[{"text_idx": "#000001", "text": "En topologio kaj parencaj branc\u0302oj de matematiko, topologia spaco povas esti difinita kiel aro de punktoj, kune kun aro de kvartaloj por c\u0302iu punkto, kontentigante aron de aksiomoj rakontantaj punktojn kaj kvartalojn.\nLa difino de topologia spaco fidas nur sur aroteorio kaj estas la plej g\u0302enerala nocio de matematika spaco kiu enkalkulas la difinon de konceptoj kiel ekzemple kontinueco, ligiteco, kaj konverg\u0302o.\nAliaj spacoj, kiel ekzemple duktoj kaj metrikaj spacoj, estas specialig\u0302oj de topologiaj spacoj kun ekstraj strukturoj au\u0306 limoj.\nEstante tiel g\u0302eneralaj, topologiaj spacoj estas centra unueciga nocio kaj aperas en praktike c\u0302iu branc\u0302o de moderna matematiko.\nLa branc\u0302o de matematiko ke studoj topologiaj spacoj en sia propra rajto estas nomitaj punkt-metita topologio au\u0306 g\u0302enerala topologio."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Difino tra malfermitaj aroj 2.2-a"}, {"text_idx": "#000004", "text": "3 Topologioj de kutimaj spacoj\n5 Klasifiko de topologiaj spacoj"}, {"text_idx": "#000007", "text": "La utileco de la nocio de topologio estas montrita per la fakto kiu ekzistas pluraj ekvivalentaj difinoj de tiu strukturo.\nTiel oni elektas la aksiomigon konvenitan por la aplikig\u0302o.\nLa plej ofte uzita estas ke lau\u0306 malfermitaj aroj , sed eble pli intuicia estas ke lau\u0306 kvartaloj kaj tiel tio unue ricevas."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Tiu aksiomigo s\u0302uldig\u0302as al Felix Hausdorff.\nla elementoj de X estas kutime nomitaj punktoj, kvankam ili povas esti ajna matematika objekto.\nNi permesas al X esti malplena.\nLasu N esti funkcio asignanta al c\u0302iu x (punkto) en X ne-malplenan amasig\u0302on N ( x) de subaroj de X.\nLa elementoj de N ( x) estos nomitaj kvartaloj de x kun respekto al N (au\u0306, simple, kvartaloj de x).\nLa funkcio N estas nomita kvartaltopologio se la aksiomoj malsupre [5] estas kontentigitaj;\nkaj tiam X kun N estas nomita topologia spaco."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Se N estas kvartalo de x (t.e., N \u2208 N ( x), tiam x \u2208 N.\nAl aliaj vortoj, c\u0302iu punkto apartenas al c\u0302iu unu el siaj kvartaloj.\nSe N estas subaro de X kaj inkludas kvartalon de x, tiam N estas kvartalo de x.\n, c\u0302iu superaro de kvartalo de poento x en X denove estas kvartalo de x.\nLa intersekcig\u0302o de du kvartaloj de x estas kvartalo de x.\nC\u0302iu kvartalo N de x inkludas kvartalon M de x tia ke N estas kvartalo de c\u0302iu punkto de M."}, {"text_idx": "#000010", "text": "La unuaj tri aksiomoj por kvartaloj havas klaran signifon.\nLa kvara aksiomo havas gravegan uzon en la strukturo de la teorio, tiu de interligado kune la kvartaloj de malsamaj punktoj de X."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Normekzemplo de tia sistemo de kvartaloj estas por la reala linio R, kie subaro N da R estas difinita por esti kvartalo de reala nombro x c\u0302u g\u0302i inkludas malferman intervalon enhavantan x."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Surbaze de tia strukturo, subaro U de X estas difinita por esti malferma c\u0302u U estas kvartalo de c\u0302iuj punktoj en U.\nLa malfermitaj aroj tiam kontentigas la aksiomojn donitajn malsupre.\nInverse, se donite la malfermitajn arojn de topologia spaco, la kvartaloj kontentigantaj c\u0302i-suprajn aksiomojn povas esti reakiritaj difinante N por esti kvartalo de x c\u0302u N inkludas malfermitan aron U tia ke x \u2208 U."