[{"text_idx": "#000001", "text": "Algebra geometrio estas branc\u0302o de matematiko, klasike studante nulojn de multivariate polinomoj.\nModerna algebra geometrio estas bazita sur la uzo de abstraktaj algebraj teknikoj, plejparte de komuta algebro, por solvado de geometriaj problemoj pri tiuj aroj de nuloj."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La fundamentaj studobjektoj en algebra geometrio estas algebraj variecoj, kiuj estas geometriaj manifestig\u0302oj de solvoj de sistemoj de polinomekvacioj.\nEkzemploj de la plej volitaj klasoj de algebraj variecoj estas:\naviadilaj algebraj kurboj, kiuj inkludas liniojn, cirklojn, parabolojn, tripunktojn, hiperbolojn, kubajn kurbojn kiel elipsaj kurboj kaj kvartaj kurboj kiel lemniscatoj, kaj Cassini-ovalojn.\nPunkto de la aviadilo apartenas al algebra kurbo se g\u0302iaj koordinatoj kontentigas antau\u0306fiksitan polinomekvacion.\nBazaj demandoj implikas la studon de la punktoj de specialintereso kiel la eksterordinaraj punktoj, la klinadpunktoj kaj la punktoj c\u0302e senfineco.\nPli progresintaj demandoj implikas la topologion de la kurbo kaj rilatoj inter la kurboj donitaj per malsamaj ekvacioj."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Algebra geometrio okupas centran lokon en moderna matematiko kaj havas multoblajn koncipajn ligojn kun tiaj diversspecaj kampoj kiel kompleksa analitiko, topologio kaj nombroteorio.\nKomence studo de sistemoj de polinomekvacioj en pluraj variabloj, la temo de algebra geometrio komencas ol kie ekvaciosolvado foriras for, kaj ig\u0302as ec\u0302 pli grave kompreni la internajn trajtojn de la tutaj\u0302o el solvoj de sistemo de ekvacioj, trovi specifan solvon;\ntio kondukas en kelkajn el la plej profundajn areojn en c\u0302io el matematiko, kaj koncipe kaj lau\u0306 tekniko."}, {"text_idx": "#000004", "text": "En la 20-a jarcento, algebra geometrio fendetig\u0302is en plurajn subareojn."}, {"text_idx": "#000005", "text": "La c\u0302eftendenco de algebra geometrio estas dedic\u0302ita al la studo de la kompleksaj punktoj de la algebraj variecoj kaj pli g\u0302enerale al la punktoj kun koordinatoj en algebre fermita kampo.\nLa studo de la punktoj de algebra diverseco kun koordinatoj en la kampo de la raciaj nombroj au\u0306 en numero-kampo ig\u0302is artimetika geometrio (au\u0306 pli klasike Diophantine-geometrio), subkampo de algebra nombroteorio.\nLa studo de la realaj punktoj de algebra diverseco estas la temo de reela algebra geometrio.\nGranda parto de teorio de specialaj\u0302oj estas dedic\u0302ita al la neordinaraj\u0302oj de algebraj variecoj.\nKun la pliig\u0302o de la komputiloj, komputila algebrageometria areo aperis, kiu situas c\u0302e la intersekcig\u0302o de algebra geometrio kaj komputila algebro.\nG\u0302i konsistas esence el evoluigado algoritmoj kaj softvaro por legado kaj trovado de la trajtoj de eksplicite antau\u0306fiksitaj algebraj variecoj."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Racia funkcio kaj biracia ekvivalenteco"}, {"text_idx": "#000009", "text": "Asimptota komplekseco vs. praktika efikeco"}, {"text_idx": "#000010", "text": "En klasika algebra geometrio, la c\u0302efobjektoj de intereso estas la malaperaj aroj de kolektoj de polinomoj, kun la signifo la aro de c\u0302iuj punktoj kiuj samtempe kontentigas unu au\u0306 pluraj polinomekvaciojn.\nEkzemple, la dudimensia sfero en tridimensia eu\u0306klida spaco R 3 povus esti difinita kiel la aro de c\u0302iuj punktoj ( x, y, z) kun"}, {"text_idx": "#000011", "text": "\"Oblikva\" cirklo en R 3 povas esti difinita kiel la aro de c\u0302iuj punktoj ( x, y, z) kiuj kontentigas la du polinomekvaciojn"}, {"text_idx": "#000012", "text": "Unue ni komencas kun kampo k.\nEn klasika algebra geometrio, tiu kampo c\u0302iam estis la kompleksaj nombroj C, sed multaj el la samaj rezultoj estas veraj se ni supozas nur ke k estas algebre fermita.\nNi pripensas la afinan spacon de dimensio n super k, indikis A da n ( k) (au\u0306 pli simple A da n , kiam k estas klara de la kunteksto).\nKiam oni fiksas koordinatsistemon, oni povas identigi A da n ( k) kun k n .\nLa celo de ne laborado kun k n devas emfazi tiu unu \"forgesas\" la vektorspacan strukturon tiu k n portas."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Kiam koordinatsistemo estas elektita, la regulaj funkcioj sur la afina n-spaco povas esti identigitaj per la ringo de polinomfunkcioj en n variabloj super k.\nTial, la aro de la regulaj funkcioj sur A da n estas ringo, kio estas indikita k [ n ]."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Ni diras ke polinomo malaperas c\u0302e punkto c\u0302u analizante g\u0302in c\u0302e tiu punkto donas nul.\nLasu S esti aro de polinomoj en k [ n].