[{"text_idx": "#000001", "text": "Formulo de Faa\u0300 di Bruno"}, {"text_idx": "#000002", "text": "En matematiko, kontinua funkcio estas funkcio por kiu sufic\u0302e gros\u0302monoj en la enigaj\u0302o rezultigas propraau\u0306toritate gros\u0302monoj la produktaj\u0302on.\nAlie, funkcio lau\u0306dire estas malkontinua funkcio.\nKontinua funkcio kun kontinua inversa funkcio estas nomita homeomorfio."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Kontinueco de funkcioj estas unu el la kernkonceptoj de topologio, kiu estas traktita en plena g\u0302eneraleco malsupre.\nLa enkonduka parto de tiu artikolo temigas la specialan kazon kie la enigaj\u0302oj kaj produktadoj de funkcioj estas realaj nombroj.\nPli forta formo de kontinueco estas unuforma kontinueco.\nKrome, tiu artikolo diskutas la difinon por la pli g\u0302enerala kazo de funkcioj inter du metrikaj spacoj.\nEn orda teorio, precipe en domajnoteorio, oni pripensas nocion de kontinueco konata kiel Scott-kontinueco.\nAliaj formoj de kontinueco ekzistas sed ili ne estas traktitaj en tiu artikolo."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Ekzemple, pripensas la funkcio h ( t), kiu priskribas la altecon de kreskanta floro en tempo t.\nKompare, se M ( t) indikas la monsumon en bankkonto en tempo t, tiam la funkcio saltas sur c\u0302iun punkton en tempo kiam mono estas deponita au\u0306 reprenita, tiel ke la funkcio M ( t) estas malkontinua."}, {"text_idx": "#000008", "text": "3 rilato al distingeblo kaj integrabileco\n4 Pointwise kaj unuformaj limoj"}, {"text_idx": "#000009", "text": "Difinante topologiojn per kontinuaj funkcioj"}, {"text_idx": "#000010", "text": "2.1 Proprecoj de kontinuaj funkcioj"}, {"text_idx": "#000011", "text": "Formo de la epsilon-delta difino de kontinueco unue estis donita fare de Bernard Bolzano en 1817.\nCauchy difinis senlime malgrandajn kvantojn lau\u0306 variaj kvantoj, kaj lia difino de kontinueco proksime egalas la infinitezimalan difinon utiligitan hodiau\u0306 (vidu mikrokontinuecon).\nLa formala difino kaj la distingo inter punktmanierkontinueco kaj unuforma kontinueco unue estis donitaj fare de Bolzano-Bozen en la 1830-aj jaroj sed la laboro ne estis publikigita g\u0302is la 1930-aj jaroj.\nKarl Weierstrass [2] neis kontinuecon de funkcio c\u0302e punkto c se c\u0302e g\u0302i ne estis difinita kaj sur same flankoj de c, sed E\u0301douard Goursat [3] permesis al la funkcio esti difinita nur c\u0302e kaj sur unu flanko de c, kaj Camille Jordan [4] permesis g\u0302in ec\u0302 se la funkcio estis difinita nur c\u0302e c.\nC\u0302iuj tri el tiuj neekvivalentodifinoj de punktmanierkontinueco dau\u0306re estas en uzo.\nEduard Heine disponigis la unuan publikigitan difinon de unuforma kontinueco en 1872, sed surbaze tiujn ideojn de prelegoj donitaj fare de Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1854."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Funkcio de la aro de realaj nombroj g\u0302is la realaj nombroj povas esti reprezentita per grafeo en la karteza aviadilo;\ntia funkcio estas kontinua se, malglate parolante, la grafeo estas ununura nerompita kurbo kies domajno estas la tuta reala linio.\nPli matematike rigora difino ricevas malsupre."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Rigora difino de kontinueco de realan aprezitan funkcion de reala variablo estas kutime donita en antau\u0306mang\u0302o en kalkulado lau\u0306 la ideo de limo.\nUnue, funkcio f kun varia x lau\u0306dire estas kontinua c\u0302e la punkto c sur la reala linio, se la limo de f ( x), kiel x aliroj tiu punkto c, estas egala al la valoro f (c);\nkaj sekundo, la funkcio (kiel tutaj\u0302o) lau\u0306dire estas kontinua, c\u0302u g\u0302i estas kontinua c\u0302e c\u0302iu punkto.\nFunkcio lau\u0306dire estas malkontinua (au\u0306 havi malkontinuecon) c\u0302e iu punkto kiam g\u0302i ne estas kontinua tie.\nTiuj punktoj mem ankau\u0306 estas traktitaj kiel malkontinuecoj."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Utiligante matematikan skribmanieron, ekzistas pluraj manieroj difini kontinuajn funkciojn en c\u0302iu el la tri sencoj menciitaj supre."