[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematika teorio de grupoj, la Schur-multiplikato au\u0306 Schur multiplicator estas la dua homologiogrupo H 2 ( G, Z) de grupo G.\nG\u0302i estis lanc\u0302ita fare de Issai Schur ( 1904) en lia laboro sur projekciaj reprezentantaroj."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Ekzemple, la Schur-multiplikato de la nonabelian grupo de ordo 6 estas la sensignifa grupo c\u0302ar c\u0302iu Sylow-subgrupo estas cikla.\nLa Schur-multiplikato de la elementa abela grupo de ordo 16 estas elementa abela grupo de ordo 64, montrante ke la multiplikato povas esti strikte pli granda ol la grupo mem.\nLa Schur-multiplikato de la kvaropgrupo estas sensignifa, sed la Schur-multiplikato de dihedra 2-groups havas ordon 2."}, {"text_idx": "#000005", "text": "La Schur-multiplikatoj de la finhavaj simplanimaj grupoj ricevas c\u0302e la listo de finhavaj simplanimaj grupoj.\nLa kovraj grupoj de la alternaj kaj simetriaj grupoj estas de konsiderinda lastatempa intereso."}, {"text_idx": "#000006", "text": "La origina instigo de Schur por studado de la multiplikato devis klasifiki projekciajn reprezentadojn de grupo, kaj la moderna formulig\u0302o de lia difino estas la dua kohomologiogrupo H 2 ( G, C \u00d7).\nProjekcia reprezentantaro estas tre kiel grupa prezento krom ke anstatau\u0306e de homomorfism en la g\u0302eneralan linearan grupon Gl ( n, C), oni prenas homomorfism en la projekcian g\u0302eneralan linearan grupon PGL ( n, C).\nEn aliaj vortoj, projekcia reprezentantaro estas reprezentantarmodulo la centro."}, {"text_idx": "#000008", "text": "La studo de tiaj kovrogrupoj kau\u0306zis nature la studon de centra kaj tigo etendaj\u0302oj."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Centra etendaj\u0302o de grupo G estas etendaj\u0302o"}, {"text_idx": "#000010", "text": "kie K \u2264 Z ( C) estas subgrupo de la centro de C."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Tigo etendaj\u0302o de grupo G estas etendaj\u0302o"}, {"text_idx": "#000012", "text": "C \u2032 estas subgrupo de la intersekcig\u0302o de la centro de C kaj la derivita subgrupo de C;\ntio estas pli restrikta ol centrejo."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Se la grupo G estas finhava kaj oni pripensas nur tigon etendaj\u0302oj, tiam ekzistas plej granda grandeco por tia grupo C, kaj por c\u0302iu C da tiu grandeco la subgrupo K estas izomorfa al la Schur-multiplikato de G.\nSe la finhava grupo G estas krome perfekta, tiam C estas unika g\u0302is izomorfio kaj estas sin perfekta.\nTia C ofte estas nomita universalaj perfektaj centraj etendaj\u0302oj de G, au\u0306 kovrogrupo (kiam g\u0302i estas diskreta analogaj\u0302o de la universala kovrospaco en topologio).\nSe la finhava grupo G ne estas perfekta, tiam g\u0302ia Schur kovranta grupojn (tute tia C da maksimumajn ordon) estas nur izoklinika."}, {"text_idx": "#000014", "text": "G\u0302i ankau\u0306 estas nomita pli nelonge universala centra etendaj\u0302o, sed noto ke ekzistas neniu plej granda centra etendaj\u0302o, c\u0302ar la rekta produkto de G kaj abela grupo formas centran etendaj\u0302on de G de arbitra grandeco."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Tigo etendaj\u0302oj havas la belan posedaj\u0302on kiu c\u0302iu lifto de elektroproduktilo de G estas elektroproduktilo de C.\nSe la grupo G estas prezentita lau\u0306 libera grupo F sur aktoraro de generatoroj, kaj normala subgrupo R generita fare de aro de rilatoj sur la generatoroj, tiel ke G \u2245 F / R, tiam la kovrogrupo mem povas esti donacita lau\u0306 F sed pli malgranda normala subgrupo S, C \u2245 F / S.