[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, aparte orda teorio, partordo (ankau\u0306 potaro) formaligas kaj g\u0302eneraligas la intuician koncepton de mendado, sekvencante, au\u0306 arang\u0302on de la elementoj de aro.\nPotaro konsistas el aro kune kun duargumenta rilato indikante ke, por certaj paroj de elementoj en la aro, unu el la elementoj antau\u0306as la alian en la mendado.\nLa vorto \"parta\" en la nomoj \"parta ordo\" au\u0306 \"partordo\" estas utiligita kiel indiko ke ne c\u0302iu paro de elementoj bezonas estu komparebla.\nTio estas, povas ekzisti paroj de elementoj por kiuj nek elemento antau\u0306as la alian en la potaro.\nPartaj ordoj tiel g\u0302eneraligas tutecajn ordojn, en kiuj c\u0302iu paro estas komparebla."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Por esti parta ordo, duargumenta rilato devas esti refleksiva (c\u0302iu elemento estas komparebla al si mem), kontrau\u0306simetria (neniuj du malsamaj elementoj antau\u0306as unu la alian), kaj transitivaj (la komenco de c\u0302eno de prioritatrilatoj devas antau\u0306i la finon de la c\u0302eno)."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Unu konata ekzemplo de partordo estas kolekto de homoj ordonitaj per genealogia descendancy.\nKelkaj paroj de homoj portas la posteul-prapatran rilaton, sed aliaj paroj de homoj estas unikaj, kie nek estas epigono de la aliaj."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Potaro povas esti bildigita tra sia Hasse-diagramo, kiu prezentas la mendantan rilaton."}, {"text_idx": "#000006", "text": "1 Akuta kaj malakuta ordo"}, {"text_idx": "#000007", "text": "(Ne-strikta) parta ordo [2] estas duargumentrilata \u2264 super aro P kontentiganta specialajn aksiomojn kiuj estas diskutitaj malsupre.\nKie \u2264 b, ni diras ke estas rilatita al b.\n(Tio ne implicas ke b ankau\u0306 estas al , c\u0302ar la rilato ne devas esti simetria."}, {"text_idx": "#000008", "text": "La aksiomoj por ne-strikta parta ordo deklaras ke la rilat\u2264 estas refleksiva, kontrau\u0306simetria, kaj transitiva.\nTio estas, por c\u0302io , b, kaj c en P, g\u0302i devas kontentigi:"}, {"text_idx": "#000009", "text": "\u2264 ( refleksiveco: c\u0302iu elemento estas rilatita al si mem).\nse \u2264 b kaj b \u2264 , tiam = b ( kontrau\u0306simetrio: du apartaj elementoj ne povas esti rilataj en ambau\u0306 indikoj).\nse \u2264 b kaj b \u2264 c, tiam \u2264 c ( transitiveco: se unua elemento estas rilatita al dua elemento, kaj, en victurno, ke elemento estas rilatita al tria elemento, tiam la unua elemento estas rilatita al la tria elemento)."}, {"text_idx": "#000010", "text": "En aliaj vortoj, parta ordo estas kontrau\u0306simetria preordo."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Aro kun parta ordo estas nomita partordo (ankau\u0306 vokis potaron).\nLa esprimo ordigita aro foje estas ankau\u0306 uzita, tiel longe kiel g\u0302i estas klara de la kunteksto kiun tiel neniu alia speco de ordo estas signifita.\nAparte, totale ordonis ke aroj ankau\u0306 povas esti referitaj kiel \"ordigitaj aroj\", precipe en lokoj kie tiuj strukturoj estas pli oftaj ol potaroj."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Por , b, elementoj de partordo P, se \u2264 b au\u0306 b \u2264 , tiam a kaj b estas kompareblaj .\nParta ordo sub kiu c\u0302iu paro de elementoj estas komparebla estas nomita tuteca ordo au\u0306 linia ordo;\nkomplete ordigita aro ankau\u0306 estas nomita c\u0302eno (ekz., la naturaj nombroj kun ilia normordo).\nElemento lau\u0306dire estas kovrita per alia elemento b, skribita\n<: b, se estas strikte malpli ol b kaj neniu tria elemento c konvenas inter ili;\nformale: se kaj \u2264 b kaj =\u0338 b estas veraj, kaj \u2264 c \u2264 b estas falsaj por c\u0302iu c kun =\u0338 c =\u0338 b.\nPli konciza difino estos donita sub uzado de la strikta ordo egalrilatanta al\" \u2264\"."