[{"text_idx": "#000000", "text": "Wikipedia's Geometry as translated by GramTrans"}, {"text_idx": "#000001", "text": "geo- \"tero\", - metron \"mezurado\") estas branc\u0302o de matematiko koncernita kun demandoj de formo, grandeco, relativa pozicio de figuroj, kaj la trajtoj de spaco.\nMatematikisto kiu laboras en la kampo de geometrio estas nomita geometristo.\nGeometrio ekestis sendepende en kelkaj fruaj kulturoj kiel korpo de praktika scio koncerne longojn, areojn, kaj volumojn, kun elementoj de formala matematika scienco aperanta en la Okcidento jam Taleso (6-a jarcento a.K.).\nEkde la tria jarcento a.K., geometrio estis metita en aksioman formon fare de Eu\u0306klido, kies terapio - eu\u0306klida geometrio - metis normon ke multaj jarcentoj sekvas.\nArkimedo evoluigis ing\u0302eniajn teknikojn por kalkulado de areoj kaj volumoj, lau\u0306 multaj manieroj anticipantaj modernan integralan kalkulon.\nLa kampon de astronomio, aparte c\u0302ar g\u0302i rilatigas al mapado de la pozicioj de steloj kaj planedoj sur la c\u0302ielosfero kaj priskribado de la rilato inter movadoj de astroj, funkciis kiel grava fonto de geometriaj problemoj dum la venonta unu- kaj duono Jarmiloj.\nEn la klasika mondo, kaj geometrio kaj astronomio estis konsideritaj kiel parto da la Quadrivio, subaro de la sep liberalaj artoj konsideritaj esencaj ke libera civitano majstrus."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La enkonduko de koordinatoj de Rene\u0301 Descartes kaj la samtempaj evoluoj de algebro markis novan stadion por geometrio, c\u0302ar geometriaj figuroj kiel ekzemple aviadilkurboj povus nun esti reprezentitaj analize en la formo de funkcioj kaj ekvacioj.\nTio ludis s\u0302losilan rolon en la apero de infinitezima kalkulo en la 17-a jarcento.\nKrome, la teorio de perspektivo montris ke ekzistas pli al geometrio ol j\u0302us la metrikaj trajtoj de figuroj: perspektivo estas la origino de projekcia geometrio.\nLa temo de geometrio estis plue ric\u0302igita per la studo de la interna strukturo de geometriaj objektoj kiuj originis c\u0302e Euler kaj Gauss kaj kau\u0306zis la kreadon de topologio kaj diferenciala geometrio."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Dum la vida naturo de geometrio igas g\u0302in komence pli alirebla ol aliaj matematikaj areoj kiel ekzemple algebro au\u0306 nombroteorio, geometria lingvo ankau\u0306 estas uzita en kuntekstoj longe forigite de sia tradicia, Eu\u0306klida deveno (ekzemple, en fraktalgeometrio kaj algebra geometrio)."}, {"text_idx": "#000005", "text": "1 C\u0302efaj branc\u0302oj de geometrio"}, {"text_idx": "#000006", "text": "C\u0302ar la registrita evoluo de geometrio enhavas pli ol du Jarmilojn, perceptojn de kio konsistigas geometrion evoluis dum la ag\u0302oj:"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Geometrio originis kiel praktika scienco koncernita kun enketoj, mezuradoj, areoj, kaj volumoj.\nInter aliaj kulminaj\u0302oj, rimarkindaj plenumoj inkludas formulojn por longoj, areoj kaj volumoj, kiel ekzemple la pitagorea teoremo, cirkonferenco kaj areo de cirklo, areo de triangulo, volumeno de cilindro, sfero, kaj piramidon.\nMetodo de komputiko certaj nealireblaj distancoj au\u0306 altaj\u0302oj bazitaj sur simileco de geometriaj figuroj ricevas al Taleso.\nLa evoluo de astronomio kau\u0306zis la aperon de trigonometrio kaj sfera trigonometrio, kune kun la kunaj komputilaj teknikoj."