Listo de teorio de grupo-temoj
#000001
Glosaro de teorio de grupoj
#000002
Ĝenerala linia Gl ( n)
#000003
Speciala linia Sl ( n)
#000004
Speciala ortogonala TIEL ( n)
#000005
Speciala unitaria Su ( n)
#000006
En matematiko, dihedra grupo estas la grupo de simetrioj de regula plurlatero, kiu inkludas rotaciojn kaj reflektadojn.
Dihedraj grupoj estas inter la plej simplaj ekzemploj de finiaj grupoj, kaj ili ludas gravan rolon en teorio de grupoj, geometrio, kaj kemio.
#000007
4 La dihedra grupo kiel geometria simetria grupo en 2D kaj turnada grupo en 3D 4.1
Ekzemploj de 2D dihedra simetrio
#000008
Ekzemploj de 2D dihedra simetrio
#000009
La dihedra grupo kun indekso n havas 2n elementojn.
N estas la nombro da verdglacioj kaj flankoj de la subesta plurangulo dum 2n estas la nombro da rotacioj kaj reflektadoj, kiuj konsistigas la simetriojn de tiu plurangulo.
#000010
La unua vico montras la efikon de la ok rotacioj, kaj la dua vico montras la efikon de la ok reflektadoj, en ĉiu kazo funkcianta sur la stopsignalo kun la orientiĝo kiel montrite ĉe la supra maldekstre.
#000012
Ĉar kun iu geometria objekto, la kunmetaĵo de du simetrioj de regula plurlatero denove estas simetrio de tiu objekto.
Kun kunmetaĵo de simetrioj por produkti alian kiel la operacio, tio donas la simetriojn de plurangulo la algebra strukturo de finhava grupo.
#000013
La sekva Cayley-tablo montras la efikon de kunmetaĵo en la grupo D3 (la simetrioj de egallatera triangulo).
r1 kaj r2 indikas maldekstrume rotaciojn de 120° kaj 240° respektive, kaj s0, s1 kaj s2 indikas reflektadojn trans la tri linioj montritaj en la bildo dekstren.
#000014
Ekzemple, s2 s1 = r1 , ĉar la reflektado s1 sekvis per la reflektads2 rezultoj en rotacio de 120°.
La ordo de elementoj indikantaj la kunmetaĵon estas rekte maldekstro, reflektante la kongreson kiun la elemento reagas al la esprimo al sia rajto.
La kunmetaĵoperacio ne estas kommutativa.
#000015
Ĝenerale, la grupo D n havas elementoj r0, ...
, s n −1, kun kunmetaĵo donite per la sekvaj formuloj:
#000016
En ĉiuj kazoj, aldono kaj subtraho de indeksoj estas farotaj uzante modulan aritmetikon kun modulus da n.
#000017
Se ni centro la regula plurlatero ĉe la origino, tiam elementoj de la dihedra grupo funkcias kiel lineartransformoj de la ebeno.
Tio lasas nin reprezenti elementojn de D n kiel matricoj, kun kunmetaĵo estanta matrica multipliko.
Tio estas ekzemplo de (2-dimensia) grupa prezento.
#000018
Ekzemple, la elementoj de la grupo D4 povas esti reprezentitaj per la sekvaj ok matricoj:
#000019
Ĝenerale, la matricoj por elementoj de D n havas la sekvan formon:
#000020
r k estas rotaciomatrico, esprimante maldekstrume rotacion tra angulo de 2πk / n .
s k estas reflektado trans linio kiu faras angulon de πk / n kun la absciso.
#000021
Por n = 1, ni havas Dih1.
Tiu notacio malofte estas utiligita krom en la kadro de la serio, ĉar ĝi estas izomorfa kun Z2.
Por n = 2, ni havas Dih2, la Klein kvar-grupaj.
Ambaŭ estas esceptaj ene de la serio:
#000022
Dih1 kaj Dih2 estas abelaj;
por unu la alian valoro de n, Dih n ne estas abelaj.
