[{"text_idx": "#000000", "text": "Wikipedia's Integer as translated by GramTrans"}, {"text_idx": "#000001", "text": "Listo de teorio de grupo-temoj"}, {"text_idx": "#000002", "text": "G\u0302enerala linia Gl ( n)"}, {"text_idx": "#000003", "text": "Speciala linia Sl ( n)"}, {"text_idx": "#000004", "text": "Speciala ortogonala TIEL ( n)"}, {"text_idx": "#000005", "text": "Speciala unitaria Su ( n)"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Entjero (de la latina entjero kun la signifo \"tutaj\u0302o\") [noton 1] estas nombro kiu povas esti skribita sen frakcieca komponento."}, {"text_idx": "#000007", "text": "La aro de entjeroj konsistas el nul ( 0), la pozitivaj naturaj nombroj ( 1, 2, 3, ...\n, ankau\u0306 vokis alikvotojn au\u0306 nombrantajn nombrojn, [1] [2] kaj iliajn kontrau\u0306egalojn (la negativajn entjeroj, t.e., \u22121, \u22122, \u22123, ..."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Z estas subaro de la aro de c\u0302iuj raciaj nombroj Q , en victurno subaro de la realaj nombroj R .\nKiel la naturaj nombroj, Z estas nombreble senfina."}, {"text_idx": "#000009", "text": "La entjeroj formas la plej malgrandan grupon kaj la plej malgrandan ringon enhavantan la naturajn nombrojn.\nEn algebra nombroteorio, la entjeroj foje estas nomitaj raciaj entjeroj por distingi ilin de la pli g\u0302eneralaj algebraj entjeroj.\nFakte, la (raciaj) entjeroj estas la algebraj entjeroj kiuj ankau\u0306 estas raciaj nombroj."}, {"text_idx": "#000010", "text": "La simbolo Z povas esti komentita por indiki diversajn arojn, kun s\u0302ang\u0302ig\u0302anta uzokutimo inter malsamaj verkintoj:\nZ + , Z + au\u0306 Z > por la pozitivaj entjeroj, Z \u2265 por ne-negativaj entjeroj, Z =\u0338 por ne-nulaj entjeroj.\nPlie, Z p kutimas indiki au\u0306 la aron de entjermodulo p , t.e., aron de kongruecklasoj de entjeroj, au\u0306 la aron de p - adicentjeroj."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Kiel la naturaj nombroj, Z estas fermita sub la operacioj de aldono kaj multipliko, t.e., la sumo kaj produkto de iuj du entjeroj estas entjero.\nTamen, kun la inkludo de la negativaj naturaj nombroj, kaj, grave, 0, Z (male al la naturaj nombroj) ankau\u0306 estas fermita sub subtraho.\nLa entjeroj formas unitalringon kiu estas la plej baza unun, en la sekva signifo: por iu unitalringo, ekzistas unika ringo homomorfism de la entjeroj en tiun ringon.\nTiu universala posedaj\u0302o, nome esti komenca objekto en la kategorio da boksejoj, karakterizas la ringon Z ."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Z ne estas fermita sub dividado, ekde la kvociento de du entjeroj (ekz., 1 dividitaj per 2), ne devas esti entjero.\nKvankam la naturaj nombroj estas fermitaj sub potenco, la entjeroj ne estas (c\u0302ar la rezulto povas esti frakcio kiam la eksponento estas negativa)."}, {"text_idx": "#000013", "text": "La sekvanta listigas kelkajn el la bazaj trajtoj de aldono kaj multipliko por iuj entjeroj , b kaj c ."}, {"text_idx": "#000014", "text": "En la lingvo de abstrakta algebro, la unuaj kvin trajtoj listigis supre por aldono diras ke Z sub aldono estas abela grupo.\nKiel grupo sub aldono, Z estas cikla grupo, c\u0302ar c\u0302iu ne-nula entjero povas esti skribita kiel finhava sumo al 1 + 1 + ...\nFakte, Z sub aldono estas la nura senfina cikla grupo, en la senco ke c\u0302iu senfina cikla grupo estas izomorfa al Z ."