En matematiko, Borel-de Siebenthal-teorio priskribas la fermitajn ligitajn subgrupojn de kompakta Mensoggrupo kiuj havas maksimuman rangon, t.e. enhavas maksimuman Toron.
Ĝi estas nomita laŭ la svisaj matematikistoj Armand Borel kaj Jean de Siebenthal kiuj evoluigis la teorion en 1949.
Ĉiu tia subgrupo estas la identeckomponento de la centraliganto de sia centro.
Ili povas esti priskribitaj rekursive laŭ la rilata radiksistemo de la grupo.
La subgrupoj por kiuj la ekvivalenta homogena spaco havas senvarian kompleksan strukturon egalrilatas al parabolaj subgrupoj en la kompleksigado de la kompakta Mensoggrupo, reduktiva algebra grupo.
#000001
Ligitaj subgrupoj de maksimuma rango
#000003
Borel kaj de Siebenthal pruvis ke la ligitaj fermitaj subgrupoj de maksimuma rango estas ĝuste la identeckomponentoj de la centraligantoj de siaj centroj.
#000005
Ilia rezulto dependas de fakto de prezenta teorio.
La pezoj de nereduktebla reprezentado de ligita kompakta semikuracherbogrupo K kun plej alta pezo λ povas esti facile priskribitaj (sen siaj diversecoj): ili estas ĝuste la saturiĝo sub la Weyl-grupo de la dominaj pezoj akiritaj per subtrahado de sumo de simplaj radikoj de λ.
Aparte, se la nereduktebla reprezentantaro estas sensignifa sur la centro de K (finhava komuta grupo), 0 estas pezo.
#000006
Maksimumaj ligitaj subgrupoj de maksimuma rango
#000008
Borel kaj de Siebenthal klasifikis la maksimuman fermis ligitajn subgrupojn de maksimuma rango de ligita kompakta Mensoggrupo.
#000009
La ĝenerala klasifiko de ligita fermis subgrupojn de maksimuma rango povas esti reduktita al tiu kazo, ĉar ĉiu ligita subgrupo de maksimuma rango estas enhavita en finhava ĉeno de tiaj subgrupoj, ĉiu maksimuma en la venonta unu.
Maksimumaj subgrupoj estas la identeckomponentoj de iu elemento de sia centro ne apartenanta al la centro de la tuta grupo.
#000010
La problemo de determinado de la maksimumaj ligitaj subgrupoj de maksimuma rango povas esti plue reduktita al la kazo kie la kompakta Mensoggrupo estas simplanima.
Fakte la Lie-algebrode ligita kompakta Mensoggrupo G fendetiĝas kiel rekta sumo de la idealoj
#000011
kiela centro kaj la aliaj faktoroj estasestas simplaj.
Se T estas maksimuma Toro, sia Lie-algebrohavas ekvivalentan disfendadon
#000012
Se H estas al fermita ligita de G enhavanta T kun Lie-algebro, la kompleksigado dela rekta sumo de la kompleksigado estas dekaj kelkaj unu-dimensiaj pezospacoj, ĉiu el kiu kuŝas en la kompleksigado de faktoro.
#000013
Se H estas maksimuma, ĉiuj krom unu el la's koincidi kunkaj la restanta estas maksimuma kaj de maksimuma rango.
Por tiu faktoro, la fermita ligita subgrupo de la ekvivalenta simple ligita simplanima kompakta Mensoggrupo estas maksimuma kaj de maksimuma rango.
#000014
Élie Cartan shouŭeis ke ĝi estas fundamenta domajno por la afina Weyl-grupo.
Se G 1 = G / Z kaj T da 1 = T / Z, ĝi sekvas ke la eksponenta mapado deal G 1 portas 2πA sur T 1.
#000018
THEOREM. La maksimumaj ligitaj subgrupoj de maksimuma rango en G 1 supren al konjugacy havas la formon • C da G 1 ( X mi ) por m mi = 1 • C da G 1 ( v mi ) por m mi prime.
#000021
Tiu rezulto povas esti revortigita laŭ la plilongigita Dynkin-diagramo dekiu aldonas ekstran nodon por la plej alta radiko same kiel la etikedoj m da I .
La maksimumaj subalgebrojde maksimuma rango estas al aŭ ne-semisimple aŭ semimsimple.
