Wikipedia's Geodesic as translated by GramTrans
#000000
En la ĉeesto de afina ligo, geodezia estas difinita por esti kurbo kies klavvektoroj restas paralelaj se ili estas transportitaj laŭ ĝi.
Se tiu ligo estas la Levi-Civita ligo induktita per Riemaniana metriko, tiam la geodesics estas ( loke) la plej mallonga pado inter punktoj en la spaco.
#000002
Geodesics gravegas en ĝenerala relativeco.
Tempsimila geodesics en ĝenerala relativeco priskribas la decidproponon de libera falado
#000003
En rimana geometrio geodesics ne estas la sama kiel "plej mallongaj kurboj" inter du punktoj, kvankam la du konceptoj estas proksime rilatitaj.
La diferenco estas tiu geodesics estas nur loke la plej mallonga distanco inter punktoj, kaj estas parameterigita kun "konstanta rapideco".
Irante la "longan vojon rondo" sur ĉefcirklo inter du punktoj sur sfero estas geodezia sed ne la plej mallonga pado inter la punktoj.
La mapo t → t 2 de la unuobla intervalo ĝis si mem evoluas la plej mallongan padon inter kaj 1, sed ne estas geodezia ĉar la rapideco de la ekvivalenta decidpropono de punkto ne estas konstanta.
#000005
Geodesics vidiĝas ofte en la studo de rimana geometrio kaj pli ĝenerale metrika geometrio.
En ĝenerala relativeco, geodesics priskribas la decidproponon de punktopartikloj sub la influo de gravito sole.
Aparte, la pado prenita per regresa roko, orbita satelito, aŭ la formo de orbito estas ĉiu geodesics en kurba spactempo.
Pli ĝenerale, la temo de sub-Riemannian geometrio interkonsentoj kun la padoj kiujn objektoj povas preni kiam ili ne estas liberaj, kaj ilia movado estas limigita laŭ diversaj manieroj.
#000006
Tiu artikolo prezentas la matematikan formalismon implikitan en difinado, trovante, kaj pruvante la ekziston de geodesics, koncerne Riemanianajn kaj pseŭdo-Riemannian duktojn.
La artikolo geodezia (ĝenerala relativeco) diskutas la specialan kazon de ĝenerala relativeco en pli bonega detalo.
#000007
La plej konataj ekzemploj estas la aerlinioj en eŭklida geometrio.
Sur sfero, la bildoj de geodesics estas la ĉefcirkloj.
La plej mallonga pado de punkto A ĝis punkto B sur sfero ricevas per la pli mallonga arko de la ĉefcirklo pasanta tra A kaj B.
Se A kaj B estas antipodaj punktoj, tiam ekzistas senlime multaj plej mallongaj padoj inter ili.
Geodesics sur elipsoido kondutu laŭ pli d komplika maniero ol sur sfero;
aparte, ili ne estas fermitaj ĝenerale (vidu figuron).
#000008
En metrika geometrio, geodezia estas kurbo kiu estas ĉie loke distanc minimumiganto.
mi → M de intervalo mi de la realoj ĝis la metrika spaco M estas geodezia se ekzistas konstanta v ≥ 0 tia ke por iu t ∈ I ekzistas najbareco J da t en mi tia ke por iu t 1, t 2 ∈ J ni havas
#000009
Tio ĝeneraligas la nocion de geodezia por Riemanianaj duktoj.
Tamen, en metrika geometrio la geodezia konsiderita ofte estas provizita per natura parametroigo, t.e. en ĉi-supra identeco v = 1 kaj
#000010
Se la lasta egaleco estas kontentigita por ĉio t 1, t 2 ∈ mi , la geodezia estas nomita minimumiga geodezia aŭ plej mallonga pado.
#000011
Ĝenerale, metrika spaco povas havi neniun geodesics, krom konstantaj kurboj.
Ĉe la alia ekstremaĵo, ajnaj du poentoj en longo metrika spaco estas enirita per minimumiga sekvenco de rektigeblaj padoj, kvankam tiu minimumiganta sekvencon ne devas konverĝi al geodezia.
#000012
En Riemaniana dukto M kun metrika tensoro g, la longo de ade diferenciebla kurbo γ: [, b
#000013
La distanco d ( p, q) inter du punktoj p kaj q de M estas difinita kiel la Preciza malsupra rando de la longo transprenita ĉio kontinua, pecmaniero ade diferencieblaj kurboj γ: [, b
Kun tiu difino de distanco, geodesics en Riemaniana dukto tiam estas la loke distanc-minimumigantaj padoj.
#000014
La minimumigaj kurboj de L en sufiĉe malgranda malfermita aro de M povas esti akiritaj per teknikoj de kalkulado de varioj.
Tipe, oni enkondukas la post ago aŭ energio funkcia
#000015
La utileco de tiu aliro estas ke la problemo de serĉado de minimumigantoj de E estas pli fortika variational problemo.
#000016
La Euler-Lagrange-ekvacioj de moviĝo por la funkcia E tiam estas donitaj en lokaj koordinatoj per
#000017
Tio estas la geodezia ekvacio, diskutita malsupre.
#000018
Teknikoj de la klasika kalkulado de varioj povas esti uzitaj por ekzameni la energian funkcian E.
