En lineara algebro, ajgenvektoro aŭ karakteriza vektoro de lineartransformo estas ne-nula vektoro kies direkto ne ŝanĝas kiam ke lineartransformo estas aplikita al ĝi.
Pli formale, se T estas lineartransformo de vektora spaco V pli ol kampo F en si mem kaj v estas vektoro en V kiu ne estas la nul vektoro, tiam v estas ajgenvektoro de T se T ( v) estas skalarmultoblo de v.
Tiu kondiĉo povas esti skribita kiel la ekvacio
#000001
kie λ estas Skalaro en la kampo F, konata kiel la Eigen-valoro, karakteriza valoro, aŭ karakteriza radiko asociis kun la ajgenvektoro v.
#000002
Se la vektora spaco V estas finhav-dimensia, tiam la lineartransformo T povas esti reprezentita kiel kvadratmatrico A, da kaj la vektoro v per kolumna vektoro, transigante ĉi-supran mapadon kiel matrica multipliko sur maldekstramana flanko kaj malpliigo de la kolumna vektoro sur la dekstra flanko en la ekvacio
#000003
Ekzistas korespondado inter n per n kvadratmatricoj kaj lineartransformoj de n-dimensia vektora spaco ĝis si mem.
Tial, estas ekvivalente difini Eigen-valorojn kaj ajgenvektorojn uzantajn aŭ la lingvon de matricoj aŭ la lingvon de lineartransformoj.
#000004
Geometrie ajgenvektoro, egalrilati al reala Nonzereigen-valoro, punktoj en direkto kiu estas etendita per la transformo kaj la Eigen-valoro estas la faktoro de kiu ĝi estas etendita.
Se la Eigen-valoro estas negativa, la direkto estas inversigita.
#000005
Eigenvalues kaj la karakteriza ekvacio
Eigenspaces, geometria diverseco, kaj la eigenbasis por matricoj
3 Tridimensia matricekzemplo kun kompleksaj Eigen-valoroj
6 Matrico kun ripeta Eigen-valorekzemplo
#000007
Eigenspaces, geometria diverseco, kaj la eigenbasis
Asociecaj algebroj kaj prezenta teorio
#000009
Tensoro de momento de inercio
#000010
Eigenvalues kaj ajgenvektoroj rolas elstare en la analizo de lineartransformoj.
La prefikso eigen- estas adoptita de la germana vorto eigen por "bonorda", "eneca";
Origine utiligita por studi ĉefaksojn de la rotacia decidpropono de rigidaj korpoj, Eigen-valoroj kaj ajgenvektoroj havas larĝan gamon de aplikoj, ekzemple en stabilecanalizo, vibradanalizo, atomŝeloj, vizaĝrekono, kaj matricdiagonaligo.
#000011
En esenco, ajgenvektoro v de lineartransformo T estas ne-nula vektoro kiu, kiam T estas aplikitaj al ĝi, ne ŝanĝas direkton.
Uzado T al la ajgenvektoro nur skalas la ajgenvektoron de la skalarvaloro λ, nomita Eigen-valoro.
Tiu kondiĉo povas esti skribita kiel la ekvacio
#000012
referite kiel la Eigen-valorekvacio aŭ eigenekvation.
Ĝenerale, λ povas esti ajna Skalaro.
Ekzemple, λ povas esti negativa, en kiu kazo la ajgenvektoro inversigas direkton kiel parto de la malpliigo, aŭ ĝi povas esti nul aŭ komplekso.
#000013
Lineartransformoj povas preni multajn malsamajn formojn, mapante vektorojn en diverseco de vektoraj spacoj, tiel ke la eigenvektors ankaŭ povas preni multajn formojn.
#000015
Alternative, la lineartransformo povis preni la formon de n de n matrico, en kiu kazo la ajgenvektoroj estas n de 1 matricoj kiuj ankaŭ estas referitaj kiel ajgenvektoroj.
Se la lineartransformo estas esprimita en la formo de n per n matrico A, tiam la Eigen-valorekvacio supre ĉar lineartransformo povas esti rewriten kiel la matrica multipliko
#000016
kie la ajgenvektoro v estas n de 1 matrico.
Por matrico, eigenvalues kaj ajgenvektoroj povas esti uzitaj por malkonstrui la matricon, ekzemple de diagonalizing ĝi.
#000017
Eigenvalues kaj ajgenvektoroj kaŭzas multajn proksime rilatitajn matematikajn konceptojn, kaj la prefikso eigen- estas uzita liberale dum nomado de ili:
#000018
La aro de ĉiuj ajgenvektoroj de lineartransformo, kiun ĉiu pariĝis kun sia ekvivalenta Eigen-valoro, estas nomita la eigensistem de tiu transformo.
La aro de ĉiuj ajgenvektoroj de T egalrilatanta al la sama Eigen-valoro, kune kun la nul vektoro, estas nomita ajgenspaco aŭ karakteriza spaco de T.
Se la aro de eigenvektors de T formas bazon de la domajno de T, tiam tiu bazo estas nomita eigenbasis.
#000019
Eigenvalues ofte estas prezentita en la kunteksto de lineara algebro aŭ matrica teorio.
Historie, aliflanke, ili ekestis en la studo de kvadrataj formoj kaj diferencialaj ekvacioj.
#000020
En la 18-a jarcento Euler studis la rotacian decidproponon de rigida korpo kaj malkovris la gravecon de la ĉefaksoj.
Lagrange ekkomprenis ke la ĉefaksoj estas la eigenvektors de la inerciomatrico.
En la frua 19-a jarcento, Cauchy vidis kiel ilia laboro povus esti utiligita por klasifiki la Kvadriksurfacojn, kaj ĝeneraligis ĝin al arbitra grandeco.
Cauchy ankaŭ elpensis la esprimon racincaractéristique (karakteriza radiko) por kio nun estas nomitaj Eigen-valoro;
lia esprimo pluvivas en karakteriza ekvacio .
#000021
Fourier utiligis la laboron de Laplace kaj Lagrange por solvi la varmecekvacion per apartigo de variabloj en sia fama 1822 libro Théorie analytique de la chaleur .
Sturm evoluigis la ideojn de Fourier plu kaj alportis ilin al la atento de Cauchy, kiu kombinis ilin kun siaj propraj ideoj kaj alvenis ĉe la fakto ke realaj simetriaj matricoj havas realajn Eigen-valorojn.
Tio estis etendita fare de Hermite en 1855 al kio nun estas nomitaj memadjunktaj matricoj.
Ĉirkaŭ la sama tempo, Brioski pruvis ke la eigenvalues de ortogonalaj matricoj kuŝas sur la trigonometria cirklo, [11] kaj Clebsch trovis la ekvivalentan rezulton por kontraŭsimetriaj matricoj.
Finfine, Weierstrass klarigis gravan aspekton en la stabilecteorio komencita de Laplace per ekkomprenado ke difektitaj matricoj povas kaŭzi malstabilecon.
#000022
Intertempe, Liouville studis Eigen-valorproblemojn similajn al tiuj de Sturm;
la disciplino kiu kreskis el ilia laboro nun estas nomita Sturm-Liouville-teorio .
Schwarz studis la unuan Eigen-valoron de la ekvacio de Laplace pri ĝeneralaj domajnoj direkte al la fino de la 19-a jarcento, dum Poincaré studis la ekvacion de Poisson kelkajn jarojn poste.
#000023
Ĉe la komenco de la 20-a jarcento, Hilbert studis la eigenvalues de integritaj funkciigistoj rigardante la funkciigistojn kiel senfinajn matricojn.
