La rubando de Möbius aŭ Möbius-grupo ( / ˈ m
, ankaŭ literumis Mobius aŭ Moebius, estas surfaco kun nur unu flanko (kiam enkonstruite en tridimensia eŭklida spaco) kaj nur unu limo.
La rubando de Möbius havas la matematikan posedaĵon de esti unorientabla.
Ĝi povas esti realigita kiel regata surfaco.
Ĝi estis malkovrita sendepende fare de la germanaj matematikistoj August Ferdinand Möbius kaj Johann Benedict Listing en 1858.
#000001
Ekzemplo de rubando de Möbius povas esti kreita prenante paperstrieton kaj donante al ĝi duon-tordaĵon, kaj tiam interligantan la finojn de la strio por formi buklon.
Tamen, la rubando de Möbius ne estas surfaco de nur unu preciza grandeco kaj formo, kiel ekzemple la duon-tordita paperstrieto prezentita en la ilustraĵo.
Prefere, matematikistoj rilatas al la fermita Möbius-grupo ĉar ĉiu surfaco kiu estas homeomorfa al tiu strio.
Ĝia limo estas simpla fermita kurbo, t.e., homeomorfa al cirklo.
Tio enkalkulas tre vasta gamo de geometriajn versiojn de la Möbius-grupo kiel surfacoj ĉiun havante definitivan grandecon kaj formon.
Ekzemple, ĉiu rektangulo povas esti gluita al si mem (identigante unu randon kun la kontraŭrando post ĉesigo de orientiĝo) por fari Möbius-grupon.
Kelkaj el tiuj povas esti glate modeligitaj en eŭklida spaco, kaj aliaj ne povas.
#000002
Duon-tordaĵo dekstrume donas enkonstruadon de la rubando de Möbius diferenca de tiu de duon-tordaĵo maldekstrume - t.e., kiel integriĝinta objekto en eŭklida spaco, la rubando de Möbius estas kirala objekto kun dekstra- aŭ Maldekstramanulo.
Tamen, la subestaj topologiaj spacoj ene de la rubando de Möbius estas homeomorfaj en ĉiu kazo.
Senfina nombro da topologie malsamaj enkonstruadoj de la sama topologia spaco en tri-dimensian spacon ekzistas, ĉar la rubando de Möbius ankaŭ povas esti formita tordante la strion nepara nombro da tempoj pli grandaj ol unu, aŭ per nodado kaj tordado de la strio, antaŭ interligado de siaj finoj.
La kompleta sincera Möbius-grupo estas ekzemplo de topologia surfaco kiu estas proksime rilatita al la norma rubando de Möbius, sed tio ne estas homeomorfa al ĝi.
#000003
Trovi algebrajn ekvaciojn estas simpla, kies solvoj havas la topologion de rubando de Möbius, sed ĝenerale, tiuj ekvacioj ne priskribas la saman geometrian formon kiun tiu unu iĝas de la perversa papermodelo priskribita supre.
Aparte, la perversa papermodelo estas evoluigebla surfaco, havante nul Gaŭsian kurbiĝon.
Sistemo de diferencial-algebraj ekvacioj kiu priskribas modelojn de tiu tipo estis publikigita en 2007 kune kun sia nombra solvo.
#000004
La Euler karakteriza por la rubando de Möbius estas nul.
#000005
2 Geometrio kaj topologio 2.1
Plej vasta izometra enkonstruante en 3-spaca
#000006
Plej vasta izometra enkonstruante en 3-spaca
#000007
La rubando de Möbius havas plurajn scivolemajn trajtojn.
Linio tirita komencanta de la junto laŭ la mezo renkontas reen ĉe la junto, sed ĉe la alia flanko.
Se daŭrigite, la linio renkontas la deirpunkton, kaj estas duobla la daŭro de la origina strio.
Tiu ununura kontinua kurbo montras ke la rubando de Möbius havas nur unu limon.
