[{"text_idx": "#000001", "text": "Listo de teorio de grupo-temoj"}, {"text_idx": "#000002", "text": "Glosaro de teorio de grupoj"}, {"text_idx": "#000003", "text": "G\u0302enerala linia Gl ( n)"}, {"text_idx": "#000004", "text": "Speciala linia Sl ( n)"}, {"text_idx": "#000005", "text": "Speciala ortogonala TIEL ( n)"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Speciala unitaria Su ( n)"}, {"text_idx": "#000008", "text": "Partikla fiziko kaj prezenta teorio"}, {"text_idx": "#000009", "text": "En matematiko, E kun nombro estas la nomo de pluraj proksime rilatigis Mensoggrupojn, liniaj algebraj grupoj au\u0306 ilia Lie-algebro e 7, c\u0302iuj el kiuj havas dimension 133;\nla sama notacio E kun nombro estas utiligita por la ekvivalenta radikkrado, kiu havas rangon 7-an La nomon E kun nombro venas de la Cartan-mortiga klasifiko de la kompleksaj simplaj Lie-algebroj, kiu falo en kvar senfinajn seriojn etikedis A da n , B n , C da n , D n , kaj kvin esceptoj etikedis E6- , E kun nombro, E8 , F4 , kaj G2 .\nLa E kun nombro algebro estas tiel unu el la kvin esceptoj."}, {"text_idx": "#000010", "text": "La fundamenta grupo de la (adjunkta) kompleksa formo, kompakta reala formo, au\u0306 ajna algebra versio de E kun nombro estas la cikla grupo Z / 2Z, kaj g\u0302ia ekstera au\u0306tomorfismogrupo estas la sensignifa grupo.\nLa dimensio de sia fundamenta reprezentantaro estas 56."}, {"text_idx": "#000012", "text": "E kun nombro Polinomaj Invariantoj"}, {"text_idx": "#000013", "text": "Ekzistas unika kompleksa Lie-algebro de tipo E kun nombro, egalrilatante al kompleksa grupo de kompleksa dimensio 133-a kiun La kompleksa adjunkta Mensoggrupo E kun nombro de kompleksa dimensio 133 povas esti konsiderita simplaniman realan Mensoggrupon de reala dimensio 266-a Tio havas fundamentan grupon Z / 2Z, havas maksimuman kompaktan subgrupon la kompakta formo (vidi malsupre) de E kun nombro, kaj havas eksteran au\u0306tomorfismogrupon de ordo 2 generite per kompleksa konjugacio."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Same kiel la kompleksa Mensoggrupo de tipo E kun nombro, ekzistas kvar realaj formoj de la Lie-algebro, kaj ekvivalente kvar realaj formoj de la grupo kun sensignifa centro (c\u0302iuj el kiuj havas algebran duoblan kovron, kaj tri el kiuj havas plu ne-algebrajn kovrojn, donante plu realajn formojn), c\u0302io el reala dimensio 133, jene:"}, {"text_idx": "#000016", "text": "Por kompleta listo de realaj formoj de simplaj Lie-algebroj, vidas la liston de simplanimaj Mensoggrupoj."}, {"text_idx": "#000017", "text": "La kompakta reala formo de E kun nombro estas la Izometria grupo de la 64-dimensia escepta kompakta Riemaniana simetria spaco EVI (en la klasifiko de Cartan).\nG\u0302i estas konata neformale kiel la \" kvateroktoniona projekcia aviadilo \" c\u0302ar g\u0302i povas esti konstruita uzante algebron kiu estas la tensorprodukto de la kvaropoj kaj la oktonions, kaj ankau\u0306 estas konata kiel Rosenfeld-projekcia aviadilo, kvankam g\u0302i ne obeas la kutimajn aksiomojn de projekcia aviadilo.\nTio povas esti vidita sisteme utiligante konstruon konatan kiel la magia kvadrato , pro Hans Freudenthal kaj Jacques Tits."