Listo de teorio de grupo-temoj
#000001
Glosaro de teorio de grupoj
#000002
Ĝenerala linia Gl ( n)
#000003
Speciala linia Sl ( n)
#000004
Speciala ortogonala TIEL ( n)
#000005
Speciala unitaria Su ( n)
#000006
Partikla fiziko kaj prezenta teorio
#000008
En matematiko, E kun nombro estas la nomo de pluraj proksime rilatigis Mensoggrupojn, liniaj algebraj grupoj aŭ ilia Lie-algebro e 7, ĉiuj el kiuj havas dimension 133;
la sama notacio E kun nombro estas utiligita por la ekvivalenta radikkrado, kiu havas rangon 7-an La nomon E kun nombro venas de la Cartan-mortiga klasifiko de la kompleksaj simplaj Lie-algebroj, kiu falo en kvar senfinajn seriojn etikedis A da n , B n , C da n , D n , kaj kvin esceptoj etikedis E6- , E kun nombro, E8 , F4 , kaj G2 .
La E kun nombro algebro estas tiel unu el la kvin esceptoj.
#000009
La fundamenta grupo de la (adjunkta) kompleksa formo, kompakta reala formo, aŭ ajna algebra versio de E kun nombro estas la cikla grupo Z / 2Z, kaj ĝia ekstera aŭtomorfismogrupo estas la sensignifa grupo.
La dimensio de sia fundamenta reprezentantaro estas 56.
#000010
E kun nombro Polinomaj Invariantoj
#000012
Ekzistas unika kompleksa Lie-algebro de tipo E kun nombro, egalrilatante al kompleksa grupo de kompleksa dimensio 133-a kiun La kompleksa adjunkta Mensoggrupo E kun nombro de kompleksa dimensio 133 povas esti konsiderita simplaniman realan Mensoggrupon de reala dimensio 266-a Tio havas fundamentan grupon Z / 2Z, havas maksimuman kompaktan subgrupon la kompakta formo (vidi malsupre) de E kun nombro, kaj havas eksteran aŭtomorfismogrupon de ordo 2 generite per kompleksa konjugacio.
#000013
Same kiel la kompleksa Mensoggrupo de tipo E kun nombro, ekzistas kvar realaj formoj de la Lie-algebro, kaj ekvivalente kvar realaj formoj de la grupo kun sensignifa centro (ĉiuj el kiuj havas algebran duoblan kovron, kaj tri el kiuj havas plu ne-algebrajn kovrojn, donante plu realajn formojn), ĉio el reala dimensio 133, jene:
#000014
Por kompleta listo de realaj formoj de simplaj Lie-algebroj, vidas la liston de simplanimaj Mensoggrupoj.
#000016
La kompakta reala formo de E kun nombro estas la Izometria grupo de la 64-dimensia escepta kompakta Riemaniana simetria spaco EVI (en la klasifiko de Cartan).
Ĝi estas konata neformale kiel la " kvateroktoniona projekcia aviadilo " ĉar ĝi povas esti konstruita uzante algebron kiu estas la tensorprodukto de la kvaropoj kaj la oktonions, kaj ankaŭ estas konata kiel Rosenfeld-projekcia aviadilo, kvankam ĝi ne obeas la kutimajn aksiomojn de projekcia aviadilo.
Tio povas esti vidita sisteme utiligante konstruon konatan kiel la magia kvadrato , pro Hans Freudenthal kaj Jacques Tits.
#000017
E kun nombro kiel algebra grupo
#000019
Per Chevalley-bazo por la Lie-algebro, oni povas difini E kun nombron kiel linian algebran grupon super la entjeroj kaj, sekve, super iu komuta ringo kaj aparte super iu kampo: tio difinas la tielnomitan dividitan (foje ankaŭ konata kiel "solvitan") adjunktan formon de E kun nombro.
Super algebre fermita kampo, tio kaj ĝia duobla kovro estas la nuraj formoj;
tamen, super aliaj kampoj, ekzistas ofte multaj aliaj formoj, aŭ "tordaĵoj" de E kun nombro, kiuj estas konfidencaj en la ĝenerala kadro de Galois-kohomologio (super perfekta kampo k) de la aro H 1 ( k, Aut ( E kun nombro) kiun, ĉar la Dynkin-diagramo de E kun nombro (vidu malsupre) havas neniujn aŭtomorfismojn, koincidas kun H 1 ( k, E kun nombro, anonco).
