[{"text_idx": "#000001", "text": "Listo de teorio de grupo-temoj"}, {"text_idx": "#000002", "text": "G\u0302enerala linia Gl ( n)"}, {"text_idx": "#000003", "text": "Speciala linia Sl ( n)"}, {"text_idx": "#000004", "text": "Speciala ortogonala TIEL ( n)"}, {"text_idx": "#000005", "text": "Speciala unitaria Su ( n)"}, {"text_idx": "#000006", "text": "En matematiko kaj abstrakta algebro, teorio de grupoj studas la algebrajn strukturojn konatajn kiel grupoj.\nLa koncepto de grupo estas centra abstraktan algebron: aliaj bonkonataj algebraj strukturoj, kiel ekzemple ringoj, kampoj, kaj vektoraj spacoj, c\u0302io povas esti vidita kiel grupoj dotitaj per kromaj operacioj kaj aksiomoj.\nGrupoj ripetig\u0302as c\u0302ie en matematiko, kaj la metodoj de teorio de grupoj influis multajn partojn de algebro.\nLiniaj algebraj grupoj kaj Mensoggrupoj estas du branc\u0302oj de teorio de grupoj kiuj spertis progresojn kaj farig\u0302is temaroj en sia propra rajto."}, {"text_idx": "#000007", "text": "Diversaj fizikaj sistemoj, kiel ekzemple kristaloj kaj la hidrogenatomo, povas esti modeligitaj fare de geometriaj simetria grupoj.\nTiel teorio de grupoj kaj la proksime rilatita prezenta teorio havas multajn gravajn aplikojn en fiziko, kemio, kaj materiala scienco.\nTeorio de grupoj ankau\u0306 estas centra al publiks\u0302losila kriptografio."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Unu el la plej gravaj matematikaj atingoj de la 20-a jarcento [1] estis la komuna fortostrec\u0302o, preni supren pli ol 10,000 j\u0302urnalpag\u0302ojn kaj plejparte publikigis inter 1960 kaj 1980, tio kulminis per kompleta klasifiko de finhavaj simplanimaj grupoj."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Kombineca kaj geometria grupa teorio"}, {"text_idx": "#000011", "text": "La vico da grupoj estantaj pripensita iom post iom disetendig\u0302is de finhavaj permutadogrupoj kaj specialaj ekzemploj de matricgrupoj por abstrakti grupojn kiuj povas esti precizigitaj tra prezento fare de generatoroj kaj rilatoj."}, {"text_idx": "#000012", "text": "La unua klaso de grupoj se temas pri sperti sisteman studon estis permutadogrupoj.\nSurbaze de iu aro X kaj amasig\u0302o G de ensurj\u0302etoj de X en si mem (konata kiel permutaj\u0302oj) tio estas fermita sub kunmetaj\u0302oj kaj enversoj, G estas grupo reaganta al X.\nSe X konsistas el n elementoj kaj G konsistas el c\u0302iuj permutaj\u0302oj, G estas la simetriagrupa S\ng\u0302enerale, c\u0302iu permutadogrupo G estas subgrupo de la simetria grupo de X.\nFrua konstruo pro Cayley ekspoziciis ajnan grupon kiel permutadogrupo, reagante al si mem ( X = G ) per maldekstra regula reprezentantaro."}, {"text_idx": "#000013", "text": "En multaj kazoj, la strukturo de permutadogrupo povas esti studita uzante la trajtojn de g\u0302ia ago sur la ekvivalenta aktoraro.\nEkzemple, lau\u0306 tiu maniero oni pruvas ke por n \u2265 5, la alterna grupo A\nTiu fakto ludas s\u0302losilan rolon en la malebleco de solvado de g\u0302enerala algebra ekvacio de grado da n \u2265 5 en radikaluloj."}, {"text_idx": "#000014", "text": "La venonta grava klaso de grupoj ricevas fare de matricgrupoj, au\u0306 liniaj grupoj.\nC\u0302i tie G estas aro konsistanta el inverteblaj matricoj de antau\u0306fiksita ordo n pli ol kampo K kiu estas fermita sub la produktoj kaj enversoj.\nTia grupo reagas al la n-dimensia vektora spaco K da n per lineartransformoj.\nTiu ago igas matricgrupojn koncipe similaj al permutadogrupoj, kaj la geometrio de la ago povas esti utile ekspluatita por establi trajtojn de la grupo G."