[{"text_idx": "#000000", "text": "Wikipedia's Gradient as translated by GramTrans"}, {"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, la gradiento estas multi-varia g\u0302eneraligo de la derivaj\u0302o.\nDum derivaj\u0302o povas esti difinita sur funkcioj de ununura variablo, por funkcioj de pluraj variabloj, la gradiento prenas sian lokon.\nLa gradiento estas vektor-aprezita funkcio, kontraste al derivaj\u0302o, kiu estas skalar-aprezita.\nx n ) estas diferenciebla, real-aprezita funkcio de pluraj variabloj, g\u0302ia gradiento estas la vektoro kies komponentoj estas la n partaj derivaj\u0302oj de f ."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Kiel la derivaj\u0302o, la gradiento reprezentas la deklivon de la klavo de la grafeo de la funkcio.\nPli g\u0302uste, la gradientpunktoj en la direkto de la plej granda kreskokvoto de la funkcio, kaj g\u0302ia magnitudo estas la deklivo de la grafeo en tiu direkto.\nLa komponentoj de la gradiento en koordinatoj estas la koeficientoj de la variabloj en la ekvacio de la klavspaco al la grafeo.\nTiu karakterizanta posedaj\u0302on de la gradiento permesas al g\u0302i esti difinita sendepende de elekto de koordinatsistemo, kiel vektora kampo kies komponentoj en koordinatsistemo transformos kie irado de unu koordinatsistemo g\u0302is alia."}, {"text_idx": "#000003", "text": "La Jacobian estas la g\u0302eneraligo de la gradiento por vektor-aprezitaj funkcioj de pluraj variabloj kaj diferencieblaj mapoj inter eu\u0306klidaj spacoj au\u0306, pli g\u0302enerale, duktoj.\nPlia g\u0302eneraligo por funkcio inter banah\u0302aj spacoj estas la Fre\u0301chet-derivaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000005", "text": "3 derivaj\u0302o de funkcia komponaj\u0302o"}, {"text_idx": "#000006", "text": "1 Interpretado de la gradiento\n3 Lineara proksimumigo de funkcio"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Pripensu c\u0302ambron en kiu la temperaturo ricevas per skalara kampo, T , tiel c\u0302e c\u0302iu punkto ( x, y, z) la temperaturo estas T ( x, y, z).\n(Supozu ke la temperaturo ne s\u0302ang\u0302ig\u0302as dum tempo.\nC\u0302e c\u0302iu punkto en la c\u0302ambro, la gradiento de T c\u0302e tiu punkto montros la direkton en kiu la temperaturplialtigoj plej rapide.\nLa signifo de la gradiento determinos kiom rapidaj la temperaturplialtigoj en tiu direkto."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Konsideru surfacon kies alteco super marnivelo c\u0302e punkto ( x, y) estas H ( x, y).\nLa gradiento de H c\u0302e punkto estas vektoro indikanta en la direkto de la plej kruta deklivo au\u0306 grado c\u0302e tiu punkto.\nLa kruteco de la deklivo c\u0302e tiu punkto ricevas per la signifo de la gradientvektoro."}, {"text_idx": "#000009", "text": "La gradiento ankau\u0306 povas esti uzita por mezuri kiel skalara kampo s\u0302ang\u0302ig\u0302as en aliaj indikoj, prefere ol j\u0302us la direkto de plej granda s\u0302ang\u0302o, per prenado de skalarprodukto.\nSupozu ke la plej kruta deklivo sur monteto estas 40%.\nSe vojo iras rekte supren lau\u0306 la monteto, tiam la plej kruta deklivo sur la vojo ankau\u0306 estos 40%.\nSe, anstatau\u0306e, la vojo iras c\u0302irkau\u0306 la monteto lau\u0306 angulo, tiam g\u0302i havos pli malprofundan deklivon.