Wikipedia's Torus as translated by GramTrans
#000000
En geometrio, Toro (pluralo Toroj) estas surfaco de revolucio generita rondirante cirklon en tri-dimensia spaco koncerne akson koplanara kun la cirklo.
Se la akso de revolucio ne tuŝas la cirklon, la surfaco havas ringoformon kaj estas nomita Toro de revolucio.
#000001
Real-mondaj ekzemploj de toroidal objektoj inkludas aertubojn.
#000002
Toro ne devus esti konfuzita kun solida toro, kiu estas formita rotaciante diskon, prefere ol cirklo, ĉirkaŭ akso.
Solida toro estas Toro kaj plie la volumeno ene de la Toro.
Real-mondaj aproksimadoj inkludas ringbulkojn, multajn savringojn, kaj ringoj.
#000003
En topologio, Ringotoro estas homeomorfa al la karteza produkto de du cirkloj:
S 1 × S 1, kaj ĉi-lasta estas manĝitaj por esti la difino en tiu kunteksto.
Ĝi estas kompaktujo 2-multnombra de genro 1-a kiun La Ringotoro estas unu maniero enkonstrui tiun spacon en tridimensian eŭklidan spacon, sed alia maniero farendaĵo tion estas la karteza produkto de la enkonstruado de S 1 en la ebeno.
Tio produktas geometrian objekton nomitan la Clifford-Toro, surfaco en 4-spaca.
#000004
En la kampo de topologio, Toro estas ajna topologia spaco kiu estas topologie ekvivalenta al Toro.
#000005
[ citaĵo bezonis ] Enhavo
#000006
Toro povas esti difinita parametrical per: [1]
#000007
θ, φ estas anguloj kiuj faras plenan cirklon, tiel ke iliaj valoroj komenciĝas kaj finiĝas ĉe la sama punkto,
R estas la distanco de la centro de la tubo ĝis la centro de la Toro,
r estas la radiuso de la tubo.
#000008
θ, φ estas anguloj kiuj faras plenan cirklon, tiel ke iliaj valoroj komenciĝas kaj finiĝas ĉe la sama punkto,
#000009
R estas la distanco de la centro de la tubo ĝis la centro de la Toro,
#000010
r estas la radiuso de la tubo.
#000011
R estas konata kiel la "grava radiuso" kaj r estas konata kiel la "negrava radiuso".
La rilatumo R dividita per r estas konata kiel la " bildformato ".
La tipaj ringbulkdolĉaĵoj havas bildformaton de proksimume 3 ĝis 2.
#000012
Implica ekvacio en kartezaj koordinatoj por Toro radiale simetria ĉirkaŭ la z - akso estas
#000013
aŭ la solvo de f ( x, y, z) = 0, kie
#000014
Algebre elimini la kvadratan radikon donas kvartan ekvacion,
#000015
La tri malsamaj klasoj de normaj Toroj egalrilatas al la tri eblaj bildformatoj inter R kaj r:
#000016
Kie R > r , la surfaco estos la konata Ringotoro.
R = kiun r egalrilatas al la Korntoro, kio en efiko estas Toro kun neniu "truo".
R < r priskribas la mem-intersekcantan Spindeltoron.
Kie R = 0, la Toro degeneras al la sfero.
#000017
Kiam R ≥ r , la interno
#000018
de tiu Toro estas difeomorfa (kaj, tial, homeomorfa) al produkto de Eŭklida malferma disko kaj cirklo.
La surfacareo kaj interna volumeno de tiu Toro estas facile komputitaj utiligante la centroidoteoremon de Pappus donante [3]
#000019
Tiuj formuloj estas la sama kiel por cilindro de longo 2πR kaj radiuso r, kreita tranĉante la tubon kaj disvolvante ĝin rektigante la linion kurantan ĉirkaŭ la centro de la tubo.
La perdoj en surfacareo kaj volumeno sur la interna flanko de la tubo precize ĉesigas la gajnojn sur la ekstera flanko.
#000020
Alternative, lasante p esti la radiuso de la ekstrema surfaco de la Toro kaj q la radiuso de la plej interna surfaco (tiel ke R = da p + q / 2 kaj r = p − q / 2 ), la surfacareo kaj la volumeno estas
#000021
Ĉar Toro estas la produkto da du cirkloj, modifita versio de la sfera koordinatsistemo foje estas uzita.
En tradiciaj sferaj koordinatoj ekzistas tri iniciatoj, R, la distanco de la centro de la koordinatsistemo, kaj θ kaj φ, anguloj mezuritaj de la centropunkto.
