[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, Hopf-algebro, nomita lau\u0306 Heinz Hopf, estas strukturo kiu estas samtempe ( unita asocieca) algebro kaj (kounita koasociative) koalgebro, kie la kongrueco de tiuj strukturoj faras g\u0302i bialgebro, kaj tio krome estas provizita per kontrau\u0306au\u0306tomorfismo kontentiganta certan trajton.\nLa prezenta teorio de Hopf-algebro estas precipe interesa, ekde la ekzisto de kongrua komultipliko, kounuo, kaj antipodo enkalkulas la konstruadon de tensorproduktoj de reprezentantaroj, sensignifaj reprezentantaroj, kaj duoblaj reprezentantaroj."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Hopf-algebroj okazas nature en algebra topologio, kie ili originis kaj estas rilatita al la H-spaca koncepto, en grupa skem teorio, en teorio de grupoj (per la koncepto de grupringo), kaj en multnombra aliaj lokoj, igante ilin vers\u0302ajne la plej konata speco de bialgebro.\nHopf-algebroj ankau\u0306 estas volitaj en sia propra rajto, kun multe da laboro sur specifaj klasoj de ekzemploj unuflanke kaj klasifikaj problemoj sur la alia."}, {"text_idx": "#000003", "text": "9 Notoj kaj referencoj 9.1"}, {"text_idx": "#000004", "text": "Formale, Hopf-algebro estas (asocieca kaj koasociative) bialgebro H pli ol kampo K kune kun K-linia mapo S:\nH \u2192 H (nomita la antipodo) tia ke la sekva diagramo navedas:"}, {"text_idx": "#000005", "text": "C\u0302i tie \u03b4 estas la komultipliko de la bialgebro, \u2207 sia multipliko, \u03b7 sia trupo kaj \u03b5 sia kounuo.\nEn la sumles Sweedler-notacio, tiu posedaj\u0302o ankau\u0306 povas esti esprimita kiel"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Kiel por algebroj, oni povas anstatau\u0306igi la subestan kampon K per komuta ringo R en c\u0302i-supra difino."}, {"text_idx": "#000007", "text": "La difino de Hopf-algebro estas mem-duobla (same reflektite en la simetrio de c\u0302i-supra diagramo), do se oni povas difini dualon de H (kiu c\u0302iam estas ebla se H estas finhav-dimensia), tiam g\u0302i estas au\u0306tomate Hopf-algebro."}, {"text_idx": "#000008", "text": "La antipodo S foje estas postulata por havi K-linia inversan, kiu estas au\u0306tomata en la finhav-dimensia kazo, au\u0306 se H estas kommutativa au\u0306 kokomutative (au\u0306 pli g\u0302enerale kvazau\u0306triangula)."}, {"text_idx": "#000009", "text": "G\u0302enerale, S estas kontrau\u0306homomorphism, [3] tiel ke S 2 estas homomorfism, kio estas tial au\u0306tomorfismo se S estis invertebla (kiel povas esti necesa)."}, {"text_idx": "#000012", "text": "La antipodo estas analogaj\u0302o al la inversiomapo sur grupo kiu sendas g al g \u22121."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Subalgebro A da Hopf algebro H estas Hopf-subalgebro se g\u0302i estas subcoalgebra de H kaj la antipodo S mapas A en A.\nEn aliaj vortoj, Hopf-subalgebro A estas Hopf-algebro en g\u0302ia propra rajto kiam la multipliko, komultipliko, kounuo kaj kontrau\u0306o de H estas malvastanimaj al A (kaj plie la identeco 1 de H estas postulata por esti en A).\nLa Nichols-Zoeller-liberecteoremo establis (en 1989) ke la naturulo A-module H estas libera de finhava rango se H estas finhav-dimensia: g\u0302eneraligo de la teoremo de Lagrange por subgrupoj.\nKiel konsekvenco de tio kaj integrita teorio, Hopf-subalgebro de semikuracherbo finhav-dimensia Hopf-algebro estas au\u0306tomate semikuracherbo."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Hopf-subalgebro A lau\u0306dire estas dekstra normalo en Hopf-algebro H c\u0302u g\u0302i kontentigas la kondic\u0302on de stabileco, adr ( h) ( A\nDum c\u0302io h en H, kie la dekstradjunkto mapanta adr estas difinita per adr ( h) (\nSimile, Hopf-subalgebro A estas lasita normala en H se g\u0302i estas stabila sub la maldekstra adjunkta mapado difinita per adl ( h) (\nLa du kondic\u0302oj de normaleco estas ekvivalentaj se la antipodo S estas bijektive, en kiu kazo A lau\u0306dire estas normala Hopf-subalgebro."