[{"text_idx": "#000000", "text": "Prezenta teorio de la Lorentz-grupo"}, {"text_idx": "#000002", "text": "La Lorentz-grupo estas Lie grupo de simetrioj de la spactempo de speciala teorio de relativeco.\nTiu grupo povas esti realigita kiel kolekto de matricoj, lineartransformoj, au\u0306 unuargumentaj operatoroj sur iu hilberta spaco;\ng\u0302i havas gamon da reprezentantaroj.\nEn iu relativiste senvaria fizika teorio, tiuj reprezentantaroj devas eniri en iu modo;\n[nb 1] fiziko mem devas esti farita de ili.\nEfektive, speciala teorio de relativeco kune kun kvantuma mekaniko estas la du fizikaj teorioj kiuj estas plej plene establitaj, [nb 2] kaj la konjunkcio de tiuj du teorioj estas la studo de la senfin-dimensiaj unitariaj reprezentadoj de la Lorentz-grupo.\nTiuj havas ambau\u0306 historian gravecon en c\u0302efa fiziko, same kiel ligojn al pli konjektaj aktualaj teorioj."}, {"text_idx": "#000003", "text": "La plena teorio de la finhav-dimensiaj reprezentadoj de la Lie-algebro de la Lorentz-grupo estas deduktita uzante la g\u0302eneralan kadron de la prezenta teorio de semikuracherbaj Lie-algebroj.\n1) akirig\u0302as utiligante la Lie-korespondadon kaj la matriceksponenton.\nLa reprezentantoj de tempinversigo kaj spacinversio ricevas en spacinversio kaj tempinversigo, kompletigante la finhav-dimensian teorion por la plena Lorentz-grupo.\nLa g\u0302eneralaj trajtoj de la ( m, n) reprezentantaroj estas skizitaj.\nAgo sur funkciaj spacoj estas konsiderita, kun la ago sur sferaj harmonoj kaj la Riemann P-funkcioj ekaperantaj kiel ekzemploj."}, {"text_idx": "#000004", "text": "La evoluo de la prezenta teorio historie sekvis la evoluon de la pli g\u0302enerala teorio de prezenta teorio de semikuracherbogrupoj, plejparte pro E\u0301lie Cartan kaj Hermann Weyl, sed la Lorentz-grupo ankau\u0306 ricevis specialan atenton pro sia graveco en fiziko.\nFamaj kontribuantoj estas fizikisto E. P. Wigner kaj matematikisto Valentine Bargmann kun sia Bargmann-Wigner-programo, [1] unu konkludo de kiu estas, proksimume, klasifiko de c\u0302iuj unitariaj reprezentadoj de la enhomogena Lorentz-grupo sumig\u0302as al klasifiko de c\u0302iaj ajn relativistaj ondekvacioj.\nLa klasifiko de la neredukteblaj senfin-dimensiaj reprezentadoj de la Lorentz-grupo estis establita fare de la doktora studento de Paul Dirac en teoriaj fizikoj, Harish-Chandra, poste turnis matematikiston, [nb 3] en 1947."}, {"text_idx": "#000005", "text": "La ne-teknika enkonduko enhavas iom da antau\u0306kondic\u0302materialo por legantoj ne alkutimig\u0302intaj al prezenta teorio.\nNormaj rezultoj utiligitaj c\u0302i tie de g\u0302enerala finhav-dimensia prezenta teorio estas skizitaj en teknika enkonduko al finhav-dimensia prezenta teorio.\nLa Lie-algebrobazo kaj aliaj adoptitaj konvencioj ricevas en konvencioj kaj Lie-algebrobazoj.\nEkzistas altagrade detala artikolo sur la donaco submetata esti trovita c\u0302e Wikiversity."}, {"text_idx": "#000007", "text": "Simetrio de spaco kaj tempo\nOrdinaraj lorencaj transformoj matricoj ne sufic\u0302as\nSenfin-dimensiaj reprezentantaroj per ago sur vektoraj spacoj de funkcioj\nSenfin-dimensiaj reprezentantaroj rigardite kiel senfin-dimensiaj matricoj"}, {"text_idx": "#000009", "text": "3 la unitara truko de Weyl\n2 Lie-algebroreprezentantaroj de grupaj prezentoj\n3 grupaj prezentoj de Lie-algebroreprezentantaroj"}, {"text_idx": "#000010", "text": "2 Lie-algebroreprezentantaroj de grupaj prezentoj\n3 grupaj prezentoj de Lie-algebroreprezentantaroj"}, {"text_idx": "#000011", "text": "1 La ( \u03bc, \u03bd) reprezentantaroj de sl (2, C)\n2 La ( m, n) reprezentantaroj de tiel (3;"}, {"text_idx": "#000012", "text": "1 Surjectiveness de eksponenta mapo por TIEL (3, 1)"}, {"text_idx": "#000015", "text": "Ne-teknika enkonduko al prezenta teorio"}, {"text_idx": "#000016", "text": "La nuna celo estas ilustri la rolon de prezenta teorio de grupoj en matematiko kaj en fiziko.\nRigoro kaj detalo prenas la malantau\u0306an sidlokon, kia la c\u0302efcelo estas fiksi la nocion de finhav-dimensiaj kaj senfin-dimensiaj reprezentadoj de la Lorentz-grupo.\nLa leganto alkutimig\u0302inta al tiuj konceptoj devus s\u0302nursalti for."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Simetrio de spaco kaj tempo"}, {"text_idx": "#000019", "text": "La Lorentz-grupo enhavas c\u0302iujn rotaciomatricojn, etenditajn al kvar dimensioj kun nuloj en la unua vico kaj la unua kolumno krom la supra forlasis elementon kiu estas unu, kiel elementoj."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Ekzistas, krome, matricoj tiuj efikaj Lorentz-akceloj.\nTiuj povas esti opiniitaj de, en la pasiva vido, kiel (senprokraste!\ndonante al la koordinatsistemo (kaj kun g\u0302i la observanto) rapidecon en elektita direkto."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Finfine, du specialaj transformoj kutimas inversigi la koordinatsistemon en spaco, spacinversio, kaj en tempo, tempinversigo.\nEn la unua kazo, la spaco kunordigitaj aksoj estas inversigitaj.\nC\u0302i-lasta estas inversigo de la tempodirekto.\nTio estas opiniita de, en la pasiva vido, kiel havado de la observanto metita lian horlog\u0302on c\u0302e minuso kion g\u0302i montras kaj tiam havas la manojn de la horlog\u0302o movig\u0302as maldekstrume."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Matematike la Lorentz-grupo estas difinita kiel la aro de transformoj konservantaj la dulinearan formon"}, {"text_idx": "#000023", "text": "kie la maldekstramana flanko estas la Minkowski-interna produkto de du okazaj\u0302oj en spactempo, kaj la dekstra flanko estas la spactempintervalo, vidas klasikan grupon por matematika detalo."}, {"text_idx": "#000024", "text": "En la spactempo de speciala teorio de relativeco, nomita spaco de Minkowski, spaco kaj tempo estas interplektitaj.\nTiel la kvar koordinatoj de punktoj en spactempo, nomitaj la okazaj\u0302oj, s\u0302ang\u0302o lau\u0306 manieroj neatendita antau\u0306 la apero de speciala teorio de relativeco, kun tempodilatig\u0302o kaj longokuntirig\u0302o kiel du tujaj sekvoj.\nLa kvar-dimensiaj matricoj de lorencaj transformoj kunmetas la Lorentz-grupon.\nG\u0302iaj elementoj reprezentas simetriojn, kaj j\u0302us s\u0302atas fizikaj objektoj povas esti rotaciitaj utiligante rotaciomatricojn, la samaj fizikaj objektoj (kies koordinatoj nun inkludas la tempokoordinaton) povas esti transformitaj utiligante la matricojn reprezentante lorencaj transformoj.\nAparte, la kvar-vektora reprezentado okazaj\u0302o en Lorentz-kadro transformas kiel"}, {"text_idx": "#000025", "text": "La baza kvalito de c\u0302iu finhava grupo estas g\u0302ia multipliktabelo, ankau\u0306 nomita Cayley-tablo, kiu protokolas la rezulton de multobligado de iujn ajn du elementoj.\nReprezentado de grupo povas esti opiniita de nova aro da elementoj, finhav-dimensiaj au\u0306 senfin-dimensiaj matricoj, donante la saman multipliktabelon post mapado de la ag\u0302aj elementoj al la novaj elementoj en unu-al-unu modo.\n[nb 5] La sama tenas vera koncerne senfinan grupon kiel la turnada grupo TIEL (3) au\u0306 la Lorentz-grupon.\nLa multipliktabelo estas j\u0302us pli malfacila bildigi koncerne grupon de nenombrebla grandeco (sama grandeco kiel la aro de realoj).\nUnudirekta farendaj\u0302o tion estas al bonordo la elementoj de la grupo kie orda pli sensenta \u03c1 estas la ordospeco.\nLa \"senfina Cayley-tablo\" tiam estas indeksita per du ordaj numeraloj 0 \u2264 \u03b1, \u03b2 \u2264 \u03c1 skribita sur Cantor-normala formularo."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Ordinaraj lorencaj transformoj matricoj ne sufic\u0302as"}, {"text_idx": "#000027", "text": "La objektoj por esti transformitaj povas esti iom alia ol ordinaraj fizikaj objektoj etendantaj en tri spaca grandeco (kaj tempo, se la kadro ne estas la ripozokadro).\nG\u0302i estas c\u0302ar tiuj objektoj tiu prezenta teorio estas necesa por la matematika priskribo de transformoj stimulitaj per ordinaraj lorencaj transformoj de spactempo.\nEkzemple, la elektromagneta kampo ofte estas (naive) antau\u0306vidita per la tasko al c\u0302iu punkto en spactempo de tridimensia vektoro reprezentanta la kampon kaj alian tridimensian vektoron reprezentantan la kampon."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Kiam spaco estas rotaciita, la klasike atendata aj\u0302o okazas.