En matematiko, la reela projekcia ebeno estas ekzemplo de kompakta ne-orientable dudimensia dukto;
en aliaj vortoj, partia surfaco.
Ĝi ne povas esti enkonstruita en norma tri-dimensia spaco sen intersekcado de si.
Ĝi havas bazajn aplikojn al geometrio, ĉar la komuna konstruado de la reela projekcia ebeno estas kiel la spaco de linioj en R 3 pasante tra la origino.
#000001
La aviadilo ankaŭ estas ofte priskribita topologie, laŭ konstruo bazita sur la rubando de Möbius: ĉu oni povis glui la (ununuran) randon de la rubando de Möbius al si mem en la ĝusta direkto, oni akirus la projekcian aviadilon.
(Tio ne povas esti farita en tri-dimensia spaco.
Ekvivalente, glui diskon laŭ la limo de la rubando de Möbius donas la projekcian aviadilon.
Topologie, ĝi havas eŭleran karakterizon 1, tial duongenron (ne-orientable genro, Euler-genro) de 1.
#000002
Ekde la rubando de Möbius, en victurno, povas esti konstruita el kvadrato gluante du el ĝiaj flankoj kune, la reela projekcia ebeno povas tiel esti reprezentita kiel unuokvadrato (t.e., [0,1] × [0,1]) kun ĝiaj flankoj identigitaj fare de la sekvaj ekvivalentrilatoj:
#000003
kiel en la maldekstroplej multe da diagramo dekstraflanke.
#000004
1 Linioj enirante punktojn kaj intersekciĝon de linioj (uzante duecon)
#000007
Projekcia geometrio ne temas nepre pri kurbiĝo kaj la reela projekcia ebeno povas esti tordita supren kaj metita en la Eŭklidan aviadilon aŭ 3-spaca laŭ multaj malsamaj manieroj.
Kelkaj el la pli gravaj ekzemploj estas priskribitaj malsupre.
#000009
La projekcia aviadilo ne povas esti enkonstruita (tio estas sen intersekciĝo) en tridimensia eŭklida spaco.
La pruvo ke la projekcia aviadilo ne enkonstruas en tridimensia eŭklida spaco iras kiel tio: Supozante ke ĝi enkonstruas, ĝi faris ligis kompaktan regionon en tridimensia eŭklida spaco de la ĝeneraligita Jordania kurbteoremo.
La kontaktiĝem-indikanta trupo normala vektora kampo tiam evoluus orientiĝon de la limdukto, sed la limdukto estus la projekcia aviadilo, kio ne estas orientebla.
Tio estas kontraŭdiro, kaj tiel nia supozo ke ĝi enkonstruas havendaĵo estanta malvera.
#000010
Pripensu sferon, kaj lasu la ĉefcirklojn de la sfero esti "linioj", kaj lasu parojn de antipodaj punktoj esti "punktoj".
Estas facile kontroli ke tiu sistemo obeas la aksiomojn postulitajn de projekcia aviadilo:
#000011
ĉiu paro de apartaj ĉefcirkloj renkontas ĉe paro de antipodaj punktoj;
ĉiuj du apartaj paroj de antipodaj punktoj kuŝas sur ununura ĉefcirklo.
#000012
Se ni identigas ĉiun punkton sur la sfero kun ĝia antipoda punkto, tiam ni ricevas reprezentadon de la reela projekcia ebeno en kiu la "punktoj" de la projekcia aviadilo vere estas punktoj.
Tio signifas ke la projekcia aviadilo estas la kvocientospaco de la sfero akirita dividante la sferon en ekvivalentklasojn sub la ekvivalentrilat, kie x ~ y se y = −ks.
Tiu kvocientospaco de la sfero estas homeomorfa kun la kolekto de ĉiuj linioj pasantaj tra la origino en R 3.
#000013
La kvocientmapo de la sfero sur la reela projekcia ebeno estas fakte duo kovrita (t.e. du-al-unu) kovromapo.
Ĝi sekvas ke la fundamenta grupo de la reela projekcia ebeno estas la cikla grupo de ordo 2, t.e. entjermodulo 2-a oni povas preni la buklon AB- de la figuro supre esti la generatoro.
#000014
Ĉar la sfero kovras la reelan projekcian ebenon dufoje, la aviadilo povas esti reprezentita kiel fermita hemisfero ĉirkaŭ kies rando kontraŭ punktoj estas simile identigitaj.
#000015
La projekcia aviadilo povas esti mergita (lokaj kvartaloj de la fontospaco ne fari havi mem-intersekciĝojn) en 3-spaca.
