[{"text_idx": "#000000", "text": "Wikipedia's Integral as translated by GramTrans"}, {"text_idx": "#000002", "text": "En matematiko, integralo asignas nombrojn al funkcioj en maniero kiel kiu povas priskribi delokig\u0302on, areon, volumenon, kaj aliajn konceptojn kiuj ekestas preter kombinanta infinitezimalajn datenojn.\nIntegrig\u0302o estas unu el la du c\u0302efaj operacioj de kalkulado, kun sia inversa, diferencigo, estante la aliaj.\nSurbaze de funkcio f de reala variablo x kaj intervalo [, b] de la reala linio, la definitiva integralo"}, {"text_idx": "#000003", "text": "estas difinita neformale kiel la subskribita areo de la regiono en la xy-aviadilo kiu estas limigita per la grafeo de f, la absciso kaj la vertikalaj linioj x = a kaj x = b .\nLa areo super la absciso aldonas al la totalo kaj tion sub la absciso subtrahas de la totalo."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Malglate parolante, la operacio de integrig\u0302o estas la inversigo de diferencigo.\nTial, la esprimo integralo ankau\u0306 povas plusendi al la rilata nocio de la kontrau\u0306derivita, funkcion F kies derivaj\u0302o estas la antau\u0306fiksita funkcio f.\nEn tiu kazo, g\u0302i estas nomita senfina integralo kaj estas skribita:"}, {"text_idx": "#000005", "text": "La integraloj diskutitaj en tiu artikolo estas tiuj nomis definitivajn integralojn.\nG\u0302i estas la infinitezimalteoremo per kiu ligas diferencigon kun la definitiva integralo: se f estas kontinua real-aprezita funkcio difinita sur fermita intervalo [, b], tiam, post kiam kontrau\u0306derivita F da f estas konata, la definitiva integralo de f dum tiu intervalo ricevas"}, {"text_idx": "#000006", "text": "La principoj de integrig\u0302o estis formulitaj sendepende fare de Isaac Newton kaj Gottfried Wilhelm Leibniz en la malfrua 17-a jarcento, kiu pensis pri la integralo kiel senfina sumo de rektanguloj de infinitezimala larg\u0302o.\nRigora matematika difino de la integralo ricevis fare de Bernhard Riemann.\nG\u0302i estas bazita sur limiga proceduro kiu alproksimig\u0302as al la areo de kurba regiono rompante la regionon en maldikajn vertikalajn slabojn.\nKomencig\u0302ante en la deknau\u0306a jarcento, pli sofistikaj nocioj de integraloj komencis ekaperi, kie la speco de la funkcio same kiel la domajno super kiu la integrig\u0302o estas farita estis g\u0302eneraligita.\nLiniintegralo estas difinita por funkcioj de du au\u0306 tri variabloj, kaj la intervalo de integrig\u0302o [, b] estas anstatau\u0306igita per certa kurbo liganta du punktojn sur la aviadilo au\u0306 en la spaco.\nEn surfaca integralo, la kurbo estas anstatau\u0306igita per peco de surfaco en la tri-dimensia spaco."}, {"text_idx": "#000007", "text": "3 Terminologio kaj notacio 3.1\n4 Interpretoj de la integralo"}, {"text_idx": "#000008", "text": "La unua dokumentita sistema tekniko kapabla je determinado de integraloj estas la metodo de malplenigo de la malnovgreka astronomo Eudoxus ( c\u0302. 370 a.K.), kiu serc\u0302is trovi areojn kaj volumojn rompante ilin supren en senfinan nombron da sekcioj por kiu la areo au\u0306 volumeno estis konataj.\nTiu metodo kutimis plue evoluigita kaj utiligita fare de Arkimedo en la tria jarcento a.K. kaj kalkuli areojn por paraboloj kaj aproksimadon al la areo de cirklo."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Simila metodo estis sendepende evoluigita en C\u0302inio c\u0302irkau\u0306 la tria-jarcenta p.K. fare de Liu HUI, kiu uzis g\u0302in por trovi la areon de la cirklo.\nTiu metodo poste estis uzita en la 5-a jarcento fare de c\u0302inaj patro-filo-matematikistoj Zu Chongzhi kaj Zu Geng por trovi la volumenon de sfero ( Shea 2007;"}, {"text_idx": "#000010", "text": "La venontaj signifaj progresoj en integrala kalkulo ne komencig\u0302is ekaperi g\u0302is la 17-a jarcento.\nC\u0302e tiu tempo, la laboro de Cavalieri kun lia metodo de Indivisible, kaj laboro de Fermat, komencig\u0302is amorigi la fundamentojn de moderna kalkulado, kie Cavalieri komputas la integralojn de x n g\u0302is grado da n = de 9 en Cavalieri kvadraturformulo.\nPliaj s\u0302tupoj estis faritaj en la frua 17-a jarcento fare de Barrow kaj Torricelli, kiuj disponigis la unuajn sugestojn de ligo inter integrig\u0302o kaj diferencigo.\nManc\u0302aro disponigis la unuan pruvon de la infinitezimalteoremo.\nWallis g\u0302eneraligis la metodon de Cavalieri, komputante integralojn de x al g\u0302enerala potenco, inkluzive de negativaj potencoj kaj frakciecaj potencoj."}, {"text_idx": "#000011", "text": "La plej grava antau\u0306enig\u0302o en integrig\u0302o venis en la 17-a jarcento kun la sendependa eltrovo de la infinitezimalteoremo de Neu\u0306tono kaj Leibniz.\nLa teoremo montras ligon inter integrig\u0302o kaj diferencigo.\nTiu ligo, kombinita kun la relativa facileco de diferencigo, povas esti ekspluatita por kalkuli integralojn.\nAparte, la infinitezimalteoremo permesas al tia solvi multe pli larg\u0302an klason de problemoj.\nEgala en graveco estas la ampleksa matematika kadro kiun kaj Neu\u0306tono kaj Leibniz evoluigis.\nSurbaze de la nomo infinitezima kalkulo, g\u0302i enkalkulis precizan analizon de funkcioj ene de kontinuaj domajnoj.\nTiu kadro poste ig\u0302is moderna kalkulado, kies notacio por integraloj estas desegnita rekte de la laboro de Leibniz."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Dum Neu\u0306tono kaj Leibniz disponigis sisteman aliron al integrig\u0302o, al ilia laboro mankis grado da rigoro.\nBishop Berkeley memorinde atakis la malaperajn pliigojn uzitajn fare de Neu\u0306tono, nomante ilin \" fantomoj de foriritaj kvantoj \".\nKalkulado akiris pli firman bazon kun la evoluo de limoj.\nIntegrig\u0302o unue estis rigore formaligita, uzante limojn, de Riemann.