[{"text_idx": "#000000", "text": "Wikipedia's Bivector as translated by GramTrans"}, {"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, bivektoro au\u0306 2-vektoro estas kvanto en ekstera algebro au\u0306 geometria algebro kiu etendas la ideon de Skalaroj kaj vektoroj.\nSe Skalaro estas konsiderita ordo nul kvanto, kaj vektoro estas ordo unu kvanto, tiam bivektoro povas esti opiniita de kiel estaj\u0302o de ordo du.\nBivektoroj havas aplikojn en multaj lokoj de matematiko kaj fiziko.\nIli estas rilatitaj al kompleksaj nombroj en du dimensioj kaj al kaj pseu\u0306dovektoroj kaj kvaropoj en tri dimensioj.\nIli povas esti uzitaj por generi rotaciojn en iu nombro da grandeco, kaj estas utila ilo por klasifikado de tiaj rotacioj.\nIli ankau\u0306 estas uzitaj en fiziko, ligante kune kelkajn alie senrilatajn kvantojn."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Bivectors estas generita per la ekstera produkto sur vektoroj: surbaze de du vektoroj a kaj b, ilia ekstera produkto \u2227 b estas bivektoro, kiel estas la sumo de iu bivektors.\nNe c\u0302iuj bivektoroj povas esti generitaj kiel ununura ekstera produkto.\nPli g\u0302uste, bivektoro kiu povas esti esprimita kiam ekstera produkto estas nomita simpla;\nen g\u0302is tri dimensioj c\u0302iuj bivektoroj estas simplaj, sed en pli alta grandeco tio ne estas la kazo.\nLa ekstera produkto de du vektoroj estas kontrau\u0306kommutativa kaj alternanta, tiel ke b \u2227 estas la negacio de la bivektoro \u2227 b , produktante la kontrau\u0306an orientig\u0302on, kaj \u2227 estas la nul bivektoro."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Geometrie, simpla bivektoro povas esti interpretita kiel orientita aviadil segmento, multe kiam vektoroj povas esti opiniitaj de c\u0302ar direktite linipartoj.\nLa bivektoro kiun \u2227 b havas al magnitudklaso egala al la areo de la paralelogramo kun randoj a kaj b, havas la sintenon de la aviadilo enhavita per a kaj b, kaj havas orientig\u0302on estantan la senco de la rotacio kiu akordigus kun b."}, {"text_idx": "#000004", "text": "En laikperiodoj, c\u0302iu surfaco estas la sama bivektoro, se g\u0302i havas la saman areon, saman orientig\u0302on, kaj estas paralela al la sama aviadilo (vidu figuron)."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Geometria algebro kaj la geometria produkto\nRotacioj en pli alta grandeco"}, {"text_idx": "#000006", "text": "Geometria algebro kaj la geometria produkto"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Rotacioj en pli alta grandeco"}, {"text_idx": "#000008", "text": "La bivektoro unue estis difinita en 1844 fare de germana matematikisto Hermann Grassmann en ekstera algebro kiel la rezulto de la ekstera produkto de du vektoroj.\nJ\u0302us la antau\u0306an jaron, en Irlando, William Rowan Hamilton malkovris kvaropojn.\nDau\u0306ris g\u0302is angla matematikisto William Kingdon Clifford en 1888 aldonis la geometria produkto al la algebro de Grassmann, asimilante la ideojn de kaj Hamilton kaj Grassmann, kaj fondis Clifford-algebron, kiu la bivektoro c\u0302ar g\u0302i estas konata hodiau\u0306 estis plene komprenita."}, {"text_idx": "#000009", "text": "C\u0302irkau\u0306 tiu tempo Josiah Willard Gibbs kaj Oliver Heaviside evoluigis vektoran kalkulon, kiu inkludis apartan vektoran produton kaj skalarproduktojn kiuj estis derivitaj de kvaropmultipliko.\nLa sukceso de vektora kalkulo, kaj de la libro Vector Analysis de Gibbs kaj Wilson, havis la efikon ke la komprenoj de Hamilton kaj Clifford estis preteratentitaj por longa tempo, c\u0302ar multe de 20-a-jarcenta matematiko kaj fiziko estis formulitaj en vektorperiodoj.\nGibbs uzis vektorojn por plenigi la rolon de bivektoroj en tri dimensioj, kaj uzis \"bivektoron\" por priskribi senrilatan kvanton, uzon kiu foje estis kopiita.\nHodiau\u0306 la bivektoro estas plejparte studita kiel temo en geometria algebro, Clifford-algebro super realoj au\u0306 kompleksaj vektoraj spacoj kun nedegenerulo\nG\u0302ia reviglig\u0302o estis gvidita fare de David Hestenes kiu, kune kun aliaj, aplikis geometrian algebron al vico da novaj aplikoj en fiziko."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Por tiu artikolo la bivektoro estos pripensita nur en realaj geometriaj algebroj.\nTio en praktiko ne multe estas de restrikto, c\u0302ar c\u0302iuj utilaj aplikoj estas tiritaj de tiaj algebroj.\nAnkau\u0306 se alie ne deklaris, c\u0302iuj ekzemploj havas Eu\u0306klidan metrikon kaj tiel pozitive difinita"}, {"text_idx": "#000011", "text": "La bivektoro ekestig\u0302as de la difino de la geometria produkto super vektora spaco.\nPor vektoroj , b kaj c, la geometria produkto sur vektoroj estas difinita jene:"}, {"text_idx": "#000013", "text": "2 b , skalaro tempoj b.\nParalela al kiam b ne estas kaj tial ne skalarmultoblo de , ab ne povas esti Skalaro."}, {"text_idx": "#000015", "text": "G\u0302i estas simetria, skalaro aprezis, kaj povas esti uzita por determini la angulon inter du vektoroj: aparte c\u0302u a kaj b estas ortogonalaj la produkto estas nul."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Ekzakte c\u0302ar la ena derivaj\u0302o povas esti formulita kiel la simetria parto de la geometria produkto alia kvanto, la ekstera produkto povas esti formulita kiel sia kontrau\u0306simetria parto:"}, {"text_idx": "#000017", "text": "G\u0302i estas kontrau\u0306simetria en a kaj b"}, {"text_idx": "#000018", "text": "Tio estas, la geometria produkto estas la sumo de la simetria ena derivaj\u0302o kaj kontrau\u0306simetria ekstera produkto."