Wikipedia's Integral as translated by GramTrans
#000000
En matematiko, integralo asignas nombrojn al funkcioj en maniero kiel kiu povas priskribi delokiĝon, areon, volumenon, kaj aliajn konceptojn kiuj ekestas preter kombinanta infinitezimalajn datenojn.
Integriĝo estas unu el la du ĉefaj operacioj de kalkulado, kun sia inversa, diferencigo, estante la aliaj.
Surbaze de funkcio f de reala variablo x kaj intervalo [, b] de la reala linio, la definitiva integralo
#000002
estas difinita neformale kiel la subskribita areo de la regiono en la xy-aviadilo kiu estas limigita per la grafeo de f, la absciso kaj la vertikalaj linioj x = a kaj x = b .
La areo super la absciso aldonas al la totalo kaj tion sub la absciso subtrahas de la totalo.
#000003
Malglate parolante, la operacio de integriĝo estas la inversigo de diferencigo.
Tial, la esprimo integralo ankaŭ povas plusendi al la rilata nocio de la kontraŭderivita, funkcion F kies derivaĵo estas la antaŭfiksita funkcio f.
En tiu kazo, ĝi estas nomita senfina integralo kaj estas skribita:
#000004
La integraloj diskutitaj en tiu artikolo estas tiuj nomis definitivajn integralojn.
Ĝi estas la infinitezimalteoremo per kiu ligas diferencigon kun la definitiva integralo: se f estas kontinua real-aprezita funkcio difinita sur fermita intervalo [, b], tiam, post kiam kontraŭderivita F da f estas konata, la definitiva integralo de f dum tiu intervalo ricevas
#000005
La principoj de integriĝo estis formulitaj sendepende fare de Isaac Newton kaj Gottfried Wilhelm Leibniz en la malfrua 17-a jarcento, kiu pensis pri la integralo kiel senfina sumo de rektanguloj de infinitezimala larĝo.
Rigora matematika difino de la integralo ricevis fare de Bernhard Riemann.
Ĝi estas bazita sur limiga proceduro kiu alproksimiĝas al la areo de kurba regiono rompante la regionon en maldikajn vertikalajn slabojn.
Komenciĝante en la deknaŭa jarcento, pli sofistikaj nocioj de integraloj komencis ekaperi, kie la speco de la funkcio same kiel la domajno super kiu la integriĝo estas farita estis ĝeneraligita.
Liniintegralo estas difinita por funkcioj de du aŭ tri variabloj, kaj la intervalo de integriĝo [, b] estas anstataŭigita per certa kurbo liganta du punktojn sur la aviadilo aŭ en la spaco.
En surfaca integralo, la kurbo estas anstataŭigita per peco de surfaco en la tri-dimensia spaco.
#000006
3 Terminologio kaj notacio 3.1
4 Interpretoj de la integralo
#000007
La unua dokumentita sistema tekniko kapabla je determinado de integraloj estas la metodo de malplenigo de la malnovgreka astronomo Eudoxus ( ĉ. 370 a.K.), kiu serĉis trovi areojn kaj volumojn rompante ilin supren en senfinan nombron da sekcioj por kiu la areo aŭ volumeno estis konataj.
Tiu metodo kutimis plue evoluigita kaj utiligita fare de Arkimedo en la tria jarcento a.K. kaj kalkuli areojn por paraboloj kaj aproksimadon al la areo de cirklo.
#000008
Simila metodo estis sendepende evoluigita en Ĉinio ĉirkaŭ la tria-jarcenta p.K. fare de Liu HUI, kiu uzis ĝin por trovi la areon de la cirklo.
Tiu metodo poste estis uzita en la 5-a jarcento fare de ĉinaj patro-filo-matematikistoj Zu Chongzhi kaj Zu Geng por trovi la volumenon de sfero ( Shea 2007;
#000009
La venontaj signifaj progresoj en integrala kalkulo ne komenciĝis ekaperi ĝis la 17-a jarcento.
Ĉe tiu tempo, la laboro de Cavalieri kun lia metodo de Indivisible, kaj laboro de Fermat, komenciĝis amorigi la fundamentojn de moderna kalkulado, kie Cavalieri komputas la integralojn de x n ĝis grado da n = de 9 en Cavalieri kvadraturformulo.
Pliaj ŝtupoj estis faritaj en la frua 17-a jarcento fare de Barrow kaj Torricelli, kiuj disponigis la unuajn sugestojn de ligo inter integriĝo kaj diferencigo.
Manĉaro disponigis la unuan pruvon de la infinitezimalteoremo.
Wallis ĝeneraligis la metodon de Cavalieri, komputante integralojn de x al ĝenerala potenco, inkluzive de negativaj potencoj kaj frakciecaj potencoj.
#000010
La plej grava antaŭeniĝo en integriĝo venis en la 17-a jarcento kun la sendependa eltrovo de la infinitezimalteoremo de Neŭtono kaj Leibniz.
La teoremo montras ligon inter integriĝo kaj diferencigo.
Tiu ligo, kombinita kun la relativa facileco de diferencigo, povas esti ekspluatita por kalkuli integralojn.
Aparte, la infinitezimalteoremo permesas al tia solvi multe pli larĝan klason de problemoj.
Egala en graveco estas la ampleksa matematika kadro kiun kaj Neŭtono kaj Leibniz evoluigis.
Surbaze de la nomo infinitezima kalkulo, ĝi enkalkulis precizan analizon de funkcioj ene de kontinuaj domajnoj.
Tiu kadro poste iĝis moderna kalkulado, kies notacio por integraloj estas desegnita rekte de la laboro de Leibniz.
#000011
Dum Neŭtono kaj Leibniz disponigis sisteman aliron al integriĝo, al ilia laboro mankis grado da rigoro.
Bishop Berkeley memorinde atakis la malaperajn pliigojn uzitajn fare de Neŭtono, nomante ilin " fantomoj de foriritaj kvantoj ".
Kalkulado akiris pli firman bazon kun la evoluo de limoj.
