Partikla fiziko kaj prezenta teorio
#000002
Listo de teorio de grupo-temoj
#000003
Ĝenerala linia Gl ( n)
#000004
Speciala linia Sl ( n)
#000005
Speciala ortogonala TIEL ( n)
#000006
En matematiko, Lie grupo- / ˈ l iː / estas grupo kiu ankaŭ estas diferencialdukto, kun la posedaĵo kiu la grupoperacioj estas kongruaj kun la glata strukturo.
Mensoggrupoj estas nomitaj laŭ norvega matematikisto Sophus Lie, kiu amorigis la fundamentojn de la teorio de kontinuaj transformgrupoj.
#000008
Mensoggrupoj reprezentas la plejbone-evoluintan teorion de kontinua simetrio de matematikaj objektoj kaj strukturoj, kiu igas ilin nemalhaveblaj iloj por multaj partoj de nuntempa matematiko, same kiel por moderna teoria fiziko.
Ili disponigas naturan kadron por analizado de la kontinuaj simetrioj de diferencialaj ekvacioj ( diferencialo-galezteorio), laŭ multe lasama maniero kiel permutadogrupoj estas utiligitaj en galeza teorio por analizado de la diskretaj simetrioj de algebraj ekvacioj.
Etendaĵo de galeza teorio al la kazo de kontinuaj geometriaj simetria grupoj estis unu el la ĉefinstigoj de Lie.
#000009
Ekzemploj kun specifa nombro da grandeco
#000011
Mensogo grupoj estas glataj diferencialduktoj kaj kiel tia povas esti studitaj uzante diferencialan kalkulon, en kontrasto kun la kazo de pli ĝeneralaj topologiaj grupoj.
Unu el la esencaj ideoj en la teorio de Lie-grupoj devas anstataŭigi la tutmondan objekton, la grupon, kun ĝia loka aŭ linearigita versio, kiu Mensogo mem vokis it "infinitezimalan grupon" kaj kiu poste fariĝis konata kiel it Lie-algebro.
#000013
Mensoggrupoj ludas grandegan rolon en moderna geometrio, sur pluraj malsamaj niveloj.
Felix Klein argumentis en sia Erlangen-programo ke oni povas pripensi diversajn "geometriojn" precizigante konvenan transformgrupon kiu heredigas certajn geometriajn trajtojn senvariaj.
Tiel eŭklida geometrio egalrilatas al la elekto de la grupo E (3) de distanc-marinadaj transformoj de la eŭklida spaco R 3, konforma geometrio egalrilatas al pligrandigado de la grupo al la konforma grupo, dum en projekcia geometrio oni estas interesita pri la Trajtoinvarianto sub la projekcia grupo.
Tiu ideo poste kondukis al la nocio de G-strukturo, kie G estas Lie-grupo de "lokaj" simetrioj de dukto.
#000014
Mensoggrupoj (kaj siaj rilataj Lie-algebroj) ludas gravan rolon en moderna fiziko, kun la Lie-grupo tipe ludas la rolon de simetrio de fizika sistemo.
Ĉi tie, la reprezentadoj de la Lie-grupo (aŭ de ĝia Lie-algebro) estas aparte gravaj.
Prezenta teorio estas utiligita grandskale en partikla fiziko.
Grupigas kies reprezentantarojn gravegas inkludas Su (3) kaj la Poincaré-grupon.
#000015
Sur "tutmonda" nivelo, kiam ajn Lie-grupo reagas al geometria objekto, kiel ekzemple Riemannian aŭ simplekta dukto, tiu ago disponigas iom da rigideco kaj donas riĉan algebran strukturon.
La ĉeesto de kontinuaj simetrioj esprimis per Lie kiun grupa ago sur dukto lokas al fortaj limoj pri sia geometrio kaj faciligas analizon sur la dukto.
Liniaj agoj de Lie-grupoj estas aparte gravaj, kaj estas volitaj en prezenta teorio.
#000016
Reala Mensoggrupo estas grupo kiu ankaŭ estas finhav-dimensia reala difencigebla plurejo, en kiu la grupoperacioj de multipliko kaj inversio estas glataj mapoj.
