[{"text_idx": "#000001", "text": "En lineara algebro, ajgenvektoro au\u0306 karakteriza vektoro de lineartransformo estas ne-nula vektoro kies direkto ne s\u0302ang\u0302as kiam ke lineartransformo estas aplikita al g\u0302i.\nPli formale, se T estas lineartransformo de vektora spaco V pli ol kampo F en si mem kaj v estas vektoro en V kiu ne estas la nul vektoro, tiam v estas ajgenvektoro de T se T ( v) estas skalarmultoblo de v.\nTiu kondic\u0302o povas esti skribita kiel la ekvacio"}, {"text_idx": "#000002", "text": "kie \u03bb estas Skalaro en la kampo F, konata kiel la Eigen-valoro, karakteriza valoro, au\u0306 karakteriza radiko asociis kun la ajgenvektoro v."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Se la vektora spaco V estas finhav-dimensia, tiam la lineartransformo T povas esti reprezentita kiel kvadratmatrico A, da kaj la vektoro v per kolumna vektoro, transigante c\u0302i-supran mapadon kiel matrica multipliko sur maldekstramana flanko kaj malpliigo de la kolumna vektoro sur la dekstra flanko en la ekvacio"}, {"text_idx": "#000004", "text": "Ekzistas korespondado inter n per n kvadratmatricoj kaj lineartransformoj de n-dimensia vektora spaco g\u0302is si mem.\nTial, estas ekvivalente difini Eigen-valorojn kaj ajgenvektorojn uzantajn au\u0306 la lingvon de matricoj au\u0306 la lingvon de lineartransformoj."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Geometrie ajgenvektoro, egalrilati al reala Nonzereigen-valoro, punktoj en direkto kiu estas etendita per la transformo kaj la Eigen-valoro estas la faktoro de kiu g\u0302i estas etendita.\nSe la Eigen-valoro estas negativa, la direkto estas inversigita."}, {"text_idx": "#000007", "text": "Eigenvalues kaj la karakteriza ekvacio\nEigenspaces, geometria diverseco, kaj la eigenbasis por matricoj\n3 Tridimensia matricekzemplo kun kompleksaj Eigen-valoroj\n6 Matrico kun ripeta Eigen-valorekzemplo"}, {"text_idx": "#000009", "text": "Eigenspaces, geometria diverseco, kaj la eigenbasis\nAsociecaj algebroj kaj prezenta teorio"}, {"text_idx": "#000010", "text": "Tensoro de momento de inercio"}, {"text_idx": "#000011", "text": "Eigenvalues kaj ajgenvektoroj rolas elstare en la analizo de lineartransformoj.\nLa prefikso eigen- estas adoptita de la germana vorto eigen por \"bonorda\", \"eneca\";\nOrigine utiligita por studi c\u0302efaksojn de la rotacia decidpropono de rigidaj korpoj, Eigen-valoroj kaj ajgenvektoroj havas larg\u0302an gamon de aplikoj, ekzemple en stabilecanalizo, vibradanalizo, atoms\u0302eloj, vizag\u0302rekono, kaj matricdiagonaligo."}, {"text_idx": "#000012", "text": "En esenco, ajgenvektoro v de lineartransformo T estas ne-nula vektoro kiu, kiam T estas aplikitaj al g\u0302i, ne s\u0302ang\u0302as direkton.\nUzado T al la ajgenvektoro nur skalas la ajgenvektoron de la skalarvaloro \u03bb, nomita Eigen-valoro.\nTiu kondic\u0302o povas esti skribita kiel la ekvacio"}, {"text_idx": "#000013", "text": "referite kiel la Eigen-valorekvacio au\u0306 eigenekvation.\nG\u0302enerale, \u03bb povas esti ajna Skalaro.\nEkzemple, \u03bb povas esti negativa, en kiu kazo la ajgenvektoro inversigas direkton kiel parto de la malpliigo, au\u0306 g\u0302i povas esti nul au\u0306 komplekso."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Lineartransformoj povas preni multajn malsamajn formojn, mapante vektorojn en diverseco de vektoraj spacoj, tiel ke la eigenvektors ankau\u0306 povas preni multajn formojn."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Alternative, la lineartransformo povis preni la formon de n de n matrico, en kiu kazo la ajgenvektoroj estas n de 1 matricoj kiuj ankau\u0306 estas referitaj kiel ajgenvektoroj.\nSe la lineartransformo estas esprimita en la formo de n per n matrico A, tiam la Eigen-valorekvacio supre c\u0302ar lineartransformo povas esti rewriten kiel la matrica multipliko"}, {"text_idx": "#000017", "text": "kie la ajgenvektoro v estas n de 1 matrico.\nPor matrico, eigenvalues kaj ajgenvektoroj povas esti uzitaj por malkonstrui la matricon, ekzemple de diagonalizing g\u0302i."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Eigenvalues kaj ajgenvektoroj kau\u0306zas multajn proksime rilatitajn matematikajn konceptojn, kaj la prefikso eigen- estas uzita liberale dum nomado de ili:"}, {"text_idx": "#000019", "text": "La aro de c\u0302iuj ajgenvektoroj de lineartransformo, kiun c\u0302iu parig\u0302is kun sia ekvivalenta Eigen-valoro, estas nomita la eigensistem de tiu transformo.\nLa aro de c\u0302iuj ajgenvektoroj de T egalrilatanta al la sama Eigen-valoro, kune kun la nul vektoro, estas nomita ajgenspaco au\u0306 karakteriza spaco de T.\nSe la aro de eigenvektors de T formas bazon de la domajno de T, tiam tiu bazo estas nomita eigenbasis."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Eigenvalues ofte estas prezentita en la kunteksto de lineara algebro au\u0306 matrica teorio.\nHistorie, aliflanke, ili ekestis en la studo de kvadrataj formoj kaj diferencialaj ekvacioj."}, {"text_idx": "#000021", "text": "En la 18-a jarcento Euler studis la rotacian decidproponon de rigida korpo kaj malkovris la gravecon de la c\u0302efaksoj.\nLagrange ekkomprenis ke la c\u0302efaksoj estas la eigenvektors de la inerciomatrico.\nEn la frua 19-a jarcento, Cauchy vidis kiel ilia laboro povus esti utiligita por klasifiki la Kvadriksurfacojn, kaj g\u0302eneraligis g\u0302in al arbitra grandeco.\nCauchy ankau\u0306 elpensis la esprimon racincaracte\u0301ristique (karakteriza radiko) por kio nun estas nomitaj Eigen-valoro;\nlia esprimo pluvivas en karakteriza ekvacio ."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Fourier utiligis la laboron de Laplace kaj Lagrange por solvi la varmecekvacion per apartigo de variabloj en sia fama 1822 libro The\u0301orie analytique de la chaleur .\nSturm evoluigis la ideojn de Fourier plu kaj alportis ilin al la atento de Cauchy, kiu kombinis ilin kun siaj propraj ideoj kaj alvenis c\u0302e la fakto ke realaj simetriaj matricoj havas realajn Eigen-valorojn.\nTio estis etendita fare de Hermite en 1855 al kio nun estas nomitaj memadjunktaj matricoj.\nC\u0302irkau\u0306 la sama tempo, Brioski pruvis ke la eigenvalues de ortogonalaj matricoj kus\u0302as sur la trigonometria cirklo, [11] kaj Clebsch trovis la ekvivalentan rezulton por kontrau\u0306simetriaj matricoj.\nFinfine, Weierstrass klarigis gravan aspekton en la stabilecteorio komencita de Laplace per ekkomprenado ke difektitaj matricoj povas kau\u0306zi malstabilecon."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Intertempe, Liouville studis Eigen-valorproblemojn similajn al tiuj de Sturm;\nla disciplino kiu kreskis el ilia laboro nun estas nomita Sturm-Liouville-teorio .\nSchwarz studis la unuan Eigen-valoron de la ekvacio de Laplace pri g\u0302eneralaj domajnoj direkte al la fino de la 19-a jarcento, dum Poincare\u0301 studis la ekvacion de Poisson kelkajn jarojn poste."}, {"text_idx": "#000024", "text": "C\u0302e la komenco de la 20-a jarcento, Hilbert studis la eigenvalues de integritaj funkciigistoj rigardante la funkciigistojn kiel senfinajn matricojn.