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Difino lau\u0306 limoj de funkcioj"}, {"text_idx": "#000017", "text": "La funkcio f estas kontinua c\u0302e iu punkto c de it domajno se la limo de f ( x), kiel x aliroj c tra la domajno de f, ekzistas kaj estas egala al f ( c).\nEn matematika skribmaniero, tio estas skribita kiel"}, {"text_idx": "#000018", "text": "En detalo tio signifas tri kondic\u0302ojn: unue, f devas esti difinita c\u0302e c.\nDue, la limo por maldekstramana flanko de tiu ekvacio devas ekzisti.\nTrie, la valoro de tiu limo devas korespondi al f ( c)."}, {"text_idx": "#000019", "text": "(Ni c\u0302i tie supozis ke la domajno de f ne havas iujn ajn izolitajn punktojn.\nEkzemple, intervalo au\u0306 unio de intervaloj havas neniujn izolitajn punktojn."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Najbareco de punkto c estas aro kiu enhavas c\u0302iujn punktojn de la domajno ene de iom da fiksa distanco de c.\nIntuicie, funkcio estas kontinua c\u0302e punkto c se la intervalo de la limigo de f al najbareco de c s\u0302rumpas al ununura punkto f ( c) kiam la larg\u0302o de la najbareco c\u0302irkau\u0306 c s\u0302rumpas al nul."}, {"text_idx": "#000021", "text": "(c) Tiu difino nur postulas ke la domajno kaj la kodomajno estas topologiaj spacoj kaj estas tiel la plej g\u0302enerala difino.\nG\u0302i sekvas el tiu difino kiu funkcio f estas au\u0306tomate kontinua c\u0302e c\u0302iu izolita punkto de sia domajno.\nKiel specifa ekzemplo, c\u0302iu reala aprezita funkcio sur la aktoraro de entjeroj estas kontinua."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Difino lau\u0306 limoj de sekvencoj"}, {"text_idx": "#000023", "text": "Weierstrass kaj Jordaniaj difinoj (epsilono-delto) de kontinuaj funkcioj"}, {"text_idx": "#000024", "text": "Eksplicite inkluzive de la difino de la limo de funkcio, ni akiras memstaran difinon: Surbaze de funkcio f:"}, {"text_idx": "#000025", "text": "Alternative skribite, kontinueco de f:\nD \u2192 R c\u0302e x 0 \u2208 D signifas ke por c\u0302iu \u03b5 > 0 tie ekzistas \u03b4 0 tia ke por c\u0302io x \u2208 D:"}, {"text_idx": "#000026", "text": "Pli intuicie, ni povas diri ke se ni volus al la tuta f ( x) valorojn restos en iu malgranda najbareco c\u0302irkau\u0306 f ( x 0), ni simple devas elekti sufic\u0302e malgrandan najbarecon por la x valoroj c\u0302irkau\u0306 x 0.\nSe ni povas fari tion ne grave kiel etulo la f ( x) najbareco estas, tiam f estas kontinua c\u0302e x 0."}, {"text_idx": "#000027", "text": "En modernaj esprimoj, tio estas g\u0302eneraligita per la difino de kontinueco de funkcio kun respekto al bazo por la topologio, c\u0302i tie la metrika topologio."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Weierstrass postulis ke la intervalo x 0 \u2212 \u03b4 < x < x 0 + \u03b4 estu tute ene de la domajno D, sed Jordanio forigis tiun restrikton."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Difino lau\u0306 kontrolo de la resto"}, {"text_idx": "#000030", "text": "En pruvoj kaj cifereca analitiko ni ofte devas scii kiom rapide limoj konverg\u0302as, au\u0306 al aliaj vortoj, kontrolo de la resto.\nNi povas formaligi tion al difino de kontinueco."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Funkcio estas kontinua en x 0 se g\u0302i estas C-kontinua por iu kontrola funkcio C."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Tiu aliro kondukas nature al rafinado de la nocio de kontinueco limigante la aron de alleblasj kontrolaj funkcioj.\nEkzemple la Lipschitz kaj Ho\u0308lder kontinuaj funkcioj de eksponento \u03b1 malsupre estas difinitaj fare de la aro de kontrolaj funkcioj"}, {"text_idx": "#000034", "text": "Kontinueco ankau\u0306 povas esti difinita lau\u0306 oscilado: funkcio f estas kontinua c\u0302e poento x 0 se kaj nur se g\u0302ia oscilado c\u0302e tiu punkto estas nul;"}, {"text_idx": "#000035", "text": "Tiu difino estas utila en priskriba aroteorio por studi la aron de malkontinuecoj kaj kontinuajn punktojn - la kontinuaj punktoj estas la intersekcig\u0302o de la aroj kie la oscilado estas malpli ol \u03b5 (tial G\u03b4 aro) - kaj donas tre rapidan pruvon de unu direkto de la Lebesgue-integrabileckondic\u0302o."