[{"text_idx": "#000001", "text": "Listo de teorio de grupo-temoj"}, {"text_idx": "#000002", "text": "Glosaro de teorio de grupoj"}, {"text_idx": "#000003", "text": "G\u0302enerala linia Gl ( n)"}, {"text_idx": "#000004", "text": "Speciala linia Sl ( n)"}, {"text_idx": "#000005", "text": "Speciala ortogonala TIEL ( n)"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Speciala unitaria Su ( n)"}, {"text_idx": "#000007", "text": "En matematiko, dihedra grupo estas la grupo de simetrioj de regula plurlatero, kiu inkludas rotaciojn kaj reflektadojn.\nDihedraj grupoj estas inter la plej simplaj ekzemploj de finiaj grupoj, kaj ili ludas gravan rolon en teorio de grupoj, geometrio, kaj kemio."}, {"text_idx": "#000008", "text": "4 La dihedra grupo kiel geometria simetria grupo en 2D kaj turnada grupo en 3D 4.1\nEkzemploj de 2D dihedra simetrio"}, {"text_idx": "#000009", "text": "Ekzemploj de 2D dihedra simetrio"}, {"text_idx": "#000010", "text": "La dihedra grupo kun indekso n havas 2n elementojn.\nN estas la nombro da verdglacioj kaj flankoj de la subesta plurangulo dum 2n estas la nombro da rotacioj kaj reflektadoj, kiuj konsistigas la simetriojn de tiu plurangulo."}, {"text_idx": "#000012", "text": "La unua vico montras la efikon de la ok rotacioj, kaj la dua vico montras la efikon de la ok reflektadoj, en c\u0302iu kazo funkcianta sur la stopsignalo kun la orientig\u0302o kiel montrite c\u0302e la supra maldekstre."}, {"text_idx": "#000013", "text": "C\u0302ar kun iu geometria objekto, la kunmetaj\u0302o de du simetrioj de regula plurlatero denove estas simetrio de tiu objekto.\nKun kunmetaj\u0302o de simetrioj por produkti alian kiel la operacio, tio donas la simetriojn de plurangulo la algebra strukturo de finhava grupo."}, {"text_idx": "#000014", "text": "La sekva Cayley-tablo montras la efikon de kunmetaj\u0302o en la grupo D3 (la simetrioj de egallatera triangulo).\nr1 kaj r2 indikas maldekstrume rotaciojn de 120\u00b0 kaj 240\u00b0 respektive, kaj s0, s1 kaj s2 indikas reflektadojn trans la tri linioj montritaj en la bildo dekstren."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Ekzemple, s2 s1 = r1 , c\u0302ar la reflektado s1 sekvis per la reflektads2 rezultoj en rotacio de 120\u00b0.\nLa ordo de elementoj indikantaj la kunmetaj\u0302on estas rekte maldekstro, reflektante la kongreson kiun la elemento reagas al la esprimo al sia rajto.\nLa kunmetaj\u0302operacio ne estas kommutativa."}, {"text_idx": "#000016", "text": "G\u0302enerale, la grupo D n havas elementoj r0, ...\n, s n \u22121, kun kunmetaj\u0302o donite per la sekvaj formuloj:"}, {"text_idx": "#000017", "text": "En c\u0302iuj kazoj, aldono kaj subtraho de indeksoj estas farotaj uzante modulan aritmetikon kun modulus da n."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Se ni centro la regula plurlatero c\u0302e la origino, tiam elementoj de la dihedra grupo funkcias kiel lineartransformoj de la ebeno.\nTio lasas nin reprezenti elementojn de D n kiel matricoj, kun kunmetaj\u0302o estanta matrica multipliko.\nTio estas ekzemplo de (2-dimensia) grupa prezento."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Ekzemple, la elementoj de la grupo D4 povas esti reprezentitaj per la sekvaj ok matricoj:"}, {"text_idx": "#000020", "text": "G\u0302enerale, la matricoj por elementoj de D n havas la sekvan formon:"}, {"text_idx": "#000021", "text": "r k estas rotaciomatrico, esprimante maldekstrume rotacion tra angulo de 2\u03c0k / n .\ns k estas reflektado trans linio kiu faras angulon de \u03c0k / n kun la absciso."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Por n = 1, ni havas Dih1.