[{"text_idx": "#000001", "text": "En moderna matematiko, punkto rilatas kutime al elemento de iu aro nomita spaco."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Pli specife, en eu\u0306klida geometrio, punkto estas primitiva nocio sur kiu la geometrio estas konstruita.\nEsti primitiva nocio intencas ke punkto ne povas esti difinita lau\u0306 antau\u0306e difinitaj objektoj.\nTio estas, punkto estas difinita nur per kelkaj trajtoj, nomitaj aksiomoj, kiujn g\u0302i devas kontentigi.\nAparte, la geometriaj punktoj ne havas ajnan longon, areon, volumenon, au\u0306 ajnan alian dimensian atributon.\nOfta interpreto estas ke la koncepto de punkto estas intencita kapti la nocion de unika loko en eu\u0306klida spaco."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Punktoj, pripensitaj ene de la kadro de eu\u0306klida geometrio, estas unu el la plej fundamentaj objektoj.\nEu\u0306klido origine difinis la punkton kiel \"tion kiu havas neniun parton\".\nEn dudimensia eu\u0306klida spaco, punkto estas reprezentita fare de orda duopo ( x, y) de nombroj, kie la unua nombro konvencie reprezentas la horizontalan kaj ofte estas indikita per x, kaj la dua nombro konvencie reprezentas la vertikalon kaj ofte estas indikita per y.\nTiu ideo estas facile g\u0302eneraligita g\u0302is tridimensia eu\u0306klida spaco, kie punkto estas reprezentita de ordigita trinasktio ( x, y, z) kie la kroma tria nombro reprezentas profundon kaj ofte indikita per z.\nPliaj g\u0302eneraligoj estas reprezentitaj per ordigita virs\u0302afeto de n esprimoj, ( 1, 2\nn ) kie n estas la dimensio de la spaco en kiu la punkto situas."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Multaj konstrukcioj ene de eu\u0306klida geometrio konsistas el senfina kolekto de punktoj kiuj harmonias kun certaj aksiomoj.\nTio estas kutime reprezentita fare de aro de punktoj;\nEkzemple, linio estas senfina aro de punktoj de la formo, kie c 1 tra Cn kaj d estas konstantoj kaj n estas la dimensio de la spaco.\nSimilaj konstruoj ekzistas tio difini la aviadilon, liniparton kaj aliajn rilatajn konceptojn.\nCetere, degenerita liniparto konsistas el nur unu poento."}, {"text_idx": "#000006", "text": "Aldone al difinado punktoj kaj konstrukcioj ligitaj al punktoj, Eu\u0306klido ankau\u0306 postulis esencan ideon pri punktoj;\nli asertis ke c\u0302iuj du punktoj povas esti ligitaj per aerlinio.\nTio estas facile konfirmita sub modernaj vastig\u0302oj de eu\u0306klida geometrio, kaj havita dau\u0306rantaj sekvoj c\u0302e sia enkonduko, permesante la konstruadon de preskau\u0306 c\u0302iuj geometriaj konceptoj de la tempo.\nTamen, la postulijono de Eu\u0306klido de punktoj estis nek kompleta nek definitiva, kiam li foje supozis faktojn pri punktoj kiuj ne sekvis rekte el liaj aksiomoj, kiel ekzemple la mendado de punktoj sur la linio au\u0306 la ekzisto de specifaj punktoj.\nMalgrau\u0306 tio, modernaj vastig\u0302oj de la sistemo helpas forigi tiujn supozojn."}, {"text_idx": "#000007", "text": "Ekzistas pluraj enekvivalentodifinoj de dimensio en matematiko.\nEn c\u0302iuj la komunaj difinoj, punkto estas dimensia."}, {"text_idx": "#000008", "text": "La dimensio de vektora spaco estas la maksimumgrandeco de linie sendependa subaro.\nEn vektora spaco konsistanta el ununura punkto (kiu devas esti la nul vektoro 0), ekzistas neniu linie sendependa subaro.\nLa nul vektoro ne estas sin linie sendependa, c\u0302ar ekzistas ne-sensignifa linearkombinaj\u0302a kreado g\u0302i nul:."}, {"text_idx": "#000009", "text": "La topologia dimensio de topologia spaco X estas difinita por esti la minimuma valoro de n, tia ke c\u0302iu finhava malferma kovro de X koncedas finhavan malferman kovronde X kiu rafinas en kiu neniu punkto estas inkludita en pli ol n +1 elementoj.