[{"text_idx": "#000001", "text": "Formulo de Faa\u0300 di Bruno"}, {"text_idx": "#000002", "text": "Kalkulado de varioj estas speco de matematiko implikanta maksimumon kaj minimumojn, ke scienco kutimis produkti signifajn teoriojn.\nG\u0302i estas kampo de analitiko kiu utiligas variojn, kiuj estas gros\u0302monoj en funkcioj kaj funktional, por trovi maksimumon kaj minimumojn de funktional, kiuj estas mapadoj de aro de funkcioj g\u0302is la realaj nombroj.\n[Noto 1] Functionals ofte estas esprimita kiel definitivaj integraloj implikantaj funkciojn kaj iliajn derivaj\u0302ojn.\nFunkcioj kiuj maksimumigas au\u0306 minimumigas funktional povas esti trovitaj utiligantaj la Euler-Lagrange-ekvacion de la kalkulado de varioj."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Simpla ekzemplo de tia problemo estas trovi la kurbon de plej mallonga longo ligi du punktojn.\nSe ekzistas neniuj limoj, la solvo estas evidente aerlinio inter la punktoj.\nTamen, se la kurbo estas limigita por kus\u0302i sur surfaco en spaco, tiam la solvo estas malpli evidenta, kaj eventuale multaj solvoj povas ekzisti.\nTiaj solvoj estas konataj kiel geodesics.\nRilata problemo estas prezentita per la principo de Fermat: lumo sekvas la padon de plej mallonga optika longo liganta du punktojn, kie la optika longo dependas sur la materialo de la komunikilo.\nUnu ekvivalenta koncepto en mekaniko estas la principo de malplej ago."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Multaj gravaj problemoj implikas funkciojn de pluraj variabloj.\nSolvoj de limo aprezas problemojn por la Laplace-ekvacio kontentigas la Dirichlet-principon.\nLa problemo de altebenaj\u0302o postulas trovi surfacon de minimuma areo kiu enhavas antau\u0306fiksitan konturon en spaco: solvo ofte povas esti trovita trempante kadron en solvaj\u0302o de sapsapumo.\nKvankam tiaj eksperimentoj relative facile rezulteblas, ilia matematika interpreto estas malproksima de kuracherbo: povas ekzisti pli ol unu loke minimumigante surfacon, kaj ili povas havi ne-sensignifan topologion."}, {"text_idx": "#000006", "text": "G\u0302eneraligo al aliaj limaj valorproblemoj"}, {"text_idx": "#000009", "text": "1 Ligo kun la ondekvacio"}, {"text_idx": "#000010", "text": "1 Malforta kaj forta ekstremumoj\n3 Vojo de lumo kaj principo de Fermat"}, {"text_idx": "#000011", "text": "La kalkulado de varioj povas esti dirita al komenci kun la brakistokrona kurbo problemo levita fare de Johann Bernoulli (1696).\nG\u0302i tuj okupis la atenton de Jakob Bernoulli kaj la Marquis de l'Ho\u0302pital, sed Leonhard Euler unue ellaboris la subjekton, komencig\u0302ante en 1733.\nLagrange estis influita per la laboro de Euler por kontribui signife al la teorio.\nPost kiam Euler vidis la 1755-datita laboron de la 19-jarag\u0302a Lagrange, Euler finis sian propran parte geometrian aliron en favoro de la sole analiza aliro de Lagrange kaj renomis la subjekton la kalkulado de varioj en sia 1756 prelego Elementa Calculi Variationum."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Legendre (1786) metis malsupren metodon, ne totale kontentigan, por la diskriminacio de maksimumo kaj minimumoj.\nIsaac Newton kaj Gottfried Wilhelm Leibniz ankau\u0306 donis iom da frua atento al la subjekto.\nAl tiu diskriminacio Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Sime\u0301on Poisson (1831), Mikhail Ostrogradsky (1834), kaj Carl Jacobi (1837) estis inter la kontribuantoj.\nGrava g\u0302enerala laboro estas tiu de Sarrus (1842) kiu estis densigita kaj plibonigita fare de Cauchy (1844).\nAliaj valoraj disertaj\u0302oj kaj memuaroj estis skribitaj fare de Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858), kaj Carll (1885), sed eble la plej grava laboro de la jarcento estas tiu de Weierstrass.\nLia famkonata kurso en la teorio estas epokfara, kaj povas esti asertite ke li estis la unua se temas pri meti g\u0302in sur certan kaj senduban fundament.