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Permutadogrupoj kaj matricgrupoj estas specialaj kazoj de transformgrupoj: grupoj kiuj reagas al certa spaco Xa marinado g\u0302ia eneca strukturo.\nKoncerne permutadogrupojn, X estas aro;\npor matricgrupoj, X estas vektora spaco.\nLa koncepto de transformgrupo estas proksime rilatita kun la koncepto de geometria simetria grupo: transformgrupoj ofte konsistas el c\u0302iuj transformoj kiuj konservas certan strukturon."}, {"text_idx": "#000016", "text": "La teorio de transformgrupoj formas ponton ligantan teorion de grupoj kun diferenciala geometrio.\nLongs\u0302nuro de esplorado, originante c\u0302e Lie kaj Klein, pripensas grupajn agojn sur duktoj de homeomorfioj au\u0306 difeomorfismoj.\nLa grupoj mem povas esti diskretaj au\u0306 kontinuaj."}, {"text_idx": "#000017", "text": "La plej multaj grupoj pripensitaj en la unua fazo de la evoluo de teorio de grupoj estis \"konkretaj\", estinte realigitaj tra nombroj, permutaj\u0302oj, au\u0306 matricoj.\nDau\u0306ris g\u0302is la malfrua deknau\u0306a jarcento ke la ideo de abstrakta grupo kiel aro kun operacioj kontentigantaj certan sistemon de aksiomoj komencis enradikig\u0302i.\nTipa maniero precizigi abstrakta grupo estas tra prezento de generatoroj kaj rilatoj,"}, {"text_idx": "#000018", "text": "Signifa fonto de abstraktaj grupoj ricevas per la konstruado de faktorgrupo, au\u0306 kvocientogrupo, G / H, de grupo G je normala subgrupo H.\nKlasgrupoj de algebranombraj kampoj estis inter la plej fruaj ekzemploj de faktorgrupoj, de multe da intereso en nombroteorio.\nSe grupo G estas permutadogrupo sur aktoraro X, la faktorgrupo G / H jam ne reagas al X;\nsed la ideo de abstrakta grupo permesas tian ne maltrankvili pri tiu diferenco."}, {"text_idx": "#000019", "text": "La s\u0302ang\u0302o de perspektivo de betono al abstraktaj grupoj faras natura pripensi trajtojn de grupoj kiuj estas sendependaj de speciala realigo, au\u0306 en moderna lingvo, Invarianton sub izomorfio, same kiel la klasojn de grupo kun surbaze de tia posedaj\u0302o:\nfiniaj grupoj, periodaj grupoj, simplanimaj grupoj, solveblaj grupoj,.\nPrefere ol esplorado de trajtoj de individua grupo, oni serc\u0302as establi rezultojn kiuj validas por tuta klaso de grupoj.\nLa nova paradigmo gravegis por la evoluo de matematiko: g\u0302i antau\u0306signis la kreadon de abstrakta algebro en la verkoj de Hilbert, Emil Artin, Emmy Noether, kaj matematikistoj de ilia lernejo."}, {"text_idx": "#000020", "text": "[ citaj\u0302o bezonis ] Topologiaj kaj algebraj grupoj"}, {"text_idx": "#000021", "text": "Grava pliprofundigo de la koncepto de grupo okazas se G estas dotita kun kroma strukturo, precipe, de topologia spaco, diferencialdukto, au\u0306 algebra diverseco.\nSe la grupoperacioj m (multipliko) kaj mi (inversio),"}, {"text_idx": "#000022", "text": "estas kongruaj kun tiu strukturo, t.e. estas kontinuaj, glataj au\u0306 regulaj (en la signifo de algebra geometrio) mapoj, tiam G ig\u0302as topologia grupo, Lie grupo, au\u0306 algebra grupo."}, {"text_idx": "#000023", "text": "La c\u0302eesto de ekstra strukturo ligas tiujn specojn de grupoj per aliaj matematikaj disciplinoj kaj rimedoj ke pli da iloj estas haveblaj en sia studo.\nTopologiaj grupoj formas naturan domajnon por abstrakta furiera analizo, dum Lie-grupoj (ofte realigitaj kiel transformgrupoj) estas la c\u0302efapogiloj de diferenciala geometrio kaj unitaria prezenta teorio.