[{"text_idx": "#000001", "text": "En algebro, kiu estas larg\u0302a dividado de matematiko, abstrakta algebro (foje nomita moderna algebro) estas la studo de algebraj strukturoj.\nAlgebraj strukturoj inkludas grupojn, ringojn, kampojn, modulojn, vektorajn spacojn, kradojn, kaj algebrojn.\nLa esprimo abstrakta algebro estis elpensita en la frua 20-a jarcento por distingi tiun studfakon de la aliaj partoj de algebro."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Algebraj strukturoj, kun siaj rilataj homomorfismoj, formas matematikajn kategoriojn.\nTeorio de kategorioj estas potenca formalismo por analizado kaj komparado de malsamaj algebraj strukturoj."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Universala algebro estas parenca temo kiu studoj la naturo kaj teorioj de diversaj specoj de algebraj strukturoj kiel tutaj\u0302o.\nEkzemple, universala algebro studas la totalan teorion de grupoj, kiel distingite de studado de akurataj grupoj."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Kiel en aliaj partoj de matematiko, konkretaj problemoj kaj ekzemploj ludis gravajn rolojn en la evoluo de abstrakta algebro.\nTra la fino de la deknau\u0306a jarcento, multaj - eble plej - de tiuj problemoj estis lau\u0306 iu maniero ligita al la teorio de algebraj ekvacioj."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Solvado de sistemoj de linearaj ekvacioj, kiuj kondukis al lineara algebro\nProvoj trovi formulojn por solvoj de g\u0302eneralaj polinom ekvacioj de pli alta grado kiu rezultigis eltrovon de grupoj kiel abstraktaj manifestig\u0302oj de simetrio\nAritmetikaj enketoj de kvadrataj kaj pli altaj gradformularoj kaj diofantaj ekvacioj, kiuj rekte produktis la nociojn de ringo kaj idealo."}, {"text_idx": "#000006", "text": "Multaj lernolibroj en abstrakta algebro komencig\u0302as per aksiomaj difinoj de diversaj algebraj strukturoj kaj tiam dau\u0306rigas establi siajn trajtojn.\nTio kreas malveran impreson kiu en algebraksiomoj venis unue kaj tiam funkciis kiel instigo kaj kiel bazo de plia studo.\nLa vera ordo de historia evoluo estis preskau\u0306 sama la kontrau\u0306o.\nEkzemple, la hiperkompleksaj nombroj da la deknau\u0306a jarcento havis kinematajn kaj fizikajn instigojn nur defiitaj kompreno.\nLa plej multaj teorioj kiuj nun estas rekonitaj kiel partoj de algebro komencig\u0302is kiel kolektoj de malsimilaj faktoj de diversaj branc\u0302oj de matematiko, akiris oftan temon kiu funkciis kiel kerno c\u0302irkau\u0306 kiu diversaj rezultoj estis grupigitaj, kaj finfine ig\u0302is unuigita sur bazo de ofta aro de konceptoj.\nArketipa ekzemplo de tiu progresema sintezo povas esti vidita en la historio de teorio de grupoj."}, {"text_idx": "#000007", "text": "Ekzistis pluraj fadenoj en la frua evoluo de teorio de grupoj, en moderna lingvo loze egalrilatante al nombroteorio, teorio de ekvacioj, kaj geometrio."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Leonhard Euler konsideris algebrajn operaciojn sur nombroj modulo entjero, modula aritmetiko, en sia g\u0302eneraligo de malgranda teoremo de Fermat.\nTiuj enketoj estis prenitaj multe plu fare de Carl Friedrich Gauss, kiu pripensis la strukturon de multiplikaj grupoj de restaj\u0302modema adoleskanto n kaj establis multajn trajtojn de ciklaj kaj pli g\u0302eneralaj abelaj grupoj kiuj ekestas lau\u0306 tiu maniero.\nEn liaj enketoj de kunmetaj\u0302o de binaraj kvadrataj formoj, Gauss eksplicite deklaris la asociecan leg\u0302on por la kunmetaj\u0302o de formoj, sed kiel Euler antau\u0306 li, li s\u0302ajnas estinti pli interesita pri konkretaj rezultoj ol en g\u0302enerala teorio.\nEn 1870, Leopold Kronecker donis difinon de abela grupo en la kunteksto de idealaj klasgrupoj de numero-kampo, g\u0302eneraligante la laboron de Gauss;\nsed g\u0302i ekaperas li ne ligis sian difinon kun antau\u0306a laboro sur grupoj, precipe permutadogrupoj.\nEn 1882, pripensante la saman demandon, Heinrich M. Weber realigis la ligon kaj donis similan difinon kiu implikis la nuligposedaj\u0302on sed preterlasis la ekziston de la inversa elemento, kiu estis sufic\u0302a en lia kunteksto (finiaj grupoj)."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Permutaj\u0302oj estis studitaj fare de Joseph-Louis de Lagrange en lia 1770 artikolo Re\u0301flexions sur la re\u0301solution alge\u0301brique des e\u0301quations (Thoughts on the algebraic solution of equations) dedic\u0302ita al solvoj de algebraj ekvacioj, en kiuj li lanc\u0302is Lagrange-dissolvilojn.\nLa celo de Lagrange estis kompreni kial ekvacioj de triono kaj kvara grado koncedas formulojn por solvoj, kaj li identigis kiel esencaj objektoj permutaj\u0302ojn de la radikoj.\nGrava romanpas\u0302o alogita de Lagrange tiu papero estis la abstraktaj\u0302vido de la radikoj, t.e. kiel simboloj kaj ne kiel nombroj.