[{"text_idx": "#000000", "text": "Wikipedia's Sphere as translated by GramTrans"}, {"text_idx": "#000001", "text": "Sfero (de greka \u03c3\u03c6\u03b1\u03b9\u0342\u03c1\u03b1 - sphaira, \"globo, pilko\" [1] ) estas tute ronda geometria objekto en tri-dimensia spaco kiu estas la surfaco de tute ronda pilko, (viz.\n, analoga al cirkla objekto en du dimensioj).\nKiel cirklo, kiu geometrie estas dudimensia objekto, sfero estas difinita matematike kiel la aro de punktoj kiuj estas c\u0302io c\u0302e la sama distanco r de antau\u0306fiksita punkto, sed en tri-dimensia spaco.\nTiu distanco r estas la radiuso de la pilko, kaj la antau\u0306fiksita punkto estas la centro de la matematika pilko.\nLa plej longa aerlinio tra la pilko, liganta du punktojn de la sfero, pasas tra la centro kaj g\u0302ia longo estas tiel dufoje la radiuso;\ng\u0302i estas diametro de la pilko."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Dum ekstera matematiko la esprimoj \"sphereas\" kaj \"pilko\" foje estas uzita inters\u0302ang\u0302eble, en matematiko distingo estas farita inter la sfero (dudimensia fermita surfaco\nenkonstruite en tridimensia eu\u0306klida spaco) kaj la pilko (tridimensia formo kiu inkludas la sferon same kiel c\u0302ion ene de la sfero).\nLa pilko kaj la sfero dividas la saman radiuson, diametron, kaj centron."}, {"text_idx": "#000005", "text": "La surfacareo de sfero estas:"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Arkimedo unue derivis tiun formulon [3] de la fakto ke la projekcio al la laterala surfaco de limita cilindro (ekzemple, la Lambert-cilindra egal-area projekcio) are-konservas;\ng\u0302i korespondas al la derivaj\u0302o de la formulo por la volumeno kun respekto al r c\u0302ar la totalvolumeno ene de sfero de radiuso r povas esti opiniita de kiam la sumigo de la surfacareo de senfina nombro da sferaj s\u0302eloj de infinitezimala dikeco samcentre stakigis unu ene de la alia de radiuso 0 g\u0302is radiuso r.\nC\u0302e infinitezimala dikeco la diferenco inter la interna kaj ekstera surfacareo de iu antau\u0306fiksita s\u0302elo estas infinitezimala, kaj la elementa volumeno c\u0302e radiuso r estas simple la produkto de la surfacareo c\u0302e radiuso r kaj la infinitezimala dikeco."}, {"text_idx": "#000007", "text": "C\u0302e iu antau\u0306fiksita radiuso r, la pliiga volumeno ( \u03b4V) korespondas al la produkto de la surfacareo c\u0302e radiuso r ( A ( r) kaj la dikeco de s\u0302elo ( \u03b4r):"}, {"text_idx": "#000008", "text": "La totalvolumeno estas la sumigo de c\u0302iuj s\u0302elvolumoj:"}, {"text_idx": "#000009", "text": "En la limo kiel \u03b4r aliroj nul [4] tiu ekvacio ig\u0302as:"}, {"text_idx": "#000010", "text": "Diferencigi ambau\u0306 flankojn de tiu ekvacio kun respekto al r donas A kiel funkcio de r:"}, {"text_idx": "#000012", "text": "Alternative, la areelemento sur la sfero ricevas en sferaj koordinatoj per dA = r 2 peko \u03b8 d\u03b8 d\u03c6 .\nEn kartezaj koordinatoj, la areelemento estas"}, {"text_idx": "#000013", "text": "Por pli da g\u0302eneraleco, vidu areelementon."