En matematiko, konforma geometrio estas la studo de la aro de angul-marinadaj ( konformaj) transformoj sur spaco.
En du reala grandeco, konforma geometrio estas ĝuste la geometrio de Riemann-facoj.
Enen pli ol du dimensioj, konforma geometrio povas rilati aŭ al la studo de konformaj transformoj de "plataj" spacoj (kiel ekzemple eŭklidaj spacoj aŭ sferoj), aŭ, pli ofte, al la studo de konformaj duktoj, kiuj estas Riemanianaj aŭ pseŭdo-Riemannian duktoj kun klaso de metriko kiuj estas difinitaj supren por skali.
Studo de la plataj strukturoj foje estas nomita Möbius-geometrio, kaj estas speco de Klein-geometrio.
#000001
Du dimensioj 2.1.1 Minkowski plane
#000002
Konforma dukto estas diferencialdukto provizita per ekvivalentklaso de (pseudo- -) Riemanianaj metrikaj tensoroj, en kiuj du metriko g kaj h estas ekvivalentaj se kaj nur se
#000003
kie λ estas real-aprezita glata funkcio difinita sur la dukto.
Ekvivalentklaso de tiaj metriko estas konata kiel konforma metrika aŭ konforma klaso.
Tiel, konforma metriko povas esti rigardita kiel metriko kiu estas nur difinita "supren por skali".
Ofte konformaj metriko estas traktitaj selektante metrikon en la konforma klaso, kaj aplikante nur "konforme senvariajn" konstruojn al la elektita metriko.
#000004
Konforma geometrio havas kelkajn ecojn kiuj distingas ĝin de (pseudo -) rimana geometrio.
La unua estas ke kvankam en (pseudo -) rimana geometrio oni havas klare difinitan metrikon ĉe ĉiu punkto, en konforma geometrio oni nur havas klason de metriko.
Tiel la longo de klavvektoro ne povas esti difinita, sed la angulo inter du vektoroj daŭre povas.
Alia trajto estas ke ekzistas neniu Levi-Civita ligo ĉar se g kaj λ 2 g estas du reprezentantoj de la konforma strukturo, tiam la Christoffel-simboloj de g kaj λ 2 g ne konsentus.
Tiuj asociitaj kun λ 2 g implikus derivaĵojn de la funkcio λ dum tiuj asociitaj kun g ne faris.
#000006
Malgraŭ tiuj diferencoj, konforma geometrio daŭre estas akordiĝema.
La Levi-Civita ligo kaj kurbiĝtensoro, kvankam nur estante difinitaj post kiam akurata reprezentanto de la konforma strukturo estis elamasigitaj, kontentigas certajn transformleĝojn implikantajn la λ kaj ĝiajn derivaĵojn kiam malsama reprezentanto estas elektita.
Aparte, (en dimensio pli alta ol 3) la Weyl-tensoro manifestas ne por dependi de λ, kaj tiel ĝi estas konforma Invarianto.
Krome, eĉ se ekzistas neniu Levi-Civita ligo sur konforma dukto, oni povas anstataŭe labori kun konforma ligo, kiu povas esti pritraktita aŭ kiel speco de Cartan-ligo formita laŭ la rilata Möbius-geometrio, aŭ kiel Weyl-ligo.
Tio permesas unun por difini konforman kurbiĝon kaj aliajn Invariantojn de la konforma strukturo.
#000007
Möbius-geometrio estas la studo de " eŭklida spaco kun punkto aldonita ĉe senfineco", aŭ " Minkowski (aŭ pseŭdo-Eŭklida) spaco kun nulkonuso aldonite ĉe senfineco".
Tio estas, la scenaro estas Kompaktigo de konata spaco;
la geometrio temas pri la implicoj de konservado de anguloj.
#000008
Sur abstrakta nivelo, la Eŭklida kaj pseŭd-eŭklidaj spacoj povas esti pritraktitaj laŭ multe lasama maniero, krom koncerne dimension du.
La kompaktifieita dudimensia Minkowski-aviadilo ekspozicias ampleksan konforman simetrion.
Formale, ĝia grupo de konformaj transformoj estas senfin-dimensia.
Kompare, la grupo de konformaj transformoj de la kompaktifieita Eŭklida aviadilo estas nur 6-dimensia.
#000009
La konforma grupo por la Minkowski kvadratforma q ( x, y
2xy en la aviadilo estas la abela Mensoggrupo
#000010
kun Lie-algebro cso (1, 1) konsistas el ĉiuj reala diagonalo 2 × 2 matricoj.
#000011
1-parametrogrupo de konformaj transformoj kaŭzas vektoran kampon X kun la posedaĵo kiu la Lie-derivaĵo de g laŭ X estas proporcia al g.
#000013
LXg = λg for some λ.
#000014
Aparte, utiligante ĉi-supran priskribon de la Lie-algebro cso (1, 1), tio implicas tion
#000015
por kelkaj real-aprezitaj funkcioj a kaj b dependado, respektive, sur x kaj y.
