En moderna matematiko, punkto rilatas kutime al elemento de iu aro nomita spaco.
#000001
Pli specife, en eŭklida geometrio, punkto estas primitiva nocio sur kiu la geometrio estas konstruita.
Esti primitiva nocio intencas ke punkto ne povas esti difinita laŭ antaŭe difinitaj objektoj.
Tio estas, punkto estas difinita nur per kelkaj trajtoj, nomitaj aksiomoj, kiujn ĝi devas kontentigi.
Aparte, la geometriaj punktoj ne havas ajnan longon, areon, volumenon, aŭ ajnan alian dimensian atributon.
Ofta interpreto estas ke la koncepto de punkto estas intencita kapti la nocion de unika loko en eŭklida spaco.
#000002
Punktoj, pripensitaj ene de la kadro de eŭklida geometrio, estas unu el la plej fundamentaj objektoj.
Eŭklido origine difinis la punkton kiel "tion kiu havas neniun parton".
En dudimensia eŭklida spaco, punkto estas reprezentita fare de orda duopo ( x, y) de nombroj, kie la unua nombro konvencie reprezentas la horizontalan kaj ofte estas indikita per x, kaj la dua nombro konvencie reprezentas la vertikalon kaj ofte estas indikita per y.
Tiu ideo estas facile ĝeneraligita ĝis tridimensia eŭklida spaco, kie punkto estas reprezentita de ordigita trinasktio ( x, y, z) kie la kroma tria nombro reprezentas profundon kaj ofte indikita per z.
Pliaj ĝeneraligoj estas reprezentitaj per ordigita virŝafeto de n esprimoj, ( 1, 2
n ) kie n estas la dimensio de la spaco en kiu la punkto situas.
#000004
Multaj konstrukcioj ene de eŭklida geometrio konsistas el senfina kolekto de punktoj kiuj harmonias kun certaj aksiomoj.
Tio estas kutime reprezentita fare de aro de punktoj;
Ekzemple, linio estas senfina aro de punktoj de la formo, kie c 1 tra Cn kaj d estas konstantoj kaj n estas la dimensio de la spaco.
Similaj konstruoj ekzistas tio difini la aviadilon, liniparton kaj aliajn rilatajn konceptojn.
Cetere, degenerita liniparto konsistas el nur unu poento.
#000005
Aldone al difinado punktoj kaj konstrukcioj ligitaj al punktoj, Eŭklido ankaŭ postulis esencan ideon pri punktoj;
li asertis ke ĉiuj du punktoj povas esti ligitaj per aerlinio.
Tio estas facile konfirmita sub modernaj vastiĝoj de eŭklida geometrio, kaj havita daŭrantaj sekvoj ĉe sia enkonduko, permesante la konstruadon de preskaŭ ĉiuj geometriaj konceptoj de la tempo.
Tamen, la postulijono de Eŭklido de punktoj estis nek kompleta nek definitiva, kiam li foje supozis faktojn pri punktoj kiuj ne sekvis rekte el liaj aksiomoj, kiel ekzemple la mendado de punktoj sur la linio aŭ la ekzisto de specifaj punktoj.
Malgraŭ tio, modernaj vastiĝoj de la sistemo helpas forigi tiujn supozojn.
#000006
Ekzistas pluraj enekvivalentodifinoj de dimensio en matematiko.
En ĉiuj la komunaj difinoj, punkto estas dimensia.
#000007
La dimensio de vektora spaco estas la maksimumgrandeco de linie sendependa subaro.
En vektora spaco konsistanta el ununura punkto (kiu devas esti la nul vektoro 0), ekzistas neniu linie sendependa subaro.
La nul vektoro ne estas sin linie sendependa, ĉar ekzistas ne-sensignifa linearkombinaĵa kreado ĝi nul:.
#000008
La topologia dimensio de topologia spaco X estas difinita por esti la minimuma valoro de n, tia ke ĉiu finhava malferma kovro de X koncedas finhavan malferman kovronde X kiu rafinas en kiu neniu punkto estas inkludita en pli ol n +1 elementoj.
