Algebra geometrio estas branĉo de matematiko, klasike studante nulojn de multivariate polinomoj.
Moderna algebra geometrio estas bazita sur la uzo de abstraktaj algebraj teknikoj, plejparte de komuta algebro, por solvado de geometriaj problemoj pri tiuj aroj de nuloj.
#000001
La fundamentaj studobjektoj en algebra geometrio estas algebraj variecoj, kiuj estas geometriaj manifestiĝoj de solvoj de sistemoj de polinomekvacioj.
Ekzemploj de la plej volitaj klasoj de algebraj variecoj estas:
aviadilaj algebraj kurboj, kiuj inkludas liniojn, cirklojn, parabolojn, tripunktojn, hiperbolojn, kubajn kurbojn kiel elipsaj kurboj kaj kvartaj kurboj kiel lemniscatoj, kaj Cassini-ovalojn.
Punkto de la aviadilo apartenas al algebra kurbo se ĝiaj koordinatoj kontentigas antaŭfiksitan polinomekvacion.
Bazaj demandoj implikas la studon de la punktoj de specialintereso kiel la eksterordinaraj punktoj, la klinadpunktoj kaj la punktoj ĉe senfineco.
Pli progresintaj demandoj implikas la topologion de la kurbo kaj rilatoj inter la kurboj donitaj per malsamaj ekvacioj.
#000002
Algebra geometrio okupas centran lokon en moderna matematiko kaj havas multoblajn koncipajn ligojn kun tiaj diversspecaj kampoj kiel kompleksa analitiko, topologio kaj nombroteorio.
Komence studo de sistemoj de polinomekvacioj en pluraj variabloj, la temo de algebra geometrio komencas ol kie ekvaciosolvado foriras for, kaj iĝas eĉ pli grave kompreni la internajn trajtojn de la tutaĵo el solvoj de sistemo de ekvacioj, trovi specifan solvon;
tio kondukas en kelkajn el la plej profundajn areojn en ĉio el matematiko, kaj koncipe kaj laŭ tekniko.
#000003
En la 20-a jarcento, algebra geometrio fendetiĝis en plurajn subareojn.
#000004
La ĉeftendenco de algebra geometrio estas dediĉita al la studo de la kompleksaj punktoj de la algebraj variecoj kaj pli ĝenerale al la punktoj kun koordinatoj en algebre fermita kampo.
La studo de la punktoj de algebra diverseco kun koordinatoj en la kampo de la raciaj nombroj aŭ en numero-kampo iĝis artimetika geometrio (aŭ pli klasike Diophantine-geometrio), subkampo de algebra nombroteorio.
La studo de la realaj punktoj de algebra diverseco estas la temo de reela algebra geometrio.
Granda parto de teorio de specialaĵoj estas dediĉita al la neordinaraĵoj de algebraj variecoj.
Kun la pliiĝo de la komputiloj, komputila algebrageometria areo aperis, kiu situas ĉe la intersekciĝo de algebra geometrio kaj komputila algebro.
Ĝi konsistas esence el evoluigado algoritmoj kaj softvaro por legado kaj trovado de la trajtoj de eksplicite antaŭfiksitaj algebraj variecoj.
#000005
Racia funkcio kaj biracia ekvivalenteco
#000008
Asimptota komplekseco vs. praktika efikeco
#000009
En klasika algebra geometrio, la ĉefobjektoj de intereso estas la malaperaj aroj de kolektoj de polinomoj, kun la signifo la aro de ĉiuj punktoj kiuj samtempe kontentigas unu aŭ pluraj polinomekvaciojn.
Ekzemple, la dudimensia sfero en tridimensia eŭklida spaco R 3 povus esti difinita kiel la aro de ĉiuj punktoj ( x, y, z) kun
#000010
"Oblikva" cirklo en R 3 povas esti difinita kiel la aro de ĉiuj punktoj ( x, y, z) kiuj kontentigas la du polinomekvaciojn
#000011
Unue ni komencas kun kampo k.
En klasika algebra geometrio, tiu kampo ĉiam estis la kompleksaj nombroj C, sed multaj el la samaj rezultoj estas veraj se ni supozas nur ke k estas algebre fermita.
Ni pripensas la afinan spacon de dimensio n super k, indikis A da n ( k) (aŭ pli simple A da n , kiam k estas klara de la kunteksto).
Kiam oni fiksas koordinatsistemon, oni povas identigi A da n ( k) kun k n .
La celo de ne laborado kun k n devas emfazi tiu unu "forgesas" la vektorspacan strukturon tiu k n portas.
#000012
Kiam koordinatsistemo estas elektita, la regulaj funkcioj sur la afina n-spaco povas esti identigitaj per la ringo de polinomfunkcioj en n variabloj super k.
Tial, la aro de la regulaj funkcioj sur A da n estas ringo, kio estas indikita k [ n ].
#000014
Ni diras ke polinomo malaperas ĉe punkto ĉu analizante ĝin ĉe tiu punkto donas nul.
Lasu S esti aro de polinomoj en k [ n].
La malapera aro de S (aŭ malapera lokuso aŭ nul aro) estas la aro V ( S) de ĉiuj punktoj en A da n kie ĉiu polinomo en S malaperas.
