La kunmetaĵo de funkcioj estas speciala kazo de la kunmetaĵo de rilatoj, tiel ke ĉiuj trajtoj de ĉi-lasta estas veraj de kunmetaĵo de funkcioj.
La kunmetaĵo de funkcioj havas kelkajn kromajn trajtojn.
#000002
Kunmetaĵo de funkcioj sur senfina aktoraro: Se f: R → R (kie R estas la aro de ĉiuj realaj nombroj) ricevas per f ( x
2x + 4 kaj g: R → R estas evoluita je g ( x
#000003
Se la alteco de aviadilo en tempo t estas evoluita je la funkcio h ( t), kaj la oksigenkoncentriĝo ĉe alteco x ricevas per la funkcio c ( x), tiam ( c ∘ h) ( t) priskribas la oksigenkoncentriĝon ĉirkaŭ la ebeno en tempo t .
#000004
La kunmetaĵo de funkcioj ĉiam estas asocieca - posedaĵo heredita de la kunmetaĵo de rilatoj.
Tio estas, se f , g , kaj h estas tri funkcioj kun konvene elektitaj domajnoj kaj kodomajnoj, tiam f
h , kie la krampoj helpas indiki ke kunmetaĵo estas farota unue por la parentesigitaj funkcioj.
Ĉar ekzistas neniu distingo inter la elektoj de allokigo de krampoj, ili povas esti lasitaj eraraj sen kaŭzado de ajna ambigueco.
#000005
En strikta signifo, la kunmetaĵo g ∘ f povas esti konstruita nur se f ' s-kodomajno korespondas al g ' s-domajno;
en pli larĝa signifo estas sufiĉe ke la unua estas subaro de ĉi-lasta.
[noto 2] Krome, estas ofte oportune implice limigi f ' s-domajno tia ke f produktas nur valorojn en g ' s-domajno;
x povas esti difinita sur la intervalo [−3, +3].
#000006
La funkcioj g kaj f laŭdire navedas kun unu la alian se g ∘ f = f ∘ g .
Komuteco estas speciala posedaĵo, ekhavita nur per specialaj funkcioj, kaj ofte en specialaj cirkonstancoj.
nur kiam x ≥ 0.
La bildo montras alian ekzemplon.
#000007
La kunmetaĵo de unu-al-unuj funkcioj ĉiam estas unu-al-unu.
Simile, la kunmetaĵo de du sur funkcioj ĉiam estas sur.
Ĝi sekvas tiun kunmetaĵon de du ensurĵetoj estas ankaŭ ensurĵeto.
La inversa funkcio de kunmetaĵo (supozita invertebla) havas la posedaĵon tiuj ( f ∘ g) −1
#000008
Derivaĵoj de kunmetaĵoj implikantaj diferencieblajn funkciojn povas esti trovitaj uzantaj la derivaĵon de funkcia komponaĵo.
Pli altaj derivaĵoj de tiaj funkcioj ricevas per formulo de Faà di Bruno.
#000009
Se la transformo estas bijektive (kaj tiel invertebla), tiam la aro de ĉiaj ajn kombinaĵoj de tiuj funkcioj formas transformgrupon;
kaj oni diras ke la grupo estas generita per tiuj funkcioj.
Fundamenta rezulto en teorio de grupoj, la teoremo de Cayley, esence diras ke ĉiu grupo estas fakte nur grupo de permutaĵoj (ĝis izomorfio).
#000011
La aro de ĉiu bijektivefunkcioj f:
X → X (nomitaj permutaĵoj) formas grupon kun respekto al la kunmetaĵfunkciigisto.
Tio estas la simetria grupo, ankaŭ foje nomita la kunmetaĵogrupo.
#000012
En la simetria Duongrupo (de ĉiuj transformoj) oni ankaŭ trovas pli malfortan, ne-unikan nocion de inversa (nomite pseudoinverse) ĉar la simetria Duongrupo estas regula Duongrupo.
#000013
Pli ĝenerale, por iu natura pli sensenta n ≥ 2, la n th funkcia potenco povas esti difinita indukte per f n = f ∘ f n −1 = f n −1 ∘ f .
