[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko kaj teoria fiziko, pseu\u0306d-eu\u0306klida spaco estas finhav-dimensia reala n - spaco kune kun ne-degenerita\nTia kvadrata formo povas, surbaze de tau\u0306ga elekto de bazo ( e 1\ne n ), esti aplikita al vektoro x = x 1 e 1\nx n e n , donante"}, {"text_idx": "#000002", "text": "Por eu\u0306klidaj spacoj, k = n , implicante ke la kvadrata formo estas pozitive difinita.\nKie 0 =\u0338 k =\u0338 n , q estas izotropa kvadrata formo.\nNotu tion se mi \u2264 k kaj j > k , tiam q ( e mi + e j ) = 0, tiel ke e mi + e j estas nulvektoro.\nEn pseu\u0306d-eu\u0306klida spaco kun k =\u0338 n , male al enen eu\u0306klida spaco, tie ekzistas vektoroj kun negativa magnitudo."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Kun la esprimo eu\u0306klida spaco, pseu\u0306d-eu\u0306klida spaco povas nomi au\u0306 afinan spacon au\u0306 vektoran spacon, kvankam c\u0302i-lasta ankau\u0306 povas esti referita kiel pseu\u0306d-eu\u0306klida vektora spaco [2] (vidu punkt-vektoran distingon)."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Pozitiva, nul, kaj negativaj magnitudoj\nParalelogramjuro kaj teoremo de Pitagoro"}, {"text_idx": "#000005", "text": "La geometrio de pseu\u0306d-eu\u0306klida spaco estas kohera malgrau\u0306 kolapso de la kelkaj trajtoj de eu\u0306klida spaco;\nplej precipe ke g\u0302i ne estas metrika spaco kiel klarigite malsupre.\nLa afina strukturo estas sens\u0302ang\u0302a, kaj tiel ankau\u0306 la konceptolinio, aviadilo kaj, g\u0302enerale, de afina subspaco ( plata), same kiel linipartoj."}, {"text_idx": "#000006", "text": "Pozitiva, nul, kaj negativaj magnitudoj"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Nulvektoro estas vektoro por kiu la kvadrata formo estas nul.\nMale al en eu\u0306klida spaco, la vektoro povas esti ne-nula, en kiu kazo g\u0302i estas ortogonala al si mem.\nKiam la pseu\u0306d-eu\u0306klida spaco disponigas modelon por spactempo (vidu malsupre), la nulkonuso estas nomita la lumkonuso de la origino."}, {"text_idx": "#000008", "text": "La nulkonuso apartigas du malfermitajn arojn, [3] por kiu q ( x)> 0 kaj q ( x)< 0.\nC\u0302u k \u2265 2, tiam la aro de vektoroj por kiu q ( x)> 0 estas ligitaj.\nSe k = 1, tiam g\u0302i konsistas el du dismetas partojn, unu kun x 1 > 0 kaj alia kun x 1 < 0.\nSimilaj deklaroj povas esti direktig\u0302is al vektoroj por kiu q ( x)< 0 se k estas anstatau\u0306igitaj kun n \u2212 k ."}, {"text_idx": "#000009", "text": "La signifo q egalrilatas al la kvadrato de vektoro (au\u0306 sia normo) en Eu\u0306klida kazo.\nPor difini la vektornormon (kaj distancigi) en senvaria maniero, oni devas ricevi kvadratajn radikojn de magnitudoj, kiu kondukas al eventuale imagaj distancoj;\nvidu kvadrata radiko de negativaj nombroj.\nSed ec\u0302 por triangulo kun pozitivaj magnitudoj de c\u0302iuj tri flankoj (kies kvadrataj radikoj estas realaj kaj pozitivaj), la neegalaj\u0302o de triangulo ne estas nepre vera."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Tial esprimoj normo kaj distanco estas evititaj en pseu\u0306d-eu\u0306klida geometrio, anstatau\u0306igita kun magnitudo kaj intervalo respektive."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Kvankam, por kurbo kies klavvektoroj c\u0302iuj havas la saman signon de magnitudo, la arklongo estas difinita.\nG\u0302i havas gravajn aplikojn: vidu bonordan tempon, ekzemple."}, {"text_idx": "#000012", "text": "La rotacio grupo de tia spaco estas senfina ortogonala grupo O ( q), ankau\u0306 indikita kiel O ( k, n \u2212 k) sen referenco al speciala kvadrata formo.