[{"text_idx": "#000000", "text": "Kunvarianco kaj kontrau\u0306varianco de vektoroj"}, {"text_idx": "#000001", "text": "Wikipedia's Covariance and contravariance of vectors as translated by GramTrans"}, {"text_idx": "#000002", "text": "e 1, e 2, e 3 al la kunordigitaj kurboj ( maldekstre),\nduobla bazo, kovektorbazo, au\u0306 reciproka bazo\ne 1, e 2, e 3 kunordigi surfacojn ( dekstrajn),"}, {"text_idx": "#000003", "text": "e 1, e 2, e 3 al la kunordigitaj kurboj ( maldekstre),"}, {"text_idx": "#000004", "text": "duobla bazo, kovektorbazo, au\u0306 reciproka bazo"}, {"text_idx": "#000005", "text": "e 1, e 2, e 3 kunordigi surfacojn ( dekstrajn),"}, {"text_idx": "#000006", "text": "En plurlineara algebro kaj tensoranalizo, kunvarianco kaj kontrau\u0306varianco priskribas kiel la kvanta priskribo de certaj geometriaj au\u0306 fizikaj unuoj s\u0302ang\u0302ig\u0302as kun s\u0302ang\u0302o de bazo."}, {"text_idx": "#000007", "text": "En fiziko, bazo foje estas opiniita de kiel aro de referencaksoj.\nS\u0302ang\u0302o de skalo sur la referencaksoj egalrilatas al s\u0302ang\u0302o de unuoj en la problemo.\nEkzemple, en varia skalo de metroj g\u0302is centimetroj (t.e., disigante la skalon de la referencaksoj de 100), la komponentoj de lau\u0306mezura rapidecvektoro multobligos de 100-a Vektorekspoziciaj\u0302o tiun konduton de varia skalo inverse al s\u0302ang\u0302oj en skalo al la referencaksoj: ili estas kontrau\u0306variaj\u0302o.\nKiel rezulto, vektoroj ofte havas unuojn de distanco au\u0306 distanctempoj iun alian unuon (kiel la rapideco)."}, {"text_idx": "#000008", "text": "En kontrasto, kovektoroj (ankau\u0306 nomitaj duoblaj vektoroj) tipe havas unuojn de la inversa de distanco au\u0306 la inversa de distanctempoj iun alian unuon.\nEkzemplo de kovektoro estas la gradiento, kiu havas unuojn de spaca derivaj\u0302o, au\u0306 distancon \u22121.\nLa komponentoj de kovektoroj s\u0302ang\u0302ig\u0302as en lau\u0306 la saman manieron kiel s\u0302ang\u0302oj al skalo de la referencaksoj: ili estas kovariaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000009", "text": "La komponentoj de vektoroj kaj kovektoroj ankau\u0306 transformas en tiujn saman edukadon sub pli g\u0302eneralaj s\u0302ang\u0302oj en bazo:"}, {"text_idx": "#000011", "text": "Kurbaj koordinatsistemoj, kiel ekzemple cilindraj au\u0306 sferaj koordinatoj, ofte estas uzitaj en fizikaj kaj geometriaj problemoj.\nAsociita al iu koordinatsistemo estas natura elekto de kunordigita bazo por vektoroj bazitaj c\u0302e c\u0302iu punkto de la spaco, kaj kunvarianco kaj kontrau\u0306varianco estas precipe gravaj por komprenado kiel la kunordigita priskribo de vektoro s\u0302ang\u0302ig\u0302as preterpase de unu koordinatsistemo al alia."}, {"text_idx": "#000012", "text": "La esprimoj kovariaj\u0302o kaj kontrau\u0306variaj\u0302o estis lanc\u0302itaj fare de James Joseph Sylvester en 1853 en la kunteksto de algebra invarianta teorio, kie, ekzemple, sistemo de sistemo de ekvacioj estas kontrau\u0306variaj\u0302o en la variabloj.