[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, diferencialdukto estas speco de dukto kiu estas sufic\u0302e loke simila al linia spaco permesi al tia farendaj\u0302o kalkuladon.\nC\u0302iu dukto povas esti priskribita per kolekto de furorlisto, ankau\u0306 konata kiel atlaso.\nOni tiam povas uzi ideojn de kalkulado laborante ene de la individua furorlisto, c\u0302ar c\u0302iu diagramo kus\u0302as ene de linia spaco por kiu la kutimaj reguloj de kalkulado validas.\nSe la furorlisto estas konvene kongrua (nome, la transiro de unu diagramo g\u0302is alia estas diferenciebla), tiam komputadoj faritaj en unu diagramo estas validaj en iu alia diferenciebla diagramo."}, {"text_idx": "#000002", "text": "En formalaj esprimoj, diferencialdukto estas topologia dukto kun tutmonde difinita diferenciga strukturo.\nAl c\u0302iu topologia dukto povas ricevi diferencigan strukturo loke uzante la homeomorfiojn en sia atlaso kaj la norman diferencigan strukturon sur linia spaco.\nIndukti tutmondan diferencialstrukturon sur la lokaj koordinatsistemoj induktitaj per la homeomorfioj, ilia kunmetaj\u0302o sur furorlistintersekcig\u0302oj en la atlaso devas esti diferencieblaj funkcioj sur la ekvivalenta linia spaco.\nEn aliaj vortoj, kie la domajnoj de furorlisto interkovras, la koordinatojn difinitajn per c\u0302iu diagramo estas postulataj por esti diferencieblaj kun respekto al la koordinatoj difinitaj per c\u0302iu diagramo en la atlaso.\nLa mapoj kiuj rilatigas la koordinatojn difinitajn per la diversa furorlisto unu al la alia estas nomitaj transirmaps."}, {"text_idx": "#000006", "text": "2 Klavvektoroj kaj la diferencialo\nDistingeblo de mapadoj inter duktoj"}, {"text_idx": "#000007", "text": "2 Klavvektoroj kaj la diferencialo"}, {"text_idx": "#000008", "text": "La apero de diferenciala geometrio kiel klara disciplino estas g\u0302enerale kreditita al Carl Friedrich Gauss kaj Bernhard Riemann.\nRiemann unua priskribis duktojn en sia fama Habilitig\u0302oprelego [1] antau\u0306 la fakultato c\u0302e Distrikto Go\u0308ttingen.\nLi instigis la ideon de dukto per intuicia procezo de variigado de antau\u0306fiksita objekto en nova direkto, kaj klarvide priskribis la rolon de koordinatsistemoj kaj furorliston en postaj formalaj evoluoj:"}, {"text_idx": "#000009", "text": "Having constructed the notion of a manifoldness of n dimensions, and found that its true character consists in the property that the determination of position in it may be reduced to n determinations of magnitude, ..."}, {"text_idx": "#000010", "text": "La verkoj de fizikistoj kiel ekzemple James Clerk Maxwell, [2] kaj matematikistoj Gregorio Ricci-Curbastro kaj Tullio Levi-Civita [3] kau\u0306zis la evoluon de tensoranalizo kaj la nocio de kunvarianco, kiu identigas internan geometrian posedaj\u0302on kiel tia kiu estas senvaria kun respekto al kunordigitaj transformoj.\nTiuj ideoj trovis esencan aplikon en la g\u0302enerala relativismo de Einstein kaj g\u0302ia subesta ekvivalentprincipo.\nModerna difino de 2-dimensia dukto ricevis fare de Hermann Weyl en lia 1913 libro pri Riemann-facoj.\nLa vaste akceptita g\u0302enerala difino de dukto lau\u0306 atlaso s\u0302uldig\u0302as al Hassler Whitney."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Prezento de topologia dukto estas sekunde nombrebla\ninterspacigi tion estas loke homeomorfa al linia spaco, per kolekto (nomita atlaso ) de homeomorfioj nomitaj furorlisto.\nLa kunmetaj\u0302o de unu diagramo kun la inversa de alia diagramo estas funkcio nomita transirmapo , kaj difinas homeomorfion de malferma subaro de la linia spaco sur alia malferma subaro de la linia spaco.\nTio formaligas la nocion de \"flikado kune pecoj de spaco por fari dukton\" - la dukto produktis ankau\u0306 enhavas la datenojn de kiel g\u0302i estis flikita kune.\nTamen, malsamaj atlasoj (flikadoj) povas produkti \"la saman\" dukton;\ndukto ne venas kun preferata atlaso.\nKaj, tiel, oni difinas topologian dukton esti spaco kiel supra kun ekvivalentklaso de atlasoj, kie oni difinas ekvivalentecon de atlasoj malsupre."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Ekzistas kelkaj malsamaj specoj de diferencialduktoj, depende de la precizaj distingeblopostuloj sur la transirfunkcioj.\nKelkaj komunaj ekzemploj inkludas la sekvantajn."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Dum ekzistas senchava nocio de Ck atlaso, ekzistas neniu klara nocio de Ck dukto krom C 0 (kontinuaj mapoj: topologia dukto) kaj C \u221e (glataj mapoj: difencigebla plurejo), c\u0302ar por c\u0302iu Ck - strukturo kun k > 0, ekzistas unika Ck - ekvivalento da C \u221e - strukturo (c\u0302iu Ck - strukturo estas unike glatigieblaj al C \u221e - strukturo) - rezulto de Whitney.