[{"text_idx": "#000001", "text": "Mensoga sfergeometrio estas geometria teorio de planar au\u0306 spaca geometrio en kiu la baza termino estas la cirklo au\u0306 sfero.\nG\u0302i estis lanc\u0302ita fare de Sophus Lie en la deknau\u0306a jarcento.\nLa c\u0302efideo kiu kondukas al Lie-sfergeometrio estas ke linioj (au\u0306 aviadiloj) devus esti rigarditaj kiel cirkloj (au\u0306 sferoj) de senfina radiuso kaj tio indikas en la aviadilo (au\u0306 spaco) devus esti rigardita kiel cirkloj (au\u0306 sferoj) de nulradiuso."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La spaco da cirkloj en la aviadilo (au\u0306 sferoj en spaco), inkluzive de punktoj kaj linioj (au\u0306 aviadiloj) montrig\u0302as por dukto konata kiel la Lie-Kvadriko ( Kvadrikohipersurfaco en projekcia spaco).\nMensoga sfergeometrio estas la geometrio de la Lie-Kvadriko kaj la Lie-transformoj kiuj konservas g\u0302in.\nTiun geometrion povas malfacili bildigi c\u0302ar Lie-transformoj ne konservas punktojn g\u0302enerale: punktoj povas esti transformitaj en cirklojn (au\u0306 sferojn)."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Por pritrakti tion, kurboj en la aviadilo kaj surfacoj en spaco estas studitaj uzante siajn kontaktoliftojn, kiuj estas determinitaj memstare klavspacoj.\nTio disponigas naturan konscion de la oskuladcirklo al kurbo, kaj la kurbig\u0302osferoj de surfaco.\nG\u0302i ankau\u0306 enkalkulas naturan traktadon de Dupin-ciclides kaj koncipa solvo de la problemo de Apolonio."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Mensoga sfergeometrio povas esti difinita en iu dimensio, sed la kazo de la aviadilo kaj 3-dimensia spaco estas la plej gravaj.\nEn c\u0302i-lasta kazo, Lie rimarkis rimarkindan similecon inter la Lie-Kvadriko de sferoj en 3-grandeca, kaj la spacon de linioj en 3-dimensia projekcia spaco, kiu ankau\u0306 estas Kvadrikhipersurfaco en 5-dimensia projekcia spaco, nomita la Plu\u0308cker- au\u0306 Klein-Kvadriko.\nTiu simileco kondukis Mensogon al lia fama \"lini-sfera korespondado\" inter la spaco de linioj kaj la spaco de sferoj en 3-dimensia spaco."}, {"text_idx": "#000005", "text": "2 Mensoga sfergeometrio en la aviadilo 2.1\n3 Mensoga sfergeometrio en spaco kaj pli alta grandeco 3.1\nTri dimensioj kaj la lini-sfera korespondado"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Tri dimensioj kaj la lini-sfera korespondado"}, {"text_idx": "#000008", "text": "Tiuj objektoj, t.e., la punktoj, orientis cirklojn kaj orientis liniojn en la aviadilo, au\u0306 la punktoj, orientis sferojn kaj orientis aviadilojn en spaco, estas foje nomitaj ciklojn au\u0306 Lie-cikloj.\nG\u0302i turnas ke ili formas Kvadrikhipersurfacon en projekcia spaco de dimensio 4 au\u0306 5, kiu estas konata kiel la Lie-Kvadriko.\nLa naturaj simetrioj de tiu Kvadriko formas grupon de transformoj konataj kiel la Lie-transformoj.\nTiuj transformoj ne konservas punktojn g\u0302enerale: ili estas transformaj\u0302oj de la Lie-Kvadriko, ne de la aviadilo/sfero kaj plie punkto c\u0302e senfineco.\nLa punkt-marinadaj transformoj estas g\u0302uste la transformo de Mo\u0308bius.\nLa Lie-transformoj kiuj fiksas la idealan punkton c\u0302e senfineco estas la Laguerre transformoj de Laguerre-geometrio.