[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, kampo estas aro sur kiu aldono, subtraho, multipliko, kaj dividado estas difinitaj, kaj kondutas kiel kiam ili estas aplikitaj al raciaj kaj realaj nombroj.\nKampo estas tiel fundamenta algebra strukturo, kiu estas vaste uzita en algebro, nombroteorio kaj multaj aliaj lokoj de matematiko."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La plej konataj kampoj estas la kampo de raciaj nombroj kaj la kampo de realaj nombroj.\nLa kampo de kompleksaj nombroj ankau\u0306 estas vaste uzita, ne nur en matematiko, sed ankau\u0306 en multaj lokoj de scienco kaj ing\u0302enieristiko.\nMultaj aliaj kampoj, kiel ekzemple kampoj de raciaj funkcioj, algebrafunkciaj kampoj, algebranombraj kampoj, kaj p-adic kampoj estas ofte uzitaj kaj studitaj en matematiko, precipe en nombroteorio kaj algebra geometrio.\nLa plej multaj kriptigaj protokoloj dependas de finhavaj kampoj, t.e., kampoj kun finhave multaj elementoj."}, {"text_idx": "#000003", "text": "La rilato de du kampoj estas esprimita per la nocio de kampetendaj\u0302o.\nGaleza teorio, iniciatita de Evariste Galois en la 1830-aj jaroj, estas dedic\u0302ita al komprenado de la simetrioj de kampetendaj\u0302oj.\nInter aliaj rezultoj, tiuj teoriekspozicioj kiuj fis\u0302hokas triigo kaj krklokvadratigo ne povas esti faritaj per kompaso kaj liniilo.\nKrome, g\u0302i montras ke kvintaj ekvacioj estas algebre nesolveblaj."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Kampoj funkcias kiel bazaj nocioj en pluraj matematikaj domajnoj.\nTio inkludas malsamajn branc\u0302ojn de analizo, kiuj estas bazitaj sur kampoj kun kroma strukturo.\nBazaj teoremoj en analizo dependas de la strukturaj trajtoj de la kampo de realaj nombroj.\nPlej grave por algebraj celoj, c\u0302iu kampo povas esti utiligita kiel la Skalaroj por vektora spaco, kio estas la normigita g\u0302enerala kunteksto por lineara algebro.\nNumero-kampoj, la gefratoj de la kampo de raciaj nombroj, estas studitaj profundaj en nombroteorio.\nFunkciokampoj povas helpi priskribi trajtojn de geometriaj objektoj."}, {"text_idx": "#000006", "text": "La aldonaj\u0302o kaj la multiplika grupo de kampo"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Konstruante kampojn el ringoj 6.1-a\nKonstruante kampojn ene de pli granda kampo"}, {"text_idx": "#000008", "text": "Lineara algebro kaj komuta algebro\nFinhavaj kampoj: kriptografio kaj teorion de kodigo"}, {"text_idx": "#000009", "text": "En nuksos\u0302elo, kampo estas aro, kune kun du funkcioj difinitaj sur tiu aktoraro: aldonfunkcio skribita kiel + b , kaj multiplikfunkcio skribita kiel \u22c5 b , kiuj ambau\u0306 kondutas simile kiam ili kondutas por raciaj nombroj kaj realaj nombroj, inkluzive de la ekzisto de aldona inversa \u2212a por c\u0302iuj elementoj , kaj de multiplika inversa b \u22121 por c\u0302iu nonzerelemento b.\nTio permesas al ni konsideri ankau\u0306 la tielnomitajn inversajn operaciojn de subtraho \u2212 b , kaj dividadon / b , per difinado:"}, {"text_idx": "#000010", "text": "Formale, kampo estas aro kune kun du operacioj nomitaj aldono kaj multipliko.\nOperacio estas mapado kiu asocias elementon de la aro al c\u0302iu paro de g\u0302iaj elementoj.\nLa sekvo de la aldono de a kaj b estas nomita la sumo de a kaj b kaj indikita + b .\nSimile, la sekvo de la multipliko de a kaj b estas nomita la produkto de a kaj b , kaj indikita ab au\u0306 \u22c5 b .\nTiuj operacioj estas postulataj por kontentigi la sekvajn trajtojn, referitajn kiel kampaksiomoj.\nEn la sekvaj difinoj, , b kaj c estas arbitraj elementoj de F ."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Asocieco de aldono kaj multipliko:\nKomuteco de aldono kaj multipliko:\nAldonaj\u0302o kaj multiplika identeco : tie ekzistu du malsamaj elementoj 0 kaj 1 en F tia ke + 0 = a kaj\nAdditive inverses : por c\u0302iu en F , tie ekzistas elemento en F indikis \u2212 , vokis aldona inversa de , tia ke\nMultiplicative inverses : por c\u0302iu =\u0338 0 en F , tie ekzistas elemento en F , indikita per \u22121 , 1/ , au\u0306 1 / , nomite la multiplika inversa de , tia ke\nDistribueco de multipliko super aldono:"}, {"text_idx": "#000012", "text": "Kampoj ankau\u0306 povas esti difinitaj lau\u0306 malsama, sed ekvivalentaj manieroj.\nOni povas alternative difini kampon per kvar operacioj (aldoni, subtrahi, multobligas, disigas), kaj iliajn postulatajn trajtojn.\nDividado de nul estas, de difino, ekskludita.\nPor eviti ekzistecajn kvantorojn, kampoj povas esti difinitaj per du operacioj (aldono kaj multipliko), du unupartaj operacioj (donante la aldonajn kaj inversojn, respektive), kaj du nulary operacioj (la konstantoj 0 kaj 1).\nTiuj operacioj tiam estas kondic\u0302igitaj de la kondic\u0302oj supre.\nTiu aliro evitas ekzistecajn kvantorojn, kiu estas grava en helpema matematiko kaj komputiko."}, {"text_idx": "#000014", "text": "La abstrakte postulataj kampaksiomoj reduktas al normaj trajtoj de raciaj nombroj.\nEkzemple, la leg\u0302o de Distribueco povas esti pruvita jene: [4]"}, {"text_idx": "#000015", "text": "La realaj nombroj R , kun la kutimaj operacioj de aldono kaj multipliko, ankau\u0306 formi kampon.\nLa kompleksaj nombroj C konsistas el esprimoj"}, {"text_idx": "#000016", "text": "kie mi estas la imaginara unuo, t.e., (ne-reala) pli sensenta kontentigado mi 2 = \u22121.\nAldono kaj multipliko de realaj nombroj estas difinitaj lau\u0306 tia maniero ke c\u0302iuj kampaksiomoj tenas por C .