[{"text_idx": "#000000", "text": "Wikipedia's Subset as translated by GramTrans"}, {"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, precipe en aroteorio, aro A estas subaro de aro B, au\u0306 ekvivalente B estas superaro de A, se A estas \"enhavita\" ene de B, t.e., c\u0302iuj elementoj de A ankau\u0306 estas elementoj de B.\nA kaj B povas koincidi.\nLa rilato de unu aro estanta subaro de alia estas nomita inkludo au\u0306 foje reteno."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La subarrilato difinas partan ordon sur aktoraroj."}, {"text_idx": "#000003", "text": "La algebro de subaroj formas bulean algebron en kiu la subarrilato estas nomita inkludo."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Se A kaj B estas aroj kaj c\u0302iu elemento de A ankau\u0306 estas elemento de B, tiam:"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Se estas subaro de B, sed A ne estas egala al B (t.e. tie ekzistas almenau\u0306 unu elemento de B kiu ne estas elemento de A), tiam"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Estas ankau\u0306 bonorda (au\u0306 strikta) subaro de B;\nau\u0306 ekvivalente B estas bonorda superaro de A;"}, {"text_idx": "#000008", "text": "Estas ankau\u0306 bonorda (au\u0306 strikta) subaro de B;"}, {"text_idx": "#000009", "text": "au\u0306 ekvivalente B estas bonorda superaro de A;"}, {"text_idx": "#000010", "text": "B estas bonorda superaro de A;"}, {"text_idx": "#000012", "text": "Se kaj nur se la kardinaleco de ilia intersekcig\u0302o estas egala al la kardinaleco de A."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Kelkaj verkintoj uzas la simbol\u2282 kaj \u2283 por indiki subaron kaj superaron respektive;\ntio estas, kun la sama signifo kaj anstatau\u0306e de la simboloj, \u2286 kaj \u2287.\nTiel ekzemple, por tiuj verkintoj, g\u0302i estas vera de c\u0302iu aro A tiu A \u2282 A ."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Aliaj verkintoj preferas uzi la simbol\u2282 kaj \u2283 por indiki bonordan subaron kaj superaron, respektive, anstatau\u0306e de \u228a kaj \u228b.\nTiu uzokutimo igas \u2286 kaj \u2282 analoga al la malegalec simbol\u2264 kaj<.\nEkzemple, se x \u2264 y tiam x povas au\u0306 ne povas egala y, sed se x < y , tiam x povas ne egala y, kaj estas malpli ol y.\nSimile, uzante la kongreson kiun tiu \u2282 estas bonorda subaro, se A \u2286 B , tiam A povas au\u0306 ne povas al egala B, sed se A \u2282 B , tiam A sendube ne korespondas al B."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Estas bonorda subaro de B\nC estas subaro sed ne bonorda subaro de B"}, {"text_idx": "#000017", "text": "Estas bonorda subaro de B"}, {"text_idx": "#000018", "text": "C estas subaro sed ne bonorda subaro de B"}, {"text_idx": "#000019", "text": "La numeroj estas simpla ekzemplo - se c\u0302iu orda n estas identigita kun la aro [ n] de c\u0302iuj ordaj numeraloj malpli ol au\u0306 egala al n, tiam \u2264 b se kaj nur se ["}, {"text_idx": "#000020", "text": "por kiu 0< 1-a Tio povas esti ilustrita listigante S\nk de kiu la it koordinato estas 1 se kaj nur se s I estas membro de T."}, {"text_idx": "#000023", "text": "La leg\u0302oj de De Morgan"}, {"text_idx": "#000025", "text": "En matematiko, aparte en aroteorio, aro A estas subaro de aro B, se A estas \"enhavata\" ene de B. La interrilato de unu aro estante subaro de alia estas nomata kiel inkluziveco. C\u0302iu aro estas subaro de si."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Pli formale, Se A kaj B estas aroj kaj c\u0302iu ero de A estas ankau\u0306 ero de B, tiam:"}, {"text_idx": "#000027", "text": "A estas subaro de (au\u0306 estas inkluzivita en) B, skribata per A \u2286 B,"}, {"text_idx": "#000029", "text": "Se A estas subaro de B, sed A estas ne egala al B, tiam A estas ankau\u0306 pozitiva (au\u0306 severa) subaro de B. C\u0302i tio estas skribita kiel A \u2282 B. En la sama vojo, B \u2283 A signifas ke B estas pozitiva superaro de A."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Por c\u0302iu aro S, inkluziveco estas rilato sur la aro de c\u0302iuj subaroj de S."}, {"text_idx": "#000032", "text": "La aro de naturaj nombroj estas pozitiva subaro de la aro de racionalaj nombroj.\nC\u0302iu aro estas subaro de si, sed ne pozitiva subaro.\nLa malplena aro, skribita \u00f8, estas ankau\u0306 subaro de c\u0302iu aro X. Malplena aro estas pozitiva subaro de c\u0302iuj aroj krom si."}]