[{"text_idx": "#000001", "text": "duonig\u0302otempoj eksponenta kresko kaj kadukig\u0302o"}, {"text_idx": "#000002", "text": "pruvo ke e estas neracia"}, {"text_idx": "#000003", "text": "Eu\u0306lera formulo, nomita lau\u0306 Leonhard Euler, estas matematika formulo en kompleksa analitiko kiu establas la fundamentan rilaton inter la trigonometria funkcio kaj la kompleksa eksponenta funkcio.\nEu\u0306lerformulo-s\u0302tatoj tio, por iu reala nombro x :"}, {"text_idx": "#000004", "text": "kie e estas la fundamento de la natura logaritmo, mi estas la imaginara unuo, kaj cos kaj peko estas la trigonometriafunkcia kosinuso kaj sine respektive, kun la argumento x donita en Radianoj.\nTiu kompleksa eksponenta funkcio foje estas indikita cis ( x) (\" kosinuso kaj plie mi sine \").\nLa formulo dau\u0306re estas valida se x estas kompleksa nombro, kaj tiel kelkaj verkintoj nomas la pli g\u0302eneralan kompleksooversion eu\u0306lera formulo."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Eu\u0306lera formulo estas c\u0302iea en matematiko, fizikoj, kaj ing\u0302enieristiko.\nLa fizikisto Richard Feynman nomis la ekvacion \"nia juvelo\" kaj \"la plej rimarkinda formulo en matematiko.\""}, {"text_idx": "#000006", "text": "2 Aplikoj en kompleksanombra teorio\n6 Difinoj de kompleksa potenco 6.1"}, {"text_idx": "#000008", "text": "c\u0302i-supra ekvacio rakontas al ni ion c\u0302irkau\u0306 kompleksaj logaritmoj.\nBernoulli, aliflanke, ne analizis la integralon."}, {"text_idx": "#000009", "text": "La korespondado de Bernoulli kun Euler (kiu ankau\u0306 sciis c\u0302i-supran ekvacion) montras ke Bernoulli ne plene komprenis kompleksajn logaritmojn.\nEuler ankau\u0306 sugestis ke la kompleksaj logaritmoj povas havi senlime multajn valorojn."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Staloj sopiris la fakton ke kompleksa logaritmo povas havi senlime multajn valorojn, malsamante de multobloj de 2i\u03c0, pro la periodeco de la trigonometria funkcio."}, {"text_idx": "#000012", "text": "1740 Euler turnis lian atenton al la eksponenta funkcio anstatau\u0306e de logaritmoj, kaj akiris la formulon utiligitan hodiau\u0306 kiu estas nomita lau\u0306 li.\nG\u0302i estis publikigita en 1748, akirita komparante la seriovastig\u0302ojn de la eksponentaj kaj trigonometriaj esprimoj."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Neniu el tiuj matematikistoj vidis la geometrian interpreton de la formulo;\nla vido de kompleksaj nombroj kiel punktoj en la kompleksa ebeno estis priskribita proksimume 50 jarojn poste fare de Caspar Wessel."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Tiu formulo povas esti interpretita kiel dirado ke la funkcio ei\u03c6 estas unuo kompleksa nombro, t.e., spuras eksteren la trigonometrian cirklon en la kompleksa ebeno kiel \u03c6 intervaloj tra la realaj nombroj.\nC\u0302i tie, \u03c6 estas la angulo kiun linio liganta la originon kun punkto sur la trigonometria cirklo faras kun la pozitiva reala akso, mezuris kontrau\u0306e dekstrume kaj en Radianoj."}, {"text_idx": "#000015", "text": "La origina pruvo estas bazita sur la serio de Taylor vastig\u0302oj de la eksponentfunkcia ez (kie z estas kompleksa nombro) kaj de peko x kaj cos x por realaj nombroj x (vidu malsupre).\nFakte, la sama pruvo montras ke eu\u0306lera formulo estas ec\u0302 valida por c\u0302iuj kompleksaj nombroj x ."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Punkto en la kompleksa ebeno povas esti reprezentita per kompleksa nombro skribita en kartezaj koordinatoj.\nEu\u0306lera formulo disponigas rimedon de konvertig\u0302o inter kartezaj koordinatoj kaj polaraj koordinatoj.\nLa polusa formo simpligas la matematikon kiam uzite en multipliko au\u0306 povoj de kompleksaj nombroj.