Formulo de Faà di Bruno
#000001
En matematiko, kontinua funkcio estas funkcio por kiu sufiĉe groŝmonoj en la enigaĵo rezultigas propraaŭtoritate groŝmonoj la produktaĵon.
Alie, funkcio laŭdire estas malkontinua funkcio.
Kontinua funkcio kun kontinua inversa funkcio estas nomita homeomorfio.
#000002
Kontinueco de funkcioj estas unu el la kernkonceptoj de topologio, kiu estas traktita en plena ĝeneraleco malsupre.
La enkonduka parto de tiu artikolo temigas la specialan kazon kie la enigaĵoj kaj produktadoj de funkcioj estas realaj nombroj.
Pli forta formo de kontinueco estas unuforma kontinueco.
Krome, tiu artikolo diskutas la difinon por la pli ĝenerala kazo de funkcioj inter du metrikaj spacoj.
En orda teorio, precipe en domajnoteorio, oni pripensas nocion de kontinueco konata kiel Scott-kontinueco.
Aliaj formoj de kontinueco ekzistas sed ili ne estas traktitaj en tiu artikolo.
#000003
Ekzemple, pripensas la funkcio h ( t), kiu priskribas la altecon de kreskanta floro en tempo t.
Kompare, se M ( t) indikas la monsumon en bankkonto en tempo t, tiam la funkcio saltas sur ĉiun punkton en tempo kiam mono estas deponita aŭ reprenita, tiel ke la funkcio M ( t) estas malkontinua.
#000004
3 rilato al distingeblo kaj integrabileco
4 Pointwise kaj unuformaj limoj
#000008
Difinante topologiojn per kontinuaj funkcioj
#000009
2.1 Proprecoj de kontinuaj funkcioj
#000010
Formo de la epsilon-delta difino de kontinueco unue estis donita fare de Bernard Bolzano en 1817.
Cauchy difinis senlime malgrandajn kvantojn laŭ variaj kvantoj, kaj lia difino de kontinueco proksime egalas la infinitezimalan difinon utiligitan hodiaŭ (vidu mikrokontinuecon).
La formala difino kaj la distingo inter punktmanierkontinueco kaj unuforma kontinueco unue estis donitaj fare de Bolzano-Bozen en la 1830-aj jaroj sed la laboro ne estis publikigita ĝis la 1930-aj jaroj.
Karl Weierstrass [2] neis kontinuecon de funkcio ĉe punkto c se ĉe ĝi ne estis difinita kaj sur same flankoj de c, sed Édouard Goursat [3] permesis al la funkcio esti difinita nur ĉe kaj sur unu flanko de c, kaj Camille Jordan [4] permesis ĝin eĉ se la funkcio estis difinita nur ĉe c.
Ĉiuj tri el tiuj neekvivalentodifinoj de punktmanierkontinueco daŭre estas en uzo.
Eduard Heine disponigis la unuan publikigitan difinon de unuforma kontinueco en 1872, sed surbaze tiujn ideojn de prelegoj donitaj fare de Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1854.
#000011
Funkcio de la aro de realaj nombroj ĝis la realaj nombroj povas esti reprezentita per grafeo en la karteza aviadilo;
tia funkcio estas kontinua se, malglate parolante, la grafeo estas ununura nerompita kurbo kies domajno estas la tuta reala linio.
Pli matematike rigora difino ricevas malsupre.
#000012
Rigora difino de kontinueco de realan aprezitan funkcion de reala variablo estas kutime donita en antaŭmanĝo en kalkulado laŭ la ideo de limo.
Unue, funkcio f kun varia x laŭdire estas kontinua ĉe la punkto c sur la reala linio, se la limo de f ( x), kiel x aliroj tiu punkto c, estas egala al la valoro f (c);
kaj sekundo, la funkcio (kiel tutaĵo) laŭdire estas kontinua, ĉu ĝi estas kontinua ĉe ĉiu punkto.
Funkcio laŭdire estas malkontinua (aŭ havi malkontinuecon) ĉe iu punkto kiam ĝi ne estas kontinua tie.
Tiuj punktoj mem ankaŭ estas traktitaj kiel malkontinuecoj.
#000013
Utiligante matematikan skribmanieron, ekzistas pluraj manieroj difini kontinuajn funkciojn en ĉiu el la tri sencoj menciitaj supre.