}, {"text_idx": "#000015", "text": "La unuaj kvar trajtoj listigis supre por multipliko diras ke Z sub multipliko estas kommutativan monoidan.\nTamen, ne c\u0302iu entjero havas multiplikan inversan;\nekz., ekzistas neniu entjero x tia ke 2x = 1, c\u0302ar maldekstramana flanko estas ec\u0302, dum la dekstra flanko estas stranga.\nTio signifas ke Z sub multipliko ne estas grupo."}, {"text_idx": "#000016", "text": "C\u0302iuj reguloj de c\u0302i-supra posedaj\u0302o surtabligas, krom la lasta, prenite kune diras ke Z kune kun aldono kaj multipliko estas komuta ringo kun unueco.\nG\u0302i estas la prototipo de c\u0302iuj objektoj de tia algebra strukturo.\nNur tiuj egalecoj de esprimoj estas veraj en Z por c\u0302iuj valoroj de variabloj, kiuj estas veraj en iu unital komuta ringo.\nNotu ke certaj ne-nulaj entjeroj mapas al nul en certaj boksejoj."}, {"text_idx": "#000017", "text": "La manko de nuldividantoj en la entjeroj (lasta proprietrajto je la tabelo) rimedoj ke la komuta ringo Z estas integrita domajno."}, {"text_idx": "#000018", "text": "La manko de inversoj, kiu estas ekvivalenta al la fakto ke Z ne estas fermita sub dividado, signifas ke Z ne estas kampo.\nLa plej malgranda kampo enhavanta la entjerojn kiam subringo estas la kampo de raciaj nombroj.\nLa procezo de konstruado de la rational'oj el la entjeroj povas esti mimickeita por formi la kampon de frakcioj de iu integrita domajno.\nKaj reen, komencante de algebranombra kampo (etendaj\u0302o de raciaj nombroj), g\u0302ia ringo de entjeroj povas esti eltirita, kiu inkludas Z kiel it subringo."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Kvankam ordinara dividado ne estas difinita sur Z , la dividado \"kun resto\" estas difinita sur ili.\nG\u0302i estas nomita Eu\u0306klida dividado kaj posedas la sekvan gravan posedaj\u0302on: t.e., donita du entjerojn a kaj b kun b =\u0338 0, tie ekzistas unikaj entjeroj q kaj r tia ke = q \u00d7 b + r kaj 0 \u2264 r\nindikas la absolutan valoron de b .\nLa entjero q estas nomita la kvociento kaj r estas nomita la resto de la dividado de per b .\nLa eu\u0306klida algoritmo por komputado de plej grandkajmunadivizora j verkoj per sekvenco de Eu\u0306klidaj sekcioj."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Denove, en la lingvo de abstrakta algebro, la supre diras ke Z estas Eu\u0306klida domajno.\nTio implicas ke Z estas c\u0302efa ideala domajno kaj c\u0302iu pozitiva entjero povas esti skribita kiel la produktoj de primoj lau\u0306 esence unika maniero.\nTio estas la bazteoremo de aritmetiko."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Z estas komplete ordigita aro sen supra parto au\u0306 pli malalta ligite.\nLa mendado de Z ricevas per:\nEntjero estas pozitiva se g\u0302i estas pli bonega ol nul kaj negativa se g\u0302i estas malpli ol nul.\nNul estas difinitaj kiel nek negativo nek pozitivaj."}, {"text_idx": "#000022", "text": "La mendado de entjeroj estas kongrua kun la algebraj operacioj lau\u0306 la sekva maniero:"}, {"text_idx": "#000023", "text": "G\u0302i sekvas tiun Z kune kun c\u0302i-supra mendado estas ordigita ringo."}, {"text_idx": "#000024", "text": "La entjeroj estas la nuraj nesensignifa totale ordigis abelan grupon kies pozitivaj elementoj estas bonordaj.