En homologia algebro kaj algebra topologio, spektra sekvenco estas rimedo de komputikaj homologiogrupoj prenante sinsekvajn aproksimadojn.
Spektraj sekvencoj estas ĝeneraligo de precizaj sekvencoj, kaj ekde sia enkonduko de Jean Leray ( 1946), ili fariĝis gravaj komputilaj iloj, precipe en algebra topologio, algebra geometrio kaj homologia algebro.
#000001
4.1 2 kolumnoj kaj 2 vicoj
#000003
La spektra sekvenco de filtrita komplekso
La spektra sekvenco de duobla komplekso
#000004
La spektra sekvenco de filtrita komplekso, daŭris 9.1-a
La spektra sekvenco de duobla komplekso, daŭris 9.2-a
#000005
Estis baldaŭ ekkomprenite ke la komputila tekniko de Leray estis ekzemplo de pli ĝenerala fenomeno.
Spektraj sekvencoj estis trovitaj en diversspecaj situacioj, kaj ili donis malsimplajn rilatojn inter homologio kaj kohomologiogrupoj venantaj de geometriaj situacioj kiel ekzemple fibrigoj kaj de algebraj situacioj implikantaj derivitajn funktorojn.
Dum ilia teoria graveco malpliiĝis ekde la enkonduko de derivitaj kategorioj, ili daŭre estas la plej efika komputila ilo havebla.
Tio estas vera eĉ kiam multaj el la kondiĉoj de la spektra sekvenco estas nesuperrigardeblaj.
#000007
Bedaŭrinde, pro la granda informkvanto portita en spektraj sekvencoj, ili malfacilas ekteni.
Tiuj informoj estas kutime enhavitaj en rango al tri krado de abelaj grupoj aŭ moduloj.
La plej facilaj kazoj por trakti estas tiuj en kiuj la spektra sekvenco poste kolapsas, signifante ke iri plu en la sekvenco produktas neniujn novajn informojn.
Eĉ kiam tio ne okazas, estas ofte eble ricevi utilajn informojn de spektra sekvenco per diversaj trukoj.
#000008
Fiksu abelan kategorion, kiel ekzemple kategorio da moduloj super ringo.
Spektra sekvenco estas elekto de nenegativentjero r 0 kaj kolekto de tri sekvencoj:
#000009
Por ĉiuj entjeroj r ≥ r 0, objekta Er , nomis tukon (kiel en tuko el papero), aŭ foje paĝo aŭ esprimo,
Eh → Eh kontentiganta dr o dr = 0, vokis limmapojn aŭ diagnozalternativojn,
Izomorfioj de Er 1 kun H ( Er ), la homologio de Er kun respekto al dr .
#000010
Kutime la izomorfioj inter E r +1 kaj H ( Er ) estas obstinaj, kaj ni skribas egalecojn anstataŭe.
Foje E r +1 estas nomita la derivita objekto de Er .
#000011
[ citaĵo bezonis ] La plej elementa ekzemplo estas ĉenkomplekso C • .
Objekto C • en abela kategorio da ĉenkompleksoj venas kun diferenciga d.
Lasu r 0 = 0, kaj lasu E 0 esti C • .
Tio devigas E 1 esti la komplekso H ( C • ): Ĉe la i't loko tio la i't homologiogrupo de C estas • .
La nura natura diagnozalternativo sur tiu nova komplekso estas la nul mapo, tiel ke ni lasis d 1 = 0-a Tio fortoj E 2 por korespondi al E 1, kaj denove nia nura natura diagnozalternativo estas la nul mapo.
Meti la nul diagnozalternativon sur la tutan reston de niaj tukoj donas al spektra sekvenco kies kondiĉoj estas:
#000012
La kondiĉoj de tiu spektra sekvenco stabiligas ĉe la unua tuko ĉar ĝia nura nesensignifa diagnozalternativo estis sur la zerottuko.
Sekve, ni povas ricevi ne pli dajn informojn ĉe pli postaj ŝtupoj.
Kutime, ricevi utilajn informojn de pli postaj tukoj, ni bezonas ekstran strukturon sur la Er .
#000013
En la negradigita situacio priskribita supre, r 0 estas sensigniva, sed en praktiko la plej multaj spektraj sekvencoj okazas en la kategorio da duoble gradigitaj moduloj super ringo R (aŭ duoble gradigitaj faskoj da moduloj inte fasko da ringoj).
