[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematikaj fizikoj, spaco de Minkowski au\u0306 Minkowski spactempo estas kombinaj\u0302o de eu\u0306klida spaco kaj tempo en kvar-dimensian dukton kie la spactempintervalo inter iuj du okazaj\u0302oj estas sendependa de la inercisistemo en kiu ili estas registritaj.\nKvankam komence evoluigita fare de matematikisto Hermann Minkowski por ekvacioj de Maxwell de elektromagnetismo, la matematika strukturo de Minkowski-spactempo pruvig\u0302is esti tuja sekvo de la postulatoj de speciala teorio de relativeco."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Spaco de Minkowski estas proksime asociita kun la teorio de Einstein de speciala teorio de relativeco, kaj estas la plej ofta matematika strukturo sur kiu speciala teorio de relativeco estas formulita.\nDum la individuaj komponentoj en eu\u0306klida spaco kaj tempo ofte malsamas pro longokuntirig\u0302o kaj tempodilatig\u0302o, en Minkowski-spactempo, c\u0302iuj referencaj kadroj konsentos pri la totala distanco en spactempo inter la okazaj\u0302oj.\n[nb 1] C\u0302ar g\u0302i traktas tempon alimaniere ol la tri spaca grandeco, spaco de Minkowski devias de kvar-dimensia eu\u0306klida spaco."}, {"text_idx": "#000003", "text": "[nb 2] En eu\u0306klida spaco, la Izometria grupo (la mapoj konservantaj la regulan internan produkton) estas la Eu\u0306klida grupo.\nLa analoga Izometria grupo por spaco de Minkowski, konservanta intervalojn de spactempo provizita per la rilata ne-pozitiva difinita dulineara funkcio (c\u0302i tie vokis la Minkowski-internan produkton, [nb 3] ) estas la Poincare\u0301-grupo.\nLa Minkowski-interna produkto estas difinita por doni la spactempintervalon inter du okazaj\u0302oj kiam surbaze de ilia kunordigita diferencvektoro kiel argumento."}, {"text_idx": "#000004", "text": "3 lorencaj transformoj kaj simetrio\n5 Rilatoj kun aliaj formulig\u0302oj 5.1"}, {"text_idx": "#000005", "text": "1.1 La ena produto de Minkowski\n5 Inversa neegalaj\u0302o de triangulo"}, {"text_idx": "#000007", "text": "En 1905, kaj poste publikigita en 1906, Henri Poincare\u0301 montris ke prenante tempon esti imaga kvara -spactempa koordinato (\u221a \u22121 c t ), lorenca transformo povas esti rigardita kiel rotacio de koordinatoj en kvar-dimensia eu\u0306klida spaco kun tri realkoordinatoj reprezentantaj spacon, kaj unu imagan koordinaton, reprezentante tempon, kiel la kvara dimensio.\nC\u0302ar la spaco tiam estas pseu\u0306d-eu\u0306klida spaco, la rotacio estas reprezentado de hiperbola rotacio, kvankam Poincare\u0301 ne donis tiun interpreton, lia celo estanta nur klarigi la lorenca transformo lau\u0306 la konata Eu\u0306klida rotacio."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Tiu ideo estis ellaborita fare de Hermann Minkowski, [3] kiuj uzis g\u0302in por reproponi la Maxwell-ekvaciojn en kvar dimensioj, montrante rekte sian envariancon sub la lorenca transformo.\nLi plue reformulis en kvar dimensioj la tiama lastatempan teorion de speciala teorio de relativeco de Einstein.\nDe tio li finis ke tempo kaj spaco devus esti traktitaj egale, kaj tiel ekestis lian koncepton de la okazaj\u0302oj okazantaj en unuigita kvar-dimensia spactempokontinuumo."}, {"text_idx": "#000009", "text": "En pluevoluigo, [4] li donis alternativan formulig\u0302on de tiu ideo kiu uzis realtempan koordinaton anstatau\u0306e de imaga, reprezentante la kvar variablojn ( x, y, z, t) de spaco kaj tempo en kunordigita formo en kvar dimensia afina spaceto.\nPunktoj en tiu spaco egalrilatas al la okazaj\u0302oj en spactempo.\nEn tiu spaco, ekzistas difinita lumo-konuso asociis kun c\u0302iu punkto, kaj okazaj\u0302oj ne sur la lumo-konuso estas klasifikitaj memstare rilato al la apekso kiel spacosimilaj au\u0306 temposimila.\nG\u0302i estas c\u0302efe tiu vido de spactempo kiu estas aktuala nuntempe, kvankam la pli malnova vido implikanta imagan tempon ankau\u0306 influis specialan teorion de relativeco.