[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, produta regulo au\u0306 leg\u0302o de Leibniz estas formulo donanta derivaj\u0302on de produto de funkcioj. Estu f(x) kaj g(x) esti du diferencialeblaj funkcioj de x. Tiam"}, {"text_idx": "#000002", "text": "au\u0306 en la alia skribmaniero:"}, {"text_idx": "#000004", "text": "3.1 Per difino de derivaj\u0302o"}, {"text_idx": "#000005", "text": "5.1 Derivaj\u0302oj de produtoj de vektoraj funkcioj\n5.2 Derivaj\u0302o de produto de matricaj funkcioj\n5.3 Derivaj\u0302o de produto de pli ol du funkcioj"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Produkto de pli ol du faktoroj"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Trovu derivaj\u0302on de f(x) = x2. C\u0302i tiu funkcio povas esti skribita kiel f(x) = x\u00b7x kaj per uzo de la produta regulo"}, {"text_idx": "#000008", "text": "Trovu derivaj\u0302on de f(x) = x3. C\u0302i tiu funkcio povas esti skribita kiel f(x) = x2\u00b7x kaj"}, {"text_idx": "#000009", "text": "El la antau\u0306a ekzemplo prenu la formulon por kaj do"}, {"text_idx": "#000010", "text": "Trovu derivaj\u0302on de f(x) = x2 sin(x)."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Derivaj\u0302o de sin(x) estas cos(x) kaj do"}, {"text_idx": "#000012", "text": "Speciff okazo de la produta regulo estas la konstanta multiplika regulo kiuj ststas ke se c estas konstanto (ne dependas de x) kaj f(x) estas diferencialebla funkcio, tiam cf(x) estas ankau\u0306 diferencialebla, kaj g\u0302ia derivaj\u0302o estas"}, {"text_idx": "#000013", "text": "La produta regulo donas la regulon por poparta integralado."}, {"text_idx": "#000014", "text": "La produta regulo donas la malfortan version de la regulo de derivaj\u0302o de kvociento. G\u0302i estas malforta versio en tio ke g\u0302i ne pruvas ke la kvociento estas diferencialebla, sed nur statas kio estas g\u0302ia derivaj\u0302o se estas g\u0302i estas diferencialebla."}, {"text_idx": "#000015", "text": "C\u0302i tiu pruvo estas simila al la pruvo pli supre. Estu"}, {"text_idx": "#000016", "text": "Por plisimpligi la limigon oni adiciu kaj subtrahu termon f(x)g(x + h) al la numeratoro, tiam rezultas"}, {"text_idx": "#000017", "text": "Tiam eblas faktorigi partojn de la numeratoro"}, {"text_idx": "#000018", "text": "La frakcio estas disdividig\u0302as en du frakciojn"}, {"text_idx": "#000019", "text": "Pro tio ke g(x) estas diferencialebla g\u0302i estas kontinua je x kaj do ekzistas kaj egalas al g(x). Krome, f(x) ne dependas de h kaj povas esti eligita el la limigo kiel konstanta faktoro. Tiel la limigo povas esti aplikata aparte al eroj de la esprimo"}, {"text_idx": "#000020", "text": "La difinoj de derivaj\u0302oj de f(x) kaj g(x)"}, {"text_idx": "#000021", "text": "Povas esti uzataj por anstatau\u0306igi erojn de la antau\u0306 esprimo kaj rezultas la produta regulo"}, {"text_idx": "#000022", "text": "Funkcio f(x) = g(x)h(x) povas esti konsiderata kiel funkcio de du variabloj g kaj h, c\u0302iu el kiuj en sia vico estas funkcio de x."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Ambau\u0306 partaj derivaj\u0302oj de f je g kaj h povas esti trovitaj:"}, {"text_idx": "#000024", "text": "kie h estas konsiderata kiel konstanto; kaj"}, {"text_idx": "#000025", "text": "kie g estas konsiderata kiel konstanto."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Malkovro de c\u0302i tiu regulo estas kreditita al Gottfried Wilhelm Leibniz, kiu monris g\u0302ian verecon jene."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Estu f(x) kaj g(x) du diferencialeblaj funkcioj de x. La diferencialo de fg estas"}, {"text_idx": "#000028", "text": "Pro tio ke la termo df\u00b7dg estas malatentebla (c\u0302ar g\u0302i estas kvadrate malgranda respektive al df kaj dg, Leibniz konkludis ke"}, {"text_idx": "#000029", "text": "kaj c\u0302i tio estas diferenciala formo de la produta regulo. Se dividi la esprimon per diferencialo dx rezultas"}, {"text_idx": "#000030", "text": "Derivaj\u0302oj de produtoj de vektoraj funkcioj"}, {"text_idx": "#000031", "text": "La regulo veras ankau\u0306 por skalara produto kaj vektora produto de du vektoro-valoraj funkcioj de skalara variablo."