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Ekzameni la naturon de \u2227 b , pripensi la formulon"}, {"text_idx": "#000020", "text": "kiu uzi la pitagorean trigonometrian identecon donas la valoron de ( \u2227 b) 2"}, {"text_idx": "#000021", "text": "Kun negativa kvadrato g\u0302i ne povas esti skalaro- au\u0306 vektorkvanto, tiel ke g\u0302i estas nova speco de objekto, bivektoro.\n, kie \u03b8 estas la angulo inter la vektoroj, kaj tiel estas nul por paralelaj vektoroj."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Por distingi ilin de vektoroj, bivektoroj estas skribitaj c\u0302i tie kun au\u0306dacaj kapitaloj, ekzemple:"}, {"text_idx": "#000023", "text": "kvankam aliaj konvencioj estas utiligitaj, aparte kiel vektoroj kaj bivektoroj estas ambau\u0306 elementoj de la geometria algebro."}, {"text_idx": "#000024", "text": "La algebro generita per la geometria produkto estas la geometria algebro super la vektora spaco.\nCl n estas kaj vektora spaco kaj algebro, generita per c\u0302iuj produktoj inter vektoroj en R n , tiel ke g\u0302i enhavas c\u0302iujn vektorojn kaj bivektorojn.\nPli g\u0302uste kiel vektora spaco g\u0302i enhavas la vektorojn kaj bivektorojn kiel liniaj subspacoj, kvankam ne subalgebroj (ekde la geometria produkto de du vektoroj estas ne g\u0302enerale alia vektoro).\nAl la spaco de c\u0302iuj bivektoroj estas skribita \u03bb2R n ."}, {"text_idx": "#000025", "text": "La subalgebro generita per la bivektors estas la ebena subalgebro de la geometria algebro, skribita Cl + n .\nTiuj algebro rezultoj de pripensado de c\u0302iuj produktoj de Skalaroj kaj bivektoroj generis de la geometria produkto.\nG\u0302i havas dimension 2 n \u22121 , kaj enhavas \u03bb2R n kiel linia subspaco kun dimensio 1 / 2 n ( n \u2212 1) ( triangulnombro).\nEn du kaj tri dimensioj la ebena subalgebro enhavas nur Skalarojn kaj bivektors, kaj c\u0302iu estas de speciala intereso.\nEn du dimensioj la ebena subalgebro estas izomorfa g\u0302is la kompleksaj nombroj, C, dum en tri g\u0302i estas izomorfaj al la kvaropoj, H. More g\u0302enerale la ebena subalgebro povas esti uzita por generi rotaciojn en iu dimensio, kaj povas esti generita per bivektoroj en la algebro."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Por g\u0302eneralaj bivektoroj la signifo povas esti kalkulita prenante la normon de la bivektoro konsiderita vektoron en la spac\u03bb2R n .\nSe la signifo estas de nul tiam c\u0302iuj la bivektoro komponentoj estas nul, kaj la bivektoro estas la nul bivektoro kiu kiel elemento de la geometria algebro estas la skalarojn nul."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Unuobivektoro estas unu kun unuomagnitudo.\nG\u0302i povas esti derivita de iu ne-nula bivektoro dividante la bivektoron per sia magnitudo, kiu estas"}, {"text_idx": "#000029", "text": "De akurata intereso estas la unuobivektoroj formitaj de la produktoj de la norma bazo.\nSe e mi kaj e j estas apartaj bazvektoroj tiam la produkto e mi \u2227 e j estas bivektoro.\nC\u0302ar la vektoroj estas ortogonalaj tio estas j\u0302us e I e j , skriba e ij , kun unuomagnitudo kiam la vektoroj estas unuoblaj vektoroj.\nLa aro de tute tiaj bivektoroj formas bazon por \u03bb2R n ."}, {"text_idx": "#000030", "text": "La ekstera produkto de du vektoroj estas bivektoro, sed ne c\u0302iuj bivektoroj estas eksteraj produktoj de du vektoroj.\nEkzemple, en kvar dimensioj la bivektoro"}, {"text_idx": "#000031", "text": "ne povas esti skribita kiel la ekstera produkto de du vektoroj.\nBivektoro kiu povas esti skribita kiel la ekstera produkto de du vektoroj estas simpla.\nEn du kaj tri dimensioj c\u0302iuj bivektoroj estas simplaj, sed ne en kvar au\u0306 pli da grandeco;\nen kvar dimensioj c\u0302iu bivektoro estas la sumo de maksimume du eksteraj produktoj.\nBivektoro havas realan kvadraton se kaj nur se g\u0302i estas simpla, kaj nur simplaj bivektoroj povas esti reprezentitaj geometrie per orientita aviadilareo."}, {"text_idx": "#000032", "text": "La geometria produkto de du bivektoroj, A kaj B, estas"}, {"text_idx": "#000033", "text": "B estas la skalaro aprezitan enan derivaj\u0302on, dum A \u2227 B estas la klaso 4 ekstera produkto kiu ekestas en kvar au\u0306 pli da grandeco.\nLa kvanto da A \u00d7 B estas la bivektoro aprezis kolektor produkton, donitan per"}, {"text_idx": "#000034", "text": "La spaco de bivektor\u03bb2R n estas Lie-algebro super R, kun la kolektorprodukto kiel la Lie-krampo.\nLa plena geometria produkto de bivektoroj generas la ebenan subalgebron."}, {"text_idx": "#000035", "text": "De speciala intereso estas la produkto de bivektoro kun si mem.\nC\u0302ar la kolektorprodukto estas kontrau\u0306simetria la produkto simpligas al"}, {"text_idx": "#000036", "text": "Se la bivektoro estas simpla la lasta oficperiodo estas nul kaj la produkto estas la skalara aprezita A\nA , kiu povas esti utiligita kiel c\u0302eko por simpleco.\nAparte la ekstera produkto de bivektoroj nur ekzistas en kvar au\u0306 pli da grandeco, do c\u0302io bivektoroj en du kaj tri dimensioj estas simplaj."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Kiel dum laborado kun koordinatoj en geometria algebro g\u0302i estas kutima skribi la bazvektorojn ( e 1, e 2, ...\n, kongreso kiu estos uzita c\u0302i tie."}, {"text_idx": "#000038", "text": "Vektoro en reala dudimensia spacR2 povas esti skribita al = 1 e 1 + 2 e 2 , kie 1 kaj 2 arojn realaj nombroj, e 1 kaj e 2 estas ortonormalaj bazvektoroj.