[{"text_idx": "#000001", "text": "La natura logaritmo de nombro estas sia logaritmo al la fundamento de la matematika konstanto\ne , kie e estas neracia kaj transcenda nombro c\u0302irkau\u0306 egala al 7000271828182845899\u2660 2.\nLa natura logaritmo de x estas g\u0302enerale skribita kiel ln x , registradas e x , au\u0306 foje, c\u0302u la baze estas implica, simple registradas x .\nKrampoj foje estas aldonitaj por klareco, donante ln ( x), arbotrunko e ( x) au\u0306 tagalon ( x).\nTio estas farita aparte kiam la argumento al la logaritmo ne estas ununura simbolo, por malhelpi ambiguecon."}, {"text_idx": "#000002", "text": "La natura logaritmo de x estas la potenco al kiu e devus esti levita por esti x.\nLa natura tagalo de e mem, ln ( e), estas 1, c\u0302ar e 1 = e , dum la natura logaritmo de 1, ln (1), estas 0, ekde e 0 = 1."}, {"text_idx": "#000003", "text": "La natura logaritmo povas esti difinita por iu pozitiva reala nombro kiel la areo sub la kurbo y = 1/ x de 1 g\u0302is (la areo estanta prenita kiel negativo kiam < 1).\nLa simpleco de tiu difino, kiu estas egalita en multaj aliaj formuloj implikantaj la naturan logaritmon, kondukas al la esprimo \"natura\".\nLa difino de la natura logaritmo povas esti etendita por doni al logaritmo valorojn por negativaj nombroj kaj por c\u0302iuj ne-nulaj kompleksaj nombroj, kvankam tio kau\u0306zas multi-aprezitfunkcion: vidu Kompleksan logaritmon."}, {"text_idx": "#000004", "text": "La natura logaritmofunkcio, se konsiderite real-aprezitan funkcion de reala variablo, estas la inversa funkcio de la eksponenta funkcio, kondukante al la identecoj:"}, {"text_idx": "#000005", "text": "Kiel c\u0302iuj logaritmoj, la natura logaritmomapmultipliko en aldonon:"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Tiel, la logaritmofunkcio estas grupizomorfio de pozitivaj realaj nombroj sub multipliko g\u0302is la grupo de realaj nombroj sub aldono, reprezentita kiel funkcio:"}, {"text_idx": "#000008", "text": "Logaritmoj povas esti difinitaj al iu pozitiva bazo krom 1, ne nur e.\nTamen, logaritmoj en aliaj bazoj devias nur de konstanta multiplikato de la natura logaritmo, kaj estas kutime difinitaj lau\u0306 c\u0302i-lasta.\nEkzemple, la binara logaritmo estas la natura logaritmo dividita per ln (2), la natura logaritmo de 2.\nLogaritmoj estas utilaj por solvado ekvacioj en kiuj la nekonataj\u0302o prezentig\u0302as kiel la eksponento de iu alia kvanto.\nEkzemple, logaritmoj estas utiligitaj por solvi por la duonig\u0302otempo, kadukig\u0302konstanto, au\u0306 nekonata tempo en eksponentatomdisfalaj problemoj.\nIli estas gravaj en multaj branc\u0302oj de matematiko kaj la sciencoj kaj estas uzitaj en financo por solvi problemojn implikantajn kumulinterezon."}, {"text_idx": "#000009", "text": "De Lindemann-Weierstras-teoremo, la natura logaritmo de iu pozitiva algebra nombro krom 1 estas transcenda nombro."}, {"text_idx": "#000010", "text": "duonig\u0302otempoj eksponenta kresko kaj kadukig\u0302o"}, {"text_idx": "#000011", "text": "pruvo ke e estas neracia"}, {"text_idx": "#000013", "text": "Kun La koncepto de la natura logaritmo estis laborita fare de Gregoire de Saint-Vincent kaj Alphonse Antonio de Sarasa antau\u0306 1649.\nIlia laboro implikis kvadraturon de la hiperbol ksy = 1 de persistemo de la areo de hiperbolaj sektoroj.