\nLa kampo kaj la kampovektoroj c\u0302e elektita punkto rotacias kun konservita longo kaj angulo inter ili."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Sub Lorentz akcelas ili kondutas alimaniere, montrante ke la du vektoroj ne estas apartaj fizikaj objektoj.\nLa elektraj kaj magnetaj komponentoj miksas.\nLa elektromagnetkampa tensoro elmontras la manifeste kovariaj\u0302an matematikan strukturon de la elektromagneta kampo.\nG\u0302i havas ses sendependajn komponentojn c\u0302e okazaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000030", "text": "[nb 6] Finhav-dimensiaj reprezentantaroj de matricoj"}, {"text_idx": "#000031", "text": "La problemo de prezenta teorio de la Lorentz-grupo estas, en la finhav-dimensia kazo, trovi novajn arojn da matricoj, ne nepre 4 \u00d7 4 en grandeco kiu kontentigas la saman multipliktabelon kiel la matricoj en la origina Lorentz-grupo.\nRevenante al la ekzemplo de la elektromagneta kampo, 6 \u00d7 6 matricoj estas necesaj tio povas esti aplikita al ses-dimensia kolumna vektoro enhavanta la c\u0302ion kune ses komponentoj de la elektromagneta kampo.\nTiel 6 \u00d7 6-matrices estas serc\u0302ita por, tia ke"}, {"text_idx": "#000032", "text": "g\u0302uste esprimas la transformon de la elektromagneta kampo sub la lorenca transformo \u03bb.\n[nb 7] La sama rezonado povas esti aplikita al la bispinoroj de Dirac.\nDum tiuj havas 4 komponentojn, la originalon 4 \u00d7 4-matrices en la Lorentz-grupo estas malkonvenaj, ec\u0302 kiam limigite al rotacioj.\nPlia 4 \u00d7 4-reprezentantara estas necesa."}, {"text_idx": "#000034", "text": "Senfin-dimensiaj reprezentantaroj per ago sur vektoraj spacoj de funkcioj"}, {"text_idx": "#000035", "text": "Senfin-dimensiaj reprezentantaroj estas kutime realigitaj kiel funkciante sur aktoraroj de realaj au\u0306 kompleks-aprezitaj funkcioj sur aktoraro Xa dotis kun grupa ago.\nAro estanta dotita kun grupa ago A volas diri, en esenco, tion se x \u2208 Xa kaj g \u2208 G tiu A ( g) x = y kun y \u2208 Xa ."}, {"text_idx": "#000036", "text": "La punkto por fari estas ke denove"}, {"text_idx": "#000037", "text": "kaj ekzistas reprezentado de G.\nTiu reprezentado de G estas finhav-dimensia se kaj nur se X estas finhava aro.\nTiu metodo estas tre g\u0302enerala, kaj tipe vektoraj spacoj de pli specialecaj funkcioj sur metas proksime c\u0302e mano estas esploritaj."}, {"text_idx": "#000038", "text": "C\u0302i tie L da g indikas maldekstran agon (je g), R da g indikas dekstran agon (je g), kaj C da g indikas konjugacion (je g).\nKun tiu speco de ago, la vektoroj kiujn estaj\u0302o agis estas funkcioj."}, {"text_idx": "#000039", "text": "La celo en la senfin-dimensia kazo de la prezenta teorio estas klasifiki c\u0302iujn malsamajn eblajn reprezentantarojn, kaj elmontri ilin lau\u0306 vektoraj spacoj de funkcioj kaj la agon de la norma reprezentantaro en la argumentoj de la funkcioj."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Senfin-dimensiaj reprezentantaroj rigardite kiel senfin-dimensiaj matricoj"}, {"text_idx": "#000041", "text": "Por rilatigi reprezentantarojn sur senfin-dimensiaj spacoj al la finhav-dimensiaj kazoj, ordigita bazo estas elektita c\u0302ar la vektora spaco de funkcioj kaj la ago sur bazaj funkcioj sub antau\u0306fiksita transformo estas ekzamenita.\nLa bildo de la bazo funkcias sub transformo, esprimita kiel lineara kombinaj\u0302o kiun la bazo funkcias estas surpaperigitaj.\nEksplicite, se f 1, f 2"}, {"text_idx": "#000042", "text": "La koeficientoj de la bazaj funkcioj en la esprimo por c\u0302iu transformis bazan funkcion estas kolono en la reprezentantmatrico.\nG\u0302enerale, la rezulta matrico estas nombreble senfina en dimensio:"}, {"text_idx": "#000043", "text": "Denove, estas postulate ke la aro de senfinaj matricoj akiris tiun manierstandon en ekzakta korespondado kun la originalo 4 \u00d7 4-matrices kaj ke la multipliktabelo estas la g\u0302usta - tiu el la 4 \u00d7 4-matrices.\n[nb 9] devus esti emfazite ke en la senfin-dimensia kazo, la konzerno malofte estas la kompletaj matricoj.\nIli estas eksponitaj c\u0302i tie nur por elstarigi la komunan fadenon.\nSed individuaj matricelementoj estas ofte komputitaj, precipe por la Lie-algebro (malsupre)."}, {"text_idx": "#000044", "text": "La Lorentz-grupo estas Lie grupo kaj havas kiel tia Lie-algebron, La Lie-algebro estas vektora spaco de matricoj kiuj povas esti diritaj modeligi la grupon proksime de la identeco.\nG\u0302i estas dotita kun multiplikoperacio, la Lie krampo.\nKun g\u0302i, la produkto en la grupo povas alproksimig\u0302i al la identeco estu esprimita en Lie algebraj esprimoj (sed ne lau\u0306 precipe simpla maniero).\nLa ligo inter la (matrico-) Lie-algebro kaj la (matrico-) Lie-grupo estas la matriceksponento.\nG\u0302i estas unu-al-unu proksime de la identeco en la grupo."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Pro tio g\u0302i ofte sufic\u0302as por trovi reprezentadojn de la Lie-algebro.\nLie-algebroj estas multe pli simplaj objektoj ol Lie-grupoj por labori kun.\nPro la fakto ke la Lie-algebro estas finhav-dimensia vektora spaco, koncerne la Lorentz Lie-algebron la dimensio estas 6, unu bezono nur trovas finhavan nombron da reprezentaj matricoj de la Lie-algebro, unu por c\u0302iu elemento de bazo de la Lie-algebro kiel vektora spaco.\nLa resto sekvas el etendaj\u0302o de lineareco, kaj la reprezentado de la grupo akirig\u0302as per potenco."}, {"text_idx": "#000046", "text": "Unu ebla elekto de bazo por la Lie-algebro estas, en la normreprezentantaro, donita en konvencioj kaj Lie-algebrobazoj."}, {"text_idx": "#000047", "text": "Multaj el la reprezentantaroj, kaj finhav-dimensiaj kaj senfin-dimensiaj, estas gravaj en teoriaj fizikoj.\nReprezentantaroj prezentig\u0302as en la priskribo de kampoj en klasika kampa teorio, plej grave la elektromagneta kampo, kaj de partikloj en relativista kvantuma mekaniko, same kiel de kaj partikloj kaj kvantekampoj en kvantuma kampa teorio kaj de diversaj objektoj en teorio de kordoj kaj pretere.\nLa prezenta teorio ankau\u0306 disponigas la teorian grundon por la koncepto de spino.\nLa teorio enig\u0302as en g\u0302enerala relativeco en la senco ke en sufic\u0302e malgrandaj regionoj de spactempo, fiziko estas tiu de speciala teorio de relativeco."}, {"text_idx": "#000048", "text": "La finhav-dimensiaj neredukteblaj ne-unitariaj reprezentantaroj kune kun la neredukteblaj senfin-dimensiaj unitariaj reprezentadoj da la enhomogena Lorentz-grupo, la Poincare-grupo, estas la reprezentantaroj kiuj havas rektan fizikan signifon."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Senfin-dimensiaj unitariaj reprezentadoj de la Lorentz-grupo ekaperas per limigo de la neredukteblaj senfin-dimensiaj unitariaj reprezentadoj de la Poincare\u0301-grupo reaganta al la hilbertaj spacoj de relativista kvantuma mekaniko kaj kvantuma kampa teorio.\nSed tiuj estas ankau\u0306 de matematika intereso kaj de ebla rekta fizika signifo en aliaj roloj ol tiu de nura restrikto.\nEkzistis konjektaj teorioj, [8] [9] (tensoroj kaj spinoroj havas senfinajn ekvivalentojn en la ekspansors de Dirac kaj la ekspinors de Harish-Chandra) kongruaj kun relativeco kaj kvantuma mekaniko, sed ili trovis neniun elprovitan fizikan aplikig\u0302on.\nModernaj konjektaj teorioj eble havas similajn ingrediencojn per malsupre."}, {"text_idx": "#000050", "text": "De la perspektivo ke la celo de matematiko devas klasifiki kaj karakterizi, la prezenta teorio de la Lorentz-grupo estas ekde 1947 preta c\u0302apitro.\nSed en unuig\u0302o kun la Bargmann-Wigner-programo, ekzistas (en 2006) ankorau\u0306 nesolvite sole matematikaj problemoj, ligitaj al la senfin-dimensiaj unitariaj reprezentantaroj."}, {"text_idx": "#000051", "text": "La neredukteblaj senfin-dimensiaj unitariaj reprezentantaroj eble nerektan signifon por fizika realeco en konjektaj modernaj teorioj c\u0302ar la (g\u0302eneraligis) Lorentz-grupo prezentig\u0302as kiel la malgranda grupo de la Poincare-grupo de spacosimilaj vektoroj en pli alta spactempodimensio.\nLa ekvivalentaj senfin-dimensiaj unitariaj reprezentadoj de la (g\u0302eneraligita) Poincare\u0301-grupo estas la tielnomitaj takionaj reprezentantaroj.