En matematikaj fizikoj, spaco de Minkowski aŭ Minkowski spactempo estas kombinaĵo de eŭklida spaco kaj tempo en kvar-dimensian dukton kie la spactempintervalo inter iuj du okazaĵoj estas sendependa de la inercisistemo en kiu ili estas registritaj.
Kvankam komence evoluigita fare de matematikisto Hermann Minkowski por ekvacioj de Maxwell de elektromagnetismo, la matematika strukturo de Minkowski-spactempo pruviĝis esti tuja sekvo de la postulatoj de speciala teorio de relativeco.
#000001
Spaco de Minkowski estas proksime asociita kun la teorio de Einstein de speciala teorio de relativeco, kaj estas la plej ofta matematika strukturo sur kiu speciala teorio de relativeco estas formulita.
Dum la individuaj komponentoj en eŭklida spaco kaj tempo ofte malsamas pro longokuntiriĝo kaj tempodilatiĝo, en Minkowski-spactempo, ĉiuj referencaj kadroj konsentos pri la totala distanco en spactempo inter la okazaĵoj.
[nb 1] Ĉar ĝi traktas tempon alimaniere ol la tri spaca grandeco, spaco de Minkowski devias de kvar-dimensia eŭklida spaco.
#000002
[nb 2] En eŭklida spaco, la Izometria grupo (la mapoj konservantaj la regulan internan produkton) estas la Eŭklida grupo.
La analoga Izometria grupo por spaco de Minkowski, konservanta intervalojn de spactempo provizita per la rilata ne-pozitiva difinita dulineara funkcio (ĉi tie vokis la Minkowski-internan produkton, [nb 3] ) estas la Poincaré-grupo.
La Minkowski-interna produkto estas difinita por doni la spactempintervalon inter du okazaĵoj kiam surbaze de ilia kunordigita diferencvektoro kiel argumento.
#000003
3 lorencaj transformoj kaj simetrio
5 Rilatoj kun aliaj formuliĝoj 5.1
#000004
1.1 La ena produto de Minkowski
5 Inversa neegalaĵo de triangulo
#000005
En 1905, kaj poste publikigita en 1906, Henri Poincaré montris ke prenante tempon esti imaga kvara -spactempa koordinato (√ −1 c t ), lorenca transformo povas esti rigardita kiel rotacio de koordinatoj en kvar-dimensia eŭklida spaco kun tri realkoordinatoj reprezentantaj spacon, kaj unu imagan koordinaton, reprezentante tempon, kiel la kvara dimensio.
Ĉar la spaco tiam estas pseŭd-eŭklida spaco, la rotacio estas reprezentado de hiperbola rotacio, kvankam Poincaré ne donis tiun interpreton, lia celo estanta nur klarigi la lorenca transformo laŭ la konata Eŭklida rotacio.
#000007
Tiu ideo estis ellaborita fare de Hermann Minkowski, [3] kiuj uzis ĝin por reproponi la Maxwell-ekvaciojn en kvar dimensioj, montrante rekte sian envariancon sub la lorenca transformo.
Li plue reformulis en kvar dimensioj la tiama lastatempan teorion de speciala teorio de relativeco de Einstein.
De tio li finis ke tempo kaj spaco devus esti traktitaj egale, kaj tiel ekestis lian koncepton de la okazaĵoj okazantaj en unuigita kvar-dimensia spactempokontinuumo.
#000008
En pluevoluigo, [4] li donis alternativan formuliĝon de tiu ideo kiu uzis realtempan koordinaton anstataŭe de imaga, reprezentante la kvar variablojn ( x, y, z, t) de spaco kaj tempo en kunordigita formo en kvar dimensia afina spaceto.
Punktoj en tiu spaco egalrilatas al la okazaĵoj en spactempo.
En tiu spaco, ekzistas difinita lumo-konuso asociis kun ĉiu punkto, kaj okazaĵoj ne sur la lumo-konuso estas klasifikitaj memstare rilato al la apekso kiel spacosimilaj aŭ temposimila.