\nEkzemple, la distribua leg\u0302o devigas"}, {"text_idx": "#000018", "text": "La kompleksaj nombroj formas kampon.\nKompleksaj nombroj povas esti geometrie reprezentitaj kiel punktoj en la aviadilo, kaj aldonresp.\nmultipliko de tiaj nombroj tiam egalrilatas al aldonado de resp.\nLa kampoj de realaj kaj kompleksaj nombroj estas uzitaj c\u0302ie en matematiko, fiziko, ing\u0302enieristiko, statistiko, kaj multaj aliaj sciencaj disciplinoj."}, {"text_idx": "#000019", "text": "En antikvo, pluraj geometriaj problemoj koncernis la (enen) fareblecon de konstruado de certaj nombroj per kompaso kaj liniilo.\nEkzemple, estis nekonate al la grekoj ke g\u0302i estas g\u0302enerale malebla al trisekto antau\u0306fiksita angulo.\nTiuj problemoj povas esti solvitaj uzante la kampon de konstrueblaj nombroj.\nRealaj konstrueblaj nombroj estas, de difino, longoj de linipartoj kiuj povas esti konstruitaj el la punktoj 0 kaj 1 en finhave multaj s\u0302tupoj uzantaj nur kompason kaj liniilon.\nTiuj nombroj, dotitaj kun la kampoperacioj de realaj nombroj, limigitaj al la konstrueblaj nombroj, formas kampon, kiu konvene inkludas la kampon Q de raciaj nombroj.\nLa ilustraj\u0302o montras la konstruadon de kvadrataj radikoj de konstrueblaj nombroj, ne nepre enhavite ene de Q ."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Aldone al konataj aroj de nombroj kiel ekzemple la rationals, ekzistas aliaj, malpli tujaj ekzemploj de kampoj.\nLa sekva ekzemplo estas kampo konsistanta el kvar elementoj nomitaj O , mi , A , kaj B .\nLa notacio estas elektita tia ke O ludas la rolon de la aldona neu\u0306tra elemento (indikita 0 en la aksiomoj supre), kaj I estas la multiplika identeco (indikita 1 en la aksiomoj supre).\nLa kampaksiomoj povas esti konfirmitaj utiligante iu pli da kampa teorio, au\u0306 per rekta komputado."}, {"text_idx": "#000021", "text": "mi = A , kiu korespondas al A\nA = mi + B = A , kiel postulite per la Distribueco."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Tiu kampo estas nomita finhava kampo kun kvar elementoj, kaj estas indikita F 4 au\u0306 Gf (4).\nLa subaro konsistanta el O kaj I (elstarigita en rug\u0302a en la tabeloj c\u0302e la dekstro) ankau\u0306 estas kampo, konata kiel la binara kampo F 2 au\u0306 Gf (2).\nEn la kunteksto de komputilscienco- kaj bulea algebro, O kaj mi ofte estas indikitaj respektive per falsa kaj vera, la aldono tiam estas indikita XOR (ekskluziva au\u0306), kaj la multipliko estas indikita KAJ.\nEn aliaj vortoj, la strukturo de la binara kampo estas la baza strukturo kiu permesas komputikon kun pecoj."}, {"text_idx": "#000023", "text": "En tiu sekcio, F indikas arbitran kampon kaj a kaj b estas arbitraj elementoj de F ."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Aparte, oni povas dedukti la aldonaj\u0302on inversan de c\u0302iu elemento tuj kiam oni scias \u20141."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Se ab = 0 tiam au\u0306 b devas esti 0-a Efektive, se =\u0338 0, tiam 0 = \u20141 \u22c50 = \u20141 ( ab\nTio signifas ke c\u0302iu kampo estas integrita domajno."}, {"text_idx": "#000026", "text": "La aksiomoj koncerne la aldonoperacion en kampo F estas la tre samaj aksiomoj de abela grupo.\nTiu grupo estas indikita je ( F\nau\u0306 ofte ankau\u0306 simple kiel F kaj nomite la aldona grupo de la kampo F .\n, respektive), obeante la Distribuecon de unu super la alia.\n[nb 1] Kelkaj elementaj deklaroj pri kampoj povas tial esti akiritaj uzante g\u0302eneralajn faktojn de grupoj.\nEkzemple, la aldona kaj invers \u2212 a kaj \u22121 aroj unike determinitaj per ."}, {"text_idx": "#000027", "text": "La postulo 1 =\u0338 0 estas enhavitaj en la difino de kampo pro la sekva kialo: se 1 0, tio implicas ke c\u0302iu elemento de F estus 0.\nLa rezulta sensignifa ringo (kiu konsistas nur el ununura elemento), ne estas konsiderita kiel kampo, ekde la multiplika grupo de tiu lau\u0306dira kampo estus malplena, kontrau\u0306dirante norman kongreson en teorio de grupoj."}, {"text_idx": "#000028", "text": "C\u0302iu finhava subgrupo de la multiplika grupo de kampo estas cikla."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Aldone al la multipliko de du elementoj de F, estas eble difini la produkto n \u22c5 de arbitra elemento de F de pozitiva entjero n esti la n - faldosumo"}, {"text_idx": "#000030", "text": "(kiu estas elemento de F ."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Se ekzistas neniu pozitiva entjero tia ke"}, {"text_idx": "#000032", "text": "tiam F lau\u0306dire havas karakterizaj\u0302on 0.\nEkzemple, Q havas karakterizaj\u0302on 0 c\u0302ar neniu pozitiva entjero n estas nul.\nAlie, se ekzistas pozitiva entjero n kontentiganta tiun ekvacion, la plej malgrandan tia pozitiva entjero povas esti montrita esti primo.\nG\u0302i estas kutime indikita per p kaj la kampo lau\u0306dire havas karakterizan p tiam.\nEkzemple, la kampo F 4 havas karakterizaj\u0302on 2 poste (en la notacio de c\u0302i-supra adiciotabelo) mi + mi = O."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Se F havas karakterizan p , tiam p \u22c5 = 0 por c\u0302io en F ."}, {"text_idx": "#000034", "text": "ekde c\u0302iu alia binomaj koeficientoj aperantaj en la binomo formulo estas disigebla de p .\n( p faktoroj) estas la p - th-potenco, t.e., la p - faldoprodukton el la elemento ."}, {"text_idx": "#000035", "text": "estas kongrua kun la aldono en F (kaj ankau\u0306 kun la multipliko), kaj estas tial kampo homomorfism.\nLa ekzisto de tiu homomorfism igas kampojn en karakterizaj\u0302o p tre diferencaj de kampoj de karakterizaj\u0302o 0."