[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, la harmonia serio estas la diverg\u0302a senfina serio:"}, {"text_idx": "#000003", "text": "1 Malkonverg\u0302o de harmona serio\n2 Harmona serio kun pli altaj gradoj"}, {"text_idx": "#000004", "text": "La fakto ke la harmonia serio diverg\u0302as estis unue pruvita en la 14-a jarcento fare de Nikolao de Oresme, [1] sed tiu atingo falis en obskurecon.\nPruvoj ricevis en la 17-a jarcento fare de Pietro Mengoli, [2]\nJohann Bernoulli, [3] kaj Jakob Bernoulli."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Historie, harmoniaj sekvencoj havis certan popularecon kun arkitektoj.\nTio estis tiel precipe en la baroka periodo, kiam arkitektoj uzis ilin por establi la proporciojn de etag\u0302omapoj, de altecoj, kaj por establi harmoniajn rilatojn inter kaj internaj kaj eksteraj arkitekturaj detaloj de preg\u0302ejoj kaj palacoj."}, {"text_idx": "#000006", "text": "La harmonia serio estas kontrau\u0306intuicia al studentoj unue renkontante g\u0302in, c\u0302ar g\u0302i estas diverg\u0302a serio ec\u0302 se la limo de la a esprimo c\u0302ar n iras al senfineco estas nul.\nLa diverg\u0302o de la harmonia serio ankau\u0306 estas la fonto de kelkaj s\u0302ajnaj paradoksoj.\nUnu ekzemplo de tiuj estas la \" vermo sur la kau\u0306c\u0302uka rubando \".\nSupozu ke vermo rampas lau\u0306 1-metra kau\u0306c\u0302uka rubando en la sama tempo kiam la kau\u0306c\u0302uka rubando estas unuforme etendita.\nSe la vermo vojag\u0302as 1 centimetron je minuto kaj la grupo etendas 1 metron je minuto, c\u0302u la vermo iam atingos la finon de la kau\u0306c\u0302uka rubando?\nLa respondo, kontrau\u0306intuicie, estas \"jes\", c\u0302ar post n minutoj, la rilatumo de la distanco vojag\u0302ita per la vermo al la sumlongo de la kau\u0306c\u0302uka rubando estas"}, {"text_idx": "#000007", "text": "(Fakte la fakta rilatumo estas iomete malpli ol tiu sumo kiam la grupo disetendig\u0302as ade).\nLa kialo estas ke la grupo disetendig\u0302as malantau\u0306 la vermo ankau\u0306;\nposte, la vermo ricevas preteren la mezvojan markon kaj la grupo malantau\u0306e disetendig\u0302as c\u0302iam pli pli rapide ol la grupo plej antau\u0306e."}, {"text_idx": "#000008", "text": "C\u0302ar la serio ig\u0302as arbitre granda kiam n ig\u0302as pli granda, poste tiu rilatumo devas superi 1, kiu implicas ke la vermo atingas la finon de la kau\u0306c\u0302uka rubando.\nTamen, la valoro de n c\u0302e kiu tio okazas devas esti ekstreme granda: c\u0302irkau\u0306 e 100, nombro superanta 1043.\nKvankam la harmonia serio diverg\u0302as, certe tiel tre malrapide."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Alia problemo implikanta la harmonian serion estas la Jeep-problemo."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Alia ekzemplo estas: donita kolekton de identaj domeno, estas klare eble stakigi ilin c\u0302e la rando de tablo tiel ke ili pendas super la rando de la tablo sen falado.\nLa kontrau\u0306intuicia rezulto estas tiu unu povas stakigi ilin en tia maniero por igi la superpendaj\u0302on arbitre granda, disponigitan ke ekzistas sufic\u0302e daj domeno."