\nTiu notacio malofte estas utiligita krom en la kadro de la serio, c\u0302ar g\u0302i estas izomorfa kun Z2.\nPor n = 2, ni havas Dih2, la Klein kvar-grupaj.\nAmbau\u0306 estas esceptaj ene de la serio:"}, {"text_idx": "#000023", "text": "Dih1 kaj Dih2 estas abelaj;\npor unu la alian valoro de n, Dih n ne estas abelaj.\nDih n estas subgrupo de la simetriagrupa S\npor n = 1 au\u0306 n = 2, por tiuj valoroj, Dih n estas tro grandaj por esti subgrupo.\nLa interna au\u0306tomorfismogrupo de Dih2 estas sensignifa, dum por aliaj ec\u0302 valoroj de n, tio estas Dih n / Z2."}, {"text_idx": "#000024", "text": "La ciklaj grafeoj de dihedraj grupoj konsistas el n-elementa ciklo kaj n 2-elementcikloj.\nLa malhela vertico en la ciklo grafeas malsupre de diversaj dihedraj grupoj reprezentas la neu\u0306tran elementon, kaj la aliaj verdglacioj estas la aliaj elementoj de la grupo.\nCiklo konsistas el sinsekvaj potencoj de c\u0302iu el ambau\u0306 de la elementoj ligitaj al la neu\u0306tra elemento."}, {"text_idx": "#000025", "text": "La dihedra grupo kiel geometria simetria grupo en 2D kaj turnada grupo en 3D"}, {"text_idx": "#000026", "text": "Ekzemplo de abstrakta grupo Dih n , kaj ofta maniero bildigi g\u0302in, estas la grupo Dn de Eu\u0306klidaj aviadilizometrioj kiuj konservas la originon fiksis.\nTiuj grupoj formas unu el la du serioj de diskretaj punktogrupoj en du dimensioj.\nDn konsistas el n rotacioj de multobloj de 360\u00b0/ n koncerne la originon, kaj reflektadojn trans n linioj tra la origino, farante angulojn de multobloj de 180\u00b0/ n kun unu la alian.\nTio estas la geometria simetria grupo de regula plurlatero kun n flankoj (por n \u2265 3;\ntio etendas al la kazoj da n = 1 kaj n = 2 kie ni havas aviadilon kun respektive punktofseto de la \"centro\" de la \"1-gon\" kaj \"2-gon\" au\u0306 liniparto)."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Dihedra grupo D n estas generita per rotacio r de ordo n kaj reflektado s de ordo 2 tia ke"}, {"text_idx": "#000028", "text": "En geometriaj esprimoj: en la spegulo rotacio aspektas pli kiel inversa rotacio."}, {"text_idx": "#000029", "text": "(Komparu kunordigitajn rotaciojn kaj reflektadojn."}, {"text_idx": "#000030", "text": "La dihedra grupo D2 estas generita per la rotacio r de 180 gradoj, da kaj la reflektado s trans la absciso.\n, kie e estas la identeco au\u0306 nultransformo kaj r estas la reflektado trans la ipsilonakso."}, {"text_idx": "#000031", "text": "D2 estas izomorfa al la Klein kvar-grupa."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Al n>2 la operacioj de rotacio kaj reflektado g\u0302enerale ne veturas kaj D n ne estas abela;\nekzemple, en D4 , rotacio de 90 gradoj sekvitaj per reflektado donas malsaman rezulton de reflektado sekvita per rotacio de 90 gradoj."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Tiel, preter ilia evidenta aplikig\u0302o al problemoj de simetrio en la aviadilo, tiuj grupoj estas inter la plej simplaj ekzemploj de ne-abelaj grupoj, kaj kiel tia ekestas ofte kiel facilaj kontrau\u0306ekzemploj al teoremoj kiuj estas limigitaj al abelaj grupoj."}, {"text_idx": "#000034", "text": "La 2n elementoj de D n povas esti skribitaj kiel e, r, r 2\nLa unua n listigis elementojn estas rotacioj kaj la ceteraj n elementoj estas akso-reflektadoj (c\u0302iuj el kiuj havas ordon 2).\nLa produkto de du rotacioj au\u0306 du reflektadoj estas rotacio;\nla produkto de rotacio kaj reflektado estas reflektado."}, {"text_idx": "#000035", "text": "G\u0302is nun, ni konsideris D n esti subgrupo de O (2), t.e. la grupo de rotacioj (c\u0302irkau\u0306 la origino) kaj reflektadoj (trans aksoj tra la origino) de la ebeno.