\nTakion aperas en la spektro de bosonaj s\u0302nuroj kaj estas rilataj al malstabileco de la vakuo.\nEc\u0302 se takion eble ne estas realigitaj en naturo, tiuj reprezentantaroj devas esti matematike komprenitaj por kompreni teorion de kordoj.\nTio estas tiel c\u0302ar takios\u0302tatoj manifestas por aperi en supers\u0302nurteorioj ankau\u0306 en provoj krei realismajn modelojn."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Unu malferma problemo (aktuale en 2006) estas la kompletigo de la Bargmann-Wigner-programo por la Izometria grupo TIEL ( D - 2, 1) de la de Sitter-spactempo Ds D - 2 ."}, {"text_idx": "#000053", "text": "Estas ofte en matematiko rigardi la Lorentz-grupon por esti, c\u0302efe, la Mo\u0308bius-grupo al kiu g\u0302i estas izomorfa.\nLa grupo povas esti reprezentita lau\u0306 aro de funkcioj difinitaj sur la Riemann-sfero.\nTiuj estas la Riemann P-funkcioj, kiuj estas esprimeblaj kiel supergeometriaj funkcioj."}, {"text_idx": "#000054", "text": "Dum la elektromagneta kampo kune kun la gravitkampo estas la nuraj klasikaj kampoj disponigantaj precizajn priskribojn de naturo, aliaj specoj de klasikaj kampoj estas gravaj ankau\u0306.\nEn la aliro al kvantuma kampa teorio (QFT) referita kiel dua kvantigado, la deirpunkto estas unu au\u0306 pluraj klasikaj kampoj, kie ekz. la undoroj solvantaj la dirakan ekvacion estas konsideritaj klasikajn kampojn tidligere (dua) kvantigado.\nDum dua kvantigado kaj la Lagrangiana formalismo asociita kun g\u0302i ne estas fundamenta aspekto de QFT, [14] estas la kazo ke g\u0302is nun c\u0302iuj kvantumaj kampa teorioj povas esti kontaktitaj tiun manieron, inkluzive de la norma modelo.\nEn tiuj kazoj, ekzistas klasikaj versioj de la kampoekvacioj sekvantaj el la Euler-Lagrange-ekvacioj derivitaj de la Lagrangian uzanta la principon de malplej ago.\nTiu kampoekvacioj devas esti relativiste senvariaj, kaj iliaj solvoj (kiuj kvalifikig\u0302os tiel relativistaj undoroj lau\u0306 la difino malsupre) devas transformi sub iu reprezentado de la Lorentz-grupo."}, {"text_idx": "#000055", "text": "La ago de la Lorentz-grupo sur la spaco de kampokonfiguracioj (kampokonfiguracio estas la spactempohistorio da speciala solvo, ekz. la elektromagneta kampo en c\u0302io el spaco super c\u0302iama estas unu -kampa konfiguracio) similas la agon sur la hilbertaj spacoj de kvantuma mekaniko, krom ke la kolektorkrampoj estas anstatau\u0306igitaj per kampoteoriaj Poisson-krampoj."}, {"text_idx": "#000056", "text": "Por la nunaj celoj la sekva difino estas farita: [16]\nRelativista undoro estas aro de n funkcioj \u03c8 \u03b1 sur spactempo kiel kiu transformas sub arbitra bonorda lorenca transformo \u03bb"}, {"text_idx": "#000057", "text": "kie D [\u03bb] estas n - dimensia matricoreprezentanto de \u03bb apartenanta al iu rekta sumo de la ( m, n) reprezentantaroj por esti lanc\u0302ita malsupre."}, {"text_idx": "#000058", "text": "La plej utilaj relativistaj kvantumaj mekanikoj\nunu-partiklaj teorioj (ekzistas al neniu tute kohera tiaj teorioj) estas la Klein-Gordon ekvacio [17] kaj la diraka ekvacio [18] en sia origina konteksto.\nIli estas relativiste senvariaj kaj iliaj solvoj transformas sub la Lorentz-grupo kiel Lorentz-Skalaroj ( ( m, n) = (0, 0) kaj bispinoroj respektive ( (0, 1 / 2\nLa elektromagneta kampo estas relativista undoro lau\u0306 tiu difino, transformante sub (1, 0) \u2295 (0, 1)."}, {"text_idx": "#000059", "text": "La senfin-dimensiaj reprezentantaroj povas esti uzitaj en la analizo de disvastigo."}, {"text_idx": "#000060", "text": "En QFT, la postulo je relativista envarianco eniras, inter aliaj manieroj en tio ke la S-matrico nepre devas esti Poincare\u0301 Invarianto.\nTio havas la implicon kiu ekzistas unu au\u0306 pli senfin-dimensia reprezentado de la Lorentz-grupo reaganta al Fock-spaco.\n[nb 10] Unudirekta garantii la ekziston de tiaj reprezentantaroj estas la ekzisto de Lagrangiana priskribo (kun modestaj postuloj truditaj, vidas la referencon) de la sistemo uzanta la kanonikan formalismon, el kiu realigo de la generatoroj de la Lorentz-grupo povas esti konkludita."}, {"text_idx": "#000061", "text": "La transformoj de kampofunkciigistoj ilustras la komplementan rolludoite fare de la finhav-dimensiaj reprezentadoj de la Lorentz-grupo kaj la senfin-dimensiaj unitariaj reprezentadoj de la Poincare-grupo, travivante la profundan unuecon inter matematiko kaj fiziko.\nPor ilustraj\u0302o, pripensu la difinon de iu n-komponento\nSurbaze de matricreprezentantaro kiel supra, relativista kampofunkciigisto estas aro de n funkciigisto aprezita funkcioj sur spactempo lau\u0306 kiu transformas sub bonordaj lorencaj transformoj \u03bb [25] [26]"}, {"text_idx": "#000062", "text": "C\u0302i tie U [\u03bb] estas la unitaria funkciigisto reprezentanta \u03bb sur la hilberta spaco sur kiu \u03c8 estas difinita.\nPer konsideroj de diferencigaj limoj ke la kampofunkciigisto devas esti submetita por priskribi ununuran partiklon kun definitiva maso da m kaj turnadi s (au\u0306 heleco), g\u0302i estas deduktita tio [27] [nb 11]"}, {"text_idx": "#000063", "text": "kie \u2020, estas interpretita kiel kreado kaj neniigfunkciigistoj respektive."}, {"text_idx": "#000064", "text": "kaj simile por la neniigfunkciigisto.\nLa punkto por esti farita estas ke la kampofunkciigisto transformas lau\u0306 finhav-dimensia ne-unitaria reprezentado de la Lorentz-grupo, dum la kreadfunkciigisto transformas sub la senfin-dimensia unitaria reprezentado de la Poincare-grupo karakterizita per la maso kaj spino ( m, s) de la partiklo.\nLa ligo inter la du estas la undoroj, ankau\u0306 nomitaj koeficientfunkcioj"}, {"text_idx": "#000065", "text": "tio kunportas kaj la indeksojn ( x, \u03b1) funkciigitajn fare de lorencaj transformoj kaj la indeksoj ( p, \u03c3) funkciigitaj per Poincare\u0301-transformoj.\nTio povas esti nomita la Lorentz-Poincare\u0301-ligo.\nAnkau\u0306 elmontru la ligon, submetas ambau\u0306 flankojn de ekvacio (Ks1) lorenca transformo rezultanta enen por ekz. u,"}, {"text_idx": "#000066", "text": "kie D estas la ne-unitaria Lorentz-grupreprezentanto de \u03bb kaj D ( j) estas unitaria reprezentanto de la tielnomita Wigner-rotacio R asociita al \u03bb kaj p kiu venas de la reprezentado de la Poincare\u0301-grupo, kaj s estas la spino de la partiklo."}, {"text_idx": "#000067", "text": "C\u0302iuj c\u0302i-supraj formuloj, inkluzive de la difino de la kampofunkciigisto lau\u0306 kreado kaj neniigfunkciigistoj, same kiel la diferencialaj ekvacioj kontentigitaj fare de la kampofunkciigisto por partiklo kun precizigita tumoro, spino kaj la ( m, n) reprezentantaro sub kiu g\u0302i lau\u0306supoze transformas, [nb 12] kaj ankau\u0306 tiun de la undoro, povas esti derivitaj de grupoteoriaj konsideroj sole post kiam la kadroj de kvantumaj mekanikoj kaj speciala teorio de relativeco ricevas."}, {"text_idx": "#000068", "text": "En teorioj en kiuj spactempo povas havi pli ol D = 4 dimensiojn, la g\u0302eneraligitaj Lorentz-grupoj O ( D \u2212 1;\n1) de la konvena dimensio prenas la lokon de O (3;"}, {"text_idx": "#000070", "text": "Prezenta teorio de grupoj g\u0302enerale, kaj Lie-grupoj aparte, estas ric\u0302ega temo.\nLa plena Lorentz-grupo estas neniu escepto.\nLa Lorentz-grupo havas kelkajn trajtojn kiu igas g\u0302in \"plac\u0302aj\" kaj aliajn kiuj igas g\u0302in \"ne tre plac\u0302a\" ene de la kunteksto de prezenta teorio.\nLa grupo estas simplanima kaj tiel semikuracherbo, sed ne estas ligita, kaj neniu el siaj komponentoj estas simple ligitaj.\nEble plej grave, la Lorentz-grupo ne estas kompakta."}, {"text_idx": "#000071", "text": "Por finhav-dimensiaj reprezentantaroj, la c\u0302eesto de semisimpleco decidas ke la Lorentz-grupo povas esti traktis lau\u0306 la saman manieron kiel aliajn semikuracherbogrupojn utiligantajn bonevoluintan teorion.\nKrome, c\u0302iuj reprezentantaroj estas konstruitaj de la neredukteblaj, c\u0302ar la Lie-algebro posedas la kompletan reducibilecposedaj\u0302on.\n[nb 15] [36] Sed, la ne-kompakteco de la Lorentz-grupo, en kombinaj\u0302o kun manko de simpla ligiteco, ne povas esti traktita en c\u0302iuj aspektoj kiel en la simpla kadro kiu validas por simple ligitaj, kompaktaj grupoj.\nNon-kompakteco implicas, por ligita simplanima Mensoggrupo, ke neniuj nesensignifaj finhav-dimensiaj unitariaj reprezentantaroj ekzistas.