Ĝi estas ĉefe tiu vido de spactempo kiu estas aktuala nuntempe, kvankam la pli malnova vido implikanta imagan tempon ankaŭ influis specialan teorion de relativeco.
Minkowski, konscia pri la fundamenta revortigo de la teorio kiun li faris, diris
#000009
La vidoj de spaco kaj tempo kiujn mi deziras meti antaŭ ol vi originis de la grundo de eksperimentaj fizikoj, kaj en tio kuŝas ilia forto.
Antaŭen spaco flank itself, kaj tempo flank itself, estas kondamnitaj fadi for en nurajn ombrojn, kaj nur speco de unio de la du konservos sendependan realecon.
#000010
Por superrigardo, spaco de Minkowski estas 4-dimensia
reala vektora spaco provizite per nedegenerulo, simetria dulineara formo sur la klavspaco ĉe ĉiu punkto en spactempo, ĉi tie simple nomite la Minkowski-interna produkto, kun signaturo ĉiu el ambaŭ
En praktiko, tia ne devas esti koncernita kun la klavspacoj.
La vektorspaca naturo de spaco de Minkowski enkalkulas la kanonikan identigon de vektoroj en klavspacoj ĉe punktoj (okazaĵoj) kun vektoroj (punktoj, okazaĵoj) en spaco de Minkowski mem.
Por kelkaj celoj estas dezirinde identigi klavvektorojn ĉe punkto p kun delokiĝvektoroj ĉe p , kiu estas, kompreneble, alleblas per esence la sama kanonika identigo.
#000012
La signaturo rilatas al kiu subskribas la Minkowski-internan produktorendimentojn kiam donite spacon kaj tempajn bazvektorojn kiel argumentoj.
Ĝenerale, matematikistoj kaj ĝeneralaj relativistoj preferas la unuan dum partiklofizikistoj emas uzi ĉi-lastan.
Argumentoj por la unua (puraj spacvektoroj donas pozitivaj "normo-kvadratitaj") inkludas "kontinuecon" de la Eŭklida kazo egalrilatanta al la ne-relativista limo c
Argumentoj por ĉi-lasta (puraj spacvektoroj donas negativon "normo-kvadratitaj") inkludas ke alie ĉieaj minussignoj en partikla fiziko malaperas.
#000013
Matematike asociita al tiu dulineara formo estas tensoro de tipo (0,2) ĉe ĉiu punkto en spactempo, nomita la Minkowski metrika.
La Minkowski metrika, la dulineara formo, kaj la Minkowski-interna produkto estas fakte la tuta tre sama objekto.
En koordinatoj, tio estas la 4×4 matrico reprezentanta la dulinearan formon.
Memori tion povas faciligi legadon kio sekvas.
#000014
Por komparo, en ĝenerala relativeco, Lorentziana dukto L estas same provizita per metrika tensoro g , kio estas nedegenerulo simetria dulineara formo sur la klavspaco T da p L ĉe ĉiu punkto p de L .
En koordinatoj, ĝi povas esti reprezentita per 4×4 matrico depende de spactempopozicio.
Spaco de Minkowski estas tiel relative simpla speciala kazo de Lorentziana dukto.
Ĝia metrika tensoro, nomita la Minkowski metrika, estas en koordinatoj la sama simetria matrico ĉe ĉiu punkto de M , kaj ĝiaj argumentoj povas, per supra, esti prenitaj kiel vektoroj en spactempo mem.
#000015
Lanĉante pli da terminologio (sed ne pli da strukturo), spaco de Minkowski estas tiel pseŭd-eŭklida spaco kun totala dimensio n = 4 kaj signaturo (3, 1) aŭ (1, 3).
Elementoj de spaco de Minkowski estas nomitaj la okazaĵoj.
Spaco de Minkowski ofte estas indikita R 3,1 aŭ R 1,3 por emfazi la elektitan signaturon, aŭ ĵus M .
Ĝi eble estas la plej simpla ekzemplo de pseŭdo-Riemannian dukto.
#000016
Kiel notational kongreso, vektoroj v en M, nomitaj 4-vektors, estas indikitaj en sanserifkursivo, kaj ne, kiel estas oftaj en la Eŭklida konteksto, kun grasa fasono v .
