[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, afina spaco estas geometria strukturo kiu g\u0302eneraligas certajn trajtojn de paralellinioj en eu\u0306klida spaco.\nEn afina spaco, ekzistas neniu eminenta punkto kiu funkcias kiel origino.\nTial, neniu vektoro havas fiksan originon kaj neniu vektoro povas esti unike asociita al punkto.\nEn afina spaco, ekzistas anstatau\u0306e delokig\u0302vektoroj inter du punktoj de la spaco.\nTiel sonas racie por subtrahi du poentojn de la spaco, donante vektoron, sed ne sonas racie por aldoni du poentojn de la spaco.\nSame, sonas racie por aldoni vektoron al punkto de afina spaco, rezultigante novan punkton delokigitan de la deirpunkto per tiu vektoro."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La plej simpla ekzemplo de afina spaco estas linia subspaco de vektora spaco kiu estis tradukita for de la origino.\nEn finhava grandeco, tia afina subspaco egalrilatas al la Solvaj\u0302a aro de enhomogena linia sistemo.\nLa delokig\u0302vektoroj por tiu afina spaco vivas en la Solvaj\u0302a aro de la ekvivalenta homogena linia sistemo, kio estas linia subspaco.\nLiniaj subspacoj, en kontrasto, c\u0302iam enhavas la originon de la vektora spaco."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Subtraho kaj la aksiomoj de Weyl"}, {"text_idx": "#000005", "text": "La sekva karakterizado povas esti pli facila por kompreni ol la kutima formala difino: afina spaco estas kio estas maldekstre de vektora spaco post kiam vi forgesis kiu punkto estas la origino (au\u0306, en la vortoj de la franca matematikisto Marcel Berger, \"afina spaco estas nenio pli ol vektora spaco c\u0302ion pri kies originon ni provas forgesi, de aldonado de tradukoj al la linearaj bildigoj\" [1] ).\nImagu ke Alice scias ke certa punkto estas la fakta origino, sed Bob kredas ke alia punkto - nomu g\u0302in p - estas la origino.\nDu vektoroj, a kaj b , estas aldonotaj.\nBob tiras sagon de punkto p g\u0302is punkto kaj alian sagon de punkto p g\u0302is punkto b , kaj kompletigas la paralelogramon por trovi kion Bob pensas estas + b , sed Alice scias ke li fakte komputis"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Simile, Alice kaj Bob povas analizi ajnan linearan kombinaj\u0302on de a kaj b , au\u0306 de iu finhava aro de vektoroj, kaj g\u0302enerale ricevas malsamajn respondojn.\nTamen, se la sumo de la koeficientoj en lineara kombinaj\u0302o estas 1, tiam Alice kaj Bob alvenos c\u0302e la sama respondo."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Tiam, por c\u0302iu koeficientoj \u03bb + (1 \u2212 \u03bb) = 1, Alice kaj Bob priskribas la saman punkton kun la sama lineara kombinaj\u0302o, komencante de malsamaj originoj."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Dum Alice konas la \"linian strukturon\", kaj Alice kaj Bob konas la \"afinan strukturon\" - t.e. la valoroj de afinaj kombinaj\u0302oj, difinitaj kiel linearaj kombinaj\u0302oj en kiuj la sumo de la koeficientoj estas 1-a subesta aro kun afina strukturo estas afina spaco."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Afina regiono [2] estas aro A kune kun vektora spaco V pli ol kampo F kaj transitiva kaj libera grupa ago de V (kun aldono de vektoroj kiel grupa ago) sur A.\n(T.e., afina regiono estas c\u0302efa homogena regiono por la ago de V."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Eksplicite, afina spaco estas punktaro A kune kun mapo"}, {"text_idx": "#000012", "text": "(Ekde la grupo V estas abela, ekzistas neniu diferenco inter siaj maldekstraj kaj dekstraj agoj, tiel ke estas ankau\u0306 allaseble meti vektorojn dekstraflanke."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Elektante originon, o, oni povas tiel identigi A kun V, tial turni A en vektoran spacon.\nInverse, c\u0302iu vektora spaco, V, estas afina regiono super si mem."