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Normekzemploj de potaroj ekestantaj en matematiko inkludas:"}, {"text_idx": "#000015", "text": "Ekzistas pluraj nocioj de \"plej granda\" kaj \"malplej\" elemento en potaro P, precipe:"}, {"text_idx": "#000017", "text": "Ekzemple, pripensas la pozitivajn entjerojn, ordonitajn per dividebleco: 1 estas malplej elemento, c\u0302ar g\u0302i disigas c\u0302iujn aliajn elementojn;\naliflanke tiu potaro ne havas plej grandan elementon (kvankam se oni inkludus 0 en la potaro, kio estas multoblo de iu entjero, kiu estus plej granda elemento;\nTio partordo ne ec\u0302 havas iujn ajn maksimumajn elementojn, c\u0302ar c\u0302iu g disigas ekzemple 2g, kiu estas aparta de g\u0302i, tiel ke g ne estas maksimuma.\nSe la numero 1 estas ekskludita, konservante divideblecon kiel ordigante sur la elementoj pli granda ol 1, tiam la rezulta potaro ne havas malplej elementon, sed c\u0302iu primo estas minimuma elemento por g\u0302i.\n, kiu ne havas ajnan pli malaltan liganta (c\u0302ar 1 ne estas en la potaro);\naliflanke 2 estas pli malalta saltego de la subaro de potencoj de 2, kiu ne havas ajnan supran bound."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Ordoj sur la karteza produkto de partordojn"}, {"text_idx": "#000019", "text": "En ordo de kreskanta forto, t.e., malpliigi arojn de paroj, tri el la eblaj partaj ordoj sur la karteza produkto de du partordoj estu (vidu figurojn):"}, {"text_idx": "#000020", "text": "la leksikografa ordo: (, b\nla refleksiva fino de la rekta produkto de la ekvivalentaj striktaj ordoj: (, b"}, {"text_idx": "#000021", "text": "C\u0302iuj tri povas simile esti difinitaj por la karteza produkto de pli ol du aroj."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Aplikite al ordigitaj vektoraj spacoj super la sama kampo, la rezulto estas en c\u0302iu kazo ankau\u0306 ordigita vektora spaco."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Vidu ankau\u0306 ordoj sur la karteza produkto de komplete ordigitaj aroj."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Alia maniero kombini du potarojn estas la orda sumo [3] (au\u0306 linia sumo [4] ), Z = X \u2295 Y, difinita sur la unio de la subestaj aroj X kaj Y fare de la ordo al \u2264 Z b se kaj nur se:"}, {"text_idx": "#000025", "text": "Se du potaroj estas bonordaj, tiam tiel estas sia orda sumo.\nLa orda sumo operacio estas unu el du operacioj uzitaj por formi seri-paralelajn partajn ordojn, kaj en tiu kunteksto estas nomita seriokonsisto.\nLa alia operacio kutimis formi tiujn ordojn, la disan union de du partordojn (kun neniu ordrilato inter elementoj de unu aro kaj elementoj de la alia aro) estas vokita en tiu kunteksta paralela kunmetaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Striktaj kaj ne-striktaj partaj ordoj"}, {"text_idx": "#000027", "text": "En kelkaj kuntekstoj, la parta ordo difinis supre estas nomita ne-strikta (au\u0306 refleksiva, au\u0306 malforta) parta ordo.\nEn tiuj kuntekstoj, strikta (au\u0306 irefleksive) parta ordo \"<\" estas duargumenta rilato kiu estas irefleksive, transitiva kaj malsimetria, t.e. kiu kontentigas por c\u0302io , b, kaj c en P:"}, {"text_idx": "#000028", "text": "se < b tiam ne b< (malsimetrio;\nimplicite per irefleksiveco kaj transitiveco [6] )."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Striktaj kaj ne-striktaj partaj ordoj estas parencaj.\nNe-strikta parta ordo povas esti konvertita al strikta parta ordo forigante c\u0302iujn rilatojn de la formo \u2264 .\nInverse, strikta parta ordo povas esti konvertita al strikta parta ordo tus\u0302ante c\u0302iujn rilatojn de tiu formo.\nTiel, se\" \u2264 \"estas ne-strikta parta ordo, tiam la ekvivalenta strikta parta ordo\"<\" estas la irefleksive-kerno donita per:"}, {"text_idx": "#000030", "text": "Inverse, se\"< \"estas strikta parta ordo, tiam la ekvivalenta ne-strikta parta ordo-\" \u2264\" estas la refleksiva fino donita per:"}, {"text_idx": "#000031", "text": "Tio estas la kialo de uzado de la notacio-\" \u2264\"."