En matematiko, pli specife algebra topologio, kovromapo (ankaŭ kovranta projekcion) estas kontinua funkcio p [1] de topologia spaco, C, ĝis topologia spaco, Xa, tia ke ĉiu punkto en X havas sinceran kvartalon egale kovritan per p (kiel montranta en la bildo);
la preciza difino ricevas malsupre.
En tiu kazo, C estas nomita kovrospaco kaj X la bazregiono de la kovroprojekcio.
La difino implicas ke ĉiu kovromapo estas loka homeomorfio.
#000001
Kovrospacoj ludas gravan rolon en homotopeca teorio, furiera analizo, rimana geometrio kaj diferenciala topologio.
En rimana geometrio ekzemple, forkiĝo estas ĝeneraligo de la nocio de kovrado de mapoj.
Kovri spacojn ankaŭ estas profunde interplektita kun la studo de homotopyogrupoj kaj, aparte, la fundamentaj grupo.
Grava aplikiĝo venas de la rezulto ke, se X estas "sufiĉe bona" topologia spaco, ekzistas ensurĵeto inter la kolekto de ĉiuj izomorfioklasoj de ligitaj kovraĵoj de X kaj la konjugacyoklasoj de subgrupoj de la fundamenta grupo de X.
#000002
Lasu X esti topologia spaco.
Kovrospaco de X estas topologia spaco C kune kun kontinua surjektive mapo
#000004
tia ke por ĉiu x ∈ Xa , tie ekzistas malferma najbareco U de x, tia ke de p ( U) (la inversa bildo de U sub p) estas unio dismetu malfermitajn arojn en C, ĉiun el kiu estas mapita homeomorficaly sur U per p.
#000005
La mapo p estas nomita la kovromapo, [3] la spaco X ofte estas nomita la bazregiono de la kovro, kaj la spaco C estas nomita la totala regiono de la kovro.
Por iu punkto x en la bazo la inversa bildo de x en C estas nepre diskreta spaco [3] nomita la fibro super x.
#000006
La specialaj malfermaj najbarecoj U de x donita en la difino estas nomitaj egale kovritaj najbarecoj.
La egale kovritaj najbarecoj formas malferman kovron de la spaceto Xa.
La homeomorfaj kopioj en C da egale kovrita najbareco U estas nomitaj la tukoj super U.
Oni ĝenerale imagas C kiel "ŝvebante super" X, kun p mapado "malsupren", la tukojn super U estanta horizontale stakigita super unu la alian kaj super U, kaj la fibro super x konsistante el tiuj punktoj de C kiuj situas "vertikale super" x.
Aparte, kovri mapojn estas loke sensignifaj.
Tio signifas tiel loke, ĉiu kovromapo estas "izomorfa" ĝis projekcio en la senco ke ekzistas homeomorfio, h, de la antaŭ-bilda p −1 ( U), de egale kovrita kvartalo U, sur U × F , kie F estas la fibro, kontentigante la lokan sensignifigokondiĉon, kiu estas ke, se ni projekcias U × F sur U, π:
U × F → U , do la kunmetaĵo de la projekcio π kun la homeomorfio h estos mapo π ∘ h de la antaŭ-bilda p −1 ( U) sur U, tiam la derivita kunmetaĵo π ∘ h korespondos al p loke (ene de p −1 ( U).
#000007
Multaj verkintoj trudas kelkajn konekteblec kondiĉojn sur la spacetoj Xa kaj C en la difino de kovromapo.
Aparte, multaj verkintoj postulas ambaŭ spacojn esti pad-ligitaj kaj loke pad-ligitaj.
Tio povas pruvi helpema ĉar multaj teoremoj tenas nur ĉu la spacoj koncerne havas tiujn trajtojn.
Kelkaj verkintoj preterlasas la supozon de surjektiveco, por se X estas ligita kaj C estas nonempty tiam surjektiveco de la kovromapo fakte sekvas el la aliaj aksiomoj.
#000008
Tio implicas ke C kaj Xa dividas ĉiujn lokajn trajtojn.
Se X estas simple ligita kaj C estas ligita, tiam tio tenas tutmonde ankaŭ, kaj la kovro p estas homeomorfio.