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Topologia spaco estas orda duopo ( X, \u03c4), kie X estas aro kaj \u03c4 estas kolekto de subaroj de X, kontentigante la sekvajn aksiomojn: [7]"}, {"text_idx": "#000014", "text": "La malplena aro kaj X mem apartenas al \u03c4.\nC\u0302iu (finhava au\u0306 senfina) unio de membroj de \u03c4 dau\u0306re apartenas al \u03c4.\nLa intersekcig\u0302o de iu finhava membronombro de \u03c4 dau\u0306re apartenas al \u03c4."}, {"text_idx": "#000015", "text": "La elementoj de \u03c4 estas nomitaj malfermitaj aroj kaj la kolekto \u03c4 estas nomita topologio sur X."}, {"text_idx": "#000016", "text": "de nur la du subaroj de X postulita per la aksiomoj formas topologion de X, la sensignifa topologio (indiskrete-topologio).\nde ses subaroj de X formoj alia topologio de X.\nkaj la kolekto \u03c4 = P ( X) (la aro de c\u0302iuj subaroj de X\nXa, \u03c4) estas topologia spaco.\n\u03c4 estas nomita la diskreta topologio.\nSurbaze de X = Z, la aro de entjeroj, la kolekto \u03c4 de c\u0302iuj ne-senlimaj subaroj de la entjeroj kaj plie Z mem c\u0302ar (ekzemple) la unio de c\u0302iuj finhavaj aroj ne enhavantaj nul estas senfina ne estas sed estas ne c\u0302io el Z, kaj tiel estas ne en \u03c4."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Utiligi de Morgan's-leg\u0302ojn, al c\u0302i-supraj aksiomoj difinantaj malfermitajn arojn konvenas aksiomoj difinado fermitajn arojn:"}, {"text_idx": "#000018", "text": "La malplena aro kaj X estas fermitaj.\nLa intersekcig\u0302o de iu kolekto de fermitaj aroj ankau\u0306 estas fermita.\nLa unio de iu finhava nombro da fermitaj aroj ankau\u0306 estas fermita."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Utiligi tiujn aksiomojn, alian manieron difini topologian spacon estas kiel aro X kune kun kolekto \u03c4 de fermitaj subaroj de X.\nTiel la aroj en la topologio \u03c4 estas la fermitaj aroj, kaj iliaj salutoj en X estas la malfermitaj aroj."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Ekzistas multaj aliaj ekvivalentaj manieroj difini topologian spacon: en aliaj vortoj la konceptoj de kvartalo, au\u0306 tio de sinceraj au\u0306 fermitaj aroj povas esti rekonstruitaj de aliaj deirpunktoj kaj kontentigas la g\u0302ustajn aksiomojn."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Alia maniero difini topologian spacon estas per utiligado de la Kuratowski-finaksiomoj, de kiuj difinas la fermitajn arojn kiel la fikspunktojn de funkciigisto sur la aro de c\u0302iuj subaroj X."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Reto estas g\u0302eneralaj\u0302o de la koncepto de sekvenco.\nTopologio estas tute determinita c\u0302u por c\u0302iu reto en X la aro de siaj amasig\u0302punktoj estas precizigita."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Gamo da topologioj povas esti metitaj sur aktoraron por formi topologian spacon.\nKiam c\u0302iu aro en topologio \u03c4 1 estas ankau\u0306 en topologio \u03c4 2 kaj \u03c4 1 estas subaro de \u03c4 2, ni diras ke \u03c4 2 estas pli bona ol \u03c4 1, kaj \u03c4 1 estas pli kruda ol \u03c4 2.\nPruvo kiu dependas nur de la ekzisto de certaj malfermitaj aroj ankau\u0306 tenos por iu pli bona topologio, kaj simile pruvon kiu dependas nur de certaj aktoraroj ne estante malferma aplikas al iu pli kruda topologio.\nLa esprimoj pli grandaj kaj pli malgrandaj estas foje uzitaj modloko de pli bona kaj pli kruda, respektive.