#000022
Ĉar Toro havas, efike, du centropoentoj, la centrorelkomutilo de la anguloj estas proponita;
φ mezuras la saman angulon kiel ĝi faras enen la sferan sistemon, sed estas konata kiel la "toroidal" direkto.
La centropunkto de θ estas proponita al la centro de r, kaj estas konata kiel la "poloidal" direkto.
Tiuj esprimoj unue estis uzitaj en diskuto de la geomagnetiko, kie "poloidal" kutimis indiki "la direkton direkte al la poloj".
#000023
La surfaco priskribis supre, surbaze de la relativa topologio de R 3 , estas homeomorfa al topologia Toro tiel longe kiel ĝi ne intersekcas sian propran akson.
Speciala homeomorfio ricevas stereografe projekciante la topologian Toron en R 3 de la norda poluso de S 3.
#000026
La Toro ankaŭ povas esti priskribita kiel kvociento de la karteza aviadilo sub la identigoj
#000027
aŭ, ekvivalente, kiel la kvocienton de la unuokvadrato per gluado de la kontraŭaj randoj kune, priskribis kiel fundamentan plurangul ABAON −1 B −1.
#000028
La fundamenta grupo de la Toro estas ĵus la rekta produkto de la fundamenta grupo de la cirklo kun si mem:
#000029
Intuicie parolante, tio signifas ke fermita pado kiu rondiras la truon de la Toro" (eldiro, cirklo kiu spuras eksteren specialan latitudon) kaj tiam rondiras la korpon de la Toro" (eldiro, cirklo kiu spuras eksteren specialan longitudon) povas esti misformitaj al pado kiu rondiras la korpon kaj tiam la truon.
Tiel, strikte "latitudinal" kaj strikte "longitudaj" padoj navedas.
Tio eble estos imagita kiel du ŝulaĉoj pasantaj tra unu la alian, tiam devolvante, tiam rebobenante.
#000030
Se Toro estas trapikita kaj farigita ene de eksteren tiam alia Torrezultoj, kun objektoj laŭ latitudo kaj longitudo interŝanĝis.
Tio estas ekvivalenta al konstruado de Toro de cilindro, per interligado de la cirklaj finoj kune, laŭ du malsamaj manieroj: ĉirkaŭ la ekstero kiel interligado de du finoj de akvohoso, aŭ tra la interno kiel ruliĝado de ŝtrumpeto (kun la piedfingro fortranĉita).
Plie, se la cilindro estis farita per gluado du kontraŭ flankoj de rektangulo kune, elekti la aliajn du flankojn anstataŭe kaŭzos la saman ĉesigon de orientiĝo.
#000031
La unua homologiogrupo de la Toro estas izomorfa ĝis la fundamenta grupo (tio sekvas el Hurewicz-teoremo ĉar la fundamenta grupo estas abela).
#000032
La 2-torus duobla-kovroj la 2-sfera, kun kvar forkiĝpoentoj.
Ĉiu konforma strukturo sur la 2-torus povas esti reprezentita kiel du-renversiĝitkovro de la 2-sfera.
La punktoj sur la Toro egalrilatanta al la forkiĝpunktoj estas la Weierstrass-punktoj.
Fakte, la konforma speco de la Toro estas determinita per la kruc-proporcio de la kvar poentoj.
#000033
La Toro havas ĝeneraligon al pli alta grandeco, la n-dimensia Toro, ofte nomita la n-torus aŭ hipertorus por fuŝkontakto.
(Tio estas unu el du malsamaj signifoj de la esprimo " n-torus ".
Memorante ke la Toro estas la produktospaco de du cirkloj, la n-dimensia Toro estas la produkto de n cirkloj.
#000034
La 1-torus estas ĵus la cirklo:
La Toro diskutita supre estas al la 2-torus, T 2.
Kaj simila al la 2-torus, la n-torus, T da n povas esti priskribita kiel kvociento de R da n sub integritaj ŝanĝoj en iu koordinato.
Tio estas, la n-torus estas R da n modulo la ago de la entjerkrado Z n (kie la ago estas prenita kiel vektoraldono).
Ekvivalente, la n-torus akiriĝas de la n-dimensia
hiperkubon de gluado de la kontraŭaj vizaĝoj kune.
#000035
N-torus en tiu signifo estas ekzemplo de n- dimensia kompaktdukto.
