Listo de teorio de grupo-temoj
#000001
Speciala ortogonala TIEL ( n)
#000004
En matematiko, la ĝenerala lineara grupo de grado da n estas la aro de n × n inverteblaj matricoj, kune kun la operacio de ordinara matrica multipliko.
Tio formas grupon, ĉar la produkto de du inverteblaj matricoj denove estas invertebla, kaj la inversa de invertebla matrico estas invertebla.
La grupo estas tiel nomita ĉar la kolonoj de invertebla matrico estas linie sendependaj, tial la vektoroj/punktoj kiujn ili difinas estas en ĝenerala linia pozicio, kaj matricoj en la ĝenerala lineara grupo prenas punktojn en ĝenerala linia pozicio al punktoj en ĝenerala linia pozicio.
#000008
Por esti pli preciza, estas necese precizigi kiu speco de objektoj povas aperi en la kontribuoj de la matrico.
Ekzemple, la ĝenerala lineara grupo pli ol R (la aro de realaj nombroj) estas la grupo de n × n inverteblaj matricoj de realaj nombroj, kaj estas indikita fare de Gl n ( R) aŭ Gl ( n, R).
#000009
Pli ĝenerale, la ĝenerala lineara grupo de grado da n pli ol iu kampo F (kiel ekzemple la kompleksaj nombroj), aŭ ringo R (kiel ekzemple la ringo de entjeroj), estas la aro de n × n inverteblaj matricoj kun kontribuoj de F (aŭ R), denove kun matrica multipliko kiel la grupoperacio.
Tipa notacio estas Gl n ( F) aŭ Gl ( n, F), aŭ simple Gl ( n) se la kampo estas komprenita.
#000010
Pli ĝenerale daŭre, la ĝenerala lineara grupo de vektora spaco Gl ( V) estas la abstrakta aŭtomorfismogrupo, ne nepre skribita kiel matricoj.
#000011
La speciala linia grupo , skriba Sl ( n, F) aŭ Sl n ( F), estas la subgrupo de Gl ( n, F) konsistanta el matricoj kun determinanto de 1.
#000012
La grupo Gl ( n, F) kaj ĝiaj subgrupoj ofte estas nomitaj liniaj grupoj aŭ matricgrupoj (la abstrakta grupo Gl ( V) estas linia grupo sed ne matricgrupo).
Tiuj grupoj estas gravaj en la teorio de grupaj prezentoj, kaj ankaŭ ekestas en la studo de spacaj simetrioj kaj simetrioj de vektoraj spacoj ĝenerale, same kiel la studo de polinomoj.
La modula grupo povas esti realigita kiel kvociento de la speciala linia grupo Sl (2, Z).
#000013
Se n ≥ 2, tiam la grupo Gl ( n, F) ne estas abelaj.
#000014
Ĝenerala lineara grupo de vektora spaco
#000016
por kelkaj konstantoj jk en F;
la matrico egalrilatanta al T tiam estas ĵus la matrico kun kontribuoj donitaj per la jk .
#000018
Pli ol kampo F, matrico estas invertebla se kaj nur se ĝia determinanto estas nonzero.
Tial, alternativa difino de Gl ( n, F) estas kiel la grupo de matricoj kun nonzerdeterminanto.
#000020
Super komuta ringo R, pli da prizorgo estas necesa: matrico pli ol R estas invertebla se kaj nur se ĝia determinanto estas unuo en R, t.e., se ĝia determinanto estas invertebla en R.
Tial, Gl ( n, R) povas esti difinita kiel la grupo de matricoj kies determinantoj estas unuoj.
#000021
La ĝenerala lineara grupo Gl ( n, R) super la kampo da realaj nombroj estas reala Mensoggrupo de dimensio n 2.
Vidi tion, notas ke la aro de ĉiuj n × n realaj matricoj, M n ( R), formas realan vektoran spacon de dimensio n 2.
La subaro Gl ( n, R) konsistas el tiuj matricoj kies determinanto estas ne-nula.
