Wikipedia's Integer as translated by GramTrans
#000000
Listo de teorio de grupo-temoj
#000001
Ĝenerala linia Gl ( n)
#000002
Speciala linia Sl ( n)
#000003
Speciala ortogonala TIEL ( n)
#000004
Speciala unitaria Su ( n)
#000005
Entjero (de la latina entjero kun la signifo "tutaĵo") [noton 1] estas nombro kiu povas esti skribita sen frakcieca komponento.
#000006
La aro de entjeroj konsistas el nul ( 0), la pozitivaj naturaj nombroj ( 1, 2, 3, ...
, ankaŭ vokis alikvotojn aŭ nombrantajn nombrojn, [1] [2] kaj iliajn kontraŭegalojn (la negativajn entjeroj, t.e., −1, −2, −3, ...
#000007
Z estas subaro de la aro de ĉiuj raciaj nombroj Q , en victurno subaro de la realaj nombroj R .
Kiel la naturaj nombroj, Z estas nombreble senfina.
#000008
La entjeroj formas la plej malgrandan grupon kaj la plej malgrandan ringon enhavantan la naturajn nombrojn.
En algebra nombroteorio, la entjeroj foje estas nomitaj raciaj entjeroj por distingi ilin de la pli ĝeneralaj algebraj entjeroj.
Fakte, la (raciaj) entjeroj estas la algebraj entjeroj kiuj ankaŭ estas raciaj nombroj.
#000009
La simbolo Z povas esti komentita por indiki diversajn arojn, kun ŝanĝiĝanta uzokutimo inter malsamaj verkintoj:
Z + , Z + aŭ Z > por la pozitivaj entjeroj, Z ≥ por ne-negativaj entjeroj, Z ≠ por ne-nulaj entjeroj.
Plie, Z p kutimas indiki aŭ la aron de entjermodulo p , t.e., aron de kongruecklasoj de entjeroj, aŭ la aron de p - adicentjeroj.
#000010
Kiel la naturaj nombroj, Z estas fermita sub la operacioj de aldono kaj multipliko, t.e., la sumo kaj produkto de iuj du entjeroj estas entjero.
Tamen, kun la inkludo de la negativaj naturaj nombroj, kaj, grave, 0, Z (male al la naturaj nombroj) ankaŭ estas fermita sub subtraho.
La entjeroj formas unitalringon kiu estas la plej baza unun, en la sekva signifo: por iu unitalringo, ekzistas unika ringo homomorfism de la entjeroj en tiun ringon.
Tiu universala posedaĵo, nome esti komenca objekto en la kategorio da boksejoj, karakterizas la ringon Z .
#000011
Z ne estas fermita sub dividado, ekde la kvociento de du entjeroj (ekz., 1 dividitaj per 2), ne devas esti entjero.
Kvankam la naturaj nombroj estas fermitaj sub potenco, la entjeroj ne estas (ĉar la rezulto povas esti frakcio kiam la eksponento estas negativa).
#000012
La sekvanta listigas kelkajn el la bazaj trajtoj de aldono kaj multipliko por iuj entjeroj , b kaj c .
#000013
En la lingvo de abstrakta algebro, la unuaj kvin trajtoj listigis supre por aldono diras ke Z sub aldono estas abela grupo.
Kiel grupo sub aldono, Z estas cikla grupo, ĉar ĉiu ne-nula entjero povas esti skribita kiel finhava sumo al 1 + 1 + ...
Fakte, Z sub aldono estas la nura senfina cikla grupo, en la senco ke ĉiu senfina cikla grupo estas izomorfa al Z .
#000014
La unuaj kvar trajtoj listigis supre por multipliko diras ke Z sub multipliko estas kommutativan monoidan.
Tamen, ne ĉiu entjero havas multiplikan inversan;
ekz., ekzistas neniu entjero x tia ke 2x = 1, ĉar maldekstramana flanko estas eĉ, dum la dekstra flanko estas stranga.
Tio signifas ke Z sub multipliko ne estas grupo.
#000015
Ĉiuj reguloj de ĉi-supra posedaĵo surtabligas, krom la lasta, prenite kune diras ke Z kune kun aldono kaj multipliko estas komuta ringo kun unueco.
Ĝi estas la prototipo de ĉiuj objektoj de tia algebra strukturo.
Nur tiuj egalecoj de esprimoj estas veraj en Z por ĉiuj valoroj de variabloj, kiuj estas veraj en iu unital komuta ringo.
Notu ke certaj ne-nulaj entjeroj mapas al nul en certaj boksejoj.
#000016
La manko de nuldividantoj en la entjeroj (lasta proprietrajto je la tabelo) rimedoj ke la komuta ringo Z estas integrita domajno.
#000017
La manko de inversoj, kiu estas ekvivalenta al la fakto ke Z ne estas fermita sub dividado, signifas ke Z ne estas kampo.
