[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, Zermelo-Fraenkel aroteorio, nomita lau\u0306 matematikistoj Ernst Zermelo kaj Abraham Fraenkel, estas unu el pluraj aksiomaj sistemoj kiuj estis proponitaj en la frua dudeka jarcento por formuli teorion de aroj liberaj de paradoksoj kiel ekzemple la paradokso de Russell.\nZermelo-Fraenkel aroteorio kun la historie kontestata libera-elekto-aksiomo inkludita estas ofte mallongigita ZFC, kie C signifas elekton.\nMultaj verkintoj uzas ZF por rilati al la aksiomoj de Zermelo-Fraenkel aroteorio kun la libera-elekto-aksiomo ekskludis.\nHodiau\u0306 ZFC estas la normformularo de aksioma aroteorio kaj kiel tia estas la plej ofta fundamento de matematiko."}, {"text_idx": "#000002", "text": "ZFC estas celita formaligi ununuran primitivan nocion, tiu de hereda motivita aro, tiel ke c\u0302iuj unuoj en la universo de diskurso estas tiaj aroj.\nTiel la aksiomoj de ZFC rilatas nur al puraj aroj kaj malhelpas g\u0302iajn modelojn enhavado urelementoj (elementoj de aroj kiuj ne estas sin aroj).\nKrome, bonordaj klasoj (kolektoj de matematikaj objektoj difinitaj per posedaj\u0302o dividita memstare membroj kiuj estas tro grandaj por esti aroj) povas nur esti traktitaj nerekte.\nSpecife, ZFC ne enkalkulas la ekziston de universala aro (aro enhavanta c\u0302iujn arojn) nek por senrestrikta kompreno, tiel evitante la paradokson de Russell.\nVon Neumann-Bernays-Go\u0308del aroteorio (NBG) estas ofte uzita konservativa etendaj\u0302o de ZFC kiu permesas eksplicitan traktadon de bonordaj klasoj."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Formale, ZFC estas unu-ordigitteorio en unuaorda logiko.\nLa signaturo havas egalecon kaj ununuran primitivan duargumentan rilaton, aromembrecon, kiu estas kutime indikita \u2208.\nLa formulo kiun \u2208 b signifas ke la aro estas membro de la aro b (kiu ankau\u0306 estas legita, \" estas elemento de b \" au\u0306 \" estas en b \")."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Ekzistas multaj ekvivalentaj formulig\u0302oj de la ZFC aksiomoj.\nLa plej multaj el la ZFC-aksiomoj deklaras la ekziston de akurataj aroj difinitan de aliaj aroj.\nenhavante saman a kaj b.\nAliaj aksiomoj priskribas trajtojn de metita membreco.\nCelo de la ZFC-aksiomoj estas tiel c\u0302iu aksiomo devus esti vera se interpretite kiel deklaro pri la kolekto de c\u0302iuj aroj en la Von Neumann-universo (ankau\u0306 konata kiel la akumula hierarkio)."}, {"text_idx": "#000005", "text": "La metamatematiko de ZFC estis grandskale studita.\nGravaj rezultoj en tiu areo establis la sendependecon de la kontinuo-hipotezo de ZFC, kaj de la libera-elekto-aksiomo de la ceteraj ZFC-aksiomoj.\nLa konsistenco de teorio kiel ekzemple ZFC ne povas esti pruvita ene de la teorio mem."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Ekzistas multaj ekvivalentaj formulig\u0302oj de la ZFC-aksiomoj;\npor diskuto de tio vidi Fraenkel, Bar-Hillel & Le\u0301vy 1973.\nLa sekva akurata aksiomaro estas de Kunen (1980).\nLa aksiomoj en si mem estas esprimitaj en la simboleco de unua ordlogiko.\nLa rilata angla prozo estas nur intencita por helpi la intuicion."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Du aroj estas egalaj (estas la sama aro) se ili havas la samajn elementojn."}, {"text_idx": "#000012", "text": "\\displaistile \\foral ks\\foral y [\\foral z (z\\in ks\\Leftrightarow z\\in y) \\Rightarow x y]."}, {"text_idx": "#000013", "text": "La konversacio de tiu aksiomo sekvas el la anstatau\u0306igposedaj\u0302o de egaleco.