[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, geometria serio estas serio kun konstanta proporcio inter sinsekvaj esprimoj."}, {"text_idx": "#000002", "text": "estas geometria, c\u0302ar c\u0302iu sinsekva esprimo povas esti akirita obligante la antau\u0306an esprimon per 1/2."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Geometria serio estas unu el la plej simplaj ekzemploj de senfinaj serioj kun finhavaj sumoj, kvankam ne c\u0302io el ili havas tiun posedaj\u0302on.\nHistorie, geometria serio ludis gravan rolon en la frua evoluo de kalkulado, kaj ili dau\u0306re estas centraj en la studo de konverg\u0302o de serioj.\nGeometria serio estas uzita c\u0302ie en matematiko, kaj ili havas gravajn aplikojn en fiziko, ing\u0302enieristiko, biologio, ekonomiko, komputilscienco-, vicigante teorion, kaj financon."}, {"text_idx": "#000004", "text": "La kvadraturo de Arkimedo de la parabolo"}, {"text_idx": "#000005", "text": "La kondic\u0302oj de geometria serio formas geometrikan nobrovicon, signifante ke la rilatumo de sinsekvaj esprimoj en la serio estas konstanta.\nTiu rilato enkalkulas la reprezentadon de geometria serio uzanta nur du esprimojn, r kaj .\nLa esprimo r estas la komuna rilatumo, kaj estas la unua oficperiodo de la serio.\nEkzemple la geometria serio donita en la enkonduko,"}, {"text_idx": "#000007", "text": "La sekva tablo montras plurajn geometrian serion kun malsamaj oftaj rilatumoj:"}, {"text_idx": "#000008", "text": "La konduto de la esprimoj dependas de la komuna rilatumo r:"}, {"text_idx": "#000010", "text": "Se r estas inter \u22121 kaj +1, la kondic\u0302oj de la serio ig\u0302as pli malgrandaj kaj pli malgrandaj, aliri nul en la limo kaj la serio konverg\u0302as al sumo.\nEn la kazo supra, kie r oni estas la duono, la serio havas la sumon oni."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Se r estas pli bonega ol unu au\u0306 malpli ol minuso unu la kondic\u0302oj de la serio ig\u0302as pli grandaj kaj pli grandaj en magnitudo.\nLa sumo de la esprimoj ankau\u0306 ig\u0302as pli granda kaj pli granda, kaj la serio havas neniun sumon."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Se r estas egala al unu, c\u0302iuj la kondic\u0302oj de la serio estas la sama."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Se r estas minuso unu la esprimoj prenas du valorojn alterne (ekz. 2, \u22122, 2, \u22122, 2, ...\nLa sumo de la esprimoj oscilas inter du valoroj (ekz. 2, 0, 2, 0, 2, ...\nTio estas malsama speco de diverg\u0302o kaj denove la serio havas neniun sumon.\nVidu la serialojn de ekzemple Grandi: 1 \u2212 1 + 1 \u2212 1 +"}, {"text_idx": "#000014", "text": "La sumo de geometria serio estas finhava tiel longe kiel la absoluta valoro de la rilatumo estas malpli ol 1;\nkiel la nombroj proksime de nul, ili ig\u0302as malgrave malgrandaj, permesante al sumo esti kalkulita malgrau\u0306 la serio enhavanta senlime-multajn esprimojn.\nLa sumo povas esti komputita uzante la mem-similecon de la serio."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Pripensu la sumon de la sekva geometria serio:"}, {"text_idx": "#000017", "text": "Tiu nova serio estas la sama kiel la originalo, krom ke la unua oficperiodo maltrafas.\nSubtrahi la novan serion (2/3) s de la origina serio s nuligas c\u0302iun esprimon en la originalo sed la unua,"}, {"text_idx": "#000018", "text": "Simila tekniko povas esti uzita por analizi ajnan mem-similan esprimon."}, {"text_idx": "#000019", "text": "kie estas la unua oficperiodo de la serio, kaj r estas la komuna rilatumo.\nNi povas derivi tiun formulon jene:"}, {"text_idx": "#000020", "text": "C\u0302ar n iras al senfineco, la absoluta valoro de r devas esti malpli ol unu por la serio por konverg\u0302i."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Al kiam = 1, tio povas esti simpligita"}, {"text_idx": "#000022", "text": "la maldekstramana flanko estante geometria serio kun ofta rilatumo r ."}, {"text_idx": "#000023", "text": "La formulo ankau\u0306 tenas por kompleksa r , kun la ekvivalenta restrikto, la modulus da r estas strikte malpli ol unu."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Ni povas pruvi ke la geometria serio konverg\u0302as utiligante la sumformulon por geometrika nobrovico:"}, {"text_idx": "#000025", "text": "Konverg\u0302o de geometria serio ankau\u0306 povas esti montrita reverkante la serion kiel ekvivalenta mallongiga serio."