En matematiko, geometria serio estas serio kun konstanta proporcio inter sinsekvaj esprimoj.
#000001
estas geometria, ĉar ĉiu sinsekva esprimo povas esti akirita obligante la antaŭan esprimon per 1/2.
#000002
Geometria serio estas unu el la plej simplaj ekzemploj de senfinaj serioj kun finhavaj sumoj, kvankam ne ĉio el ili havas tiun posedaĵon.
Historie, geometria serio ludis gravan rolon en la frua evoluo de kalkulado, kaj ili daŭre estas centraj en la studo de konverĝo de serioj.
Geometria serio estas uzita ĉie en matematiko, kaj ili havas gravajn aplikojn en fiziko, inĝenieristiko, biologio, ekonomiko, komputilscienco-, vicigante teorion, kaj financon.
#000003
La kvadraturo de Arkimedo de la parabolo
#000004
La kondiĉoj de geometria serio formas geometrikan nobrovicon, signifante ke la rilatumo de sinsekvaj esprimoj en la serio estas konstanta.
Tiu rilato enkalkulas la reprezentadon de geometria serio uzanta nur du esprimojn, r kaj .
La esprimo r estas la komuna rilatumo, kaj estas la unua oficperiodo de la serio.
Ekzemple la geometria serio donita en la enkonduko,
#000005
La sekva tablo montras plurajn geometrian serion kun malsamaj oftaj rilatumoj:
#000007
La konduto de la esprimoj dependas de la komuna rilatumo r:
#000008
Se r estas inter −1 kaj +1, la kondiĉoj de la serio iĝas pli malgrandaj kaj pli malgrandaj, aliri nul en la limo kaj la serio konverĝas al sumo.
En la kazo supra, kie r oni estas la duono, la serio havas la sumon oni.
#000010
Se r estas pli bonega ol unu aŭ malpli ol minuso unu la kondiĉoj de la serio iĝas pli grandaj kaj pli grandaj en magnitudo.
La sumo de la esprimoj ankaŭ iĝas pli granda kaj pli granda, kaj la serio havas neniun sumon.
#000011
Se r estas egala al unu, ĉiuj la kondiĉoj de la serio estas la sama.
#000012
Se r estas minuso unu la esprimoj prenas du valorojn alterne (ekz. 2, −2, 2, −2, 2, ...
La sumo de la esprimoj oscilas inter du valoroj (ekz. 2, 0, 2, 0, 2, ...
Tio estas malsama speco de diverĝo kaj denove la serio havas neniun sumon.
Vidu la serialojn de ekzemple Grandi: 1 − 1 + 1 − 1 +
#000013
La sumo de geometria serio estas finhava tiel longe kiel la absoluta valoro de la rilatumo estas malpli ol 1;
kiel la nombroj proksime de nul, ili iĝas malgrave malgrandaj, permesante al sumo esti kalkulita malgraŭ la serio enhavanta senlime-multajn esprimojn.
La sumo povas esti komputita uzante la mem-similecon de la serio.
#000014
Pripensu la sumon de la sekva geometria serio:
#000015
Tiu nova serio estas la sama kiel la originalo, krom ke la unua oficperiodo maltrafas.
Subtrahi la novan serion (2/3) s de la origina serio s nuligas ĉiun esprimon en la originalo sed la unua,
#000017
Simila tekniko povas esti uzita por analizi ajnan mem-similan esprimon.
#000018
kie estas la unua oficperiodo de la serio, kaj r estas la komuna rilatumo.
Ni povas derivi tiun formulon jene:
#000019
Ĉar n iras al senfineco, la absoluta valoro de r devas esti malpli ol unu por la serio por konverĝi.
#000020
Al kiam = 1, tio povas esti simpligita
#000021
la maldekstramana flanko estante geometria serio kun ofta rilatumo r .
#000022
La formulo ankaŭ tenas por kompleksa r , kun la ekvivalenta restrikto, la modulus da r estas strikte malpli ol unu.
#000023
Ni povas pruvi ke la geometria serio konverĝas utiligante la sumformulon por geometrika nobrovico:
#000024
Konverĝo de geometria serio ankaŭ povas esti montrita reverkante la serion kiel ekvivalenta mallongiga serio.
