[{"text_idx": "#000001", "text": "Kompleksa nombro estas nombro kiu povas esti esprimita en la formo + busoj , kie a kaj b estas realaj nombroj, kaj mi estas solvo de la ekvacio x 2 = \u22121, kiu estas nomita imaga nombro c\u0302ar ekzistas neniu reala nombro kiu kontentigas tiun ekvacion.\nPor la komplekso numeras + busoj , estas nomita la reela parto , kaj b estas nomita la imaginara parto .\nMalgrau\u0306 la historia nomenklaturo \"imagaj\", kompleksaj nombroj estas rigarditaj en la matematikaj sciencoj tiel ekzakte kiel \"realoj\" kiel la realaj nombroj, kaj estas fundamentaj en multaj aspektoj de nia priskribo de la natura mondo."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La kompleksanombra sistemo povas esti difinita kiel la algebra etendaj\u0302o de la ordinaraj realaj nombroj per imaga nombro mi .\nTio signifas ke kompleksaj nombroj povas esti aldonitaj, subtrahitaj, kaj multobligis, kiel polinomoj en la variablo mi , kun la regulo mi 2 = \u22121 trudis.\nKrome, kompleksaj nombroj ankau\u0306 povas esti dividitaj per nonzero-kompleksnombroj.\nTotala, la kompleksanombra sistemo estas kampo."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Plej grave la kompleksaj nombroj kau\u0306zas la algebra bazteoremo: c\u0302iu ne-konstanta polinom ekvacio kun kompleksookoeficientoj havas kompleksoosolvon.\nTiu posedaj\u0302o estas vera de la kompleksaj nombroj, sed ne la realoj.\nLa 16-a-jarcenta itala matematikisto Gerolamo Cardano estas meritigita je lanc\u0302ado de kompleksaj nombroj en siaj provoj trovi solvojn al triagradaj ekvacioj."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Geometrie, kompleksaj nombroj etendas la koncepton de la unu-dimensia numero-linio al la dudimensia kompleksa ebeno uzante la abscison por la reela parto kaj la y-akson por la imaginara parto.\nLa komplekso numeras + busoj povas esti identigita kun la punkto (, b) en la kompleksa ebeno.\nKomplekso numeri kies reelan parton estas nul lau\u0306dire estas sole imaga;\nla punktoj por tiuj nombroj situas sur la y-akso de la kompleksa ebeno.\nKomplekso numeri kies imaginaran parton estas nul povas esti rigardita kiel reala nombro;\ng\u0302ia punkto situas sur la absciso de la kompleksa ebeno.\nKompleksaj nombroj ankau\u0306 povas esti reprezentitaj en polusa formo, kiu asocias c\u0302iun kompleksan nombron kun it distanco de la origino (sia magnitudo) kaj kun speciala angulo konata kiel la argumento de tiu kompleksa nombro."}, {"text_idx": "#000006", "text": "Karteza formo kaj difino tra ordaj duopoj"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Multipliko kaj dividado en polusa formo"}, {"text_idx": "#000008", "text": "Kompleksaj eksponentaj kaj rilataj funkcioj"}, {"text_idx": "#000009", "text": "Kompleksaj nombroj permesas solvojn al certaj ekvacioj kiuj havas neniujn solvojn en realaj nombroj."}, {"text_idx": "#000010", "text": "havas neniun realan solvon, c\u0302ar la kvadrato de reala nombro ne povas esti negativa.\nKompleksaj nombroj disponigas solvon al tiu problemo.\nLa ideo estas etendi la realajn nombrojn kun nedeterminita mi (foje nomita la imaginara unuo) tio estas prenita por kontentigi la rilaton mi 2 = \u22121, tiel ke solvoj al ekvacioj kiel la antau\u0306irado tia povas esti trovitaj.\nEn tiu kazo la solvoj estas \u22121 + 3i kaj \u22121 \u2212 3i , kiel povas esti konfirmitaj utiligante la fakton tio mi 2 = \u22121:"}, {"text_idx": "#000011", "text": "Lau\u0306 la algebra bazteoremo, c\u0302iuj polinomekvacioj kun realaj au\u0306 kompleksookoeficientoj en ununura variablo havas solvon en kompleksaj nombroj."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Kompleksa nombro estas kelkaj el la formo + busoj , kie a kaj b estas realaj nombroj kaj mi estas nedeterminita kontentigado mi 2 = \u22121.\nEkzemple, 2 + 3i estas kompleksa nombro."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Kompleksa nombro povas tial esti difinita kiel polinomo en la unuopaj\u0302o nedeterminita mi , kun la rilato mi 2 + 1 = 0 trudita.\nDe tiu difino, kompleksaj nombroj povas esti aldonitaj au\u0306 multobligitaj, uzante la aldonon kaj multiplikon por polinomoj.\nFormale, la aro de kompleksaj nombroj estas la kvocientringo de la polinomringo en la nedeterminita mi , de la idealo generita per la polinomo mi 2 + 1 (vidu malsupre)."}, {"text_idx": "#000014", "text": "La realoj numeras estas nomita la reela parto de la komplekso numeras + busoj ;\nla reala pli sensenta b estas nomita la imaginara parto de + busoj .\nDe tiu kongreso, la imaginara parto ne inkludas faktoron de mi: tial b, ne busoj , estas la imaginara parto.\nLa reela parto de kompleksa nombro z estas indikita fare de Re ( z) au\u0306 R ( z);\nla imaginara parto de kompleksa nombro z estas indikita fare de Im ( z) au\u0306 I ( z)."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Realoj numeras ladskatolon estu rigarditaj kiel komplekso numeras + 0i kies imaginara parto estas 0-a A sole imaga nombro busoj estas kompleksa nombro 0 + busoj kies reela parto estas nul.\nOni ofte skribas por + 0i kaj busoj por 0 + busoj .\nKrome, kiam la imaginara parto estas negativa, oni ofte skribas \u2212 busoj kun b > 0 anstatau\u0306e de\nb) mi , ekzemple 3 \u2212 4i anstatau\u0306e de 3 + (\u22124) mi ."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Kompleksa nombro povas tiel esti identigita kun orda duopo (Re ( z), Im ( z) en la karteza aviadilo, identigo foje konata kiel la karteza formo de z.\nFakte, kompleksa nombro povas esti difinita kiel orda duopo (, b), sed tiam regas por aldono kaj multipliko ankau\u0306 devas esti inkludita kiel parto de la difino (vidi malsupre).\nWilliam Rowan Hamilton lanc\u0302is tiun aliron al difini la kompleksanombran sistemon."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Kompleksa nombro povas esti rigardita kiel punkto au\u0306 poziciovektoro en dudimensia karteza koordinatsistemo nomita la kompleksa ebeno au\u0306 Argand-diagramo (vidu Pedoe 1988 kaj Solomentsev 2001), nomita lau\u0306 Jean-Robert Argand.