[{"text_idx": "#000001", "text": "En geometrio, inversiva geometrio estas la studo de tiuj trajtoj de figuroj kiuj estas konservitaj per g\u0302eneraligo de speco de transformo de la Eu\u0306klida aviadilo, nomita inversio .\nTiuj transformoj konservas angulojn kaj mapon g\u0302eneraligitajn cirklojn en g\u0302eneraligitajn cirklojn, kie g\u0302eneraligita cirklo volas diri au\u0306 cirklon au\u0306 linion (loze parolante, cirklo kun senfina radiuso).\nMultaj malfacilaj problemoj en geometrio ig\u0302as multe pli akordig\u0302emaj kiam inversio estas uzita."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La koncepto de inversio povas esti g\u0302eneraligita al higher-dimensiaj spacoj."}, {"text_idx": "#000004", "text": "1 Kompaso kaj liniilkonstruo (punktekstere cirklo)\n2 Kompaso kaj liniilkonstruo (punkto ene de cirklo)"}, {"text_idx": "#000005", "text": "Ekzemplo hiperboloida de unu tuko\nRektlinia sfera projekcio kiel la inversio de sfero"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Inversigi nombron en aritmetiko kutime intencas \"preni g\u0302ian reciprokan\".\nProksime rilatita ideo en geometrio estas tiu de \"inversigado\" punkto.\nEn la ebeno, la inversa de punkto P kun respekto al referenccirklo (\u00d8) kun centro O kaj radiuso r estas punkto P ', kus\u0302ante sur la radio de O tra P tia ke"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Tio estas nomita cirklinversio au\u0306 ebeninversio.\nLa inversio prenanta ajnan punkton P (krom O) al it bildo P ' ankau\u0306 mang\u0302as P ' reen al P, do la rezulto de uzado de la sama inversio dufoje estas la identectransformo en c\u0302iuj punktoj de la ebeno krom O.\nPor igi inversion involucio g\u0302i estas necesa enkonduki punkton c\u0302e senfineco, ununura punkto metita sur c\u0302iujn liniojn, kaj etendi la inversion, de difino, por inters\u0302ang\u0302i la centron O kaj tiun punkton c\u0302e senfineco."}, {"text_idx": "#000008", "text": "G\u0302i sekvas el la difino kiu la inversio de iu punkto ene de la referenccirklo devas kus\u0302i ekster g\u0302i, kaj inverse, kun la centro kaj la punkto c\u0302e senfineco s\u0302ang\u0302anta poziciojn, dum c\u0302iu punkto sur la cirklo estas netus\u0302ita (estas senvaria sub inversio).\nEn resumo, la pli proksima punkto al la centro, la pli malproksima for g\u0302ia transformo, kaj inverse."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Kompaso- kaj liniilkonstruo (punktekstere cirklo)"}, {"text_idx": "#000012", "text": "Kompaso- kaj liniilkonstruo (punkto ene de cirklo)"}, {"text_idx": "#000015", "text": "La inversa, kun respekto al la rug\u0302a cirklo, de cirklo ekzamenanta O (bluan) estas linio ne ekzamenante O (verdan), kaj inverse.\nLa inversa, kun respekto al la rug\u0302a cirklo, de cirklo ne ekzamenanta O (bluan) estas cirklo ne ekzamenante O (verdan), kaj inverse.\nInversio kun respekto al cirklo ne mapas la centron de la cirklo al la centro de g\u0302ia bildo"}, {"text_idx": "#000016", "text": "La inversa, kun respekto al la rug\u0302a cirklo, de cirklo ekzamenanta O (bluan) estas linio ne ekzamenante O (verdan), kaj inverse."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Inversio kun respekto al cirklo ne mapas la centron de la cirklo al la centro de g\u0302ia bildo"}, {"text_idx": "#000018", "text": "La inversio de aro de punktoj en la aviadilo kun respekto al cirklo estas la aro de enversoj de tiuj punktoj.\nLa sekvaj trajtoj igas cirklinversion utila."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Cirklo kiun enirpermesiloj tra la centro O de la referenccirklo inversigas al linio ne pasante tra O, sed paralela al la klavo al la origina cirklo c\u0302e O, kaj inverse;\ndum linio pasanta tra O estas inversa en si mem (sed ne Punktmanierinvarianton).\nCirklo ne pasanta tra O inversigas al cirklo ne pasante tra O.\nSe la cirklo renkontas la referenccirklon, tiuj senvariaj punktoj de intersekcig\u0302o estas ankau\u0306 sur la inversa cirklo.\nCirklo (au\u0306 linio) estas sens\u0302ang\u0302a per inversio se kaj nur se g\u0302i estas ortogonala al la referenccirklo c\u0302e la punktoj de intersekcig\u0302o."