La unua vario de energio estas difinita en lokaj koordinatoj per
#000019
La kritikaj punktoj de la unua vario estas ĝuste la geodesics.
La dua vario estas difinita per
#000021
En konvena signifo, nuloj de la dua vario laŭ geodezia γ ekestas laŭ Jacobi-kampoj.
Jacobi-kampoj estas tiel rigarditaj kiel varioj tra geodesics.
#000022
Uzante variational teknikojn de klasika mekaniko, oni ankaŭ povas rigardi geodesics kiel Hamiltonian fluas.
Ili estas solvoj de la rilataj Hamilton-ekvacioj, kun (pseudo -) Riemaniana metriko prenita kiel Hamiltonian.
#000023
Geodezia sur glata multnombra M kun afina lig ∇ estas difinita kiel kurbo γ ( t) tia ke paralela transporto laŭ la kurbo konservas la klavvektoron al la kurbo, tiel
#000024
Tamen, la rezulta valoro de ( 1 ) estas sendependa de la elekto de etendaĵo.
#000025
Uzante lokajn koordinatojn sur M, ni povas skribi la geodezian ekvacion (uzante la sumigokongreson) kiel
#000026
Tio estas nur ordinara diferenciala ekvacio por la koordinatoj.
Ĝi havas unikan solvon, konsiderante komencan pozicion kaj komencrapidon.
Tial, de la perspektivo de klasika mekaniko, geodesics povas esti opiniita da kiel trajektorioj de liberaj partikloj en dukto.
Tiel, la decidpropono estas tute determinita per la fleksado de la surfaco.
Tio ankaŭ estas la ideo de ĝenerala relativeco kie partikloj moviĝas sur geodesics kaj la fleksado estas kaŭzita de la gravito.
#000027
La loka ekzisto kaj unikecteoremo por geodesicsoŝtatoj tiu geodesics sur difencigebla plurejo kun afina ligo ekzistas, kaj estas unikaj.
#000028
kie I estas maksimuma malferma intervalo en R enhavanta 0.
#000029
Ĝenerale, mi eble ne estas ĉio de R kiel por ekzemplo por malferma disko en R 2.
La pruvo de tiu teoremo sekvas el la teorio de ordinaraj diferenciala ekvacioj, per rimarkado ke la geodezia ekvacio estas duaorda ODO.
Ekzisto kaj unikeco tiam sekvas el la Picard-Lindelöf-teoremo por la solvoj de ODEoj kun devigaj komencaj kondiĉoj.
γ dependas glate de kaj p kaj V.
#000030
Geodezia fluo estas lokulo R - ago sur la klavfaska TM de dukto M difinita laŭ la sekva maniero
#000031
La geodezia fluo difinas familion de kurboj en la klavfasko.
La derivaĵoj de tiuj kurboj difinas vektoran kampon sur la totala spaco de la klavfasko, konata kiel la geodezia ŝprucaĵo.
#000035
Pli ĝuste, afina ligo kaŭzas disfendadon de la duobla klavfasko TTM en horizontalaj kaj vertikalaj faskojn:
#000036
La geodezia ŝprucaĵo estas la unika horizontala vektora kampo W kontentigado
#000037
ĉe ĉiu punkto v ∈ TM;
TTM → TM indikas la prokrasti (diagnozalternativo) laŭ la projekcio π:
TM- → M asociita al la klavfasko.
#000038
Pli ĝenerale, la sama konstruo permesas al tia konstrui vektoran kampon por iu Ehresmann-ligo sur la klavfasko.
ĝi estas sufiĉe ke la ligo estu ekvivariaĵo sub pozitivaj remalpliigoj: ĝi ne devas esti linia.
Tio estas, (kp. Ehresmann-lignombro vektorfaskoj kaj kovariaĵderivaĵoj) ĝi estas sufiĉe ke la horizontala distribuo kontentigas
#000039
kie a kaj b estas konstantaj realaj nombroj.
Tiel krom precizigado de certa klaso de integriĝintaj kurboj, la geodezia ekvacio ankaŭ determinas preferatan klason de parametrigoj sur ĉiu el la kurboj.
Sekve, solvoj de ( 1 ) estas nomitaj geodesics kun afina parametro.
#000041
Afina ligo estas determinita fare de it familio de afine parameterigita geodesics, ĝis tordo ( Spivak 1999, Chapter 6, Addendum I).
La tordo mem ne, fakte, influas la familion de geodesics, ĉar la geodezia ekvacio dependas nur de la simetria parto de la ligo.
#000042
Geodesics sen speciala parametroigo estas priskribita per projekcia ligo.
#000043
Efikaj solvantoj por la minimuma geodezia problemo sur surfacoj pozis kiam Eikonal-ekvacioj povas esti trovitaj enen [3] [4]
#000044
Geodesicsoserviro kiel la bazo por kalkuli:
#000045
vidu geodezian aviadilskeleton aŭ geodezian aviadilskeleton
geodeziaj strukturoj - ekzemple geodeziaj kupoloj
horizontalaj distancoj sur aŭ proksime de la Tero;
mapante bildojn sur surfacoj, por igado;
robota moviĝoplanado (ekz., kiam pentraĵaj aŭtpartoj);
#000046
Baza enkonduko al la matematiko de kurba spactempo
#000047
kunvarianco kaj kontraŭvarianco de vektoroj
#000052