\nManko de simpla ligiteco donas pliig\u0302on por reklami reprezentadojn de la grupo.\nLa ne-ligiteco signifas ke, por reprezentadoj da la plena Lorentz-grupo, tempinversigo kaj spaco inversio havas al traktanta aparte."}, {"text_idx": "#000073", "text": "Teknika enkonduko al finhav-dimensia prezenta teorio"}, {"text_idx": "#000074", "text": "La kas\u0302a sekcio enhavas skizon de rezultoj utiligitaj en la dau\u0306rigo."}, {"text_idx": "#000075", "text": "La unua pas\u0302o sumig\u0302as al analizo de hipotezitaj reprezentantaroj rezultigantaj provan klasifikon.\nLa dua pas\u0302o estas fakta realigo de tiuj reprezentantaroj."}, {"text_idx": "#000076", "text": "Reala Lie-algebro estas kutime kompleksifieita ebliga analizo en algebre fermita kampo.\nLabori super la kompleksaj nombroj krome koncedas pli belajn bazojn.\nLa sekva teoremo validas: realaj liniaj finhav-dimensiaj reprezentadoj de reala Lie-algebro ampleksas kompleksajn liniajn reprezentadojn de g\u0302ia kompleksigado.\nLa reala linia reprezentantaro estas nereduktebla se kaj nur se la ekvivalenta komplekso linia reprezentantaro estas neredukteblaj.\nKrome, kompleksa semikuracherbo Lie-algebro havas la kompletan reducibilecposedaj\u0302on.\nTio signifas ke c\u0302iu finhav-dimensia reprezentantaro putrig\u0302as kiel rekta sumo de neredukteblaj reprezentantaroj."}, {"text_idx": "#000077", "text": "Klasifikado amounts to studying irreducible complex linear representations of the (complexified) Lie algebra."}, {"text_idx": "#000078", "text": "La unua pas\u0302o devas hipotezi la ekziston de neredukteblaj reprezentantaroj.\nLa trajtoj de tiuj hipotezaj reprezentantaroj estas esploritaj, c\u0302efe uzante la Lie-algebron."}, {"text_idx": "#000079", "text": "Kondic\u0302oj sur aktoraroj de trajtoj de neredukteblaj reprezentantaroj necesaj por la ekzisto de nereduktebla reprezentantaro estas establitaj.\nLa aroj de trajtoj koncerne estas nomitaj pezoj.\nEn la plej simpla priskribo, [65] pezo \u03bb por reprezentantaro ( \u03c0, V) estas samtempa Eigen-valoro ( \u03bb ( H 1\n\u03bb ( Hn ) por la reprezentantoj sub \u03c0 de la elementoj de ordigita bazo ( H 1\nCartan subalgebra estas, por kompleksaj semikuracherbaj Lie-algebroj, maksimuma kommutativa subalgebro tia ke c\u0302iu anonco H, kie anonco H estas la reprezentanto de H en la adjunkta reprezentantaro estas diagonalizabla."}, {"text_idx": "#000080", "text": "Parta mendado sur la aktoraro de pezoj estas difinita, kaj la nocio de plej alta pezo lau\u0306 tiu parta mendado estas establita por iu aro de wheight'oj.\nUzante la strukturon en la Lie-algebro, la nocioj domina pezo kaj integrita pezo estas difinitaj.\nPlej alta pezo kiun ciklaj reprezentantaroj estas neredukteblaj kaj plej alta pezo ciklaj reprezentantaroj kun la sama plej alta pezo estas isomormhic."}, {"text_idx": "#000081", "text": "An irreducible representation is highest weight cyclic with a dominant integral highest weight."}, {"text_idx": "#000082", "text": "Pas\u0302o du temas pri konstruado de la reprezentantaroj kiujn tiu pas\u0302o unu enkalkulas."}, {"text_idx": "#000083", "text": "Pas\u0302o unu havas la flankavantag\u0302on ke la strukturo de la neredukteblaj reprezentantaroj estas pli bone komprenita.\nReprezentantaroj putrig\u0302as kiel rektaj sumoj da pezospacoj, kie la pezospaco egalrilatas al la plej alta pezo unu-dimensia.\nRipeta apliko de la reprezentantoj de certaj elementoj de la Lie-algebro vokis malaltigajn funkciigistojn donas aron de generatoroj por la reprezentantaro kiel vektora spaco.\nLa apliko de unu tia funkciigisto sur vektoro kun definitivaj pezrezultoj au\u0306 en nul au\u0306 vektoro kun strikte pli malalta pezo.\nKreskigi operators laboras simile, kun sed rezultojn en vektoro kun strikte pli alta pezo au\u0306 nul.\nLa reprezentantoj de la Cartan-subalgebroleg\u0302oj diagonale en bazo de pezvektoroj."}, {"text_idx": "#000084", "text": "Ekzistas pluraj normaj manieroj konstrui neredukteblaj reprezentantaroj:"}, {"text_idx": "#000085", "text": "Tiu aliro estas sole Lie algebra.\n(G\u0302enerale uzebla al kompleksaj semikuracherbaj Lie-algebroj.\nKonstruo utiliganta la Peter-Weyl-teoremon, ankau\u0306 anoncis la kompaktan grupaliron.\n(G\u0302enerale uzebla al kompleksaj semikuracherbaj Lie-algebroj.\n(G\u0302enerale uzebla al kompleksaj semikuracherbaj Lie-algebroj.\nElfarante normajn operaciojn sur konataj reprezentantaroj, aparte aplikante Clebsch-Gordan dekomosition al tensorproduktoj de reprezentantaroj.\nEn la plej simplaj kazoj, konstruo de komence."}, {"text_idx": "#000086", "text": "Each dominant integral weight of a complex semisimple Lie-algebro gives rise to an irreducible highest weight cyclic representation. These are the only irreducible representations."}, {"text_idx": "#000087", "text": "La unitara truko de Weyl"}, {"text_idx": "#000088", "text": "Por kelkaj semikuracherbo Lie-algebroj, aparte ne-kompaktaj, estas pli facile dau\u0306rigi nerekte per la unitara truko de Weyl anstatau\u0306e de uzado de la teoremo de Cartan rekte."}, {"text_idx": "#000089", "text": "La korespondado konservas ekvivalentecon kaj ireducibilecon."}, {"text_idx": "#000090", "text": "Finhava-dimensieco de reprezentantaroj estas implicite supozita."}, {"text_idx": "#000091", "text": "Se K estas simple ligita, la unitarantruko ankau\u0306 povas esti deklarita jene."}, {"text_idx": "#000092", "text": "La objektoj en la sekva listo estas en ekzakta korespondado:"}, {"text_idx": "#000093", "text": "La Lie-korespondado poste estas utiligita por akirado de grupaj prezentoj de la Koneksa komponanto de la Lorentz-grupo, TIEL (3, 1) + .\nTio estas realigita prenante la matriceksponenton de la matricoj de la Lie-algebroreprezentantaro.\nSubtileco ekestas pro la (en fizikidiomo) duoble ligita naturo de TIEL (3, 1) + ."}, {"text_idx": "#000094", "text": "La Lie-korespondado donas rezultojn nur por la Koneksa komponanto de la grupoj, kaj tiel la komponentoj de la plena Lorentz kiuj enhavas la operaciojn de tempinversigo kaj spacinversio estas traktitaj aparte, plejparte de fizikaj konsideroj, difinante reprezentantojn por la spacinversio kaj tempinversigmatricoj."}, {"text_idx": "#000095", "text": "La Lie-korespondado por liniaj grupoj kaj Lie-algebroj estas deklarita por referenco.\nLa Lie-korespondado legas en moderna lingvo, c\u0302i tie specialigita al liniaj Mensoggrupoj, jene:"}, {"text_idx": "#000096", "text": "G\u0302i estas eksplicite komputita utiligi [nb 22]"}, {"text_idx": "#000097", "text": "Tio, kompreneble, tenas por la Lorentz-grupo aparte, sed ne c\u0302iuj Lie-algebroreprezentantaroj ekestas tiun manieron c\u0302ar ili ekvivalentaj grupaj prezentoj eble ne ekzistas kiel bonordaj reprezentantaroj, t.e. ili estas projekciaj, vidas malsupre."}, {"text_idx": "#000098", "text": "Povas esti montrite ke simpla ligiteco de G estas sufic\u0302a kondic\u0302o por (G2) por doni reprezentantaron, sed g\u0302i ne estas necesa kondic\u0302o."}, {"text_idx": "#000099", "text": "G \u2192 H satisfying the first line in (G2) .\nSe G ne estas simple ligita, tiam ekzistas unika reprezentantaro \u03c0 c de la universala kovrogrupo Gc de G kontentiganta la saman ekvacion kiel la unua ekvacio en (G2) .\nG\u0302i estas sekvo de c\u0302i-supra teoremo.Se la kerno de la kovromapo estas inkludita en la kerno de \u03c0 c , tiam la reprezentado de \u03c0 c descendas al unika reprezentado de G.\nTio estas esence sekvo de variaj\u0302o de la unua-izomorfia teoremo.\nSe la kerno de la kovromapo ne estas inkludita en la kerno de \u03c0 c , tiam (ne-unika) projekcia reprezentado de G rezultoj."}, {"text_idx": "#000100", "text": "Se la kerno de la kovromapo estas inkludita en la kerno de \u03c0 c , tiam la reprezentado de \u03c0 c descendas al unika reprezentado de G.\nTio estas esence sekvo de variaj\u0302o de la unua-izomorfia teoremo.\nSe la kerno de la kovromapo ne estas inkludita en la kerno de \u03c0 c , tiam (ne-unika) projekcia reprezentado de G rezultoj."}, {"text_idx": "#000102", "text": "Proksime de la identeco t.e. por X en sufic\u0302e malgranda malferma najbareco, (G2) rendimentoj, de la Baker-Campbell-Hausdorff-formulo kaj tiu eksp estas unu-al-unuj sur tiu najbareco, unika lokulo homomorfism.