[{"text_idx": "#000001", "text": "La rubando de Mo\u0308bius au\u0306 Mo\u0308bius-grupo ( / \u02c8 m\n, ankau\u0306 literumis Mobius au\u0306 Moebius, estas surfaco kun nur unu flanko (kiam enkonstruite en tridimensia eu\u0306klida spaco) kaj nur unu limo.\nLa rubando de Mo\u0308bius havas la matematikan posedaj\u0302on de esti unorientabla.\nG\u0302i povas esti realigita kiel regata surfaco.\nG\u0302i estis malkovrita sendepende fare de la germanaj matematikistoj August Ferdinand Mo\u0308bius kaj Johann Benedict Listing en 1858."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Ekzemplo de rubando de Mo\u0308bius povas esti kreita prenante paperstrieton kaj donante al g\u0302i duon-tordaj\u0302on, kaj tiam interligantan la finojn de la strio por formi buklon.\nTamen, la rubando de Mo\u0308bius ne estas surfaco de nur unu preciza grandeco kaj formo, kiel ekzemple la duon-tordita paperstrieto prezentita en la ilustraj\u0302o.\nPrefere, matematikistoj rilatas al la fermita Mo\u0308bius-grupo c\u0302ar c\u0302iu surfaco kiu estas homeomorfa al tiu strio.\nG\u0302ia limo estas simpla fermita kurbo, t.e., homeomorfa al cirklo.\nTio enkalkulas tre vasta gamo de geometriajn versiojn de la Mo\u0308bius-grupo kiel surfacoj c\u0302iun havante definitivan grandecon kaj formon.\nEkzemple, c\u0302iu rektangulo povas esti gluita al si mem (identigante unu randon kun la kontrau\u0306rando post c\u0302esigo de orientig\u0302o) por fari Mo\u0308bius-grupon.\nKelkaj el tiuj povas esti glate modeligitaj en eu\u0306klida spaco, kaj aliaj ne povas."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Duon-tordaj\u0302o dekstrume donas enkonstruadon de la rubando de Mo\u0308bius diferenca de tiu de duon-tordaj\u0302o maldekstrume - t.e., kiel integrig\u0302inta objekto en eu\u0306klida spaco, la rubando de Mo\u0308bius estas kirala objekto kun dekstra- au\u0306 Maldekstramanulo.\nTamen, la subestaj topologiaj spacoj ene de la rubando de Mo\u0308bius estas homeomorfaj en c\u0302iu kazo.\nSenfina nombro da topologie malsamaj enkonstruadoj de la sama topologia spaco en tri-dimensian spacon ekzistas, c\u0302ar la rubando de Mo\u0308bius ankau\u0306 povas esti formita tordante la strion nepara nombro da tempoj pli grandaj ol unu, au\u0306 per nodado kaj tordado de la strio, antau\u0306 interligado de siaj finoj.\nLa kompleta sincera Mo\u0308bius-grupo estas ekzemplo de topologia surfaco kiu estas proksime rilatita al la norma rubando de Mo\u0308bius, sed tio ne estas homeomorfa al g\u0302i."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Trovi algebrajn ekvaciojn estas simpla, kies solvoj havas la topologion de rubando de Mo\u0308bius, sed g\u0302enerale, tiuj ekvacioj ne priskribas la saman geometrian formon kiun tiu unu ig\u0302as de la perversa papermodelo priskribita supre.\nAparte, la perversa papermodelo estas evoluigebla surfaco, havante nul Gau\u0306sian kurbig\u0302on.\nSistemo de diferencial-algebraj ekvacioj kiu priskribas modelojn de tiu tipo estis publikigita en 2007 kune kun sia nombra solvo."}, {"text_idx": "#000005", "text": "La Euler karakteriza por la rubando de Mo\u0308bius estas nul."