#000015
Subaro de A da n kiu estas V ( S), por iu S, estas nomita algebra aro.
La V-standoj por diverseco (specifa speco de algebra aro esti difinita malsupre).
#000016
Surbaze de subaro U de A da n , ĉu oni povas reakiri la aron de polinomoj kiuj generas ĝin?
Se U estas ajna subaro de A da n , difinu min ( U) por esti la aro de ĉiuj polinomoj kies malapera aro enhavas U.
La I-standoj por idealo: se du polinomoj f kaj g ambaŭ malaperas sur U, tiam f + g malaperas sur U, kaj se h estas ajna polinomo, tiam kiun hf malaperas sur U, tiel I ( U) ĉiam estas idealo de la polinomringo k [ n ].
#000017
Du naturaj demandoj por demandi estas:
#000018
Surbaze de subaro U de A da n , kiam estas U = V ( mi ( U)?
Surbaze de aro S de polinomoj, kiam estas S = mi ( V ( da S)?
#000019
La respondo al la unua demando estas disponigita lanĉante la Zariski-topologion, topologion sur A da n kies fermitaj aroj estas la algebraj aroj, kaj kiu rekte reflektas la algebran strukturon de k [ n ].
Tiam U = V ( mi ( U) se kaj nur se U estas algebra aro aŭ ekvivalente Zariski-fermita aro.
La respondo al la dua demando ricevas fare de Hilbert's Nullstellensatz.
En unu el ĝiaj formoj, ĝi diras ke I ( V ( da S) estas la radikalulo de la idealo generita je S.
En pli abstrakta lingvo, ekzistas Galois-ligo, kaŭzante du finfunkciigistojn;
ili povas esti identigitaj, kaj kompreneble ludi bazan rolon en la teorio;
la ekzemplo estas profundigita ĉe Galois-ligo.
#000020
Ke diversa kialoj ni eble ne ĉiam deziras laboru kun la tuta idealo egalrilatanta al algebra aro U.
La bazteoremo de Hilbert implicas ke idealoj en k [ n ] ĉiam estas finhave generitaj.
#000021
Algebra aro estas nomita nereduktebla ĉu ĝi ne povas esti skribita kiel la unio de du pli malgrandaj algebraj aroj.
Ĉiu algebra aro estas finhava unio de neredukteblaj algebraj aroj kaj tiu putriĝo estas unika.
Tiel ĝiaj elementoj estas nomitaj la neredukteblaj komponentoj de la algebra aro.
Nereduktebla algebra aro ankaŭ estas nomita diverseco .
Ĝi turnas ke algebra aro estas diverseco se kaj nur se ĝi povas esti difinita kiel la malapera aro de ĉefidealo de la polinomringo.
#000022
Kelkaj verkintoj ne faras klaran distingon inter algebraj aroj kaj specoj kaj utiligas neredukteblan diversecon por fari la distingon kiam bezonite.
#000023
Ekzakte ĉar kontinuaj funkcioj estas la naturaj mapoj sur topologiaj spacoj kaj glataj funkcioj estas la naturaj mapoj sur diferencialduktoj, ekzistas natura klaso de funkcioj sur algebra aktoraro, nomitaj regulaj funkcioj aŭ polinomfunkcioj.
Regula funkcio sur algebra aktoraro V enhavita en A da n estas la restrikto al V de regula funkcio sur A da n .
Por algebra aro difinita pri la kampo de la kompleksaj nombroj, la regulaj funkcioj estas glataj kaj eĉ analizaj.
#000024
Povas ŝajni nenature restrikte postuli ke regula funkcio ĉiam etendiĝas al la ĉirkaŭa spaco, sed ĝi estas tre simila al la situacio en normala topologia spaco, kie la Tietze-etendaĵteoremo garantias ke kontinua funkcio sur fermita subaro ĉiam etendiĝas al la ĉirkaŭa topologia spaco.
#000025
Ekzakte ĉar kun la kutima kliento funkcias sur afina regiono, la kutima kliento funkcias sur V formo al ringo, kiun ni indikas de k [ V].
Tiu ringo estas nomita la kunordigita ringo de V.
#000026
Ĉar regulaj funkcioj sur V venas de regulaj funkcioj sur A da n , ekzistas rilato inter la koordinatringoj.
Specife, se regula funkcio sur V estas la limigo de du funkcioj f kaj g en k [ n ], tiam f − g estas polinomfunkcio kiu estas nulo sur V kaj tiel apartenas al mi ( V).
Tiel k [ V] povas esti identigita kun k [ n ]/ mi ( V).
#000027
Uzante regulajn funkciojn de afina diverseco ĝis 1, ni povas difini regulajn mapojn de unu afina diverseco ĝis alia.
Unue ni difinos regulan mapon de diverseco en afinan regionon: Lasu V esti diverseco enhavita en A da n .
Elektu m regulajn funkciojn sur V, kaj nomu ilin f 1
Ni difinas regulan mapon f de V ĝis A da m lasante f
En aliaj vortoj, ĉiu f I determinas unu koordinaton de la intervalo de f.
