Partikla fiziko kaj prezenta teorio
#000002
En matematiko kaj teoria fiziko, la ideo de reprezentado de Lie grupo ludas gravan rolon en la studo de kontinua simetrio.
Granda interkonsento estas konata ĉirkaŭ tiaj reprezentantaroj, baza ilo en ilia studo estanta la uzo de la ekvivalentaj "infinitezimalaj" reprezentadoj de Lie-algebroj.
La fizikliteraturo foje pasas super la distingo inter Lie-grupoj kaj Lie-algebroj.
#000003
2 ekzemplon: La turnada grupo TIEL (3)
3 Mensoggrupo kontraŭ Lie-algebroreprezentantaroj 3.1
Matrix Lie grupaj prezentoj de Lie-algebroreprezentantaroj, projekciaj reprezentantaroj 3.1-a
2 Lie-algebroreprezentantaroj de grupaj prezentoj
3 grupaj prezentoj de Lie-algebroreprezentantaroj
4 Unitariaj reprezentantaroj sur hilbertaj spacoj
5 Klasifikado en la kompakta kazo
#000004
Matrix Lie grupaj prezentoj de Lie-algebroreprezentantaroj, projekciaj reprezentantaroj 3.1-a
2 Lie-algebroreprezentantaroj de grupaj prezentoj
3 grupaj prezentoj de Lie-algebroreprezentantaroj
#000005
2 Lie-algebroreprezentantaroj de grupaj prezentoj
3 grupaj prezentoj de Lie-algebroreprezentantaroj
#000006
Lasu nin unuajn diskuti reprezentantarojn reagantajn al finhav-dimensiaj vektoraj spacoj pli ol kampo K, kie K estas kutime manĝita por esti la kampo de kompleksaj nombroj, aŭ foje la kampo de realaj nombroj.
Reprezentado de Lie grupo G sur finhav-dimensia vektora spaco V pli ol K estas glata grupa homomorfism ψ:
G →Aut ( V) de G ĝis la aŭtomorfismogrupo de V.
Por n-dimensia V, la aŭtomorfismogrupo de V estas identigita kun subaro de la kompleksaj kvadratmatricoj de ordo n.
La aŭtomorfismogrupo de V ricevas la strukturon de difencigebla plurejo uzanta tiun identigon.
La kondiĉo kiun tiu ψ estas glata, en la difino supra, signifas ke ψ estas glata mapo de la glata multnombra G ĝis la glata multnombra Aut ( V).
Se la homomorfism estas fakte monomorfismo, la reprezentantaro laŭdire estas fidela.
#000007
Se bazo por la kompleksa vektora spaco V estas elektita, la reprezentantaro povas esti esprimita kiel homomorfism en ĝeneralan linearan grupon Gl ( n, K).
Tio estas konata kiel matricreprezentantaro.
Du reprezentadoj de G sur vektoraj spacoj V, W estas ekvivalentaj se ili havas la samajn matricreprezentantarojn kun respekto al kelkaj elektoj de bazoj por V kaj W.
#000008
La reprezentantaro laŭdire estas nereduktebla ĉu la nuraj senvariaj subspacoj de V estas la nul spaceto kaj V mem.
Por certaj specoj de Lie-grupoj, nome kompaktaj [1] kaj semikuracherbo [2] grupoj, ĉiu finhav-dimensia reprezentantaro putriĝas kiel rekta sumo de neredukteblaj reprezentantaroj, posedaĵo konataj kiel kompleta reducibileco.
Por tiaj grupoj, tipa celo de prezenta teorio estas klasifiki ĉiujn finhav-dimensiajn neredukteblajn reprezentadojn de la antaŭfiksita grupo, ĝis izomorfio.
#000009
Unitaria reprezentantaro estas difinita en laŭ la saman manieron, krom ke G mapas al unuecmatricoj;
la Lie-algebro tiam mapos al misoblikva-hermitian matricoj.
Se G estas kompakta Mensoggrupo, ĉiu finhav-dimensia reprezentantaro estas ekvivalenta al unitaria.
#000011
Ekzemplo: La turnada grupo TIEL (3)
#000012
Ĉiu normigita lernolibro pri kvantuma mekaniko enhavas analizon kiu esence klasifikas finhav-dimensiajn neredukteblajn reprezentadojn de TIEL (3), per ĝia Lie-algebro.
(La anstataŭigrilatoj inter la angulmovokvantaj funkciigistoj estas ĵus la rilatoj por la Lie-algebro tiel (3) de TIEL (3).
Unu subtileco de tiu analizo estas ke la reprezentadoj de la grupo kaj la Lie-algebro ne estas en ekzakta korespondado, punkto kiu estas kritika en komprenado de la distingo inter entjerspino kaj duon-entjera spino.
#000013
La turnada grupo TIEL (3) estas kompakta Mensoggrupo kaj tiel ĉiu finhav-dimensia reprezentado de TIEL (3) putriĝas kiel rekta sumo de neredukteblaj reprezentantaroj.
