[{"text_idx": "#000002", "text": "Partikla fiziko kaj prezenta teorio"}, {"text_idx": "#000003", "text": "En matematiko kaj teoria fiziko, la ideo de reprezentado de Lie grupo ludas gravan rolon en la studo de kontinua simetrio.\nGranda interkonsento estas konata c\u0302irkau\u0306 tiaj reprezentantaroj, baza ilo en ilia studo estanta la uzo de la ekvivalentaj \"infinitezimalaj\" reprezentadoj de Lie-algebroj.\nLa fizikliteraturo foje pasas super la distingo inter Lie-grupoj kaj Lie-algebroj."}, {"text_idx": "#000004", "text": "2 ekzemplon: La turnada grupo TIEL (3)\n3 Mensoggrupo kontrau\u0306 Lie-algebroreprezentantaroj 3.1\nMatrix Lie grupaj prezentoj de Lie-algebroreprezentantaroj, projekciaj reprezentantaroj 3.1-a\n2 Lie-algebroreprezentantaroj de grupaj prezentoj\n3 grupaj prezentoj de Lie-algebroreprezentantaroj\n4 Unitariaj reprezentantaroj sur hilbertaj spacoj\n5 Klasifikado en la kompakta kazo"}, {"text_idx": "#000005", "text": "Matrix Lie grupaj prezentoj de Lie-algebroreprezentantaroj, projekciaj reprezentantaroj 3.1-a\n2 Lie-algebroreprezentantaroj de grupaj prezentoj\n3 grupaj prezentoj de Lie-algebroreprezentantaroj"}, {"text_idx": "#000006", "text": "2 Lie-algebroreprezentantaroj de grupaj prezentoj\n3 grupaj prezentoj de Lie-algebroreprezentantaroj"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Lasu nin unuajn diskuti reprezentantarojn reagantajn al finhav-dimensiaj vektoraj spacoj pli ol kampo K, kie K estas kutime mang\u0302ita por esti la kampo de kompleksaj nombroj, au\u0306 foje la kampo de realaj nombroj.\nReprezentado de Lie grupo G sur finhav-dimensia vektora spaco V pli ol K estas glata grupa homomorfism \u03c8:\nG \u2192Aut ( V) de G g\u0302is la au\u0306tomorfismogrupo de V.\nPor n-dimensia V, la au\u0306tomorfismogrupo de V estas identigita kun subaro de la kompleksaj kvadratmatricoj de ordo n.\nLa au\u0306tomorfismogrupo de V ricevas la strukturon de difencigebla plurejo uzanta tiun identigon.\nLa kondic\u0302o kiun tiu \u03c8 estas glata, en la difino supra, signifas ke \u03c8 estas glata mapo de la glata multnombra G g\u0302is la glata multnombra Aut ( V).\nSe la homomorfism estas fakte monomorfismo, la reprezentantaro lau\u0306dire estas fidela."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Se bazo por la kompleksa vektora spaco V estas elektita, la reprezentantaro povas esti esprimita kiel homomorfism en g\u0302eneralan linearan grupon Gl ( n, K).\nTio estas konata kiel matricreprezentantaro.\nDu reprezentadoj de G sur vektoraj spacoj V, W estas ekvivalentaj se ili havas la samajn matricreprezentantarojn kun respekto al kelkaj elektoj de bazoj por V kaj W."}, {"text_idx": "#000009", "text": "La reprezentantaro lau\u0306dire estas nereduktebla c\u0302u la nuraj senvariaj subspacoj de V estas la nul spaceto kaj V mem.\nPor certaj specoj de Lie-grupoj, nome kompaktaj [1] kaj semikuracherbo [2] grupoj, c\u0302iu finhav-dimensia reprezentantaro putrig\u0302as kiel rekta sumo de neredukteblaj reprezentantaroj, posedaj\u0302o konataj kiel kompleta reducibileco.\nPor tiaj grupoj, tipa celo de prezenta teorio estas klasifiki c\u0302iujn finhav-dimensiajn neredukteblajn reprezentadojn de la antau\u0306fiksita grupo, g\u0302is izomorfio."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Unitaria reprezentantaro estas difinita en lau\u0306 la saman manieron, krom ke G mapas al unuecmatricoj;\nla Lie-algebro tiam mapos al misoblikva-hermitian matricoj.