[{"text_idx": "#000000", "text": "Wikipedia's Curvature as translated by GramTrans"}, {"text_idx": "#000001", "text": "Termino kurbeco estas uzata precipe en matematiko por esprimi deklinig\u0302on de rekta direkto."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Kurbeco origine signifas (speciala) eco de la kurboj:"}, {"text_idx": "#000005", "text": "Tiel kurbeco estas rilata al kelkaj interrilataj konceptoj en malsamaj areoj de geometrio. Intuicie, kurbeco estas la kvanto, per kiu geometria objekto deklinig\u0302as de rekteco au\u0306 ebeneco, sed c\u0302i tiu estas difinita en malsama manieroj depende de la c\u0302irkau\u0306teksto. Estas s\u0302losila distingo inter ekstera kurbeco, kiu estas difinita por objektoj enigitaj en alia spaco (kutime eu\u0306klida spaco) kvazau\u0306 tiu kiu rilatas al la kurbecoradiuso de cirkloj, kiuj tus\u0302as la objekton, kaj apriora kurbeco (kurbeca tensoro) kiu estas difinita je c\u0302iu punkto en diferencialebla dukto. C\u0302i tiu artikolo traktas unuavice la unuan koncepton."}, {"text_idx": "#000006", "text": "La origina ekzemplo de ekstera kurbeco estas tiu de cirklo kiu havas kurbecon egalan al la inverso de g\u0302ia radiuso c\u0302ie. Pli malgrandaj cirkloj kurbig\u0302as pli akre, kaj de c\u0302i tie havas pli altan kurbecon. Plie, la kurbeco de glata kurbo estas difinita kiel la kurbeco de g\u0302ia kurbecocirklo je c\u0302iu punkto."}, {"text_idx": "#000007", "text": "En ebeno, tio estas skalara kvanto, sed en tri au\u0306 pli multaj dimensioj g\u0302i estas priskribita per kurbeca vektoro, kiu prenas en konsidero direkton de la kurbig\u0302o kaj ankau\u0306 g\u0302ian akrecon. La kurbeco de pli kompleksaj objektoj (kiel surfacoj au\u0306 ec\u0302 n-dimensiaj spacoj) estas priskribita per pli kompleksaj objektoj de lineara algebro, kiel la g\u0302enerala rimana kurbeca tensoro."}, {"text_idx": "#000008", "text": "La resto de c\u0302i tiuj artikolo pridiskutas, el matematika perspektivo, iujn geometriajn ekzemplojn de kurbeco: la kurbeco de kurbo enigita en ebeno kaj la kurbeco de surfaco en eu\u0306klida 3-spaco."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Por ebena kurbo C, la kurbeco c\u0302e donita punkto P havas grandecon egalan al la inverso de la radiuso de kurbecocirklo kiu tus\u0302as la kurbon c\u0302e la donita punkto, kaj estas vektoro montranta rekte al tiu cirkla centro. Ju pli malgranda la radiuso r de la kurbecocirklo, des pli granda la grandeco de la kurbeco (1/r) estas; tiel ke kie kurbo estas \"proksimume rekta\", la kurbeco estas proksimume al nulo, kaj kie la kurbo spertas striktan turnon, la kurbeco estas granda."}, {"text_idx": "#000012", "text": "La grandeco de kurbeco c\u0302e punktoj sur fizikaj kurboj povas esti mezurita en dioptrioj; dioptrio estas la mezurunuo egala al 1 dividita per metro."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Rekto havas kurbecon 0 c\u0302ie; cirklo de radiuso r havas kurbecon 1/r c\u0302ie."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Por ebena kurbo donita parametre kiel c(t) = (x(t), y(t) la kurbeco estas"}, {"text_idx": "#000015", "text": "kie c\u0302iu punkto signifas diferencialadon kun respekto al t."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Por ebena kurbo donita implice kiel f(x, y)=0 la kurbeco estas"}, {"text_idx": "#000017", "text": "tio estas, la diverg\u0302enco de la direkto de la gradiento de f."}, {"text_idx": "#000018", "text": "C\u0302i tiu lasta formulo ankau\u0306 donas la meznombran kurbecon de hipersurfaco en eu\u0306klida spaco (kun precizo de multiplika konstanto)."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Estu la parabolo . Oni povas parametrigi la kurbon simple kiel ,"}, {"text_idx": "#000021", "text": "Por kurbo donita parametre kiel c(t) = (x(t), y(t), z(t) la kurbeco estas"}, {"text_idx": "#000022", "text": "kie and estas la unua kaj la dua derivaj\u0302oj de c(t), respektive."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Vidu ankau\u0306 en tordeco de kurbo."