Integriĝo unue estis rigore formaligita, uzante limojn, de Riemann.
Kvankam ĉiu saltita pecmaniero kontinuaj funkcioj estas Riemann-integrable sur saltita intervalo, poste pli ĝeneralaj funkcioj estis pripensitaj - precipe en la kunteksto de Fourier-analizo - por kiu la difino de Riemann ne validas, kaj Lebesgue formulis malsaman difinon de integralo, fondita en mezuran teorion (subkampo de reela analitiko).
Aliaj difinoj de integralo, etendanta la alirojn de Riemann kaj Lebesgue, estis proponitaj.
Tiuj aliroj bazitaj sur la realnombra sistemo estas tiuj plej oftaj hodiaŭ, sed alternativaj aliroj ekzistas, kiel ekzemple difino de integralo kiel la normparto de senfina Riemann-sumo, bazita sur la hiperreelnombra sistemo.
#000012
Isaac Newton uzis malgrandan vertikalan drinkejon super variablo por indiki integriĝon, aŭ metis la variablon ene de kesto.
La vertikala drinkejo estis facile konfuzita kun .
x aŭ x ′, kiuj kutimas indiki diferencigon, kaj la kestnotacio estis malfacilaj ke printiloj por reproduktiĝus, tiel ke tiuj notacioj ne estis vaste adoptitaj.
#000013
La moderna notacio por la senfina integralo estis lanĉita fare de Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675 ( Burton 1988, p. 359;
Li adaptis la integritan simbolon, ∫, de la litero S ( longa s), signifante summan (skribitan kiel summa;
La latina por "sumo" aŭ "totalo").
La moderna notacio por la definitiva integralo, kun limoj super kaj sub la integrita signo, unue estis utiligita fare de Joseph Fourier en Mémoires de la Franca Akademio proksimume 1819-20, represitaj en lia libro de 1822 ( Cajori 1929, pp 249-250;
#000014
(julio 2017) Integraloj estas uzitaj grandskale en multaj lokoj de matematiko same kiel en multaj aliaj lokoj kiuj dependas de matematiko.
#000015
Ekzemple, en probablokalkulo, integraloj kutimas determini la probablecon de iu hazarda variablo falado ene de certa intervalo.
Krome, la integralo sub tuta probablodensa funkcio devas esti 1, de kiu disponigas teston ĉu funkcio kun neniuj negativaj valoroj povis esti densecfunkcio aŭ ne.
#000016
Integraloj povas esti uzitaj por komputado de la areo de dudimensia regiono kiu havas kurban limon, same kiel komputado de la volumeno de tridimensia objekto kiu havas kurban limon.
#000017
La integralo kun respekto al x el real-aprezita funkcio f ( x) de reala variablo x sur la intervalo [, b] estas skribita kiel
#000018
Se la integralo iras de finhava valoro al la supra limo senfineco, la integralo esprimas la limon de la integralo de ĝis valoro b kiam b iras al senfineco.
Se la valoro de la integralo venas pli proksimen kaj pli proksime al finhava valoro, la integralo laŭdire konverĝas al tiu valoro.
Se ne, la integralo laŭdire diverĝas.
#000020
Kiam kiel en la limoj estas preterlasitaj,
#000021
la integralo estas nomita senfina integralo, kiu reprezentas klason de funkcioj (la kontraŭderivita) kies derivaĵo estas la integrand.
La infinitezimalteoremo rilatigas la taksadon de definitivaj integraloj al senfinaj integraloj.
Foje, limoj de integriĝo estas preterlasitaj por definitivaj integraloj kiam la samaj limoj okazas plurfoje en speciala kunteksto.
Kutime, la verkinto igos tiun kongreson klara komence de la signifa teksto.
#000022
Ekzistas pluraj etendaĵoj de la notacio por integraloj por ampleksi integriĝon pri nelimigitaj domajnoj kaj/aŭ en multobla grandeco (vidu pli postajn sekciojn de tiu artikolo).
#000023
En moderna araba matematika skribmaniero, reflektita integrita simboloestas uzita anstataŭe de la simbol ∫, ekde la araba manuskripto kaj matematikaj esprimoj iras rekte al forlasite.
Kelkaj verkintoj, precipe de eŭropa origino, uzas vertikalan "d" indiki la variablon de integriĝo (t.e., dks anstataŭe de dks ), ĉar konvene parolante, "d" ne estas variablo.
Ankaŭ, la simboldks ne estas ĉiam metita post f ( x), kiel por kazo en
#000025
En la unua esprimo, la diferencialo estas traktita kiel infinitezimala "multiplika" faktoro, formale sekvante "kommutativan posedaĵon" kiam "multobligite" per la esprimo 3/( x 2 +1).
En la dua esprimo, montranta al la diferencialoj unuajn kulminaĵojn kaj klarigas la variablojn kiuj estas integritaj kun respekto al, praktikon precipe popularaj ĉe fizikistoj.
#000026
Integraloj aperas en multaj praktikaj situacioj.
Se naĝejo estas rektangula kun plata fundo, tiam de it longo, larĝo, kaj profundo ni povas facile determini la akvokvanton kiun ĝi povas enhavi (por plenigi al ĝi), la areo de it surfaco (por kovri ĝin), kaj la longon de it rando (al ŝnuro ĝi).
Sed se ĝi estas ovala kun rondeta fundo, ĉiuj tiuj kvantoj postulas integraloj.
Praktikaj aproksimadoj povas sufiĉi por tiaj sensignifaj ekzemploj, sed precizecinĝenieristiko (de iu disciplino) postulas precizajn kaj rigorajn valorojn por tiuj elementoj.
#000027
Komenci for, pripensi la kurbo y = f ( x) inter x = 0 kaj x = 1 kun f ( x
#000028
Kio estas la areo sub la funkcio f, en la intervalo de ĝis 1?
#000029
kaj nomu tiun (ankoraŭ nekonataĵo) areon la (definitiva) integralo de f.
La notacio por tiu integralo estos
#000030
Ni prenas sumon de finhave multaj funkciovaloroj de f, multobligitaj kun la diferencoj de du postaj aproksimadpoentoj.