\nLa nombroj estas konvencie punktskribitaj utiligante la reelan parton kiel la horizontalan komponenton, kaj imaginaran parton kiel vertikalo (vidu Figure 1).\nTiuj du valoroj kutimis identigi antau\u0306fiksitan kompleksan nombron estas tial nomitaj g\u0302ia kartezaj, rektangulaj, au\u0306 algebra formo."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Poziciovektoro ankau\u0306 povas esti difinita lau\u0306 sia magnitudo kaj direkto relative al la origino.\nTiuj estas emfazitaj en la polusa formo de kompleksa nombro.\nUzi la polusan formon de la kompleksa nombro en kalkuloj povas konduki al pli intuicia interpreto de matematikaj rezultoj.\nPrecipe, la operacioj de aldono kaj multipliko alfrontas tre naturan geometrian karakteron kiam kompleksaj nombroj estas rigarditaj kiel poziciovektoroj: aldono egalrilatas al vektoraldono dum multipliko egalrilatas al multobligado de iliaj magnitudoj kaj aldonado de iliaj argumentoj (t.e. la anguloj ili faras kun la absciso).\nRigardite lau\u0306 tiu maniero al la multipliko de kompleksa nombro de mi egalrilatas al rotaciado de la poziciovektoro maldekstrume per kvaronturno ( 90\u00b0) koncerne la originon:\n(a+ busoj) mi = akeo + busoj 2 = - b+ akeo ."}, {"text_idx": "#000019", "text": "La solvo en radikaluloj (sen trigonometria funkcio) de g\u0302enerala triagrada ekvacio enhavas la kvadratajn radikojn de negativaj nombroj kiam c\u0302iuj tri radikoj estas realaj nombroj, situacio kiu ne povas esti g\u0302ustigita per faktorigado helpis per la racia radiktesto se la kubiko estas nereduktebla (la tielnomitaj casuj irreducibilis).\nTiu enigmo gvidis itala matematikisto Gerolamo Cardano elpensi kompleksaj nombroj en c\u0302irkau\u0306 1545, [11] kvankam lia kompreno estis rudimenta."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Laboro en la problemo de g\u0302eneralaj polinomoj finfine kondukis al la algebra bazteoremo, kiu montras ke kun kompleksaj nombroj, solvo ekzistas al c\u0302iu polinom ekvacio de grado oni au\u0306 pli alta.\nKompleksaj nombroj tiel formas algebre fermitan kampon, kie c\u0302iu polinom ekvacio havas radikon."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Multaj matematikistoj kontribuis al la plenformig\u0302o de kompleksaj nombroj.\nLa reguloj por aldono, subtraho, multipliko, kaj dividado de kompleksaj nombroj estis evoluigitaj fare de la itala matematikisto Rafael Bombelli.\nPli abstrakta formalismo por la kompleksaj nombroj estis plue evoluigita fare de la irlanda matematikisto William Rowan Hamilton, kiu etendis tiun abstraktadon al la teorio de kvaropoj."}, {"text_idx": "#000022", "text": "C\u0302ar g\u0302i estas polinomo en la nedeterminita mi , + ib povas esti skribita anstatau\u0306e de + busoj , kio ofte estas oportuna kiam b estas radikalulo.\nEn kelkaj disciplinoj, aparte elektromagnetismo kaj elektrotekniko, j estas uzita anstatau\u0306e de mi , [14] c\u0302ar mi estas ofte uzita por elektra kurento.\nEn tiuj kazoj kompleksaj nombroj estas skribitaj kiel + bj au\u0306 + jb ."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Du kompleksaj nombroj estas egalaj se kaj nur se kaj iliaj realaj kaj imaginaraj partoj estas egalaj.\nSe la kompleksaj nombroj estas skribitaj en polusa formo, ili estas egalaj se kaj nur se ili havas la saman argumenton kaj la saman magnitudon."}, {"text_idx": "#000024", "text": "C\u0302ar kompleksaj nombroj estas kompreneble opiniitaj de kiel ekzistante sur dudimensia aviadilo, ekzistas neniu natura linia mendado sur la aktoraro de kompleksaj nombroj.\nKrome, ekzistas neniu linia mendado sur la kompleksaj nombroj kiu estas kongrua kun aldono kaj multipliko - la kompleksaj nombroj ne povas havi la strukturon de ordigita kampo.\nTio estas c\u0302ar c\u0302iu kvadrato en ordigita kampo estas almenau\u0306 0, sed mi 2 = \u22121."}, {"text_idx": "#000025", "text": "La kompleksa konjugito de la kompleksa nombro z = x -+ ii estas difinita por esti x -\u2212 ii ."}, {"text_idx": "#000026", "text": "La realaj kaj imaginaraj partoj de kompleksa nombro z povas esti eltiritaj uzante la konjugaton:"}, {"text_idx": "#000027", "text": "Krome, kompleksa nombro estas reala se kaj nur se g\u0302i korespondas al sia propra konjugato."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Konjugacio distribuas super la normaj aritmetikoperacioj:"}, {"text_idx": "#000029", "text": "Kompleksaj nombroj estas aldonitaj aparte aldonante la realajn kaj imaginarajn partojn de la sumands."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Simile, subtraho estas difinita per"}, {"text_idx": "#000031", "text": "Utiligante la bildigon de kompleksaj nombroj en la kompleksa ebeno, la aldono havas la sekvan geometrian interpreton: la sumo de du kompleksaj nombroj A kaj B, interpretita kiel punktoj de la kompleksa ebeno, estas la punkto X akirita konstruante paralelogramon, tri el kies verdglacioj estas O, A kaj B.\nEkvivalente, X estas la punkto tia ke la trianguloj kun verdglacioj O, A, B, kaj Xa, B, A, estas kongruaj."}, {"text_idx": "#000032", "text": "La multipliko de du kompleksaj nombroj estas difinita per la sekva formulo:"}, {"text_idx": "#000034", "text": "Aparte, la kvadrato de mi estas \u22121:"}, {"text_idx": "#000035", "text": "La antau\u0306a difino de multipliko de g\u0302eneralaj kompleksaj nombroj sekvas nature el tiu fundamenta posedaj\u0302o de mi.\nEfektive, se mi estas traktita kiel nombro tiel ke di signifas d tempojn mi , c\u0302i-supra multiplikregulo estas identaj al la kutima regulo por multobligado de du sumoj de du esprimoj."}, {"text_idx": "#000036", "text": "La dividado de du kompleksaj nombroj estas difinita lau\u0306 kompleksoomultipliko, kiu estas priskribita supre, kaj realan dividadon.\nKiam almenau\u0306 unu el c kaj d estas ne-nula, ni havas"}, {"text_idx": "#000037", "text": "Dividado povas esti difinita lau\u0306 tiu maniero pro la post observado:"}, {"text_idx": "#000038", "text": "Kiel montrite pli frue, c \u2212 di estas la kompleksa konjugito de la denominatoro c + di .