\nEn la leksikono de teorio de kategorioj, kunvarianco kaj kontrau\u0306varianco estas trajtoj de funktors;\nbedau\u0306rinde, estas la malsupra-indeksaj objektoj (kovektors) kiu senmarke havas retirojn, kiuj estas kontrau\u0306variaj\u0302o, dum la supra-indeksaj objektoj (vektoroj) anstatau\u0306e havas prokrastas, kiuj estas kovariaj\u0302o.\nTiu terminologia konflikto povas esti evitita vokante kontrau\u0306variaj\u0302funktoro- \"kofunktorojn\" - en akordo kun la \"kovektoro-\" terminologio, kaj dau\u0306rigante la tradicion de trakti vektorojn kiel la koncepton kaj kovektorojn kiel la kokoncepto."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Tensoroj estas objektoj en plurlineara algebro kiu povas havi aspektojn de kaj kunvarianco kaj kontrau\u0306varianco."}, {"text_idx": "#000014", "text": "4 Covariant kaj kontrau\u0306variaj\u0302komponentoj de vektoro kun metriko 4.1"}, {"text_idx": "#000015", "text": "En fiziko, vektoro tipe ekestas kiel la rezulto de mezurado au\u0306 serioj de mezuradoj, kaj estas reprezentita kiel listo (au\u0306 Opo) de nombroj kiel ekzemple"}, {"text_idx": "#000016", "text": "La nombroj en la listo dependas de la elekto de koordinatsistemo.\nEkzemple, se la vektoro reprezentas pozicion kun respekto al observanto ( poziciovektoro), tiam la koordinatsistemo povas esti akirita de sistemo de rigidaj bastonoj, au\u0306 referencaksoj, lau\u0306 kiu la komponentoj v 1, v 2, kaj v 3 estas lau\u0306mezuraj.\nKe vektoro por reprezentus geometrian objekton, devas esti eble priskribi kiel g\u0302i aspektas en iu alia koordinatsistemo.\nTio devas diri, la komponentoj de la vektoroj transformos lau\u0306 certa maniero preterpase de unu koordinatsistemo g\u0302is alia."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Kompare, kovariaj\u0302vektoro havas komponentojn tiu s\u0302ang\u0302o kontrau\u0306e al la koordinatoj au\u0306, ekvivalente, transformas kiel la referencaksoj.\nEkzemple, la komponentoj de la gradient vektoro de funkcio"}, {"text_idx": "#000019", "text": "transformu kiel la referencaksoj mem.\nKiam nur rotacioj de la aksoj estas pripensitaj, la komponentoj de kontrau\u0306variaj\u0302o kaj kovariaj\u0302vektoroj kondutas en lau\u0306 la saman manieron.\nEstas nur kiam aliaj transformoj estas permesitaj ke la diferenco ig\u0302as s\u0302ajna."}, {"text_idx": "#000020", "text": "La g\u0302enerala formulig\u0302o de kunvarianco kaj kontrau\u0306varianco rilatas al kiel la komponentoj de kunordigita vektoro transformas sub s\u0302ang\u0302o de bazo ( pasiva transformo).\nTiel luigita V esti vektora spaco de dimensio n super la kampo de Skalaroj S, kaj lasi c\u0302iun el f\nY n ) estu bazo de V.\n[noto 1] Ankau\u0306, lasis la s\u0302ang\u0302o de bazo de f g\u0302is f \u2032 ricevi per"}, {"text_idx": "#000021", "text": "C\u0302i tie, c\u0302iu vektoro Y j de la f \u2032 bazo estas lineara kombinaj\u0302o de la vektoroj X I de la f bazo, tiel ke"}, {"text_idx": "#000022", "text": "kie v I [ f] estas Skalaroj en S konata kiel la komponentoj de v en la f bazo.