[{"text_idx": "#000000", "text": "Wikipedia's Tangent as translated by GramTrans"}, {"text_idx": "#000001", "text": "En geometrio, la klavlinio (au\u0306 simple klavo) al aviadilkurbo c\u0302e antau\u0306fiksita punkto estas la aerlinio kiu \"j\u0302us tus\u0302as\" la kurbon c\u0302e tiu punkto.\nLeibniz difinis g\u0302in kiel la linion tra paro de senlime proksimaj punktoj sur la kurbo.\nPli g\u0302uste, aerlinio lau\u0306dire estas klavo de kurbo y = f ( x) c\u0302e punkto x = c sur la kurbo c\u0302u la linio pasas tra la punkto ( c, f ( c) sur la kurbon kaj havas deklivon f ' ( c) kie f ' estas la derivaj\u0302o de f.\nSimila difino validas por spackurboj kaj kurboj en n-dimensia"}, {"text_idx": "#000002", "text": "C\u0302ar g\u0302i pasas tra la punkto kie la klavlinio kaj la kurbo renkontas, nomite la punkto de tangency, la klavlinio \"iras en la sama direkto\" kiel la kurbo, kaj estas tiel la plej bona rektlinia aproksimado al la kurbo c\u0302e tiu punkto."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Simile, la klavaviadilo al surfaco c\u0302e antau\u0306fiksita punkto estas la aviadilo kiu \"j\u0302us tus\u0302as\" la surfacon c\u0302e tiu punkto.\nLa koncepto de klavo estas unu el la plej fundamentaj nocioj en diferenciala geometrio kaj estis grandskale g\u0302eneraligita;"}, {"text_idx": "#000006", "text": "3 Kiel la metodo povas malsukcesi"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Eu\u0306klido faras plurajn referencojn al la klavo ( \u03b5\u0313\u03c6\u03b1\u03c0\u03c4\u03bf\u03bc\u03b5\u0301\u03bd\u03b7) al cirklo en libro III de la Elementoj (c\u0302. 300 a.K.).\nEn Apollonius laboro Conics (c\u0302. 225 a.K.) li difinas klavon kiel esti linio tia ke neniu alia aerlinio povis fali inter g\u0302i kaj la kurbo ."}, {"text_idx": "#000009", "text": "En la 1630-aj jaroj Fermat evoluigis la teknikon de adkvalito por kalkuli klavojn kaj aliajn problemojn en analizo kaj uzis tion por kalkuli klavojn al la parabolo.\nSendepende Descartes uzis sian metodon de normaloj bazitaj sur la observado ke la radiuso de cirklo c\u0302iam estas normala al la cirklo mem."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Tiuj metodoj kau\u0306zis la evoluon de diferenciala kalkulo en la 17-a jarcento.\nRoberval malkovris g\u0302eneralan metodon de tirado de klavoj, per konsideranta kurbon priskribitan per kortus\u0302a punkto kies decidpropono estas la fortrezultanto de pluraj pli simplaj movig\u0302oj.\nRene\u0301-Franc\u0327ois de Sluse kaj Johannes Hudde trovis algebrajn algoritmojn por trovado de klavoj.\nPluevoluigoj inkluzivis tiujn de John Wallis kaj Isaac Barrow, kondukante al la teorio de Isaac Newton kaj Gottfried Wilhelm Leibniz."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Difino de klavo (1828) estis \"dekstra linio kiu tus\u0302as kurbon, sed kiu kiam produktite, ne tranc\u0302as g\u0302in\".\nTiu malnova difino malhelpas klinadpunktojn havado de ajna klavo.\nG\u0302i estis malakceptita kaj la modernaj difinoj estas ekvivalentaj al tiuj de Leibniz kiu difinis la klavlinion kiel la linion tra paro de senlime proksimaj punktoj sur la kurbo."}, {"text_idx": "#000012", "text": "La intuicia nocio ke klavlinio \"tus\u0302as\" kurbon povas farig\u0302i pli eksplicita pripensante la sekvencon de aerlinioj ( sekantoj) pasantaj tra du poentoj, A kaj B, tiujn kiuj kus\u0302as sur la funkciokurbo.