#000028
Se V ′ estas diverseco enhavis en A da m , kiun ni diras ke f estas regula mapo de V ĝis V ′ se la intervalo de f estas enhavita en V ′.
#000029
La difino de la regulaj mapoj validas ankaŭ por algebraj aroj.
La regulaj mapoj ankaŭ estas nomitaj morfismoj, ĉar ili transformas la kolekton de ĉiuj afinaj algebraj aroj en kategorion, kie la objektoj estas la afinaj algebraj aroj kaj la morfismoj estas la regulaj mapoj.
La afinaj specoj estas subkategorio de la kategorio da la algebraj aroj.
#000030
Surbaze de regula mapo g de V ĝis V ′ kaj regula funkcio f de k [ V ′], tiam f ∘ g
La mapo f → f ∘ g estas ringo homomorfism de k [ V ′] ĝis k [ V].
Inverse, ĉiu ringo homomorfism de k [ V ′] ĝis k [ V] difinas regulan mapon de V ĝis V ′.
Tio difinas ekvivalentecon de kategorioj inter la kategorio da algebraj aroj kaj la kontraŭa kategorio da la finhave generita reduktis k-algebro.
Tiu ekvivalenteco estas unu el la deirpunktoj de skemteorio.
#000031
Kontraŭe al la antaŭaj, tiu sekcio koncernas nur specojn kaj ne algebrajn arojn.
Aliflanke, la difinoj etendas nature al projekciaj specoj (venonta sekcio), ĉar afina diverseco kaj ĝia projekcia kompletigo havas la saman kampon de funkcioj.
#000032
Se V estas afina diverseco, ĝia kunordigita ringo estas integrita domajno kaj havas tiel kampon de frakcioj kiu estas indikita k ( V) kaj nomita la kampo de la raciaj funkcioj sur V aŭ, baldaŭ, la funkciokampo de V.
Ĝiaj elementoj estas la restriktoj al V de la raciaj funkcioj super la afina regiono enhavanta V.
La domajno de racia funkcio f ne estas V sed la komplemento de la subdiverseco (hipersurfaco) kie la denominatoro de f malaperas.
#000033
Like por regulaj mapoj, oni povas difini racian mapon de variaĵo V ĝis variaĵo V'.
Like por la regulaj mapoj, la raciaj mapoj de V ĝis V povas esti identigitaj al la kampohomomorfismoj de k ( V) ĝis k ( V).
#000034
Du afinaj specoj estas birationaly ekvivalentaj se ekzistas du raciaj funkcioj inter ili kiuj estas inversaj unuj al la aliaj en la regionoj kie ambaŭ estas difinitaj.
Ekvivalente, ili estas birationaly ekvivalentaj se iliaj funkcioregionoj estas izomorfaj.
#000035
Afina diverseco estas racia diverseco se ĝi estas birationaly ekvivalenta al afina spaco.
Tio signifas ke la diverseco koncedas racian parametroigon.
#000036
kiu ankaŭ povas esti rigardita kiel racia mapo de la linio ĝis la cirklo.
#000037
La problemo de rezolucio de neordinaraĵoj devas scii ĉu ĉiu algebra diverseco estas birationaly ekvivalenta al diverseco kies projekcia kompletigo estas neeksterordinara (vidu ankaŭ glatan kompletigon).
Ĝi estis pozitive solvita en karakterizaĵo 0 fare de Heisuke Hironaka en 1964 kaj ankoraŭ estas neklarigita en finhava karakterizaĵo.
#000038
Ekzakte kiel la formulojn por la radikoj de dua, tria kaj 4-a grado polinomoj indikas etendi realajn nombrojn al la pli algebre kompleta fikso de la kompleksaj nombroj, multaj trajtoj de algebraj variecoj indikas etendi afinan spacon al pli geometrie kompleta projekcia spaco.
Dum la kompleksaj nombroj akiriĝas per aldonado la nombro da I, radiko de la polinomo x 2 + 1, projekcia spaco akiriĝas per aldonado en konvenaj punktoj "ĉe senfineco", punktoj kie paralelaj linioj povas renkonti.
#000039
Vidi kiel tio eble okazos, pripensos la variaĵon V ( y − x 2).
Se ni tiras ĝin, ni ricevas parabolon.
Kiel x iras al pozitiva senfineco, la deklivo de la linio de la origino ĝis la punkto ( x, x 2) ankaŭ iras al pozitiva senfineco.
Kiel x iras al negativa senfineco, la deklivo de la sama linio iras al negativa senfineco.
#000040
Komparu tion kun la variaĵo V ( y − x 3).
Kiel x iras al pozitiva senfineco, la deklivo de la linio de la origino ĝis la punkto ( x, x 3) iras al pozitiva senfineco ekzakte kiel antaŭe.
Sed male al antaŭ ol, ĉar x iras al negativa senfineco, la deklivo de la sama linio iras al pozitiva senfineco ankaŭ;
la preciza kontraŭo de la parabolo.
Tiel la konduto "ĉe senfineco" de V ( y − x 3) estas diferenca de la konduto "ĉe senfineco" de V ( y − x 2).
