[{"text_idx": "#000001", "text": "Karteza koordinatsistemo estas koordinatsistemo kiu precizigas c\u0302iun punkton unike en aviadilo de paro de nombraj koordinatoj, kiuj estas la subskribitaj distancoj al la punkto de du fiksajn perpendikularajn direktitajn liniojn, mezuritajn en la sama longecunuo.\nC\u0302iu referenclinio estas nomita kunordigita akso au\u0306 j\u0302us akso (pluralo aksoj) de la sistemo, ke kaj la punkto kie ili renkontas estas g\u0302ia origino , c\u0302e orda duopo (0, 0).\nLa koordinatoj ankau\u0306 povas esti difinitaj kiel la pozicioj de la perpendikularaj projekcioj de la punkto sur la du aksoj, esprimitaj kiel subskribitaj distancoj de la origino."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Oni povas uzi la saman principon por precizigi la pozicion de iu punkto en tri-dimensia spaco de tri kartezaj koordinatoj, g\u0302iaj subskribitaj distancoj al tri reciproke perpendikularaj aviadiloj (au\u0306, ekvivalente, de g\u0302ia perpendikulara projekcio sur tri reciproke perpendikularaj linioj).\nG\u0302enerale, n kartezaj koordinatoj (elemento de reala n-spaco ) precizigas la punkton en n-dimensia\nEu\u0306klida spaco por iu dimensio n.\nTiuj koordinatoj estas egalaj, por registrig\u0302i, al distancoj de la punkto g\u0302is n reciproke perpendikularaj hiperebenoj."}, {"text_idx": "#000003", "text": "La invento de kartezaj koordinatoj en la 17-a jarcento de Rene\u0301 Descartes ( Latinigita nomo:\nCartesius) revoluciigita matematiko per disponigado de la unua sistema ligo inter eu\u0306klida geometrio kaj algebro.\nUzante la kartezan koordinatsistemon, geometriaj formoj (kiel ekzemple kurboj) povas esti priskribitaj per kartezaj ekvacioj: algebraj ekvacioj implikantaj la koordinatojn de la punktoj kus\u0302ante sur la formo.\nEkzemple, cirklo de radiuso 2, centris c\u0302e la origino de la aviadilo, povas esti priskribita kiel la aro de c\u0302iuj punktoj kies koordinatojn x kaj y kontentigas la ekvacion x 2 + y 2 = 4."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Kartezaj koordinatoj estas la fundamento de analitika geometrio, kaj disponigas lumigantajn geometriajn interpretojn por multaj aliaj branc\u0302oj de matematiko, kiel ekzemple lineara algebro, kompleksa analitiko, diferenciala geometrio, multivariate kalkulado, teorion de grupoj kaj pli.\nKonata ekzemplo estas la koncepto de la grafikaj\u0302o.\nKartezaj koordinatoj ankau\u0306 estas esencaj iloj por la plej multaj aplikataj disciplinoj kiuj traktas geometrion, inkluzive de astronomio, fizikoj, ing\u0302enieristiko kaj multaj pli.\nIli estas la plej ofta koordinatsistemo uzita en komputila grafiko, komputil-helpitgeometria dezajno kaj alia geometri-rilata datumtraktado."}, {"text_idx": "#000006", "text": "5 G\u0302enerala matricformularo de la transformoj"}, {"text_idx": "#000007", "text": "La adjektivo karteza rilatas al la franca matematikisto kaj filozofo Rene\u0301 Descartes kiu publikigis tiun ideon en 1637.\nG\u0302i estis sendepende malkovrita fare de Pierre de Fermat, kiu ankau\u0306 laboris en tri dimensioj, kvankam Fermat ne publikigis la eltrovaj\u0302on.\nLa franca kleriko Nikolao de Oresme, utiligis konstruojn similajn al kartezaj koordinatoj bone antau\u0306 la tempo de Descartes kaj Fermat."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Kaj Descartes kaj Fermat uzis ununuran akson en iliaj traktadoj kaj havi variablo-longan alg\u0302ustigis en referenco al tiu akso.\nLa koncepto de uzado de paro de aksoj poste, post kiam La Ge\u0301ome\u0301trie de Descartes estis tradukita en la latinan en 1649 fare de Frans van Schooten kaj liaj studentoj estis lanc\u0302ita.