\nLa klavo je A estas la limo kiam al punkto B alproksimig\u0302as au\u0306 tendencas al A.\nLa ekzisto kaj unikeco de la klavlinio dependas de certa speco de matematika glateco, konata kiel \"distingeblo.\"\nEkzemple, se du cirklaj arkoj renkontas c\u0302e akra punkto (vertico) tiam ekzistas neniu unike difinita klavo c\u0302e la vertico c\u0302ar la limo de la progresado de sekantoj dependas de la direkto en kiu \"punkto B \" alproksimig\u0302as al la vertico."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Maksimume punktoj, la klavo tus\u0302as la kurbon sen krucado de g\u0302i (kvankam g\u0302i povas, kiam dau\u0306rigite, transiri la kurbon c\u0302e aliaj lokoj for de la punkto de klavo).\nPunkto kie la klavo (c\u0302e tiu punkto) transiras la kurbon estas nomita klinadpunkto .\nCirkloj, paraboloj, hiperboloj kaj tripunktoj ne havas ajnan klinadpunkton, sed pli d komplikaj kurboj havas, kiel la grafeo de kuba funkcio, kiu havas ekzakte unu klinadpoenton, au\u0306 sinusoidon, sine kiu havas du klinadpoentojn per c\u0302iu periodo de la."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Inverse, povas okazi ke la kurbo situas tute sur unu flanko de aerlinio pasanta tra punkto sur g\u0302in, kaj tamen tiu aerlinio ne estas klavlinio.\nTio estas la kazo, ekzemple, por linio pasanta tra la vertico de triangulo kaj ne intersekcanta la triangulon - kie la klavlinio ne ekzistas pro la kialoj klarigitaj supre.\nEn konveksa geometrio, tiaj linioj estas nomitaj apogaj linioj."}, {"text_idx": "#000015", "text": "La geometria ideo de la klavlinio kiel la limo de sekantoj funkcias kiel la instigo por analizaj metodoj kiuj kutimas trovi klavliniojn eksplicite.\nLa demando da trovado de la klavlinio al grafeo, au\u0306 la klava linioproblemo, estis unu el la centraj demandoj kau\u0306zantaj la evoluon de kalkulado en la 17-a jarcento.\nEn la dua libro de lia Geometrio , Rene\u0301 Descartes [8]\ndirite de la problemo de konstruado de la klavo al kurbo, \"Kaj I au\u0306dacaj\u0302o-eldiro-tio tiom SIC ne restriktita la plej utila kaj plej multe de la g\u0302enerala problemo en geometrio kiun mi scias, sed ec\u0302 ke mi iam deziris scii\"."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Supozu ke kurbo ricevas kiel la grafikaj\u0302o, y = f ( x).\nTrovi la klavlinion c\u0302e la punkto p\n, f (), pripensas alia proksima punkto q\nLa deklivo de la sekanto pasanta tra p kaj q estas egala al la diferencokvociento"}, {"text_idx": "#000017", "text": "C\u0302ar la punkto q aliras p, kiu egalrilatas al igi h pli malgranda kaj pli malgranda, la diferencokvociento devus aliri certan limigan valoron k, kio estas la deklivo de la klavlinio c\u0302e la punkto p.\nSe k estas konata, la ekvacio de la klavlinio povas esti trovita en la punkt-dekliva formo:"}, {"text_idx": "#000018", "text": "Por igi la antau\u0306an rezonadon rigora, oni devas klarigi kio estas signifita per la diferencokvociento aliranta certan limigan valoron k.\nLa preciza matematika formulo ricevis fare de Cauchy en la 19-a jarcento kaj estas bazita sur la nocio de limo.\nSupozu ke la grafeo ne havas pau\u0306zon au\u0306 akran randon c\u0302e p kaj g\u0302i estas nek plumbofadeno nek ankau\u0306 u\u0306igly proksime de p.