}, {"text_idx": "#000014", "text": "La suma areo povas tiel esti akirita per integrig\u0302o:"}, {"text_idx": "#000015", "text": "En 3 dimensioj, la volumeno ene de sfero (tio estas la volumeno de pilko) estas derivita por esti"}, {"text_idx": "#000016", "text": "kie r estas la radiuso de la sfero kaj \u03c0 estas la konstanta pi.\nArkimedo unue derivis tiun formulon, kiu montras ke la volumeno ene de sfero estas 2/3 tiu de limita cilindro.\n(Tiu aserto sekvas el la principo de Cavalieri.\nEn moderna matematiko, tiu formulo povas esti derivita uzante integralan kalkulon, t.e. diskintegrig\u0302o sumigi la volumojn de senfina nombro da cirklaj diskoj de infinitezimale malgranda dikeco staplita centris flank-al-flanke lau\u0306 la absciso de x = 0 kie la disko havas radiuson r (t.e. y = r ) al x = r kie la disko havas radiuson 0 (t.e. y = 0)."}, {"text_idx": "#000017", "text": "C\u0302e iu surbaze de x, la pliiga volumeno ( \u03b4V) korespondas al la produkto de la trans-sekca areo de la disko c\u0302e x kaj al it dikeco ( \u03b4ks):"}, {"text_idx": "#000018", "text": "La totalvolumeno estas la sumigo de c\u0302iuj pliigaj volumoj:"}, {"text_idx": "#000019", "text": "C\u0302e iu surbaze de x, ortangula triangulo ligas x, y kaj r al la origino;\ntial, uzante lpitagorean teoremon rendimentojn:"}, {"text_idx": "#000020", "text": "Tiel, anstatau\u0306igi y per funkcio de x donas:"}, {"text_idx": "#000021", "text": "Kiu nun povas esti analizita jene:"}, {"text_idx": "#000022", "text": "Tial la volumeno de sfero estas:"}, {"text_idx": "#000023", "text": "Alternative tiu formulo estas trovita uzanta sferajn koordinatojn, kun volumenelemento"}, {"text_idx": "#000024", "text": "Ekzemple, sfero kun diametro 1m havas 52.4% la volumeno de kubo kun randlongo 1m, au\u0306 proksimume 0."}, {"text_idx": "#000025", "text": "En pli alta grandeco, la analogaj\u0302o de sfero estas nomita hipersfero, kiu enfermas n-pilko.\nG\u0302eneralaj rekursivaj kaj ne-rekursivaj formuloj ekzistas por la volumeno de n-pilko ."}, {"text_idx": "#000026", "text": "En analitika geometrio, sfero kun centro ( x 0, y 0, z 0) kaj radiuso r estas la lokuso de c\u0302iuj punktoj ( x, y, z) tia ke"}, {"text_idx": "#000027", "text": "La punktoj sur la sfero kun radiuso r povas esti parameterigitaj per"}, {"text_idx": "#000028", "text": "Sfero de iu radiuso centrita c\u0302e nul estas integrita surfaco de la sekva diferenciga formo:"}, {"text_idx": "#000029", "text": "Tiu ekvacio reflektas ke pozicio kaj rapidecvektoroj de punkto vojag\u0302anta sur la sferon c\u0302iam estas ortogonalaj al unu la alian."}, {"text_idx": "#000030", "text": "La sfero havas la plej malgrandan surfacareon de c\u0302iuj surfacoj kiuj enfermas antau\u0306fiksitan volumenon, kaj g\u0302i enfermas la plej grandan volumenon inter c\u0302iuj fermitaj surfacoj kun antau\u0306fiksita surfacareo.\nLa sfero tial aperas en naturo: ekzemple, vezikoj kaj malgrandaj akvogutoj estas proksimume sferaj c\u0302ar la surfaca tensio loke minimumigas surfacareon."}, {"text_idx": "#000031", "text": "La surfacareo relative al la maso de sfero estas nomita la specifa surfacareo kaj povas esti esprimita de la super fiksitaj ekvacioj kiel"}, {"text_idx": "#000032", "text": "Sfero ankau\u0306 povas esti difinita kiel la surfaco formita rotaciante cirklon koncerne iun diametron.