[{"text_idx": "#000000", "text": "Wikipedia's Logarithm as translated by GramTrans"}, {"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, la logaritmo estas la inversa operacio al potenco, ekzakte kiam dividado estas la inversa de multipliko kaj inverse.\nTio signifas ke la logaritmo de nombro estas la eksponento al kiu alia fiksa nombro, la bazo , devas esti levita por produkti tiun nombron.\nEn la plej simpla kazo la logaritmokalkuloj ripetis multiplikon de la sama faktoro;\nPli g\u0302enerale, potenco permesas al ajna pozitiva reala nombro esti levita al iu reala potenco, c\u0302iam produktante pozitivan rezulton, tiel ke la logaritmo povas esti kalkulita por iuj du pozitivaj realaj nombroj b kaj x kie b ne estas egala al 1.\nLa logaritmo de x por bazigi b , indikis tagalon b ( x) (au\u0306 arbotrunko b x kiam neniu konfuzo estas ebla), estas la unika reala pli sensenta y tia ke b y = x ."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La logaritmo por bazigi 10 (tion estas b = 10) estas nomita la komuna logaritmo kaj havas multajn aplikojn en scienco kaj ing\u0302enieristiko.\nLa natura logaritmo havas la pli sensentan e ( \u2248 2.718) kiel it bazo;\ng\u0302ia uzo estas g\u0302eneraligita en matematiko kaj fiziko, pro sia pli simpla derivaj\u0302o.\nLa binara logaritmo uzas malnobla 2 (tio estas b = 2) kaj estas ofte uzita en komputado."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Logaritmoj estis lanc\u0302itaj fare de John Napier en la frua 17-a jarcento kiel rimedo por simpligi kalkulojn.\nIli estis rapide adoptitaj fare de navigistoj, sciencistoj, ing\u0302enieroj, kaj aliaj por prezenti komputadojn pli facile, uzante glitkalkulilojn kaj logaritmotablojn.\nTedaj plurdigitaj multipliks\u0302tupoj povas esti anstatau\u0306igitaj per tablolistkontroloj kaj pli simpla aldono pro la fakto - grava en sia propra rajto - ke la logaritmo de produkto estas la sumo de la logaritmoj de la faktoroj:"}, {"text_idx": "#000004", "text": "kondic\u0302e ke b , x kaj y estas c\u0302iu pozitivaj kaj b =\u0338 1.\nLa aktuala nocio de logaritmoj venas de Leonhard Euler, kiu ligis ilin al la eksponenta funkcio en la 18-a jarcento."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Logaritma pesilo reduktas vastajn kvantojn al malgrandegaj ampleksoj.\nEkzemple, la decibelo (dB) estas unuo uzita por esprimi tagalo-proporciojn, plejparte por signalpotenco kaj amplitudo (de kiu sonpremo estas ofta ekzemplo).\nEn kemio, pH estas logaritma kvanto por la acideco de akva solvaj\u0302o.\nLogaritmoj estas ordinaraj en sciencaj formuloj, kaj en mezuradoj de la komplekseco de algoritmoj kaj de geometriaj objektoj nomitaj fraktaloj.\nIli helpas al priskribanta frekvenco proporcioj de muzikaj intervaloj, aperas en formuloj nombrantaj primojn au\u0306 aproksimantaj Faktorialojn, informi kelkajn modelojn en psikofiziko, kaj povas helpi pri krimmedicina kontado."}, {"text_idx": "#000006", "text": "En lau\u0306 la saman manieron c\u0302ar la logaritmo inversigas potencon, la kompleksoologaritmo estas la inversa funkcio de la eksponenta funkcio aplikita al kompleksaj nombroj.\nLa diskreta logaritmo estas alia variaj\u0302o;\ng\u0302i havas uzojn en publiks\u0302losila kriptografio."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Produkto, kvociento, potenco, kaj radiko"}, {"text_idx": "#000009", "text": "Integrita reprezentado de la natura logaritmo"}, {"text_idx": "#000010", "text": "Inverses de aliaj eksponentaj funkcioj"}, {"text_idx": "#000011", "text": "La ideo de logaritmoj devas inversigi la operacion de potenco, t.e., levanta nombron al potenco.\nEkzemple, la tria potenco (au\u0306 kubo) de 2 estas 8, c\u0302ar 8 estas la produkto de tri faktoroj de 2:"}, {"text_idx": "#000012", "text": "G\u0302i sekvas ke la logaritmo de 8 kun respekto al bazo 2 estas 3, tiel log2 8 = 3."}, {"text_idx": "#000013", "text": "La tria potenco de iu pli sensenta b estas la produkto de tri faktoroj egala al b.\nPli g\u0302enerale, levi b al la a potenco, kie n estas natura nombro, estas farita multobligante n faktorojn egala al b.\nAl la a potenco de b estas skribita b n , tiel ke"}, {"text_idx": "#000014", "text": "Potenco povas esti etendita al b y , kie b estas pozitiva nombro kaj la eksponento y estas ajna reala nombro.\nEkzemple, b \u22121 estas la reciproka de b, t.e., 1/ b .\n(Por pliaj detaloj, inkluzive de la formulo b m + n = b m\nb n , vidas potencon au\u0306 [1] por elementa disertaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000015", "text": "La logaritmo de pozitiva reala nombro x kun respekto al bazb, pozitiva reala nombro ne egala al 1, [nb 1] estas la eksponento de kiu b devas esti levita por doni x.\nEn aliaj vortoj, la logaritmo de x bazigi b estas la solvo y al la ekvacio [2]"}, {"text_idx": "#000016", "text": "La logaritmo estas indikita \" arbotrunko b x \" (okulfrapa kiel \"la logaritmo de x por bazigi b \" au\u0306 \"la baz-b logaritmon de x \" au\u0306 (plej ofte) \"la tagalon, bazigi b, de x \"), tia ke la difina identeco de supre ig\u0302as"}, {"text_idx": "#000017", "text": "En la ekvacio y = registradas b x , la valoro y estas la respondo al la demando \"Al kiu potenco devas b estu levita, por doni x?\nTiu demando kiu estas farita en la sekcio \" Complex-logaritmon \" malsupre, kaj estas pli grandskale esplorita en la artikolo en kompleksoologaritmo ankau\u0306 povas ."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Por iu bazb, arbotrunko b b = 1 kaj arbotrunko b 1 = 0, ekde b 1 = b kaj b 0 = 1, respektive."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Pluraj gravaj formuloj, foje nomitaj logaritmaj identecoj au\u0306 logaritmaj leg\u0302oj, rilatigas logaritmojn unu al la alia."