Aroteorio estas filio de matematika logiko kiuj studaroj, kiuj neformale estas kolektoj de objektoj.
Kvankam ajna speco de objekto povas esti kolektita en aron, aroteorio plejofte estas aplikita al objektoj kiuj estas signifaj al matematiko.
La lingvo de aroteorio povas esti uzita en la difinoj de preskaŭ ĉiuj matematikaj objektoj.
#000001
La moderna studo de aroteorio estis iniciatita fare de Georg Cantor kaj Richard Dedekind en la 1870-aj jaroj.
Post la eltrovo de paradoksoj en naiva aroteorio, kiel ekzemple la paradokso de la Russell, multaj aksiomsistemoj estis proponitaj en la frua dudeka jarcento, de kiu la Zermelo-Fraenkel-aksiomoj, kun aŭ sen la libera-elekto-aksiomo, estas la plej konataj.
#000002
Aroteorio estas ofte utiligita kiel baza sistemo por matematiko, precipe en la formo de Zermelo-Fraenkel aroteorio kun la libera-elekto-aksiomo.
Preter ĝia fonda rolo, aroteorio estas branĉo de matematiko en sia propra rajto, kun aktiva esplorkomunumo.
Nuntempa esplorado en aroteorion inkluzivas varian kolekton de temoj, intervalante de la strukturo de la realnombra linio ĝis la studo de la konsistenco de grandaj kardinaloj.
#000003
2 Bazaj konceptoj kaj notacio
7 Protestoj kontraŭ aroteorio kiel fundamento por matematiko
#000004
Ekde la 5-a jarcento a.K., komenciĝante kun greka matematikisto Zenono el Elajo en la okcidentaj kaj frue hindaj matematikistoj en la Oriento, matematikistoj luktis kun la koncepto de senfineco.
Aparte rimarkinda estas la laboro de Bernard Bolzano en la unua duono de la 19-a jarcento.
Moderna kompreno de senfineco komenciĝis en 1867-71, kun la laboro de Cantor pri nombroteorio.
Renkontiĝo inter Kantoro kaj Richard Dedekind (1872) influis la pensadon de Cantor kaj kulminis per la 1874 artikolo de Cantor.
#000006
La laboro de Cantor komence polarigis la matematikistojn de lia tago.
Dum Karl Weierstrass kaj Dedekind apogis kantoron, Leopold Kronecker, nun viditen kiel fondinto de matematika konstruismo, ne faris.
Cantoriana aroteorio poste iĝis ĝeneraligita, pro la utileco de Cantorianaj konceptoj, kiel ekzemple ekzakta korespondado inter aroj, lia pruvo ke ekzistas pli realaj nombroj ol entjeroj, kaj la "senfineco de senfinecoj" (" la paradizo de Cantor ") rezultiĝantaj el la aro de ĉiuj subaro operacio.
Tiu utileco de aroteorio kondukis al la artikolo "Mengenlehre" kontribuita en 1898 fare de Arthur Schoenflies al la enciklopedio de Klein.
#000007
La venonta ondo de ekscito en aroteorio venis ĉirkaŭ 1900, kiam estis malkovrite ke kelkaj interpretoj de Cantoriana aroteorio kaŭzis plurajn kontraŭdirojn, nomitajn antinomioj aŭ paradoksoj.
Bertrand Russell kaj Ernst Zermelo sendepende trovis la plej simplan kaj plej konatan paradokson, nun nomitan la paradokso de Russell: pripensu "la aron de ĉiuj aroj kiuj ne estas membroj de ili mem", kiu kondukas al kontraŭdiro ĉar ĝi devas esti membro de si mem, kaj ne membro de si mem.
En 1899 kantoro havis sin prezentita la demando "Kio estas la povo de aro de la aro de ĉiuj aroj?
", kaj akirita rilata paradokso.
Russell utiligis sian paradokson kiel temon en sia revizio de kontinenta matematiko (1903) en sia The Principles of Mathematics (La Principoj de Matematiko) .
#000008
La impeto de aroteorio estis tia ke debato en la paradoksoj ne kaŭzis sian rezignon.
La laboro de Zermelo en 1908 kaj Abraham Fraenkel en 1922 rezultigis la aron de aksiomoj ZFC, kiu iĝis la plej ofte uzita aro de aksiomoj por aroteorio.
