[{"text_idx": "#000002", "text": "La kunmetaj\u0302o de funkcioj estas speciala kazo de la kunmetaj\u0302o de rilatoj, tiel ke c\u0302iuj trajtoj de c\u0302i-lasta estas veraj de kunmetaj\u0302o de funkcioj.\nLa kunmetaj\u0302o de funkcioj havas kelkajn kromajn trajtojn."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Kunmetaj\u0302o de funkcioj sur senfina aktoraro: Se f: R \u2192 R (kie R estas la aro de c\u0302iuj realaj nombroj) ricevas per f ( x\n2x + 4 kaj g: R \u2192 R estas evoluita je g ( x"}, {"text_idx": "#000004", "text": "Se la alteco de aviadilo en tempo t estas evoluita je la funkcio h ( t), kaj la oksigenkoncentrig\u0302o c\u0302e alteco x ricevas per la funkcio c ( x), tiam ( c \u2218 h) ( t) priskribas la oksigenkoncentrig\u0302on c\u0302irkau\u0306 la ebeno en tempo t ."}, {"text_idx": "#000005", "text": "La kunmetaj\u0302o de funkcioj c\u0302iam estas asocieca - posedaj\u0302o heredita de la kunmetaj\u0302o de rilatoj.\nTio estas, se f , g , kaj h estas tri funkcioj kun konvene elektitaj domajnoj kaj kodomajnoj, tiam f\nh , kie la krampoj helpas indiki ke kunmetaj\u0302o estas farota unue por la parentesigitaj funkcioj.\nC\u0302ar ekzistas neniu distingo inter la elektoj de allokigo de krampoj, ili povas esti lasitaj eraraj sen kau\u0306zado de ajna ambigueco."}, {"text_idx": "#000006", "text": "En strikta signifo, la kunmetaj\u0302o g \u2218 f povas esti konstruita nur se f ' s-kodomajno korespondas al g ' s-domajno;\nen pli larg\u0302a signifo estas sufic\u0302e ke la unua estas subaro de c\u0302i-lasta.\n[noto 2] Krome, estas ofte oportune implice limigi f ' s-domajno tia ke f produktas nur valorojn en g ' s-domajno;\nx povas esti difinita sur la intervalo [\u22123, +3]."}, {"text_idx": "#000007", "text": "La funkcioj g kaj f lau\u0306dire navedas kun unu la alian se g \u2218 f = f \u2218 g .\nKomuteco estas speciala posedaj\u0302o, ekhavita nur per specialaj funkcioj, kaj ofte en specialaj cirkonstancoj.\nnur kiam x \u2265 0.\nLa bildo montras alian ekzemplon."}, {"text_idx": "#000008", "text": "La kunmetaj\u0302o de unu-al-unuj funkcioj c\u0302iam estas unu-al-unu.\nSimile, la kunmetaj\u0302o de du sur funkcioj c\u0302iam estas sur.\nG\u0302i sekvas tiun kunmetaj\u0302on de du ensurj\u0302etoj estas ankau\u0306 ensurj\u0302eto.\nLa inversa funkcio de kunmetaj\u0302o (supozita invertebla) havas la posedaj\u0302on tiuj ( f \u2218 g) \u22121"}, {"text_idx": "#000009", "text": "Derivaj\u0302oj de kunmetaj\u0302oj implikantaj diferencieblajn funkciojn povas esti trovitaj uzantaj la derivaj\u0302on de funkcia komponaj\u0302o.\nPli altaj derivaj\u0302oj de tiaj funkcioj ricevas per formulo de Faa\u0300 di Bruno."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Se la transformo estas bijektive (kaj tiel invertebla), tiam la aro de c\u0302iaj ajn kombinaj\u0302oj de tiuj funkcioj formas transformgrupon;\nkaj oni diras ke la grupo estas generita per tiuj funkcioj.\nFundamenta rezulto en teorio de grupoj, la teoremo de Cayley, esence diras ke c\u0302iu grupo estas fakte nur grupo de permutaj\u0302oj (g\u0302is izomorfio)."}, {"text_idx": "#000012", "text": "La aro de c\u0302iu bijektivefunkcioj f:\nX \u2192 X (nomitaj permutaj\u0302oj) formas grupon kun respekto al la kunmetaj\u0302funkciigisto.\nTio estas la simetria grupo, ankau\u0306 foje nomita la kunmetaj\u0302ogrupo."}, {"text_idx": "#000013", "text": "En la simetria Duongrupo (de c\u0302iuj transformoj) oni ankau\u0306 trovas pli malfortan, ne-unikan nocion de inversa (nomite pseudoinverse) c\u0302ar la simetria Duongrupo estas regula Duongrupo."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Pli g\u0302enerale, por iu natura pli sensenta n \u2265 2, la n th funkcia potenco povas esti difinita indukte per f n = f \u2218 f n \u22121 = f n \u22121 \u2218 f .\nRipeta kunmetaj\u0302o de tia funkcio kun si mem estas nomita ripetita funkcio ."