[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, la Riemann-sfero, nomita lau\u0306 la 19-a-jarcenta matematikisto Bernhard Riemann, estas modelo de la plilongigita kompleksa ebeno, la kompleksa ebeno kaj plie punkto c\u0302e senfineco.\nTiu plilongigita aviadilo reprezentas la plilongigitajn kompleksajn nombrojn, t.e., la kompleksaj nombroj kaj plie valor\u221e por senfineco.\nKun la Riemann-modelo, la punkto-\" \u221e\" estas proksima al tre nombregoj, ekzakte kiam la poento \"0\" estas proksima al tre malmultoj."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La plilongigitaj kompleksaj nombroj estas utilaj en kompleksa analitiko c\u0302ar ili enkalkulas dividadon de nul en kelkaj cirkonstancoj, en maniero kiel kiu igas esprimojn kiel ekzemple 1/0 = \u221e bonkondutaj.\nEkzemple, c\u0302iu racia funkcio sur la kompleksa ebeno povas esti etendita al kontinua funkcio sur la Riemann-sferon, kun la poloj de la racia funkciomapado al senfineco.\nPli g\u0302enerale, c\u0302iu meromorfa funkcio povas esti opiniita de kiel kontinua funkcio kies kodomajno estas la Riemann-sfero."}, {"text_idx": "#000003", "text": "En geometrio, la Riemann-sfero estas la prototipa ekzemplo de Riemann-faco, kaj estas unu el la plej simplaj kompleksaj duktoj.\nEn projekcia geometrio, la sfero povas esti opiniita de kiel la kompleksa projekcia linio P 1 ( C), la projekcia regiono de c\u0302iuj kompleksaj linioj en C 2.\nC\u0302ar kun iu kompakta Riemann-faco, la sfero ankau\u0306 povas esti rigardita kiel projekcia algebra kurbo, igante g\u0302in fundamenta ekzemplo en algebra geometrio.\nG\u0302i ankau\u0306 trovas servaj\u0302on en aliaj disciplinoj kiuj dependas de analizo kaj geometrio, kiel ekzemple kvantuma mekaniko kaj aliaj branc\u0302oj de fiziko."}, {"text_idx": "#000004", "text": "1 Plilongigitaj kompleksaj nombroj 1.1\n3 Kiel la kompleksa projekcia linio"}, {"text_idx": "#000005", "text": "La plilongigitaj kompleksaj nombroj konsistas el la kompleksaj nombroj C kune kun \u221e.\n, kaj estas ofte indikita aldonante iun ornamadon al la litero C, kiel ekzemple"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Geometrie, la aro de plilongigitaj kompleksaj nombroj estas referita kiel la Riemann-sfero (au\u0306 plilongigita kompleksa ebeno)."}, {"text_idx": "#000007", "text": "Aldono de kompleksaj nombroj povas esti etendita per difinado, por z \u2208 C,"}, {"text_idx": "#000008", "text": "por iu komplekso pli sensenta z, kaj multipliko povas esti difinita per"}, {"text_idx": "#000009", "text": "por c\u0302iu nonzero-kompleksnombroj z, kun \u221e \u22c5 \u221e = \u221e.\nNotu ke \u221e + \u221e, \u221e - \u221e kaj 0-\u22c5 \u221e estas lasitaj nedifinitaj.\nMale al la kompleksaj nombroj, la plilongigitaj kompleksaj nombroj ne formas kampon, c\u0302ar \u221e ne havas multiplikan inversan."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Ajna racia funkcio f (z) = g (z) /h (z) (en aliaj vortoj, f (z) estas la rilatumo de polinomfunkcioj g (z) kaj h (z) de z kun kompleksaj koeficientoj, tia ke g (z) kaj h (z) havas neniun komunan faktoron) povas esti etendita al kontinua funkcio sur la Riemann-sferon.\nSpecife, sekompleksa nombro estas tia ke la denominatoronul sed la numeratoro estasestas nonzero, tiampovas esti difinita kiel \u221e.\nKrome, f (\u221e) povas esti difinita kiel la limo de f (z) kiel z \u2192 \u221e, kiu povas esti finhava au\u0306 senfina."}, {"text_idx": "#000012", "text": "La aro de kompleksaj raciaj funkcioj kiuj ne estas c\u0302ie nul - kies matematika simbolo estas C (z) formularo c\u0302iaj ajn holomorfaj funkcioj de la Riemann-sfero g\u0302is si mem, kiam g\u0302i estas rigardita kiel Riemann-faco, krom la konstanta funkcio prenanta la valor\u221e c\u0302ie.