[{"text_idx": "#000001", "text": "La nocio de linio au\u0306 aerlinio estis lanc\u0302ita fare de maljunegaj matematikistoj por reprezenti rektajn objektojn (t.e., havante neniun kurbig\u0302on) kun nekonsiderinda larg\u0302o kaj profundo.\nLinioj estas idealigo de tiaj objektoj.\nG\u0302is la 17-a jarcento, linioj estis difinitaj tiumaniere: \"La [rekta au\u0306 kurba] linio estas la unua specio de kvanto, kiu havas nur unu dimension, nome longon, sen iu larg\u0302o nek profundo, kaj nenio alia ol la fluo au\u0306 kuro de la punkto [ ...\nforiros de g\u0302ia imaga movante iun spuron en longo, esceptita de iu larg\u0302o.\nLa aerlinio estas ke kiu estas same plilongigita inter siaj punktoj.\""}, {"text_idx": "#000002", "text": "Eu\u0306klido priskribis linion kiel \"breadtleslongon\" kiu \"kus\u0302as egale kun respekto al la punktoj sur si mem\";\nli lanc\u0302is plurajn postulatojn kiel bazaj nepruveblaj trajtoj de kiuj li konstruis c\u0302ion el geometrio, kiu nun estas nomita eu\u0306klida geometrio por eviti konfuzon kun aliaj geometrioj kiuj estis lanc\u0302itaj ekde la fino de la 19-a jarcento (kiel ekzemple ne-eu\u0306klida, projekcia kaj afina geometrio)."}, {"text_idx": "#000003", "text": "En moderna matematiko, surbaze de la amaso da geometrioj, la koncepto de linio estas proksime ligita al la maniero kiel la geometrio estas priskribita.\nEkzemple, en analitika geometrio, linio en la aviadilo ofte estas difinita kiel la aro de punktoj kies koordinatoj kontentigas antau\u0306fiksitan linearan ekvacion, sed en pli abstrakta konteksto, kiel ekzemple incidencgeometrio, linio povas esti sendependa objekto, aparta de la aro de punktoj kiuj situas sur g\u0302i."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Kiam geometrio estas priskribita fare de aro de aksiomoj, la nocio de linio estas kutime lasita nedifinita (tielnomita primitiva objekto).\nLa trajtoj de linioj tiam estas determinitaj per la aksiomoj kiuj rilatas al ili.\nUnu avantag\u0302o al tiu aliro estas la fleksebleco kiun g\u0302i donas al uzantoj de la geometrio.\nTiel en diferenciala geometrio linio povas esti interpretita kiel geodezia (plej mallonga pado inter punktoj), dum en kelkaj projekciaj geometrioj linio estas 2-dimensia vektora spaco (c\u0302iuj linearaj kombinaj\u0302oj de du sendependaj vektoroj).\nTiu fleksebleco ankau\u0306 etendas preter matematiko kaj, ekzemple, permesilfizikistoj por pensi pri la pado de malpeza radio kiel esti linio."}, {"text_idx": "#000006", "text": "C\u0302iuj difinoj estas finfine cirklaj en naturo c\u0302ar ili dependas de konceptoj kiuj devas sin havas difinojn, dependecon kiu ne povas esti dau\u0306rigita senfine sen revenado al la deirpunkto.\nEviti tiun malican cirklon certajn konceptojn devas esti prenitaj kiel primitivaj konceptoj;\nesprimoj al kiuj ricevas neniun difino.\nEn geometrio, estas ofte la kazo ke la koncepto de linio estas prenita kiel primitivulo.\nEn tiuj situacioj kie linio estas difinita koncepto, kiel en kunordigita geometrio, iuj aliaj fundamentaj ideoj estas prenitaj kiel primitivuloj.\nKiam la liniokoncepto estas primitivulo, la konduto kaj trajtoj de linioj estas diktitaj per la aksiomoj kiujn ili devas kontentigi."}, {"text_idx": "#000007", "text": "En ne-aksioma au\u0306 simpligita aksioma traktado de geometrio, la koncepto de primitiva nocio povas esti tro abstrakta por esti traktita.