\nAnstatau\u0306igante la cirklon kun elipso rotaciite koncerne g\u0302ian plej gravan akson, la formo ig\u0302as promalfrua sferoido;\nrotaciite koncerne la negravan akson, oblatosferoidon."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Paroj de punktoj sur sfero kiuj situas sur aerlinio tra la centro de la sfero estas nomitaj antipodaj punktoj.\nC\u0302efcirklo estas cirklo sur la sfero kiu havas la saman centron kaj radiuson kiam la sfero kaj sekve dividas g\u0302in en du egalajn partojn.\nLa plej mallonga distanco lau\u0306 la surfaco inter du apartaj ne-antipodaj punktoj sur la surfaco estas sur la unika c\u0302efcirklo kiu inkludas la du poentojn.\nProvizita per la c\u0302efcirklodistanco, c\u0302efcirklo ig\u0302as la Riemaniana cirklo."}, {"text_idx": "#000034", "text": "Se speciala punkto sur sfero estas (propraau\u0306toritate) elektita kiel it norda poluso, tiam la ekvivalenta antipoda punkto estas nomita la suda poluso, kaj la ekvatoro estas la c\u0302efcirklo kiu estas egaldistanca al ili.\nC\u0302efcirkloj tra la du poloj estas nomitaj linioj (au\u0306 meridianoj) de longitudo, kaj la linio liganta la du polojn estas nomita la rotacia akso.\nCirkloj sur la sfero kiuj estas paralela al la ekvatoro estas objektoj lau\u0306 latitudo.\nTiu terminologio ankau\u0306 estas utiligita por tiaj c\u0302irkau\u0306 sferoidal astronomiaj korpoj kiel la la terglobo (vidu geoida)."}, {"text_idx": "#000035", "text": "C\u0302iu aviadilo kiu inkludas la centron de sfero dividas g\u0302in en du egalajn hemisferojn.\nC\u0302iuj du intersekcantaj aviadiloj kiuj inkludas la centron de sfero subdividas la sferon en kvar duonlunojn au\u0306 biangulojn, kies verdglaciojn c\u0302iuj koincidas kie la antipodaj punktoj situas sur la linio de intersekcig\u0302o de la aviadiloj."}, {"text_idx": "#000036", "text": "La antipoda kvociento de la sfero estas la surfaco nomita la reela projekcia ebeno, de kiu ankau\u0306 povas esti opiniita kiam la norda hemisfero kun antipodaj punktoj de la ekvatoro identigis."}, {"text_idx": "#000037", "text": "La ronda hemisfero estas konjektita por esti la optimuma (malplej areo) plenigaj\u0302o de la Riemaniana cirklo."}, {"text_idx": "#000038", "text": "La cirkloj de intersekcig\u0302o de iu aviadilo ne intersekcanta la centron de la sfero kaj la surfacon de la sfero estas nomitaj sferaj sekcioj."}, {"text_idx": "#000039", "text": "Sferoj povas esti g\u0302eneraligitaj al spacoj de iu nombro da grandeco."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Sferoj por n > 2 foje estas nomitaj hipersferoj."}, {"text_idx": "#000041", "text": "La n-sfero de unuoradiuso centrita c\u0302e la origino estas indikita S da n kaj ofte estas referita kiel \"la\" n-sfero.\nNotu ke la ordinara sfero estas 2-sferan, c\u0302ar g\u0302i estas 2-dimensia surfaco (kiu estas enkonstruita en 3-dimensia spaco)."}, {"text_idx": "#000042", "text": "La surfacareo de la ( n \u2212 1) sfero de radiuso 1 estas"}, {"text_idx": "#000043", "text": "kie \u03b3 ( z) estas la Gamma funkcio de Euler."