\nHilbert-problemo publikigite en 1900 apogita pluevoluigo."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Kaj fortaj kaj malfortaj ekstremoj de funktional estas por spaco de kontinuaj funkcioj sed malfortaj ekstremoj havas la kroman postulon ke la unuaj derivaj\u0302oj de la funkcioj en la spaco estu kontinuaj.\nTiel forta ekstremo ankau\u0306 estas malforta ekstremo, sed la konversacio eble ne tenas.\nVerdiktofortaj ekstremoj estas pli malfacilaj ol verdiktaj malfortaj ekstremoj.\nEkzemplo de necesa kondic\u0302o kiu estas utiligita por trovado de malfortaj ekstremoj estas la Euler-Lagrange-ekvacio."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Trovi la ekstremojn de funktional estas simila al trovado de la maksimumo kaj minimumoj de funkcioj.\nLa maksimumo kaj minimumoj de funkcio povas situi trovante la punktojn kie g\u0302ia derivaj\u0302o malaperas (t.e., estas egala al nul).\nLa ekstremoj de funktional povas esti akiritaj trovante funkciojn kie la funkcia derivaj\u0302o estas egala al nul.\nTio kondukas al solvado de la rilata Euler-Lagrange-ekvacio."}, {"text_idx": "#000017", "text": "[Noto 6] Pripensu la funkcian"}, {"text_idx": "#000018", "text": "x 1, x 2 estas konstantoj,\ny ( x) estas dufoje ade diferenciebla,\nL ( x, y ( x), y \u2032 ( x) estas dufoje ade diferenciebla kun respekto al g\u0302iaj argumentoj x, y, y \u2032."}, {"text_idx": "#000019", "text": "x 1, x 2 estas konstantoj,"}, {"text_idx": "#000020", "text": "y ( x) estas dufoje ade diferenciebla,"}, {"text_idx": "#000021", "text": "L ( x, y ( x), y \u2032 ( x) estas dufoje ade diferenciebla kun respekto al g\u0302iaj argumentoj x, y, y \u2032."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Se la funkcia J [ y] ekhavas lokan minimumon c\u0302e f, kaj \u03b7 ( x) estas arbitra funkcio kiu havas almenau\u0306 unu derivaj\u0302on kaj malaperas c\u0302e la finpunktoj x 1 kaj x 2, tiam por iu pli sensenta \u03b5 proksime al 0,"}, {"text_idx": "#000023", "text": "La esprimo \u03b5\u03b7 estas nomita la vario de la funkcio f kaj estas indikita per \u03b4f."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Anstatau\u0306iganta f + \u03b5\u03b7 por y en la funkcia J [ y\nla rezulto estas funkcio de \u03b5 ,"}, {"text_idx": "#000026", "text": "C\u0302ar la funkcia J [ y] havas minimumon por y = f, la funkcio \u03c6 ( \u03b5) havas minimumon c\u0302e \u03b5 = 0 kaj tiel, [Noto 7]"}, {"text_idx": "#000028", "text": "Taking the total derivative of L[x, y, y \u2032] , where y = f + \u03b5 \u03b7 and y \u2032 = f \u2032 + \u03b5 \u03b7\u2032 are functions of \u03b5 but x is not,"}, {"text_idx": "#000029", "text": "L [ x, f, f \u2032] kiam \u03b5 = 0 kaj ni uzis integrig\u0302on de partoj.\nLa lasta oficperiodo malaperas c\u0302ar \u03b7 = 0 c\u0302e ks1 kaj ks2 de difino.\nAnkau\u0306, kiel antau\u0306e menciite la maldekstra flanko de la ekvacio estas nul tiel ke"}, {"text_idx": "#000030", "text": "Lau\u0306 la fundamenta lemo de kalkulado de varioj, la parto de la integrand en krampoj estas nul, t.e."}, {"text_idx": "#000031", "text": "kiu estas nomita la Euler-Lagrange-ekvacio.\nMaldekstramana flanko de tiu ekvacio estas nomita la funkcia derivaj\u0302o de J [ f] kaj estas indikita \u03b4J / \u03b4f ( x)."}, {"text_idx": "#000032", "text": "G\u0302enerale tio donas duaordan ordinaran diferencialan ekvacion kiu povas esti solvita por akiri la ekstremal funkcion f ( x).\nLa Euler-Lagrange-ekvacio estas necesa, sed ne sufic\u0302a, kondic\u0302o por ekstremo da J [ f].\nSufic\u0302a kondic\u0302o por minimumo ricevas en la sekcio Varioj kaj sufic\u0302a stato por minimumo."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Por ilustri tiun proceson, pripensi la problemon de trovado al la ekstremal funkcio y = f ( x), kiu estas la plej mallonga kurbo kiu ligas du punktojn ( x 1, y 1) kaj ( x 2, y 2).