\nTiaj \"rotacioj\" konservas la formon q kaj, tial, la signifon de c\u0302iu vektoro inkluzive de c\u0302u g\u0302i estas pozitiva, nul, au\u0306 negativa."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Tia hipersurfaco, nomita kvazau\u0306-sfero, estas konservita fare de la konvena senfina ortogonala grupo."}, {"text_idx": "#000014", "text": "La kvadrata formo q kau\u0306zas simetrian dulinearan formon difinitan jene:"}, {"text_idx": "#000015", "text": "Tiu dulineara formo ofte estas referita kiel la skalarprodukto, kaj foje kiel \"interna produkto\" au\u0306 \"skalarprodukto\", sed g\u0302i ne difinas internan produktospacon kaj g\u0302i ne havas la trajtojn de la skalarprodukto de vektoroj."}, {"text_idx": "#000016", "text": "La norma bazo de la reala n - spaco estas ortogonala.\nEkzistas neniuj ortonormalaj bazoj en pseu\u0306d-eu\u0306klida spaco por kiu la dulineara formo estas senfina, c\u0302ar ne povas esti uzite difini vektornormon."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Por (pozitiv-dimensia) subspaco [5] U de pseu\u0306d-eu\u0306klida regiono, kiam la signifformularo q estas malvastanima al U , sekvi tri kazojn estas eblaj:"}, {"text_idx": "#000019", "text": "Unu el la plej multaj malharmoniaj trajtoj (por Eu\u0306klida intuicio) de pseu\u0306d-eu\u0306klidaj vektoroj kaj apartamentoj estas ilia Orteco.\nKiam du ne-nulaj vektoroj estas perpendikularaj, ili ne estas samliniaj.\nSed la difino de la antau\u0306a subfako tuj implicas ke c\u0302iu vektoro \u03bd de nulmagnitudo estas perpendikulara al si mem.\nTial, por la 1-subspace N = \u27e8 \u03bd \u27e9 generita per tia ne-nula vektoro, g\u0302ia ortogonala komplemento da N \u22a5 estos superspaco de N ."}, {"text_idx": "#000020", "text": "La formala difino de la ortogonala komplemento de vektorsubspaco en pseu\u0306d-eu\u0306klida regiono donas tute klare difinitan rezulton, kiu kontentigas la egalecan malklaran U + malklaran U \u22a5 = n pro la ne-degenereco de la signifformularo.\nG\u0302i estas j\u0302us la kondic\u0302o"}, {"text_idx": "#000021", "text": "au\u0306, ekvivalente, U + U \u22a5 = c\u0302io spaco,"}, {"text_idx": "#000022", "text": "kiu povas esti rompita se la subspaco U enhavas nuldirekton.\nDum subspacoj formas kradon, kiel en iu vektora spaco, tiu \u22a5 operacio ne estas ortosuplementado, kontraste al interna produktospacoj."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Por subspaco N kunmetita tute de nulvektoroj (kiu signifas ke la signifo q , malvastanima al N , egalas al 0), c\u0302iam tenas:"}, {"text_idx": "#000025", "text": "Tia subspaco povas havi g\u0302is min. ( k, n \u2212 k) grandeco."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Por (pozitiva) Eu\u0306klida k - subspaco g\u0302ia ortogonala komplemento estas ( n \u2212 k) - dimensia negativa \"Eu\u0306klida\" subspaco, kaj inverse.\nG\u0302enerale, por ( d + + d \u2212 + d 0) - dimensia subspaco U konsistanta el d + pozitiva kaj d \u2212 negativa grandeco (vidu leg\u0302o de inercio de Sylvester por klarigo), g\u0302ia ortogonala \"komplemento\" U \u22a5 havas ( k \u2212 d + \u2212 d 0) pozitivajn kaj ( n \u2212 k \u2212 d \u2212 \u2212 d 0) negativajn grandecon, dum la resto da d 0 ili estas degeneritaj kaj formas la U \u2229 U \u22a5 intersekcig\u0302o."