\nIlia solvo generis la necesaj\u0302o- \"hiperbolan logaritmo-\" funkcion havante trajtojn nun asociitaj kun la natura logaritmo."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Frua mencio de la natura logaritmo estis de Nicholas Mercator en lia laboro Logarithmotechnia publikigita en 1668, [3] kvankam la matematikinstruisto John Speidell jam havis en 1619 kompilanta tablon de kio fakte estis efike naturaj logaritmoj."}, {"text_idx": "#000015", "text": "La notacio- \" ln x \" kaj \" arbotrunko e x \" ambau\u0306 rilatas malambigue al la natura logaritmo de x.\n\" registradu ke x \" sen eksplicita bazo povas ankau\u0306 rilati al la natura logaritmo.\nTiu uzokutimo estas ofta en matematiko kaj kelkaj sciencaj kuntekstoj same kiel en multaj programlingvoj.\n[nb 1] En iuj aliaj kuntekstoj, aliflanke, \" registradu ke x \" povas esti uzita por indiki la komunan (bazo 10) logaritmon."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Historie, la notacioj \" l \" kaj \" l \" estis en uzo almenau\u0306 ekde la 1730-aj jaroj, [5] [6] kaj g\u0302is minimume la 1840-aj jaroj, [7] tiam \"tagalo.\"\nau\u0306 \"registradu\", [9] minimume ekde la 1790-aj jaroj.\nFinfine, en la dudeka jarcento, la notacio- \"Registro\" [10] kaj \"lago\" [11] estas atestitaj."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Origino de la terminonatura logaritmo"}, {"text_idx": "#000018", "text": "Ekzistas kelkaj bazaj karakterizaj\u0302oj kiujn logaritmoj al iu bazo havas komune.\nC\u0302efo inter ili estas ke la logaritmo de la numero unu estas nul."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Kio igas naturajn logaritmojn unikaj troveblas c\u0302e la ununura punkto kie c\u0302iuj logaritmoj estas nul, nome la logaritmon de la numero unu.\nC\u0302e tiu specifa punkto la \"deklivo\" de la kurbo de la grafeo de la natura logaritmo estas ankau\u0306 g\u0302uste oni.\nLogaritmoj al pli alte malnobla ol e, kiel ekzemple tiuj al la malnoblaj 10, ekspozicias deklivon c\u0302e tiu punkto malpli ol unu, dum logaritmoj al pli malalta malnobla ol e, kiel ekzemple tiuj al la malnoblaj 2, ekspozicias deklivon c\u0302e tiu punkto pli bonega ol unu.\nDum la metodoj por komputado de la \"valoro\" de e fascinas de diversaj matematikaj perspektivoj, ili c\u0302iuj povas esti opiniitaj de kiel rezultig\u0302ante el la postkuro de tiu kondic\u0302o."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Alia maniero konceptigi tio devas ekkompreni ke, por iu numera valoro proksima al la nombro unu, la natura logaritmo povas esti komputita subtrahante la nombron unu de la numera valoro.\nEkzemple, la natura logaritmo de 1.01 estas 0.01 al precizeco pli bone ol 5 partoj per mil.\nKun simila precizeco oni povas aserti ke la natura logaritmo de 0.99 estas negativa 0.01.\nLa precizeco de tiu koncepto pliig\u0302as kiel unu aliras la numeron unu dau\u0306re pli proksime, kaj atingas tutecon de precizeco g\u0302uste tie.\nLau\u0306 la sama mezuro kiu la numero unu mem estas numero komunpas\u0302tejo al c\u0302iuj sistemoj de nombrado, tiel ke ankau\u0306 la natura logaritmo estas sendependa de c\u0302iuj sistemoj de nombrado.\nEn la angla lingvo la esprimo adoptita por enkapsuligi tiun koncepton estas la vorto \"natura\"."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Komence, g\u0302i eble s\u0302ajnos ke c\u0302ar la komuna numera sistemo estas malnobla 10, tio malnobla estus pli \"natura\" ol baze.