Ni povas facile vidi ke la aproksimado daŭre estas tro granda.
Utiligi pli da ŝtupoj produktas pli proksiman aproksimadon, sed ĉiam estos tro alta kaj neniam estos preciza.
Alternative, anstataŭigante tiujn subintervalojn per tiaj kun la maldekstra finalteco de ĉiu peco, ni ricevos aproksimadon kiu estas tro malalta: ekzemple, kun dek du tiaj subintervaloj ni ricevos proksimuman valoron por la areo de 0.6203.
#000032
La esenca ideo estas la transiro de aldonado finhave multaj diferencoj de aproksimadpunktoj multobligitaj de iliaj respektivaj funkciovaloroj al utiligado senlime multaj bonaj, aŭ infinitezimalaj ŝtupoj.
Kiam tiu transiro estas finita en ĉi-supra ekzemplo, ĝi turnas ke la areo sub la kurbo ene de la fiksitaj saltegoj estas 2/3.
#000033
elpensas la integralon kiel pezbalancita sumo, indikita per la longforma s, de funkciovaloroj, f ( x), multobligita per infinitezimalaj paŝolarĝoj, la tielnomitaj diferencialoj, indikitaj per dks.
La multipliksignoj antaŭ la dks estas ellasita.
#000034
Historie, post la fiasko de fruaj laboroj por rigore interpreti infinitesimal'ojn, Riemann formale difinis integralojn kiel limon de pezbalancitaj sumoj, tiel ke la dks indikis la limon de diferenco (nome, la intervallarĝo).
Mankoj de la dependeco de Riemann de intervaloj kaj kontinueco instigis pli novajn difinojn, aparte la Lebesgue-integralon, kiu estas konstruita sur kapablo etendi la ideon de "iniciato" laŭ multe pli flekseblaj manieroj.
#000035
rilatas al pezbalancita sumo en kiu la funkciovaloroj estas dividitaj, kun μ je la pezon por esti asignitaj al ĉiu valoro.
Ĉi tie indikas la regionon de integriĝo.
#000036
Ekzistas multaj manieroj de formale difinado de integralo, ne ĉiuj el kiuj estas ekvivalentaj.
La diferencoj ekzistas plejparte por trakti malsamajn specialajn kazojn kiuj eble ne estas integrablaj sub aliaj difinoj, sed ankaŭ foje pro pedagogiaj kialoj.
La plej ofte uzitaj difinoj de integralo estas Riemann-integraloj kaj Lebesgue-integraloj.
#000037
La Riemann-integralo estas difinita laŭ Riemann-sumoj de funkcioj kun respekto al etikeditaj sekcioj de intervalo.
Lasita [, b] estu fermita intervalo de la reala linio;
tiam etikedita sekcio de [, b] estas finhava sekvenco
#000038
Tio dividas la intervalon [, b] en n sub-intervalojn [ x mi −1, x mi ] indeksitajn fare de mi, ĉiu el kiu estas "etikedita" kun eminenta punkto t mi
Riemann-sumo de funkcio f kun respekto al tia etikedita sekcio estas difinita kiel
#000039
tiel ĉiu esprimo de la sumo estas la areo de rektangulo kun alteco egala al la funkciovaloro ĉe la eminenta punkto de la antaŭfiksita sub-intervalo, kaj larĝo la saman kiel la sub-intervallarĝon.
Lasu δ mi = x mi − x mi −1 esti la larĝo de sub-intervalo mi;
tiam la maŝo de tia etikedita sekcio estas la larĝo de la plej granda sub-intervalo formita per la sekcio, maks I = 1 ...
La Riemann-integralo de funkcio f dum la intervalo [, b] estas egala al S se:
#000040
Kiam la elektitaj etikedoj donas al la maksimumo (respektive, minimumo) valoron de ĉiu intervalo, la Riemann-sumo konvenas al supra (respektive, pli malalte) Darboŭ-sumon, sugestante la proksiman ligon inter la Riemann-integralo kaj la Darboŭ-integralo.
#000041
Ĝi ofte estas de intereso, kaj en teorio kaj aplikoj, povi pasi al la limo sub la integralon.
Ekzemple, sekvenco de funkcioj povas ofte esti konstruita ke proksimigi, en taŭga signifo, la solvon al problemo.
Tiam la integralo de la solvofunkcio devus esti la limo de la integraloj de la aproksimadoj.
Tamen, multaj funkcioj kiuj povas esti akiritaj kiam limoj ne estas Riemann-integrable, kaj tiel tiaj limteoremoj ne tenas kun la Riemann-integralo.
Tial, ĝi gravegas havi difinon de la integralo kiu permesas al pli larĝa klaso de funkcioj esti integra ( Rudin 1987).
#000042
Tia integralo estas la Lebesgue-integralo, kiu ekspluatas la sekvan fakton por pligrandigi la klason de integrablaj funkcioj: se la valoroj de funkcio estas rearanĝitaj super la domajno, la integralo de funkcio devus resti la sama.
Tiel Henri Leon Lebesgue lanĉis la integralon portante sian nomon, klarigante tiun integritan tiel en letero al Paul Montel:
#000043
mi devas pagi certan sumon, kiun mi kolektis en I poŝo.
mi prenas la fakturojn kaj monerojn el I poŝo kaj donas ilin al la kreditoro en la sinsekvo kiun mi trovas al ili ĝis mi atingis la totalan sumon.
Sed I povas daŭrigi alimaniere.
Post kiam mi prenis la tutan monon el I poŝo kiun mi ordigas al la fakturoj kaj moneroj laŭ identaj valoroj kaj tiam mi pagas la plurajn stakojn unu- post la alie al la kreditoro.
#000044
Ĉar Folland (1984, p. 56) metas ĝin, "Por komputi la Riemann-integralon de f, oni dividas la domajnon [, b] en subintervalojn", dum en la Lebesgue-integralo, "oni en efiko dividas la intervalon de f ".