\nLa geometria produkto de du tiaj vektoroj estas"}, {"text_idx": "#000039", "text": "Tio povas esti dividita en la simetrian, Skalaro aprezis, ena derivaj\u0302o kaj kontrau\u0306simetrian, bivektoro aprezis eksteran produkton:"}, {"text_idx": "#000040", "text": "C\u0302iuj bivektoroj en du dimensioj estas de tiu formo, kiu estas multobloj de la bivektoro e 1 e 2, skriba e 12 por substreki ke g\u0302i estas bivektoro prefere ol vektoro.\nLa signifo de e 12 estas 1, kun"}, {"text_idx": "#000041", "text": "tiel g\u0302i estas nomita la unuobivektoro.\nLa esprimo trupo da bivektoro povas esti uzita en alia grandeco sed g\u0302i estas nur unike difinita (supren al signo) en du dimensioj kaj c\u0302iuj bivektoroj estas multobloj de e 12.\nC\u0302ar la plej alta gradelemento de la algebro e 12 ankau\u0306 estas la pseudoscalar al kiu ricevas la simbolo I."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Kun la trajtoj de negativa kvadrato kaj unuomagnitudo, la unuobivektoro povas esti identigita kun la imaginara unuo de kompleksaj nombroj.\nLa bivektors kaj Skalaroj kune formas la ebenan subalgebron de la geometria algebro, kiu estas izomorfa al la kompleksaj nombroj C. The kiun ec\u0302 subalgebro havas al bazo (1, e 12), la tuta algebro havas bazon (1, e 1, e 2, e 12)."}, {"text_idx": "#000043", "text": "La kompleksaj nombroj estas kutime identigitaj kun la kunordigitaj aksoj kaj dudimensiaj vektoroj, kiu intencus asocii ilin kun la vektorelementoj de la geometria algebro.\nEkzistas neniu kontrau\u0306diro en tio, por veni de g\u0302enerala vektoro g\u0302is komplekso numeras aksoobezonojn esti identigita kiel la reala akso, e 1 diras.\nTio multobligas de c\u0302iuj vektoroj por generi la elementojn de ec\u0302 subalgebro."}, {"text_idx": "#000044", "text": "C\u0302iuj trajtoj de kompleksaj nombroj povas esti derivitaj de bivektoroj, sed du estas de speciala intereso.\nUnue c\u0302ar kun kompleksanombrajj produktoj de bivektoroj kaj tiel la ebena subalgebro estas kommutativa.\nTio estas nur vera en du dimensioj, do trajtoj de la bivektoro en du dimensioj kiuj dependas de komuteco ne kutime g\u0302eneraligas al pli alta grandeco."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Sekundon g\u0302enerala bivektoro povas esti skribita"}, {"text_idx": "#000046", "text": "kie \u03b8 estas reala nombro.\nMetante tion en la serion de Taylor por la eksponenta mapo kaj utiligante la posedaj\u0302on e12 2 = \u22121 rezultojn en bivektorversio de eu\u0306lera formulo,"}, {"text_idx": "#000047", "text": "kiu se multobligite per iu vektoro rotacias g\u0302in tra angulo \u03b8 koncerne la originon:"}, {"text_idx": "#000048", "text": "La produkto de vektoro kun bivektoro en du dimensioj estas kontrau\u0306kommutativa, tiel ke la sekvaj produktoj c\u0302iuj generas la saman rotacion"}, {"text_idx": "#000049", "text": "De tiuj la lasta produkto estas tiu kiu g\u0302eneraligas en pli altan grandecon.\nLa kvanto bezonata estas nomita rotoro kaj estas evoluita la simbolo R, tiel en du dimensioj rotoron kiu rotacias tra angulo \u03b8 povas esti skribita"}, {"text_idx": "#000050", "text": "kaj la rotacio kiun g\u0302i generas estas [15]"}, {"text_idx": "#000051", "text": "En tri dimensioj la geometria produkto de du vektoroj estas"}, {"text_idx": "#000052", "text": "En tri dimensioj c\u0302iuj bivektoroj estas simplaj kaj tiel la rezulto de ekstera produkto.\nLa unuobivektoroj e 23, e 31 kaj e 12 formas bazon por la spaco de bivektor\u03bb2-R3, kio estas sin tridimensia linia spaco.\nTiel se g\u0302enerala bivektoro estas:"}, {"text_idx": "#000053", "text": "ili povas esti aldonitaj kiel vektoroj"}, {"text_idx": "#000054", "text": "dum se multobligite ili produktas la sekvantan"}, {"text_idx": "#000055", "text": "kiu povas esti dividita en simetriajn skalaro- kaj kontrau\u0306simetriajn bivektorpartojn jene"}, {"text_idx": "#000056", "text": "La ekstera produkto de du bivektoroj en tri dimensioj estas nul."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Tio estas alia versio de eu\u0306lera formulo, sed kun g\u0302enerala bivektoro en tri dimensioj.\nMale al en du dimensioj bivektoroj estas ne kommutativaj tiel trajtoj kiuj dependas de komuteco ne uzas en tri dimensioj.\nEkzemple, en g\u0302enerala e A + B =\u0338 e A da e B en tri (au\u0306 pli da) grandeco."}, {"text_idx": "#000059", "text": "La plena geometria algebro en tri dimensioj, Cl 3 (R), havas bazon (1, e 1, e 2, e 3, e 23, e 31, e 12, e 123).\nLa elemento e 123 estas trivektoro kaj la pseudoscalar por la geometrio.\nBivectors en tri dimensioj foje estas identigita kun pseu\u0306dovektoroj [16] al kiuj ili estas rilataj, kiel diskutite malsupre."}, {"text_idx": "#000060", "text": "Bivectors ne estas fermita sub la geometria produkto, sed la ebena subalgebro estas.\nEl tri dimensioj g\u0302i konsistas el c\u0302iuj skalaro- kaj bivektorelementoj de la geometria algebro, tiel ke g\u0302enerala elemento povas esti skribita ekzemple + A, kie estas la skalarparto kaj A estas la bivektorparto.\nG\u0302i estas skribita Cl + 3 kaj havas bazon (1, e 23, e 31, e 12).\nLa produkto da du g\u0302eneralaj elementoj de la ebena subalgebro estas"}, {"text_idx": "#000061", "text": "La ebena subalgebro, kiu estas la algebro konsistanta el Skalaroj kaj bivektoroj, estas izomorfa al la kvaropoj, H. This povas esti vidita per komparado de la bazo kun la kvaropbazo, au\u0306 de c\u0302i-supra produkto kiu estas identa al la kvaropprodukto, krom s\u0302ang\u0302o de signo kiu rilatigas al la negativaj produktoj en la bivektora ena derivaj\u0302o A\nAl aliaj kvaroptrajtoj povas esti simile rilatitaj au\u0306 venitaj de geometria algebro."