[{"text_idx": "#000001", "text": "Komuta algebro estas la branc\u0302o de algebro kiu studoj komutaj ringoj, iliaj idealoj, kaj moduloj super tiaj ringoj.\nKaj algebra geometrio kaj algebra nombroteorio konstruas pri komuta algebro.\nElstaraj ekzemploj de komutaj ringoj inkludas polinomringojn, ringojn de algebraj entjeroj, inkluzive de la ordinaraj entjeroj , kaj p-adic entjeroj."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Komuta algebro estas esence la studo de la ringoj okazantaj en algebra nombroteorio kaj algebra geometrio."}, {"text_idx": "#000006", "text": "En algebra nombroteorio, la ringoj de algebraj entjeroj estas Dedekind-ringoj, kiuj konstituas tial gravan klason de komutaj ringoj.\nKonsideroj ligitaj al modula aritmetiko kondukis al la nocio de valortaksoorondo.\nLa limigo de algebraj kampetendaj\u0302oj al subringoj kondukis al la nocioj de integritaj etendaj\u0302oj kaj integrite fermitaj domajnoj same kiel la nocio de forkig\u0302o de etendaj\u0302o de valortaksoorondoj."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Multaj aliaj nocioj de komuta algebro estas ekvivalentoj de geometriaj nocioj okazantaj en algebra geometrio.\nTio estas la kazo de Krull-dimensio, primara putrig\u0302o, regulaj ringoj, Cohen-Macaulay-ringoj, Gorenstein-ringoj kaj multaj aliaj nocioj."}, {"text_idx": "#000009", "text": "La subjekto, unue konata kiel ideala teorio, komencis kun la laboro de Richard Dedekind en idealoj, sin baziten sur la pli frua laboro de Ernst Kummer kaj Leopold Kronecker.\nPoste, David Hilbert lanc\u0302is la esprimon ringo por g\u0302eneraligi la pli fruan esprimon numero-ringon.\nHilbert lanc\u0302is pli abstraktan aliron al anstatau\u0306igi la pli da betono kaj komputile orientis metodojn blokitajn en tiaj aj\u0302oj kiel kompleksa analitiko kaj klasika invarianta teorio.\nEn victurno, Hilbert forte influis Emmy Noether, kiuj transfandas multajn pli fruajn rezultojn lau\u0306 ascendanta c\u0302enkondic\u0302o, nun konata kiel la Noeteriana kondic\u0302o.\nAlia grava mejlos\u0302tono estis la laboro de la studento de Hilbert Emanuel Lasker, kiu lanc\u0302is c\u0302efidealojn kaj pruvis la unuan version de la Lasker-Noether-teoremo."}, {"text_idx": "#000010", "text": "La c\u0302effiguro respondeca por la naskig\u0302o de komuta algebro c\u0302ar matura temo estis Wolfgang Krull, kiu lanc\u0302is la fundamentajn nociojn de lokalizo kaj kompletigo de ringo, same kiel tiun de regula lokulo sonoregas.\nLi establis la koncepton de la Krull-dimensio de ringo, unue por Noeterianaj ringoj antau\u0306 pluiri por vastigi sian teorion por kovri g\u0302eneralajn valortaksoorondojn kaj Krull-ringojn.\nAl tiu tago, la c\u0302efa ideala teoremo de Krull estas g\u0302enerale konsiderita la unuopaj\u0302o plej grava baza teoremo en komuta algebro.\nTiuj rezultoj pavimis lau\u0306 la manieron por la enkonduko de komuta algebro en algebran geometrion, ideo kiu revoluciigus c\u0302i-lastan temon."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Multe de la moderna evoluo de komuta algebro emfazas modulojn.\nKaj idealoj de ringo R kaj R-algebras estas specialaj kazoj de R-modulo, tiel ke modula teorio ampleksas kaj idealan teorion kaj la teorion de ringetendaj\u0302oj.\nKvankam g\u0302i jam estis inkoativa en la laboro de Kronecker, la moderna aliro al komuta algebro utiliganta modulan teorion estas kutime kreditita al Krull kaj Noether."