[{"text_idx": "#000001", "text": "La Euler-anguloj estas tri anguloj lanc\u0302itaj fare de Leonhard Euler por priskribi la orientig\u0302on de rigida korpo kun respekto al fiksa koordinatsistemo.\nIli ankau\u0306 povas reprezenti la orientig\u0302on de movebla referenca kadro en fiziko au\u0306 la orientig\u0302on de g\u0302enerala bazo en 3-dimensia lineara algebro."}, {"text_idx": "#000002", "text": "C\u0302iu orientig\u0302o povas esti realigita kunmetante tri elementajn rotaciojn , t.e. rotaciojn koncerne la aksojn de koordinatsistemo.\nEuler-anguloj povas esti difinitaj per tri el tiuj rotacioj.\nIli ankau\u0306 povas esti difinitaj per elementa geometrio kaj la geometria difino montras ke tri rotacioj c\u0302iam estas sufic\u0302aj atingi ajnan kadron."}, {"text_idx": "#000003", "text": "La tri elementaj rotacioj povas esti eksteraj (rotacioj c\u0302irkau\u0306 la aksooksiz de la origina koordinatsistemo, kiu estas supozita resti senmova), au\u0306 internaj (rotacioj c\u0302irkau\u0306 la aksoj de la rotacia koordinatsistemo XYZ, solidary kun la kortus\u0302a korpo, kiu s\u0302ang\u0302as sian orientig\u0302on post c\u0302iu elementa rotacio)."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Euler-anguloj estas tipe indikitaj kiel \u03b1, \u03b2, \u03b3, au\u0306 \u03c6, \u03b8, \u03c8.\nMalsamaj verkintoj povas uzi malsamajn arojn de rotaciaksoj por difini Euler-angulojn, au\u0306 malsamajn nomojn por la samaj anguloj.\nTial, c\u0302iu diskuto utiliganta Euler-angulojn c\u0302iam devus esti antau\u0306ita per ilia difino."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Sen pripensado de la ebleco de uzado de du malsamaj konvencioj por la difino de la rotaciaksoj (internaj au\u0306 eksteraj), tie ekzistas dek du eblaj sekvencoj de rotaciaksoj, disigitaj en du grupoj:"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Tait-Bryan anguloj ankau\u0306 estas nomitaj Cardan-anguloj;\nau\u0306 devio, tonalto, kaj rulo.\nFoje, ambau\u0306 specoj de sekvencoj estas nomitaj \"Euler anguloj\".\nEn tiu kazo, la sekvencoj de la unua grupo estas nomitaj bonordaj au\u0306 klasikaj Euler-anguloj."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Precesio, nuksigo kaj interna rotacio"}, {"text_idx": "#000009", "text": "La aksoj de la origina kadro estas indikitaj kiel x, y, z kaj la aksoj de la rotaciita kadro kiel X, Y, Z.\nUzante g\u0302in, la tri Euler-anguloj povas esti difinitaj jene:"}, {"text_idx": "#000010", "text": "Euler-anguloj inter du referencaj kadroj estas difinitaj nur c\u0302u ambau\u0306 kadroj havas la saman handednes."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Internaj rotacioj estas elementaj rotacioj kiuj okazas koncerne la aksojn de koordinatsistemo XYZ alkroc\u0302ita al kortus\u0302a korpo.\nTial, ili s\u0302ang\u0302as sian orientig\u0302on post c\u0302iu elementa rotacio.\nLa XYZ sistemo rotacias, dum ksiz estas fiksa.\nKomencante kie XYZ interkovras ksiz, kunmetaj\u0302o de tri internaj rotacioj povas esti utiligita por etendi sia manon ajnan celorientig\u0302on al XYZ."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Euler-anguloj povas esti difinitaj per internaj rotacioj.\nLa rotaciita kadro XYZ povas esti imagita esti komence akordigita kun ksiz, antau\u0306 spertado de la tri elementaj rotacioj reprezentitaj per Euler-anguloj.