\nTiuj du subgrupoj generas la grupon de Lie-transformoj, kaj ilia intersekcig\u0302o estas la Mo\u0308bius transformas tiun solvon la ideala punkto c\u0302e senfineco, nome la afinajn konformajn mapojn."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Mensoga sfergeometrio en la aviadilo"}, {"text_idx": "#000010", "text": "La Lie-Kvadriko de la aviadilo estas difinita jene.\nLasu R 3,2 indiki la spacon R 5 el 5-tuples de realaj nombroj, provizitaj per la signaturo (3,2) simetria dulineara formo difinita per"}, {"text_idx": "#000011", "text": "La projekcia spaco R P4 estas la spaco de linioj tra la origino en R 5 kaj estas la spaco de nonzervektoroj x en R 5 supre por skali, kie x = ( x 0, x 1, x 2, x 3, x 4).\nLa planar Mensog-Kvadriko Q konsistas el la poentoj [ x] el projekcia spaco reprezentita per vektoroj x kun x"}, {"text_idx": "#000012", "text": "Rilatigi tion al planar geometrio estas necese fiksi orientitan temposimilan linion.\nLa elektitaj koordinatoj indikas utiligi la punkton [1,0, 0,0, 0] \u2208 R P4.\nC\u0302iu punkto en la Lie-Kvadriko Q tiam povas esti reprezentita per vektoro al x = \u03bb (1,0, 0,0, 0) + v, al kie v estas ortogonala (1,0, 0,0, 0)."}, {"text_idx": "#000013", "text": "La ortogonala spaco al (1,0, 0,0, 0), intersekcis kun la Lie-Kvadriko, estas la du dimensia c\u0302ielosfero S en Minkowski-spactempo.\nTio estas la Eu\u0306klida aviadilo kun ideala punkto c\u0302e senfineco, kiun ni prenas por esti [0,0, 0,0, 1]: la finhavaj poentoj ( x, y) en la aviadilo estas tiam reprezentitaj per la punktoj [ v] = [0, x, y, \u22121, ( x 2 + y 2)/2];"}, {"text_idx": "#000015", "text": "Resumi: ekzistas ekzakta korespondado inter punktoj sur la Lie-Kvadriko kaj cirkulas en la aviadilo, kie ciklo estas au\u0306 orientita cirklo (au\u0306 aerlinio) au\u0306 punkto en la aviadilo (au\u0306 la punkto c\u0302e senfineco);\nla punktoj povas esti opiniitaj de kiel cirkloj de radiuso nul, sed ili ne estas orientitaj."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Supozu ke du cikloj estas reprezentitaj per punktoj [ x\ny = 0 se kaj nur se la ekvivalentaj cikloj \"kisas\", t.e. ili renkontas unu la alian kun orientita unua ordkontakto.\n, tiam tio j\u0302us signifas tio [ x] kus\u0302as sur la cirklo egalrilatanta al [ y];\ntiu kazo estas tuja de la difino de tiu cirklo (se [ y] egalrilatas al punktocirklo tiam x"}, {"text_idx": "#000017", "text": "Tial restas pripensi la kazo ke nek [ x] nek [ y] estas en S.\nSen perdo de g\u0302eneraleco, ni tiam povas preni x = (1,0, 0,0, 0) + v kaj y = (1,0, 0,0, 0) + w, kie v kaj w estas spacosimilaj unuoblaj vektoroj en (1,0, 0,0, 0) \u22a5.\nIli tial au\u0306 koincidas au\u0306 intersekcas en 2-dimensia subspaco.\nEn c\u0302i-lasta kazo, la 2-dimensia subspaco povas au\u0306 havi signaturon (2,0), (1,0), (1,1), en kiu kazo la ekvivalentaj du cirkloj en S intersekcas en nul, unu au\u0306 du poentojn respektive.\nTial ili havas unuan ordkontakton se kaj nur se la 2-dimensia subspaco estas degenerita (signaturo (1,0), kiu tenas se kaj nur se la interspaco de v kaj w estas degenerita.