Wikipedia's Tangent as translated by GramTrans
#000000
En geometrio, la klavlinio (aŭ simple klavo) al aviadilkurbo ĉe antaŭfiksita punkto estas la aerlinio kiu "ĵus tuŝas" la kurbon ĉe tiu punkto.
Leibniz difinis ĝin kiel la linion tra paro de senlime proksimaj punktoj sur la kurbo.
Pli ĝuste, aerlinio laŭdire estas klavo de kurbo y = f ( x) ĉe punkto x = c sur la kurbo ĉu la linio pasas tra la punkto ( c, f ( c) sur la kurbon kaj havas deklivon f ' ( c) kie f ' estas la derivaĵo de f.
Simila difino validas por spackurboj kaj kurboj en n-dimensia
#000001
Ĉar ĝi pasas tra la punkto kie la klavlinio kaj la kurbo renkontas, nomite la punkto de tangency, la klavlinio "iras en la sama direkto" kiel la kurbo, kaj estas tiel la plej bona rektlinia aproksimado al la kurbo ĉe tiu punkto.
#000002
Simile, la klavaviadilo al surfaco ĉe antaŭfiksita punkto estas la aviadilo kiu "ĵus tuŝas" la surfacon ĉe tiu punkto.
La koncepto de klavo estas unu el la plej fundamentaj nocioj en diferenciala geometrio kaj estis grandskale ĝeneraligita;
#000003
3 Kiel la metodo povas malsukcesi
#000006
Eŭklido faras plurajn referencojn al la klavo ( ἐφαπτομένη) al cirklo en libro III de la Elementoj (ĉ. 300 a.K.).
En Apollonius laboro Conics (ĉ. 225 a.K.) li difinas klavon kiel esti linio tia ke neniu alia aerlinio povis fali inter ĝi kaj la kurbo .
#000007
En la 1630-aj jaroj Fermat evoluigis la teknikon de adkvalito por kalkuli klavojn kaj aliajn problemojn en analizo kaj uzis tion por kalkuli klavojn al la parabolo.
Sendepende Descartes uzis sian metodon de normaloj bazitaj sur la observado ke la radiuso de cirklo ĉiam estas normala al la cirklo mem.
#000009
Tiuj metodoj kaŭzis la evoluon de diferenciala kalkulo en la 17-a jarcento.
Roberval malkovris ĝeneralan metodon de tirado de klavoj, per konsideranta kurbon priskribitan per kortuŝa punkto kies decidpropono estas la fortrezultanto de pluraj pli simplaj moviĝoj.
René-François de Sluse kaj Johannes Hudde trovis algebrajn algoritmojn por trovado de klavoj.
Pluevoluigoj inkluzivis tiujn de John Wallis kaj Isaac Barrow, kondukante al la teorio de Isaac Newton kaj Gottfried Wilhelm Leibniz.
#000010
Difino de klavo (1828) estis "dekstra linio kiu tuŝas kurbon, sed kiu kiam produktite, ne tranĉas ĝin".
Tiu malnova difino malhelpas klinadpunktojn havado de ajna klavo.
Ĝi estis malakceptita kaj la modernaj difinoj estas ekvivalentaj al tiuj de Leibniz kiu difinis la klavlinion kiel la linion tra paro de senlime proksimaj punktoj sur la kurbo.
#000011
La intuicia nocio ke klavlinio "tuŝas" kurbon povas fariĝi pli eksplicita pripensante la sekvencon de aerlinioj ( sekantoj) pasantaj tra du poentoj, A kaj B, tiujn kiuj kuŝas sur la funkciokurbo.
La klavo je A estas la limo kiam al punkto B alproksimiĝas aŭ tendencas al A.
La ekzisto kaj unikeco de la klavlinio dependas de certa speco de matematika glateco, konata kiel "distingeblo."
Ekzemple, se du cirklaj arkoj renkontas ĉe akra punkto (vertico) tiam ekzistas neniu unike difinita klavo ĉe la vertico ĉar la limo de la progresado de sekantoj dependas de la direkto en kiu "punkto B " alproksimiĝas al la vertico.
#000012
Maksimume punktoj, la klavo tuŝas la kurbon sen krucado de ĝi (kvankam ĝi povas, kiam daŭrigite, transiri la kurbon ĉe aliaj lokoj for de la punkto de klavo).
Punkto kie la klavo (ĉe tiu punkto) transiras la kurbon estas nomita klinadpunkto .