#000008
Tranĉante rubandon de Möbius laŭ la centrolinio kun tondilo rendimentoj unu longan strion kun du plenaj tordaĵoj en ĝi, prefere ol du apartaj strioj;
la rezulto ne estas rubando de Möbius.
Tio okazas ĉar la origina strio nur havas unu randon kiu estas dufoje tiel longe kiel la origina strio.
Tondado kreas duan sendependan randon, la duono de kiu estis sur ĉiu flanko de la tondilo.
Tranĉante tiun novan, pli longe, strio laŭ la mezo kreas du striptizvundon ĉirkaŭ unu la alian, ĉiu kun du plenaj tordaĵoj.
#000009
Se la strio estas enmetita laŭ proksimume triono de la vojo de la rando, ĝi kreas du striojn: oni estas pli maldika rubando de Möbius - ĝi estas la centrotriono de la origina strio, konsistante el unu-triono de la larĝo kaj la sama longo kiel la origina strio.
La alia estas pli longa sed maldika strio kun du plenaj tordaĵoj en ĝi - tio estas najbareco de la rando de la origina strio, kaj ĝi konsistas el unu-triono de la larĝo kaj dufoje el la daŭro de la origina strio.
#000010
Aliaj analogaj strioj povas esti akiritaj simile interligante striojn kun du aŭ pli da duon-tordaĵoj en ili anstataŭe de unu.
Ekzemple, strio kun tri duon-tordaĵoj, se disigite laŭlonge, iĝas tordita strio ligis en trifolionodo.
(Se tiu nodo estas malimplikita, la strio havas ok duon-tordaĵojn.
Strio kun N duon-tordas, kiam bisekcite, iĝas strio kun N + 1 plenaj tordaĵoj.
Donante ĝi ekstraj tordaĵoj kaj religi la finojn produktas figurojn nomitajn paradromic-ringoj.
#000011
Unudirekta reprezenti la rubandon de Möbius kiel subaro de tridimensia eŭklida spaco uzas la parametrigon:
#000012
Tio kreas rubandon de Möbius de larĝo 1 kies centrocirklo havas radiuson 1, mensogojn en la ksy aviadilo kaj estas centrita ĉe (0, 0, 0).
La parametro u kuras ĉirkaŭ la strio dum v moviĝas de unu rando al la aliaj.
#000013
En cilindraj polaraj koordinatoj ( r, θ, z), nelimigita versio de la rubando de Möbius povas esti reprezentita per la ekvacio:
#000014
Se glata rubando de Möbius en tri-spaca estas rektangula unu - t.e., kreita de identigado du kontraŭ flankoj de geometria rektangulo kun fleksado sed ne etendado de la surfaco - tiam tia enkonstruado povas esti ebla se la bildformato de la rektangulo estas pli bonega ol la kvadrata radiko de tri.
(Noto la pli mallongaj flankoj de la rektangulo estas identigitaj por akiri la rubandon de Möbius.
Por bildformato malpli ol aŭ egala al la kvadrata radiko de tri, aliflanke, glata enkonstruado de rektangula rubando de Möbius en tri-spaca povas esti malebla.
#000015
Ĉar la bildformato aliras la limigan rilatumon de √ 3 de supre, eventuala tia rektangula rubando de Möbius en tri-spaca ŝajnas aliri formon kiu en la limo povas esti opiniita de kiel strio de tri egallateraj trianguloj, faldis unu aldone al la alia tiel ke ili okupas nur unu egallateran triangulon en tri-spaca.
#000016
Se la rubando de Möbius en tri-spaca estas nur unufoje ade diferenciebla (en simboloj:
C1), aliflanke, tiam la teoremo de Nash-Kuiper montras ke neniu pli malalta saltego ekzistas.