\nLi estis la unua se temas pri uzi la germanan vorton eigen, kio intencas \"propra\", por indiki Eigen-valorojn kaj ajgenvektorojn en 1904, [18] kvankam li eble sekvis rilatan uzokutimon de Helmholtz.\nPor iom da tempo, la norma esprimo en la angla estis \"bonorda valoro\", sed la pli karakteriza esprimo \"Eigen-valoro\" estas norma hodiau\u0306."}, {"text_idx": "#000025", "text": "La unua nombra algoritmo por komputado de Eigen-valoroj kaj ajgenvektoroj aperis en 1929, kiam Von Mises publikigis la potencmetodon.\nUnu el la plej popularaj metodoj hodiau\u0306, la QR-algoritmo, estis proponita sendepende fare de John G.F. Francis [20] kaj Vera Kublanovskaya [21] en 1961."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Eigenvalues kaj ajgenvektoroj de matricoj"}, {"text_idx": "#000027", "text": "Eigenvalues kaj ajgenvektoroj ofte estas enkondukitaj en studentoj en la kunteksto de linearalgebraj kursoj temigis matricojn.\nKrome, lineartransformoj povas esti reprezentitaj utiligante matricojn, [1] [2] aparte oftaj en nombraj kaj komputilaj aplikoj."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Pripensu n-dimensia vektorojn kiuj estas formitaj kiel listo de n Skalaroj, kiel ekzemple la tridimensiaj vektoroj"}, {"text_idx": "#000029", "text": "Tiuj vektoroj lau\u0306dire estas skalarmultobloj de unu la alian, au\u0306 paralelaj au\u0306 samliniaj, c\u0302u ekzistas skalar\u03bb tia ke"}, {"text_idx": "#000030", "text": "Nun pripensu la lineartransformon de n-dimensia vektoroj difinitaj per n de n matrico A,"}, {"text_idx": "#000031", "text": "Se g\u0302i okazas tiu v kaj w estas skalarmultobloj, kiu estas se"}, {"text_idx": "#000032", "text": "tiam v estas ajgenvektoro de la lineartransformo A kaj la skalfaktoro \u03bb estas la Eigen-valoro egalrilatanta al tiu ajgenvektoro.\nEkvacio ( 1 ) estas la Eigen-valorekvacio por la matrico A."}, {"text_idx": "#000034", "text": "kie I estas la n de n identa matrico."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Eigenvalues kaj la karakteriza ekvacio"}, {"text_idx": "#000037", "text": "Uzante la regulon de Leibniz por la determinanto, maldekstramana flanko de Equation ( 3 ) estas polinom funkcio de la varia \u03bb kaj la grado da tiu polinomo estas n, la ordo de la matrico A.\nG\u0302iaj koeficientoj dependas de la kontribuoj de A, krom ke g\u0302ia esprimo de grado da n c\u0302iam estas (\u22121) n \u03bb n .\nTiu polinomo estas nomita la karakteriza ekvacio de A.\nEkvacio ( 3 ) estas nomita la karakteriza ekvacio au\u0306 la sekulara ekvacio de A."}, {"text_idx": "#000038", "text": "La algebra bazteoremo implicas ke la karakteriza ekvacio de n de n matrico A, estanta polinomo de grado da n, povas esti faktorigita en la produkton de n liniaj esprimoj,"}, {"text_idx": "#000039", "text": "kie c\u0302iu \u03bb I povas esti reala sed g\u0302enerale estas kompleksa nombro.\nLa nombroj da \u03bb 1, \u03bb 2\n\u03bb n , kiun eble ne c\u0302io havas apartajn valorojn, estas radikoj de la polinomo kaj estas la eigenvalues de A."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Mallongan ekzemplon, kiu estas priskribita en pli da detalo en la ekzemplosekcio poste, konsideras la matricon"}, {"text_idx": "#000041", "text": "Prenante la determinanton de ( M \u2212 \u03bbI), la karakteriza ekvacio de M estas"}, {"text_idx": "#000042", "text": "Metante la karakterizan ekvacion egala al nul, g\u0302i havas radikojn c\u0302e \u03bb = 1 kaj \u03bb = 3, kiuj estas la du Eigen-valoroj de M.\nLa eigenvektors egalrilatanta al c\u0302iu Eigen-valoro povas esti trovita per solvado por la komponentoj de v en la ekvacio Mv = \u03bbv.\nEn tiu ekzemplo, la ajgenvektoroj estas ajnaj ne-nulaj skalarmultobloj de"}, {"text_idx": "#000043", "text": "Se la kontribuoj da la matrico A estas c\u0302iuj realaj nombroj, tiam la koeficientoj de la karakteriza ekvacio ankau\u0306 estos realaj nombroj, sed la eigenvalues dau\u0306re povas havi ne-nulajn imaginarajn partojn.\nLa kontribuoj de la ekvivalenta eigenvektors tial povas ankau\u0306 havi ne-nulajn imaginarajn partojn.\nSimile, la eigenvalues povas esti neraciaj nombroj ec\u0302 se c\u0302iuj kontribuoj de A estas raciaj nombroj au\u0306 ec\u0302 se ili estas c\u0302iuj entjeroj.\nTamen, se la kontribuoj de A estas c\u0302iuj algebraj nombroj, kiuj inkludas la rationals, la Eigen-valoroj estas kompleksaj algebraj nombroj."}, {"text_idx": "#000044", "text": "La ne-realaj radikoj da reala polinomo kun realaj koeficientoj povas esti grupigitaj en parojn de kompleksaj konjugitoj, nome kun la du membroj de c\u0302iu paro havante imaginarajn partojn kiuj malsamas nur en signo kaj la sama reela parto.\nSe la grado estas stranga, tiam de la mezvaloro-teoremo almenau\u0306 unu el la radikoj estas reala.\nTial, c\u0302iu reala matrico kun stranga ordo havas almenau\u0306 unu realan Eigen-valoron, dum reala matrico kun ec\u0302 ordo eble ne havas ajnan realan eigenvalues.\nLa eigenvektors asociita kun tiuj kompleksaj Eigen-valoroj ankau\u0306 estas kompleksa kaj ankau\u0306 aperas en kompleksakonjugitaj paroj."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Lasu \u03bb I esti Eigen-valoro de n de n matrico A.\nLa algebra diverseco \u03bc A ( \u03bb I ) de la Eigen-valoro estas it diverseco kiel radiko de la karakteriza ekvacio, t.e., la plej granda entjero k tia ke ( \u03bb \u2212 \u03bb I ) k disigas egale tiun polinomon."}, {"text_idx": "#000046", "text": "Supozi matrico A havas dimension n kaj d \u2264 n klaran eigenvalues.\nDum Ekvacio ( 4 ) faktorigas la karakterizan ekvacion de A en la produkton de n liniaj esprimoj kun kelkaj esprimoj eble ripetante, la karakteriza ekvacio povas anstatau\u0306e esti skribita kiel la produkto d al esprimoj c\u0302iun egalrilatante al klara Eigen-valoro kaj levita al la potenco de la algebra diverseco,"}, {"text_idx": "#000047", "text": "Se d = n tiam la dekstra flanko estas la produkto de n liniaj esprimoj kaj tio estas la sama kiel Equation ( 4 ).\nLa grandeco de la algebra diverseco de c\u0302iu Eigen-valoro estas rilatita al la dimensio n kiel"}, {"text_idx": "#000048", "text": "If \u03bcA(\u03bbi) = 1, then \u03bbi is said to be a simple eigenvalue.[27] If \u03bcA(\u03bbi) equals the geometric multiplicity of \u03bbi, \u03b3A(\u03bbi), defined in the next section, then \u03bbi is said to be a semisimple eigenvalue."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Eigenspaces, geometria diverseco, kaj la eigenbasis por matricoj"}, {"text_idx": "#000050", "text": "Surbaze de speciala Eigen-valoro \u03bb de la n de n matrico A, difinas la aron E por esti c\u0302iuj vektoroj v kiuj kontentigas Equation ( 2 ),"}, {"text_idx": "#000051", "text": "Sur unu mano, tiu aro estas g\u0302uste la kerno au\u0306 nulo-spaco de la matrico ( \u2212 \u03bbI).\nAliflanke, de difino, c\u0302iu ne-nula vektoro kiu kontentigas tiun kondic\u0302on estas ajgenvektoro de A asociita kun \u03bb.\nTiel, la aro E estas la unio de la nul vektoro kun la aro de c\u0302iuj ajgenvektoroj de A asociita kun \u03bb, kaj E korespondas al la nulo-spaco de ( \u2212 \u03bbI).\nE estas nomita la ajgenspaco au\u0306 karakteriza regiono de A asociita kun \u03bb.