\nSed matematike, la numero 10 ne estas precipe signifa.\nG\u0302ia uzo kulture - kiel la bazo por la numeraj sistemoj de multaj socioj - vers\u0302ajne ekestig\u0302as de la tipa numero de homoj de fingroj.\nAliaj kulturoj surbaze siajn nombrajn sistemojn de tiaj elektoj kiel 5, 8, 12, 20, kaj 60."}, {"text_idx": "#000022", "text": "tagalo e estas \"natura\" tagalo c\u0302ar de g\u0302i au\u0306tomate originas, kaj tiel ofte en ekaperas, matematiko.\nEkzemple, pripensas la problemon de diferencigado de logaritma funkcio: [16]"}, {"text_idx": "#000023", "text": "Se la baz b korespondas al e, tiam la derivaj\u0302o estas simple 1/ x, kaj c\u0302e x = 1 tiu derivaj\u0302o korespondas al 1-a Alia signifo en kiu la bazo-e-logaritmo estas la plej natura estas ke g\u0302i povas esti difinita sufic\u0302e facile lau\u0306 simpla integralo au\u0306 serio de Taylor kaj tio ne estas vera de aliaj logaritmoj."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Pliaj opinioj de tiu natureco giveas neniun uzon de kalkig\u0302o.\nEkzemple, ekzistas kelkaj simplaj serioj implikantaj la naturan logaritmon.\nPietro Mengoli kaj Nicholas Mercator nomis g\u0302in logarithmus-naturalis kelkajn jardekojn antau\u0306 Neu\u0306tono kaj Leibniz evoluigis kalkig\u0302on."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Formale, ln () povas esti difinita kiel la areo sub la hiperbolo 1/ x."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Tiu funkcio estas logaritmo c\u0302ar g\u0302i kontentigas la fundamentan posedaj\u0302on de logaritmo:"}, {"text_idx": "#000027", "text": "Tio povas esti montrita disfendante la integralon kiu difinas ln ( ab) en du partojn kaj tiam farado de la varia anstatau\u0306igo x = Ta en la dua parto, jene:"}, {"text_idx": "#000029", "text": "La nombro da e estas difinita kiel la unika reala nombro tia ke ln () = 1."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Alternative, se la eksponenta funkcio estis difinita unue, diru uzante senfinan serion, la natura logaritmo povas esti difinita kiel sia inversa funkcio, t.e., ln estas tiu funkcio tia ke eksp (ln ( x\nEkde la intervalo de la eksponenta funkcio en realaj argumentoj estas c\u0302iuj pozitivaj realaj nombroj kaj c\u0302ar la eksponenta funkcio estas strikte kreskanta, tio estas klare difinita por c\u0302io pozitiva x."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Tial, ni volas montri tion\n(\\alpha x) (Notu ke ni ankorau\u0306 ne pruvis ke tiu deklaro estas vera."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Tial, ni volas montri tion"}, {"text_idx": "#000033", "text": "(\\alpha x) (Notu ke ni ankorau\u0306 ne pruvis ke tiu deklaro estas vera."}, {"text_idx": "#000034", "text": "La derivaj\u0302o de la natura logaritmo ricevas per"}, {"text_idx": "#000035", "text": "Pruvo 1 de la unua parto de la infinitezimalteoremo:"}, {"text_idx": "#000036", "text": "Tio kondukas al la serio de Taylor por ln (1 + x) proksimume 0;\nankau\u0306 konate kiel la Mercator serio"}, {"text_idx": "#000037", "text": "Nuntempe, pli formale, oni povas pruvi ke la harmonia serio stumpigita je N estas proksima al la logaritmo de N, kiam N estas granda."}, {"text_idx": "#000038", "text": "C\u0302e dekstra estas bildo de ln (1 + x) kaj kelkaj el g\u0302iaj Taylor-polinomoj c\u0302irkau\u0306 0-a Tiuj aproksimadoj konverg\u0302as al la funkcio nur al la regiono \u22121< x \u2264 1;\nekstere de tiu regiono la higher-gradaj Taylor-polinomoj estas pli malbonaj aproksimadoj por la funkcio."