Karteza koordinatsistemo estas koordinatsistemo kiu precizigas ĉiun punkton unike en aviadilo de paro de nombraj koordinatoj, kiuj estas la subskribitaj distancoj al la punkto de du fiksajn perpendikularajn direktitajn liniojn, mezuritajn en la sama longecunuo.
Ĉiu referenclinio estas nomita kunordigita akso aŭ ĵus akso (pluralo aksoj) de la sistemo, ke kaj la punkto kie ili renkontas estas ĝia origino , ĉe orda duopo (0, 0).
La koordinatoj ankaŭ povas esti difinitaj kiel la pozicioj de la perpendikularaj projekcioj de la punkto sur la du aksoj, esprimitaj kiel subskribitaj distancoj de la origino.
#000001
Oni povas uzi la saman principon por precizigi la pozicion de iu punkto en tri-dimensia spaco de tri kartezaj koordinatoj, ĝiaj subskribitaj distancoj al tri reciproke perpendikularaj aviadiloj (aŭ, ekvivalente, de ĝia perpendikulara projekcio sur tri reciproke perpendikularaj linioj).
Ĝenerale, n kartezaj koordinatoj (elemento de reala n-spaco ) precizigas la punkton en n-dimensia
Eŭklida spaco por iu dimensio n.
Tiuj koordinatoj estas egalaj, por registriĝi, al distancoj de la punkto ĝis n reciproke perpendikularaj hiperebenoj.
#000002
La invento de kartezaj koordinatoj en la 17-a jarcento de René Descartes ( Latinigita nomo:
Cartesius) revoluciigita matematiko per disponigado de la unua sistema ligo inter eŭklida geometrio kaj algebro.
Uzante la kartezan koordinatsistemon, geometriaj formoj (kiel ekzemple kurboj) povas esti priskribitaj per kartezaj ekvacioj: algebraj ekvacioj implikantaj la koordinatojn de la punktoj kuŝante sur la formo.
Ekzemple, cirklo de radiuso 2, centris ĉe la origino de la aviadilo, povas esti priskribita kiel la aro de ĉiuj punktoj kies koordinatojn x kaj y kontentigas la ekvacion x 2 + y 2 = 4.
#000003
Kartezaj koordinatoj estas la fundamento de analitika geometrio, kaj disponigas lumigantajn geometriajn interpretojn por multaj aliaj branĉoj de matematiko, kiel ekzemple lineara algebro, kompleksa analitiko, diferenciala geometrio, multivariate kalkulado, teorion de grupoj kaj pli.
Konata ekzemplo estas la koncepto de la grafikaĵo.
Kartezaj koordinatoj ankaŭ estas esencaj iloj por la plej multaj aplikataj disciplinoj kiuj traktas geometrion, inkluzive de astronomio, fizikoj, inĝenieristiko kaj multaj pli.
Ili estas la plej ofta koordinatsistemo uzita en komputila grafiko, komputil-helpitgeometria dezajno kaj alia geometri-rilata datumtraktado.
#000004
5 Ĝenerala matricformularo de la transformoj
#000006
La adjektivo karteza rilatas al la franca matematikisto kaj filozofo René Descartes kiu publikigis tiun ideon en 1637.
Ĝi estis sendepende malkovrita fare de Pierre de Fermat, kiu ankaŭ laboris en tri dimensioj, kvankam Fermat ne publikigis la eltrovaĵon.
La franca kleriko Nikolao de Oresme, utiligis konstruojn similajn al kartezaj koordinatoj bone antaŭ la tempo de Descartes kaj Fermat.
#000007
Kaj Descartes kaj Fermat uzis ununuran akson en iliaj traktadoj kaj havi variablo-longan alĝustigis en referenco al tiu akso.
La koncepto de uzado de paro de aksoj poste, post kiam La Géométrie de Descartes estis tradukita en la latinan en 1649 fare de Frans van Schooten kaj liaj studentoj estis lanĉita.