\nKvankam c\u0302iu saltita pecmaniero kontinuaj funkcioj estas Riemann-integrable sur saltita intervalo, poste pli g\u0302eneralaj funkcioj estis pripensitaj - precipe en la kunteksto de Fourier-analizo - por kiu la difino de Riemann ne validas, kaj Lebesgue formulis malsaman difinon de integralo, fondita en mezuran teorion (subkampo de reela analitiko).\nAliaj difinoj de integralo, etendanta la alirojn de Riemann kaj Lebesgue, estis proponitaj.\nTiuj aliroj bazitaj sur la realnombra sistemo estas tiuj plej oftaj hodiau\u0306, sed alternativaj aliroj ekzistas, kiel ekzemple difino de integralo kiel la normparto de senfina Riemann-sumo, bazita sur la hiperreelnombra sistemo."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Isaac Newton uzis malgrandan vertikalan drinkejon super variablo por indiki integrig\u0302on, au\u0306 metis la variablon ene de kesto.\nLa vertikala drinkejo estis facile konfuzita kun .\nx au\u0306 x \u2032, kiuj kutimas indiki diferencigon, kaj la kestnotacio estis malfacilaj ke printiloj por reproduktig\u0302us, tiel ke tiuj notacioj ne estis vaste adoptitaj."}, {"text_idx": "#000014", "text": "La moderna notacio por la senfina integralo estis lanc\u0302ita fare de Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675 ( Burton 1988, p. 359;\nLi adaptis la integritan simbolon, \u222b, de la litero S ( longa s), signifante summan (skribitan kiel summa;\nLa latina por \"sumo\" au\u0306 \"totalo\").\nLa moderna notacio por la definitiva integralo, kun limoj super kaj sub la integrita signo, unue estis utiligita fare de Joseph Fourier en Me\u0301moires de la Franca Akademio proksimume 1819-20, represitaj en lia libro de 1822 ( Cajori 1929, pp 249-250;"}, {"text_idx": "#000015", "text": "(julio 2017) Integraloj estas uzitaj grandskale en multaj lokoj de matematiko same kiel en multaj aliaj lokoj kiuj dependas de matematiko."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Ekzemple, en probablokalkulo, integraloj kutimas determini la probablecon de iu hazarda variablo falado ene de certa intervalo.\nKrome, la integralo sub tuta probablodensa funkcio devas esti 1, de kiu disponigas teston c\u0302u funkcio kun neniuj negativaj valoroj povis esti densecfunkcio au\u0306 ne."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Integraloj povas esti uzitaj por komputado de la areo de dudimensia regiono kiu havas kurban limon, same kiel komputado de la volumeno de tridimensia objekto kiu havas kurban limon."}, {"text_idx": "#000018", "text": "La integralo kun respekto al x el real-aprezita funkcio f ( x) de reala variablo x sur la intervalo [, b] estas skribita kiel"}, {"text_idx": "#000020", "text": "Se la integralo iras de finhava valoro al la supra limo senfineco, la integralo esprimas la limon de la integralo de g\u0302is valoro b kiam b iras al senfineco.\nSe la valoro de la integralo venas pli proksimen kaj pli proksime al finhava valoro, la integralo lau\u0306dire konverg\u0302as al tiu valoro.\nSe ne, la integralo lau\u0306dire diverg\u0302as."}, {"text_idx": "#000021", "text": "Kiam kiel en la limoj estas preterlasitaj,"}, {"text_idx": "#000022", "text": "la integralo estas nomita senfina integralo, kiu reprezentas klason de funkcioj (la kontrau\u0306derivita) kies derivaj\u0302o estas la integrand.\nLa infinitezimalteoremo rilatigas la taksadon de definitivaj integraloj al senfinaj integraloj.\nFoje, limoj de integrig\u0302o estas preterlasitaj por definitivaj integraloj kiam la samaj limoj okazas plurfoje en speciala kunteksto.\nKutime, la verkinto igos tiun kongreson klara komence de la signifa teksto."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Ekzistas pluraj etendaj\u0302oj de la notacio por integraloj por ampleksi integrig\u0302on pri nelimigitaj domajnoj kaj/au\u0306 en multobla grandeco (vidu pli postajn sekciojn de tiu artikolo)."}, {"text_idx": "#000025", "text": "En moderna araba matematika skribmaniero, reflektita integrita simboloestas uzita anstatau\u0306e de la simbol \u222b, ekde la araba manuskripto kaj matematikaj esprimoj iras rekte al forlasite.\nKelkaj verkintoj, precipe de eu\u0306ropa origino, uzas vertikalan \"d\" indiki la variablon de integrig\u0302o (t.e., dks anstatau\u0306e de dks ), c\u0302ar konvene parolante, \"d\" ne estas variablo.\nAnkau\u0306, la simboldks ne estas c\u0302iam metita post f ( x), kiel por kazo en"}, {"text_idx": "#000026", "text": "En la unua esprimo, la diferencialo estas traktita kiel infinitezimala \"multiplika\" faktoro, formale sekvante \"kommutativan posedaj\u0302on\" kiam \"multobligite\" per la esprimo 3/( x 2 +1).\nEn la dua esprimo, montranta al la diferencialoj unuajn kulminaj\u0302ojn kaj klarigas la variablojn kiuj estas integritaj kun respekto al, praktikon precipe popularaj c\u0302e fizikistoj."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Integraloj aperas en multaj praktikaj situacioj.\nSe nag\u0302ejo estas rektangula kun plata fundo, tiam de it longo, larg\u0302o, kaj profundo ni povas facile determini la akvokvanton kiun g\u0302i povas enhavi (por plenigi al g\u0302i), la areo de it surfaco (por kovri g\u0302in), kaj la longon de it rando (al s\u0302nuro g\u0302i).\nSed se g\u0302i estas ovala kun rondeta fundo, c\u0302iuj tiuj kvantoj postulas integraloj.\nPraktikaj aproksimadoj povas sufic\u0302i por tiaj sensignifaj ekzemploj, sed precizecing\u0302enieristiko (de iu disciplino) postulas precizajn kaj rigorajn valorojn por tiuj elementoj."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Komenci for, pripensi la kurbo y = f ( x) inter x = 0 kaj x = 1 kun f ( x"}, {"text_idx": "#000029", "text": "Kio estas la areo sub la funkcio f, en la intervalo de g\u0302is 1?"}, {"text_idx": "#000030", "text": "kaj nomu tiun (ankorau\u0306 nekonataj\u0302o) areon la (definitiva) integralo de f.