\nSe G estas kompakta Mensoggrupo, c\u0302iu finhav-dimensia reprezentantaro estas ekvivalenta al unitaria."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Ekzemplo: La turnada grupo TIEL (3)"}, {"text_idx": "#000013", "text": "C\u0302iu normigita lernolibro pri kvantuma mekaniko enhavas analizon kiu esence klasifikas finhav-dimensiajn neredukteblajn reprezentadojn de TIEL (3), per g\u0302ia Lie-algebro.\n(La anstatau\u0306igrilatoj inter la angulmovokvantaj funkciigistoj estas j\u0302us la rilatoj por la Lie-algebro tiel (3) de TIEL (3).\nUnu subtileco de tiu analizo estas ke la reprezentadoj de la grupo kaj la Lie-algebro ne estas en ekzakta korespondado, punkto kiu estas kritika en komprenado de la distingo inter entjerspino kaj duon-entjera spino."}, {"text_idx": "#000014", "text": "La turnada grupo TIEL (3) estas kompakta Mensoggrupo kaj tiel c\u0302iu finhav-dimensia reprezentado de TIEL (3) putrig\u0302as kiel rekta sumo de neredukteblaj reprezentantaroj.\nLa grupo TIEL (3) havas unu neredukteblan reprezentantaron en c\u0302iu stranga dimensio."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Se ni rigardas la Lie-algebron tiel (3) de TIEL (3), tiu Lie-algebro estas izomorfa al la Lie-algebrosu (2) de Su (2).\nDe la prezenta teorio de su (2), ekzistas tiam unu nereduktebla reprezentado de tiel (3) en c\u0302iu dimensio.\nLa eben-dimensiaj reprezentantaroj, aliflanke, ne egalrilatas al reprezentadoj de la grupo TIEL (3)."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Kiel supre, la finhav-dimensiaj reprezentadoj de TIEL (3) ekestas nature dum studado de la tempo-nepartianan ekvacio de Schro\u0308dinger por radiala potencialo, kiel ekzemple la hidrogenatomo, kiel reflektado de la turna simetrio de la problemo.\n(Vidu la rolludoitan de la sferaj harmonoj en la analitiko de hidrogeno."}, {"text_idx": "#000017", "text": "En multaj kazoj, estas oportune studi reprezentadojn de Lie-grupo studante reprezentadojn de la rilata Lie-algebro.\nG\u0302enerale, aliflanke, ne c\u0302iu reprezentado de la Lie-algebro venas de reprezentado de la grupo.\nTiu fakto estas, ekzemple, kus\u0302anta malantau\u0306 la distingo inter entjerspino kaj duon-entjera spino en kvantuma mekaniko.\nAliflanke, se G estas simple ligita grupo, tiam teoremo [7] diras ke ni, fakte, ricevas ekzaktan korespondadon inter la grupo kaj Lie-algebroreprezentantaroj."}, {"text_idx": "#000019", "text": "La Lie-korespondado povas esti utiligita por akirado de grupaj prezentoj de la Koneksa komponanto de la G.\nTio estas realigita prenante la matriceksponenton de la matricoj de la Lie-algebroreprezentantaro."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Subtileco ekestas se G ne estas simple ligita.\nTio povas rezultigi projekciaj reprezentantaroj au\u0306, fizikidiomon, multivalued-aprezitaj reprezentadoj de G.\nTiuj estas fakte reprezentadoj de la universala kovrogrupo de G."}, {"text_idx": "#000021", "text": "La Lie-korespondado donas rezultojn nur por la Koneksa komponanto de la grupoj, kaj tiel la aliaj komponentoj de la plena grupo estas traktitaj aparte donante reprezentantojn por matricoj reprezentantaj tiujn komponentojn, unu por c\u0302iu komponento.\nDe tiuj formas (reprezentantoj) la zerot-homotopyogrupon de G.