[{"text_idx": "#000001", "text": "La identeco de Be\u0301zout (ankau\u0306 nomita la lemo de Be\u0301zout) estas teoremo en la elementa nombroteorio: lasu a kaj b esti nonzerentjeroj kaj lasi d esti ilia plej granda komuna divizoro.\nTiam tie ekzistu entjeroj x kaj y tia ke"}, {"text_idx": "#000002", "text": "la plej granda komuna divizoro d estas la plej malgranda pozitiva entjero per kiu povas esti skribita kiel hakil +\nc\u0302iu entjero de la form hakil + de estas multoblo de la plej granda komuna divizoro d."}, {"text_idx": "#000003", "text": "La entjeroj x kaj y estas nomita Be\u0301zout-koeficientoj por (, b);\nParo de Be\u0301zout-koeficientoj povas esti komputita per la plilongigita eu\u0306klida algoritmo.\nSe kaj a kaj b estas nonzeroj, la plilongigita eu\u0306klida algoritmo produktas unu el la du paroj tia kekaj(egaleco povas okazi nur se unu el a kaj b estas multoblo de la aliaj)."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Multaj teoremoj de elementa nombroteorio, kiel ekzemple la lemo au\u0306 c\u0302ina restteoremo de Eu\u0306klido, rezulto de la identeco de Be\u0301zout."}, {"text_idx": "#000005", "text": "Be\u0301zout-domajno estas integrita domajno en kiu la identeco de Be\u0301zout tenas.\nAparte, la identecteno de Be\u0301zout en c\u0302efaj idealaj domajnoj.\nC\u0302iu teoremo kiu rezultoj de la identeco de Be\u0301zout estas tiel veraj en c\u0302iuj tiuj domajnoj."}, {"text_idx": "#000006", "text": "0 Tradukita artikolo 1 Strukturo de solvoj 1.1\nPor tri au\u0306 pli da entjeroj"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Por tri au\u0306 pli da entjeroj"}, {"text_idx": "#000008", "text": "Kiam unu paro de Be\u0301zout-koeficientoj ( x, y) estis komputita (ekz., utiligante plilongigitan eu\u0306klidan algoritmon), c\u0302iuj paroj povas esti reprezentitaj en la formo"}, {"text_idx": "#000009", "text": "kie k estas arbitra entjero kaj la frakcioj simpligas al entjeroj."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Inter tiuj paroj de Be\u0301zout-koeficientoj, ekzakte du el ili kontentigas"}, {"text_idx": "#000011", "text": "Tio dependas de posedaj\u0302o de Eu\u0306klida subregno: surbaze de du entjeroj c kaj d, se d ne disigas c, ekzistas same unu paro ( q, r) tia ke c = dq + r kaj 0< r\n, kaj another unu tia ke c = dq + r kaj 0< - r"}, {"text_idx": "#000012", "text": "La Extended Euclidean-algoritmo c\u0302iam produktas unu el tiuj du minimumaj paroj."}, {"text_idx": "#000013", "text": "Lasis = 12 kaj b = 42, gcd (12, 42) = 6-a Tiam ni havas la identecojn de la sekva Be\u0301zout, kun la Be\u0301zout-koeficientoj skribitaj en rug\u0302a por la minimumaj paroj kaj en blua por la aliaj."}, {"text_idx": "#000014", "text": "La lemo de Be\u0301zout estas sekvo de la difina posedaj\u0302o de Eu\u0306klida dividado, nome: tiun disigadon pozitiva entjero de pozitiva entjero b donas reston pli grandan ol au\u0306 egala al nul kaj strikte malpli ol b.\nPor antau\u0306fiksitaj pozitivaj entjeroj a kaj b ekzistas plej malgranda pozitiva entjero d = kiel + bt inter c\u0302iuj tiuj de la formhakil + de kun x kaj y entjeroj.\nNun la resto donita de disigado au\u0306 au\u0306 b de d estas ankau\u0306 de la formhakil + de c\u0302ar g\u0302i akirig\u0302as subtrahante multoblon de d = kiel + bt de au\u0306 b;\ntiel la resto devas esti pli bonega ol au\u0306 egala al nul kaj strikte pli malgranda ol d.\nTio lasas 0 kiel nur ebleco por tia resto, tiel ke d disigas kaj a kaj b precize."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Se c estas ofta dividanto de a kaj b, tiam c ankau\u0306 disigas d = kiel + bt.\nEkde c disigas d, c devas esti malpli ol au\u0306 egala al d, tiel d estas la plej granda komuna divizoro de a kaj b;"}, {"text_idx": "#000016", "text": "Tiu pruvo povas esti adaptig\u0302is por iu Eu\u0306klida domajno, kaj ec\u0302 por iu c\u0302efa ideala domajno."