\nEn g\u0302enerala \u03bb estas kompleksa nombro kaj la ajgenvektoroj estas komplekso n de 1 matricoj.\nPosedaj\u0302o de la nulo-spaco estas ke g\u0302i estas linia subspaco, tiel ke E estas linia subspaco de C n ."}, {"text_idx": "#000053", "text": "La dimensio de la ajgenspaco E asociita kun \u03bb, au\u0306 ekvivalente la maksimumnombro de linie sendependaj ajgenvektoroj asociitaj kun \u03bb, estas referita kiel la geometria diverseco de la Eigen-valoro \u03b3 A ( \u03bb).\nC\u0302ar E ankau\u0306 estas la nulo-spaco de ( \u2212 \u03bbI), la geometria diverseco de \u03bb estas la dimensio de la nulo-spaco de ( \u2212 \u03bbI), ankau\u0306 nomita la nevalideco de ( \u2212 \u03bbI), de kiu rilatigas al la dimensio kaj rango ( \u2212 \u03bbI) kiel"}, {"text_idx": "#000054", "text": "Pro la difino de Eigen-valoroj kaj ajgenvektoroj, la geometria diverseco de Eigen-valoro devas esti almenau\u0306 oni, t.e., c\u0302iu Eigen-valoro havas almenau\u0306 unu rilatan ajgenvektoron.\nKrome, la geometria diverseco de Eigen-valoro ne povas superi sian algebran diversecon.\nPlie, memoras ke la algebra diverseco de Eigen-valoro ne povas superi n."}, {"text_idx": "#000055", "text": "La kondic\u0302o tiu \u03b3 A ( \u03bb\n\u03bc A ( \u03bb) povas esti pruvita pripensante specialan Eigen-valoron \u03be de A kaj diagonalizing la unuan \u03b3 A ( \u03be) kolonojn de A kun respekto al la eigenvektors de \u03be, priskribis en pli posta sekcio.\nLa rezulta simila matrico B estas bloko supra triangula, kun g\u0302ia pinto lasita bloko estanta la diagonalmatrica \u03beI \u03b3 A ( \u03be).\nKiel rezulto, la karakteriza ekvacio de B havos faktoron de ( \u03be \u2212 \u03bb) \u03b3 A ( \u03be).\nLa aliaj faktoroj de la karakteriza ekvacio de B ne estas konataj, do la algebra diverseco de \u03be kiel Eigen-valoro de B estas neniu malpli ol la geometria diverseco de \u03be kiel Eigen-valoro de A.\nLa lasta elemento de la pruvo estas la posedaj\u0302o kiun similaj matricoj havas la saman karakterizan ekvacion."}, {"text_idx": "#000056", "text": "Suppose A has d \u2264 n distinct eigenvalues \u03bb1, \u03bb2, ..., \u03bbd, where the geometric multiplicity of \u03bbi is \u03b3A(\u03bbi). The total geometric multiplicity of A,"}, {"text_idx": "#000057", "text": "estas la dimensio de la unio de la tuta eigenspaces de la eigenvalues de A s, au\u0306 ekvivalente la maksimumnombro de linie sendependa eigenvektors de A.\nSe \u03b3 A = n, tiam"}, {"text_idx": "#000058", "text": "La unio de la eigenspaces de c\u0302iuj el la eigenvalues de A s estas la tuta vektora spaco C n\nBazo de C n povas esti formita de n linie sendependa eigenvektors de A;\ntia bazo estas nomita eigenbasis\nC\u0302iu vektoro en C n povas esti skribita kiel lineara kombinaj\u0302o de eigenvektors de A"}, {"text_idx": "#000059", "text": "Lasis esti arbitra n de n matrico de kompleksaj nombroj kun Eigen-valoroj \u03bb 1, \u03bb 2\nC\u0302iu Eigen-valoro prezentig\u0302as \u03bc A ( \u03bb I ) tempoj en tiu listo, kie \u03bc A ( \u03bb I ) estas la algebra diverseco de la Eigen-valoro.\nLa sekvantaroj estas trajtoj de tiu matrico kaj g\u0302ia eigenvalues:"}, {"text_idx": "#000060", "text": "La spuro de A, difinita kiel la sumo de siaj diagonalaj elementoj, ankau\u0306 estas la sumo de c\u0302iuj Eigen-valoroj,"}, {"text_idx": "#000061", "text": "La determinanto de A estas la produkto de c\u0302iuj siaj Eigen-valoroj,"}, {"text_idx": "#000063", "text": "Multaj disciplinoj tradicie reprezentas vektorojn kiel matricoj kun unuopa kolono prefere ol kiel matricoj kun ununura vico.\nPro tiu kialo, la vorto \"ajgenvektoro\" en la kunteksto de matricoj preskau\u0306 c\u0302iam plusendas al dekstra ajgenvektoro, nome kolumnan vektoron kiu dekstraj multobloj la n de n matrico A en la difina ekvacio, Equation ( 1 ),"}, {"text_idx": "#000064", "text": "La Eigen-valoro kaj ajgenvektorproblemo ankau\u0306 povas esti difinitaj por vic vektoroj kiuj foriris multobligas matricon A.\nEn tiu formulig\u0302o, la difina ekvacio estas"}, {"text_idx": "#000065", "text": "kie \u03ba estas skalaro kaj u estas 1 de n matrico.\nC\u0302iu vicvektoro u kontentiganta tiun ekvacion estas nomita maldekstra ajgenvektoro de A kaj \u03ba estas sia rilata Eigen-valoro.\nPreni la konjugaton transmetas de tiu ekvacio,"}, {"text_idx": "#000067", "text": "Supozi la eigenvektors de A formas bazon, au\u0306 ekvivalente A havas n linie sendependaj ajgenvektoroj v 1, v 2\nv n kun rilataj Eigen-valoroj \u03bb 1, \u03bb 2\nLa eigenvalues ne devas esti klara.\nDifini kvadratmatricon Q kies kolonoj estas la n linie sendependa eigenvektors de A,"}, {"text_idx": "#000068", "text": "C\u0302ar c\u0302iu kolono de Q estas ajgenvektoro de A, dekstra multobligado A de Q skalas c\u0302iun kolonon de Q memstare rilata Eigen-valoro,"}, {"text_idx": "#000069", "text": "Kun tio en menso, difinu diagonalmatrica \u03bb kie c\u0302iu diagonala elemento \u03bb ii la Eigen-valoro estas asociita kun la mi th kolono de Q."}, {"text_idx": "#000070", "text": "C\u0302ar la kolonoj de Q estas linie sendependaj, Q estas invertebla.\nDekstrajn multobligante ambau\u0306 flankojn de la ekvacio de Q \u22121,"}, {"text_idx": "#000071", "text": "au\u0306 de anstatau\u0306e maldekstro multobliganta ambau\u0306 flankojn de Q \u22121,"}, {"text_idx": "#000072", "text": "Ladskatolo tial estu malkonstruita en matricon kunmetita de siaj ajgenvektoroj, diagonala matrico kun sia eigenvalues lau\u0306 la diagonala, kaj la inversa de la matrico de ajgenvektoroj.\nTio estas nomita la eigendekomposition kaj g\u0302i estas similectransformo.\nTia matrico A lau\u0306dire estas simila al la diagonala matrico \u03bb au\u0306 diagonalizabla .\nLa matrico Q estas la s\u0302ang\u0302o de bazmatrico de la similectransformo.\nEsence, la matricoj A kaj \u03bb reprezentas la saman lineartransformon esprimitan en du malsamaj bazoj.\nLa ajgenvektoroj estas utiligitaj kiel la bazo dum reprezentado de la lineartransformo kiel \u03bb."}, {"text_idx": "#000073", "text": "Inverse, supozas ke matrico A estas diagonalizabla.\nLasu P esti ne-eksterordinara kvadratmatrico tia ke P \u22121 AP estas iu diagonala matrico D.\nForlasita multobligante ambau\u0306 de P, AP = PD.\nC\u0302iu kolono de P devas tial esti ajgenvektoro de A kies Eigen-valoro estas la ekvivalenta diagonala elemento de D.\nC\u0302ar la kolonoj de P devas esti linie sendependaj por P por esti inverteblaj, tie ekzistas n linie sendependa eigenvektors de A.\nG\u0302i tiam sekvas ke la eigenvektors de A formas bazon se kaj nur se A estas diagonalizabla."}, {"text_idx": "#000074", "text": "Matrico kiu ne estas diagonalizabla lau\u0306dire estas difektita.\nPor difektitaj matricoj, la nocio de ajgenvektoroj g\u0302eneraligas al g\u0302eneraligitaj ajgenvektoroj kaj la diagonala matrico da Eigen-valoroj g\u0302eneraligas al la Jordania normala formo.\nSuper algebre fermita kampo, c\u0302iu matrico A havas Jordanian normalan formon kaj tial koncedas bazon de g\u0302eneraligitaj ajgenvektoroj kaj putrig\u0302o en g\u0302eneraligitajn ajgenspacojn."}, {"text_idx": "#000075", "text": "En la Hermitiana kazo, al Eigen-valoroj povas ricevi variational karakterizado."