\nMinkowski, konscia pri la fundamenta revortigo de la teorio kiun li faris, diris"}, {"text_idx": "#000010", "text": "La vidoj de spaco kaj tempo kiujn mi deziras meti antau\u0306 ol vi originis de la grundo de eksperimentaj fizikoj, kaj en tio kus\u0302as ilia forto.\nAntau\u0306en spaco flank itself, kaj tempo flank itself, estas kondamnitaj fadi for en nurajn ombrojn, kaj nur speco de unio de la du konservos sendependan realecon."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Por superrigardo, spaco de Minkowski estas 4-dimensia\nreala vektora spaco provizite per nedegenerulo, simetria dulineara formo sur la klavspaco c\u0302e c\u0302iu punkto en spactempo, c\u0302i tie simple nomite la Minkowski-interna produkto, kun signaturo c\u0302iu el ambau\u0306\nEn praktiko, tia ne devas esti koncernita kun la klavspacoj.\nLa vektorspaca naturo de spaco de Minkowski enkalkulas la kanonikan identigon de vektoroj en klavspacoj c\u0302e punktoj (okazaj\u0302oj) kun vektoroj (punktoj, okazaj\u0302oj) en spaco de Minkowski mem.\nPor kelkaj celoj estas dezirinde identigi klavvektorojn c\u0302e punkto p kun delokig\u0302vektoroj c\u0302e p , kiu estas, kompreneble, alleblas per esence la sama kanonika identigo."}, {"text_idx": "#000013", "text": "La signaturo rilatas al kiu subskribas la Minkowski-internan produktorendimentojn kiam donite spacon kaj tempajn bazvektorojn kiel argumentoj.\nG\u0302enerale, matematikistoj kaj g\u0302eneralaj relativistoj preferas la unuan dum partiklofizikistoj emas uzi c\u0302i-lastan.\nArgumentoj por la unua (puraj spacvektoroj donas pozitivaj \"normo-kvadratitaj\") inkludas \"kontinuecon\" de la Eu\u0306klida kazo egalrilatanta al la ne-relativista limo c\nArgumentoj por c\u0302i-lasta (puraj spacvektoroj donas negativon \"normo-kvadratitaj\") inkludas ke alie c\u0302ieaj minussignoj en partikla fiziko malaperas."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Matematike asociita al tiu dulineara formo estas tensoro de tipo (0,2) c\u0302e c\u0302iu punkto en spactempo, nomita la Minkowski metrika.\nLa Minkowski metrika, la dulineara formo, kaj la Minkowski-interna produkto estas fakte la tuta tre sama objekto.\nEn koordinatoj, tio estas la 4\u00d74 matrico reprezentanta la dulinearan formon.\nMemori tion povas faciligi legadon kio sekvas."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Por komparo, en g\u0302enerala relativeco, Lorentziana dukto L estas same provizita per metrika tensoro g , kio estas nedegenerulo simetria dulineara formo sur la klavspaco T da p L c\u0302e c\u0302iu punkto p de L .\nEn koordinatoj, g\u0302i povas esti reprezentita per 4\u00d74 matrico depende de spactempopozicio.\nSpaco de Minkowski estas tiel relative simpla speciala kazo de Lorentziana dukto.\nG\u0302ia metrika tensoro, nomita la Minkowski metrika, estas en koordinatoj la sama simetria matrico c\u0302e c\u0302iu punkto de M , kaj g\u0302iaj argumentoj povas, per supra, esti prenitaj kiel vektoroj en spactempo mem."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Lanc\u0302ante pli da terminologio (sed ne pli da strukturo), spaco de Minkowski estas tiel pseu\u0306d-eu\u0306klida spaco kun totala dimensio n = 4 kaj signaturo (3, 1) au\u0306 (1, 3).\nElementoj de spaco de Minkowski estas nomitaj la okazaj\u0302oj.\nSpaco de Minkowski ofte estas indikita R 3,1 au\u0306 R 1,3 por emfazi la elektitan signaturon, au\u0306 j\u0302us M .\nG\u0302i eble estas la plej simpla ekzemplo de pseu\u0306do-Riemannian dukto."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Kiel notational kongreso, vektoroj v en M, nomitaj 4-vektors, estas indikitaj en sanserifkursivo, kaj ne, kiel estas oftaj en la Eu\u0306klida konteksto, kun grasa fasono v .\nC\u0302i-lasta estas g\u0302enerale rezervita por la 3-vektor parto (por esti lanc\u0302ita malsupre) de 4-vektoro."