Tiuj komentistoj lanĉis plurajn konceptojn provante klarigi la ideojn enhavitajn en la laboro de Descartes.
#000008
La evoluo de la karteza koordinatsistemo ludus fundamentan rolon en la evoluo de la Kalkulado de Isaac Newton kaj Gottfried Wilhelm Leibniz.
La du-kunordigita priskribo de la aviadilo poste estis ĝeneraligita en la koncepton de vektoraj spacoj.
#000009
Multaj aliaj koordinatsistemoj estis evoluigitaj ekde Descartes, kiel ekzemple la polaraj koordinatoj por la aviadilo, kaj la sferaj kaj cilindraj koordinatoj por tri-dimensia spaco.
#000010
Elekti kartezan koordinatsistemon por unu-dimensia regiono - t.e., por aerlinio - implikas elekti punkton O de la linio (la origino), longecunuon, kaj orientiĝon por la linio.
Orientiĝo elektas kiu de la du duon-linioj determinitaj per O estas la pozitivo, kaj kiu estas negativa;
ni tiam diru ke la linio "estas orientita" (aŭ "indikas") de la negativo duono direkte al la pozitiva duono.
Tiam ĉiu punkto P de la linio povas esti precizigita memstare distanco de O, manĝita kun + aŭ − signo depende de kiu duon-linio enhavas P.
#000011
Linio kun elektita karteza sistemo estas nomita numero-linio.
Ĉiu reala nombro havas unikan lokon sur la linio.
Inverse, ĉiu punkto sur la linio povas esti interpretita kiel nombro en ordigita kontinuumo kiel ekzemple la realaj nombroj.
#000012
La karteza koordinatsistemo en du dimensioj (ankaŭ nomitaj rektangula koordinatsistemo aŭ ortogonala koordinatsistemo [5] ) estas difinita fare de orda duopo de perpendikularaj linioj (aksoj), ununura longecunuo por kaj aksoj, kaj orientiĝo por ĉiu akso.
(Frue sistemoj permesis al oblikvaj" aksoj, t.e., aksojn kiuj ne renkontis laŭ ortoj.
La linioj estas ofte referitaj kiel la x- kaj ipsilonaksoj kie la absciso estas prenita por esti horizontala kaj la ipsilonakso estas prenita por esti vertikala.
La punkto kie la aksoj renkontas estas prenita kiel la origino por ambaŭ, tiel iĝante ĉiun akson numero-linio.
Por antaŭfiksita punkto P, linio estas kreita tra P perpendikulara al la absciso por renkonti ĝin ĉe X kaj dua linio estas kreita tra P perpendikulara al la ipsilonakso por renkonti ĝin ĉe Y.
La koordinatoj de P tiam estas Xa kaj Y interpretis kiel numeroj x kaj y sur la ekvivalentaj numero-linioj.
La koordinatoj estas skribitaj kiel orda duopo ( x, y).
#000013
La punkto kie la aksoj renkontas estas la komuna origino de la du numero
Ĝi ofte estas etikedita O kaj se tiel tiam la aksoj estas nomitaj Virbovo kaj Oy.
Aviadilo kun x- kaj ipsilonaksoj difinitaj ofte estas referita kiel la karteza aviadilo aŭ xy-aviadilo.
La valoro de x estas nomita la x-koordinato aŭ absciso kaj la valoro de y estas nomitaj la y-koordinato aŭ ordinato .
#000014
La elektoj de leteroj venas de la origina kongreso, kio devas uzi ĉi-lastan parton de la alfabeto por indiki nekonatajn valorojn.
La unua parto de la alfabeto kutimis indiki konatajn valorojn.
#000015
En la karteza aviadilo, referenco foje estas farita al trigonometria cirklo aŭ unuohiperbolo.
#000016
Elekti kartezan koordinatsistemon por tri-dimensia spaco intencas elekti ordigitan trinasktion de linioj (aksoj) kiuj estas par-maniero perpendikularaj, havas ununuran longecunuon por ĉiuj tri aksoj kaj havas orientiĝon por ĉiu akso.