#000017
Metodo de igado de rubando de Möbius de rektangula strio tro larĝa por simple tordi kaj interligi (ekz., rektangulo nur unu ekzempleron longan kaj unu ekzempleron larĝa) estas al unua faldo la larĝa direkto malantaŭa kaj antaŭen uzante paran nombron da faldoj - "akordionofaldo" - tiel ke la faldita strio iĝas sufiĉe mallarĝa ke ĝi povas esti tordita kaj akompanita, multe kiam ununura long-sufiĉa strio povas esti enirita.
Kun du faldoj, ekzemple, 1 × kiun 1 strio konvenus 1-× 1⁄3 faldis strion kies sekco estas en la formo de "N" kaj restus "N" post duon-tordaĵo.
Tio faldis strion, tri fojojn tiel longe kiel ĝi estas larĝa, estus sufiĉe longa por tiam interligi ĉe la finoj.
Tiu metodo laboras en principo, sed iĝas nepraktika post sufiĉe multaj faldoj, se papero estas utiligita.
Utiligante normalan paperon, tiu konstruo povas esti faldita apartamento, kun ĉiuj tavoloj de la papero en ununura ebeno, sed matematike, ĉu tio estas ebla sen etendado de la surfaco de la rektangulo estas ne klara.
#000018
Topologie, la rubando de Möbius povas esti difinita kiel la kvadrata [0, 1] × [0, 1] kun it pinto kaj malsupraj flankoj identigitaj fare de la rilato ( x, 0) (1 − x, al 1) por 0 ≤ x ≤ 1, kiel en la diagramo dekstraflanke.
#000019
Malpli uzita prezento da la rubando de Möbius estas kiel la topologia kvociento de Toro.
Toro povas esti konstruita kiel la kvadrata [0, 1] × [0, 1] kun la randoj identigitaj kiel (0, y) (1, y) (gluo de maldekstre al dekstre) kaj ( x, 0) ~ ( x, 1) (gluofundo por pinti).
Se oni tiam ankaŭ identigis ( x, y
y, x), tiam unu akiras la rubandon de Möbius.
La diagonalo de la kvadrato (la punktoj ( x, x) kie kaj koordinatoj konsentas) iĝas la limo de la rubando de Möbius, kaj portas orbifoldostrukturon, kiu geometrie egalrilatas al "reflektado" - geodesics (aerlinioj) en la rubando de Möbius reflektas de la rando reen en la strion.
Notational, tio estas skribita kiel T2 / S2 - la 2-torus kvotienteita per la grupa ago de la simetria grupo en du leteroj (interŝanĝantaj koordinatojn), kaj ĝi povas esti opiniita de kiel la konfiguraciospaco de du neordigitaj poentoj sur la cirklo, eventuale la sama (la rando egalrilatas al la punktoj estantaj la sama), kie la Toro korespondas al du ordigitaj poentoj sur la cirklo.
#000020
La rubando de Möbius estas dudimensia kompaktdukto (t.e. surfaco) kun limo.
Ĝi estas normekzemplo de surfaco kiu ne estas orientebla.
Fakte, la rubando de Möbius estas la epitomo de la topologia fenomeno de nonorientabileco.
Tio estas ĉar dudimensiaj formoj (surfacoj) estas la plej malsupra-dimensiaj formoj por kiuj nonorientabileco estas ebla kaj la rubando de Möbius estas la nura surfaco kiu estas topologie subspaco de ĉiu nonorientabla surfaco.
Kiel rezulto, ĉiu surfaco estas nonorientabla se kaj nur se ĝi enhavas Möbius-grupon kiel subspaco.
#000021
La rubando de Möbius ankaŭ estas normekzemplo utiligita por ilustri la matematikan koncepton de fibrofasko.
Specife, ĝi estas nesensignifa fasko super la cirklo S 1 kun fibro la unuobla intervalo, mi = [0, 1].
Rigardi nur la randon de la rubando de Möbius donas al nesensignifa du poento (aŭ Z 2) faskon pli ol S 1.