En tiu kazo, ĉiu tuko estas duoble gradigita modulo, tiel ke ĝi putriĝas kiel rekta sumo de esprimoj kun unu esprimo por ĉiu ebla bigrado.
La limmapo estas difinita kiel la rekta sumo de limmapoj sur ĉiu el la kondiĉoj de la tuko.
Ilia grado dependas de r kaj estas fiksita per kongreso.
(Tiuj elektoj de bigrado okazas nature en praktiko;
vidu la ekzemplon de duobla komplekso malsupre.
Dependante sur la spektra sekvenco, la limmapo sur la unua tuko povas havi gradon kiu egalrilatas al r = 0, r = 1, aŭ r = 2-a Ekzemple, por la spektra sekvenco de filtrita komplekso, priskribis malsupre, r 0 = 0, krom por la Grothendieck-spektra sekvenco, r kiujn 0 = 2-a Kutime r 0 estas nul, oni, aŭ du.
#000014
Morfismo de spektraj sekvencoj E → E estas de difino kolekto de map fr :
Eh → E'r kiuj estas kongrua kun la diagnozalternativoj kaj kun la antaŭfiksitaj izomorfioj inter kohomologio de la r-th paŝo kaj la ( r + 1) st tukoj de E kaj E, respektive.
#000015
Lasu E r esti spektra sekvenco, komenci kun ekzemple r = 0-a Tiam ekzistas sekvenco de subobjektoj
#000016
ĝi estas nomita la limiga esprimo.
ekzistas nur finhave multaj enfermaĵoj en la sekvenco supre.
#000017
Duoble gradigita spektra sekvenco havas enorman kvanton de datenoj por konservi trakon de, sed ekzistas ofta bildigtekniko kiu faras la strukturon de la spektra sekvencoklarejo.
Ni havas tri indeksojn, r, p, kaj q.
Por ĉiu r, imagu ke ni havas tukon el milimetropapero.
Sur tiu tuko, ni prenos p por esti la horizontala direkto kaj q por esti la vertikala direkto.
#000018
Dum lernado de spektraj sekvencoj por la unua fojo, estas ofte helpeme labori kun simplaj komputilaj ekzemploj.
Por pli formalaj kaj kompletaj diskutoj, vidu la sekciojn malsupre.
La ekzemploj malsupre ilustras kiel oni ligas tiajn filtradojn kun la E 2-esprima en la formoj de precizaj sekvencoj;
multaj precizaj sekvencoj en aplikoj (ekz., Gysin-sekvenco) ekestas en tiu modo.
#000020
2 kolumnoj kaj 2 vicoj
#000021
Diru, ĝi konverĝas al H kun filtrado
#000022
Tiel, ekzistas la preciza sekvenco: [1]
#000023
Nun, ekzemple, la spektra sekvenco konverĝas al H kun filtrado F kiel en la antaŭa ekzemplo.
Kombinante ĉion, oni venas: [2]
#000024
La komputado en la antaŭa sekcio ĝeneraligas laŭ simpla maniero.
#000025
Kombinante ĉiujn kalkulojn, oni venas: [3]
#000027
(La Gysin-sekvenco akiriĝas laŭ simila maniero.
#000028
Kun evidenta notational ŝanĝo, la speco de la komputadoj en la antaŭaj ekzemploj ankaŭ povas esti aranĝitaj por kohomologia spektra sekvenco.
#000029
Stakigante la sekvencojn kune, ni ricevas la tielnomitan kvin-periodan precizan sekvencon:
#000030
ĉar la denominatoro estas nul.
Tial, ekzistas sekvenco de monomorfisms:
#000031
Ili estas nomitaj la randmapoj.
#000032
La malobeo estas parte-difinita mapo (pli ĝuste, mapo de subobjekto ĝis kvociento)
#000033
La malobeo estas ne nepre klare difinita mapo:
#000034
Tasprodukto donas ringostrukturon al kohomologiogrupo, iĝante ĝin kohomologioringo.
Tiel, estas nature pripensi spektran sekvencon kun ringostrukturo ankaŭ.
#000035
R), ĉi-lasta havante ringostrukturon persvadita per tasprodukto.
