La tensoro rilatigas unu-longan direktovektoron n al la stresvektoro T ( n) trans imaga surfaco perpendikulara al n:
#000001
La SI-unuoj de kaj strestensoro kaj stresvektoro estas [N/m^2], egalrilatante al la Stresskalaro.
La unuobla vektoro estas sendimensia.
#000002
La Cauchy-strestensoro obeas la tensoran transformleĝon sub ŝanĝo en la koordinatsistemo.
Grafika reprezentado de tiu transformleĝo estas la cirklo de la Mohr por streso.
#000003
La Cauchy-strestensoro estas uzita por stresanalizo de materialkorpoj spertantaj malgrandajn deformadojn: Ĝi estas centra koncepto en la linia teorio de elasteco.
Grandaj deformadoj, ankaŭ postulis finhavaj deformadoj, aliaj iniciatoj de streso estas postulataj, kiel ekzemple la Piola-Kirchhoff-strestensoro, la Biot-strestensoro, kaj la Kirchhoff-strestensoro.
#000004
Laŭ la principo de konservado de linia impeto, se la kontinuumkorpo estas en senmova ekvilibro ĝi povas esti montrita ke la komponentoj de la Cauchy emfazas ke tensoro en ĉiu materiala punkto en la korpo kontentigas la ekvilibrekvaciojn ( la ekvacioj de Cauchy de moviĝo por nul akcelado).
En la sama tempo, laŭ la principo de konservado de angula movokvanto, ekvilibro postulas ke la sumigo de momentoj kun respekto al arbitra punkto estas nul, kiu kaŭzas la konkludon ke la strestensoro estas simetria, tiel havante nur ses sendependajn streskomponentojn, anstataŭe de la origina naŭo.
#000005
Ekzistas certaj Invariantoj asociitaj kun la strestensoro, kies valoroj ne dependas sur la koordinatsistemo elektita, aŭ la areelemento sur kiu la strestensoron funkciigas.
Tiuj estas la tri Eigen-valoroj de la strestensoro, kiuj estas nomitaj la ĉefstresoj.
#000006
La fundamenta lemo de Cauchy
#000008
La unua leĝo de Cauchy de moviĝo
La dua leĝo de Cauchy de moviĝo
#000009
Sekvante la klasikan dinamikon de Neŭtono kaj Euler, la decidpropono de materialkorpo estas produktita per la ago de ekstere aplikataj fortoj kiuj estas supozitaj esti de du specoj:
#000010
Nur-surfacfortoj estos diskutitaj en tiu artikolo kiam ili estas signifaj al la Cauchy-strestensoro.
#000011
Aparte, la kontaktoforto ricevas per
#000012
La stresprincipo de Cauchy asertas [6] :
En specifaj kampoj de kontinumekanikoj la parstreso estas supozita ne malaperi;
tamen, klasikaj branĉoj de kontinumekanikoj traktas ne-polusajn materialojn kiuj ne pripensas parstresojn kaj korpmomentojn.
#000013
Tiu ekvacio signifas ke la stresvektoro dependas de sia loko en la korpo kaj la orientiĝo de la aviadilo sur kiu ĝi estas intertempa.
#000014
unu normala al la aviadilo, nomite normala streso
#000015
kaj la alia paralela al tiu aviadilo, nomita la ŝera ŝarĝado
#000016
La ŝera ŝarĝado povas esti plue malkonstruita en du reciproke perpendikularajn vektorojn.
#000017
Sekvo de la postulato de Cauchy estas Cauchy's Fundamental Lemma, [1] [7] [11] ankaŭ nomita la Cauchy-reciproka teoremo, [12] :
p.103-130 kiu deklaras ke la stresvektoroj reagantaj al kontraŭaj flankoj de la sama surfaco estas egalaj en magnitudo kaj kontraŭaj en direkto.
La fundamenta lemo de Cauchy estas ekvivalenta al tria leĝo de Newton. de moviĝo de ago kaj reago, kaj estas esprimita kiel
#000018
La stresteoremo de Cauchy - stresootensoro
#000019
La stato de streso ĉe punkto en la korpo tiam estas difinita je ĉiuj stresvektoroj T ( n) asociita kun ĉiuj ebenoj (senfinaj en nombro) kiuj pasas tra tiu punkto.
