[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, lineara bildigo (ankau\u0306 nomita linia mapado, lineartransformo au\u0306, en kelkaj kuntekstoj, lineara funkcio) estas mapado V \u2192 W inter du moduloj (inkluzive de vektoraj spacoj) sub kiu konservas (en la signifo difinita) la operaciojn de aldono kaj skalara multipliko."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Grava speciala kazo estas kiam V = da W , en kiu kazo la mapo estas nomita linearoperatoro, [1] au\u0306 endomorfismo de V .\nFoje la esprimo lineara funkcio havas la saman signifon kiel lineara bildigo, dum en analitika geometrio jes."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Lineara bildigo c\u0302iam mapas liniajn subspacojn sur liniaj subspacoj (eventuale de pli malalta dimensio);\nekzemple g\u0302i mapas aviadilon tra la origino al aviadilo, aerlinio au\u0306 punkto.\nLinearaj bildigoj ofte povas esti reprezentitaj kiel matricoj, kaj simplaj ekzemploj inkludas rotacion kaj reflektadajn lineartransformojn."}, {"text_idx": "#000004", "text": "En la lingvo de abstrakta algebro, lineara bildigo estas modulo homomorfism.\nEn la lingvo de teorio de kategorioj g\u0302i estas morfismo en la kategorio da moduloj super antau\u0306fiksita ringo."}, {"text_idx": "#000005", "text": "0 Tradukita artikolo1 Difino kaj unuaj sekvoj\n5 Formante novajn linearajn bildigojn de antau\u0306fiksitaj\n7 Kerno, bildo kaj la rang-nevalideca teoremo\n9 Algebraj klasifikoj de lineartransformoj"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Lasu V kaj W esti vektoraj spacoj pli ol la sama kampo K.\nV \u2192 W lau\u0306dire estas lineara bildigo se por c\u0302iuj du vektoroj x kaj y en V kaj ajna skalar\u03b1 en K, la sekvaj du kondic\u0302oj estas kontentigitaj:"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Tio estas ekvivalenta al postulado de la sama por iu lineara kombinaj\u0302o de vektoroj, t.e. tio por iuj vektoroj x 1\nksm \u2208 V kaj Skalaroj 1\n\u2208 K , la sekva egaleco tenas estas :"}, {"text_idx": "#000008", "text": "Indikante la nul elementojn de la vektoraj spacoj V kaj W je 0 V kaj 0 W respektive, g\u0302i sekvas tiun f ( 0 V\n0 W c\u0302ar lasante \u03b1 = 0 en la ekvacio por homogeneco de grado 1,"}, {"text_idx": "#000009", "text": "Foje, V kaj W povas esti konsiderita kiel vektoraj spacoj super malsamaj kampoj.\nEstas tiam necese precizigi kiuj pri tiuj grundaj kampoj estas uzitaj en la difino de \"linia\".\nSe V kaj W estas konsiderita spacoj pli ol la kampo K suprajn, ni parolas pri K-linia mapoj.\nEkzemple, la konjugacio de kompleksaj nombroj estas R-linia mapo C \u2192 C , sed g\u0302i ne estas C-linia."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Lineara bildigo de V g\u0302is K (kun K rigardite kiel vektora spaco super si mem) estas vokita al linia funkcia."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Tiuj deklaroj g\u0302eneraligas al iu maldekstra-modulo R da M super ringo R sen modifo, kaj al iu dekstra-modulo sur malantau\u0306enigo de la skalara multipliko."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Se V kaj W estas finhav-dimensiaj vektoraj spacoj kaj bazo estas difinita por c\u0302iu vektora spaco, tiam c\u0302iu lineara bildigo de V g\u0302is W povas esti reprezentita per matrico.\nTio estas utila c\u0302ar g\u0302i permesas konkretajn kalkulojn.