}, {"text_idx": "#000006", "text": "2 Geometrio kaj topologio 2.1\nPlej vasta izometra enkonstruante en 3-spaca"}, {"text_idx": "#000007", "text": "Plej vasta izometra enkonstruante en 3-spaca"}, {"text_idx": "#000008", "text": "La rubando de Mo\u0308bius havas plurajn scivolemajn trajtojn.\nLinio tirita komencanta de la junto lau\u0306 la mezo renkontas reen c\u0302e la junto, sed c\u0302e la alia flanko.\nSe dau\u0306rigite, la linio renkontas la deirpunkton, kaj estas duobla la dau\u0306ro de la origina strio.\nTiu ununura kontinua kurbo montras ke la rubando de Mo\u0308bius havas nur unu limon."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Tranc\u0302ante rubandon de Mo\u0308bius lau\u0306 la centrolinio kun tondilo rendimentoj unu longan strion kun du plenaj tordaj\u0302oj en g\u0302i, prefere ol du apartaj strioj;\nla rezulto ne estas rubando de Mo\u0308bius.\nTio okazas c\u0302ar la origina strio nur havas unu randon kiu estas dufoje tiel longe kiel la origina strio.\nTondado kreas duan sendependan randon, la duono de kiu estis sur c\u0302iu flanko de la tondilo.\nTranc\u0302ante tiun novan, pli longe, strio lau\u0306 la mezo kreas du striptizvundon c\u0302irkau\u0306 unu la alian, c\u0302iu kun du plenaj tordaj\u0302oj."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Se la strio estas enmetita lau\u0306 proksimume triono de la vojo de la rando, g\u0302i kreas du striojn: oni estas pli maldika rubando de Mo\u0308bius - g\u0302i estas la centrotriono de la origina strio, konsistante el unu-triono de la larg\u0302o kaj la sama longo kiel la origina strio.\nLa alia estas pli longa sed maldika strio kun du plenaj tordaj\u0302oj en g\u0302i - tio estas najbareco de la rando de la origina strio, kaj g\u0302i konsistas el unu-triono de la larg\u0302o kaj dufoje el la dau\u0306ro de la origina strio."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Aliaj analogaj strioj povas esti akiritaj simile interligante striojn kun du au\u0306 pli da duon-tordaj\u0302oj en ili anstatau\u0306e de unu.\nEkzemple, strio kun tri duon-tordaj\u0302oj, se disigite lau\u0306longe, ig\u0302as tordita strio ligis en trifolionodo.\n(Se tiu nodo estas malimplikita, la strio havas ok duon-tordaj\u0302ojn.\nStrio kun N duon-tordas, kiam bisekcite, ig\u0302as strio kun N + 1 plenaj tordaj\u0302oj.\nDonante g\u0302i ekstraj tordaj\u0302oj kaj religi la finojn produktas figurojn nomitajn paradromic-ringoj."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Unudirekta reprezenti la rubandon de Mo\u0308bius kiel subaro de tridimensia eu\u0306klida spaco uzas la parametrigon:"}, {"text_idx": "#000013", "text": "Tio kreas rubandon de Mo\u0308bius de larg\u0302o 1 kies centrocirklo havas radiuson 1, mensogojn en la ksy aviadilo kaj estas centrita c\u0302e (0, 0, 0).\nLa parametro u kuras c\u0302irkau\u0306 la strio dum v movig\u0302as de unu rando al la aliaj."}, {"text_idx": "#000014", "text": "En cilindraj polaraj koordinatoj ( r, \u03b8, z), nelimigita versio de la rubando de Mo\u0308bius povas esti reprezentita per la ekvacio:"}, {"text_idx": "#000015", "text": "Se glata rubando de Mo\u0308bius en tri-spaca estas rektangula unu - t.e., kreita de identigado du kontrau\u0306 flankoj de geometria rektangulo kun fleksado sed ne etendado de la surfaco - tiam tia enkonstruado povas esti ebla se la bildformato de la rektangulo estas pli bonega ol la kvadrata radiko de tri.