto putriĝas kiel rekta sumo de neredukteblaj reprezentadoj de T.
(Notu ke antaŭfiksita nereduktebla reprezentado de T povas okazi pli ol unufoje.
La strategio de la prezenta teorio de K devas klasifiki la neredukteblajn reprezentantarojn laŭ iliaj pezoj.
#000026
Ni nun nelonge priskribas la strukturojn necesaj por formuli la teoremon;
pli da detaloj povas esti trovitaj en la artikolo sur pezoj en prezenta teorio.
Ni bezonas la nocion de radiksistemo por K (relative al antaŭfiksita maksimuma Toro T).
#000027
La neredukteblaj finhav-dimensiaj reprezentadoj de K tiam estas klasifikitaj per teoremo de la plej alta pezo , [9] kiu estas proksime rilatita al la analogaj teoremaj klasifikadreprezentadoj de semikuracherba Lie-algebro.
#000028
ĉiu nereduktebla reprezentantaro havas plej alte pezon,
la plej alta pezo ĉiam estas al domina, analize integrita elemento,
du neredukteblaj reprezentantaroj kun la sama plej alta pezo estas neredukteblaj, kaj
ĉiu domina, analize integrita elemento ekestas kiel la plej alta pezo de nereduktebla reprezentantaro.
#000029
ĉiu nereduktebla reprezentantaro havas plej alte pezon,
#000030
la plej alta pezo ĉiam estas al domina, analize integrita elemento,
#000031
du neredukteblaj reprezentantaroj kun la sama plej alta pezo estas neredukteblaj, kaj
#000032
ĉiu domina, analize integrita elemento ekestas kiel la plej alta pezo de nereduktebla reprezentantaro.
#000033
La teoremo de la plej alta pezo por reprezentadoj de K tiam estas preskaŭ la sama kiel por semikuracherbaj Lie-algebroj, kun unu rimarkinda escepto: La koncepto de integrita elemento estas malsama.
Ĉiu analize integrita elemento estas integrita en la Lie-algebrosignifo, sed ne la alia maniero ĉirkaŭe.
Aliflanke, se K estas simple ligita, la aro de eblaj plej altaj pezoj en la grupsignifo estas la sama kiel la aro de eblaj plej altaj pezoj en la Lie-algebrosignifo.
#000034
En la proksime rilatita prezenta teorio de semikuracherbo Lie-algebroj, grava rezulto pri la reprezentantaroj estas la Weyl-karaktero formulo.
En la Lie-algebro metanta, aliflanke, la karaktero formulo estas kroma rezulto establita post kiam la reprezentantaroj estis klasifikitaj.
En la analizo de Weyl de la kompakta grupkazo, aliflanke, la Weyl-karaktero formulo estas fakte decida parto de la klasifiko mem.
Specife, en la analizo de Weyl de la reprezentadoj de K, la plej malmola parto de la teoremo - montrante ke ĉiu domina, analize integrita elemento estas fakte la plej alta pezo de iu reprezentantaro - estas pruvita en komplete malsama vojo de la kutima Lie-algebrokonstruo uzante Verma modulojn.
En la aliro de Weyl, la konstruo estas bazita sur la Peter-Weyl-teoremo kaj analiza pruvo de la Weyl-karaktero formulo.
Finfine, la neredukteblaj reprezentadoj de K estas realigitaj ene de la spaco de kontinuaj funkcioj sur K.
#000035
La temo de reakirado de kompakta grupo de ĝia prezenta teorio estas la temo de la Tannaka-Krein-dueco, nun ofte transfandita en esprimo de tanakian teorio de kategorioj.
#000036
La influo de la kompakta teorio de grupoj sur ne-kompaktaj grupoj estis formulita fare de Weyl en lia unitara truko.
Ene de ĝenerala semikuracherbo Lie-grupo ekzistas maksimuma kompakta subgrupo, kaj la prezenta teorio de tiaj grupoj, evoluigitaj plejparte fare de Harish-Chandra, uzas intense la limigon de reprezentantaro al tia subgrupo, kaj ankaŭ la modelo de la karaktero de Weyl teorio.
#000037