[{"text_idx": "#000001", "text": "El matematiko, ne-eu\u0306klida geometrio konsistas el du geometrioj bazitaj sur aksiomoj proksime rilatitaj al tiuj precizigantaj eu\u0306klidan geometrion.\nKiel eu\u0306klida geometrio kus\u0302as c\u0302e la intersekcig\u0302o de metrika geometrio kaj afina geometrio, ne-eu\u0306klida geometrio ekestas kiam au\u0306 la metrika postulo estas rilaksita, au\u0306 la paralela postulato estas anstatau\u0306igita kun alternativo unu.\nEn c\u0302i-lasta kazo oni akiras hiperbolan geometrion kaj elipsan geometrion, la tradiciajn ne-eu\u0306klidajn geometriojn.\nKiam la metrika postulo estas rilaksita, tiam ekzistas afinaj aviadiloj asociitaj kun la planar algebroj kiuj kau\u0306zas kinematajn geometriojn kiuj ankau\u0306 estis nomitaj ne-eu\u0306klida geometrio."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La esenca diferenco inter la metrikaj geometrioj estas la naturo de paralelaj linioj.\nLa kvina postulato de Eu\u0306klido, la paralela postulato, estas ekvivalenta al la postulato de Playfair, kiu deklaras ke, ene de dudimensia aviadilo, por iu antau\u0306fiksita linio l kaj punkto A, kio ne estas sur l, ekzistas same unu linio tra A kiu ne intersekcas l.\nEn hiperbola geometrio, kompare, ekzistas senlime multaj linioj tra A ne intersekcante l, dum en elipsa geometrio, c\u0302iu linio tra A intersekcas l."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Alia maniero priskribi la diferencojn inter tiuj geometrioj devas pripensi ke du aerlinioj senfine etendis en dudimensia aviadilo kiuj estas ambau\u0306 perpendikularan al tria linio:"}, {"text_idx": "#000004", "text": "En eu\u0306klida geometrio la linioj restas c\u0302e konstanta distanco de unu la alian (signifante ke linio tirita perpendikulara al unu linio c\u0302e iu punkto intersekcos la alian linion kaj la longo de la liniparto interliganta la punktojn de intersekcig\u0302o restas konstanta) kaj estas konataj kiel paraleloj.\nEn hiperbola geometrio ili \"kurbigas for\" de unu la alian, pliig\u0302i en distanco kiel unu movig\u0302as pli malproksima de la punktoj de intersekcig\u0302o kun la komunpas\u0302tejo perpendikulara;\ntiuj linioj ofte estas nomitaj ultraparaleloj.\nEn elipsa geometrio la linioj \"kurbig\u0302as direkte al\" unu la alian kaj intersekcas."}, {"text_idx": "#000006", "text": "Dum eu\u0306klida geometrio, nomite lau\u0306 la greka matematikisto\nEu\u0306klido, inkludas iujn el la plej malnova konata matematiko, ne-eu\u0306klidaj geometrioj ne estis vaste akceptitaj kiel legitimaj g\u0302is la 19-a jarcento."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Se aerlinio falas sur du aerlinioj tiumaniere ke interno-perspektivoj sur la sama flanko estas kune malpli ol du ortoj, tiam la aerlinioj, se produktite senfine, renkontas sur tiu flanko sur kiu estas la anguloj malpli ol la du ortoj."}, {"text_idx": "#000012", "text": "3-a priskribi cirklon kun iu centro kaj distancigi [radiuson]."}, {"text_idx": "#000013", "text": "4-a Tiuj tute rajtoperspektivoj estas unu egala al la alia."}, {"text_idx": "#000015", "text": "La teoremoj de Ibn al-Haytham, Khayyam kaj al-Tusi sur kvarlateroj, inkluzive de la Lambert-kvarlatero kaj Saccheri-kvarlatero, estis \"la unuaj malmultaj teoremoj de la hiperbolaj kaj la elipsaj geometrioj.\"\nTiuj teoremoj kune kun iliaj alternativaj postulatoj, kiel ekzemple la aksiomo de Playfair, ludis gravan rolon en la pli posta evoluo de ne-eu\u0306klida geometrio.