}, {"text_idx": "#000020", "text": "La logaritmo de produkto estas la sumo de la logaritmoj de la nombroj estantaj multobligita;\nla logaritmo de la rilatumo de du nombroj estas la diferenco de la logaritmoj.\nLa logaritmo de la p-th potenco de nombro estas p tempigas la logaritmon de la nombro mem;\nla logaritmo de p-th radiko estas la logaritmo de la nombro dividita per p.\nLa sekva tablo listigas tiujn identecojn kun ekzemploj."}, {"text_idx": "#000021", "text": "La logaritmoregistro b x povas esti komputita de la logaritmoj de x kaj b kun respekto al arbitra bazk utiliganta la sekvan formulon:"}, {"text_idx": "#000022", "text": "Komencante de la difina identeco"}, {"text_idx": "#000023", "text": "ni povas apliki tagalon k al ambau\u0306 flankoj de tiu ekvacio, por veni"}, {"text_idx": "#000024", "text": "Tipaj sciencaj kalkuliloj kalkulas la logaritmojn al bazoj 10 kaj e .\nLogaritmoj kun respekto al iu bazb povas esti determinitaj utiligante c\u0302iu el ambau\u0306 de tiujn du logaritmojn de la antau\u0306a formulo:"}, {"text_idx": "#000025", "text": "Surbaze de numero x kaj g\u0302ia logaritmo registradas b x al nekonata bazo b, la bazo ricevas per:"}, {"text_idx": "#000026", "text": "Inter c\u0302iuj elektoj por la bazo, tri estas precipe oftaj.\nTiuj estas b = 10, b = e (la neracia matematika konstanta \u2248 2.71828), kaj b = 2 (la binaraj logaritmo).\nEn analitiko, la logaritmo bazigi e estas g\u0302eneraligita pro siaj specialaj analizaj trajtoj klarigitaj malsupre.\nAliflanke, bazo-10 logaritmoj facile uzeblas por manaj kalkuloj en la decimala aroj de nombroj: [5]"}, {"text_idx": "#000027", "text": "Tiel, log10 x estas rilatita al la nombro da decimalciferoj de pozitiva entjero x: la nombro da ciferoj estas la plej malgranda entjero strikte pli granda ol log10 x.\nLa venonta entjero estas 4, kio estas la nombro da ciferoj de 1430.\nKaj la natura logaritmo kaj la logaritmo bazigi du estas utiligitaj en informa teorio, egalrilati al la uzo de noktas au\u0306 pecojn kiel la fundamentaj mezurunuoj de informo, respektive.\nBinaraj logaritmoj ankau\u0306 estas utiligitaj en komputado, kie la binara sistemo estas c\u0302iea, en muzikteorio, kie tonaltproporcio de du (la oktavo) estas c\u0302iea kaj la cendo estas la binara logaritmo (skalita antau\u0306 1200) de la proporcio inter du apudaj egale-moderigitaj tonaltoj, kaj en fotarto por mezuri eksponvaloroojn."}, {"text_idx": "#000028", "text": "La sekva tablo listigas oftajn notaciojn por logaritmoj al tiuj bazoj kaj la kampoj kie ili estas uzitaj.\nMultaj disciplinoj skribas log\u0302 anstatau\u0306e de tagalo b x , kiam la celita bazo povas esti determinita de la kunteksto.\nLa notacio b log\u0302 ankau\u0306 okazas.\nLa \"ISO notation\" kolono listigas nomojn proponitajn fare de la Internacia Organizaj\u0302o por Normigado ( ISO 31-11).\nC\u0302ar la notaciologaritmo x estis utiligita por c\u0302iuj tri bazoj (au\u0306 kiam la bazo estas nedeterminita au\u0306 malgrava), la celita bazo ofte devas esti konkludita surbaze de kunteksto au\u0306 disciplino.\nEn komputado kaj matematiko, tagalo kutime rilatas al log2 kaj tagalo e , respektive.\nEn alia kuntekstoregistro ofte signifas log10 ."}, {"text_idx": "#000029", "text": "La historio de logaritmo en deksepa jarcento Eu\u0306ropo estas la eltrovo de nova funkcio kiu etendis la sferon de analizo preter la amplekso de algebraj metodoj.\nLa metodo de logaritmoj estis publike prezentita fare de John Napier en 1614, en libro titolita Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Mirificus Logarithmorum Canonis Descriptio) ( Description of the Wonderful Rule of Logarithms (Priskribo de la Mirinda Regulo de Logaritmoj).\nAntau\u0306 la invento de Napier, ekzistas aliaj teknikoj de similaj ampleksoj, kiel ekzemple la prosthaphaeresis au\u0306 la uzo de tabloj de progresadoj, grandskale evoluigitaj fare de Jost Bu\u0308rgi c\u0302irkau\u0306 1600."}, {"text_idx": "#000030", "text": "La komuna logaritmo de nombro estas la indekso de tiu potenco de dek kiu korespondas al la nombro.\nParolado de nombro kiel postuli tiel multaj figuroj estas malglata aludo al ofta logaritmo, kaj estis referitaj fare de Arkimedo kiel la \"ordo de nombro\".\nLa unuaj realaj logaritmoj estis heu\u0306ristikaj metodoj por ig\u0302i multiplikon aldono, tiel faciligante rapidan komputadon.\nKelkaj el tiuj metodoj uzis tablojn derivitajn de trigonometriaj identecoj.\nTiaj metodoj estas nomitaj prosthaphaeresis."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Invento da la funkcio nun konata tiel natura logaritmo komencig\u0302is kiel provo elfari kvadraturon de rektangula hiperbolo de Gre\u0301goire de Saint-Vincent, belga jezuito log\u0302anta en Prago.\nArkimedo skribis The Quadrature of the Parabola (La Kvadraturo de la Parabolo) en la tria jarcento a.K., sed kvadraturo por la hiperbolo eskapis c\u0302iujn klopodojn g\u0302is Saint-Vincent publikigis siajn rezultojn en 1647.\nLa rilato kiun la logaritmo disponigas inter geometrika nobrovico en it argumento kaj aritmetika vico de valoroj, instigis A. A. de Sarasa por fari la ligon de la kvadraturo de Saint-Vincent kaj la tradicio de logaritmoj en prosthaphaeresis, kondukante al la esprimo \"hiperbolan logaritmon\", sinonimon por natura logaritmo.\nBaldau\u0306 la nova funkcio estis aprezita fare de Christiaan Huygens, Patavii, kaj James Gregory."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Logaritmotabloj, glitkalkuliloj, kaj historiaj aplikoj"}, {"text_idx": "#000033", "text": "De simpligado de malfacilaj kalkuloj, logaritmoj kontribuitaj al la antau\u0306enig\u0302o de scienco, aparte astronomio.