[{"text_idx": "#000001", "text": "En algebro, finhave generita grupo estas grupo G kiu havas iun finhavan generadon metitan al S tiel ke c\u0302iu elemento de G povas esti skribita kiel la produkto de finhave multaj elementoj de la finhava metite al S kaj de enversoj de tiaj elementoj."}, {"text_idx": "#000002", "text": "C\u0302iu finhava grupo estas finhave generita, c\u0302ar S povas esti mang\u0302ita por esti G mem.\nC\u0302iu senfina finhave generita grupo devas esti nombrebla.\nGrupo kiu estas generita per ununura elemento estas nomita cikla.\nC\u0302iu senfina cikla grupo estas izomorfa al la aldona grupo de la entjeroj Z.\nLa aldona grupo de raciaj nombroj Q, dum nombreble, ne estas finhave generita."}, {"text_idx": "#000003", "text": "2 Finhave generis abelajn grupojn"}, {"text_idx": "#000004", "text": "C\u0302iu kvociento de finhave generita grupo estas finhave generita.\nTamen, subgrupo de finhave generita grupo ne devas esti finhave generita.\nEkzemple, la kolektorsubgrupo de la libera grupo F 2 sur du generatoroj ne estas finhave generita.\nTamen, subgrupo de finhava indekso en finhave generita grupo c\u0302iam estas finhave generita, kaj la Schreier-indicformulo donas saltegon sur la nombro da generatoroj necesa."}, {"text_idx": "#000005", "text": "En finhave generita abela grupo per generatoroj x 1\nx n , c\u0302iu grupelemento x povas esti skribita en la formo"}, {"text_idx": "#000006", "text": "(C\u0302iu abela grupo povas esti vidita kiel modulo super la ringo de entjeroj Z."}, {"text_idx": "#000007", "text": "La bazteoremo de finhave generitaj abelaj grupoj s\u0302tatoj ke finhave generita abela grupo estas la rekta sumo de libera abela grupo de finhava rango kaj finhava abela grupo, c\u0302iu el kiuj estas unika supren al izomorfio."}, {"text_idx": "#000008", "text": "La krado de subgrupoj de grupo kontentigas la ascendantan c\u0302enkondic\u0302on se kaj nur se c\u0302iuj subgrupoj de la grupo estas finhave generitaj."}, {"text_idx": "#000009", "text": "La vorto problemo por finhave generita grupo estas la decidoproblemo c\u0302u du vortoj en la generatoroj de la grupo reprezentas la saman elementon.\nLa vorto problemo por antau\u0306fiksitan finhave generitan grupon estas solvebla se kaj nur se la grupo povas esti enkonstruita en c\u0302iu algebre fermita grupo."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Grupo estas loke finhava se c\u0302iu finhave generita subgrupo estas finhava.\nC\u0302iu loke finhava grupo estas perioda, t.e., c\u0302iu elemento havas finhavan ordon.\nInverse, c\u0302iu perioda abela grupo estas loke finhava."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Grupo estas loke cikla se c\u0302iu finhave generita subgrupo estas cikla.\nLa aldona grupo de la raciaj nombroj Q estas ekzemplo de ne-cikla loke cikla grupo.\nC\u0302iu loke cikla grupo estas abela.\nC\u0302iu finhav-generita loke cikla grupo estas cikla."}]