En topologio kaj parencaj branĉoj de matematiko, topologia spaco povas esti difinita kiel aro de punktoj, kune kun aro de kvartaloj por ĉiu punkto, kontentigante aron de aksiomoj rakontantaj punktojn kaj kvartalojn.
La difino de topologia spaco fidas nur sur aroteorio kaj estas la plej ĝenerala nocio de matematika spaco kiu enkalkulas la difinon de konceptoj kiel ekzemple kontinueco, ligiteco, kaj konverĝo.
Aliaj spacoj, kiel ekzemple duktoj kaj metrikaj spacoj, estas specialiĝoj de topologiaj spacoj kun ekstraj strukturoj aŭ limoj.
Estante tiel ĝeneralaj, topologiaj spacoj estas centra unueciga nocio kaj aperas en praktike ĉiu branĉo de moderna matematiko.
La branĉo de matematiko ke studoj topologiaj spacoj en sia propra rajto estas nomitaj punkt-metita topologio aŭ ĝenerala topologio.
#000001
Difino tra malfermitaj aroj 2.2-a
#000003
3 Topologioj de kutimaj spacoj
5 Klasifiko de topologiaj spacoj
#000004
La utileco de la nocio de topologio estas montrita per la fakto kiu ekzistas pluraj ekvivalentaj difinoj de tiu strukturo.
Tiel oni elektas la aksiomigon konvenitan por la aplikiĝo.
La plej ofte uzita estas ke laŭ malfermitaj aroj , sed eble pli intuicia estas ke laŭ kvartaloj kaj tiel tio unue ricevas.
#000007
Tiu aksiomigo ŝuldiĝas al Felix Hausdorff.
la elementoj de X estas kutime nomitaj punktoj, kvankam ili povas esti ajna matematika objekto.
Ni permesas al X esti malplena.
Lasu N esti funkcio asignanta al ĉiu x (punkto) en X ne-malplenan amasiĝon N ( x) de subaroj de X.
La elementoj de N ( x) estos nomitaj kvartaloj de x kun respekto al N (aŭ, simple, kvartaloj de x).
La funkcio N estas nomita kvartaltopologio se la aksiomoj malsupre [5] estas kontentigitaj;
kaj tiam X kun N estas nomita topologia spaco.
#000008
Se N estas kvartalo de x (t.e., N ∈ N ( x), tiam x ∈ N.
Al aliaj vortoj, ĉiu punkto apartenas al ĉiu unu el siaj kvartaloj.
Se N estas subaro de X kaj inkludas kvartalon de x, tiam N estas kvartalo de x.
, ĉiu superaro de kvartalo de poento x en X denove estas kvartalo de x.
La intersekciĝo de du kvartaloj de x estas kvartalo de x.
Ĉiu kvartalo N de x inkludas kvartalon M de x tia ke N estas kvartalo de ĉiu punkto de M.
#000009
La unuaj tri aksiomoj por kvartaloj havas klaran signifon.
La kvara aksiomo havas gravegan uzon en la strukturo de la teorio, tiu de interligado kune la kvartaloj de malsamaj punktoj de X.
#000010
Normekzemplo de tia sistemo de kvartaloj estas por la reala linio R, kie subaro N da R estas difinita por esti kvartalo de reala nombro x ĉu ĝi inkludas malferman intervalon enhavantan x.
#000011
Surbaze de tia strukturo, subaro U de X estas difinita por esti malferma ĉu U estas kvartalo de ĉiuj punktoj en U.
La malfermitaj aroj tiam kontentigas la aksiomojn donitajn malsupre.
Inverse, se donite la malfermitajn arojn de topologia spaco, la kvartaloj kontentigantaj ĉi-suprajn aksiomojn povas esti reakiritaj difinante N por esti kvartalo de x ĉu N inkludas malfermitan aron U tia ke x ∈ U.
#000012
Topologia spaco estas orda duopo ( X, τ), kie X estas aro kaj τ estas kolekto de subaroj de X, kontentigante la sekvajn aksiomojn: [7]
#000013
La malplena aro kaj X mem apartenas al τ.
Ĉiu (finhava aŭ senfina) unio de membroj de τ daŭre apartenas al τ.
La intersekciĝo de iu finhava membronombro de τ daŭre apartenas al τ.