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Tiu pruvo ne disponigas metodon por komputado de la koeficientoj de Be\u0301zout.\nTamen, la lemo de Be\u0301zout ankau\u0306 estas konsekvenco de la pruvo de la Plilongigita eu\u0306klida algoritmo kaj tiu algoritmo disponigas efikan metodon de komputado de tiuj koeficientoj.\nTiu algoritmo ankau\u0306 povas esti etendita al iu Eu\u0306klida domajno."}, {"text_idx": "#000018", "text": "La identeco de Be\u0301zout povas esti etendita al pli ol du entjeroj: se"}, {"text_idx": "#000019", "text": "d estas plej malgranda pozitiva entjero de tiu formo\nc\u0302iu nombro da tiu formo estas multoblo de d"}, {"text_idx": "#000020", "text": "La identeco de Be\u0301zout laboras por univariatpolinomoj super kampo precize lau\u0306 la samaj manieroj kiel por entjeroj.\nLa koeficientoj de aparte la Be\u0301zout kaj la plej granda komuna divizoro povas esti komputitaj kun la Plilongigita eu\u0306klida algoritmo."}, {"text_idx": "#000021", "text": "C\u0302ar la komunaj radikoj de du polinomoj estas la radikoj de sia plej granda komuna divizoro, la identeco kaj de Be\u0301zout algebra bazteoremo implicas la sekvan rezulton:"}, {"text_idx": "#000022", "text": "Por univariatpolinomoj f kaj g kun koeficientoj en kampo, tie ekzistas polinomoj a kaj b tia ke af + bg = 1 se kaj nur se f kaj g havas neniun komunan radikon en iu algebre fermita kampo (ofte la kampo de kompleksaj nombroj)."}, {"text_idx": "#000023", "text": "La g\u0302eneraligo de tiu rezulto al iu nombro da polinomoj kaj indeterminatoj estas Hilbert's Nullstellensatz."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Kiel en la enkonduko, la identeco de Be\u0301zout laboras ne nur en la boksejo de entjeroj, sed ankau\u0306 en iu alia c\u0302efa ideala domajno (PID).\nTio estas, se R estas PID, kaj a kaj b estas elementoj de R, kaj d estas plej granda komuna divizoro de a kaj b, tiam ekzistas elementoj x kaj y en R tia ke hakil + de = d.\nLa kialo: la ideala Ra + Rb estas c\u0302efa kaj efektive estas egala al Rd."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Franca matematikisto E\u0301tienne Be\u0301zout (1730-1783) pruvis tiun identecon por polinomoj.\nTamen, tiu deklaro por entjeroj povas esti trovita jam en la laboro de alia franca matematikisto, Claude Gaspard Bachet de Me\u0301ziriac (1581-1638)."}, {"text_idx": "#000027", "text": "AF+BG-teoremo, analogo de la identeco de Be\u0301zout por homogenaj polinomoj en tri indeterminatoj"}, {"text_idx": "#000030", "text": "Pri kvanto de intersekcoj de du ebenaj algebraj kurboj vidu en teoremo de Be\u0301zout."}, {"text_idx": "#000031", "text": "En nombroteorio, idento de Be\u0301zout, nomita pro E\u0301tienne Be\u0301zout, estas fakto pri linearaj diofantaj ekvacioj. G\u0302i statas, ke se a kaj b estas entjeroj kun plej granda komuna divizoro d, tiam tie ekzistas entjeroj x kaj y tiaj ke"}, {"text_idx": "#000032", "text": "Nombroj x kaj y de pli supre povas esti difinitaj per la etendita eu\u0306klida algoritmo, sed ili estas ne unikaj."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Se estas unu solvaj\u0302o (x, y) tiam la aliaj solvaj\u0302oj estas"}, {"text_idx": "#000034", "text": "Ekzemple, la plej granda komuna divizoro de 12 kaj 42 estas 6, kaj do la ekvacio"}, {"text_idx": "#000035", "text": "La plej granda komuna divizoro d de a kaj b estas fakte la plej malgranda pozitiva entjero kiu povas esti skribita en la formo ax + by."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Idento de Be\u0301zout laboras ne nur en la ringo de entjeroj, sed ankau\u0306 en c\u0302iu la alia c\u0302efideala domajno. Tio estas, se R estas c\u0302efideala domajno, kaj a kaj b estas eroj de R, kaj d estas plej granda komuna divizoro de a kaj b, tiam estas eroj x kaj y en R tiaj ke ax + by = d. La kau\u0306zo: la idealo Ra + Rb estas c\u0302efa kaj ja estas egala al Rd."}]