[{"text_idx": "#000000", "text": "Wikipedia's Holonomy as translated by GramTrans"}, {"text_idx": "#000001", "text": "En diferenciala geometrio, la holonomio de ligo sur difencigebla plurejo estas g\u0302enerala geometria sekvo de la kurbeco de la ligo alg\u0302ustiganta la amplekson al kiu paralela transporto c\u0302irkau\u0306 fermitaj bukloj ne konservas la geometriajn datenojn estante transportita.\nPor plataj ligoj, la rilata holonomio estas speco de monodromio, kaj estas esence tutmonda nocio.\nPor kurbaj ligoj, holonomio havas nesensignifajn lokajn kaj tutmondajn ecojn."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Ajna speco de ligo sur dukto kau\u0306zas, tra siaj paralelaj transportmapoj, iun nocion de holonomio.\nLa plej oftaj formoj de holonomio estas por ligoj posedantaj iun specon de simetrio.\nGravaj ekzemploj inkludas: holonomio de la Levi-Civita ligo en rimana geometrio (nomita Riemaniana holonomio), holonomio de ligoj en vektorfaskoj, holonomio de Cartan-ligoj, kaj holonomio de ligoj en c\u0302effaskoj.\nEn c\u0302iu el tiuj kazoj, la holonomio de la ligo povas esti identigita kun Lie grupo, la holonomiogrupo.\nLa holonomio de ligo estas proksime rilatita al la kurbeco de la ligo, per la Ambrozia-kantistteoremo ."}, {"text_idx": "#000003", "text": "La studo de Riemaniana holonomio kau\u0306zis kelkajn gravajn evoluojn.\nLa holonomio estis lanc\u0302ita fare de Cartan (1926) por legi kaj klasifiki simetriajn spacojn.\nG\u0302i ne estis g\u0302is multe pli poste tiu holonomio grupoj estus uzita por studi rimanan geometrion en pli g\u0302enerala konteksto.\nEn 1952 Georges de Rham pruvis la de Rham-putrig\u0302teoremon, principon por dividado de Riemaniana dukto en kartezan produkton de Riemanianaj duktoj dividante la klavfaskon en neredukteblajn spacojn sub la ago de la lokaj holonomiogrupoj.\nPoste, en 1953, M. Berger klasifikis la eblan neredukteblan holonomies.\nLa putrig\u0302o kaj klasifiko de Riemaniana holonomio havas aplikojn al fiziko kaj teorion de kordoj."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Holonomy de ligo en vektorfasko\nHolonomy de ligo en c\u0302effasko"}, {"text_idx": "#000007", "text": "1 Aplikoj por teorion de kordoj"}, {"text_idx": "#000008", "text": "Holonomy de ligo en vektorfasko"}, {"text_idx": "#000009", "text": "Lasu E esti rekta k vektorfasko super glata multnombra M kaj lasi \u2207 esti ligo sur E.\nSurbaze de pecmaniera glata buklo \u03b3: [0,1] \u2192 M bazita c\u0302e x en M, la ligo difinas paralela transport mapo P \u03b3:\nTiu mapo estas kaj linia kaj invertebla kaj tiel difinas elementon de la g\u0302enerala lineara grupo Gl ( Eks- ).\nLa holonomiogrupo de \u2207 bazita c\u0302e x estas difinita kiel"}, {"text_idx": "#000010", "text": "La limigita holonomiogrupo bazita c\u0302e x estas la subgrupa Hol0 x (\u2207) venanta de kuntireblaj bukloj \u03b3."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Se M estas ligita tiam la holonomiogrupo dependas de la bazpunkto x nur supren al konjugacio en Gl ( k, R).\nEksplicite, se \u03b3 estas pado de x g\u0302is y en M tiam"}, {"text_idx": "#000012", "text": "Elektaj malsamaj identigoj de Eks- kun R da k ankau\u0306 donas al konjugato subgrupojn.