\nTiam ekzistas unika valoro de k tia ke, kiel h aliroj 0, la diferencokvociento ig\u0302as pli proksima kaj pli proksime al k, kaj la distanco inter ili ig\u0302as nekonsiderinda komparite kun la grandeco de h, se h estas sufic\u0302e malgranda.\nTio kondukas al la difino de la deklivo de la klavlinio al la grafeo kiel la limo de la diferencokvocientoj por la funkcio f.\nTiu limo estas la derivaj\u0302o de la funkcio f c\u0302e x = , indikis f \u2032 ().\nUtiligante derivaj\u0302ojn, la ekvacio de la klavlinio povas esti deklarita jene:"}, {"text_idx": "#000019", "text": "Kalkig\u0302o disponigas regulojn por komputado de la derivaj\u0302oj de funkcioj kiuj ricevas per formuloj, kiel ekzemple la potencfunkcio, trigonometria funkcio, eksponenta funkcio, logaritmon, kaj siajn diversajn kombinaj\u0302ojn.\nTiel, ekvacioj de la klavoj al grafeoj de c\u0302iuj tiuj funkcioj, same kiel multaj aliaj, povas esti trovitaj per la metodoj de kalkig\u0302o."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Kalkulado ankau\u0306 montras ke ekzistas funkcioj kaj punktoj en siaj grafeoj por kiu la limo determinanta la deklivo de la klavlinio ne ekzistas.\nPor tiuj punktoj la funkcio f estas ne-diferenciebla.\nEkzistas du eblaj kialoj de la metodo de trovado de la klavoj bazitaj sur la limoj kaj derivaj\u0302oj por malsukcesi: au\u0306 la geometria klavo ekzistas, sed g\u0302i estas vertikala linio, kiu ne povas ricevi en la punkt-dekliva formo c\u0302ar g\u0302i ne havas deklivon, au\u0306 la grafeekspoziciaj\u0302ojn unu el tri kondutoj kiu malhelpas geometrian klavon."}, {"text_idx": "#000022", "text": "La grafeo y = x 2/3 ilustras alian eblecon: tiu grafeo havas randon c\u0302e la origino.\nTio signifas tion, kiam h aliroj 0, la diferencokvociento c\u0302e = 0 aliroj kaj plie au\u0306 minuso senfineco depende de la signo de x.\nTiel ambau\u0306 branc\u0302oj de la kurbo estas proksimaj al la duona vertikala linio por kiu y = 0, sed neniu estas proksimaj al la negativa parto de tiu linio.\nBaze, ekzistas neniu klavo c\u0302e la origino en tiu kazo, sed en iu kunteksto oni povas konsideri tiun linion klavo, kaj ec\u0302, en algebra geometrio, duoblan klavon."}, {"text_idx": "#000023", "text": "el la absolutvalora funkcio konsistas el du aerlinioj kun malsamaj deklivoj akompanite c\u0302e la origino.\nC\u0302ar punkto q alproksimig\u0302as al la origino de la dekstro, la sekanto c\u0302iam havas deklivon 1-an Kiam punkto q alproksimig\u0302as al la origino de la maldekstro, la sekanto c\u0302iam havas deklivon \u22121-an Tial, ekzistas neniu unika klavo al la grafeo c\u0302e la origino.\nHavi du malsamajn (sed finhavajn) deklivojn estas nomita angulo."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Finfine, c\u0302ar distingeblo implicas kontinuecon, la kontrau\u0306pozitiv s\u0302tatmalkontinueco implicas ne-distingeblon.\nEventuala tia salto au\u0306 punktomalkontinueco havos neniun klavlinion.\nTio inkluzivas kazojn kie unu deklivaliropozitiva senfineco dum la aliaj aliroj negativa senfineco, kondukante al senfina saltmalkontinueco"}, {"text_idx": "#000025", "text": "Kiam la ekvacio de la kurbo ricevas en la formo f ( x, y) = 0 tiam la valoron de la deklivo povas esti trovita per implica diferencigo, donante"}, {"text_idx": "#000026", "text": "La ekvacio de la klavlinio c\u0302e punkto ( X, Y) tia ke f ( X, Y) = 0 tiam estas [10]"}, {"text_idx": "#000027", "text": "Por algebraj kurboj, komputadoj povas esti simpligitaj iom per transformado al homogenaj koordinatoj.