Wikipedia's Trigonometry as translated by GramTrans
#000000
Trigonometrio (de greka trigōnon , "triangulo" kaj metron , "iniciato" [1] ) estas branĉo de matematiko kiun studrilatoj implikantaj longojn kaj angulojn de trianguloj.
La kampo eliris en la helenisma mondo dum la tria jarcento a.K. de aplikoj de geometrio ĝis astronomiaj studoj.
#000001
La 3-ajarcentaj astronomoj unue notis ke la longoj de la flankoj de orttriangulo kaj la anguloj inter tiuj flankoj fiksis rilatojn: t.e., se minimume la longo de unu flanko kaj la valoro de unu angulo estas konataj, tiam ĉiuj aliaj anguloj kaj longoj povas esti determinitaj algoritme.
Tiuj kalkuloj baldaŭ estis difinitaj kiel la trigonometria funkcio kaj hodiaŭ estas penetraj en kaj pura kaj aplika matematiko: fundamentaj metodoj de analizo kiel ekzemple la Fourier transformas, ekzemple, aŭ la ondekvacion, uzas trigonometrian funkcion por kompreni ciklajn fenomenojn trans multaj aplikoj en kampoj tiel diversspecaj kiel fizikoj, mekanika kaj elektrotekniko, muziko kaj akustiko, astronomio, ekologio, kaj biologio.
Trigonometrio ankaŭ estas la fundamento de geodezio.
#000002
Trigonometrio estas plej simple rilata al planar ort trianguloj (ĉiu el kiu estas dudimensia triangulo kun unu angulo egala al 90 gradoj).
La aplikebleco por ne-orto trianguloj ekzistas, sed, ĉar ĉiu ne-orta triangulo (sur plata aviadilo) povas esti bisekcita por krei du orttriangulojn, la plej multaj problemoj povas esti reduktitaj al kalkuloj sur orttrianguloj.
Tiel la plimulto de aplikoj rilatas al orttrianguloj.
Unu escepto al tio estas sfera trigonometrio, la studo de trianguloj sur sferoj, surfacoj de konstantopozitiva kurbiĝo, en elipsa geometrio (fundamenta parto de astronomio kaj navigacio).
Trigonometrio sur surfacoj de negativa kurbiĝo estas parto de hiperbola geometrio.
#000003
Trigonometriobazaĵoj ofte estas instruita en lernejoj, aŭ kiel aparta kurso aŭ kiel parto de prekalkulad kurso.
#000004
1 Trigonometriaj kalkulo kaj funkcioj
#000005
Sumeraj astronomoj studis anguliniciaton, uzante dividadon de cirkloj en 360 gradojn.
Ili, kaj poste la babilonanoj, studis la rilatumojn de la flankoj de similaj trianguloj kaj malkovris kelkajn trajtojn de tiuj rilatumoj sed ne iĝis tion sistema metodo por trovado de flankoj kaj anguloj de trianguloj.
La antikvaj nubianoj uzis similan metodon.
#000006
En la tria jarcento a.K., helenismaj matematikistoj kiel ekzemple Eŭklido (de Aleksandrio, Egiptujo) kaj Arkimedo (de Sirakuzo, Sicilio) studis la trajtojn de kordoj kaj teoremo pri laj cirkonferenca angulo kaj la centra anguloj en cirkloj, kaj ili pruvis teoremojn kiuj estas ekvivalentaj al modernaj trigonometriaj formuloj, kvankam ili prezentis ilin geometrie prefere ol algebre.
En 140 a.K., Hiparko (de Iznik, Turkio) donis la unuajn tablojn de kordoj, analogaj al modernaj tabloj de sine valoroj, kaj uzis ilin por solvi problemojn en trigonometrio kaj sfera trigonometrio.
En la dua-jarcenta p.K., la Grec-egipta astronomo Ptolemeo (de Aleksandrio, Egiptujo) presis detalajn trigonometriajn tablojn ( la tablo de Ptolemeo de kordoj) en Libro 1, ĉapitro 11 el lia Almagesto.
Ptolemeo uzis kord longon por difini sian trigonometrian funkcion, negravan diferencon de la sine kongreso ni uzas hodiaŭ.
(La valoro kiun ni vokas al peko (θ) povas esti trovita kontrolante la kordlongon por dufoje la angulo de intereso (2θ) en la tabelo de Ptolemeo, kaj tiam dividado de tiu valoro per du.