\nAlmenau\u0306 unu el la reelparta c kaj la imaginara parto d de la denominatoro devas esti nonzero por dividado por esti difinita.\nTio estas nomita \" raciigo \" de la denominatoro (kvankam la denominatoro en la fina esprimo eble estos neracia reala nombro)."}, {"text_idx": "#000039", "text": "La reciproka de nonzero-kompleksnombro z = x -+ ii ricevas per"}, {"text_idx": "#000040", "text": "Tiu formulo povas esti uzita por komputi la multiplikan inversan de kompleksa nombro se g\u0302i ricevas en rektangulaj koordinatoj.\nInversiva geometrio, branc\u0302o de geometrio studanta reflektadojn pli da generalo ol tiaj koncerne linion, ankau\u0306 povas esti esprimita lau\u0306 kompleksaj nombroj.\nEn la sendostacia analizo de elektraj cirkvitoj, la kompleksa konjugito estas uzita en trovado de la ekvivalenta impedanco kie la maksimuma potencotransiga teoremo estas utiligita."}, {"text_idx": "#000041", "text": "kie sgn estas la signum funkcio."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Alternativa maniero difini punkto P en la kompleksa ebeno, krom uzado de la x- kaj y-koordinato, devas uzi la distancon de la punkto de O, la punkto kies koordinatoj estas (0, 0) (la origino), kune kun la angulo subtendita inter la pozitiva reala akso kaj la liniparta OPERACIO en maldekstrume direkto.\nTiu ideo kondukas al la polusa formo de kompleksaj nombroj."}, {"text_idx": "#000043", "text": "La absoluta valoro (au\u0306 modulus au\u0306 magnitudo) de kompleksa nombro z = x -+ ii estas [19]"}, {"text_idx": "#000044", "text": "Se z estas reala nombro (t.e., se y = 0), tiam r\nTio estas, la absoluta valoro de reala nombro korespondas al sia absoluta valoro kiel kompleksa nombro."}, {"text_idx": "#000045", "text": "De la teoremo de Pitagoro, la absoluta valoro de kompleksa nombro estas la distanco al la origino de la punkto reprezentanta la kompleksan nombron en la kompleksa ebeno."}, {"text_idx": "#000046", "text": "La kvadrato de la absoluta valoro estas"}, {"text_idx": "#000047", "text": "Normale, kiel surbaze de supra, la c\u0302efvaloro en la intervalo (\u2212\u03c0, \u03c0] estas elektita.\nValoroj en la intervalo [0,2\u03c0) akirig\u0302as adiciante 2\u03c0 c\u0302u la valoro estas negativa.\nLa valoro de \u03c6 estas esprimita en Radianoj en tiu artikolo.\nG\u0302i povas pliig\u0302i de iu entjermultoblo de 2\u03c0 kaj trankviligi donas la saman angulon.\nTial, la argfunkcio foje estas konsiderita multivalueitan.\nLa polusa angulo por la kompleksa nombro 0 estas nedeterminita, sed arbitra elekto de la angulo 0 estas ofta."}, {"text_idx": "#000048", "text": "La valoro de \u03c6 korespondas al la rezulto de atan2:"}, {"text_idx": "#000049", "text": "Kune, r kaj \u03c6 kolapsas alian de reprezentado de kompleksaj nombroj, la polusan formo, c\u0302ar la kombinaj\u0302o de modulus kaj argumento plene precizigas la pozicion de punkto sur la aviadilo.\nReakiri la originalon rektangulan kunordigas de la polusa formo estas farita per la formulo nomita trigonometria formo"}, {"text_idx": "#000050", "text": "\\displaistile z r (\\kos \\varfi +i\\sin \\varfi)."}, {"text_idx": "#000051", "text": "Uzi eu\u0306leran formulon tion povas esti skribita kiel"}, {"text_idx": "#000052", "text": "Uzante la cis funkcion, al kiun tio foje estas mallongigita"}, {"text_idx": "#000053", "text": "En angulnotacio, ofte utiligita en elektroniko por reprezenti fasor kun amplitudo r kaj fazo \u03c6, g\u0302i estas skribita kiel [21]"}, {"text_idx": "#000054", "text": "Formuloj por multipliko, dividado kaj potenco estas pli simplaj en polusa formo ol la ekvivalentaj formuloj en kartezaj koordinatoj.\nSurbaze de du kompleksaj nombroj z 1 = r 1 (cos\u03c61 + I pekas \u03c61) kaj z 2 = r 2 (cos\u03c62 + I pekas \u03c62), pro la bonkonataj trigonometriaj identecoj"}, {"text_idx": "#000055", "text": "En aliaj vortoj, la absolutaj valoroj estas multobligitaj kaj la argumentoj estas aldonitaj doni la polusan formon de la produkto.\nEkzemple, multobligante de mi egalrilatas al kvaron-turno maldekstrume, kiu donas reen mi 2 = \u22121.\nLa bildo c\u0302e la dekstro ilustras la multiplikon de"}, {"text_idx": "#000057", "text": "C\u0302ar la arksunbrun funkcio povas esti aproksimita altagrade efike, formuloj kiel tio - konataj kiel Machin-similaj formuloj - estas utiligitaj por alt-precizecaj aproksimadoj de \u03c0."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Eu\u0306lerformulo s\u0302tatoj tio, por iu reala nombro x,"}, {"text_idx": "#000059", "text": "kie e estas la fundamento de la natura logaritmo.\nTio povas esti pruvita tra indukto observante tion"}, {"text_idx": "#000060", "text": ", kaj de pripensado la serio de Taylor vastig\u0302oj de e ixa , x kaj peko x :"}, {"text_idx": "#000061", "text": "La rearang\u0302o de esprimoj estas pravigita c\u0302ar c\u0302iu serio estas absolute konverg\u0302a."}, {"text_idx": "#000062", "text": "G\u0302i sekvas el eu\u0306lera formulo tion, por iu kompleksa nombro z skribita en polusa formo,"}, {"text_idx": "#000063", "text": "kie r estas ne-negativa reala nombro, unu ebla valoro por la kompleksa logaritmo de z estas"}, {"text_idx": "#000065", "text": "C\u0302ar kosinuso kaj sine estas periodaj funkcioj, aliaj eblaj valoroj povas esti akiritaj."}, {"text_idx": "#000066", "text": "Por trakti la ekziston de pli tiu ebla valoro por antau\u0306fiksita enigaj\u0302o, la kompleksa logaritmo povas esti konsiderita multi-aprezitfunkcio, kun"}, {"text_idx": "#000067", "text": "Alternative, branc\u0302otranc\u0302ao povas esti uzita por difini unu-aprezitan \"branc\u0302on\" de la kompleksa logaritmo."}, {"text_idx": "#000069", "text": "por difini kompleksan potencon, kiu estas same multi-aprezit:"}, {"text_idx": "#000070", "text": "Kiam n estas entjero, tio simpligas al formulo de de Moivre:"}, {"text_idx": "#000071", "text": "La aj radikoj de z ricevas per"}, {"text_idx": "#000072", "text": "por iu entjero k kontentiganta 0 \u2264 k \u2264 n \u2212 1.\nC\u0302i tie n \u221a r estas la kutima (pozitiva) a radiko de la pozitiva reala pli sensenta r.