\nFakte, c\u0302iu Ck - strukturo estas unike glatigiebla al C \u03c9-strukturo.\nKrome, du Ck atlasoj kiuj estas ekvivalentaj al unuopaj\u0302o C \u221e atlaso estas ekvivalentaj kiel Ck atlasoj, tiel ke du apartaj Ck atlasoj ne kolizias.\nDiferenciga strukturo: Ekzisto- kaj unikecteoremoj por detaloj.\nTiel oni uzas la esprimojn \"diferencialdukto\" kaj \"difencigeblan plurejon\" inters\u0302ang\u0302eble;\ntio estas en ekstrema kontrasto al Ck mapoj, kie ekzistas senchavaj diferencoj por malsama k. Ekzemple, la Nash-enkonstruadoteoremo deklaras ke c\u0302iu dukto povas esti Ck izometre enkonstruita en eu\u0306klida spaco R da N - por c\u0302iu 1 \u2264 k \u2264 \u221e ekzistas sufic\u0302e granda N, sed N dependas de k."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Aliflanke, kompleksaj duktoj estas signife pli restriktaj.\nEkzemple, la teorem s\u0302tatoj de Chow kiuj c\u0302iu projekcia kompleksa dukto estas fakte projekcia diverseco - g\u0302i havas algebran strukturon."}, {"text_idx": "#000017", "text": "homeomorfio de U \u03b1 estas sur malferma subaro de n-dimensia reala spaco.\nLa transirmapoj de la atlaso estas la funkcioj"}, {"text_idx": "#000018", "text": "C\u0302iu topologia dukto havas atlason.\nCk - atlaso estas atlaso kies transirmapoj estas Ck .\nTopologia dukto havas C atlasan kaj g\u0302enerale Ck - dukto havas Ck - atlason.\nKontinua atlaso estas C 0 atlaso, glata atlaso estas C \u221e atlaso kaj analiza atlaso estas C \u03c9 atlaso.\nSe la atlaso estas almenau\u0306 C 1, g\u0302i ankau\u0306 estas nomita diferenciga strukturo au\u0306 diferenciebla strukturo.\nHolomorfa atlaso estas atlaso kies subesta eu\u0306klida spaco estas difinita pri la kompleksa kampo kaj kies transirmapoj estas biholomorfaj."}, {"text_idx": "#000020", "text": "La nocio de pseu\u0306dogrupo [7] disponigas flekseblan g\u0302eneraligon de atlasoj por permesi al gamo da malsamaj strukturoj esti difinita sur duktoj lau\u0306 unuforma maniero.\nPseu\u0306dogrupo konsistas el topologia spaco S da kaj amasig\u0302o \u03b3 konsistanta el homeomorfioj de malfermaj subaroj de S g\u0302is aliaj malfermaj subaroj de S tia ke"}, {"text_idx": "#000022", "text": "Tiuj lastaj tri kondic\u0302oj estas analogaj al la difino de grupo.\nNotu ke \u03b3 ne devas esti grupo, aliflanke, c\u0302ar la funkcioj ne estas tutmonde difinitaj sur S.\nEkzemple, la kolekto de c\u0302iuj loka Ck\ndifeomorfismoj sur R da n formas pseu\u0306dogrupon.\nC\u0302iuj biholomorfismoj inter malfermitaj aroj en C da n formas pseu\u0306dogrupon.\nPli da ekzemploj inkludas: orientig\u0302o konservanta mapojn de R da n , simplektomorfisms, transformo de Mo\u0308bius, afinaj transformoj,.\nTiel vasta gamo de funkcioklasoj determinas pseu\u0306dogrupojn."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Diferencialdukto tiam estas atlaso kongrua kun la pseu\u0306dogrupo de C k funkcioj sur R da n .\nKompleksa dukto estas atlaso kongrua kun la biholomorfaj funkcioj sur malferma komencig\u0302as C da n .\nTiel pseu\u0306dogrupoj disponigas ununuran kadron en kiu priskribi multajn strukturojn sur duktoj de graveco al diferenciala geometrio kaj topologio."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Aparte, tiu lasta stato signifas ke c\u0302iu funkcio h en C da k ( V), por V, povas esti skribita unike kiel h ( x\nx n ( x), kie H estas k-tempo diferenciebla funkcio sur f ( V) (malfermita aro en R da n ).\nTiel, la fask-teoria vidpunkto estas ke la funkcioj sur diferencialdukto povas esti esprimitaj en lokaj koordinatoj kiel diferencieblaj funkcioj sur R da n , kaj fortiori tio estas sufic\u0302a karakterizi la diferencigan strukturon sur la dukto."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Simila, sed pli teknika, aliro al difinado de diferencialduktoj povas esti formulita uzante la nocion de ringita spaco.\nTiu aliro estas forte influita per la teorio de kabaloj en algebra geometrio, sed utiligas lokajn ringojn de la bakterioj de diferencieblaj funkcioj.\nG\u0302i estas aparte populara en la kunteksto de kompleksaj duktoj."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Ni komencas priskribante la bazan strukturfaskon sur R da n .\nSe U estas malfermita aro en R da n , lasu"}, {"text_idx": "#000029", "text": "konsisti el c\u0302iuj real-aprezitaj k-tempo ade diferencieblaj funkcioj sur U.\nC\u0302ar U varias, tio determinas faskon da ringoj sur R da n.\nLa tigo O p por p \u2208 R da n konsistas el bakterioj de funkcioj proksime de p, kaj estas algebro pli ol R.