\nFoje, precipe g\u0302enerale au\u0306 neformalaj diskutoj (kiel ekzemple malsupre), oni povas faligi referencon al la bazpunkto, kun la kompreno kiu la difino estas bona supren al konjugacio."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Hol0 (\u2207) estas al ligita, Lie-subgrupo de Gl ( k, R).\nHol0 (\u2207) estas la identeckomponento de Hol (\u2207).\ngrupa homomorfism \u03c01 ( M) \u2192 Hol (\u2207)/ Hol0 (\u2207), kie \u03c01 ( M) estas la fundamenta grupo de M, kiu sendas la homotopyoklason [\u03b3] al la kun-grupo P\u03b3\nSe M estas simple ligita tiam Hol (\u2207) = Hol0\n\u2207 estas plata (t.e. havas malaperan kurbig\u0302on) se kaj nur se Hol0 (\u2207) estas sensignifa."}, {"text_idx": "#000016", "text": "La difino por holonomio de ligoj sur c\u0302effaskenspezo en paralelmodo.\nLasu G esti Lie grupo kaj P rektoro G-bundle super glata multnombra M kiu estas parakompaktujo.\nLasu \u03c9 esti ligo sur P.\nSurbaze de pecmaniera glata buklo \u03b3: [0,1] \u2192 M bazita c\u0302e x en M kaj punkto p en la fibro super x, la ligo difinas unikan horizontalan lifton tia ke.\nLa finpunkto de la horizontala lifto,, ne g\u0302enerale estas p sed prefere iu alia punkto p\ng en la fibro super x.\nDifini ekvivalentrilat sur P per dirado ke p ~ q se ili povas esti eniritaj per pecmaniero al glata horizontala pado en P."}, {"text_idx": "#000017", "text": "La holonomiogrupo de \u03c9 bazita c\u0302e p tiam estas difinita kiel"}, {"text_idx": "#000018", "text": "La limigita holonomiogrupo bazita c\u0302e p estas la subgrupa Hol0 p (\u03c9) venanta de horizontalaj liftoj de kuntireblaj bukloj \u03b3."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Se M kaj P estas ligitaj tiam la holonomiogrupo dependas de la bazpunkto p nur supren al konjugacio en G.\nEksplicite, se q estas ajna alia elektita bazpunkto por la holonomio, tiam tie ekzistas unika g \u2208 G tia ke q p g.\nKun tiu valoro de g,"}, {"text_idx": "#000020", "text": "Krome, se p q tiam Hol p (\u03c9) = Hol q (\u03c9).\nKiel supre, foje unu faligas referencon al la bazpunkto de la holonomiogrupo, kun la kompreno kiu la difino estas bona supren al konjugacio."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Hol0 p (\u03c9) estas ligita Mensogsubgrupo de G.\nHol0 p (\u03c9) estas la identeckomponento de Hol p (\u03c9).\nEkzistas natura, surjektive grupa homomorfism \u03c01 ( M) \u2192 Hol p (\u03c9)/ Hol0 p (\u03c9).\nSe M estas simple ligita tiam Holp (\u03c9) = Hol0 p (\u03c9).\n\u03c9 estas plata (t.e. havas malaperan kurbig\u0302on) se kaj nur se Hol0 p (\u03c9) estas sensignifa."}, {"text_idx": "#000024", "text": "C\u0302ar kun la holonomiogrupoj, la holonomiofasko ankau\u0306 transformas ekvivariantly ene de la c\u0302irkau\u0306a c\u0302effasko P.\nEn detalo, se q \u2208 P estas alia elektita bazpunkto por la holonomio, tiam tie ekzistas unika g \u2208 G tia ke q p g (poste, de supozo, M estas pad-ligita).\nKiel sekvo, la induktitaj ligoj sur holonomiofaskoj egalrilatantaj al malsamaj elektoj de bazpunkto estas kongruaj unu kun la alia: iliaj paralelaj transportmapoj malsamos je g\u0302uste la sama elemento g."