[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, parametrikaj ekvacioj difinas grupon de kvantoj kiel funkciojn de unu au\u0306 pluraj sendependaj variabloj nomitaj parametroj.\nParametrikaj ekvacioj estas ofte utiligitaj por esprimi la koordinatojn de la punktoj kiuj konsistigas geometrian objekton kiel ekzemple kurbo au\u0306 surfaco, en kiu kazo la ekvacioj estas kolektive nomitaj parametrika reprezentantaro au\u0306 parametroigo de la objekto."}, {"text_idx": "#000002", "text": "formo parametrika reprezentado de la trigonometria cirklo, kie t estas la parametro."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Aldone al kurboj kaj surfacoj, parametrikaj ekvacioj povas priskribi duktojn kaj algebrajn variecojn de pli alta dimensio, kun la nombro da parametroj estantaj egala al la dimensio de la dukto au\u0306 diverseco, kaj la nombro da ekvacioj estantaj egala al la dimensio de la spaco en kiu la dukto au\u0306 diverseco estas pripensitaj (c\u0302ar kurboj la dimensio estas unu kaj unu parametro estas utiligitaj, por surfacdimensio du kaj du parametroj, ktp.)."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Parametrikaj ekvacioj estas ofte utiligitaj en kinematiko, kie la trajektorio de objekto estas reprezentita per ekvacioj dependantaj g\u0302ustatempe kiel la parametro.\nPro tiu aplikig\u0302o, ununura parametro ofte estas etikedita t;\ntamen, parametroj povas reprezenti aliajn fizikajn kvantojn (kiel ekzemple geometriaj variabloj) au\u0306 povas esti selektitaj propraau\u0306toritate por oportuno.\npli ol unu aro de parametrikaj ekvacioj povas precizigi la saman kurbon."}, {"text_idx": "#000005", "text": "3 Ekzemploj en du dimensioj 3.1\n4 Ekzemploj en tri dimensioj 4.1"}, {"text_idx": "#000006", "text": "En kinematiko, la padoj de objektoj tra spaco estas ofte priskribitaj kiel parametrikaj kurboj, kie c\u0302iu spaca koordinato dependas eksplicite de sendependa parametro (kutime tempo).\nUzita lau\u0306 tiu maniero, la aro de parametrikaj ekvacioj por la koordinatoj de la objekto kolektive konsistigas vektor-aprezitan funkcion por pozicio.\nTiaj parametrikaj kurboj tiam povas esti integra kaj nuancita esprimmaniero.\nTiel, se la pozicio de partiklo estas priskribita parametrical kiel"}, {"text_idx": "#000007", "text": "tiam g\u0302ia rapideco povas esti trovita kiel"}, {"text_idx": "#000008", "text": "Alia grava uzo de parametrikaj ekvacioj estas en la kampo de komputil-helpata dezajno (CAD).\nEkzemple, pripensas la sekvajn tri reprezentantarojn, c\u0302iuj pri kiuj estas ofte uzitaj por priskribi planar kurbojn."}, {"text_idx": "#000009", "text": "La unuaj du tipoj estas konataj kiel analizisto, au\u0306 ne-parametric, reprezentadoj de kurboj;\nse komparite kun parametrikaj reprezentantaroj por uzo en CAD-aplikoj, ne-parametric reprezentantaroj havas mankojn.\nAparte, la ne-parametric reprezentantaro dependas de la elekto de la koordinatsistemo kaj ne pruntedonas sin bone al geometriaj transformoj, kiel ekzemple rotacioj, tradukoj, kaj malpliigo;\nne-parametric reprezentantaroj tial pli malfacilaigas generi punktojn sur kurbo.\nTiuj problemoj povas esti traktitaj reverkante la ne-parametric ekvaciojn en parametrika formo."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Multaj problemoj en entjergeometrio povas esti solvitaj utiligante parametrikajn ekvaciojn.\nLa plej vaste konataj tia solvo estas la solvo de Eu\u0306klido en entjeroj por la gamboj , b kaj la hipotenuzo c de primitiva orta triangulo:"}, {"text_idx": "#000011", "text": "kiu estas parametrika sur la Interprim entjeroj m kaj n de kontrau\u0306a egaleco."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Se unu el tiuj ekvacioj povas esti solvitaj por t, la esprimo akirita povas esti anstatau\u0306igita en la alian ekvacion por akiri ekvacion implikantan x kaj y nur."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Se la parametrigo ricevas per raciaj funkcioj"}, {"text_idx": "#000014", "text": "kie p, q, r estas aro-maniero Interprim polinomoj, rezulta komputado permesas al implicitize.\nPli g\u0302uste, la implica ekvacio estas la fortrezultanto kun respekto al t da ksr ( t\np ( t) kaj jaro ( t"}, {"text_idx": "#000015", "text": "En pli alta dimensio (c\u0302iu el ambau\u0306 pli ol du koordinatoj de pli ol unu parametro), la implicigo de raciaj parametrikaj ekvacioj povas de finita kun Gro\u0308bner-baz komputado;\nvidu Gro\u0308bner-baz\u00a7 Implicigo en pli alta dimensio."