[{"text_idx": "#000000", "text": "Wikipedia's Trigonometry as translated by GramTrans"}, {"text_idx": "#000001", "text": "Trigonometrio (de greka trigo\u0304non , \"triangulo\" kaj metron , \"iniciato\" [1] ) estas branc\u0302o de matematiko kiun studrilatoj implikantaj longojn kaj angulojn de trianguloj.\nLa kampo eliris en la helenisma mondo dum la tria jarcento a.K. de aplikoj de geometrio g\u0302is astronomiaj studoj."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La 3-ajarcentaj astronomoj unue notis ke la longoj de la flankoj de orttriangulo kaj la anguloj inter tiuj flankoj fiksis rilatojn: t.e., se minimume la longo de unu flanko kaj la valoro de unu angulo estas konataj, tiam c\u0302iuj aliaj anguloj kaj longoj povas esti determinitaj algoritme.\nTiuj kalkuloj baldau\u0306 estis difinitaj kiel la trigonometria funkcio kaj hodiau\u0306 estas penetraj en kaj pura kaj aplika matematiko: fundamentaj metodoj de analizo kiel ekzemple la Fourier transformas, ekzemple, au\u0306 la ondekvacion, uzas trigonometrian funkcion por kompreni ciklajn fenomenojn trans multaj aplikoj en kampoj tiel diversspecaj kiel fizikoj, mekanika kaj elektrotekniko, muziko kaj akustiko, astronomio, ekologio, kaj biologio.\nTrigonometrio ankau\u0306 estas la fundamento de geodezio."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Trigonometrio estas plej simple rilata al planar ort trianguloj (c\u0302iu el kiu estas dudimensia triangulo kun unu angulo egala al 90 gradoj).\nLa aplikebleco por ne-orto trianguloj ekzistas, sed, c\u0302ar c\u0302iu ne-orta triangulo (sur plata aviadilo) povas esti bisekcita por krei du orttriangulojn, la plej multaj problemoj povas esti reduktitaj al kalkuloj sur orttrianguloj.\nTiel la plimulto de aplikoj rilatas al orttrianguloj.\nUnu escepto al tio estas sfera trigonometrio, la studo de trianguloj sur sferoj, surfacoj de konstantopozitiva kurbig\u0302o, en elipsa geometrio (fundamenta parto de astronomio kaj navigacio).\nTrigonometrio sur surfacoj de negativa kurbig\u0302o estas parto de hiperbola geometrio."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Trigonometriobazaj\u0302oj ofte estas instruita en lernejoj, au\u0306 kiel aparta kurso au\u0306 kiel parto de prekalkulad kurso."}, {"text_idx": "#000005", "text": "1 Trigonometriaj kalkulo kaj funkcioj"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Sumeraj astronomoj studis anguliniciaton, uzante dividadon de cirkloj en 360 gradojn.\nIli, kaj poste la babilonanoj, studis la rilatumojn de la flankoj de similaj trianguloj kaj malkovris kelkajn trajtojn de tiuj rilatumoj sed ne ig\u0302is tion sistema metodo por trovado de flankoj kaj anguloj de trianguloj.\nLa antikvaj nubianoj uzis similan metodon."}, {"text_idx": "#000007", "text": "En la tria jarcento a.K., helenismaj matematikistoj kiel ekzemple Eu\u0306klido (de Aleksandrio, Egiptujo) kaj Arkimedo (de Sirakuzo, Sicilio) studis la trajtojn de kordoj kaj teoremo pri laj cirkonferenca angulo kaj la centra anguloj en cirkloj, kaj ili pruvis teoremojn kiuj estas ekvivalentaj al modernaj trigonometriaj formuloj, kvankam ili prezentis ilin geometrie prefere ol algebre.\nEn 140 a.K., Hiparko (de Iznik, Turkio) donis la unuajn tablojn de kordoj, analogaj al modernaj tabloj de sine valoroj, kaj uzis ilin por solvi problemojn en trigonometrio kaj sfera trigonometrio.