En matematiko kaj teoria fiziko, pseŭd-eŭklida spaco estas finhav-dimensia reala n - spaco kune kun ne-degenerita
Tia kvadrata formo povas, surbaze de taŭga elekto de bazo ( e 1
e n ), esti aplikita al vektoro x = x 1 e 1
x n e n , donante
#000001
Por eŭklidaj spacoj, k = n , implicante ke la kvadrata formo estas pozitive difinita.
Kie 0 ≠ k ≠ n , q estas izotropa kvadrata formo.
Notu tion se mi ≤ k kaj j > k , tiam q ( e mi + e j ) = 0, tiel ke e mi + e j estas nulvektoro.
En pseŭd-eŭklida spaco kun k ≠ n , male al enen eŭklida spaco, tie ekzistas vektoroj kun negativa magnitudo.
#000002
Kun la esprimo eŭklida spaco, pseŭd-eŭklida spaco povas nomi aŭ afinan spacon aŭ vektoran spacon, kvankam ĉi-lasta ankaŭ povas esti referita kiel pseŭd-eŭklida vektora spaco [2] (vidu punkt-vektoran distingon).
#000003
Pozitiva, nul, kaj negativaj magnitudoj
Paralelogramjuro kaj teoremo de Pitagoro
#000004
La geometrio de pseŭd-eŭklida spaco estas kohera malgraŭ kolapso de la kelkaj trajtoj de eŭklida spaco;
plej precipe ke ĝi ne estas metrika spaco kiel klarigite malsupre.
La afina strukturo estas senŝanĝa, kaj tiel ankaŭ la konceptolinio, aviadilo kaj, ĝenerale, de afina subspaco ( plata), same kiel linipartoj.
#000005
Pozitiva, nul, kaj negativaj magnitudoj
#000006
Nulvektoro estas vektoro por kiu la kvadrata formo estas nul.
Male al en eŭklida spaco, la vektoro povas esti ne-nula, en kiu kazo ĝi estas ortogonala al si mem.
Kiam la pseŭd-eŭklida spaco disponigas modelon por spactempo (vidu malsupre), la nulkonuso estas nomita la lumkonuso de la origino.
#000007
La nulkonuso apartigas du malfermitajn arojn, [3] por kiu q ( x)> 0 kaj q ( x)< 0.
Ĉu k ≥ 2, tiam la aro de vektoroj por kiu q ( x)> 0 estas ligitaj.
Se k = 1, tiam ĝi konsistas el du dismetas partojn, unu kun x 1 > 0 kaj alia kun x 1 < 0.
Similaj deklaroj povas esti direktiĝis al vektoroj por kiu q ( x)< 0 se k estas anstataŭigitaj kun n − k .
#000008
La signifo q egalrilatas al la kvadrato de vektoro (aŭ sia normo) en Eŭklida kazo.
Por difini la vektornormon (kaj distancigi) en senvaria maniero, oni devas ricevi kvadratajn radikojn de magnitudoj, kiu kondukas al eventuale imagaj distancoj;
vidu kvadrata radiko de negativaj nombroj.
Sed eĉ por triangulo kun pozitivaj magnitudoj de ĉiuj tri flankoj (kies kvadrataj radikoj estas realaj kaj pozitivaj), la neegalaĵo de triangulo ne estas nepre vera.
#000009
Tial esprimoj normo kaj distanco estas evititaj en pseŭd-eŭklida geometrio, anstataŭigita kun magnitudo kaj intervalo respektive.
#000010
Kvankam, por kurbo kies klavvektoroj ĉiuj havas la saman signon de magnitudo, la arklongo estas difinita.
Ĝi havas gravajn aplikojn: vidu bonordan tempon, ekzemple.
#000011
La rotacio grupo de tia spaco estas senfina ortogonala grupo O ( q), ankaŭ indikita kiel O ( k, n − k) sen referenco al speciala kvadrata formo.
Tiaj "rotacioj" konservas la formon q kaj, tial, la signifon de ĉiu vektoro inkluzive de ĉu ĝi estas pozitiva, nul, aŭ negativa.
#000012
Tia hipersurfaco, nomita kvazaŭ-sfero, estas konservita fare de la konvena senfina ortogonala grupo.
#000013
La kvadrata formo q kaŭzas simetrian dulinearan formon difinitan jene:
#000014
Tiu dulineara formo ofte estas referita kiel la skalarprodukto, kaj foje kiel "interna produkto" aŭ "skalarprodukto", sed ĝi ne difinas internan produktospacon kaj ĝi ne havas la trajtojn de la skalarprodukto de vektoroj.
#000015
La norma bazo de la reala n - spaco estas ortogonala.
Ekzistas neniuj ortonormalaj bazoj en pseŭd-eŭklida spaco por kiu la dulineara formo estas senfina, ĉar ne povas esti uzite difini vektornormon.
#000016
Por (pozitiv-dimensia) subspaco [5] U de pseŭd-eŭklida regiono, kiam la signifformularo q estas malvastanima al U , sekvi tri kazojn estas eblaj:
#000017
Unu el la plej multaj malharmoniaj trajtoj (por Eŭklida intuicio) de pseŭd-eŭklidaj vektoroj kaj apartamentoj estas ilia Orteco.
Kiam du ne-nulaj vektoroj estas perpendikularaj, ili ne estas samliniaj.
Sed la difino de la antaŭa subfako tuj implicas ke ĉiu vektoro ν de nulmagnitudo estas perpendikulara al si mem.