Li estis la unua se temas pri uzi la germanan vorton eigen, kio intencas "propra", por indiki Eigen-valorojn kaj ajgenvektorojn en 1904, [18] kvankam li eble sekvis rilatan uzokutimon de Helmholtz.
Por iom da tempo, la norma esprimo en la angla estis "bonorda valoro", sed la pli karakteriza esprimo "Eigen-valoro" estas norma hodiaŭ.
#000024
La unua nombra algoritmo por komputado de Eigen-valoroj kaj ajgenvektoroj aperis en 1929, kiam Von Mises publikigis la potencmetodon.
Unu el la plej popularaj metodoj hodiaŭ, la QR-algoritmo, estis proponita sendepende fare de John G.F. Francis [20] kaj Vera Kublanovskaya [21] en 1961.
#000025
Eigenvalues kaj ajgenvektoroj de matricoj
#000026
Eigenvalues kaj ajgenvektoroj ofte estas enkondukitaj en studentoj en la kunteksto de linearalgebraj kursoj temigis matricojn.
Krome, lineartransformoj povas esti reprezentitaj utiligante matricojn, [1] [2] aparte oftaj en nombraj kaj komputilaj aplikoj.
#000027
Pripensu n-dimensia vektorojn kiuj estas formitaj kiel listo de n Skalaroj, kiel ekzemple la tridimensiaj vektoroj
#000028
Tiuj vektoroj laŭdire estas skalarmultobloj de unu la alian, aŭ paralelaj aŭ samliniaj, ĉu ekzistas skalarλ tia ke
#000029
Nun pripensu la lineartransformon de n-dimensia vektoroj difinitaj per n de n matrico A,
#000030
Se ĝi okazas tiu v kaj w estas skalarmultobloj, kiu estas se
#000031
tiam v estas ajgenvektoro de la lineartransformo A kaj la skalfaktoro λ estas la Eigen-valoro egalrilatanta al tiu ajgenvektoro.
Ekvacio ( 1 ) estas la Eigen-valorekvacio por la matrico A.
#000032
kie I estas la n de n identa matrico.
#000034
Eigenvalues kaj la karakteriza ekvacio
#000035
Uzante la regulon de Leibniz por la determinanto, maldekstramana flanko de Equation ( 3 ) estas polinom funkcio de la varia λ kaj la grado da tiu polinomo estas n, la ordo de la matrico A.
Ĝiaj koeficientoj dependas de la kontribuoj de A, krom ke ĝia esprimo de grado da n ĉiam estas (−1) n λ n .
Tiu polinomo estas nomita la karakteriza ekvacio de A.
Ekvacio ( 3 ) estas nomita la karakteriza ekvacio aŭ la sekulara ekvacio de A.
#000037
La algebra bazteoremo implicas ke la karakteriza ekvacio de n de n matrico A, estanta polinomo de grado da n, povas esti faktorigita en la produkton de n liniaj esprimoj,
#000038
kie ĉiu λ I povas esti reala sed ĝenerale estas kompleksa nombro.
La nombroj da λ 1, λ 2
λ n , kiun eble ne ĉio havas apartajn valorojn, estas radikoj de la polinomo kaj estas la eigenvalues de A.
#000039
Mallongan ekzemplon, kiu estas priskribita en pli da detalo en la ekzemplosekcio poste, konsideras la matricon
#000040
Prenante la determinanton de ( M − λI), la karakteriza ekvacio de M estas
#000041
Metante la karakterizan ekvacion egala al nul, ĝi havas radikojn ĉe λ = 1 kaj λ = 3, kiuj estas la du Eigen-valoroj de M.
La eigenvektors egalrilatanta al ĉiu Eigen-valoro povas esti trovita per solvado por la komponentoj de v en la ekvacio Mv = λv.
En tiu ekzemplo, la ajgenvektoroj estas ajnaj ne-nulaj skalarmultobloj de
#000042
Se la kontribuoj da la matrico A estas ĉiuj realaj nombroj, tiam la koeficientoj de la karakteriza ekvacio ankaŭ estos realaj nombroj, sed la eigenvalues daŭre povas havi ne-nulajn imaginarajn partojn.
La kontribuoj de la ekvivalenta eigenvektors tial povas ankaŭ havi ne-nulajn imaginarajn partojn.
Simile, la eigenvalues povas esti neraciaj nombroj eĉ se ĉiuj kontribuoj de A estas raciaj nombroj aŭ eĉ se ili estas ĉiuj entjeroj.
Tamen, se la kontribuoj de A estas ĉiuj algebraj nombroj, kiuj inkludas la rationals, la Eigen-valoroj estas kompleksaj algebraj nombroj.
#000043
La ne-realaj radikoj da reala polinomo kun realaj koeficientoj povas esti grupigitaj en parojn de kompleksaj konjugitoj, nome kun la du membroj de ĉiu paro havante imaginarajn partojn kiuj malsamas nur en signo kaj la sama reela parto.
Se la grado estas stranga, tiam de la mezvaloro-teoremo almenaŭ unu el la radikoj estas reala.
Tial, ĉiu reala matrico kun stranga ordo havas almenaŭ unu realan Eigen-valoron, dum reala matrico kun eĉ ordo eble ne havas ajnan realan eigenvalues.
La eigenvektors asociita kun tiuj kompleksaj Eigen-valoroj ankaŭ estas kompleksa kaj ankaŭ aperas en kompleksakonjugitaj paroj.
#000044
Lasu λ I esti Eigen-valoro de n de n matrico A.
La algebra diverseco μ A ( λ I ) de la Eigen-valoro estas it diverseco kiel radiko de la karakteriza ekvacio, t.e., la plej granda entjero k tia ke ( λ − λ I ) k disigas egale tiun polinomon.
#000045
Supozi matrico A havas dimension n kaj d ≤ n klaran eigenvalues.
Dum Ekvacio ( 4 ) faktorigas la karakterizan ekvacion de A en la produkton de n liniaj esprimoj kun kelkaj esprimoj eble ripetante, la karakteriza ekvacio povas anstataŭe esti skribita kiel la produkto d al esprimoj ĉiun egalrilatante al klara Eigen-valoro kaj levita al la potenco de la algebra diverseco,
#000046
Se d = n tiam la dekstra flanko estas la produkto de n liniaj esprimoj kaj tio estas la sama kiel Equation ( 4 ).
La grandeco de la algebra diverseco de ĉiu Eigen-valoro estas rilatita al la dimensio n kiel
#000047
If μA(λi) = 1, then λi is said to be a simple eigenvalue.[27] If μA(λi) equals the geometric multiplicity of λi, γA(λi), defined in the next section, then λi is said to be a semisimple eigenvalue.
#000048
Eigenspaces, geometria diverseco, kaj la eigenbasis por matricoj
#000049
Surbaze de speciala Eigen-valoro λ de la n de n matrico A, difinas la aron E por esti ĉiuj vektoroj v kiuj kontentigas Equation ( 2 ),
#000050
Sur unu mano, tiu aro estas ĝuste la kerno aŭ nulo-spaco de la matrico ( − λI).
Aliflanke, de difino, ĉiu ne-nula vektoro kiu kontentigas tiun kondiĉon estas ajgenvektoro de A asociita kun λ.
Tiel, la aro E estas la unio de la nul vektoro kun la aro de ĉiuj ajgenvektoroj de A asociita kun λ, kaj E korespondas al la nulo-spaco de ( − λI).
E estas nomita la ajgenspaco aŭ karakteriza regiono de A asociita kun λ.
En ĝenerala λ estas kompleksa nombro kaj la ajgenvektoroj estas komplekso n de 1 matricoj.
