[{"text_idx": "#000001", "text": "(marto 2013) En aroteorio, la aksiomskemo de anstatau\u0306aj\u0302o estas skemo de aksiomoj en Zermelo-Fraenkel aroteorio (ZFC) kiu asertas ke la bildo de iu aro sub iu difinebla mapado ankau\u0306 estas aro.\nG\u0302i estas necesa por la konstruado de certaj senfinaj aroj en ZFC."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La aksiomo kiun skemo estas instigita per la ideo ke c\u0302u klaso estas aro dependas nur de la kardinaleco de la klaso, ne de la vico da g\u0302iaj elementoj.\nTiel, se unu klaso estas \"sufic\u0302e malgranda\" esti aro, kaj ekzistas surjektion de tiu klaso g\u0302is dua klaso, la aksiomo deklaras ke la dua klaso ankau\u0306 estas aro.\nTamen, c\u0302ar ZFC nur parolas pri aroj, ne bonordajn klasojn, la skemo estas deklarita nur por difineblaj surjektion, kiuj estas identigitaj kun siaj difinaj formuloj."}, {"text_idx": "#000003", "text": "6 rilato al la aksiomskemo de apartigo"}, {"text_idx": "#000004", "text": "Suppose P estas difinebla duargumenta rilato (kiu povas esti bonorda klaso) tia ke por c\u0302iu aro x ekzistas unika aro y tia ke P ( x, y) tenas.\nEkzistas ekvivalenta difinebla funkcio F da P , kie F da P ( X\nY se kaj nur se P ( X, Y);\nF ankau\u0306 estos bonorda klaso se P estas.\nPripensu la (eventuale bonordan) klason B difinita tia por c\u0302iu metita y, y estas en B se kaj nur se ekzistas x en A kun F da P ( x"}, {"text_idx": "#000005", "text": "La aksiomskemo de anstatau\u0306aj\u0302o deklaras ke se F estas difinebla klasfunkcio, c\u0302ar supra, kaj A estas ajna aro, tiam la bildo F [ A] ankau\u0306 estas aro.\nTio povas esti vidita kiel principo de malgrandeco: la aksiomo deklaras ke se A estas sufic\u0302e malgranda por esti aro, tiam F [ A] ankau\u0306 estas sufic\u0302e malgranda por esti aro.\nG\u0302i estas implicita per la pli forta aksiomo de limigo de grandeco."}, {"text_idx": "#000006", "text": "C\u0302ar estas maleble kvantigi super difineblaj funkcioj en unuaorda logiko, unu kazo de la skemo estas inkludita por c\u0302iu formulo \u03c6 en la lingvo de aroteorio kun liberaj variabloj inter w 1\nsed B ne estas libera en \u03c6.\nEn la formala lingvo de aroteorio, la aksiomskemo estas:"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Al la aksiomskemo de kolekto estas proksime rilatita kaj ofte konfuzita kun la aksiomskemo de anstatau\u0306aj\u0302o.\nDum anstatau\u0306aj\u0302o diras ke la bildo mem estas aro, kolekto simple diras ke iu superklaso de la bildo estas aro.\nEn aliaj vortoj, la rezulta aro, B, ne estas postulata por esti minimuma."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Al Tiu versio de kolekto ankau\u0306 mankas la unikecpostulo sur \u03c6.\nSupozu ke la liberaj variabloj de \u03c6 estas inter w 1\nsed nek A nek B estas liberaj en \u03c6."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Tio estas, la rilato difinita per \u03c6 ne estas postulata por esti funkcio - iu x en A povas egalrilati al multobla y en B.\nEn tiu kazo, la bildaro B kies ekzisto estas asertita devas enhavi almenau\u0306 unu tian y por c\u0302iu x de la origina aro, kun neniu garantio ke g\u0302i enhavos nur unun."}, {"text_idx": "#000010", "text": "La aksiomskemo foje estas deklarita sen antau\u0306aj restriktoj (krom B ne okazante libera en \u03c6) sur la predikato, \u03c6:"}, {"text_idx": "#000011", "text": "En tiu kazo, povas ekzisti elementoj x en A kiuj ne estas asociitaj al iuj aliaj aroj per \u03c6.