Ĝi ankaŭ estas ekzemplo de kompakta abela Mensoggrupo.
Tio sekvas el la fakto ke la trigonometria cirklo estas kompakta abela Mensoggrupo (kiam identiĝite kun la unuo kompleksnombroj kun multipliko).
Grupmultipliko sur la Toro tiam estas difinita per koordinat-rilata multipliko.
#000036
Toroidal grupoj ludas gravan rolon en la teorio de kompaktaj Mensoggrupoj.
Tio estas pagenda delvis al la fakto ke en iu kompakta Mensoggrupo G oni ĉiam povas trovi maksimuman Toron;
tio estas, fermita subgrupo kiu estas Toro de la plej granda ebla dimensio.
Tiaj maksimumaj Toroj T havas stirantan rolon ludi en teorio de ligita G.
Toroidal grupoj estas ekzemploj de protori, kiuj (kiel Toroj) estas kompaktaj ligitajn abelajn grupojn, kiuj ne estas postulataj por esti duktoj.
#000037
Aŭtomorfismoj de T estas facile konstruitaj el aŭtomorfismoj de la krado Z n , kiuj estas klasifikitaj per inverteblaj integritaj matricoj de grandeco n kun integralo inversaj;
tiuj estas ĵus la integritaj matricoj kie determinanto±1. Igas ilin reagi al R da n laŭ la kutima maniero, oni havas la tipan toral aŭtomorfismon sur la kvociento.
#000038
La fundamenta grupo de n-torus estas libera abela grupo de rekta n.
homologio kiun grupo de n-torus estas libera abela grupo de rekta n elektas k.
Ĝi sekvas ke la Euler karakteriza de la n-torus estas 0 por ĉiu n.
La kohomologioringo H • ( T da n , Z) povas esti identigita kun la ekstera algebro super la Z - modulo Z n kies generatoroj estas la dualoj de la n nesensignifajn ciklojn.
#000039
Ĉar la n-torus estas la n-obla produkto de la cirklo, la n-torus estas la konfiguraciospaco de n ordigis, ne nepre apartajn punktojn sur la cirklo.
La konfiguraciospaco de neordigitaj, ne nepre apartaj punktoj estas sekve la orbifold T da n / Sn , kio estas la kvociento de la Toro de la simetria grupo dum n leteroj (de permutado de la koordinatoj).
#000040
Por n = 2, la kvociento estas la rubando de Möbius, la rando egalrilatanta al la orbifoldpunktoj kie la du koordinatoj koincidas.
Por n = 3 tiu kvociento povas esti priskribita kiel solida toro kun sekco egallatera triangulo, kun tordaĵo;
ekvivalente, kiel triangula prismo kies pinto kaj malsupraj vizaĝoj estas ligitaj kun 1/3 tordaĵo (120°): la 3-dimensia interno egalrilatas al la punktoj sur la 3-torus kie ĉiuj 3 koordinatoj estas apartaj, la 2-dimensia vizaĝo korespondas al punktoj kun 2 koordinatoj korespondas al kaj la tria malsama, dum la 1-dimensia rando korespondas al punktoj kun ĉiuj 3 koordinatoj identa.
#000041
Tiuj orbifold'oj trovis signifajn aplikojn al muzikteorio en la laboro de Dmitri Tymoczko kaj kunlaborantoj (Felipe Posada kaj Michael Kolinas, et al.), estante uzitaj por modeligi muzikajn triadojn.
#000042
La plata Toro estas Toro kun la metriko heredita de sia reprezentantaro kiel la kvociento, R 2 / L, kie L estas aparta subgrupo de R 2 izomorfajn al Z 2.
Tio donas al la kvociento la strukturon de Riemaniana dukto.
Eble la plej simpla ekzemplo de tio kiam estas L
R 2 / Z 2, kiu ankaŭ povas esti priskribita kiel la karteza aviadilo sub la identigoj ( x, y
Tiu speciala plata Toro (kaj ajna unuforme skvama versio de ĝi ankaŭ) estas konata kiel la "kvadrata" plata Toro.
#000043
Tiu metriko de la kvadrata plata Toro ankaŭ povas esti realigita per specifaj enkonstruadoj de la familiarulo 2-torus en Euclidean 4-spaca al aŭ pli alta grandeco.
Ĝia surfaco havas nul Gaŭsian kurbiĝon ĉie.
Ĝia surfaco estas "plata" en la sama signifo ke la surfaco de cilindro estas "plata".