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Eu\u0306klido prenis pli abstraktan aliron en siaj Elementoj, unu el la plej influaj libroj iam skriba.\nEu\u0306klido lanc\u0302is certajn aksiomojn, au\u0306 postulatojn, esprimante primarajn au\u0306 memevidentajn trajtojn de punktoj, liniojn, kaj aviadilojn.\nLi dau\u0306rigis rigore dedukti aliajn trajtojn de matematika rezonado.\nLa karakteriza kvalito de la aliro de Eu\u0306klido al geometrio estis sia rigoro, kaj g\u0302i estis konata kiel aksioma au\u0306 sinteza geometrio.\nC\u0302e la komenco de la 19-a jarcento, la eltrovo de ne-eu\u0306klidaj geometrioj de Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), Ja\u0301nos Bolyai (1802-1860) kaj Carl Friedrich Gauss (1777-1855) kaj aliaj kau\u0306zis reanimadon de intereso en tiu disciplino, kaj en la 20-a jarcento, David Hilbert (1862-1943) utiligis aksioman rezonadon en provo disponigi modernan fonduson de geometrio."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Klasikaj geometristoj atentis specialan al konstruado de geometriaj objektoj kiuj estis priskribitaj lau\u0306 iu alia maniero.\nKlasike, la nuraj instrumentoj permesitaj en geometriaj konstruoj estas la kompaso kaj liniilo.\nAnkau\u0306, c\u0302iu konstruo devis esti kompleta en finhava nombro da s\u0302tupoj.\nTamen, kelkaj problemoj montrig\u0302is por malfacilaj au\u0306 malsolveblaj de tiuj rimedoj sole, kaj ing\u0302eniaj konstruoj utiligantaj parabolojn kaj aliajn kurbojn, same kiel mekanikajn aparatojn, estis trovitaj."}, {"text_idx": "#000010", "text": "En antikva Grekio la Pitagorean pripensis la rolon de nombroj en geometrio.\nTamen, la eltrovo de nekompareblaj longoj, kiuj kontrau\u0306diris siajn filozofiajn opiniojn, igis ilin prirezigni abstraktajn nombrojn en favoro de konkretaj geometriaj kvantoj, kiel ekzemple longo kaj areo de figuroj.\nKvara Moselibro estis reenkondukitaj en geometrion en la formo de koordinatoj fare de Descartes, kiu ekkomprenis ke la studo de geometriaj formoj povas esti faciligita fare de ilia algebra reprezentantaro, kaj por kiu la karteza aviadilo estas nomita.\nAnalitika geometrio aplikas metodojn de algebro al geometriaj demandoj, tipe rilatigante geometriajn kurbojn al algebraj ekvacioj.\nTiuj ideoj ludis s\u0302losilan rolon en la evoluo de kalkulado en la 17-a jarcento kaj kau\u0306zis la eltrovon de multaj novaj trajtoj de aviadilkurboj.\nModerna algebra geometrio pripensas similajn demandojn sur vaste pli abstraktaj\u0302nivelo."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Ec\u0302 en antikvaj tempoj, geometristoj pripensis demandojn de relativa pozicio au\u0306 spacan rilaton de geometriaj figuroj kaj formoj.\nKelkaj ekzemploj ricevas fare de surskribi kaj c\u0302irkau\u0306skribitaj cirkloj de pluranguloj, linioj intersekcadon kaj klavon al konikoj, la Papuso kaj Menelao konfiguracioj de punktoj kaj linioj.\nEn la Mezepoko, novaj kaj pli d komplikaj demandoj de tiu tipo estis pripensitaj: Kio estas la maksimumnombro de sferoj samtempe tus\u0302ante antau\u0306fiksitan sferon de la sama radiuso ( kisa numero-problemo)?\nKio estas la plej densa pakumo de sferoj de egala grandeco en spaco ( Kepler-supozo)?\nLa plej multaj el tiuj demandoj implikis \"rigidajn\" geometriajn formojn, kiel ekzemple linioj au\u0306 sferoj.\nProjekcia, konveksa, kaj diskreta geometrio estas tri sub-disciplinoj ene de aktuala geometrio kiuj traktas tiujn specojn de demandoj."