\nG\u0302iaj sinsekvaj orientig\u0302oj povas esti indikitaj jene:"}, {"text_idx": "#000014", "text": "Por la super-listigita sekvenco de rotacioj, la vico de nodoj N povas esti simple difinita kiel la orientig\u0302o de X post la unua elementa rotacio.\nTial, N povas esti simple indikita x.\nKrome, c\u0302ar la tria elementa rotacio okazas koncerne Z, g\u0302i ne s\u0302ang\u0302as la orientig\u0302on de Z.\nTial Z koincidas kun z\u2032\u2032.\nTio permesas al ni simpligi la difinon de la Euler-anguloj jene:"}, {"text_idx": "#000015", "text": "Eksteraj rotacioj estas elementaj rotacioj kiuj okazas koncerne la aksojn de la fiksa koordinatsistemksiz.\nLa XYZ sistemo rotacias, dum ksiz estas fiksa.\nKomencante kie XYZ interkovras ksiz, kunmetaj\u0302o de tri eksteraj rotacioj povas esti utiligita por etendi sia manon ajnan celorientig\u0302on al XYZ.\nLa Euler au\u0306 Tait-Bryan anguloj ( \u03b1, \u03b2, \u03b3) estas la amplitudoj de tiuj elementaj rotacioj.\nEkzemple, la celorientig\u0302o povas esti atingita jene:"}, {"text_idx": "#000016", "text": "La XYZ sistemo rotacias koncerne la z akson de \u03b1.\nLa absciso nun estas lau\u0306 angulo \u03b1 kun respekto al la absciso.\nLa XYZ sistemo denove rotacias koncerne la abscison de \u03b2.\nLa Z akso nun estas lau\u0306 angulo \u03b2 kun respekto al la z akso.\nLa XYZ sistemo rotacias trian fojon koncerne la z akson de \u03b3."}, {"text_idx": "#000017", "text": "En sumo, la tri elementaj rotacioj okazas koncerne z, x kaj z.\nEfektive, tiu sekvenco ofte estas indikita z-x-z (au\u0306 3-1-3).\nAroj de rotaciaksoj asociitaj kun kaj bonordaj Euler-anguloj kaj Tait-Bryan anguloj estas ofte nomitaj utiligi tiun notacion (vidu supre por detaloj)."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Ekzistas ses eblecoj de elektado de la rotaciaksoj por bonordaj Euler-anguloj.\nEn c\u0302io el ili, la unua kaj tria rotaciaksoj estas la samaj.\nLa ses eblaj sekvencoj estas:"}, {"text_idx": "#000020", "text": "Anguloj estas ofte difinitaj lau\u0306 la dekstra regulo.\nNome, ili havas pozitivajn valorojn kiam ili reprezentas rotacion kiu prezentig\u0302as dekstruma kie aspektado en la pozitiva direkto de la akso, kaj negativaj valoroj kiam la rotacio prezentig\u0302as kontrau\u0306-dekstruma.\nLa kontrau\u0306kongreso (maldekstramana regulo) estas malpli ofte enkondukita."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Pri la intervaloj (utiligantaj intervalnotacion):"}, {"text_idx": "#000022", "text": "for \u03b1 and \u03b3, the range is defined modulo 2\u03c0 radians. For instance, a valid range could be [\u2212\u03c0, \u03c0).\nfor \u03b2, the range covers \u03c0 radians (but can't be said to be modulo \u03c0). For example, it could be [0, \u03c0] or [\u2212\u03c0/2, \u03c0/2]."}, {"text_idx": "#000023", "text": "La anguloj \u03b1, \u03b2 kaj \u03b3 estas unike determinitaj krom la eksterordinara kazo ke la ksy kaj la XY aviadiloj estas identaj, t.e. kiam la z akso kaj la Z akso havas la saman au\u0306 kontrau\u0306 indikoj.\nEfektive, se la z akso kaj la Z akso estas la samaj, \u03b2 = 0 kaj nur ( \u03b1 + \u03b3) estas unike difinitaj (ne la individuaj valoroj), kaj, simile, se la z akso kaj la Z akso estas kontrau\u0306aj, \u03b2 = \u03c0 kaj nur ( \u03b1 \u2212 \u03b3) estas unike difinita (ne la individuaj valoroj).