\nCertaj klasifikdemandoj kiuj ne povas esti solvitaj g\u0302enerale povas esti kontaktitaj kaj solvitaj por specialaj subklasoj de grupoj.\nTiel, kompakta ligis Mensoggrupojn estis tute klasifikita.\nEkzistas fertila rilato inter senfinaj abstraktaj grupoj kaj topologiaj grupoj: kiam ajn grupo \u03b3 povas esti realigita kiel krado en topologia grupo G, la geometrio kaj analizo apartenanta al G rendimentaj gravaj rezultoj pri \u03b3.\nRelative lastatempa tendenco en la teorio de finiaj grupoj ekspluatas iliajn ligojn kun kompaktaj topologiaj grupoj ( profinitogrupoj): ekzemple, ununura p-adic analiza grupo G havas familion de kvocientoj kiuj estas finhavaj p-grupo de diversaj ordoj, kaj trajtoj de G tradukig\u0302as en la trajtojn de g\u0302iaj finhavaj kvocientoj."}, {"text_idx": "#000024", "text": "Branc\u0302oj de teorio de grupoj"}, {"text_idx": "#000025", "text": "Dum la dudeka jarcento, matematikistoj esploris kelkajn aspektojn de la teorio de finiaj grupoj en granda profundo, aparte la loka teorio de finiaj grupoj kaj la teorio de solveblaj kaj nilpotentogrupoj.\n[ citaj\u0302o bezonis ] Kiel sekvo, la kompleta klasifiko de finhavaj simplanimaj grupoj estis realigita, kun la signifo tiel c\u0302iuj tiuj simplanimaj grupoj de kiuj c\u0302iuj finiaj grupoj povas esti konstruitaj estas nun konataj."}, {"text_idx": "#000026", "text": "Dum la dua duono de la dudeka jarcento, matematikistoj kiel ekzemple Chevalley kaj Steinberg ankau\u0306 pliigis nian komprenon de finhavaj analogaj\u0302oj de klasikaj grupoj, kaj aliajn parencajn grupojn.\nUnu tia familio de grupoj estas la familio de g\u0302eneralaj lineara grupoj super finhavaj kampoj.\nFiniaj grupoj ofte okazas dum pripensado de simetrio de matematikaj au\u0306 fizikaj objektoj, kiam tiuj objektoj koncedas nur finhavan nombron da struktur-marinadaj transformoj.\nLa teorio de Lie-grupoj, kiuj povas esti rigarditaj kiel traktante \" kontinuan simetrion \", estas forte influita fare de la rilataj Weyl-grupoj.\nTiuj estas finiaj grupoj generitaj per reflektadoj kiu ago sur finhav-dimensia eu\u0306klida spaco.\nLa trajtoj de finiaj grupoj povas tiel ludi rolon en subjektoj kiel ekzemple teoria fiziko kaj kemio."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Diri ke grupo G reagas al aktoraro X intencas ke c\u0302iu elemento de G difinas bijektivemapon sur la aktoraro X lau\u0306 maniero kongrua kun la grupstrukturo.\nKiam X havas pli da strukturo, estas utile limigi tiun nocion plu: reprezentado de G sur vektora spaco V estas grupo homomorfism:"}, {"text_idx": "#000028", "text": "kie Gl ( V) konsistas el la inverteblaj lineartransformoj de V.\nEn aliaj vortoj, al c\u0302iu grupelemento g ricevas au\u0306tomorfismo \u03c1 ( g) tia ke \u03c1 ( g\n\u03c1 ( gh) por iu h en G."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Tiu difino povas esti komprenita en du indikoj, kiuj ambau\u0306 kau\u0306zas tutajn novajn domajnojn de matematiko.\nUnuflanke, g\u0302i povas doni novajn informojn pri la grupo G: ofte, la grupoperacio en G estas abstrakte donita, sed per \u03c1, g\u0302i egalrilatas al la multipliko de matricoj, kio estas tre eksplicita.\nAliflanke, surbaze de bon-understood grupo reaganta al komplika objekto, tio simpligas la studon de la objekto koncernita.\nEkzemple, se G estas finhava, estas konata ke V supre putrig\u0302as en neredukteblajn partojn.\nTiuj partoj en victurno estas multe pli facile mastreblaj ol la tutaj\u0302o V (per la lemo de Schur)."