(marto 2013) En aroteorio, la aksiomskemo de anstataŭaĵo estas skemo de aksiomoj en Zermelo-Fraenkel aroteorio (ZFC) kiu asertas ke la bildo de iu aro sub iu difinebla mapado ankaŭ estas aro.
Ĝi estas necesa por la konstruado de certaj senfinaj aroj en ZFC.
#000001
La aksiomo kiun skemo estas instigita per la ideo ke ĉu klaso estas aro dependas nur de la kardinaleco de la klaso, ne de la vico da ĝiaj elementoj.
Tiel, se unu klaso estas "sufiĉe malgranda" esti aro, kaj ekzistas surjektion de tiu klaso ĝis dua klaso, la aksiomo deklaras ke la dua klaso ankaŭ estas aro.
Tamen, ĉar ZFC nur parolas pri aroj, ne bonordajn klasojn, la skemo estas deklarita nur por difineblaj surjektion, kiuj estas identigitaj kun siaj difinaj formuloj.
#000002
6 rilato al la aksiomskemo de apartigo
#000003
Suppose P estas difinebla duargumenta rilato (kiu povas esti bonorda klaso) tia ke por ĉiu aro x ekzistas unika aro y tia ke P ( x, y) tenas.
Ekzistas ekvivalenta difinebla funkcio F da P , kie F da P ( X
Y se kaj nur se P ( X, Y);
F ankaŭ estos bonorda klaso se P estas.
Pripensu la (eventuale bonordan) klason B difinita tia por ĉiu metita y, y estas en B se kaj nur se ekzistas x en A kun F da P ( x
#000004
La aksiomskemo de anstataŭaĵo deklaras ke se F estas difinebla klasfunkcio, ĉar supra, kaj A estas ajna aro, tiam la bildo F [ A] ankaŭ estas aro.
Tio povas esti vidita kiel principo de malgrandeco: la aksiomo deklaras ke se A estas sufiĉe malgranda por esti aro, tiam F [ A] ankaŭ estas sufiĉe malgranda por esti aro.
Ĝi estas implicita per la pli forta aksiomo de limigo de grandeco.
#000005
Ĉar estas maleble kvantigi super difineblaj funkcioj en unuaorda logiko, unu kazo de la skemo estas inkludita por ĉiu formulo φ en la lingvo de aroteorio kun liberaj variabloj inter w 1
sed B ne estas libera en φ.
En la formala lingvo de aroteorio, la aksiomskemo estas:
#000006
Al la aksiomskemo de kolekto estas proksime rilatita kaj ofte konfuzita kun la aksiomskemo de anstataŭaĵo.
Dum anstataŭaĵo diras ke la bildo mem estas aro, kolekto simple diras ke iu superklaso de la bildo estas aro.
En aliaj vortoj, la rezulta aro, B, ne estas postulata por esti minimuma.
#000007
Al Tiu versio de kolekto ankaŭ mankas la unikecpostulo sur φ.
Supozu ke la liberaj variabloj de φ estas inter w 1
sed nek A nek B estas liberaj en φ.
#000008
Tio estas, la rilato difinita per φ ne estas postulata por esti funkcio - iu x en A povas egalrilati al multobla y en B.
En tiu kazo, la bildaro B kies ekzisto estas asertita devas enhavi almenaŭ unu tian y por ĉiu x de la origina aro, kun neniu garantio ke ĝi enhavos nur unun.
#000009
La aksiomskemo foje estas deklarita sen antaŭaj restriktoj (krom B ne okazante libera en φ) sur la predikato, φ:
#000010
En tiu kazo, povas ekzisti elementoj x en A kiuj ne estas asociitaj al iuj aliaj aroj per φ.
Tamen, la aksiomskemo tiel fiksita postulas ke, se elemento x de A estas rilata al almenaŭ unu aro y, tiam la bildaro B enhavos almenaŭ unu tian y.
La rezulta aksiomskemo ankaŭ estas nomita la aksiomskemo de limiteco.
#000011
La aksiomskemo de kolekto estas ekvivalenta al la aksiomskemo de anstataŭaĵo super la resto de la ZF-aksiomoj.
Tamen, tio estas ne tiel en la foresto de la Aro De Ĉiuj Subaroj-Aksiomo aŭ helpema ekvivalento de ZF, kie Collection estas pli forta.
#000012
La orda pli sensenta ω
2 = ω + ω (utiliganta la modernan difinon pro Von Neumann) estas la unua orda numeralo kiu ne povas esti konstruita sen anstataŭaĵo.
, kaj nur tiu sekvenco.
Tamen, arbitraj klasoj de ordaj numeraloj ne devas esti aroj (la klaso de ĉiuj ordaj numeraloj ne estas aro, ekzemple).
Anstataŭaĵo permesas oni anstataŭigi ĉiun finhavan nombron da n en ω kun la ekvivalenta ω + n, kaj garantias ke tiu klaso estas aro.
Notu ke oni povas facile konstrui bonordan meti tion estas izomorfa al ω
2 sen frekventado anstataŭaĵo - simple prenas la disan union de du kopioj de ω, kun la dua kopio pli grandaj ol la unua - sed ke tio ne estas orda numeralo ĉar ĝi ne estas totale ordonita per inkludo.
#000013
Klare tiam, la ekzisto de tasko de orda numeralo al ĉiu bonorda aro postulas anstataŭaĵon ankaŭ.
Simile la Von Neumann-kardinaltasko kiu asignas povon de aro al ĉiu aro postulas anstataŭaĵon, same kiel libera-elekto-aksiomon.
