[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, ringo estas unu el la fundamentaj algebraj strukturoj uzitaj en abstrakta algebro.\nG\u0302i konsistas el aro provizita per du operacioj kiuj g\u0302eneraligas la aritmetikoperaciojn de aldono kaj multipliko.\nTra tiu g\u0302eneraligo, teoremoj de aritmetiko estas etenditaj al ne-nombraj objektoj kiel ekzemple polinomoj, serioj, matricoj kaj funkcioj."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La konceptigo de ringoj komencig\u0302is en la 1870-aj jaroj kaj kompletigita en la 1920-aj jaroj.\nEsencaj kontribuantoj inkludas Dedekind, Hilbert, Fraenkel, kaj Noether.\nRingoj unue estis formaligitaj kiel g\u0302eneraligo de Dedekind-domajnoj kiuj okazas en nombroteorio, kaj de polinomringoj kaj ringoj de Invariantoj kiuj okazas en algebra geometrio kaj invarianta teorio.\nPoste, ili ankau\u0306 pruvis esti utilaj en aliaj branc\u0302oj de matematiko kiel ekzemple geometrio kaj analitiko."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Ringo estas abela grupo kun sekunda operacio kiu estas asocieca, estas distribua super la abela grupoperacio, kaj havas neu\u0306tran elementon.\nPer etendaj\u0302o de la entjeroj, la abela grupoperacio estas nomita aldono kaj la dua operacio estas nomita multipliko."}, {"text_idx": "#000004", "text": "C\u0302u ringo estas kommutativa au\u0306 ne (t.e., c\u0302u la ordo en kiu du elementoj estas multobligitaj s\u0302ang\u0302oj au\u0306 ne la rezulto) havas profundajn implicojn sur g\u0302ia konduto kiel abstrakta objekto.\nKiel rezulto, komutringa teorio, ofte konata kiel komuta algebro, estas esenca temo en ringa teorio.\nG\u0302ia evoluo estis tre influita per problemoj kaj ideoj okazantaj nature en algebra nombroteorio kaj algebra geometrio.\nEkzemploj de komutaj ringoj inkludas la aron de entjeroj provizitaj per la aldono- kaj multiplikoperacioj, la aro de polinomoj provizitaj per la aldono kaj multipliko de funkcioj, la kunordigitaj ringo de afina algebra diverseco, kaj la ringo de entjeroj de numero-kampo.\nEkzemploj de nonkomutative-ringoj inkludas la ringon de n \u00d7 n realaj kvadratmatricoj kun n \u2265 2, grupringojn en prezenta teorio, funkciigistalgebrojn en funkcionala analitiko, ringojn de diferencialaj operatoroj en la teorio de diferencialaj operatoroj, kaj la kohomologioringon de topologia spaco en topologio."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Centra simpla algebro kaj Brauer-grupo"}, {"text_idx": "#000009", "text": "Funkciokampo de nereduktebla algebra diverseco"}, {"text_idx": "#000010", "text": "La plej konata ekzemplo de ringo estas la aro de c\u0302iuj entjeroj, Z, konsistante el la nombroj"}, {"text_idx": "#000011", "text": "La konataj trajtoj c\u0302ar aldono kaj multipliko de entjeroj funkcias kiel modelo por la aksiomoj por ringoj."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Ringo estas aro R provizita per operacioj [1] + kaj\nkontentigante la sekvajn tri arojn de aksiomoj, nomitaj la ringaksiomoj [2] [3] [4]"}, {"text_idx": "#000013", "text": "R estas abela grupo sub aldono, kun la signifo tio"}, {"text_idx": "#000014", "text": "b + c) por c\u0302io , b, c en R (+ estas asocieca).\n+ b = b + por c\u0302io , b en R (+ estas kommutativa).\nEkzistas elemento 0 en R tia ke + 0 = por c\u0302io en R (0 estas la aldona identeco).\nPor c\u0302iu en R tie ekzistas \u2212 en R tia ke\n) = 0 (\u2212 estas la aldonaj\u0302o inversa de )."}, {"text_idx": "#000015", "text": "R estas al monoida sub multipliko, kun la signifo tio:"}, {"text_idx": "#000016", "text": "b \u22c5 c) por c\u0302io , b, c en R (\u22c5 estas asocieca).\nEkzistas elemento 1 en R tia ke \u22c5 1 = a kaj 1 \u22c5 = por c\u0302io en R (1 estas la multiplika identeco)."}, {"text_idx": "#000017", "text": "3-a Multipliko estas distribua kun respekto al aldono:"}, {"text_idx": "#000018", "text": "\u22c5 c) por c\u0302io , b, c en R (lasita Distribueco).\nc \u22c5 ) por c\u0302io , b, c en R (dekstra Distribueco)."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Kiel klarigite en \u00a7 Historio malsupre, multaj verkintoj sekvas alternativan kongreson en kiu ringo ne estas difinita por havi multiplikan identecon.\nTiu artikolo enkondukas la kongreson kiu, se alie ne deklaris, ringo estas supozitaj havi tian identecon.\nStrukturo kontentiganta c\u0302iujn aksiomojn krom eventuale la ekzisto de multiplika identeco 1 estas nomita rng (au\u0306 foje pseu\u0306d-ringa ).\nEkzemple, la aro de ec\u0302 entjeroj kun la kutima + kaj \u22c5 estas rng, sed ne ringo."}, {"text_idx": "#000020", "text": "La operacio-+ kaj \u22c5 estas nomitaj aldono kaj multipliko, respektive.\nLa multipliksimbol\u22c5 ofte estas preterlasita, tiel ke la apudmeto de ringelementoj estas interpretita kiel multipliko.\nEkzemple, ksy signifas x \u22c5 y ."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Kvankam ringaldono estas kommutativa, ringomultipliko ne estas postulata por esti kommutativa:\nab ne devas nepre korespondi al ba.\nRingoj kiuj ankau\u0306 kontentigas komutecon por multipliko (kiel ekzemple la ringo de entjeroj) estas nomitaj komutaj ringoj .\nLibroj pri komuta algebro au\u0306 algebra geometrio ofte enkondukas la kongreson tiu \"ringo\" intencas \"komuta ringo\", por simpligi terminologion."