[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, la reela projekcia ebeno estas ekzemplo de kompakta ne-orientable dudimensia dukto;\nen aliaj vortoj, partia surfaco.\nG\u0302i ne povas esti enkonstruita en norma tri-dimensia spaco sen intersekcado de si.\nG\u0302i havas bazajn aplikojn al geometrio, c\u0302ar la komuna konstruado de la reela projekcia ebeno estas kiel la spaco de linioj en R 3 pasante tra la origino."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La aviadilo ankau\u0306 estas ofte priskribita topologie, lau\u0306 konstruo bazita sur la rubando de Mo\u0308bius: c\u0302u oni povis glui la (ununuran) randon de la rubando de Mo\u0308bius al si mem en la g\u0302usta direkto, oni akirus la projekcian aviadilon.\n(Tio ne povas esti farita en tri-dimensia spaco.\nEkvivalente, glui diskon lau\u0306 la limo de la rubando de Mo\u0308bius donas la projekcian aviadilon.\nTopologie, g\u0302i havas eu\u0306leran karakterizon 1, tial duongenron (ne-orientable genro, Euler-genro) de 1."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Ekde la rubando de Mo\u0308bius, en victurno, povas esti konstruita el kvadrato gluante du el g\u0302iaj flankoj kune, la reela projekcia ebeno povas tiel esti reprezentita kiel unuokvadrato (t.e., [0,1] \u00d7 [0,1]) kun g\u0302iaj flankoj identigitaj fare de la sekvaj ekvivalentrilatoj:"}, {"text_idx": "#000004", "text": "kiel en la maldekstroplej multe da diagramo dekstraflanke."}, {"text_idx": "#000007", "text": "1 Linioj enirante punktojn kaj intersekcig\u0302on de linioj (uzante duecon)"}, {"text_idx": "#000009", "text": "Projekcia geometrio ne temas nepre pri kurbig\u0302o kaj la reela projekcia ebeno povas esti tordita supren kaj metita en la Eu\u0306klidan aviadilon au\u0306 3-spaca lau\u0306 multaj malsamaj manieroj.\nKelkaj el la pli gravaj ekzemploj estas priskribitaj malsupre."}, {"text_idx": "#000010", "text": "La projekcia aviadilo ne povas esti enkonstruita (tio estas sen intersekcig\u0302o) en tridimensia eu\u0306klida spaco.\nLa pruvo ke la projekcia aviadilo ne enkonstruas en tridimensia eu\u0306klida spaco iras kiel tio: Supozante ke g\u0302i enkonstruas, g\u0302i faris ligis kompaktan regionon en tridimensia eu\u0306klida spaco de la g\u0302eneraligita Jordania kurbteoremo.\nLa kontaktig\u0302em-indikanta trupo normala vektora kampo tiam evoluus orientig\u0302on de la limdukto, sed la limdukto estus la projekcia aviadilo, kio ne estas orientebla.\nTio estas kontrau\u0306diro, kaj tiel nia supozo ke g\u0302i enkonstruas havendaj\u0302o estanta malvera."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Pripensu sferon, kaj lasu la c\u0302efcirklojn de la sfero esti \"linioj\", kaj lasu parojn de antipodaj punktoj esti \"punktoj\".\nEstas facile kontroli ke tiu sistemo obeas la aksiomojn postulitajn de projekcia aviadilo:"}, {"text_idx": "#000012", "text": "c\u0302iu paro de apartaj c\u0302efcirkloj renkontas c\u0302e paro de antipodaj punktoj;\nc\u0302iuj du apartaj paroj de antipodaj punktoj kus\u0302as sur ununura c\u0302efcirklo."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Se ni identigas c\u0302iun punkton sur la sfero kun g\u0302ia antipoda punkto, tiam ni ricevas reprezentadon de la reela projekcia ebeno en kiu la \"punktoj\" de la projekcia aviadilo vere estas punktoj.\nTio signifas ke la projekcia aviadilo estas la kvocientospaco de la sfero akirita dividante la sferon en ekvivalentklasojn sub la ekvivalentrilat, kie x ~ y se y = \u2212ks.