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Normala Hopf-subalgebro A en H kontentigas la kondic\u0302on (de egaleco de subaroj de H):\nHA + = A + H kie A + indikas la kernon de la kounuo sur K.\nTiu normaleckondic\u0302o implicas ke HA + estas Hopf-idealo de H (t.e. algebridealo en la kerno de la kounuo, koalgebro koketinterkonsento kaj stabila sub la antipodo).\nKiel sekvo oni havas kvocientan Hopf-algebron H / HA + kaj al epimorfismo H \u2192 H / A + H, teorion analoga al tiu de normalaj subgrupoj kaj kvocientogrupojn en teorio de grupoj."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Hopf-ordo O pli ol integrita domajno R kun kampo de frakcioj da K estas ordo en Hopf-algebro H pli ol K kiu estas fermita sub la algebro- kaj koalgebroperacioj: aparte, la komultipliko \u03b4 mapas O al O \u2297 O."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Grup-simila elemento estas elemento x tia ke \u03b4 ( x\nLa grup-similaj elementoj formas grupon kun inversa fakto de la antipodo.\nPrimitiva elemento x kontentigas \u03b4 ( x"}, {"text_idx": "#000019", "text": "Krome, ni povas difini la sensignifan reprezentantaron kiel la bazkampon K kun"}, {"text_idx": "#000020", "text": "Finfine, la duobla reprezentado de A povas esti difinita: c\u0302u M estas A-modulo kaj M\u00f7 estas sia duobla spaco, tiam"}, {"text_idx": "#000021", "text": "La rilato inter \u03b4, \u03b5, kaj S certigas ke certaj naturaj homomorfismoj de vektoraj spacoj estu efektive homomorfismoj de A-modulo.\nEkzemple, la naturaj izomorfioj de vektoraj spacoj M \u2192 M \u2297 K kaj M \u2192 K \u2297 M ankau\u0306 estas izomorfioj de A-modulo.\nAnkau\u0306, la mapo de vektoraj spacoj M\u00f7 \u2297 M \u2192 K kun f \u2297 m \u2192 f ( m) ankau\u0306 estas homomorfism de A-modulo.\nTamen, la mapo M \u2297 M\u00f7 \u2192 K ne estas nepre homomorfism de A-modulo."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Notu ke funkcioj sur finhava grupo povas esti identigitaj per la grupringo, kvankam tiuj estas pli nature opiniitaj de kiel duoble - la grupringo konsistas el finhavaj sumoj de elementoj, kaj tiel parig\u0302as kun funkcioj sur la grupo analizante la funkcion sur la sumigitaj elementoj."}, {"text_idx": "#000023", "text": "La kohomologialgebro de Lie-grupo estas Hopf-algebro: la multipliko estas disponigita per la taso-produkto, kaj la komultipliko"}, {"text_idx": "#000024", "text": "per la grupmultipliko G \u00d7 G \u2192 G.\nTiu observado estis fakte fonto de la nocio de Hopf-algebro.\nUzante tiun strukturon, Hopf pruvis strukturteoremon por la kohomologialgebro de Lie-grupoj."}, {"text_idx": "#000026", "text": "C\u0302iuj ekzemploj supre estas au\u0306 kommutativaj (t.e. la multipliko estas kommutativa) au\u0306 ko-kommutativaj (t.e. [16] \u03b4 = T \u2218 \u03b4 kie la twist map [17] T:\nAliaj interesaj Hopf-algebroj estas certaj \"deformadoj\" au\u0306 \" kvantigadoj \" de tiuj de ekzemplo 3 kiuj estas nek kommutativaj nek ko-kommutativaj.\nTiuj Hopf-algebroj ofte estas nomitaj kvantegrupoj , esprimo kiu g\u0302is nun estas nur loze difinita.\nIli estas gravaj en nonkomutative-geometrio, la ideo estanta la sekvantaj: norma algebra grupo estas bone priskribita memstare norma Hopf-algebro de regulaj funkcioj;\nni tiam povas pensi pri la misformita versio de tiu Hopf-algebro kiel priskribado certa \"ne-norma\" au\u0306 \"quantigita\" algebra grupo (kiu ne estas algebra grupo entute).\nDum tie ne s\u0302ajnas esti rekta maniero difini au\u0306 manipuli tiujn ne-normajn objektojn, oni dau\u0306re povas labori kun iliaj Hopf-algebroj, kaj efektive oni identigas ilin kun iliaj Hopf-algebroj."