La multiplika strukturo sur spektra sekvenco povas esti tre utila en kalkulado de la spektra sekvenco;
por iu konkreta ekzemplo, vidu Serre-spektra sekvenco nombro La Cohomology Ring of Complex Projective Space (Kohomologio Ringo de Komplekso Projekcia Spaco).
#000036
Spektraj sekvencoj povas esti konstruitaj per diversaj manieroj.
En algebra topologio, preciza paro eble estas la plej ofta ilo por la konstruo.
En algebra geometrio, spektraj sekvencoj estas kutime konstruitaj el filtradoj de koĉenkompleksoj.
#000037
Ni mallongigos tion datenojn je ( A, C, f, g, h).
Precizaj paroj estas kutime prezentitaj kiel trianguloj.
Ni vidos ke C egalrilatas al la E 0 esprimo de la spektra sekvenco kaj ke A estas kelkaj helpdatenoj.
#000040
Por pasi al la venonta tuko de la spektra sekvenco, ni formos la derivitan paron.
#000041
Ker de c = d /mi estas d
A , la limigo de f al A
C → A estas induktita je h.
Estas rekte antaŭen vidi ke h induktas tian mapon.
A → C estas difinita sur elementoj jene: Por ĉiu en A, skribas kiel f ( b) por iu b en A.
g () estas difinita por esti la bildo de g ( b) en C.
Ĝenerale, g povas esti konstruita utiligante unu el la enkonstruaj teoremoj por abelaj kategorioj.
#000042
De ĉi tie estas rekte antaŭen kontroli tio ( A, C, f, g, h) estas preciza paro.
C egalrilatas al la E kun nombro esprimo de la spektra sekvenco.
Ni povas ripeti tiun proceduron por ricevi precizajn parojn ( A ( n), C ( n), f ( n), g ( n), h ( n).
Ni lasis En estu C ( n) kaj dn esti g ( n) o h ( n).
#000043
Por simpla ekzemplo, vidu la Bockstein-spektran sekvencon.
#000044
La spektra sekvenco de filtrita komplekso
#000045
La filtrado estas utila ĉar ĝi donas iom da proksimeco al nul: Ĉar p pliiĝas, FpC • venas pli proksimen kaj pli proksime al nul.
Ni konstruos spektran sekvencon el tiu filtrado kie kolimoj kaj kocikloj en pli postaj tukoj eniras pli proksimen kaj pli proksime al kolimoj kaj kocikloj la originan konstruaĵaron.
Tiu spektra sekvenco estas duoble gradigita per la filtradgrado
(La komplementa grado ofte estas pli oportuna indekso ol la totala grado da n.
Ekzemple, tio estas vera de la spektra sekvenco de duobla komplekso, klarigita malsupre.
#000047
Ni konstruos tiun spektran sekvencon permane.
C • havas nur ununuran ordigon kaj filtradon, tiel ke ni unuaj konstruas duoble gradigitan objekton el C • .
Por ricevi la duan ordigon, ni prenos la rilatan gradigitan objekton kun respekto al la filtrado.
Ni skribos ĝin en nekutima maniero kiel kiu estos pravigita ĉe la E kun nombro paŝo:
#000048
De kiam ni supozis ke la limmapo estis kongrua kun la filtrado, E 0 estas duoble gradigita objekto kaj ekzistas nature duoble gradigita limmapo d 0 sur E 0.
Por ricevi E kun nombron , ni prenas la homologion de E 0.
#000049
kaj tion ni tiam havas
#000050
En aliaj vortoj, la spektra sekvenco devus kontentigi
#000051
kaj ni devus havi la rilaton
#000052
Por tio por soni racie, ni devas trovi diferencigan dr sur ĉiu Er kaj konfirmi ke ĝi kondukas al homologio izomorfa al Er 1 .
#000053
Estas rekte antaŭen kontroli ke la homologio de Er kun respekto al tiu diferencialo estas Er 1 , tiel ke tio donas spektran sekvencon.
Bedaŭrinde, la diferencialo ne estas tre eksplicita.
Determini diferencialojn aŭ trovi manierojn labori ĉirkaŭ ili estas la unu el ĉefdefioj al sukcese uzado de spektra sekvenco.
#000054
La spektra sekvenco de duobla komplekso
#000055
Alia komuna spektra sekvenco estas la spektra sekvenco de duobla komplekso.
