[{"text_idx": "#000000", "text": "Wikipedia's Rotation formalisms in three dimensions as translated by GramTrans"}, {"text_idx": "#000001", "text": "En geometrio, diversaj formalismoj ekzistas por esprimi rotacion en tri dimensioj kiel matematika transformo.\nEn fiziko, tiu koncepto estas aplikita al klasikaj mekanikoj kie rotacia (au\u0306 angul) kinematiko estas la scienco de kvanta priskribo de sole rotacia decidpropono.\nLa orientig\u0302o de objekto c\u0302e antau\u0306fiksita momento estas priskribita per la samaj iloj, kiel g\u0302i estas difinita kiel imaga rotacio de referencallokigo en spaco, prefere ol fakte observita rotacio de antau\u0306a allokigo en spaco."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Lau\u0306 la rotacioteoremo de Euler la rotacio de rigida korpo (au\u0306 tridimensia koordinatsistemo kun la fiksa origino) estas priskribita per ununura rotacio koncerne iun akson.\nTia rotacio povas esti unike priskribita per minimumo de tri realaj parametroj.\nTamen, pro diversaj kialoj, ekzistas pluraj manieroj reprezenti g\u0302in.\nMultaj el tiuj reprezentantaroj uzas pli ol la necesa minimumo de tri parametroj, kvankam c\u0302iu el ili dau\u0306re havas nur tri gradojn da libereco."}, {"text_idx": "#000003", "text": "Ekzemplo kie rotacioreprezentantaro estas uzita estas en komputila vizio, kie au\u0306tomatigita observanto devas spuri celon.\nLasu nin pripensi rigidan korpon, kun tri ortogonalaj unuoblaj vektoroj aljarditaj al g\u0302ia korpo (reprezentante la tri aksojn de la loka koordinatsistemo de la objekto).\nLa baza problemo estas precizigi la orientig\u0302on de tiuj tri unuoblaj vektoroj, kaj tial la rigidan korpon, kun respekto al la koordinatsistemo de la observanto, rigarditan kiel referencallokigo en spaco."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Rotacio kiun formalismoj estas temigis bonordajn ( orientig\u0302-marinadajn) movig\u0302ojn de la eu\u0306klida spaco kun unu fikspunkto, al kiu rotacio rilatas.\nKvankam fizikaj movig\u0302oj kun fikspunkto estas grava kazo (kiel ekzemple tiaj priskribitaj en la centro-de-amasa kadro, au\u0306 movig\u0302oj de junto), tiu aliro kreas scion pri c\u0302iuj movig\u0302oj.\nC\u0302iu memmovado de la eu\u0306klida spaco putrig\u0302as al rotacio c\u0302irkau\u0306 la origino kaj traduko.\nWhikever la ordo de ilia kunmetaj\u0302o estos, la \"pura\" rotaciokomponento ne s\u0302ang\u0302ig\u0302us, unike determinita per la kompleta decidpropono."}, {"text_idx": "#000009", "text": "Oni ankau\u0306 povas kompreni \"purajn\" rotaciojn tiel linearaj bildigoj en vektora spaco provizita per Euclidean-strukturo, ne kiel mapoj de punktoj de ekvivalenta afina spaco.\nEn aliaj vortoj, rotacioformalismo kaptas nur la rotacian parton de decidpropono, kiu enhavas tri gradojn da libereco, kaj ignoras la translational parton, kiu enhavas pliajn tri."}, {"text_idx": "#000010", "text": "La supre menciita triado de unuoblaj vektoroj ankau\u0306 estas nomita bazo.\nPrecizigi la koordinatojn ( komponentoj) de vektoroj de tiu bazo en g\u0302ia aktuala (rotaciite) pozicio, lau\u0306 la referenco (ne-rotaciita) kunordigitajn aksojn, tute priskribos la rotacion."