[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, ago de grupo estas maniero interpreti la elementojn de la grupo kiel \"reagante\" al iu spaco en maniero kiel kiu konservas la strukturon de tiu spaco.\nOftaj ekzemploj de spacoj kiu grupigas agon estas aroj, vektoraj spacoj, kaj topologiaj spacoj.\nAgoj de grupoj sur vektoraj spacoj estas nomitaj reprezentadoj de la grupo."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Kelkaj grupoj povas esti interpretitaj kiel reagante al spacoj lau\u0306 kanonika [ klarigo bezonata ] maniero.\nEkzemple, la simetria grupo de finhava aro konsistas el c\u0302iuj bijektive transformoj de tiu aro;\ntiel, surs\u0302miri ajnan elementon de la permutadogrupo al elemento de la aro produktos alian elementon de la aro.\nPli g\u0302enerale, geometriaj simetria grupoj kiel ekzemple la homeomorfiogrupo de topologia spaco au\u0306 la g\u0302enerala lineara grupo de vektora spaco, same kiel iliaj subgrupoj, ankau\u0306 koncedas kanonikajn agojn.\nPor aliaj grupoj, interpreto de la grupo lau\u0306 ago devos eble esti precizigita, au\u0306 c\u0302ar la grupo ne reagas kanone al iu spaco au\u0306 c\u0302ar la kanonika ago ne estas la ago de intereso.\nTiu ago ne estas kanonika."}, {"text_idx": "#000003", "text": "La ago asignas permutaj\u0302on de X al c\u0302iu elemento de la grupo en tia maniero tio:"}, {"text_idx": "#000004", "text": "la neu\u0306tra elemento de G ricevas la identectransformon de X;\nc\u0302iu produktogk de du elementoj de G ricevas la kunmetaj\u0302on de la permutaj\u0302oj asignitaj al g kaj k."}, {"text_idx": "#000005", "text": "La abstraktado disponigita per grupaj agoj estas potenca, c\u0302ar g\u0302i permesas al geometriaj ideoj esti aplikitaj al pli abstraktaj objektoj.\nMultaj objektoj en matematiko havas naturajn grupajn agojn difinitaj sur ili.\nAparte, grupoj povas reagi al aliaj grupoj, au\u0306 ec\u0302 al ili mem.\nPro tiu g\u0302eneraleco, la teorio de grupaj agoj enhavas larg\u0302-atingantajn teoremojn, kiel ekzemple la orbitstabiligilteoremo, kiu povas esti utiligita por pruvi profundajn rezultojn en pluraj kampoj."}, {"text_idx": "#000007", "text": "Orbit-stabiligila teoremo kaj la lemo de Burnside"}, {"text_idx": "#000008", "text": "Forte kontinua grupa ago kaj glataj punktoj"}, {"text_idx": "#000009", "text": "Se G estas grupo kaj X estas aro, tiam ( forlasita) grupa ago \u03c6 de G sur X estas funkcio"}, {"text_idx": "#000010", "text": "tio kontentigas la sekvajn du aksiomojn (kie ni indikas \u03c6 ( g, x) kiel g."}, {"text_idx": "#000011", "text": "(C\u0302i tie, e indikas la neu\u0306tran elementon de la grupo G.\nx) por c\u0302iu g, h en G kaj c\u0302io x en X.\n(C\u0302i tie, gh indikas la rezulton de aplikado de la grupoperacio de G al la elementoj g kaj h."}, {"text_idx": "#000012", "text": "(C\u0302i tie, e indikas la neu\u0306tran elementon de la grupo G."}, {"text_idx": "#000013", "text": "x) por c\u0302iu g, h en G kaj c\u0302io x en X.\n(C\u0302i tie, gh indikas la rezulton de aplikado de la grupoperacio de G al la elementoj g kaj h."}, {"text_idx": "#000015", "text": "El tiuj du aksiomoj, g\u0302i sekvas tion por c\u0302iu g en G, la funkcio kiu mapas x en X al g.