Ripeta kunmetaĵo de tia funkcio kun si mem estas nomita ripetita funkcio .
#000015
De kongreso, f 0 estas difinita kiel la identecmapo sur f ' s-domajno, identigaĵo Xa .
X → X koncedas inversa funkcio f −1 , negativaj funkciaj potencoj f − n estas difinitaj por n > 0 kiel la kontraŭ potenco de la inversa funkcio:
#000016
Se f prenas it'ojn valorojn en boksejo (aparte por reala aŭ kompleks-aprezita f ), ekzistas risko de konfuzo, ĉar f n ankaŭ povis signifi la n - faldoprodukto de f , ekz. f 2 ( x
Por trigonometria funkcio, kutime ĉi-lasta minimume estas signifita, por pozitivaj eksponentoj.
Ekzemple, en trigonometrio, tiu supermanuskriptonotacio reprezentas norman potencon kiam uzite kun trigonometria funkcio:
Tamen, por negativaj eksponentoj (aparte −1), ĝi tamen kutime plusendas al la inversa funkcio, ekz., sunbruno −1 = arksunbrun≠ 1 /sunbrunon.
#000017
En kelkaj kazoj, kiam, por antaŭfiksita funkcio f , la ekvacio g ∘ g havas unikan solvon g , ke funkcio povas esti difinita kiel la funkcia kvadrata radiko de f , tiam skribite kiel g = f 1/2 .
#000018
Sub kromaj restriktoj, tiu ideo povas esti ĝeneraligita tiel ke la ripetkalkulo iĝas kontinua parametro;
en tiu kazo, tia sistemo estas nomita fluo, precizigita tra solvoj de la ekvacio de Schröder.
Ripetitaj funkcioj kaj fluoj okazas nature en la studo de fraktaloj kaj dinamikaj sistemoj.
#000019
Por eviti ambiguecon, kelkaj matematikistoj elektas skribi ke f ° n por la n-th ripetas de la funkcio f .
#000020
Multaj matematikistoj, precipe en teorio de grupoj, preterlasas la kunmetaĵsimbolon, skribo gf por g ∘ f .
#000021
En la mid-20-a jarcento, kelkaj matematikistoj decidis ke skribi" g ∘ f " signifi "unue uzas f , tiam uzas g "estis tro konfuza kaj decidis ŝanĝi notaciojn.
Tio povas esti pli natura kaj ŝajni pli simpla ol skribfunkcioj maldekstre en kelkaj lokoj - en lineara algebro, ekzemple, kie x estas vicvektoro kaj f kaj g indikas matricojn kaj la kunmetaĵo estas per matrica multipliko.
Tiu alternativa notacio estas vokita postfiksu notacion.
La ordo estas grava ĉar matrica multipliko estas ne-kommutativa.
Sinsekvaj transformoj aplikantaj kaj komponadon dekstren konsentas kun la maldekstra-al-dekstra legadsekvenco.
#000022
Matematikistoj kiuj uzas postfiksas notacion povas skribi" fg ", signifi unue uzas f kaj tiam uzas g , en harmonio kun la ordo la simboloj okazas en postfiks notacion, tiel farante la notacio-" fg "ambigua.
g " por tio, [10] tiel malambiguiganta la ordon de kunmetaĵo.
Distingi la maldekstran kunmetaĵfunkciigiston de tekstopunktokomo, en la Z-notacio la ⨾ karakteron estas uzita por forlasis rilatkonsiston.
Ĉar ĉiuj funkcioj estas duargumentaj rilatoj, estas ĝuste uzi la [grasan] punktokomon por funkcia komponaĵo ankaŭ (vidu la artikolon en kunmetaĵo de rilatoj por pliaj detaloj en tiu notacio).
#000023
Surbaze de funkcio g , la kunmetaĵfunkciigisto C g estas difinita kiel tiu funkciigisto kiel kiu mapas funkciojn al funkcioj
#000024
Kunmetaĵfunkciigistoj estas volitaj en la kampo de operatora teorio.
#000025
Funkcia komponaĵo aperas en unu formo aŭ alia en multaj programlingvoj.
#000026
Kiam g estas simpla konstanta b , kunmetaĵo degeneras en (parta) valortakson, kies rezulto ankaŭ estas konata kiel restrikto aŭ kofaktoro.