\nTiuj fruaj provoj c\u0302e defiado de la kvina postulato havis konsiderindan influon sur g\u0302ia evoluo inter pli postaj eu\u0306ropaj geometristoj, inkluzive de Vitelono, Levi-monto Gerson, Alfonzo, John Wallis kaj Saccheri.\nC\u0302iuj tiuj fruaj provoj faris c\u0302e provado formuli ne-eu\u0306klida geometrio tamen disponigis mankhavajn pruvojn de la paralela postulato, enhavanta supozojn kiuj estis esence ekvivalentaj al la paralela postulato.\nTiuj fruaj provoj faris, aliflanke, disponigi kelkajn fruajn trajtojn de la hiperbolaj kaj elipsaj geometrioj."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Khayyam, ekzemple, provita por derivi g\u0302in de ekvivalenta postulato li formulis de \"la principoj de la filozofo\" ( Aristotelo):\n\" Two convergent straight lines intersect and it is impossible for two convergent straight lines to diverge in the direction in which they converge. \" [3] Khayyam tiam konsiderita la tri kazodekstra, obtuza, kaj akuta ke la pintkunvenperspektivoj de Saccheri-kvarlatero povas preni kaj post pruvado kelkaj teoremoj pri ili, li g\u0302uste refutis la obtuzajn kaj akutajn kazojn bazitajn sur lia postulato kaj tial derivis la klasikan postulaton de Eu\u0306klido kiun li ne ekkomprenis estis ekvivalenta al sia propra postulato.\nAlia ekzemplo estas la filo de al-Tusi, Sadr al-Din (foje konata kiel \"Pseudo-Tusi\"), kiu skribis libron pri la subjekto en 1298, bazita sur la pli postaj pensoj de al-Tusi, kiuj prezentis alian hipotezon ekvivalenta al la paralela postulato.\n\"Li esence reviziis kaj la Eu\u0306klidan sistemon de aksiomoj kaj postulatoj kaj la pruvoj de multaj proponoj de la Elementoj.\"\nLia laboro estis publikigita en Romo en 1594 kaj estis studita fare de eu\u0306ropaj geometristoj, inkluzive de Saccheri [4] kiuj kritikis tiun laboron same kiel tiun de Wallis."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Giordano Vitale, en lia libro Euclide restituo (1680, 1686), uzis la Saccheri-kvarlateron por pruvi ke se tri poentoj estas egaldistancaj sur la bazo AB- kaj la montpinto KD, tiam AB- kaj KD estas c\u0302ie egaldistanca."}, {"text_idx": "#000021", "text": "C\u0302e tiu tempo estis g\u0302enerale kredite ke la universo funkciis lau\u0306 la principoj de eu\u0306klida geometrio."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Bernhard Riemann, en fama prelego en 1854, fondis la kampon de rimana geometrio, diskutante aparte la ideojn nun nomitajn duktoj, Riemannian metrika, kaj kurbig\u0302o.\nLi konstruis senfinan familion el geometrioj kiuj ne estas Eu\u0306klidaj donante formulon por familio de Riemanianaj metriko sur la unuopilko en eu\u0306klida spaco.\nLa plej simpla el tiuj estas nomita elipsa geometrio kaj estas konsiderite kiel ne-eu\u0306klida geometrio pro g\u0302ia manko de paralelaj linioj."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Formulante la geometrion lau\u0306 kurbig\u0302tensoro, Riemann permesis al ne-eu\u0306klida geometrio esti aplikita al pli alta grandeco."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Arthur Cayley notis ke distanco inter punktoj ene de konusforma povus esti difinita lau\u0306 logaritmo kaj la projekcia trans-proporcia funkcio.\nLa metodo farig\u0302is nomis la Cayley-Klein metrika c\u0302ar Felix Klein ekspluatis g\u0302in por priskribi la ne-eu\u0306klidajn geometriojn en artikoloj [13] en 1871 kaj 73 kaj poste en libroformo.\nLa Cayley-Klein metriko disponigis laboraktivajn modelojn da hiperbolaj kaj elipsaj metrikaj geometrioj, same kiel eu\u0306klidan geometrion."