B kiun=′ kovras mapojn, tiam tiel estas la mapo p × p
#000010
Por ĉiu x en X, la fibro super x estas diskreta subaro de C.
Sur ĉiu Koneksa komponanto de X, la fibroj estas homeomorfaj.
#000011
Se X estas ligita, ekzistas diskreta spaco F tia ke por ĉiu x en X la fibro super x estas homeomorfa al F kaj, krome, por ĉiu x en X ekzistas najbareco U de x tia ke ĝia plena antaŭ-bilda p −1 ( U) estas homeomorfa al U × F .
Aparte, la kardinaleco de la fibro super x estas egala al la kardinaleco de F kaj ĝi estas nomita la grado da la kovro p:
Tiel, se ĉiu fibro havas n elementojn, ni parolas pri n-obla kovraĵo (por la kazo da n = 1, la kovro estas sensignifaj;
kie n = 2, la kovro estas duobla kovro;
kie n = 3, la kovro estas triobla kovro).
#000012
C → X estas kovro kaj γ estas pado en X (t.e. kontinua mapo de la unuobla intervalo [0, 1] en X) kaj c ∈ C estas punkto "kuŝanta super" γ (0) (t.e. p ( c) = γ (0), tiam tie ekzistas unika pado γ en C kuŝanta super γ (t.e. p ∘ γ = γ) tia ke γ (0) = c .
La kurbo γ estas nomita la lifto de γ.
Se x kaj y estas du poentoj en X ligita per pado, tiam ke pado provizas ensurĵeton inter la fibro super x kaj la fibron super y per la ĉesigposedaĵo.
#000013
Z → X estu kontinua mapo ĝis X de pado ligita kaj loke pado ligita spaco Z.
Fiksu baz-punktan z ∈ Z , kaj elektu punkto c ∈ C "kuŝanta super" f ( z) (t.e. p ( c
Tiam tie ekzistas lifto de f (t.e., kontinua mapo g:
c ) se kaj nur se la induktitaj homomorfismoj f nombro:
π1 ( X, f ( z) sur la nivelo de fundamentaj grupoj kontentigas
#000014
Krome, se tia lifto g da f ekzistas, ĝi estas unika.
#000015
Aparte, se la spaco Z estas supozita esti simple ligita (tiel ke π1 ( Z, z) estas sensignifa), kondiĉo (♠) estas aŭtomate kontentigita, kaj ĉiu kontinua mapo de Z ĝis X povas esti levita.
Ĉar la unuobla intervalo [0, 1] estas simple ligitaj, la ĉesigposedaĵo por padoj estas speciala kazo de la ĉesigposedaĵo por mapoj deklaris supre.
#000016
C → X estas kovraĵo kaj c ∈ C kaj x ∈ Xa estas tia ke p ( c
x , tiam p nombro estas injektivo sur la nivelo de fundamentaj grupoj, kaj la induktitaj homomorfismoj p nombro: π n ( C, c) → π n ( Xa, x) estas izomorfioj por ĉiu n ≥ 2.
Ambaŭ de tiuj deklaroj povas esti konkludita el la ĉesigposedaĵo por kontinuaj mapoj.
Surjectivity de p nombro por n ≥ 2 sekvas el la fakto ke por tute tia n, la n-sfero S da n estas simple ligita kaj tial ĉiu kontinua mapo de S da n ĝis X povas esti levita al C.
#000017
Ĉar kovraĵoj estas lokaj homeomorfioj, kovraĵo de topologia n - dukto estas n-dukto.
(Oni povas pruvi ke la kovrospaco estas duanombrebla de la fakto ke la fundamenta grupo de dukto ĉiam estas nombrebla.
Tamen spaco kovrita per n-dukto povas esti ne-Hausdorffodukto.
Ekzemplo ricevas lasante C esti la aviadilo kun la origino forigita kaj X la kvocientospaco akirita identigante ĉiun punkton ( x, y) kun ( 2x, y /2).
C → X estas la kvocientmapo tiam ĝi estas kovraĵo ekde la ago de Z sur C generita per f ( x, y
2x, y /2) estas konvene malkontinuaj.
La punktoj p (1, 0) kaj p (0, 1) ne havas dismetu najbarecojn en X.
#000019
Ĉiu kovrospaco de diferencialdukto povas esti provizita per (natura) diferenciebla strukturo kiu iĝas p (la kovromapo koncernitan) loka difeomorfismo - mapo kun konstantan rektan n.
