[{"text_idx": "#000002", "text": "Du kategorioj estas la samaj se ili havas la saman kolekton de objektoj, la saman kolekton de sagoj, kaj la saman asociecan metodon de kunmetado de ajna paro el sagoj.\nDu kategorioj ankau\u0306 povas esti konsideritaj \" ekvivalentaj \" por celoj de teorio de kategorioj, ec\u0302 se ili ne estas g\u0302uste la samaj."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Bonkonataj kategorioj estas indikitaj per mallonga kapitaligita vorto au\u0306 mallongigo en grasa skribo au\u0306 kursivo: ekzemploj inkludas aron , la kategorion da aroj kaj arfunkciojn;\nSonoregu , la kategorio da ringoj kaj ringohomomorfismoj;\nkaj Pinto , la kategorio da topologiaj spacoj kaj kontinuaj mapoj.\nC\u0302iuj la antau\u0306iradkategorioj havas la identecmapon kiel identecsago kaj kunmetaj\u0302on kiel la asocieca operacio sur sagoj."}, {"text_idx": "#000004", "text": "La klasika kaj dau\u0306re eluzita teksto en teorio de kategorioj estas Categories for the Working Mathematician (Kategorioj por la Laboraktiva Matematikisto) de Saunders Mac Lane.\nAliaj referencoj ricevas en la Referencoj malsupre.\nLa bazaj difinoj en tiu artikolo estas enhavitaj ene de la unuaj malmultaj c\u0302apitroj de iuj da tiuj libroj."}, {"text_idx": "#000005", "text": "3 Malgrandaj kaj grandaj kategorioj\n5 Konstruado de novaj kategorioj 5.1"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Ekzistas multaj ekvivalentaj difinoj de kategorio.\nOni ofte utiligis difinon estas kiel sekvas."}, {"text_idx": "#000008", "text": "tia ke la sekvaj aksiomoj tenas:"}, {"text_idx": "#000009", "text": "( identeco) por c\u0302iu objekto x, tie ekzistas morfismo 1 x :\nx \u2192 x (kelkaj verkintoj skribas identigaj\u0302on x ) postulis la identecmorfismon x, tia ke por c\u0302iu morfismo f:\n\u2192 x kaj c\u0302iu morfismo g:"}, {"text_idx": "#000010", "text": "De tiuj aksiomoj, oni povas pruvi ke ekzistas same unu-identeca morfismo por c\u0302iu objekto.\nKelkaj verkintoj utiligas burg\u0302onantan varion de la difino en kiu c\u0302iu objekto estas identigita kun la ekvivalenta identecmorfismo."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Kategorio C estas nomita malgranda c\u0302u kaj ob ( C) kaj hom ( C) estas fakte aroj kaj ne bonordaj klasoj, kaj grandaj alie.\nLoke malgranda kategorio estas kategorio tia ke por c\u0302iuj objektoj a kaj b, la hom-unuaklasa hom (, b) estas aro, vokis homset.\nMultaj gravaj kategorioj en matematiko (kiel ekzemple la kategorio da aroj), kvankam ne malgrande, estas almenau\u0306 loke malgrandaj."}, {"text_idx": "#000013", "text": "La klaso de c\u0302iuj aroj kune kun c\u0302iuj funkcioj inter aroj, kie kunmetaj\u0302o estas la kutima funkcia komponaj\u0302o, formas grandan kategorion, aron .\nG\u0302i estas la plej baza kaj la plej ofte uzita kategorio en matematiko.\nLa kategorio Rel konsistas el c\u0302iuj aroj, kun duargumentaj rilatoj kiel morfismoj.\nAbstraktado de rilatoj anstatau\u0306e de funkcioj donas alegoriojn anstatau\u0306e de kategorioj."}, {"text_idx": "#000014", "text": "C\u0302iu klaso povas esti rigardita kiel kategorio kies nuraj morfismoj estas la identecmorfismoj.\nTiaj kategorioj estas nomitaj diskretaj.\nPor iu antau\u0306fiksita aro I, la diskreta kategorio sur I estas la malgranda kategorio kiu havas la elementojn de mi kiel objektoj kaj nur la identecmorfismojn kiel morfismoj.\nDiskretaj kategorioj estas la plej simpla speco de kategorio."}, {"text_idx": "#000015", "text": "C\u0302iu preordigita aro ( P, \u2264) formas malgrandan kategorion, kie la objektoj estas la membroj de P, la morfismoj estas sagoj indikantaj de x g\u0302is y kiam x \u2264 y.\nInter c\u0302iuj du objektoj povas ekzisti maksimume unu morfismo.\nLa ekzisto de identecmorfismoj kaj la kunmeteblo de la morfismoj estas garantiita per la refleksiveco kaj la transitiveco de la preordo.