Kiel en la dudimensia kazo, ĉiu akso iĝas numero-linio.
La koordinatoj de punkto P akiriĝas kreante linion tra P perpendikularaj al ĉiu kunordigita akso, kaj legante la punktojn kie tiuj linioj renkontas la aksojn kiel tri nombroj da tiuj numero-linioj.
#000018
Alternative, la koordinatoj de punkto P ankaŭ povas esti prenitaj kiel la (subskribite) distancoj de P ĝis la tri ebenoj difinitaj per la tri aksoj.
Se la aksoj estas nomitaj x, y, kaj z, tiam la x-koordinato estas la distanco de la ebeno difinita per la y- kaj z-akso.
La distanco estas prenota kun la + aŭ − signo, depende de kiu de la du duon-spacoj apartigitaj per tiu ebeno enhavas P.
La y- kaj z-koordinato povas esti akiritaj en la saman vojon de la xz- kaj xy-aviadiloj respektive.
#000019
Eŭklida aviadilo kun elektita karteza sistemo estas nomita karteza aviadilo.
Ĉar kartezaj koordinatoj estas unikaj kaj ne-ambiguaj, la punktoj de karteza aviadilo povas esti identigitaj kun paroj de realaj nombroj;
#000020
La koncepto de kartezaj koordinatoj ĝeneraligas permesi aksojn kiuj ne estas perpendikularaj al unu la alian, kaj/aŭ malsamaj unuoj laŭ ĉiu akso.
En tiu kazo, ĉiu koordinato akiriĝas projekciante la punkton sur unu akso laŭ direkto kiu estas paralela al la alia akso (aŭ, ĝenerale, al la hiperebeno difinita per ĉiuj aliaj aksoj).
En tia oblikva koordinatsistemo la komputadoj de distancoj kaj anguloj devas esti modifitaj de tio en normaj kartezaj sistemoj, kaj multaj normaj formuloj (kiel ekzemple la pitagorea formulo por la distanco) ne tenas (vidas afinan ebenon).
#000021
La kartezaj koordinatoj de punkto estas kutime skribitaj en krampoj kaj apartigitaj per komoj, kiel en (10, 5) aŭ (3, 5, 7).
La origino ofte estas etikedita kun la majusklo O.
En analitika geometrio, nekonataj aŭ senmarkaj koordinatoj ofte estas indikitaj per la leteroj ( x, y) en la aviadilo, kaj ( x, y, z) en tri-dimensia spaco.
Tiu kutimo venas de kongreso de algebro, kiel ekzemple kiu utiligas leterojn proksime de la fino de la alfabeto por nekonataj valoroj (estis la koordinatoj de punktoj en multaj geometriaj problemoj), kaj leterojn proksime de la komenco por antaŭfiksitaj kvantoj.
#000022
Tiuj konvenciaj nomoj ofte estas utiligitaj en aliaj domajnoj, kiel ekzemple fiziko kaj inĝenieristiko, kvankam aliaj leteroj povas esti utiligitaj.
Ekzemple, en grafeo montranta kiel premo varias laŭ tempo, la grafeokoordinatoj povas esti indikitaj p kaj t.
Ĉiu akso estas kutime nomita laŭ la koordinato kiu estas mezurita laŭ ĝi;
tiel oni diras la abscison, la ipsilonakson, la t-akso, ktp.
#000023
Alia komuna kongreso por kunordigita nomado devas uzi indeksojn, kiel ( x 1, x 2
x n ) por la n kunlaboras en n-dimensia spaco, aparte kiam n estas pli bonega ol 3 aŭ nespecifita.
Kelkaj verkintoj preferas la numeradon ( x 0, x 1
Tiuj notacioj estas aparte favoraj en komputilprogramado: stokante la koordinatojn de punkto kiel aro, anstataŭe de rekordo, la indekso povas helpi indeksi la koordinatojn.
