[{"text_idx": "#000000", "text": "Wikipedia's Geodesic as translated by GramTrans"}, {"text_idx": "#000002", "text": "En la c\u0302eesto de afina ligo, geodezia estas difinita por esti kurbo kies klavvektoroj restas paralelaj se ili estas transportitaj lau\u0306 g\u0302i.\nSe tiu ligo estas la Levi-Civita ligo induktita per Riemaniana metriko, tiam la geodesics estas ( loke) la plej mallonga pado inter punktoj en la spaco."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Geodesics gravegas en g\u0302enerala relativeco.\nTempsimila geodesics en g\u0302enerala relativeco priskribas la decidproponon de libera falado"}, {"text_idx": "#000005", "text": "En rimana geometrio geodesics ne estas la sama kiel \"plej mallongaj kurboj\" inter du punktoj, kvankam la du konceptoj estas proksime rilatitaj.\nLa diferenco estas tiu geodesics estas nur loke la plej mallonga distanco inter punktoj, kaj estas parameterigita kun \"konstanta rapideco\".\nIrante la \"longan vojon rondo\" sur c\u0302efcirklo inter du punktoj sur sfero estas geodezia sed ne la plej mallonga pado inter la punktoj.\nLa mapo t \u2192 t 2 de la unuobla intervalo g\u0302is si mem evoluas la plej mallongan padon inter kaj 1, sed ne estas geodezia c\u0302ar la rapideco de la ekvivalenta decidpropono de punkto ne estas konstanta."}, {"text_idx": "#000006", "text": "Geodesics vidig\u0302as ofte en la studo de rimana geometrio kaj pli g\u0302enerale metrika geometrio.\nEn g\u0302enerala relativeco, geodesics priskribas la decidproponon de punktopartikloj sub la influo de gravito sole.\nAparte, la pado prenita per regresa roko, orbita satelito, au\u0306 la formo de orbito estas c\u0302iu geodesics en kurba spactempo.\nPli g\u0302enerale, la temo de sub-Riemannian geometrio interkonsentoj kun la padoj kiujn objektoj povas preni kiam ili ne estas liberaj, kaj ilia movado estas limigita lau\u0306 diversaj manieroj."}, {"text_idx": "#000007", "text": "Tiu artikolo prezentas la matematikan formalismon implikitan en difinado, trovante, kaj pruvante la ekziston de geodesics, koncerne Riemanianajn kaj pseu\u0306do-Riemannian duktojn.\nLa artikolo geodezia (g\u0302enerala relativeco) diskutas la specialan kazon de g\u0302enerala relativeco en pli bonega detalo."}, {"text_idx": "#000008", "text": "La plej konataj ekzemploj estas la aerlinioj en eu\u0306klida geometrio.\nSur sfero, la bildoj de geodesics estas la c\u0302efcirkloj.\nLa plej mallonga pado de punkto A g\u0302is punkto B sur sfero ricevas per la pli mallonga arko de la c\u0302efcirklo pasanta tra A kaj B.\nSe A kaj B estas antipodaj punktoj, tiam ekzistas senlime multaj plej mallongaj padoj inter ili.\nGeodesics sur elipsoido kondutu lau\u0306 pli d komplika maniero ol sur sfero;\naparte, ili ne estas fermitaj g\u0302enerale (vidu figuron)."}, {"text_idx": "#000009", "text": "En metrika geometrio, geodezia estas kurbo kiu estas c\u0302ie loke distanc minimumiganto.\nmi \u2192 M de intervalo mi de la realoj g\u0302is la metrika spaco M estas geodezia se ekzistas konstanta v \u2265 0 tia ke por iu t \u2208 I ekzistas najbareco J da t en mi tia ke por iu t 1, t 2 \u2208 J ni havas"}, {"text_idx": "#000010", "text": "Tio g\u0302eneraligas la nocion de geodezia por Riemanianaj duktoj.\nTamen, en metrika geometrio la geodezia konsiderita ofte estas provizita per natura parametroigo, t.e. en c\u0302i-supra identeco v = 1 kaj"}, {"text_idx": "#000011", "text": "Se la lasta egaleco estas kontentigita por c\u0302io t 1, t 2 \u2208 mi , la geodezia estas nomita minimumiga geodezia au\u0306 plej mallonga pado."