[{"text_idx": "#000001", "text": "En abstrakta algebro, dividita kompleksa nombro (au\u0306 hiperbola nombro, ankau\u0306 surprizita nombro, duobla nombro) havas du realnombrajn komponentojn x kaj y, kaj estas skribita z = al x -+ ij, j2 = +1.\nLa konjugato de z estas z \u2217 = x -\u2212 ij.\nEkde j2 = +1, la produkto de pli sensenta z kun g\u0302ia konjugato estas z z \u2217 = x 2 \u2212 y 2, izotropa kvadrata formo, N ( z"}, {"text_idx": "#000002", "text": "La amasig\u0302o D de c\u0302iu dividitaj kompleksaj nombroj z = x -+ ij:\nx, y \u2208 R (kie j2 = +1), formas algebron super la kampo de realaj nombroj.\nDu disig-kompleksaj nombroj w kaj z havas produktowz kiu kontentigas N ( wz\nTiu konsisto de N super la algebroprodukto faras ( D"}, {"text_idx": "#000003", "text": "Simila algebro bazita sur R 2 kaj komponent-rilataj operacioj de aldono kaj multipliko, ( R 2\nksy), kie ksy estas la kvadrata formo sur R 2, ankau\u0306 formas kvadratan regionon."}, {"text_idx": "#000004", "text": "rilatigas proporciajn kvadratajn formojn, sed la mapado ne estas izometrio ekde la multiplika identeco (1,1) de R 2 estas c\u0302e distanco\u221a2 de 0, kiu estas normaligita en D."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Split-kompleksa nombroj havas multaijn aliajn nomojn;\nVidu la artikolan Motor-variablon por funkcioj de disig-kompleksa nombro."}, {"text_idx": "#000006", "text": "Konjugato, modulus, kaj dulineara formo"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Disig-kompleksa nombro estas orda duopo de realaj nombroj, skribitaj en la formo"}, {"text_idx": "#000008", "text": "kie x kaj y estas realaj nombroj kaj la kvanto da j kontentigas"}, {"text_idx": "#000009", "text": "G\u0302i estas tiu signos\u0302ang\u0302o kiu distingas la disig-kompleksajn nombrojn de la prizonpastro kompleksa tiajn.\nLa kvanto da j c\u0302i tie ne estas reala nombro sed sendependa kvanto;\ntio estas, g\u0302i ne estas egala al \u00b11."}, {"text_idx": "#000010", "text": "La kolekto de tute tia z estas nomita la disig-kompleksa aviadilo.\nAldono kaj multipliko de disig-kompleksaj nombroj estas difinitaj per"}, {"text_idx": "#000011", "text": "Tiu multipliko estas kommutativa, asocieca kaj distribuas super aldono."}, {"text_idx": "#000012", "text": "J\u0302us kiel por kompleksaj nombroj, oni povas difini la nocion de disig-kompleksa konjugato."}, {"text_idx": "#000013", "text": "la konjugato de z estas difinita kiel"}, {"text_idx": "#000014", "text": "La konjugato kontentigas similajn trajtojn al kutima kompleksa konjugito."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Tiuj tri trajtoj implicas ke la disig-kompleksa konjugato estas au\u0306tomorfismo de ordo 2."}, {"text_idx": "#000016", "text": "La modulus da disig-kompleksa pli sensenta z = x + j y ricevas per la izotropa kvadrata formo"}, {"text_idx": "#000017", "text": "G\u0302i havas la kunmetaj\u0302an algebro posedaj\u0302on:"}, {"text_idx": "#000018", "text": "\\displaistile \\lVert zw\\rVert \\lVert z\\rVert \\lVert w\\rVert."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Tamen, tiu kvadrata formo ne estas pozitive difinita sed prefere havas signaturon (1, \u22121), tiel ke la modulus estas ne normo."}, {"text_idx": "#000020", "text": "La rilata dulineara formo ricevas per"}, {"text_idx": "#000021", "text": "Alia esprimo por la modulus tiam estas"}, {"text_idx": "#000022", "text": "\\displaistile \\lVert z\\rVert \\langle z, z\\rangle."