Posedaĵo de la nulo-spaco estas ke ĝi estas linia subspaco, tiel ke E estas linia subspaco de C n .
#000051
La dimensio de la ajgenspaco E asociita kun λ, aŭ ekvivalente la maksimumnombro de linie sendependaj ajgenvektoroj asociitaj kun λ, estas referita kiel la geometria diverseco de la Eigen-valoro γ A ( λ).
Ĉar E ankaŭ estas la nulo-spaco de ( − λI), la geometria diverseco de λ estas la dimensio de la nulo-spaco de ( − λI), ankaŭ nomita la nevalideco de ( − λI), de kiu rilatigas al la dimensio kaj rango ( − λI) kiel
#000053
Pro la difino de Eigen-valoroj kaj ajgenvektoroj, la geometria diverseco de Eigen-valoro devas esti almenaŭ oni, t.e., ĉiu Eigen-valoro havas almenaŭ unu rilatan ajgenvektoron.
Krome, la geometria diverseco de Eigen-valoro ne povas superi sian algebran diversecon.
Plie, memoras ke la algebra diverseco de Eigen-valoro ne povas superi n.
#000054
La kondiĉo tiu γ A ( λ
μ A ( λ) povas esti pruvita pripensante specialan Eigen-valoron ξ de A kaj diagonalizing la unuan γ A ( ξ) kolonojn de A kun respekto al la eigenvektors de ξ, priskribis en pli posta sekcio.
La rezulta simila matrico B estas bloko supra triangula, kun ĝia pinto lasita bloko estanta la diagonalmatrica ξI γ A ( ξ).
Kiel rezulto, la karakteriza ekvacio de B havos faktoron de ( ξ − λ) γ A ( ξ).
La aliaj faktoroj de la karakteriza ekvacio de B ne estas konataj, do la algebra diverseco de ξ kiel Eigen-valoro de B estas neniu malpli ol la geometria diverseco de ξ kiel Eigen-valoro de A.
La lasta elemento de la pruvo estas la posedaĵo kiun similaj matricoj havas la saman karakterizan ekvacion.
#000055
Suppose A has d ≤ n distinct eigenvalues λ1, λ2, ..., λd, where the geometric multiplicity of λi is γA(λi). The total geometric multiplicity of A,
#000056
estas la dimensio de la unio de la tuta eigenspaces de la eigenvalues de A s, aŭ ekvivalente la maksimumnombro de linie sendependa eigenvektors de A.
Se γ A = n, tiam
#000057
La unio de la eigenspaces de ĉiuj el la eigenvalues de A s estas la tuta vektora spaco C n
Bazo de C n povas esti formita de n linie sendependa eigenvektors de A;
tia bazo estas nomita eigenbasis
Ĉiu vektoro en C n povas esti skribita kiel lineara kombinaĵo de eigenvektors de A
#000058
Lasis esti arbitra n de n matrico de kompleksaj nombroj kun Eigen-valoroj λ 1, λ 2
Ĉiu Eigen-valoro prezentiĝas μ A ( λ I ) tempoj en tiu listo, kie μ A ( λ I ) estas la algebra diverseco de la Eigen-valoro.
La sekvantaroj estas trajtoj de tiu matrico kaj ĝia eigenvalues:
#000059
La spuro de A, difinita kiel la sumo de siaj diagonalaj elementoj, ankaŭ estas la sumo de ĉiuj Eigen-valoroj,
#000060
La determinanto de A estas la produkto de ĉiuj siaj Eigen-valoroj,
#000061
Multaj disciplinoj tradicie reprezentas vektorojn kiel matricoj kun unuopa kolono prefere ol kiel matricoj kun ununura vico.
Pro tiu kialo, la vorto "ajgenvektoro" en la kunteksto de matricoj preskaŭ ĉiam plusendas al dekstra ajgenvektoro, nome kolumnan vektoron kiu dekstraj multobloj la n de n matrico A en la difina ekvacio, Equation ( 1 ),
#000063
La Eigen-valoro kaj ajgenvektorproblemo ankaŭ povas esti difinitaj por vic vektoroj kiuj foriris multobligas matricon A.
En tiu formuliĝo, la difina ekvacio estas
#000064
kie κ estas skalaro kaj u estas 1 de n matrico.
Ĉiu vicvektoro u kontentiganta tiun ekvacion estas nomita maldekstra ajgenvektoro de A kaj κ estas sia rilata Eigen-valoro.
Preni la konjugaton transmetas de tiu ekvacio,
#000065
Supozi la eigenvektors de A formas bazon, aŭ ekvivalente A havas n linie sendependaj ajgenvektoroj v 1, v 2
v n kun rilataj Eigen-valoroj λ 1, λ 2
La eigenvalues ne devas esti klara.
Difini kvadratmatricon Q kies kolonoj estas la n linie sendependa eigenvektors de A,
#000067
Ĉar ĉiu kolono de Q estas ajgenvektoro de A, dekstra multobligado A de Q skalas ĉiun kolonon de Q memstare rilata Eigen-valoro,
#000068
Kun tio en menso, difinu diagonalmatrica λ kie ĉiu diagonala elemento λ ii la Eigen-valoro estas asociita kun la mi th kolono de Q.
#000069
Ĉar la kolonoj de Q estas linie sendependaj, Q estas invertebla.
Dekstrajn multobligante ambaŭ flankojn de la ekvacio de Q −1,
#000070
aŭ de anstataŭe maldekstro multobliganta ambaŭ flankojn de Q −1,
#000071
Ladskatolo tial estu malkonstruita en matricon kunmetita de siaj ajgenvektoroj, diagonala matrico kun sia eigenvalues laŭ la diagonala, kaj la inversa de la matrico de ajgenvektoroj.
Tio estas nomita la eigendekomposition kaj ĝi estas similectransformo.
Tia matrico A laŭdire estas simila al la diagonala matrico λ aŭ diagonalizabla .
La matrico Q estas la ŝanĝo de bazmatrico de la similectransformo.
Esence, la matricoj A kaj λ reprezentas la saman lineartransformon esprimitan en du malsamaj bazoj.
La ajgenvektoroj estas utiligitaj kiel la bazo dum reprezentado de la lineartransformo kiel λ.
#000072
Inverse, supozas ke matrico A estas diagonalizabla.
Lasu P esti ne-eksterordinara kvadratmatrico tia ke P −1 AP estas iu diagonala matrico D.
Forlasita multobligante ambaŭ de P, AP = PD.
Ĉiu kolono de P devas tial esti ajgenvektoro de A kies Eigen-valoro estas la ekvivalenta diagonala elemento de D.
Ĉar la kolonoj de P devas esti linie sendependaj por P por esti inverteblaj, tie ekzistas n linie sendependa eigenvektors de A.
Ĝi tiam sekvas ke la eigenvektors de A formas bazon se kaj nur se A estas diagonalizabla.
#000073
Matrico kiu ne estas diagonalizabla laŭdire estas difektita.
Por difektitaj matricoj, la nocio de ajgenvektoroj ĝeneraligas al ĝeneraligitaj ajgenvektoroj kaj la diagonala matrico da Eigen-valoroj ĝeneraligas al la Jordania normala formo.
Super algebre fermita kampo, ĉiu matrico A havas Jordanian normalan formon kaj tial koncedas bazon de ĝeneraligitaj ajgenvektoroj kaj putriĝo en ĝeneraligitajn ajgenspacojn.
#000074
En la Hermitiana kazo, al Eigen-valoroj povas ricevi variational karakterizado.
#000075
La figuro dekstraflanke montras la efikon da tiu transformo sur punktokoordinatoj en la aviadilo.