#000018
rimedoj kiujn tiu μ estas glata mapado de la produktodukto G × G en G.
Tiuj du postuloj povas esti kombinitaj al la ununura postulo kiu la mapado
#000019
La 2×2 realaj inverteblaj matricoj formas grupon sub multipliko, indikita je Gl (2, R) aŭ de Gl 2 ( R):
#000021
Tio estas kvar-dimensia nekompaktuja reala Mensoggrupo.
ĝi havas du Koneksaj komponantoj egalrilatantaj al la pozitivaj kaj negativaj valoroj de la determinanto.
#000022
La rotacio matricoj formas subgrupon de Gl (2, R), indikita per TIEL (2, R).
Ĝi estas Lie-grupo en sia propra rajto: specife, unu-dimensia kompakta ligita Mensoggrupo kiu estas difeomorfa al la cirklo.
#000023
Aldono de la anguloj egalrilatas al multipliko de la elementoj de TIEL (2, R), kaj preni la kontraŭan angulon egalrilatas al inversio.
Tiel kaj multipliko kaj inversio estas diferencieblaj mapoj.
#000024
La afina grupo en unu dimensio estas alia subgrupo, konsistante el supraj triangulaj matricoj kun unuo pli malalta diagonala eniro.
#000025
C) indiku la grupon de n × n inverteblaj matricoj kun kontribuoj en C.
Ĉiu fermita subgrupo de Gl ( n, C) estas Lie-grupo;
Mensoggrupoj de tiu speco estas nomitaj matrica Lie-groups. Ĉar la plej multaj el la interesaj ekzemploj de Lie-grupoj povas esti realigitaj kiel matricaj Lie-grupoj, kelkaj lernolibroj limigas atenton al tiu klaso, inkluzive de tiuj de Hall [2] kaj Rossmann.
Limiga atento al matricaj Lie-grupoj simpligas la difinon de la Lie-algebro kaj la eksponentan mapon.
La sekvantaroj estas normekzemploj de matricaj Lie-grupoj.
#000026
La specialaj liniaj grupoj pli ol R kaj C, Sl ( n, R) kaj Sl ( n, C), konsistante el n × n matricoj kun determinanto oni kaj kontribuoj en R aŭ C
#000027
Kompleksa Mensoggrupo estas difinita en laŭ la saman manieron uzante kompleksajn duktojn prefere ol realaj (ekzemplo: Sl (2, C), kaj simile, uzante alternan metrikan kompletigon de Q, oni povas difini p-adic Lie-grupon super la p-adic nombroj, topologia grupo en kiu ĉiu punkto havas p-adic najbarecon.
Hilberta kvina problemo demandis ĉu anstataŭigi diferencialduktojn kun topologia ke aŭ analizaj povas cedi novajn ekzemplojn.
La respondo al tiu demando montriĝis por negativa: en 1952, Gleason, Montgomery kaj Zippin montris ke se G estas topologia dukto kun kontinuaj grupoperacioj, tiam tie ekzistas precize unu analiza strukturo sur G kiu iĝas ĝin Lie-grupo (vidu ankaŭ Hilbert-Smith-supozon).
Se la subesta dukto estas permesita esti senfin-dimensia (ekzemple, hilberta dukto), tiam unu alvenas ĉe la nocio de senfin-dimensia Mensoggrupo.
Estas eble difini analogojn de multaj Lie grupoj super finhavaj kampoj, kaj tiuj donas la plej multajn el la ekzemploj de finhavaj simplanimaj grupoj.
#000029
La lingvo de teorio de kategorioj disponigas koncizan difinon por Lie-grupoj: Lie-grupo estas grupobjekto en la kategorio da difencigeblaj plurejoj.
Tio estas grava, ĉar ĝi permesas ĝeneraligon de la nocio de Lie-grupo al Lie-Supergrupoj.
#000030
Mensoggrupoj okazas en abundo ĉie en matematiko kaj fiziko.