}, {"text_idx": "#000062", "text": "Tio indikas ke la kutima disigo de kvaropo en Skalaron kaj vektorpartojn estus pli bone reprezentita kiel disigo en Skalaron kaj bivektorpartojn;\nse al tio estas farita la kvaropprodukto estas simple la geometria produkto.\nG\u0302i ankau\u0306 rilatigas kvaropojn en tri dimensioj al kompleksaj nombroj en du, c\u0302ar c\u0302iu estas izomorfa al la ebena subalgebro por la dimensio, rilato kiu g\u0302eneraligas al pli alta grandeco."}, {"text_idx": "#000063", "text": "La rotaciovektoro, de la aks-angula reprezentado da rotacioj, estas kompakta maniero reprezenti rotacioj en tri dimensioj.\nEl g\u0302ia plej kompakta formo, g\u0302i konsistas el vektoro, la produkto de unuobla vektoro \u03c9 kiu estas la rotacia akso kun la (subskribita) angulo de rotacio \u03b8, tiel ke la signifo de la totala rotaciovektor\u03b8\u03c9 korespondas al la (sennoma) rotacioperspektivo."}, {"text_idx": "#000064", "text": "La kvaropo asociita kun la rotacio estas"}, {"text_idx": "#000065", "text": "En geometria algebro la rotacio estas reprezentita per bivektoro.\nTio povas esti vidita en sia rilato al kvaropoj.\nLasu \u03c9 esti unuobivektoro en la aviadilo de rotacio, kaj lasu \u03b8 esti la angulo de rotacio.\nTiam la rotaciobivektoro estas \u03c9\u03b8.\nLa kvaropo proksime egalrilatas al la eksponento de la duono de la bivektor\u03c9\u03b8.\nTio estas, la komponentoj de la kvaropo egalrilatas al la skalaro- kaj bivektorpartoj de la sekva esprimo:"}, {"text_idx": "#000066", "text": "La eksponento povas esti difinita lau\u0306 sia potencvico, kaj facile analizita utiligante la fakton ke \u03c9 kvadratita estas \u20141."}, {"text_idx": "#000067", "text": "Tiel rotacioj povas esti reprezentitaj per bivektoroj.\nEkzakte c\u0302ar kvaropoj estas elementoj de la geometria algebro, ili estas ligitaj per la eksponenta mapo en tiu algebro."}, {"text_idx": "#000068", "text": "La bivektoro \u03c9 \u03b8 generas rotacion tra la eksponenta mapo.\nLa ec\u0302 elementoj generitaj rotacias g\u0302eneralan vektoron en tri dimensioj en lau\u0306 la saman manieron kiel kvaropoj:"}, {"text_idx": "#000069", "text": "Kiel al du dimensioj la kvanto da e \u03c9 \u03b8 estas nomita rotoro kaj skriba R.\nLa kvanto da e \u2212 \u03c9 \u03b8 tiam estas R \u22121, kaj ili generas rotaciojn jene"}, {"text_idx": "#000070", "text": "Tio estas identa al du dimensioj, esceptas c\u0302i tie ke rotoroj estas kvar-dimensiaj objektoj izomorfa al la kvaropoj.\nTio povas esti g\u0302eneraligita al c\u0302iuj grandeco, per rotoroj, elementoj de la ebena subalgebro kun unuomagnitudo, estante generita per la eksponenta mapo de bivektoroj.\nIli formas duoblan kovron super la turnada grupo, tiel ke la rotoroj R kaj \u2212 R reprezentas la saman rotacion."}, {"text_idx": "#000071", "text": "Bivektoroj estas izomorfaj g\u0302is kontrau\u0306simetriaj matricoj;\nla g\u0302enerala bivektoro B 23 e 23 + B 31 e 31 + B 12 e 12 mapoj al la matrico"}, {"text_idx": "#000072", "text": "Tio multobligita per vektoroj sur same flankoj donas la saman vektoron kiel la produkto de vektoro kaj bivektorminuso la eksterprodukton;\nekzemplo estas la angulrapida tensoro."}, {"text_idx": "#000073", "text": "Misoblikvaj simetriaj matricoj generas ortogonalajn matricojn kun determinanto 1 tra la eksponenta mapo.\nAparte la eksponento de bivektoro asociita kun rotacio estas rotaciomatrico, kiu estas la rotaciomatrico M R evoluita per c\u0302i-supra kontrau\u0306simetria matrico estas"}, {"text_idx": "#000074", "text": "La rotacio priskribita je M R estas la sama kiel tio priskribita je la rotoro R evoluita per"}, {"text_idx": "#000075", "text": "kaj la matrico M R povas esti ankau\u0306 kalkulita rekte de rotoro R:"}, {"text_idx": "#000076", "text": "Bivectors estas parenca al la eigenvalues de rotaciomatrico.\nSurbaze de rotaciomatrico M la eigenvalues povas kalkulis solvante la karakterizan ekvacion por tiu matrico 0 = det ( M \u2212 \u03bbI).\nDe la algebra bazteoremo tio havas tri radikojn, sed nur unu realan radikon kiel ekzistas nur unu ajgenvektoro, la rotacia akso.\nLa aliaj radikoj devas esti kompleksakonjugita paro.\nIli havas unuomagnitudon tiel sole imagaj logaritmoj, egala al la signifo de la bivektoro asociita kun la rotacio, kiu ankau\u0306 estas la angulo de rotacio.\nLa eigenvektors asociita kun la kompleksa eigenvalues estas en la aviadilo de la bivektoro, tiel la ekstera produkto de du ne-paralela ajgenvektorrezulto en la bivektoro, au\u0306 minimume multoblo de g\u0302i."}, {"text_idx": "#000077", "text": "La rotaciovektoro estas ekzemplo de aksa vektoro.\nAksaj vektoroj, au\u0306 pseu\u0306dovektoroj, estas vektoroj kun la speciala trajto kiun iliaj koordinatoj spertas signos\u0302ang\u0302on relative al la kutimaj vektoroj (ankau\u0306 nomitaj \"polusaj vektoroj\") sub inversio tra la origino, reflektado en ebeno, au\u0306 aliajn orientig\u0302-inversigante lineartransformon.\nEkzemploj inkludas kvantojn kiel tordmomanto, angula movokvanto kaj vektoraj kampoj.\nKvantoj kiuj uzus aksajn vektorojn en vektoralgebro estas konvene reprezentitaj per bivektoroj en geometria algebro.\nPli g\u0302uste, se subesta orientig\u0302o estas elektita, la aksaj vektoroj estas kompreneble identigitaj kun la kutimaj vektoroj;\nla Hodge-dualo tiam donas la izomorfion inter aksaj vektoroj kaj bivektoroj, tiel ke c\u0302iu aksa vektoro estas rilata al bivektoro kaj inverse;"}, {"text_idx": "#000078", "text": "kie \u2217 indikas la Hodge-dualon.