[{"text_idx": "#000000", "text": "Wikipedia's Manifold as translated by GramTrans"}, {"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, dukto estas topologia spaco kiu loke similas eu\u0306klidan spacon proksime de c\u0302iu punkto.\nPli g\u0302uste, c\u0302iu punkto de n-dimensia dukto havas kvartalon kiu estas homeomorfa al la eu\u0306klida spaco de dimensio n.\nEn tiu pli preciza terminologio, dukto estas referita kiel n-dukto."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Unu-dimensiaj duktoj inkludas liniojn kaj cirklojn, sed ne ok-formojn (c\u0302ar ili havas krucantajn punktojn kiuj ne estas loke homeomorfaj al Euclidean 1-spaca).\nDudimensiaj duktoj ankau\u0306 estas nomitaj surfacoj.\nEkzemploj inkludas la aviadilon, la sferon, kaj la Toron, kiuj povas c\u0302iu esti enkonstruitaj (formita sen mem-intersekcig\u0302oj) en tridimensia reala spaco, sed ankau\u0306 la botelo de Klein kaj reela projekcia ebeno, kiuj c\u0302iam mem-intersekcos kiam mergite en tridimensia reala spaco."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Kvankam dukto loke similas eu\u0306klidan spacon, signifante ke c\u0302iu punkto havas najbarecon homeomorfan al malferma subaro de eu\u0306klida spaco, tutmonde g\u0302i ne: duktoj g\u0302enerale ne estas homeomorfaj g\u0302is eu\u0306klida spaco povas.\nEkzemple, la surfaco de la sfero ne estas homeomorfa al eu\u0306klida spaco, c\u0302ar (inter aliaj trajtoj) g\u0302i havas la tutmondan topologian posedaj\u0302on de kompakteco kiu al eu\u0306klida spaco mankas, sed en regiono g\u0302i povas esti mapita per mapprojekcioj de la regiono en la Eu\u0306klidan aviadilon (en la kunteksto de duktoj ili estas nomitaj furorlisto ).\nKiam regiono aperas en du najbara furorlisto, la du reprezentantaroj ne koincidas precize kaj transformo estas bezonita por pasi de unu al la alia, vokis transirmapon."}, {"text_idx": "#000004", "text": "La koncepto de dukto estas centra al multaj partoj de geometrio kaj moderna matematika fiziko c\u0302ar g\u0302i permesas al komplikaj strukturoj esti priskribitaj kaj komprenitaj lau\u0306 la pli simplaj lokaj topologiaj trajtoj de eu\u0306klida spaco.\nDuktoj kompreneble ekestas kiel Solvaj\u0302aj aroj de sistemoj de ekvacioj kaj kiel grafeoj de funkcioj."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Duktoj povas esti provizitaj per kroma strukturo.\nUnu grava klaso de duktoj estas la klaso de diferencialduktoj;\ntiu diferenciebla strukturo permesas al kalkulado esti farita sur duktoj.\nRiemaniana metriko sur dukto permesas al distancoj kaj anguloj esti mezuritaj.\nSimplektaj duktoj funkcias kiel la fazaj spacoj en la Hamiltoniana formalismo de klasika mekaniko, dum kvar-dimensiaj Lorentzianaj duktoj modeligas spactempon en g\u0302enerala relativeco."}, {"text_idx": "#000007", "text": "1 Interna kaj ekstera vido"}, {"text_idx": "#000008", "text": "Genro kaj la Euler karakteriza"}, {"text_idx": "#000009", "text": "Surfaco estas dudimensia dukto, signifante ke g\u0302i loke similas la Eu\u0306klidan aviadilon proksime de c\u0302iu punkto.\nEkzemple, la surfaco de globo povas esti priskribita per kolekto de mapoj (nomitaj furorlisto), kiuj kune formas atlason de la globo.\nKvankam neniu individua mapo estas sufic\u0302a kovri la tutan surfacon de la globo, c\u0302iu loko en la globo estos en almenau\u0306 unu el la furorlisto."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Multaj lokoj aperos en pli ol unu diagramo.\nEkzemple, mapo de Nordameriko vers\u0302ajne inkludos partojn de Sudameriko kaj la arkta cirklo.\nTiuj regionoj de la globo estos priskribitaj en plena en aparta furorlisto, kiuj en victurno enhavos partojn de Nordameriko.\nEkzistas rilato inter apuda furorlisto, vokis transirmapon kiu permesas al ili esti konstante flikita kune por kovri la tutaj\u0302on de la globo."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Priskribi la kunordigitan furorliston sur surfacoj eksplicite postulas scion de funkcioj de du variabloj, c\u0302ar tiuj flikaj funkcioj devas mapi regionon en la aviadilo al alia regiono de la aviadilo.\nTamen, unu-dimensiaj ekzemploj de duktoj (au\u0306 kurboj) povas esti priskribitaj kun funkcioj de ununura variablo nur."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Post linio, la cirklo estas la plej simpla ekzemplo de topologia dukto.\nTopologio ignoras fleksi, tiel ke malgranda peco de cirklo estas traktita precize la sama kiel malgranda peco de linio.\nPripensu, ekzemple, la pintparton de la trigonometria cirklo, x 2 + y 2 = 1, kie la y-koordinato estas pozitiva (indikita per la flava cirkla arko en figuro 1).\nC\u0302iu punkto de tiu arko povas esti unike priskribita memstare x-koordinato.\nTiel, projekcio sur la unua koordinato estas kontinua, kaj invertebla, mapante de la supra arko g\u0302is la malferma intervalo (\u22121, 1):"}, {"text_idx": "#000013", "text": "Tiaj funkcioj kune kun la malfermaj regionoj ili mapi estas nomitaj furorlisto .\nSimile, ekzistas furorlisto por la fundo (rug\u0302a), lasitaj (blua), kaj dekstraj (verdaj) partoj de la cirklo:"}, {"text_idx": "#000014", "text": "Kune, tiuj partoj kovras la tutan cirklon kaj la kvar furorlisto formas atlason por la cirklo."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Tia funkcio estas nomita transirmapo ."}, {"text_idx": "#000016", "text": "La pinto, fundo, maldekstro, kaj dekstra furorlisto montras ke la cirklo estas dukto, sed ili ne formas la nuran eblan atlason.\nFurorlisto ne devas esti geometriaj projekcioj, kaj la nombro da furorlisto estas demando pri elekto."}, {"text_idx": "#000017", "text": "C\u0302i tie s estas la deklivo de la linio tra la punkto c\u0302e koordinatoj ( x, y) kaj la fiksa pivotpunkto (\u22121, 0);\nt sekvas simile, sed kun pivotpunkto (+1, 0).\nLa inversa mapado de s supre ( x, y) ricevas per"}, {"text_idx": "#000018", "text": "G\u0302i povas facile esti konfirmita tiu x 2 + y 2 = 1 por c\u0302iuj valoroj de la deklivo s.\nTiu du furorlisto disponigas duan atlason por la cirklo, kun"}, {"text_idx": "#000019", "text": "C\u0302iu diagramo preterlasas ununuran punkton, au\u0306 (\u22121, 0) por s au\u0306 (+1, 0) por t, tiel ke nek diagramo sole estas sufic\u0302a kovri la tutan cirklon.\nPovas esti pruvite ke estas ne eble kovri la plenan cirklon per kantfurorlisto.\nEkzemple, kvankam estas eble konstrui cirklon el unulinia intervalo per interkovrado kaj \"gluado\" la finoj, tio ne produktas diagramon;\nparto de la cirklo estos mapita al ambau\u0306 finoj tuj, perdante invertibilecon."