\nTio estas ekvivalenta al la deklaro tiu ajna Noetherian\nvalortaksoorondo estas au\u0306 kampo au\u0306 diskreta valortaksoorondo."}, {"text_idx": "#000025", "text": "En bazlernejinstruado, entjeroj ofte estas intuicie difinitaj kiel la (pozitivaj) naturaj nombroj, nul, kaj la negacioj de la naturaj nombroj.\nTamen, tiu stilo de difino kau\u0306zas multajn malsamajn kazojn (c\u0302iu aritmetikoperacio devas esti difinita sur c\u0302iu kombinaj\u0302o de specoj de entjero) kaj faras teda pruvi ke tiuj operacioj obeas la leg\u0302ojn de aritmetiko.\nTial, en moderna aro-teoria matematiko pli abstrakta konstruo, [11] kiu permesas oni difini la aritmetikajn operaciojn sen iu kazdistingo, ofte estas utiligitaj anstatau\u0306e.\nLa entjeroj povas tiel esti formale konstruitaj kiel la ekvivalentklasoj de ordaj duopoj de naturaj nombroj (, b)."}, {"text_idx": "#000026", "text": "La intuicio estas tiu (, b) signifas la rezulton de subtrahado de b de .\nPor konfirmi nian atendon ke 1 \u2212 2 kaj 4 \u2212 5 indikas la saman nombron, ni difinas ekvivalentrilat sur tiuj paroj kun la sekva regulo:"}, {"text_idx": "#000027", "text": "Aldono kaj multipliko de entjeroj povas esti difinitaj lau\u0306 la ekvivalentaj operacioj sur la naturaj nombroj;\nindikante de [(, b)] la ekvivalentklaso havanta (, b) kiel membro, oni havas:"}, {"text_idx": "#000028", "text": "La negacio (au\u0306 aldonaj\u0302o inversa) de entjero akirig\u0302as inversigante la ordon de la paro:"}, {"text_idx": "#000029", "text": "Tial subtraho povas esti difinita kiel la aldono de la aldonaj\u0302o inversa:"}, {"text_idx": "#000030", "text": "La normo ordiganta sur la entjeroj ricevas per:"}, {"text_idx": "#000031", "text": "Estas facile konfirmite ke tiuj difinoj estas sendependaj da la elekto de reprezentantoj de la ekvivalentklasoj."}, {"text_idx": "#000032", "text": "C\u0302iu ekvivalentklaso havas unikan membron kiu estas da la formo ( n, 0) au\u0306 (0, n) (au\u0306 ambau\u0306 tuj).\nLa natura pli sensenta n estas identigita kun la klaso [( n, 0)] (en aliaj vortoj la naturaj nombroj estas enkonstruitaj en la entjerojn per mapo sendanta n al [( n, 0)]), kaj la klaso [(0, n)] estas indikita \u2212 n (tio kovras c\u0302iujn ceterajn klasojn, kaj donas al la klaso [(0,0)] duan fojon ekde \u22120 = 0."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Tiel, [(, b)] estas indikita per"}, {"text_idx": "#000034", "text": "Se la naturaj nombroj estas identigitaj kun la ekvivalentaj entjeroj (uzante la enkonstruadon menciitan supre), tiu kongreso kreas neniun ambiguecon."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Entjero ofte estas primitiva datentipo en komputillingvoj.\nTamen, entjerdatentipoj povas nur reprezenti subaron de c\u0302iuj entjeroj, c\u0302ar praktikaj komputiloj estas de finhava kapacito.\nAnkau\u0306, en la komplement reprezentantaro de la komuna duo, la eneca difino de signo distingas inter \"negativo\" kaj \"ne-negativa\" prefere ol \"negativo, pozitivo, kaj 0\".\n(Estas, aliflanke, certe eble ke komputilo determinus c\u0302u entjervaloro estas vere pozitiva.\nFiks-longaj entjeraproksimaddatentipoj (au\u0306 subaroj) estas indikita int au\u0306 Integer en pluraj programlingvoj (kiel ekzemple Algol68, C, Java, Delfo, ktp.)."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Variablo-longaj reprezentadoj de entjeroj, kiel ekzemple bignum'oj, povas stoki ajnan entjeron kiu konvenas en la memoro de la komputilo.