}, {"text_idx": "#000020", "text": "La unuaj du kondic\u0302oj implicas bilinearecon.\nLa difina diferenco inter pseu\u0306d-interna produkto kaj interna produkto mem estas ke la unua ne estas postulata por esti pozitiva definitivaj, t.e., \u03b7 ( u, u)< 0 estas permesitaj."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Du vektoroj v kaj w lau\u0306dire estas ortogonalaj se \u03b7 ( v, w) = 0."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Vektoro e estas nomita unuobla vektoro se \u03b7 ( e, e) = \u00b11.\nBazo por M konsistanta el reciproke ortogonalaj unuoblaj vektoroj estas nomita ortonormala bazo."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Por antau\u0306fiksita inercikadro, ortonormala bazo en spaco, kombinita de la unua tempovektoro, formas ortonormalan bazon en spaco de Minkowski.\nLa nombro da pozitivaj kaj negativaj unuoblaj vektoroj en eventuala tia bazo estas fiksa paro de nombroj, egala al la signaturo de la dulineara formo asociita kun la interna produkto.\nTio estas leg\u0302o de inercio de Sylvester."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Pli da terminologio (sed ne pli da strukturo): La Minkowski-metriko estas pseu\u0306do-Riemannian metriko, pli specife, Lorentziana metriko, ec\u0302 pli specife, la Lorentz metrika, rezervita por 4-dimensia plata spactempo kun la restanta ambigueco nur estas la signaturkongreso."}, {"text_idx": "#000025", "text": "El la dua postulato de speciala teorio de relativeco, kune kun homogeneco de spactempo kaj izotropeco de spaco, sekvas ke la spactempintervalo inter du okazaj\u0302oj 1, 2,"}, {"text_idx": "#000026", "text": "estas sendependa de la inercikadro elektita, kiel estas montrita c\u0302i tie.\nLa faktor \u00b1 simple signifas ke la elekto de signaturo estas maldekstra senkas\u0302a.\nLa nombrvaloroj da \u03b7, rigardita kiel matrico reprezentanta la Minkowski-internan produkton, sekvas el la teorio de dulinearaj formoj."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Ekzakte kiel la signaturo de la metriko estas alimaniere difinita en la literaturo, tiu kvanto ne estas konstante nomita.\nLa intervalo (kiel difinite c\u0302i tie) estas foje referita c\u0302ar la intervalo kvadratis.\nEc\u0302 la kvadrata radiko de la nuna intervalo okazas.\nKiam signaturo kaj intervalo estas fiksaj, ambigueco dau\u0306re restas kiam kiu koordinato estas la tempokoordinato.\nG\u0302i povas esti la kvara, au\u0306 g\u0302i povas esti la zerot.\nTio ne estas g\u0302isfunda listo de notational faktkonfliktoj.\nG\u0302i estas fakto de vivo kiujn tiu unu devas kontroli la difinojn unua aj\u0302o kiam oni konsultas la relativecliteraturon."}, {"text_idx": "#000028", "text": "La envarianco de la intervalo sub kunordigitaj transformoj inter inercikadroj sekvas el la envarianco de"}, {"text_idx": "#000029", "text": "(kun ambau\u0306 signoj \u00b1 konservis), kondic\u0302e ke la transformoj estas liniaj.\nTiu kvadrata formo povas esti uzita por difini dulinearan formon"}, {"text_idx": "#000030", "text": "Tiu dulineara formo povas en victurno esti skribita kiel"}, {"text_idx": "#000031", "text": "kie [ \u03b7] 4\u00d74 matrico estas asociita kun \u03b7.\nEventuale konfuze, indikas [ \u03b7] kun j\u0302us \u03b7 kiel estas ofta praktiko.\nLa matrico estas legita for de la eksplicita dulineara formo kiel"}, {"text_idx": "#000032", "text": "kun kiu tiu sekcio komencita supozante sian ekziston, nun estas identigita."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Por certeco kaj pli mallonga prezento, la signaturo\nLa elekto havas neniujn (scianta) fizikajn implicojn.\nLa geometria simetria grupo konservanta la dulinearan formon kun unu elekto de signaturo estas izomorfa (sub la mapo donita c\u0302i tie) kun la geometria simetria grupo konservas la alian elekton de signaturo.