[{"text_idx": "#000002", "text": "Partikla fiziko kaj prezenta teorio"}, {"text_idx": "#000003", "text": "Listo de teorio de grupo-temoj"}, {"text_idx": "#000004", "text": "G\u0302enerala linia Gl ( n)"}, {"text_idx": "#000005", "text": "Speciala linia Sl ( n)"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Speciala ortogonala TIEL ( n)"}, {"text_idx": "#000008", "text": "En matematiko, Lie grupo- / \u02c8 l i\u02d0 / estas grupo kiu ankau\u0306 estas diferencialdukto, kun la posedaj\u0302o kiu la grupoperacioj estas kongruaj kun la glata strukturo.\nMensoggrupoj estas nomitaj lau\u0306 norvega matematikisto Sophus Lie, kiu amorigis la fundamentojn de la teorio de kontinuaj transformgrupoj."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Mensoggrupoj reprezentas la plejbone-evoluintan teorion de kontinua simetrio de matematikaj objektoj kaj strukturoj, kiu igas ilin nemalhaveblaj iloj por multaj partoj de nuntempa matematiko, same kiel por moderna teoria fiziko.\nIli disponigas naturan kadron por analizado de la kontinuaj simetrioj de diferencialaj ekvacioj ( diferencialo-galezteorio), lau\u0306 multe lasama maniero kiel permutadogrupoj estas utiligitaj en galeza teorio por analizado de la diskretaj simetrioj de algebraj ekvacioj.\nEtendaj\u0302o de galeza teorio al la kazo de kontinuaj geometriaj simetria grupoj estis unu el la c\u0302efinstigoj de Lie."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Ekzemploj kun specifa nombro da grandeco"}, {"text_idx": "#000013", "text": "Mensogo grupoj estas glataj diferencialduktoj kaj kiel tia povas esti studitaj uzante diferencialan kalkulon, en kontrasto kun la kazo de pli g\u0302eneralaj topologiaj grupoj.\nUnu el la esencaj ideoj en la teorio de Lie-grupoj devas anstatau\u0306igi la tutmondan objekton, la grupon, kun g\u0302ia loka au\u0306 linearigita versio, kiu Mensogo mem vokis it \"infinitezimalan grupon\" kaj kiu poste farig\u0302is konata kiel it Lie-algebro."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Mensoggrupoj ludas grandegan rolon en moderna geometrio, sur pluraj malsamaj niveloj.\nFelix Klein argumentis en sia Erlangen-programo ke oni povas pripensi diversajn \"geometriojn\" precizigante konvenan transformgrupon kiu heredigas certajn geometriajn trajtojn senvariaj.\nTiel eu\u0306klida geometrio egalrilatas al la elekto de la grupo E (3) de distanc-marinadaj transformoj de la eu\u0306klida spaco R 3, konforma geometrio egalrilatas al pligrandigado de la grupo al la konforma grupo, dum en projekcia geometrio oni estas interesita pri la Trajtoinvarianto sub la projekcia grupo.\nTiu ideo poste kondukis al la nocio de G-strukturo, kie G estas Lie-grupo de \"lokaj\" simetrioj de dukto."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Mensoggrupoj (kaj siaj rilataj Lie-algebroj) ludas gravan rolon en moderna fiziko, kun la Lie-grupo tipe ludas la rolon de simetrio de fizika sistemo.\nC\u0302i tie, la reprezentadoj de la Lie-grupo (au\u0306 de g\u0302ia Lie-algebro) estas aparte gravaj.\nPrezenta teorio estas utiligita grandskale en partikla fiziko.\nGrupigas kies reprezentantarojn gravegas inkludas Su (3) kaj la Poincare\u0301-grupon."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Sur \"tutmonda\" nivelo, kiam ajn Lie-grupo reagas al geometria objekto, kiel ekzemple Riemannian au\u0306 simplekta dukto, tiu ago disponigas iom da rigideco kaj donas ric\u0302an algebran strukturon.\nLa c\u0302eesto de kontinuaj simetrioj esprimis per Lie kiun grupa ago sur dukto lokas al fortaj limoj pri sia geometrio kaj faciligas analizon sur la dukto.