\nx estas bijektivemapo de X g\u0302is Xa (g\u0302ia inversa estante la funkcio kiu mapas x al g \u22121.\nTial, oni povas alternative difini grupan agon de G sur X kiel grupon homomorfism de G en la simetrian grupon Sym ( X) de c\u0302iuj ensurj\u0302etoj de X g\u0302is Xa."}, {"text_idx": "#000016", "text": "En kompleta analogeco, oni povas difini dekstran grupan agon de G sur X kiel operacion Xa \u00d7 G \u2192 Xan mapadon ( x, g) al x.\ng kaj kontentigante la du aksiomojn:"}, {"text_idx": "#000017", "text": "h por c\u0302iu g, h en G kaj c\u0302io x en X;"}, {"text_idx": "#000018", "text": "La diferenco inter maldekstraj kaj dekstraj agoj estas en la sinsekvo en kiu produkto kiel gh reagas al x.\nPor maldekstraj batalh leg\u0302oj unue kaj estas sekvita je g, dum por dekstraj batalg leg\u0302oj unue kaj estas sekvita je h.\nPro la formulo ( gh) \u22121 = h \u22121 g \u22121 , oni povas konstrui maldekstran agon el dekstra ago per kunmetado kun la inversa operacio de la grupo.\nAnkau\u0306, dekstra ago de grupo G sur X estas la sama aj\u0302o kiel maldekstra ago de g\u0302ia kontrau\u0306a grupo G operacio sur X.\nEstas tiel sufic\u0302e nur pripensi maldekstrajn agojn sen iu perdo de g\u0302eneraleco."}, {"text_idx": "#000022", "text": "La ago de la modula grupo sur la Poincare\u0301-duon-aviadilo ankau\u0306 vagas.\nLa vagantaj agoj donitaj supre ankau\u0306 estas konvene malkontinuaj.\nSe G estas diskreta tiam bonordeco estas ekvivalenta al bonorda malkontinueco por G-ago."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Se X estas ne-nula modulo super ringo R kaj la ago de G estas R-linia tiam g\u0302i lau\u0306dire estas"}, {"text_idx": "#000024", "text": "Nereduktebla se ekzistas neniu nonzera bonorda senvaria submodulo."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Pripensu grupon G reaganta al aktoraro X.\nLa okulkavo de elemento x en X estas la aro de elementoj en X al kiu x povas esti proponita per la elementoj de G.\nLa okulkavo de x estas indikita per G."}, {"text_idx": "#000026", "text": "La difinaj trajtoj de grupo garantias ke la aro de orbitoj de (punktoj x en) X sub la ago de G formas sekcion de X.\nLa rilata ekvivalentrilato estas difinita dirante x \u223c y se kaj nur se tie ekzistas g en G kun g.\nLa orbitoj tiam estas la ekvivalentklasoj sub tiu rilato;\ndu elementoj x kaj y estas ekvivalentaj se kaj nur se iliaj orbitoj estas la samaj;"}, {"text_idx": "#000027", "text": "La grupa ago estas transitiva se kaj nur se g\u0302i havas nur unu orbiton, t.e. se tie ekzistas x en X kun G.\nTio estas la kazo se kaj nur se G."}, {"text_idx": "#000028", "text": "La aro de c\u0302iuj orbitoj de X sub la ago de G estas skribita kiel X / G (au\u0306, malpli ofte:\nG '\\' \"\\\" Xa), kaj estas nomita la kvociento de la ago.\nEn geometriaj situacioj g\u0302i povas esti nomita la orbitspaco , dum en algebraj situacioj g\u0302i povas esti nomita la spaco de monervariaj\u0302oj , kaj skriba XG , kompare kun la Invariantoj (fikspunktoj), indikis XG : la monervariaj\u0302oj estas kvociento dum la Invariantoj estas subset. La monervariaj\u0302terminologio kaj notacio estas utiligita precipe en grupkohomologio kaj gruphomologio, kiuj uzas la saman supermanuskripton/indeksookongreson."