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Se cirklo q pasas tra du apartaj poentoj A kaj A kiuj estas enversoj kun respekto al cirklo k, tiam la cirkloj k kaj q estas ortogonalaj.\nSe la cirkloj k kaj q estas ortogonalaj, tiam aerlinio pasanta tra la centro O de k kaj intersekcanta q, faras tion c\u0302e inversaj punktoj kun respekto al k.\nSurbaze de triangulo OAB en kiu O estas la centro de cirklo k, kaj indikas la inverses de A kaj B de A kaj B kun respekto al k, tiam"}, {"text_idx": "#000021", "text": "La punktoj de intersekcig\u0302o de du cirkloj p kaj q ortogonalaj al cirklo k, estas enversoj kun respekto al k.\nSe M kaj M estas inversaj punktoj kun respekto al cirklo k sur du kurboj m kaj la enversoj de m, ankau\u0306 kun respekto al k, tiam la klavoj al m kaj M estas c\u0302e la punktoj M kaj M estas au\u0306 perpendikulara al la rekta vicas MM au\u0306 formon kun tiu linio samdueg\u0302a triangulo kun baz-MM.\nInversio lasas la iniciaton de anguloj sens\u0302ang\u0302a, sed inversigas la orientig\u0302on de orientitaj anguloj."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Notu ke la centro de cirklo (ne tra la centro de inversio) estanta inversigita kaj la centro de it bildo sub inversio estas samlinia kun la centro de la referenccirklo.\nTiu fakto povas esti utiligita por pruvi ke la Euler-linio de la en tus\u0302triangulo de triangulo koincidas kun sia OI-linio.\nLa pruvo malglate iras kiel malsupren:"}, {"text_idx": "#000023", "text": "Samseksemulo kun respekto al la encirklo de triangula ABC.\nLa mediala triangulo de la en tus\u0302triangulo estas inversa en triangulan ABC, kun la signifo la cirkumcenter de la mediala triangulo, t.e., la nau\u0306-punkta centro de la en tus\u0302triangulo, la encentro kaj cirkumcenter de triangula ABC estas samlinia."}, {"text_idx": "#000024", "text": "C\u0302iuj du ne-intersekcantaj cirkloj povas esti inversaj en samcentrajn cirklojn.\nTiam la inversiva distanco (kutime indikita \u03b4) estas difinita kiel la natura logaritmo de la rilatumo de la radiusoj de la du samcentraj cirkloj."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Krome, c\u0302iuj du ne-intersekcantaj cirkloj povas esti inversaj en kongruajn cirklojn, uzante cirklon de inversio centrita c\u0302e punkto sur la cirklo de kontrau\u0306egaleco."}, {"text_idx": "#000026", "text": "La Peaucellier-Lipkin-ligo estas mekanika efektivigo de inversio en cirklo.\nG\u0302i disponigas precizan solvon al la grava problemo de transformado inter linia kaj cirkla movo."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Se punkto R estas la inversa de punkto P tiam la linioj perpendikularaj al la linio PR tra unu el la poentoj estas la polusa de la alia punkto (la polo)."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Poloj kaj polar'oj havas plurajn utilajn trajtojn:"}, {"text_idx": "#000029", "text": "Se punkto P situas sur linio l, tiam la polo L de la linio l kus\u0302as sur la polusa p de punkto P.\nSe punkto P movig\u0302as lau\u0306 linio l, g\u0302ia polusa p rotacias koncerne la polon L de la linio l.\nSe du klavlinioj povas esti kreitaj de poluso g\u0302is la cirklo, tiam g\u0302ia polusa pasas tra ambau\u0306 klavpunktoj.\nSe punkto situas sur la cirklo, g\u0302ia polusa estas la klavo tra tiu punkto.\nSe punkto P situas sur sia propra polusa linio, tiam P estas sur la cirklo.\nC\u0302iu linio havas, ekzakte unu polo."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Cirklinversio estas g\u0302eneraligebla sfere inversion en tri dimensioj.\nKiam kun la 2D versio, sfero inversigas al sfero, krom ke se sfero pasas tra la centro O de la referencosfero, tiam g\u0302i inversigas al ebeno.\nC\u0302iu ebeno ne pasanta tra O, inversigas al sfertus\u0302ado c\u0302e O.\nCirklo, t.e., la intersekcig\u0302o de sfero per sekantebeno, inversigas en cirklon, krom ke se la cirklo pasas tra O g\u0302i inversigas en linion.