La determinanto estas polinom mapo, kaj tial Gl ( n, R) estas malferma afina subdiverseco de M n ( R) ( ne-malplena
malferma subaro de M n ( R) en la Zariski-topologio), kaj tial [2] difencigebla plurejo de la sama dimensio.
#000023
La ĝenerala lineara grupo super la kampo de kompleksaj nombroj, Gl ( n, C), estas kompleksa Lie-grupo de kompleksoodimensio n 2.
Kiel reala Mensoggrupo (tra realigado) ĝi havas dimension 4n 2.
La aro de ĉiuj realaj matricoj formas realan Mensogsubgrupon.
Tiuj egalrilatas al la enfermaĵoj
#000026
kiuj havas realan grandecon n 2, 2n 2, kaj 4n 2
Komplekso kiun n-dimensia matricoj povas esti karakterizitaj kiel realaj 2n-dimensiaj matricoj kiuj konservas linian kompleksoostrukturon - konkrete, kiuj navedas kun matrico J tia ke J 2
mi , kie J egalrilatas al plimultiĝado je la imaginara unuo mi.
#000027
La Lie-algebro egalrilatanta al Gl ( n, C) konsistas el ĉiuj n × n kompleksoomatricoj kie la kolektoro funkcias kiel la Lie-krampo.
#000028
Tio povas esti montrita nombrante la eblajn kolonojn de la matrico: la unua kolumno povas esti io ajn sed la nul vektoro;
la dua kolumno povas esti io ajn sed la multobloj de la unua kolumno;
kaj ĝenerale, la kt kolono povas esti ajna vektoro ne en la linia interspaco de la unua k − 1 kolumnoj.
#000032
Pli ĝenerale, oni povas nombri punktojn de Grassmannian pli ol F: en aliaj vortoj la nombro da subspacoj de antaŭfiksita dimensio k.
Tio postulas nur trovante la ordon de la stabiligil subgrupo de unu tia subspaco kaj dividiĝante en la formulo ĵus surbaze de, de la orbit-stabiligila teoremo.
#000034
La ĝenerala lineara grupo super ĉefa kampo, Gl ( Ν, p), estis konstruita kaj it ordo komputita de Évariste Galois en 1832, en lia lasta letero (al Chevalier) kaj dua (de tri) ĉemetis manuskriptojn, kiujn li uzis en la kunteksto de studado de la Galois-grupo de la ĝenerala ekvacio de ordo p ν .
#000037
La speciala linia grupo, Sl ( n, F), estas la grupo de ĉiuj matricoj kun determinanto 1-a kiun Ili estas specialaj en tio ke ili kuŝas sur subdiverseco - ili kontentigas polinomekvacion (kiam la determinanto estas polinomo en la kontribuoj).
Matricoj da tiu tipo formas grupon kiel la determinanto de la produkto de du matricoj estas la produkto de la determinantoj de ĉiu matrico.
Sl ( n, F) estas normala subgrupo de Gl ( n, F).
#000038
Se ni skribas F × por la multiplika grupo de F (ekskludanta 0), tiam la determinanto estas grupo homomorfism
#000039
Kiam F estas R aŭ C, Sl ( n, F) estas Lie subgrupo de Gl ( n, F) de dimensio n 2 − 1.
La Lie-algebro de Sl ( n, F) konsistas el ĉiuj n × n matricoj pli ol F kun malapera spuro.
La Lie-krampo ricevas per la kolektoro.
#000041
La grupo Sl ( n, C) estas simple ligita, dum Sl ( n, R) ne estas.
Sl ( n, R) havas la saman fundamentan grupon kiel Gl + ( n, R), t.e., Z por n = 2 kaj Z 2 por n > 2.
#000043
La aro de ĉiuj inverteblaj diagonalaj matricoj formas subgrupon de Gl ( n, F) izomorfa al ( F ×) n .
En kampoj kiel R kaj C, tiuj egalrilatas al remalpliigo la spaco;
la tielnomitaj dilatiĝoj kaj kuntiriĝoj.
#000044
Skalarmatrico estas diagonala matrico kiu estas konstantaj tempoj la identa matrico.