}, {"text_idx": "#000016", "text": "De kongreso, f 0 estas difinita kiel la identecmapo sur f ' s-domajno, identigaj\u0302o Xa .\nX \u2192 X koncedas inversa funkcio f \u22121 , negativaj funkciaj potencoj f \u2212 n estas difinitaj por n > 0 kiel la kontrau\u0306 potenco de la inversa funkcio:"}, {"text_idx": "#000017", "text": "Se f prenas it'ojn valorojn en boksejo (aparte por reala au\u0306 kompleks-aprezita f ), ekzistas risko de konfuzo, c\u0302ar f n ankau\u0306 povis signifi la n - faldoprodukto de f , ekz. f 2 ( x\nPor trigonometria funkcio, kutime c\u0302i-lasta minimume estas signifita, por pozitivaj eksponentoj.\nEkzemple, en trigonometrio, tiu supermanuskriptonotacio reprezentas norman potencon kiam uzite kun trigonometria funkcio:\nTamen, por negativaj eksponentoj (aparte \u22121), g\u0302i tamen kutime plusendas al la inversa funkcio, ekz., sunbruno \u22121 = arksunbrun=\u0338 1 /sunbrunon."}, {"text_idx": "#000018", "text": "En kelkaj kazoj, kiam, por antau\u0306fiksita funkcio f , la ekvacio g \u2218 g havas unikan solvon g , ke funkcio povas esti difinita kiel la funkcia kvadrata radiko de f , tiam skribite kiel g = f 1/2 ."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Sub kromaj restriktoj, tiu ideo povas esti g\u0302eneraligita tiel ke la ripetkalkulo ig\u0302as kontinua parametro;\nen tiu kazo, tia sistemo estas nomita fluo, precizigita tra solvoj de la ekvacio de Schro\u0308der.\nRipetitaj funkcioj kaj fluoj okazas nature en la studo de fraktaloj kaj dinamikaj sistemoj."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Por eviti ambiguecon, kelkaj matematikistoj elektas skribi ke f \u00b0 n por la n-th ripetas de la funkcio f ."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Multaj matematikistoj, precipe en teorio de grupoj, preterlasas la kunmetaj\u0302simbolon, skribo gf por g \u2218 f ."}, {"text_idx": "#000022", "text": "En la mid-20-a jarcento, kelkaj matematikistoj decidis ke skribi\" g \u2218 f \" signifi \"unue uzas f , tiam uzas g \"estis tro konfuza kaj decidis s\u0302ang\u0302i notaciojn.\nTio povas esti pli natura kaj s\u0302ajni pli simpla ol skribfunkcioj maldekstre en kelkaj lokoj - en lineara algebro, ekzemple, kie x estas vicvektoro kaj f kaj g indikas matricojn kaj la kunmetaj\u0302o estas per matrica multipliko.\nTiu alternativa notacio estas vokita postfiksu notacion.\nLa ordo estas grava c\u0302ar matrica multipliko estas ne-kommutativa.\nSinsekvaj transformoj aplikantaj kaj komponadon dekstren konsentas kun la maldekstra-al-dekstra legadsekvenco."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Matematikistoj kiuj uzas postfiksas notacion povas skribi\" fg \", signifi unue uzas f kaj tiam uzas g , en harmonio kun la ordo la simboloj okazas en postfiks notacion, tiel farante la notacio-\" fg \"ambigua.\ng \" por tio, [10] tiel malambiguiganta la ordon de kunmetaj\u0302o.\nDistingi la maldekstran kunmetaj\u0302funkciigiston de tekstopunktokomo, en la Z-notacio la \u2a3e karakteron estas uzita por forlasis rilatkonsiston.\nC\u0302ar c\u0302iuj funkcioj estas duargumentaj rilatoj, estas g\u0302uste uzi la [grasan] punktokomon por funkcia komponaj\u0302o ankau\u0306 (vidu la artikolon en kunmetaj\u0302o de rilatoj por pliaj detaloj en tiu notacio)."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Surbaze de funkcio g , la kunmetaj\u0302funkciigisto C g estas difinita kiel tiu funkciigisto kiel kiu mapas funkciojn al funkcioj"}, {"text_idx": "#000025", "text": "Kunmetaj\u0302funkciigistoj estas volitaj en la kampo de operatora teorio."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Funkcia komponaj\u0302o aperas en unu formo au\u0306 alia en multaj programlingvoj."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Kiam g estas simpla konstanta b , kunmetaj\u0302o degeneras en (parta) valortakson, kies rezulto ankau\u0306 estas konata kiel restrikto au\u0306 kofaktoro."