#000016
Inverse, surbaze de eventuala tia paro de real-aprezitaj funkcioj, tie ekzistas vektora kampo Xa kontentigado 1-a kaj 2-a Tial la Lie-algebro de infinitezimalaj simetrioj de la konforma strukturo, la Witt-algebro, estas senfin-dimensiaj.
#000017
La konforma Kompaktigo de la Minkowski-ebeno estas karteza produkto de du cirkloj S 1 × S 1 .
Sur la universala kovro, ekzistas neniu obstrukco al integrado de la infinitezimalaj simetrioj, kaj tiel la grupo de konformaj transformoj estas la senfin-dimensia Mensoggrupo
#000018
kie Diff ( S 1) estas la difeomorfismogrupo de la cirklo.
#000019
La konforma grupo CSO (1, 1) kaj ĝia Lie-algebro estas de aktuala interezo en konforma kampa teorio.
#000020
La grupo de konformaj simetrioj de la kvadrata formo
#000021
Pripensu la (Eŭklidan) kompleksan ebenon provizitan per la metriko
#000023
La infinitezimalaj konformaj simetrioj kontentigas
#000024
kie f kontentigas la Cauchy-Riemann ekvacion, kaj tiel estas holomorfa super sia domajno.
#000025
La konformaj izometrioj de domajno tial konsistas el holomorfaj mem-mapoj.
Aparte, sur la konforma Kompaktigo - la Riemann-sfero - la konformaj transformoj ricevas per la transformo de Möbius
#000026
kie anonc − bc estas nonzero.
#000027
En du dimensioj, la grupo de konformaj aŭtomorfismoj de spaco povas esti tre granda (kiel en la kazo de Lorentziana signaturo) aŭ varia (kiel kun la kazo de Eŭklida signaturo).
La relativa manko de rigideco de la dudimensia kazo kun tiu de pli alta grandeco ŝuldas al la analiza fakto ke la asimptotaj evoluoj de la infinitezimalaj aŭtomorfismoj de la strukturo estas relative senafektaj.
En Lorentziana signaturo, la libereco estas en paro de reala aprezita funkcioj.
En Eŭklida, la libereco estas en ununura holomorfa funkcio.
#000028
Koncerne pli altan grandecon, la asimptotaj evoluoj de infinitezimalaj simetrioj estas maksimume kvadrataj polinomoj.
Aparte, ili formas finhav-dimensian Lie-algebron.
La punktmaniero infinitezimalaj konformaj simetrioj de dukto povas esti integritaj ĝuste kiam la dukto estas certa modelo konforme plata spaco ( supren al prenado de universalaj kovroj kaj diskretgrupaj kvocientoj).
#000029
La ĝenerala teorio de konforma geometrio estas simila, kvankam kun kelkaj diferencoj, rilate al Eŭklida kaj pseŭd-eŭklida signaturo.
En ambaŭ kazoj, ekzistas kelkaj manieroj lanĉi la modelspaco de konforme plata geometrio.
Se alie klare de la kunteksto, tiu artikolo ne traktas la kazon de Euclidean konforma geometrio kun la kompreno kiun ĝi ankaŭ aplikas, mutatis mutandis , al la pseŭd-eŭklida situacio.
#000030
La inversiva modelo de konforma geometrio konsistas el la grupo de lokaj transformoj sur la eŭklida spaco E n generita per inversio en sferoj.
De la teoremo de Liouville, ĉiu angul-marinada loka (konforma) transformo estas de tiu formo.
De tiu perspektivo, la transformtrajtoj de plata konforma spaco estas tiuj de inversiva geometrio.
#000031
La projekcia modelo identigas la konforman sferon kun certa Kvadriko en projekcia spaco.
Lasu q indiki la Lorentzianan kvadratan formon sur R da n +2 difinite per
#000032
En la projekcia regiono P ( R da n +2), lasis S esti la lokuso de q = 0.
Tiam S estas la projekcia (aŭ Möbius) modelo de konforma geometrio.
Konforma transformo sur S estas projekcia lineartransformo de P ( R da n +2) kiu lasas la Kvadrikon senvaria.
#000033
En rilata konstruo, la Kvadriko S estas opiniita de kiel la ĉielosfero ĉe senfineco de la nulkonuso en la spaco de Minkowski R da n +1, 1 , kiu estas provizita per la kvadrata formo q kiel supra.
La nulkonuso estas difinita per
#000034
Tio estas la afina konuso pli ol la projekcia Kvadriko S.
Lasu N + esti la estonta parto de la nulkonuso (kun la origino forigita).
→ P ( R da n +2) limigas al projekcio N + → S .
Tio evoluas al N + la strukturon de liniofasko pli ol S.
Konformaj transformoj sur S estas stimulitaj per la orthochronozaj lorencaj transformoj de R da n +1, 1 , ĉar tiuj estas homogenaj lineartransformoj konservantaj la estontan nulkonuson.
