[{"text_idx": "#000002", "text": "Lau\u0306 la kontribuoj de la matrico, se aij indikas la eniron en la mi th remas kaj j th-kolonon;\nij ), tiam la misoblikva-simetria kondic\u0302o estas aji\nEkzemple, la sekva matrico estas misoblikva-simetria:"}, {"text_idx": "#000003", "text": "2 Misoblikva-simetriaj kaj alternante formojn"}, {"text_idx": "#000004", "text": "Se la karakterizaj\u0302o de la kampo estas 2, tiam kontrau\u0306simetria matrico estas la sama aj\u0302o kiel simetria matrico."}, {"text_idx": "#000005", "text": "La sumo de du kontrau\u0306simetriaj matricoj estas misoblikva-simetria.\nSkalarmultoblo de kontrau\u0306simetria matrico estas misoblikva-simetria.\nLa elementoj sur la diagonalo de kontrau\u0306simetria matrico estas nul, kaj tial ankau\u0306 g\u0302ia spuro."}, {"text_idx": "#000006", "text": "Kiel rezulto de la unuaj du trajtoj supra, la aro de c\u0302iuj kontrau\u0306simetriaj matricoj de fiksa grandeco formas vektoran spacon."}, {"text_idx": "#000007", "text": "Lasu Maton n indiki la spacon de n \u00d7 n matricoj.\nKontrau\u0306simetria matrico estas determinita per n ( n \u2212 1)/2 Skalaroj (la nombro da kontribuoj super la c\u0302efdiagonalo);\nsimetria matrico estas determinita per n ( n + 1)/2 Skalaroj (la nombro da kontribuoj sur au\u0306 super la c\u0302efdiagonalo).\nLasis Misoblikvan n indikas la spacon de n \u00d7 n kontrau\u0306simetriaj matricoj kaj Sym n indikas la spacon de n \u00d7 n simetriaj matricoj.\nSe \u2208 Mat n tiam"}, {"text_idx": "#000008", "text": "Rimarku tiun 1\u20442 ( \u2212 T) \u2208 Skew n kaj 1\u20442 ( + T) \u2208 Sym n ."}, {"text_idx": "#000009", "text": "kie \u2295 indikas la rektan sumon."}, {"text_idx": "#000011", "text": "C\u0302ar tiu difino estas sendependa de la elekto de bazo, misoblikva-simetrio estas posedaj\u0302o kiu dependas nur de la linearoperatoro A kaj elekto de interna produkto."}, {"text_idx": "#000012", "text": "C\u0302iuj c\u0302efaj diagonalaj kontribuoj de kontrau\u0306simetria matrico devas esti nul, tiel ke la spuro estas nul.\naij ) estas misoblikva-simetria, aij"}, {"text_idx": "#000013", "text": "3\u00d73 misoblikvaj simetriaj matricoj povas esti utiligitaj por reprezenti vektorajn produtojn kiel matricaj multiplikoj."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Lasis esti n \u00d7 n kontrau\u0306simetria matrico.\nLa determinanto de A kontentigas"}, {"text_idx": "#000015", "text": "Aparte, se n estas stranga, kaj se la subesta kampo ne estas de karakterizaj\u0302o 2, la determinanto malaperas.\nTial, c\u0302iu stranga dimensio misoblikvaj simetriaj matricoj estas eksterordinaraj kiam iliaj determinantoj c\u0302iam estas nul.\nTiu rezulto estas nomita la teoremo de Jacobi, post Carl Gustav Jacobi (Vesperoj, 1980)."}, {"text_idx": "#000016", "text": "La eben-dimensia kazo estas pli interesa.\nG\u0302i turnas ke la determinanto de A por n ec\u0302 povas esti skribita kiel la kvadrato de polinomo en la kontribuoj de A, kiu unue estis pruvita fare de Cayley: [2]"}, {"text_idx": "#000017", "text": "Tiu polinomo estas nomita la Pfafian de A kaj estas indikita Pf ( A).\nTiel la determinanto de reala kontrau\u0306simetria matrico c\u0302iam estas ne-negativa.\nTamen tiu lasta fakto povas esti pruvita lau\u0306 elementa maniero jene: la eigenvalues de reala kontrau\u0306simetria matrico estas sole imaga (vidu malsupre) kaj al c\u0302iu Eigen-valoro tie korespondas la Konjugateigen-valoro kun la sama diverseco;\ntial, c\u0302ar la determinanto estas la produkto de la eigenvalues, c\u0302iu ripetita lau\u0306 g\u0302ia diverseco, g\u0302i tuj sekvas ke la determinanto, se g\u0302i ne estas 0, estas pozitiva reala nombro."}, {"text_idx": "#000018", "text": "La nombro da apartaj esprimoj s ( n) en la vastig\u0302o de la determinanto de kontrau\u0306simetria matrico de ordo n estis konsiderita jam fare de Cayley, Sylvester, kaj Pfaff.