En 3 dimensioj oni povas fleksi platan tukon el papero en cilindron sen etendado de la papero, sed vi ne povas tiam fleksi tiun cilindron en Toron sen etendado de la papero (se vi ne prirezignas kelkajn reguleco- kaj distingeblokondiĉojn, vidu malsupre).
#000044
Simpla 4-dimensia Eŭklida enkonstruado da rektangula plata Toro (pli da generalo ol la kvadrata) estas kiel sekvas:
#000045
kie R kaj P estas konstantoj determinantaj la bildformaton.
Ĝi estas difeomorfa al regula Toro sed ne izometra.
Ĝi ne povas esti analize enkonstruita ( glata de klaso Ck, 2 ≤ k ≤ ∞) en Euclidean 3-spaca.
Mapi ĝin en 3-spaca devigas vin etendi ĝin, en kiu kazo ĝi aspektas pli kiel regula Toro, ekzemple, la sekva mapo
#000046
Se R kaj P en ĉi-supra plata Toro formas unuoblan vektoron ( R, P) = (cos ( η), peko ( η) tiam u, v, kaj η povas esti uzita por parameterigi la unuon 3-sferan en parametroigo asociita kun la Hopf-mapo.
Aparte, por certaj tre specifaj elektoj de kvadrata plata Toro en la 3-sfera S 3, kie η = π /4 supraj, la Toro dividos la 3-sferan en du kongruajn solidaj toroj subarojn kun la menciita plata Torsurfaco kiel ilia komuna limo.
Unu ekzemplo estas la Toro T difinita per
#000047
Aliaj Toroj en S 3 havi tiun dividan posedaĵon inkludas la kvadrataj Toroj de la formo Q⋅ T, kie Q estas rotacio de 4-dimensia spaceto R 4, aŭ en aliaj vortoj Q estas membro de la Lie-grupo TIEL (4).
#000048
Estas konata ke tie ekzistas neniu C2 (dufoje ade diferenciebla) enkonstruado de plata Toro en 3-spaca.
(La ideo de la pruvo estas preni grandan sferon enhavantan tian platan Toron en sia interno, kaj ŝrumpi la radiuson de la sfero ĝis ĝi ĵus tuŝas la Toron por la unuan fojon.
Tia tuŝpunkto devas esti tangency.
Sed tio implicus ke parto de la Toro, ĉar ĝi havas nul kurbiĝon ĉie, devas kuŝi strikte ekster la sfero, kio estas kontraŭdiro.
Aliflanke, laŭ la Nash-Kuiper-teoremo, pruvita en la 1950-aj jaroj, izometra C1 enkonstruado ekzistas.
Tio estas sole ekzistopruvo, kaj ne disponigas eksplicitajn ekvaciojn por tia enkonstruado.
#000049
En la teorio de surfacoj ekzistas alia objekto, la " genro- " g surfaco.
Anstataŭe de la produkto de n cirkloj, genrg surfaco estas la koneksa sumo de g du-tori.
Formi koneksan sumon de du surfacoj, forigi de ĉiu la internon de disko kaj "glui" la surfacojn kune laŭ la limcirkloj.
Por formi la koneksan sumon de pli ol du surfacoj, sumo du el ili en tempo ĝis ili estas tute ligitaj.
En tiu signifo, genrg surfaco similas la surfacon de g ringbulkoj metitaj kune flank-al-flanke, aŭ 2-sfera kun g teniloj alkroĉis.
#000051
Kiel ekzemploj, genro nul surfaco (sen limo) estas la du-sfera dum genro unu surfaco (sen limo) estas la ordinara Toro.
La surfacoj de pli alta genro foje estas nomitaj n truigitaj Toroj (aŭ, malofte, n Faldtoroj).
La esprimoj duobla Toro kaj triobla Toro ankaŭ estas foje uzitaj.
#000052
La klasifikteoremo por surfacoj deklaras ke ĉiu kompakta ligita surfaco estas topologie ekvivalenta al aŭ la sfero aŭ la ligi sumon de iu nombro da Toroj, diskoj, kaj reelajn projekcian ebenojn.
#000053
Pluredroj kun la topologia speco de Toro estas nomita toroidal pluredroj, kaj havas eŭleran karakterizon V − E + F = 0-a Por iuj numero-truoj, la formulo ĝeneraligas al V − E + F = 2 − 2N, kie N estas la nombro da truoj.
#000054
La esprimo "toroidal pluredro" ankaŭ estas uzita por higher-genra pluredroj kaj por mergadoj de toroidal pluredroj.
