Partikla fiziko kaj prezenta teorio
#000002
En matematiko, aparte la teorio de Lie-algebroj, la Weyl-grupo de radiksistemo φ estas subgrupo de la Izometria grupo de la radiksistemo.
Specife, ĝi estas la subgrupo kiu estas generita per reflektadoj tra la hiperplanes
ortogonala al la radikoj, kaj kiel tia estas finhava reflektadgrupo.
Abstrakte, Weyl-grupoj estas finhavaj Coxeter-grupoj, kaj estas gravaj ekzemploj de tiuj.
#000003
Mensoggrupo, semikuracherbo Lie-algebro, semikuracherbo linia algebra grupo, ktp. estas la Weyl-grupo de la radiksistemo de tiu grupo aŭ algebro.
#000004
4 Weyl-grupoj en algebraj, grup-teoriaj, kaj geometriaj kontekstoj 4.1
The Weyl-grupo de ligita kompakta Mensoggrupo
6 Analogeco kun algebraj grupoj
#000006
La figuro ilustras la kazon de la A2-radiksistemo.
La "hyperplanes" (en tiu kazo, unu-dimensia) ortogonala al la radikoj estas indicita per kuregitaj linioj.
La ses 60-gradaj sektoroj estas la Weyl-kameroj kaj la ombrita regiono estas la fundamenta Weyl-kamero asociis al la indikita bazo.
#000010
Baza ĝenerala teoremo pri Weyl-kameroj estas tio: [1]
#000011
Teoremo: La Weyl-grupo reagas libere kaj transitive al la Weyl-kameroj.
Tiel, la ordo de la Weyl-grupo estas egala al la nombro da Weyl-kameroj.
#000012
Rilata rezulto estas tiu-ĉi: [2]
#000013
Tiam ni havas la sekvajn rezultojn:
#000015
La antaŭa aserto ne estas malfacila konfirmi, se ni simple memoras kion la Dynkin-diagramo rakontas nin pri la angulo inter ĉiu paro de radikoj.
#000016
Weyl-grupoj estas ekzemploj de finhavaj reflektadgrupoj, ĉar ili estas generitaj per reflektadoj;
la abstraktaj grupoj (ne konsideritaj subgrupojn de linia grupo) estas sekve finhavaj Coxeter-grupoj, kio permesas al ili esti klasifikita per ilia Coxeter-Dynkin-diagramo.
Esti Coxeter-grupo intencas ke Weyl-grupo havas specialaĵon speco de prezento en kiu ĉiu generatoro xi estas de ordo du, kaj la rilatoj krom xi 2 estas de la formo ( x I x j ) m ij .
La generatoroj estas la reflektadoj donitaj per simplaj radikoj, kaj mij estas 2, 3, 4, aŭ 6 depende de ĉu radikoj I kaj j faras angulon de 90, 120, 135, aŭ 150 gradoj, t.e., ĉu en la Dynkin-diagramo ili estas neligitaj, ligita per simpla rando, ligita per duobla rando, aŭ ligita per triobla rando.
#000017
Weyl-grupoj havas Bruhat-ordon kaj longofunkcion laŭ tiu prezento: la longo el Weyl-grupelemento estas la daŭro de la plej mallonga vorto reprezentanta tiun elementon laŭ tiuj normaj generatoroj.
Ekzistas unika plej longa elemento de Coxeter-grupo, kiu estas kontraŭa al la identeco en la Bruhat-sinsekvo.
#000018
Weyl-grupoj en algebraj, grup-teoriaj, kaj geometriaj kontekstoj
#000019
Supra, la Weyl-grupo estis difinita kiel subgrupo de la Izometria grupo de radiksistemo.
Ekzistas ankaŭ diversaj difinoj de Weyl-grupoj specifaj por diversaj grup-teoriaj kaj geometriaj kuntekstoj ( Lie-algebro, Lie-grupo, simetria spaco, ktp.).
Por ĉiu el tiuj manieroj difini Weyl-grupoj, estas (kutime nesensignifa) teoremo ke ĝi estas Weyl-grupo en la signifo de la difino ĉe la pinto de tiu artikolo, nome la Weyl-grupo de iu radiksistemo asociita kun la objekto.
Konkreta realigo de tia Weyl-grupo kutime dependas de elekto - ekz. de Cartan-subalgebro por Lie-algebro, de maksimuma Toro por Lie-grupo.
