[{"text_idx": "#000002", "text": "Partikla fiziko kaj prezenta teorio"}, {"text_idx": "#000003", "text": "la Killing formularo, \u03ba (x, y) = tr (anonco ( x) anonco ( y), estas ne-degenerita,"}, {"text_idx": "#000004", "text": "3 Ligo kun kompaktaj Mensoggrupoj"}, {"text_idx": "#000005", "text": "Ekzemploj de semikuracherbo Lie-algebroj, kun notacio venas de klasifiko de Dynkin-diagramoj, estas:"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Tiuj Lie-algebroj estas numeritaj tiel ke n estas la rango.\nKrom certaj esceptoj en malalta grandeco, multaj el tiuj estas simplaj Lie-algebroj, kiuj estas fortiori semikuracherbo.\nTiuj kvar familioj, kune kun kvin esceptoj ( E6-, E kun nombro, E8, F4, kaj G2), estas fakte la nuraj simplaj Lie-algebroj super la kompleksaj nombroj."}, {"text_idx": "#000007", "text": "C\u0302iu semikuracherbo Lie-algebro super algebre fermita kampo de karakterizaj\u0302o 0 estas rekta sumo de simplaj Lie-algebroj (de difino), kaj la finhav-dimensiaj simplaj Lie-algebroj falas en kvar familioj - , Bn, Cn, kaj Dn - kun kvin esceptoj E6-, E kun nombro, E8, F4, kaj G2.\nSimplaj Lie-algebroj estas klasifikitaj per la ligitaj Dynkin-diagramoj, montritaj dekstraflanke, dum semikuracherbo Lie-algebroj egalrilatas al ne nepre ligitaj Dynkin-diagramoj, kie c\u0302iu komponento de la diagramo egalrilatas al sumand de la putrig\u0302o de la semikuracherba Lie-algebro en simplajn Lie-algebrojn."}, {"text_idx": "#000008", "text": "La klasifikenspezo per pripensado de Cartan-subalgebro (maksimuma abela Lie-algebro;\negalrilatas al maksimuma Toro en Lie-grupo) kaj la adjunkta ago de la Lie-algebro sur tiu subalgebro.\nLa radiksistemo de la ago tiam ambau\u0306 determinas la originan Lie-algebron kaj havendaj\u0302o tre limigitan formon, kiu povas esti klasifikita per la Dynkin-diagramoj."}, {"text_idx": "#000009", "text": "La klasifiko estas g\u0302enerale konsiderita unu el la plej elegantaj rezultoj en matematiko - mallonga listo de aksiomrendimentoj, per relative mallonga pruvo, kompleta sed ne-sensignifa klasifiko kun surpriza strukturo.\nTio devus esti komparita kun la klasifiko de finhavaj simplanimaj grupoj, kio estas signife pli d komplika."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Se oni komencas numeradon pli malalta, la listigo estas redunda, kaj oni havas esceptajn izomorfiojn inter simplaj Lie-algebroj, kiuj estas reflektitaj en izomorfioj de Dynkin-diagramoj;\nla En povas ankau\u0306 esti etendita malsupren, sed sub E6 estas izomorfaj al aliaj, ne-esceptaj algebroj."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Super ne-algebre fermita kampo, la klasifiko estas pli d komplika - oni klasifikas simplajn Lie-algebrojn super la tegaj\u0302o, tiam por c\u0302iu el tiuj, oni klasifikas simplajn Lie-algebrojn super la origina kampo kiuj havas tiun formon (super la fino).\nEkzemple, klasifiki simplajn realajn Lie-algebrojn, oni klasifikas realajn Lie-algebrojn kun antau\u0306fiksita kompleksigado, kiuj estas konataj kiel realaj formoj de la kompleksa Lie-algebro;\ntio povas esti farita per Satake-diagramoj, kiuj estas Dynkin-diagramoj kun kromaj datenoj (\"ornamadoj\")."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Estas eble evoluigi la teorion de kompleksaj semikuracherbaj Lie-algebroj de la kompakta grupperspektivo, [4] kondukante al pli simpla maniero evoluigi la ekziston kaj trajtojn de Cartan-subalgebroj."}, {"text_idx": "#000013", "text": "La semikuracherbo Lie-algebroj super la kompleksaj nombroj unue estis klasifikitaj fare de Wilhelm Killing (1888-90), kvankam al lia pruvo mankis rigoro.\nLia pruvo farig\u0302is rigora fare de E\u0301lie Cartan (1894) en lia PH.\ntezo, kiu ankau\u0306 klasifikis semikuracherbajn realajn Lie-algebrojn.\nTio poste estis rafinita, kaj la nuna klasifiko per Dynkin-diagramoj ricevis flank tiam 22-jarag\u0302an Eugene Dynkin en 1947.\nKelkaj negravaj modifoj estis faritaj (precipe fare de J. P. Serre), sed la pruvo estas sens\u0302ang\u0302a en it'oj havendaj\u0302oj kaj povas esti trovita en iu normreferenco, kiel ekzemple ( Humphreys 1972)."