}, {"text_idx": "#000036", "text": "La oscilado estas ekvivalenta al la \u03b5 - \u03b4 difino per simpla rearang\u0302o, kaj uzante limon ( limbus\u0302pleno, liminf) por difini osciladon: se (c\u0302e antau\u0306fiksita punkto) por antau\u0306fiksita \u03b5 0 ekzistas neniu \u03b4 kiu kontentigas la \u03b5 - \u03b4 difino, tiam la oscilado estas almenau\u0306 \u03b5 0, kaj inverse se por c\u0302iu \u03b5 ekzistas dezirata \u03b4, la oscilado estas 0-a La osciladdifino povas esti nature g\u0302eneraligita al mapoj de topologia spaco g\u0302is metrika spaco."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Cauchy difinis kontinuecon de funkcio en sekvaj intuiciaj perspektivoj: infinitezimala s\u0302ang\u0302o en la sendependa variablo egalrilatas al infinitezimala s\u0302ang\u0302o de la dependa variablo (vidu Cours d'analyse, pag\u0302on 34).\nNe-norma analizo estas maniero igi tion matematike rigora.\nLa reala linio estas pliigita per la aldono de senfinaj kaj infinitezimalaj nombroj por formi la hiperreelajn nombrojn.\nEn nenorma analizo, kontinueco povas esti difinita jene."}, {"text_idx": "#000038", "text": "Real-aprezita funkcio f estas kontinua c\u0302e x se g\u0302ia natura etendaj\u0302o al la hipereals havas la posedaj\u0302on tio por c\u0302iu infinitezimala dks, f ( x + dks\nf ( x) estas infinitezimala [11]"}, {"text_idx": "#000039", "text": "En aliaj vortoj, infinitezimala pliigo de la sendependa variablo c\u0302iam produktas al infinitezimala s\u0302ang\u0302o de la dependa variablo, donante modernan esprimon al la difino de Augustin-Louis Cauchy de kontinueco."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Kontroli la kontinuecon de antau\u0306fiksita funkcio povas esti simpligita kontrolante unu el c\u0302i-supraj difinaj trajtoj por la konstrubriketoj de la antau\u0306fiksita funkcio.\nEstas rekte antau\u0306en montri ke la sumo de du funkcioj, kontinuaj pri iu domajno, estas ankau\u0306 kontinua pri tiu domajno."}, {"text_idx": "#000041", "text": "tiam la sumo de kontinuaj funkcioj"}, {"text_idx": "#000042", "text": "La sama tenas por la produkto de kontinua funktions."}, {"text_idx": "#000043", "text": "En lau\u0306 la saman manieron povas esti montrite ke la reciproka de kontinua funkcio"}, {"text_idx": "#000044", "text": "estas difinita por c\u0302iuj realaj nombroj x =\u0338 \u22122 kaj estas kontinua c\u0302e c\u0302iu tia punkto.\nTiel g\u0302i estas kontinua funkcio.\nLa demando de kontinueco c\u0302e x = \u22122 ne ekestas, ekde x = \u22122 estas ne en la domajno de y.\nEkzistas neniu kontinua funkcio F:\nR \u2192 R kiu konsentas kun y ( x) por c\u0302io x =\u0338 \u22122."}, {"text_idx": "#000045", "text": "C\u0302ar la sinuso-funkcio estas kontinua sur c\u0302iuj realoj, la sincfunkcio G ( x) = peko x / x, kiam difinite por c\u0302io al reala x =\u0338 0, estas kontinuaj c\u0302e tiuj punktoj.\nTiel G estas kontinua funkcio tie, ankau\u0306.\nTamen, male al la la antau\u0306a ekzemplo, G povas esti etendita al kontinua funkcio sur c\u0302iujn realajn nombrojn, per difinado de la valoro G (0) por esti la limo de G ( x), kiam x aliroj 0, t.e.,"}, {"text_idx": "#000046", "text": "la sinc-funkcio ig\u0302as kontinua funkcio sur c\u0302iuj realaj nombroj.\nLa esprimo forprenebla neordinaraj\u0302o estas uzita en tiaj kazoj, kiam (Re) difinado de valoroj da funkcio por koincidi kun la konvenaj limoj igas funkcion kontinua c\u0302e specifaj punktoj."}, {"text_idx": "#000047", "text": "Pli engag\u0302ita konstruado da kontinuaj funkcioj estas la funkcia komponaj\u0302o .\nSurbaze de du kontinuaj funkcioj"}, {"text_idx": "#000048", "text": "ilia kunmetaj\u0302o estanta indikita kiel"}, {"text_idx": "#000049", "text": "Tiu konstruo permesas deklari, ekzemple, tion"}, {"text_idx": "#000050", "text": "Intuicie ni povas pensi pri tiu speco de malkontinueco kiel subita salto en funkciovaloroj."