\nDum la a radiko de pozitiva reala pli sensenta r estas elektita esti la pozitiva reala nombro c kontentiganta c n = r ekzistas neniu natura maniero distingi unu speciala kompleksan a radiko de kompleksa nombro.\nTial, la a radiko de z estas konsiderita multivalueitan funkcion (en z), kontraste al kutima funkcio f, c\u0302ar kiu f ( z) estas unike difinita nombro."}, {"text_idx": "#000073", "text": "(kiu tenas por pozitivaj realaj nombroj), enen generalo ne tenas por kompleksaj nombroj."}, {"text_idx": "#000074", "text": "La aro C da kompleksaj nombroj estas kampo.\nNelonge, tio signifas ke la sekvaj faktoj tenas: unue, c\u0302iuj du kompleksaj nombroj povas esti aldonitaj kaj multobligitaj por doni alian kompleksan nombron.\nDue, por iu kompleksa nombro z, g\u0302ia aldona inversa \u2212 z ankau\u0306 estas kompleksa nombro;\nkaj trie, c\u0302iu nonzero-kompleksnombro havas reciprokan kompleksan nombron.\nKrome, tiuj operacioj kontentigas kelkajn leg\u0302ojn, ekzemple la leg\u0302on de komuteco de aldono kaj multipliko por iu du kompleksaj nombroj z 1 kaj z 2 :"}, {"text_idx": "#000075", "text": "Tiuj du leg\u0302oj kaj la aliaj postuloj pri kampo povas esti pruvitaj per la formuloj antau\u0306fiksitaj supre, utiligante la fakton ke la realaj nombroj mem formas kampon."}, {"text_idx": "#000076", "text": "Male al la realoj, C ne estas ordigita kampo, kiu devas diri, ke estas ne eble difini rilato z 1 < z 2 kiun tio estas kongrua kun la aldono kaj multipliko.\nFakte, en iu ordigita kampo, la kvadrato de iu elemento estas nepre pozitiva, tiel ke mi 2 = \u22121 malhelpas la ekziston de mendado sur C."}, {"text_idx": "#000077", "text": "Kiam la subesta kampo por matematika temo au\u0306 konstrukcio estas la kampo da kompleksaj nombroj, la nomo de la temo estas kutime modifita por reflekti tiun fakton.\nkompleksa analitiko, kompleksa matrico, kompleksa polinomo, kaj kompleksa Lie-algebro."}, {"text_idx": "#000078", "text": "Surbaze de iu komplekso numeras (nomite koeficientoj) 0"}, {"text_idx": "#000079", "text": "c\u0302u almenau\u0306 unu kompleksa solvo z havas, kondic\u0302e ke almenau\u0306 unu el la pli altaj koeficientoj 1\nTio estas la deklaro de la algebra bazteoremo , de Carl Friedrich Gauss kaj Jean le Rond d'Alembert.\nPro tiu fakto, C estas nomita algebre fermita kampo.\nTiu posedaj\u0302o ne tenas por la kampo de raciaj nombroj Q (la polinomo x 2 \u2212 2 ne havas racian radikon, ekde \u221a 2 ne estas racia nombro) nek la realaj nombroj R (la polinomo x 2 + ne havas realan radikon por > 0, ekde la dua potenco de x estas pozitiva por iu reala nombro x)."}, {"text_idx": "#000080", "text": "Ekzistas diversaj pruvoj de tiu teoremo, au\u0306 per analizaj metodoj kiel ekzemple la teoremo de Liouville, au\u0306 topologia ili kiel ekzemple la volvaj\u0302nombro, au\u0306 pruvo kombinanta galezan teorion kaj la fakton ke c\u0302iu reala polinomo de stranga grado havas almenau\u0306 unu realan radikon."}, {"text_idx": "#000081", "text": "Pro tiu fakto, teoremoj kiuj tenas por iu algebre fermita kampo, validas por C.\nEkzemple, c\u0302iu ne-malplena kompleksa kvadratmatrico havas almenau\u0306 unu (komplekso) Eigen-valoron."}, {"text_idx": "#000083", "text": "La antau\u0306a karakterizado de C priskribas nur la algebrajn aspektojn de C.\nTio devas diri, la trajtoj de proksimeco kaj kontinueco, kiuj materio en lokoj kiel ekzemple analizo kaj topologio, ne estas traktita.\nLa sekva priskribo de C kiel topologia kampo (t.e., kampo kiu estas provizita per topologio, kiu permesas la nocion de konverg\u0302o) enkalkulas la topologiajn trajtojn.\nC enhavas subaron P (nome la aro de pozitivaj realaj nombroj) de nonzerelementoj kontentigantaj la sekvajn tri kondic\u0302ojn:"}, {"text_idx": "#000084", "text": "P estas fermita sub aldono, multipliko kaj prenado de inverses.\nSe x kaj y estas apartaj elementoj de P , tiam au\u0306 x \u2212 y au\u0306 y \u2212 x estas en P .\nSe S estas ajna nonemptyosubaro de P , tiam S + P = x + P por iu x en C."}, {"text_idx": "#000085", "text": "Krome, C havas nesensignifan involutive\nau\u0306tomorfismo x \u21a6 x \u00f7 (nome la kompleksa konjugacio), tia ke x x \u00f7 estas en P por iu nonzero x en C."}, {"text_idx": "#000086", "text": "C\u0302iu kampo F kun tiuj trajtoj povas esti dotita kun topologio prenante la arojn B ( x, p\nkiel bazo, kie x varias super la kampo kaj p varias super P .\nKun tiu topologio F estas izomorfa kiel topologia kampo al C."}, {"text_idx": "#000087", "text": "La nur ligis loke kompakta\ntopologiaj kampoj estas R kaj C.\nTio donas alian karakterizadon de C kiel topologia kampo, c\u0302ar C povas esti distingita de R c\u0302ar la nonzero-kompleksnombroj estas ligitaj, dum la nonzeraj realaj nombroj ne estas."}, {"text_idx": "#000088", "text": "La aro C da kompleksaj nombroj povas esti difinita kiel la aro R 2 el ordaj duopoj (, b) de realaj nombroj, en kiuj la sekvaj reguloj por aldono kaj multipliko estas truditaj: [27]"}, {"text_idx": "#000089", "text": "Estas tiam nur demando pri notacio esprimi (, b) kiel + busoj ."}, {"text_idx": "#000090", "text": "Kvankam tiu malalt-nivela konstruo precize priskribas la strukturon de la kompleksaj nombroj, la sekva ekvivalenta difino rivelas la algebran naturon de C pli tuj.\nTiu karakterizado dependas de la nocio de kampoj kaj polinomoj.\nKampo estas aro dotita per aldono, subtraho, multipliko kaj dividadoperacioj kiuj kondutas kiel estas konataj de, ekzemple, raciaj nombroj."}, {"text_idx": "#000091", "text": "devas teni por iujn ajn tri elementojn x, y kaj z de kampo.\nLa aro R da realaj nombroj formas kampon.\nPolinom p ( X) kun realaj koeficientoj estas esprimo de la formo"}, {"text_idx": "#000092", "text": "La kutima aldono kaj multipliko de polinomoj dotas la aron R [ X] de tute tiaj polinomoj per ringo strukturo.\nTiu ringo estas nomita la polinomringo super la realaj nombroj."}, {"text_idx": "#000093", "text": "La aro de kompleksaj nombroj estas difinita kiel la kvocientringo R [ X]/( X 2 + 1).