#000041
La konsidero de la projekcia kompletigo de la du kurboj, kiu estas ilia plilongigo "ĉe senfineco" en la projekcia ebeno, permesas kvantigi tiun diferencon: la punkto ĉe senfineco de la parabolo estas regula punkto, kies klavo estas la linio ĉe senfineco, dum la punkto ĉe senfineco de la kuba kurbo estas rando.
Ankaŭ, ambaŭ kurboj estas raciaj, ĉar ili estas parameterigitaj per x, kaj Riemann-Roch teoremo implicas ke la kuba kurbo havendaĵo neordinaraĵon, kiu devas esti ĉe senfineco, ĉar ĉiuj ĝiaj punktoj en la afina spaco estas regulaj.
#000042
Tiel multaj el la trajtoj de algebraj variecoj, inkluzive de biracia ekvivalenteco kaj ĉiuj topologiaj trajtoj, dependas de la konduto "ĉe senfineco" kaj tiel ĝi estas natura studi la specojn en projekcia spaco.
Krome, la enkonduko de projekciaj teknikoj igis multajn teoremojn en algebra geometrio pli simplaj kaj pli akraj: Ekzemple, teoremo de Bézout sur la nombro da intersekciĝoj inter du specoj povas esti deklarita en sia plej akra formo nur en projekcia spaco.
Pro tiuj kialoj, projekcia spaco ludas fundamentan rolon en algebra geometrio.
#000043
Nuntempe, la projekcia regiono P n de dimensio n estas kutime difinita kiel la aro de la linioj pasantaj tra punkto, konsiderita la originon, en la afina regiono de dimensio n + 1, aŭ ekvivalente al la aro de la vektorlinioj en vektora spaco de dimensio n + 1.
Kiam koordinatsistemo estis elektita en la spaco de dimensio n + 1, ĉiuj punktoj de linio havas la saman metite de koordinatoj, ĝis la multipliko per elemento de k.
Tio difinas la homogenajn koordinatojn de punkto de P n kiel sekvencon de n + 1 elementoj de la bazkampo k, difinita ĝis la multipliko per nonzerelemento de k (la sama por la tuta sekvenco).
#000044
Surbaze de polinomo en n + 1 variabloj, ĝi malaperas ĉiupunkte de linio pasanta tra la origino se kaj nur se ĝi estas homogena.
En tiu kazo, oni diras ke la polinomo malaperas ĉe la ekvivalenta punkto de P n .
Tio permesas difini projekcian algebran aron en P n kiel la aron V ( f 1
Like por afinaj algebraj aroj, ekzistas ensurĵeto inter la projekciaj algebraj aroj kaj la reduktitaj homogenaj idealoj kiuj difinas ilin.
La projekciaj specoj estas la projekciaj algebra metas kies difina idealo estas ĉefa.
En aliaj vortoj, projekcia diverseco estas projekcia algebra aro, kies homogena kunordigita ringo estas integrita domajno, la projekcia koordinatringo estanta difinita kiel la kvociento de la gradigita ringo aŭ la polinomoj en n + 1 variabloj per la homogena (reduktite) idealo difinanta la diversecon.
Ĉiu projekcia algebra aro povas labori unike malkonstruita pri finhava unio de projekciaj specoj.
#000045
La nuraj regulaj funkcioj kiuj povas esti difinitaj konvene en projekcia diverseco estas la konstantaj funkcioj.
Tiel tiu nocio ne estas uzita en projekciaj situacioj.
Aliflanke, la kampo de la raciaj funkcioj aŭ funkciokampo estas utila nocio, kiu, simile kiel en la afina kazo, estas difinita kiel la aro de la kvocientoj de du homogenaj elementoj de la sama grado en la homogena kunordigita boksejo.
#000046
La reela algebra geometrio estas la studo de la realaj punktoj de la algebra geometrio.
#000047
La fakto ke la kampo de la realnombro estas ordigita kampo ne devus esti ignorita en tia studo.
Ĝi sekvas tiun reelan algebran geometrion estas ne nur la studo de la realaj algebraj variecoj, sed estis ĝeneraligita al la studo de la semi-algebraj aroj, kiuj estas la solvoj de sistemoj de polinomekvacioj kaj polinomneegalaĵoj.
#000048
Unu el la malfacilaj problemoj de reela algebra geometrio estas la deksesa problemo de la neklarigita Hilbert: Decidi kiuj respektivaj pozicioj estu eblaj por la ovaloj de neeksterordinara aviadilkurbo de grado 8.
#000049
Oni povas dati la originon de komputila algebra geometrio al renkontado EUROSAM'79 (Internacia Simpozio sur Symbolic kaj Algebraic Manipulation) tenita ĉe Marsejlo, Francio en junio 1979.
#000050
Dennis S. Arnon montris tiun tiu de George E. Collins
Cilindra algebra putriĝo (CAD) permesas la komputadon de la topologio de semi-algebraj aroj,
Bruno Buchberger prezentis la Gröbner-bazojn kaj lian algoritmon por komputi ilin,
Daniel Lazard prezentis novan algoritmon por solvado de sistemoj de homogenaj polinomekvacioj kun komputadokomplekseco kiu estas esence polinomo en la atendata nombro da solvoj kaj tiel simple eksponenta en la nombro da la nekonataĵoj.