\nLa malapera aro de S (au\u0306 malapera lokuso au\u0306 nul aro) estas la aro V ( S) de c\u0302iuj punktoj en A da n kie c\u0302iu polinomo en S malaperas."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Subaro de A da n kiu estas V ( S), por iu S, estas nomita algebra aro.\nLa V-standoj por diverseco (specifa speco de algebra aro esti difinita malsupre)."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Surbaze de subaro U de A da n , c\u0302u oni povas reakiri la aron de polinomoj kiuj generas g\u0302in?\nSe U estas ajna subaro de A da n , difinu min ( U) por esti la aro de c\u0302iuj polinomoj kies malapera aro enhavas U.\nLa I-standoj por idealo: se du polinomoj f kaj g ambau\u0306 malaperas sur U, tiam f + g malaperas sur U, kaj se h estas ajna polinomo, tiam kiun hf malaperas sur U, tiel I ( U) c\u0302iam estas idealo de la polinomringo k [ n ]."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Du naturaj demandoj por demandi estas:"}, {"text_idx": "#000019", "text": "Surbaze de subaro U de A da n , kiam estas U = V ( mi ( U)?\nSurbaze de aro S de polinomoj, kiam estas S = mi ( V ( da S)?"}, {"text_idx": "#000020", "text": "La respondo al la unua demando estas disponigita lanc\u0302ante la Zariski-topologion, topologion sur A da n kies fermitaj aroj estas la algebraj aroj, kaj kiu rekte reflektas la algebran strukturon de k [ n ].\nTiam U = V ( mi ( U) se kaj nur se U estas algebra aro au\u0306 ekvivalente Zariski-fermita aro.\nLa respondo al la dua demando ricevas fare de Hilbert's Nullstellensatz.\nEn unu el g\u0302iaj formoj, g\u0302i diras ke I ( V ( da S) estas la radikalulo de la idealo generita je S.\nEn pli abstrakta lingvo, ekzistas Galois-ligo, kau\u0306zante du finfunkciigistojn;\nili povas esti identigitaj, kaj kompreneble ludi bazan rolon en la teorio;\nla ekzemplo estas profundigita c\u0302e Galois-ligo."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Ke diversa kialoj ni eble ne c\u0302iam deziras laboru kun la tuta idealo egalrilatanta al algebra aro U.\nLa bazteoremo de Hilbert implicas ke idealoj en k [ n ] c\u0302iam estas finhave generitaj."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Algebra aro estas nomita nereduktebla c\u0302u g\u0302i ne povas esti skribita kiel la unio de du pli malgrandaj algebraj aroj.\nC\u0302iu algebra aro estas finhava unio de neredukteblaj algebraj aroj kaj tiu putrig\u0302o estas unika.\nTiel g\u0302iaj elementoj estas nomitaj la neredukteblaj komponentoj de la algebra aro.\nNereduktebla algebra aro ankau\u0306 estas nomita diverseco .\nG\u0302i turnas ke algebra aro estas diverseco se kaj nur se g\u0302i povas esti difinita kiel la malapera aro de c\u0302efidealo de la polinomringo."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Kelkaj verkintoj ne faras klaran distingon inter algebraj aroj kaj specoj kaj utiligas neredukteblan diversecon por fari la distingon kiam bezonite."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Ekzakte c\u0302ar kontinuaj funkcioj estas la naturaj mapoj sur topologiaj spacoj kaj glataj funkcioj estas la naturaj mapoj sur diferencialduktoj, ekzistas natura klaso de funkcioj sur algebra aktoraro, nomitaj regulaj funkcioj au\u0306 polinomfunkcioj.\nRegula funkcio sur algebra aktoraro V enhavita en A da n estas la restrikto al V de regula funkcio sur A da n .\nPor algebra aro difinita pri la kampo de la kompleksaj nombroj, la regulaj funkcioj estas glataj kaj ec\u0302 analizaj."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Povas s\u0302ajni nenature restrikte postuli ke regula funkcio c\u0302iam etendig\u0302as al la c\u0302irkau\u0306a spaco, sed g\u0302i estas tre simila al la situacio en normala topologia spaco, kie la Tietze-etendaj\u0302teoremo garantias ke kontinua funkcio sur fermita subaro c\u0302iam etendig\u0302as al la c\u0302irkau\u0306a topologia spaco."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Ekzakte c\u0302ar kun la kutima kliento funkcias sur afina regiono, la kutima kliento funkcias sur V formo al ringo, kiun ni indikas de k [ V].\nTiu ringo estas nomita la kunordigita ringo de V."}, {"text_idx": "#000027", "text": "C\u0302ar regulaj funkcioj sur V venas de regulaj funkcioj sur A da n , ekzistas rilato inter la koordinatringoj.\nSpecife, se regula funkcio sur V estas la limigo de du funkcioj f kaj g en k [ n ], tiam f \u2212 g estas polinomfunkcio kiu estas nulo sur V kaj tiel apartenas al mi ( V).\nTiel k [ V] povas esti identigita kun k [ n ]/ mi ( V)."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Uzante regulajn funkciojn de afina diverseco g\u0302is 1, ni povas difini regulajn mapojn de unu afina diverseco g\u0302is alia.\nUnue ni difinos regulan mapon de diverseco en afinan regionon: Lasu V esti diverseco enhavita en A da n .