Wikipedia's Gradient as translated by GramTrans
#000000
En matematiko, la gradiento estas multi-varia ĝeneraligo de la derivaĵo.
Dum derivaĵo povas esti difinita sur funkcioj de ununura variablo, por funkcioj de pluraj variabloj, la gradiento prenas sian lokon.
La gradiento estas vektor-aprezita funkcio, kontraste al derivaĵo, kiu estas skalar-aprezita.
x n ) estas diferenciebla, real-aprezita funkcio de pluraj variabloj, ĝia gradiento estas la vektoro kies komponentoj estas la n partaj derivaĵoj de f .
#000001
Kiel la derivaĵo, la gradiento reprezentas la deklivon de la klavo de la grafeo de la funkcio.
Pli ĝuste, la gradientpunktoj en la direkto de la plej granda kreskokvoto de la funkcio, kaj ĝia magnitudo estas la deklivo de la grafeo en tiu direkto.
La komponentoj de la gradiento en koordinatoj estas la koeficientoj de la variabloj en la ekvacio de la klavspaco al la grafeo.
Tiu karakterizanta posedaĵon de la gradiento permesas al ĝi esti difinita sendepende de elekto de koordinatsistemo, kiel vektora kampo kies komponentoj en koordinatsistemo transformos kie irado de unu koordinatsistemo ĝis alia.
#000002
La Jacobian estas la ĝeneraligo de la gradiento por vektor-aprezitaj funkcioj de pluraj variabloj kaj diferencieblaj mapoj inter eŭklidaj spacoj aŭ, pli ĝenerale, duktoj.
Plia ĝeneraligo por funkcio inter banaĥaj spacoj estas la Fréchet-derivaĵo.
#000003
3 derivaĵo de funkcia komponaĵo
#000005
1 Interpretado de la gradiento
3 Lineara proksimumigo de funkcio
#000006
Pripensu ĉambron en kiu la temperaturo ricevas per skalara kampo, T , tiel ĉe ĉiu punkto ( x, y, z) la temperaturo estas T ( x, y, z).
(Supozu ke la temperaturo ne ŝanĝiĝas dum tempo.
Ĉe ĉiu punkto en la ĉambro, la gradiento de T ĉe tiu punkto montros la direkton en kiu la temperaturplialtigoj plej rapide.
La signifo de la gradiento determinos kiom rapidaj la temperaturplialtigoj en tiu direkto.
#000007
Konsideru surfacon kies alteco super marnivelo ĉe punkto ( x, y) estas H ( x, y).
La gradiento de H ĉe punkto estas vektoro indikanta en la direkto de la plej kruta deklivo aŭ grado ĉe tiu punkto.
La kruteco de la deklivo ĉe tiu punkto ricevas per la signifo de la gradientvektoro.
#000008
La gradiento ankaŭ povas esti uzita por mezuri kiel skalara kampo ŝanĝiĝas en aliaj indikoj, prefere ol ĵus la direkto de plej granda ŝanĝo, per prenado de skalarprodukto.
Supozu ke la plej kruta deklivo sur monteto estas 40%.
Se vojo iras rekte supren laŭ la monteto, tiam la plej kruta deklivo sur la vojo ankaŭ estos 40%.
Se, anstataŭe, la vojo iras ĉirkaŭ la monteto laŭ angulo, tiam ĝi havos pli malprofundan deklivon.
Ekzemple, ĉu la angulo inter la vojo kaj la ascenda direkto, projekciita sur la horizontalo, estas 60°, tiam la plej kruta deklivo laŭ la vojo estos 20%, kio estas 40% tempigas la kosinuson de 60°.
#000009
Tiu observado povas esti matematike deklarita jene.
Se la monteta altecfunkcio H estas diferenciebla, tiam la gradiento de H kovrita per unuobla vektoro donas la deklivon de la monteto en la direkto de la vektoro.
Pli ĝuste, kiam H estas diferenciebla, la skalarprodukto de la gradiento de H kun antaŭfiksita unuobla vektoro estas egala al la unudirekta derivaĵo de H en la direkto de tiu unuobla vektoro.
