Partikla fiziko kaj prezenta teorio
#000002
En matematiko, la nocio de reala formo rilatigas objektojn difinitajn super la kampo de realaj kaj kompleksaj nombroj.
Reala Lie-algebro g 0 estas nomita reala formo de kompleksa Lie-algebro g ĉu g estas la kompleksigado de g 0:
#000003
La nocio de reala formo ankaŭ povas esti difinita por kompleksaj Mensoggrupoj.
Realaj formoj de kompleksaj semikuracherbaj Lie-grupoj kaj Lie-algebroj estis tute klasifikitaj fare de Élie Cartan.
#000004
Utiligante la Lie-korespondadon inter Lie-grupoj kaj Lie-algebroj, la nocio de reala formo povas esti difinita por Lie-grupoj.
Koncerne liniajn algebrajn grupojn, la nocioj de kompleksigado kaj reala formo havas naturan priskribon en la lingvo de algebra geometrio.
#000007
Ekzakte ĉar kompleksoosemikuracherbo Lie-algebroj estas klasifikitaj laŭ Dynkin-diagramoj, la realaj formoj de semikuracherbo Lie-algebro estas klasifikita laŭ Satake-diagramoj, kiuj akiriĝas de la Dynkin-diagramo de la kompleksa formo etikedante kelkajn verdglaciojn nigran (plenigitan), kaj ligado de iun alian verdglacioj en paroj de sagoj, laŭ certaj reguloj.
#000008
Ĝi estas baza fakto en la strukturteorio de kompleksaj semikuracherbaj Lie-algebroj kiun ĉiu tia algebro havas du specialajn realajn formojn: oni estas la kompakta reala formo kaj egalrilatas al kompakta Mensoggrupo sub la Lie-korespondado (ĝia Satake-diagramo havas ĉiujn verdglaciojn nigrigitajn), kaj la aliaj estas la dividita reala formo kaj egalrilatas al Lie-grupo kiu estas tiom kiom ebla de esti kompakta (ĝia Satake-diagramo havas neniujn verdglaciojn nigrigitajn kaj neniuj sagoj).
Koncerne la kompleksan specialan linian grupon Sl ( n, C), la kompakta reala formo estas la speciala unitaria grupo Su ( n) kaj la dividita reala formo estas la reala speciala linia grupo Sl ( n, R).
La klasifiko de realaj formoj de semikuracherbo Lie-algebroj estis plenumitaj fare de Élie Cartan en la kunteksto de Riemanianaj simetriaj spacoj.
Ĝenerale, povas ekzisti pli ol du realaj formoj.
#000009
Supozu ke g 0 estas semikuracherba Lie-algebro super la kampo de realaj nombroj.
De la kriterio de Cartan, la Killing-formularo estas nedegenerulo, kaj povas esti diagonaligita en taŭga bazo kun la diagonalaj kontribuoj +1 aŭ —1-a Per leĝo de inercio de Sylvester, la nombro da pozitivaj kontribuoj, aŭ la pozitiva indekso de intertia, estas Invarianto de la dulineara formo, t.e. ĝi ne dependas de la elekto de la diagonalizing-bazo.
Tio estas nombro inter 0 kaj la dimensio de g kiu estas grava Invarianto de la reala Lie-algebro, nomita sia indekso.
#000010
Reala formo g 0 el kompleksa semikuracherbo Lie-algebro g laŭdire estas disfendita , aŭ normala, se en ĉiu Cartan-putriĝo g 0 = k 0 ⊕ p 0, la spaceto p 0 enhavas maksimuman Abelan subalgebron de g 0, t.e. ĝian Cartan-subalgebron.
Élie Cartan pruvis ke ĉiu kompleksa semikuracherbo Lie-algebro g havas dividitan realan formon, kiu estas unika ĝis izomorfio.
Ĝi havas maksimuman indekson inter ĉiuj realaj formoj.
#000011
La dividita formo korespondas al la Satake-diagramo kun neniuj verdglacioj nigrigis kaj neniujn sagojn.
#000012
Reala Lie-algebro g 0 estas nomita kompakta ĉu la Killing formularo estas negativa definitiva, t.e. la indekso de g 0 estas nul.
Estas konata ke sub la Lie-korespondado, kompaktaj Lie-algebroj egalrilatas al kompaktaj Mensoggrupoj.
#000013
La kompakta formo korespondas al la Satake-diagramo kun ĉiuj verdglacioj nigrigis.
#000014
Ĝenerale, la konstruado de la kompakta reala formo utiligas strukturteorion de semikuracherbaj Lie-algebroj.
Por klasikaj Lie-algebroj ekzistas pli eksplicita konstruo.
#000016
Lasu g 0 esti reala Lie-algebro de matricoj pli ol R kiu estas fermita sub la transmeti mapon,
#000017
Tiam g 0 putriĝas en la rektan sumon de sia misoblikva-simetria parto k 0 kaj sia simetria parto p 0, tio estas la Cartan-putriĝo:
#000018
La kompleksigado g da g 0 putriĝas en la rektan sumon de g 0 kaj ig 0.
La reala vektora spaco de matricoj
#000019
subspaco de la kompleksa Lie-algebro g kiu estas fermita sub la kolektoroj kaj konsistas el misoblikva-hermitian matricoj estas.
Ĝi sekvas tiun u 0 estas reala Mensogsubalgebro de g, kiu ĝia Killing-formularo estas negativa definitiva (farante ĝi kompaktan Lie-algebron), kaj ke la kompleksigado de u 0 estas g.
Tial, u 0 estas kompakta formo de g.
#000020