\nLa notacio por tiu integralo estos"}, {"text_idx": "#000032", "text": "Ni prenas sumon de finhave multaj funkciovaloroj de f, multobligitaj kun la diferencoj de du postaj aproksimadpoentoj.\nNi povas facile vidi ke la aproksimado dau\u0306re estas tro granda.\nUtiligi pli da s\u0302tupoj produktas pli proksiman aproksimadon, sed c\u0302iam estos tro alta kaj neniam estos preciza.\nAlternative, anstatau\u0306igante tiujn subintervalojn per tiaj kun la maldekstra finalteco de c\u0302iu peco, ni ricevos aproksimadon kiu estas tro malalta: ekzemple, kun dek du tiaj subintervaloj ni ricevos proksimuman valoron por la areo de 0.6203."}, {"text_idx": "#000033", "text": "La esenca ideo estas la transiro de aldonado finhave multaj diferencoj de aproksimadpunktoj multobligitaj de iliaj respektivaj funkciovaloroj al utiligado senlime multaj bonaj, au\u0306 infinitezimalaj s\u0302tupoj.\nKiam tiu transiro estas finita en c\u0302i-supra ekzemplo, g\u0302i turnas ke la areo sub la kurbo ene de la fiksitaj saltegoj estas 2/3."}, {"text_idx": "#000034", "text": "elpensas la integralon kiel pezbalancita sumo, indikita per la longforma s, de funkciovaloroj, f ( x), multobligita per infinitezimalaj pas\u0302olarg\u0302oj, la tielnomitaj diferencialoj, indikitaj per dks.\nLa multipliksignoj antau\u0306 la dks estas ellasita."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Historie, post la fiasko de fruaj laboroj por rigore interpreti infinitesimal'ojn, Riemann formale difinis integralojn kiel limon de pezbalancitaj sumoj, tiel ke la dks indikis la limon de diferenco (nome, la intervallarg\u0302o).\nMankoj de la dependeco de Riemann de intervaloj kaj kontinueco instigis pli novajn difinojn, aparte la Lebesgue-integralon, kiu estas konstruita sur kapablo etendi la ideon de \"iniciato\" lau\u0306 multe pli flekseblaj manieroj."}, {"text_idx": "#000036", "text": "rilatas al pezbalancita sumo en kiu la funkciovaloroj estas dividitaj, kun \u03bc je la pezon por esti asignitaj al c\u0302iu valoro.\nC\u0302i tie indikas la regionon de integrig\u0302o."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Ekzistas multaj manieroj de formale difinado de integralo, ne c\u0302iuj el kiuj estas ekvivalentaj.\nLa diferencoj ekzistas plejparte por trakti malsamajn specialajn kazojn kiuj eble ne estas integrablaj sub aliaj difinoj, sed ankau\u0306 foje pro pedagogiaj kialoj.\nLa plej ofte uzitaj difinoj de integralo estas Riemann-integraloj kaj Lebesgue-integraloj."}, {"text_idx": "#000038", "text": "La Riemann-integralo estas difinita lau\u0306 Riemann-sumoj de funkcioj kun respekto al etikeditaj sekcioj de intervalo.\nLasita [, b] estu fermita intervalo de la reala linio;\ntiam etikedita sekcio de [, b] estas finhava sekvenco"}, {"text_idx": "#000039", "text": "Tio dividas la intervalon [, b] en n sub-intervalojn [ x mi \u22121, x mi ] indeksitajn fare de mi, c\u0302iu el kiu estas \"etikedita\" kun eminenta punkto t mi\nRiemann-sumo de funkcio f kun respekto al tia etikedita sekcio estas difinita kiel"}, {"text_idx": "#000040", "text": "tiel c\u0302iu esprimo de la sumo estas la areo de rektangulo kun alteco egala al la funkciovaloro c\u0302e la eminenta punkto de la antau\u0306fiksita sub-intervalo, kaj larg\u0302o la saman kiel la sub-intervallarg\u0302on.\nLasu \u03b4 mi = x mi \u2212 x mi \u22121 esti la larg\u0302o de sub-intervalo mi;\ntiam la mas\u0302o de tia etikedita sekcio estas la larg\u0302o de la plej granda sub-intervalo formita per la sekcio, maks I = 1 ...\nLa Riemann-integralo de funkcio f dum la intervalo [, b] estas egala al S se:"}, {"text_idx": "#000041", "text": "Kiam la elektitaj etikedoj donas al la maksimumo (respektive, minimumo) valoron de c\u0302iu intervalo, la Riemann-sumo konvenas al supra (respektive, pli malalte) Darbou\u0306-sumon, sugestante la proksiman ligon inter la Riemann-integralo kaj la Darbou\u0306-integralo."}, {"text_idx": "#000042", "text": "G\u0302i ofte estas de intereso, kaj en teorio kaj aplikoj, povi pasi al la limo sub la integralon.\nEkzemple, sekvenco de funkcioj povas ofte esti konstruita ke proksimigi, en tau\u0306ga signifo, la solvon al problemo.\nTiam la integralo de la solvofunkcio devus esti la limo de la integraloj de la aproksimadoj.\nTamen, multaj funkcioj kiuj povas esti akiritaj kiam limoj ne estas Riemann-integrable, kaj tiel tiaj limteoremoj ne tenas kun la Riemann-integralo.\nTial, g\u0302i gravegas havi difinon de la integralo kiu permesas al pli larg\u0302a klaso de funkcioj esti integra ( Rudin 1987)."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Tia integralo estas la Lebesgue-integralo, kiu ekspluatas la sekvan fakton por pligrandigi la klason de integrablaj funkcioj: se la valoroj de funkcio estas rearang\u0302itaj super la domajno, la integralo de funkcio devus resti la sama.\nTiel Henri Leon Lebesgue lanc\u0302is la integralon portante sian nomon, klarigante tiun integritan tiel en letero al Paul Montel:"}, {"text_idx": "#000044", "text": "mi devas pagi certan sumon, kiun mi kolektis en I pos\u0302o.\nmi prenas la fakturojn kaj monerojn el I pos\u0302o kaj donas ilin al la kreditoro en la sinsekvo kiun mi trovas al ili g\u0302is mi atingis la totalan sumon.\nSed I povas dau\u0306rigi alimaniere.\nPost kiam mi prenis la tutan monon el I pos\u0302o kiun mi ordigas al la fakturoj kaj moneroj lau\u0306 identaj valoroj kaj tiam mi pagas la plurajn stakojn unu- post la alie al la kreditoro."}, {"text_idx": "#000045", "text": "C\u0302ar Folland (1984, p. 56) metas g\u0302in, \"Por komputi la Riemann-integralon de f, oni dividas la domajnon [, b] en subintervalojn\", dum en la Lebesgue-integralo, \"oni en efiko dividas la intervalon de f \".\nLa difino de la Lebesgue-integralo tiel komencig\u0302as kun kvanto, \u03bc.