Wikipedia's Bivector as translated by GramTrans
#000000
En matematiko, bivektoro aŭ 2-vektoro estas kvanto en ekstera algebro aŭ geometria algebro kiu etendas la ideon de Skalaroj kaj vektoroj.
Se Skalaro estas konsiderita ordo nul kvanto, kaj vektoro estas ordo unu kvanto, tiam bivektoro povas esti opiniita de kiel estaĵo de ordo du.
Bivektoroj havas aplikojn en multaj lokoj de matematiko kaj fiziko.
Ili estas rilatitaj al kompleksaj nombroj en du dimensioj kaj al kaj pseŭdovektoroj kaj kvaropoj en tri dimensioj.
Ili povas esti uzitaj por generi rotaciojn en iu nombro da grandeco, kaj estas utila ilo por klasifikado de tiaj rotacioj.
Ili ankaŭ estas uzitaj en fiziko, ligante kune kelkajn alie senrilatajn kvantojn.
#000001
Bivectors estas generita per la ekstera produkto sur vektoroj: surbaze de du vektoroj a kaj b, ilia ekstera produkto ∧ b estas bivektoro, kiel estas la sumo de iu bivektors.
Ne ĉiuj bivektoroj povas esti generitaj kiel ununura ekstera produkto.
Pli ĝuste, bivektoro kiu povas esti esprimita kiam ekstera produkto estas nomita simpla;
en ĝis tri dimensioj ĉiuj bivektoroj estas simplaj, sed en pli alta grandeco tio ne estas la kazo.
La ekstera produkto de du vektoroj estas kontraŭkommutativa kaj alternanta, tiel ke b ∧ estas la negacio de la bivektoro ∧ b , produktante la kontraŭan orientiĝon, kaj ∧ estas la nul bivektoro.
#000002
Geometrie, simpla bivektoro povas esti interpretita kiel orientita aviadil segmento, multe kiam vektoroj povas esti opiniitaj de ĉar direktite linipartoj.
La bivektoro kiun ∧ b havas al magnitudklaso egala al la areo de la paralelogramo kun randoj a kaj b, havas la sintenon de la aviadilo enhavita per a kaj b, kaj havas orientiĝon estantan la senco de la rotacio kiu akordigus kun b.
#000003
En laikperiodoj, ĉiu surfaco estas la sama bivektoro, se ĝi havas la saman areon, saman orientiĝon, kaj estas paralela al la sama aviadilo (vidu figuron).
#000004
Geometria algebro kaj la geometria produkto
Rotacioj en pli alta grandeco
#000005
Geometria algebro kaj la geometria produkto
#000006
Rotacioj en pli alta grandeco
#000007
La bivektoro unue estis difinita en 1844 fare de germana matematikisto Hermann Grassmann en ekstera algebro kiel la rezulto de la ekstera produkto de du vektoroj.
Ĵus la antaŭan jaron, en Irlando, William Rowan Hamilton malkovris kvaropojn.
Daŭris ĝis angla matematikisto William Kingdon Clifford en 1888 aldonis la geometria produkto al la algebro de Grassmann, asimilante la ideojn de kaj Hamilton kaj Grassmann, kaj fondis Clifford-algebron, kiu la bivektoro ĉar ĝi estas konata hodiaŭ estis plene komprenita.
#000008
Ĉirkaŭ tiu tempo Josiah Willard Gibbs kaj Oliver Heaviside evoluigis vektoran kalkulon, kiu inkludis apartan vektoran produton kaj skalarproduktojn kiuj estis derivitaj de kvaropmultipliko.
La sukceso de vektora kalkulo, kaj de la libro Vector Analysis de Gibbs kaj Wilson, havis la efikon ke la komprenoj de Hamilton kaj Clifford estis preteratentitaj por longa tempo, ĉar multe de 20-a-jarcenta matematiko kaj fiziko estis formulitaj en vektorperiodoj.
Gibbs uzis vektorojn por plenigi la rolon de bivektoroj en tri dimensioj, kaj uzis "bivektoron" por priskribi senrilatan kvanton, uzon kiu foje estis kopiita.
Hodiaŭ la bivektoro estas plejparte studita kiel temo en geometria algebro, Clifford-algebro super realoj aŭ kompleksaj vektoraj spacoj kun nedegenerulo
Ĝia revigliĝo estis gvidita fare de David Hestenes kiu, kune kun aliaj, aplikis geometrian algebron al vico da novaj aplikoj en fiziko.
#000009
Por tiu artikolo la bivektoro estos pripensita nur en realaj geometriaj algebroj.
Tio en praktiko ne multe estas de restrikto, ĉar ĉiuj utilaj aplikoj estas tiritaj de tiaj algebroj.
Ankaŭ se alie ne deklaris, ĉiuj ekzemploj havas Eŭklidan metrikon kaj tiel pozitive difinita
#000010
La bivektoro ekestiĝas de la difino de la geometria produkto super vektora spaco.
Por vektoroj , b kaj c, la geometria produkto sur vektoroj estas difinita jene:
#000011
2 b , skalaro tempoj b.
Paralela al kiam b ne estas kaj tial ne skalarmultoblo de , ab ne povas esti Skalaro.
#000013
Ĝi estas simetria, skalaro aprezis, kaj povas esti uzita por determini la angulon inter du vektoroj: aparte ĉu a kaj b estas ortogonalaj la produkto estas nul.
#000015
Ekzakte ĉar la ena derivaĵo povas esti formulita kiel la simetria parto de la geometria produkto alia kvanto, la ekstera produkto povas esti formulita kiel sia kontraŭsimetria parto:
#000016
Ĝi estas kontraŭsimetria en a kaj b
#000017
Tio estas, la geometria produkto estas la sumo de la simetria ena derivaĵo kaj kontraŭsimetria ekstera produkto.
#000018
Ekzameni la naturon de ∧ b , pripensi la formulon
#000019
kiu uzi la pitagorean trigonometrian identecon donas la valoron de ( ∧ b) 2
#000020
Kun negativa kvadrato ĝi ne povas esti skalaro- aŭ vektorkvanto, tiel ke ĝi estas nova speco de objekto, bivektoro.