\nLa arklongo de la kurbo ricevas per"}, {"text_idx": "#000034", "text": "La Euler-Lagrange-ekvacio nun estos utiligita por trovi la ekstremal funkcion f ( x) kiu minimumigas la funkcian A [ y"}, {"text_idx": "#000035", "text": "C\u0302ar f ne aperas eksplicite en L, la unuan semestron en la Euler-Lagrange-ekvacio malaperas por c\u0302iu f ( x) kaj tiel,"}, {"text_idx": "#000036", "text": "Anstatau\u0306igante L kaj prenante la partan derivaj\u0302on,"}, {"text_idx": "#000037", "text": "Prenante la derivitan d/dks kaj simpligado donas,"}, {"text_idx": "#000038", "text": "kiu implicas ke la plej mallonga kurbo kiu ligas du punktojn ( x 1, y 1) kaj ( x 2, y 2) estas"}, {"text_idx": "#000039", "text": "kaj ni tiel trovis la ekstremal funkcion f ( x) kiu minimumigas la funkcian A [ y] tiel ke A [ f] estas minimumo.\nNotu ke y = f ( x) estas la ekvacio por aerlinio, en aliaj vortoj, la plej mallonga distanco inter du punktoj estas aerlinio."}, {"text_idx": "#000040", "text": "En fizikproblemoj g\u0302i ofte montrig\u0302as tiu \u2202 L\nEn tiu kazo, la Euler-Lagrange-ekvacio povas esti simpligita al la Beltrami-identeco: [14]"}, {"text_idx": "#000041", "text": "Maldekstramana flanko estas la Legendre-transformo de L kun respekto al f \u2032."}, {"text_idx": "#000042", "text": "La intuicio malantau\u0306 tiu rezulto estas ke, se la varia x estas fakte tempo, t , tiam la deklar \u2202 L\nt = 0 implicas ke la Lagrangian estas temp-sendependa.\nDe la teoremo de Noether, ekzistas rilata konservita kvanto: la Hamiltonian, kiu (ofte) koincidas kun la energio de la sistemo.\nTio estas (minus) la konstanto en la identeco de Beltrami."}, {"text_idx": "#000044", "text": "La diskuto tiel longe supozis ke ekstremal funkcioj posedas du kontinuajn derivaj\u0302ojn, kvankam la ekzisto de la integralo J postulas nur unuajn derivaj\u0302ojn de testfunkcioj.\nLa kondic\u0302o kiu la unua vario malaperas c\u0302e ekstremal povas esti rigardita kiel malforta formo de la Euler-Lagrange-ekvacio.\nLa teoremo de Du Bois-Reymond asertas ke tiu malforta formo implicas la fortan formon.\nSe L havas kontinuajn unua kaj dua derivaj\u0302ojn kun respekto al c\u0302iuj g\u0302iaj argumentoj, kaj se"}, {"text_idx": "#000045", "text": "Hilbert estis la unua se temas pri doni bonajn kondic\u0302ojn por la Euler-Lagrange-ekvacioj por doni senmovan solvon.\nEne de konveksa areo kaj pozitiva trifoje diferenciebla Lagrangian la solvoj estas kunmetitaj de nombrebla kolekto de sekcioj kiuj au\u0306 iras lau\u0306 la limo au\u0306 kontentigas la Euler-Lagrange-ekvaciojn en la interno."}, {"text_idx": "#000046", "text": "Tamen Lavrentiev en 1926 montris ke ekzistas cirkonstancoj kie ekzistas neniu optimumsolvo sed kiujn tia povas esti kontaktita propraau\u0306toritate proksime per kreskantaj nombroj da sekcioj."}, {"text_idx": "#000047", "text": "C\u0302i tie zigzago pado donas pli bonan solvon ol iu glata pado kaj pliigi la nombron da sekcioj plibonigas la solvon."}, {"text_idx": "#000048", "text": "Ekzemple, se \u03c6 ( x, y) indikas la delokig\u0302on de membrano super la domajno D en la x, y ebeno, tiam g\u0302ia potenciala energio estas proporcia al it surfacareo:"}, {"text_idx": "#000049", "text": "La problemo de altebenaj\u0302o konsistas el trovado de funkcio kiu minimumigas la surfacareon supozante devigajn valorojn sur la limo de D;\nla solvoj estas nomitaj minimumaj surfacoj.\nLa Euler-Lagrange-ekvacio por tiu problemo estas nelinia:"}, {"text_idx": "#000051", "text": "Estas ofte sufic\u0302e pripensi nur malgrandajn delokig\u0302ojn de la membrano, per kies energiodiferenco de neniu delokig\u0302o estas aproksimita"}, {"text_idx": "#000052", "text": "La funkcia V estas minimumigota inter c\u0302iu testfunkcioj \u03c6 kiuj supozas devigajn valorojn sur la limo de D."}, {"text_idx": "#000053", "text": "Kondic\u0302e ke u havas du derivaj\u0302ojn, ni povas uzi la diverg\u0302encan teoremon por akiri"}, {"text_idx": "#000054", "text": "C\u0302ar v malaperas sur C kaj la unua vario malaperas, la rezulto estas"}, {"text_idx": "#000055", "text": "por c\u0302iuj glatigas funkcioj v kiuj malaperas sur la limo de D.