\n(Noto la pli mallongaj flankoj de la rektangulo estas identigitaj por akiri la rubandon de Mo\u0308bius.\nPor bildformato malpli ol au\u0306 egala al la kvadrata radiko de tri, aliflanke, glata enkonstruado de rektangula rubando de Mo\u0308bius en tri-spaca povas esti malebla."}, {"text_idx": "#000016", "text": "C\u0302ar la bildformato aliras la limigan rilatumon de \u221a 3 de supre, eventuala tia rektangula rubando de Mo\u0308bius en tri-spaca s\u0302ajnas aliri formon kiu en la limo povas esti opiniita de kiel strio de tri egallateraj trianguloj, faldis unu aldone al la alia tiel ke ili okupas nur unu egallateran triangulon en tri-spaca."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Se la rubando de Mo\u0308bius en tri-spaca estas nur unufoje ade diferenciebla (en simboloj:\nC1), aliflanke, tiam la teoremo de Nash-Kuiper montras ke neniu pli malalta saltego ekzistas."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Metodo de igado de rubando de Mo\u0308bius de rektangula strio tro larg\u0302a por simple tordi kaj interligi (ekz., rektangulo nur unu ekzempleron longan kaj unu ekzempleron larg\u0302a) estas al unua faldo la larg\u0302a direkto malantau\u0306a kaj antau\u0306en uzante paran nombron da faldoj - \"akordionofaldo\" - tiel ke la faldita strio ig\u0302as sufic\u0302e mallarg\u0302a ke g\u0302i povas esti tordita kaj akompanita, multe kiam ununura long-sufic\u0302a strio povas esti enirita.\nKun du faldoj, ekzemple, 1 \u00d7 kiun 1 strio konvenus 1-\u00d7 1\u20443 faldis strion kies sekco estas en la formo de \"N\" kaj restus \"N\" post duon-tordaj\u0302o.\nTio faldis strion, tri fojojn tiel longe kiel g\u0302i estas larg\u0302a, estus sufic\u0302e longa por tiam interligi c\u0302e la finoj.\nTiu metodo laboras en principo, sed ig\u0302as nepraktika post sufic\u0302e multaj faldoj, se papero estas utiligita.\nUtiligante normalan paperon, tiu konstruo povas esti faldita apartamento, kun c\u0302iuj tavoloj de la papero en ununura ebeno, sed matematike, c\u0302u tio estas ebla sen etendado de la surfaco de la rektangulo estas ne klara."}, {"text_idx": "#000019", "text": "Topologie, la rubando de Mo\u0308bius povas esti difinita kiel la kvadrata [0, 1] \u00d7 [0, 1] kun it pinto kaj malsupraj flankoj identigitaj fare de la rilato ( x, 0) (1 \u2212 x, al 1) por 0 \u2264 x \u2264 1, kiel en la diagramo dekstraflanke."}, {"text_idx": "#000020", "text": "Malpli uzita prezento da la rubando de Mo\u0308bius estas kiel la topologia kvociento de Toro.\nToro povas esti konstruita kiel la kvadrata [0, 1] \u00d7 [0, 1] kun la randoj identigitaj kiel (0, y) (1, y) (gluo de maldekstre al dekstre) kaj ( x, 0) ~ ( x, 1) (gluofundo por pinti).\nSe oni tiam ankau\u0306 identigis ( x, y\ny, x), tiam unu akiras la rubandon de Mo\u0308bius.\nLa diagonalo de la kvadrato (la punktoj ( x, x) kie kaj koordinatoj konsentas) ig\u0302as la limo de la rubando de Mo\u0308bius, kaj portas orbifoldostrukturon, kiu geometrie egalrilatas al \"reflektado\" - geodesics (aerlinioj) en la rubando de Mo\u0308bius reflektas de la rando reen en la strion.