Punkto en la Eŭklida aviadilo estas konstruebla punkto se ĝi estas ĉiu finpunkto de la antaŭfiksita unuo segmentas, aŭ la punkton de intersekciĝo de du linioj determinitaj per antaŭe akiritaj konstrueblaj punktoj, aŭ la intersekciĝo de tia linio kaj cirklo havanta antaŭe akiritan konstrueblan punkton kiel centro pasanta tra alia konstruebla punkto, aŭ la intersekciĝo de du tiaj cirkloj.
Nun, de lanĉado de kartezaj koordinatoj tiel ke unu finpunkto de la antaŭfiksita unuosegmento estas la origino (0, 0) kaj la alia ĉe (1, 0), povas esti montrite ke la koordinatoj de la konstrueblaj punktoj estas konstrueblaj nombroj.
#000002
En algebraj esprimoj, nombro estas konstruebla se kaj nur se ĝi povas esti akirita uzante la kvar bazajn aritmetikoperaciojn kaj la ekstraktadon de kvadrataj radikoj, sed pri neniuj higher-ordaj radikoj, de konstrueblaj nombroj, kiuj ĉiam inkludas 0 kaj 1-a La aro de konstrueblaj nombroj povas esti tute karakterizita en la lingvo de kampa teorio: la konstrueblaj nombroj formas la kvadratan finon de la raciaj nombroj: la plej malgranda kampetendaĵo kiu estas fermita sub kvadrataj radikoj.
Tio havas la efikon de transformado de geometriaj demandoj pri kompaso- kaj liniilkonstruoj en algebron.
Tiu transformo kondukas al la solvoj de multaj famaj matematikaj problemoj, kiuj spitis jarcentojn da atako.
#000003
La tradicia aliro al la temo de konstrueblaj nombroj estis geometria en naturo, sed tio ne estas la nura aliro.
Tamen, la geometria aliro disponigas la instigon por la algebraj difinoj kaj estas historie la maniero kiel la subjekto evoluigis.
En prezentado de la materialo tiumaniere, la fundamentaj ideoj estas lanĉitaj sinteze kaj tiam koordinatoj estas enkondukitaj en transiro en algebra scenaro.
#000004
Lasu O kaj A esti du surbaze de apartaj punktoj en la Eŭklida ebeno.
La aro de punktoj ke povas esti konstruita per kompaso kaj liniilo komencanta kun O kaj A estos indikita je S kaj kies elementoj estos nomitaj konstrueblaj punktoj.
O kaj A estas, de difino, elementoj de S.
Por pli ĝuste priskribi la elementojn de S, ni faras la sekvajn du difinojn: [3]
#000005
linio segmentu kies finpunktojn estas en S estas nomita konstruita segmento, kaj
cirklo kies centro estas en S kaj kiu pasas tra punkto de S (alternative, kies radiuso estas la distanco inter iu paro de apartaj punktoj de S) estas nomita konstruita cirklo.
#000006
la intersekciĝo de du ne-paralelajn konstruis segmentojn (etenditajn eventuale),
la intersekciĝoj de konstruita cirklo kaj konstruita segmento (etendita eventuale), aŭ
la intersekciĝoj de du apartajn konstruis cirklojn.
#000008
Ekzemple, la mezpunkto de konstruita segmento OA estas konstrucibla punkto.
Vidi tion, notas ke la konstruita cirklo C 1 kun centro O kaj pasi tra A intersekcas la konstruitan cirklon C 2 kun centro A kaj pasante tra O ĉe la konstrueblaj punktoj P kaj Q.
La intersekciĝo de konstruita segmento PQ kun konstruita segmento OA estas la dezirata konstruita mezpunkto.
#000009
Karteza koordinatsistemo povas esti lanĉita kie la punkto O estas asociita al la origino havante koordinatojn (0, 0) kaj la poento A estas rilata al (1, 0).
La punktoj de S nun povas esti utiligitaj por interligi la geometrion kaj algebron, nome, ni difinas [7]
#000010
konstruebla nombro estas koordinato de konstruebla punkto.
#000011
Kun la certeco indiki A, 0 kaj 1 estas konstrueblaj nombroj.
Lasu P esti punkto en S, t.e., konstruebla punkto.
Se P kuŝas sur la absciso, tiam OBSERVEJO estas konstruita segmento kaj la unua koordinato de P estas, en absoluta valoro, la longo de tiu konstruita segmento.
Se P ne kuŝas sur la absciso tiam lasas la piedon de la perpendikulara de P ĝis la absciso esti la punkto Q.
La punkto Q estas konstruita punkto, tiel ke PQ kaj OQ estas konstruitaj segmentoj.
La absolutaj valoroj de la koordinatoj de la punkto P estas tial longoj de konstruitaj segmentoj.
Tiu proceso estas reigebla, [8] tiel ke estas eble uzi tiun aparaton disponigi alternan karakterizadon de konstrueblaj nombroj, nome: [9]
#000012
Se a kaj b estas la ne-nulaj longoj de konstruitaj segmentoj tiam elementa kompaso kaj liniilkonstruoj povas esti utiligitaj por akiri konstruitajn segmentojn de longoj + b , − b (se ≥ b ), ab kaj / b .
