En aroteorio, la unio (indikita per ∪) de kolekto de aroj estas la aro de ĉiuj apartaj elementoj en la kolekto.
Ĝi estas unu el la fundamentaj operacioj tra kiu metas povas esti kombinita kaj ligita al unu la alian.
#000001
Por klarigo de la simboloj uzitaj en tiu artikolo, rilatas al la tablo de matematikaj simboloj.
#000002
0 Tradukita artikolo1 Union de du aroj
#000003
La unio de du aroj A kaj B estas la aro de elementoj kiuj estas en A, en B, aŭ en kaj A kaj B.
#000004
Pli kompleksa ekzemplo (implikanta du senfinajn arojn) estas:
#000005
Multoblaj okazoj de identaj elementoj havas neniun efikon al la kardinaleco de aro aŭ ĝia enhavo.
#000006
, ĉar 9 nek estas ĉefaj nek eĉ.
#000007
Binara unio estas asocieca operacio;
#000008
La operacioj povas esti faritaj en iu sinsekvo, kaj la krampoj povas esti preterlasitaj sen ambigueco (t.e., ĉiu el ambaŭ de la supre povas esti esprimitaj ekvivalente kiel A ∪ B al=∪ C)
Simile, unio estas kommutativa, tiel ke la aroj povas esti skribitaj en iu sinsekvo.
#000009
La malplena aro estas neŭtra elemento por la operacio de unio.
A, por iu aro A.
#000010
Tiuj faktoj sekvas el analogaj faktoj pri logika aŭo.
#000011
Oni povas preni la union de pluraj aroj samtempe.
Ekzemple, la unio de tri aroj A, B, kaj C enhavas ĉiujn elementojn de A, ĉiujn elementojn de B, kaj ĉiujn elementojn de C, kaj nenion alian.
Tiel, x estas elemento de A ∪ B ∪ C se kaj nur se x estas en almenaŭ unu el A, B, kaj C.
#000012
En matematiko finhava unio volas diri ajnan union aranĝitan sur finhavan nombron da aroj: ĝi ne implicas ke la sindikataro estas finhava aro.
#000013
La plej ĝenerala nocio estas la unio de arbitra kolekto de aroj, foje nomitaj infinitary-unio.
Se M estas aro kies elementoj estas sin aroj, tiam x estas elemento de la unio de M se kaj nur se ekzistas almenaŭ unu elemento A da M tia ke x estas elemento de A.
#000014
Ke tiu unio de M estas aro ne grave kiom granda aro M mem eble estos, estas la enhavo de la aksiomo de unio en aksioma aroteorio.
#000015
Ankaŭ, se M estas la malplena amasiĝo, tiam la unio de M estas la malplena aro.
La analogeco inter finhavaj sindikatoj kaj logika aŭo etendiĝas al unu inter arbitraj sindikatoj kaj ekzistokvantoro.
#000016
La notacio por la ĝenerala koncepto povas varii konsiderinde.
Kiam formatado estas malfacila, tio ankaŭ povas esti skribita " al 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪
(Tiu lasta ekzemplo, unio de nombreble multaj aroj, estas tre ofta en analizo;
por ekzemplo vidu la artikolon sur σ-algebroj.
#000017
Anstataŭe de kiam ajn la simbolo-" ∪" estas metita antaŭ aliaj simboloj inter ili, ĝi estas de pli granda grandeco.
#000018
Ekde aroj kun sindikatoj kaj intersekciĝoj formi bulean algebron, Intersection distribuas super unio:
#000019
kaj unio distribuas super intersekciĝo:
#000020
Ene de antaŭfiksita universala aro, unio povas esti skribita laŭ la operacioj de intersekciĝo kaj komplemento kiel
#000021
kie la supermanuskripto C indikas la komplementon kun respekto al la universala aro.
#000022
Arbitra unio kaj intersekciĝo ankaŭ kontentigas la leĝon
#000023
Alterno (formallingva teorio), la unio de aroj de ŝnuroj
#000024
La leĝoj de De Morgan
#000027
La kunaĵo de du aroj A kaj B estas la aro, kiu entenas precize tiujn elementojn, kiuj apartenas aŭ al A aŭ al B. La kunaĵon de A kaj B oni signas per A ∪ B (legu a kun bo aŭ a aŭ bo).
#000029
x apartenas al A ∪ B se kaj nur se
#000030
x apartenas al A aŭ
#000031
La konjunkcio "aŭ" tie ĉi estas ne-ekskluziva; elementoj, kiuj estas en ambaŭ aroj, estas en la kunaĵo.
#000032
Pli ĝenerale oni povas difini la kunaĵon de pli ol du aroj: La kunaĵo de A, B kaj C, ekzemple, enhavas precize tiujn elementojn, kiuj apartenas al A, al B aŭ al C.
#000033
La kunigo de aroj estas komuteca (kio ne tuj evidentas el la prepozicio "kun") kaj asocieca.
#000034