[{"text_idx": "#000002", "text": "En matematiko, la integralo de ne-negativa funkcio de ununura variablo povas esti rigardita, en la plej simpla kazo, kiel la areo inter la grafeo de tiu funkcio kaj la x - akso.\nLa Lebesgue-integralo etendas la integritan al pli granda klaso de funkcioj.\nG\u0302i ankau\u0306 etendas la domajnojn sur kiuj tiuj funkcioj povas esti difinitaj."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Long antau\u0306 la apero de la 20-a jarcento, matematikistoj jam komprenis ke por ne-negativaj funkcioj kun sufic\u0302e glata grafeo - kiel ekzemple kontinuaj funkcioj sur fermitajn saltitajn intervalojn - la areo sub la kurbo povus esti difinita kiel la integralo, kaj komputis uzanta-aproksimadoteknikojn sur la regiono de pluranguloj.\nTamen, kiel la bezono pripensi pli neregulaj funkcioj ekestis - ekz., kiel rezulto de la limigaj procezoj de analitiko kaj la matematika teorio de vers\u0302ajneco - g\u0302i ig\u0302is klara ke pli zorgemaj aproksimadoteknikoj estis necesaj por difini tau\u0306gan integralon.\nAnkau\u0306, oni eble deziros integri sur spacoj pli da generalo ol la reala linio.\nLa Lebesgue-integralo disponigas la dekstrajn abstraktadojn necesaj farendaj\u0302o tiun gravan taskon."}, {"text_idx": "#000004", "text": "La Lebesgue-integralo ludas gravan rolon en probablokalkulo, en la branc\u0302o de matematiko nomita reela analitiko kaj en multaj aliaj kampoj en la matematikaj sciencoj.\nG\u0302i estas nomita lau\u0306 Henri Leon Lebesgue (1875-1941), kiu lanc\u0302is la integralon ( Lebesgue 1904).\nG\u0302i ankau\u0306 estas pivota parto de la aksioma teorio de vers\u0302ajneco."}, {"text_idx": "#000005", "text": "La esprimo Lebesgue integrig\u0302o povas signifi au\u0306 la g\u0302eneralan teorion de integrig\u0302o de funkcio kun respekto al g\u0302enerala kvanto, kiel lanc\u0302ite fare de Lebesgue, au\u0306 la specifa kazo de integrig\u0302o de funkcio difinis sur sub-domajno de la reala linio kun respekto al Lebesgue-iniciato."}, {"text_idx": "#000007", "text": "La integralo de funkcio f inter limoj a kaj b povas esti interpretita kiel la areo sub la grafeo de f .\nTio estas facila por kompreni por konataj funkcioj kiel ekzemple polinomoj, sed kion lau\u0306 kion g\u0302i signifas por pli ekzotikaj funkcioj?\nG\u0302enerale, por kiu klaso de funkcioj faras \"areon sub la kurbo\" soni racie?\nLa respondo al tiu demando havas grandan teorian kaj praktikan gravecon."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Kiel parto de g\u0302enerala movado direkte al rigoro en matematiko en la deknau\u0306a jarcento, matematikistoj provis surs\u0302miri integralan kalkulon certa fundament.\nLa Riemann-integralo - svatita fare de Bernhard Riemann (1826-1866) - estas larg\u0302e sukcesa provo disponigi tian fonduson.\nLa difino de Riemann komencig\u0302as per la konstruado de sekvenco de facile kalkulitaj areoj kiuj konverg\u0302as al la integralo de antau\u0306fiksita funkcio.\nTiu difino estas sukcesa en la senco ke g\u0302i donas la atendatan respondon por multaj jam-solvitaj problemoj, kaj donas utilajn rezultojn por multaj aliaj problemoj."