}, {"text_idx": "#000023", "text": "C\u0302ar g\u0302i ne estas pozitive difinita, tiu dulineara formo ne estas interna produkto;\ntamen la dulineara formo estas ofte referita kiel senfina interna produkto.\nSimila fitraktado de lingvo nomas la modulus normo."}, {"text_idx": "#000024", "text": "La multiplika inversa de invertebla elemento ricevas per"}, {"text_idx": "#000025", "text": "Split-kompleksa nombroj kiuj ne estas inverteblaj estas nomitaj nulvektoroj.\nTiuj estas c\u0302iuj el la formo ( \u00b1 j ) por iu reala nombro ."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Ekzistas du nesensignifaj idempotent-elementoj donitaj per e = (1 \u2212 j)/2 kaj e \u2217 = (1 + j)/2.\nMemoru ke idempotent signifas tiun e = al e kaj e \u2217 e \u2217 = e \u2217 .\nAmbau\u0306 de tiuj elementoj estas nulo:"}, {"text_idx": "#000027", "text": "Estas ofte oportune utiligi e kaj e \u2217 kiel alternan bazon por la disig-kompleksa aviadilo.\nTiu bazo estas nomita la diagonala bazo au\u0306 nulo bazo.\nLa disig-kompleksa pli sensenta z povas esti skribita en la nulbazo kiel"}, {"text_idx": "#000028", "text": "Se ni indikas la pli sensentan z = kiun ae + estus \u2217 por realaj nombroj a kaj b de (, b), tiam disig-kompleksa multipliko ricevas per"}, {"text_idx": "#000029", "text": "En tiu bazo, ig\u0302as klare ke la disig-kompleksaj nombroj estas ring-izomorfaj al la rekta sumo R \u2295 R kun aldono kaj multipliko difinis pairu\u0306ise."}, {"text_idx": "#000030", "text": "La disig-kompleksa konjugato en la diagonala bazo ricevas per"}, {"text_idx": "#000031", "text": "\\displaistile \\lVert (, b) \\rVert ventromuskolo."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Kvankam kus\u0302ante en la sama izomorfioklaso en la kategorio da boksejoj, la disig-kompleksa aviadilo kaj la rekta sumo de du realaj linioj malsamas en ilia enpag\u0302igo en la karteza aviadilo.\nLa izomorfio, kiel planar mapado, konsistas el kontrau\u0306-dekstruma rotacio per 45\u00b0 kaj dilatig\u0302o de \u221a 2 .\nLa dilatig\u0302o aparte foje kau\u0306zis konfuzon lige kun areoj de hiperbolaj sektoroj."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Dudimensia reala vektora spaco kun la Minkowski-interna produkto estas vokita (1 + 1) - dimensia spaco de Minkowski, ofte indikis R 1,1.\nEkzakte kiel multe de la geometrio de la Eu\u0306klida aviadilo R 2 povas esti priskribita kun kompleksaj nombroj, la geometrio de la Minkowski-aviadilo R 1,1 povas esti priskribita kun disig-kompleksaj nombroj."}, {"text_idx": "#000034", "text": "hiperbolo estas por c\u0302iu nonzero en R.\nLa hiperbolo konsistas el dekstra kaj maldekstra branc\u0302o pasanta tra (, 0) kaj (\u2212 , 0).\nLa kazo = 1 estas nomita la unuohiperbolo."}, {"text_idx": "#000035", "text": "kun supra kaj malsupra branc\u0302o pasanta tra (0, ) kaj (0, \u2212 ).\nLa hiperbolo kaj konjugathiperbolo estas apartigitaj per du diagonalaj asimptotoj kiuj formas la aron de nulelementoj:"}, {"text_idx": "#000036", "text": "Tiuj du linioj (foje nomitaj la nulkonuso) estas perpendikularaj en R 2 kaj havas dekliv\u00b11."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Split-kompleksa nombroj z kaj w lau\u0306dire estas hiperbol-ortogonalaj se \u27e8 z, w \u27e9 = 0.