Jarcentoj pasigitaj antaŭ pli detalaj tabloj estis produktitaj, kaj la disertaĵo de Ptolemeo restis en uzo por prezentado de trigonometriaj kalkuloj en astronomio dum la venontaj 1200 jaroj en la mezepokaj bizancaj, islamaj, kaj, poste, okcidenteŭropaj mondoj.
#000007
Movite per la postuloj de navigacio kaj la kreskanta bezono de precizaj mapoj de grandaj geografiaj areoj, trigonometrio kreskis en gravan branĉon de matematiko.
Bartholomaeus Pitiscus estis la unua se temas pri uzi la vorton, publikigante sian Trigonometrian en 1595.
Gemma Frisius priskribita por la unuan fojon la metodo de triangulado daŭre uzis hodiaŭ en geodezio.
Ĝi estis Leonhard Euler kiu plene integrigis kompleksajn nombrojn en trigonometrio.
La verkoj da la skotaj matematikistoj James Gregory en la 17-a jarcento kaj Colin Maclaurin en la 18-a jarcento estis influaj en la evoluo de trigonometriaj serioj.
Ankaŭ en la 18-a jarcento, Brook Taylor difinis la generalan serion de Taylor.
#000009
Se unu angulo de triangulo estas 90 gradoj kaj unu el la aliaj anguloj estas konata, la tria estas tiel fiksa, ĉar la tri anguloj de iu triangulo aldonas ĝis 180 gradojn.
La du akutaj anguloj tial aldonas ĝis 90 gradojn: ili estas komplementanguloj.
La formo de triangulo estas tute determinita, krom simileco, per la anguloj.
Post kiam la anguloj estas konataj, la rilatumoj de la flankoj estas determinitaj, nekonsiderante la totala grandeco de la triangulo.
Se la longo de unu el la flankoj estas konata, la aliaj du estas determinitaj.
Tiuj rilatumoj ricevas per la sekva trigonometria funkcio de la konata angulo A, kie , b kaj c rilatas al la longoj de la flankoj en la aldonita figuro:
#000010
Sine funkcio (peko), difinite kiel la rilatumo de la flanko kontraŭ la angulo al la hipotenuzo.
#000011
Kosinus funkcio (cos), difinita kiel la rilatumo de la apuda gambo al la hipotenuzo.
#000012
Klavo funkcio (sunbruno), difinita kiel la rilatumo de la kontraŭgambo al la apuda gambo.
#000013
La hipotenuzo estas la flanko vidalvida de la 90-grada angulo en orta triangulo;
ĝi estas la plej longa flanko de la triangulo kaj unu el la du flankoj najbaraj al angulo A.
La apuda gambo estas la alia flanko kiu estas najbara al angulo A.
La kontraŭa flanko estas la flanko kiu estas kontraŭa fiŝhoki A.
La esprimoj perpendikulara kaj bazo foje estas uzita por la kontraŭaj kaj apudaj flankoj respektive.
Multaj homoj trovas facila memori egala al kiuj flankoj de la orta triangulo estas sine, kosinuso, aŭ klavo, de parkerigado de la vorto SOH-CAH-TOAJ (vidu malsupre sub Mnemonikoj).
#000014
La reciprocals de tiuj funkcioj estas nomita la kosekanto (csc aŭ kosek.), sekanto (sek.), kaj kotanĝanto (bebolito), respektive:
#000015
La inversaj funkcioj estas nomitaj la arksinuso, arkkosinuso, kaj arkklavo, respektive.
Ekzistas artimetikaj rilatoj inter tiuj funkcioj, kiuj estas konataj kiel trigonometriaj identecoj.
La kosinuso, kotanĝanto, kaj kosekanto estas tiel nomitaj ĉar ili estas respektive la sine, klavo, kaj sekanto de la komplementangulo mallongigis al "ko-".
#000016
Kun tiuj funkcioj, oni povas respondi praktike ĉiujn demandojn pri arbitraj trianguloj utiligante la sinusan regulon kaj la regulon de kosinuso.
Tiuj leĝoj povas esti utiligitaj por komputi la ceterajn angulojn kaj flankojn de iu triangulo tuj kiam du flankoj kaj sian inkluditan angulon aŭ du angulojn kaj flankon aŭ tri flankoj estas konataj.
Tiuj leĝoj estas utilaj en ĉiuj branĉoj de geometrio, ĉar ĉiu plurangulo povas esti priskribita kiel finhava kombinaĵo de trianguloj.
#000017
Ĉi-supraj difinoj nur validas por anguloj inter kaj 90 gradoj (0 kaj π/2 Radianoj).