\nTiu etendaj\u0302kampo enhavas du kvadratajn radikojn de \u22121, nome (la kun-grupoj de) X kaj \u2212 Xa , respektive.\n(La kun-grupoj de) 1 kaj Xa formo bazo de R [ X]/( X 2 + 1) kiel reala vektora spaco, kiu signifas ke c\u0302iu elemento de la etendaj\u0302kampo povas esti unike skribita kiel lineara kombinaj\u0302o en tiujn du elementojn.\nEkvivalente, elementoj de la etendaj\u0302kampo povas esti skribitaj kiel ordaj duopoj (, b) de realaj nombroj.\nLa kvocientringo estas kampo, c\u0302ar la ( X 2 + 1) estas primo ideala en R [ X], c\u0302efa ideala domajno, kaj tial estas al maksimuma ideala."}, {"text_idx": "#000094", "text": "La formuloj por aldono kaj multipliko en la boksejo R [ X], modulo la rilato ( X 2 = 1 egalrilatas al la formuloj por aldono kaj multipliko de kompleksaj nombroj difinitaj kiel ordaj duopoj.\nTiel la du difinoj de la kampo C estas izomorfaj (kiel kampoj)."}, {"text_idx": "#000095", "text": "Akceptante ke C estas algebre fermita, c\u0302ar g\u0302i estas algebra etendaj\u0302o de R en tiu aliro, C estas tial la tegaj\u0302o de R ."}, {"text_idx": "#000096", "text": "Komplekso numeras + busoj povas ankau\u0306 esti reprezentita per 2 \u00d7 2\nmatricoj kiuj havas la sekvan formon:"}, {"text_idx": "#000097", "text": "C\u0302i tie la kontribuoj a kaj b estas realaj nombroj.\nLa sumo kaj produkto de du tiaj matricoj denove estas de tiu formo, kaj la sumo kaj produkto da kompleksaj nombroj egalrilatas al la sumo kaj produkto de tiaj matricoj, la produkto estanta:"}, {"text_idx": "#000098", "text": "La geometria priskribo de la multipliko de kompleksaj nombroj ankau\u0306 povas esti esprimita lau\u0306 rotaciomatricoj utiligante tiun korespondadon inter kompleksaj nombroj kaj tiaj matricoj.\nKrome, la kvadrato de la absoluta valoro de kompleksa nombro esprimis kiam matrico estas egala al la determinanto de tiu matrico:"}, {"text_idx": "#000099", "text": "Vidu la artikolon sur 2 \u00d7 2 realaj matricoj por aliaj reprezentadoj de kompleksaj nombroj."}, {"text_idx": "#000100", "text": "La studo de funkcioj de kompleksa variablo estas konata kiel kompleksa analitiko kaj havas grandegan praktikan uzon en aplika matematiko same kiel en aliaj branc\u0302oj de matematiko.\nOfte, la plej naturaj pruvoj por deklaroj en reela analitiko au\u0306 ebena nombroteorio utiligas teknikojn de kompleksa analitiko (vidu priman teoremon por ekzemplo).\nMale al realaj funkcioj, kiuj estas ofte reprezentitaj kiel dudimensiaj grafeoj, kompleksaj funkcioj havas kvar-dimensiajn grafeojn kaj povas utile esti ilustritaj kolor-kodigante tridimensian grafeon sugesti kvar dimensiojn, au\u0306 vigligante la dinamikan transformon de la kompleksa funkcio de la kompleksa ebeno."}, {"text_idx": "#000101", "text": "La nocioj de konverg\u0302aj serioj kaj kontinuaj funkcioj en (reala) analizo havas naturajn analogaj\u0302ojn en kompleksa analitiko.\nSekvenco de kompleksaj nombroj lau\u0306dire konverg\u0302as se kaj nur se g\u0302iaj realaj kaj imaginaraj partoj faras.\nTio estas ekvivalenta al la (\u03b5, \u03b4) difino de limoj, kie la absoluta valoro de realaj nombroj estas anstatau\u0306igita per tiu el kompleksaj nombroj.\nDe pli abstrakta perspektivo, C, dotita kun la metriko"}, {"text_idx": "#000102", "text": "kompleta metrika spaco, kiu precipe inkludas la neegalaj\u0302on de triangulo estas"}, {"text_idx": "#000103", "text": "por iu du kompleksaj nombroj z 1 kaj z 2 ."}, {"text_idx": "#000104", "text": "Kiel en reela analitiko, tiu nocio de konverg\u0302o estas uzita por konstrui kelkajn elementajn funkciojn: la eksponentfunkcia eksp ( z), ankau\u0306 skriba e z , estas difinita kiel la senfina serio"}, {"text_idx": "#000105", "text": "kaj la serio difinanta la realan trigonometrian funkcion sine kaj kosinuso, same kiel hiperbolaj funkcioj kiel ekzemple sinh ankau\u0306 portas al kompleksaj argumentoj sen s\u0302ang\u0302o."}, {"text_idx": "#000106", "text": "por iu reala pli sensenta \u03c6, aparte"}, {"text_idx": "#000107", "text": "Male al en la situacio de realaj nombroj, ekzistas senfineco de kompleksaj solvoj z de la ekvacio"}, {"text_idx": "#000108", "text": "por iu kompleksanombra w =\u0338 0.\nPovas esti montrite ke eventuala tia solvo z - nomita kompleksa logaritmo de w - kontentigas"}, {"text_idx": "#000109", "text": "kie arg estas la argumento difinita supre, kaj ln la (reala) natura logaritmo.\nC\u0302ar arg estas multivalueita funkcio, unika nur g\u0302is multoblo de 2\u03c0, tagalo ankau\u0306 estas multivalueita.\nLa c\u0302efvaloro de tagalo ofte estas prenita limigante la imaginaran parton al la intervalo (\u2212\u03c0, \u03c0]."}, {"text_idx": "#000110", "text": "Kompleksa potenco z \u03c9 estas difinita kiel"}, {"text_idx": "#000111", "text": "Sekve, ili estas g\u0302enerale multi-aprezit.\nPor \u03c9 = 1/ n , por iu natura pli sensenta n, tio reakiras la ne-unikecon de aj radikoj menciitaj supre."}, {"text_idx": "#000112", "text": "Kompleksaj nombroj, male al realaj nombroj, ne g\u0302enerale kontentigas la nemodifitan potencon kaj logaritmidentecojn, precipe kiam naive traktite kiel unu-aprezitaj funkcioj;\nvidu fiasko de potenco kaj logaritmidentecoj."}, {"text_idx": "#000113", "text": "Ambau\u0306 flankoj de la ekvacio estas multivalueitaj per la difino de kompleksa potenco donita c\u0302i tie, kaj la valoroj maldekstre estas subaro de tiuj dekstraflanke."}, {"text_idx": "#000114", "text": "C \u2192 C estas nomita holomorfa c\u0302u g\u0302i kontentigas la Cauchy-Riemann ekvaciojn.\nEkzemple, ajna R-linia mapo C \u2192 C povas esti skribita en la formo"}, {"text_idx": "#000115", "text": "kun kompleksaj koeficientoj a kaj b.\nTiu mapo estas holomorfa se kaj nur se b = 0."}, {"text_idx": "#000116", "text": "Kompleksa analitiko montras kelkajn ecojn ne s\u0302ajna en reela analitiko.\nEkzemple, c\u0302iuj du holomorfaj funkcioj f kaj g kiuj konsentas pri propraau\u0306toritate malgranda malferma subaro de C nepre konsentas c\u0302ie.\nMeromorfaj funkcioj, funkcioj kiuj povas loke esti skribitaj kiel f ( z)/( z \u2212 z 0) n kun holomorfa funkcio f, dau\u0306re dividas kelkajn el la ecoj de holomorfaj funkcioj.