}, {"text_idx": "#000051", "text": "Simile, la signum au\u0306 signuma funkcio"}, {"text_idx": "#000052", "text": "Ankorau\u0306 plia ekzemplo: la funkcio"}, {"text_idx": "#000053", "text": "Krom kredindaj kontinuecoj kaj malkontinuecoj kiel supra, ekzistas ankau\u0306 funkcioj kun konduto, ofte kreita al de de patologia, ekzemple, Thomae funkcio,"}, {"text_idx": "#000054", "text": "estas kontinua c\u0302e c\u0302iuj neraciaj nombroj kaj malkontinua c\u0302e c\u0302iuj raciaj nombroj.\nEn simila vejno, la funkcio de Dirichlet, la indikilfunkcio por la aro de raciaj nombroj,"}, {"text_idx": "#000055", "text": "La mezvaloro-teoremo estas ekzistteoremo, surbaze de la realnombra posedaj\u0302o de tuteco, kaj deklaras:"}, {"text_idx": "#000056", "text": "Se la real-aprezita funkcio f estas kontinua sur la fermita intervalo [, b] kaj k estas iu nombro inter f () kaj f ( b), tiam ekzistas iu nombro da c en [, b] tia ke f ( c"}, {"text_idx": "#000057", "text": "Ekzemple, se infano kreskas de 1 m g\u0302is 1.5 m inter la ag\u0302oj da du kaj ses jaroj, tiam, c\u0302e iom da tempo inter du kaj ses jaroj de ag\u0302o, la alteco de la infano havendaj\u0302o estanta 1.25 m."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Kiel sekvo, se f estas kontinua sur [, b] kaj f () kaj f ( b) malsamas en signo, tiam, c\u0302e iu punkto c en [, b], f ( c) devas egali nul."}, {"text_idx": "#000059", "text": "La ekstrema valorteoremo deklaras ke se funkcio f estas difinita sur fermita intervalo [, b] (au\u0306 ajna fermita kaj saltita metita) kaj estas kontinua tie, tiam la funkcio ekhavas it maksimumon, t.e. tie ekzistas c\nf ( x) por c\u0302io x\nLa sama estas vera de la minimumo de f.\nTiuj deklaroj ne estas, g\u0302enerale, veraj se la funkcio estas difinita sur malferma intervalo (, b) (au\u0306 ajna metis tion estas ne kaj fermig\u0302is kaj saltis), kiel, ekzemple, la kontinua funkcio f ( x) = 1/ x, difinita sur la malferma intervalo (0,1), ne ekhavas maksimumon, estante nelimigita supre."}, {"text_idx": "#000060", "text": "Rilato al distingeblo kaj integrabileco"}, {"text_idx": "#000061", "text": "estas kontinua, kiel povas esti montrita.\nLa konversacio ne tenas: ekzemple, la absolutvalora funkcio"}, {"text_idx": "#000062", "text": "Tamen, g\u0302i ne estas diferenciebla c\u0302e x = 0 (sed estas tiel c\u0302ie alie).\nLa funkcio de Weierstrass ankau\u0306 estas c\u0302ie kontinua sed nenie diferenciebla."}, {"text_idx": "#000063", "text": "La derivita f\u2032 ( x) de diferenciebla funkcio f ( x) ne devas esti kontinua.\nSe f\u2032 ( x) estas kontinua, f ( x) lau\u0306dire estas ade diferenciebla.\nLa aro de tiaj funkcioj estas indikita C 1 ( (, b).\nPli g\u0302enerale, la aro de funkcioj"}, {"text_idx": "#000064", "text": "(de malferma intervalo (au\u0306 malferma subaro de R) da \u03c9 g\u0302is la realoj) tia ke f estas n tempoj diferenciebla kaj tia ke la a derivaj\u0302o de f estas kontinua estas indikita C da n (\u03c9).\nEn la kampo de komputilgrafikoj, tiuj tri niveloj foje estas nomitaj G 0 (kontinueco de pozicio), G 1 (kontinueco de tangency), kaj G 2 (kontinueco de kurbig\u0302o)."}, {"text_idx": "#000065", "text": "estas integrabla (ekzemple en la signifo de la Riemann-integralo).\nLa konversacio ne tenas, kiel la (integrabla, sed malkontinua) signuma funkcio montras."}, {"text_idx": "#000066", "text": "de funkcioj tia ke la limo"}, {"text_idx": "#000067", "text": "(x) ekzistas por c\u0302io x en D, la rezulta funkcio f ( x) estas referita kiel la punktmaniero limigi de la sekvenco de funkcioj ( f n ) n \u2208 N .\nLa punktmaniera limfunkcio ne devas esti kontinua, ec\u0302 se c\u0302iuj funkcioj f n estas kontinuaj, kiel la animacio c\u0302e la g\u0302ustaj spektakloj.\nTamen, f estas kontinua kiam la sekvenco konverg\u0302as unuforme, de la unuforma konverg\u0302teoremo.\nTiu teoremo povas esti utiligita por montri ke la eksponentaj funkcioj, logaritmoj, kvadratradika funkcio, trigonometria funkcio estas kontinuaj."}, {"text_idx": "#000068", "text": "Malkontinuaj funkcioj povas esti malkontinuaj lau\u0306 limigita maniero, kau\u0306zante la koncepton de unudirekta kontinueco (au\u0306 dekstraj kaj maldekstraj kontinuaj funkcioj) kaj semi-kontinueco.\nMalglate parolante, funkcio estas dekstra-kontinua se neniu salto okazas kiam al la limpunkto estas alproksimigita de la dekstro."