\nLiniaj agoj de Lie-grupoj estas aparte gravaj, kaj estas volitaj en prezenta teorio."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Reala Mensoggrupo estas grupo kiu ankau\u0306 estas finhav-dimensia reala difencigebla plurejo, en kiu la grupoperacioj de multipliko kaj inversio estas glataj mapoj."}, {"text_idx": "#000019", "text": "rimedoj kiujn tiu \u03bc estas glata mapado de la produktodukto G \u00d7 G en G.\nTiuj du postuloj povas esti kombinitaj al la ununura postulo kiu la mapado"}, {"text_idx": "#000021", "text": "La 2\u00d72 realaj inverteblaj matricoj formas grupon sub multipliko, indikita je Gl (2, R) au\u0306 de Gl 2 ( R):"}, {"text_idx": "#000022", "text": "Tio estas kvar-dimensia nekompaktuja reala Mensoggrupo.\ng\u0302i havas du Koneksaj komponantoj egalrilatantaj al la pozitivaj kaj negativaj valoroj de la determinanto."}, {"text_idx": "#000023", "text": "La rotacio matricoj formas subgrupon de Gl (2, R), indikita per TIEL (2, R).\nG\u0302i estas Lie-grupo en sia propra rajto: specife, unu-dimensia kompakta ligita Mensoggrupo kiu estas difeomorfa al la cirklo."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Aldono de la anguloj egalrilatas al multipliko de la elementoj de TIEL (2, R), kaj preni la kontrau\u0306an angulon egalrilatas al inversio.\nTiel kaj multipliko kaj inversio estas diferencieblaj mapoj."}, {"text_idx": "#000025", "text": "La afina grupo en unu dimensio estas alia subgrupo, konsistante el supraj triangulaj matricoj kun unuo pli malalta diagonala eniro."}, {"text_idx": "#000026", "text": "C) indiku la grupon de n \u00d7 n inverteblaj matricoj kun kontribuoj en C.\nC\u0302iu fermita subgrupo de Gl ( n, C) estas Lie-grupo;\nMensoggrupoj de tiu speco estas nomitaj matrica Lie-groups. C\u0302ar la plej multaj el la interesaj ekzemploj de Lie-grupoj povas esti realigitaj kiel matricaj Lie-grupoj, kelkaj lernolibroj limigas atenton al tiu klaso, inkluzive de tiuj de Hall [2] kaj Rossmann.\nLimiga atento al matricaj Lie-grupoj simpligas la difinon de la Lie-algebro kaj la eksponentan mapon.\nLa sekvantaroj estas normekzemploj de matricaj Lie-grupoj."}, {"text_idx": "#000027", "text": "La specialaj liniaj grupoj pli ol R kaj C, Sl ( n, R) kaj Sl ( n, C), konsistante el n \u00d7 n matricoj kun determinanto oni kaj kontribuoj en R au\u0306 C"}, {"text_idx": "#000029", "text": "Kompleksa Mensoggrupo estas difinita en lau\u0306 la saman manieron uzante kompleksajn duktojn prefere ol realaj (ekzemplo: Sl (2, C), kaj simile, uzante alternan metrikan kompletigon de Q, oni povas difini p-adic Lie-grupon super la p-adic nombroj, topologia grupo en kiu c\u0302iu punkto havas p-adic najbarecon.\nHilberta kvina problemo demandis c\u0302u anstatau\u0306igi diferencialduktojn kun topologia ke au\u0306 analizaj povas cedi novajn ekzemplojn.\nLa respondo al tiu demando montrig\u0302is por negativa: en 1952, Gleason, Montgomery kaj Zippin montris ke se G estas topologia dukto kun kontinuaj grupoperacioj, tiam tie ekzistas precize unu analiza strukturo sur G kiu ig\u0302as g\u0302in Lie-grupo (vidu ankau\u0306 Hilbert-Smith-supozon).\nSe la subesta dukto estas permesita esti senfin-dimensia (ekzemple, hilberta dukto), tiam unu alvenas c\u0302e la nocio de senfin-dimensia Mensoggrupo.\nEstas eble difini analogojn de multaj Lie grupoj super finhavaj kampoj, kaj tiuj donas la plej multajn el la ekzemploj de finhavaj simplanimaj grupoj."}, {"text_idx": "#000030", "text": "La lingvo de teorio de kategorioj disponigas koncizan difinon por Lie-grupoj: Lie-grupo estas grupobjekto en la kategorio da difencigeblaj plurejoj.