\nMatricoj donas ekzemplojn de linearaj bildigoj: se A estas reala m \u00d7 n matrico, tiam f ( x\nX priskribas linearan bildigon R da n \u2192 R da m (vidu eu\u0306klidan spacon)."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Tiam c\u0302iu vektoro v en V estas unike determinita per la koeficientoj c 1\nc n en la kampo R:"}, {"text_idx": "#000015", "text": "V \u2192 W estas lineara bildigo,"}, {"text_idx": "#000016", "text": "kiu implicas ke la funkcio f estas totale kialigita de la vektoroj f ( v 1\nTiam ni povas reprezenti c\u0302iun vektoron f ( v j ) kiel"}, {"text_idx": "#000017", "text": "Tiel, la funkcio f estas totale kialigita de la valoroj de ij .\nSe ni metis tiujn valorojn en m \u00d7 n matricon M, tiam ni povas komforte uzi g\u0302in por komputi la vektorproduktadon de f por iu vektoro en V.\nPor ricevi M, c\u0302iu kolono j de M estas vektoro"}, {"text_idx": "#000018", "text": "egalrilatante al f ( v j ) kiel difinite supre.\nPor difini g\u0302in pli klare, por iu kolono j kiu egalrilatas al la mapa f ( v j ),"}, {"text_idx": "#000019", "text": "kie M estas la matrico de f.\nLa simbol\u2217 indikas ke ekzistas aliaj kolonoj kiuj kune kun kolono j konsistigas totalon de n kolonoj de M.\nEn aliaj vortoj, c\u0302iu kolono j = 1, ...\n, n havas ekvivalentan vektoron f ( v j ) kies kunordigas 1j\nmj estas la elementoj de kolono j.\nUnunura lineara bildigo povas esti reprezentita per multaj matricoj.\nTio estas c\u0302ar la valoroj de la elementoj de matrico dependas de la bazoj elektitaj."}, {"text_idx": "#000020", "text": "La matricoj de lineartransformo povas esti reprezentitaj vide:"}, {"text_idx": "#000021", "text": "En dudimensia spaco R 2 linearaj bildigoj estas priskribitaj per 2 \u00d7 2 realaj matricoj."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Formig\u0302ado nova linia mapas de antau\u0306fiksitaj"}, {"text_idx": "#000023", "text": "La kunmetaj\u0302o de linearaj bildigoj estas linia: se f:\nW kiun=\u2192 Z estas linia, tiam tiel estas ilia kunmetaj\u0302o g \u2218 f:\nG\u0302i sekvas el tio ke la klaso de c\u0302iuj vektoraj spacoj pli ol antau\u0306fiksita kampo K, kune kun K-linia mapoj kiel morfismoj, formas kategorion."}, {"text_idx": "#000024", "text": "La inversa de lineara bildigo, se difinite, estas denove lineara bildigo."}, {"text_idx": "#000025", "text": "V \u2192 W estas linia, tiam tiel estas ilia punktmanier sumo da f 1 + f 2 (kiu estas difinita per ( f 1 + f 2) ( x"}, {"text_idx": "#000026", "text": "V \u2192 W estas linia kaj estas elemento de la grundkampo K, tiam la mapo af, difinita per ( af) ( x\n( f ( x), estas ankau\u0306 linia."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Tiel la aro L ( V, W) de linearaj bildigoj de V g\u0302is W mem formas vektoran spacon pli ol K, foje indikis Hom ( V, W).\nKrome, en la kazo tiu V = W , tiu vektora spaco (indikita Fino ( V) estas asocieca algebro sub kunmetaj\u0302o de mapoj, c\u0302ar la kunmetaj\u0302o de du linearaj bildigoj denove estas lineara bildigo, kaj la kunmetaj\u0302o de mapoj c\u0302iam estas asocieca.\nTiu kazo estas traktita en pli da detalo malsupre."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Donita denove la finhav-dimensia kazo, se bazoj estis elektitaj, tiam la kunmetaj\u0302o de linearaj bildigoj egalrilatas al la matrica multipliko, la aldono de linearaj bildigoj egalrilatas al la matricaldono, kaj la multipliko de linearaj bildigoj kun Skalaroj korespondas al la multipliko de matricoj kun Skalaroj."