\nEn tiu cirkonstanco estas eble ke priskribo au\u0306 mensa bildo de primitiva nocio estas disponigitaj por doni fonduson por konstrui la nocion sur kiu formale estus bazitaj sur la (nedeklaritaj) aksiomoj.\nPriskriboj de tiu tipo povas esti referitaj, fare de kelkaj verkintoj, kiel difinoj en tiu neformala stilo de prezento.\nTiuj ne estas veraj difinoj kaj ne povus esti uzitaj en formalaj pruvoj de deklaroj.\nLa \"difino\" de linio en Elementoj de Eu\u0306klido falas en tiun kategorion.\nEc\u0302 en la kazo kie specifa geometrio estas estado pripensita (ekzemple, eu\u0306klida geometrio), ekzistas neniu g\u0302enerale akceptita interkonsento inter verkintoj kiel al kia neformala priskribo de linio devus esti kiam la subjekto ne estas traktita formale."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Kiam geometrio unue estis formaligita de Eu\u0306klido en la Elementoj , li difinis g\u0302eneralan linion (rektan au\u0306 kurban) esti \"breadtleslongo\" kie aerlinio estas linio \"kiu kus\u0302as egale kun la punktoj sur si mem\".\nTiuj difinoj helpas malgrandan al c\u0302ar ili uzesprimoj kiuj ne estas, sin, difinitaj.\nFakte, Eu\u0306klido ne utiligis tiujn difinojn en tiu laboro kaj vers\u0302ajne inkludis ilin j\u0302us por igi g\u0302in malbari al la leganto kio estis diskutita.\nEn moderna geometrio, linio estas simple prenita kiel nedifinita objekto kun trajtoj donite per aksiomoj, [6] sed foje estas difinita kiel aro de punktoj obeantaj linian rilaton kiam iu alia baza termino estas lasita nedifinita."}, {"text_idx": "#000009", "text": "En aksioma formulig\u0302o de eu\u0306klida geometrio, kiel ekzemple tiu de Hilbert (la originaj aksiomoj de Eu\u0306klido enhavis diversajn difektojn kiuj estis korektitaj fare de modernaj matematikistoj), [7] linio estas deklarita havi certajn trajtojn kiuj rilatigas g\u0302in al aliaj linioj kaj punktoj.\nEkzemple, por c\u0302iuj du apartaj poentoj, ekzistas unika linio enhavanta ilin, kaj c\u0302iuj du apartaj linioj krucas en maksimume unu poento.\nEn du dimensioj, t.e., la Eu\u0306klida aviadilo, du linioj kiuj ne krucas estas nomitaj paralelaj.\nEn pli alta grandeco, du linioj kiuj ne krucas estas paralelaj se ili estas enhavitaj en aviadilo, au\u0306 distordas se ili ne estas."}, {"text_idx": "#000010", "text": "C\u0302iu kolekto de finhave multaj linioj dividas la aviadilon en konveksajn plurangulojn (eventuale nelimigitajn);\ntiu sekcio estas konata kiel arang\u0302o de linioj."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Linioj en karteza aviadilo au\u0306, pli g\u0302enerale, en afinaj koordinatoj, povas esti priskribitaj algebre per linearaj ekvacioj.\nEn du dimensioj, la ekvacio por ne-vertikalaj linioj ofte estas donita en la dekliv-interkapta formo :"}, {"text_idx": "#000012", "text": "m estas la deklivo au\u0306 gradiento de la linio.\nb estas la Y-detranc\u0302o de la linio.\nx estas la sendependa variablo de la funkcio y = f ( x)."}, {"text_idx": "#000013", "text": "m estas la deklivo au\u0306 gradiento de la linio."}, {"text_idx": "#000014", "text": "b estas la Y-detranc\u0302o de la linio."}, {"text_idx": "#000015", "text": "x estas la sendependa variablo de la funkcio y = f ( x)."}, {"text_idx": "#000016", "text": "kun fiksaj realaj koeficientoj , b kaj c tia ke a kaj b estas ne ambau\u0306 nul.\nUzante tiun formon, vertikalaj linioj korespondas al la ekvacioj kun b = 0."