}, {"text_idx": "#000022", "text": "La aldona grupo de ringo estas la ringo provizita j\u0302us per la strukturo de aldono.\nKvankam la difino supozas ke la aldona grupo estas abela, tio povas esti konkludita el la aliaj ringaksiomoj."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Kelkaj bazaj trajtoj de ringo tuj sekvas el la aksiomoj:"}, {"text_idx": "#000024", "text": "La aldonaj\u0302identeco, la aldonaj\u0302o inversa de c\u0302iu elemento, kaj la multiplika identeco estas unikaj.\nPor iu elemento x en boksejo R, oni havas ks0 = 0 = 0x kaj (- 1) x = - x.\nSe 0 = 1 en boksejo R (au\u0306 pli g\u0302enerale, 0 estas unuelemento), tiam R havas nur unu elementon, kaj estas nomita la nul ringo.\nLa binomo formulo tenas por iu naveda paro de elementoj (t.e., ajna x kaj y tia ke ksy = iks)."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Tiam Z 4 estas ringo: c\u0302iu aksiomo sekvas el la ekvivalenta aksiomo por Z."}, {"text_idx": "#000026", "text": "La aro de 2-by-2 matricoj kun realnombraj kontribuoj estas skribita"}, {"text_idx": "#000027", "text": "Kun la operacioj de matricaldono kaj matrica multipliko, tiu aro kontentigas c\u0302i-suprajn ringaksiomojn.\ntiu ekzemplo montras ke la ringo estas nonkomutative."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Pli g\u0302enerale, por iu ringo R, kommutativa au\u0306 ne, kaj ajna nenegativentjero n, oni povas formi la ringon de n - flank-n matricoj kun kontribuoj en R: vidu matricringon."}, {"text_idx": "#000029", "text": "La studo de ringoj originis de la teorio de polinomringoj kaj la teorio de algebraj entjeroj.\nEn 1871, Richard Dedekind difinis la koncepton de la ringo de entjeroj de numero-kampo.\nEn tiu kunteksto, li lanc\u0302is la esprimojn \"ideala\" (inspiriten per la nocio de Ernst Kummer de ideala nombro) kaj \"modulon\" kaj studis iliajn trajtojn.\nSed Dedekind ne uzis la esprimon \"ringo\" kaj ne difinis la koncepton de ringo en g\u0302enerala konteksto."}, {"text_idx": "#000030", "text": "La esprimo \"Zahlring\" (pli sensenta ringo) estis elpensita fare de David Hilbert en 1892 kaj publikigis en 1897.\nEn 19-a-jarcenta germano, la vorto \"ringo\" povis signifi \"unuig\u0302o\", kiu dau\u0306re estas utiligita hodiau\u0306 en la angla en limigita signifo (ekz., spionringo), [10] tiel se tio estis la etimologio tiam kiun g\u0302i estus simila al la maniero- \"grupo\" eniris matematikon estante ne-teknika vorto por \"kolekto de rilataj aj\u0302oj\".\nLau\u0306 Harvey Cohn, Hilbert uzis la esprimon por ringo kiu havis la posedaj\u0302on de \"rondiri rekte reen\" al elemento de si mem.\nSpecife, en boksejo de algebraj entjeroj, c\u0302iuj altaj potencoj de algebra entjero povas esti skribitaj kiel integrita kombinaj\u0302o de fiksa aro de pli malaltaj potencoj, kaj tiel la potencoj \"biciklas reen\".\ng\u0302enerale, n estos integrita lineara kombinaj\u0302o de 1, , kaj 2."}, {"text_idx": "#000031", "text": "La unua aksioma difino de ringo ricevis fare de Adolf Fraenkel en 1914, [12] [13] sed liaj aksiomoj estis pli striktaj ol tiuj en la moderna difino.\nEkzemple, li postulis c\u0302iun ne-nul-dividanton havi multiplikan inversan.\nEn 1921, Emmy Noether donis la modernan aksioman difinon de (kommutativa) ringo kaj evoluigis la fundamentojn de komutringa teorio en s\u0302ia artikolo Idealtheorie in Ringbereichen."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Fraenkel devigis ringon havi multiplikan identecon 1, [16] dum Noether ne faris."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Plej multe de la au\u0306 c\u0302iuj libroj pri algebro [17] [18] g\u0302is c\u0302irkau\u0306 1960 sekvis la kongreson de Noether de ne postulado de 1-a Ekfunkciigo en la 1960-aj jaroj, ig\u0302is c\u0302iam pli ofte vidi librojn inkluzive de la ekzisto de 1 en la difino de ringo, precipe en progresintaj libroj de famaj verkintoj kiel ekzemple Artin, [19] Atiyah kaj MacDonald, [20] Bourbaki, [21] Eisenbud, [22] kaj Lang.\nSed ec\u0302 hodiau\u0306, tie restas multaj libroj kiuj ne postulas 1."}, {"text_idx": "#000034", "text": "Alfrontita kun tiu terminologia ambigueco, kelkaj verkintoj provis trudi siajn opiniojn, dum aliaj provis adopti pli precizajn esprimojn."}, {"text_idx": "#000035", "text": "En la unua kategorio, ni trovas ekzemple Gardner kaj Wiegandt, kiuj argumentas ke se oni postulas c\u0302iujn ringojn havi 1, tiam kelkaj sekvoj inkludas la mankon de ekzisto de senfinaj rektaj sumoj de ringoj, kaj la fakton ke bonorda rekta sumands de ringoj ne estas subringoj.\nIli finas ke \"en multaj, eble plej, branc\u0302oj de ringa teorio la postulo de la ekzisto de unuecelemento ne estas prudenta, kaj tial neakceptebla.\""}, {"text_idx": "#000036", "text": "En la dua kategorio, ni trovas verkintojn kiuj uzas la sekvajn esprimojn: [25]"}, {"text_idx": "#000039", "text": "La polinomringo R [ X] de polinomoj super ringo R estas sin ringo.\nLibera modulo super R da senfina dimensio\nLibera modulo de senfina dimensio se c estas transcenda nombro, libera modulo de finhava dimensio se c estas algebra entjero"}, {"text_idx": "#000041", "text": "La aro de naturaj nombroj N kun la kutimaj operacioj ne estas ringo, poste ( N, +) estas ne ec\u0302 grupo (la elementoj ne estas tute inverteblaj kun respekto al aldono).