\nTiuj komentistoj lanc\u0302is plurajn konceptojn provante klarigi la ideojn enhavitajn en la laboro de Descartes."}, {"text_idx": "#000009", "text": "La evoluo de la karteza koordinatsistemo ludus fundamentan rolon en la evoluo de la Kalkulado de Isaac Newton kaj Gottfried Wilhelm Leibniz.\nLa du-kunordigita priskribo de la aviadilo poste estis g\u0302eneraligita en la koncepton de vektoraj spacoj."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Multaj aliaj koordinatsistemoj estis evoluigitaj ekde Descartes, kiel ekzemple la polaraj koordinatoj por la aviadilo, kaj la sferaj kaj cilindraj koordinatoj por tri-dimensia spaco."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Elekti kartezan koordinatsistemon por unu-dimensia regiono - t.e., por aerlinio - implikas elekti punkton O de la linio (la origino), longecunuon, kaj orientig\u0302on por la linio.\nOrientig\u0302o elektas kiu de la du duon-linioj determinitaj per O estas la pozitivo, kaj kiu estas negativa;\nni tiam diru ke la linio \"estas orientita\" (au\u0306 \"indikas\") de la negativo duono direkte al la pozitiva duono.\nTiam c\u0302iu punkto P de la linio povas esti precizigita memstare distanco de O, mang\u0302ita kun + au\u0306 \u2212 signo depende de kiu duon-linio enhavas P."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Linio kun elektita karteza sistemo estas nomita numero-linio.\nC\u0302iu reala nombro havas unikan lokon sur la linio.\nInverse, c\u0302iu punkto sur la linio povas esti interpretita kiel nombro en ordigita kontinuumo kiel ekzemple la realaj nombroj."}, {"text_idx": "#000013", "text": "La karteza koordinatsistemo en du dimensioj (ankau\u0306 nomitaj rektangula koordinatsistemo au\u0306 ortogonala koordinatsistemo [5] ) estas difinita fare de orda duopo de perpendikularaj linioj (aksoj), ununura longecunuo por kaj aksoj, kaj orientig\u0302o por c\u0302iu akso.\n(Frue sistemoj permesis al oblikvaj\" aksoj, t.e., aksojn kiuj ne renkontis lau\u0306 ortoj.\nLa linioj estas ofte referitaj kiel la x- kaj ipsilonaksoj kie la absciso estas prenita por esti horizontala kaj la ipsilonakso estas prenita por esti vertikala.\nLa punkto kie la aksoj renkontas estas prenita kiel la origino por ambau\u0306, tiel ig\u0302ante c\u0302iun akson numero-linio.\nPor antau\u0306fiksita punkto P, linio estas kreita tra P perpendikulara al la absciso por renkonti g\u0302in c\u0302e X kaj dua linio estas kreita tra P perpendikulara al la ipsilonakso por renkonti g\u0302in c\u0302e Y.\nLa koordinatoj de P tiam estas Xa kaj Y interpretis kiel numeroj x kaj y sur la ekvivalentaj numero-linioj.\nLa koordinatoj estas skribitaj kiel orda duopo ( x, y)."}, {"text_idx": "#000014", "text": "La punkto kie la aksoj renkontas estas la komuna origino de la du numero\nG\u0302i ofte estas etikedita O kaj se tiel tiam la aksoj estas nomitaj Virbovo kaj Oy.\nAviadilo kun x- kaj ipsilonaksoj difinitaj ofte estas referita kiel la karteza aviadilo au\u0306 xy-aviadilo.\nLa valoro de x estas nomita la x-koordinato au\u0306 absciso kaj la valoro de y estas nomitaj la y-koordinato au\u0306 ordinato ."}, {"text_idx": "#000015", "text": "La elektoj de leteroj venas de la origina kongreso, kio devas uzi c\u0302i-lastan parton de la alfabeto por indiki nekonatajn valorojn.\nLa unua parto de la alfabeto kutimis indiki konatajn valorojn."}, {"text_idx": "#000016", "text": "En la karteza aviadilo, referenco foje estas farita al trigonometria cirklo au\u0306 unuohiperbolo."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Elekti kartezan koordinatsistemon por tri-dimensia spaco intencas elekti ordigitan trinasktion de linioj (aksoj) kiuj estas par-maniero perpendikularaj, havas ununuran longecunuon por c\u0302iuj tri aksoj kaj havas orientig\u0302on por c\u0302iu akso.