Tamen, laŭ la bazteoremo de Cauchy, [11] ankaŭ nomita la stresteoremo de Cauchy, [1] simple sciante la stresvektorojn sur tri reciproke perpendikularaj ebenoj, la stresvektoro sur iu alia ebeno pasanta tra tiu punkto povas esti trovita tra kunordigi transformekvaciojn.
#000020
La stresteoremo de Cauchy deklaras ke tio tie ekzistas duaordan tensorkampon σ ( x, t), nomita la Cauchy-strestensoro, sendependa de n, tia ke T estas lineara funkcio de n:
#000021
Tiu ekvacio implicas ke la stresvektoro T ( n) ĉe iu punkto P en kontinuumo asociita kun ebeno kun normala unuobla vektoro n povas esti esprimita kiel funkcio de la stresvektoroj sur la ebenoj perpendikularaj al la kunordigitaj aksoj, t.e. laŭ la komponent σij de la strestensoro σ.
#000022
Pruvi tiun esprimon, pripensi tetraedron kun tri vizaĝoj orientitaj en la kunordigitaj ebenoj, kaj kun infinitezimala areodA orientite en arbitra direkto precizigita per normala unuobla vektoro n (figuro 2.2).
La tetraedro estas formita tranĉaĵigante la infinitezimalan elementon laŭ arbitra ebeno n.
La stresvektoro sur tiu ebeno estas indikita je T ( n).
La stresvektoroj reagantaj al la vizaĝoj de la tetraedro estas indikitaj kiel T ( e 1), T ( e 2), kaj T ( e 3), kaj estas de difino la komponent σij de la strestensoro σ.
Tiu tetraedro foje estas nomita la Cauchy-tetraedro.
La ekvilibro de fortoj, t.e. la unua leĝo de Euler de moviĝo (dua leĝo de Newton de moviĝo), donas:
#000023
kie la dekstra mano-flanko reprezentas la produkton de la maso enfermita per la tetraedro kaj ĝia akcelado:
ρ estas la denseco, estas la akcelado, kaj h estas la alteco de la tetraedro, konsiderante la aviadilon n la bazon.
La areo de la vizaĝoj de la tetraedro perpendikulara al la aksoj povas esti trovita projekciante dA en ĉiun vizaĝon (uzante la skalarprodukton):
#000024
kaj tiam anstataŭigante en la ekvacion por ĉesigi dA:
#000025
Por pripensi la limigan kazon kiam la tetraedro ŝrumpas al punkto, h devas iri al 0 (intuicie, la aviadilo n estas tradukita laŭ n direkte al O).
Kiel rezulto, la dekstra mano-flanko de la ekvacio aliras 0, tiel
#000026
Supozante materialan elementon (figuro 2.3) per ebenoj perpendikularaj al la kunordigitaj aksoj de karteza koordinatsistemo, la stresvektoroj asociitaj kun ĉiu el la elementebenoj, t.e. T ( e 1), T ( e 2), kaj T ( e 3) povas esti malkonstruitaj en normalan komponenton kaj du tondas komponentojn, t.e. komponentojn en la direkto de la tri kunordigitaj aksoj.
Por la speciala kazo de surfaco kun normala unuobla vektoro orientite en la direkto de la x 1-aksa, indikas la normalan streson de σ 11, kaj la du tondo substrekas kiel σ 12 kaj σ 13:
#000027
La naŭ komponent σij de la stresvektoroj estas la komponentoj de duaorda karteza tensoro nomita la Cauchy-strestensoro, per kiu tute difinas la staton de streso ĉe punkto kaj ricevas
#000028
kie σ 11, σ 22, kaj σ 33 estas normalaj stresoj, kaj σ 12, σ 13, σ 21, σ 23, σ 31, kaj σ 32 estas ŝeraj ŝarĝadoj.
La unua indekso I indikas ke la streso reagas al ebeno normala al la Xi - akso, kaj la dua indekso j indikas la direkton en kiu la streso agas (Ekzemple, σ12 implicas ke la streso reagas al la ebeno kiu estas normala al la unua akso t.e.;
X 1 kaj agoj laŭ la dua akso t.e.;
Streskomponento estas pozitiva se ĝi agas en la pozitiva direkto de la kunordigitaj aksoj, kaj se la ebeno kie ĝi agas havas trans normalan vektoron indikantan en la pozitiva kunordigita direkto.