}, {"text_idx": "#000020", "text": "La sfero estas ekzemplo de surfaco.\nLa unuobla pilko de implica ekvacio"}, {"text_idx": "#000021", "text": "la kvar alia furorlisto estas disponigitaj per simila konstruo per la du aliaj kunordigitaj aviadiloj."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Kiel por la cirklo, oni povas difini unu diagramon kiu kovras la tutan sferon ekskludante unu poenton.\nTiel du furorlisto estas sufic\u0302a, sed la sfero ne povas esti kovrita per kantfurorlisto."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Tiu ekzemplo estas historie signifa, c\u0302ar g\u0302i instigis la terminologion;\nig\u0302is s\u0302ajne ke la tuta surfaco de la Tero ne povas havi aviadilreprezentantaron konsistantan el ununura mapo (ankau\u0306 nomita \"diagramo\", vidi maran mapon), kaj tial oni bezonas atlasojn por kovrado de la tuta tersurfaco."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Rigarditan uzante kalkuladon, la cirkla transirfunkcio T estas simple funkcio inter malfermaj intervaloj, kiu donas signifon al la deklaro kiun tiu T estas diferenciebla.\nLa transirmapo T, kaj c\u0302iuj aliaj, estas diferenciebla sur (0, 1);\ntial, kun tiu atlaso la cirklo estas diferencialdukto .\nG\u0302i ankau\u0306 estas glata kaj analizisto c\u0302ar la transirfunkcioj havas tiujn trajtojn ankau\u0306."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Aliaj cirklotrajtoj permesas al g\u0302i renkonti la postulojn de pli specialecaj specoj de dukto.\nEkzemple, la cirklo havas nocion de distanco inter du punktoj, la arklongo inter la punktoj;\ntial g\u0302i estas Riemaniana dukto ."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Duktoj ne devas esti ligitaj (c\u0302io en \"unu peco\");\nekzemplo estas paro de apartaj cirkloj."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Duktoj ne devas esti fermitaj;\ntiel liniparto sen siaj finpunktoj estas dukto.\nKaj ili neniam estas nombreblaj, se la dimensio de la dukto ne estas 0-a Lokado tiuj liberecoj kune, aliaj ekzemploj de duktoj estas parabolo, hiperbolo (du malfermaj, senfinaj pecoj), kaj la lokuso de punktoj sur kuba kurbo y 2 = x 3 \u2212 x (fermita buklopeco kaj malferma, senfina peco)."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Tamen, nediskuteblaj estas ekzemploj kiel du kortus\u0302aj cirkloj kiuj partumas punkton por formi figuron;\nc\u0302e la komuna punkto kontentiga diagramo ne povas esti kreita.\nEc\u0302 kun la fleksado permesita per topologio, la najbareco de la komuna punkto aspektas pli kiel \"+\", ne linion.\n\"+ \"ne estas homeomorfa al fermita intervalo (liniparto), ekde forigado de la centropunkto de la\" +\" donas spacon per kvar komponentoj (t.e. pecoj), dum forigi punkton de fermita intervalo donas spacon kun maksimume du pecoj;\ntopologiaj operacioj c\u0302iam konservas la nombron da pecoj."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Neformale, dukto estas spaco kiu estas \"formita lau\u0306\" eu\u0306klida spaco."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Ekzistas multaj malsamaj specoj de duktoj, depende de la kunteksto.\nEn geometrio kaj topologio, c\u0302iuj duktoj estas topologiaj duktoj, eventuale kun kroma strukturo, kiel ekzemple diferenciebla strukturo.\nDukto povas esti konstruita donante kolekton de kunordigita furorlisto, kiu estas kovraj\u0302o de malfermitaj aroj kun homeomorfioj al eu\u0306klida spaco, kaj flikado funkcias: homeomorfioj de unu regiono de eu\u0306klida spaco g\u0302is alia regiono se ili egalrilatas al la sama parto de la dukto en du malsama kunordigita furorlisto.\nAl dukto povas ricevi kroman strukturo se la flikadfunkcioj kontentigas aksiomojn preter kontinueco.\nEkzemple, diferencialduktoj havas homeomorfiojn sur imbrikitaj najbarecoj difeomorfaj kun unu la alian, tiel ke la dukto havas klare difinitan aron de funkcioj kiuj estas diferencieblaj en c\u0302iu najbareco, kaj tiel diferencieblaj sur la dukto kiel tutaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Formale, (topologia) dukto estas sekunde nombrebla\nHausdorff-spaco kiu estas loke homeomorfa g\u0302is eu\u0306klida spaco."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Duaj nombreblaj kaj Hausdorff estas punkt-metitaj kondic\u0302oj;\ndue nombrebla ekskludas spacojn kiuj estas en iom da signifo \"tro grandaj\" kiel ekzemple la longs\u0302nuro, dum Hausdorff ekskludas spacojn kiel ekzemple \"la linio kun du originoj\" (tiuj g\u0302eneraligoj de duktoj estas diskutitaj en ne-Hausdorffoduktoj)."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Locally homeomorphic al eu\u0306klida spaco signifas ke c\u0302iu punkto havas najbarecon homeomorfan al malferma Eu\u0306klida n-pilko ,"}, {"text_idx": "#000034", "text": "Pli g\u0302uste, loke homeomorfa c\u0302i tie signifas ke c\u0302iu punkto m en la dukto M havas malferman najbarecon homeomorfan al malferma najbareco en eu\u0306klida spaco, ne al la unuopilko specife.\nTopologiaj au\u0306 diferencialduktojn, oni ankau\u0306 povas peti ke c\u0302iu punkto havas najbarecon homeomorfan al c\u0302io el eu\u0306klida spaco (kiam tio estas difeomorfa al la unuopilko), sed tio ne povas esti farita por kompleksaj duktoj, c\u0302ar la kompleksa unuopilko ne estas holomorfa g\u0302is kompleksa spaco."}, {"text_idx": "#000035", "text": "G\u0302enerale duktoj estas prenitaj por havi fiksan dimension (la spaco devas esti loke homeomorfa al fiksa n-pilko), kaj tian spaco estas nomita n-dukto ;\ntamen, kelkaj verkintoj koncedas duktojn kie malsamaj punktoj povas havi malsaman grandecon.\nSe dukto havas fiksan dimension, g\u0302i estas nomita pura dukto .\nEkzemple, la sfero havas konstantan dimension de 2 kaj estas tial pura dukto dum la disan union de sfero kaj linio en tri-dimensia spaco ne estas pura dukto.\nC\u0302ar dimensio estas loka Invarianto (t.e. la mapo sendanta c\u0302iun punkton al la dimensio de sia kvartalo super kiu diagramo estas difinita, estas loke konstanta), c\u0302iu Koneksa komponanto havas fiksan dimension."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Skem-teorie, dukto estas loke ringita spaco, kies strukturfasko estas loke izomorfa g\u0302is la fasko da kontinuaj (au\u0306 diferencieblaj, au\u0306 kompleks-analizaj, ktp.) funkcioj sur eu\u0306klida spaco.\nTiu difino estas plejparte uzita dum diskutado de analizaj duktoj en algebra geometrio."