\nTio reduktas al la 2D kazo kiam la sekantebeno pasas tra O, sed estas vera 3D fenomeno se la sekantebeno ne pasas tra O."}, {"text_idx": "#000031", "text": "La plej simpla surfaco (krom aviadilo) estas la sfero.\nLa unua bildo montras ne-sensignifan inversion (la centro de la sfero ne estas la centro de inversio) de sfero kune kun du ortogonalajn intersekcante krajonojn de cirkloj."}, {"text_idx": "#000032", "text": "La inversio de cilindro, konuso kaj Torresp."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Sferoido estas surfaco de revolucio kaj enhavas krajonon de cirkloj kiu estas mapita sur krajono de cirkloj (vidu bildon).\nLa inversa bildo de sferoido, kiu estas neniu sfero, estas al neniu sheroida plu.\nG\u0302i estas surfaco de grado 4."}, {"text_idx": "#000034", "text": "Ekzemplo hiperboloida de unu tuko"}, {"text_idx": "#000035", "text": "Hiperboloida de unu tuko, kiu estas surfaco de revolucio enhavas krajonon de cirkloj kiu estas mapita sur krajono de cirkloj.\nHiperboloida de unu tuko enhavas kromajn du krajonojn de linioj, kiuj estas mapitaj sur krajonoj de cirkloj.\nLa bildekspozicioj unu tia linio (blua) kaj g\u0302ia inversio."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Rektlinia sfera projekcio kiel la inversio de sfero"}, {"text_idx": "#000037", "text": "Tiu mapado povas esti farita per inversio de la sfero sur sia klavaviadilo.\nIli estas la projekciolinioj de la rektlinia sfera projekcio."}, {"text_idx": "#000038", "text": "La 6-sferaj koordinatoj estas koordinatsistemo por tri-dimensia spaco akirita inversigante la kartezajn koordinatojn."}, {"text_idx": "#000039", "text": "Unu el la unua pripensi fundamentojn de inversiva geometrio estis Mario Pieri en 1911 kaj 1912.\nEdward Kasner skribis sian disertaj\u0302on sur \"Invarianta teorio de la inversio-grupo\"."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Pli lastatempe la matematika strukturo de inversiva geometrio estis interpretita kiel incidencostrukturo kie la g\u0302eneraligitaj cirkloj estas nomitaj \"blokoj\": En incidencgeometrio, c\u0302iu afina aviadilo kune kun ununura punkto c\u0302e senfineco formas Mo\u0308bius-aviadilon, ankau\u0306 scianta kiel inversiva aviadilo.\nLa punkto c\u0302e senfineco estas aldonita al c\u0302iuj linioj.\nTiuj Mo\u0308bius-aviadiloj povas esti priskribitaj aksiome kaj ekzisti en kaj finhavaj kaj senfinaj versioj."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Modelo por la Mo\u0308bius-aviadilo kiu venas de la Eu\u0306klida aviadilo estas la Riemann-sfero."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Lau\u0306 Coxeter, [8] la transformo per inversio en cirklo estis inventita fare de L. I. Magnus en 1831.\nEkde tiam tiu mapado farig\u0302is avenuo al pli alta matematiko.\nTra kelkaj s\u0302tupoj de apliko de la cirkla inversiomapo, studento de transformgeometrio baldau\u0306 aprezas la signifon de tiu de Felix Klein\nErlangen-programo, elkreskaj\u0302o de certaj modeloj de hiperbola geometrio"}, {"text_idx": "#000043", "text": "La kombinaj\u0302o de du inversioj en samcentraj cirklorezultoj en simileco, homotetio, au\u0306 dilatig\u0302o karakterizis per la rilatumo de la cirkloradiusoj."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Reprezalio estas s\u0302losilo en transformteorio kiel generatoro de la Mo\u0308bius-grupo.\nLa aliaj generatoroj estas traduko kaj rotacio, ambau\u0306 konataj tra fizikaj manipuladoj en la c\u0302irkau\u0306a 3-spaca.\nEnkonduko da reprezalio (dependanto sur cirklinversio) estas kio produktas la strangan naturon de Mo\u0308bius-geometrio, kiu foje estas identigita kun inversiva geometrio (de la Eu\u0306klida aviadilo).\nTamen, inversiva geometrio estas la pli granda studo c\u0302ar g\u0302i inkludas la krudan inversion en cirklo (ankorau\u0306 ne transformita, kun konjugacio, en reprezalion).\nInversiva geometrio ankau\u0306 inkludas la konjugacio mapadon.\nNek konjugacio nek inversio-en-cirklo estas en la Mo\u0308bius-grupo c\u0302ar ili estas ne-konformaj (vidu malsupre).\nMo\u0308bius-grupelementoj estas analizaj funkcioj de la tuta aviadilo kaj tiel estas nepre konformaj."