\nEkzemple, ekzistas neniu natura nombro kiu povas esti aldonita al 3 por ig\u0302i 0 kiel rezulto.\nEkzistas natura maniero igi g\u0302in ringo aldonante negativajn nombrojn al la aro, tiel akirante la ringon de entjeroj.\nLa naturaj nombroj (inkluzive de 0) formas algebran strukturon konatan kiel semiringo (kiu havas c\u0302iujn la trajtoj de ringo krom la aldona inversa posedaj\u0302o)."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Tiam R estas rng, sed ne ringo: la diraka delta funkcio havas la posedaj\u0302on de multiplika identeco, sed g\u0302i ne estas funkcio kaj tial estas ne elemento de R."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Rajto kiun nul dividanto estas difinita simile."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Unu ekzemplo de nilpotentelemento estas nilpotentmatrico.\nNilpotentelemento en nonzerboksejo estas nepre nuldividanto."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Unu ekzemplo de idempotent-elemento estas projekcio en lineara algebro."}, {"text_idx": "#000046", "text": "La aro de unuoj de ringo estas grupo sub ringomultipliko;"}, {"text_idx": "#000047", "text": "Subaro S da R lau\u0306dire estas subringo c\u0302u g\u0302i povas esti rigardita kiel ringo kun la aldono kaj la multipliko limigita de R g\u0302is S.\nSe c\u0302iuj ringoj estus supozitaj, per kongreso, por havi multiplikan identecon, tiam esti subringo oni ankau\u0306 postulus S dividi la saman neu\u0306tran elementon kiel R.\nTiel se c\u0302iuj ringoj estis supozitaj havi multiplikan identecon, tiam bonorda idealo ne estas subringo."}, {"text_idx": "#000048", "text": "Ekzemple, la ringo Z de entjeroj estas subringo de la kampo de realaj nombroj kaj ankau\u0306 subringo de la ringo de polinomoj Z [ X] (en ambau\u0306 kazoj, Z enhavas 1, kio estas la multiplika identeco de la pli grandaj ringoj).\nAliflanke, la subaro de ec\u0302 entjeroj 2Z ne enhavas la neu\u0306tran elementon 1 kaj tiel ne kvalifikas kiel subringo."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Intersekcig\u0302o de subringoj estas subringo.\nLa plej malgranda subringo enhavanta antau\u0306fiksitan subaron E de R estas vokita subringon generitan per E.\nTia subringo ekzistas c\u0302ar g\u0302i estas la intersekcig\u0302o de c\u0302iuj subringoj enhavantaj E."}, {"text_idx": "#000050", "text": "Por ringo R, la plej malgranda subringo enhavanta 1 estas nomita la karakteriza subringo de R.\nG\u0302i povas esti akirita aldonante kopiojn de 1 kaj \u22121 kune multajn fojojn en iu miksaj\u0302o.\nSe n estas la plej malgranda pozitiva entjero tia ke tio okazas, tiam n estas nomita la karakterizaj\u0302o de R."}, {"text_idx": "#000051", "text": "nomite la centro de R.\nPli g\u0302enerale, surbaze de subaro X de R, lasis S esti la aro de c\u0302iuj elementoj en R kiuj navedas kun c\u0302iu elemento en X.\nTiam S estas subringo de R, nomita la centraliganto (au\u0306 navediformiko) de X.\nLa centro estas la centraliganto de la tuta ringo R.\nElementoj au\u0306 subaroj de la centro lau\u0306dire estas centraj en R;\nili generas subringon de la centro."}, {"text_idx": "#000052", "text": "La difino de idealo en boksejo estas analoga al tiu de normala subgrupo en grupo.\nSed, en aktualeco, g\u0302i ludas rolon de idealigita g\u0302eneraligo de elemento en boksejo;\nKiel elementoj de ringoj, la studo de idealoj estas centra al struktura kompreno de ringo."}, {"text_idx": "#000053", "text": "t.e., la aro de finhavaj sumoj"}, {"text_idx": "#000054", "text": "Subaro I lau\u0306dire estas duflanka idealo au\u0306 simple idealo c\u0302u g\u0302i estas kaj maldekstra idealo kaj dekstra idealo.\nPartia au\u0306 duflanka idealo tiam estas aldona subgrupo de R.\ng\u0302i estas la plej malgranda maldekstro ideala entenanta E.\nSimile, oni povas pripensi la dekstran idealon au\u0306 la duflanka idealo generis de subaro de R."}, {"text_idx": "#000055", "text": "ili estas nomitaj la c\u0302efaj maldekstraj idealoj kaj dekstrajn idealojn generitajn per x.\nEkzemple, la aro de c\u0302iuj pozitivaj kaj negativaj multobloj de 2 kune kun 0 formo idealo de la entjeroj, kaj tiu idealo estas generita per la entjero 2-a Fakte, c\u0302iu idealo de la ringo de entjeroj estas c\u0302efa."}, {"text_idx": "#000056", "text": "Kiel grupo, ringo lau\u0306dire estas kuracherbo c\u0302u g\u0302i estas nonzero kaj g\u0302i havas neniujn bonordajn nonzerajn duflankajn idealojn.\nKommutativa simplanima ringo estas g\u0302uste kampo."}, {"text_idx": "#000057", "text": "Ringoj ofte estas studitaj kun specialaj kondic\u0302oj metite sur siajn idealojn.\nEkzemple, ringo en kiu ekzistas neniu strikte kreskanta senfina c\u0302eno de maldekstridealoj estas nomita maldekstra Noeteriana ringo.\nRingo en kiu ekzistas neniu strikte malkreskanta senfina c\u0302eno de maldekstro idealoj estas nomitaj maldekstra Artiniana ringo.\nEstas iom surpriza fakto ke maldekstre Artiniana ringo estas lasita Noeteriana (la Hopkins-Levitzki-teoremo).\nLa entjeroj, aliflanke, formas Noeterianan ringon kiu ne estas Artiniana."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Por komutaj ringoj, la idealoj g\u0302eneraligas la klasikan nocion de dividebleco kaj putrig\u0302o de entjero en primojn en algebro."