\nTamen, notacio D n ankau\u0306 estas utiligita por subgrupo de TIEL (3) kiu estas ankau\u0306 de abstrakta gruptipa Dih n : la bonorda geometria simetria grupo de regula plurlatero enkonstruita en tri-dimensia spaco (se n \u2265 3).\nTia figuro povas esti konsiderita degeneritan regulan solidon kun g\u0302ia vizag\u0302o nombrita dufoje.\nTial, g\u0302i ankau\u0306 estas nomita dihedron (greka: solido kun du vizag\u0302oj), kiu klarigas la nomdihedran grupon (en analogeco al tetrahedral, oktahedra kaj ikosahedral grupo, rilatante al la bonordaj geometriaj simetria grupoj de regula tetraedro, okedro, kaj dudekedro respektive)."}, {"text_idx": "#000038", "text": "2D D24 simetrio - Ashoka Chakra, kiel prezentite sur la nacia flago de la Respubliko de Hindio."}, {"text_idx": "#000039", "text": "Pliaj ekvivalentaj difinoj de Dih n estas:"}, {"text_idx": "#000040", "text": "La au\u0306tomorfismogrupo de la grafeo konsistanta nur el ciklo kun n verdglacioj (se n \u2265 3).\nEl la dua prezento sekvas ke Dih n apartenas al la klaso de Coxeter-grupoj."}, {"text_idx": "#000041", "text": "La trajtoj de la dihedraj grupoj Dih n kun n \u2265 3 dependas de c\u0302u n ec\u0302 estas au\u0306 stranga.\nEkzemple, la centro de Dih n konsistas nur el la identeco se n estas stranga, sed se n estas ec\u0302 la centro havas du elementojn, nome la identecon kaj la elementon r n /2 (kun D n kiel subgrupo de O (2), tio estas inversio;\nc\u0302ar g\u0302i estas skalara multipliko de \u22121, estas klare ke g\u0302i navedas kun iu lineartransformo)."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Por stranga n, la abstrakta grupo Dih2n estas izomorfa kun la rekta produkto de Dih n kaj Z2."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Koncerne 2D izometriojn, tio egalrilatas al aldonado inversio, donanta rotaciojn kaj spegulas intere la ekzistantajn."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Se m disigas n, tiam Dih n havas n / m subgrupojn de tipo Dih m , kaj unu subgrupon Z m .\nTial, la tutsumo de subgrupoj de Dih n ( n \u2265 1), estas egala al d ( n) + \u03c3 ( n), kie d ( n) estas la nombro da pozitivaj dividantoj de n kaj \u03c3 ( n) estas la sumo de la pozitivaj dividantoj de n.\nVidu listo de grupetoj por la kazoj da n \u2264 8."}, {"text_idx": "#000045", "text": "La dihedra grupo de ordo 8 ( D4) estas la plej malgranda ekzemplo de grupo kiu ne estas T-grupo.\nAjnaj de g\u0302ia du Klein kvar-grupaj subgrupoj (kiuj estas normalaj en D4) havas kiel normalaj subgrupordsubgrupoj generitaj per reflektado (senrespekta) en D4, sed tiuj subgrupoj ne estas normalaj en D4."}, {"text_idx": "#000046", "text": "C\u0302iuj reflektadoj estas konjugato al unu la alian en kazo n estas stranga, sed ili falas en du konjugacyoklasojn se n ec\u0302 estas.\nSe ni pensas pri la izometrioj de regula n-gon: por stranga n ekzistas rotacioj en la grupo inter c\u0302iu paro de speguloj, dum al ec\u0302 n nur duono de la speguloj povas esti etendita sia manon de unu per tiuj rotacioj.\nGeometrie, en stranga plurangulo c\u0302iu akso de simetrio pasas tra vertico kaj flanko, dum en ebena plurangulo ekzistas du aroj de aksoj, c\u0302iu egalrilatante al konjugacyoklaso: tiuj kiuj pasas tra du verdglacioj kaj tiuj kiuj pasas tra du flankoj."}, {"text_idx": "#000047", "text": ", dum por n ec\u0302, tiuj ordigas 2 subgrupoj estas ne Sylow-subgrupoj c\u0302ar 4 (pli alta potenco de 2) disigas la ordon de la grupo."