La grupo TIEL (3) havas unu neredukteblan reprezentantaron en ĉiu stranga dimensio.
#000014
Se ni rigardas la Lie-algebron tiel (3) de TIEL (3), tiu Lie-algebro estas izomorfa al la Lie-algebrosu (2) de Su (2).
De la prezenta teorio de su (2), ekzistas tiam unu nereduktebla reprezentado de tiel (3) en ĉiu dimensio.
La eben-dimensiaj reprezentantaroj, aliflanke, ne egalrilatas al reprezentadoj de la grupo TIEL (3).
#000015
Kiel supre, la finhav-dimensiaj reprezentadoj de TIEL (3) ekestas nature dum studado de la tempo-nepartianan ekvacio de Schrödinger por radiala potencialo, kiel ekzemple la hidrogenatomo, kiel reflektado de la turna simetrio de la problemo.
(Vidu la rolludoitan de la sferaj harmonoj en la analitiko de hidrogeno.
#000016
En multaj kazoj, estas oportune studi reprezentadojn de Lie-grupo studante reprezentadojn de la rilata Lie-algebro.
Ĝenerale, aliflanke, ne ĉiu reprezentado de la Lie-algebro venas de reprezentado de la grupo.
Tiu fakto estas, ekzemple, kuŝanta malantaŭ la distingo inter entjerspino kaj duon-entjera spino en kvantuma mekaniko.
Aliflanke, se G estas simple ligita grupo, tiam teoremo [7] diras ke ni, fakte, ricevas ekzaktan korespondadon inter la grupo kaj Lie-algebroreprezentantaroj.
#000017
La Lie-korespondado povas esti utiligita por akirado de grupaj prezentoj de la Koneksa komponanto de la G.
Tio estas realigita prenante la matriceksponenton de la matricoj de la Lie-algebroreprezentantaro.
#000019
Subtileco ekestas se G ne estas simple ligita.
Tio povas rezultigi projekciaj reprezentantaroj aŭ, fizikidiomon, multivalued-aprezitaj reprezentadoj de G.
Tiuj estas fakte reprezentadoj de la universala kovrogrupo de G.
#000020
La Lie-korespondado donas rezultojn nur por la Koneksa komponanto de la grupoj, kaj tiel la aliaj komponentoj de la plena grupo estas traktitaj aparte donante reprezentantojn por matricoj reprezentantaj tiujn komponentojn, unu por ĉiu komponento.
De tiuj formas (reprezentantoj) la zerot-homotopyogrupon de G.
Ekzemple, koncerne la kvar-komponentan Lorentz-grupon, reprezentantoj de spacinversio kaj tempinversigo devas esti metitaj enen permane.
Pliaj ilustraĵoj estos desegnitaj de la prezenta teorio de la Lorentz-grupo malsupre.
#000021
La Lie-korespondado por liniaj grupoj kaj Lie-algebroj estas deklarita por referenco.
La Lie-korespondado legas en moderna lingvo, ĉi tie specialigita al liniaj Mensoggrupoj, jene:
#000022
Ĝi estas eksplicite komputita uzi [9]
#000023
Ne ĉiuj Lie-algebroreprezentantaroj ekestas tiun manieron ĉar ili ekvivalentaj grupaj prezentoj eble ne ekzistas kiel bonordaj reprezentantaroj, t.e. ili estas projekciaj, vidas malsupre.
#000024
Povas esti montrite ke simpla ligiteco de G estas sufiĉa kondiĉo por (G2) por doni reprezentantaron, sed ĝi ne estas necesa kondiĉo.
#000025
La simple ligita kazo estas la deklaro de la sekva teoremo:
G → H satisfying the first line in (G2) .
Se G ne estas simple ligita, tiam ekzistas unika reprezentantaro π c de la universala kovrogrupo Gc de G kontentiganta la saman ekvacion kiel la unua ekvacio en (G2) .
Ĝi estas sekvo de ĉi-supra teoremo.Se la kerno de la kovromapo estas inkludita en la kerno de π c , tiam la reprezentado de π c descendas al unika reprezentado de G.
Tio estas esence sekvo de variaĵo de la unua-izomorfia teoremo.
Se la kerno de la kovromapo ne estas inkludita en la kerno de π c , tiam (ne-unika) projekcia reprezentado de G rezultoj.
#000026
Se la kerno de la kovromapo estas inkludita en la kerno de π c , tiam la reprezentado de π c descendas al unika reprezentado de G.
Tio estas esence sekvo de variaĵo de la unua-izomorfia teoremo.
Se la kerno de la kovromapo ne estas inkludita en la kerno de π c , tiam (ne-unika) projekcia reprezentado de G rezultoj.