#000015
Difino laŭ limoj de funkcioj
#000016
La funkcio f estas kontinua ĉe iu punkto c de it domajno se la limo de f ( x), kiel x aliroj c tra la domajno de f, ekzistas kaj estas egala al f ( c).
En matematika skribmaniero, tio estas skribita kiel
#000017
En detalo tio signifas tri kondiĉojn: unue, f devas esti difinita ĉe c.
Due, la limo por maldekstramana flanko de tiu ekvacio devas ekzisti.
Trie, la valoro de tiu limo devas korespondi al f ( c).
#000018
(Ni ĉi tie supozis ke la domajno de f ne havas iujn ajn izolitajn punktojn.
Ekzemple, intervalo aŭ unio de intervaloj havas neniujn izolitajn punktojn.
#000019
Najbareco de punkto c estas aro kiu enhavas ĉiujn punktojn de la domajno ene de iom da fiksa distanco de c.
Intuicie, funkcio estas kontinua ĉe punkto c se la intervalo de la limigo de f al najbareco de c ŝrumpas al ununura punkto f ( c) kiam la larĝo de la najbareco ĉirkaŭ c ŝrumpas al nul.
#000020
(c) Tiu difino nur postulas ke la domajno kaj la kodomajno estas topologiaj spacoj kaj estas tiel la plej ĝenerala difino.
Ĝi sekvas el tiu difino kiu funkcio f estas aŭtomate kontinua ĉe ĉiu izolita punkto de sia domajno.
Kiel specifa ekzemplo, ĉiu reala aprezita funkcio sur la aktoraro de entjeroj estas kontinua.
#000021
Difino laŭ limoj de sekvencoj
#000022
Weierstrass kaj Jordaniaj difinoj (epsilono-delto) de kontinuaj funkcioj
#000023
Eksplicite inkluzive de la difino de la limo de funkcio, ni akiras memstaran difinon: Surbaze de funkcio f:
#000024
Alternative skribite, kontinueco de f:
D → R ĉe x 0 ∈ D signifas ke por ĉiu ε > 0 tie ekzistas δ 0 tia ke por ĉio x ∈ D:
#000025
Pli intuicie, ni povas diri ke se ni volus al la tuta f ( x) valorojn restos en iu malgranda najbareco ĉirkaŭ f ( x 0), ni simple devas elekti sufiĉe malgrandan najbarecon por la x valoroj ĉirkaŭ x 0.
Se ni povas fari tion ne grave kiel etulo la f ( x) najbareco estas, tiam f estas kontinua ĉe x 0.
#000026
En modernaj esprimoj, tio estas ĝeneraligita per la difino de kontinueco de funkcio kun respekto al bazo por la topologio, ĉi tie la metrika topologio.
#000027
Weierstrass postulis ke la intervalo x 0 − δ < x < x 0 + δ estu tute ene de la domajno D, sed Jordanio forigis tiun restrikton.
#000028
Difino laŭ kontrolo de la resto
#000029
En pruvoj kaj cifereca analitiko ni ofte devas scii kiom rapide limoj konverĝas, aŭ al aliaj vortoj, kontrolo de la resto.
Ni povas formaligi tion al difino de kontinueco.
#000030
Funkcio estas kontinua en x 0 se ĝi estas C-kontinua por iu kontrola funkcio C.
#000032
Tiu aliro kondukas nature al rafinado de la nocio de kontinueco limigante la aron de alleblasj kontrolaj funkcioj.
Ekzemple la Lipschitz kaj Hölder kontinuaj funkcioj de eksponento α malsupre estas difinitaj fare de la aro de kontrolaj funkcioj
#000033
Kontinueco ankaŭ povas esti difinita laŭ oscilado: funkcio f estas kontinua ĉe poento x 0 se kaj nur se ĝia oscilado ĉe tiu punkto estas nul;
#000034
Tiu difino estas utila en priskriba aroteorio por studi la aron de malkontinuecoj kaj kontinuajn punktojn - la kontinuaj punktoj estas la intersekciĝo de la aroj kie la oscilado estas malpli ol ε (tial Gδ aro) - kaj donas tre rapidan pruvon de unu direkto de la Lebesgue-integrabileckondiĉo.