\nEn la dua-jarcenta p.K., la Grec-egipta astronomo Ptolemeo (de Aleksandrio, Egiptujo) presis detalajn trigonometriajn tablojn ( la tablo de Ptolemeo de kordoj) en Libro 1, c\u0302apitro 11 el lia Almagesto.\nPtolemeo uzis kord longon por difini sian trigonometrian funkcion, negravan diferencon de la sine kongreso ni uzas hodiau\u0306.\n(La valoro kiun ni vokas al peko (\u03b8) povas esti trovita kontrolante la kordlongon por dufoje la angulo de intereso (2\u03b8) en la tabelo de Ptolemeo, kaj tiam dividado de tiu valoro per du.\nJarcentoj pasigitaj antau\u0306 pli detalaj tabloj estis produktitaj, kaj la disertaj\u0302o de Ptolemeo restis en uzo por prezentado de trigonometriaj kalkuloj en astronomio dum la venontaj 1200 jaroj en la mezepokaj bizancaj, islamaj, kaj, poste, okcidenteu\u0306ropaj mondoj."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Movite per la postuloj de navigacio kaj la kreskanta bezono de precizaj mapoj de grandaj geografiaj areoj, trigonometrio kreskis en gravan branc\u0302on de matematiko.\nBartholomaeus Pitiscus estis la unua se temas pri uzi la vorton, publikigante sian Trigonometrian en 1595.\nGemma Frisius priskribita por la unuan fojon la metodo de triangulado dau\u0306re uzis hodiau\u0306 en geodezio.\nG\u0302i estis Leonhard Euler kiu plene integrigis kompleksajn nombrojn en trigonometrio.\nLa verkoj da la skotaj matematikistoj James Gregory en la 17-a jarcento kaj Colin Maclaurin en la 18-a jarcento estis influaj en la evoluo de trigonometriaj serioj.\nAnkau\u0306 en la 18-a jarcento, Brook Taylor difinis la generalan serion de Taylor."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Se unu angulo de triangulo estas 90 gradoj kaj unu el la aliaj anguloj estas konata, la tria estas tiel fiksa, c\u0302ar la tri anguloj de iu triangulo aldonas g\u0302is 180 gradojn.\nLa du akutaj anguloj tial aldonas g\u0302is 90 gradojn: ili estas komplementanguloj.\nLa formo de triangulo estas tute determinita, krom simileco, per la anguloj.\nPost kiam la anguloj estas konataj, la rilatumoj de la flankoj estas determinitaj, nekonsiderante la totala grandeco de la triangulo.\nSe la longo de unu el la flankoj estas konata, la aliaj du estas determinitaj.\nTiuj rilatumoj ricevas per la sekva trigonometria funkcio de la konata angulo A, kie , b kaj c rilatas al la longoj de la flankoj en la aldonita figuro:"}, {"text_idx": "#000011", "text": "Sine funkcio (peko), difinite kiel la rilatumo de la flanko kontrau\u0306 la angulo al la hipotenuzo."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Kosinus funkcio (cos), difinita kiel la rilatumo de la apuda gambo al la hipotenuzo."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Klavo funkcio (sunbruno), difinita kiel la rilatumo de la kontrau\u0306gambo al la apuda gambo."}, {"text_idx": "#000014", "text": "La hipotenuzo estas la flanko vidalvida de la 90-grada angulo en orta triangulo;\ng\u0302i estas la plej longa flanko de la triangulo kaj unu el la du flankoj najbaraj al angulo A.\nLa apuda gambo estas la alia flanko kiu estas najbara al angulo A.\nLa kontrau\u0306a flanko estas la flanko kiu estas kontrau\u0306a fis\u0302hoki A.\nLa esprimoj perpendikulara kaj bazo foje estas uzita por la kontrau\u0306aj kaj apudaj flankoj respektive.