#000024
En matematikaj ilustraĵoj de dudimensiaj kartezaj sistemoj, la unua koordinato (tradicie nomita la absciso) estas mezurita laŭ absciso, orientita de maldekstre dekstren.
La dua koordinato (la ordinato) tiam estas mezurita laŭ y-akso, kutime orientite de fundo ĝis pinto.
Junaj infanoj lernante la kartezan sistemon, ofte lernas la ordonon legi la valorojn antaŭ cementado de la x, y, z-aksookonceptoj, per komencado kun 2D mnemonikoj (ekz. "Piediro laŭ laj halo tiama supren laŭ la ŝtuparoj" simila al rektaĵo laŭlarĝe la absciso tiam supren vertikale laŭ la ipsilonakso).
#000025
Komputilgrafikoj kaj prilaboro de bildoj, aliflanke, ofte uzas koordinatsistemon kun la ipsilonakso orientita malsupren sur la komputilekranon.
Tiu kongreso evoluigita en la 1960-aj jaroj (aŭ pli frue) de la maniero kiel en kiu bildoj estis origine stokitaj en ekranbufroj.
#000026
Por tridimensiaj sistemoj, kongreso devas portreti la xy-aviadilon horizontale, kun la z-akso aldonita por reprezenti altecon (pozitivan supren).
Krome, ekzistas kongreso por orienti la abscison direkte al la spektanto, influita aŭ dekstren aŭ foriris.
Se diagramo ( 3D projekcio aŭ 2D perspektivdesegnaĵo) montras al la x- kaj ipsilonakson horizontale kaj vertikale, respektive, tiam la z-akso devus esti montrita indikante "for el la paĝo" direkte al la spektanto aŭ fotilo.
En tia 2D diagramo de 3D koordinatsistemo, la z-akso prezentiĝus kiel linio aŭ radio montranta malsupren kaj maldekstren aŭ malsupren kaj dekstren, depende de la supozita spektanto aŭ fotilperspektivo.
En iu diagramo aŭ ekrano, la orientiĝo de la tri aksoj, kiel tutaĵo, estas arbitra.
Tamen, la orientiĝo de la aksoj relative al unu la alian ĉiam devus observi la dekstran regulon, krom se specife deklarite alie.
Ĉiuj leĝoj de fiziko kaj matematiko supozas tiun dekstra-donit, kiu certigas konsistencon.
#000027
Por 3D diagramoj, la nomoj "absciso" kaj "ordinato" malofte estas utiligitaj por x kaj y, respektive.
Kiam ili estas, la z-koordinato foje estas nomita la aplicato.
La vortoj absciso, ordinato kaj aplicato foje estas uzitaj por rilati al kunordigitaj aksoj prefere ol la kunordigitaj valoroj.
#000028
La aksoj de dudimensia karteza sistemo dividas la aviadilon en kvar senfinajn regionojn, nomitajn kvadrantoj, [5] ĉiu saltite per du duon-aksoj.
Tiuj ofte estas numeritaj de unua ĝis 4-a kaj indikita per romiaj numeraloj: I (kie la signoj de la du koordinatoj estas +, +), II (−, +), III (−, −), kaj IV (+, −).
Kiam la aksoj estas tiritaj laŭ la matematika kutimo, la numerado iras maldekstrume komencante de supra dekstra ("nordoriente") kvadranto.
#000029
Simile, tridimensia karteza sistemo difinas dividadon de spaco en ok regionojn aŭ oktantojn, [5] laŭ la signoj de la koordinatoj de la punktoj.
La kongreso uzita por nomado de specifa oktanto devas listigi siajn signojn, ekz.
La ĝeneraligo de la kvadranto kaj oktanto al arbitra nombro da grandeco estas la ortoformiko , kaj simila noma sistemo uzas.
#000030
Kartezaj formuloj por la aviadilo
#000031
Tio estas la karteza versio de la teoremo de Pitagoro.
#000032
kiu povas esti akirita per du sinsekvaj aplikoj de la teoremo de Pitagoro.
