[{"text_idx": "#000001", "text": "En lineara algebro, lineartransformoj povas esti reprezentitaj per matricoj."}, {"text_idx": "#000002", "text": "por iu m \u00d7 n matrico A, nomita la transformmatrico de T .\nEkzistas alternativaj esprimoj de transformmatricoj implikantaj vicvektorojn kiuj estas preferitaj fare de kelkaj verkintoj."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Matricoj permesas al arbitraj lineartransformoj esti elmontritaj en kohera formato, tau\u0306ga por komputado.\nTio ankau\u0306 permesas al transformoj esti interligitaj facile (de multobligado de iliaj matricoj)."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Lineartransformoj ne estas la nuraj kiuj povas esti reprezentitaj per matricoj.\nKelkaj transformoj kiuj estas ne-liniaj sur n-dimensia eu\u0306klida spaco R da n povas esti reprezentitaj kiel lineartransformoj sur la n 1-dimensia spaco R da n +1.\nTiuj inkludas kaj afinajn transformojn (kiel ekzemple traduko) kaj projekciajn transformojn.\nTial, 4\u00d74 transformmatricoj estas vaste utiligitaj en 3D komputila grafiko.\nTiu n kiun 1-dimensiaj transformmatricoj estas nomitaj, depende de sia aplikig\u0302o, afintransformaj matricoj, projekciaj transformmatricoj, au\u0306 pli g\u0302enerale ne-liniaj transformmatricoj.\nKun respekto al n-dimensia matrico, n 1-dimensia matrico povas esti priskribita kiel pliigita matrico."}, {"text_idx": "#000006", "text": "En la fizikaj sciencoj, aktiva transformo estas unu kiu fakte s\u0302ang\u0302as la fizikan pozicion de sistemo, kaj sonas racie ec\u0302 en la foresto de koordinatsistemo dum pasiva transformo estas s\u0302ang\u0302o en la kunordigita priskribo de la fizika sistemo ( s\u0302ang\u0302o de bazo).\nLa distingo inter aktivaj kaj pasivaj transformoj estas grava.\nPer, per transformo, matematikistoj kutime volas diri aktivajn transformojn, dum fizikistoj povis signifi c\u0302iu el ambau\u0306."}, {"text_idx": "#000007", "text": "Metita alimaniere, pasiva transformo nomas priskribon de la sama objekto rigardite de du malsamaj kunordigitaj kadroj."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Trovante la matricon de transformo"}, {"text_idx": "#000009", "text": "Uzi c\u0302i-supran procezon (supozu ke n = 2 en tiu kazo) rivelas tion"}, {"text_idx": "#000010", "text": "Devas notig\u0302i ke la matricreprezentado de vektoroj kaj funkciigistoj dependas de la elektita bazo;\nsimila matrico rezultig\u0302os el alterna bazo.\nTamen, la metodo trovi la komponentojn restas la sama."}, {"text_idx": "#000011", "text": "La rezulta ekvacio estas konata kiel Eigen-valorekvacio.\nLa eigenvektors kaj Eigen-valoroj estas derivitaj de g\u0302i per la karakteriza ekvacio ."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Kun diagonaligo, estas ofte eble tradukig\u0302i al kaj de eigenbase'oj."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Ekzemploj en 2D komputila grafiko"}, {"text_idx": "#000014", "text": "La plej multaj komunaj geometriaj transformoj kiuj konservas la originon fiksis estas liniaj, inkluzive de rotacio, skalante, tondado, reflektadon, kaj ortogonalan projekcion;\nse afina transformo ne estas pura traduko g\u0302i retenas iun punkton fiksa, kaj tiu punkto povas esti elektita kiel origino por igi la transformon linia.\nEn du dimensioj, lineartransformoj povas esti reprezentitaj uzante 2\u00d72 transformmatricon."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Strec\u0302ado en la xy-aviadilo estas lineartransformo kiu pligrandigas c\u0302iujn distancojn en speciala direkto de konstanta faktoro sed ne influas distancojn en la perpendikulara direkto.