\nAparte, tio estas loka ringo kies unika maksimuma idealo konsistas el tiuj funkcioj kiuj malaperas c\u0302e p.\nLa paro ( R da n , O) estas ekzemplo de loke ringita regiono: g\u0302i estas topologia spaco provizita per fasko kies tigoj estas c\u0302iu lokaj ringoj."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Diferencialdukto (da klaso Ck) konsistas el paro ( M, O M ) kie M estas sekunde nombrebla\nla spaco, kaj O M estas fasko da loka R-algebras difinita sur M, tia ke la loke ringita regiono ( M, O M ) estas loke izomorfa al ( R da n , O).\nLau\u0306 tiu maniero, diferencialduktoj povas esti opiniitaj de kiel kabaloj formitaj lau\u0306 R da n .\nTio signifas ke, [9] por c\u0302iu punkto p \u2208 M, ekzistas najbareco U de p, kaj paro de funkcioj ( f, f nombro) kie"}, {"text_idx": "#000031", "text": "R da n estas homeomorfio sur malfermita aro en R da n .\nU ) estas izomorfio de faskoj.\nLa lokalizo de f nombro estas izomorfio de lokaj ringoj"}, {"text_idx": "#000033", "text": "Fina avantag\u0302o de tiu aliro estas ke g\u0302i enkalkulas naturajn rektajn priskribojn de multaj el la fundamentaj studobjektoj al diferenciala geometrio kaj topologio."}, {"text_idx": "#000034", "text": "La kotang\u0302antospaco c\u0302e punkto estas Ip / Ip 2, kie Ip estas la maksimuma idealo de la tigo O M, p .\nG\u0302enerale, la tuta kotang\u0302antfasko povas esti akirita per rilata tekniko (vidu kotang\u0302antfaskon por detaloj).\nSerio de Taylor (kaj jetoj) povas esti kontaktitaj en koordinat-sendependa maniero uzanta la I p - adicfiltradon sur O M, p .\nLa klavfasko (au\u0306 pli g\u0302uste sia fasko da sekcioj) povas esti identigita kun la fasko da morfismoj de O M en la ringon de duoblaj nombroj."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Reala aprezita funkcio f sur n-dimensia diferenciebla multnombra M estas nomita diferenciebla c\u0302e punkto p \u2208 M c\u0302u g\u0302i estas diferenciebla en iu kunordigita diagramo difinita c\u0302irkau\u0306 p.\nEn pli precizaj esprimoj, se ( U, \u03c6) estas diagramo kie U estas malfermita aro en M enhavanta p kaj \u03c6:\nU \u2192 R da n estas la mapo difinanta la diagramon, tiam f estas diferenciebla se kaj nur se"}, {"text_idx": "#000036", "text": "estas diferenciebla c\u0302e \u03c6 ( p).\nG\u0302enerale ekzistos multaj disponebla furorlisto;\ntamen, la difino da distingeblo ne dependas de la elekto de diagramo c\u0302e p.\nG\u0302i sekvas el la derivaj\u0302o de funkcia komponaj\u0302o aplikita al la transirfunkcioj inter unu diagramo kaj alia ke se f estas diferenciebla en iu speciala diagramo c\u0302e p, tiam g\u0302i estas diferenciebla en c\u0302iuj furorlisto c\u0302e p.\nAnalogaj konsideroj validas por difinado de Ck funkcioj, glataj funkcioj, kaj analizaj funkcioj."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Ekzistas diversaj manieroj difini la derivaj\u0302on de funkcio sur diferencialdukto, la plej fundamenta el kiu estas la unudirekta derivaj\u0302o.\nLa difino de la unudirekta derivaj\u0302o estas malfaciligita per la fakto ke dukto malhavos tau\u0306gan afinan strukturon kun kiu difini vektorojn.\nLa unudirekta derivaj\u0302o tial rigardas kurbojn en la dukto anstatau\u0306e de vektoroj."}, {"text_idx": "#000038", "text": "Surbaze de reala aprezita funkcio f sur m dimensia diferenciebla multnombra M, la unudirekta derivaj\u0302o de f c\u0302e punkto p en M estas difinita jene.\nSupozu ke \u03b3 ( t) estas kurbo en M kun \u03b3 (0) = p, kio estas diferenciebla en la senco ke g\u0302ia kunmetaj\u0302o kun iu diagramo estas diferenciebla kurbo en R da m .\nTiam la unudirekta derivaj\u0302o de f c\u0302e p lau\u0306 \u03b3 estas"}, {"text_idx": "#000039", "text": "If \u03b31 and \u03b32 are two curves such that \u03b31(0) = \u03b32(0) = p, and in any coordinate chart \u03c6,"}, {"text_idx": "#000040", "text": "tiam, de la derivaj\u0302o de funkcia komponaj\u0302o, f havas la saman unudirektan derivaj\u0302on c\u0302e p lau\u0306 \u03b31 kiel lau\u0306 \u03b32.\nTio signifas ke la unudirekta derivaj\u0302o dependas nur de la klavvektoro de la kurbo c\u0302e p.\nTiel la pli abstrakta difino de unudirekta diferencigo adaptita al la kazo de diferencialduktoj finfine kaptoj la intuiciaj ecoj de unudirekta diferencigo en afina regiono."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Klavvektoro c\u0302e p \u2208 M estas ekvivalentklaso de diferencieblaj kurboj \u03b3 kun \u03b3 (0) = p, modulo la ekvivalentrilato de unuaorda kontakto inter la kurboj."