\nDum analoge al ordinara Orteco, precipe c\u0302ar g\u0302i estas konata kun ordinara kompleksanombra aritmetiko, tiu kondic\u0302o estas pli subtila.\nG\u0302i formas la bazon por la samtempa hipereben koncepto en spactempo."}, {"text_idx": "#000038", "text": "La analogo de eu\u0306lera formulo por la disig-kompleksaj nombroj estas"}, {"text_idx": "#000040", "text": "Tio povas esti derivita de potencvicvastig\u0302o utiliganta la fakton ke kau\u0306c\u0302ukbastonego havas nur ec\u0302 potencojn dum ke por sinh havas strangajn potencojn.\nPor c\u0302iuj realaj valoroj de la hiperbola angulo \u03b8 la disig-kompleksa pli sensenta \u03bb = eksp ( j\u03b8) havas normon 1 kaj kus\u0302as sur dekstra branc\u0302o de la unuohiperbolo.\nKvara Moselibro kiel ekzemple \u03bb estis nomitaj hiperbolaj versor'oj."}, {"text_idx": "#000041", "text": "C\u0302ar \u03bb havas modulus 1, multobligi ajnan disig-kompleksan pli sensentan z de \u03bb konservas la modulus da z kaj reprezentas hiperbolan rotacion (ankau\u0306 nomitan Lorentz-akcelo au\u0306 premmapado).\nMultobligi de \u03bb konservas la geometrian strukturon, prenante hiperbolojn al ili mem kaj la nulkonuson al si mem."}, {"text_idx": "#000042", "text": "La aro de c\u0302iuj transformoj de la disig-kompleksa aviadilo kiuj konservas la modulus (au\u0306 ekvivalente, la internan produkto) formas grupon vokis la g\u0302eneraligitan ortogonalan grupon O (1, 1).\nTiu grupo konsistas el la hiperbolaj rotacioj, per kiuj formas subgrupon indikis TIEL + (1, 1), kombinitan kun kvar diskretaj reflektadoj donitaj"}, {"text_idx": "#000043", "text": "(1,1) sendanta \u03b8 al rotacio de eksp ( j\u03b8) estas grupizomorfio c\u0302ar la kutima eksponenta formulo validas:"}, {"text_idx": "#000044", "text": "Se disig-kompleksa pli sensenta z ne kus\u0302as sur unu el la diagonaloj, tiam z havas polusan putrig\u0302on."}, {"text_idx": "#000045", "text": "En abstraktaalgebraj periodoj, la disig-kompleksaj nombroj povas esti priskribitaj kiel la kvociento de la polinomringo R [ x] per la idealo generita per la polinomo x 2 \u2212 1,"}, {"text_idx": "#000046", "text": "La bildo de x en la kvociento estas la \"imaga\" unuo da j.\nKun tiu priskribo, estas klare ke la disig-kompleksaj nombroj formas komutan ringon kun karakterizaj\u0302o 0-a Krome, se ni difinas skalaran multiplikon en la evidenta maniero, la disig-kompleksaj nombroj fakte formas kommutativan kaj asociecan algebron super la realoj de dimensio du.\nLa algebro ne estas dividadalgebro au\u0306 kampo c\u0302ar la nulelementoj ne estas inverteblaj.\nFakte, c\u0302iuj la nonzeraj nulelementoj estas nul dividantoj.\nC\u0302ar aldono kaj multipliko estas kontinuaj operacioj kun respekto al la kutima topologio de la aviadilo, la disig-kompleksaj nombroj formas topologian ringon."}, {"text_idx": "#000047", "text": "La algebro de disig-kompleksaj nombroj formas kunmetaj\u0302algebron poste"}, {"text_idx": "#000048", "text": "De la difino estas s\u0302ajne ke la ringo de disig-kompleksaj nombroj estas izomorfa al la grupringo R [ C2] de la cikla grupo C2 pli ol la realaj nombroj R."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Oni povas facile reprezenti disig-kompleksajn nombrojn de matricoj."