\nC\u0302ar la rilatoj de G precizigas elementojn de K kiam konsiderite parton de C, oni havendaj\u0302o S"}, {"text_idx": "#000016", "text": "Fakte se G estas perfekta, tio estas c\u0302io de tio estas bezonita:\nPro tiu simpleco, ekspozicioj kiel ekzemple ( Askbaker 2000, \u00a733) tenilo la perfekta kazo unue.\nLa g\u0302enerala kazo por la Schur-multiplikato estas simila sed certigas ke la etendaj\u0302o estas tigo etendaj\u0302o per limigado al la derivita subgrupo de F: M ( G\nTiuj estas c\u0302iuj iomete pli postaj rezultoj de Schur, kiu ankau\u0306 donis kelkajn utilajn kriteriojn por kalkulado de ili pli eksplicite."}, {"text_idx": "#000017", "text": "De kombina grupa teorio, grupo ofte originas de prezento.\nUnu grava temo en tiu areo de matematiko devas studi prezentojn kun tiel malmultaj rilatoj kiel eble, kiel ekzemple unu relatorgrupoj kiel Baumslag-Solitar-grupoj.\nTiuj grupoj estas senfinaj grupoj per du generatoroj kaj unu rilato, kaj malnova rezulto de Schreier montras tion en iu prezento per pli da generatoroj ol rilatoj, la rezulta grupo estas senfina.\nLa limokazo estas tiel tre interesa: finiaj grupoj kun la sama nombro da generatoroj kiel rilatoj lau\u0306dire havas mankon nul.\nKe grupo havus mankon nul, la grupon havendaj\u0302o sensignifan Schur-multiplikaton c\u0302ar la mimimumnombro de generatoroj de la Schur-multiplikato c\u0302iam estas malpli ol au\u0306 egala al la diferenco inter la nombro da rilatoj kaj la nombro da generatoroj, kio estas la negativa manko.\nEfika grupo estas unu kie la Schur-multiplikato postulas tiun nombron de generatoroj."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Sufic\u0302e lastatempa temo de esplorado estas trovi efikajn prezentojn por c\u0302iuj finhavaj simplanimaj grupoj kun sensignifaj Schur-multiplikatoj.\nTiaj prezentoj estas en iom da signifo interesaj c\u0302ar ili estas kutime mallongaj, sed ili estas malfacile troveblaj kaj labori kun c\u0302ar ili estas mis-tau\u0306gaj g\u0302is normaj metodoj kiel ekzemple kun-gruplistigo."}, {"text_idx": "#000019", "text": "En topologio, grupoj ofte povas esti priskribitaj kiel finhave prezentitaj grupoj kaj fundamenta demando devas kalkuli ilian integritan homologion Hn ( G, Z).\nAparte, la dua homologio ludas specialan rolon kaj tio igis Hopf trovi efikan metodon por kalkulado de g\u0302i.\nLa metodo ( Hopf 1942) enestas ankau\u0306 konata kiel la integrita homologioformulo de Hopf kaj estas identa al la formulo de Schur por la Schur-multiplikato de finhava grupo:"}, {"text_idx": "#000020", "text": "kie G \u2245 F / R kaj F estas libera grupo.\nLa sama formulo ankau\u0306 tenas kiam G estas perfekta grupo."}, {"text_idx": "#000021", "text": "La rekono kiuj tiuj formuloj estis la sama kau\u0306zis Eilenberg kaj Mac Lane la kreadon de kohomologio de grupoj."}, {"text_idx": "#000022", "text": "kie la stelo indikas la algebran duoblan grupon.\nKrome kiam G estas finhava, ekzistas nenatura izomorfio"}, {"text_idx": "#000023", "text": "La Hopf-formulo por H 2 ( G) estis g\u0302eneraligita al pli alta grandeco.\nPor unu aliro kaj referencoj vidas la paperon de Everaert, Gran kaj Van der Lindenon listigitan malsupre."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Perfekta grupo estas unu kies unua integrita homologio malaperas.\nSuperperfekta grupo estas unu kies unuaj du integritaj homologiogrupoj malaperas.\nLa Schur-kovroj de finhavaj perfektaj grupoj estas superperfektaj.\nAcikla grupo estas grupo c\u0302io el kies reduktita integrita homologio malaperas."}, {"text_idx": "#000025", "text": "La dua algebra K-grupa K2 ( R) de komuta ringo R povas esti identigita kun la dua homologiogrupo H 2 ( E ( R), Z) de la grupo E ( R) de (senfinaj) elementaj matricoj kun kontribuoj en R."}, {"text_idx": "#000026", "text": "La referencoj de Clair Miller donas alian vidon de la Schur Multiplikato kiel la kerno de morfismo \u03ba: G \u2227 G \u2192 G induktita per la kolektormapo."}]