La surfaco de knabo estas ekzemplo de mergado.
#000016
La romia surfaco de Steiner estas pli degenerita mapo de la projekcia aviadilo en 3-spaca, enhavante kruc-ĉapon.
#000018
Polihedral reprezentantaro estas la Kvar-duon-sesedro, [4] kiu havas la saman ĝeneralan formon kiel la romia Surfaco de Steiner, montrita dekstren.
#000019
Rigardante en la kontraŭa direkto, certaj abstraktaj regulaj hiperpluredroj - hemi-kubo, hemi-dekduedro, kaj hemi-dudekedra - povas esti konstruitaj kiel regulaj figuroj en la projekcia aviadilo;
#000020
Diversaj planar (apartamento) projekcioj aŭ mapadoj de la projekcia aviadilo estis priskribitaj.
En 1874 Klein priskribis la mapadon(x, y) [1]
#000021
Centra projekcio de la projekcia hemisfero sur aviadilo donas la kutiman senfinan projekcian aviadilon, priskribis malsupre.
#000022
Fermita surfaco akiriĝas gluante diskon al kruc-ĉapo.
Tiu surfaco povas esti reprezentita parametrical per la sekvaj ekvacioj:
#000023
kie kaj u kaj v intervalo de 0 ĝis 2π.
Tiuj ekvacioj estas similaj al tiuj de Toro.
Figuro 1 montras fermitan kruc-limigitan diskon.
#000024
Kruc-limigita disko havas aviadilon de simetrio kiu pasas tra sia liniparto de duoblaj punktoj.
En figuro 1 la kruc-limigita disko vidiĝas de supre sia aviadilo de simetrio z = 0, sed ĝi similus la saman se vidite de malsupre.
#000025
Kruc-limigita disko povas esti tranĉaĵigita malfermiĝas laŭ sia aviadilo de simetrio, certigante ne por tranĉi laŭ iu da sia duoblo indikas.
La rezulto estas montrita en figuro 2.
#000026
Post kiam tiu escepto estas farita, estos vidite ke la tranĉaĵigita kruc-limigita disko estas homeomorfa al mem-intersekcanta disko, kiel montrite en figuro 3.
#000027
La mem-intersekcanta disko estas homeomorfa al ordinara disko.
La parametrikaj ekvacioj de la mem-intersekcanta disko estas:
#000028
kie u intervalas de 0 ĝis 2π kaj v varias de 0 ĝis 1.
#000029
Projekciante la mem-intersekcantan diskon sur la aviadilo de simetrio ( z = 0 en la parametrigo antaŭfiksita pli frue) kiu pasas nur tra la duoblaj punktoj, la rezulto estas ordinara disko kiu ripetas sin (duobloj supre sur si mem).
#000030
La aviadilo z = 0 tranĉas la mem-intersekcantan diskon en paron de diskoj kiuj estas spegulreflektadoj de unu la alian.
La diskoj havas centrojn ĉe la origino.
#000031
Nun pripensu la randojn de la diskoj (kun v = 1).
La punktoj sur la rando de la mem-intersekcanta disko venas en paroj kiuj estas reflektadoj de unu la alian kun respekto al la aviadilo z = 0.
#000032
Kruc-limigita disko estas formita identigante tiujn parojn de punktoj, igante ilin ekvivalentaj al unu la alian.
Tio signifas ke punkto kun parametroj ( u, 1) kaj koordinatojestas identigita kun la punkto ( u + π, 1) kies koordinatoj estas.
Sed tio signifas ke paroj de kontraŭaj punktoj sur la rando de la (ekvivalenta) ordinara disko estas identigitaj kun unu la alian;
tio estas kiel reela projekcia ebeno estas formita el disko.
Tial la surfaco montrita en Figure 1 (kruc-ĉapo per disko) estas topologie ekvivalenta al la reela projekcia ebeno RP 2.
#000033
Linio en P 2 povas esti reprezentita per la ekvaciohakil + de + cz = 0-a Se ni traktas , b, kaj c kiel la kolumnvektora l kaj x, y, z kiel la kolumna vektoro x tiam la ekvacio supre povas esti skribita en matricformularo kiel:
#000036
Utiligante vektornotacion kiun ni povas anstataŭe skribi
#000037
La ekvacio k ( x T l) 0 (kiu k estas ne-nula Skalaro) balaas eksteren aviadilon kiu iras traen nul en R 3 kaj k ( x) balaas eksteren linion, denove irante traen nul.
La aviadilo kaj linio estas liniaj subspacoj en R 3 , kiuj ĉiam iras traen nul.