\nNotational, tio estas skribita kiel T2 / S2 - la 2-torus kvotienteita per la grupa ago de la simetria grupo en du leteroj (inters\u0302ang\u0302antaj koordinatojn), kaj g\u0302i povas esti opiniita de kiel la konfiguraciospaco de du neordigitaj poentoj sur la cirklo, eventuale la sama (la rando egalrilatas al la punktoj estantaj la sama), kie la Toro korespondas al du ordigitaj poentoj sur la cirklo."}, {"text_idx": "#000021", "text": "La rubando de Mo\u0308bius estas dudimensia kompaktdukto (t.e. surfaco) kun limo.\nG\u0302i estas normekzemplo de surfaco kiu ne estas orientebla.\nFakte, la rubando de Mo\u0308bius estas la epitomo de la topologia fenomeno de nonorientabileco.\nTio estas c\u0302ar dudimensiaj formoj (surfacoj) estas la plej malsupra-dimensiaj formoj por kiuj nonorientabileco estas ebla kaj la rubando de Mo\u0308bius estas la nura surfaco kiu estas topologie subspaco de c\u0302iu nonorientabla surfaco.\nKiel rezulto, c\u0302iu surfaco estas nonorientabla se kaj nur se g\u0302i enhavas Mo\u0308bius-grupon kiel subspaco."}, {"text_idx": "#000022", "text": "La rubando de Mo\u0308bius ankau\u0306 estas normekzemplo utiligita por ilustri la matematikan koncepton de fibrofasko.\nSpecife, g\u0302i estas nesensignifa fasko super la cirklo S 1 kun fibro la unuobla intervalo, mi = [0, 1].\nRigardi nur la randon de la rubando de Mo\u0308bius donas al nesensignifa du poento (au\u0306 Z 2) faskon pli ol S 1."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Simpla konstruado de la rubando de Mo\u0308bius kiu povas esti uzita portreti g\u0302in en komputila grafiko au\u0306 modeligi pakaj\u0302ojn estas:"}, {"text_idx": "#000024", "text": "Rotaciu g\u0302in c\u0302irkau\u0306 fikspunkto ne en g\u0302ia aviadilo.\nC\u0302e c\u0302iu pas\u0302o, ankau\u0306 rotacias la strion lau\u0306 linio en g\u0302ia aviadilo (la linio kiu disigas la strion en du) kaj perpendikularaj al la c\u0302efa enorbita radiuso.\nLa surfaco generita sur unu kompleta cirkulado estas la rubando de Mo\u0308bius.\nPrenu rubandon de Mo\u0308bius kaj tranc\u0302on g\u0302i lau\u0306 la mezo de la strio.\nTio formas novan strion, kio estas rektangulo enirita rotaciante unu finon tutan turnon.\nTranc\u0302ante g\u0302in lau\u0306 la mezo denove, tio formas du interligajn tut-turnajn striojn."}, {"text_idx": "#000025", "text": "La sincera Mo\u0308bius-grupo estas formita forigante la limon de la norma Mo\u0308bius-grupo.\nG\u0302i estas konstruita el la aro S\nde identigado (gluante) la punktoj (0, y) kaj (1, 1 \u2212 y) por c\u0302iu 0< y < 1."}, {"text_idx": "#000026", "text": "G\u0302i povas esti konstruita kiel surfaco de konstanta pozitivo, negativo, au\u0306 nul (Gau\u0306sian) kurbig\u0302o.\nRilate al negativo kaj nul kurbig\u0302o, la Mo\u0308bius-grupo povas esti konstruita kiel (geodezie) kompleta surfaco, kio signifas ke c\u0302io geodesics (\"aerlinioj\" sur la surfaco) povas esti etendita senfine en ambau\u0306 indikoj."}, {"text_idx": "#000028", "text": "La grupo de izometrioj de tiu Mo\u0308bius-grupo estas 1-dimensia kaj estas izomorfa al la speciala ortogonala grupo TIEL (2)."