La difino de la Lebesgue-integralo tiel komenciĝas kun kvanto, μ.
En la plej simpla kazo, da la Lebesgue-iniciato μ ( A) de intervalo A
, b] estas ĝia larĝo, b − , tiel ke la Lebesgue-integralo konsentas kun la (bonorda) Riemann-integralo kiam ambaŭ ekzistas.
En pli d komplikaj kazoj, la aroj estantaj mezuritaj povas esti altagrade fragmentigitaj, kun neniu kontinueco kaj neniu simileco al intervaloj.
#000045
Utiligante la "partigon la intervalon da f " filozofio, la integralo de ne-negativa funkcio f:
R → R devus esti la sumo super t da la areoj inter maldika horizontala strio inter y = t kaj y = t + dt .
Lasis f ∗ ( t
La Lebesgue-integralo de f tiam estas difinita fare de ( Lieb & Loss 2001)
#000046
kie la integralo dekstraflanke estas ordinara nedeca Riemann-integralo ( f ∗ estas strikte malpliigante pozitivan funkcion, kaj tial havas klare difinitan nedecan Riemann-integralon).
Por taŭga klaso de funkcioj (la mezureblaj funkcioj) tio difinas la Lebesgue-integralon.
#000047
Ĝenerala mezurebla funkcio f estas Lebesgue-integrable se la sumo de la absolutaj valoroj de la areoj de la regionoj inter la grafeo de f kaj la absciso estas finhava:
#000048
En tiu kazo, la integralo estas, kiel en la Riemaniana kazo, la diferenco inter la areo super la absciso kaj la areo sub la absciso:
#000049
Kvankam la Riemann- kaj Lebesgue-integraloj estas la plej vaste uzitaj difinoj de la integralo, kelkaj aliaj ekzistas, inkluzive de:
#000050
La kolekto de Riemann-integrable funkcioj sur fermita intervalo [, b] formas vektoran spacon sub la operacioj de punktmanieraldono kaj multipliko de Skalaro, kaj la operacion de integriĝo
#000052
linia funkcia estas sur tiu vektora spaco.
Tiel, unue, la kolekto de integrablaj funkcioj estas fermita sub prenado de linearaj kombinaĵoj;
kaj, due, la integralo da lineara kombinaĵo estas la lineara kombinaĵo de la integraloj,
#000053
Simile, la aro de real-aprezitaj Lebesgue-integrable funkcioj sur antaŭfiksita iniciatspaco E kun iniciato μ estas fermita sub prenado de linearaj kombinaĵoj kaj tial formas vektoran spacon, kaj la Lebesgue-integralon
#000054
linia funkcia estas sur tiu vektora spaco, tiel ke
#000055
Pli ĝenerale, pripensas la vektoran spacon da ĉiuj mezureblaj funkcioj sur iniciatspaco ( E, μ), prenante valorojn enen loke kompakta
kompleta topologia vektora spaco V pli ol loke kompakta topologia kampo K, f:
Tiam oni povas difini abstraktan integriĝmapon asignantan al ĉiu funkcio f al elemento de V aŭ la simbol ∞ ,
#000056
tio estas kongrua kun linearaj kombinaĵoj.
En tiu situacio, la lineareco tenas por la subspaco de funkcioj kies integralo estas elemento de V (t.e. "finhava").
La plej gravaj specialaj kazoj ekestas kiam K estas R , C , aŭ finhava etendaĵo de la kampo Q p de p-adicnombroj, kaj V estas finhav-dimensia vektora spaco pli ol K, kaj kiam K = C kaj V estas kompleksa hilberta spaco.
#000057
Lineareco, kune kun kelkaj naturaj kontinuectrajtoj kaj normaliĝo por certa klaso de "simplaj" funkcioj, povas esti uzita por doni alternativan difinon de la integralo.
Tio estas la aliro de Daniell por la kazo de real-aprezitaj funkcioj sur aktoraro Xa, ĝeneraligita fare de Nicolas Bourbaki al funkcioj kun valoroj en loke kompakta topologia vektora spaco.
Vidu ( Hildebrandt 1953) por aksioma karakterizado de la integralo.
#000058
Kelkaj ĝeneralaj neegalaĵoj tenas ĉar Riemann-integrable funkcioj difinis sur fermita kaj saltita intervalo [, b] kaj povas esti ĝeneraligitaj al aliaj nocioj de integralo (Lebesgue kaj Daniell).
#000059
Upper and lower bounds. integrabla funkcio f sur [, b], estas nepre saltita sur tiu intervalo.
Tiel ekzistas realaj nombroj m kaj M tiel ke m ≤ f ( x
M por ĉio x en [, b].
Ĉar la pli malaltaj kaj supraj sumoj de f inte [, b] estas tial saltitaj for, respektive, m ( b − ) kaj M ( b − ), ĝi sekvas tion
#000060
Inequalities between functions. Se f ( x
g ( x) por ĉiu x en [, b] tiam ĉiu el la supraj kaj pli malaltaj sumoj de f estas saltita supre per la supraj kaj pli malaltaj sumoj, respektive, de g.
#000061
Tio estas ĝeneraligo de ĉi-supraj neegalaĵoj, ĉar M ( b − ) estas la integralo de la konstanta funkcio per valoro M super [, b].
Krome, se la malegaleco inter funkcioj estas strikta, tiam la malegaleco inter integraloj estas ankaŭ strikta.
Tio estas, se f ( x
#000062
Tio estas ĝeneraligo de ĉi-supraj neegalaĵoj, ĉar M ( b − ) estas la integralo de la konstanta funkcio per valoro M super [, b].
#000063
Krome, se la malegaleco inter funkcioj estas strikta, tiam la malegaleco inter integraloj estas ankaŭ strikta.