\nMultaj homoj trovas facila memori egala al kiuj flankoj de la orta triangulo estas sine, kosinuso, au\u0306 klavo, de parkerigado de la vorto SOH-CAH-TOAJ (vidu malsupre sub Mnemonikoj)."}, {"text_idx": "#000015", "text": "La reciprocals de tiuj funkcioj estas nomita la kosekanto (csc au\u0306 kosek.), sekanto (sek.), kaj kotang\u0302anto (bebolito), respektive:"}, {"text_idx": "#000016", "text": "La inversaj funkcioj estas nomitaj la arksinuso, arkkosinuso, kaj arkklavo, respektive.\nEkzistas artimetikaj rilatoj inter tiuj funkcioj, kiuj estas konataj kiel trigonometriaj identecoj.\nLa kosinuso, kotang\u0302anto, kaj kosekanto estas tiel nomitaj c\u0302ar ili estas respektive la sine, klavo, kaj sekanto de la komplementangulo mallongigis al \"ko-\"."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Kun tiuj funkcioj, oni povas respondi praktike c\u0302iujn demandojn pri arbitraj trianguloj utiligante la sinusan regulon kaj la regulon de kosinuso.\nTiuj leg\u0302oj povas esti utiligitaj por komputi la ceterajn angulojn kaj flankojn de iu triangulo tuj kiam du flankoj kaj sian inkluditan angulon au\u0306 du angulojn kaj flankon au\u0306 tri flankoj estas konataj.\nTiuj leg\u0302oj estas utilaj en c\u0302iuj branc\u0302oj de geometrio, c\u0302ar c\u0302iu plurangulo povas esti priskribita kiel finhava kombinaj\u0302o de trianguloj."}, {"text_idx": "#000018", "text": "C\u0302i-supraj difinoj nur validas por anguloj inter kaj 90 gradoj (0 kaj \u03c0/2 Radianoj).\nUzante la trigonometrian cirklon, oni povas ampleksi ilin c\u0302iujn pozitivaj kaj negativaj argumentojn (vidi trigonometrian funkcion).\nLa trigonometria funkcio estas perioda, kun periodo de 360 gradoj au\u0306 2\u03c0 Radianoj.\nTio signifas ilian valorripeton je tiuj intervaloj.\nLa klavo kaj kotang\u0302antfunkcioj ankau\u0306 havas pli mallongan periodon, de 180 gradoj au\u0306 \u03c0 Radianoj."}, {"text_idx": "#000019", "text": "La trigonometria funkcio povas esti difinitaj lau\u0306 aliaj manieroj krom la geometriaj difinoj supra, uzante ilojn de kalkulado kaj senfinajn seriojn.\nKun tiuj difinoj la trigonometria funkcio povas esti difinitaj por kompleksaj nombroj.\nLa kompleksa eksponenta funkcio estas precipe utila."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Grafea procezo de y = peko ( x) uzanta trigonometrian cirklon.\nGrafea procezo de y = csc ( x), la reciproka de sine, uzante trigonometrian cirklon.\nGrafea procezo de y = sunbruno ( x) uzanta trigonometrian cirklon."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Grafea procezo de y = peko ( x) uzanta trigonometrian cirklon."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Grafea procezo de y = csc ( x), la reciproka de sine, uzante trigonometrian cirklon."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Grafea procezo de y = sunbruno ( x) uzanta trigonometrian cirklon."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Ofta uzo de mnemonikoj estas memori faktojn kaj rilatojn en trigonometrio.\nEkzemple, la sine, kosinuso, kaj klav proporcioj en orta triangulo povas esti memoritaj reprezentante ilin kaj tio ke ili korespondas flankojn kiel s\u0302nuroj de leteroj."