Ĉi-lasta estas ĝenerale rezervita por la 3-vektor parto (por esti lanĉita malsupre) de 4-vektoro.
#000018
La unuaj du kondiĉoj implicas bilinearecon.
La difina diferenco inter pseŭd-interna produkto kaj interna produkto mem estas ke la unua ne estas postulata por esti pozitiva definitivaj, t.e., η ( u, u)< 0 estas permesitaj.
#000020
Du vektoroj v kaj w laŭdire estas ortogonalaj se η ( v, w) = 0.
#000021
Vektoro e estas nomita unuobla vektoro se η ( e, e) = ±1.
Bazo por M konsistanta el reciproke ortogonalaj unuoblaj vektoroj estas nomita ortonormala bazo.
#000022
Por antaŭfiksita inercikadro, ortonormala bazo en spaco, kombinita de la unua tempovektoro, formas ortonormalan bazon en spaco de Minkowski.
La nombro da pozitivaj kaj negativaj unuoblaj vektoroj en eventuala tia bazo estas fiksa paro de nombroj, egala al la signaturo de la dulineara formo asociita kun la interna produkto.
Tio estas leĝo de inercio de Sylvester.
#000023
Pli da terminologio (sed ne pli da strukturo): La Minkowski-metriko estas pseŭdo-Riemannian metriko, pli specife, Lorentziana metriko, eĉ pli specife, la Lorentz metrika, rezervita por 4-dimensia plata spactempo kun la restanta ambigueco nur estas la signaturkongreso.
#000024
El la dua postulato de speciala teorio de relativeco, kune kun homogeneco de spactempo kaj izotropeco de spaco, sekvas ke la spactempintervalo inter du okazaĵoj 1, 2,
#000025
estas sendependa de la inercikadro elektita, kiel estas montrita ĉi tie.
La faktor ± simple signifas ke la elekto de signaturo estas maldekstra senkaŝa.
La nombrvaloroj da η, rigardita kiel matrico reprezentanta la Minkowski-internan produkton, sekvas el la teorio de dulinearaj formoj.
#000026
Ekzakte kiel la signaturo de la metriko estas alimaniere difinita en la literaturo, tiu kvanto ne estas konstante nomita.
La intervalo (kiel difinite ĉi tie) estas foje referita ĉar la intervalo kvadratis.
Eĉ la kvadrata radiko de la nuna intervalo okazas.
Kiam signaturo kaj intervalo estas fiksaj, ambigueco daŭre restas kiam kiu koordinato estas la tempokoordinato.
Ĝi povas esti la kvara, aŭ ĝi povas esti la zerot.
Tio ne estas ĝisfunda listo de notational faktkonfliktoj.
Ĝi estas fakto de vivo kiujn tiu unu devas kontroli la difinojn unua aĵo kiam oni konsultas la relativecliteraturon.
#000027
La envarianco de la intervalo sub kunordigitaj transformoj inter inercikadroj sekvas el la envarianco de
#000028
(kun ambaŭ signoj ± konservis), kondiĉe ke la transformoj estas liniaj.
Tiu kvadrata formo povas esti uzita por difini dulinearan formon
#000029
Tiu dulineara formo povas en victurno esti skribita kiel
#000030
kie [ η] 4×4 matrico estas asociita kun η.
Eventuale konfuze, indikas [ η] kun ĵus η kiel estas ofta praktiko.
La matrico estas legita for de la eksplicita dulineara formo kiel
#000031
kun kiu tiu sekcio komencita supozante sian ekziston, nun estas identigita.
#000032
Por certeco kaj pli mallonga prezento, la signaturo
La elekto havas neniujn (scianta) fizikajn implicojn.
La geometria simetria grupo konservanta la dulinearan formon kun unu elekto de signaturo estas izomorfa (sub la mapo donita ĉi tie) kun la geometria simetria grupo konservas la alian elekton de signaturo.
Tio signifas ke ambaŭ elektoj estas en akordo kun la du postulatoj de relativeco.