#000014
La elementoj de τ estas nomitaj malfermitaj aroj kaj la kolekto τ estas nomita topologio sur X.
#000015
de nur la du subaroj de X postulita per la aksiomoj formas topologion de X, la sensignifa topologio (indiskrete-topologio).
de ses subaroj de X formoj alia topologio de X.
kaj la kolekto τ = P ( X) (la aro de ĉiuj subaroj de X
Xa, τ) estas topologia spaco.
τ estas nomita la diskreta topologio.
Surbaze de X = Z, la aro de entjeroj, la kolekto τ de ĉiuj ne-senlimaj subaroj de la entjeroj kaj plie Z mem ĉar (ekzemple) la unio de ĉiuj finhavaj aroj ne enhavantaj nul estas senfina ne estas sed estas ne ĉio el Z, kaj tiel estas ne en τ.
#000016
Utiligi de Morgan's-leĝojn, al ĉi-supraj aksiomoj difinantaj malfermitajn arojn konvenas aksiomoj difinado fermitajn arojn:
#000017
La malplena aro kaj X estas fermitaj.
La intersekciĝo de iu kolekto de fermitaj aroj ankaŭ estas fermita.
La unio de iu finhava nombro da fermitaj aroj ankaŭ estas fermita.
#000018
Utiligi tiujn aksiomojn, alian manieron difini topologian spacon estas kiel aro X kune kun kolekto τ de fermitaj subaroj de X.
Tiel la aroj en la topologio τ estas la fermitaj aroj, kaj iliaj salutoj en X estas la malfermitaj aroj.
#000019
Ekzistas multaj aliaj ekvivalentaj manieroj difini topologian spacon: en aliaj vortoj la konceptoj de kvartalo, aŭ tio de sinceraj aŭ fermitaj aroj povas esti rekonstruitaj de aliaj deirpunktoj kaj kontentigas la ĝustajn aksiomojn.
#000020
Alia maniero difini topologian spacon estas per utiligado de la Kuratowski-finaksiomoj, de kiuj difinas la fermitajn arojn kiel la fikspunktojn de funkciigisto sur la aro de ĉiuj subaroj X.
#000021
Reto estas ĝeneralaĵo de la koncepto de sekvenco.
Topologio estas tute determinita ĉu por ĉiu reto en X la aro de siaj amasiĝpunktoj estas precizigita.
#000022
Gamo da topologioj povas esti metitaj sur aktoraron por formi topologian spacon.
Kiam ĉiu aro en topologio τ 1 estas ankaŭ en topologio τ 2 kaj τ 1 estas subaro de τ 2, ni diras ke τ 2 estas pli bona ol τ 1, kaj τ 1 estas pli kruda ol τ 2.
Pruvo kiu dependas nur de la ekzisto de certaj malfermitaj aroj ankaŭ tenos por iu pli bona topologio, kaj simile pruvon kiu dependas nur de certaj aktoraroj ne estante malferma aplikas al iu pli kruda topologio.
La esprimoj pli grandaj kaj pli malgrandaj estas foje uzitaj modloko de pli bona kaj pli kruda, respektive.
La esprimoj pli fortaj kaj pli malfortaj estas ankaŭ uzitaj en la literaturo, sed kun nur malmulte da interkonsento en la signifo, tiel ke oni ĉiam devus esti certa pri la kongreso de verkinto kiam legado.
#000023
La kolekto de ĉiuj topologioj sur antaŭfiksita fiksa aktoraro X formas kompletan kradon: se F
kolekto de topologioj estas sur X, tiam la kunveno de F estas la intersekciĝo de F, kaj la kunligo de F estas la kunveno de la kolekto de ĉiuj topologioj sur X kiuj enhavas ĉiun membron de F.
#000024
X → Y inter topologiaj spacoj estas nomita kontinua ĉu por ĉiu x ∈ Xa kaj ĉiu kvartalo N de f ( x) ekzistas kvartalo M de x tia ke f ( M
Tio rilatigas facile al la kutima difino en analizo.
Ekvivalente, f estas kontinua se la inversa bildo de ĉiu malfermita aro estas malferma.
Tio estas provo kapti la intuicion kiu ekzistas neniuj "saltoj" aŭ "apartigoj" en la funkcio.
Homeomorfio estas ensurĵeto kiu estas kontinua kaj kies inversa ankaŭ estas kontinua.