\nLa esprimoj pli fortaj kaj pli malfortaj estas ankau\u0306 uzitaj en la literaturo, sed kun nur malmulte da interkonsento en la signifo, tiel ke oni c\u0302iam devus esti certa pri la kongreso de verkinto kiam legado."}, {"text_idx": "#000024", "text": "La kolekto de c\u0302iuj topologioj sur antau\u0306fiksita fiksa aktoraro X formas kompletan kradon: se F\nkolekto de topologioj estas sur X, tiam la kunveno de F estas la intersekcig\u0302o de F, kaj la kunligo de F estas la kunveno de la kolekto de c\u0302iuj topologioj sur X kiuj enhavas c\u0302iun membron de F."}, {"text_idx": "#000025", "text": "X \u2192 Y inter topologiaj spacoj estas nomita kontinua c\u0302u por c\u0302iu x \u2208 Xa kaj c\u0302iu kvartalo N de f ( x) ekzistas kvartalo M de x tia ke f ( M\nTio rilatigas facile al la kutima difino en analizo.\nEkvivalente, f estas kontinua se la inversa bildo de c\u0302iu malfermita aro estas malferma.\nTio estas provo kapti la intuicion kiu ekzistas neniuj \"saltoj\" au\u0306 \"apartigoj\" en la funkcio.\nHomeomorfio estas ensurj\u0302eto kiu estas kontinua kaj kies inversa ankau\u0306 estas kontinua.\nDu spacetoj estas nomitaj homeomorfaj c\u0302u tie ekzistas homeomorfio inter ili.\nDe la starpunkto de topologio, homeomorfaj spacoj estas esence identaj."}, {"text_idx": "#000026", "text": "En teorio de kategorioj, Pinto, la kategorio da topologiaj spacoj kun topologiaj spacoj kiel objektoj kaj kontinuaj funkcioj kiel morfismoj estas unu el la fundamentaj kategorioj en teorio de kategorioj.\nLa provo klasifiki la celojn de tiu kategorio (g\u0302is homeomorfio) de Invariantoj instigis areojn de esplorado, kiel ekzemple homotopeca teorio, homologeca teorio, kaj K-teorio ktp."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Metrikaj spacoj enkarnigas metrikon, precizan nocion de distanco inter punktoj."}, {"text_idx": "#000029", "text": "C\u0302iu metrika spaco povas ricevi metrikan topologion, en kiu la bazaj malfermitaj aroj estas malfermaj pilkoj difinitaj per la metriko.\nTio estas la norma topologio sur iu normeita vektora spaco.\nSur finhav-dimensia vektora spaco tiu topologio estas la sama por c\u0302iuj normoj."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Ekzistas multaj manieroj difini topologio sur R, la aro de realaj nombroj.\nLa norma topologio sur R estas generita per la malfermaj intervaloj.\nLa aro de c\u0302iuj malfermaj intervaloj formas bazon au\u0306 bazon por la topologio, signifante ke c\u0302iu malfermita aro estas unio de iu kolekto de aroj de la bazo.\nAparte, tio signifas ke aro estas sincera se tie ekzistas malferma intervalo de ne-nula radiuso koncerne c\u0302iun punkton en la aro.\nPli g\u0302enerale, al la eu\u0306klidaj spacoj R da n povas esti evoluitaj topologio.\nEn la kutima topologio sur R da n la bazaj malfermitaj aroj estas la malfermaj pilkoj.\nSimile, C, la aro de kompleksaj nombroj, kaj C da n havas norman topologion en kiu la bazaj malfermitaj aroj estas malfermaj pilkoj."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Proksimecspacoj disponigas nocion de proksimeco de du aroj."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Unuforma spacaksiomatize ordigante la distancon inter apartaj punktoj."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Topologia spaco en kiu la punktoj estas funkcioj estas nomita funkcia spaco."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Grothendieck-ejoj estas kategorioj kun kroma datenaksiomatizing c\u0302u familio de sagoj kovras objekton.