[{"text_idx": "#000001", "text": "En ringa teorio, branc\u0302o de abstrakta algebro, komuta ringo estas ringo en kiu la multiplikoperacio estas kommutativa.\nLa studo de komutaj ringoj estas nomita komuta algebro.\nKomplemente, nonkomutative-algebro estas la studo de nonkomutative-ringoj kie multipliko ne estas au\u0306 ne estas postulataj por esti kommutativa."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Ringo estas aro R provizita per du operacioj, t.e. operacioj kombinantaj iujn ajn du elementojn de la ringo al triono.\nIli estas nomitaj aldono kaj multipliko kaj ofte indikitaj per\" + \"kaj\" \u22c5\";\nFormi ringon tiujn du operaciojn devas kontentigi kelkajn trajtojn: la ringo devas esti abela grupo sub aldono same kiel monoida sub multipliko, kie multipliko distribuas super aldono;\nLa neu\u0306traj elementoj por aldono kaj multipliko estas indikitaj 0 kaj 1, respektive."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Se la multipliko estas kommutativa, t.e."}, {"text_idx": "#000005", "text": "tiam la ringo R estas nomita kommutativa.\nEn la resto de tiu artikolo, c\u0302io ringoj ne estos kommutativaj, se eksplicite deklarite alie."}, {"text_idx": "#000006", "text": "Grava ekzemplo, kaj en iom da signifo decida, estas la ringo de entjeroj Z kun la du operacioj de aldono kaj multipliko.\nC\u0302ar la multipliko de entjeroj estas kommutativa operacio, tio estas komuta ringo.\nG\u0302i estas kutime indikita Z kiel mallongigo de la germana vorto Zahlen (nombroj)."}, {"text_idx": "#000007", "text": "Kampo estas komuta ringo kie c\u0302iu ne-nula elemento estas invertebla;\nt.e., havas multiplikan inversan b tia ke \u22c5 b = 1-a Tial, de difino, c\u0302iu kampo estas komuta ringo.\nLa raciaj, realo- kaj kompleksaj nombroj formas kampojn."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Se R estas antau\u0306fiksita komuta ringo, tiam la aro de c\u0302iuj polinomoj en la variablo Xa kies koeficientoj estas en R formas la polinomringon, indikis R [ X].\nLa sama tenas vera por pluraj variabloj."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Se V estas iu topologia spaco, ekzemple subaro de iu R da n , realo- au\u0306 kompleks-aprezitaj kontinuaj funkcioj sur V formas komutan ringon.\nLa sama estas vera por diferencieblaj au\u0306 holomorfaj funkcioj, kiam la du konceptoj estas difinitaj, kiel ekzemple c\u0302ar V kompleksa dukto."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Kontraste al kampoj, kie c\u0302iu nonzerelemento estas multiplicative invertebla, la koncepto de dividebleco por ringoj estas pli ric\u0302a.\nElemento de ringo R estas nomita unuo se g\u0302i posedas multiplikan inversan.\nAlia speciala speco de elemento estas la nul dividantoj, t.e. ne-nula elemento tia ke tie ekzistas ne-nula elemento b de la ringo tia ke ab = 0.\nSe R posedas neniujn nul dividantojn, g\u0302i estas nomita integrita domajno (au\u0306 domajno).\nElemento kontentigado n = 0 por iu pozitiva entjero n estas nomitaj nilpotent."}, {"text_idx": "#000011", "text": "La lokalizo de ringo estas proceso en kiu kelkaj elementoj estas igitaj inverteblaj, t.e. inversoj estas aldonitaj al la ringo.\nKonkrete, se S estas multiplicative fermita subaro de R (t.e. kiam ajn s, t \u2208 S tiam tiel estas Skt.) tiam la lokalizo de R je S, au\u0306 ringo de frakcioj kun denominatoroj en S, kutime indikitan S \u22121 R konsistas el simboloj"}, {"text_idx": "#000012", "text": "submetita al certaj reguloj ke mimick la nuligfamiliarulo de raciaj nombroj.\nEfektive, en tiu lingvo Q estas la lokalizo de Z c\u0302e c\u0302iuj nonzerentjeroj.