#000020
Kovrospaco estas universala kovrospaco se ĝi estas simple ligita.
La nomo kiun universala kovro venas de la sekva grava posedaĵo: se la mapa q:
D → X estas universala kovro de la spaceto Xa kaj la mapa p:
C → X estas ajna kovro de la spaco X kie la kovrospaco C estas ligita, tiam tie ekzistas kovromapo f:
Tio povas esti vortumita kiel
#000021
La universala kovro (de la spaceto Xa) kovras ajnan ligitan kovron (de la spaceto Xa).
#000022
La mapo f estas unika en la sekva signifo: se ni fiksas poenton x en la spaceto Xa kaj punkton d en la spaco D kun q ( d
x kaj punkto c en la spaco C kun p ( c
x , tiam tie ekzistas unika kovromapo f:
#000023
Se la spaco X havas universalan kovron tiam ke universala kovro estas esence unika: se la mapadoj q 1:
D 2 → X estas du universalaj kovroj de la spaco X tiam tie ekzistas homeomorfio f:
#000024
La spaco X havas universalan kovron se ĝi estas ligita, loke pad-ligita kaj semi-loke simple ligita.
La universala kovro de la spaceto X povas esti konstruita kiel certa spaco de padoj en la spaceto Xa.
#000025
La ekzemplo R → S 1 donita supre estas universala kovro.
La mapo S 3 → TIEL (3) de unuokvaropoj ĝis rotacioj de 3D spaceto priskribita en kvaropoj kaj spaca rotacio estas ankaŭ universala kovro.
#000026
Se la spaco X portas iun kroman strukturon, tiam ĝia universala kovro kutime heredas tiun strukturon:
#000027
La universala kovro unue ekestis en la teorio de analizaj funkcioj kiel la natura domajno de analiza daŭrigo.
#000029
Lasu G esti diskreta grupo
reagante al la topologia spaco Xa.
Estas nature demandi sub kio kondiĉigas la projekcion de X ĝis la orbitspaco Xa / G estas kovromapo.
Tio ne estas ĉiam vera ĉar la ago povas havi fikspunktojn.
Ekzemplo por tio estas la cikla grupo de ordo 2 reagante al produkto Xa × Xa per la tordaĵago kie la ne-identeca elemento agas de ( x, y
Tiel la studo de la rilato inter la fundamentaj grupoj de X kaj Xa / G ne estas tiel simpla.
#000030
Tamen la grupo G reagas al la bazaĵo groupoida de X, kaj tiel la studo estas plej bone pritraktita pripensante grupojn reagantajn al grupoidoj, kaj la ekvivalentaj orbitgrupoidoj.
La teorio por tio estas metita malsupren en ĉapitro 11 el la libro Topology and groupoids rilatis al malsupre.
La ĉefrezulto estas ke por malkontinuaj agoj de grupo G sur Hausdorff-spaco X kiu koncedas universala kovro, tiam la bazaĵo groupoida de la orbitspaco Xa / G estas izomorfaj al la orbito groupoidaj de la bazaĵo groupoidaj de X, t.e. la kvociento de tiu groupoida per la ago de la grupo G.
Tio kaŭzas eksplicitajn komputadojn, ekzemple de la fundamenta grupo de la simetria kvadrato de spaco.
#000031
Ferdektransformo aŭ aŭtomorfismo de kovro p:
C → X estas homeomorfio f:
La aro de ĉiuj ferdektransformoj de p formas grupon sub kunmetaĵo, la ferdeka transformgrupo Aut ( p).
Ferdektransformoj ankaŭ estas nomitaj kovraj transformoj.
Ĉiu ferdektransformo permutas la elementojn de ĉiu fibro.
Tio difinas grupan agon de la ferdeka transformgrupo sur ĉiu fibro.
Notu tion proksime de la unika ĉesigposedaĵo, se f ne estas la identeco kaj C estas pado ligis, tiam f havas neniujn fikspunktojn.
#000032
C → X estas kovromapo kaj C (kaj tial ankaŭ X) estas ligita kaj loke pado ligis.
La ago de Aut ( p) sur ĉiu fibro estas libera.