La laboro de analizistoj kiel ekzemple Henri Leon Lebesgue elmontris la grandan matematikan utilecon de aroteorio, kiu poste fariĝis teksita en la ŝtofon de moderna matematiko.
Aroteorio estas ofte utiligita kiel baza sistemo, kvankam en kelkaj lokoj [ kiu?
teorio de kategorioj supozeble estas preferata fonduso.
#000010
Aroteorio komenciĝas kun fundamenta duargumenta rilato inter objekto o kaj aro A.
Se o estas membro (aŭ elemento) de A , la notacio o ∈ A estas uzita.
Ĉar aroj estas objektoj, la membrecrilato povas rilatigi arojn ankaŭ.
#000011
Derivita duargumenta rilato inter du aroj estas la subarrilato, ankaŭ nomita metita inkludo.
Se ĉiuj membroj de aro A ankaŭ estas membroj de aro B, tiam A estas subaro de B , indikis A ⊆ B .
Kiel insinuite de tiu difino, aro estas subaro de si mem.
Por kazoj kie tiu ebleco estas malracia aŭ sonus racie por esti malaprobita, la esprimo bonorda subaro estas difinita.
Estas nomita bonorda subaro de B se kaj nur se A estas subaro de B , sed A ne estas egala al B .
#000012
Ekzakte kiel artimetikaj ecoj operacioj sur nombroj, aroteoriotrajtoj operacioj sur aktoraroj.
#000013
Kelkaj bazaj aroj de centra graveco estas la malplena aro (la unika aro enhavanta neniujn elementojn;
foje vokis la malplen-aron kvankam tiu nomo estas ambigua), la aro de naturaj nombroj, kaj la aro de realaj nombroj.
#000015
Elementa aroteorio povas esti studita neformale kaj intuicie, kaj tiel povas esti instruita en bazlernejoj uzantaj venn-a diagramojn.
La intuicia aliro implice supozas ke aro povas esti formita de la klaso de ĉiuj objektoj kontentigante ajnan specialan difinan kondiĉon.
Tiu supozo kaŭzas paradoksojn, la plej simpla kaj plej konataj de kiuj estas la paradokso de Russell kaj la Burali-Forti-paradokso.
Aksioma aroteorio estis origine elpensita por senigi aroteorion de tiaj paradoksoj.
#000017
La plej vaste volitaj sistemoj de aksioma aroteorio implicas ke ĉiuj aroj formas akumulan hierarkion.
Tiaj sistemoj venas en du gustoj, tiuj el kies ontologio konsistas:
#000018
Tio inkludas la plej oftan aksioman aroteorion, Zermelo-Fraenkel aroteorion (ZFC), kiu inkludas la libera-elekto-aksiomon.
Fragmentoj de ZFC inkludas: Zermelo aroteorio, kiu anstataŭigas la aksiomskemon de anstataŭaĵo kun tiu de apartigo;
Ĝenerala aroteorio, malgranda fragmento de Zermelo aroteorio sufiĉa por la Peano-aksiomoj kaj finhavaj aroj;
Kripke-Platek aroteorio, kiu preterlasas la aksiomojn de senfineco, aron de ĉiuj subarojn, kaj elekton, kaj malfortigas la aksiomskemojn de apartigo kaj anstataŭaĵo.
Aroj kaj bonordaj klasoj .
Tiuj inkludas Von Neumann-Bernays-Gödel aroteorion, kiu havas la saman forton kiel ZFC por teoremoj pri aroj sole, kaj Mors-Kelley-aroteorio kaj Tarski-Grothendieck aroteorio, kiuj ambaŭ estas pli forta ol ZFC.
#000019
Zermelo aroteorio, kiu anstataŭigas la aksiomskemon de anstataŭaĵo kun tiu de apartigo;
Ĝenerala aroteorio, malgranda fragmento de Zermelo aroteorio sufiĉa por la Peano-aksiomoj kaj finhavaj aroj;
Kripke-Platek aroteorio, kiu preterlasas la aksiomojn de senfineco, aron de ĉiuj subarojn, kaj elekton, kaj malfortigas la aksiomskemojn de apartigo kaj anstataŭaĵo.
#000020
Ĉi-supraj sistemoj povas esti modifitaj por permesi urelementojn , objektojn kiuj povas esti membroj de aroj sed kiuj ne estas sin aroj kaj ne havas iujn ajn membrojn.