\nLa pruvo por la kazo de unu-dimensiaj integraloj povas esti adaptita al tiu kazo por montri tion"}, {"text_idx": "#000056", "text": "La malfacileco kun tiu rezonado estas la supozo ke la minimumiga funkcio u havendaj\u0302o du derivaj\u0302ojn.\nRiemann argumentis ke la ekzisto de glata minimumiga funkcio estis certigita per la ligo kun la fizika problemo: membranoj efektive supozas konfiguraciojn kun minimuma potenciala energio.\nRiemann nomis tiun ideon la Dirichlet-principo en honoro de sia instruisto Peter Gustav Lejeune Dirichlet.\nTamen Weierstrass donis ekzemplon de variational problemo kun neniu solvo: minimumigi"}, {"text_idx": "#000058", "text": "Pli g\u0302enerala esprimo por la potenciala energio de membrano estas"}, {"text_idx": "#000059", "text": "La funkcio kiu minimumigas la potencialan energion kun neniu restrikto sur siaj limvaloroj estos indikita per u.\nKondic\u0302e ke f kaj g estas kontinuaj, regulecteorio implicas ke la minimumiga funkcio u havos du derivaj\u0302ojn.\nEn prenado de la unua vario, neniu limcirkonstancbezono estu trudita sur la pliigo v."}, {"text_idx": "#000060", "text": "Se ni uzas la diverg\u0302encan teoremon, la rezulto estas"}, {"text_idx": "#000061", "text": "Se ni unua aro v = 0 sur C, la limintegralo malaperas, kaj ni finas kiel antau\u0306 tio"}, {"text_idx": "#000062", "text": "Tiam se ni permesas al v supozi arbitrajn limvalorojn, tio implicas ke u devas kontentigi la limcirkonstancon"}, {"text_idx": "#000063", "text": "Notu ke tiu limcirkonstanco estas sekvo de la minimumiga posedaj\u0302o de u: g\u0302i ne estas trudita anticipe.\nTiaj kondic\u0302oj estas nomitaj naturaj limcirkonstancoj."}, {"text_idx": "#000064", "text": "Per konvena elekto de c, V povas supozi ajnan valoron se la kvanto ene de la krampoj ne malaperas.\nTial, la variational problemo estas sensenca krom se"}, {"text_idx": "#000065", "text": "Tiu kondic\u0302o implicas ke netaj eksteraj fortoj sur la sistemo estas en ekvilibro.\nSe tiuj fortoj estas en ekvilibro, tiam la variational problemo havas solvon, sed g\u0302i ne estas unika, c\u0302ar arbitra konstanto povas esti aldonita.\nPliaj detaloj kaj ekzemploj estas en Courant kaj Hilbert (1953)."}, {"text_idx": "#000066", "text": "Kaj unu-dimensiaj kaj plurdimensiaj Eigen-valorproblemoj povas esti formulitaj kiel variational problemoj."}, {"text_idx": "#000068", "text": "kie \u03c6 estas limigita al funkcioj kiuj kontentigas la limcirkonstancojn"}, {"text_idx": "#000069", "text": "La primara variational problemo estas minimumigi la rilatumon Q/R inter c\u0302iu \u03c6 kontentigante la finpunktokondic\u0302ojn.\nG\u0302i estas montrita sub ke la Euler-Lagrange-ekvacio por la minimumiga u estas"}, {"text_idx": "#000070", "text": "kie \u03bb estas la kvociento"}, {"text_idx": "#000071", "text": "Povas esti montrite (vidu Gelfand kaj Fomin 1963) ke la minimumiga u havas du derivaj\u0302ojn kaj kontentigas la Euler-Lagrange-ekvacion.\ng\u0302i estas la plej malsupra Eigen-valoro por tiu ekvacio kaj limcirkonstancoj.\nTiu variational karakterizado de Eigen-valoroj kondukas al la Rayleigh-Ritz-metodo: elektu aproksiman u kiel linearan kombinaj\u0302on de bazaj funkcioj (ekzemple trigonometria funkcio) kaj arang\u0302u finhav-dimensian minimumigon inter tiaj linearaj kombinaj\u0302oj.\nTiu metodo ofte estas surprize preciza."}, {"text_idx": "#000072", "text": "La venonta plej malgranda Eigen-valoro kaj eigenfunktion povas esti akiritaj minimumigante Q sub la kroma limo"}, {"text_idx": "#000073", "text": "Tiu proceduro povas esti etendita por akiri la kompletan sekvencon de Eigen-valoroj kaj eigenfunktion por la problemo."}, {"text_idx": "#000074", "text": "La variational problemo ankau\u0306 validas por pli g\u0302eneralaj limcirkonstancoj.