\nEkzemple, c\u0302u la angulo inter la vojo kaj la ascenda direkto, projekciita sur la horizontalo, estas 60\u00b0, tiam la plej kruta deklivo lau\u0306 la vojo estos 20%, kio estas 40% tempigas la kosinuson de 60\u00b0."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Tiu observado povas esti matematike deklarita jene.\nSe la monteta altecfunkcio H estas diferenciebla, tiam la gradiento de H kovrita per unuobla vektoro donas la deklivon de la monteto en la direkto de la vektoro.\nPli g\u0302uste, kiam H estas diferenciebla, la skalarprodukto de la gradiento de H kun antau\u0306fiksita unuobla vektoro estas egala al la unudirekta derivaj\u0302o de H en la direkto de tiu unuobla vektoro."}, {"text_idx": "#000011", "text": "La gradiento (au\u0306 gradiento-vektorkampo) de skalarfunkcio f ( x 1, x 2, x 3\nksn ) estas indikita \u2207 f au\u0306 \u2207 \u2192 f kie del \u2207 (la nabla simbolo) indikas la vektoran diferencigan funkciigiston,.\nLa notaciogradig\u0302a da f ankau\u0306 estas ofte uzita por la gradiento.\nLa gradiento de f estas difinita kiel la unika vektora kampo kies skalarprodukto kun iu vektoro v c\u0302e c\u0302iu poento x estas la unudirekta derivaj\u0302o de f lau\u0306 v ."}, {"text_idx": "#000012", "text": "En rektangula koordinatsistemo, la gradiento estas la vektora kampo kies komponentoj estas la partaj derivaj\u0302oj de f :"}, {"text_idx": "#000013", "text": "kie la e I estas la ortogonalaj unuoblaj vektoroj indikantaj en la kunordigitaj indikoj.\nKiam funkcio ankau\u0306 dependas de parametro kiel ekzemple tempo, la gradiento ofte rilatas simple al la vektoro de it'oj spacaj derivaj\u0302oj nur (vidu Spacan gradienton)."}, {"text_idx": "#000014", "text": "En la tridimensia karteza koordinatsistemo, la gradiento ricevas per:"}, {"text_idx": "#000015", "text": "kie mi , j , k estas la normaj unuoblaj vektoroj.\nEkzemple, la gradiento de la funkcio"}, {"text_idx": "#000016", "text": "En kelkaj aplikoj estas kutime reprezenti la gradienton kiel vicvektoro au\u0306 kolumna vektoro de g\u0302iaj komponentoj en rektangula koordinatsistemo."}, {"text_idx": "#000017", "text": "En cilindraj koordinatoj, la gradiento ricevas per: [1]"}, {"text_idx": "#000018", "text": "kie \u03c6 estas la azimuta au\u0306 azmut perspektivo, z estas la aksa koordinato, kaj e \u03c1 , e \u03c6 kaj e z estas unuoblaj vektoroj indikantaj lau\u0306 la kunordigitaj indikoj."}, {"text_idx": "#000019", "text": "En sferaj koordinatoj, la gradiento ricevas per: [1]"}, {"text_idx": "#000020", "text": "kie \u03c6 estas la azimut perspektivo kaj \u03b8 estas la zenit perspektivo."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Por la gradiento en aliaj ortogonalaj koordinatsistemoj, vidu Ortogonalaj koordinatoj (diferencialaj operatoroj en tri dimensioj)."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Gradiento kaj la derivaj\u0302o au\u0306 diferencialo"}, {"text_idx": "#000024", "text": "La gradiento de funkcio f de la eu\u0306klidspaca R n g\u0302is R c\u0302e iu speciala poento x 0 en R n karakterizas la plej bonan linian aproksimadon al f c\u0302e x 0 .