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Tial, la ekvivalentklasoj estas kurboj tra p kun deviga rapidecvektoro c\u0302e p.\nLa kolekto de c\u0302iuj klavvektoroj c\u0302e p formas vektoran spacon: la klavspaco al M c\u0302e p, indikis T da p M."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Se X estas klavvektoro c\u0302e p kaj f diferenciebla funkcio difinita proksime de p, tiam diferencigante f lau\u0306 iu kurbo en la ekvivalentklaso difinante X donas klare difinitan unudirektan derivaj\u0302on lau\u0306 X:"}, {"text_idx": "#000044", "text": "Denove, la derivaj\u0302o de funkcia komponaj\u0302o establas ke tio estas sendependa de la libereco en selektado de \u03b3 el la ekvivalentklaso, c\u0302ar c\u0302iu kurbo kun la sama unua ordkontakto cedos la saman unudirektan derivaj\u0302on."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Se la funkcio f estas fiksa, tiam la mapado"}, {"text_idx": "#000046", "text": "linia funkcia estas sur la klavspaco.\nTiu linia funkcia estas ofte indikita per df ( p) kaj estas nomita la diferencialo de f c\u0302e p:"}, {"text_idx": "#000047", "text": "Unu el la topologiaj ecoj de la fasko da diferencieblaj funkcioj sur diferencialdukto estas ke g\u0302i koncedas sekciojn de unueco.\nTio distingas la diferencigan strukturon sur dukto de pli fortaj strukturoj (kiel ekzemple analizaj kaj holomorfaj strukturoj) kiuj g\u0302enerale ne havas sekciojn de unueco."}, {"text_idx": "#000048", "text": "Supozu ke M estas dukto da klaso Ck, kie 0 \u2264 k \u2264 \u221e.\nestu senkas\u0302a kovraj\u0302o de M.\nkolekto de real-aprezita Ck funkcioj \u03c6 I estas sur M kontentiganta la sekvajn kondic\u0302ojn:"}, {"text_idx": "#000049", "text": "La subtenoj de la \u03c6 mi estas kompakta kaj loke finhava;\nLa subteno de \u03c6 mi estas tute enhavita en U \u03b1 por iu \u03b1;\nLa \u03c6 I sumigas al unu c\u0302e c\u0302iu punkto de M:"}, {"text_idx": "#000051", "text": "C\u0302iu senkas\u0302a kovro de Ck dukto M havas Ck sekcion de unueco.\nTio enkalkulas certajn konstruojn de la topologio de Ck funkcioj sur R da n esti portita al la kategorio da diferencialduktoj.\nAparte, estas eble diskuti integrig\u0302on elektante sekcion de unueco malc\u0302efa al speciala kunordigita atlaso, kaj arang\u0302ante la integrig\u0302on en c\u0302iu diagramo de R da n .\nSekcioj de unueco tial enkalkulas certan aliajn specojn de funkciaj spacoj esti pripensitaj: ekzemple Lp spacoj, Sobolev-spacoj, kaj aliaj specoj de spacoj kiuj postulas integrig\u0302on."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Distingeblo de mapadoj inter duktoj"}, {"text_idx": "#000054", "text": "Por Ck dukto M, la aro de real-aprezitaj Ck funkcioj sur la dukto formas algebron sub punktmanieraldono kaj multipliko, nomita la algebro de skalaraj kampoj au\u0306 simple la algebro de Skalaroj.\nTiu algebro havas la konstantan funkcion 1 kiel la multiplika identeco, kaj estas diferenciebla analogaj\u0302o de la ringo de regulaj funkcioj en algebra geometrio."}, {"text_idx": "#000055", "text": "Estas eble rekonstrui dukton de g\u0302ia algebro de Skalaroj, unue kiel aro, sed ankau\u0306 kiel topologia spaco - tio estas apliko de la Banach-s\u0302tonteoremo, kaj estas pli formale konata kiel la spektro de C\u00f7 algebro.\nUnue, ekzistas ekzakta korespondado inter la punktoj de M kaj la algebrohomomorfismoj \u03c6:\nR, c\u0302ar tia homomorfism \u03c6 korespondas kodimensio unu idealo en Ck ( M) (nome la kerno de \u03c6), kiu estas nepre maksimuma idealo.\nInverse, c\u0302iu maksimuma idealo en tiu algebro estas idealo de funkcioj malaperantaj c\u0302e ununura punkto, kiu montras ke MSpec (la Maksimumi Specifo) de Ck ( M) reakiras M kiel punktaro, kvankam fakte g\u0302i reakiras M kiel topologia spaco."}, {"text_idx": "#000056", "text": "Oni povas difini diversajn geometriajn strukturojn algebre lau\u0306 la algebro de Skalaroj, kaj tiuj difinoj ofte g\u0302eneraligas al algebra geometrio (interpretante ringojn geometrie) kaj operatora teorio (interpretante banah\u0302ajn spacojn geometrie).\nEkzemple, la klavfasko al M povas esti difinita kiel la derivaj\u0302oj de la algebro de glataj funkcioj sur M."}, {"text_idx": "#000057", "text": "Tiu \"algebroigo\" da dukto (anstatau\u0306iganta geometrian objekton kun algebro) kondukas al la nocio de C\u00f7 algebro - kommutativa C\u00f7 algebra estaj\u0302o g\u0302uste la ringo de Skalaroj de dukto, de Banach-s\u0302tono, kaj permesas al tia konsideri nonkomutative C\u00f7 algebroj ne-kommutativajn g\u0302eneraligojn de duktoj.\nTio estas la bazo de la kampo de nonkomutative-geometrio."