}, {"text_idx": "#000029", "text": "G\u0302enerale, la kunmetaj\u0302o de multivariate funkcioj povas impliki plurajn aliajn funkciojn kiel argumentoj, kiel en la difino de primitiva rekursiva funkcio.\nSurbaze de f , n - aryfunkcio, kaj n m - ary g 1\ng da n , estas la m - aryfunkcio"}, {"text_idx": "#000030", "text": "Tio foje estas nomita la g\u0302eneraligita kunmetaj\u0302o de f kun g 1\nLa parta kunmetaj\u0302o en nur unu argumento menciita antau\u0306e povas esti instantiateita de tiu pli da generalskemo metante c\u0302iujn argumentfunkciojn krom unu esti konvene elektitaj projekciofunkcioj.\nNotu ankau\u0306 tiun g 1\ng da n povas esti vidita kiel ununura vektoro/ tuple-aprezita funkcio en tiu g\u0302eneraligita skemo, en kiu kazo tio estas g\u0302uste la normaldifino de funkcia komponaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Aro de finitaryoperacioj sur iu bazaktoraro X estas nomita klono se g\u0302i enhavas c\u0302iujn projekciojn kaj estas fermita sub g\u0302eneraligita kunmetaj\u0302o.\nNotu ke klono g\u0302enerale enhavas operaciojn de diversaj Loknombroj.\nLa nocio de anstatau\u0306igo ankau\u0306 trovas interesan g\u0302eneraligon en la multivariate kazo;\nfunkcio f de Loknombro n lau\u0306dire navedas kun funkcio g da Loknombro m c\u0302u f estas homomorfism konserva g, kaj inverse t.e.: [15]"}, {"text_idx": "#000032", "text": "Unuparta operacio c\u0302iam navedas kun si mem, sed tio ne estas nepre la kazo por binara (au\u0306 pli alta Loknombro) operacio.\nBinara (au\u0306 pli alta Loknombro) operacio kiu navedas kun si mem estas nomita mediala au\u0306 entropiko."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Kunmetaj\u0302o povas esti g\u0302eneraligita al arbitraj duargumentaj rilatoj.\nKonsiderante funkcion specialan kazon de duargumenta rilato (nome funkciaj rilatoj), funkcia komponaj\u0302o kontentigas la difinon por rilatkonsisto."}, {"text_idx": "#000034", "text": "La kunmetaj\u0302o estas difinita en lau\u0306 la saman manieron por partaj funkcioj kaj la teoremo de Cayley havas sian analogon nomitan Wagner-Preston teoremo."}, {"text_idx": "#000035", "text": "La kategorio da aroj kun funkcioj kiel morfismoj estas la prototipa kategorio.\nLa aksiomoj de kategorio estas fakte inspiritaj de la trajtoj (kaj ankau\u0306 la difino) de funkcia komponaj\u0302o.\nLa strukturoj donitaj per kunmetaj\u0302o estas aksiomigitaj kaj g\u0302eneraligitaj en teorio de kategorioj kun la koncepto de morfismo kiel la kategori-teoria anstatau\u0306igo de funkcioj.\nLa ordinversio en la formulo ( f \u2218 g) \u22121\ng \u22121 \u2218 f \u22121) petas pri grupoj g\u0302enerale kaj pri la inversa rilato;\nc\u0302iu el tiuj estas ponardkategorio."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Araneaj\u0302intrigo - grafika tekniko por funkcia kunmetaj\u0302o\nKunmetaj\u0302ringo, formala aksiomigo de la kunmetaj\u0302operacio\nFunkcio de hazarda variablo, distribuado de funkcio de hazarda variablo"}, {"text_idx": "#000038", "text": "^ Some authors use f \u2218 g :\n^ The strict sense is used, e.g. , in teorio de kategorioj , where a subset relation is modelled explicitly by an inclusion function ."}, {"text_idx": "#000041", "text": "En matematiko, komponigita funkcio, formita kiel la komponaj\u0302o de unu funkcio sur alia, prezentas la aplikon de la antau\u0306a al la rezulto de la apliko de la lasta al la argumento de la komponaj\u0302o. La funkcioj f: X \u2192 Y kaj g: Y \u2192 Z povas esti komponitaj per unue aplikado f al argumento x kaj tiam aplikado g al la rezulto. Tial oni ricevas funkcion g o f: X \u2192 Z difinitan per (g o f)(x) = g(f(x) por c\u0302iuj x en X. La notacio g o f estas legata kiel \"g cirklo f\" au\u0306 \"g komponita kun f\"."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Kiel ekzemplo, supozu, ke alto de aviadilo je tempo t estas donita per la funkcio h(t) kaj, ke la denseco de oksigeno je alto x estas donita per la funkcio c(x). Tiam (c o h)(t)=c(h(t) priskribas la densecon de oksigeno apud la aviadilo je tempo t."