La eigenvektors v de tiu transformo kontentigas Equation ( 1 ), kaj la valoroj de λ por kiu la determinanto de la matrico ( − λI) estas nul estas la eigenvalues.
#000076
Prenante la determinanton por trovi karakterizan ekvacion de A,
#000077
Metante la karakterizan ekvacion egala al nul, ĝi havas radikojn ĉe λ = 1 kaj λ = 3, kiuj estas la du Eigen-valoroj de A.
#000078
Por λ = 1, Ekvacio ( 2 ) iĝas,
#000079
ajgenvektoro de A egalrilatanta al λ estas = 1, kiel estas ajna skalarmultoblo de tiu vektoro.
#000081
Por λ = 3, Ekvacio ( 2 ) iĝas
#000082
Ajnan ne-nulan vektoron kun v 1 = v 2 solvas tiun ekvacion.
#000083
Tiel, la vektoroj v λ = 1 kaj v λ = 3 estas eigenvektors de A asociita kun la eigenvalues λ = 1 kaj λ = 3, respektive.
#000084
La karakteriza ekvacio de A estas
#000085
La radikoj de la karakteriza ekvacio estas 2, 1, kaj 11, kiuj estas la nuraj tri Eigen-valoroj de A.
#000086
Tridimensia matricekzemplo kun kompleksaj Eigen-valoroj
#000087
Tiu matrico ŝanĝas la koordinatojn de la vektoro supren de unu pozicio kaj movas la unuan koordinaton al la fundo.
Ĝia karakteriza ekvacio estas 1 − λ 3, kies radikoj estas
#000088
Por la reala Eigen-valoro λ 1 = 1, ajna vektoro kun tri egalaj ne-nulaj kontribuoj estas ajgenvektoro.
#000089
Por la kompleksakonjugita paro de imagaj Eigen-valoroj, notu tion
#000090
Notu ke la du kompleksaj ajgenvektoroj ankaŭ aperas en kompleksakonjugita paro,
#000091
Matricoj kun kontribuoj nur laŭ la ĉefkonduktilo diagonala estas nomitaj diagonalaj matricoj .
La eigenvalues de diagonala matrico estas la diagonalaj elementoj mem.
#000092
Tiuj radikoj estas la diagonalaj elementoj same kiel la eigenvalues de A.
#000093
Ĉiu diagonala elemento egalrilatas al ajgenvektoro kies nura ne-nula komponento estas en la sama vico kiel tiu diagonala elemento.
En la ekzemplo, la Eigen-valoroj egalrilatas al la eigenvektors,
#000094
respektive, same kiel skalarmultobloj de tiuj vektoroj.
#000095
Matrico kies elementoj super la ĉefdiagonalo estas ĉiuj nul estas nomita pli malalta triangula matrico , ke dum matrico kies elementoj sub la ĉefdiagonalo estas ĉiuj nul estas nomita supra triangula matrico.
Ĉar kun diagonalaj matricoj, la eigenvalues de triangulaj matricoj estas la elementoj de la ĉefkonduktilo diagonala.
#000096
Pripensu la pli malaltan triangulan matricon,
#000097
Tiuj Eigen-valoroj egalrilatas al la eigenvektors,
#000098
Kiel en la antaŭa ekzemplo, la pli malalta triangula matrico
#000099
havas karakterizan ekvacion kiu estas la produkto de siaj diagonalaj elementoj,
#000100
La radikoj de tiu polinomo, kaj tial la eigenvalues, estas 2 kaj 3-a La algebra diverseco de ĉiu Eigen-valoro estas 2;
en aliaj vortoj ili estas ambaŭ duoblaj radikoj.
La sumo de la algebraj diversecoj de ĉiu klara Eigen-valoro estas μ A = 4 = n, la ordo de la karakteriza ekvacio kaj la dimensio de A.
#000101
Aliflanke, la geometria diverseco de la Eigen-valoro 2 estas nur 1, ĉar ĝia ajgenspaco estas enhavita per nur unu vektoro [0 1 −1 1] T kaj estas tial 1-dimensia.
Simile, la geometria diverseco de la Eigen-valoro 3 estas 1 ĉar ĝia ajgenspaco estas enhavita per nur unu vektoro [0 0 0 1] T.
La totala geometria diverseco γ A estas 2, kio estas la plej malgranda kiun ĝi povis esti por matrico kun du apartaj Eigen-valoroj.
Geometriaj diversecoj estas difinitaj en pli posta sekcio.
#000102
Eigenvalues kaj eigenfunktion de diferencialaj operatoroj
#000103
La difinoj de Eigen-valoro kaj ajgenvektoroj de lineartransformo T restas validaj eĉ se la subesta vektora spaco estas senfin-dimensia Hilbert- aŭ Banach-spaco.
Vaste uzita klaso de lineartransformoj reagantaj al senfin-dimensiaj regionoj estas la diferencialaj operatoroj sur funkciaj spacoj.
Lasu D esti linia diferenciga funkciigisto sur la spaco C ∞ da senlime diferencieblaj realaj funkcioj de reala argumento t.
La Eigen-valorekvacio por D estas la diferenciala ekvacio
#000104
La funkcioj kiuj kontentigas tiun ekvacion estas eigenvektors de D kaj estas ofte nomitaj eigenfunktion.
#000105
Tiu diferenciala ekvacio povas esti solvita multobligante kaj flankojn per dt / f ( t) kaj integrado.
Ĝia solvo, la eksponenta funkcio
#000106
la eigenfunktion de la derivita funkciigisto estas.
Notu ke en tiu kazo la eigenfunktion estas sin funkcio de sia rilata Eigen-valoro.
Aparte, noto ke por λ = 0 la eigenfunktion f ( t) estas konstanto.
#000107
La ĉefeigenfunktion artikolo donas aliajn ekzemplojn.
#000108
La koncepto de Eigen-valoroj kaj ajgenvektoroj ampleksas nature arbitrajn lineartransformojn sur arbitrajn vektorajn spacojn.
Lasu V esti ajna vektora spaco super iu kampo K da Skalaroj, kaj lasu T esti lineartransformmapado V en V,
#000109
Ni diras ke ne-nula vektoro v ∈ V estas ajgenvektoro de T se kaj nur se tie ekzistas skalarλ ∈ K tia ke
#000110
Tiu ekvacio estas nomita la Eigen-valorekvacio por T, kaj la skalarλ estas la Eigen-valoro de T egalrilatanta al la ajgenvektoro v.
Notu ke T ( v) estas la rezulto de aplikado de la transformo T al la vektoro v, dum λ v estas la produkto de la skalarλ kun v.
#000111
Eigenspaces, geometria diverseco, kaj la eigenbasis
#000112
Surbaze de Eigen-valoro λ, pripensu la aron
#000113
kiu estas la unio de la nul vektoro kun la aro de ĉiuj ajgenvektoroj asociitaj kun λ.
E estas nomita la ajgenspaco aŭ karakteriza spaco de T asociita kun λ.
#000114
Tial, se u kaj v estas eigenvektors de T asociita kun Eigen-valoro λ, nome ( u, v
#000115
Tiel, kaj u + v kaj αv estas aŭ nul aŭ eigenvektors de T asociita kun λ, nome ( u + v, αv
E, kaj E estas fermita sub aldono kaj skalara multipliko.
La ajgenspaco E asociita kun λ estas tial linia subspaco de V.
Se tiu subspaco havas dimension 1, ĝi foje estas nomita eigenlino.