#000033
Tiuj kondiĉoj povas esti skribitaj kompakte en la formo
#000034
Relative al norma bazo, la komponentoj de vektoro v estas skribitaj ( v 0, v 1, v 2, v 3) kie la Einstein-notacio estas utiligita por skribi v = v μ e μ .
La komponento v 0 estas nomita la temposimila komponento da v dum la aliaj tri komponentoj estas nomitaj la spacaj komponentoj.
La spacaj komponentoj de 4-vektor v povas esti identigitaj kun 3-vektor v
#000035
Laŭ komponentoj, la Minkowski-interna produkto inter du vektoroj v kaj w ricevas per
#000036
Ĉi tie malpliigo de indekso kun la metriko estis uzita.
Teknike, ne-degenerita dulineara formo disponigas mapon inter vektora spaco kaj ĝia dualo, en tiu kunteksto, la mapo estas inter la klavspacoj de M kaj la kotanĝantospacoj de M.
Ĉe punkto en M, la klavo kaj kotanĝantospacoj estas duoblaj.
Ekzakte kiel aŭtenta interna produkto sur vektora spaco kun unu argumento fiksis, de Riesz-reprezentantarteoremo, povas esti esprimita kiel la ago de linia funkcia sur la vektora spaco, la sama tenas por la Minkowski-interna produkto de spaco de Minkowski.
#000037
La temp-elprovita fortikeco de la formalismo mem, foje referita kiel indicgimnastiko, certigas ke proponi vektorojn ĉirkaŭe ke kaj ŝanĝiĝado de kontraŭvariaĵo ĝis kovariaĵvektoroj kaj inverse estas matematike solida.
Malĝustaj esprimoj tendencas riveli sin rapide.
#000039
La Poincaré-grupo estas la grupo de ĉiuj transformoj konservantaj la intervalon.
La intervalo vidiĝas sufiĉe facile esti konservita fare de la traduko grupo en 4 dimensioj.
La aliaj transformoj estas tiuj kiuj konservas la intervalon kaj forlasas la originon fiksan.
Surbaze de la dulineara formo asociis kun la Minkowski metrika, la konvena grupo sekvas rekte el la teorio (aparte la difino) de klasikaj grupoj.
En la ligita artikolo, oni devus identigi η (en ĝia matricreprezentantaro) kun la matrico φ.
#000040
La konvena grupo estas O (3,1), en tiu kunteksto nomita la Lorentz-grupo.
Ĝiaj elementoj estas vokitaj (homogenaj) lorencaj transformoj.
Por aliaj metodoj de derivaĵo, kun pli fizika tordaĵo, vidas derivaĵojn de la lorencaj transformoj.
#000041
Inter la plej simplaj lorencaj transformoj Lorentz-akcelo estas.
Por referenco, akcelo en la x - direkto ricevas per
#000042
Aliaj lorencaj transformoj estas puraj rotacioj, kaj tial elementoj de la So (3) subgrupo de O (3,1).
Ĝenerala homogena lorenca transformo estas produkto de pura akcelo kaj pura rotacio.
Enhomogena lorenca transformo estas homogena transformo sekvita per traduko en spaco kaj tempo.
Specialaj transformoj estas tiuj kiuj inversigas la spacon koordinatojn ( P) kaj tempo kunordigas ( T) respektive, aŭ ambaŭ (PT).
#000043
Tute kvar-vektoroj en spaco de Minkowski transformas, de difino, laŭ la sama formulo sub lorencaj transformoj.
#000044
ct, r) estas klasigitaj laŭ la signo de c 2 t 2 - r 2 .
Vektoro estas temposimila se c 2 t 2 > r 2 , spacosimila se c 2 t 2 < r 2 , kaj nulo aŭ lumosimila se c 2 t 2 = r 2 .
Tio povas esti esprimita laŭ la signo de η ( v, v) ankaŭ, sed dependas de la signaturo.
La klasifiko de iu vektoro estos la sama en ĉiuj referencaj kadroj, pro la envarianco de la intervalo.