Matricgrupoj aŭ algebraj grupoj estas (proksimume) grupoj de matricoj (ekzemple, ortogonalaj kaj simplektic-grupoj), kaj tiuj donas la plej multajn el la pli oftaj ekzemploj de Lie-grupoj.
#000032
La produkto de du Mensoggrupoj estas Lie-grupo.
Ĉiu topologie fermita subgrupo de Lie-grupo estas Lie-grupo.
Tio estas konata kiel la Fermita subgrupteoremo aŭ la teoremo de Cartan.
La kvociento de Lie-grupo de fermita normala subgrupo estas Lie-grupo.
La universala kovro de ligita Mensoggrupo estas Lie-grupo.
Ekzemple, la grupo R estas la universala kovro de la cirklogrupo S 1.
Fakte ĉiu kovro de diferencialdukto ankaŭ estas diferencialdukto, sed precizigante universalan kovron, oni garantias grupstrukturon (kongruan kun ĝiaj aliaj strukturoj).
#000036
Kelkaj ekzemploj de grupoj kiuj ne estas Lie-grupoj (krom en la sensignifa signifo ke ĉiu grupo povas esti rigardita kiel dimensia Mensoggrupo, kun la diskreta topologio), estas:
#000037
Senfin-dimensiaj grupoj, kiel ekzemple la aldona grupo de senfin-dimensia reala vektora spaco.
Tiuj ne estas Lie-grupoj kiam ili ne estas finhav-dimensiaj duktoj.
Kelkaj komplete malligitaj grupoj, kiel ekzemple la Galois-grupo de senfina etendaĵo de kampoj, aŭ la aldona grupo de la p-adic nombroj.
Tiuj ne estas Lie-grupoj ĉar iliaj subestaj spacoj ne estas realaj duktoj.
(Kelkaj el tiuj grupoj estas " p-adic Lie-grupoj".
Ĝenerale, nur topologiaj grupoj havantaj similajn lokajn trajtojn al R da n por iu pozitiva entjero n povas esti Lie-grupoj (kompreneble ili devas ankaŭ havi diferencieblan strukturon).
#000038
Al ĉiu Lie-grupo ni povas asocii Lie-algebron kies subesta vektora spaco estas la klavspaco de la Lie-grupo ĉe la neŭtra elemento kaj kiu tute konkeras la lokan strukturon de la grupo.
Neformale ni povas pensi pri elementoj de la Lie-algebro kiel elementoj de la grupo kiuj estas " infinitezimale proksimaj" al la identeco, kaj la Lie-krampo de la Lie-algebro estas rilatita al la kolektoro de du tiaj infinitezimalaj elementoj.
Antaŭ donado de la abstrakta difino ni donas kelkajn ekzemplojn:
#000040
La Lie-algebro de la vektora spaco R da n estas ĵus R da n kun la Lie-krampo evoluita je [ A, B
(Ĝenerale la Lie-krampo de ligita Mensoggrupo ĉiam estas 0 se kaj nur se la Lie-grupo estas abela.
La Lie-algebro de la ĝenerala lineara grupo Gl ( n, C) de inverteblaj matricoj estas la vektora spaco M ( n, C) de kvadratmatricoj kun la Lie-krampo evoluita je [ A, B
Se G estas fermita subgrupo da Gl ( n, C) tiam la Lie-algebro de G povas esti opiniita de neformale kiel la matricoj m da M ( n, R) tia ke 1-+ εm estas en G, kie ε estas infinitezimala pozitiva nombro kun ε2 = 0 (kompreneble, ne tia reala nombro ε ekzistas).
Ekzemple, la ortogonala grupo O ( n, R) konsistas el matricoj A kun AA T = 1, tiel ke la Lie-algebro konsistas el la matricoj m kun (1 + εm) (1 + εm) T = 1, kiu estas ekvivalenta al m + m da T = 0 ĉar ε2 = 0.
La antaŭa priskribo povas fariĝi pli rigora jene.
La Lie-algebro de fermita subgrupo G de Gl ( n, C), povas esti komputita kiel
#000041
kie eksp ( Tx) estas difinita uzante la matriceksponenton.