Du spacetoj estas nomitaj homeomorfaj ĉu tie ekzistas homeomorfio inter ili.
De la starpunkto de topologio, homeomorfaj spacoj estas esence identaj.
#000025
En teorio de kategorioj, Pinto, la kategorio da topologiaj spacoj kun topologiaj spacoj kiel objektoj kaj kontinuaj funkcioj kiel morfismoj estas unu el la fundamentaj kategorioj en teorio de kategorioj.
La provo klasifiki la celojn de tiu kategorio (ĝis homeomorfio) de Invariantoj instigis areojn de esplorado, kiel ekzemple homotopeca teorio, homologeca teorio, kaj K-teorio ktp.
#000026
Metrikaj spacoj enkarnigas metrikon, precizan nocion de distanco inter punktoj.
#000028
Ĉiu metrika spaco povas ricevi metrikan topologion, en kiu la bazaj malfermitaj aroj estas malfermaj pilkoj difinitaj per la metriko.
Tio estas la norma topologio sur iu normeita vektora spaco.
Sur finhav-dimensia vektora spaco tiu topologio estas la sama por ĉiuj normoj.
#000029
Ekzistas multaj manieroj difini topologio sur R, la aro de realaj nombroj.
La norma topologio sur R estas generita per la malfermaj intervaloj.
La aro de ĉiuj malfermaj intervaloj formas bazon aŭ bazon por la topologio, signifante ke ĉiu malfermita aro estas unio de iu kolekto de aroj de la bazo.
Aparte, tio signifas ke aro estas sincera se tie ekzistas malferma intervalo de ne-nula radiuso koncerne ĉiun punkton en la aro.
Pli ĝenerale, al la eŭklidaj spacoj R da n povas esti evoluitaj topologio.
En la kutima topologio sur R da n la bazaj malfermitaj aroj estas la malfermaj pilkoj.
Simile, C, la aro de kompleksaj nombroj, kaj C da n havas norman topologion en kiu la bazaj malfermitaj aroj estas malfermaj pilkoj.
#000030
Proksimecspacoj disponigas nocion de proksimeco de du aroj.
#000031
Unuforma spacaksiomatize ordigante la distancon inter apartaj punktoj.
#000032
Topologia spaco en kiu la punktoj estas funkcioj estas nomita funkcia spaco.
#000033
Grothendieck-ejoj estas kategorioj kun kroma datenaksiomatizing ĉu familio de sagoj kovras objekton.
Ejoj estas ĝenerala scenaro por difinado de faskoj.
#000036
Multaj aroj de linearoperatoroj en funkcionala analitiko estas dotitaj per topologioj kiuj estas difinitaj per precizigado kiam speciala sekvenco de funkcioj konverĝas al la nul funkcio.
#000037
Ĉiu loka kampo havas topologion apartenantan al ĝi, kaj tio povas esti etendita al vektoraj spacoj super tiu kampo.
#000038
La Zariski-topologio estas difinita algebre sur la spektro de ringo aŭ algebra diverseco.
Sur R da n aŭ C da n , la fermitaj aroj de la Zariski-topologio estas la Solvaĵaj aroj de sistemoj de polinom ekvacioj.
#000040
Tie ekzistu multaj topologioj sur iu antaŭfiksita finhava aktoraro.
Tiaj spacoj estas nomitaj finhavaj topologiaj spacoj.
Finhavaj spacoj foje kutimas disponigi ekzemplojn aŭ kontraŭekzemplojn al supozoj pri topologiaj spacoj ĝenerale.
#000043
Ĉiu aro povas ricevi la kofinittopologion en kiu la malfermitaj aroj estas la malplena aro kaj la aroj kies komplemento estas finhava.
Tio estas la plej malgranda T1 topologio sur iu senfina aktoraro.
#000044
Ĉiu aro povas ricevi la konombreblan topologion, en kiu aro estas difinita kiel malferma ĉu ĝi estas aŭ malplena aŭ ĝia komplemento estas nombrebla.
Kiam la aro estas nenombrebla, tiu topologio funkcias kiel kontraŭekzemplo en multaj situacioj.
#000045
La reala linio ankaŭ povas ricevi la mimimumliman topologion.
Ĉi tie, la bazaj malfermitaj aroj estas la duone malfermitaj intervaloj [, b).