\nTiu kvocientospaco de la sfero estas homeomorfa kun la kolekto de c\u0302iuj linioj pasantaj tra la origino en R 3."}, {"text_idx": "#000014", "text": "La kvocientmapo de la sfero sur la reela projekcia ebeno estas fakte duo kovrita (t.e. du-al-unu) kovromapo.\nG\u0302i sekvas ke la fundamenta grupo de la reela projekcia ebeno estas la cikla grupo de ordo 2, t.e. entjermodulo 2-a oni povas preni la buklon AB- de la figuro supre esti la generatoro."}, {"text_idx": "#000015", "text": "C\u0302ar la sfero kovras la reelan projekcian ebenon dufoje, la aviadilo povas esti reprezentita kiel fermita hemisfero c\u0302irkau\u0306 kies rando kontrau\u0306 punktoj estas simile identigitaj."}, {"text_idx": "#000016", "text": "La projekcia aviadilo povas esti mergita (lokaj kvartaloj de la fontospaco ne fari havi mem-intersekcig\u0302ojn) en 3-spaca.\nLa surfaco de knabo estas ekzemplo de mergado."}, {"text_idx": "#000018", "text": "La romia surfaco de Steiner estas pli degenerita mapo de la projekcia aviadilo en 3-spaca, enhavante kruc-c\u0302apon."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Polihedral reprezentantaro estas la Kvar-duon-sesedro, [4] kiu havas la saman g\u0302eneralan formon kiel la romia Surfaco de Steiner, montrita dekstren."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Rigardante en la kontrau\u0306a direkto, certaj abstraktaj regulaj hiperpluredroj - hemi-kubo, hemi-dekduedro, kaj hemi-dudekedra - povas esti konstruitaj kiel regulaj figuroj en la projekcia aviadilo;"}, {"text_idx": "#000021", "text": "Diversaj planar (apartamento) projekcioj au\u0306 mapadoj de la projekcia aviadilo estis priskribitaj.\nEn 1874 Klein priskribis la mapadon(x, y) [1]"}, {"text_idx": "#000022", "text": "Centra projekcio de la projekcia hemisfero sur aviadilo donas la kutiman senfinan projekcian aviadilon, priskribis malsupre."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Fermita surfaco akirig\u0302as gluante diskon al kruc-c\u0302apo.\nTiu surfaco povas esti reprezentita parametrical per la sekvaj ekvacioj:"}, {"text_idx": "#000024", "text": "kie kaj u kaj v intervalo de 0 g\u0302is 2\u03c0.\nTiuj ekvacioj estas similaj al tiuj de Toro.\nFiguro 1 montras fermitan kruc-limigitan diskon."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Kruc-limigita disko havas aviadilon de simetrio kiu pasas tra sia liniparto de duoblaj punktoj.\nEn figuro 1 la kruc-limigita disko vidig\u0302as de supre sia aviadilo de simetrio z = 0, sed g\u0302i similus la saman se vidite de malsupre."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Kruc-limigita disko povas esti tranc\u0302aj\u0302igita malfermig\u0302as lau\u0306 sia aviadilo de simetrio, certigante ne por tranc\u0302i lau\u0306 iu da sia duoblo indikas.\nLa rezulto estas montrita en figuro 2."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Post kiam tiu escepto estas farita, estos vidite ke la tranc\u0302aj\u0302igita kruc-limigita disko estas homeomorfa al mem-intersekcanta disko, kiel montrite en figuro 3."}, {"text_idx": "#000028", "text": "La mem-intersekcanta disko estas homeomorfa al ordinara disko.\nLa parametrikaj ekvacioj de la mem-intersekcanta disko estas:"}, {"text_idx": "#000029", "text": "kie u intervalas de 0 g\u0302is 2\u03c0 kaj v varias de 0 g\u0302is 1."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Projekciante la mem-intersekcantan diskon sur la aviadilo de simetrio ( z = 0 en la parametrigo antau\u0306fiksita pli frue) kiu pasas nur tra la duoblaj punktoj, la rezulto estas ordinara disko kiu ripetas sin (duobloj supre sur si mem)."