#000116
La geometria diverseco γ T ( λ) de Eigen-valoro λ estas la dimensio de la ajgenspaco asociita kun λ, t.e., la maksimumnombro de linie sendependaj ajgenvektoroj asociitaj kun tiu Eigen-valoro.
De la difino de Eigen-valoroj kaj ajgenvektoroj, γ T ( λ) ≥ 1 ĉar ĉiu Eigen-valoro havas almenaŭ unu ajgenvektoron.
#000117
La eigenspaces de T ĉiam formas rektan sumon.
Kiel sekvo, ajgenvektoroj de malsamaj Eigen-valoroj ĉiam estas linie sendependaj.
Tial, la sumo de la grandeco de la eigenspaces ne povas superi la dimension n de la vektora spaco sur kiu T funkciigas, kaj ne povas ekzisti pli ol n klara eigenvalues.
#000118
Ĉiu subspaco enhavita per ajgenvektoroj de T estas senvaria subspaco de T, kaj la limigo de T al tia subspaco estas diagonalizablaj.
Krome, se la tuta vektora spaco V povas esti enhavita per la eigenvektors de T, aŭ ekvivalente ĉu la rekta sumo de la ajgenspacoj asociitaj kun la tuta eigenvalues de T estas la tuta vektora spaco V, tiam bazo de V nomita eigenbasis povas esti formita de linie sendependa eigenvektors de T.
Kiam T koncedas eigenbasis, T estas diagonalizabla.
#000119
Dum la difino de ajgenvektoro uzita en tiu artikolo ekskludas la nul vektoron, estas eble difini Eigen-valorojn kaj ajgenvektorojn tia ke la nul vektoro estas ajgenvektoro.
#000120
Pripensu denove la Eigen-valorekvacion, Equation ( 5 ).
Difini Eigen-valoron por esti ajna skalarλ ∈ K tia ke tie ekzistas ne-nula vektoro v ∈ V kontentigan Ekvacion ( 5 ).
Estas grave ke tiu versio de la difino de Eigen-valoro precizigas ke la vektoro estu ne-nula, alie de tiu difino kiun la nul vektoro permesus al ajna Skalaro en K esti Eigen-valoro.
Difini ajgenvektoron v asociita kun la Eigen-valoro λ por esti ajna vektoro tio, surbaze de λ, kontentigas Equation ( 5 ).
Surbaze de la Eigen-valoro, la nul vektoro estas inter la vektoroj kiuj kontentigas Equation ( 5 ), tiel ke la nul vektoro estas inkludita inter la ajgenvektoroj per tiu alterna difino.
#000121
Se λ estas Eigen-valoro de T, tiam la funkciigisto ( T − λI) ne estas unu-al-unu, kaj tial ĝia inversa ( T − λI) −1 ne ekzistas.
La konversacio estas vera por finhav-dimensiaj vektoraj spacoj, sed ne por senfin-dimensiaj vektoraj spacoj.
Ĝenerale, la funkciigisto ( T − λI) eble ne havas inversan eĉ se λ ne estas Eigen-valoro.
#000122
Tial, en funkcionalanalitikaj Eigen-valoroj povas esti ĝeneraligita al la spektro de linearoperatoro T kiel la aro de ĉiu Skalaroj λ por kiu la funkciigisto ( T − λI) havas neniun saltita inversa.
La spektro de funkciigisto ĉiam enhavas ĉiujn siajn Eigen-valorojn sed ne estas limigita al ili.
#000123
Asociecaj algebroj kaj prezenta teorio
#000124
Oni povas ĝeneraligi la algebran objekton kiu reagas al la vektora spaco, anstataŭigante ununuran funkciigiston reagantan al vektora spaco kun algebroreprezentantaro - asocieca algebro reaganta al modulo.
La studo de tiaj agoj estas la kampo de prezenta teorio.
#000125
La reprezentantar-teoria koncepto de pezo estas analogaĵo da Eigen-valoroj, dum pezvektoroj kaj pezospacoj estas la analogaĵoj de ajgenvektoroj kaj ajgenspacoj, respektive.
#000126
La plej simplaj diferencekvacioj havas la formon
#000127
La solvo de tiu ekvacio por x laŭ t estas trovita utiligante sian karakterizan ekvacion
#000128
Simila proceduro estas uzita por solvado de diferenciala ekvacio de la formo
#000129
Laŭ la Abel-Ruffini-teoremo ekzistas neniu ĝenerala, eksplicita kaj preciza algebra formulo por la radikoj de polinomo kun grado 5 aŭ pli.
#000130
Tial, por matricoj de ordo 5 aŭ pli, la Eigen-valoroj kaj ajgenvektoroj ne povas esti akiritaj per eksplicita algebra formulo, kaj devas tial esti komputitaj per proksimumaj nombraj metodoj.
#000131
En teorio, la koeficientoj de la karakteriza ekvacio povas esti komputitaj precize, ĉar ili estas sumoj de produktoj de matricelementoj;
kaj ekzistas algoritmoj kiuj povas trovi ĉiujn radikojn de polinomo de arbitra grado al iu postulata precizeco.
Tamen, tiu aliro ne estas daŭrigebla en praktiko ĉar la koeficientoj estus poluitaj per neeviteblaj je eraroj, kaj la radikoj de polinomo povas esti ekstreme sentema funkcio de la koeficientoj (same ekzempligitaj per la polinomo de Wilkinson).
#000132
Efikaj, precizaj metodoj por komputi Eigen-valorojn kaj ajgenvektoroj de arbitraj matricoj ne estis konataj ĝis la apero de la QR-algoritmo en 1961.
Kombinante la Householder-transformon kun la LU-putriĝrezultoj en algoritmo kun pli bona konverĝo ol la QR-algoritmo.
[ citaĵo bezonita ] Por granda Hermita
malabundaj matricoj, la Lanczos-algoritmo estas unu ekzemplo de efika ripeta metodo por komputi Eigen-valorojn kaj eigenvektors, inter pluraj aliaj eblecoj.
#000133
Post kiam la (preciza) valoro de Eigen-valoro estas konata, la ekvivalentaj ajgenvektoroj povas esti trovitaj trovante ne-nulajn solvojn de la Eigen-valorekvacio, kiu iĝas sistemo de linearaj ekvacioj kun konataj koeficientoj.
Ekzemple, post kiam estas konata ke 6 estas Eigen-valoro de la matrico
#000134
Tiu matricekvacio estas ekvivalenta al du linearaj ekvacioj
#000135
Kelkaj numeraj metodoj kiuj komputas la eigenvalues de matrico ankaŭ determinas aron de ekvivalentaj ajgenvektoroj kiel kromprodukto de la komputado.
#000136
La sekva tablo prezentas kelkajn ekzemplotransformojn en la aviadilo kune kun iliaj 2×2 matricoj, Eigen-valoroj, kaj ajgenvektoroj.
#000137
kaj ĉiuj ajgenvektoroj havas ne-realajn kontribuojn.
Efektive, krom tiuj specialaj kazoj, rotacio ŝanĝas la direkton de ĉiu nonzervektoro en la aviadilo.
#000138
Lineartransformo kiu prenas kvadraton al rektangulo de la sama areo ( premomapado) havas reciprokajn Eigen-valorojn.
#000139
Tio permesas al tia reprezenti la ekvacion de Schrödinger en matricformularo.
#000140
La mamzono-ketnotacio ofte estas utiligita en tiu kunteksto.
En tiu notacio, la ekvacio de Schrödinger estas:
#000141
En kvantuma mekaniko, kaj aparte en atomaj kaj molekulaj fizikoj, ene de la Hartree-Fock teorio, la atomaj kaj molekulaj orbital'oj povas esti difinitaj per la eigenvektors de la Fock-funkciigisto.