#000020
Por kompleksa semikuracherbo Lie-algebro, la Weyl-grupo estas simple difinita kiel la reflektadgrupo generita per reflektadoj en la radikoj - la specifa realigo de la radiksistemo depende de elekto de Cartan-subalgebro.
#000022
Por Lie grupo G kontentiganta certajn kondiĉojn, [noton 1] surbaze de Toro T < G (kiuj ne devas esti maksimumaj), la Weyl-grupo kun respekto al tiu Toro estas difinita kiel la kvociento de la normaliganto de la Toro N = da N ( T
NG ( T) de la centraliganto de la Toro Z = Z ( T
#000023
La grupo W estas finhava - Z estas de finhava indekso en N.
tiam la rezulta kvociento N / Z = N / T estas nomitaj la Weyl-grupo de G, kaj indikita W ( G).
Notu ke la specifa kvocientaro dependas de elekto de maksimuma Toro, sed la rezultaj grupoj estas tute izomorfaj (de interna aŭtomorfismo de G), ĉar maksimumaj Toroj estas konjugato.
#000024
Se G estas kompakta kaj ligita, kaj T estas maksimuma Toro, tiam la Weyl-grupo de G estas izomorfa al la Weyl-grupo de ĝia Lie-algebro, kiel diskutite supre.
#000025
Ekzemple, por la ĝenerala lineara grupo Gl, maksimuma Toro estas la subgrupo D de inverteblaj diagonalaj matricoj, kies normaliganto estas la ĝeneraligitaj permutadomatricoj (matricoj en la formo de permutadomatricoj, sed kun iuj ne-nulaj nombroj modloko de la '1), kaj kies Weyl-grupo estas la simetria grupo.
En tiu kazo la kvociento mapas N → N / T disigojn (per la permutadomatricoj), do la normaliganto N estas semidirekt-produkto de la Toro kaj la Weyl-grupo, kaj la Weyl-grupo povas esti esprimita kiel subgrupo de G.
Ĝenerale tio estas ne ĉiam la kazo - la kvociento ne ĉiam fendetiĝas, la normaliganto N ne estas ĉiam la semidirekt-produkto de W kaj Z, kaj la Weyl-grupo ne povas ĉiam esti realigita kiel subgrupo de G.
#000026
Se B estas Borel-subgrupo de G, t.e., maksimuma ligis solveblan subgrupon kaj maksimuman Toron T = kiun T 0 estas elektita por kuŝi en B, tiam ni akiras la Bruhat-putriĝon
#000027
kiu kaŭzas la putriĝon de la flagvariaĵo G / B en Schubert-ĉelojn (vidu Grassmannian).
#000028
La strukturo de la Hasse-diagramo de la grupo estas ligita geometrie al la kohomologio da la dukto (prefere, de la realaj kaj kompleksaj formoj de la grupo), kiu estas limigita per Poincaré-dueco.
Tiel algebraj trajtoj de la Weyl-grupo egalrilatas al ĝeneralaj topologiaj trajtoj de duktoj.
Ekzemple, Poincaré-dueco donas parigon inter ĉeloj en dimensio k kaj en dimensio n - k (kie n estas la dimensio de dukto): la malsupra (0) dimensia ĉelo egalrilatas al la neŭtra elemento de la Weyl-grupo, kaj la duobla pint-dimensia ĉelo egalrilatas al la plej longa elemento de Coxeter-grupo.
#000029
Ekzistas kelkaj analogecoj inter algebraj grupoj kaj Weyl-grupoj - ekzemple, la nombro da elementoj de la simetria grupo estas n!
tiel la simetria grupo kondutas kiel kvankam ĝi estis linia grupo super "la kampo kun unu elemento".
Tio estas formaligita per la kampo kun unu elemento, kiu konsideras Weyl-grupojn esti simplanimaj algebraj grupoj super la kampo kun unu elemento.
#000030
Semisimple Lie-algebronombraj Cartan-subalgebroj kaj radiksistemoj
#000032
^ Different conditions are sufficient - most simply if G is connected and either compact, or an affine algebraic group.
The definition is simpler for a semisimple (or more generally reductive) Lie group over an algebraically closed field , but a relative Weyl group can be defined for a split Lie group .
#000033