\nTio signifas ke ambau\u0306 elektoj estas en akordo kun la du postulatoj de relativeco."}, {"text_idx": "#000034", "text": "Tiuj kondic\u0302oj povas esti skribitaj kompakte en la formo"}, {"text_idx": "#000035", "text": "Relative al norma bazo, la komponentoj de vektoro v estas skribitaj ( v 0, v 1, v 2, v 3) kie la Einstein-notacio estas utiligita por skribi v = v \u03bc e \u03bc .\nLa komponento v 0 estas nomita la temposimila komponento da v dum la aliaj tri komponentoj estas nomitaj la spacaj komponentoj.\nLa spacaj komponentoj de 4-vektor v povas esti identigitaj kun 3-vektor v"}, {"text_idx": "#000036", "text": "Lau\u0306 komponentoj, la Minkowski-interna produkto inter du vektoroj v kaj w ricevas per"}, {"text_idx": "#000037", "text": "C\u0302i tie malpliigo de indekso kun la metriko estis uzita.\nTeknike, ne-degenerita dulineara formo disponigas mapon inter vektora spaco kaj g\u0302ia dualo, en tiu kunteksto, la mapo estas inter la klavspacoj de M kaj la kotang\u0302antospacoj de M.\nC\u0302e punkto en M, la klavo kaj kotang\u0302antospacoj estas duoblaj.\nEkzakte kiel au\u0306tenta interna produkto sur vektora spaco kun unu argumento fiksis, de Riesz-reprezentantarteoremo, povas esti esprimita kiel la ago de linia funkcia sur la vektora spaco, la sama tenas por la Minkowski-interna produkto de spaco de Minkowski."}, {"text_idx": "#000039", "text": "La temp-elprovita fortikeco de la formalismo mem, foje referita kiel indicgimnastiko, certigas ke proponi vektorojn c\u0302irkau\u0306e ke kaj s\u0302ang\u0302ig\u0302ado de kontrau\u0306variaj\u0302o g\u0302is kovariaj\u0302vektoroj kaj inverse estas matematike solida.\nMalg\u0302ustaj esprimoj tendencas riveli sin rapide."}, {"text_idx": "#000040", "text": "La Poincare\u0301-grupo estas la grupo de c\u0302iuj transformoj konservantaj la intervalon.\nLa intervalo vidig\u0302as sufic\u0302e facile esti konservita fare de la traduko grupo en 4 dimensioj.\nLa aliaj transformoj estas tiuj kiuj konservas la intervalon kaj forlasas la originon fiksan.\nSurbaze de la dulineara formo asociis kun la Minkowski metrika, la konvena grupo sekvas rekte el la teorio (aparte la difino) de klasikaj grupoj.\nEn la ligita artikolo, oni devus identigi \u03b7 (en g\u0302ia matricreprezentantaro) kun la matrico \u03c6."}, {"text_idx": "#000041", "text": "La konvena grupo estas O (3,1), en tiu kunteksto nomita la Lorentz-grupo.\nG\u0302iaj elementoj estas vokitaj (homogenaj) lorencaj transformoj.\nPor aliaj metodoj de derivaj\u0302o, kun pli fizika tordaj\u0302o, vidas derivaj\u0302ojn de la lorencaj transformoj."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Inter la plej simplaj lorencaj transformoj Lorentz-akcelo estas.\nPor referenco, akcelo en la x - direkto ricevas per"}, {"text_idx": "#000043", "text": "Aliaj lorencaj transformoj estas puraj rotacioj, kaj tial elementoj de la So (3) subgrupo de O (3,1).\nG\u0302enerala homogena lorenca transformo estas produkto de pura akcelo kaj pura rotacio.\nEnhomogena lorenca transformo estas homogena transformo sekvita per traduko en spaco kaj tempo.\nSpecialaj transformoj estas tiuj kiuj inversigas la spacon koordinatojn ( P) kaj tempo kunordigas ( T) respektive, au\u0306 ambau\u0306 (PT)."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Tute kvar-vektoroj en spaco de Minkowski transformas, de difino, lau\u0306 la sama formulo sub lorencaj transformoj."}, {"text_idx": "#000045", "text": "ct, r) estas klasigitaj lau\u0306 la signo de c 2 t 2 - r 2 .\nVektoro estas temposimila se c 2 t 2 > r 2 , spacosimila se c 2 t 2 < r 2 , kaj nulo au\u0306 lumosimila se c 2 t 2 = r 2 .\nTio povas esti esprimita lau\u0306 la signo de \u03b7 ( v, v) ankau\u0306, sed dependas de la signaturo.\nLa klasifiko de iu vektoro estos la sama en c\u0302iuj referencaj kadroj, pro la envarianco de la intervalo."