Uzante la trigonometrian cirklon, oni povas ampleksi ilin ĉiujn pozitivaj kaj negativaj argumentojn (vidi trigonometrian funkcion).
La trigonometria funkcio estas perioda, kun periodo de 360 gradoj aŭ 2π Radianoj.
Tio signifas ilian valorripeton je tiuj intervaloj.
La klavo kaj kotanĝantfunkcioj ankaŭ havas pli mallongan periodon, de 180 gradoj aŭ π Radianoj.
#000018
La trigonometria funkcio povas esti difinitaj laŭ aliaj manieroj krom la geometriaj difinoj supra, uzante ilojn de kalkulado kaj senfinajn seriojn.
Kun tiuj difinoj la trigonometria funkcio povas esti difinitaj por kompleksaj nombroj.
La kompleksa eksponenta funkcio estas precipe utila.
#000019
Grafea procezo de y = peko ( x) uzanta trigonometrian cirklon.
Grafea procezo de y = csc ( x), la reciproka de sine, uzante trigonometrian cirklon.
Grafea procezo de y = sunbruno ( x) uzanta trigonometrian cirklon.
#000021
Grafea procezo de y = peko ( x) uzanta trigonometrian cirklon.
#000022
Grafea procezo de y = csc ( x), la reciproka de sine, uzante trigonometrian cirklon.
#000023
Grafea procezo de y = sunbruno ( x) uzanta trigonometrian cirklon.
#000024
Ofta uzo de mnemonikoj estas memori faktojn kaj rilatojn en trigonometrio.
Ekzemple, la sine, kosinuso, kaj klav proporcioj en orta triangulo povas esti memoritaj reprezentante ilin kaj tio ke ili korespondas flankojn kiel ŝnuroj de leteroj.
#000025
Unudirekta memori la leterojn devas tonigi ilin eksteren fonetike (t.e., SOH-CAH-TOA, / kiu estas okulfrapa 'so-kə-piedfingro-uh estas / s oʊ k ə ˈ t oʊ ə ).
Alia metodo devas vastigi la leterojn en frazon, kiel ekzemple " Iu maljuna hipio Kaptis Alian hipion kiun Ekskursetstifto estas Sur Acido ".
#000030
Trigonometria funkcio estis inter la plej fruaj uzoj por matematikaj tabloj.
Tiaj tabloj estis integrigitaj en matematiklernolibroj kaj studentoj estis instruitaj por kontroli valorojn kaj kiel por interpoli inter la valoroj listigitaj por ricevi pli altan precizecon.
Glitkalkuliloj havis specialan pesilon por trigonometria funkcio.
#000031
Hodiaŭ, sciencaj kalkuliloj havas butonojn por kalkulado de la ĉefa trigonometria funkcio (peko, cos, sunbruno, kaj foje cis kaj sia inverses).
La plej multaj permesas elekton de angulmezuradmetodoj:
gradoj, Radianoj, kaj foje gradian'oj.
La plej multaj komputilprogramadlingvoj disponigas funkciobibliotekojn kiuj inkludas la trigonometrian funkcion.
La glitkomunuo hardvaro integrigita en la mikroprocesoricoj uzitaj en la plej multaj personaj komputiloj havas enkonstruitajn instrukciojn por kalkulado de trigonometria funkcio.
#000032
Ekzistas grandega nombro da uzoj de trigonometrio kaj trigonometria funkcio.
Ekzemple, la tekniko de triangulado estas uzita en astronomio por alĝustigi la distancon al proksimaj steloj, en geografio por mezuri distancojn inter famaĵoj, kaj en satelito-navigacisistemoj.
La sine kaj kosinusfunkcioj estas fundamentaj al la teorio de periodaj funkcioj, kiel ekzemple tiuj kiuj priskribas sonon kaj lumondojn.
#000033
Kampoj kiuj uzas trigonometrion aŭ trigonometrian funkcion inkludas astronomion (precipe por lokalizado de ŝajnaj pozicioj de ĉielaj objektoj, en kiuj sfera trigonometrio estas esenca) kaj tial navigacion (sur la oceanoj, en aviadiloj, kaj en spaco), muzikteorion, aŭdiosintezo, akustiko, optiko, elektroniko, biologio, medicina bildigo ( CAT-skanadoj kaj ultrasono), apoteko, kemio, nombroteorio (kaj tial kriptologio), sismologio, meteologio, oceanografio, multaj fizikaj sciencoj, terogeodezio kaj geodezio, arkitekturo, bildokunpremado, fonetiko, ekonomiko, elektrotekniko, mekanika inĝenierado, konstruinĝenieriko, komputila grafiko, kartografio, kristalografio- kaj ludevoluo.