\nAliaj entjerdatentipoj estas efektivigitaj kun fiksa grandeco, kutime kelkaj pecoj kiu estas potenco de 2 (4, 8, 16, ktp.) au\u0306 memorinda nombro da decimalciferoj (ekz., 9 au\u0306 10)."}, {"text_idx": "#000037", "text": "La kardinaleco de la aro de entjeroj estas egala al \u05d00 ( alefo-nulo).\nTio estas facile montrita per la konstruado de ensurj\u0302eto, t.e., funkcio kiu estas injektivo kaj surjektive de Z g\u0302is N ."}, {"text_idx": "#000038", "text": "Se la domajno estas limigita al Z tiam c\u0302iu kaj c\u0302iu membro de Z havas tian kaj nur unu ekvivalenta membro de N kaj de la difino de kapegaleco la du aroj havas egalan kardinalecon."}, {"text_idx": "#000039", "text": "Kanonika reprezentado de pozitiva entjero"}, {"text_idx": "#000040", "text": "^ Entjero ' s unua lau\u0306vorta signifo en la latina \"estas netus\u0302itaj\", de en (\"ne\") kaj plie tangere (\"por tus\u0302i\").\n\" Tuta \" venas de la sama origino per la franca vorto tuta, kio intencas kaj tuta kaj entjeron (vidi:Evans, Nick (1995). \"A-Quantifiers and Scope\". In Bach, Emmon W. Quantification in Natural Languages. Dordrecht, The Netherlands; Boston, MA: Kluwer Academic Publishers. p. 262. ISBN 0-7923-3352-7. )"}, {"text_idx": "#000045", "text": "La entjeroj (au\u0306 plenaj nombroj) konsistas el la naturaj nombroj (1, 2, 3, ...), iliaj negativaj ekvivalentoj (-1, -2, -3, ...) kaj 0 (nulo). Matematikistoj kutime signas g\u0302in per Z au\u0306 Z. La naturaj nombroj estas subaro de la entjeroj, kion oni signas per N \u2282 Z."}, {"text_idx": "#000046", "text": "La nocio de negativa nombro aperis pro la bezonoj de evoluo de algebro, kiu donis komunajn principojn solvi aritmetikajn problemojn, sendepende de ilia konkreta enhavo kaj valoroj de originaj nombrosignifoj. Probable, negativa respondo povas esti komprenita kiel grando de inversa direkto, ekz. movo en iu au\u0306 en g\u0302ia inversa direkto, posedi havaj\u0302on au\u0306 havi s\u0302uldon, ktp. Ankorau\u0306 en 6-11 jarcentoj en Hindio, oni regule uzis negativajn nombrojn g\u0302uste en tiu senco, kion ili havas en nuntempo. Sed en Eu\u0306ropa scienco g\u0302i eniris difinitive nur de tempoj de Kartezio (17 jc), kiu donis al negativaj nombroj la signifon de direktitaj eltranc\u0302oj."}, {"text_idx": "#000047", "text": "Entjeroj povas esti paraj kaj neparaj. Paraj nombroj oni konsideras tiujn, kiuj dividig\u0302as je la nombro 2 sen resto, ekz. \u22124, \u22122, 0, 2, 4; la aliajn nombrojn el la nefinia vico de entjeroj oni nomas neparaj nombroj, ekz-e \u22125, \u22123, \u22121, 1, 3, 5. Por konstati la parecon de grandaj nombroj, ni rigardas al la fina cifero; se g\u0302i estas 0, 2, 4, 6, 8 (ekz. 3843924), g\u0302i estas para nombro, kontrau\u0306okaze (1991) g\u0302i estas nepara."}, {"text_idx": "#000048", "text": "La entjero m estas nomata divizoro de la entjero n, se la kvociento de n per m ankau\u0306 estas entjero. Ekz-e 3 estas divizoro de 9, kaj 1, 2, 3, 4, 6, 12 estas c\u0302iuj pozitivaj divizoroj de 12."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Alia grava koncepto estas plej granda komuna divizoro (pgkd) de du nombroj. Ekzemple pgkd(12,16)=4, c\u0302ar 4 estas la plej granda entjero, kiu estas kaj divizoro de 12 kaj divizoro de 16."}]