\nAliaj funkcioj havas esencajn specialaj\u0302ojn, kiel ekzemple peko (1/ z) c\u0302e z = 0."}, {"text_idx": "#000117", "text": "Kompleksaj nombroj havas esencajn konkretajn aplikojn en gamo da sciencaj kaj rilataj lokoj kiel ekzemple signal-prilaborado, fermitcikla regilo, elektromagnetismo, fluidodinamiko, kvantuma mekaniko, kartografio, kaj vibradanalizo.\nKelkaj aplikoj de kompleksaj nombroj estas:"}, {"text_idx": "#000118", "text": "En fermitcikla regilo, sistemoj ofte estas transformitaj de la tempodomajno g\u0302is la frekvencdomajno utiligante la Laplace-transformon.\nLa poloj kaj nuloj de la sistemo tiam estas analizitaj en la kompleksa ebeno.\nLa radiklokuso, Nyquist-intrigo, kaj Nichols-intrig teknikoj c\u0302iuj faras uzon de la kompleksa ebeno."}, {"text_idx": "#000119", "text": "En la radika lokusmetodo, estas aparte grave c\u0302u la poloj kaj nuloj estas en la maldekstro au\u0306 rajto duonaj aviadiloj, t.e. havas reelan parton pli grandan ol au\u0306 malpli ol nul.\nSe linia, temp-senvaria (LTI) sistemo havas polojn kiuj estas"}, {"text_idx": "#000120", "text": "en la dekstro duona aviadilo, g\u0302i estos malstabila,\nc\u0302io en la maldekstro duona aviadilo, g\u0302i estos stabila,\nsur la imaga akso, g\u0302i havos marg\u0302enan stabilecon."}, {"text_idx": "#000121", "text": "Se sistemo havas nulojn en la dekstro duona aviadilo, g\u0302i estas neminimuma fazo sistemo."}, {"text_idx": "#000122", "text": "En aplikataj kampoj, kompleksaj nombroj ofte kutimas komputi certajn real-aprezitajn malregulajn integralojn, per kompleks-aprezitaj funkcioj.\nPluraj metodoj ekzistas farendaj\u0302o tion;"}, {"text_idx": "#000123", "text": "En fluidodinamiko, kompleksaj funkcioj kutimas priskribi eblan fluon en du dimensioj."}, {"text_idx": "#000124", "text": "En diferencialaj ekvacioj, g\u0302i estas kutima por unue trovas c\u0302iujn kompleksajn radikojn r de la karakteriza ekvacio de linia diferenciala ekvacio au\u0306 ekvaciosistemo kaj tiam provas solvi la sistemon lau\u0306 bazfunkcioj de la formo f ( t\nSame, en diferencekvacioj, la kompleksaj radikoj r de la karakteriza ekvacio de la diferenca ekvaciosistemo estas uzitaj, por provi solvi la sistemon lau\u0306 bazfunkcioj de la formo f ( t"}, {"text_idx": "#000125", "text": "En elektrotekniko, la konverto de Fourier estas utiligita por analizi s\u0302ang\u0302ig\u0302antajn tensiojn kaj fluojn.\nLa traktado de rezistiloj, kondensiloj, kaj induktoroj tiam povas esti unuigitaj prezentante imagajn, frekvenc-dependajn rezistojn por c\u0302i-lastaj du kaj kombinante c\u0302iujn tri en ununura kompleksa nombro nomita la impedanco.\nTiu aliro estas nomita fasor kalkulado."}, {"text_idx": "#000126", "text": "En elektrotekniko, la imaginara unuo estas indikita per j , por eviti konfuzon kun mi, kiu estas g\u0302enerale en uzo por indiki elektran kurenton, au\u0306, pli precipe, mi, kiu estas g\u0302enerale en uzo por indiki tujan elektran kurenton."}, {"text_idx": "#000127", "text": "C\u0302ar la tensio en AC serilokaro oscilas, g\u0302i povas esti reprezentita kiel"}, {"text_idx": "#000128", "text": "Por akiri la mezureblan kvanton, la reela parto estas prenita:"}, {"text_idx": "#000130", "text": "Se Fourier-analizo estas utiligita por skribi antau\u0306fiksita real-aprezita signalo kiel sumo de periodaj funkcioj, tiuj periodaj funkcioj ofte estas skribitaj kiam komplekso aprezis funkciojn de la formo"}, {"text_idx": "#000131", "text": "kie \u03c9 reprezentas la angulfrekvencon kaj la kompleksa nombro A c\u0302ifras la fazon kaj amplitudon kiel klarigite supre."}, {"text_idx": "#000132", "text": "Tiu uzo ankau\u0306 estas etendigita en cifereca signal-prilaboradon kaj cifereca prilaboro de bildoj, kiuj utiligas ciferecajn versiojn de Fourier-analizo (kaj ondet analizon) por elsendi, kunpremi, reestigas, kaj alie procezon ciferecaj sonsignaloj, dau\u0306re bildoj, kaj videsignalojn."}, {"text_idx": "#000133", "text": "Alia ekzemplo, signifa al la du flankogrupoj de amplitudomodulado de AM-radio, estas:"}, {"text_idx": "#000134", "text": "La kompleksanombra kampo estas interna al la matematikaj formuloj de kvantuma mekaniko, kie komplekso hilbertaj spacoj disponigas la kuntekston por unu tia formulig\u0302o kiu estas oportuna kaj eble plej norma.\nLa originaj fundamentformuloj de kvantumaj mekanikoj - la ekvacio de Schro\u0308dinger kaj la matricmekaniko de Heisenberg - faras uzon de kompleksaj nombroj."}, {"text_idx": "#000135", "text": "En speciala kaj g\u0302enerala relativeco, kelkaj formuloj por la metriko sur spactempo ig\u0302as pli simplaj se oni prenas la tempokomponenton de la spactempokontinuumo por esti imaga.\n(Tiu aliro jam ne estas norma en klasika relativeco, sed estas uzita lau\u0306 esenca maniero en kvantuma kampa teorio.\nKompleksaj nombroj estas esencaj al spinoroj, kiuj estas g\u0302eneraligo de la tensoroj uzitaj en relativeco."}, {"text_idx": "#000136", "text": "Certaj fraktaloj estas punktskribitaj en la kompleksa ebeno, ekz. la Mandelbrot metita kaj Julie metas."}, {"text_idx": "#000137", "text": "C\u0302iu triangulo havas unikan Steiner-enelipson - elipson ene de la triangulo kaj klavo al la mezpunktoj de la tri flankoj de la triangulo.\nLa fokusoj de la Steiner-enelipso de triangulo povas esti trovitaj jene, lau\u0306 la teoremo de Marden: [30]\nIndiku la verdglaciojn de la triangulo en la kompleksa ebeno kiel = x A + y A mi , b = x B + y B mi , kaj c = x C da + y C mi .\nMarden's Theorem diras ke la solvoj de tiu ekvacio estas la kompleksaj nombroj indikantaj la lokojn de la du fokusoj de la Steiner-enelipso."}, {"text_idx": "#000138", "text": "Kiel menciite supre, c\u0302iu nekonstanta polinomekvacio (en kompleksaj koeficientoj) havas solvon en C.\nNil fortiori, la sama estas vera se la ekvacio havas raciajn koeficientojn.\nLa radikoj de tiaj ekvacioj estas nomitaj algebraj nombroj - ili estas c\u0302efstudobjekto en algebra nombroteorio.