Wikipedia's Diffeomorphism as translated by GramTrans
#000000
Glosaro de teorio de grupoj
#000002
Ĝenerala linia Gl ( n)
#000003
Speciala linia Sl ( n)
#000004
Speciala ortogonala TIEL ( n)
#000005
En matematiko, difeomorfismo estas izomorfio de difencigeblaj plurejoj.
Estas invertebla funkcio ke mapoj unu diferencialdukto al alia, tia ke kaj la funkcio kaj ĝia inversa estas glataj.
#000007
Surbaze de du duktoj M kaj N, da diferenciebla mapo f:
M → N estas nomita difeomorfismo se ĝi estas ensurĵeto kaj ĝia inversa f −1:
N → M estas diferenciebla ankaŭ.
Se tiuj funkcioj estas r tempoj ade diferencieblaj, f estas nomita Cr - difeomorfismo).
#000009
Du duktoj M kaj N estas difeomorfaj (simbolo kutime estante ≃) se ekzistas difeomorfismo f de M ĝis N.
Ili estas Cr difeomorfaj se ekzistas r tempoj ade diferenciebla bijektivemapo inter ili kies inversa ankaŭ estas r tempoj ade diferenciebla.
#000010
Diffeomorphisms de subaroj de duktoj
#000011
Surbaze de subaro X de dukto M kaj subaro Y de dukto N, funkcio f:
X → Y laŭdire estas glata ĉu por ĉiu p en X ekzistas najbareco U ⊂ M de p kaj glata funkcio g:
U → N tia ke la restriktoj konsentas(noto ke g estas etendaĵo de f).
Ni diras ke f estas difeomorfismo se ĝi estas bijektive, glata kaj ĝia inversa estas glata.
#000012
Rimarko 1-a estas esence ke V por estus simple ligita por la funkcio f por esti tutmonde invertebla (sub la sola kondiĉo kiu ĝia derivaĵo estas bijektivemapo ĉe ĉiu punkto).
Ekzemple, pripensas la "realigadon" de la kompleksa kvadrata funkcio
#000014
Tiam f estas surjektive kaj ĝia kontentigas
#000015
Rimarko 2-a Ekde la diferencialo ĉe punkto (por diferenciebla funkcio)
#000016
Rimarko kiun 3-a Diffeomorphisms estas nepre inter duktoj de la sama dimensio.
Imagu ke f iris de dimensio n por dimensiigi k.
Se n < k tiam Dfx neniam povis esti surjektive, kaj se n > k tiam Dfx neniam povus esti injektivo.
Tiel en ambaŭ kazoj Dfx ne estas ensurĵeto.
#000017
Rimarko 5-a Surbaze de glata mapo de dimensio n dimensiigi k, se Df (resp.
Dfx ) estas surjektive tiam kiun ni diras ke f estas subakvigo (resp.
loka subakvigo), kaj se Df (resp.
Dfx ) estas injektivo kiun ni diras ke f estas mergado (resp.
#000019
Rimarko 6-a A diferenciebla ensurĵeto ne estas nepre difeomorfismo, ekz. f ( x
x 3 ne estas difeomorfismo de R ĝis si mem ĉar ĝia derivaĵo malaperas ĉe 0 (kaj tial ĝia inversa ne estas diferenciebla ĉe 0).
Tio estas ekzemplo de homeomorfio kiu ne estas difeomorfismo.
#000020
Rimarko 7-a f estanta difeomorfismo estas pli forta kondiĉo ol f estanta homeomorfio (kiam f estas mapo inter diferencialduktoj).
Por difeomorfismo ni bezonas f kaj ĝian inversan por esti diferencieblaj.
Por homeomorfio ni nur postulas ke f kaj ĝia inversa estu kontinuaj.
Tiel ĉiu difeomorfismo estas homeomorfio, sed la konversacio estas falsa: ne ĉiu homeomorfio estas difeomorfismo.
#000021
M → N estas nomita difeomorfismo se en koordinatfurorlisto ĝi kontentigas la difinon supre.
Pli ĝuste, elektas ajnan kovron de M de kongrua kunordigita furorlisto, kaj faras la saman por N.
Lasu φ kaj ψ esti furorlisto sur M kaj N respektive, kun U estanta la bildo de φ kaj V la bildo de ψ.