\nIli estis kritikaj g\u0302is progresoj en geodezio, c\u0302iela navigacio, kaj aliaj domajnoj."}, {"text_idx": "#000034", "text": "[] n-admirinda artifiko kiu, per reduktado al kelkaj tagoj la laboro de multaj monatoj, duobligas la vivon de la astronomo, kaj s\u0302paras al li la erarojn kaj abomenon neapartigebla de longaj kalkuloj.\""}, {"text_idx": "#000036", "text": "Por manaj kalkuloj kiuj postulas c\u0302iu rimarkebla precizeco, elfaranta la avizojn de la du logaritmoj, kalkulantaj ilian sumon au\u0306 diferencon, kaj kontrolantaj la antilogaritmon estas multe pli rapida ol elfarado de la multipliko per pli fruaj metodoj kiel ekzemple prosthaphaeresis, kiu dependas de trigonometriaj identecoj.\nKalkuloj de potencoj kaj radikoj estas reduktitaj al multiplikoj au\u0306 sekcioj kaj listkontroloj per"}, {"text_idx": "#000037", "text": "Multaj logaritmotabloj donas logaritmojn aparte disponigante la karakterizaj\u0302on kaj mantison de x, tio devas diri, la entjerparton kaj la frakciecan parton de log10 x .\nx estas unu pluso la karakterizaj\u0302o de x, kaj iliaj significand'oj estas la samaj.\nTio etendas la amplekson de logaritmotabloj: surbaze de tablo listiganta log10 x por c\u0302iuj entjeroj x arang\u0302ante de 1 g\u0302is 1000, la logaritmo de 3542 estas aproksimita per"}, {"text_idx": "#000038", "text": "Alia kritika aplikig\u0302o estis la glitkalkulilo, paro de logaritme disigis pesilon utiligitajn por kalkulo, kiel ilustrite c\u0302i tie:"}, {"text_idx": "#000039", "text": "La ne-glita logaritma skalo, la regulo de Gunter, estis inventita baldau\u0306 post la invento de Napier.\nWilliam Oughtred plifortigis g\u0302in por krei la glitkalkulilon - paron de logaritma skvamomovable kun respekto al unu la alian.\nKvara Moselibro estas metitaj dum turnig\u0302ado iom post iom de en c\u0302e distancoj proporciaj al la diferencoj inter siaj logaritmoj.\nTurnig\u0302i iom post iom supran en konvene sumig\u0302as al meh\u0302anike aldonado de logaritmoj.\nEkzemple, aldonante la distanco de 1 g\u0302is 2 sur malsupra skalo al la distanco de 1 g\u0302is 3 sur supra skalo donas produkton de 6, kiu estas legita for c\u0302e la subaj\u0302o.\nLa glitkalkulilo estis esenca memcela ilo por ing\u0302enieroj kaj sciencistoj g\u0302is la 1970-aj jaroj, c\u0302ar g\u0302i permesas, c\u0302e la elspezo de precizeco, multe pli rapida komputado ol teknikoj bazitaj sur tabloj."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Pli profunda studo de logaritmoj postulas la koncepton de funkcio .\nFunkcio estas regulo ke, surbaze de unu nombro, produktas alian nombron.\nEkzemplo estas la funkcio produktanta la x-th potencon de b de iu reala nombro x, kie la bazb estas fiksa nombro."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Por pravigi la difinon de logaritmoj, estas necese montri ke la ekvacio"}, {"text_idx": "#000042", "text": "havas solvon x kaj ke tiu solvo estas unika, kondic\u0302e ke y estas pozitiva kaj ke b estas pozitiva kaj neegala g\u0302is 1-a A-pruvo de tiu fakto postulas la mezvaloro-teoremon de elementa kalkulado.\nTiu teoremo deklaras ke ke kontinua funkcio kiu produktas du valorojn m kaj n ankau\u0306 produktas ajnan valoron kiu kus\u0302as inter m kaj n.\nFunkcio estas kontinua se g\u0302i ne \"saltas\", t.e., se g\u0302ia grafeo povas esti desegnita sen levado de la skribilo."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Tiu posedaj\u0302o povas esti montrita teni por la funkcio f ( x\nC\u0302ar f rigardas arbitre granda kaj propraau\u0306toritate malgrandajn pozitivajn valorojn, ajnan pli sensentan y > 0 mensogojn inter f ( x 0) kaj f ( x 1) kiel tau\u0306gan x 0 kaj x 1 .\nTial, la mezvaloro-teoremo certigas ke la ekvacio f ( x"}, {"text_idx": "#000044", "text": "La unika solvo x estas la logaritmo de y por bazigi b, arbotrunko b y .\nLa funkcio kiu asignas al y it logaritmon estas nomita logaritmofunkcio au\u0306 logaritma funkcio (au\u0306 j\u0302us logaritmo)."}, {"text_idx": "#000045", "text": "La funkcioregistro b x estas esence karakterizita per c\u0302i-supra produktoformulo"}, {"text_idx": "#000046", "text": "Pli g\u0302uste, la logaritmo al iu baz b > 1 estas la nura kreskanta funkcio f de la pozitivaj realoj g\u0302is la realoj kontentigantaj f ( b) = 1 kaj [35]"}, {"text_idx": "#000047", "text": "La formulo por la logaritmo de potenco diras aparte tion por iu numero x,"}, {"text_idx": "#000048", "text": "En prozo, preni la x-th potencon de b kaj tiam la baz-b logaritmo donas reen x.\nInverse, surbaze de pozitiva nombro da y, la formulo"}, {"text_idx": "#000049", "text": "diras tio unuan prenante la logaritmon kaj tiam eksponentiating donas reen y.\nTiel, la du eblaj manieroj kombini (au\u0306 kunmeti) logaritmoj kaj potenco donas reen la originan nombron.\nTial, la logaritmo bazigi b estas la inversa funkcio de f ( x"}, {"text_idx": "#000050", "text": "Inversaj funkcioj estas proksime rilatitaj al la originaj funkcioj.\nIliaj grafeoj egalrilatas al unu la alian sur inters\u0302ang\u0302ado de la x- kaj la y-koordinato (au\u0306 sur reflektado c\u0302e la diagonala linio x = y), kiel montrite c\u0302e la dekstro: punkto ( t, u = b t ) en la grafeo de f donas punkton ( u, t = registradas b u) en la grafeo de la logaritmo kaj inverse.\nKiel sekvo, tagalo b ( x) diverg\u0302as al senfineco (ig\u0302as pli granda ol iu antau\u0306fiksita nombro) se x kreskas al senfineco, kondic\u0302e ke b estas pli bonega ol unu.\nEn tiu kazo, tagalo b ( x) estas kreskanta funkcio.\nPor b < 1, arbotrunko b ( x) tendencas al minuso senfinecon anstatau\u0306e.\nKiam x aliroj nul, arbotrunko b x iras al minuso senfinecon por b > 1 (kaj plie senfineco por b < 1, respektive)."}, {"text_idx": "#000051", "text": "Analizaj trajtoj de funkcioj pasas al siaj enversoj.