La aro de raciaj funkcioj pli ol kampo K estas kampo, la kampo de frakcioj de la ringo de la polinomfunkcioj pli ol K.
#000002
4 abstrakta algebro kaj geometria nocio 4.1
Nocio de racia funkcio en algebra diverseco
#000003
Nocio de racia funkcio en algebra diverseco
#000004
Konstanta funkcio kiel ekzemple f ( x) = π estas racia funkcio ĉar konstantoj estas polinomoj.
Notu ke la funkcio mem estas racia, eĉ se la valoro de f ( x) estas neracia por ĉio x.
#000005
La adjektivo "neracia" ne estas ĝenerale uzita por funkcioj.
#000006
La sumo, produkto, aŭ kvociento (escepta dividado de la nul polinomo) de du raciaj funkcioj estas sin racia funkcio.
Tamen, la procezo de redukto al norma formo povas preterintence rezultigi la forigon de tiaj neordinaraĵoj se zorgo ne estas elmontrita.
Utiligi la difinon de raciaj funkcioj kiel ekvivalentklasojn venas ĉirkaŭ tio, ekde x / x estas ekvivalenta al 1/1.
#000007
La koeficientoj de serio de Taylor de iu racia funkcio kontentigas linian ripetiĝrilaton, kiu povas esti trovita metante la racian funkcion egala al siaj serio de Taylor kaj kolektado kiel esprimoj.
#000008
Multobligante trae de la denominatoro kaj distribuado,
#000009
Post adaptado de la indeksoj de la sumoj por ricevi la samajn potencojn de x, ni venas
#000010
Ĉar tio tenas vera por ĉio x en la radiuso de konverĝo de la origina serio de Taylor, ni povas komputi jene.
Ekde la konstanta esprimo maldekstre devas korespondi al la konstanta esprimo dekstraflanke ĝi sekvas tion
#000011
Tiam, ĉar ekzistas neniuj potencoj de x maldekstre, ĉiuj la koeficientoj dekstraflanke devas esti nul, el kiuj ĝi sekvas tion
#000012
Inverse, ĉiu sekvenco kiu kontentigas linian ripetiĝon determinas racian funkcion kiam utiligite kiel la koeficientoj de serio de Taylor.
Tio estas utila en solvado de tiaj ripetiĝoj, ĉar de uzado de parta frakcioputriĝo kiun ni povas skribi ajnan racian funkcion kiel sumo de faktoroj de la formo 1/(hakil-+ b) kaj vastigi tiujn kiel geometria serio, donante eksplicitan formulon por la Taylor-koeficientoj;
tio estas la metodo de generado de funkcioj.
#000013
Abstrakta algebro kaj geometria nocio
#000014
La kampo de raciaj esprimoj estas indikita F ( X).
Tiu kampo laŭdire estas generita (kiel kampo) pli ol F per ( transcenda elemento) X, ĉar F ( X) ne enhavas ajnan bonordan subkampon enhavantan kaj F kaj la elementon Xan.
#000016
En kompleksa analitiko, racia funkcio
#000017
estas la rilatumo de du polinomoj kun kompleksaj koeficientoj, kie Q ne estas la nul polinomo kaj P kaj Q havas neniun komunan faktoron (tio evitas f prenantan la nedeterminitan valoron 0/0).
La domajno kaj intervalo de f estas kutime prenitaj por esti la Riemann-sfero, kiu evitas ajnan bezonon de speciala traktado ĉe la polusoj de la funkcio (kie Q ( z) estas 0).
#000018
La grado da racia funkcio estas la maksimumo de la gradoj da siaj konsistigaj polinomoj P kaj Q.
Se la grado da f estas d, tiam la ekvacio
#000019
havas d apartajn solvojn en z krom certaj valoroj de w, nomitaj kritikaj valoroj, kie du aŭ pli da solvoj koincidas.
La funkcio f povas tial esti opiniita de kiel d-faldo
kovro de la w-sfero proksime de la z-sfero.
#000020
Raciaj funkcioj kun grado 1 estas nomitaj transformo de Möbius kaj formas la aŭtomorfismojn
Raciaj funkcioj estas reprezentaj ekzemploj de meromorfaj funkcioj.
#000021
Kiel polinomoj, raciaj esprimoj ankaŭ povas esti ĝeneraligitaj al n indeterminatoj X 1
X n , per prenado de la kampo de frakcioj de F [ X 1
X n ], kiu estas indikita je F ( X 1
#000022
Plilongigita versio de la abstrakta ideo de racia funkcio estas utiligita en algebra geometrio.
Tie la funkcio kampo de algebra variaĵo V estas formita kiel la kampo de frakcioj de la kunordigita ringo de V (pli precize diris, de Zariski-densa afina malfermitan aron en V).
Ĝiaj elementoj f estas konsideritaj regulajn funkciojn en la signifo de algebra geometrio sur ne-malplenaj malfermitaj aroj U, kaj ankaŭ povas esti viditaj kiel morfismoj al la projekcia linio.
#000023
Tiuj objektoj unue estas renkontitaj en lernejalgebro.
En pli progresinta matematiko ili ludas gravan rolon en ringa teorio, precipe en la konstruado de kampetendaĵoj.
Ili ankaŭ disponigas ekzemplon de nonarkimedean kampo (vidu arkimedan propraĵon).
#000024
Raciaj funkcioj estas uzitaj en cifereca analitiko por interpolado kaj aproksimado de funkcioj, ekzemple la Padé-aproksimadoj lanĉitaj fare de Henri Padé.
Aproksimadoj laŭ raciaj funkcioj estas bone konvenitaj por komputilalgebraj sistemoj kaj alia cifereca programaro.
Kiel polinomoj, ili povas esti analizitaj simple, kaj en la sama tempo ili esprimas pli varian konduton ol polinomoj.
#000025
Raciaj funkcioj kutimas aproksimi aŭ modeligi pli kompleksajn ekvaciojn en scienco kaj inĝenieristiko inkluzive de kampoj kaj fortoj en fiziko, spektroskopio en kemia analizo, enzimkinetiko en biokemio, elektronika cirkulado, aerodinamiko, medicinkoncentriĝoj en vivo, undoroj por atomoj kaj molekuloj, optiko kaj fotarto por plibonigi bildrezolucion, kaj akustiko kaj tonigas [ citaĵon bezonis ].
#000026
En signal-prilaborado, la Laplace transformas (por kontinuaj sistemoj) aŭ la z-transformaĵo (por diskret-tempaj sistemoj) de la impulsrespondo de ofte-uzitaj lineara tempo-senvariaj sistemoj (filtriloj) kun senfina impulsrespondo estas raciaj funkcioj super kompleksaj nombroj.
#000027
Algebraj frakcioj - ĝeneraligo de raciaj funkcioj kiu permesas prenante entjerradikojn
#000028
Dinamika bildigo de raciaj funkcioj kun JŜGraph
#000032
Racionala funkcio - funkcio kiu estas divido de polinoma funkcioj. Divido de polinomoj, kiu plenumas racionalajn funkcioj nomas racionalajn esprimojn. Oni povas diri, ke rilato inter polinomoj kaj racionalaj funkcioj estas simila al rilato inter racionalaj nombroj kaj entjeroj.
#000033
estas polinomaj funkcioj kun koeficientoj de laŭvola korpo K, kaj ankaŭ (a.v. ne ĉiuj estas nuloj), tiam funkcio:
#000034
Fonto-aro de funkcio estas fonto-aro de funkcio krom nullokoj de funkcio
#000035
↑ en multaj fontoj racionalan funkcion oni difinas pli ĝenerale kiel funkcio de multvariabla funkcio
#000036