\nSe la fonlogiko ne inkludas egalecon \"=\", x = y povas esti difinita kiel mallongigo por la sekva formulo: [4]"}, {"text_idx": "#000015", "text": "En tiu kazo, la aksiomo de ekstensioneco povas esti reformulita kiel"}, {"text_idx": "#000016", "text": "kiu diras ke se x kaj y havas la samajn elementojn, tiam ili apartenas al la samaj aroj."}, {"text_idx": "#000017", "text": "2-a Aksiomo de reguleco (ankau\u0306 nomita la Aksiomo de fundamento)"}, {"text_idx": "#000018", "text": "C\u0302iu ne-malplena aro x enhavas membron y tia ke x kaj y estas dismeti arojn."}, {"text_idx": "#000019", "text": "\\displaistile \\foral x [\\eksists (a\\in x) \\Rightarow \\eksists y (i\\in ks\\land \\lnot \\eksists z (z\\in i\\land z\\in x)]."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Tio implicas, ekzemple, ke neniu aro estas elemento de si mem kaj tiel c\u0302iu aro havas ordan rangon."}, {"text_idx": "#000021", "text": "3-a-aksioma skemo de specifo (ankau\u0306 nomita la aksiomskemo de apartigo au\u0306 de limigita kompreno)"}, {"text_idx": "#000023", "text": "\\eksist i\\foral x [ks\\in i\\Leftrightarow (ks\\in z\\land \\fi)]."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Notu ke la aksiomskemo de specifo povas nur konstrui subarojn, kaj ne permesas la konstruadon de aroj de la pli g\u0302enerala formo:"}, {"text_idx": "#000025", "text": "Tiu restrikto estas necesa eviti la paradokson kaj g\u0302iajn variaj\u0302ojn de Russell kiuj akompanas naivan aroteorion kun senrestrikta kompreno."}, {"text_idx": "#000026", "text": "En iu alia aksiomatizations de ZF, tiu aksiomo estas redunda en tio kiun g\u0302i sekvas el la aksiomskemo de anstatau\u0306aj\u0302o kaj la aksiomo de la malplena aro."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Ekzemple, se w estas ajna ekzistanta aro, la malplena aro povas esti konstruita kiel"}, {"text_idx": "#000028", "text": "Tiel la aksiomo de la malplena aro estas implicita per la nau\u0306 aksiomoj prezentitaj c\u0302i tie.\nLa aksiomo de ekstensioneco implicas ke la malplena aro estas unika (ne faras dependi de w)."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Se x kaj y estas aroj, tiam tie ekzistas aro kiu enhavas x kaj y kiel elementoj."}, {"text_idx": "#000030", "text": "\\displaistile \\foral ks\\foral i\\eksistoj z (ks\\in z\\land i\\in z)."}, {"text_idx": "#000031", "text": "La aksiomskemo de specifo devas esti utiligita por redukti tion al aro kun ekzakte tiuj du elementoj.\nLa aksiomo de parigo estas parto de Z, sed estas redunda en ZF c\u0302ar g\u0302i sekvas el la aksiomskemo de anstatau\u0306aj\u0302o, se ni ricevas aron kun almenau\u0306 du elementoj.\nLa ekzisto de aro kun almenau\u0306 du elementoj estas certigita per au\u0306 la aksiomo de senfineco, au\u0306 de la aksiomskemo de specifo kaj la aksiomo de la aro de c\u0302iuj subaroj aplikita dufoje al iu aro."}, {"text_idx": "#000032", "text": "La unio super la elementoj de aro ekzistas."}, {"text_idx": "#000033", "text": "La aksiomskemo de anstatau\u0306aj\u0302o asertas ke la bildo de aro sub iu difinebla funkcio ankau\u0306 falos ene de aro."}, {"text_idx": "#000034", "text": "\\foral x (ks\\in A\\Rightarrow \\eksists!"}, {"text_idx": "#000036", "text": "Pli ordinarlingve, tie ekzistas aro X havanta senlime multajn membrojn.\n(Devas esti establite, aliflanke, ke tiuj membroj estas tute malsamaj, c\u0302ar se du elementoj estas la samaj, la sekvenco lopos c\u0302irkau\u0306e en finhava ciklo de aroj.\nLa aksiomo de reguleco malhelpas tion de okazego."}, {"text_idx": "#000038", "text": "De difino aro z estas subaro de aro x se kaj nur se c\u0302iu elemento de z ankau\u0306 estas elemento de x:"}, {"text_idx": "#000039", "text": "\\displaistile (z\\subseteq x) \\Leftrightarow (\\foral q (q\\in z\\Rightarow q\\in x)."