}, {"text_idx": "#000014", "text": "La unikec posedaj\u0302o certigas ke subtraho de iuj du elementoj de A estas bone difinita, produktante vektoron de V:"}, {"text_idx": "#000015", "text": "la unika vektoro estas en V tia ke."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Oni povas ekvivalente difini afinan spacon kiel punktaron A, kune kun vektora spaco V, kaj subtrahmapon"}, {"text_idx": "#000018", "text": "Tiuj du trajtoj estas nomitaj la aksiomoj de Weyl."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Por iu elekto de origino o, kaj du poentoj , b en A kaj skalar \u03bb, ekzistas unika elemento de A, indikita pertia ke"}, {"text_idx": "#000020", "text": "Tiu elemento povas esti montrita esti sendependa de la elekto de origino o.\nAnstatau\u0306e de arbitraj linearaj kombinaj\u0302oj, nur tiaj afinaj kombinaj\u0302oj de punktoj havas signifi."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Kiam infanoj trovas la respondojn al sumoj kiel ekzemple 4 + 3 au\u0306 4 \u2212 2 nombrante dekstran au\u0306 maldekstre sur numero-linio, ili traktas la numero-linion kiel unu-dimensian afinan spacon.\nC\u0302iu kun-grupo de subspaco V de vektora spaco estas afina spaco super tiu subspaco.\nSe T estas matrico kaj b kus\u0302as en sia kolumnospaco, la aro de solvoj de la ekvacio T x = b estas afina spaco super la subspaco de solvoj de T x = 0.\nLa solvoj de enhomogena linia diferenciala ekvacio formas afinan spacon super la solvoj de la ekvivalenta homogena lineara ekvacio.\nG\u0302eneraligante c\u0302ion el c\u0302i-supra, se T:\nV \u2192 W estas linia mapado kaj y kus\u0302as en g\u0302ia bildo, la aro de solvoj x \u2208 V al la ekvacio T x = y estas kun-grupo de la kerno de T, kaj estas tial afina regiono super Ker T ."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Afina subspaco (foje nomita linia multnombra, linia diverseco, au\u0306 apartamento ) de vektora spaco V estas subaro fermig\u0302is sub afinaj kombinaj\u0302oj de vektoroj en la spaco."}, {"text_idx": "#000023", "text": "afina spaco estas, kiefamilio de vektoroj estas en V;\ntiu spaco estas la afina interspaco de tiuj punktoj.\nVidi ke tio estas efektive afina regiono, observas ke tio metas kunportas transitivan agon de la vektorsubspaco W da V"}, {"text_idx": "#000024", "text": "Tiu afina subspaco povas esti ekvivalente priskribita kiel la kun-grupo de la W-ago"}, {"text_idx": "#000025", "text": "kie p estas ajna elemento de A, au\u0306 ekvivalente kiel iu ebena aro de la kvocientmapo V \u2192 V / W .\nElekto de p donas bazpunkton de A kaj identigon de W kun A, sed ekzistas neniu natura elekto, nek natura identigo de W kun A."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Lineartransformo estas funkcio kiu konservas c\u0302iujn linearajn kombinaj\u0302ojn;\nafina transformo estas funkcio kiu konservas c\u0302iujn afinajn kombinaj\u0302ojn.\nLinia subspaco estas afina subspaco enhavanta la originon, au\u0306, ekvivalente, subspacon kiu estas fermita sub linearaj kombinaj\u0302oj."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Ekzemple, en, la origino, linioj kaj aviadiloj tra la origino kaj la tuta spaco estas liniaj subspacoj, dum punktoj, linioj kaj aviadiloj g\u0302enerale same kiel la tuta spaco estas la afinaj subspacoj."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Afinaj kombinaj\u0302oj kaj afina dependeco"}, {"text_idx": "#000029", "text": "Afina kombinaj\u0302o estas lineara kombinaj\u0302o en kiu la sumo de la koeficientoj estas 1-a Ekzakte kiam membroj de aro de vektoroj estas linie sendependaj se neniu estas lineara kombinaj\u0302o de la aliaj, tiel ke ankau\u0306 ili estas afine sendependaj se neniu estas afina kombinaj\u0302o de la aliaj.\nLa aro de linearaj kombinaj\u0302oj de aro de vektoroj estas ilia \"linia interspaco\" kaj c\u0302iam estas linia subspaco;\nla aro de c\u0302iuj afinaj kombinaj\u0302oj estas ilia \"afina interspaco\" kaj c\u0302iam estas afina subspaco.