\nReprezentantoj de elementoj g ege de la identeco estas difinitaj selektante padon de la identeco g\u0302is g, dividante g\u0302in fajne sufic\u0302e tiel ke c\u0302i-supra posedaj\u0302o povas esti uzita.\nLa rezulto uzanta (G2) povas tiam nur dependi de la homotopyoklaso (en la normreprezentado de G) de la pado utiligita en la (provite) difino de \u03c0.\nEn victurno, tio dependas nur de kiu X en la Lie-algebro kutimas reprezenti elementon g en la normreprezentantaro (kaj estas uzita en (G2) .En la simple ligita kazo, ekzistas nur unu homotopyoklaso, kaj (G2) estas malambigua ec\u0302 ege de la identeco.\nEn la ne-simple ligita kazo, ekzistas karto \u03c0 1 homotopyoklasoj, kaj (G2) estas lau\u0306 certa mezuro ambigua ege de la identeco."}, {"text_idx": "#000103", "text": "En la simple ligita kazo, ekzistas nur unu homotopyoklaso, kaj (G2) estas malambigua ec\u0302 ege de la identeco.\nEn la ne-simple ligita kazo, ekzistas karto \u03c0 1 homotopyoklasoj, kaj (G2) estas lau\u0306 certa mezuro ambigua ege de la identeco."}, {"text_idx": "#000104", "text": "Bildan vidon da kiel la universala kovrogrupo enhavas c\u0302ion tiaj homotopyoklasoj, kaj teknika difino de g\u0302i (kiel aro kaj kiel grupo) ricevas en geometria vido."}, {"text_idx": "#000105", "text": "Ili estas eksplicite donitaj en konvencioj kaj Lie-algebrobazoj."}, {"text_idx": "#000106", "text": "La Lie-algebro estas kompleksifieita, kaj la bazo estas s\u0302ang\u0302ita al la komponentoj de [82]"}, {"text_idx": "#000107", "text": "kie mi, j, k estas indeksoj kiujn c\u0302iu prenas valorojn 1, 2, 3, kaj \u03b5ijk estas la tridimensia Levi-Civita simbolo."}, {"text_idx": "#000109", "text": "De kompakteco, Peter-Weyl-teoremo aplikas al Su (2) \u00d7 Su (2), [85] kaj tial ortonormaleco de neredukteblaj karakteroj povas esti apelaciita al.\nLa neredukteblaj unitariaj reprezentadoj de Su (2) \u00d7 Su (2) estas g\u0302uste la tensorproduktoj de neredukteblaj unitariaj reprezentadoj de Su (2)."}, {"text_idx": "#000110", "text": "Per alogo al simpla ligiteco, la dua deklaro de la unitara truko estas aplikita.\nLa objektoj en la sekva listo estas en ekzakta korespondado:"}, {"text_idx": "#000112", "text": "Tensorproduktoj de reprezentantaroj ekaperas sur la Lie-algebronivelo kiel c\u0302iu el ambau\u0306 de [nb 24]"}, {"text_idx": "#000113", "text": "kie Identigaj\u0302o estas la identecfunkciigisto.\nC\u0302i tie, c\u0302i-lasta interpreto, kiu sekvas el (G6) , estas intencita.\n(La plej altaj pezoj estas fakte 2\u03bc = 0, 1, 2, ..."}, {"text_idx": "#000114", "text": "Eksplicitaj realigoj kaj grupaj prezentoj poste ricevas."}, {"text_idx": "#000115", "text": "La ( \u03bc, \u03bd) reprezentantaroj de sl (2, C)"}, {"text_idx": "#000116", "text": "C\u0302io kion aliaj estas realaj liniaj nur.\nReprezentantaroj sur la formo ( \u03bd, \u03bd) au\u0306 ( \u03bc, \u03bd\n\u03bd, \u03bc) ricevas per realaj matricoj (la lasta ne estas neredukteblaj)."}, {"text_idx": "#000117", "text": "(La etikedado estas kutime en la matematikliteraturo 0, 1, 2, ...\nC\u0302i tie la tensorprodukto estas interpretita en la antau\u0306a signifo de (A0) .\nTiuj reprezentantaroj estas konkrete realigitaj malsupre."}, {"text_idx": "#000118", "text": "La ( m, n) reprezentantaroj de tiel (3;"}, {"text_idx": "#000119", "text": "Tiel la finhavaj dimensiaj neredukteblaj reprezentadoj de la Lorentz-algebro estas klasifikitaj fare de orda duopo de duon-entjeroj m = al \u03bc kaj n = \u03bd , konvencie skribitaj kiel unu el"}, {"text_idx": "#000120", "text": "kie V estas finhav-dimensia vektora spaco.\nTiuj estas, g\u0302is similectransformo, unike donitaj fare de [nb 26]"}, {"text_idx": "#000123", "text": "kie \u03b4 indikas la delton de Kronecker.\nEn komponentoj, kun \u2212 m \u2264 , a\u2032 \u2264 m , da=\u2212 n \u2264 b, b\u2032 \u2264 n , la reprezentantaroj ricevas per [89]"}, {"text_idx": "#000125", "text": "C\u0302ar por iu nereduktebla reprezentantaro por kiu m =\u0338 n estas esence funkciigi super la kampo de kompleksaj nombroj, la rekta sumo de reprezentantaroj ( m, n) kaj ( n, m) havi specialan signifon por fizikoj, c\u0302ar g\u0302i permisiloj por uzi linearoperatorojn super realaj nombroj."}, {"text_idx": "#000127", "text": "La aliro en tiu sekcio estas bazita sur teoremoj kiuj, en victurno, estas bazitaj sur la fundamenta Mensogokorespondado.\nLa Lie-korespondado estas en esenco vortaro inter ligitaj Mensoggrupoj kaj Lie-algebroj."}, {"text_idx": "#000128", "text": "Tiu difino validas c\u0302u la rezulta reprezentantaro estas projekcia au\u0306 ne."}, {"text_idx": "#000129", "text": "De praktika perspektivo, estas grave c\u0302u la unua formulo en (G2) povas esti utiligita por c\u0302iuj elementoj de la grupo."}, {"text_idx": "#000130", "text": "Uzi (Mensogo) kun \u03c0 estanta la diferencialo de p c\u0302e la identeco."}, {"text_idx": "#000131", "text": "Finfine, reciklas la argumenton ree, sed nun kun la konata izomorfio inter TIEL (3;"}, {"text_idx": "#000132", "text": "La Lorentz-grupo estas duoble ligita, t.e. \u03c0 1 (TIEL (3;\n1) estas grupo kun du ekvivalentklasoj de bukloj kiel g\u0302iaj elementoj."}, {"text_idx": "#000134", "text": "kie u estas unitaria kun determinanto oni, tial en Su (2), kaj h estas Hermitianaj kun spuro nul.\nLa spuro kaj determinant kondic\u0302oj implicas: [97]"}, {"text_idx": "#000135", "text": "1) estas grupo kun du ekvivalentklasoj de bukloj kiel g\u0302iaj elementoj, au\u0306 metitaj pli simple, TIEL (3;"}, {"text_idx": "#000136", "text": "1) +) havas du elementojn, kelkaj reprezentadoj de la Lie-algebro cedos projekciajn reprezentantarojn.\n[nb 30] Post kiam estas konata c\u0302u reprezentantaro estas projekcia, formulo (G2) validas por c\u0302iuj grupelementoj kaj c\u0302iuj reprezentantaroj, inkluzive de la projekciaj - kun la kompreno kiu la reprezentanto de grupelemento dependos de kiu elemento en la Lie-algebro (la X en (G2) ) kutimas reprezenti la grupelementon en la normreprezentantaro."}, {"text_idx": "#000137", "text": "Por la Lorentz-grupo, la ( m, n) - reprezentantaro estas projekcia kiam m + n estas duon-entjero."}, {"text_idx": "#000138", "text": "Por projekcia reprezentantaro \u03c0 de TIEL (3;"}, {"text_idx": "#000139", "text": "ekde iu buklo en TIEL (3;\n1) + krucis dufoje, pro la duobla ligiteco, estas kuntirebla al punkto, tiel ke g\u0302ia homotopyoklaso estas tiu de konstanta mapo.\nG\u0302i sekvas tiun \u03c0 estas duobla-aprezita funkcio.\nG\u0302i ne estas ebla al konstante elektis signon por akiri kontinuan reprezentadon de c\u0302iuj el TIEL (3;\n1) + , sed tio estas ebla loke c\u0302irkau\u0306 iu punkto."}, {"text_idx": "#000140", "text": "La kovrogrupo Sl (2, C)"}, {"text_idx": "#000141", "text": "kie la sigmoj estas la Pauli-matricoj."}, {"text_idx": "#000142", "text": "Tiel, la mapo J mi \u2194 j mi , K mi \u2194 k mi , etendita per lineareco estas izomorfio."}, {"text_idx": "#000143", "text": "1) + , indikas g\u0302ian homotopyoklason je [ pg ] kaj luigita \u03c0g estu la aro de tute tiaj homotopyoklasoj."}, {"text_idx": "#000144", "text": "kaj dotu g\u0302in kun la multiplikoperacio"}, {"text_idx": "#000145", "text": "la universala kovrogrupo de TIEL (3;\nC\u0302ar c\u0302iu \u03c0g havas du elementojn, proksime de c\u0302i-supra konstruo, ekzistas 2:1 kovromapo p:\n1) + estas simple donita per p ( g, [ pg"}, {"text_idx": "#000146", "text": "G\u0302ia kerno devas aparte preni la identan matricon al si mem, A \u2020 IA = A \u2020 A = mi kaj tial A \u2020 = \u22121 .\nTiel HAKILO = XA por A en la kerno tiel, de la lemo de Schur, [nb 31] A estas multoblo de la identeco, kiu devas esti \u00b1 mi ekde det A = 1."}, {"text_idx": "#000148", "text": "Tio signifas ke p ( A) apartenas al la plena Lorentz-grupo TIEL (3;\n1) estas ligita, kaj tial estas enhavita en TIEL (3;"}, {"text_idx": "#000149", "text": "1) + , izomorfa al la grupo G de supra."}, {"text_idx": "#000151", "text": "La matrico q povas esti skribita"}, {"text_idx": "#000153", "text": "Ili povas esti (kaj kutime estas) surpaperigitaj de komence.\nLa holomorfaj grupaj prezentoj (signifantaj kiujn la ekvivalenta Lie-algebroreprezentantaro estas kompleksaj linia) estas parencaj al la kompleksaj liniaj Lie-algebroreprezentantaroj per potenco.\nIli povas esti eksponentiateitaj ankau\u0306.