\nTiu konstruo laboras por iu integrita domajno R anstatau\u0306e de Z.\n\u22121 R estas kampo, nomita la kvocientkampo de R."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Multaj el la sekvaj nocioj ankau\u0306 ekzistas por ne nepre komutaj ringoj, sed la difinoj kaj trajtoj estas kutime pli d komplikaj.\nEkzemple, c\u0302iuj idealoj en komuta ringo estas au\u0306tomate duflankaj, kiu simpligas la situacion konsiderinde."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Por ringo R, R - modulo M estas kio estas vektora spaco al kampo.\nTio estas, elementoj en modulo povas esti aldonitaj;\nili povas esti multobligitaj per elementoj de R kun la samaj aksiomoj kiel por vektora spaco.\nLa studo de moduloj estas signife pli engag\u0302ita ol tiu el vektoraj spacoj en lineara algebro, c\u0302ar pluraj feau\u0306ture de vektoraj spacoj malsukcesas por moduloj g\u0302enerale: modulnet ne estu libera, t.e., de la formo"}, {"text_idx": "#000015", "text": "Ec\u0302 por liberaj moduloj, la rango de libera modulo (t.e. la analogaj\u0302o de la dimensio de vektoraj spacoj) eble ne estas klare difinita.\nFinfine, submoduloj de finhave generitajn modulojn ne devas esti finhave generitaj (se R ne estas Noeteriana, vidas malsupre)."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Idealoj de ringo R estas la submodules de R, t.e., la moduloj enhavis en R.\nEn pli da detalo, idealo I estas ne-malplena subaro de R tia ke por c\u0302iu r en R, mi kaj j en mi, kaj ri kaj mi + j estas en mi.\nPor diversa aplikoj, kompreni la idealojn de ringo gravegas, sed ofte unu enspezo studante modulojn g\u0302enerale."}, {"text_idx": "#000017", "text": "kaj R, la tuta ringo.\nTiuj du idealoj estas la nuraj g\u0302uste se R estas kampo.\nSurbaze de iu subaro F\nj \u2208 J da R (kie J estas iom da indekso metis), la idealo generita je F estas la plej malgranda idealo kiu enhavas F.\nEkvivalente, g\u0302i ricevas per finhavaj linearaj kombinaj\u0302oj"}, {"text_idx": "#000018", "text": "Se F konsistas el ununura elemento r, la idealo generita je F konsistas el la multobloj de r, t.e., la elementoj de la formo r por arbitraj elementoj s.\nTia idealo estas nomita c\u0302efidealo.\nSe c\u0302iu idealo estas c\u0302efidealo, R estas nomita c\u0302efidealringo;\ndu gravaj kazoj estas Z kaj k [ X], la polinomringo super kampo k.\nTiuj du estas krome domajnoj, tiel ke ili estas nomitaj c\u0302efaj idealaj domajnoj."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Male al por g\u0302eneralaj ringoj, por c\u0302efa ideala domajno, la trajtoj de individuaj elementoj estas forte ligitaj al la trajtoj de la ringo kiel tutaj\u0302o.\nEkzemple, c\u0302iu c\u0302efa ideala domajno R estas unika faktorigaddomajno (UFD) kiu signifas ke c\u0302iu elemento estas produkto de neredukteblaj elementoj, lau\u0306 (supren al restrukturado de faktoroj) unika maniero.\nC\u0302i tie, elemento en domajno estas nomita nereduktebla se la nura maniero esprimi g\u0302i kiel produkto"}, {"text_idx": "#000020", "text": "estas de au\u0306 b au\u0306 c estanta unuo.\nEkzemplo, grava en kampa teorio, estas neredukteblaj polinomoj, t.e., neredukteblaj elementoj en k [ X], por kampo k.\nLa fakto ke Z estas UFD povas esti deklarita pli elemente per dirado ke c\u0302iu natura nombro povas esti unike malkonstruita kiel produkto de potencoj de primoj.\nG\u0302i ankau\u0306 estas konata kiel la bazteoremo de aritmetiko."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Elemento estas c\u0302efa elemento se kiam ajn dislimoj produktobc, dislimoj b au\u0306 c.