[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, homologio [1] estas g\u0302enerala maniero asocii sekvenco de algebraj objektoj kiel ekzemple abelaj grupoj au\u0306 moduloj al aliaj matematikaj objektoj kiel ekzemple topologiaj spacoj.\nHomologiogrupoj estis origine difinitaj en algebra topologio.\nSimilaj konstruoj estas haveblaj en multaj aliaj kuntekstoj, kiel ekzemple abstrakta algebro, grupoj, Lie-algebroj, galeza teorio, kaj algebra geometrio."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La origina instigo por difinado de homologiogrupoj estis la observado ke du formoj povas esti distingitaj ekzamenante siajn truojn.\nEkzemple, cirklo ne estas disko c\u0302ar la cirklo havas truon tra g\u0302i dum la disko estas solida, kaj la ordinara sfero ne estas cirklo c\u0302ar la sfero enfermas dudimensian truon dum la cirklo enfermas unu-dimensian truon.\nTamen, c\u0302ar truo ne estas \"tie\", estas ne tuj evidente kiel difini truon au\u0306 kiel distingi malsamajn specojn de truoj.\nHomologio estis origine rigora matematika metodo por difinado kaj klasifikado de truoj en dukto.\nLoze parolante, ciklo estas fermita subdukto, limo estas ciklo kiu ankau\u0306 estas la limo de (malferma au\u0306 fermita) subdukto kaj homologioklaso (kiu reprezentas truon) estas ekvivalentklaso de ciklaj modullimoj.\nNe-sensignifa ekvivalentklaso estas tiel reprezentita per ciklo kiu ne estas la limo de iu subdukto.\nHipoteza dukto kies limo estus tiu speciala ciklo kiu estas kial tiu ciklo estas indika de la c\u0302eesto de truo. ne estas \""}, {"text_idx": "#000003", "text": "Ekzistas multaj malsamaj homologecaj teorioj.\nSpeciala speco de matematika objekto, kiel ekzemple topologia spaco au\u0306 grupo, povas havi unu au\u0306 pluraj rilatajn homologecajn teoriojn.\nKiam la subesta objekto havas geometrian interpreton like topologiaj spacoj faras, la a homologiogrupo reprezentas konduton unika al dimensio n.\nG\u0302enerale, la plej multaj homologiogrupoj au\u0306 moduloj ekestas kiel derivitaj funktoroj sur konvenajn abelajn kategoriojn.\nIli disponigas konkretajn priskribojn de la fiasko de funktoro por esti precizaj.\nDe tiu abstrakta perspektivo, homologiogrupoj estas determinitaj per celoj de derivita kategorio."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Apliko en scienco kaj ing\u0302enieristiko"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Homologeca teorio povas esti dirita komenci kun la Euler-pluredroformulo, au\u0306 Euler karakteriza.\nTio estis sekvita per la difino de Riemann de genro kaj n-obla ligitecaj nombraj Invariantoj en 1857 kaj la pruvo de Betti en 1871 el la sendependeco de \"homologionombroj\" de la elekto de bazo."}, {"text_idx": "#000007", "text": "Homologio mem estis evoluigita kiel maniero analizi kaj klasifiki duktojn lau\u0306 iliaj cikloj - fermitaj bukloj (au\u0306 pli g\u0302enerale subduktoj) kiuj povas esti tiritaj sur antau\u0306fiksita n dimensiodukto sed ne ade misformitaj en unu la alian.\nTiuj cikloj ankau\u0306 estas foje opiniitaj de kiel tranc\u0302oj kiuj povas esti gluitaj reen kune, au\u0306 kiel zipoj kiuj povas esti fiksitaj kaj malfiksitaj.\nCikloj estas klasifikitaj per dimensio."}, {"text_idx": "#000008", "text": "La Jordania kurbteoremo montras ke c\u0302iu arbitra ciklo kiel ekzemple c povas esti simile s\u0302rumpita al punkto.