}, {"text_idx": "#000019", "text": "E kun nombro kiel algebra grupo"}, {"text_idx": "#000020", "text": "Per Chevalley-bazo por la Lie-algebro, oni povas difini E kun nombron kiel linian algebran grupon super la entjeroj kaj, sekve, super iu komuta ringo kaj aparte super iu kampo: tio difinas la tielnomitan dividitan (foje ankau\u0306 konata kiel \"solvitan\") adjunktan formon de E kun nombro.\nSuper algebre fermita kampo, tio kaj g\u0302ia duobla kovro estas la nuraj formoj;\ntamen, super aliaj kampoj, ekzistas ofte multaj aliaj formoj, au\u0306 \"tordaj\u0302oj\" de E kun nombro, kiuj estas konfidencaj en la g\u0302enerala kadro de Galois-kohomologio (super perfekta kampo k) de la aro H 1 ( k, Aut ( E kun nombro) kiun, c\u0302ar la Dynkin-diagramo de E kun nombro (vidu malsupre) havas neniujn au\u0306tomorfismojn, koincidas kun H 1 ( k, E kun nombro, anonco)."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Super la kampo de realaj nombroj, la reala komponento de la identeco de tiuj algebre torditaj formoj da E kun nombro koincidas kun la tri realaj Mensoggrupoj menciitaj supre, sed kun subtileco koncerne la fundamentan grupon: c\u0302iuj adjunktaj formoj de E kun nombro havas fundamentan grupon Z / 2Z en la signifo de algebra geometrio, signifante ke ili koncedas ekzakte unu duoblan kovron;\nla pli malproksima ne-kompaktaj realaj Mensogaj grupformularoj de E kun nombro estas tial ne algebraj kaj allasas neniujn fidelajn finhav-dimensiajn reprezentantarojn."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Super finhavaj kampoj, la Lang-Steinberg-teoremo implicas ke H 1 ( k, E kun nombro) = 0, signifante ke E kun nombro havas neniujn torditajn formojn: vidu malsupre."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Ec\u0302 se la radikoj turnadis 7-dimensian spacon, g\u0302i estas pli simetria kaj oportuna reprezenti ilin kiel vektoroj kus\u0302antaj en 7-dimensia subspaco de 8-dimensia vektora spaco."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Notu ke la 7-dimensia subspaco estas la subspaco kie la sumo de c\u0302iuj ok koordinatoj estas nul."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Alternativa (7-dimensia) priskribo de la radiksistemo, kiu estas utila en konsideri E kun nombro \u00d7 Su (2) subgrupon de E8, estas la sekvanta:"}, {"text_idx": "#000028", "text": "C\u0302iopermutaj\u0302ojn de (\u00b11, \u00b11,0, 0,0, 0,0) konservado de la nul c\u0302e la lasta eniro, c\u0302iuj la sekvaj radikoj kun para nombro da +1\u20442"}, {"text_idx": "#000029", "text": "kaj la du sekvaj radikoj"}, {"text_idx": "#000030", "text": "Tiel la generatoroj konsistas el 66-dimensia tiel (12) subalgebro same kiel 65 generatoroj kiuj s\u0302ang\u0302as kiel du mem-konjugaj Weyl spinors de spino (12) de kontrau\u0306a nememspegulsimetrieco kaj sia nememspegulsimetriecgeneratoro, kaj du aliajn generatorojn de nememspegulsimetriecoj."}, {"text_idx": "#000032", "text": "unu elekto de simplaj radikoj ricevas per la vicoj de la sekva matrico:"}, {"text_idx": "#000033", "text": "La Weyl-grupo de E kun nombro estas de ordo 2903040: g\u0302i estas la rekta produkto de la cikla grupo de ordo 2 kaj la unika simplanima grupo de ordo 1451520 (kiu povas esti priskribita kiel PSp6 (2) au\u0306 PS\u03a97 (2)."