\nKiel en la dudimensia kazo, c\u0302iu akso ig\u0302as numero-linio.\nLa koordinatoj de punkto P akirig\u0302as kreante linion tra P perpendikularaj al c\u0302iu kunordigita akso, kaj legante la punktojn kie tiuj linioj renkontas la aksojn kiel tri nombroj da tiuj numero-linioj."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Alternative, la koordinatoj de punkto P ankau\u0306 povas esti prenitaj kiel la (subskribite) distancoj de P g\u0302is la tri ebenoj difinitaj per la tri aksoj.\nSe la aksoj estas nomitaj x, y, kaj z, tiam la x-koordinato estas la distanco de la ebeno difinita per la y- kaj z-akso.\nLa distanco estas prenota kun la + au\u0306 \u2212 signo, depende de kiu de la du duon-spacoj apartigitaj per tiu ebeno enhavas P.\nLa y- kaj z-koordinato povas esti akiritaj en la saman vojon de la xz- kaj xy-aviadiloj respektive."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Eu\u0306klida aviadilo kun elektita karteza sistemo estas nomita karteza aviadilo.\nC\u0302ar kartezaj koordinatoj estas unikaj kaj ne-ambiguaj, la punktoj de karteza aviadilo povas esti identigitaj kun paroj de realaj nombroj;"}, {"text_idx": "#000021", "text": "La koncepto de kartezaj koordinatoj g\u0302eneraligas permesi aksojn kiuj ne estas perpendikularaj al unu la alian, kaj/au\u0306 malsamaj unuoj lau\u0306 c\u0302iu akso.\nEn tiu kazo, c\u0302iu koordinato akirig\u0302as projekciante la punkton sur unu akso lau\u0306 direkto kiu estas paralela al la alia akso (au\u0306, g\u0302enerale, al la hiperebeno difinita per c\u0302iuj aliaj aksoj).\nEn tia oblikva koordinatsistemo la komputadoj de distancoj kaj anguloj devas esti modifitaj de tio en normaj kartezaj sistemoj, kaj multaj normaj formuloj (kiel ekzemple la pitagorea formulo por la distanco) ne tenas (vidas afinan ebenon)."}, {"text_idx": "#000022", "text": "La kartezaj koordinatoj de punkto estas kutime skribitaj en krampoj kaj apartigitaj per komoj, kiel en (10, 5) au\u0306 (3, 5, 7).\nLa origino ofte estas etikedita kun la majusklo O.\nEn analitika geometrio, nekonataj au\u0306 senmarkaj koordinatoj ofte estas indikitaj per la leteroj ( x, y) en la aviadilo, kaj ( x, y, z) en tri-dimensia spaco.\nTiu kutimo venas de kongreso de algebro, kiel ekzemple kiu utiligas leterojn proksime de la fino de la alfabeto por nekonataj valoroj (estis la koordinatoj de punktoj en multaj geometriaj problemoj), kaj leterojn proksime de la komenco por antau\u0306fiksitaj kvantoj."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Tiuj konvenciaj nomoj ofte estas utiligitaj en aliaj domajnoj, kiel ekzemple fiziko kaj ing\u0302enieristiko, kvankam aliaj leteroj povas esti utiligitaj.\nEkzemple, en grafeo montranta kiel premo varias lau\u0306 tempo, la grafeokoordinatoj povas esti indikitaj p kaj t.\nC\u0302iu akso estas kutime nomita lau\u0306 la koordinato kiu estas mezurita lau\u0306 g\u0302i;\ntiel oni diras la abscison, la ipsilonakson, la t-akso, ktp."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Alia komuna kongreso por kunordigita nomado devas uzi indeksojn, kiel ( x 1, x 2\nx n ) por la n kunlaboras en n-dimensia spaco, aparte kiam n estas pli bonega ol 3 au\u0306 nespecifita.\nKelkaj verkintoj preferas la numeradon ( x 0, x 1\nTiuj notacioj estas aparte favoraj en komputilprogramado: stokante la koordinatojn de punkto kiel aro, anstatau\u0306e de rekordo, la indekso povas helpi indeksi la koordinatojn."}, {"text_idx": "#000025", "text": "En matematikaj ilustraj\u0302oj de dudimensiaj kartezaj sistemoj, la unua koordinato (tradicie nomita la absciso) estas mezurita lau\u0306 absciso, orientita de maldekstre dekstren.