#000045
La aro de ĉiuj nulvektoroj ĉe okazaĵo [nb 5] de spaco de Minkowski konsistigas la lumkonuson de tiu okazaĵo.
Surbaze de temposimila vektoro v , ekzistas monda linio de konstanta rapideco asociita kun ĝi, reprezentita per aerlinio en Minkowski-diagramo.
#000046
Post kiam direkto de tempo estas elektita, [nb 6] temposimilaj kaj nulvektoroj povas esti plue malkonstruitaj en diversajn klasojn.
Por temposimilaj vektoroj oni havas
#000047
kies unua komponento estas pozitiva, (pinto de vektoro situanta en absoluta estonteco en figuro) kaj
kies unua komponento estas negativa (absoluta pasinteco).
#000048
Nulvektoroj falas en tri klasojn:
#000049
la nul vektoro, kies komponentoj en iu bazo estas (0,0, 0,0) (origino),
kies unua komponento estas pozitiva (supraj ŝaltas konuson), kaj
kies unua komponento estas negativa (malsupra malpeza konuso).
#000050
Spacasimilaj vektoroj estas en aliloke.
La terminologio devenas de la fakto ke spacosimilaj separitaj okazaĵoj estas ligitaj per vektoroj postulantaj faster-ol-luman vojaĝadon, kaj tiel povas ne eventuale influon unu la alian.
Kune kun spacosimilaj kaj lumosimilaj vektoroj ekzistas 7 klasoj en ĉio.
#000051
Ortonormala bazo por spaco de Minkowski nepre konsistas el unu temposimila kaj tri spacosimilaj unuoblaj vektoroj.
Se oni deziras labori kun ne-ortonormalaj bazoj ĝi estas ebla havi aliajn kombinaĵojn de vektoroj.
Ekzemple, oni povas facile konstrui (ne-ortonormalan) bazon konsistantan tute el nulvektoroj, nomitaj nulbazo.
Super la realoj, se du nulvektoroj estas ortogonalaj (nul Minkowski-tensorovaloro), tiam ili devas esti proporciaj.
Tamen, permesante kompleksajn nombrojn, oni povas akiri nultetrad, kio estas bazo konsistanta el nulvektoroj, kelkaj el kiuj estas ortogonalaj al unu la alian.
#000052
Vektoraj kampoj estas nomitaj temposimilaj, spacosimilaj aŭ nulo ĉu la rilataj vektoroj estas temposimilaj, spacosimilaj aŭ nulo ĉe ĉiu punkto kie la kampo estas difinita.
#000053
Lasis x, y ∈ M.
#000054
x kronologie antaŭas y se y − x estas estontec-direktita temposimila.
Tiu rilato havas la transitivan posedaĵon kaj tiel povas esti skribita x< y.
x kaŭze antaŭas y se y − x estas estontec-direktita nulo aŭ estontec-direktita temposimila.
Ĝi donas partan mendadon de spactempo kaj tiel povas esti skribita x ≤ y.
#000055
Strikte parolante, spaco de Minkowski rilatas al matematika formulo en kvar dimensioj.
Tamen, la matematiko povas facile esti etendita aŭ simpligita por krei analogan "Spacon de Minkowski" en iu nombro da grandeco.
Se n ≥ 2, n - dimensia spaco de Minkowski estas vektora spaco de reala dimensio n sur kiu ekzistas konstanta Lorentz-metriko de signaturo ( n − 1, 1) aŭ (1, n − 1).
Tiuj ĝeneraligoj estas utiligitaj en teorioj kie spactempo estas supozita havi tiamaniere ol 4 dimensioj.
Teorio de kordoj kaj M-teorio estas du ekzemploj kie n > 4.
En teorio de kordoj, tie prezentiĝas konformaj kampa teorioj kun 1 + 1 -spactempa grandeco.
#000057
Kiel plata spactempo, la tri spacaj komponentoj de Minkowski-spactempo ĉiam obeas la Pitagorean Teoremon.
Spaco de Minkowski estas taŭga bazo por speciala teorio de relativeco, bona priskribo de fizikaj sistemoj super finhavaj distancoj en sistemoj sen signifa gravitado.