\nKomparita al Q , la tegaj\u0302o de Q, kiu ankau\u0306 enhavas c\u0302iujn algebrajn nombrojn, C havas la avantag\u0302on de esti facile komprenebla en geometriaj esprimoj.\nLau\u0306 tiu maniero, algebraj metodoj povas esti uzitaj por studi geometriajn demandojn kaj inverse.\nKun algebraj metodoj, pli specife aplikante la mas\u0302inaron de kampa teorio al la numero-kampo enhavanta radikojn de unueco, povas esti montrite ke estas ne eble konstrui regulan nau\u0306eg\u0302on uzantan nur kompason kaj liniilon - sole geometrian problemon."}, {"text_idx": "#000139", "text": "Alia ekzemplo estas gau\u0306saj entjeroj, t.e., nombroj da la formo x -+ iy , kie x kaj y estas entjeroj, kiuj povas esti uzitaj por klasifiki sumojn de kvaranguloj."}, {"text_idx": "#000140", "text": "Analitika nombroteorio studas nombrojn, ofte entjerojn au\u0306 rational'ojn, per ekspluatado de la fakton ke ili povas esti rigarditaj kiel kompleksaj nombroj, en kiuj analizaj metodoj povas esti uzitaj.\nTio estas farita c\u0302ifrante numero-teoriajn informojn en kompleks-aprezitaj funkcioj.\nEkzemple, la Riemann zetafunkcio \u03b6 ( j) estas rilatita al la distribuado de primoj."}, {"text_idx": "#000141", "text": "La plej frua pasema referenco al kvadrataj radikoj de negativaj nombroj eble povas esti dirita okazi en la laboro de la greka matematikisto"}, {"text_idx": "#000142", "text": "La impeto studi kompleksajn nombrojn mem unue ekestis en la 16-a jarcento kiam algebraj solvoj por la radikoj de kubaj kaj kvartaj polinomoj estis malkovritaj fare de italaj matematikistoj (vidu Niccolo\u0300 Fontana Tartaglia, Gerolamo Cardano).\nEstis baldau\u0306 realigite ke tiuj formuloj, ec\u0302 se oni estis nur interesita pri realaj solvaj\u0302oj, foje postulis la manipuladon de kvadrataj radikoj de negativaj nombroj."}, {"text_idx": "#000143", "text": "C\u0302e unu ekrigardo tio aspektas pli kiel sensencaj\u0302o.\nKompreneble tiu speciala ekvacio povas esti solvita c\u0302e vido sed g\u0302i ilustras ke kiam g\u0302eneralaj formuloj estas utiligitaj por solvi triagradajn ekvaciojn kun realaj radikoj tiam, kiam pli postaj matematikistoj montris rigore, la uzo de kompleksaj nombroj estas neevitebla.\nRafael Bombelli estis la unua por eksplicite trakti tiujn s\u0302ajne paradoksajn solvojn de triagradaj ekvacioj kaj evoluigis la regulojn por kompleksa aritmetiko provanta solvi tiujn problemojn."}, {"text_idx": "#000144", "text": "La esprimo \"imaga\" por tiuj kvantoj estis elpensita fare de Rene\u0301 Descartes en 1637, kvankam li estis c\u0302e peno por substreki ilian imagan naturon [34] [ ..."}, {"text_idx": "#000145", "text": "foje nur imaga, kiu estas oni povas imagi nekredeblaj mi diris en c\u0302iu ekvacio, sed foje tie ekzistas neniu kvanto kiu egalas tion kiun ni imagas."}, {"text_idx": "#000146", "text": "([...] quelquefois seulement imaginaires c'est-a\u0300-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque e\u0301quation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantite\u0301 qui corresponde a\u0300 celle qu'on imagine.)"}, {"text_idx": "#000147", "text": "en la kazo kiam kaj a kaj b estas negativaj ec\u0302 g\u0302enis Euler.\nTiu malfacileco poste kondukis al la kongreso de uzado de la speciala simbolo I modloko de \u221a \u22121 por protekti sin kontrau\u0306 tiu eraro.\n[ citaj\u0302o bezonis ] Ec\u0302 tiel, Euler pripensis natura prezenti studentojn al kompleksaj nombroj multe pli frue ol jes hodiau\u0306.\nEn lia rudimenta algebro lernolibro, Elements of Algebra (Elementoj de Algebra), li lanc\u0302as tiujn nombrojn preskau\u0306 tuj kaj tiam uzas ilin lau\u0306 natura maniero g\u0302enerale."}, {"text_idx": "#000148", "text": "En la 18-a-jarcentaj kompleksaj nombroj akiris pli larg\u0302e uzon, kiam estis rimarkite ke formala manipulado de kompleksoesprimoj povus esti uzita por simpligi kalkulojn implikantajn trigonometrian funkcion.\nEkzemple, en 1730 Abraham de Moivre notis ke la komplikaj identecoj rilatigantaj trigonometrian funkcion de entjermultoblo de angulo al potencoj de trigonometria funkcio de tiu angulo povis esti simple re-esprimitaj de la sekva bonkonata formulo kiu portas sian nomon, formulon de de Moivre:"}, {"text_idx": "#000150", "text": "de formale manipulado de kompleksa potencvico kaj observita ke tiu formulo povus esti utiligita por redukti ajnan trigonometrian identecon al multe pli simplaj eksponentaj identecoj."}, {"text_idx": "#000151", "text": "La ideo de kompleksa nombro kiel punkto en la kompleksa ebeno ( supre) estis unue priskribita fare de Caspar Wessel en 1799, kvankam g\u0302i estis anticipita jam 1685 en la de Algebra tractatus de Wallis."}, {"text_idx": "#000152", "text": "La memoraj\u0302o de Wessel aperis en la Konferencartikoloj de la Kopenhaga Akademio sed iris plejparte nerimarkita.\nEn 1806 Jean-Robert Argand sendepende emisiis pamfleton sur kompleksaj nombroj kaj disponigis rigoran pruvon de la algebra bazteoremo.\nCarl Friedrich Gauss pli frue publikigis esence topologian pruvon de la teoremo en 1797 sed esprimis siajn dubojn tiutempe koncerne \"la veran metafizikon de la kvadrata radiko de \u22121\".\nDau\u0306ris g\u0302is 1831 ke li venkis tiujn dubojn kaj publikigis sian disertaj\u0302on sur kompleksaj nombroj kiel punktoj en la aviadilo, plejparte establante modernan notacion kaj terminologion.\nEn la komenco de la 19-a jarcento, aliaj matematikistoj malkovris sendepende la geometrian reprezentadon de la kompleksaj nombroj: Bue\u0301e, Mourey, Warren, Franc\u0327ais kaj lia frato, Belavito."}, {"text_idx": "#000153", "text": "La angla matematikisto Godfrey Harold Hardy rimarkis ke Gauss estis la unua matematikisto se temas pri uzi kompleksajn nombrojn lau\u0306 \"vere memcerta kaj scienca maniero\" kvankam matematikistoj kiel ekzemple Niels Henrik Abel kaj Carl Gustav Jacob Jacobi nepre uzis ilin rutine antau\u0306 ol Gauss publikigis sian disertaj\u0302on de 1831.\nAugustin Louis Cauchy kaj Bernhard Riemann kune alportis la fundamentajn ideojn de kompleksa analitiko al alta stato de kompletigo, komencig\u0302ante c\u0302irkau\u0306 1825 en la kazo de Cauchy."