}, {"text_idx": "#000025", "text": "La holonomiofasko H ( p) estas c\u0302effasko por Holp (\u03c9), kaj tiel ankau\u0306 koncedas agon da la limigita holonomiogrupo Hol0 p (\u03c9) (kiu estas normala subgrupo de la plena holonomiogrupo).\nLa diskreta grupo Holp (\u03c9)/ Hol0 p (\u03c9) estas nomita la monodromiogrupo de la ligo;\ng\u0302i reagas al la kvocientfasko H ( p)/ Hol0 p (\u03c9).\nTiu ago de la fundamenta grupo estas monodromioreprezentado de la fundamenta grupo."}, {"text_idx": "#000026", "text": "P \u2192 M estas c\u0302effasko, kaj \u03c9 estas ligo en P, tiam kiun la holonomio de \u03c9 povas esti malvastanima al la fibro super malferma subaro de M.\nEfektive, se U estas ligita malferma subaro de M, tiam \u03c9 limigas por doni ligon en la fasko \u03c0 \u22121 U super U.\nmalvastanima holonomio) de tiu fasko estos indikita fare de Hol p (\u03c9, U) (resp.\nHol p 0 (\u03c9, U) por c\u0302iu p kun \u03c0 ( p"}, {"text_idx": "#000028", "text": "La loka holonomiogrupo c\u0302e punkto p estas difinita per"}, {"text_idx": "#000030", "text": "La loka holonomiogrupo havas la sekvajn trajtojn:"}, {"text_idx": "#000031", "text": "G\u0302i estas ligita Mensogsubgrupo de la limigita holonomiogrupo Hol p 0 (\u03c9).\nC\u0302iu punkto p havas najbarecon V tia ke Hol p \u00f7 (\u03c9) =Hol p 0 (\u03c9, V).\nAparte, la loka holonomiogrupo dependas nur de la punkto p, kaj ne la elekto de sekvenco U k kutimis difini g\u0302in.\nLa loka holonomio estas ekvivariaj\u0302o kun respekto al traduko de elementoj de la strukturgrupo G de P;\n(Notu tion, proksime de posedaj\u0302o 1.\n, la loka holonomiogrupo estas ligita Mensogsubgrupo de G, tiel ke la adjunkto estas klare difinita."}, {"text_idx": "#000032", "text": "La loka holonomiogrupo ne estas bonkonduta kiel tutmonda objekto.\nAparte, g\u0302ia dimensio povas malsukcesi esti konstanta.\nTamen, la sekva teoremo tenas:"}, {"text_idx": "#000033", "text": "Se la dimensio de la loka holonomiogrupo estas konstanta, tiam la loka kaj limigita holonomio konsentas: Hol\u00f7 p (\u03c9) = Hol p 0 (\u03c9)."}, {"text_idx": "#000034", "text": "La Ambrozia-kantistteoremo ligas la holonomion de ligo en c\u0302effasko kun la kurbig\u0302formularo de la ligo.\nIgi tiun teoremon kredinda, pripensi la konatan kazon de afina ligo (au\u0306 ligo en la klavfasko - la Levi-Civita ligo, ekzemple).\nLa kurbig\u0302o ekestas kiam oni vojag\u0302as c\u0302irkau\u0306 infinitezimala paralelogramo."}, {"text_idx": "#000035", "text": "En detalo, se \u03c3: [0, 1] \u00d7 [0, 1] \u2192 M estas surfaco en M parametrigita de paro de variabloj x kaj y, tiam vektoro V povas esti transportita c\u0302irkau\u0306 la limo de \u03c3: unue antau\u0306en ( x, 0), tiam antau\u0306en (1, y), sekvita per ( x, 1) irado en la negativa direkto, kaj tiam (0, y) reen al la punkto de origino.\nTio estas speciala kazo de holonomiobuklo: la vektoro V estas agita sur per la holonomia grupelemento egalrilatanta al la lifto de la limo de \u03c3.\nLa kurbig\u0302o eniras eksplicite kiam la paralelogramo estas s\u0302rumpita al nul, per krucado de la limo de pli malgrandaj paralelogramoj super [0, x] \u00d7 [0, y].\nTio egalrilatas al prenado de derivaj\u0302o de la paralelaj transportmapoj c\u0302e x = y = 0:"}, {"text_idx": "#000036", "text": "kie R estas la kurbig\u0302tensoro.