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Ekzistas multaj variaj\u0302vojoj skribi la ekvacion de linio kiuj povas c\u0302io esti transformitaj de unu g\u0302is alia per algebra manipulado.\nTiuj formoj (vidu linearan ekvacion por aliaj formoj) estas g\u0302enerale nomitaj per la speco de informoj (datenoj) pri la linio kiu estas necesa por surpaperigi la formon.\nKelkaj el la gravaj datenoj de linio estas g\u0302ia deklivo, x-interkapta, konataj punktoj sur la linio kaj Y-detranc\u0302o."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Se ks0 =\u0338 ks1 , kiel tiu ekvacio povas esti rewriten"}, {"text_idx": "#000019", "text": "En tri dimensioj, linioj ne povas esti priskribitaj per ununura lineara ekvacio, tiel ke ili estas ofte priskribitaj per parametrikaj ekvacioj:"}, {"text_idx": "#000020", "text": "x, y, kaj z estas c\u0302iuj funkcioj de la sendependa varia t kiu varias super la realaj nombroj.\n( x 0, y 0, z 0) c\u0302iu punkto estas sur la linio.\n, b, kaj c estas rilatita al la deklivo de la linio, tia ke la vektoro (, b, c) estas paralela al la linio."}, {"text_idx": "#000021", "text": "x, y, kaj z estas c\u0302iuj funkcioj de la sendependa varia t kiu varias super la realaj nombroj."}, {"text_idx": "#000022", "text": "( x 0, y 0, z 0) c\u0302iu punkto estas sur la linio."}, {"text_idx": "#000023", "text": ", b, kaj c estas rilatita al la deklivo de la linio, tia ke la vektoro (, b, c) estas paralela al la linio."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Ili ankau\u0306 povas esti priskribitaj kiel la samtempaj solvoj de du linearaj ekvacioj"}, {"text_idx": "#000025", "text": "Tio poste sekvas en tri dimensioj kiujn ununura lineara ekvacio tipe priskribas al aviadilo kaj linio estas kio estas kutima por du apartaj intersekcaj aviadiloj."}, {"text_idx": "#000026", "text": "La normala formo (ankau\u0306 nomita la Hesio-normala formularo, [9] post la germana matematikisto Ludwig Otto Hesse), estas bazita sur la normala segmento por antau\u0306fiksita linio, kiu estas difinita por esti la liniparto tirita de la origino perpendikulara g\u0302is la linio.\nTiu segmento ligas la originon kun la plej proksima punkto sur la linio al la origino.\nLa normala formo de la ekvacio de aerlinio sur la aviadilo ricevas per:"}, {"text_idx": "#000027", "text": "kie \u03b8 estas la angulo de inklino da la normala segmento (la orientita angulo de la unuobla vektoro de la absciso g\u0302is tiu segmento), kaj p estas la (pozitiva) longo de la normala segmento.\nLa normala formo povas esti derivita de la g\u0302enerala formo dividante c\u0302iujn la koeficientoj per"}, {"text_idx": "#000029", "text": "En polaraj koordinatoj sur la Eu\u0306klida aviadilo la dekliv-interkapta formo de la ekvacio de linio estas esprimita kiel:"}, {"text_idx": "#000030", "text": "kie m estas la deklivo da la linio kaj b estas la Y-detranc\u0302o.\nKiam \u03b8 = 0 kiujn la grafeo estos nedifinita.\nLa ekvacio povas esti rewriten por elimini malkontinuecojn tiumaniere:"}, {"text_idx": "#000031", "text": "\\displaistile r\\sin \\theta mr\\cos \\theta +b."}, {"text_idx": "#000032", "text": "En polaraj koordinatoj sur la Eu\u0306klida aviadilo, la interkaptoformularo de la ekvacio de linio kiu estas ne-horizontala, ne-vertikala, kaj ne pasas tra polo povas esti esprimita kiel,"}, {"text_idx": "#000033", "text": "C\u0302i-supra ekvacio ne estas uzebla por vertikalaj kaj horizontlinioj c\u0302ar en tiuj kazoj unu el la interkaptoj ne ekzistas.