}, {"text_idx": "#000034", "text": "E kun nombro havas Su (8) subalgebron, kiel estas evidenta el notado ke en la 8-dimensia priskribo de la radiksistemo, la unua grupo de radikoj estas identa al la radikoj de Su (8) (kun la sama Cartan-subalgebro kiel en la E kun nombro)."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Aldone al la 133-dimensia adjunkta reprezentantaro, ekzistas 56-dimensia \" vektoro- \" reprezentantaro, por esti trovita en la E8 adjunkta reprezentantaro."}, {"text_idx": "#000036", "text": "La karakteroj de finhav-dimensiaj reprezentadoj de la realaj kaj kompleksaj Lie-algebroj kaj Mensoggrupoj estas c\u0302iuj donitaj fare de la Weyl-karaktero formulo.\nLa grandeco de la plej malgrandaj neredukteblaj reprezentantaroj estas (sekvenco A121736 en OEIS):"}, {"text_idx": "#000037", "text": "La substrekitaj esprimoj en la sekvenco supre estas la grandeco de tiuj neredukteblaj reprezentantaroj poseditaj per la adjunkta formo de E kun nombro (ekvivalente, tiuj kies pezoj apartenas al la radikkrado de E kun nombro), dum la plena sekvenco donas la grandecon de la neredukteblaj reprezentadoj de la simple ligita formo de E kun nombro.\nTie ekzistu ne-izomorfa nereduktebla reprezentado de grandeco 1903725824, 16349520330, ktp."}, {"text_idx": "#000038", "text": "La fundamentaj reprezentantaroj estas tiuj kun grandeco 133, 8645, 365750, 27664, 1539, 56 kaj 912 (egalrilatante al la sep nodoj en la Dynkin-diagramo en la sinsekvo elektita por la Cartan-matrico supra, t.e., la nodoj estas legitaj en la ses-noda c\u0302eno unue, kie la lasta nodo estas ligita al la tria)."}, {"text_idx": "#000039", "text": "E kun nombro estas la au\u0306tomorfismogrupo de la sekva paro de polinomoj en 56 ne-kommutativaj variabloj.\nNi dividas la variablojn en du grupojn de 28, ( p, P) kaj ( q, Q) kie p kaj q estas realaj variabloj kaj P kaj Q estas 3\u00d73 oktonion memadjunktaj matricoj.\nTiam la unua Invarianto estas la simplektic-Invarianto de Sp (56, R):"}, {"text_idx": "#000040", "text": "La dua pli d komplika Invarianto estas simetria kvarta polinomo:"}, {"text_idx": "#000041", "text": "Kiekaj la binara cirklofunkciigisto estas difinita per."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Alternativa kvarta Polinominvarianto konstruita fare de Cartan utiligas du kontrau\u0306-simetriaj 8x8 matricojn c\u0302iu kun 28 komponentoj."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Chevalley-grupoj de tipo E kun nombro"}, {"text_idx": "#000044", "text": "La punktoj super finhava kampo kun q elementoj de la (disfenditaj) algebra grupo E kun nombro (vidu supre), c\u0302u de la adjunkto (centerles) au\u0306 simple ligis formon (g\u0302ian algebran universalan kovro), donas finhavan Chevalley-grupon.\nTio estas proksime ligita al la grupo skribita E kun nombro ( q), aliflanke ke ekzistas ambigueco en tiu notacio, kiu povas signifi plurajn aj\u0302ojn:"}, {"text_idx": "#000045", "text": "la finhava grupo konsistante el la punktoj pli ol F da q de la simple ligita formo de E kun nombro (por klareco, tio povas esti skribita E kun nombro, sc ( q) kaj estas konata kiel la \"universala\" Chevalley-grupo de tipo E kun nombro pli ol F da q ),\n(malofte) la finhava grupo konsistante el la punktoj pli ol F da q de la adjunkta formo de E kun nombro (por klareco, tio povas esti skribita E kun nombro, anonco ( q), kaj estas konata kiel la \"adjunkta\" Chevalley-grupo de tipo E kun nombro pli ol F da q ), au\u0306\nla finhava grupo kiu estas la bildo de la natura mapo de la unua g\u0302is c\u0302i-lasta: tio estas kion estos indikita per E kun nombro ( q) en la sekvanta, kiel estas plej ofta en tekstoj traktantaj finiajn grupojn."