\nC\u0302iuj cikloj sur la sfero povas tial esti ade transformitaj en unu la alian kaj aparteni al la sama homologioklaso.\nIli lau\u0306dire estas homologaj renuligi.\nTranc\u0302i dukton lau\u0306 ciklo homologa al nul apartigas la dukton en du au\u0306 pli da komponentoj.\nEkzemple, tranc\u0302i la sferon lau\u0306 produktas du hemisferojn."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Tio ne estas g\u0302enerale vera de cikloj sur aliaj surfacoj.\nCikloj a kaj b ne povas esti s\u0302rumpitaj signife.\nCiklo c povas esti s\u0302rumpita al punkto, tiel ke estas homologe renuligi."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Se la Torsurfaco estas tranc\u0302ita lau\u0306 kaj a kaj b, g\u0302i povas esti malfermita eksteren kaj platigita en rektangulon au\u0306, pli komforte, kvadrato.\nUnu kontrau\u0306 paro de flankoj reprezentas la tranc\u0302on lau\u0306 , kaj la aliaj kontrau\u0306 paro reprezentas la tranc\u0302on lau\u0306 b."}, {"text_idx": "#000011", "text": "La randoj de la kvadrato tiam povas esti gluitaj reen kune lau\u0306 malsamaj manieroj.\nLa kvadrato povas esti tordita por permesi al randoj renkonti en la kontrau\u0306a direkto, kiel montrite per la sagoj en la diagramo.\nG\u0302is simetrio, ekzistas kvar apartaj manieroj glui la flankoj, c\u0302iu kreante malsaman surfacon:"}, {"text_idx": "#000012", "text": "Estas teoremo ke la re-gluita surfaco devas mem-intersekci (kiam mergite en Eu\u0306klida 3-spaca).\nKiel la Toro, cikloj a kaj b ne povas esti s\u0302rumpitaj dum c povas esti.\nSed male al la Toro, sekvante b antau\u0306en dekstran rondaj kaj malantau\u0306aj reversoj maldekstre kaj dekstra, c\u0302ar b okazas por kruci super la tordaj\u0302o donita al unu kunligo.\nSe egaldistanca tranc\u0302o sur unu flanko de b estas farita, g\u0302i revenas sur la alian flankon kaj iras je la surfaco dua fojo antau\u0306 revenado al g\u0302ia deirpunkto, tranc\u0302ante torditan rubandon de Mo\u0308bius.\nC\u0302ar loka maldekstre kaj dekstre povas esti propraau\u0306toritate reorientigita lau\u0306 tiu maniero, la surfaco kiel tutaj\u0302o lau\u0306dire estas ne-orientable."}, {"text_idx": "#000013", "text": "La nereduktita formo, g\u0302enerale reprezentita kiel la Boy surfaco, estas vide kompleksa, tiel ke duongloba enkonstruado estas montrita en la diagramo, en kiuj antipodaj punktoj c\u0302irkau\u0306 la rando kiel ekzemple A kaj A\u2032 estas identigitaj kiel la sama punkto.\nDenove, a kaj b estas ne-shrinkable dum c estas.\nSed tiu tempon, kaj a kaj b inversigas maldekstre kaj dekstre."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Cikloj povas esti akompanitaj au\u0306 aldonitaj kune, kia a kaj b sur la Toro estis kiam g\u0302i estis tranc\u0302ita malfermig\u0302u kaj platigita malsupren.\nEn la botelo de Klein-diagramo, iras c\u0302irkau\u0306 unu vojon kaj \u2212 iras je la kontrau\u0306an vojon.\nSe estas opiniita de kiel tranc\u0302o, tiam \u2212 ladskatolo estu opiniitaj de kiel glua operacio.\nFarante tranc\u0302on kaj tiam re-gluanten g\u0302i ne s\u0302ang\u0302as la surfacon, tiel"}, {"text_idx": "#000015", "text": "Sed nun pripensas du ciklojn.\nC\u0302ar la botelo de Klein estas nonorientabla, vi povas transporti unu el ili c\u0302iuj la vojon je la botelo (lau\u0306 la b-ciklo), kaj g\u0302i revenos kiel \u2212 .