[{"text_idx": "#000001", "text": "En aroteorio, la unio (indikita per \u222a) de kolekto de aroj estas la aro de c\u0302iuj apartaj elementoj en la kolekto.\nG\u0302i estas unu el la fundamentaj operacioj tra kiu metas povas esti kombinita kaj ligita al unu la alian."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Por klarigo de la simboloj uzitaj en tiu artikolo, rilatas al la tablo de matematikaj simboloj."}, {"text_idx": "#000003", "text": "0 Tradukita artikolo1 Union de du aroj"}, {"text_idx": "#000004", "text": "La unio de du aroj A kaj B estas la aro de elementoj kiuj estas en A, en B, au\u0306 en kaj A kaj B."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Pli kompleksa ekzemplo (implikanta du senfinajn arojn) estas:"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Multoblaj okazoj de identaj elementoj havas neniun efikon al la kardinaleco de aro au\u0306 g\u0302ia enhavo."}, {"text_idx": "#000007", "text": ", c\u0302ar 9 nek estas c\u0302efaj nek ec\u0302."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Binara unio estas asocieca operacio;"}, {"text_idx": "#000009", "text": "La operacioj povas esti faritaj en iu sinsekvo, kaj la krampoj povas esti preterlasitaj sen ambigueco (t.e., c\u0302iu el ambau\u0306 de la supre povas esti esprimitaj ekvivalente kiel A \u222a B al=\u222a C)\nSimile, unio estas kommutativa, tiel ke la aroj povas esti skribitaj en iu sinsekvo."}, {"text_idx": "#000010", "text": "La malplena aro estas neu\u0306tra elemento por la operacio de unio.\nA, por iu aro A."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Tiuj faktoj sekvas el analogaj faktoj pri logika au\u0306o."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Oni povas preni la union de pluraj aroj samtempe.\nEkzemple, la unio de tri aroj A, B, kaj C enhavas c\u0302iujn elementojn de A, c\u0302iujn elementojn de B, kaj c\u0302iujn elementojn de C, kaj nenion alian.\nTiel, x estas elemento de A \u222a B \u222a C se kaj nur se x estas en almenau\u0306 unu el A, B, kaj C."}, {"text_idx": "#000013", "text": "En matematiko finhava unio volas diri ajnan union arang\u0302itan sur finhavan nombron da aroj: g\u0302i ne implicas ke la sindikataro estas finhava aro."}, {"text_idx": "#000014", "text": "La plej g\u0302enerala nocio estas la unio de arbitra kolekto de aroj, foje nomitaj infinitary-unio.\nSe M estas aro kies elementoj estas sin aroj, tiam x estas elemento de la unio de M se kaj nur se ekzistas almenau\u0306 unu elemento A da M tia ke x estas elemento de A."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Ke tiu unio de M estas aro ne grave kiom granda aro M mem eble estos, estas la enhavo de la aksiomo de unio en aksioma aroteorio."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Ankau\u0306, se M estas la malplena amasig\u0302o, tiam la unio de M estas la malplena aro.\nLa analogeco inter finhavaj sindikatoj kaj logika au\u0306o etendig\u0302as al unu inter arbitraj sindikatoj kaj ekzistokvantoro."}, {"text_idx": "#000017", "text": "La notacio por la g\u0302enerala koncepto povas varii konsiderinde.\nKiam formatado estas malfacila, tio ankau\u0306 povas esti skribita \" al 1 \u222a A 2 \u222a A 3 \u222a\n(Tiu lasta ekzemplo, unio de nombreble multaj aroj, estas tre ofta en analizo;\npor ekzemplo vidu la artikolon sur \u03c3-algebroj."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Anstatau\u0306e de kiam ajn la simbolo-\" \u222a\" estas metita antau\u0306 aliaj simboloj inter ili, g\u0302i estas de pli granda grandeco."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Ekde aroj kun sindikatoj kaj intersekcig\u0302oj formi bulean algebron, Intersection distribuas super unio:"}, {"text_idx": "#000020", "text": "kaj unio distribuas super intersekcig\u0302o:"}, {"text_idx": "#000021", "text": "Ene de antau\u0306fiksita universala aro, unio povas esti skribita lau\u0306 la operacioj de intersekcig\u0302o kaj komplemento kiel"}, {"text_idx": "#000022", "text": "kie la supermanuskripto C indikas la komplementon kun respekto al la universala aro."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Arbitra unio kaj intersekcig\u0302o ankau\u0306 kontentigas la leg\u0302on"}, {"text_idx": "#000024", "text": "Alterno (formallingva teorio), la unio de aroj de s\u0302nuroj"}, {"text_idx": "#000027", "text": "La leg\u0302oj de De Morgan"}, {"text_idx": "#000029", "text": "La kunaj\u0302o de du aroj A kaj B estas la aro, kiu entenas precize tiujn elementojn, kiuj apartenas au\u0306 al A au\u0306 al B. La kunaj\u0302on de A kaj B oni signas per A \u222a B (legu a kun bo au\u0306 a au\u0306 bo)."}, {"text_idx": "#000030", "text": "x apartenas al A \u222a B se kaj nur se"}, {"text_idx": "#000031", "text": "x apartenas al A au\u0306"}, {"text_idx": "#000032", "text": "La konjunkcio \"au\u0306\" tie c\u0302i estas ne-ekskluziva; elementoj, kiuj estas en ambau\u0306 aroj, estas en la kunaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Pli g\u0302enerale oni povas difini la kunaj\u0302on de pli ol du aroj: La kunaj\u0302o de A, B kaj C, ekzemple, enhavas precize tiujn elementojn, kiuj apartenas al A, al B au\u0306 al C."}, {"text_idx": "#000034", "text": "La kunigo de aroj estas komuteca (kio ne tuj evidentas el la prepozicio \"kun\") kaj asocieca."}]