Laŭ la kontribuoj de la matrico, se aij indikas la eniron en la mi th remas kaj j th-kolonon;
ij ), tiam la misoblikva-simetria kondiĉo estas aji
Ekzemple, la sekva matrico estas misoblikva-simetria:
#000002
2 Misoblikva-simetriaj kaj alternante formojn
#000003
Se la karakterizaĵo de la kampo estas 2, tiam kontraŭsimetria matrico estas la sama aĵo kiel simetria matrico.
#000004
La sumo de du kontraŭsimetriaj matricoj estas misoblikva-simetria.
Skalarmultoblo de kontraŭsimetria matrico estas misoblikva-simetria.
La elementoj sur la diagonalo de kontraŭsimetria matrico estas nul, kaj tial ankaŭ ĝia spuro.
#000005
Kiel rezulto de la unuaj du trajtoj supra, la aro de ĉiuj kontraŭsimetriaj matricoj de fiksa grandeco formas vektoran spacon.
#000006
Lasu Maton n indiki la spacon de n × n matricoj.
Kontraŭsimetria matrico estas determinita per n ( n − 1)/2 Skalaroj (la nombro da kontribuoj super la ĉefdiagonalo);
simetria matrico estas determinita per n ( n + 1)/2 Skalaroj (la nombro da kontribuoj sur aŭ super la ĉefdiagonalo).
Lasis Misoblikvan n indikas la spacon de n × n kontraŭsimetriaj matricoj kaj Sym n indikas la spacon de n × n simetriaj matricoj.
Se ∈ Mat n tiam
#000007
Rimarku tiun 1⁄2 ( − T) ∈ Skew n kaj 1⁄2 ( + T) ∈ Sym n .
#000008
kie ⊕ indikas la rektan sumon.
#000009
Ĉar tiu difino estas sendependa de la elekto de bazo, misoblikva-simetrio estas posedaĵo kiu dependas nur de la linearoperatoro A kaj elekto de interna produkto.
#000011
Ĉiuj ĉefaj diagonalaj kontribuoj de kontraŭsimetria matrico devas esti nul, tiel ke la spuro estas nul.
aij ) estas misoblikva-simetria, aij
#000012
3×3 misoblikvaj simetriaj matricoj povas esti utiligitaj por reprezenti vektorajn produtojn kiel matricaj multiplikoj.
#000013
Lasis esti n × n kontraŭsimetria matrico.
La determinanto de A kontentigas
#000014
Aparte, se n estas stranga, kaj se la subesta kampo ne estas de karakterizaĵo 2, la determinanto malaperas.
Tial, ĉiu stranga dimensio misoblikvaj simetriaj matricoj estas eksterordinaraj kiam iliaj determinantoj ĉiam estas nul.
Tiu rezulto estas nomita la teoremo de Jacobi, post Carl Gustav Jacobi (Vesperoj, 1980).
#000015
La eben-dimensia kazo estas pli interesa.
Ĝi turnas ke la determinanto de A por n eĉ povas esti skribita kiel la kvadrato de polinomo en la kontribuoj de A, kiu unue estis pruvita fare de Cayley: [2]
#000016
Tiu polinomo estas nomita la Pfafian de A kaj estas indikita Pf ( A).
Tiel la determinanto de reala kontraŭsimetria matrico ĉiam estas ne-negativa.
Tamen tiu lasta fakto povas esti pruvita laŭ elementa maniero jene: la eigenvalues de reala kontraŭsimetria matrico estas sole imaga (vidu malsupre) kaj al ĉiu Eigen-valoro tie korespondas la Konjugateigen-valoro kun la sama diverseco;
tial, ĉar la determinanto estas la produkto de la eigenvalues, ĉiu ripetita laŭ ĝia diverseco, ĝi tuj sekvas ke la determinanto, se ĝi ne estas 0, estas pozitiva reala nombro.
