[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, nombrebla aro estas aro kun la sama kardinaleco ( nombro da elementoj) kiel iu subaro de la aro de naturaj nombroj.\nNombrebla aro estas au\u0306 finhava aro au\u0306 nombreble senfina aro.\nC\u0302u finhave au\u0306 senfine, la elementoj de nombrebla aro c\u0302iam povas esti nombritaj unu je fojo kaj, kvankam la nombrado neniam povas finig\u0302i, c\u0302iu elemento de la aro estas rilata al natura nombro."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Kelkaj verkintoj uzas nombreblaj metite signifi nombreble senfinaj sole.\nEviti tiun ambiguecon, la esprimon maksimume nombrebla povas esti uzita kiam finhavaj aroj estas inkluditaj kaj nombreble senfinaj, listigebla, [2] au\u0306 denumerablaj [3] alie."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Georg Cantor prezentis la esprimon nombreblajn metitajn, kontrastigajn arojn kiuj estas nombreblaj kun tiuj kiuj estas nenombreblaj (t.e., nelistigeblaj au\u0306 nondenumerablaj [4] ).\nHodiau\u0306, nombreblaj aroj formas la fondon de branc\u0302o de matematiko nomita diskreta matematiko ."}, {"text_idx": "#000004", "text": "4 Formala superrigardo sen detaloj\n6 Minimuma modelo de aroteorio estas nombrebla"}, {"text_idx": "#000005", "text": "4 Minimuma modelo de aroteorio estas kalkulebla"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Se tia f povas esti trovita tio estas ankau\u0306 surjektive (kaj tial bijektive), tiam S estas nomita nombreble senfina."}, {"text_idx": "#000007", "text": "En aliaj vortoj, aro estas nombreble senfina se g\u0302i havas ekzaktan korespondadon kun la natura pli sensenta aro, N ."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Kiel notite supre, tiu terminologio ne estas universala.\n: Kelkaj verkintoj uzas nombreblaj por signifi kio estas c\u0302i tie nomita nombreble senfina, kaj ne inkludas finhavajn arojn."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Alternativaj (ekvivalento) formulig\u0302oj de la difino lau\u0306 bijektive funkcio au\u0306 surj\u0302eto ankau\u0306 povas ricevi."}, {"text_idx": "#000010", "text": "En 1874, en lia unua aroteoriartikolo, Kantoro pruvis ke la aro de realaj nombroj estas nenombrebla, tiel montrante ke ne c\u0302io senfinaj aroj estas nombreblaj.\nEn 1878, li utiligis ekzaktajn korespondadojn por difini kaj kompari kardinalecojn.\nEn 1883, li etendis la naturajn nombrojn kun siaj senfinaj ordaj numeraloj, kaj uzis arojn de ordaj numeraloj por produkti senfinecon de aroj havantaj malsamajn senfinajn kardinalecojn."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Aro estas kolekto de elementoj, kaj povas esti priskribita lau\u0306 multaj manieroj.\nUnudirekta estas simple listigi c\u0302iujn g\u0302iaj elementoj;\nTio estas nur efika por malgrandaj aroj, aliflanke;\npor pli grandaj aroj, tio estus tempopostula kaj erarema.\nAnstatau\u0306e de listigado de c\u0302iu ununura elemento, foje tripunkto (\u00ab ...\nestas uzita, se la verkisto kredas ke la leganto povas facile konjekti kio maltrafas;\nsupozeble indikas la aron de entjeroj de 1 g\u0302is 100. Ec\u0302 en tiu kazo, aliflanke, estas dau\u0306re eble listigi c\u0302iujn elementojn, c\u0302ar la aro estas finhava."}, {"text_idx": "#000012", "text": "tiuj aroj havas pli ol n elementoj por iu entjero n.\n, havas senlime multajn elementojn, kaj ni ne povas uzi ajnan normalan nombron por doni g\u0302ian grandecon.\nTamen, g\u0302i turnas tiujn senfinajn arojn fari havi klare difinitan nocion de grandeco (au\u0306 pli konvene, de kardinaleco, kiu estas la termino por la nombro da elementoj en aro), kaj ne c\u0302iuj senfinaj aroj havas la saman kardinalecon."