\nTamen, li ne pripensis kunmetaj\u0302on de permutaj\u0302oj.\nSerendipitous, la unua eldono de Meditationes Algebraicae de Edward Waring ( Meditations on Algebra) ekaperis en la sama jaro, kun vastigita versio publikigite en 1782.\nMilitado pruvis la c\u0302efteoremo sur simetriaj funkcioj, kaj speciale konsideris la rilaton inter la radikoj de kvarta ekvacio kaj g\u0302ia dissolvilo kuba.\nMe\u0301moire sur la re\u0301solution des e\u0301quations ( Memoire on the Solving of Equations) de Alexandre Vandermonde (1771) evoluigis la teorion de simetriaj funkcioj de iomete malsama angulo, sed kiel Lagrange, kun la celo de komprenado de solveblo de algebraj ekvacioj."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Kronecker claimed in 1888 that the study of modern algebra began with this first paper of Vandermonde. Cauchy states quite clearly that Vandermonde had priority over Lagrange for this remarkable idea, which eventually led to the study of group theory. [1]"}, {"text_idx": "#000011", "text": "Paolo Ruffini estis la unua persono se temas pri evoluigi la teorion de permutadogrupoj, kaj kiel siaj antau\u0306uloj, ankau\u0306 en la kunteksto de solvado de algebraj ekvacioj.\nLia celo estis establi la maleblecon de algebra solvo al g\u0302enerala algebra ekvacio de grado pli alta ol kvar.\nSurvoje al tiu celo li lanc\u0302is la nocion de la ordo de elemento de grupo, konjugacy, la cikloputrig\u0302on de elementoj de permutadogrupoj kaj la nocioj de primitivulo kaj imprimitive kaj pruvis kelkajn gravajn teoremojn rakontantajn tiujn konceptojn, kiel ekzemple"}, {"text_idx": "#000012", "text": "if G is a subgroup of S5 whose order is divisible by 5 then G contains an element of order 5."}, {"text_idx": "#000014", "text": "se en tia grupon unu havas la anstatau\u0306igojn S kaj T tiam unu havas la Anstatau\u0306igst."}, {"text_idx": "#000016", "text": "La abstrakta nocio de grupo aperis por la unua fojo en la artikoloj de Arthur Cayley en 1854.\nCayley realigis ke grupo ne devu esti permutadogrupo (au\u0306 ec\u0302 finhava), kaj povas anstatau\u0306e konsisti el matricoj, kies algebraj trajtoj, kiel ekzemple multipliko kaj inverses, li sisteme esploris en sukcesi jarojn.\nMulte pli posta Cayley revizitus la demandon c\u0302u abstraktaj grupoj estis pli g\u0302eneralaj ol permutadogrupoj, kaj establi ke, fakte, c\u0302iu grupo estas izomorfa al grupo de permutaj\u0302oj."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Ekzemploj de algebraj strukturoj kun ununura operacio estas:"}, {"text_idx": "#000021", "text": "Pli d komplikaj ekzemploj inkludas:"}, {"text_idx": "#000022", "text": "Pro g\u0302ia g\u0302eneraleco, abstrakta algebro estas uzita en multaj kampoj de matematiko kaj scienco.\nEkzemple, algebra topologio uzas algebrajn objektojn al studotopologioj.\nLa konjekto de Poincare\u0301, pruvita en 2003, asertas ke la fundamenta grupo de dukto, kiu c\u0302ifras informojn pri ligiteco, povas esti uzita por determini c\u0302u dukto estas sfero au\u0306 ne.\nAlgebra nombroteorio studas diversajn numero ringojn kiuj g\u0302eneraligas la aron de entjeroj.\nUzante ilojn de algebra nombroteorio, Andrew Wiles pruvis la lastan teoremon de Fermat."}, {"text_idx": "#000023", "text": "En fiziko, grupoj kutimas reprezenti simetrioperaciojn, kaj la uzokutimo de teorio de grupoj povis simpligi diferencialajn ekvaciojn.\nEn gau\u0306g\u0302a teorio, la postulo de loka simetrio povas esti utiligita por dedukti la ekvaciojn priskribante sistemon.\nLa grupoj kiuj priskribas tiujn simetriojn estas Lie-grupoj, kaj la studo de Lie-grupoj kaj Lie-algebroj rivelas multon koncerne la fizikan sistemon;\nekzemple, la nombro da fortaviad-kompanioj en teorio estas egala al dimensio de la Lie-algebro, kaj tiuj bosonoj interagas kun la forto kiun ili mediacias se la Lie-algebro estas nonabelian."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Diferencialaj ekvacioj / dinamikaj sistemoj"}, {"text_idx": "#000027", "text": "C\u0302i tiu artikolo estas pri la branc\u0302o de matematiko. Por aliaj uzoj de la vorto \"algebro\" vidi artikolon algebro (apartigilo)."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Abstrakta algebro estas kampo de matematiko koncernanta studon de algebraj strukturoj - grupoj, ringoj, kampoj, moduloj, vektoraj spacoj, kaj aroteorio. Enkonduko de abstrakta algebro estis motivigita pro la bezono de plirigorigo en matematiko."}, {"text_idx": "#000029", "text": "La termino abstrakta algebro estas uzata por diferencigi la kampon de \"baza algebro\", kiu studas regulojn por formuloj kaj algebraj esprimoj engag\u0302antaj reelajn nombrojn kaj kompleksajn nombrojn; g\u0302i estis iam sciita kiel moderna algebro dum la unua duono de la 20-a jarcento."}]