}, {"text_idx": "#000046", "text": "La aro de c\u0302iuj nulvektoroj c\u0302e okazaj\u0302o [nb 5] de spaco de Minkowski konsistigas la lumkonuson de tiu okazaj\u0302o.\nSurbaze de temposimila vektoro v , ekzistas monda linio de konstanta rapideco asociita kun g\u0302i, reprezentita per aerlinio en Minkowski-diagramo."}, {"text_idx": "#000047", "text": "Post kiam direkto de tempo estas elektita, [nb 6] temposimilaj kaj nulvektoroj povas esti plue malkonstruitaj en diversajn klasojn.\nPor temposimilaj vektoroj oni havas"}, {"text_idx": "#000048", "text": "kies unua komponento estas pozitiva, (pinto de vektoro situanta en absoluta estonteco en figuro) kaj\nkies unua komponento estas negativa (absoluta pasinteco)."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Nulvektoroj falas en tri klasojn:"}, {"text_idx": "#000050", "text": "la nul vektoro, kies komponentoj en iu bazo estas (0,0, 0,0) (origino),\nkies unua komponento estas pozitiva (supraj s\u0302altas konuson), kaj\nkies unua komponento estas negativa (malsupra malpeza konuso)."}, {"text_idx": "#000051", "text": "Spacasimilaj vektoroj estas en aliloke.\nLa terminologio devenas de la fakto ke spacosimilaj separitaj okazaj\u0302oj estas ligitaj per vektoroj postulantaj faster-ol-luman vojag\u0302adon, kaj tiel povas ne eventuale influon unu la alian.\nKune kun spacosimilaj kaj lumosimilaj vektoroj ekzistas 7 klasoj en c\u0302io."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Ortonormala bazo por spaco de Minkowski nepre konsistas el unu temposimila kaj tri spacosimilaj unuoblaj vektoroj.\nSe oni deziras labori kun ne-ortonormalaj bazoj g\u0302i estas ebla havi aliajn kombinaj\u0302ojn de vektoroj.\nEkzemple, oni povas facile konstrui (ne-ortonormalan) bazon konsistantan tute el nulvektoroj, nomitaj nulbazo.\nSuper la realoj, se du nulvektoroj estas ortogonalaj (nul Minkowski-tensorovaloro), tiam ili devas esti proporciaj.\nTamen, permesante kompleksajn nombrojn, oni povas akiri nultetrad, kio estas bazo konsistanta el nulvektoroj, kelkaj el kiuj estas ortogonalaj al unu la alian."}, {"text_idx": "#000053", "text": "Vektoraj kampoj estas nomitaj temposimilaj, spacosimilaj au\u0306 nulo c\u0302u la rilataj vektoroj estas temposimilaj, spacosimilaj au\u0306 nulo c\u0302e c\u0302iu punkto kie la kampo estas difinita."}, {"text_idx": "#000054", "text": "Lasis x, y \u2208 M."}, {"text_idx": "#000055", "text": "x kronologie antau\u0306as y se y \u2212 x estas estontec-direktita temposimila.\nTiu rilato havas la transitivan posedaj\u0302on kaj tiel povas esti skribita x< y.\nx kau\u0306ze antau\u0306as y se y \u2212 x estas estontec-direktita nulo au\u0306 estontec-direktita temposimila.\nG\u0302i donas partan mendadon de spactempo kaj tiel povas esti skribita x \u2264 y."}, {"text_idx": "#000057", "text": "Strikte parolante, spaco de Minkowski rilatas al matematika formulo en kvar dimensioj.\nTamen, la matematiko povas facile esti etendita au\u0306 simpligita por krei analogan \"Spacon de Minkowski\" en iu nombro da grandeco.\nSe n \u2265 2, n - dimensia spaco de Minkowski estas vektora spaco de reala dimensio n sur kiu ekzistas konstanta Lorentz-metriko de signaturo ( n \u2212 1, 1) au\u0306 (1, n \u2212 1).\nTiuj g\u0302eneraligoj estas utiligitaj en teorioj kie spactempo estas supozita havi tiamaniere ol 4 dimensioj.\nTeorio de kordoj kaj M-teorio estas du ekzemploj kie n > 4.\nEn teorio de kordoj, tie prezentig\u0302as konformaj kampa teorioj kun 1 + 1 -spactempa grandeco."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Kiel plata spactempo, la tri spacaj komponentoj de Minkowski-spactempo c\u0302iam obeas la Pitagorean Teoremon.\nSpaco de Minkowski estas tau\u0306ga bazo por speciala teorio de relativeco, bona priskribo de fizikaj sistemoj super finhavaj distancoj en sistemoj sen signifa gravitado.