Se tiu ago estas transitiva sur iom da fibro, tiam ĝi estas transitiva sur ĉiuj fibroj, kaj ni nomas la kovron regula (aŭ normalo aŭ Galois).
Ĉiu tia regula kovro estas rektoro G-bundle , kie G = Aut ( p) estas konsiderita diskretan topologian grupon.
#000033
D → X estas regula, kie ferdeka transformgrupo estas izomorfa al la fundamenta grup π1 ( X).
#000034
Alian gravan ekzemplon, konsideru C la kompleksa ebeno kaj C × la kompleksaebenan minuson la originon.
z n estas regula kovro.
La ferdektransformoj estas multiplikoj kun n-th
radikoj da unueco kaj la ferdeka transformgrupo estas tial izomorfaj al la cikla grupo C n .
e z estas la universala kovro.
#000035
C → X estas kovromapo kaj C (kaj tial ankaŭ X) estas ligita kaj loke pado ligis.
Se x estas en X kaj c apartenas al la fibro super x (t.e. p ( c
x ), kaj γ: [0, 1] → X estas pado kun γ (0) = γ (1) = x , tiam kiujn tiu pado levas al unika pado en C kun deirpunkto c.
La kiam finpunkto de tiu levis padon ne devas esti c, sed ĝi devas kuŝi en la fibro super x.
Ĝi montriĝas ke tiu finpunkto nur dependas de la klaso de γ en la fundamenta grup π1 ( X, x).
En tiu modo ni akiras dekstran grupan agon de π1 ( Xa, x) sur la fibro super x.
Tio estas konata kiel la monodromiago.
#000036
Ekzistas du agoj sur la fibro super x: Aut ( p) agoj maldekstre kaj π1 ( Xa, x) agoj dekstraflanke.
#000037
Se p estas universala kovro, tiam Aut ( p) povas esti kompreneble identigita kun la kontraŭ grupo de π1 ( Xa, x) tiel ke la maldekstra ago de la kontraŭgrupo de π1 ( Xa, x) koincidas kun la ago de Aut ( p) sur la fibro super x.
Notu ke Aut ( p) kaj π1 ( Xa, x) estas nature izomorfaj en tiu kazo (kiam grupo ĉiam estas nature izomorfa al sia kontraŭa tra g ↦ g −1).
#000038
Se p estas regula kovro, tiam Aut ( p) estas nature izomorfa al kvociento de π1 ( Xa, x).
#000039
Ĝenerale (definitive regionoj), Aut ( p) estas nature izomorfa al la kvociento de la normaliganto de p ÷ ( π1 ( C, c) en π1 ( Xa, x) pli ol p ÷ ( π1 ( C, c), kie p ( c
#000040
Tial, π1 ( C, c) estas izomorfa al la subgrupo p nombro ( π1 ( C, c) da π1 ( Xa, x).
Se c 1 ∈ C estas alia antaŭ-bildo de x en C tiam la subgrupoj p nombro ( π1 ( C, c) kaj p nombro ( π1 ( C, c 1) estas konjugato en π1 ( X, x) de p-bildo de kurbo en C liganta c al c 1.
C → X difinas konjugacyoklason de subgrupoj de π1 ( X, x) kaj oni povas montri ke ekvivalentaj kovroj de X difinas la saman konjugacyoklason de subgrupoj de π1 ( X, x).
#000042
C → X la grupo p nombro ( π1 ( C, c) ankaŭ povas esti observita estanta egala al
#000043
la aro de homotopyoklasoj de tiuj fermis kurbojn γ bazita ĉe x kies liftoj γC en C, komencante ĉe c, estas fermitaj kurboj ĉe c.
Se X kaj C estas pad-ligita, la grado da la kovro p (t.e., la kardinaleco de iu fibro de p) estas egala al la indekso [ π1 ( X, x
p nombro ( π1 ( C, c)] da la subgrupo p nombro ( π1 ( C, c) en π1 ( X, x).
#000044
Esenca rezulto de la kovra spacteorio diras ke por "sufiĉe bona" regiono X (nome, se X estas pad-ligita, loke pad-ligita kaj semi-loke simple ligita) ekzistas fakte ensurĵeto inter ekvivalentklasoj de pad-ligitaj kovroj de X kaj la konjugacyoklasoj de subgrupoj de la fundamenta grup π1 ( X, x).
