[{"text_idx": "#000001", "text": "En matematiko, konforma geometrio estas la studo de la aro de angul-marinadaj ( konformaj) transformoj sur spaco.\nEn du reala grandeco, konforma geometrio estas g\u0302uste la geometrio de Riemann-facoj.\nEnen pli ol du dimensioj, konforma geometrio povas rilati au\u0306 al la studo de konformaj transformoj de \"plataj\" spacoj (kiel ekzemple eu\u0306klidaj spacoj au\u0306 sferoj), au\u0306, pli ofte, al la studo de konformaj duktoj, kiuj estas Riemanianaj au\u0306 pseu\u0306do-Riemannian duktoj kun klaso de metriko kiuj estas difinitaj supren por skali.\nStudo de la plataj strukturoj foje estas nomita Mo\u0308bius-geometrio, kaj estas speco de Klein-geometrio."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Du dimensioj 2.1.1 Minkowski plane"}, {"text_idx": "#000003", "text": "Konforma dukto estas diferencialdukto provizita per ekvivalentklaso de (pseudo- -) Riemanianaj metrikaj tensoroj, en kiuj du metriko g kaj h estas ekvivalentaj se kaj nur se"}, {"text_idx": "#000004", "text": "kie \u03bb estas real-aprezita glata funkcio difinita sur la dukto.\nEkvivalentklaso de tiaj metriko estas konata kiel konforma metrika au\u0306 konforma klaso.\nTiel, konforma metriko povas esti rigardita kiel metriko kiu estas nur difinita \"supren por skali\".\nOfte konformaj metriko estas traktitaj selektante metrikon en la konforma klaso, kaj aplikante nur \"konforme senvariajn\" konstruojn al la elektita metriko."}, {"text_idx": "#000006", "text": "Konforma geometrio havas kelkajn ecojn kiuj distingas g\u0302in de (pseudo -) rimana geometrio.\nLa unua estas ke kvankam en (pseudo -) rimana geometrio oni havas klare difinitan metrikon c\u0302e c\u0302iu punkto, en konforma geometrio oni nur havas klason de metriko.\nTiel la longo de klavvektoro ne povas esti difinita, sed la angulo inter du vektoroj dau\u0306re povas.\nAlia trajto estas ke ekzistas neniu Levi-Civita ligo c\u0302ar se g kaj \u03bb 2 g estas du reprezentantoj de la konforma strukturo, tiam la Christoffel-simboloj de g kaj \u03bb 2 g ne konsentus.\nTiuj asociitaj kun \u03bb 2 g implikus derivaj\u0302ojn de la funkcio \u03bb dum tiuj asociitaj kun g ne faris."}, {"text_idx": "#000007", "text": "Malgrau\u0306 tiuj diferencoj, konforma geometrio dau\u0306re estas akordig\u0302ema.\nLa Levi-Civita ligo kaj kurbig\u0302tensoro, kvankam nur estante difinitaj post kiam akurata reprezentanto de la konforma strukturo estis elamasigitaj, kontentigas certajn transformleg\u0302ojn implikantajn la \u03bb kaj g\u0302iajn derivaj\u0302ojn kiam malsama reprezentanto estas elektita.\nAparte, (en dimensio pli alta ol 3) la Weyl-tensoro manifestas ne por dependi de \u03bb, kaj tiel g\u0302i estas konforma Invarianto.\nKrome, ec\u0302 se ekzistas neniu Levi-Civita ligo sur konforma dukto, oni povas anstatau\u0306e labori kun konforma ligo, kiu povas esti pritraktita au\u0306 kiel speco de Cartan-ligo formita lau\u0306 la rilata Mo\u0308bius-geometrio, au\u0306 kiel Weyl-ligo.\nTio permesas unun por difini konforman kurbig\u0302on kaj aliajn Invariantojn de la konforma strukturo."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Mo\u0308bius-geometrio estas la studo de \" eu\u0306klida spaco kun punkto aldonita c\u0302e senfineco\", au\u0306 \" Minkowski (au\u0306 pseu\u0306do-Eu\u0306klida) spaco kun nulkonuso aldonite c\u0302e senfineco\".\nTio estas, la scenaro estas Kompaktigo de konata spaco;\nla geometrio temas pri la implicoj de konservado de anguloj."