#000014
La libera-elekto-aksiomo sen anstataŭaĵo (ZC-aroteorio) ne estas sufiĉe forta por montri ke Borel metas estas determinitaj;
por tio, anstataŭaĵo estas postulata.
#000016
Zermelo mem neniam akceptis la formuliĝon de Skolem de la aksiomskemo de anstataŭaĵo.
Ĉe unu poento li vokis la aliro- "aroteorion de Skolem de la malriĉa".
Zermelo antaŭvidis sistemon kiu enkalkulus grandajn kardinalojn.
Li ankaŭ protestis forte kontraŭ la filozofiaj implicoj de nombreblaj modeloj de aroteorio, kiu sekvis el la unuaorda aksiomigo de Skolem.
Laŭ la biografio de Zermelo de Heinz-Dieter Ebbinghaus, la malaprobo de Zermelo de la aliro de Skolem markis la finon de la influo de Zermelo sur la evoluoj de aroteorio kaj logiko.
#000021
La aksiomskemo de anstataŭaĵo draste pliigas la forton de ZF, ambaŭ laŭ la teoremoj kiujn ĝi povas pruvi kaj laŭ sia pruv-teoria konsistencforto, komparite kun Z. In-unuopo, ZF pruvas la konsistencon de Z, kiel la aro Vω
2 estas modelo de Z kies ekzisto povas esti pruvita en ZF.
( La dua nekompleteco-teoremo de Gödel montras ke ĉiu el tiuj teorioj enhavas frazon, "esprimante" la propran konsistencon de la teorio, kiu estas nepruvebla en tiu teorio, se tiu teorio estas koheraj (tiu rezulto ofte estas loze esprimita kiel la aserto ke nek de tiuj teorioj povas pruvi ĝian propran konsistencon, se ĝi estas kohera.
La povo de aro estas la unua unu kiu povas esti montrita ekzisti en ZF sed ne en Z.
#000022
La aksiomskemo de anstataŭaĵo ne estas necesa por la pruvoj de la plej multaj teoremoj de ordinara matematiko.
Efektive, Zermelo aroteorio jam povas interpreti duaordan aritmetikon kaj multe de teorio de tipoj en finhavaj tipoj, kiuj en victurno estas sufiĉaj formaligi la plejparton de matematiko.
Rimarkinda matematikteoremo kiu postulas la aksiomon de anstataŭaĵo esti pruvita en ZF estas la Borel-Determinecteoremo.
#000023
La aksiomo de anstataŭaĵo havas gravan rolon en la studo de aroteorio mem.
Ekzemple, la anstataŭiga skemo estas necesa por konstrui la Von Neumann-ordajn numeralojn el ω
sen anstataŭaĵo, estus necese trovi iun alian reprezentantaron por numeroj.
#000024
Kvankam la aksiomskemo de anstataŭaĵo estas norma aksiomo en aroteorio hodiaŭ, ĝi ofte estas preterlasita de sistemoj de teorio de tipoj kaj fundamentsistemoj en topos teorio.
#000025
Rilato al la aksiomskemo de apartigo
#000026
La aksiomskemo de apartigo, la alia aksiomskemo en ZFC, estas implicita per la aksiomskemo de anstataŭaĵo kaj la aksiomo de malplena aro.
Memoru ke la aksiomskemo de apartigo inkludas
#000027
por ĉiu formulo θ en la lingvo de aroteorio en kiu B ne estas libera.
#000028
La pruvo estas kiel sekvas.
Komenciĝi kun formulo θ (C) kiu ne mencias B, kaj aron A.
Se neniu elemento E de A kontentigas θ tiam la aro B dezirita per la signifa kazo de la aksiomskemo de apartigo estas la malplena aro.
Alie, elektas fiksan E en A tia ke θ ( E) tenas.
Difinu klasfunkcion F tia ke F ( D
E se θ ( D) estas falsaj.
ekzistas, de la aksiomo de anstataŭaĵo, kaj estas ĝuste la aro B necesa por la aksiomo de apartigo.
#000029
Tiu rezulto montras ke ĝi estas ebla al aksiomatize ZFC kun ununura senfina aksiomskemo.
Ĉar almenaŭ unu tia senfina skemo estas postulata (ZFC ne estas finhave aksiomatizabla), tio montras ke la aksiomskemo de anstataŭaĵo povas stari kiel la nura senfina aksiomskemo en ZFC se dezirite.
Ĉar la aksiomskemo de apartigo ne estas sendependa, ĝi foje estas preterlasita de nuntempaj deklaroj de la Zermelo-Fraenkel-aksiomoj.
#000030
Apartigo daŭre estas grava, aliflanke, por uzo en fragmentoj de ZFC, pro historiaj konsideroj, kaj por komparo kun alternativaj aksiomigoj de aroteorio.
Formuliĝo de aroteorio kiu ne inkludas la aksiomon de anstataŭaĵo verŝajne inkludos iun formon de la aksiomo de apartigo, por certigi ke ĝiaj modeloj enhavu sufiĉe riĉan kolekton de aroj.
En la studo de modeloj de aroteorio, estas foje utile pripensi modelojn de ZFC sen anstataŭaĵo, kiel ekzemple la modelojen la hierarkio de Von Neumann.
#000031
La pruvo supre utiligas la leĝo pri elimino de tria en supozado ke se A estas nonempty tiam ĝi devas enhavi elementon (en intuitionista logiko, aro estas "malplena" se ĝi ne enhavas elementon, kaj "nonempty" estas la formala negacio de tio, kio estas pli malforta ol "enhavas elementon").
La aksiomo de apartigo estas inkludita en intuitionista aroteorio.
#000032
La leĝoj de De Morgan
#000035