Komuta algebro estas la branĉo de algebro kiu studoj komutaj ringoj, iliaj idealoj, kaj moduloj super tiaj ringoj.
Kaj algebra geometrio kaj algebra nombroteorio konstruas pri komuta algebro.
Elstaraj ekzemploj de komutaj ringoj inkludas polinomringojn, ringojn de algebraj entjeroj, inkluzive de la ordinaraj entjeroj , kaj p-adic entjeroj.
#000001
Komuta algebro estas esence la studo de la ringoj okazantaj en algebra nombroteorio kaj algebra geometrio.
#000005
En algebra nombroteorio, la ringoj de algebraj entjeroj estas Dedekind-ringoj, kiuj konstituas tial gravan klason de komutaj ringoj.
Konsideroj ligitaj al modula aritmetiko kondukis al la nocio de valortaksoorondo.
La limigo de algebraj kampetendaĵoj al subringoj kondukis al la nocioj de integritaj etendaĵoj kaj integrite fermitaj domajnoj same kiel la nocio de forkiĝo de etendaĵo de valortaksoorondoj.
#000006
Multaj aliaj nocioj de komuta algebro estas ekvivalentoj de geometriaj nocioj okazantaj en algebra geometrio.
Tio estas la kazo de Krull-dimensio, primara putriĝo, regulaj ringoj, Cohen-Macaulay-ringoj, Gorenstein-ringoj kaj multaj aliaj nocioj.
#000008
La subjekto, unue konata kiel ideala teorio, komencis kun la laboro de Richard Dedekind en idealoj, sin baziten sur la pli frua laboro de Ernst Kummer kaj Leopold Kronecker.
Poste, David Hilbert lanĉis la esprimon ringo por ĝeneraligi la pli fruan esprimon numero-ringon.
Hilbert lanĉis pli abstraktan aliron al anstataŭigi la pli da betono kaj komputile orientis metodojn blokitajn en tiaj aĵoj kiel kompleksa analitiko kaj klasika invarianta teorio.
En victurno, Hilbert forte influis Emmy Noether, kiuj transfandas multajn pli fruajn rezultojn laŭ ascendanta ĉenkondiĉo, nun konata kiel la Noeteriana kondiĉo.
Alia grava mejloŝtono estis la laboro de la studento de Hilbert Emanuel Lasker, kiu lanĉis ĉefidealojn kaj pruvis la unuan version de la Lasker-Noether-teoremo.
#000009
La ĉeffiguro respondeca por la naskiĝo de komuta algebro ĉar matura temo estis Wolfgang Krull, kiu lanĉis la fundamentajn nociojn de lokalizo kaj kompletigo de ringo, same kiel tiun de regula lokulo sonoregas.
Li establis la koncepton de la Krull-dimensio de ringo, unue por Noeterianaj ringoj antaŭ pluiri por vastigi sian teorion por kovri ĝeneralajn valortaksoorondojn kaj Krull-ringojn.
Al tiu tago, la ĉefa ideala teoremo de Krull estas ĝenerale konsiderita la unuopaĵo plej grava baza teoremo en komuta algebro.
Tiuj rezultoj pavimis laŭ la manieron por la enkonduko de komuta algebro en algebran geometrion, ideo kiu revoluciigus ĉi-lastan temon.
#000010
Multe de la moderna evoluo de komuta algebro emfazas modulojn.
Kaj idealoj de ringo R kaj R-algebras estas specialaj kazoj de R-modulo, tiel ke modula teorio ampleksas kaj idealan teorion kaj la teorion de ringetendaĵoj.
Kvankam ĝi jam estis inkoativa en la laboro de Kronecker, la moderna aliro al komuta algebro utiliganta modulan teorion estas kutime kreditita al Krull kaj Noether.