}, {"text_idx": "#000037", "text": "La sfera la Tero estas navigita utiligante platajn mapojn au\u0306 mapas, kolektis en atlaso.\nSimile, diferencialdukto povas esti priskribita utiligante matematikajn mapojn, nomitajn kunordigita furorlisto, kolektis en matematika atlaso.\nEstas ne g\u0302enerale eble priskribi dukton kun nur unu diagramo, c\u0302ar la tutmonda strukturo de la dukto estas diferenca de la simpla strukturo de la furorlisto.\nEkzemple, neniu ununura plata mapo povas reprezenti la tutan la Teron sen apartigo de apudaj ecoj trans la limoj au\u0306 multobligo de la mapo de priraportado.\nKiam dukto estas konstruita el multobla interkovrig\u0302o mapas, la regionoj kie ili interkovras portu informojn esencaj al komprenado de la tutmonda strukturo."}, {"text_idx": "#000038", "text": "Kunordigita mapo, kunordigita diagramo, au\u0306 simple diagramo, de dukto estas invertebla mapo inter subaro de la dukto kaj simpla spaco tia ke kaj la mapo kaj g\u0302ia inversa konservas la deziratan strukturon.\nPor topologia dukto, la simpla spaco estas subaro de iu eu\u0306klida spaco R da n kaj intereso temigas la topologian strukturon.\nTiu strukturo estas konservita per homeomorfioj, inverteblaj mapoj kiuj estas kontinuaj en ambau\u0306 indikoj."}, {"text_idx": "#000039", "text": "Koncerne diferencialdukton, aro de furorlisto nomitaj atlaso permesas al ni farendaj\u0302o kalkuladon sur duktoj.\nPolaraj koordinatoj, ekzemple, formas diagramon por la aviadilo R 2 minus la pozitiva absciso kaj la origino.\nAlia ekzemplo de diagramo estas la map\u03c7top menciita en la sekcio supra, diagramo por la cirklo."}, {"text_idx": "#000040", "text": "La priskribo de la plej multaj duktoj postulas pli ol unu diagramon (kantfurorlisto estas adekvata por nur la plej simplaj duktoj).\nSpecifa kolekto de furorlisto kiu kovras dukton estas nomita atlaso .\nAtlaso ne estas unika kiam c\u0302iuj duktoj povas esti kovritaj multoblaj manieroj uzantaj malsamajn kombinaj\u0302ojn de furorlisto.\nDu atlasoj lau\u0306dire estas ekvivalentaj c\u0302u ilia unio ankau\u0306 estas atlaso."}, {"text_idx": "#000041", "text": "La atlaso enhavanta c\u0302ian ajn furorliston kongruan kun antau\u0306fiksita atlaso estas nomita la maksimuma atlaso (t.e. ekvivalentklaso enhavanta tiun antau\u0306fiksitan atlason (sub la jam difinita ekvivalentrilato donita en la antau\u0306a paragrafo).\nMale al ordinara atlaso, la maksimuma atlaso de antau\u0306fiksita dukto estas unika.\nKvankam g\u0302i estas utila por difinoj, g\u0302i estas abstrakta objekto kaj ne uzita rekte (ekz. en kalkuloj)."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Furorlisto en atlaso povas interkovri kaj ununura punkto de dukto povas esti reprezentita en pluraj furorlisto.\nSe du furorlisto interkovras, partoj de ili reprezentas la saman regionon de la dukto, ekzakte kiam mapo de Eu\u0306ropo kaj mapo de Azio povas ambau\u0306 enhavi Moskvon.\nSurbaze de du imbrikita furorlisto, transirfunkcio povas esti difinita kiu iras de malferma pilko en R da n al la dukto kaj tiam reen al alia (au\u0306 eble la saman) malferman pilkon en R da n .\nLa rezulta mapo, kiel la mapo T en la cirklekzemplo supra, estas nomita s\u0302ang\u0302o de koordinatoj, kunordigita transformo, transirfunkcio, au\u0306 transirmapo."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Atlaso ankau\u0306 povas esti utiligita por difini kroman strukturon sur la dukto.\nLa strukturo unue estas difinita en c\u0302iu diagramo aparte.\nSe c\u0302iuj transirmapoj estas kongruaj kun tiu strukturo, la strukturo transdonas al la dukto."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Tio estas la norma maniero kiel diferencialduktoj estas difinitaj.\nSe la transiro funkcias da atlaso por topologia dukto konservas la naturan diferencialstrukturon de R da n (t.e., se ili estas difeomorfismoj), la diferencigajn strukturtranslokigojn al la dukto kaj ig\u0302as g\u0302in diferencialdukto.\nKompleksaj duktoj estas lanc\u0302itaj lau\u0306 analoga maniero per postulado ke la transirfunkcioj de atlaso estas holomorfaj funkcioj.\nPor simplektaj duktoj, la transirfunkcioj devas esti simplektomorfismoj."}, {"text_idx": "#000045", "text": "La strukturo sur la dukto dependas de la atlaso, sed foje malsamaj atlasoj povas esti diritaj kau\u0306zi la saman strukturon.\nTiaj atlasoj estas nomitaj kongruaj."}, {"text_idx": "#000048", "text": "En teknika lingvo, dukto kun limo estas spaco enhavanta kaj internajn punktojn kaj limpunktojn.\nLa homeomorfio devas sendi c\u0302iun limpunkton al punkto kun x 1 = 0."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Lasu M esti dukto kun limo.\nLa internon de M, indikis Int M, estas la aro de punktoj en M kiuj havas najbarecojn homeomorfaj al malferma subaro de R da n .\nLa limo de M, indikis \u2202 M, estas la komplemento de Int M en M.\nLa limo kiun punktoj povas esti karakterizitaj kiel tiuj punktoj kiuj alterig\u0302as sur la limhiperebenon ( x n = 0) de R n kelkajn kunordigas diagramon."}, {"text_idx": "#000050", "text": "Se M estas dukto kun limo de dimensio n, tiam Int M estas dukto (sen limo) de dimensio n kaj \u2202 M estas dukto (sen limo) de dimensio n \u2212 1."}, {"text_idx": "#000051", "text": "Ununura dukto povas esti konstruita lau\u0306 malsamaj manieroj, c\u0302iu substrekante malsaman aspekton de la dukto, tiel kondukante al iomete malsama vidpunkto."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Eble la plej simpla maniero por konstrui dukton estas tiu uzitan en la ekzemplo supre pri la cirklo.\nUnue, subaro de R 2 estas identigita, kaj tiam atlaso kovranta tiun subaron estas konstruita.\nLa koncepto de dukto kreskis historie de konstruoj kiel tio.\nJen estas alia ekzemplo, aplikante tiun metodon al la konstruado de sfero:"}, {"text_idx": "#000053", "text": "Sfero povas esti traktita en preskau\u0306 lau\u0306 la saman manieron kiel la cirklo.\nEn matematiko sfero estas j\u0302us la surfaco (ne la solida interno), kiu povas esti difinita kiel subaro de R 3:"}, {"text_idx": "#000054", "text": "La sfero estas dudimensia, tiel ke c\u0302iu diagramo mapos parton de la sfero al malferma subaro de R 2.\nPripensu la nordan hemisferon, kio estas la parto kun pozitiva z koordinato (kolora rug\u0302a en la bildo dekstraflanke).\nLa funkcio \u03c7 difinita per"}, {"text_idx": "#000055", "text": "mapas la nordan hemisferon al la malferma unuodisko projekciante g\u0302in sur la ( x, y) aviadilo.