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Por kompreni kion tio signifas, ni unue ekzamenas kion g\u0302i ne signifas.\nEkzemple, ekzistas senlime multaj strangaj entjeroj, senlime multaj ec\u0302 entjeroj, kaj (tial) senlime multaj entjeroj totalaj.\nTamen, g\u0302i turnas ke la nombro da ec\u0302 entjeroj, kio estas la sama kiel la nombro da strangaj entjeroj, estas ankau\u0306 la sama kiel la nombro da entjeroj entute.\nTio estas c\u0302ar ni arang\u0302as aj\u0302ojn tia ke por c\u0302iu entjero, ekzistas klara ec\u0302 entjero: ...\nau\u0306, pli g\u0302enerale, n \u2192 2n, vidas bildon.\nKion ni faris c\u0302i tie estas arang\u0302itaj la entjeroj kaj la ec\u0302 entjeroj en ekzaktan korespondadon (au\u0306 ensurj\u0302eton ), kio estas funkcio kiu mapoj inter du aroj tia ke c\u0302iu elemento de c\u0302iu aro egalrilatas al ununura elemento en la alia aro."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Tamen, ne c\u0302iuj senfinaj aroj havas la saman kardinalecon.\nEkzemple, Georg Cantor (kiu lanc\u0302is tiun koncepton) protestis ke la realaj nombroj ne povas esti metitaj en ekzaktan korespondadon kun la naturaj nombroj (ne-negativaj entjeroj), kaj tial ke la aro de realaj nombroj havas pli grandan kardinalecon ol la aro de naturaj nombroj."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Aro estas nombrebla se: (1)\ng\u0302i estas finhava, au\u0306 (2) g\u0302i havas la saman kardinalecon (grandeco) kiel la aro de naturaj nombroj.\nEkvivalente, aro estas nombrebla se g\u0302i havas la saman kardinalecon kiel iu subaro de la aro de naturaj nombroj."}, {"text_idx": "#000016", "text": "De difino aro S estas nombrebla se tie ekzistas enj\u0302eto f:"}, {"text_idx": "#000017", "text": "Eble s\u0302ajnos nature dividi la arojn en malsamajn klasojn: metu c\u0302iujn arojn enhavantajn unu elementon kune;\nc\u0302iuj aroj enhavante du elementojn kune;\nfinfine, s\u0302ovo ekvilibra c\u0302io senfinaj aroj kaj konsideras ilin kiel havado de la sama grandeco.\nTiu vido ne estas dau\u0306rema, aliflanke, sub la natura difino de grandeco."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Por ellabori tion ni bezonas la koncepton de ensurj\u0302eto.\nKvankam \"ensurj\u0302eto\" s\u0302ajnas pli progresinta koncepto ol nombro, la kutima evoluo de matematiko lau\u0306 aroteorio difinas funkciojn antau\u0306 nombroj, c\u0302ar ili estas bazitaj sur multe pli simplanimaj aktoraroj.\nTio estas kie la koncepto de ensurj\u0302eto envenas: difinu la korespondadon"}, {"text_idx": "#000019", "text": ", kaj inverse, tio difinas ensurj\u0302eton."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Ni nun g\u0302eneraligas tiun situacion kaj difinas du arojn en la sama grandeco c\u0302u (kaj nur c\u0302u) ekzistas ensurj\u0302eto inter ili.\nPor c\u0302iuj finhavaj aroj tio donas al ni la kutiman difinon de \"la sama grandeco\".\nKion lau\u0306 kion g\u0302i rakontas nin pri la grandeco de senfinaj aroj?"}, {"text_idx": "#000021", "text": ", la aro de ec\u0302 pozitivaj entjeroj.\nNi asertas ke, sub nia difino, tiuj aroj havas la saman grandecon, kaj ke tial B estas nombreble senfina.\nRevoko tio pruvi tio ni devas elmontri ensurj\u0302eton inter ili.\nSed tio estas facila, uzante n \u2194 2n, tiel ke"}, {"text_idx": "#000022", "text": "Kiel en la pli frua ekzemplo, c\u0302iu elemento de A estis parigita kun g\u0302uste unu elemento de B, kaj inverse.\nTial ili havas la saman grandecon.