}, {"text_idx": "#000016", "text": "En kelkaj kazoj ekzistas neniu ununura ekvacio en fermita formo kiu estas ekvivalenta al la parametrikaj ekvacioj."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Preni la ekzemplon de la cirklo de radiuso supran, la parametrikajn ekvaciojn"}, {"text_idx": "#000018", "text": "povas esti simple esprimita lau\u0306 x kaj y per la pitagorea trigonometria identeco:"}, {"text_idx": "#000019", "text": "kiu estas facile identigebla kiel speco de koniko (en tiu kazo, cirklo)."}, {"text_idx": "#000020", "text": "La plej simpla ekvacio por parabolo,"}, {"text_idx": "#000022", "text": "Pli g\u0302enerale, ajna kurbo donita per eksplicita ekvacio"}, {"text_idx": "#000023", "text": "Pli sofistika ekzemplo estas la sekvanta.\nPripensu la trigonometrian cirklon kiu estas priskribita per la ordinara (karteza) ekvacio"}, {"text_idx": "#000024", "text": "Tiu ekvacio povas esti parameterigita jene:"}, {"text_idx": "#000025", "text": "Kun la karteza ekvacio estas pli facile kontroli c\u0302u punkto situas sur la cirklo au\u0306 ne.\nKun la parametrika versio estas pli facile akiri punktojn en intrigo."}, {"text_idx": "#000026", "text": "En kelkaj kuntekstoj, parametrikaj ekvacioj implikantaj nur raciajn funkciojn (kiu estas frakcioj de du polinomoj) estas preferitaj, se ili ekzistas.\nKoncerne la cirklon, tia racia parametroigo estas"}, {"text_idx": "#000027", "text": "Kun tiu parametrika ekvacio, la punkto (- 1 , 0) ne estas reprezentita per reala valoro de t , sed proksime de la limo de x kaj y kiam t tendencas al senfineco."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Elipso en kanonika pozicio (centro c\u0302e origino, grava akso lau\u0306 la Absciso) kun semi-aksoj a kaj b povas esti reprezentita parametrical kiel"}, {"text_idx": "#000029", "text": "Elipso en g\u0302enerala pozicio povas esti esprimita kiel"}, {"text_idx": "#000030", "text": "c\u0302ar la parametro t distingig\u0302as de 0 g\u0302is 2\u03c0."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Lissajoza kurbo estas simila al elipso, sed la x kaj y-sinusoidoj ne estas en fazo.\nEn kanonika pozicio, Lissajoza kurbo ricevas per"}, {"text_idx": "#000032", "text": "Orientokcidenta malfermaj\u0302hiperbolo povas esti reprezentita parametrical per"}, {"text_idx": "#000033", "text": "Nord-suda malfermaj\u0302hiperbolo povas esti reprezentita parametrical kiel"}, {"text_idx": "#000034", "text": "En c\u0302iu formuloj ( h, k) estas la centrokoordinatoj de la hiperbolo, estas la longo de la semi-grava akso, kaj b estas la longo de la malgranda duonakso."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Hipotrokoida estas kurbo spurita per punkto c\u0302emetita al cirklo de radiuso r rulig\u0302anta c\u0302irkau\u0306 la interno de fiksa cirklo de radiuso R, kie la punkto estas c\u0302e distanco d de la centro de la interna cirklo."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Hipotrokoida por kiu r = d\nHipotrokoida por kiu R = 5, r = 3, d = 5"}, {"text_idx": "#000037", "text": "La parametrikaj ekvacioj por la hipotrokoidoj estas:"}, {"text_idx": "#000038", "text": "Parametrikaj ekvacioj estas oportunaj por priskribado de kurboj en higher-dimensiaj spacoj."}, {"text_idx": "#000039", "text": "priskribas tridimensian kurbon, la helicon, kun radiuso de kaj altig\u0302antaj per 2\u03c0b sekcioj per turno.\nNotu ke la ekvacioj estas identaj en la aviadilo al tiuj por cirklo.\nTiaj esprimoj kiel tiu supre estas ofte skribitaj kiel"}, {"text_idx": "#000040", "text": "kie r estas tridimensia vektoro."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Toro kun grava radiuso R kaj negrava radiuso r povas esti difinita parametrical kiel"}, {"text_idx": "#000042", "text": "kie la du parametroj t kaj u ambau\u0306 varias inter 0 kaj 2\u03c0."}, {"text_idx": "#000043", "text": "C\u0302ar u distingig\u0302as de 0 g\u0302is 2\u03c0 la punkto sur la surfaco movig\u0302as koncerne mallongan cirklon pasantan tra la truo en la Toro.\nC\u0302ar t distingig\u0302as de 0 g\u0302is 2\u03c0 la punkto sur la surfaco movig\u0302as koncerne longan cirklon c\u0302irkau\u0306 la truo en la Toro."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Retoprogramo por tiri parametrikajn kurbojn sur la aviadilo"}]