\nEjoj estas g\u0302enerala scenaro por difinado de faskoj."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Multaj aroj de linearoperatoroj en funkcionala analitiko estas dotitaj per topologioj kiuj estas difinitaj per precizigado kiam speciala sekvenco de funkcioj konverg\u0302as al la nul funkcio."}, {"text_idx": "#000038", "text": "C\u0302iu loka kampo havas topologion apartenantan al g\u0302i, kaj tio povas esti etendita al vektoraj spacoj super tiu kampo."}, {"text_idx": "#000040", "text": "La Zariski-topologio estas difinita algebre sur la spektro de ringo au\u0306 algebra diverseco.\nSur R da n au\u0306 C da n , la fermitaj aroj de la Zariski-topologio estas la Solvaj\u0302aj aroj de sistemoj de polinom ekvacioj."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Tie ekzistu multaj topologioj sur iu antau\u0306fiksita finhava aktoraro.\nTiaj spacoj estas nomitaj finhavaj topologiaj spacoj.\nFinhavaj spacoj foje kutimas disponigi ekzemplojn au\u0306 kontrau\u0306ekzemplojn al supozoj pri topologiaj spacoj g\u0302enerale."}, {"text_idx": "#000044", "text": "C\u0302iu aro povas ricevi la kofinittopologion en kiu la malfermitaj aroj estas la malplena aro kaj la aroj kies komplemento estas finhava.\nTio estas la plej malgranda T1 topologio sur iu senfina aktoraro."}, {"text_idx": "#000045", "text": "C\u0302iu aro povas ricevi la konombreblan topologion, en kiu aro estas difinita kiel malferma c\u0302u g\u0302i estas au\u0306 malplena au\u0306 g\u0302ia komplemento estas nombrebla.\nKiam la aro estas nenombrebla, tiu topologio funkcias kiel kontrau\u0306ekzemplo en multaj situacioj."}, {"text_idx": "#000046", "text": "La reala linio ankau\u0306 povas ricevi la mimimumliman topologion.\nC\u0302i tie, la bazaj malfermitaj aroj estas la duone malfermitaj intervaloj [, b).\nTiu topologio sur R estas strikte pli bona ol la Eu\u0306klida topologio difinis supre;\nsekvenco konverg\u0302as al punkto al tiu topologio se kaj nur se g\u0302i konverg\u0302as de supre al la Eu\u0306klida topologio.\nTiu ekzemplo montras ke aro povas havi multajn apartajn topologiojn difinitajn sur g\u0302i."}, {"text_idx": "#000047", "text": "Se \u03b3 estas numero, tiam la metita \u03b3 = [0, \u03b3) povas esti dotita kun la ordotopologio generita de la intervaloj (, b), [0, b) kaj (, \u03b3) kie a kaj b estas elementoj de \u03b3."}, {"text_idx": "#000048", "text": "C\u0302iu subaro de topologia spaco povas ricevi la subspactopologion en kiu la malfermitaj aroj estas la intersekcig\u0302oj de la malfermitaj aroj de la pli granda spaco kun la subaro.\nPor iu indeksita familio de topologiaj spacoj, la produkto povas ricevi la produktotopologion, kiu estas generita per la inversaj bildoj de malfermitaj aroj de la faktoroj sub la projekcio mapadoj.\nEkzemple, el finhavaj produktoj, bazo por la produktotopologio konsistas el c\u0302iuj produktoj de malfermitaj aroj.\nPor senfinaj produktoj, ekzistas la kroma postulo ke en baza malfermita aro, c\u0302iuj krom finhave multaj el g\u0302iaj projekcioj estas la tuta spaco."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Kvocientospaco estas difinita jene: c\u0302u X estas topologia spaco kaj Y estas aro, kaj se f:\nX \u2192 Y estas surjektive\nfunkcio, tiam la kvocienttopologio sur Y estas la kolekto de subaroj de Y kiuj havas malfermajn inversajn bildojn sub f.\nEn aliaj vortoj, la kvocienttopologio estas la plej bona topologio sur Y por kiu f estas kontinua.