Tamen, por enkalkuli graviton, fizikistoj utiligas la ĝeneralan relativismon , kiu estas formulita en la matematiko de ne-eŭklida geometrio.
Kiam tiu geometrio estas utiligita kiel modelo de fizika spaco, ĝi estas konata kiel kurba spaco.
#000058
Eĉ en kurba spaco, spaco de Minkowski daŭre estas bona priskribo en infinitezimala regiono ĉirkaŭanta ajnan punkton (krom en kazo de gravitajn neordinaraĵojn).
[nb 7] Pli abstrakte, ni diras ke en la ĉeesto de gravitspactempo estas priskribita per kurba 4-dimensia dukto por kiu la klavspaco al iu punkto estas 4-dimensia spaco de Minkowski.
Tiel, la strukturo de spaco de Minkowski daŭre estas esenca en la priskribo de ĝenerala relativeco.
#000059
Enkonduko al matematiko de ĝenerala relativeco
#000060
On the Dynamics of the Electron
The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies .
^ a b Minkowski 1907-1909, pp 75-88 diversanglaj tradukoj pri Vikifontaro:
The identification is routinely done in mathematics.
^ Lee 2003 , See Lee's discussion on geometric tangent vectors early in chapter 3.
^ Lee 2003 , The tangent-cotangent isomorphism p. 282.
#000062
Enkonduko al speciala teorio de relativeco
#000066
En fiziko kaj matematiko, spaco de Minkowski aŭ spactempo de Minkowski estas la matematika priskribo de spactempo de speciala teorio de relativeco. Tri ordinaraj dimensioj de spaco estas kombinitaj kun unu dimensio de tempo por formi kvar-dimensian dukton de spactempo. Spaco de Minkowski estas nomita post la germana matematikisto Hermann Minkowski.
#000067
En teoria fiziko, spaco de Minkowski estas ofte kontrastita kun eŭklida spaco. Eŭklida spaco havas nur spacosimilajn dimensiojn, dum kiam spaco de Minkowski havas ankaŭ unu temposimilan dimension. Pro tio la geometria simetria grupo de eŭklida spaco estas la eŭklida grupo kaj geometria simetria grupo de spaco de Minkowski estas la grupo de Poincaré.
#000068
Formale, spaco de Minkowski estas kvar-dimensia reela vektora spaco kun nedegenera simetria dulineara funkcio kun signumoj (-, +, +, +) aŭ (+, -, -, -). Ĝenerale, en matematiko kaj ĝenerala relativeco oni preferas la unuan varianton kaj en la partikla fiziko oni preferas la duan. Tiel, spaco de Minkowski estas pseŭdo-eŭklida spaco kun n=4 kaj n-k=1 (en pli larĝa difino ĉiu n>1 estas permesita). Eroj en spaco de Minkowski estas eventoj aŭ kvar-vektoroj. Spaco de Minkowski estas ofte skribata kiel R1,3 por emfazi la signumojn aŭ M4 aŭ simple M. Ĝi estas eble la plej simpla ekzemplo de pseŭdo-rimana dukto.
#000069
La ena produto de Minkowski similas al la kutima eŭklida ena produto, sed estas uzata por priskribi malsaman geometrion. La geometrio estas kutime asociita kun relativeco. Estu M esti 4-dimensia reela vektora spaco. La ena produto de Minkowski estas mapo η: M × M → R (kio estas, por ĉiuj donitaj du vektoroj v, w en M oni difinas η(v, w) kiel reela nombro) kiu kontentigas propraĵojn (1), (2), (3) listigitajn ĉi tie, kaj ankaŭ propraĵon (4) donitan pli sube:
#000071
por ĉiuj a en R kaj u, v, w en M.
#000072
por ĉiuj v,w en M.
#000073
Se η(v, w) = 0 por ĉiuj w en M do v=0.