#000022
Simpla konstruado de la rubando de Möbius kiu povas esti uzita portreti ĝin en komputila grafiko aŭ modeligi pakaĵojn estas:
#000023
Rotaciu ĝin ĉirkaŭ fikspunkto ne en ĝia aviadilo.
Ĉe ĉiu paŝo, ankaŭ rotacias la strion laŭ linio en ĝia aviadilo (la linio kiu disigas la strion en du) kaj perpendikularaj al la ĉefa enorbita radiuso.
La surfaco generita sur unu kompleta cirkulado estas la rubando de Möbius.
Prenu rubandon de Möbius kaj tranĉon ĝi laŭ la mezo de la strio.
Tio formas novan strion, kio estas rektangulo enirita rotaciante unu finon tutan turnon.
Tranĉante ĝin laŭ la mezo denove, tio formas du interligajn tut-turnajn striojn.
#000024
La sincera Möbius-grupo estas formita forigante la limon de la norma Möbius-grupo.
Ĝi estas konstruita el la aro S
de identigado (gluante) la punktoj (0, y) kaj (1, 1 − y) por ĉiu 0< y < 1.
#000025
Ĝi povas esti konstruita kiel surfaco de konstanta pozitivo, negativo, aŭ nul (Gaŭsian) kurbiĝo.
Rilate al negativo kaj nul kurbiĝo, la Möbius-grupo povas esti konstruita kiel (geodezie) kompleta surfaco, kio signifas ke ĉio geodesics ("aerlinioj" sur la surfaco) povas esti etendita senfine en ambaŭ indikoj.
#000026
La grupo de izometrioj de tiu Möbius-grupo estas 1-dimensia kaj estas izomorfa al la speciala ortogonala grupo TIEL (2).
#000028
Tio ankaŭ povas esti konstruita kiel kompleta surfaco, per komencado kun parto de la aviadilo R 2 difinite de 0 ≤ y ≤ 1 kaj identiĝado ( x, 0) kun (− x, 1) ĉar ĉio x en R (la realoj).
La rezulta metriko transformas la sinceran Möbius-grupon en (geodezie) kompletan platan surfacon (t.e., havante Gaŭsian kurbiĝon egala al 0 ĉie).
Tio estas la nura metriko sur la Möbius-grupo, ĝis unuforma malpliigo, kiu estas kaj plata kaj kompleta.
#000029
Möbius-grupo de konstantopozitiva kurbiĝo ne povas esti kompleta, ĉar estas konata ke la nuraj kompletaj surfacoj de konstantopozitiva kurbiĝo estas la sfero kaj la projekcia ebeno.
La projekcia ebeno P 2 el konstanta kurbiĝo +1 povas esti konstruita kiel la kvociento de la unuobla pilko S 2 en R 3 per la antipoda mapo A:
S 2 → S 2, difinita je A ( x, y, z
La sincera Möbius-grupo estas homeomorfa al la iam-trapikita projekcia ebeno, t.e., P 2 kun ĉiu poento forigis.
Tio povas esti opiniita da kiel la plej proksima kiun Möbius-grupo de konstantopozitiva kurbiĝo povas ricevi al esti kompleta surfaco: nur unu poento for.
#000030
La grupo de izometrioj de tiu Möbius-grupo ankaŭ estas 1-dimensia kaj izomorfa al la ortogonala grupo O (2).
#000031
La grupo de bijektive lineartransformoj Gl (2, R) de la ebeno al si mem (realo 2 × 2 matricoj kun ne-nula determinanto) kompreneble induktas ensurĵetojn de la spaco de linioj en la ebeno al si mem, kiuj formas grupon de mem-homeomorfioj de la spaco de linioj.
Tial la sama grupo formas grupon de mem-homeomorfioj de la Möbius-grupo priskribitaj en la antaŭa paragrafo.
Sed ekzistas neniu metriko sur la spaco de linioj en la aviadilo kiu estas senvaria sub la ago de tiu grupo de homeomorfioj.
