[{"text_idx": "#000001", "text": "Listo de teorio de grupo-temoj"}, {"text_idx": "#000002", "text": "G\u0302enerala linia Gl ( n)"}, {"text_idx": "#000003", "text": "Speciala linia Sl ( n)"}, {"text_idx": "#000004", "text": "Speciala ortogonala TIEL ( n)"}, {"text_idx": "#000006", "text": "En algebro, cikla grupo au\u0306 monogena grupo estas grupo kiu estas generita per ununura elemento.\nTio estas, g\u0302i konsistas el aro de elementoj kun ununura invertebla asocieca operacio, kaj g\u0302i enhavas elementon g tia ke c\u0302iu alia elemento de la grupo povas esti akirita plurfoje aplikante la grupoperacion au\u0306 g\u0302ian inversan al g.\nC\u0302iu elemento povas esti skribita kiel potenco de g en multiplika notacio, au\u0306 kiel multoblo de g en aldona notacio.\nTiu elemento g estas nomita generatoro de la grupo."}, {"text_idx": "#000007", "text": "C\u0302iu senfina cikla grupo estas izomorfa al la aldona grupo de Z, la entjeroj.\nC\u0302iu finhava cikla grupo de ordo n estas izomorfa al la aldona grupo de Z / n Z, la entjermodulo n.\nC\u0302iu cikla grupo estas abela grupo (signifante ke g\u0302ia grupoperacio estas kommutativa), kaj c\u0302iu finhave generita abela grupo estas rekta produkto de ciklaj grupoj."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Tensorprodukto kaj Hom de ciklaj grupoj\n6 Parencaj klasoj de grupoj 6.1"}, {"text_idx": "#000009", "text": "Tensorprodukto kaj Hom de ciklaj grupoj"}, {"text_idx": "#000010", "text": "Grupo G estas nomita cikla c\u0302u tie ekzistas elemento g en G tia ke G\nEkde iu grupo generita per elemento en grupo estas subgrupo de tiu grupo, montrante ke la nura subgrupo de grupo G kiu enhavas g estas G mem sufic\u0302as por montri ke G estas cikla."}, {"text_idx": "#000011", "text": "grupo de ordo 6 estas, tiam g 6 = g 0, kaj G estas ciklaj.\nkun aldonmodulo 6-a Ekzemple, 1 + 2 \u2261 3 (modema adoleskanto 6) korespondas al g 1\ng 2 = g 3 , kaj 2 + 5 \u2261 1 (modema adoleskanto 6) egalrilatas al g 2\nOni povas uzi la izomorfion \u03c7 difinita per \u03c7 ( g da I"}, {"text_idx": "#000012", "text": "La nomo \"cikla\" povas esti misgvida: [2]\nestas eble generi senlime multajn elementojn kaj ne formi iujn ajn lau\u0306vortajn ciklojn;\ntio estas, c\u0302iu g da n estas klara.\n(G\u0302i povas esti opiniita de kiel havante unu senlime longan ciklon.\nGrupo generita lau\u0306 tiu maniero (ekzemple, la unua frisgrupo, p1) estas nomita senfina cikla grupo, kaj estas izomorfa al la aldona grupo de la entjeroj, ( Z"}, {"text_idx": "#000013", "text": "La francaj matematikistoj konataj kiel Nicolas Bourbaki nomis ciklan grupon monogena grupo, kaj nomis nur finhavajn monogenajn grupojn \"ciklaj grupoj\", evitante la esprimon \"senfina cikla grupo\"."}, {"text_idx": "#000014", "text": "La aro de entjeroj, kun la operacio de aldono, formas grupon.\nG\u0302i estas senfina cikla grupo, c\u0302ar c\u0302iuj entjeroj povas esti skribitaj kiel finhava sumo au\u0306 diferenco de kopioj de la numero 1-a En tiu grupo, 1 kaj \u22121 estas la nuraj generatoroj.\nC\u0302iu senfina cikla grupo estas izomorfa al tiu grupo."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Por c\u0302iu pozitiva entjero n, la aro de entjermodulo n, denove kun la operacio de aldono, formas finhavan ciklan grupon, la grupon Z /( n).\nElemento g estas generatoro de tiu grupo se g estas relative c\u0302efa al n.\nTiel, la nombro da malsamaj generatoroj estas \u03c6 ( n), kie \u03c6 estas la Euler-totientfunkcio, la funkcio kiu nombras la nombron da nombroj modulon n kiuj estas relative c\u0302efaj al n.\nC\u0302iu finhava cikla grupo estas izomorfa al grupo Z /( n), kie n estas la ordo de la grupo."