[{"text_idx": "#000001", "text": "Aroteorio estas filio de matematika logiko kiuj studaroj, kiuj neformale estas kolektoj de objektoj.\nKvankam ajna speco de objekto povas esti kolektita en aron, aroteorio plejofte estas aplikita al objektoj kiuj estas signifaj al matematiko.\nLa lingvo de aroteorio povas esti uzita en la difinoj de preskau\u0306 c\u0302iuj matematikaj objektoj."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La moderna studo de aroteorio estis iniciatita fare de Georg Cantor kaj Richard Dedekind en la 1870-aj jaroj.\nPost la eltrovo de paradoksoj en naiva aroteorio, kiel ekzemple la paradokso de la Russell, multaj aksiomsistemoj estis proponitaj en la frua dudeka jarcento, de kiu la Zermelo-Fraenkel-aksiomoj, kun au\u0306 sen la libera-elekto-aksiomo, estas la plej konataj."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Aroteorio estas ofte utiligita kiel baza sistemo por matematiko, precipe en la formo de Zermelo-Fraenkel aroteorio kun la libera-elekto-aksiomo.\nPreter g\u0302ia fonda rolo, aroteorio estas branc\u0302o de matematiko en sia propra rajto, kun aktiva esplorkomunumo.\nNuntempa esplorado en aroteorion inkluzivas varian kolekton de temoj, intervalante de la strukturo de la realnombra linio g\u0302is la studo de la konsistenco de grandaj kardinaloj."}, {"text_idx": "#000004", "text": "2 Bazaj konceptoj kaj notacio\n7 Protestoj kontrau\u0306 aroteorio kiel fundamento por matematiko"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Ekde la 5-a jarcento a.K., komencig\u0302ante kun greka matematikisto Zenono el Elajo en la okcidentaj kaj frue hindaj matematikistoj en la Oriento, matematikistoj luktis kun la koncepto de senfineco.\nAparte rimarkinda estas la laboro de Bernard Bolzano en la unua duono de la 19-a jarcento.\nModerna kompreno de senfineco komencig\u0302is en 1867-71, kun la laboro de Cantor pri nombroteorio.\nRenkontig\u0302o inter Kantoro kaj Richard Dedekind (1872) influis la pensadon de Cantor kaj kulminis per la 1874 artikolo de Cantor."}, {"text_idx": "#000007", "text": "La laboro de Cantor komence polarigis la matematikistojn de lia tago.\nDum Karl Weierstrass kaj Dedekind apogis kantoron, Leopold Kronecker, nun viditen kiel fondinto de matematika konstruismo, ne faris.\nCantoriana aroteorio poste ig\u0302is g\u0302eneraligita, pro la utileco de Cantorianaj konceptoj, kiel ekzemple ekzakta korespondado inter aroj, lia pruvo ke ekzistas pli realaj nombroj ol entjeroj, kaj la \"senfineco de senfinecoj\" (\" la paradizo de Cantor \") rezultig\u0302antaj el la aro de c\u0302iuj subaro operacio.\nTiu utileco de aroteorio kondukis al la artikolo \"Mengenlehre\" kontribuita en 1898 fare de Arthur Schoenflies al la enciklopedio de Klein."}, {"text_idx": "#000008", "text": "La venonta ondo de ekscito en aroteorio venis c\u0302irkau\u0306 1900, kiam estis malkovrite ke kelkaj interpretoj de Cantoriana aroteorio kau\u0306zis plurajn kontrau\u0306dirojn, nomitajn antinomioj au\u0306 paradoksoj.\nBertrand Russell kaj Ernst Zermelo sendepende trovis la plej simplan kaj plej konatan paradokson, nun nomitan la paradokso de Russell: pripensu \"la aron de c\u0302iuj aroj kiuj ne estas membroj de ili mem\", kiu kondukas al kontrau\u0306diro c\u0302ar g\u0302i devas esti membro de si mem, kaj ne membro de si mem.\nEn 1899 kantoro havis sin prezentita la demando \"Kio estas la povo de aro de la aro de c\u0302iuj aroj?