, kie θ estas la angulo inter la vektoroj, kaj tiel estas nul por paralelaj vektoroj.
#000021
Por distingi ilin de vektoroj, bivektoroj estas skribitaj ĉi tie kun aŭdacaj kapitaloj, ekzemple:
#000022
kvankam aliaj konvencioj estas utiligitaj, aparte kiel vektoroj kaj bivektoroj estas ambaŭ elementoj de la geometria algebro.
#000023
La algebro generita per la geometria produkto estas la geometria algebro super la vektora spaco.
Cl n estas kaj vektora spaco kaj algebro, generita per ĉiuj produktoj inter vektoroj en R n , tiel ke ĝi enhavas ĉiujn vektorojn kaj bivektorojn.
Pli ĝuste kiel vektora spaco ĝi enhavas la vektorojn kaj bivektorojn kiel liniaj subspacoj, kvankam ne subalgebroj (ekde la geometria produkto de du vektoroj estas ne ĝenerale alia vektoro).
Al la spaco de ĉiuj bivektoroj estas skribita λ2R n .
#000024
La subalgebro generita per la bivektors estas la ebena subalgebro de la geometria algebro, skribita Cl + n .
Tiuj algebro rezultoj de pripensado de ĉiuj produktoj de Skalaroj kaj bivektoroj generis de la geometria produkto.
Ĝi havas dimension 2 n −1 , kaj enhavas λ2R n kiel linia subspaco kun dimensio 1 / 2 n ( n − 1) ( triangulnombro).
En du kaj tri dimensioj la ebena subalgebro enhavas nur Skalarojn kaj bivektors, kaj ĉiu estas de speciala intereso.
En du dimensioj la ebena subalgebro estas izomorfa ĝis la kompleksaj nombroj, C, dum en tri ĝi estas izomorfaj al la kvaropoj, H. More ĝenerale la ebena subalgebro povas esti uzita por generi rotaciojn en iu dimensio, kaj povas esti generita per bivektoroj en la algebro.
#000025
Por ĝeneralaj bivektoroj la signifo povas esti kalkulita prenante la normon de la bivektoro konsiderita vektoron en la spacλ2R n .
Se la signifo estas de nul tiam ĉiuj la bivektoro komponentoj estas nul, kaj la bivektoro estas la nul bivektoro kiu kiel elemento de la geometria algebro estas la skalarojn nul.
#000027
Unuobivektoro estas unu kun unuomagnitudo.
Ĝi povas esti derivita de iu ne-nula bivektoro dividante la bivektoron per sia magnitudo, kiu estas
#000028
De akurata intereso estas la unuobivektoroj formitaj de la produktoj de la norma bazo.
Se e mi kaj e j estas apartaj bazvektoroj tiam la produkto e mi ∧ e j estas bivektoro.
Ĉar la vektoroj estas ortogonalaj tio estas ĵus e I e j , skriba e ij , kun unuomagnitudo kiam la vektoroj estas unuoblaj vektoroj.
La aro de tute tiaj bivektoroj formas bazon por λ2R n .
#000029
La ekstera produkto de du vektoroj estas bivektoro, sed ne ĉiuj bivektoroj estas eksteraj produktoj de du vektoroj.
Ekzemple, en kvar dimensioj la bivektoro
#000030
ne povas esti skribita kiel la ekstera produkto de du vektoroj.
Bivektoro kiu povas esti skribita kiel la ekstera produkto de du vektoroj estas simpla.
En du kaj tri dimensioj ĉiuj bivektoroj estas simplaj, sed ne en kvar aŭ pli da grandeco;
en kvar dimensioj ĉiu bivektoro estas la sumo de maksimume du eksteraj produktoj.
Bivektoro havas realan kvadraton se kaj nur se ĝi estas simpla, kaj nur simplaj bivektoroj povas esti reprezentitaj geometrie per orientita aviadilareo.
#000031
La geometria produkto de du bivektoroj, A kaj B, estas
#000032
B estas la skalaro aprezitan enan derivaĵon, dum A ∧ B estas la klaso 4 ekstera produkto kiu ekestas en kvar aŭ pli da grandeco.
La kvanto da A × B estas la bivektoro aprezis kolektor produkton, donitan per
#000033
La spaco de bivektorλ2R n estas Lie-algebro super R, kun la kolektorprodukto kiel la Lie-krampo.
La plena geometria produkto de bivektoroj generas la ebenan subalgebron.
#000034
De speciala intereso estas la produkto de bivektoro kun si mem.
Ĉar la kolektorprodukto estas kontraŭsimetria la produkto simpligas al
#000035
Se la bivektoro estas simpla la lasta oficperiodo estas nul kaj la produkto estas la skalara aprezita A
A , kiu povas esti utiligita kiel ĉeko por simpleco.
Aparte la ekstera produkto de bivektoroj nur ekzistas en kvar aŭ pli da grandeco, do ĉio bivektoroj en du kaj tri dimensioj estas simplaj.
#000036
Kiel dum laborado kun koordinatoj en geometria algebro ĝi estas kutima skribi la bazvektorojn ( e 1, e 2, ...
, kongreso kiu estos uzita ĉi tie.
#000037
Vektoro en reala dudimensia spacR2 povas esti skribita al = 1 e 1 + 2 e 2 , kie 1 kaj 2 arojn realaj nombroj, e 1 kaj e 2 estas ortonormalaj bazvektoroj.
La geometria produkto de du tiaj vektoroj estas
#000038
Tio povas esti dividita en la simetrian, Skalaro aprezis, ena derivaĵo kaj kontraŭsimetrian, bivektoro aprezis eksteran produkton:
#000039
Ĉiuj bivektoroj en du dimensioj estas de tiu formo, kiu estas multobloj de la bivektoro e 1 e 2, skriba e 12 por substreki ke ĝi estas bivektoro prefere ol vektoro.