#000074
Ĉi tio ne estas ena produto en la kutima senco, pro tio ke ĝi estas ne pozitive difinita, kio estas la normo de Minkowski de vektoro v, difinita kiel v2 = η(v, v), ne nepre estas pozitiva, malsame de la kutima normo. La kondiĉo de pozitiva difiniteco estas anstataŭita per la pli malforta kondiĉo de nedegenereco (ĉiu pozitive difinita formo estas nedegenera sed ne nepre estas ree). La ena produto estas dirita al esti nedifinita.
#000075
Simile al tio kiel okazas en eŭklida spaco, du vektoroj v kaj w estas laŭdifine perpendikularaj se kaj nur se η(v, w) = 0. Sed estas scienca paradigma ŝovo en Spaco de Minkowski al inkluzivi hiperbolo-perpendikularajn eventojn en la okazo se v kaj w generas ebenon kie η prenas negativajn valorojn. Ĉi tiu ŝovo al nova scienca paradigmo estas klarigita per komparo de la eŭklida strukturo de la ordinara kompleksa ebeno kun strukturo de la ebeno de fendo-kompleksaj nombroj.
#000076
Vektoro v estas nomata kiel unuobla vektoro se η(v, v) = ±1. Bazo por M konsistanta de reciproke perpendikularaj unuoblaj vektoroj estas nomata kiel ortonormala bazo.
#000077
Estas teoremo statanta ke ĉiu ena produta spaco kontentiganta la kondiĉojn (1), (2), (3) ĉiam havas ortonormalan bazon. Plu, la teoremoj statas ke la kvanto de pozitivaj kaj negativaj unuoblaj vektoroj en ĉiu ĉi tia bazo estas fiksita. Ĉi tiu paro de nombroj estas nomata kiel la signumo de la ena produto.
#000078
Tiel la kvara kondiĉo por ena produto de Minkowski estas
#000079
Norma bazo por spaco de Minkowski estas aro de kvar reciproke perpendikularaj vektoroj (e0, e1, e2, e3) tiaj ke (por signumo (-, +, +, +)
#000080
Ĉi tiuj kondiĉoj povas esti skribita kompakte kiel:
#000081
kie μ kaj ν prenas valorojn 0, 1, 2, 3 kaj la matrico η estas
#000082
Ĉi tiu tensoro estas ofte nomata kiel la tensoro de Minkowski. Relative al norma bazo, la komponantoj de vektoro v estas skribitaj kiel (v0, v1, v2, v3) kaj oni ofte uzi la ejnŝtejnan skribmanieron kiel v = vμeμ. La komponanto v0 estas nomata kiel la temposimila komponanto de v kaj la aliaj tri komponantoj estas nomataj kiel la spacaj komponantoj.
#000083
Per la komponantoj, la ena produto de du vektoroj v kaj w estas donita per
#000084
kaj la kvadratigita normo de vektoro v estas
#000085
La sekcio pli supre difinas la spacon de Minkowski kiel vektora spaco. Estas alternativa difino de Spaco de Minkowski kiel afina spaca kiu donas la spacon de Minkowski kiel homogena spaco de la grupo de Poincaré kun la lorenca grupo kiel la grupa ago (stabiligilo).
#000086
Noto ke la termino "spaco de Minkowski" estadas ankaŭ uzata por analogaj spacoj en ĉiu dimensio, (n+1)-dimensia spaco de Minkowski estas vektora spaco aŭ afina spaco de reelaj nombroj de dimensio n+1 sur kiu estas ena produto aŭ pseŭda-rimana metriko de signumo (n, 1), kio estas, de n plusoj kaj unu minuso.
#000087
Vektoroj estas klasifikita laŭ la signumo de ilia normo de Minkowski. Vektoro v estas (por signumo (-, +, +, +)
#000088
Nula aŭ lumosimila se η(v, v)=0
#000089
Ĉi tiu terminaro venas de la uzo de spaco de Minkowski en la fizika relativeco. La aro de ĉiuj nulvektoroj je evento en spaco de Minkowski estas la luma konuso de la evento. Klasifikaĵo de ĉiu vektoro estas sendependa de la kadro de referenco, alivorte ĝi estas invarinto sub la lorenca transformo.