#000042
La konkreta difino donita supre por matricgrupoj estas facila por labori kun, sed havas kelkajn negravajn problemojn: por uzi ĝin ni unua bezono reprezentanta Lie-grupon kiel grupo de matricoj, sed ne ĉiuj Lie-grupoj povas esti reprezentitaj laŭ tiu maniero, kaj eĉ estas ne evidente ke la Lie-algebro estas sendependa de la reprezentantaro kiun ni uzas.
Por veni ĉirkaŭ tiuj problemoj ni donas la ĝeneralan difinon de la Lie-algebro de Lie-grupo (en 4 ŝtupoj):
#000043
Kiun vektoraj kampoj sur iu glata duobligas al M povas esti opiniita de kiam derivaĵoj X de la ringo de glataj funkcioj sur la dukto, kaj tial formas Lie-algebron sub la Lie-krampo [ X, Y
XY − YX, ĉar la Lie krampo de iuj du derivaĵoj estas derivaĵo.
Se G estas ajna grupo reaganta glate al la dukto M, tiam ĝi reagas al la vektoraj kampoj, kaj la vektora spaco de vektoraj kampoj fiksitaj fare de la grupo estas fermita sub la Lie-krampo kaj tial ankaŭ formas Lie-algebron.
Ni aplikas tiun konstruon al la kazo kiam la dukto M estas la subesta spaco de Lie-grupo G, kun G reaganta al G = M per maldekstraj tradukoj Lg ( h
Tio montras ke la spaco de maldekstraj senvariaj vektoraj kampoj (vektoraj kampoj kontentigantaj Lg ÷ Xh = Xgh por ĉiu h en G, kie Lg ÷ indikas la diferencialo de Lg ) sur Lie-grupo estas Lie-algebro sub la Lie-krampo de vektoraj kampoj.
Ĉiu klavvektoro ĉe la identeco da Lie-grupo povas esti etendita al maldekstra senvaria vektora kampo per lasite traduka la klavvektoro al aliaj punktoj de la dukto.
Specife, la maldekstro senvaria etendaĵo de elemento v da la klavspaco ĉe la identeco estas la vektora kampo difinita per v ^ al g = Lg ÷ v.
#000044
La Lie-algebro de G determinas G supren al "loka izomorfio", kie du Mensoggrupoj estas nomitaj loke izomorfaj ĉu ili aspektas la samaj proksime de la neŭtra elemento.
Problemoj pri Lie-grupoj ofte estas solvitaj unue solvante la ekvivalentan problemon por la Lie-algebroj, kaj la rezulto por grupoj tiam kutime sekvas facile.
Ekzemple, simplanimaj Mensoggrupoj estas kutime klasifikitaj unue klasifikante la ekvivalentajn Lie-algebrojn.
#000045
Ni ankaŭ povis difini Lie-algebrostrukturon sur Te uzantan dekstrajn senvariajn vektorajn kampojn anstataŭe de maldekstraj senvariaj vektoraj kampoj.
Tio kondukas al la sama Lie-algebro, ĉar la inversa mapo sur G povas esti utiligita por identigi maldekstre senvariajn vektorajn kampojn kun dekstraj senvariaj vektoraj kampoj, kaj funkcias kiel −1 sur la klavspaca Te .
#000046
La Lie-algebrostrukturo sur Te ankaŭ povas esti priskribita jene: la kolektoroperacio
#000047
sur G × G sendas ( e, e) al e, do ĝia derivaĵo donas bilinearan operacion sur DUJARŜAFO .
Tiu bilineara operacio estas fakte la nul mapo, sed la dua derivaĵo, sub la bonorda identigo de klavspacoj, donas operacion kiu kontentigas la aksiomojn de Lie krampo, kaj ĝi estas egala al dufoje tiu difinita tra maldekstra-senvariaj vektoraj kampoj.
#000048
Se G kaj H estas Lie-grupoj, tiam Lie-grupa homomorfism f:
G → H estas glata grupo homomorfism.
Koncerne kompleksajn Mensoggrupojn, tia homomorfism estas postulata por esti holomorfa mapo.