\nDe la identeco de Lagrange, tio tenas se kaj nur se ( v\ny = 1 \u00b1 1-a La kontakto estas orientitaj se kaj nur se v"}, {"text_idx": "#000018", "text": "La incidenco de cikloj en Mensoga sfergeometrio disponigas simplan solvon al la problemo de Apolonio.\nTiu problemo koncernas konfiguracion de tri apartaj cirkloj (kiuj povas esti punktoj au\u0306 linioj): la celo estas trovi c\u0302iun alian cirklon (inkluzive de punktoj au\u0306 linioj) kiu estas klavo al c\u0302iu tri el la originaj cirkloj.\nPor senmarka konfiguracio de cirkloj, ekzistas maksimume ok tiaj klavcirkloj."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Se anstatau\u0306e x, y kaj z estas linie sendependaj tiam la subspaco V ortogonala al c\u0302iu tri estas 2-dimensiaj.\nG\u0302i povas havi signaturon (2,0), (1,0), au\u0306 (1,1), en kiu kazo ekzistas nul, unu au\u0306 du solvoj por [ q] respektive.\n(La signaturo ne povas esti (0,1) au\u0306 (0,2) c\u0302ar g\u0302i estas ortogonala al spaco enhavanta pli ol unu nullinio.\nEn la kazo kiun la subspaco havas signaturon (1,0), la unika solvo q kus\u0302as en la interspaco de x, y kaj z."}, {"text_idx": "#000021", "text": "La g\u0302enerala solvo al la Apoloniana problemo akirig\u0302as inversigante orientig\u0302ojn de kelkaj el la cirkloj, au\u0306 ekvivalente, per pripensado de la triopoj ( x, \u03c1 ( y), z"}, {"text_idx": "#000022", "text": "Notu ke la triopo ( \u03c1 ( x), \u03c1 ( y), \u03c1 ( z) donas la samajn solvojn kiel ( x, y, z), sed kun totala c\u0302esigo de orientig\u0302o.\nTiel ekzistas maksimume 8 solvcirkloj al la Apoloniana problemo se c\u0302iuj tri cirkloj ne renkontas tang\u0302ante c\u0302e ununura punkto, kiam ekzistas senlime multaj solvoj."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Mensogtransformoj ofte povas esti uzitaj por simpligi geometrian problemon, per s\u0302ang\u0302ado de cirkloj en liniojn au\u0306 punktojn."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Kontaktu elementojn kaj kontaktu liftojn"}, {"text_idx": "#000026", "text": "La fakto ke Mensogtransformoj ne konservas punktojn g\u0302enerale povas ankau\u0306 esti malhelpo al komprenema Mensoga sfergeometrio.\nAparte, la nocio de kurbo ne estas Lie-Invarianto.\nTiu malfacileco povas esti mildigita per la observado kiu ekzistas Mensogo senvarian nocion de kontaktelemento."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Orientita kontakto elemento en la ebeno estas paro konsistanta el punkto kaj orientita (t.e., direktis) linio tra tiu punkto.\nLa punkto kaj la linio estas okazaj\u0302aj cikloj.\nLa esenca observado estas ke la aro de c\u0302iu ciklokazaj\u0302o kun kaj la punkto kaj la linio estas Mensoga senvaria objekto: aldone al la punkto kaj la linio, g\u0302i konsistas el c\u0302iuj cirkloj kiuj faras orientitan kontakton kun la linio c\u0302e la antau\u0306fiksita punkto.\nG\u0302i estas nomita pencil of Lie cycles, au\u0306 simple kontaktelemento."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Notu ke la cikloj estas tute okazaj\u0302aj kun unu la alian ankau\u0306.