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Tio ankau\u0306 povas esti konstruita kiel kompleta surfaco, per komencado kun parto de la aviadilo R 2 difinite de 0 \u2264 y \u2264 1 kaj identig\u0302ado ( x, 0) kun (\u2212 x, 1) c\u0302ar c\u0302io x en R (la realoj).\nLa rezulta metriko transformas la sinceran Mo\u0308bius-grupon en (geodezie) kompletan platan surfacon (t.e., havante Gau\u0306sian kurbig\u0302on egala al 0 c\u0302ie).\nTio estas la nura metriko sur la Mo\u0308bius-grupo, g\u0302is unuforma malpliigo, kiu estas kaj plata kaj kompleta."}, {"text_idx": "#000030", "text": "Mo\u0308bius-grupo de konstantopozitiva kurbig\u0302o ne povas esti kompleta, c\u0302ar estas konata ke la nuraj kompletaj surfacoj de konstantopozitiva kurbig\u0302o estas la sfero kaj la projekcia ebeno.\nLa projekcia ebeno P 2 el konstanta kurbig\u0302o +1 povas esti konstruita kiel la kvociento de la unuobla pilko S 2 en R 3 per la antipoda mapo A:\nS 2 \u2192 S 2, difinita je A ( x, y, z\nLa sincera Mo\u0308bius-grupo estas homeomorfa al la iam-trapikita projekcia ebeno, t.e., P 2 kun c\u0302iu poento forigis.\nTio povas esti opiniita da kiel la plej proksima kiun Mo\u0308bius-grupo de konstantopozitiva kurbig\u0302o povas ricevi al esti kompleta surfaco: nur unu poento for."}, {"text_idx": "#000031", "text": "La grupo de izometrioj de tiu Mo\u0308bius-grupo ankau\u0306 estas 1-dimensia kaj izomorfa al la ortogonala grupo O (2)."}, {"text_idx": "#000033", "text": "La grupo de bijektive lineartransformoj Gl (2, R) de la ebeno al si mem (realo 2 \u00d7 2 matricoj kun ne-nula determinanto) kompreneble induktas ensurj\u0302etojn de la spaco de linioj en la ebeno al si mem, kiuj formas grupon de mem-homeomorfioj de la spaco de linioj.\nTial la sama grupo formas grupon de mem-homeomorfioj de la Mo\u0308bius-grupo priskribitaj en la antau\u0306a paragrafo.\nSed ekzistas neniu metriko sur la spaco de linioj en la aviadilo kiu estas senvaria sub la ago de tiu grupo de homeomorfioj.\nEn tiu signifo, la spaco de linioj en la aviadilo havas neniun naturan metrikon sur g\u0302i."}, {"text_idx": "#000034", "text": "Tio signifas ke la Mo\u0308bius-grupo posedas naturan 4-dimensian Mensoggrupon de mem-homeomorfioj, donitaj fare de Gl (2, R), sed tiu alta grado da simetrio ne povas esti ekspoziciita kiel la grupo de izometrioj de iu metriko."}, {"text_idx": "#000035", "text": "La rando, au\u0306 limo, de rubando de Mo\u0308bius estas homeomorfaj (topologie ekvivalento) al cirklo.\nSub la kutimaj enkonstruadoj de la strio en eu\u0306klida spaco, c\u0302ar supra, la limo ne estas vera cirklo.\nTamen, estas eble enkonstrui rubandon de Mo\u0308bius en tri dimensioj tiel ke la limo estas perfekta cirklo kus\u0302anta en iu aviadilo.\nEkzemple, vidas figurojn 307, 308, kaj 309 el \"Geometrio kaj la fantazio\"."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Multe pli geometria enkonstruado komencig\u0302as kun minimuma botelo de Klein mergita en la 3-sfera, kiel malkovrite fare de Blaine Lawson.\nNi tiam prenu la duonon da tiu botelo de Klein por ig\u0302i Mo\u0308bius-grupon enkonstruite en la 3-sfera (la unuobla pilko en 4-spaca).