\nLa aproksimado estas kiel sekvas:"}, {"text_idx": "#000025", "text": "por x proksima al x 0 , kie (\u2207 f) x 0 estas la gradiento de f komputita c\u0302e x 0 , kaj la punkto indikas la skalarprodukton sur R n .\nTiu ekvacio estas ekvivalenta al la unuaj du oficperiodoj en la multivaria serio de Taylor vastig\u0302o de f c\u0302e x 0 ."}, {"text_idx": "#000026", "text": "La plej bona linia aproksimado al diferenciebla funkcio"}, {"text_idx": "#000027", "text": "c\u0302e poento x en R n estas lineara bildigo de R n g\u0302is R kiu ofte estas indikita fare de dfks au\u0306 Df ( x) kaj nomita la diagnozalternativo au\u0306 ( totala) derivaj\u0302o de f c\u0302e x .\nLa gradiento estas tial rilatita al la diagnozalternativo de la formulo"}, {"text_idx": "#000028", "text": "La funkcio df , kiu mapas x al df x , estas nomita la diferencialo au\u0306 ekstera derivaj\u0302o de f kaj estas ekzemplo de diferencialo 1-forma."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Se R n estas rigardita kiel la spaco de (dimensio n ) kolumnaj vektoroj (de realaj nombroj), tiam oni povas rigardi df kiel la vicvektoron kun komponentoj"}, {"text_idx": "#000030", "text": "tiel tion df x ( v) ricevas per matrica multipliko.\nLa gradiento tiam estas la ekvivalenta kolumna vektoro, t.e.,"}, {"text_idx": "#000031", "text": "Lasu U esti malfermita aro en R n .\nU \u2192 R estas diferenciebla, tiam kiun la diagnozalternativo de f estas la (Fre\u0301chet) derivaj\u0302o de f .\nTiel \u2207 f estas funkcio de U g\u0302is la spaco R tia ke"}, {"text_idx": "#000032", "text": "Kiel sekvo, la kutimaj trajtoj de la derivita teno por la gradiento:"}, {"text_idx": "#000033", "text": "La gradiento estas linia en la senco ke se f kaj g estas du real-aprezitaj funkcioj diferencieblaj c\u0302e la punkto \u2208 R n , kaj \u03b1 kaj \u03b2 estas du konstantoj, tiam \u03b1f + \u03b2g estas diferenciebla c\u0302e , kaj krome"}, {"text_idx": "#000035", "text": "Se f kaj g estas real-aprezitaj funkcioj diferencieblaj c\u0302e punkto \u2208 R n , tiam la derivaj\u0302o de produto asertas ke la produkto fg estas diferenciebla c\u0302e , kaj"}, {"text_idx": "#000036", "text": "\u2192 R estas real-aprezita funkcio difinita sur subaro A da R n , kaj tiu f estas diferenciebla c\u0302e punkto .\nEkzistas du formoj de la derivaj\u0302o de funkcia komponaj\u0302o validanta por la gradiento.\nUnue, supozas ke la funkcio g estas parametrika kurbo;\nmi \u2192 R n mapas subaron mi \u2282 R en R n .\nSe g estas diferenciebla c\u0302e punkto c \u2208 mi tia ke g ( c"}, {"text_idx": "#000037", "text": "kie \u2218 estas la kunmetaj\u0302funkciigisto:"}, {"text_idx": "#000040", "text": "Por la dua formo de la derivaj\u0302o de funkcia komponaj\u0302o, supozu tiun h:\nmi \u2192 R estas reala aprezita funkcio sur subaro mi de R, kaj tiun h estas diferenciebla c\u0302e la punkto f ("}, {"text_idx": "#000041", "text": "Nivelsurfaco, au\u0306 izosurfaco, estas la aro de c\u0302iuj punktoj kie iu funkcio havas antau\u0306fiksitan valoron."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Se f estas diferencieblaj, tiam la skalarprodukto (\u2207 f) x \u22c5 v de la gradiento c\u0302e punkto x kun vektoro v donas la unudirektan derivaj\u0302on de f c\u0302e x en la direkto v .\nG\u0302i sekvas ke en tiu kazo la gradiento de f estas ortogonala al la ebenaj aroj de f .