La ekvivalentaj Eigen-valoroj estas interpretitaj kiel jonigpotencialoj per la teoremo de Koopmans.
En tiu kazo, la esprimo ajgenvektoro estas uzita en iom pli ĝenerala signifo, ĉar la Fock-funkciigisto estas eksplicite dependa de la orbital'oj kaj ilia eigenvalues.
Tiel, se oni volas substreki tiun aspekton, oni parolas pri neliniaj Eigen-valorproblemoj.
Tiaj ekvacioj estas kutime solvitaj per ripet proceduro, vokita en tiu kaza mem-kohera kampo metodo.
En kvantuma kemio, oni ofte reprezentas la Hartree-Fock-ekvacion en ne-ortogonala
Tiu akurata reprezentantaro estas ĝeneraligita Eigen-valorproblemo nomitaj Roothaan-ekvacioj.
#000142
En geologio, precipe en la studo de glacieja al, ajgenvektoroj kaj Eigen-valoroj estas utiligitaj kiel metodo per kiu maso de informoj de la orientiĝo de la eroj klastŝtofo kaj trempsaŭco povas esti resumita en 3-D spaceto per ses nombroj.
En la kampo, geologo povas kolekti tiajn datenojn por centoj aŭ miloj da klastoj en grundoprovaĵo, kiel ekzemple kiu povas nur esti komparita grafike en Tri-intrigo (Sneed kaj Folk) diagramo, [40] [41] aŭ kiel Stereoreto sur Wulff Net.
#000143
La produktaĵo por la orientiĝtensoro estas en la tri ortogonalaj (perpendikularaj) aksoj de spaco.
La klasto kiun orientiĝo estas difinita kiel la direkto de la ajgenvektoro, sur kompaso pliiĝis de 360°.
Trempsaŭco estas mezurita kiel la Eigen-valoro, la modulus da la tensoro: tio estas aprezita de 0° (neniu trempsaŭco) ĝis 90° (vertikala).
#000144
La eigendekomposition de simetria pozitiva semidefinito (PSD) matrico donas ortogonalan bazon de ajgenvektoroj, ĉiu el kiu havas Nenegativeigen-valoron.
La ortogonala putriĝo da PSD-matrico estas uzita en multivariate analizo, kie la provaĵ kunvariancmatricoj estas PSD.
Tiu ortogonala putriĝo estas nomita ĉefkomponentanalizo (PCA) en statistiko.
PCA studas liniajn rilatojn inter variabloj.
PCA estas farita en la kunvariancmatrico aŭ la korelaciomatrico (en kiu ĉiu variablo estas skalita por havi sian provaĵvariancon egala al unu).
Por la kunvarianco aŭ korelaciomatrico, la ajgenvektoroj egalrilatas al ĉefkomponentoj kaj la eigenvalues al la varianco klarigita per la ĉefkomponentoj.
Analizo al precipaj konsisteroj da la korelaciomatrico disponigas ortonormalan eigen-bazon por la spaco de la observitaj datenoj: En tiu bazo, la plej granda eigenvalues egalrilatas al la ĉefkomponentoj kiuj estas rilataj al la plej granda parto de la kunvarieco inter kelkaj observitaj datenoj.
#000145
Analizo al precipaj konsisteroj estas utiligita por studi grandaj datumserioj, kiel ekzemple tiuj renkontitaj en bioinformadiko, datenminadon, kemian esploradon, psikologion, kaj en merkatigo.
PCA estas populara precipe en psikologio, en la kampo de psikometriko.
En Q-metodaro, la eigenvalues da la korelaciomatrico determinas la juĝon de la Q-methodologist de praktika signifo (kiu devias de la statistika signifo de hipoteztestado;
kp. kriterioj por determinado de la nombro da faktoroj).
Pli ĝenerale, analizo al precipaj konsisteroj povas esti utiligita kiel metodo de faktoranalizo en struktura ekvaciomodeligado.
#000146
Eigenvalue-problemoj okazas nature en la vibradanalizo da mekanikaj strukturoj kun multaj gradoj da libereco.
La Eigen-valoroj estas la naturaj frekvencoj (aŭ eigenfrekvency) de vibrado, kaj la ajgenvektoroj estas la formoj de tiuj vibrational reĝimoj.
Aparte, nemalseketigita vibrado estas regita per
#000147
Alleblasj solvoj tiam estas lineara kombinaĵo de solvoj al la ĝeneraligita Eigen-valorproblemo
#000148
kondukas al tielnomita kvadrata Eigen-valorproblemo,
#000150
Tio povas esti reduktita al ĝeneraligita Eigen-valorproblemo per algebra manipulado je la kosto de solvado de pli granda sistemo.
#000151
La Ortectrajtoj de la eigenvektors permesas deligadon de la diferencialaj ekvacioj tiel ke la sistemo povas esti reprezentita kiel linia sumigo de la eigenvektors.
La Eigen-valorproblemo de kompleksaj strukturoj ofte estas solvita utiligante finhavan elementanalizon, sed bonorde ĝeneraligas la solvon al skalar-aprezitaj vibradproblemoj.
#000152
En prilaboro de bildoj, prilaboritaj bildoj de vizaĝoj povas esti viditaj kiel vektoroj kies komponentoj estas la brilecoj de ĉiu pikselo.
La dimensio de tiu vektora spaco estas la nombro da pikseloj.
La eigenvektors de la kunvariancmatrico asociita kun granda aro de normaligitaj bildoj de vizaĝoj estas nomita eigenface'oj ;
tio estas ekzemplo de analizo al precipaj konsisteroj.
Ili estas tre utilaj por esprimado de ajna vizaĝbildo kiel lineara kombinaĵo de kelkaj el ili.
En la vizaĝrekon branĉo de biometriko, eigenface'oj disponigas rimedon de petado de datuma kunpremo al vizaĝoj pri identig celoj.
Esplorado ligita al eigen-viziosistemoj determinantaj mangestojn ankaŭ estis farita.
#000153
Similaj al tiu koncepto, eigenvoice'oj reprezentas la ĝeneralan direkton da ŝanĝebleco en homaj elparoloj de speciala eldiraĵo, kiel ekzemple vorto en lingvo.
Surbaze de lineara kombinaĵo de tiaj eigenvoice'oj, nova voĉelparolo de la vorto povas esti konstruita.
Tiuj konceptoj estis trovitaj utilaj en aŭtomataj parolrekonsistemoj por parolantadaptado.
#000154
En mekaniko, la eigenvektors de la momento da inerciotensoro difinas la ĉefaksojn de rigida korpo.
La tensoro de momento da inercio estas esenca kvanto postulata por determini la rotacion de rigida korpo ĉirkaŭ sia centro de tumoro.
#000155
En solida mekaniko, la stres tensoro estas simetria kaj tiel povas esti malkonstruita en diagonalan tensoron kun la eigenvalues sur la diagonala kaj ajgenvektoroj kiel bazo.
Ĉar ĝi estas diagonala, en tiu orientiĝo, la strestensoro havas neniujn tond komponentojn;
la komponentoj kiujn ĝi havas estas la ĉefkomponentoj.
#000156
La unua ĉefajgenvektoro de la grafeo estas ankaŭ rilatis al simple kiel la ĉefajgenvektoro.
#000157
La ĉefajgenvektoro kutimas mezuri la centrecon de siaj verdglacioj.
La ĉefajgenvektoro de modifita apudecomatrico de la Tutmondreto-grafo donas al la paĝo rangojn kiel siaj komponentoj.