\nTiel, malglate parolante, la kurbig\u0302o donas la infinitezimalan holonomion super fermita buklo (la infinitezimala paralelogramo).\nPli formale, la kurbig\u0302o estas la diagnozalternativo de la holonomiago c\u0302e la identeco de la holonomiogrupo.\nEn aliaj vortoj, R ( X, Y) estas elemento de la Lie-algebro de Hol p (\u03c9)."}, {"text_idx": "#000037", "text": "G\u0302enerale, konsideru la holonomion de ligo en c\u0302effasko P \u2192 M super P kun strukturgrupo G.\nIndikante la Lie-algebron de G je g, la kurbig\u0302formularo de la ligo estas g-aprezi 2-forma \u03c9 sur P."}, {"text_idx": "#000038", "text": "La kiun Lie-algebro de Hol p (\u03c9) estas enhavita per c\u0302iuj elementoj de g da la form\u03c9q ( X, Y) kiel q varias super c\u0302iuj punktoj kiuj povas esti akompanitaj al p per horizontala kurbo ( q p), kaj Xa kaj Y estas horizontalaj klavvektoroj c\u0302e q.\nAlternative, la teoremo povas esti reproponita lau\u0306 la holonomiofasko: [5]\nLa Lie-algebro de Holp (\u03c9) estas la subspaco de g enhavita per elementoj de la formo \u03c9 q ( X, Y) kie q \u2208 H ( p) kaj Xa kaj Y estas horizontalaj vektoroj c\u0302e q."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Unu el la plej fruaj fundamentaj rezultoj sur Riemaniana holonomio estas la teoremo de Borel & Lichnerowicz (1952), kiu asertas ke la holonomiogrupo estas fermita Mensogsubgrupo de O ( n)."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Lasu x \u2208 M esti arbitra punkto.\nTiam la holonomiogrupo Hol ( M) reagas al la klavspactx M.\nTiu ago povas au\u0306 esti nereduktebla kiel grupa prezento, au\u0306 reduktebla en la senco ke ekzistas disfendado de Tx M en ortogonalajn subspacojn Tx M = T\u2032 x M \u2295 T\u2032\u2032 x M, c\u0302iu el kiu estas senvaria sub la ago de Hol ( M).\nEn c\u0302i-lasta kazo, M lau\u0306dire estas reduktebla."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Supozu ke M estas reduktebla dukto.\nPermesante al la poento x variigi, la faskojn T\u2032 M kaj T\u2032\u2032 M formita per la redukto de la klavspaco c\u0302e c\u0302iu punkto estas glataj distribuoj kiuj estas integrablaj en la signifo de Frobenius.\nLa integritaj duktoj de tiuj distribuoj estas komplete geodeziaj subduktoj.\nTiel M estas loke karteza produkta M\u2032 \u00d7 M\u2032\u2032.\nLa (loka) de Rham-izomorfio sekvas dau\u0306rigante tiun procezon g\u0302is kompleta redukto de la klavspaco estas realigita: [6]"}, {"text_idx": "#000046", "text": "Se, krome, M estas supozita esti geodezie kompleta, tiam la teoremo tenas tutmonde, kaj c\u0302iu Mejl. estas geodezie kompleta dukto."}, {"text_idx": "#000048", "text": "Duktoj kun holonomio Sp ( n)\nSp (1) estis samtempe volita en 1965 de Edmond Bonan kaj Vivian Yoh Kraines kaj ili konstruis la paralelon 4-forman."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Duktoj kun holonomio G2 au\u0306 Spin (7) estis unue lanc\u0302itaj fare de Edmond Bonan en 1966, kiu konstruis c\u0302iujn paralelajn formojn kaj montris ke tiuj duktoj estis Ricci-plataj."}, {"text_idx": "#000050", "text": "(La origina listo de Berger ankau\u0306 inkludis la eblecon de Spin (9) kiel subgrupo de TIEL (16).