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Leonhard Euler, en studado de problemoj kiel la Sep pontoj en Ko\u0308nigsberg, konsiderite la plej fundamentaj trajtoj de geometriaj figuroj surbaze sole de formo, sendependa de iliaj metrikaj trajtoj.\nEuler telefonis al tiu nova branc\u0302o de geometriogeometria situs (geometrio de loko), sed g\u0302i nun estas konata kiel topologio.\nTopologio kreskis el geometrio, sed ig\u0302is granda sendependa disciplino.\nG\u0302i ne diferencig\u0302as inter objektoj kiuj povas esti ade misformitaj en unu la alian.\nLa objektoj povas tamen reteni iun geometrion, kiel en la kazo de hiperbolaj nodoj."}, {"text_idx": "#000013", "text": "En la preskau\u0306 du mil jaroj ekde Eu\u0306klido, dum la vico da geometriaj demandoj demanditaj kaj respondis neeviteble disetendig\u0302is, la baza kompreno de spaco restis esence la sama.\nImmanuel Kant argumentis ke ekzistas nur unu, absoluta valoro, geometrio, kiu povas esti vera apriore de interna fakultato de menso: eu\u0306klida geometrio estis sinteza apriore.\nTiu domina vido estis renversita per la revolucia eltrovo de ne-eu\u0306klida geometrio en la verkoj de Bolyai, Lobachevsky, kaj Gauss (kiuj neniam publikigis sian teorion).\nIli montris ke ordinara eu\u0306klida spaco estas nur unu ebleco por evoluo de geometrio.\nLarg\u0302a vizio de la temo de geometrio tiam estis esprimita fare de Riemann en lia 1867 inau\u0306gurprelego U\u0308ber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen ( En la hipotezoj sur kiuj geometrio estas bazita), [4] publikigis nur post lia morto.\nLa nova ideo de Riemann de spaco pruvis decida en la g\u0302eneralrelativeca teorio de Einstein, kaj rimana geometrio, kiu pripensas tre g\u0302eneralajn spacojn en kiuj la nocio de longo estas difinita, estas c\u0302efapogilo de moderna geometrio."}, {"text_idx": "#000014", "text": "De kie la tradicia geometrio permesis grandecon 1 ( linio), 2 ( aviadilo) kaj 3 (nia c\u0302irkau\u0306a mondo koncipita kiel tri-dimensia spaco), matematikistoj uzis pli altan grandecon dum preskau\u0306 du jarcentoj.\nDimensio iris traen stadioj de esti ajna natura pli sensenta n, eventuale senfina kun la enkonduko de hilberta spaco, kaj ajna pozitiva reala nombro en fraktalgeometrio.\nDimensioteorio estas teknika areo, komence ene de g\u0302enerala topologio, kiu diskutas difinojn;\nen ofta kun la plej multaj matematikaj ideoj, dimensio nun estas difinita prefere ol intuicio.\nLigitaj topologiaj duktoj havas klare difinitan dimension;\ntio estas teoremo ( envarianco de domajno) prefere ol io ajn apriore."}, {"text_idx": "#000015", "text": "La temo de dimensio dau\u0306re aferoj al geometrio, en la foresto de kompletaj respondoj al klasikaj demandoj.\nGrandeco 3 el spaco kaj 4 el spactempo estas specialaj kazoj en geometria topologio.\nDimensio 10 au\u0306 11 estas esenca nombro en teorio de kordoj.\nEsplorado povas alporti kontentigan geometrian kialon de la signifo de 10 kaj 11 dimensioj."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Malsama speco de simetrio estas la principo de dueco en projekcia geometrio (vidu Dueco (projekcia geometrio) inter aliaj kampoj.\nTiu meta-fenomeno povas malglate esti priskribita jene: en iu teoremo, inters\u0302ang\u0302o punkto per aviadilo, interligas kun kunveno, kus\u0302as enen kun enhavas, kaj vi ricevos same veran teoremon.