#000011
En matematiko, pli specife en la areo de moderna algebro konata kiel ringa teorio, Noeteriana ringo, nomita laŭ Emmy Noether, estas ringo en kiu ĉiu ne-malplena aro de idealoj havas maksimuman elementon.
Ekvivalente, ringo estas Noeteriana se ĝi kontentigas la ascendantan ĉenkondiĉon en idealoj;
tio estas, donita ajnan ĉenon:
#000012
Ke komuta ringo estus Noeteriana ĝi sufiĉas tiel ĉiun ĉefidealon de la ringo estas finhave generita.
(La rezulto ŝuldiĝas al I. S. Cohen.
#000014
La nocio de Noeteriana ringo gravegas en kaj kommutativa kaj nonkomutative ringa teorio, pro la rolo ĝi ludas en simpligado de la ideala strukturo de ringo.
Ekzemple, la ringo de entjeroj kaj la polinomringo super kampo estas kaj Noetherian-ringoj, kaj sekve, tiaj teoremoj kiel la Lasker-Noether-teoremo, la Krull-intersekciĝteoremo, kaj la baza teorem teno de la Hilbert por ili.
Krome, se ringo estas Noeteriana, tiam ĝi kontentigas la descendan ĉenkondiĉon en ĉefidealoj .
Tiu posedaĵo indikas profundan teorion de dimensio por Noetherian-ringoj komenciĝantaj kun la nocio de la Krull-dimensio.
#000015
Theorem. Se R estas maldekstra (resp.
ĝusta) Noeteriana ringo, tiam la polinomringo R [ X] ankaŭ estas maldekstra (resp.
#000016
La bazteoremo de Hilbert havas kelkajn tujajn sekvojn:
#000017
Per indukto ni vidas tionankaŭ estos Noeteriana.
Ekde iu afina diverseco super(t.e. lokuso-aro de kolekto de polinomoj) povas esti skribita kiel la lokuso de idealokaj plue kiel la lokuso de ĝiaj generatoroj, ĝi sekvas tiel ĉiun afinan diversecon estas la lokuso de finhave multaj polinomoj - t.e. la intersekciĝo de finhave multaj hipersurfacoj.
Sefinhav-generita estas- algebro, tiam ni scias tion, kieidealo estas.
La bazteoremo implicas tiondevas esti finhave generita, diras, t.e.estas finhave prezentita.
#000018
Idealo Q de ringo laŭdire estas primara ĉu Q estas bonorda kaj kiam ajn ksy ∈ Q, aŭ x ∈ Q aŭ in ∈ Q por iu pozitiva entjero n.
En Z, la ĉefidealoj estas ĝuste la idealoj de la formo ( Pe ) kie p estas ĉefa kaj e estas pozitiva entjero.
Tiel, primara putriĝo de ( n) egalrilatas al reprezentado ( n) kiel la intersekciĝo de finhave multaj ĉefidealoj.
#000019
La Lasker-Noether-teoremo , donita ĉi tie, povas esti vidita kiel certa ĝeneraligo de la bazteoremo de aritmetiko:
#000020
kun Ĉi antaŭbaloto por ĉio mi kaj Rad ( Ĉi ) ≠ Rad ( Qj ) por mi ≠ j.
#000022
La lokalizo estas formala maniero enkonduki la "denominatorojn" en antaŭfiksita ringo aŭ modulo.
Tio estas, ĝi prezentas novan ringon/modulon el ekzistado unu tiel ke ĝi konsistas el frakcioj
#000024
kie la denominatoroj s intervalo en antaŭfiksita subaro S da R.
La arketipa ekzemplo estas la konstruado de la ringo Q de raciaj nombroj de la ringo Z de entjeroj.
#000025
La fundamenta ekzemplo en komuta algebro estas la ringo de entjeroj.
La ekzisto de primoj kaj la unika faktorigadoteoremo amorigis la fundamentojn por konceptoj kiel ekzemple Noeterianaj ringoj kaj la primara putriĝo.
#000029