\nIndiku la kolumnan vektoron de komponentoj de v de v [ f]:"}, {"text_idx": "#000023", "text": "tiel tio ( 2 ) povas esti rewriten kiel matricprodukto"}, {"text_idx": "#000024", "text": "La vektoro v ankau\u0306 povas esti esprimita lau\u0306 la f \u2032 bazo, tiel ke"}, {"text_idx": "#000025", "text": "Tamen, ekde la vektoro v mem estas senvaria sub la elekto de bazo,"}, {"text_idx": "#000026", "text": "La envarianco de v kombinita kun la rilato ( 1 ) inter f kaj f \u2032 implicas tion"}, {"text_idx": "#000027", "text": "C\u0302ar la komponentoj de la vektoro v transformas kun la inversa de la matrico A, tiuj komponentoj lau\u0306dire transformas kontravariantly sub s\u0302ang\u0302o de bazo."}, {"text_idx": "#000028", "text": "La maniero A rilatigas la du parojn estas prezentita en la sekva neformala diagramo uzante sagon.\nLa inversigo de la sago indikas kontrau\u0306variaj\u0302os\u0302ang\u0302on:"}, {"text_idx": "#000029", "text": "Linia funkcia \u03b1 sur V estas esprimita unike lau\u0306 it'oj komponentoj (Skalaroj en S) en la f bazo kiel"}, {"text_idx": "#000030", "text": "Tiuj komponentoj estas la ago de \u03b1 sur la bazvektoroj X I de la f bazo."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Sub la s\u0302ang\u0302o de bazo de f al f \u2032 ( 1 ), la komponentoj transformas tiel ke"}, {"text_idx": "#000032", "text": "Indiku la vicvektoron de komponentoj de \u03b1 de \u03b1 [ f]:"}, {"text_idx": "#000033", "text": "C\u0302ar la komponentoj de la linia funkcia \u03b1 transformas kun la matrico A, tiuj komponentoj lau\u0306dire transformas kovariantly sub s\u0302ang\u0302o de bazo."}, {"text_idx": "#000034", "text": "La maniero A rilatigas la du parojn estas prezentita en la sekva neformala diagramo uzante sagon.\nKovariaj\u0302rilato estas indikita c\u0302ar la sagoj vojag\u0302as en la sama direkto:"}, {"text_idx": "#000035", "text": "C\u0302u kolumnvektora reprezentantaro estis uzita anstatau\u0306e, la transformleg\u0302o estus la transmeti"}, {"text_idx": "#000036", "text": "La elekto de bazo f sur la vektora spaco V difinas unike aron de kunordigitaj funkcioj sur V, per"}, {"text_idx": "#000037", "text": "La koordinatoj sur V estas tial kontrau\u0306variaj\u0302o en la senco ke"}, {"text_idx": "#000038", "text": "Inverse, sistemo de n kvantoj da v mi kiuj transformas like la koordinatoj x mi sur V difinas kontrau\u0306variaj\u0302vektoron.\nSistemo de n kvantoj kiuj transformas kontrau\u0306e al la koordinatoj tiam estas kovariaj\u0302vektoro."}, {"text_idx": "#000039", "text": "Tiu formulig\u0302o de kontrau\u0306varianco kaj kunvarianco ofte estas pli natura en aplikoj en kiu ekzistas kunordigita spaco ( dukto) sur kiu vektoroj vivas kiel klavvektoroj au\u0306 kotang\u0302antvektoroj.\nSurbaze de loka koordinatsistemo x I sur la dukto, la referencaksoj por la koordinatsistemo estas la vektoraj kampoj"}, {"text_idx": "#000040", "text": "Tio kau\u0306zas la kadron f\nX n ) c\u0302e c\u0302iu punkto de la koordinatpeceto."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Se y I estas malsama koordinatsistemo kaj"}, {"text_idx": "#000042", "text": "tiam la framo f estas rilatita al la framo f de la inversa de la Jakobiana matrico de la kunordigita transiro:"}, {"text_idx": "#000043", "text": "Tiel klavvektoro estas difinita per"}, {"text_idx": "#000044", "text": "Tia vektoro estas kontrau\u0306variaj\u0302o kun respekto al s\u0302ang\u0302o de kadro.