\nEn domajno, esti c\u0302efa implicas ekzistanta nereduktebla.\nLa konversacio estas vera en unika faktorigaddomajno, sed falsa g\u0302enerale."}, {"text_idx": "#000022", "text": "La difino de idealoj estas tia ke \"disigi\" mi \"eksteren\" donas alian ringon, la faktorringon R / mi: g\u0302i estas la aro de kun-grupoj de mi kune kun la operacioj"}, {"text_idx": "#000023", "text": "Ekzemple, la ringo Z / n Z (ankau\u0306 indikis Z n ), kie n estas entjero, estas la ringo de entjermodulo n.\nG\u0302i estas la bazo de modula aritmetiko."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Idealo estas bonorda se g\u0302i estas strikte pli malgranda ol la tuta ringo.\nIdealo kiu ne estas strikte enhavita en iu bonorda idealo estas nomita maksimuma.Ideala m estas maksimuma se kaj nur se R / m estas kampo.Krom la nul ringo, c\u0302iu ringo (kun identeco) posedas almenau\u0306 unu maksimuman idealon;\ntio sekvas el la lemo de Zorn."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Ringo estas nomita Noeteriana (en honoro de Emmy Noether, kiu evoluigis tiun koncepton) se c\u0302iu ascendanta c\u0302eno de idealoj"}, {"text_idx": "#000026", "text": "ig\u0302as senmova, t.e. ig\u0302as konstanta preter iom da indekso n.\nEkvivalente, c\u0302iu idealo estas generita per finhave multaj elementoj, au\u0306, ankorau\u0306 ekvivalenta,submodules of finitely generated modules are finitely generated."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Esti Noetherian estas tre grava finiteckondic\u0302o, kaj la kondic\u0302o estas konservita sub multaj operacioj kiuj okazas ofte en geometrio.\nEkzemple, se R estas Noeteriana, tiam tiel estas la polinomringo R [ X 1, X 2\nX n ] (de la bazteoremo de Hilbert), ajna lokalizo S \u22121 R, kaj ankau\u0306 ajna faktorringo R / mi."}, {"text_idx": "#000028", "text": "C\u0302iu ne-noetherian ringo R estas la unio de g\u0302iaj Noeterianaj subringoj.\nTiu fakto, konata kiel Noeteriana aproksimado, permesas etendi certajn teoremojn al ne-Noetherian ringoj."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Ringo estas nomita Artiniana (post Emil Artin), se c\u0302iu descenda c\u0302eno de idealoj"}, {"text_idx": "#000030", "text": "Malgrau\u0306 la du kondic\u0302oj ekaperantaj simetriaj, Noeterianaj ringoj estas multe pli da generalo ol Artinianaj ringoj.\nEkzemple, Z estas Noeteriana, c\u0302ar c\u0302iu idealo povas esti generita per unu elemento, sed ne estas Artiniana, kiel la c\u0302eno"}, {"text_idx": "#000032", "text": "La spektro de komuta ringo"}, {"text_idx": "#000033", "text": "Kiel estis menciita supre, Z estas unika faktorigaddomajno.\nTio ne estas vera por pli g\u0302eneralaj ringoj, c\u0302ar algebristoj realigis en la 19-a jarcento."}, {"text_idx": "#000034", "text": "ekzistas du vere apartaj manieroj de skribo 6 kiel produkto:"}, {"text_idx": "#000035", "text": "C\u0302efidealoj, kontraste al c\u0302efaj elementoj, disponigas manieron eviti tiun problemon.\nC\u0302efidealo estas bonorda (t.e., strikte enhavita en R) idealo tia ke, kiam ajn la produktoab de iuj du ringelementoj a kaj b estas en p, almenau\u0306 unu el la du elementoj jam estas en p.\n(La kontrau\u0306a konkludo tenas por iu idealo, de difino).\nTiel, se c\u0302efidealo estas c\u0302efa, g\u0302i estas ekvivalente generita de primelemento.\nTio limigas la uzokutimon de c\u0302efaj elementoj en ringa teorio."}, {"text_idx": "#000036", "text": "C\u0302iu maksimuma idealo estas c\u0302efidealo au\u0306, pli nelonge, estas c\u0302efa.