Wikipedia's Sphere as translated by GramTrans
#000000
Sfero (de greka σφαῖρα - sphaira, "globo, pilko" [1] ) estas tute ronda geometria objekto en tri-dimensia spaco kiu estas la surfaco de tute ronda pilko, (viz.
, analoga al cirkla objekto en du dimensioj).
Kiel cirklo, kiu geometrie estas dudimensia objekto, sfero estas difinita matematike kiel la aro de punktoj kiuj estas ĉio ĉe la sama distanco r de antaŭfiksita punkto, sed en tri-dimensia spaco.
Tiu distanco r estas la radiuso de la pilko, kaj la antaŭfiksita punkto estas la centro de la matematika pilko.
La plej longa aerlinio tra la pilko, liganta du punktojn de la sfero, pasas tra la centro kaj ĝia longo estas tiel dufoje la radiuso;
ĝi estas diametro de la pilko.
#000001
Dum ekstera matematiko la esprimoj "sphereas" kaj "pilko" foje estas uzita interŝanĝeble, en matematiko distingo estas farita inter la sfero (dudimensia fermita surfaco
enkonstruite en tridimensia eŭklida spaco) kaj la pilko (tridimensia formo kiu inkludas la sferon same kiel ĉion ene de la sfero).
La pilko kaj la sfero dividas la saman radiuson, diametron, kaj centron.
#000002
La surfacareo de sfero estas:
#000005
Arkimedo unue derivis tiun formulon [3] de la fakto ke la projekcio al la laterala surfaco de limita cilindro (ekzemple, la Lambert-cilindra egal-area projekcio) are-konservas;
ĝi korespondas al la derivaĵo de la formulo por la volumeno kun respekto al r ĉar la totalvolumeno ene de sfero de radiuso r povas esti opiniita de kiam la sumigo de la surfacareo de senfina nombro da sferaj ŝeloj de infinitezimala dikeco samcentre stakigis unu ene de la alia de radiuso 0 ĝis radiuso r.
Ĉe infinitezimala dikeco la diferenco inter la interna kaj ekstera surfacareo de iu antaŭfiksita ŝelo estas infinitezimala, kaj la elementa volumeno ĉe radiuso r estas simple la produkto de la surfacareo ĉe radiuso r kaj la infinitezimala dikeco.
#000006
Ĉe iu antaŭfiksita radiuso r, la pliiga volumeno ( δV) korespondas al la produkto de la surfacareo ĉe radiuso r ( A ( r) kaj la dikeco de ŝelo ( δr):
#000007
La totalvolumeno estas la sumigo de ĉiuj ŝelvolumoj:
#000008
En la limo kiel δr aliroj nul [4] tiu ekvacio iĝas:
#000009
Diferencigi ambaŭ flankojn de tiu ekvacio kun respekto al r donas A kiel funkcio de r:
#000010
Alternative, la areelemento sur la sfero ricevas en sferaj koordinatoj per dA = r 2 peko θ dθ dφ .
En kartezaj koordinatoj, la areelemento estas
#000012
Por pli da ĝeneraleco, vidu areelementon.
#000013
La suma areo povas tiel esti akirita per integriĝo:
#000014
En 3 dimensioj, la volumeno ene de sfero (tio estas la volumeno de pilko) estas derivita por esti
#000015
kie r estas la radiuso de la sfero kaj π estas la konstanta pi.
Arkimedo unue derivis tiun formulon, kiu montras ke la volumeno ene de sfero estas 2/3 tiu de limita cilindro.
(Tiu aserto sekvas el la principo de Cavalieri.
En moderna matematiko, tiu formulo povas esti derivita uzante integralan kalkulon, t.e. diskintegriĝo sumigi la volumojn de senfina nombro da cirklaj diskoj de infinitezimale malgranda dikeco staplita centris flank-al-flanke laŭ la absciso de x = 0 kie la disko havas radiuson r (t.e. y = r ) al x = r kie la disko havas radiuson 0 (t.e. y = 0).