\nVertikala linio kiu ne pasas tra la polo ricevas per la ekvacio"}, {"text_idx": "#000034", "text": "Simile, horizontlinio kiu ne pasas tra la polo ricevas per la ekvacio"}, {"text_idx": "#000035", "text": "La ekvacio de linio kiel kiu pasas tra la polo estas simple donita:"}, {"text_idx": "#000036", "text": "kie m estas la deklivo de la linio."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Radio komencanta c\u0302e punkto A estas priskribita limigante \u03bb.\nUnu radio akirig\u0302as se \u03bb \u2265 0, kaj la kontrau\u0306a radio venas de \u03bb \u2264 0."}, {"text_idx": "#000038", "text": "En tri-dimensia spaco, unua-grada ekvacio en la variabloj x, y, kaj z difinas aviadilon, tiel du tiaj ekvacioj, kondic\u0302e ke la aviadiloj kiujn ili donas pliig\u0302o supre estas ne paralela, difinas linion kiu estas la intersekcig\u0302o de la aviadiloj.\nPli g\u0302enerale, en n-dimensia spacn unuagradaj ekvacioj en la n kunordigitaj variabloj difinas linion sub tau\u0306gaj kondic\u0302oj."}, {"text_idx": "#000039", "text": "En pli g\u0302enerala eu\u0306klida spaco, R da n (kaj analoge en c\u0302iu alia afina spaco), la linio L pasanta tra du malsamaj poentoj a kaj b (konsiderita vektorojn) estas la subaro"}, {"text_idx": "#000040", "text": "La direkto de la linio estas de ( t = 0) g\u0302is b ( t = 1), au\u0306 en aliaj vortoj, en la direkto de la vektoro b \u2212 .\nMalsamaj elektoj de a kaj b povas doni la saman linion."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Tri poentoj lau\u0306dire estas samliniaj c\u0302u ili kus\u0302as sur la sama linio.\nTri poentoj kutime determinas aviadilon, sed koncerne tri samliniajn poentojn tio ne okazas."}, {"text_idx": "#000042", "text": "En afinaj koordinatoj, en n-dimensia spaco la punktoj X = ( x 1, x 2\nz n) estas samliniaj se la matrico"}, {"text_idx": "#000043", "text": "havas rangon malpli ol 3-a Aparte, por tri poentoj en la aviadilo ( n = 2), c\u0302i-supra matrico estas kvadrata kaj la punktoj estas samliniaj se kaj nur se g\u0302ia determinanto estas nul."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Ekvivalente por tri poentoj en aviadilo, la punktoj estas samliniaj se kaj nur se la deklivo inter unu paro de punktoj korespondas al la deklivo inter iu alia paro de punktoj (en kiu kazo la deklivo inter la restanta paro de punktoj korespondos al la aliaj deklivoj).\nPer etendaj\u0302o, k punktoj en aviadilo estas samliniaj se kaj nur se entute ( k) paroj de punktoj havas la saman parrilatajn deklivojn."}, {"text_idx": "#000045", "text": "En eu\u0306klida geometrio, la eu\u0306klida distanco d (, b) inter du punktoj a kaj b povas esti uzita por esprimi la kollinearecon inter tri punktoj de: [10]"}, {"text_idx": "#000046", "text": "La punktoj , b kaj c estas samliniaj se kaj nur se d ( x,\nd ( c, b) implicas x = c."}, {"text_idx": "#000047", "text": "Tamen, ekzistas aliaj nocioj de distanco (kiel ekzemple la Manhatana distanco) por kiu tiu posedaj\u0302o ne estas vera."}, {"text_idx": "#000048", "text": "En la geometrioj kie la koncepto de linio estas primitiva nocio, kiel povas esti la kazo en kelkaj sintezaj geometrioj, aliaj metodoj de determina kollineareco estas necesaj."}, {"text_idx": "#000049", "text": "En signifo, [12] c\u0302iuj linioj en eu\u0306klida geometrio estas egalaj, en tio, sen koordinatoj, oni ne povas rakonti ilin unu krom la alia.