}, {"text_idx": "#000011", "text": "Tiuj parametroj povas esti skribitaj kiel la elementoj de 3 \u00d7 3 matricon A, vokis rotaciomatricon.\nTipe, la koordinatoj de c\u0302iu el tiuj vektoroj estas arang\u0302itaj lau\u0306 kolono de la matrico (tamen, atentas ke alternativa difino de rotaciomatrico ekzistas kaj estas vaste uzita, kie la vektorkoordinatoj difinitaj supre estas arang\u0302itaj per vicoj [1] )"}, {"text_idx": "#000012", "text": "La elementoj de la rotaciomatrico estas ne c\u0302io sendependaj - kiam la rotacioteoremo de Euler diktas, la rotaciomatrico havas nur tri gradojn da libereco."}, {"text_idx": "#000013", "text": "La rotaciomatrico havas la sekvajn trajtojn:"}, {"text_idx": "#000014", "text": "Estas reala, ortogonala matrico, tial c\u0302iu el g\u0302iaj vicoj au\u0306 kolonoj reprezentas unuoblan vektoron.\nLa eigenvalues de A estas"}, {"text_idx": "#000015", "text": "kie mi estas la norma imaginara unuo kun la posedaj\u0302o mi 2 = \u22121"}, {"text_idx": "#000016", "text": "La determinanto de A estas +1, ekvivalenta al la produkto de siaj Eigen-valoroj."}, {"text_idx": "#000017", "text": "La ajgenvektoro egalrilatanta al la Eigen-valoro de 1 estas la aldonita Euler-akso, c\u0302ar la akso estas la nura (nonzero-) vektoro kiu restas sens\u0302ang\u0302a maldekstra-multobligante (rotacia) g\u0302in kun la rotaciomatrico."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Al c\u0302i-supraj trajtoj estas ekvivalentaj:"}, {"text_idx": "#000019", "text": "Tiuj deklaroj konsistas el totalo de 6 kondic\u0302oj (la vektora produto enhavas 3), forlasante la rotaciomatricon kun nur 3 gradoj da libereco, kiel postulate."}, {"text_idx": "#000020", "text": "(Noto la ordo, ekde la vektoro estanta rotaciita estas multobligita de la dekstro).\nLa facileco de kiu vektoroj povas esti rotaciitaj uzante rotaciomatricon, same kiel la facilecon de kombinado de sinsekvaj rotacioj, igas la rotaciomatricon utila kaj populara maniero reprezenti rotaciojn, ec\u0302 se g\u0302i estas malpli konciza ol aliaj reprezentantaroj."}, {"text_idx": "#000021", "text": "De la rotacioteoremo de Euler ni scias ke c\u0302iu rotacio povas esti esprimita kiel ununura rotacio koncerne iun akson.\nLa akso estas la unuobla vektoro (unika krom signo) kiu restas sens\u0302ang\u0302a per la rotacio.\nLa signifo de la angulo ankau\u0306 estas unika, kie g\u0302ia signo estas determinita per la signo de la rotaciakso."}, {"text_idx": "#000022", "text": "C\u0302ar la akso estas normaligita, g\u0302i havas nur du gradojn da libereco.\nLa angulo aldonas la trian gradon de libereco al tiu rotacioreprezentantaro."}, {"text_idx": "#000023", "text": "Oni povas deziri esprimi rotacion kiel rotaciovektoro, au\u0306 Euler-vektoro, ne-normaligitan tridimensian vektoron la direkton de kiu precizigas la akson, kaj la longo de kiu estas \u03b8,"}, {"text_idx": "#000024", "text": "La rotaciovektoro estas en kelkaj kuntekstoj utila, c\u0302ar g\u0302i reprezentas tridimensian rotacion kun nur tri skalar valoroj (siaj komponentoj), reprezentante la tri gradojn da libereco.