Tamen, tiuj postuloj estas iomete rigoraj;
ĉiu kontinua homomorfism inter realaj Mensoggrupoj montriĝas por esti (reala) analiza.
#000049
La kunmetaĵo de du Mensoghomomorfismoj denove estas homomorfism, kaj la klaso de ĉiuj Lie-grupoj, kune kun tiuj morfismoj, formas kategorion.
Krome, ĉiu Lie-grupo homomorfism induktas homomorfism inter la ekvivalentaj Lie-algebroj.
#000050
En la lingvo de teorio de kategorioj, ni tiam havas kovariaĵfunktoron de la kategorio da Lie-grupoj ĝis la kategorio da Lie-algebroj kiu sendas Lie-grupon al ĝia Lie-algebro kaj Lie-grupo homomorfism al ĝia derivaĵo ĉe la identeco.
#000051
Du Mensoggrupoj estas nomitaj izomorfaj ĉu tie ekzistas bijektive homomorfism inter ili kies inversa ankaŭ estas Lie-grupo homomorfism.
Ekvivalente, ĝi estas difeomorfismo kiu ankaŭ estas grupo homomorfism.
#000052
La teoremo de Ado diras ĉiun finhav-dimensian realan kiun Lie-algebro estas izomorfa al matrica Lie-algebro.
Dume, por ĉiu finhav-dimensia matrico Lie-algebro, ekzistas linia grupo (matrica Lie-grupo) kun tiu algebro kiel it Lie-algebro.
Tiel, ĉiu (finhav-dimensia, reala) abstrakta Lie-algebro estas la Lie-algebro de iu (linia) Lie-grupo.
#000053
La tutmonda strukturo de Lie-grupo ne estas determinita per ĝia Lie-algebro;
ekzemple, se Z estas ajna aparta subgrupo de la centro de G tiam G kaj G / Z havas la saman Lie-algebron (vidu la tablo de Lie-grupoj por ekzemploj).
Ligita Mensoggrupo estas simpla, semikuracherbo, solvebla, nilpotent, aŭ abela se kaj nur se ĝia Lie-algebro havas la ekvivalentan posedaĵon.
#000054
Krome, ĉiu homomorfism inter Lie-algebroliftoj al unika homomorfism inter la korespondado simple ligitaj Mensoggrupoj.
#000055
La eksponenta mapo de la Lie-algebro M ( n, R) da la ĝenerala lineara grupo Gl ( n, R) ĝis Gl ( n, R) estas difinita per la matrico eksponenta, donita per la kutima potencvico:
#000056
Se G estas fermita subgrupo de Gl ( n, R), tiam la eksponenta mapo prenas la Lie-algebron de G en G, tiel ke ni havas eksponentan mapon por ĉiuj matricgrupoj.
Ĉiu elemento de G kiu estas sufiĉe proksima al la identeco estas la eksponento de matrico en la Lie-algebro.
#000057
La difino supre estas facila por uzi, sed ĝi ne estas difinita por Lie-grupoj kiuj ne estas matricgrupoj, kaj estas ne klare ke la eksponenta mapo de Lie-grupo ne dependas de ĝia reprezentantaro kiel matricgrupo.
Ni povas solvi ambaŭ problemojn utiligantajn pli abstraktan difinon de la eksponenta mapo kiu laboras por ĉiuj Lie-grupoj, jene.
#000058
por ĉiu s kaj t.
La operacio sur la dekstra flanko estas la grupmultipliko en G.
La formala simileco de tiu formulo kun tiu valida por la eksponenta funkcio pravigas la difinon
#000060
Tiu eksponenta mapo estas ĝeneraligo da la eksponenta funkcio por realaj nombroj (ĉar R estas la Lie-algebro de la Lie-grupo de pozitivaj realaj nombroj kun multipliko), por kompleksaj nombroj (ĉar C estas la Lie-algebro de la Lie-grupo de ne-nulaj kompleksaj nombroj kun multipliko) kaj por matricoj (ĉar M ( n, R) kun la regula kolektoro estas la Lie-algebro de la Lie-grupo Gl ( n, R) de ĉiuj inverteblaj matricoj).