\nAnstatau\u0306e de postulanta ke \u03c6 malaperas c\u0302e la finpunktoj, ni eble ne trudas ajnan kondic\u0302on c\u0302e la finpunktoj, kaj metas"}, {"text_idx": "#000075", "text": "Se ni unue postulas ke v malaperas c\u0302e la finpunktoj, la unua vario malaperos por tute tia v nur se"}, {"text_idx": "#000076", "text": "Se u kontentigas tiun kondic\u0302on, tiam la unua vario malaperos por arbitra v nur se"}, {"text_idx": "#000077", "text": "Tiuj lastaj kondic\u0302oj estas la naturaj limcirkonstancoj por tiu problemo, c\u0302ar ili ne estas truditaj sub juraakuzaj funkcioj por la minimumigo, sed estas anstatau\u0306e sekvo de la minimumigo."}, {"text_idx": "#000078", "text": "Eigenvalue-problemoj en pli alta grandeco estas difinitaj en analogeco kun la unu-dimensia kazo.\nEkzemple, surbaze de domajno D kun limo B en tri dimensioj ni povas difini"}, {"text_idx": "#000080", "text": "La minimumiga u ankau\u0306 devas kontentigi la naturan limcirkonstancon"}, {"text_idx": "#000081", "text": "Tiu rezulto dependas sur la regulecteorio por elipsaj partaj diferencialaj ekvacioj;\nvidu Jost kaj Li-Jost (1998) por detaloj.\nMultaj etendaj\u0302oj, inkluzive de tutecrezultoj, asimptotaj trajtoj de la eigenvalues kaj rezultoj koncerne la nodojn de la eigenfunktion estas en Courant kaj Hilbert (1953)."}, {"text_idx": "#000082", "text": "Kelkaj aplikoj de la kalkulado de varioj inkludas:"}, {"text_idx": "#000084", "text": "La principo de Fermat deklaras ke lumo prenas padon kiu (loke) minimumigas la optikan longon inter it'oj finpunktoj."}, {"text_idx": "#000086", "text": "Post integrig\u0302o de partoj de la unua oficperiodo ene de krampoj, ni akiras la Euler-Lagrange-ekvacion"}, {"text_idx": "#000087", "text": "La malpezaj radioj povas esti determinitaj integrante tiun ekvacion.\nTiu formalismo estas uzita en la kunteksto de Lagrangiana optiko kaj Hamiltoniana optiko."}, {"text_idx": "#000088", "text": "Ekzistas malkontinueco de la refrakta indico kiam lumo eniras au\u0306 forlasas lenson."}, {"text_idx": "#000089", "text": "Tiam la Euler-Lagrange-ekvacio tenas kiel antau\u0306e en la regiono kie x\nx > 0, kaj fakte la pado estas aerlinio tie, c\u0302ar la refrakta indico estas konstanta.\nC\u0302e la x = 0, f devas esti kontinua, sed f povas esti malkontinua.\nPost integrig\u0302o de partoj en la apartaj regionoj kaj utiligado de la Euler-Lagrange-ekvacioj, la unua vario prenas la formon"}, {"text_idx": "#000090", "text": "La leg\u0302o de Snell por refrakto postulas ke tiuj esprimoj estu egalaj.\nC\u0302ar tiu kalkulo montras, la leg\u0302o de Snell estas ekvivalenta al malaperado de la unua vario de la optika padlongo."}, {"text_idx": "#000091", "text": "La principo de Fermat en tri dimensioj"}, {"text_idx": "#000092", "text": "La optika longo de la kurbo ricevas per"}, {"text_idx": "#000093", "text": "Notu ke tiu integralo estas senvaria kun respekto al s\u0302ang\u0302oj en la parametrika reprezentado de C.\nLa Euler-Lagrange-ekvacioj por minimumiga kurbo havas la simetrian formon"}, {"text_idx": "#000094", "text": "G\u0302i sekvas el la difino kiun tiu P kontentigas"}, {"text_idx": "#000095", "text": "Tial, la integralo ankau\u0306 povas esti skribita kiel"}, {"text_idx": "#000096", "text": "Tiu formo indikas ke se ni povas trovi funkcio \u03c8 kies gradienton ricevas per P, tiam la integralo A estas evoluita per la diferenco de \u03c8 c\u0302e la finpunktoj de la intervalo de integrig\u0302o.\nTiel la problemo de studado de la kurboj kiuj igas la integralon senmova povas esti rilatita al la studo de la ebenaj surfacoj de \u03c8.\nPor trovi tian funkcion, ni kontaktas la ondekvacion, kiu regas la disvastigon de lumo.\nTiu formalismo estas uzita en la kunteksto de Lagrangiana optiko kaj Hamiltoniana optiko."}, {"text_idx": "#000097", "text": "La ondekvacio por enhomogena medio estas"}, {"text_idx": "#000098", "text": "kie c estas la rapideco, kiu g\u0302enerale dependas sur X.