\nElektu m regulajn funkciojn sur V, kaj nomu ilin f 1\nNi difinas regulan mapon f de V g\u0302is A da m lasante f\nEn aliaj vortoj, c\u0302iu f I determinas unu koordinaton de la intervalo de f."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Se V \u2032 estas diverseco enhavis en A da m , kiun ni diras ke f estas regula mapo de V g\u0302is V \u2032 se la intervalo de f estas enhavita en V \u2032."}, {"text_idx": "#000030", "text": "La difino de la regulaj mapoj validas ankau\u0306 por algebraj aroj.\nLa regulaj mapoj ankau\u0306 estas nomitaj morfismoj, c\u0302ar ili transformas la kolekton de c\u0302iuj afinaj algebraj aroj en kategorion, kie la objektoj estas la afinaj algebraj aroj kaj la morfismoj estas la regulaj mapoj.\nLa afinaj specoj estas subkategorio de la kategorio da la algebraj aroj."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Surbaze de regula mapo g de V g\u0302is V \u2032 kaj regula funkcio f de k [ V \u2032], tiam f \u2218 g\nLa mapo f \u2192 f \u2218 g estas ringo homomorfism de k [ V \u2032] g\u0302is k [ V].\nInverse, c\u0302iu ringo homomorfism de k [ V \u2032] g\u0302is k [ V] difinas regulan mapon de V g\u0302is V \u2032.\nTio difinas ekvivalentecon de kategorioj inter la kategorio da algebraj aroj kaj la kontrau\u0306a kategorio da la finhave generita reduktis k-algebro.\nTiu ekvivalenteco estas unu el la deirpunktoj de skemteorio."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Kontrau\u0306e al la antau\u0306aj, tiu sekcio koncernas nur specojn kaj ne algebrajn arojn.\nAliflanke, la difinoj etendas nature al projekciaj specoj (venonta sekcio), c\u0302ar afina diverseco kaj g\u0302ia projekcia kompletigo havas la saman kampon de funkcioj."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Se V estas afina diverseco, g\u0302ia kunordigita ringo estas integrita domajno kaj havas tiel kampon de frakcioj kiu estas indikita k ( V) kaj nomita la kampo de la raciaj funkcioj sur V au\u0306, baldau\u0306, la funkciokampo de V.\nG\u0302iaj elementoj estas la restriktoj al V de la raciaj funkcioj super la afina regiono enhavanta V.\nLa domajno de racia funkcio f ne estas V sed la komplemento de la subdiverseco (hipersurfaco) kie la denominatoro de f malaperas."}, {"text_idx": "#000034", "text": "Like por regulaj mapoj, oni povas difini racian mapon de variaj\u0302o V g\u0302is variaj\u0302o V'.\nLike por la regulaj mapoj, la raciaj mapoj de V g\u0302is V povas esti identigitaj al la kampohomomorfismoj de k ( V) g\u0302is k ( V)."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Du afinaj specoj estas birationaly ekvivalentaj se ekzistas du raciaj funkcioj inter ili kiuj estas inversaj unuj al la aliaj en la regionoj kie ambau\u0306 estas difinitaj.\nEkvivalente, ili estas birationaly ekvivalentaj se iliaj funkcioregionoj estas izomorfaj."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Afina diverseco estas racia diverseco se g\u0302i estas birationaly ekvivalenta al afina spaco.\nTio signifas ke la diverseco koncedas racian parametroigon."}, {"text_idx": "#000037", "text": "kiu ankau\u0306 povas esti rigardita kiel racia mapo de la linio g\u0302is la cirklo."}, {"text_idx": "#000038", "text": "La problemo de rezolucio de neordinaraj\u0302oj devas scii c\u0302u c\u0302iu algebra diverseco estas birationaly ekvivalenta al diverseco kies projekcia kompletigo estas neeksterordinara (vidu ankau\u0306 glatan kompletigon).\nG\u0302i estis pozitive solvita en karakterizaj\u0302o 0 fare de Heisuke Hironaka en 1964 kaj ankorau\u0306 estas neklarigita en finhava karakterizaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000039", "text": "Ekzakte kiel la formulojn por la radikoj de dua, tria kaj 4-a grado polinomoj indikas etendi realajn nombrojn al la pli algebre kompleta fikso de la kompleksaj nombroj, multaj trajtoj de algebraj variecoj indikas etendi afinan spacon al pli geometrie kompleta projekcia spaco.\nDum la kompleksaj nombroj akirig\u0302as per aldonado la nombro da I, radiko de la polinomo x 2 + 1, projekcia spaco akirig\u0302as per aldonado en konvenaj punktoj \"c\u0302e senfineco\", punktoj kie paralelaj linioj povas renkonti."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Vidi kiel tio eble okazos, pripensos la variaj\u0302on V ( y \u2212 x 2).\nSe ni tiras g\u0302in, ni ricevas parabolon.\nKiel x iras al pozitiva senfineco, la deklivo de la linio de la origino g\u0302is la punkto ( x, x 2) ankau\u0306 iras al pozitiva senfineco.\nKiel x iras al negativa senfineco, la deklivo de la sama linio iras al negativa senfineco."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Komparu tion kun la variaj\u0302o V ( y \u2212 x 3).\nKiel x iras al pozitiva senfineco, la deklivo de la linio de la origino g\u0302is la punkto ( x, x 3) iras al pozitiva senfineco ekzakte kiel antau\u0306e.