}, {"text_idx": "#000040", "text": "La Aksiomo de Aro De C\u0302iuj Subaroj deklaras tio por iu aro x, ekzistas aro y kiu enhavas c\u0302iun subaron de x:"}, {"text_idx": "#000041", "text": "\\displaistile \\foral ks\\eksisti\\foral z [z\\subseteq ks\\Rightarow z\\in y]."}, {"text_idx": "#000042", "text": "La aksiomskemo de specifo tiam estas utiligita por difini la aron de c\u0302iuj subarojn P (x) kiel la subaron de tia y enhavanta la subarojn de x precize:"}, {"text_idx": "#000043", "text": "Alternativaj formoj de tiuj aksiomoj ofte estas renkontitaj, kelkaj el kiuj estas listigitaj en Jech (2003).\nKelkaj ZF-aksiomigoj inkluzivas aksiomon asertante ke la malplena aro ekzistas.\nLa aksiomoj de parigo, unio, anstatau\u0306aj\u0302o, kaj aro de c\u0302iuj subaroj ofte estas deklaritaj ke tiel ke la membroj de la aro x kies ekzisto estas asertita estas j\u0302us tiuj aroj kiujn la aksiomo asertas x devas enhavi."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Por iu aro X, ekzistas duargumenta rilato R kiuj bon-ordoj X.\nTio signifas ke R estas linia ordo sur X tia ke c\u0302iu nonemptyosubaro de X havas membron kiu estas minimuma malpli ol R."}, {"text_idx": "#000047", "text": "Antau\u0306fiksitaj aksiomoj 1-8, ekzistas multaj deklaroj indikeble ekvivalentaj al aksiomo 9, la plej konata de kiu estas la libera-elekto-aksiomo (AC), kiu iras jene.\nLasu X esti aro kies membroj estas tute ne-malplenaj.\nTiam tie ekzistas funkcio f de X g\u0302is la unio de la membroj de X, vokis \" elektofunkcion \", tia ke por c\u0302iu Y \u2208 X unu havas f ( Y\nEkde la ekzisto de elektofunkcio kiam X estas finhava aro estas facile pruvita de aksiomoj 1-8, AC nur gravas por certaj senfinaj aroj.\nAC estas karakterizita kiel nonkonstruktive c\u0302ar g\u0302i asertas la ekziston de elekto metita sed diras nenion koncerne kiel la elekton metita estas \"konstruota.\"\nMulte da esplorado serc\u0302is karakterizi la difineblon (au\u0306 manki de tio) de certaj aroj kies ekziston AC asertas."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Unu instigo por la ZFC-aksiomoj estas la akumula hierarkio de aroj prezentitaj fare de John von Neumann.\nEn tiu vidpunkto, la universo de aroteorio estas konstruita en stadioj, kun unu scenejo por c\u0302iu numero.\nEn stadio 0 ekzistas neniuj aroj ankorau\u0306.\nC\u0302e c\u0302iu sekva stadio, aro estas aldonita al la universo c\u0302u c\u0302iuj siaj elementoj estis aldonita en antau\u0306aj stadioj.\nTiel la malplena aro estas aldonita en stadio 1, kaj la aro enhavanta la malplenan aron estas aldonita en stadio 2.\nLa kolekto de c\u0302iuj aroj kiuj akirig\u0302as lau\u0306 tiu maniero, dum c\u0302iuj stadioj, estas konata kiel V. The-aroj en V povas esti arang\u0302itaj en hierarkion per asignado al c\u0302iu aro la unua fazo c\u0302e kiu tiu aro estis aldonita al V."}, {"text_idx": "#000050", "text": "Estas indikeble ke aro estas en V se kaj nur se la aro estas pura kaj motivita;\nkaj indikebla ke V kontentigas c\u0302iujn aksiomojn de ZFC, se la klaso de ordaj numeraloj havas konvenajn reflektadotrajtojn.\nEkzemple, supozas ke aro x estas aldonita en stadio \u03b1, kio signifas ke c\u0302iu elemento de x estis aldonita en stadio pli frue ol \u03b1.\nTiam c\u0302iu subaro de x ankau\u0306 estas aldonita en stadio \u03b1, c\u0302ar c\u0302iuj elementoj de iu subaro de x ankau\u0306 estis aldonitaj antau\u0306 scenejo \u03b1.\nTio signifas tiel ajnan subaron de x kiun la aksiomo de apartigo povas konstrui estas aldonita en stadio \u03b1, kaj ke la aro de c\u0302iuj subaroj de x estos aldonita en la venonta stadio poste al \u03b1.