}, {"text_idx": "#000012", "text": "G\u0302enerale, metrika spaco povas havi neniun geodesics, krom konstantaj kurboj.\nC\u0302e la alia ekstremaj\u0302o, ajnaj du poentoj en longo metrika spaco estas enirita per minimumiga sekvenco de rektigeblaj padoj, kvankam tiu minimumiganta sekvencon ne devas konverg\u0302i al geodezia."}, {"text_idx": "#000013", "text": "En Riemaniana dukto M kun metrika tensoro g, la longo de ade diferenciebla kurbo \u03b3: [, b"}, {"text_idx": "#000014", "text": "La distanco d ( p, q) inter du punktoj p kaj q de M estas difinita kiel la Preciza malsupra rando de la longo transprenita c\u0302io kontinua, pecmaniero ade diferencieblaj kurboj \u03b3: [, b\nKun tiu difino de distanco, geodesics en Riemaniana dukto tiam estas la loke distanc-minimumigantaj padoj."}, {"text_idx": "#000015", "text": "La minimumigaj kurboj de L en sufic\u0302e malgranda malfermita aro de M povas esti akiritaj per teknikoj de kalkulado de varioj.\nTipe, oni enkondukas la post ago au\u0306 energio funkcia"}, {"text_idx": "#000016", "text": "La utileco de tiu aliro estas ke la problemo de serc\u0302ado de minimumigantoj de E estas pli fortika variational problemo."}, {"text_idx": "#000017", "text": "La Euler-Lagrange-ekvacioj de movig\u0302o por la funkcia E tiam estas donitaj en lokaj koordinatoj per"}, {"text_idx": "#000018", "text": "Tio estas la geodezia ekvacio, diskutita malsupre."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Teknikoj de la klasika kalkulado de varioj povas esti uzitaj por ekzameni la energian funkcian E.\nLa unua vario de energio estas difinita en lokaj koordinatoj per"}, {"text_idx": "#000021", "text": "La kritikaj punktoj de la unua vario estas g\u0302uste la geodesics.\nLa dua vario estas difinita per"}, {"text_idx": "#000022", "text": "En konvena signifo, nuloj de la dua vario lau\u0306 geodezia \u03b3 ekestas lau\u0306 Jacobi-kampoj.\nJacobi-kampoj estas tiel rigarditaj kiel varioj tra geodesics."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Uzante variational teknikojn de klasika mekaniko, oni ankau\u0306 povas rigardi geodesics kiel Hamiltonian fluas.\nIli estas solvoj de la rilataj Hamilton-ekvacioj, kun (pseudo -) Riemaniana metriko prenita kiel Hamiltonian."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Geodezia sur glata multnombra M kun afina lig \u2207 estas difinita kiel kurbo \u03b3 ( t) tia ke paralela transporto lau\u0306 la kurbo konservas la klavvektoron al la kurbo, tiel"}, {"text_idx": "#000025", "text": "Tamen, la rezulta valoro de ( 1 ) estas sendependa de la elekto de etendaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Uzante lokajn koordinatojn sur M, ni povas skribi la geodezian ekvacion (uzante la sumigokongreson) kiel"}, {"text_idx": "#000027", "text": "Tio estas nur ordinara diferenciala ekvacio por la koordinatoj.\nG\u0302i havas unikan solvon, konsiderante komencan pozicion kaj komencrapidon.\nTial, de la perspektivo de klasika mekaniko, geodesics povas esti opiniita da kiel trajektorioj de liberaj partikloj en dukto.\nTiel, la decidpropono estas tute determinita per la fleksado de la surfaco.\nTio ankau\u0306 estas la ideo de g\u0302enerala relativeco kie partikloj movig\u0302as sur geodesics kaj la fleksado estas kau\u0306zita de la gravito."