\nNotu ke se la subesta orientig\u0302o estas inversigita per inversio tra la origino, kaj la identigo de la aksaj vektoroj kun la kutimaj vektoroj kaj la Hodge-duobla s\u0302ang\u0302o subskribas, sed la bivektors ne cedas.\nAlterne, uzante la unuopseudoscalar en C l3 (R), mi = e 1 e 2 e 3 donas"}, {"text_idx": "#000079", "text": "Tio estas pli facila por uzi kiam la produkto estas j\u0302us la geometria produkto.\nSed g\u0302i estas kontrau\u0306simetria c\u0302ar (kiel en du dimensioj) la unuopseudoscalar I kvaranguloj al \u22121, tiel ke negativo estas necesa en unu el la produktoj."}, {"text_idx": "#000080", "text": "Tiu rilato ampleksas operaciojn like la vektoro aprezis vektoran produton kaj bivektoron aprezis eksteran produkton, kiel kiam skribite kiel determinantoj ili estas kalkulitaj en lau\u0306 la saman manieron:"}, {"text_idx": "#000081", "text": "tiel estas ligitaj fare de la Kamparlaboristo duoblaj:"}, {"text_idx": "#000082", "text": "Bivektoroj havas kelkajn avantag\u0302ojn super aksaj vektoroj.\nIli pli bone malambiguigas aksajn kaj polusajn vektorojn, kiu estas la kvantoj reprezentitaj per ili, tiel ke estas pli klare kiuj operacioj estas permesitaj kaj kio iliaj rezultoj estu.\nEkzemple, la interna produkto de polusa vektoro kaj aksa vektoro rezultiganta de la vektora produto la trioblan produkton devus rezultigi pseudoscalar, rezulton kiu estas pli evidenta se la kalkulo estas enkadrigita kiel la ekstera produkto de vektoro kaj bivektoro.\nIli g\u0302eneraligas al alia grandeco;\nen specialaj bivektoroj povas esti uzita por priskribi kvantojn kiel tordmomanto kaj angula movokvanto en du same kiel tri dimensiojn.\nAnkau\u0306, ili proksime egalas geometrian intuicion lau\u0306 kelkaj manieroj, kiel vidite en la venonta sekcio."}, {"text_idx": "#000083", "text": "Kiel indikite sub ilia nomo kaj tiu de la algebro, unu el la altiroj de bivektoroj estas ke ili havas naturan geometrian interpreton.\nTio povas esti priskribita en iu dimensio sed estas plej bone farita enen tri kie paraleloj povas esti desegnitaj kun pli konataj objektoj, antau\u0306 esti aplikitaj al pli alta grandeco.\nEn du dimensioj la geometria interpreto estas sensignifa, c\u0302ar la spaco estas dudimensia tiel havas nur unu aviadilon, kaj c\u0302iuj bivektoroj estas rilataj al g\u0302i malsamanta nur de skalfaktoro."}, {"text_idx": "#000084", "text": "C\u0302iuj bivektoroj povas esti interpretitaj kiel aviadiloj, au\u0306 pli g\u0302uste kiel direktitaj aviadilsegmentoj.\nEn tri dimensioj ekzistas tri trajtoj de bivektoro kiu povas esti interpretita geometrie:"}, {"text_idx": "#000086", "text": "En tri dimensioj c\u0302iuj bivektoroj povas esti generitaj per la ekstera produkto de du vektoroj.\nSe la bivektoro B = \u2227 b tiam la signifo de B estas"}, {"text_idx": "#000087", "text": "kie \u03b8 estas la angulo inter la vektoroj.\nTio estas la areo de la paralelogramo kun randoj a kaj b, kiel montrite en la diagramo.\nUnu interpreto estas ke la areo estas balaita eksteren per b kiam g\u0302i movig\u0302as antau\u0306en .\nLa ekstera produkto estas kontrau\u0306simetria, do inversigante la ordon de a kaj b por fari movon lau\u0306 b rezultoj en bivektoro kun la kontrau\u0306direkto kiu estas la negativo de la unua.\nLa aviadilo da bivektoro \u2227 b enhavas kaj a kaj b tiel ili estas ambau\u0306 paralela al la aviadilo."}, {"text_idx": "#000088", "text": "Bivectors kaj aksaj vektoroj estas ligitaj per Hodge-dualo.\nEn reala vektoro interspacigas la Hodge-dualon rilatigas subspacon al g\u0302ia ortogonala komplemento, do se bivektoro estas reprezentita per ebeno tiam la aksa vektoro asociita kun g\u0302i estas simple la surfaca normalo de la ebeno.\nLa ebeno havas du normalojn, unu sur c\u0302iu flanko, donante la du eblajn orientig\u0302ojn por la ebeno kaj bivektoro."}, {"text_idx": "#000089", "text": "Tio rilatigas la vektoran produton al la ekstera produkto.\nPovas ankau\u0306 esti uzite reprezenti fizikajn kvantojn, kiel tordmomanto kaj angula movokvanto.\nEn vektoralgebro ili estas kutime reprezentitaj per vektoroj, perpendikularaj al la aviadilo de la forto, linia impeto au\u0306 delokig\u0302o ke de ili estas kalkulitaj.\nSed se bivektoro estas uzita anstatau\u0306e la aviadilo estas la aviadilo de la bivektoro, do estas pli natura maniero reprezenti la kvantojn kaj la manieron kiel ili agas.\nG\u0302i ankau\u0306 male al la vektorreprezentantaro g\u0302eneraligas en alian grandecon."}, {"text_idx": "#000090", "text": "La produkto de du bivektoroj havas geometrian interpreton.\nPor ne-nulaj bivektoroj A kaj B la produkto povas esti dividita en simetriajn kaj kontrau\u0306simetriajn partojn jene:"}, {"text_idx": "#000092", "text": "Bivectors povas esti aldonita kune kiel areoj.\nSurbaze de du ne-nulaj bivektoroj B kaj C en tri dimensioj estas c\u0302iam eble trovi vektoron kiu estas enhavita en ambau\u0306, eldiro, tiel ke la bivektors povas esti skribita kiel eksteraj produktoj implikantaj :"}, {"text_idx": "#000093", "text": "Tio povas esti interpretita geometrie kiel vidita en la diagramo: la du areoj sumigas por doni trionon, kie la tri areoj formas vizag\u0302ojn de prismo kun , b, c kaj b + c kiel randoj.\nTio egalrilatas al la du manieroj kalkuli la areo uzante la Distribuecon de la ekstera produkto:"}, {"text_idx": "#000094", "text": "Tio nur laboras en tri dimensioj kiam g\u0302i estas la nura dimensio kie vektoro paralela al ambau\u0306 bivektoroj devas ekzisti.\nEn pli altaj grandecbivektoroj g\u0302enerale estas ne rilataj al ununura aviadilo, au\u0306 se ili estas (simplaj bivektoroj) du bivektoroj povas havi neniun vektoron komune, kaj tiel sumon al ne-simpla bivektoro."