\nSub s\u0302ang\u0302oj en la koordinatsistemo, oni havas"}, {"text_idx": "#000045", "text": "Tial, la komponentoj de klavvektoro transformas per"}, {"text_idx": "#000046", "text": "Sekve, sistemo de n kvantoj da v I depende de la koordinatoj kiuj transformas lau\u0306 tiu maniero sur morto de unu koordinatsistemo g\u0302is alia estas nomita kontrau\u0306variaj\u0302vektoro."}, {"text_idx": "#000047", "text": "En vektora spaco V pli ol kampo K kun simetria dulineara formo g:\nV \u00d7 V \u2192 K (kiu povas esti referita kiel la metrika tensoro), ekzistas malmulte da distingo inter kovariaj\u0302o kaj kontrau\u0306variaj\u0302vektoroj, c\u0302ar la dulineara formo permesas al kovektoroj esti identigitaj kun vektoroj.\nTio estas, vektoro v unike determinas kovektoron \u03b1 per"}, {"text_idx": "#000048", "text": "Inverse, c\u0302iu kovektoro \u03b1 determinas unikan vektoron v de tiu ekvacio.\nPro tiu identigo de vektoroj kun kovektoroj, oni povas paroli pri la kovariaj\u0302komponentoj au\u0306 kontrau\u0306variaj\u0302komponentoj de vektoro, t.e., ili estas j\u0302us reprezentadoj de la sama vektoro utiligantaj la reciprokan bazon."}, {"text_idx": "#000049", "text": "X n ) de V, ekzistas unika reciproka bazo f nombro\nY n ) de V determinita postulante tion"}, {"text_idx": "#000050", "text": "Lau\u0306 tiuj bazoj, c\u0302iu vektoro v povas esti skribita lau\u0306 du manieroj:"}, {"text_idx": "#000051", "text": "La komponentoj v mi [ f] estas la kontrau\u0306variaj\u0302komponentoj de la vektoro v en la bazo f, kaj la komponentoj v mi [ f] estas la kovariaj\u0302komponentoj de v en la bazo f.\nLa terminologio estas pravigita c\u0302ar sub s\u0302ang\u0302o de bazo,"}, {"text_idx": "#000052", "text": "En la Eu\u0306klida aviadilo, la skalarprodukto permesas ke vektoroj estus identigitaj kun kovektoroj."}, {"text_idx": "#000053", "text": "Tiel, e 1 kaj e 2 estas perpendikulara al unu la alian, kiel estas e 2 kaj e 1, kaj la longoj de e 1 kaj e 2 normaligis kontrau\u0306 e 1 kaj e 2, respektive."}, {"text_idx": "#000054", "text": "Ekzemple, [2] supozas ke ni ricevas bazon e 1, e 2 konsistante el paro de vektoroj farantaj 45\u00b0 angulon unu kun la alia, tia ke e 1 havas longon 2 kaj e 2 havas longon 1-an Tiam la duoblaj bazvektoroj ricevas jene:"}, {"text_idx": "#000055", "text": "e 2 estas la rezulto de rotaciado de e 1 tra angulo de 90\u00b0 (kie la senco estas mezurita supozante la paron e 1, e 2 esti pozitive orientita), kaj tiam remalpliigo tiel ke e 2 \u22c5 e 2 = 1 tenas.\ne 1 estas la rezulto de rotaciado de e 2 tra angulo de 90\u00b0, kaj tiam remalpliigo tiel ke e 1 \u22c5 e 1 = 1 tenas."