#000028
Ĝenerale, la kunmetaĵo de multivariate funkcioj povas impliki plurajn aliajn funkciojn kiel argumentoj, kiel en la difino de primitiva rekursiva funkcio.
Surbaze de f , n - aryfunkcio, kaj n m - ary g 1
g da n , estas la m - aryfunkcio
#000029
Tio foje estas nomita la ĝeneraligita kunmetaĵo de f kun g 1
La parta kunmetaĵo en nur unu argumento menciita antaŭe povas esti instantiateita de tiu pli da generalskemo metante ĉiujn argumentfunkciojn krom unu esti konvene elektitaj projekciofunkcioj.
Notu ankaŭ tiun g 1
g da n povas esti vidita kiel ununura vektoro/ tuple-aprezita funkcio en tiu ĝeneraligita skemo, en kiu kazo tio estas ĝuste la normaldifino de funkcia komponaĵo.
#000030
Aro de finitaryoperacioj sur iu bazaktoraro X estas nomita klono se ĝi enhavas ĉiujn projekciojn kaj estas fermita sub ĝeneraligita kunmetaĵo.
Notu ke klono ĝenerale enhavas operaciojn de diversaj Loknombroj.
La nocio de anstataŭigo ankaŭ trovas interesan ĝeneraligon en la multivariate kazo;
funkcio f de Loknombro n laŭdire navedas kun funkcio g da Loknombro m ĉu f estas homomorfism konserva g, kaj inverse t.e.: [15]
#000031
Unuparta operacio ĉiam navedas kun si mem, sed tio ne estas nepre la kazo por binara (aŭ pli alta Loknombro) operacio.
Binara (aŭ pli alta Loknombro) operacio kiu navedas kun si mem estas nomita mediala aŭ entropiko.
#000032
Kunmetaĵo povas esti ĝeneraligita al arbitraj duargumentaj rilatoj.
Konsiderante funkcion specialan kazon de duargumenta rilato (nome funkciaj rilatoj), funkcia komponaĵo kontentigas la difinon por rilatkonsisto.
#000033
La kunmetaĵo estas difinita en laŭ la saman manieron por partaj funkcioj kaj la teoremo de Cayley havas sian analogon nomitan Wagner-Preston teoremo.
#000034
La kategorio da aroj kun funkcioj kiel morfismoj estas la prototipa kategorio.
La aksiomoj de kategorio estas fakte inspiritaj de la trajtoj (kaj ankaŭ la difino) de funkcia komponaĵo.
La strukturoj donitaj per kunmetaĵo estas aksiomigitaj kaj ĝeneraligitaj en teorio de kategorioj kun la koncepto de morfismo kiel la kategori-teoria anstataŭigo de funkcioj.
La ordinversio en la formulo ( f ∘ g) −1
g −1 ∘ f −1) petas pri grupoj ĝenerale kaj pri la inversa rilato;
ĉiu el tiuj estas ponardkategorio.
#000035
Araneaĵintrigo - grafika tekniko por funkcia kunmetaĵo
Kunmetaĵringo, formala aksiomigo de la kunmetaĵoperacio
Funkcio de hazarda variablo, distribuado de funkcio de hazarda variablo
#000037
^ Some authors use f ∘ g :
^ The strict sense is used, e.g. , in teorio de kategorioj , where a subset relation is modelled explicitly by an inclusion function .
#000038
En matematiko, komponigita funkcio, formita kiel la komponaĵo de unu funkcio sur alia, prezentas la aplikon de la antaŭa al la rezulto de la apliko de la lasta al la argumento de la komponaĵo. La funkcioj f: X → Y kaj g: Y → Z povas esti komponitaj per unue aplikado f al argumento x kaj tiam aplikado g al la rezulto. Tial oni ricevas funkcion g o f: X → Z difinitan per (g o f)(x) = g(f(x) por ĉiuj x en X. La notacio g o f estas legata kiel "g cirklo f" aŭ "g komponita kun f".