Tiu topologio sur R estas strikte pli bona ol la Eŭklida topologio difinis supre;
sekvenco konverĝas al punkto al tiu topologio se kaj nur se ĝi konverĝas de supre al la Eŭklida topologio.
Tiu ekzemplo montras ke aro povas havi multajn apartajn topologiojn difinitajn sur ĝi.
#000046
Se γ estas numero, tiam la metita γ = [0, γ) povas esti dotita kun la ordotopologio generita de la intervaloj (, b), [0, b) kaj (, γ) kie a kaj b estas elementoj de γ.
#000047
Ĉiu subaro de topologia spaco povas ricevi la subspactopologion en kiu la malfermitaj aroj estas la intersekciĝoj de la malfermitaj aroj de la pli granda spaco kun la subaro.
Por iu indeksita familio de topologiaj spacoj, la produkto povas ricevi la produktotopologion, kiu estas generita per la inversaj bildoj de malfermitaj aroj de la faktoroj sub la projekcio mapadoj.
Ekzemple, el finhavaj produktoj, bazo por la produktotopologio konsistas el ĉiuj produktoj de malfermitaj aroj.
Por senfinaj produktoj, ekzistas la kroma postulo ke en baza malfermita aro, ĉiuj krom finhave multaj el ĝiaj projekcioj estas la tuta spaco.
#000048
Kvocientospaco estas difinita jene: ĉu X estas topologia spaco kaj Y estas aro, kaj se f:
X → Y estas surjektive
funkcio, tiam la kvocienttopologio sur Y estas la kolekto de subaroj de Y kiuj havas malfermajn inversajn bildojn sub f.
En aliaj vortoj, la kvocienttopologio estas la plej bona topologio sur Y por kiu f estas kontinua.
Ofta ekzemplo de kvocienttopologio estas kiam ekvivalentrilato estas difinita sur la topologia spaco Xa.
La mapo f tiam estas la natura projekcio sur la aro de ekvivalentklasoj.
#000049
Topologiaj spacoj povas esti larĝe klasifikitaj, ĝis homeomorfio, memstare topologiaj trajtoj.
Topologia posedaĵo estas posedaĵo de spacoj kiu estas senvaria sub homeomorfioj.
Por pruvi ke du spacetoj ne estas homeomorfaj ĝi estas sufiĉa trovi topologian posedaĵon ne dividitan per ili.
Ekzemploj de tiaj trajtoj inkludas ligitecon, kompaktecon, kaj diversajn apartigajn aksiomojn.
#000052
Topologiaj spacoj kun algebra strukturo
#000054
Por iuj algebraj objektoj ni povas lanĉi la diskretan topologion, sub kiu la algebraj operacioj estas kontinuaj funkcioj.
Por eventuala tia strukturo kiu ne estas finhava, ni ofte havas naturan topologion kongruaj kun la algebraj operacioj, en la senco ke la algebraj operacioj daŭre estas kontinuaj.
Tio kondukas al konceptoj kiel ekzemple topologiaj grupoj, topologiaj vektoraj spacoj, topologiaj ringoj kaj lokaj kampoj.
#000055
Topologiaj spacoj kun ordo strukturas
#000056
Spaco estas spektra se kaj nur se ĝi estas la ĉefa spektro de ringo ( Hochster teoremo).
#000057
En matematiko, aparte en topologio, topologia spaco estas strukturo kiu ebligas la formalan difinon de konceptoj de konverĝo, konekteco, kaj kontinueco.
#000063
Topologia spaco estas aro X kaj ankaŭ T, kolekto de subaroj de X, kontentiganta jenajn aksiomojn:
#000064
La malplena aro kaj X estas en T.
Ankaŭ la kunaĵo (unio) de ĉiu kolekto de aroj en T estas en T.
Ankaŭ la komunaĵo (intersekco) de ĉiu finia kolekto de aroj en T estas en T.
#000065
La kolekto T estas nomata kiel topologio sur X. La eroj de X estas kutime nomataj kiel punktoj, kvankam ili povas esti iuj matematikaj objektoj. Topologia spaco en kiu la punktoj estas funkcioj estas nomata kiel funkcia spaco. La aroj en T estas la malfermitaj aroj, kaj iliaj komplementoj en X estas fermitaj aroj. Ankaŭ, aro povas esti nek fermita nek malfermita; ankaŭ, aro povas esti samtempe fermita kaj malfermita (fermito-malfermita aro).