La signifo de e 12 estas 1, kun
#000040
tiel ĝi estas nomita la unuobivektoro.
La esprimo trupo da bivektoro povas esti uzita en alia grandeco sed ĝi estas nur unike difinita (supren al signo) en du dimensioj kaj ĉiuj bivektoroj estas multobloj de e 12.
Ĉar la plej alta gradelemento de la algebro e 12 ankaŭ estas la pseudoscalar al kiu ricevas la simbolo I.
#000041
Kun la trajtoj de negativa kvadrato kaj unuomagnitudo, la unuobivektoro povas esti identigita kun la imaginara unuo de kompleksaj nombroj.
La bivektors kaj Skalaroj kune formas la ebenan subalgebron de la geometria algebro, kiu estas izomorfa al la kompleksaj nombroj C. The kiun eĉ subalgebro havas al bazo (1, e 12), la tuta algebro havas bazon (1, e 1, e 2, e 12).
#000042
La kompleksaj nombroj estas kutime identigitaj kun la kunordigitaj aksoj kaj dudimensiaj vektoroj, kiu intencus asocii ilin kun la vektorelementoj de la geometria algebro.
Ekzistas neniu kontraŭdiro en tio, por veni de ĝenerala vektoro ĝis komplekso numeras aksoobezonojn esti identigita kiel la reala akso, e 1 diras.
Tio multobligas de ĉiuj vektoroj por generi la elementojn de eĉ subalgebro.
#000043
Ĉiuj trajtoj de kompleksaj nombroj povas esti derivitaj de bivektoroj, sed du estas de speciala intereso.
Unue ĉar kun kompleksanombrajj produktoj de bivektoroj kaj tiel la ebena subalgebro estas kommutativa.
Tio estas nur vera en du dimensioj, do trajtoj de la bivektoro en du dimensioj kiuj dependas de komuteco ne kutime ĝeneraligas al pli alta grandeco.
#000044
Sekundon ĝenerala bivektoro povas esti skribita
#000045
kie θ estas reala nombro.
Metante tion en la serion de Taylor por la eksponenta mapo kaj utiligante la posedaĵon e12 2 = −1 rezultojn en bivektorversio de eŭlera formulo,
#000046
kiu se multobligite per iu vektoro rotacias ĝin tra angulo θ koncerne la originon:
#000047
La produkto de vektoro kun bivektoro en du dimensioj estas kontraŭkommutativa, tiel ke la sekvaj produktoj ĉiuj generas la saman rotacion
#000048
De tiuj la lasta produkto estas tiu kiu ĝeneraligas en pli altan grandecon.
La kvanto bezonata estas nomita rotoro kaj estas evoluita la simbolo R, tiel en du dimensioj rotoron kiu rotacias tra angulo θ povas esti skribita
#000049
kaj la rotacio kiun ĝi generas estas [15]
#000050
En tri dimensioj la geometria produkto de du vektoroj estas
#000051
En tri dimensioj ĉiuj bivektoroj estas simplaj kaj tiel la rezulto de ekstera produkto.
La unuobivektoroj e 23, e 31 kaj e 12 formas bazon por la spaco de bivektorλ2-R3, kio estas sin tridimensia linia spaco.
Tiel se ĝenerala bivektoro estas:
#000052
ili povas esti aldonitaj kiel vektoroj
#000053
dum se multobligite ili produktas la sekvantan
#000054
kiu povas esti dividita en simetriajn skalaro- kaj kontraŭsimetriajn bivektorpartojn jene
#000055
La ekstera produkto de du bivektoroj en tri dimensioj estas nul.
#000056
Tio estas alia versio de eŭlera formulo, sed kun ĝenerala bivektoro en tri dimensioj.
Male al en du dimensioj bivektoroj estas ne kommutativaj tiel trajtoj kiuj dependas de komuteco ne uzas en tri dimensioj.
Ekzemple, en ĝenerala e A + B ≠ e A da e B en tri (aŭ pli da) grandeco.
#000058
La plena geometria algebro en tri dimensioj, Cl 3 (R), havas bazon (1, e 1, e 2, e 3, e 23, e 31, e 12, e 123).
La elemento e 123 estas trivektoro kaj la pseudoscalar por la geometrio.
Bivectors en tri dimensioj foje estas identigita kun pseŭdovektoroj [16] al kiuj ili estas rilataj, kiel diskutite malsupre.
#000059
Bivectors ne estas fermita sub la geometria produkto, sed la ebena subalgebro estas.
El tri dimensioj ĝi konsistas el ĉiuj skalaro- kaj bivektorelementoj de la geometria algebro, tiel ke ĝenerala elemento povas esti skribita ekzemple + A, kie estas la skalarparto kaj A estas la bivektorparto.
Ĝi estas skribita Cl + 3 kaj havas bazon (1, e 23, e 31, e 12).
La produkto da du ĝeneralaj elementoj de la ebena subalgebro estas
#000060
La ebena subalgebro, kiu estas la algebro konsistanta el Skalaroj kaj bivektoroj, estas izomorfa al la kvaropoj, H. This povas esti vidita per komparado de la bazo kun la kvaropbazo, aŭ de ĉi-supra produkto kiu estas identa al la kvaropprodukto, krom ŝanĝo de signo kiu rilatigas al la negativaj produktoj en la bivektora ena derivaĵo A
Al aliaj kvaroptrajtoj povas esti simile rilatitaj aŭ venitaj de geometria algebro.
#000061
Tio indikas ke la kutima disigo de kvaropo en Skalaron kaj vektorpartojn estus pli bone reprezentita kiel disigo en Skalaron kaj bivektorpartojn;
se al tio estas farita la kvaropprodukto estas simple la geometria produkto.
Ĝi ankaŭ rilatigas kvaropojn en tri dimensioj al kompleksaj nombroj en du, ĉar ĉiu estas izomorfa al la ebena subalgebro por la dimensio, rilato kiu ĝeneraligas al pli alta grandeco.