}, {"text_idx": "#000048", "text": "Por n ec\u0302 ekzistas anstatau\u0306e ekstera au\u0306tomorfismo inters\u0302ang\u0302anta la du specojn de reflektadoj (konvene, klaso de eksteraj au\u0306tomorfismoj, kiuj estas c\u0302io konjugato de interna au\u0306tomorfismo)."}, {"text_idx": "#000049", "text": "kiuj au\u0306tomorfismoj estas internaj kaj eksteraj dependas de la egaleco de n."}, {"text_idx": "#000050", "text": "Por n stranga, la dihedra grupo estas centerles, tiel ke c\u0302iu elemento difinas ne-sensignifan internan au\u0306tomorfismon;\npor n ec\u0302, la rotacio de 180\u00b0 (reflektado tra la origino) estas la ne-sensignifa elemento de la centro.\nTiel por n stranga, la interna au\u0306tomorfismogrupo havas ordon 2n, kaj por n ec\u0302 (krom n = 2) la interna au\u0306tomorfismogrupo havas ordon n.\nPor n strangaj, c\u0302iuj reflektadoj estas konjugato;\nLa rotacioj estas normala subgrupo;\nkonjugacio de reflektado s\u0302ang\u0302as la signon (direkto) de la rotacio, sed alie lasas ilin sens\u0302ang\u0302aj."}, {"text_idx": "#000051", "text": "Dih9 havas 18 internajn au\u0306tomorfismojn.\nKiel 2D Izometria grupo D9, la grupo havas spegulojn je 20\u00b0 intervaloj.\nLa 18 internaj au\u0306tomorfismoj disponigas rotacion de la speguloj de multobloj de 20\u00b0, kaj reflektadojn.\nKiel Izometria grupo tiuj c\u0302iuj au\u0306tomorfismoj estas.\nC\u0302ar abstrakta grupo ekzistas aldone al tiuj, 36 eksteraj au\u0306tomorfismoj, ekz. multobligantaj angulojn de rotacio de 2."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Dih10 havas 10 internajn au\u0306tomorfismojn.\nKiel 2D Izometria grupo D10, la grupo havas spegulojn je 18\u00b0 intervaloj.\nLa 10 internaj au\u0306tomorfismoj disponigas rotacion de la speguloj de multobloj de 36\u00b0, kaj reflektadojn.\nKiel Izometria grupo ekzistas 10 pliaj au\u0306tomorfismoj;\nili estas konjugatoj de izometrioj ekster la grupo, rotaciante la spegulojn 18\u00b0 kun respekto al la internaj au\u0306tomorfismoj.\nC\u0302ar abstrakta grupo ekzistas aldone al tiuj 10 nirgrarandaj trafoj kaj 10 eksteraj au\u0306tomorfismoj, 20 pli eksteraj au\u0306tomorfismoj, ekz. multobligante rotaciojn de 3."}, {"text_idx": "#000053", "text": "Komparu la valorojn 6 kaj 4 por Eulera fi-funkcio, la multiplikan grupon de entjermodulo n por n = 9 kaj 10, respektive.\nTio triobligas kaj duobligas la nombron da au\u0306tomorfismoj komparite kun la du au\u0306tomorfismoj kiel izometrioj (dau\u0306rigante la ordon de la rotacioj la sama au\u0306 inversigante la ordon)."}, {"text_idx": "#000054", "text": "La nuraj valoroj de n por kiu \u03c6 (n) = 2 estas 3, 4, kaj 6, kaj sekve, ekzistas nur tri dihedraj grupoj kiuj estas izomorfaj al siaj propraj au\u0306tomorfismogrupoj, nome Dih3 (ordo 6), Dih4 (ordo 8), kaj Dih6 (ordo 12)."}, {"text_idx": "#000055", "text": "[ citaj\u0302o bezonis ] Interna au\u0306tomorfismogrupo"}, {"text_idx": "#000056", "text": "La interna au\u0306tomorfismogrupo de Dih n estas izomorfa al: [3]"}, {"text_idx": "#000058", "text": "Ekzistas pluraj gravaj g\u0302eneraligoj de la dihedraj grupoj:"}, {"text_idx": "#000059", "text": "La senfina dihedra grupo estas senfina grupo kun algebra strukturo simila al la finhavaj dihedraj grupoj.\nG\u0302i povas esti rigardita kiel la grupo de simetrioj de la entjeroj.\nLa ortogonala grupo O (2), t.e. la geometria simetria grupo de la cirklo, ankau\u0306 havas similajn trajtojn al la dihedraj grupoj.\nLa familio de g\u0302eneraligitaj dihedraj grupoj inkludas ambau\u0306 de la ekzemploj supra, same kiel multaj aliaj grupoj.\nLa kvazau\u0306dihedraj grupoj estas familio de finiaj grupoj kun similaj trajtoj al la dihedraj grupoj."}]