}, {"text_idx": "#000059", "text": "Homomorfism de ringo ( R\nal ringo ( S, \u2021,\u00f7) estas funkcio f de R g\u0302is S kiu konservas la ringoperaciojn;\nnome, tia ke, por c\u0302io , b en R la sekvaj identecoj tenas:"}, {"text_idx": "#000060", "text": "Se oni laboras per ne nepre unitaj ringoj, tiam la tria kondic\u0302o estas faligita."}, {"text_idx": "#000061", "text": "Ringo homomorfism lau\u0306dire estas izomorfio c\u0302u tie ekzistas inversa homomorfism al f (t.e., ringo homomorfism inversa funkcio).\nC\u0302iu bijektive ringo homomorfism estas ringizomorfio.\nRingo homomorfism inter la sama ringo estas nomita endomorfismo kaj izomorfio inter la sama ringo au\u0306tomorfismo."}, {"text_idx": "#000062", "text": "estas homomorfism de la ringo Z g\u0302is la kvocientringo Z / 4Z (\"kvocientringo\" estas difinita malsupre).\nLasu R esti komuta ringo de c\u0302efa karakteriza p.\nPor iu ringo R, ekzistas unika ringo homomorfism Z \u2192 R kaj unika ringo homomorfism R \u21920.\nEpimorfismo (t.e., dekstra-cancelable morfismo) de ringoj ne devas esti surjektive.\nAlgebro homomorfism de k-algebro g\u0302is la endomorfismalgebro de vektora spaco super k estas nomita reprezentado de la algebro."}, {"text_idx": "#000063", "text": "La kerno estas duflanka idealo de R.\nLa bildo de f, aliflanke, estas ne c\u0302iam idealo, sed g\u0302i c\u0302iam estas subringo de S."}, {"text_idx": "#000064", "text": "Doni ringon homomorfism de komuta ringo R g\u0302is ringo A kun bildo enhavite en la centro de A estas la sama kiel por doni strukturon de algebro pli ol R al A (en specialaj elastecoj strukturo de A-modulo)."}, {"text_idx": "#000065", "text": "La kvocientringo de ringo, estas analoga al la nocio de kvocientogrupo de grupo.\nPli formale, surbaze de ringo ( R\nkaj duflanka idealo I de ( R\n, la kvocientringo (au\u0306 faktororingo) R/I estas la aro de kun-grupoj de mi (kun respekto al la aldona grupo de ( R\nt.e. kun-grupoj kun respekto al ( R, +) kune kun la operacioj:"}, {"text_idx": "#000066", "text": "por c\u0302iu , b en R."}, {"text_idx": "#000067", "text": "la fakto konata kiel la unua -izomorfia teoremo.\nLa lasta fakto implicas ke fakte c\u0302iu surjektive-ringo homomorfism kontentigas la universalan posedaj\u0302on ekde la bildo de tia mapo estas kvocientringo."}, {"text_idx": "#000068", "text": "(decembro 2015) En teorio de grupoj, oni povas pripensi la agon de grupo sur aktoraro.\nDoni grupan agon, ekzemple, G reagantan al aktoraro S, devas doni grupon homomorfism de G g\u0302is la au\u0306tomorfismogrupo de S (t.e., la simetria grupo de S."}, {"text_idx": "#000069", "text": "Lau\u0306 multe lasama maniero, oni povas pripensi ringagon;\ntio estas, ringa homomorfism f de ringo R g\u0302is la endomorfismoringo de abela grupo M.\nOni kutime skribas rm au\u0306 r \u22c5 m por f ( r) m kaj nomas M maldekstra modulo pli ol R.\nSe R estas kampo, tio kvantoj al donado de strukturo de vektora spaco sur M."}, {"text_idx": "#000070", "text": "Aparte, ringo R estas maldekstra modulo pli ol R mem tra l:\nR \u2192 Finu ( R), l ( r) x = rks (nomitan maldekstra regula reprezentado de R).\nKelkaj ring-teoriaj konceptoj povas esti deklaritaj en modul-teoria lingvo: ekzemple, subaro de ringo R estas maldekstra idealo de R se kaj nur se g\u0302i estas R-submodule kun respekto al la maldekstra R-module strukturo de R.\nMaldekstra idealo estas c\u0302efa se kaj nur se g\u0302i estas cikla submodulo."}, {"text_idx": "#000071", "text": "Z-modulo estas la sama aj\u0302o kiel abela grupo;\ntio permesas al tia utiligi la modulan teorion por studi abelajn grupojn.\nEkzemple, g\u0302enerale, se M estas maldekstra modulo super ringo R kiu estas cikla;\nt.e., M = Rx por proksimume x, tiam M estas izomorfa al la kvociento de R de la kerno de R \u2192 M , r \u21a6 rks .\nAparte, se R estas Z, tiam c\u0302iu cikla grupo (kiu estas cikla kiel Z-modulo) estas de la formo Z / n Z, reakirante la kutiman klasifikon de ciklaj grupoj."}, {"text_idx": "#000072", "text": "Vidu \u00a7 Domajnojn por ekzemplo de aplikig\u0302o al lineara algebro."}, {"text_idx": "#000073", "text": "C\u0302iu ringo homomorfism induktas la strukturon de modulo: se f:\nR \u2192 S estas ringo homomorfism, tiam S estas maldekstra modulo pli ol R de la formulo:\nModulo kiu ankau\u0306 estas ringo estas nomita algebro super la bazringo (disponigita la bazringo estas centra)."}, {"text_idx": "#000074", "text": "Ekzemplo: Geometrie, modulo povas esti rigardita kiel algebra ekvivalento de vektorfasko.\nLasu E esti vektorfasko inte kompakta spaco, kaj \u03b3 ( E) la spaco de g\u0302iaj sekcioj.\nTiam \u03b3 ( E) estas modulo super la ringo R de kontinuaj funkcioj sur la bazregiono.\nLa teoremo de cigno deklaras ke, per \u03b3, la kategorio da vektorfaskoj estas ekvivalenta al la kategorio da finhave generis projekciajn R-modulo (\"projekcia\" egalrilatas al loka sensignifigo."}, {"text_idx": "#000075", "text": "En petskribo, oni ofte elpensas ringon sumigante modulojn.\nDau\u0306rigi c\u0302i-supran geometrian ekzemplon, lasis L esti liniofasko en algebra diverseco (\u03b3 ( L) estas modulo super la kunordigita ringo de la diverseco).\nTiam la rekta sumo de moduloj"}, {"text_idx": "#000076", "text": "havas la strukturon de komuta ringo;\ng\u0302i estas nomita la sekcioringo de L.