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Sur abstrakta nivelo, la Eu\u0306klida kaj pseu\u0306d-eu\u0306klidaj spacoj povas esti pritraktitaj lau\u0306 multe lasama maniero, krom koncerne dimension du.\nLa kompaktifieita dudimensia Minkowski-aviadilo ekspozicias ampleksan konforman simetrion.\nFormale, g\u0302ia grupo de konformaj transformoj estas senfin-dimensia.\nKompare, la grupo de konformaj transformoj de la kompaktifieita Eu\u0306klida aviadilo estas nur 6-dimensia."}, {"text_idx": "#000010", "text": "La konforma grupo por la Minkowski kvadratforma q ( x, y\n2xy en la aviadilo estas la abela Mensoggrupo"}, {"text_idx": "#000011", "text": "kun Lie-algebro cso (1, 1) konsistas el c\u0302iuj reala diagonalo 2 \u00d7 2 matricoj."}, {"text_idx": "#000013", "text": "1-parametrogrupo de konformaj transformoj kau\u0306zas vektoran kampon X kun la posedaj\u0302o kiu la Lie-derivaj\u0302o de g lau\u0306 X estas proporcia al g."}, {"text_idx": "#000014", "text": "LXg = \u03bbg for some \u03bb."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Aparte, utiligante c\u0302i-supran priskribon de la Lie-algebro cso (1, 1), tio implicas tion"}, {"text_idx": "#000016", "text": "por kelkaj real-aprezitaj funkcioj a kaj b dependado, respektive, sur x kaj y."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Inverse, surbaze de eventuala tia paro de real-aprezitaj funkcioj, tie ekzistas vektora kampo Xa kontentigado 1-a kaj 2-a Tial la Lie-algebro de infinitezimalaj simetrioj de la konforma strukturo, la Witt-algebro, estas senfin-dimensiaj."}, {"text_idx": "#000018", "text": "La konforma Kompaktigo de la Minkowski-ebeno estas karteza produkto de du cirkloj S 1 \u00d7 S 1 .\nSur la universala kovro, ekzistas neniu obstrukco al integrado de la infinitezimalaj simetrioj, kaj tiel la grupo de konformaj transformoj estas la senfin-dimensia Mensoggrupo"}, {"text_idx": "#000019", "text": "kie Diff ( S 1) estas la difeomorfismogrupo de la cirklo."}, {"text_idx": "#000020", "text": "La konforma grupo CSO (1, 1) kaj g\u0302ia Lie-algebro estas de aktuala interezo en konforma kampa teorio."}, {"text_idx": "#000021", "text": "La grupo de konformaj simetrioj de la kvadrata formo"}, {"text_idx": "#000023", "text": "Pripensu la (Eu\u0306klidan) kompleksan ebenon provizitan per la metriko"}, {"text_idx": "#000024", "text": "La infinitezimalaj konformaj simetrioj kontentigas"}, {"text_idx": "#000025", "text": "kie f kontentigas la Cauchy-Riemann ekvacion, kaj tiel estas holomorfa super sia domajno."}, {"text_idx": "#000026", "text": "La konformaj izometrioj de domajno tial konsistas el holomorfaj mem-mapoj.\nAparte, sur la konforma Kompaktigo - la Riemann-sfero - la konformaj transformoj ricevas per la transformo de Mo\u0308bius"}, {"text_idx": "#000027", "text": "kie anonc \u2212 bc estas nonzero."}, {"text_idx": "#000028", "text": "En du dimensioj, la grupo de konformaj au\u0306tomorfismoj de spaco povas esti tre granda (kiel en la kazo de Lorentziana signaturo) au\u0306 varia (kiel kun la kazo de Eu\u0306klida signaturo).\nLa relativa manko de rigideco de la dudimensia kazo kun tiu de pli alta grandeco s\u0302uldas al la analiza fakto ke la asimptotaj evoluoj de la infinitezimalaj au\u0306tomorfismoj de la strukturo estas relative senafektaj.\nEn Lorentziana signaturo, la libereco estas en paro de reala aprezita funkcioj.\nEn Eu\u0306klida, la libereco estas en ununura holomorfa funkcio."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Koncerne pli altan grandecon, la asimptotaj evoluoj de infinitezimalaj simetrioj estas maksimume kvadrataj polinomoj.\nAparte, ili formas finhav-dimensian Lie-algebron.