\nEn la plej simpla kazo, da la Lebesgue-iniciato \u03bc ( A) de intervalo A\n, b] estas g\u0302ia larg\u0302o, b \u2212 , tiel ke la Lebesgue-integralo konsentas kun la (bonorda) Riemann-integralo kiam ambau\u0306 ekzistas.\nEn pli d komplikaj kazoj, la aroj estantaj mezuritaj povas esti altagrade fragmentigitaj, kun neniu kontinueco kaj neniu simileco al intervaloj."}, {"text_idx": "#000046", "text": "Utiligante la \"partigon la intervalon da f \" filozofio, la integralo de ne-negativa funkcio f:\nR \u2192 R devus esti la sumo super t da la areoj inter maldika horizontala strio inter y = t kaj y = t + dt .\nLasis f \u2217 ( t\nLa Lebesgue-integralo de f tiam estas difinita fare de ( Lieb & Loss 2001)"}, {"text_idx": "#000047", "text": "kie la integralo dekstraflanke estas ordinara nedeca Riemann-integralo ( f \u2217 estas strikte malpliigante pozitivan funkcion, kaj tial havas klare difinitan nedecan Riemann-integralon).\nPor tau\u0306ga klaso de funkcioj (la mezureblaj funkcioj) tio difinas la Lebesgue-integralon."}, {"text_idx": "#000048", "text": "G\u0302enerala mezurebla funkcio f estas Lebesgue-integrable se la sumo de la absolutaj valoroj de la areoj de la regionoj inter la grafeo de f kaj la absciso estas finhava:"}, {"text_idx": "#000049", "text": "En tiu kazo, la integralo estas, kiel en la Riemaniana kazo, la diferenco inter la areo super la absciso kaj la areo sub la absciso:"}, {"text_idx": "#000050", "text": "Kvankam la Riemann- kaj Lebesgue-integraloj estas la plej vaste uzitaj difinoj de la integralo, kelkaj aliaj ekzistas, inkluzive de:"}, {"text_idx": "#000052", "text": "La kolekto de Riemann-integrable funkcioj sur fermita intervalo [, b] formas vektoran spacon sub la operacioj de punktmanieraldono kaj multipliko de Skalaro, kaj la operacion de integrig\u0302o"}, {"text_idx": "#000053", "text": "linia funkcia estas sur tiu vektora spaco.\nTiel, unue, la kolekto de integrablaj funkcioj estas fermita sub prenado de linearaj kombinaj\u0302oj;\nkaj, due, la integralo da lineara kombinaj\u0302o estas la lineara kombinaj\u0302o de la integraloj,"}, {"text_idx": "#000054", "text": "Simile, la aro de real-aprezitaj Lebesgue-integrable funkcioj sur antau\u0306fiksita iniciatspaco E kun iniciato \u03bc estas fermita sub prenado de linearaj kombinaj\u0302oj kaj tial formas vektoran spacon, kaj la Lebesgue-integralon"}, {"text_idx": "#000055", "text": "linia funkcia estas sur tiu vektora spaco, tiel ke"}, {"text_idx": "#000056", "text": "Pli g\u0302enerale, pripensas la vektoran spacon da c\u0302iuj mezureblaj funkcioj sur iniciatspaco ( E, \u03bc), prenante valorojn enen loke kompakta\nkompleta topologia vektora spaco V pli ol loke kompakta topologia kampo K, f:\nTiam oni povas difini abstraktan integrig\u0302mapon asignantan al c\u0302iu funkcio f al elemento de V au\u0306 la simbol \u221e ,"}, {"text_idx": "#000057", "text": "tio estas kongrua kun linearaj kombinaj\u0302oj.\nEn tiu situacio, la lineareco tenas por la subspaco de funkcioj kies integralo estas elemento de V (t.e. \"finhava\").\nLa plej gravaj specialaj kazoj ekestas kiam K estas R , C , au\u0306 finhava etendaj\u0302o de la kampo Q p de p-adicnombroj, kaj V estas finhav-dimensia vektora spaco pli ol K, kaj kiam K = C kaj V estas kompleksa hilberta spaco."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Lineareco, kune kun kelkaj naturaj kontinuectrajtoj kaj normalig\u0302o por certa klaso de \"simplaj\" funkcioj, povas esti uzita por doni alternativan difinon de la integralo.\nTio estas la aliro de Daniell por la kazo de real-aprezitaj funkcioj sur aktoraro Xa, g\u0302eneraligita fare de Nicolas Bourbaki al funkcioj kun valoroj en loke kompakta topologia vektora spaco.\nVidu ( Hildebrandt 1953) por aksioma karakterizado de la integralo."}, {"text_idx": "#000059", "text": "Kelkaj g\u0302eneralaj neegalaj\u0302oj tenas c\u0302ar Riemann-integrable funkcioj difinis sur fermita kaj saltita intervalo [, b] kaj povas esti g\u0302eneraligitaj al aliaj nocioj de integralo (Lebesgue kaj Daniell)."}, {"text_idx": "#000060", "text": "Upper and lower bounds. integrabla funkcio f sur [, b], estas nepre saltita sur tiu intervalo.\nTiel ekzistas realaj nombroj m kaj M tiel ke m \u2264 f ( x\nM por c\u0302io x en [, b].\nC\u0302ar la pli malaltaj kaj supraj sumoj de f inte [, b] estas tial saltitaj for, respektive, m ( b \u2212 ) kaj M ( b \u2212 ), g\u0302i sekvas tion"}, {"text_idx": "#000061", "text": "Inequalities between functions. Se f ( x\ng ( x) por c\u0302iu x en [, b] tiam c\u0302iu el la supraj kaj pli malaltaj sumoj de f estas saltita supre per la supraj kaj pli malaltaj sumoj, respektive, de g."}, {"text_idx": "#000062", "text": "Tio estas g\u0302eneraligo de c\u0302i-supraj neegalaj\u0302oj, c\u0302ar M ( b \u2212 ) estas la integralo de la konstanta funkcio per valoro M super [, b].\nKrome, se la malegaleco inter funkcioj estas strikta, tiam la malegaleco inter integraloj estas ankau\u0306 strikta.\nTio estas, se f ( x"}, {"text_idx": "#000063", "text": "Tio estas g\u0302eneraligo de c\u0302i-supraj neegalaj\u0302oj, c\u0302ar M ( b \u2212 ) estas la integralo de la konstanta funkcio per valoro M super [, b]."}, {"text_idx": "#000064", "text": "Krome, se la malegaleco inter funkcioj estas strikta, tiam la malegaleco inter integraloj estas ankau\u0306 strikta.\nTio estas, se f ( x"}, {"text_idx": "#000065", "text": "Subintervals. Se [ c, d] estas subintervalo de [, b] kaj f ( x) estas ne-negativa por c\u0302io x, tiam"}, {"text_idx": "#000066", "text": "Products and absolute values of functions. Se f kaj g estas du funkcioj, tiam ni povas pripensi iliajn punktmanierproduktojn kaj potencojn, kaj absolutajn valorojn:"}, {"text_idx": "#000069", "text": "Tiu malegaleco, konata kiel la Cauchy-Schwarz malegaleco, ludas protrudan rolon en hilbertspaca teorio, kie maldekstramana flanko estas interpretita kiel la interna produkto de du kvadrat-integrable funkcioj f kaj g sur la intervalo [, b]."