}, {"text_idx": "#000031", "text": "La aviadilo z = 0 tranc\u0302as la mem-intersekcantan diskon en paron de diskoj kiuj estas spegulreflektadoj de unu la alian.\nLa diskoj havas centrojn c\u0302e la origino."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Nun pripensu la randojn de la diskoj (kun v = 1).\nLa punktoj sur la rando de la mem-intersekcanta disko venas en paroj kiuj estas reflektadoj de unu la alian kun respekto al la aviadilo z = 0."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Kruc-limigita disko estas formita identigante tiujn parojn de punktoj, igante ilin ekvivalentaj al unu la alian.\nTio signifas ke punkto kun parametroj ( u, 1) kaj koordinatojestas identigita kun la punkto ( u + \u03c0, 1) kies koordinatoj estas.\nSed tio signifas ke paroj de kontrau\u0306aj punktoj sur la rando de la (ekvivalenta) ordinara disko estas identigitaj kun unu la alian;\ntio estas kiel reela projekcia ebeno estas formita el disko.\nTial la surfaco montrita en Figure 1 (kruc-c\u0302apo per disko) estas topologie ekvivalenta al la reela projekcia ebeno RP 2."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Linio en P 2 povas esti reprezentita per la ekvaciohakil + de + cz = 0-a Se ni traktas , b, kaj c kiel la kolumnvektora l kaj x, y, z kiel la kolumna vektoro x tiam la ekvacio supre povas esti skribita en matricformularo kiel:"}, {"text_idx": "#000037", "text": "Utiligante vektornotacion kiun ni povas anstatau\u0306e skribi"}, {"text_idx": "#000038", "text": "La ekvacio k ( x T l) 0 (kiu k estas ne-nula Skalaro) balaas eksteren aviadilon kiu iras traen nul en R 3 kaj k ( x) balaas eksteren linion, denove irante traen nul.\nLa aviadilo kaj linio estas liniaj subspacoj en R 3 , kiuj c\u0302iam iras traen nul."}, {"text_idx": "#000039", "text": "En P 2 la ekvacio de linio estas hakil + de + c = 0 kaj tiu ekvacio povas reprezenti linion sur iu aviadilo paralela al la x, y aviadilon multobligante la ekvacion de k."}, {"text_idx": "#000041", "text": "La homogena punkto (0, 0, 0) estas kie c\u0302iuj realaj punktoj iras kiam vi aspektas c\u0302e la aviadilo de senfina distanco, linio sur la z = 0 aviadilo estas kie paralelaj linioj krucas."}, {"text_idx": "#000042", "text": "En la ekvacio x T da l = 0 ekzistas du kolumnaj vektoroj.\nVi povas reteni c\u0302iu el ambau\u0306 konstanta kaj variigi la aliajn.\nSe ni konservas la punkton x konstanta kaj variigas la koeficientojn l ni kreas novajn liniojn kiuj ekzamenas la punkton.\nSe ni retenas la koeficientojn konstantaj kaj variigas la punktojn kiuj kontentigas la ekvacion ni kreas linion.\nNi rigardas sur x kiel punkton, c\u0302ar la aksoj kiujn ni uzas estas x, y, kaj z.\nSe ni anstatau\u0306e punktskribis la koeficientojn uzante akson markis , b, c punktoj ig\u0302us linioj kaj linioj ig\u0302us punktoj.\nSe vi pruvas ion kun la datenoj punktskribita sur akso markis x, y, kaj z la sama argumento povas esti utiligita c\u0302ar la datenoj elpensitaj sur akso markis , b, kaj c."}, {"text_idx": "#000043", "text": "La ekvacio x T l 0 kalkulas la internan produkton de du kolumnaj vektoroj.\nLa interna produkto de du vektoroj estas nul se la vektoroj estas ortogonalaj.\nEn P 2, la linio inter la punktoj x 1 kaj x 2 povas esti reprezentita kiel kolumna vektoro l kiu kontentigas la ekvaciojn x 1 T da l = 0 kaj x 2 T da l = 0, au\u0306 en aliaj vortoj kolumnvektora l kiu estas ortogonala al x 1 kaj x 2.