#000021
La sistemoj de New Foundations NFU (permesanta urelementojn) kaj NF (malhavanta ilin) ne estas bazitaj sur akumula hierarkio.
NF kaj NFU inkludas "aron de ĉio," relative al kiu ĉiu aro havas komplementon.
En tiu sistemurelementafero, ĉar NF, sed ne NFU, produktas arojn por kiu la libera-elekto-aksiomo ne tenas.
#000022
Sistemoj de helpema aroteorio, kiel ekzemple CST, CZF, kaj IZF, enkonstruas siajn araksiomojn en intuitionista anstataŭe de klasika logiko.
Ankoraŭ aliaj sistemoj akceptas klasikan logikon sed havas nenorman membrecrilaton.
Tiuj inkludas malglatan aroteorion kaj malklarkonturan aroteorion, en kiu la valoro de atoma formulo enkarniganta la membrecrilaton ne estas simple Vera aŭ Falsan.
La Bule-aprezitaj modeloj de ZFC estas parenca temo.
#000023
Multaj matematikaj konceptoj povas esti difinitaj ĝuste uzante nur metis teoriajn konceptojn.
Ekzemple, matematikaj strukturoj tiel diversspeca kiel grafeoj, duktoj, ringoj, kaj vektoraj spacoj ĉio povas esti difinitaj kiel aroj kontentigantaj diversajn (aksiomajn) trajtojn.
Ekvivalenteco- kaj ordrilatoj estas ĉieaj en matematiko, kaj la teorio de matematikaj rilatoj povas esti priskribita en aroteorio.
#000025
Aroteorio ankaŭ estas esperiga baza sistemo por multo da matematiko.
Ekde la publikigo de la unua volumo de Principia Mathematica , estis postulite ke la plej granda parto aŭ eĉ ĉiuj matematikteoremoj povas esti derivitaj uzante trafe dizajnitan aron de aksiomoj por aroteorio, pliigita kun multaj difinoj, uzi unua aŭ dua ordigas logikon.
Ekzemple, trajtoj de la naturaj kaj realaj nombroj povas esti derivitaj ene de aroteorio, ĉar ĉiu aroj de nombroj povas esti identigita kun aro de ekvivalentklasoj sub taŭga ekvivalentrilato kies kampo estas iu senfina aro.
#000026
Aroteorio kiel fundamento por analitiko, topologio, abstrakta algebro, kaj diskreta matematiko estas same nekontestataj;
matematikistoj akceptas ke (en principo) teoremoj en tiuj lokoj povas esti derivitaj de la signifaj difinoj kaj la aksiomoj de aroteorio.
Malmultaj plenaj derivaĵoj de kompleksaj matematikteoremoj de aroteorio estis formale konfirmitaj, aliflanke, ĉar tiaj formalaj derivaĵoj ofte estas multe pli longaj ol la naturlingvaj pruvoj kiujn matematikistoj ofte prezentas.
Unu konfirmprojekto, Metamath, inkludas hom-skribajn, komputer‐verified derivaĵojn de pli ol 12,000 teoremoj komencantaj de ZFC aroteorio, unua ordlogiko kaj propozicia logiko.
#000027
Aroteorio estas grava areo de esplorado en matematiko, kun multaj interelateitaj subkampoj.
#000028
Kombineca aroteorio koncernas etendaĵojn de finhava kombinatoriko al senfinaj aroj.
Tio inkludas la studon de kaparitmetiko kaj la studon de etendaĵoj de la teoremo de Ramsey kiel ekzemple la Erdős-Rado-teoremo.
#000029
Priskriba aroteorio estas la studo de subaroj de la reala linio kaj, pli ĝenerale, subaroj de polaj spacoj.
Ĝi komenciĝas kun la studo de pointclase en la Borel-hierarkio kaj ampleksas la studon de pli kompleksaj hierarkioj kiel ekzemple la projekcia hierarkio kaj la Wadge-hierarkio.
Multaj trajtoj de Borel-aroj povas esti establitaj en ZFC, sed pruvi tiuj trajtoj tenas por pli d komplikaj aroj postulas kromajn aksiomojn ligitajn al Determineco kaj grandaj kardinaloj.
#000030
La kampo de efika priskriba aroteorio estas inter aroteorio kaj Rikurteorio.