\nPro nuligoj, tiu nombro estas tre malgranda tiel komparita la nombro da esprimoj de senmarka matrico de ordo n, kio estas n!\nLa sekvenco s ( n) (sekvenco A002370 en la OEIS) estas"}, {"text_idx": "#000019", "text": "kaj g\u0302i estas c\u0302ifrita en la eksponenta genera funkcio"}, {"text_idx": "#000020", "text": "C\u0302i-lastaj rendimentoj al la asimptotics (por n ec\u0302)"}, {"text_idx": "#000021", "text": "La nombro da pozitivaj kaj negativaj esprimoj estas aproksime duono de la totalo, kvankam ilia diferenco prenas pli grandajn kaj pli grandajn pozitivajn kaj negativajn valorojn kiel n pliig\u0302oj (sekvenco A167029 en la OEIS)."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Tri-oble-tri kontrau\u0306simetriaj matricoj povas esti utiligitaj por reprezenti vektorajn produtojn kiel matricaj multiplikoj."}, {"text_idx": "#000023", "text": "la vektora produto povas esti skribita kiel"}, {"text_idx": "#000024", "text": "Tio povas esti tuj konfirmita komputante kaj flankojn de la antau\u0306a ekvacio kaj komparante c\u0302iun ekvivalentan elementon de la rezultoj."}, {"text_idx": "#000025", "text": "t.e., la kolektoro de misoblikva-simetriaj tri-oble-tri matricoj povas esti identigita kun la vektora produto de tri-vektoroj.\nPli sur infinitezimalaj rotacioj povas esti trovita malsupre."}, {"text_idx": "#000026", "text": "C\u0302ar matrico estas simila al sia propra transmetas, ili havendaj\u0302o la saman eigenvalues.\nG\u0302i sekvas ke la eigenvalues de kontrau\u0306simetria matrico c\u0302iam venas en par\u00b1\u03bb (krom en la strang-dimensia kazo kie ekzistas kroma unpairis 0 Eigen-valoro).\nDe la teoremo, por reala kontrau\u0306simetria matrico la Nonzereigen-valoroj estas tute puraj imagaj kaj tiel estas de la formo mi \u03bb1, \u2212 mi \u03bb1, mi \u03bb2, \u2212 mi \u03bb2, ...\nkie c\u0302iu el la \u03bb k estas reala."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Realaj kontrau\u0306simetriaj matricoj estas normalaj matricoj (ili navedas kun siaj adjunktoj) kaj estas tiel kondic\u0302igitaj de la teoremo, kiu deklaras ke c\u0302iu reala kontrau\u0306simetria matrico povas esti diagonaligita per unuecmatrico.\nC\u0302ar la eigenvalues de reala kontrau\u0306simetria matrico estas imaga, g\u0302i ne estas ebla al diagonalize unu de reala matrico.\nTamen, estas eble alporti c\u0302iun kontrau\u0306simetrian matricon al bloka diagonala formo per speciala ortogonala transformo.\nSpecife, c\u0302iu 2n \u00d7 2n reala kontrau\u0306simetria matrico povas esti skribita en la formo A = da Q \u03c3 Q T kie Q estas ortogonala kaj"}, {"text_idx": "#000028", "text": "por reala \u03bb k .\nLa nonzereigenvalues de tiu matrico estas \u00b1 i\u03bb k .\nEn la strang-dimensia kazo da \u03c3 c\u0302iam havas almenau\u0306 unu kverelon kaj kolonon de nuloj."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Pli g\u0302enerale, c\u0302iu kompleksa kontrau\u0306simetria matrico povas esti skribita en la formo A = U \u03c3 U T kie U estas ke speciala unitaria (det (U) = 1) kaj \u03c3 havas la blok-diagonalan formon donitan supre kun kompleksa \u03bb k .\nTio estas ekzemplo de la Youla putrig\u0302o de kompleksa kvadratmatrico."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Misoblikva-simetria formo \u03c6 sur vektora spaco V super kampo K da arbitra karakterizaj\u0302o estas difinita por esti dulineara formo"}, {"text_idx": "#000031", "text": "tia ke por c\u0302iu v, w en V,"}, {"text_idx": "#000032", "text": "Tio difinas formon kun dezirindaj trajtoj por vektoraj spacoj super kampoj de karakterizaj\u0302o ne egala al 2, sed en vektora spaco super kampo de karakterizaj\u0302o 2, la difino estas ekvivalenta al tiu de simetria formo, c\u0302ar c\u0302iu elemento estas sia propra aldonaj\u0302o inversa."