\nLa rezulto foje estas nomita la \"Sudanese Mo\u0308bius Band\", [10] kie \"sudanano\" rilatas ne al la lando Sudano sed al la nomoj de du pintologiistoj, Sue Goodman kaj Daniel Asimov.\nUza rektlinia sfera projekcio al la sudana grupo metas g\u0302in en 3-dimensian spacon, kiel povas esti vidita malsupre - versio pro George Francis povas esti trovita c\u0302i tie."}, {"text_idx": "#000037", "text": "De la minimuma botelo de Klein de Lawson ni derivas enkonstruadon de la grupo en la 3-sferan S 3, rigardita kiel subaro de C 2, kiu estas geometrie la sama kiel R 4.\nNi mapas angulojn \u03b7, \u03c6 al kompleksaj nombroj z 1, z 2 per"}, {"text_idx": "#000039", "text": "Akiri enkonstruadon de la rubando de Mo\u0308bius en R 3 unu mapojn S 3 al R 3 per rektlinia sfera projekcio.\nLa projekciopunkto povas esti ajna punkto sur S 3 kiu ne situas sur la integrig\u0302inta rubando de Mo\u0308bius (tio ekskludas c\u0302iujn kutimajn projekciopunktojn).\nRektliniaj sfera projekcioj mapas cirklojn al cirkloj kaj konservas la cirklan limon de la strio.\nLa rezulto estas glata enkonstruado de la rubando de Mo\u0308bius en R 3 kun cirkla rando kaj neniuj mem-intersekcig\u0302oj."}, {"text_idx": "#000040", "text": "La sudana Mo\u0308bius-grupo en la tri-sfera S 3 estas geometrie fibrofasko super c\u0302efcirklo, kies fibroj estas grandaj duoncirkloj.\nLa plej simetria bildo de rektlinia sfera projekcio de tiu grupo en R 3 estas ekhavita utiligante projekciopunkton kiu situas sur tiu c\u0302efcirklo kiu kuras tra la mezpunkto de c\u0302iu el la duoncirkloj.\nC\u0302iu elekto de tia projekciaj punktorezultoj en bildo kiu estas kongrua al iu alia.\nSed c\u0302ar tia projekciopunkto situas sur la Mo\u0308bius-grupo mem, du aspektoj de la bildo estas signife diferencaj de la kazo (ilustrita supre) kie la punkto ne estas sur la grupo: 1) la bildo en R 3 ne estas la plena Mo\u0308bius-grupo, sed prefere la grupo kun unu poento forigis (de g\u0302ia centra linio);\nkaj 2) la bildo estas nelimigita - kaj kiam g\u0302i venas c\u0302iam pli longen de la origino de R 3, g\u0302i c\u0302iam pli alproksimig\u0302as al aviadilo.\nAnkorau\u0306 tiu versio de la stereografa bildo havas grupon de 4 simetrioj en R 3 (g\u0302i estas izomorfa al la Klein 4-grupa), kiel komparite kun la saltita versio ilustrita super havado de sia grupo de simetrioj la unika grupo de ordo 2-a (C\u0302u c\u0302iuj simetrioj kaj ne j\u0302us orientig\u0302-marinadaj izometrioj de R 3 estas permesitaj, la nombroj da simetrioj en c\u0302iu kazo duoblig\u0302as."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Sed la plej geometrie simetria versio de c\u0302iuj estas la origina sudana Mo\u0308bius-grupo en la tri-sfera S 3, kie g\u0302ia plena grupo de simetrioj estas izomorfa al la Lie-grupo O (2).\nHavante senfinan kardinalecon (tiu de la kontinuumo), tio estas multe pli granda ol la geometria simetria grupo de iu ebla enkonstruado de la Mo\u0308bius-grupo en R 3."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Proksime rilatita \"stranga\" geometria objekto estas la botelo de Klein.\nBotelo de Klein povas esti produktita gluante du rubandon de Mo\u0308bius kune lau\u0306 iliaj randoj;\ntio ne povas esti farita en ordinara tridimensia eu\u0306klida spaco sen kreado de mem-intersekcig\u0302oj."