}, {"text_idx": "#000029", "text": "V \u2192 V estas endomorfismo de V;\nla aro de tute tiaj endomorfismoj Fino ( V) kune kun aldono, kunmetaj\u0302o kaj skalara multipliko super kiel difinite formas asociecan algebron kun neu\u0306tra elemento pli ol la kampo K (kaj aparte ringo).\nLa multiplika neu\u0306tra elemento de tiu algebro estas la identecmap identigaj\u0302o:"}, {"text_idx": "#000030", "text": "Endomorfismo de V kiu ankau\u0306 estas izomorfio estas nomita au\u0306tomorfismo de V.\nLa kunmetaj\u0302o de du au\u0306tomorfismoj denove estas au\u0306tomorfismo, kaj la aro de c\u0302iuj au\u0306tomorfismoj de V formas grupon, la au\u0306tomorfismogrupon de V kiu estas indikita fare de Aut ( V) au\u0306 Gl ( V).\nC\u0302ar la au\u0306tomorfismoj estas g\u0302uste tiuj endomorfismoj kiuj posedas enversojn sub kunmetaj\u0302o, Aut ( V) estas la grupo de unuoj en la ringo Fino ( V)."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Se V havas finhavan dimension n, tiam Fino ( V) estas izomorfa g\u0302is la asocieca algebro de c\u0302iuj n \u00d7 n matricoj kun kontribuoj en K.\nLa au\u0306tomorfismogrupo de V estas izomorfa al la g\u0302enerala lineara grupo Gl ( n, K) de c\u0302iuj n \u00d7 n inverteblaj matricoj kun kontribuoj en K."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Kerno, bildo kaj la rang-nevalideca teoremo"}, {"text_idx": "#000033", "text": "V \u2192 W estas linia, ni difinas la kernon kaj la bildon au\u0306 intervalon de f de"}, {"text_idx": "#000034", "text": "ker ( f) estas subspaco de V kaj im ( f) estas subspaco de W.\nLa sekva dimensio formulo estas konata kiel la rang-nevalideca teoremo:"}, {"text_idx": "#000035", "text": "La nombro malklara (im ( f) ankau\u0306 estas nomita la rango de f kaj skribita kiel rango ( f), au\u0306 foje, \u03c1 ( f);\nla nombro malklara (ker ( f) estas nomita la nevalideco de f kaj skribita kiel nulo ( f) au\u0306 \u03bd ( f).\nSe V kaj W estas finhav-dimensiaj, bazoj estis elektitaj kaj f estas reprezentita per la matrico A, tiam la rango kaj nevalideco de f estas egala al la rango kaj nevalideco de la matrico A, respektive."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Tio estas la duobla nocio al la kerno: ekzakte c\u0302ar la kerno estas subspaco de la domajno, la ko-kerno estas kvociento spaco de la target. Formale, oni havas la precizan sekvencon"}, {"text_idx": "#000037", "text": "Tiuj povas esti interpretitaj tiel: surbaze de lineara ekvacio f ( v"}, {"text_idx": "#000038", "text": "la kerno estas la spaco de solvoj al la homogena ekvacio f ( v) = 0, kaj g\u0302ia dimensio estas la nombro da gradoj da libereco en solvaj\u0302o, se g\u0302i ekzistas;\nla ko-kerno estas la spaco de limoj kiuj devas esti kontentigitaj se la ekvacio estas havi solvon, kaj g\u0302ia dimensio estas la nombro da limoj kiuj devas esti kontentigitaj ke la ekvacio por havus solvon."}, {"text_idx": "#000039", "text": "La dimensio de la ko-kerno kaj la dimensio de la bildo (la rango) aldonas g\u0302is la dimensio de la celspaco.\nPor finhava grandeco, tio decidas ke la dimensio de la kvocientospaco W / f ( V) estas la dimensio de la cela spacminuso la dimensio de la bildo."