\nLa ( \u03bc, 0) - reprezentantaroj estas kompleksaj liniaj kaj estas (izomorfaj al) la plej altaj pezo-reprezentantaroj.\nTiuj estas kutime indeksitaj kun nur unu entjero (sed duon-entjeroj estas uzitaj c\u0302i tie)."}, {"text_idx": "#000154", "text": "La matematikkongreso estas uzita en tiu sekcio por oportuno.\nLie-algebrelementoj malsamas je faktoro de mi kaj ekzistas neniu faktoro da mi en la eksponenta mapado komparite kun la fizikkongreso uzita aliloke."}, {"text_idx": "#000155", "text": "Tiu elekto de bazo, kaj la notacio, estas norma en la matematika literaturo."}, {"text_idx": "#000156", "text": "la elementoj de kiuj estas"}, {"text_idx": "#000159", "text": "Trajtoj de la ( m, n) reprezentantaroj"}, {"text_idx": "#000160", "text": "Ireducibileco sekvas el la unitara truko [75] kaj ke reprezentantaro \u03c0 de Su (2) \u00d7 Su (2) estas neredukteblaj c\u0302u kaj nur se \u03c0 = \u03c0\u03bc \u2297 \u03c0\u03bd , [nb 35] kie \u03c0\u03bc, \u03c0\u03bd estas neredukteblaj reprezentadoj de Su (2).\nUnikeco sekvas el ke la \u03c0 m estas la nuraj neredukteblaj reprezentadoj de Su (2), kio estas unu el la konkludoj de la teoremo de la plej alta pezo."}, {"text_idx": "#000161", "text": "La ( m, n) reprezentantaroj estas ( 2m + 1) ( 2n + 1) - dimensia."}, {"text_idx": "#000162", "text": "uzas, kie R + estas la aro de pozitivaj radikoj, \u03c1 estas la plej alta pezo, kaj \u03b4 estas duono de la sumo de la pozitivaj radikoj.\nLa plej alta pezo estas 2\u03bc .\nPrenante tensorproduktojn, la rezulto sekvas."}, {"text_idx": "#000163", "text": "Se reprezentantaro \u03c0 de Lie-grupo G ne estas fidela, tiam N = ker \u03c0 estas nesensignifa normala subgrupo."}, {"text_idx": "#000165", "text": "1) + , la unua kazo poste estas ekskludita TIEL (3;\n[nb 37] La dua kazo (kaj la unua kazo) estas ekskludita c\u0302ar TIEL (3;\n[nb 38] Por la tria kazo, TIEL (3;\n1) + estas sensignifa, kaj tio ekskludas la trian kazon.\nLa konkludo estas tiel c\u0302iu reprezentantaro \u03c0: TIEL (3;\n1) + \u2192 Gl ( V) da kaj c\u0302iu projekcia reprezentantaro \u03c0: TIEL (3;\n1) + \u2192 PGL ( W) por V, W finhav-dimensiaj vektoraj spacoj estas fidelaj."}, {"text_idx": "#000166", "text": "Utiligante la fundamentan Mensogokorespondadon, la deklaroj kaj la rezonado supre tradukig\u0302as rekte al Lie-algebroj kun (abelaj) nesensignifaj ne-diskretaj normalaj subgrupoj anstatau\u0306igite per (unu-dimensiaj) nesensignifaj idealoj en la Lie-algebro, [114] kaj la centro de TIEL (3;"}, {"text_idx": "#000168", "text": "[nb 42] Koncerne la Lorentz-grupon, tio ankau\u0306 povas esti vidita rekte de la difinoj.\nLa reprezentadoj de A kaj B uzita en la konstruo estas Hermitianaj.\nTio signifas ke J estas Hermitiana, sed K estas kontrau\u0306-Hermita.\nLa ne-unitarity ne estas problemo en kvantuma kampa teorio, c\u0302ar la objektoj kauzo de maltrankvilo ne estas postulataj por havi Lorentz-senvarian pozitivan definitivan normon."}, {"text_idx": "#000169", "text": "La ( m, n) reprezentantaro estas, aliflanke, unitaria kiam limigite al la rotaciosubgrupo TIEL (3), sed tiuj reprezentantaroj ne estas neredukteblaj kiel reprezentadoj de TIEL (3).\nClebsch-Gordan putrig\u0302o povas esti uzita montrante ke ( m, n) reprezentantaro havi TIEL (3) - senvariaj subspacoj de plej alta pezo (spino) m + n, m + n \u2212 1, ...\n, [121] kie c\u0302iu ebla plej alta pezo (spino) ekzakte unufoje okazas.\nPezosubspaco de plej alta pezo (spino) j estas ( 2j + 1) - dimensia.\nTiel ekzemple, la ( 1 / 2 , 1 / 2 ) reprezentantaro havas spinon 1 kaj spinon 0 subspacojn de dimensio 3 kaj 1 respektive."}, {"text_idx": "#000170", "text": "C\u0302ar la angulmovokvanta funkciigisto estas evoluita je J = A + B , la plej altan spinon en kvantuma mekaniko de la rotaciosub-reprezentantaro estos ( m + n) \u0127 kaj la \"kutimaj\" reguloj de aldono de angulmomenta kaj la formalismo de 3-j simboloj, 6-j simboloj, ktp. uzas."}, {"text_idx": "#000172", "text": "Konstruado de pura spino n / 2 reprezentantaroj por iu n (sub TIEL (3) de la neredukteblaj reprezentantaroj implikas c\u0302armajn tensorproduktojn de la Dirac-reprezentantaro kun ne-spina reprezentantaro, ekstraktado de tau\u0306ga subspaco, kaj finfine trudanta diferencigajn limojn."}, {"text_idx": "#000173", "text": "La sekvaj teoremoj estas uzitaj por ekzameni c\u0302u la duobla reprezentado de nereduktebla reprezentantaro estas izomorfa al la origina reprezentantaro:"}, {"text_idx": "#000174", "text": "La aro de pezoj de la duobla reprezentado de nereduktebla reprezentado de semikuracherbo Lie-algebro estas, inkluzive de diversecoj, la negativo de la aro de pezoj por la origina reprezentantaro.\nDu neredukteblaj reprezentantaroj estas izomorfaj se kaj nur se ili havas la saman plej altan pezon.\n[nb 43] Por c\u0302iu semikuracherbo Lie-algebro tie ekzistas unika elemento w0 de la Weyl-grupo tia ke se \u03bc estas domina integrita pezo, tiam w 0\n\u03bc) estas denove domina integrita pezo."}, {"text_idx": "#000175", "text": "C\u0302i tie, la elementoj da la Weyl-grupo estas konsideritaj ortogonalajn transformojn, reagante per matrica multipliko, al la reala vektora spaco de radikoj.\nSe \u2212 I estas elemento de la Weyl-grupo de semikuracherba Lie-algebro, tiam w 0\nG\u0302i sekvas tiel c\u0302iun \u03c0\u03bc , \u03bc = 0, 1, ...\n[nb 45] Inspektado montras al tiu w \u03b1 \u22c5 w \u03b2\nUtiligante la fakton tion se \u03c0, \u03c3 estas Lie-algebroreprezentantaroj kaj \u03c0 \u2245 \u03c3 , tiam \u03c0 \u2245 \u03c3, [128] la konkludo por TIEL (3;"}, {"text_idx": "#000176", "text": "Tio sekvas el tiu kompleksa konjugacio navedas kun aldono kaj multipliko."}, {"text_idx": "#000178", "text": "kie la deklaro por la grupaj prezentoj sekvas el eksp ( X ) = eksp ( X) .\nG\u0302i sekvas ke la neredukteblaj reprezentantaroj ( m, n) havas realan matricreprezentantojn se kaj nur se m = n .\nRedukteblaj reprezentantaroj sur la formo ( m, n\nn, m) havas realajn matricojn ankau\u0306."}, {"text_idx": "#000180", "text": "Same, reprezentado (\u03c0, V) de grupo G cedas reprezentantaron \u03c0 sur Fino ( V) de G, dau\u0306re indikis \u03c0, donitan per [131]"}, {"text_idx": "#000181", "text": "c\u0302iam ekzistu por iu matrico al Lie-grupo, kaj estas plej gravaj por enketo de la prezenta teorio g\u0302enerale, kaj por iu antau\u0306fiksita Mensoggrupo aparte."}, {"text_idx": "#000182", "text": "Apliki tion al la Lorentz-grupo, se (\u03c0, V) estas projekcia reprezentantaro, tiam rekta kalkulo utiliganta (G kun nombro) spektaklojn ke la induktita reprezentantaro sur Fino ( V) estas bonorda reprezentantaro, t.e. reprezentantaro sen fazfaktoroj."}, {"text_idx": "#000184", "text": "Por simpleco, pripensu nur la \"diskretan parton\" de Fino ( H), t.e., surbaze de bazo por H, la aro de konstantaj matricoj de diversa dimensio, inkluzive de eventuale senfina grandeco.\nLa induktita 4-vektorreprezentado de supra sur tiu simpligita Fino ( H) havas senvarian 4-dimensian subspacon kiu estas enhavita per la kvar gama-matricoj.\n(La metrika kongreso estas malsama en la ligita artikolo."}, {"text_idx": "#000185", "text": "kie, kiel estas kutima, reprezentantaro estas konfuzita kun sia reprezentantarspaco."}, {"text_idx": "#000186", "text": "Krome, ili havas la anstatau\u0306igrilatojn da la Lorentz Lie-algebro, [136]"}, {"text_idx": "#000187", "text": "Por detaloj, vidu bispinoro kaj Dirac-algebro."}, {"text_idx": "#000188", "text": "Ekzistas amaso da aliaj reprezentantaroj kiuj povas esti konkluditaj el la neredukteblaj, kiel ekzemple tiuj akiritaj prenante rektajn sumojn, tensorproduktoj, kaj kvocientoj de la neredukteblaj reprezentantaroj.\nTiuj reprezentantaroj estas g\u0302enerale ne ireducible."}, {"text_idx": "#000189", "text": "La Lorentz-grupo kaj g\u0302ia Lie-algebro havas la kompletan reducibilecposedaj\u0302on.\nTio signifas ke c\u0302iu reprezentantaro maldikig\u0302as al rekta sumo de neredukteblaj reprezentantaroj.\nLa redukteblaj reprezentantaroj tial ne estos diskutitaj."}, {"text_idx": "#000190", "text": "La (eventuale projekcia) ( m, n) reprezentantaro estas nereduktebla kiel reprezentantaro TIEL (3;\n1) + , la identeckomponento da la Lorentz-grupo, en fizikterminologio la bonorda orthochronoza Lorentz-grupo.