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Alia proksime rilata dukto estas la reela projekcia ebeno.\nSe cirkla disko estas formtranc\u0302ita de la reela projekcia ebeno, kio estas lasita estas rubando de Mo\u0308bius.\nIrante en la alia direkto, se oni gluas diskon al rubando de Mo\u0308bius identigante iliajn limojn, la rezulto estas la projekcia aviadilo.\nPor bildigi tion, estas helpeme misformi la rubandon de Mo\u0308bius tiel ke g\u0302ia limo estas ordinara cirklo (vidu supre).\nLa reela projekcia ebeno, kiel la botelo de Klein, ne povas esti enkonstruita en tri-grandeca sen mem-intersekcig\u0302oj."}, {"text_idx": "#000044", "text": "En grafeteorio, la Mo\u0308bius-s\u0302tupetaro estas kuba grafeo proksime rilatita al la rubando de Mo\u0308bius."}, {"text_idx": "#000046", "text": "Okazis pluraj teknikaj petskriboj por la rubando de Mo\u0308bius.\nGiganto kiun rubando de Mo\u0308bius estis utiligitaj kiel transportbendoj kiuj dau\u0306ras pli longe c\u0302ar la tuta surfacareo da la zono la saman kvanton de eluzig\u0302o, kaj kiel kontinu-buklaj registradglubendoj (duobligos la ludotempon).\nRubando de Mo\u0308bius estas oftaj en la fabrikado de s\u0302tofa komputilprintilo kaj inkobendoj, c\u0302ar ili lasis la rubandon esti dufoje same larg\u0302a kiel la presaj\u0302kapo uzante ambau\u0306 duonojn egale."}, {"text_idx": "#000048", "text": "La rubando de Mo\u0308bius estas la konfiguraciospaco de du neordigitaj poentoj sur cirklo.\nSekve, en muzikteorio, la spaco de c\u0302iuj du-notaj kordoj, konataj kiel diadoj, prenas la formon de rubando de Mo\u0308bius;\ntio kaj g\u0302eneraligoj al pli da punktoj estas signifa apliko de orbifold'oj al muzikteorio."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Kompakta resonator kun resonancofrekvenco kiu estas duona kiu el idente konstruis liniajn volvaj\u0302ojn [19]\nSuperkondukantoj kun alta transirtemperaturo [21]"}, {"text_idx": "#000050", "text": "Molekulaj nodoj kun specialaj karakterizaj\u0302oj (Knotane [2], Nememspegulsimetrieco)\nGrafeno-volumeno (nano-grafito) kun novaj elektronikaj karakterizaj\u0302oj, kiel helikforma magnetismo [23]\nS\u0302arg\u0302itaj partikloj kaptitaj en la kampo de la tero kiu povas movig\u0302i sur Mo\u0308bius-grupon\nLa ciklotajdo (cikla proteino) kalata B1, aktiva substanco de la planta Oldenlandia affinis, enhavas Mo\u0308bius-topologion por la peptidspino."}, {"text_idx": "#000053", "text": "En matematiko, la rubando de Mo\u0308bius estas certa 2-dimensia dukto, tio estas, surfaco. G\u0302i estas kompakta kaj ne-orientebla (sen malsamaj ena kaj ekstera flankoj) kun unu rando."}, {"text_idx": "#000055", "text": "Aliaj rilatantaj ne-orienteblaj objektoj estas la botelo de Klein kaj la reela projekcia ebeno. Rilatantaj orienteblaj objektoj estas cilindro, sfero kaj toro. Rubando de Mo\u0308bius kaj cilindro estas du dimensiaj surfacoj kun rando; botelo de Klein, reela projekcia ebeno, sfero kaj toro ne havas randon."}, {"text_idx": "#000056", "text": "La figuro estas nomata lau\u0306 matematikisto kaj astronomo August Ferdinand Mo\u0308bius el Leipzig kiu en 1858 malkovris la figuron. Pli malpli samtempe, sed sendepende de Mo\u0308bius la matematikisto kaj fizikisto Johann Benedict Listing el Go\u0308ttingen ankau\u0306 malkovris la bendon."