\nTio estas ekzemplo de aro de la sama grandeco kiel unu el g\u0302iaj bonordaj subaroj, kiu estas malebla por finhavaj aroj."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Same, la aro de c\u0302iuj ordaj duopoj de naturaj nombroj estas nombreble senfina, kiel povas esti vidita per sekvado de pado kiel tiu en la bildo:"}, {"text_idx": "#000024", "text": "La rezulta mapado estas kiel tio:"}, {"text_idx": "#000025", "text": "Tiu mapado kovras tute tiajn ordajn duopojn."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Interese: se vi traktas c\u0302iun paron kiel esti la numeratoro kaj denominatoro de ordinara frakcio, tiam por c\u0302iu pozitiva frakcio, ni povas elpensi klaran nombron egalrilatantan al g\u0302i.\nTiu reprezentantaro ankau\u0306 inkludas la naturajn nombrojn, c\u0302ar c\u0302iu natura nombro ankau\u0306 estas frakcio da N /1-a Tiel ni povas fini ke ekzistas same tiel multaj pozitivaj raciaj nombroj kia ekzistas pozitivaj entjeroj.\nTio estas vera ankau\u0306 por c\u0302iuj raciaj nombroj, kiel povas esti vidita malsupre."}, {"text_idx": "#000027", "text": "La karteza produkto de finhave multaj nombreblaj aroj estas nombrebla."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Tiu formo de triangula mapanta rekursive g\u0302eneraligas al vektoroj de finhave multaj naturaj nombroj plurfoje mapante la unuajn du elementojn al natura nombro."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Foje pli ol unu mapado estas utila.\nTio estas kie vi mapas la aron kiun vi volas montri estas nombreble senfina sur alia aro - kaj tiam mapas tiun alian aron al la naturaj nombroj.\nEkzemple, la pozitivaj raciaj nombroj povas facile esti mapitaj al (subaro de) la paroj de naturaj nombroj c\u0302ar al p / q mapas ( p, q)."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Kio pri senfinaj subaroj de nombreble senfinaj aroj?\nTiuj havu pli malmultajn elementojn ol N?"}, {"text_idx": "#000031", "text": "C\u0302iu subaro de nombrebla aro estas nombrebla.\nAparte, c\u0302iu senfina subaro de nombreble senfina aro estas nombreble senfina."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Ekzemple, la aro de primoj estas nombrebla, de mapado de la a primo al n:"}, {"text_idx": "#000033", "text": "Kio koncerne arojn estantajn nature \"pli granda ol\" N?\nEkzemple, Z la aro de c\u0302iuj entjeroj au\u0306 Q, la aro de c\u0302iuj raciaj nombroj, kiuj intuicie povas s\u0302ajni multe pli grandaj ol N.\nSed aspektoj povas esti trompantaj, c\u0302ar ni asertas:"}, {"text_idx": "#000034", "text": "Z (la aro de c\u0302iuj entjeroj) kaj Q (la aro de c\u0302iuj raciaj nombroj) estas nombreblaj."}, {"text_idx": "#000035", "text": "En simila maniero, la aro de algebraj nombroj estas nombrebla."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Tiuj faktoj sekvas facile el rezulto ke multaj individuoj trovas ne-intuiciaj."}, {"text_idx": "#000037", "text": "C\u0302iu finhava unio de nombreblaj aroj estas nombrebla."}, {"text_idx": "#000038", "text": "Kun la prudento de scii ke ekzistas nenombreblaj aroj, ni povas scivoli c\u0302u au\u0306 ne tiu lasta rezulto povas esti pus\u0302ita plu.\nLa respondo estas \"jes\" kaj \"neniu\", ni povas etendi g\u0302in, sed ni devas supozi novan aksiomon farendaj\u0302o tion."}, {"text_idx": "#000039", "text": "(Supozante la aksiomon de nombrebla elekto) La unio de nombreble multaj nombreblaj aroj estas nombrebla."