\nPrecipe grava kazo estas kiam L estas la kanonika liniofasko kaj tiam R estas la kanonika ringo de la bazdiverseco."}, {"text_idx": "#000077", "text": "Lasu R kaj S esti ringoj.\nTiam la produkto R \u00d7 S povas esti provizita per la sekva natura ringostrukturo:"}, {"text_idx": "#000078", "text": "Tiam la c\u0302ina restteoremo diras ke ekzistas kanonika ringizomorfio:"}, {"text_idx": "#000080", "text": "kiel rekta sumo de abelaj grupoj (c\u0302ar por abelaj grupoj finhavaj produktoj estas la sama kiel rektaj sumoj).\nKlare la rekta sumo de tiaj idealoj ankau\u0306 difinas produkton de ringoj kiu estas izomorfa al R.\nEkvivalente, la supre povas esti farita tra centraj idempotent'oj.\nAssume R havas c\u0302i-supran putrig\u0302on."}, {"text_idx": "#000081", "text": "Denove, oni povas inversigi la konstruon."}, {"text_idx": "#000082", "text": "Grava apliko de senfina rekta produkto estas la konstruado de projekcia limo de ringoj (vidu malsupre).\nAlia aplikig\u0302o estas limigita produkto de familio de ringoj (kp. adeleringo)."}, {"text_idx": "#000083", "text": "Surbaze de simbolo t (nomita variablo) kaj komuta ringo R, la aro de polinomoj"}, {"text_idx": "#000084", "text": "formas komutan ringon kun la kutima aldono kaj multipliko, enhavanta R kiel subringo.\nG\u0302i estas nomita la polinomringo pli ol R."}, {"text_idx": "#000085", "text": "g\u0302ia regiono de frakcioj estas la kampo de raciaj funkcioj."}, {"text_idx": "#000086", "text": "Surbaze de elemento x de S, oni povas pripensi la ringon homomorfism"}, {"text_idx": "#000087", "text": "g\u0302i estas la sama aj\u0302o kiel la subringo de S generita je R kaj x."}, {"text_idx": "#000088", "text": "Ekzemplo: lasu f esti polinomo en unu variablo;\nt.e., elemento en polinomboksejo R."}, {"text_idx": "#000089", "text": "La anstatau\u0306igo estas speciala kazo de la universala posedaj\u0302o de polinomringo.\nEkzemple, elektante bazon, simetria algebro kontentigas la universalan posedaj\u0302on kaj tiel estas polinomringo."}, {"text_idx": "#000090", "text": "Doni ekzemplon, lasis S esti la ringo de c\u0302iuj funkcioj de R g\u0302is si mem;\nla aldono kaj la multipliko estas tiuj de funkcioj.\nLasu x esti la identofunkcio.\nLa universala posedaj\u0302o diras ke al tiu mapo etendas unike"}, {"text_idx": "#000091", "text": "La rezulta mapo estas injektivo se kaj nur se R estas senfina."}, {"text_idx": "#000092", "text": "Lasu k esti algebre fermita kampo.\nAparte, multaj lokaj problemoj en algebra geometrio povas esti atakitaj tra la studo de la generatoroj de idealo en polinomboksejo."}, {"text_idx": "#000094", "text": "kune kun multipliko kaj aldono kiuj imitas tiujn por konverg\u0302aj serioj.\nNotu ke formala potencvicringo ne havas la universalan posedaj\u0302on de polinomringo;\nserio eble ne konverg\u0302as post anstatau\u0306igo.\nLa grava avantag\u0302o de formala potencvicringo super polinomringo estas ke g\u0302i estas loka (fakte, kompleta)."}, {"text_idx": "#000095", "text": "Lasu R esti ringo (ne nepre kommutativa).\nLa aro de c\u0302iuj kvadratmatricoj de grandeco n kun kontribuoj en R formas ringon kun la enir-rilata aldono kaj la kutima matrica multipliko.\nG\u0302i estas nomita la matricringo kaj estas indikita per M n ( R)."}, {"text_idx": "#000096", "text": "Ajna ringo homomorfism R \u2192 S induktas M n ( R) \u2192 M n ( S);\nfakte, c\u0302iu boksejo homomorfism inter matricringoj ekestas lau\u0306 tiu maniero."}, {"text_idx": "#000097", "text": "La Artin-Wedderburn-teoremo deklaras c\u0302iu semikuracherbringo (kp. malsupre) estas de tiu formo."}, {"text_idx": "#000098", "text": "Ringo R kaj la matricringo M n ( R) super g\u0302i estas Morita ekvivalento: la kategorio da dekstraj moduloj de R estas ekvivalenta al la kategorio da dekstraj moduloj super M n ( R).\nAparte, duflankaj idealoj en R korespondas en unu-al-unuj g\u0302is duflankaj idealoj en M n ( R)."}, {"text_idx": "#000099", "text": "La au\u0306tomorfismoj de la projekcia linio super ringo ricevas per homografioj de la 2x2 matricringo."}, {"text_idx": "#000101", "text": "Lasu R mi estu sekvenco de ringoj tia ke R mi estas subringo de R mi +1 por c\u0302io mi."}, {"text_idx": "#000102", "text": "C\u0302iu komuta ringo estas la kolimo de finhave generitaj subringoj."}, {"text_idx": "#000103", "text": "Projekcia limo (au\u0306 filtrita limo) de ringoj estas difinita jene."}, {"text_idx": "#000104", "text": "Por ekzemplo de projekcia limo, vidu nombrokompletigon."}, {"text_idx": "#000105", "text": "La lokalizo g\u0302eneraligas la konstruadon de la kampo de frakcioj de integrita domajno al arbitra ringo kaj moduloj."}, {"text_idx": "#000106", "text": "La lokalizo estas ofte aplikita al komuta ringo R kun respekto al la komplemento de c\u0302efidealo (au\u0306 unio de c\u0302efidealoj) en R.\nTio estas la kialo de la terminologio- \"lokalizo\".\nLa kampo de frakcioj de integrita domajno R estas la lokalizo de R c\u0302e la c\u0302efidealo nul."}, {"text_idx": "#000107", "text": "La plej gravaj trajtoj de lokalizo estas la sekvantaj: kiam R estas komuta ringo kaj S multiplicative fermita subaro"}, {"text_idx": "#000108", "text": "Rimarko: lokalizo estas neniu helpo en pruvado de tutmonda ekzisto.