\nTiel, kiel f ( x\nb x estas kontinua kaj diferenciebla funkcio, do estas tagalo b y .\nProksimume, kontinua funkcio estas diferenciebla se g\u0302ia grafeo havas neniujn akrajn \"angulojn\".\nKrome, c\u0302ar la derivaj\u0302o da f ( x) analizas al ln ( b) b x proksime de la trajtoj de la eksponenta funkcio, la derivaj\u0302o de funkcia komponaj\u0302o implicas ke per la derivaj\u0302o de tagalo b x ricevas [34] [37]"}, {"text_idx": "#000052", "text": "Tio estas, la deklivo da la klavo tus\u0302anta la grafeon de la baz-b logaritmo c\u0302e la punkto ( x, arbotrunko b ( x) egalas 1/( x ln ( b)."}, {"text_idx": "#000053", "text": "La derivaj\u0302o de ln x estas 1/ x;\ntio implicas ke ln x estas la unika kontrau\u0306derivitan de 1/ x kiu havas la valoron 0 por x = 1.\nTio estas tiu tre simpla formulo kiu instigis por deklari \"naturulo\" la naturan logaritmon;\ntio ankau\u0306 estas la unu el c\u0302efkialoj de la graveco de la konstanta e ."}, {"text_idx": "#000054", "text": "La derivaj\u0302o kun g\u0302eneraligita funkcia argumento f ( x) estas"}, {"text_idx": "#000055", "text": "La kvociento c\u0302e la dekstra flanko estas nomita la logaritma derivaj\u0302o de f.\nComputing F estas estas estas ( x) estas per la derivaj\u0302o de ln ( f ( x) estas konata kiel logaritma diferencigo.\nLa kontrau\u0306derivita de la natura logaritmo ln ( x) estas: [39]"}, {"text_idx": "#000056", "text": "Rilataj formuloj, kiel ekzemple Malderivaj\u0302oj de logaritmoj al aliaj bazoj povas esti derivitaj de tiu ekvacio uzante la s\u0302ang\u0302o de bazoj."}, {"text_idx": "#000057", "text": "La natura logaritmo de t korespondas al la integralo de 1/ x dks de 1 g\u0302is t:"}, {"text_idx": "#000058", "text": "En aliaj vortoj, ln ( t) korespondas al la areo inter la absciso kaj la grafeo de la funkcio 1/ x , intervalante de x = 1 g\u0302is x = t (figuro c\u0302e la dekstro).\nTio estas sekvo de la infinitezimalteoremo kaj la fakto ke la derivaj\u0302o de ln ( x) estas 1/ x .\nLa dekstra flanko de tiu ekvacio povas funkcii kiel difino de la natura logaritmo.\nProdukto- kaj potenclogaritmoformuloj povas esti derivitaj de tiu difino.\nEkzemple, la produktoformulln ( tu) = ln ( t) + ln ( u) estas deduktita kiel:"}, {"text_idx": "#000059", "text": "La egaleco (1) dividas la integralon en du partojn, dum la egaleco (2) estas s\u0302ang\u0302o de variablo ( w = x / t ).\nEn la ilustraj\u0302o malsupre, la disfendado egalrilatas al dividado de la areo en la flavajn kaj bluajn partojn.\nRescaling maldekstra mano blua areo vertikale per la faktoro t kaj s\u0302rumpig\u0302o g\u0302i de la sama faktoro horizontale ne s\u0302ang\u0302as sian grandecon.\nMovante g\u0302in konvene, la areo konvenas la grafeon de la funkcio f ( x) = 1/ x denove.\nTial, la maldekstramanaj blua areo, kiu estas la integralo de f ( x) de t g\u0302is tu estas la sama kiel la integralo de 1 g\u0302is u.\nTio pravigas la egalecon (2) kun pli geometria pruvo."}, {"text_idx": "#000060", "text": "La potencformulln ( t da r\nr ln ( t) povas esti derivita lau\u0306 simila maniero:"}, {"text_idx": "#000061", "text": "La dua egaleco uzas s\u0302ang\u0302on de variabloj ( integrig\u0302o per anstatau\u0306igo), w = x 1/ r ."}, {"text_idx": "#000062", "text": "La sumo super la reciprocals de naturaj nombroj,"}, {"text_idx": "#000063", "text": "estas vokita la harmonia serio.\nG\u0302i estas proksime ligita al la natura logaritmo: c\u0302ar n tendencas al senfineco, la diferenco,"}, {"text_idx": "#000064", "text": "konverg\u0302as (t.e., ig\u0302as propraau\u0306toritate proksima) al nombro konata kiel la konstanto de Eu\u0306lero-Mascheroni.\nTiu rilato helpas pri analizado de la prezento de algoritmoj kiel ekzemple vivantspeco."}, {"text_idx": "#000065", "text": "Ekzistas ankau\u0306 iuj aliaj integritaj reprezentadoj de la logaritmo kiuj estas utilaj en kelkaj situacioj:"}, {"text_idx": "#000066", "text": "La unua identeco povas esti konfirmita per montrado ke g\u0302i havas la saman valoron c\u0302e x = 1, kaj la sama derivaj\u0302o.\nLa dua identeco povas esti pruvita per skribado"}, {"text_idx": "#000067", "text": "kaj tiam enigante la Laplace-transformon de cos ( kst) (kaj cos ( t)."}, {"text_idx": "#000068", "text": "Realaj nombroj kiuj ne estas algebraj estas nomitaj transcendaj;\nPreskau\u0306 c\u0302iuj realaj nombroj estas transcendaj.\nLa logaritmo estas ekzemplo de transcenda funkcio.\nLa Gelfond-Schneider teoremo asertas ke logaritmoj kutime prenas transcendaj, t.e., \"malfacilaj\" valoroj."}, {"text_idx": "#000069", "text": "Logaritmoj facile komputeblas en kelkaj kazoj, kiel ekzemple log10 (1000) = 3.\nG\u0302enerale, logaritmoj povas esti kalkulitaj uzante potencvicon au\u0306 la aritmetik-geometrian meznombron, au\u0306 esti prenitaj de prekalkulita logaritmotablo kiu disponigas fiksan precizecon.\nLa metodo, de Neu\u0306tono ripeta metodo solvi ekvaciojn c\u0302irkau\u0306, povas ankau\u0306 esti uzita por kalkuli la logaritmon, c\u0302ar g\u0302ia inversa funkcio, la eksponenta funkcio, povas esti komputita efike.\nUzante datumtrovado-tabelojn, CORDIC-similaj metodoj povas esti uzitaj por komputi logaritmojn se la nuraj haveblaj operacioj estas aldono kaj peco s\u0302ang\u0302ig\u0302as.\nKrome, la binara logaritmalgoritmo kalkulas funt. ( x) rekursive baziten sur ripetaj kvadraturoj de x, ekspluatante la rilaton"}, {"text_idx": "#000070", "text": "Por c\u0302iu reala pli sensenta z kiu kontentigas 0< z < 2, la sekva formulo tenas:"}, {"text_idx": "#000071", "text": "Tio estas stenografio por dirado ke ln ( z) povas esti proksimigita al pli kaj pli preciza valoro per la sekvaj esprimoj:"}, {"text_idx": "#000073", "text": "Ekzemple, kun z = 0.1 la unuaorda aproksimado donas al ln (1.1) \u2248 0.1, kio estas malpli ol 5% de la g\u0302usta valoro 0.0953."