\nTio estas grava, c\u0302ar g\u0302i permesas g\u0302eneraligon de la nocio de Lie-grupo al Lie-Supergrupoj."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Mensoggrupoj okazas en abundo c\u0302ie en matematiko kaj fiziko.\nMatricgrupoj au\u0306 algebraj grupoj estas (proksimume) grupoj de matricoj (ekzemple, ortogonalaj kaj simplektic-grupoj), kaj tiuj donas la plej multajn el la pli oftaj ekzemploj de Lie-grupoj."}, {"text_idx": "#000036", "text": "La produkto de du Mensoggrupoj estas Lie-grupo.\nC\u0302iu topologie fermita subgrupo de Lie-grupo estas Lie-grupo.\nTio estas konata kiel la Fermita subgrupteoremo au\u0306 la teoremo de Cartan.\nLa kvociento de Lie-grupo de fermita normala subgrupo estas Lie-grupo.\nLa universala kovro de ligita Mensoggrupo estas Lie-grupo.\nEkzemple, la grupo R estas la universala kovro de la cirklogrupo S 1.\nFakte c\u0302iu kovro de diferencialdukto ankau\u0306 estas diferencialdukto, sed precizigante universalan kovron, oni garantias grupstrukturon (kongruan kun g\u0302iaj aliaj strukturoj)."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Kelkaj ekzemploj de grupoj kiuj ne estas Lie-grupoj (krom en la sensignifa signifo ke c\u0302iu grupo povas esti rigardita kiel dimensia Mensoggrupo, kun la diskreta topologio), estas:"}, {"text_idx": "#000038", "text": "Senfin-dimensiaj grupoj, kiel ekzemple la aldona grupo de senfin-dimensia reala vektora spaco.\nTiuj ne estas Lie-grupoj kiam ili ne estas finhav-dimensiaj duktoj.\nKelkaj komplete malligitaj grupoj, kiel ekzemple la Galois-grupo de senfina etendaj\u0302o de kampoj, au\u0306 la aldona grupo de la p-adic nombroj.\nTiuj ne estas Lie-grupoj c\u0302ar iliaj subestaj spacoj ne estas realaj duktoj.\n(Kelkaj el tiuj grupoj estas \" p-adic Lie-grupoj\".\nG\u0302enerale, nur topologiaj grupoj havantaj similajn lokajn trajtojn al R da n por iu pozitiva entjero n povas esti Lie-grupoj (kompreneble ili devas ankau\u0306 havi diferencieblan strukturon)."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Al c\u0302iu Lie-grupo ni povas asocii Lie-algebron kies subesta vektora spaco estas la klavspaco de la Lie-grupo c\u0302e la neu\u0306tra elemento kaj kiu tute konkeras la lokan strukturon de la grupo.\nNeformale ni povas pensi pri elementoj de la Lie-algebro kiel elementoj de la grupo kiuj estas \" infinitezimale proksimaj\" al la identeco, kaj la Lie-krampo de la Lie-algebro estas rilatita al la kolektoro de du tiaj infinitezimalaj elementoj.\nAntau\u0306 donado de la abstrakta difino ni donas kelkajn ekzemplojn:"}, {"text_idx": "#000041", "text": "La Lie-algebro de la vektora spaco R da n estas j\u0302us R da n kun la Lie-krampo evoluita je [ A, B\n(G\u0302enerale la Lie-krampo de ligita Mensoggrupo c\u0302iam estas 0 se kaj nur se la Lie-grupo estas abela.\nLa Lie-algebro de la g\u0302enerala lineara grupo Gl ( n, C) de inverteblaj matricoj estas la vektora spaco M ( n, C) de kvadratmatricoj kun la Lie-krampo evoluita je [ A, B\nSe G estas fermita subgrupo da Gl ( n, C) tiam la Lie-algebro de G povas esti opiniita de neformale kiel la matricoj m da M ( n, R) tia ke 1-+ \u03b5m estas en G, kie \u03b5 estas infinitezimala pozitiva nombro kun \u03b52 = 0 (kompreneble, ne tia reala nombro \u03b5 ekzistas).\nEkzemple, la ortogonala grupo O ( n, R) konsistas el matricoj A kun AA T = 1, tiel ke la Lie-algebro konsistas el la matricoj m kun (1 + \u03b5m) (1 + \u03b5m) T = 1, kiu estas ekvivalenta al m + m da T = 0 c\u0302ar \u03b52 = 0.\nLa antau\u0306a priskribo povas farig\u0302i pli rigora jene.\nLa Lie-algebro de fermita subgrupo G de Gl ( n, C), povas esti komputita kiel"}, {"text_idx": "#000042", "text": "kie eksp ( Tx) estas difinita uzante la matriceksponenton."