\nOfta ekzemplo de kvocienttopologio estas kiam ekvivalentrilato estas difinita sur la topologia spaco Xa.\nLa mapo f tiam estas la natura projekcio sur la aro de ekvivalentklasoj."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Topologiaj spacoj povas esti larg\u0302e klasifikitaj, g\u0302is homeomorfio, memstare topologiaj trajtoj.\nTopologia posedaj\u0302o estas posedaj\u0302o de spacoj kiu estas senvaria sub homeomorfioj.\nPor pruvi ke du spacetoj ne estas homeomorfaj g\u0302i estas sufic\u0302a trovi topologian posedaj\u0302on ne dividitan per ili.\nEkzemploj de tiaj trajtoj inkludas ligitecon, kompaktecon, kaj diversajn apartigajn aksiomojn."}, {"text_idx": "#000054", "text": "Topologiaj spacoj kun algebra strukturo"}, {"text_idx": "#000055", "text": "Por iuj algebraj objektoj ni povas lanc\u0302i la diskretan topologion, sub kiu la algebraj operacioj estas kontinuaj funkcioj.\nPor eventuala tia strukturo kiu ne estas finhava, ni ofte havas naturan topologion kongruaj kun la algebraj operacioj, en la senco ke la algebraj operacioj dau\u0306re estas kontinuaj.\nTio kondukas al konceptoj kiel ekzemple topologiaj grupoj, topologiaj vektoraj spacoj, topologiaj ringoj kaj lokaj kampoj."}, {"text_idx": "#000056", "text": "Topologiaj spacoj kun ordo strukturas"}, {"text_idx": "#000057", "text": "Spaco estas spektra se kaj nur se g\u0302i estas la c\u0302efa spektro de ringo ( Hochster teoremo)."}, {"text_idx": "#000063", "text": "En matematiko, aparte en topologio, topologia spaco estas strukturo kiu ebligas la formalan difinon de konceptoj de konverg\u0302o, konekteco, kaj kontinueco."}, {"text_idx": "#000064", "text": "Topologia spaco estas aro X kaj ankau\u0306 T, kolekto de subaroj de X, kontentiganta jenajn aksiomojn:"}, {"text_idx": "#000065", "text": "La malplena aro kaj X estas en T.\nAnkau\u0306 la kunaj\u0302o (unio) de c\u0302iu kolekto de aroj en T estas en T.\nAnkau\u0306 la komunaj\u0302o (intersekco) de c\u0302iu finia kolekto de aroj en T estas en T."}, {"text_idx": "#000066", "text": "La kolekto T estas nomata kiel topologio sur X. La eroj de X estas kutime nomataj kiel punktoj, kvankam ili povas esti iuj matematikaj objektoj. Topologia spaco en kiu la punktoj estas funkcioj estas nomata kiel funkcia spaco. La aroj en T estas la malfermitaj aroj, kaj iliaj komplementoj en X estas fermitaj aroj. Ankau\u0306, aro povas esti nek fermita nek malfermita; ankau\u0306, aro povas esti samtempe fermita kaj malfermita (fermito-malfermita aro)."}, {"text_idx": "#000067", "text": "X = Z, la aro de entjeroj kaj kolekto T egala al c\u0302iuj finiaj subaroj de la entjeroj plus Z mem ne estas topologio. Ekzemple la unio super c\u0302iuj finiaj aroj ne enhavantaj nulon estas malfinia kaj ne egalas al Z, kaj tiel ne estas en T, sed g\u0302i devus esti en T lau\u0306 la 2-a aksiomo."}, {"text_idx": "#000068", "text": "Estas multaj la aliaj ekvivalentaj manieroj difini topologian spacon (karakterigadoj de kategorio de topologiaj spacoj). En aliaj vortoj, c\u0302iu el jenaj difinoj difinas kategorion ekvivalentan al la kategorio de topologiaj spacoj kiel estas pli supre donite."}, {"text_idx": "#000069", "text": "Per la demorganaj leg\u0302oj, la aksiomaj difinantaj malfermitajn arojn pli supre ig\u0302as aksiomojn difinantajn fermitajn arojn:"}, {"text_idx": "#000070", "text": "La malplena aro kaj X estas fermitaj.\nLa intersekco de c\u0302iu kolekto de fermitaj aroj estas ankau\u0306 fermita.