\nPer la sama argumento, ajna partordon kaj c\u0302iu ekvivalentrilato povas esti vidita kiel malgranda kategorio.\nC\u0302iu numero povas esti vidita kiel kategorio kiam rigardite kiel ordigita aro."}, {"text_idx": "#000016", "text": "C\u0302iu monoida (ajna algebra strukturo kun ununura asocieca operacio kaj neu\u0306tra elemento) formas malgrandan kategorion kun ununura objekto x.\n(C\u0302i tie, x estas ajna fiksis metas.\nLa morfismoj de x g\u0302is x estas g\u0302uste la elementoj de la monoida, la identecmorfismo de x estas la identeco de la monoida, kaj la kategoria kunmetaj\u0302o de morfismoj ricevas per la monoida operacio.\nPluraj difinoj kaj teoremoj pri monoidoj povas esti g\u0302eneraligitaj por kategorioj."}, {"text_idx": "#000017", "text": "C\u0302iu grupo povas esti vidita kiel kategorio kun ununura objekto en kiu c\u0302iu morfismo estas invertebla (c\u0302ar c\u0302iu morfismo f ekzistas morfismo g kiu estas kaj maldekstra kaj dekstra inversa al f sub kunmetaj\u0302o) rigardante la grupon kiel reagante al si mem per maldekstra multipliko.\nMorfismo kiu estas invertebla en tiu signifo estas nomita izomorfio."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Groupoida estas kategorio en kiu c\u0302iu morfismo estas izomorfio.\nGrupoidoj estas g\u0302eneraligoj de grupoj, grupaj agoj kaj ekvivalentrilatoj."}, {"text_idx": "#000019", "text": "generas malgrandan kategorion: la objektoj estas la verdglacioj de la grafeo, kaj la morfismoj estas la padoj en la grafeo (pliigita kun bukloj kiel bezonate) kie kunmetaj\u0302o de morfismoj estas interligo de padoj.\nTia kategorio estas vokita la liberan kategorion generitan per la grafeo."}, {"text_idx": "#000020", "text": "La klaso de c\u0302iuj preordigitaj aroj kun monotonaj funkcioj kiel morfismoj formas kategorion, Ord .\nG\u0302i estas konkreta kategorio, t.e. kategorio akirita alkonstruante iun specon de strukturo sur aro, kaj postulante ke morfismoj estas funkcioj tiu rilato tio alkonstruis strukturon."}, {"text_idx": "#000021", "text": "La klaso de c\u0302iuj grupoj kun gruphomomorfismoj kiel morfismoj kaj funkcia komponaj\u0302o kiel la kunmetaj\u0302operacio formas grandan kategorion, Grp .\nKiel Ord, Grp estas konkreta kategorio.\nLa kategoria Ab , konsistante el c\u0302iuj abelaj grupoj kaj iliaj gruphomomorfismoj, estas plena subkategorio de Grp, kaj la prototipo de abela kategorio.\nAliaj ekzemploj de konkretaj kategorioj ricevas per la sekva tablo."}, {"text_idx": "#000023", "text": "La kategorio Cat konsistas el c\u0302iuj malgrandaj kategorioj, kun funktoroj inter ili kiel morfismoj."}, {"text_idx": "#000024", "text": "C\u0302iu kategorio C povas sin esti konsiderita novan kategorion lau\u0306 malsama maniero: la objektoj estas la sama kiel tiuj en la origina kategorio sed la sagoj estas tiuj de la origina kategorio inversigita.\nTio estas nomita la duobla au\u0306 kontrau\u0306 kategorio kaj estas indikita C operacio."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Se C kaj D estas kategorioj, oni povas formi la produktkategorion C \u00d7 D: la objektoj estas paroj konsistantaj el unu objekto de C kaj unu de D, kaj la morfismoj ankau\u0306 estas paroj, konsistante el unu morfismo el C kaj unu el D.\nTiaj paroj povas esti kunmetitaj komponentmaniero."}, {"text_idx": "#000027", "text": "La sekvaj tri deklaroj estas ekvivalentaj:"}, {"text_idx": "#000028", "text": "f estas monomorfismo kaj revoko;\nf estas epimorfismo kaj sekcio;"}, {"text_idx": "#000029", "text": "Rilatoj inter morfismoj (kiel ekzemple fg = h) povas plej komforte esti reprezentitaj kun kommutativaj diagramoj, kie la objektoj estas reprezentitaj kiel punktoj kaj la morfismoj kiel sagoj."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Pli alta teorio de kategorioj"}]