La plej malgranda kampo enhavanta la entjerojn kiam subringo estas la kampo de raciaj nombroj.
La procezo de konstruado de la rational'oj el la entjeroj povas esti mimickeita por formi la kampon de frakcioj de iu integrita domajno.
Kaj reen, komencante de algebranombra kampo (etendaĵo de raciaj nombroj), ĝia ringo de entjeroj povas esti eltirita, kiu inkludas Z kiel it subringo.
#000018
Kvankam ordinara dividado ne estas difinita sur Z , la dividado "kun resto" estas difinita sur ili.
Ĝi estas nomita Eŭklida dividado kaj posedas la sekvan gravan posedaĵon: t.e., donita du entjerojn a kaj b kun b ≠ 0, tie ekzistas unikaj entjeroj q kaj r tia ke = q × b + r kaj 0 ≤ r
indikas la absolutan valoron de b .
La entjero q estas nomita la kvociento kaj r estas nomita la resto de la dividado de per b .
La eŭklida algoritmo por komputado de plej grandkajmunadivizora j verkoj per sekvenco de Eŭklidaj sekcioj.
#000019
Denove, en la lingvo de abstrakta algebro, la supre diras ke Z estas Eŭklida domajno.
Tio implicas ke Z estas ĉefa ideala domajno kaj ĉiu pozitiva entjero povas esti skribita kiel la produktoj de primoj laŭ esence unika maniero.
Tio estas la bazteoremo de aritmetiko.
#000020
Z estas komplete ordigita aro sen supra parto aŭ pli malalta ligite.
La mendado de Z ricevas per:
Entjero estas pozitiva se ĝi estas pli bonega ol nul kaj negativa se ĝi estas malpli ol nul.
Nul estas difinitaj kiel nek negativo nek pozitivaj.
#000021
La mendado de entjeroj estas kongrua kun la algebraj operacioj laŭ la sekva maniero:
#000022
Ĝi sekvas tiun Z kune kun ĉi-supra mendado estas ordigita ringo.
#000023
La entjeroj estas la nuraj nesensignifa totale ordigis abelan grupon kies pozitivaj elementoj estas bonordaj.
Tio estas ekvivalenta al la deklaro tiu ajna Noetherian
valortaksoorondo estas aŭ kampo aŭ diskreta valortaksoorondo.
#000024
En bazlernejinstruado, entjeroj ofte estas intuicie difinitaj kiel la (pozitivaj) naturaj nombroj, nul, kaj la negacioj de la naturaj nombroj.
Tamen, tiu stilo de difino kaŭzas multajn malsamajn kazojn (ĉiu aritmetikoperacio devas esti difinita sur ĉiu kombinaĵo de specoj de entjero) kaj faras teda pruvi ke tiuj operacioj obeas la leĝojn de aritmetiko.
Tial, en moderna aro-teoria matematiko pli abstrakta konstruo, [11] kiu permesas oni difini la aritmetikajn operaciojn sen iu kazdistingo, ofte estas utiligitaj anstataŭe.
La entjeroj povas tiel esti formale konstruitaj kiel la ekvivalentklasoj de ordaj duopoj de naturaj nombroj (, b).
#000025
La intuicio estas tiu (, b) signifas la rezulton de subtrahado de b de .
Por konfirmi nian atendon ke 1 − 2 kaj 4 − 5 indikas la saman nombron, ni difinas ekvivalentrilat sur tiuj paroj kun la sekva regulo:
#000026
Aldono kaj multipliko de entjeroj povas esti difinitaj laŭ la ekvivalentaj operacioj sur la naturaj nombroj;
indikante de [(, b)] la ekvivalentklaso havanta (, b) kiel membro, oni havas:
#000027
La negacio (aŭ aldonaĵo inversa) de entjero akiriĝas inversigante la ordon de la paro:
#000028
Tial subtraho povas esti difinita kiel la aldono de la aldonaĵo inversa:
#000029
La normo ordiganta sur la entjeroj ricevas per:
#000030
Estas facile konfirmite ke tiuj difinoj estas sendependaj da la elekto de reprezentantoj de la ekvivalentklasoj.
#000031
Ĉiu ekvivalentklaso havas unikan membron kiu estas da la formo ( n, 0) aŭ (0, n) (aŭ ambaŭ tuj).
La natura pli sensenta n estas identigita kun la klaso [( n, 0)] (en aliaj vortoj la naturaj nombroj estas enkonstruitaj en la entjerojn per mapo sendanta n al [( n, 0)]), kaj la klaso [(0, n)] estas indikita − n (tio kovras ĉiujn ceterajn klasojn, kaj donas al la klaso [(0,0)] duan fojon ekde −0 = 0.