#000027
Ĉiuj reprezentantaroj havas la sekvajn trajtojn:
#000028
Proksime de la identeco t.e. por X en sufiĉe malgranda malferma najbareco, (G2) rendimentoj, de la Baker-Campbell-Hausdorff-formulo kaj tiu eksp estas unu-al-unuj sur tiu najbareco, unika lokulo homomorfism.
Reprezentantoj de elementoj g ege de la identeco estas difinitaj selektante padon de la identeco ĝis g, dividante ĝin fajne sufiĉe tiel ke ĉi-supra posedaĵo povas esti uzita.
La rezulto uzanta (G2) povas tiam nur dependi de la homotopyoklaso (en la normreprezentado de G) de la pado utiligita en la (provite) difino de π.
En victurno, tio dependas nur de kiu X en la Lie-algebro kutimas reprezenti elementon g en la normreprezentantaro (kaj estas uzita en (G2) .En la simple ligita kazo, ekzistas nur unu homotopyoklaso, kaj (G2) estas malambigua eĉ ege de la identeco.
En la ne-simple ligita kazo, ekzistas karto π 1 homotopyoklasoj, kaj (G2) estas laŭ tiu mezuro ambigua ege de la identeco.
#000029
En la simple ligita kazo, ekzistas nur unu homotopyoklaso, kaj (G2) estas malambigua eĉ ege de la identeco.
En la ne-simple ligita kazo, ekzistas karto π 1 homotopyoklasoj, kaj (G2) estas laŭ tiu mezuro ambigua ege de la identeco.
#000030
Bildan vidon de kiel la universala kovrogrupo enhavas ĉion tiaj homotopyoklasoj, kaj teknika difino de ĝi (kiel aro kaj kiel grupo) ricevas en geometria vido.
#000031
Unitariaj reprezentantaroj sur hilbertaj spacoj
#000032
kontinua mapo de G en V estas.
#000033
Ĉar V estas permesita esti senfina dimensia, la studo de unitariaj reprezentantaroj implikas kelkajn interesajn ecojn kiuj ne ĉeestas en la finhava dimensia kazo.
Ekzemploj de unitariaj reprezentantaroj ekestas en kvantuma mekaniko kaj kvantuma kampa teorio, sed ankaŭ en Fourier-analizo kiel montrite en la sekva ekzemplo.
#000034
Jen estas kelkaj gravaj ekzemploj en kiuj unitariaj reprezentadoj de Lie-grupo estis analizitaj.
#000035
La Ŝtono-von-Neuman teoremo povas esti komprenita kiel donante klasifikon de la neredukteblaj unitariaj reprezentadoj de la Heisenberg-grupo.
La klasifiko de Wigner por reprezentadoj de la Poincaré-grupo ludas gravan koncipan rolon en kvantuma kampa teorio per montrado kiel la maso kaj spino de partikloj povas esti komprenitaj en grup-teoriaj esprimoj.
Kun La prezenta teorio de Sl (2, R) estis laborita fare de V. Bargmann kaj serviroj kiel la prototipo por la studo de unitariaj reprezentadoj de nekompaktujaj semikuracherbaj Lie-grupoj.
#000036
Klasifikado en la kompakta kazo
#000037
Se G estas ligita kompakta Mensoggrupo, ĝiaj finhav-dimensiaj reprezentantaroj povas esti malkonstruitaj kiel rektaj sumoj de neredukteblaj reprezentantaroj.
La ireducible estas klasifikitaj per "teoremo de la plej alta pezo."
Ni donas mallongan priskribon de tiu teorio ĉi tie;
por pli da detaloj, vidu la artikolojn en prezenta teorio de ligita kompakta Mensoggrupo kaj la paralelaj teoriaj klasifikadreprezentadoj de semikuracherbaj Lie-algebroj.
#000038
Lasu T esti maksimuma Toro en G.
De la lemo de Schur, la neredukteblaj reprezentadoj de T estas al unu-dimensia.
La reprezentantaroj povas esti klasifikitaj facile kaj estas etikeditaj per certaj "analize integritaj elementoj" aŭ "pezoj."
(La sama pezo povas okazi pli ol unufoje.
#000039
Grava aspekto de la prezenta teorio estas la rilata teorio de karakteroj.
#000040
Du reprezentantaroj kun la sama karaktero montriĝas por izomorfaj.
Krome, la Weyl-karaktero formulo donas rimarkindan formulon por la karaktero de reprezentantaro laŭ ĝia plej alta pezo.
Ne nur faras tiun formulon donas multe daj utilaj informoj pri la reprezentantaro, sed ĝi ludas decidan rolon en la pruvo de la teoremo de la plej alta pezo.
#000041
Se G estas kommutativa Mensoggrupo, tiam ĝiaj neredukteblaj reprezentantaroj estas simple la kontinuaj kvalitoj de G: vidu Pontryagin-duecon por tiu kazo.
#000042
Prezenta teorio de ligitaj kompaktaj grupoj
Prezenta teorio de la Lorentz-grupo
#000043