#000029
Tiel, uzante la komponentojn de la strestensoro
#000030
Alternative, en matricformularo ni havas
#000031
La Voigt-notacio reprezentado de la Cauchy-strestensoro ekspluatas la simetrion de la strestensoro por esprimi la streson kiel ses-dimensia vektoro de la formo:
#000032
La Voigt-notacio estas utiligita grandskale en reprezentado de stres-trostreĉiĝaj rilatoj en solida mekaniko kaj por komputila efikeco en nombra struktura mekaniksoftvaro.
#000033
Povas esti montrite ke la strestensoro estas kontraŭvariaĵo dua-orda tensoro, kiu estas deklaro de kiel ĝi transformas sub ŝanĝo de la koordinatsistemo.
De xi - sistemo ĝis ksi - sistemo, la komponentoj kiujn σij en la komenca sistemo estas transformita en la komponentσij estas estas en la nova sistemo laŭ la tensora transformregulo (figuro 2.4):
#000034
kie A estas rotaciomatrico kun komponent aij .
#000035
Vastigi la matricoperacion, kaj simpligi esprimojn uzantajn la simetrion de la strestensoro, donas
#000036
La Mohr-cirklo por streso estas grafika reprezentado de tiu transformo de stresoj.
#000037
La signifo de la normala streskomponento σ n de iu stresvektoro T ( n) reaganta al arbitra ebeno kun normala unuobla vektoro n ĉe antaŭfiksita punkto, laŭ la komponent σij de la strestensoro σ, estas la skalarprodukto de la stresvektoro kaj la normala unuobla vektoro:
#000038
La signifo de la ŝerŝarĝada komponento τ n, aganta ortogonala al la vektoro n, tiam povas esti trovita utiliganta la pitagorean teoremon:
#000039
Ekvilibroleĝoj - la ekvacioj de Cauchy de moviĝo
#000040
La unua leĝo de Cauchy de moviĝo
#000041
Laŭ la principo de konservado de linia impeto, se la kontinuumkorpo estas en senmova ekvilibro ĝi povas esti montrita ke la komponentoj de la Cauchy emfazas ke tensoro en ĉiu materiala punkto en la korpo kontentigas la ekvilibrekvaciojn.
#000042
Ekzemple, por hidrostatika likvaĵo en ekvilibrokondiĉoj, la strestensoro akceptas la formon:
#000043
Utiligi la diverĝencan teoremon de la Gauss por transformi surfacon integritan al volumeno integrita donas
Por arbitra volumeno la integralo malaperas, kaj ni havas la ekvilibrekvaciojn
#000044
Utiligi la diverĝencan teoremon de la Gauss por transformi surfacon integritan al volumeno integrita donas
#000045
Por arbitra volumeno la integralo malaperas, kaj ni havas la ekvilibrekvaciojn
#000046
Laŭ la principo de konservado de angula movokvanto, ekvilibro postulas ke la sumigo de momentoj kun respekto al arbitra punkto estas nul, kiu kaŭzas la konkludon ke la strestensoro estas simetria, tiel havante nur ses sendependajn streskomponentojn, anstataŭe de la origina naŭo:
#000047
Derivaĵo de simetrio de la strestensoro
Sumigante momentojn koncerne punkton O (figuro 4) la rezulta momento estas nul kiam la korpo estas en ekvilibro.
La dua integralo estas nul kiam ĝi enhavas la ekvilibrekvaciojn.
Por arbitra volumo V, ni tiam havas
kiu estas kontentigita ĉe ĉiu punkto ene de la korpo.
Vastigante tiun ekvacion ni havas
Tio pruvas ke la strestensoro estas simetria
#000048
La dua integralo estas nul kiam ĝi enhavas la ekvilibrekvaciojn.
#000049
Por arbitra volumo V, ni tiam havas
#000050
kiu estas kontentigita ĉe ĉiu punkto ene de la korpo.
Vastigante tiun ekvacion ni havas
#000051
Tio pruvas ke la strestensoro estas simetria
#000052
Tamen, en la ĉeesto de paro-stresoj, t.e. momentoj per unuovolumeno, la strestensoro estas ne-simetria.
#000053
La tri stresnormalo al tiuj ĉefebenoj estas nomita ĉefstresoj.
#000054
Vastigi la determinanton kondukas al la karakteriza ekvacio
#000056
La Eigen-valoroj estas la radikoj de la karakteriza ekvacio.