#000032
Tiel, [(, b)] estas indikita per
#000033
Se la naturaj nombroj estas identigitaj kun la ekvivalentaj entjeroj (uzante la enkonstruadon menciitan supre), tiu kongreso kreas neniun ambiguecon.
#000034
Entjero ofte estas primitiva datentipo en komputillingvoj.
Tamen, entjerdatentipoj povas nur reprezenti subaron de ĉiuj entjeroj, ĉar praktikaj komputiloj estas de finhava kapacito.
Ankaŭ, en la komplement reprezentantaro de la komuna duo, la eneca difino de signo distingas inter "negativo" kaj "ne-negativa" prefere ol "negativo, pozitivo, kaj 0".
(Estas, aliflanke, certe eble ke komputilo determinus ĉu entjervaloro estas vere pozitiva.
Fiks-longaj entjeraproksimaddatentipoj (aŭ subaroj) estas indikita int aŭ Integer en pluraj programlingvoj (kiel ekzemple Algol68, C, Java, Delfo, ktp.).
#000035
Variablo-longaj reprezentadoj de entjeroj, kiel ekzemple bignum'oj, povas stoki ajnan entjeron kiu konvenas en la memoro de la komputilo.
Aliaj entjerdatentipoj estas efektivigitaj kun fiksa grandeco, kutime kelkaj pecoj kiu estas potenco de 2 (4, 8, 16, ktp.) aŭ memorinda nombro da decimalciferoj (ekz., 9 aŭ 10).
#000036
La kardinaleco de la aro de entjeroj estas egala al א0 ( alefo-nulo).
Tio estas facile montrita per la konstruado de ensurĵeto, t.e., funkcio kiu estas injektivo kaj surjektive de Z ĝis N .
#000037
Se la domajno estas limigita al Z tiam ĉiu kaj ĉiu membro de Z havas tian kaj nur unu ekvivalenta membro de N kaj de la difino de kapegaleco la du aroj havas egalan kardinalecon.
#000038
Kanonika reprezentado de pozitiva entjero
#000039
^ Entjero ' s unua laŭvorta signifo en la latina "estas netuŝitaj", de en ("ne") kaj plie tangere ("por tuŝi").
" Tuta " venas de la sama origino per la franca vorto tuta, kio intencas kaj tuta kaj entjeron (vidi:Evans, Nick (1995). "A-Quantifiers and Scope". In Bach, Emmon W. Quantification in Natural Languages. Dordrecht, The Netherlands; Boston, MA: Kluwer Academic Publishers. p. 262. ISBN 0-7923-3352-7. )
#000040
La entjeroj (aŭ plenaj nombroj) konsistas el la naturaj nombroj (1, 2, 3, ...), iliaj negativaj ekvivalentoj (-1, -2, -3, ...) kaj 0 (nulo). Matematikistoj kutime signas ĝin per Z aŭ Z. La naturaj nombroj estas subaro de la entjeroj, kion oni signas per N ⊂ Z.
#000045
La nocio de negativa nombro aperis pro la bezonoj de evoluo de algebro, kiu donis komunajn principojn solvi aritmetikajn problemojn, sendepende de ilia konkreta enhavo kaj valoroj de originaj nombrosignifoj. Probable, negativa respondo povas esti komprenita kiel grando de inversa direkto, ekz. movo en iu aŭ en ĝia inversa direkto, posedi havaĵon aŭ havi ŝuldon, ktp. Ankoraŭ en 6-11 jarcentoj en Hindio, oni regule uzis negativajn nombrojn ĝuste en tiu senco, kion ili havas en nuntempo. Sed en Eŭropa scienco ĝi eniris difinitive nur de tempoj de Kartezio (17 jc), kiu donis al negativaj nombroj la signifon de direktitaj eltranĉoj.
#000046
Entjeroj povas esti paraj kaj neparaj. Paraj nombroj oni konsideras tiujn, kiuj dividiĝas je la nombro 2 sen resto, ekz. −4, −2, 0, 2, 4; la aliajn nombrojn el la nefinia vico de entjeroj oni nomas neparaj nombroj, ekz-e −5, −3, −1, 1, 3, 5. Por konstati la parecon de grandaj nombroj, ni rigardas al la fina cifero; se ĝi estas 0, 2, 4, 6, 8 (ekz. 3843924), ĝi estas para nombro, kontraŭokaze (1991) ĝi estas nepara.
#000047
La entjero m estas nomata divizoro de la entjero n, se la kvociento de n per m ankaŭ estas entjero. Ekz-e 3 estas divizoro de 9, kaj 1, 2, 3, 4, 6, 12 estas ĉiuj pozitivaj divizoroj de 12.
#000048
Alia grava koncepto estas plej granda komuna divizoro (pgkd) de du nombroj. Ekzemple pgkd(12,16)=4, ĉar 4 estas la plej granda entjero, kiu estas kaj divizoro de 12 kaj divizoro de 16.
#000049