[{"text_idx": "#000002", "text": "Punkto en la Eu\u0306klida aviadilo estas konstruebla punkto se g\u0302i estas c\u0302iu finpunkto de la antau\u0306fiksita unuo segmentas, au\u0306 la punkton de intersekcig\u0302o de du linioj determinitaj per antau\u0306e akiritaj konstrueblaj punktoj, au\u0306 la intersekcig\u0302o de tia linio kaj cirklo havanta antau\u0306e akiritan konstrueblan punkton kiel centro pasanta tra alia konstruebla punkto, au\u0306 la intersekcig\u0302o de du tiaj cirkloj.\nNun, de lanc\u0302ado de kartezaj koordinatoj tiel ke unu finpunkto de la antau\u0306fiksita unuosegmento estas la origino (0, 0) kaj la alia c\u0302e (1, 0), povas esti montrite ke la koordinatoj de la konstrueblaj punktoj estas konstrueblaj nombroj."}, {"text_idx": "#000003", "text": "En algebraj esprimoj, nombro estas konstruebla se kaj nur se g\u0302i povas esti akirita uzante la kvar bazajn aritmetikoperaciojn kaj la ekstraktadon de kvadrataj radikoj, sed pri neniuj higher-ordaj radikoj, de konstrueblaj nombroj, kiuj c\u0302iam inkludas 0 kaj 1-a La aro de konstrueblaj nombroj povas esti tute karakterizita en la lingvo de kampa teorio: la konstrueblaj nombroj formas la kvadratan finon de la raciaj nombroj: la plej malgranda kampetendaj\u0302o kiu estas fermita sub kvadrataj radikoj.\nTio havas la efikon de transformado de geometriaj demandoj pri kompaso- kaj liniilkonstruoj en algebron.\nTiu transformo kondukas al la solvoj de multaj famaj matematikaj problemoj, kiuj spitis jarcentojn da atako."}, {"text_idx": "#000004", "text": "La tradicia aliro al la temo de konstrueblaj nombroj estis geometria en naturo, sed tio ne estas la nura aliro.\nTamen, la geometria aliro disponigas la instigon por la algebraj difinoj kaj estas historie la maniero kiel la subjekto evoluigis.\nEn prezentado de la materialo tiumaniere, la fundamentaj ideoj estas lanc\u0302itaj sinteze kaj tiam koordinatoj estas enkondukitaj en transiro en algebra scenaro."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Lasu O kaj A esti du surbaze de apartaj punktoj en la Eu\u0306klida ebeno.\nLa aro de punktoj ke povas esti konstruita per kompaso kaj liniilo komencanta kun O kaj A estos indikita je S kaj kies elementoj estos nomitaj konstrueblaj punktoj.\nO kaj A estas, de difino, elementoj de S.\nPor pli g\u0302uste priskribi la elementojn de S, ni faras la sekvajn du difinojn: [3]"}, {"text_idx": "#000006", "text": "linio segmentu kies finpunktojn estas en S estas nomita konstruita segmento, kaj\ncirklo kies centro estas en S kaj kiu pasas tra punkto de S (alternative, kies radiuso estas la distanco inter iu paro de apartaj punktoj de S) estas nomita konstruita cirklo."}, {"text_idx": "#000008", "text": "la intersekcig\u0302o de du ne-paralelajn konstruis segmentojn (etenditajn eventuale),\nla intersekcig\u0302oj de konstruita cirklo kaj konstruita segmento (etendita eventuale), au\u0306\nla intersekcig\u0302oj de du apartajn konstruis cirklojn."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Ekzemple, la mezpunkto de konstruita segmento OA estas konstrucibla punkto.\nVidi tion, notas ke la konstruita cirklo C 1 kun centro O kaj pasi tra A intersekcas la konstruitan cirklon C 2 kun centro A kaj pasante tra O c\u0302e la konstrueblaj punktoj P kaj Q.\nLa intersekcig\u0302o de konstruita segmento PQ kun konstruita segmento OA estas la dezirata konstruita mezpunkto."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Karteza koordinatsistemo povas esti lanc\u0302ita kie la punkto O estas asociita al la origino havante koordinatojn (0, 0) kaj la poento A estas rilata al (1, 0).\nLa punktoj de S nun povas esti utiligitaj por interligi la geometrion kaj algebron, nome, ni difinas [7]"}, {"text_idx": "#000011", "text": "konstruebla nombro estas koordinato de konstruebla punkto."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Kun la certeco indiki A, 0 kaj 1 estas konstrueblaj nombroj.\nLasu P esti punkto en S, t.e., konstruebla punkto.\nSe P kus\u0302as sur la absciso, tiam OBSERVEJO estas konstruita segmento kaj la unua koordinato de P estas, en absoluta valoro, la longo de tiu konstruita segmento.\nSe P ne kus\u0302as sur la absciso tiam lasas la piedon de la perpendikulara de P g\u0302is la absciso esti la punkto Q.\nLa punkto Q estas konstruita punkto, tiel ke PQ kaj OQ estas konstruitaj segmentoj.\nLa absolutaj valoroj de la koordinatoj de la punkto P estas tial longoj de konstruitaj segmentoj.\nTiu proceso estas reigebla, [8] tiel ke estas eble uzi tiun aparaton disponigi alternan karakterizadon de konstrueblaj nombroj, nome: [9]"}, {"text_idx": "#000014", "text": "Se a kaj b estas la ne-nulaj longoj de konstruitaj segmentoj tiam elementa kompaso kaj liniilkonstruoj povas esti utiligitaj por akiri konstruitajn segmentojn de longoj + b , \u2212 b (se \u2265 b ), ab kaj / b .