Cirkloj, paraboloj, hiperboloj kaj tripunktoj ne havas ajnan klinadpunkton, sed pli d komplikaj kurboj havas, kiel la grafeo de kuba funkcio, kiu havas ekzakte unu klinadpoenton, aŭ sinusoidon, sine kiu havas du klinadpoentojn per ĉiu periodo de la.
#000013
Inverse, povas okazi ke la kurbo situas tute sur unu flanko de aerlinio pasanta tra punkto sur ĝin, kaj tamen tiu aerlinio ne estas klavlinio.
Tio estas la kazo, ekzemple, por linio pasanta tra la vertico de triangulo kaj ne intersekcanta la triangulon - kie la klavlinio ne ekzistas pro la kialoj klarigitaj supre.
En konveksa geometrio, tiaj linioj estas nomitaj apogaj linioj.
#000014
La geometria ideo de la klavlinio kiel la limo de sekantoj funkcias kiel la instigo por analizaj metodoj kiuj kutimas trovi klavliniojn eksplicite.
La demando da trovado de la klavlinio al grafeo, aŭ la klava linioproblemo, estis unu el la centraj demandoj kaŭzantaj la evoluon de kalkulado en la 17-a jarcento.
En la dua libro de lia Geometrio , René Descartes [8]
dirite de la problemo de konstruado de la klavo al kurbo, "Kaj I aŭdacaĵo-eldiro-tio tiom SIC ne restriktita la plej utila kaj plej multe de la ĝenerala problemo en geometrio kiun mi scias, sed eĉ ke mi iam deziris scii".
#000015
Supozu ke kurbo ricevas kiel la grafikaĵo, y = f ( x).
Trovi la klavlinion ĉe la punkto p
, f (), pripensas alia proksima punkto q
La deklivo de la sekanto pasanta tra p kaj q estas egala al la diferencokvociento
#000016
Ĉar la punkto q aliras p, kiu egalrilatas al igi h pli malgranda kaj pli malgranda, la diferencokvociento devus aliri certan limigan valoron k, kio estas la deklivo de la klavlinio ĉe la punkto p.
Se k estas konata, la ekvacio de la klavlinio povas esti trovita en la punkt-dekliva formo:
#000017
Por igi la antaŭan rezonadon rigora, oni devas klarigi kio estas signifita per la diferencokvociento aliranta certan limigan valoron k.
La preciza matematika formulo ricevis fare de Cauchy en la 19-a jarcento kaj estas bazita sur la nocio de limo.
Supozu ke la grafeo ne havas paŭzon aŭ akran randon ĉe p kaj ĝi estas nek plumbofadeno nek ankaŭ ŭigly proksime de p.
Tiam ekzistas unika valoro de k tia ke, kiel h aliroj 0, la diferencokvociento iĝas pli proksima kaj pli proksime al k, kaj la distanco inter ili iĝas nekonsiderinda komparite kun la grandeco de h, se h estas sufiĉe malgranda.
Tio kondukas al la difino de la deklivo de la klavlinio al la grafeo kiel la limo de la diferencokvocientoj por la funkcio f.
Tiu limo estas la derivaĵo de la funkcio f ĉe x = , indikis f ′ ().
Utiligante derivaĵojn, la ekvacio de la klavlinio povas esti deklarita jene:
#000018
Kalkiĝo disponigas regulojn por komputado de la derivaĵoj de funkcioj kiuj ricevas per formuloj, kiel ekzemple la potencfunkcio, trigonometria funkcio, eksponenta funkcio, logaritmon, kaj siajn diversajn kombinaĵojn.
Tiel, ekvacioj de la klavoj al grafeoj de ĉiuj tiuj funkcioj, same kiel multaj aliaj, povas esti trovitaj per la metodoj de kalkiĝo.
#000019
Kalkulado ankaŭ montras ke ekzistas funkcioj kaj punktoj en siaj grafeoj por kiu la limo determinanta la deklivo de la klavlinio ne ekzistas.
Por tiuj punktoj la funkcio f estas ne-diferenciebla.
Ekzistas du eblaj kialoj de la metodo de trovado de la klavoj bazitaj sur la limoj kaj derivaĵoj por malsukcesi: aŭ la geometria klavo ekzistas, sed ĝi estas vertikala linio, kiu ne povas ricevi en la punkt-dekliva formo ĉar ĝi ne havas deklivon, aŭ la grafeekspoziciaĵojn unu el tri kondutoj kiu malhelpas geometrian klavon.