#000016
Ĉe iu surbaze de x, la pliiga volumeno ( δV) korespondas al la produkto de la trans-sekca areo de la disko ĉe x kaj al it dikeco ( δks):
#000017
La totalvolumeno estas la sumigo de ĉiuj pliigaj volumoj:
#000018
Ĉe iu surbaze de x, ortangula triangulo ligas x, y kaj r al la origino;
tial, uzante lpitagorean teoremon rendimentojn:
#000019
Tiel, anstataŭigi y per funkcio de x donas:
#000020
Kiu nun povas esti analizita jene:
#000021
Tial la volumeno de sfero estas:
#000022
Alternative tiu formulo estas trovita uzanta sferajn koordinatojn, kun volumenelemento
#000023
Ekzemple, sfero kun diametro 1m havas 52.4% la volumeno de kubo kun randlongo 1m, aŭ proksimume 0.
#000024
En pli alta grandeco, la analogaĵo de sfero estas nomita hipersfero, kiu enfermas n-pilko.
Ĝeneralaj rekursivaj kaj ne-rekursivaj formuloj ekzistas por la volumeno de n-pilko .
#000025
En analitika geometrio, sfero kun centro ( x 0, y 0, z 0) kaj radiuso r estas la lokuso de ĉiuj punktoj ( x, y, z) tia ke
#000026
La punktoj sur la sfero kun radiuso r povas esti parameterigitaj per
#000027
Sfero de iu radiuso centrita ĉe nul estas integrita surfaco de la sekva diferenciga formo:
#000028
Tiu ekvacio reflektas ke pozicio kaj rapidecvektoroj de punkto vojaĝanta sur la sferon ĉiam estas ortogonalaj al unu la alian.
#000029
La sfero havas la plej malgrandan surfacareon de ĉiuj surfacoj kiuj enfermas antaŭfiksitan volumenon, kaj ĝi enfermas la plej grandan volumenon inter ĉiuj fermitaj surfacoj kun antaŭfiksita surfacareo.
La sfero tial aperas en naturo: ekzemple, vezikoj kaj malgrandaj akvogutoj estas proksimume sferaj ĉar la surfaca tensio loke minimumigas surfacareon.
#000030
La surfacareo relative al la maso de sfero estas nomita la specifa surfacareo kaj povas esti esprimita de la super fiksitaj ekvacioj kiel
#000031
Sfero ankaŭ povas esti difinita kiel la surfaco formita rotaciante cirklon koncerne iun diametron.
Anstataŭigante la cirklon kun elipso rotaciite koncerne ĝian plej gravan akson, la formo iĝas promalfrua sferoido;
rotaciite koncerne la negravan akson, oblatosferoidon.
#000032
Paroj de punktoj sur sfero kiuj situas sur aerlinio tra la centro de la sfero estas nomitaj antipodaj punktoj.
Ĉefcirklo estas cirklo sur la sfero kiu havas la saman centron kaj radiuson kiam la sfero kaj sekve dividas ĝin en du egalajn partojn.
La plej mallonga distanco laŭ la surfaco inter du apartaj ne-antipodaj punktoj sur la surfaco estas sur la unika ĉefcirklo kiu inkludas la du poentojn.
Provizita per la ĉefcirklodistanco, ĉefcirklo iĝas la Riemaniana cirklo.
#000033
Se speciala punkto sur sfero estas (propraaŭtoritate) elektita kiel it norda poluso, tiam la ekvivalenta antipoda punkto estas nomita la suda poluso, kaj la ekvatoro estas la ĉefcirklo kiu estas egaldistanca al ili.
Ĉefcirkloj tra la du poloj estas nomitaj linioj (aŭ meridianoj) de longitudo, kaj la linio liganta la du polojn estas nomita la rotacia akso.
Cirkloj sur la sfero kiuj estas paralela al la ekvatoro estas objektoj laŭ latitudo.