#000035
La oscilado estas ekvivalenta al la ε - δ difino per simpla rearanĝo, kaj uzante limon ( limbuŝpleno, liminf) por difini osciladon: se (ĉe antaŭfiksita punkto) por antaŭfiksita ε 0 ekzistas neniu δ kiu kontentigas la ε - δ difino, tiam la oscilado estas almenaŭ ε 0, kaj inverse se por ĉiu ε ekzistas dezirata δ, la oscilado estas 0-a La osciladdifino povas esti nature ĝeneraligita al mapoj de topologia spaco ĝis metrika spaco.
#000036
Cauchy difinis kontinuecon de funkcio en sekvaj intuiciaj perspektivoj: infinitezimala ŝanĝo en la sendependa variablo egalrilatas al infinitezimala ŝanĝo de la dependa variablo (vidu Cours d'analyse, paĝon 34).
Ne-norma analizo estas maniero igi tion matematike rigora.
La reala linio estas pliigita per la aldono de senfinaj kaj infinitezimalaj nombroj por formi la hiperreelajn nombrojn.
En nenorma analizo, kontinueco povas esti difinita jene.
#000037
Real-aprezita funkcio f estas kontinua ĉe x se ĝia natura etendaĵo al la hipereals havas la posedaĵon tio por ĉiu infinitezimala dks, f ( x + dks
f ( x) estas infinitezimala [11]
#000038
En aliaj vortoj, infinitezimala pliigo de la sendependa variablo ĉiam produktas al infinitezimala ŝanĝo de la dependa variablo, donante modernan esprimon al la difino de Augustin-Louis Cauchy de kontinueco.
#000039
Kontroli la kontinuecon de antaŭfiksita funkcio povas esti simpligita kontrolante unu el ĉi-supraj difinaj trajtoj por la konstrubriketoj de la antaŭfiksita funkcio.
Estas rekte antaŭen montri ke la sumo de du funkcioj, kontinuaj pri iu domajno, estas ankaŭ kontinua pri tiu domajno.
#000040
tiam la sumo de kontinuaj funkcioj
#000041
La sama tenas por la produkto de kontinua funktions.
#000042
En laŭ la saman manieron povas esti montrite ke la reciproka de kontinua funkcio
#000043
estas difinita por ĉiuj realaj nombroj x ≠ −2 kaj estas kontinua ĉe ĉiu tia punkto.
Tiel ĝi estas kontinua funkcio.
La demando de kontinueco ĉe x = −2 ne ekestas, ekde x = −2 estas ne en la domajno de y.
Ekzistas neniu kontinua funkcio F:
R → R kiu konsentas kun y ( x) por ĉio x ≠ −2.
#000044
Ĉar la sinuso-funkcio estas kontinua sur ĉiuj realoj, la sincfunkcio G ( x) = peko x / x, kiam difinite por ĉio al reala x ≠ 0, estas kontinuaj ĉe tiuj punktoj.
Tiel G estas kontinua funkcio tie, ankaŭ.
Tamen, male al la la antaŭa ekzemplo, G povas esti etendita al kontinua funkcio sur ĉiujn realajn nombrojn, per difinado de la valoro G (0) por esti la limo de G ( x), kiam x aliroj 0, t.e.,
#000045
la sinc-funkcio iĝas kontinua funkcio sur ĉiuj realaj nombroj.
La esprimo forprenebla neordinaraĵo estas uzita en tiaj kazoj, kiam (Re) difinado de valoroj da funkcio por koincidi kun la konvenaj limoj igas funkcion kontinua ĉe specifaj punktoj.
#000046
Pli engaĝita konstruado da kontinuaj funkcioj estas la funkcia komponaĵo .
Surbaze de du kontinuaj funkcioj
#000047
ilia kunmetaĵo estanta indikita kiel
#000048
Tiu konstruo permesas deklari, ekzemple, tion
#000049
Intuicie ni povas pensi pri tiu speco de malkontinueco kiel subita salto en funkciovaloroj.
#000050
Simile, la signum aŭ signuma funkcio
#000051
Ankoraŭ plia ekzemplo: la funkcio
#000052
Krom kredindaj kontinuecoj kaj malkontinuecoj kiel supra, ekzistas ankaŭ funkcioj kun konduto, ofte kreita al de de patologia, ekzemple, Thomae funkcio,
#000053
estas kontinua ĉe ĉiuj neraciaj nombroj kaj malkontinua ĉe ĉiuj raciaj nombroj.