#000062
La rotaciovektoro, de la aks-angula reprezentado da rotacioj, estas kompakta maniero reprezenti rotacioj en tri dimensioj.
El ĝia plej kompakta formo, ĝi konsistas el vektoro, la produkto de unuobla vektoro ω kiu estas la rotacia akso kun la (subskribita) angulo de rotacio θ, tiel ke la signifo de la totala rotaciovektorθω korespondas al la (sennoma) rotacioperspektivo.
#000063
La kvaropo asociita kun la rotacio estas
#000064
En geometria algebro la rotacio estas reprezentita per bivektoro.
Tio povas esti vidita en sia rilato al kvaropoj.
Lasu ω esti unuobivektoro en la aviadilo de rotacio, kaj lasu θ esti la angulo de rotacio.
Tiam la rotaciobivektoro estas ωθ.
La kvaropo proksime egalrilatas al la eksponento de la duono de la bivektorωθ.
Tio estas, la komponentoj de la kvaropo egalrilatas al la skalaro- kaj bivektorpartoj de la sekva esprimo:
#000065
La eksponento povas esti difinita laŭ sia potencvico, kaj facile analizita utiligante la fakton ke ω kvadratita estas —1.
#000066
Tiel rotacioj povas esti reprezentitaj per bivektoroj.
Ekzakte ĉar kvaropoj estas elementoj de la geometria algebro, ili estas ligitaj per la eksponenta mapo en tiu algebro.
#000067
La bivektoro ω θ generas rotacion tra la eksponenta mapo.
La eĉ elementoj generitaj rotacias ĝeneralan vektoron en tri dimensioj en laŭ la saman manieron kiel kvaropoj:
#000068
Kiel al du dimensioj la kvanto da e ω θ estas nomita rotoro kaj skriba R.
La kvanto da e − ω θ tiam estas R −1, kaj ili generas rotaciojn jene
#000069
Tio estas identa al du dimensioj, esceptas ĉi tie ke rotoroj estas kvar-dimensiaj objektoj izomorfa al la kvaropoj.
Tio povas esti ĝeneraligita al ĉiuj grandeco, per rotoroj, elementoj de la ebena subalgebro kun unuomagnitudo, estante generita per la eksponenta mapo de bivektoroj.
Ili formas duoblan kovron super la turnada grupo, tiel ke la rotoroj R kaj − R reprezentas la saman rotacion.
#000070
Bivektoroj estas izomorfaj ĝis kontraŭsimetriaj matricoj;
la ĝenerala bivektoro B 23 e 23 + B 31 e 31 + B 12 e 12 mapoj al la matrico
#000071
Tio multobligita per vektoroj sur same flankoj donas la saman vektoron kiel la produkto de vektoro kaj bivektorminuso la eksterprodukton;
ekzemplo estas la angulrapida tensoro.
#000072
Misoblikvaj simetriaj matricoj generas ortogonalajn matricojn kun determinanto 1 tra la eksponenta mapo.
Aparte la eksponento de bivektoro asociita kun rotacio estas rotaciomatrico, kiu estas la rotaciomatrico M R evoluita per ĉi-supra kontraŭsimetria matrico estas
#000073
La rotacio priskribita je M R estas la sama kiel tio priskribita je la rotoro R evoluita per
#000074
kaj la matrico M R povas esti ankaŭ kalkulita rekte de rotoro R:
#000075
Bivectors estas parenca al la eigenvalues de rotaciomatrico.
Surbaze de rotaciomatrico M la eigenvalues povas kalkulis solvante la karakterizan ekvacion por tiu matrico 0 = det ( M − λI).
De la algebra bazteoremo tio havas tri radikojn, sed nur unu realan radikon kiel ekzistas nur unu ajgenvektoro, la rotacia akso.
La aliaj radikoj devas esti kompleksakonjugita paro.
Ili havas unuomagnitudon tiel sole imagaj logaritmoj, egala al la signifo de la bivektoro asociita kun la rotacio, kiu ankaŭ estas la angulo de rotacio.
La eigenvektors asociita kun la kompleksa eigenvalues estas en la aviadilo de la bivektoro, tiel la ekstera produkto de du ne-paralela ajgenvektorrezulto en la bivektoro, aŭ minimume multoblo de ĝi.
#000076
La rotaciovektoro estas ekzemplo de aksa vektoro.
Aksaj vektoroj, aŭ pseŭdovektoroj, estas vektoroj kun la speciala trajto kiun iliaj koordinatoj spertas signoŝanĝon relative al la kutimaj vektoroj (ankaŭ nomitaj "polusaj vektoroj") sub inversio tra la origino, reflektado en ebeno, aŭ aliajn orientiĝ-inversigante lineartransformon.
Ekzemploj inkludas kvantojn kiel tordmomanto, angula movokvanto kaj vektoraj kampoj.
Kvantoj kiuj uzus aksajn vektorojn en vektoralgebro estas konvene reprezentitaj per bivektoroj en geometria algebro.
Pli ĝuste, se subesta orientiĝo estas elektita, la aksaj vektoroj estas kompreneble identigitaj kun la kutimaj vektoroj;
la Hodge-dualo tiam donas la izomorfion inter aksaj vektoroj kaj bivektoroj, tiel ke ĉiu aksa vektoro estas rilata al bivektoro kaj inverse;
#000077
kie ∗ indikas la Hodge-dualon.
Notu ke se la subesta orientiĝo estas inversigita per inversio tra la origino, kaj la identigo de la aksaj vektoroj kun la kutimaj vektoroj kaj la Hodge-duobla ŝanĝo subskribas, sed la bivektors ne cedas.
Alterne, uzante la unuopseudoscalar en C l3 (R), mi = e 1 e 2 e 3 donas
#000078
Tio estas pli facila por uzi kiam la produkto estas ĵus la geometria produkto.
Sed ĝi estas kontraŭsimetria ĉar (kiel en du dimensioj) la unuopseudoscalar I kvaranguloj al −1, tiel ke negativo estas necesa en unu el la produktoj.