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Ekzemple, antau\u0306fiksitaj nombreblaj aroj , b, c"}, {"text_idx": "#000041", "text": "Uzante variaj\u0302on de la triangula listigo ni vidis supre:"}, {"text_idx": "#000043", "text": "Notu ke tio nur funkcias se la aroj , b, c, ...\nSe ne, tiam la unio estas ec\u0302 pli malgranda kaj estas tial ankau\u0306 nombrebla de antau\u0306a teoremo."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Ankau\u0306 notu ke ni bezonas la aksiomon de nombrebla elekto por indeksi c\u0302iujn arojn , b, c, ..."}, {"text_idx": "#000045", "text": "La aro de c\u0302iuj finhav-longaj sekvencoj de naturaj nombroj estas nombrebla."}, {"text_idx": "#000046", "text": "Tiu aro estas la unio de la longosekvencoj, la longosekvencoj, la longosekvencoj, c\u0302iu el kiu estas nombrebla aro (finhava karteza produkto).\nTiel ni parolas pri nombrebla unio de nombreblaj aroj, kiu estas nombrebla de la antau\u0306a teoremo."}, {"text_idx": "#000047", "text": "La aro de c\u0302iuj ne-senlimaj subaroj da la naturaj nombroj estas nombrebla."}, {"text_idx": "#000048", "text": "Se vi havas ne-senliman subaron, vi povas ordigi la elementojn en finhavan sekvencon.\nEkzistas nur nombreble multaj finhavaj sekvencoj, do ankau\u0306 ekzistas nur nombreble multaj ne-senlimaj subaroj."}, {"text_idx": "#000049", "text": "La sekva teoremo donas ekvivalentajn formulig\u0302ojn lau\u0306 bijektivefunkcio au\u0306 surj\u0302eto.\nPruvo de tiu rezulto povas esti trovita en la teksto de Lang."}, {"text_idx": "#000050", "text": "La sekvaj deklaroj estas ekvivalentaj:"}, {"text_idx": "#000051", "text": "S estas nombrebla, t.e. tie ekzistas enj\u0302eto f:\nC\u0302iu S estas malplena au\u0306 tie ekzistas surj\u0302eto g:\nC\u0302iu S estas finhava au\u0306 tie ekzistas ensurj\u0302eto h:"}, {"text_idx": "#000052", "text": "Lasu S kaj T esti aroj."}, {"text_idx": "#000053", "text": "S \u2192 T estas injektivo kaj T estas nombrebla tiam S estas nombrebla.\nS \u2192 T estas surjektive kaj S estas nombrebla tiam T estas nombrebla."}, {"text_idx": "#000054", "text": "Cantor's Theorem asertas ke se A estas aro kaj P ( A) estas it aro de c\u0302iuj subaroj, t.e. la aro de c\u0302iuj subaroj de A, tiam ekzistas neniu surj\u0302eto de A g\u0302is P ( A).\nPruvo ricevas en la artikolo Cantor's Theorem.\nKiel tuja sekvo de tio kaj la Baza Teoremo supre ni havas:"}, {"text_idx": "#000056", "text": "Por pliprofundigo de tiu rezulto vidas la diagonalan argumenton de Cantor."}, {"text_idx": "#000057", "text": "La aro de realaj nombroj estas nenombrebla (vidu Cantor unuan unkountabilecpruvon), kaj tiel estas la aro de c\u0302iuj senfinaj sekvencoj de naturaj nombroj."}, {"text_idx": "#000058", "text": "La pruvoj de la deklaroj en c\u0302i-supra sekcio fidas sur la ekzisto de funkcioj kun certaj trajtoj.\nTiu sekcio prezentas funkciojn ofte uziten en tiu rolo, sed ne la konfirmoj ke tiuj funkcioj havas la postulatajn trajtojn.\nLa Baza Teoremo kaj g\u0302ia Konsekvenco ofte estas utiligitaj por simpligi pruvojn.\nObservu ke N en tiu teoremo povas esti anstatau\u0306igita kun iu nombreble senfina aro."}, {"text_idx": "#000059", "text": "C\u0302iu finhava aro estas nombrebla."}, {"text_idx": "#000060", "text": "por iu pozitiva natura pli sensenta n.\nTiu funkcio estas injekto de S en N ."}, {"text_idx": "#000061", "text": "C\u0302iu subaro de nombrebla aro estas nombrebla."}, {"text_idx": "#000066", "text": "B \u2192 N estu injektoj.\n2g ( x) + 1 se x estas en B sed ne en A."}, {"text_idx": "#000067", "text": "La karteza produkto de du nombreblaj aroj A kaj B estas nombrebla."