La identeco de Bézout (ankaŭ nomita la lemo de Bézout) estas teoremo en la elementa nombroteorio: lasu a kaj b esti nonzerentjeroj kaj lasi d esti ilia plej granda komuna divizoro.
Tiam tie ekzistu entjeroj x kaj y tia ke
#000001
la plej granda komuna divizoro d estas la plej malgranda pozitiva entjero per kiu povas esti skribita kiel hakil +
ĉiu entjero de la form hakil + de estas multoblo de la plej granda komuna divizoro d.
#000002
La entjeroj x kaj y estas nomita Bézout-koeficientoj por (, b);
Paro de Bézout-koeficientoj povas esti komputita per la plilongigita eŭklida algoritmo.
Se kaj a kaj b estas nonzeroj, la plilongigita eŭklida algoritmo produktas unu el la du paroj tia kekaj(egaleco povas okazi nur se unu el a kaj b estas multoblo de la aliaj).
#000003
Multaj teoremoj de elementa nombroteorio, kiel ekzemple la lemo aŭ ĉina restteoremo de Eŭklido, rezulto de la identeco de Bézout.
#000004
Bézout-domajno estas integrita domajno en kiu la identeco de Bézout tenas.
Aparte, la identecteno de Bézout en ĉefaj idealaj domajnoj.
Ĉiu teoremo kiu rezultoj de la identeco de Bézout estas tiel veraj en ĉiuj tiuj domajnoj.
#000005
0 Tradukita artikolo 1 Strukturo de solvoj 1.1
Por tri aŭ pli da entjeroj
#000006
Por tri aŭ pli da entjeroj
#000007
Kiam unu paro de Bézout-koeficientoj ( x, y) estis komputita (ekz., utiligante plilongigitan eŭklidan algoritmon), ĉiuj paroj povas esti reprezentitaj en la formo
#000008
kie k estas arbitra entjero kaj la frakcioj simpligas al entjeroj.
#000009
Inter tiuj paroj de Bézout-koeficientoj, ekzakte du el ili kontentigas
#000010
Tio dependas de posedaĵo de Eŭklida subregno: surbaze de du entjeroj c kaj d, se d ne disigas c, ekzistas same unu paro ( q, r) tia ke c = dq + r kaj 0< r
, kaj another unu tia ke c = dq + r kaj 0< - r
#000011
La Extended Euclidean-algoritmo ĉiam produktas unu el tiuj du minimumaj paroj.
#000012
Lasis = 12 kaj b = 42, gcd (12, 42) = 6-a Tiam ni havas la identecojn de la sekva Bézout, kun la Bézout-koeficientoj skribitaj en ruĝa por la minimumaj paroj kaj en blua por la aliaj.
#000013
La lemo de Bézout estas sekvo de la difina posedaĵo de Eŭklida dividado, nome: tiun disigadon pozitiva entjero de pozitiva entjero b donas reston pli grandan ol aŭ egala al nul kaj strikte malpli ol b.
Por antaŭfiksitaj pozitivaj entjeroj a kaj b ekzistas plej malgranda pozitiva entjero d = kiel + bt inter ĉiuj tiuj de la formhakil + de kun x kaj y entjeroj.
Nun la resto donita de disigado aŭ aŭ b de d estas ankaŭ de la formhakil + de ĉar ĝi akiriĝas subtrahante multoblon de d = kiel + bt de aŭ b;
tiel la resto devas esti pli bonega ol aŭ egala al nul kaj strikte pli malgranda ol d.
Tio lasas 0 kiel nur ebleco por tia resto, tiel ke d disigas kaj a kaj b precize.
#000014
Se c estas ofta dividanto de a kaj b, tiam c ankaŭ disigas d = kiel + bt.
Ekde c disigas d, c devas esti malpli ol aŭ egala al d, tiel d estas la plej granda komuna divizoro de a kaj b;
#000015
Tiu pruvo povas esti adaptiĝis por iu Eŭklida domajno, kaj eĉ por iu ĉefa ideala domajno.
