[{"text_idx": "#000001", "text": "En abstrakta algebro, branc\u0302o de matematiko, monoida estas algebra strukturo kun ununura asocieca operacio kaj neu\u0306tra elemento."}, {"text_idx": "#000003", "text": "8 rilato al teorio de kategorioj"}, {"text_idx": "#000004", "text": "Supozu ke S estas aro kaj \u2022 estas iu operacio S \u00d7 S \u2192 S , tiam S kun \u2022 estas monoidan se g\u0302i kontentigas la sekvajn du aksiomojn:"}, {"text_idx": "#000005", "text": "Por c\u0302io , b kaj c en S, la ekvacio ( \u2022 b\nTie ekzistas elemento e en S tia ke por c\u0302iu elemento en S, da la ekvacioj e \u2022 = \u2022 e = holdo."}, {"text_idx": "#000006", "text": "Por c\u0302io , b kaj c en S, la ekvacio ( \u2022 b"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Tie ekzistas elemento e en S tia ke por c\u0302iu elemento en S, da la ekvacioj e \u2022 = \u2022 e = holdo."}, {"text_idx": "#000008", "text": "En aliaj vortoj, monoida estas Duongrupo kun neu\u0306tra elemento.\nG\u0302i ankau\u0306 povas esti opiniita de kiel magmo kun asocieco kaj identeco.\nLa neu\u0306tra elemento de monoida estas unika.\nMonoida en kiu c\u0302iu elemento havas inversan estas grupo."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Depende de la kunteksto, la siglo de la operacio povas esti preterlasita, tiel ke la operacio estas indikita per apudmeto;\nTiu notacio ne implicas ke g\u0302i estas nombroj estantaj multobligita."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Submonoida de monoida ( M\nsubaro N da M kiu estas fermita sub la monoida operacio kaj enhavas la neu\u0306tran elementon e de M estas.\nSimbole, N estas al submonoida de M se N \u2286 M , x \u2022 y \u2208 N kiam ajn x, y \u2208 N , kaj e \u2208 N .\nN estas tiel al monoida sub la operacio heredita de M."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Monoida kies operacio estas kommutativa estas vokita al kommutativa monoida (au\u0306, malpli ofte, abela monoida).\nKommutativaj monoidoj ofte estas skribitaj aldone.\nC\u0302iu kommutativa monoida estas dotita kun g\u0302ia algebra premendanta \u2264, difinita per x \u2264 y c\u0302u tie ekzistas z tia ke x + z = y .\nOrdo-unuo de kommutativa monoida M estas elemento u de M tia ke por iu elemento x el M, tie ekzistas pozitiva entjero n tia ke x -\u2264 Nuo .\nTio ofte estas uzita en kazo M estas la pozitiva konuso de parte ordigis\nabela grupo G, en kiu kazo ni diras ke u estas ordo-unuo de G."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Monoida por kiu la operacio estas kommutativa por kelkaj, sed ne c\u0302iuj elementoj estas spuro monoida;\nspurmonoidoj ofte okazas en la teorio de samtempa komputado."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Aparte, c\u0302iu saltita krado povas esti dotita kun kaj kunveno- kaj kunliga- monoida strukturo.\nLa neu\u0306traj elementoj estas la pinto kaj g\u0302ia postaj\u0302o de la krado, respektive.\nEstante kradoj, Heyting-algebroj kaj buleaj algebroj estas dotitaj kun tiuj monoidaj strukturoj."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Tiel, idempotent monoida (foje konata kiel trovaj\u0302-unue) povas esti formita tus\u0302ante neu\u0306tran elementon e al la maldekstra nul Duongrupo super aro S.\nmodeligas la leksikografan ordon de sekvenco surbaze de la ordoj de g\u0302iaj elementoj, kun e reprezentanta egalecon."}, {"text_idx": "#000017", "text": "modeligas la leksikografan ordon de sekvenco surbaze de la ordoj de g\u0302iaj elementoj, kun e reprezentanta egalecon."}, {"text_idx": "#000018", "text": "La entjeroj, raciaj nombroj, realaj nombroj au\u0306 kompleksaj nombroj, kun aldono au\u0306 multipliko kiel operacio.\nLa aro de c\u0302iu n de n matricoj super antau\u0306fiksita ringo, kun matricaldono au\u0306 matrica multipliko kiel la operacio."