}, {"text_idx": "#000074", "text": "Alia serio estas bazita sur la area hiperbola klavo funkcio:"}, {"text_idx": "#000075", "text": "por iu reala pli sensenta z > 0.\n[nb 5] [50] Utiligante sigmonotacion, tio ankau\u0306 estas skribita kiel"}, {"text_idx": "#000076", "text": "Tiu serio povas esti derivita de c\u0302i-supra serio de Taylor.\nG\u0302i konverg\u0302as pli rapide ol la serio de Taylor, aparte se z estas proksima al 1-a Ekzemple, por z = 1.5, la unuaj tri oficperiodoj de la dua serio aproksimas ln (1.5) kun eraro de proksimume 6994300000000000000\u2660 3 \u00d7 10 \u22126 .\nLa rapida konverg\u0302o por z proksime al 1 povas esti prenita avantag\u0302o de enen la sekva maniero: surbaze de malalt-precizeca aproksimado y \u2248 ln ( z) kaj lokado"}, {"text_idx": "#000077", "text": "la logaritmo de z estas:"}, {"text_idx": "#000078", "text": "\\displaistile \\ln (z) y=\\ln (A)."}, {"text_idx": "#000079", "text": "Ju pli bona la komenca aproksimado y estas, la pli proksima A estas al 1, tiel ke g\u0302ia logaritmo povas esti kalkulita efike.\nLadskatolo estu kalkulita uzante la eksponentan serion, kiu konverg\u0302as rapide disponigis y estas ne tro granda.\nKalkuli la logaritmon de pli granda z povas esti reduktita al pli malgrandaj valoroj de z skribante z ="}, {"text_idx": "#000080", "text": "Proksime rilatita metodo povas esti uzita por komputi la logaritmon de entjeroj.\nEl c\u0302i-supra serio, g\u0302i sekvas tion:"}, {"text_idx": "#000081", "text": "Se la logaritmo de granda entjero n estas konata, tiam tiu serio donas rapidan konverg\u0302antan serion por tagalo ( n +1)."}, {"text_idx": "#000082", "text": "La aritmetik-geometria meznombro donas altajn precizecaproksimadojn de la natura logaritmo.\nSasaki kaj Kanada montris en 1982 ke g\u0302i estis precipe rapida por precizecoj inter 400 kaj 1000 decimalaj lokoj, dum serio de Taylor-metodoj estis tipe pli rapidaj kiam malpli precizeco estis necesa.\nEn ilia laboro ln ( x) estas proksimigita al precizeco de 2 \u2212 p (au\u0306 p precizaj pecoj) per la sekva formulo (pro Carl Friedrich Gauss): [51]"}, {"text_idx": "#000083", "text": "C\u0302i tie M ( x, y) indikas la aritmetik-geometrian meznombron de x kaj y.\nLa du nombroj rapide konverg\u0302as al ofta limo kiu estas la valoro de M ( x, y).\nm estas elektita tia ke"}, {"text_idx": "#000084", "text": "Pli granda m igas al la M ( x, y) kalkulon preni pli da s\u0302tupoj (la inicialoj x kaj y estas pli for tute malsama tiel g\u0302i prenas pli da s\u0302tupoj por konverg\u0302i) sed donas pli da precizeco.\nLa konstantoj pi kaj ln (2) povas esti kalkulitaj kun rapide konverg\u0302antaj serioj."}, {"text_idx": "#000085", "text": "Dum en Los Alamos Nacia Laboratorio laboranta pri la Projekto Manhattan, Richard Feynman evoluigis iomete prilaboran algoritmon kiu estas simila al longa dividado kaj poste estis uzita en la Ligo-Mas\u0302ino.\nC\u0302iu bazo povas esti uzita por la logaritmotablo."}, {"text_idx": "#000087", "text": "Sciencaj kvantoj ofte estas esprimitaj kiel logaritmoj de aliaj kvantoj, uzante logaritman skalon.\nEkzemple, la decibelo estas mezurunuo asociita kun logaritma-skalo\nG\u0302i estas bazita sur la komuna logaritmo de rilatumoj - 10 fojojn la komuna logaritmo de potenco proporcio au\u0306 20 fojojn la komuna logaritmo de tensio proporcio.\nKutimas kvantigi la perdon de tensioniveloj en elsendado de elektraj signaloj, [57] por priskribi fortonivelojn de sonoj en akustiko, [58] kaj la absorbon de lumo en la kampoj de spektrometrio kaj optiko.\nLa signalo-bruo-rilatumo priskribanta la kvanton de nedezirata bruo rilate al (senchava) signalo ankau\u0306 estas mezurita en decibeloj.\nEn simila vejno, la pinto signalo-bruo-rilatumo kutimas ofte taksi la kvaliton de sono kaj bildkunpremad metodojn utiligantajn la logaritmon."}, {"text_idx": "#000089", "text": "Semilog (tagal-linia) grafeoj utiligas la logaritman skalkoncepton por bildigo: unu akso, tipe la vertikalo unu, estas skalita logaritme.\nEkzemple, la diagramo c\u0302e la dekstro kunpremas la krutan pliig\u0302on de 1 miliono g\u0302is 1 duiliono g\u0302is la sama spaco (sur la y-akso) kiel la pliig\u0302o de 1 g\u0302is 1 milionoj.\nEn tiaj grafeoj, eksponentaj funkcioj de la formo f ( x\nb x prezentig\u0302u kiel aerlinioj kun deklivo egala al la logaritmo de b.\nTagal-registraj grafeoj skalas ambau\u0306 aksojn logaritme, kiu kau\u0306zas funkciojn de la formo f ( x\nx k por esti prezentita kiel aerlinioj kun deklivo egala al la eksponento k.\nTio estas uzita en bildigado kaj analizado de povaj leg\u0302oj."}, {"text_idx": "#000090", "text": "Logaritmoj okazas en pluraj leg\u0302oj priskribantaj homan percepton: [65]\nLa leg\u0302o de kampulo proponas logaritman rilaton inter la tempo kiun individuoj prenas por elekti alternativon kaj la nombron da elektoj kiujn ili havas.\nLa leg\u0302o de Fitts antau\u0306diras ke la tempo postulata por rapide movig\u0302i al celareo estas logaritma funkcio de la distanco al kaj la grandeco de la celo.\nEn psikofiziko, la Weber-Fechner-leg\u0302o proponas logaritman rilaton inter stimulo kaj sensacio kiel ekzemple la fakta vs. la perceptita pezo de objekto persono portas.\n(Tiu \"leg\u0302o\", aliflanke, estas malpli preciza ol pli lastatempaj modeloj, kiel ekzemple la potencjuro de la Stevens."}, {"text_idx": "#000091", "text": "Psikologiaj studoj fondas ke individuoj kun malmulte da matematikeduko emas taksi kvantojn logaritme, t.e., ili poziciigas nombron sur nemarkita linio lau\u0306 g\u0302ia logaritmo, tiel ke 10 estas poziciigitaj kiel finoj al 100 kiel 100 estas al 1000.