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Tamen, Riemann-integrig\u0302o ne interagas bone kun c\u0302armaj limoj de sekvencoj de funkcioj, igante tiajn limigajn procezojn malfacilaj analizi.\nTio estas grava, ekzemple, en la studo de Fourier-serio, Fourier transformas, kaj aliaj temoj.\nLa Lebesgue-integralo povas pli bone priskribi kiel kaj kiam estas eble preni limojn sub la integrita signo (per la potenca monotona konverg\u0302teoremo kaj dominita konverg\u0302teoremo)."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Dum la Riemann-integralo konsideras la areon sub kurbo faritan el vertikalaj rektanguloj, la Lebesgue-difino pripensas horizontalajn slabojn kiuj ne estas nepre j\u0302us rektanguloj, kaj tiel g\u0302i estas pli fleksebla.\n, La Lebesgue-difino estas ebla kalkuli integralojn por pli larg\u0302a klaso de funkcioj.\nEkzemple, la Dirichlet-funkcio, kiu estas 0 kie g\u0302ia argumento estas neraciaj kaj 1 alie, havas Lebesgue-integralon, sed ne havas Riemann-integralon.\nKrome, la Lebesgue-integralo de tiu funkcio estas nul, kiu konsentas kun la intuicio ke dum elektado de reala nombro unuforme c\u0302e hazarda de la unuobla intervalo, la probableco de elektado de racia nombro devus esti nul."}, {"text_idx": "#000012", "text": "mi devas pagi certan sumon, kiun mi kolektis en I pos\u0302o.\nmi prenas la fakturojn kaj monerojn el I pos\u0302o kaj donas ilin al la kreditoro en la sinsekvo kiun mi trovas al ili g\u0302is mi atingis la totalan sumon.\nSed I povas dau\u0306rigi alimaniere.\nPost kiam mi prenis la tutan monon el I pos\u0302o kiun mi ordigas al la fakturoj kaj moneroj lau\u0306 identaj valoroj kaj tiam mi pagas la plurajn stakojn unu- post la alie al la kreditoro."}, {"text_idx": "#000013", "text": "La kompreno estas tiu unu devus povi rearang\u0302i la valorojn de funkcio libere, konservante la valoron de la integralo.\nTiu procezo de rearang\u0302o povas konverti tre patologian funkcion en tian kiu estas \"bela\" de la perspektivo de integrig\u0302o, kaj tiel lasas tiajn patologiajn funkciojn esti integritaj."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Ricevi iun intuicion c\u0302irkau\u0306 la malsamaj aliroj al integrig\u0302o, lasis nin imagi ke ni volas trovi la volumenon de monto (super marnivelo)."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Dividu la fundamenton de la monto en du kradojn da 1-metra kvadrato c\u0302iu;\nunu krado kie c\u0302iuj kvadratfinoj super la monto krom c\u0302e unu poento (la maksaproksimado), kaj alia krado kie c\u0302iu kvadrato finig\u0302as sub la monto krom c\u0302e unu poento (la min.aproksimado).\nLa volumeno de iu ununura kradkvadrato estas sama 1 -m2 \u00d7 (la alteco de tiu kvadrato).\nAl La totalvolumeno estas alproksimigita de supre kaj malsupre per c\u0302iu respektiva krado, kaj konverg\u0302as (sub antau\u0306fiksitaj kondic\u0302oj) al ilia mezvaloro kiam c\u0302iu kradareo estas reduktita."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Remizo altecmapo de la monto, kie apudaj konturoj estas 1 metro de alteco dise.\nLa volumeno el tero kiun ununura konturslabo enhavas estas sama 1 m \u00d7 (kiu la areo de konturo).