#000035
Intuicie, la konforme plata geometrio de sfero estas malpli rigida ol la rimana geometrio de sfero.
Konformaj simetrioj de sfero estas generitaj per la inversio en ĉiuj ĝiaj hipersferoj.
Aliflanke, Riemanianaj izometrioj de sfero estas generitaj per inversioj en geodeziaj hipersferoj (vidu la Cartan-Dieudonné-teoremon.
La Eŭklida sfero povas esti mapita al la konforma sfero en kanonika maniero, sed ne inverse.
#000036
La Eŭklida unuobla pilko estas la lokuso en R da n +1
#000037
Tio povas esti mapita al la spaco de Minkowski R da n +1,1 per lasado
#000038
Vidiĝas volonte ke la bildo de la sfero sub tiu transformo estas nulo en la spaco de Minkowski, kaj tiel ĝi kuŝas sur la konuso da N +.
Sekve, ĝi determinas sekcon de la liniofasko N + → S .
#000039
Se κ ( x) estas ajna pozitiva funkcio de x
x n ), tiam la tasko
#000040
ankaŭ donas mapadon en N +.
La funkcio κ estas arbitra elekto de konforma skalo.
#000041
Reprezentanto Riemannian metrika sur la sfero estas metriko kiu estas proporcia al la norma sfermetriko.
Tio donas realigon de la sfero kiel konforma dukto.
La normsfermetriko estas la limigo de la Eŭklida metriko sur R da n +1
#000042
Konforma reprezentanto de g estas metriko de la formo λ 2 g, kie λ estas pozitiva funkcio sur la sfero.
La konforma klaso de g, indikis [ g], estas la kolekto de tute tiaj reprezentantoj:
#000043
Enkonstruado de la Eŭklida sfero en N +, kiel en la antaŭa sekcio, determinas konforman skalon sur S.
Inverse, ĉiu konforma skalo sur S ricevas per tia enkonstruadon.
Tiel la liniofasko N + → S estas identigita kun la fasko de konformaj skvamoj sur S: doni sekcion de tiu fasko estas identa al precizigado de metriko en la konforma klaso [ g].
#000044
Alia maniero realigi la reprezentajn metrikon estas tra speciala koordinatsistemo sur R da n +1, 1 .
Supozu ke la Eŭklida n-sfera S portas stereografan koordinatsistemon.
Tio konsistas el la sekva mapo de R da n → S ⊂ R da n +1 :
#000045
Laŭ tiuj stereografaj koordinatoj, estas eble doni koordinatsistemon sur la nulkonuso da N + en spaco de Minkowski.
Uzante la enkonstruadon surbaze de supra, la reprezenta metrika sekcio de la nulkonuso estas
#000046
Lanĉi novan varian t egalrilatantan al dilatiĝoj supren N +, tiel ke per la nulkonuso estas kordinigita
#000047
Finfine, lasis ρ esti la sekva difina funkcio de N +:
#000048
En la t, ρ, y koordinatoj sur R da n +1,1 , la Minkowski-metriko prenas la formon:
#000049
kie g ij estas la metriko sur la sfero.
#000050
El tiuj esprimoj, sekcio de la fasko N + konsistas el specifo de la valoro de la varia t = t ( y mi ) kiel funkcio de la y mi laŭ la nulkonuso
Tio donas la sekvan reprezentanton de la konforma metriko sur S:
#000051
Pripensu unue la kazon de la plata konforma geometrio en Eŭklida signaturo.
La n-dimensia modelo estas la ĉielosfero de la ( n + 2) - dimensia Lorentziana regiono R da n +1,1.
Ĉi tie la modelo estas Klein-geometrio: homogena regiono G / H kie G = TIEL ( n + 1, 1) reaganta al la ( n + 2) - dimensia Lorentziana regiono R da n +1,1 kaj H estas la izotropecgrupo de fiksa nulradio en la lumkonuso.
Tiel la konforme plataj modeloj estas la spacoj de inversiva geometrio.
Por pseŭdo-Eŭklida de metrika signaturo ( p, q), la modela platgeometrio estas difinita analoge kiel la homogena regiono O ( p + 1, q + 1)/ H , kie H denove estas manĝita kiel la stabiligilo de nullinio.
Notu ke kaj la Eŭklida kaj pseŭd-eŭklidaj modelspacoj estas kompaktaj.
#000052
Priskribi la grupojn kaj algebrojn implikitajn en la plata modelspaco, fiksas la sekvan formon sur R da p +1, q +1 :
#000053
kie J estas kvadrata formo de signaturo ( p, q).
Tiam G = O ( p + 1, q + 1) konsistas el ( n + 2) × ( n + 2) matricoj stabiligante Q:
#000054
Alternative, tiu putriĝo konsentas kun natura Lie-algebrostrukturo difinita sur R da n ⊕ cso ( p, q
#000055
La stabiligilo de la nulradio indikanta supren la laste kunordigas vektoron ricevas per la Borel-subalgebro
#000056