\nSed male al antau\u0306 ol, c\u0302ar x iras al negativa senfineco, la deklivo de la sama linio iras al pozitiva senfineco ankau\u0306;\nla preciza kontrau\u0306o de la parabolo.\nTiel la konduto \"c\u0302e senfineco\" de V ( y \u2212 x 3) estas diferenca de la konduto \"c\u0302e senfineco\" de V ( y \u2212 x 2)."}, {"text_idx": "#000042", "text": "La konsidero de la projekcia kompletigo de la du kurboj, kiu estas ilia plilongigo \"c\u0302e senfineco\" en la projekcia ebeno, permesas kvantigi tiun diferencon: la punkto c\u0302e senfineco de la parabolo estas regula punkto, kies klavo estas la linio c\u0302e senfineco, dum la punkto c\u0302e senfineco de la kuba kurbo estas rando.\nAnkau\u0306, ambau\u0306 kurboj estas raciaj, c\u0302ar ili estas parameterigitaj per x, kaj Riemann-Roch teoremo implicas ke la kuba kurbo havendaj\u0302o neordinaraj\u0302on, kiu devas esti c\u0302e senfineco, c\u0302ar c\u0302iuj g\u0302iaj punktoj en la afina spaco estas regulaj."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Tiel multaj el la trajtoj de algebraj variecoj, inkluzive de biracia ekvivalenteco kaj c\u0302iuj topologiaj trajtoj, dependas de la konduto \"c\u0302e senfineco\" kaj tiel g\u0302i estas natura studi la specojn en projekcia spaco.\nKrome, la enkonduko de projekciaj teknikoj igis multajn teoremojn en algebra geometrio pli simplaj kaj pli akraj: Ekzemple, teoremo de Be\u0301zout sur la nombro da intersekcig\u0302oj inter du specoj povas esti deklarita en sia plej akra formo nur en projekcia spaco.\nPro tiuj kialoj, projekcia spaco ludas fundamentan rolon en algebra geometrio."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Nuntempe, la projekcia regiono P n de dimensio n estas kutime difinita kiel la aro de la linioj pasantaj tra punkto, konsiderita la originon, en la afina regiono de dimensio n + 1, au\u0306 ekvivalente al la aro de la vektorlinioj en vektora spaco de dimensio n + 1.\nKiam koordinatsistemo estis elektita en la spaco de dimensio n + 1, c\u0302iuj punktoj de linio havas la saman metite de koordinatoj, g\u0302is la multipliko per elemento de k.\nTio difinas la homogenajn koordinatojn de punkto de P n kiel sekvencon de n + 1 elementoj de la bazkampo k, difinita g\u0302is la multipliko per nonzerelemento de k (la sama por la tuta sekvenco)."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Surbaze de polinomo en n + 1 variabloj, g\u0302i malaperas c\u0302iupunkte de linio pasanta tra la origino se kaj nur se g\u0302i estas homogena.\nEn tiu kazo, oni diras ke la polinomo malaperas c\u0302e la ekvivalenta punkto de P n .\nTio permesas difini projekcian algebran aron en P n kiel la aron V ( f 1\nLike por afinaj algebraj aroj, ekzistas ensurj\u0302eto inter la projekciaj algebraj aroj kaj la reduktitaj homogenaj idealoj kiuj difinas ilin.\nLa projekciaj specoj estas la projekciaj algebra metas kies difina idealo estas c\u0302efa.\nEn aliaj vortoj, projekcia diverseco estas projekcia algebra aro, kies homogena kunordigita ringo estas integrita domajno, la projekcia koordinatringo estanta difinita kiel la kvociento de la gradigita ringo au\u0306 la polinomoj en n + 1 variabloj per la homogena (reduktite) idealo difinanta la diversecon.\nC\u0302iu projekcia algebra aro povas labori unike malkonstruita pri finhava unio de projekciaj specoj."}, {"text_idx": "#000046", "text": "La nuraj regulaj funkcioj kiuj povas esti difinitaj konvene en projekcia diverseco estas la konstantaj funkcioj.\nTiel tiu nocio ne estas uzita en projekciaj situacioj.\nAliflanke, la kampo de la raciaj funkcioj au\u0306 funkciokampo estas utila nocio, kiu, simile kiel en la afina kazo, estas difinita kiel la aro de la kvocientoj de du homogenaj elementoj de la sama grado en la homogena kunordigita boksejo."}, {"text_idx": "#000047", "text": "La reela algebra geometrio estas la studo de la realaj punktoj de la algebra geometrio."}, {"text_idx": "#000048", "text": "La fakto ke la kampo de la realnombro estas ordigita kampo ne devus esti ignorita en tia studo.\nG\u0302i sekvas tiun reelan algebran geometrion estas ne nur la studo de la realaj algebraj variecoj, sed estis g\u0302eneraligita al la studo de la semi-algebraj aroj, kiuj estas la solvoj de sistemoj de polinomekvacioj kaj polinomneegalaj\u0302oj."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Unu el la malfacilaj problemoj de reela algebra geometrio estas la deksesa problemo de la neklarigita Hilbert: Decidi kiuj respektivaj pozicioj estu eblaj por la ovaloj de neeksterordinara aviadilkurbo de grado 8."}, {"text_idx": "#000050", "text": "Oni povas dati la originon de komputila algebra geometrio al renkontado EUROSAM'79 (Internacia Simpozio sur Symbolic kaj Algebraic Manipulation) tenita c\u0302e Marsejlo, Francio en junio 1979."