Duobla komplekso estas kolekto de objektaj Cio, j por ĉiuj entjeroj mi kaj j kune kun du diferencialoj, d I kaj d II .
d I estas supozita al malkresko mi, kaj d II estas supozita malpliigi j.
Ni faros tion filtrante nian duoblan komplekson laŭ du malsamaj manieroj.
#000056
Por ricevi spektran sekvencon, ni maldikiĝos al la antaŭa ekzemplo.
Tio estas komplekso ĉar d I kaj d II estas kontraŭnavedaddiferencialoj.
La du filtradoj sur Cio, j donas du filtradojn sur la totala komplekso:
#000057
Por montri ke tiuj spektraj sekvencoj donas informojn pri la ripetitaj homologioj, ni laboros la E 0, E 1, kaj E 2 esprimojn de la I filtrado pri T ( C • , • ).
La E kiun 0 esprimo estas klara:
#000058
Por trovi al la E 1 esprimon, ni devas determini d I + d II sur E 0.
Rimarku ke la diagnozalternativo havendaĵo gradon −1 kun respekto al n, tiel ke ni ricevas mapon
#000059
Sekve, la diagnozalternativo sur E0 estas la mapo C p, q → C da p, q −1 induktis de d I + d II .
Sed d I havas la malĝustan gradon por indukti tian mapon, tiel ke d mi devas esti nul sur E 0.
Tio signifas ke la diagnozalternativo estas sama d II , tiel ke ni venas
#000060
Por trovi E2 , ni devas determini
#000061
Ĉar E 1 estis samaj la homologio kun respekto al d II , d II estas nul sur E 1.
#000062
Uzi la alian filtradon donas al ni al 2 esprimo: malsaman spektran sekvencon E
#000063
Kiun restaĵoj devas trovi rilaton inter tiuj du spektraj sekvencoj.
Ĝi turnos ke kiel r pliiĝoj, la du sekvencoj iĝos sufiĉe similaj por permesi utilajn komparojn.
#000064
En la elementa ekzemplo kun kiu ni komencis, la tukoj de la spektra sekvenco estis konstantaj post kiam r estis almenaŭ 1-a En tiu aranĝo kiun ĝi giveas al opinio por preni la limon de la sekvenco de tukoj: Ĉar nenio okazas post la zerottuko, al la limiga tavolo E ∞ estas la sama kiel E 1.
#000065
En pli ĝeneralaj situacioj, limigi tukojn ofte ekzistas kaj ĉiam estas interesaj.
Ili estas unu el la plej potencaj aspektoj de spektraj sekvencoj.
#000066
La p indikas la filtradindekson.
#000067
Ni difinas konverĝon en laŭ la saman manieron kiel antaŭe, sed ni skribas
#000068
La plej simpla situacio en kiu ni povas determini konverĝon estas kiam la spektraj sekvencoj degeneras.
Ni diras ke la spektraj sekvencoj degeneras ĉe tuko r se, por iu s ≥ r, la diferencigaj d estas nul.
Tio implicas tion Er ≅ E r +1 ≅ E r +2 ≅ ...
Speciale, ĝi implicas ke Er estas izomorfa al E ∞.
Tio estas kio okazis en nia unua, sensignifa ekzemplo de nefiltrita ĉenkomplekso: La spektra sekvenco degeneris ĉe la unua tuko.
Ĝenerale, se duoble gradigita spektra sekvenco estas nul ekstero da horizontala aŭ vertikala strio, la spektra sekvenco degeneros, ĉar pli postaj diagnozalternativoj ĉiam iros al aŭ de objekto ne en la strio.
#000069
Se p 0 kaj q 0 povas esti elektita por esti nul, tio estas nomita unuakvadranta spektra sekvenco.
Tiu sekvenco konverĝas ĉar ĉiu objekto estas fiksan distancon fore de la rando de la ne-nula regiono.
pli vide, la diferencialo forlasas la kvadranton kie la esprimoj estas nonzeroj.
La spektra sekvencbezono ne degeneras, aliflanke, ĉar la diferencialmapoj eble ne ĉio estas nul tuj.
#000070
La kvin-perioda preciza sekvenco de spektra sekvenco rakontas certajn malalt-gradajn esprimojn kaj E ∞ esprimojn.
#000071
La spektra sekvenco de filtrita komplekso, daŭris
#000073
Ni povas demandi kio okazas se ni difinas
#000075
Konverĝo ne estas aŭtomata, sed okazas en multaj kazoj.