\nSpecife, lasis la homogenan ekvacion de la kurbo esti g ( x, y, z) = 0 kie g estas homogena funkcio de grado da n.\nTiam, se ( X, Y, Z) kus\u0302as sur la kurbo, Euler-teoremo implicas"}, {"text_idx": "#000028", "text": "La ekvacio de la klavlinio en kartezaj koordinatoj povas esti trovita metante z = 1 en tiu ekvacio."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Por apliki tion al algebraj kurboj, skribu f ( x, y) kiel"}, {"text_idx": "#000030", "text": "kie c\u0302iu u r estas la sumo de c\u0302iuj esprimoj de grado da r.\nLa homogena ekvacio de la kurbo tiam estas"}, {"text_idx": "#000031", "text": "Uzante la ekvacion supra kaj malsupreniranta z = 1 produktas"}, {"text_idx": "#000032", "text": "kiel la ekvacio de la klavlinio.\nLa ekvacio en tiu formo ofte estas pli simpla uzi en praktiko c\u0302ar neniu plu simpligo estas necesa post kiam g\u0302i estas uzita."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Se per la kurbo ricevas parametrical"}, {"text_idx": "#000034", "text": "tiam la deklivo de la klavo estas"}, {"text_idx": "#000035", "text": "Tamen, g\u0302i povas okazi ke la klavlinio ekzistas kaj povas esti komputita de implica ekvacio de la kurbo."}, {"text_idx": "#000036", "text": "La linio perpendikulara al la klavlinio al kurbo c\u0302e la punkto de tangency estas nomita la normala linio al la kurbo c\u0302e tiu punkto.\nLa deklivoj de perpendikularaj linioj havas produkton \u22121, do se la ekvacio de la kurbo estas y = f ( x) tiam deklivo de la normala linio estas"}, {"text_idx": "#000037", "text": "kaj g\u0302i sekvas ke la ekvacio de la normala linio c\u0302e (X, Y) estas"}, {"text_idx": "#000038", "text": "Simile, se la ekvacio de la kurbo havas la formon f ( x, y) = 0 tiam la ekvacio de la normala linio ricevas per [15]"}, {"text_idx": "#000039", "text": "tiam la ekvacio de la normala linio estas [14]"}, {"text_idx": "#000040", "text": "La angulo inter du kurboj c\u0302e punkto kie ili intersekcas estas difinita kiel la angulo inter siaj klavlinioj c\u0302e tiu punkto.\nPli specife, du kurboj lau\u0306dire estas klavo c\u0302e punkto c\u0302u ili havas la saman klavon c\u0302e punkto, kaj ortogonalaj se iliaj klavlinioj estas ortogonalaj."}, {"text_idx": "#000041", "text": "La formuloj supre malsukcesas kiam la punkto estas eksterordinara punkto.\nEn tiu kazo povas ekzisti du au\u0306 pli da branc\u0302oj de la kurbo kiuj pasas tra la punkto, c\u0302iu branc\u0302o havante sian propran klavlinion.\nKiam la punkto estas la origino, la ekvacioj de tiuj linioj povas esti trovitaj por algebraj kurboj faktorigante la ekvacion formitan eliminante c\u0302iuj krom la plej malsuprajn gradperiodojn de la origina ekvacio.\nC\u0302ar al c\u0302iu punkto povas esti farita la origino per s\u0302ang\u0302o de variabloj, tio donas metodon por trovado de la klavlinioj c\u0302e iu eksterordinara punkto."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Ekzemple, la ekvacio de la Heliko de Pascal-trisektriks montrita dekstren estas"}, {"text_idx": "#000043", "text": "Vastigi tion kaj elimini c\u0302iuj krom esprimojn de grado 2 donas"}, {"text_idx": "#000044", "text": "Tiel tiuj estas la ekvacioj de la du klavlinioj tra la origino."