}, {"text_idx": "#000069", "text": "Tio estas la sama kondic\u0302o kiel por kontinuaj funkcioj, krom ke estas postulate teni por x strikte pli grandan ol c nur.\nPostulante g\u0302i anstatau\u0306e por c\u0302io x kun c \u2212 \u03b4 < x < c donas la nocion de maldekstra-kontinuaj funkcioj.\nFunkcio estas kontinua se kaj nur se g\u0302i estas kaj dekstra-kontinua kaj maldekstra-kontinua."}, {"text_idx": "#000071", "text": "\\displaistile f (x) \\geq f (c) \\epsilon."}, {"text_idx": "#000072", "text": "La reverskondic\u0302o estas supra semi-kontinueco ."}, {"text_idx": "#000073", "text": "Kontinuaj funkcioj inter metrikaj spacoj"}, {"text_idx": "#000074", "text": "La koncepto de kontinuaj real-aprezitaj funkcioj povas esti g\u0302eneraligita al funkcioj inter metrikaj spacoj.\nMetrika spaco estas aro X provizita per funkcio (nomita metrika) d X , kiu povas esti opiniita de kiel mezurado de la distanco de iuj du elementoj en X.\nFormale, la metriko estas funkcio"}, {"text_idx": "#000075", "text": "tio kontentigas kelkajn postulojn, precipe la neegalaj\u0302o de triangulo.\nSurbaze de du metrikaj spacoj ( X, d Xa ) kaj ( Y, d Y ) kaj funkcio"}, {"text_idx": "#000076", "text": "tiam f estas kontinua c\u0302e la punkto c en X (kun respekto al la antau\u0306fiksitaj metriko) se por iu pozitiva reala pli sensenta \u03b5, tie ekzistas pozitiva reala pli sensenta \u03b4 tia ke c\u0302io x en X kontentiga d Xa ( x, c)< \u03b4 ankau\u0306 kontentigos d Y ( f ( x), f ( c)< \u03b5.\nKiel en la kazo de realaj funkcioj supra, tio estas ekvivalenta al la kondic\u0302o kiu por c\u0302iu sekvenco ( x n ) en X kun limlim x n = c, ni havas lim f ( x n\nC\u0302i-lasta kondic\u0302o povas esti malfortigita jene:\nf estas kontinua c\u0302e la punkto c se kaj nur se por c\u0302iu konverg\u0302a sekvenco ( x n ) en X kun limo c, la sekvenco ( f ( x n ) estas kos\u0302ia vico, kaj c estas en la domajno de f."}, {"text_idx": "#000077", "text": "La aro de punktoj c\u0302e kiu funkcio inter metrikaj spacoj estas kontinua estas G\u03b4 aro - tio sekvas el la \u03b5-\u03b4 difino de kontinueco."}, {"text_idx": "#000078", "text": "Tiu nocio de kontinueco estas uzita, ekzemple, en funkcionala analitiko.\nEsenca deklaro en tiu areo diras ke linearoperatoro"}, {"text_idx": "#000080", "text": "por c\u0302io x en V."}, {"text_idx": "#000081", "text": "La koncepto de kontinueco por funkcioj inter metrikaj spacoj povas esti fortigita lau\u0306 diversaj manieroj limigante lau\u0306 la manieron \u03b4 dependas de \u03b5 kaj c en la difino supre.\nIntuicie, funkcio f kiel supre estas unuforme kontinua se la \u03b4 ne dependas de la punkto c.\nPli g\u0302uste, estas postulate ke por c\u0302iu reala pli sensenta \u03b5 > 0 tie ekzistas \u03b4 0 tia ke por c\u0302iu c, b \u2208 X kun d Xa ( b, c\nTiel, c\u0302iu unuforme kontinua funkcio estas kontinua.\nLa konversacio ne tenas enen generalon, sed tenas kiam la domajnospaco X estas kompakta.\nUnuforme kontinuaj mapoj povas esti difinitaj en la pli g\u0302enerala situacio de unuformaj spacoj."}, {"text_idx": "#000082", "text": "Funkcio estas Ho\u0308lder kontinua kun eksponento \u03b1 (reala nombro) se ekzistas konstanto K tia ke por c\u0302iu b kaj c en X, la malegaleco"}, {"text_idx": "#000083", "text": "C\u0302iu Ho\u0308lder kontinua funkcio estas unuforme kontinua.\nTio estas, funkcio estas Lipschitz kontinua se ekzistas konstanto K tia ke la malegaleco"}, {"text_idx": "#000084", "text": "(b, c) tenas por iu b, c en X.\nLa Lipschitz-kondic\u0302o okazas, ekzemple, en la Picard-Lindelo\u0308f-teoremo koncerne la solvojn de ordinaraj diferenciala ekvacioj."}, {"text_idx": "#000085", "text": "Kontinuaj funkcioj inter topologiaj spacoj"}, {"text_idx": "#000086", "text": "Alia, pli abstrakta, nocio da kontinueco estas kontinueco de funkcioj inter topologiaj spacoj en kiu g\u0302enerale ekzistas neniu formala nocio de distanco, c\u0302ar ekzistas koncerne metrikajn spacojn.\nTopologia spaco estas aro X kune kun topologio sur X, kio estas aro de subaroj de X kontentiganta kelkajn postulojn kun respekto al iliaj sindikatoj kaj intersekcig\u0302oj kiuj g\u0302eneraligas la trajtojn de la malfermaj pilkoj en metrikaj spacoj dum dau\u0306re permesante paroli pri la kvartaloj de antau\u0306fiksita punkto.