\nTiuj ambiguecoj estas konataj kiel gimbalseruro en aplikoj."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Precesio, nuksigo, kaj interna rotacio (spino) estas difinitaj kiel la movadoj akiritaj s\u0302ang\u0302ante unu el la Euler-anguloj forlasante la alian du konstanton.\nTiuj movig\u0302oj ne estas esprimitaj lau\u0306 la ekstera kadro, au\u0306 lau\u0306 la ko-kortus\u0302a rotaciita korpkadro, sed en miksaj\u0302o.\nIli konsistigas miksitajn rotaciajn aksojn sistemo, kie la unua angulo movas la vicon de nodoj c\u0302irkau\u0306 la ekstera akso z, la dua rotacias c\u0302irkau\u0306 la vico de nodoj kaj la tria unu estas interna rotacio c\u0302irkau\u0306 akso fiksita en la korpo kiu movoj."}, {"text_idx": "#000025", "text": "La senmova difino implicas tion:"}, {"text_idx": "#000026", "text": "\u03b1 reprezentas rotacion c\u0302irkau\u0306 la z akso,\n\u03b2 reprezentas rotacion c\u0302irkau\u0306 la N akso,\n\u03b3 reprezentas rotacion c\u0302irkau\u0306 la Z akso."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Se \u03b2 estas nul, ekzistas neniu rotacio koncerne N.\nKiel sekvo, Z koincidas kun z, \u03b1 kaj \u03b3 reprezentas rotaciojn koncerne la saman akson ( z), kaj la fina orientig\u0302o povas esti akirita kun ununura rotacio koncerne z, per angulo egala al \u03b1 + \u03b3."}, {"text_idx": "#000028", "text": "La pinto turnig\u0302as c\u0302irkau\u0306 sia propra akso de simetrio;\ntio egalrilatas al sia interna rotacio.\nG\u0302i ankau\u0306 rotacias c\u0302irkau\u0306 sia pivota akso, kun sia centro de maso orbita la pivota akso;\nFinfine, la pinto povas vobli supren kaj malsupren;\nla inklinperspektivo estas la nuksigperspektivo.\nLa sama ekzemplo povas esti vidita kun la movadoj de la tero."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Kvankam c\u0302iuj tri movadoj povas esti reprezentitaj fare de rotaciofunkciigisto kun konstantaj koeficientoj en iu kadro, ili ne povas esti reprezentitaj fare de tiuj funkciigistoj al c\u0302io en la sama tempo.\nSurbaze de referenca kadro, maksimume unu el ili estos koeficient-libera.\nNur precesio povas esti esprimita g\u0302enerale kiel matrico en la bazo de la spaco sen dependencajoj de la aliaj anguloj."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Tiuj movadoj ankau\u0306 kondutas kiel gimbalaro.\nSe ni supozas aron de kadroj, kapablaj movi c\u0302iun kun respekto al la unua lau\u0306 nur unu angulo, kiel gimbal, tie ekzistos ekstera fiksa kadro, unu fina kadro kaj du kadroj en la mezo, kiuj estas nomitaj \"mezaj kadroj\".\nLa du en la mezlaboro kiel du-gimbalrings kiuj permesas la lastan kadron se temas pri atingi ajnan orientig\u0302on en spaco."}, {"text_idx": "#000031", "text": "La dua speco de formalismo estas nomita Tait-Bryan anguloj, post Peter Guthrie Tait kaj George H. Bryan.\nG\u0302i estas la kongreso normale uzita por aerspacaj aplikoj, tiel ke nul-grada alteco reprezentas la horizontalan sintenon.\nTait-Bryan anguloj reprezentas la orientig\u0302on de la aviadilo kun respekto al la mondkadro.\nDum traktado aliajn veturilojn, malsamaj aksookonvencioj estas eblaj."}, {"text_idx": "#000032", "text": "La difinoj kaj notacioj uzis c\u0302ar Tait-Bryan-anguloj estas similaj al tiuj priskribitaj supre por bonordaj Euler-anguloj ( geometria difino, interna rotaciodifino, ekstera rotaciodifino).