Dih n estas subgrupo de la simetriagrupa S
por n = 1 aŭ n = 2, por tiuj valoroj, Dih n estas tro grandaj por esti subgrupo.
La interna aŭtomorfismogrupo de Dih2 estas sensignifa, dum por aliaj eĉ valoroj de n, tio estas Dih n / Z2.
#000023
La ciklaj grafeoj de dihedraj grupoj konsistas el n-elementa ciklo kaj n 2-elementcikloj.
La malhela vertico en la ciklo grafeas malsupre de diversaj dihedraj grupoj reprezentas la neŭtran elementon, kaj la aliaj verdglacioj estas la aliaj elementoj de la grupo.
Ciklo konsistas el sinsekvaj potencoj de ĉiu el ambaŭ de la elementoj ligitaj al la neŭtra elemento.
#000024
La dihedra grupo kiel geometria simetria grupo en 2D kaj turnada grupo en 3D
#000025
Ekzemplo de abstrakta grupo Dih n , kaj ofta maniero bildigi ĝin, estas la grupo Dn de Eŭklidaj aviadilizometrioj kiuj konservas la originon fiksis.
Tiuj grupoj formas unu el la du serioj de diskretaj punktogrupoj en du dimensioj.
Dn konsistas el n rotacioj de multobloj de 360°/ n koncerne la originon, kaj reflektadojn trans n linioj tra la origino, farante angulojn de multobloj de 180°/ n kun unu la alian.
Tio estas la geometria simetria grupo de regula plurlatero kun n flankoj (por n ≥ 3;
tio etendas al la kazoj da n = 1 kaj n = 2 kie ni havas aviadilon kun respektive punktofseto de la "centro" de la "1-gon" kaj "2-gon" aŭ liniparto).
#000026
Dihedra grupo D n estas generita per rotacio r de ordo n kaj reflektado s de ordo 2 tia ke
#000027
En geometriaj esprimoj: en la spegulo rotacio aspektas pli kiel inversa rotacio.
#000028
(Komparu kunordigitajn rotaciojn kaj reflektadojn.
#000029
La dihedra grupo D2 estas generita per la rotacio r de 180 gradoj, da kaj la reflektado s trans la absciso.
, kie e estas la identeco aŭ nultransformo kaj r estas la reflektado trans la ipsilonakso.
#000030
D2 estas izomorfa al la Klein kvar-grupa.
#000031
Al n>2 la operacioj de rotacio kaj reflektado ĝenerale ne veturas kaj D n ne estas abela;
ekzemple, en D4 , rotacio de 90 gradoj sekvitaj per reflektado donas malsaman rezulton de reflektado sekvita per rotacio de 90 gradoj.
#000032
Tiel, preter ilia evidenta aplikiĝo al problemoj de simetrio en la aviadilo, tiuj grupoj estas inter la plej simplaj ekzemploj de ne-abelaj grupoj, kaj kiel tia ekestas ofte kiel facilaj kontraŭekzemploj al teoremoj kiuj estas limigitaj al abelaj grupoj.
#000033
La 2n elementoj de D n povas esti skribitaj kiel e, r, r 2
La unua n listigis elementojn estas rotacioj kaj la ceteraj n elementoj estas akso-reflektadoj (ĉiuj el kiuj havas ordon 2).
La produkto de du rotacioj aŭ du reflektadoj estas rotacio;
la produkto de rotacio kaj reflektado estas reflektado.
#000034
Ĝis nun, ni konsideris D n esti subgrupo de O (2), t.e. la grupo de rotacioj (ĉirkaŭ la origino) kaj reflektadoj (trans aksoj tra la origino) de la ebeno.
Tamen, notacio D n ankaŭ estas utiligita por subgrupo de TIEL (3) kiu estas ankaŭ de abstrakta gruptipa Dih n : la bonorda geometria simetria grupo de regula plurlatero enkonstruita en tri-dimensia spaco (se n ≥ 3).
