[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, la cirklogrupo, indikita je T, estas la multiplika grupo de c\u0302iuj kompleksaj nombroj kun absoluta valoro 1, t.e., la trigonometria cirklo en la kompleksa ebeno."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La cirklogrupo formas subgrupon de C \u00d7, la multiplika grupo de c\u0302iuj nonzero-kompleksnombroj.\nC\u0302ar C \u00d7 estas abela, g\u0302i sekvas tiun T estas ankau\u0306.\nLa cirklogrupo ankau\u0306 estas la grupo U (1) de 1\u00d71 unuecmatricoj;\ntiuj reagas al la kompleksa ebeno per rotacio koncerne la originon.\nLa cirklogrupo povas esti parametrigita per la angulo \u03b8 de rotacio de"}, {"text_idx": "#000003", "text": "Tio estas la eksponenta mapo por la cirklogrupo."}, {"text_idx": "#000004", "text": "La cirklogrupo ludas centran rolon en Pontryagin-dueco, kaj en la teorio de Lie-grupoj."}, {"text_idx": "#000005", "text": "La notacio T por la cirklogrupo devenas de la fakto ke T da n (la rekta produkto de T kun si mem n tempoj) estas geometrie n - Toro.\nLa cirklogrupo tiam estas al 1-torus."}, {"text_idx": "#000006", "text": "2 Topologia kaj analiza strukturo"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Unudirekta pensi pri la cirklogrupo estas ke g\u0302i priskribas kiel por aldoni angulojn, kie nur anguloj inter 0\u00b0 kaj 360\u00b0 estas licaj.\nEkzemple, la diagramo ilustras kiel por adicii 150\u00b0 g\u0302is 270\u00b0.\nLa respondo devus esti 150\u00b0 + 270\u00b0 = 420\u00b0, sed dum pensado lau\u0306 la cirklogrupo, ni devas \"forgesi\" la fakton ke ni envolvis unufoje c\u0302irkau\u0306 la cirklo.\nTial ni adaptas nian respondon de 360\u00b0 kiu donas 420\u00b0 = 60\u00b0 ( modema adoleskanto 360\u00b0)."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Alia priskribo estas lau\u0306 ordinara aldono, kie nur numeroj inter 0 kaj 1 estas permesitaj (kun 1 korespondante al plena rotacio).\nPor atingi tion, ni eble devos forj\u0302eti for ciferojn okazantajn antau\u0306 la decimalpunkto.\nEkzemple, kiam ni laboras kun 0.784 + 0.925 + 0.446, la respondo devus esti 2.155, sed ni forj\u0302etas for la gvidadon 2, tiel ke la respondo (en la cirklogrupo) estas justa 0.155."}, {"text_idx": "#000009", "text": "La cirklogrupo estas pli ol nur abstrakta algebra objekto.\nG\u0302i havas naturan topologion kiam rigardite kiel subspaco de la kompleksa ebeno.\nC\u0302ar multipliko kaj inversio estas kontinuaj funkcioj sur C \u00d7, la cirklogrupo havas la strukturon de topologia grupo.\nKrome, c\u0302ar la trigonometria cirklo estas fermita subaro de la kompleksa ebeno, la cirklogrupo estas fermita subgrupo de C \u00d7 (mem rigardita kiel topologia grupo)."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Oni povas diri ec\u0302 pli.\nLa cirklo estas 1-dimensia reala dukto kaj multipliko kaj inversio estas real-analizaj mapoj sur la cirklo.\nTio donas la cirklon grupigas la strukturon de unu-parametra grupo, kazo de Lie grupo.\nFakte, g\u0302is izomorfio, g\u0302i estas la unika 1-dimensia kompakta, ligita Mensoggrupo.\nKrome, c\u0302iu n-dimensia kompakta, ligita, abela Mensoggrupo estas izomorfa al T da n ."}, {"text_idx": "#000011", "text": "La cirklaj grupekspozicioj supren en gamo da formoj en matematiko.\nNi listigas kelkajn el la pli oftaj formoj c\u0302i tie."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Notu ke la oblikvo (/) indikas c\u0302i tie kvocientogrupon."}, {"text_idx": "#000013", "text": "La aro de c\u0302iuj 1\u00d71 unuecmatricoj evidente koincidas kun la cirklogrupo;\nla unitaria kondic\u0302o estas ekvivalenta al la kondic\u0302o ke g\u0302ia elemento havas absolutan valoron 1-an Tial, la cirklogrupo estas kanone izomorfa g\u0302is U (1), la unua unitaria grupo."}, {"text_idx": "#000014", "text": "La eksponenta funkcio kau\u0306zas grupan homomorfism eksp:\nR \u2192 T de la aldonaj\u0302aj realaj nombroj R g\u0302is la cirklogrupo T per la mapo"}, {"text_idx": "#000015", "text": "La lasta egaleco estas eu\u0306lera formulo.