[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, specife en la kampo de finhava teorio de grupoj, la Sylow-teoremoj estas kolekto de teoremoj nomitaj lau\u0306 la norvega matematikisto Ludwig Sylow ( 1872) kiuj donas detalajn informojn pri la nombro da subgrupoj de fiksa ordo ke antau\u0306fiksita finhava grupo enhavas.\nLa Sylow-teoremoj formas fundamentan parton de finhava teorio de grupoj kaj havas gravegajn aplikojn en la klasifiko de finhavaj simplanimaj grupoj."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Por primo pli sensenta p, Sylow p-subgrupo (foje p-Sylow subgrupo) de grupo G estas maksimuma p-subgrupo de G, t.e. subgrupo de G kiu estas p-grupo (tiel ke la ordo de c\u0302iu grupelemento estas potenco de p) kiu ne estas bonorda subgrupo de iu alia p-subgrupo de G.\nLa aro de c\u0302iuj Sylow p-subgrupo por antau\u0306fiksita primo p estas foje skribita Syl p ( G)."}, {"text_idx": "#000003", "text": "La Sylow-teoremoj asertas partan konversacion al la teoremo de Lagrange.\nDum la teoremo de Lagrange deklaras tio por iu finhava grupo G ke la ordo (nombro da elementoj) de c\u0302iu subgrupo de G disigas la ordon de G, la Sylow-teoremoj deklaras tion por c\u0302iu prima faktoro p de la ordo de finhava grupo G, tie ekzistas Sylow p-subgrupo de G.\nLa ordo de Sylow p-subgrupo de finhava grupo G estas pn , kie n estas la diverseco de p en la sinsekvo de G, kaj c\u0302iu subgrupo de ordo pn estas Sylow p-subgrupo de G.\nLa Sylow p-subgrupo de grupo (por antau\u0306fiksita primo p) estas konjugato al unu la alian.\nLa nombro da Sylow p-subgrupo de grupo por antau\u0306fiksita primo p estas kongrua al 1 modema adoleskanto p."}, {"text_idx": "#000006", "text": "La sekvaj teoremoj unue estis proponitaj kaj pruvitaj fare de Ludwig Sylow en 1872, kaj publikigis en Mathematische Annalen ."}, {"text_idx": "#000007", "text": "Teoremo 1: Por c\u0302iu primfaktora p kun diverseco n de la ordo de finhava grupo G, tie ekzistas Sylow p-subgrupo de G, de ordo pn ."}, {"text_idx": "#000008", "text": "La sekva pli malforta versio de teoremo 1 unue estis pruvita fare de Cauchy, kaj estas konata kiel la teoremo de Cauchy."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Teoremo 2: Surbaze de finhava grupo G kaj primo ,"}, {"text_idx": "#000011", "text": "Teoremo 3: Lasu p esti prima faktoro kun diverseco n de la ordo de finhava grupo G, tiel ke la ordo de G povas esti skribita kiel pnm , kie n > 0 kaj p ne disigas m.\nLasu np esti la nombro da Sylow p-subgrupo de G."}, {"text_idx": "#000012", "text": "np disigas m, kio estas la indekso de la Sylow p-subgrupo en G.\nnp \u2261 1 modemadoleskanta p.\n, kie P estas ajna Sylow p-subgrupo de G kaj NG indikas la normaliganton."}, {"text_idx": "#000013", "text": "La Sylow-teoremoj implicas ke por primo pli sensenta p c\u0302iu Sylow p-subgrupo estas de la sama ordo, pn .\nInverse, se subgrupo havas ordo pn , tiam g\u0302i estas Sylow p-subgrupo, kaj tiel estas izomorfa al c\u0302iu alia Sylow p-subgrupo.\nPro la maksimeckondic\u0302o, se H estas ajna p-subgrupo de G, tiam H estas subgrupo de p-subgrupo de ordo pn ."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Gravega sekvo de Theorem 2 estas ke la kondic\u0302o np = 1 estas ekvivalentaj al dirado ke la Sylow p-subgrupo de G estas normala subgrupo (ekzistas grupoj kiuj havas normalajn subgrupojn sed neniujn normalajn Sylow-subgrupojn, kiel ekzemple S 4)."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Ekzistas analogo de la Sylow-teoremoj por senfinaj grupoj.\nNi difinas Sylow p-subgrupo en senfina grupo esti p-subgrupo (t.e., c\u0302iu elemento en g\u0302i havas p-motora ordon) kiu estas maksimuma por inkludo inter c\u0302iuj p-subgrupo en la grupo.\nTiaj subgrupoj ekzistas de la lemo de Zorn."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Simpla ilustraj\u0302o de Sylow subgroupas kaj la Sylow-teoremoj estas la dihedra grupo de la n-gon, D 2n .