\nLa nura diferenco estas ke Tait-Bryan-anguloj reprezentas rotaciojn proksimume tri apartaj aksoj (ekz. x-y-z, au\u0306 x-y'-z\u2032\u2032), dum bonordaj Euler-anguloj uzas la saman akson por kaj la unuaj kaj triaj elementaj rotacioj (ekz., z-x-z, au\u0306 z-x'-z\u2032\u2032)."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Tio implicas malsaman difinon por la vico de nodoj en la geometria konstruo.\nEn la bonorda Euler-angulkazo g\u0302i estis difinita kiel la intersekcig\u0302o inter du homologaj kartezaj aviadiloj (paralelo kie Euler-anguloj estas nul;\nEn la dua unu, g\u0302i estas difinita kiel la intersekcig\u0302o de du ne-homologaj aviadiloj (perpendikularaj kiam Euler-anguloj estas nul;"}, {"text_idx": "#000034", "text": "La tri elementaj rotacioj povas okazi au\u0306 koncerne la aksojn de la origina koordinatsistemo, kiu restas senmova ( eksteraj rotacioj), au\u0306 koncerne la aksojn de la rotacia koordinatsistemo, kiu s\u0302ang\u0302as it orientig\u0302on post c\u0302iu elementa rotacio ( internaj rotacioj)."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Ekzistas ses eblecoj de elektado de la rotaciaksoj por Tait-Bryan-anguloj.\nLa ses eblaj sekvencoj estas:"}, {"text_idx": "#000037", "text": "Tait-Bryan-kongreso estas vaste uzita en ing\u0302enieristiko kun malsamaj celoj.\nEkzistas pluraj aksookonvencioj en praktiko por elektado de la movaj kaj fiksaj aksoj, kaj tiuj konvencioj determinas la signojn de la anguloj.\nTial, signoj devas esti studitaj en c\u0302iu kazo singarde."}, {"text_idx": "#000038", "text": "La intervalo por la anguloj \u03c8 kaj \u03c6 kovras 2\u03c0 Radianojn.\nPor \u03b8 la intervalo kovras \u03c0."}, {"text_idx": "#000039", "text": "Tiuj anguloj estas normale prenitaj kiel unu en la ekstera referenca kadro ( irado, porti), unu en la interna kortus\u0302a kadro ( banko) kaj unu en meza kadro, reprezenti altecon au\u0306 inklinon respektas la horizontalon, kiu estas ekvivalenta al la vico de nodoj por tiu celo."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Por aviadilo, ili povas esti akiritaj kun tri rotacioj c\u0302irkau\u0306 g\u0302iaj c\u0302efaksoj se farite en la bonorda sinsekvo.\nDevio akiros la biradon, tonalto donos la altecon kaj rulo donas la bankperspektivon.\nTial, en aerospaco ili foje estas nomitaj devio, tonalto kaj rulo.\nRimarkas ke tio ne funkcios se la rotacioj estas uzitaj en c\u0302iuj alia sinsekvo au\u0306 se la aviadilaksoj komencig\u0302as en iu pozicio ne-ekvivalenta al la referenca kadro."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Tait-Bryan anguloj, sekvantaj z-y'-x\u2032\u2032 (internaj rotacioj) kongreson, ankau\u0306 estas konataj kiel nau\u0306tikaj anguloj, c\u0302ar ili povas esti uzitaj por priskribi la orientig\u0302on de s\u0302ipo au\u0306 aviadiloj, au\u0306 Cardan-angulojn, post la itala matematikisto kaj fizikisto Gerolamo Cardano, kiu unue priskribis en detalo la Cardan-suspendon kaj la kardanartikon."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Ofta problemo estas trovi la Euler-angulojn de antau\u0306fiksita kadro.\nLa plej rapida maniero ricevanta ilin devas skribi la tri antau\u0306fiksitaj vektoroj kiel kolonoj de matrico kaj kompari g\u0302in kun la esprimo de la teoria matrico (vidu pli postan tablon de matricoj).