Tiu vektoro egalrilatas al la senmova distribuado de la Markov-ĉeno reprezentita per la vic-normaligita apudecomatrico;
tamen, la apudecomatrico unue devas esti modifita por certigi ke senmova distribuo ekzistas.
La dua plej malgranda ajgenvektoro povas esti uzita por dividi la grafeon en aretojn, per spektra agregaciado.
Aliaj metodoj ankaŭ estas haveblaj por buliĝado.
#000158
fundamenta nombro estas en la studo de kiom infektaj malsanoj disvastiĝas.
#000159
Diferencialaj ekvacioj / dinamikaj sistemoj
#000167
En lineara algebro, ejgeno, aŭ ajgeno aŭ ankoraŭ propra valoro de kvadrata matrico A estas nombro λ tia ke por iu ne nula vektoro x veras egaleco
#000168
tiam la vektoro x estas ejgenvektoro, aŭ ajgenvektoro aŭ ankoraŭ propra vektoro, respektiva al la ajgeno λ.
#000169
La bezono ke la ajgenvektoro esti ne nula estas ĉar la ekvacio A0 = λ0 (0 estas la nula vektoro) veras por ĉiu A kaj ĉiu λ. Pro tio ke la ekvacio estas tiam bagatele vera, ĉi tio ne estas interesa okazo. En kontrasto, ajgeno povas esti nulo en netriviala vojo. Ajgeno povas esti, kaj kutime estas, ankaŭ kompleksa nombro. En la difino donita pli supre, ajgenvektoroj kaj ajgenoj ne okazas sendepende. Anstataŭe, ĉiu ajgenvektoro estas asociita kun specifa ajgeno. Por ĉi tiu kaŭzo, ajgenvektoro x kaj respektiva ajgeno λ estas kune la ajgenparo.
#000170
Matrico A prezentas linearan transformon de la vektora spaco - turnadon, reflekton, streĉon, kunpremon, tondon aŭ kombinaĵon de ĉi tiuj.
#000171
Vektoroj kiuj ne estas ajgenvektoroj (kutime plejparto de la vektoroj) ŝanĝas sian direkton kiam la lineara transformo difinita per la matrico A estas aplikata. Ajgenvektoroj ne ŝanĝas sian direkton kiam la lineara transformo difinita per la matrico estas aplikata, alivorte Ax estas paralela al x. Noto ke ĉi tie ŝanĝo de direkto estas en senco de iĝo neparalelan. Ŝanĝo de la direkto al la kontraŭa ne estas konsiderata kiel ŝanĝo de la direkto, kaj ĉi tia okazo respektivas al negativa ajgeno.
#000172
La termino ajgeno (prefereble nomata ejgeno de PIV) originas de la germana vorto eigen (= propra), kiu estis uzata, en ĉi tiu kunteksto, de David Hilbert en 1904. Eigen tradukiĝas per la adjektivoj propra, karakteriza aŭ la prefikso auto-.
#000173
Ĉiu ajgeno estas asociita kun malfinie multaj ajgenvektoroj. Se x estas ajgenvektoro respektiva al ajgeno λ, do por ĉiu reela aŭ kompleksa α, α≠0, ankaŭ αx estas ajgenvektoro respektiva al ajgeno λ, ĉar
#000174
Tamen, unu ajgeno povas esti asociita ankaŭ kun kelkaj neparalelaj ajgenvektoroj. Se x kaj y estas ĉi tiaj neparalelaj ajgenvektoroj respektivaj al la sama ajgeno λ', do por ĉiuj reelaj aŭ kompleksaj α kaj β, tiaj ke α≠0 aŭ β≠0, ankaŭ αx+βy estas ajgenvektoro respektiva al ajgeno λ, ĉar
#000175
Do ĉiu (ne nula) lineara kombinaĵo de ajgenvektoroj estas denove ajgenvektoro de la sama ajgeno. Tiel, kune kun la nula vektoro ajgenvektoroj respektivaj al la ajgeno formas linearan spacon, kiu estas nomata kiel ajgenspaco de la ajgeno.
#000176
Sed male, se ajgenvektoro estas donita, la asociita ajgeno por ĉi tiu ajgenvektoro estas unika. Ja, de la egaleco
#000177
Ajgenvektoro estas la ĉefa ajgenvektoro aŭ domina ajgenvektoro se ĝi respektivas al la ajgeno de plej granda absoluta valoro. Rezulto de ripetita apliko de lineara transformo al ajna vektoro (kiu estas ne nula kaj ne estas la alia, neparalela, ajgenvektoro) proksimiĝas al vektoro paralela al la ĉefa ajgenvektoro.
#000178
Se A estas la identa matrico multiplikita per iu nombro, tiam neniu vektoro ŝanĝas sian direkton, kaj ĉiuj ne-nulaj vektoroj estas ajgenvektoroj.
#000179
Konsideru n×n matricon, A, kun ejgenoj , . Sekvas ke:
#000180
la spuro de A estas
#000181
la ̈determinanto de A estas
#000182
la ejgenoj de k-a potenco de , , estas la k-aj potencoj de la , t.e. .
#000183
La tri supraj rezultoj obteneblas per bildigo de la matrico al supra triangula matrico, pri kiu la ejgenoj estas lokataj laŭ la diagonalo, la spuro kaj la determinanto estas respektive la sumo kaj la produto de la diagonalelementoj.
#000184
Se , t.e., estas hermita matrico, ĉiu ejgeno estas reela. Se ankaŭ ĝi estas pozitive difinita matrico, pozitive duondifinita, negative difinita, aŭ negative duondifinita, ĉiu ejgeno estas respektive pozitiva, nenegativa, negativa, aŭ nepozitiva.
#000185
Ĉiu ejgeno de unita matrico havas absolutan valoron .
#000186
La trovado de la ajgenoj kaj ajgenvektoroj estas grava en multaj terenoj.
#000187
kie I estas la identa matrico, kaj plu kiel
#000188
Ĉi tio povas esti vidita kiel lineara sistemo en kiu la koeficienta matrico estas (A - λI), la vektoro de la nekonataj valoroj estas x, kaj la dekstra flanko estas nulo. Laŭ regulo de Cramer, ĉi tiu sistemo havas ne-bagatelajn solvaĵojn (ne ĉiuj komponantoj de x estas nuloj) se kaj nur se ĝia determinanto estas nula:
#000189
Ĉi tio estas ekvacio por λ kaj estas la karakteriza ekvacio de A, kaj la maldekstra flanko de ĝi estas la karakteriza polinomo. Se iu λ verigas la karakterizan ekvacion do ekzistas ne nula vektoro x kiu verigas la ekvacion (1) kaj do la difinan ekvacion de ajgeno, kaj tiam λ estas ajgeno kaj x estas ajgenvektoro.
#000190
Solvinte la karakterizan ekvacion eblas ekscii ajgenon λ, sed la ajgenvektoro x ne estas prezentita en la karakteriza ekvacio, do en ĉi tiu ŝtupo ne eblas ĝin kalkuli.