}, {"text_idx": "#000016", "text": "La entjero kaj modulaj aldonoperacioj, uzitaj por difini la ciklajn grupojn, estas ambau\u0306 la aldonoperacioj de komutaj ringoj, ankau\u0306 indikis Z kaj Z /( n).\nSe p estas primo, tiam Z /( p) estas finhava kampo, kaj estas kutime anstatau\u0306e skribita kiel F da p au\u0306 Gf ( p).\nC\u0302iu kampo kun p elementoj estas izomorfa al tiu-c\u0302i."}, {"text_idx": "#000018", "text": "La cikla grupo ( Z / p Z) \u00d7 por primo pli sensenta p, estas ankau\u0306 skribita ( Z / p Z) \u00f7 c\u0302ar g\u0302i konsistas el la ne-nulaj elementoj de la finhava kampo de ordo p.\nPli g\u0302enerale, c\u0302iu finhava subgrupo de la multiplika grupo de iu kampo estas cikla."}, {"text_idx": "#000019", "text": "La aro de turnaj simetrioj de plurangulo formas finhavan ciklan grupon.\nSe ekzistas n malsamaj manieroj mapi la plurangulo al si mem per rotacio (inkluzive de la nulrotacio) tiam tiu grupo estas izomorfa al Z n .\nEn tri au\u0306 pli alta grandeco tie povas ekzisti aliaj finhavaj geometriaj simetria grupoj kiuj estas ciklaj, sed tio ne formas la aron de rotacioj c\u0302irkau\u0306 ununura akso."}, {"text_idx": "#000020", "text": "La grupo S 1 el c\u0302iuj rotacioj de cirklo (la cirklogrupo) estas ne cikla.\nMale al la senfina cikla grupo, g\u0302i estas ne ec\u0302 nombrebla.\nTie ankau\u0306 ekzistu aliaj senfinaj turnadaj grupoj (kiel ekzemple la aro de rotacioj de raciaj anguloj) kiuj estas nombreblaj sed ne ciklaj."}, {"text_idx": "#000021", "text": "a radiko de unu povas esti opiniita de kiel komplekso numeri kies an potencon estas 1-a Kiu estas, g\u0302i estas radiko de la polinomo x n \u2212 1-a kiujn La aj radikoj de unueco formas al cikla grupo de ordo n sub multipliko.\nformas ciklan grupon sub multipliko.\nLa Galois-grupo de la kampetendaj\u0302o de la raciaj nombroj generitaj per la aj radikoj de unueco formas malsaman grupon.\nG\u0302i estas izomorfa al la multiplika grupmodulo n, kiu havas ordon \u03c6 ( n) kaj estas cikla por kelkaj sed ne c\u0302io n."}, {"text_idx": "#000022", "text": "Kampetendaj\u0302o estas nomita cikla etendaj\u0302o se g\u0302ia Galois-grupo estas cikla grupo.\nLa Galois-grupo de c\u0302iu finhava etendaj\u0302o de finhava kampo estas finhava kaj cikla, kun ripeti de la Frobenius-endomorfismo kiel sia generatoro.\nInverse, surbaze de finhava kampo F kaj finhava cikla grupo G, ekzistas finhava kampetendaj\u0302o de F kies Galois-grupo estas G."}, {"text_idx": "#000023", "text": "C\u0302iuj subgrupoj kaj kvocientogrupoj de ciklaj grupoj estas ciklaj.\nSpecife, c\u0302iuj subgrupoj de Z estas de la formo m da Z, kun m entjer\u22650. C\u0302iuj tiuj subgrupoj estas apartaj de unu la alian, kaj krom la sensignifa grupo (por m = 0) c\u0302iuj estas izomorfaj al Z.\nLa krado de subgrupoj de Z estas izomorfa g\u0302is la dualo de la krado de naturaj nombroj ordonitaj per dividebleco.\nAparte, c\u0302ar la primoj estas la nombroj kun neniuj nesensignifaj dividantoj, cikla grupo estas simplanima se kaj nur se g\u0302ia ordo (la nombro da g\u0302iaj elementoj) estas primo."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Oni povas anstatau\u0306e skribi la grupon multiplicative, kaj indiki g\u0302in je C da n , kie n estas la ordo por finiaj grupoj kaj je C por la senfina cikla grupo."}, {"text_idx": "#000027", "text": "C\u0302iu cikla grupo estas abela.\nTio estas, g\u0302ia grupoperacio estas kommutativa:\ngh = hg (por c\u0302iu g kaj h en G).\nTio estas klara por la grupoj de entjero kaj modula aldono ekde r + s \u2261 s + r (modema adoleskanto n), kaj g\u0302i sekvas por c\u0302iuj ciklaj grupoj c\u0302ar ili estas tute izomorfaj al grupo generita per aldonoperacio.\nPor finhava cikla grupo de ordo n, kaj c\u0302iu elemento e de la grupo, e n estas la neu\u0306tra elemento de la grupo.