}, {"text_idx": "#000076", "text": "La figuro dekstraflanke montras la efikon da tiu transformo sur punktokoordinatoj en la aviadilo.\nLa eigenvektors v de tiu transformo kontentigas Equation ( 1 ), kaj la valoroj de \u03bb por kiu la determinanto de la matrico ( \u2212 \u03bbI) estas nul estas la eigenvalues."}, {"text_idx": "#000077", "text": "Prenante la determinanton por trovi karakterizan ekvacion de A,"}, {"text_idx": "#000078", "text": "Metante la karakterizan ekvacion egala al nul, g\u0302i havas radikojn c\u0302e \u03bb = 1 kaj \u03bb = 3, kiuj estas la du Eigen-valoroj de A."}, {"text_idx": "#000079", "text": "Por \u03bb = 1, Ekvacio ( 2 ) ig\u0302as,"}, {"text_idx": "#000081", "text": "ajgenvektoro de A egalrilatanta al \u03bb estas = 1, kiel estas ajna skalarmultoblo de tiu vektoro."}, {"text_idx": "#000082", "text": "Por \u03bb = 3, Ekvacio ( 2 ) ig\u0302as"}, {"text_idx": "#000083", "text": "Ajnan ne-nulan vektoron kun v 1 = v 2 solvas tiun ekvacion."}, {"text_idx": "#000084", "text": "Tiel, la vektoroj v \u03bb = 1 kaj v \u03bb = 3 estas eigenvektors de A asociita kun la eigenvalues \u03bb = 1 kaj \u03bb = 3, respektive."}, {"text_idx": "#000085", "text": "La karakteriza ekvacio de A estas"}, {"text_idx": "#000086", "text": "La radikoj de la karakteriza ekvacio estas 2, 1, kaj 11, kiuj estas la nuraj tri Eigen-valoroj de A."}, {"text_idx": "#000087", "text": "Tridimensia matricekzemplo kun kompleksaj Eigen-valoroj"}, {"text_idx": "#000088", "text": "Tiu matrico s\u0302ang\u0302as la koordinatojn de la vektoro supren de unu pozicio kaj movas la unuan koordinaton al la fundo.\nG\u0302ia karakteriza ekvacio estas 1 \u2212 \u03bb 3, kies radikoj estas"}, {"text_idx": "#000089", "text": "Por la reala Eigen-valoro \u03bb 1 = 1, ajna vektoro kun tri egalaj ne-nulaj kontribuoj estas ajgenvektoro."}, {"text_idx": "#000090", "text": "Por la kompleksakonjugita paro de imagaj Eigen-valoroj, notu tion"}, {"text_idx": "#000091", "text": "Notu ke la du kompleksaj ajgenvektoroj ankau\u0306 aperas en kompleksakonjugita paro,"}, {"text_idx": "#000092", "text": "Matricoj kun kontribuoj nur lau\u0306 la c\u0302efkonduktilo diagonala estas nomitaj diagonalaj matricoj .\nLa eigenvalues de diagonala matrico estas la diagonalaj elementoj mem."}, {"text_idx": "#000093", "text": "Tiuj radikoj estas la diagonalaj elementoj same kiel la eigenvalues de A."}, {"text_idx": "#000094", "text": "C\u0302iu diagonala elemento egalrilatas al ajgenvektoro kies nura ne-nula komponento estas en la sama vico kiel tiu diagonala elemento.\nEn la ekzemplo, la Eigen-valoroj egalrilatas al la eigenvektors,"}, {"text_idx": "#000095", "text": "respektive, same kiel skalarmultobloj de tiuj vektoroj."}, {"text_idx": "#000096", "text": "Matrico kies elementoj super la c\u0302efdiagonalo estas c\u0302iuj nul estas nomita pli malalta triangula matrico , ke dum matrico kies elementoj sub la c\u0302efdiagonalo estas c\u0302iuj nul estas nomita supra triangula matrico.\nC\u0302ar kun diagonalaj matricoj, la eigenvalues de triangulaj matricoj estas la elementoj de la c\u0302efkonduktilo diagonala."}, {"text_idx": "#000097", "text": "Pripensu la pli malaltan triangulan matricon,"}, {"text_idx": "#000098", "text": "Tiuj Eigen-valoroj egalrilatas al la eigenvektors,"}, {"text_idx": "#000099", "text": "Kiel en la antau\u0306a ekzemplo, la pli malalta triangula matrico"}, {"text_idx": "#000100", "text": "havas karakterizan ekvacion kiu estas la produkto de siaj diagonalaj elementoj,"}, {"text_idx": "#000101", "text": "La radikoj de tiu polinomo, kaj tial la eigenvalues, estas 2 kaj 3-a La algebra diverseco de c\u0302iu Eigen-valoro estas 2;\nen aliaj vortoj ili estas ambau\u0306 duoblaj radikoj.\nLa sumo de la algebraj diversecoj de c\u0302iu klara Eigen-valoro estas \u03bc A = 4 = n, la ordo de la karakteriza ekvacio kaj la dimensio de A."}, {"text_idx": "#000102", "text": "Aliflanke, la geometria diverseco de la Eigen-valoro 2 estas nur 1, c\u0302ar g\u0302ia ajgenspaco estas enhavita per nur unu vektoro [0 1 \u22121 1] T kaj estas tial 1-dimensia.\nSimile, la geometria diverseco de la Eigen-valoro 3 estas 1 c\u0302ar g\u0302ia ajgenspaco estas enhavita per nur unu vektoro [0 0 0 1] T.\nLa totala geometria diverseco \u03b3 A estas 2, kio estas la plej malgranda kiun g\u0302i povis esti por matrico kun du apartaj Eigen-valoroj.\nGeometriaj diversecoj estas difinitaj en pli posta sekcio."}, {"text_idx": "#000103", "text": "Eigenvalues kaj eigenfunktion de diferencialaj operatoroj"}, {"text_idx": "#000104", "text": "La difinoj de Eigen-valoro kaj ajgenvektoroj de lineartransformo T restas validaj ec\u0302 se la subesta vektora spaco estas senfin-dimensia Hilbert- au\u0306 Banach-spaco.\nVaste uzita klaso de lineartransformoj reagantaj al senfin-dimensiaj regionoj estas la diferencialaj operatoroj sur funkciaj spacoj.\nLasu D esti linia diferenciga funkciigisto sur la spaco C \u221e da senlime diferencieblaj realaj funkcioj de reala argumento t.\nLa Eigen-valorekvacio por D estas la diferenciala ekvacio"}, {"text_idx": "#000105", "text": "La funkcioj kiuj kontentigas tiun ekvacion estas eigenvektors de D kaj estas ofte nomitaj eigenfunktion."}, {"text_idx": "#000106", "text": "Tiu diferenciala ekvacio povas esti solvita multobligante kaj flankojn per dt / f ( t) kaj integrado.\nG\u0302ia solvo, la eksponenta funkcio"}, {"text_idx": "#000107", "text": "la eigenfunktion de la derivita funkciigisto estas.\nNotu ke en tiu kazo la eigenfunktion estas sin funkcio de sia rilata Eigen-valoro.\nAparte, noto ke por \u03bb = 0 la eigenfunktion f ( t) estas konstanto."}, {"text_idx": "#000108", "text": "La c\u0302efeigenfunktion artikolo donas aliajn ekzemplojn."}, {"text_idx": "#000109", "text": "La koncepto de Eigen-valoroj kaj ajgenvektoroj ampleksas nature arbitrajn lineartransformojn sur arbitrajn vektorajn spacojn.\nLasu V esti ajna vektora spaco super iu kampo K da Skalaroj, kaj lasu T esti lineartransformmapado V en V,"}, {"text_idx": "#000110", "text": "Ni diras ke ne-nula vektoro v \u2208 V estas ajgenvektoro de T se kaj nur se tie ekzistas skalar\u03bb \u2208 K tia ke"}, {"text_idx": "#000111", "text": "Tiu ekvacio estas nomita la Eigen-valorekvacio por T, kaj la skalar\u03bb estas la Eigen-valoro de T egalrilatanta al la ajgenvektoro v.\nNotu ke T ( v) estas la rezulto de aplikado de la transformo T al la vektoro v, dum \u03bb v estas la produkto de la skalar\u03bb kun v."}, {"text_idx": "#000112", "text": "Eigenspaces, geometria diverseco, kaj la eigenbasis"}, {"text_idx": "#000113", "text": "Surbaze de Eigen-valoro \u03bb, pripensu la aron"}, {"text_idx": "#000114", "text": "kiu estas la unio de la nul vektoro kun la aro de c\u0302iuj ajgenvektoroj asociitaj kun \u03bb.\nE estas nomita la ajgenspaco au\u0306 karakteriza spaco de T asociita kun \u03bb."}, {"text_idx": "#000115", "text": "Tial, se u kaj v estas eigenvektors de T asociita kun Eigen-valoro \u03bb, nome ( u, v"}, {"text_idx": "#000116", "text": "Tiel, kaj u + v kaj \u03b1v estas au\u0306 nul au\u0306 eigenvektors de T asociita kun \u03bb, nome ( u + v, \u03b1v\nE, kaj E estas fermita sub aldono kaj skalara multipliko.