La ĉefstresoj estas unikaj por antaŭfiksita strestensoro.
#000057
Tiuj solvoj estas la ĉefindikoj aŭ ajgenvektoroj difinantaj la ebenon kie la ĉefstresoj agas.
La ĉefstresoj kaj ĉefindikoj karakterizas la streson ĉe punkto kaj estas sendependaj de la orientiĝo.
#000058
Koordinatsistemo kun aksoj orientite en la ĉefindikojn implicas ke la normalaj stresoj estas la ĉefstresoj kaj la strestensoro estas reprezentita per diagonala matrico:
#000059
La unua kaj tria Invarianto estas la spuro kaj determinanto respektive, de la strestensoro.
#000060
Pro ĝia simpleco, la ĉefa koordinatsistemo ofte estas utila dum pripensado de la stato de la elasta medio ĉe speciala punkto.
Ĉefstresoj ofte estas esprimitaj en la sekva ekvacio por analizado de stresoj en la x kaj y-indikoj aŭ aksaj kaj fleksado de emfazoj sur parto.
kiun p.58-59 kiun La ĉefnormalo substrekas povas esti uzita por kalkuli la von Mises-streson kaj finfine la sekurfaktoron kaj marĝenon de sekureco.
#000061
Uzi ĵus la parton de la ekvacio sub la kvadrata radiko estas egala al la maksimumo kaj minimuma ŝera ŝarĝado por kaj plie kaj minuso.
#000062
Maksimumo kaj minimuma tondo substrekas
#000063
La maksimumo-ŝerŝarĝado estas esprimita kiel
#000064
Egala al kiam la strestensoro estas ne- nul la normalstreskomponento reaganta al la ebeno ĉar la maksimumo ŝera ŝarĝado estas ne-nulaj kaj ĝi estas
#000065
Tio estas limigita maksimumigigproblemo, kiu povas esti solvita uzante la Lagrangianan multiplikat teknikon por konverti la problemon en senafektan Optimumigproblemon.
#000067
La Lagrangiana funkcio por tiu problemo povas esti skribita kiel
#000068
La ekstremaj valoroj de tiuj funkcioj estas
#000069
Aldonante tiujn tri ekvaciojn ni venas
#000070
tiu rezulto povas esti anstataŭigita en ĉiu el la unuaj tri ekvacioj se temas pri akiri
#000071
Farante la saman por la aliaj du ekvacioj ni havas
#000072
Tiel, unu aro de solvoj por tiuj kvar ekvacioj estas:
#000073
kaj ĝi povas esti deklarita kiel estante egala al duono la diferenco inter la plej granda kaj plej malgranda rektoro substrekas, reagante al la ebeno kiu bisekcas la angulon inter la indikoj de la plej granda kaj plej malgranda rektoro substrekas.
#000074
La deviatora strestensoro povas esti akirita subtrahante la hidrostatikan strestensoron de la Cauchy-strestensoro:
#000075
Ĉar ĝi estas dua-orda tensoro, la stresdevianttensoro ankaŭ havas aron de Invariantoj, kiuj povas esti akiritaj uzante la saman proceduron kutimis kalkuli la Invariantojn de la strestensoro.
Tiel, la karakteriza ekvacio estas
#000076
Iliaj valoroj estas la samaj (senvariaj) nekonsiderante la orientiĝo de la koordinatsistemo elektita.
#000077
Kvanto nomita la ekvivalentostreso aŭ von Mises-streso estas ofte uzita en solida mekaniko.
La ekvivalenta streso estas difinita kiel
#000078
Ekzistas totalo de ok oktahedraj ebenoj (figuro 6).
Oktahedra ebeno pasanta tra la origino estas konata kiel la π-aviadilo ( π malsama al averaĝa streso indikita per π en supra sekcio) .
#000079
Sciante ke la strestensoro de punkto O (figuro 6) en la ĉefaksoj estas
#000080
la stresvektoro sur oktahedra aviadilo tiam estas donita per:
#000081
La normala komponento de la stresvektoro ĉe punkto O asociita kun la oktahedra ebeno estas
#000082
kiuj estas la averaĝa normala streso aŭ hidrostatika streso.
Tiu valoro estas la sama en ĉiuj ok oktahedraj ebenoj.
La ŝera ŝarĝado sur la oktahedra ebeno tiam estas
#000083
kunvarianco kaj kontraŭvarianco de vektoroj
#000085