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Neformale, subkampo E estas kampo enhavita en alia kampo F .\nPli g\u0302uste, E estas subaro de F kiu enhavas 1, kaj estas fermita sub aldono, multipliko, aldonaj\u0302o inversa kaj multiplika inversa de nonzerelemento.\nTio signifas tiun 1 \u220a E , tion, por c\u0302io , b \u220a E kaj + b kaj\nb estas en E .\nKrome, por c\u0302io =\u0338 0 en E , oni havas \u2212 kaj 1/ estas en E .\nEstas rekte antau\u0306en konfirmi ke subkampo estas efektive kampo."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Kampo homomorphisms estas mapoj f:\n1F , kie e 1 kaj e 2 estas arbitraj elementoj de E .\nSe f ankau\u0306 estas surjektive, g\u0302i estas nomita izomorfio (au\u0306 la kampo E kaj F estas nomitaj izomorfa)."}, {"text_idx": "#000038", "text": "Kampo estas nomita c\u0302efa kampo se g\u0302i havas neniujn bonordajn (t.e., strikte pli malgrandajn) subkampojn.\nC\u0302iu kampo F enhavas c\u0302efan kampon.\nSe la karakterizaj\u0302o de F estas p (primo), la c\u0302efa kampo estas izomorfa al la finhava kampo F da p lanc\u0302ita malsupre.\nAlie la c\u0302efa kampo estas izomorfa al Q ."}, {"text_idx": "#000039", "text": "Finite fields (ankau\u0306 nomitaj Galois-kampoj) estas kampoj kun finhave multaj elementoj, kies numero ankau\u0306 estas referita kiel la ordo de la kampo.\nC\u0302i-supra enkonduka ekzemplo F 4 estas kampo kun kvar elementoj.\nG\u0302ia subkampo F 2 estas la plej malgranda kampo, c\u0302ar de difino kampo havas almenau\u0306 du apartajn elementojn 1 =\u0338 0."}, {"text_idx": "#000040", "text": "La plej simplaj finhavaj kampoj, kun c\u0302efa ordo, estas plej rekte alireblaj uzante modulan aritmetikon.\nPor fiksa pozitiva entjero n , artimetika \"modulo n \" rimedo por labori kun la nombroj"}, {"text_idx": "#000042", "text": "C\u0302iu finhava kampo F havas q = p n elementoj, kie p estas c\u0302efa kaj n \u2265 1.\nTiu deklaro tenas c\u0302ar F povas esti rigardita kiel vektora spaco super sia c\u0302efa regiono.\nLa dimensio de tiu vektora spaco estas nepre finhava, diras n , kiu implicas la asertitan deklaron."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Kampo kun q = p n elementoj povas esti konstruitaj kiel la disfendadkampo de la polinomo"}, {"text_idx": "#000044", "text": "Tia serioza kampo estas etendaj\u0302o de F da p en kiu la polinom f havas q nulojn.\nTio signifas ke f havas tiel multajn nulojn kiam ebla ekde la grado da f estas q .\nPor q = 22 = 4, g\u0302i povas esti kontrolita kazo per kazo uzanta c\u0302i-supran multipliktabelon kiun c\u0302iuj kvar elementoj de F 4 kontentigas la ekvacion x 4 = x , tiel ke ili estas nuloj de f .\nKompare, en F 2 , f havas nur du nulojn (nome 0 kaj 1), tiel ke f ne fendetig\u0302as en liniajn faktorojn en tiu pli malgranda kampo.\nPliprofundigante plu bazajn kamp-teoriajn nociojn, povas esti montrite ke du finhavaj kampoj kun la sama ordo estas izomorfaj.\nEstas tiel kutime paroli pri la finhava kampo kun q elementoj, indikitaj je F da q au\u0306 Gf ( q)."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Historie, tri algebraj disciplinoj kondukis al la koncepto de kampo: la demandon de solvado de polinomekvacioj, algebra nombroteorio, kaj algebra geometrio.\nUnua pas\u0302o direkte al la nocio de kampo estis farita en 1770 fare de Lagrange, kiu observis tiun permutanta la nulojn x 1, x 2, x 3 el kuba polinomo en la esprimo"}, {"text_idx": "#000046", "text": "(kun \u03c9 estas tria radiko de unu) nur donas du valorojn.\nTiun manieron, Lagrange koncipe klarigis la klasikan solvmetodon de del Ferro kaj Vie\u0300te, kiujn enspezon de reduktado de triagrada ekvacio por nekonata x al duagrada ekvacio por x 3 .\nKune kun simila observado por ekvacioj de grado 4, Lagrange tiel ligis kio poste ig\u0302is la koncepto de kampoj kaj la koncepto de grupoj.\nVandermonde, ankau\u0306 en 1770, kaj lau\u0306 pli plena mezuro, Gauss, en lia Disquisitiones Arithmeticae (1801), studis la ekvacion"}, {"text_idx": "#000047", "text": "por c\u0302efa p kaj, denove uzante modernan lingvon, la rezultan ciklan Galois-grupon.\nGauss deduktis ke regula p - gon povas esti konstruita se p = 22 k + 1.\nKonstruante en la laboro de Lagrange, kiun Paolo Ruffini asertis (1799) ke kvintaj ekvacioj (polinomoj ekvacioj de grado 5) ne povas esti solvitaj algebre, aliflanke liaj argumentoj estis mankhavaj.\nTiuj interspacoj estis plenigitaj fare de Abelo en 1824.\nE\u0301variste Galois, en 1832, elpensis necesajn kaj sufic\u0302ajn kriteriojn por polinomekvacio esti algebre solvebla, tiel establante en efiko kio estas konata kiel galeza teorio hodiau\u0306.\nKaj Abelo kaj Galois laboris kun kio hodiau\u0306 estas nomita algebranombra kampo, sed elpensis nek eksplicitan nocion de kampo, nek de grupo."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Proksime de kampo ni signifos c\u0302iun senfinan sistemon de realaj au\u0306 kompleksaj nombroj tiel fermig\u0302is en si mem kaj perfektigi tiun aldonon, subtrahon, multiplikon, kaj dividadon de iuj du el tiuj nombroj denove al rendimentoj kelkajn el la sistemon."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Komuta ringo estas aro, provizita per aldono kaj multiplikoperacio, kontentigante c\u0302iujn aksiomojn de kampo, krom la ekzisto de inversoj \u22121 .\nEkzemple, la entjeroj Z formas komutan ringon, sed ne kampon: la reciproka de entjero n ne estas sin entjero, krom se n = \u00b11."