La aro de ĉiuj nonzeraj skalarmatricoj formas subgrupon de Gl ( n, F) izomorfa al F ×.
Tiu grupo estas la centro de Gl ( n, F).
Aparte, ĝi estas normala, abela subgrupo.
#000045
La centro de Sl ( n, F) estas simple la aro da ĉiuj skalarmatricoj kun unuodeterminanto, kaj estas izomorfa al la grupo de aj radikoj de unueco en la kampo F.
#000046
La tielnomitaj klasikaj grupoj estas subgrupoj de Gl ( V) kiuj konservas iun specon de dulineara formo sur vektora spaco V.
#000047
ortogonala grupo , O ( V), kiu konservas ne-degeneritan
simplektic-grupo , Sp ( V), kiu konservas simplektic-formularon sur V (ne-degenerita alterna formo),
unitaria grupo , U ( V), kiu, kiam F = da C , konservas ne-degeneritan Hermitan formularon sur V.
#000048
Tiuj grupoj disponigas gravajn ekzemplojn de Lie-grupoj.
#000049
La projekcia linia grupo PGL ( n, F) kaj la projekcia speciala linia grupo PSL ( n, F) estas la kvocientoj da Gl ( n, F) kaj Sl ( n, F) de iliaj centroj (kiuj konsistas el la multobloj de la identa matrico en tio);
ili estas la induktita ago sur la rilata projekcia regiono.
#000050
Oni havas analogajn konstruojn por aliaj subgrupoj de la ĝenerala lineara grupo: ekzemple, la speciala afina grupo estas la subgrupo difinita per la semidirekt-produkto, Sl ( n, F
F da n , kaj la Poincaré-grupo estas la afina grupo asociis al la Lorentz-grupo, O (1, 3, F
#000053
La ĉefintereso de γL ( n, F) estas ke la rilata projekcia semilinear-grupo PΓL ( n, F) (kiu enhavas PGL ( n, F) estas la kolineation-grupo de projekcia regiono, por n > 2, kaj tiel semilinear-mapoj estas de intereso en projekcia geometrio.
#000056
(aprilo 2015) Se oni forigas la limigon de la determinanto estanta ne-nula, la rezulta algebra strukturo estas monoidan, kutime nomita la plena linia monoida, [6] [7] [8] sed foje ankaŭ plena linia Duongrupo, [9] ĝenerala linia monoida [10] [11] ktp.
Ĝi estas fakte regula Duongrupo.
#000057
La senfina ĝenerala lineara grupo aŭ stabila ĝenerala lineara grupo estas la rekta limo de la enfermaĵoj Gl ( n, F) → Gl ( n + 1, F) kiel supra maldekstra blokmatrico.
Ĝi estas indikita fare de aŭ Gl ( F) aŭ Gl (∞, F), kaj ankaŭ povas esti interpretita kiel inverteblaj senfinaj matricoj kiuj devias de la identa matrico en nur finhave multaj lokoj.
#000058
Ĝi ne devus esti konfuzita kun la spaco de (limigite) inverteblaj funkciigistoj sur hilberta spaco, kio estas pli granda grupo, kaj topologie multe pli simpla, nome kuntirebla - vidu la teoremon de Kuiper.
#000060
En matematiko, la ĝenerala lineara grupo de grado n super la reelaj nombroj estas la aro de n×n inversigeblaj matricoj de reelaj nombroj, kaj ankaŭ la operacio de ordinara matrica multipliko. Ili formas grupon, ĉar produto de du inversigeblaj matricoj estas denove inversigebla. Ĝi estas signifita per Gl(n, R), aŭ Gln(R).
#000064
Pli ĝenerale, oni povas difini la ĝeneralan linearan grupon de grado n super ĉiu kampo F (ekzemple la kompleksaj nombroj), aŭ eĉ ĉiu ringo R (kiel la ringo de entjeroj); ĝi estas simple la aro de n×n inversigeblaj matricoj kun elementoj de F (aŭ R), denove kun ordinara matrica multipliko kiel la grupa operacio.
#000065