#000020
La grafeo y = x 2/3 ilustras alian eblecon: tiu grafeo havas randon ĉe la origino.
Tio signifas tion, kiam h aliroj 0, la diferencokvociento ĉe = 0 aliroj kaj plie aŭ minuso senfineco depende de la signo de x.
Tiel ambaŭ branĉoj de la kurbo estas proksimaj al la duona vertikala linio por kiu y = 0, sed neniu estas proksimaj al la negativa parto de tiu linio.
Baze, ekzistas neniu klavo ĉe la origino en tiu kazo, sed en iu kunteksto oni povas konsideri tiun linion klavo, kaj eĉ, en algebra geometrio, duoblan klavon.
#000022
el la absolutvalora funkcio konsistas el du aerlinioj kun malsamaj deklivoj akompanite ĉe la origino.
Ĉar punkto q alproksimiĝas al la origino de la dekstro, la sekanto ĉiam havas deklivon 1-an Kiam punkto q alproksimiĝas al la origino de la maldekstro, la sekanto ĉiam havas deklivon −1-an Tial, ekzistas neniu unika klavo al la grafeo ĉe la origino.
Havi du malsamajn (sed finhavajn) deklivojn estas nomita angulo.
#000023
Finfine, ĉar distingeblo implicas kontinuecon, la kontraŭpozitiv ŝtatmalkontinueco implicas ne-distingeblon.
Eventuala tia salto aŭ punktomalkontinueco havos neniun klavlinion.
Tio inkluzivas kazojn kie unu deklivaliropozitiva senfineco dum la aliaj aliroj negativa senfineco, kondukante al senfina saltmalkontinueco
#000024
Kiam la ekvacio de la kurbo ricevas en la formo f ( x, y) = 0 tiam la valoron de la deklivo povas esti trovita per implica diferencigo, donante
#000025
La ekvacio de la klavlinio ĉe punkto ( X, Y) tia ke f ( X, Y) = 0 tiam estas [10]
#000026
Por algebraj kurboj, komputadoj povas esti simpligitaj iom per transformado al homogenaj koordinatoj.
Specife, lasis la homogenan ekvacion de la kurbo esti g ( x, y, z) = 0 kie g estas homogena funkcio de grado da n.
Tiam, se ( X, Y, Z) kuŝas sur la kurbo, Euler-teoremo implicas
#000027
La ekvacio de la klavlinio en kartezaj koordinatoj povas esti trovita metante z = 1 en tiu ekvacio.
#000028
Por apliki tion al algebraj kurboj, skribu f ( x, y) kiel
#000029
kie ĉiu u r estas la sumo de ĉiuj esprimoj de grado da r.
La homogena ekvacio de la kurbo tiam estas
#000030
Uzante la ekvacion supra kaj malsupreniranta z = 1 produktas
#000031
kiel la ekvacio de la klavlinio.
La ekvacio en tiu formo ofte estas pli simpla uzi en praktiko ĉar neniu plu simpligo estas necesa post kiam ĝi estas uzita.
#000032
Se per la kurbo ricevas parametrical
#000033
tiam la deklivo de la klavo estas
#000034
Tamen, ĝi povas okazi ke la klavlinio ekzistas kaj povas esti komputita de implica ekvacio de la kurbo.
#000035
La linio perpendikulara al la klavlinio al kurbo ĉe la punkto de tangency estas nomita la normala linio al la kurbo ĉe tiu punkto.
La deklivoj de perpendikularaj linioj havas produkton −1, do se la ekvacio de la kurbo estas y = f ( x) tiam deklivo de la normala linio estas
#000036
kaj ĝi sekvas ke la ekvacio de la normala linio ĉe (X, Y) estas
#000037
Simile, se la ekvacio de la kurbo havas la formon f ( x, y) = 0 tiam la ekvacio de la normala linio ricevas per [15]
#000038
tiam la ekvacio de la normala linio estas [14]
#000039
La angulo inter du kurboj ĉe punkto kie ili intersekcas estas difinita kiel la angulo inter siaj klavlinioj ĉe tiu punkto.
Pli specife, du kurboj laŭdire estas klavo ĉe punkto ĉu ili havas la saman klavon ĉe punkto, kaj ortogonalaj se iliaj klavlinioj estas ortogonalaj.
#000040
La formuloj supre malsukcesas kiam la punkto estas eksterordinara punkto.
En tiu kazo povas ekzisti du aŭ pli da branĉoj de la kurbo kiuj pasas tra la punkto, ĉiu branĉo havante sian propran klavlinion.