Ĝi inkludas la studon de lumvizaĝpointclase, kaj estas proksime rilatita al hiperaritmetika teorio.
En multaj kazoj, rezultoj de klasika priskriba aroteorio havas efikajn versiojn;
en kelkaj kazoj, novaj rezultoj akiriĝas pruvante la efikan version unue kaj tiam etendantan ("relativigante") ĝin por igi ĝin pli larĝe uzebla.
#000031
Lastatempa areo de esplorado koncernas Borel ekvivalentrilatojn kaj pli d komplikajn difineblajn ekvivalentrilatojn.
Tio havas gravajn aplikojn al la studo de Invariantoj en multaj kampoj de matematiko.
#000032
En aroteorio kiel Kantoro difinis kaj Zermelo kaj Fraenkel aksiomigis, objekto aŭ estas membro de aro aŭ ne.
En malklarkontura aroteorio tiu kondiĉo estis malstreĉita fare de Lotfi A. Zadeh tiel kiun objekto havas al grado da membreco en aro, nombron inter kaj 1. Ekzemple, la grado da membreco de persono en la aro de "altaj homoj" estas pli fleksebla ol kuracherbo jes aŭ neniu respondo kaj povas esti reala nombro kiel ekzemple 0.75.
#000033
Interna modelo de Zermelo-Fraenkel aroteorio (ZF) estas transitiva klaso kiu inkludas ĉiujn ordajn numeralojn kaj kontentigas ĉiujn aksiomojn de ZF.
La kanonika ekzemplo estas la konstruebla universo L evoluigita fare de Gödel.
Unu kialo ke la studo de internaj modeloj estas de intereso estas ke povas esti uzite pruvi konsistencrezultojn.
Ekzemple, ĝi povas esti montrita tion nekonsiderante ĉu modelo V de ZF kontentigas la kontinuo-hipotezon aŭ la libera-elekto-aksiomon, la interna modelo L konstruita ene de la origina modelo kontentigos kaj la ĝeneraligitan kontinuo-hipotezon kaj la libera-elekto-aksiomon.
Tiel la supozo ke ZF estas kohera (havas almenaŭ unu modelon) implicas ke ZF kune kun tiuj du principoj estas kohera.
#000034
La studo de internaj modeloj estas ofta en la studo de Determineco kaj grandaj kardinaloj, aparte dum pripensado aksiomoj kiel ekzemple la aksiomo de Determineco kiuj kontraŭdiras la libera-elekto-aksiomon.
Eĉ se fiksa modelo de aroteorio kontentigas la libera-elekto-aksiomon, estas eble ke interna modelo malsukcesus kontentigi la libera-elekto-aksiomon.
Ekzemple, la ekzisto de sufiĉe grandaj kardinaloj implicas ke ekzistas interna modelo kontentiganta la aksiomon de Determineco (kaj tiel ne kontentiganta la libera-elekto-aksiomon).
#000035
Granda kardinalo estas povo de aro kun ekstra posedaĵo.
Kvanto tiaj trajtoj estas studitaj, inkluzive de nealireblaj kardinaloj, al mezureblaj kardinaloj, kaj multajn pli.
Tiuj trajtoj tipe implicas ke la povo de aro devas esti tre granda, kun la ekzisto de kardinalo kun la precizigita posedaĵo nepruvebla en Zermelo-Fraenkel aroteorio.
#000036
Determineco rilatas al la fakto ke, sub konvenaj supozoj, certaj du-ludantaj ludoj de perfektaj informoj estas determinitaj de la komenco en la senco ke unu ludanto havendaĵo allogan strategion.
La ekzisto de tiuj strategioj havas gravajn sekvojn en priskriba aroteorio, kiel la supozo ke pli larĝa klaso de ludoj ofte estas determinita implicas ke pli larĝa klaso de aroj havos topologian posedaĵon.
La aksiomo de Determineco (AD) estas grava studobjekto;
kvankam malkongrua kun la libera-elekto-aksiomo, AD implicas ke ĉiuj subaroj de la reala linio estas bone kondutitaj (aparte, mezurebla kaj kun la perfekta arposedaĵo).
AD povas esti uzita por pruvi ke la Wadge-gradoj havas elegantan strukturon.
#000037
Paul Cohen inventis la metodon de devigado serĉante modelon de ZFC en kiu la kontinuo-hipotezo perfidas, aŭ modelon de ZF en kiu la libera-elekto-aksiomo malsukcesas.