Tiam la kondiĉoj diras ke la mapψfφ −1:
U → V estas difeomorfismo kiel en la difino supre (kiam ajn ĝi sonas racie).
Oni devas kontroli tion por ĉiu paro de furorlisto φ, ψ de du surbaze de atlasoj, sed unufoje kvadratita, ĝi estos vera por iu alia kongrua diagramo.
Denove ni vidas ke grandeco devas konsenti.
#000022
Ĉar ĉiu dukto povas esti loke parametrigita, ni povas pripensi kelkajn eksplicitajn mapojn de R 2 en R 2.
#000023
Ni povas kalkuli la Jakobianan matricon:
La Jakobiana matrico havas nul determinanton se, kaj nur se ksy = 0-a Ni vidas ke f estas difeomorfismo for de la absciso kaj la ipsilonakso.
#000024
La Jakobiana matrico havas nul determinanton se, kaj nur se ksy = 0-a Ni vidas ke f estas difeomorfismo for de la absciso kaj la ipsilonakso.
#000026
kie lakajarbitraj realaj nombroj estas, kaj la ellasitaj esprimoj estas de grado almenaŭ du en x kaj y.
Ni povas kalkuli la Jakobianan matricon ĉe 0:
Ni vidas ke g estas loka difeomorfismo ĉe 0 se, kaj nur se,
t.e. la liniaj esprimoj en la komponentoj de g estas linie sendependaj kiel polinomoj.
#000027
kie lakajarbitraj realaj nombroj estas, kaj la ellasitaj esprimoj estas de grado almenaŭ du en x kaj y.
Ni povas kalkuli la Jakobianan matricon ĉe 0:
#000028
Ni vidas ke g estas loka difeomorfismo ĉe 0 se, kaj nur se,
#000029
t.e. la liniaj esprimoj en la komponentoj de g estas linie sendependaj kiel polinomoj.
#000030
Ni povas kalkuli la Jakobianan matricon:
La Jakobiana matrico havas nul determinanton ĉie!
Fakte ni vidas ke la bildo de h estas la trigonometria cirklo.
#000031
La Jakobiana matrico havas nul determinanton ĉie!
Fakte ni vidas ke la bildo de h estas la trigonometria cirklo.
#000032
Lasu M esti diferencialdukto kiu estas duanombrebla kaj Hausdorff.
La difeomorfismogrupo de M estas la grupo de ĉiuj Cr difeomorfismoj de M al si mem, kaj estas indikita fare de Diff r ( M) aŭ Diff ( M) kiam r estas komprenita.
Tio estas "granda" grupo, en la senco ke ĝi ne estas loke kompakta (provizita M ne estas nul-dimensia).
#000033
La difeomorfismogrupo havas du naturajn topologiojn, nomitajn la malforta kaj forta topologio ( Hirsch 1997).
Kiam la dukto estas kompakta, tiuj du topologioj konsentas.
La malforta topologio ĉiam estas metrizabla.
Kiam la dukto ne estas kompakta, la forta topologio kaptas la konduton de funkcioj "ĉe senfineco", kaj ne estas metrizabla.
Ĝi estas, aliflanke, daŭre Baire.
#000034
Fiksante Riemanianan metrikon sur M, la malforta topologio estas la topologio induktita fare de la familio de metriko
#000035
ĉar K varias super kompaktaj subaroj de M.
Efektive, ĉar M estas σ-kompakta, ekzistas sekvenco de kompaktaj subaroj K da n kies unio estas M.
#000036
La difeomorfismogrupo provizita per ĝia malforta topologio estas loke homeomorfa al la spaco de Cr vektoraj kampoj ( Leslie 1967).
Inte kompakta subaro de M, tio sekvas fiksante Riemanianan metrikon sur M kaj utiligante la eksponentan mapon por tiu metriko.
Se r estas finhava kaj la dukto estas kompakta, la spaco de vektoraj kampoj estas Banach-spaco.
Krome, la transirmapoj de unu diagramo de tiu atlaso ĝis alia estas glataj, transformante la difeomorfismogrupon en Banach-dukton.
Se r = ∞ aŭ se la dukto estas σ-kompakta, la spaco de vektoraj kampoj estas Fréchet-spaco.