\nTio estas c\u0302ar la botelo de Klein estas farita de cilindro, kies ciklaj finoj estas gluitaj kune kun kontrau\u0306aj orientig\u0302oj.\n) = 0-a Tiu fenomeno estas nomita tordo.\nSimile, en la projekcia aviadilo, post la sens\u0302rumpa ciklo b rondo dufoje rimarkinde kreas sensignifan ciklon kiu povas esti s\u0302rumpita al punkto;\ntio estas, b + b = 0-a C\u0302ar b devas esti sekvita c\u0302irkau\u0306e dufoje por atingi nulciklon, la surfaco lau\u0306dire havas tordkoeficienton de 2-a Tamen, sekvi b-ciklo c\u0302irkau\u0306e dufoje en la botelo de Klein donas simple al b + b = 2b, ekde tiu ciklo vivas en tord-libera homologioklaso.\nTio egalrilatas al la fakto ke en la fundamenta plurangulo da la botelo de Klein, nur unu paro de flankoj estas gluita kun tordaj\u0302o, dum en la projekcia aviadilo ambau\u0306 flankoj estas perversaj."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Kvadrato estas kuntirebla topologia spaco, kiu implicas ke g\u0302i havas sensignifan homologion.\nSekve, kromaj tranc\u0302oj malkonektas g\u0302in.\nLa kvadrato ne estas la nura formo en la aviadilo kiu povas esti gluita en surfacon.\nGluado kontrau\u0306 flankoj de oklatero, ekzemple, produktas surfacon kun du truoj.\nFakte, c\u0302iuj fermitaj surfacoj povas esti produktitaj gluante la flankojn de iu plurangulo kaj c\u0302iuj eben-flankaj pluranguloj ( 2n-gons) povas esti gluitaj por fari malsamajn duktojn.\nInverse, fermita surfaco kun n ne-nulaj klasoj povas esti tranc\u0302ita en 2n-gon.\nVarioj ankau\u0306 estas eblaj, ekzemple heksagono povas ankau\u0306 esti gluitaj por formi Toron."}, {"text_idx": "#000017", "text": "La unua rekonebla teorio de homologio estis publikigita fare de Henri Poincare\u0301 en lia pionira papero- \" Analizo situs \", J. Ecole polytech. (2) 1.\nLa papero prezentis homologioklasojn kaj rilatojn.\nLa eblaj konfiguracioj de orienteblaj cikloj estas klasifikitaj per la Betti-nombroj da la dukto (Betti-nombroj estas rafinado de la Euler karakterizaj).\nKlasifiki la ne-orientablen ciklojn postulas kromajn informojn pri tordkoeficientoj."}, {"text_idx": "#000018", "text": "La kompleta klasifiko de 1- kaj 2-manifolds ricevas en la tabelo."}, {"text_idx": "#000019", "text": "NOTOJ: Por ne-orientable surfaco, truo estas ekvivalenta al du kruc-c\u0302apoj.\nC\u0302iu 2-multnombra estas la koneksa sumo de g Toroj kaj c projekciaj aviadiloj."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Dukto kun limo au\u0306 malferma dukto estas topologie apartaj de fermita dukto kaj povas esti kreitaj farante tranc\u0302on en iu tau\u0306ga fermita dukto.\nG\u0302i povas esti kreita tranc\u0302ante sensignifan ciklon en iu 2-multnombra kaj konservante la pecon forigis, per trapikado de la sfero kaj etendado de la trapikig\u0302o larg\u0302a, au\u0306 tranc\u0302ante la projekcian aviadilon.\nG\u0302i ankau\u0306 povas esti vidita kiel plenigo-la cirklo en la aviadilo."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Kiam du cikloj povas esti ade misformitaj en unu la alian, tiam tranc\u0302ante antau\u0306en oni produktas la saman formon kiel tranc\u0302ado antau\u0306en la alia, g\u0302is iom da fleksado kaj pliigo.\nEn tiu kazo la du cikloj lau\u0306dire estas homologaj au\u0306 kus\u0302i en la sama homologioklaso.