\nTamen, linioj povas ludi specialajn rolojn kun respekto al aliaj objektoj en la geometrio kaj esti dividitaj en tipojn lau\u0306 tiu rilato.\nEkzemple, kun respekto al konusforma ( cirklo, elipso, parabolo, au\u0306 hiperbolo), linioj povas esti:"}, {"text_idx": "#000050", "text": "klavlinioj, kiuj tus\u0302as la konusforman c\u0302e ununura punkto;\nsekantoj, kiuj krucas la konusforman c\u0302e du poentoj kaj pasas tra g\u0302ia interno;\neksteraj linioj, kiuj ne renkontas la konusforman c\u0302e iu punkto de la Eu\u0306klida aviadilo;\nc\u0302eflinio, kies distanco de punkto helpas establi c\u0302u la punkto estas sur la konusforma."}, {"text_idx": "#000051", "text": "En la kunteksto da determinado de paraleleco en eu\u0306klida geometrio, transversalo estas linio kiu intersekcas du aliajn liniojn kiuj povas au\u0306 ne esti paralela al unu la alian."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Por pli g\u0302eneralaj algebraj kurboj, linioj ankau\u0306 povis esti:"}, {"text_idx": "#000053", "text": "i-akra linioj, renkontantaj la kurbon en mi punktojn nombris sen diverseco, au\u0306\nasimptotoj, kiujn kurbo aliras propraau\u0306toritate proksime sen tus\u0302ado de g\u0302i."}, {"text_idx": "#000054", "text": "Kun respekto al trianguloj ni havas:"}, {"text_idx": "#000055", "text": "Por konveksa kvarlatero kun maksimume du paralelaj flankoj, la Neu\u0306tono-linio estas la linio kiu ligas la mezpunktojn de la du diagonaloj."}, {"text_idx": "#000056", "text": "Por heksagono kun verdglacioj kus\u0302as sur konusforma ni havas la Paskalo-linion kaj, en la speciala kazo kie la konusforma estas paro de linioj, ni havas la Pappus linion."}, {"text_idx": "#000057", "text": "Paralelaj linioj estas linioj en la sama aviadilo kiuj neniam krucas.\nIntersekci liniojn partumas ununuran punkton komune.\nSimilaj linioj koincidas kun unu la alian - c\u0302iu punkto kiu estas sur c\u0302iu unu el ili estas ankau\u0306 sur la alia."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Perpendikularaj linioj estas linioj kiuj krucas lau\u0306 ortoj."}, {"text_idx": "#000059", "text": "En tri-dimensia spaco, misoblikvaj linioj estas linioj kiuj ne estas en la sama aviadilo kaj tiel ne intersekcas unu la alian."}, {"text_idx": "#000060", "text": "En multaj modeloj da projekcia geometrio, la reprezentado de linio malofte obeas al la nocio de la \"rekta kurbo\" kiam g\u0302i estas bildigita en eu\u0306klida geometrio.\nEn elipsa geometrio ni vidas tipan ekzemplon de tio.\nEn la sfera reprezentado de elipsa geometrio, linioj estas reprezentitaj per c\u0302efcirkloj de sfero kun diametre kontrau\u0306 punktoj identigitaj.\nEn malsama modelo de elipsa geometrio, linioj estas reprezentitaj per Euclidean aviadiloj pasantaj tra la origino.\nEc\u0302 se tiuj reprezentantaroj estas vide apartaj, ili kontentigas c\u0302iujn trajtojn (kiel ekzemple, du poentoj determinantaj unikan linion) kiuj igas ilin tau\u0306gaj reprezentantaroj por linioj en tiu geometrio."}, {"text_idx": "#000061", "text": "Surbaze de linio kaj ajna punkto A sur g\u0302i, ni povas konsideri A kiel malkonstruado de tiu linio en du partojn.\nC\u0302iu tia parto estas nomita radio (au\u0306 duon-linio) kaj la punkto A estas nomita it komenca punkto.\nLa punkto A estas konsiderita kiel membro de la radio.