\nKreskanta eduko s\u0302ang\u0302as tion al linia takso (poziciigante 1000 10x kiel ege for) en kelkaj cirkonstancoj, dum logaritmoj estas utiligitaj kiam la nombroj por esti punktskribitaj estas malfacilaj konspiri linie."}, {"text_idx": "#000092", "text": "Logaritmoj ekestas en probablokalkulo: la regulo de grandaj nomroj diktas ke, por justa monero, c\u0302ar la nombro da moneroj\u0302etoj pliig\u0302as al senfineco, la observita proporcio de c\u0302efaliroj duono.\nLa fluktuoj de tiu proporcio c\u0302irkau\u0306 duono estas priskribitaj per la leg\u0302o da la ripetita logaritmo."}, {"text_idx": "#000093", "text": "Logaritmoj ankau\u0306 okazas en tagal-normalaj distribuoj.\nKiam la logaritmo de hazarda variablo havas normalan distribuon, la variablo lau\u0306dire havas tagal-normalan distribuon.\nTagal-normalaj distribuoj estas renkontitaj en multaj kampoj, kie ajn variablo estas formita kiel la produkto de multaj sendependaj pozitivaj hazardaj variabloj, ekzemple en la studo de turbuleco."}, {"text_idx": "#000094", "text": "Logaritmoj estas utiligitaj por maksimum-vers\u0302ajneca takso de parametrikaj statistikaj modeloj.\nPor tia modelo, la vers\u0302ajnecfunkcio dependas de almenau\u0306 unu parametro kiu devas esti taksita.\nMaksimumo de la vers\u0302ajnecfunkcio okazas c\u0302e la sama parametro-valoro kiel maksimumo de la logaritmo de la vers\u0302ajneco (la \" arbotrunko-vers\u0302ajneco \"), c\u0302ar la logaritmo estas kreskanta funkcio.\nLa tagalo-vers\u0302ajneco estas pli facila por maksimumigi, precipe por la multobligitaj vers\u0302ajnecoj por sendependaj hazardaj variabloj."}, {"text_idx": "#000095", "text": "La leg\u0302o de Benford priskribas la okazon de ciferoj en multaj datumserioj, kiel ekzemple altaj\u0302oj de konstruaj\u0302oj.\nLau\u0306 la leg\u0302o de Benford, la vers\u0302ajneco ke la unua decimalcifero de objekto en la datenprovaj\u0302o estas d (de 1 g\u0302is 9) korespondas al log10 ( d + 1) \u2212 log10 ( d), c\u0302iaokaze de la mezurunuo.\nTiel, proksimume 30% de la datenoj povas esti atenditaj havi 1 kiel unua fingro, 18% komencas kun 2, ktp.\nRevizoroj ekzamenas deviojn de la leg\u0302o de Benford por detekti frau\u0306dan kontadon."}, {"text_idx": "#000096", "text": "Analizo de algoritmoj estas branc\u0302o de komputado kiu studas la prezenton de algoritmoj (komputilaj programoj solvantaj certan problemon).\nLogaritmoj estas valoraj por priskribado algoritmoj kiuj dividas problemon en pli malgrandajn, kaj interligas la solvojn de la subproblemoj."}, {"text_idx": "#000097", "text": "Ekzemple, trovi nombron en ordigita listo, la binara serc\u0302algoritmo kontrolas la mezeniron kaj enspezon kun la duono antau\u0306 au\u0306 post la mezeniro c\u0302u la nombro ankorau\u0306 estas ne trovita.\nTiu algoritmo postulas, averag\u0302e, log2 ( N) komparojn, kie N estas la longo de la listo.\nSimile, la kunfandordigan algoritmon arang\u0302as neordigitan liston dividante la liston en duonojn kaj ordigante tiujn unue antau\u0306 kunfandado de la rezultoj.\nKunfandordigajn algoritmojn tipe postulas tempon c\u0302irkau\u0306 proporciaj al N\nLa bazo de la logaritmo ne estas precizigita c\u0302i tie, c\u0302ar la rezulto nur s\u0302ang\u0302ig\u0302as de konstanta faktoro kiam alia bazo estas uzita.\nKonstanta faktoro estas kutime ignorita en la analizo da algoritmoj sub la norma uniforma kostmodelo."}, {"text_idx": "#000098", "text": "Funkcio f ( x) lau\u0306dire kreskas logaritme c\u0302u f ( x) estas (precize au\u0306 c\u0302irkau\u0306) proporcia al la logaritmo de x.\n(Biologiaj priskriboj de organismokresko, aliflanke, uzas tiun esprimon por eksponenta funkcio.\nEkzemple, c\u0302iu natura nombro N povas esti reprezentita en binara formo en ne pli ol log2 ( N) + 1\nEn aliaj vortoj, la kvanto de memoro bezonata por stoki N kreskas logaritme kun N."}, {"text_idx": "#000099", "text": "Entropio estas larg\u0302e kvanto de la malsano de iu sistemo.\nEn statistika termodinamiko, la entropio S da iu fizika sistemo estas difinita kiel"}, {"text_idx": "#000100", "text": "La sumo estas finita c\u0302iaj ajn s\u0302tatoj I de la sistemo koncernita, kiel ekzemple la pozicioj de gaspartikloj en ujo.\nKrome, p mi estas la vers\u0302ajneco ke la s\u0302tato mi estas ekhavita kaj k estas la konstanto de Boltzmann.\nSimile, entropio en informa teorio mezuras la kvanton de informoj.\nSe mesag\u0302ricevanto povas atendi c\u0302iun el N eblaj mesag\u0302oj kun egala vers\u0302ajneco, tiam la informkvanton perita per c\u0302iu tia mesag\u0302o estas kvantigita kiel log2 ( N) pecoj."}, {"text_idx": "#000101", "text": "Lyapunov-eksponentoj utiligas logaritmojn por mezuri la gradon da kaoteco de dinamika sistemo.\nEkzemple, por partiklo movig\u0302anta sur ovalan bilardtablon, ec\u0302 gros\u0302monojn de la komenca kondic\u0302rezulto en tre malsamaj padoj de la partiklo.\nTiaj sistemoj estas kaosaj lau\u0306 determinisma maniero, c\u0302ar malgrandaj mezureraroj de la komenca s\u0302tato antau\u0306videble kondukas al plejparte malsamaj finaj s\u0302tatoj.\nAlmenau\u0306 unu Lyapunov-eksponento de determinisme kaosa sistemo estas pozitiva."}, {"text_idx": "#000102", "text": "Logaritmoj okazas en difinoj de la dimensio de fraktaloj.\nFraktaloj estas geometriaj objektoj kiuj estas mem-similaj: malgrandaj partoj minimume reproduktas, malglate, la tutan tutmondan strukturon.\nLa Sierpinski-triangulo (bildigita) povas esti kovrita per tri kopioj de si mem, c\u0302iu havante flankojn duono de la origina longo.\nTio faras la Hausdorff-dimension de tiu strukturln (3)/ln (2) \u2248 1.58.