\nLa funkcioj de C (z) formas algebran kampon, konatan kiel la kampo de raciaj funkcioj sur la sfero."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Ekzemple, surbaze de la funkcio"}, {"text_idx": "#000014", "text": "ni povas difini f (5) = \u221e, c\u0302ar la denominatoro estas nul c\u0302e z = 5, kaj f (\u221e) = 3 ekde f (z) \u2192 3 kiel z \u2192 \u221e.\nUtiligante tiujn difinojn, f ig\u0302as kontinua funkcio de la Riemann-sfero g\u0302is si mem."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Kiel unu-dimensia kompleksoodukto, la Riemann-sfero povas esti priskribita per du furorlisto, ambau\u0306 kun domajno egala al la kompleksanombra ebeno C.\nLasu \u03b6 esti kompleksa nombro en unu kopio de C, kaj lasu \u03be esti kompleksa nombro en alia kopio de C.\nIdentigu c\u0302iun nonzero-kompleksnombron \u03b6 de la unua C kun la nonzero-kompleksnombro 1/\u03be de la dua C."}, {"text_idx": "#000016", "text": "estas vokita la transirmapo inter la du kopioj de C - la tielnomita furorlisto - gluanta ilin kune.\nC\u0302ar la transirmapoj estas holomorfaj, ili difinas kompleksan dukton, nomitan la Riemann-sfero.\nKiel kompleksa dukto de 1 kompleksa dimensio (t.e., 2 reala grandeco), tio ankau\u0306 estas nomita Riemann-faco."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Intuicie, la transirmapoj indikas kiel por glui du aviadilojn kune por formi la Riemann-sferon.\nLa aviadiloj estas gluitaj en \"intern-ekstera\" maniero, tiel ke ili preskau\u0306 interkovras c\u0302ie, kun c\u0302iu aviadilkontribuado j\u0302us unun punkton (g\u0302ian origino) maltrafado de la alia aviadilo.\nEn aliaj vortoj, (preskau\u0306) c\u0302iu punkto en la Riemann-sfero havas kaj \u03b6 valoron kaj \u03be valoron, kaj la du valoroj estas ligitaj per \u03b6 = 1/\u03be.\nLa punkto kie \u03be = 0 tiam devus havi \u03b6-valoron \"1=/=0\";\nen tiu signifo, la origino de la \u03be-diagramo ludas la rolon de\" \u221e\" en la \u03b6-diagramo.\nSimetrie, la origino de la \u03b6-diagramo ludas la rolon de \u221e en la \u03be-diagramo."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Topologie, la rezulta spaco estas la unu-punkta Kompaktigo de aviadilo en la sferon.\nTamen, la Riemann-sfero ne estas simple topologia sfero.\nG\u0302i estas sfero kun klare difinita kompleksa strukturo, tiel ke c\u0302irkau\u0306 c\u0302iu punkto sur la sfero ekzistas najbareco kiu povas esti biholomorficaly identigita kun C."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Aliflanke, la uniformigteoremo, centra rezulto en la klasifiko de Riemann-facoj, s\u0302tatoj ke la nuraj simple-ligitaj unu-dimensiaj kompleksaj duktoj estas la kompleksa ebeno, la hiperbola aviadilo, kaj la Riemann-sfero.\nDe tiuj, la Riemann-sfero estas la nura unu kiu estas fermita surfaco ( kompakta surfaco sen limo).\nTial la dudimensia sfero koncedas unikan kompleksoostrukturon ig\u0302antan g\u0302in unu-dimensia kompleksoodukto."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Kiel la kompleksa projekcia linio"}, {"text_idx": "#000021", "text": "La Riemann-sfero ankau\u0306 povas esti difinita kiel la kompleksa projekcia linio.\nTio estas la subaro de C 2 konsistante el c\u0302iuj paroj (\u03b1, \u03b2) de kompleksaj nombroj, ne ambau\u0306 nul, modulo la ekvivalentrilato"}, {"text_idx": "#000022", "text": "La kompleksa ebeno C, kun kunordigita \u03b6, povas esti mapita en la kompleksan projekcian linion per"}, {"text_idx": "#000023", "text": "Alia kopio de C kun kunordigita \u03be povas esti mapita enen per"}, {"text_idx": "#000024", "text": "Tiu du kompleksa furorlisto kovras la projekcian linion.