\nUnu kazo da tio estas ke se du moduloj estas izomorfaj c\u0302e c\u0302iuj c\u0302efidealoj, g\u0302i ne sekvas ke ili estas izomorfaj.\n(Unudirekta por klarigi ke tio estas ke la lokalizo permesas oni rigardi modulon kiel faskon super c\u0302efidealoj kaj fasko estas esence loka nocio."}, {"text_idx": "#000109", "text": "En teorio de kategorioj, lokalizo de kategorio sumig\u0302as al farado de kelkaj morfismizomorfioj.\nElemento en komuta ringo R povas esti opiniita de kiel endomorfismo de iu R-modulo.\nTiel, kategorie, lokalizo de R kun respekto al subaro S da R estas funktoro de la kategorio da R-modulo g\u0302is si mem kiu sendas elementojn de S rigardita kiel endomorfismoj al au\u0306tomorfismoj kaj estas universala kun respekto al tiu posedaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000110", "text": "Lasu R esti komuta ringo, kaj lasu mi estu idealo de R.\nC\u0302i-lasta homomorfism estas injektivo se R estas noeterian-integraldomajno kaj I estas bonorda idealo, au\u0306 se R estas noeterian loka ringo kun maksimuma idealo I, de la intersekcig\u0302teoremo de Krull.\nLa konstruo estas aparte utila kiam I estas maksimuma idealo."}, {"text_idx": "#000111", "text": "La baza ekzemplo estas la kompletigo Z p de Z c\u0302e la c\u0302efidealo ( p) generita je primo p\ng\u0302i estas nomita la ringo de p-adic entjeroj.\nLa kompletigo povas en tiu kazo esti konstruita ankau\u0306 el la p-adic absoluta valoro sur Q.\nG\u0302i difinas distancfunkcion sur Q kaj la kompletigo de Q kiam metrika spaco estas indikita per Q p .\nG\u0302i denove estas kampo c\u0302ar la kampoperacioj ampleksas la kompletigon."}, {"text_idx": "#000112", "text": "Kompleta ringo havas multe pli simplan strukturon ol komuta ringo.\nTio posedas al la Cohen-strukturteoremo, kiu diras, malglate, ke kompleta loka ringo emas aspekti pli kiel formala potencvicringo au\u0306 kvociento de g\u0302i.\nAliflanke, la interagado inter la integrita fino kaj kompletigo estis inter la plej gravaj aspektoj kiuj distingas modernan komutringan teorion de la klasikaj\u0302o unuj evoluigita per similaj\u0302oj de Noether.\nPatologiaj ekzemploj trovitaj fare de Nagata kau\u0306zis la reekzamenon de la roloj de Noetherian-ringoj kaj instigis, inter aliaj aj\u0302oj, la difinon de elstara ringo."}, {"text_idx": "#000114", "text": "La plej g\u0302enerala maniero por konstrui ringon estas per precizigado de generatoroj kaj rilatoj.\nLasu F esti libera ringo (t.e., libera algebro super la entjeroj) kun la aro X de simboloj;\nt.e., F konsistas el polinomoj kun integritaj koeficientoj el nenavedadvariabloj kiuj estas elementoj de X.\nJ\u0302us kiel en la grupkazo, c\u0302iu ringo povas esti reprezentita kiel kvociento de libera ringo."}, {"text_idx": "#000115", "text": "Nun, ni povas trudi rilatojn inter simboloj en X prenante kvocienton.\nEksplicite, se E estas subaro de F, tiam la kvocientringo de F de la idealo generita per E estas nomitaj la ringo per generatoroj X kaj rilatoj E.\nSe ni utiligis ringon, ekzemple, A kiel bazrondon anstatau\u0306e de Z, tiam la rezulta ringo estos finita A."}, {"text_idx": "#000116", "text": "Lasu A, B esti algebroj super komuta ringo R.\ntensorprodukto de algebroj, s\u0302ang\u0302o de ringoj."}, {"text_idx": "#000117", "text": "Nonzer ringo kun neniuj nonzernul-dividantoj estas nomita domajno.\nKommutativa domajno estas nomita integrita domajno.\nLa plej gravaj integritaj domajnoj estas c\u0302efidealdomajnoj, PID por fus\u0302kontakto, kaj kampoj.\nC\u0302efa ideala domajno estas integrita domajno en kiu c\u0302iu idealo estas c\u0302efa.\nGrava klaso de integritaj domajnoj kiuj enhavas PID estas unika faktorigaddomajno (UFD), integrita domajno en kiu c\u0302iu neunuelemento estas produkto de c\u0302efaj elementoj (elemento estas c\u0302efaj se g\u0302i generas c\u0302efidealon.\nLa fundamenta demando en algebra nombroteorio estas sur la amplekso al kiu la ringo de (g\u0302eneraligita) entjeroj en numero-kampo, kie \"idealo\" koncedas c\u0302efan faktorigadon, ne estas PID."}, {"text_idx": "#000118", "text": "Inter teoremoj koncerne PID, la plej gravan unu estas la strukturteoremo por finhave generitaj moduloj super c\u0302efa ideala domajno.\nLa teoremo povas esti ilustrita per la post aplikig\u0302o al lineara algebro."}, {"text_idx": "#000120", "text": "En algebra geometrio, tiu de UFD ekesti pro glateco.\nPli g\u0302uste, punkto en diverseco (super perfekta kampo) estas glata se la loka ringo c\u0302e la punkto estas regula loka ringo.\nRegula loka ringo estas UFD."}, {"text_idx": "#000121", "text": "La sekvanta estas c\u0302eno de klasenfermaj\u0302oj kiu priskribas la rilaton inter ringoj, domajnoj kaj kampoj:"}, {"text_idx": "#000122", "text": "Komutringaj \u2283 integraldomajno \u2283 integrite fermis domajno \u2283 unikan faktorigaddomajno \u2283 c\u0302efaj idealaj domajno \u2283 Eu\u0306klidaj domajno \u2283 kampoj"}, {"text_idx": "#000123", "text": "Dividadrondo estas ringo tia ke c\u0302iu ne-nula elemento estas unuo.\nElstara ekzemplo de dividadrondo kiu ne estas kampo estas la ringo de kvaropoj.\nC\u0302iu centraliganto en dividadrondo ankau\u0306 estas dividadrondo.\nAparte, la centro de dividadrondo estas kampo.\nG\u0302i turnis ke c\u0302iu finhava domajno (aparte finhava dividado sonoregas) estas kampo;\naparte kommutativa ( la malgranda teoremo de la Wedderburn)."