Tiu terminologio ankaŭ estas utiligita por tiaj ĉirkaŭ sferoidal astronomiaj korpoj kiel la la terglobo (vidu geoida).
#000034
Ĉiu aviadilo kiu inkludas la centron de sfero dividas ĝin en du egalajn hemisferojn.
Ĉiuj du intersekcantaj aviadiloj kiuj inkludas la centron de sfero subdividas la sferon en kvar duonlunojn aŭ biangulojn, kies verdglaciojn ĉiuj koincidas kie la antipodaj punktoj situas sur la linio de intersekciĝo de la aviadiloj.
#000035
La antipoda kvociento de la sfero estas la surfaco nomita la reela projekcia ebeno, de kiu ankaŭ povas esti opiniita kiam la norda hemisfero kun antipodaj punktoj de la ekvatoro identigis.
#000036
La ronda hemisfero estas konjektita por esti la optimuma (malplej areo) plenigaĵo de la Riemaniana cirklo.
#000037
La cirkloj de intersekciĝo de iu aviadilo ne intersekcanta la centron de la sfero kaj la surfacon de la sfero estas nomitaj sferaj sekcioj.
#000038
Sferoj povas esti ĝeneraligitaj al spacoj de iu nombro da grandeco.
#000039
Sferoj por n > 2 foje estas nomitaj hipersferoj.
#000040
La n-sfero de unuoradiuso centrita ĉe la origino estas indikita S da n kaj ofte estas referita kiel "la" n-sfero.
Notu ke la ordinara sfero estas 2-sferan, ĉar ĝi estas 2-dimensia surfaco (kiu estas enkonstruita en 3-dimensia spaco).
#000041
La surfacareo de la ( n − 1) sfero de radiuso 1 estas
#000042
kie γ ( z) estas la Gamma funkcio de Euler.
#000043
Alia esprimo por la surfacareo estas
#000044
Pli ĝenerale, en metrika spaco ( E, d), la sfero de centro x kaj radiuso r > 0 estas la aro de punktoj y tia ke d ( x, y
#000045
Se la centro estas eminenta punkto kiu estas konsiderita kiel la origino de E, kiel en normeita regiono, ĝi ne estas meciita en la difino kaj notacio.
La sama petas pri la radiuso se estas prenite por korespondi al unu, kiel en la kazo de unuobla pilko.
#000046
Male al pilko, eĉ granda sfero povas esti malplena aro.
Ekzemple, en Z n kun Eŭklida metriko, sfero de radiuso r estas nonempty nur se r 2 povas esti skribita kiel sumo de n kvaranguloj de entjeroj.
#000047
En topologio, n-sfero estas difinita kiel spaco homeomorfa al la limo de ( n + 1) - pilko;
tiel, ĝi estas homeomorfa al la Eŭklida n-sfero, sed eble malhavanta sian metrikon.
#000048
Sfera estas paro de punktoj kun la diskreta topologio.
1-sfera estas cirklo ( ĝis homeomorfio);
tiel, ekzemple, (la bildo de) ĉiu nodo estas al 1-sfera.
2-sfera estas ordinara sfero ( ĝis homeomorfio);
tiel, ekzemple, ĉiu sferoido estas al 2-sfera.
#000049
La n-sfero estas indikita Sn .
Ĝi estas ekzemplo de kompakta topologia dukto sen limo.
Sfero ne devu esti glata;
se ĝi estas glata, ĝi ne devas esti difeomorfa al la Eŭklida sfero.
#000050
Rimarkinde, estas eble renversigi ordinaran sferon en tri-dimensia spaco kun eblaj mem-intersekciĝoj sed sen kreado de ajna faldmarko, en procezo nomita sferelvolviĝo.
#000052
La bazelementoj de Eŭklida ebena geometrio estas punktoj kaj linioj.
Sur la sfero, punktoj estas difinitaj en la kutima signifo.