#000010
La gradiento (aŭ gradiento-vektorkampo) de skalarfunkcio f ( x 1, x 2, x 3
ksn ) estas indikita ∇ f aŭ ∇ → f kie del ∇ (la nabla simbolo) indikas la vektoran diferencigan funkciigiston,.
La notaciogradiĝa da f ankaŭ estas ofte uzita por la gradiento.
La gradiento de f estas difinita kiel la unika vektora kampo kies skalarprodukto kun iu vektoro v ĉe ĉiu poento x estas la unudirekta derivaĵo de f laŭ v .
#000011
En rektangula koordinatsistemo, la gradiento estas la vektora kampo kies komponentoj estas la partaj derivaĵoj de f :
#000012
kie la e I estas la ortogonalaj unuoblaj vektoroj indikantaj en la kunordigitaj indikoj.
Kiam funkcio ankaŭ dependas de parametro kiel ekzemple tempo, la gradiento ofte rilatas simple al la vektoro de it'oj spacaj derivaĵoj nur (vidu Spacan gradienton).
#000013
En la tridimensia karteza koordinatsistemo, la gradiento ricevas per:
#000014
kie mi , j , k estas la normaj unuoblaj vektoroj.
Ekzemple, la gradiento de la funkcio
#000015
En kelkaj aplikoj estas kutime reprezenti la gradienton kiel vicvektoro aŭ kolumna vektoro de ĝiaj komponentoj en rektangula koordinatsistemo.
#000016
En cilindraj koordinatoj, la gradiento ricevas per: [1]
#000017
kie φ estas la azimuta aŭ azmut perspektivo, z estas la aksa koordinato, kaj e ρ , e φ kaj e z estas unuoblaj vektoroj indikantaj laŭ la kunordigitaj indikoj.
#000018
En sferaj koordinatoj, la gradiento ricevas per: [1]
#000019
kie φ estas la azimut perspektivo kaj θ estas la zenit perspektivo.
#000020
Por la gradiento en aliaj ortogonalaj koordinatsistemoj, vidu Ortogonalaj koordinatoj (diferencialaj operatoroj en tri dimensioj).
#000021
Gradiento kaj la derivaĵo aŭ diferencialo
#000022
La gradiento de funkcio f de la eŭklidspaca R n ĝis R ĉe iu speciala poento x 0 en R n karakterizas la plej bonan linian aproksimadon al f ĉe x 0 .
La aproksimado estas kiel sekvas:
#000024
por x proksima al x 0 , kie (∇ f) x 0 estas la gradiento de f komputita ĉe x 0 , kaj la punkto indikas la skalarprodukton sur R n .
Tiu ekvacio estas ekvivalenta al la unuaj du oficperiodoj en la multivaria serio de Taylor vastiĝo de f ĉe x 0 .
#000025
La plej bona linia aproksimado al diferenciebla funkcio
#000026
ĉe poento x en R n estas lineara bildigo de R n ĝis R kiu ofte estas indikita fare de dfks aŭ Df ( x) kaj nomita la diagnozalternativo aŭ ( totala) derivaĵo de f ĉe x .
La gradiento estas tial rilatita al la diagnozalternativo de la formulo
#000027
La funkcio df , kiu mapas x al df x , estas nomita la diferencialo aŭ ekstera derivaĵo de f kaj estas ekzemplo de diferencialo 1-forma.
#000028
Se R n estas rigardita kiel la spaco de (dimensio n ) kolumnaj vektoroj (de realaj nombroj), tiam oni povas rigardi df kiel la vicvektoron kun komponentoj
#000029
tiel tion df x ( v) ricevas per matrica multipliko.
La gradiento tiam estas la ekvivalenta kolumna vektoro, t.e.,
#000030
Lasu U esti malfermita aro en R n .
U → R estas diferenciebla, tiam kiun la diagnozalternativo de f estas la (Fréchet) derivaĵo de f .