}, {"text_idx": "#000051", "text": "Dennis S. Arnon montris tiun tiu de George E. Collins\nCilindra algebra putrig\u0302o (CAD) permesas la komputadon de la topologio de semi-algebraj aroj,\nBruno Buchberger prezentis la Gro\u0308bner-bazojn kaj lian algoritmon por komputi ilin,\nDaniel Lazard prezentis novan algoritmon por solvado de sistemoj de homogenaj polinomekvacioj kun komputadokomplekseco kiu estas esence polinomo en la atendata nombro da solvoj kaj tiel simple eksponenta en la nombro da la nekonataj\u0302oj.\nTiu algoritmo estas forte rilata kun tiu de Macaulay"}, {"text_idx": "#000052", "text": "Ekde tiam, la plej multaj rezultoj en tiu areo estas rilatitaj al unu au\u0306 pluraj da tiuj eroj au\u0306 uzante au\u0306 plibonigante unu el tiuj algoritmoj, au\u0306 trovante algoritmojn kies komplekseco estas simple eksponentaj en la nombro da la variabloj"}, {"text_idx": "#000053", "text": "Korpo de matematika teorio komplementa al simbolaj metodoj nomitaj nombra algebra geometrio estis evoluigita dum la lasta pluraj jardekoj.\nLa c\u0302efa komputila metodo estas homotopyodau\u0306rigo.\nTio apogas, ekzemple, modelon de glitkom komputado por solvado de problemoj de algebra geometrio."}, {"text_idx": "#000054", "text": "Gro\u0308bner-bazo estas sistemo de generatoroj de polinomidealo kies komputado permesas la deprenon da multaj trajtoj de la afina algebra diverseco difinita per la idealo."}, {"text_idx": "#000056", "text": "Per la Hilbert-serialo unu povas komputi la dimension kaj la gradon da V de iu Gro\u0308bner-bazo da mi por monomial mendado rafinanta la totalan gradon.\nSe la dimensio de V estas 0, oni povas komputi la punktojn (finhavajn en nombro) de V de iu Gro\u0308bner-bazo de mi (vidu sistemoj de polinomekvacioj).\nGro\u0308bner-bazkomputado permesas forigi de V c\u0302iujn neredukteblajn komponentojn kiuj estas enhavitaj en antau\u0306fiksita hipersurfaco.\nGro\u0308bner-bazkomputado permesas komputi la Zariski-finon de la bildo de V de la projekcio sur la k unuaj koordinatoj, kaj la subaron de la bildo kie la projekcio ne estas bonorda.\nPli g\u0302enerale Gro\u0308bner-bazkomputadoj permesas komputi la Zariski-finon de la bildo kaj la kritikajn punktojn de racia funkcio de V en alian afinan diversecon."}, {"text_idx": "#000057", "text": "Gro\u0308bner-bazkomputadoj ne permesas komputi rekte la primaran putrig\u0302on de I nek la c\u0302efidealojn difinante la neredukteblajn komponentojn de V, sed la plej multajn algoritmojn por tio impliki Gro\u0308bner-bazkomputadon.\nLa algoritmoj kiuj ne estas bazitaj sur Gro\u0308bner-bazoj uzas regulajn katenojn sed povas bezoni Gro\u0308bner-bazojn en kelkaj esceptaj situacioj."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Gro\u0308bner-bazo estas opiniita por esti malfacila komputi.\nFakte ili povas enhavi, en la plej malbona kazo, polinomojn kies grado estas duoble eksponenta en la nombro da variabloj kaj kelkaj polinomoj kiu ankau\u0306 estas duoble eksponenta.\nTamen, tio estas nur plej malbonkaza komplekseco, kaj la kompleksecsaltego de la algoritmo de Lazard de 1979 povas ofte uzi.\nLa F4- kaj F5-algoritmoj de Fauge\u0300re realigas tiun kompleksecon, c\u0302ar F5-algoritmo povas esti rigardita kiel plibonigo de la 1979 algoritmo de Lazard.\nG\u0302i sekvas ke la plej bonaj efektivigoj permesas komputi preskau\u0306 rutine kun algebraj aroj de grado pli ol 100-a Tio signifas ke, aktuale, la malfacileco de komputi Gro\u0308bner-bazo estas forte rilatita al la interna malfacileco de la problemo."}, {"text_idx": "#000059", "text": "CAD estas algoritmo kiu estis lanc\u0302ita en 1973 fare de G. Collins por efektivigi kun akceptebla komplekseco la Tarski-Seidenberg-teoremon sur kvantorelimino super la realaj nombroj."}, {"text_idx": "#000060", "text": "Tiu teoremo koncernas la formulojn de la unuaorda logiko kies atomaj formuloj estas polinomegalecoj au\u0306 neegalaj\u0302oj inter polinomoj kun realaj koeficientoj.\nTiuj formuloj estas tiel la formuloj kiuj povas esti konstruitaj el la atomaj formuloj fare de la logikaj funkciigistoj kaj\npor c\u0302io (\u2200) kaj ekzistas (\u2203).\nLa teoremo de Tarski asertas ke, de tia formulo, oni povas komputi ekvivalentan formulon sen kvantoro (\u2200, \u2203)."}, {"text_idx": "#000061", "text": "La komplekseco de CAD estas duoble eksponenta en la nombro da variabloj.\nTio signifas ke CAD permesas, en teorio, solvi c\u0302iun problemon de reela algebra geometrio kiu povas esti esprimita per tia formulon, kiu estas preskau\u0306 c\u0302iu problemo koncerne eksplicite antau\u0306fiksitajn specojn kaj semi-algebraj aroj."}, {"text_idx": "#000062", "text": "Dum Gro\u0308bner-bazkomputado havas duoble eksponentan kompleksecon nur en maloftaj kazoj, CAD preskau\u0306 havas c\u0302iam tiun altan kompleksecon.