#000038
En P 2 la ekvacio de linio estas hakil + de + c = 0 kaj tiu ekvacio povas reprezenti linion sur iu aviadilo paralela al la x, y aviadilon multobligante la ekvacion de k.
#000039
La homogena punkto (0, 0, 0) estas kie ĉiuj realaj punktoj iras kiam vi aspektas ĉe la aviadilo de senfina distanco, linio sur la z = 0 aviadilo estas kie paralelaj linioj krucas.
#000041
En la ekvacio x T da l = 0 ekzistas du kolumnaj vektoroj.
Vi povas reteni ĉiu el ambaŭ konstanta kaj variigi la aliajn.
Se ni konservas la punkton x konstanta kaj variigas la koeficientojn l ni kreas novajn liniojn kiuj ekzamenas la punkton.
Se ni retenas la koeficientojn konstantaj kaj variigas la punktojn kiuj kontentigas la ekvacion ni kreas linion.
Ni rigardas sur x kiel punkton, ĉar la aksoj kiujn ni uzas estas x, y, kaj z.
Se ni anstataŭe punktskribis la koeficientojn uzante akson markis , b, c punktoj iĝus linioj kaj linioj iĝus punktoj.
Se vi pruvas ion kun la datenoj punktskribita sur akso markis x, y, kaj z la sama argumento povas esti utiligita ĉar la datenoj elpensitaj sur akso markis , b, kaj c.
#000042
La ekvacio x T l 0 kalkulas la internan produkton de du kolumnaj vektoroj.
La interna produkto de du vektoroj estas nul se la vektoroj estas ortogonalaj.
En P 2, la linio inter la punktoj x 1 kaj x 2 povas esti reprezentita kiel kolumna vektoro l kiu kontentigas la ekvaciojn x 1 T da l = 0 kaj x 2 T da l = 0, aŭ en aliaj vortoj kolumnvektora l kiu estas ortogonala al x 1 kaj x 2.
La vektora produto trovos tian vektoron: la linio interliganta du poentojn havas homogenajn koordinatojn donitaj per la ekvacio al x 1 × x 2.
La intersekciĝo de du linioj povas esti trovita en laŭ la saman manieron, uzante duecon, kiel la vektora produto de la vektoroj reprezentante la liniojn, l 1 × l 2.
#000043
La projekcia aviadilo enkonstruas en 4-dimensian eŭklidan spacon.
La reela projekcia ebeno P 2 ( R) estas la kvociento de la du-sfera
#000044
de la antipoda rilato ( x, y, z
Konsideru la funkcion R 3 → R 4 evoluite per ( x, y, z
Tiu mapo limigas al mapo kies domajno estas S 2 kaj, ĉar ĉiu komponento estas homogena polinomo de eĉ grado, ĝi prenas la samajn valorojn enen R 4 sur ĉiu el iuj du antipodaj poentoj sur S 2.
Tio donas mapon P 2 ( R
Krome, tiu mapo estas enkonstruado.
Rimarkas ke tiu enkonstruado koncedas projekcion en R 3 kiu estas la romia surfaco.
#000045
Gluante kune projekciajn aviadilojn sinsekve ni ricevas ne-orientablen surfacojn de pli alta duongenro.
La gluadprocezo konsistas el tranĉado iomete disko de ĉiu surfaco kaj identigado ( gluante) iliaj limcirkloj.
Glui du projekciajn aviadilojn kreas la botelon de Klein.
#000046
La artikolo sur la fundamenta plurangulo priskribas la pli altajn ne-orientablen surfacojn.
#000047
La malegaleco de pu por reela projekcia ebeno
#000048
^ a b Apéry, F.
Modeloj de la reela projekcia ebeno, Vieweg (1987)
^ Tagoj de la semajno, J.
" How to build minimal polyhedral models of the Boy surface " , The mathematical intelligencer 12 , No. 4 (1990), pp 51-56.
#000049
, " Reela projekcia ebeno ", MathWorld .
Linia kampokoloreco uzante la reelpranjekciaebena mergadon de Werner Boy
La reela projekcia ebeno sur YouTube
#000051
En matematiko, la reela projekcia ebeno estas speco de projekcia ebeno, spaco de linioj en R3 pasantaj tra la fonto. Ĝi estas 2-dimensia dukto, tio estas, surfaco. Ĝi estas kompakta kaj ne-orientebla (sen malsamaj ena kaj ekstera flankoj). Reela projekcia ebeno ne povas esti enigita en kutiman tri-dimensian eŭklidan spacon sen sekco de si.