}, {"text_idx": "#000056", "text": "Uzante tiujn regulojn, ni trovas"}, {"text_idx": "#000057", "text": "Tiel la s\u0302ang\u0302o de bazmatrico en irado de la origina bazo g\u0302is la reciproka bazo estas"}, {"text_idx": "#000058", "text": "La kovariaj\u0302komponentoj akirig\u0302as egaligante la du esprimojn por la vektoro v:"}, {"text_idx": "#000059", "text": "En la tridimensia eu\u0306klida spaco, oni ankau\u0306 povas determini eksplicite la duoblan bazon al antau\u0306fiksita aro de bazvektoroj e 1, e 2, e 3 el E 3 kiuj ne estas nepre supozitaj esti ortogonalaj nek de unuonormo.\nLa kontrau\u0306variaj\u0302o- (duoblaj) bazvektoroj estas:"}, {"text_idx": "#000060", "text": "Ec\u0302 kiam la e mi kaj e mi ne estas ortonormalaj, ili dau\u0306re estas reciproke reciprokaj:"}, {"text_idx": "#000061", "text": "Tiam la kovariaj\u0302koordinatoj de iu vektoro v povas esti akiritaj per la skalarprodukto de v kun la kontrau\u0306variaj\u0302aj bazvektoroj:"}, {"text_idx": "#000062", "text": "Same, la kontrau\u0306variaj\u0302komponentoj de v povas esti akiritaj de la skalarprodukto de v kun konvariaj\u0302aj bazvektoroj, viz."}, {"text_idx": "#000063", "text": "Tiam v povas esti esprimita lau\u0306 du (reciprokaj) manieroj, viz."}, {"text_idx": "#000064", "text": "Kombinante c\u0302i-suprajn rilatojn, ni havas"}, {"text_idx": "#000065", "text": "kaj ni povas konverti de kontrau\u0306variaj\u0302o g\u0302is kovariaj\u0302bazo kun"}, {"text_idx": "#000066", "text": "La indeksoj de kovariaj\u0302o kunlaboras, vektoroj, kaj tensoroj estas indeksoj.\nSe la kontrau\u0306variaj\u0302aj bazvektoroj estas ortonormalaj tiam ili estas ekvivalentaj al la kovariaj\u0302aj bazvektoroj, tiel ke ekzistas neniu bezono distingi inter la kovariaj\u0302o kaj kontrau\u0306variaj\u0302koordinatoj."}, {"text_idx": "#000067", "text": "Pli g\u0302enerale, en n-dimensia eu\u0306klida spaco V, se bazo estas"}, {"text_idx": "#000068", "text": "la reciproka bazo ricevas per"}, {"text_idx": "#000069", "text": "De kie la koeficientoj e ij estas la kontribuoj de la inversa matrico"}, {"text_idx": "#000070", "text": "La kovariaj\u0302o kaj kontrau\u0306variaj\u0302komponentoj de iu vektoro"}, {"text_idx": "#000071", "text": "estas rilataj kiel supra de"}, {"text_idx": "#000072", "text": "En la kampo de fiziko, la adjektiv kovariaj\u0302o ofte estas utiligita neformale kiel sinonimo por Invarianto.\nEkzemple, la ekvacio de Schro\u0308dinger ne konservas sian skriban formon sub la kunordigitaj transformoj de speciala teorio de relativeco.\nTiel, fizikisto eble diros ke la ekvacio de Schro\u0308dinger ne estas kovariaj\u0302o.\nEn kontrasto, la Klein-Gordon ekvacio kaj la diraka ekvacio konservas ilian skriban formon sub tiuj kunordigitaj transformoj.\nTiel, fizikisto eble diros ke tiuj ekvacioj estas kovariaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000073", "text": "Malgrau\u0306 tiu uzokutimo de \"kovariaj\u0302o\", estas pli precize diri ke la Klein-Gordon- kaj dirakaj ekvacioj estas senvariaj, kaj ke la ekvacio de Schro\u0308dinger ne estas senvaria.\nPlie, forigi ambiguecon, la transformo de kiu la envarianco estas analizita devus esti indikita."