\n\", kaj akirita rilata paradokso.\nRussell utiligis sian paradokson kiel temon en sia revizio de kontinenta matematiko (1903) en sia The Principles of Mathematics (La Principoj de Matematiko) ."}, {"text_idx": "#000010", "text": "La impeto de aroteorio estis tia ke debato en la paradoksoj ne kau\u0306zis sian rezignon.\nLa laboro de Zermelo en 1908 kaj Abraham Fraenkel en 1922 rezultigis la aron de aksiomoj ZFC, kiu ig\u0302is la plej ofte uzita aro de aksiomoj por aroteorio.\nLa laboro de analizistoj kiel ekzemple Henri Leon Lebesgue elmontris la grandan matematikan utilecon de aroteorio, kiu poste farig\u0302is teksita en la s\u0302tofon de moderna matematiko.\nAroteorio estas ofte utiligita kiel baza sistemo, kvankam en kelkaj lokoj [ kiu?\nteorio de kategorioj supozeble estas preferata fonduso."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Aroteorio komencig\u0302as kun fundamenta duargumenta rilato inter objekto o kaj aro A.\nSe o estas membro (au\u0306 elemento) de A , la notacio o \u2208 A estas uzita.\nC\u0302ar aroj estas objektoj, la membrecrilato povas rilatigi arojn ankau\u0306."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Derivita duargumenta rilato inter du aroj estas la subarrilato, ankau\u0306 nomita metita inkludo.\nSe c\u0302iuj membroj de aro A ankau\u0306 estas membroj de aro B, tiam A estas subaro de B , indikis A \u2286 B .\nKiel insinuite de tiu difino, aro estas subaro de si mem.\nPor kazoj kie tiu ebleco estas malracia au\u0306 sonus racie por esti malaprobita, la esprimo bonorda subaro estas difinita.\nEstas nomita bonorda subaro de B se kaj nur se A estas subaro de B , sed A ne estas egala al B ."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Ekzakte kiel artimetikaj ecoj operacioj sur nombroj, aroteoriotrajtoj operacioj sur aktoraroj."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Kelkaj bazaj aroj de centra graveco estas la malplena aro (la unika aro enhavanta neniujn elementojn;\nfoje vokis la malplen-aron kvankam tiu nomo estas ambigua), la aro de naturaj nombroj, kaj la aro de realaj nombroj."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Elementa aroteorio povas esti studita neformale kaj intuicie, kaj tiel povas esti instruita en bazlernejoj uzantaj venn-a diagramojn.\nLa intuicia aliro implice supozas ke aro povas esti formita de la klaso de c\u0302iuj objektoj kontentigante ajnan specialan difinan kondic\u0302on.\nTiu supozo kau\u0306zas paradoksojn, la plej simpla kaj plej konataj de kiuj estas la paradokso de Russell kaj la Burali-Forti-paradokso.\nAksioma aroteorio estis origine elpensita por senigi aroteorion de tiaj paradoksoj."}, {"text_idx": "#000018", "text": "La plej vaste volitaj sistemoj de aksioma aroteorio implicas ke c\u0302iuj aroj formas akumulan hierarkion.\nTiaj sistemoj venas en du gustoj, tiuj el kies ontologio konsistas:"}, {"text_idx": "#000019", "text": "Tio inkludas la plej oftan aksioman aroteorion, Zermelo-Fraenkel aroteorion (ZFC), kiu inkludas la libera-elekto-aksiomon.\nFragmentoj de ZFC inkludas: Zermelo aroteorio, kiu anstatau\u0306igas la aksiomskemon de anstatau\u0306aj\u0302o kun tiu de apartigo;\nG\u0302enerala aroteorio, malgranda fragmento de Zermelo aroteorio sufic\u0302a por la Peano-aksiomoj kaj finhavaj aroj;\nKripke-Platek aroteorio, kiu preterlasas la aksiomojn de senfineco, aron de c\u0302iuj subarojn, kaj elekton, kaj malfortigas la aksiomskemojn de apartigo kaj anstatau\u0306aj\u0302o.