\nEkzemple, koncerne la kvar-komponentan Lorentz-grupon, reprezentantoj de spacinversio kaj tempinversigo devas esti metitaj enen permane.\nPliaj ilustraj\u0302oj estos desegnitaj de la prezenta teorio de la Lorentz-grupo malsupre."}, {"text_idx": "#000022", "text": "La Lie-korespondado por liniaj grupoj kaj Lie-algebroj estas deklarita por referenco.\nLa Lie-korespondado legas en moderna lingvo, c\u0302i tie specialigita al liniaj Mensoggrupoj, jene:"}, {"text_idx": "#000023", "text": "G\u0302i estas eksplicite komputita uzi [9]"}, {"text_idx": "#000024", "text": "Ne c\u0302iuj Lie-algebroreprezentantaroj ekestas tiun manieron c\u0302ar ili ekvivalentaj grupaj prezentoj eble ne ekzistas kiel bonordaj reprezentantaroj, t.e. ili estas projekciaj, vidas malsupre."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Povas esti montrite ke simpla ligiteco de G estas sufic\u0302a kondic\u0302o por (G2) por doni reprezentantaron, sed g\u0302i ne estas necesa kondic\u0302o."}, {"text_idx": "#000026", "text": "La simple ligita kazo estas la deklaro de la sekva teoremo:\nG \u2192 H satisfying the first line in (G2) .\nSe G ne estas simple ligita, tiam ekzistas unika reprezentantaro \u03c0 c de la universala kovrogrupo Gc de G kontentiganta la saman ekvacion kiel la unua ekvacio en (G2) .\nG\u0302i estas sekvo de c\u0302i-supra teoremo.Se la kerno de la kovromapo estas inkludita en la kerno de \u03c0 c , tiam la reprezentado de \u03c0 c descendas al unika reprezentado de G.\nTio estas esence sekvo de variaj\u0302o de la unua-izomorfia teoremo.\nSe la kerno de la kovromapo ne estas inkludita en la kerno de \u03c0 c , tiam (ne-unika) projekcia reprezentado de G rezultoj."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Se la kerno de la kovromapo estas inkludita en la kerno de \u03c0 c , tiam la reprezentado de \u03c0 c descendas al unika reprezentado de G.\nTio estas esence sekvo de variaj\u0302o de la unua-izomorfia teoremo.\nSe la kerno de la kovromapo ne estas inkludita en la kerno de \u03c0 c , tiam (ne-unika) projekcia reprezentado de G rezultoj."}, {"text_idx": "#000028", "text": "C\u0302iuj reprezentantaroj havas la sekvajn trajtojn:"}, {"text_idx": "#000029", "text": "Proksime de la identeco t.e. por X en sufic\u0302e malgranda malferma najbareco, (G2) rendimentoj, de la Baker-Campbell-Hausdorff-formulo kaj tiu eksp estas unu-al-unuj sur tiu najbareco, unika lokulo homomorfism.\nReprezentantoj de elementoj g ege de la identeco estas difinitaj selektante padon de la identeco g\u0302is g, dividante g\u0302in fajne sufic\u0302e tiel ke c\u0302i-supra posedaj\u0302o povas esti uzita.\nLa rezulto uzanta (G2) povas tiam nur dependi de la homotopyoklaso (en la normreprezentado de G) de la pado utiligita en la (provite) difino de \u03c0.\nEn victurno, tio dependas nur de kiu X en la Lie-algebro kutimas reprezenti elementon g en la normreprezentantaro (kaj estas uzita en (G2) .En la simple ligita kazo, ekzistas nur unu homotopyoklaso, kaj (G2) estas malambigua ec\u0302 ege de la identeco.\nEn la ne-simple ligita kazo, ekzistas karto \u03c0 1 homotopyoklasoj, kaj (G2) estas lau\u0306 tiu mezuro ambigua ege de la identeco."}, {"text_idx": "#000030", "text": "En la simple ligita kazo, ekzistas nur unu homotopyoklaso, kaj (G2) estas malambigua ec\u0302 ege de la identeco.\nEn la ne-simple ligita kazo, ekzistas karto \u03c0 1 homotopyoklasoj, kaj (G2) estas lau\u0306 tiu mezuro ambigua ege de la identeco."