}, {"text_idx": "#000068", "text": "Observu ke N \u00d7 N estas nombrebla kiel sekvo de la difino c\u0302ar la funkcio f:\nN \u00d7 N \u2192 N evoluita per f ( m, n) = 2 m 3 n estas injektivo.\nG\u0302i tiam sekvas el la Baza Teoremo kaj la Konsekvenco ke la karteza produkto de iuj du nombreblaj aroj estas nombrebla.\nTio sekvas c\u0302ar se A kaj B estas nombreblaj ekzistas surjektion f:"}, {"text_idx": "#000069", "text": "estas surjektion de la nombrebla aro N \u00d7 N g\u0302is la aro A \u00d7 B kaj la Konsekvenco implicas A \u00d7 B estas nombreblaj.\nTiu rezulto g\u0302eneraligas al la karteza produkto de iu finhava kolekto de nombreblaj aroj kaj la pruvo sekvas per indukto sur la nombro da aroj en la kolekto."}, {"text_idx": "#000070", "text": "La entjeroj Z estas nombreblaj kaj la raciaj nombroj Q estas nombreblaj."}, {"text_idx": "#000071", "text": "La entjeroj Z estas nombreblaj c\u0302ar la funkcio f:\nZ \u2192 N evoluita per f ( n) = 2 n se n estas ne-negativa kaj f ( n) = 3 \u2212 n se n estas negativa, estas enj\u0302eto.\nLa raciaj nombroj Q estas nombreblaj c\u0302ar la funkcio g:\nm /( n + 1) estas surjektion de la nombrebla aro Z \u00d7 N g\u0302is la rationals Q ."}, {"text_idx": "#000072", "text": "Se estas nombrebla aro por c\u0302iu n en N tiam la unio de c\u0302iuj estas ankau\u0306 nombrebla."}, {"text_idx": "#000073", "text": "Tio estas sekvo de la fakto ke por c\u0302iu n ekzistas surj\u0302et gn :\nN \u2192 kaj tial la funkcio"}, {"text_idx": "#000074", "text": "donite per G ( n, m\ngn ( m) estas surjektion.\nEkde N \u00d7 N estas nombrebla, la Konsekvenco implicas ke la unio estas nombrebla.\nNi utiligas la aksiomon de nombrebla elekto en tiu pruvo por elekti por c\u0302iu n en N surjektion gn de la ne-malplena kolekto de surjektions de N g\u0302is ."}, {"text_idx": "#000075", "text": "Topologia pruvo por la unkountabileco da la realaj nombroj estas priskribita c\u0302e finhava intersekcig\u0302posedaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000076", "text": "Minimuma modelo de aroteorio estas nombrebla"}, {"text_idx": "#000077", "text": "Se ekzistas aro kiu estas norma modelo (vidu interna modelo) de ZFC-aroteorio, tiam ekzistas minimuma norma modelo ( vidu Konstrueblan universon).\nLa Lo\u0308wenheim-Skolem-teoremo povas esti utiligita por montri ke tiu minimuma modelo estas nombrebla.\nLa fakto ke la nocio de \"uncountabileco\" sonas racie ec\u0302 en tiu modelo, kaj aparte ke tiu modelo M enhavas elementojn kiuj estas:"}, {"text_idx": "#000078", "text": "subaroj de M, tial nombrebla,\nsed nenombrebla de la perspektivo de M,"}, {"text_idx": "#000079", "text": "estis vidita kiel paradoksa en la fruaj tagoj da aroteorio, vidas la paradokson de Skolem."}, {"text_idx": "#000080", "text": "La minimuma norma modelo inkludas c\u0302iujn algebrajn nombrojn kaj c\u0302iujn efike komputeblajn transcendajn nombrojn, same kiel multaijn aliajn specojn de nombroj."}, {"text_idx": "#000081", "text": "Nombreblaj aroj povas esti totale ordonitaj lau\u0306 diversaj manieroj, ekz.:"}, {"text_idx": "#000082", "text": "Nu ordoj (vidu ankau\u0306 numeron):La kutima ordo de naturaj nombroj (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...\nAliaj ( ne bone ordoj):La kutima ordo de entjeroj ( ...\nLa kutima ordo de raciaj nombroj (ne Povas esti eksplicite skribita kiel ordigita listo!"}, {"text_idx": "#000083", "text": "La kutima ordo de entjeroj ( ...\nLa kutima ordo de raciaj nombroj (ne Povas esti eksplicite skribita kiel ordigita listo!"