Tiu algoritmo estas forte rilata kun tiu de Macaulay
#000051
Ekde tiam, la plej multaj rezultoj en tiu areo estas rilatitaj al unu aŭ pluraj da tiuj eroj aŭ uzante aŭ plibonigante unu el tiuj algoritmoj, aŭ trovante algoritmojn kies komplekseco estas simple eksponentaj en la nombro da la variabloj
#000052
Korpo de matematika teorio komplementa al simbolaj metodoj nomitaj nombra algebra geometrio estis evoluigita dum la lasta pluraj jardekoj.
La ĉefa komputila metodo estas homotopyodaŭrigo.
Tio apogas, ekzemple, modelon de glitkom komputado por solvado de problemoj de algebra geometrio.
#000053
Gröbner-bazo estas sistemo de generatoroj de polinomidealo kies komputado permesas la deprenon da multaj trajtoj de la afina algebra diverseco difinita per la idealo.
#000054
Per la Hilbert-serialo unu povas komputi la dimension kaj la gradon da V de iu Gröbner-bazo da mi por monomial mendado rafinanta la totalan gradon.
Se la dimensio de V estas 0, oni povas komputi la punktojn (finhavajn en nombro) de V de iu Gröbner-bazo de mi (vidu sistemoj de polinomekvacioj).
Gröbner-bazkomputado permesas forigi de V ĉiujn neredukteblajn komponentojn kiuj estas enhavitaj en antaŭfiksita hipersurfaco.
Gröbner-bazkomputado permesas komputi la Zariski-finon de la bildo de V de la projekcio sur la k unuaj koordinatoj, kaj la subaron de la bildo kie la projekcio ne estas bonorda.
Pli ĝenerale Gröbner-bazkomputadoj permesas komputi la Zariski-finon de la bildo kaj la kritikajn punktojn de racia funkcio de V en alian afinan diversecon.
#000056
Gröbner-bazkomputadoj ne permesas komputi rekte la primaran putriĝon de I nek la ĉefidealojn difinante la neredukteblajn komponentojn de V, sed la plej multajn algoritmojn por tio impliki Gröbner-bazkomputadon.
La algoritmoj kiuj ne estas bazitaj sur Gröbner-bazoj uzas regulajn katenojn sed povas bezoni Gröbner-bazojn en kelkaj esceptaj situacioj.
#000057
Gröbner-bazo estas opiniita por esti malfacila komputi.
Fakte ili povas enhavi, en la plej malbona kazo, polinomojn kies grado estas duoble eksponenta en la nombro da variabloj kaj kelkaj polinomoj kiu ankaŭ estas duoble eksponenta.
Tamen, tio estas nur plej malbonkaza komplekseco, kaj la kompleksecsaltego de la algoritmo de Lazard de 1979 povas ofte uzi.
La F4- kaj F5-algoritmoj de Faugère realigas tiun kompleksecon, ĉar F5-algoritmo povas esti rigardita kiel plibonigo de la 1979 algoritmo de Lazard.
Ĝi sekvas ke la plej bonaj efektivigoj permesas komputi preskaŭ rutine kun algebraj aroj de grado pli ol 100-a Tio signifas ke, aktuale, la malfacileco de komputi Gröbner-bazo estas forte rilatita al la interna malfacileco de la problemo.
#000058
CAD estas algoritmo kiu estis lanĉita en 1973 fare de G. Collins por efektivigi kun akceptebla komplekseco la Tarski-Seidenberg-teoremon sur kvantorelimino super la realaj nombroj.
#000059
Tiu teoremo koncernas la formulojn de la unuaorda logiko kies atomaj formuloj estas polinomegalecoj aŭ neegalaĵoj inter polinomoj kun realaj koeficientoj.
Tiuj formuloj estas tiel la formuloj kiuj povas esti konstruitaj el la atomaj formuloj fare de la logikaj funkciigistoj kaj
por ĉio (∀) kaj ekzistas (∃).
La teoremo de Tarski asertas ke, de tia formulo, oni povas komputi ekvivalentan formulon sen kvantoro (∀, ∃).
#000060
La komplekseco de CAD estas duoble eksponenta en la nombro da variabloj.
Tio signifas ke CAD permesas, en teorio, solvi ĉiun problemon de reela algebra geometrio kiu povas esti esprimita per tia formulon, kiu estas preskaŭ ĉiu problemo koncerne eksplicite antaŭfiksitajn specojn kaj semi-algebraj aroj.
#000061
Dum Gröbner-bazkomputado havas duoble eksponentan kompleksecon nur en maloftaj kazoj, CAD preskaŭ havas ĉiam tiun altan kompleksecon.
Tio implicas tion, se ĉu la plej multaj polinomoj aperantaj en la enigaĵo estas liniaj, ĝi eble ne solvas problemojn kun pli ol kvar variabloj.
#000062
Ekzemplocele por la stato de arto, ekzistas efikaj algoritmoj por trovi minimume punkton en ĉiu Koneksa komponanto de semi-algebra aro, kaj tiel testi ĉu semi-algebra aro estas malplena.