\nEkzemple, la afina interspaco de aro de du poentoj estas la linio kiu enhavas ambau\u0306;\nla afina interspaco de aro de tri ne-samliniaj poentoj estas la aviadilo kiu enhavas c\u0302iujn tri."}, {"text_idx": "#000030", "text": "estas linie dependaj se tie ekzistu Skalaroj 1, 2\nn , ne c\u0302iuj nul, por kiu"}, {"text_idx": "#000031", "text": "Simile ili estas afine dependaj se krome la sumo de koeficientoj estas nul:"}, {"text_idx": "#000032", "text": "kondic\u0302o kiu certigas ke la kombinaj\u0302o ( 1 ) igas senti kiel delokig\u0302vektoro."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Geometriaj objektoj kiel punktoj kaj vektoroj"}, {"text_idx": "#000034", "text": "En afina regiono, geometriaj objektoj havas du malsamajn (kvankam rilatajn) priskribojn sur lingvoj de punktoj (elementoj de A) kaj vektoroj (elementoj de V).\nVektorpriskribo povas precizigi objekton nur supren al tradukoj."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Afina spaco estas kutime studita kiel analitika geometrio uzanta koordinatojn, au\u0306 ekvivalente vektorajn spacojn.\nG\u0302i ankau\u0306 povas esti studita tiel sinteza geometrio de surpaperigado de aksiomoj, kvankam tiu aliro estas multe malpli ofta.\nEkzistas pluraj malsamaj sistemoj de aksiomoj por afina spaco."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Coxeter (1969, p. 192) aksiomatize afina geometrio (super la realoj) kiel ordigita geometrio kune kun afina formo de la teoremo de Desargues kaj aksiomo deklarante ke en aviadilo ekzistas maksimume unu linio tra antau\u0306fiksita punkto ne renkontan antau\u0306fiksitan linion."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Afinaj aviadiloj kontentigas la sekvajn aksiomojn ( Cameron 1991, c\u0302apitro 2): (en kiu du linioj estas nomitaj paralelaj c\u0302u ili estas egalaj au\u0306 dismetas):"}, {"text_idx": "#000038", "text": "C\u0302iuj du apartaj poentoj situas sur unika linio.\nSurbaze de punkto kaj linio ekzistas unika linio kiu enhavas la punkton kaj estas paralela al la linio\nTie ekzistu tri ne-samliniaj poentoj."}, {"text_idx": "#000039", "text": "Same kiel afinaj aviadiloj super kampoj (au\u0306 dividadrondoj), ekzistas ankau\u0306 multaj ne-Desarguesian aviadiloj kontentigantaj tiujn aksiomojn.\n( Cameron 1991, c\u0302apitro 3) donas aksiomojn por higher-dimensiaj afinaj spacoj."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Afinaj spacoj estas subspacoj de projekciaj spacoj: afina aviadilo povas esti akirita de iu projekcia aviadilo forigante linion kaj c\u0302iujn punktojn sur g\u0302i, kaj inverse c\u0302iu afina aviadilo povas esti uzitaj por konstrui projekcian aviadilon kiel fino aldonante linion c\u0302e senfineco kies punktoj egalrilatas al ekvivalentklasoj de paralellinioj."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Plu, transformoj de projekcia spaco kiuj konservas afinan spacon (ekvivalente, kiuj postlasas la hiperebenon c\u0302e senfineco\nInvarianto kiel aro) rendimentotransformoj de afina spaco.\nInverse, c\u0302iu afina lineartransformo etendas unike al projekcia lineartransformo, tiel ke la afina grupo estas subgrupo de la projekcia grupo.\nEkzemple, transformo de Mo\u0308bius (transformoj de la kompleksa projekcia linio, au\u0306 Riemann-sfero) estas afinaj (transformoj de la kompleksa ebeno) se kaj nur se ili fiksas la punkton c\u0302e senfineco."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Tamen, oni ne povas preni la projektivigon de afina spaco, tiel ke projekciaj spacoj ne estas nature kvocientoj de afinaj spacoj: oni povas nur preni la projektivigon de vektora spaco, c\u0302ar la projekcia spaco estas linioj tra antau\u0306fiksita punkto, kaj ekzistas neniu eminenta punkto en afina spaco.\nSe oni elektas bazpunkton (kiel nul), tiam afina spaco ig\u0302as vektora spaco, kiun oni tiam povas projektivize, sed tio postulas elekton."}]