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Kurbeco de surfacoj en 3-spaco"}, {"text_idx": "#000025", "text": "Por du-dimensiaj surfacoj enigitaj en eu\u0306klida spaco R3 estas du specoj de kurbeco: gau\u0306sa kurbeco kaj meznombra kurbeco. Por kalkuli tiujn c\u0302e donita punkto de la surfaco, konsideru la komunaj\u0302on de la surfaco kun ebeno enhavanta normalan vektoron de la surfaco c\u0302e la punkto. C\u0302i tiu komunaj\u0302o estas ebena kurbo kaj havas kurbecon; se oni variigos la ebenon, tiu kurbeco s\u0302ang\u0302ig\u0302as, kaj estas du ekstremaj valoroj \u2014 la maksimuma kaj la minimuma kurbecoj, nomataj kiel la c\u0302efaj kurbecoj, k1 kaj k2, la ekstremaj direktoj estas nomataj kiel la c\u0302efaj direktoj."}, {"text_idx": "#000026", "text": "C\u0302i tie oni adoptas la konvencion, ke kurbeco estas prenita esti pozitiva se la kurbo kurbig\u0302as en la sama direkto kiel la surfaca elektita normala, alie negativa."}, {"text_idx": "#000027", "text": "La gau\u0306sa kurbeco, nomita pro Carl Friedrich Gauss, estas egala al la produto de la c\u0302efaj kurbecoj, k1k2. G\u0302i havas la dimension 1/longo2 kaj estas pozitiva por sfero, negativa por unu-folio hiperboloido kaj nulo por ebeno kaj por cilindra surfaco. G\u0302i difinas c\u0302u surfaco estas loke konveksa (kiam g\u0302i estas pozitiva) au\u0306 loke sela (kiam g\u0302i estas negativa)."}, {"text_idx": "#000028", "text": "La pli supra difino de gau\u0306sa kurbeco estas ekstera en tio, ke g\u0302i uzas la surfacan enigon en R3, normalajn vektorojn, eksterajn ebenojn kaj tiel plu. Gau\u0306sa kurbeco estas tamen fakte apriora propraj\u0302o de la surfaco, signife g\u0302i ne dependas de la aparta enigo de la surfaco; intuicie, tio signifas, ke formikoj log\u0302antaj sur la surfaco povas difini la gau\u0306san kurbecon. Formale, gau\u0306sa kurbeco nur dependas de la rimana metriko de la surfaco. Tio estas la fama Theorema Egregium de Gau\u0306so, kiun li fundamentis dum kiam li okupig\u0302is pri geografiaj katastroj kaj mapo-farado."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Apriora difino de la gau\u0306sa kurbeco je punkto P estas jena: imagu formikon kiu estas ligita al P kun mallonga fadeno de longo r. S\u0302i kuras c\u0302irkau\u0306 P dum la fadeno estas plene strec\u0302ita kaj mezuras la longon C(r) de unu kompleta promeno c\u0302irkau\u0306 P. Se la surfaco estis plata, s\u0302i devus trovi ke C(r) = 2\u03c0r. Sur aliaj surfacoj, la formulo por C(r) estos malsama, kaj la gau\u0306sa kurbeco K c\u0302e la punkto P povas esti komputita kiel"}, {"text_idx": "#000030", "text": "La integralo de la Gau\u0306sa kurbeco super la tuta surfaco estas proksime rilatanta al la surfaca eu\u0306lera karakterizo; vidu en la gau\u0306so-kufa teoremo."}, {"text_idx": "#000031", "text": "La meznombra kurbeco estas egala al la sumo de la c\u0302efaj kurbecoj, (k1+k2)/2. G\u0302i havas la dimension 1/longo. Meznombra kurbeco estas proksime rilatanta al la unua variado de surfaca areo, en aparta minimuma surfaco kiel sapa filmo havas meznombran kurbecan nulon kaj sapa efervesko havas konstantan meznombran kurbecon. Malsimile al gau\u0306sa kurbeco, la meznombra kurbeco dependas de la enigo, ekzemple, cilindro kaj ebeno estas loke izometria sed la meznombro kurbeco de ebeno estas nulo dum tiu de cilindro estas ne nulo."}, {"text_idx": "#000032", "text": "En kosmologio estas konsiderita la koncepto de kurbeco de spaco, kiu estas la kurbeco de respektivaj pseu\u0306do-rimanaj duktoj (en:pseudo-Riemannian_manifold); vidu kurbecon de rimanaj duktoj."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Spaco sen kurbeco estas nomata kiel ebena spaco au\u0306 eu\u0306klida spaco. Vidu ankau\u0306 en formo de la universo (en:shape of the universe)."}, {"text_idx": "#000034", "text": "Kurbeca formo por la adekvata nocio de kurbeco por vektoraj pakaj\u0302oj kaj c\u0302efaj pakaj\u0302oj kun ligo.\nKurbeco de rimanaj duktoj por g\u0302eneraligoj de gau\u0306sa kurbeco al pli alte dimensiaj rimanaj duktoj.\nKurbeca vektoro kaj geodezia kurbeco por adekvataj nocioj de kurbeco de kurboj en rimanaj duktoj, de iu ajn dimensio.\nDiferenciala geometrio de kurboj por plena traktado de kurboj enigitaj en eu\u0306klida spaco de ajna dimensio.\nGau\u0306sa surj\u0302eto por pli geometriaj propraj\u0302oj de gau\u0306sa kurbeco.\nGau\u0306so-kufa teoremo por rudimenta apliko de kurbeco."}]