#000079
Tiu rilato ampleksas operaciojn like la vektoro aprezis vektoran produton kaj bivektoron aprezis eksteran produkton, kiel kiam skribite kiel determinantoj ili estas kalkulitaj en laŭ la saman manieron:
#000080
tiel estas ligitaj fare de la Kamparlaboristo duoblaj:
#000081
Bivektoroj havas kelkajn avantaĝojn super aksaj vektoroj.
Ili pli bone malambiguigas aksajn kaj polusajn vektorojn, kiu estas la kvantoj reprezentitaj per ili, tiel ke estas pli klare kiuj operacioj estas permesitaj kaj kio iliaj rezultoj estu.
Ekzemple, la interna produkto de polusa vektoro kaj aksa vektoro rezultiganta de la vektora produto la trioblan produkton devus rezultigi pseudoscalar, rezulton kiu estas pli evidenta se la kalkulo estas enkadrigita kiel la ekstera produkto de vektoro kaj bivektoro.
Ili ĝeneraligas al alia grandeco;
en specialaj bivektoroj povas esti uzita por priskribi kvantojn kiel tordmomanto kaj angula movokvanto en du same kiel tri dimensiojn.
Ankaŭ, ili proksime egalas geometrian intuicion laŭ kelkaj manieroj, kiel vidite en la venonta sekcio.
#000082
Kiel indikite sub ilia nomo kaj tiu de la algebro, unu el la altiroj de bivektoroj estas ke ili havas naturan geometrian interpreton.
Tio povas esti priskribita en iu dimensio sed estas plej bone farita enen tri kie paraleloj povas esti desegnitaj kun pli konataj objektoj, antaŭ esti aplikitaj al pli alta grandeco.
En du dimensioj la geometria interpreto estas sensignifa, ĉar la spaco estas dudimensia tiel havas nur unu aviadilon, kaj ĉiuj bivektoroj estas rilataj al ĝi malsamanta nur de skalfaktoro.
#000083
Ĉiuj bivektoroj povas esti interpretitaj kiel aviadiloj, aŭ pli ĝuste kiel direktitaj aviadilsegmentoj.
En tri dimensioj ekzistas tri trajtoj de bivektoro kiu povas esti interpretita geometrie:
#000084
En tri dimensioj ĉiuj bivektoroj povas esti generitaj per la ekstera produkto de du vektoroj.
Se la bivektoro B = ∧ b tiam la signifo de B estas
#000086
kie θ estas la angulo inter la vektoroj.
Tio estas la areo de la paralelogramo kun randoj a kaj b, kiel montrite en la diagramo.
Unu interpreto estas ke la areo estas balaita eksteren per b kiam ĝi moviĝas antaŭen .
La ekstera produkto estas kontraŭsimetria, do inversigante la ordon de a kaj b por fari movon laŭ b rezultoj en bivektoro kun la kontraŭdirekto kiu estas la negativo de la unua.
La aviadilo da bivektoro ∧ b enhavas kaj a kaj b tiel ili estas ambaŭ paralela al la aviadilo.
#000087
Bivectors kaj aksaj vektoroj estas ligitaj per Hodge-dualo.
En reala vektoro interspacigas la Hodge-dualon rilatigas subspacon al ĝia ortogonala komplemento, do se bivektoro estas reprezentita per ebeno tiam la aksa vektoro asociita kun ĝi estas simple la surfaca normalo de la ebeno.
La ebeno havas du normalojn, unu sur ĉiu flanko, donante la du eblajn orientiĝojn por la ebeno kaj bivektoro.
#000088
Tio rilatigas la vektoran produton al la ekstera produkto.
Povas ankaŭ esti uzite reprezenti fizikajn kvantojn, kiel tordmomanto kaj angula movokvanto.
En vektoralgebro ili estas kutime reprezentitaj per vektoroj, perpendikularaj al la aviadilo de la forto, linia impeto aŭ delokiĝo ke de ili estas kalkulitaj.
Sed se bivektoro estas uzita anstataŭe la aviadilo estas la aviadilo de la bivektoro, do estas pli natura maniero reprezenti la kvantojn kaj la manieron kiel ili agas.
Ĝi ankaŭ male al la vektorreprezentantaro ĝeneraligas en alian grandecon.
#000089
La produkto de du bivektoroj havas geometrian interpreton.
Por ne-nulaj bivektoroj A kaj B la produkto povas esti dividita en simetriajn kaj kontraŭsimetriajn partojn jene:
#000090
Bivectors povas esti aldonita kune kiel areoj.
Surbaze de du ne-nulaj bivektoroj B kaj C en tri dimensioj estas ĉiam eble trovi vektoron kiu estas enhavita en ambaŭ, eldiro, tiel ke la bivektors povas esti skribita kiel eksteraj produktoj implikantaj :
#000092
Tio povas esti interpretita geometrie kiel vidita en la diagramo: la du areoj sumigas por doni trionon, kie la tri areoj formas vizaĝojn de prismo kun , b, c kaj b + c kiel randoj.
Tio egalrilatas al la du manieroj kalkuli la areo uzante la Distribuecon de la ekstera produkto:
#000093
Tio nur laboras en tri dimensioj kiam ĝi estas la nura dimensio kie vektoro paralela al ambaŭ bivektoroj devas ekzisti.
En pli altaj grandecbivektoroj ĝenerale estas ne rilataj al ununura aviadilo, aŭ se ili estas (simplaj bivektoroj) du bivektoroj povas havi neniun vektoron komune, kaj tiel sumon al ne-simpla bivektoro.
#000094
En kvar dimensioj la bazelementoj por la spacλ2 R4 de bivektoroj estas ( e 12, e 13, e 14, e 23, e 24, e 34), tiel ke ĝenerala bivektoro estas de la formo
#000095
En kvar dimensioj la Hodge-dualo de bivektoro estas bivektoro, kaj la spacλ2 R4 estas duobla al si mem.