\nTial la tri Euler Angles povas esti kalkulita.\nTamen, la sama rezulto povas esti atingita evitanta-matricalgebro kaj uzanta nur elementan geometrion.\nC\u0302i tie ni prezentas la rezultojn por la du plej ofte uzitaj konvencioj: ZXZ por bonorda Euler celas kaj ZYX por Tait-Bryan.\nRimarkas ke c\u0302iu alia kongreso povas esti akirita j\u0302us s\u0302ang\u0302ante la nomon de la aksoj."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Supozante kadron kun unuoblaj vektoroj ( X, Y, Z) donite per iliaj koordinatoj kiel en la c\u0302efdiagramo, g\u0302i povas esti vidita tio:"}, {"text_idx": "#000044", "text": "kaj finfine, uzante la inversan kosinus funkcion,"}, {"text_idx": "#000045", "text": "Supozante kadron kun unuoblaj vektoroj ( X, Y, Z) donite per iliaj koordinatoj kiel en tiu nova diagramo (rimarku ke la Angulteto estas negativa), g\u0302i povas esti vidita tio:"}, {"text_idx": "#000046", "text": "lau\u0306 maniero analoga al la antau\u0306a:"}, {"text_idx": "#000047", "text": "Serc\u0302ante similajn esprimojn al la antau\u0306aj:"}, {"text_idx": "#000048", "text": "Notu ke la inversaj sine kaj kosinusfunkcioj donas du eblajn valorojn por la argumento.\nEn tiu geometria priskribo nur unu el la solvoj estas valida.\nKiam Euler Angles estas difinita kiel sekvenco de rotacioj, c\u0302iuj solvoj povas esti validaj, sed ekzistos nur unu ene de la angulo varias.\nTio estas c\u0302ar la sekvenco de rotacioj por atingi la celkadron ne estas unika se la intervaloj ne estas antau\u0306e difinitaj."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Por komputilaj celoj, povas esti utile reprezenti la angulojn uzante atan2 (y, x)."}, {"text_idx": "#000050", "text": "Euler-anguloj estas unu maniero reprezenti orientig\u0302ojn.\nEkzistas aliaj, kaj estas eble s\u0302ang\u0302i al kaj de aliaj konvencioj.\nTri parametroj c\u0302iam estas postulataj por priskribi orientig\u0302ojn en 3-dimensia\nIli povas ricevi lau\u0306 pluraj manieroj, Euler-anguloj estantaj unu el ili;\nvidu furorlisto sur TIEL (3) por aliaj."}, {"text_idx": "#000051", "text": "La plej uzita orientig\u0302reprezentantaro estas la rotaciomatricoj, la akso-angulo kaj la kvaropoj, ankau\u0306 konataj kiel Euler-Rodriges parametroj, kiuj disponigas alian mekanismon por reprezentado de 3D rotacioj.\nTio estas ekvivalenta al la speciala unitaria gruppriskribo."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Esprimaj rotacioj en 3D kiel unuokvaropoj anstatau\u0306e de matricoj havas kelkajn avantag\u0302ojn:"}, {"text_idx": "#000053", "text": "Interligi rotaciojn estas komputile pli rapida kaj nombre pli stabila.\nEltirante la angulon kaj rotacia akso estas pli simpla.\nKvaropoj ne suferas de gimbalseruro kiel Euler-anguloj faras."}, {"text_idx": "#000054", "text": "C\u0302iuokaze, la rotacia matrickalkulo estas la unua pas\u0302o por akirado de la aliaj du reprezentantaroj."}, {"text_idx": "#000055", "text": "C\u0302iu orientig\u0302o povas esti realigita kunmetante tri elementajn rotaciojn, komencante de konata norma orientig\u0302o.\nEkvivalente, c\u0302iu rotaciomatrico R povas esti malkonstruita kiel produkto de tri elementaj rotaciomatricoj."