\nSimila diagramo ekzistas por la suda hemisfero.\nKune kie du furorlisto projekcias sur la ( x, z) aviadilo kaj du furorlisto projekcianta sur la ( y, z) aviadilo, atlaso de ses furorlisto akirig\u0302as kiu kovras la tutan sferon."}, {"text_idx": "#000056", "text": "Tio povas esti facile g\u0302eneraligita al higher-dimensiaj sferoj."}, {"text_idx": "#000057", "text": "Dukto povas esti konstruita gluante kune pecojn en kohera maniero, transformante ilin en interkovrado de furorlisto.\nTiu konstruo estas ebla por iu dukto kaj tial g\u0302i ofte estas utiligita kiel karakterizado, precipe por diferencieblaj kaj Riemanianaj duktoj.\nG\u0302i temigas atlason, c\u0302ar la pecetoj kompreneble disponigas furorliston, kaj c\u0302ar ekzistas neniu eksterspaco implikita g\u0302i kondukas al interna vido de la dukto."}, {"text_idx": "#000058", "text": "La dukto estas konstruita precizigante atlason, kio estas sin difinita per transirmapoj.\nPunkto de la dukto estas tial ekvivalentklaso de punktoj kiuj estas mapitaj al unu la alian per transirmapoj.\nFurorlisto mapas ekvivalentklasojn al punktoj de ununura peceto.\nEkzistas kutime fortaj postuloj sur la konsistenco de la transirmapoj.\nPor topologiaj duktoj ili estas postulataj por esti homeomorfioj;\nse ili ankau\u0306 estas difeomorfismoj, la rezulta dukto estas diferencialdukto."}, {"text_idx": "#000059", "text": "Tio povas esti ilustrita kun la transirmapo t = da 1 \u2044 s de la dua duono de la cirklekzemplo.\nKomencu kun du kopioj de la linio.\nUzu la kunordigitan s por la unua kopio, kaj t por la dua kopio.\nNun, gluas ambau\u0306 kopiojn kune identigante la punkton t en la dua kopio kun la punkto s = 1 \u2044 t en la unua kopio (la punktoj t = 0 kaj s = 0 ne estas identigitaj kun iu punkto en la unua kaj dua kopio, respektive)."}, {"text_idx": "#000060", "text": "La unua konstruo kaj tiu konstruo estas tre similaj, sed ili reprezentas sufic\u0302e malsamajn vidpunktojn.\nEn la unua konstruo, la dukto estas vidita kiel integrig\u0302inta en iu eu\u0306klida spaco.\nTio estas la ekstera vido.\nKiam dukto estas rigardita lau\u0306 tiu maniero, estas facile uzi intuicion de eu\u0306klidaj spacoj difini kroman strukturon.\nEkzemple, en eu\u0306klida spaco estas c\u0302iam klare c\u0302u vektoro c\u0302e iu punkto estas tang\u0302anta au\u0306 normala al iu surfaco tra tiu punkto."}, {"text_idx": "#000061", "text": "La c\u0302ifonkudraj\u0302konstruo ne uzas ajnan enkonstruadon, sed simple rigardas la dukton kiel topologian spacon flank itself.\nTiu abstrakta sinteno estas nomita la interna vido.\nG\u0302i povas fari g\u0302i pli malmola imagi kian klavvektoro eble estos, kaj ekzistas neniu interna nocio de normala fasko, sed anstatau\u0306e ekzistas interna stabila normala fasko."}, {"text_idx": "#000062", "text": "La n-sfero S da n estas g\u0302eneralaj\u0302o de la ideo de cirklo (1-sfera) kaj sfero (2-sfera) al pli alta grandeco.\nN-sfero S da n povas esti konstruita gluante kune du kopiojn de R da n .\nLa transirmapo inter ili estas difinita kiel"}, {"text_idx": "#000063", "text": "Tiu funkcio estas sia propra inversa kaj tiel povas esti uzita en ambau\u0306 indikoj.\nC\u0302ar la transirmapo estas glata funkcio, tiu atlaso difinas difencigeblan plurejon.\nEn la kazo da n = 1, la ekzemplo simpligas al la cirklekzemplo donita pli frue."}, {"text_idx": "#000064", "text": "Estas eble difini malsamajn punktojn de dukto esti sama.\nTio povas esti bildigita kiel gluante tiujn punktojn kune en ununura punkto, formante kvocientospacon.\nEkzistas, aliflanke, neniu kialo atendi tiajn kvocientospacojn esti duktoj.\nInter la eblaj kvocientospacoj kiuj ne estas nepre duktoj, orbifold'oj kaj CW-kompleksoj estas konsideritaj kiel relative bonkondutaj.\nEkzemplo de kvocientospaco de dukto kiu ankau\u0306 estas dukto estas la reala projekcia spaco identigita kiel kvocientospaco de la ekvivalenta sfero."}, {"text_idx": "#000065", "text": "Unu metodo de identigado punktoj (gluantaj ilin kune) estas tra dekstra (au\u0306 maldekstro) ago de grupo, kiu reagas al la dukto.\nDu poentoj estas identigitaj se tia estas proponita sur la aliajn per iom da grupelemento.\nSe M estas la dukto kaj G estas la grupo, la rezulta kvocientospaco estas indikita per M / G (au\u0306 G '\\' \"\\\" M)."}, {"text_idx": "#000066", "text": "Duktoj kiuj povas esti konstruitaj identigante punktojn inkludas Toroj kaj realajn projekciajn spacojn (komencante per aviadilo kaj sfero, respektive)."}, {"text_idx": "#000067", "text": "Du duktoj kun limoj povas esti gluitaj kune lau\u0306 limo.\nSe al tio estas farita la dekstran maniero, la rezulto ankau\u0306 estas dukto.\nSimile, du limoj da ununura dukto povas esti gluitaj kune."}, {"text_idx": "#000068", "text": "Formale, la gluado estas difinita per ensurj\u0302eto inter la du limoj [ dubindaj - j\u0302etdiskoj ].\nDu poentoj estas identigitaj kiam ili estas mapitaj sur unu la alian.\nPor topologia dukto tiu ensurj\u0302eto devus esti homeomorfio, alie la rezulto ne estos topologia dukto.\nSimile por diferencialdukto g\u0302i devas esti difeomorfismo.\nPor aliaj duktoj aliaj strukturoj devus esti konservitaj."}, {"text_idx": "#000069", "text": "Finhava cilindro povas esti konstruita kiel dukto per komencado kun strio [0, 1] \u00d7 [0, 1] kaj gluado paro de kontrau\u0306aj randoj tau\u0306ga difeomorfismo.\nProjekcia aviadilo povas esti akirita gluante sferon kun truo en g\u0302i al rubando de Mo\u0308bius lau\u0306 iliaj respektivaj cirklaj limoj."}, {"text_idx": "#000070", "text": "La karteza produkto de duktoj ankau\u0306 estas dukto."}, {"text_idx": "#000071", "text": "La dimensio de la produktodukto estas la sumo de la grandeco de siaj faktoroj.\nG\u0302ia topologio estas la produktotopologio, kaj karteza produkto de furorlisto estas diagramo por la produktodukto.\nTiel, atlaso por la produktodukto povas esti konstruita utiligante atlasojn por siaj faktoroj.\nSe tiuj atlasoj difinas diferencigan strukturon sur la faktoroj, la ekvivalenta atlaso difinas diferencigan strukturon sur la produktodukto.\nLa sama estas vera por iu alia strukturo difinita sur la faktoroj.\nSe unu el la faktoroj havas limon, la produktodukto ankau\u0306 havas limon.\nKartezaj produktoj povas esti uzitaj por konstrui Toroj kaj finhavajn cilindrojn, ekzemple, kiel S al 1 \u00d7 S 1 kaj S 1 \u00d7 [0, 1], respektive."