#000017
La nombro da apartaj esprimoj s ( n) en la vastiĝo de la determinanto de kontraŭsimetria matrico de ordo n estis konsiderita jam fare de Cayley, Sylvester, kaj Pfaff.
Pro nuligoj, tiu nombro estas tre malgranda tiel komparita la nombro da esprimoj de senmarka matrico de ordo n, kio estas n!
La sekvenco s ( n) (sekvenco A002370 en la OEIS) estas
#000018
kaj ĝi estas ĉifrita en la eksponenta genera funkcio
#000019
Ĉi-lastaj rendimentoj al la asimptotics (por n eĉ)
#000020
La nombro da pozitivaj kaj negativaj esprimoj estas aproksime duono de la totalo, kvankam ilia diferenco prenas pli grandajn kaj pli grandajn pozitivajn kaj negativajn valorojn kiel n pliiĝoj (sekvenco A167029 en la OEIS).
#000021
Tri-oble-tri kontraŭsimetriaj matricoj povas esti utiligitaj por reprezenti vektorajn produtojn kiel matricaj multiplikoj.
#000022
la vektora produto povas esti skribita kiel
#000023
Tio povas esti tuj konfirmita komputante kaj flankojn de la antaŭa ekvacio kaj komparante ĉiun ekvivalentan elementon de la rezultoj.
#000024
t.e., la kolektoro de misoblikva-simetriaj tri-oble-tri matricoj povas esti identigita kun la vektora produto de tri-vektoroj.
Pli sur infinitezimalaj rotacioj povas esti trovita malsupre.
#000025
Ĉar matrico estas simila al sia propra transmetas, ili havendaĵo la saman eigenvalues.
Ĝi sekvas ke la eigenvalues de kontraŭsimetria matrico ĉiam venas en par±λ (krom en la strang-dimensia kazo kie ekzistas kroma unpairis 0 Eigen-valoro).
De la teoremo, por reala kontraŭsimetria matrico la Nonzereigen-valoroj estas tute puraj imagaj kaj tiel estas de la formo mi λ1, − mi λ1, mi λ2, − mi λ2, ...
kie ĉiu el la λ k estas reala.
#000026
Realaj kontraŭsimetriaj matricoj estas normalaj matricoj (ili navedas kun siaj adjunktoj) kaj estas tiel kondiĉigitaj de la teoremo, kiu deklaras ke ĉiu reala kontraŭsimetria matrico povas esti diagonaligita per unuecmatrico.
Ĉar la eigenvalues de reala kontraŭsimetria matrico estas imaga, ĝi ne estas ebla al diagonalize unu de reala matrico.
Tamen, estas eble alporti ĉiun kontraŭsimetrian matricon al bloka diagonala formo per speciala ortogonala transformo.
Specife, ĉiu 2n × 2n reala kontraŭsimetria matrico povas esti skribita en la formo A = da Q σ Q T kie Q estas ortogonala kaj
#000027
por reala λ k .
La nonzereigenvalues de tiu matrico estas ± iλ k .
En la strang-dimensia kazo da σ ĉiam havas almenaŭ unu kverelon kaj kolonon de nuloj.
#000028
Pli ĝenerale, ĉiu kompleksa kontraŭsimetria matrico povas esti skribita en la formo A = U σ U T kie U estas ke speciala unitaria (det (U) = 1) kaj σ havas la blok-diagonalan formon donitan supre kun kompleksa λ k .
Tio estas ekzemplo de la Youla putriĝo de kompleksa kvadratmatrico.
#000029
Misoblikva-simetria formo φ sur vektora spaco V super kampo K da arbitra karakterizaĵo estas difinita por esti dulineara formo
#000030
tia ke por ĉiu v, w en V,
#000031
Tio difinas formon kun dezirindaj trajtoj por vektoraj spacoj super kampoj de karakterizaĵo ne egala al 2, sed en vektora spaco super kampo de karakterizaĵo 2, la difino estas ekvivalenta al tiu de simetria formo, ĉar ĉiu elemento estas sia propra aldonaĵo inversa.