}, {"text_idx": "#000019", "text": "En monoida, unu povas difini pozitivajn entjerpotencojn de elemento x:\nx ( n tempoj) por n > 1.\nLa regulo de potencoj x n + p = x n \u2022 x p estas evidentaj."}, {"text_idx": "#000020", "text": "De la difino de monoida, unu povas montri ke la neu\u0306tra elemento e estas unika.\nTiam, por iu x, oni povas meti x 0 = e kaj la regulo de potencoj dau\u0306re estas vera kun nenegativeksponentoj."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Estas eble difini inverteblajn elementojn: elemento x estas nomita invertebla c\u0302u tie ekzistas elemento y tia ke x \u2022 y = e kaj y \u2022 x = e .\nLa elemento y estas nomita la inversa de x.\nSe y kaj z estas enversoj de x, tiam de asocieco y\nzks) y = z ( ksy\nTiel enversoj, se ili ekzistas, estas unikaj."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Se y estas la inversa de x, oni povas difini negativajn potencojn de x metante x \u22121 = y kaj al x \u2212 n = y\ny ( n tempoj) por n > 1.\nKaj la regulo de eksponentoj dau\u0306re estas konfirmita por c\u0302iu n, p raciaj entjeroj.\nTial la inversa de x estas kutime skribita x \u22121.\nLa aro de c\u0302iuj inverteblaj elementoj en monoida M, kune kun la operacio \u2022 , formas grupon.\nEn tiu signifo, c\u0302iu monoida enhavas grupon (eventuale nur la sensignifa grupo konsistanta el nur la identeco)."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Tamen, ne c\u0302iu monoida sidas ene de grupo.\nEkzemple, estas perfekte eble havi monoidan en kiu du elementoj a kaj b ekzistas tia ke \u2022 b = tenas ec\u0302 se b estas ne la neu\u0306tra elemento.\nTia monoida ne povas esti enkonstruita en grupo, c\u0302ar en la grupo ni povis plimultig\u0302i same helpas al la inversa de kaj farus tiu b = e , kio ne estas vera.\nhavas la nuligposedaj\u0302on (au\u0306 estas cancelative) c\u0302u por c\u0302io , b kaj c en M, \u2022 b = \u2022 c c\u0302iam implicas b = c kaj b \u2022 = c \u2022 c\u0302iam implicas b = c .\nKommutativa monoida kun la nuligposedaj\u0302o c\u0302iam povas esti enkonstruita en grupo per la Grothendieck-konstruo.\nTio estas kiel la aldonaj\u0302ogrupo de la entjeroj (grupo kun operacio-+) estas konstruita el la aldonaj\u0302o monoida de naturaj nombroj (kommutativa monoida kun operacio-+ kaj nuligposedaj\u0302o).\nTamen, ne-kommutativa cancelative monoida ne devas esti embedabla en grupo."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Se monoida havas la nuligposedaj\u0302on kaj estas finhava, tiam g\u0302i estas fakte grupo.\nPruvo: Fiksu elementon x en la monoida.\nEkde la monoida estas finhava, x n = x m por iu m > n > 0.\nSed tiam, per nuligo ni havas tiun x m \u2212 n = e kie e estas la identeco.\nTial, x \u2022 x m \u2212 n \u2212 1 = e , do x havas inversan."}, {"text_idx": "#000025", "text": "La dekstro- kaj maldekstra-cancellative-elementoj de monoida c\u0302iu en victurno formas submonoidan (t.e. evidente inkludas la identecon kaj ne evidente estas fermitaj sub la operacio).\nTio signifas ke la cancelative-elementoj de iu kommutativa monoida povas esti etenditaj al grupo."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Inversa monoida estas al monoida kie por c\u0302iu en M, tie ekzistas unika \u22121 en M tia ke = \u2022 \u22121 \u2022 a kaj \u22121 = \u22121 \u2022 \u2022 \u22121 .\nSe inversa monoida estas cancelative, tiam g\u0302i estas grupo."}, {"text_idx": "#000028", "text": "En la kontrau\u0306a direkto, zerosumfre monoida estas aldone skriba monoida en kiu + b = 0 implicas tion = 0 kaj b = 0: [9]\nekvivalente, tiel neniu elemento krom nul havas aldonaj\u0302on inversa."