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Surbaze de grupo G, prezenta teorio tiam demandas kiuj reprezentadoj de G ekzistas.\nEkzistas pluraj valoroj, kaj la dungitaj metodoj kaj akiritaj rezultoj estas sufic\u0302e malsamaj en c\u0302iu kazo:\nprezenta teorio de finiaj grupoj kaj reprezentadoj de Lie-grupoj estas du c\u0302efaj subdomajnoj de la teorio.\nLa tutaj\u0302o de reprezentantaroj estas regita fare de la karakteroj de la grupo.\nEkzemple, Fourier-polinomoj povas esti interpretitaj kiel la kvalitoj de U (1), la grupo de kompleksaj nombroj de absoluta valoro 1, reagante al la L 2 - spaco de periodaj funkcioj."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Lie grupo estas grupo kiu ankau\u0306 estas diferencialdukto, kun la posedaj\u0302o kiu la grupoperacioj estas kongruaj kun la glata strukturo.\nMensoggrupoj estas nomitaj lau\u0306 Sophus Lie, kiu amorigis la fundamentojn de la teorio de kontinuaj transformgrupoj.\nLa esprimo grupigas de Lie unue aperis en la franca en 1893 en la tezo de la studento de Lie Arthur Tresse, pag\u0302o 3."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Mensoggrupoj reprezentas la plejbone-evoluintan teorion de kontinua simetrio de matematikaj objektoj kaj strukturoj, kiu igas ilin nemalhaveblaj iloj por multaj partoj de nuntempa matematiko, same kiel por moderna teoria fiziko.\nIli disponigas naturan kadron por analizado de la kontinuaj simetrioj de diferencialaj ekvacioj ( diferencialo-galezteorio), lau\u0306 multe lasama maniero kiel permutadogrupoj estas utiligitaj en galeza teorio por analizado de la diskretaj simetrioj de algebraj ekvacioj.\nEtendaj\u0302o de galeza teorio al la kazo de kontinuaj geometriaj simetria grupoj estis unu el la c\u0302efinstigoj de Lie."}, {"text_idx": "#000034", "text": "Kombina grupa teorio studas grupojn de la perspektivo de generatoroj kaj rilatoj.\nG\u0302i estas precipe utila kie finitecsupozoj estas kontentigitaj, ekzemple finhave generitajn grupojn, au\u0306 finhave prezentitajn grupojn (t.e. krome la rilatoj estas finhavaj).\nLa areo faras uzon de la ligo de grafeoj tra iliaj fundamentaj grupoj.\nEkzemple, oni povas montri ke c\u0302iu subgrupo de libera grupo estas libera."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Ekzistas pluraj naturaj demandoj ekestig\u0302antaj de donado de grupo per g\u0302ia prezento.\nLa vorto problemo demandas c\u0302u du vortoj estas efike la sama grupelemento.\nRilatigante la problemon al mas\u0302ino de Turing, oni povas montri ke ekzistas g\u0302enerale neniu algoritmo solvanta tiun taskon.\nAlia, g\u0302enerale pli forte, algoritme nesolvebla problemo estas la grupa izomorfioproblemo, kiu demandas c\u0302u du grupoj donitaj per malsamaj prezentoj estas fakte izomorfaj.\nEkzemple, la aldona grupo Z de entjeroj ankau\u0306 povas esti prezentita per"}, {"text_idx": "#000036", "text": "eble ne estas evidente ke tiuj grupoj estas izomorfaj."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Kiun geometria grupa teorio atakas al tiuj problemoj de geometria vidpunkto, au\u0306 rigardante grupojn kiel geometriajn objektojn, au\u0306 trovante tau\u0306gajn geometriajn objektojn grupo reagas al.\nLa unua ideo farig\u0302as preciza per la Cayley-grafo, kies verdglacioj egalrilatas al grupelementoj kaj randoj egalrilatas al dekstra multipliko en la grupo.\nSurbaze de du elementoj, oni konstruas la vorton metriko donita per la longo de la minimuma pado inter la elementoj.