\nKrome, idealo I estas c\u0302efa se kaj nur se la faktorringo R / I estas integrita domajno.\nPruvi ke idealo estas c\u0302efa, au\u0306 ekvivalente ke ringo havas neniujn nul-dividantojn povas esti tre malfacila.\nAnkorau\u0306 alia maniero esprimi la sama devas diri ke la komplemento da R '\\' \"\\\" p estas multiplicative fermita.\nLa lokalizo ( R '\\' \"\\\" p) \u22121 R estas sufic\u0302e gravaj por havi it propran notacion:\nTiu ringo havas nur unu maksimuman idealon, nome PR p .\nTiaj ringoj estas nomitaj lokaj."}, {"text_idx": "#000037", "text": "La spectrum of a ring R, [nb 1] indikita fare de Spec R, estas la aro de c\u0302iuj c\u0302efidealoj de R.\nG\u0302i estas provizita per topologio, la Zariski-topologio, per kiu reflektas la algebrajn trajtojn de R: bazo de malfermaj subaroj ricevas"}, {"text_idx": "#000038", "text": ", kie f estas ajna ringelemento."}, {"text_idx": "#000039", "text": "Interpretanta f kiel funkcio kiu prenas la valoron f modeman adoleskanton p (t.e., la bildo de f en la restaj\u0302kampo R / p), tiu subaro estas la lokuso kie f estas ne-nula.\nLa spektro ankau\u0306 igas precizan la intuicion tiu lokalizo kaj faktorringoj estas komplementaj: la naturaj mapoj R \u2192 R da f kaj R \u2192 R / Fr korespondas, post dotado de la spektroj de la ringoj koncernitaj kun ilia Zariski-topologio, al komplementaj senkas\u0302aj kaj fermitaj mergadoj respektive.\nEc\u0302 por bazaj ringoj, kiel ekzemple ilustrita por R = da Z c\u0302e la dekstro, la Zariski-topologio estas tre diferenca de tiu sur la aktoraro de realaj nombroj."}, {"text_idx": "#000040", "text": "La spektro enhavas la aron de maksimumaj idealoj, kio estas foje indikita mSpec ( R).\nPor algebre fermita kampo k, mSpec (k [ T 1\nf m ) estas en ensurj\u0302eto kun la aro"}, {"text_idx": "#000041", "text": "Tiel, maksimumaj idealoj reflektas la geometriajn trajtojn de Solvaj\u0302aj aroj de polinomoj, kio estas komenca instigo por la studo de komutaj ringoj.\nTamen, la konsidero de ne-maksimumaj idealoj kiel parto de la geometriaj trajtoj de ringo estas utila pro pluraj kialoj.\nEkzemple, la minimumaj c\u0302efidealoj (t.e., tiuj ne strikte enhavantaj pli malgrandajn) egalrilatas al la neredukteblaj komponentoj de Spec R.\nPor Noetherian-ringo R, Spec R havas nur finhave multajn neredukteblajn komponentojn.\nTio estas geometria revortigo de primara putrig\u0302o, lau\u0306 kiu c\u0302iu idealo povas esti malkonstruita kiel produkto de finhave multaj c\u0302efidealoj.\nTiu fakto estas la finfina g\u0302eneraligo de la putrig\u0302o en c\u0302efidealojn en Dedekind-boksejoj."}, {"text_idx": "#000042", "text": "La nocio de spektro estas la komuna bazo de komuta algebro kaj algebra geometrio.\nLa datumo de la spaco kaj la fasko estas nomita afina skemo.\nKrome, tiom unu-al-unu korespondado inter ringoj kaj afinaj kabaloj ankau\u0306 estas kongrua kun ringohomomorfismoj: ajna f:\nR \u2192 S kau\u0306zas kontinuan mapon en la kontrau\u0306a direkto"}, {"text_idx": "#000044", "text": "La rezulta ekvivalenteco de la du menciitaj kategorioj trafe reflektas algebrajn trajtojn de ringoj en geometria maniero."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Similaj al la fakto ke duktoj estas loke donitaj per malfermaj subaroj de R da n , afinaj kabaloj estas lokaj modeloj por kabaloj, kiuj estas la studobjekto en algebra geometrio.\nTial, pluraj nocioj koncerne komutajn ringojn devenas de geometria intuicio."}, {"text_idx": "#000046", "text": "La Krull-dimensio (au\u0306 dimensio) malklara R da ringo R mezuras la \"grandecon\" de ringo malglate parolante, nombrante sendependajn elementojn en R.