Tio estas, se f ( x
#000064
Subintervals. Se [ c, d] estas subintervalo de [, b] kaj f ( x) estas ne-negativa por ĉio x, tiam
#000065
Products and absolute values of functions. Se f kaj g estas du funkcioj, tiam ni povas pripensi iliajn punktmanierproduktojn kaj potencojn, kaj absolutajn valorojn:
#000066
Tiu malegaleco, konata kiel la Cauchy-Schwarz malegaleco, ludas protrudan rolon en hilbertspaca teorio, kie maldekstramana flanko estas interpretita kiel la interna produkto de du kvadrat-integrable funkcioj f kaj g sur la intervalo [, b].
#000069
Supozu ke p kaj q estas du realaj nombroj, 1 ≤ p, q
kun 1 / p + 1 / q = 1, kaj f kaj g estas du Riemann-integrable funkcioj.
q ankaŭ estas integrabla kaj la sekvanta la malegaleco de Hölder tenas:
#000070
Por p = q = la malegaleco de 2, Hölder iĝas la Cauchy-Schwarz malegaleco.
#000071
Supozu ke p ≥ 1 estas reala nombro kaj f kaj g estas Riemann-integrable funkcioj.
p ankaŭ estas Riemann-integrable kaj la sekva Minkowski-malegaleco tenas:
#000072
Analogo de tiu malegaleco por Lebesgue-integralo estas uzita en konstruado de Lp spacoj.
#000073
En tiu sekcio, f estas real-aprezita Riemann-integrable funkcio.
#000074
dum intervalo [, b] estas difinita se < b .
Tio signifas ke la supraj kaj pli malaltaj sumoj de la funkcio f estas analizitaj sur sekcio = x 0 ≤ x 1
x n = b kies valorojn x mi pliigas.
Geometrie, tio signifas ke integriĝo okazas "de maldekstre al dekstre", analizante f ene de intervaloj [ x mi , x mi +1] kie intervalo kun pli alta indekso kuŝas dekstren de unu kun pli malalta indekso.
La valoroj a kaj b, la finpunktoj de la intervalo, estas nomitaj la limoj de integriĝo de f.
Integraloj ankaŭ povas esti difinitaj se > b :
#000075
Reversing limits of integration. Se > b tiam difinu
#000076
Tio, kun = b , implicas:
#000077
Integrals over intervals of length zero. Se estas reala nombro tiam
#000078
La unua kongreso estas necesa en konsidero de prenado de integraloj super subintervaloj de [, b];
la duaj eldiroj ke integralo transprenita degenerita intervalo, aŭ punkto, devus esti nul.
Unu kialo de la unua kongreso estas ke la integrabileco de f sur intervalo [, b] implicas ke f estas integrabla sur iu subintervalo [ c, d], sed en specialaj integraloj havas la posedaĵon tio:
#000079
Additivity of integration on intervals. Se c estas ajna elemento de [, b], tiam
#000080
Kun la unua kongreso, la rezulta rilato
#000081
estas tiam klare difinita por iu cikla permuto de , b, kaj c.
#000082
La infinitezimalteoremo estas la deklaro tiu diferencigo kaj integriĝo estas inversaj operacioj: se kontinua funkcio unue estas integra kaj tiam nuancita, la origina funkcio estas prenita.
Grava sekvo, foje nomita la dua infinitezimalteoremo, permesas al tia komputi integralojn uzante kontraŭderivitan de la funkcio por esti integra.
#000083
Lasu f esti kontinua real-aprezita funkcio difinita sur fermita intervalo [, b].
Lasu F esti la funkcio difinita, por ĉio x en [, b], per
#000084
Tiam, F estas kontinua sur [, b], diferenciebla sur la malferma intervalo (, b), kaj
#000085
por ĉio x en (, b).
#000086
Lasu f esti real-aprezita funkcio difinita sur fermita intervalo [, b] kiu koncedas kontraŭderivitan F sur [, b].
Tio estas, f kaj F estas funkcioj tia ke por ĉio x en [, b],
#000087
Se f estas integrabla sur [, b] tiam
#000088
La dua bazteoremo permesas al multaj integraloj esti kalkulitaj eksplicite.
#000089
de la kvadratradika funkcio f ( x
x 1/2 inter kaj 1, estas sufiĉe trovi al kontraŭderivita, t.e., funkcion F ( x) kies derivaĵo korespondas al f ( x):
#000090
Unu tia funkcio estas F ( x
Tiam la valoro de la integralo koncerne estas
#000091
Tio estas kazo de ĝenerala regulo, tio por f ( x
x q , kun q ≠ −1, la rilata funkcio, la tielnomita kontraŭderivita estas F ( x
Tabloj de tio kaj similaj Malderivaĵoj povas esti uzitaj por kalkuli integralojn eksplicite, laŭ multe lasama maniero ke tabloj el derivaĵoj povas esti uzitaj.
#000092
"Bonorda" Riemann-integralo supozas ke la integrand estas difinita kaj finhava sur fermita kaj saltita intervalo, enparentezigita proksime de la limoj de integriĝo.
Malregula integralo okazas kiam unu aŭ pli el tiuj kondiĉoj ne estas kontentigitaj.
En kelkaj kazoj tiaj integraloj povas esti difinitaj pripensante la limon de sekvenco de bonordaj Riemann-integraloj sur laŭstadie pli grandaj intervaloj.
#000093
Se la intervalo estas nelimigita, ekzemple ĉe sia supra fino, tiam la malregula integralo estas la limo kiam tiu finpunkto iras al senfineco.
#000094
Se la integrand estas nur difinita aŭ finhava sur duone malfermita intervalo, ekzemple (, b], tiam denove limo povas disponigi finhavan rezulton.
#000095
Tio estas, la malregula integralo estas la limo de bonordaj integraloj kiel unu finpunkto de la intervalo de integriĝaliroj aŭ precizigita reala nombro, aŭ ∞, aŭ −∞.
En pli d komplikaj kazoj, limoj estas postulataj ĉe ambaŭ finpunktoj, aŭ ĉe internaj punktoj.
#000096
Ekzakte ĉar la definitiva integralo de pozitiva funkcio de unu variablo reprezentas la areon de la regiono inter la grafeo de la funkcio kaj la absciso, la duobla integralo de pozitiva funkcio de du variabloj reprezentas la volumenon de la regiono inter la surfaco difinita per la funkcio kaj la aviadilo kiu enhavas sian domajnon.