\nTio denove sekvas uzante la izomorfion al modula aldono, ekde kn \u2261 0 (modema adoleskanto n) por c\u0302iu entjero k."}, {"text_idx": "#000028", "text": "Se d estas dividanto de n, tiam la nombro da elementoj en Z / n kiuj havas ordon d estas \u03c6 ( d), kaj la nombro da elementoj kies ordo disigas d estas sama d.\nSe G estas finhava grupo en kiu, por c\u0302iu n > 0, G enhavas maksimume n elementojn de ordo disiganta n, tiam G devas esti cikla.\n[noto 3] La ordo de elemento m da la grupo estas n / gcd ( n, m)."}, {"text_idx": "#000030", "text": "(sekvenco A003277 en la OEIS) Fakte, pli sensenta n estas cikla nombro se kaj nur se gcd ( n, \u03c6 ( n) = 1, kie \u03c6 estas la Eulera fi-funkcio."}, {"text_idx": "#000031", "text": "La difino tuj implicas ke ciklaj grupoj havas grupprezenton C \u221e\nx n \u27e9 por finhava n."}, {"text_idx": "#000032", "text": "La prezenta teorio de la cikla grupo estas kritika bazkazo por la prezenta teorio de pli g\u0302eneralaj finiaj grupoj.\nEn la kompleksa kazo, reprezentado de cikla grupo putrig\u0302as en rektan sumon de liniaj karakteroj, igante la ligon inter karaktero teorio kaj prezenta teorio travidebla.\nEn la pozitiva karakterizaj\u0302kazo, la neputrivaj reprezentadoj de la cikla grupo formas modelon kaj induktan bazon por la prezenta teorio de grupoj kun ciklaj Sylow-subgrupoj kaj pli g\u0302enerale la prezentan teorion de blokoj de cikla difekto."}, {"text_idx": "#000033", "text": "Cikla grafeo ilustras la diversajn ciklojn de grupo kaj estas precipe utila en bildigado de la strukturo de malgrandaj finiaj grupoj.\nCikla grafeo por cikla grupo estas simple cirkla grafeo, kie la grupordo estas egala al la nombro da nodoj.\nUnunura generatoro difinas la grupon kiel unudirektan padon en la grafeo, kaj la inversa generatoro difinas malantau\u0306en padon.\nSensignifaj padoj (identeco) povas esti tiritaj kiel buklo sed estas kutime subpremitaj.\nZ2 foje estas tirita kun du kurbaj randoj kiel multigrafo."}, {"text_idx": "#000034", "text": "Ciklagrupaj Z n , ordo n, estas ununura ciklo grafeis simple kiel n-flanka plurangulo kun la elementoj c\u0302e la verdglacioj.\nKiam n = ab kun a kaj b estanta relative c\u0302efa (t.e., gcd (, b) = 1), ciklagrupa Z n povas esti malkonstruita en rektan produkton Z a \u00d7 Z b ."}, {"text_idx": "#000035", "text": "Cayley-grafo estas grafeo difinita de paro ( G, S) kie G estas grupo kaj S estas aro de generatoroj por la grupo;\ng\u0302i havas verticon por c\u0302iu grupelemento, kaj randon por c\u0302iu produkto el elemento per generatoro.\nKoncerne finhavan ciklan grupon, per g\u0302ia ununura generatoro, la Cayley-grafo estas cikla grafeo, kaj por senfina cikla grupo per g\u0302ia generatoro la Cayley-grafo estas duoble senfina padgrafo.\nTamen, Cayley-grafoj povas esti difinitaj de aliaj aroj de generatoroj ankau\u0306.\nLa Cayley-grafoj de ciklaj grupoj kun arbitraj generatoraroj estas nomitaj cirkulantografoj.\nTiuj grafeoj povas esti reprezentitaj geometrie kiel aro de same spacigitaj punktoj sur cirklo au\u0306 sur linio, kun c\u0302iu punkto ligita al najbaroj kun la sama aro de distancoj kiel unu la alian punkto.\nIli estas samaj la vertico-transitivaj grafeoj kies geometria simetria grupo inkludas transitivan ciklan grupon."}, {"text_idx": "#000037", "text": "Simile, la endomorfismoringo de la aldona grupo de Z estas izomorfa al la ringo Z."}, {"text_idx": "#000038", "text": "Tiu subgrupo estas cikla de ordogcd ( m, n), kiu kompletigas la pruvon."}, {"text_idx": "#000039", "text": "Pluraj aliaj klasoj de grupoj estis difinitaj memstare rilato al la ciklaj grupoj:"}, {"text_idx": "#000040", "text": "Grupo estas nomita praktike cikla c\u0302u g\u0302i enhavas ciklan subgrupon de finhava indekso (la nombro da kun-grupoj kiun la subgrupo havas).