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Alia esprimo por la surfacareo estas"}, {"text_idx": "#000045", "text": "Pli g\u0302enerale, en metrika spaco ( E, d), la sfero de centro x kaj radiuso r > 0 estas la aro de punktoj y tia ke d ( x, y"}, {"text_idx": "#000046", "text": "Se la centro estas eminenta punkto kiu estas konsiderita kiel la origino de E, kiel en normeita regiono, g\u0302i ne estas meciita en la difino kaj notacio.\nLa sama petas pri la radiuso se estas prenite por korespondi al unu, kiel en la kazo de unuobla pilko."}, {"text_idx": "#000047", "text": "Male al pilko, ec\u0302 granda sfero povas esti malplena aro.\nEkzemple, en Z n kun Eu\u0306klida metriko, sfero de radiuso r estas nonempty nur se r 2 povas esti skribita kiel sumo de n kvaranguloj de entjeroj."}, {"text_idx": "#000048", "text": "En topologio, n-sfero estas difinita kiel spaco homeomorfa al la limo de ( n + 1) - pilko;\ntiel, g\u0302i estas homeomorfa al la Eu\u0306klida n-sfero, sed eble malhavanta sian metrikon."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Sfera estas paro de punktoj kun la diskreta topologio.\n1-sfera estas cirklo ( g\u0302is homeomorfio);\ntiel, ekzemple, (la bildo de) c\u0302iu nodo estas al 1-sfera.\n2-sfera estas ordinara sfero ( g\u0302is homeomorfio);\ntiel, ekzemple, c\u0302iu sferoido estas al 2-sfera."}, {"text_idx": "#000050", "text": "La n-sfero estas indikita Sn .\nG\u0302i estas ekzemplo de kompakta topologia dukto sen limo.\nSfero ne devu esti glata;\nse g\u0302i estas glata, g\u0302i ne devas esti difeomorfa al la Eu\u0306klida sfero."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Rimarkinde, estas eble renversigi ordinaran sferon en tri-dimensia spaco kun eblaj mem-intersekcig\u0302oj sed sen kreado de ajna faldmarko, en procezo nomita sferelvolvig\u0302o."}, {"text_idx": "#000053", "text": "La bazelementoj de Eu\u0306klida ebena geometrio estas punktoj kaj linioj.\nSur la sfero, punktoj estas difinitaj en la kutima signifo.\nLa analogo de la \"linio\" estas la geodezia, kio estas c\u0302efcirklo;\nla difina karakterizaj\u0302o de c\u0302i-lasta estas ke la aviadilo enhavanta c\u0302iujn siajn punktojn ankau\u0306 enirpermesiloj tra la centro de la sfero.\nMezurado de arklongo montras ke la plej mallonga pado inter du punktoj kus\u0302antaj tute sur la sfero estas segmento de la c\u0302efcirklo kiu inkludas la punktojn."}, {"text_idx": "#000054", "text": "Multaj teoremoj de klasika geometrio tenas veraj por sferogeometrio ankau\u0306, sed ne c\u0302iuj faras c\u0302ar la sfero ne kontentigas kelkajn el la postulatoj de klasika geometrio, inkluzive de la paralela postulato.\nEn sfera trigonometrio, anguloj estas difinitaj inter c\u0302efcirkloj.\nTiel sfera trigonometrio devias de ordinara trigonometrio en multaj rilatoj.\nEkzemple, la sumo de interno-perspektivoj de sfera triangulo superas 180 gradojn.\nAnkau\u0306, c\u0302iuj du similaj sferaj trianguloj estas kongruaj."}, {"text_idx": "#000055", "text": "Dek unu trajtoj de la sfero"}, {"text_idx": "#000056", "text": "En ilia libro Geometry and the imagination [7]\nDavid Hilbert kaj Stephan Cohn-Vossen priskribas dek unu trajtojn de la sfero kaj j\u0302etdiskoj c\u0302u tiuj trajtoj unike determinas la sferon.\nPluraj trajtoj tenas por la aviadilo, kiu povas esti opiniita de kiel sfero kun senfina radiuso."