\nTio implicas tion, se c\u0302u la plej multaj polinomoj aperantaj en la enigaj\u0302o estas liniaj, g\u0302i eble ne solvas problemojn kun pli ol kvar variabloj."}, {"text_idx": "#000064", "text": "Ekzemplocele por la stato de arto, ekzistas efikaj algoritmoj por trovi minimume punkton en c\u0302iu Koneksa komponanto de semi-algebra aro, kaj tiel testi c\u0302u semi-algebra aro estas malplena.\nAliflanke, CAD ankorau\u0306 estas, en praktiko, la plej bona algoritmo por nombri la nombron da Koneksaj komponantoj."}, {"text_idx": "#000065", "text": "La bazaj g\u0302eneralaj algoritmoj de komputilgeometrio havas duoblan eksponentan plej malbonan kazon kompleksecon."}, {"text_idx": "#000066", "text": "Dum la lastaj 20 jaroj da 20-a jarcento, diversaj algoritmoj estis lanc\u0302itaj por solvi specifajn subproblemojn kun pli bona komplekseco."}, {"text_idx": "#000067", "text": "Inter tiuj algoritmoj kiuj solvas subproblemon de la problemoj solvitaj per Gro\u0308bner-bazoj, oni povas citi testi c\u0302u afina diverseco estas malplena kaj solvanta nehomogenajn polinomsistemojn kiuj havas finhavan nombron da solutions. kiun Tiaj algoritmoj malofte estas efektivigitaj c\u0302ar, en la plej multaj kontribuoj Fauge\u0300re F4- kaj F5-algoritmoj havas pli bonan praktikan efikecon kaj vers\u0302ajne similan au\u0306 pli bonan kompleksecon ( vers\u0302ajne c\u0302ar la taksado de la komplekseco de Gro\u0308bner-bazalgoritmoj sur akurata klaso de kontribuoj estas malfacila tasko kiu estis farita nur en kelkaj specialaj kazoj)."}, {"text_idx": "#000068", "text": "La c\u0302efalgoritmoj de reela algebra geometrio kiuj solvas problemon solvitan per CAD estas rilatitaj al la topologio de semi-algebraj aroj.\nOni povas citi nombri la nombron da Koneksaj komponantoj, testante c\u0302u du poentoj estas en la samaj komponentoj au\u0306 komputante Whitney-tavolig\u0302on de reala algebra aro.\nTial, tiuj algoritmoj neniam estis efektivigitaj kaj tio estas aktiva esplortemo por serc\u0302i algoritmojn kun havi kune bonan asimptotan kompleksecon kaj bonan praktikan efikecon."}, {"text_idx": "#000069", "text": "La modernaj aliroj al algebra geometrio redifinas kaj efike etendas la vicon da bazaj objektoj en diversaj niveloj de g\u0302eneraleco al kabaloj, formalaj kabaloj, ind-skemoj, algebraj spacoj, algebraj stakoj.\nLa bezono de tio jam ekestig\u0302as de la utilaj ideoj ene de teorio de specoj, ekz. la formalaj funkcioj de Zariski povas esti alg\u0302ustigita lanc\u0302ante nilpotentelementojn en strukturboksejoj;\npripensante spacojn de bukloj kaj arkoj, konstruante kvocientojn per grupaj agoj kaj evoluigante formalajn grundojn por natura komunaj\u0302a teorio kaj deformadoteorio kau\u0306zi kelkajn el la pliaj etendaj\u0302oj."}, {"text_idx": "#000071", "text": "Foje aliaj algebraj ejoj anstatau\u0306igas la kategorion da afinaj kabaloj.\nEkzemple, Nikolai Durov lanc\u0302is kommutativajn algebrajn monadojn kiel g\u0302eneraligo da lokaj objektoj en g\u0302eneraligita algebra geometrio.\nVersioj de tropika geometrio, de absoluta geometrio super kampo de unu elemento kaj algebra analogo de la geometrio de Arakelov estis realigitaj en tiu arang\u0302o."}, {"text_idx": "#000072", "text": "Alia formala g\u0302eneraligo estas ebla al Universal algebra geometrio en kiu c\u0302iu gamo da algebroj havas sian propran algebran geometrion.\nLa esprimo diverseco de algebroj ne devus esti konfuzita kun algebra diverseco."}, {"text_idx": "#000073", "text": "La lingvo de kabaloj, stakoj kaj g\u0302eneraligoj pruvis esti valora maniero trakti geometriajn konceptojn kaj ig\u0302is bazs\u0302tonoj de moderna algebra geometrio."}, {"text_idx": "#000074", "text": "Algebraj stakoj povas esti plu g\u0302eneraligitaj kaj por multaj praktikaj demandoj kiel deformadoteorio kaj komunaj\u0302a teorio, tio ofte estas la plej natura aliro.\nOni povas etendi la Grothendieck-lokon de afinaj kabaloj al pli alta kategoria loko de derivitaj afinaj kabaloj, per anstatau\u0306igado de la komutaj ringoj kun senfineckategorio da diferencialo gradigitaj komutaj algebroj, au\u0306 de simplicial komutaj ringoj au\u0306 simila kategorio kun konvena variaj\u0302o de Grothendieck-topologio.\nOni ankau\u0306 povas anstatau\u0306igi prepuliojn de aroj de prepulioj de simplicial aroj (au\u0306 de senfinecgrupoidoj).\nTiam, en c\u0302eesto de konvena homotemmas\u0302inaro oni povas evoluigi nocion de derivita stako kiel tia prefasko en la senfineckategorio da derivitaj afinaj kabaloj, kiu kontentigas certan senfinan kategorian version de faskaksiomo (kaj esti algebra, indukte sekvenco de representabileckondic\u0302oj).