\nLa dimensio de algebroj super kampo k povas esti aksiomigita per kvar trajtoj:"}, {"text_idx": "#000047", "text": "La dimensio estas loka posedaj\u0302o: malklara R = sup\u220a Spec R malklara R p\nLa dimensio estas sendependa de nilpotentelementoj: se mi \u2286 R estas nilpotent tiam malklara R = malklara R / mi.\nLa dimensio restas konstanta sub finhava etendaj\u0302o: se S estas R-algebro kiu estas finhave generita kiel R-modulo, tiam malklara S = malklara R.\nLa dimensio estas lau\u0306normigita per malklara k [ X 1\nTiu aksiomo estas instigita rigardante la polinomringon en n variabloj kiel algebran analogon de n-dimensia spaco."}, {"text_idx": "#000048", "text": "La dimensio estas difinita, por iu ringo R, kiel la Preciza supra rando de longoj n de katenoj de c\u0302efidealoj"}, {"text_idx": "#000049", "text": "Ekzemple, kampo estas nul-dimensia, c\u0302ar la nura c\u0302efidealo estas la nul idealo.\nLa entjeroj estas unu-dimensiaj, c\u0302ar katenoj estas de la formo (0) \u228a ( p), kie p estas primo.\nPor ne-Noetherian ringoj, kaj ankau\u0306 nelokaj ringoj, la dimensio povas esti senfina, sed Noeterianaj lokaj ringoj havas finhavan dimension.\nInter la kvar aksiomoj supraj, la unuaj du estas elementaj sekvoj de la difino, dum la restanta du c\u0302arniro en gravaj faktoj en komuta algebro, la iro-supren teoremo kaj la c\u0302efa ideala teoremo de Krull."}, {"text_idx": "#000050", "text": "Ringo homomorfism au\u0306, pli ordinarlingve, simple mapo, estas mapo f:"}, {"text_idx": "#000051", "text": "Tiuj kondic\u0302oj certigas f (0) = 0-a simile kiel por aliaj algebraj strukturoj, ringo homomorfism estas tiel mapo kiu estas kongrua kun la strukturo de la algebraj objektoj koncernitaj.\nEn tia situacio S ankau\u0306 estas nomita R-algebro, per komprenado ke s en S povas esti multobligita de iom da r de R, per metado"}, {"text_idx": "#000052", "text": "La kerno kaj bildo de f estas difinitaj per ker ( f\nkaj mi estas ( f\nLa kerno estas idealo de R, kaj la bildo estas subringo de S."}, {"text_idx": "#000053", "text": "Ringo homomorfism estas nomita izomorfio se g\u0302i estas bijektive.\nEkzemplo de ringizomorfio, konata kiel la c\u0302ina restteoremo, estas"}, {"text_idx": "#000054", "text": "p k estas produkto de pairu\u0306ise apartaj primoj."}, {"text_idx": "#000055", "text": "Komutaj ringoj, kune kun ringohomomorfismoj, formas kategorion.\nLa ringo Z estas la komenca objekto en tiu kategorio, kio signifas ke por iu komuta ringo R, ekzistas unika ringo homomorfism Z \u2192 R.\nPer tiu mapo, entjero n povas esti rigardita kiel elemento de R."}, {"text_idx": "#000056", "text": "kiu estas valida por c\u0302iuj du elementoj a kaj b en iu komuta ringo R estas komprenitaj en tiu signifo interpretante la binomaj koeficientoj kiel elementoj de R utiliganta tiun mapon."}, {"text_idx": "#000058", "text": "En kelkaj kazoj, la tensorprodukto povas helpi trovi T-algebro kiu rilatigas al Z kiam S rilatigas al R."}, {"text_idx": "#000059", "text": "R-algebro S estas nomita finhave generita (kiel algebro) c\u0302u ekzistas finhave multaj elementoj s 1\ns n tia ke c\u0302iu elemento de s estas esprimebla kiel polinomo en la s mi .\nEkvivalente, S estas izomorfa al"}, {"text_idx": "#000060", "text": "Multe pli forta kondic\u0302o estas tiu S estas finhave generita kiel R-modulo , kio signifas ke c\u0302iu s povas esti esprimita kiel R-linia kombinaj\u0302o de iu finhava metita s 1"}, {"text_idx": "#000061", "text": "Ringo estas nomita loka c\u0302u g\u0302i havas nur ununuran maksimuman idealon, indikitan je m.