En matematiko, specife en la kampo de finhava teorio de grupoj, la Sylow-teoremoj estas kolekto de teoremoj nomitaj laŭ la norvega matematikisto Ludwig Sylow ( 1872) kiuj donas detalajn informojn pri la nombro da subgrupoj de fiksa ordo ke antaŭfiksita finhava grupo enhavas.
La Sylow-teoremoj formas fundamentan parton de finhava teorio de grupoj kaj havas gravegajn aplikojn en la klasifiko de finhavaj simplanimaj grupoj.
#000001
Por primo pli sensenta p, Sylow p-subgrupo (foje p-Sylow subgrupo) de grupo G estas maksimuma p-subgrupo de G, t.e. subgrupo de G kiu estas p-grupo (tiel ke la ordo de ĉiu grupelemento estas potenco de p) kiu ne estas bonorda subgrupo de iu alia p-subgrupo de G.
La aro de ĉiuj Sylow p-subgrupo por antaŭfiksita primo p estas foje skribita Syl p ( G).
#000002
La Sylow-teoremoj asertas partan konversacion al la teoremo de Lagrange.
Dum la teoremo de Lagrange deklaras tio por iu finhava grupo G ke la ordo (nombro da elementoj) de ĉiu subgrupo de G disigas la ordon de G, la Sylow-teoremoj deklaras tion por ĉiu prima faktoro p de la ordo de finhava grupo G, tie ekzistas Sylow p-subgrupo de G.
La ordo de Sylow p-subgrupo de finhava grupo G estas pn , kie n estas la diverseco de p en la sinsekvo de G, kaj ĉiu subgrupo de ordo pn estas Sylow p-subgrupo de G.
La Sylow p-subgrupo de grupo (por antaŭfiksita primo p) estas konjugato al unu la alian.
La nombro da Sylow p-subgrupo de grupo por antaŭfiksita primo p estas kongrua al 1 modema adoleskanto p.
#000003
La sekvaj teoremoj unue estis proponitaj kaj pruvitaj fare de Ludwig Sylow en 1872, kaj publikigis en Mathematische Annalen .
#000006
Teoremo 1: Por ĉiu primfaktora p kun diverseco n de la ordo de finhava grupo G, tie ekzistas Sylow p-subgrupo de G, de ordo pn .
#000007
La sekva pli malforta versio de teoremo 1 unue estis pruvita fare de Cauchy, kaj estas konata kiel la teoremo de Cauchy.
#000008
Teoremo 2: Surbaze de finhava grupo G kaj primo ,
#000010
Teoremo 3: Lasu p esti prima faktoro kun diverseco n de la ordo de finhava grupo G, tiel ke la ordo de G povas esti skribita kiel pnm , kie n > 0 kaj p ne disigas m.
Lasu np esti la nombro da Sylow p-subgrupo de G.
#000011
np disigas m, kio estas la indekso de la Sylow p-subgrupo en G.
np ≡ 1 modemadoleskanta p.
, kie P estas ajna Sylow p-subgrupo de G kaj NG indikas la normaliganton.
#000012
La Sylow-teoremoj implicas ke por primo pli sensenta p ĉiu Sylow p-subgrupo estas de la sama ordo, pn .
Inverse, se subgrupo havas ordo pn , tiam ĝi estas Sylow p-subgrupo, kaj tiel estas izomorfa al ĉiu alia Sylow p-subgrupo.
Pro la maksimeckondiĉo, se H estas ajna p-subgrupo de G, tiam H estas subgrupo de p-subgrupo de ordo pn .
#000013
Gravega sekvo de Theorem 2 estas ke la kondiĉo np = 1 estas ekvivalentaj al dirado ke la Sylow p-subgrupo de G estas normala subgrupo (ekzistas grupoj kiuj havas normalajn subgrupojn sed neniujn normalajn Sylow-subgrupojn, kiel ekzemple S 4).
#000014
Ekzistas analogo de la Sylow-teoremoj por senfinaj grupoj.
Ni difinas Sylow p-subgrupo en senfina grupo esti p-subgrupo (t.e., ĉiu elemento en ĝi havas p-motora ordon) kiu estas maksimuma por inkludo inter ĉiuj p-subgrupo en la grupo.
Tiaj subgrupoj ekzistas de la lemo de Zorn.
#000015
Simpla ilustraĵo de Sylow subgroupas kaj la Sylow-teoremoj estas la dihedra grupo de la n-gon, D 2n .