\nLa vektora produto trovos tian vektoron: la linio interliganta du poentojn havas homogenajn koordinatojn donitaj per la ekvacio al x 1 \u00d7 x 2.\nLa intersekcig\u0302o de du linioj povas esti trovita en lau\u0306 la saman manieron, uzante duecon, kiel la vektora produto de la vektoroj reprezentante la liniojn, l 1 \u00d7 l 2."}, {"text_idx": "#000044", "text": "La projekcia aviadilo enkonstruas en 4-dimensian eu\u0306klidan spacon.\nLa reela projekcia ebeno P 2 ( R) estas la kvociento de la du-sfera"}, {"text_idx": "#000045", "text": "de la antipoda rilato ( x, y, z\nKonsideru la funkcion R 3 \u2192 R 4 evoluite per ( x, y, z\nTiu mapo limigas al mapo kies domajno estas S 2 kaj, c\u0302ar c\u0302iu komponento estas homogena polinomo de ec\u0302 grado, g\u0302i prenas la samajn valorojn enen R 4 sur c\u0302iu el iuj du antipodaj poentoj sur S 2.\nTio donas mapon P 2 ( R\nKrome, tiu mapo estas enkonstruado.\nRimarkas ke tiu enkonstruado koncedas projekcion en R 3 kiu estas la romia surfaco."}, {"text_idx": "#000046", "text": "Gluante kune projekciajn aviadilojn sinsekve ni ricevas ne-orientablen surfacojn de pli alta duongenro.\nLa gluadprocezo konsistas el tranc\u0302ado iomete disko de c\u0302iu surfaco kaj identigado ( gluante) iliaj limcirkloj.\nGlui du projekciajn aviadilojn kreas la botelon de Klein."}, {"text_idx": "#000047", "text": "La artikolo sur la fundamenta plurangulo priskribas la pli altajn ne-orientablen surfacojn."}, {"text_idx": "#000048", "text": "La malegaleco de pu por reela projekcia ebeno"}, {"text_idx": "#000049", "text": "^ a b Ape\u0301ry, F.\nModeloj de la reela projekcia ebeno, Vieweg (1987)\n^ Tagoj de la semajno, J.\n\" How to build minimal polyhedral models of the Boy surface \" , The mathematical intelligencer 12 , No. 4 (1990), pp 51-56."}, {"text_idx": "#000051", "text": ", \" Reela projekcia ebeno \", MathWorld .\nLinia kampokoloreco uzante la reelpranjekciaebena mergadon de Werner Boy\nLa reela projekcia ebeno sur YouTube"}, {"text_idx": "#000052", "text": "En matematiko, la reela projekcia ebeno estas speco de projekcia ebeno, spaco de linioj en R3 pasantaj tra la fonto. G\u0302i estas 2-dimensia dukto, tio estas, surfaco. G\u0302i estas kompakta kaj ne-orientebla (sen malsamaj ena kaj ekstera flankoj). Reela projekcia ebeno ne povas esti enigita en kutiman tri-dimensian eu\u0306klidan spacon sen sekco de si."}, {"text_idx": "#000053", "text": "G\u0302ia eu\u0306lera karakterizo estas 1 kaj do g\u0302ia genro estas 1."}, {"text_idx": "#000054", "text": "Startu de kvadrato kaj tiam gluu kune respektivajn kolorigitajn randoj, tiel ke la sagoj kongruu. Reela projekcia ebeno povas esti prezentita kiel kvocienta spaco, unuobla kvadrato ( [0,1] \u00d7 [0,1] ) kun flankoj identigitaj jene:"}, {"text_idx": "#000055", "text": "Noto ke c\u0302i tio estas abstrakta gluado en topologia senco."}, {"text_idx": "#000056", "text": "C\u0302i tiu kvadrato estas fundamenta plurlatero de la botelo de Klein."}, {"text_idx": "#000057", "text": "La filmo de Mo\u0308bius kun sola rando, povas fermig\u0302i en projekcian ebenon per gluado de kontrau\u0306a malfermitaj randoj kune. En komparo la botelo de Klein estas filmo de Mo\u0308bius fermita en cilindron."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Estu sfero, kaj estu la c\u0302efcirkloj de la sfero esti linioj, kaj estu paroj de antipodaj punktoj la punktoj. Ekvivalente, oni identigu c\u0302iun punkton sur la sfero kun g\u0302ia antipoda punkto."