#000033
La Eŭklidaj transformoj aŭ Eŭklidaj moviĝoj estas la ( bijektive) mapadoj de punktoj de la Eŭklida aviadilo al ili mem kiuj konservas distancojn inter punktoj.
Ekzistas kvar specoj de tiuj mapadoj (ankaŭ nomitaj izometrioj):
tradukoj, rotacioj, reflektadoj kaj glisadreflektadoj.
#000034
Traduki aron de punktoj de la aviadilo, konservante la distancojn kaj indikojn inter ili, estas ekvivalenta al aldonado de fiksa paro de nombroj (, b) al la kartezaj koordinatoj de ĉiu punkto en la aro.
Tio estas, se la originaj koordinatoj de punkto estas ( x, y), post la traduko kiun ili estos
#000035
\displaistile (la y de x,') = (x a, y b).
#000036
\displaistile y' x\sin \theta +i\kos \theta.
#000037
Se ( x, y) estas la kartezaj koordinatoj de punkto, tiam (− x, y) estas la koordinatoj de ĝia reflektado trans la dua kunordigita akso (la ipsilonakso), kvazaŭ tiu linio estus spegulo.
Same, ( x, − y) estas la koordinatoj de ĝia reflektado trans la unua kunordigita akso (la absciso).
#000038
\displaistile y' x\sin 2\theta y\coj 2\theta.
#000039
Glisadreflektado estas la kunmetaĵo de reflektado trans linio sekvita per traduko en la direkto de tiu linio.
Povas esti vidite ke la ordo de tiuj operacioj ne gravas (la traduko sekvita per la reflektado) unue povas veni.
#000040
Tiuj Eŭklidaj transformoj de la aviadilo povas ĉiuj esti priskribitaj laŭ unuforma maniero utiligante matricojn.
#000041
kie A estas 2×2 ortogonala matrico kaj b
b 1, b 2) estas arbitra orda duopo de nombroj;
#000042
Por esti ortogonala, la matrico A havendaĵo ortogonalajn vicojn kun sama Eŭklida longo de unu, t.e.,
#000043
Tio estas ekvivalenta al dirado ke A tempigas sia transmeti devas esti la identa matrico.
Se tiuj kondiĉoj ne tenas, la formulo priskribas pli ĝeneralan afinan transformon de la ebeno kondiĉe ke la determinanto de A ne estas nul.
#000044
La formulo difinas tradukon se kaj nur se A estas la identa matrico.
La transformo estas rotacio ĉirkaŭ iu punkto se kaj nur se A estas rotaciomatrico, kun la signifo tio
#000045
Reflektado aŭ glisadreflektado kiam akiriĝas,
#000046
Supozi ke traduko ne estas utiligita transformoj povas esti kombinita simple multobligante la rilatajn transformmatricojn.
#000047
Alia maniero reprezenti kunordigitajn transformojn en kartezaj koordinatoj estas tra afinaj transformoj.
En afinaj transformoj ekstra dimensio estas aldonita kaj ĉiuj punktoj ricevas valoron de 1 por tiu ekstra dimensio.
La avantaĝo de farado de tio estas tiuj punktotradukoj povas esti precizigita en la fina kolono de matrico A.
Laŭ tiu maniero, ĉiuj la eŭklidaj transformoj iĝas intertrakteblaj kiel matricpunktomultiplikoj.
La afina transformo ricevas per:
#000048
La matrico estas sur la maldekstro- kaj kolumnaj vektoroj ĉar punktokoordinatoj estas uzitaj.
#000049
Uzi afinajn transformojn multoblajn malsamajn eŭklidajn transformojn inkluzive de traduko povas esti kombinitaj simple multobligante la ekvivalentajn matricojn.
#000050
Ekzemplo de afina transformo kiu ne estas Eŭklida decidpropono ricevas per skalado.
Igi figuron pli granda aŭ pli malgranda estas ekvivalenta al multobligado de la kartezaj koordinatoj de ĉiu punkto je la sama pozitiva pli sensenta m.
