Algebra topologio estas branĉo de matematiko kiu uzas ilojn de abstrakta algebro por studi topologiajn spacojn.
La baza celo estas trovi algebrajn Invariantojn kiuj klasifikas topologiajn spacojn supren al homeomorfio, kvankam kutime la plej multaj klasifikas supren al homotopyekvivalenteco.
#000001
Kvankam algebra topologio ĉefe uzas algebron studi topologiajn problemojn, uzante topologion por solvi algebrajn problemojn estas foje ankaŭ ebla.
Algebra topologio, ekzemple, enkalkulas oportunan pruvon ke ĉiu subgrupo de libera grupo denove estas libera grupo.
#000002
Malsupre estas kelkaj el la ĉefaj temoj studitaj en algebra topologio:
#000004
En matematiko, homotopyogrupoj estas uzitaj en algebra topologio por klasifiki topologiajn spacojn.
La unua kaj plej simplanima homotopyogrupo estas la fundamenta grupo, kiu registras informojn pri bukloj en spaco.
Intuicie, homotopyogrupoj registras informojn pri la baza formo, aŭ truojn, de topologia spaco.
#000005
En algebra topologio kaj abstrakta algebro, homologio (delvis de grekaj ὁμός homoj "identa") estas certa ĝenerala proceduro por asocii sekvencon de abelaj grupoj aŭ modulojn kun antaŭfiksita matematika objekto kiel ekzemple topologia spaco aŭ grupo.
#000006
En homologeca teorio kaj algebra topologio, kohomologio estas ĝenerala esprimo por sekvenco de abelaj grupoj difinitaj de ko-ĉena komplekso.
Tio estas, kohomologio estas difinita kiel la abstraktaĵostudo de koĉenoj, kocikloj, kaj kolimoj.
Kohomologio povas esti rigardita kiel metodo de asignado de algebraj Invariantoj al topologia spaco kiu havas pli rafinite algebra strukturo ol faras homologion.
Kohomologio ekestiĝas de la algebra dualigo de la konstruado de homologio.
En malpli abstrakta lingvo, koĉenoj en la fundamenta signifo devus asigni "kvantojn" al la katenoj de homologeca teorio.
#000007
Dukto estas topologia spaco kiu proksime de ĉiu punkto similas eŭklidan spacon.
Ekzemploj inkludas la aviadilon, la sferon, kaj la Toron, kiu povas ĉion esti realigita en tri dimensioj, sed ankaŭ la botelo de Klein kaj reela projekcia ebeno kiuj ne povas esti realigitaj en tri dimensioj, sed povas esti realigita en kvar dimensioj.
Tipe, rezultigas algebratopologian fokuson sur tutmondaj, ne-diferencieblaj aspektoj de duktoj;
#000008
Noda teorio estas la studo de matematikaj nodoj.
Dum inspirite je nodoj kiuj aperas en ĉiutaga vivo en ŝulaĉoj kaj ŝnuro, la nodo de matematikisto malsamasas en tio ke la finoj estas akompanitaj kune tiel ke ĝi ne povas esti nefarita.
En preciza matematika lingvo, nodo estas enkonstruado de cirklo en 3-dimensia eŭklida spaco, R 3.
Du matematikaj nodoj estas ekvivalentaj se tia povas esti ŝanĝita en la aliajn per deformado de R 3 sur si mem (konata kiel ĉirkaŭa isotopy);
tiuj transformoj egalrilatas al manipuladoj de tuberplena ŝnuro kiuj ne implikas distranĉi la ŝnuron aŭ pasante la ŝnuron tra si mem.
#000009
Simplicial komplekso estas topologia spaco de certa speco, konstruita "gluante kune" punktojn, linipartojn, triangulojn, kaj iliajn n-dimensia ekvivalentojn (vidu ilustraĵon).
Simplicial kompleksoj ne devus esti konfuzitaj kun la pli abstrakta nocio de simplicial aro aperanta en moderna simplicial-homotopeca teorio.
La sole kombineca ekvivalento al simplicial komplekso estas abstrakta simplicial komplekso.
#000010
CW-komplekso estas speco de topologia spaco lanĉita fare de J. H. C. Whitehead por renkonti la bezonojn de homotopeca teorio.
Tiu klaso de spacoj estas pli larĝa kaj havas kelkajn pli bonajn kategoriajn trajtojn ol simplicial kompleksoj, sed daŭre retenas kombinecan naturon kiu enkalkulas komputadon (ofte kun multe pli malgranda komplekso).
#000011
Pli malnova nomo por la subjekto estis kombineca topologio, implicante emfazon de kiel spaco X estis konstruita el pli simplanimaj [2] (la moderna normilo por tia konstruo estas la CW-komplekso).