Aliflanke, CAD ankoraŭ estas, en praktiko, la plej bona algoritmo por nombri la nombron da Koneksaj komponantoj.
#000064
La bazaj ĝeneralaj algoritmoj de komputilgeometrio havas duoblan eksponentan plej malbonan kazon kompleksecon.
#000065
Dum la lastaj 20 jaroj da 20-a jarcento, diversaj algoritmoj estis lanĉitaj por solvi specifajn subproblemojn kun pli bona komplekseco.
#000066
Inter tiuj algoritmoj kiuj solvas subproblemon de la problemoj solvitaj per Gröbner-bazoj, oni povas citi testi ĉu afina diverseco estas malplena kaj solvanta nehomogenajn polinomsistemojn kiuj havas finhavan nombron da solutions. kiun Tiaj algoritmoj malofte estas efektivigitaj ĉar, en la plej multaj kontribuoj Faugère F4- kaj F5-algoritmoj havas pli bonan praktikan efikecon kaj verŝajne similan aŭ pli bonan kompleksecon ( verŝajne ĉar la taksado de la komplekseco de Gröbner-bazalgoritmoj sur akurata klaso de kontribuoj estas malfacila tasko kiu estis farita nur en kelkaj specialaj kazoj).
#000067
La ĉefalgoritmoj de reela algebra geometrio kiuj solvas problemon solvitan per CAD estas rilatitaj al la topologio de semi-algebraj aroj.
Oni povas citi nombri la nombron da Koneksaj komponantoj, testante ĉu du poentoj estas en la samaj komponentoj aŭ komputante Whitney-tavoliĝon de reala algebra aro.
Tial, tiuj algoritmoj neniam estis efektivigitaj kaj tio estas aktiva esplortemo por serĉi algoritmojn kun havi kune bonan asimptotan kompleksecon kaj bonan praktikan efikecon.
#000068
La modernaj aliroj al algebra geometrio redifinas kaj efike etendas la vicon da bazaj objektoj en diversaj niveloj de ĝeneraleco al kabaloj, formalaj kabaloj, ind-skemoj, algebraj spacoj, algebraj stakoj.
La bezono de tio jam ekestiĝas de la utilaj ideoj ene de teorio de specoj, ekz. la formalaj funkcioj de Zariski povas esti alĝustigita lanĉante nilpotentelementojn en strukturboksejoj;
pripensante spacojn de bukloj kaj arkoj, konstruante kvocientojn per grupaj agoj kaj evoluigante formalajn grundojn por natura komunaĵa teorio kaj deformadoteorio kaŭzi kelkajn el la pliaj etendaĵoj.
#000069
Foje aliaj algebraj ejoj anstataŭigas la kategorion da afinaj kabaloj.
Ekzemple, Nikolai Durov lanĉis kommutativajn algebrajn monadojn kiel ĝeneraligo da lokaj objektoj en ĝeneraligita algebra geometrio.
Versioj de tropika geometrio, de absoluta geometrio super kampo de unu elemento kaj algebra analogo de la geometrio de Arakelov estis realigitaj en tiu aranĝo.
#000071
Alia formala ĝeneraligo estas ebla al Universal algebra geometrio en kiu ĉiu gamo da algebroj havas sian propran algebran geometrion.
La esprimo diverseco de algebroj ne devus esti konfuzita kun algebra diverseco.
#000072
La lingvo de kabaloj, stakoj kaj ĝeneraligoj pruvis esti valora maniero trakti geometriajn konceptojn kaj iĝis bazŝtonoj de moderna algebra geometrio.
#000073
Algebraj stakoj povas esti plu ĝeneraligitaj kaj por multaj praktikaj demandoj kiel deformadoteorio kaj komunaĵa teorio, tio ofte estas la plej natura aliro.
Oni povas etendi la Grothendieck-lokon de afinaj kabaloj al pli alta kategoria loko de derivitaj afinaj kabaloj, per anstataŭigado de la komutaj ringoj kun senfineckategorio da diferencialo gradigitaj komutaj algebroj, aŭ de simplicial komutaj ringoj aŭ simila kategorio kun konvena variaĵo de Grothendieck-topologio.
Oni ankaŭ povas anstataŭigi prepuliojn de aroj de prepulioj de simplicial aroj (aŭ de senfinecgrupoidoj).
Tiam, en ĉeesto de konvena homotemmaŝinaro oni povas evoluigi nocion de derivita stako kiel tia prefasko en la senfineckategorio da derivitaj afinaj kabaloj, kiu kontentigas certan senfinan kategorian version de faskaksiomo (kaj esti algebra, indukte sekvenco de representabileckondiĉoj).
Quillen-modelkategorioj, Segal-kategorioj kaj kvazaŭkategorioj estas kelkaj el la plejofte uzitaj iloj por formaligi tion donantan la derivitan algebran geometrion , lanĉitan fare de la lernejo de Carlos Simpson, inkluzive de Andre Hirschowitz, Bertrand Toën, Gabrielle Vezzosi, Michel Vaquié kaj aliaj;
kaj evoluinta plu de Jacob Lurie, Bertrand Toën, kaj Gabrielle Vezzosi.