Se ( x, y) estas la koordinatoj de punkto sur la origina figuro, la ekvivalenta punkto sur la skvama figuro havas koordinatojn
#000051
\displaistile (la y de x,') = (mks, mia).
#000052
Se m estas pli bonega ol 1, la figuro iĝas pli granda;
se m estas inter kaj 1, ĝi iĝas pli malgranda.
#000053
Tonda transformo puŝos la pinton de kvadrato flanken por formi paralelogramon.
Horizontala tondado estas difinita per:
#000054
Fiksado aŭ elektante la abscison determinas la ipsilonakson supren en direkto.
Nome, la ipsilonakso estas nepre la perpendikulara al la absciso tra la punkto markita 0 sur la absciso.
Sed ekzistas elekto de kiu de la du duonaj linioj sur la perpendikulara al nomumito tiel pozitiva kaj kiu kiel negativa.
Ĉiu el tiuj du elektoj determinas malsaman orientiĝon (ankaŭ nomitan handednes) de la karteza aviadilo.
#000056
La kutima maniero orienti la aksoj, kie la pozitiva absciso indikas rajton kaj la pozitiva ipsilonakso indikanta supren (kaj la absciso estanta la "unua" kaj la ipsilonakso la "dua" akso) estas konsideritaj la pozitiva aŭ norma orientiĝo, ankaŭ nomita la lertan orientiĝon.
#000057
Ofte uzita mnemoniko por difinado de la pozitiva orientiĝo estas la dekstra regulo .
Lokado iom fermiĝis dekstra sur la aviadilo kun la dikfingro indikas supren, la fingroj indikas de la absciso ĝis la ipsilonakso, en pozitive orientita koordinatsistemo.
#000058
La alia maniero orienti la aksoj sekvas maldekstramanan regulon, metante maldekstran manon sur la aviadilon kun la dikfingro indikas supren.
#000059
Dum indikado de la dikfingro for de la origino laŭ akso direkte al pozitiva, la kurbeco de la fingroj indikas pozitivan rotacion laŭ tiu akso.
#000060
Nekonsiderante la regulo uzita orienti la aksojn, rotacii la koordinatsistemon konservos la orientiĝon.
Interŝanĝi iujn ajn du aksojn inversigos la orientiĝon, sed interŝanĝi ambaŭ lasos la orientiĝon senŝanĝa.
#000061
Post kiam la x- kaj ipsilonaksoj estas precizigitaj, ili determinas la linion laŭ kiu la z-akso devus kuŝi, sed kiujn ekzistas du eblaj indikoj sur tiu linio.
La du eblaj koordinatsistemoj kiuj rezultas estas nomitaj "lertaj" kaj "maldekstramanaj".
La normorientiĝo, kie la xy-aviadilo estas horizontala kaj la z-akso indikas supren (kaj la x- kaj la ipsilonakso formas pozitive orientitan dudimensian koordinatsistemon en la xy-aviadilo se observite de supre al la xy-aviadilo) estas nomita lertaj aŭ pozitivaj.
#000062
La nomo venas de la dekstra regulo.
Se la montrofingro de la dekstra estas pinta antaŭen, la mezfingro fleksis enen laŭ orto al ĝi, kaj la dikfingro lokita laŭ orto al ambaŭ, la tri fingroj indikas la relativajn indikojn de la x-, y-, kaj z-akso en lerta sistemo.
La dikfingro indikas la abscison, la indekso fingrumas la ipsilonakson kaj la mezo fingrumas la z-akso.
Inverse, se la sama estas farita kun maldekstra mano, maldekstramanajn sistemrezultojn.
#000063
Figuro 7 prezentas maldekstron kaj lertan koordinatsistemon.
Ĉar tridimensia objekto estas reprezentita en la dudimensia ekrano, misprezento kaj ambiguecrezulto.