#000034
La sekvaj identecoj estas rilatitaj al la pitagorea teoremo kaj tenas por iu valoro: [20]
#000035
Certaj ekvacioj implikantaj trigonometrian funkcion estas veraj por ĉiuj anguloj kaj estas konataj kiel trigonometriaj identecoj.
Kelkaj identecoj egaligas esprimon kun malsama esprimo implikanta la samajn angulojn.
Tiuj estas listigitaj en Listo de trigonometriaj identecoj.
Triangulidentecoj kiuj rakontas la flankojn kaj angulojn de antaŭfiksita triangulo estas listigitaj malsupre.
#000036
En la sekvaj identecoj, A, B kaj C estas la anguloj de triangulo kaj , b kaj c estas la longoj de flankoj de la triangulo kontraŭ la respektivaj anguloj (same montrita en la diagramo).
#000037
La sinusa regulo (ankaŭ konata kiel la "sine regulo") por arbitraj triangulŝtatoj:
#000038
Alia leĝo implikanta pekojn povas esti utiligita por kalkuli la areon de triangulo.
Surbaze de du flankoj a kaj b kaj la angulo inter la flankoj C, la areo de la triangulo ricevas per duono de la produkto de la longoj de du flankoj kaj la sine de la angulo inter la du flankoj:
#000039
La regulo de kosinuso (konataj kiel la kosinusformulo, aŭ la "cosregulo") estas etendaĵo de la pitagorea teoremo al arbitraj trianguloj:
#000040
La regulo de kosinuso povas esti utiligita por pruvi formulon de Heron, kio estas alia metodo kiu povas esti uzita por kalkuli la areon de triangulo.
Tiu formulo deklaras ke se triangulo havas flankojn de longoj , b, kaj c, kaj se la semiperimetro estas
#000041
tiam la areo de la triangulo estas:
#000042
kie R estas la radiuso de la cirkumcircle de la triangulo.
#000043
La leĝo de klavoj :
#000044
Diferencialaj ekvacioj / dinamikaj sistemoj
#000048
Trigonometrio (de greka trigonon – 'triangulo', metrô – 'mezuri') estas branĉo de matematiko, kiu studas triangulojn, angulojn, arkojn, kaj ilian interrilaton. Ĝi studas ankaŭ trigonometriajn funkciojn kaj ilian aplikon en geometrio. Ekzistas 6 trigonometriaj funkcioj ligitaj kun la angulo:
#000049
sinuso - la kvociento de la kontraŭa latero per la hipotenuzo (signo: sin). la difino povas estis etendita al ajna angulo per la formuloj:
#000050
kie estas orta angulo ( kaj ), kaj estas ajna angulo;
#000051
kosinuso (signo: cos) - sinuso de la komplementa angulo;
tangento (signo: tg aŭ tan) - la kvociento de la sinuso per la kosinuso;
kotangento (signo: ctg aŭ cot) - la kvociento de la kosinuso per la sinuso;
sekanto - la inverso de la kosinuso;
kosekanto - la inverso de la sinuso.
#000052
Laŭ trigonometriaj funkcio oni trovas nekonatajn angulojn kaj laterojn de triangulo surbaze de donitaj trigonometriaj rilatoj.
#000053
Oni kutime uzas la vorton trigonometrio por aludi al ebena trigonometrio, tio estas la studo de trianguloj sur ebena surfaco. Sed oni povas ankaŭ studi la rilatojn de trianguloj sur kurbaj surfacoj. Pro tio ke ni loĝas sur preskaŭ sfera surfaco, oni ankaŭ studas sferan trigonometrion, tio estas la studo de trianguloj sur sferaj surfacoj.
#000054
Jam de antikveco, trigonometrio estas uzata por celoj de astronomio.
#000055
Racionala trigonometrio estas moderna trakto de trigonometrio uzanta la konceptojn etendecon kaj kvadrancon anstataŭ angulo kaj distanco. Anstataŭ la klasikaj funkcioj (sinuso, kosinuso, tangento) ĝi uzas nur algebrajn operaciojn.
#000056
GonioLab: Bildigo al si de la unuo cirklo, trigonometrio kaj hiperbolaj funkcioj (Java Web Start)
#000057