#000066
X = Z, la aro de entjeroj kaj kolekto T egala al ĉiuj finiaj subaroj de la entjeroj plus Z mem ne estas topologio. Ekzemple la unio super ĉiuj finiaj aroj ne enhavantaj nulon estas malfinia kaj ne egalas al Z, kaj tiel ne estas en T, sed ĝi devus esti en T laŭ la 2-a aksiomo.
#000067
Estas multaj la aliaj ekvivalentaj manieroj difini topologian spacon (karakterigadoj de kategorio de topologiaj spacoj). En aliaj vortoj, ĉiu el jenaj difinoj difinas kategorion ekvivalentan al la kategorio de topologiaj spacoj kiel estas pli supre donite.
#000068
Per la demorganaj leĝoj, la aksiomaj difinantaj malfermitajn arojn pli supre iĝas aksiomojn difinantajn fermitajn arojn:
#000069
La malplena aro kaj X estas fermitaj.
La intersekco de ĉiu kolekto de fermitaj aroj estas ankaŭ fermita.
La unio de ĉiu paro de fermitaj aroj estas ankaŭ fermita.
#000070
Uzante ĉi tiujn aksiomojn, alia maniero difini topologian spacon estas kiel aro X kaj ankaŭ kolekto T de subaroj de X kontentigantaj jenajn aksiomojn:
#000071
La malplena aro kaj X estas en T.
Ankaŭ la intersekco de ĉiu kolekto de aroj en T estas en T.
Ankaŭ la unio de ĉiu paro de aroj en T estas en T.
#000072
Sub ĉi tiu difino, la aroj en la topologio T estas la fermitaj aroj, kaj iliaj komplementoj en X estas la malfermitaj aroj.
#000073
Alia maniero difini topologian spacon estas per la fermaĵaj aksiomoj de Kuratowski, kiuj difinas la fermitajn arojn kiel la fiksaj punktoj de operatoro sur la aro de ĉiuj subaroj de X.
#000074
Najbaraĵo de punkto x estas ĉiu aro kiu enhavas malfermita aro enhavantan x. La najbaraĵa sistemo je x konsistas de ĉiuj najbaraĵoj de x. Topologio povas esti difinita per aro de aksiomoj koncernantaj ĉiujn najbaraĵajn sistemojn.
#000075
Reto estas ĝeneraligo de la koncepto de vico. Topologio estas plene difinita se por ĉiu reto en X estas donita aro de ĝiaj akumuliĝaj punktoj.
#000076
Funkcio inter topologiaj spacoj estas kontinua se la inversa bildo de ĉiu malfermita aro estas malfermita. Ĉi tio pavas esti komprenita kiel postulo de foresto de rompoj aŭ apartigoj en la funkcio. Anstataŭigi nocion "inversa bildo" per (ne inversa) "bildo" ĉi tie ne eblas, la kontraŭekzemplo estas konduto de funkcio ĉirkaŭ ekstremumo; ekzemple por funkcio f(x)=x2, bildo de malfermita aro (-1, 1) estas aro [0, 1) kiu ne estas malfermita; ĉi tiu ekzemplo uzas la norman topologion sur R, vidu sube.
#000077
Homeomorfio estas ensurĵeto (reciproke unuvalora surĵeto) kiu estas kontinua kaj kies retroĵeto estas ankaŭ kontinua. Du spacoj estas homeomorfiaj se ekzistas homeomorfio inter ili. De vidpunkto de topologio, homeomorfiaj spacoj estas esence identaj.
#000078
Estas multaj manieroj difini topologion sur la aro de reelaj nombroj R. La norma topologio sur R estas generita per la malfermitaj intervaloj. La aro de ĉiuj malfermitaj intervaloj formas bazon por la topologio, kun signifo ke ĉiu malfermita aro estas unio de iu kolekto de aroj de la bazo. Ĉi tio signifas ke aro estas malfermita se tie ekzistas malfermita intervalo de ne nula radiuso ĉirkaŭ ĉiu punkto en la aro. Pli ĝenerale, al la eŭklidaj spacoj Rn povas esti donita topologio. En la kutima topologio sur Rn la bazaj malfermitaj aroj estas la malfermitaj pilkoj. Simile, C kaj Cn havas norma topologion en kiu la bazaj malfermitaj aroj estas malfermitaj pilkoj.