Tia figuro povas esti konsiderita degeneritan regulan solidon kun ĝia vizaĝo nombrita dufoje.
Tial, ĝi ankaŭ estas nomita dihedron (greka: solido kun du vizaĝoj), kiu klarigas la nomdihedran grupon (en analogeco al tetrahedral, oktahedra kaj ikosahedral grupo, rilatante al la bonordaj geometriaj simetria grupoj de regula tetraedro, okedro, kaj dudekedro respektive).
#000035
2D D24 simetrio - Ashoka Chakra, kiel prezentite sur la nacia flago de la Respubliko de Hindio.
#000038
Pliaj ekvivalentaj difinoj de Dih n estas:
#000039
La aŭtomorfismogrupo de la grafeo konsistanta nur el ciklo kun n verdglacioj (se n ≥ 3).
El la dua prezento sekvas ke Dih n apartenas al la klaso de Coxeter-grupoj.
#000040
La trajtoj de la dihedraj grupoj Dih n kun n ≥ 3 dependas de ĉu n eĉ estas aŭ stranga.
Ekzemple, la centro de Dih n konsistas nur el la identeco se n estas stranga, sed se n estas eĉ la centro havas du elementojn, nome la identecon kaj la elementon r n /2 (kun D n kiel subgrupo de O (2), tio estas inversio;
ĉar ĝi estas skalara multipliko de −1, estas klare ke ĝi navedas kun iu lineartransformo).
#000041
Por stranga n, la abstrakta grupo Dih2n estas izomorfa kun la rekta produkto de Dih n kaj Z2.
#000042
Koncerne 2D izometriojn, tio egalrilatas al aldonado inversio, donanta rotaciojn kaj spegulas intere la ekzistantajn.
#000043
Se m disigas n, tiam Dih n havas n / m subgrupojn de tipo Dih m , kaj unu subgrupon Z m .
Tial, la tutsumo de subgrupoj de Dih n ( n ≥ 1), estas egala al d ( n) + σ ( n), kie d ( n) estas la nombro da pozitivaj dividantoj de n kaj σ ( n) estas la sumo de la pozitivaj dividantoj de n.
Vidu listo de grupetoj por la kazoj da n ≤ 8.
#000044
La dihedra grupo de ordo 8 ( D4) estas la plej malgranda ekzemplo de grupo kiu ne estas T-grupo.
Ajnaj de ĝia du Klein kvar-grupaj subgrupoj (kiuj estas normalaj en D4) havas kiel normalaj subgrupordsubgrupoj generitaj per reflektado (senrespekta) en D4, sed tiuj subgrupoj ne estas normalaj en D4.
#000045
Ĉiuj reflektadoj estas konjugato al unu la alian en kazo n estas stranga, sed ili falas en du konjugacyoklasojn se n eĉ estas.
Se ni pensas pri la izometrioj de regula n-gon: por stranga n ekzistas rotacioj en la grupo inter ĉiu paro de speguloj, dum al eĉ n nur duono de la speguloj povas esti etendita sia manon de unu per tiuj rotacioj.
Geometrie, en stranga plurangulo ĉiu akso de simetrio pasas tra vertico kaj flanko, dum en ebena plurangulo ekzistas du aroj de aksoj, ĉiu egalrilatante al konjugacyoklaso: tiuj kiuj pasas tra du verdglacioj kaj tiuj kiuj pasas tra du flankoj.
#000046
, dum por n eĉ, tiuj ordigas 2 subgrupoj estas ne Sylow-subgrupoj ĉar 4 (pli alta potenco de 2) disigas la ordon de la grupo.
#000047
Por n eĉ ekzistas anstataŭe ekstera aŭtomorfismo interŝanĝanta la du specojn de reflektadoj (konvene, klaso de eksteraj aŭtomorfismoj, kiuj estas ĉio konjugato de interna aŭtomorfismo).