}, {"text_idx": "#000028", "text": "La loka ekzisto kaj unikecteoremo por geodesicsos\u0302tatoj tiu geodesics sur difencigebla plurejo kun afina ligo ekzistas, kaj estas unikaj."}, {"text_idx": "#000029", "text": "kie I estas maksimuma malferma intervalo en R enhavanta 0."}, {"text_idx": "#000030", "text": "G\u0302enerale, mi eble ne estas c\u0302io de R kiel por ekzemplo por malferma disko en R 2.\nLa pruvo de tiu teoremo sekvas el la teorio de ordinaraj diferenciala ekvacioj, per rimarkado ke la geodezia ekvacio estas duaorda ODO.\nEkzisto kaj unikeco tiam sekvas el la Picard-Lindelo\u0308f-teoremo por la solvoj de ODEoj kun devigaj komencaj kondic\u0302oj.\n\u03b3 dependas glate de kaj p kaj V."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Geodezia fluo estas lokulo R - ago sur la klavfaska TM de dukto M difinita lau\u0306 la sekva maniero"}, {"text_idx": "#000035", "text": "La geodezia fluo difinas familion de kurboj en la klavfasko.\nLa derivaj\u0302oj de tiuj kurboj difinas vektoran kampon sur la totala spaco de la klavfasko, konata kiel la geodezia s\u0302prucaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Pli g\u0302uste, afina ligo kau\u0306zas disfendadon de la duobla klavfasko TTM en horizontalaj kaj vertikalaj faskojn:"}, {"text_idx": "#000037", "text": "La geodezia s\u0302prucaj\u0302o estas la unika horizontala vektora kampo W kontentigado"}, {"text_idx": "#000038", "text": "c\u0302e c\u0302iu punkto v \u2208 TM;\nTTM \u2192 TM indikas la prokrasti (diagnozalternativo) lau\u0306 la projekcio \u03c0:\nTM- \u2192 M asociita al la klavfasko."}, {"text_idx": "#000039", "text": "Pli g\u0302enerale, la sama konstruo permesas al tia konstrui vektoran kampon por iu Ehresmann-ligo sur la klavfasko.\ng\u0302i estas sufic\u0302e ke la ligo estu ekvivariaj\u0302o sub pozitivaj remalpliigoj: g\u0302i ne devas esti linia.\nTio estas, (kp. Ehresmann-lignombro vektorfaskoj kaj kovariaj\u0302derivaj\u0302oj) g\u0302i estas sufic\u0302e ke la horizontala distribuo kontentigas"}, {"text_idx": "#000041", "text": "kie a kaj b estas konstantaj realaj nombroj.\nTiel krom precizigado de certa klaso de integrig\u0302intaj kurboj, la geodezia ekvacio ankau\u0306 determinas preferatan klason de parametrigoj sur c\u0302iu el la kurboj.\nSekve, solvoj de ( 1 ) estas nomitaj geodesics kun afina parametro."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Afina ligo estas determinita fare de it familio de afine parameterigita geodesics, g\u0302is tordo ( Spivak 1999, Chapter 6, Addendum I).\nLa tordo mem ne, fakte, influas la familion de geodesics, c\u0302ar la geodezia ekvacio dependas nur de la simetria parto de la ligo."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Geodesics sen speciala parametroigo estas priskribita per projekcia ligo."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Efikaj solvantoj por la minimuma geodezia problemo sur surfacoj pozis kiam Eikonal-ekvacioj povas esti trovitaj enen [3] [4]"}, {"text_idx": "#000045", "text": "Geodesicsoserviro kiel la bazo por kalkuli:"}, {"text_idx": "#000046", "text": "vidu geodezian aviadilskeleton au\u0306 geodezian aviadilskeleton\ngeodeziaj strukturoj - ekzemple geodeziaj kupoloj\nhorizontalaj distancoj sur au\u0306 proksime de la Tero;\nmapante bildojn sur surfacoj, por igado;\nrobota movig\u0302oplanado (ekz., kiam pentraj\u0302aj au\u0306tpartoj);"}, {"text_idx": "#000047", "text": "Baza enkonduko al la matematiko de kurba spactempo"}, {"text_idx": "#000052", "text": "kunvarianco kaj kontrau\u0306varianco de vektoroj"}]