\nSimila kaj proksime rilatita formo de dueco ekzistas inter vektora spaco kaj g\u0302ia duobla spaco."}, {"text_idx": "#000018", "text": "La plej fruaj registritaj komencoj de geometrio povas esti spuritaj al praa Mezopotamio kaj Egiptujo en la dua jarmilo a.K.\nFrua geometrio estis kolekto de empirie malkovritaj principoj koncerne longojn, angulojn, areojn, kaj volumojn, kiuj estis evoluigitaj por renkonti iun praktikan bezonon en geodezio, konstruo, astronomio, kaj diversaj metioj.\nLa plej fruaj konataj tekstoj pri geometrio estas la egipta Rhind Papyrus (2000-1800 a.K.) kaj Moscow Papyrus (c\u0302. 1890 a.K.), la babilonaj argiltabuletoj kiel ekzemple Plimpton 322 (1900 a.K.).\nEkzemple, la Moskva Papiruso donas formulon por kalkulado de la volumeno de stumpigita piramido, au\u0306 trunko.\nPli postaj argiltabuletoj (350-50 a.K.) montras ke babilonaj astronomoj efektivigis trapez procedurojn por komputado de la pozicio kaj movig\u0302o de Jupitero ene de temp-rapideca regiono.\nTiuj geometriaj proceduroj anticipis la Oksfordan Kalkulilojn, inkluzive de la averag\u0302a rapidecteoremo, ekde 14 jarcentoj.\nsude de Egiptujo la antikvaj nubianoj establis sistemon de geometrio inkluzive de fruaj versioj de sunhorlog\u0302oj."}, {"text_idx": "#000021", "text": "En la Mezepoko, matematiko en mezepoka Islamo kontribuita al la evoluo de geometrio, aparte algebra geometrio.\nAl-Mahani (nask. 853) elpensis la ideon de reduktado de geometriaj problemoj kiel ekzemple duplikatado de la kubo al problemoj en algebro.\nTha\u0304bit ibn Qurra (konata kiel Thebit en la latina) (836-901) traktis aritmetik operaciojn aplikitajn al rilatumoj de geometriaj kvantoj, kaj kontribuis al la evoluo de analitika geometrio.\nOmar H\u0302ajam (1048-1131) trovis geometriajn solvojn al triagradaj ekvacioj.\nLa teoremoj de Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam kaj Nasir al-ripetlernas al al-Tusi sur kvarlateroj, inkluzive de la Lambert-kvarlatero kaj Saccheri-kvarlatero, estis fruaj rezultoj en hiperbola geometrio, kaj kune kun iliaj alternativaj postulatoj, kiel ekzemple la aksiomo de Playfair, tiuj verkoj havis konsiderindan influon sur la evoluo de ne-eu\u0306klida geometrio inter pli postaj eu\u0306ropaj geometristoj, inkluzive de Vitelono (c. 1230-c.\n1314), Gersonides (1288-1344), Alfonzo, John Wallis, kaj Giovanni Girolamo Saccheri."}, {"text_idx": "#000022", "text": "En la frua 17-a jarcento, ekzistis du gravaj evoluoj en geometrio.\nLa unua estis la kreado de analitika geometrio, au\u0306 geometrio kun koordinatoj kaj ekvacioj, de Rene\u0301 Descartes (1596-1650) kaj Pierre de Fermat (1601-1665).\nTio estis necesa antau\u0306ulo al la evoluo de kalkulado kaj preciza kvanta scienco de fiziko.\nLa dua geometria evoluo de tiu periodo estis la sistema studo de projekcia geometrio de Girard Desargues (1591-1661).\nProjekcia geometrio estas geometrio sen mezurado au\u0306 paralelaj linioj, j\u0302us la studo de kiel punktoj estas rilatitaj al unu la alian."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Du evoluoj en geometrio en la 19-a jarcento s\u0302ang\u0302is la manieron kiel g\u0302i estis studita antau\u0306e.\nTiuj estis la eltrovo de ne-eu\u0306klidaj geometrioj de Nikolai Ivanovich Lobachevsky, Ja\u0301nos Bolyai kaj Carl Friedrich Gauss kaj de la formulig\u0302o de simetrio kiel la centra konsidero en la Erlangen Programo de Felix Klein (kiu g\u0302eneraligis la Eu\u0306klida kaj ne-eu\u0306klidajn geometriojn).