Normalaj vektoroj ne estas unikaj, anstataŭe ĉiu aviadilo estas ortogonala al ĉiuj vektoroj en sia Hodge-duobla spaco.
Tio povas esti uzita por dividi la bivektors en du "duonojn", laŭ la sekva maniero.
Ni havas tri parojn de ortogonalaj bivektoroj: ( e 12, e 34
Ekzistas kvar apartaj manieroj elekti unu bivektoro de ĉiu el la unuaj du paroj, kaj foje tiuj unuaj du estas elektitaj ilia sumo donas la trian bivektoron de la alia paro.
#000096
En kvar dimensioj bivektoroj estas generitaj per la ekstera produkto de vektoroj en R4, sed kun unu grava diferenco de R3 kaj R2.
En kvar dimensioj ne ĉiuj bivektoroj estas simplaj.
Ekzistas bivektoroj kiel ekzemple e 12 + e 34 kiuj ne povas esti generitaj per la ekstera produkto de du vektoroj.
Tio ankaŭ signifas ke ili ne havas realon, kiu estas skalaro, kvadrato.
#000097
La elemento e 1234 estas la pseudoscalar en C l4, aparta de la Skalaro, tiel ke la kvadrato estas ne-skalara.
#000098
Ĉiuj bivektoroj en kvar dimensioj povas esti generitaj uzante maksimume du eksterajn produktojn kaj kvar vektorojn.
Ĉi-supra bivektoro povas esti skribita kiel
#000099
Simile, ĉiu bivektoro povas esti skribita kiel la sumo de du simplaj bivektoroj.
Estas utile elekti du ortogonalajn bivektorojn por tio, kaj tio ĉiam estas ebla farendaĵo.
Krome, por senmarka bivektoro la elekto de simplaj bivektoroj estas unika, t.e., ekzistas nur unu maniero putriĝi en ortogonalajn bivektorojn;
la nura escepto estas kiam la du ortogonalaj bivektoroj havas egalajn magnitudojn (kiel en ĉi-supra ekzemplo): en tiu kazo la putriĝo ne estas unika.
La putriĝo ĉiam estas unika koncerne simplajn bivektorojn, kun la ekstra gratifiko kiun tiu unu el la ortogonalaj partoj estas nul.
#000100
Kiel en tri dimensiobivektoroj en kvar dimensio generas rotaciojn tra la eksponenta mapo, kaj ĉiuj rotacioj povas esti generitaj tiun manieron.
Kiel en tri dimensioj se B estas bivektoro tiam la rotoro R estas e B /2 kaj rotacioj estas generitaj en laŭ la saman manieron:
#000101
La rotacioj generitaj estas pli kompleksaj tamen.
Ili povas esti kategoriigitaj jene:
#000102
simplaj rotacioj estas tiuj kiuj riparas aviadilon en 4D, kaj rotacias de angulo "pri" tiu aviadilo.
duoblaj rotacioj havas nur unu fikspunkton, la originon, kaj rotacias tra du anguloj pri du ortogonalaj aviadiloj.
Ĝenerale la anguloj estas malsamaj kaj la aviadiloj estas unike precizigitaj
izoklinikaj rotacioj estas duoblaj rotacioj kie la anguloj de rotacio estas egalaj.
En tiu kazo la aviadiloj koncerne kiujn la rotacio okazas ne estas unikaj.
#000103
simplaj rotacioj estas tiuj kiuj riparas aviadilon en 4D, kaj rotacias de angulo "pri" tiu aviadilo.
#000104
duoblaj rotacioj havas nur unu fikspunkton, la originon, kaj rotacias tra du anguloj pri du ortogonalaj aviadiloj.
Ĝenerale la anguloj estas malsamaj kaj la aviadiloj estas unike precizigitaj
#000105
izoklinikaj rotacioj estas duoblaj rotacioj kie la anguloj de rotacio estas egalaj.
En tiu kazo la aviadiloj koncerne kiujn la rotacio okazas ne estas unikaj.
#000106
Tiuj estas generitaj per bivektoroj laŭ simpla maniero.
Simplaj rotacioj estas generitaj per simplaj bivektoroj, per la fiksa aviadilo la dualo aŭ ortogonala al la aviadilo de la bivektoro.
La rotacio povas esti dirita okazi koncerne tiun aviadilon, en la aviadilo de la bivektoro.
Ĉiuj aliaj bivektoroj generas duoblajn rotaciojn, kun la du anguloj da la rotacio korespondante al la signifoj de la du simplaj bivektoroj de kiujn la ne-simpla bivektoro estas kunmetita.
Izoklinikaj rotacioj ekestas kiam tiuj magnitudoj estas egalaj, en kiu kazo la putriĝo en du simplajn bivektorojn ne estas unika.
#000107
Bivectors ĝenerale ne navedas, sed unu escepto estas ortogonalaj bivektoroj kaj eksponentoj de ili.
Tiel se la bivektoro B = B 1 + B 2 , kie B 1 kaj B 2 estas ortogonala simpla bivektors, kutimas generi rotacion kiun ĝi malkonstruas en du simplajn rotaciojn kiuj navedas jene:
#000108
Estas ĉiam eble farendaĵo tion kiam ĉiuj bivektoroj povas esti esprimitaj kiel sumoj de ortogonalaj bivektoroj.
#000109
Spactempo estas matematika modelo por nia universo uzita en speciala teorio de relativeco.
Ĝi konsistas el tri -spaca grandeco kaj unu fojon dimensio kombinis en ununuran kvar-dimensian spacon.
Ĝi estas kompreneble priskribita uzante geometrian algebron kaj bivektors, kun la Eŭklida metriko anstataŭigita per Minkowski metrika.
Tiu algebro estas identa al tiu de eŭklida spaco, esceptas ke la signaturo estas ŝanĝita, tiel
#000110
(Noto la ordo kaj indeksoj supre ne estas universalaj - ĉi tie e 4 estas la temp-simila dimensio).
La geometria algebro estas C l3,1 (R), kaj la subspaco de bivektoroj estas λ2-R3,1.