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Lasu M esti monoidan, kun la operacio indikita per \u2022 kaj la neu\u0306tra elemento indikita per e.\nTiam (maldekstre) M-leg\u0302o (au\u0306 maldekstre agas super M) estas aro X kune kun operacio\nM \u00d7 Xa \u2192 X kiu estas kongrua kun la monoida strukturo kiel sekvas:"}, {"text_idx": "#000031", "text": "Tio estas la analogo en monoida teorio de (forlasita) grupa ago.\nDekstraj M-leg\u0302o estas difinitaj lau\u0306 simila maniero.\nMonoida kun ago ankau\u0306 estas konata kiel funkciigisto monoida .\nGravaj ekzemploj inkludas transirsistemojn de semiautomata.\nTransform-Duongrupo povas esti transformita en funkciigiston monoidan per tus\u0302ado de la identectransformo."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Homomorfism inter du monoidoj ( M"}, {"text_idx": "#000033", "text": "kie e M kaj e N estas la identecoj sur M kaj N respektive.\nMonoidaj homomorfismoj foje estas simple nomitaj monoidaj morfismoj."}, {"text_idx": "#000034", "text": "Ne c\u0302iu Duongrupo homomorfism estas monoida homomorfism, c\u0302ar g\u0302i eble ne mapas la identecon al la identeco de la celo monoida, ec\u0302 se la elemento kiun g\u0302i mapas al la identeco supre estos identeco de la bildo de la mapado.\nEn kontrasto, Duongrupo homomorfism inter grupoj c\u0302iam estas grupo homomorfism, c\u0302ar g\u0302i nepre konservas la identecon.\nC\u0302ar por monoidoj tio ne estas c\u0302iam vera, estas necese deklari tion kiel aparta postulo."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Bijektive monoida homomorfism estas nomita monoida izomorfio.\nDu monoidoj lau\u0306dire estas izomorfaj c\u0302u ekzistas monoida izomorfio inter ili."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Al Monoids povas ricevi prezentaj\u0302o, multe en lau\u0306 la saman manieron kiu grupigas povas esti precizigita per grupprezento.\nOni faras tion precizigante aron de generatoroj \u03c3, kaj aron de rilatoj sur la libera monoida \u03c3 \u2217.\nOni faras tion etendante (finhavajn) duargumentajn rilatojn sur \u03c3 \u2217 al monoidaj kongruecoj, kaj tiam konstruantaj la kvociento monoida, kiel supra."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Surbaze de duargumenta rilato R \u2282 \u03c3 \u2217 \u00d7 \u03c3 \u2217 , oni difinas g\u0302ian simetrian finon kiel R \u222a R \u22121 .\nTio povas esti etendita al simetria rilato E \u2282 \u03c3 \u2217 \u00d7 \u03c3 \u2217 per difina x E y se kaj nur se x = sut kaj y = svt por kelkaj s\u0302nuroj u, v, s, t \u2208 \u03c3 \u2217 kun ( u, v\nFinfine, oni prenas la refleksivan kaj transitivan finon de E, kio tiam estas monoida kongrueco."}, {"text_idx": "#000039", "text": "la plaktic monoida de grado 2 estas (g\u0302i havas senfinan ordon)."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Rilato al teorio de kategorioj"}, {"text_idx": "#000041", "text": "Monoids povas esti rigardita kiel aparta klaso de kategorioj.\nEfektive, la aksiomoj postulitaj de monoida operacio estas samaj tiujn postulitajn de morfismo konsisto kiam limigite al la aro de c\u0302iuj morfismoj kies fonto kaj celo estas antau\u0306fiksita objekto."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Monoida estas, esence, la sama aj\u0302o kiel kategorio kun ununura objekto."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Pli g\u0302uste, surbaze de monoida ( M\n, oni povas konstrui malgrandan kategorion kun nur unu objekto kaj kies morfismoj estas la elementoj de M.\nLa kunmetaj\u0302o de morfismoj ricevas per la monoida operacio \u2022 ."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Same, monoidaj homomorfismoj estas j\u0302us funktoroj inter ununuraj objektokategorioj.