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Pli simpla ekzemplo, aliflanke, estas la nag\u0302anto kiu dau\u0306rigas aldoni pli da rapideco kie tus\u0302ado de la muroj de la nag\u0302ejo.\nLa nag\u0302anto komencas transiri 10-metran nag\u0302ejon kun rapideco de 2 m/s, kaj kun c\u0302iu kruco, pliaj 2 m/s estas aldonitaj al la rapideco.\nEn teorio, la rapideco de la nag\u0302anto estas senlima, sed la nombro da nag\u0302ejkrucoj necesaj por veni al tiu rapideco ig\u0302as tre granda;\nekzemple, veni al la lumrapideco (ignorante specialan teorion de relativeco), la nag\u0302anto devas transiri la nag\u0302ejon 150 milionojn da tempoj.\nKontrau\u0306e al tiu granda nombro, la \"tempo\" postulata por atingi antau\u0306fiksitan rapidecon dependas de la sumo de la serio c\u0302e iu antau\u0306fiksita nombro da nag\u0302ejkrucoj (ripetoj):"}, {"text_idx": "#000012", "text": "Kalkuli la sumon (ripete) montras ke veni al la lumrapideco ke la tempo postulis estas nur 94 sekundoj.\nPer dau\u0306rado preter tiu punkto (superante la lumrapideco, denove ignorante specialan teorion de relativeco), la tempo okupita por transiri la nag\u0302ejon fakte aliros nul kiam la nombro da ripetoj ig\u0302as tre granda, kaj kiam la tempo postulata por transiri la nag\u0302ejon s\u0302ajnas tendenci renuligi (c\u0302e senfina nombro da ripetoj), kiujn la sumo de ripetoj (kiujn tempo prenita por totala nag\u0302ejo krucas) diverg\u0302os kun tre malrapida rapideco."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Ekzistas pluraj bonkonataj pruvoj de la diverg\u0302o de la harmonia serio.\nKelkaj el ili ricevas malsupre."}, {"text_idx": "#000014", "text": "Unudirekta pruvi diverg\u0302o devas kompari la harmonian serion kun alia diverg\u0302a serio:"}, {"text_idx": "#000015", "text": "C\u0302iu esprimo de la harmonia serio estas pli bonega ol au\u0306 egala al la ekvivalenta esprimo de la dua serio, kaj tial la sumo de la harmonia serio devas esti pli bonega ol la sumo de la dua serio.\nTamen, la sumo de la dua serio estas senfina:"}, {"text_idx": "#000016", "text": "G\u0302i sekvas (per la kompartesto) ke la sumo de la harmonia serio devas esti senfina ankau\u0306.\nPli g\u0302uste, la komparo supre pruvas tion"}, {"text_idx": "#000017", "text": "por c\u0302iu pozitiva entjero k."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Tiu pruvo, proponita fare de Nikolao de Oresme, lau\u0306 multaj en la matematika komunumo por estas alta punkto de mezepoka matematiko.\nG\u0302i dau\u0306re estas norma pruvo instruita en matematikklasoj hodiau\u0306.\nLa kondensadotesto de Cauchy estas g\u0302eneraligo de tiu argumento."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Estas eble pruvi ke la harmonia serio diverg\u0302as komparante sian sumon kun malregula integralo.\nSpecife, pripensas la arang\u0302on de rektanguloj montritaj en la figuro dekstren.\nC\u0302iu rektangulo estas 1 ekzempleron larg\u0302a kaj 1/ n ekzemplerojn alta, tiel ke la suma areo de la rektanguloj estas la sumo de la harmonia serio:"}, {"text_idx": "#000020", "text": "Tamen, la suma areo sub la kurbo y = 1/ x de 1 g\u0302is senfineco ricevas per malregula integralo:"}, {"text_idx": "#000021", "text": "C\u0302ar tiu areo estas totale enhavita ene de la rektanguloj, la suma areo de la rektanguloj devas esti senfina ankau\u0306.