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Kiel simpla ekzemplo, pripensu la mapo f:\nTiam por ekvacio f ( x, y\n, b) por havi solvon, ni havendaj\u0302o = 0 (unu limo), kaj en tiu kazo la solvospaco estas ( x, b) au\u0306 ekvivalente deklarita, (0, b\nx, 0), (unu grado da libereco)."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Ekzemplo ilustranta la senfin-dimensian kazon estas havigita per la mapo f:\nLa reverssituacio akiras dum la mapo h:\nG\u0302ia bildo estas la tuta celspaco, kaj tial g\u0302ia ko-kerno havas dimension 0, sed c\u0302ar g\u0302i mapas c\u0302iujn sekvencojn en kiuj nur la unua elemento estas ne-nula al la nul sekvenco, g\u0302ia kerno havas dimension 1."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Por linearoperatoro kun finhav-dimensia kerno kaj ko-kerno, oni povas difini indekson kiel:"}, {"text_idx": "#000043", "text": "nome la gradoj da liberecminuso la nombro da limoj."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Por transformo inter finhav-dimensiaj vektoraj spacoj, tio estas j\u0302us la diferenco malklara ( V) \u2212 malklara ( W), de rango-nevalideco.\nTio donas indikon de kiom multaj solvoj au\u0306 sur kiom multajn limojn oni havas: se mapante de pli granda regiono g\u0302is pli malgranda, la mapo povas esti, kaj tiel havos gradojn da libereco ec\u0302 sen limoj.\nInverse, se mapante de pli malgranda regiono g\u0302is pli granda, la mapo ne povas esti sur, kaj tiel oni havos limojn ec\u0302 sen gradoj da libereco."}, {"text_idx": "#000045", "text": "La indekso de funkciigisto estas g\u0302uste la Euler karakteriza por la 2-termina komplekso 0 \u2192 V \u2192 W \u2192 0-a En operatora teorio, la indekso de Fredholm funkciigistoj estas studobjekto, kun grava rezulto estas la Atiyah-kantistindicteoremo."}, {"text_idx": "#000049", "text": "T estas unu-al-unu kiel mapo de aroj.\nT estas mona au\u0306 maldekstra-nuligebla, kio devas diri, por iu vektora spaco U kaj ajna paro de linearaj bildigoj R:\nU \u2192 V, la ekvacio Tr = Ts implicas R = da S.\nT estas maldekstra-invertebla, kio devas diri tie ekzistas lineara bildigo S:\nW \u2192 V tia ke St estas la identecmapo sur V."}, {"text_idx": "#000050", "text": "T estas sur kiel mapo de aroj.\nT estas eposa au\u0306 dekstra-nuligebla, kio devas diri, por iu vektora spaco U kaj ajna paro de linearaj bildigoj R:\nW \u2192 U, la ekvacio RT = St implicas R = da S.\nT estas dekstra-invertebla, kio devas diri tie ekzistas lineara bildigo S:\nW \u2192 V tia ke Ts estas la identecmapo sur W."}, {"text_idx": "#000051", "text": "Se, por iu pozitiva entjero n, la n-th ripetas de T, Tn , estas idente nul, tiam T lau\u0306dire estas nilpotent.\nSe T da 2 = T, tiam T lau\u0306dire estas idempotent\nSe T = Ki, kie k estas iu skalaro, tiam T lau\u0306dire estas skala transformo au\u0306 skalarmultiplika mapo;"}, {"text_idx": "#000052", "text": "Surbaze de lineara bildigo kiu endomorfismo kies matrico estas A, en la bazo B de la spaco estas g\u0302i transformas vektorkoordinatojn [u] kiel [v] = A [u].\nC\u0302ar vektoroj s\u0302ang\u0302ig\u0302as kun la inversa de B (vektoroj estas kontrau\u0306variaj\u0302o) g\u0302ian inversan transformon estas [v] = B [xxx]."}, {"text_idx": "#000053", "text": "Anstatau\u0306igante tion en la unua esprimo"}, {"text_idx": "#000054", "text": "Tial, la matrico en la nova bazo estas A\u2032 = B \u22121 AB-, estante B la matrico de la antau\u0306fiksita bazo."