}, {"text_idx": "#000095", "text": "En kvar dimensioj la bazelementoj por la spac\u03bb2 R4 de bivektoroj estas ( e 12, e 13, e 14, e 23, e 24, e 34), tiel ke g\u0302enerala bivektoro estas de la formo"}, {"text_idx": "#000096", "text": "En kvar dimensioj la Hodge-dualo de bivektoro estas bivektoro, kaj la spac\u03bb2 R4 estas duobla al si mem.\nNormalaj vektoroj ne estas unikaj, anstatau\u0306e c\u0302iu aviadilo estas ortogonala al c\u0302iuj vektoroj en sia Hodge-duobla spaco.\nTio povas esti uzita por dividi la bivektors en du \"duonojn\", lau\u0306 la sekva maniero.\nNi havas tri parojn de ortogonalaj bivektoroj: ( e 12, e 34\nEkzistas kvar apartaj manieroj elekti unu bivektoro de c\u0302iu el la unuaj du paroj, kaj foje tiuj unuaj du estas elektitaj ilia sumo donas la trian bivektoron de la alia paro."}, {"text_idx": "#000097", "text": "En kvar dimensioj bivektoroj estas generitaj per la ekstera produkto de vektoroj en R4, sed kun unu grava diferenco de R3 kaj R2.\nEn kvar dimensioj ne c\u0302iuj bivektoroj estas simplaj.\nEkzistas bivektoroj kiel ekzemple e 12 + e 34 kiuj ne povas esti generitaj per la ekstera produkto de du vektoroj.\nTio ankau\u0306 signifas ke ili ne havas realon, kiu estas skalaro, kvadrato."}, {"text_idx": "#000098", "text": "La elemento e 1234 estas la pseudoscalar en C l4, aparta de la Skalaro, tiel ke la kvadrato estas ne-skalara."}, {"text_idx": "#000099", "text": "C\u0302iuj bivektoroj en kvar dimensioj povas esti generitaj uzante maksimume du eksterajn produktojn kaj kvar vektorojn.\nC\u0302i-supra bivektoro povas esti skribita kiel"}, {"text_idx": "#000100", "text": "Simile, c\u0302iu bivektoro povas esti skribita kiel la sumo de du simplaj bivektoroj.\nEstas utile elekti du ortogonalajn bivektorojn por tio, kaj tio c\u0302iam estas ebla farendaj\u0302o.\nKrome, por senmarka bivektoro la elekto de simplaj bivektoroj estas unika, t.e., ekzistas nur unu maniero putrig\u0302i en ortogonalajn bivektorojn;\nla nura escepto estas kiam la du ortogonalaj bivektoroj havas egalajn magnitudojn (kiel en c\u0302i-supra ekzemplo): en tiu kazo la putrig\u0302o ne estas unika.\nLa putrig\u0302o c\u0302iam estas unika koncerne simplajn bivektorojn, kun la ekstra gratifiko kiun tiu unu el la ortogonalaj partoj estas nul."}, {"text_idx": "#000101", "text": "Kiel en tri dimensiobivektoroj en kvar dimensio generas rotaciojn tra la eksponenta mapo, kaj c\u0302iuj rotacioj povas esti generitaj tiun manieron.\nKiel en tri dimensioj se B estas bivektoro tiam la rotoro R estas e B /2 kaj rotacioj estas generitaj en lau\u0306 la saman manieron:"}, {"text_idx": "#000102", "text": "La rotacioj generitaj estas pli kompleksaj tamen.\nIli povas esti kategoriigitaj jene:"}, {"text_idx": "#000103", "text": "simplaj rotacioj estas tiuj kiuj riparas aviadilon en 4D, kaj rotacias de angulo \"pri\" tiu aviadilo.\nduoblaj rotacioj havas nur unu fikspunkton, la originon, kaj rotacias tra du anguloj pri du ortogonalaj aviadiloj.\nG\u0302enerale la anguloj estas malsamaj kaj la aviadiloj estas unike precizigitaj\nizoklinikaj rotacioj estas duoblaj rotacioj kie la anguloj de rotacio estas egalaj.\nEn tiu kazo la aviadiloj koncerne kiujn la rotacio okazas ne estas unikaj."}, {"text_idx": "#000104", "text": "simplaj rotacioj estas tiuj kiuj riparas aviadilon en 4D, kaj rotacias de angulo \"pri\" tiu aviadilo."}, {"text_idx": "#000105", "text": "duoblaj rotacioj havas nur unu fikspunkton, la originon, kaj rotacias tra du anguloj pri du ortogonalaj aviadiloj.\nG\u0302enerale la anguloj estas malsamaj kaj la aviadiloj estas unike precizigitaj"}, {"text_idx": "#000106", "text": "izoklinikaj rotacioj estas duoblaj rotacioj kie la anguloj de rotacio estas egalaj.\nEn tiu kazo la aviadiloj koncerne kiujn la rotacio okazas ne estas unikaj."}, {"text_idx": "#000107", "text": "Tiuj estas generitaj per bivektoroj lau\u0306 simpla maniero.\nSimplaj rotacioj estas generitaj per simplaj bivektoroj, per la fiksa aviadilo la dualo au\u0306 ortogonala al la aviadilo de la bivektoro.\nLa rotacio povas esti dirita okazi koncerne tiun aviadilon, en la aviadilo de la bivektoro.\nC\u0302iuj aliaj bivektoroj generas duoblajn rotaciojn, kun la du anguloj da la rotacio korespondante al la signifoj de la du simplaj bivektoroj de kiujn la ne-simpla bivektoro estas kunmetita.\nIzoklinikaj rotacioj ekestas kiam tiuj magnitudoj estas egalaj, en kiu kazo la putrig\u0302o en du simplajn bivektorojn ne estas unika."}, {"text_idx": "#000108", "text": "Bivectors g\u0302enerale ne navedas, sed unu escepto estas ortogonalaj bivektoroj kaj eksponentoj de ili.\nTiel se la bivektoro B = B 1 + B 2 , kie B 1 kaj B 2 estas ortogonala simpla bivektors, kutimas generi rotacion kiun g\u0302i malkonstruas en du simplajn rotaciojn kiuj navedas jene:"}, {"text_idx": "#000109", "text": "Estas c\u0302iam eble farendaj\u0302o tion kiam c\u0302iuj bivektoroj povas esti esprimitaj kiel sumoj de ortogonalaj bivektoroj."}, {"text_idx": "#000110", "text": "Spactempo estas matematika modelo por nia universo uzita en speciala teorio de relativeco.\nG\u0302i konsistas el tri -spaca grandeco kaj unu fojon dimensio kombinis en ununuran kvar-dimensian spacon.\nG\u0302i estas kompreneble priskribita uzante geometrian algebron kaj bivektors, kun la Eu\u0306klida metriko anstatau\u0306igita per Minkowski metrika.\nTiu algebro estas identa al tiu de eu\u0306klida spaco, esceptas ke la signaturo estas s\u0302ang\u0302ita, tiel"}, {"text_idx": "#000111", "text": "(Noto la ordo kaj indeksoj supre ne estas universalaj - c\u0302i tie e 4 estas la temp-simila dimensio).