Tial, por la 1-subspace N = ⟨ ν ⟩ generita per tia ne-nula vektoro, ĝia ortogonala komplemento da N ⊥ estos superspaco de N .
#000019
La formala difino de la ortogonala komplemento de vektorsubspaco en pseŭd-eŭklida regiono donas tute klare difinitan rezulton, kiu kontentigas la egalecan malklaran U + malklaran U ⊥ = n pro la ne-degenereco de la signifformularo.
Ĝi estas ĵus la kondiĉo
#000020
aŭ, ekvivalente, U + U ⊥ = ĉio spaco,
#000021
kiu povas esti rompita se la subspaco U enhavas nuldirekton.
Dum subspacoj formas kradon, kiel en iu vektora spaco, tiu ⊥ operacio ne estas ortosuplementado, kontraste al interna produktospacoj.
#000022
Por subspaco N kunmetita tute de nulvektoroj (kiu signifas ke la signifo q , malvastanima al N , egalas al 0), ĉiam tenas:
#000023
Tia subspaco povas havi ĝis min. ( k, n − k) grandeco.
#000025
Por (pozitiva) Eŭklida k - subspaco ĝia ortogonala komplemento estas ( n − k) - dimensia negativa "Eŭklida" subspaco, kaj inverse.
Ĝenerale, por ( d + + d − + d 0) - dimensia subspaco U konsistanta el d + pozitiva kaj d − negativa grandeco (vidu leĝo de inercio de Sylvester por klarigo), ĝia ortogonala "komplemento" U ⊥ havas ( k − d + − d 0) pozitivajn kaj ( n − k − d − − d 0) negativajn grandecon, dum la resto da d 0 ili estas degeneritaj kaj formas la U ∩ U ⊥ intersekciĝo.
#000026
Paralelogramjuro kaj teoremo de Pitagoro
#000027
La paralelogramleĝo prenas la formon
#000028
Uzante la kvadraton de la sum identeco, por arbitra triangulo oni povas esprimi la signifon de la tria flanko de magnitudoj de du flankoj kaj ilian dulinearforman produkton:
#000029
\displaistile q (x y) = q (x) +q (y) +2\langle x, i\rangle.
#000030
Tio montras ke, por ortogonalaj vektoroj, pseŭd-eŭklida analogaĵo de la pitagorea teoremo tenas:
#000031
\displaistile \langle x, i\rangle 0\Rightarrow q (x) +q (y) = q (x y).
#000032
kiu permesas difini hiperbolan angulon, analogaĵon de angulo inter tiuj vektoroj tra inversa hiperbola kosinuso:
#000034
Ĝi egalrilatas al la distanco sur ( n − 1) - dimensia hiperbola spaco.
Tio estas konata kiel rapideco en la kunteksto de fizika relativeco diskutita malsupre.
Male al Eŭklida angulo, ĝi prenas valorojn de [0, +∞) kaj egalas al 0 por kontraŭparalelaj vektoroj.
#000035
Ekzistas neniu akceptebla difino de la angulo inter nulvektoro kaj alia vektoro (aŭ nulo aŭ ne-nulo).
#000036
Kiel eŭklidaj spacoj, ĉiu pseŭd-eŭklida spaco posedas geometrian algebron.
Male al trajtoj supra, kie anstataŭigo de q al − q ŝanĝis nombrojn sed ne geometrio, la signinversigo de la signifformularo fakte ŝanĝas Cl , tiel ke ekzemple Cl1,2 ( R) kaj Cl2,1 ( R) ne estas izomorfaj.
#000037
Nur ŝatu super iu vektora spaco, ekzistas pseŭd-eŭklidaj tensoroj.
Like kun Eŭklida strukturo, ekzistas altigo kaj malaltigante indic funkciigistojn sed, male al la kazo kun Eŭklidaj tensoroj, ekzistas neniuj bazoj kie tiuj operacioj ne ŝanĝas valorojn de komponentoj.
Se ekzistas vektoro v β , la ekvivalenta kovariaĵvektoro estas:
#000038
la unuaj k komponentoj de v α estas nombre la sama kiel tiaj da v β , sed la resto da n − k havas kontraŭ signoj.
#000039
La korespondado inter kontraŭvariaĵo kaj kovariaĵtensoroj igas tensorkalkiĝon sur pseŭdo-Riemannian duktoj analoga al unu sur Riemanianaj duktoj.
#000040
Gravega pseŭd-eŭklida spaco estas spaco de Minkowski, kiu estas la matematika scenaro en kiu la teorio de Albert Einstein de speciala teorio de relativeco estas formulita.
Por spaco de Minkowski, n = 4 kaj k = 3 [9] tiel ke
#000041
La geometrio asociita kun tiu pseŭdo-metriko estis esplorita fare de Poincaré.
Ĝia turnada grupo estas la Lorentz-grupo.
La Poincaré-grupo ankaŭ inkludas tradukojn kaj ludas la saman rolon kiel Eŭklidaj grupoj de ordinaraj eŭklidaj spacoj.
#000042
Alia pseŭd-eŭklida spaco estas la aviadilo z = x + y j konsistanta el disig-kompleksaj nombroj, provizitaj per la kvadrata formo
#000043
Tio estas la plej simpla kazo de idefinito-pseŭd-eŭklida spaco ( n = 2, k = 1) kaj la nura unu kie la nulkonuso dissekcas la spacon al kvar malfermitaj aroj.
La grupo TIEL + (1, 1) konsistas el tiel nomitajn hiperbolajn rotaciojn.
#000044