\nAl La totalvolumeno estas alproksimigita per la sumo de tiuj volumoj kaj konverg\u0302as (sub antau\u0306fiksitaj kondic\u0302oj) al unika sumo kiam la alteco de c\u0302iu slabo estas reduktita."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Folland resumas la diferencon inter la Riemann- kaj Lebesgue-aliroj tiel: \"por komputi la Riemann-integralon de f , oni dividas la domajnon [, b] en subintervalojn\", dum en la Lebesgue-integralo, \"oni en efiko dividas la intervalon de f .\""}, {"text_idx": "#000018", "text": "Difini la Lebesgue-integralon postulas la formalan nocion de kvanto kiu, malglate, asocias al c\u0302iu aro A de realaj nombroj nenegativnombron da \u03bc ( A) reprezentanta la \"grandecon\" de A .\nTiu nocio de \"grandeco\" devus konsenti kun la kutima longo de intervalo au\u0306 disan union de intervaloj.\nSupozu ke f: R \u2192 R + estas ne-negativa real-aprezita funkcio.\nUtiligante la \"partigon la intervalon da f \" filozofion, la integralo de f devus esti la sumo super t da la elementa areo enhavita en la maldika horizontala strio inter y = t kaj y = dt + t .\nTiu elementa areo estas justa"}, {"text_idx": "#000019", "text": "La Lebesgue-integralo de f tiam estas difinita per [2]"}, {"text_idx": "#000020", "text": "kie la integralo dekstraflanke estas ordinara nedeca Riemann-integralo (noto tiu f \u2217 estas ne-negativa malkreskanta funkcio, kaj tial havas klare difinitan nedecan Riemann-integralon).\nPor tau\u0306ga klaso de funkcioj (la mezureblaj funkcioj), tio difinas la Lebesgue-integralon."}, {"text_idx": "#000021", "text": "G\u0302enerala (ne nepre pozitiva) funkcio f estas Lebesgue integrabla se la areo inter la grafeo de f kaj la x - akso estas finhavaj:"}, {"text_idx": "#000022", "text": "En tiu kazo, la integralo estas, kiel en la Riemaniana kazo, la diferenco inter la areo super la x - akso kaj la areo sub la x - akso:"}, {"text_idx": "#000023", "text": "La diskuto kiu sekvas egalas la plej oftan klarigantan aliron al la Lebesgue-integralo.\nEn tiu aliro, la teorio de integrig\u0302o havas du apartajn partojn:"}, {"text_idx": "#000024", "text": "Teorio de mezureblaj aroj kaj iniciatoj sur tiuj aktoraroj\nTeorio de mezureblaj funkcioj kaj integraloj sur tiuj funkcioj"}, {"text_idx": "#000025", "text": "La funkcio kies integralo troveblas tiam estas aproksimita per certaj tielnomitaj simplaj funkcioj, kies integraloj povas esti skribitaj lau\u0306 la iniciato.\nLa integralo de la origina funkcio tiam estas la limo de la integralo de la simplaj funkcioj."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Mezura teorio estis komence kreita por disponigi utilan abstraktadon de la nocio de longo de subaroj da la reala linio - kaj, pli g\u0302enerale, areon kaj volumenon de subaroj de eu\u0306klidaj spacoj.\nAparte, g\u0302i disponigis sisteman respondon al la demando de kiu subaroj de R havas longon.\nC\u0302ar pli postaj aroteorio evoluoj montris (vidu ne-mezureblan aron), estas fakte maleble asigni longon al c\u0302iuj subaroj de R en maniero kiel kiu konservas iun naturan aditivecon kaj tradukon envariancotrajtoj.\nTio indikas ke elekti tau\u0306gan klason de mezureblaj subaroj estas esenca antau\u0306kondic\u0302o."}, {"text_idx": "#000027", "text": "La Riemann-integralo uzas la nocion de longo eksplicite.