\nTio ankau\u0306 estas vera por reprezentantaroj surbaze de sekvencoj de tri Euler-anguloj (vidu malsupre)."}, {"text_idx": "#000025", "text": "Kombinado du sinsekvaj rotacioj, c\u0302iu reprezentita per Euler-akso kaj angulo, ne estas simplaj, kaj fakte ne kontentigas la leg\u0302on de vektoraldono, kiu montras ke finhavaj rotacioj ne estas vere vektoroj entute.\nEstas plej bone utiligi la rotaciomatricon au\u0306 kvaropnotacion, kalkuli la produkton, kaj tiam transformas reen al Euler-akso kaj angulo."}, {"text_idx": "#000026", "text": "La ideo malantau\u0306 Euler-rotacioj devas disfendi la kompletan rotacion de la koordinatsistemo en tri pli simplajn konstituigajn rotaciojn, nomitaj Precesio, Nutation, kaj interna rotacio, estante c\u0302iu de ili pliigo en unu el la Euler-anguloj.\nRimarkas ke la ekstera matrico reprezentos rotacion proksimume unu el la aksoj de la referenca kadro, kaj la interna matrico reprezentas rotacion proksimume unu el la kortus\u0302a framakso.\nLa mezmatrico reprezentas rotacion c\u0302irkau\u0306 meza akso nomita vico de nodoj."}, {"text_idx": "#000027", "text": "Tamen, la difino de Euler-anguloj ne estas unika kaj en la literaturo multaj malsamaj konvencioj estas uzitaj.\nTiuj konvencioj dependas de la aksoj koncerne kiujn la rotacioj estas arang\u0302itaj, kaj sia sekvenco (c\u0302ar rotacioj ne estas kommutativaj)."}, {"text_idx": "#000028", "text": "La kongreso estanta uzita estas kutime indikita precizigante la aksojn koncerne kiujn la sinsekvaj rotacioj (antau\u0306 esti kunmetitaj) okazas, rilatante al ili de indekso (1, 2, 3) au\u0306 letero (X, Y, Z).\nLa ing\u0302enieraj kaj robotikkomunumoj tipe utiligas 3-1-3 Euler-angulojn.\nRimarku ke post kunmetado de la sendependaj rotacioj, ili ne rotacias koncerne sian akson pli longe.\nLa plej ekstera matrico rotacias la aliajn du, postlasante la duan rotaciomatricon super la vico de nodoj, kaj la tria unu en framkotranslog\u0302ig\u0302o kun la korpo.\nEkzistas 3 \u00d7 3 \u00d7 3 = 27 eblaj kombinaj\u0302oj de tri bazaj rotacioj sed nur 3 \u00d7 2 \u00d7 2 = 12 el ili povas esti uzita por reprezentado arbitra 3D rotacioj kiel Euler-anguloj.\nTiuj 12 kombinaj\u0302oj evitas sinsekvajn rotaciojn c\u0302irkau\u0306 la sama akso (kiel ekzemple XXY) kiu reduktus la gradojn da libereco kiu povas esti reprezentita."}, {"text_idx": "#000029", "text": "Tial, Euler-anguloj neniam estas esprimitaj lau\u0306 la ekstera kadro, au\u0306 lau\u0306 la ko-kortus\u0302a rotaciita korpkadro, sed en miksaj\u0302o.\nAliaj konvencioj (ekz., rotaciomatrico au\u0306 kvaropoj) kutimas eviti tiun problemon."}, {"text_idx": "#000030", "text": "En aviad orientig\u0302o de la aviadilo estas kutime esprimita kiel internaj Tait-Bryan-anguloj sekvantaj z-y'-x\u2032\u2032 kongreson, kiuj estas nomitaj gvidaj, alteco kaj banko , au\u0306 devio, tonalto kaj rulo."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Kvaropoj, kiuj formas kvar-dimensian vektoran spacon, pruvis tre utilaj en reprezentado de rotacioj pro pluraj avantag\u0302oj super la aliaj reprezentantaroj menciitaj en tiu artikolo."