\nC\u0302iu komplekso pli sensenta z = x -+ iy , kaj g\u0302ia kompleksa konjugito, z = x -\u2212 iy , povas esti skribita kiel"}, {"text_idx": "#000017", "text": "\u03c6 estas la argumento de z - t.e., la angulo inter la absciso kaj la vektoro z mezuris maldekstrume kaj en Radianoj - kiu estas difinita g\u0302is aldono de 2\u03c0.\nMultaj tekstoj skribas al \u03b8 = sunbruno \u22121 ( y / x) anstatau\u0306e de \u03b8 = atan2 ( y, x), sed la unua ekvacio bezonas alg\u0302ustigon kiam x \u2264 0-a Tio estas c\u0302ar, por iu reala x, y ne kaj nul, la anguloj de la vektoroj (x, y) kaj (- x, - y) malsamas je \u03c0 Radianoj, sed havas la identan valoron de sunbruno (\u03b8) = i/ks."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Nun, mang\u0302ante tiun derivitan formulon, ni povas uzi eu\u0306leran formulon por difini la logaritmon da kompleksa nombro.\nFarendaj\u0302o tion, ni ankau\u0306 utiligas la difinon de la logaritmo (kiel la inversa funkciigisto de potenco) tio"}, {"text_idx": "#000019", "text": "kaj valida por iuj kompleksaj nombroj a kaj b."}, {"text_idx": "#000020", "text": "por iu z =\u0338 0-a Preno la logaritmo de ambau\u0306 flankoj montras tion:"}, {"text_idx": "#000021", "text": "kaj fakte tio povas esti utiligita kiel la difino por la kompleksa logaritmo.\nLa logaritmo de kompleksa nombro estas tiel multi-aprezitfunkcio, c\u0302ar \u03c6 estas multi-aprezit."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Finfine, la alia eksponenta leg\u0302o"}, {"text_idx": "#000023", "text": "kiu povas esti observita tenanta por c\u0302iu entjeroj k, kune kun eu\u0306lera formulo, implicas plurajn trigonometriajn identecojn same kiel formulon de de Moivre."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Eu\u0306lera formulo disponigas potencan ligon inter analizo kaj trigonometrio, kaj disponigas interpreton de la sine kaj kosinusfunkcioj kiel pezbalancitaj sumoj de la eksponenta funkcio :"}, {"text_idx": "#000025", "text": "La du ekvacioj supre povas esti derivitaj per aldonado au\u0306 subtrahado de Euler-formuloj :"}, {"text_idx": "#000026", "text": "kaj solvado por au\u0306 kosinuso au\u0306 sine."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Tiuj formuloj ec\u0302 povas funkcii kiel la difino de la trigonometria funkcio por kompleksaj argumentoj x.\nEkzemple, lasante x = iy, ni havas :"}, {"text_idx": "#000028", "text": "Kompleksaj eksponentoj povas simpligi trigonometrion, c\u0302ar ili pli facile manipuleblas ol siaj sinusoidal komponentoj.\nUnu tekniko estas simple konverti sinusoidojn en ekvivalentajn esprimojn lau\u0306 eksponentoj.\nPost la manipuladoj, la simpligita rezulto dau\u0306re estas real-aprezita."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Alia tekniko devas reprezenti la sinusoidojn lau\u0306 la reela parto de kompleksa esprimo, kaj elfari la manipuladojn en la kompleksa esprimo."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Tiu formulo estas uzita por rekursiva generacio de cos ( nks) por entjervaloroj de n kaj arbitra x (en Radianoj)."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Tiuj observaj\u0302oj povas esti kombinitaj kaj resumitaj en la kommutativa diagramo malsupre:"}, {"text_idx": "#000032", "text": "En diferencialaj ekvacioj, la funkcio eiks ofte kutimas simpligi derivaj\u0302ojn, ec\u0302 se la fina respondo estas reala funkciimplikado sine kaj kosinuso.\nLa kialo de tio estas ke la kompleksa eksponento estas la eigenfunktion de diferencigo.\nEu\u0306lera idento estas facila sekvo de eu\u0306lera formulo."}, {"text_idx": "#000033", "text": "En elektronika ing\u0302enieristiko kaj aliaj kampoj, signaloj de kiuj periode varias dum tempo ofte estas priskribitaj kiel kombinaj\u0302o sine kaj kosinusfunkcioj (vidu Fourier-analizon), kaj tiuj estas pli komforte esprimitaj kiel la reela parto de eksponentaj funkcioj kun imagaj eksponentoj, uzante eu\u0306leran formulon.