\nEfektive, la elemento de kalkulo por la Riemann-integralo estas la rektangulo [, b\nc, d], kies areo estas kalkulita por esti ( b \u2212 ) ( d \u2212 c).\nLa kvanto da b \u2212 estas la longo de la bazo de la rektangulo kaj d \u2212 c estas la alteco de la rektangulo.\nRiemann povis nur uzi planar rektangulojn por alproksimig\u0302i al la areo sub la kurbo, c\u0302ar ekzistis neniu adekvata teorio por mezurado pli g\u0302eneralaj aroj."}, {"text_idx": "#000028", "text": "En la evoluo de la teorio en la plej multaj modernaj lernolibroj (post 1950), la aliro al iniciato kaj integrig\u0302o estas aksioma.\nTio signifas ke kvanto estas ajna funkcio \u03bc difinita sur certa klaso X de subaroj de aro E, kiu kontentigas certan liston de trajtoj.\nTiuj trajtoj povas esti montritaj teni en multaj malsamaj kazoj."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Ni komencas kun iniciatspaco ( E, X, \u03bc) kie E estas aro, X estas \u03c3-algebro de subaroj de E , kaj \u03bc estas ( ne-negativa) kvanto sur E difinita sur la aktoraroj de X ."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Ekzemple, E povas esti Eu\u0306klida n - spaco R n au\u0306 iu Lebesgue-mezurebla subaro de g\u0302i, X estas la \u03c3-algebro de c\u0302iuj Lebesgue-mezureblaj subaroj de E , kaj \u03bc estas la Lebesgue-iniciato.\nEn la matematika teorio de vers\u0302ajneco, ni limigas nian studon al vers\u0302ajnec iniciato \u03bc, kiu kontentigas \u03bc ( E) = 1."}, {"text_idx": "#000031", "text": "La teorio de Lebesgue difinas integralojn por klaso de funkcioj vokis mezureblajn funkciojn.\nReal-aprezita funkcio f sur E estas mezurebla se la antau\u0306-bildo de c\u0302iu intervalo de la formo ( t"}, {"text_idx": "#000032", "text": "Ni povas montri ke tio estas ekvivalenta al postulado ke la antau\u0306-bildo de iu Borel subaro de R estu en X .\nLa aro da mezureblaj funkcioj estas fermita sub algebraj operacioj, sed pli grave g\u0302i estas fermita sub diversaj specoj de punkt-maniero sinsekvaj limoj:"}, {"text_idx": "#000033", "text": "estas mezureblaj se la origina sekvenco ( f k ) k , kie k \u2208 N, konsistas el mezureblaj funkcioj."}, {"text_idx": "#000034", "text": "por mezureblaj real-aprezitaj funkcioj f difinita sur E en stadioj:"}, {"text_idx": "#000035", "text": "Indikilo funkcias: Por asigni valoron al la integralo de la indikilfunkcio 1 S da mezurebla aro S kongrua kun la antau\u0306fiksita mezuras al \u03bc, la nura akceptebla elekto devas meti:"}, {"text_idx": "#000036", "text": "Rimarkas ke la rezulto povas esti egala al +\u221e, se \u03bc ne estas finhava kvanto."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Simplaj funkcioj: finhava lineara kombinaj\u0302o de indikilfunkcioj"}, {"text_idx": "#000038", "text": "kie la koeficientoj k estas realaj nombroj kaj kiujn la aroj Sk estas mezureblaj, estas nomitaj mezurebla simpla funkcio.\nNi etendas la integralon de lineareco por ne-malaprobi mezureblajn simplajn funkciojn.\nKiam la koeficient ak estas ne-negativa, ni metis"}, {"text_idx": "#000039", "text": "La kongreso 0-\u00d7 \u221e = 0 devas esti uzitaj, kaj la rezulto povas esti senfina.