#000191
Ekzemple por se A estas 2 × 2 kvadrata matrico, la karakteriza ekvacio povas esti skribita kiel
#000192
Elvolvado de la determinanto en maldekstre donas la karakterizan polinomon de grado 2, kaj la karakteriza ekvacio estas la kvadrata ekvacio:
#000193
kiu havas jenajn solvaĵojn (radikojn):
#000194
Por reelaj matricoj, la koeficientoj de la karakteriza polinomo estas ĉiuj reelaj. La kvanto kaj speco de radikoj dependas de valoro de la diskriminanto, D. Por okazoj) D>0, D=0 aŭ D<0, respektive, la radikoj estas du reelaj, unu reela aŭ du kompleksaj. Se la radikoj estas komplekso, ili estas ankaŭ kompleksaj konjugitoj unu de la alian. Kiam la nombro de radikoj estas malpli ol la grado de la karakteriza polinomo (la lasta estas ankaŭ la kvanto de dimensioj de la vektora spaco) la ekvacio havas opan radikon. Ĉe kvadrata ekvacio kun unu radiko, ĉi tiu radiko estas duopa radiko, aŭ radiko kun obleco 2. Radiko kun obleco de 1 estas simpla radiko. Kvadrata ekvacio kun du reelaj aŭ kompleksaj radikoj havas nur simplajn radikojn. Ĝenerale, la algebra obleco de ajgeno estas difinita kiel la obleco de la respektiva radiko de la karakteriza polinomo. La sumo de la algebraj oblecoj de ĉiuj ajgenoj estas egala al dimensio de la matrico.
#000195
La ĝenerala formulo por la karakteriza polinomo de n-kvadrata matrico estas
#000196
kie S0 = 1, S1 = tr(A), la spuro de la matrico A, kaj Sk kun k > 1 estas sumoj de la ĉefaj minoroj de ordo k.
#000197
Laŭ la fundamenta teoremo de algebro, en kompleksa spaco la karakteriza polinomo havas almenaŭ unu nulo. Sekve, ĉiu matrico havas almenaŭ unu ajgenon.
#000198
Por ke trovi la ajgenvektorojn la trovitaj ajgenoj devas esti metitaj reen en la ekvacion.
#000199
kie λ estas unu el la ajgenoj. Ĉi tiu matrica ekvacio estas ekvivalenta al sistemo de du linearaj ekvacioj:
#000200
La ekvacioj estas solvataj por x kaj y per la kutimaj algebraj aŭ matricaj manieroj. Ofte eblas dividi ambaŭ flankojn de la ekvacioj je koeficientoj tiel ke la koeficientoj ĉe la nekonataj valoroj estos 1. Ĉi tio estas normaligo de la vektoroj, kaj respektivas al elekto de unu el la ununormigita ajgenvektoro kiel prezentanta de ĉiuj vektoroj en la ajgenspaco respektiva al la ajgeno. La x kaj y tial estas la komponantoj de la ajgenvektoro.
#000201
Per teoremo de Cayley-Hamilton kiu diras ke ĉiu kvadrata matrico kontentigas sian karakterizan ekvacio, eblas montri ke (plej ĝenerale, en la kompleksa spaco) ekzistas almenaŭ unu ne-nula vektoro kiu kontentigas la ajgenan ekvacion por la matrico.
#000202
La dimensio de ajgenspaco de ajgeno estas kvanto de la lineare sendependaj ajgenvektoroj, ĝi estas la geometria obleco de la ajgeno. La geometria obleco ne povas esti pli granda ol la algebra obleco.
#000203
Tamen (kiel estas pli supre skribite) al malsamaj ajgenoj ĉiam respektivas lineare sendependaj ajgenvektoroj.
#000204
La komplikeco de la problemo de trovo de ajgenoj pligrandiĝas rapide kun pligrandiĝo de n. Por n=3, ajgenoj estas radikoj de kuba ekvacio, por n=4 - radikoj de la ekvacio de la 4-a ordo. Por n > 4 ne estas akurataj solvaĵoj en ĝenerala okazo.
#000205
Noto ke maniero de kalkulado de ajgenoj kaj ajgenvektoroj per la karakteriza polinomo ne estas bone taŭga por reala nombra komputado en komputilo. Uzo de ĉi tiu maniero povas rezultiĝi je granda perdo de la precizeco. Por nombra komputado de ajgenoj kaj ajgenvektoroj estas specialaj algoritmoj, kiuj kondutas pli bone.
#000206
Ajgenoj povas esti konsiderataj ĉe linearaj operatoroj en vektora spaco de malfinia dimensio.
#000207
Ekzemple, estu spaco de diferencialeblaj funkcioj f(t). La transformo T estu diferenciala operatoro de diferencialado kun respekto al la argumento t. La ajgenvektoroj estas tiam kutime nomataj kiel propraj funkcioj de la operatoroT.
#000208
Diferencialado estas lineara transformo pro tio ke
#000209
kie f(t) kaj g(t) estas diferencialeblaj funkcioj, kaj a kaj b estas nombroj.
#000210
La propraj funkcioj h(t) devas kontentigi la ajgenan ekvacion:
#000211
kie λ estas la ajgeno asociita kun la funkcio.
#000212
por ĉiuj nombroj α≠0 kaj λ.
#000213
Ĝi estas konstanta funkcio se λ=0 kaj eksponenta funkcio se λ≠0.
#000214
La ajgenspaco asociita kun ĉiu donita ajgeno λ estas de unu dimensio, la dimensio respektivas al ŝanĝo de nombro α.
#000215
En ĝia plej simpla versio, la spektra teoremo diras ke, je certaj kondiĉoj, produto de matrico kaj vektoro Av povas esti esprimita kiel lineara kombinaĵo de ajgenvektoroj de A, en kiu la koeficiento de ĉiu ajgenvektoro estas egala al la respektiva ajgeno multiplikita je skalara produto de la ajgenvektoro kun vektoro v. Ĉi tio povas esti skribita kiel:
#000216
kie v1, v2, ... kaj λ1, λ2, ... estas ajgenvektoroj kaj respektivaj ajgenoj de A. La teoremo estas valida por ĉiuj hermitaj matricoj (inter ili - por ĉiuj reelaj simetriaj matricoj), kaj por la pli ĝenerala klaso de (kompleksaj) normalaj matricoj.
#000217
La k-a potenco de matrico A povas esti difinita kiel matrico A multiplikita je si (k-1) fojojn,
#000218
Tiam la k-a potenco de transformo T(v)=Av estas sinsekve k transformoj T, rezultas produto de la vektoro v al la multipliko de A je si (k-1) fojojn:
#000219
Tiel oni povas ankaŭ difini polinomon de matrico kaj de transformo. Pli ĝenerala versio de la teoremo diras, ke ĉiu polinomo P de A aŭ de T estas donita per
#000220
La spektra teoremo por matricoj povas esti komencita kiel sekvas. Estu A kvadrata n×n matrico. Estu q1, ... ,qk ejgenvektora bazo, kio estas indeksita aro de k lineare sendependaj ejgenvektoroj, kie k estas la dimensio de la spaco generita de la ejgenvektoroj de A. Se k = n, tiam A povas esti skribita kiel
#000221
kie Q estas kvadrata n×n matrico kies i-a kolumno estas la baza ejgenvektoro qi kaj Λ estas la diagonala matrico kies diagonalaj eroj estas la respektivaj ejgenoj, kio estas Λii = λi.
#000222
Spektro de matrico aŭ farata per ĝi transformo sur finie dimensia vektora spaco estas difinita kiel la aro de ĉiuj ĝiaj ejgenoj.
#000223
Ajgeno de matrico en PlanetMath.
ARPACK - kolekto de fortran-proceduroj por ajgenaj taskoj
LAPACK - kolekto de fortran-proceduroj por ajgenaj taskoj
ALGLIB inkluzivas parton de proceduroj de LAPACK reskribitaj en C++, C#, Paskalo kaj tiel plu
Surlinia kalkulilo por ajgenoj kaj ajgenvektoroj
Surlinia matrica kalkulilo de ajgenoj ajgenvektoroj kaj aliaj malkomponaĵoj de matricoj.
Ŝablonoj por la solvado de ajgenaj problemoj
#000224