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Ni nomas la subaron Y Invarianto sub G se G.\nY = Y (kiu estas ekvivalenta al G.\nEn tiu kazo, G ankau\u0306 funkciigas sur Y limigante la agon al Y.\nLa subaro Y estas nomita fiksa sub G se g.\nC\u0302iu subaro kiu estas fiksa sub G ankau\u0306 estas senvaria sub G, sed ne inverse."}, {"text_idx": "#000030", "text": "C\u0302iu orbito estas senvaria subaro de X en kiu G leg\u0302oj transitive.\nLa ago de G sur X estas transitiva se kaj nur se c\u0302iuj elementoj estas ekvivalentaj, signifante ke ekzistas nur unu orbito."}, {"text_idx": "#000031", "text": "G-senvaria elemento de X estas x \u2208 X tia ke g.\nLa aro de tute tia x estas indikita XG kaj nomita la G-invariants de X.\nKiam X estas G-modulo , XG estas la zerotgrupa kohomologio grupo de G kun koeficientoj en X, kaj la pli altaj kohomologiogrupoj estas la derivitaj funktoroj de la funktoro de G-senvaria."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Surbaze de g en G kaj x en X kun g.\nx = x , ni diras ke x estas fikspunkto de g kaj ke g fiksas x."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Por c\u0302iu x en X, ni difinas la stabiligilsubgrupon de G kun respekto al x (ankau\u0306 nomita la izotropecgrupo au\u0306 malmulte da grupo [8] ) kiel la aro de c\u0302iuj elementoj en G kiuj fiksas x:"}, {"text_idx": "#000034", "text": "Tio estas subgrupo de G, kvankam tipe ne normalunu.\nLa ago de G sur X estas libera se kaj nur se c\u0302iuj stabiligiloj estas sensignifaj.\nLa kerno N de la homomorfism kun la simetria grupo, G \u2192 Sym ( X), ricevas per la intersekcig\u0302o de la stabiligiloj G\u0302 por c\u0302io x en X.\nSe N estas sensignifa, la ago lau\u0306dire estas fidela (au\u0306 efika)."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Lasu x kaj y esti du elementoj en X, kaj lasu g esti grupelemento tia ke y = g.\nTiam la du stabiligilo grupigas G\u0302 kaj Gy estas ligita fare de Gy = al g G\u0302 g \u22121 .\nPruvo: de difino, h \u2208 Gy se kaj nur se h.\nUzanta g \u22121 al ambau\u0306 flankoj de tiu egaleco donas ( g \u22121 hg).\ntio estas, g \u22121 hg \u2208 G\u0302 ."}, {"text_idx": "#000036", "text": "La supre diras ke la stabiligiloj el elementoj en la sama orbito estas konjugato al unu la alian.\nTiel, al c\u0302iu orbito, oni povas asocii konjugacyoklason de subgrupo de G (t.e., la aro de c\u0302iuj konjugatoj de la subgrupo).\nMaksimuma orbitspeco ofte estas nomita c\u0302eforbitspeco."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Orbitoj kaj stabiligiloj estas proksime rilatitaj.\nPor fiksa x en X, pripensu la mapon de G g\u0302is X evoluita je g \u21a6 g.\nLa bildo de tiu mapo estas la orbito de x kaj la kobildo estas la aro de c\u0302iuj maldekstraj kun-grupoj de G\u0302 .\nLa normkvocientteoremo de aroteorio tiam donas naturan ensurj\u0302eton inter G / G\u0302 kaj G.\nSpecife, la ensurj\u0302eto estas evoluita je hGks \u21a6 h.\nTiu rezulto estas konata kiel la orbit-stabiligila teoremo.