#000061
Ĉar la eksponenta mapo estas surjektive sur iu kvartalo N de e, oni ofte vokas elementojn de la Lie-algebro infinitezimalaj generatoroj de la grupo G.
La subgrupo de G generita je N estas la identeckomponento de G.
#000062
kie la ellasitaj esprimoj estas konataj kaj implikas Lie-krampojn de kvar aŭ pli da elementoj.
En kazo u kaj v navedas, tiu formulo reduktas al la konata eksponenta leĝeksp ( u) eksp ( v) = eksp ( u + v).
#000063
La eksponenta mapo rilatigas Lie gruphomomorfismojn.
#000064
En aliaj vortoj, la sekva diagramo navedas, [Noto 1]
#000065
(En fuŝkontakto, eksp estas natura transformo de la funktoro Lie ĝis la identecfunktoro sur la kategorio da Lie-grupoj.
#000066
La eksponenta mapo de la Lie-algebro ĝis la Lie-grupo estas ne ĉiam sur, eĉ se la grupo estas ligita (kvankam ĝi mapas sur la Lie-grupo por ligitaj grupoj kiuj estas aŭ kompaktaj aŭ nilpotent).
Ekzemple, la eksponenta mapo de Sl (2, R) ne estas surjektive.
Ankaŭ, eksponenta mapo ne estas surjektive nek injektivo por senfin-dimensiaj (vidu sub) Mensoggrupoj formitaj laŭ C ∞
Fréchet-spaco, eĉ de arbitra malgranda najbareco de 0 ĝis ekvivalenta najbareco de 1.
#000067
derivaĵo de la eksponenta mapo kaj normalaj koordinatoj.
#000068
Lie subgrupo H da Lie grupo G estas Lie-grupo kiu estas subaro de G kaj tia ke la inkludmapo de H ĝis G estas injektiv mergado kaj grupo homomorfism.
Laŭ la teoremo, de Cartan fermita subgrupo da G koncedas unikan glatan strukturon kiu igas ĝin integriĝinta Mensogsubgrupo de G - t.e. Lie-subgrupon tia ke la inkludmapo estas glata enkonstruado.
#000069
Ekzemploj de ne-fermitaj subgrupoj estas abundaj;
ekzemple preno G esti Toro de dimensio≥ 2, kaj lasi H esti unu-parametra subgrupo de neracia deklivo, t.e. unu kiu bobenas ĉirkaŭe en G.
Tiam ekzistas Lie-grupo homomorfism φ:
R → G kun H kiel ĝia bildo.
La fino de H estos sub-torus en G.
#000070
La eksponenta mapo donas ekzaktan korespondadon inter la ligitaj Mensogsubgrupoj de ligita Mensoggrupo G kaj la subalgebrojn de la Lie-algebro de G.
Tipe, la subgrupo egalrilatanta al subalgebro ne estas fermita subgrupo.
Ekzistas neniu kriterio sole surbaze de la strukturo de G kiu determinas kiuj subalgebroj egalrilatas al fermitaj subgrupoj.
#000071
Unu grava aspekto de la studo de Lie-grupoj estas iliaj reprezentantaroj, t.e., la maniero kiel ili povas reagi (linie) al vektoraj spacoj.
En fiziko, Lie-grupoj ofte ĉifras la simetriojn de fizika sistemo.
La maniero oni faras uzon de tiu simetrio helpi analizi la sistemon estas ofte tra prezenta teorio.
(Unu grava ekzemplo de tia sistemo estas la hidrogenatomo.
Tiu spaco, tial, konstituas reprezentadon de TIEL (3).
Tiuj reprezentantaroj estis klasifikitaj kaj la klasifiko kondukas al granda simpligo de la problemo, esence transformante tridimensian partan diferencialan ekvacion al unu-dimensia ordinara diferenciala ekvacio.