Alia (nonkomutative) versio de derivita algebra geometrio, uzi Nil-senfinecajn kategoriojn estis evoluigita de fruaj 1990-aj jaroj fare de Maxim Kontsevich kaj anoj.
#000074
Tiaj teknikoj de aplikado de geometriaj konstruoj al algebraj problemoj ankaŭ estis adoptitaj de kelkaj Renesanc matematikistoj kiel ekzemple Gerolamo Cardano kaj Niccolò Fontana " Tartaglia " en siaj studoj de la triagrada ekvacio.
La geometria aliro al konstruproblemoj, prefere ol la algebra, estis preferita ekde plej multe de la 16-a kaj 17-a jarcento al matematikistoj, precipe Blaise Pascal kiu kverelis kontraŭ la uzo de algebraj kaj analizaj metodoj en geometrio.
La francaj matematikistoj François Viète kaj pli posta René Descartes kaj Pierre de Fermat revoluciigis la konvencian pensadon pri konstruproblemoj tra la enkonduko de kunordigita geometrio.
Ili estis interesitaj ĉefe en la trajtoj de algebraj kurboj, kiel ekzemple tiuj difinitaj per diofantaj ekvacioj (koncerne Fermat), kaj la algebra reformulo de la klasika grekverkoj sur konic kaj kubikoj (koncerne Descartes).
#000076
Dum la sama periodo, Blaise Pascal kaj Gérard Desargues aliris geometrion de malsama perspektivo, evoluigante la sintezajn nociojn de projekcia geometrio.
Paskalo kaj Desargues ankaŭ studis kurbojn, sed de la sole geometria perspektivo: la analogaĵo de la greka reganto kaj kompasookonstruo.
Finfine, la analitika geometrio de Descartes kaj Fermat venkis eksteren, ĉar ĝi provizis la 18-an-jarcentajn matematikistojn per konkretaj kvantaj iloj necesaj por studi fizikajn problemojn uzantajn la novan kalkuladon de Neŭtono kaj Leibniz.
Tamen, antaŭ la fino de la 18-a jarcento, la plej granda parto de la algebra kvalito de kunordigita geometrio estis inkludita per la kalkulado de infinitesimal'oj de Lagrange kaj Euler.
#000077
Ĝi prenis la samtempajn 19-an-jarcentajn evoluojn de ne-eŭklida geometrio kaj Abelajn integralojn por alporti la malnovajn algebrajn ideojn reen en la geometrian faldon.
La unua el tiuj novaj evoluoj estis konfiskita supren fare de Edmond Laguerre kaj Arthur Cayley, kiuj provis konstati la ĝeneraligitajn metrikajn trajtojn de projekcia spaco.
Cayley lanĉis la ideon de homogenaj polinomformoj, kaj pli specife kvadratajn formojn, sur projekcia spaco.
Poste, Felix Klein studis projekcian geometrion (kune kun aliaj specoj de geometrio) de la vidpunkto ke la geometrio sur spaco estas ĉifrita en certa klaso de transformoj sur la spaco.
Antaŭ la fino de la 19-a jarcento, projekciaj geometristoj studis pli ĝeneralajn specojn de transformoj sur figuroj en projekcia spaco.
Prefere ol la projekciaj lineartransformoj kiuj estis normale rigarditaj kiel donado de la fundamenta Kleiniana geometrio sur projekcia spaco, ili maltrankviligis sin ankaŭ pri la pli altaj gradaj biraciaj transformoj.
Tiu pli malforta nocio de kongrueco poste igus membrojn da la 20-a-jarcenta itala lernejo de algebra geometrio klasifiki algebrajn surfacojn supren al biracia izomorfio.
#000079
La dua frua 19-a-jarcenta evoluo, tiu de Abelaj integraloj, kaŭzus Bernhard Riemann la evoluon de Riemann-facoj.
#000080
En la sama periodo komencis la algebroigon de la algebra geometrio tra komuta algebro.
La elstaraj rezultoj en tiu direkto estas la bazteoremo de Hilbert kaj Hilbert's Nullstellensatz, kiuj estas la bazo da la interligo inter algebra geometrio kaj komuta algebro, kaj Macaulay
multivariate fortrezultanto, kiu estas la bazo de eliminteorio.
Verŝajne pro la grandeco de la komputado kiu estas implicita per multivariate fortrezultantoj, eliminteorio estis forgesita dum la mezo de la 20-a jarcento ĝis ĝi estis renovigita per teorio de specialaĵoj kaj komputila algebra geometrio.
#000081
B L.-kamioneto der Waerden, Oscar Zariski kaj André Weil evoluigis fundamenton por algebra geometrio bazita sur nuntempa komuta algebro, inkluzive de valortaksooteorio kaj la teorio de idealoj.
Unu el la celoj estis doni rigoran kadron por pruvado de la rezultoj de itala lernejo de algebra geometrio.
Aparte, tiu lernejo uzis sisteme la nocion da senmarka punkto sen iu preciza difino, kiu unue estis donita fare de tiuj verkintoj dum la 1930-aj jaroj.