}, {"text_idx": "#000059", "text": "La rezultanta spaco obeas la aksiomojn de projekcia ebeno:"}, {"text_idx": "#000060", "text": "C\u0302iu paro de malsamaj c\u0302efcirkloj intersekcig\u0302as je du antipodaj punktoj.\nC\u0302iuj du malsamaj paroj de antipodaj punktoj kus\u0302as sur sola c\u0302efcirklo."}, {"text_idx": "#000061", "text": "C\u0302i tio estas la reela projekcia ebeno."}, {"text_idx": "#000062", "text": "La kvocienta mapo de la sfero sur la reela projekcia ebeno estas fakte (du-al-unu) kovranta mapo. La fundamenta grupo de reela projekcia ebeno estas la cikla grupo de ordo 2, kio estas grupo de entjeroj module 2. Eblas ekzemple preni la ciklon AB de la figuro pli supre kiel la generilo."}, {"text_idx": "#000063", "text": "Konstruado de reela projekcia ebeno povas esti farita surbaze de filmo de Mo\u0308bius. Se glui la (solan) randon de la filmo de Mo\u0308bius al si en la korekta direkto rezultig\u0302as la projekcia ebeno. Ekvivalente, se glui diskon lau\u0306 la rando de filmo de Mo\u0308bius rezultig\u0302as la projekcia ebeno."}, {"text_idx": "#000064", "text": "La pruvo ke la projekcia ebeno ne povas esti enigita en tri-dimensian eu\u0306klidan spacon estas jena. Se g\u0302i estus enigita, g\u0302i barus kompaktan regionon en tri-dimensia spaco lau\u0306 la g\u0302eneraligita jordana kurba teoremo. La eksteren-montranta unuobla normala vektora kampo devus tiam doni orientig\u0302on de la randa dukto, sed la randa dukto devus esti projekcia spaco, kiu estas ne orientebla."}, {"text_idx": "#000065", "text": "La projekcia ebeno ne povas esti enigita (tio estas sen sinsekco) en tri-dimensian spacon. Tamen, g\u0302i povas esti mergita (lokaj najbaraj\u0302oj ne havas sinsekcojn). Surfaco de Boy estas ekzemplo de mergo."}, {"text_idx": "#000066", "text": "La roma surfaco estas pli degenera mapo de la projekcia ebeno en 3-spacon, enhavanta kruco-c\u0302apon."}, {"text_idx": "#000067", "text": "Simpla pluredra prezento de la reela projekcia ebeno estas la kvar-duon-sesedro."}, {"text_idx": "#000068", "text": "La duon-kubo, duon-dekduedro,kaj duon-dudekedro, kiuj estas abstraktaj regulaj hiperpluredroj, povas esti konstruitaj kiel regulaj kahelaroj en la projekcia ebeno."}, {"text_idx": "#000069", "text": "La projekcia ebeno povas esti enigita en 4-dimensian eu\u0306klidan spacon. Uzante homogenajn koordinatojn, la projekcia ebeno respektivas al punktoj"}, {"text_idx": "#000070", "text": "kun noto pri la rilato"}, {"text_idx": "#000071", "text": "Enigo enen de R4 estas donita per la funkcio"}, {"text_idx": "#000072", "text": "C\u0302i tiu enigo donas projekcion enen de R3 kiu estas la roma surfaco."}, {"text_idx": "#000073", "text": "La aro de linioj en la ebeno povas esti prezentita per homogenaj koordinatoj. Linio ax+by+c=0 povas esti prezentita kiel (a:b:c). C\u0302i tiuj koordinatoj havas la ekvivalentrilaton (a:b:c)=(da:db:dc) por c\u0302iu ne nula valoro d. De c\u0302i tie malsamaj prezentoj de la sama linio dax+dby+dc=0 havas la samajn koordinatojn. La aro de koordinatoj (a:b:1) donas la kutiman reelan ebenon, kaj la aro de koordinatoj (a:b:0) difinas linion je malfinio."}, {"text_idx": "#000074", "text": "La artikolo fundamenta plurlatero provizas priskribon de la reelaj projekciaj ebenoj de pli altaj genroj."}, {"text_idx": "#000076", "text": "Neegalaj\u0302o de Pu por reela projekcia ebeno"}]