}, {"text_idx": "#000046", "text": "Ekzemple, Smogorzhevsky [9] evoluigas plurajn teoremojn de inversiva geometrio antau\u0306 komencado de Lobakevskiana geometrio."}, {"text_idx": "#000048", "text": "En n-dimensia spaco per kie ekzistas sfero de radiuso r, inversio en la sfero ricevas"}, {"text_idx": "#000049", "text": "La transformo per inversio en hiperebenoj au\u0306 hipersferoj enen En povas esti uzita por generi dilatig\u0302ojn, tradukojn, au\u0306 rotaciojn.\nEfektive, du samcentraj hipersferoj, uzitaj por produkti sinsekvajn inversiojn, rezultigi dilatig\u0302on au\u0306 kuntirig\u0302on sur la centro de la hipersferes.\nTia mapado estas nomita simileco."}, {"text_idx": "#000050", "text": "Kiam du paralelaj hiperebenoj kutimas produkti sinsekvajn reflektadojn, la rezulto estas traduko.\nKiam du hiperebenoj intersekcas en (n) - plataj, sinsekvaj reflektadoj produktas rotacion kie c\u0302iu punkto de la (n) plata estas fikspunkto de c\u0302iu reflektado kaj tiel de la kunmetaj\u0302o."}, {"text_idx": "#000051", "text": "C\u0302io el tiuj estas konformaj mapoj, kaj fakte, kie la spaco havas tri au\u0306 pli da grandeco, la mapadoj generitaj per inversio estas la nuraj konformaj mapadoj.\nLa teoremo de Liouville estas klasika teoremo de konforma geometrio."}, {"text_idx": "#000052", "text": "La aldono de punkto c\u0302e senfineco al la spaco superfluigas la distingon inter hiperebeno kaj hipersfero;\npli alta dimensia inversiva geometrio estas ofte studita tiam en la supozita kunteksto de n-sfero kiel la bazspaco.\nLa transformoj de inversiva geometrio ofte estas referitaj kiel transformo de Mo\u0308bius.\nInversive-geometrio estis aplikita al la studo de kolorecoj, au\u0306 partigon, de n-sfero."}, {"text_idx": "#000054", "text": "En la kompleksa ebeno, la plej evidenta cirkla inversiomapo (t.e., uzante la trigonometrian cirklon centris c\u0302e la origino) estas la kompleksa konjugito de la kompleksa inversa mapo prenanta z al 1/z.\nLa kompleksa analiza inversa mapo estas konforma kaj g\u0302ia konjugato, cirklinversio, estas kontrau\u0306konforma.\nEn tiu kazo homografio estas konforma dum kontrau\u0306homography estas kontrau\u0306konforma."}, {"text_idx": "#000055", "text": "Inversiva geometrio kaj hiperbola geometrio"}, {"text_idx": "#000056", "text": "La ( n \u2212 1) sfero kun ekvacio"}, {"text_idx": "#000057", "text": "havos pozitivan radiuson tiel longan kiel 1 2\nn 2 estas pli bonega ol c, kaj sur inversio donas la sferon"}, {"text_idx": "#000058", "text": "Tial, g\u0302i estos senvaria sub inversio se kaj nur se c = 1-a Sed tio estas la kondic\u0302o de esti ortogonalaj al la unuobla pilko.\nTial ni estas gvidis pripensi la ( n \u2212 1) sferojn kun ekvacio"}, {"text_idx": "#000059", "text": "kiuj estas senvariaj sub inversio, ortogonala al la unuobla pilko, kaj havas centrojn ekstere de la sfero.\nTiujn kune kie la subspachiperebenoj apartigas hemisferojn estas la hipersurfaces de la Poincare\u0301-diskomodelo de hiperbola geometrio."}, {"text_idx": "#000060", "text": "C\u0302ar inversio en la unuobla pilko lasas la sferojn ortogonalaj al g\u0302i Invarianto, la inversio mapas la punktojn ene de la unuobla pilko al la ekstero kaj inverse.\nTio estas tial vera g\u0302enerale de ortogonalaj sferoj, kaj aparte inversio en unu el la sferoj ortogonala al la unuobla pilko mapas la unuoblan pilkon al si mem.\nG\u0302i ankau\u0306 mapas la internon de la unuobla pilko al si mem, kun punktoj ekster la ortogonala sfero mapante internon, kaj inverse;\ntio difinas la reflektadojn de la Poincare\u0301-diskomodelo c\u0302u ni ankau\u0306 inkluzivas kun ili la reflektadojn tra la diametroj apartigante hemisferojn de la unuobla pilko.\nTiuj reflektadoj generas la grupon de izometrioj de la modelo, kiu rakontas al ni ke la izometrioj estas konformaj.\nTial, la angulo inter du kurboj en la modelo estas la sama kiel la angulo inter du kurboj en la hiperbola spaco."}, {"text_idx": "#000061", "text": "Inversio de kurboj kaj surfacoj (germanaj)"}]