}, {"text_idx": "#000070", "text": "Supozu ke p kaj q estas du realaj nombroj, 1 \u2264 p, q\nkun 1 / p + 1 / q = 1, kaj f kaj g estas du Riemann-integrable funkcioj.\nq ankau\u0306 estas integrabla kaj la sekvanta la malegaleco de Ho\u0308lder tenas:"}, {"text_idx": "#000071", "text": "Por p = q = la malegaleco de 2, Ho\u0308lder ig\u0302as la Cauchy-Schwarz malegaleco."}, {"text_idx": "#000072", "text": "Supozu ke p \u2265 1 estas reala nombro kaj f kaj g estas Riemann-integrable funkcioj.\np ankau\u0306 estas Riemann-integrable kaj la sekva Minkowski-malegaleco tenas:"}, {"text_idx": "#000073", "text": "Analogo de tiu malegaleco por Lebesgue-integralo estas uzita en konstruado de Lp spacoj."}, {"text_idx": "#000074", "text": "En tiu sekcio, f estas real-aprezita Riemann-integrable funkcio."}, {"text_idx": "#000075", "text": "dum intervalo [, b] estas difinita se < b .\nTio signifas ke la supraj kaj pli malaltaj sumoj de la funkcio f estas analizitaj sur sekcio = x 0 \u2264 x 1\nx n = b kies valorojn x mi pliigas.\nGeometrie, tio signifas ke integrig\u0302o okazas \"de maldekstre al dekstre\", analizante f ene de intervaloj [ x mi , x mi +1] kie intervalo kun pli alta indekso kus\u0302as dekstren de unu kun pli malalta indekso.\nLa valoroj a kaj b, la finpunktoj de la intervalo, estas nomitaj la limoj de integrig\u0302o de f.\nIntegraloj ankau\u0306 povas esti difinitaj se > b :"}, {"text_idx": "#000076", "text": "Reversing limits of integration. Se > b tiam difinu"}, {"text_idx": "#000077", "text": "Tio, kun = b , implicas:"}, {"text_idx": "#000078", "text": "Integrals over intervals of length zero. Se estas reala nombro tiam"}, {"text_idx": "#000079", "text": "La unua kongreso estas necesa en konsidero de prenado de integraloj super subintervaloj de [, b];\nla duaj eldiroj ke integralo transprenita degenerita intervalo, au\u0306 punkto, devus esti nul.\nUnu kialo de la unua kongreso estas ke la integrabileco de f sur intervalo [, b] implicas ke f estas integrabla sur iu subintervalo [ c, d], sed en specialaj integraloj havas la posedaj\u0302on tio:"}, {"text_idx": "#000080", "text": "Additivity of integration on intervals. Se c estas ajna elemento de [, b], tiam"}, {"text_idx": "#000081", "text": "Kun la unua kongreso, la rezulta rilato"}, {"text_idx": "#000082", "text": "estas tiam klare difinita por iu cikla permuto de , b, kaj c."}, {"text_idx": "#000083", "text": "La infinitezimalteoremo estas la deklaro tiu diferencigo kaj integrig\u0302o estas inversaj operacioj: se kontinua funkcio unue estas integra kaj tiam nuancita, la origina funkcio estas prenita.\nGrava sekvo, foje nomita la dua infinitezimalteoremo, permesas al tia komputi integralojn uzante kontrau\u0306derivitan de la funkcio por esti integra."}, {"text_idx": "#000084", "text": "Lasu f esti kontinua real-aprezita funkcio difinita sur fermita intervalo [, b].\nLasu F esti la funkcio difinita, por c\u0302io x en [, b], per"}, {"text_idx": "#000085", "text": "Tiam, F estas kontinua sur [, b], diferenciebla sur la malferma intervalo (, b), kaj"}, {"text_idx": "#000086", "text": "por c\u0302io x en (, b)."}, {"text_idx": "#000087", "text": "Lasu f esti real-aprezita funkcio difinita sur fermita intervalo [, b] kiu koncedas kontrau\u0306derivitan F sur [, b].\nTio estas, f kaj F estas funkcioj tia ke por c\u0302io x en [, b],"}, {"text_idx": "#000088", "text": "Se f estas integrabla sur [, b] tiam"}, {"text_idx": "#000089", "text": "La dua bazteoremo permesas al multaj integraloj esti kalkulitaj eksplicite."}, {"text_idx": "#000090", "text": "de la kvadratradika funkcio f ( x\nx 1/2 inter kaj 1, estas sufic\u0302e trovi al kontrau\u0306derivita, t.e., funkcion F ( x) kies derivaj\u0302o korespondas al f ( x):"}, {"text_idx": "#000091", "text": "Unu tia funkcio estas F ( x\nTiam la valoro de la integralo koncerne estas"}, {"text_idx": "#000092", "text": "Tio estas kazo de g\u0302enerala regulo, tio por f ( x\nx q , kun q =\u0338 \u22121, la rilata funkcio, la tielnomita kontrau\u0306derivita estas F ( x\nTabloj de tio kaj similaj Malderivaj\u0302oj povas esti uzitaj por kalkuli integralojn eksplicite, lau\u0306 multe lasama maniero ke tabloj el derivaj\u0302oj povas esti uzitaj."}, {"text_idx": "#000093", "text": "\"Bonorda\" Riemann-integralo supozas ke la integrand estas difinita kaj finhava sur fermita kaj saltita intervalo, enparentezigita proksime de la limoj de integrig\u0302o.\nMalregula integralo okazas kiam unu au\u0306 pli el tiuj kondic\u0302oj ne estas kontentigitaj.\nEn kelkaj kazoj tiaj integraloj povas esti difinitaj pripensante la limon de sekvenco de bonordaj Riemann-integraloj sur lau\u0306stadie pli grandaj intervaloj."}, {"text_idx": "#000094", "text": "Se la intervalo estas nelimigita, ekzemple c\u0302e sia supra fino, tiam la malregula integralo estas la limo kiam tiu finpunkto iras al senfineco."}, {"text_idx": "#000095", "text": "Se la integrand estas nur difinita au\u0306 finhava sur duone malfermita intervalo, ekzemple (, b], tiam denove limo povas disponigi finhavan rezulton."}, {"text_idx": "#000096", "text": "Tio estas, la malregula integralo estas la limo de bonordaj integraloj kiel unu finpunkto de la intervalo de integrig\u0302aliroj au\u0306 precizigita reala nombro, au\u0306 \u221e, au\u0306 \u2212\u221e.\nEn pli d komplikaj kazoj, limoj estas postulataj c\u0302e ambau\u0306 finpunktoj, au\u0306 c\u0302e internaj punktoj."