\nAroj kaj bonordaj klasoj .\nTiuj inkludas Von Neumann-Bernays-Go\u0308del aroteorion, kiu havas la saman forton kiel ZFC por teoremoj pri aroj sole, kaj Mors-Kelley-aroteorio kaj Tarski-Grothendieck aroteorio, kiuj ambau\u0306 estas pli forta ol ZFC."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Zermelo aroteorio, kiu anstatau\u0306igas la aksiomskemon de anstatau\u0306aj\u0302o kun tiu de apartigo;\nG\u0302enerala aroteorio, malgranda fragmento de Zermelo aroteorio sufic\u0302a por la Peano-aksiomoj kaj finhavaj aroj;\nKripke-Platek aroteorio, kiu preterlasas la aksiomojn de senfineco, aron de c\u0302iuj subarojn, kaj elekton, kaj malfortigas la aksiomskemojn de apartigo kaj anstatau\u0306aj\u0302o."}, {"text_idx": "#000021", "text": "C\u0302i-supraj sistemoj povas esti modifitaj por permesi urelementojn , objektojn kiuj povas esti membroj de aroj sed kiuj ne estas sin aroj kaj ne havas iujn ajn membrojn."}, {"text_idx": "#000022", "text": "La sistemoj de New Foundations NFU (permesanta urelementojn) kaj NF (malhavanta ilin) ne estas bazitaj sur akumula hierarkio.\nNF kaj NFU inkludas \"aron de c\u0302io,\" relative al kiu c\u0302iu aro havas komplementon.\nEn tiu sistemurelementafero, c\u0302ar NF, sed ne NFU, produktas arojn por kiu la libera-elekto-aksiomo ne tenas."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Sistemoj de helpema aroteorio, kiel ekzemple CST, CZF, kaj IZF, enkonstruas siajn araksiomojn en intuitionista anstatau\u0306e de klasika logiko.\nAnkorau\u0306 aliaj sistemoj akceptas klasikan logikon sed havas nenorman membrecrilaton.\nTiuj inkludas malglatan aroteorion kaj malklarkonturan aroteorion, en kiu la valoro de atoma formulo enkarniganta la membrecrilaton ne estas simple Vera au\u0306 Falsan.\nLa Bule-aprezitaj modeloj de ZFC estas parenca temo."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Multaj matematikaj konceptoj povas esti difinitaj g\u0302uste uzante nur metis teoriajn konceptojn.\nEkzemple, matematikaj strukturoj tiel diversspeca kiel grafeoj, duktoj, ringoj, kaj vektoraj spacoj c\u0302io povas esti difinitaj kiel aroj kontentigantaj diversajn (aksiomajn) trajtojn.\nEkvivalenteco- kaj ordrilatoj estas c\u0302ieaj en matematiko, kaj la teorio de matematikaj rilatoj povas esti priskribita en aroteorio."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Aroteorio ankau\u0306 estas esperiga baza sistemo por multo da matematiko.\nEkde la publikigo de la unua volumo de Principia Mathematica , estis postulite ke la plej granda parto au\u0306 ec\u0302 c\u0302iuj matematikteoremoj povas esti derivitaj uzante trafe dizajnitan aron de aksiomoj por aroteorio, pliigita kun multaj difinoj, uzi unua au\u0306 dua ordigas logikon.\nEkzemple, trajtoj de la naturaj kaj realaj nombroj povas esti derivitaj ene de aroteorio, c\u0302ar c\u0302iu aroj de nombroj povas esti identigita kun aro de ekvivalentklasoj sub tau\u0306ga ekvivalentrilato kies kampo estas iu senfina aro."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Aroteorio kiel fundamento por analitiko, topologio, abstrakta algebro, kaj diskreta matematiko estas same nekontestataj;\nmatematikistoj akceptas ke (en principo) teoremoj en tiuj lokoj povas esti derivitaj de la signifaj difinoj kaj la aksiomoj de aroteorio.