\nC\u0302i-lastaj du povas esti faritaj kun konstruo bazita sur la interkaptoteoremo.\nIomete malpli elementa konstruo uzanta tiujn ilojn estas bazita sur la geometria averag\u0302a teoremo kaj konstruos segmenton el long \u221a el konstruita segmento de longo ."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Se a kaj b estas konstrueblaj nombroj kun b =\u0338 0, tiam \u00b1 b , \u00d7 b , / b , kaj \u221a , por ne-negativo , estas konstruebla.\nTiel, la aro de konstrueblaj realaj nombroj formas kampon.\nKrome, c\u0302ar 1 estas konstruebla nombro, c\u0302iuj raciaj nombroj estas konstrueblaj kaj Q estas (bonorda) subkampo de la kampo de konstrueblaj nombroj.\nAnkau\u0306, c\u0302iu konstruebla nombro estas algebra nombro."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Uzante iomete malsaman terminologion, [15] reala nombro estas konstruebla se kaj nur se g\u0302i kus\u0302as en kampo c\u0302e la pinto de finhava turo de kvadrataj etendaj\u0302oj, komencante kun la racia kampo Q.\nPli g\u0302uste, \u03b3 estas konstruebla se kaj nur se tie ekzistas turo de kampoj"}, {"text_idx": "#000018", "text": "Por ankorau\u0306 alia formulig\u0302o de tiu rezulto, tiu tempon utiligi la geometrian difinon de konstruebla poento, [16] lasis P esti ne-malplena aro de punktoj en R2 kaj K la subkampo de R generita per c\u0302iuj koordinatoj de punktoj en P.\nx, y) estas konstruebla de la punktoj de P, tiam la gradoj [ da K ( x):\nK] estas potencoj de 2."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Utiligante la naturan korespondadon inter punktoj de R2 kaj kompleksaj nombroj (nome, (, b\n+ busoj ) kelkaj verkintoj preferas vortumi rezultojn en la kompleksa metante per difinado: [17]"}, {"text_idx": "#000020", "text": "kompleksa nombro estas konstruebla se kaj nur se g\u0302iaj realaj kaj imaginaraj partoj estas konstrueblaj realaj nombroj."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Povas tiam esti montrite, [18] en maniero analoga al la reala kazo, ke kompleksa nombro estas konstruebla se kaj nur se g\u0302i kus\u0302as en kampo c\u0302e la pinto de finhava turo de kompleksaj kvadrataj etendaj\u0302oj, komencante kun la kampo Q (mi).\nPli g\u0302uste, z estas konstruebla se kaj nur se tie ekzistas turo de kompleksaj kampoj"}, {"text_idx": "#000022", "text": "Sekve, se kompleksa nombro estas konstruebla, tiam [Q ( z): Q] estas du-potenco."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Tiu algebra karakterizado de konstrueblaj nombroj disponigas gravan necesan kondic\u0302on por konstruktibileco: se z estas konstruebla, tiam g\u0302i estas algebra, kaj g\u0302ia minimuma nereduktebla polinomo havas gradon potencon de 2, kiu estas ekvivalenta al la deklaro kiun la kampetendaj\u0302o Q ( z) /Q havas dimension potenco de 2-a Noto tamen, ke la konversacio estas falsa - tio ne estas sufic\u0302a kondic\u0302o por konstruktibileco kia ekzistas ne-konstrueblaj nombroj da z kun [Q ( z): Q] = 4."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Trigonometriaj nombroj estas neraciaj kosinusoj au\u0306 pekoj de anguloj kiuj estas raciaj multobloj de \u03c0.\nTia nombro estas konstruebla se kaj nur se la denominatoro de la tute reduktita multoblo estas potenco de 2 au\u0306 la produkto de potenco de 2 kun la produkto de unu au\u0306 pluraj apartaj Fermat-primoj.\n( \u03c0 /15) Estas konstruebla c\u0302ar 15 estas la produkto de du Fermat-primoj, 3 kaj 5."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Vidu c\u0302i tie liston de trigonometriaj nombroj esprimitaj lau\u0306 kvadrataj radikoj."}, {"text_idx": "#000026", "text": "La malnovgrekaj opiniis ke certaj konstruproblemoj ili ne povis solvi estis simple obstinaj, ne nesolveblaj.\nTamen, la ne-constructibility de certaj nombroj pruvas ilin por esti logike malrezultebla.\n(La problemoj mem, aliflanke, estas solveblaj, kaj la grekoj sciis kiel solvi ilin, sen la limo de labori nur per liniilo kaj kompaso."}, {"text_idx": "#000027", "text": "En la sekva diagramo, c\u0302iu vico reprezentas specifan maljunegan konstruproblemon.\nLa maldekstra kolono donas la nomon de la problemo.\nLa dua kolumno donas ekvivalentan algebran formulig\u0302on de la problemo.\nEn aliaj vortoj, la solvo al la problemo estas jesa se kaj nur se c\u0302iu nombro en la antau\u0306fiksita nombraro estas konstruebla.\nFinfine, la lasta kolono disponigas simplan kontrau\u0306ekzemplon.\nEn aliaj vortoj, la nombro en la lasta kolono estas elemento de la aro en la sama vico, sed ne estas konstruebla."}]