}, {"text_idx": "#000084", "text": "Notu ke en ambau\u0306 ekzemploj de bone ordoj c\u0302i tie, c\u0302iu subaro havas malplej elementon;\nkaj en ambau\u0306 ekzemploj de ne-putaj ordoj, kelkaj subaroj ne havas malplej elementon.\nTio estas la esenca difino kiu determinas c\u0302u tuteca ordo ankau\u0306 estas putordo."}, {"text_idx": "#000086", "text": ", it makes no difference whether one considers 0 a natura nombro or not.\nEn iu kazo, tiu artikolo sekvas ISO 31-11 kaj la normkongreson en matematika logiko, kiu prenas 0 kiel natura nombro.\n^ Stillwell, John C. (2010), Roads to Infinity: The Mathematics of Truth and Proof, CRC Press, p. 10, ISBN 9781439865507, Cantor's discovery of uncountable sets in 1874 was one of the most unexpected events in the history of mathematics. Before 1874, infinity was not even considered a legitimate mathematical subject by most people, so the need to distinguish between countable and uncountable infinities could not have been imagined."}, {"text_idx": "#000088", "text": ", \" Nombrebla aro \", MathWorld ."}, {"text_idx": "#000089", "text": "La leg\u0302oj de De Morgan"}, {"text_idx": "#000090", "text": "Povo de aro ( granda)"}, {"text_idx": "#000091", "text": "En matematiko, kalkulebla aro estas aro kun la sama kardinala nombro (povo de aro au\u0306 kvanto de eroj) kiel iu subaro de la aro de c\u0302iuj naturaj nombroj. Aro kiu estas ne kalkulebla estas nomata kiel nekalkulebla. La termino devenas de Georg Cantor. La eroj de kalkulebla aro povas esti kalkulitaj po unu, kvankam la kalkulado povas neniam finig\u0302i, tamen c\u0302iu ero de la aro estos asociita kun natura nombro."}, {"text_idx": "#000092", "text": "Iuj au\u0306toroj uzas la terminon kalkulebla aro por aro kun la sama kardinalo kiel la aro de c\u0302iuj naturaj nombroj. La diferenco inter la du difinoj estas ke sub la unua, finiaj aroj estas ankau\u0306 konsiderataj kiel kalkuleblaj, dum sub la lasta difino, ili estas ne konsiderataj kiel kalkuleblaj. Por forigi c\u0302i tiun multvalorecon, la termino maksimume kalkulebla estas iam uzita por la unua komprenaj\u0302o, kaj kalkuleble malfinia por la lasta."}, {"text_idx": "#000093", "text": "La kardinala nombro de kalkuleble malfinia aro estas skribata kiel (la komenca alef-nombro) au\u0306 (la komenca beth-nombro)."}, {"text_idx": "#000094", "text": "Aro S estas nomata kiel kalkulebla se ekzistas enj\u0302eto"}, {"text_idx": "#000095", "text": "Se f estas ankau\u0306 surj\u0302eto, tial farante f ensurj\u0302eton, do S estas kalkuleble malfinia."}, {"text_idx": "#000096", "text": "La bezonata koncepto estas ensurj\u0302eto (reciproke unuvalora surj\u0302eto). Ekzemple, rilato"}, {"text_idx": "#000097", "text": "Lau\u0306 difino, du aroj estas de la sama amplekso se kaj nur se ekzistas reciproke unuvalora surj\u0302eto inter ili. Por c\u0302iuj finiaj aroj c\u0302i tio donas la kutiman difinon de la sameco de amplekso. Por la amplekso de malfiniaj aroj, la aferoj estas jenaj."}, {"text_idx": "#000098", "text": "C\u0302iu ero de A estas parita for kun precize unu ero de B, kaj reen. De c\u0302i tie ili havas la saman amplekson, kaj pro tio B estas kalkuleble malfinia. C\u0302i tio donas ekzemplon de aro kiu estas de la sama amplekso kiel unu el siaj propraj subaroj, situacio kiu estas neebla por finiaj aroj."}, {"text_idx": "#000099", "text": "La aro de c\u0302iuj ordigitaj duopoj de naturaj nombroj estas kalkuleble malfinia, c\u0302ar ekzistas reciproke unuvalora surj\u0302eto inter g\u0302i kaj aro de c\u0302iuj naturaj nombroj:"}, {"text_idx": "#000100", "text": "C\u0302i tiu reciproke unuvalora surj\u0302eto estos kovras c\u0302iujn c\u0302i tiajn ordigitajn duopojn."