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Uzante la striktan ordon\"<\", la rilato \" estas kovrita per b \" povas esti ekvivalente revortigita kiel \"\nStriktaj partaj ordoj estas utilaj c\u0302ar ili egalrilatas pli rekte al direktitaj aciklaj kurvoj (pendotufoj): c\u0302iu strikta parta ordo estas pendotufo, kaj la transitiva fino de pendotufo estas kaj strikta parta ordo kaj ankau\u0306 pendotufo mem."}, {"text_idx": "#000033", "text": "La inversa au\u0306 inversa \u2265 de parta ordrilat\u2264 kontentigas x \u2265 y se kaj nur se y \u2264 x.\nLa inversa de parta ordrilato estas refleksiva, transitiva, kaj kontrau\u0306simetria, kaj tial sin parta ordrilato.\nLa orddualo de partordo estas la sama aro kun la parta ordrilato anstatau\u0306igita per g\u0302ia inversa.\nLa irefleksive kiun rilato> estas al \u2265 kiel< estas al \u2264."}, {"text_idx": "#000034", "text": "C\u0302iu el la kvar rilat\u2264,<, \u2265, kaj> sur antau\u0306fiksita aktoraro unike determinas la aliajn tri."}, {"text_idx": "#000035", "text": "G\u0302enerale du elementoj x kaj y de parta ordo povas stari en iuj da kvar reciproke ekskluzivaj rilatoj al unu la alian: au\u0306 x < y, au\u0306 x = y, au\u0306 x > y, au\u0306 x kaj y estas unikaj (neniu el la aliaj tri).\nKomplete ordigita aro estas unu kiu ekskludas tiun kvaran eblecon: c\u0302iuj paroj de elementoj estas kompareblaj kaj ni tiam diru ke trikotomio tenas.\nLa naturaj nombroj, la entjeroj, la rationals, kaj la realoj estas c\u0302io komplete ordigis memstare algebra (subskribita) magnitudo dum la kompleksaj nombroj ne estas.\nTio estas ne diri ke la kompleksaj nombroj ne povas esti totale ordonitaj;\nOrdigi ilin de absoluta magnitudo donas preordon en kiu c\u0302iuj paroj estas kompareblaj, sed tio ne estas parta ordo ekde 1 kaj mi havas la saman absolutan magnitudon sed ne estas egalaj, malobservante kontrau\u0306simetrion."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Ekzemple, mapa f: N \u2192 P (N) de la aro de naturaj nombroj (ordonitaj de dividebleco) al la aro de c\u0302iuj subaroj de naturaj nombroj (ordonitaj per arinkludo) povas esti difinita prenante c\u0302iun nombron al la aro de g\u0302iaj c\u0302efaj dividantoj.\nG\u0302i estas ord-marinada: se x dislimoj y, tiam c\u0302iu c\u0302efa dividanto de x ankau\u0306 estas c\u0302efa dividanto de y.\nnek ordo-reflektado (ekde krom 12 ne disigas 6).\nPreni anstatau\u0306e c\u0302iun nombron al la aro de g\u0302iaj c\u0302efaj potenc dividantoj difinas mapon g: da N \u2192 P (N) kiu estas ord-marinada, ord-reflektante, kaj tial ordo-enkonstruadon.\n, sed g\u0302i povas farig\u0302i unu limigante it kodomajnon al g (N).\nLa dekstra bildo montras subaron de N kaj sian izomorfan bildon malpli ol g.\nLa konstruado de tia ordo-izomorfio en aron de c\u0302iuj subarojn povas esti g\u0302eneraligita al larg\u0302a klaso de partaj ordoj, nomitaj distribukadroj, vidi \" la reprezentantarteoremon de Birkhoff \"."}, {"text_idx": "#000038", "text": "Sekvenco A001035 en OEIS donas la nombron da partaj ordoj sur aktoraro de n etikeditaj elementoj:"}, {"text_idx": "#000039", "text": "La nombro da striktaj partaj ordoj estas la sama kiel tiu de partaj ordoj."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Se la kalkulo farig\u0302as nur supren al izomorfio, la seqeuence 1, 1, 2, 5, 16, 63, 318, ...\n(sekvenco A000112 en la OEIS) akirig\u0302as."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Parta ord\u2264 \u00f7 sur aktoraro X estas etendaj\u0302o de alia parta ord\u2264 sur X kondic\u0302e ke por c\u0302iu elementoj x kaj y de X, kiam ajn x \u2264 y, g\u0302i ankau\u0306 estas la kazo tiu x \u2264 \u00f7 y.