\nLau\u0306 la Lie-Kvadriko, tio signifas ke krajono de cikloj estas (projekcia) linio kus\u0302anta tute sur la Lie-Kvadriko, t.e., g\u0302i estas la projektivigo de totale nula dudimensia subspaco de R 3,2: la reprezentantvektoroj por la cikloj en la krajono estas tute ortogonalaj al unu la alian."}, {"text_idx": "#000029", "text": "La aro da c\u0302iuj linioj sur la Lie-Kvadriko estas 3-dimensia dukto nomita la spaco de kontaktelementoj Z 3.\nLa Lie-transformoj konservas la kontaktelementojn, kaj reagas transitive al Z 3.\nPor antau\u0306fiksita elekto de punktocikloj (la punktoj ortogonalaj al elektita temposimila vektoro v), c\u0302iu kontaktelemento enhavas unikan punkton.\nTio difinas mapon de Z 3 g\u0302is la 2-sfera S 2 kies fibroj estas cirkloj.\nTiu mapo ne estas Lie-Invarianto, c\u0302ar punktoj ne estas Lie-Invarianto."}, {"text_idx": "#000030", "text": "R 2 esti orientita kurbo.\nTiam \u03b3 determinas mapon \u03bb de la intervalo [, b] g\u0302is Z 3 sendante t al la kontaktelemento egalrilatanta al la punkto \u03b3 ( t) kaj la orientita linioklavo al la kurbo c\u0302e tiu punkto (la linio en la direkto \u03b3 '(\nTiu mapo \u03bb estas nomita la kontaktolifto de \u03b3."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Fakte Z 3 estas kontaktodukto, kaj la kontaktostrukturo estas Lie Invarianto.\nG\u0302i sekvas ke orientitaj kurboj povas esti studitaj en Mensoga senvaria vojo per siaj kontaktoliftoj, kiuj povas esti karakterizitaj, senmarke kiel Legendrianaj kurboj en Z 3.\nPli g\u0302uste, la klavspaco al Z 3 c\u0302e la punkto egalrilatanta al nulo 2-dimensia subspaco \u03c0 de R 3,2 estas la subspaco de tiuj linearaj bildigoj (modema adoleskanto \u03c0):"}, {"text_idx": "#000032", "text": "kaj la kontaktodistribuo estas la subspaco Hom ( \u03c0, \u03c0 \u22a5 / \u03c0) de tiu klavspaco en la spaco Hom ( \u03c0, R 3,2 / \u03c0) de linearaj bildigoj."}, {"text_idx": "#000033", "text": "G\u0302i sekvas ke mergita Legendriana kurbo \u03bb en Z 3 preferata Mensogciklo asociis al c\u0302iu punkto sur la kurbo: la derivaj\u0302o de la mergado je t estas 1-dimensia subspaco de Hom ( \u03c0, \u03c0 \u22a5 / \u03c0) kie \u03c0 = \u03bb ( t);\nla kerno de iu nonzerelemento de tiu subspaco estas klare difinita 1-dimensia subspaco de \u03c0, t.e., punkto sur la Lie-Kvadriko."}, {"text_idx": "#000034", "text": "En pli konataj esprimoj, se \u03bb estas la kontaktolifto de kurbo \u03b3 en la ebeno, tiam la preferata ciklo c\u0302e c\u0302iu punkto estas la oskuladcirklo.\nEn aliaj vortoj, post prenado de kontaktoliftoj, multe de la baza teorio de kurboj en la aviadilo estas Lie Invarianto."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Mensoga sfergeometrio en spaco kaj pli alta grandeco"}, {"text_idx": "#000036", "text": "Mensoga sfergeometrio en n-grandeco akirig\u0302as anstatau\u0306igante R 3,2 (egalrilatante al la Lie-Kvadriko en n = 2 dimensiojn) je R da n + 1, 2.\nTio estas R da n + 3 provizita per la simetria dulineara formo"}, {"text_idx": "#000037", "text": "La Lie-Kvadriko Q n denove estas difinita kiel la aro de [ x\nx = 0-a La Kvadriko parameterigas orientitan ( n - 1) sferojn en n-dimensia spaco, inkluzive de hiperebenoj kaj punktosferojn kiel limigado de kazoj.