}, {"text_idx": "#000101", "text": "C\u0302iu subaro de kalkulebla aro estas kalkulebla. C\u0302iu malfinia subaro de kalkuleble malfinia aro estas kalkulebla malfinio."}, {"text_idx": "#000102", "text": "Ekzemple, la aro de primoj estas kalkulebla, per surj\u0302eto de la n-a primo al n:"}, {"text_idx": "#000103", "text": "Per difino aro S estas kalkulebla se ekzistas enj\u0302eto"}, {"text_idx": "#000104", "text": "Jena teoremo donas ekvivalentajn formulaj\u0302ojn de la difino:"}, {"text_idx": "#000106", "text": "1. S estas kalkulebla, kio estas ke ekzistas enj\u0302eto\n2. S estas malplena au\u0306 ekzistas surj\u0302eto\n3. S estas finia au\u0306 tie ekzistas reciproke unuvalora surj\u0302eto"}, {"text_idx": "#000107", "text": "Kelkaj normaj propraj\u0302oj sekvas facile el c\u0302i tiu teoremo. N en la teoremo povas esti anstatau\u0306ita kun c\u0302iu kalkuleble malfinia aro. Aparta estas jena korolario."}, {"text_idx": "#000109", "text": "1. Se funkcio f : S \u2192 T estas enj\u0302eta kaj T estas kalkulebla do S estas kalkulebla.\n2. Se funkcio g : S \u2192 T estas surj\u0302eta kaj S estas kalkulebla do T estas kalkulebla."}, {"text_idx": "#000110", "text": "Pruvo: Por (1) observu ke se T estas kalkulebla ekzistas enj\u0302eto h : T \u2192 N . Tiam se la funkcio f : S \u2192 T estas enj\u0302eta do la komponaj\u0302o estas enj\u0302eta, do S estas kalkulebla."}, {"text_idx": "#000111", "text": "Por (2) observu ke se S estas kalkulebla estas surj\u0302eto h : N \u2192 S. Tiam se g : S \u2192 T estas surj\u0302eta do la komponaj\u0302o estas surj\u0302eta, do T estas kalkulebla."}, {"text_idx": "#000112", "text": "Teoremo: C\u0302iu subaro de kalkulebla aro estas kalkulebla."}, {"text_idx": "#000114", "text": "Teoremo: La kartezia produto de du kalkuleblaj aroj A kaj B estas kalkulebla. Plu, la kartezia produto de c\u0302iu finia kolekto de kalkuleblaj aroj estas kalkulebla."}, {"text_idx": "#000115", "text": "Pruvo: N\u00d7N estas kalkulebla c\u0302ar la funkcio f: N\u00d7N \u2192 N donita per f(m, n) = 2m3n estas enj\u0302eta (estas multaj variantoj de konstruo de la funkcio f; la alian varianton, la parantan funkcion de Cantor vidu pli supre). Tiam sekvas el la baza teoremo kaj la korolario ke la kartezia produto de c\u0302iuj du kalkuleblaj aroj estas kalkulebla. C\u0302i tio sekvas c\u0302ar se A kaj B estas kalkuleblaj estas surj\u0302etoj f : N \u2192 A kaj g : N \u2192 B. Do f\u00d7g: N\u00d7N \u2192 A\u00d7B estas surj\u0302eto de la kalkulebla aro N\u00d7N al la aro A\u00d7B kaj la korolario implicas ke A\u00d7B estas kalkulebla. C\u0302i tiu rezulto g\u0302eneraligatas al la kartezia produto de c\u0302iu finia kolekto de kalkuleblaj aroj kaj la pruvo estas per indukto sur la kvanto de aroj en la kolekto."}, {"text_idx": "#000116", "text": "Teoremo: La entjeroj Z estas kalkuleblaj kaj la racionalaj nombroj Q estas kalkuleblaj."}, {"text_idx": "#000117", "text": "Pruvo: La entjeroj Z estas kalkuleblaj c\u0302ar la funkcio f : Z \u2192 N donita per f(n) = 2n se n estas nenegativa kaj f(n) = 3-n se n estas negativa estas enj\u0302eto. La racionalaj nombroj Q estas kalkuleblaj c\u0302ar la funkcio g: Z\u00d7N \u2192 Q donita per g(m, n) = m/(n+1) estas surj\u0302eto de la kalkulebla aro Z\u00d7N al la racionaloj Q. Povas esti konstruita ankau\u0306 implica ensurj\u0302eto inter N kaj Q:"}, {"text_idx": "#000118", "text": "Per simila evoluo, la aro de c\u0302iuj algebraj nombroj estas kalkulebla, kaj la aro de c\u0302iuj difineblaj nombroj estas kalkulebla."