\nTeoremo de Milnor kaj Svarc tiam diras ke surbaze de grupo G reaganta en akceptebla maniero al metrika spaco Xa, ekzemple kompaktdukto, tiam ke G estas kvazau\u0306-izometra (t.e. aspektas simila de fore) al la spaceto Xa."}, {"text_idx": "#000038", "text": "Ligo de grupoj kaj simetrio"}, {"text_idx": "#000039", "text": "Surbaze de strukturita objekto X de iu speco, simetrio estas mapado de la objekto sur si mem kiu konservas la strukturon.\nTio okazas en multaj kazoj, ekzemple"}, {"text_idx": "#000040", "text": "Se X estas aro kun neniu kroma strukturo, simetrio estas bijektive mapo de la aro g\u0302is si mem, kau\u0306zante permutadogrupojn.\nSe la objekto X estas aro de punktoj en la aviadilo kun g\u0302ia metrika strukturo au\u0306 ajna alia metrika spaco, simetrio estas ensurj\u0302eto de la aro al si mem kiu konservas la distancon inter c\u0302iu paro de punktoj ( izometrio).\nLa ekvivalenta grupo estas nomita Izometria grupo de X.\nSe anstatau\u0306e anguloj estas konservitaj, oni parolas pri konformaj mapoj.\nKonformaj mapoj kau\u0306zas Kleinian-grupojn, ekzemple.\nSimetrioj ne estas limigitaj al geometriaj objektoj, sed inkludas algebrajn objektojn ankau\u0306."}, {"text_idx": "#000041", "text": "En tiu kazo, la grupo kiu inters\u0302ang\u0302as la du radikojn estas la Galois-grupo apartenanta al la ekvacio.\nC\u0302iu polinomekvacio en unu variablo havas Galois-grupon, kiu estas certa permutadogrupo sur g\u0302iaj radikoj."}, {"text_idx": "#000042", "text": "La aksiomoj de grupo formaligas la esencajn aspektojn de simetrio.\nSimetrioj formas grupon: ili estas fermitaj c\u0302ar se vi prenas simetrion de objekto, kaj tiam uzas alian simetrion, la rezulto dau\u0306re estos simetrio.\nLa identeco retenanta la objekton fiksa c\u0302iam estas simetrio de objekto.\nEkzisto de enversoj estas garantiita malfarante la simetrion kaj la asocieco venas de la fakto ke simetrioj estas funkcioj sur spaco, kaj kunmetaj\u0302o de funkcioj estas asocieca."}, {"text_idx": "#000043", "text": "La teoremo de Frucht diras ke c\u0302iu grupo estas la geometria simetria grupo de iu grafeo.\nTiel c\u0302iu abstrakta grupo estas fakte la simetrioj de iu eksplicita objekto."}, {"text_idx": "#000044", "text": "La diraj\u0302o de \"konservado de la strukturo\" de objekto povas farig\u0302i preciza per laborado en kategorio.\nMapoj konservantaj la strukturon tiam estas la morfismoj, kaj la geometria simetria grupo estas la au\u0306tomorfismogrupo de la objekto koncernita."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Aplikoj de teorio de grupoj"}, {"text_idx": "#000046", "text": "Aplikoj de teorio de grupoj abundas.\nPreskau\u0306 c\u0302iuj strukturoj en abstrakta algebro estas specialaj kazoj de grupoj.\nRingoj, ekzemple, povas esti rigarditaj kiel abelaj grupoj (egalrilatante al aldono) kune kun dua operacio (egalrilatante al multipliko).\nTial, grupo teoriaj argumentoj subestas grandajn partojn de la teorio de tiuj unuoj."}, {"text_idx": "#000047", "text": "Galeza teorio uzas grupojn por priskribi la simetriojn de la radikoj de polinomo (au\u0306 pli g\u0302uste la au\u0306tomorfismoj de la algebroj generitaj per tiuj radikoj).\nLa bazteoremo de galeza teorio disponigas ligon inter algebraj kampetendaj\u0302oj kaj teorio de grupoj.\nG\u0302i donas efikan kriterion por la solveblo de polinomekvacioj lau\u0306 la solveblo de la korespondada Galois-grupo.