En simila vejno, la funkcio de Dirichlet, la indikilfunkcio por la aro de raciaj nombroj,
#000054
La mezvaloro-teoremo estas ekzistteoremo, surbaze de la realnombra posedaĵo de tuteco, kaj deklaras:
#000055
Se la real-aprezita funkcio f estas kontinua sur la fermita intervalo [, b] kaj k estas iu nombro inter f () kaj f ( b), tiam ekzistas iu nombro da c en [, b] tia ke f ( c
#000056
Ekzemple, se infano kreskas de 1 m ĝis 1.5 m inter la aĝoj da du kaj ses jaroj, tiam, ĉe iom da tempo inter du kaj ses jaroj de aĝo, la alteco de la infano havendaĵo estanta 1.25 m.
#000057
Kiel sekvo, se f estas kontinua sur [, b] kaj f () kaj f ( b) malsamas en signo, tiam, ĉe iu punkto c en [, b], f ( c) devas egali nul.
#000058
La ekstrema valorteoremo deklaras ke se funkcio f estas difinita sur fermita intervalo [, b] (aŭ ajna fermita kaj saltita metita) kaj estas kontinua tie, tiam la funkcio ekhavas it maksimumon, t.e. tie ekzistas c
f ( x) por ĉio x
La sama estas vera de la minimumo de f.
Tiuj deklaroj ne estas, ĝenerale, veraj se la funkcio estas difinita sur malferma intervalo (, b) (aŭ ajna metis tion estas ne kaj fermiĝis kaj saltis), kiel, ekzemple, la kontinua funkcio f ( x) = 1/ x, difinita sur la malferma intervalo (0,1), ne ekhavas maksimumon, estante nelimigita supre.
#000059
Rilato al distingeblo kaj integrabileco
#000060
estas kontinua, kiel povas esti montrita.
La konversacio ne tenas: ekzemple, la absolutvalora funkcio
#000061
Tamen, ĝi ne estas diferenciebla ĉe x = 0 (sed estas tiel ĉie alie).
La funkcio de Weierstrass ankaŭ estas ĉie kontinua sed nenie diferenciebla.
#000062
La derivita f′ ( x) de diferenciebla funkcio f ( x) ne devas esti kontinua.
Se f′ ( x) estas kontinua, f ( x) laŭdire estas ade diferenciebla.
La aro de tiaj funkcioj estas indikita C 1 ( (, b).
Pli ĝenerale, la aro de funkcioj
#000063
(de malferma intervalo (aŭ malferma subaro de R) da ω ĝis la realoj) tia ke f estas n tempoj diferenciebla kaj tia ke la a derivaĵo de f estas kontinua estas indikita C da n (ω).
En la kampo de komputilgrafikoj, tiuj tri niveloj foje estas nomitaj G 0 (kontinueco de pozicio), G 1 (kontinueco de tangency), kaj G 2 (kontinueco de kurbiĝo).
#000064
estas integrabla (ekzemple en la signifo de la Riemann-integralo).
La konversacio ne tenas, kiel la (integrabla, sed malkontinua) signuma funkcio montras.
#000065
de funkcioj tia ke la limo
#000066
(x) ekzistas por ĉio x en D, la rezulta funkcio f ( x) estas referita kiel la punktmaniero limigi de la sekvenco de funkcioj ( f n ) n ∈ N .
La punktmaniera limfunkcio ne devas esti kontinua, eĉ se ĉiuj funkcioj f n estas kontinuaj, kiel la animacio ĉe la ĝustaj spektakloj.
Tamen, f estas kontinua kiam la sekvenco konverĝas unuforme, de la unuforma konverĝteoremo.
Tiu teoremo povas esti utiligita por montri ke la eksponentaj funkcioj, logaritmoj, kvadratradika funkcio, trigonometria funkcio estas kontinuaj.
#000067
Malkontinuaj funkcioj povas esti malkontinuaj laŭ limigita maniero, kaŭzante la koncepton de unudirekta kontinueco (aŭ dekstraj kaj maldekstraj kontinuaj funkcioj) kaj semi-kontinueco.
Malglate parolante, funkcio estas dekstra-kontinua se neniu salto okazas kiam al la limpunkto estas alproksimigita de la dekstro.
#000068
Tio estas la sama kondiĉo kiel por kontinuaj funkcioj, krom ke estas postulate teni por x strikte pli grandan ol c nur.
Postulante ĝi anstataŭe por ĉio x kun c − δ < x < c donas la nocion de maldekstra-kontinuaj funkcioj.