Tiel ∇ f estas funkcio de U ĝis la spaco R tia ke
#000031
Kiel sekvo, la kutimaj trajtoj de la derivita teno por la gradiento:
#000032
La gradiento estas linia en la senco ke se f kaj g estas du real-aprezitaj funkcioj diferencieblaj ĉe la punkto ∈ R n , kaj α kaj β estas du konstantoj, tiam αf + βg estas diferenciebla ĉe , kaj krome
#000033
Se f kaj g estas real-aprezitaj funkcioj diferencieblaj ĉe punkto ∈ R n , tiam la derivaĵo de produto asertas ke la produkto fg estas diferenciebla ĉe , kaj
#000035
→ R estas real-aprezita funkcio difinita sur subaro A da R n , kaj tiu f estas diferenciebla ĉe punkto .
Ekzistas du formoj de la derivaĵo de funkcia komponaĵo validanta por la gradiento.
Unue, supozas ke la funkcio g estas parametrika kurbo;
mi → R n mapas subaron mi ⊂ R en R n .
Se g estas diferenciebla ĉe punkto c ∈ mi tia ke g ( c
#000036
kie ∘ estas la kunmetaĵfunkciigisto:
#000037
Por la dua formo de la derivaĵo de funkcia komponaĵo, supozu tiun h:
mi → R estas reala aprezita funkcio sur subaro mi de R, kaj tiun h estas diferenciebla ĉe la punkto f (
#000040
Nivelsurfaco, aŭ izosurfaco, estas la aro de ĉiuj punktoj kie iu funkcio havas antaŭfiksitan valoron.
#000041
Se f estas diferencieblaj, tiam la skalarprodukto (∇ f) x ⋅ v de la gradiento ĉe punkto x kun vektoro v donas la unudirektan derivaĵon de f ĉe x en la direkto v .
Ĝi sekvas ke en tiu kazo la gradiento de f estas ortogonala al la ebenaj aroj de f .
Ekzemple, nivelsurfaco en tri-dimensia spaco estas difinita per ekvacio de la formo F ( x, y, z
La gradiento de F tiam estas normala al la surfaco.
#000042
Pli ĝenerale, ĉiu integriĝinta hipersurfaco en Riemaniana dukto povas esti formtranĉita de ekvacio de la formo F ( P) = 0 tia ke dF estas nenie nul.
La gradiento de F tiam estas normala al la hipersurfaco.
#000043
Simile, afina algebra hipersurfaco povas esti difinita per ekvacio F ( x 1
x n) = 0, kie F estas polinomo.
La gradiento de F estas nul ĉe eksterordinara punkto de la hipersurfaco (tio estas la difino de eksterordinara punkto).
Ĉe ne-eksterordinara punkto, ĝi estas nonzera normala vektoro.
#000044
La gradiento de funkcio estas nomita gradientkampo.
(Kontinua) gradientkampo ĉiam estas konservativa vektora kampo: ĝia liniintegralo laŭ iu pado dependas nur de la finpunktoj de la pado, kaj povas esti analizita per la gradientteoremo (la infinitezimalteoremo por liniintegraloj).
Inverse, (kontinua) konservativa vektora kampo ĉiam estas la gradiento de funkcio.
#000045
Por iu glata funkcio f sur Riemaniana dukto ( M, g), la gradiento da f estas la vektorkampa ∇ f tia ke por iu vektora kampo Xa,
#000046
indikas la internan produkton da klavvektoroj ĉe x difinite je la metrika g kaj ∂ Xa f (foje indikis al X ( f) estas la funkcio kiu prenas ajnan punkton x ∈ M al la unudirekta derivaĵo de f en la direkto Xa , analizita ĉe x .
En aliaj vortoj, en kunordigita diagramo φ de malferma subaro de M ĝis malferma subaro de R n , (∂ Xa f) ( x) ricevas per:
#000047
kie X j indikas la j th komponenton de X en tiu kunordigita diagramo.