\nLa ajgenspaco E asociita kun \u03bb estas tial linia subspaco de V.\nSe tiu subspaco havas dimension 1, g\u0302i foje estas nomita eigenlino."}, {"text_idx": "#000117", "text": "La geometria diverseco \u03b3 T ( \u03bb) de Eigen-valoro \u03bb estas la dimensio de la ajgenspaco asociita kun \u03bb, t.e., la maksimumnombro de linie sendependaj ajgenvektoroj asociitaj kun tiu Eigen-valoro.\nDe la difino de Eigen-valoroj kaj ajgenvektoroj, \u03b3 T ( \u03bb) \u2265 1 c\u0302ar c\u0302iu Eigen-valoro havas almenau\u0306 unu ajgenvektoron."}, {"text_idx": "#000118", "text": "La eigenspaces de T c\u0302iam formas rektan sumon.\nKiel sekvo, ajgenvektoroj de malsamaj Eigen-valoroj c\u0302iam estas linie sendependaj.\nTial, la sumo de la grandeco de la eigenspaces ne povas superi la dimension n de la vektora spaco sur kiu T funkciigas, kaj ne povas ekzisti pli ol n klara eigenvalues."}, {"text_idx": "#000119", "text": "C\u0302iu subspaco enhavita per ajgenvektoroj de T estas senvaria subspaco de T, kaj la limigo de T al tia subspaco estas diagonalizablaj.\nKrome, se la tuta vektora spaco V povas esti enhavita per la eigenvektors de T, au\u0306 ekvivalente c\u0302u la rekta sumo de la ajgenspacoj asociitaj kun la tuta eigenvalues de T estas la tuta vektora spaco V, tiam bazo de V nomita eigenbasis povas esti formita de linie sendependa eigenvektors de T.\nKiam T koncedas eigenbasis, T estas diagonalizabla."}, {"text_idx": "#000120", "text": "Dum la difino de ajgenvektoro uzita en tiu artikolo ekskludas la nul vektoron, estas eble difini Eigen-valorojn kaj ajgenvektorojn tia ke la nul vektoro estas ajgenvektoro."}, {"text_idx": "#000121", "text": "Pripensu denove la Eigen-valorekvacion, Equation ( 5 ).\nDifini Eigen-valoron por esti ajna skalar\u03bb \u2208 K tia ke tie ekzistas ne-nula vektoro v \u2208 V kontentigan Ekvacion ( 5 ).\nEstas grave ke tiu versio de la difino de Eigen-valoro precizigas ke la vektoro estu ne-nula, alie de tiu difino kiun la nul vektoro permesus al ajna Skalaro en K esti Eigen-valoro.\nDifini ajgenvektoron v asociita kun la Eigen-valoro \u03bb por esti ajna vektoro tio, surbaze de \u03bb, kontentigas Equation ( 5 ).\nSurbaze de la Eigen-valoro, la nul vektoro estas inter la vektoroj kiuj kontentigas Equation ( 5 ), tiel ke la nul vektoro estas inkludita inter la ajgenvektoroj per tiu alterna difino."}, {"text_idx": "#000122", "text": "Se \u03bb estas Eigen-valoro de T, tiam la funkciigisto ( T \u2212 \u03bbI) ne estas unu-al-unu, kaj tial g\u0302ia inversa ( T \u2212 \u03bbI) \u22121 ne ekzistas.\nLa konversacio estas vera por finhav-dimensiaj vektoraj spacoj, sed ne por senfin-dimensiaj vektoraj spacoj.\nG\u0302enerale, la funkciigisto ( T \u2212 \u03bbI) eble ne havas inversan ec\u0302 se \u03bb ne estas Eigen-valoro."}, {"text_idx": "#000123", "text": "Tial, en funkcionalanalitikaj Eigen-valoroj povas esti g\u0302eneraligita al la spektro de linearoperatoro T kiel la aro de c\u0302iu Skalaroj \u03bb por kiu la funkciigisto ( T \u2212 \u03bbI) havas neniun saltita inversa.\nLa spektro de funkciigisto c\u0302iam enhavas c\u0302iujn siajn Eigen-valorojn sed ne estas limigita al ili."}, {"text_idx": "#000124", "text": "Asociecaj algebroj kaj prezenta teorio"}, {"text_idx": "#000125", "text": "Oni povas g\u0302eneraligi la algebran objekton kiu reagas al la vektora spaco, anstatau\u0306igante ununuran funkciigiston reagantan al vektora spaco kun algebroreprezentantaro - asocieca algebro reaganta al modulo.\nLa studo de tiaj agoj estas la kampo de prezenta teorio."}, {"text_idx": "#000126", "text": "La reprezentantar-teoria koncepto de pezo estas analogaj\u0302o da Eigen-valoroj, dum pezvektoroj kaj pezospacoj estas la analogaj\u0302oj de ajgenvektoroj kaj ajgenspacoj, respektive."}, {"text_idx": "#000127", "text": "La plej simplaj diferencekvacioj havas la formon"}, {"text_idx": "#000128", "text": "La solvo de tiu ekvacio por x lau\u0306 t estas trovita utiligante sian karakterizan ekvacion"}, {"text_idx": "#000129", "text": "Simila proceduro estas uzita por solvado de diferenciala ekvacio de la formo"}, {"text_idx": "#000130", "text": "Lau\u0306 la Abel-Ruffini-teoremo ekzistas neniu g\u0302enerala, eksplicita kaj preciza algebra formulo por la radikoj de polinomo kun grado 5 au\u0306 pli."}, {"text_idx": "#000131", "text": "Tial, por matricoj de ordo 5 au\u0306 pli, la Eigen-valoroj kaj ajgenvektoroj ne povas esti akiritaj per eksplicita algebra formulo, kaj devas tial esti komputitaj per proksimumaj nombraj metodoj."}, {"text_idx": "#000132", "text": "En teorio, la koeficientoj de la karakteriza ekvacio povas esti komputitaj precize, c\u0302ar ili estas sumoj de produktoj de matricelementoj;\nkaj ekzistas algoritmoj kiuj povas trovi c\u0302iujn radikojn de polinomo de arbitra grado al iu postulata precizeco.\nTamen, tiu aliro ne estas dau\u0306rigebla en praktiko c\u0302ar la koeficientoj estus poluitaj per neeviteblaj je eraroj, kaj la radikoj de polinomo povas esti ekstreme sentema funkcio de la koeficientoj (same ekzempligitaj per la polinomo de Wilkinson)."}, {"text_idx": "#000133", "text": "Efikaj, precizaj metodoj por komputi Eigen-valorojn kaj ajgenvektoroj de arbitraj matricoj ne estis konataj g\u0302is la apero de la QR-algoritmo en 1961.\nKombinante la Householder-transformon kun la LU-putrig\u0302rezultoj en algoritmo kun pli bona konverg\u0302o ol la QR-algoritmo.\n[ citaj\u0302o bezonita ] Por granda Hermita\nmalabundaj matricoj, la Lanczos-algoritmo estas unu ekzemplo de efika ripeta metodo por komputi Eigen-valorojn kaj eigenvektors, inter pluraj aliaj eblecoj."}, {"text_idx": "#000134", "text": "Post kiam la (preciza) valoro de Eigen-valoro estas konata, la ekvivalentaj ajgenvektoroj povas esti trovitaj trovante ne-nulajn solvojn de la Eigen-valorekvacio, kiu ig\u0302as sistemo de linearaj ekvacioj kun konataj koeficientoj.\nEkzemple, post kiam estas konata ke 6 estas Eigen-valoro de la matrico"}, {"text_idx": "#000135", "text": "Tiu matricekvacio estas ekvivalenta al du linearaj ekvacioj"}, {"text_idx": "#000136", "text": "Kelkaj numeraj metodoj kiuj komputas la eigenvalues de matrico ankau\u0306 determinas aron de ekvivalentaj ajgenvektoroj kiel kromprodukto de la komputado."}, {"text_idx": "#000137", "text": "La sekva tablo prezentas kelkajn ekzemplotransformojn en la aviadilo kune kun iliaj 2\u00d72 matricoj, Eigen-valoroj, kaj ajgenvektoroj."}, {"text_idx": "#000138", "text": "kaj c\u0302iuj ajgenvektoroj havas ne-realajn kontribuojn.\nEfektive, krom tiuj specialaj kazoj, rotacio s\u0302ang\u0302as la direkton de c\u0302iu nonzervektoro en la aviadilo."}, {"text_idx": "#000139", "text": "Lineartransformo kiu prenas kvadraton al rektangulo de la sama areo ( premomapado) havas reciprokajn Eigen-valorojn."}, {"text_idx": "#000140", "text": "Tio permesas al tia reprezenti la ekvacion de Schro\u0308dinger en matricformularo."}, {"text_idx": "#000141", "text": "La mamzono-ketnotacio ofte estas utiligita en tiu kunteksto.\nEn tiu notacio, la ekvacio de Schro\u0308dinger estas:"}, {"text_idx": "#000142", "text": "En kvantuma mekaniko, kaj aparte en atomaj kaj molekulaj fizikoj, ene de la Hartree-Fock teorio, la atomaj kaj molekulaj orbital'oj povas esti difinitaj per la eigenvektors de la Fock-funkciigisto.