}, {"text_idx": "#000056", "text": "rotaciomatrico kiu povas esti uzita por reprezenti kunmetaj\u0302on de eksteraj rotacioj koncerne aksojn z, y, x, en tiu sinsekvo), au\u0306 kunmetaj\u0302on de internaj rotacioj koncerne aksoox-y'-z\u2032\u2032 (en tiu sinsekvo) estas.\nTamen, kaj la difino de la elementaj rotaciomatricoj X, Y, Z, kaj ilia multiplikordo dependas de la elektoj prenitaj fare de la uzanto koncerne la difinon de kaj rotaciomatricoj kaj Euler-anguloj (vidi, ekzemple, Ambiguecojn en la difino de rotaciomatricoj).\nBedau\u0306rinde, malsamaj aroj de konvencioj estas adoptitaj fare de uzantoj en malsamaj kuntekstoj.\nLa sekva tablo estis konstruita lau\u0306 tiu aro de konvencioj:"}, {"text_idx": "#000057", "text": "C\u0302iu matrico estas intencita reprezenti aktivan rotacion (la kunmetaj kaj trankvilaj matricoj lau\u0306supoze reagas al la koordinatoj de vektoroj difinitaj en la komenca fiksa referenca kadro kaj donas kiel rezulto la koordinatojn de rotaciita vektoro difinita en la sama referenca kadro).\nC\u0302iu matrico estas intencita reprezenti antau\u0306baloton la kunmetaj\u0302o de eksteraj rotacioj (kiu egalrilatas al la helpema taksado de la R-matrico per la multipliko de tri vere elementaj matricoj), kaj sekundaran la kunmetaj\u0302on de tri neelementaj matricoj reprezentantaj tutmonde internajn rotaciojn (c\u0302irkau\u0306 la aksoj de la rotacia referenca kadro, en inversa sinsekvo).\nDekstraj donitaj referencaj kadroj estas adoptitaj, kaj la dekstra regulo kutimas determini la signon de la anguloj \u03b1, \u03b2, \u03b3."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Por la konsidero de simpleco, la sekva tablo uzas la sekvan nomenklaturon:"}, {"text_idx": "#000059", "text": "1, 2, 3 reprezentas la angulojn \u03b1, \u03b2 kaj \u03b3, t.e. la angulojn egalrilatantajn al la unua, sekundo kaj triaj elementaj rotacioj respektive.\nXa, Y, Z estas la matricoj reprezentantaj la elementajn rotaciojn koncerne la aksojn x, y, z de la fiksa kadro (ekz., X 1 reprezentas rotacion koncerne x de angulo \u03b1).\ns kaj c reprezentas sine kaj kosinuso (ekz., s 1 reprezentas la sine de \u03b1).\nC\u0302iu matrico estas indikita per la formulo uzita por kalkuli g\u0302in."}, {"text_idx": "#000060", "text": "S\u0302ang\u0302i la formulojn por la kontrau\u0306a direkto de, s\u0302ang\u0302i la signojn de la sine funkcioj.\nPor s\u0302ang\u0302i la formulojn por pasivaj rotacioj (au\u0306 trovi inversan aktivan rotacion), transmeti la matricojn (tiam c\u0302iu matrico transformas la komencajn koordinatojn de vektoro restado fiksis al la koordinatoj de la sama vektoro mezurita en la rotaciita referencsistemo;\nsama rotaciakso, samaj anguloj, sed nun la koordinatsistemo rotacias, prefere ol la vektoro)."}, {"text_idx": "#000061", "text": "La Euler-anguloj formas diagramon sur c\u0302io el TIEL (3), la speciala ortogonala grupo de rotacioj en 3D spaceto.\nLa diagramo estas glata krom polusa kunordigita stilneordinaraj\u0302o lau\u0306 \u03b2 = 0. See furorlisto sur TIEL (3) por pli kompleta traktado."}, {"text_idx": "#000062", "text": "La spaco de rotacioj estas nomita enen g\u0302enerala \"La Hypersphere de rotacioj \", kvankam tio estas misnomo: la grupo Spin (3) estas izometra al la hipersfero S 3, sed la rotaciospaco TIEL (3) estas anstatau\u0306e izometra al la reala projekcia regiono RP 3 2-obla kvocientospaco de la hipersfero.