\nLa dua koordinato (la ordinato) tiam estas mezurita lau\u0306 y-akso, kutime orientite de fundo g\u0302is pinto.\nJunaj infanoj lernante la kartezan sistemon, ofte lernas la ordonon legi la valorojn antau\u0306 cementado de la x, y, z-aksookonceptoj, per komencado kun 2D mnemonikoj (ekz. \"Piediro lau\u0306 laj halo tiama supren lau\u0306 la s\u0302tuparoj\" simila al rektaj\u0302o lau\u0306larg\u0302e la absciso tiam supren vertikale lau\u0306 la ipsilonakso)."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Komputilgrafikoj kaj prilaboro de bildoj, aliflanke, ofte uzas koordinatsistemon kun la ipsilonakso orientita malsupren sur la komputilekranon.\nTiu kongreso evoluigita en la 1960-aj jaroj (au\u0306 pli frue) de la maniero kiel en kiu bildoj estis origine stokitaj en ekranbufroj."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Por tridimensiaj sistemoj, kongreso devas portreti la xy-aviadilon horizontale, kun la z-akso aldonita por reprezenti altecon (pozitivan supren).\nKrome, ekzistas kongreso por orienti la abscison direkte al la spektanto, influita au\u0306 dekstren au\u0306 foriris.\nSe diagramo ( 3D projekcio au\u0306 2D perspektivdesegnaj\u0302o) montras al la x- kaj ipsilonakson horizontale kaj vertikale, respektive, tiam la z-akso devus esti montrita indikante \"for el la pag\u0302o\" direkte al la spektanto au\u0306 fotilo.\nEn tia 2D diagramo de 3D koordinatsistemo, la z-akso prezentig\u0302us kiel linio au\u0306 radio montranta malsupren kaj maldekstren au\u0306 malsupren kaj dekstren, depende de la supozita spektanto au\u0306 fotilperspektivo.\nEn iu diagramo au\u0306 ekrano, la orientig\u0302o de la tri aksoj, kiel tutaj\u0302o, estas arbitra.\nTamen, la orientig\u0302o de la aksoj relative al unu la alian c\u0302iam devus observi la dekstran regulon, krom se specife deklarite alie.\nC\u0302iuj leg\u0302oj de fiziko kaj matematiko supozas tiun dekstra-donit, kiu certigas konsistencon."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Por 3D diagramoj, la nomoj \"absciso\" kaj \"ordinato\" malofte estas utiligitaj por x kaj y, respektive.\nKiam ili estas, la z-koordinato foje estas nomita la aplicato.\nLa vortoj absciso, ordinato kaj aplicato foje estas uzitaj por rilati al kunordigitaj aksoj prefere ol la kunordigitaj valoroj."}, {"text_idx": "#000029", "text": "La aksoj de dudimensia karteza sistemo dividas la aviadilon en kvar senfinajn regionojn, nomitajn kvadrantoj, [5] c\u0302iu saltite per du duon-aksoj.\nTiuj ofte estas numeritaj de unua g\u0302is 4-a kaj indikita per romiaj numeraloj: I (kie la signoj de la du koordinatoj estas +, +), II (\u2212, +), III (\u2212, \u2212), kaj IV (+, \u2212).\nKiam la aksoj estas tiritaj lau\u0306 la matematika kutimo, la numerado iras maldekstrume komencante de supra dekstra (\"nordoriente\") kvadranto."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Simile, tridimensia karteza sistemo difinas dividadon de spaco en ok regionojn au\u0306 oktantojn, [5] lau\u0306 la signoj de la koordinatoj de la punktoj.\nLa kongreso uzita por nomado de specifa oktanto devas listigi siajn signojn, ekz.\nLa g\u0302eneraligo de la kvadranto kaj oktanto al arbitra nombro da grandeco estas la ortoformiko , kaj simila noma sistemo uzas."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Kartezaj formuloj por la aviadilo"}, {"text_idx": "#000032", "text": "Tio estas la karteza versio de la teoremo de Pitagoro."}, {"text_idx": "#000033", "text": "kiu povas esti akirita per du sinsekvaj aplikoj de la teoremo de Pitagoro."}, {"text_idx": "#000034", "text": "La Eu\u0306klidaj transformoj au\u0306 Eu\u0306klidaj movig\u0302oj estas la ( bijektive) mapadoj de punktoj de la Eu\u0306klida aviadilo al ili mem kiuj konservas distancojn inter punktoj.