\nLa ekvivalentaj Eigen-valoroj estas interpretitaj kiel jonigpotencialoj per la teoremo de Koopmans.\nEn tiu kazo, la esprimo ajgenvektoro estas uzita en iom pli g\u0302enerala signifo, c\u0302ar la Fock-funkciigisto estas eksplicite dependa de la orbital'oj kaj ilia eigenvalues.\nTiel, se oni volas substreki tiun aspekton, oni parolas pri neliniaj Eigen-valorproblemoj.\nTiaj ekvacioj estas kutime solvitaj per ripet proceduro, vokita en tiu kaza mem-kohera kampo metodo.\nEn kvantuma kemio, oni ofte reprezentas la Hartree-Fock-ekvacion en ne-ortogonala\nTiu akurata reprezentantaro estas g\u0302eneraligita Eigen-valorproblemo nomitaj Roothaan-ekvacioj."}, {"text_idx": "#000143", "text": "En geologio, precipe en la studo de glacieja al, ajgenvektoroj kaj Eigen-valoroj estas utiligitaj kiel metodo per kiu maso de informoj de la orientig\u0302o de la eroj klasts\u0302tofo kaj trempsau\u0306co povas esti resumita en 3-D spaceto per ses nombroj.\nEn la kampo, geologo povas kolekti tiajn datenojn por centoj au\u0306 miloj da klastoj en grundoprovaj\u0302o, kiel ekzemple kiu povas nur esti komparita grafike en Tri-intrigo (Sneed kaj Folk) diagramo, [40] [41] au\u0306 kiel Stereoreto sur Wulff Net."}, {"text_idx": "#000144", "text": "La produktaj\u0302o por la orientig\u0302tensoro estas en la tri ortogonalaj (perpendikularaj) aksoj de spaco.\nLa klasto kiun orientig\u0302o estas difinita kiel la direkto de la ajgenvektoro, sur kompaso pliig\u0302is de 360\u00b0.\nTrempsau\u0306co estas mezurita kiel la Eigen-valoro, la modulus da la tensoro: tio estas aprezita de 0\u00b0 (neniu trempsau\u0306co) g\u0302is 90\u00b0 (vertikala)."}, {"text_idx": "#000145", "text": "La eigendekomposition de simetria pozitiva semidefinito (PSD) matrico donas ortogonalan bazon de ajgenvektoroj, c\u0302iu el kiu havas Nenegativeigen-valoron.\nLa ortogonala putrig\u0302o da PSD-matrico estas uzita en multivariate analizo, kie la provaj\u0302 kunvariancmatricoj estas PSD.\nTiu ortogonala putrig\u0302o estas nomita c\u0302efkomponentanalizo (PCA) en statistiko.\nPCA studas liniajn rilatojn inter variabloj.\nPCA estas farita en la kunvariancmatrico au\u0306 la korelaciomatrico (en kiu c\u0302iu variablo estas skalita por havi sian provaj\u0302variancon egala al unu).\nPor la kunvarianco au\u0306 korelaciomatrico, la ajgenvektoroj egalrilatas al c\u0302efkomponentoj kaj la eigenvalues al la varianco klarigita per la c\u0302efkomponentoj.\nAnalizo al precipaj konsisteroj da la korelaciomatrico disponigas ortonormalan eigen-bazon por la spaco de la observitaj datenoj: En tiu bazo, la plej granda eigenvalues egalrilatas al la c\u0302efkomponentoj kiuj estas rilataj al la plej granda parto de la kunvarieco inter kelkaj observitaj datenoj."}, {"text_idx": "#000146", "text": "Analizo al precipaj konsisteroj estas utiligita por studi grandaj datumserioj, kiel ekzemple tiuj renkontitaj en bioinformadiko, datenminadon, kemian esploradon, psikologion, kaj en merkatigo.\nPCA estas populara precipe en psikologio, en la kampo de psikometriko.\nEn Q-metodaro, la eigenvalues da la korelaciomatrico determinas la jug\u0302on de la Q-methodologist de praktika signifo (kiu devias de la statistika signifo de hipoteztestado;\nkp. kriterioj por determinado de la nombro da faktoroj).\nPli g\u0302enerale, analizo al precipaj konsisteroj povas esti utiligita kiel metodo de faktoranalizo en struktura ekvaciomodeligado."}, {"text_idx": "#000147", "text": "Eigenvalue-problemoj okazas nature en la vibradanalizo da mekanikaj strukturoj kun multaj gradoj da libereco.\nLa Eigen-valoroj estas la naturaj frekvencoj (au\u0306 eigenfrekvency) de vibrado, kaj la ajgenvektoroj estas la formoj de tiuj vibrational reg\u0302imoj.\nAparte, nemalseketigita vibrado estas regita per"}, {"text_idx": "#000148", "text": "Alleblasj solvoj tiam estas lineara kombinaj\u0302o de solvoj al la g\u0302eneraligita Eigen-valorproblemo"}, {"text_idx": "#000150", "text": "kondukas al tielnomita kvadrata Eigen-valorproblemo,"}, {"text_idx": "#000151", "text": "Tio povas esti reduktita al g\u0302eneraligita Eigen-valorproblemo per algebra manipulado je la kosto de solvado de pli granda sistemo."}, {"text_idx": "#000152", "text": "La Ortectrajtoj de la eigenvektors permesas deligadon de la diferencialaj ekvacioj tiel ke la sistemo povas esti reprezentita kiel linia sumigo de la eigenvektors.\nLa Eigen-valorproblemo de kompleksaj strukturoj ofte estas solvita utiligante finhavan elementanalizon, sed bonorde g\u0302eneraligas la solvon al skalar-aprezitaj vibradproblemoj."}, {"text_idx": "#000153", "text": "En prilaboro de bildoj, prilaboritaj bildoj de vizag\u0302oj povas esti viditaj kiel vektoroj kies komponentoj estas la brilecoj de c\u0302iu pikselo.\nLa dimensio de tiu vektora spaco estas la nombro da pikseloj.\nLa eigenvektors de la kunvariancmatrico asociita kun granda aro de normaligitaj bildoj de vizag\u0302oj estas nomita eigenface'oj ;\ntio estas ekzemplo de analizo al precipaj konsisteroj.\nIli estas tre utilaj por esprimado de ajna vizag\u0302bildo kiel lineara kombinaj\u0302o de kelkaj el ili.\nEn la vizag\u0302rekon branc\u0302o de biometriko, eigenface'oj disponigas rimedon de petado de datuma kunpremo al vizag\u0302oj pri identig celoj.\nEsplorado ligita al eigen-viziosistemoj determinantaj mangestojn ankau\u0306 estis farita."}, {"text_idx": "#000154", "text": "Similaj al tiu koncepto, eigenvoice'oj reprezentas la g\u0302eneralan direkton da s\u0302ang\u0302ebleco en homaj elparoloj de speciala eldiraj\u0302o, kiel ekzemple vorto en lingvo.\nSurbaze de lineara kombinaj\u0302o de tiaj eigenvoice'oj, nova voc\u0302elparolo de la vorto povas esti konstruita.\nTiuj konceptoj estis trovitaj utilaj en au\u0306tomataj parolrekonsistemoj por parolantadaptado."}, {"text_idx": "#000155", "text": "En mekaniko, la eigenvektors de la momento da inerciotensoro difinas la c\u0302efaksojn de rigida korpo.\nLa tensoro de momento da inercio estas esenca kvanto postulata por determini la rotacion de rigida korpo c\u0302irkau\u0306 sia centro de tumoro."}, {"text_idx": "#000156", "text": "En solida mekaniko, la stres tensoro estas simetria kaj tiel povas esti malkonstruita en diagonalan tensoron kun la eigenvalues sur la diagonala kaj ajgenvektoroj kiel bazo.\nC\u0302ar g\u0302i estas diagonala, en tiu orientig\u0302o, la strestensoro havas neniujn tond komponentojn;\nla komponentoj kiujn g\u0302i havas estas la c\u0302efkomponentoj."}, {"text_idx": "#000157", "text": "La unua c\u0302efajgenvektoro de la grafeo estas ankau\u0306 rilatis al simple kiel la c\u0302efajgenvektoro."}, {"text_idx": "#000158", "text": "La c\u0302efajgenvektoro kutimas mezuri la centrecon de siaj verdglacioj.\nLa c\u0302efajgenvektoro de modifita apudecomatrico de la Tutmondreto-grafo donas al la pag\u0302o rangojn kiel siaj komponentoj.\nTiu vektoro egalrilatas al la senmova distribuado de la Markov-c\u0302eno reprezentita per la vic-normaligita apudecomatrico;\ntamen, la apudecomatrico unue devas esti modifita por certigi ke senmova distribuo ekzistas.