\nNi nur pripensas strec\u0302adojn lau\u0306 la absciso kaj ipsilonakso.\nStrec\u0302ado lau\u0306 la absciso havas la formonx' = kx; y' = ypor iu pozitiva konstantok.\n(Notu tion sek1 estas>, tiam tio vere estas \"strec\u0302ado\";\nsek1 estas<, g\u0302i estas teknike \"kunpremado\", sed ni dau\u0306re nomas g\u0302in strec\u0302ado.\nAnkau\u0306, sek= 1, tiam la transformo estas identeco, t.e. g\u0302i havas neniun efikon."}, {"text_idx": "#000016", "text": "La matrico asociita kun strec\u0302ado per faktoroklau\u0306 la absciso ricevas per:"}, {"text_idx": "#000017", "text": "Simile, strec\u0302ado de faktoroklau\u0306 la ipsilonakso havas la formonx' = x; y' = ky, do la matrico asociita kun tiu transformo estas"}, {"text_idx": "#000018", "text": "Skribita en matricformularo, tio ig\u0302as: [4]"}, {"text_idx": "#000019", "text": "Tiuj formuloj supozas ke la absciso indikas dekstra kaj la ipsilonakso indikas supren.\nEn formatoj kiel ekzemple SVG kie la ipsilonakso indikas malsupren, tiuj matricoj devas esti inters\u0302ang\u0302itaj."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Por tondmapado (vide simila al oblikva), ekzistas du eblecoj."}, {"text_idx": "#000021", "text": "C\u0302ar kun reflektadoj, la ortogonala projekcio sur linio kiu ne pasas tra la origino estas afina, ne linia, transformo."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Paralelaj projekcioj ankau\u0306 estas lineartransformoj kaj povas esti reprezentitaj simple per matrico.\nTamen, perspektivaj projekcioj kaj reprezenti tiujn kun matrico, ne estas homogenaj koordinatoj povas esti uzitaj."}, {"text_idx": "#000023", "text": "La matrico por rotacii angulon \u03b8 koncerne la akson difinitan per unuobla vektoro ( l, m, n) estas [5]"}, {"text_idx": "#000024", "text": "Notu ke tiuj estas specialaj kazoj de Householder-reflektado en du kaj tri dimensioj.\nReflektado pri linio au\u0306 aviadilo kiu ne ekzamenas la originon estas ne lineartransformo - g\u0302i estas afina transformo - kiel 4x4 afintransforma matrico, g\u0302i povas esti esprimita jene (supozante ke la normalo estas unuobla vektoro):"}, {"text_idx": "#000025", "text": "Se la 4-a komponento de la vektoro estas 0 anstatau\u0306e de 1, tiam la direkto de nur la vektoro estas reflektita kaj g\u0302ia longo restas sens\u0302ang\u0302a, kvazau\u0306 g\u0302i estus spegulitaj tra paralela aviadilo kiu enirpermesiloj tra la origino.\nVidu homogenajn koordinatojn kaj afinajn transformojn malsupre por plia klarigo."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Unu el la c\u0302efinstigoj por utiligado de matricoj por reprezenti lineartransformojn estas ke transformoj tiam povas esti facile kunmetitaj ( kombinitaj) kaj inversigitaj."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Kunmetaj\u0302o estas plenumita per matrica multipliko.\nSe A kaj B estas la matricoj de du lineartransformoj, tiam la efiko de surs\u0302mirado de unua A kaj tiam B al vektoro x ricevas per:"}, {"text_idx": "#000028", "text": "(Tio estas nomita la asocieca posedaj\u0302o.\nEn aliaj vortoj, la matrico de la kombinita transformo A sekvita per B estas simple la produkto de la individuaj matricoj.\nNotu ke la multipliko estas farita en la kontrau\u0306a sinsekvo de la angla frazo: la matrico de \" sekvita per B \" estas BA, ne AB-."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Sekvo de la kapablo kunmeti transformojn multobligante iliajn matricojn estas ke transformoj ankau\u0306 povas esti inversigitaj simple inversigante siajn matricojn.