La akso indikanta malsupren (kaj dekstren) estas ankaŭ intencita indiki direkte al la observanto, dum la "meza" akso estas intencita indiki for de la observanto.
La ruĝa cirklo estas paralela al la horizontala xy-aviadilo kaj indikas rotacion de la absciso ĝis la ipsilonakso (en ambaŭ kazoj).
Tial la ruĝa sago pasas antaŭ la z-akso.
#000064
Figuro 8 estas alia provo ĉe prezentado de lerta koordinatsistemo.
Denove, ekzistas ambigueco kaŭzita de projekcianta la tridimensian koordinatsistemon en la aviadilon.
Multaj observantoj vidas Figure 8 kiel "ĵeti en kaj eksteren" inter konveksa kubo kaj konkava "angulo".
Tio egalrilatas al la du eblaj orientiĝoj de la koordinatsistemo.
Vidante la figuron kiel konveksaj elastecoj maldekstramana koordinatsistemo.
Tiel la "ĝusta" maniero rigardi Figure 8 devas imagi la abscison kiel indikante direkte al la observanto kaj tiel vidanta konkavan angulon.
#000065
Reprezentante vektoron en la normbazo
#000066
Punkto en spaco en karteza koordinatsistemo ankaŭ povas esti reprezentita per poziciovektoro, kiu povas esti opiniita de kiel sago indikanta de la origino de la koordinatsistemo ĝis la punkto.
En du dimensioj, la vektoro de la origino ĝis la punkto kun kartezaj koordinatoj (x, y) povas esti skribita kiel:
#000067
Ekzistas neniu natura interpreto de multobligado de vektoroj por akiri alian vektoron kiu laboras en ĉiuj grandeco, aliflanke ekzistas maniero uzi kompleksajn nombrojn por disponigi tian multiplikon.
En dudimensia karteza aviadilo, identigas la punkton kun koordinatoj ( x, y) kun la kompleksanombra z = x + I y .
Ĉi tie, mi estas la imaginara unuo kaj estas identigita kun la punkto kun koordinatoj (0, 1), tiel ke ĝi estas ne la unuobla vektoro en la direkto de la absciso.
Ĉar la kompleksaj nombroj povas esti multobligitaj donante alian kompleksan nombron, tiu identigo disponigas rimedon por "multobligi" vektorojn.
En tridimensia karteza spaco simila identigo povas esti farita kun subaro de la kvaropoj.
#000068
Kartezaj koordinatoj estas abstraktado kiuj havas amason da eblaj aplikoj en la reala mondo.
Tamen, tri helpemaj ŝtupoj estas engaĝitaj en supermetado de koordinatoj sur problemaplikaĵo.
1) trupoj de distanco devas esti deciditaj difini la spacan grandecon reprezentitan per la nombroj utiligitaj kiel koordinatoj.
2) origino devas esti asignita al specifa spaca loko aŭ orientilo, kaj 3) la orientiĝo de la aksoj devas esti difinita uzante haveblajn unudirektajn signalvortojn por ĉiuj krom unu akso.
#000069
En inĝenieristikprojektoj, interkonsento en la difino de koordinatoj estas decida fonduso.
Oni ne povas supozi ke koordinatoj veni predefineitaj por nova aplikiĝo, tiel scio pri kiel starigi koordinatsistemon kie ekzistas ke neniu estas esenca al uzado de la inĝenia pensado de René Descartes.
#000071
Dum spacaj programoj laborigas identajn unuojn laŭ ĉiuj aksoj, en komerco kaj sciencaj programoj, ĉiu akso povas havi malsamajn mezurunuojn asociita kun ĝi (kiel ekzemple kilogramoj, sekundoj, funtoj, ktp.).
Kvankam kvar- kaj higher-dimensiajn spacojn malfacilas bildigi, la algebro de kartezaj koordinatoj povas esti etendita relative facile al kvar aŭ pli da variabloj, tiel ke certaj kalkuloj implikantaj multajn variablojn povas esti faritaj.