}, {"text_idx": "#000043", "text": "La konkreta difino donita supre por matricgrupoj estas facila por labori kun, sed havas kelkajn negravajn problemojn: por uzi g\u0302in ni unua bezono reprezentanta Lie-grupon kiel grupo de matricoj, sed ne c\u0302iuj Lie-grupoj povas esti reprezentitaj lau\u0306 tiu maniero, kaj ec\u0302 estas ne evidente ke la Lie-algebro estas sendependa de la reprezentantaro kiun ni uzas.\nPor veni c\u0302irkau\u0306 tiuj problemoj ni donas la g\u0302eneralan difinon de la Lie-algebro de Lie-grupo (en 4 s\u0302tupoj):"}, {"text_idx": "#000044", "text": "Kiun vektoraj kampoj sur iu glata duobligas al M povas esti opiniita de kiam derivaj\u0302oj X de la ringo de glataj funkcioj sur la dukto, kaj tial formas Lie-algebron sub la Lie-krampo [ X, Y\nXY \u2212 YX, c\u0302ar la Lie krampo de iuj du derivaj\u0302oj estas derivaj\u0302o.\nSe G estas ajna grupo reaganta glate al la dukto M, tiam g\u0302i reagas al la vektoraj kampoj, kaj la vektora spaco de vektoraj kampoj fiksitaj fare de la grupo estas fermita sub la Lie-krampo kaj tial ankau\u0306 formas Lie-algebron.\nNi aplikas tiun konstruon al la kazo kiam la dukto M estas la subesta spaco de Lie-grupo G, kun G reaganta al G = M per maldekstraj tradukoj Lg ( h\nTio montras ke la spaco de maldekstraj senvariaj vektoraj kampoj (vektoraj kampoj kontentigantaj Lg \u00f7 Xh = Xgh por c\u0302iu h en G, kie Lg \u00f7 indikas la diferencialo de Lg ) sur Lie-grupo estas Lie-algebro sub la Lie-krampo de vektoraj kampoj.\nC\u0302iu klavvektoro c\u0302e la identeco da Lie-grupo povas esti etendita al maldekstra senvaria vektora kampo per lasite traduka la klavvektoro al aliaj punktoj de la dukto.\nSpecife, la maldekstro senvaria etendaj\u0302o de elemento v da la klavspaco c\u0302e la identeco estas la vektora kampo difinita per v ^ al g = Lg \u00f7 v."}, {"text_idx": "#000045", "text": "La Lie-algebro de G determinas G supren al \"loka izomorfio\", kie du Mensoggrupoj estas nomitaj loke izomorfaj c\u0302u ili aspektas la samaj proksime de la neu\u0306tra elemento.\nProblemoj pri Lie-grupoj ofte estas solvitaj unue solvante la ekvivalentan problemon por la Lie-algebroj, kaj la rezulto por grupoj tiam kutime sekvas facile.\nEkzemple, simplanimaj Mensoggrupoj estas kutime klasifikitaj unue klasifikante la ekvivalentajn Lie-algebrojn."}, {"text_idx": "#000046", "text": "Ni ankau\u0306 povis difini Lie-algebrostrukturon sur Te uzantan dekstrajn senvariajn vektorajn kampojn anstatau\u0306e de maldekstraj senvariaj vektoraj kampoj.\nTio kondukas al la sama Lie-algebro, c\u0302ar la inversa mapo sur G povas esti utiligita por identigi maldekstre senvariajn vektorajn kampojn kun dekstraj senvariaj vektoraj kampoj, kaj funkcias kiel \u22121 sur la klavspaca Te ."}, {"text_idx": "#000047", "text": "La Lie-algebrostrukturo sur Te ankau\u0306 povas esti priskribita jene: la kolektoroperacio"}, {"text_idx": "#000048", "text": "sur G \u00d7 G sendas ( e, e) al e, do g\u0302ia derivaj\u0302o donas bilinearan operacion sur DUJARS\u0302AFO .\nTiu bilineara operacio estas fakte la nul mapo, sed la dua derivaj\u0302o, sub la bonorda identigo de klavspacoj, donas operacion kiu kontentigas la aksiomojn de Lie krampo, kaj g\u0302i estas egala al dufoje tiu difinita tra maldekstra-senvariaj vektoraj kampoj."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Se G kaj H estas Lie-grupoj, tiam Lie-grupa homomorfism f:\nG \u2192 H estas glata grupo homomorfism.\nKoncerne kompleksajn Mensoggrupojn, tia homomorfism estas postulata por esti holomorfa mapo.