\nPlie, se unu ciklo povas esti ade misformita en kombinaj\u0302on de aliaj cikloj, tiam tranc\u0302i antau\u0306en la komencan ciklon estas la sama kiel tranc\u0302anta lau\u0306 la kombinaj\u0302o de aliaj cikloj.\nEkzemple, tranc\u0302i lau\u0306 figuro 8 estas ekvivalenta al tranc\u0302ado lau\u0306 g\u0302iaj du loboj.\nEn tiu kazo, la figuro 8 lau\u0306dire estas homologa al la sumo de g\u0302iaj loboj."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Du malfermaj duktoj kun similaj limoj (supren al iom da fleksado kaj pliigo) povas esti gluitaj kune por formi novan dukton kiu estas ilia koneksa sumo."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Tiu geometria analizo de duktoj ne estas rigora.\nEn serc\u0302o por pliigita rigoro, Poincare\u0301 dau\u0306rig\u0302is por evoluigi la simplicial homologion de triangulita dukto kaj por krei kio estas nun nomita c\u0302enkomplekso.\nTiuj c\u0302enkompleksoj (ekde tre g\u0302eneraligita) formas la bazon por la plej multaj modernaj traktadoj de homologio."}, {"text_idx": "#000024", "text": "En tiaj traktadoj ciklo ne devu esti kontinua: cikla estas aro de punktoj, kaj tranc\u0302i lau\u0306 tiu ciklo egalrilatas al trapikado de la dukto.\nSur surfaco, tranc\u0302i lau\u0306 1-ciklaj rendimentoj au\u0306 malkonektis pecojn au\u0306 pli simplan formon.\n2-cikla egalrilatas al kolekto de integrig\u0302intaj surfacoj kiel ekzemple sfero au\u0306 Toro,."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Emmy Noether kaj, sendepende, Leopold Vietoris kaj Walther Mayer plue evoluigis la teorion de algebraj homologiogrupoj en la periodo 1925-28.\nLa nova kombineca topologio formale traktis topologiajn klasojn kiel abelajn grupojn.\nHomologiogrupoj estas finhave generitaj abelaj grupoj, kaj homologioklasoj estas elementoj de tiuj grupoj.\nLa Betti-nombroj da la dukto estas la rango de la libera parto de la homologiogrupo, kaj la ne-orientable cikloj estas priskribitaj per la tordparto."}, {"text_idx": "#000026", "text": "La posta disvastig\u0302o de homologiogrupoj alportis s\u0302ang\u0302on de terminologio kaj vidpunkto de \"kombineca topologio\" g\u0302is \" algebra topologio \".\nAlgebra homologio restas la primara metodo de klasifikado de duktoj."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Neformale, la homologio de topologia spaco X estas aro de topologiaj Invariantoj de X reprezentita fare de g\u0302iaj homologiogrupoj"}, {"text_idx": "#000028", "text": "G\u0302i havas unuopaj\u0302on Koneksa komponanto kaj unu-dimensia truo, sed neniuj higher-dimensiaj truoj.\nLa ekvivalentaj homologiogrupoj ricevas kiel"}, {"text_idx": "#000029", "text": "La ekvivalentaj homologiogrupoj estas [15]"}, {"text_idx": "#000030", "text": "G\u0302enerale por n-dimensia sfera Sn , la homologiogrupoj estas"}, {"text_idx": "#000031", "text": "Dudimensia pilko B 2 estas solida disko.\nG\u0302i havas ununuran pad-ligitan komponenton, sed kontraste al la cirklo, havas ne unu-dimensiajn au\u0306 higher-dimensiajn truojn.\nG\u0302enerale, por n-dimensia pilka Bn , [15]"}, {"text_idx": "#000032", "text": "La Toro havas ununuran pad-ligitan komponenton, du sendependajn unu-dimensiajn truojn (indikitajn fare de cirkloj en rug\u0302a kaj blua) kaj unu- du-dimensian truon kiel la interno de la Toro.