\nLa elementoj de topologio estas nomitaj malfermaj subaroj de X (kun respekto al la topologio)."}, {"text_idx": "#000087", "text": "inter du topologiaj spacoj Xa kaj Y estas kontinua se por c\u0302iu malfermita aro V \u2286 Y, la inversa bildo"}, {"text_idx": "#000088", "text": "malferma subaro de X estas.\nTio estas, f estas funkcio inter la aroj X kaj Y (ne sur la elementoj de la topologio Tx ), sed la kontinueco de f dependas de la topologioj uzitaj sur X kaj Y."}, {"text_idx": "#000089", "text": "Tio estas ekvivalenta al la kondic\u0302o ke la preimages de la fermitaj aroj (kiuj estas la komplementoj de la malfermaj subaroj) en Y estas fermita en X."}, {"text_idx": "#000090", "text": "Ekstrema ekzemplo: se aro X ricevas la diskretan topologion (en kiu c\u0302iu subaro estas malferma), c\u0302iujn funkciojn"}, {"text_idx": "#000091", "text": "al iu topologia spaco T estas kontinuaj.\nAliflanke, se X estas provizita per la indiskrete-topologio (en kiu la nuraj malfermaj subaroj estas la malplenaj metitaj al kaj X) kaj la spaco T metita estas almenau\u0306 T0 , tiam kiun la nuraj kontinuaj funkcioj estas la konstantaj funkcioj.\nInverse, c\u0302iu funkcio kies intervalo estas indiskrete estas kontinua."}, {"text_idx": "#000092", "text": "La traduko en la lingvo de najbarecoj de la (\u03b5, \u03b4) difino de kontinueco kondukas al la sekva difino de la kontinueco c\u0302e punkto:"}, {"text_idx": "#000093", "text": "Tiu difino estas ekvivalenta al la sama deklaro kun najbarecoj malvastanimaj al malfermaj najbarecoj kaj povas esti reproponita lau\u0306 pluraj manieroj uzante prebildojn prefere ol bildoj."}, {"text_idx": "#000094", "text": "V , en tiu difino povas esti simpligita:"}, {"text_idx": "#000095", "text": "Se X kaj Y estas metrikaj spacoj, estas ekvivalente pripensi la najbarecsistemon de malfermaj pilkoj centritaj c\u0302e x kaj f ( x) anstatau\u0306e de c\u0302iuj najbarecoj.\nTio donas reen c\u0302i-supran \u03b4-\u03b5 difinon de kontinueco en la kunteksto de metrikaj spacoj.\nG\u0302enerale topologiaj spacoj, ekzistas neniu nocio de proksimeco au\u0306 distanco.\nSe tamen la celspaco estas Hausdorff-spaco, estas dau\u0306re vere ke f estas kontinua c\u0302e se kaj nur se la limo de f kiel x aliroj estas f ().\nC\u0302e izolita punkto, c\u0302iu funkcio estas kontinua."}, {"text_idx": "#000096", "text": "Pluraj ekvivalentaj difinoj por topologia strukturo ekzistas kaj tiel ekzistas pluraj ekvivalentaj manieroj difini kontinuan funkcion."}, {"text_idx": "#000097", "text": "En pluraj kuntekstoj, la topologio de spaco estas komforte precizigita lau\u0306 limpunktoj.\nEn multaj kazoj, tio estas plenumita per precizigado kiam punkto estas la limo de sekvenco, krom por kelkaj spacoj kiuj estas tro grandaj en iom da signifo, oni ankau\u0306 precizigas kiam punkto estas la limo de pli g\u0302eneralaj aroj de punktoj indeksitaj fare de direktita aro, konata kiel retoj.\nFunkcio estas (Heine -) kontinua nur se g\u0302i prenas limojn de sekvencoj al limoj de sekvencoj.\nEn la antau\u0306a kazo, konservado de limoj ankau\u0306 estas sufic\u0302a;\nen c\u0302i-lasta, funkcio povas konservi c\u0302iujn limojn de sekvencoj ankorau\u0306 dau\u0306re ne estas kontinua, kaj konservado de retoj estas necesa kaj sufic\u0302a kondic\u0302o."}, {"text_idx": "#000099", "text": "Anstatau\u0306e de precizigado de la malfermaj subaroj de topologia spaco, la topologio ankau\u0306 povas esti determinita fare de finfunkciigisto (indikita cl) kiu asignas al iu subaro A \u2286 Xan it finon, au\u0306 internan funkciigiston (indikitan int), kiu asignas al iu subaro A da X it interno."}, {"text_idx": "#000100", "text": "inter topologiaj spacoj estas kontinua en la signifo supre se kaj nur se por c\u0302iuj subaroj A da X"}, {"text_idx": "#000101", "text": "Tio devas diri, donita ajnan elementon x el X tio estas en la fino de iu subaro A, f ( x) apartenas al la fino de f ( A).