[{"text_idx": "#000002", "text": "G\u0302eneralaj\u0302oj de la absoluta valoro por realaj nombroj okazas en multaj matematikaj kontekstoj.\nEkzemple, absoluta valoro ankau\u0306 estas difinita por la kompleksaj nombroj, la kvaropoj, ordigis ringojn, kampojn kaj vektorajn spacojn.\nLa absoluta valoro estas proksime rilatita al la nocioj de magnitudo, distanco, kaj normo en diversaj matematikaj kaj fizikaj kuntekstoj."}, {"text_idx": "#000004", "text": "1 Pruvo de la neegalaj\u0302o de triangulo por kompleksaj nombroj"}, {"text_idx": "#000005", "text": "Rilato kun la signuma funkcio"}, {"text_idx": "#000007", "text": "La vertikala drinkejnotacio ankau\u0306 prezentig\u0302as en kelkaj aliaj matematikaj kuntekstoj: ekzemple, se aplikite al aro, kutimas indiki g\u0302ian kardinalecon;\nse aplikite al matrico, kutimas indiki g\u0302ian determinanton.\nTiel, zorgo devas esti elmontrita por interpreti vertikalajn brikojn kiel absolutvalora signo nur kiam la argumento estas algebra objekto por kiu la nocio de absoluta valoro estas difinita (ekz., elemento de normeita dividadalgebro kiel reala nombro, kompleksa nombro, kvaropo, ktp.)."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Kiel povas esti vidita de c\u0302i-supra difino, la absoluta valoro de x c\u0302iam estas au\u0306 pozitiva au\u0306 nul, sed neniam negativo."}, {"text_idx": "#000010", "text": "De analitikgeometria perspektivo, la absoluta valoro de reala nombro estas la distanco de tiu nombro de nul lau\u0306 la realnombra linio, kaj pli g\u0302enerale la absoluta valoro de la diferenco de du realaj nombroj estas la distanco inter ili.\nEfektive, la nocio de abstrakta distancfunkcio en matematiko povas esti observita estanta g\u0302eneralaj\u0302o de la absoluta valoro de la diferenco (vidu \" Distancon \" malsupre)."}, {"text_idx": "#000011", "text": "C\u0302ar la kvadratradika notacio sen signo reprezentas la pozitivan kvadratan radikon, g\u0302i sekvas tion"}, {"text_idx": "#000012", "text": "por realaj valoroj de (ekvacio (1).\nTiu identeco foje estas utiligita kiel difino de absoluta valoro de realaj nombroj."}, {"text_idx": "#000013", "text": "La absoluta valoro havas la sekvajn kvar fundamentajn trajtojn (, b estas realaj nombroj):"}, {"text_idx": "#000014", "text": "La neegalaj\u0302o de triangulo, ekvivalenta al Subadicia funkcio"}, {"text_idx": "#000016", "text": "Kelkaj kromaj utilaj trajtoj ricevas malsupre.\nTiuj trajtoj estas au\u0306 implicitaj per au\u0306 ekvivalenta al la trajtoj donitaj per ekvacioj (2) - (5)."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Idempotence (la absoluta valoro de la absoluta valoro estas la absoluta valoro)\nEgaleco ( reflekta simetrio de la grafeo)\nIdenteco de indiscernible'oj (ekvivalentaj al pozitiva-certeco)\nNeegalaj\u0302o de triangulnombraj Example-normoj (ekvivalentaj al Subadicia funkcio)\nKonservado de dividado (ekvivalenta al multiplicativeco)\nInversa neegalaj\u0302o de triangulo (ekvivalenta al Subadicia funkcio)"}, {"text_idx": "#000018", "text": "Du aliaj utilaj trajtoj koncerne neegalaj\u0302ojn estas:"}, {"text_idx": "#000019", "text": "Tiuj rilatoj povas esti uzitaj por solvi neegalaj\u0302ojn implikantajn absolutajn valorojn."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Absoluta valoro kutimas difini la absolutan diferencon, la norman metrikon sur la realaj nombroj."}, {"text_idx": "#000021", "text": "C\u0302ar la kompleksaj nombroj ne estas ordonitaj, la difino surbaze de supre por la reala absoluta valoro ne povas esti rekte g\u0302eneraligita por kompleksa nombro.\nTamen la geometria interpreto de la absoluta valoro de reala nombro kiel sia distanco de 0 povas esti g\u0302eneraligita.\nLa absoluta valoro de kompleksa nombro estas difinita kiel sia distanco en la kompleksa ebeno de la origino utiliganta la pitagorean teoremon.\nPli g\u0302enerale la absoluta valoro de la diferenco de du kompleksaj nombroj estas egala al la distanco inter tiuj du kompleksaj nombroj."}, {"text_idx": "#000022", "text": "En la kunteksto de abstrakta algebro, c\u0302ar la pozitivaj realaj nombroj formas subgrupon de la kompleksaj nombroj sub multipliko, ni povas pensi pri absoluta valoro kiel endomorfismo de la multiplika grupo de la kompleksaj nombroj."