\nLa geometria algebro estas C l3,1 (R), kaj la subspaco de bivektoroj estas \u03bb2-R3,1."}, {"text_idx": "#000112", "text": "La simplaj bivektoroj estas de du tipoj.\nLa simplaj bivektoroj e 23, e 31 kaj e 12 havas negativajn kvarangulojn kaj interspacon la bivektors de la tridimensia subspaco egalrilatanta al eu\u0306klida spaco, R3.\nTiuj bivektoroj generas ordinarajn rotaciojn en R3."}, {"text_idx": "#000113", "text": "La simplaj bivektoroj e 14, e 24 kaj e 34 havas pozitivajn kvarangulojn kaj c\u0302ar aviadiloj turnadis spacdimension kaj la tempodimension.\nTiuj ankau\u0306 generas rotaciojn tra la eksponenta mapo, sed anstatau\u0306e de trigonometria funkcio, hiperbolaj funkcioj estas necesaj, kiu generas rotoron jene:"}, {"text_idx": "#000114", "text": "kie \u03c9 estas la bivektoro ( e 14, ktp.), identigita per la metriko kun kontrau\u0306simetria lineartransformo de R3,1.\nTiuj estas Lorentz-akceloj, esprimitaj lau\u0306 precipe kompakta maniero, uzante la saman specon de algebro kiel en R3 kaj R4."}, {"text_idx": "#000115", "text": "G\u0302enerale c\u0302iuj spactemporotacioj estas generitaj de bivektoroj tra la eksponenta mapo, t.e., g\u0302enerala rotoro generita je bivektoro A estas de la formo"}, {"text_idx": "#000116", "text": "La aro de c\u0302iuj rotacioj en spactempo formas la Lorentz-grupon, kaj el ili la plej multaj el la sekvoj de speciala teorio de relativeco povas esti konkluditaj.\nPli g\u0302enerale tiu spektaklo kiel transformoj en eu\u0306klida spaco kaj spactempo povas c\u0302iun esti priskribitaj uzante la saman specon de algebro."}, {"text_idx": "#000117", "text": "Ekvacioj de Maxwell estas utiligitaj en fiziko por priskribi la rilaton inter elektraj kaj kampoj.\nNormale donita tiel kvar diferencialaj ekvacioj ili havas precipe kompaktan formon kiam la kampoj estas esprimitaj kiel spactempobivektoro de \u03bb2-R3,1.\nSe la elektraj kaj kampoj en R3 estas E kaj B tiam la elektromagneta bivektoro estas"}, {"text_idx": "#000118", "text": "kie e 4 denove estas la bazvektoro por la temp-simila dimensio kaj c estas la lumrapideco.\nLa produkto B e 123 donas la bivektoron kiu estas Kamparlaboristo duobla al B en tri dimensioj, kiel diskutite supre, dum E e 4 kiel produkto de ortogonalaj vektoroj estas ankau\u0306 bivektoro aprezis.\nKiel tutaj\u0302o g\u0302i estas la elektromagneta tensoro esprimita pli kompakte kiel bivektoro, kaj estas uzita jene.\nUnue g\u0302i estas rilatita al la 4-nuna J, vektorokvanto donita per"}, {"text_idx": "#000119", "text": "kie j estas nuna denseco kaj \u03c1 estas pagendaj\u0302denseco.\nIli estas ligitaj per diferenciga funkciigist\u2202, kio estas"}, {"text_idx": "#000120", "text": "La funkciigist\u2207 estas diferenciga funkciigisto en geometria algebro, reagante al la spacgrandeco kaj antau\u0306fiksita per \u2207 M\nM estas la diverg\u0302o kaj \u2207\u2227 M estas la buklo sed kun bivektoro prefere ol vektorrezulto, kiu estas duobla en tri dimensioj al la buklo.\nPor g\u0302enerala kvanto da M ili funkcias kiel grado malaltiganta kaj kreskiganta diferencialajn operatorojn.\nAparte se M estas Skalaro tiam tiu funkciigisto estas j\u0302us la gradiento, kaj g\u0302i povas esti opiniita de kiel geometria algebra del funkciigisto."}, {"text_idx": "#000121", "text": "Kune tiuj povas esti uzitaj por doni precipe kompaktan formon por ekvacioj de Maxwell en vakuo:"}, {"text_idx": "#000122", "text": "Tio se malkonstruite lau\u0306 geometria algebro, uzi geometriajn produktojn kiuj havas kaj gradaltigon kaj gradajn malpliigefikojn, estas ekvivalenta al la kvar ekvacioj de Maxwell.\nTio estas la formo en vakuo, sed la g\u0302enerala formo estas nur iom pli kompleksa.\nG\u0302i ankau\u0306 estas rilatita al la elektromagneta kvar-ebla, vektoro A evoluita per"}, {"text_idx": "#000123", "text": "kie A estas la vektoro magneta potencialo kaj V estas la elektra potencialo.\nG\u0302i estas rilatita al la elektromagneta bivektoro kiel sekvas"}, {"text_idx": "#000124", "text": "uzante la saman diferencigan funkciigist\u2202."}, {"text_idx": "#000125", "text": "Kiel estis sugestita en pli fruaj sekcioj multo da geometria algebro g\u0302eneraligas bone en pli altan grandecon.\nLa geometria algebro por la reala spaco R n estas Cl n (R), kaj la subspaco de bivektoroj estas \u03bb2R n ."}, {"text_idx": "#000126", "text": "La nombro da simplaj bivektoroj bezonitaj por formi g\u0302eneralajn bivektorpliig\u0302ojn kun la dimensio, tiel por n stranga g\u0302i estas ( n \u2212 1)/2, por n ec\u0302 g\u0302i estas n /2.\nTiel por kvar kaj kvin dimensioj nur du simplaj bivektoroj estas necesaj sed tri estas postulataj por ses kaj sep dimensioj.\nEkzemple, en ses dimensioj kun norma bazo ( e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6) la bivektoro"}, {"text_idx": "#000127", "text": "la sumo de tri simplaj bivektoroj sed neniu estas malpli.\nKiel en kvar dimensioj estas c\u0302iam eble trovi ortogonalan kuracherbon bivektors por tiu sumo."}, {"text_idx": "#000128", "text": "Kiel en tri kaj kvar dimensioj rotoroj estas generitaj per la eksponenta mapo, tiel"}, {"text_idx": "#000129", "text": "c\u0302u la rotoro estas generita per bivektoro B.\nSimplaj rotacioj, kiuj okazas en aviadilo de rotacio c\u0302irkau\u0306 fiksa klingo de dimensio ( n \u2212 2) estas generitaj per simplaj bivektoroj, dum aliaj bivektoroj generas pli kompleksajn rotaciojn de kiuj povas esti priskribitaj lau\u0306 la simpla bivektors kiun ili estas sumoj, c\u0302iu rilatigis al aviadilo de rotacio.