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Estu f(x) kaj g(x) c\u0302i tiaj funkcioj de skalaro x."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Tiam por derivaj\u0302o de ilia skalara produto estas formulo"}, {"text_idx": "#000034", "text": "Por derivaj\u0302o de ilia vektora produto estas formulo"}, {"text_idx": "#000035", "text": "kie la ordo de multiplikatoj en c\u0302iu vektora produto gravas."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Derivaj\u0302o de produto de matricaj funkcioj"}, {"text_idx": "#000037", "text": "La regulo veras ankau\u0306 por matrica produto kaj vektora produto de du matrico-valoraj funkcioj de skalara variablo."}, {"text_idx": "#000038", "text": "Estu A(x) kaj B(x) c\u0302i tiaj funkcioj de skalaro x, de tiaj ampleksoj ke ilia matrica produto A(x)B(x) ekzistas."}, {"text_idx": "#000039", "text": "Tiam por derivaj\u0302o de ilia matrica produto estas formulo"}, {"text_idx": "#000040", "text": "kie la ordo de multiplikatoj en c\u0302iu produto gravas."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Derivaj\u0302o de produto de pli ol du funkcioj"}, {"text_idx": "#000042", "text": "La produta regulo povas esti g\u0302eneraligita al produto de pli ol du faktoroj."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Por kolekto de funkcioj f1(x), ..., fk(x) de variablo x:"}, {"text_idx": "#000044", "text": "C\u0302i tio veras ankau\u0306 por matrico-valoraj funkcioj, sed tiam ordo de multiplikatoj en la produtoj devas esti c\u0302iam tia kia g\u0302i estas en la fonta produto. Por kolekto de matrico-valoraj funkcioj A1(x), ..., Ak(x) de variablo x, de ampleksoj tiaj ke ilia produto ekzistas. Taim"}, {"text_idx": "#000045", "text": "La produta regulo povas esti g\u0302eneraligita al pli altaj derivaj\u0302oj de produto de du funkcioj f(x) kaj g(x) de variablo x:"}, {"text_idx": "#000046", "text": "kie estas binomaj koeficientoj. La formulo aspekte similas al la binomo de Newton."}, {"text_idx": "#000047", "text": "C\u0302i tio veras ankau\u0306 por matrico-valoraj funkcioj, tiam la ordo de multiplikatoj en c\u0302iu produto gravas."}, {"text_idx": "#000050", "text": "En kalkig\u0302o, la kiun derivaj\u0302o de produto estas formulo kutimis trovi la derivaj\u0302ojn de produktoj de du au\u0306 pli da funkcioj.\nG\u0302i povas esti deklarita kiel"}, {"text_idx": "#000051", "text": "En diferencialnotacio, tio povas esti skribita kiel"}, {"text_idx": "#000052", "text": "En Leibniz-notacio, la derivaj\u0302o de la produkto de tri funkcioj (malsama al la triobla derivaj\u0302o de produto de Euler) estas"}, {"text_idx": "#000053", "text": "Discovery de tiu regulo estas kreditita al Gottfried Wilhelm Leibniz, kiu protestis g\u0302in uzi diferencialojn.\n(Tamen, infano (2008) argumentas ke g\u0302i s\u0302uldig\u0302as al Isaac Barrow)\nJen estas la argumento de Leibniz: Lasita u ( x) kaj v ( x) estu du diferencieblaj funkcioj de x.\nTiam la diferencialo de uv estas"}, {"text_idx": "#000054", "text": "dv estas \"nekonsiderinda\" (komparite kun du kaj dv), Leibniz finis tion"}, {"text_idx": "#000055", "text": "kaj tio estas efektive la diferenciga formo de la derivaj\u0302o de produto.\nSe ni dividas trae per la diferenciga dks, ni akiras"}, {"text_idx": "#000056", "text": "kiel kiu ankau\u0306 povas esti skribita en la notacio de Lagrange"}, {"text_idx": "#000057", "text": "\\displaistile (u\\cdot v)' v\\cdot u'+u\\cdot v."}, {"text_idx": "#000059", "text": "Lasu h (x) = f (x) g (x), kaj supozu ke f kaj g estas c\u0302iun diferencieblan c\u0302e x.