}, {"text_idx": "#000154", "text": "La komunaj esprimoj uzitaj en la teorio estas c\u0302efe pro la fondintoj."}, {"text_idx": "#000156", "text": "La proceso de etendado de la kampo R da realoj al C estas konata kiel la Cayley-Dickson konstruo.\nG\u0302i povas esti portita plu al pli alta grandeco, donante la kvaropojn H kaj oktonion O kiuj (kiel reala vektora spaco) estas de dimensio 4 kaj 8, respektive.\nEn tiu kunteksto la kompleksaj nombroj estis nomitaj la binarions."}, {"text_idx": "#000157", "text": "Tamen, ekzakte kiel aplikado de la konstruo al realoj perdas la posedaj\u0302on de mendado, pli da trajtofamiliarulo de realaj kaj kompleksaj nombroj malaperas kun kreskanta dimensio.\nLa kvaropoj estas nur misoblikva kampo, t.e. por proksimume x, y :\nx por du kvaropoj, la multipliko de oktonion ne (aldone al ne esti kommutativa) estas asocieca: por proksimume x, y, z :"}, {"text_idx": "#000158", "text": "Realoj, kompleksaj nombroj, kvaropoj kaj oktonion estas c\u0302iu normeis dividadalgebrojn pli ol R.\nTamen, de la teoremo de Hurwitz ili estas la nuraj.\nLa venonta pas\u0302o en la Cayley-Dickson konstruo, la sedenions, fakte ne havas tiun strukturon."}, {"text_idx": "#000159", "text": "La Cayley-Dickson konstruo estas proksime rilatita al la regula reprezentado de C, opiniita de kiel R - algebro ( R-vektora spaco kun multipliko), kun respekto al la bazo (1, mi).\nTio signifas la sekvantan: la R-linia mapo"}, {"text_idx": "#000160", "text": "por iu fiksa kompleksa nombro w povas esti reprezentita per 2 \u00d7 al 2 matrico (post kiam bazo estis elektita).\nKun respekto al la bazo (1, mi), tiu matrico estas"}, {"text_idx": "#000161", "text": "t.e., tiu menciita en la sekcio sur matricreprezentado de kompleksaj nombroj supre.\nDum tio estas linia reprezentado de C en la 2 \u00d7 2 realaj matricoj, g\u0302i ne estas la nura unu."}, {"text_idx": "#000162", "text": "havas la posedaj\u0302on kiu g\u0302ia kvadrato estas la negativo de la identa matrico:"}, {"text_idx": "#000163", "text": "estas ankau\u0306 izomorfa al la kampo C, kaj evoluas alternativan kompleksan strukturon sur R 2.\nTio estas g\u0302eneraligita per la nocio de linia kompleksoostrukturo."}, {"text_idx": "#000164", "text": "Hypercomplex-nombroj ankau\u0306 g\u0302eneraligas R, C, H, kaj O.\nEkzemple, tiu nocio enhavas la disig-kompleksajn nombrojn, kiuj estas elementoj de la ringo R [ x]/( x 2 \u2212 1) (kontraste al R [ x]/( x 2 + 1).\nEn tiu boksejo, la ekvacio 2 = 1 havas kvar solvojn."}, {"text_idx": "#000165", "text": "La kampo R estas la kompletigo de Q, la kampo de raciaj nombroj, kun respekto al la kutima absoluta valoro\nAliaj elektoj de metriko sur Q kondukas al la kampo Q p de p-adic nombroj (por iu primo p) kiuj estas tiel analogaj al R.\nEkzistas neniuj aliaj nesensignifaj manieroj kompletigi Q ol R kaj Q p , de la teoremo de Ostrowski.\nTiu kampo estas nomita p-adic kompleksaj nombroj per analogeco."}, {"text_idx": "#000166", "text": "La kampo R kaj Q p kaj iliaj finhavaj kampetendaj\u0302oj, inkluzive de C, estas lokaj kampoj."}, {"text_idx": "#000167", "text": "Cirkla movo uzante kompleksajn nombrojn"}, {"text_idx": "#000171", "text": "Milda enkonduko al la historio de kompleksaj nombroj kaj la komencoj de kompleksa analitiko."}, {"text_idx": "#000172", "text": "Progresinta perspektivo sur la historia evoluo de la koncepto de nombro."}, {"text_idx": "#000175", "text": "Kompleksa nombro estas nombro, kiu havas aspekton z=a+bi, kie a kaj b estas reelaj nombroj, kaj i2 egalas al la nombro -1. La signo i estas por imaginara unuo, a = Re z nomig\u0302as reela parto de kompleksa nombro kaj b = Im z - imaginara parto. Reelaj nombroj estas aparta kazo de kompleksaj nombroj, kie b=0."}, {"text_idx": "#000176", "text": "Operacioj de adicio kaj multipliko por kompleksaj nombroj estas difinitaj nature lau\u0306 la koncernaj reguloj sur plurtermoj kaj kun kondic\u0302o , t.e."}, {"text_idx": "#000177", "text": "Multobligado kaj adiciado estas komutecaj kaj asociecaj kaj estas ligitaj kun rilato de distribueco. Por ili ekzistas ankau\u0306 inversaj operacioj, t.e. subtraho kaj divido (escepte de divido je 0). Tiamaniere, kompleksaj nombroj faras kampon kaj estas signataj per . Tial unu prezento de kompleksaj nombroj estas per vektoroj, tiel formantaj la kompleksan ebenon: (anstatau\u0306 a ofte uzatas x, kaj anstatau\u0306 b uzatas y)"}, {"text_idx": "#000178", "text": "C\u0302iu kompleksa nombro povas esti esprimita ne nur en siaj karteziaj koordinatoj sed ankau\u0306 per la polusaj koordinatoj de la punkto (la polusa varianto estas nomata ankau\u0306 trigonometria prezento, au\u0306 polusa formo). La kompleksa nombro z prezenteblas kartezie per"}, {"text_idx": "#000179", "text": "estas modulo (au\u0306 absoluta valoro) de z, la distanco inter z kaj punkto (0,0)"}, {"text_idx": "#000180", "text": "En trigonometria formo operacioj de multobligado kaj divido pli facilas:"}, {"text_idx": "#000181", "text": "Uzante ilin por potencigo kaj radikigo oni atingas formulon de de Moivre:"}, {"text_idx": "#000182", "text": "Do en kampo de kompleksaj nombroj c\u0302iu nombro havas precize n radikojn de nivelo n."}, {"text_idx": "#000183", "text": "La unuaj imaginaraj variabloj aperis en verkoj de Gerolamo Cardano \"Granda arto au\u0306 pri algebraj reguloj\" (1545), sekve al la provoj kalkuli la radikojn de 3-a grada ekvacio, sed li traktis ilin senutilaj kaj netau\u0306gaj por la uzo. Unue la gravecon de tiu fenomeno taksis alia italo R. Bombelli (1572), kiu donis kelkajn simplajn regulojn de operacioj sur kompleksaj nombroj. La gravajn kontribuojn por la evoluo de kompleksaj nombroj faris Abraham de Moivre, R. COTES, Leonhard Euler. La termino \"kompleksa nombro\" estis enkondukita en 1803 de L. Carnot, sed g\u0302i farig\u0302is vaste uzata nur post verkoj de Carl Friedrich Gauss (1831). Al William Rowan Hamilton apartenas la grava spaca generaligo de kompleksaj nombroj, konstruo de la teorio pri kvaternionoj."}]