\nC\u0302iuj bivektoroj povas esti esprimitaj kiel la sumo da ortogonalaj kaj kommutativaj simplaj bivektoroj, tiel ke rotacioj c\u0302iam povas esti malkonstruitaj en aron de kommutativaj rotacioj koncerne la aviadilojn asociitajn kun tiuj bivektoroj.\nLa grupo de la rotoroj en n grandeco estas la spingrupo, Spin ( n)."}, {"text_idx": "#000130", "text": "Unu rimarkinda trajto, rilatita al la nombro da simplaj bivektoroj kaj tiel rotaciaviadiloj, estas ke en stranga grandeco c\u0302iu rotacio havas fiksan akson - g\u0302i estas misgvida nomi g\u0302in rotacia akso kiel en pli altaj grandecrotacioj okazas en multoblaj aviadiloj ortogonalaj al g\u0302i.\nTio estas rilatita al bivektoroj, c\u0302ar bivektoroj en stranga grandeco putrig\u0302as en la saman nombron da bivektoroj kiel la ebena dimensio malsupre, do havas la saman nombron da aviadiloj, sed unu ekstran dimension.\nC\u0302ar c\u0302iu aviadilo generas rotaciojn en du dimensioj en stranga grandeco kiujn devas ekzisti unu dimensio, tio estas akso, kiu ne estas rotaciita."}, {"text_idx": "#000131", "text": "Bivectors ankau\u0306 estas parenca al la rotaciomatrico en n grandeco.\nKiel en tri dimensioj la karakteriza ekvacio de la matrico povas esti solvita por trovi la eigenvalues.\nEn stranga grandeco tio havas unu realan radikon, kun ajgenvektoro la fiksa akso, kaj en ec\u0302 grandeco g\u0302i havas neniujn realajn radikojn, tiel ke au\u0306 c\u0302io au\u0306 c\u0302iuj krom unu el la radikoj estas kompleksakonjugitaj paroj.\nC\u0302iu paro estas rilata al simpla komponento de la bivektoro asociita kun la rotacio.\nAparte la tagalo de c\u0302iu paro estas \u00b1 la signifo, dum ajgenvektoroj generis de la radikoj estas paralela al kaj tiel povas esti uzitaj por generi la bivektoron.\nG\u0302enerale la eigenvalues kaj bivektoroj estas unikaj, kaj la aro da Eigen-valoroj donas la plenan putrig\u0302on en simplajn bivektorojn;\nse radikoj tiam estas ripetitaj la putrig\u0302o de la bivektoro en simplajn bivektorojn ne estas unika."}, {"text_idx": "#000132", "text": "Geometria algebro povas esti aplikita al projekcia geometrio lau\u0306 simpla maniero.\nLa geometria algebro uzita estas Cl n (R), n \u2265 3, la algebro de la reala vektora spaco R n .\nTio kutimas priskribi objektojn en la reala projekcia spac RP n \u2212 1 .\nLa ne-nulaj vektoroj en Cl n (R) au\u0306 R n estas rilataj al punktoj en la projekcia spaco tiel vektoroj kiuj malsamas nur de skalfaktoro, tiel ke ilia ekstera produkto estas nul, mapo al la sama punkto.\nNe-nulaj simplaj bivektoroj en \u03bb2R n reprezentas liniojn en RP n \u2212 1 , kun bivektoroj malsamantaj nur de (pozitiva au\u0306 negativa) skalfaktoro reprezentanta la saman linion."}, {"text_idx": "#000133", "text": "Priskribo da la projekcia geometrio povas esti konstruita en la geometria algebro uzante bazajn operaciojn.\nEkzemple, surbaze de du apartaj poentoj en RP n \u2212 1 reprezentis de vektoroj a kaj b la linio inter ili ricevas per \u2227 b (au\u0306 b \u2227 ).\nDu linioj krucas en punkto se A \u2227 B = 0 por iliaj bivektoroj A kaj B.\nTiu punkto ricevas per la vektoro"}, {"text_idx": "#000134", "text": "La operacio-\" \u22c1\" estas la kunveno, kiu povas esti difinita kiel supra lau\u0306 la kunligo, J = A \u2227 B [ kiun klarigo bezonis ] por ne-nula A \u2227 B .\nUzante tiujn operaciojn projekcia geometrio povas esti formulita lau\u0306 geometria algebro.\nEkzemple, surbaze de tria (ne-nula) bivektoro C la punkto p situas sur la linio evoluita je C se kaj nur se"}, {"text_idx": "#000135", "text": "Tiel la kondic\u0302o por la linioj evoluitaj je A, B kaj C esti samlinia estas"}, {"text_idx": "#000136", "text": "al kiu en C l3 (R) kaj RP2 simpligas"}, {"text_idx": "#000137", "text": "kie la angulparentezoj indikas la skalarparton de la geometria produkto.\nEn lau\u0306 la saman manieron c\u0302iuj projekciaj spacoperacioj povas esti skribita lau\u0306 geometria algebro, kun bivektoroj reprezentantaj g\u0302eneralajn liniojn en projekcia spaco, tiel ke la tuta geometrio povas esti evoluigita uzante geometrian algebron."}, {"text_idx": "#000138", "text": "Kiel super bivektoro povas esti skribita kiel kontrau\u0306simetria matrico, kiu tra la eksponenta mapo generas rotaciomatricon kiu priskribas la saman rotacion kiel la rotoron, ankau\u0306 generiten per la eksponenta mapo sed aplikitan al la vektoro.\nSed g\u0302i ankau\u0306 estas uzita kun aliaj bivektoroj kiel ekzemple la angulrapida tensoro kaj la elektromagneta tensoro, respektive 3\u00d73 kaj 4\u00d74 kontrau\u0306simetria matrico au\u0306 tensoro."}, {"text_idx": "#000139", "text": "Realaj bivektoroj en \u03bb2R n estas izomorfaj al n \u00d7 n kontrau\u0306simetriaj matricoj, au\u0306 alterne al malsimetriaj tensoroj de ordo 2 sur R n .\nDum bivektoroj estas izomorfaj al vektoroj (per la dualo) en tri dimensioj ili povas esti reprezentitaj per kontrau\u0306simetriaj matricoj en iu dimensio.\nTio estas utila por rilatigado de bivektoroj al problemoj priskribitaj per matricoj, tiel ke ili povas esti regisu lau\u0306 bivektoroj, donitaj geometrian interpreton, tiam ofte solvitaj pli facile au\u0306 ligitaj geometrie al aliaj bivektorproblemoj."}, {"text_idx": "#000140", "text": "Pli g\u0302enerale c\u0302iu reala geometria algebro estas izomorfa al matricalgebro.\nTiuj enhavas bivektorojn kiel subspaco, kvankam ofte en maniero kiel kiu estas ne aparte utila.\nTiuj matricoj estas plejparte de intereso kiel maniero klasifiki Clifford-algebroj."}]