}, {"text_idx": "#000053", "text": "En la hierarkio de algebraj strukturoj kampoj povas esti karakterizita kiel tiuj komutaj ringoj R en kiu c\u0302iu nonzerelemento estas unuo (kiu volas diri c\u0302iu elemento estas invertebla).\nSimile, kampoj estas tiuj komutaj ringoj kiuj havas g\u0302uste du apartajn idealojn, (0) kaj R .\nKampoj ankau\u0306 estas g\u0302uste tiuj komutaj ringoj en kiu (0) estas la nura c\u0302efidealo."}, {"text_idx": "#000054", "text": "Surbaze de komuta ringo R, ekzistas du manieroj konstrui kampon ligitan al R , t.e., du manieroj modifi R tia ke c\u0302iuj nonzerelementoj ig\u0302as inverteblaj: formante la kampon de frakcioj, kaj formado de restaj\u0302kampoj.\nLa kampo de frakcioj de Z estas Q , la rationals, dum la restaj\u0302kampoj de Z estas la finhava kampo F"}, {"text_idx": "#000056", "text": "Estas rekte antau\u0306en montri ke, se la ringo estas integrita domajno, la aro de la frakcioj formas kampon."}, {"text_idx": "#000057", "text": "La kampo F ( x) de la raciaj frakcioj super kampo (au\u0306 integrita domajno) F estas la kampo de frakcioj de la polinomringo F [ x].\nLa kampo F ( x) de serio de Laurent"}, {"text_idx": "#000058", "text": "pli ol kampo F estas la kampo de frakcioj de la ringo F [ x] de formala potencvico (en kiu k \u2265 0).\nC\u0302ar c\u0302iu serio de Laurent estas frakcio de potencvico dividita per potenco de x (kontraste al arbitra potencvico), la reprezentado de frakcioj estas malpli grava en tiu situacio, tamen."}, {"text_idx": "#000059", "text": "Krome la kampo da frakcioj, kiuj embed R injektively en kampon, kampo povas esti akirita de komuta ringo R per surjektive-mapo sur kampo F .\nC\u0302iu kampo akirita lau\u0306 tiu maniero estas kvociento R / m , kie m estas maksimuma idealo de R .\nSe R havas nur unu maksimuman idealan m , tiu kampo estas nomita la restaj\u0302kampo de R ."}, {"text_idx": "#000060", "text": "La idealo generita per ununura polinomo f en la polinomboksejo R = E [ X] (super kampo E) estas maksimumaj se kaj nur se f estas nereduktebla en E , t.e., se f ne povas esti esprimita kiel la produkto de du polinomoj en E [ X] de pli malgranda grado."}, {"text_idx": "#000061", "text": "Tiu kampo F enhavas elementon x (nome la restaj\u0302oklaso de X ) kiu kontentigas la ekvacion"}, {"text_idx": "#000062", "text": "Ekzemple, C akirig\u0302as de R tus\u0302ante la imaginaran unuon simbolon I kiu kontentigas f (mi) = 0, kie f ( X\nKrome, f estas nereduktebla pli ol R , kiu implicas ke la mapo kiu sendas polinom f ( X\nR [ X] al f ( mi) donas izomorfion"}, {"text_idx": "#000064", "text": "Kampoj povas esti konstruitaj ene de antau\u0306fiksita pli granda kontenerkampo.\nSupozi surbaze de kampo E , kaj kampo F enhavanta E kiel subkampo.\nPor iu elemento x de F , ekzistas plej malgranda subkampo de F enhavanta E kaj x , nomitan la subkampo de F generita per x kaj indikita E ( x).\nLa transiro de E g\u0302is E ( x) estas referita tus\u0302ante elementon al E.\nPli g\u0302enerale, por subaro S \u2282 F , ekzistas minimuma subkampo de F enhavanta E kaj S , indikitan per E ( S)."}, {"text_idx": "#000065", "text": "La compositum de du subkampoj E kaj E estas de iu kampo F estas la plej malgranda subkampo de F enhavanta kaj E kaj E'. kiujn La compositum povas esti uzita por konstrui la plej grandan subkampon el F kontentiganta certan trajton, ekzemple la plej granda subkampo de F kiu estas, en la lingvo lanc\u0302ita malsupre, algebra super E ."}, {"text_idx": "#000066", "text": "La nocio de subkampo E \u2282 F ankau\u0306 povas esti rigardita de la kontrau\u0306a perspektivo, per rilatado al F estanta kampetendaj\u0302o (au\u0306 j\u0302us etendaj\u0302o) de E , indikita per"}, {"text_idx": "#000068", "text": "Baza datumo de kampetendaj\u0302o estas sia grado [ F:\nE], t.e., la dimensio de F kiel E - vektora spaco.\nG\u0302i kontentigas la formulon [29]"}, {"text_idx": "#000070", "text": "Pivota nocio en la abstraktaj\u0302ostudo de kampetendaj\u0302oj F / E estas algebraj elementoj x \u220a F .\nTiuj estas radikoj (au\u0306 nuloj) de polinomoj, t.e., ili kontentigas polinomekvacion"}, {"text_idx": "#000071", "text": "por konvenaj koeficientoj e n\nEkzemple, mi \u220a C estas algebraj pli ol R kaj ec\u0302 super Q c\u0302ar g\u0302i kontentigas la ekvacion"}, {"text_idx": "#000072", "text": "Kampetendaj\u0302o en kiu c\u0302iu elemento de F estas algebra super E estas nomita algebra etendaj\u0302o.\nC\u0302iu finhava etendaj\u0302o estas nepre algebra, kiel povas esti konkludita el c\u0302i-supra multiplicativecformulo."}, {"text_idx": "#000073", "text": "La subkampo E ( x) generita per elemento x , c\u0302ar supra, estas algebra etendaj\u0302o de E se kaj nur se x estas algebra ero.\nTio devas diri, c\u0302u x estas algebra, c\u0302iuj aliaj elementoj de E ( x) estas nepre algebraj ankau\u0306.\nKrome, la grado da la etendaj\u0302o E ( x\nE , t.e., la dimensio de E ( x) kiel E - vektora spaco, korespondas al la minimuma grado da n tia ke ekzistas polinomekvacio implikanta x , kiel supra.\nSe tiu grado estas n , tiam la elementoj de E ( x) havas la formon"}, {"text_idx": "#000074", "text": "Ekzemple, la kampo Q ( mi) de Gau\u0306sianaj rational'oj estas la subkampo de C konsistanta el c\u0302iuj nombroj da la formo + busoj kie kaj a kaj b estas raciaj nombroj: sumand de la formo mi 2 (kaj simile por pli altaj eksponentoj) ne devas esti pripensitaj c\u0302i tie, ekde + bus + Cio 2 povas esti simpligitaj al \u2212 c + busoj ."