Devigado tuŝas al kelkaj antaŭfiksita modelo de aroteoriokromaj aroj por krei pli grandan modelon kun trajtoj determinite (t.e. "malvola") fare de la konstruo kaj la origina modelo.
Ekzemple, la konstruo de Cohen ĝislimas kromajn subarojn de la naturaj nombroj sen ŝanĝado de iujn ajn da la povo de aroj de la origina modelo.
Devigado ankaŭ estas unu el du metodoj por pruvado de relativa konsistenco per finitistaj metodoj, la alia metodo estanta Bule-aprezitaj modeloj.
#000038
Kardinal-Invarianto estas posedaĵo de la reala linio mezurita per povo de aro.
Ekzemple, bon-volita Invarianto estas la plej malgranda kardinaleco da kolekto de magraj aroj de realoj kies unio estas la tuta reala linio.
Tiuj estas Invariantoj en la senco ke ĉiuj du izomorfaj modeloj de aroteorio devas doni la saman kardinalon por ĉiu Invarianto.
Multaj Kapinvariantoj estis studitaj, kaj la rilatoj inter ili ofte estas kompleksaj kaj rilatitaj al aksiomoj de aroteorio.
#000039
Aro-teoria topologio studas demandojn de ĝenerala topologio kiuj estas aro-teoriaj en naturo aŭ kiuj postulas progresintajn metodojn de aroteorio por sia solvo.
Multaj el tiuj teoremoj estas sendependaj de ZFC, postulante pli fortajn aksiomojn por ilia pruvo.
Fama problemo estas la normala Moore-spacdemando, demando en ĝenerala topologio kiu estis la temo de intensa esplorado.
La respondo al la normala Moore-spacdemando estis poste pruvita por esti sendependa de ZFC.
#000040
Protestoj kontraŭ aroteorio kiel fundamento por matematiko
#000041
De la komenco de aroteorio, kelkaj matematikistoj protestis kontraŭ ĝi kiel fundamento por matematiko.
La plej oftan proteston kontraŭ aroteorio, unu Kronecker esprimis en la plej fruaj jaroj de aroteorio, komencas de la konstruist vido ke matematiko estas loze rilatita al komputado.
Se tiu vido tiam estas koncedita, la traktado de senfinaj aroj, kaj en naiva kaj en aksioma aroteorio, enkondukas en matematikmetodojn kaj objektojn kiuj ne estas komputeblaj eĉ en principo.
La farebleco da konstruismo kiel anstataŭaĵfundamento por matematiko estis tre pliigita per la influa libro Foundations of Constructive Analysis de Errett Bishop.
#000042
Malsama obĵeto prezentita fare de Henri Poincaré estas tiu difinanta arojn utiligantajn la aksiomskemojn de specifo kaj anstataŭaĵo, same kiel la aksiomon de potenco metita, enkondukas impredicativecon, specon de cirklecon, en la difinoj de matematikaj objektoj.
La amplekso de predikative fondis matematikon, dum malpli ol tiu de la ofte akceptita Zermelo-Fraenkel-teorio, estas multe pli bonega ol tiu de helpema matematiko, al la punkto ke Solomon Feferman diris ke "ĉio el science uzebla analizo povas esti evoluigita [uzante predikativajn metodojn]".
#000043
Li skribis ke "aroteorio estas malĝusta", ĉar ĝi konstruas en la "sensencaĵo" de fikcia simboleco, havas "malutilegajn idiomaĵojn", kaj ke estas sensence paroli pri "ĉiuj nombroj".
La opinioj de Wittgenstein pri la fundamentoj de matematiko poste estis kritikitaj fare de Georg Kreisel kaj Paul Bernays, kaj esploritaj fare de Crispin Wright, inter aliaj.
#000044
Kategorioteoriuloj proponis toposteorion kiel alternativon al tradicia aksioma aroteorio.
Toposteorio povas interpreti diversajn alternativojn al tiu teorio-, kiel ekzemple konstruismo, finhava aroteorio, kaj komputebla aroteorio.
Topoi ankaŭ donu naturan scenaron por devigado kaj diskutoj de la sendependeco de elekto de ZF, same kiel disponigado de la kadro por sencela topologio kaj Ŝtonspacoj.