#000097
kie la diferenciga dA indikas ke integriĝo estas prenita kun respekto al areo.
Tiu duobla integralo povas esti difinita uzante Riemann-sumojn, kaj reprezentas la (subskribiten) volumenon sub la grafeo de z = f ( x, y) pli ol la domajno R.
Sub taŭgaj kondiĉoj (ekz., se f estas kontinua), tiam la teoremo de Fubini garantias ke tiu integralo povas esti esprimita kiel ekvivalento ripetis integralon
#000098
Tio reduktas la problemon de komputado de duoblo integrita al komputado de unu-dimensiaj integraloj.
Pro tio, alia notacio por la integralo pli ol R uzas duoblan integritan signon:
#000099
Integriĝo super pli ĝeneralaj domajnoj estas ebla.
La integralo de funkcio f, kun respekto al volumeno, super subaro D de Rn estas indikita per notacio kiel ekzemple
#000100
La koncepto de integralo povas esti etendita al pli ĝeneralaj domajnoj de integriĝo, kiel ekzemple kurbaj linioj kaj surfacoj.
Tiaj integraloj estas konataj kiel liniintegraloj kaj surfacaj integraloj respektive.
Tiuj havas gravajn aplikojn en fiziko, kiel dum traktado vektorajn kampojn.
#000101
Liniintegralo (foje nomita padintegralo) estas integralo ke kie la funkcio por esti integra estas analizita laŭ kurbo.
Diversaj malsamaj liniintegraloj estas en uzo.
Koncerne fermitan kurbon ĝi ankaŭ estas nomita konturintegralo.
#000102
La funkcio por esti integra povas esti skalara kampo aŭ vektora kampo.
La valoro de la liniintegralo estas la sumo de valoroj de la kampo ĉiupunkte sur la kurbo, pezbalancita per iu skalarfunkcio sur la kurbo (ofte arklongo aŭ, por vektora kampo, la skalarprodukto de la vektora kampo kun diferenciga vektoro en la kurbo).
Tiu pesado distingas la liniintegralon de pli simplaj integraloj difinitaj sur intervaloj.
Multaj simplaj formuloj en fiziko havas naturajn kontinuajn analogaĵojn laŭ liniintegraloj;
ekzemple, la fakto ke laboro estas egala al forto, F , multobligita per delokiĝo, s , povas esti esprimita (laŭ vektorkvantoj) kiel:
#000103
Por objekto moviĝanta laŭ pado C en vektora kampo F kiel ekzemple kampo aŭ gravitkampo, la totala laboro farita proksime de la kampo sur la objekto akiriĝas sumigante la diferencigan laboron faritan enen moviĝante de s al s + d s .
#000104
Surfaca integralo estas definitiva integralo transprenita surfaco (kiu povas esti kurba aro en spaco);
ĝi povas esti opiniita de kiel la duobla integrita analogaĵo da la liniintegralo.
La funkcio por esti integra povas esti skalara kampo aŭ vektora kampo.
La valoro de la surfaca integralo estas la sumo de la kampo ĉiupunkte sur la surfaco.
Tio povas esti atingita dividante la surfacon en surfacelementojn, kiuj disponigas la partigon por Riemann-sumoj.
#000105
Por ekzemplo de aplikoj da surfacaj integraloj, pripensas vektorkampa v sur surfaco S ;
tio estas, por ĉiu poento x en S , v ( x) estas vektoro.
Imagu ke ni havas likvaĵon fluantan tra S , tia ke v ( x) determinas la rapidecon de la likvaĵo ĉe x.
La fluo estas difinita kiel la kvanto da likvaĵo fluanta tra S en unuokvanto de tempo.
Por trovi la fluon, ni devas preni la skalarprodukton de v kun la unuo surfacnormalo al S ĉe ĉiu punkto, kiu donos al ni skalaran kampon, kiun ni integras super la surfaco:
#000106
La likvaĵofluo en tiu ekzemplo povas esti de fizika likvaĵo kiel ekzemple akvo aŭ aero, aŭ de elektra aŭ magneta fluo.
Tiel surfacaj integraloj havas aplikojn en fiziko, precipe kun la klasika teorio de elektromagnetismo.
#000107
En kompleksa analitiko, la integrand estas kompleks-aprezita funkcio da kompleksa varia z anstataŭe de reala funkcio de reala varia x.
#000108
Tio estas konata kiel konturintegralo.
#000109
Diferenciga formo estas matematika koncepto en la kampoj de plurvariabla kalkulo, diferenciala topologio, kaj tensoroj.
Diferencigaj formoj estas organizitaj je grado.
Ekzemple, unu-forma estas pezbalancita sumo de la diferencialoj de la koordinatoj, kiel ekzemple:
#000110
kie E, F, G estas funkcioj en tri dimensioj.
Diagnozalternativo unu-forma povas esti integrita super orientita pado, kaj la rezulta integralo estas ĵus alia maniero skribi liniintegralo.
Ĉi tie la baza diagnozalternativdks, dy, dz iniciato infinitezimalaj orientitaj longoj paralela al la tri kunordigitaj aksoj.
#000111
Diferencialo du-forma estas sumo de la formo
#000112
\displaistile G (x, y, z) dks\ŭedge dy E (x, y, z) di\ŭedge dz F (x, y, z) dz\ŭedge dks.
#000113
Male al la vektora produto, kaj la tridimensia vektora kalkulo, la kojnoprodukto kaj la kalkulado de diferencigaj formoj sonas racie en arbitra dimensio kaj sur pli ĝeneralaj duktoj (kurboj, surfacoj, kaj iliaj higher-dimensiaj analogaĵoj).
La ekstera derivaĵo ludas la rolon de la gradiento kaj buklon da vektora kalkulo, kaj teoremo de Stokes samtempe ĝeneraligas la tri teoremojn de vektora kalkulo: la diverĝenca teoremo, teoremo de Green, kaj la Kelvin-hejtiteoremo.