\nMalmultaj plenaj derivaj\u0302oj de kompleksaj matematikteoremoj de aroteorio estis formale konfirmitaj, aliflanke, c\u0302ar tiaj formalaj derivaj\u0302oj ofte estas multe pli longaj ol la naturlingvaj pruvoj kiujn matematikistoj ofte prezentas.\nUnu konfirmprojekto, Metamath, inkludas hom-skribajn, komputer\u2010verified derivaj\u0302ojn de pli ol 12,000 teoremoj komencantaj de ZFC aroteorio, unua ordlogiko kaj propozicia logiko."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Aroteorio estas grava areo de esplorado en matematiko, kun multaj interelateitaj subkampoj."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Kombineca aroteorio koncernas etendaj\u0302ojn de finhava kombinatoriko al senfinaj aroj.\nTio inkludas la studon de kaparitmetiko kaj la studon de etendaj\u0302oj de la teoremo de Ramsey kiel ekzemple la Erdo\u030bs-Rado-teoremo."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Priskriba aroteorio estas la studo de subaroj de la reala linio kaj, pli g\u0302enerale, subaroj de polaj spacoj.\nG\u0302i komencig\u0302as kun la studo de pointclase en la Borel-hierarkio kaj ampleksas la studon de pli kompleksaj hierarkioj kiel ekzemple la projekcia hierarkio kaj la Wadge-hierarkio.\nMultaj trajtoj de Borel-aroj povas esti establitaj en ZFC, sed pruvi tiuj trajtoj tenas por pli d komplikaj aroj postulas kromajn aksiomojn ligitajn al Determineco kaj grandaj kardinaloj."}, {"text_idx": "#000031", "text": "La kampo de efika priskriba aroteorio estas inter aroteorio kaj Rikurteorio.\nG\u0302i inkludas la studon de lumvizag\u0302pointclase, kaj estas proksime rilatita al hiperaritmetika teorio.\nEn multaj kazoj, rezultoj de klasika priskriba aroteorio havas efikajn versiojn;\nen kelkaj kazoj, novaj rezultoj akirig\u0302as pruvante la efikan version unue kaj tiam etendantan (\"relativigante\") g\u0302in por igi g\u0302in pli larg\u0302e uzebla."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Lastatempa areo de esplorado koncernas Borel ekvivalentrilatojn kaj pli d komplikajn difineblajn ekvivalentrilatojn.\nTio havas gravajn aplikojn al la studo de Invariantoj en multaj kampoj de matematiko."}, {"text_idx": "#000033", "text": "En aroteorio kiel Kantoro difinis kaj Zermelo kaj Fraenkel aksiomigis, objekto au\u0306 estas membro de aro au\u0306 ne.\nEn malklarkontura aroteorio tiu kondic\u0302o estis malstrec\u0302ita fare de Lotfi A. Zadeh tiel kiun objekto havas al grado da membreco en aro, nombron inter kaj 1. Ekzemple, la grado da membreco de persono en la aro de \"altaj homoj\" estas pli fleksebla ol kuracherbo jes au\u0306 neniu respondo kaj povas esti reala nombro kiel ekzemple 0.75."}, {"text_idx": "#000034", "text": "Interna modelo de Zermelo-Fraenkel aroteorio (ZF) estas transitiva klaso kiu inkludas c\u0302iujn ordajn numeralojn kaj kontentigas c\u0302iujn aksiomojn de ZF.\nLa kanonika ekzemplo estas la konstruebla universo L evoluigita fare de Go\u0308del.\nUnu kialo ke la studo de internaj modeloj estas de intereso estas ke povas esti uzite pruvi konsistencrezultojn.\nEkzemple, g\u0302i povas esti montrita tion nekonsiderante c\u0302u modelo V de ZF kontentigas la kontinuo-hipotezon au\u0306 la libera-elekto-aksiomon, la interna modelo L konstruita ene de la origina modelo kontentigos kaj la g\u0302eneraligitan kontinuo-hipotezon kaj la libera-elekto-aksiomon.