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Tiu formulo povas esti derivita jene:"}, {"text_idx": "#000027", "text": "Perioddecimala frakcio povas esti opiniita de kiel geometria serio kies komuna rilatumo estas potenco de 1/10-a Ekzemple:"}, {"text_idx": "#000028", "text": "La formulo por la sumo de geometria serio povas esti utiligita por transformi la decimalon al frakcio,"}, {"text_idx": "#000029", "text": "La formulo laboras ne nur por ununura ripetanta figuro, sed ankau\u0306 por ripetanta grupo de figuroj."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Notu tiun c\u0302iun serion de ripeti ke sinsekvaj decimaloj povas esti komforte simpligitaj kun la sekvanta:"}, {"text_idx": "#000031", "text": "Tio estas, perioddecimala frakcio kun ripetlongo n estas egala al la kvociento de la ripetadparto (kiel entjero) kaj 10n - 1."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Arkimedo uzis la sumon de geometria serio komputi la areon enfermitan per parabolo kaj aerlinio.\nLia metodo devis dissekci la areon en senfinan nombron da trianguloj."}, {"text_idx": "#000033", "text": "La teoremo de Arkimedo deklaras ke la suma areo sub la parabolo estas 4/3 el la areo de la blua triangulo."}, {"text_idx": "#000034", "text": "Arkimedo determinis ke c\u0302iu verda triangulo havas 1/8 la areon de la blua triangulo, c\u0302iu flava triangulo havas 1/8 la areon de verda triangulo, kaj tiel antau\u0306en."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Supozante ke la blua triangulo havas areon 1, la suma areo estas senfina sumo:"}, {"text_idx": "#000036", "text": "La unua oficperiodo reprezentas la areon de la blua triangulo, la duan oficperiodon la areojn de la du verdaj trianguloj, la tria nomas la areojn de la kvar flavaj trianguloj,."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Tio estas geometria serio kun ofta rilatumo 1/4 kaj la frakcieca parto estas egala al"}, {"text_idx": "#000038", "text": "Tiu komputado uzas la metodon de elc\u0302erpig\u0302o, frua versio de integrig\u0302o.\nUzante kalkuladon, la sama areo povus esti trovita per definitiva integralo."}, {"text_idx": "#000039", "text": "En la studo de fraktaloj, geometria serio ofte ekestas kiel la perimetro, areo, au\u0306 volumeno de mem-simila figuro."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Tiel la neg\u0302ero de Koch havas 8/5 el la areo de la baztriangulo."}, {"text_idx": "#000043", "text": "La konverg\u0302o de geometria serio rivelas ke sumo implikanta senfinan nombron da sumand povas efektive esti finhava, kaj tiel permesas al tia solvi multajn el la paradoksoj de Zenono.\nEkzemple, la dikotomioparadokso de Zenono asertas ke movado estas malebla, c\u0302ar oni povas dividi ajnan finhavan padon en senfinan nombron da s\u0302tupoj en kio c\u0302iu pas\u0302o estas prenita por esti duono de la restanta distanco.\nLa eraro de Zenono estas en la supozo ke la sumo de senfina nombro da finhavaj s\u0302tupoj ne povas esti finhava."}, {"text_idx": "#000045", "text": "En ekonomiko, geometria serio kutimas reprezenti la nunan valoron de anuitato (monsumo por esti pagita en regulaj intervaloj)."}, {"text_idx": "#000046", "text": "Ekzemple, supozas ke pago de 100 USD estos farita al la posedanto de la anuitato unufoje je jaro (c\u0302e la fino de la jaro) en eterneco.\nRicevi 100 USD jaron de nun estas valora je malpli ol tujaj 100 USD, c\u0302ar oni ne povas investi la monon g\u0302is oni ricevas g\u0302in."}, {"text_idx": "#000047", "text": "2 (kvadratitaj c\u0302ar la valoro de du jaroj de intereso estas perditaj je ne ricevanta la monon momente).\nTial, la nuna valoro de ricevado de 100 USD je jaro en eterneco estas"}, {"text_idx": "#000048", "text": "kiu estas la senfina serio:"}, {"text_idx": "#000049", "text": "La sumo estas la unua oficperiodo dividita per (unu minus la komuna rilatumo):"}, {"text_idx": "#000050", "text": "Tiu speco de kalkulo kutimas komputi la APR de prunto (kiel ekzemple hipotekprunto).\nPovas ankau\u0306 esti uzite taksi la nunan valoron de atendataj akcidividendoj, au\u0306 la finan valoron de sekureco."}, {"text_idx": "#000051", "text": "La formulo por geometria serio"}, {"text_idx": "#000053", "text": "Diferencigante la geometrian serion, oni akiras la variaj\u0302on [2]"}]