}, {"text_idx": "#000058", "text": "La klavspaco de punkto konsistas el la eblaj unudirektaj derivaj\u0302oj c\u0302e tiu punkto, kaj havas la saman dimension n kiel la dukto faras.\nPor aro de (ne-eksterordinara) koordinat ksk lokulo al la punkto, la kunordigitaj derivaj\u0302ojtipe difinu bazon de la klavspaco.\nLa kolekto de klavspacoj c\u0302iupunkte povas en victurno esti transformita en dukton, la klavfaskon, kies dimensio estas 2n.\nLa klavfasko estas kie klavvektoroj kus\u0302as, kaj estas sin diferencialdukto.\nLa Lagrangian estas funkcio sur la klavfasko.\nOni ankau\u0306 povas difini la klavfaskon kiel la faskon de 1-jets de R (la reala linio) g\u0302is M."}, {"text_idx": "#000059", "text": "Oni povas konstrui atlason por la klavfasko konsistanta el furorlisto bazitaj sur U \u03b1 \u00d7 R da n , kie U \u03b1 indikas unu el la furorlisto en la atlaso por M.\nC\u0302iu el tiu nova furorlisto estas la klavfasko por la furorlisto U \u03b1.\nLa transirmapoj en tiu atlaso estas difinitaj de la transirmapoj sur la origina dukto, kaj retenas la originan distingebloklason."}, {"text_idx": "#000060", "text": "La duobla spaco de vektora spaco estas la aro de realajn aprezitajn linearajn funkciojn sur la vektora spaco.\nLa kotang\u0302antospaco c\u0302e punkto estas la dualo de la klavspaco c\u0302e tiu punkto, kaj la kotang\u0302antfasko estas la kolekto de c\u0302iuj kotang\u0302antospacoj."}, {"text_idx": "#000061", "text": "Kiel la klavo faskigas la kotang\u0302antfaskon estas denove diferencialdukto.\nLa Hamiltonian estas Skalaro sur la kotang\u0302antfasko.\nLa totala spaco de kotang\u0302antfasko havas la strukturon de simplekta dukto.\nKotang\u0302antvektoroj foje estas nomitaj kovektoroj .\nOni ankau\u0306 povas difini la kotang\u0302antfaskon kiel la faskon de 1-jets de funkcioj de M g\u0302is R."}, {"text_idx": "#000062", "text": "Elementoj de la kotang\u0302antospaco povas esti opiniitaj de kiel infinitezimalaj delokig\u0302oj: c\u0302u f estas diferenciebla funkcio kiun ni povas difini c\u0302e c\u0302iu punkto p kotang\u0302antvektor dfp , kiu sendas klavvektoron Xp al la derivaj\u0302o de f asociita kun Xp .\nTamen, ne c\u0302iu kovektorkampo povas esti esprimita tiun manieron.\nTiuj kiuj povas estas referitaj kiel precizaj diferencialoj.\nPor antau\u0306fiksita aro de lokulo kunordigas ksk la diferencialdks k p formu bazon de la kotang\u0302antospaco c\u0302e p."}, {"text_idx": "#000063", "text": "La tensorfasko estas la rekta sumo de c\u0302iuj tensorproduktoj da la klavfasko kaj la kotang\u0302antfasko.\nC\u0302iu elemento de la fasko estas tensorkampo, kiu povas funkcii kiel multilinia funkciigisto pri vektoraj kampoj, au\u0306 pri aliaj tensorkampoj."}, {"text_idx": "#000064", "text": "La tensorfasko ne estas diferencialdukto en la tradicia signifo, c\u0302ar g\u0302i estas senfina dimensia.\nG\u0302i estas tamen algebro super la ringo de skalarfunkcioj.\nC\u0302iu tensoro estas karakterizita per siaj rangoj, kiuj indikas kiom multaj klavo kaj kotang\u0302antfaktoroj g\u0302i havas.\nFoje tiuj rangoj estas referitaj kiel kovariaj\u0302o kaj kontrau\u0306variaj\u0302 rangoj, signifante klavon kaj kotang\u0302antrangojn, respektive."}, {"text_idx": "#000065", "text": "Kadro (au\u0306, en pli precizaj esprimoj, klavokadro) estas ordigita bazo de speciala klavspaco.\nSame, klavkadro estas linia izomorfio de R da n al tiu klavspaco.\nKortus\u0302a klavkadro estas ordigita listo de vektoraj kampoj kiuj donas bazon c\u0302e c\u0302iu punkto de sia domajno.\nOni ankau\u0306 povas rigardi kortus\u0302an kadron kiel sekcion de la framfasko F ( M), Gl ( n, R) c\u0302effasko konsistigita de la aro de c\u0302iuj kadroj super M.\nLa framfasko estas utila c\u0302ar tensorkampoj sur M povas esti rigarditaj kiel ekvivariaj\u0302o vektor-aprezitaj funkcioj sur F ( M)."}, {"text_idx": "#000066", "text": "Sur dukto kiu estas sufic\u0302e glataj, diversaj specoj de jetfaskoj ankau\u0306 povas esti pripensitaj.\nLa (unuaorda) klavfasko de dukto estas la kolekto de kurboj en la duktomodulo la ekvivalentrilato de unuaorda kontakto.\nDe analogeco, la k-th orda klavfasko estas la kolekto da kurbmodulo la rilato de k-th ordkontakto.\nSame, la kotang\u0302antfasko estas la fasko de 1-jets de funkcioj sur la dukto: la k-jeta fasko estas la fasko de iliaj k-jeto.\nTiuj kaj aliaj ekzemploj de la g\u0302enerala ideo de jetfaskoj intrigas signifan rolon en la studo de diferencialaj operatoroj je duktoj."}, {"text_idx": "#000067", "text": "La nocio de kadro ankau\u0306 g\u0302eneraligas al la kazo de higher-ordaj jetoj.\nDifinu k-th ordkadron por esti la k-jeto de difeomorfismo de R da n g\u0302is M.