#000020
Super la kampo de realaj nombroj, la reala komponento de la identeco de tiuj algebre torditaj formoj da E kun nombro koincidas kun la tri realaj Mensoggrupoj menciitaj supre, sed kun subtileco koncerne la fundamentan grupon: ĉiuj adjunktaj formoj de E kun nombro havas fundamentan grupon Z / 2Z en la signifo de algebra geometrio, signifante ke ili koncedas ekzakte unu duoblan kovron;
la pli malproksima ne-kompaktaj realaj Mensogaj grupformularoj de E kun nombro estas tial ne algebraj kaj allasas neniujn fidelajn finhav-dimensiajn reprezentantarojn.
#000021
Super finhavaj kampoj, la Lang-Steinberg-teoremo implicas ke H 1 ( k, E kun nombro) = 0, signifante ke E kun nombro havas neniujn torditajn formojn: vidu malsupre.
#000022
Eĉ se la radikoj turnadis 7-dimensian spacon, ĝi estas pli simetria kaj oportuna reprezenti ilin kiel vektoroj kuŝantaj en 7-dimensia subspaco de 8-dimensia vektora spaco.
#000024
Notu ke la 7-dimensia subspaco estas la subspaco kie la sumo de ĉiuj ok koordinatoj estas nul.
#000025
Alternativa (7-dimensia) priskribo de la radiksistemo, kiu estas utila en konsideri E kun nombro × Su (2) subgrupon de E8, estas la sekvanta:
#000027
Ĉiopermutaĵojn de (±1, ±1,0, 0,0, 0,0) konservado de la nul ĉe la lasta eniro, ĉiuj la sekvaj radikoj kun para nombro da +1⁄2
#000028
kaj la du sekvaj radikoj
#000029
Tiel la generatoroj konsistas el 66-dimensia tiel (12) subalgebro same kiel 65 generatoroj kiuj ŝanĝas kiel du mem-konjugaj Weyl spinors de spino (12) de kontraŭa nememspegulsimetrieco kaj sia nememspegulsimetriecgeneratoro, kaj du aliajn generatorojn de nememspegulsimetriecoj.
#000030
unu elekto de simplaj radikoj ricevas per la vicoj de la sekva matrico:
#000032
La Weyl-grupo de E kun nombro estas de ordo 2903040: ĝi estas la rekta produkto de la cikla grupo de ordo 2 kaj la unika simplanima grupo de ordo 1451520 (kiu povas esti priskribita kiel PSp6 (2) aŭ PSΩ7 (2).
#000033
E kun nombro havas Su (8) subalgebron, kiel estas evidenta el notado ke en la 8-dimensia priskribo de la radiksistemo, la unua grupo de radikoj estas identa al la radikoj de Su (8) (kun la sama Cartan-subalgebro kiel en la E kun nombro).
#000034
Aldone al la 133-dimensia adjunkta reprezentantaro, ekzistas 56-dimensia " vektoro- " reprezentantaro, por esti trovita en la E8 adjunkta reprezentantaro.
#000035
La karakteroj de finhav-dimensiaj reprezentadoj de la realaj kaj kompleksaj Lie-algebroj kaj Mensoggrupoj estas ĉiuj donitaj fare de la Weyl-karaktero formulo.
La grandeco de la plej malgrandaj neredukteblaj reprezentantaroj estas (sekvenco A121736 en OEIS):
#000036
La substrekitaj esprimoj en la sekvenco supre estas la grandeco de tiuj neredukteblaj reprezentantaroj poseditaj per la adjunkta formo de E kun nombro (ekvivalente, tiuj kies pezoj apartenas al la radikkrado de E kun nombro), dum la plena sekvenco donas la grandecon de la neredukteblaj reprezentadoj de la simple ligita formo de E kun nombro.
Tie ekzistu ne-izomorfa nereduktebla reprezentado de grandeco 1903725824, 16349520330, ktp.
#000037
La fundamentaj reprezentantaroj estas tiuj kun grandeco 133, 8645, 365750, 27664, 1539, 56 kaj 912 (egalrilatante al la sep nodoj en la Dynkin-diagramo en la sinsekvo elektita por la Cartan-matrico supra, t.e., la nodoj estas legitaj en la ses-noda ĉeno unue, kie la lasta nodo estas ligita al la tria).
#000038
E kun nombro estas la aŭtomorfismogrupo de la sekva paro de polinomoj en 56 ne-kommutativaj variabloj.
Ni dividas la variablojn en du grupojn de 28, ( p, P) kaj ( q, Q) kie p kaj q estas realaj variabloj kaj P kaj Q estas 3×3 oktonion memadjunktaj matricoj.
Tiam la unua Invarianto estas la simplektic-Invarianto de Sp (56, R):
#000039
La dua pli d komplika Invarianto estas simetria kvarta polinomo:
#000040
Kiekaj la binara cirklofunkciigisto estas difinita per.
#000041
Alternativa kvarta Polinominvarianto konstruita fare de Cartan utiligas du kontraŭ-simetriaj 8x8 matricojn ĉiu kun 28 komponentoj.