\nPor iu (ne nepre loka) ringo R, la lokalizo"}, {"text_idx": "#000062", "text": "c\u0302e c\u0302efa ideala p estas loka.\nTiu lokalizo reflektas la geometriajn trajtojn de Spec R \"c\u0302irkau\u0306 p \".\nPluraj nocioj kaj problemoj en komuta algebro povas esti reduktitaj al la kazo kiam R estas loka, produktante lokajn ringojn precipe profunde volita klaso de ringoj.\nLa restaj\u0302kampo de R estas difinita kiel"}, {"text_idx": "#000063", "text": "C\u0302iu R-modulo M donas k-vektora spacon donitan per M / Mm.\nLa lemo de Nakayama montras ke tiu trairejo konservas gravajn informojn: finhave generita modulo M estas nul se kaj nur se M / Mm estas nul."}, {"text_idx": "#000064", "text": "La k-vektora spaceto m / m 2 estas algebra enkarnig\u0302o de la kotang\u0302antospaco.\nNeformale, la elementoj de m povas esti opiniitaj de kiel funkcioj kiuj malaperas c\u0302e la punkto p, dum m 2 enhavas tiujn kiuj malaperas kun ordo minimume 2-a Por iu Noeteriana loka ringo R, la malegaleco"}, {"text_idx": "#000065", "text": "malklara k m / m 2 \u2265 malklara R"}, {"text_idx": "#000066", "text": "tenas veran, reflektante la ideon ke la kotang\u0302anto (au\u0306 ekvivalente la klavo) spaco minimume havas la dimension de la spaco Spec R.\nSe egaleco tenas vera en tiu takso, R estas nomita regula loka ringo.\nNoeteriana loka ringo estas regula se kaj nur se la ringo (kiu estas la ringo de funkcioj sur la klavkonuso)"}, {"text_idx": "#000067", "text": "estas izomorfa g\u0302is polinomringo super k.\nLarg\u0302e parolante, regulaj lokaj ringoj estas iom similaj al polinomringoj.\nRegulaj lokaj ringoj estas UFD."}, {"text_idx": "#000068", "text": "Diskretaj valortaksoorondoj estas provizitaj per funkcio kiuj asignas entjeron al iu elemento r.\nTiu nombro, nomita la valortakso de r povas esti neformale opiniita de kiel nulo au\u0306 polordo de r.\nDiskretaj valortaksoorondoj estas g\u0302uste la unu-dimensiaj regulaj lokaj ringoj.\nEkzemple, la ringo de bakterioj de holomorfaj funkcioj sur Riemann-faco estas diskreta valortaksoorondo."}, {"text_idx": "#000069", "text": "De la c\u0302efa ideala teoremo, de Krull baza rezulto en la dimensioteorio de ringoj, la dimensio de"}, {"text_idx": "#000070", "text": "estas almenau\u0306 r \u2212 n.\nRingo R estas nomita kompleta intersekcig\u0302ringo se g\u0302i povas esti prezentita en maniero kiel kiu ekhavas tiu minimuma ligis.\nTiu nocio ankau\u0306 estas plejparte volita por lokaj ringoj.\nC\u0302iu regula loka ringo estas kompleta intersekcig\u0302ringo, sed ne inverse."}, {"text_idx": "#000071", "text": "Ringo R estas aro-teoria kompleta intersekcig\u0302o se la reduktita ringo kunlaboris al R, t.e., tiu akirita disigante eksteren c\u0302iujn nilpotentelementojn, estas kompleta intersekcig\u0302o.\nAktuale en 2017, g\u0302i estas en generalnekonataj\u0302o, c\u0302u kurboj en tri-dimensia spaco estas aro-teoriaj kompletaj intersekcig\u0302oj."}, {"text_idx": "#000072", "text": "La profundo de loka ringo R estas la nombro da elementoj en kelkaj (au\u0306, kiel povas esti montrita, ajna) maksimuma regula sekvenco, t.e., sekvenco 1\nn \u2208 m tia ke en c\u0302io mi estas ne-nulaj dividantoj"}, {"text_idx": "#000073", "text": "Por iu loka Noeteriana ringo, la malegaleco"}, {"text_idx": "#000074", "text": "profundo ( R) \u2264 malklara ( R)"}, {"text_idx": "#000075", "text": "Loka ringo en kiu egaleco okazas estas nomita Cohen-Macaulay-ringo.\nLokaj kompletaj intersekcig\u0302ringoj, kaj fortiori, regulaj lokaj ringoj estas Cohen-Macaulay, sed ne inverse.