La ĉefpaŝo en pruvi tiu rezulto establas la ekziston de universala kovro, kiu estas kovro egalrilatanta al la sensignifa subgrupo de π1 ( Xa, x).
Post kiam la ekzisto de universalaĵkovro C da X estas establita, se H ≤ π1 ( X, x) estas arbitra subgrupo, la spaco C / H estas la kovro de X egalrilatanta al H.
Oni ankaŭ devas kontroli ke du kovroj de X egalrilatanta al la sama (konjugacyoklaso de) subgrupo de π1 ( X, x) estas ekvivalentaj.
Ligitaj ĉelkompleksoj kaj ligitaj duktoj estas ekzemploj de "sufiĉe bonaj" regionoj.
#000045
Lasu N ( γp ) esti la normaliganto de γp en π1 ( Xa, x).
La ferdeka transformgrupo Aut ( p) estas izomorfa al la kvocientogrupo N ( γp )/ γp .
Se p estas universala kovraĵo, tiam γp estas la sensignifa grupo, kaj Aut ( p) estas izomorfa al π1 ( X).
#000046
Lasu nin inversigi tiun argumenton.
Lasu N esti normala subgrupo de π1 ( X, x).
Per ĉi-supraj argumentoj, tio difinas (regulan) kovraĵon p:
Lasu c 1 en C esti en la fibro de x.
Tiam por ĉiu alia c 2 en la fibro de x, ekzistas ĝuste unu ferdektransformo kiu prenas c 1 al c 2.
Tiu ferdektransformo egalrilatas al kurbo g en C liganta c 1 al c 2.
#000047
Unu el la manieroj esprimi la algebra enhavo de la teorio de kovrado de spacoj utiligas grupoidojn kaj la bazaĵon groupoida.
Ĉi-lasta funktoro donas ekvivalentecon de kategorioj
#000048
inter la kategorio de kovrado de spacoj de sufiĉe bela spaceto Xa kaj la kategorio de groupoidajn kovrante morfismojn de π1 ( X).
Tiel unuopspeco de mapo de spacoj estas bone modeligita per unuopspeco de morfismo de grupoidoj.
La kategorio da kovrado de morfismoj de groupoida G ankaŭ estas ekvivalenta al la kategorio da agoj de G sur aktoraroj, kaj tio permesas la normaligon de pli tradiciaj klasifikoj de kovraĵoj.
Pruvoj de tiuj faktoj ricevas en la libro "Topologio kaj Groupoids" referenceita malsupre.
#000049
Rilatoj kun klasifikaj spacoj kaj grupkohomologio
#000050
Se X estas ligita ĉelkomplekso kun homotopyogrupoj π n ( X) = 0 por ĉio n ≥ 2, tiam la universala kovrospaco T da X estas kuntireblaj, kiel sekvas de aplikado de la Whitehead-teoremo al T.
En tiu kazo X estas klasifika spaco aŭ K ( G, 1) por G = π 1 ( X).
#000051
Krome, por ĉiu n ≥ 0 la grupo de ĉela n-voĉa C da n ( T) (t.e., libera abela grupo kun bazo donite fare de n-ĉelo en T) ankaŭ havas naturulon Z G - modulo strukturon.
Ĉi tie por n-ĉela σ en T kaj por g en G la ĉelo g da σ estas sama la tradukiĝi de σ per kovrotransformo de T egalrilatanta al g.
Krome, C da n ( T) estas libera Z G-modulo kun libera Z G-bazo donita fare de reprezentantoj de G-orbito de n-ĉeloj en T.
En tiu kazo da la norma topologia ĉeno komplekso
#000052
kie ε estas la aŭgmentmapo, estas libera Z G-rezolucio de Z (kie Z estas provizita per la sensignifa Z G-modula strukturo, g = m por ĉiu g ∈ G kaj ĉiu m ∈ Z ).
Tiu rezolucio povas esti utiligita por komputi grupkohomologion de G kun arbitraj koeficientoj.
#000053
La metodo de Graham Ellis por komputado de gruprezolucioj kaj aliaj aspektoj de homologia algebro, kiel montrite en lia artikolo en J. Symbolic Comp.
kaj lia retpaĝo listigita malsupre, devas konstrui universalan kovron de eventuala K ( G, 1) indukte en la sama tempo kiel kuntira homotopy de tiu universala kovro.