\nEc\u0302 se simpla funkcio povas esti skribita lau\u0306 multaj manieroj kiel lineara kombinaj\u0302o de indikilfunkcioj, la integralo c\u0302iam estas la sama.\nTio povas esti montrita uzante la aditivecposedaj\u0302on de iniciatoj."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Iom da prizorgo estas necesa dum difinado de la integralo de real-aprezita simpla funkcio, por eviti la nedifinitan esprimon\n: oni supozas ke la reprezentantaro"}, {"text_idx": "#000041", "text": "estas tia ke \u03bc ( S da k\nkiam ajn k =\u0338 0.\nTiam c\u0302i-supra formulo por la integralo de f sonas racie, kaj la rezulto ne dependas sur la akurata reprezentado de f kontentiganta la supozojn."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Se B estas mezurebla subaro da E kaj s estas mezurebla simpla funkcio oni difinas"}, {"text_idx": "#000043", "text": "Non-negativaj funkcioj: Lasu f esti ne-negativa mezurebla funkcio sur E , kiun ni permesas ekhavi la valor+\u221e, en aliaj vortoj, f prenas ne-negativajn valorojn en la plilongigita realnombra linio."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Ni devas montri ke tiu integralo koincidas kun la antau\u0306irado unu, difinita sur la aktoraro de simplaj funkcioj, kiam E estas segmento [, b].\nEkzistas ankau\u0306 la demando de c\u0302u tio korespondas en iu vojo al Riemann-nocio de integrig\u0302o.\nEstas eble pruvi ke la respondo al ambau\u0306 demandoj estas jes."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Ni difinis la integralon de f por iu ne-negativan plilongigitan real-aprezitan mezureblan funkcion sur E.\nPor kelkaj funkcioj, tiu integrita \u222b E f d\u03bc estas senfina."}, {"text_idx": "#000046", "text": "Subskribitaj funkcioj: Por pritrakti subskribitajn funkciojn, ni bezonas kelkaj pli da difinoj.\nSe f estas mezurebla funkcio da la aro E al la realoj (inkluzive de \u00b1\u221e), tiam ni povas skribi"}, {"text_idx": "#000047", "text": "Notu ke kaj f + kaj f \u2212 estas ne-negativaj mezureblaj funkcioj."}, {"text_idx": "#000049", "text": "ni diras ke f estas Lebesgue integrabla."}, {"text_idx": "#000050", "text": "G\u0302i turnas ke tiu difino donas la dezirindajn trajtojn de la integralo."}, {"text_idx": "#000051", "text": "Kompleksaj aprezitaj funkcioj povas esti simile integritaj, per pripensado de la reela parto kaj la imaginara parto aparte."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Se h = f + ig por real-aprezitaj integrablaj funkcioj f, g, tiam per la integralo de h estas difinita"}, {"text_idx": "#000053", "text": "La funkcio estas Lebesgue integrabla se kaj nur se g\u0302ia absoluta valoro estas Lebesgue integrabla (vidu Absolute integrablan funkcion)."}, {"text_idx": "#000054", "text": "Pripensu la indikilfunkcion de la raciaj nombroj, 1 Q .\nTiu funkcio estas nenie kontinua."}, {"text_idx": "#000055", "text": "Tiel la supraj Darbou\u0306-sumoj estas c\u0302io oni, kaj la pli malaltaj Darbou\u0306-sumoj estas c\u0302iuj nul."}, {"text_idx": "#000056", "text": "Teknika temo en Lebesgue-integrig\u0302o estas ke la domajno de integrig\u0302o estas difinita kiel aro (subaro de iniciatspaco), kun neniu nocio de orientig\u0302o.