\nTiel la supozo ke ZF estas kohera (havas almenau\u0306 unu modelon) implicas ke ZF kune kun tiuj du principoj estas kohera."}, {"text_idx": "#000035", "text": "La studo de internaj modeloj estas ofta en la studo de Determineco kaj grandaj kardinaloj, aparte dum pripensado aksiomoj kiel ekzemple la aksiomo de Determineco kiuj kontrau\u0306diras la libera-elekto-aksiomon.\nEc\u0302 se fiksa modelo de aroteorio kontentigas la libera-elekto-aksiomon, estas eble ke interna modelo malsukcesus kontentigi la libera-elekto-aksiomon.\nEkzemple, la ekzisto de sufic\u0302e grandaj kardinaloj implicas ke ekzistas interna modelo kontentiganta la aksiomon de Determineco (kaj tiel ne kontentiganta la libera-elekto-aksiomon)."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Granda kardinalo estas povo de aro kun ekstra posedaj\u0302o.\nKvanto tiaj trajtoj estas studitaj, inkluzive de nealireblaj kardinaloj, al mezureblaj kardinaloj, kaj multajn pli.\nTiuj trajtoj tipe implicas ke la povo de aro devas esti tre granda, kun la ekzisto de kardinalo kun la precizigita posedaj\u0302o nepruvebla en Zermelo-Fraenkel aroteorio."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Determineco rilatas al la fakto ke, sub konvenaj supozoj, certaj du-ludantaj ludoj de perfektaj informoj estas determinitaj de la komenco en la senco ke unu ludanto havendaj\u0302o allogan strategion.\nLa ekzisto de tiuj strategioj havas gravajn sekvojn en priskriba aroteorio, kiel la supozo ke pli larg\u0302a klaso de ludoj ofte estas determinita implicas ke pli larg\u0302a klaso de aroj havos topologian posedaj\u0302on.\nLa aksiomo de Determineco (AD) estas grava studobjekto;\nkvankam malkongrua kun la libera-elekto-aksiomo, AD implicas ke c\u0302iuj subaroj de la reala linio estas bone kondutitaj (aparte, mezurebla kaj kun la perfekta arposedaj\u0302o).\nAD povas esti uzita por pruvi ke la Wadge-gradoj havas elegantan strukturon."}, {"text_idx": "#000038", "text": "Paul Cohen inventis la metodon de devigado serc\u0302ante modelon de ZFC en kiu la kontinuo-hipotezo perfidas, au\u0306 modelon de ZF en kiu la libera-elekto-aksiomo malsukcesas.\nDevigado tus\u0302as al kelkaj antau\u0306fiksita modelo de aroteoriokromaj aroj por krei pli grandan modelon kun trajtoj determinite (t.e. \"malvola\") fare de la konstruo kaj la origina modelo.\nEkzemple, la konstruo de Cohen g\u0302islimas kromajn subarojn de la naturaj nombroj sen s\u0302ang\u0302ado de iujn ajn da la povo de aroj de la origina modelo.\nDevigado ankau\u0306 estas unu el du metodoj por pruvado de relativa konsistenco per finitistaj metodoj, la alia metodo estanta Bule-aprezitaj modeloj."}, {"text_idx": "#000039", "text": "Kardinal-Invarianto estas posedaj\u0302o de la reala linio mezurita per povo de aro.\nEkzemple, bon-volita Invarianto estas la plej malgranda kardinaleco da kolekto de magraj aroj de realoj kies unio estas la tuta reala linio.\nTiuj estas Invariantoj en la senco ke c\u0302iuj du izomorfaj modeloj de aroteorio devas doni la saman kardinalon por c\u0302iu Invarianto.\nMultaj Kapinvariantoj estis studitaj, kaj la rilatoj inter ili ofte estas kompleksaj kaj rilatitaj al aksiomoj de aroteorio."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Aro-teoria topologio studas demandojn de g\u0302enerala topologio kiuj estas aro-teoriaj en naturo au\u0306 kiuj postulas progresintajn metodojn de aroteorio por sia solvo.