\nEkzistas kvar specoj de tiuj mapadoj (ankau\u0306 nomitaj izometrioj):\ntradukoj, rotacioj, reflektadoj kaj glisadreflektadoj."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Traduki aron de punktoj de la aviadilo, konservante la distancojn kaj indikojn inter ili, estas ekvivalenta al aldonado de fiksa paro de nombroj (, b) al la kartezaj koordinatoj de c\u0302iu punkto en la aro.\nTio estas, se la originaj koordinatoj de punkto estas ( x, y), post la traduko kiun ili estos"}, {"text_idx": "#000036", "text": "\\displaistile (la y de x,') = (x a, y b)."}, {"text_idx": "#000037", "text": "\\displaistile y' x\\sin \\theta +i\\kos \\theta."}, {"text_idx": "#000038", "text": "Se ( x, y) estas la kartezaj koordinatoj de punkto, tiam (\u2212 x, y) estas la koordinatoj de g\u0302ia reflektado trans la dua kunordigita akso (la ipsilonakso), kvazau\u0306 tiu linio estus spegulo.\nSame, ( x, \u2212 y) estas la koordinatoj de g\u0302ia reflektado trans la unua kunordigita akso (la absciso)."}, {"text_idx": "#000039", "text": "\\displaistile y' x\\sin 2\\theta y\\coj 2\\theta."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Glisadreflektado estas la kunmetaj\u0302o de reflektado trans linio sekvita per traduko en la direkto de tiu linio.\nPovas esti vidite ke la ordo de tiuj operacioj ne gravas (la traduko sekvita per la reflektado) unue povas veni."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Tiuj Eu\u0306klidaj transformoj de la aviadilo povas c\u0302iuj esti priskribitaj lau\u0306 unuforma maniero utiligante matricojn."}, {"text_idx": "#000042", "text": "kie A estas 2\u00d72 ortogonala matrico kaj b\nb 1, b 2) estas arbitra orda duopo de nombroj;"}, {"text_idx": "#000043", "text": "Por esti ortogonala, la matrico A havendaj\u0302o ortogonalajn vicojn kun sama Eu\u0306klida longo de unu, t.e.,"}, {"text_idx": "#000044", "text": "Tio estas ekvivalenta al dirado ke A tempigas sia transmeti devas esti la identa matrico.\nSe tiuj kondic\u0302oj ne tenas, la formulo priskribas pli g\u0302eneralan afinan transformon de la ebeno kondic\u0302e ke la determinanto de A ne estas nul."}, {"text_idx": "#000045", "text": "La formulo difinas tradukon se kaj nur se A estas la identa matrico.\nLa transformo estas rotacio c\u0302irkau\u0306 iu punkto se kaj nur se A estas rotaciomatrico, kun la signifo tio"}, {"text_idx": "#000046", "text": "Reflektado au\u0306 glisadreflektado kiam akirig\u0302as,"}, {"text_idx": "#000047", "text": "Supozi ke traduko ne estas utiligita transformoj povas esti kombinita simple multobligante la rilatajn transformmatricojn."}, {"text_idx": "#000048", "text": "Alia maniero reprezenti kunordigitajn transformojn en kartezaj koordinatoj estas tra afinaj transformoj.\nEn afinaj transformoj ekstra dimensio estas aldonita kaj c\u0302iuj punktoj ricevas valoron de 1 por tiu ekstra dimensio.\nLa avantag\u0302o de farado de tio estas tiuj punktotradukoj povas esti precizigita en la fina kolono de matrico A.\nLau\u0306 tiu maniero, c\u0302iuj la eu\u0306klidaj transformoj ig\u0302as intertrakteblaj kiel matricpunktomultiplikoj.\nLa afina transformo ricevas per:"}, {"text_idx": "#000049", "text": "La matrico estas sur la maldekstro- kaj kolumnaj vektoroj c\u0302ar punktokoordinatoj estas uzitaj."}, {"text_idx": "#000050", "text": "Uzi afinajn transformojn multoblajn malsamajn eu\u0306klidajn transformojn inkluzive de traduko povas esti kombinitaj simple multobligante la ekvivalentajn matricojn."}, {"text_idx": "#000051", "text": "Ekzemplo de afina transformo kiu ne estas Eu\u0306klida decidpropono ricevas per skalado.