}, {"text_idx": "#000074", "text": "C\u0302ar la komponentoj de vektoroj estas kontrau\u0306variaj\u0302o kaj tiuj de kovektoroj estas kovariaj\u0302o, la vektoroj mem ofte estas referitaj kiel estante kontrau\u0306variaj\u0302o kaj la kovektors kiel kovariaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000075", "text": "La distingo inter kunvarianco kaj kontrau\u0306varianco estas precipe grava por komputadoj kun tensoroj, kiuj ofte miksis variancon.\nTio signifas ke ili havas kaj kovariaj\u0302on kaj kontrau\u0306variaj\u0302komponentojn, au\u0306 kaj vektoron kaj kovektorkomponentojn.\nLa valento de tensoro estas la nombro da variaj\u0302o kaj kovariaj\u0302periodoj, kaj en Einstein-notacio, kovariaj\u0302komponentoj havas pli malaltajn indeksojn, dum kontrau\u0306variaj\u0302komponentoj havas suprajn indeksojn.\nLa dueco inter kunvarianco kaj kontrau\u0306varianco intervenas kiam ajn vektoro au\u0306 tensorkvanto estas reprezentitaj per g\u0302iaj komponentoj, kvankam moderna diferenciala geometrio uzas pli sofistikajn indeks-liberajn metodojn por reprezenti tensorojn."}, {"text_idx": "#000076", "text": "En tensoranalizo, kovariaj\u0302 vektoro varias tiamaniere reciproke al ekvivalenta kontrau\u0306variaj\u0302vektoro.\nEsprimoj por longoj, areoj kaj volumoj de objektoj en la vektora spaco povas tiam ricevi lau\u0306 tensoroj kun kovariaj\u0302o kaj kontrau\u0306variaj\u0302indeksoj.\nSub simplaj vastig\u0302oj kaj kuntirig\u0302oj de la koordinatoj, la reciprokeco estas preciza;\nsub afinaj transformoj la komponentoj de vektoro miksig\u0302as dum irado inter kovariaj\u0302o kaj kontrau\u0306variaj\u0302esprimo."}, {"text_idx": "#000077", "text": "Sur dukto, tensorkampo tipe havos multoblajn, suprajn kaj pli malaltajn indeksojn, kie Einstein-notacio estas vaste utiligita.\nKiam la dukto estas provizita per metriko, kovariaj\u0302o- kaj kontrau\u0306variaj\u0302indeksoj ig\u0302as tre proksime rilatitaj unu al la alia.\nContravariant-indeksoj povas esti igitaj kovariaj\u0302indeksoj per kontraktig\u0302ado kun la metrika tensoro.\nLa reverso estas ebla per kontraktig\u0302ado kun la (matrico) inversa de la metrika tensoro.\nNotu tion g\u0302enerale, ne tia rilato ekzistas en spacoj ne dotite kun metrika tensoro.\nKrome, de pli abstrakta starpunkto, tensoro estas simple \"tie\" kaj g\u0302iaj komponentoj de ambau\u0306 specoj estas nur kalkulaj artefaktoj kies valoroj dependas de la elektitaj koordinatoj."}, {"text_idx": "#000078", "text": "La klarigo en geometriaj esprimoj estas ke g\u0302enerala tensoro havos kontrau\u0306variaj\u0302indeksojn same kiel kovariaj\u0302indeksojn, c\u0302ar g\u0302i havas partojn kiuj vivas en la klavfasko same kiel la kotang\u0302antfasko."}, {"text_idx": "#000079", "text": "En teorio de kategorioj, ekzistas kovariaj\u0302funktoroj kaj kontrau\u0306variaj\u0302funktoroj.\nLa tasko de la duobla spaco al vektora spaco estas normekzemplo de kontrau\u0306variaj\u0302funktoro.\nKelkaj konstruadoj de plurlineara algebro estas de \"miksita\" varianco, kiu malhelpas ilin esti funktoroj."}, {"text_idx": "#000081", "text": "Du-punkta tensoro, g\u0302eneraligo permesanta al indeksoj reference multoblajn vektorbazojn"}, {"text_idx": "#000082", "text": "^ Bazo f povas c\u0302i tie enspezige esti rigardita kiel linia izomorfio de R da n g\u0302is V."}]