#000048
Tiel, la loka formo de la gradiento prenas la formon:
#000049
Ĝeneraligante la kazon M = R n , la gradiento de funkcio estas rilatitaj al ĝia ekstera derivaĵo, poste
#000050
Pli ĝuste, la gradient ∇ f estas la vektora kampo asociita al la diferenciga 1-forma df uzante la muzikan izomorfion
#000051
(nomita "akra") difinite je la metrika g .
La rilato inter la ekstera derivaĵo kaj la gradiento de funkcio sur R n estas speciala kazo de tio en kiu la metriko estas la plata metriko donita per la skalarprodukto.
#000052
Ĉar la tuteca derivaĵo de vektora kampo estas linia mapado de vektoroj ĝis vektoroj, ĝi estas tensor kvanto.
#000053
En rektangulaj koordinatoj, la gradiento de vektora kampo f
f 1, f 2, f 3) estas difinita per:
#000054
kie la Einstein-sumignotacio estas utiligita kaj la produkto de la vektoroj e I , e k estas diada tensoro de tipo (2,0), aŭ la Jakobiana matrico
#000055
En kurbaj koordinatoj, aŭ pli ĝenerale sur kurba dukto, la gradiento implikas Christoffel-simbolojn:
#000056
kie g jk estas la komponentoj de la metrika tensoro kaj la e I estas la kunordigitaj vektoroj.
#000057
Esprimite pli senvarie, la gradiento de vektora kampo f povas esti difinita per la Levi-Civita ligo kaj metrika tensoro: [2]
#000058
kie ∇ c estas la ligo.
#000059
En matematiko, gradiento de skalara kampo estas vektora kampo, kiu en ĉi punkto direktiĝas al la fluo de la plej granda pligrandiĝo de la skalara kampo, kaj kies grandeco estas la rapideco de la pligrandiĝo.
#000064
Rapideco de pligrandiĝo de la skalara kampo en iu direkto povas esti kalkulita kiel skalara produto de la gradiento kaj unuobla vektoro en la direkto.
#000065
Konsideru ĉambron en kiu la temperaturo estas donita per skalara kampo , do je ĉiu punkto la temperaturo estas . Alprenu ke la temperaturo ne ŝanĝiĝas kun tempo. Tiam, je ĉiu punkto en la ĉambro, la gradiento je la punkto montras la direkton laŭ kiu iĝas pli varme plej rapide. La grandeco de la gradiento montras kiom rapide iĝas pli varme en ĉi tiu direkto.
#000066
Konsideri monteton, kies alto je punkto (x, y) estas H(x, y). La gradiento de H je punkto estas direkte al la plej kruta inklino je la punkto. La grandeco de la gradiento montras kiom kruta la inklino estas.
#000067
La gradiento de skalara funkcio f(x) estas skribata kiel
#000068
kie (nabla operatoro) estas la vektora diferenciala operatoro. La gradiento de f(x) estas iam ankaŭ skribita kiel grad(f(x).
#000069
En karteziaj koordinatoj en 2 dimensioj la esprimo estas
#000070
en 3 dimensioj la esprimo estas
#000071
kaj tiel plu en pli multaj dimensioj.
#000072
La rezulto estas invarianta sub ĉiuj turnoj de la koordinatosistemo, do sub transformoj per ĉiuj perpendikularaj matricoj. Ĉi tiel devas esti ĉar laŭ la senco gradiento ne dependas de koordinatosistemo uzata.
#000073
Gradiento de funkcio f kun argumento en eŭklida spaco kaj la rezulto en en iu punkto x0 in donas la plej bonan linearan proksimumigon de f ĉirkaŭ x0:
#000074
kie estas gradiento de f en , kaj la punkto signifas skalaran produton en . Ĉi tio estas du la unuaj eroj de vico de Taylor de f je x0.
#000075
kie θ estas la angulo de la abscisa akso kaj
#000076
z estas koordinato koincidanta kun la kartezia.
#000077
φ estas la zenita angulo.
#000078
Estu c skalara konstanto, estu u kaj v skalaraj kampoj.
#000079
grad (c u) = c grad u
#000081
grad (u v) = u (grad v) + v (grad u)
#000082
La gradiento de la funkcio ' estas:
#000083