Krome, la transirmapoj estas glataj, transformante la difeomorfismogrupon en Fréchet-dukton.
#000037
Aparte, la Lie-algebro de la difeomorfismogrupo de M konsistas el ĉiuj vektoraj kampoj sur M, provizita per la Lie krampo de vektoraj kampoj.
Iom formale, tio vidiĝas per igado de malgranda ŝanĝi al la kunordigita x ĉe ĉiu punkto en spaco:
#000038
(x) tiel la infinitezimalaj generatoroj estas la vektoraj kampoj
#000039
La difeomorfismogrupo de eŭklida spaco R da n konsistas el du komponentoj, konsistante el la orientiĝmarinado kaj orientiĝo inversigante difeomorfismojn.
Fakte, la ĝenerala lineara grupo estas deformado retiru de subgrupo Diff ( R da n , 0) de difeomorfismoj fiksantaj la originon sub la mapo f ( x
Tial, aparte, la ĝenerala lineara grupo ankaŭ estas deformado retiru de la plena difeomorfismogrupo ankaŭ.
#000041
Por finhava aro de punktoj, la difeomorfismogrupo estas simple la simetria grupo.
Simile, se M estas ajna dukto ekzistas centra vastigaĵo 0 → Diff0 ( M) → Diff ( M) → σ ( π0 ( M).
Ĉi tie Diff0 ( M) estas la subgrupo de Diff ( M) kiu konservas ĉiujn komponentojn de M, kaj σ ( π0 ( M) estas la permutadogrupo de la arπ0 ( M) (la komponentoj de M).
Krome, la bildo de la mapo Diff ( M) → σ ( π0 ( M) estas la ensurĵetoj de π0 ( M) kiuj konservas difeomorfismoklasojn.
#000042
Por ligita multnombra M la difeomorfismogrupo reagas transitive al M.
Pli ĝenerale, la difeomorfismogrupo reagas transitive al la konfiguraciospaco CkM .
Se la dimensio de M estas almenaŭ du la difeomorfismogrupo reagas transitive al la konfiguraciospaco FkM : la ago sur M estas diversece transitiva ( Banyaga 1997, p. 29).
#000043
La (orientiĝ-marinada) difeomorfismogrupo de la cirklo estas padmaniero ligita.
Tio povas esti vidita per notado ke eventuala tia difeomorfismo povas esti levita al difeomorfismo f de la realoj kontentigante f ( x +1) = f ( x) + 1;
tiu spaco estas konveksa kaj tial pado ligis.
Glata poste konstanta pado al la identeco kolapsas sekunde pli elementan de etendiĝado de difeomorfismo de la cirklo ĝis la malferma unuodisko (tio estas speciala kazo de la Aleksandro-truko).
Krome, la difeomorfismogrupo de la cirklo havas la homotopy-specon da la ortogonala grupo O (2).
#000045
La ekvivalenta etendaĵoproblemo por difeomorfismoj de pli altaj dimensiaj sferoj S da n −1 estis multe studita en la 1950-aj jaroj kaj 1960-aj jaroj, kun rimarkindaj kontribuoj de René Thom, John Milnor kaj Stephen Smale.
Obstrukco al tiaj etendaĵoj ricevas per la finhava komuta grupo γ n , la " grupo de torditaj sferoj ", difinitaj kiel la kvociento de la Abela komponentogrupo de la difeomorfismogrupo per la subgrupo de klasoj etendiĝantaj al difeomorfismoj de la pilko B n .
#000046
Por duktoj la difeomorfismogrupo estas kutime ne ligita.
Ĝia komponentogrupo estas nomita la mapada klasgrupo.
En dimensio 2, t.e. por surfacoj, la mapada klasgrupo estas finhave prezentita grupo, generita per Dehn-tordaĵoj ( Dehn, Lickorish, Hatcher).
[ citaĵo bezonis ] Max Dehn kaj Jakob Nielsen montris ke ĝi povas esti identigita kun la ekstera aŭtomorfismogrupo de la fundamenta grupo de la surfaco.