\nAlia logaritmo-bazita nocio de dimensio akirig\u0302as nombrante la nombron da kestoj necesaj por kovri la fraktalon koncernitan."}, {"text_idx": "#000103", "text": "Logaritmoj estas rilatitaj al muzikaj tonoj kaj intervaloj.\nEn egals\u0302tupa agordo, la frekvencoproporcio dependas nur de la intervalo inter du tonoj, ne de la specifa frekvenco, au\u0306 tonalto, de la individuaj tonoj.\nEkzemple, la noto A havas frekvencon de 440 Hz kaj B bemola havas frekvencon de 466 Hz.\nLa intervalo inter A kaj B bemola estas duontono, kiel estas tiu inter B bemola kaj B (frekvenco 493 Hz)."}, {"text_idx": "#000104", "text": "Tial, logaritmoj povas esti utiligitaj por priskribi la intervalojn: intervalo estas mezurita en duontonoj prenante la bazo-21/12 logaritmon de la frekvenco proporcio, dum la bazo-21/1200 logaritmo de la frekvencoproporcio esprimas la intervalon en cendoj, centonoj de duontono.\nC\u0302i-lasta estas uzita por pli bona kodigado, c\u0302ar g\u0302i estas bezonita por ne-egalaj temperamentoj."}, {"text_idx": "#000105", "text": "Naturaj logaritmoj estas proksime ligitaj al nombrado de primoj (2, 3, 5, 7, 11, ...\n, grava temo en nombroteorio.\nPor iu entjero x, la kvanto de primoj malpli ol au\u0306 egala al x estas indikita \u03c0 ( x) .\nLa prima teoremo asertas ke \u03c0 ( x) estas c\u0302irkau\u0306 donita per"}, {"text_idx": "#000106", "text": "en la senco ke la rilatumo de \u03c0 ( x) kaj ke frakcialiroj 1 kie x tendencas al senfineco.\nKiel sekvo, la vers\u0302ajneco ke hazarde elektita nombro inter 1 kaj x estas c\u0302efa estas inverse proporcia al la nombro da decimalciferoj de x.\nMulte pli bona takso de \u03c0 ( x) ricevas per la ofseto al integrala eksponenta funkcio Lion ( x), difinitan per"}, {"text_idx": "#000107", "text": "La Riemann-hipotezo, unu el la plej malnovaj malfermaj matematikaj supozoj, povas esti deklarita lau\u0306 komparado de \u03c0 ( x) kaj Lio ( x).\nLa Erdo\u030bs-Kac-teoremo priskribanta la nombron da apartaj primaj faktoroj ankau\u0306 implikas la naturan logaritmon."}, {"text_idx": "#000108", "text": "La logaritmo de n uzina, n!"}, {"text_idx": "#000109", "text": "Tio povas esti uzita por akiri la formulon, de Stirling aproksimadon de n!"}, {"text_idx": "#000110", "text": "La komplekso numeras solvadon la ekvacio"}, {"text_idx": "#000111", "text": "C\u0302i tie, z estas kompleksa nombro.\nKompleksa nombro estas ofte reprezentita kiel z = x-+ iy , kie x kaj y estas realaj nombroj kaj mi estas la imaginara unuo.\nTia nombro povas esti bildigita per punkto en la kompleksa ebeno, kiel montrite c\u0302e la dekstro.\nLa polusa formo c\u0302ifras ne-nulan kompleksan nombron z memstare absoluta valoro, t.e., la distancon r al la origino, kaj angulon inter la absciso kaj la linio pasanta tra la origino kaj z.\nTiu angulo estas nomita la argumento de z.\nLa absoluta valoro r de z estas"}, {"text_idx": "#000112", "text": "La argumento ne estas unike precizigita per z: kaj \u03c6 kaj la \u03c6 + de \u03c6 = 2\u03c0 estas argumentoj de z c\u0302ar adiciante 2\u03c0\nRadianoj au\u0306 360 gradoj [nb 6] al \u03c6 egalrilatas al \"bobeni\" c\u0302irkau\u0306 la origino maldekstrume per turno.\nLa rezulta kompleksa nombro denove estas z, kiel ilustrite c\u0302e la dekstro.\nTamen, ekzakte unu argumento \u03c6 kontentigas \u2212 \u03c0 < \u03c6- kaj \u03c6 \u2264 \u03c0.\nG\u0302i estas nomita la c\u0302efargumento, indikita Arg ( z), kun c\u0302efurbo A.\n(Alternativa normaligo estas 0 \u2264 Arg ( z"}, {"text_idx": "#000113", "text": "sine kaj kosinuso, au\u0306 la kompleksa eksponento, respektive, r kaj \u03c6 estas tia ke la sekvaj identecoj tenas: [94]"}, {"text_idx": "#000114", "text": "Tio implicas ke la th potenco de e korespondas al z, kie"}, {"text_idx": "#000115", "text": "\u03c6 estas la c\u0302efargumento Arg ( z) kaj n estas arbitra entjero.\nEventuala tia estas nomita kompleksa logaritmo de z.\nEkzistas senlime multaj el ili, kontraste al la unike difinita reala logaritmo.\nSe n = 0, estas nomitaj la c\u0302efvaloro de la logaritmo, indikis Log ( z).\nLa c\u0302efargumento de iu pozitiva reala nombro x estas 0;\ntial Log ( x) estas reala nombro kaj korespondas al la reala (natura) logaritmo.\nTamen, c\u0302i-supraj formuloj por logaritmoj de produktoj kaj potencoj ne g\u0302eneraligas al la c\u0302efvaloro de la kompleksa logaritmo."}, {"text_idx": "#000116", "text": "La ilustraj\u0302o c\u0302e la dekstro prezentas Log ( z).\nLa malkontinueco, t.e., la salto en la nuanco c\u0302e la negativa parto de la x- au\u0306 reala akso, estas kau\u0306zita de la salto de la c\u0302efargumento tie.\nTiu lokuso estas nomita branc\u0302otranc\u0302ao.\nTiu konduto povas nur esti evitita finante la intervallimigon sur \u03c6.\nTiam la argumento de z kaj, sekve, g\u0302ia logaritmo ig\u0302as multi-aprezitfunkcioj."}, {"text_idx": "#000117", "text": "Potenco okazas en multaj lokoj de matematiko kaj g\u0302ia inversa funkcio estas ofte referita kiel la logaritmo.\nEkzemple, la logaritmo de matrico estas la (multi-aprezit) inversa funkcio de la matriceksponento.\nAlia ekzemplo estas la p-adic logaritmo, la inversa funkcio de la p-adic eksponento.\nAmbau\u0306 estas difinitaj per serio de Taylor analogaj al la reala kazo.\nEn la kunteksto de diferenciala geometrio, la eksponenta mapo mapas la klavspacon c\u0302e punkto de dukto al najbareco de tiu punkto.\nG\u0302ia inversa ankau\u0306 estas nomita la logaritma (au\u0306 tagalo) mapo."}, {"text_idx": "#000118", "text": "En la kunteksto de finiaj grupoj potenco ricevas plurfoje multobligante unu grupelementon b kun si mem.\nLa diskreta logaritmo estas la entjero n solvanta la ekvacion"}, {"text_idx": "#000119", "text": "kie x estas elemento de la grupo.