}, {"text_idx": "#000058", "text": "La unua parto estas la kutima difino de la sfero kaj determinas g\u0302in unike.\nLa dua parto povas esti facile deduktita kaj sekvas similan rezulton de Apolonio de Pergo por la cirklo.\nTiu dua parto ankau\u0306 tenas por la aviadilo."}, {"text_idx": "#000059", "text": "Tiu posedaj\u0302o difinas la sferon unike."}, {"text_idx": "#000060", "text": "La larg\u0302o de surfaco estas la distanco inter paroj de paralelaj klavaviadiloj.\nMultaj aliaj fermitaj konveksaj surfacoj havas konstantan larg\u0302on, ekzemple la Meissner-korpon.\nLa cirkonferenco de surfaco estas la cirkonferenco de la limo de sia ortogonala projekcio al aviadilo.\nC\u0302iu el tiuj trajtoj implicas la aliajn."}, {"text_idx": "#000063", "text": "Por la sfero la kurbecoj de c\u0302iuj normalaj sekcioj estas egalaj, tiel ke c\u0302iu punkto estas umbila.\nLa sfero kaj aviadilo estas la nuraj surfacoj kun tiu posedaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000064", "text": "Por antau\u0306fiksita normala sekcio ekzistas cirklo de kurbig\u0302o kiu korespondas al la sekca kurbig\u0302o, estas klavo al la surfaco, kaj la centrolinioj de kiuj kus\u0302as antau\u0306en sur la normala linio.\nEkzemple, la du centroj egalrilatantaj al la maksimumo kaj minimumo sekcaj kurbig\u0302oj estas nomitaj la fokusoj, kaj la aro de tute tiaj centroj formas la fokusan surfacon.\nPor la plej multaj surfacoj la fokusa surfaco formas du tukojn kiuj estas c\u0302iu surfaco kaj renkontas c\u0302e umbilikaj punktoj.\nPluraj kazoj estas specialaj:Por kanalsurfacoj unu tuko formas kurbon kaj la alia tuko estas surfaco\nPor konusoj, cilindroj, Toroj kaj ciklidus-leu\u0306ciskoj ambau\u0306 tukoj formas kurbojn.\nPor la sfero la centro de c\u0302iu oskuladcirklo estas en la centro de la sfero kaj la fokusa surfaco formas ununuran punkton.\nTiu posedaj\u0302o estas unika al la sfero."}, {"text_idx": "#000065", "text": "Por antau\u0306fiksita normala sekcio ekzistas cirklo de kurbig\u0302o kiu korespondas al la sekca kurbig\u0302o, estas klavo al la surfaco, kaj la centrolinioj de kiuj kus\u0302as antau\u0306en sur la normala linio.\nEkzemple, la du centroj egalrilatantaj al la maksimumo kaj minimumo sekcaj kurbig\u0302oj estas nomitaj la fokusoj, kaj la aro de tute tiaj centroj formas la fokusan surfacon."}, {"text_idx": "#000066", "text": "Por la plej multaj surfacoj la fokusa surfaco formas du tukojn kiuj estas c\u0302iu surfaco kaj renkontas c\u0302e umbilikaj punktoj.\nPluraj kazoj estas specialaj:Por kanalsurfacoj unu tuko formas kurbon kaj la alia tuko estas surfaco\nPor konusoj, cilindroj, Toroj kaj ciklidus-leu\u0306ciskoj ambau\u0306 tukoj formas kurbojn.\nPor la sfero la centro de c\u0302iu oskuladcirklo estas en la centro de la sfero kaj la fokusa surfaco formas ununuran punkton.\nTiu posedaj\u0302o estas unika al la sfero."}, {"text_idx": "#000067", "text": "Por kanalsurfacoj unu tuko formas kurbon kaj la alia tuko estas surfaco\nPor konusoj, cilindroj, Toroj kaj ciklidus-leu\u0306ciskoj ambau\u0306 tukoj formas kurbojn.\nPor la sfero la centro de c\u0302iu oskuladcirklo estas en la centro de la sfero kaj la fokusa surfaco formas ununuran punkton.