\nQuillen-modelkategorioj, Segal-kategorioj kaj kvazau\u0306kategorioj estas kelkaj el la plejofte uzitaj iloj por formaligi tion donantan la derivitan algebran geometrion , lanc\u0302itan fare de la lernejo de Carlos Simpson, inkluzive de Andre Hirschowitz, Bertrand Toe\u0308n, Gabrielle Vezzosi, Michel Vaquie\u0301 kaj aliaj;\nkaj evoluinta plu de Jacob Lurie, Bertrand Toe\u0308n, kaj Gabrielle Vezzosi.\nAlia (nonkomutative) versio de derivita algebra geometrio, uzi Nil-senfinecajn kategoriojn estis evoluigita de fruaj 1990-aj jaroj fare de Maxim Kontsevich kaj anoj."}, {"text_idx": "#000076", "text": "Tiaj teknikoj de aplikado de geometriaj konstruoj al algebraj problemoj ankau\u0306 estis adoptitaj de kelkaj Renesanc matematikistoj kiel ekzemple Gerolamo Cardano kaj Niccolo\u0300 Fontana \" Tartaglia \" en siaj studoj de la triagrada ekvacio.\nLa geometria aliro al konstruproblemoj, prefere ol la algebra, estis preferita ekde plej multe de la 16-a kaj 17-a jarcento al matematikistoj, precipe Blaise Pascal kiu kverelis kontrau\u0306 la uzo de algebraj kaj analizaj metodoj en geometrio.\nLa francaj matematikistoj Franc\u0327ois Vie\u0300te kaj pli posta Rene\u0301 Descartes kaj Pierre de Fermat revoluciigis la konvencian pensadon pri konstruproblemoj tra la enkonduko de kunordigita geometrio.\nIli estis interesitaj c\u0302efe en la trajtoj de algebraj kurboj, kiel ekzemple tiuj difinitaj per diofantaj ekvacioj (koncerne Fermat), kaj la algebra reformulo de la klasika grekverkoj sur konic kaj kubikoj (koncerne Descartes)."}, {"text_idx": "#000077", "text": "Dum la sama periodo, Blaise Pascal kaj Ge\u0301rard Desargues aliris geometrion de malsama perspektivo, evoluigante la sintezajn nociojn de projekcia geometrio.\nPaskalo kaj Desargues ankau\u0306 studis kurbojn, sed de la sole geometria perspektivo: la analogaj\u0302o de la greka reganto kaj kompasookonstruo.\nFinfine, la analitika geometrio de Descartes kaj Fermat venkis eksteren, c\u0302ar g\u0302i provizis la 18-an-jarcentajn matematikistojn per konkretaj kvantaj iloj necesaj por studi fizikajn problemojn uzantajn la novan kalkuladon de Neu\u0306tono kaj Leibniz.\nTamen, antau\u0306 la fino de la 18-a jarcento, la plej granda parto de la algebra kvalito de kunordigita geometrio estis inkludita per la kalkulado de infinitesimal'oj de Lagrange kaj Euler."}, {"text_idx": "#000079", "text": "G\u0302i prenis la samtempajn 19-an-jarcentajn evoluojn de ne-eu\u0306klida geometrio kaj Abelajn integralojn por alporti la malnovajn algebrajn ideojn reen en la geometrian faldon.\nLa unua el tiuj novaj evoluoj estis konfiskita supren fare de Edmond Laguerre kaj Arthur Cayley, kiuj provis konstati la g\u0302eneraligitajn metrikajn trajtojn de projekcia spaco.\nCayley lanc\u0302is la ideon de homogenaj polinomformoj, kaj pli specife kvadratajn formojn, sur projekcia spaco.\nPoste, Felix Klein studis projekcian geometrion (kune kun aliaj specoj de geometrio) de la vidpunkto ke la geometrio sur spaco estas c\u0302ifrita en certa klaso de transformoj sur la spaco.\nAntau\u0306 la fino de la 19-a jarcento, projekciaj geometristoj studis pli g\u0302eneralajn specojn de transformoj sur figuroj en projekcia spaco.\nPrefere ol la projekciaj lineartransformoj kiuj estis normale rigarditaj kiel donado de la fundamenta Kleiniana geometrio sur projekcia spaco, ili maltrankviligis sin ankau\u0306 pri la pli altaj gradaj biraciaj transformoj.\nTiu pli malforta nocio de kongrueco poste igus membrojn da la 20-a-jarcenta itala lernejo de algebra geometrio klasifiki algebrajn surfacojn supren al biracia izomorfio."}, {"text_idx": "#000080", "text": "La dua frua 19-a-jarcenta evoluo, tiu de Abelaj integraloj, kau\u0306zus Bernhard Riemann la evoluon de Riemann-facoj."}, {"text_idx": "#000081", "text": "En la sama periodo komencis la algebroigon de la algebra geometrio tra komuta algebro.\nLa elstaraj rezultoj en tiu direkto estas la bazteoremo de Hilbert kaj Hilbert's Nullstellensatz, kiuj estas la bazo da la interligo inter algebra geometrio kaj komuta algebro, kaj Macaulay\nmultivariate fortrezultanto, kiu estas la bazo de eliminteorio.\nVers\u0302ajne pro la grandeco de la komputado kiu estas implicita per multivariate fortrezultantoj, eliminteorio estis forgesita dum la mezo de la 20-a jarcento g\u0302is g\u0302i estis renovigita per teorio de specialaj\u0302oj kaj komputila algebra geometrio."}, {"text_idx": "#000082", "text": "B L.-kamioneto der Waerden, Oscar Zariski kaj Andre\u0301 Weil evoluigis fundamenton por algebra geometrio bazita sur nuntempa komuta algebro, inkluzive de valortaksooteorio kaj la teorio de idealoj.\nUnu el la celoj estis doni rigoran kadron por pruvado de la rezultoj de itala lernejo de algebra geometrio.\nAparte, tiu lernejo uzis sisteme la nocion da senmarka punkto sen iu preciza difino, kiu unue estis donita fare de tiuj verkintoj dum la 1930-aj jaroj."