\nIgi figuron pli granda au\u0306 pli malgranda estas ekvivalenta al multobligado de la kartezaj koordinatoj de c\u0302iu punkto je la sama pozitiva pli sensenta m.\nSe ( x, y) estas la koordinatoj de punkto sur la origina figuro, la ekvivalenta punkto sur la skvama figuro havas koordinatojn"}, {"text_idx": "#000052", "text": "\\displaistile (la y de x,') = (mks, mia)."}, {"text_idx": "#000053", "text": "Se m estas pli bonega ol 1, la figuro ig\u0302as pli granda;\nse m estas inter kaj 1, g\u0302i ig\u0302as pli malgranda."}, {"text_idx": "#000054", "text": "Tonda transformo pus\u0302os la pinton de kvadrato flanken por formi paralelogramon.\nHorizontala tondado estas difinita per:"}, {"text_idx": "#000056", "text": "Fiksado au\u0306 elektante la abscison determinas la ipsilonakson supren en direkto.\nNome, la ipsilonakso estas nepre la perpendikulara al la absciso tra la punkto markita 0 sur la absciso.\nSed ekzistas elekto de kiu de la du duonaj linioj sur la perpendikulara al nomumito tiel pozitiva kaj kiu kiel negativa.\nC\u0302iu el tiuj du elektoj determinas malsaman orientig\u0302on (ankau\u0306 nomitan handednes) de la karteza aviadilo."}, {"text_idx": "#000057", "text": "La kutima maniero orienti la aksoj, kie la pozitiva absciso indikas rajton kaj la pozitiva ipsilonakso indikanta supren (kaj la absciso estanta la \"unua\" kaj la ipsilonakso la \"dua\" akso) estas konsideritaj la pozitiva au\u0306 norma orientig\u0302o, ankau\u0306 nomita la lertan orientig\u0302on."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Ofte uzita mnemoniko por difinado de la pozitiva orientig\u0302o estas la dekstra regulo .\nLokado iom fermig\u0302is dekstra sur la aviadilo kun la dikfingro indikas supren, la fingroj indikas de la absciso g\u0302is la ipsilonakso, en pozitive orientita koordinatsistemo."}, {"text_idx": "#000059", "text": "La alia maniero orienti la aksoj sekvas maldekstramanan regulon, metante maldekstran manon sur la aviadilon kun la dikfingro indikas supren."}, {"text_idx": "#000060", "text": "Dum indikado de la dikfingro for de la origino lau\u0306 akso direkte al pozitiva, la kurbeco de la fingroj indikas pozitivan rotacion lau\u0306 tiu akso."}, {"text_idx": "#000061", "text": "Nekonsiderante la regulo uzita orienti la aksojn, rotacii la koordinatsistemon konservos la orientig\u0302on.\nInters\u0302ang\u0302i iujn ajn du aksojn inversigos la orientig\u0302on, sed inters\u0302ang\u0302i ambau\u0306 lasos la orientig\u0302on sens\u0302ang\u0302a."}, {"text_idx": "#000062", "text": "Post kiam la x- kaj ipsilonaksoj estas precizigitaj, ili determinas la linion lau\u0306 kiu la z-akso devus kus\u0302i, sed kiujn ekzistas du eblaj indikoj sur tiu linio.\nLa du eblaj koordinatsistemoj kiuj rezultas estas nomitaj \"lertaj\" kaj \"maldekstramanaj\".\nLa normorientig\u0302o, kie la xy-aviadilo estas horizontala kaj la z-akso indikas supren (kaj la x- kaj la ipsilonakso formas pozitive orientitan dudimensian koordinatsistemon en la xy-aviadilo se observite de supre al la xy-aviadilo) estas nomita lertaj au\u0306 pozitivaj."}, {"text_idx": "#000063", "text": "La nomo venas de la dekstra regulo.\nSe la montrofingro de la dekstra estas pinta antau\u0306en, la mezfingro fleksis enen lau\u0306 orto al g\u0302i, kaj la dikfingro lokita lau\u0306 orto al ambau\u0306, la tri fingroj indikas la relativajn indikojn de la x-, y-, kaj z-akso en lerta sistemo.\nLa dikfingro indikas la abscison, la indekso fingrumas la ipsilonakson kaj la mezo fingrumas la z-akso.\nInverse, se la sama estas farita kun maldekstra mano, maldekstramanajn sistemrezultojn."}, {"text_idx": "#000064", "text": "Figuro 7 prezentas maldekstron kaj lertan koordinatsistemon.