#000114
La diskreta ekvivalento de integriĝo estas sumigo.
Sumigoj kaj integraloj povas esti surŝmiritaj la samaj fundamentoj utiligantaj la teorion de Lebesgue-integraloj aŭ temposkalkalkuladon.
#000115
La plej baza tekniko por komputado de definitivaj integraloj de unu reala variablo estas bazita sur la infinitezimalteoremo.
Lasu f ( x) esti la funkcio de x por esti integra dum antaŭfiksita intervalo [, b].
Tiam, trovas kontraŭderivitan de f;
tio estas, funkcio F tia ke F
Disponigis la integrand kaj integralo havas neniujn neordinaraĵojn sur la pado de integriĝo, de la infinitezimalteoremo,
#000116
La integralo ne estas fakte la kontraŭderivita, sed la bazteoremo disponigas manieron uzi Malderivaĵojn por analizi definitivajn integralojn.
#000117
La plej malfacila paŝo estas kutime trovi la kontraŭderivitan de f.
Estas malofte eble ekrigardi al funkcio kaj surpaperigi ĝian kontraŭderivitan.
Pli ofte, estas necese uzi unu el la multaj teknikoj kiuj estis evoluigitaj por analizi integralojn.
La plej multaj el tiuj teknikoj reverkas unu integritan kiel malsama kiu estas espereble pli akordiĝema.
#000118
Ŝanĝante la ordon de integriĝo
Diferencigo sub la integrita signo
#000119
Komputadoj de volumoj de solidoj da revolucio povas kutime esti faritaj kun diskintegriĝo aŭ ŝelintegriĝo.
#000121
Specifaj rezultoj kun kiuj estis laboritaj per diversaj teknikoj estas kolektitaj en la listo de integraloj.
#000122
Multaj problemoj en matematiko, fizikoj, kaj inĝenieristiko implikas integriĝon kie eksplicita formulo por la integralo estas dezirata.
Ampleksaj tabloj de integraloj estis kompilitaj kaj publikigitaj tra la jaroj por tiu celo.
Kun la disvastiĝo de komputiloj, multaj profesiuloj, edukistoj, kaj studentoj kontaktis komputilalgebrajn sistemojn kiuj estas specife dizajnitaj por plenumi malfacilajn aŭ tedajn taskojn, inkluzive de integriĝo.
Simbola integriĝo estis unu el la instigoj por la evoluo de la unuaj tiaj sistemoj, kiel Macsyma.
#000123
Kelkaj specialaj integrand'oj ofte okazas sufiĉe por motivi specialenketon.
Aparte, povas esti utile havi, en la aro de Malderivaĵoj, la specialaj funkcioj (kiel la Legendre-funkcioj, la hipergeometriaj funkcio, la gama-funkcio, la nekompleta gama-funkcio - vidu Simbolan integriĝon por pli da detaloj).
Etendi la algoritmon de la Risch por inkludi tiajn funkciojn estas ebla sed malfacila kaj estis aktiva esplortemo.
#000125
Pli lastatempe nova aliro aperis, uzante D-finhava funkciojn, kiuj estas la solvoj da liniaj diferencialaj ekvacioj kun polinomkoeficientoj.
La plej multaj el la elementaj kaj specialaj funkcioj estas D-finhava, kaj la integralo de D-finhava funkcio ankaŭ estas D-finhava funkcio.
Tio disponigas algoritmon por esprimi la kontraŭderivitan de D-finhava funkcio kiel la solvo de diferenciala ekvacio.
#000126
Tiu teorio ankaŭ permesas oni komputi la definitivan integralon de D-funkcio kiel la sumo de serio donita per la unuaj koeficientoj, kaj disponigas algoritmon por komputi ĉiun koeficienton.
#000127
Kelkaj integraloj trovitaj en realaj aplikoj povas esti komputitaj per fermit-formaj Malderivaĵoj.
Kelkaj Malderivaĵoj ne fermis formojn, kelkaj fermitaj formoj postulas specialajn funkciojn kiuj mem estas defio por komputi, kaj aliaj estas tiel kompleksaj ke trovi la preciza respondo estas tro malrapida.
Tio instigas la studon kaj aplikon de nombraj aproksimadoj de integraloj.
Tiu subjekto, nomita nombra integriĝo aŭ nombra kvadraturo, frue ekestis en la studo de integriĝo por la celo de farado de mankalkuloj.
La evoluo de ĝeneraluzeblaj komputiloj igis nombran integriĝon pli praktika kaj movis deziron al plibonigoj.
La celoj de nombra integriĝo estas precizeco, fidindeco, efikeco, kaj ĝeneraleco, kaj sofistikaj modernaj metodoj povas vaste forpuŝi naivan metodon per ĉiuj kvar iniciatoj ( Dahlquist & Björck 2008;
Kahaner, Moler & Nash 1989;
#000128
kiu havas la precizan respondon 94/25 = 3.76.
(En ordinara praktiko, la respondo ne estas konata anticipe, do grava tasko - ne esplorita ĉi tie - estas decidi kiam aproksimado estas sufiĉe bona.
"Kalkulada libro-" aliro dividas la integriĝintervalon en, ekzemple, 16 egalajn pecojn, kaj komputas funkciovalorojn.
#000129
Uzi la maldekstran finon de ĉiu peco, la rektangulajn metod sumojn 16 funkciovalorojn kaj multobligas de la paŝolarĝo, h, ĉi tie 0.25, por ricevi proksimuman valoron de 3.94325 por la integralo.
La precizeco ne estas impona, sed kalkulado formale utiligas pecojn da infinitezimala larĝo, tiel komence tio povas ŝajni malmulte da kialo por konzerno.
Efektive, plurfoje duobligi la nombron da ŝtupoj poste produktas aproksimadon de 3.76001.
Tamen, 218 pecoj estas postulataj, granda komputila elspezo por tia malmulte da precizeco;
kaj atingo por pli granda precizeco povas devigi ŝtupojn tiel malgrandajn ke artimetika precizeco iĝas malhelpo.