\nEn aliaj vortoj, c\u0302e c\u0302iu elemento en praktike cikla grupo povas esti alveninta aplikante membron de la cikla subgrupo al membro en certa finhava aro.\nC\u0302iu cikla grupo estas praktike cikla, kiel estas c\u0302iu finhava grupo.\nSenfina grupo estas praktike cikla se kaj nur se g\u0302i estas finhave generita kaj havas ekzakte du finojn;\n[noto 4] ekzemplo de tia grupo estas la produkto de Z /( n) kaj Z, en kiu la faktoro Z havas finhavan indekson n.\nC\u0302iu abela subgrupo de Gromov-hiperbola grupo estas praktike cikla."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Loke cikla grupo estas grupo en kiu c\u0302iu finhave generita subgrupo estas cikla.\nEkzemplo estas la aldona grupo de la raciaj nombroj: c\u0302iu finhava aro de raciaj nombroj estas aro de entjermultobloj de ununura ununombra frakcio, la inversa da sia plej malsupra komuna denominatoro, kaj generas kiel subgrupo ciklan grupon de entjermultobloj de tiu ununombra frakcio.\nGrupo estas loke cikla se kaj nur se g\u0302ia krado de subgrupoj estas distribukadro."}, {"text_idx": "#000042", "text": "Cikle ordigita grupo estas grupo kune kun cikla ordo konservita per la grupstrukturo.\nAl c\u0302iu cikla grupo povas ricevi strukturo kiel cikle ordigita grupo, kongrua kun la mendado de la entjeroj (au\u0306 la entjermodulo la ordo de la grupo).\nC\u0302iu finhava subgrupo de cikle ordigita grupo estas cikla."}, {"text_idx": "#000043", "text": "Metaciclic-grupo estas grupo enhavanta ciklan normalan subgrupon kies kvociento ankau\u0306 estas cikla.\nTiuj grupoj inkludas la ciklajn grupojn, la diciklajn grupojn, kaj la rektajn produktojn de du ciklaj grupoj.\nLa policiklaj grupoj g\u0302eneraligas metaciclic-grupojn permesante pli ol unu nivelon de centra vastigaj\u0302o.\nGrupo estas policikla se g\u0302i havas finhavan descendan sekvencon de subgrupoj, c\u0302iu el kiu estas normala en la antau\u0306a subgrupo kun cikla kvociento, finig\u0302ante en la sensignifa grupo.\nC\u0302iu finhave generita abela grupo au\u0306 nilpotentogrupo estas policiklaj."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Grupo estas nomita monogena if it admits a system of generators consisting of a single element. A finite monogenous group is called cikla.\n^ The infinite cikla grupo written multiplicatively may be written C (most common), C \u221e (the subscript being interpreted as the order of the group), or even C0 (to fit the statement C n \u2245 Z / n Z , n \u2265 0, as given cikla grupo in nLab ).\n^ This implication remains true even if only prime values of n are considered.\n(And observe that when n is prime, there is exactly one element whose order is a proper divisor of n , namely the identity.\nSee in particular p. 126 : \" If G has two ends, the explicit structure of G is well known:\nG is an extension of a finite group by either the infinite cikla grupo or the infinite dihedral group. \""}, {"text_idx": "#000045", "text": "Grupo estas nomita monogena if it admits a system of generators consisting of a single element. A finite monogenous group is called cikla."}, {"text_idx": "#000049", "text": "Ciklaj grupoj de malgranda ordo sur GroupNames"}, {"text_idx": "#000050", "text": "En grupa teorio, cikla grupo estas grupo kiu povas esti generita per sola ero, en senso ke la grupo havas eron a (nomitan kiel naskanto de la grupo) tia ke, c\u0302iu ero de la grupo estas povo de a."}, {"text_idx": "#000051", "text": "Pro izomorfio tie ekzistas akurate unu cikla grupo por c\u0302iu finia nombro de eroj, kaj unu malfinia cikla grupo. De c\u0302i tie, la ciklaj grupoj estas la plej simplaj grupoj kaj ili estas plene klasifikitaj."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Ciklaj simetriaj grupoj en 3D"}]