\nOndofrontoj por lumo estas karakterizaj\u0302surfacoj por tiu parta diferenciala ekvacio: ili kontentigas"}, {"text_idx": "#000100", "text": "Ni povas serc\u0302i solvojn en la formo"}, {"text_idx": "#000102", "text": "En tiu kazo, \u03c8 kontentigas"}, {"text_idx": "#000103", "text": "lau\u0306 sistemo de kurboj ( la malpezaj radioj) per kiuj ricevas"}, {"text_idx": "#000104", "text": "Tiuj ekvacioj por solvo da unuaorda parta diferenciala ekvacio estas identaj al la Euler-Lagrange-ekvacioj se ni faras la identigon"}, {"text_idx": "#000105", "text": "Ni finas ke la funkcio \u03c8 estas la valoro de la minimumiga integralo A kiel funkcio de la supra finpunkto.\nTio estas, kiam familio de minimumigado de kurboj estas konstruita, la valoroj de la optika longo kontentigas la karakterizan ekvacion korespondante la ondekvacion.\nTial, solvi la rilatan partan diferencialan ekvacion de unua ordo estas ekvivalenta al trovado de familioj de solvoj de la variational problemo.\nTio estas la esenca enhavo de la Hamilton-Jacobi teorio, kiu validas por pli g\u0302eneralaj variational problemoj."}, {"text_idx": "#000106", "text": "En klasika mekaniko, la ago, S, estas difinita kiel la tempintegralo de la Lagrangian, L.\nLa Lagrangian estas la diferenco de energioj,"}, {"text_idx": "#000107", "text": "kie T estas la kineta energio de mekanika sistemo kaj U sia potenciala energio.\nLa principo de Hamilton (au\u0306 la batalprincipo) deklaras ke la decidpropono de konservativa holonomic (integrablaj limoj) mekanika sistemo estas tia ke la batalintegralo"}, {"text_idx": "#000108", "text": "estas senmova kun respekto al varioj en la pado x (t).\nLa Euler-Lagrange-ekvacioj por tiu sistemo estas konataj kiel la ekvacioj de Lagrange:"}, {"text_idx": "#000109", "text": "kaj ili estas ekvivalentaj al la ekvacioj de Neu\u0306tono de movig\u0302o (por tiaj sistemoj)."}, {"text_idx": "#000110", "text": "La konjugatmomenta P estas difinita per"}, {"text_idx": "#000111", "text": "La Hamiltonian estas la sumenergio de la sistemo:\nAnalogeco kun la principo de Fermat indikas ke solvoj de la ekvacioj de Lagrange (la partiklotrajektorioj) povas esti priskribitaj lau\u0306 ebenaj surfacoj de iu funkcio de X.\nTiu funkcio estas solvo de la Hamilton-Jacobi ekvacio:"}, {"text_idx": "#000112", "text": "Varioj kaj sufic\u0302a kondic\u0302o por minimumo"}, {"text_idx": "#000113", "text": "Kalkulado de varioj temas pri varioj de funktional, kiuj estas gros\u0302monoj en la valoro de la funktional pro gros\u0302monoj en la funkcio kiu estas sia argumento.\nLa unua vario [Noto 9] estas difinita kiel la linia parto de la s\u0302ang\u0302o en la funkcia, kaj la dua vario [Noto 10] estas difinita kiel la kvadrata parto."}, {"text_idx": "#000114", "text": "Ekzemple, se J [ y] estas al funkcia kun la funkcio y = y ( x) kiel it argumento, kaj ekzistas gros\u0302mono en it argumento de y g\u0302is y + h , kie h = h ( x) estas funkcio en la sama funkcia spaco kiel y , tiam la ekvivalenta s\u0302ang\u0302o en la funkcia estas"}, {"text_idx": "#000115", "text": "[Noto 11] La funkcia J [ y] lau\u0306dire estas diferenciebla se"}, {"text_idx": "#000117", "text": "La funkcia J [ y] lau\u0306dire estas dufoje diferenciebla se"}, {"text_idx": "#000119", "text": "La dua vario \u03b4 2 J [ h] lau\u0306dire estas forte pozitivaj se"}, {"text_idx": "#000120", "text": "dum c\u0302io h kaj por iu konstanta k > 0 ."}, {"text_idx": "#000121", "text": "Utiligante c\u0302i-suprajn difinojn, aparte la difinoj de unua vario, dua vario, kaj forte pozitiva, la sekva sufic\u0302a kondic\u0302o por minimumo de funkcia povas esti deklarita."}, {"text_idx": "#000122", "text": "La funkcia J [ y] havas minimumon c\u0302e y = y\u0302 se g\u0302ia unua-varia \u03b4J [ h] = 0 c\u0302e y = y\u0302 kaj g\u0302ia dua vario \u03b4 2 J [ h] estas forte pozitivaj c\u0302e y = y\u0302 ."