\nPli g\u0302uste, tio pruvas tion"}, {"text_idx": "#000022", "text": "La g\u0302eneraligo de tiu argumento estas konata kiel la integrita testo."}, {"text_idx": "#000023", "text": "La harmonia serio diverg\u0302as tre malrapide.\nEkzemple, la sumo de la unuaj 1043 oficperiodoj estas malpli ol 100.\nTio estas c\u0302ar la partaj sumoj de la serio havas logaritman kreskon."}, {"text_idx": "#000024", "text": "kiela konstanto de Eu\u0306lero-Mascheroni estas kajkiel kiuj aliroj 0iras al senfineco.\nLeonhard Euler pruvis kaj tion kaj ankau\u0306 la pli frapan fakton ke la sumo kiu inkludas nur la reciprocals de primoj ankau\u0306 diverg\u0302as, t.e."}, {"text_idx": "#000025", "text": "La a parta sumo de la diverg\u0302a harmonia serio,"}, {"text_idx": "#000026", "text": "estas vokita la a harmonia nombro ."}, {"text_idx": "#000027", "text": "La diferenco inter la a harmonia nombro kaj la natura logaritmo de n konverg\u0302as al la konstanto de Eu\u0306lero-Mascheroni."}, {"text_idx": "#000028", "text": "La diferenco inter apartaj harmoniaj nombroj neniam estas entjero."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Neniuj harmoniaj nombroj estas entjeroj, krom n = 1."}, {"text_idx": "#000030", "text": "estas konata kiel la alterna harmonia serio.\nTiu serio konverg\u0302as per la alterna seria provo.\nAparte, la sumo estas egala al la natura logaritmo de 2:"}, {"text_idx": "#000031", "text": "Tiu formulo estas speciala kazo de la Mercator serio, la serio de Taylor por la natura logaritmo.\nPruvo sen vortoj kiu la sumo estasestis montrita fare de Matt Hudelson."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Rilata serio povas esti derivita de la serio de Taylor por la arkklavo:"}, {"text_idx": "#000034", "text": "La g\u0302enerala harmonia serio estas de la formo"}, {"text_idx": "#000035", "text": "Per la kompartesto, c\u0302io g\u0302enerala harmonia serio diverg\u0302as."}, {"text_idx": "#000036", "text": "G\u0302eneraligo de la harmonia serio estas la p-serio (au\u0306 hiperharmoniaj serioj), difinita kiel"}, {"text_idx": "#000037", "text": "por iu pozitiva reala pli sensenta p.\nKie p = 1, la p-serio estas la harmonia serio, kiu diverg\u0302as.\nAu\u0306 la integrita testo au\u0306 la Cauchy-kondensadotesto montras ke la p-serio konverg\u0302as por c\u0302io p > 1 (en kiu kazo g\u0302i estas nomita la tro-harmonia serio) kaj diverg\u0302as por c\u0302iu p \u2264 1-a Se p > 1 tiam la sumo de la p-serio estas \u03b6 ( p), t.e., la Riemann zetafunkcio analizis c\u0302e p."}, {"text_idx": "#000038", "text": "La problemo de trovado de la sumo por p = 2 estas nomita la Bazela problemo.\nLa valoro de la sumo por p = 3 estas vokitaj Konstanto de Ape\u0301ry."}, {"text_idx": "#000040", "text": "por iu pozitiva reala pli sensenta p.\nTio povas esti montrita per integrita testo por diverg\u0302i por p \u2264 1 sed konverg\u0302i por c\u0302iu p > 1."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Por iu konveksa, real-aprezita funkcio \u03c6 tia ke"}, {"text_idx": "#000042", "text": "la serio \u2211 n \u22651 \u03c6 ( n \u22121) estas konverg\u0302aj."