Aparte, se la filtrado estas finhava kaj konsistas el precize r nesensignifaj ŝtupoj, tiam la spektra sekvenco degeneras post la r't tuko.
Konverĝo ankaŭ okazas se la komplekso kaj la filtrado estas ambaŭ saltis malsupre aŭ ambaŭ saltis supre.
#000076
Priskribi la abutmenton de nia spektra sekvenco en pli da detalo, rimarkas ke ni havas la formulojn:
#000077
(C^\bul) tio estas, la abutmento de la spektra sekvenco estas la p't gradigis parton de la p+q't homologio de C.
Se nia spektra sekvenco konverĝas, tiam ni finas tion:
#000078
Uzante la spektran sekvencon de filtrita komplekso, ni povas derivi la ekziston de longaj precizaj sekvencoj.
Elektu mallongan precizan sekvencon de koĉenkompleksoj 0 → A • → B • → C • → 0, kaj voku la unuan mapon f • :
Ni ricevas naturajn mapojn de homologiobjektoj Hn ( A •
Hn ( C • ), kaj ni scias ke tio estas preciza en la mezo.
Ni uzos la spektran sekvencon de filtrita komplekso trovi la konektadon homomorfism kaj por pruvi ke la rezulta sekvenco estas preciza.
Por komenci, ni filtras B • :
#000079
La diferencialo havas bigradon (1, 0), tiel d0, q :
Tiuj estas la devontigaj homomorfismoj de la serpentlemo, kaj kune kun la mapoj A • → B • → C • , ili donas sekvencon:
#000080
Ĝi restas montri ke tiu sekvenco estas preciza ĉe la A kaj C punktoj.
Rimarkas ke tiu spektra sekvenco degeneras ĉe la E 2 esprimon ĉar la diagnozalternativoj havas bigradon (2, −1).
Sekve, la E 2 esprimon estas la sama kiel la E ∞ periodo:
#000081
Sed ni ankaŭ havas rektan priskribon de la E 2 esprimo kiel la homologio de la E 1 esprimo.
Tiuj du priskriboj devas esti izomorfaj:
#000082
La antaŭa elastecprecizeco ĉe la C punkto, kaj ĉi-lasta elastecprecizeco ĉe la A punkto.
#000083
La spektra sekvenco de duobla komplekso, daŭris
#000084
Ĝenerale, the two gradings on Hp+q (T (C • , • ) are distinct.
Malgraŭ tio, estas daŭre eble gajni utilajn informojn el tiuj du spektraj sekvencoj.
#000086
Lasu R esti ringo, lasis M esti dekstra R-modulo kaj N maldekstron R-module.
Revoko ke la derivitaj funktoroj de la tensorprodukto estas indikita Monto.
Monto estas difinita utiligante projekcian rezolucion de sia unua argumento.
Tamen, ĝi turnas tiun Monton mi ( M, N) = Monto mi ( N, M).
Dum tio povas esti konfirmita sen spektra sekvenco, ĝi estas facilega kun spektraj sekvencoj.
#000087
Elektu projekciajn rezoluciojn P • kaj Q • de M kaj N, respektive.
Konsideru tiujn kompleksojn kiuj malaperas en negativa grado havanta diferencialojn d kaj e, respektive.
Ni povas konstrui duoblan komplekson kies kondiĉoj estas Cio, j = Pin ⊗ Qj kaj kies diferencialoj estas d ⊗ 1 kaj (−1) mi (1 ⊗ e).
(La faktoro da −1 estas tiel ke la diagnozalternativantikomute.
Ĉar projekciaj moduloj estas plataj, preni la tensorprodukton per projekcia modulo navedas kun prenado de homologio, tiel ke ni venas:
#000088
Ĉar la du kompleksoj estas rezolucioj, ilia homologio malaperas ekstere de grado nul.
En grado nul, ni estas forlasitaj kun
#000089
Tio implicas ke la spektra sekvenco degeneras ĉe la dua tuko, tiel ke la E ∞ esprimoj estas izomorfaj al la E 2 esprimoj:
#000090
Finfine, kiam p kaj q estas egalaj, la du dekstraj flankoj estas egalaj, kaj la komuteco de Tor sekvas.
#000091
Kelkaj rimarkindaj spektraj sekvencoj estas:
#000092