\nCohen-Macaulay kombinas dezirindajn trajtojn de regulaj ringoj (kiel ekzemple la posedaj\u0302o de esti universale c\u0302enlinioringoj, kio signifas ke la (Co) dimensio de primoj estas bonkonduta), sed estas ankau\u0306 pli fortikaj sub prenado de kvocientoj ol regulaj lokaj ringoj."}, {"text_idx": "#000076", "text": "Ekzistas pluraj manieroj konstrui novajn ringojn el antau\u0306fiksitaj.\nLa celo de tiaj konstruoj ofte estas plibonigi certajn trajtojn de la ringo igi g\u0302in pli volonte komprenebla.\nEkzemple, integrita domajno kiu estas integrite fermita en sia regiono de frakcioj estas nomita normala.\nTio estas dezirinda posedaj\u0302o, ekzemple ajna normala unu-dimensia ringo estas nepre regula.\nIgi [ klarigon bezonis ] ringonormalon estas konata kiel normaligo."}, {"text_idx": "#000078", "text": "Kompletaj lokaj ringoj kontentigas la lemon de Hensel, kio malglate parolante permesas etendi solvojn (de diversaj problemoj) super la restaj\u0302kampo k al R."}, {"text_idx": "#000079", "text": "Pluraj pli profundaj aspektoj de komutaj ringoj estis studitaj uzante metodojn de homologia algebro.\nHokster (2007) listigas kelkajn malfermajn demandojn en tiu areo de aktiva esplorado."}, {"text_idx": "#000080", "text": "Projekciaj moduloj povas esti difinitaj por esti la rekta sumands de liberaj moduloj.\nSe R estas loka, c\u0302iu finhave generita projekcia modulo estas fakte libera, kiu donas kontenta al analogeco inter projekciaj moduloj kaj vektorfaskoj.\nLa Quillen-Suslin teoremo asertas tiel ajnan finhave generitan projekcian modulon super k [ T 1\nLoka Noeteriana ringo estas regula se kaj nur se g\u0302ia tutmonda dimensio estas finhava, diras n, kio signifas ke c\u0302iu finhave generita R-modulo havas rezolucion proksime de projekciaj moduloj de longo maksimume n."}, {"text_idx": "#000081", "text": "La pruvo de tio kaj aliaj rilataj deklaroj dependas de la uzokutimo de homologiaj metodoj, kiel ekzemple la EXT-funktoro.\nTiu funktoro estas la derivita funktoro de la funktoro"}, {"text_idx": "#000082", "text": "C\u0302i-lasta funktoro estas preciza se M estas projekcia, sed ne alie: por surjektive-mapo E \u2192 F da R-modulo, mapo M \u2192 F ne devas etendig\u0302i al mapo M \u2192 E.\nLa pli altaj EXT-funktoroj mezuras la ne-precizecon de la Hom-funktoro.\nLa graveco de tiu normkonstruo en homologiaj algebrotigoj povas esti vidita de la fakto ke loka Noeteriana ringo R kun restaj\u0302kampo k estas regula se kaj nur se"}, {"text_idx": "#000083", "text": "malaperas por c\u0302iu sufic\u0302e granda n.\nKrome, la grandeco de tiuj ext-grupoj, konataj kiel Betti-nombroj, kreskas polinomial en n se kaj nur se R estas loka kompleta intersekcig\u0302 ringo.\nEsenca argumento en tiaj konsideroj estas la Koszul-komplekso, kiu disponigas eksplicitan liberan rezolucion de la restaj\u0302kampo k de loka ringo R lau\u0306 regula sekvenco."}, {"text_idx": "#000084", "text": "La tensorprodukto estas alia ne-preciza funktoro signifa en la kunteksto de komutaj ringoj: por generalo R-module M, la funktoro"}, {"text_idx": "#000085", "text": "Se g\u0302i estas preciza, M estas nomita plata.\nMalgrau\u0306 estado difinita lau\u0306 homologia algebro, plateco havas profundajn geometriajn implicojn.\nEkzemple, se R-algebro S estas plata, la grandeco de la fibroj"}, {"text_idx": "#000086", "text": "(por c\u0302efidealoj p en R) havas la \"atendatan\" dimension, nome malklara S \u2212 malklara R + malklara ( R / p)."}, {"text_idx": "#000087", "text": "De la teoremo de Wedderburn, c\u0302iu finhava dividadrondo estas kommutativa, kaj tial finhava kampo.