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Ekzistas kelkaj matematikistoj kiuj etendus la liston de geometrioj kiuj devus esti nomitaj \"ne-eu\u0306klidaj\" lau\u0306 diversaj manieroj."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Du dimensia eu\u0306klida geometrio estas modeligita per nia nocio de \"plata aviadilo.\""}, {"text_idx": "#000034", "text": "La plej simplanima modelo por elipsa geometrio estas sfero, kie linioj estas \" c\u0302efcirkloj \" (kiel ekzemple la ekvatoro au\u0306 la meridianoj sur planedo), kaj indikas unu kontrau\u0306 la alia (nomitaj antipodaj punktoj) estas identigitaj (konsideritaj kiel la sama).\nTio ankau\u0306 estas unu el la normaj modeloj de la reela projekcia ebeno.\nLa diferenco estas ke kiel modelo de elipsa geometrio metriko estas lanc\u0302ita permesante la mezuradon de longoj kaj anguloj, dum kiel modelo de la projekcia aviadilo ekzistas ne tia metriko."}, {"text_idx": "#000035", "text": "En la elipsa modelo, por iu antau\u0306fiksita linio l kaj punkto A, kiu ne estas sur l, c\u0302iuj linioj tra A intersekcos l."}, {"text_idx": "#000037", "text": "En la hiperbola modelo, ene de dudimensia aviadilo, por iu antau\u0306fiksita linio l kaj punkto A, kiu ne estas sur l, ekzistas senlime multaj linioj tra A kiuj ne krucas l."}, {"text_idx": "#000039", "text": "En tri dimensioj, ekzistas ok modeloj de geometrioj.\nEkzistas Euclidean, elipsa, kaj hiperbolaj geometrioj, kiel en la dudimensia kazo;\nmiksitaj geometrioj kiuj estas parte Eu\u0306klidaj kaj parte hiperbolaj au\u0306 sferaj;\ntorditaj versioj de la miksitaj geometrioj;\nkaj unu nekutima geometrio kiu estas tute anizotropa (t.e. c\u0302iu direkto kondutas alimaniere)."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Eu\u0306klidaj kaj ne-eu\u0306klidaj geometrioj kompreneble havas multajn similajn trajtojn, nome tiujn kiuj ne dependas sur la naturo de paraleleco.\nTiu komuneco estas la temo de absoluta geometrio (ankau\u0306 nomita neu\u0306trala geometrio).\nTamen, la trajtoj kiuj distingas unun geometrion de la aliaj estas tiuj kiuj historie ricevis la plej multe de la atenton."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Antau\u0306 ol la modeloj de ne-eu\u0306klida aviadilo estis prezentitaj fare de Beltrami, Klein, kaj Poincare\u0301, eu\u0306klida geometrio staris senkontesta kiel la matematika modelo de spaco.\nKrome, ekde la substanco de la temo en sinteza geometrio estis c\u0302efa ekspoziciaj\u0302o de racio, la Eu\u0306klida sinteno reprezentis absolutan au\u0306toritaton."}, {"text_idx": "#000044", "text": "La eltrovo de la ne-eu\u0306klidaj geometrioj disvastig\u0302is kiu iris longen preter la limoj de matematiko kaj scienco.\nLa traktado de la filozofo Immanuel Kant da homa scio havis specialan rolon por geometrio.\nG\u0302i estis lia c\u0302efekzemplo de sinteza apriora scio;\nne derivite de la sencoj nek deduktita tra logiko - nia kono de spaco estis vero ke kun ni estis naskita.\nBedau\u0306rinde por Kant, lia koncepto de tiu nes\u0302ang\u0302eble vera geometrio estis Eu\u0306klida.\nTeologio ankau\u0306 estis trafita per la s\u0302ang\u0302o de absoluta vero al relativa vero en la maniero kiel ke matematiko estas rilatita al la mondo c\u0302irkau\u0306 g\u0302i, tio estis sekvo de tiu paradigmos\u0302ang\u0302o."}, {"text_idx": "#000047", "text": "En analitika geometrio aviadilo estas priskribita kun kartezaj koordinatoj:"}, {"text_idx": "#000049", "text": "kaj tiu kvanto estas la kvadrato de la eu\u0306klida distanco inter z kaj la origino."