\nLa punktmaniero infinitezimalaj konformaj simetrioj de dukto povas esti integritaj g\u0302uste kiam la dukto estas certa modelo konforme plata spaco ( supren al prenado de universalaj kovroj kaj diskretgrupaj kvocientoj)."}, {"text_idx": "#000030", "text": "La g\u0302enerala teorio de konforma geometrio estas simila, kvankam kun kelkaj diferencoj, rilate al Eu\u0306klida kaj pseu\u0306d-eu\u0306klida signaturo.\nEn ambau\u0306 kazoj, ekzistas kelkaj manieroj lanc\u0302i la modelspaco de konforme plata geometrio.\nSe alie klare de la kunteksto, tiu artikolo ne traktas la kazon de Euclidean konforma geometrio kun la kompreno kiun g\u0302i ankau\u0306 aplikas, mutatis mutandis , al la pseu\u0306d-eu\u0306klida situacio."}, {"text_idx": "#000031", "text": "La inversiva modelo de konforma geometrio konsistas el la grupo de lokaj transformoj sur la eu\u0306klida spaco E n generita per inversio en sferoj.\nDe la teoremo de Liouville, c\u0302iu angul-marinada loka (konforma) transformo estas de tiu formo.\nDe tiu perspektivo, la transformtrajtoj de plata konforma spaco estas tiuj de inversiva geometrio."}, {"text_idx": "#000032", "text": "La projekcia modelo identigas la konforman sferon kun certa Kvadriko en projekcia spaco.\nLasu q indiki la Lorentzianan kvadratan formon sur R da n +2 difinite per"}, {"text_idx": "#000033", "text": "En la projekcia regiono P ( R da n +2), lasis S esti la lokuso de q = 0.\nTiam S estas la projekcia (au\u0306 Mo\u0308bius) modelo de konforma geometrio.\nKonforma transformo sur S estas projekcia lineartransformo de P ( R da n +2) kiu lasas la Kvadrikon senvaria."}, {"text_idx": "#000034", "text": "En rilata konstruo, la Kvadriko S estas opiniita de kiel la c\u0302ielosfero c\u0302e senfineco de la nulkonuso en la spaco de Minkowski R da n +1, 1 , kiu estas provizita per la kvadrata formo q kiel supra.\nLa nulkonuso estas difinita per"}, {"text_idx": "#000035", "text": "Tio estas la afina konuso pli ol la projekcia Kvadriko S.\nLasu N + esti la estonta parto de la nulkonuso (kun la origino forigita).\n\u2192 P ( R da n +2) limigas al projekcio N + \u2192 S .\nTio evoluas al N + la strukturon de liniofasko pli ol S.\nKonformaj transformoj sur S estas stimulitaj per la orthochronozaj lorencaj transformoj de R da n +1, 1 , c\u0302ar tiuj estas homogenaj lineartransformoj konservantaj la estontan nulkonuson."}, {"text_idx": "#000036", "text": "Intuicie, la konforme plata geometrio de sfero estas malpli rigida ol la rimana geometrio de sfero.\nKonformaj simetrioj de sfero estas generitaj per la inversio en c\u0302iuj g\u0302iaj hipersferoj.\nAliflanke, Riemanianaj izometrioj de sfero estas generitaj per inversioj en geodeziaj hipersferoj (vidu la Cartan-Dieudonne\u0301-teoremon.\nLa Eu\u0306klida sfero povas esti mapita al la konforma sfero en kanonika maniero, sed ne inverse."}, {"text_idx": "#000037", "text": "La Eu\u0306klida unuobla pilko estas la lokuso en R da n +1"}, {"text_idx": "#000038", "text": "Tio povas esti mapita al la spaco de Minkowski R da n +1,1 per lasado"}, {"text_idx": "#000039", "text": "Vidig\u0302as volonte ke la bildo de la sfero sub tiu transformo estas nulo en la spaco de Minkowski, kaj tiel g\u0302i kus\u0302as sur la konuso da N +.\nSekve, g\u0302i determinas sekcon de la liniofasko N + \u2192 S ."}, {"text_idx": "#000040", "text": "Se \u03ba ( x) estas ajna pozitiva funkcio de x\nx n ), tiam la tasko"}, {"text_idx": "#000041", "text": "ankau\u0306 donas mapadon en N +.\nLa funkcio \u03ba estas arbitra elekto de konforma skalo."