\nNotu ke Q n estas (n-+ 1) dimensia dukto (sferoj estas parameterigitaj memstare centro kaj radiuso)."}, {"text_idx": "#000038", "text": "La incidencrilato portas sen s\u0302ang\u0302o: la sferoj egalrilatante al punktoj [ x\nQ n orientis unuan ordkontakton se kaj nur se x\ny = 0-a La grupo de Lie-transformoj nun estas O (n-+ 1, 2) kaj la Lie-transformoj konservas incidencon de Lie-cikloj."}, {"text_idx": "#000039", "text": "La spaco da kontaktelementoj estas ( 2n - 1) dimensia kontaktodukto Z 2n - 1: lau\u0306 la antau\u0306fiksita elekto de punktosferoj, tiuj kontaktelementoj egalrilatas al paroj konsistantaj el punkto el n-dimensia regiono (kiu povas esti la punkto c\u0302e senfineco) kune kie orientita hiperebeno pasas tra tiu punkto.\nLa spaceto Z 2n - 1 estas tial izomorfaj al la projektivigita kotang\u0302antfasko de la n-sfero.\nTiu identigo ne estas senvaria sub Lie-transformoj: en Lie senvariaj esprimoj, Z 2n - 1 estas la spaco de (projekciaj) linioj sur la Lie-Kvadriko."}, {"text_idx": "#000040", "text": "C\u0302iu mergita orientita hipersurfaco en n-dimensia spaco havas kontaktolifton al Z 2n - 1 determinite memstare orientitaj klavspacoj.\nEkzistas jam ne preferata Mensogciklo asociita al c\u0302iu punkto: anstatau\u0306e, ekzistas n - 1 tiaj cikloj, egalrilatante al la kurbig\u0302osferoj en eu\u0306klida geometrio."}, {"text_idx": "#000041", "text": "La problemo da Apolonio havas naturan g\u0302eneraligon implikantan n + 1 hipersferoj en n grandeco."}, {"text_idx": "#000042", "text": "En la kazo da n = 3, la Kvadriko Q 3 en P ( R 4,2) priskribas la (Mensogo-) geometrion de sferoj en Euclidean 3-spaca.\nMensogo rimarkis rimarkindan similecon kun la Klein-korespondado por linioj en 3-dimensia spaco (pli g\u0302uste en R P3)."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Tiuj estas la homogenaj koordinatoj de la projekcia linio eniranta x kaj y.\nEkzistas ses sendependaj koordinatoj kaj ili kontentigas ununuran rilaton, la Plu\u0308cker-rilaton"}, {"text_idx": "#000044", "text": "G\u0302i sekvas ke ekzistas ekzakta korespondado inter linioj en R P3 kaj punktoj sur la Klein-Kvadriko, kio estas la Kvadrikhipersurfaco de punktoj [ p 01, p 23, p 02, p 31, p 03, p 12] en R P5 kontentiganta la Plu\u0308cker-rilaton."}, {"text_idx": "#000045", "text": "La kvadrata formo difinanta la Plu\u0308cker-rilaton venas de simetria dulineara formo de signaturo (3,3).\nEn aliaj vortoj, la spaco de linioj en R P3 estas la Kvadriko en P ( R 3,3).\nKvankam tio ne estas la sama kiel la Lie-Kvadriko, \"korespondado\" povas esti difinita inter linioj kaj sferoj uzantaj la kompleksajn nombrojn: se x\nx 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5) estas poento sur la (kompleksifieita) Lie-Kvadriko (t.e., la x mi estas prenitaj por esti kompleksaj nombroj), tiam"}, {"text_idx": "#000046", "text": "difinas punkton sur la kompleksifieita Klein-Kvadriko (kie i2 = \u20141)."}, {"text_idx": "#000047", "text": "Mensoga sfergeometrio disponigas naturan priskribon de Dupin-ciklidus-leu\u0306ciskoj.\nTiuj estas karakterizitaj kiel la komunan koverton da du unu'a-parametrofamilioj de sferoj S ( j) kaj T ( t), kie S kaj T estas mapoj de intervaloj en la Lie-Kvadrikon.