\nPor kompleta argumento ke V kontentigas ZFC vidu Shoenfield (1977)."}, {"text_idx": "#000051", "text": "La bildo de la universo de aroj tavoligitaj en la akumulan hierarkion estas karakterizaj\u0302o de ZFC kaj rilataj aksiomaj aroteorioj kiel ekzemple Von Neumann-Bernays-Go\u0308del aroteorio (ofte nomita NBG) kaj Mors-Kelley-aroteorio.\nLa akumula hierarkio ne estas kongrua kun aliaj aroteorioj kiel ekzemple New Foundations."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Estas eble s\u0302ang\u0302i la difinon de V tiel ke c\u0302e c\u0302iu stadio, anstatau\u0306e de aldoni c\u0302iuj subaroj de la unio de la antau\u0306aj stadioj, subaroj estas nur aldonitaj c\u0302u ili estas difineblaj en certa signifo.\nTio rezultigas pli \"mallarg\u0302an\" hierarkion kiu donas al la konstruebla universo L, kiu ankau\u0306 kontentigas c\u0302iujn aksiomojn de ZFC, inkluzive de la libera-elekto-aksiomo.\nG\u0302i estas sendependa de la ZFC-aksiomoj c\u0302u V = L.\nKvankam la strukturo de L estas pli regula kaj bonkonduta ol tiu de V, malmultaj matematikistoj argumentas ke V = L devus esti aldonita al ZFC kiel kroma aksiomo."}, {"text_idx": "#000053", "text": "La aksiomskemoj de anstatau\u0306aj\u0302o kaj apartigo c\u0302iu enhavas senlime multajn kazojn.\nMontague (1961) inkludis rezulton unue pruvis en sia 1957 PH.\ntezo: se ZFC estas kohera, g\u0302i estas malebla al aksiomatize ZFC utiliganta nur finhave multajn aksiomojn.\nAliflanke, Von Neumann-Bernays-Go\u0308del aroteorio (NBG) povas esti finhave aksiomigita.\nLa ontologio de NBG inkludas bonordajn klasojn same kiel arojn;\naro estas ajna klaso kiu povas esti membro de alia klaso.\nNBG kaj ZFC estas ekvivalentaj aroteorioj en la senco ke c\u0302iu teoremo ne mencianta klasojn kaj indikebla en unu teorio povas esti pruvita en la aliaj."}, {"text_idx": "#000056", "text": "Se kohere, ZFC ne povas pruvi la ekzisto de la nealireblaj kardinaloj tiu teorio de kategorioj postulas.\nEnormaj aroj de tiu speco estas eblaj se ZF estas pliigita kun la aksiomo de Tarski.\nSupozante ke aksiomo farig\u0302as la aksiomojn de senfineco, aron de c\u0302iuj subarojn, kaj elekto ( 7 \u2212 9 supraj) en teoremojn."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Devigado pruvas ke la sekvaj deklaroj estas sendependaj de ZFC:"}, {"text_idx": "#000060", "text": "La konsistenco de V L estas indikebla de internaj modeloj sed ne devigado: c\u0302iu modelo de ZF povas esti polurita por ig\u0302i modelo de ZFC-+ V L.\nLa Diamanto-Principo implicas la Kontinuo-hipotezon kaj la negacion de la Suslin Hypothesis.\nLa aksiomo de Martin kaj plie la negacio de la Kontinuo-hipotezo implicas la Suslin Hypothesis.\nLa konstruebla universo kontentigas la G\u0302eneraligi Kontinuuman Hipotezon, la Diamanto-Principon, la Aksiomon de Martin kaj la Kurepa Hypothesis.\nLa fiasko de la Kurepa hipotezo estas ekvikonsistent kun la ekzisto de forte nealirebla kardinalo."}, {"text_idx": "#000061", "text": "Vario sur la metodo de devigado ankau\u0306 povas esti utiligita por montri la konsistencon kaj unprovabilecon de la libera-elekto-aksiomo, t.e., ke la libera-elekto-aksiomo estas sendependa de ZF.\nLa konsistenco de elekto povas esti (relative) facile konfirmita per pruvado ke la interna modelo L kontentigas elekton.\n(Tiel c\u0302iu modelo de ZF enhavas submodelon de ZFC, tiel ke Con (ZF) implicas Con (ZFC).\nEkde devigado de konservaj\u0302elekto, ni ne povas rekte produkti modelon kontrau\u0306dirantan elekton de modelo kontentiganta elekton.