\nEkzemple, nivelsurfaco en tri-dimensia spaco estas difinita per ekvacio de la formo F ( x, y, z\nLa gradiento de F tiam estas normala al la surfaco."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Pli g\u0302enerale, c\u0302iu integrig\u0302inta hipersurfaco en Riemaniana dukto povas esti formtranc\u0302ita de ekvacio de la formo F ( P) = 0 tia ke dF estas nenie nul.\nLa gradiento de F tiam estas normala al la hipersurfaco."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Simile, afina algebra hipersurfaco povas esti difinita per ekvacio F ( x 1\nx n) = 0, kie F estas polinomo.\nLa gradiento de F estas nul c\u0302e eksterordinara punkto de la hipersurfaco (tio estas la difino de eksterordinara punkto).\nC\u0302e ne-eksterordinara punkto, g\u0302i estas nonzera normala vektoro."}, {"text_idx": "#000045", "text": "La gradiento de funkcio estas nomita gradientkampo.\n(Kontinua) gradientkampo c\u0302iam estas konservativa vektora kampo: g\u0302ia liniintegralo lau\u0306 iu pado dependas nur de la finpunktoj de la pado, kaj povas esti analizita per la gradientteoremo (la infinitezimalteoremo por liniintegraloj).\nInverse, (kontinua) konservativa vektora kampo c\u0302iam estas la gradiento de funkcio."}, {"text_idx": "#000046", "text": "Por iu glata funkcio f sur Riemaniana dukto ( M, g), la gradiento da f estas la vektorkampa \u2207 f tia ke por iu vektora kampo Xa,"}, {"text_idx": "#000047", "text": "indikas la internan produkton da klavvektoroj c\u0302e x difinite je la metrika g kaj \u2202 Xa f (foje indikis al X ( f) estas la funkcio kiu prenas ajnan punkton x \u2208 M al la unudirekta derivaj\u0302o de f en la direkto Xa , analizita c\u0302e x .\nEn aliaj vortoj, en kunordigita diagramo \u03c6 de malferma subaro de M g\u0302is malferma subaro de R n , (\u2202 Xa f) ( x) ricevas per:"}, {"text_idx": "#000048", "text": "kie X j indikas la j th komponenton de X en tiu kunordigita diagramo."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Tiel, la loka formo de la gradiento prenas la formon:"}, {"text_idx": "#000050", "text": "G\u0302eneraligante la kazon M = R n , la gradiento de funkcio estas rilatitaj al g\u0302ia ekstera derivaj\u0302o, poste"}, {"text_idx": "#000051", "text": "Pli g\u0302uste, la gradient \u2207 f estas la vektora kampo asociita al la diferenciga 1-forma df uzante la muzikan izomorfion"}, {"text_idx": "#000052", "text": "(nomita \"akra\") difinite je la metrika g .\nLa rilato inter la ekstera derivaj\u0302o kaj la gradiento de funkcio sur R n estas speciala kazo de tio en kiu la metriko estas la plata metriko donita per la skalarprodukto."}, {"text_idx": "#000053", "text": "C\u0302ar la tuteca derivaj\u0302o de vektora kampo estas linia mapado de vektoroj g\u0302is vektoroj, g\u0302i estas tensor kvanto."}, {"text_idx": "#000054", "text": "En rektangulaj koordinatoj, la gradiento de vektora kampo f\nf 1, f 2, f 3) estas difinita per:"}, {"text_idx": "#000055", "text": "kie la Einstein-sumignotacio estas utiligita kaj la produkto de la vektoroj e I , e k estas diada tensoro de tipo (2,0), au\u0306 la Jakobiana matrico"}, {"text_idx": "#000056", "text": "En kurbaj koordinatoj, au\u0306 pli g\u0302enerale sur kurba dukto, la gradiento implikas Christoffel-simbolojn:"}, {"text_idx": "#000057", "text": "kie g jk estas la komponentoj de la metrika tensoro kaj la e I estas la kunordigitaj vektoroj."