#000052
Ĝia eŭlera karakterizo estas 1 kaj do ĝia genro estas 1.
#000053
Startu de kvadrato kaj tiam gluu kune respektivajn kolorigitajn randoj, tiel ke la sagoj kongruu. Reela projekcia ebeno povas esti prezentita kiel kvocienta spaco, unuobla kvadrato ( [0,1] × [0,1] ) kun flankoj identigitaj jene:
#000054
Noto ke ĉi tio estas abstrakta gluado en topologia senco.
#000055
Ĉi tiu kvadrato estas fundamenta plurlatero de la botelo de Klein.
#000056
La filmo de Möbius kun sola rando, povas fermiĝi en projekcian ebenon per gluado de kontraŭa malfermitaj randoj kune. En komparo la botelo de Klein estas filmo de Möbius fermita en cilindron.
#000057
Estu sfero, kaj estu la ĉefcirkloj de la sfero esti linioj, kaj estu paroj de antipodaj punktoj la punktoj. Ekvivalente, oni identigu ĉiun punkton sur la sfero kun ĝia antipoda punkto.
#000058
La rezultanta spaco obeas la aksiomojn de projekcia ebeno:
#000059
Ĉiu paro de malsamaj ĉefcirkloj intersekciĝas je du antipodaj punktoj.
Ĉiuj du malsamaj paroj de antipodaj punktoj kuŝas sur sola ĉefcirklo.
#000060
Ĉi tio estas la reela projekcia ebeno.
#000061
La kvocienta mapo de la sfero sur la reela projekcia ebeno estas fakte (du-al-unu) kovranta mapo. La fundamenta grupo de reela projekcia ebeno estas la cikla grupo de ordo 2, kio estas grupo de entjeroj module 2. Eblas ekzemple preni la ciklon AB de la figuro pli supre kiel la generilo.
#000062
Konstruado de reela projekcia ebeno povas esti farita surbaze de filmo de Möbius. Se glui la (solan) randon de la filmo de Möbius al si en la korekta direkto rezultiĝas la projekcia ebeno. Ekvivalente, se glui diskon laŭ la rando de filmo de Möbius rezultiĝas la projekcia ebeno.
#000063
La pruvo ke la projekcia ebeno ne povas esti enigita en tri-dimensian eŭklidan spacon estas jena. Se ĝi estus enigita, ĝi barus kompaktan regionon en tri-dimensia spaco laŭ la ĝeneraligita jordana kurba teoremo. La eksteren-montranta unuobla normala vektora kampo devus tiam doni orientiĝon de la randa dukto, sed la randa dukto devus esti projekcia spaco, kiu estas ne orientebla.
#000064
La projekcia ebeno ne povas esti enigita (tio estas sen sinsekco) en tri-dimensian spacon. Tamen, ĝi povas esti mergita (lokaj najbaraĵoj ne havas sinsekcojn). Surfaco de Boy estas ekzemplo de mergo.
#000065
La roma surfaco estas pli degenera mapo de la projekcia ebeno en 3-spacon, enhavanta kruco-ĉapon.
#000066
Simpla pluredra prezento de la reela projekcia ebeno estas la kvar-duon-sesedro.
#000067
La duon-kubo, duon-dekduedro,kaj duon-dudekedro, kiuj estas abstraktaj regulaj hiperpluredroj, povas esti konstruitaj kiel regulaj kahelaroj en la projekcia ebeno.
#000068
La projekcia ebeno povas esti enigita en 4-dimensian eŭklidan spacon. Uzante homogenajn koordinatojn, la projekcia ebeno respektivas al punktoj
#000069
kun noto pri la rilato
#000070
Enigo enen de R4 estas donita per la funkcio
#000071
Ĉi tiu enigo donas projekcion enen de R3 kiu estas la roma surfaco.
#000072
La aro de linioj en la ebeno povas esti prezentita per homogenaj koordinatoj. Linio ax+by+c=0 povas esti prezentita kiel (a:b:c). Ĉi tiuj koordinatoj havas la ekvivalentrilaton (a:b:c)=(da:db:dc) por ĉiu ne nula valoro d. De ĉi tie malsamaj prezentoj de la sama linio dax+dby+dc=0 havas la samajn koordinatojn. La aro de koordinatoj (a:b:1) donas la kutiman reelan ebenon, kaj la aro de koordinatoj (a:b:0) difinas linion je malfinio.
#000073
La artikolo fundamenta plurlatero provizas priskribon de la reelaj projekciaj ebenoj de pli altaj genroj.
#000074
Neegalaĵo de Pu por reela projekcia ebeno
#000076