}, {"text_idx": "#000024", "text": "y indiku la realajn kaj imaginarajn partojn de z, respektive.\nKiam la imaginara parto y estas nul tio koincidas kun la difino de la absoluta valoro de la reala nombro x."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Kiel kie kompleksa nombro z estas esprimita en polusa formo"}, {"text_idx": "#000026", "text": "kun r \u2265 0 kaj \u03b8 = atan2 (y, x) la fazo de z, g\u0302ia absoluta valoro estas"}, {"text_idx": "#000027", "text": "La absoluta valoro de kompleksa nombro povas esti skribita en la kompleksoanalogo de ekvacio (1) supre kiel:"}, {"text_idx": "#000028", "text": "kie z estas la kompleksa konjugito de z.\nNotu tion, ekvacio (1) ne estas, g\u0302enerale, vera por kompleksa z:"}, {"text_idx": "#000029", "text": "La kompleksa absoluta valoro dividas c\u0302iujn trajtojn de la reala absoluta valoro donita en ekvacioj (2) - (11) supre."}, {"text_idx": "#000030", "text": "La post komputado tiam havigas la deziratan malegalecon:"}, {"text_idx": "#000031", "text": "La reala absolutvalora funkcio estas kontinua c\u0302ie.\nG\u0302i estas diferenciebla c\u0302ie krom x = 0-a G\u0302i monotonical malpliig\u0302as sur la intervalo (\u2212\u221e, 0] kaj monotonical pliig\u0302anta sur la intervalo [0, +\u221e).\nEkde reala nombro kaj g\u0302ia kontrau\u0306e havas la saman absolutan valoron, g\u0302i estas ebena funkcio, kaj estas tial ne invertebla.\nLa reala absolutvalora funkcio estas pecmaniero linia, konveksa funkcio."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Kaj la realaj kaj kompleksaj funkcioj estas idempotent."}, {"text_idx": "#000033", "text": "La absolutvalora funkcio de reala nombro resendas it valoron sendependa de it signo, dum la signo (au\u0306 signum) funkcio resendas la signon de nombro sendependa de g\u0302ia valoro.\nLa sekvaj ekvacioj montras al la rilato inter tiujn du funkciojn:"}, {"text_idx": "#000034", "text": "La reala absolutvalora funkcio havas derivaj\u0302on por c\u0302iu x =\u0338 0, sed ne estas diferenciebla c\u0302e x = 0.\nG\u0302ia derivaj\u0302o por x =\u0338 0 ricevas per la pas\u0302ofunkcio: [13]"}, {"text_idx": "#000035", "text": "c\u0302e x = 0 estas la intervalo [\u22121,1]."}, {"text_idx": "#000036", "text": "La kompleksa absolutvalora funkcio estas kontinua c\u0302ie sed kompleksa diferenciebla nenie c\u0302ar g\u0302i malobservas la Cauchy-Riemann ekvaciojn."}, {"text_idx": "#000038", "text": "La kontrau\u0306derivita (senfina integralo) de la absolutvalora funkcio estas"}, {"text_idx": "#000039", "text": "kie C estas arbitra konstanto de integrig\u0302o."}, {"text_idx": "#000040", "text": "La absoluta valoro estas proksime rilatita al la ideo de distanco.\nKiel notite supre, la absoluta valoro de reala au\u0306 kompleksa nombro estas la distanco de tiu nombro g\u0302is la origino, lau\u0306 la realnombra linio, por realaj nombroj, au\u0306 en la kompleksa ebeno, por kompleksaj nombroj, kaj pli g\u0302enerale, la absoluta valoro de la diferenco de du realaj au\u0306 kompleksaj nombroj estas la distanco inter ili."}, {"text_idx": "#000041", "text": "La norma eu\u0306klida distanco inter du punktoj"}, {"text_idx": "#000042", "text": "en Eu\u0306klida n-spaco estas difinita kiel:"}, {"text_idx": "#000044", "text": "C\u0302i-supraj spektakloj ke la \"absoluta valoro\" distanco por la realaj nombroj au\u0306 la kompleksaj nombroj, konsentas kun la norma eu\u0306klida distanco ili heredas kiel rezulto de konsideri ilin kiel tiuj kaj dudimensiajn eu\u0306klidajn spacojn respektive."}, {"text_idx": "#000045", "text": "La trajtoj de la absoluta valoro de la diferenco de du realaj au\u0306 kompleksaj nombroj: ne-negativeca, identeco de indiscernible'oj, simetrio kaj la neegalaj\u0302o de triangulo antau\u0306fiksita supran, povas esti observita instiganta la pli g\u0302eneralan nocion de distancfunkcio jene:"}, {"text_idx": "#000046", "text": "Reala aprezita funkcio d sur aktoraro X \u00d7 X estas nomita metriko (au\u0306 distancfunkcio) sur X, se g\u0302i kontentigas la sekvajn kvar aksiomojn: [16]"}, {"text_idx": "#000048", "text": "kie \u2212 estas la aldonaj\u0302o inversaj de , kaj 0 estas la aldonaj\u0302o neu\u0306trelemento."