}, {"text_idx": "#000075", "text": "La supre menciita kampo de raciaj frakcioj da E ( X), kie X estas nedeterminita, estas ne algebra etendaj\u0302o de E c\u0302ar ekzistas neniu polinomekvacio kun koeficientoj en E kies nul estas X .\nElementoj, kiel ekzemple X , kiuj ne estas algebraj estas nomitaj transcendaj.\nNeformale parolante, la nedeterminita X kaj g\u0302iaj potencoj ne interagas kun elementoj de E .\nSimila konstruo povas esti arang\u0302ita kun aro de indeterminatoj, anstatau\u0306e de j\u0302us unu."}, {"text_idx": "#000076", "text": "Denove, la kampetendaj\u0302o E ( x\nE diskutita supre estas esenca ekzemplo: se x ne estas algebra (t.e., x ne estas radiko de polinomo kun koeficientoj en E ), tiam E ( x) estas izomorfa al E ( X).\nTiu izomorfio akirig\u0302as anstatau\u0306igante x g\u0302is Xa en raciaj frakcioj."}, {"text_idx": "#000077", "text": "Subaro S da kampo F estas transcendecbazo se g\u0302i estas algebre sendependa (malpermeso kontentigas iujn ajn polinomrilatojn) super E kaj se F estas algebra etendaj\u0302o de E ( S).\nC\u0302iu kampetendaj\u0302o F / E havas transcendecbazon.\nTiel, kampetendaj\u0302oj povas esti dividitaj en tiajn de la formo E ( S\nE ( sole transcendaj etendaj\u0302oj) kaj algebraj etendaj\u0302oj."}, {"text_idx": "#000078", "text": "Kampo estas algebre fermita se g\u0302i ne havas iujn ajn strikte pli grandajn algebrajn etendaj\u0302ojn au\u0306, ekvivalente, se entute polinomekvacio"}, {"text_idx": "#000079", "text": "f 1 x + f 0 = 0, kun koeficientoj f n"}, {"text_idx": "#000080", "text": "havas solvon x \u220a F .\nDe la algebra bazteoremo, C estas algebre fermita, t.e., c\u0302iu polinomekvacio kun kompleksaj koeficientoj havas kompleksan solvon.\nLa raciaj kaj la realaj nombroj ne estas algebre fermitaj ekde la ekvacio"}, {"text_idx": "#000081", "text": "ne havas ajnan racian au\u0306 realan solvon.\nKampo enhavanta F estas nomita tegaj\u0302o de F c\u0302u g\u0302i estas algebra pli ol F (malglate parolante, ne tro granda komparite kun F ) kaj estas algebre fermita (sufic\u0302e granda por enhavi solvojn de c\u0302iuj polinomekvacioj)."}, {"text_idx": "#000082", "text": "De c\u0302i-supra, C estas tegaj\u0302o de R .\nLa situacio kiu la tegaj\u0302o estas finhava etendaj\u0302o de la kampo F estas tre speciala: de la Artin-Schreier-teoremo, la grado da tiu etendaj\u0302o estas nepre 2, kaj F estas elemente ekvivalenta al R .\nTiaj kampoj ankau\u0306 estas konataj kiel reelaj fermita kampoj."}, {"text_idx": "#000083", "text": "C\u0302iu kampo F havas tegaj\u0302on, kio estas krome unika supren al (ne-unika) izomorfio.\nG\u0302i estas ofte referita kiel la tegaj\u0302o kaj indikita F .\nEkzemple, la tegaj\u0302o Q de Q estas nomita la kampo de algebraj nombroj.\nLa kampo F estas kutime sufic\u0302e implica c\u0302ar g\u0302ia konstruo postulas la ultrafiltrillemon, aro-teorian aksiomon kiu estas pli malforta ol la libera-elekto-aksiomo.\nEn tiu rilato, la tegaj\u0302o de F da q , estas escepte simpla.\nG\u0302i estas la unio de la finhavaj kampoj enhavantaj F da q (tiuj de ordo q n ).\nPor iu algebre fermita kampo F da karakterizaj\u0302o 0, la tegaj\u0302o de la kampo F ( t) de serio de Laurent estas la kampo de Puiseux-serialoj, akiritaj tus\u0302ante radikojn de t ."}, {"text_idx": "#000084", "text": "C\u0302ar kampoj estas c\u0302ieaj en matematiko kaj pretere, ekzistas pluraj rafinadoj de la koncepto kiuj estas adaptitaj al la bezonoj de speciala matematika areo."}, {"text_idx": "#000085", "text": "Kampo F estas nomita ordigita kampo se entute du elementoj povas esti komparitaj, tiel ke x + y \u2265 0 kaj ksy \u2265 0 kiam ajn x \u2265 0 kaj y \u2265 0.\nEkzemple, la realoj formas ordigitan kampon, kun la kutima mendanta \u2265.\nLa Artin-Schreier-teoremo deklaras ke kampo povas esti ordonita se kaj nur se g\u0302i estas formale reala kampo, kio signifas tiel ajnan duagradan ekvacion"}, {"text_idx": "#000086", "text": "nur havas la solvon x 1 = x 2\nLa aktoraro de c\u0302iaj ajn ordoj pri fiksa kampo F estas izomorfa g\u0302is la aro de ringohomomorfismoj de la Witt-ringo W ( F) de kvadrataj formoj pli ol F, al Z."}, {"text_idx": "#000087", "text": "Archimedean-kampo estas ordigita kampo tia ke por c\u0302iu elemento tie ekzistas finhava esprimo"}, {"text_idx": "#000088", "text": "kies valoro estas pli bonega ol tiu elemento, t.e., ekzistas neniuj senfinaj elementoj.\nEkvivalente, la kampo enhavas neniujn infinitesimal'ojn (elementoj kiuj estas pli malgrandaj ol c\u0302iuj raciaj nombroj);\nau\u0306, ankorau\u0306 ekvivalenta, la kampo estas izomorfa al subkampo de R ."}, {"text_idx": "#000090", "text": "Ekde c\u0302iu bonorda subkampo de la realoj ankau\u0306 enhavas tiajn interspacojn, R estas la unika kompleta ordigis kampon, g\u0302is izomorfio.\nPluraj bazaj rezultoj en kalkulado sekvas rekte el tiu karakterizado de la realoj."}, {"text_idx": "#000091", "text": "La hiperrealoj R \u00f7 formas ordigitan kampon kiu ne estas Archimedean.\nG\u0302i estas etendaj\u0302o de la realoj akiritaj senfinajn kaj infinitezimalajn nombrojn.\nTiuj estas pli grandaj, respektive pli malgrandaj ol iu reala nombro.\nLa hipereals formas la bazan bazon de ne-norma analizo."}, {"text_idx": "#000092", "text": "Alia rafinado de la nocio de kampo estas topologia kampo, en kiu la aro F estas topologia spaco, tia ke c\u0302iuj operacioj de la kampo (aldono, multipliko, la mapoj\na kaj \u21a6 \u22121 ) estas kontinuaj mapoj kun respekto al la topologio de la spaco.