}, {"text_idx": "#000072", "text": "La studo de duktoj kombinas multajn gravajn areojn de matematiko: g\u0302i g\u0302eneraligas konceptojn kiel ekzemple kurboj kaj surfacoj same kiel ideoj de lineara algebro kaj topologio."}, {"text_idx": "#000073", "text": "Antau\u0306 ol la moderna koncepto de dukto ekzistis pluraj gravaj rezultoj."}, {"text_idx": "#000074", "text": "Ne-eu\u0306klida geometrio pripensas spacojn kie tiu de Eu\u0306klido\nSakeri unue studis tiajn geometriojn en 1733 sed serc\u0302is nur por kontrau\u0306pruvi ilin.\nGauss, Bolyai kaj Lobachevsky sendepende malkovris al ili 100 jarojn poste.\nIlia esplorado malkovris du specojn de spacoj kies geometriaj strukturoj devias de tiu de klasika eu\u0306klida spaco;\ntiuj kau\u0306zis hiperbolan geometrion kaj elipsan geometrion.\nEn la moderna teorio de duktoj, tiuj nocioj korespondas al Riemanianaj duktoj kun konstanta negativo kaj pozitiva kurbig\u0302o, respektive."}, {"text_idx": "#000075", "text": "Carl Friedrich Gauss eble estis la unua se temas pri konsideri abstraktajn spacojn matematikajn objektojn en sia propra rajto.\nLia theorema egregium donas metodon por komputado de la kurbeco de surfaco sen pripensado de la c\u0302irkau\u0306a spaco en kiu la surfaco situas.\nTia surfaco faris, en moderna terminologio, esti nomita dukto;\nkaj en modernaj esprimoj, la teoremo pruvis ke la kurbeco de la surfaco estas interna posedaj\u0302o.\nMultnombra teorio temigis ekskluzive tiujn internajn trajtojn (au\u0306 Invariantojn), dum plejparte ignorante la eksterajn trajtojn de la c\u0302irkau\u0306a spaco."}, {"text_idx": "#000076", "text": "Alia, pli topologia ekzemplo de interna posedaj\u0302o de dukto estas g\u0302ia Euler karakteriza.\nLeonhard Euler montris ke por konveksa hiperpluredro en la tridimensia eu\u0306klida spaco kun V verdglacioj (au\u0306 anguloj), E randoj, kaj F alfrontas,"}, {"text_idx": "#000077", "text": "La sama formulo tenos c\u0302u ni projekcias la verdglaciojn kaj randojn de la hiperpluredro sur sfero, krei topologian mapon kun V verdglacioj, E randoj, kaj F alfrontas, kaj fakte, restos veraj por iu sfera mapo, ec\u0302 se g\u0302i ne ekestig\u0302as de iu konveksa hiperpluredro.\nTiel 2 estas topologia Invarianto de la sfero, nomita g\u0302ia Euler karakteriza.\nAliflanke, Toro povas esti tranc\u0302aj\u0302igita malferma memstare \"paralelaj\" kaj \"meridianaj\" cirkloj, krei mapon kun V = 1 vertico, E = 2 randoj, kaj F = 1 alfrontas.\nTiel la Euler karakteriza por la Toro estas 1 \u2212 2 + 1 = 0-a La Euler karakteriza por aliaj surfacoj estas utila topologia Invarianto, kiu povas esti etendita al pli alta grandeco uzanta Betti-nombrojn.\nEn la meza deknau\u0306a jarcento, la Gauss-kapotteoremo ligis la eu\u0306leran karakterizon al la Gaussian-kurbig\u0302o."}, {"text_idx": "#000078", "text": "Enketoj de Niels Henrik Abel kaj Carl Gustav Jacobi sur inversion de elipsaj integraloj en la unua duono de 19-a jarcento igis ilin pripensi specialajn specojn de kompleksaj duktoj, nun konataj kiel Jacobians.\nBernhard Riemann plue kontribuis al ilia teorio, klarigante la geometrian signifon de la procezo de analiza dau\u0306rigo de funkcioj de kompleksaj variabloj."}, {"text_idx": "#000079", "text": "Alia grava fonto de duktoj en 19-a-jarcenta matematiko estis analiza mekaniko, kiel evoluigite fare de Sime\u0301on Poisson, Jacobi, kaj William Rowan Hamilton.\nLa eblaj statoj de mekanika sistemo supozeble estas punktoj de abstrakta spaco, faza spaco en Lagrangianaj kaj Hamiltonianaj formalismoj de klasika mekaniko.\nTiu spaco estas, fakte, alt-dimensia dukto, kies dimensio egalrilatas al la gradoj da libereco de la sistemo kaj kie la punktoj estas precizigitaj memstare g\u0302eneraligitaj koordinatoj.\nPor senafekta movado de liberaj partikloj la dukto estas ekvivalenta al la eu\u0306klida spaco, sed diversaj konservadaj leg\u0302oj limigas g\u0302in al pli d komplikaj formacioj, ekz. Liouville-Toroj.\nLa teorio de rotacia solida korpo, evoluigita en la 18-a jarcento fare de Leonhard Euler kaj Joseph-Louis de Lagrange, donas alian ekzemplon kie la dukto estas nesensignifa.\nGeometriaj kaj topologiaj aspektoj de klasika mekaniko estis emfazitaj fare de Henri Poincare\u0301, unu el la fondintoj de topologio."}, {"text_idx": "#000081", "text": "En lia tre influa artikolo, Analizo situs, [4]\nHenri Poincare\u0301 donis difinon de (diferenciebla) dukto ( varie\u0301te\u0301) kiu funkciis kiel antau\u0306ulo al la moderna koncepto de dukto."}, {"text_idx": "#000082", "text": "En la unua sekcio de Analizo situs, Poincare\u0301 difinas dukton kiel la ebenan aron de ade diferenciebla funkcio inter eu\u0306klidaj spacoj kiu kontentigas la nedegenerechipotezon de la implica funkcioteoremo.\nEn la tria sekcio, li komencas per rimarkado ke la grafeo de ade diferenciebla funkcio estas dukto en c\u0302i-lasta signifo.\nLi tiam proponas novan, pli generalon, difinon da dukto bazita sur \"c\u0302eno de duktoj\" ( une chai\u0302ne des varie\u0301te\u0301'oj)."}, {"text_idx": "#000083", "text": "La nocio de Poincare\u0301 de c\u0302eno de duktoj estas antau\u0306ulo al la moderna nocio de atlaso.\nLau\u0306 tiu maniero li prezentas antau\u0306ulon al la nocio de diagramo kaj de transirmapo.\nNotu ke estas implice en Analizo situs ke dukto akiris kiam \"c\u0302eno\" estas subaro de eu\u0306klida spaco."}, {"text_idx": "#000084", "text": "De la implica funkcioteoremo, c\u0302iu subdukto de eu\u0306klida spaco estas loke la grafikaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000085", "text": "Hermann Weyl donis internan difinon por diferencialduktoj en sia prelegokurso sur Riemann-facoj en 1911-1912, malfermante la vojon al la g\u0302enerala koncepto de topologia spaco kiu sekvis baldau\u0306.\nDum la 1930a Hassler Whitney kaj aliaj klarigis la bazajn aspektojn de la subjekto, kaj tiel intuicioj devenantaj de c\u0302i-lasta duono de la 19-a jarcento ig\u0302is precizaj, kaj formig\u0302is tra diferenciala geometrio kaj Mensoga teorio de grupoj.\nPrecipe, la Whitney-enkonstruadoteoremo [6] montris ke la interna difino lau\u0306 furorlisto estis ekvivalenta al la difino de Poincare\u0301 lau\u0306 subaroj de eu\u0306klida spaco."}, {"text_idx": "#000087", "text": "La plej simpla speco de dukto por difini estas la topologia dukto, kiu aspektas loke pli kiel iu \"ordinara\" eu\u0306klida spaco R da n .