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Esprimite pli senvarie, la gradiento de vektora kampo f povas esti difinita per la Levi-Civita ligo kaj metrika tensoro: [2]"}, {"text_idx": "#000059", "text": "kie \u2207 c estas la ligo."}, {"text_idx": "#000064", "text": "En matematiko, gradiento de skalara kampo estas vektora kampo, kiu en c\u0302i punkto direktig\u0302as al la fluo de la plej granda pligrandig\u0302o de la skalara kampo, kaj kies grandeco estas la rapideco de la pligrandig\u0302o."}, {"text_idx": "#000065", "text": "Rapideco de pligrandig\u0302o de la skalara kampo en iu direkto povas esti kalkulita kiel skalara produto de la gradiento kaj unuobla vektoro en la direkto."}, {"text_idx": "#000066", "text": "Konsideru c\u0302ambron en kiu la temperaturo estas donita per skalara kampo , do je c\u0302iu punkto la temperaturo estas . Alprenu ke la temperaturo ne s\u0302ang\u0302ig\u0302as kun tempo. Tiam, je c\u0302iu punkto en la c\u0302ambro, la gradiento je la punkto montras la direkton lau\u0306 kiu ig\u0302as pli varme plej rapide. La grandeco de la gradiento montras kiom rapide ig\u0302as pli varme en c\u0302i tiu direkto."}, {"text_idx": "#000067", "text": "Konsideri monteton, kies alto je punkto (x, y) estas H(x, y). La gradiento de H je punkto estas direkte al la plej kruta inklino je la punkto. La grandeco de la gradiento montras kiom kruta la inklino estas."}, {"text_idx": "#000068", "text": "La gradiento de skalara funkcio f(x) estas skribata kiel"}, {"text_idx": "#000069", "text": "kie (nabla operatoro) estas la vektora diferenciala operatoro. La gradiento de f(x) estas iam ankau\u0306 skribita kiel grad(f(x)."}, {"text_idx": "#000070", "text": "En karteziaj koordinatoj en 2 dimensioj la esprimo estas"}, {"text_idx": "#000071", "text": "en 3 dimensioj la esprimo estas"}, {"text_idx": "#000072", "text": "kaj tiel plu en pli multaj dimensioj."}, {"text_idx": "#000073", "text": "La rezulto estas invarianta sub c\u0302iuj turnoj de la koordinatosistemo, do sub transformoj per c\u0302iuj perpendikularaj matricoj. C\u0302i tiel devas esti c\u0302ar lau\u0306 la senco gradiento ne dependas de koordinatosistemo uzata."}, {"text_idx": "#000074", "text": "Gradiento de funkcio f kun argumento en eu\u0306klida spaco kaj la rezulto en en iu punkto x0 in donas la plej bonan linearan proksimumigon de f c\u0302irkau\u0306 x0:"}, {"text_idx": "#000075", "text": "kie estas gradiento de f en , kaj la punkto signifas skalaran produton en . C\u0302i tio estas du la unuaj eroj de vico de Taylor de f je x0."}, {"text_idx": "#000076", "text": "kie \u03b8 estas la angulo de la abscisa akso kaj"}, {"text_idx": "#000077", "text": "z estas koordinato koincidanta kun la kartezia."}, {"text_idx": "#000078", "text": "\u03c6 estas la zenita angulo."}, {"text_idx": "#000079", "text": "Estu c skalara konstanto, estu u kaj v skalaraj kampoj."}, {"text_idx": "#000081", "text": "grad (c u) = c grad u"}, {"text_idx": "#000082", "text": "grad (u v) = u (grad v) + v (grad u)"}, {"text_idx": "#000083", "text": "La gradiento de la funkcio ' estas:"}]