\nEn ordo por ofta koverto ekzisti, S ( j) kaj T ( t) devas esti okazaj\u0302aj por c\u0302io s kaj t, t.e., iliaj reprezentaj vektoroj devas turnadis nulan 2-dimensian subspacon de R 4,2.\nTial ili difinas mapon en la spacon de kontaktelementoj Z 5.\nTiu mapo estas Legendriana se kaj nur se la derivaj\u0302oj de S (au\u0306 T) estas ortogonalaj al T (au\u0306 S), t.e., se kaj nur se ekzistas ortogonala putrig\u0302o de R 4,2 en rektan sumon de 3-dimensiaj subspacoj \u03c3 kaj \u03c4 de signaturo (2,1), tia ke S prenas valorojn enen \u03c3 kaj T prenas valorojn enen \u03c4.\nInverse tia putrig\u0302o unike determinas kontaktolifton de surfaco kiu envolvas du unu'a-parametrofamiliojn de sferoj;\nla bildo de tiu kontaktolifto ricevas per la nulaj 2-dimensiaj subspacoj kiuj intersekcas \u03c3 kaj \u03c4 en paro de nullinioj."}, {"text_idx": "#000048", "text": "Tia putrig\u0302o estas ekvivalente donita, g\u0302is signelekto, per simetria endomorfismo de R 4,2 kies kvadrato estas la identeco kaj kies \u00b11-ajgenspacoj estas \u03c3 kaj \u03c4.\nUzante la internan produkton sur R 4,2, tio estas determinita per kvadrata formo sur R 4,2."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Por resumi, Dupin-ciklidus-leu\u0306ciskoj estas determinitaj per kvadrataj formoj sur R 4,2 tia ke la rilata simetria endomorfismo havas kvadraton egala al la identeco kaj ajgenspacoj de signaturo (2,1)."}, {"text_idx": "#000050", "text": "Tio disponigas unu manieron vidi ke Dupin-ciklidus-leu\u0306ciskoj estas ciklidus-leu\u0306ciskoj, en la senco ke ili estas nul-aroj de kvartic de speciala formo.\nPor tio, noto ke kiel en la planar kazo, 3-dimensia eu\u0306klida spaco enkonstruas en la Lie-Kvadrikon Q 3 kiel la aro de punktosferoj krom la ideala punkto c\u0302e senfineco.\nEksplicite, la punkto (x, y, z) en eu\u0306klida spaco egalrilatas al la punkto"}, {"text_idx": "#000051", "text": "Ciklidus-leu\u0306cisko konsistas el la punktoj [0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5\nQ 3 kiuj kontentigas kroman kvadratan rilaton"}, {"text_idx": "#000052", "text": "por iu simetria 5 \u00d7 5 matrico A\nLa klaso da ciklidus-leu\u0306ciskoj estas natura familio de surfacoj en Mensoga sfergeometrio, kaj la Dupin-ciklidus-leu\u0306ciskoj formas naturan subfamilion."}, {"text_idx": "#000053", "text": "^ The definitive modern textbook on Lie sphere geometry is Cecil 1992 .\nAlmost all the material in this article can be found there.\nMensogo estis precipe kontenta kun tiu atingo: vidu Helgason 1994, p. 7.\n^ The Lie sphere approach is discussed in Zlobec & Mramor Kosta 2001 ;\nfor a classification of solutions using Laguerre geometry, see Knight 2005 .\n^ This problem and its solution is discussed by Zlobec & Mramor Kosta 2001 .\n^ The following discussion is based on Helgason 1994 , pp. 4-5."}, {"text_idx": "#000054", "text": "La teoremo de Descartes, ankau\u0306 povas impliki konsideri linion cirklon kun senfina radiuso."}, {"text_idx": "#000056", "text": "\" Sur kompleksoj - aparte, linio- kaj sferkompleksoj - per aplikoj al la teorio de partaj diferencialaj ekvacioj \" angla traduko de la esenca artikolo de Lie pri la subjekto"}]