La analogo de la "linio" estas la geodezia, kio estas ĉefcirklo;
la difina karakterizaĵo de ĉi-lasta estas ke la aviadilo enhavanta ĉiujn siajn punktojn ankaŭ enirpermesiloj tra la centro de la sfero.
Mezurado de arklongo montras ke la plej mallonga pado inter du punktoj kuŝantaj tute sur la sfero estas segmento de la ĉefcirklo kiu inkludas la punktojn.
#000053
Multaj teoremoj de klasika geometrio tenas veraj por sferogeometrio ankaŭ, sed ne ĉiuj faras ĉar la sfero ne kontentigas kelkajn el la postulatoj de klasika geometrio, inkluzive de la paralela postulato.
En sfera trigonometrio, anguloj estas difinitaj inter ĉefcirkloj.
Tiel sfera trigonometrio devias de ordinara trigonometrio en multaj rilatoj.
Ekzemple, la sumo de interno-perspektivoj de sfera triangulo superas 180 gradojn.
Ankaŭ, ĉiuj du similaj sferaj trianguloj estas kongruaj.
#000054
Dek unu trajtoj de la sfero
#000055
En ilia libro Geometry and the imagination [7]
David Hilbert kaj Stephan Cohn-Vossen priskribas dek unu trajtojn de la sfero kaj ĵetdiskoj ĉu tiuj trajtoj unike determinas la sferon.
Pluraj trajtoj tenas por la aviadilo, kiu povas esti opiniita de kiel sfero kun senfina radiuso.
#000056
La unua parto estas la kutima difino de la sfero kaj determinas ĝin unike.
La dua parto povas esti facile deduktita kaj sekvas similan rezulton de Apolonio de Pergo por la cirklo.
Tiu dua parto ankaŭ tenas por la aviadilo.
#000058
Tiu posedaĵo difinas la sferon unike.
#000059
La larĝo de surfaco estas la distanco inter paroj de paralelaj klavaviadiloj.
Multaj aliaj fermitaj konveksaj surfacoj havas konstantan larĝon, ekzemple la Meissner-korpon.
La cirkonferenco de surfaco estas la cirkonferenco de la limo de sia ortogonala projekcio al aviadilo.
Ĉiu el tiuj trajtoj implicas la aliajn.
#000060
Por la sfero la kurbecoj de ĉiuj normalaj sekcioj estas egalaj, tiel ke ĉiu punkto estas umbila.
La sfero kaj aviadilo estas la nuraj surfacoj kun tiu posedaĵo.
#000063
Por antaŭfiksita normala sekcio ekzistas cirklo de kurbiĝo kiu korespondas al la sekca kurbiĝo, estas klavo al la surfaco, kaj la centrolinioj de kiuj kuŝas antaŭen sur la normala linio.
Ekzemple, la du centroj egalrilatantaj al la maksimumo kaj minimumo sekcaj kurbiĝoj estas nomitaj la fokusoj, kaj la aro de tute tiaj centroj formas la fokusan surfacon.
Por la plej multaj surfacoj la fokusa surfaco formas du tukojn kiuj estas ĉiu surfaco kaj renkontas ĉe umbilikaj punktoj.
Pluraj kazoj estas specialaj:Por kanalsurfacoj unu tuko formas kurbon kaj la alia tuko estas surfaco
Por konusoj, cilindroj, Toroj kaj ciklidus-leŭciskoj ambaŭ tukoj formas kurbojn.
Por la sfero la centro de ĉiu oskuladcirklo estas en la centro de la sfero kaj la fokusa surfaco formas ununuran punkton.
Tiu posedaĵo estas unika al la sfero.
#000064
Por antaŭfiksita normala sekcio ekzistas cirklo de kurbiĝo kiu korespondas al la sekca kurbiĝo, estas klavo al la surfaco, kaj la centrolinioj de kiuj kuŝas antaŭen sur la normala linio.