}, {"text_idx": "#000083", "text": "En la 1950-aj jaroj kaj 1960-aj jaroj Jean-Pierre Serre kaj Alexander Grothendieck transfandas la fundamentojn farante uzon de faska teorio.\nPoste, de proksimume 1960, kaj plejparte kondukita fare de Grothendieck, kun la ideo de kabaloj estis laborita, lige kun tre delikata aparataro de homologiaj teknikoj.\nPost jardeko da rapida evoluo la kampo stabiligita en la 1970-aj jaroj, kaj novaj aplikoj estis produktitaj, kaj al nombroteorio kaj al pli klasikaj geometriaj demandoj en algebraj variecoj, neordinaraj\u0302oj kaj modulus."}, {"text_idx": "#000084", "text": "Grava klaso de specoj, ne facile komprenitaj rekte de iliaj difinaj ekvacioj, estas la abelaj variaj\u0302oj, kiuj estas la projekciaj specoj kies punktoj formas abelan grupon.\nLa prototipaj ekzemploj estas la elipsaj kurboj, kiuj havas ric\u0302an teorion.\nIli estis instrumentaj en la pruvo de la lasta teoremo de Fermat kaj ankau\u0306 estas uzitaj en elipsa kurbokriptografio."}, {"text_idx": "#000085", "text": "En paralela kun la abstrakta tendenco de la algebra geometrio, kiu temas pri g\u0302eneralaj deklaroj pri specoj, metodoj por efika komputado kun konkreta-antau\u0306fiksitaj specoj ankau\u0306 estis evoluigitaj, kiuj kondukas al la nova areo de komputila algebra geometrio.\nUnu el la fondmetodoj de tiu areo estas la teorio de Gro\u0308bner-bazoj, lanc\u0302itaj fare de Bruno Buchberger en 1965.\nAlia fonda metodo, pli aparte sindona al reela algebra geometrio, estas la cilindra algebra putrig\u0302o, lanc\u0302ita fare de George E. Collins en 1973."}, {"text_idx": "#000086", "text": "Analitika diversaj\u0302o estas difinita loke kiel la aro de oftaj solvoj de pluraj ekvacioj implikantaj analizajn funkciojn.\nG\u0302i estas analoga al la inkludita koncepto de reala au\u0306 kompleksa algebra diverseco.\nC\u0302iu kompleksa dukto estas analitika diversaj\u0302o.\nC\u0302ar analitikaj diversaj\u0302oj povas havi eksterordinarajn punktojn, ne c\u0302iuj analitikaj diversaj\u0302oj estas duktoj."}, {"text_idx": "#000087", "text": "Moderna analitika geometrio estas esence ekvivalenta al reala kaj kompleksa algebra geometrio, kiel estis montrita fare de Jean-Pierre Serre en lia artikolo Gaga , kies nomo estas franca por algebra geometrio and analitika geometrio.\nTamen, la du kampoj restas apartaj, c\u0302ar la metodoj da pruvo estas tre malsamaj kaj algebra geometrio inkludas ankau\u0306 geometrion en finhava karakterizaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000088", "text": "Algebra geometrio nun trovas aplikojn en statistiko, [7]\nfilogenetic [12] kaj geometria modeligado.\nEkzistas ankau\u0306 ligoj por teorion de kordoj, [14]"}, {"text_idx": "#000089", "text": "Glosaro de klasika algebra geometrio\nGravaj publikaj\u0302oj en algebra geometrio"}, {"text_idx": "#000093", "text": "Modernaj lernolibroj kiuj ne uzas la lingvon de kabaloj"}, {"text_idx": "#000095", "text": "Lernolibroj en komputila algebra geometrio"}, {"text_idx": "#000100", "text": "Diferencialaj ekvacioj / dinamikaj sistemoj"}, {"text_idx": "#000101", "text": "Algebra geometrio estas branc\u0302o de matematiko kiu, lau\u0306 sia nomo, kombinas abstraktan algebron, aparte komutan algebron, kun geometrio. G\u0302i povas aspekti kiel studoj de solvaj\u0302aj aroj de sistemoj de algebraj ekvacioj. Se estas pli ol unu variablo, geometriaj konsideroj povas esti gravaj por kompreni la fenomenojn. Algebra geometrio komencig\u0302as kiam finig\u0302as solvado de ekvacioj, kaj g\u0302i estas grava kaj por kompreni la tutecon de solvaj\u0302oj de ekvaciaro rilate kaj por trovi iun solvaj\u0302on."}, {"text_idx": "#000102", "text": "Nuloj de kelkaj polinomoj samtempe"}, {"text_idx": "#000103", "text": "En klasika algebra geometrio, la c\u0302efaj objektoj de intereso estas la aroj de nuloj kolektoj de polinomoj. C\u0302i tio estas aro de c\u0302iuj punktoj kiuj samtempe kontentigas unuon au\u0306 kelkajn polinomajn ekvaciojn. Ekzemple, la du-dimensia sfero en tri-dimensia eu\u0306klida spaco povas esti difinita kiel la aro de c\u0302iuj punktoj kun"}, {"text_idx": "#000104", "text": "\"oblikvita\" cirklo en povas esti difinita kiel la aro de c\u0302iuj punktoj kiu kontentigas du polinomajn ekvaciojn (tiun de la sfero kaj tiun de la ebeno):"}, {"text_idx": "#000105", "text": "Unue konsideru kampon k. En klasika algebra geometrio, c\u0302i tiu kampo estas c\u0302iam , la kompleksaj nombroj, sed multaj el la rezultoj estas veraj se oni prenas nur ke k estas algebre fermita. Oni difinas na , nomitan kiel la afina n-spaco super k, kiel kn. La celo de c\u0302i tiu evidente superflua skribmaniero estas emfazi tion ke oni forgesas la vektoran spacan strukturon kiun kn enhavas. Abstrakte parolante, estas, por la momento, nur kolekto de punktoj."}]