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Kie la vektora spaco V estas finita kampo de arbitra karakterizaj\u0302o inkluzive de karakterizaj\u0302o 2, ni povas difini alternan formon kiel dulinearforma \u03c6 tia ke por c\u0302iu vektoroj v en V"}, {"text_idx": "#000034", "text": "Tio estas ekvivalenta al misoblikva-simetria formo kiam la kampo ne estas de karakterizaj\u0302o 2 vide de"}, {"text_idx": "#000035", "text": "Dulineara formo \u03c6 estos reprezentita per matrico A tia ke \u03c6 ( v, w\nv T Oh, post kiam bazo de V estas elektita, kaj inverse n \u00d7 n matrico A sur K da n kau\u0306zas formon sendantan ( v, w) al v T Oh.\nPor c\u0302iu el simetriaj, misoblikva-simetriaj kaj alternado, formoj matricoj estas simetriaj, misoblikva-simetriaj kaj alternado respektive."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Kontrau\u0306simetriaj matricoj super la kampo de realaj nombroj formas la klavspacon al la reala ortogonala grupo O ( n) c\u0302e la identa matrico;\nformale, la speciala ortogonala Lie-algebro.\nEn tiu signifo, tiam, kontrau\u0306simetriaj matricoj povas esti opiniitaj de kiel infinitezimalaj rotacioj."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Alia maniero diri tio estas ke la spaco de kontrau\u0306simetriaj matricoj formas la Lie-algebron o ( n) de la Lie grupo O ( n).\nLa Lie-krampo sur tiu spaco ricevas per la kolektoro:"}, {"text_idx": "#000038", "text": "Estas facile kontroli ke la kolektoro de du kontrau\u0306simetriaj matricoj denove estas misoblikva-simetria:"}, {"text_idx": "#000039", "text": "La matriceksponento de kontrau\u0306simetria matrico A tiam estas ortogonala matrico R:"}, {"text_idx": "#000040", "text": "La bildo de la eksponenta mapo de Lie-algebro c\u0302iam kus\u0302as en la Koneksa komponanto de la Lie-grupo kiu enhavas la neu\u0306tran elementon.\nKoncerne la Lie-grupon O ( n), tio Koneksa komponanto estas la speciala ortogonala grupo TIEL ( n), konsistante el c\u0302iuj ortogonalaj matricoj kun determinanto 1-a Tiel R = eksp ( A) havos determinanton +1-an Krome, c\u0302ar la eksponenta mapo de ligita kompakta Mensoggrupo c\u0302iam estas surjektive, g\u0302i turnas ke c\u0302iu ortogonala matrico kun unuodeterminanto povas esti skribita kiel la eksponento de iu kontrau\u0306simetria matrico.\nEn la speciala grava kazo de dimensio n = 2, la eksponenta reprezentantaro por ortogonala matrico maldikig\u0302as al la bonkonata polusa formo de kompleksa nombro de unuomodulus.\nEfektive, se n 2, speciala ortogonala matrico havas la formon"}, {"text_idx": "#000041", "text": "kun 2 + b 2 = 1-a Tial, metante = kos\u03b8 kaj b = pekon \u03b8, g\u0302i povas esti skribita"}, {"text_idx": "#000042", "text": "kiu egalrilatas precize al la polusa formcos \u03b8 + isin \u03b8 = e i\u03b8 de kompleksa nombro de unuomodulus."}, {"text_idx": "#000043", "text": "ekde c\u0302iu ununura bloko de ordo 2 estas ankau\u0306 ortogonala matrico, g\u0302i koncedas eksponentan formon.\nEkvivalente, la matrico S skribas kiel eksponento de misoblikva-simetria blokmatrico \u03c3 de la formo supra, S = eksp (\u03c3), tiel ke R = Q eksp (\u03c3) Q T = eksp ( Q \u03a3Q T), eksponento de la kontrau\u0306simetria matrico Q \u03a3Q T.\nInverse, la surjektiveco de la eksponenta mapo, kune kun la supre menciita bloko-diagonaligo por kontrau\u0306simetriaj matricoj, implicas la bloko-diagonaligon por ortogonalaj matricoj."}, {"text_idx": "#000044", "text": "en ortonormalaj koordinatoj tiuj estas samaj la elementaj kontrau\u0306simetriaj matricoj.\nTiu karakterizado estas utiligita en interpretado de la buklo de vektora kampo (kompreneble 2-vektoro) kiel infinitezimala rotacio au\u0306 \"buklo\", tial la nomo."