}, {"text_idx": "#000124", "text": "C\u0302iu modulo super dividadrondo estas libera modulo (havas bazon);\nsekve, multe de lineara algebro povas esti arang\u0302ita super dividadrondo anstatau\u0306e de kampo."}, {"text_idx": "#000125", "text": "La studo da konjugacyoklasoj kompreneblas elstare en la klasika teorio de dividadrondoj.\nCartan fame demandis la sekvan demandon: surbaze de dividadrondo D kaj bonorda sub-dividado-ringo S kiu ne estas enhavita en la centro, c\u0302u c\u0302iu interna au\u0306tomorfismo de D limigas al au\u0306tomorfismo de S?\nLa respondo estas negativa: tio estas la Cartan-Brauer-Hua teoremo."}, {"text_idx": "#000127", "text": "Ringo estas nomita semikuracherbringo se g\u0302i estas semikuracherbo kiel maldekstra modulo (au\u0306 dekstra modulo) super si mem;\nt.e., rekta sumo de simplaj moduloj.\nRingo estas nomita semiprimitivulringo se g\u0302ia Jacobson-radikalulo estas nul.\n(La Jacobson-radikalulo estas la intersekcig\u0302o de c\u0302iuj maksimumaj maldekstraj idealoj.\nRingo estas semikuracherbo se kaj nur se g\u0302i estas artinian kaj estas semiprimitivulo."}, {"text_idx": "#000128", "text": "Algebro super kampo k estas artinian se kaj nur se g\u0302i havas finhavan dimension.\nTiel, semikuracherbalgebro super kampo estas nepre finhav-dimensia, dum simpla algebro povas havi senfinan dimension;\nekz., la ringo de diferencialaj operatoroj."}, {"text_idx": "#000129", "text": "C\u0302iu modulo super semikuracherbringo estas semikuracherbo.\n(Pruvo: c\u0302iu libera modulo super semikuracherbringo estas klare semikuracherbo kaj c\u0302iu modulo estas kvociento de libera modulo."}, {"text_idx": "#000130", "text": "Matricringo super dividadrondo estas semikuracherbo (fakte simpla).\n( La teoremo de Maschke) La Weyl-algebro (super kampo) estas simplanima ringo;\ng\u0302i ne estas semikuracherbo c\u0302ar g\u0302i havas senfinan dimension kaj tiel ne artinian."}, {"text_idx": "#000131", "text": "Semisimplicity estas proksime rilatita al separabileco.\nSe okazas por esti kampo, tiam tio estas ekvivalenta al la kutima difino en kampa teorio (kp. separebla etendaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000132", "text": "Por kampo k, k-algebro estas centra se g\u0302ia centro estas k kaj estas simpla se g\u0302i estas simplanima ringo.\nC\u0302ar la centro de simpla k-algebro estas kampo, c\u0302iu simpla k-algebro estas centra simpla algebro super sia centro.\nEn tiu sekcio, centra simpla algebro estas supozita havi finhavan dimension.\nAnkau\u0306, ni plejparte fiksas la bazkampon;\ntiel, algebro rilatas al k-algebro."}, {"text_idx": "#000133", "text": "La Skolem-Noether-teoremo deklaras ke c\u0302iu au\u0306tomorfismo de centra simpla algebro estas interna."}, {"text_idx": "#000134", "text": "De la Artin-Wedderburn-teoremo, centra simplanima algebro estas la matricringo de dividadrondo;\ntiel, c\u0302iu similecklaso estas reprezentita fare de unika dividadrondo."}, {"text_idx": "#000135", "text": "Azumaya algebroj g\u0302eneraligas la nocion de centraj simplaj algebroj al kommutativa loka ringo."}, {"text_idx": "#000136", "text": "La valortaksoorondo de v estas la subringo de K konsistanta el nul kaj c\u0302io nonzerf tia ke v ( f) \u2265 0."}, {"text_idx": "#000137", "text": "G\u0302i ankau\u0306 venas kun la valortakso v tia ke v ( f) estas la malplej elemento en la subteno de f.\nLa subringo konsistanta el elementoj kun finhava subteno estas nomita la grupringo de G (kiu sonas racie ec\u0302 se G ne estas kommutativa).\nSe G estas la ringo de entjeroj, tiam ni retrovas la antau\u0306an ekzemplon (de identigado de f kun la serio kies a koeficiento estas f ( n)."}, {"text_idx": "#000138", "text": "Ringo povas esti rigardita kiel abela grupo (de uzado de la aldonoperacio), kun ekstra strukturo: nome, ringomultipliko.\nEn lau\u0306 la saman manieron, ekzistas aliaj matematikaj objektoj kiuj povas esti konsideritaj ringojn kun ekstra strukturo."}, {"text_idx": "#000139", "text": "Asocieca algebro estas ringo kiu ankau\u0306 estas vektora spaco pli ol kampo K tia ke la skalara multipliko distribuas super la ringomultipliko.\nEkzemple, la aro de n - flank-n matricoj pli ol la reala kampo R havas dimension n 2 kiel reala vektora spaco.\nEkzemple, n - al flank-n matricoj super la realaj nombroj povus ricevi au\u0306 al la Eu\u0306klida topologio, au\u0306 la Zariski-topologion kaj en ambau\u0306 kazoj oni akirus topologian ringon.\n\u039b-ringo estas komuta ringo R kune kun operacioj \u03bb n :\nR \u2192 R kiuj estas kiel n-th"}, {"text_idx": "#000140", "text": "La nocio ludas centran regulon en la algebra aliro al la Riemann-Roch teoremo."}, {"text_idx": "#000141", "text": "Kelkaj ekzemploj de la c\u0302ie-eco de ringoj"}, {"text_idx": "#000142", "text": "Multaj malsamaj specoj de matematikaj objektoj povas esti fruktodone analizitaj lau\u0306 iu rilata ringo."}, {"text_idx": "#000143", "text": "Al iu topologia spaco X oni povas asocii g\u0302ian integritan kohomologioringon"}, {"text_idx": "#000144", "text": "Kohomologiogrupoj poste estis difinitaj lau\u0306 homologiogrupoj en maniero kiel kiu estas proksimume analoga al la dualo de vektora spaco.