\nLa kolekto de c\u0302iuj k-th ordkadroj, Fk ( M), estas c\u0302efgk fasko super M, kie Gk estas la grupo de k-jeto ;\nt.e., la grupo konsistigita de k-jeto de difeomorfismoj de R da n kiuj fiksas la originon.\nNotu ke Gl ( n, R) estas nature izomorfa al G 1, kaj subgrupo de c\u0302iu Gk , k \u2265 2-a Aparte, sekcio de F 2 ( M) donas al la kadro komponentojn de ligo sur M.\nTiel, la kvocientfasko F 2 ( M)/Gl ( n, R) estas la fasko de liniaj ligoj super M."}, {"text_idx": "#000068", "text": "Multaj el la teknikoj de multivariate kalkig\u0302o ankau\u0306 validas, mutatis mutandis , por diferencialduktoj.\nOni povas difini la unudirektan derivaj\u0302on da diferenciebla funkcio lau\u0306 klavvektoro al la dukto, ekzemple, kaj tio kondukas al rimedo de g\u0302eneraligado de la tuteca derivaj\u0302o de funkcio: la diagnozalternativo.\nDe la perspektivo de kalkig\u0302o, la derivaj\u0302o de funkcio sur dukto kondutas lau\u0306 multe lasama maniero kiel la ordinara derivaj\u0302o de funkcio difinita sur eu\u0306klida spaco, minimume loke.\nEkzemple, ekzistas versioj de la implicaj kaj inversa funkcioteoremoj por tiaj funkcioj."}, {"text_idx": "#000069", "text": "Ekzistas, aliflanke, gravaj diferencoj en la kalkig\u0302o de vektoraj kampoj (kaj tensorkampoj g\u0302enerale).\nResume, la unudirekta derivaj\u0302o de vektora kampo au\u0306 minimume ne difinita en simpla maniero. ne estas\nPluraj g\u0302eneraligoj de la derivaj\u0302o da vektora kampo (au\u0306 tensorkampo) ekzistas, kaj kaptas certajn formalajn ecojn de diferencigo en eu\u0306klidaj spacoj.\nLa c\u0302efo inter tiuj estas:"}, {"text_idx": "#000070", "text": "La Lie derivaj\u0302o, kiu estas unike difinita per la diferenciga strukturo, sed ne kontentigas kelkajn el la kutimaj ecoj de unudirekta diferencigo.\nAfina ligo, kiu ne estas unike difinita, sed g\u0302eneraligas en pli kompleta maniero la ecojn de ordinara unudirekta diferencigo.\nC\u0302ar afina ligo ne estas unika, g\u0302i estas kroma peco de datenoj kiuj devas esti precizigitaj sur la dukto."}, {"text_idx": "#000071", "text": "Ideoj de integrala kalkulo ankau\u0306 portas al diferencigaj duktoj.\nTiuj estas kompreneble esprimitaj en la lingvo de ekstera kalkulado kaj diferencigaj formoj.\nLa bazteoremoj de integrala kalkulo en pluraj variabloj - nome teoremo de Green, la diverg\u0302enca teoremo, kaj teoremo de Stokes - g\u0302eneraligas al teoremo (ankau\u0306 nomita teoremo de Stokes) rakontanta la eksteran derivaj\u0302on kaj integrig\u0302on super subduktoj."}, {"text_idx": "#000072", "text": "Diferencieblaj funkcioj inter du duktoj estas necesaj por formuli tau\u0306gajn nociojn de subduktoj, kaj aliajn rilatajn konceptojn.\nM \u2192 N estas diferenciebla funkcio de diferenciebla multnombra M de dimensio m g\u0302is alia diferenciebla multnombra N da dimensio n, tiam la diagnozalternativo de f estas mapa df:\nG\u0302i ankau\u0306 estas indikita fare de Tf kaj nomita la klavmapo.\nC\u0302e c\u0302iu punkto de M, tio estas lineartransformo de unu klavspaco g\u0302is alia:"}, {"text_idx": "#000073", "text": "La rango de f c\u0302e p estas la rango de tiu lineartransformo."}, {"text_idx": "#000074", "text": "Kutime la rango de funkcio estas punktmanierposedaj\u0302o.\nTamen, se la funkcio havas maksimuman rangon, tiam la rango restos konstanta en najbareco de punkto.\nDiferenciebla funkcio \"kutime\" havas maksimuman rangon, en preciza signifo donita per la teoremo de Sard.\nFunkcioj de maksimuma rango c\u0302e punkto estas nomitaj mergadoj kaj subakvigoj:"}, {"text_idx": "#000076", "text": "sistemo de lokaj koordinatoj de M estas en najbareco de p.\nSubakvigoj formas la fundamenton da la teorio de fibrigoj kaj fibrofaskojn."}, {"text_idx": "#000077", "text": "Lie derivaj\u0302o, nomita lau\u0306 Sophus Lie, estas derivaj\u0302o pri la algebro de tensorkampoj super dukto M.\nLa vektora spaco de c\u0302iuj Lie-derivaj\u0302oj sur M formas senfinan dimensian Lie-algebron kun respekto al la Lie krampo difinita per"}, {"text_idx": "#000078", "text": "La Lie-derivaj\u0302oj estas reprezentitaj per vektoraj kampoj, kiel infinitezimalaj generatoroj de fluoj ( aktivaj difeomorfismoj) sur M.\nAspektante c\u0302e g\u0302i la alia maniero rondo, la grupo de difeomorfismoj de M havas la rilatan Lie-algebrostrukturon, de Lie-derivaj\u0302oj, lau\u0306 maniero rekte analoga al la Lie teorio de grupoj."}, {"text_idx": "#000079", "text": "La ekstera kalkulado enkalkulas g\u0302eneraligon de la gradiento, diverg\u0302o kaj buklo funkciigistoj."