}, {"text_idx": "#000129", "text": "Kalkulo de variadoj estas kampo de matematiko kiu okupig\u0302as pri trovado de ekstremumaj funkcioj de funkcionaloj. La ekstremumaj funkcioj estas tiuj c\u0302e kiuj donita funkcionalo atingas maksimuman au\u0306 minimuman valoron. C\u0302i tiuj funkcionaloj kutime estas integraloj engag\u0302antaj nekonatan funkcion kaj g\u0302iajn derivaj\u0302ojn. Tiel kalkulo de variadoj rilatas al funkcionaloj same kiel ordinara infinitezima kalkulo rilatas al funkcioj."}, {"text_idx": "#000130", "text": "Unu el la plej simplaj ekzemploj de c\u0302i tia problemo estas trovado de kurbo kiu estas la plej mallonga konekto de du punktoj. Se ne estas limigoj, la solvaj\u0302o estas evidente rekta streko inter la punktoj. Tamen, se la kurbo estas limigita al kus\u0302i sur surfaco en spaco, la solvaj\u0302o estas malpli evidenta, kaj eble multaj malsamaj samlongaj solvaj\u0302oj povas ekzisti. C\u0302i tiaj solvaj\u0302oj estas la geodeziaj kurboj. Rilatanta problemo estas afektita per principo de Fermat en optiko: lumo sekvas la vojon de plej mallonga optika longo konektanta la du punktojn, kie la optika longo dependas de la materialo tra kiu iras la lumo. Unu respektiva koncepto en mekaniko estas la principo de plej malgranda ago."}, {"text_idx": "#000131", "text": "Multaj gravaj problemoj engag\u0302as funkciojn de kelkaj variabloj. Solvaj\u0302oj de randaj valoraj problemoj por la laplaca ekvacio kontentigas la principon de Dirichlet. Problemo de Plateau postulas trovadon de surfaco de minimuma areo kiu havas donitan randon en spaco; eksperimente la solvaj\u0302oj povas trovig\u0302i per drata konturo kaj sapa solvaj\u0302o. Povas esti pli ol unu loke minimumiganta surfaco, kaj ili povas havi ne simplajn topologiojn."}, {"text_idx": "#000133", "text": "J(y0)-J(y) havas la saman signon. Tipe, V estas spaco de r fojojn kontinue diferencialeblaj funkcioj sur kompakta subaro E de la reela linio, kun la normo donita per"}, {"text_idx": "#000134", "text": "C\u0302i tiu normo estas sumo de precizaj supraj randoj de y kaj g\u0302iaj derivaj\u0302oj."}, {"text_idx": "#000136", "text": "Se y0 estas forta ekstremumo por J tiam g\u0302i estas ankau\u0306 malforta ekstremumo, sed la malo povas ne esti vera. Trovado de forta ekstremumo estas kutime pli malfacila ol trovado de malforta ekstremumo. Pli sube estas konsiderata trovado de la malfortaj ekstremumoj."}, {"text_idx": "#000137", "text": "Ambau\u0306 malforta ekstremumo kaj forta ekstremumo estas fakte lokaj ekstremumoj."}, {"text_idx": "#000138", "text": "Sub idealaj kondic\u0302oj, la maksimumoj kaj minimumoj de donita funkcio povas esti trovitaj per trovo de punktoj kie g\u0302ia derivaj\u0302o estas nula. Analoge, solvaj\u0302oj de glata variada problemo povas esti ricevitaj per solvado de la asociita ekvacio de Eu\u0306lero-Lagrange. Por ke ilustri c\u0302i tiun procezon, konsideru problemon de trovado de la plej mallonga kurbo en la ebeno kiu konektas du punktoj (x1, y1) kaj (x2, y2)."}, {"text_idx": "#000139", "text": "La arka longo estas donita per"}, {"text_idx": "#000140", "text": "La funkcio f devas havi almenau\u0306 unu derivaj\u0302on por ke kontentigi la postulojn por valida apliko de la funkcio, plu, se f0 estas loka minimumo kaj f1 estas ajna funkcio kiu egalas al nulo je la finaj punktoj x1 kaj x2 kaj kun almenau\u0306 unu derivaj\u0302o, tiam"}, {"text_idx": "#000141", "text": "por c\u0302iu nombro \u03b5 proksime al 0. Pro tio, la derivaj\u0302o de kun respekto al \u03b5 (la unua variado de A) devas strebi al nulo kiam \u03b5 strebas al nulo. Tial"}, {"text_idx": "#000142", "text": "por c\u0302iu elekto de la funkcio f1. Oni povas interpreti c\u0302i tiu kondic\u0302on kiel la nulig\u0302o de c\u0302iuj direktaj derivaj\u0302oj de A[f0] en la spaco de diferencialeblaj funkcioj, kaj c\u0302i tiu estas formaligita per postulo de tio ke la derivaj\u0302o de Fre\u0301chet de A nulig\u0302as