Se ne tia minimuma n ekzistas, la spaco laŭdire estas de senfinan kovrante dimension.
#000009
Punkto estas nul-dimensia kun respekto al la kovrodimensio ĉar ĉiu malferma kovro de la spaco havas rafinadon konsistantan el ununura malfermita aro.
#000010
Lasu X esti metrika spaco.
Se S ⊂ Xa kaj d ∈ [0, ∞), la d-dimensia Hausdorff-enhavo de S estas la Preciza malsupra rando de la nombraro da δ ≥ 0 tia ke ekzistas iu (indeksita) kolekto de pilkoj kovrante S per ri > 0 por ĉiu mi ∈ mi tio kontentigas.
#000011
Punkto havas Hausdorff-dimension 0 ĉar ĝi povas esti kovrita per ununura pilko de propraaŭtoritate malgranda radiuso.
#000013
Kvankam la nocio de punkto estas ĝenerale konsiderita fundamenta en ĉefa geometrio kaj topologio, ekzistas kelkaj sistemoj kiuj perdas ĝin, ekz. nonkomutative-geometrion kaj sencela topologion.
"Sencela" aŭ "pointfree" spaco estas difinita ne kiel aro, sed per iu strukturo ( algebra aŭ logika respektive) kiu aspektas pli kiel bonkonata funkcia spaco sur la aktoraro: algebro de kontinuaj funkcioj aŭ algebro de aroj respektive.
Pli ĝuste, tiaj strukturoj ĝeneraligas bonkonatajn spacojn de funkcioj en maniero kiel kiun la operacio "prenas valoron ĉe tiu punkto" eble ne estas difinita.
Plia tradicio komenciĝas de kelkaj libroj de A. N. Whitehead en kiu la nocio de regiono estas supozita kiel primitivulo kune kun tiu el inkludo aŭ ligo.
#000014
Punktomasoj kaj la diraka delta funkcio
#000015
Ofte en fiziko kaj matematiko, estas utile trovi punkton kiel havado de ne-nula maso aŭ pagendaĵo (tio estas aparte ofta en klasika elektromagnetismo, kie elektronoj estas idealigitaj kiel punktoj kun ne-nula pagendaĵo).
La diraka delta funkcio, aŭ δ funkcio, estas (neformale) ĝeneraligita funkcio sur la realnombra linio kiu estas nul ĉie krom ĉe nul, kun integralo de unu super la tuta reala linio.
La deltfunkcio foje estas opiniita de kiam senlime alta, senlime maldika pikilo ĉe la origino, kun suma areo unu sub la pikilo, kaj fizike reprezentas idealigitan punktomason aŭ procentpunktan pagaĵon.
Ĝi estis lanĉita fare de teoria fizikisto Paul Dirac.
En la kunteksto de signal-prilaborado ĝi ofte estas referita kiel la unua impulssimbolo (aŭ funkcio).
Ĝia diskreta analogaĵo estas la deltde Kronecker funkcio kiu estas kutime difinita pri finhava domajno kaj prenas valorojn 0 kaj 1.
#000016
Definition of Point (Difino de Punkto) kun interaga apleto
Punktaj difinpaĝoj, kun interagaj animacioj kiuj ankaŭ estas utilaj en klasĉambro metanta.
, " Punkto ", MathWorld .
#000019
Ses ( gradoj da libereco)
#000020
Punkto estas unu el primaraj nocioj en matematiko. En moderna matematiko oni nomas punkto tute diversajn elementojn de diversaj spacoj, ekz. en n-dimensia eŭklida spaco, punkto estas difinita kiel ordigita aro, konsistanta el n nombroj.
#000021
En diversaj branĉoj de matematiko oni trovas punktojn kun malsamaj nomoj. Do, geometrio pristudas apartajn punktojn de kurboj, analitiko pristudas apartajn punktojn de la solvoj de diferencialaj ekvacioj, arteorio la punktojn kun proprecoj de esplorata aro, ktp.
#000022