\nLa topologio de c\u0302iuj kampoj diskutitaj malsupre estas induktita de metriko, t.e., funkcio"}, {"text_idx": "#000093", "text": "kiu mezuras distancon inter iuj du elementoj de F ."}, {"text_idx": "#000095", "text": "La kampo Q p estas uzita en nombroteorio kaj p - adicanalizo.\nLa tegaj\u0302o Q p portas unikan normon etendantan tiu sur Q p , sed ne estas kompleta.\nLa kompletigo de tiu tegaj\u0302o, aliflanke, estas algebre fermita.\nPro g\u0302ia malglata analogeco al la kompleksaj nombroj, g\u0302i estas nomita la kampo de kompleksop-adicnombroj kaj estas indikita je C da p ."}, {"text_idx": "#000096", "text": "La sekvaj topologiaj kampoj estas nomitaj lokaj kampoj : [41]"}, {"text_idx": "#000097", "text": "finhavaj etendaj\u0302oj de Q p (lokaj kampoj da karakteriza nul)\nfinhavaj etendaj\u0302oj de F da p ( t), la kampo de serio de Laurent pli ol F da p (lokaj kampoj de karakteriza p )."}, {"text_idx": "#000098", "text": "Tiuj du specoj de lokaj kampoj dividas kelkajn fundamentajn similecojn.\nEn tiu rilato, la elementoj p \u2208 Q p kaj t \u2208 F da p ( t) (referita kiel uniformizer) egalrilatas al unu la alian.\nLa unua manifestig\u0302o de tio estas sur elementa nivelo: la elementoj de ambau\u0306 kampoj povas esti esprimitaj kiel potencvico en la uniformizer, kun koeficientoj en F da p .\n(Tamen, c\u0302ar la aldono en Q p estas farita uzante porti, kio ne estas la kazo en F da p ( t), tiuj kampoj ne estas izomorfaj.\nLa sekvaj faktoj montras ke tiu supraj\u0302a simileco iras multe pli profunda:"}, {"text_idx": "#000099", "text": "C\u0302iu unua ord deklaro kiu estas vera por preskau\u0306 c\u0302io Q p ankau\u0306 estas vera por preskau\u0306 c\u0302iu F p t).\nApliko de tio estas la Ax-Kochen-teoremo priskribanta nulojn de homogenaj polinomoj en Q p .\nMalsovag\u0302e multbranc\u0302aj etendaj\u0302oj de ambau\u0306 kampoj estas en ensurj\u0302eto unu al la alia.\nTus\u0302i arbitran p - povoradikojn de p (en Q p ), respektive de t (en F da p ( t), donas (senfinajn) etendaj\u0302ojn de tiuj kampoj konataj kiel perfektoidaj kampoj.\nFrape, la Galois-grupoj de tiuj du kampoj estas izomorfaj, kio estas la unua rigardeto de rimarkinda paralelo inter tiuj du kampoj: [42]"}, {"text_idx": "#000100", "text": "Diferencigaj kampoj estas kampoj provizitaj per derivaj\u0302o, t.e., permesas preni derivaj\u0302ojn de elementoj en la kampo.\nEkzemple, la kampo R ( X), kune kun la norma derivaj\u0302o de polinomoj formas diferencigan kampon.\nTiuj kampoj estas centraj al diagnozalternativo-galezteorio, variaj\u0302o de galeza teorio traktanta liniajn diferencialajn ekvaciojn."}, {"text_idx": "#000101", "text": "Galeza teorio studas algebrajn etendaj\u0302ojn de kampo studante la simetrion en la aritmetikoperacioj de aldono kaj multipliko.\nGrava nocio en tiu areo estas finhavaj Galois-etendaj\u0302oj F / E kiuj estas de difino tiuj kiuj estas separeblaj kaj normalaj.\nLa primitiva elementteoremo montras ke finhavaj separeblaj etendaj\u0302oj estas nepre simplaj, t.e., de la formo"}, {"text_idx": "#000102", "text": "kie f estas nereduktebla polinomo (same supre).\nPor tia etendaj\u0302o, estante normalaj kaj separeblaj rimedoj ke c\u0302iuj nuloj de f estas enhavitaj en F kaj ke f havas nur simplajn nulojn.\nC\u0302i-lasta kondic\u0302o c\u0302iam estas kontentigita se E havas karakterizaj\u0302on 0."}, {"text_idx": "#000104", "text": "0 (kie f estas rigardita kiel polinomo en E ( 0\nn \u22121), por kelkaj indeterminatoj mi , E estas ajna kampo, kaj n \u2265 5)."}, {"text_idx": "#000105", "text": "La tensorprodukto de kampoj ne estas kutime kampo.\nEkzemple, finhava etendaj\u0302o F / E de grado da n estas Galois-etendaj\u0302o se kaj nur se ekzistas izomorfio de F - algebroj"}, {"text_idx": "#000106", "text": "Tiu fakto estas la komenco de la galeza teorio, de Grothendieck sekvoric\u0302a etendaj\u0302o de galeza teorio uzeblaj al algebro-geometriaj objektoj."}, {"text_idx": "#000107", "text": "Bazaj Invariantoj de kampo F inkludas la karakterizaj\u0302on kaj la transcendecgradon da F super g\u0302ia c\u0302efa regiono.\nC\u0302i-lasta estas difinita kiel la maksimuma nombro da elementoj en F kiuj estas algebre sendependaj super la c\u0302efa kampo.\nDu algebre fermita kampo E kaj F estas izomorfaj g\u0302uste se tiuj du datenoj konsentas.\nTio implicas ke c\u0302iuj du nenombreblaj algebre fermitaj kampoj de la sama kardinaleco kaj la sama karakterizaj\u0302o estas izomorfaj.\nEkzemple, Q p , C da p kaj C estas izomorfaj (sed ne izomorfaj kiel topologiaj kampoj)."}, {"text_idx": "#000108", "text": "En modela teorio, branc\u0302o de matematika logiko, du kampoj E kaj F estas nomitaj elemente ekvivalentaj se c\u0302iu matematika deklaro kiu estas vera por E ankau\u0306 estas vera por F kaj inverse.\nLa matematikaj deklaroj koncerne estas postulataj por esti unuaordaj frazoj (implikante 0, 1, la aldonon kaj multiplikon)."}, {"text_idx": "#000109", "text": "\u03c6 ( E) = \"por iu n > 0, ajnaj polinomo de grado da n en E havas nulon en E \" (kiujn kvantojn al dirado ke E estas algebre fermita)."}, {"text_idx": "#000110", "text": "La Lefschetz-principo deklaras ke C estas elemente ekvivalenta al iu algebre fermita kampo F da karakteriza nul.\nKrome, c\u0302iu fiksa deklaro \u03c6 tenas en C se kaj nur se g\u0302i tenas en iu algebre fermita kampo de sufic\u0302e alta karakterizaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000111", "text": "Se U estas ultrafiltrilo sur aktoraro I, kaj F mi estas kampo por c\u0302iu mi en mi , la ultraprodukto de la F mi kun respekto al U estas kampo."