\nTamen, tiuj postuloj estas iomete rigoraj;\nc\u0302iu kontinua homomorfism inter realaj Mensoggrupoj montrig\u0302as por esti (reala) analiza."}, {"text_idx": "#000050", "text": "La kunmetaj\u0302o de du Mensoghomomorfismoj denove estas homomorfism, kaj la klaso de c\u0302iuj Lie-grupoj, kune kun tiuj morfismoj, formas kategorion.\nKrome, c\u0302iu Lie-grupo homomorfism induktas homomorfism inter la ekvivalentaj Lie-algebroj."}, {"text_idx": "#000051", "text": "En la lingvo de teorio de kategorioj, ni tiam havas kovariaj\u0302funktoron de la kategorio da Lie-grupoj g\u0302is la kategorio da Lie-algebroj kiu sendas Lie-grupon al g\u0302ia Lie-algebro kaj Lie-grupo homomorfism al g\u0302ia derivaj\u0302o c\u0302e la identeco."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Du Mensoggrupoj estas nomitaj izomorfaj c\u0302u tie ekzistas bijektive homomorfism inter ili kies inversa ankau\u0306 estas Lie-grupo homomorfism.\nEkvivalente, g\u0302i estas difeomorfismo kiu ankau\u0306 estas grupo homomorfism."}, {"text_idx": "#000053", "text": "La teoremo de Ado diras c\u0302iun finhav-dimensian realan kiun Lie-algebro estas izomorfa al matrica Lie-algebro.\nDume, por c\u0302iu finhav-dimensia matrico Lie-algebro, ekzistas linia grupo (matrica Lie-grupo) kun tiu algebro kiel it Lie-algebro.\nTiel, c\u0302iu (finhav-dimensia, reala) abstrakta Lie-algebro estas la Lie-algebro de iu (linia) Lie-grupo."}, {"text_idx": "#000054", "text": "La tutmonda strukturo de Lie-grupo ne estas determinita per g\u0302ia Lie-algebro;\nekzemple, se Z estas ajna aparta subgrupo de la centro de G tiam G kaj G / Z havas la saman Lie-algebron (vidu la tablo de Lie-grupoj por ekzemploj).\nLigita Mensoggrupo estas simpla, semikuracherbo, solvebla, nilpotent, au\u0306 abela se kaj nur se g\u0302ia Lie-algebro havas la ekvivalentan posedaj\u0302on."}, {"text_idx": "#000055", "text": "Krome, c\u0302iu homomorfism inter Lie-algebroliftoj al unika homomorfism inter la korespondado simple ligitaj Mensoggrupoj."}, {"text_idx": "#000056", "text": "La eksponenta mapo de la Lie-algebro M ( n, R) da la g\u0302enerala lineara grupo Gl ( n, R) g\u0302is Gl ( n, R) estas difinita per la matrico eksponenta, donita per la kutima potencvico:"}, {"text_idx": "#000057", "text": "Se G estas fermita subgrupo de Gl ( n, R), tiam la eksponenta mapo prenas la Lie-algebron de G en G, tiel ke ni havas eksponentan mapon por c\u0302iuj matricgrupoj.\nC\u0302iu elemento de G kiu estas sufic\u0302e proksima al la identeco estas la eksponento de matrico en la Lie-algebro."}, {"text_idx": "#000058", "text": "La difino supre estas facila por uzi, sed g\u0302i ne estas difinita por Lie-grupoj kiuj ne estas matricgrupoj, kaj estas ne klare ke la eksponenta mapo de Lie-grupo ne dependas de g\u0302ia reprezentantaro kiel matricgrupo.\nNi povas solvi ambau\u0306 problemojn utiligantajn pli abstraktan difinon de la eksponenta mapo kiu laboras por c\u0302iuj Lie-grupoj, jene."}, {"text_idx": "#000060", "text": "por c\u0302iu s kaj t.\nLa operacio sur la dekstra flanko estas la grupmultipliko en G.\nLa formala simileco de tiu formulo kun tiu valida por la eksponenta funkcio pravigas la difinon"}, {"text_idx": "#000061", "text": "Tiu eksponenta mapo estas g\u0302eneraligo da la eksponenta funkcio por realaj nombroj (c\u0302ar R estas la Lie-algebro de la Lie-grupo de pozitivaj realaj nombroj kun multipliko), por kompleksaj nombroj (c\u0302ar C estas la Lie-algebro de la Lie-grupo de ne-nulaj kompleksaj nombroj kun multipliko) kaj por matricoj (c\u0302ar M ( n, R) kun la regula kolektoro estas la Lie-algebro de la Lie-grupo Gl ( n, R) de c\u0302iuj inverteblaj matricoj)."