}, {"text_idx": "#000097", "text": "Ekzakte c\u0302ar la definitiva integralo de pozitiva funkcio de unu variablo reprezentas la areon de la regiono inter la grafeo de la funkcio kaj la absciso, la duobla integralo de pozitiva funkcio de du variabloj reprezentas la volumenon de la regiono inter la surfaco difinita per la funkcio kaj la aviadilo kiu enhavas sian domajnon."}, {"text_idx": "#000098", "text": "kie la diferenciga dA indikas ke integrig\u0302o estas prenita kun respekto al areo.\nTiu duobla integralo povas esti difinita uzante Riemann-sumojn, kaj reprezentas la (subskribiten) volumenon sub la grafeo de z = f ( x, y) pli ol la domajno R.\nSub tau\u0306gaj kondic\u0302oj (ekz., se f estas kontinua), tiam la teoremo de Fubini garantias ke tiu integralo povas esti esprimita kiel ekvivalento ripetis integralon"}, {"text_idx": "#000099", "text": "Tio reduktas la problemon de komputado de duoblo integrita al komputado de unu-dimensiaj integraloj.\nPro tio, alia notacio por la integralo pli ol R uzas duoblan integritan signon:"}, {"text_idx": "#000100", "text": "Integrig\u0302o super pli g\u0302eneralaj domajnoj estas ebla.\nLa integralo de funkcio f, kun respekto al volumeno, super subaro D de Rn estas indikita per notacio kiel ekzemple"}, {"text_idx": "#000101", "text": "La koncepto de integralo povas esti etendita al pli g\u0302eneralaj domajnoj de integrig\u0302o, kiel ekzemple kurbaj linioj kaj surfacoj.\nTiaj integraloj estas konataj kiel liniintegraloj kaj surfacaj integraloj respektive.\nTiuj havas gravajn aplikojn en fiziko, kiel dum traktado vektorajn kampojn."}, {"text_idx": "#000102", "text": "Liniintegralo (foje nomita padintegralo) estas integralo ke kie la funkcio por esti integra estas analizita lau\u0306 kurbo.\nDiversaj malsamaj liniintegraloj estas en uzo.\nKoncerne fermitan kurbon g\u0302i ankau\u0306 estas nomita konturintegralo."}, {"text_idx": "#000103", "text": "La funkcio por esti integra povas esti skalara kampo au\u0306 vektora kampo.\nLa valoro de la liniintegralo estas la sumo de valoroj de la kampo c\u0302iupunkte sur la kurbo, pezbalancita per iu skalarfunkcio sur la kurbo (ofte arklongo au\u0306, por vektora kampo, la skalarprodukto de la vektora kampo kun diferenciga vektoro en la kurbo).\nTiu pesado distingas la liniintegralon de pli simplaj integraloj difinitaj sur intervaloj.\nMultaj simplaj formuloj en fiziko havas naturajn kontinuajn analogaj\u0302ojn lau\u0306 liniintegraloj;\nekzemple, la fakto ke laboro estas egala al forto, F , multobligita per delokig\u0302o, s , povas esti esprimita (lau\u0306 vektorkvantoj) kiel:"}, {"text_idx": "#000104", "text": "Por objekto movig\u0302anta lau\u0306 pado C en vektora kampo F kiel ekzemple kampo au\u0306 gravitkampo, la totala laboro farita proksime de la kampo sur la objekto akirig\u0302as sumigante la diferencigan laboron faritan enen movig\u0302ante de s al s + d s ."}, {"text_idx": "#000105", "text": "Surfaca integralo estas definitiva integralo transprenita surfaco (kiu povas esti kurba aro en spaco);\ng\u0302i povas esti opiniita de kiel la duobla integrita analogaj\u0302o da la liniintegralo.\nLa funkcio por esti integra povas esti skalara kampo au\u0306 vektora kampo.\nLa valoro de la surfaca integralo estas la sumo de la kampo c\u0302iupunkte sur la surfaco.\nTio povas esti atingita dividante la surfacon en surfacelementojn, kiuj disponigas la partigon por Riemann-sumoj."}, {"text_idx": "#000106", "text": "Por ekzemplo de aplikoj da surfacaj integraloj, pripensas vektorkampa v sur surfaco S ;\ntio estas, por c\u0302iu poento x en S , v ( x) estas vektoro.\nImagu ke ni havas likvaj\u0302on fluantan tra S , tia ke v ( x) determinas la rapidecon de la likvaj\u0302o c\u0302e x.\nLa fluo estas difinita kiel la kvanto da likvaj\u0302o fluanta tra S en unuokvanto de tempo.\nPor trovi la fluon, ni devas preni la skalarprodukton de v kun la unuo surfacnormalo al S c\u0302e c\u0302iu punkto, kiu donos al ni skalaran kampon, kiun ni integras super la surfaco:"}, {"text_idx": "#000107", "text": "La likvaj\u0302ofluo en tiu ekzemplo povas esti de fizika likvaj\u0302o kiel ekzemple akvo au\u0306 aero, au\u0306 de elektra au\u0306 magneta fluo.\nTiel surfacaj integraloj havas aplikojn en fiziko, precipe kun la klasika teorio de elektromagnetismo."}, {"text_idx": "#000108", "text": "En kompleksa analitiko, la integrand estas kompleks-aprezita funkcio da kompleksa varia z anstatau\u0306e de reala funkcio de reala varia x."}, {"text_idx": "#000109", "text": "Tio estas konata kiel konturintegralo."}, {"text_idx": "#000110", "text": "Diferenciga formo estas matematika koncepto en la kampoj de plurvariabla kalkulo, diferenciala topologio, kaj tensoroj.\nDiferencigaj formoj estas organizitaj je grado.\nEkzemple, unu-forma estas pezbalancita sumo de la diferencialoj de la koordinatoj, kiel ekzemple:"}, {"text_idx": "#000111", "text": "kie E, F, G estas funkcioj en tri dimensioj.\nDiagnozalternativo unu-forma povas esti integrita super orientita pado, kaj la rezulta integralo estas j\u0302us alia maniero skribi liniintegralo.\nC\u0302i tie la baza diagnozalternativdks, dy, dz iniciato infinitezimalaj orientitaj longoj paralela al la tri kunordigitaj aksoj."}, {"text_idx": "#000112", "text": "Diferencialo du-forma estas sumo de la formo"}, {"text_idx": "#000113", "text": "\\displaistile G (x, y, z) dks\\u\u0306edge dy E (x, y, z) di\\u\u0306edge dz F (x, y, z) dz\\u\u0306edge dks."}, {"text_idx": "#000114", "text": "Male al la vektora produto, kaj la tridimensia vektora kalkulo, la kojnoprodukto kaj la kalkulado de diferencigaj formoj sonas racie en arbitra dimensio kaj sur pli g\u0302eneralaj duktoj (kurboj, surfacoj, kaj iliaj higher-dimensiaj analogaj\u0302oj).\nLa ekstera derivaj\u0302o ludas la rolon de la gradiento kaj buklon da vektora kalkulo, kaj teoremo de Stokes samtempe g\u0302eneraligas la tri teoremojn de vektora kalkulo: la diverg\u0302enca teoremo, teoremo de Green, kaj la Kelvin-hejtiteoremo."