\nIntuicie, radio konsistas el tiuj punktoj sur linio pasanta tra A kaj procedo senfine, komencante je A, en unu direkto nur lau\u0306 la linio.\nTamen, por utiligi tiun koncepton de radio en pruvoj pli preciza difino estas postulata."}, {"text_idx": "#000062", "text": "Surbaze de apartaj punktoj A kaj B, ili determinas unikan radion kun komenca punkto A.\nKiel du poentoj difinas unikan linion, tiu radio konsistas el c\u0302iuj punktoj inter A kaj B (inkluzive de A kaj B) kaj c\u0302iuj punktoj C sur la linio tra A kaj B tia ke B estas inter A kaj C.\nTio estas, en tempoj, ankau\u0306 esprimita kiel la aro de c\u0302iuj punktoj C tia ke A ne estas inter B kaj C.\nPunkto D, sur la linio determinita je A kaj B sed ne en la radio kun komenca punkto A determinita per B, determinos alian radion kun komenca punkto A.\nKun respekto al la AB- radio, la AD radio estas nomita la kontrau\u0306a radio."}, {"text_idx": "#000063", "text": "Tiel, ni dirus ke du malsamaj poentoj, A kaj B, difinas linion kaj putrig\u0302on da tiu linio en la disan union de malferma segmento ( A, B) kaj du radiojn, BC kaj AD (la punkto D ne estas partoprenigita la diagramo, sed estas maldekstren de A sur la linio AB-).\nTiuj ne estas kontrau\u0306 radioj c\u0302ar ili havas malsamajn komencajn punktojn."}, {"text_idx": "#000064", "text": "En eu\u0306klida geometrio du radioj kun ofta finpunkto formas angulon."}, {"text_idx": "#000065", "text": "La difino de radio dependas sur la nocio de betu\u0306enes por punktoj de linio.\nG\u0302i sekvas tiujn radiojn ekzistas nur por geometrioj por kiuj tiu nocio ekzistas, tipe eu\u0306klidan geometrion au\u0306 afinan geometrion super ordigita kampo.\nAliflanke, radioj ne ekzistas en projekcia geometrio nek en geometrio super ne-ordigita kampo, kiel la kompleksaj nombroj au\u0306 ajna finhava kampo."}, {"text_idx": "#000066", "text": "En topologio, radio en spaceto X estas kontinua enkonstruado R + \u2192 Xa.\nKutimas difini la gravan koncepton de fino de la spaco."}, {"text_idx": "#000067", "text": "Liniparto estas parto de linio kiu estas saltita proksime de du apartaj finpunktoj kaj enhavas c\u0302iun punkton sur la linio inter siaj finpunktoj.\nDepende de kiel la liniparto estas difinita, au\u0306 de la du finpunktoj povas au\u0306 eble ne estas parto de la liniparto.\nDu au\u0306 pli da linipartoj povas havi kelkajn el la samaj rilatoj kiel linioj, kiel ekzemple esti paralelaj, intersekcante, au\u0306 distordas, sed male al linioj ili povas esti neniu el tiuj, se ili estas koplanaraj kaj au\u0306 ne intersekcas au\u0306 estas samliniaj."}, {"text_idx": "#000068", "text": "La \"mallongeco\" kaj \"svelteco\" de linio, interpretis kiel la posedaj\u0302o ke la distanco lau\u0306 la linio inter iuj du el g\u0302iaj punktoj estas minimumigitaj (vidu neegalaj\u0302on de triangulo), povas esti g\u0302eneraligita kaj kondukas al la koncepto de geodesics en metrikaj spacoj."}, {"text_idx": "#000069", "text": "Distanco de punkto g\u0302is linio"}, {"text_idx": "#000070", "text": "^ In (rather old) French: \"La ligne est la premie\u0300re espece de quantite\u0301, laquelle a tant seulement une dimension a\u0300 sc\u0327avoir longitude, sans aucune latitude ni profondite\u0301, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel [...] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude. [...] La ligne droicte est celle qui est e\u0301galement estendue\u0308 entre ses poincts.