}, {"text_idx": "#000012", "text": "En matematiko, pli specife en la areo de moderna algebro konata kiel ringa teorio, Noeteriana ringo, nomita lau\u0306 Emmy Noether, estas ringo en kiu c\u0302iu ne-malplena aro de idealoj havas maksimuman elementon.\nEkvivalente, ringo estas Noeteriana se g\u0302i kontentigas la ascendantan c\u0302enkondic\u0302on en idealoj;\ntio estas, donita ajnan c\u0302enon:"}, {"text_idx": "#000014", "text": "Ke komuta ringo estus Noeteriana g\u0302i sufic\u0302as tiel c\u0302iun c\u0302efidealon de la ringo estas finhave generita.\n(La rezulto s\u0302uldig\u0302as al I. S. Cohen."}, {"text_idx": "#000015", "text": "La nocio de Noeteriana ringo gravegas en kaj kommutativa kaj nonkomutative ringa teorio, pro la rolo g\u0302i ludas en simpligado de la ideala strukturo de ringo.\nEkzemple, la ringo de entjeroj kaj la polinomringo super kampo estas kaj Noetherian-ringoj, kaj sekve, tiaj teoremoj kiel la Lasker-Noether-teoremo, la Krull-intersekcig\u0302teoremo, kaj la baza teorem teno de la Hilbert por ili.\nKrome, se ringo estas Noeteriana, tiam g\u0302i kontentigas la descendan c\u0302enkondic\u0302on en c\u0302efidealoj .\nTiu posedaj\u0302o indikas profundan teorion de dimensio por Noetherian-ringoj komencig\u0302antaj kun la nocio de la Krull-dimensio."}, {"text_idx": "#000016", "text": "Theorem. Se R estas maldekstra (resp.\ng\u0302usta) Noeteriana ringo, tiam la polinomringo R [ X] ankau\u0306 estas maldekstra (resp."}, {"text_idx": "#000017", "text": "La bazteoremo de Hilbert havas kelkajn tujajn sekvojn:"}, {"text_idx": "#000018", "text": "Per indukto ni vidas tionankau\u0306 estos Noeteriana.\nEkde iu afina diverseco super(t.e. lokuso-aro de kolekto de polinomoj) povas esti skribita kiel la lokuso de idealokaj plue kiel la lokuso de g\u0302iaj generatoroj, g\u0302i sekvas tiel c\u0302iun afinan diversecon estas la lokuso de finhave multaj polinomoj - t.e. la intersekcig\u0302o de finhave multaj hipersurfacoj.\nSefinhav-generita estas- algebro, tiam ni scias tion, kieidealo estas.\nLa bazteoremo implicas tiondevas esti finhave generita, diras, t.e.estas finhave prezentita."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Idealo Q de ringo lau\u0306dire estas primara c\u0302u Q estas bonorda kaj kiam ajn ksy \u2208 Q, au\u0306 x \u2208 Q au\u0306 in \u2208 Q por iu pozitiva entjero n.\nEn Z, la c\u0302efidealoj estas g\u0302uste la idealoj de la formo ( Pe ) kie p estas c\u0302efa kaj e estas pozitiva entjero.\nTiel, primara putrig\u0302o de ( n) egalrilatas al reprezentado ( n) kiel la intersekcig\u0302o de finhave multaj c\u0302efidealoj."}, {"text_idx": "#000020", "text": "La Lasker-Noether-teoremo , donita c\u0302i tie, povas esti vidita kiel certa g\u0302eneraligo de la bazteoremo de aritmetiko:"}, {"text_idx": "#000022", "text": "kun C\u0302i antau\u0306baloto por c\u0302io mi kaj Rad ( C\u0302i ) =\u0338 Rad ( Qj ) por mi =\u0338 j."}, {"text_idx": "#000024", "text": "La lokalizo estas formala maniero enkonduki la \"denominatorojn\" en antau\u0306fiksita ringo au\u0306 modulo.\nTio estas, g\u0302i prezentas novan ringon/modulon el ekzistado unu tiel ke g\u0302i konsistas el frakcioj"}, {"text_idx": "#000025", "text": "kie la denominatoroj s intervalo en antau\u0306fiksita subaro S da R.\nLa arketipa ekzemplo estas la konstruado de la ringo Q de raciaj nombroj de la ringo Z de entjeroj."}, {"text_idx": "#000029", "text": "La fundamenta ekzemplo en komuta algebro estas la ringo de entjeroj.\nLa ekzisto de primoj kaj la unika faktorigadoteoremo amorigis la fundamentojn por konceptoj kiel ekzemple Noeterianaj ringoj kaj la primara putrig\u0302o."}]