#000045
Aktiva areo de esplorado estas la unuvalentaj fondusoj kaj rilatita al ĝi homotopy-teorio de tipoj.
Ĉi tie, aroj povas esti difinitaj kiel certaj specoj de specoj, kun universalaj trajtoj de aroj ekestiĝantaj de pli altaj induktaj tipoj.
Principoj kiel ekzemple la libera-elekto-aksiomo kaj la leĝo de la nediskutebla mezo aperas en spektro de malsamaj formoj, kelkaj el kiuj povas esti pruvita, aliaj kiuj egalrilatas al la klasikaj nocioj;
tio enkalkulas detalan diskuton de la efiko de tiuj aksiomoj pri matematiko.
#000046
Interrilata modelo - pruntas de aroteorio
#000047
La leĝoj de De Morgan
#000051
Povo de aro ( granda)
#000052
Diferencialaj ekvacioj / dinamikaj sistemoj
#000053
Prezento de scio kaj rezonado
#000054
Aroteorio (aŭ arteorio) estas branĉo de matematiko kaj komputiko kreita ĉefe de la germana matematikisto Georg Cantor fine de la 19-a jarcento. Ĝi komence estis disputata, sed nuntempe iĝis grava en la fundamentteorio por difini bazajn konceptojn kiel nombro.
#000055
Komence oni evoluigis la naivan aŭ intuician arteorion, kiun oni povas difini jene:
#000056
Al tiaj aroj oni povas apliki diversajn operaciojn, kiel la kunaĵon kaj la komunaĵon.
#000057
Tamen montriĝis ke, se oni aplikas ĉiujn operaciojn senlime, aperas paradoksoj kiel la Rusela paradokso. Por solvi tiujn problemojn, oni rekonstruis la arteorion uzante aksioman metodon.
#000058
La aksiomoj por la arteorio nuntempe plej ofte uzataj estas nomataj la Zermelo-Fraenkel-aksiomoj. Verdire, la aksiomoj estas ĉenoj de logikaj simboloj. Ĉi sube aperas iliaj "tradukoj" al natura lingvo:
#000059
Aksiomo de etendo: Du aroj estas samaj se kaj nur se ili havas la samajn membrojn.
Aksiomo de kunaĵo: Por ĉiu aro x ekzistas aro y tiel ke la membroj de y estas precize la membroj de la membroj de x.
Aksiomo de apartigo: Se x estas aro kaj P(y) estas predikato, tiam ekzistas subaro de x kies membroj estas precize tiuj, por kiuj P(y) estas vera.
Aksiomo de anstataŭigo: Se x estas aro, kaj P(y,z) difinas bildigon (do P(y,z) kaj P(y,w) entenas z=w) tiam ekzistas aro enhavanta precize la bildojn de la membroj de x.
Aksiomo de potenca aro: Ĉiu aro havas potencan aron. Do, por ĉiu aro x ekzistas aro y tiel ke la membroj de y estas ĉiuj subaroj de x.
Aksiomo de reguleco: Ĉiu ne-malplena aro x havas membron y tiel ke x kaj y estas disaj aroj.
Aksiomo de elekto: Se x estas aro de reciproke disaj ne-malplenaj aroj, ekzistas aro y kiu enhavas precize unu membron de ĉiu membro de x.
#000060
La aksiomoj de reguleco kaj de elekto restas disputataj de malmultaj matematikistoj.
#000061
La kunaĵo de du aroj A kaj B konsistas el ĉiuj elementoj, kiuj estas en A, en B aŭ en ambaŭ. La operacio nature ĝeneraliĝas al pli ol du aroj; ĝi estas ĝeneraligebla ankaŭ al nefinie da aroj. Ĝi estas komuteca kaj asocieca. Oni notas ĝin per la kunigo-signo (∪), kiu similas al pelveto aŭ al literu "U".
#000062
La komunaĵo de du aroj A kaj B konsistas el ĉiuj elementoj, kiuj estas kaj en A kaj en B. La operacio nature ĝeneraliĝas al pli ol du aroj; ĝi estas ĝeneraligebla ankaŭ al nefinie da aroj. Ĝi estas komuteca kaj asocieca. Oni notas ĝin per la komunaĵiga signo (∩), kiu similas al inversigita pelveto.
#000063
La kunigo kaj la komunaĵigo estas reciproke distribuecaj. La aroj do kun tiuj du operacioj formas latison.
#000064