#000016
Tiu pruvo ne disponigas metodon por komputado de la koeficientoj de Bézout.
Tamen, la lemo de Bézout ankaŭ estas konsekvenco de la pruvo de la Plilongigita eŭklida algoritmo kaj tiu algoritmo disponigas efikan metodon de komputado de tiuj koeficientoj.
Tiu algoritmo ankaŭ povas esti etendita al iu Eŭklida domajno.
#000017
La identeco de Bézout povas esti etendita al pli ol du entjeroj: se
#000018
d estas plej malgranda pozitiva entjero de tiu formo
ĉiu nombro da tiu formo estas multoblo de d
#000019
La identeco de Bézout laboras por univariatpolinomoj super kampo precize laŭ la samaj manieroj kiel por entjeroj.
La koeficientoj de aparte la Bézout kaj la plej granda komuna divizoro povas esti komputitaj kun la Plilongigita eŭklida algoritmo.
#000020
Ĉar la komunaj radikoj de du polinomoj estas la radikoj de sia plej granda komuna divizoro, la identeco kaj de Bézout algebra bazteoremo implicas la sekvan rezulton:
#000021
Por univariatpolinomoj f kaj g kun koeficientoj en kampo, tie ekzistas polinomoj a kaj b tia ke af + bg = 1 se kaj nur se f kaj g havas neniun komunan radikon en iu algebre fermita kampo (ofte la kampo de kompleksaj nombroj).
#000022
La ĝeneraligo de tiu rezulto al iu nombro da polinomoj kaj indeterminatoj estas Hilbert's Nullstellensatz.
#000023
Kiel en la enkonduko, la identeco de Bézout laboras ne nur en la boksejo de entjeroj, sed ankaŭ en iu alia ĉefa ideala domajno (PID).
Tio estas, se R estas PID, kaj a kaj b estas elementoj de R, kaj d estas plej granda komuna divizoro de a kaj b, tiam ekzistas elementoj x kaj y en R tia ke hakil + de = d.
La kialo: la ideala Ra + Rb estas ĉefa kaj efektive estas egala al Rd.
#000024
Franca matematikisto Étienne Bézout (1730-1783) pruvis tiun identecon por polinomoj.
Tamen, tiu deklaro por entjeroj povas esti trovita jam en la laboro de alia franca matematikisto, Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638).
#000026
AF+BG-teoremo, analogo de la identeco de Bézout por homogenaj polinomoj en tri indeterminatoj
#000027
Pri kvanto de intersekcoj de du ebenaj algebraj kurboj vidu en teoremo de Bézout.
#000030
En nombroteorio, idento de Bézout, nomita pro Étienne Bézout, estas fakto pri linearaj diofantaj ekvacioj. Ĝi statas, ke se a kaj b estas entjeroj kun plej granda komuna divizoro d, tiam tie ekzistas entjeroj x kaj y tiaj ke
#000031
Nombroj x kaj y de pli supre povas esti difinitaj per la etendita eŭklida algoritmo, sed ili estas ne unikaj.
#000032
Se estas unu solvaĵo (x, y) tiam la aliaj solvaĵoj estas
#000033
Ekzemple, la plej granda komuna divizoro de 12 kaj 42 estas 6, kaj do la ekvacio
#000034
La plej granda komuna divizoro d de a kaj b estas fakte la plej malgranda pozitiva entjero kiu povas esti skribita en la formo ax + by.
#000035
Idento de Bézout laboras ne nur en la ringo de entjeroj, sed ankaŭ en ĉiu la alia ĉefideala domajno. Tio estas, se R estas ĉefideala domajno, kaj a kaj b estas eroj de R, kaj d estas plej granda komuna divizoro de a kaj b, tiam estas eroj x kaj y en R tiaj ke ax + by = d. La kaŭzo: la idealo Ra + Rb estas ĉefa kaj ja estas egala al Rd.
#000036