Funkcio estas kontinua se kaj nur se ĝi estas kaj dekstra-kontinua kaj maldekstra-kontinua.
#000069
\displaistile f (x) \geq f (c) \epsilon.
#000071
La reverskondiĉo estas supra semi-kontinueco .
#000072
Kontinuaj funkcioj inter metrikaj spacoj
#000073
La koncepto de kontinuaj real-aprezitaj funkcioj povas esti ĝeneraligita al funkcioj inter metrikaj spacoj.
Metrika spaco estas aro X provizita per funkcio (nomita metrika) d X , kiu povas esti opiniita de kiel mezurado de la distanco de iuj du elementoj en X.
Formale, la metriko estas funkcio
#000074
tio kontentigas kelkajn postulojn, precipe la neegalaĵo de triangulo.
Surbaze de du metrikaj spacoj ( X, d Xa ) kaj ( Y, d Y ) kaj funkcio
#000075
tiam f estas kontinua ĉe la punkto c en X (kun respekto al la antaŭfiksitaj metriko) se por iu pozitiva reala pli sensenta ε, tie ekzistas pozitiva reala pli sensenta δ tia ke ĉio x en X kontentiga d Xa ( x, c)< δ ankaŭ kontentigos d Y ( f ( x), f ( c)< ε.
Kiel en la kazo de realaj funkcioj supra, tio estas ekvivalenta al la kondiĉo kiu por ĉiu sekvenco ( x n ) en X kun limlim x n = c, ni havas lim f ( x n
Ĉi-lasta kondiĉo povas esti malfortigita jene:
f estas kontinua ĉe la punkto c se kaj nur se por ĉiu konverĝa sekvenco ( x n ) en X kun limo c, la sekvenco ( f ( x n ) estas koŝia vico, kaj c estas en la domajno de f.
#000076
La aro de punktoj ĉe kiu funkcio inter metrikaj spacoj estas kontinua estas Gδ aro - tio sekvas el la ε-δ difino de kontinueco.
#000077
Tiu nocio de kontinueco estas uzita, ekzemple, en funkcionala analitiko.
Esenca deklaro en tiu areo diras ke linearoperatoro
#000078
por ĉio x en V.
#000080
La koncepto de kontinueco por funkcioj inter metrikaj spacoj povas esti fortigita laŭ diversaj manieroj limigante laŭ la manieron δ dependas de ε kaj c en la difino supre.
Intuicie, funkcio f kiel supre estas unuforme kontinua se la δ ne dependas de la punkto c.
Pli ĝuste, estas postulate ke por ĉiu reala pli sensenta ε > 0 tie ekzistas δ 0 tia ke por ĉiu c, b ∈ X kun d Xa ( b, c
Tiel, ĉiu unuforme kontinua funkcio estas kontinua.
La konversacio ne tenas enen generalon, sed tenas kiam la domajnospaco X estas kompakta.
Unuforme kontinuaj mapoj povas esti difinitaj en la pli ĝenerala situacio de unuformaj spacoj.
#000081
Funkcio estas Hölder kontinua kun eksponento α (reala nombro) se ekzistas konstanto K tia ke por ĉiu b kaj c en X, la malegaleco
#000082
Ĉiu Hölder kontinua funkcio estas unuforme kontinua.
Tio estas, funkcio estas Lipschitz kontinua se ekzistas konstanto K tia ke la malegaleco
#000083
(b, c) tenas por iu b, c en X.
La Lipschitz-kondiĉo okazas, ekzemple, en la Picard-Lindelöf-teoremo koncerne la solvojn de ordinaraj diferenciala ekvacioj.
#000084
Kontinuaj funkcioj inter topologiaj spacoj
#000085
Alia, pli abstrakta, nocio da kontinueco estas kontinueco de funkcioj inter topologiaj spacoj en kiu ĝenerale ekzistas neniu formala nocio de distanco, ĉar ekzistas koncerne metrikajn spacojn.
Topologia spaco estas aro X kune kun topologio sur X, kio estas aro de subaroj de X kontentiganta kelkajn postulojn kun respekto al iliaj sindikatoj kaj intersekciĝoj kiuj ĝeneraligas la trajtojn de la malfermaj pilkoj en metrikaj spacoj dum daŭre permesante paroli pri la kvartaloj de antaŭfiksita punkto.
La elementoj de topologio estas nomitaj malfermaj subaroj de X (kun respekto al la topologio).