}, {"text_idx": "#000056", "text": "Lineartransformo inter topologia vektoro interspacigas, ekzemple normeita interspacigas, povas esti kontinua.\nSe g\u0302ia domajno kaj kodomajno estas la samaj, g\u0302i tiam estos Kontinua lineara operatoro.\nLinearoperatoro sur normeita linia spaco estas kontinua se kaj nur se estas saltite, ekzemple, kiam la domajno estas finhav-dimensia.\nSenfin-dimensia domajno povas havi malkontinuajn linearoperatorojn."}, {"text_idx": "#000057", "text": "Ekzemplo de nelimigita, tial malkontinua, lineartransformo estas diferencigo sur la spaco de glataj funkcioj provizitaj per la Precizosupraranda normo (funkcio kun malgrandaj valoroj povas havi derivaj\u0302on kun grandaj valoroj, dum la derivaj\u0302o de 0 estas 0).\nPor specifa ekzemplo, peko ( nks)/ n konverg\u0302as al 0, sed g\u0302ia derivita cos ( nks) ne faras, tiel ke diferencigo ne estas kontinua c\u0302e 0 (kaj per vario de tiu argumento, g\u0302i ne estas kontinua ie)."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Specifa apliko de linearaj bildigoj estas por geometriaj transformoj, kiel ekzemple tiuj faritaj en komputila grafiko, kie la traduko, rotacio kaj malpliigo de 2D au\u0306 3D objektoj estas prezentitaj per la uzo de transformmatrico.\nLiniaj mapadoj ankau\u0306 estas utiligitaj kiel mekanismo por priskribado de s\u0302ang\u0302o: ekzemple en kalkulado egalrilati al derivaj\u0302oj;\nau\u0306 en relativeco, utiligita kiel aparato por konservi trakon de la lokaj transformoj de referencaj kadroj."}, {"text_idx": "#000059", "text": "Alia apliko de tiuj transformoj estas en Kompililoptimumigoj de nestitbukla kodo, kaj en paraleligado de kompililteknikoj."}, {"text_idx": "#000060", "text": "^ Linear transformations of V into V are often called linear operators on V Rudin 1976 , p. 207\n^ Rudin 1991, p. 14 nun Supozas ke X kaj Y estas vektoraj spacoj super la sama skalara kampo.\n^ Rudin 1991, p. 14 Liniaj mapadoj da X sur g\u0302ia skalara kampo estas nomitaj liniaj funktional.\n3 Vector spaces associated with a matrix or lineartransformo, p. 6\n^ Nistor, Victor (2001), \"Index theory\", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4: \"La c\u0302efdemando en indicteorio estas disponigi indicformulojn por klasoj de Fredholm-funkciigistoj ...\nIndekso kiun teorio farig\u0302is subjekto sur sia propra nur post M. F. Atiyah kaj I. Singer publikigis iliajn indicteoremojn\""}, {"text_idx": "#000062", "text": "kunvarianco kaj kontrau\u0306varianco de vektoroj"}, {"text_idx": "#000063", "text": "En matematiko, lineara bildigo au\u0306 lineara transformo estas funkcio inter du vektoraj spacoj, kiu konservas operaciojn de vektora adicio kaj skalara multipliko. Alivorte, g\u0302i konservas linearajn kombinaj\u0302ojn."}, {"text_idx": "#000064", "text": "En la lingvo de abstrakta algebro, lineara bildigo estas homomorfio de vektoraj spacoj."}, {"text_idx": "#000065", "text": "Se V kaj W estas vektoraj spacoj super la sama korpo K, f : V \u2192 W estas lineara bildigo, se por c\u0302iuj du vektoroj x kaj y el V kaj c\u0302iu skalaro a el K validas la sekvaj du kondic\u0302oj:"}, {"text_idx": "#000066", "text": "Tiuj c\u0302i kondic\u0302oj estas ekvivalentaj al tio, ke por c\u0302iuj vektoroj x1, ..., xm kaj skalaroj a1, ..., am validas:"}, {"text_idx": "#000067", "text": "Bros\u0302uro \"Fundamentoj de lineara algebro\" (pdf-dosiero, 27 p.)"}]