#000032
Kie la vektora spaco V estas finita kampo de arbitra karakterizaĵo inkluzive de karakterizaĵo 2, ni povas difini alternan formon kiel dulinearforma φ tia ke por ĉiu vektoroj v en V
#000033
Tio estas ekvivalenta al misoblikva-simetria formo kiam la kampo ne estas de karakterizaĵo 2 vide de
#000034
Dulineara formo φ estos reprezentita per matrico A tia ke φ ( v, w
v T Oh, post kiam bazo de V estas elektita, kaj inverse n × n matrico A sur K da n kaŭzas formon sendantan ( v, w) al v T Oh.
Por ĉiu el simetriaj, misoblikva-simetriaj kaj alternado, formoj matricoj estas simetriaj, misoblikva-simetriaj kaj alternado respektive.
#000035
Kontraŭsimetriaj matricoj super la kampo de realaj nombroj formas la klavspacon al la reala ortogonala grupo O ( n) ĉe la identa matrico;
formale, la speciala ortogonala Lie-algebro.
En tiu signifo, tiam, kontraŭsimetriaj matricoj povas esti opiniitaj de kiel infinitezimalaj rotacioj.
#000036
Alia maniero diri tio estas ke la spaco de kontraŭsimetriaj matricoj formas la Lie-algebron o ( n) de la Lie grupo O ( n).
La Lie-krampo sur tiu spaco ricevas per la kolektoro:
#000037
Estas facile kontroli ke la kolektoro de du kontraŭsimetriaj matricoj denove estas misoblikva-simetria:
#000038
La matriceksponento de kontraŭsimetria matrico A tiam estas ortogonala matrico R:
#000039
La bildo de la eksponenta mapo de Lie-algebro ĉiam kuŝas en la Koneksa komponanto de la Lie-grupo kiu enhavas la neŭtran elementon.
Koncerne la Lie-grupon O ( n), tio Koneksa komponanto estas la speciala ortogonala grupo TIEL ( n), konsistante el ĉiuj ortogonalaj matricoj kun determinanto 1-a Tiel R = eksp ( A) havos determinanton +1-an Krome, ĉar la eksponenta mapo de ligita kompakta Mensoggrupo ĉiam estas surjektive, ĝi turnas ke ĉiu ortogonala matrico kun unuodeterminanto povas esti skribita kiel la eksponento de iu kontraŭsimetria matrico.
En la speciala grava kazo de dimensio n = 2, la eksponenta reprezentantaro por ortogonala matrico maldikiĝas al la bonkonata polusa formo de kompleksa nombro de unuomodulus.
Efektive, se n 2, speciala ortogonala matrico havas la formon
#000040
kun 2 + b 2 = 1-a Tial, metante = kosθ kaj b = pekon θ, ĝi povas esti skribita
#000041
kiu egalrilatas precize al la polusa formcos θ + isin θ = e iθ de kompleksa nombro de unuomodulus.
#000042
ekde ĉiu ununura bloko de ordo 2 estas ankaŭ ortogonala matrico, ĝi koncedas eksponentan formon.
Ekvivalente, la matrico S skribas kiel eksponento de misoblikva-simetria blokmatrico σ de la formo supra, S = eksp (σ), tiel ke R = Q eksp (σ) Q T = eksp ( Q ΣQ T), eksponento de la kontraŭsimetria matrico Q ΣQ T.
Inverse, la surjektiveco de la eksponenta mapo, kune kun la supre menciita bloko-diagonaligo por kontraŭsimetriaj matricoj, implicas la bloko-diagonaligon por ortogonalaj matricoj.
#000043
en ortonormalaj koordinatoj tiuj estas samaj la elementaj kontraŭsimetriaj matricoj.
Tiu karakterizado estas utiligita en interpretado de la buklo de vektora kampo (kompreneble 2-vektoro) kiel infinitezimala rotacio aŭ "buklo", tial la nomo.