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Paralelogramjuro kaj teoremo de Pitagoro"}, {"text_idx": "#000028", "text": "La paralelogramleg\u0302o prenas la formon"}, {"text_idx": "#000029", "text": "Uzante la kvadraton de la sum identeco, por arbitra triangulo oni povas esprimi la signifon de la tria flanko de magnitudoj de du flankoj kaj ilian dulinearforman produkton:"}, {"text_idx": "#000030", "text": "\\displaistile q (x y) = q (x) +q (y) +2\\langle x, i\\rangle."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Tio montras ke, por ortogonalaj vektoroj, pseu\u0306d-eu\u0306klida analogaj\u0302o de la pitagorea teoremo tenas:"}, {"text_idx": "#000032", "text": "\\displaistile \\langle x, i\\rangle 0\\Rightarrow q (x) +q (y) = q (x y)."}, {"text_idx": "#000034", "text": "kiu permesas difini hiperbolan angulon, analogaj\u0302on de angulo inter tiuj vektoroj tra inversa hiperbola kosinuso:"}, {"text_idx": "#000035", "text": "G\u0302i egalrilatas al la distanco sur ( n \u2212 1) - dimensia hiperbola spaco.\nTio estas konata kiel rapideco en la kunteksto de fizika relativeco diskutita malsupre.\nMale al Eu\u0306klida angulo, g\u0302i prenas valorojn de [0, +\u221e) kaj egalas al 0 por kontrau\u0306paralelaj vektoroj."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Ekzistas neniu akceptebla difino de la angulo inter nulvektoro kaj alia vektoro (au\u0306 nulo au\u0306 ne-nulo)."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Kiel eu\u0306klidaj spacoj, c\u0302iu pseu\u0306d-eu\u0306klida spaco posedas geometrian algebron.\nMale al trajtoj supra, kie anstatau\u0306igo de q al \u2212 q s\u0302ang\u0302is nombrojn sed ne geometrio, la signinversigo de la signifformularo fakte s\u0302ang\u0302as Cl , tiel ke ekzemple Cl1,2 ( R) kaj Cl2,1 ( R) ne estas izomorfaj."}, {"text_idx": "#000038", "text": "Nur s\u0302atu super iu vektora spaco, ekzistas pseu\u0306d-eu\u0306klidaj tensoroj.\nLike kun Eu\u0306klida strukturo, ekzistas altigo kaj malaltigante indic funkciigistojn sed, male al la kazo kun Eu\u0306klidaj tensoroj, ekzistas neniuj bazoj kie tiuj operacioj ne s\u0302ang\u0302as valorojn de komponentoj.\nSe ekzistas vektoro v \u03b2 , la ekvivalenta kovariaj\u0302vektoro estas:"}, {"text_idx": "#000039", "text": "la unuaj k komponentoj de v \u03b1 estas nombre la sama kiel tiaj da v \u03b2 , sed la resto da n \u2212 k havas kontrau\u0306 signoj."}, {"text_idx": "#000040", "text": "La korespondado inter kontrau\u0306variaj\u0302o kaj kovariaj\u0302tensoroj igas tensorkalkig\u0302on sur pseu\u0306do-Riemannian duktoj analoga al unu sur Riemanianaj duktoj."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Gravega pseu\u0306d-eu\u0306klida spaco estas spaco de Minkowski, kiu estas la matematika scenaro en kiu la teorio de Albert Einstein de speciala teorio de relativeco estas formulita.\nPor spaco de Minkowski, n = 4 kaj k = 3 [9] tiel ke"}, {"text_idx": "#000042", "text": "La geometrio asociita kun tiu pseu\u0306do-metriko estis esplorita fare de Poincare\u0301.\nG\u0302ia turnada grupo estas la Lorentz-grupo.\nLa Poincare\u0301-grupo ankau\u0306 inkludas tradukojn kaj ludas la saman rolon kiel Eu\u0306klidaj grupoj de ordinaraj eu\u0306klidaj spacoj."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Alia pseu\u0306d-eu\u0306klida spaco estas la aviadilo z = x + y j konsistanta el disig-kompleksaj nombroj, provizitaj per la kvadrata formo"}, {"text_idx": "#000044", "text": "Tio estas la plej simpla kazo de idefinito-pseu\u0306d-eu\u0306klida spaco ( n = 2, k = 1) kaj la nura unu kie la nulkonuso dissekcas la spacon al kvar malfermitaj aroj.\nLa grupo TIEL + (1, 1) konsistas el tiel nomitajn hiperbolajn rotaciojn."}]