#000048
kiuj aŭtomorfismoj estas internaj kaj eksteraj dependas de la egaleco de n.
#000049
Por n stranga, la dihedra grupo estas centerles, tiel ke ĉiu elemento difinas ne-sensignifan internan aŭtomorfismon;
por n eĉ, la rotacio de 180° (reflektado tra la origino) estas la ne-sensignifa elemento de la centro.
Tiel por n stranga, la interna aŭtomorfismogrupo havas ordon 2n, kaj por n eĉ (krom n = 2) la interna aŭtomorfismogrupo havas ordon n.
Por n strangaj, ĉiuj reflektadoj estas konjugato;
La rotacioj estas normala subgrupo;
konjugacio de reflektado ŝanĝas la signon (direkto) de la rotacio, sed alie lasas ilin senŝanĝaj.
#000050
Dih9 havas 18 internajn aŭtomorfismojn.
Kiel 2D Izometria grupo D9, la grupo havas spegulojn je 20° intervaloj.
La 18 internaj aŭtomorfismoj disponigas rotacion de la speguloj de multobloj de 20°, kaj reflektadojn.
Kiel Izometria grupo tiuj ĉiuj aŭtomorfismoj estas.
Ĉar abstrakta grupo ekzistas aldone al tiuj, 36 eksteraj aŭtomorfismoj, ekz. multobligantaj angulojn de rotacio de 2.
#000051
Dih10 havas 10 internajn aŭtomorfismojn.
Kiel 2D Izometria grupo D10, la grupo havas spegulojn je 18° intervaloj.
La 10 internaj aŭtomorfismoj disponigas rotacion de la speguloj de multobloj de 36°, kaj reflektadojn.
Kiel Izometria grupo ekzistas 10 pliaj aŭtomorfismoj;
ili estas konjugatoj de izometrioj ekster la grupo, rotaciante la spegulojn 18° kun respekto al la internaj aŭtomorfismoj.
Ĉar abstrakta grupo ekzistas aldone al tiuj 10 nirgrarandaj trafoj kaj 10 eksteraj aŭtomorfismoj, 20 pli eksteraj aŭtomorfismoj, ekz. multobligante rotaciojn de 3.
#000052
Komparu la valorojn 6 kaj 4 por Eulera fi-funkcio, la multiplikan grupon de entjermodulo n por n = 9 kaj 10, respektive.
Tio triobligas kaj duobligas la nombron da aŭtomorfismoj komparite kun la du aŭtomorfismoj kiel izometrioj (daŭrigante la ordon de la rotacioj la sama aŭ inversigante la ordon).
#000053
La nuraj valoroj de n por kiu φ (n) = 2 estas 3, 4, kaj 6, kaj sekve, ekzistas nur tri dihedraj grupoj kiuj estas izomorfaj al siaj propraj aŭtomorfismogrupoj, nome Dih3 (ordo 6), Dih4 (ordo 8), kaj Dih6 (ordo 12).
#000054
[ citaĵo bezonis ] Interna aŭtomorfismogrupo
#000055
La interna aŭtomorfismogrupo de Dih n estas izomorfa al: [3]
#000056
Ekzistas pluraj gravaj ĝeneraligoj de la dihedraj grupoj:
#000058
La senfina dihedra grupo estas senfina grupo kun algebra strukturo simila al la finhavaj dihedraj grupoj.
Ĝi povas esti rigardita kiel la grupo de simetrioj de la entjeroj.
La ortogonala grupo O (2), t.e. la geometria simetria grupo de la cirklo, ankaŭ havas similajn trajtojn al la dihedraj grupoj.
La familio de ĝeneraligitaj dihedraj grupoj inkludas ambaŭ de la ekzemploj supra, same kiel multaj aliaj grupoj.
La kvazaŭdihedraj grupoj estas familio de finiaj grupoj kun similaj trajtoj al la dihedraj grupoj.
#000059