}, {"text_idx": "#000043", "text": "En la mezo de la 20-a jarcento, iuj matematikistoj decidis, ke skribi \"g o f\" por signifi \"unue apliki f, tiam apliki g\" estis ankau\u0306 konfuza kaj decidis s\u0302ang\u0302i notacion. Ili skribis kiel \"xf\" por \"f(x)\" kaj \"xfg\" por \"g(f(x)\". Tamen, tiu delokigo neniam popularig\u0302is, kaj nuntempe tiu notacio estas trovata nur en malnovaj libroj."}, {"text_idx": "#000044", "text": "La komponaj\u0302o de funkcioj estas c\u0302iam asocieca. Tio estas, se f, g, kaj h estas tri funkcioj kun konvene elektitaj domajnoj kaj celo-aroj, tiam f o (g o h) = (f o g) o h. C\u0302ar estas nenia distingo inter la elektoj de lokigo de parantezoj, ili povas esti sekure forlasitaj."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Kiel rezulto la aro de reciproke unuvaloraj funkcioj f: X \u2192 X formas grupon kun respekto al la komponaj\u0302a operatoro."}, {"text_idx": "#000046", "text": "La funkcioj g kaj f komutig\u0302as unu kun la alia se g o f = f o g. G\u0302enerale, komponaj\u0302o de funkcioj estos ne estas komuteca. Komuteco estas speciala propraj\u0302o, atingita nur per apartaj funkcioj, kaj ofte en specialaj kondic\u0302oj. Ekzemple, nur kiam ; por c\u0302iuj negativaj x, la unua esprimo estas nedefinita. Inversaj funkcioj c\u0302iam komutig\u0302as kaj produktas la idento-bildigon."}, {"text_idx": "#000047", "text": "Derivaj\u0302oj de komponaj\u0302o de diferencialeblaj funkcioj povas trovig\u0302i uzante la c\u0302enan regulon:"}, {"text_idx": "#000048", "text": "kie la punkto \" \u00b7 \" prezentas la ordinaran multiplikon de nombroj, au\u0306"}, {"text_idx": "#000049", "text": "Pli altaj derivaj\u0302oj de tiaj funkcioj estas donitaj per la formulo de Faa\u0300 di Bruno."}, {"text_idx": "#000050", "text": "Se Y\u2282X tiam f povas komponig\u0302i kun si; c\u0302i tio estas iam signifita kiel f 2. Tial:"}, {"text_idx": "#000051", "text": "Ripetita komponaj\u0302o de funkcio kun si estas iam nomata kiel funkcia ripeto."}, {"text_idx": "#000052", "text": "La funkciaj potencoj f o f n = f n o f = f n+1 por naturaj n sekvas senpere."}, {"text_idx": "#000053", "text": "Lau\u0306 konvencio, f 0 = idD(f) (la identa surj\u0302eto sur la domajno de f)."}, {"text_idx": "#000054", "text": "Se por f:X\u2192X estas la inversa funkcio, negativaj funkciaj potencoj f -k (k > 0) estas difinitaj kiel la kontrau\u0306aj potencoj de la inversa funkcio, (f \u22121)k."}, {"text_idx": "#000055", "text": "Noto: Se f prenas siajn valorojn en ringo (en aparta por reela au\u0306 komplekso-valora f ), estas risko de konfuzo, kiel f n povis ankau\u0306 stari por la n-a algebra potenco de valoro de f, ekzemple povas esti konsiderate kiel f 2(x) = (f (x)2 = f(x) \u00b7 f(x)."}, {"text_idx": "#000056", "text": "(Por kutimaj ciferecaj funkcioj, kutime la lasta estas intencita, almenau\u0306 por pozitivaj eksponentoj. Ekzemple c\u0302i tiu supra indeksa notacio ofte prezentas norman potencigon de trigonometriaj funkcioj: sin2(x) = sin(x) \u00b7 sin(x). Tamen, por negativaj eksponentoj (aparte \u22121), g\u0302i tamen kutime signifas la inversan funkcion, do, tan\u22121(x) = arctan(x) (sed =\u0338 1/tan(x)."}, {"text_idx": "#000057", "text": "En iuj okazoj, esprimo por f en g(x) = f r(x) povas esti derivita de la regulo por g donita ne-entjeraj valoroj de r. Tio estas nomata frakcia ripeto."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Ripetitaj funkcioj okazas nature en la studo de fraktaloj kaj dinamikaj sistemoj."}, {"text_idx": "#000059", "text": "Por donita funkcio g, la komponaj\u0302a operatoro estas difinita kiel tiu operatoro kiu mapas funkciojn al funkcioj kiel"}, {"text_idx": "#000060", "text": "Komponaj\u0302aj operatoroj estas studita en la kampo de operatora teorio."}, {"text_idx": "#000061", "text": "Funkcio de pli alta ordo"}]