\nC\u0302ar tridimensia objekto estas reprezentita en la dudimensia ekrano, misprezento kaj ambiguecrezulto.\nLa akso indikanta malsupren (kaj dekstren) estas ankau\u0306 intencita indiki direkte al la observanto, dum la \"meza\" akso estas intencita indiki for de la observanto.\nLa rug\u0302a cirklo estas paralela al la horizontala xy-aviadilo kaj indikas rotacion de la absciso g\u0302is la ipsilonakso (en ambau\u0306 kazoj).\nTial la rug\u0302a sago pasas antau\u0306 la z-akso."}, {"text_idx": "#000065", "text": "Figuro 8 estas alia provo c\u0302e prezentado de lerta koordinatsistemo.\nDenove, ekzistas ambigueco kau\u0306zita de projekcianta la tridimensian koordinatsistemon en la aviadilon.\nMultaj observantoj vidas Figure 8 kiel \"j\u0302eti en kaj eksteren\" inter konveksa kubo kaj konkava \"angulo\".\nTio egalrilatas al la du eblaj orientig\u0302oj de la koordinatsistemo.\nVidante la figuron kiel konveksaj elastecoj maldekstramana koordinatsistemo.\nTiel la \"g\u0302usta\" maniero rigardi Figure 8 devas imagi la abscison kiel indikante direkte al la observanto kaj tiel vidanta konkavan angulon."}, {"text_idx": "#000066", "text": "Reprezentante vektoron en la normbazo"}, {"text_idx": "#000067", "text": "Punkto en spaco en karteza koordinatsistemo ankau\u0306 povas esti reprezentita per poziciovektoro, kiu povas esti opiniita de kiel sago indikanta de la origino de la koordinatsistemo g\u0302is la punkto.\nEn du dimensioj, la vektoro de la origino g\u0302is la punkto kun kartezaj koordinatoj (x, y) povas esti skribita kiel:"}, {"text_idx": "#000068", "text": "Ekzistas neniu natura interpreto de multobligado de vektoroj por akiri alian vektoron kiu laboras en c\u0302iuj grandeco, aliflanke ekzistas maniero uzi kompleksajn nombrojn por disponigi tian multiplikon.\nEn dudimensia karteza aviadilo, identigas la punkton kun koordinatoj ( x, y) kun la kompleksanombra z = x + I y .\nC\u0302i tie, mi estas la imaginara unuo kaj estas identigita kun la punkto kun koordinatoj (0, 1), tiel ke g\u0302i estas ne la unuobla vektoro en la direkto de la absciso.\nC\u0302ar la kompleksaj nombroj povas esti multobligitaj donante alian kompleksan nombron, tiu identigo disponigas rimedon por \"multobligi\" vektorojn.\nEn tridimensia karteza spaco simila identigo povas esti farita kun subaro de la kvaropoj."}, {"text_idx": "#000069", "text": "Kartezaj koordinatoj estas abstraktado kiuj havas amason da eblaj aplikoj en la reala mondo.\nTamen, tri helpemaj s\u0302tupoj estas engag\u0302itaj en supermetado de koordinatoj sur problemaplikaj\u0302o.\n1) trupoj de distanco devas esti deciditaj difini la spacan grandecon reprezentitan per la nombroj utiligitaj kiel koordinatoj.\n2) origino devas esti asignita al specifa spaca loko au\u0306 orientilo, kaj 3) la orientig\u0302o de la aksoj devas esti difinita uzante haveblajn unudirektajn signalvortojn por c\u0302iuj krom unu akso."}, {"text_idx": "#000071", "text": "En ing\u0302enieristikprojektoj, interkonsento en la difino de koordinatoj estas decida fonduso.\nOni ne povas supozi ke koordinatoj veni predefineitaj por nova aplikig\u0302o, tiel scio pri kiel starigi koordinatsistemon kie ekzistas ke neniu estas esenca al uzado de la ing\u0302enia pensado de Rene\u0301 Descartes."}, {"text_idx": "#000072", "text": "Dum spacaj programoj laborigas identajn unuojn lau\u0306 c\u0302iuj aksoj, en komerco kaj sciencaj programoj, c\u0302iu akso povas havi malsamajn mezurunuojn asociita kun g\u0302i (kiel ekzemple kilogramoj, sekundoj, funtoj, ktp.).\nKvankam kvar- kaj higher-dimensiajn spacojn malfacilas bildigi, la algebro de kartezaj koordinatoj povas esti etendita relative facile al kvar au\u0306 pli da variabloj, tiel ke certaj kalkuloj implikantaj multajn variablojn povas esti faritaj.