\nEn elementa kalkulado, oni difinas integrig\u0302on kun respekto al orientig\u0302o:"}, {"text_idx": "#000057", "text": "G\u0302eneraligante tion al pli alta grandeca rendimentintegrig\u0302o de diferencigaj formoj.\nKompare, Lebesgue-integrig\u0302o disponigas alternativan g\u0302eneraligon, integrante super subaroj kun respekto al kvanto;\ntio povas esti notateita kiel"}, {"text_idx": "#000058", "text": "indiki integrig\u0302on pli ol subaro A .\nPor detaloj sur la rilato inter tiuj g\u0302eneraligoj, vidas Diferencigan form\u00a7 Relation kun iniciatoj."}, {"text_idx": "#000059", "text": "C\u0302i tie ni diskutas la limigojn de la Riemann-integralo kaj la pli grandan amplekson ofertitan per la Lebesgue-integralo.\nTiu diskuto supozas laborkomprenon de la Riemann-integralo."}, {"text_idx": "#000060", "text": "La aperon de Fourier-serio, multaj analizaj problemoj implikantaj integralojn elpensis kies kontentiga solvo postulis inters\u0302ang\u0302ante limprocezojn kaj integritajn signojn.\nTamen, la kondic\u0302oj sub kiu la integraloj"}, {"text_idx": "#000061", "text": "estas egalaj pruvis tre pasema en la Riemann-kadro.\nEkzistas iuj aliaj teknikaj malfacilaj\u0302oj kun la Riemann-integralo.\nTiuj estas interligitaj kun la lim-prenanta malfacileco diskutita supre."}, {"text_idx": "#000062", "text": "Kiel montrite supre, la indikilfunkcio 1 Q sur la rationals ne estas Riemann integrabla.\nAparte, la Monotona konverg\u0302teoremo malsukcesas.\nesti listigo de c\u0302iuj raciaj nombroj en [0, 1] (ili estas nombreblaj tiel tio povas esti farita."}, {"text_idx": "#000063", "text": "La funkcio g da k estas nul c\u0302ie, krom sur finhava aktoraro de punktoj.\nTial g\u0302ia Riemann-integralo estas nul.\nC\u0302iu g da k estas ne-negativa, kaj tiu sekvenco de funkcioj estas monotonical kreskanta, sed sia limo kiel k\n1 Q estas, kio ne estas Riemann integrabla."}, {"text_idx": "#000064", "text": "La Riemann-integralo povas nur integri funkciojn sur saltita intervalo.\nG\u0302i povas tamen esti etendita al nelimigitaj intervaloj prenante limojn, tiel longajn kiel kiel ekzemple tio ne donas respondon"}, {"text_idx": "#000065", "text": "Integrado sur strukturoj krom eu\u0306klida spaco.\nLa Riemann-integralo estas nesolveble ligita al la ordostrukturo de la reala linio."}, {"text_idx": "#000066", "text": "Bazaj teoremoj de la Lebesgue-integralo"}, {"text_idx": "#000067", "text": "La Lebesgue-integralo ne distingas inter funkcioj kiuj malsamas nur sur aktoraro de \u03bc-iniciata nul.\nPor igi tion preciza, funkcioj f kaj g lau\u0306dire estas egalaj preskau\u0306 c\u0302ie (a.e."}, {"text_idx": "#000068", "text": "Se f, g estas ne-negativaj mezureblaj funkcioj (eventuale supozante la valor+\u221e) tia ke f = g preskau\u0306 c\u0302ie, tiam"}, {"text_idx": "#000069", "text": "Al spriteco, la integralo respektas la ekvivalentrilaton de preskau\u0306 c\u0302ie egaleco."}, {"text_idx": "#000070", "text": "Se f, g estas funkcioj tia ke f = g preskau\u0306 c\u0302ie, tiam f estas Lebesgue integrablaj se kaj nur Se g estas Lebesgue integrabla, kaj la integraloj de f kaj g estas la samaj se ili ekzistas."