#000082
En la 1950-aj jaroj kaj 1960-aj jaroj Jean-Pierre Serre kaj Alexander Grothendieck transfandas la fundamentojn farante uzon de faska teorio.
Poste, de proksimume 1960, kaj plejparte kondukita fare de Grothendieck, kun la ideo de kabaloj estis laborita, lige kun tre delikata aparataro de homologiaj teknikoj.
Post jardeko da rapida evoluo la kampo stabiligita en la 1970-aj jaroj, kaj novaj aplikoj estis produktitaj, kaj al nombroteorio kaj al pli klasikaj geometriaj demandoj en algebraj variecoj, neordinaraĵoj kaj modulus.
#000083
Grava klaso de specoj, ne facile komprenitaj rekte de iliaj difinaj ekvacioj, estas la abelaj variaĵoj, kiuj estas la projekciaj specoj kies punktoj formas abelan grupon.
La prototipaj ekzemploj estas la elipsaj kurboj, kiuj havas riĉan teorion.
Ili estis instrumentaj en la pruvo de la lasta teoremo de Fermat kaj ankaŭ estas uzitaj en elipsa kurbokriptografio.
#000084
En paralela kun la abstrakta tendenco de la algebra geometrio, kiu temas pri ĝeneralaj deklaroj pri specoj, metodoj por efika komputado kun konkreta-antaŭfiksitaj specoj ankaŭ estis evoluigitaj, kiuj kondukas al la nova areo de komputila algebra geometrio.
Unu el la fondmetodoj de tiu areo estas la teorio de Gröbner-bazoj, lanĉitaj fare de Bruno Buchberger en 1965.
Alia fonda metodo, pli aparte sindona al reela algebra geometrio, estas la cilindra algebra putriĝo, lanĉita fare de George E. Collins en 1973.
#000085
Analitika diversaĵo estas difinita loke kiel la aro de oftaj solvoj de pluraj ekvacioj implikantaj analizajn funkciojn.
Ĝi estas analoga al la inkludita koncepto de reala aŭ kompleksa algebra diverseco.
Ĉiu kompleksa dukto estas analitika diversaĵo.
Ĉar analitikaj diversaĵoj povas havi eksterordinarajn punktojn, ne ĉiuj analitikaj diversaĵoj estas duktoj.
#000086
Moderna analitika geometrio estas esence ekvivalenta al reala kaj kompleksa algebra geometrio, kiel estis montrita fare de Jean-Pierre Serre en lia artikolo Gaga , kies nomo estas franca por algebra geometrio and analitika geometrio.
Tamen, la du kampoj restas apartaj, ĉar la metodoj da pruvo estas tre malsamaj kaj algebra geometrio inkludas ankaŭ geometrion en finhava karakterizaĵo.
#000087
Algebra geometrio nun trovas aplikojn en statistiko, [7]
filogenetic [12] kaj geometria modeligado.
Ekzistas ankaŭ ligoj por teorion de kordoj, [14]
#000088
Glosaro de klasika algebra geometrio
Gravaj publikaĵoj en algebra geometrio
#000089
Modernaj lernolibroj kiuj ne uzas la lingvon de kabaloj
#000093
Lernolibroj en komputila algebra geometrio
#000095
Diferencialaj ekvacioj / dinamikaj sistemoj
#000100
Algebra geometrio estas branĉo de matematiko kiu, laŭ sia nomo, kombinas abstraktan algebron, aparte komutan algebron, kun geometrio. Ĝi povas aspekti kiel studoj de solvaĵaj aroj de sistemoj de algebraj ekvacioj. Se estas pli ol unu variablo, geometriaj konsideroj povas esti gravaj por kompreni la fenomenojn. Algebra geometrio komenciĝas kiam finiĝas solvado de ekvacioj, kaj ĝi estas grava kaj por kompreni la tutecon de solvaĵoj de ekvaciaro rilate kaj por trovi iun solvaĵon.
#000101
Nuloj de kelkaj polinomoj samtempe
#000102
En klasika algebra geometrio, la ĉefaj objektoj de intereso estas la aroj de nuloj kolektoj de polinomoj. Ĉi tio estas aro de ĉiuj punktoj kiuj samtempe kontentigas unuon aŭ kelkajn polinomajn ekvaciojn. Ekzemple, la du-dimensia sfero en tri-dimensia eŭklida spaco povas esti difinita kiel la aro de ĉiuj punktoj kun
#000103
"oblikvita" cirklo en povas esti difinita kiel la aro de ĉiuj punktoj kiu kontentigas du polinomajn ekvaciojn (tiun de la sfero kaj tiun de la ebeno):
#000104
Unue konsideru kampon k. En klasika algebra geometrio, ĉi tiu kampo estas ĉiam , la kompleksaj nombroj, sed multaj el la rezultoj estas veraj se oni prenas nur ke k estas algebre fermita. Oni difinas na , nomitan kiel la afina n-spaco super k, kiel kn. La celo de ĉi tiu evidente superflua skribmaniero estas emfazi tion ke oni forgesas la vektoran spacan strukturon kiun kn enhavas. Abstrakte parolante, estas, por la momento, nur kolekto de punktoj.
#000105