}, {"text_idx": "#000050", "text": "Por planar algebro, ne-eu\u0306klida geometrio ekestas en la aliaj kazoj.\nKiam \u03b52 = +1, tiam z estas disig-kompleksa nombro kaj konvencie j anstatau\u0306igas epsilonon."}, {"text_idx": "#000051", "text": "Kie \u03b52 = 0, tiam z estas duobla nombro."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Tiu aliro al ne-eu\u0306klida geometrio klarigas la ne-eu\u0306klidajn angulojn: la parametroj de deklivo en la duobla numero-aviadilo kaj hiperbola angulo en la disig-kompleksa aviadilo egalrilatas al angulo en eu\u0306klida geometrio.\nEfektive, ili c\u0302iu ekestas en polusa putrig\u0302o de kompleksa nombro z."}, {"text_idx": "#000053", "text": "Hiperbola geometrio trovis aplikon en kinematiko kun la kosmologio lanc\u0302ita fare de Hermann Minkowski en 1908.\nMinkowski enkondukis esprimojn kiel monda linio kaj bonordan tempon en matematika fiziko.\nLi ekkomprenis ke la subdukto, de la okazaj\u0302oj unu momento de bonorda tempo en la estontecon, povus esti konsiderita hiperbola spaco de tri dimensioj.\nJam en la 1890a Alexander Macfarlane mapis tiun subdukton tra lia Algebra of Physics (Algebro de Fiziko) kaj hiperbolaj kvaropoj, kvankam Macfarlane ne uzis kosmologian lingvon kiel Minkowski faris en 1908.\nLa signifa strukturo nun estas nomita la hiperboloida modelo de hiperbola geometrio."}, {"text_idx": "#000054", "text": "La ne-eu\u0306klidaj planar algebroj apogas kinematajn geometriojn en la aviadilo.\nEkzemple, la disig-kompleksa pli sensenta z = e aj povas reprezenti spactempokazaj\u0302on unu momento en la estontecon de referenca kadro de rapidec A.) Krome, multipliko de z sumig\u0302as al Lorentz-akcelo mapanta la kadron kun rapideco nul al tio kun rapideco ."}, {"text_idx": "#000055", "text": "Kinemata studo faras uzon de la duoblaj nombroj reprezenti la klasikan priskribon de movig\u0302o en absoluta tempo kaj spaco: La ekvaciojestas ekvivalentaj al tondo mapanta en lineara algebro:"}, {"text_idx": "#000056", "text": "Kun duoblaj nombroj la mapado estas [30]"}, {"text_idx": "#000057", "text": "Alia vido de speciala teorio de relativeco kiel ne-eu\u0306klida geometrio estis avancita fare de E. B. Wilson kaj Gilbert Lewis en Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences en 1912.\nIli reorganizis la analitikan geometrion implican en la disig-kompleksa numero-algebro en sintezan geometrion de regiono kaj deprenoj."}, {"text_idx": "#000063", "text": "La romano Inverted World de Christopher Priest priskribas la lukton de vivado sur planedo kun la formo de rotacia pseu\u0306dosfero."}, {"text_idx": "#000064", "text": "La Nombro de la Besto de Robert Heinlein utiligas ne-eu\u0306klidan geometrion por klarigi tujan transporton tra spaco kaj tempo kaj inter paralelaj kaj fikciaj universoj."}, {"text_idx": "#000065", "text": "Antichamber de Alexander Bruce uzas ne-eu\u0306klidan geometrion por krei minimuman, Escher-similan mondon, kie geometrio kaj spaco sekvas nekonatajn regulojn."}, {"text_idx": "#000067", "text": "sciencfikcio metante por tiu de FASA\nmilitludo, rolludo kaj fikcio, faster-ol-luma vojag\u0302ado kaj komunikadoj estas eblaj helpe de Polydimensional Non-Euclidean Geometry de Hsieh Ho, publikigita iam en la mezo de la 22-a jarcento."}, {"text_idx": "#000077", "text": "Filozofio de scienco Dedukt-nomological modelo\nRilato inter religio kaj scienco"}]