\nLa unio de c\u0302iu paro de fermitaj aroj estas ankau\u0306 fermita."}, {"text_idx": "#000071", "text": "Uzante c\u0302i tiujn aksiomojn, alia maniero difini topologian spacon estas kiel aro X kaj ankau\u0306 kolekto T de subaroj de X kontentigantaj jenajn aksiomojn:"}, {"text_idx": "#000072", "text": "La malplena aro kaj X estas en T.\nAnkau\u0306 la intersekco de c\u0302iu kolekto de aroj en T estas en T.\nAnkau\u0306 la unio de c\u0302iu paro de aroj en T estas en T."}, {"text_idx": "#000073", "text": "Sub c\u0302i tiu difino, la aroj en la topologio T estas la fermitaj aroj, kaj iliaj komplementoj en X estas la malfermitaj aroj."}, {"text_idx": "#000074", "text": "Alia maniero difini topologian spacon estas per la fermaj\u0302aj aksiomoj de Kuratowski, kiuj difinas la fermitajn arojn kiel la fiksaj punktoj de operatoro sur la aro de c\u0302iuj subaroj de X."}, {"text_idx": "#000075", "text": "Najbaraj\u0302o de punkto x estas c\u0302iu aro kiu enhavas malfermita aro enhavantan x. La najbaraj\u0302a sistemo je x konsistas de c\u0302iuj najbaraj\u0302oj de x. Topologio povas esti difinita per aro de aksiomoj koncernantaj c\u0302iujn najbaraj\u0302ajn sistemojn."}, {"text_idx": "#000076", "text": "Reto estas g\u0302eneraligo de la koncepto de vico. Topologio estas plene difinita se por c\u0302iu reto en X estas donita aro de g\u0302iaj akumulig\u0302aj punktoj."}, {"text_idx": "#000077", "text": "Funkcio inter topologiaj spacoj estas kontinua se la inversa bildo de c\u0302iu malfermita aro estas malfermita. C\u0302i tio pavas esti komprenita kiel postulo de foresto de rompoj au\u0306 apartigoj en la funkcio. Anstatau\u0306igi nocion \"inversa bildo\" per (ne inversa) \"bildo\" c\u0302i tie ne eblas, la kontrau\u0306ekzemplo estas konduto de funkcio c\u0302irkau\u0306 ekstremumo; ekzemple por funkcio f(x)=x2, bildo de malfermita aro (-1, 1) estas aro [0, 1) kiu ne estas malfermita; c\u0302i tiu ekzemplo uzas la norman topologion sur R, vidu sube."}, {"text_idx": "#000078", "text": "Homeomorfio estas ensurj\u0302eto (reciproke unuvalora surj\u0302eto) kiu estas kontinua kaj kies retroj\u0302eto estas ankau\u0306 kontinua. Du spacoj estas homeomorfiaj se ekzistas homeomorfio inter ili. De vidpunkto de topologio, homeomorfiaj spacoj estas esence identaj."}, {"text_idx": "#000079", "text": "Estas multaj manieroj difini topologion sur la aro de reelaj nombroj R. La norma topologio sur R estas generita per la malfermitaj intervaloj. La aro de c\u0302iuj malfermitaj intervaloj formas bazon por la topologio, kun signifo ke c\u0302iu malfermita aro estas unio de iu kolekto de aroj de la bazo. C\u0302i tio signifas ke aro estas malfermita se tie ekzistas malfermita intervalo de ne nula radiuso c\u0302irkau\u0306 c\u0302iu punkto en la aro. Pli g\u0302enerale, al la eu\u0306klidaj spacoj Rn povas esti donita topologio. En la kutima topologio sur Rn la bazaj malfermitaj aroj estas la malfermitaj pilkoj. Simile, C kaj Cn havas norma topologion en kiu la bazaj malfermitaj aroj estas malfermitaj pilkoj."}, {"text_idx": "#000080", "text": "Al c\u0302iu metrika spaco povas esti donita metrika topologio, en kiu la bazaj malfermitaj aroj estas la malfermitaj pilkoj difinis per la metriko. C\u0302i tio estas la norma topologio sur c\u0302iu normigita vektora spaco. Sur finidimensia vektora spaco c\u0302i tiu topologio estas la sama por c\u0302iuj normoj."