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Kiam la kurbo ne estas mem-krucanta, la klavo c\u0302e referencpunkto ankorau\u0306 povas ne esti unike difinita c\u0302ar la kurbo ne estas diferenciebla c\u0302e tiu punkto kvankam g\u0302i estas diferenciebla aliloke.\nEn tiu kazo la maldekstraj kaj dekstraj derivaj\u0302oj estas difinitaj kiel la limoj de la derivaj\u0302o kiel la punkto c\u0302e kiu g\u0302i estas analizita aliras la referencpunkton de respektive la maldekstro (pli malaltaj valoroj) au\u0306 la dekstron (pli altaj valoroj).\nestas ne diferenciebla c\u0302e x = 0: g\u0302iaj maldekstraj kaj dekstraj derivaj\u0302oj havas respektivajn deklivojn \u20141 kaj 1;\nla klavoj c\u0302e tiu punkto kun tiuj deklivoj estas nomitaj la maldekstraj kaj dekstraj klavoj."}, {"text_idx": "#000046", "text": "Foje la deklivoj de la maldekstraj kaj dekstraj klavlinioj estas egalaj, tiel ke la klavlinioj koincidas.\nTio estas veraj, ekzemple, por la kurbo y = x 2/3, por kiuj kaj maldekstraj kaj dekstraj derivaj\u0302oj c\u0302e x = 0 estas senfinaj;\nkaj la maldekstraj kaj dekstraj klavlinioj havas ekvacion x = 0."}, {"text_idx": "#000047", "text": "Du cirkloj da ne-egala radiuso, ambau\u0306 en la sama aviadilo, lau\u0306dire estas klavo al unu la alian c\u0302u ili renkontas c\u0302e nur unu poento.\nEkvivalente, du cirkloj, kun radiusoj de ri kaj centroj c\u0302e ( xi , ii ), por mi = 1, 2 lau\u0306dire estas klavo al unu la alian se"}, {"text_idx": "#000048", "text": "Du cirkloj estas ekstere klavo se la distanco inter iliaj centroj estas egala al la sumo de iliaj radiusoj."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Du cirkloj estas internaly klavo se la distanco inter iliaj centroj estas egala al la diferenco inter iliaj radiusoj."}, {"text_idx": "#000050", "text": "La klavaviadilo al surfaco c\u0302e antau\u0306fiksita punkto p estas difinita en analoga vojo al la klavlinio koncerne kurbojn.\nG\u0302i estas la plej bona aproksimado de la surfaco proksime de aviadilo c\u0302e p, kaj povas esti akirita kiel la limiga pozicio de la aviadiloj pasantaj tra 3 apartaj poentoj sur la surfacon proksiman al p kiam tiuj punktoj konverg\u0302as al p.\nklavspaco c\u0302e c\u0302iu punkto de k-dimensia"}, {"text_idx": "#000051", "text": "Diverseco (matematiko) nombro Konduto de polinomfunkcio proksime de multobla radiko\nAlgebrakurba nombro Tangent c\u0302e punkto"}, {"text_idx": "#000055", "text": "Klavo al cirklo Kun interaga animacio\nKlavo kaj unua derivaj\u0302o - interaga simulaj\u0302o"}, {"text_idx": "#000056", "text": "En geometrio tang\u0302anto estas rekto kiu tus\u0302as kurbon en iu punkto, kaj trapasas tiun punkton samdirekte kiel la kurbo; tang\u0302anto estas la plej bone alproksimig\u0302o de rekto al la kurbo c\u0302e tiu punkto. La kurbo tie havas la saman inklinon kiel la tang\u0302anto. Oni diras ke tang\u0302anto estas tang\u0302a al la kurbo (au\u0306 tang\u0302as la kurbon)."}, {"text_idx": "#000057", "text": "En la grava kazo kiam la kurbo estas cirklo, oni povas difini la tang\u0302anton kiel iun rektan linion, kiu tus\u0302as la cirklon precize unufoje. Tamen tiu difino ne funkcias por g\u0302eneralaj kurboj, c\u0302ar unuflanke eblas ke ne-tang\u0302anta linio tus\u0302as kurbon nur unufoje, kaj aliflanke eblas ke tang\u0302anto tus\u0302as kurbon dufoje, kiel montras jena ekzemplo"}]