#000044
N - flank-n matrico A laŭdire estas misoblikva-symmetrizable ĉu tie ekzistas invertebla diagonala matrico D kaj kontraŭsimetria matrico S tia ke S = DA.
Por reala n - flank-n matricoj, foje la kondiĉo por D havi pozitivajn kontribuojn estas aldonita.
#000045
En lineara algebro, kontraŭsimetria matrico aŭ deklivo-simetria matrico aŭ malsimetria matrico estas kvadrata matrico A kies transpono egalas al ĝia negativo:
#000049
Tiel se la elementoj estas A=(aij), do aij=-aji por ĉiuj eblaj valoroj de i kaj j.
#000050
Ekzemple, jena matrico estas deklivo-simetria:
#000051
Kompari ĉi tiu kun simetria matrico kies transponi estas la sama kiel la matrico :AT = A.
#000052
Sumo de deklivo-simetriaj matricoj estas denove deklivo-simetria. Produtoj de deklivo-simetria matrico kun skalaro estas denove deklivo-simetria. Tiel, la deklivo-simetriaj matricoj formas vektoran spacon. Ĝia dimensio estas .
#000053
Se matrico A estas deklivo-simetria, kaj B estas ajna matrico, tiam produto BTAB estas deklivo-simetria.
#000054
La "deklivo-simetria komponanto" de kvadrata matrico A estas la matrico ; la "simetria komponanto" de A estas ; la matrico A estas sumo de ĝia simetria kaj deklivo-simetriaj komponantoj.
#000055
A estas deklivo-simetria se kaj nur se xTAx = 0 por ĉiuj reelaj vektoroj x.
#000056
Ĉiuj ĉefdiagonalaj elementoj de kontraŭsimetria matrico estas nuloj, Tiel la spuro estas nulo.
#000057
Do se n estas nepara la determinanto estas nulo. Ĉi tiu rezulto estas jakobia teoremo.
#000059
En la para-dimensia okazo, la determinanto de A por povas esti skribita kiel kvadrato de polinomo de elementoj de A (teoremo de Thomas Muir):
#000060
Ĉi tiu polinomo estas signifita kiel Pf(A). Tial la determinanto de reela kontraŭsimetria matrico estas ĉiam nenegativa.
#000061
La ajgenoj de kontraŭsimetria matrico ĉiam estas en paroj ±λ, escepti dn la nepara-dimensia okazo kiam estas aldona unuopa ajgeno 0. Por reela kontraŭsimetria matrico la ĉiuj nenulaj ajgenoj estas pure imaginaraj kaj tial estas de formo iλ1, -iλ1, iλ2, -iλ2, ..., kie ĉiuj λk estas reelaj.
#000062
Reela deklivo-simetria matrico estas normala matrico (ĝi komutiĝi kun sia adjunkta matrico) kaj tial laŭ la spektra teoremo reela kontraŭsimetria matrico povas esti diagonaligita per unita matrico. Pro tio ke ajgenoj de reela kontraŭsimetria matrico estas kompleksaj ĝin ne eblas diagonaligi per reela matrico. Tamen, ĉiun kontraŭsimetrian matrico eblas transformi al diagonala bloka matrico per orta matrico. Aparte, ĉiu 2n × 2n reela kontraŭsimetria matrico povas esti skribita en formo A=QΣQT kie Q estas orta kaj
#000063
por reelaj λk. La ajgenoj de ĉi tiu matrico estas ±iλk. En la neparo-dimensia okazo Σ havas almenaŭ unu linion de nuloj kaj almenaŭ unu kolumnon de nuloj.
#000064
Alterna formo de vektora spaco V estas dulineara funkcio φ(v, w) (v kaj w estas el V) tia ke
#000065
Ĉi tia φ(v, w) estas prezentata per kontraŭsimetria matrico A:
#000066
Disdivido de matrico en simetrian kaj deklivo-simetrian
#000067