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Gradigis Hopf-algebrojn estas ofte uzitaj en algebra topologio: ili estas la natura algebra strukturo sur la rekta sumo de c\u0302iuj homologio au\u0306 kohomologio grupoj de H-spaco."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Loke kompaktaj kvantegrupoj g\u0302eneraligas Hopf-algebrojn kaj portas topologion.\nLa algebro de c\u0302iuj kontinuaj funkcioj sur Lie grupo estas loke kompakta kvantegrupo."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Quasi-Hopf-algebroj estas g\u0302eneraligoj de Hopf-algebroj, kie koasocieco nur tenas supren al tordaj\u0302o.\nIli estis uzitaj en la studo de la Knizhnik-Zamolodchikov-ekvacioj."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Multiplikataj Hopf-algebroj lanc\u0302itaj fare de Alfons Van Daele en 1994 [19] estas g\u0302eneraligoj de Hopf-algebroj kie komultipliko de algebro (kun au\u0306 u\u0306itoutunuo) g\u0302is la multiplikatalgebro de tensorproduktalgebro de la algebro kun si mem."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Hopf-grupo - (Co) algebroj lanc\u0302itaj fare de V.G.Turaev en 2000 ankau\u0306 estas g\u0302eneraligoj de Hopf-algebroj."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Malfortaj Hopf-algebroj, au\u0306 kvantegrupoidoj, estas g\u0302eneraligoj de Hopf-algebroj.\nKiel Hopf-algebroj, malfortaj Hopf-algebroj formas mem-duoblan klason de algebroj;\nt.e., se H estas (malforta) Hopf-algebro, do estas H \u00f7, la duobla regiono de liniaj formoj sur H (kun respekto al la algebro-coalgebra strukturo akirita de la natura parigo kun H kaj g\u0302ia coalgebra-algebra strukturo).\nMalforta Hopf-algebro H estas kutime prenita por esti"}, {"text_idx": "#000033", "text": "finhav-dimensia algebro kaj koalgebro kun koprodukto \u03b4:\nH \u2192 H \u2297 H kaj kounuo \u03b5:\nH \u2192 k kontentiganta c\u0302iujn aksiomojn de Hopf-algebro krom eventuale \u03b4 (1) =\u0338 1 \u2297 1 au\u0306 \u03b5 ( ab) =\u0338 \u03b5 () \u03b5 ( b) por kelkaj , b en H.\nAnstatau\u0306e oni postulas la sekvantan:"}, {"text_idx": "#000034", "text": "por c\u0302io , b, kaj c en H."}, {"text_idx": "#000036", "text": "por c\u0302io en H (la dekstra flanko estas la interesa projekcio kutime indikita je \u03c0 R ( da) au\u0306 \u03b5 s ( al) kun bildo separebla subalgebro indikita fare de H. au\u0306 H );\npor c\u0302io en H (alia interesa projekcio kutime indikita je \u03c0 R ( da) au\u0306 \u03b5 t ( al) kun bildo separebla algebra HL au\u0306 Ht , kontrau\u0306-izomorfa al HL per S);"}, {"text_idx": "#000037", "text": "Notu ke se \u03b4 (1) = 1 \u2297 1, tiuj kondic\u0302oj reduktas al la du kutimaj kondic\u0302oj sur la kontrau\u0306o de Hopf-algebro."}, {"text_idx": "#000038", "text": "La aksiomoj estas parte elektitaj tiel ke la kategorio da H-modulo estas rigida monoidal kategorio.\nLa unuo H-module estas la separebla algebra HL menciita supre."}, {"text_idx": "#000039", "text": "Ekzemple, finhava groupoida algebro estas malforta Hopf-algebro.\nAparte, la groupoida algebro [n] kun unu paro de invertebla sag eij kaj eji inter mi kaj j [ n] enestas izomorfa al la algebro H da n x n matricoj.\nLa malforta Hopf-algebrostrukturo sur tiu unuopo H ricevas per koprodukto \u03b4 ( eij\neij \u2297 eij , kounuo \u03b5 ( eij ) = 1 kaj antipodo S ( eij\nLa separebla subalgebraj HL kaj H. koincidas kaj estas malcentraj komutaj algebroj en tiu speciala kazo (la subalgebro de diagonalaj matricoj)."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Fruaj teoriaj kontribuoj al malfortaj Hopf-algebroj troveblas en [20] same kiel [21]"}, {"text_idx": "#000041", "text": "Grupoj povas esti aksiomigitaj per la samaj diagramoj (ekvivalente, operacioj) kiel Hopf-algebro, kie G estas prenita por esti aro anstatau\u0306e de modulo."}, {"text_idx": "#000043", "text": "En tiu filozofio, grupo povas esti opiniita de kiel Hopf-algebro super la \" kampo kun unu elemento \"."}]