#000041
Kiel ekzemplo, supozu, ke alto de aviadilo je tempo t estas donita per la funkcio h(t) kaj, ke la denseco de oksigeno je alto x estas donita per la funkcio c(x). Tiam (c o h)(t)=c(h(t) priskribas la densecon de oksigeno apud la aviadilo je tempo t.
#000042
En la mezo de la 20-a jarcento, iuj matematikistoj decidis, ke skribi "g o f" por signifi "unue apliki f, tiam apliki g" estis ankaŭ konfuza kaj decidis ŝanĝi notacion. Ili skribis kiel "xf" por "f(x)" kaj "xfg" por "g(f(x)". Tamen, tiu delokigo neniam populariĝis, kaj nuntempe tiu notacio estas trovata nur en malnovaj libroj.
#000043
La komponaĵo de funkcioj estas ĉiam asocieca. Tio estas, se f, g, kaj h estas tri funkcioj kun konvene elektitaj domajnoj kaj celo-aroj, tiam f o (g o h) = (f o g) o h. Ĉar estas nenia distingo inter la elektoj de lokigo de parantezoj, ili povas esti sekure forlasitaj.
#000044
Kiel rezulto la aro de reciproke unuvaloraj funkcioj f: X → X formas grupon kun respekto al la komponaĵa operatoro.
#000045
La funkcioj g kaj f komutiĝas unu kun la alia se g o f = f o g. Ĝenerale, komponaĵo de funkcioj estos ne estas komuteca. Komuteco estas speciala propraĵo, atingita nur per apartaj funkcioj, kaj ofte en specialaj kondiĉoj. Ekzemple, nur kiam ; por ĉiuj negativaj x, la unua esprimo estas nedefinita. Inversaj funkcioj ĉiam komutiĝas kaj produktas la idento-bildigon.
#000046
Derivaĵoj de komponaĵo de diferencialeblaj funkcioj povas troviĝi uzante la ĉenan regulon:
#000047
kie la punkto " · " prezentas la ordinaran multiplikon de nombroj, aŭ
#000048
Pli altaj derivaĵoj de tiaj funkcioj estas donitaj per la formulo de Faà di Bruno.
#000049
Se Y⊂X tiam f povas komponiĝi kun si; ĉi tio estas iam signifita kiel f 2. Tial:
#000050
Ripetita komponaĵo de funkcio kun si estas iam nomata kiel funkcia ripeto.
#000051
La funkciaj potencoj f o f n = f n o f = f n+1 por naturaj n sekvas senpere.
#000052
Laŭ konvencio, f 0 = idD(f) (la identa surĵeto sur la domajno de f).
#000053
Se por f:X→X estas la inversa funkcio, negativaj funkciaj potencoj f -k (k > 0) estas difinitaj kiel la kontraŭaj potencoj de la inversa funkcio, (f −1)k.
#000054
Noto: Se f prenas siajn valorojn en ringo (en aparta por reela aŭ komplekso-valora f ), estas risko de konfuzo, kiel f n povis ankaŭ stari por la n-a algebra potenco de valoro de f, ekzemple povas esti konsiderate kiel f 2(x) = (f (x)2 = f(x) · f(x).
#000055
(Por kutimaj ciferecaj funkcioj, kutime la lasta estas intencita, almenaŭ por pozitivaj eksponentoj. Ekzemple ĉi tiu supra indeksa notacio ofte prezentas norman potencigon de trigonometriaj funkcioj: sin2(x) = sin(x) · sin(x). Tamen, por negativaj eksponentoj (aparte −1), ĝi tamen kutime signifas la inversan funkcion, do, tan−1(x) = arctan(x) (sed ≠ 1/tan(x).
#000056
En iuj okazoj, esprimo por f en g(x) = f r(x) povas esti derivita de la regulo por g donita ne-entjeraj valoroj de r. Tio estas nomata frakcia ripeto.
#000057
Ripetitaj funkcioj okazas nature en la studo de fraktaloj kaj dinamikaj sistemoj.
#000058
Por donita funkcio g, la komponaĵa operatoro estas difinita kiel tiu operatoro kiu mapas funkciojn al funkcioj kiel
#000059
Komponaĵaj operatoroj estas studita en la kampo de operatora teorio.
#000060
Funkcio de pli alta ordo
#000061