\nPor scii c\u0302iu individua integrita homologiogrupo estas esence la sama kiel konanta c\u0302iun individuan integritan kohomologiogrupon, pro la universala koeficientteoremo.\nTamen, la avantag\u0302o de la kohomologiogrupoj estas ke ekzistas naturprodukto, kiu estas analoga al la observado ke oni povas multobligi punktmanieron k - multilinia formo kaj l-multilinear formularo por ricevi ( k + l) multilinear formularon."}, {"text_idx": "#000145", "text": "La ringostrukturo en kohomologio disponigas la fundamenton por karakterizaj klasoj de fibraj pakaj\u0302oj, komunaj\u0302an teorion sur duktoj kaj algebrajn variecojn, Schubert-kalkuladon kaj multe pli."}, {"text_idx": "#000147", "text": "Al iu grupringo au\u0306 Hopf-algebro estas asociita g\u0302ia reprezentantarrondo au\u0306 \"Verda ringo\".\nLa aldona grupo de la reprezentantarrondo estas la libera abela grupo kies bazo estas la neputrivaj moduloj kaj kies aldono egalrilatas al la rekta sumo.\nEsprimi modulon lau\u0306 la bazo trovas neputrivan putrig\u0302on de la modulo.\nLa multipliko estas la tensorprodukto.\nKiam la algebro estas semikuracherbo, la reprezentantarrondo estas j\u0302us la karaktero ringo de karaktero teorio, kio estas pli daau\u0306 malpli la Grothendieck-grupo donita ringostrukturon."}, {"text_idx": "#000148", "text": "Al iu nereduktebla algebra diverseco estas asociita g\u0302ia funkcio regiono.\nLa punktoj da algebra diverseco egalrilatas al valortaksoorondoj enhavitaj en la funkciokampo kaj enhavantaj la kunordigitan ringon.\nLa studo de algebra geometrio faras pezan uzon de komuta algebro por studi geometriajn konceptojn lau\u0306 ring-teoriaj trajtoj.\nBiraciaj geometrio studoj mapas inter la subrings de la funkciokampo."}, {"text_idx": "#000149", "text": "C\u0302iu simplicial komplekso havas rilatan vizag\u0302ringon, ankau\u0306 nomitan sia Stanley-Reisner-ringo.\nTiu ringo reflektas multajn el la kombinecaj trajtoj de la simplicial komplekso, tiel ke g\u0302i estas da speciala intereso en algebra kombinatoriko.\nAparte, la algebra geometrio de la Stanley-Reisner-ringo kutimis karakterizi la nombrojn da vizag\u0302oj en c\u0302iu dimensio de simplicial hiperpluredroj."}, {"text_idx": "#000150", "text": "La monoida ago da ringo R sur abela grupo estas simple R-modulo .\nEsence, R-modulo estas g\u0302eneraligo de la nocio de vektora spaco - kie prefere ol vektora spaco super kampo, oni havas \"vektoran spacon super ringo\"."}, {"text_idx": "#000153", "text": "C\u0302iu ringo povas esti vidita kiel prealdona kategorio kun ununura objekto.\nEstas tial nature konsideri arbitrajn prealdonajn kategoriojn esti g\u0302eneraligoj de ringoj.\nKaj efektive, multaj difinoj kaj teoremoj origine donitaj por ringoj povas esti tradukitaj al tiu pli g\u0302enerala kunteksto.\nAldonaj funktoroj inter prealdonaj kategorioj g\u0302eneraligas la koncepton de ringo homomorfism, kaj idealoj en aldonaj kategorioj povas esti difinitaj kiel aroj de morfismoj fermitaj sub aldono kaj sub kunmetaj\u0302o kun arbitraj morfismoj."}, {"text_idx": "#000154", "text": "Algebristoj difinis strukturojn pli da generalo ol ringoj per malfortig\u0302ado au\u0306 faligado de kelkajn el ringaksiomoj."}, {"text_idx": "#000155", "text": "Rng estas la sama kiel ringo, krom ke la ekzisto de multiplika identeco ne estas supozita."}, {"text_idx": "#000156", "text": "Nonasociative-ringo estas algebra strukturo kiu kontentigas c\u0302iujn la ringaksiomoj sed la asocieco kaj la ekzisto de multiplika identeco.\nTie ekzistas kelkajn strukturteorio por tiaj algebroj kiu g\u0302eneraligas la analogajn rezultojn por Lie-algebroj kaj asociecaj algebroj."}, {"text_idx": "#000157", "text": "[ citaj\u0302o bezonis ] Semiring"}, {"text_idx": "#000158", "text": "Semiringo akirig\u0302as malfortigante la supozon kiu ( R, +) estas abela grupo al la supozo kiu ( R, +) estas kommutativan monoidan, kaj adiciante la aksiomon tiujn 0\n0 = 0 por c\u0302io en R (c\u0302ar g\u0302i jam ne sekvas el la aliaj aksiomoj)."}, {"text_idx": "#000160", "text": "En algebra geometrio, ringoskemo super bazoskemo S estas ringobjekto en la kategorio da S-skemo.\nUnu ekzemplo estas la ringoskemo W da n super Spec Z, kiu por iu komuta ringo A resendas la ringon W da n ( A) de p-isotypic Witt-vektoroj de longo n pli ol A."}, {"text_idx": "#000161", "text": "En praktiko, oni ofte difinas ringospektron kiel monoidan objekton en bona kategorio da spektroj kiel ekzemple la kategorio da simetriaj spektroj."}, {"text_idx": "#000168", "text": "Ringo estas algebra strukturo (R, +, \u00b7) tiel, kiel"}, {"text_idx": "#000170", "text": "La neu\u0306tran elementon de (R,+) oni nomas nulo (0).\nSe ekzistas neu\u0306tra elemento de (R,\u00b7), g\u0302i nomig\u0302as unu kaj (R,+,\u00b7) unuhavanta ringo.\nSe (R, \u00b7) estas ec\u0302 komuta duongrupo, oni nomas (R,+,\u00b7) komuta ringo (kaj tiam oni nur devas validigi unu el la du distribuecaj aksiomoj, c\u0302ar ili ekvivalentas)."}, {"text_idx": "#000171", "text": "La substrukturoj de ringoj estas la idealoj kaj subringoj (tiuj c\u0302i estas subaroj, kiuj mem estas ringoj kun la samaj operacioj, kaj kun la sama unu se ringoj devas esti unuhavantaj)."}, {"text_idx": "#000172", "text": "la aro de entjeraj nombroj\npor c\u0302iu natura nombro n la aro de la n-dimensiaj matricoj"}]