\nEkzemple, S 5, la simetria grupo en 5 elementoj, ne estas solvebla kiu implicas ke la g\u0302enerala kvinta ekvacio ne povas esti solvita fare de radikaluloj en la manierekvacioj de pli malalta grado povas.\nLa teorio, estanta unu el la historiaj radikoj de teorio de grupoj, dau\u0306re estas fruktodone uzita por doni novajn rezultojn en lokoj kiel ekzemple klasa kampa teorio."}, {"text_idx": "#000050", "text": "Algebra nombroteorio estas speciala kazo de teorio de grupoj, tiel sekvante la regulojn de c\u0302i-lasta.\nEkzemple, la produktoformulo de Euler"}, {"text_idx": "#000051", "text": "kaptas la fakton ke c\u0302iu entjero putrig\u0302as lau\u0306 unika maniero en primojn.\nLa fiasko de tiu deklaro por pli g\u0302eneralaj ringoj donas pliig\u0302on por klasifiki grupojn kaj regulajn primojn, kiuj rolas en la traktado de Kummer de la lasta teoremo de Fermat."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Analizo pri Lie-grupoj kaj certaj aliaj grupoj estas nomita furiera analizo.\nHaar-iniciatoj, t.e., integraloj senvariaj sub la traduko en Lie-grupo, estas uzitaj por padronrekono kaj alia bildo prilaboranta teknikojn."}, {"text_idx": "#000053", "text": "En kombinatoriko, la nocio de permutadogrupo kaj la koncepto de grupa ago ofte estas uzitaj por simpligi la nombradon de aro de objektoj;\nvidu la lemon de aparte Burnside."}, {"text_idx": "#000054", "text": "La c\u0302eesto de la 12-periodeca en la cirklo da kvinonoj donas aplikojn de elementa teorio de grupoj en muzika aroteorio."}, {"text_idx": "#000055", "text": "En fiziko, grupoj estas gravaj c\u0302ar ili priskribas la simetriojn kiuj la leg\u0302oj de fiziko s\u0302ajnas obei.\nLau\u0306 la teoremo de Noether, c\u0302iu kontinua simetrio de fizika sistemo egalrilatas al konservadleg\u0302o de la sistemo.\nFizikistoj estas tre interesitaj pri grupaj prezentoj, precipe de Lie-grupoj, c\u0302ar tiuj reprezentantaroj ofte montri la vojon al la \"eblaj\" fizikaj teorioj.\nEkzemploj de la uzo de grupoj en fiziko inkludas la Norma modelon, gau\u0306g\u0302an teorion, la Lorentz-grupon, kaj la Poincare\u0301-grupon."}, {"text_idx": "#000056", "text": "En kemio kaj materiala scienco, grupoj kutimas klasifiki kristalstrukturojn, regulan pluredrojn, kaj la simetriojn de molekuloj.\nLa asignitaj punktogrupoj tiam povas esti uzitaj por determini fizikajn trajtojn (kiel ekzemple poluseco kaj nememspegulsimetrieco), spektroskopaj trajtoj (precipe utila por Raman-spektroskopio, infrarug\u0302a spektroskopio, cirkla dikroismospektroskopio, magneta cirkla dikroismospektroskopio, UV/Vis-spektroskopio, kaj fluoreskecspektroskopio), kaj por konstrui molekulajn orbital'ojn."}, {"text_idx": "#000057", "text": "Molekula simetrio kau\u0306zas multajn fizikajn kaj spektroskopajn trajtojn de kunmetaj\u0302oj kaj disponigas signifajn informojn pri kiom kemiaj reakcioj okazas.\nPor asigni punktogrupon por iu antau\u0306fiksita molekulo, estas necese trovi la aron de simetrioperacioj c\u0302i-tie sur g\u0302i.\nLa simetrioperacio estas ago, kiel ekzemple rotacio c\u0302irkau\u0306 akso au\u0306 reflektado tra spegulaviadilo.\nEn aliaj vortoj, estas operacio kiu movas la molekulon tia ke g\u0302i estas nedistingebla de la origina konfiguracio.\nEn teorio de grupoj, la rotaciaksoj kaj spegulebenoj estas nomitaj \"simetrielementoj\".\nTiuj elementoj povas esti punkto, linio au\u0306 aviadilo kun respekto al kiu la simetrioperacio estas arang\u0302ita.\nLa simetrioperacioj de molekulo determinas la specifan punktogrupon por tiu molekulo."