\nLa ekvivalentaj homologiogrupoj estas [16]"}, {"text_idx": "#000033", "text": "La konstruo komencig\u0302as kun objekto kiel ekzemple topologia spaco Xa, sur kiu oni unue difinas c\u0302enkomplekson C ( X) c\u0302ifranta informojn pri X.\nC\u0302enkomplekso estas sekvenco de abelaj grupoj au\u0306 moduloj C 0, C 1, C 2, ..."}, {"text_idx": "#000034", "text": "Tio estas, por c\u0302iu n,"}, {"text_idx": "#000035", "text": "t.e., la konstanta mapo sendanta c\u0302iun elementon de C da n +1 al la grupidenteco en C da n \u22121."}, {"text_idx": "#000036", "text": "C\u0302ar c\u0302iu c\u0302engrupo Cn estas abela c\u0302iuj siaj subgrupoj estas normalaj.\nTiam oni povas krei la kvocientogrupon"}, {"text_idx": "#000037", "text": "nomite la a homologiogrupo de X .\nLa elementoj de Hn ( X) estas nomitaj homologioklasoj.\nC\u0302iu homologioklaso estas ekvivalentklaso dum cikloj kaj du cikloj en la sama homologioklaso lau\u0306dire estas homologaj."}, {"text_idx": "#000038", "text": "C\u0302enkomplekso lau\u0306dire estas preciza c\u0302u la bildo de la ( n +1) th-mapo c\u0302iam estas egala al la kerno de la a mapo.\nLa homologiogrupoj de X tial mezuras \"ke kiom longe\" la c\u0302enkomplekso asociita al X estas de esti precizaj."}, {"text_idx": "#000039", "text": "La reduktitaj homologiogrupoj de c\u0302enkomplekso C ( X) estas difinitaj kiel homologioj de la pliigita c\u0302enkomplekso [20]"}, {"text_idx": "#000041", "text": "Aliflanke, ekzistas iloj kiuj igas la taskon pli facila."}, {"text_idx": "#000042", "text": "La simplicial homologio grupigas Hn ( X) de simplicial komplekso X estas difinitaj uzante la simplicial-c\u0302enkomplekson C ( X), kun Cn ( X) la liberan abelan grupon generitan per la n-simplices de X.\nLa eksterordinaraj homologio grupoj Hn ( X) estas difinitaj por iu topologia spaco Xa, kaj konsentas kun la simplicial-homologiogrupoj por simplicial komplekso."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Kohomologiogrupoj estas formale similaj al homologiogrupoj: oni komencas kun koc\u0302enkomplekso, kio estas la sama kiel c\u0302enkomplekso sed kies sagoj, nun indikis dn , punkton en la direkto de kreskanta n prefere ol malpliigado de n;\nLa a kohomologiogrupo de X tiam estas la kvocientogrupo"}, {"text_idx": "#000044", "text": "en analogeco kun la a homologiogrupo."}, {"text_idx": "#000045", "text": "La malsamaj specoj de homologeca teorio ekestig\u0302as de funktormapado de diversaj kategorioj da matematikaj objektoj al la kategorio da c\u0302enkompleksoj.\nEn c\u0302iu kazo la kunmetaj\u0302o de la funktoro de objektoj g\u0302is c\u0302enkompleksoj kaj la funktoro de c\u0302enkompleksoj g\u0302is homologiogrupoj difinas la totalan homologiofunktoron por la teorio."}, {"text_idx": "#000046", "text": "La instiga ekzemplo venas de algebra topologio: la simplicial homologio de simplicial komplekso Xa.\nC\u0302i tie estas la libera abela grupo au\u0306 modulo kies generatoroj estas la n-dimensia orientitaj simplekse de X.\nLa mapadoj estas nomitaj la limmapadoj kaj sendas la simplan kun verdglacioj"}, {"text_idx": "#000047", "text": "(kiu estas konsiderita 0 se n = 0)."}, {"text_idx": "#000048", "text": "Se ni prenas la modulojn por esti finitaj kampo, tiam la dimensio de la a homologio de X montrig\u0302as por esti la nombro da \"truoj\" en X c\u0302e dimensio n.\nG\u0302i povas esti komputita metante matric reprezentadojn de tiuj limmapadoj en Smith-normalan formon."