}, {"text_idx": "#000062", "text": "C\u0302ar la eksponenta mapo estas surjektive sur iu kvartalo N de e, oni ofte vokas elementojn de la Lie-algebro infinitezimalaj generatoroj de la grupo G.\nLa subgrupo de G generita je N estas la identeckomponento de G."}, {"text_idx": "#000063", "text": "kie la ellasitaj esprimoj estas konataj kaj implikas Lie-krampojn de kvar au\u0306 pli da elementoj.\nEn kazo u kaj v navedas, tiu formulo reduktas al la konata eksponenta leg\u0302eksp ( u) eksp ( v) = eksp ( u + v)."}, {"text_idx": "#000064", "text": "La eksponenta mapo rilatigas Lie gruphomomorfismojn."}, {"text_idx": "#000065", "text": "En aliaj vortoj, la sekva diagramo navedas, [Noto 1]"}, {"text_idx": "#000066", "text": "(En fus\u0302kontakto, eksp estas natura transformo de la funktoro Lie g\u0302is la identecfunktoro sur la kategorio da Lie-grupoj."}, {"text_idx": "#000067", "text": "La eksponenta mapo de la Lie-algebro g\u0302is la Lie-grupo estas ne c\u0302iam sur, ec\u0302 se la grupo estas ligita (kvankam g\u0302i mapas sur la Lie-grupo por ligitaj grupoj kiuj estas au\u0306 kompaktaj au\u0306 nilpotent).\nEkzemple, la eksponenta mapo de Sl (2, R) ne estas surjektive.\nAnkau\u0306, eksponenta mapo ne estas surjektive nek injektivo por senfin-dimensiaj (vidu sub) Mensoggrupoj formitaj lau\u0306 C \u221e\nFre\u0301chet-spaco, ec\u0302 de arbitra malgranda najbareco de 0 g\u0302is ekvivalenta najbareco de 1."}, {"text_idx": "#000068", "text": "derivaj\u0302o de la eksponenta mapo kaj normalaj koordinatoj."}, {"text_idx": "#000069", "text": "Lie subgrupo H da Lie grupo G estas Lie-grupo kiu estas subaro de G kaj tia ke la inkludmapo de H g\u0302is G estas injektiv mergado kaj grupo homomorfism.\nLau\u0306 la teoremo, de Cartan fermita subgrupo da G koncedas unikan glatan strukturon kiu igas g\u0302in integrig\u0302inta Mensogsubgrupo de G - t.e. Lie-subgrupon tia ke la inkludmapo estas glata enkonstruado."}, {"text_idx": "#000070", "text": "Ekzemploj de ne-fermitaj subgrupoj estas abundaj;\nekzemple preno G esti Toro de dimensio\u2265 2, kaj lasi H esti unu-parametra subgrupo de neracia deklivo, t.e. unu kiu bobenas c\u0302irkau\u0306e en G.\nTiam ekzistas Lie-grupo homomorfism \u03c6:\nR \u2192 G kun H kiel g\u0302ia bildo.\nLa fino de H estos sub-torus en G."}, {"text_idx": "#000071", "text": "La eksponenta mapo donas ekzaktan korespondadon inter la ligitaj Mensogsubgrupoj de ligita Mensoggrupo G kaj la subalgebrojn de la Lie-algebro de G.\nTipe, la subgrupo egalrilatanta al subalgebro ne estas fermita subgrupo.\nEkzistas neniu kriterio sole surbaze de la strukturo de G kiu determinas kiuj subalgebroj egalrilatas al fermitaj subgrupoj."}, {"text_idx": "#000072", "text": "Unu grava aspekto de la studo de Lie-grupoj estas iliaj reprezentantaroj, t.e., la maniero kiel ili povas reagi (linie) al vektoraj spacoj.\nEn fiziko, Lie-grupoj ofte c\u0302ifras la simetriojn de fizika sistemo.\nLa maniero oni faras uzon de tiu simetrio helpi analizi la sistemon estas ofte tra prezenta teorio.\n(Unu grava ekzemplo de tia sistemo estas la hidrogenatomo.\nTiu spaco, tial, konstituas reprezentadon de TIEL (3).\nTiuj reprezentantaroj estis klasifikitaj kaj la klasifiko kondukas al granda simpligo de la problemo, esence transformante tridimensian partan diferencialan ekvacion al unu-dimensia ordinara diferenciala ekvacio."