#000086
inter du topologiaj spacoj Xa kaj Y estas kontinua se por ĉiu malfermita aro V ⊆ Y, la inversa bildo
#000087
malferma subaro de X estas.
Tio estas, f estas funkcio inter la aroj X kaj Y (ne sur la elementoj de la topologio Tx ), sed la kontinueco de f dependas de la topologioj uzitaj sur X kaj Y.
#000088
Tio estas ekvivalenta al la kondiĉo ke la preimages de la fermitaj aroj (kiuj estas la komplementoj de la malfermaj subaroj) en Y estas fermita en X.
#000089
Ekstrema ekzemplo: se aro X ricevas la diskretan topologion (en kiu ĉiu subaro estas malferma), ĉiujn funkciojn
#000090
al iu topologia spaco T estas kontinuaj.
Aliflanke, se X estas provizita per la indiskrete-topologio (en kiu la nuraj malfermaj subaroj estas la malplenaj metitaj al kaj X) kaj la spaco T metita estas almenaŭ T0 , tiam kiun la nuraj kontinuaj funkcioj estas la konstantaj funkcioj.
Inverse, ĉiu funkcio kies intervalo estas indiskrete estas kontinua.
#000091
La traduko en la lingvo de najbarecoj de la (ε, δ) difino de kontinueco kondukas al la sekva difino de la kontinueco ĉe punkto:
#000092
Tiu difino estas ekvivalenta al la sama deklaro kun najbarecoj malvastanimaj al malfermaj najbarecoj kaj povas esti reproponita laŭ pluraj manieroj uzante prebildojn prefere ol bildoj.
#000093
V , en tiu difino povas esti simpligita:
#000094
Se X kaj Y estas metrikaj spacoj, estas ekvivalente pripensi la najbarecsistemon de malfermaj pilkoj centritaj ĉe x kaj f ( x) anstataŭe de ĉiuj najbarecoj.
Tio donas reen ĉi-supran δ-ε difinon de kontinueco en la kunteksto de metrikaj spacoj.
Ĝenerale topologiaj spacoj, ekzistas neniu nocio de proksimeco aŭ distanco.
Se tamen la celspaco estas Hausdorff-spaco, estas daŭre vere ke f estas kontinua ĉe se kaj nur se la limo de f kiel x aliroj estas f ().
Ĉe izolita punkto, ĉiu funkcio estas kontinua.
#000095
Pluraj ekvivalentaj difinoj por topologia strukturo ekzistas kaj tiel ekzistas pluraj ekvivalentaj manieroj difini kontinuan funkcion.
#000096
En pluraj kuntekstoj, la topologio de spaco estas komforte precizigita laŭ limpunktoj.
En multaj kazoj, tio estas plenumita per precizigado kiam punkto estas la limo de sekvenco, krom por kelkaj spacoj kiuj estas tro grandaj en iom da signifo, oni ankaŭ precizigas kiam punkto estas la limo de pli ĝeneralaj aroj de punktoj indeksitaj fare de direktita aro, konata kiel retoj.
Funkcio estas (Heine -) kontinua nur se ĝi prenas limojn de sekvencoj al limoj de sekvencoj.
En la antaŭa kazo, konservado de limoj ankaŭ estas sufiĉa;
en ĉi-lasta, funkcio povas konservi ĉiujn limojn de sekvencoj ankoraŭ daŭre ne estas kontinua, kaj konservado de retoj estas necesa kaj sufiĉa kondiĉo.
#000097
Anstataŭe de precizigado de la malfermaj subaroj de topologia spaco, la topologio ankaŭ povas esti determinita fare de finfunkciigisto (indikita cl) kiu asignas al iu subaro A ⊆ Xan it finon, aŭ internan funkciigiston (indikitan int), kiu asignas al iu subaro A da X it interno.
#000099
inter topologiaj spacoj estas kontinua en la signifo supre se kaj nur se por ĉiuj subaroj A da X
#000100
Tio devas diri, donita ajnan elementon x el X tio estas en la fino de iu subaro A, f ( x) apartenas al la fino de f ( A).