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Utiligante simplicial-homologiekzemplon kiel modelon, oni povas difini eksterordinaran homologion por iu topologia spaco Xa.\nC\u0302enkomplekso por X estas difinita per prenado por esti la libera abela grupo (au\u0306 libera modulo) kies generatoroj estas c\u0302iuj kontinuaj mapoj de n-dimensia\nLa homomorfisms \u2202 n ekestig\u0302as de la limmapoj de stultullau\u0306soj."}, {"text_idx": "#000050", "text": "En abstrakta algebro, unu uzas homologion por difini derivitajn funktorojn, ekzemple la Tor-funktorojn.\nC\u0302i tie oni komencas per iu kovariaj\u0302aldonaj\u0302funktoro F kaj iu modulo Xa.\nLa c\u0302enkomplekso por X estas difinita jene: unue trovu liberan modulon F 1 kaj surjektive homomorfism p 1:\nTiam oni trovas liberan modulon F 2 kaj surjektive-homomorfism p 2:\nDau\u0306rante en tiu modo, sekvenco de liberaj moduloj Fn kaj homomorfismo pn povas esti difinitaj.\nAplikante la funktoron F al tiu sekvenco, oni akiras c\u0302enkomplekson;\nla homologio Hn de tiu komplekso dependas nur de F kaj Xa kaj estas, de difino, la aj derivitan funktoron de F, surs\u0302mirita al X."}, {"text_idx": "#000051", "text": "C\u0302enkompleksoj formas kategorion: morfismo de la c\u0302enkomplekso ( dn :\n\u2192 A n-1) al la c\u0302enkomplekso ( en :\nBn \u2192 B n-1) estas sekvenco de homomorfismo fn :\nLa a homologio Hn povas esti rigardita kiel kovariaj\u0302funktoro de la kategorio da c\u0302enkompleksoj g\u0302is la kategorio da abelaj grupoj (au\u0306 moduloj)."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Se la c\u0302enkomplekso dependas de la objekto Xa en kovariaj\u0302maniero (signifante ke c\u0302iu morfismo X \u2192 Y induktas morfismon de la c\u0302enkomplekso de X g\u0302is la c\u0302enkomplekso de Y), tiam la Hn estas kovariaj\u0302funktoroj de la kategorio kiun tiu X apartenas supre en la kategorio da abelajn grupojn (au\u0306 modulojn)."}, {"text_idx": "#000053", "text": "La nura diferenco inter homologio kaj kohomologio estas ke en kohomologio la c\u0302enkompleksoj dependas en kontrau\u0306variaj\u0302 maniero de X, kaj ke tial la homologiogrupoj (kiuj estas nomitaj kohomologiogrupoj en tiu kunteksto kaj indikitaj fare de Hn ) formas kontrau\u0306variaj\u0302 funktorojn de la kategorio tiu X apartenas supre en la kategorio da abelajn grupojn au\u0306 modulojn."}, {"text_idx": "#000054", "text": "\u2192 A n-1) estas c\u0302enkomplekso tia ke c\u0302iuj krom finhave multaj estas nul, kaj la aliaj estas finhave generitaj abelaj grupoj (au\u0306 finhav-dimensiaj vektoraj spacoj), tiam ni povas difini la eu\u0306leran karakterizon"}, {"text_idx": "#000055", "text": "(uzante la rangon koncerne abelajn grupojn kaj la Hamel-dimension koncerne vektorajn spacojn).\nG\u0302i turnas ke la eu\u0306lera karakterizo ankau\u0306 povas esti komputita sur la nivelo de homologio:"}, {"text_idx": "#000056", "text": "kaj, precipe en algebra topologio, tio disponigas du manierojn komputi la gravan senvarian \u03c7 por la objekto X kiu kau\u0306zis la c\u0302enkomplekson."}, {"text_idx": "#000058", "text": "C\u0302iuj mapoj en tiu longa preciza sekvenco estas induktitaj per la mapoj inter la c\u0302enkompleksoj, krom la mapoj Hn (C) \u2192 H n-1 (A) La lasta estas nomitaj devontigaj homomorfismoj kaj estas disponigitaj per la zigzaglemo.