\nAnkau\u0306, fasoranalizo de cirkvitoj povas inkludi eu\u0306leran formulon por reprezenti la impedancon de kondensilo au\u0306 induktoro."}, {"text_idx": "#000034", "text": "La eksponenta funkcio eks por realaj valoroj de x povas esti difinita lau\u0306 kelkaj malsamaj ekvivalentaj manieroj (vidu Karakterizadoj de la eksponenta funkcio).\nPluraj de tiuj metodoj povas esti rekte etenditaj por doni difinojn de ez por kompleksaj valoroj de z simple anstatau\u0306igante z modloko de x kaj uzante la kompleksajn algebrajn operaciojn.\nAparte ni povas uzi c\u0302iu el ambau\u0306 de la du sekvaj difinoj kiuj estas ekvivalentaj.\nDe pli progresinta perspektivo, c\u0302iu el tiuj difinoj povas esti interpretita kiel donado de la unika analiza dau\u0306rigo de eks- al la kompleksa ebeno."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Uzi la rilatumteston kiun g\u0302i estas ebla montri ke tiu potencvico havas senfinan radiuson de konverg\u0302o, kaj tiel difinas ez por c\u0302iu kompleksa z ."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Diversaj pruvoj de la formulo estas eblaj."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Jen estas pruvo de eu\u0306lera formulo utiliganta potencvicvastig\u0302ojn same kiel bazajn faktojn pri la potencoj de mi: [5]"}, {"text_idx": "#000038", "text": "Utiligante nun la potencvicdifinon de supre ni vidas tion por realaj valoroj de x"}, {"text_idx": "#000039", "text": "En la lasta pas\u0302o ni simple rekonis la Maclaurin-serialon por cos (x) kaj peko (x).\nLa rearang\u0302o de esprimoj estas pravigita c\u0302ar c\u0302iu serio estas absolute konverg\u0302a."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Alia pruvo [6] estas bazita sur la fakto ke c\u0302iuj kompleksaj nombroj povas esti esprimitaj en polaraj koordinatoj.\nTial por iom da r kaj \u03b8 depende de x ,"}, {"text_idx": "#000041", "text": "Nun de iuj da la difinoj de la eksponenta funkcio povas esti montrite ke la derivaj\u0302o de e ixa estas Ie ixa .\nTial, diferencigi ambau\u0306 flankojn donas"}, {"text_idx": "#000045", "text": "C\u0302i tiu artikolo estas pri eu\u0306lera formulo en kompleksa analitiko. Por eu\u0306lera formulo en algebra topologio kaj pluredra kombinatoriko vidu en eu\u0306lera karakterizo."}, {"text_idx": "#000046", "text": "En matematiko, eu\u0306lera formulo, estas idento en kompleksa analitiko kiu donas interrilaton inter la trigonometriaj funkcioj kaj kompleksa eksponenta funkcio. G\u0302i statas, ke por c\u0302iu kompleksa nombro x,"}, {"text_idx": "#000047", "text": "kie e estas la bazo de la natura logaritmo,"}, {"text_idx": "#000048", "text": "i estas la imaginara unuo,\ncos kaj sin estas la trigonometriaj funkcioj kosinuso kaj sinuso, kun la argumento x donita en radianoj."}, {"text_idx": "#000049", "text": "i estas la imaginara unuo,"}, {"text_idx": "#000050", "text": "cos kaj sin estas la trigonometriaj funkcioj kosinuso kaj sinuso, kun la argumento x donita en radianoj."}, {"text_idx": "#000051", "text": "La formulo estas ankorau\u0306 valida se x estas ajna kompleksa nombro, kvankam la originala eu\u0306lera formulo temas pri reela x."}, {"text_idx": "#000052", "text": "La originala pruvo estas bazita sur la serio de Taylor de la eksponenta funkcio ez (kie z estas kompleksa nombro) kaj de sin x kaj cos x por reelaj nombroj x. Fakte, la sama pruvo montras ke la eu\u0306lera formulo veras por c\u0302iu kompleksa z."}, {"text_idx": "#000053", "text": "Tiel eix = cos x + i sin x."