\nSe ne tia minimuma n ekzistas, la spaco lau\u0306dire estas de senfinan kovrante dimension."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Punkto estas nul-dimensia kun respekto al la kovrodimensio c\u0302ar c\u0302iu malferma kovro de la spaco havas rafinadon konsistantan el ununura malfermita aro."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Lasu X esti metrika spaco.\nSe S \u2282 Xa kaj d \u2208 [0, \u221e), la d-dimensia Hausdorff-enhavo de S estas la Preciza malsupra rando de la nombraro da \u03b4 \u2265 0 tia ke ekzistas iu (indeksita) kolekto de pilkoj kovrante S per ri > 0 por c\u0302iu mi \u2208 mi tio kontentigas."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Punkto havas Hausdorff-dimension 0 c\u0302ar g\u0302i povas esti kovrita per ununura pilko de propraau\u0306toritate malgranda radiuso."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Kvankam la nocio de punkto estas g\u0302enerale konsiderita fundamenta en c\u0302efa geometrio kaj topologio, ekzistas kelkaj sistemoj kiuj perdas g\u0302in, ekz. nonkomutative-geometrion kaj sencela topologion.\n\"Sencela\" au\u0306 \"pointfree\" spaco estas difinita ne kiel aro, sed per iu strukturo ( algebra au\u0306 logika respektive) kiu aspektas pli kiel bonkonata funkcia spaco sur la aktoraro: algebro de kontinuaj funkcioj au\u0306 algebro de aroj respektive.\nPli g\u0302uste, tiaj strukturoj g\u0302eneraligas bonkonatajn spacojn de funkcioj en maniero kiel kiun la operacio \"prenas valoron c\u0302e tiu punkto\" eble ne estas difinita.\nPlia tradicio komencig\u0302as de kelkaj libroj de A. N. Whitehead en kiu la nocio de regiono estas supozita kiel primitivulo kune kun tiu el inkludo au\u0306 ligo."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Punktomasoj kaj la diraka delta funkcio"}, {"text_idx": "#000016", "text": "Ofte en fiziko kaj matematiko, estas utile trovi punkton kiel havado de ne-nula maso au\u0306 pagendaj\u0302o (tio estas aparte ofta en klasika elektromagnetismo, kie elektronoj estas idealigitaj kiel punktoj kun ne-nula pagendaj\u0302o).\nLa diraka delta funkcio, au\u0306 \u03b4 funkcio, estas (neformale) g\u0302eneraligita funkcio sur la realnombra linio kiu estas nul c\u0302ie krom c\u0302e nul, kun integralo de unu super la tuta reala linio.\nLa deltfunkcio foje estas opiniita de kiam senlime alta, senlime maldika pikilo c\u0302e la origino, kun suma areo unu sub la pikilo, kaj fizike reprezentas idealigitan punktomason au\u0306 procentpunktan pagaj\u0302on.\nG\u0302i estis lanc\u0302ita fare de teoria fizikisto Paul Dirac.\nEn la kunteksto de signal-prilaborado g\u0302i ofte estas referita kiel la unua impulssimbolo (au\u0306 funkcio).\nG\u0302ia diskreta analogaj\u0302o estas la deltde Kronecker funkcio kiu estas kutime difinita pri finhava domajno kaj prenas valorojn 0 kaj 1."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Definition of Point (Difino de Punkto) kun interaga apleto\nPunktaj difinpag\u0302oj, kun interagaj animacioj kiuj ankau\u0306 estas utilaj en klasc\u0302ambro metanta.\n, \" Punkto \", MathWorld ."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Ses ( gradoj da libereco)"}, {"text_idx": "#000021", "text": "Punkto estas unu el primaraj nocioj en matematiko. En moderna matematiko oni nomas punkto tute diversajn elementojn de diversaj spacoj, ekz. en n-dimensia eu\u0306klida spaco, punkto estas difinita kiel ordigita aro, konsistanta el n nombroj."}, {"text_idx": "#000022", "text": "En diversaj branc\u0302oj de matematiko oni trovas punktojn kun malsamaj nomoj. Do, geometrio pristudas apartajn punktojn de kurboj, analitiko pristudas apartajn punktojn de la solvoj de diferencialaj ekvacioj, arteorio la punktojn kun proprecoj de esplorata aro, ktp."}]