\n(Tiu speco de algebra etendaj\u0302o estas kio kutimas difini la geometrion de higher-dimensiaj spacoj.\nInverse, estas ofte helpeme uzi la geometrion de kartezaj koordinatoj en du au\u0306 tri dimensioj bildigi algebrajn rilatojn inter du au\u0306 tri el multaj ne-spacaj variabloj."}, {"text_idx": "#000073", "text": "La grafikaj\u0302o au\u0306 rilato estas la aro de c\u0302iuj punktoj kontentigantaj tiun funkcion au\u0306 rilaton.\nPor funkcio de unu variablo, f, la aro de c\u0302iuj punktoj ( x, y), kie y = f ( x) estas la grafeo de la funkcio f.\nPor funkcio g da du variabloj, la aro de c\u0302iuj punktoj ( x, y, z), kie z = g ( x, y) estas la grafeo de la funkcio g.\nSkizo de la grafeo de tia funkcio au\u0306 rilato konsistus el c\u0302iuj elstaraj partoj de la funkcio au\u0306 rilato kiuj inkludus siajn relativajn ekstremojn, sian alveolon kaj punktojn de klinado, iujn ajn punktojn de malkontinueco kaj g\u0302ia finkonduto.\nC\u0302iuj tiuj esprimoj estas pli plene difinitaj en kalkulado.\nTiaj grafeoj estas utilaj en kalkulado por kompreni la naturon kaj konduton de funkcio au\u0306 rilaton."}, {"text_idx": "#000074", "text": "Jones-diagramo, kiu punktskribas kvar variablojn prefere ol du"}, {"text_idx": "#000078", "text": "Kunordigita Transformilo - konvertitoj inter polusaj, kartezaj kaj sferaj koordinatoj\nKoordinatoj de punkta Interactive-ilo por esplori koordinatojn de punkto"}, {"text_idx": "#000079", "text": "Konveksajn invers-sinusoidal sfere vicigis koordinatojn"}, {"text_idx": "#000080", "text": "Sur la rekto kun du diversaj punktoj A kaj B, ni povas elekti du direktojn: de A al B, au\u0306 de B al A. Ni nomu, ekzemple la direkton de A al B, la pozitiva direkto. Oni povas establi unu-al-unuan konformecon inter reelaj nombroj kaj la aro de la punktoj de donita rekto. Ni konformu al 0 ian punkton sur la rekto kaj nomi g\u0302in originpunkto. Ni akceptu ian detranc\u0302on de la rekto kiel unuo de la longo. Al c\u0302iu reela nombro ni konformu la koncernan punkton, kiu distancas de originpunkto per a distanco: al pozitiva direkto por \"+a\" nombro kaj al negativa direkto por \"-a\" nombro. La konstruita rekto estas la nombra rekto au\u0306 koordinata akso."}, {"text_idx": "#000081", "text": "Koordinato estas nombro, kiu konformas al la konkreta punkto de la akso.\na kaj b nomig\u0302as limpunktoj kaj la diferenco b - a - longo de intervalo."}, {"text_idx": "#000082", "text": "Ni konsideru, ke du samskalaj ortaj koordinat-aksoj OX kaj OY intersekcas. OX akso ni nomu abscisa akso, kaj OY - ordinata akso. La du aksoj dividas ebenon je kvar partoj, kiuj nomig\u0302as kvaronoj. La konstruita sistemo nomig\u0302as kartezia (au\u0306 orta) koordinata sistemo, lau\u0306 nomo de franca matematikisto Kartezio (Rene Descartes), kaj la punkto de intersekco de la aksoj - origino de la koordinat-sistemo. Karteziaj koordinatoj en ebeno estas du nombroj, difinantaj la situon de punkto rilate al koordinat-aksoj; c\u0302iu koordinato estas la distanco de la punkto al unu el la aksoj, mezurita paralele al la alia akso."}, {"text_idx": "#000083", "text": "Absciso estas unu el la du karteziaj koordinatoj en ebeno, mezurata paralele al la horizontala koordinat-akso. La alian koordinaton oni nomas ordinato."}, {"text_idx": "#000084", "text": "Se la punkto M havas koordinatojn x kaj y en kartezia sistemo, oni signas g\u0302in jene: M(x,y). La paroj de reelaj nombroj faras aron, kiu nomig\u0302as kiel nombra ebeno. Tiamaniere, inter punktoj de la nombra ebeno kaj la aro de paroj de reelaj nombroj estas konformeco unu-al-unu."}]