En matematiko, produta regulo aŭ leĝo de Leibniz estas formulo donanta derivaĵon de produto de funkcioj. Estu f(x) kaj g(x) esti du diferencialeblaj funkcioj de x. Tiam
#000001
aŭ en la alia skribmaniero:
#000002
3.1 Per difino de derivaĵo
#000004
5.1 Derivaĵoj de produtoj de vektoraj funkcioj
5.2 Derivaĵo de produto de matricaj funkcioj
5.3 Derivaĵo de produto de pli ol du funkcioj
#000005
Produkto de pli ol du faktoroj
#000006
Trovu derivaĵon de f(x) = x2. Ĉi tiu funkcio povas esti skribita kiel f(x) = x·x kaj per uzo de la produta regulo
#000007
Trovu derivaĵon de f(x) = x3. Ĉi tiu funkcio povas esti skribita kiel f(x) = x2·x kaj
#000008
El la antaŭa ekzemplo prenu la formulon por kaj do
#000009
Trovu derivaĵon de f(x) = x2 sin(x).
#000010
Derivaĵo de sin(x) estas cos(x) kaj do
#000011
Speciff okazo de la produta regulo estas la konstanta multiplika regulo kiuj ststas ke se c estas konstanto (ne dependas de x) kaj f(x) estas diferencialebla funkcio, tiam cf(x) estas ankaŭ diferencialebla, kaj ĝia derivaĵo estas
#000012
La produta regulo donas la regulon por poparta integralado.
#000013
La produta regulo donas la malfortan version de la regulo de derivaĵo de kvociento. Ĝi estas malforta versio en tio ke ĝi ne pruvas ke la kvociento estas diferencialebla, sed nur statas kio estas ĝia derivaĵo se estas ĝi estas diferencialebla.
#000014
Ĉi tiu pruvo estas simila al la pruvo pli supre. Estu
#000015
Por plisimpligi la limigon oni adiciu kaj subtrahu termon f(x)g(x + h) al la numeratoro, tiam rezultas
#000016
Tiam eblas faktorigi partojn de la numeratoro
#000017
La frakcio estas disdividiĝas en du frakciojn
#000018
Pro tio ke g(x) estas diferencialebla ĝi estas kontinua je x kaj do ekzistas kaj egalas al g(x). Krome, f(x) ne dependas de h kaj povas esti eligita el la limigo kiel konstanta faktoro. Tiel la limigo povas esti aplikata aparte al eroj de la esprimo
#000019
La difinoj de derivaĵoj de f(x) kaj g(x)
#000020
Povas esti uzataj por anstataŭigi erojn de la antaŭ esprimo kaj rezultas la produta regulo
#000021
Funkcio f(x) = g(x)h(x) povas esti konsiderata kiel funkcio de du variabloj g kaj h, ĉiu el kiuj en sia vico estas funkcio de x.
#000022
Ambaŭ partaj derivaĵoj de f je g kaj h povas esti trovitaj:
#000023
kie h estas konsiderata kiel konstanto; kaj
#000024
kie g estas konsiderata kiel konstanto.
#000025
Malkovro de ĉi tiu regulo estas kreditita al Gottfried Wilhelm Leibniz, kiu monris ĝian verecon jene.
#000026
Estu f(x) kaj g(x) du diferencialeblaj funkcioj de x. La diferencialo de fg estas
#000027
Pro tio ke la termo df·dg estas malatentebla (ĉar ĝi estas kvadrate malgranda respektive al df kaj dg, Leibniz konkludis ke
#000028
kaj ĉi tio estas diferenciala formo de la produta regulo. Se dividi la esprimon per diferencialo dx rezultas
#000029
Derivaĵoj de produtoj de vektoraj funkcioj
#000030
La regulo veras ankaŭ por skalara produto kaj vektora produto de du vektoro-valoraj funkcioj de skalara variablo.
#000031
Estu f(x) kaj g(x) ĉi tiaj funkcioj de skalaro x.
#000032
Tiam por derivaĵo de ilia skalara produto estas formulo
#000033
Por derivaĵo de ilia vektora produto estas formulo
#000034
kie la ordo de multiplikatoj en ĉiu vektora produto gravas.
#000035
Derivaĵo de produto de matricaj funkcioj
#000036
La regulo veras ankaŭ por matrica produto kaj vektora produto de du matrico-valoraj funkcioj de skalara variablo.
#000037
Estu A(x) kaj B(x) ĉi tiaj funkcioj de skalaro x, de tiaj ampleksoj ke ilia matrica produto A(x)B(x) ekzistas.
#000038
Tiam por derivaĵo de ilia matrica produto estas formulo
#000039
kie la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.
#000040
Derivaĵo de produto de pli ol du funkcioj
#000041
La produta regulo povas esti ĝeneraligita al produto de pli ol du faktoroj.