\nTamen, la aksiomskemo tiel fiksita postulas ke, se elemento x de A estas rilata al almenau\u0306 unu aro y, tiam la bildaro B enhavos almenau\u0306 unu tian y.\nLa rezulta aksiomskemo ankau\u0306 estas nomita la aksiomskemo de limiteco."}, {"text_idx": "#000012", "text": "La aksiomskemo de kolekto estas ekvivalenta al la aksiomskemo de anstatau\u0306aj\u0302o super la resto de la ZF-aksiomoj.\nTamen, tio estas ne tiel en la foresto de la Aro De C\u0302iuj Subaroj-Aksiomo au\u0306 helpema ekvivalento de ZF, kie Collection estas pli forta."}, {"text_idx": "#000013", "text": "La orda pli sensenta \u03c9\n2 = \u03c9 + \u03c9 (utiliganta la modernan difinon pro Von Neumann) estas la unua orda numeralo kiu ne povas esti konstruita sen anstatau\u0306aj\u0302o.\n, kaj nur tiu sekvenco.\nTamen, arbitraj klasoj de ordaj numeraloj ne devas esti aroj (la klaso de c\u0302iuj ordaj numeraloj ne estas aro, ekzemple).\nAnstatau\u0306aj\u0302o permesas oni anstatau\u0306igi c\u0302iun finhavan nombron da n en \u03c9 kun la ekvivalenta \u03c9 + n, kaj garantias ke tiu klaso estas aro.\nNotu ke oni povas facile konstrui bonordan meti tion estas izomorfa al \u03c9\n2 sen frekventado anstatau\u0306aj\u0302o - simple prenas la disan union de du kopioj de \u03c9, kun la dua kopio pli grandaj ol la unua - sed ke tio ne estas orda numeralo c\u0302ar g\u0302i ne estas totale ordonita per inkludo."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Klare tiam, la ekzisto de tasko de orda numeralo al c\u0302iu bonorda aro postulas anstatau\u0306aj\u0302on ankau\u0306.\nSimile la Von Neumann-kardinaltasko kiu asignas povon de aro al c\u0302iu aro postulas anstatau\u0306aj\u0302on, same kiel libera-elekto-aksiomon."}, {"text_idx": "#000016", "text": "La libera-elekto-aksiomo sen anstatau\u0306aj\u0302o (ZC-aroteorio) ne estas sufic\u0302e forta por montri ke Borel metas estas determinitaj;\npor tio, anstatau\u0306aj\u0302o estas postulata."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Zermelo mem neniam akceptis la formulig\u0302on de Skolem de la aksiomskemo de anstatau\u0306aj\u0302o.\nC\u0302e unu poento li vokis la aliro- \"aroteorion de Skolem de la malric\u0302a\".\nZermelo antau\u0306vidis sistemon kiu enkalkulus grandajn kardinalojn.\nLi ankau\u0306 protestis forte kontrau\u0306 la filozofiaj implicoj de nombreblaj modeloj de aroteorio, kiu sekvis el la unuaorda aksiomigo de Skolem.\nLau\u0306 la biografio de Zermelo de Heinz-Dieter Ebbinghaus, la malaprobo de Zermelo de la aliro de Skolem markis la finon de la influo de Zermelo sur la evoluoj de aroteorio kaj logiko."}, {"text_idx": "#000022", "text": "La aksiomskemo de anstatau\u0306aj\u0302o draste pliigas la forton de ZF, ambau\u0306 lau\u0306 la teoremoj kiujn g\u0302i povas pruvi kaj lau\u0306 sia pruv-teoria konsistencforto, komparite kun Z. In-unuopo, ZF pruvas la konsistencon de Z, kiel la aro V\u03c9\n2 estas modelo de Z kies ekzisto povas esti pruvita en ZF.\n( La dua nekompleteco-teoremo de Go\u0308del montras ke c\u0302iu el tiuj teorioj enhavas frazon, \"esprimante\" la propran konsistencon de la teorio, kiu estas nepruvebla en tiu teorio, se tiu teorio estas koheraj (tiu rezulto ofte estas loze esprimita kiel la aserto ke nek de tiuj teorioj povas pruvi g\u0302ian propran konsistencon, se g\u0302i estas kohera.\nLa povo de aro estas la unua unu kiu povas esti montrita ekzisti en ZF sed ne en Z."}, {"text_idx": "#000023", "text": "La aksiomskemo de anstatau\u0306aj\u0302o ne estas necesa por la pruvoj de la plej multaj teoremoj de ordinara matematiko.