\nTamen, por enkalkuli graviton, fizikistoj utiligas la g\u0302eneralan relativismon , kiu estas formulita en la matematiko de ne-eu\u0306klida geometrio.\nKiam tiu geometrio estas utiligita kiel modelo de fizika spaco, g\u0302i estas konata kiel kurba spaco."}, {"text_idx": "#000059", "text": "Ec\u0302 en kurba spaco, spaco de Minkowski dau\u0306re estas bona priskribo en infinitezimala regiono c\u0302irkau\u0306anta ajnan punkton (krom en kazo de gravitajn neordinaraj\u0302ojn).\n[nb 7] Pli abstrakte, ni diras ke en la c\u0302eesto de gravitspactempo estas priskribita per kurba 4-dimensia dukto por kiu la klavspaco al iu punkto estas 4-dimensia spaco de Minkowski.\nTiel, la strukturo de spaco de Minkowski dau\u0306re estas esenca en la priskribo de g\u0302enerala relativeco."}, {"text_idx": "#000060", "text": "Enkonduko al matematiko de g\u0302enerala relativeco"}, {"text_idx": "#000062", "text": "On the Dynamics of the Electron\nThe Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies .\n^ a b Minkowski 1907-1909, pp 75-88 diversanglaj tradukoj pri Vikifontaro:\nThe identification is routinely done in mathematics.\n^ Lee 2003 , See Lee's discussion on geometric tangent vectors early in chapter 3.\n^ Lee 2003 , The tangent-cotangent isomorphism p. 282."}, {"text_idx": "#000066", "text": "Enkonduko al speciala teorio de relativeco"}, {"text_idx": "#000067", "text": "En fiziko kaj matematiko, spaco de Minkowski au\u0306 spactempo de Minkowski estas la matematika priskribo de spactempo de speciala teorio de relativeco. Tri ordinaraj dimensioj de spaco estas kombinitaj kun unu dimensio de tempo por formi kvar-dimensian dukton de spactempo. Spaco de Minkowski estas nomita post la germana matematikisto Hermann Minkowski."}, {"text_idx": "#000068", "text": "En teoria fiziko, spaco de Minkowski estas ofte kontrastita kun eu\u0306klida spaco. Eu\u0306klida spaco havas nur spacosimilajn dimensiojn, dum kiam spaco de Minkowski havas ankau\u0306 unu temposimilan dimension. Pro tio la geometria simetria grupo de eu\u0306klida spaco estas la eu\u0306klida grupo kaj geometria simetria grupo de spaco de Minkowski estas la grupo de Poincare\u0301."}, {"text_idx": "#000069", "text": "Formale, spaco de Minkowski estas kvar-dimensia reela vektora spaco kun nedegenera simetria dulineara funkcio kun signumoj (-, +, +, +) au\u0306 (+, -, -, -). G\u0302enerale, en matematiko kaj g\u0302enerala relativeco oni preferas la unuan varianton kaj en la partikla fiziko oni preferas la duan. Tiel, spaco de Minkowski estas pseu\u0306do-eu\u0306klida spaco kun n=4 kaj n-k=1 (en pli larg\u0302a difino c\u0302iu n>1 estas permesita). Eroj en spaco de Minkowski estas eventoj au\u0306 kvar-vektoroj. Spaco de Minkowski estas ofte skribata kiel R1,3 por emfazi la signumojn au\u0306 M4 au\u0306 simple M. G\u0302i estas eble la plej simpla ekzemplo de pseu\u0306do-rimana dukto."}, {"text_idx": "#000071", "text": "La ena produto de Minkowski similas al la kutima eu\u0306klida ena produto, sed estas uzata por priskribi malsaman geometrion. La geometrio estas kutime asociita kun relativeco. Estu M esti 4-dimensia reela vektora spaco. La ena produto de Minkowski estas mapo \u03b7: M \u00d7 M \u2192 R (kio estas, por c\u0302iuj donitaj du vektoroj v, w en M oni difinas \u03b7(v, w) kiel reela nombro) kiu kontentigas propraj\u0302ojn (1), (2), (3) listigitajn c\u0302i tie, kaj ankau\u0306 propraj\u0302on (4) donitan pli sube:"}, {"text_idx": "#000072", "text": "por c\u0302iuj a en R kaj u, v, w en M."}, {"text_idx": "#000073", "text": "por c\u0302iuj v,w en M."}, {"text_idx": "#000074", "text": "Se \u03b7(v, w) = 0 por c\u0302iuj w en M do v=0."}, {"text_idx": "#000075", "text": "C\u0302i tio ne estas ena produto en la kutima senco, pro tio ke g\u0302i estas ne pozitive difinita, kio estas la normo de Minkowski de vektoro v, difinita kiel v2 = \u03b7(v, v), ne nepre estas pozitiva, malsame de la kutima normo. La kondic\u0302o de pozitiva difiniteco estas anstatau\u0306ita per la pli malforta kondic\u0302o de nedegenereco (c\u0302iu pozitive difinita formo estas nedegenera sed ne nepre estas ree). La ena produto estas dirita al esti nedifinita."