En tiu signifo, la spaco de linioj en la aviadilo havas neniun naturan metrikon sur ĝi.
#000033
Tio signifas ke la Möbius-grupo posedas naturan 4-dimensian Mensoggrupon de mem-homeomorfioj, donitaj fare de Gl (2, R), sed tiu alta grado da simetrio ne povas esti ekspoziciita kiel la grupo de izometrioj de iu metriko.
#000034
La rando, aŭ limo, de rubando de Möbius estas homeomorfaj (topologie ekvivalento) al cirklo.
Sub la kutimaj enkonstruadoj de la strio en eŭklida spaco, ĉar supra, la limo ne estas vera cirklo.
Tamen, estas eble enkonstrui rubandon de Möbius en tri dimensioj tiel ke la limo estas perfekta cirklo kuŝanta en iu aviadilo.
Ekzemple, vidas figurojn 307, 308, kaj 309 el "Geometrio kaj la fantazio".
#000035
Multe pli geometria enkonstruado komenciĝas kun minimuma botelo de Klein mergita en la 3-sfera, kiel malkovrite fare de Blaine Lawson.
Ni tiam prenu la duonon da tiu botelo de Klein por iĝi Möbius-grupon enkonstruite en la 3-sfera (la unuobla pilko en 4-spaca).
La rezulto foje estas nomita la "Sudanese Möbius Band", [10] kie "sudanano" rilatas ne al la lando Sudano sed al la nomoj de du pintologiistoj, Sue Goodman kaj Daniel Asimov.
Uza rektlinia sfera projekcio al la sudana grupo metas ĝin en 3-dimensian spacon, kiel povas esti vidita malsupre - versio pro George Francis povas esti trovita ĉi tie.
#000036
De la minimuma botelo de Klein de Lawson ni derivas enkonstruadon de la grupo en la 3-sferan S 3, rigardita kiel subaro de C 2, kiu estas geometrie la sama kiel R 4.
Ni mapas angulojn η, φ al kompleksaj nombroj z 1, z 2 per
#000037
Akiri enkonstruadon de la rubando de Möbius en R 3 unu mapojn S 3 al R 3 per rektlinia sfera projekcio.
La projekciopunkto povas esti ajna punkto sur S 3 kiu ne situas sur la integriĝinta rubando de Möbius (tio ekskludas ĉiujn kutimajn projekciopunktojn).
Rektliniaj sfera projekcioj mapas cirklojn al cirkloj kaj konservas la cirklan limon de la strio.
La rezulto estas glata enkonstruado de la rubando de Möbius en R 3 kun cirkla rando kaj neniuj mem-intersekciĝoj.
#000039
La sudana Möbius-grupo en la tri-sfera S 3 estas geometrie fibrofasko super ĉefcirklo, kies fibroj estas grandaj duoncirkloj.
La plej simetria bildo de rektlinia sfera projekcio de tiu grupo en R 3 estas ekhavita utiligante projekciopunkton kiu situas sur tiu ĉefcirklo kiu kuras tra la mezpunkto de ĉiu el la duoncirkloj.
Ĉiu elekto de tia projekciaj punktorezultoj en bildo kiu estas kongrua al iu alia.
Sed ĉar tia projekciopunkto situas sur la Möbius-grupo mem, du aspektoj de la bildo estas signife diferencaj de la kazo (ilustrita supre) kie la punkto ne estas sur la grupo: 1) la bildo en R 3 ne estas la plena Möbius-grupo, sed prefere la grupo kun unu poento forigis (de ĝia centra linio);
kaj 2) la bildo estas nelimigita - kaj kiam ĝi venas ĉiam pli longen de la origino de R 3, ĝi ĉiam pli alproksimiĝas al aviadilo.