#000130
La metodo de Romberg konstruas sur la trapezmetodo al granda efiko.
Unue, la paŝolongoj estas duonigitaj pliige, donante al trapezo aproksimadojn indikitajn je T ( h 0), T ( h 1), kie h da k +1 estas la duono de h da k .
Por ĉiu nova paŝograndeco, nur duono de la novaj funkciovaloroj devas esti komputitaj;
la aliaj portas de la antaŭa grandeco (kiel montrite en la tabelo supre).
Sed la vere potenca ideo estas interpoli polinomon tra la aproksimadoj, kaj eksterpoli al T (0).
Kun tiu metodo nombre preciza respondo ĉi tie postulas nur kvar pecojn (kvin funkciovaloroj).
3.76 + estas 0.148 h 2 , produktante la eksterpolitan valoron 3.76 je h = 0.
#000132
Gaŭsiana kvadraturo ofte postulas videble malpli labori por supera precizeco.
En tiu ekzemplo, ĝi povas komputi la funkciovalorojn ĉe nur du x pozicioj, ±2 ⁄ √ 3 , tiam duobligi ĉiun valoron kaj sumon por ricevi la nombre precizan respondon.
La klarigo por tiu drameca sukceso kuŝas en la elekto de punktoj.
Male al Neŭtona-stalreguloj, kiuj interpolas la integrand ĉe egale interspacigis punktojn, Gaussian-kvadraturo analizas la funkcion ĉe la radikoj de aro de perpendikularaj polinomoj.
Gaŭsiana metodo estas preciza por polinomoj de grado ĝis 2n − 1.
La funkcio en tiu ekzemplo estas grado 3 polinomo, kaj plie esprimo kiu nuligas ĉar la elektitaj finpunktoj estas simetriaj proksimume nul.
(Nuligo ankaŭ utilas la Romberg-metodon.
#000133
En praktiko, ĉiu metodo devas uzi ekstrajn taksadojn por certigi eraron ligitan sur nekonata funkcio;
tio tendencas kompensi iujn el la avantaĝo de la pura Gaŭsian metodo, kaj instigas la popularajn Gauss-Kronrod-kvadraturformulojn.
Pli larĝe, adapta kvadraturo dividas intervalon en pecojn bazitajn sur funkciotrajtoj, tiel ke datenpunktoj estas densaj kie ili estas bezonitaj la plej granda parto.
#000134
La komputado de higher-dimensiaj integraloj (ekzemple, volumenokalkuloj) faras gravan uzon de tiaj alternativoj kiel Montekarlo-integriĝo.
#000135
Kalkuladoteksto estas neniu anstataŭaĵo por cifereca analitiko, sed la reverso ankaŭ estas vera.
Eĉ la plej bona adapta nombra kodo foje devigas uzanton helpi kun la pli postulemaj integraloj.
Ekzemple, malregulaj integraloj povas postuli ŝanĝon de variablo aŭ metodoj kiuj povas eviti senfinajn funkciovalorojn, kaj konataj trajtoj kiel simetrio kaj periodeco povas disponigi kritikan levilforton.
#000136
La areo de arbitra dudimensia formo povas esti determinita uzante mezurinstrumenton nomitan planimeter.
La volumeno de neregulaj objektoj povas esti mezurita kun precizeco per la likvaĵo forlokita kiam la objekto estas submara.
#000137
Areo povas esti trovita per geometriaj kompas-kaj-liniilaj konstruadoj de ekvivalenta kvadrato, ekz., krklokvadratigon.
#000138
Areo sub la kurbo (farmakokineta)
Listoj de integraloj - integraloj de la plej oftaj funkcioj
#000139
^ In the 20-a jarcento, nonstandard analysis was developed as a new approach to calculus that incorporates a rigorous concept of infinitesimals by using an expanded aroj de nombroj called the hyperreal numbers .
Though placed on a sound axiomatic footing and of interest in its own right as a new area of investigation, nonstandard analysis remains somewhat controversial from a pedagogical standpoint, with proponents indiko the intuitive nature of infinitesimals for beginning students of calculus and opponents criticizing the logical complexity of the system as a whole.
^ Weisstein, Eric Wolfgang. "Riemann Sum". MathWorld.
^ Frédéric Chyzak's Mgfun Project : Introduction to the Package Mgfun and Related Packages
#000140
Diferencigo sub la integrita signo
#000144
Integralo estas unu el la ĉefaj konceptoj de kalkulo. Ĝi estas la areo inter la grafeo de funkcio kaj la x-akso.
#000145
Difinita integralo estas la mezuro de la areo limigita de la grafo, la x-akso kaj la du limoj de la difinita integralo. Oni do ĉiam devas skribi la limojn de integralo. La kutima skribmaniero por integralo de la funkcio kun la limoj kaj estas
#000146
Nedifinita integralo estas integralo kies limoj ne estas specifitaj.
#000147
Integralo kun variabla supra limo estas funkcio, kies valoro ĉe la punkto x ĉiam estas la valoro de
#000148
kie a estas konstanto sendependa de x.
#000149
Malpropra integralo estas integralo, kiu havas senfinan limo-supron . Tiaj integraloj eblas estimi kiel limeso-integralo:
#000150
Integralo estas la inverso de derivaĵo, kiel diras la Fundamenta teoremo de kalkulo. Tio signifas ke se oni kalkulas la derivaĵon de integralo, la rezulto estos la komenca funkcio.
#000151
Tiel, se estas malderivaĵo de , do ankaŭ estas malderivaĵo de por ĉiu konstanto sendependa de . Tiel malderivaĵo estas fakte ne unu funkcio sed aro de fukcioj, diferenciĝantaj per aldono de konstanto. Ekzemple
#000152
Kodo de la integrala signo ∫ estas deksesuma «222B» en unikodo, en HTML ĝi povas esti skribata kiel «&int;».
#000153
Ekzistas pli de modojn de kalkuli integraloj, por ekzemplo, la Somo de Riemann, kiu estas bazita en la
#000154