}, {"text_idx": "#000072", "text": "Lineareco: Se f kaj g estas Lebesgue-integrablaj funkcioj kaj a kaj b estas realaj nombroj, tiam af + bg estas Lebesgue integrablaj kaj"}, {"text_idx": "#000073", "text": "Monotonicity: Se f \u2264 g , tiam"}, {"text_idx": "#000074", "text": "k \u2208 N estas sekvenco de ne-negativaj mezureblaj funkcioj tia ke"}, {"text_idx": "#000075", "text": "Tiam, la punktmanierlimo f de f k estas Lebesgue mezurebla kaj"}, {"text_idx": "#000076", "text": "La valoro de iuj da la integraloj estas permesita esti senfina."}, {"text_idx": "#000077", "text": "k \u2208 N estas sekvenco de ne-negativaj mezureblaj funkcioj, tiam"}, {"text_idx": "#000078", "text": "Denove, la valoro de iuj da la integraloj povas esti senfina."}, {"text_idx": "#000080", "text": "Tiam, f estas Lebesgue integrabla kaj"}, {"text_idx": "#000081", "text": "Por ilustri kelkajn el la pruvteknikoj uzitaj en Lebesgue-integrig\u0302teorio, ni skizas pruvon da la supre menciita Lebesgue-monotona konverg\u0302teoremo.\nk \u2208 N estu ne-malkreskanta sekvenco de ne-negativaj mezureblaj funkcioj kaj metu"}, {"text_idx": "#000082", "text": "Proksime de la monotonecposedaj\u0302o de la integralo, estas tuje ke:"}, {"text_idx": "#000083", "text": "kaj la limo dekstraflanke ekzistas, c\u0302ar la sekvenco estas monotona.\nNi nun pruvas la malegalecon en la alia direkto.\nG\u0302i sekvas el la difino de integralo kiu ekzistas ne-malkreskanta sekvenco ( g da n ) da ne-negativaj simplaj funkcioj tia ke g da n \u2264 f kaj"}, {"text_idx": "#000084", "text": "Tial, g\u0302i sufic\u0302as por pruvi tion por c\u0302iu n \u2208 N,"}, {"text_idx": "#000085", "text": "Ni montros ke se g estas simpla funkcio kaj"}, {"text_idx": "#000086", "text": "Detruante la funkcion g en g\u0302iajn konstantajn valorpartojn, tio reduktas al la kazo en kiu g estas la indikilfunkcio de aro.\nLa rezulto kiun ni devas pruvi tiam estas"}, {"text_idx": "#000087", "text": "k \u2208 N estas nemalpliig\u0302adsekvenco de ne-negativaj mezureblaj funkcioj sur E tia ke"}, {"text_idx": "#000088", "text": "por preskau\u0306 c\u0302io x \u2208 A ."}, {"text_idx": "#000089", "text": "Pruvi tiun rezulton, fiksi \u03b5 > 0 kaj difini la sekvencon de mezureblaj aroj"}, {"text_idx": "#000090", "text": "De monotoneco de la integralo, g\u0302i sekvas tion por iu k \u2208 N,"}, {"text_idx": "#000091", "text": "C\u0302ar preskau\u0306 c\u0302iu x estas en Bk por sufic\u0302e granda k , ni havas"}, {"text_idx": "#000092", "text": "g\u0302is aro de iniciato 0.\nTiel per nombrebla aditiveco de \u03bc , kaj c\u0302ar Bk pliig\u0302as kun k ,"}, {"text_idx": "#000096", "text": "kreskanta nombra vico estas, tial g\u0302ia limo ekzistas, ec\u0302 se g\u0302i estas egala al \u221e."}, {"text_idx": "#000097", "text": "por c\u0302iu n , tiel ke"}, {"text_idx": "#000098", "text": "Nun ni devas establi la inversan malegalecon.\nSolvo \u03b1 \u2208 (0, 1), lasis \u03c6 esti simplanima funkcio kun 0 \u2264 \u03c6 \u2264 f kaj lasi"}, {"text_idx": "#000099", "text": "Tio estas vera por c\u0302iu n , inkluzive de la limo:"}, {"text_idx": "#000100", "text": "Tio estis vera por c\u0302iu \u03b1 \u2208 (0, 1), tiel ke g\u0302i restas vera por \u03b1 = 1, kaj prenante la Precizan supran randon super simpla \u03c6 \u2264 f de la difino de integrig\u0302o en L + ,"}, {"text_idx": "#000101", "text": "Nun ni havas ambau\u0306 neegalaj\u0302ojn, tiel ke ni montris la Monotone Convergence-teoremon:"}, {"text_idx": "#000102", "text": "L + , la aro de pozitivaj mezureblaj funkcioj de X \u2192 [0, \u221e]."