Ankoraŭ tiu versio de la stereografa bildo havas grupon de 4 simetrioj en R 3 (ĝi estas izomorfa al la Klein 4-grupa), kiel komparite kun la saltita versio ilustrita super havado de sia grupo de simetrioj la unika grupo de ordo 2-a (Ĉu ĉiuj simetrioj kaj ne ĵus orientiĝ-marinadaj izometrioj de R 3 estas permesitaj, la nombroj da simetrioj en ĉiu kazo duobliĝas.
#000040
Sed la plej geometrie simetria versio de ĉiuj estas la origina sudana Möbius-grupo en la tri-sfera S 3, kie ĝia plena grupo de simetrioj estas izomorfa al la Lie-grupo O (2).
Havante senfinan kardinalecon (tiu de la kontinuumo), tio estas multe pli granda ol la geometria simetria grupo de iu ebla enkonstruado de la Möbius-grupo en R 3.
#000041
Proksime rilatita "stranga" geometria objekto estas la botelo de Klein.
Botelo de Klein povas esti produktita gluante du rubandon de Möbius kune laŭ iliaj randoj;
tio ne povas esti farita en ordinara tridimensia eŭklida spaco sen kreado de mem-intersekciĝoj.
#000042
Alia proksime rilata dukto estas la reela projekcia ebeno.
Se cirkla disko estas formtranĉita de la reela projekcia ebeno, kio estas lasita estas rubando de Möbius.
Irante en la alia direkto, se oni gluas diskon al rubando de Möbius identigante iliajn limojn, la rezulto estas la projekcia aviadilo.
Por bildigi tion, estas helpeme misformi la rubandon de Möbius tiel ke ĝia limo estas ordinara cirklo (vidu supre).
La reela projekcia ebeno, kiel la botelo de Klein, ne povas esti enkonstruita en tri-grandeca sen mem-intersekciĝoj.
#000043
En grafeteorio, la Möbius-ŝtupetaro estas kuba grafeo proksime rilatita al la rubando de Möbius.
#000044
Okazis pluraj teknikaj petskriboj por la rubando de Möbius.
Giganto kiun rubando de Möbius estis utiligitaj kiel transportbendoj kiuj daŭras pli longe ĉar la tuta surfacareo da la zono la saman kvanton de eluziĝo, kaj kiel kontinu-buklaj registradglubendoj (duobligos la ludotempon).
Rubando de Möbius estas oftaj en la fabrikado de ŝtofa komputilprintilo kaj inkobendoj, ĉar ili lasis la rubandon esti dufoje same larĝa kiel la presaĵkapo uzante ambaŭ duonojn egale.
#000046
La rubando de Möbius estas la konfiguraciospaco de du neordigitaj poentoj sur cirklo.
Sekve, en muzikteorio, la spaco de ĉiuj du-notaj kordoj, konataj kiel diadoj, prenas la formon de rubando de Möbius;
tio kaj ĝeneraligoj al pli da punktoj estas signifa apliko de orbifold'oj al muzikteorio.
#000048
Kompakta resonator kun resonancofrekvenco kiu estas duona kiu el idente konstruis liniajn volvaĵojn [19]
Superkondukantoj kun alta transirtemperaturo [21]
#000049
Molekulaj nodoj kun specialaj karakterizaĵoj (Knotane [2], Nememspegulsimetrieco)
Grafeno-volumeno (nano-grafito) kun novaj elektronikaj karakterizaĵoj, kiel helikforma magnetismo [23]
Ŝarĝitaj partikloj kaptitaj en la kampo de la tero kiu povas moviĝi sur Möbius-grupon
La ciklotajdo (cikla proteino) kalata B1, aktiva substanco de la planta Oldenlandia affinis, enhavas Möbius-topologion por la peptidspino.
#000050
En matematiko, la rubando de Möbius estas certa 2-dimensia dukto, tio estas, surfaco. Ĝi estas kompakta kaj ne-orientebla (sen malsamaj ena kaj ekstera flankoj) kun unu rando.