Por n strangaj, 2 = 21 estas la plej alta potenco de 2 disigante la ordon, kaj tiel subgrupoj de ordo 2 estas Sylow-subgrupoj.
Tiuj estas la grupoj generitaj per reflektado, de kiuj ekzistas n, kaj ili estas ĉio konjugato sub rotacioj;
geometrie la aksoj de simetrio pasas tra vertico kaj flanko.
#000017
Kompare, se n eĉ estas, tiam 4 dislimoj la ordo de la grupo, kaj la subgrupoj de ordo 2 jam ne estas Sylow-subgrupoj, kaj fakte ili falas en du konjugacyoklasojn, geometrie laŭ ĉu ili pasas tra du verdglacioj aŭ du vizaĝoj.
Tiuj estas ligitaj per ekstera aŭtomorfismo, kiu povas esti reprezentita per rotacio tra π/ n, duono de la minimuma rotacio en la dihedra grupo.
#000018
Ĉar la teoremo de Sylow certigas la ekziston de p-subgrupo de finhava grupo, ĝian indan al studrondoj de ĉefa potencordo pli proksime.
La plej multaj el la ekzemploj utiligas la teoremon de Sylow por pruvi ke grupo de akurata ordo ne estas simplanima.
Por grupoj de malgranda ordo, la kongrueckondiĉo de la teoremo de Sylow ofte estas sufiĉa devigi la ekziston de normala subgrupo.
Ekzemplo-1: grupoj de ordopq, p kaj q preparas kun p < q.
Ekzemplo-2: grupo de ordo 30, grupoj de ordo 20, grupoj de ordo p 2 q, p kaj q apartaj primoj estas kelkaj el la aplikoj.
Ekzemplo-3: (grupoj de ordo 60): Se o ( G) = 60 kaj G havas pli ol unu Sylow 5-subgroups, tiam G estas simpla.
#000019
Pli kompleksa ekzemplo implikas la ordon de la plej malgranda simplanima grupo kiu ne estas cikla.
La patro qb teoremo de Burnside deklaras ke se la ordo de grupo estas la produkto de unu aŭ du ĉefaj potencoj, tiam ĝi estas solvebla, kaj tiel la grupo ne estas simplanima, aŭ estas de ĉefa ordo kaj estas cikla.
Tio ekskludas ĉiun grupon supren por ordigi 30 ( 2
#000021
Ankaŭ, n 5 = 6, ekde n 5 devas disigi 6 ( 2
3), kaj n 5 devas esti 1 (modema adoleskanto 5).
Tiel G ankaŭ havas 24 apartajn elementojn de ordo 5-a Sed la ordo de G estas nur 30, tiel ke simplanima grupo de ordo 30 ne povas ekzisti.
#000023
7-a Ĉi tie n 7 devas disigi 6 ( 2
3) kaj n 7 devas esti 1 (modema adoleskanto 7), tiel ke n 7 = 1-a Tiel, ĉar antaŭe, G ne povas esti simplaj.
#000024
5, tiam n 3 = 10 kaj n 5 = 6 estas tute eblaj.
Kaj fakte, la plej malgranda simplanima ne-cikla grupo estas 5, la alterna grupo pli ol 5 elementoj.
Ĝi havas ordon 60, kaj havas 24 ciklajn permutojn de ordo 5, kaj 20 el ordo 3.
#000025
Parto de Wilson-teoremo ŝtatoj tio
#000026
Oni povas facile pruvi tiun teoremon de la tria teoremo de Sylow.
Efektive, observas ke la pli sensenta np de la p-subgrupo de Sylow en la simetria grupo Sp estas ( p − 2)!
Aliflanke, n p ≡ 1 modemadoleskanta p.
#000027
La argumento de Frattini montras ke Sylow-subgrupo de normala subgrupo disponigas faktorigadon de finhava grupo.
Iometa ĝeneraligo konata kiel la fuziaj teorem ŝtatoj de Burnside ke se G estas finhava grupo kun Sylow p-subgrupa P kaj du subaroj A kaj B normaligita per P, tiam A kaj B estas G-konjuga se kaj nur se ili estas NG ( P) konjugato.
La pruvo estas simpla apliko de la teoremo de Sylow: Se B = Ag , tiam la normaliganto de B enhavas ne nur P sed ankaŭ Pg (ĉar Pg estas enhavita en la normaliganto de Ag ).
De la teoremo P de Sylow kaj Pg estas konjugato ne nur en G, sed en la normaliganto de B.