Tio estas ekvivalenta al la postulo ke por ĉiuj subaroj A estas de X
#000101
estas kontinua se kaj nur se
#000102
Y kiun=→ Z estas kontinua, tiam tiel estas la kunmetaĵo g ∘ f:
X → Y estas kontinua kaj
#000104
La eblaj topologioj sur fiksa aktoraro X estas parte ordonitaj: topologioτ1 laŭdire estas pli kruda ol alia topologioτ2 (notacio:
τ1 ⊆ τ2) se ĉiu malferma subaro kun respekto al τ1 ankaŭ estas malferma kun respekto al τ2.
#000106
estas kontinua se kaj nur se τ1 ⊆ τ2 (vidu ankaŭ komparo de topologioj).
#000107
restadoj kontinua se la topologio τ Y estas anstataŭigita per pli kruda topologio kaj/aŭ τ X estas anstataŭigitaj per pli bona topologio.
#000108
Simetria al la koncepto da kontinua mapo estas malferma mapo, por kiuj bildoj de malfermitaj aroj estas malfermaj.
Fakte, se malferma mapo f havas inversan funkcion, tiel inversa estas kontinua, kaj se kontinua mapo g havas inversan, se inversa estas malferma.
Surbaze de bijektive funkcio f inter du topologiaj spacoj, la inversa funkcio f −1 ne devas esti kontinua.
Bijektive kontinua funkcio kun kontinua inversa funkcio estas nomita homeomorfio .
#000109
Se kontinua ensurĵeto havas kiam ĝia domajno kompakta spaco kaj ĝia kodomajno estas Hausdorff, tiam ĝi estas homeomorfio.
#000110
kie X estas topologia spaco kaj S estas aro (sen precizigita topologio), la fina topologio sur S estas difinita lasante la malfermitajn arojn de S esti tiuj subaroj A da S por kiu f −1 ( A) estas malferma en X.
Se S havas ekzistantan topologion, f estas kontinua kun respekto al tiu topologio se kaj nur se la ekzistanta topologio estas pli kruda ol la fina topologio sur S.
Tiel la fina topologio povas esti karakterizita kiel la plej bona topologio sur S kiu igas f kontinua.
Se f estas surjektive, tiu topologio estas kanone identigita kun la kvocienttopologio sub la ekvivalentrilato difinita per f.
#000111
Duale, por funkcio f de aro S ĝis topologia spaco, la komenca topologio sur S havas kiel malfermaj subaroj A da S tiujn subarojn por kiuj f ( A) estas malferma en X.
Se S havas ekzistantan topologion, f estas kontinua kun respekto al tiu topologio se kaj nur se la ekzistanta topologio estas pli bona ol la komenca topologio sur S.
Tiel la komenca topologio povas esti karakterizita kiel la plej kruda topologio sur S kiu igas f kontinua.
Se f estas injektivo, tiu topologio estas kanone identigita kun la subspactopologio de S, rigardita kiel subaro de X.
#000112
Diversaj aliaj matematikaj domajnoj utiligas la koncepton de kontinueco en malsama, sed rilataj signifoj.
Ekzemple, en orda teorio, ordo-marina funkcio f:
X → Y inter akurataj specoj de partordoj X kaj Y estas kontinua se por ĉiu direktis subaron A da X, ni havas buŝplenon ( f ( A
Ĉi tie buŝpleno estas la Preciza supra rando kun respekto al la mendadoj en X kaj Y, respektive.
Tiu nocio da kontinueco estas la sama kiel topologia kontinueco kiam la partordoj ricevas la Scott-topologio.
#000113
En teorio de kategorioj, funktoro
#000114
inter du kategorioj estas vokita kontinua , ĉu ĝi navedas kun malgrandaj limoj.
#000115
Kontinuecspaco estas ĝeneraligo da metrikaj spacoj kaj potaroj, [16] [17] kiu utiligas la koncepton de kvantale, kaj tio povas esti uzita por unuigi la nociojn de metrikaj spacoj kaj domajnoj.
#000116
Malfermitan aron / fermitan aron
#000119
En matematiko, kontinua funkcio estas funkcio, kies valoro malmulte ŝanĝiĝas en okazo de malgranda ŝanĝo de la argumento. Se malgranda ŝanĝo de la argumento povas produkti rompan salton en valoro de la funkcio, la funkcio estas nekontinua. La ĉirkaŭteksto de ĉi tiu termino estas reelo-valoraj funkcioj sur la reela domajno aŭ sur topologia aŭ metrika spacoj escepte la kompleksajn nombrojn. Pri komplekso-valoraj funkcioj vidu artikolon kompleksa analitiko. La rimarkinda diferenco en maniero estas tiu ke en la reela domajno, la punktoj en la domajno kiuj estas punktoj de nekontinueco estas specialaĵoj. Sed en la kompleksa domajno tiaj punktoj estas kutime aparte forprenitaj el la domajno, do la funkcio kontinua en kompleksa domajno estas kontinua sur malkonektita partoj de reela domajno.