}, {"text_idx": "#000043", "text": "kie la s n estas sendependajn, idente distribuis hazardajn variablojn preni la valorojn +1 kaj \u22121 kun egala vers\u0302ajneco 1/2, estas bonkonata ekzemplo en probablokalkulo por serio de hazardaj variabloj kiu konverg\u0302as kun vers\u0302ajneco 1.\nLa fakto de tiu konverg\u0302o estas facila sekvo de au\u0306 la Kolmogorov-tri-seria teoremo au\u0306 de la proksime rilatita Kolmogorov-maksimuma malegaleco.\nByron Schmuland de la Universitato de Alberto plue ekzamenis [11] [12] la trajtojn de la hazarda harmonia serio, kaj montris ke la konverg\u0302a estas hazarda variablo kun kelkaj interesaj trajtoj.\nAparte, la probablodensa funkcio de tiu hazarda variablo analizis c\u0302e +2 au\u0306 c\u0302e \u22122 prenoj sur la valoro 0.\nLa artikolo de Schmuland klarigas kial al tiu vers\u0302ajneco estas tiel proksima, sed ne precize, 1/8-a La preciza valoro de tiu vers\u0302ajneco ricevas per la senfina kosinusa produktintegralo [13]"}, {"text_idx": "#000044", "text": "La malplenigita harmonia serio kie c\u0302io el la esprimoj en kiuj la cifero 9 aperas ie ajn en la denominatoro estas forigitaj povas esti montrita konverg\u0302i kaj g\u0302ia valoro estas malpli ol 80.\nFakte kiam esprimojn enhavanta ajnan specialan s\u0302nuron de ciferoj estas forigitaj la serio konverg\u0302as."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Listo de sumoj de reciprocals"}, {"text_idx": "#000050", "text": "La diferenciala ekvacio de Riemann"}, {"text_idx": "#000051", "text": "Harmona serio \u2013 nombra serio kiu havas aspekton:"}, {"text_idx": "#000053", "text": "Harmona serio estas malkonverg\u0302a - suba pruvo de tiu fakto devenas de Nikolao de Oresme kaj estas unu el gravaj sukcesoj de mezepoka matematiko."}, {"text_idx": "#000054", "text": "C\u0302ar sumo de nombroj en c\u0302iu krampo estas 1/2, vico de partaj sumoj de serio ne havas limeson."}, {"text_idx": "#000055", "text": "Tiel nomata g\u0302enerala harmona serio"}, {"text_idx": "#000056", "text": "Oni povas pruvi[noto 1], ke makkonverg\u0302a estas ankau\u0306 serio de inversoj de primoj."}, {"text_idx": "#000057", "text": "Sekvaj partaj sumoj de harmona serio"}, {"text_idx": "#000058", "text": "tiel nomataj harmonaj nombroj, kreskas malrapide, c\u0302ar ekzistas ekvacio:"}, {"text_idx": "#000059", "text": "kaj \u03b3 estas tiel nomata konstanto de Euler. Tio signifas, ke harmona serio kreskas same rapide kiel natura logaritmo."}, {"text_idx": "#000060", "text": "Harmona serio kun pli altaj gradoj"}, {"text_idx": "#000061", "text": "Harmona serio kun grado \u03b1 havas aspekton:"}, {"text_idx": "#000062", "text": "La serio estas konverg\u0302a por \u03b1>1 kaj malkorverg\u0302a alikaze. Se \u03b1 povus esti kompleksa nombro kaj por c\u0302iu \u03b1 kiam serio estas korverg\u0302a kunigos g\u0302ia sumo, tiel verkata funkcio estas funkcio \u03c2 de Riemann:"}, {"text_idx": "#000063", "text": "Tiu funkcio estas grava en teorio de nombroj. Kaj kunigas kun g\u0302i fama hipotezo de Riemann."}, {"text_idx": "#000064", "text": "Ankau\u0306 Alterna harmona serio estas ankau\u0306 konverg\u0302a, sed nur kondic\u0302e"}, {"text_idx": "#000065", "text": "Tiu rezultas ekzemple el disvolvo de funkcio natura logaritmo en serio de Taylor."}]