\nTiel tiu konstruo donas ekvivalentecon inter la kategorio da (malgrandaj) monoidoj al Mon kaj al plena subkategorio de la kategorio da (malgrandaj) kategorioj Cat.\nSimile, la kategorio da grupoj estas ekvivalenta al alia plena subkategorio de Cat."}, {"text_idx": "#000045", "text": "En tiu signifo, teorio de kategorioj povas esti opiniita de kiel etendaj\u0302o de la koncepto de monoida.\nMultaj difinoj kaj teoremoj pri monoidoj povas esti g\u0302eneraligitaj g\u0302is malgrandaj kategorioj kun pli ol unu objekto.\nEkzemple, kvociento de kategorio kun unu objekto estas nur kvociento monoida."}, {"text_idx": "#000046", "text": "Monoids, ekzakte kiel aliaj algebraj strukturoj, ankau\u0306 formi sian propran kategorion, Mon, kies objektoj estas monoidoj kaj kies morfismoj estas monoidaj homomorfismoj."}, {"text_idx": "#000048", "text": "En komputado, multaj abstraktaj datentipoj povas esti dotitaj kun monoida strukturo.\nEn ofta padrono, sekvenco de elementoj de monoida estas \" faldita \" au\u0306 \"akumulita\" por produkti finan valoron.\nEkzemple, multaj ripeta algoritmoj-bezono g\u0302isdatigi iun specon de \"aktuala totala\" c\u0302e c\u0302iu ripeto;\ntiu padrono povas esti elegante esprimita per monoida operacio.\nAlternative, la asocieco de monoidaj operacioj certigas ke la operacio povas esti paraleligita utiligante prefikson sumo au\u0306 similan algoritmon, por utiligi multoblajn kernojn au\u0306 procesorojn efike."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Krome, c\u0302iu datenstrukturo povas esti \"faldita\" lau\u0306 simila maniero, donita seriigon de it'oj elementoj.\nEkzemple, la rezulto de \"faldado\" duuma arbo eble malsamos depende de antau\u0306-ordo vs. post-orda arbotraversal."}, {"text_idx": "#000050", "text": "Apliko de monoidoj en komputado estas tielnomita MapReduce programanta modelon (vidu Encoding Map-Reduce As A Monoid With Left Folding (C\u0302ifrante Map-Reduce As A Monoid With Left Folding).\nMapReduce, en komputiko, konsistas el du au\u0306 tri operacioj.\nSurbaze de datenserio, \"Mapo\" konsistas el mapaj arbitraj datenoj al elementoj de specifa monoida.\n\"Redukti\" konsistas el faldado de tiuj elementoj, tiel ke en la fino ni produktas nur unu elementon."}, {"text_idx": "#000051", "text": "Ekzemple, se ni havas Multaron, en programo g\u0302i estas reprezentita kiel mapo de elementoj g\u0302is iliaj numeroj.\nElementoj estas nomitaj s\u0302losiloj en tiu kazo.\nLa nombro da apartaj s\u0302losiloj povas esti tro granda, kaj en tiu kazo la Multaro estas shardeita.\nPor finpretigi redukton konvene, la Shuffling-scenejo regrupigas la datenojn inter la nodoj.\nSe ni ne bezonas tiun pas\u0302on, la tutan Mapon/Reduktas konsistas el mapado kaj malgrasigo;\nambau\u0306 operacio estas paralelizabla, la unua pro sia element-rilata naturo, c\u0302i-lasta pro asocieco de la monoida."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Kontinua monoida estas ordigita kommutativa monoida en kiu c\u0302iu direktis aron havas malplej supra ligitan kongrua kun la monoida operacio:"}, {"text_idx": "#000053", "text": "Tiuj du konceptoj estas proksime rilatitaj: kontinua monoida estas al kompleta monoida en kiel kiu la infinitary-sumo povas esti difinita"}, {"text_idx": "#000054", "text": "kie la Preciza supra rando dekstraflanke kontrau\u0306veturas c\u0302iujn ne-senlimajn subarojn E de mi kaj c\u0302iu sumo dekstraflanke estas finhava sumo en la monoida."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Monoido au\u0306 Monojdo en algebro estas strukturo simila al duongrupo, formata de aro kiu enhavas neu\u0306tran elementon kaj asociecan operacion:"}, {"text_idx": "#000059", "text": "Kutime oni skribas (A, *, e) por intencii duongrupo kun neu\u0306tra elemneto e kaj kun *, kiu estas asocieca operacio."}]