}, {"text_idx": "#000039", "text": "Anstatau\u0306igante x \u2212 1 per x, ni akiras alternativoformularon por ln (x) mem, nome"}, {"text_idx": "#000040", "text": "G\u0302i ankau\u0306 povas esti skribita kiel:"}, {"text_idx": "#000041", "text": "Uzante la Euler transformas sur la Mercator serio, oni akiras la sekvantan, kiu estas valida por iu x kun absoluta valoro pli granda ol 1:"}, {"text_idx": "#000042", "text": "La natura logaritmo en integrig\u0302o"}, {"text_idx": "#000044", "text": "Jen estas ekzemplo koncerne g ( x) = sunbruno ( x):"}, {"text_idx": "#000045", "text": "Lasanta f ( x) = cos ( x):"}, {"text_idx": "#000046", "text": "kie C estas arbitra konstanto de integrig\u0302o."}, {"text_idx": "#000047", "text": "La natura logaritmo povas esti integrita uzante integrig\u0302on de partoj:"}, {"text_idx": "#000048", "text": "Por kalkuli la nombrvaloron de la natura logaritmo de nombro, la serio de Taylor-vastig\u0302o povas esti rewriten kiel:"}, {"text_idx": "#000049", "text": "Por akiri pli bonan rapidecon de konverg\u0302o, la sekva identeco povas esti uzita."}, {"text_idx": "#000050", "text": "Por ln ( x) kie x > 1, la pli proksima la valoro de x estas al 1, la pli rapidaj la indico de konverg\u0302o.\nLa identecoj asociitaj kun la logaritmo povas esti plibonigitaj por ekspluati tion:"}, {"text_idx": "#000051", "text": "Tiaj teknikoj estis uzitaj antau\u0306 kalkuliloj, per rilatado al nombraj tabloj kaj elfarado de manipuladoj kiel ekzemple tiuj supre."}, {"text_idx": "#000052", "text": "La natura logaritmo de 10, kiu havas la decimalan vastig\u0302on 2.30258509 ...\n, [21] ludas rolon ekzemple en la komputado de naturaj logaritmoj de nombroj reprezentitaj en scienca notacio, kiel mantiso multobligita fare de potenco de 10:"}, {"text_idx": "#000053", "text": "Por komputi la naturan logaritmon kun multaj ciferoj da precizeco, la serio de Taylor-aliro ne estas efika c\u0302ar la konverg\u0302o estas malrapida.\nSe x estas proksime de 1, alternativo estas uzi la metodon de Neu\u0306tono por inversigi la eksponentan funkcion, kies serio konverg\u0302as pli rapide.\nPor optimuma funkcio, la ripeto simpligas al"}, {"text_idx": "#000054", "text": "kiu havas kuban konverg\u0302on al ln ( x)."}, {"text_idx": "#000055", "text": "Alia alternativo por ekstreme alta precizeckalkulo estas la formulo [22] [23]"}, {"text_idx": "#000056", "text": "kie M indikas la aritmetik-geometrian meznombron de 1 kaj 4/s, kaj"}, {"text_idx": "#000057", "text": "kun m elektita tiel ke p pecetoj da precizeco estas ekhavitaj.\n(Por la plej multaj celoj, la valoro de 8 por m estas sufic\u0302a.\nFakte, se tiu metodo estas uzita, Neu\u0306tono-inversio de la natura logaritmo povas inverse esti uzita por kalkuli la eksponentan funkcion efike.\n(La konstantoln 2 kaj \u03c0 povas esti antau\u0306-komputita al la dezirata precizeco uzante plurajn konataj rapide konverg\u0302antaj serioj."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Surbaze de propono de William Kahan kaj unue efektivigita en la Hewlett-Packard HP-41C kalkulilo en 1979, kelkaj kalkuliloj, komputilalgebraj sistemoj kaj programlingvoj (ekzemple C99 [24] ) disponigas specialan naturan logaritmon kaj plie 1 funkcias alternative nomita LN1+X, Ln (1-X), lnp1 (x), [25] [26] ln1p (x) au\u0306 log1p (x) [24] doni pli precizajn rezultojn por valoroj de x proksima al nul kompariblis al uzado de ln (ks+1) rekte.