}, {"text_idx": "#000049", "text": "La fundamentaj trajtoj de la absoluta valoro por realaj nombroj donitaj en (2) - (5) supra, povas esti uzitaj por g\u0302eneraligi la nocion de absoluta valoro al arbitra kampo, jene."}, {"text_idx": "#000050", "text": "Real-aprezita funkcio v pri kampo F estas nomita absoluta valoro (ankau\u0306 modulus, magnitudo, valoro, au\u0306 valortakso) [18] se g\u0302i kontentigas la sekvajn kvar aksiomojn:"}, {"text_idx": "#000051", "text": "Subadicia funkcio au\u0306 la neegalaj\u0302o de triangulo"}, {"text_idx": "#000052", "text": "Kie 0 indikas la aldonan neu\u0306tran elementon de F.\nG\u0302i sekvas el pozitiva-certeco kaj multiplicativeco tiun v ( 1) = 1, kie 1 indikas la multiplikan neu\u0306tran elementon de F.\nLa realaj kaj kompleksaj absolutaj valoroj difinitaj supre estas ekzemploj de absolutaj valoroj por arbitra kampo."}, {"text_idx": "#000053", "text": "Se v estas absoluta valoro sur F, tiam la funkcio d sur F \u00d7 F , difinita per d (, b\nv ( \u2212 b), estas metriko kaj la sekvantaroj estas ekvivalentaj:"}, {"text_idx": "#000054", "text": "Absoluta valoro kiu kontentigas ajnan (tial c\u0302io) de c\u0302i-supraj kondic\u0302oj lau\u0306dire estas ne-Archimedean, alie kiun lau\u0306dire estas Archimedean."}, {"text_idx": "#000055", "text": "Denove la fundamentaj trajtoj de la absoluta valoro por realaj nombroj povas esti uzitaj, kun burg\u0302onanta modifo, por g\u0302eneraligi la nocion al arbitra vektora spaco."}, {"text_idx": "#000056", "text": "Real-aprezita funkcio sur vektora spaco V pli ol kampo F, reprezentita kiel \u2016\n\u2016 , estas nomita absoluta valoro, sed pli kutime normo , se g\u0302i kontentigas la sekvajn aksiomojn:"}, {"text_idx": "#000057", "text": "Por c\u0302io en F, kaj v , u en V,"}, {"text_idx": "#000058", "text": "Pozitiva homogeneco au\u0306 pozitiva skaleblo\nSubadicia funkcio au\u0306 la neegalaj\u0302o de triangulo"}, {"text_idx": "#000059", "text": "La normo de vektoro ankau\u0306 estas nomita sia longo au\u0306 magnitudo."}, {"text_idx": "#000060", "text": "Kaze de eu\u0306klida spaco R da n , la funkcio difinita per"}, {"text_idx": "#000061", "text": "c\u0302u normo estas nomita la Eu\u0306klida normo.\nKiam la realaj nombroj R estas konsideritaj la unu-dimensian vektoran spacon R 1 , la absoluta valoro estas normo, kaj estas la p-normo (vidu Lp spacon) por iu p.\nFakte la absoluta valoro estas la \"nura\" normo sur R 1 , en la senco ke, por c\u0302iu norm \u2016\nLa kompleksa absoluta valoro estas speciala kazo de la normo en interna produktospaco.\nG\u0302i estas identa al la Eu\u0306klida normo, se la kompleksa ebeno estas identigita per la Eu\u0306klida aviadilo R 2 ."}, {"text_idx": "#000062", "text": "C\u0302iu kunmetaj\u0302algebro A havas involucion x \u2192 x \u00f7 vokis al sia konjugacio.\nLa produkto en A da elemento x kaj g\u0302ia konjugato x \u00f7 estas skribita N ( x\nx x \u00f7 kaj nomite la normo de x."}, {"text_idx": "#000063", "text": "La realaj nombroj R, kompleksaj nombroj C, kaj kvaropoj H estas c\u0302iuj kunmetaj\u0302algebroj kun normoj donitaj per definitivaj kvadrataj formoj.\nLa absoluta valoro en tiuj dividadalgebroj ricevas per la kvadrata radiko de la kunmetaj\u0302a algebronormo."}, {"text_idx": "#000064", "text": "G\u0302enerale la normo de kunmetaj\u0302algebro povas esti kvadrata formo kiu ne estas definitiva kaj havas nulvektorojn.\nTamen, kiel en la kazo de dividadalgebroj, kiam elemento x havas ne-nulan normon, tiam x havas multiplikan inversan fakton de x \u00f7/ N ( x)."}, {"text_idx": "#000069", "text": "Komputike, la matematika funkcio por fari c\u0302i tiun kalkulon estas nomata kiel abs()."}, {"text_idx": "#000070", "text": "La absoluta valoro de kompleksa nombro estas difinita kiel g\u0302ia distanco al nulo en la kompleks-nombra ebeno. Se a kaj b estas la reela kaj imaginara partoj de iu kompleksa nombro, g\u0302ia absoluta valoro estas ."}]