je f0. Se preni ke f0 havas du kontinuaj derivaj\u0302oj (au\u0306 se konsideri malfortajn derivaj\u0302ojn), tiam eblas uzi popartan integraladon:"}, {"text_idx": "#000143", "text": "La unua termo estas nulo c\u0302ar v(x)=f1(x) nulig\u0302as je x1 kaj x2. Pro tio,"}, {"text_idx": "#000144", "text": "por c\u0302iu dufoje diferencialebla funkcio f1 kiu nulig\u0302as je la finpunktoj x1 kaj x2. C\u0302i tio estas speciala okazo de la fundamenta lemo de kalkulo de variadoj:"}, {"text_idx": "#000145", "text": "por c\u0302iu diferencialebla funkcio f1(x) kiu nulig\u0302as je la finpunktoj de la intervalo. Pro tio ke f1(x) estas ajna funkcio en la integralada limigo, oni konkludas ke H(x) = 0. Pro tio,"}, {"text_idx": "#000146", "text": "El c\u0302i tiu ekvacio sekvas ke"}, {"text_idx": "#000147", "text": "kaj de c\u0302i tie la ekstremumaj funkcioj estas rektoj."}, {"text_idx": "#000148", "text": "Simila kalkulo veras en la g\u0302enerala okazo kie"}, {"text_idx": "#000149", "text": "kaj f estas postulita al havi du kontinuajn derivaj\u0302ojn. Denove, oni trovas ekstremumojn f0 per preno ke , preno de derivaj\u0302o kun respekto al \u03b5, kaj poste preno de \u03b5=0:"}, {"text_idx": "#000150", "text": "kie estas uzata la c\u0302ena regulo en la dua linio kaj poparta integralado en la tria. Same kiel antau\u0306e, la lasta termo en la tria linio estas nula pro elekto de f1. Fine, lau\u0306 la fundamenta lemo de kalkulo de variadoj, oni trovas ke L kontentigas ekvacion Eu\u0306lero-Lagrange:"}, {"text_idx": "#000151", "text": "G\u0302enerale c\u0302i tio donas ordinaran diferencialan ekvacion de la dua ordo kiu povas esti solvita por ricevi la ekstremuman f. La ekvacio de Eu\u0306lero-Lagrange estas necesa sed ne sufic\u0302a kondic\u0302o por la ekstremumo."}, {"text_idx": "#000152", "text": "Vojo de lumo kaj principo de Fermat"}, {"text_idx": "#000153", "text": "Kalkulo de variadoj povas esti uzata por trovi vojon de lumo. Principo de Fermat statas ke lumo iras lau\u0306 vojo kiu loke minimumigas optikan longon inter la finpunktoj. Se la x-koordinato estas elektita kiel parametro lau\u0306 la vojo, kaj y=f(x) lau\u0306 la vojo, tiam la optika longo estas"}, {"text_idx": "#000154", "text": "kie la refrakta indico n(x, y) dependas de la materialo en c\u0302iu punkto."}, {"text_idx": "#000155", "text": "Oni provu , tiam la unua variado de A (la derivaj\u0302o de A je \u03b5) estas"}, {"text_idx": "#000156", "text": "Post poparta integralado de la unua termo en krampoj, rezultig\u0302as la ekvacio de Eu\u0306lero-Lagrange"}, {"text_idx": "#000157", "text": "La vojo de lumo povas esti difinita per integralado de c\u0302i tiu ekvacio."}, {"text_idx": "#000158", "text": "Estas nekontinueco de la refrakta indico je surfaco de lenso au\u0306 la alia objekto farita el materialo kun malsama refrakta indico. Estu la refrakta indico n(x, y) difinita kiel"}, {"text_idx": "#000159", "text": "kie n- kaj n+ estas konstantoj. Tiam la ekvacio de Eu\u0306lero-Lagrange veras kiel antau\u0306e en la regionoj x<0 kaj x>0, kaj fakte la vojo estas rekto en c\u0302iu aparta regiono c\u0302ar la refrakta indico estas konstanto. Je x=0, f devas esti kontinua, sed f' povas esti nekontinua. Post poparta integralado en la apartaj regionoj kaj uzante la ekvacion de Eu\u0306lero-Lagrange, la unua variado prenas formon"}, {"text_idx": "#000160", "text": "La faktoro c\u0302e n- estas la sinuso de angulo de la radio kun la x-akso (kiu estas orta al surfaco disdividanta volumenojn kun malsamaj refraktaj indicoj), kaj la faktoro c\u0302e n+ estas la sinuso de angulo de la refraktita radio kun la x-akso. Vojo de la lumo estas tia ke nulig\u0302as la unua variado de la optika voja longo, kio tuj donas la leg\u0302on de Snell por refrakto, kiu statas ke c\u0302i tiuj termoj estu egalaj."}, {"text_idx": "#000161", "text": "Fundamenta lemo de kalkulo de variadoj\nPrincipo de plej malgranda ago"}]