#000079
Al ĉiu metrika spaco povas esti donita metrika topologio, en kiu la bazaj malfermitaj aroj estas la malfermitaj pilkoj difinis per la metriko. Ĉi tio estas la norma topologio sur ĉiu normigita vektora spaco. Sur finidimensia vektora spaco ĉi tiu topologio estas la sama por ĉiuj normoj.
#000080
Al multaj aroj de operatoroj en funkcionala analitiko estas donitaj topologioj kiuj estas difinitaj per precizigo kiam aparta vico de funkcioj konverĝas al la nula funkcio.
#000081
Ekzistas multaj topologioj sur ĉiu donita finia aro. Ĉi tiaj spacoj estas finiaj topologiaj spacoj. Finiaj spacoj estas ofte uzataj por provizi ekzemplojn aŭ kontraŭekzemplojn al konjektoj pri topologiaj spacoj ĝenerale.
#000084
Al ĉiu malfinia aro povas esti donita la kune finia topologio en kiu la malfermitaj aroj estas la malplena aro kaj la aroj kies komplementoj estas finia. Ĉi tiu estas la plej malgranda T1 topologio sur ĉiu malfinia aro.
#000085
Al nekalkulebla aro povas esti donita la kunkalkulebla topologio, en kiu aro estas malfermita se ĝi estas malplena aŭ se ĝia komplemento estas kalkulebla. Ĉi tiu topologio servas kiel utila kontraŭekzemplo en multaj situacioj.
#000086
Al la reela linio povas ankaŭ esti donita la suba limesa topologio. En ĝi la bazaj malfermitaj aroj estas la duon-malfermitaj intervaloj [a, b). Ĉi tiu topologio sur R estas severe pli fajna ol la eŭklida topologio difinis pli supre; vico konverĝas al punkto en ĉi tiu topologio se kaj nur se ĝi konverĝas de pli supre en la eŭklida topologio. Ĉi tiu ekzemplo montras ke aro povas havi multajn malsamajn topologiojn.
#000087
Se Γ estas numero, tiam al aro Γ = [0, Γ) povas esti donita la orda topologio generita per la intervaloj (a, b), [0, b) kaj (a, Γ) kie a kaj b estas eroj de Γ.
#000088
Kvocienta spaco estas difinita kiel sekvas: se X estas topologia spaco kaj Y estas aro, kaj se f : X → Y estas surĵeto (funkcio), tiam la kvocienta topologio sur Y estas la kolekto de subaroj de Y kiuj havas malfermitajn inversajn bildojn sub f. En aliaj vortoj, la kvocienta topologio estas la plej fajna topologio sur Y por kiu f estas kontinua. Komuna ekzemplo de kvocienta topologio estas kiam ekvivalentrilato estas difinita sur la topologia spaco X. La mapo f estas tiam la natura projekcio sur la aro de ekvivalentklasoj.
#000090
Topologiaj spacoj povas esti larĝe klasifikita, supren ĝis homeomorfio, per iliaj topologiaj propraĵoj. Topologia propraĵo estas propraĵo de spaco kiu estas invarianta sub homeomorfioj. Por pruvi ke du spacoj estas ne homeomorfia ĝi sufiĉas trovi topologian propraĵon kiu estas ne komunigita per ili. Ekzemploj de tiaj propraĵoj estas konekteco, kompakteco, kaj diversaj apartigaj aksiomoj.
#000091
Jenaj spacoj kaj algebroj estas pli specialaj aŭ pli ĝeneralaj ol la topologiaj spacoj diskutitaj pli supre.
#000092
Apudeca spaco provizi nocio de proksimeco de du aroj.
Metrika spaco enhavas metrikon, kiu preciza nocio de distanco inter du punktoj.
Uniforma spaco aksiomigas ekziston de ordigo de distancoj inter paroj de malsamaj punktoj.
Koŝia spaco aksiomigas eblecon provi ĉu reto estas koŝia reto. Koŝia spaco donas ĝeneralan eblecon studi plenigojn.
Konverĝa spaco enhavas iujn el la trajtoj de konverĝo de filtriloj.
σ-algebro estas konstruita surbaze de nocio de mezurebla aro.
#000093