}, {"text_idx": "#000112", "text": "c\u0302ar g\u0302i kondutas lau\u0306 pluraj manieroj kiel limo de la kampo F da I :\nLa teoremo de \u0142os\u0301 deklaras tiel ajnan unuan orddeklaron kiu tenas por c\u0302iuj krom finhave multaj F da I , ankau\u0306 tenas por la ultraprodukto.\nAplikita al c\u0302i-supra frazo \u03c6, tio montras ke ekzistas izomorfio [nb 4]"}, {"text_idx": "#000113", "text": "La Ax-Kochen-teoremo menciita supre ankau\u0306 sekvas el tio kaj izomorfio de la ultraprodukts (en ambau\u0306 kazoj dum c\u0302iu primoj p )"}, {"text_idx": "#000114", "text": "Krome, modela teorio ankau\u0306 studas la logikajn trajtojn de diversaj aliaj specoj de kampoj, kiel ekzemple reelaj fermita kampoj au\u0306 eksponentaj kampoj (kiuj estas provizitaj per eksponentfunkcia eksp:"}, {"text_idx": "#000115", "text": "Por kampoj kiuj ne estas algebre fermitaj (au\u0306 ne separeble fermig\u0302is), la absoluta Galois-grupo Gal ( F) estas principe grava: etendante la kazon de finhavaj Galois-etendaj\u0302oj skizitaj supre, tiu grupo regas c\u0302iujn finhavajn separeblajn etendaj\u0302ojn de F .\nDe elementaj rimedoj, la grupo Gal ( F da q ) povas esti montrita esti la Pru\u0308fer-grupo, la profinitkompletigo de Z .\nTiu deklaro inkludas la fakton ke la nuraj algebraj etendaj\u0302oj de Gal ( F da q ) estas la kampaj Gal ( F da q n ) por n > 0, kaj ke per la Galois-grupoj de tiuj finhavaj etendaj\u0302oj ricevas"}, {"text_idx": "#000116", "text": "Priskribo lau\u0306 generatoroj kaj rilatoj ankau\u0306 estas konata pro la Galois-grupoj de p - adic-numero-kampoj (finhavaj etendaj\u0302oj de Q p )."}, {"text_idx": "#000117", "text": "Reprezentadoj da Galois-grupoj kaj de parencaj grupoj kiel ekzemple la Weil-grupo estas fundamentaj en multaj branc\u0302oj de aritmetiko, kiel ekzemple la Langlands-programo.\nLa kohomologia studo de tiaj reprezentantaroj estas farita uzante Galois-kohomologion.\nEkzemple, la Brauer-grupo kiu estas klasike difinita por esti la grupo de centra kuracherbo F - algebroj, povas esti reinterpretita kiel Galois-kohomologiogrupo, nome"}, {"text_idx": "#000118", "text": "Milnor K-teorio estas difinita kiel"}, {"text_idx": "#000119", "text": "La normrestaj\u0302izomorfioteoremo, pruvita c\u0302irkau\u0306 2000 fare de Vladimir Voevodsky, rilatigas tion al Galois-kohomologio per izomorfio"}, {"text_idx": "#000120", "text": "Algebra K-teorio estas rilatita al la grupo de inverteblaj matricoj kun koeficientoj la antau\u0306fiksita kampo.\nEkzemple, la proceso de prenado de la determinanto da invertebla matrico kondukas al izomorfio K1 ( F\nLa teoremo de Matsumoto montras ke K2 ( F) konsentas per K2 M ( F).\nEn pli altaj gradoj, K-teorio deturnig\u0302as de Milnor K-teorio kaj restas malmola komputi g\u0302enerale."}, {"text_idx": "#000121", "text": "Lineara algebro kaj komuta algebro"}, {"text_idx": "#000122", "text": "Se =\u0338 0, tiam la ekvacio"}, {"text_idx": "#000123", "text": "havas unikan solvon x en F , nome x = b / .\nTiu observado, kiu estas tuja sekvo de la difino de kampo, estas la esenca ingredienco uzita por montri ke c\u0302iu vektora spaco havas bazon.\nMalglate parolante, tio permesas elekti koordinatsistemon en iu vektora spaco, kio gravegas en lineara algebro kaj de teoria perspektivo, kaj ankau\u0306 por praktikaj aplikoj."}, {"text_idx": "#000124", "text": "Moduloj (la analogo de vektoraj spacoj) super la plej multaj ringoj, inkluzive de la ringo Z de entjeroj, havas pli d komplikan strukturon.\nAkurata situacio ekestas kiam ringo R estas vektora spaco pli ol kampo F en sia propra rajto.\nTiaj ringoj estas nomitaj F - algebroj kaj estas studitaj profundaj en la areo de komuta algebro.\nEkzemple, Noether-normaligo asertas ke al c\u0302iu finhave generita F - algebro estas proksime rilatitaj (pli g\u0302uste, finhave generitaj kiel modulo super) polinomringo F [ x 1"}, {"text_idx": "#000125", "text": "Finhavaj kampoj: kriptografio kaj teorion de kodigo"}, {"text_idx": "#000126", "text": "Vaste aplikata kriptiga rutino utiligas la fakton tiu diskreta potenco, t.e., komputiko"}, {"text_idx": "#000127", "text": "( n faktoroj, por entjero n \u2265 1)"}, {"text_idx": "#000128", "text": "en (granda) finhava kampo F da q povas esti farita multe pli efike ol la diskreta logaritmo, kio estas la inversa operacio, t.e., determinante la solvon n al ekvacio"}, {"text_idx": "#000129", "text": "En elipsa kurbokriptografio, la multipliko en finhava kampo estas anstatau\u0306igita per la operacio de aldonado de punktoj sur elipsa kurbo, t.e., la solvoj de ekvacio de la formo"}, {"text_idx": "#000130", "text": "Finhavaj kampoj ankau\u0306 estas uzitaj en teorio de kodigo kaj kombinatoriko."}, {"text_idx": "#000131", "text": "Funkcioj sur topologia spaco X povas esti aldonitaj kaj multobligita punktmaniero, t.e.,"}, {"text_idx": "#000132", "text": "Por havi inversojn postulas pripensantajn rilatumojn de funkcioj, t.e., esprimoj de la formo"}, {"text_idx": "#000133", "text": "Tiaj rilatumoj formas kampon, nomitan la funkciokampo de X .\nTiu koncepto estas de uzo kiam X estas kompleksa dukto Xa .\nEn tiu kazo, f kaj g estas holomorfaj funkcioj, t.e., kompleksaj diferencieblaj funkcioj.\nIliaj rilatumoj estas referitaj kiel meromorfaj funkcioj."}, {"text_idx": "#000134", "text": "La funkciokampo de algebra variaj\u0302o X (geometria objekto difinita per polinomekvacioj) konsistas el rilatumoj de regulaj funkcioj, t.e., rilatumoj de polinomfunkcioj f kaj g .