\nFormale, topologia dukto estas topologia spaco\nloke homeomorfa al eu\u0306klida spaco.\nTio signifas ke c\u0302iu punkto havas kvartalon por kiu tie ekzistas homeomorfio ( bijektive\nkontinuaj funkcias kies inversa ankau\u0306 estas kontinua) mapante tiun kvartalon al R da n .\nTiuj homeomorfioj estas la furorlisto de la dukto."}, {"text_idx": "#000088", "text": "G\u0302i estas ke topologia dukto aspektas loke pli kiel eu\u0306klida spaco en sufic\u0302e malforta maniero: dum por c\u0302iu individua diagramo estas eble distingi diferencieblajn funkciojn au\u0306 iniciatodistancojn kaj angulojn, simple de virto de esti topologia dukto spaco ne havas ajnan specialan kaj konsekvencan elekton de tiaj konceptoj.\nPor diskuti tiajn trajtojn por dukto, oni bezonas precizigi plian strukturon kaj pripensi diferencialduktojn kaj Riemanianaj duktoj diskutis malsupre.\nAparte, la sama subesta topologia dukto povas havi plurajn reciproke malkongruajn klasojn de diferencieblaj funkcioj kaj senfinan nombron da manieroj precizigi distancojn kaj angulojn."}, {"text_idx": "#000089", "text": "Kutime kromaj teknikaj supozoj sur la topologia spaco estas faritaj por ekskludi patologiajn kazojn.\nEstas kutime postuli ke la spaco estu Hausdorff kaj sekundo nombrebla."}, {"text_idx": "#000090", "text": "La dimensio de la dukto c\u0302e certa punkto estas la dimensio de la eu\u0306klida spaco kiu la furorlisto c\u0302e tiu punktomapo al (pli sensenta n en la difino).\nC\u0302iuj punktoj en ligita dukto havas la saman dimension.\nKelkaj verkintoj postulas ke c\u0302iuj furorlisto de topologia dukto mapas al eu\u0306klidaj spacoj de sama dimensio.\nEn tiu kazo c\u0302iu topologia dukto havas topologian Invarianton, sian dimension.\nAliaj verkintoj permesas disajn uniojn de topologiaj duktoj kun malsama grandeco por esti nomitaj duktoj."}, {"text_idx": "#000091", "text": "Por la plej multaj aplikoj specialaj\u0302ospeco de topologia dukto, nome diferencialdukto, estas uzita.\nSe la loka furorlisto sur dukto estas kongrua en certa signifo, oni povas difini indikojn, klavspacojn, kaj diferencieblajn funkciojn sur tiu dukto.\nAparte estas eble uzi kalkuladon sur diferencialdukto.\nC\u0302iu punkto de n-dimensia diferencialdukto havas klavspacon.\nTio estas n-dimensia eu\u0306klida spaco konsistanta el la klavvektoroj de la kurboj tra la punkto."}, {"text_idx": "#000092", "text": "Du gravaj klasoj de diferencialduktoj estas glataj kaj analizaj duktoj .\nPor difencigeblaj plurejoj la transirmapoj estas glataj, kiu estas senlime diferencieblaj.\nAnalizaj duktoj estas difencigeblaj plurejoj kun la kroma kondic\u0302o kiu la transirmapoj estas analizaj (ili povas esti esprimitaj kiel potencvico).\nAl la sfero povas ricevi analizan strukturo, kiel la plej multaj konataj kurboj kaj surfacoj povas."}, {"text_idx": "#000093", "text": "Ekzistas ankau\u0306 topologiaj duktoj, t.e., loke eu\u0306klidaj spacoj, kiuj posedas neniujn diferencieblajn strukturojn entute."}, {"text_idx": "#000094", "text": "Rektigebla aro g\u0302eneraligas la ideon de pecmaniero glatan au\u0306 rektigeblan kurbon al pli alta grandeco;\ntamen, rektigeblaj aroj ne estas en g\u0302eneralaj duktoj."}, {"text_idx": "#000095", "text": "Por mezuri distancojn kaj angulojn sur duktoj, la dukto devas esti Riemaniana.\n\"Riemannian dukto\" estas diferencialdukto en kiu c\u0302iu klavspaco estas provizita per interna produkto \u27e8\u22c5, \u22c5\u27e9 en maniero kiu varias glate de transterena konkurso.\nSurbaze de du klavvektoroj u kaj v, la interna produkto\u27e8 u, v \u27e9 donas realan nombron.\nLa punkto- (au\u0306 Skalaro) produkto estas tipa ekzemplo de interna produkto.\nTio permesas al tia difini diversajn nociojn kiel ekzemple longo, anguloj, areoj (au\u0306 volumoj), kurbig\u0302o kaj diverg\u0302o de vektoraj kampoj."}, {"text_idx": "#000096", "text": "Al c\u0302iuj diferencialduktoj (de konstanta dimensio) povas ricevi la strukturo de Riemaniana dukto.\nLa eu\u0306klida spaco mem portas naturan strukturon da Riemaniana dukto (la klavspacoj estas kompreneble identigitaj kun la eu\u0306klida spaco mem kaj portas la norman skalarprodukton de la spaco).\nMultaj konataj kurboj kaj surfacoj, inkluzive de ekzemple c\u0302iuj n-sfero, estas precizigitaj kiel subspacoj de eu\u0306klida spaco kaj heredas metrikon de ilia enkonstruadoj en g\u0302i."}, {"text_idx": "#000098", "text": "C\u0302iu Riemaniana dukto estas Finsler-dukto."}, {"text_idx": "#000099", "text": "Mensoggrupoj, nomitaj lau\u0306 Sophus Lie, estas diferencialduktoj kiuj ankau\u0306 portas la strukturon de grupo kiu estas tia ke la grupoperacioj estas difinitaj per glataj mapoj."}, {"text_idx": "#000100", "text": "Vektorspaco kun la grupoperacio de vektoraldono estas ekzemplo de ne-kompakta Mensoggrupo.\nSimpla ekzemplo de kompakta Mensoggrupo estas la cirklo: la grupoperacio estas simple rotacio.\nTiu grupo, konata kiel U (1), povas esti ankau\u0306 karakterizita kiel la grupo de kompleksaj nombroj de modulus 1 kun multipliko kiel la grupoperacio."}, {"text_idx": "#000101", "text": "Aliaj ekzemploj de Lie-grupoj inkludas specialajn grupojn da matricoj, kiuj estas c\u0302iuj subgrupoj de la g\u0302enerala lineara grupo, la grupo da n de n matricoj kun ne-nula determinanto.\nSe la matrickontribuoj estas realaj nombroj, tio estos n 2-dimensia malligita dukto.\nLa ortogonalaj grupoj, la geometriaj simetria grupoj de la sfero kaj hipersferes, estas n ( n \u22121)/2 dimensioduktoj, kie n \u22121 estas la dimensio de la sfero.\nPliaj ekzemploj povas esti trovitaj en la tabelo de Lie-grupoj."}, {"text_idx": "#000103", "text": "Malsamaj nocioj de duktoj havas malsamajn nociojn de klasifiko kaj Invarianto;\nen tiu sekcio ni temigas glatajn fermitajn duktojn."}, {"text_idx": "#000104", "text": "La klasifiko de glataj fermitaj duktoj estas bone komprenita en principo, krom en dimensio 4: en malalta grandeco (2 kaj 3) g\u0302i estas geometria, per la uniformigteoremo kaj la solvo de la konjekto de Poincare\u0301, kaj en alta dimensio (5 kaj supra) g\u0302i estas algebra, per kirurgioteorio.\nTio estas klasifiko en principo: la g\u0302enerala demando de c\u0302u du difencigeblaj plurejoj estas difeomorfaj ne estas komputebla g\u0302enerale.\nPlue, specifaj komputadoj restas malfacilaj, kaj ekzistas multaj malfermaj demandoj."}, {"text_idx": "#000105", "text": "Orienteblaj surfacoj povas esti bildigitaj, kaj iliaj difeomorfismoklasoj listigita, de genro.