}, {"text_idx": "#000050", "text": "povas esti reprezentita per la matrico"}, {"text_idx": "#000051", "text": "Aldono kaj multipliko de disig-kompleksaj nombroj tiam estas donitaj per matricaldono kaj multipliko.\nLa modulus da z ricevas per la determinanto de la ekvivalenta matrico.\nEn tiu reprezentantaro, disig-kompleksa konjugacio egalrilatas al multobligi sur same flankoj de la matrico"}, {"text_idx": "#000052", "text": "Por iu reala nombro , hiperbola rotacio de hiperbola fis\u0302hokas egalrilatas al multipliko de la matrico"}, {"text_idx": "#000053", "text": "tiel la du parametrigitaj hiperboloj estas alportitaj en korespondadon kun S."}, {"text_idx": "#000054", "text": "Notu ke en la kunteksto da 2 \u00d7 2 realaj matricoj ekzistas fakte granda nombro da malsamaj reprezentadoj de disig-kompleksaj nombroj.\nC\u0302i-supra diagonala reprezentantaro reprezentas la Jordanian kanonikan formon de la matricreprezentado de la disig-kompleksaj nombroj.\nPor disig-kompleksa pli sensenta z\nx, y) donita fare de la sekva matricreprezentantaro:"}, {"text_idx": "#000055", "text": "g\u0302ia Jordania kanonika formo ricevas per:"}, {"text_idx": "#000056", "text": "La uzo de disig-kompleksaj nombroj devenas de 1848 kiam James Cockle rivelis sian tesarines.\nWilliam Kingdon Clifford uzis disig-kompleksajn nombrojn por reprezenti sumojn de spinoj.\nClifford lanc\u0302is la uzon de disig-kompleksaj nombroj kiel koeficientoj en kvaropalgebro nun nomitaj disigo-biquaternion.\nLi nomis g\u0302iajn elementojn \"motoroj\", esprimo en paralela kun la \"rotoro-\" ago de ordinara kompleksa nombro prenita de la cirklogrupo.\nEtendante la analogecon, funkciojn de motorovaria kontrasto al funkcioj de ordinara kompleksa variablo."}, {"text_idx": "#000057", "text": "Ekde la frua dudeka jarcento, la disig-kompleksa multipliko estis ofte vidita kiel Lorentz-akcelo de spactempo aviadilo.\nEn tiu modelo, la pli sensenta z = x + y j reprezentas okazaj\u0302on en spaci-tempa aviadilo, kie x estas mezurita en nanosekundoj kaj y en la piedoj de Mermin.\nLa modelo diras ke z povas esti atingita de la origino enirante referencan kadron de rapideco kaj atendante \u03c1 nanosekundojn."}, {"text_idx": "#000058", "text": "esprimaj produktoj sur la unuohiperbolo ilustras la aditivecon de rapidecoj por samliniaj rapidecoj.\nSamtempeco de la okazaj\u0302oj dependas de rapideco ;"}, {"text_idx": "#000059", "text": "la vico de la okazaj\u0302oj samtempaj kun la origino estas en la referenca kadro kun rapideco .\nDu okazaj\u0302oj z kaj w estas hiperbol-ortogonalaj kiam z \u2217 w + zw \u2217 = 0.\nKanonika okazaj\u0302eksp ( aj) kaj j eksp ( aj) estas hiperbolaj ortogonalaj kaj kus\u0302as sur la aksoj de referenca kadro en kiu la okazaj\u0302oj samtempa kun la origino estas proporciaj al j eksp ( aj)."}, {"text_idx": "#000064", "text": "En 1961 Warmus dau\u0306rigis lian ekspozicion, rilatante al la komponentoj de proksimuma nombro kiam mezpunkto kaj radiuso de la intervalo indikis."}, {"text_idx": "#000065", "text": "Malsamaj verkintoj utiligis bonegan gamon da nomoj por la disig-kompleksaj nombroj."}, {"text_idx": "#000067", "text": "Split-kompleksa nombroj kaj iliaj higher-dimensiaj parencoj ( disigo-kvaropoj /kokvaropoj kaj disigo-octonion) estis en tempoj referitaj kiel \"Musean nombroj\", c\u0302ar ili estas subaro de la hipernombro programo evoluigita fare de Charles Muse\u0300s."}]