\nLa funkciokampo de la n - dimensia spaco super kampo k estas k ( x 1\nx n ), t.e., la kampo konsistanta el rilatumoj de polinomoj f kaj g el n indeterminatoj.\nLa funkciokampo de X estas la sama kiel tiu el iu malferma densa subdiverseco.\nEn aliaj vortoj, la funkciokampo estas imuna al anstatau\u0306igado Xa per (iomete) pli malgranda subdiverseco."}, {"text_idx": "#000135", "text": "La funkciokampo kaptas gravajn geometriajn informojn pri X kiel ekzemple it dimensio, kiu korespondas al la transcendecgrado da k ( X).\nPor kurboj (t.e., la dimensio estas oni), la funkciokampo k ( X) estas tre proksima al X : se X estas glata kaj bonorda (la analogo de esti kompakta), Xa povas esti rekonstruita, g\u0302is izomorfio, de k ( X).\n[nb 5] En pli alta dimensio la funkciokampo memoras malpli, sed dau\u0306re decidajn informojn pri X .\nLa studo de funkcio lanc\u0302as kaj ilian geometrian signifante en pli alta grandeco estas referita kiel biracia geometrio.\nLa minimuma modelaro provas identigi la plej simplajn (en certa preciza signifo) algebrajn variecojn kun deviga funkciokampo."}, {"text_idx": "#000136", "text": "Mallokaj kampoj estas en la spotlumo en algebra nombroteorio kaj artimetika geometrio.\nIli estas, de difino, pli sensentaj kampoj (finhavaj etendaj\u0302oj de Q ) au\u0306 funkciokampoj pli ol F da q (finhavaj etendaj\u0302oj de F da q ( t).\nKiel por lokaj kampoj, tiuj du specoj de kampoj dividas plurajn similajn ecojn, ec\u0302 se ili estas de karakterizaj\u0302o 0 kaj pozitiva karakterizaj\u0302o, respektive.\nTiu funkciokampanalogeco povas helpi formi matematikajn atendojn, ofte unue komprenante demandojn pri funkciokampoj, kaj poste trakta la numero-kampo kazo.\nC\u0302i-lasta ofte estas pli malfacila.\nEkzemple, la Riemann-hipotezo koncerne la nulojn da la Riemann zetafunkcio (malferma aktuale en 2017) povas esti rigardita kiel estante paralela al la Weil-supozoj (pruvitaj en 1974 fare de Deligne)."}, {"text_idx": "#000137", "text": "Cyclotomic-kampoj estas inter la plej intense volitaj numero-kampoj.\nIli estas de la formo Q (\u03b6 n ), kie \u03b6 n estas primitiva n - th radiko de unu, t.e., kompleksa nombro kontentiganta \u03b6 n = 1 kaj \u03b6 m =\u0338 1 por c\u0302iu m < n .\nPor n estanta regula primo, Kummer uzis ciclotomic-kampojn por pruvi la lastan teoremon de Fermat, kiu asertas la neekzistadon de raciaj nonzersolvoj al la ekvacio"}, {"text_idx": "#000138", "text": "Lokaj kampoj estas kompletigoj de mallokaj kampoj.\nLa teoremo de Ostrowski asertas ke la nuraj kompletigoj de Q , malloka kampo, estas la loka kampo Q p kaj R .\nStudi artimetikajn demandojn en mallokaj kampoj foje povas esti farita per rigardado la ekvivalentajn demandojn loke.\nTiu tekniko estas nomita la lok-tutmonda principo.\nEkzemple, la Hasse-Minkowski-teoremo reduktas la problemon da trovaj raciaj solvoj de duagradaj ekvacioj al solvado de tiuj ekvacioj en R kaj Q p , kies solvoj povas facile esti priskribitaj."}, {"text_idx": "#000139", "text": "Male al por lokaj kampoj, la Galois-grupoj de mallokaj kampoj ne estas konataj.\nInversa galeza teorio studas la (neklarigitan) problemon c\u0302u c\u0302iu finhava grupo estas la Galois-grupo Gal ( F / Q) por iu numero-kampo F .\nKlasa kampa teorio priskribas la abelajn etendaj\u0302ojn, t.e., tiajn kun abela Galois-grupo, au\u0306 ekvivalente la abelianigitajn Galois-grupojn de mallokaj kampoj.\nKlasika deklaro, la Kronecker-Vebera teoremo, priskribas la maksimuman abelan Q ab etendaj\u0302on de Q : g\u0302i estas la kampo"}, {"text_idx": "#000140", "text": "akirite tus\u0302ante c\u0302ion primitivan n - th-radikojn de unueco.\nKronecker's Jugendtraum petas simile eksplicitan priskribon de F ab de g\u0302eneralaj numero-kampoj F .\nPor g\u0302eneralaj numero-kampoj, ne tia eksplicita priskribo estas konata."}, {"text_idx": "#000141", "text": "Aldone al la kroma strukturo kiun kampoj povas g\u0302ui, kampoj koncedas diversajn aliajn rilatajn nociojn.\nEkde 0 =\u0338 1 en iu kampo, c\u0302iu kampo havas almenau\u0306 du elementojn.\nTamen, ekzistas koncepto de kampo kun unu elemento kiu estas proponita esti limo de la finhava kampo F\nAldone al dividadrondoj, ekzistas diversaj aliaj pli malfortaj algebraj strukturoj ligitaj al kampoj kiel ekzemple kvazau\u0306kampoj, preskau\u0306-kampoj kaj semikampoj."}, {"text_idx": "#000142", "text": "Ekzistas ankau\u0306 bonordaj klasoj kun kampostrukturo, kiuj foje estas nomitaj Kampoj, kun c\u0302efurbo F. The superrealaj nombroj formas Kampon enhavantan la realojn, kaj estus kampo krom la fakto ke ili estas bonorda klaso, ne aro.\nLa nimbers, koncepto de ludoteorio formas Kampon."}, {"text_idx": "#000143", "text": "Faligi unun au\u0306 plurajn aksiomojn en la difino de kampo kondukas al aliaj algebraj strukturoj.\nKiel estis menciita supre, komutaj ringoj kontentigas c\u0302iujn aksiomojn de kampoj, krom inversoj.\nFaligi anstatau\u0306e la kondic\u0302on tiun multiplikon estas kommutativaj plumboj al la koncepto de dividadrondo au\u0306 misoblikva kampo.\n[nb 6] La nura dividadrings kiuj estas finhav-dimensia R - vektoraj spacoj estas R mem, C (kampo), la kvaropoj H (en kiu multipliko estas ne-kommutativa), kaj la oktonions O (en kiu multipliko estas nek kommutativa nek asocieca).\nTiu fakto estis pruvita uzi metodojn de algebra topologio en 1958 de Kervaire kaj Bott / Milnor.\nLa neekzistado de strang-dimensia dividadalgebro estas pli klasika.\nG\u0302i povas esti konkludita el la teoremo pri erinaco ilustrita c\u0302e la dekstro."}]