}, {"text_idx": "#000115", "text": "La diskreta ekvivalento de integrig\u0302o estas sumigo.\nSumigoj kaj integraloj povas esti surs\u0302miritaj la samaj fundamentoj utiligantaj la teorion de Lebesgue-integraloj au\u0306 temposkalkalkuladon."}, {"text_idx": "#000116", "text": "La plej baza tekniko por komputado de definitivaj integraloj de unu reala variablo estas bazita sur la infinitezimalteoremo.\nLasu f ( x) esti la funkcio de x por esti integra dum antau\u0306fiksita intervalo [, b].\nTiam, trovas kontrau\u0306derivitan de f;\ntio estas, funkcio F tia ke F\nDisponigis la integrand kaj integralo havas neniujn neordinaraj\u0302ojn sur la pado de integrig\u0302o, de la infinitezimalteoremo,"}, {"text_idx": "#000117", "text": "La integralo ne estas fakte la kontrau\u0306derivita, sed la bazteoremo disponigas manieron uzi Malderivaj\u0302ojn por analizi definitivajn integralojn."}, {"text_idx": "#000118", "text": "La plej malfacila pas\u0302o estas kutime trovi la kontrau\u0306derivitan de f.\nEstas malofte eble ekrigardi al funkcio kaj surpaperigi g\u0302ian kontrau\u0306derivitan.\nPli ofte, estas necese uzi unu el la multaj teknikoj kiuj estis evoluigitaj por analizi integralojn.\nLa plej multaj el tiuj teknikoj reverkas unu integritan kiel malsama kiu estas espereble pli akordig\u0302ema."}, {"text_idx": "#000119", "text": "S\u0302ang\u0302ante la ordon de integrig\u0302o\nDiferencigo sub la integrita signo"}, {"text_idx": "#000121", "text": "Komputadoj de volumoj de solidoj da revolucio povas kutime esti faritaj kun diskintegrig\u0302o au\u0306 s\u0302elintegrig\u0302o."}, {"text_idx": "#000122", "text": "Specifaj rezultoj kun kiuj estis laboritaj per diversaj teknikoj estas kolektitaj en la listo de integraloj."}, {"text_idx": "#000123", "text": "Multaj problemoj en matematiko, fizikoj, kaj ing\u0302enieristiko implikas integrig\u0302on kie eksplicita formulo por la integralo estas dezirata.\nAmpleksaj tabloj de integraloj estis kompilitaj kaj publikigitaj tra la jaroj por tiu celo.\nKun la disvastig\u0302o de komputiloj, multaj profesiuloj, edukistoj, kaj studentoj kontaktis komputilalgebrajn sistemojn kiuj estas specife dizajnitaj por plenumi malfacilajn au\u0306 tedajn taskojn, inkluzive de integrig\u0302o.\nSimbola integrig\u0302o estis unu el la instigoj por la evoluo de la unuaj tiaj sistemoj, kiel Macsyma."}, {"text_idx": "#000125", "text": "Kelkaj specialaj integrand'oj ofte okazas sufic\u0302e por motivi specialenketon.\nAparte, povas esti utile havi, en la aro de Malderivaj\u0302oj, la specialaj funkcioj (kiel la Legendre-funkcioj, la hipergeometriaj funkcio, la gama-funkcio, la nekompleta gama-funkcio - vidu Simbolan integrig\u0302on por pli da detaloj).\nEtendi la algoritmon de la Risch por inkludi tiajn funkciojn estas ebla sed malfacila kaj estis aktiva esplortemo."}, {"text_idx": "#000126", "text": "Pli lastatempe nova aliro aperis, uzante D-finhava funkciojn, kiuj estas la solvoj da liniaj diferencialaj ekvacioj kun polinomkoeficientoj.\nLa plej multaj el la elementaj kaj specialaj funkcioj estas D-finhava, kaj la integralo de D-finhava funkcio ankau\u0306 estas D-finhava funkcio.\nTio disponigas algoritmon por esprimi la kontrau\u0306derivitan de D-finhava funkcio kiel la solvo de diferenciala ekvacio."}, {"text_idx": "#000127", "text": "Tiu teorio ankau\u0306 permesas oni komputi la definitivan integralon de D-funkcio kiel la sumo de serio donita per la unuaj koeficientoj, kaj disponigas algoritmon por komputi c\u0302iun koeficienton."}, {"text_idx": "#000128", "text": "Kelkaj integraloj trovitaj en realaj aplikoj povas esti komputitaj per fermit-formaj Malderivaj\u0302oj.\nKelkaj Malderivaj\u0302oj ne fermis formojn, kelkaj fermitaj formoj postulas specialajn funkciojn kiuj mem estas defio por komputi, kaj aliaj estas tiel kompleksaj ke trovi la preciza respondo estas tro malrapida.\nTio instigas la studon kaj aplikon de nombraj aproksimadoj de integraloj.\nTiu subjekto, nomita nombra integrig\u0302o au\u0306 nombra kvadraturo, frue ekestis en la studo de integrig\u0302o por la celo de farado de mankalkuloj.\nLa evoluo de g\u0302eneraluzeblaj komputiloj igis nombran integrig\u0302on pli praktika kaj movis deziron al plibonigoj.\nLa celoj de nombra integrig\u0302o estas precizeco, fidindeco, efikeco, kaj g\u0302eneraleco, kaj sofistikaj modernaj metodoj povas vaste forpus\u0302i naivan metodon per c\u0302iuj kvar iniciatoj ( Dahlquist & Bjo\u0308rck 2008;\nKahaner, Moler & Nash 1989;"}, {"text_idx": "#000129", "text": "kiu havas la precizan respondon 94/25 = 3.76.\n(En ordinara praktiko, la respondo ne estas konata anticipe, do grava tasko - ne esplorita c\u0302i tie - estas decidi kiam aproksimado estas sufic\u0302e bona.\n\"Kalkulada libro-\" aliro dividas la integrig\u0302intervalon en, ekzemple, 16 egalajn pecojn, kaj komputas funkciovalorojn."}, {"text_idx": "#000130", "text": "Uzi la maldekstran finon de c\u0302iu peco, la rektangulajn metod sumojn 16 funkciovalorojn kaj multobligas de la pas\u0302olarg\u0302o, h, c\u0302i tie 0.25, por ricevi proksimuman valoron de 3.94325 por la integralo.\nLa precizeco ne estas impona, sed kalkulado formale utiligas pecojn da infinitezimala larg\u0302o, tiel komence tio povas s\u0302ajni malmulte da kialo por konzerno.\nEfektive, plurfoje duobligi la nombron da s\u0302tupoj poste produktas aproksimadon de 3.76001.\nTamen, 218 pecoj estas postulataj, granda komputila elspezo por tia malmulte da precizeco;\nkaj atingo por pli granda precizeco povas devigi s\u0302tupojn tiel malgrandajn ke artimetika precizeco ig\u0302as malhelpo."}, {"text_idx": "#000132", "text": "La metodo de Romberg konstruas sur la trapezmetodo al granda efiko.