\nPor nonzer\u03be kaj \u03b6 la post identigoj"}, {"text_idx": "#000025", "text": "montri ke la transirmapoj estas \u03b6 = 1/\u03be kaj \u03be = 1/\u03b6, same supraj."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Tiu traktado de la Riemann-sfero ligas plej facile al projekcia geometrio.\nEkzemple, c\u0302iu linio (au\u0306 glata konusforma) en la kompleksa projekcia aviadilo estas biholomorfa al la kompleksa projekcia linio.\nG\u0302i ankau\u0306 estas oportuna por studado de la au\u0306tomorfismoj de la sfero, poste en tiu artikolo."}, {"text_idx": "#000027", "text": "La Riemann-sfero povas esti bildigita kiel la unuobla pilko x 2 + y 2 + z 2 = 1 en la tridimensia reala spaceto R 3.\nG\u0302is tiu fino, pripensu la rektlinian sferan projekcion de la unuoblapilka minuso la punkto (0, 0, 1) sur la aviadilo z = 0, kiu ni identigas per la kompleksa ebeno de \u03b6 = x -+ iy.\nEn kartezaj koordinatoj ( x, y, z) kaj sferaj koordinatoj (\u03c6, \u03b8) sur la sfero (kun \u03c6 la zenito kaj \u03b8 la azimuto), la projekcio estas"}, {"text_idx": "#000028", "text": "Simile, rektlinia sfera projekcio de (0, 0, \u22121) sur la aviadilo z = 0, identigita kun alia kopio de la kompleksa ebeno per \u03be = x \u2212 I y, estas skribitaj"}, {"text_idx": "#000029", "text": "Por kovri la unuoblan pilkon, oni bezonas la du rektliniajn sferan projekciojn: la unua kovros la tutan sferon krom la punkto (0, 0, 1) kaj la dua krom la punkto (0, 0, \u22121).\nTial, oni bezonas du kompleksajn ebenojn, unu por c\u0302iu projekcio, kiu povas esti intuicie vidita kiel gluita dors-al-dorsa c\u0302e z = 0-an Noton ke la du kompleksaj ebenoj estas identigitaj alimaniere per la aviadilo z = 0-a orientig\u0302o-inversigo estas necesa konservi konsekvencan orientig\u0302on sur la sfero, kaj aparte kompleksa konjugacio igas la transirmapojn esti holomorfaj."}, {"text_idx": "#000030", "text": "La transirmapoj inter \u03b6-koordinatoj kaj \u03be-koordinatoj akirig\u0302as kunmetante unun projekcion kun la inversa de la aliaj.\nIli montrig\u0302as por \u03b6 = 1/\u03be kaj \u03be = 1/\u03b6, kiel priskribite supre.\nTiel la unuobla pilko estas difeomorfa al la Riemann-sfero."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Riemann-faco ne venas ekipita kun iu akurata Riemaniana metriko.\nLa konforma strukturo de la Riemann-faco faras, aliflanke, determini klason de metriko: c\u0302iuj tiuj kies malc\u0302efa konforma strukturo estas la antau\u0306fiksita unu.\nEn pli da detalo: La kompleksa strukturo de la Riemann-faco unike determinas metrikon supren al konforma ekvivalenteco.\n(Du metriko lau\u0306dire estas konforme ekvivalentaj c\u0302u ili malsamas per multipliko per pozitiva glata funkcio.\nInverse, c\u0302iu metriko sur orientita surfaco unike determinas kompleksan strukturon, kiu dependas de la metriko nur supren al konforma ekvivalenteco.\nKompleksaj strukturoj sur orientita surfaco estas tial en ekzakta korespondado kun konformaj klasoj de metriko sur tiu surfaco."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Ene de antau\u0306fiksita konforma klaso, oni povas uzi konforman simetrion por trovi reprezentanton metrika kun oportunaj trajtoj.\nAparte, ekzistas c\u0302iam kompleta metriko kun obstina kurbig\u0302o en iu antau\u0306fiksita konforma klaso."}, {"text_idx": "#000034", "text": "Koncerne la Riemann-sferon, la Gauss-kapotteoremo implicas ke konstant-kurbig\u0302a metriko havendaj\u0302o pozitivan kurbig\u0302on K.\nG\u0302i sekvas ke la metriko devas esti izometra al la sfero de radiusoen R 3 per rektlinia sfera projekcio.