}, {"text_idx": "#000080", "text": "La fasko de diferencigaj formoj, c\u0302e c\u0302iu punkto, konsistas el c\u0302iuj komplete kontrau\u0306simetria\nplurlinearaj funkcioj sur la klavo interspacigas c\u0302e tiu punkto.\nG\u0302i estas nature dividita en n-formo por c\u0302iu n maksimume egala al la dimensio de la dukto;\nn-formo estas n-varia formo, ankau\u0306 nomita formo de grado da n.\nLa 1-forms estas la kotang\u0302antvektoroj, dum la 0-forms estas j\u0302us skalarfunkcioj.\nG\u0302enerale, n-formo estas tensoro kun kotang\u0302antrango n kaj klavrango 0-a Sed ne c\u0302iu tia tensoro estas formo, c\u0302ar formo devas esti kontrau\u0306simetria."}, {"text_idx": "#000081", "text": "Ekzistas mapo de Skalaroj g\u0302is kovektoroj nomitaj la eksterderivaj\u0302o"}, {"text_idx": "#000082", "text": "Tiu mapo estas tiu kiu rilatigas kovektorojn al infinitezimalaj delokig\u0302oj, menciis supre;\nkelkaj kovektoroj estas la eksteraj derivaj\u0302oj de skalarfunkcioj.\nG\u0302i povas esti g\u0302eneraligita en mapon de la n-formo sur la ( n +1) formoj.\nSurs\u0302miri tiun derivaj\u0302on dufoje produktos nulformularon.\nFormoj kun nul derivaj\u0302o estas nomitaj fermitaj formoj, dum formoj kiuj estas sin eksteraj derivaj\u0302oj estas konataj kiel precizaj formoj."}, {"text_idx": "#000083", "text": "La spaco de diagnozalternativoformularoj c\u0302e punkto estas la arketipa ekzemplo de ekstera algebro;\ntiel g\u0302i posedas kojnoprodukton, mapante k-formo kaj l-formo al ( k + l) forma.\nLa ekstera derivaj\u0302o etendig\u0302as al tiu algebro, kaj kontentigas version de la derivaj\u0302o de produto:"}, {"text_idx": "#000084", "text": "De la diferencialformularoj kaj la ekstera derivaj\u0302o, oni povas difini la de Rham-kohomologion de la dukto.\nLa absoluta n kohomologiogrupo estas la kvocientogrupo de la fermitaj formoj de la precizaj formoj."}, {"text_idx": "#000085", "text": "C\u0302iu topologia dukto en dimensio 1, 2, au\u0306 3 havas unikan diferencigan strukturon (g\u0302is difeomorfismo);\ntiel la konceptoj de topologia kaj diferencialdukto estas apartaj nur en pli alta grandeco.\nEstas konata ke en c\u0302iu pli alta dimensio, ekzistas kelkaj topologiaj duktoj kun neniu glata strukturo, kaj kelkaj kun multoblaj ne-diffeomorphic strukturoj."}, {"text_idx": "#000086", "text": "La ekzisto de ne-smoothable duktoj estis pruvita fare de Kervaire (1960), vidas Kervaire-dukton, kaj poste klarigita en la kunteksto de la teoremo de Donaldson (komparu hilbertan kvinan problemon);\nidealekzemplo de ne-smoothable dukto estas la E8 dukto."}, {"text_idx": "#000087", "text": "La klasika ekzemplo de duktoj kun multoblaj malkongruaj strukturoj estas la ekzotikaj 7-sferes de John Milnor."}, {"text_idx": "#000088", "text": "C\u0302iu duanombrebla 1-multnombra sen limo estas homeomorfa al disan union de nombreble multaj kopioj de R (la reala linio) kaj S (la cirklo);\nla nuraj ligitaj ekzemploj estas R kaj S, kaj de tiuj nur S estas kompaktaj.\nEn pli alta grandeco, klasifikteorio normale temigas nur kompaktajn ligitajn duktojn."}, {"text_idx": "#000089", "text": "Por klasifiko de 2-manifolds, vidas surfacon: aparte kompaktaj ligitaj orientitaj 2-manifolds estas klasifikitaj per ilia genro, kio estas nenegativentjero."}, {"text_idx": "#000090", "text": "Klasifiko de 3-manifolds sekvas en principo el la geometrigo de 3-manifolds kaj diversaj rekonrezultoj por geometrizabla 3-manifolds, kiel ekzemple Mostow-rigideco kaj la algoritmo de Sela por la izomorfioproblemo por hiperbolaj grupoj."}, {"text_idx": "#000091", "text": "La klasifiko de n-dukto por n pli granda ol tri povas esti malebla, ec\u0302 supren al homotopyekvivalenteco.\nSurbaze de iu finhave prezentita grupo, oni povas konstrui fermitan 4-multnombran havante tiun grupon kiel fundamenta grupo.\nC\u0302ar ekzistas neniu algoritmo por decidi la izomorfioproblemon por finhave prezentitaj grupoj, ekzistas neniu algoritmo por decidi c\u0302u du 4-manifolds havu la saman fundamentan grupon.\nEkde la antau\u0306e priskribitaj konstrurezultoj en klaso de 4-manifolds kiuj estas homeomorfaj se kaj nur se iliaj grupoj estas izomorfaj, la homeomorfioproblemo por 4-manifolds estas nedecidebla.\nKrome, c\u0302ar ec\u0302 rekoni ke la sensignifa grupo estas nedecidebla, estas ne ec\u0302 eble g\u0302enerale decidi c\u0302u dukto havas sensignifan fundamentan grupon, t.e. estas simple ligita."}, {"text_idx": "#000092", "text": "Simple ligis 4-manifolds estis klasifikita supren al homeomorfio fare de Liberulo uzanta la intersekcig\u0302formon kaj Kirby-Siebenmann-Invarianton.\nGlata 4-multnombra teorio povas esti multe pli komplika, kiel la ekzotikaj glataj strukturoj sur R 4 montras."