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Sekvo de semisimpleco estas teoremo pro Weyl: c\u0302iu finhav-dimensia reprezentantaro estas tute reduktebla;\ntio estas c\u0302ar c\u0302iu senvaria subspaco de la reprezentantaro ekzistas senvaria komplemento.\nSenfin-dimensiaj reprezentadoj de semikuracherbo Lie-algebroj ne estas g\u0302enerale tute redukteblaj."}, {"text_idx": "#000016", "text": "La adjunkta reprezentantaro estas injektivo, kaj tiel semikuracherbo Lie-algebro ankau\u0306 estas linia Lie-algebro sub la adjunkta reprezentantaro.\nTio povas konduki al iu ambigueco, c\u0302ar c\u0302iu Lie-algebro jam estas linia kun respekto al iu alia vektora spaco ( la teoremo de Ado), kvankam ne nepre tra la adjunkta reprezentantaro.\nSed en praktiko, tia ambigueco malofte okazas."}, {"text_idx": "#000017", "text": "C\u0302iu endomorfismo x el finhav-dimensia vektora spaco super algebre fermita kampo povas esti malkonstruita unike en diagonalizabla (au\u0306 semikuracherbon) kaj nilpotentparton"}, {"text_idx": "#000018", "text": "tia ke s kaj n navedas kun unu la alian.\nKrome, c\u0302iu el s kaj n estas polinomo en x.\nTio estas sekvo de la Jordania putrig\u0302o."}, {"text_idx": "#000020", "text": "La rango de kompleksa semikuracherbo Lie-algebro estas la dimensio de iuj da g\u0302iaj Cartan-subalgebroj."}, {"text_idx": "#000021", "text": "La finhav-dimensiaj, neredukteblaj reprezentadoj de semikuracherbo Lie-algebro estas klasifikita per teoremo de la plej alta pezo.\nUnu rimarkinda aspekto de tiu teorio estas la Weyl-karaktero formulo."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Kvankam ekzistas teorio de Cartan-subalgebroj por iu Lie-algebro, la koncepto havas specialan gravecon kaj specialan formon koncerne kompleksajn semikuracherbajn Lie-algebrojn.\nGrava unua pas\u0302o en la studo de semikuracherbo Lie-algebroj devas pruvi la ekziston de Cartan-subalgebroj, kaj sian unikecon supren al au\u0306tomorfismo.\n(Se oni supozas la ekziston de kompakta reala formo, la ekzisto de Cartan-subalgebro estas multe pli simpla establi."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Efektive, la klasifiko de kompleksa semikuracherbo Lie-algebroj priskribitaj supre venas de klasifiko de la rilataj radiksistemoj, kiuj en victurno estas klasifikitaj memstare Dynkin-diagramoj."}, {"text_idx": "#000024", "text": "La signifo de semisimpleco venas unue de la Levi-putrig\u0302o, kiu deklaras ke c\u0302iu finhava dimensia Lie-algebro estas la semidirekt-produkto de solvebla idealo (sia radikalulo) kaj semikuracherbalgebro.\nAparte, ekzistas neniu nonzera Lie-algebro kiu estas kaj solvebla kaj semikuracherbo."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Semisimple Lie-algebroj havas tre elegantan klasifikon, en ekstrema kontrasto al solveblaj Lie-algebroj.\nSemisimple Lie-algebroj super algebre fermita kampo estas tute klasifikitaj memstare radiksistemo, kiuj estas en victurno klasifikita per Dynkin-diagramoj.\nSemisimple-algebroj super ne-algebre fermitaj kampoj povas esti komprenitaj lau\u0306 tiuj super la tegaj\u0302o, kvankam la klasifiko estas iom pli malsimpla;\nvidu realan formon por la kazo de realaj semikuracherbaj Lie-algebroj, kiuj estis klasifikitaj fare de E\u0301lie Cartan."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Plue, la prezenta teorio de semikuracherbo Lie-algebroj estas multe pli puraj ol tio por g\u0302eneralaj Lie-algebroj.\nEkzemple, la Jordania putrig\u0302o en semikuracherbo Lie-algebro koincidas kun la Jordania putrig\u0302o en g\u0302ia reprezentantaro;\ntio ne estas la kazo por Lie-algebroj g\u0302enerale."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Semisimple Lie-algebroj koncedas certajn g\u0302eneraligojn.\nUnue, multaj deklaroj kiuj estas veraj por semikuracherbo Lie-algebroj estas veraj pli g\u0302enerale por reduktivaj Lie-algebroj.\nAbstrakte, reduktiva Lie-algebro estas unu kies adjunkta reprezentantaro estas tute reduktebla, dum konkrete, reduktiva Lie-algebro estas rekta sumo de semikuracherba Lie-algebro kaj abela Lie-algebro;\nMultaj trajtoj de semikuracherbo Lie-algebroj dependas nur de reducibileco."}]