(Tiu speco de algebra etendaĵo estas kio kutimas difini la geometrion de higher-dimensiaj spacoj.
Inverse, estas ofte helpeme uzi la geometrion de kartezaj koordinatoj en du aŭ tri dimensioj bildigi algebrajn rilatojn inter du aŭ tri el multaj ne-spacaj variabloj.
#000072
La grafikaĵo aŭ rilato estas la aro de ĉiuj punktoj kontentigantaj tiun funkcion aŭ rilaton.
Por funkcio de unu variablo, f, la aro de ĉiuj punktoj ( x, y), kie y = f ( x) estas la grafeo de la funkcio f.
Por funkcio g da du variabloj, la aro de ĉiuj punktoj ( x, y, z), kie z = g ( x, y) estas la grafeo de la funkcio g.
Skizo de la grafeo de tia funkcio aŭ rilato konsistus el ĉiuj elstaraj partoj de la funkcio aŭ rilato kiuj inkludus siajn relativajn ekstremojn, sian alveolon kaj punktojn de klinado, iujn ajn punktojn de malkontinueco kaj ĝia finkonduto.
Ĉiuj tiuj esprimoj estas pli plene difinitaj en kalkulado.
Tiaj grafeoj estas utilaj en kalkulado por kompreni la naturon kaj konduton de funkcio aŭ rilaton.
#000073
Jones-diagramo, kiu punktskribas kvar variablojn prefere ol du
#000074
Kunordigita Transformilo - konvertitoj inter polusaj, kartezaj kaj sferaj koordinatoj
Koordinatoj de punkta Interactive-ilo por esplori koordinatojn de punkto
#000078
Konveksajn invers-sinusoidal sfere vicigis koordinatojn
#000079
Sur la rekto kun du diversaj punktoj A kaj B, ni povas elekti du direktojn: de A al B, aŭ de B al A. Ni nomu, ekzemple la direkton de A al B, la pozitiva direkto. Oni povas establi unu-al-unuan konformecon inter reelaj nombroj kaj la aro de la punktoj de donita rekto. Ni konformu al 0 ian punkton sur la rekto kaj nomi ĝin originpunkto. Ni akceptu ian detranĉon de la rekto kiel unuo de la longo. Al ĉiu reela nombro ni konformu la koncernan punkton, kiu distancas de originpunkto per a distanco: al pozitiva direkto por "+a" nombro kaj al negativa direkto por "-a" nombro. La konstruita rekto estas la nombra rekto aŭ koordinata akso.
#000080
Koordinato estas nombro, kiu konformas al la konkreta punkto de la akso.
a kaj b nomiĝas limpunktoj kaj la diferenco b - a - longo de intervalo.
#000081
Ni konsideru, ke du samskalaj ortaj koordinat-aksoj OX kaj OY intersekcas. OX akso ni nomu abscisa akso, kaj OY - ordinata akso. La du aksoj dividas ebenon je kvar partoj, kiuj nomiĝas kvaronoj. La konstruita sistemo nomiĝas kartezia (aŭ orta) koordinata sistemo, laŭ nomo de franca matematikisto Kartezio (Rene Descartes), kaj la punkto de intersekco de la aksoj - origino de la koordinat-sistemo. Karteziaj koordinatoj en ebeno estas du nombroj, difinantaj la situon de punkto rilate al koordinat-aksoj; ĉiu koordinato estas la distanco de la punkto al unu el la aksoj, mezurita paralele al la alia akso.
#000082
Absciso estas unu el la du karteziaj koordinatoj en ebeno, mezurata paralele al la horizontala koordinat-akso. La alian koordinaton oni nomas ordinato.
#000083
Se la punkto M havas koordinatojn x kaj y en kartezia sistemo, oni signas ĝin jene: M(x,y). La paroj de reelaj nombroj faras aron, kiu nomiĝas kiel nombra ebeno. Tiamaniere, inter punktoj de la nombra ebeno kaj la aro de paroj de reelaj nombroj estas konformeco unu-al-unu.
#000084