#000072
Kvankam hodiaŭ Sophus Lie estas juste rekonita kiel la kreinto de la teorio de kontinuaj grupoj, grava paŝego en la evoluo de ilia strukturteorio, kiu devis havi profundan influon sur posta evoluo de matematiko, estis farita fare de Wilhelm Killing, kiu en 1888 publikigis la unuan paperon en serio rajtigis Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen ( La kunmetaĵo de kontinuaj finhavaj transformgrupoj) (Hawkins, p. 100).
La laboro de Killing, poste rafinita kaj ĝeneraligita fare de Élie Cartan, kondukis al klasifiko de semikuracherbaj Lie-algebroj, la teorio de Cartan de simetriaj spacoj, kaj la priskribo de Hermann Weyl de reprezentadoj de kompakta kaj semikuracherbaj Lie-grupoj uzantaj plej altajn pezojn.
#000076
Weyl alportis la fruan periodon de la evoluo de la teorio de Lie-grupoj al realiĝo, por ne nur li klasifikis neredukteblajn reprezentadojn de semikuracherbaj Lie-grupoj kaj ligis la teorion de grupoj kun kvantuma mekaniko, sed li ankaŭ metis la teorion de Lie mem sur pli firman bazon klare proklamante la distingon inter la infinitezimalaj grupoj de Lie (t.e., Lie-algebroj) kaj la Lie-grupoj mem, kaj komencis enketojn de topologio de Lie-grupoj.
La teorio de Lie-grupoj estis sisteme reverkita en moderna matematika lingvo en monografio fare de Claude Chevalley.
#000078
La koncepto de Lie-grupo, kaj eblecoj de klasifiko
#000079
Mensoggrupoj povas esti opiniitaj de tiel glate ŝanĝiĝantaj familioj de simetrioj.
Ekzemploj de simetrioj inkludas rotacion koncerne akson.
Kio devas esti komprenita estas la naturo de "malgrandaj" transformoj, ekzemple, rotacioj tra malgrandegaj anguloj, kiuj interligas proksimajn transformojn.
La matematika objekto konkeranta tiun strukturon estas nomita Lie-algebro ( Mensogo mem nomis ilin "infinitezimalaj grupoj").
Ĝi povas esti difinita ĉar Lie-grupoj estas duktoj, do havas klavspacojn ĉe ĉiu punkto.
#000080
La Lie-algebro de iu kompakta Mensoggrupo (tre malglate: unu por kiu la simetrioj formas baritan aron) povas esti malkonstruitaj kiel rekta sumo de abela Lie-algebro kaj iu nombro da simplanimaj.
La strukturo da abela Lie-algebro estas matematike neinteresa (ĉar la Lie-krampo estas idente nul);
la intereso estas en la simpla sumands.
Tial la demando ekestas: kio estas la simplaj Lie-algebroj de kompaktaj grupoj?
Ĝi montriĝas ke ili plejparte falas en kvar senfinajn familiojn, la "klasika Lie-algebro-" A,
Sed ekzistas ankaŭ justaj kvin "esceptaj Lie-algebroj" kiuj ne falas en iuj da tiujn familiojn.
E8 estas la plej granda de tiuj.
#000081
Mensoggrupoj estas klasigitaj laŭ siaj algebraj trajtoj ( kuracherbo, semikuracherbo, solveblaj, nilpotent, abelaj), sia ligiteco ( ligita aŭ simple ligita) kaj sia kompakteco.
#000082
La identeckomponento de iu Lie-grupo estas malferma normala subgrupo, kaj la kvocientogrupo estas diskreta grupo.
La universala kovro de iu ligita Mensoggrupo estas simple ligita Mensoggrupo, kaj inverse ĉiu ligita Mensoggrupo estas kvociento de simple ligita Mensoggrupo de diskreta normala subgrupo de la centro.
Ĉiu Lie-grupo G povas esti malkonstruita en diskretaj, simplaj, kaj abelaj grupojn laŭ kanonika maniero jene.