\nTiu posedaj\u0302o estas unika al la sfero."}, {"text_idx": "#000068", "text": "Geodesics estas kurboj sur surfaco kiuj donas la plej mallongan distancon inter du punktoj.\nIli estas g\u0302eneraligo de la koncepto de aerlinio en la aviadilo.\nPor la sfero la geodesics estas c\u0302efcirkloj.\nMultaj aliaj surfacoj dividas tiun posedaj\u0302on."}, {"text_idx": "#000069", "text": "Tiuj trajtoj difinas la sferon unike kaj povas esti viditaj en sapvezikoj: sapveziko enfermos fiksan volumenon, kaj surfaca tensio minimumigas sian surfacareon por tiu volumeno.\nLibere s\u0302veba sapveziko tial alproksimig\u0302as al sfero (kvankam tiaj eksteraj fortoj kiam gravito faras iomete distordi la formon de la veziko)."}, {"text_idx": "#000070", "text": "La averag\u0302a kurbig\u0302o estas la mezumo de la du c\u0302efkurbig\u0302oj, kio estas konstanta c\u0302ar la du c\u0302efkurbig\u0302oj estas konstantaj c\u0302iupunkte de la sfero."}, {"text_idx": "#000071", "text": "La sfero estas la nura plantita surfaco al kiu mankas limo au\u0306 neordinaraj\u0302oj kun konstanta pozitiva averag\u0302a kurbig\u0302o.\nAliaj tiaj mergitaj surfacoj kiel minimumaj surfacoj havas konstantan averag\u0302an kurbig\u0302on."}, {"text_idx": "#000072", "text": "Gau\u0306siana kurbig\u0302o estas la produkto de la du c\u0302efkurbig\u0302oj.\nEstas interna posedaj\u0302o kiu povas esti determinita per mezuranta longo kaj anguloj kaj estas sendependa de kiel la surfaco estas enkonstruita en spaco.\nTial, fleksi surfacon ne s\u0302ang\u0302os la Gaussian-kurbig\u0302on, kaj aliaj surfacoj kun konstantopozitiva Gau\u0306sian kurbig\u0302o povas esti akiritaj tranc\u0302ante malgrandan fendon en la sfero kaj fleksante g\u0302in.\nC\u0302iuj tiuj aliaj surfacoj havus limojn, kaj la sfero estas la nura surfaco al kiu mankas limo kun konstanto, pozitiva Gau\u0306sian kurbig\u0302o.\nLa pseu\u0306dosfero estas ekzemplo de surfaco kun konstanta negativa Gau\u0306sian kurbig\u0302o."}, {"text_idx": "#000073", "text": "Rotacii c\u0302irkau\u0306 iu akso unuoblan pilkon c\u0302e la origino mapos la sferon sur si mem.\nC\u0302iu rotacio c\u0302irkau\u0306 linio tra la origino povas esti esprimita kiel kombinaj\u0302o de rotacioj c\u0302irkau\u0306 la tri-kunordigita akso (vidu Euler-angulojn).\nTial, tri-parametra familio de rotacioj ekzistas tia ke c\u0302iu rotacio transformas la sferon sur si mem;\ntiu familio estas la turnada grupo TIEL (3).\nLa aviadilo estas la nura alia surfaco kun tri-parametra familio de transformoj (tradukoj lau\u0306 la x kaj ipsilonakso kaj rotacioj c\u0302irkau\u0306 la origino).\nCirklaj cilindroj estas la nuraj surfacoj kun du-parametraj familioj de rigidaj movig\u0302oj kaj la surfacoj de revolucio kaj helikoidoj estas la nuraj surfacoj kun unu-parametra familio."}, {"text_idx": "#000074", "text": "(aprilo 2012) Por c\u0302iu sfero ekzistas multoblaj kvadroj kiuj povas esti gravuritaj ene de la sfero.\nLa plej granda kvadro kiu povas esti gravurita ene de sfero estas kubo."