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Bildan vidon de kiel la universala kovrogrupo enhavas c\u0302ion tiaj homotopyoklasoj, kaj teknika difino de g\u0302i (kiel aro kaj kiel grupo) ricevas en geometria vido."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Unitariaj reprezentantaroj sur hilbertaj spacoj"}, {"text_idx": "#000033", "text": "kontinua mapo de G en V estas."}, {"text_idx": "#000034", "text": "C\u0302ar V estas permesita esti senfina dimensia, la studo de unitariaj reprezentantaroj implikas kelkajn interesajn ecojn kiuj ne c\u0302eestas en la finhava dimensia kazo.\nEkzemploj de unitariaj reprezentantaroj ekestas en kvantuma mekaniko kaj kvantuma kampa teorio, sed ankau\u0306 en Fourier-analizo kiel montrite en la sekva ekzemplo."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Jen estas kelkaj gravaj ekzemploj en kiuj unitariaj reprezentadoj de Lie-grupo estis analizitaj."}, {"text_idx": "#000036", "text": "La S\u0302tono-von-Neuman teoremo povas esti komprenita kiel donante klasifikon de la neredukteblaj unitariaj reprezentadoj de la Heisenberg-grupo.\nLa klasifiko de Wigner por reprezentadoj de la Poincare\u0301-grupo ludas gravan koncipan rolon en kvantuma kampa teorio per montrado kiel la maso kaj spino de partikloj povas esti komprenitaj en grup-teoriaj esprimoj.\nKun La prezenta teorio de Sl (2, R) estis laborita fare de V. Bargmann kaj serviroj kiel la prototipo por la studo de unitariaj reprezentadoj de nekompaktujaj semikuracherbaj Lie-grupoj."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Klasifikado en la kompakta kazo"}, {"text_idx": "#000038", "text": "Se G estas ligita kompakta Mensoggrupo, g\u0302iaj finhav-dimensiaj reprezentantaroj povas esti malkonstruitaj kiel rektaj sumoj de neredukteblaj reprezentantaroj.\nLa ireducible estas klasifikitaj per \"teoremo de la plej alta pezo.\"\nNi donas mallongan priskribon de tiu teorio c\u0302i tie;\npor pli da detaloj, vidu la artikolojn en prezenta teorio de ligita kompakta Mensoggrupo kaj la paralelaj teoriaj klasifikadreprezentadoj de semikuracherbaj Lie-algebroj."}, {"text_idx": "#000039", "text": "Lasu T esti maksimuma Toro en G.\nDe la lemo de Schur, la neredukteblaj reprezentadoj de T estas al unu-dimensia.\nLa reprezentantaroj povas esti klasifikitaj facile kaj estas etikeditaj per certaj \"analize integritaj elementoj\" au\u0306 \"pezoj.\"\n(La sama pezo povas okazi pli ol unufoje."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Grava aspekto de la prezenta teorio estas la rilata teorio de karakteroj."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Du reprezentantaroj kun la sama karaktero montrig\u0302as por izomorfaj.\nKrome, la Weyl-karaktero formulo donas rimarkindan formulon por la karaktero de reprezentantaro lau\u0306 g\u0302ia plej alta pezo.\nNe nur faras tiun formulon donas multe daj utilaj informoj pri la reprezentantaro, sed g\u0302i ludas decidan rolon en la pruvo de la teoremo de la plej alta pezo."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Se G estas kommutativa Mensoggrupo, tiam g\u0302iaj neredukteblaj reprezentantaroj estas simple la kontinuaj kvalitoj de G: vidu Pontryagin-duecon por tiu kazo."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Prezenta teorio de ligitaj kompaktaj grupoj\nPrezenta teorio de la Lorentz-grupo"}]