\nLa dua plej malgranda ajgenvektoro povas esti uzita por dividi la grafeon en aretojn, per spektra agregaciado.\nAliaj metodoj ankau\u0306 estas haveblaj por bulig\u0302ado."}, {"text_idx": "#000159", "text": "fundamenta nombro estas en la studo de kiom infektaj malsanoj disvastig\u0302as."}, {"text_idx": "#000167", "text": "Diferencialaj ekvacioj / dinamikaj sistemoj"}, {"text_idx": "#000168", "text": "En lineara algebro, ejgeno, au\u0306 ajgeno au\u0306 ankorau\u0306 propra valoro de kvadrata matrico A estas nombro \u03bb tia ke por iu ne nula vektoro x veras egaleco"}, {"text_idx": "#000169", "text": "tiam la vektoro x estas ejgenvektoro, au\u0306 ajgenvektoro au\u0306 ankorau\u0306 propra vektoro, respektiva al la ajgeno \u03bb."}, {"text_idx": "#000170", "text": "La bezono ke la ajgenvektoro esti ne nula estas c\u0302ar la ekvacio A0 = \u03bb0 (0 estas la nula vektoro) veras por c\u0302iu A kaj c\u0302iu \u03bb. Pro tio ke la ekvacio estas tiam bagatele vera, c\u0302i tio ne estas interesa okazo. En kontrasto, ajgeno povas esti nulo en netriviala vojo. Ajgeno povas esti, kaj kutime estas, ankau\u0306 kompleksa nombro. En la difino donita pli supre, ajgenvektoroj kaj ajgenoj ne okazas sendepende. Anstatau\u0306e, c\u0302iu ajgenvektoro estas asociita kun specifa ajgeno. Por c\u0302i tiu kau\u0306zo, ajgenvektoro x kaj respektiva ajgeno \u03bb estas kune la ajgenparo."}, {"text_idx": "#000171", "text": "Matrico A prezentas linearan transformon de la vektora spaco - turnadon, reflekton, strec\u0302on, kunpremon, tondon au\u0306 kombinaj\u0302on de c\u0302i tiuj."}, {"text_idx": "#000172", "text": "Vektoroj kiuj ne estas ajgenvektoroj (kutime plejparto de la vektoroj) s\u0302ang\u0302as sian direkton kiam la lineara transformo difinita per la matrico A estas aplikata. Ajgenvektoroj ne s\u0302ang\u0302as sian direkton kiam la lineara transformo difinita per la matrico estas aplikata, alivorte Ax estas paralela al x. Noto ke c\u0302i tie s\u0302ang\u0302o de direkto estas en senco de ig\u0302o neparalelan. S\u0302ang\u0302o de la direkto al la kontrau\u0306a ne estas konsiderata kiel s\u0302ang\u0302o de la direkto, kaj c\u0302i tia okazo respektivas al negativa ajgeno."}, {"text_idx": "#000173", "text": "La termino ajgeno (prefereble nomata ejgeno de PIV) originas de la germana vorto eigen (= propra), kiu estis uzata, en c\u0302i tiu kunteksto, de David Hilbert en 1904. Eigen tradukig\u0302as per la adjektivoj propra, karakteriza au\u0306 la prefikso auto-."}, {"text_idx": "#000174", "text": "C\u0302iu ajgeno estas asociita kun malfinie multaj ajgenvektoroj. Se x estas ajgenvektoro respektiva al ajgeno \u03bb, do por c\u0302iu reela au\u0306 kompleksa \u03b1, \u03b1=\u03380, ankau\u0306 \u03b1x estas ajgenvektoro respektiva al ajgeno \u03bb, c\u0302ar"}, {"text_idx": "#000175", "text": "Tamen, unu ajgeno povas esti asociita ankau\u0306 kun kelkaj neparalelaj ajgenvektoroj. Se x kaj y estas c\u0302i tiaj neparalelaj ajgenvektoroj respektivaj al la sama ajgeno \u03bb', do por c\u0302iuj reelaj au\u0306 kompleksaj \u03b1 kaj \u03b2, tiaj ke \u03b1=\u03380 au\u0306 \u03b2=\u03380, ankau\u0306 \u03b1x+\u03b2y estas ajgenvektoro respektiva al ajgeno \u03bb, c\u0302ar"}, {"text_idx": "#000176", "text": "Do c\u0302iu (ne nula) lineara kombinaj\u0302o de ajgenvektoroj estas denove ajgenvektoro de la sama ajgeno. Tiel, kune kun la nula vektoro ajgenvektoroj respektivaj al la ajgeno formas linearan spacon, kiu estas nomata kiel ajgenspaco de la ajgeno."}, {"text_idx": "#000177", "text": "Sed male, se ajgenvektoro estas donita, la asociita ajgeno por c\u0302i tiu ajgenvektoro estas unika. Ja, de la egaleco"}, {"text_idx": "#000178", "text": "Ajgenvektoro estas la c\u0302efa ajgenvektoro au\u0306 domina ajgenvektoro se g\u0302i respektivas al la ajgeno de plej granda absoluta valoro. Rezulto de ripetita apliko de lineara transformo al ajna vektoro (kiu estas ne nula kaj ne estas la alia, neparalela, ajgenvektoro) proksimig\u0302as al vektoro paralela al la c\u0302efa ajgenvektoro."}, {"text_idx": "#000179", "text": "Se A estas la identa matrico multiplikita per iu nombro, tiam neniu vektoro s\u0302ang\u0302as sian direkton, kaj c\u0302iuj ne-nulaj vektoroj estas ajgenvektoroj."}, {"text_idx": "#000180", "text": "Konsideru n\u00d7n matricon, A, kun ejgenoj , . Sekvas ke:"}, {"text_idx": "#000181", "text": "la spuro de A estas"}, {"text_idx": "#000182", "text": "la \u0308determinanto de A estas"}, {"text_idx": "#000183", "text": "la ejgenoj de k-a potenco de , , estas la k-aj potencoj de la , t.e. ."}, {"text_idx": "#000184", "text": "La tri supraj rezultoj obteneblas per bildigo de la matrico al supra triangula matrico, pri kiu la ejgenoj estas lokataj lau\u0306 la diagonalo, la spuro kaj la determinanto estas respektive la sumo kaj la produto de la diagonalelementoj."}, {"text_idx": "#000185", "text": "Se , t.e., estas hermita matrico, c\u0302iu ejgeno estas reela. Se ankau\u0306 g\u0302i estas pozitive difinita matrico, pozitive duondifinita, negative difinita, au\u0306 negative duondifinita, c\u0302iu ejgeno estas respektive pozitiva, nenegativa, negativa, au\u0306 nepozitiva."}, {"text_idx": "#000186", "text": "C\u0302iu ejgeno de unita matrico havas absolutan valoron ."}, {"text_idx": "#000187", "text": "La trovado de la ajgenoj kaj ajgenvektoroj estas grava en multaj terenoj."}, {"text_idx": "#000188", "text": "kie I estas la identa matrico, kaj plu kiel"}, {"text_idx": "#000189", "text": "C\u0302i tio povas esti vidita kiel lineara sistemo en kiu la koeficienta matrico estas (A - \u03bbI), la vektoro de la nekonataj valoroj estas x, kaj la dekstra flanko estas nulo. Lau\u0306 regulo de Cramer, c\u0302i tiu sistemo havas ne-bagatelajn solvaj\u0302ojn (ne c\u0302iuj komponantoj de x estas nuloj) se kaj nur se g\u0302ia determinanto estas nula:"}, {"text_idx": "#000190", "text": "C\u0302i tio estas ekvacio por \u03bb kaj estas la karakteriza ekvacio de A, kaj la maldekstra flanko de g\u0302i estas la karakteriza polinomo. Se iu \u03bb verigas la karakterizan ekvacion do ekzistas ne nula vektoro x kiu verigas la ekvacion (1) kaj do la difinan ekvacion de ajgeno, kaj tiam \u03bb estas ajgeno kaj x estas ajgenvektoro."}, {"text_idx": "#000191", "text": "Solvinte la karakterizan ekvacion eblas ekscii ajgenon \u03bb, sed la ajgenvektoro x ne estas prezentita en la karakteriza ekvacio, do en c\u0302i tiu s\u0302tupo ne eblas g\u0302in kalkuli."