#000025
Tiu formulo povas esti derivita jene:
#000026
Perioddecimala frakcio povas esti opiniita de kiel geometria serio kies komuna rilatumo estas potenco de 1/10-a Ekzemple:
#000027
La formulo por la sumo de geometria serio povas esti utiligita por transformi la decimalon al frakcio,
#000028
La formulo laboras ne nur por ununura ripetanta figuro, sed ankaŭ por ripetanta grupo de figuroj.
#000029
Notu tiun ĉiun serion de ripeti ke sinsekvaj decimaloj povas esti komforte simpligitaj kun la sekvanta:
#000030
Tio estas, perioddecimala frakcio kun ripetlongo n estas egala al la kvociento de la ripetadparto (kiel entjero) kaj 10n - 1.
#000031
Arkimedo uzis la sumon de geometria serio komputi la areon enfermitan per parabolo kaj aerlinio.
Lia metodo devis dissekci la areon en senfinan nombron da trianguloj.
#000032
La teoremo de Arkimedo deklaras ke la suma areo sub la parabolo estas 4/3 el la areo de la blua triangulo.
#000033
Arkimedo determinis ke ĉiu verda triangulo havas 1/8 la areon de la blua triangulo, ĉiu flava triangulo havas 1/8 la areon de verda triangulo, kaj tiel antaŭen.
#000034
Supozante ke la blua triangulo havas areon 1, la suma areo estas senfina sumo:
#000035
La unua oficperiodo reprezentas la areon de la blua triangulo, la duan oficperiodon la areojn de la du verdaj trianguloj, la tria nomas la areojn de la kvar flavaj trianguloj,.
#000036
Tio estas geometria serio kun ofta rilatumo 1/4 kaj la frakcieca parto estas egala al
#000037
Tiu komputado uzas la metodon de elĉerpiĝo, frua versio de integriĝo.
Uzante kalkuladon, la sama areo povus esti trovita per definitiva integralo.
#000038
En la studo de fraktaloj, geometria serio ofte ekestas kiel la perimetro, areo, aŭ volumeno de mem-simila figuro.
#000039
Tiel la neĝero de Koch havas 8/5 el la areo de la baztriangulo.
#000042
La konverĝo de geometria serio rivelas ke sumo implikanta senfinan nombron da sumand povas efektive esti finhava, kaj tiel permesas al tia solvi multajn el la paradoksoj de Zenono.
Ekzemple, la dikotomioparadokso de Zenono asertas ke movado estas malebla, ĉar oni povas dividi ajnan finhavan padon en senfinan nombron da ŝtupoj en kio ĉiu paŝo estas prenita por esti duono de la restanta distanco.
La eraro de Zenono estas en la supozo ke la sumo de senfina nombro da finhavaj ŝtupoj ne povas esti finhava.
#000043
En ekonomiko, geometria serio kutimas reprezenti la nunan valoron de anuitato (monsumo por esti pagita en regulaj intervaloj).
#000045
Ekzemple, supozas ke pago de 100 USD estos farita al la posedanto de la anuitato unufoje je jaro (ĉe la fino de la jaro) en eterneco.
Ricevi 100 USD jaron de nun estas valora je malpli ol tujaj 100 USD, ĉar oni ne povas investi la monon ĝis oni ricevas ĝin.
#000046
2 (kvadratitaj ĉar la valoro de du jaroj de intereso estas perditaj je ne ricevanta la monon momente).
Tial, la nuna valoro de ricevado de 100 USD je jaro en eterneco estas
#000047
kiu estas la senfina serio:
#000048
La sumo estas la unua oficperiodo dividita per (unu minus la komuna rilatumo):
#000049
Tiu speco de kalkulo kutimas komputi la APR de prunto (kiel ekzemple hipotekprunto).
Povas ankaŭ esti uzite taksi la nunan valoron de atendataj akcidividendoj, aŭ la finan valoron de sekureco.
#000050
La formulo por geometria serio
#000051
Diferencigante la geometrian serion, oni akiras la variaĵon [2]
#000053