\nDu el la majstraj geometristoj de la tempo estis Bernhard Riemann (1826-1866), laborante c\u0302efe per iloj de analitiko, kaj prezentante la Riemann-facon, kaj Henri Poincare\u0301, la fondinton de algebra topologio kaj la geometrian teorion de dinamikaj sistemoj.\nKiel sekvo de tiuj gravaj s\u0302ang\u0302oj en la koncepto de geometrio, la koncepto de \"spaco\" ig\u0302is io ric\u0302a kaj multfaceta, kaj la natura fono por teorioj same malsamaj kiel kompleksa analitiko kaj klasika mekaniko."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Eu\u0306klida geometrio farig\u0302is proksime ligita kun komputilgeometrio, komputila grafiko, konveksa geometrio, incidencogeometrio, finhava geometrio, diskreta geometrio, kaj kelkaj areoj de kombinatoriko.\nAtento ricevis al plia laboro pri eu\u0306klida geometrio kaj la Eu\u0306klidaj grupoj per kristalografio kaj la laboro de H. S. M. Coxeter, kaj povas esti viditaj en teorioj de Coxeter-grupoj kaj hiperpluredroj.\nGeometria grupa teorio estas vastiga areo de la teorio de pli g\u0302eneralaj diskretaj grupoj, uzante geometriajn modelojn kaj algebrajn teknikojn."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Diferenciala geometrio gravegis al matematika fiziko pro la g\u0302eneralrelativeca postulijono de Einstein kiu la universo estas kurba.\nNuntempa diferenciala geometrio estas interna, signifante ke la spacoj kiujn g\u0302i pripensas estas difencigeblaj plurejoj kies geometria strukturo estas regita per Riemaniana metriko, kiu determinas kiel distancoj estas mezuritaj proksime de c\u0302iu punkto, kaj ne apriore partoj de iu c\u0302irkau\u0306a plata eu\u0306klida spaco."}, {"text_idx": "#000026", "text": "La kampo de topologio, kiu vidis masivan evoluon en la 20-a jarcento, estas en teknika signifo speco de transformgeometrio, en kiu transformoj estas homeomorfioj.\nTio ofte estis esprimita en la formo de la deklaro \"kiun topologio estas kau\u0306c\u0302uklittukogeometrio\".\nNuntempa geometria topologio kaj diferenciala topologio, kaj specialaj subkampoj kiel ekzemple Morsteorio, estus nombritaj fare de la plej multaj matematikistoj kiel parto de geometrio.\nAlgebra topologio kaj g\u0302enerala topologio iris siajn proprajn vojojn."}, {"text_idx": "#000027", "text": "[ citaj\u0302o bezonis ] [ dubindaj - j\u0302etdiskoj ] algebra geometrio"}, {"text_idx": "#000028", "text": "La kampo de algebra geometrio estas la moderna enkarnig\u0302o da la karteza geometrio de kunordigas.\nDe malfruaj 1950-aj jaroj tra mez-1970-aj jaroj g\u0302i spertis gravan fondan evoluon, plejparte pro laboro de Jean-Pierre Serre kaj Alexander Grothendieck.\nTio kondukis al la enkonduko de kabaloj kaj pli granda emfazo de topologiaj metodoj, inkluzive de diversaj kohomologioteorioj.\nUnu el sep Jarmilaj Premioproblemoj, la Hodge-supozo, estas demando en algebra geometrio."}, {"text_idx": "#000029", "text": "La studo de malalt-dimensiaj algebraj variecoj, algebraj kurboj, algebraj surfacoj kaj algebraj variecoj de dimensio 3 (\"algebraj triobloj\"), estis longe avancita.\nGro\u0308bner-baz teorio kaj reela algebra geometrio estas inter pli aplikataj subkampoj de moderna algebra geometrio.\nArtimetika geometrio estas aktiva kampo kombinanta algebran geometrion kaj nombroteorion.\nAliaj indikoj de esplorado implikas modulus spacojn kaj kompleksan geometrion.