#000042
Por kolekto de funkcioj f1(x), ..., fk(x) de variablo x:
#000043
Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, sed tiam ordo de multiplikatoj en la produtoj devas esti ĉiam tia kia ĝi estas en la fonta produto. Por kolekto de matrico-valoraj funkcioj A1(x), ..., Ak(x) de variablo x, de ampleksoj tiaj ke ilia produto ekzistas. Taim
#000044
La produta regulo povas esti ĝeneraligita al pli altaj derivaĵoj de produto de du funkcioj f(x) kaj g(x) de variablo x:
#000045
kie estas binomaj koeficientoj. La formulo aspekte similas al la binomo de Newton.
#000046
Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, tiam la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.
#000047
En kalkiĝo, la kiun derivaĵo de produto estas formulo kutimis trovi la derivaĵojn de produktoj de du aŭ pli da funkcioj.
Ĝi povas esti deklarita kiel
#000050
En diferencialnotacio, tio povas esti skribita kiel
#000051
En Leibniz-notacio, la derivaĵo de la produkto de tri funkcioj (malsama al la triobla derivaĵo de produto de Euler) estas
#000052
Discovery de tiu regulo estas kreditita al Gottfried Wilhelm Leibniz, kiu protestis ĝin uzi diferencialojn.
(Tamen, infano (2008) argumentas ke ĝi ŝuldiĝas al Isaac Barrow)
Jen estas la argumento de Leibniz: Lasita u ( x) kaj v ( x) estu du diferencieblaj funkcioj de x.
Tiam la diferencialo de uv estas
#000053
dv estas "nekonsiderinda" (komparite kun du kaj dv), Leibniz finis tion
#000054
kaj tio estas efektive la diferenciga formo de la derivaĵo de produto.
Se ni dividas trae per la diferenciga dks, ni akiras
#000055
kiel kiu ankaŭ povas esti skribita en la notacio de Lagrange
#000056
\displaistile (u\cdot v)' v\cdot u'+u\cdot v.
#000057
Lasu h (x) = f (x) g (x), kaj supozu ke f kaj g estas ĉiun diferencieblan ĉe x.
Ni volas pruvi ke h estas diferenciebla ĉe x kaj ke ĝia derivita h' (x) estas evoluita per f' (x) g (x) + f (x) g' (x).
#000059
f ( x) g ( x), kaj supozu ke f kaj g estas ĉiun diferencieblan ĉe x 0.
(Noto tio x 0 restos fiksaj dum la pruvo).
Ni volas pruvi ke h estas diferenciebla ĉe x 0 kaj ke ĝia derivita h ′ ( x 0) ricevas per f ′ ( x 0) g ( x 0
#000061
notu tion kvankam x 0 estas fiksaj, δh dependas de la valoro de δks, kiu estas opiniita de kiel estante "malgranda".
#000062
La funkcio h estas diferenciebla ĉe x 0 se la limo
#000063
kiam jes, h ′ ( x 0) estas difinita por esti la valoro de la limo.
#000064
It follows that h(x0 + Δx) = f(x0 + Δx) g(x0 + Δx) = (f(x0) + Δf) (g(x0) + Δg); applying the distributive law, we see that
#000065
Dum ĝi ne estas necesa por la pruvo, povas esti helpeme kompreni tiun produkton geometrie kiel la areon de la rektangulo en tiu diagramo:
#000066
Ricevi la valoron de δh, subtrahas h ( x 0
Tio forigas la areon da la blanka rektangulo, forlasante tri rektangulojn:
#000067
Por trovi h ′ ( x 0), ni devas trovi la limon kiam δks iras al 0 el
#000068
La unuaj du oficperiodoj da la dekstra flanko de tiu ekvacio egalrilatas al la areoj de la bluaj rektanguloj;
la tria egalrilatas al la areo de la griza rektangulo.
Utiligante la bazajn trajtojn de limoj kaj la difinon de la derivaĵo, ni povas pritrakti tion esprim-for esprimo.
#000069
La tria oficperiodo, egalrilatante al la malgranda griza rektangulo, bobenas supren estante nekonsiderinda (t.e. irante al 0 en la limo) ĉar δf δg "malaperas al dua ordo".
#000070
Ni montris ke la limo de ĉiu el la tri esprimoj sur la dekstra flanko de ekvacio
#000071
ekzistas kaj estas egala al la sumo de la tri limoj.
Tiel, la produkto h ( x) estas diferenciebla ĉe x 0 kaj ĝia derivaĵo ricevas per
#000072
Lasu f = uv kaj supozu u kaj v estas pozitivaj funkcioj de x.
#000073
kaj tiel, multobligante la maldekstran flankon de f, kaj la dekstran flankon de uv (noto:
#000074
La pruvo aperas en [1].
Notu tion ekde u, v devas esti kontinua, la supozo sur pozitiveco ne malpliigas la ĝeneralecon.