}, {"text_idx": "#000119", "text": "Teoremo: (Alprenanta la aksiomon de kalkulebla elekto) La unio de kalkuleble multaj kalkuleblaj aroj estas kalkulebla. Formale, se An estas kalkulebla aro por c\u0302iu n en N tiam estas kalkulebla."}, {"text_idx": "#000120", "text": "Pruvo: C\u0302i tio estas konsekvenco de tio ke por c\u0302iu n ekzistas surj\u0302eto kaj de c\u0302i tie la funkcio"}, {"text_idx": "#000121", "text": "donita per G(n, m) = gn(m) estas surj\u0302eto. Pro tio ke N\u00d7N estas kalkulebla la korolario implicas ke estas kalkulebla. Oni uzas la aksiomon de kalkulebla elekto en c\u0302i tiu pruvo por preni por c\u0302iu n en N surj\u0302eton gn el la ne-malplena kolekto de surj\u0302etoj de N al An."}, {"text_idx": "#000122", "text": "Teoremo: La aro de c\u0302iuj finio-longaj vicoj de naturaj nombroj estas kalkulebla."}, {"text_idx": "#000123", "text": "C\u0302i tiu aro estas la unio de la vicoj de longo 1, la vicoj de longo 2, la vicoj de longo 3, kaj tiel plu. C\u0302iu el ili estas kalkulebla aro c\u0302ar estas finia kartezia produto de kalkuleblaj aroj. Tiel en la teoremo estas konsiderata la kalkulebla unio de kalkuleblaj aroj, kiu estas kalkulebla per la antau\u0306a teoremo."}, {"text_idx": "#000124", "text": "Teoremo: La aro de c\u0302iuj finiaj subaroj de la naturaj nombroj estas kalkulebla."}, {"text_idx": "#000125", "text": "Se estas finia subaro, oni povas ordigi la eroj de g\u0302i en finian vicon. Estas nur kalkuleble multaj finiaj vicoj, tiel ankau\u0306 estas nur kalkuleble multaj finiaj subaroj."}, {"text_idx": "#000126", "text": "Teoremo de Cantor: Se A estas aro kaj P(A) estas g\u0302ia aro de c\u0302iuj subaroj, do ne ekzistas surj\u0302eto de A al P(A). Senpera konsekvenco de c\u0302i tio kaj de la baza teoremo pli supre estas:"}, {"text_idx": "#000127", "text": "Teoremo: La aro P(N) ne estas kalkulebla; kio estas g\u0302i estas nekalkulebla."}, {"text_idx": "#000128", "text": "Por ellaborado de c\u0302i tiu rezulto vidu en diagonala argumento de Cantor."}, {"text_idx": "#000129", "text": "La aro de reelaj nombroj estas nekalkulebla (vidu ankau\u0306 en unua nekalkulebleca pruvo de Cantor), kaj nekalkulebla estas la aro de c\u0302iuj malfiniaj vicoj de naturaj nombroj. Topologia pruvo por la nekalkulebleco de la reelaj nombroj estas priskribita en finia intersekca propraj\u0302o."}, {"text_idx": "#000130", "text": "Se estas aro kiu estas norma modelo (vidu en ena modelo) de aroteorio de Zermelo-Fraenkel, tiam estas minimuma norma modelo (vidu en konstruebla universo). La teoremo de Lo\u0308wenheim-Skolem povas esti uzata por montri ke c\u0302i tiu minimuma modelo estas kalkulebla. Tio ke la komprenaj\u0302o de nekalkulebleco havas senco ec\u0302 en c\u0302i tiu modelo, kaj aparte ke c\u0302i tiu modelo M enhavas erojn kiu estas samtempe"}, {"text_idx": "#000131", "text": "subaroj de M, de c\u0302i tie kalkuleblaj,\nsed nekalkuleblaj de la punkto de vido de M,"}, {"text_idx": "#000132", "text": "estis vidita kiel paradoksa en la fruaj tagoj de aroteorio, vidu en paradokso de Skolem."}, {"text_idx": "#000133", "text": "La minimuma norma modelo inkluzivas c\u0302iuj algebrajn nombrojn kaj c\u0302iujn efike komputeblajn transcendajn nombrojn, kaj ankau\u0306 multajn aliajn specojn de nombroj."}, {"text_idx": "#000134", "text": "Kalkuleblaj aroj povas esti tutece ordigitaj diversmaniere, ekzemple:"}, {"text_idx": "#000136", "text": "la kutima ordo de naturaj nombroj"}, {"text_idx": "#000137", "text": "la kutima ordo de entjeroj\nla kutima ordo de racionalaj nombroj"}]