\nTiu funkcio estas efektivigita utiligante malsaman internan algoritmon por eviti mezan rezulton proksime de 1, tiel permesante al kaj la argumento kaj al la rezulto esti proksime de nul.\nSimilaj inversaj funkcioj nomis ekspm1 (x) , [24] ekspm (x) [25] [26] au\u0306 eksp1m (x) ekzistas ankau\u0306."}, {"text_idx": "#000059", "text": "La komputadokomplekseco de komputado de la natura logaritmo (uzanta la aritmetik-geometrian meznombron) estas O ( M ( n) ln n).\nC\u0302i tie n estas la nombro da ciferoj da precizeco c\u0302e kiu la natura logaritmo estas analizota kaj M ( n) estas la komputadokomplekseco de multobligado de du n-cifera nombroj."}, {"text_idx": "#000060", "text": "Dum neniuj simplaj dau\u0306raj frakcioj estas haveblaj, pluraj g\u0302eneraligitaj dau\u0306raj frakcioj estas, inkluzive de:"}, {"text_idx": "#000061", "text": "Tiuj dau\u0306raj frakcioj - precipe la lasta - konverg\u0302as rapide por valoroj proksime al 1-a Tamen, la naturaj logaritmoj de multe pli grandaj nombroj povas facile esti komputitaj plurfoje aldonante tiujn de pli malgrandaj nombroj, kun simile rapida konverg\u0302o."}, {"text_idx": "#000062", "text": "Ekzemple, ekde 2 = 1.\n253 \u00d7 1.024, la natura logaritmo de 2 povas esti komputita kiel:"}, {"text_idx": "#000063", "text": "0243, ec\u0302 la natura logaritmo de 10 simile povas esti komputita kiel:"}, {"text_idx": "#000064", "text": "La eksponenta funkcio povas esti etendita al funkcio kiu donas kompleksan nombron kiel e x por iu arbitra kompleksa nombro x;\nsimple uzu la senfinan serion kun x komplekso.\nTiu eksponenta funkcio povas esti inversigita por formi kompleksan logaritmon kiu ekspozicias la plej multajn el la trajtoj de la ordinara logaritmo.\nEkzistas du malfacilaj\u0302oj implikitaj: neniu x havas e x = 0;\nkaj g\u0302i montrig\u0302as tiun e 2\u03c0 mi = 1 = e 0 .\nEkde la multiplika posedaj\u0302o dau\u0306re laboras por la kompleksa eksponenta funkcio, e z = e z + 2\u03c0 ki , por c\u0302iu kompleksa z kaj entjeroj k."}, {"text_idx": "#000065", "text": "Tiel la logaritmo ne povas esti difinita por la tuta kompleksa ebeno, kaj ec\u0302 tiam g\u0302i estas multi-aprezit - c\u0302iu kompleksoologaritmo povas esti s\u0302ang\u0302ita en \"ekvivalentan\" logaritmon aldonante ajnan entjermultoblon de 2\u03c0 mi c\u0302e volo.\nLa kompleksa logaritmo povas nur esti unu-aprezita sur la tranc\u0302aviadilo.\nkaj kvankam mi 4 = 1, 4 tagalo ( mi) povas esti difinita kiel 2\u03c0 mi, au\u0306 10\u03c0 mi au\u0306 \u2212 6\u03c0 mi,."}, {"text_idx": "#000066", "text": "Rakontofadenoj de la natura logaritmo funkcias sur la kompleksa ebeno ( c\u0302efbranc\u0302o)\nz = ventromuskoloj (Im (ln ( x + ii)\nz = ventromuskoloj (ln ( x + ii)\nSupermeto de la antau\u0306aj tri grafeoj"}, {"text_idx": "#000067", "text": "z = ventromuskoloj (Im (ln ( x + ii)"}, {"text_idx": "#000068", "text": "z = ventromuskoloj (ln ( x + ii)"}, {"text_idx": "#000069", "text": "Supermeto de la antau\u0306aj tri grafeoj"}, {"text_idx": "#000070", "text": "Aproksimante naturajn eksponentojn (tagalo bazigas e)\nJohn Napier - eltrovinto de logaritmoj\nNicholas Mercator - unue uzi la esprimon naturan logaritmon"}]