\nTiu 2-to-1 ambigueco estas la matematika origino de spino en fiziko."}, {"text_idx": "#000063", "text": "Simila tri angulputrig\u0302o aplikas al Su (2), la speciala unitaria grupo de rotacioj en komplekso 2D spaceton, kun la diferenco kiun tiu \u03b2 intervalas de 0 g\u0302is 2\u03c0.\nTiuj ankau\u0306 estas nomitaj Euler-anguloj."}, {"text_idx": "#000064", "text": "Ekzemple, generi unuforme randomigitajn orientig\u0302ojn, lasi \u03b1 kaj \u03b3 esti unuformaj de 0 g\u0302is 2\u03c0, lasi z esti unuforma de \u22121 g\u0302is 1, kaj lasi \u03b2 = arckojn ( z)."}, {"text_idx": "#000065", "text": "Aliaj trajtoj de Euler-anguloj kaj rotacioj g\u0302enerale povas esti trovitaj de la Geometria algebro (GA).\nGA estas higher-nivela abstraktado, en kiu la kvaropoj estas ebena subalgebro."}, {"text_idx": "#000066", "text": "Estas eble difini parametrojn analogajn al la Euler-anguloj en grandeco pli alte ol tri."}, {"text_idx": "#000067", "text": "La nombro da gradoj da libereco de rotaciomatrico c\u0302iam estas malpli ol la dimensio de la matrico kvadratis.\nTio estas, la elementoj de rotaciomatrico estas ne c\u0302io tute sendependaj.\nEkzemple, la rotaciomatrico en dimensio 2 havas nur unu gradon da libereco, c\u0302ar c\u0302iuj kvar el g\u0302iaj elementoj dependas de ununura angulo de rotacio.\nRotaciomatrico en dimensio 3 (kiu havas nau\u0306 elementojn) havas tri gradojn da libereco, egalrilatante al c\u0302iu sendependa rotacio, ekzemple de it'oj tri Euler-anguloj au\u0306 magnitudklaso unu (unuo) kvaropo."}, {"text_idx": "#000068", "text": "En TIEL (4) la rotaciomatrico estas difinita per du kvaropoj, kaj estas tial 6-parametra (tri gradoj da libereco por c\u0302iu kvaropo).\nLa 4 \u00d7 4 rotaciomatricoj havas tial 6 el 16 sendependaj komponentoj."}, {"text_idx": "#000069", "text": "C\u0302iu aro de 6 parametroj kiuj difinas la rotaciomatricon povus esti konsiderita etendaj\u0302o de Euler-anguloj al dimensio 4."}, {"text_idx": "#000070", "text": "G\u0302enerale, la nombro da eulerperspektivoj en dimensio D estas kvadrata en D;"}, {"text_idx": "#000071", "text": "Ilia c\u0302efa avantag\u0302o super aliaj orientig\u0302opriskriboj estas ke ili estas rekte mezureblaj de gimbal pliig\u0302is en veturilo.\nC\u0302ar giroskopoj retenas sian rotaciakson konstanta, anguloj mezuritaj en girkadro estas ekvivalentaj al anguloj mezuritaj en la laboratoriokadro.\nTial, giroj kutimas scii la faktan orientig\u0302on pri movado de kosmos\u0302ipo, kaj Euler-anguloj estas rekte mezureblaj.\nInterna rotacioperspektivo ne povas esti legita de ununura gimbal, tiel ke devas ekzisti pli ol unu gimbal en kosmos\u0302ipo.\nNormale ekzistas almenau\u0306 tri por redundo.\nEkzistas ankau\u0306 rilato al la bonkonata gimbal-serur problemo de mekanika ing\u0302enierado [5] ."}, {"text_idx": "#000072", "text": "Dum studado de rigidaj korpoj g\u0302enerale, oni vokas ke la ksiz sistemspaco kunlaboras, kaj la XYZ sistemkorpo kunlaboras.\nLa spackoordinatoj estas traktitaj kiel nekortus\u0302aj, dum la korpkoordinatoj estas konsideritaj integrig\u0302intaj en la kortus\u0302a korpo.\nKalkuloj implikantaj akceladon, angulakcelado, angula rapido, angula movokvanto, kaj kineta energio ofte estas plej facilaj en korpkoordinatoj, c\u0302ar tiam la momento de inerciotensoro ne s\u0302ang\u0302ig\u0302as en tempo.