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Unudirekta memori la leterojn devas tonigi ilin eksteren fonetike (t.e., SOH-CAH-TOA, / kiu estas okulfrapa 'so-k\u0259-piedfingro-uh estas / s o\u028a k \u0259 \u02c8 t o\u028a \u0259 ).\nAlia metodo devas vastigi la leterojn en frazon, kiel ekzemple \" Iu maljuna hipio Kaptis Alian hipion kiun Ekskursetstifto estas Sur Acido \"."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Trigonometria funkcio estis inter la plej fruaj uzoj por matematikaj tabloj.\nTiaj tabloj estis integrigitaj en matematiklernolibroj kaj studentoj estis instruitaj por kontroli valorojn kaj kiel por interpoli inter la valoroj listigitaj por ricevi pli altan precizecon.\nGlitkalkuliloj havis specialan pesilon por trigonometria funkcio."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Hodiau\u0306, sciencaj kalkuliloj havas butonojn por kalkulado de la c\u0302efa trigonometria funkcio (peko, cos, sunbruno, kaj foje cis kaj sia inverses).\nLa plej multaj permesas elekton de angulmezuradmetodoj:\ngradoj, Radianoj, kaj foje gradian'oj.\nLa plej multaj komputilprogramadlingvoj disponigas funkciobibliotekojn kiuj inkludas la trigonometrian funkcion.\nLa glitkomunuo hardvaro integrigita en la mikroprocesoricoj uzitaj en la plej multaj personaj komputiloj havas enkonstruitajn instrukciojn por kalkulado de trigonometria funkcio."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Ekzistas grandega nombro da uzoj de trigonometrio kaj trigonometria funkcio.\nEkzemple, la tekniko de triangulado estas uzita en astronomio por alg\u0302ustigi la distancon al proksimaj steloj, en geografio por mezuri distancojn inter famaj\u0302oj, kaj en satelito-navigacisistemoj.\nLa sine kaj kosinusfunkcioj estas fundamentaj al la teorio de periodaj funkcioj, kiel ekzemple tiuj kiuj priskribas sonon kaj lumondojn."}, {"text_idx": "#000034", "text": "Kampoj kiuj uzas trigonometrion au\u0306 trigonometrian funkcion inkludas astronomion (precipe por lokalizado de s\u0302ajnaj pozicioj de c\u0302ielaj objektoj, en kiuj sfera trigonometrio estas esenca) kaj tial navigacion (sur la oceanoj, en aviadiloj, kaj en spaco), muzikteorion, au\u0306diosintezo, akustiko, optiko, elektroniko, biologio, medicina bildigo ( CAT-skanadoj kaj ultrasono), apoteko, kemio, nombroteorio (kaj tial kriptologio), sismologio, meteologio, oceanografio, multaj fizikaj sciencoj, terogeodezio kaj geodezio, arkitekturo, bildokunpremado, fonetiko, ekonomiko, elektrotekniko, mekanika ing\u0302enierado, konstruing\u0302enieriko, komputila grafiko, kartografio, kristalografio- kaj ludevoluo."}, {"text_idx": "#000035", "text": "La sekvaj identecoj estas rilatitaj al la pitagorea teoremo kaj tenas por iu valoro: [20]"}, {"text_idx": "#000036", "text": "Certaj ekvacioj implikantaj trigonometrian funkcion estas veraj por c\u0302iuj anguloj kaj estas konataj kiel trigonometriaj identecoj.\nKelkaj identecoj egaligas esprimon kun malsama esprimo implikanta la samajn angulojn.\nTiuj estas listigitaj en Listo de trigonometriaj identecoj.\nTriangulidentecoj kiuj rakontas la flankojn kaj angulojn de antau\u0306fiksita triangulo estas listigitaj malsupre."}, {"text_idx": "#000037", "text": "En la sekvaj identecoj, A, B kaj C estas la anguloj de triangulo kaj , b kaj c estas la longoj de flankoj de la triangulo kontrau\u0306 la respektivaj anguloj (same montrita en la diagramo)."