\nSe m = n g\u0302i povas esti ampleksitaj reprezentadon de c\u0302iuj el O (3;\n1), la plena Lorentz-grupo, inkluzive de spacegalecinversio kaj tempinversigo.\nLa reprezentantaroj ( m, n\nn, m) povas esti etendita same."}, {"text_idx": "#000192", "text": "G\u0302i estas tiuj trajtoj de K kaj J sub P kiuj instigas la esprimojn vektoro por K kaj pseu\u0306dovektoro au\u0306 aksan vektoron por J .\nSe P estas inkludota en \u03c0, tiam konsistenco kun (F kun nombro) postulas tion"}, {"text_idx": "#000194", "text": "Se egaleco estas inkludita kun minussigno (la 1\u00d71 matrico [\u22121]) en la (0,0) reprezentantaro, g\u0302i estas nomita pseudoscalar reprezentantaro."}, {"text_idx": "#000195", "text": "De eksplicite inkluzive de reprezentanto por T , same kiel unu por P , reprezentado de la plena Lorentz-grupo O (3;\nSubtila problemo aperas tamen en petskribo al fizikoj, aparte-kvantuma mekaniko.\nDum pripensado de la plena Poincare\u0301-grupo, kvar pliaj generatoroj, la P\u03bc , aldone al la Ji kaj Ki generas la grupon.\nTiuj estas interpretitaj kiel generatoroj de tradukoj.\nLa tempo-komponento P 0 estas la Hamiltonian H .\nLa funkciigisto T kontentigas la rilaton [140]"}, {"text_idx": "#000196", "text": "De j\u0302us nuligado de la rezulto THT de la i, la \u22121\nH implicus ke por c\u0302iu s\u0302tat \u03c8 kun pozitiva energio E en hilberta spaco de kvantumaj statoj kun temp-inversiga envarianco, ekzistus s\u0302tato \u03c0 ( T \u22121) \u03c8 kun negativenergio \u2212 E .\nLa funkciigisto \u03c0 ( T) estas tial elektita kontrau\u0306linia kaj kontrau\u0306unitaria, tiel ke g\u0302i antikomute kun mi, rezultigante THT \u22121 = H , kaj g\u0302ia ago pri hilberta spaco same ig\u0302as kontrau\u0306linia kaj kontrau\u0306unitaria.\nG\u0302i povas esti esprimita kiel la kunmetaj\u0302o de kompleksa konjugacio kun multipliko per unuecmatrico.\nTio estas matematike solida, vidas la teoremon de Wigner, sed kun tre striktaj postuloj pri terminologio, \u03c0 ne estas reprezentantaro."}, {"text_idx": "#000197", "text": "Dum konstruado teorioj kiel ekzemple QED kiu estas senvaria sub spacegaleco kaj tempinversigo, Dirac-spinors povas esti uzita, dum teorioj kiuj ne faras, kiel ekzemple la elektromalforta forto, devas esti formulitaj lau\u0306 Weyl-spinoroj.\nLa Dirac-reprezentantaro, ( 1 / 2 , 0) \u2295 (0, 1 / 2 ), estas kutime prenita por inkludi kaj spacegaleco- kaj tempinversiojn.\nSen spacegalecinversio, g\u0302i ne estas nereduktebla reprezentantaro."}, {"text_idx": "#000198", "text": "La tria diskreta simetrio eniranta en la CPT-teoremo kune kun P kaj T , pagendaj\u0302a konjugacio-simetrio C , havas nenion rekte farendaj\u0302o kun Lorentz-envarianco."}, {"text_idx": "#000199", "text": "produktas alian funkcio \u03c0f \u2208 V .\nC\u0302i tie \u03c0 x estas n-dimensia reprezentantaro, kaj \u03c0 estas eventuale senfin-dimensia reprezentantaro.\nSpeciala kazo de tiu konstruo estas kiam V estas spaco da funkcioj difinitaj sur la linia grupo G mem, rigardita kiel n-dimensia\nTio estas la scenaro en kiu la Peter-Weyl-teoremo kaj la Borel-Weil teoremo estas formulitaj.\nLa unua montras la ekziston de Fourier-putrig\u0302o de funkcioj sur kompakta grupo en karakterojn de finhav-dimensiaj reprezentantaroj."}, {"text_idx": "#000200", "text": "La sekvanta ekzempligas agon de la Lorentz-grupo kaj la rotaciosubgrupo sur kelkaj funkciaj spacoj."}, {"text_idx": "#000201", "text": "La subgrupo TIEL (3) de tridimensiaj Eu\u0306klidaj rotacioj havas senfin-dimensian reprezentantaron sur la hilberta spaco"}, {"text_idx": "#000202", "text": "Arbitra kvadrata integrabla funkcio f tia la unuobla pilko povas esti esprimita kiel [145]"}, {"text_idx": "#000203", "text": "kie la f lm estas g\u0302eneraligitaj Fourier-koeficientoj."}, {"text_idx": "#000204", "text": "La Lorentz grupa ago limigas al tiu de TIEL (3) kaj estas esprimita kiel"}, {"text_idx": "#000205", "text": "kie la D l akirig\u0302as de la reprezentantoj de stranga dimensio de la generatoroj de rotacio."}, {"text_idx": "#000206", "text": "La identeckomponento da la Lorentz-grupo estas izomorfa al la Mo\u0308bius-grupo M.\nTiu grupo povas esti opiniita de tiel konformaj mapadoj de au\u0306 la kompleksa ebeno au\u0306, per rektlinia sfera projekcio, la Riemann-sfero.\nLau\u0306 tiu maniero, la Lorentz-grupo mem povas esti opiniita da kiel funkciante konforme sur la kompleksa ebeno au\u0306 sur la Riemann-sfero."}, {"text_idx": "#000207", "text": "En la aviadilo, transformo de Mo\u0308bius karakterizita per la komplekso numeras , b, c, d reagas al la aviadilo lau\u0306 [146]"}, {"text_idx": "#000208", "text": "kaj povas esti reprezentita per kompleksaj matricoj"}, {"text_idx": "#000209", "text": "ekde multipliko de nonzera kompleksa Skalaro ne s\u0302ang\u0302as f."}, {"text_idx": "#000210", "text": "La Riemann P-funkcioj, solvoj de la diferenciala ekvacio de Riemann, estas ekzemplo de aro de funkcioj kiuj transformas inter ili mem sub la ago de la Lorentz-grupo.\nLa Riemann P-funkcioj estas esprimitaj kiel [147]"}, {"text_idx": "#000211", "text": "kie la , b, c, \u03b1, \u03b2, \u03b3, \u03b1\u2032, \u03b2\u2032, \u03b3\u2032 estas kompleksaj konstantoj.\nLa P-funkcio sur la dekstra flanko povas esti esprimita uzante normajn supergeometriajn funkciojn."}, {"text_idx": "#000212", "text": "La aro de konstantoj 0, \u221e, 1 en la supra vico sur maldekstramana flanko estas la regulaj eksterordinaraj punktoj de la hipergeometria ekvacio de la Gauss.\nG\u0302iaj eksponentoj, t.e. solvoj de la indicial ekvacio, por vastig\u0302o c\u0302irkau\u0306 la eksterordinara poento 0 estas 0 kaj 1 \u2212 c , egalrilatante al la du linie sendependaj solvoj, [nb 46] kaj por vastig\u0302o c\u0302irkau\u0306 la eksterordinara poento 1 ili estas 0 kaj c \u2212 \u2212 b .\nSimile, la eksponentoj por \u221e estas a kaj b por la du solvoj."}, {"text_idx": "#000214", "text": "kie la kondic\u0302o (foje nomita la identeco de Riemann) [152]"}, {"text_idx": "#000215", "text": "sur la eksponentoj de la solvoj de la diferenciala ekvacio de Riemann estis uzita por difini \u03b3 \u2032."}, {"text_idx": "#000216", "text": "La unua aro de konstantoj sur maldekstramana flanko en (T1) , , b, c indikas la regulajn eksterordinarajn punktojn de la diferenciala ekvacio de Riemann.\nLa dua aro, \u03b1, \u03b2, \u03b3 , estas la ekvivalentaj eksponentoj c\u0302e , b, c por unu el la du linie sendependaj solvoj, kaj, sekve, \u03b1\u2032, \u03b2\u2032, \u03b3\u2032 estas eksponentoj c\u0302e , b, c por la dua solvo."}, {"text_idx": "#000217", "text": "Difinu agon da la Lorentz-grupo sur la aktoraro de c\u0302iuj Riemann P-funkcioj unue metante"}, {"text_idx": "#000219", "text": "kie P estas Riemann P-funkcio.\nLa rezulta funkcio denove estas Riemann P-funkcio.\nLa efiko de la transformo de Mo\u0308bius de la argumento estas tiu da translokado de la poloj al novaj lokoj, tial s\u0302ang\u0302ante la kritikajn punktojn, sed ekzistas neniu s\u0302ang\u0302o en la eksponentoj de la diferenciala ekvacio kiun la nova funkcio kontentigas.\nLa nova funkcio estas esprimita kiel"}, {"text_idx": "#000220", "text": "Tiun migrovojon de evoluo komencanta kun Dirac (1936) sur kie li elpensis matricojn U kaj B necesa por priskribo da pli alta spino (komparu Dirac-matricojn), ellaboris de Fierz (1939), vidu ankau\u0306 Fierz & Pauli (1939), kaj proponis antau\u0306ulojn de la Bargmann-Wigner-ekvacioj.\nEn Dirac (1945) li proponis konkretan senfin-dimensian reprezentantaron interspacigu kies elementojn estis nomitaj ekspansor kiel g\u0302eneraligo de tensoroj.\n[nb 47] Tiuj ideoj estis asimilitaj fare de Harish-Chandra kaj vastigitaj kun ekspinor kiel senfin-dimensia g\u0302eneraligo de spinoroj en lia 1947 artikolo."}, {"text_idx": "#000221", "text": "La Plancherel-formulo por tiuj grupoj unue estis akirita fare de Gelfand kaj Naimark tra implikis kalkulojn.\nElementaj raportoj pri tiu aliro povas esti trovitaj en Ru\u0308hl (1970) kaj Knapp (2001)."}, {"text_idx": "#000222", "text": "La teorio de sferaj funkcioj por la Lorentz-grupo, necesa por furiera analizo en la hiperboloida modelo de 3-dimensia hiperbola spaco sidanta en spaco de Minkowski estas sufic\u0302e pli facila ol la g\u0302enerala teorio."}, {"text_idx": "#000223", "text": "C\u0302efserio por Sl (2, C)"}, {"text_idx": "#000224", "text": "por k entjero, \u03bd reala kaj kun z = rei\u03b8 .