Ekzemple, la du centroj egalrilatantaj al la maksimumo kaj minimumo sekcaj kurbiĝoj estas nomitaj la fokusoj, kaj la aro de tute tiaj centroj formas la fokusan surfacon.
#000065
Por la plej multaj surfacoj la fokusa surfaco formas du tukojn kiuj estas ĉiu surfaco kaj renkontas ĉe umbilikaj punktoj.
Pluraj kazoj estas specialaj:Por kanalsurfacoj unu tuko formas kurbon kaj la alia tuko estas surfaco
Por konusoj, cilindroj, Toroj kaj ciklidus-leŭciskoj ambaŭ tukoj formas kurbojn.
Por la sfero la centro de ĉiu oskuladcirklo estas en la centro de la sfero kaj la fokusa surfaco formas ununuran punkton.
Tiu posedaĵo estas unika al la sfero.
#000066
Por kanalsurfacoj unu tuko formas kurbon kaj la alia tuko estas surfaco
Por konusoj, cilindroj, Toroj kaj ciklidus-leŭciskoj ambaŭ tukoj formas kurbojn.
Por la sfero la centro de ĉiu oskuladcirklo estas en la centro de la sfero kaj la fokusa surfaco formas ununuran punkton.
Tiu posedaĵo estas unika al la sfero.
#000067
Geodesics estas kurboj sur surfaco kiuj donas la plej mallongan distancon inter du punktoj.
Ili estas ĝeneraligo de la koncepto de aerlinio en la aviadilo.
Por la sfero la geodesics estas ĉefcirkloj.
Multaj aliaj surfacoj dividas tiun posedaĵon.
#000068
Tiuj trajtoj difinas la sferon unike kaj povas esti viditaj en sapvezikoj: sapveziko enfermos fiksan volumenon, kaj surfaca tensio minimumigas sian surfacareon por tiu volumeno.
Libere ŝveba sapveziko tial alproksimiĝas al sfero (kvankam tiaj eksteraj fortoj kiam gravito faras iomete distordi la formon de la veziko).
#000069
La averaĝa kurbiĝo estas la mezumo de la du ĉefkurbiĝoj, kio estas konstanta ĉar la du ĉefkurbiĝoj estas konstantaj ĉiupunkte de la sfero.
#000070
La sfero estas la nura plantita surfaco al kiu mankas limo aŭ neordinaraĵoj kun konstanta pozitiva averaĝa kurbiĝo.
Aliaj tiaj mergitaj surfacoj kiel minimumaj surfacoj havas konstantan averaĝan kurbiĝon.
#000071
Gaŭsiana kurbiĝo estas la produkto de la du ĉefkurbiĝoj.
Estas interna posedaĵo kiu povas esti determinita per mezuranta longo kaj anguloj kaj estas sendependa de kiel la surfaco estas enkonstruita en spaco.
Tial, fleksi surfacon ne ŝanĝos la Gaussian-kurbiĝon, kaj aliaj surfacoj kun konstantopozitiva Gaŭsian kurbiĝo povas esti akiritaj tranĉante malgrandan fendon en la sfero kaj fleksante ĝin.
Ĉiuj tiuj aliaj surfacoj havus limojn, kaj la sfero estas la nura surfaco al kiu mankas limo kun konstanto, pozitiva Gaŭsian kurbiĝo.
La pseŭdosfero estas ekzemplo de surfaco kun konstanta negativa Gaŭsian kurbiĝo.
#000072
Rotacii ĉirkaŭ iu akso unuoblan pilkon ĉe la origino mapos la sferon sur si mem.
Ĉiu rotacio ĉirkaŭ linio tra la origino povas esti esprimita kiel kombinaĵo de rotacioj ĉirkaŭ la tri-kunordigita akso (vidu Euler-angulojn).
Tial, tri-parametra familio de rotacioj ekzistas tia ke ĉiu rotacio transformas la sferon sur si mem;
tiu familio estas la turnada grupo TIEL (3).