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Reprezentanto Riemannian metrika sur la sfero estas metriko kiu estas proporcia al la norma sfermetriko.\nTio donas realigon de la sfero kiel konforma dukto.\nLa normsfermetriko estas la limigo de la Eu\u0306klida metriko sur R da n +1"}, {"text_idx": "#000043", "text": "Konforma reprezentanto de g estas metriko de la formo \u03bb 2 g, kie \u03bb estas pozitiva funkcio sur la sfero.\nLa konforma klaso de g, indikis [ g], estas la kolekto de tute tiaj reprezentantoj:"}, {"text_idx": "#000044", "text": "Enkonstruado de la Eu\u0306klida sfero en N +, kiel en la antau\u0306a sekcio, determinas konforman skalon sur S.\nInverse, c\u0302iu konforma skalo sur S ricevas per tia enkonstruadon.\nTiel la liniofasko N + \u2192 S estas identigita kun la fasko de konformaj skvamoj sur S: doni sekcion de tiu fasko estas identa al precizigado de metriko en la konforma klaso [ g]."}, {"text_idx": "#000045", "text": "Alia maniero realigi la reprezentajn metrikon estas tra speciala koordinatsistemo sur R da n +1, 1 .\nSupozu ke la Eu\u0306klida n-sfera S portas stereografan koordinatsistemon.\nTio konsistas el la sekva mapo de R da n \u2192 S \u2282 R da n +1 :"}, {"text_idx": "#000046", "text": "Lau\u0306 tiuj stereografaj koordinatoj, estas eble doni koordinatsistemon sur la nulkonuso da N + en spaco de Minkowski.\nUzante la enkonstruadon surbaze de supra, la reprezenta metrika sekcio de la nulkonuso estas"}, {"text_idx": "#000047", "text": "Lanc\u0302i novan varian t egalrilatantan al dilatig\u0302oj supren N +, tiel ke per la nulkonuso estas kordinigita"}, {"text_idx": "#000048", "text": "Finfine, lasis \u03c1 esti la sekva difina funkcio de N +:"}, {"text_idx": "#000049", "text": "En la t, \u03c1, y koordinatoj sur R da n +1,1 , la Minkowski-metriko prenas la formon:"}, {"text_idx": "#000050", "text": "kie g ij estas la metriko sur la sfero."}, {"text_idx": "#000051", "text": "El tiuj esprimoj, sekcio de la fasko N + konsistas el specifo de la valoro de la varia t = t ( y mi ) kiel funkcio de la y mi lau\u0306 la nulkonuso\nTio donas la sekvan reprezentanton de la konforma metriko sur S:"}, {"text_idx": "#000052", "text": "Pripensu unue la kazon de la plata konforma geometrio en Eu\u0306klida signaturo.\nLa n-dimensia modelo estas la c\u0302ielosfero de la ( n + 2) - dimensia Lorentziana regiono R da n +1,1.\nC\u0302i tie la modelo estas Klein-geometrio: homogena regiono G / H kie G = TIEL ( n + 1, 1) reaganta al la ( n + 2) - dimensia Lorentziana regiono R da n +1,1 kaj H estas la izotropecgrupo de fiksa nulradio en la lumkonuso.\nTiel la konforme plataj modeloj estas la spacoj de inversiva geometrio.\nPor pseu\u0306do-Eu\u0306klida de metrika signaturo ( p, q), la modela platgeometrio estas difinita analoge kiel la homogena regiono O ( p + 1, q + 1)/ H , kie H denove estas mang\u0302ita kiel la stabiligilo de nullinio.\nNotu ke kaj la Eu\u0306klida kaj pseu\u0306d-eu\u0306klidaj modelspacoj estas kompaktaj."}, {"text_idx": "#000053", "text": "Priskribi la grupojn kaj algebrojn implikitajn en la plata modelspaco, fiksas la sekvan formon sur R da p +1, q +1 :"}, {"text_idx": "#000054", "text": "kie J estas kvadrata formo de signaturo ( p, q).\nTiam G = O ( p + 1, q + 1) konsistas el ( n + 2) \u00d7 ( n + 2) matricoj stabiligante Q:"}, {"text_idx": "#000055", "text": "Alternative, tiu putrig\u0302o konsentas kun natura Lie-algebrostrukturo difinita sur R da n \u2295 cso ( p, q"}, {"text_idx": "#000056", "text": "La stabiligilo de la nulradio indikanta supren la laste kunordigas vektoron ricevas per la Borel-subalgebro"}]