Kiam la punkto estas la origino, la ekvacioj de tiuj linioj povas esti trovitaj por algebraj kurboj faktorigante la ekvacion formitan eliminante ĉiuj krom la plej malsuprajn gradperiodojn de la origina ekvacio.
Ĉar al ĉiu punkto povas esti farita la origino per ŝanĝo de variabloj, tio donas metodon por trovado de la klavlinioj ĉe iu eksterordinara punkto.
#000041
Ekzemple, la ekvacio de la Heliko de Pascal-trisektriks montrita dekstren estas
#000042
Vastigi tion kaj elimini ĉiuj krom esprimojn de grado 2 donas
#000043
Tiel tiuj estas la ekvacioj de la du klavlinioj tra la origino.
#000044
Kiam la kurbo ne estas mem-krucanta, la klavo ĉe referencpunkto ankoraŭ povas ne esti unike difinita ĉar la kurbo ne estas diferenciebla ĉe tiu punkto kvankam ĝi estas diferenciebla aliloke.
En tiu kazo la maldekstraj kaj dekstraj derivaĵoj estas difinitaj kiel la limoj de la derivaĵo kiel la punkto ĉe kiu ĝi estas analizita aliras la referencpunkton de respektive la maldekstro (pli malaltaj valoroj) aŭ la dekstron (pli altaj valoroj).
estas ne diferenciebla ĉe x = 0: ĝiaj maldekstraj kaj dekstraj derivaĵoj havas respektivajn deklivojn —1 kaj 1;
la klavoj ĉe tiu punkto kun tiuj deklivoj estas nomitaj la maldekstraj kaj dekstraj klavoj.
#000045
Foje la deklivoj de la maldekstraj kaj dekstraj klavlinioj estas egalaj, tiel ke la klavlinioj koincidas.
Tio estas veraj, ekzemple, por la kurbo y = x 2/3, por kiuj kaj maldekstraj kaj dekstraj derivaĵoj ĉe x = 0 estas senfinaj;
kaj la maldekstraj kaj dekstraj klavlinioj havas ekvacion x = 0.
#000046
Du cirkloj da ne-egala radiuso, ambaŭ en la sama aviadilo, laŭdire estas klavo al unu la alian ĉu ili renkontas ĉe nur unu poento.
Ekvivalente, du cirkloj, kun radiusoj de ri kaj centroj ĉe ( xi , ii ), por mi = 1, 2 laŭdire estas klavo al unu la alian se
#000047
Du cirkloj estas ekstere klavo se la distanco inter iliaj centroj estas egala al la sumo de iliaj radiusoj.
#000048
Du cirkloj estas internaly klavo se la distanco inter iliaj centroj estas egala al la diferenco inter iliaj radiusoj.
#000049
La klavaviadilo al surfaco ĉe antaŭfiksita punkto p estas difinita en analoga vojo al la klavlinio koncerne kurbojn.
Ĝi estas la plej bona aproksimado de la surfaco proksime de aviadilo ĉe p, kaj povas esti akirita kiel la limiga pozicio de la aviadiloj pasantaj tra 3 apartaj poentoj sur la surfacon proksiman al p kiam tiuj punktoj konverĝas al p.
klavspaco ĉe ĉiu punkto de k-dimensia
#000050
Diverseco (matematiko) nombro Konduto de polinomfunkcio proksime de multobla radiko
Algebrakurba nombro Tangent ĉe punkto
#000051
Klavo al cirklo Kun interaga animacio
Klavo kaj unua derivaĵo - interaga simulaĵo
#000055
En geometrio tanĝanto estas rekto kiu tuŝas kurbon en iu punkto, kaj trapasas tiun punkton samdirekte kiel la kurbo; tanĝanto estas la plej bone alproksimiĝo de rekto al la kurbo ĉe tiu punkto. La kurbo tie havas la saman inklinon kiel la tanĝanto. Oni diras ke tanĝanto estas tanĝa al la kurbo (aŭ tanĝas la kurbon).
#000056
En la grava kazo kiam la kurbo estas cirklo, oni povas difini la tanĝanton kiel iun rektan linion, kiu tuŝas la cirklon precize unufoje. Tamen tiu difino ne funkcias por ĝeneralaj kurboj, ĉar unuflanke eblas ke ne-tanĝanta linio tuŝas kurbon nur unufoje, kaj aliflanke eblas ke tanĝanto tuŝas kurbon dufoje, kiel montras jena ekzemplo
#000057