}, {"text_idx": "#000057", "text": "Modelo de rubando de Mo\u0308bius povas facile esti kreita per preno de papera rubando kaj gluo g\u0302in en ringon kun tordo de unu fino je duono de la plena cirklo (180 gradoj). En eu\u0306klida spaco estas fakte du specoj de rubandoj de Mo\u0308bius ekzistas dependante de la direkto de la tordo - lau\u0306horlog\u0302nadla kaj kontrau\u0306horlog\u0302nadla. La rubando de Mo\u0308bius estas pro tio nememspegulsimetria."}, {"text_idx": "#000058", "text": "Startu de kvadrato kaj tiam gluu kune respektivajn kolorigitajn randoj, tiel ke la sagoj kongruu. Rubando de Mo\u0308bius estas priskribata kiel unuobla kvadrato ( [0,1] \u00d7 [0,1] ) kun flankoj identigitaj per la rilatoj:"}, {"text_idx": "#000059", "text": "C\u0302i tiu kvadrato estas fundamenta plurlatero de la rubando de Mo\u0308bius."}, {"text_idx": "#000060", "text": "Notu ke c\u0302i tio estas abstrakta gluado en topologia senco, por reala konstruado bezonatas longa mallarg\u0302a rubando kaj ne kvadrato."}, {"text_idx": "#000061", "text": "Eblas prezenti la rubandon de Mo\u0308bius en tri-dimensia eu\u0306klida spaco per jena parametrigo:"}, {"text_idx": "#000062", "text": "kie 0 \u2264 u < 2\u03c0 kaj -1 \u2264 v \u2264 1. C\u0302i tio kreas rubandon de Mo\u0308bius de larg\u0302o 1 kies centra cirklo havas radiuson 1, kus\u0302as en la xy ebeno kaj estas centrita je (0,0,0). La parametro u kuras c\u0302irkau\u0306 la rubando kaj v movas de unu rando al la alia."}, {"text_idx": "#000063", "text": "En cilindraj polusaj koordinatoj (r,\u03b8,z), nebarita versio de la rubando de Mo\u0308bius povas esti prezentita per la ekvacio:"}, {"text_idx": "#000064", "text": "La rando de rubando de Mo\u0308bius estas topologie ekvivalento al la cirklo. En la kutimaj enigoj de la rubando en Eu\u0306klida spaco, kiel pli supre, c\u0302i tiu rando estas ne ordinara ebena cirklo. Tamen eblas al enigi rubando de Mo\u0308bius en tri-dimensiojn tiel ke la rando estu cirklo, kaj la rezultanta figuro estas nomita kiel sudana rubando de Mo\u0308bius."}, {"text_idx": "#000065", "text": "Por vidi c\u0302i tion, unue konsideru enigon en la 3-sferon S4 konsideratan kiel subaro de R4. Parametrigo por c\u0302i tiu enigo estas"}, {"text_idx": "#000066", "text": "C\u0302i tie estas uzata kompleksa skribmaniero kaj R4 estas kiel C2. La parametro kuras ekde 0 al \u03c0 kaj kuras ekde 0 al 2\u03c0. Pro tio ke la enigita surfaco kus\u0302as tute sur S3. La rando de la rubando estas donita per (respektiva al ), kiu estas klare cirklo sur la 3-sfero."}, {"text_idx": "#000067", "text": "Por ricevi enigo de la rubando de Mo\u0308bius en R3 mapu S3 al R3 per rektlinia sfera projekcio. La projekcia punkto povas esti c\u0302iu punkto sur S3 kiu ne kus\u0302as sur la enigita rubando de Mo\u0308bius (c\u0302i tio malebligas kutimajn projekciajn punktojn). Rektliniaj sferaj projekciaj mapaj cirkloj al cirkloj kaj konservas la cirklan randon de la rubando. La rezulto estas glata enigo de rubando de Mo\u0308bius en R3 kun cirkla rando kaj ne sinsekcanta."}]