}, {"text_idx": "#000075", "text": "Sfera helico, klavindicatriks de kurbo de konstanta precesio"}, {"text_idx": "#000079", "text": "En geometrio, sfero au\u0306 n-sfero au\u0306 hipersfero estas (n+1)-dimensia dukto, hipersurfaco, aro de punktoj de (n+1)-dimesia spaco kies distanco al fiksita punkto de tiu spaco (centro) egalas al r, kiu estas fiksita pozitiva reela nombro, la radiuso de la sfero."}, {"text_idx": "#000080", "text": "La plej kutima estas 2-dimensia sfero, pilko- respektive globoforma kava objekto, surfaco, kiu estas formata de c\u0302iuj da la punktoj egaldistance for centra punkto en tridimensia spaco. Tiel, in eu\u0306klida geometrio, g\u0302i estas punktaro en R3, kie estas for distanco r de fiksita punkto de tiu spaco, kaj r estas pozitiva reela nombro nomata kiel la radiuso de la sfero. La fiksata punkta estas nomata la centro, kaj ne estas parto de la sfero mem. La speciala sfero, kiu havas r = 1, estas nomata kiel unuobla sfero."}, {"text_idx": "#000082", "text": "En 3-dimensiajn karteziaj koordinatoj sfero kun centro (x0, y0, z0) kaj radiuso r estas surfaco donita per jena implica ekvacio, au\u0306 alivorte g\u0302i konsistas el c\u0302iuj punktoj (x, y, z) tiaj ke"}, {"text_idx": "#000083", "text": "Parametra difino de la sama sfero estas"}, {"text_idx": "#000085", "text": "x = x0 + r cos \u03c6 sin \u03b8"}, {"text_idx": "#000086", "text": "y = y0 + r sin \u03c6 sin \u03b8"}, {"text_idx": "#000087", "text": "Fakte limigoj de s\u0302ang\u0302o de \u03c6 povas esti elektitaj alie. Por c\u0302iu \u03c60 povas esti elektite ke \u03c60 < \u03c6 < \u03c60+2\u03c0 kaj rezultas la sama sfero; ofta varianto estas \u03c60 = \u2212\u03c0."}, {"text_idx": "#000088", "text": "Sfero de ajna radiuso estas surfaco difinita per jena diferenciala formo:"}, {"text_idx": "#000089", "text": "kie \u00b7 estas skalara produto de vektoroj. C\u0302i tiu ekvacio respektivas al tiu fakto ke rapido de punkto movig\u0302anta lau\u0306 la sfero estas c\u0302iam perpendikulara al la radiusa vektoro. Tiel obeante la ekvacion kaj komencig\u0302ante je iu radiuso de la centro, punkto povas veni al c\u0302iu punkto sur la sfero de la radiuso, sed ne povas veni al punkto sur samcentra sfero de la alia radiuso."}, {"text_idx": "#000090", "text": "Por kutima 2-sfero de radiuso r la surfaca areo estas"}, {"text_idx": "#000091", "text": "kaj la volumeno ene de sfero - volumeno de pilko kies rando estas la sfero - estas"}, {"text_idx": "#000092", "text": "Por n-sfero de radiuso r hiperareo A estas"}, {"text_idx": "#000093", "text": "kie \u0393 estas la \u0393 funkcio, au\u0306"}, {"text_idx": "#000095", "text": "Se m estas dimensio de spaco en kiu estas la n-sfero, m = n + 1, la formuloj povas esti skribitaj kiel"}, {"text_idx": "#000096", "text": "Sfero povas esti konstruita topologie simile al la aliaj konataj surfacoj."}, {"text_idx": "#000097", "text": "Startu de kvadrato kaj tiam gluu kune respektivajn kolorigitajn randoj, tiel ke la sagoj kongruu. Sfero povas esti prezentita kiel kvocienta spaco, unuobla kvadrato ( [0,1] \u00d7 [0,1] ) kun flankoj identigitaj jene:"}, {"text_idx": "#000098", "text": "Noto ke c\u0302i tio estas abstrakta gluado en topologia senco."}, {"text_idx": "#000099", "text": "C\u0302i tiu kvadrato estas fundamenta plurlatero de sfero."}]