#000055
La homeomorfiogrupo (aŭ la subgrupo de difeomorfismoj) de la Toro estas volita en geometria topologio.
Ĝia mapada klasgrupo (la grupo de Koneksaj komponantoj) estas izomorfa al la grupo Gl ( n, Z) de inverteblaj entjermatricoj, kaj povas esti realigita kiel linearaj bildigoj sur la universala kovrospaco R da n kiuj konservas la norman kradon Z n (tio egalrilatas al entjerkoeficientoj) kaj tiel descendas al la kvociento.
#000056
Sur la nivelo de homotopy kaj homologio, la mapada klasgrupo povas esti identigita kiel la ago sur la unua homologio (aŭ ekvivalente, unua kohomologio, aŭ sur la fundamenta grupo, ĉar tiuj estas ĉio nature izomorfaj;
ankaŭ la unua kohomologiogrupo generas la kohomologio algebron:
#000057
Ĉar la Toro estas Eilenberg-MacLane-spaco K ( G, 1), ĝiaj homotopyekvivalentecoj, ĝis homotopy, povas esti identigitaj kun aŭtomorfismoj de la fundamenta grupo);
ke tio konsentas kun la mapada klasgrupo reflektas ke ĉiuj homotopyekvivalentecoj povas esti realigitaj per homeomorfioj - ĉiu homotopyekvivalenteco estas homotemo al homeomorfio - kaj ke homotemhomeomorfioj estas fakte isotopaj (ligitaj tra homeomorfioj, ne ĵus tra homotopyekvivalentecoj).
Pli kompakte, la mapo Homeo ( T da n
ŜI ( T da n ) estas 1-ligita (izomorfa sur pado-komponentoj, sur fundamenta grupo).
Tio estas "homeomorfio reduktas al homotopy reduktas al algebro-" rezulto.
#000058
Tiel la mallonga preciza sekvenco de la mapadaj klasaj grupdisigoj (identigo de la Toro kiel la kvociento de R da n donas disfendadon, per la linearaj bildigoj, kiel supra):
#000059
tiel la homeomorfiogrupo da la Toro estas semidirekt-produkto,
#000060
La mapada klasgrupo de pli altaj genrosurfacoj estas multe pli komplika, kaj areo de aktiva esplorado.
#000061
Se Toro estas dividita en regionojn, tiam estas ĉiam eble kolorigi la regionojn kun ne pli ol sep koloroj tiel ke najbaraj regionoj havas malsamajn kolorojn.
(Kontrasto kun la teoremo kun kvar koloroj por la aviadilo.
#000062
Solida toro de revolucio (neformale, kringo aŭ ringbulko) povas esti tranĉita per tranĉiloj por montri kiom multaj aviadiloj ĝi povas esti tranĉita en maksimume n tempojn
#000063
La komencaj esprimoj de tiu sekvenco, por 0 ≤ n ≤ 10, estas kiel sekvas:
#000064
Toro estas ringoforma surfaco formita de cirklo, kiu turniĝas ĉirkaŭ akso samebena. Se la akso sekcas la cirklon (estas ŝnuro de la cirklo), naskiĝas surfaco, kiu ne aspektas ringo sed pli similas al kuseno kun maldika mezo. En la tre speciala kazo kiam la akso trairas la centron de la cirklo (estas ties diametro), naskiĝas sfero. Normale oni nomas toro nur la surfacon kiu havas formon de ringo, sed eblas rigardi la kusenformaĵon kaj la sferon kiel specialajn kazojn de toro.
#000068
La geometria parametra ekvacio de toro estas:
#000069
Kie R estas distanco de cirkla centro ĝis akso de rotacio kaj r estas radiuso de la cirklo. Neparametra ekvacio de la samaj valoroj estas:
#000070
En topologio, toro estas la produto de pluraj cirkloj. La surfaco de ringa formo estas produto de du cirkloj S1 × S1.
#000071
La figuro formita el spaco limigita de toro nomiĝas plentorio
#000072
Startu de kvadrato kaj tiam gluu kune respektivajn kolorigitajn randoj, tiel ke la sagoj kongruu. Toro povas esti prezentita kiel kvocienta spaco, unuobla kvadrato ( [0,1] × [0,1] ) kun flankoj identigitaj jene:
#000073
Noto ke ĉi tio estas abstrakta gluado en topologia senco.
#000074
Ĉi tiu kvadrato estas fundamenta plurlatero de toro.
#000075