\nRiemanianaj duktoj kun tia holonomio poste estis montritaj sendepende fare de D. Alekseevski kaj Bruna-grizo por esti nepre loke simetriaj, t.e., loke izometraj al la Cayley-aviadilo F4 /Spin (9) au\u0306 loke plataj.\nEstas nun konata ke c\u0302iuj tiuj eblecoj okazas kiel holonomiogrupoj de Riemanianaj duktoj.\nLa lastaj du esceptoj estis la plej malfacile troveblaj.\nVidu G2 multnombra kaj Spin (7) dukton."}, {"text_idx": "#000051", "text": "Notu ke Sp ( n) \u2282 Su ( 2n) \u2282 U ( 2n) \u2282 TIEL ( 4n), tiel ke c\u0302iu hiperka\u0308hler dukto estas Calabi-Yau-dukto, c\u0302iu Calabi-Yau-dukto estas Ka\u0308hler-dukto, kaj c\u0302iu Ka\u0308hler-dukto estas orientebla."}, {"text_idx": "#000052", "text": "La stranga listo supre estis klarigita per la pruvo de Simons de la teoremo de Berger.\nSimpla kaj geometria pruvo de la teoremo de Berger ricevis fare de Carlos E. Olmos en 2005.\nUnu unua montras ke se Riemaniana dukto ne estas loke simetria spaco kaj la reduktita holonomio reagas neredukteble al la klavspaco, tiam g\u0302i reagas transitive al la unuobla pilko.\nLa Lie-grupoj reagantaj transitive al sferoj estas konataj: ili konsistas el la listo supraj, kune kun 2 ekstraj kazoj: la grupo Turnig\u0302as (9) reagi al R 16, kaj la grupo T\nSp ( m) reagante al R 4m .\nFinfine oni kontrolas ke la unua el tiuj du ekstraj kazoj nur okazas kiel holonomiogrupo por loke simetriaj spacoj (kiuj estas loke izomorfaj al la Cayley-projekcia aviadilo), kaj la dua ne okazas entute kiel holonomiogrupo."}, {"text_idx": "#000054", "text": "[ citaj\u0302o bezonis ] Riemanianaj simetriaj regionoj, kiuj estas loke izometraj g\u0302is homogenaj regionoj G / H havas lokan holonomion izomorfaj al H.\nTiuj ankau\u0306 estis tute klasifikitaj."}, {"text_idx": "#000058", "text": "La unitariaj kaj specialaj unitariaj holonomioj ofte estas studitaj lige kun tu\u0306istorteorio, [10] same kiel en la studo de preskau\u0306 kompleksaj strukturoj."}, {"text_idx": "#000059", "text": "Riemanianaj duktoj kun speciala holonomio ludas gravan rolon en teorio de kordoj\nTio estas c\u0302ar specialaj holonomioduktoj koncedas kovariantly konstanton (paralelan) spinors kaj tiel konservas iun frakcion de la origina supersimetrio.\nPlej gravaj estas Kompaktigoj sur Calabi-Yau-duktoj kun Su (2) au\u0306 Su (3) holonomio.\nAnkau\u0306 gravaj estas Kompaktigoj sur G 2 duktoj."}, {"text_idx": "#000061", "text": "Sur la vojo al lia klasifiko de Riemanianaj holonomiogrupoj, Berger evoluigis du kriteriojn kiuj devas esti kontentigitaj per la Lie-algebro de la holonomiogrupo de tord-libera afina ligo kiu ne estas loke simetria: unu el ili, konataj kiel la unua kriterio de Berger, estas sekvo de la Ambrozia-kantistteoremo, kiun la kurbig\u0302o generas la holonomialgebron;\nla alia, konata kiel la dua kriterio de Berger, venas de la postulo ke la ligo ne devus esti loke simetria.\nBerger prezentis liston de grupoj agantaj neredukteble kaj kontentigantaj tiujn du kriteriojn;\ntio povas esti interpretita kiel listo de eblecoj por neredukteblaj afinaj holonomioj."}, {"text_idx": "#000063", "text": "La Merkulov-Schwachho\u0308fer-klasifiko estis klarigita konsiderinde per ligo inter la grupoj en la listo kaj certaj simetriaj spacoj, nome la Hermitaj simetriaj spacoj kaj la kvaropo-Ka\u0308hler simetriaj spacoj.