#000120
Funkcio f estas kontinua en iu punkto c, se du postuloj estas plenumitaj:
#000121
f(c) devas esti difinita (kio signifas ke c devas esti ero de la domajno de f).
La limeso de f(x), se x proksimiĝas al c, devas ekzisti kaj esti egala al f(c). (Se la punkto c en la domajno de f ne estas ne akumuliĝa punkto de la domajno, tiam ĉi tiu kondiĉo estas vera, ĉar x ne povas proksimiĝi al c.)
#000122
Funkcio estas ĉie kontinua, aŭ simple kontinua, se ĝi estas kontinua en ĉiu punkto de sia domajno. Pli ĝenerale, funkcio estas kontinua sur iu subaro de sia domajno se ĝi estas kontinua en ĉiu punkto de la subaro.
#000123
Funkcio inter topologiaj spacoj estas kontinua se la inversa bildo de ĉiu malfermita aro estas malfermita. Ĉi tio povas esti komprenita kiel postulo de foresto de rompoj aŭ apartigoj en la funkcio. Anstataŭigi nocion "inversa bildo" per (ne inversa) "bildo" ĉi tie ne eblas, la kontraŭekzemplo estas konduto de funkcio ĉirkaŭ ekstremumo; ekzemple por la funkcio f(x)=x2, bildo de malfermita aro ]-1, 1[ estas aro [0,1[ kiu ne estas malfermita; ĉi tiu ekzemplo uzas la norman topologion sur R.
#000124
Se du funkcioj f kaj g estas kontinuaj, tiam f + g kaj f.g estas kontinuaj. Se g(x) ≠ 0 por ĉiuj x en la domajno, tiam f/g estas ankaŭ kontinua.
#000125
La komponaĵo f o g de du kontinuaj funkcioj estas kontinua.
#000126
La interna valora teoremo estas teoremo, bazita sur la propreco de pleneco pri reelaj nombroj , kaj formuliĝas tiel: "Se la reel-valora funkcio f estas kontinua sur la segmento [a, b] kaj k estas iu nombro inter f(a) kaj f(b), tiam estas iu nombro c en [a, b] tia, ke f(c) = k. Ekzemple, se infano kontinue kreskas de 1 m al 1,5 m inter la aĝoj de 2 jaroj kaj 6 jaroj, tiam, estas iama aĝo inter 2 jaroj kaj 6 jaroj, kiam la infana alto estas 1,25 m.
#000127
Sekvas de tio, ke se f estas kontinua sur [a, b] kaj f(a) kaj f(b) havas kontraŭajn signumojn, tiam, je iu punkto c, f(c) egalas al nulo.
#000128
Ekstremuma teoremo: Se funkcio f estas difinita sur segmento [a,b], aŭ iu fermita kaj barita aro, kaj estas kontinua tie, tiam la funkcio atingas sian maksimumon, en iu punkto c ∈ [A,b] kun f(c) ≥ f(x) por ĉiuj x ∈ [a,b]. La sama estas vera pri la minimumo de f. Ĉi tiuj propozicioj estas malveraj, se la funkcio estas difinita sur malfermita intervalo ]a,b[ (aŭ ĉiu aro kiu ne estas ambaŭ fermita kaj barita); ekzemple la kontinua funkcio f(x) = 1/x difinita sur la malfermita intervalo ]0,1[ ne estas diferenciebla je 0.
#000129
Se funkcio estas diferencialebla en iu punkto c de sia domajno, tiam ĝi estas ankaŭ kontinua je c. La kontraŭo estas ne vera: funkcio tia kontinua je c ne necese estas diferencialebla tie. Konsideru ekzemple la absolut-valoran funkcion je c = 0.
#000130
La blua kaj la ruĝa kurboj estas kontinuaj, ne la verda
La blua sinusa kurbo estas kontinua, ne la ruĝa
#000131
La blua kaj la ruĝa kurboj estas kontinuaj, ne la verda
#000132
La blua sinusa kurbo estas kontinua, ne la ruĝa
#000133