\nAlia kondic\u0302o certiganta komutecon de ringo, pro Jacobson, estas la sekvanta: por c\u0302iu elemento r de R tie ekzistas entjero n > 1 tia ke r n = r .\nSe, r 2 = r por c\u0302iu r, la ringo estas nomita Bulea ringo.\nPli g\u0302eneralaj statoj kiuj garantias komutecon de ringo ankau\u0306 estas konataj."}, {"text_idx": "#000089", "text": "Se la R da I estas ligita per diferencial\u2202 tia ke abstrakta formo de la derivaj\u0302o de produto tenas, t.e.,"}, {"text_idx": "#000090", "text": "R estas nomita kommutativa diferenciga gradigita algebro (cdga).\nEkzemplo estas la komplekso de diferencigaj formoj sur dukto, kun la multipliko donita per la ekstera produkto, estas cdga.\nLa kohomologio de cdga estas gradigit-kommutativa ringo, foje referita kiel la kohomologioringo.\nLarg\u0302aj intervalekzemploj de gradigitaj ringoj ekestas lau\u0306 tiu maniero.\nEkzemple, la Lazard-ringo estas la ringo de kobordismoklasoj de kompleksaj duktoj."}, {"text_idx": "#000091", "text": "Gradigit-kommutativa ringo kun respekto al ordigo de Z /2 (kontraste al Z) estas nomita superalgebro."}, {"text_idx": "#000092", "text": "Rilata nocio estas preskau\u0306 komuta ringo, kio signifas ke R estas filtrita en tia maniero kiu la rilata gradigita ringo"}, {"text_idx": "#000093", "text": "Ekzemplo estas la Weyl-algebro kaj pli g\u0302eneralaj ringoj de diferencialaj operatoroj."}, {"text_idx": "#000094", "text": "Simplicial komuta ringo estas simplicial objekto en la kategorio da komutaj ringoj.\nIli estas konstrubriketoj por (konektiva) derivita algebra geometrio.\nProksime rilatita sed pli g\u0302enerala nocio estas tiu de E \u221e - ringo."}, {"text_idx": "#000095", "text": "La ringo de matricoj ne estas kommutativa, c\u0302ar matrica multipliko ne estas kommutativa.\nTamen, c\u0302iuj du matricoj A kaj B kiuj navedas povas esti samtempe diagonaligitaj, t.e., ekzistas invertebla matrico P tia ke kaj CICO \u22121 kaj PBP \u22121 estas diagonalaj matricoj.\nTiu fakto faras reprezentantarojn de kommutativaj Mensoggrupoj precipe pli simplanimaj kompreni ol g\u0302enerale."}, {"text_idx": "#000096", "text": "Ekzemplo estas la doni de matricoj de dividitaj diferencoj kun respekto al fiksa aro de nodoj."}, {"text_idx": "#000098", "text": "^ This notion can be related to the spectrum of a linearoperatoro, see Spectrum of a C \u00f7 algebra and Gelfand representation ."}, {"text_idx": "#000101", "text": "En ringa teorio, branc\u0302o de abstrakta algebro, komuta ringo estas ringo en kiu la multiplika operacio obeas la komutan leg\u0302on. C\u0302i tiu signifas ke se a kaj b estas iuj eroj de la ringo, tiam a\u00d7b=b\u00d7a."}, {"text_idx": "#000102", "text": "Studo de komutaj ringoj estas nomata kiel komuta algebro."}, {"text_idx": "#000104", "text": "La plej grava ekzemplo estas la ringo de entjeroj kun la du operacioj, adicio kaj multipliko. Ordinara multipliko de entjeroj estas komuta. C\u0302i tiu ringo estas kutime signifita kiel Z de la germana vorto Zahlen (nombroj).\nLa racionalaj nombroj, reelaj nombroj kaj kompleksaj nombroj formas komutajn ringojn; fakte, ili estas ec\u0302 kampoj.\nPli g\u0302enerale, c\u0302iu kampo estas komuta ringo, do la klaso de kampoj estas subklaso de la klaso de komutaj ringoj.\nLa plej facila ekzemplo de ne-komuta ringo estas la aro de c\u0302iu kvadrataj 2*2 matricoj kies elementoj estas reelaj nombroj. La matrica multipliko"}, {"text_idx": "#000105", "text": "estas ne egala al la multipliko en la kontrau\u0306a ordo:"}]