En algebro, finhave generita grupo estas grupo G kiu havas iun finhavan generadon metitan al S tiel ke ĉiu elemento de G povas esti skribita kiel la produkto de finhave multaj elementoj de la finhava metite al S kaj de enversoj de tiaj elementoj.
#000001
Ĉiu finhava grupo estas finhave generita, ĉar S povas esti manĝita por esti G mem.
Ĉiu senfina finhave generita grupo devas esti nombrebla.
Grupo kiu estas generita per ununura elemento estas nomita cikla.
Ĉiu senfina cikla grupo estas izomorfa al la aldona grupo de la entjeroj Z.
La aldona grupo de raciaj nombroj Q, dum nombreble, ne estas finhave generita.
#000002
2 Finhave generis abelajn grupojn
#000003
Ĉiu kvociento de finhave generita grupo estas finhave generita.
Tamen, subgrupo de finhave generita grupo ne devas esti finhave generita.
Ekzemple, la kolektorsubgrupo de la libera grupo F 2 sur du generatoroj ne estas finhave generita.
Tamen, subgrupo de finhava indekso en finhave generita grupo ĉiam estas finhave generita, kaj la Schreier-indicformulo donas saltegon sur la nombro da generatoroj necesa.
#000004
En finhave generita abela grupo per generatoroj x 1
x n , ĉiu grupelemento x povas esti skribita en la formo
#000005
(Ĉiu abela grupo povas esti vidita kiel modulo super la ringo de entjeroj Z.
#000006
La bazteoremo de finhave generitaj abelaj grupoj ŝtatoj ke finhave generita abela grupo estas la rekta sumo de libera abela grupo de finhava rango kaj finhava abela grupo, ĉiu el kiuj estas unika supren al izomorfio.
#000007
La krado de subgrupoj de grupo kontentigas la ascendantan ĉenkondiĉon se kaj nur se ĉiuj subgrupoj de la grupo estas finhave generitaj.
#000008
La vorto problemo por finhave generita grupo estas la decidoproblemo ĉu du vortoj en la generatoroj de la grupo reprezentas la saman elementon.
La vorto problemo por antaŭfiksitan finhave generitan grupon estas solvebla se kaj nur se la grupo povas esti enkonstruita en ĉiu algebre fermita grupo.
#000009
Grupo estas loke finhava se ĉiu finhave generita subgrupo estas finhava.
Ĉiu loke finhava grupo estas perioda, t.e., ĉiu elemento havas finhavan ordon.
Inverse, ĉiu perioda abela grupo estas loke finhava.
#000010
Grupo estas loke cikla se ĉiu finhave generita subgrupo estas cikla.
La aldona grupo de la raciaj nombroj Q estas ekzemplo de ne-cikla loke cikla grupo.
Ĉiu loke cikla grupo estas abela.
Ĉiu finhav-generita loke cikla grupo estas cikla.
#000011