[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, la reala linio, au\u0306 realnombra linio estas la linio kies punktoj estas la realaj nombroj.\nTio estas, la reala linio estas la aro R da c\u0302iuj realaj nombroj, rigardita kiel geometria spaco, nome la eu\u0306klida spaco de dimensio oni.\nG\u0302i povas esti opiniita de kiel vektora spaco (au\u0306 afina spaco), metrika spaco, topologia spaco, iniciatspaco, au\u0306 linia kontinuumo."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Nur s\u0302atu la aron de realaj nombroj, la reala linio estas kutime indikita je la simbolo R (au\u0306 alternative,, la letero \" R \" en tabulo au\u0306daca).\nTamen, g\u0302i foje estas indikita R 1 por emfazi sian rolon kiel la unua eu\u0306klida spaco."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Tiu artikolo temigas la aspektojn de R kiel geometria spaco en topologio, geometrio, kaj reela analitiko.\nLa realaj nombroj ankau\u0306 ludas gravan rolon en algebro kiel kampo, sed en tiu kunteksto R estas malofte referita kiel linio.\nPor pli da informoj pri R en c\u0302iuj g\u0302iaj alivestig\u0302oj, vidas realan nombron."}, {"text_idx": "#000004", "text": "La reala linio estas linia kontinuumo sub la normo\nSpecife, la reala linio estas linie ordonita per\n<, kaj tiu mendado estas densa kaj havas la malplej-supra-malliberan posedaj\u0302on."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Aldone al c\u0302i-supraj trajtoj, la reala linio havas neniun maksimumon au\u0306 minimuman elementon.\nG\u0302i ankau\u0306 havas nombreblan densan subaron, nome la aron de raciaj nombroj.\nEstas teoremo ke c\u0302iu linia kontinuumo kun nombrebla densa subaro kaj neniu maksimumo au\u0306 minimuma elemento estas ord-izomorfaj al la reala linio."}, {"text_idx": "#000006", "text": "La reala linio ankau\u0306 kontentigas la nombreblan c\u0302enkondic\u0302on: c\u0302iu kolekto de reciproke dismetas, nonempty malfermaj intervaloj en R estas nombreblaj.\nEn orda teorio, la fama Suslin-problemo demandas c\u0302u c\u0302iu linia kontinuumo kontentiganta la nombreblan c\u0302enkondic\u0302on kiu havas neniun maksimumon au\u0306 minimuma elemento estas nepre ord-izomorfa al R .\nTiu deklaro estis montrita esti sendependa de la norma aksioma sistemo de aroteorio konata kiel ZFC."}, {"text_idx": "#000007", "text": "La reala linio formas metrikan spacon, kun la distancfunkcio donita per absoluta diferenco:"}, {"text_idx": "#000008", "text": "La metrika tensoro estas klare la 1-dimensia Eu\u0306klida metrika.\nEkde la n - dimensia Eu\u0306klida metriko povas esti reprezentita en matricformularo kiel la n per n identa matrico, la metriko sur la reala linio estas simple la 1 de 1 identa matrico, t.e. 1."}, {"text_idx": "#000009", "text": "- pilko en R centris c\u0302e p estas simple la malferma intervalo ( p \u2212 \u03b5, p + \u03b5)."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Tiu reala linio havas plurajn gravajn trajtojn kiel metrika spaco:"}, {"text_idx": "#000011", "text": "La reala linio estas kompleta metrika spaco, en la senco ke c\u0302iu kos\u0302ia vico de punktoj konverg\u0302as.\nLa reala linio estas pad-ligita, kaj estas unu el la plej simplaj ekzemploj de geodezia metrika spaco\nLa Hausdorff-dimensio de la reala linio estas egala al unu."}, {"text_idx": "#000012", "text": "La reala linio portas norman topologion kiu povas esti lanc\u0302ita lau\u0306 du malsamaj, ekvivalentaj manieroj.\nUnue, c\u0302ar la realaj nombroj estas totale ordonitaj, ili portas ordotopologion.\nDue, la realaj nombroj heredas metrikan topologion de la metrika difinis supre.\nLa ordotopologio kaj metrika topologio sur R estas la samaj.\nKiel topologia spaco, la reala linio estas homeomorfa al la malferma intervalo (0, 1)."}, {"text_idx": "#000013", "text": "La reala linio estas sensignife topologia dukto de dimensio 1.\nG\u0302is homeomorfio, g\u0302i estas unu el nur du malsamaj 1-manifolds sen limo, la alia estaj\u0302o la cirklo.\nG\u0302i ankau\u0306 havas norman diferencieblan strukturon sur g\u0302i, igante g\u0302in diferencialdukto.\n(Supren al difeomorfismo, ekzistas nur unu diferenciebla strukturo kiun la topologia spaco apogas."}, {"text_idx": "#000014", "text": "La reala linio estas loke kompakta kaj parakompaktujo, same kiel duanombrebla kaj normala.\nG\u0302i ankau\u0306 estas pad-ligita, kaj estas tial ligita ankau\u0306, kvankam g\u0302i povas esti malkonektita forigante c\u0302iun poenton.\nLa reala linio ankau\u0306 estas kuntirebla, kaj kiel tia c\u0302iuj siaj homotopyogrupoj kaj reduktitaj homologio grupoj estas nul."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Kiel loke kompakta spaco, la reala linio povas esti kompaktifieita lau\u0306 pluraj malsamaj manieroj.\nLa unu-punkta Kompaktigo de R estas cirklo (nome la reala projekcia linio), kaj la ekstra punkto povas esti opiniita de kiel sennoma senfineco.\nAlternative, la reala linio havas du finojn, kaj la rezulta Finkompaktigo estas la plilongigita reala linio\nEkzistas ankau\u0306 la Stone-C\u030cech-Kompaktigo de la reala linio, kiu implikas aldoni senfinan nombron da kromaj punktoj."}, {"text_idx": "#000016", "text": "En kelkaj kuntekstoj, estas helpeme meti aliajn topologiojn sur la aktoraron de realaj nombroj, kiel ekzemple la mimimumlima topologio au\u0306 la Zariski-topologio.\nPor la realaj nombroj, c\u0302i-lasta estas la sama kiel la finhava komplementtopologio."}, {"text_idx": "#000017", "text": "La reala linio estas vektora spaco super la kampo R da realaj nombroj (t.e., super si mem) de dimensio 1.\nG\u0302i havas norman internan produkton, igante g\u0302in eu\u0306klida spaco.\n(La interna produkto estas simple ordinara multipliko de realaj nombroj.\nLa normnormo sur R estas simple la absolutvalora funkcio."}, {"text_idx": "#000018", "text": "La reala linio portas kanonikan kvanton, nome la Lebesgue-iniciaton.\nTiu iniciato povas esti difinita kiel la kompletigo de Borel-kvanto difinita sur R , kie la iniciato de iu intervalo estas la longo de la intervalo."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Lebesgue-iniciato sur la reala linio estas unu el la plej simplaj ekzemploj de Haar-kvanto sur loke kompakta grupo."}, {"text_idx": "#000020", "text": "La reala linio estas unu-dimensia subspaco de reala algebro A kie R \u2282 A.\nSimile, la algebro de kvaropoj"}, {"text_idx": "#000021", "text": "Kiam la reala algebro estas rekta sumo tiam konjugacio sur A estas lanc\u0302ita per la mapadode subspaco V.\nEl tiu maniero la reala linio konsistas el la fikspunktoj de la konjugacio."}]