#000090
Vektora kampo estas nomata kiel temposimila, spacosimila aŭ nula se la asociitaj vektoroj estas temposimilaj, spacosimilaj aŭ nulaj je ĉiu punkto kie la kampo estas difinita.
#000091
Se du nulvektoroj estas perpendikularaj (ena produto de ili egalas al nulo) do ili estas proporciaj unu al la alia.
#000092
Se direkto de tempo estas elektita, temposimilaj vektoroj kaj nulvektoroj povas esti plu klasifikitaj. Entute la klasifiko konsistas el 6 klasifikaĵoj:
#000093
estonte direktita temposimila vektoro kies unua komponanto estas pozitiva
pasintece direktita temposimila vektoro kies unua komponanto estas negativa
la nula vektoro kies komponantoj en ĉiu bazo estas (0, 0, 0, 0)
estonte direktita nula vektoroj kies unua komponanto estas pozitiva
pasintece direktita nula vektoroj kies unua komponanto estas negativa
#000094
estonte direktita temposimila vektoro kies unua komponanto estas pozitiva
pasintece direktita temposimila vektoro kies unua komponanto estas negativa
#000095
la nula vektoro kies komponantoj en ĉiu bazo estas (0, 0, 0, 0)
estonte direktita nula vektoroj kies unua komponanto estas pozitiva
pasintece direktita nula vektoroj kies unua komponanto estas negativa
#000096
Ortonormala bazo por spaco de Minkowski bezone konsistas el unu temposimila kaj tri spacosimilaj unuoblaj vektoroj. Se labori kun ne-ortonormala bazo, eblas havi la aliajn kombinaĵojn de vektoroj. Eblas konstrui ne-ortonormalan bazon konsistantan tute el nulvektoroj, nomatan kiel la nula bazo.
#000097
Estu x, y en M. Tiam:
#000098
x tempe antaŭvenas y se y-x estas estonte direktita temposimila.
x kaŭze antaŭvenas y se y-x estas estonte direktita nula.
#000099
Estas analogo de neegalaĵo de triangulo en spaco de Minkowski. Se v kaj w estas du egale direktitaj (ambaŭ estonte direktitaj aŭ ambaŭ pasintece direktitaj) temposimilaj kvar-vektoroj tiam
#000100
Severe, la uzo de spaco de Minkowski por priskribi fizikajn sistemojn aplikas nur en la limigo de Newton de sistemoj sen grava gravito. En okazo de granda gravito, spactempo iĝas malrektigitan kaj necesas uzi la plenan teorion de ĝenerala relativeco sed ne specialan teorion de relativeco.
#000101
Tamen, en ĉi tiaj okazoj, spaco de Minkowski estas bona priskribo en loka referenca kadro de infinitezime malgranda regiono ĉirkaŭanta iun punkton se tie ne estas gravitaj specialaĵoj. Tiel, en ĉeesto de gravito spactempo estas priskribita per malrektigita 4-dimensia dukto por kiu la tanĝanto spaco al ĉiu punkto estas 4-dimensia spaco de Minkowski. Tial, la strukturo de spaco de Minkowski estas ankoraŭ esenca en la priskribo de ĝenerala relativeco.
#000102
En la regno de malforta gravito, spactempo estas plata kaj aspektas malloke, ne nur loke, simila al spaco de Minkowski. Pro ĉi tiu kaŭzo spaco de Minkowski estas ofte nomata kiel plata spactempo.
#000103
Spaco de Minkowski estas nomata post germana matematikisto Hermann Minkowski, kiu ĉirkaŭ 1907 komprenis ke la teorio de speciala teorio de relativeco antaŭnelonge ellaborita de Albert Einstein povas esti elegante priskribita uzante kvar-dimensian spactempon.
#000104
La ebleco de ellaboro de spaco de Minkowski estas preparita per evoluo de teorio de hiperbolaj kvaternionoj en la 1890-aj jaroj. Kiel matematika strukturo, spaco de Minkowski povas esti prenita kiel hiperbolaj kvaternionoj minus la multiplika produto, retenante nur la dulinearan funkcion
#000105