}, {"text_idx": "#000045", "text": "N - flank-n matrico A lau\u0306dire estas misoblikva-symmetrizable c\u0302u tie ekzistas invertebla diagonala matrico D kaj kontrau\u0306simetria matrico S tia ke S = DA.\nPor reala n - flank-n matricoj, foje la kondic\u0302o por D havi pozitivajn kontribuojn estas aldonita."}, {"text_idx": "#000049", "text": "En lineara algebro, kontrau\u0306simetria matrico au\u0306 deklivo-simetria matrico au\u0306 malsimetria matrico estas kvadrata matrico A kies transpono egalas al g\u0302ia negativo:"}, {"text_idx": "#000050", "text": "Tiel se la elementoj estas A=(aij), do aij=-aji por c\u0302iuj eblaj valoroj de i kaj j."}, {"text_idx": "#000051", "text": "Ekzemple, jena matrico estas deklivo-simetria:"}, {"text_idx": "#000052", "text": "Kompari c\u0302i tiu kun simetria matrico kies transponi estas la sama kiel la matrico :AT = A."}, {"text_idx": "#000053", "text": "Sumo de deklivo-simetriaj matricoj estas denove deklivo-simetria. Produtoj de deklivo-simetria matrico kun skalaro estas denove deklivo-simetria. Tiel, la deklivo-simetriaj matricoj formas vektoran spacon. G\u0302ia dimensio estas ."}, {"text_idx": "#000054", "text": "Se matrico A estas deklivo-simetria, kaj B estas ajna matrico, tiam produto BTAB estas deklivo-simetria."}, {"text_idx": "#000055", "text": "La \"deklivo-simetria komponanto\" de kvadrata matrico A estas la matrico ; la \"simetria komponanto\" de A estas ; la matrico A estas sumo de g\u0302ia simetria kaj deklivo-simetriaj komponantoj."}, {"text_idx": "#000056", "text": "A estas deklivo-simetria se kaj nur se xTAx = 0 por c\u0302iuj reelaj vektoroj x."}, {"text_idx": "#000057", "text": "C\u0302iuj c\u0302efdiagonalaj elementoj de kontrau\u0306simetria matrico estas nuloj, Tiel la spuro estas nulo."}, {"text_idx": "#000059", "text": "Do se n estas nepara la determinanto estas nulo. C\u0302i tiu rezulto estas jakobia teoremo."}, {"text_idx": "#000060", "text": "En la para-dimensia okazo, la determinanto de A por povas esti skribita kiel kvadrato de polinomo de elementoj de A (teoremo de Thomas Muir):"}, {"text_idx": "#000061", "text": "C\u0302i tiu polinomo estas signifita kiel Pf(A). Tial la determinanto de reela kontrau\u0306simetria matrico estas c\u0302iam nenegativa."}, {"text_idx": "#000062", "text": "La ajgenoj de kontrau\u0306simetria matrico c\u0302iam estas en paroj \u00b1\u03bb, escepti dn la nepara-dimensia okazo kiam estas aldona unuopa ajgeno 0. Por reela kontrau\u0306simetria matrico la c\u0302iuj nenulaj ajgenoj estas pure imaginaraj kaj tial estas de formo i\u03bb1, -i\u03bb1, i\u03bb2, -i\u03bb2, ..., kie c\u0302iuj \u03bbk estas reelaj."}, {"text_idx": "#000063", "text": "Reela deklivo-simetria matrico estas normala matrico (g\u0302i komutig\u0302i kun sia adjunkta matrico) kaj tial lau\u0306 la spektra teoremo reela kontrau\u0306simetria matrico povas esti diagonaligita per unita matrico. Pro tio ke ajgenoj de reela kontrau\u0306simetria matrico estas kompleksaj g\u0302in ne eblas diagonaligi per reela matrico. Tamen, c\u0302iun kontrau\u0306simetrian matrico eblas transformi al diagonala bloka matrico per orta matrico. Aparte, c\u0302iu 2n \u00d7 2n reela kontrau\u0306simetria matrico povas esti skribita en formo A=Q\u03a3QT kie Q estas orta kaj"}, {"text_idx": "#000064", "text": "por reelaj \u03bbk. La ajgenoj de c\u0302i tiu matrico estas \u00b1i\u03bbk. En la neparo-dimensia okazo \u03a3 havas almenau\u0306 unu linion de nuloj kaj almenau\u0306 unu kolumnon de nuloj."}, {"text_idx": "#000065", "text": "Alterna formo de vektora spaco V estas dulineara funkcio \u03c6(v, w) (v kaj w estas el V) tia ke"}, {"text_idx": "#000066", "text": "C\u0302i tia \u03c6(v, w) estas prezentata per kontrau\u0306simetria matrico A:"}, {"text_idx": "#000067", "text": "Disdivido de matrico en simetrian kaj deklivo-simetrian"}]