\nla nuraj ripetoj, t.e. izomorfioj de reprezentantaroj, okazas kiam k estas anstatau\u0306igita per \u2212 k .\nKie k = 0, tiuj reprezentantaroj konsistigas la tielnomitan sferan c\u0302efserion."}, {"text_idx": "#000226", "text": "Ireducibileco povas esti kontrolita en gamo da vojoj:"}, {"text_idx": "#000227", "text": "La reprezentantaro jam estas nereduktebla sur B.\nTio povas esti vidita rekte, sed ankau\u0306 estas speciala kazo da g\u0302eneralaj rezultoj sur ireducibileco de induktitaj reprezentantaroj pro Franc\u0327ois Bruhat kaj George Mackey, fidante je la Bruhat-putrig\u0302o G = B \u222a BsB kie s estas la Weyl-grup elemento [158]"}, {"text_idx": "#000228", "text": "Komplementa serio por Sl (2, C)"}, {"text_idx": "#000229", "text": "La reprezentantaroj en la komplementa serio estas neredukteblaj kaj pairu\u0306ise ne-izomorfaj.\nKiel reprezentado de K, c\u0302iu estas izomorfa g\u0302is la hilbertspacaj rekta sumo de c\u0302iuj strangaj dimensiaj neredukteblaj reprezentadoj de K = Su (2)."}, {"text_idx": "#000230", "text": "Plancherel-teoremo por Sl (2, C)"}, {"text_idx": "#000231", "text": "Ekde \u2212 mi funkcias kiel (\u22121) k sur la c\u0302efserio kaj sensignife sur la resto, tiuj donos c\u0302iujn neredukteblajn unitariajn reprezentadojn de la Lorentz-grupo, kondic\u0302e ke k estas prenita por esti ec\u0302."}, {"text_idx": "#000232", "text": "(La unua nur implikas c\u0302efserioreprezentantarojn kun k ec\u0302 kaj c\u0302i-lastan nur tiujn kun k = 0."}, {"text_idx": "#000233", "text": "Difinu hilbertan spacon H de"}, {"text_idx": "#000234", "text": "La mapo U kontentigas la interplektan posedaj\u0302on"}, {"text_idx": "#000235", "text": "Se f 1, f 2 estas en Ccm ( G) tiam de unitareco"}, {"text_idx": "#000236", "text": "La lastaj du prezentitaj formuloj estas kutime referitaj kiel la Plancherel-formulo kaj la Fourier-inversio formulo respektive.\nG\u0302i povas esti etendita al multe pli larg\u0302aj klasoj de funkcioj kontentigantaj moderajn distingeblokondic\u0302ojn."}, {"text_idx": "#000237", "text": "Klasifikado de reprezentadoj de TIEL (3, 1)"}, {"text_idx": "#000238", "text": "La strategio sekvita en la klasifiko de la neredukteblaj senfin-dimensiaj reprezentantaroj estas, en analogeco al la finhav-dimensia kazo, supozi ke ili ekzistas, kaj esplori siajn trajtojn.\nTiel unue supozu ke nereduktebla forte kontinua senfin-dimensia reprezentantaro \u03c0 H sur hilberta spaco H da TIEL (3;\n1) + estas c\u0302e mano.\nPoste TIEL (3) subgrupo estas, \u03c0 H estas reprezentado de g\u0302i ankau\u0306.\nC\u0302iu nereduktebla subreprezentantaro de TIEL (3) estas finhav-dimensia, kaj la So (3) reprezentantaro laboras redukteblaj pri rekta sumo de neredukteblaj finhav-dimensiaj unitariaj reprezentadoj de TIEL (3) se \u03c0 H estas unitaria."}, {"text_idx": "#000239", "text": "La s\u0302tupoj estas la sekvantaj:"}, {"text_idx": "#000240", "text": "Elektis tau\u0306gan bazon de ofta eigenvektors de J 2 kaj J 3 .\nKomputi matricelementojn de J 1, J 2, J 3 kaj K 1, K 2, K 3 .\nPostulu unitarecon kune kun ortonormaleco de la bazo."}, {"text_idx": "#000241", "text": "Unu tau\u0306ga elekto de bazo kaj etikedado ricevas per"}, {"text_idx": "#000243", "text": "kie la etikedoj j 0 kaj j 1 estis faligita c\u0302ar ili estas la samaj por c\u0302iuj bazvektoroj en la reprezentantaro."}, {"text_idx": "#000244", "text": "la triobla ( K mi , K mi , K mi\nK estas vektorfunkciigisto [172] kaj la Wigner-Eckart teoremo [173] petas pri komputado de matricelementoj inter la s\u0302tatoj reprezentitaj per la elektita bazo."}, {"text_idx": "#000245", "text": "kie la supermanuskripto (1) signifas ke la difinitaj kvantoj estas la komponentoj da sfera tensorfunkciigisto de rekta k = 1 (per kiu klarigas la faktor \u221a 2 ankau\u0306) kaj la indeksoj 0, \u00b11 estas referita kiel q en formuloj malsupre, ricevas [175]"}, {"text_idx": "#000246", "text": "C\u0302i tie la unuaj faktoroj sur la dekstraj flankoj estas Clebsch-Gordan koeficientoj por kunligado de j \u2032 kun k por ricevi j.\nLa duaj faktoroj estas la reduktitaj matricelementoj.\nIli ne dependas de m, m\u2032 au\u0306 q, sed dependas de j, j\u2032 kaj, kompreneble, K .\nPor kompleta listo de ne-malaperaj ekvacioj, vidu Harish-Chandra (1947, p. 375)."}, {"text_idx": "#000247", "text": "La venonta pas\u0302o devas postuli ke la Lie-algebrorilatoj tenu, t.e. tion"}, {"text_idx": "#000248", "text": "Tio rezultigas aron de ekvacioj [176] por kiuj la solvoj estas [177]"}, {"text_idx": "#000249", "text": "La altrudo de la postulo da unitareco da la ekvivalenta reprezentado da la grupo limigas la eblajn valorojn por la arbitraj kompleksaj nombroj j 0 kaj \u03be j .\nUnitarity de la grupa prezento tradukig\u0302as al la postulo de la Lie-algebroreprezentantoj estantaj Hermitiana, signifante"}, {"text_idx": "#000250", "text": "kie \u03b2 j estas la angulo de B j sur polusa formo."}, {"text_idx": "#000254", "text": "Tio montras ke la reprezentadoj de supre estas c\u0302iuj senfin-dimensiaj neredukteblaj unitariaj reprezentantaroj."}, {"text_idx": "#000255", "text": "La metriko de elekto ricevas per \u03b7 = diag (\u22121, 1, 1, 1), kaj la fizikkongreso por Lie-algebroj kaj la eksponenta mapado estas uzita.\nTiuj elektoj estas arbitraj, sed post kiam ili estas faritaj, fiksitaj.\nUnu ebla elekto da bazo por la Lie-algebro estas, en la 4-vektorreprezentantaro, donita per:"}, {"text_idx": "#000256", "text": "En tridimensia notacio, tiuj estas [183]"}, {"text_idx": "#000257", "text": "La elekto de bazo supre kontentigas la rilatojn, sed aliaj elektoj estas eblaj.\nLa multobla uzo de la simbolo J super kaj en la dau\u0306rigo devus esti observita."}, {"text_idx": "#000258", "text": "De prenado, en victurno, m = 1 / 2 , n = 0 kaj m = 0, n = 1 / 2 kaj per metado"}, {"text_idx": "#000259", "text": "en la g\u0302enerala esprimo (G kun nombro) , kaj uzante la sensignifajn rilatojn 11 = 1 kaj J (0) = 0, g\u0302i sekvas"}, {"text_idx": "#000260", "text": "Tiuj estas la maldekstramanaj kaj lertaj Weyl-spinor reprezentantaroj.\nIli reagas per matrica multipliko al 2-dimensiaj kompleksaj vektoraj spacoj (kun elekto de bazo) V L kaj V da R , kies elemento \u03c8L kaj \u03c8R estas nomitaj maldekstro- kaj lertaj Weyl-spinoroj respektive."}, {"text_idx": "#000261", "text": "ilia rekta sumo kiel reprezentantaroj estas formita, [184]"}, {"text_idx": "#000262", "text": "Tio estas, g\u0302is similectransformo, la ( 1 / 2 , 0) \u2295\nLa reprezentantaro povas esti akirita en pli g\u0302enerala kaj baza sendependa vojo uzanta Clifford-algebrojn."}, {"text_idx": "#000263", "text": "Prezenta teorio de la Poincare\u0301-grupo"}, {"text_idx": "#000265", "text": "Harish-Chandra poste skribis \"ke Tiu rimarko konfirmis mian kreskantan konvinkig\u0302on ke mi ne havis la misteran sesan sencon kiun oni devas sukcedi en fiziko kaj mi baldau\u0306 decidis relokig\u0302i al matematiko.\""}, {"text_idx": "#000266", "text": "Dirac tamen indikis la temon de sia disertaj\u0302o, la klasifiko da la neredukteblaj senfin-dimensiaj reprezentadoj de la Lorentz-grupo."}, {"text_idx": "#000268", "text": "2) kaj referencoj donitaj en tiuj verkoj."}, {"text_idx": "#000269", "text": "Devus esti rimarkite ke altaj turnadas teorioj ( s > 1) renkontmalfacilaj\u0302ojn.\nVidu Weinberg (2002, Section 5.8), sur g\u0302enerala ( m, n) kampoj, kie tio estas traktita en iom da profundo, kaj referencojn en tio.\nAltaj spinpartikloj rezignas dubo ekzisti, ekz. nukleoj, la konataj j\u0302us estas ne elementaj."}, {"text_idx": "#000270", "text": "Oni diras ke grupo havas la kompletan reducibilecposedaj\u0302on se c\u0302iu reprezentantaro putrig\u0302as kiel rekta sumo de neredukteblaj reprezentantaroj."}, {"text_idx": "#000272", "text": "Alia sekvo estas tiel c\u0302iu kompakta Mensoggrupo havas la kompletan reducibilecposedaj\u0302on, signifante ke c\u0302iuj g\u0302iaj finhav-dimensiaj reprezentantaroj putrig\u0302as kiel rekta sumo de neredukteblaj reprezentantaroj."}, {"text_idx": "#000273", "text": "Estas ankau\u0306 vere ke ekzistas neniuj senfin-dimensiaj neredukteblaj unitariaj reprezentadoj de kompaktaj Mensoggrupoj, deklaris, sed ne pruvita en Greiner & Mu\u0308ller (1994, Section 15.2."}]