#000053
Aliaj rilatantaj ne-orienteblaj objektoj estas la botelo de Klein kaj la reela projekcia ebeno. Rilatantaj orienteblaj objektoj estas cilindro, sfero kaj toro. Rubando de Möbius kaj cilindro estas du dimensiaj surfacoj kun rando; botelo de Klein, reela projekcia ebeno, sfero kaj toro ne havas randon.
#000055
La figuro estas nomata laŭ matematikisto kaj astronomo August Ferdinand Möbius el Leipzig kiu en 1858 malkovris la figuron. Pli malpli samtempe, sed sendepende de Möbius la matematikisto kaj fizikisto Johann Benedict Listing el Göttingen ankaŭ malkovris la bendon.
#000056
Modelo de rubando de Möbius povas facile esti kreita per preno de papera rubando kaj gluo ĝin en ringon kun tordo de unu fino je duono de la plena cirklo (180 gradoj). En eŭklida spaco estas fakte du specoj de rubandoj de Möbius ekzistas dependante de la direkto de la tordo - laŭhorloĝnadla kaj kontraŭhorloĝnadla. La rubando de Möbius estas pro tio nememspegulsimetria.
#000057
Startu de kvadrato kaj tiam gluu kune respektivajn kolorigitajn randoj, tiel ke la sagoj kongruu. Rubando de Möbius estas priskribata kiel unuobla kvadrato ( [0,1] × [0,1] ) kun flankoj identigitaj per la rilatoj:
#000058
Ĉi tiu kvadrato estas fundamenta plurlatero de la rubando de Möbius.
#000059
Notu ke ĉi tio estas abstrakta gluado en topologia senco, por reala konstruado bezonatas longa mallarĝa rubando kaj ne kvadrato.
#000060
Eblas prezenti la rubandon de Möbius en tri-dimensia eŭklida spaco per jena parametrigo:
#000061
kie 0 ≤ u < 2π kaj -1 ≤ v ≤ 1. Ĉi tio kreas rubandon de Möbius de larĝo 1 kies centra cirklo havas radiuson 1, kuŝas en la xy ebeno kaj estas centrita je (0,0,0). La parametro u kuras ĉirkaŭ la rubando kaj v movas de unu rando al la alia.
#000062
En cilindraj polusaj koordinatoj (r,θ,z), nebarita versio de la rubando de Möbius povas esti prezentita per la ekvacio:
#000063
La rando de rubando de Möbius estas topologie ekvivalento al la cirklo. En la kutimaj enigoj de la rubando en Eŭklida spaco, kiel pli supre, ĉi tiu rando estas ne ordinara ebena cirklo. Tamen eblas al enigi rubando de Möbius en tri-dimensiojn tiel ke la rando estu cirklo, kaj la rezultanta figuro estas nomita kiel sudana rubando de Möbius.
#000064
Por vidi ĉi tion, unue konsideru enigon en la 3-sferon S4 konsideratan kiel subaro de R4. Parametrigo por ĉi tiu enigo estas
#000065
Ĉi tie estas uzata kompleksa skribmaniero kaj R4 estas kiel C2. La parametro kuras ekde 0 al π kaj kuras ekde 0 al 2π. Pro tio ke la enigita surfaco kuŝas tute sur S3. La rando de la rubando estas donita per (respektiva al ), kiu estas klare cirklo sur la 3-sfero.
#000066
Por ricevi enigo de la rubando de Möbius en R3 mapu S3 al R3 per rektlinia sfera projekcio. La projekcia punkto povas esti ĉiu punkto sur S3 kiu ne kuŝas sur la enigita rubando de Möbius (ĉi tio malebligas kutimajn projekciajn punktojn). Rektliniaj sferaj projekciaj mapaj cirkloj al cirkloj kaj konservas la cirklan randon de la rubando. La rezulto estas glata enigo de rubando de Möbius en R3 kun cirkla rando kaj ne sinsekcanta.
#000067