\nDe pli kategoria perspektivo, la orbit-stabiligila teoremo venas de la fakto ke c\u0302iu G-aro estas sumo de kvocientoj de la G-aro G."}, {"text_idx": "#000038", "text": "Se G estas finhava tiam la orbit-stabiligila teoremo, kune kun la teoremo de Lagrange, donas"}, {"text_idx": "#000039", "text": "Tiu rezulto estas aparte utila c\u0302ar g\u0302i povas esti utiligita por nombrado de argumentoj (tipe en situacioj kie X estas finhava ankau\u0306)."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Rezulto proksime rilatita al la orbit-stabiligila teoremo estas la lemo de Burnside:"}, {"text_idx": "#000042", "text": "kie Xg estas la aro de punktoj fiksitaj je g.\nTiu rezulto estas plejparte de uzo kiam G kaj X estas finhavaj, kiam g\u0302i povas esti interpretita jene: la nombro da orbitoj estas egala al la meza nombro da punktoj fiksitaj per grupelemento."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Fiksante grupon G, la aro de formalaj diferencoj de finhavaj G-aro formas ringon vokis la Burnside-ringon de G, kie aldono korespondas por disan union, kaj multiplikon al karteza produkto."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Plue la stabiligiloj de la ago estas la verticgrupoj, kaj la orbitoj de la ago estas la komponentoj, de la ago groupoidaj.\nPor pli da detaloj, vidu la libro Topology and groupoids referenceita malsupre."}, {"text_idx": "#000045", "text": "\\displaistile \\skriptstile p: '\\' \"\\\";\nTio permesas rilaton inter tiaj morfismoj kaj kovrantaj mapoj en topologio."}, {"text_idx": "#000046", "text": "Morfismoj kaj izomorfioj inter G-aro"}, {"text_idx": "#000047", "text": "Se X kaj Y estas du G-aro, ni difinas morfismon de X g\u0302is Y por esti funkcio f:\nf ( x) por c\u0302iu g en G kaj c\u0302io x en X.\nMorfismoj de G-aro ankau\u0306 estas nomitaj ekvivariaj\u0302mapoj au\u0306 G-mapo."}, {"text_idx": "#000048", "text": "La kunmetaj\u0302o de du morfismoj denove estas morfismo."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Se morfismo f estas bijektive, tiam g\u0302ia inversa ankau\u0306 estas morfismo, kaj ni nomas f kaj la du G-aro X izomorfio kaj Y estas nomita izomorfa;\npor c\u0302iuj praktikaj celoj, ili estas neapartigeblaj en tiu kazo."}, {"text_idx": "#000050", "text": "C\u0302iu kutima kliento kiun G ago estas izomorfa al la ago de G sur G donita per maldekstra multipliko.\nC\u0302iu libera G ago estas izomorfa al G \u00d7 S , kie S estas iu aro kaj G reagas al G \u00d7 S per maldekstra multipliko al la unua koordinato.\n( S povas esti mang\u0302ita por esti la aro de okulkavoj Xa / G.\nC\u0302iu transitiva G ago estas izomorfa g\u0302is maldekstra multipliko de G sur la aktoraro de maldekstraj kun-grupoj de iu subgrupo H da G.\n( H povas esti mang\u0302ita por esti la stabiligilgrupo de iu elemento de la origina G-aro."}, {"text_idx": "#000051", "text": "Kun tiu nocio de morfismo, la kolekto de c\u0302iuj G-aro formas kategorion;\ntiu kategorio estas Grothendieck-topos (fakte, supozante klasikan metalogikon, tiu topos ec\u0302 estos Bulea)."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Oni ofte pripensas kontinuajn grupajn agojn: la grupo G estas topologia grupo, X estas topologia spaco, kaj la mapo G \u00d7 Xa \u2192 X estas kontinuaj kun respekto al la produktotopologio de G \u00d7 Xa .