\nLa reala pli sensenta \u03b8 egalrilatas al la angulo sur la trigonometria cirklo kiel mezurite de la pozitiva absciso.\nKe tiu mapo estas homomorfism sekvas el la fakto ke la multipliko de unuo-kompleksnombroj egalrilatas al aldono de anguloj:"}, {"text_idx": "#000016", "text": "Tiu eksponenta mapo estas klare surj\u0302eto de R g\u0302is T.\nG\u0302i ne estas, aliflanke, injektivo.\nLa kerno de tiu mapo estas la aro de c\u0302iuj entjer multobloj de 2\u03c0.\nDe la unua-izomorfia teoremo ni tiam havas tion"}, {"text_idx": "#000017", "text": "Post remalpliigo ni ankau\u0306 povas diri ke T estas izomorfa al R / Z."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Se kompleksaj nombroj estas realigitaj kiel 2\u00d72 realaj matricoj (vidu kompleksan nombron), la unuo-kompleksnombroj korespondas al 2\u00d72 ortogonalaj matricoj kun unuodeterminanto."}, {"text_idx": "#000019", "text": "La cirklogrupo estas tial izomorfa al la speciala ortogonala grupo TIEL (2).\nTio havas la geometrian interpreton tiu multipliko je unuo kompleksa nombro estas bonorda rotacio en la kompleksa ebeno, kaj c\u0302iu tia rotacio estas de tiu formo."}, {"text_idx": "#000020", "text": "C\u0302iu kompakta Mensoggrupo G de dimensio> 0 havas subgrupon izomorfan al la cirklogrupo.\nTio signifas ke, pensante lau\u0306 simetrio, kompakta geometria simetria grupo aganta ade povas esti atendita havi unu-parametrajn cirklosubgrupojn agantajn;\nla sekvoj en fizikaj sistemoj vidig\u0302as ekzemple c\u0302e rotacia envarianco, kaj spontanea simetriofendo."}, {"text_idx": "#000021", "text": "La cirklogrupo havas multajn subgrupojn, sed siajn nura bonorda fermis subgrupojn konsistas el radikoj de unueco: Por c\u0302iu entjero n > 0, la n th radikoj de unueco formas ciklan grupon de ordo n, kiu estas unika g\u0302is izomorfio."}, {"text_idx": "#000022", "text": "La reprezentadoj de la cirklogrupo facile priskribeblas.\nG\u0302i sekvas el la lemo de Schur kiu la neredukteblaj kompleksoo reprezentadoj de abela grupo estas tute 1-dimensiaj.\nC\u0302ar la cirklogrupo estas kompakta, ajna reprezentantaro \u03c1:\nC \u00d7, devas preni valorojn en U (1) \u2245 T.\nTial, la neredukteblaj reprezentadoj de la cirklogrupo estas j\u0302us la homomorfismoj de la cirklogrupo g\u0302is si mem."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Tiuj reprezentantaroj estas c\u0302iu enekvivalento.\nLa reprezentantaro \u03c6 \u2212 n estas konjugato al \u03c6 n ,"}, {"text_idx": "#000024", "text": "Tiuj reprezentantaroj estas j\u0302us la karakteroj de la cirklogrupo.\nLa karaktero grupo de T estas klare senfina cikla grupo generita per \u03c61:"}, {"text_idx": "#000025", "text": "La neredukteblaj realaj reprezentadoj de la cirklogrupo estas la sensignifa reprezentantaro (1-dimensiaj) kaj la reprezentantaroj"}, {"text_idx": "#000027", "text": "En tiu sekcio ni forgesos c\u0302ion pri la topologia strukturo de la cirklogrupo kaj rigardos nur g\u0302ian strukturon kiel abstraktan grupon."}, {"text_idx": "#000028", "text": "La cirklogrupo T estas disigebla grupo.\nG\u0302ia tordsubgrupo ricevas fare de la aro de c\u0302iuj aj radikoj de unueco por c\u0302iu n, kaj estas izomorfa al Q / Z.\nLa strukturteoremo por disigeblaj grupoj kaj la libera-elekto-aksiomo kune rakontas al ni ke T estas izomorfa al la rekta sumo de Q / Z kun kelkaj kopioj de Q.\n[ citaj\u0302o bezonis ] La nombro da kopioj de Q devas esti c (la kardinaleco de la kontinuumo) en ordo por la kardinaleco de la rekta sumo por esti g\u0302usta.\nSed la rekta sumo de c kopioj de Q estas izomorfa al R, c\u0302ar R estas vektora spaco de dimensio c super Q."}, {"text_idx": "#000029", "text": "povas esti pruvita en lau\u0306 la saman manieron, c\u0302ar C \u00d7 ankau\u0306 estas disigeblan abelan grupigas kies tordsubgrupo estas la sama kiel la tordsubgrupo de T."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Grupo de raciaj punktoj sur la trigonometria cirklo"}, {"text_idx": "#000031", "text": "Homeomorfio kaj la Grupo-Strukturo sur Cirklo"}]