#000075
Tiu pruvo dependas de la derivaĵo de funkcia komponaĵo kaj de la trajtoj de la natura logaritmo funkcio, kiuj ambaŭ estas pli profundaj ol la derivaĵo de produto (tamen, informoj pri la derivaĵo de logaritmo kiu estas sufiĉa aranĝi variaĵon de la pruvo povas esti konkluditaj pripensante la derivaĵon ĉe x = 1 el la logaritmo al iu bazo de Ĉ, kie c estas konstanto, tiam ĝeneraligante c).
De unu perspektivo, t.e. malavantaĝo de tiu pruvo.
Aliflanke, la simpleco de la algebro en tiu pruvo eble facilaigas kompreni ol pruvo utiliganta la difinon de diferencigo rekte.
#000076
Tio ne faras nunajn temojn de ĉu la valoroj estas pozitivaj aŭ negativaj, kaj la trajtoj de la funkcio estas multe pli simplaj montri (efektive, ĝi povas esti diferencigita sen uzado de unuaj principoj pripensante la derivaĵon ĉe x = 0 el Ĉ, kie c estas konstanto, tiam ĝeneraligante c).
#000077
Notu ankaŭ, tiuj pruvoj estas nur validaj por nombroj aŭ similar, dum pruvoj de unuaj principoj ankaŭ estas validaj por matricoj kaj tia kiel.
#000078
La derivaĵo de produto povas esti konsiderita speciala kazo de la derivaĵo de funkcia komponaĵo por pluraj variabloj.
#000079
Lasu u kaj v esti kontinuaj funkcioj en x, kaj lasu dks, du kaj dv esti infinitesimal'oj ene de la kadro de ne-norma analizo, specife la hiperreelaj nombroj.
Uzante Skt. por indiki la norman partfunkcion kiu asocias al finhava hiperreela nombro la realan senlime proksiman al ĝi, tio donas
#000080
Tio estis esence la pruvo de Leibniz ekspluatanta la transcendan leĝon de homogeneco (modloko de la norma parto supra).
#000081
En la kunteksto de la aliro de Lawvere al infinitesimal'oj, lasis dks esti nulplaco infinitezimala.
Tiam du = la dks kaj dv de u = la dks de v, tiel ke
#000082
La derivaĵo de produto povas esti ĝeneraligita al produktoj de pli ol du faktoroj.
Ekzemple, por tri faktoroj ni havas
#000084
Ĝi ankaŭ povas esti ĝeneraligita al la Leibniz-regulo por la a derivaĵo de produkto de du faktoroj:
#000085
Vidu ankaŭ binoman koeficienton kaj la formale tre similan binomon de Newton.
#000086
Krome, por la a derivaĵo de arbitra nombro da faktoroj:
#000087
Por partaj derivaĵoj, ni havas
#000088
Ekzemple, kiam n = 3, tiam
#000089
Supozi X, Y, kaj Z estas banaĥaj spacoj (kiu inkludas eŭklidan spacon) kaj B:
X × Y → Z estas kontinua bilineara funkciigisto.
Tiam B estas diferenciebla, kaj ĝia derivaĵo ĉe la punkto ( x, y) en X × Y estas la lineara bildigo D ( x, y) B:
X × Y → Z donita per
#000090
En abstrakta algebro, la derivaĵo de produto kutimas difini kio estas nomita derivaĵo, ne inverse.
#000092
La derivaĵo de produto ampleksas skalaran multiplikon, skalarproduktojn, kaj vektorajn produtojn de vektorfunkcioj.
#000093
Por skalaraj kampoj la koncepto de gradiento estas la analogaĵo de la derivaĵo:
#000094
Inter la aplikoj de la derivaĵo de produto estas pruvo tio
#000095
kiam n estas pozitiva entjero (tiu regulo estas vera eĉ se n ne estas pozitiva aŭ ne estas entjero, sed la pruvo de tio devas dependi de aliaj metodoj).
La pruvo estas per matematika indukto sur la eksponento n.
Se n = 0 tiam x n estas konstantaj kaj nks n − 1 = 0-a La regulo tenas en tiu kazo ĉar la derivaĵo de konstanta funkcio estas 0-a Se la regulo tenas por iu akurata eksponento n, tiam por la venonta valoro, n + 1, ni havas
#000096
Tial se la propono estas vera de n, ĝi estas vera ankaŭ de n + 1, kaj tial ĉio integrita n.
#000097
Derivaĵo de produto ankaŭ estas uzita en difino de abstrakta klavspaco de iu abstrakta geometria figuro ( difencigebla plurejo).
Tiu difino kiun ni povas utiligi se ni ne povas aŭ deziron ne utiligi ĉirkaŭan ĉirkaŭan spacon kie nia elektita geometria figuro vivas (de kiam eble ekzistos ne tia ĉirkaŭspaco).
Utiligas la fakton ke estas eble difini derivaĵojn de real-aprezitaj funkcioj sur tiu geometria figuro ĉe punkto p sole kun la derivaĵo de produto kaj ke la aro de tute tiaj derivaĵoj fakte formas vektoran spacon kiu estas la dezirata klavspaco.
#000098