\nEfektive, Zermelo aroteorio jam povas interpreti duaordan aritmetikon kaj multe de teorio de tipoj en finhavaj tipoj, kiuj en victurno estas sufic\u0302aj formaligi la plejparton de matematiko.\nRimarkinda matematikteoremo kiu postulas la aksiomon de anstatau\u0306aj\u0302o esti pruvita en ZF estas la Borel-Determinecteoremo."}, {"text_idx": "#000024", "text": "La aksiomo de anstatau\u0306aj\u0302o havas gravan rolon en la studo de aroteorio mem.\nEkzemple, la anstatau\u0306iga skemo estas necesa por konstrui la Von Neumann-ordajn numeralojn el \u03c9\nsen anstatau\u0306aj\u0302o, estus necese trovi iun alian reprezentantaron por numeroj."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Kvankam la aksiomskemo de anstatau\u0306aj\u0302o estas norma aksiomo en aroteorio hodiau\u0306, g\u0302i ofte estas preterlasita de sistemoj de teorio de tipoj kaj fundamentsistemoj en topos teorio."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Rilato al la aksiomskemo de apartigo"}, {"text_idx": "#000027", "text": "La aksiomskemo de apartigo, la alia aksiomskemo en ZFC, estas implicita per la aksiomskemo de anstatau\u0306aj\u0302o kaj la aksiomo de malplena aro.\nMemoru ke la aksiomskemo de apartigo inkludas"}, {"text_idx": "#000028", "text": "por c\u0302iu formulo \u03b8 en la lingvo de aroteorio en kiu B ne estas libera."}, {"text_idx": "#000029", "text": "La pruvo estas kiel sekvas.\nKomencig\u0302i kun formulo \u03b8 (C) kiu ne mencias B, kaj aron A.\nSe neniu elemento E de A kontentigas \u03b8 tiam la aro B dezirita per la signifa kazo de la aksiomskemo de apartigo estas la malplena aro.\nAlie, elektas fiksan E en A tia ke \u03b8 ( E) tenas.\nDifinu klasfunkcion F tia ke F ( D\nE se \u03b8 ( D) estas falsaj.\nekzistas, de la aksiomo de anstatau\u0306aj\u0302o, kaj estas g\u0302uste la aro B necesa por la aksiomo de apartigo."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Tiu rezulto montras ke g\u0302i estas ebla al aksiomatize ZFC kun ununura senfina aksiomskemo.\nC\u0302ar almenau\u0306 unu tia senfina skemo estas postulata (ZFC ne estas finhave aksiomatizabla), tio montras ke la aksiomskemo de anstatau\u0306aj\u0302o povas stari kiel la nura senfina aksiomskemo en ZFC se dezirite.\nC\u0302ar la aksiomskemo de apartigo ne estas sendependa, g\u0302i foje estas preterlasita de nuntempaj deklaroj de la Zermelo-Fraenkel-aksiomoj."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Apartigo dau\u0306re estas grava, aliflanke, por uzo en fragmentoj de ZFC, pro historiaj konsideroj, kaj por komparo kun alternativaj aksiomigoj de aroteorio.\nFormulig\u0302o de aroteorio kiu ne inkludas la aksiomon de anstatau\u0306aj\u0302o vers\u0302ajne inkludos iun formon de la aksiomo de apartigo, por certigi ke g\u0302iaj modeloj enhavu sufic\u0302e ric\u0302an kolekton de aroj.\nEn la studo de modeloj de aroteorio, estas foje utile pripensi modelojn de ZFC sen anstatau\u0306aj\u0302o, kiel ekzemple la modelojen la hierarkio de Von Neumann."}, {"text_idx": "#000032", "text": "La pruvo supre utiligas la leg\u0302o pri elimino de tria en supozado ke se A estas nonempty tiam g\u0302i devas enhavi elementon (en intuitionista logiko, aro estas \"malplena\" se g\u0302i ne enhavas elementon, kaj \"nonempty\" estas la formala negacio de tio, kio estas pli malforta ol \"enhavas elementon\").\nLa aksiomo de apartigo estas inkludita en intuitionista aroteorio."}, {"text_idx": "#000035", "text": "La leg\u0302oj de De Morgan"}]