\nPor n strangaj, 2 = 21 estas la plej alta potenco de 2 disigante la ordon, kaj tiel subgrupoj de ordo 2 estas Sylow-subgrupoj.\nTiuj estas la grupoj generitaj per reflektado, de kiuj ekzistas n, kaj ili estas c\u0302io konjugato sub rotacioj;\ngeometrie la aksoj de simetrio pasas tra vertico kaj flanko."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Kompare, se n ec\u0302 estas, tiam 4 dislimoj la ordo de la grupo, kaj la subgrupoj de ordo 2 jam ne estas Sylow-subgrupoj, kaj fakte ili falas en du konjugacyoklasojn, geometrie lau\u0306 c\u0302u ili pasas tra du verdglacioj au\u0306 du vizag\u0302oj.\nTiuj estas ligitaj per ekstera au\u0306tomorfismo, kiu povas esti reprezentita per rotacio tra \u03c0/ n, duono de la minimuma rotacio en la dihedra grupo."}, {"text_idx": "#000019", "text": "C\u0302ar la teoremo de Sylow certigas la ekziston de p-subgrupo de finhava grupo, g\u0302ian indan al studrondoj de c\u0302efa potencordo pli proksime.\nLa plej multaj el la ekzemploj utiligas la teoremon de Sylow por pruvi ke grupo de akurata ordo ne estas simplanima.\nPor grupoj de malgranda ordo, la kongrueckondic\u0302o de la teoremo de Sylow ofte estas sufic\u0302a devigi la ekziston de normala subgrupo.\nEkzemplo-1: grupoj de ordopq, p kaj q preparas kun p < q.\nEkzemplo-2: grupo de ordo 30, grupoj de ordo 20, grupoj de ordo p 2 q, p kaj q apartaj primoj estas kelkaj el la aplikoj.\nEkzemplo-3: (grupoj de ordo 60): Se o ( G) = 60 kaj G havas pli ol unu Sylow 5-subgroups, tiam G estas simpla."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Pli kompleksa ekzemplo implikas la ordon de la plej malgranda simplanima grupo kiu ne estas cikla.\nLa patro qb teoremo de Burnside deklaras ke se la ordo de grupo estas la produkto de unu au\u0306 du c\u0302efaj potencoj, tiam g\u0302i estas solvebla, kaj tiel la grupo ne estas simplanima, au\u0306 estas de c\u0302efa ordo kaj estas cikla.\nTio ekskludas c\u0302iun grupon supren por ordigi 30 ( 2"}, {"text_idx": "#000023", "text": "Ankau\u0306, n 5 = 6, ekde n 5 devas disigi 6 ( 2\n3), kaj n 5 devas esti 1 (modema adoleskanto 5).\nTiel G ankau\u0306 havas 24 apartajn elementojn de ordo 5-a Sed la ordo de G estas nur 30, tiel ke simplanima grupo de ordo 30 ne povas ekzisti."}, {"text_idx": "#000024", "text": "7-a C\u0302i tie n 7 devas disigi 6 ( 2\n3) kaj n 7 devas esti 1 (modema adoleskanto 7), tiel ke n 7 = 1-a Tiel, c\u0302ar antau\u0306e, G ne povas esti simplaj."}, {"text_idx": "#000025", "text": "5, tiam n 3 = 10 kaj n 5 = 6 estas tute eblaj.\nKaj fakte, la plej malgranda simplanima ne-cikla grupo estas 5, la alterna grupo pli ol 5 elementoj.\nG\u0302i havas ordon 60, kaj havas 24 ciklajn permutojn de ordo 5, kaj 20 el ordo 3."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Parto de Wilson-teoremo s\u0302tatoj tio"}, {"text_idx": "#000027", "text": "Oni povas facile pruvi tiun teoremon de la tria teoremo de Sylow.\nEfektive, observas ke la pli sensenta np de la p-subgrupo de Sylow en la simetria grupo Sp estas ( p \u2212 2)!\nAliflanke, n p \u2261 1 modemadoleskanta p."}, {"text_idx": "#000028", "text": "La argumento de Frattini montras ke Sylow-subgrupo de normala subgrupo disponigas faktorigadon de finhava grupo.\nIometa g\u0302eneraligo konata kiel la fuziaj teorem s\u0302tatoj de Burnside ke se G estas finhava grupo kun Sylow p-subgrupa P kaj du subaroj A kaj B normaligita per P, tiam A kaj B estas G-konjuga se kaj nur se ili estas NG ( P) konjugato.\nLa pruvo estas simpla apliko de la teoremo de Sylow: Se B = Ag , tiam la normaliganto de B enhavas ne nur P sed ankau\u0306 Pg (c\u0302ar Pg estas enhavita en la normaliganto de Ag ).\nDe la teoremo P de Sylow kaj Pg estas konjugato ne nur en G, sed en la normaliganto de B.\nTial gh \u22121 normaligas P dum kelkaj h kiu normaligas B, kaj tiam A gh \u22121 = B h \u22121 = B, tiel ke A kaj B estas NG ( P) konjugato.