\nMultaj el tiuj teoremoj estas sendependaj de ZFC, postulante pli fortajn aksiomojn por ilia pruvo.\nFama problemo estas la normala Moore-spacdemando, demando en g\u0302enerala topologio kiu estis la temo de intensa esplorado.\nLa respondo al la normala Moore-spacdemando estis poste pruvita por esti sendependa de ZFC."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Protestoj kontrau\u0306 aroteorio kiel fundamento por matematiko"}, {"text_idx": "#000042", "text": "De la komenco de aroteorio, kelkaj matematikistoj protestis kontrau\u0306 g\u0302i kiel fundamento por matematiko.\nLa plej oftan proteston kontrau\u0306 aroteorio, unu Kronecker esprimis en la plej fruaj jaroj de aroteorio, komencas de la konstruist vido ke matematiko estas loze rilatita al komputado.\nSe tiu vido tiam estas koncedita, la traktado de senfinaj aroj, kaj en naiva kaj en aksioma aroteorio, enkondukas en matematikmetodojn kaj objektojn kiuj ne estas komputeblaj ec\u0302 en principo.\nLa farebleco da konstruismo kiel anstatau\u0306aj\u0302fundamento por matematiko estis tre pliigita per la influa libro Foundations of Constructive Analysis de Errett Bishop."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Malsama obj\u0302eto prezentita fare de Henri Poincare\u0301 estas tiu difinanta arojn utiligantajn la aksiomskemojn de specifo kaj anstatau\u0306aj\u0302o, same kiel la aksiomon de potenco metita, enkondukas impredicativecon, specon de cirklecon, en la difinoj de matematikaj objektoj.\nLa amplekso de predikative fondis matematikon, dum malpli ol tiu de la ofte akceptita Zermelo-Fraenkel-teorio, estas multe pli bonega ol tiu de helpema matematiko, al la punkto ke Solomon Feferman diris ke \"c\u0302io el science uzebla analizo povas esti evoluigita [uzante predikativajn metodojn]\"."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Li skribis ke \"aroteorio estas malg\u0302usta\", c\u0302ar g\u0302i konstruas en la \"sensencaj\u0302o\" de fikcia simboleco, havas \"malutilegajn idiomaj\u0302ojn\", kaj ke estas sensence paroli pri \"c\u0302iuj nombroj\".\nLa opinioj de Wittgenstein pri la fundamentoj de matematiko poste estis kritikitaj fare de Georg Kreisel kaj Paul Bernays, kaj esploritaj fare de Crispin Wright, inter aliaj."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Kategorioteoriuloj proponis toposteorion kiel alternativon al tradicia aksioma aroteorio.\nToposteorio povas interpreti diversajn alternativojn al tiu teorio-, kiel ekzemple konstruismo, finhava aroteorio, kaj komputebla aroteorio.\nTopoi ankau\u0306 donu naturan scenaron por devigado kaj diskutoj de la sendependeco de elekto de ZF, same kiel disponigado de la kadro por sencela topologio kaj S\u0302tonspacoj."}, {"text_idx": "#000046", "text": "Aktiva areo de esplorado estas la unuvalentaj fondusoj kaj rilatita al g\u0302i homotopy-teorio de tipoj.\nC\u0302i tie, aroj povas esti difinitaj kiel certaj specoj de specoj, kun universalaj trajtoj de aroj ekestig\u0302antaj de pli altaj induktaj tipoj.\nPrincipoj kiel ekzemple la libera-elekto-aksiomo kaj la leg\u0302o de la nediskutebla mezo aperas en spektro de malsamaj formoj, kelkaj el kiuj povas esti pruvita, aliaj kiuj egalrilatas al la klasikaj nocioj;\ntio enkalkulas detalan diskuton de la efiko de tiuj aksiomoj pri matematiko."