\nArang\u0302i la potencon povas esti farita efike, sed la diskreta logaritmo vers\u0302ajne estas tre malmola kalkuli en kelkaj grupoj.\nTiu malsimetrio havas gravajn aplikojn en publiks\u0302losila kriptografio, kiel ekzemple ekzemple en la Diffie-Hellman-esenca inters\u0302ang\u0302o, rutino kiu permesas sekurajn inters\u0302ang\u0302ojn de kriptigaj s\u0302losiloj super nesekurigitaj informkanaloj.\nLa logaritmo de Zech estas rilatita al la diskreta logaritmo en la multiplika grupo de ne-nulaj elementoj de finhava kampo."}, {"text_idx": "#000120", "text": "Pliaj logaritmo-similaj inversaj funkcioj inkludas la duoblan logaritmo ln (ln ( x), la statiston- au\u0306 hiper-4-logaritmon (burg\u0302onanta vario de kiu estas nomita ripetita logaritmo en komputado), la Lambert W-funkcion, kaj la logit.\nIli estas la inversaj funkcioj de la duobla eksponenta funkcio, Supereksponento, de f ( w\nu\u0306ew , [101] kaj de la log\u0302istika funkcio, respektive."}, {"text_idx": "#000121", "text": "De la perspektivo de teorio de grupoj, la identecregistro ( lumdisko) = tagalo ( c) + registro ( d) esprimas grupizomorfion inter pozitivaj realoj sub multipliko kaj realoj sub aldono.\nLogaritmaj funkcioj estas la nuraj kontinuaj izomorfioj inter tiuj grupoj.\nPer tiu izomorfio, la Haar-iniciato ( Lebesgue-iniciato) dks sur la realoj egalrilatas al la Haar-iniciato dks / x sur la pozitivaj realoj."}, {"text_idx": "#000122", "text": "Logaritma unu-formoj df / f aperas en kompleksa analitiko kaj algebra geometrio kiel diferencigaj formoj kun logaritmaj poloj."}, {"text_idx": "#000123", "text": "La polilogaritmo estas la funkcio difinita per"}, {"text_idx": "#000124", "text": "G\u0302i estas rilatita al la natura logaritmo de Li1 ( z) = \u2212ln (1 \u2212 z).\nKrome, Lio s (1) korespondas al la Riemann zetafunkcio \u03b6 ( j)."}, {"text_idx": "#000128", "text": "La logaritmo de iu nombro y je iu bazo a estas tiu nombro x, por kiu validas"}, {"text_idx": "#000129", "text": "La natura logaritmo estas logaritmo kun bazo e."}, {"text_idx": "#000130", "text": "Natura logaritmo estas la inversa funkcio de eksponenta funkcio."}, {"text_idx": "#000131", "text": "Logaritmo kun bazo a estas la inversa funkcio de eksponenta funkcio kun la sama bazo y = ax kiel funkcio de x. (Se la potenciga funkcio estas konsiderata kiel funkcio de a, g\u0302ia inverso estas la x-a radiko.)"}, {"text_idx": "#000132", "text": "Oni notas la logaritman funkcion de x je bazo a per la simbolo \"logax\". La logaritmaj funkcioj je diversaj bazoj a kaj b diferencas je konstanta faktoro, kiu egalas al logab = 1/logba."}, {"text_idx": "#000133", "text": "Natura logaritmo estas skribita kiel \"ln x\"."}, {"text_idx": "#000134", "text": "En la historio de matematiko logaritmoj havis grandan signifon, c\u0302ar multipliko de nombro egalas al adicio de iliaj logaritmoj, kaj adicio estas multe pli facile kaj rapide farebla ol multipliko (sen pos\u0302kalkulilo). Tial iam c\u0302iu matematikisto kaj ing\u0302eniero posedis libron kun tabeloj de logaritmoj (je bazo 10, kvar- au\u0306 kvin-ciferaj), per kiuj li povis multipliki pli rapide. Sur la sama principo bazig\u0302as la glitkalkulilo, kiu havas logaritmajn skalojn, kiuj estas (fizike, per apudmeto) adiciataj."}, {"text_idx": "#000135", "text": "Kiam elektronikaj kalkuliloj ne ekzistis, la plej rapida maniero trovi (dekumajn) logaritmojn estis konsulti tabel-libron. La matematikisto Henry Briggs en 1617 publikigis la unuan tian tabelon, kiu enhavis 14-poziciajn logaritmojn de c\u0302iuj entjeroj g\u0302is 20.000 kaj de 90.000 al 100.000. La nederlandano Adrian VLACQ en 1628 komplementis la intervalon de 20.000 al 90.000 (kun 10 pozicioj)."}, {"text_idx": "#000136", "text": "14 pozicioj estas tre multaj, sed ili ne estis vere utiligeblaj en la praktiko, c\u0302ar la logaritmojn de nombroj inter la listigitaj oni devis poli, kaj tio perdigis multon el la mirinda 14-pozicia precizeco."}, {"text_idx": "#000137", "text": "C\u0302ar la logaritmoj de iu nombro kaj de g\u0302ia dekoblo diferencas ekzakte je 1, ne necesas listigi c\u0302iujn nombrojn ek de 1; sufic\u0302as ajna intervalo inter iu nombro kaj g\u0302ia dekoblo. Nunaj logaritmaj tabeloj kutime uzas la intervalon inter 0,1 kaj 1,0."}, {"text_idx": "#000138", "text": "C\u0302e uzo de logaritma tabelo por multipliko oni distingas inter la entjera kaj la frakcia partoj de la logaritmo. La entjera parto, kiu respondas al potencoj de 10 (do al la pozicio de la komo), nomig\u0302as karakteristiko, la frakcia parto mantiso."}, {"text_idx": "#000139", "text": "La karakteristiko estas do tio, kion en komputa matematiko oni nomas eksponento, dum ke la mantiso estas la logaritmo de tio, kion la komputa matematiko nomas signifikaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000140", "text": "La dekumaj logaritmoj (logaritmoj je bazo 10) estas nomataj lau\u0306 la menciita Henry Briggs kiel \"logaritmoj de Briggs\". Logaritmoj je la bazo e nomig\u0302as \"logaritmoj de Euler\" au\u0306 \"naturaj logaritmoj\", mallonge ln (latine logarithmus naturalis). En komputiko gravas la \"duumaj logaritmoj\" (je bazo 2) kaj foje la \"dek-ses-umaj logaritmoj\" (je bazo 16)."}, {"text_idx": "#000141", "text": "La vorto logaritmo devenas el la helena lingvo, en kiu arithmos (\u03b1\u03c1\u03b9\u03b8\u03bco\u03c2) signifas \"nombro\" kaj logos (\u03bbo\u03b3o\u03c2) havas multegajn signifojn, inter ili \"rilato\"."}, {"text_idx": "#000142", "text": "La simbolo de la logaritmo, la tri literoj \"log\", havas propran unikodan signon kun la numero 13266 (log)."}, {"text_idx": "#000143", "text": "Inversaj hiperbolaj funkcioj estas difinitaj en la kompleksa ebeno per esprimoj kun logaritmoj"}]