#000042
Chevalley-grupoj de tipo E kun nombro
#000043
La punktoj super finhava kampo kun q elementoj de la (disfenditaj) algebra grupo E kun nombro (vidu supre), ĉu de la adjunkto (centerles) aŭ simple ligis formon (ĝian algebran universalan kovro), donas finhavan Chevalley-grupon.
Tio estas proksime ligita al la grupo skribita E kun nombro ( q), aliflanke ke ekzistas ambigueco en tiu notacio, kiu povas signifi plurajn aĵojn:
#000044
la finhava grupo konsistante el la punktoj pli ol F da q de la simple ligita formo de E kun nombro (por klareco, tio povas esti skribita E kun nombro, sc ( q) kaj estas konata kiel la "universala" Chevalley-grupo de tipo E kun nombro pli ol F da q ),
(malofte) la finhava grupo konsistante el la punktoj pli ol F da q de la adjunkta formo de E kun nombro (por klareco, tio povas esti skribita E kun nombro, anonco ( q), kaj estas konata kiel la "adjunkta" Chevalley-grupo de tipo E kun nombro pli ol F da q ), aŭ
la finhava grupo kiu estas la bildo de la natura mapo de la unua ĝis ĉi-lasta: tio estas kion estos indikita per E kun nombro ( q) en la sekvanta, kiel estas plej ofta en tekstoj traktantaj finiajn grupojn.
#000045
De la finhava grupperspektivo, la rilato inter tiuj tri grupoj, kiu estas tre analoga al tio inter Sl ( n, q), PGL ( n, q) kaj PSL ( n, q), povas esti resumita jene:
E kun nombro ( q) estas simpla por iu q, E kun nombro, sc ( q) estas it Schur-kovro, kaj la E kun nombro-, anonco ( q) kuŝas en it aŭtomorfismogrupo;
krome, kiam q estas potenco de 2, ĉiuj tri koincidas, kaj alie (kiam q estas stranga), la Schur-multiplikato de E kun nombro ( q) estas 2 kaj E kun nombro ( q) estas de indekso 2 en E kun nombro, anonco ( q), kiu klarigas kial E kun nombro, sc ( q) kaj E kun nombro, anonco ( q) ofte estas skribita kiel 2
E kun nombro ( q) kaj E kun nombro ( q)
2-a De la algebra grupperspektivo, estas malpli ofte por E kun nombro ( q) rilati al la finhava simplanima grupo, ĉar ĉi-lasta ne estas laŭ natura maniero la aro de punktoj de algebra grupo pli ol F da q male al E kun nombro, sc ( q) kaj E kun nombro, anonco ( q).
#000046
Kiel menciite supre, E kun nombro ( q) estas simpla por iu q, [3] [4] kaj ĝi konstituas unu el la senfinaj familioj alparolitaj per la klasifiko de finhavaj simplanimaj grupoj.
Ĝia numero de elementoj ricevas per la formulo (sekvenco A008870 en OEIS):
#000047
La ordo de E kun nombro, sc ( q) aŭ E kun nombro, anonco ( q) (ambaŭ estas egalaj) povas esti akiritaj forigante la disigadfaktorgcd (2, q −1) (sekvenco A008869 en OEIS).
La Schur-multiplikato de E kun nombro ( q) estas gcd (2, q −1), kaj ĝia ekstera aŭtomorfismogrupo estas la produkto de la diagonala aŭtomorfismogrupo Z /gcd (2, q −1) Z (donita per la ago de E kun nombro, anonco ( q) kaj la grupo de kampaŭtomorfismoj (t.e., cikla de ordo f se q = pf kie p estas ĉefa).
#000048
N = 8 supergravito en kvar dimensioj, dimensia redukto de 11 dimensia supergravito, koncedas E kun nombro bosonan tutmondan simetrion kaj al Su (8) bosonan lokan simetrion.
La fermionoj estas en reprezentadoj de Su (8), la mezurilkampoj estas en reprezentado de E kun nombro, kaj la Skalaroj estas en reprezentado de ambaŭ (Gravitons estas subĉemizoj kun respekto al ambaŭ).
Fizikaj ŝtatoj estas en reprezentadoj de la kun-grupo E kun nombro /Su (8).
#000049
En teorio de kordoj, E kun nombro prezentiĝas kiel parto de la mezurilgrupo de unu la (malstabila kaj ne-supersymmetric) versioj de la varmegerotika ŝnuro.
Ĝi ankaŭ povas aperi en la nerompita mezurilgrupa E8 × E kun nombro en ses-dimensiaj Kompaktigoj de varmegerotika teorio de kordoj, ekzemple sur la kvar-dimensia surfaco K3.
#000050