}, {"text_idx": "#000093", "text": "Tamen, la situacio konvenas pli akordig\u0302ema por al simple ligitaj difencigeblaj plurejoj de dimensio\u2265 5, kie la h-cobordismoteoremo povas esti utiligita por redukti la klasifikon al klasifiko supren al homotopyekvivalenteco, kaj kirurgioteorio povas esti uzita.\nTio estis arang\u0302ita por disponigi eksplicitan klasifikon de simple ligita 5-manifolds per Dennis Barden."}, {"text_idx": "#000094", "text": "Riemaniana dukto estas diferencialdukto sur kiu la klavspacoj estas provizitaj per internaj produktoj en diferenciebla modo.\nLa interna produkto kiun strukturo ricevas en la formo de simetria 2-tensora nomis la Riemannian metrika.\nTiu metriko povas esti uzita al interkonvertitvektoroj kaj kovektors, kaj difini rangon 4 Riemann-kurbig\u0302o tensoro.\nSur Riemannian multnombra unu havas nociojn de longo, volumeno, kaj angulo.\nAl c\u0302iu diferencialdukto povas ricevi Riemanianan strukturo."}, {"text_idx": "#000095", "text": "Pseu\u0306do-Riemannian dukto estas variaj\u0302o da Riemaniana dukto kie la metrika tensoro estas permesita havi senfinan signaturon (kontraste al pozitive difinita unu).\nPseu\u0306d-Riemannian duktoj da signaturo (3, 1) estas gravaj en g\u0302enerala relativeco.\nAl ne c\u0302iu diferencialdukto povas ricevi pseu\u0306do-Riemannian strukturo;\nekzistas topologiaj restriktoj sur fari tion."}, {"text_idx": "#000096", "text": "Finsler-dukto estas g\u0302eneraligo de Riemaniana dukto, en kiu la interna produkto estas anstatau\u0306igita kun vektornormo;\ntio permesas la difinon de longo, sed ne angulon."}, {"text_idx": "#000097", "text": "Simplekta dukto estas dukto provizita per fermita, nedegenerulo\nTiu kondic\u0302o devigas simplektajn duktojn esti eben-dimensiaj.\nKotang\u0302antfaskoj, kiuj ekestas kiel fazaj spacoj en Hamiltoniana mekaniko, estas la instiga ekzemplo, sed multaj kompaktduktoj ankau\u0306 havas simplektic-strukturon.\nC\u0302iuj orienteblaj surfacoj enkonstruitaj en eu\u0306klida spaco havas simplektic-strukturon, la subskribitan areoformon sur c\u0302iu klavspaco induktita per la c\u0302irkau\u0306a Eu\u0306klida interna produkto.\n[noto 1] C\u0302iu Riemann-faco estas ekzemplo de tia surfaco, kaj tial simplekta dukto, kiam konsiderite realan dukton."}, {"text_idx": "#000098", "text": "Lie grupo estas C \u221e dukto kiu ankau\u0306 portas grupon strukturi kies produkto- kaj inversioperacioj estas glataj kiel mapoj de duktoj.\nTiuj objektoj ekestas nature en priskribado de simetrioj."}, {"text_idx": "#000099", "text": "La kategorio da difencigeblaj plurejoj kun glataj mapmankoj certaj dezirindaj trajtoj, kaj homoj provis g\u0302eneraligi difencigeblajn plurejojn por g\u0302ustigi tion.\nDifeologiaj spacoj uzas malsaman nocion de diagramo konata kiel \"intrigo\".\nFro\u0308licher-spacoj kaj orbifold'oj estas aliaj provoj."}, {"text_idx": "#000100", "text": "Rektigebla aro g\u0302eneraligas la ideon da pec-maniero glata au\u0306 rektigebla kurbo al pli alta grandeco;\ntamen, rektigeblaj aroj ne estas en g\u0302eneralaj duktoj."}, {"text_idx": "#000101", "text": "Banach-duktoj kaj Fre\u0301chet-duktoj, en specialaj duktoj de mapadoj estas senfinaj dimensiaj diferencialduktoj."}, {"text_idx": "#000102", "text": "Enkonduko al matematiko de g\u0302enerala relativeco\nListo de formuloj en rimana geometrio"}, {"text_idx": "#000103", "text": "^ This form is clearly nondegenerate, and it must be closed because it is top-dimensional with respect to the surface ;\nthis reflects the exceptional isomorphism of Lie groups Sp (2, R ) \u2245 Sl (2, R ) between the symplectic group (corresponding to symplectic structure) and the special linear group (corresponding to orientable structure).\nNote that a symplectic structure requires an additional integrability condition, beyond this isomorphism of groups: it is not just a G-structure ."}, {"text_idx": "#000104", "text": "^ Maxwell mem laboris kun kvaropoj prefere ol tensoroj, sed liaj ekvacioj por elektromagnetismo estis utiligitaj kiel frua ekzemplo de la tensorformalismo;\nviduDimitrienko, Yuriy I. (2002), Tensor Analysis and Nonlinear Tensor Functions, Springer, p. xi, ISBN 9781402010156 .\n^ Kobayashi and Nomizu (1963), Volume 1.\n^ This definition can be found in MacLane and Moerdijk (1992).\nFor an equivalent, ad hoc definition, see Sternberg (1964) Chapter II.\nThese are the first examples of exotic spheres.\nHowever, 3-duktoj are only classified in the sense that there is an (impractical) algorithm for generating a non-redundant list of all compact 3-duktoj."}]