\nNi volas pruvi ke h estas diferenciebla c\u0302e x kaj ke g\u0302ia derivita h' (x) estas evoluita per f' (x) g (x) + f (x) g' (x)."}, {"text_idx": "#000061", "text": "f ( x) g ( x), kaj supozu ke f kaj g estas c\u0302iun diferencieblan c\u0302e x 0.\n(Noto tio x 0 restos fiksaj dum la pruvo).\nNi volas pruvi ke h estas diferenciebla c\u0302e x 0 kaj ke g\u0302ia derivita h \u2032 ( x 0) ricevas per f \u2032 ( x 0) g ( x 0"}, {"text_idx": "#000062", "text": "notu tion kvankam x 0 estas fiksaj, \u03b4h dependas de la valoro de \u03b4ks, kiu estas opiniita de kiel estante \"malgranda\"."}, {"text_idx": "#000063", "text": "La funkcio h estas diferenciebla c\u0302e x 0 se la limo"}, {"text_idx": "#000064", "text": "kiam jes, h \u2032 ( x 0) estas difinita por esti la valoro de la limo."}, {"text_idx": "#000065", "text": "It follows that h(x0 + \u0394x) = f(x0 + \u0394x) g(x0 + \u0394x) = (f(x0) + \u0394f) (g(x0) + \u0394g); applying the distributive law, we see that"}, {"text_idx": "#000066", "text": "Dum g\u0302i ne estas necesa por la pruvo, povas esti helpeme kompreni tiun produkton geometrie kiel la areon de la rektangulo en tiu diagramo:"}, {"text_idx": "#000067", "text": "Ricevi la valoron de \u03b4h, subtrahas h ( x 0\nTio forigas la areon da la blanka rektangulo, forlasante tri rektangulojn:"}, {"text_idx": "#000068", "text": "Por trovi h \u2032 ( x 0), ni devas trovi la limon kiam \u03b4ks iras al 0 el"}, {"text_idx": "#000069", "text": "La unuaj du oficperiodoj da la dekstra flanko de tiu ekvacio egalrilatas al la areoj de la bluaj rektanguloj;\nla tria egalrilatas al la areo de la griza rektangulo.\nUtiligante la bazajn trajtojn de limoj kaj la difinon de la derivaj\u0302o, ni povas pritrakti tion esprim-for esprimo."}, {"text_idx": "#000070", "text": "La tria oficperiodo, egalrilatante al la malgranda griza rektangulo, bobenas supren estante nekonsiderinda (t.e. irante al 0 en la limo) c\u0302ar \u03b4f \u03b4g \"malaperas al dua ordo\"."}, {"text_idx": "#000071", "text": "Ni montris ke la limo de c\u0302iu el la tri esprimoj sur la dekstra flanko de ekvacio"}, {"text_idx": "#000072", "text": "ekzistas kaj estas egala al la sumo de la tri limoj.\nTiel, la produkto h ( x) estas diferenciebla c\u0302e x 0 kaj g\u0302ia derivaj\u0302o ricevas per"}, {"text_idx": "#000073", "text": "Lasu f = uv kaj supozu u kaj v estas pozitivaj funkcioj de x."}, {"text_idx": "#000074", "text": "kaj tiel, multobligante la maldekstran flankon de f, kaj la dekstran flankon de uv (noto:"}, {"text_idx": "#000075", "text": "La pruvo aperas en [1].\nNotu tion ekde u, v devas esti kontinua, la supozo sur pozitiveco ne malpliigas la g\u0302eneralecon."}, {"text_idx": "#000076", "text": "Tiu pruvo dependas de la derivaj\u0302o de funkcia komponaj\u0302o kaj de la trajtoj de la natura logaritmo funkcio, kiuj ambau\u0306 estas pli profundaj ol la derivaj\u0302o de produto (tamen, informoj pri la derivaj\u0302o de logaritmo kiu estas sufic\u0302a arang\u0302i variaj\u0302on de la pruvo povas esti konkluditaj pripensante la derivaj\u0302on c\u0302e x = 1 el la logaritmo al iu bazo de C\u0302, kie c estas konstanto, tiam g\u0302eneraligante c).\nDe unu perspektivo, t.e. malavantag\u0302o de tiu pruvo.\nAliflanke, la simpleco de la algebro en tiu pruvo eble facilaigas kompreni ol pruvo utiliganta la difinon de diferencigo rekte."}, {"text_idx": "#000077", "text": "Tio ne faras nunajn temojn de c\u0302u la valoroj estas pozitivaj au\u0306 negativaj, kaj la trajtoj de la funkcio estas multe pli simplaj montri (efektive, g\u0302i povas esti diferencigita sen uzado de unuaj principoj pripensante la derivaj\u0302on c\u0302e x = 0 el C\u0302, kie c estas konstanto, tiam g\u0302eneraligante c)."