}, {"text_idx": "#000076", "text": "Kvankam hodiau\u0306 Sophus Lie estas juste rekonita kiel la kreinto de la teorio de kontinuaj grupoj, grava pas\u0302ego en la evoluo de ilia strukturteorio, kiu devis havi profundan influon sur posta evoluo de matematiko, estis farita fare de Wilhelm Killing, kiu en 1888 publikigis la unuan paperon en serio rajtigis Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen ( La kunmetaj\u0302o de kontinuaj finhavaj transformgrupoj) (Hawkins, p. 100).\nLa laboro de Killing, poste rafinita kaj g\u0302eneraligita fare de E\u0301lie Cartan, kondukis al klasifiko de semikuracherbaj Lie-algebroj, la teorio de Cartan de simetriaj spacoj, kaj la priskribo de Hermann Weyl de reprezentadoj de kompakta kaj semikuracherbaj Lie-grupoj uzantaj plej altajn pezojn."}, {"text_idx": "#000078", "text": "Weyl alportis la fruan periodon de la evoluo de la teorio de Lie-grupoj al realig\u0302o, por ne nur li klasifikis neredukteblajn reprezentadojn de semikuracherbaj Lie-grupoj kaj ligis la teorion de grupoj kun kvantuma mekaniko, sed li ankau\u0306 metis la teorion de Lie mem sur pli firman bazon klare proklamante la distingon inter la infinitezimalaj grupoj de Lie (t.e., Lie-algebroj) kaj la Lie-grupoj mem, kaj komencis enketojn de topologio de Lie-grupoj.\nLa teorio de Lie-grupoj estis sisteme reverkita en moderna matematika lingvo en monografio fare de Claude Chevalley."}, {"text_idx": "#000079", "text": "La koncepto de Lie-grupo, kaj eblecoj de klasifiko"}, {"text_idx": "#000080", "text": "Mensoggrupoj povas esti opiniitaj de tiel glate s\u0302ang\u0302ig\u0302antaj familioj de simetrioj.\nEkzemploj de simetrioj inkludas rotacion koncerne akson.\nKio devas esti komprenita estas la naturo de \"malgrandaj\" transformoj, ekzemple, rotacioj tra malgrandegaj anguloj, kiuj interligas proksimajn transformojn.\nLa matematika objekto konkeranta tiun strukturon estas nomita Lie-algebro ( Mensogo mem nomis ilin \"infinitezimalaj grupoj\").\nG\u0302i povas esti difinita c\u0302ar Lie-grupoj estas duktoj, do havas klavspacojn c\u0302e c\u0302iu punkto."}, {"text_idx": "#000081", "text": "La Lie-algebro de iu kompakta Mensoggrupo (tre malglate: unu por kiu la simetrioj formas baritan aron) povas esti malkonstruitaj kiel rekta sumo de abela Lie-algebro kaj iu nombro da simplanimaj.\nLa strukturo da abela Lie-algebro estas matematike neinteresa (c\u0302ar la Lie-krampo estas idente nul);\nla intereso estas en la simpla sumands.\nTial la demando ekestas: kio estas la simplaj Lie-algebroj de kompaktaj grupoj?\nG\u0302i montrig\u0302as ke ili plejparte falas en kvar senfinajn familiojn, la \"klasika Lie-algebro-\" A,\nSed ekzistas ankau\u0306 justaj kvin \"esceptaj Lie-algebroj\" kiuj ne falas en iuj da tiujn familiojn.\nE8 estas la plej granda de tiuj."}, {"text_idx": "#000082", "text": "Mensoggrupoj estas klasigitaj lau\u0306 siaj algebraj trajtoj ( kuracherbo, semikuracherbo, solveblaj, nilpotent, abelaj), sia ligiteco ( ligita au\u0306 simple ligita) kaj sia kompakteco."}, {"text_idx": "#000084", "text": "La identeckomponento de iu Lie-grupo estas malferma normala subgrupo, kaj la kvocientogrupo estas diskreta grupo.\nLa universala kovro de iu ligita Mensoggrupo estas simple ligita Mensoggrupo, kaj inverse c\u0302iu ligita Mensoggrupo estas kvociento de simple ligita Mensoggrupo de diskreta normala subgrupo de la centro.\nC\u0302iu Lie-grupo G povas esti malkonstruita en diskretaj, simplaj, kaj abelaj grupojn lau\u0306 kanonika maniero jene."