\nTio estas ekvivalenta al la postulo ke por c\u0302iuj subaroj A estas de X"}, {"text_idx": "#000102", "text": "estas kontinua se kaj nur se"}, {"text_idx": "#000104", "text": "Y kiun=\u2192 Z estas kontinua, tiam tiel estas la kunmetaj\u0302o g \u2218 f:\nX \u2192 Y estas kontinua kaj"}, {"text_idx": "#000106", "text": "La eblaj topologioj sur fiksa aktoraro X estas parte ordonitaj: topologio\u03c41 lau\u0306dire estas pli kruda ol alia topologio\u03c42 (notacio:\n\u03c41 \u2286 \u03c42) se c\u0302iu malferma subaro kun respekto al \u03c41 ankau\u0306 estas malferma kun respekto al \u03c42."}, {"text_idx": "#000107", "text": "estas kontinua se kaj nur se \u03c41 \u2286 \u03c42 (vidu ankau\u0306 komparo de topologioj)."}, {"text_idx": "#000108", "text": "restadoj kontinua se la topologio \u03c4 Y estas anstatau\u0306igita per pli kruda topologio kaj/au\u0306 \u03c4 X estas anstatau\u0306igitaj per pli bona topologio."}, {"text_idx": "#000109", "text": "Simetria al la koncepto da kontinua mapo estas malferma mapo, por kiuj bildoj de malfermitaj aroj estas malfermaj.\nFakte, se malferma mapo f havas inversan funkcion, tiel inversa estas kontinua, kaj se kontinua mapo g havas inversan, se inversa estas malferma.\nSurbaze de bijektive funkcio f inter du topologiaj spacoj, la inversa funkcio f \u22121 ne devas esti kontinua.\nBijektive kontinua funkcio kun kontinua inversa funkcio estas nomita homeomorfio ."}, {"text_idx": "#000110", "text": "Se kontinua ensurj\u0302eto havas kiam g\u0302ia domajno kompakta spaco kaj g\u0302ia kodomajno estas Hausdorff, tiam g\u0302i estas homeomorfio."}, {"text_idx": "#000111", "text": "kie X estas topologia spaco kaj S estas aro (sen precizigita topologio), la fina topologio sur S estas difinita lasante la malfermitajn arojn de S esti tiuj subaroj A da S por kiu f \u22121 ( A) estas malferma en X.\nSe S havas ekzistantan topologion, f estas kontinua kun respekto al tiu topologio se kaj nur se la ekzistanta topologio estas pli kruda ol la fina topologio sur S.\nTiel la fina topologio povas esti karakterizita kiel la plej bona topologio sur S kiu igas f kontinua.\nSe f estas surjektive, tiu topologio estas kanone identigita kun la kvocienttopologio sub la ekvivalentrilato difinita per f."}, {"text_idx": "#000112", "text": "Duale, por funkcio f de aro S g\u0302is topologia spaco, la komenca topologio sur S havas kiel malfermaj subaroj A da S tiujn subarojn por kiuj f ( A) estas malferma en X.\nSe S havas ekzistantan topologion, f estas kontinua kun respekto al tiu topologio se kaj nur se la ekzistanta topologio estas pli bona ol la komenca topologio sur S.\nTiel la komenca topologio povas esti karakterizita kiel la plej kruda topologio sur S kiu igas f kontinua.\nSe f estas injektivo, tiu topologio estas kanone identigita kun la subspactopologio de S, rigardita kiel subaro de X."}, {"text_idx": "#000113", "text": "Diversaj aliaj matematikaj domajnoj utiligas la koncepton de kontinueco en malsama, sed rilataj signifoj.\nEkzemple, en orda teorio, ordo-marina funkcio f:\nX \u2192 Y inter akurataj specoj de partordoj X kaj Y estas kontinua se por c\u0302iu direktis subaron A da X, ni havas bus\u0302plenon ( f ( A\nC\u0302i tie bus\u0302pleno estas la Preciza supra rando kun respekto al la mendadoj en X kaj Y, respektive.\nTiu nocio da kontinueco estas la sama kiel topologia kontinueco kiam la partordoj ricevas la Scott-topologio."}, {"text_idx": "#000114", "text": "En teorio de kategorioj, funktoro"}, {"text_idx": "#000115", "text": "inter du kategorioj estas vokita kontinua , c\u0302u g\u0302i navedas kun malgrandaj limoj."}, {"text_idx": "#000116", "text": "Kontinuecspaco estas g\u0302eneraligo da metrikaj spacoj kaj potaroj, [16] [17] kiu utiligas la koncepton de kvantale, kaj tio povas esti uzita por unuigi la nociojn de metrikaj spacoj kaj domajnoj."