}, {"text_idx": "#000038", "text": "La sinusa regulo (ankau\u0306 konata kiel la \"sine regulo\") por arbitraj trianguls\u0302tatoj:"}, {"text_idx": "#000039", "text": "Alia leg\u0302o implikanta pekojn povas esti utiligita por kalkuli la areon de triangulo.\nSurbaze de du flankoj a kaj b kaj la angulo inter la flankoj C, la areo de la triangulo ricevas per duono de la produkto de la longoj de du flankoj kaj la sine de la angulo inter la du flankoj:"}, {"text_idx": "#000040", "text": "La regulo de kosinuso (konataj kiel la kosinusformulo, au\u0306 la \"cosregulo\") estas etendaj\u0302o de la pitagorea teoremo al arbitraj trianguloj:"}, {"text_idx": "#000041", "text": "La regulo de kosinuso povas esti utiligita por pruvi formulon de Heron, kio estas alia metodo kiu povas esti uzita por kalkuli la areon de triangulo.\nTiu formulo deklaras ke se triangulo havas flankojn de longoj , b, kaj c, kaj se la semiperimetro estas"}, {"text_idx": "#000042", "text": "tiam la areo de la triangulo estas:"}, {"text_idx": "#000043", "text": "kie R estas la radiuso de la cirkumcircle de la triangulo."}, {"text_idx": "#000044", "text": "La leg\u0302o de klavoj :"}, {"text_idx": "#000048", "text": "Diferencialaj ekvacioj / dinamikaj sistemoj"}, {"text_idx": "#000049", "text": "Trigonometrio (de greka trigonon \u2013 'triangulo', metro\u0302 \u2013 'mezuri') estas branc\u0302o de matematiko, kiu studas triangulojn, angulojn, arkojn, kaj ilian interrilaton. G\u0302i studas ankau\u0306 trigonometriajn funkciojn kaj ilian aplikon en geometrio. Ekzistas 6 trigonometriaj funkcioj ligitaj kun la angulo:"}, {"text_idx": "#000050", "text": "sinuso - la kvociento de la kontrau\u0306a latero per la hipotenuzo (signo: sin). la difino povas estis etendita al ajna angulo per la formuloj:"}, {"text_idx": "#000051", "text": "kie estas orta angulo ( kaj ), kaj estas ajna angulo;"}, {"text_idx": "#000052", "text": "kosinuso (signo: cos) - sinuso de la komplementa angulo;\ntangento (signo: tg au\u0306 tan) - la kvociento de la sinuso per la kosinuso;\nkotangento (signo: ctg au\u0306 cot) - la kvociento de la kosinuso per la sinuso;\nsekanto - la inverso de la kosinuso;\nkosekanto - la inverso de la sinuso."}, {"text_idx": "#000053", "text": "Lau\u0306 trigonometriaj funkcio oni trovas nekonatajn angulojn kaj laterojn de triangulo surbaze de donitaj trigonometriaj rilatoj."}, {"text_idx": "#000054", "text": "Oni kutime uzas la vorton trigonometrio por aludi al ebena trigonometrio, tio estas la studo de trianguloj sur ebena surfaco. Sed oni povas ankau\u0306 studi la rilatojn de trianguloj sur kurbaj surfacoj. Pro tio ke ni log\u0302as sur preskau\u0306 sfera surfaco, oni ankau\u0306 studas sferan trigonometrion, tio estas la studo de trianguloj sur sferaj surfacoj."}, {"text_idx": "#000055", "text": "Jam de antikveco, trigonometrio estas uzata por celoj de astronomio."}, {"text_idx": "#000056", "text": "Racionala trigonometrio estas moderna trakto de trigonometrio uzanta la konceptojn etendecon kaj kvadrancon anstatau\u0306 angulo kaj distanco. Anstatau\u0306 la klasikaj funkcioj (sinuso, kosinuso, tangento) g\u0302i uzas nur algebrajn operaciojn."}, {"text_idx": "#000057", "text": "GonioLab: Bildigo al si de la unuo cirklo, trigonometrio kaj hiperbolaj funkcioj (Java Web Start)"}]