Ĉi-lastaj du povas esti faritaj kun konstruo bazita sur la interkaptoteoremo.
Iomete malpli elementa konstruo uzanta tiujn ilojn estas bazita sur la geometria averaĝa teoremo kaj konstruos segmenton el long √ el konstruita segmento de longo .
#000014
Se a kaj b estas konstrueblaj nombroj kun b ≠ 0, tiam ± b , × b , / b , kaj √ , por ne-negativo , estas konstruebla.
Tiel, la aro de konstrueblaj realaj nombroj formas kampon.
Krome, ĉar 1 estas konstruebla nombro, ĉiuj raciaj nombroj estas konstrueblaj kaj Q estas (bonorda) subkampo de la kampo de konstrueblaj nombroj.
Ankaŭ, ĉiu konstruebla nombro estas algebra nombro.
#000015
Uzante iomete malsaman terminologion, [15] reala nombro estas konstruebla se kaj nur se ĝi kuŝas en kampo ĉe la pinto de finhava turo de kvadrataj etendaĵoj, komencante kun la racia kampo Q.
Pli ĝuste, γ estas konstruebla se kaj nur se tie ekzistas turo de kampoj
#000017
Por ankoraŭ alia formuliĝo de tiu rezulto, tiu tempon utiligi la geometrian difinon de konstruebla poento, [16] lasis P esti ne-malplena aro de punktoj en R2 kaj K la subkampo de R generita per ĉiuj koordinatoj de punktoj en P.
x, y) estas konstruebla de la punktoj de P, tiam la gradoj [ da K ( x):
K] estas potencoj de 2.
#000018
Utiligante la naturan korespondadon inter punktoj de R2 kaj kompleksaj nombroj (nome, (, b
+ busoj ) kelkaj verkintoj preferas vortumi rezultojn en la kompleksa metante per difinado: [17]
#000019
kompleksa nombro estas konstruebla se kaj nur se ĝiaj realaj kaj imaginaraj partoj estas konstrueblaj realaj nombroj.
#000020
Povas tiam esti montrite, [18] en maniero analoga al la reala kazo, ke kompleksa nombro estas konstruebla se kaj nur se ĝi kuŝas en kampo ĉe la pinto de finhava turo de kompleksaj kvadrataj etendaĵoj, komencante kun la kampo Q (mi).
Pli ĝuste, z estas konstruebla se kaj nur se tie ekzistas turo de kompleksaj kampoj
#000021
Sekve, se kompleksa nombro estas konstruebla, tiam [Q ( z): Q] estas du-potenco.
#000022
Tiu algebra karakterizado de konstrueblaj nombroj disponigas gravan necesan kondiĉon por konstruktibileco: se z estas konstruebla, tiam ĝi estas algebra, kaj ĝia minimuma nereduktebla polinomo havas gradon potencon de 2, kiu estas ekvivalenta al la deklaro kiun la kampetendaĵo Q ( z) /Q havas dimension potenco de 2-a Noto tamen, ke la konversacio estas falsa - tio ne estas sufiĉa kondiĉo por konstruktibileco kia ekzistas ne-konstrueblaj nombroj da z kun [Q ( z): Q] = 4.
#000023
Trigonometriaj nombroj estas neraciaj kosinusoj aŭ pekoj de anguloj kiuj estas raciaj multobloj de π.
Tia nombro estas konstruebla se kaj nur se la denominatoro de la tute reduktita multoblo estas potenco de 2 aŭ la produkto de potenco de 2 kun la produkto de unu aŭ pluraj apartaj Fermat-primoj.
( π /15) Estas konstruebla ĉar 15 estas la produkto de du Fermat-primoj, 3 kaj 5.
#000024
Vidu ĉi tie liston de trigonometriaj nombroj esprimitaj laŭ kvadrataj radikoj.
#000025
La malnovgrekaj opiniis ke certaj konstruproblemoj ili ne povis solvi estis simple obstinaj, ne nesolveblaj.
Tamen, la ne-constructibility de certaj nombroj pruvas ilin por esti logike malrezultebla.
(La problemoj mem, aliflanke, estas solveblaj, kaj la grekoj sciis kiel solvi ilin, sen la limo de labori nur per liniilo kaj kompaso.
#000026
En la sekva diagramo, ĉiu vico reprezentas specifan maljunegan konstruproblemon.
La maldekstra kolono donas la nomon de la problemo.
La dua kolumno donas ekvivalentan algebran formuliĝon de la problemo.
En aliaj vortoj, la solvo al la problemo estas jesa se kaj nur se ĉiu nombro en la antaŭfiksita nombraro estas konstruebla.
Finfine, la lasta kolono disponigas simplan kontraŭekzemplon.
En aliaj vortoj, la nombro en la lasta kolono estas elemento de la aro en la sama vico, sed ne estas konstruebla.
#000027