La aviadilo estas la nura alia surfaco kun tri-parametra familio de transformoj (tradukoj laŭ la x kaj ipsilonakso kaj rotacioj ĉirkaŭ la origino).
Cirklaj cilindroj estas la nuraj surfacoj kun du-parametraj familioj de rigidaj moviĝoj kaj la surfacoj de revolucio kaj helikoidoj estas la nuraj surfacoj kun unu-parametra familio.
#000073
(aprilo 2012) Por ĉiu sfero ekzistas multoblaj kvadroj kiuj povas esti gravuritaj ene de la sfero.
La plej granda kvadro kiu povas esti gravurita ene de sfero estas kubo.
#000074
Sfera helico, klavindicatriks de kurbo de konstanta precesio
#000075
En geometrio, sfero aŭ n-sfero aŭ hipersfero estas (n+1)-dimensia dukto, hipersurfaco, aro de punktoj de (n+1)-dimesia spaco kies distanco al fiksita punkto de tiu spaco (centro) egalas al r, kiu estas fiksita pozitiva reela nombro, la radiuso de la sfero.
#000079
La plej kutima estas 2-dimensia sfero, pilko- respektive globoforma kava objekto, surfaco, kiu estas formata de ĉiuj da la punktoj egaldistance for centra punkto en tridimensia spaco. Tiel, in eŭklida geometrio, ĝi estas punktaro en R3, kie estas for distanco r de fiksita punkto de tiu spaco, kaj r estas pozitiva reela nombro nomata kiel la radiuso de la sfero. La fiksata punkta estas nomata la centro, kaj ne estas parto de la sfero mem. La speciala sfero, kiu havas r = 1, estas nomata kiel unuobla sfero.
#000080
En 3-dimensiajn karteziaj koordinatoj sfero kun centro (x0, y0, z0) kaj radiuso r estas surfaco donita per jena implica ekvacio, aŭ alivorte ĝi konsistas el ĉiuj punktoj (x, y, z) tiaj ke
#000082
Parametra difino de la sama sfero estas
#000083
x = x0 + r cos φ sin θ
#000085
y = y0 + r sin φ sin θ
#000086
Fakte limigoj de ŝanĝo de φ povas esti elektitaj alie. Por ĉiu φ0 povas esti elektite ke φ0 < φ < φ0+2π kaj rezultas la sama sfero; ofta varianto estas φ0 = −π.
#000087
Sfero de ajna radiuso estas surfaco difinita per jena diferenciala formo:
#000088
kie · estas skalara produto de vektoroj. Ĉi tiu ekvacio respektivas al tiu fakto ke rapido de punkto moviĝanta laŭ la sfero estas ĉiam perpendikulara al la radiusa vektoro. Tiel obeante la ekvacion kaj komenciĝante je iu radiuso de la centro, punkto povas veni al ĉiu punkto sur la sfero de la radiuso, sed ne povas veni al punkto sur samcentra sfero de la alia radiuso.
#000089
Por kutima 2-sfero de radiuso r la surfaca areo estas
#000090
kaj la volumeno ene de sfero - volumeno de pilko kies rando estas la sfero - estas
#000091
Por n-sfero de radiuso r hiperareo A estas
#000092
kie Γ estas la Γ funkcio, aŭ
#000093
Se m estas dimensio de spaco en kiu estas la n-sfero, m = n + 1, la formuloj povas esti skribitaj kiel
#000095
Sfero povas esti konstruita topologie simile al la aliaj konataj surfacoj.
#000096
Startu de kvadrato kaj tiam gluu kune respektivajn kolorigitajn randoj, tiel ke la sagoj kongruu. Sfero povas esti prezentita kiel kvocienta spaco, unuobla kvadrato ( [0,1] × [0,1] ) kun flankoj identigitaj jene:
#000097
Noto ke ĉi tio estas abstrakta gluado en topologia senco.
#000098
Ĉi tiu kvadrato estas fundamenta plurlatero de sfero.
#000099