}, {"text_idx": "#000085", "text": "G trompo por la Koneksa komponanto de la identeco\nG suno por la plej granda ligis normalan solveblan subgrupon\nG nil por la plej granda ligis normalan nilpotentsubgrupon"}, {"text_idx": "#000086", "text": "G trompo por la Koneksa komponanto de la identeco"}, {"text_idx": "#000087", "text": "G suno por la plej granda ligis normalan solveblan subgrupon"}, {"text_idx": "#000088", "text": "G nil por la plej granda ligis normalan nilpotentsubgrupon"}, {"text_idx": "#000089", "text": "tiel tion ni havas sekvencon de normalaj subgrupoj"}, {"text_idx": "#000092", "text": "G / G trompo estas diskreta"}, {"text_idx": "#000093", "text": "G trompo / G suno estas centra etendaj\u0302o da produkto de simplanimaj ligitaj Mensoggrupoj."}, {"text_idx": "#000094", "text": "G suno- / G nil estas abela.\nLigita abela Mensoggrupo estas izomorfa al produkto de kopioj de R kaj la cirklogrupo S 1."}, {"text_idx": "#000095", "text": "G nil /1 estas nilpotent, kaj tial g\u0302ia ascendanta centra serio havas c\u0302iujn kvocientojn abela."}, {"text_idx": "#000096", "text": "Tio povas esti uzita por redukti kelkajn problemojn pri Lie-grupoj (kiel ekzemple trovado de iliaj unitariaj reprezentantaroj) al la samaj problemoj por ligitaj simplanimaj grupoj kaj nilpotent kaj solveblaj subgrupoj de pli malgranda dimensio."}, {"text_idx": "#000097", "text": "La difeomorfismogrupo de Lie-grupo reagas transitive al la Lie-grupo\nC\u0302iu Lie-grupo estas paralelizabla, kaj tial orientebla dukto (ekzistas faskizomorfio inter sia klavfasko kaj la produkto de si mem kun la klavspaco c\u0302e la identeco)"}, {"text_idx": "#000099", "text": "La literaturo ne estas totale unuforma en sia terminologio kiel al precize kiuj trajtoj de senfin-dimensiaj grupoj kvalifikas la grupon por la prefikso Kus\u0302as en Kus\u0302i grupo.\nSur la Lie-algebroflanko de aferoj, aferoj estas pli simplaj ekde la kompetentigaj kriterioj por la prefikso kiun Mensogo en Lie-algebro estas sole algebra.\nEkzemple, senfin-dimensia Lie-algebro povas au\u0306 eble ne havas ekvivalentan Mensoggrupon.\nTio estas, povas ekzisti grupo egalrilatanta al la Lie-algebro, sed eble ne estas sufic\u0302e bela por esti nomita Lie-grupo, au\u0306 la ligo inter la grupo kaj la Lie-algebro eble ne estas sufic\u0302e bela (ekzemple, fiasko de la eksponenta mapo por esti sur najbareco de la identeco).\nG\u0302i estas sufic\u0302e la \"bela\" kiu ne estas universale difinita."}, {"text_idx": "#000101", "text": "La grupo da difeomorfismoj de dukto.\nTre multe estas konata c\u0302irkau\u0306 la grupo de difeomorfismoj de la cirklo.\nG\u0302ia Lie-algebro estas (tiamaniere) la Witt-algebro, kies centra etendaj\u0302o la Virasoro-algebro (vidu Virasoro-algebro de Witt-algebro por derivaj\u0302o de tiu fakto) estas la simetrialgebro de dudimensia konforma kampa teorio.\nDiffeomorphism-grupoj de kompaktduktoj da pli granda dimensio estas regulaj Fre\u0301chet Lie-grupoj;\ntre malgranda koncerne ilian strukturon estas konata."}, {"text_idx": "#000102", "text": "La difeomorfismogrupo de spactempo foje aperas en provoj kvantigi graviton."}, {"text_idx": "#000103", "text": "La grupo de glataj mapoj de dukto g\u0302is finhav-dimensia Mensoggrupo estas ekzemplo de mezurilgrupo (kun operacio de punktmaniermultipliko), kaj estas uzita en kvantuma kampa teorio kaj Donaldson-teorio.\nSe la dukto estas cirklo kiun tiuj estas nomitaj buklogrupoj, kaj havas centrajn etendaj\u0302ojn kies Lie-algebroj estas (tiamaniere) Kac-malbonhumoraj algebroj.\nVidu Kac-malbonhumora algebro de buklalgebro por ekzemplo.\nEkzistas senfin-dimensiaj analogoj de g\u0302eneralaj lineara grupoj, ortogonalaj grupoj,.\nUnu grava aspekto estas ke tiuj povas havi pli simplajn topologiajn trajtojn: vidu la teoremon de ekzemple Kuiper.\nEn M-teorio, ekzemple, 10 dimensia Su (N) gau\u0306g\u0302a teorio ig\u0302as 11 dimensia teorio kiam N ig\u0302as senfina."}]