}, {"text_idx": "#000032", "text": "Kvaropreprezentado de rotacio estas skribita kiel versor (normaligita kvaropo)"}, {"text_idx": "#000034", "text": "la komponentoj de tiu versor estas esprimitaj jene:"}, {"text_idx": "#000036", "text": "La lasta oficperiodo (en nia difino) ofte estas nomita la skalaresprimo, kiu havas it originon en kvaropoj kiel kiam komprenite kiel la matematika etendaj\u0302o de la kompleksaj nombroj, skribitaj"}, {"text_idx": "#000037", "text": "Kvaropmultipliko, kiu kutimas precizigi sintezan rotacion, estas farita en la sama maniero kiel multipliko de kompleksaj nombroj, krom ke la ordo de elementoj devas esti enkalkulita, c\u0302ar multipliko ne estas kommutativa.\nEn matricnotacio ni povas skribi kvaropon multiplikon kiel"}, {"text_idx": "#000038", "text": "Kombinado du sinsekvaj kvaroprotacioj estas tial ekzakte same simplaj kiel uzado de la rotaciomatrico."}, {"text_idx": "#000041", "text": "Pli kompakta ol la matricreprezentantaro kaj malpli sentema al je eraroj\nkiel la orientig\u0302os\u0302ang\u0302oj, evitante malkontinuajn saltojn (enecaj g\u0302is tridimensiaj parametrigoj)\nEsprimo de la rotaciomatrico lau\u0306 kvaropparametroj implikas neniun trigonometrian funkcion\nEstas simple kombini du individuajn rotaciojn reprezentitajn kiel kvaropoj uzantaj kvaropprodukton"}, {"text_idx": "#000042", "text": "Kiel rotaciomatricoj, kvaropoj foje devas esti re-normaligitaj pro preterpasaj eraroj, por certigi ke ili egalrilatas al validaj rotacioj.\nLa komputila kosto de re-normaliganta kvaropo, aliflanke, estas multe malpli ol por normaligado de 3 \u00d7 3 matrico."}, {"text_idx": "#000044", "text": "Rodriges-parametroj povas esti esprimitaj lau\u0306 Euler-akso kaj angulo jene, [2]"}, {"text_idx": "#000045", "text": "Tio havas malkontinuecon c\u0302e 180\u00b0 ( \u03c0 Radianoj): c\u0302iu vektoro, r, kun normo de \u03c0 Radianoj reprezentas la saman rotacion kiel \u2212 r."}, {"text_idx": "#000046", "text": "Simile, la Gibbs-reprezentantaro povas esti esprimita jene,"}, {"text_idx": "#000047", "text": "Rotacio g sekvita per rotacio f en la Gibbs-reprezentantaro havas la simplan formon"}, {"text_idx": "#000048", "text": "Hodiau\u0306, la plej simpla maniero pruvanta tiu formulo estas en la (fidela) kamizolreprezentantaro, kie g = da=\u2227 n sunbrunig\u0302as , ktp."}, {"text_idx": "#000049", "text": "La Gibbs-vektoro havas la avantag\u0302on (au\u0306 malavantag\u0302o, depende de kunteksto) kiu 180\u00b0 rotacioj ne povas esti reprezentitaj en g\u0302i.\n(Ec\u0302 uzante glitkom nombrojn kiuj inkludas senfinecon, rotaciodirekto ne povas esti klare difinita;\nekzemple, naive, 180\u00b0 rotacio c\u0302irkau\u0306 la akso (1, 1, 0) estus (\u221e, \u221e, 0), koncerne kiun estas la sama reprezentantaro kiel 180\u00b0 rotacio (1, 0.0001, 0)."}, {"text_idx": "#000050", "text": "Modifis Rodriges-parametrojn (MRPoj) povas esti esprimita lau\u0306 Euler-akso kaj angulo per"}, {"text_idx": "#000051", "text": "La modifita Rodriges-parametroigo partumas multajn karakterizaj\u0302ojn kun la rotaciovektorparametrigo, inkluzive de la okazo de malkontinuaj saltoj en la parametrospaco dum inkrementado de la rotacio."