}, {"text_idx": "#000076", "text": "Simile al tio kiel okazas en eu\u0306klida spaco, du vektoroj v kaj w estas lau\u0306difine perpendikularaj se kaj nur se \u03b7(v, w) = 0. Sed estas scienca paradigma s\u0302ovo en Spaco de Minkowski al inkluzivi hiperbolo-perpendikularajn eventojn en la okazo se v kaj w generas ebenon kie \u03b7 prenas negativajn valorojn. C\u0302i tiu s\u0302ovo al nova scienca paradigmo estas klarigita per komparo de la eu\u0306klida strukturo de la ordinara kompleksa ebeno kun strukturo de la ebeno de fendo-kompleksaj nombroj."}, {"text_idx": "#000077", "text": "Vektoro v estas nomata kiel unuobla vektoro se \u03b7(v, v) = \u00b11. Bazo por M konsistanta de reciproke perpendikularaj unuoblaj vektoroj estas nomata kiel ortonormala bazo."}, {"text_idx": "#000078", "text": "Estas teoremo statanta ke c\u0302iu ena produta spaco kontentiganta la kondic\u0302ojn (1), (2), (3) c\u0302iam havas ortonormalan bazon. Plu, la teoremoj statas ke la kvanto de pozitivaj kaj negativaj unuoblaj vektoroj en c\u0302iu c\u0302i tia bazo estas fiksita. C\u0302i tiu paro de nombroj estas nomata kiel la signumo de la ena produto."}, {"text_idx": "#000079", "text": "Tiel la kvara kondic\u0302o por ena produto de Minkowski estas"}, {"text_idx": "#000080", "text": "Norma bazo por spaco de Minkowski estas aro de kvar reciproke perpendikularaj vektoroj (e0, e1, e2, e3) tiaj ke (por signumo (-, +, +, +)"}, {"text_idx": "#000081", "text": "C\u0302i tiuj kondic\u0302oj povas esti skribita kompakte kiel:"}, {"text_idx": "#000082", "text": "kie \u03bc kaj \u03bd prenas valorojn 0, 1, 2, 3 kaj la matrico \u03b7 estas"}, {"text_idx": "#000083", "text": "C\u0302i tiu tensoro estas ofte nomata kiel la tensoro de Minkowski. Relative al norma bazo, la komponantoj de vektoro v estas skribitaj kiel (v0, v1, v2, v3) kaj oni ofte uzi la ejns\u0302tejnan skribmanieron kiel v = v\u03bce\u03bc. La komponanto v0 estas nomata kiel la temposimila komponanto de v kaj la aliaj tri komponantoj estas nomataj kiel la spacaj komponantoj."}, {"text_idx": "#000084", "text": "Per la komponantoj, la ena produto de du vektoroj v kaj w estas donita per"}, {"text_idx": "#000085", "text": "kaj la kvadratigita normo de vektoro v estas"}, {"text_idx": "#000086", "text": "La sekcio pli supre difinas la spacon de Minkowski kiel vektora spaco. Estas alternativa difino de Spaco de Minkowski kiel afina spaca kiu donas la spacon de Minkowski kiel homogena spaco de la grupo de Poincare\u0301 kun la lorenca grupo kiel la grupa ago (stabiligilo)."}, {"text_idx": "#000087", "text": "Noto ke la termino \"spaco de Minkowski\" estadas ankau\u0306 uzata por analogaj spacoj en c\u0302iu dimensio, (n+1)-dimensia spaco de Minkowski estas vektora spaco au\u0306 afina spaco de reelaj nombroj de dimensio n+1 sur kiu estas ena produto au\u0306 pseu\u0306da-rimana metriko de signumo (n, 1), kio estas, de n plusoj kaj unu minuso."}, {"text_idx": "#000088", "text": "Vektoroj estas klasifikita lau\u0306 la signumo de ilia normo de Minkowski. Vektoro v estas (por signumo (-, +, +, +)"}, {"text_idx": "#000089", "text": "Nula au\u0306 lumosimila se \u03b7(v, v)=0"}, {"text_idx": "#000090", "text": "C\u0302i tiu terminaro venas de la uzo de spaco de Minkowski en la fizika relativeco. La aro de c\u0302iuj nulvektoroj je evento en spaco de Minkowski estas la luma konuso de la evento. Klasifikaj\u0302o de c\u0302iu vektoro estas sendependa de la kadro de referenco, alivorte g\u0302i estas invarinto sub la lorenca transformo."}, {"text_idx": "#000091", "text": "Vektora kampo estas nomata kiel temposimila, spacosimila au\u0306 nula se la asociitaj vektoroj estas temposimilaj, spacosimilaj au\u0306 nulaj je c\u0302iu punkto kie la kampo estas difinita."