\nLinia etendaj\u0302o estas etendaj\u0302o kiu ankau\u0306 estas linia (t.e., totala) ordo.\nC\u0302iu parta ordo povas esti ampleksita tutecan ordon ( ord-etendaj\u0302a principo)."}, {"text_idx": "#000042", "text": "En komputado, algoritmoj por trovado de liniaj etendaj\u0302oj de partaj ordoj (reprezentitaj kiel la atingeblo ordoj de direktitaj aciklaj kurvoj) estas nomitaj topologia ordigo."}, {"text_idx": "#000043", "text": "C\u0302iu potaro (kaj c\u0302iu preordo) povas esti konsiderita kategorion en kiu c\u0302iu hom-aro havas maksimume unu elementon.\nPli eksplicite, lasis hom ( x, y\nse x \u2264 y (kaj alie la malplena aro) kaj ( y, z) \u2218 ( x, y\nTiaj kategorioj foje estas nomitaj posetaj."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Posets estas ekvivalenta unu al la alia se kaj nur se ili estas izomorfaj.\nEn potaro, la plej malgranda elemento, se g\u0302i ekzistas, estas komenca objekto, kaj la plej granda elemento, se g\u0302i ekzistas, estas fina objekto.\nAnkau\u0306, c\u0302iu preordigita aro estas ekvivalenta al potaro.\nFinfine, c\u0302iu subkategorio de potaro estas izomorfi-fermita."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Partaj ordoj en topologiaj spacoj"}, {"text_idx": "#000046", "text": "Por \u2264 b, la fermita intervalo [, b] estas la aro de elementoj x kontentigante \u2264 x \u2264 b (t.e. \u2264 x kaj x \u2264 b).\nG\u0302i minimume enhavas la elementojn a kaj b."}, {"text_idx": "#000047", "text": "Malferma intervalo povas esti malplena ec\u0302 se < b.\nEkzemple, la malferma intervalo (1,2) sur la entjeroj estas malplena c\u0302ar ekzistas neniuj entjeroj mi tia ke 1< mi < 2."}, {"text_idx": "#000048", "text": "Foje la difinoj estas etenditaj por permesi > b, en kiu kazo la intervalo estas malplena."}, {"text_idx": "#000049", "text": "La duone malfermitaj intervaloj [, b) kaj (, b] estas difinitaj simile."}, {"text_idx": "#000050", "text": "Potaro estas loke finhava se c\u0302iu intervalo estas finhava.\nEkzemple, la entjeroj estas loke finhavaj sub sia natura mendado.\nLa leksikografa ordo sur la karteza produktoN\u00d7N ne estas loke finhava, ekde ekz. (1,2) \u2264 (1,3) \u2264 (1,4) \u2264 (1,5) \u2264 ...\nUtiligante la intervalnotacion, la posedaj\u0302o \" estas kovrita per b \" povas esti revortigita ekvivalente kiel [, b"}, {"text_idx": "#000051", "text": "Tiu koncepto de intervalo en parta sinsekvo ne devus esti konfuzita kun la akurata klaso de partaj ordoj konataj kiel la intervalordoj."}, {"text_idx": "#000052", "text": "antimatroida, formaligo de mendadoj sur aktoraro kiu permesas pli g\u0302eneralajn familiojn de mendadoj ol potaroj\nFunkcio de Mo\u0308bius sur potaroj\npotartopologio, speco de topologia spaco kiu povas esti difinita de iu potaro\nScott-kontinueco - kontinueco de funkcio inter du partaj ordoj."}, {"text_idx": "#000055", "text": "A001035: Nombro da potaroj kun n etikedis elementojn en la OEIS\nA000112: Nombro da potaroj kun n unlabelis elementojn en la OEIS"}, {"text_idx": "#000056", "text": "Partordo estas rilato, kiu estas refleksiva, transitiva kaj malsimetria."}, {"text_idx": "#000057", "text": "Akuta ordo estas refleksiva, transitiva kaj malsimetria rilato kaj malakuta estas kontrau\u0306refleksiva, kaj transitiva (kontrau\u0306refleksiva kaj transitiva estas samtempe malsimetria) rilato."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Se per oni signifis malakutan partordon en aro . Tiam rilato en estas difinata per:"}, {"text_idx": "#000059", "text": "Foje oni estas uzata samtempe akutan kaj malakutan ordon, do por malakuta ordo oni uzas por akuta ."}, {"text_idx": "#000060", "text": "La aro de naturaj nombroj ekipita kun la malpli granda ol au\u0306 egala al rilato.\nLa aro de naturaj nombroj ekipita kun la dividebleca rilato.\nLa aro de subaroj de donita aro (aro de c\u0302iuj subaroj) ordigita per inkluziveco."}]