\nAlgebro-geometriaj metodoj estas ofte uzitaj en signovico kaj brane teorio."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Listo de geometristoj Kategorio: Algebraj geometristoj\nListo de formuloj en elementa geometrio\nListo de gravaj publikaj\u0302oj en geometrio"}, {"text_idx": "#000031", "text": "Ebenaj\u0302o , libro skribita fare de Edwin Abbott Abbott koncerne dun- kaj tri-dimensian spacon, kompreni la koncepton de kvar dimensioj"}, {"text_idx": "#000033", "text": "\"Tri sciencistoj, Ibn al-Haytham, Khayyam, kaj al-Tusi, faris la plej konsiderindan kontribuon al tiu branc\u0302o de geometrio kies graveco estis tute rekonita nur en la 19-a jarcento.\nEn esenco, iliaj proponoj koncerne la trajtojn de kvaranguloj kiujn ili pripensis, supozante ke kelkaj el la anguloj de tiuj figuroj estis akutaj de obtuza, enkarnigis la unuajn malmultajn teoremojn de la hiperbolaj kaj la elipsaj geometrioj.\nIliaj aliaj proponoj montris ke diversaj geometriaj deklaroj estis ekvivalentaj al la Eu\u0306klida postulato kiun V.-It estas ekstreme grava ke tiuj akademiuloj establis la reciprokan ligon inter tiu postulato kaj la sumo de la anguloj de triangulo kaj kvarangulon.\nPer iliaj verkoj en la teorio de paralellinioj arabaj matematikistoj rekte influis la signifajn enketojn de iliaj eu\u0306ropaj ekvivalentoj.\nLa unua eu\u0306ropa provo pruvanta la postulato sur paralelaj linioj - farita fare de Vitelono, la polaj sciencistoj de la 13-a jarcento, reviziante Book of Optics (Libro de Optics) de Ibn al-Haytham ( Kitab al-Manazir) - estis sendube ekigita fare de arabaj fontoj.\nLa pruvoj prezentis en la 14-a jarcento proksime de la juda akademiulo Levi-monto Gerson, kiu vivis en suda Francio, kaj de la supre menciita Alfonzo de Hispanio rekte limas al la manifestacio de Ibn al-Haytham.\nSupre, ni protestis ke Pseudo-Tusi's Exposition of Euclid (La Ekspozicio de Eu\u0306klido de pseu\u0306do-Tusi) stimulis la studoj de kaj J. Wallis kaj G. Saccheri de la teorio de paralellinioj.\""}, {"text_idx": "#000039", "text": "Diferencialaj ekvacioj / dinamikaj sistemoj"}, {"text_idx": "#000040", "text": "Geometrio (de la helenaj \u03b3\u03b7\u03c2, \"tero\", kaj \u03bc\u03b5\u03c4\u03c1o\u03c2, \"mezuro\") estas branc\u0302o de matematiko kiu studas spacajn rilatojn (ekz. reciproka situo) kaj formojn (ekz. geometriaj korpoj) kaj ilian g\u0302eneraligon. Naskig\u0302o de geometrio koncernas al tempoj de antikveco kaj estas kau\u0306zita pro la praktikaj bezonoj mezuri terpecojn, volumenon ktp."}, {"text_idx": "#000041", "text": "La strikta konstruo de geometrio, kiel sistemo de asertoj (teoremo), konsekvence sinsekvaj el nemultaj difinoj de c\u0302efaj nocioj kaj veraj\u0302oj, akceptitaj sen pruvo (aksiomo), estis donita en antikva Grekio. Tia traktado de geometrio en la \u201cKomencoj\u201d de Eu\u0306klido (c\u0302. 300 a.K.), dum preskau\u0306 2 mil jaroj servis kiel modelo por aksioma metodo kaj baza konstruo de t.n. \"eu\u0306klida geometrio\"."}, {"text_idx": "#000042", "text": "La revivig\u0302o de la scienco kaj arto en Eu\u0306ropo stimulis evoluon de geometrio, kies teoria bazo estis Projekta Geometrio. Kartezio (Rene Descartes) proponis metodon de koordinatoj, kiu permesis interligi geometrion kun algebro kaj matematika analizo, rezultanta naskon de analiza geometrio kaj diferenciala geometrio. En 1826 N. Lobac\u0302evskij konstruis hiperbolan geometrion, diferencantan de la eu\u0306klida geometrio per la aksiomo pri paraleloj. En la mezo de 19-a jarcento estis esploritaj multmezuraj spacoj. Vasta fako de geometrio estis fondita en la verkoj de B. Riemann. La g\u0302eneraligo de la c\u0302efobjekto de geometrio - spaco, ebligis g\u0302ian fruktodonan uzadon ne nur en matematikaj sciencoj, sed ankau\u0306 en fiziko, mekaniko k.a."