Ĝi estas ĉi-lasta kiu donas la komputilan metodon.
#000054
Kiel homotopeca teorio, la nocio de kovrado de spacverkoj bone kie la ferdeka transformgrupo estas diskreta, aŭ, ekvivalente, kiam la spaco estas loke pad-ligita.
Tamen, kiam la ferdeka transformgrupo estas topologia grupo kies topologio ne estas diskreta, malfacilaĵoj ekestas.
Iu progreso estis direktiĝis al pli kompleksaj spacoj, kiel ekzemple la havaja orelringo;
vidu la referencojn tie por pliaj informoj.
#000055
Kelkaj el tiuj malfacilaĵoj estas solvitaj kun la nocio de semikovro pro Jeremy Brazas, vidas ke la papero citis malsupre.
Ĉiu kovromapo estas semikovro, sed semikovroj kontentigas la "2 el de 3" regulon: evoluita kunmetaĵon h = fg da mapoj de spacoj, se du el la mapoj estas semikovroj, tiam tiel ankaŭ estas la tria.
Tiu regulo ne tenas por kovraĵoj, ekde la kunmetaĵo de kovrado de mapoj ne devas esti kovromapo.
#000056
Alia ĝeneralaĵo estas al agoj de grupo kiuj ne estas liberaj.
Ross Geoghegan en sia recenzo (1986) MR0760769) de du artikoloj de M.A. Armstrong sur la fundamentaj grupoj de orbitspacoj skribis: "These du paperoj-spektaklo-sorĉistino-partoj de elementa kovro-spaco-teorio porti inte de la libera ĝis la nonfrekazo.
Tio estas la speco de bazmaterialo kiu devus estinti en normlernolibroj sur fundamentaj grupoj dum la lastaj kvindek jaroj."
Ĝuste nun, "Topologio kaj Groupoids" listigis malsupre ŝajnas esti la nura baza topologioteksto por kovri tiajn rezultojn.
#000057
Grava praktika apliko de kovrado de spacoj okazas en furorlisto sur TIEL (3), la turnada grupo.
Tiu grupo okazas vaste en inĝenieristiko-, pro 3-dimensiaj rotacioj estantaj peze uzita en navigacio, naŭtika inĝenieristiko, kaj aerokosma flugadika inĝenierado, inter multaj aliaj uzoj.
Topologie, DO (3) estas la reala projekcia spaceto RP 3, kun fundamenta grupo Z /2, kaj nur (ne-sensignifa) kovrospaco la hipersfero S 3, kiu estas la grupo Spin (3), kaj reprezentita per la unuokvaropoj.
Tiel kvaropoj estas preferata metodo por reprezentado de spacaj rotacioj - vidu kvaropoj kaj spacan rotacion.
#000058
Tamen, estas ofte dezirinde reprezenti rotaciojn de aro de tri nombroj, konataj kiel Euler-anguloj (en multaj variaĵoj), ambaŭ ĉar tio estas koncipe pli simpla, kaj ĉar oni povas konstrui kombinaĵon de tri gimbal'oj por produkti rotaciojn en tri dimensioj.
Topologie tio egalrilatas al mapo de la 3-torus T 3 el tri anguloj ĝis la reala projekcia spaco RP 3 el rotacioj, kaj la rezulta mapo havas neperfektaĵojn pro tiu mapo estanta nekapablaj esti kovromapo.
Specife, la fiasko de la mapo esti loka homeomorfio ĉe certaj punktoj estas referita kiel gimbal ŝlosi, kaj estas montrita en la animacio ĉe la dekstro - ĉe kelkaj punktoj (kiam la aksoj estas koplanaraj) la rango de la mapo estas 2, prefere ol 3, signifante ke nur 2 dimensioj de rotacioj povas esti realigitaj de tiu punkto ŝanĝante la angulojn.
Tio kaŭzas problemojn en aplikoj, kaj estas formaligita per la nocio de kovrospaco.
#000059
Bethe-krado estas la universala kovro de Cayley-grafo
Kovrografo, kovrospaco por senplana grafeo, kaj ĝia speciala kazo la duigita duobla kovro.
#000060