}, {"text_idx": "#000046", "text": "De la finhava grupperspektivo, la rilato inter tiuj tri grupoj, kiu estas tre analoga al tio inter Sl ( n, q), PGL ( n, q) kaj PSL ( n, q), povas esti resumita jene:\nE kun nombro ( q) estas simpla por iu q, E kun nombro, sc ( q) estas it Schur-kovro, kaj la E kun nombro-, anonco ( q) kus\u0302as en it au\u0306tomorfismogrupo;\nkrome, kiam q estas potenco de 2, c\u0302iuj tri koincidas, kaj alie (kiam q estas stranga), la Schur-multiplikato de E kun nombro ( q) estas 2 kaj E kun nombro ( q) estas de indekso 2 en E kun nombro, anonco ( q), kiu klarigas kial E kun nombro, sc ( q) kaj E kun nombro, anonco ( q) ofte estas skribita kiel 2\nE kun nombro ( q) kaj E kun nombro ( q)\n2-a De la algebra grupperspektivo, estas malpli ofte por E kun nombro ( q) rilati al la finhava simplanima grupo, c\u0302ar c\u0302i-lasta ne estas lau\u0306 natura maniero la aro de punktoj de algebra grupo pli ol F da q male al E kun nombro, sc ( q) kaj E kun nombro, anonco ( q)."}, {"text_idx": "#000047", "text": "Kiel menciite supre, E kun nombro ( q) estas simpla por iu q, [3] [4] kaj g\u0302i konstituas unu el la senfinaj familioj alparolitaj per la klasifiko de finhavaj simplanimaj grupoj.\nG\u0302ia numero de elementoj ricevas per la formulo (sekvenco A008870 en OEIS):"}, {"text_idx": "#000048", "text": "La ordo de E kun nombro, sc ( q) au\u0306 E kun nombro, anonco ( q) (ambau\u0306 estas egalaj) povas esti akiritaj forigante la disigadfaktorgcd (2, q \u22121) (sekvenco A008869 en OEIS).\nLa Schur-multiplikato de E kun nombro ( q) estas gcd (2, q \u22121), kaj g\u0302ia ekstera au\u0306tomorfismogrupo estas la produkto de la diagonala au\u0306tomorfismogrupo Z /gcd (2, q \u22121) Z (donita per la ago de E kun nombro, anonco ( q) kaj la grupo de kampau\u0306tomorfismoj (t.e., cikla de ordo f se q = pf kie p estas c\u0302efa)."}, {"text_idx": "#000049", "text": "N = 8 supergravito en kvar dimensioj, dimensia redukto de 11 dimensia supergravito, koncedas E kun nombro bosonan tutmondan simetrion kaj al Su (8) bosonan lokan simetrion.\nLa fermionoj estas en reprezentadoj de Su (8), la mezurilkampoj estas en reprezentado de E kun nombro, kaj la Skalaroj estas en reprezentado de ambau\u0306 (Gravitons estas subc\u0302emizoj kun respekto al ambau\u0306).\nFizikaj s\u0302tatoj estas en reprezentadoj de la kun-grupo E kun nombro /Su (8)."}, {"text_idx": "#000050", "text": "En teorio de kordoj, E kun nombro prezentig\u0302as kiel parto de la mezurilgrupo de unu la (malstabila kaj ne-supersymmetric) versioj de la varmegerotika s\u0302nuro.\nG\u0302i ankau\u0306 povas aperi en la nerompita mezurilgrupa E8 \u00d7 E kun nombro en ses-dimensiaj Kompaktigoj de varmegerotika teorio de kordoj, ekzemple sur la kvar-dimensia surfaco K3."}]