}, {"text_idx": "#000054", "text": "C\u0302i tiu formulo povas esti interpretita kiel tio ke valoro de funkcio eix desegnas la unuoblan cirklon en la kompleksa ebeno kiam x s\u0302ang\u0302ig\u0302as tra la reelaj nombroj. C\u0302i tie, x estas la angulo inter linio konektanta la punkton sur la unua cirklo kun punkto z=0 kaj la pozitiva reela akso, mezurita en radianoj tiel ke lau\u0306horlog\u0302nadla direkto estas pozitiva."}, {"text_idx": "#000055", "text": "Kompleksa nombro respektivas al punkto en la kompleksa ebeno kiu kutime estas prezentita en karteziaj koordinatoj. Eu\u0306lera formulo provizas konvertig\u0302on al la polusaj koordinatoj. Tiel c\u0302iu kompleksa nombro z = x+iy povas esti skribita kiel"}, {"text_idx": "#000056", "text": "kie x = Re(z) - la reela parto"}, {"text_idx": "#000057", "text": "y = Im(z) - la imaginara parto\n\u03c6 = atan2 (y, x) - la argumento - la angulo priskribita pli supre"}, {"text_idx": "#000058", "text": "y = Im(z) - la imaginara parto"}, {"text_idx": "#000059", "text": "\u03c6 = atan2 (y, x) - la argumento - la angulo priskribita pli supre"}, {"text_idx": "#000060", "text": "G\u0302ia kompleksa konjugito estas tiam"}, {"text_idx": "#000061", "text": "Per c\u0302i tiu formulo, oni povas difini la logaritmon de kompleksa nombro. Logaritmo estas la inversa funkcio de potencigo tiel ke por c\u0302iu kompleksa a"}, {"text_idx": "#000062", "text": "por c\u0302iu kompleksaj a kaj b rezultig\u0302as"}, {"text_idx": "#000063", "text": "por c\u0302iu nenula z. Preno de la logaritmo de ambau\u0306 flankoj montras ke:"}, {"text_idx": "#000064", "text": "kaj fakte c\u0302i tiu povas esti uzata kiel difino por la kompleksa logaritmo. La logaritmo de kompleksa nombro estas tial multvalora funkcio, c\u0302ar \u03c6 estas multvalora."}, {"text_idx": "#000065", "text": "Eu\u0306lera formulo provizas prezentojn de la sinuso kaj kosinuso por c\u0302iu kompleksa x per eksponentoj:"}, {"text_idx": "#000066", "text": "C\u0302i tiuj du identoj pli supre povas esti derivitaj per adicio au\u0306 subtraho de du ekzempleroj de eu\u0306lera formulo:"}, {"text_idx": "#000067", "text": "kaj solvado por kosinuso au\u0306 sinuso."}, {"text_idx": "#000068", "text": "C\u0302i tiuj formuloj povas ec\u0302 servi kiel difinoj de sinuso kaj kosinuso por kompleksaj argumentoj x. Se preni x = iy rezultig\u0302as formuloj pri rilato de kosinuso kaj sinuso al hiperbola kosinuso kaj hiperbola sinuso:"}, {"text_idx": "#000069", "text": "kiu veras por c\u0302iu entjera k kune kun la eu\u0306lera formulo implicas kelkajn trigonometriajn identojn kaj formulon de de Moivre."}, {"text_idx": "#000070", "text": "En diferencialaj ekvacioj, la funkcio eix estas ofte uzata por plisimpligi derivaj\u0302oj, ec\u0302 se la fina respondo estas reela funkcio kun sinuso kaj kosinuso."}, {"text_idx": "#000071", "text": "En elektrotekniko kaj aliaj kampoj, signaloj kiuj s\u0302ang\u0302ig\u0302as periode kun tempo estas ofte priskribitaj kiel kombinaj\u0302o de sinusa kaj kosinusa funkcioj (vidu en analitiko de Fourier), kaj ilin estas oportune esprimi kiel reela parto de kompleksaj eksponentaj funkcioj."}, {"text_idx": "#000072", "text": "Eu\u0306lera formulo estis pruvita unuafoje de Roger Cotes en 1714 en formo"}, {"text_idx": "#000073", "text": "ln(cos x + i sin x) = ix"}, {"text_idx": "#000074", "text": "kie \"ln\" estas natura logaritmo, kun bazo e."}, {"text_idx": "#000075", "text": "Eu\u0306lero publikigis la identon en g\u0302ia aktuala formo en 1748, kun lia pruvo surbaze de egaleco de la malfiniaj serioj de ambau\u0306 flankoj."}, {"text_idx": "#000076", "text": "Neniu el ili vidis la geometria interpretado de la formulo, la prezento de kompleksaj nombroj kiel punktoj en la kompleksa ebeno aperis nur je 50 jaroj poste de Caspar Wessel."}, {"text_idx": "#000077", "text": "Eu\u0306lera idento - specifa okazo de la eu\u0306lera formulo por x=\u03c0"}]