\nUnue, la pas\u0302olongoj estas duonigitaj pliige, donante al trapezo aproksimadojn indikitajn je T ( h 0), T ( h 1), kie h da k +1 estas la duono de h da k .\nPor c\u0302iu nova pas\u0302ograndeco, nur duono de la novaj funkciovaloroj devas esti komputitaj;\nla aliaj portas de la antau\u0306a grandeco (kiel montrite en la tabelo supre).\nSed la vere potenca ideo estas interpoli polinomon tra la aproksimadoj, kaj eksterpoli al T (0).\nKun tiu metodo nombre preciza respondo c\u0302i tie postulas nur kvar pecojn (kvin funkciovaloroj).\n3.76 + estas 0.148 h 2 , produktante la eksterpolitan valoron 3.76 je h = 0."}, {"text_idx": "#000133", "text": "Gau\u0306siana kvadraturo ofte postulas videble malpli labori por supera precizeco.\nEn tiu ekzemplo, g\u0302i povas komputi la funkciovalorojn c\u0302e nur du x pozicioj, \u00b12 \u2044 \u221a 3 , tiam duobligi c\u0302iun valoron kaj sumon por ricevi la nombre precizan respondon.\nLa klarigo por tiu drameca sukceso kus\u0302as en la elekto de punktoj.\nMale al Neu\u0306tona-stalreguloj, kiuj interpolas la integrand c\u0302e egale interspacigis punktojn, Gaussian-kvadraturo analizas la funkcion c\u0302e la radikoj de aro de perpendikularaj polinomoj.\nGau\u0306siana metodo estas preciza por polinomoj de grado g\u0302is 2n \u2212 1.\nLa funkcio en tiu ekzemplo estas grado 3 polinomo, kaj plie esprimo kiu nuligas c\u0302ar la elektitaj finpunktoj estas simetriaj proksimume nul.\n(Nuligo ankau\u0306 utilas la Romberg-metodon."}, {"text_idx": "#000134", "text": "En praktiko, c\u0302iu metodo devas uzi ekstrajn taksadojn por certigi eraron ligitan sur nekonata funkcio;\ntio tendencas kompensi iujn el la avantag\u0302o de la pura Gau\u0306sian metodo, kaj instigas la popularajn Gauss-Kronrod-kvadraturformulojn.\nPli larg\u0302e, adapta kvadraturo dividas intervalon en pecojn bazitajn sur funkciotrajtoj, tiel ke datenpunktoj estas densaj kie ili estas bezonitaj la plej granda parto."}, {"text_idx": "#000135", "text": "La komputado de higher-dimensiaj integraloj (ekzemple, volumenokalkuloj) faras gravan uzon de tiaj alternativoj kiel Montekarlo-integrig\u0302o."}, {"text_idx": "#000136", "text": "Kalkuladoteksto estas neniu anstatau\u0306aj\u0302o por cifereca analitiko, sed la reverso ankau\u0306 estas vera.\nEc\u0302 la plej bona adapta nombra kodo foje devigas uzanton helpi kun la pli postulemaj integraloj.\nEkzemple, malregulaj integraloj povas postuli s\u0302ang\u0302on de variablo au\u0306 metodoj kiuj povas eviti senfinajn funkciovalorojn, kaj konataj trajtoj kiel simetrio kaj periodeco povas disponigi kritikan levilforton."}, {"text_idx": "#000137", "text": "La areo de arbitra dudimensia formo povas esti determinita uzante mezurinstrumenton nomitan planimeter.\nLa volumeno de neregulaj objektoj povas esti mezurita kun precizeco per la likvaj\u0302o forlokita kiam la objekto estas submara."}, {"text_idx": "#000138", "text": "Areo povas esti trovita per geometriaj kompas-kaj-liniilaj konstruadoj de ekvivalenta kvadrato, ekz., krklokvadratigon."}, {"text_idx": "#000139", "text": "Areo sub la kurbo (farmakokineta)\nListoj de integraloj - integraloj de la plej oftaj funkcioj"}, {"text_idx": "#000140", "text": "^ In the 20-a jarcento, nonstandard analysis was developed as a new approach to calculus that incorporates a rigorous concept of infinitesimals by using an expanded aroj de nombroj called the hyperreal numbers .\nThough placed on a sound axiomatic footing and of interest in its own right as a new area of investigation, nonstandard analysis remains somewhat controversial from a pedagogical standpoint, with proponents indiko the intuitive nature of infinitesimals for beginning students of calculus and opponents criticizing the logical complexity of the system as a whole.\n^ Weisstein, Eric Wolfgang. \"Riemann Sum\". MathWorld.\n^ Fre\u0301de\u0301ric Chyzak's Mgfun Project : Introduction to the Package Mgfun and Related Packages"}, {"text_idx": "#000144", "text": "Diferencigo sub la integrita signo"}, {"text_idx": "#000145", "text": "Integralo estas unu el la c\u0302efaj konceptoj de kalkulo. G\u0302i estas la areo inter la grafeo de funkcio kaj la x-akso."}, {"text_idx": "#000146", "text": "Difinita integralo estas la mezuro de la areo limigita de la grafo, la x-akso kaj la du limoj de la difinita integralo. Oni do c\u0302iam devas skribi la limojn de integralo. La kutima skribmaniero por integralo de la funkcio kun la limoj kaj estas"}, {"text_idx": "#000147", "text": "Nedifinita integralo estas integralo kies limoj ne estas specifitaj."}, {"text_idx": "#000148", "text": "Integralo kun variabla supra limo estas funkcio, kies valoro c\u0302e la punkto x c\u0302iam estas la valoro de"}, {"text_idx": "#000149", "text": "kie a estas konstanto sendependa de x."}, {"text_idx": "#000150", "text": "Malpropra integralo estas integralo, kiu havas senfinan limo-supron . Tiaj integraloj eblas estimi kiel limeso-integralo:"}, {"text_idx": "#000151", "text": "Integralo estas la inverso de derivaj\u0302o, kiel diras la Fundamenta teoremo de kalkulo. Tio signifas ke se oni kalkulas la derivaj\u0302on de integralo, la rezulto estos la komenca funkcio."}, {"text_idx": "#000152", "text": "Tiel, se estas malderivaj\u0302o de , do ankau\u0306 estas malderivaj\u0302o de por c\u0302iu konstanto sendependa de . Tiel malderivaj\u0302o estas fakte ne unu funkcio sed aro de fukcioj, diferencig\u0302antaj per aldono de konstanto. Ekzemple"}, {"text_idx": "#000153", "text": "Kodo de la integrala signo \u222b estas deksesuma \u00ab222B\u00bb en unikodo, en HTML g\u0302i povas esti skribata kiel \u00ab&int;\u00bb."}, {"text_idx": "#000154", "text": "Ekzistas pli de modojn de kalkuli integraloj, por ekzemplo, la Somo de Riemann, kiu estas bazita en la"}]