\" Pages 7 and 8 of Les quinze livres des e\u0301le\u0301ments ge\u0301ome\u0301triques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en Franc\u0327ois, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises e\u0301s autres traductions, by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).\n^ Bo\u0302cher, Maxime (1915), Plane Analytic Geometry: With Introductory Chapters on the Differential Calculus, H. Holt, p. 44 .\n^ Alessandro Padoa , Un nouveau syste\u0300me de de\u0301finitions pour la ge\u0301ome\u0301trie euclidienne, Internacia Kongreso de Matematikistoj , 1900\n^ Bertrand Russell , The Principles of Mathematics , p.410\n^ Technically, the collineation group acts transitively on the set of lines.\n^ On occasion we may consider a ray without its initial point.\nSuch rays are called open rays, kontraste al the typical ray which would be said to be closed ."}, {"text_idx": "#000074", "text": "Rekto estas speciala speco de kurbo. En c\u0302iutaga lingvo signifas ne kurba, sen larg\u0302a. C\u0302i tiu priskribo bone priskribas rekton en kartezia koordinato. Sed en matematiko estas ankau\u0306 aliaj koordinatoj. Tiam rekto nomig\u0302as geodezia linio."}, {"text_idx": "#000077", "text": "Rekto estas aro de punktoj tiaj, ke distanco inter lau\u0306volaj du punktoj estas plej mallonga."}, {"text_idx": "#000078", "text": "Rekto en 2D kartezia spaco"}, {"text_idx": "#000079", "text": "Universala ekvacio de rekto estas formulo:"}, {"text_idx": "#000080", "text": "kie A, B, C - lau\u0306volaj reelaj nombroj .Sed almenau\u0306 unu el A kaj B ne estas nulo."}, {"text_idx": "#000081", "text": "(x, y) - koordinatoj de punkto en rekto."}, {"text_idx": "#000082", "text": "Vektoro [A, B] estas orta al rekto, kaj vektoro [-A, B] estas paralela al rekto."}, {"text_idx": "#000083", "text": "Rimarku: unu rekto povas havi pli ol unu universala ekvacio. Sed koeficiento devas: . C\u0302ar oni sufic\u0302as ke universala ekvacio multiplikas de lau\u0306vola ne nula nombro kaj oni estos alia ekvacio sed g\u0302i priskribos saman rekton."}, {"text_idx": "#000084", "text": "C\u0302ar mulataj universalaj ekvacioj povas priskribi unu rekto, tial oni estas ebleco por ke normi trans oni dividas koeficientoj , i per longeco de normo de direkta vektoro:"}, {"text_idx": "#000085", "text": "por oni eblas doni lau\u0306volan signon al ."}, {"text_idx": "#000086", "text": "Koeficientoj de c\u0302i tiu ekvacio estas de speciala signifo, c\u0302ar oni skribas ankau\u0306 kiel:"}, {"text_idx": "#000087", "text": "c\u0302i tiu estas normala ekvacio de rekto kaj estas angulo inter rekto kaj kaj estas distanco inter centro de sistemo de koordinatoj kaj rekto. Kaj ."}, {"text_idx": "#000088", "text": "Direkta ekvacio de rekto estas formulo:"}, {"text_idx": "#000089", "text": "kaj a, b estas reelaj nombroj."}, {"text_idx": "#000090", "text": "a estas direkta faktoro de rekto. C\u0302iuj du rektoj kun sama direkta faktoro estas paralela. Kaj estas ekvivalento al tangento de angulo inter rekto kaj Ox.\nb estas libera faktoro. Valoro de libera faktoro estas punkto en kiu rekto krucig\u0302as kun Ox."}, {"text_idx": "#000091", "text": "Rekto l kun nenula direkta vektoro , kaj trakuras tra punkto estas aro de punktoj :"}, {"text_idx": "#000092", "text": "kaj estas lau\u0306volaj reelaj nombroj, sed kaj ne povas esti nulo samtempe tiam sistemo estos priskribi nur unu punkton ne c\u0302iun rekton."}]