}, {"text_idx": "#000078", "text": "Notu ankau\u0306, tiuj pruvoj estas nur validaj por nombroj au\u0306 similar, dum pruvoj de unuaj principoj ankau\u0306 estas validaj por matricoj kaj tia kiel."}, {"text_idx": "#000079", "text": "La derivaj\u0302o de produto povas esti konsiderita speciala kazo de la derivaj\u0302o de funkcia komponaj\u0302o por pluraj variabloj."}, {"text_idx": "#000080", "text": "Lasu u kaj v esti kontinuaj funkcioj en x, kaj lasu dks, du kaj dv esti infinitesimal'oj ene de la kadro de ne-norma analizo, specife la hiperreelaj nombroj.\nUzante Skt. por indiki la norman partfunkcion kiu asocias al finhava hiperreela nombro la realan senlime proksiman al g\u0302i, tio donas"}, {"text_idx": "#000081", "text": "Tio estis esence la pruvo de Leibniz ekspluatanta la transcendan leg\u0302on de homogeneco (modloko de la norma parto supra)."}, {"text_idx": "#000082", "text": "En la kunteksto de la aliro de Lawvere al infinitesimal'oj, lasis dks esti nulplaco infinitezimala.\nTiam du = la dks kaj dv de u = la dks de v, tiel ke"}, {"text_idx": "#000084", "text": "La derivaj\u0302o de produto povas esti g\u0302eneraligita al produktoj de pli ol du faktoroj.\nEkzemple, por tri faktoroj ni havas"}, {"text_idx": "#000085", "text": "G\u0302i ankau\u0306 povas esti g\u0302eneraligita al la Leibniz-regulo por la a derivaj\u0302o de produkto de du faktoroj:"}, {"text_idx": "#000086", "text": "Vidu ankau\u0306 binoman koeficienton kaj la formale tre similan binomon de Newton."}, {"text_idx": "#000087", "text": "Krome, por la a derivaj\u0302o de arbitra nombro da faktoroj:"}, {"text_idx": "#000088", "text": "Por partaj derivaj\u0302oj, ni havas"}, {"text_idx": "#000089", "text": "Ekzemple, kiam n = 3, tiam"}, {"text_idx": "#000090", "text": "Supozi X, Y, kaj Z estas banah\u0302aj spacoj (kiu inkludas eu\u0306klidan spacon) kaj B:\nX \u00d7 Y \u2192 Z estas kontinua bilineara funkciigisto.\nTiam B estas diferenciebla, kaj g\u0302ia derivaj\u0302o c\u0302e la punkto ( x, y) en X \u00d7 Y estas la lineara bildigo D ( x, y) B:\nX \u00d7 Y \u2192 Z donita per"}, {"text_idx": "#000092", "text": "En abstrakta algebro, la derivaj\u0302o de produto kutimas difini kio estas nomita derivaj\u0302o, ne inverse."}, {"text_idx": "#000093", "text": "La derivaj\u0302o de produto ampleksas skalaran multiplikon, skalarproduktojn, kaj vektorajn produtojn de vektorfunkcioj."}, {"text_idx": "#000094", "text": "Por skalaraj kampoj la koncepto de gradiento estas la analogaj\u0302o de la derivaj\u0302o:"}, {"text_idx": "#000095", "text": "Inter la aplikoj de la derivaj\u0302o de produto estas pruvo tio"}, {"text_idx": "#000096", "text": "kiam n estas pozitiva entjero (tiu regulo estas vera ec\u0302 se n ne estas pozitiva au\u0306 ne estas entjero, sed la pruvo de tio devas dependi de aliaj metodoj).\nLa pruvo estas per matematika indukto sur la eksponento n.\nSe n = 0 tiam x n estas konstantaj kaj nks n \u2212 1 = 0-a La regulo tenas en tiu kazo c\u0302ar la derivaj\u0302o de konstanta funkcio estas 0-a Se la regulo tenas por iu akurata eksponento n, tiam por la venonta valoro, n + 1, ni havas"}, {"text_idx": "#000097", "text": "Tial se la propono estas vera de n, g\u0302i estas vera ankau\u0306 de n + 1, kaj tial c\u0302io integrita n."}, {"text_idx": "#000098", "text": "Derivaj\u0302o de produto ankau\u0306 estas uzita en difino de abstrakta klavspaco de iu abstrakta geometria figuro ( difencigebla plurejo).\nTiu difino kiun ni povas utiligi se ni ne povas au\u0306 deziron ne utiligi c\u0302irkau\u0306an c\u0302irkau\u0306an spacon kie nia elektita geometria figuro vivas (de kiam eble ekzistos ne tia c\u0302irkau\u0306spaco).\nUtiligas la fakton ke estas eble difini derivaj\u0302ojn de real-aprezitaj funkcioj sur tiu geometria figuro c\u0302e punkto p sole kun la derivaj\u0302o de produto kaj ke la aro de tute tiaj derivaj\u0302oj fakte formas vektoran spacon kiu estas la dezirata klavspaco."}]