\nLa fuzioteoremo de Burnside povas esti utiligita por doni pli potencan faktorigadon nomitan semidirekt-produkto: c\u0302u G estas al finhava grupigas kies Sylow p-subgrupa P estas enhavita en la centro de sia normaliganto, tiam G havas normalan subgrupon K da ordo Interprimo al P, G = PK kaj P \u2229 K = 1, t.e., G estas p-nilpotent ."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Malpli sensignifaj aplikoj de la Sylow-teoremoj inkludas la fokusan subgrupteoremon, kiu studas la kontrolon kiun Sylow p-subgrupo de la derivita subgrupo havas sur la strukturo de la tuta grupo.\nTiu kontrolo estas ekspluatita en pluraj stadioj de la klasifiko de finhavaj simplanimaj grupoj, kaj ekzemple difinas la kazosekciojn uzitajn en la Alperin-Brauer-Gorenstein-teoremo klasifikante finhavajn simplanimajn grupojn kies Sylow 2-subgrupo estas kvazau\u0306-dihedra grupo.\nTiuj dependas de la fortigo de J. L. Alperin de la konjugacyoparto de la teoremo de Sylow por kontroli kiuj specoj de elementoj estas uzitaj en la konjugacio."}, {"text_idx": "#000033", "text": "pkm = pk+ru tia ke p ne disigas u, kaj lasi \u03c9 indiki la aron de subaroj de G de grandec pk .\nG reagas al \u03c9 per maldekstra multipliko.\nde la \u03c9 \u2208 \u03c9 estas la ekvivalentklasoj sub la ago de G."}, {"text_idx": "#000034", "text": "Por c\u0302iu \u03c9 \u2208 \u03c9 pripensas sian stabiligilsubgrupon G \u03c9\nPor iu fiksa elemento \u03b1 \u2208 \u03c9 la funkcio [ g \u21a6 g\u03b1] mapas G \u03c9 al \u03c9 injektively: por c\u0302iuj du g, h \u2208 G \u03c9 ni havas tiun g\u03b1 = kiun h\u03b1 implicas al g = h, c\u0302ar \u03b1 \u2208 \u03c9 \u2286 G signifas ke oni povas nuligi dekstraflanke."}, {"text_idx": "#000035", "text": "kaj neniu potenco de p restas en iuj da la faktoroj ene de la produkto dekstraflanke.\nLasu R \u2286 \u03c9 esti kompleta reprezentado de c\u0302iuj ekvivalentklasoj sub la ago de G."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Lemo: Lasu G esti finhavan p-grupa, lasu \u03c9 esti finhava aro, lasu \u03c9G esti la aro generita per la ago de G sur c\u0302iuj elementoj de \u03c9, kaj lasu \u03c90 indiki la aron de punktoj de \u03c9G kiuj estas fiksaj sub la ago de G."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Teoremo 3: Lasu q indiki la ordon de iu Sylow p-subgrupo de finhava grupo G.\n/ q kaj np \u2261 1 modemadoleskanta p."}, {"text_idx": "#000043", "text": "La problemo de trovado de Sylow-subgrupo de antau\u0306fiksita grupo estas grava problemo en komputa grupa teorio."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Unu pruvo de la ekzisto de Sylow p-subgrupo estas helpema: se H estas p-subgrupo de G kaj la indekso [ G:\nH] estas disigebla de p, tiam la normaliganto N = NG ( H) de H en G estas ankau\u0306 tia ke [ N:\nH] estas disigebla de p.\nEn aliaj vortoj, policikla genera sistemo de Sylow p-subgrupo povas esti trovita per komencado de iu p-subgrupa H (inkluzive de la identeco) kaj prenado elementoj de p-motora ordo enhavita en la normaliganto de H sed ne en H mem.\nLa algoritma versio de tio (kaj multaj plibonigoj) estas priskribitaj en lernolibroformularo en ( C\u0302efservisto 1991, Chapter 16), inkluzive de la algoritmo priskribita enen ( Kanono 1971).\nTiuj versioj dau\u0306re estas utiligitaj en la Gap komputilalgebra sistemo."}, {"text_idx": "#000045", "text": "En permutadogrupoj, g\u0302i estis pruvita en (Kantor 1985a, 1985b, 1990;\nKantor & Taylor 1988) ke Sylow p-subgrupo kaj g\u0302ia normaliganto povas esti trovitaj en polinoma tempo de la enigaj\u0302o (la grado da la grupo tempigas la nombron da generatoroj).\nTiuj algoritmoj estas priskribitaj en lernolibroformularo en ( Seress 2003), kaj nun ig\u0302as praktikaj kiam la helpema rekono de finhavaj simplanimaj grupoj ig\u0302as realeco.\nAparte, versioj de tiu algoritmo estas utiligitaj en la Magma komputilalgebra sistemo."}]