\nEn la \u03b6-diagramo sur la Riemann-sfero, la metriko kun K = 1 ricevas per"}, {"text_idx": "#000035", "text": "En realo kunordigas \u03b6 = u + iv, la formulo estas"}, {"text_idx": "#000036", "text": "G\u0302is konstanta faktoro, tiu metriko konsentas kun la norma Fubini-studmetriko sur kompleksa projekcia spaco (de kiu la Riemann-sfero estas ekzemplo)."}, {"text_idx": "#000037", "text": "G\u0302is skalado, tio estas la nura metriko sur la sfero kies grupo de izometrioj estas 3-dimensia (kaj neniu estas pli ol 3-dimensia);\nal tiu grupo estas telefonita TIEL (3).\nEn tiu signifo, tio estas senkompare la plej simetria metriko sur la sfero."}, {"text_idx": "#000039", "text": "La studo de iu matematika objekto estas helpita per kompreno da sia grupo de au\u0306tomorfismoj, kun la signifo la mapoj de la objekto g\u0302is si mem kiuj konservas la esencan strukturon de la objekto.\nKoncerne la Riemann-sferon, au\u0306tomorfismo estas invertebla biholomorfa mapo de la Riemann-sfero g\u0302is si mem.\nG\u0302i turnas ke la nuraj tiaj mapoj estas la transformo de Mo\u0308bius.\nTiuj estas funkcioj de la formo"}, {"text_idx": "#000040", "text": "kie , b, c, kaj d estas kompleksaj nombroj tia ke.\nEkzemploj de transformo de Mo\u0308bius inkludas dilatig\u0302ojn, rotaciojn, tradukojn, kaj kompleksan inversion.\nFakte, c\u0302iu transformo de Mo\u0308bius povas esti skribita kiel kunmetaj\u0302o de tiuj."}, {"text_idx": "#000041", "text": "La transformo de Mo\u0308bius estas enspezige rigarditaj kiel transformoj sur la kompleksa projekcia linio.\nEn projekciaj koordinatoj, la transformo f povas esti skribita"}, {"text_idx": "#000042", "text": "Tiel la transformo de Mo\u0308bius povas esti priskribitaj kiel 2 \u00d7 2 kompleksaj matricoj kun nonzerdeterminanto;\ndu matricoj donas la saman transformon de Mo\u0308bius se kaj nur se ili malsamas de nonzerfaktoro.\nTiel la transformo de Mo\u0308bius precize egalrilatas al la projekciaj lineartransformoj PGL (2, C)."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Se oni dotas la Riemann-sferon kun la Fubini-studmetriko, tiam ne c\u0302iuj transformo de Mo\u0308bius estas izometrioj;\nekzemple, la dilatig\u0302oj kaj tradukoj ne estas.\nLa izometrioj formas bonordan subgrupon de PGL (2, C), nome PSU (2).\nTiu subgrupo estas izomorfa al la turnada grupo TIEL (3), kio estas la grupo de simetrioj de la unuobla pilko en R 3 (kiu, kiam limigite al la sfero, ig\u0302as la izometrioj de la sfero)."}, {"text_idx": "#000044", "text": "En kompleksa analitiko, meromorfa funkcio sur la kompleksa ebeno (au\u0306 sur iu Riemann-faco, por tiu afero) estas rilatumf/g de du holomorfaj funkcioj f kaj g.\nKiel mapo al la kompleksaj nombroj, g\u0302i estas nedifinita kie ajn g estas nul.\nTamen, g\u0302i induktas holomorfan mapon (f, g) al la kompleksa projekcia linio kiu estas klare difinita ec\u0302 kie g = 0-a Tiu konstruo estas helpemaj en la studo de holomorfaj kaj meromorfaj funkcioj.\nEkzemple, sur kompakta Riemann-faco ekzistas neniuj ne-konstantaj holomorfaj mapoj al la kompleksaj nombroj, sed holomorfaj mapoj al la komplekso projekcia linio estas abundaj."}, {"text_idx": "#000045", "text": "La Riemann-sfero havas multajn uzojn en fiziko.\nEn kvantumaj mekanikoj, punktoj sur la kompleksa projekcia linio estas naturvaloroj por fotonaj polusig\u0302o s\u0302tatoj, spino statoj de masivaj eroj de spino 1/2, kaj 2-s\u0302tataj partikloj g\u0302enerale (vidu ankau\u0306 Quantum-pecon).\nLa Riemann-sfero estis proponita kiel relativista modelo por la c\u0302ielosfero.\nEn teorio de kordoj, la u\u0306orldshets de s\u0302nuroj estas Riemann-facoj, kaj la Riemann-sfero, estanta la plej simpla Riemann-faco, ludas signifan rolon.\nG\u0302i ankau\u0306 estas grava en tu\u0306istorteorio."}]