}, {"text_idx": "#000047", "text": "Interrilata modelo - pruntas de aroteorio"}, {"text_idx": "#000051", "text": "La leg\u0302oj de De Morgan"}, {"text_idx": "#000052", "text": "Povo de aro ( granda)"}, {"text_idx": "#000053", "text": "Diferencialaj ekvacioj / dinamikaj sistemoj"}, {"text_idx": "#000054", "text": "Prezento de scio kaj rezonado"}, {"text_idx": "#000055", "text": "Aroteorio (au\u0306 arteorio) estas branc\u0302o de matematiko kaj komputiko kreita c\u0302efe de la germana matematikisto Georg Cantor fine de la 19-a jarcento. G\u0302i komence estis disputata, sed nuntempe ig\u0302is grava en la fundamentteorio por difini bazajn konceptojn kiel nombro."}, {"text_idx": "#000056", "text": "Komence oni evoluigis la naivan au\u0306 intuician arteorion, kiun oni povas difini jene:"}, {"text_idx": "#000057", "text": "Al tiaj aroj oni povas apliki diversajn operaciojn, kiel la kunaj\u0302on kaj la komunaj\u0302on."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Tamen montrig\u0302is ke, se oni aplikas c\u0302iujn operaciojn senlime, aperas paradoksoj kiel la Rusela paradokso. Por solvi tiujn problemojn, oni rekonstruis la arteorion uzante aksioman metodon."}, {"text_idx": "#000059", "text": "La aksiomoj por la arteorio nuntempe plej ofte uzataj estas nomataj la Zermelo-Fraenkel-aksiomoj. Verdire, la aksiomoj estas c\u0302enoj de logikaj simboloj. C\u0302i sube aperas iliaj \"tradukoj\" al natura lingvo:"}, {"text_idx": "#000060", "text": "Aksiomo de etendo: Du aroj estas samaj se kaj nur se ili havas la samajn membrojn.\nAksiomo de kunaj\u0302o: Por c\u0302iu aro x ekzistas aro y tiel ke la membroj de y estas precize la membroj de la membroj de x.\nAksiomo de apartigo: Se x estas aro kaj P(y) estas predikato, tiam ekzistas subaro de x kies membroj estas precize tiuj, por kiuj P(y) estas vera.\nAksiomo de anstatau\u0306igo: Se x estas aro, kaj P(y,z) difinas bildigon (do P(y,z) kaj P(y,w) entenas z=w) tiam ekzistas aro enhavanta precize la bildojn de la membroj de x.\nAksiomo de potenca aro: C\u0302iu aro havas potencan aron. Do, por c\u0302iu aro x ekzistas aro y tiel ke la membroj de y estas c\u0302iuj subaroj de x.\nAksiomo de reguleco: C\u0302iu ne-malplena aro x havas membron y tiel ke x kaj y estas disaj aroj.\nAksiomo de elekto: Se x estas aro de reciproke disaj ne-malplenaj aroj, ekzistas aro y kiu enhavas precize unu membron de c\u0302iu membro de x."}, {"text_idx": "#000061", "text": "La aksiomoj de reguleco kaj de elekto restas disputataj de malmultaj matematikistoj."}, {"text_idx": "#000062", "text": "La kunaj\u0302o de du aroj A kaj B konsistas el c\u0302iuj elementoj, kiuj estas en A, en B au\u0306 en ambau\u0306. La operacio nature g\u0302eneralig\u0302as al pli ol du aroj; g\u0302i estas g\u0302eneraligebla ankau\u0306 al nefinie da aroj. G\u0302i estas komuteca kaj asocieca. Oni notas g\u0302in per la kunigo-signo (\u222a), kiu similas al pelveto au\u0306 al literu \"U\"."}, {"text_idx": "#000063", "text": "La komunaj\u0302o de du aroj A kaj B konsistas el c\u0302iuj elementoj, kiuj estas kaj en A kaj en B. La operacio nature g\u0302eneralig\u0302as al pli ol du aroj; g\u0302i estas g\u0302eneraligebla ankau\u0306 al nefinie da aroj. G\u0302i estas komuteca kaj asocieca. Oni notas g\u0302in per la komunaj\u0302iga signo (\u2229), kiu similas al inversigita pelveto."}, {"text_idx": "#000064", "text": "La kunigo kaj la komunaj\u0302igo estas reciproke distribuecaj. La aroj do kun tiuj du operacioj formas latison."}]