\nTamen, ni povas uzi devigi krei modelon kiu enhavas tau\u0306gan submodelon, nome unu kontentigan ZF sed ne C."}, {"text_idx": "#000063", "text": "La projekto por unuigi metitajn teoriulojn malantau\u0306 kromaj aksiomoj solvi la Kontinuo-hipotezon au\u0306 aliaj meta-matematikaj ambiguecoj foje estas konataj kiel \"Go\u0308del's programo\".\nMatematikistoj nuntempe diskutas kiujn aksiomojn estas la plej kredindaj au\u0306 \"memevidentaj\", kiuj aksiomoj estas la plej utilaj en diversaj domajnoj, kaj ronde al kiu gradutileco devus esti komercitaj for kun probableco;\niu \" Multuniverso \" metis teoriulojn argumentas ke utileco devus esti la sola finfina kriterio en kiu aksiomoj por kutime adopti.\nUnu direkto premas vastigado de la \"ripeta\" koncepto de aro por produkti aro-teorian universon kun interesa kaj kompleksa sed sufic\u0302e akordig\u0302ema strukturo adoptante devigantajn aksiomojn;\nalia lernejo rekomendas por pli bonorda, malpli malordigita universo, eble temigis \"kerno-\" internan modelon."}, {"text_idx": "#000064", "text": "Por kritiko de aroteorio g\u0302enerale, vidas Obj\u0302etojn al aroteorio"}, {"text_idx": "#000065", "text": "ZFC estis kritikita kaj por esti troe forta kaj por esti troe malforta, same kiel por g\u0302ia malsukceso kapti objektojn kiel ekzemple bonordaj klasoj kaj la universala aro."}, {"text_idx": "#000066", "text": "Multaj matematikteoremoj povas esti pruvitaj en multe pli malfortaj sistemoj ol ZFC, kiel ekzemple Peano-aritmetiko kaj duaorda aritmetiko (kiel esplorite per la programo de inversa matematiko).\nSaunders Mac Lane kaj Solomon Feferman havas ambau\u0306 igite tiu punkto.\nKelkaj el \"c\u0302efa matematiko\" (matematiko ne rekte ligita kun aksioma aroteorio) estas preter Peano-aritmetiko kaj duaorda aritmetiko, sed dau\u0306re, tute tia matematiko povas esti arang\u0302ita en ZC ( Zermelo aroteorio kun elekto), alia teorio pli malforta ol ZFC.\nMulto de la potenco de ZFC, inkluzive de la aksiomo de reguleco kaj la aksiomskemo de anstatau\u0306aj\u0302o, estas inkludita c\u0302efe por faciligi la studon de la aroteorio mem."}, {"text_idx": "#000067", "text": "Aliflanke, inter aksiomaj aroteorioj, ZFC estas relative malforta.\nMale al New Foundations, ZFC ne koncedas la ekziston de universala aro.\nTial la universo de aroj sub ZFC ne estas fermita sub la elementaj operacioj de la algebro de aroj.\nMale al von Neumann-Bernays-Go\u0308del aroteorio (NBG) kaj Mors-Kelley-aroteorio (MK), ZFC ne koncedas la ekziston de bonordaj klasoj.\nPli malproksima relativa malforto de ZFC estas ke la libera-elekto-aksiomo inkludita en ZFC estas pli malforta ol la aksiomo de tutmonda elekto inkludita en NBG kaj MK."}, {"text_idx": "#000068", "text": "Ekzistas multaj matematikaj deklaroj nedecideblaj en ZFC.\nTiuj inkludas la kontinuo-hipotezon, la Whitehead-problemon, kaj la normalan Moore-spacsupozon.\nKelkaj el tiuj supozoj estas indikeblaj kun la aldono da aksiomoj kiel ekzemple la aksiomo de Martin, grandaj kapaksiomoj al ZFC.\nKelkaj aliaj estas deciditaj en ZF+AD kie AD estas la aksiomo de Determineco, forta supozo malkongrua kun elekto.\nUnu altiro de grandaj kapaksiomoj estas ke ili ebligas multajn rezultojn de ZF+AD esti establitaj en ZFC g\u0302islimita per iu granda kapaksiomo (vidu projekcian Determinecon).\nLa Mizar sistemo kaj Metamath adoptis Tarski-Grothendieck aroteorion, etendaj\u0302on de ZFC, tiel ke pruvoj implikantaj Grothendieck-universojn (renkontitajn en teorio de kategorioj kaj algebra geometrio) povas esti formaligitaj."}, {"text_idx": "#000074", "text": "Derivaj\u0302o en Metamatematiko da versio de la apartigskemo de versio de la anstatau\u0306iga skemo."}]