#000111
La simplaj bivektoroj estas de du tipoj.
La simplaj bivektoroj e 23, e 31 kaj e 12 havas negativajn kvarangulojn kaj interspacon la bivektors de la tridimensia subspaco egalrilatanta al eŭklida spaco, R3.
Tiuj bivektoroj generas ordinarajn rotaciojn en R3.
#000112
La simplaj bivektoroj e 14, e 24 kaj e 34 havas pozitivajn kvarangulojn kaj ĉar aviadiloj turnadis spacdimension kaj la tempodimension.
Tiuj ankaŭ generas rotaciojn tra la eksponenta mapo, sed anstataŭe de trigonometria funkcio, hiperbolaj funkcioj estas necesaj, kiu generas rotoron jene:
#000113
kie ω estas la bivektoro ( e 14, ktp.), identigita per la metriko kun kontraŭsimetria lineartransformo de R3,1.
Tiuj estas Lorentz-akceloj, esprimitaj laŭ precipe kompakta maniero, uzante la saman specon de algebro kiel en R3 kaj R4.
#000114
Ĝenerale ĉiuj spactemporotacioj estas generitaj de bivektoroj tra la eksponenta mapo, t.e., ĝenerala rotoro generita je bivektoro A estas de la formo
#000115
La aro de ĉiuj rotacioj en spactempo formas la Lorentz-grupon, kaj el ili la plej multaj el la sekvoj de speciala teorio de relativeco povas esti konkluditaj.
Pli ĝenerale tiu spektaklo kiel transformoj en eŭklida spaco kaj spactempo povas ĉiun esti priskribitaj uzante la saman specon de algebro.
#000116
Ekvacioj de Maxwell estas utiligitaj en fiziko por priskribi la rilaton inter elektraj kaj kampoj.
Normale donita tiel kvar diferencialaj ekvacioj ili havas precipe kompaktan formon kiam la kampoj estas esprimitaj kiel spactempobivektoro de λ2-R3,1.
Se la elektraj kaj kampoj en R3 estas E kaj B tiam la elektromagneta bivektoro estas
#000117
kie e 4 denove estas la bazvektoro por la temp-simila dimensio kaj c estas la lumrapideco.
La produkto B e 123 donas la bivektoron kiu estas Kamparlaboristo duobla al B en tri dimensioj, kiel diskutite supre, dum E e 4 kiel produkto de ortogonalaj vektoroj estas ankaŭ bivektoro aprezis.
Kiel tutaĵo ĝi estas la elektromagneta tensoro esprimita pli kompakte kiel bivektoro, kaj estas uzita jene.
Unue ĝi estas rilatita al la 4-nuna J, vektorokvanto donita per
#000118
kie j estas nuna denseco kaj ρ estas pagendaĵdenseco.
Ili estas ligitaj per diferenciga funkciigist∂, kio estas
#000119
La funkciigist∇ estas diferenciga funkciigisto en geometria algebro, reagante al la spacgrandeco kaj antaŭfiksita per ∇ M
M estas la diverĝo kaj ∇∧ M estas la buklo sed kun bivektoro prefere ol vektorrezulto, kiu estas duobla en tri dimensioj al la buklo.
Por ĝenerala kvanto da M ili funkcias kiel grado malaltiganta kaj kreskiganta diferencialajn operatorojn.
Aparte se M estas Skalaro tiam tiu funkciigisto estas ĵus la gradiento, kaj ĝi povas esti opiniita de kiel geometria algebra del funkciigisto.
#000120
Kune tiuj povas esti uzitaj por doni precipe kompaktan formon por ekvacioj de Maxwell en vakuo:
#000121
Tio se malkonstruite laŭ geometria algebro, uzi geometriajn produktojn kiuj havas kaj gradaltigon kaj gradajn malpliigefikojn, estas ekvivalenta al la kvar ekvacioj de Maxwell.
Tio estas la formo en vakuo, sed la ĝenerala formo estas nur iom pli kompleksa.
Ĝi ankaŭ estas rilatita al la elektromagneta kvar-ebla, vektoro A evoluita per
#000122
kie A estas la vektoro magneta potencialo kaj V estas la elektra potencialo.
Ĝi estas rilatita al la elektromagneta bivektoro kiel sekvas
#000123
uzante la saman diferencigan funkciigist∂.
#000124
Kiel estis sugestita en pli fruaj sekcioj multo da geometria algebro ĝeneraligas bone en pli altan grandecon.
La geometria algebro por la reala spaco R n estas Cl n (R), kaj la subspaco de bivektoroj estas λ2R n .
#000125
La nombro da simplaj bivektoroj bezonitaj por formi ĝeneralajn bivektorpliiĝojn kun la dimensio, tiel por n stranga ĝi estas ( n − 1)/2, por n eĉ ĝi estas n /2.
Tiel por kvar kaj kvin dimensioj nur du simplaj bivektoroj estas necesaj sed tri estas postulataj por ses kaj sep dimensioj.
Ekzemple, en ses dimensioj kun norma bazo ( e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6) la bivektoro
#000126
la sumo de tri simplaj bivektoroj sed neniu estas malpli.
Kiel en kvar dimensioj estas ĉiam eble trovi ortogonalan kuracherbon bivektors por tiu sumo.
#000127
Kiel en tri kaj kvar dimensioj rotoroj estas generitaj per la eksponenta mapo, tiel
#000128
ĉu la rotoro estas generita per bivektoro B.
Simplaj rotacioj, kiuj okazas en aviadilo de rotacio ĉirkaŭ fiksa klingo de dimensio ( n − 2) estas generitaj per simplaj bivektoroj, dum aliaj bivektoroj generas pli kompleksajn rotaciojn de kiuj povas esti priskribitaj laŭ la simpla bivektors kiun ili estas sumoj, ĉiu rilatigis al aviadilo de rotacio.
Ĉiuj bivektoroj povas esti esprimitaj kiel la sumo da ortogonalaj kaj kommutativaj simplaj bivektoroj, tiel ke rotacioj ĉiam povas esti malkonstruitaj en aron de kommutativaj rotacioj koncerne la aviadilojn asociitajn kun tiuj bivektoroj.