\nLa spaco X ankau\u0306 estas nomita G-spaco en tiu kazo.\nTio estas efektive g\u0302eneraligo, c\u0302ar c\u0302iu grupo povas esti konsiderita topologia grupo uzante la diskretan topologion.\nC\u0302iuj konceptoj lanc\u0302itaj supre dau\u0306re laboro en tiu kunteksto, aliflanke ni difinas morfismojn inter G-spaco por esti kontinuaj mapoj kongrua kun la ago de G.\nLa kvociento Xa / G heredas la kvocienttopologion de X, kaj estas nomita la kvocientospaco de la ago.\nC\u0302i-supraj deklaroj pri izomorfioj por regulaj, liberaj kaj transitivaj agoj jam ne estas validaj por kontinuaj grupaj agoj."}, {"text_idx": "#000053", "text": "Se X estas regula kovrospaco de alia topologia spaco Y, tiam la ago de la ferdeka transformgrupo sur X estas konvene malkontinua same kiel estanta libera.\nC\u0302iu libera, konvene malkontinua ago de grupo G sur pad-ligitan topologian spacon X ekestas tiumaniere: kiun la kvocientmapo X kiun=\u21a6 X / G estas regula kovromapo, kaj la ferdeka transformgrupo estas la antau\u0306fiksita ago de G sur X.\nKrome, se X estas simple ligita, la fundamenta grupo de X / G estos izomorfa al G."}, {"text_idx": "#000054", "text": "Tiuj rezultoj estis g\u0302eneraligitaj en la libro Topology and Groupoids referenceita malsupre por akiri la bazaj\u0302on groupoidan de la orbitspaco de malkontinua ago de diskreta grupo sur Hausdorff-spaco, kiel, sub akcepteblaj lokaj kondic\u0302oj, la orbito groupoidaj de la bazaj\u0302o groupoida de la spaco.\nTio permesas kalkulojn kiel ekzemple la fundamenta grupo de la simetria kvadrato de spaceto Xa, nome la orbitospaco de la produkto de X kun si mem sub la tordaj\u0302ago de la cikla grupo de ordo 2 sendadon ( x, y) al ( y, x)."}, {"text_idx": "#000055", "text": "Ago de grupo G sur loke kompakta spaco X estas kokompaktujo se tie ekzistas kompakta subaro A da X tia ke GA = X .\nPor konvene malkontinua ago, kokompakteco estas ekvivalenta al kompakteco de la kvocientospaco X/G."}, {"text_idx": "#000056", "text": "La ago de G sur X lau\u0306dire estas bonorda se la mapado G \u00d7 Xa \u2192 Xa \u00d7 X kiu sendas ( g, x\ng.ks, x) estas bonorda mapo."}, {"text_idx": "#000057", "text": "Grupa ago de topologia grupo G sur topologia spaco X lau\u0306dire estas forte kontinua se por c\u0302io x en X, la mapo g \u21a6 g.\nx estas kontinua kun respekto al la respektivaj topologioj.\nTia ago stimulas agon sur la spaco de kontinuaj funkcioj sur X per difinado ( g.\nx) por c\u0302iu g en G, f kontinua funkcio sur X, kaj x en X.\nNotu ke, dum c\u0302iu kontinua grupa ago estas forte kontinua, la konversacio ne estas en g\u0302enerala vera."}, {"text_idx": "#000058", "text": "La subspaco de glataj punktoj por la ago estas la subspaco de X de poentoj x tia ke g \u21a6 g.\nt.e., g\u0302i estas kontinua kaj c\u0302iuj derivaj\u0302oj [ kie?"}, {"text_idx": "#000059", "text": "Oni ankau\u0306 povas pripensi agojn de monoidoj sur aktoraroj, per utiliganta la samajn du aksiomojn kiel suprajn.\nTio ne difinas bijektivemapojn kaj ekvivalentrilatojn tamen."