\nSe unu ankau\u0306 diagonalizes la rigida korpmomento de inerciotensoro (kun nau\u0306 komponentoj, ses el kiuj estas sendependaj), tiam unu havas aron de koordinatoj (nomitaj la c\u0302efaksoj) en kiu la momento de inerciotensoro havas nur tri komponentojn."}, {"text_idx": "#000073", "text": "La angula rapido de rigida korpo prenas simplan formon utiligantan Euler-angulojn en la kortus\u0302a kadro.\nLa rigidaj korpekvacioj de ankau\u0306 la Euler estas pli simplaj c\u0302ar la inerciotensoro estas konstanta en tiu kadro."}, {"text_idx": "#000074", "text": "En materiala scienco, kristalografa teksturo (au\u0306 preferata orientig\u0302o) povas esti priskribita utiligante Euler-angulojn.\nEn teksturanalizo, la Euler-anguloj disponigas matematikan bildigon de la orientig\u0302o de individuaj kristalitoj ene de polikristala materialo, enkalkulante la kvantan priskribon de la makroskopa materialo.\nLa plej ofta difino de la anguloj s\u0302uldig\u0302as al Bunge kaj egalrilatas al la ZXZ kongreso.\nEstas grave noti, aliflanke, ke la aplikig\u0302o g\u0302enerale implikas aksootransformojn de tensorkvantoj, t.e. pasivajn rotaciojn.\nTiel la matrico kiu egalrilatas al la Bunge Euler-anguloj estas la transmeti de tio montrita en la tabelo supre."}, {"text_idx": "#000075", "text": "Euler-anguloj, normale en la Tait-Bryan kongreso, estas ankau\u0306 utiligitaj en robotiko por parolado pri la gradoj da libereco de pojno.\nIli ankau\u0306 estas uzitaj en Elektronika stabileckontrolo lau\u0306 simila maniero."}, {"text_idx": "#000076", "text": "Pafadkontrolsistemoj postulas g\u0302ustigojn pafil-ordigi angulojn (birado kaj alteco) kompensi por ferdekklinig\u0302o (tonalto kaj rulig\u0302i).\nEn tradiciaj sistemoj, stabiliga giroskopo kun vertikala spinakso korektas por ferdekklinig\u0302o, kaj stabiligas la optikajn vidindaj\u0302ojn kaj radarantenon.\nTamen, pafiltuboj indikas en direkto diferencaj de la vidlinio g\u0302is la celo, por anticipi celmovadon kaj falon de la kuglo pro gravito, inter aliaj faktoroj.\nPafilrajdc\u0302evaloj rulig\u0302as kaj disponas per la ferdekaviadilo, sed ankau\u0306 postulas stabiligon.\nPafilmendoj inkludas angulojn komputitajn de la vertikalaj girdatenoj, kaj tiuj komputadoj implikas Euler-angulojn."}, {"text_idx": "#000077", "text": "Euler-anguloj ankau\u0306 estas utiligitaj grandskale en la kvantuma mekaniko de angula movokvanto.\nEn kvantumaj mekanikoj, eksplicitaj priskriboj de la reprezentadoj de TIEL (3) estas gravegaj por kalkuloj, kaj preskau\u0306 la tuta laboro estis farita utiligante Euler-angulojn.\nEn la frua historio de kvantumaj mekanikoj, kiam fizikistoj kaj apotekistoj havis akre negativan reagon direkte al abstrakta grupo teoriaj metodoj (nomitaj la Gruppenpest), dependeco en Euler-anguloj ankau\u0306 estis esencaj por baza teoria laboro."}, {"text_idx": "#000078", "text": "Multaj mobilkomputikaparatoj enhavas akcelometrojn kiuj povas determini la Euler-angulojn de tiuj aparatoj kun respekto al la gravita altiro de la tero.\nTiuj estas uzitaj en aplikoj kiel ekzemple ludoj, vezik-horizontalil simulaj\u0302oj, kaj kalejdoskopoj."}, {"text_idx": "#000079", "text": "[ citaj\u0302o bezonis ] Vidu ankau\u0306"}, {"text_idx": "#000080", "text": "Konvertig\u0302o inter kvaropoj kaj Euler-anguloj"}]