\nTiu lemo povas esti aplikita al homologio en multaj maniero kiel kiuj helpas pri kalkulado de homologiogrupoj, kiel ekzemple la teorioj de relativa homologio kaj Mayer-Vietoris-sekvencoj."}, {"text_idx": "#000059", "text": "Rimarkindaj teoremoj pruvis uzi homologion inkludas la sekvantajn:"}, {"text_idx": "#000060", "text": "La Brouwer-fikspunktoteoremo: Se f estas ajna kontinua mapo de la pilka Bn g\u0302is si mem, tiam ekzistas fiksa indikas \u2208 Bn kun f (\nEnvarianco de domajno: Se U estas malferma subaro de R da n kaj f:\nU \u2192 R da n estas injektivo kontinua mapo, tiam V = f ( U) estas malfermaj kaj f estas homeomorfio inter U kaj V.\nLa teoremo pri erinaco: c\u0302iu vektora kampo sur la 2-sfera (au\u0306 pli g\u0302enerale, la 2k-sfero por iu k \u2265 1) malaperas c\u0302e iu punkto.\nLa Borsuk-Ulam teoremo: c\u0302iu kontinua funkcio de n-sfero en Eu\u0306klidan n-spaco mapas iun paron de antipodaj punktoj al la sama punkto.\n(Du poentoj sur sfero estas nomitaj antipodaj c\u0302u ili estas en precize kontrau\u0306 indikoj de la centro de la sfero."}, {"text_idx": "#000061", "text": "En topologia datuma analitiko, datumserioj estas rigarditaj kiel punkta nub specimenigo de multnombra au\u0306 algebra diverseco enkonstruita en eu\u0306klida spaco.\nPer ligado nearest najbarpunktoj en la nubo en trianguladon, simplicial aproksimado de la dukto estas kreita kaj g\u0302ia simplicial homologio povas esti kalkulita.\nTrovaj teknikoj fortike kalkuli homologion utiligantan diversajn trianguladstrategiojn super multobla longopesilo estas la temo de persista homologio."}, {"text_idx": "#000062", "text": "En sensilretoj, sensiloj povas komuniki informojn tra ad hoc reto kiu dinamike s\u0302ang\u0302ig\u0302as en tempo.\nPor kompreni la tutmondan kuntekston de tiu aro de lokaj mezuradoj kaj komunikadpadojn, estas utile komputi la homologion de la reta topologio analizi, ekzemple, truojn en priraportado."}, {"text_idx": "#000063", "text": "En dinamiksistemaj teorio en fiziko, Poincare\u0301 estis unu el la unua se temas pri pripensi la interagadon inter la senvaria dukto de dinamika sistemo kaj g\u0302iaj topologiaj Invariantoj.\nMorsteorio rilatigas la dinamikon de gradientofluo sur dukto al, ekzemple, sia homologio.\nFloer-homologio etendis tion al senfin-dimensiaj duktoj.\nLa KAM kiun teoremo establis al tiuj periodaj orbitoj povas sekvi kompleksajn trajektoriojn;\naparte, ili povas formi plektaj\u0302ojn kiuj povas esti esploritaj uzante Floer-homologion."}, {"text_idx": "#000064", "text": "En unu klaso de finhavaj elementmetodoj, lim-valoraj problemoj por diferencialaj ekvacioj implikantaj la Hodge-Laplace-funkciigiston povas devi esti solvitaj pri topologie nesensignifaj domajnoj, ekzemple, en elektromagnetaj simulaj\u0302oj.\nPri tiuj simulaj\u0302oj, solvo estas helpita fiksante la kohomologioklason de la solvo bazita sur la elektitaj limcirkonstancoj kaj la homologio de la domajno.\nFEM-domajnoj povas esti triangulitaj, de kiuj la simplicial homologio povas esti kalkulita."}, {"text_idx": "#000066", "text": "Homologiaj supozoj en komuta algebro\nListo de kohomologioteorioj - ankau\u0306 havas liston de homologecaj teorioj"}, {"text_idx": "#000069", "text": "Malfermitan aron / fermitan aron"}]