\nLa rilato estas precipe klara koncerne kompleksajn afinajn holonomiojn, kiel montrite per Sku\u0306akho\u0308fer (2001)."}, {"text_idx": "#000064", "text": "Lasu V esti finhav-dimensia komplekso-vektorspaco, lasu H \u2282 Aut ( V) esti nereduktebla semikuracherbkomplekso ligis Lie-subgrupon kaj luigitan K \u2282 H esti maksimuma kompakta subgrupo."}, {"text_idx": "#000065", "text": "Se ekzistas nereduktebla Hermita simetria regiono de la formo G /(U (1)\nK), tiam kaj H kaj C \u00f7\nH estas ne-simetriaj neredukteblaj afinaj holonomiogrupoj, kie V la klavoreprezentado de K.\nSe ekzistas nereduktebla kvaropo-Ka\u0308hler simetria regiono de la formo G /(Sp (1)\nK), tiam H estas ne-simetriaj neredukteblaj afinaj holonomiogrupoj, kiel estas C\nH se malklara V = 4-a C\u0302i tie la kompleksifieita klavreprezentado de Sp (1)\nK estas C 2 \u2297 V, kaj H konservas kompleksan simplektic-formularon sur V."}, {"text_idx": "#000066", "text": "Tiuj du familioj cedas c\u0302iujn ne-simetriajn neredukteblajn kompleksajn afinajn holonomiogrupojn krom la sekvanta:"}, {"text_idx": "#000067", "text": "Uzante la klasifikon de Hermitsimetriaj spacoj, la unua familio donas al la sekva kompleksa afina holonomio grupojn:"}, {"text_idx": "#000068", "text": "kie Z C estas au\u0306 sensignifa, au\u0306 la grupo C \u00f7."}, {"text_idx": "#000069", "text": "Uzante la klasifikon de kvaropo-Ka\u0308hler simetriaj regionoj, la dua familio donas al la sekva kompleksa simplektic al grupoj: holonomion"}, {"text_idx": "#000070", "text": "(En la dua vico, Z C devas esti sensignifa krom se n = 2."}, {"text_idx": "#000071", "text": "De tiuj listoj, analogo de la rezulto de Simon ke Riemanianaj holonomiogrupoj reagas transitive al sferoj povas esti observita: la kompleksaj holonomioreprezentantaroj estas c\u0302iuj prehomogenaj vektoraj spacoj.\nKoncipa pruvo de tiu fakto ne estas konata."}, {"text_idx": "#000073", "text": "Ekzistas simila vorto, \" holomorpha \", kiu estis lanc\u0302ita per du el la studentoj, Briot de Cauchy (1817-1882) kaj Bouquet (1819-1895), kaj venas de la greka \u03bf\u0314\u0301\u03bb\u03bf\u03c2 ( holoj) signifo \"tuta\", kaj \u03bc\u03bf\u03c1\u03c6\u03b7\u0301 ( morfe\u0304) elvokiva \"formularo\" au\u0306 \"aspekto\".\nLa etimologio de \"holonomio\" partumas la unuan parton kun \"holomorpha\" ( holoj)."}, {"text_idx": "#000074", "text": "\"Estas rimarkinde forte trovi la etimologion de holonomic (au\u0306 holonomio) sur la reto.\nmi trovis la sekvantan (dank'al John Conway de Princeton):\n'I believe it was first used by Poinsot in his analysis of the motion of a rigid body. In this theory, a system is called \" holonomic \" if, in a certain sense, one can recover global information from local information, so the meaning \" entire-law \" is quite appropriate. The rolling of a ball on a table is non-holonomic, because one rolling along different paths to the same point can put it into different orientations. However, it is perhaps a bit too simplistic to say that \" holonomy \" means \" entire-law \" .\nThe \" nom \" root has many intertwined meanings in Greek, and perhaps more often refers to \" counting \" .\nIt comes from the same Indo-European root as our word \" number. \""}]