#000047
William Thurston rafinis tiun analizon klasifikante elementojn de la mapada klasgrupo en tri tipojn: tiuj ekvivalentan al periodan difeomorfismon;
tiujn ekvivalentajn al difeomorfismo lasanta simplan fermitan kurbon senvaria;
kaj tiuj ekvivalentaj al pseŭdo-Anosovdifeomorfismoj.
Koncerne la Toron S 1 × S 1 = R 2 / Z 2, la mapada klasgrupo estas ĵus la modula grupo Sl (2, Z) kaj la klasifiko reduktas al la klasikaĵo unu laŭ elipsaj, parabolaj kaj hiperbolaj matricoj.
Thurston plenumis sian klasifikon per observado ke la mapada klasgrupo reagis nature al Kompaktigo de Teichmüller-spaco;
ĉar tiu pligrandigita regiono estis homeomorfa al fermita pilko, la Brouwer-fikspunkto-teoremo iĝis uzebla.
#000048
Se M estas orientita glata fermita dukto, ĝi estis konjektita fare de Smale kiu la identeckomponento de la grupo de orientiĝ-marinadaj difeomorfismoj estas simpla.
Tio unue estis pruvita por produkto de cirkloj fare de Michel Herman;
ĝi estis pruvita en plena ĝeneraleco fare de Thurston.
#000049
La difeomorfismogrupo de S 2 havas la homotopy-specon da la subgrupo O (3).
Tio estis pruvita fare de Steve Smale.
#000050
La difeomorfismogrupo de la Toro havas la homotopy-specon da siaj liniaj aŭtomorfismoj:
#000051
La difeomorfismogrupojn de orienteblaj surfacoj de genro g > 1 havas la homotopy-specon da ilia mapadoj de klasgrupoj - t.e.: la komponentoj estas kuntireblaj.
#000052
La homotopy-speco de la difeomorfismogrupoj de 3-manifolds estas sufiĉe bon-understood per la laboro de Ivanov, Hatcher, Gabai kaj Rubinstein kvankam ekzistas kelkaj elstaraj nefermitaj kazoj, ĉefe 3-manifolds kun finhavaj fundamentaj grupoj.
#000053
La homotopy-speco de difeomorfismogrupoj de n-dukto por n > 3 estas nebone undersod.
Ekzemple, ĝi estas malferma problemo ĉu aŭ ne Diff ( S 4) havas pli ol du komponentojn.
Sed per la laboro de Milnor, Kahn kaj Antonelli kiun estas konata ke Diff ( S da n ) ne havas la homotopy-specon da finhava CW-komplekso disponigis n > 6.
#000054
Estas facile trovi homeomorfion kiu ne estas difeomorfismo, sed estas pli malfacile trovi paron de homeomorfaj duktoj kiuj ne estas difeomorfaj.
En grandeco 1, 2, 3, ĉiu paro de homeomorfaj difencigeblaj plurejoj estas difeomorfaj.
En dimensio 4 aŭ pli granda, ekzemploj de homeomorfaj sed ne difeomorfaj paroj estis trovitaj.
La unua tia ekzemplo estis konstruita fare de John Milnor en dimensio 7-a kiun Li konstruis al glata 7-dimensia dukto (nomita nun la sfero de Milnor) kiu estas homeomorfa al la normo 7-sfera sed ne difeomorfa al ĝi.
Ekzistas fakte 28 orientitaj difeomorfismoklasoj de duktoj homeomorfaj al la 7-sfera (ĉiu el ili estas la totala spaco de fibrofasko super la 4-sfera kun la 3-sfera kiel la fibro).
#000055
Multe pli ekstremaj fenomenoj okazas por 4-manifolds: en la fruaj 1980-aj jaroj, kombinaĵo de rezultoj pro Simon Donaldson kaj Michael Freedman kaŭzis la eltrovon de ekzotika R4s: ekzistas nenombreble multaj pairŭise ne-diffeomorphic malfermaj subaroj de R 4 ĉiu el kiu estas homeomorfa al R 4, kaj ankaŭ ekzistas nenombreble multaj pairŭise ne-diffeomorphic diferencialduktoj homeomorfaj al R 4 kiuj ne enkonstruas glate en R 4.
#000056
, " Sur diferencialo-strukturo por la grupo de diffeomorphisms " , Topology. an International Journal of Mathematics 6 (2): 263-271, COI:
#000064