}, {"text_idx": "#000081", "text": "Al multaj aroj de operatoroj en funkcionala analitiko estas donitaj topologioj kiuj estas difinitaj per precizigo kiam aparta vico de funkcioj konverg\u0302as al la nula funkcio."}, {"text_idx": "#000084", "text": "Ekzistas multaj topologioj sur c\u0302iu donita finia aro. C\u0302i tiaj spacoj estas finiaj topologiaj spacoj. Finiaj spacoj estas ofte uzataj por provizi ekzemplojn au\u0306 kontrau\u0306ekzemplojn al konjektoj pri topologiaj spacoj g\u0302enerale."}, {"text_idx": "#000085", "text": "Al c\u0302iu malfinia aro povas esti donita la kune finia topologio en kiu la malfermitaj aroj estas la malplena aro kaj la aroj kies komplementoj estas finia. C\u0302i tiu estas la plej malgranda T1 topologio sur c\u0302iu malfinia aro."}, {"text_idx": "#000086", "text": "Al nekalkulebla aro povas esti donita la kunkalkulebla topologio, en kiu aro estas malfermita se g\u0302i estas malplena au\u0306 se g\u0302ia komplemento estas kalkulebla. C\u0302i tiu topologio servas kiel utila kontrau\u0306ekzemplo en multaj situacioj."}, {"text_idx": "#000087", "text": "Al la reela linio povas ankau\u0306 esti donita la suba limesa topologio. En g\u0302i la bazaj malfermitaj aroj estas la duon-malfermitaj intervaloj [a, b). C\u0302i tiu topologio sur R estas severe pli fajna ol la eu\u0306klida topologio difinis pli supre; vico konverg\u0302as al punkto en c\u0302i tiu topologio se kaj nur se g\u0302i konverg\u0302as de pli supre en la eu\u0306klida topologio. C\u0302i tiu ekzemplo montras ke aro povas havi multajn malsamajn topologiojn."}, {"text_idx": "#000088", "text": "Se \u0393 estas numero, tiam al aro \u0393 = [0, \u0393) povas esti donita la orda topologio generita per la intervaloj (a, b), [0, b) kaj (a, \u0393) kie a kaj b estas eroj de \u0393."}, {"text_idx": "#000090", "text": "Kvocienta spaco estas difinita kiel sekvas: se X estas topologia spaco kaj Y estas aro, kaj se f : X \u2192 Y estas surj\u0302eto (funkcio), tiam la kvocienta topologio sur Y estas la kolekto de subaroj de Y kiuj havas malfermitajn inversajn bildojn sub f. En aliaj vortoj, la kvocienta topologio estas la plej fajna topologio sur Y por kiu f estas kontinua. Komuna ekzemplo de kvocienta topologio estas kiam ekvivalentrilato estas difinita sur la topologia spaco X. La mapo f estas tiam la natura projekcio sur la aro de ekvivalentklasoj."}, {"text_idx": "#000091", "text": "Topologiaj spacoj povas esti larg\u0302e klasifikita, supren g\u0302is homeomorfio, per iliaj topologiaj propraj\u0302oj. Topologia propraj\u0302o estas propraj\u0302o de spaco kiu estas invarianta sub homeomorfioj. Por pruvi ke du spacoj estas ne homeomorfia g\u0302i sufic\u0302as trovi topologian propraj\u0302on kiu estas ne komunigita per ili. Ekzemploj de tiaj propraj\u0302oj estas konekteco, kompakteco, kaj diversaj apartigaj aksiomoj."}, {"text_idx": "#000092", "text": "Jenaj spacoj kaj algebroj estas pli specialaj au\u0306 pli g\u0302eneralaj ol la topologiaj spacoj diskutitaj pli supre."}, {"text_idx": "#000093", "text": "Apudeca spaco provizi nocio de proksimeco de du aroj.\nMetrika spaco enhavas metrikon, kiu preciza nocio de distanco inter du punktoj.\nUniforma spaco aksiomigas ekziston de ordigo de distancoj inter paroj de malsamaj punktoj.\nKos\u0302ia spaco aksiomigas eblecon provi c\u0302u reto estas kos\u0302ia reto. Kos\u0302ia spaco donas g\u0302eneralan eblecon studi plenigojn.\nKonverg\u0302a spaco enhavas iujn el la trajtoj de konverg\u0302o de filtriloj.\n\u03c3-algebro estas konstruita surbaze de nocio de mezurebla aro."}]