Tial gh −1 normaligas P dum kelkaj h kiu normaligas B, kaj tiam A gh −1 = B h −1 = B, tiel ke A kaj B estas NG ( P) konjugato.
La fuzioteoremo de Burnside povas esti utiligita por doni pli potencan faktorigadon nomitan semidirekt-produkto: ĉu G estas al finhava grupigas kies Sylow p-subgrupa P estas enhavita en la centro de sia normaliganto, tiam G havas normalan subgrupon K da ordo Interprimo al P, G = PK kaj P ∩ K = 1, t.e., G estas p-nilpotent .
#000028
Malpli sensignifaj aplikoj de la Sylow-teoremoj inkludas la fokusan subgrupteoremon, kiu studas la kontrolon kiun Sylow p-subgrupo de la derivita subgrupo havas sur la strukturo de la tuta grupo.
Tiu kontrolo estas ekspluatita en pluraj stadioj de la klasifiko de finhavaj simplanimaj grupoj, kaj ekzemple difinas la kazosekciojn uzitajn en la Alperin-Brauer-Gorenstein-teoremo klasifikante finhavajn simplanimajn grupojn kies Sylow 2-subgrupo estas kvazaŭ-dihedra grupo.
Tiuj dependas de la fortigo de J. L. Alperin de la konjugacyoparto de la teoremo de Sylow por kontroli kiuj specoj de elementoj estas uzitaj en la konjugacio.
#000029
pkm = pk+ru tia ke p ne disigas u, kaj lasi ω indiki la aron de subaroj de G de grandec pk .
G reagas al ω per maldekstra multipliko.
de la ω ∈ ω estas la ekvivalentklasoj sub la ago de G.
#000033
Por ĉiu ω ∈ ω pripensas sian stabiligilsubgrupon G ω
Por iu fiksa elemento α ∈ ω la funkcio [ g ↦ gα] mapas G ω al ω injektively: por ĉiuj du g, h ∈ G ω ni havas tiun gα = kiun hα implicas al g = h, ĉar α ∈ ω ⊆ G signifas ke oni povas nuligi dekstraflanke.
#000034
kaj neniu potenco de p restas en iuj da la faktoroj ene de la produkto dekstraflanke.
Lasu R ⊆ ω esti kompleta reprezentado de ĉiuj ekvivalentklasoj sub la ago de G.
#000035
Lemo: Lasu G esti finhavan p-grupa, lasu ω esti finhava aro, lasu ωG esti la aro generita per la ago de G sur ĉiuj elementoj de ω, kaj lasu ω0 indiki la aron de punktoj de ωG kiuj estas fiksaj sub la ago de G.
#000037
Teoremo 3: Lasu q indiki la ordon de iu Sylow p-subgrupo de finhava grupo G.
/ q kaj np ≡ 1 modemadoleskanta p.
#000041
La problemo de trovado de Sylow-subgrupo de antaŭfiksita grupo estas grava problemo en komputa grupa teorio.
#000043
Unu pruvo de la ekzisto de Sylow p-subgrupo estas helpema: se H estas p-subgrupo de G kaj la indekso [ G:
H] estas disigebla de p, tiam la normaliganto N = NG ( H) de H en G estas ankaŭ tia ke [ N:
H] estas disigebla de p.
En aliaj vortoj, policikla genera sistemo de Sylow p-subgrupo povas esti trovita per komencado de iu p-subgrupa H (inkluzive de la identeco) kaj prenado elementoj de p-motora ordo enhavita en la normaliganto de H sed ne en H mem.
La algoritma versio de tio (kaj multaj plibonigoj) estas priskribitaj en lernolibroformularo en ( Ĉefservisto 1991, Chapter 16), inkluzive de la algoritmo priskribita enen ( Kanono 1971).
Tiuj versioj daŭre estas utiligitaj en la Gap komputilalgebra sistemo.
#000044
En permutadogrupoj, ĝi estis pruvita en (Kantor 1985a, 1985b, 1990;
Kantor & Taylor 1988) ke Sylow p-subgrupo kaj ĝia normaliganto povas esti trovitaj en polinoma tempo de la enigaĵo (la grado da la grupo tempigas la nombron da generatoroj).
Tiuj algoritmoj estas priskribitaj en lernolibroformularo en ( Seress 2003), kaj nun iĝas praktikaj kiam la helpema rekono de finhavaj simplanimaj grupoj iĝas realeco.
Aparte, versioj de tiu algoritmo estas utiligitaj en la Magma komputilalgebra sistemo.
#000045