\nSurbaze de du orienteblaj surfacoj, oni povas determini c\u0302u ili estas difeomorfaj komputante siajn respektivajn genrojn kaj komparadon: ili estas difeomorfaj se kaj nur se la genroj estas egalaj, tiel ke la genro formas kompletan aron de Invariantoj."}, {"text_idx": "#000106", "text": "Tio estas multe pli dura en pli alta grandeco: higher-dimensiaj duktoj ne povas esti rekte bildigitaj (kvankam vida intuicio estas utila en komprenado de ili), nek iliaj difeomorfismoklasoj povas esti listigitaj, nek povas unu g\u0302enerale determini c\u0302u du malsamaj priskriboj de higher-dimensia dukto rilatas al la sama objekto."}, {"text_idx": "#000107", "text": "Tamen, oni povas determini c\u0302u du duktoj estas malsamaj se ekzistas iu interna karakterizaj\u0302o kiu diferencigas ilin.\nTiaj kriterioj estas ofte referitaj kiel Invariantoj , c\u0302ar, dum ili povas esti difinitaj lau\u0306 iu prezento (kiel ekzemple la genro lau\u0306 triangulado), ili estas la samaj relative al c\u0302iaj ajn priskriboj de speciala dukto: ili estas senvariaj sub malsamaj priskriboj."}, {"text_idx": "#000108", "text": "Naive, oni povis esperi evoluigi arsenalon de senvariaj kriterioj kiuj definitive klasifikus c\u0302iujn duktojn supren al izomorfio.\nBedau\u0306rinde, estas konata ke por duktoj de dimensio 4 kaj pli alte, neniu programo ekzistas tion povas decidi c\u0302u du duktoj estu difeomorfaj."}, {"text_idx": "#000109", "text": "Difencigeblaj plurejoj havas ric\u0302ulon metitan de Invariantoj, venante de punkt-metita topologio, klasika algebra topologio, kaj geometria topologio.\nLa plej konataj Invariantoj, kiuj estas videblaj por surfacoj, estas Orientebleco (normala Invarianto, ankau\u0306 detektita per homologio) kaj genro (homologia Invarianto)."}, {"text_idx": "#000110", "text": "Glataj fermitaj duktoj havas neniujn lokajn Invariantojn (krom dimensio), kvankam geometriaj duktoj havas lokajn Invariantojn, precipe la kurbecon de Riemaniana dukto kaj la tordo de dukto provizita per afina ligo.\nTiu distingo inter lokaj Invariantoj kaj neniuj lokaj Invariantoj estas ofta maniero distingi inter geometrio kaj topologio.\nC\u0302iuj Invariantoj de glata fermita dukto estas tiel tutmondaj."}, {"text_idx": "#000111", "text": "Algebra topologio estas fonto de kelkaj gravaj tutmondaj senvariaj trajtoj.\nKelkaj esencaj kriterioj inkludas la simple ligitan posedaj\u0302on kaj Orienteblecon (vidu malsupre).\nEfektive, pluraj branc\u0302oj de matematiko, kiel ekzemple homologio kaj homotopeca teorio, kaj la teorio de karakterizaj klasoj estis fondita por studi senvariajn trajtojn de duktoj."}, {"text_idx": "#000112", "text": "En grandeco du kaj pli alte, simpla sed grava senvaria kriterio estas la demando de c\u0302u dukto koncedas senchavan orientig\u0302on.\nPripensu topologian dukton kun furorlisto mapanta al R da n .\nSurbaze de ordigita bazo por R da n , diagramo kau\u0306zas sian pecon de la dukto al si mem akiras senton de mendado, kiu en 3-grandeca povas esti rigardita kiel au\u0306 lerta au\u0306 maldekstramana.\nImbrikita furorlisto ne estas postulata por konsenti en sia signifo de mendado, kiu donas al duktoj gravan liberecon.\nPor kelkaj duktoj, kiel la sfero, furorlisto povas esti elektitaj tiel ke imbrikitaj regionoj konsentas pri sia \"handedness\";\nPor aliaj, tio estas malebla.\nC\u0302i-lasta ebleco estas facila por preteratenti, c\u0302ar c\u0302iu fermita surfaco enkonstruita (sen mem-intersekcig\u0302o) en tri-dimensia spaco estas orientebla."}, {"text_idx": "#000113", "text": "Kelkaj ilustraj ekzemploj de ne-orientable duktoj inkludas: (1)\nla rubando de Mo\u0308bius, kiu estas dukto kun limo, (2) la botelo de Klein, kiu devas intersekci sin en it 3-spaca reprezentantaro, kaj (3) la reela projekcia ebeno, kiu ekestas nature en geometrio."}, {"text_idx": "#000116", "text": "Komencig\u0302i kun sfero centris sur la origino.\nC\u0302iu linio tra la origino trapikas la sferon en du kontrau\u0306 punktoj nomitaj antipodoj.\nKvankam ekzistas neniu maniero farendaj\u0302o tiel fizike, estas eble (pripensante kvocientospacon) matematike kunfandi c\u0302iun antipodparon en ununuran punkton.\nLa fermita surfaco tiel produktita estas la reela projekcia ebeno, ankorau\u0306 plia ne-orientable surfaco.\nG\u0302i havas kelkajn ekvivalentajn priskribojn kaj konstruojn, sed tiu itinero klarigas it nomon: c\u0302iuj punktoj sur iu antau\u0306fiksita linio tra la originprojekto al la sama \"punkto\" sur tiu \"aviadilo\"."}, {"text_idx": "#000117", "text": "Por dudimensiaj duktoj s\u0302losilo senvaria posedaj\u0302o estas la genro, au\u0306 la \"nombro da teniloj\" c\u0302i-tie en surfaco.\nToro estas sfero kun unu tenilo, duobla Toro estas sfero kun du teniloj,.\nEfektive, estas eble plene karakterizi kompaktajn, dudimensiajn duktojn surbaze de genro kaj Orientebleco.\nEn higher-dimensiaj duktoj genro estas anstatau\u0306igita per la nocio de eu\u0306lera karakterizo, kaj pli g\u0302enerale Betti-nombroj kaj homologio kaj kohomologio."}, {"text_idx": "#000118", "text": "Ekzakte c\u0302ar ekzistas diversaj specoj de duktoj, ekzistas diversaj specoj de mapoj de duktoj.\nAldone al kontinuaj funkcioj kaj glataj funkcioj g\u0302enerale, ekzistas mapoj kun specialaj trajtoj.\nEn geometria topologio baztipo estas enkonstruadoj, de kiu noda teorio estas centra ekzemplo, kaj g\u0302eneraligoj kiel ekzemple mergadoj, subakvigoj, kovrante spacojn, kaj multbranc\u0302ajn kovrospacojn.\nBazaj rezultoj inkludas la Whitney-enkonstruadoteoremon kaj mergan teoremon de Whitney."}, {"text_idx": "#000119", "text": "En rimana geometrio, oni povas demandi ke mapoj konservus la Riemanianan metrikon, kondukante al nocioj de izometraj enkonstruadoj, izometraj mergadoj, kaj Riemanianaj subakvigoj;\nbaza rezulto estas la Nash-enkonstruadoteoremo."}, {"text_idx": "#000120", "text": "Baza ekzemplo de mapoj inter duktoj estas skalar-aprezitaj funkcioj sur dukto,"}, {"text_idx": "#000121", "text": "foje vokis regulajn funkciojn au\u0306 funktional, de analogeco kun algebra geometrio au\u0306 lineara algebro.\nTiuj estas de intereso kaj en sia propra rajto, kaj studi la subestan dukton."}, {"text_idx": "#000122", "text": "En geometria topologio, plej ofte volitaj estas Morsfunkcioj, kiuj donas tenilkorp putrig\u0302ojn, dum en analitiko, oni ofte studas solvon al partaj diferencialaj ekvacioj, grava ekzemplo de kiu estas furiera analizo, kie oni studas harmoniajn funkciojn: la kerno de la laplaca operatoro.