}, {"text_idx": "#000103", "text": "Estas eble evoluigi la integralon kun respekto al la Lebesgue-iniciato sen fidado je la plena mas\u0302inaro de mezura teorio.\nUnu tia aliro estas disponigita per la Daniell-integralo."}, {"text_idx": "#000104", "text": "Ekzistas ankau\u0306 alternativaliro al evoluigado de la teorio de integrig\u0302o per metodoj de funkcionala analitiko.\nLa Riemann-integralo ekzistas por iu kontinua funkcio f de kompakta subteno difinita sur R n (au\u0306 fiksa malferma subaro).\nIntegraloj da pli g\u0302eneralaj funkcioj povas esti konstruitaj komencante de tiuj integraloj."}, {"text_idx": "#000105", "text": "Lasu Ccm esti la spaco de c\u0302iuj real-aprezis kompakte apogitajn kontinuajn funkciojn de R. Define normo sur Ccm de"}, {"text_idx": "#000106", "text": "Tiam Ccm estas normeita vektora spaco (kaj aparte, g\u0302i estas metrika spaco.\nC\u0302iuj metrikaj spacoj havas Hausdorff-kompletigojn, do lasis L 1 esti g\u0302ia kompletigo.\nTiu spaco estas izomorfa al la spaco de Lebesgue-integrabla funkciomodulo la subspaco de funkcioj kun integrita nul.\nKrome, la Riemann-integral \u222b estas al unuforme kontinua funkcia kun respekto al la normo sur Ccm , kiu estas densa en L 1 .\nTial \u222b havas unikan etendaj\u0302on al c\u0302io de L 1 .\nTiu integralo estas g\u0302uste la Lebesgue-integralo."}, {"text_idx": "#000107", "text": "Pli g\u0302enerale, kiam la iniciatspaco sur kiu la funkcioj estas difinitaj ankau\u0306 estas loke kompaktan\ntopologia spaco (kiel estas la kazo kun la realaj nombroj R), iniciatoj kongrua kun la topologio en tau\u0306ga signifo ( Radoniniciatoj, da kiuj la Lebesgue-iniciato estas ekzemplo) integralo kun respekto al ili povas esti difinitaj en la sama maniero, komencante de la integraloj de kontinuaj funkcioj kun kompakta subteno.\nPli g\u0302uste, la kompakte apogitaj funkcioj formas vektoran spacon kiu portas naturan topologion, kaj (Radono-) kvanto estas difinita kiel kontinua linia funkcia sur tiu spaco.\nLa valoro de kvanto c\u0302e kompakte apogita funkcio tiam estas ankau\u0306 de difino la integralo de la funkcio.\nOni tiam dau\u0306rigas vastigi la iniciaton (la integralo) al pli g\u0302eneralaj funkcioj de kontinueco, kaj difinas la iniciaton de aro kiel la integralon de g\u0302ia indikilfunkcio.\nTio estas la aliro prenita fare de Bourbaki (2004) kaj certa nombro da aliaj verkintoj."}, {"text_idx": "#000108", "text": "La c\u0302efcelo de Lebesgue-integralo devas disponigi integritan nocion kie limoj de integraloj tenas sub mildaj supozoj.\nEkzistas neniu garantio ke c\u0302iu funkcio estas Lebesgue integrabla.\nSed povas okazi tiuj malregulaj integraloj ekzisti por funkcioj kiuj ne estas Lebesgue integrablaj."}, {"text_idx": "#000109", "text": "super la tuta reala linio.\nTiu funkcio ne estas Lebesgue integrabla, kiel"}, {"text_idx": "#000110", "text": "g\u0302i estas dufoje la Dirichlet-integralo."}, {"text_idx": "#000128", "text": "Diferencigo sub la integrita signo"}]