}, {"text_idx": "#000059", "text": "Teorio de grupoj povas esti uzita por solvi la nekompletecon de la statistikaj interpretoj de mekanikistoj evoluigitaj fare de Willard Gibbs, rilatigante al la sumigado de senfina nombro da vers\u0302ajnecoj por doni senchavan solvon."}, {"text_idx": "#000060", "text": "Teorio de grupoj havas tri c\u0302efajn historiajn fontojn:\nnombroteorio, la teorio de algebraj ekvacioj, kaj geometrio.\nLa numero-teoria fadeno estis komencita fare de Leonhard Euler, kaj evoluigita per la laboro de Gauss pri modula aritmetiko kaj aldonaj\u0302o kaj multiplikaj grupoj ligita al kvadrataj kampoj.\nFruaj rezultoj pri permutadogrupoj estis akiritaj fare de Lagrange, Ruffini, kaj Abelo en sia serc\u0302ado de g\u0302eneralaj solvoj de polinomekvacioj de alta grado.\nE\u0301variste Galois elpensis la esprimon \"grupo\" kaj establis ligon, nun konatan kiel galeza teorio, inter la g\u0302ermanta teorio de grupoj kaj kampa teorio.\nEn geometrio, grupoj unue ig\u0302is gravaj en projekcia geometrio kaj, poste, ne-eu\u0306klida geometrio.\nErlangen-programo proklamis teorion de grupoj por esti la organiza principo de geometrio."}, {"text_idx": "#000061", "text": "Galois, en la 1830-aj jaroj, estis la unua se temas pri dungi grupojn por determini la solveblon de polinomekvacioj.\nArthur Cayley kaj Augustin Louis Cauchy pus\u0302is tiujn enketojn plu kreante la teorion de permutadogrupoj.\nLa dua historia fonto por grupoj devenas de geometriaj situacioj.\nEn provo veni al tenoj kun eblaj geometrioj (kiel ekzemple eu\u0306klida, hiperbola au\u0306 projekcia geometrio) uzantaj teorion de grupoj, Felix Klein iniciatis la Erlangen-programon.\nSophus Lie, en 1884, komencis uzi grupojn (nun nomitajn Mensoggrupoj) ligitajn al analizaj problemoj.\nTrie, grupoj komence estis, implicite kaj poste eksplicite, uzitaj en algebra nombroteorio."}, {"text_idx": "#000062", "text": "La malsama amplekso de tiuj fruaj fontoj rezultigis malsamajn nociojn de grupoj.\nLa teorio de grupoj estis unuigita komenci c\u0302irkau\u0306 1880.\nEkde tiam, la efiko de teorio de grupoj estis iam kreskanta, kau\u0306zante la naskig\u0302on de abstrakta algebro en la frua 20-a jarcento, prezenta teorio, kaj multaj pli influaj kromproduktodomajnoj.\nLa klasifiko de finhavaj simplanimaj grupoj estas vasta korpo de laboro de la meza 20-a jarcento, klasifikante c\u0302iujn finhavajn simplanimajn grupojn."}, {"text_idx": "#000065", "text": "Historio da la abstrakta grupkoncepto\nPli alta dimensia teorio de grupoj Tio prezentas vidon de teorio de grupoj kiel nivelon unu el teorio kiu etendas en c\u0302iuj grandeco, kaj havas aplikojn en homotopeca teorio kaj al pli altaj dimensiaj nonabelian metodoj por loka-al-tutmondaj problemoj.\nKaj plie instruisto kaj studenta pakaj\u0302o: Teorio de grupoj Tiu pakaj\u0302o kunportas kune c\u0302iujn artikolojn teorio de grupoj de Kaj plie, la reta matematikrevuo produktita fare de la Jarmilo-Matematiko-Projekto c\u0302e la Universitato de Kembrig\u0302o, esplorante aplikojn kaj lastatempajn sukcesojn, kaj donante eksplicitajn difinojn kaj ekzemplojn de grupoj."}, {"text_idx": "#000066", "text": "La teorio de grupoj studas en g\u0302enerala formo operaciojn, kiuj plej ofte uzatas en matematiko kaj g\u0302iaj branc\u0302oj, ekz-e adicio de nombroj, adicio de vektoroj, konsekvenca plenumo de transformoj ktp. Samtempe, teorio de grupoj studas ne arbitrajn operaciojn, sed nur tiujn, kiuj havas kelkajn c\u0302efproprecojn, vicigitajn en la determino de grupo."}]