}, {"text_idx": "#000092", "text": "Se du nulvektoroj estas perpendikularaj (ena produto de ili egalas al nulo) do ili estas proporciaj unu al la alia."}, {"text_idx": "#000093", "text": "Se direkto de tempo estas elektita, temposimilaj vektoroj kaj nulvektoroj povas esti plu klasifikitaj. Entute la klasifiko konsistas el 6 klasifikaj\u0302oj:"}, {"text_idx": "#000094", "text": "estonte direktita temposimila vektoro kies unua komponanto estas pozitiva\npasintece direktita temposimila vektoro kies unua komponanto estas negativa\nla nula vektoro kies komponantoj en c\u0302iu bazo estas (0, 0, 0, 0)\nestonte direktita nula vektoroj kies unua komponanto estas pozitiva\npasintece direktita nula vektoroj kies unua komponanto estas negativa"}, {"text_idx": "#000095", "text": "estonte direktita temposimila vektoro kies unua komponanto estas pozitiva\npasintece direktita temposimila vektoro kies unua komponanto estas negativa"}, {"text_idx": "#000096", "text": "la nula vektoro kies komponantoj en c\u0302iu bazo estas (0, 0, 0, 0)\nestonte direktita nula vektoroj kies unua komponanto estas pozitiva\npasintece direktita nula vektoroj kies unua komponanto estas negativa"}, {"text_idx": "#000097", "text": "Ortonormala bazo por spaco de Minkowski bezone konsistas el unu temposimila kaj tri spacosimilaj unuoblaj vektoroj. Se labori kun ne-ortonormala bazo, eblas havi la aliajn kombinaj\u0302ojn de vektoroj. Eblas konstrui ne-ortonormalan bazon konsistantan tute el nulvektoroj, nomatan kiel la nula bazo."}, {"text_idx": "#000098", "text": "Estu x, y en M. Tiam:"}, {"text_idx": "#000099", "text": "x tempe antau\u0306venas y se y-x estas estonte direktita temposimila.\nx kau\u0306ze antau\u0306venas y se y-x estas estonte direktita nula."}, {"text_idx": "#000100", "text": "Estas analogo de neegalaj\u0302o de triangulo en spaco de Minkowski. Se v kaj w estas du egale direktitaj (ambau\u0306 estonte direktitaj au\u0306 ambau\u0306 pasintece direktitaj) temposimilaj kvar-vektoroj tiam"}, {"text_idx": "#000101", "text": "Severe, la uzo de spaco de Minkowski por priskribi fizikajn sistemojn aplikas nur en la limigo de Newton de sistemoj sen grava gravito. En okazo de granda gravito, spactempo ig\u0302as malrektigitan kaj necesas uzi la plenan teorion de g\u0302enerala relativeco sed ne specialan teorion de relativeco."}, {"text_idx": "#000102", "text": "Tamen, en c\u0302i tiaj okazoj, spaco de Minkowski estas bona priskribo en loka referenca kadro de infinitezime malgranda regiono c\u0302irkau\u0306anta iun punkton se tie ne estas gravitaj specialaj\u0302oj. Tiel, en c\u0302eesto de gravito spactempo estas priskribita per malrektigita 4-dimensia dukto por kiu la tang\u0302anto spaco al c\u0302iu punkto estas 4-dimensia spaco de Minkowski. Tial, la strukturo de spaco de Minkowski estas ankorau\u0306 esenca en la priskribo de g\u0302enerala relativeco."}, {"text_idx": "#000103", "text": "En la regno de malforta gravito, spactempo estas plata kaj aspektas malloke, ne nur loke, simila al spaco de Minkowski. Pro c\u0302i tiu kau\u0306zo spaco de Minkowski estas ofte nomata kiel plata spactempo."}, {"text_idx": "#000104", "text": "Spaco de Minkowski estas nomata post germana matematikisto Hermann Minkowski, kiu c\u0302irkau\u0306 1907 komprenis ke la teorio de speciala teorio de relativeco antau\u0306nelonge ellaborita de Albert Einstein povas esti elegante priskribita uzante kvar-dimensian spactempon."}, {"text_idx": "#000105", "text": "La ebleco de ellaboro de spaco de Minkowski estas preparita per evoluo de teorio de hiperbolaj kvaternionoj en la 1890-aj jaroj. Kiel matematika strukturo, spaco de Minkowski povas esti prenita kiel hiperbolaj kvaternionoj minus la multiplika produto, retenante nur la dulinearan funkcion"}]