#000084
G trompo por la Koneksa komponanto de la identeco
G suno por la plej granda ligis normalan solveblan subgrupon
G nil por la plej granda ligis normalan nilpotentsubgrupon
#000085
G trompo por la Koneksa komponanto de la identeco
#000086
G suno por la plej granda ligis normalan solveblan subgrupon
#000087
G nil por la plej granda ligis normalan nilpotentsubgrupon
#000088
tiel tion ni havas sekvencon de normalaj subgrupoj
#000089
G / G trompo estas diskreta
#000092
G trompo / G suno estas centra etendaĵo da produkto de simplanimaj ligitaj Mensoggrupoj.
#000093
G suno- / G nil estas abela.
Ligita abela Mensoggrupo estas izomorfa al produkto de kopioj de R kaj la cirklogrupo S 1.
#000094
G nil /1 estas nilpotent, kaj tial ĝia ascendanta centra serio havas ĉiujn kvocientojn abela.
#000095
Tio povas esti uzita por redukti kelkajn problemojn pri Lie-grupoj (kiel ekzemple trovado de iliaj unitariaj reprezentantaroj) al la samaj problemoj por ligitaj simplanimaj grupoj kaj nilpotent kaj solveblaj subgrupoj de pli malgranda dimensio.
#000096
La difeomorfismogrupo de Lie-grupo reagas transitive al la Lie-grupo
Ĉiu Lie-grupo estas paralelizabla, kaj tial orientebla dukto (ekzistas faskizomorfio inter sia klavfasko kaj la produkto de si mem kun la klavspaco ĉe la identeco)
#000097
La literaturo ne estas totale unuforma en sia terminologio kiel al precize kiuj trajtoj de senfin-dimensiaj grupoj kvalifikas la grupon por la prefikso Kuŝas en Kuŝi grupo.
Sur la Lie-algebroflanko de aferoj, aferoj estas pli simplaj ekde la kompetentigaj kriterioj por la prefikso kiun Mensogo en Lie-algebro estas sole algebra.
Ekzemple, senfin-dimensia Lie-algebro povas aŭ eble ne havas ekvivalentan Mensoggrupon.
Tio estas, povas ekzisti grupo egalrilatanta al la Lie-algebro, sed eble ne estas sufiĉe bela por esti nomita Lie-grupo, aŭ la ligo inter la grupo kaj la Lie-algebro eble ne estas sufiĉe bela (ekzemple, fiasko de la eksponenta mapo por esti sur najbareco de la identeco).
Ĝi estas sufiĉe la "bela" kiu ne estas universale difinita.
#000099
La grupo da difeomorfismoj de dukto.
Tre multe estas konata ĉirkaŭ la grupo de difeomorfismoj de la cirklo.
Ĝia Lie-algebro estas (tiamaniere) la Witt-algebro, kies centra etendaĵo la Virasoro-algebro (vidu Virasoro-algebro de Witt-algebro por derivaĵo de tiu fakto) estas la simetrialgebro de dudimensia konforma kampa teorio.
Diffeomorphism-grupoj de kompaktduktoj da pli granda dimensio estas regulaj Fréchet Lie-grupoj;
tre malgranda koncerne ilian strukturon estas konata.
#000101
La difeomorfismogrupo de spactempo foje aperas en provoj kvantigi graviton.
#000102
La grupo de glataj mapoj de dukto ĝis finhav-dimensia Mensoggrupo estas ekzemplo de mezurilgrupo (kun operacio de punktmaniermultipliko), kaj estas uzita en kvantuma kampa teorio kaj Donaldson-teorio.
Se la dukto estas cirklo kiun tiuj estas nomitaj buklogrupoj, kaj havas centrajn etendaĵojn kies Lie-algebroj estas (tiamaniere) Kac-malbonhumoraj algebroj.
Vidu Kac-malbonhumora algebro de buklalgebro por ekzemplo.
Ekzistas senfin-dimensiaj analogoj de ĝeneralaj lineara grupoj, ortogonalaj grupoj,.
Unu grava aspekto estas ke tiuj povas havi pli simplajn topologiajn trajtojn: vidu la teoremon de ekzemple Kuiper.
En M-teorio, ekzemple, 10 dimensia Su (N) gaŭĝa teorio iĝas 11 dimensia teorio kiam N iĝas senfina.
#000103