En la 1920-aj jaroj kaj 1930-aj jaroj, tie kreskigis emfazon de esplorado de topologiaj spacoj trovante korespondadojn de ili ĝis algebraj grupoj, kiuj kondukis al la nomŝanĝo al algebra topologio.
La kombineca topologionomo daŭre estas foje utiligita por emfazi algoritman aliron bazitan sur putriĝo de spacoj.
#000012
En la algebra aliro, oni trovas korespondadon inter spacoj kaj grupoj kiu respektas la rilaton de homeomorfio (aŭ pli ĝenerala homotopy) de spacoj.
Tio permesas al tia transfandi deklarojn pri topologiaj spacoj en deklarojn pri grupoj, kiuj havas grandan interkonsenton da mastrebla strukturo, ofte farante tiujn deklaron pli facilan pruvi.
Du gravaj manieroj en kiuj tio povas esti farita estas tra fundamentaj grupoj, aŭ pli ĝenerale homotopeca teorio, kaj tra homologio kaj kohomologio grupoj.
La fundamentaj grupoj donas al ni bazajn informojn pri la strukturo de topologia spaco, sed ili ofte estas nonabelian kaj povas esti malfacilaj labori kun.
La fundamenta grupo de (finhava) simplicial komplekso havas finhavan prezenton.
#000013
Scenaro en teorio de kategorioj
#000015
Ĝenerale, ĉiuj konstruadoj de algebra topologio estas funktorial;
la nocioj de kategorio, funktoro kaj natura transformo originis ĉi tie.
Fundamentaj grupoj kaj homologio kaj kohomologiogrupoj estas ne nur Invariantoj de la subesta topologia spaco, en la senco ke du topologiaj spacoj kiuj estas homeomorfaj havas la samajn rilatajn grupojn, sed iliaj rilataj morfismoj ankaŭ korespondas - kontinua mapado de spacoj persvadas grupon homomorfism sur la rilataj grupoj, kaj tiuj homomorfismoj povas esti uzitaj por montri neekzistadon (aŭ, multe pli profunde, ekzisto) de mapadoj.
#000016
Unu el la unuaj matematikistoj se temas pri labori kun malsamaj specoj de kohomologio estis Georges de Rham.
Oni povas uzi la diferencialstrukturon de difencigeblaj plurejoj per de Rham-kohomologio, aŭ ček aŭ fasko kohomologion por esplori la solveblon de diferencialaj ekvacioj difinitaj sur la dukto koncernita.
De Rham montris ke ĉiuj tiuj aliroj estis interelateitaj kaj ke, por fermita, orientita dukto, la Betti-nombroj derivitaj tra simplicial homologio estis la samaj Betti-nombroj kiel tiuj derivitaj trae de Rham-kohomologio.
Tio estis etendita en la 1950-aj jaroj, kiam Eilenberg kaj Steenrod ĝeneraligis tiun aliron.
Ili difinis homologion kaj kohomologion kiel funktorojn provizitajn per naturaj transformoj kun certaj aksiomoj (ekz., malforta ekvivalenteco de spacoj pasas al izomorfio de homologiogrupoj), konfirmitaj tiel ĉiuj ekzistantaj (Co) homologecaj teorioj kontentigis tiujn aksiomojn, kaj tiam pruvis ke tia aksiomigo unike karakterizis la teorion.
#000017
Klasikaj aplikoj de algebra topologio inkludas:
#000018
Gravaj teoremoj en algebra topologio
#000020
Pli alta teorio de kategorioj
#000022
Malfermitan aron / fermitan aron
#000027
Algebra topologio estas branĉo de matematiko en kiu oni per abstrakta algebro studas topologiajn spacojn.
#000028
La maniero de algebra invariantoj
#000029
La celo estas kategoriigi aŭ klasifiki topologiajn spacojn. Pli malnova nomo por la afero estis kombina topologio, emfazanta pri tio kiel spaco X estas konstruita de pli simplaj aĵoj. La baza maniero nun aplikita en algebra topologio estas esplori spacojn tra algebraj invariantoj, per surĵetoj de ili ekzemple al grupoj kiuj havas grandan kvanton de regeblaj strukturoj, en maniero kiu konservas rilaton de homeomorfio de la spacoj. Ĉi tiu permesas surbaze propozicioj pri topologiaj spacoj fari respektivajn propoziciojn pri grupoj, kiujn estas ofte pli facile pruvi.
#000030
Du ĉefaj manieroj je kiuj ĉi tio povas esti farita estas tra fundamentaj grupoj, aŭ pli ĝenerale homotopeca teorio, kaj tra homologeco. La fundamentaj grupoj donas bazan informon pri la strukturo de topologia spaco, sed ili estas ofte ne komutaj kaj povas esti malfacile labori kun ili. La fundamenta grupo de finia simpleca komplekso havas finian prezenton.
#000031