\nTiel, \u22121 reprezentas la transformon kiu \"malfaras\" A."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Por reprezenti afinajn transformojn kun matricoj, ni povas uzi homogenajn koordinatojn.\nTio intencas reprezenti 2-vektoron ( x, y) kiel 3-vektoro ( x, y, 1), kaj simile por pli alta grandeco.\nUzante tiun sistemon, traduko povas esti esprimita kun matrica multipliko."}, {"text_idx": "#000031", "text": "C\u0302iuj ordinaraj lineartransformoj estas inkluditaj en la aro de afinaj transformoj, kaj povas esti priskribitaj kiel simpligita formo de afinaj transformoj.\nTial, c\u0302iu lineartransformo ankau\u0306 povas esti reprezentita per g\u0302enerala transformmatrico.\nC\u0302i-lasta akirig\u0302as vastigante la ekvivalentan lineartransformmatricon per unu vico kaj kolono, plenigante la ekstran spacon kun nuloj krom la malsupra-dekstra angulo, kiu devas esti atribuita al 1-a Ekzemple, la kontrau\u0306-dekstruma rotaciomatrico de supre ig\u0302as:"}, {"text_idx": "#000032", "text": "Utiligante transformmatricojn enhavantajn homogenajn koordinatojn, tradukoj ig\u0302as linie sendependaj, kaj tiel povas esti senjunte miksitaj kun c\u0302iuj aliaj specoj de transformoj.\nLa kialo estas ke la reala aviadilo estas mapita al la w = 1 aviadilo en reala projekcia spaco, kaj tiel traduko en reala eu\u0306klida spaco povas esti reprezentita kiel tondo en reala projekcia spaco.\nKvankam traduko estas ne-linia transformo en 2-D au\u0306 3-D eu\u0306klida spaco priskribita per kartezaj koordinatoj (t.e. g\u0302i ne povas esti kombinita kun aliaj transformoj konservante komutecon kaj aliajn trajtojn), g\u0302i ig\u0302as, en 3-D au\u0306 4-D projekcia spaceto priskribita per homogenaj koordinatoj, simpla lineartransformo ( tondo)."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Pli afinaj transformoj povas esti akiritaj per kunmetaj\u0302o de du au\u0306 pli da afinaj transformoj."}, {"text_idx": "#000034", "text": "Dum uzado de afinaj transformoj, la homogena komponento da kunordigita vektoro (normale nomita w) neniam estos s\u0302ang\u0302ita.\nOni povas tial sekure supozi ke g\u0302i c\u0302iam estas 1 kaj ignoras g\u0302in.\nTamen, tio ne estas vera dum utiligado de perspektivaj projekcioj."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Alia speco de transformo, da graveco en 3D komputilgrafikoj, estas la perspektiva projekcio.\nDum paralelaj projekcioj estas utiligitaj por projekcii punktojn sur la bildaviadilo lau\u0306 paralelaj linioj, la perspektivprojekciajn projektopunktojn sur la bildaviadilo lau\u0306 linioj kiuj eliras el ununura punkto, nomita la centro de projekcio.\nTio signifas ke objekto havas pli malgrandan projekcion kiam g\u0302i estas malproksime de la centro de projekcio kaj pli granda projekcio kiam g\u0302i estas pli proksima."}, {"text_idx": "#000036", "text": "La plej simpla perspektiva projekcio utiligas la originon kiel la centron de projekcio, kaj z = 1 kiel la bildaviadilon.\nNi povas esprimi tion en homogenaj koordinatoj kiel:"}, {"text_idx": "#000037", "text": "Post arang\u0302ado de la matrica multipliko, la homogena komponento wc faras, g\u0302enerale, ne esti egala al 1-a Tial, mapi reen en la realan aviadilon kiun ni devas elfari la homogenajn disigas au\u0306 perspektivo dividas per dividanta c\u0302iun komponenton per wc :"}, {"text_idx": "#000038", "text": "Pli d komplikaj perspektivaj projekcioj povas esti kunmetitaj kombinante tiu-c\u0302in kun rotacioj, pesilo, tradukojn, kaj tondojn por movi la bildaviadilon kaj centron de projekcio kie ajn ili estas dezirataj."}]