La grupo de la rotoroj en n grandeco estas la spingrupo, Spin ( n).
#000129
Unu rimarkinda trajto, rilatita al la nombro da simplaj bivektoroj kaj tiel rotaciaviadiloj, estas ke en stranga grandeco ĉiu rotacio havas fiksan akson - ĝi estas misgvida nomi ĝin rotacia akso kiel en pli altaj grandecrotacioj okazas en multoblaj aviadiloj ortogonalaj al ĝi.
Tio estas rilatita al bivektoroj, ĉar bivektoroj en stranga grandeco putriĝas en la saman nombron da bivektoroj kiel la ebena dimensio malsupre, do havas la saman nombron da aviadiloj, sed unu ekstran dimension.
Ĉar ĉiu aviadilo generas rotaciojn en du dimensioj en stranga grandeco kiujn devas ekzisti unu dimensio, tio estas akso, kiu ne estas rotaciita.
#000130
Bivectors ankaŭ estas parenca al la rotaciomatrico en n grandeco.
Kiel en tri dimensioj la karakteriza ekvacio de la matrico povas esti solvita por trovi la eigenvalues.
En stranga grandeco tio havas unu realan radikon, kun ajgenvektoro la fiksa akso, kaj en eĉ grandeco ĝi havas neniujn realajn radikojn, tiel ke aŭ ĉio aŭ ĉiuj krom unu el la radikoj estas kompleksakonjugitaj paroj.
Ĉiu paro estas rilata al simpla komponento de la bivektoro asociita kun la rotacio.
Aparte la tagalo de ĉiu paro estas ± la signifo, dum ajgenvektoroj generis de la radikoj estas paralela al kaj tiel povas esti uzitaj por generi la bivektoron.
Ĝenerale la eigenvalues kaj bivektoroj estas unikaj, kaj la aro da Eigen-valoroj donas la plenan putriĝon en simplajn bivektorojn;
se radikoj tiam estas ripetitaj la putriĝo de la bivektoro en simplajn bivektorojn ne estas unika.
#000131
Geometria algebro povas esti aplikita al projekcia geometrio laŭ simpla maniero.
La geometria algebro uzita estas Cl n (R), n ≥ 3, la algebro de la reala vektora spaco R n .
Tio kutimas priskribi objektojn en la reala projekcia spac RP n − 1 .
La ne-nulaj vektoroj en Cl n (R) aŭ R n estas rilataj al punktoj en la projekcia spaco tiel vektoroj kiuj malsamas nur de skalfaktoro, tiel ke ilia ekstera produkto estas nul, mapo al la sama punkto.
Ne-nulaj simplaj bivektoroj en λ2R n reprezentas liniojn en RP n − 1 , kun bivektoroj malsamantaj nur de (pozitiva aŭ negativa) skalfaktoro reprezentanta la saman linion.
#000132
Priskribo da la projekcia geometrio povas esti konstruita en la geometria algebro uzante bazajn operaciojn.
Ekzemple, surbaze de du apartaj poentoj en RP n − 1 reprezentis de vektoroj a kaj b la linio inter ili ricevas per ∧ b (aŭ b ∧ ).
Du linioj krucas en punkto se A ∧ B = 0 por iliaj bivektoroj A kaj B.
Tiu punkto ricevas per la vektoro
#000133
La operacio-" ⋁" estas la kunveno, kiu povas esti difinita kiel supra laŭ la kunligo, J = A ∧ B [ kiun klarigo bezonis ] por ne-nula A ∧ B .
Uzante tiujn operaciojn projekcia geometrio povas esti formulita laŭ geometria algebro.
Ekzemple, surbaze de tria (ne-nula) bivektoro C la punkto p situas sur la linio evoluita je C se kaj nur se
#000134
Tiel la kondiĉo por la linioj evoluitaj je A, B kaj C esti samlinia estas
#000135
al kiu en C l3 (R) kaj RP2 simpligas
#000136
kie la angulparentezoj indikas la skalarparton de la geometria produkto.
En laŭ la saman manieron ĉiuj projekciaj spacoperacioj povas esti skribita laŭ geometria algebro, kun bivektoroj reprezentantaj ĝeneralajn liniojn en projekcia spaco, tiel ke la tuta geometrio povas esti evoluigita uzante geometrian algebron.
#000137
Kiel super bivektoro povas esti skribita kiel kontraŭsimetria matrico, kiu tra la eksponenta mapo generas rotaciomatricon kiu priskribas la saman rotacion kiel la rotoron, ankaŭ generiten per la eksponenta mapo sed aplikitan al la vektoro.
Sed ĝi ankaŭ estas uzita kun aliaj bivektoroj kiel ekzemple la angulrapida tensoro kaj la elektromagneta tensoro, respektive 3×3 kaj 4×4 kontraŭsimetria matrico aŭ tensoro.
#000138
Realaj bivektoroj en λ2R n estas izomorfaj al n × n kontraŭsimetriaj matricoj, aŭ alterne al malsimetriaj tensoroj de ordo 2 sur R n .
Dum bivektoroj estas izomorfaj al vektoroj (per la dualo) en tri dimensioj ili povas esti reprezentitaj per kontraŭsimetriaj matricoj en iu dimensio.
Tio estas utila por rilatigado de bivektoroj al problemoj priskribitaj per matricoj, tiel ke ili povas esti regisu laŭ bivektoroj, donitaj geometrian interpreton, tiam ofte solvitaj pli facile aŭ ligitaj geometrie al aliaj bivektorproblemoj.
#000139
Pli ĝenerale ĉiu reala geometria algebro estas izomorfa al matricalgebro.
Tiuj enhavas bivektorojn kiel subspaco, kvankam ofte en maniero kiel kiu estas ne aparte utila.
Tiuj matricoj estas plejparte de intereso kiel maniero klasifiki Clifford-algebroj.
#000140