}, {"text_idx": "#000060", "text": "Anstatau\u0306e de agoj sur aktoraroj, oni povas difini agojn de grupoj kaj monoidoj sur celoj de arbitra kategorio: komencu kun objekto X de iu kategorio, kaj tiam difini agon sur X kiel monoida homomorfism en la monoida de endomorfisms de X.\nSe X havas subestan aron, tiam c\u0302iujn difinojn kaj faktoj deklaritaj supre povas esti portitaj.\nEkzemple, se ni prenas la kategorion da vektoraj spacoj, ni akiras grupajn prezentojn en tiu modo."}, {"text_idx": "#000061", "text": "Oni povas rigardi grupon G kiel kategorion kun ununura objekto en kiu c\u0302iu morfismo estas invertebla.\nA (maldekstre) grupa ago estas tiam nenio sed (kovariaj\u0302o-) funktoro de G g\u0302is la kategorio da aroj, kaj grupa prezento estas funktoro de G g\u0302is la kategorio da vektoraj spacoj.\nMorfismo inter G-aro tiam estas natura transformo inter la grupagaj funktoroj.\nEn analogeco, ago de groupoida estas funktoro de la groupoida g\u0302is la kategorio da aroj au\u0306 g\u0302is iu alia kategorio."}, {"text_idx": "#000062", "text": "Aldone al kontinuaj agoj de topologiaj grupoj sur topologiaj spacoj, oni ankau\u0306 ofte pripensas glatajn agojn de Lie-grupoj sur difencigeblaj plurejoj, regulajn agojn de algebraj grupoj en algebraj variecoj, kaj agojn de grupkabaloj en kabaloj.\nC\u0302io el tiuj estas ekzemploj de grupobjektoj reagantaj al celoj de ilia respektiva kategorio."}, {"text_idx": "#000066", "text": "C\u0302i tiu artikolo estas pri matematika koncepto. Pro la sociologia termino vidu artikolon grupa ago (sociologio)."}, {"text_idx": "#000067", "text": "En matematiko, simetria grupo priskribas c\u0302iujn simetriojn de objektoj. C\u0302i tio estas formaligita per nocio de grupa ago: c\u0302iu ero de la grupo \"agas\" tiel ke g\u0302i surj\u0302etas lau\u0306 \"simetrio\" erojn de iu aro. En c\u0302i tiu okazo, la grupo estas ankau\u0306 nomata kiel permuta grupo (aparte se la aro estas finia au\u0306 ne estas vektora spaco) au\u0306 transforma grupo (aparte se la aro estas vektora spaco kaj la grupo agas kiel linearaj transformoj de la aro). Permuta prezento de grupo G estas prezento de G kiel grupo de permutoj de la aro (kutime se la aro estas finia), kaj povas esti priskribita kiel grupa prezento de G per permutaj matricoj, kaj estas kutime konsiderita en la finidimensia okazo - g\u0302i estas la sama kiel grupa ago de G sur ordita bazo de vektora spaco."}, {"text_idx": "#000068", "text": "Se estas grupo kaj estas aro, tiam grupa ago de sur estas duuma funkcio (kie la surj\u0302eto de kaj estas skribita kiel ) kiu kontentigas jenajn du aksiomojn:"}, {"text_idx": "#000069", "text": "por c\u0302iu ( estas identa ero de )"}, {"text_idx": "#000070", "text": "De c\u0302i tiuj du aksiomoj sekvas ke por c\u0302iu kiu estas funkcio kiu surj\u0302etas al estas reciproke unuvalora surj\u0302eto de al . Pro tio oni povas alternative kaj ekvivalente difini grupan agon de sur kiel grupa homomorfio , kie estas grupo de c\u0302iuj reciproke unuvaloraj surj\u0302etoj de al ."}, {"text_idx": "#000071", "text": "Se grupa ago estas donita, oni ankau\u0306 diras ke G agas sur aro X au\u0306 X estas G-aro."}]