}, {"text_idx": "#000119", "text": "Malfermitan aron / fermitan aron"}, {"text_idx": "#000120", "text": "En matematiko, kontinua funkcio estas funkcio, kies valoro malmulte s\u0302ang\u0302ig\u0302as en okazo de malgranda s\u0302ang\u0302o de la argumento. Se malgranda s\u0302ang\u0302o de la argumento povas produkti rompan salton en valoro de la funkcio, la funkcio estas nekontinua. La c\u0302irkau\u0306teksto de c\u0302i tiu termino estas reelo-valoraj funkcioj sur la reela domajno au\u0306 sur topologia au\u0306 metrika spacoj escepte la kompleksajn nombrojn. Pri komplekso-valoraj funkcioj vidu artikolon kompleksa analitiko. La rimarkinda diferenco en maniero estas tiu ke en la reela domajno, la punktoj en la domajno kiuj estas punktoj de nekontinueco estas specialaj\u0302oj. Sed en la kompleksa domajno tiaj punktoj estas kutime aparte forprenitaj el la domajno, do la funkcio kontinua en kompleksa domajno estas kontinua sur malkonektita partoj de reela domajno."}, {"text_idx": "#000121", "text": "Funkcio f estas kontinua en iu punkto c, se du postuloj estas plenumitaj:"}, {"text_idx": "#000122", "text": "f(c) devas esti difinita (kio signifas ke c devas esti ero de la domajno de f).\nLa limeso de f(x), se x proksimig\u0302as al c, devas ekzisti kaj esti egala al f(c). (Se la punkto c en la domajno de f ne estas ne akumulig\u0302a punkto de la domajno, tiam c\u0302i tiu kondic\u0302o estas vera, c\u0302ar x ne povas proksimig\u0302i al c.)"}, {"text_idx": "#000123", "text": "Funkcio estas c\u0302ie kontinua, au\u0306 simple kontinua, se g\u0302i estas kontinua en c\u0302iu punkto de sia domajno. Pli g\u0302enerale, funkcio estas kontinua sur iu subaro de sia domajno se g\u0302i estas kontinua en c\u0302iu punkto de la subaro."}, {"text_idx": "#000124", "text": "Funkcio inter topologiaj spacoj estas kontinua se la inversa bildo de c\u0302iu malfermita aro estas malfermita. C\u0302i tio povas esti komprenita kiel postulo de foresto de rompoj au\u0306 apartigoj en la funkcio. Anstatau\u0306igi nocion \"inversa bildo\" per (ne inversa) \"bildo\" c\u0302i tie ne eblas, la kontrau\u0306ekzemplo estas konduto de funkcio c\u0302irkau\u0306 ekstremumo; ekzemple por la funkcio f(x)=x2, bildo de malfermita aro ]-1, 1[ estas aro [0,1[ kiu ne estas malfermita; c\u0302i tiu ekzemplo uzas la norman topologion sur R."}, {"text_idx": "#000125", "text": "Se du funkcioj f kaj g estas kontinuaj, tiam f + g kaj f.g estas kontinuaj. Se g(x) =\u0338 0 por c\u0302iuj x en la domajno, tiam f/g estas ankau\u0306 kontinua."}, {"text_idx": "#000126", "text": "La komponaj\u0302o f o g de du kontinuaj funkcioj estas kontinua."}, {"text_idx": "#000127", "text": "La interna valora teoremo estas teoremo, bazita sur la propreco de pleneco pri reelaj nombroj , kaj formulig\u0302as tiel: \"Se la reel-valora funkcio f estas kontinua sur la segmento [a, b] kaj k estas iu nombro inter f(a) kaj f(b), tiam estas iu nombro c en [a, b] tia, ke f(c) = k. Ekzemple, se infano kontinue kreskas de 1 m al 1,5 m inter la ag\u0302oj de 2 jaroj kaj 6 jaroj, tiam, estas iama ag\u0302o inter 2 jaroj kaj 6 jaroj, kiam la infana alto estas 1,25 m."}, {"text_idx": "#000128", "text": "Sekvas de tio, ke se f estas kontinua sur [a, b] kaj f(a) kaj f(b) havas kontrau\u0306ajn signumojn, tiam, je iu punkto c, f(c) egalas al nulo."}, {"text_idx": "#000129", "text": "Ekstremuma teoremo: Se funkcio f estas difinita sur segmento [a,b], au\u0306 iu fermita kaj barita aro, kaj estas kontinua tie, tiam la funkcio atingas sian maksimumon, en iu punkto c \u2208 [A,b] kun f(c) \u2265 f(x) por c\u0302iuj x \u2208 [a,b]. La sama estas vera pri la minimumo de f. C\u0302i tiuj propozicioj estas malveraj, se la funkcio estas difinita sur malfermita intervalo ]a,b[ (au\u0306 c\u0302iu aro kiu ne estas ambau\u0306 fermita kaj barita); ekzemple la kontinua funkcio f(x) = 1/x difinita sur la malfermita intervalo ]0,1[ ne estas diferenciebla je 0."}, {"text_idx": "#000130", "text": "Se funkcio estas diferencialebla en iu punkto c de sia domajno, tiam g\u0302i estas ankau\u0306 kontinua je c. La kontrau\u0306o estas ne vera: funkcio tia kontinua je c ne necese estas diferencialebla tie. Konsideru ekzemple la absolut-valoran funkcion je c = 0."}, {"text_idx": "#000131", "text": "La blua kaj la rug\u0302a kurboj estas kontinuaj, ne la verda\nLa blua sinusa kurbo estas kontinua, ne la rug\u0302a"}, {"text_idx": "#000132", "text": "La blua kaj la rug\u0302a kurboj estas kontinuaj, ne la verda"}, {"text_idx": "#000133", "text": "La blua sinusa kurbo estas kontinua, ne la rug\u0302a"}]