La ne-semisimple tiaj akiriĝas forigante du nodojn de la plilongigita diagramo kun koeficiento oni.
La ekvivalenta neetikedita diagramo donas al la Dynkin-diagramo semikuracherbparton de, la alia parto estante unu-dimensia faktoro.
La Dynkin-diagramoj por la semikuracherbo tiaj akiriĝas forigante unu nodon kun koeficiento primon.
Tio kondukas al la sekvaj eblecoj:
#000023
N : p × A da n − p − 1 × T (ne-semisimple)
B n : D n aŭ B p × D n − p (semikuracherbo), B n − 1 × T (ne-semisimple)
#000024
Subarδ1 ⊂ δ estas nomita fermita subsistemo se kiam ajn α kaj β kuŝas en δ1 kun α + β en δ, tiam α + β kuŝas en δ1.
Du subsistemδ1 kaj δ2 laŭdire estas ekvivalentaj se σ ( δ1
#000027
THEOREM. Supren al ekvivalenteco la fermitaj radiksubsistemoj estas evoluitaj je m mi = 1 kun simplaj radikoj ĉion α j kun j ≠ mi aŭ je m mi > 1 preparas kun simpla radikoj − α0 kaj ĉio α j kun j ≠ mi.
#000029
Tiu rezulto estas sekvo de la Borel-de Siebenthal-teoremo por maksimumaj ligitaj subgrupoj de maksimuma rango.
Ĝi ankaŭ povas esti pruvita rekte ene de la teorio de radiksistemoj kaj reflektadgrupoj.
#000030
Aplikoj al simetriaj spacoj de kompakta tipo
#000031
kie, la Lie-algebro de K, estas la +1 ajgenspaco de σ kajla —1 ajgenspaco.
Seenhavas neniun simplan sumand de, la paro (, σ) estas nomita ortogonala simetria Lie-algebro de kompakta tipo.
#000033
La simetria spaco aŭ la paro (, σ) laŭdire estas nereduktebla se la adjunkta ago de(aŭ ekvivalente la identecokomponento de G σ aŭ K) estas nereduktebla sur.
Tio estas ekvivalenta al la maksimeco dekiel subalgebro.
#000035
Fakte ekzistas unu-unu korespondado inter mezaj subalgebrojkaj K-senvaria subspacojdedonite per
#000036
Ajna ortogonala simetria algebro (, σ) povas esti malkonstruita kiel (ortogonala) rekta sumo de neredukteblaj ortogonalaj simetriaj algebroj.
#000037
Faktepovas esti skribita kiel rekta sumo de simplaj algebroj
#000038
finhava komuta grupo estas reaganta libere al G / K.
La ne-simple ligitaj simetriaj spacoj ekestas kiam kvocientoj de subgrupoj de Δ. The-subgrupo povas esti identigitaj kun la fundamenta grupo, kio estas tiel finhava komuta grupo.
#000042
Victor Kac rimarkis ke ĉiuj finhavaj ordaŭtomorfismoj de simpla Lie-algebro povas esti determinitaj uzante la ekvivalentan afinan Lie-algebron: tiu klasifiko, kiu kondukas al alternativa metodo de klasifikado de paroj (, σ), estas priskribita en Helgason (1978).
#000044
Aplikoj al Hermitaj simetriaj spacoj de kompakta tipo
#000045
Fakte la simetria regiono havas preskaŭ kompleksan strukturon konservantan la Riemanianan metrikon se kaj nur se ekzistas lineara bildigo J kun J 2
mi kiu konservas la internan produkton kaj navedas kun la ago de K.
En tiu kazo J kuŝas enenkaj eksp Jt formas unu-parametran grupon en la centro de K.
Tio sekvas ĉar se A, B, C, D situas enen, tiam de la envarianco de la interna produkto [16]
#000047
Difinu linearan bildigon δ surde etendado de J por esti 0 sur.
La lasta rilato montras ke de δ estas derivaĵo.
Postesemikuracherbo estas, δ devas esti interna derivaĵo, tiel ke
#000049
kun T enkaj A en.
Preno Xa en, ĝi sekvas tiun A = 0 kaj T situas en la centro dekaj tial tiu K estas ne-semisimple.
#000050