}, {"text_idx": "#000192", "text": "Ekzemple por se A estas 2 \u00d7 2 kvadrata matrico, la karakteriza ekvacio povas esti skribita kiel"}, {"text_idx": "#000193", "text": "Elvolvado de la determinanto en maldekstre donas la karakterizan polinomon de grado 2, kaj la karakteriza ekvacio estas la kvadrata ekvacio:"}, {"text_idx": "#000194", "text": "kiu havas jenajn solvaj\u0302ojn (radikojn):"}, {"text_idx": "#000195", "text": "Por reelaj matricoj, la koeficientoj de la karakteriza polinomo estas c\u0302iuj reelaj. La kvanto kaj speco de radikoj dependas de valoro de la diskriminanto, D. Por okazoj) D>0, D=0 au\u0306 D<0, respektive, la radikoj estas du reelaj, unu reela au\u0306 du kompleksaj. Se la radikoj estas komplekso, ili estas ankau\u0306 kompleksaj konjugitoj unu de la alian. Kiam la nombro de radikoj estas malpli ol la grado de la karakteriza polinomo (la lasta estas ankau\u0306 la kvanto de dimensioj de la vektora spaco) la ekvacio havas opan radikon. C\u0302e kvadrata ekvacio kun unu radiko, c\u0302i tiu radiko estas duopa radiko, au\u0306 radiko kun obleco 2. Radiko kun obleco de 1 estas simpla radiko. Kvadrata ekvacio kun du reelaj au\u0306 kompleksaj radikoj havas nur simplajn radikojn. G\u0302enerale, la algebra obleco de ajgeno estas difinita kiel la obleco de la respektiva radiko de la karakteriza polinomo. La sumo de la algebraj oblecoj de c\u0302iuj ajgenoj estas egala al dimensio de la matrico."}, {"text_idx": "#000196", "text": "La g\u0302enerala formulo por la karakteriza polinomo de n-kvadrata matrico estas"}, {"text_idx": "#000197", "text": "kie S0 = 1, S1 = tr(A), la spuro de la matrico A, kaj Sk kun k > 1 estas sumoj de la c\u0302efaj minoroj de ordo k."}, {"text_idx": "#000198", "text": "Lau\u0306 la fundamenta teoremo de algebro, en kompleksa spaco la karakteriza polinomo havas almenau\u0306 unu nulo. Sekve, c\u0302iu matrico havas almenau\u0306 unu ajgenon."}, {"text_idx": "#000199", "text": "Por ke trovi la ajgenvektorojn la trovitaj ajgenoj devas esti metitaj reen en la ekvacion."}, {"text_idx": "#000200", "text": "kie \u03bb estas unu el la ajgenoj. C\u0302i tiu matrica ekvacio estas ekvivalenta al sistemo de du linearaj ekvacioj:"}, {"text_idx": "#000201", "text": "La ekvacioj estas solvataj por x kaj y per la kutimaj algebraj au\u0306 matricaj manieroj. Ofte eblas dividi ambau\u0306 flankojn de la ekvacioj je koeficientoj tiel ke la koeficientoj c\u0302e la nekonataj valoroj estos 1. C\u0302i tio estas normaligo de la vektoroj, kaj respektivas al elekto de unu el la ununormigita ajgenvektoro kiel prezentanta de c\u0302iuj vektoroj en la ajgenspaco respektiva al la ajgeno. La x kaj y tial estas la komponantoj de la ajgenvektoro."}, {"text_idx": "#000202", "text": "Per teoremo de Cayley-Hamilton kiu diras ke c\u0302iu kvadrata matrico kontentigas sian karakterizan ekvacio, eblas montri ke (plej g\u0302enerale, en la kompleksa spaco) ekzistas almenau\u0306 unu ne-nula vektoro kiu kontentigas la ajgenan ekvacion por la matrico."}, {"text_idx": "#000203", "text": "La dimensio de ajgenspaco de ajgeno estas kvanto de la lineare sendependaj ajgenvektoroj, g\u0302i estas la geometria obleco de la ajgeno. La geometria obleco ne povas esti pli granda ol la algebra obleco."}, {"text_idx": "#000204", "text": "Tamen (kiel estas pli supre skribite) al malsamaj ajgenoj c\u0302iam respektivas lineare sendependaj ajgenvektoroj."}, {"text_idx": "#000205", "text": "La komplikeco de la problemo de trovo de ajgenoj pligrandig\u0302as rapide kun pligrandig\u0302o de n. Por n=3, ajgenoj estas radikoj de kuba ekvacio, por n=4 - radikoj de la ekvacio de la 4-a ordo. Por n > 4 ne estas akurataj solvaj\u0302oj en g\u0302enerala okazo."}, {"text_idx": "#000206", "text": "Noto ke maniero de kalkulado de ajgenoj kaj ajgenvektoroj per la karakteriza polinomo ne estas bone tau\u0306ga por reala nombra komputado en komputilo. Uzo de c\u0302i tiu maniero povas rezultig\u0302i je granda perdo de la precizeco. Por nombra komputado de ajgenoj kaj ajgenvektoroj estas specialaj algoritmoj, kiuj kondutas pli bone."}, {"text_idx": "#000207", "text": "Ajgenoj povas esti konsiderataj c\u0302e linearaj operatoroj en vektora spaco de malfinia dimensio."}, {"text_idx": "#000208", "text": "Ekzemple, estu spaco de diferencialeblaj funkcioj f(t). La transformo T estu diferenciala operatoro de diferencialado kun respekto al la argumento t. La ajgenvektoroj estas tiam kutime nomataj kiel propraj funkcioj de la operatoroT."}, {"text_idx": "#000209", "text": "Diferencialado estas lineara transformo pro tio ke"}, {"text_idx": "#000210", "text": "kie f(t) kaj g(t) estas diferencialeblaj funkcioj, kaj a kaj b estas nombroj."}, {"text_idx": "#000211", "text": "La propraj funkcioj h(t) devas kontentigi la ajgenan ekvacion:"}, {"text_idx": "#000212", "text": "kie \u03bb estas la ajgeno asociita kun la funkcio."}, {"text_idx": "#000213", "text": "por c\u0302iuj nombroj \u03b1=\u03380 kaj \u03bb."}, {"text_idx": "#000214", "text": "G\u0302i estas konstanta funkcio se \u03bb=0 kaj eksponenta funkcio se \u03bb=\u03380."}, {"text_idx": "#000215", "text": "La ajgenspaco asociita kun c\u0302iu donita ajgeno \u03bb estas de unu dimensio, la dimensio respektivas al s\u0302ang\u0302o de nombro \u03b1."}, {"text_idx": "#000216", "text": "En g\u0302ia plej simpla versio, la spektra teoremo diras ke, je certaj kondic\u0302oj, produto de matrico kaj vektoro Av povas esti esprimita kiel lineara kombinaj\u0302o de ajgenvektoroj de A, en kiu la koeficiento de c\u0302iu ajgenvektoro estas egala al la respektiva ajgeno multiplikita je skalara produto de la ajgenvektoro kun vektoro v. C\u0302i tio povas esti skribita kiel:"}, {"text_idx": "#000217", "text": "kie v1, v2, ... kaj \u03bb1, \u03bb2, ... estas ajgenvektoroj kaj respektivaj ajgenoj de A. La teoremo estas valida por c\u0302iuj hermitaj matricoj (inter ili - por c\u0302iuj reelaj simetriaj matricoj), kaj por la pli g\u0302enerala klaso de (kompleksaj) normalaj matricoj."}, {"text_idx": "#000218", "text": "La k-a potenco de matrico A povas esti difinita kiel matrico A multiplikita je si (k-1) fojojn,"}, {"text_idx": "#000219", "text": "Tiam la k-a potenco de transformo T(v)=Av estas sinsekve k transformoj T, rezultas produto de la vektoro v al la multipliko de A je si (k-1) fojojn:"}, {"text_idx": "#000220", "text": "Tiel oni povas ankau\u0306 difini polinomon de matrico kaj de transformo. Pli g\u0302enerala versio de la teoremo diras, ke c\u0302iu polinomo P de A au\u0306 de T estas donita per"}, {"text_idx": "#000221", "text": "La spektra teoremo por matricoj povas esti komencita kiel sekvas. Estu A kvadrata n\u00d7n matrico. Estu q1, ... ,qk ejgenvektora bazo, kio estas indeksita aro de k lineare sendependaj ejgenvektoroj, kie k estas la dimensio de la spaco generita de la ejgenvektoroj de A. Se k = n, tiam A povas esti skribita kiel"}, {"text_idx": "#000222", "text": "kie Q estas kvadrata n\u00d7n matrico kies i-a kolumno estas la baza ejgenvektoro qi kaj \u039b estas la diagonala matrico kies diagonalaj eroj estas la respektivaj ejgenoj, kio estas \u039bii = \u03bbi."}, {"text_idx": "#000223", "text": "Spektro de matrico au\u0306 farata per g\u0302i transformo sur finie dimensia vektora spaco estas difinita kiel la aro de c\u0302iuj g\u0302iaj ejgenoj."}, {"text_idx": "#000224", "text": "Ajgeno de matrico en PlanetMath.\nARPACK - kolekto de fortran-proceduroj por ajgenaj taskoj\nLAPACK - kolekto de fortran-proceduroj por ajgenaj taskoj\nALGLIB inkluzivas parton de proceduroj de LAPACK reskribitaj en C++, C#, Paskalo kaj tiel plu\nSurlinia kalkulilo por ajgenoj kaj ajgenvektoroj\nSurlinia matrica kalkulilo de ajgenoj ajgenvektoroj kaj aliaj malkomponaj\u0302oj de matricoj.\nS\u0302ablonoj por la solvado de ajgenaj problemoj"}]