\nTio kau\u0306zas tiajn funkciojn kiel la sferaj harmonoj, kaj varmigi kern metodojn de studado duktoj, kiel ekzemple au\u0306dado de la formo de tamburo kaj kelkajn pruvojn de la Atiyah-kantisto indeksi teoremon."}, {"text_idx": "#000124", "text": "La difino de dukto povas esti g\u0302eneraligita faligante la postulon de finhava dimensieco.\nTiel senfina dimensiodukto estas topologia spaco loke homeomorfa al topologia vektora spaco super la realoj.\nTio preterlasas la punkt-metitajn aksiomojn, permesante pli altajn kardinalecojn kaj ne-Hausdorffoduktojn;\nkaj g\u0302i preterlasas finhavan dimension, permesante al strukturoj kiel ekzemple hilbertaj duktoj esti formitaj lau\u0306 hilbertaj spacoj, Banach-duktoj por esti formita lau\u0306 banah\u0302aj spacoj, kaj Fre\u0301chet-duktoj por esti formita lau\u0306 Fre\u0301chet-spacoj.\nKutime oni malstrec\u0302as unun au\u0306 la alian kondic\u0302on: duktoj kun la punkt-metitaj aksiomoj estas volitaj en g\u0302enerala topologio, dum senfin-dimensiaj duktoj estas volitaj en funkcionala analitiko."}, {"text_idx": "#000125", "text": "Orbifold estas g\u0302eneraligo de dukto enkalkulanta certajn specojn de \" neordinaraj\u0302oj \" en la topologio.\nMalglate parolante, g\u0302i estas spaco kiu loke aspektas pli kiel la kvocientoj de iu simpla spaco ( ekz. eu\u0306klida spaco) per la agoj de diversaj finiaj grupoj.\nLa neordinaraj\u0302oj egalrilatas al fikspunktoj de la grupaj agoj, kaj la agoj devas esti kongruaj en certa signifo."}, {"text_idx": "#000126", "text": "Non-eksterordinaraj algebraj variecoj super la realaj au\u0306 kompleksaj nombroj estas duktoj.\nOni g\u0302eneraligas tion unue permesante neordinaraj\u0302ojn, due permesante malsamajn kampojn, kaj trie kopiante la flikan konstruadon de duktoj: ekzakte c\u0302ar dukto estas gluita kune de malfermaj subaroj de eu\u0306klida spaco, algebra diverseco estas gluita kune de afinaj algebraj variecoj, kiuj estas nul aroj de polinomoj super algebre fermitaj kampoj.\nKabaloj estas same gluitaj kune de afinaj kabaloj, kiuj estas g\u0302eneraligo de algebraj variecoj.\nAmbau\u0306 estas rilatitaj al duktoj, sed estas konstruitaj algebre uzante faskojn anstatau\u0306e de atlasoj."}, {"text_idx": "#000127", "text": "Pro eksterordinaraj punktoj, diverseco estas g\u0302enerale ne dukto, kvankam lingve la franca varie\u0301te\u0301, germana Mannigfaltigkeit kaj angla dukto estas plejparte sinonimaj.\nEn la franca algebra diverseco estas nomita une varie\u0301te\u0301 alge\u0301brique ( algebra diverseco), dum difencigebla plurejo estas nomita une varie\u0301te\u0301 diffe\u0301rentielle ( diferenciga diverseco)."}, {"text_idx": "#000128", "text": "\"Plurtavola spaco\" estas spaco kiu povas esti dividita en pecojn (\"tavoloj\"), kun c\u0302iu tavolo dukto, kie la tavoloj konvenas kune lau\u0306 devigaj manieroj (formale, filtrado per fermitaj subaroj).\nEkzistas diversaj teknikaj difinoj, precipe Whitney tavoligis spacon (vidu Whitney-kondic\u0302ojn) por difencigeblaj plurejoj kaj topologie plurtavolan spacon por topologiaj duktoj.\nBazaj ekzemploj inkludas dukton kun limo (supra dimensiodukto kaj kodimensio 1 limo) kaj dukto kun anguloj (supra dimensiodukto, kodimensio 1 limo, kodimensio 2 anguloj).\nWhitney tavoligis spacojn estas larg\u0302a klaso de spacoj, inkluzive de algebraj variecoj, analitikaj diversaj\u0302oj, semialgebraic-aroj, kaj subanalizaj aroj."}, {"text_idx": "#000129", "text": "CW-komplekso estas topologia spaco formita gluante diskojn de malsama dimensieco kune.\nG\u0302enerale la rezulta spaco estas eksterordinara, kaj tial ne dukto.\nTamen, ili estas de centra intereso en algebra topologio, precipe en homotopeca teorio, c\u0302ar ili facile komputas kun kaj neordinaraj\u0302ebla estas ne konzerno."}, {"text_idx": "#000130", "text": "Homologiodukto estas spaco kiu kondutas kiel dukto de la perspektivo de homologeca teorio.\nTiuj estas ne c\u0302iuj duktoj, sed (en alta dimensio) povas esti analizitaj per kirurgioteorio simile al duktoj, kaj malsukceso esti dukto estas loka obstrukco, kiel en kirurgioteorio."}, {"text_idx": "#000131", "text": "G\u0302i estas algebro kun respekto al la punktmanieraldono kaj multipliko.\nSupozu ankau\u0306 ke la sekvaj kondic\u0302oj tenas."}, {"text_idx": "#000132", "text": "Afina geodezia: padoj sur duktoj\nUnudirekta statistiko: statistiko sur duktoj"}, {"text_idx": "#000135", "text": "Grundlagen fu\u0308r eine allgemeine Theorie der Functionen einer vera\u0308nderlichen complexen Gro\u0308sse. The 1851 doctoral thesis in which \"manifold\" (Mannigfaltigkeit) first appears.\nUeber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. The 1854 Go\u0308ttingen inaugural lecture (Habilitationsschrift)."}, {"text_idx": "#000137", "text": "kunvarianco kaj kontrau\u0306varianco de vektoroj"}, {"text_idx": "#000138", "text": "En matematiko, sternaj\u0302o estas spaco kiu, en unua plana vido, similas la familiaran spacon de eu\u0306klida geometrio, sed kiu povas havi pli komplikan strukturon kiam vidita entute. Sfero, idealigita versio de la surfaco de la Tero, estas sternaj\u0302o. Loke la Tero aspektas kvazau\u0306 g\u0302i estas plata, sed vidita entute g\u0302i estas ronda. sternaj\u0302o povas esti konstruita per gluado de apartaj eu\u0306klidaj spacoj kune; ekzemple, monda mapo povas esti farita per gluado de multaj mapoj de lokaj regionoj kune."}, {"text_idx": "#000139", "text": "Alia ekzemplo de sternaj\u0302o estas cirklo. Malgranda peco de cirklo aspektas kiel (malmulte-kurba) porcio de rekta segmento, sed entute la cirklo kaj la segmento estas malsamaj unu-dimensia sternaj\u0302oj. Cirklo povas esti formita per flekso de rekta segmento kaj gluigo de g\u0302iaj randoj kune. La surfaco de sfero kaj la surfaco de toro estas ekzemploj de du-dimensia sternaj\u0302oj. sternaj\u0302oj estas gravaj objektoj, en matematiko kaj fiziko c\u0302ar ili permesas al pli komplikaj strukturoj esti esprimitaj kaj komprenitaj en terminoj de la bone komprenataj propraj\u0302oj de pli simplaj spacoj."}, {"text_idx": "#000140", "text": "Aldonaj strukturoj estas ofte difinitaj sur sternaj\u0302oj. Ekzemploj de sternaj\u0302oj kun aldona strukturo estas diferencialeblaj sternaj\u0302oj sur kiuj oni povas uzi kalkulon kaj kvar-dimensia pseu\u0306do-Rimana sternaj\u0302o kiu modelas spacon kaj tempon en fizika relativeco."}]