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Analiza geometrio estas la fako de geometrio, en kiu proprecoj de geometriaj figuroj (punkto, linio, surfaco) determinig\u0302as per rimedoj de algebro helpe de metodo de koordinatoj, t.e. per studo de proprecoj de ekvacioj, kies grafikoj estas la menciitaj figuroj. En analiza geometrio oni ekzamenas liniojn (surfacojn) de 1-a kaj 2-a gradoj. Linioj (surfacoj) de 1-a grado estas rektoj (ebenoj), inter linioj (surfacoj) de 2-a grado - elipsoj, hiperboloj, paraboloj (elipsoidoj, hiperboloidoj, paraboloidoj). Analizan geometrion unue pristudis Kartezio en 1-a duono de 17-a jarcento."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Diferenciala geometrio estas la fako de geometrio, en kiu geometriaj figuroj determinig\u0302as surbaze de metodo de koordinatoj per la rimedoj de diferenciala kalkulo. La origina objekto de diferenciala geometrio estis pristudo de geometriaj figuroj de ordinara 3-dimensia spaco (linio, surfaco). De la 2-a duono de 19-a jarcento, la kadroj de diferenciala geometrio grave plivastig\u0302is, inkludante ankau\u0306 esploron de multdimensia spaco. Diferenciala geometrio estas grava instrumento por esploroj en mekaniko, teorio de relativeco, k.a."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Desegna geometrio estas la fako de geometrio, en kiu geometriaj figuroj determinig\u0302as per konstruo de iliaj bildoj sur projekciaj ebenoj. Kelkaj ideoj de desegna geometrio estis prilaboritaj en 16-17 jarcentoj, sed kiel sendependa scienco g\u0302i formig\u0302is nur c\u0302e la fino de 18-a jarcento pere de Gaspard Monge kaj pro la kreskantaj praktikaj bezonoj de ing\u0302enierarto."}, {"text_idx": "#000046", "text": "Planimetrio (de la latina Planum, \"ebeno\") estas la fako de elementa geometrio, kiu pristudas proprecojn de figuroj, kus\u0302antaj en surfaco."}, {"text_idx": "#000047", "text": "Stereometrio estas la fako de elementa geometrio, kiu pristudas proprecojn de figuroj en spaco."}, {"text_idx": "#000048", "text": "Sfera geometrio estas la fako de matematiko, kiu esploras figurojn sur sfero. Evoluo de c\u0302i tiu branc\u0302o en antikveco estis ligita kun la problemoj de sfera astronomio."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Jen kelkaj el la klasikaj geometriaj problemoj:"}, {"text_idx": "#000050", "text": "Kiel krei kvadraton kiu havas la saman surfacon kiel difinita cirklo?"}, {"text_idx": "#000051", "text": "Pli precize, en c\u0302iuj tri problemoj, la tasko estas establi geometrian konstrumanieron (ekz. por trionigi ajnan donitan angulon), uzante sole cirkelon kaj liniilon."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Pri c\u0302iuj tri problemoj okupig\u0302is jam la grekoj antau\u0306 pli ol dumil jaroj. Per la teorio de Galois pri au\u0306tomorfismoj de korpoj oni montras facile ke 1. kaj 2. ne allasas g\u0302eneralan solvon. Ankau\u0306 la 3-a problemo ne estas solvebla; por pruvi tion, oni bezonas aldone la teoremon de Lindemann pri la transcendeco de la nombro pi."}]