}, {"text_idx": "#000052", "text": "Vidu difinon en Wolfram Mathworld."}, {"text_idx": "#000056", "text": "Ekzistas g\u0302enerale du solvoj en (\u2212\u03c0, \u03c0] 3 intervalo.\nEkzistas senlime multaj sed nombreble multaj solvoj ekstere de intervalo (\u2212\u03c0, \u03c0] 3.\nC\u0302u c\u0302iuj matematikaj solvoj petas pri antau\u0306fiksita aplikig\u0302o dependas de la situacio."}, {"text_idx": "#000058", "text": "La aksoj de la rotacio dependas de la specifa kongreso estanta uzitaj."}, {"text_idx": "#000059", "text": "Notu: Tio estas valida por dekstra sistemo, kio estas la kongreso uzita en preskau\u0306 c\u0302iuj ing\u0302enieristiko- kaj fizikdisciplinoj."}, {"text_idx": "#000061", "text": "Alternative, la sekva metodo povas esti uzita:"}, {"text_idx": "#000062", "text": "Nombra malprecizaj\u0302o povas esti reduktita evitante situaciojn en kiuj la denominatoro estas proksima al nul.\nUnu el la aliaj tri metodaspektoj jene: [4]"}, {"text_idx": "#000064", "text": "Ni pripensos la x-kongresan 3-1-3 eksteran Euler Angles por la sekva algoritmo.\nLa kondic\u0302oj de la algoritmo dependas de la kongreso uzitaj."}, {"text_idx": "#000068", "text": "La derivaj\u0302o estas prilaborita lau\u0306 [5] jene:"}, {"text_idx": "#000069", "text": "\\displaistile \\skriptstile r (t) '\\' \"\\\";"}, {"text_idx": "#000070", "text": "La derivaj\u0302o de vektoro estas la linia rapideco de sia pinto.\nEn tiu specifa kazo, la rilato inter la linia rapidecvektoro kaj la angulrapida vektoro estas"}, {"text_idx": "#000071", "text": "De la transitiveco de la supre menciitaj ekvacioj,"}, {"text_idx": "#000072", "text": "Inverse, la derivaj\u0302o de la kvaropo estas"}, {"text_idx": "#000073", "text": "La formalismo de geometria algebro (GA) disponigas etendaj\u0302on kaj interpreton de la kvaropmetodo.\nCentra al GA estas la geometria produkto de vektoroj, etendaj\u0302o de la tradiciaj internaj kaj vektoraj produtoj, donitaj per"}, {"text_idx": "#000074", "text": "Tiu bivektoro priskribas la aviadilon perpendikularan al kio la vektora produto de la vektoroj revenus."}, {"text_idx": "#000075", "text": "Bivectors en GA havas kelkajn nekutimajn trajtojn komparite kun vektoroj."}, {"text_idx": "#000076", "text": "Tiu rezulto tenas g\u0302enerale por c\u0302io bivektorojn, kaj kiel rezulto la bivektoro ludas rolon similan al la imaginara unuo."}, {"text_idx": "#000077", "text": "La esprimoj tiam estas komputitaj:"}, {"text_idx": "#000078", "text": "La sekvo de la rotacio tiam estas"}, {"text_idx": "#000080", "text": "Tiu rotacioformulo estas valida ne nur por vektoroj krom por iu multivektoro.\nKrome, kiam Euler-anguloj estas utiligitaj, la komplekseco de la operacio estas multe reduktita.\nKunmetitaj rotacioj venas de multobligado de la rotoroj, tiel ke la totala rotoro de Euler-anguloj estas"}, {"text_idx": "#000081", "text": "Tiuj rotoroj revenas for el la eksponentoj kiel tiel:"}, {"text_idx": "#000082", "text": "Tiel, la kunmetitaj rotacioj de Euler-anguloj ig\u0302as serio de ekvivalentaj rotacioj en la origina fiksa kadro."}, {"text_idx": "#000083", "text": "Dum rotoroj en geometria algebro preskau\u0306 laboras idente al kvaropoj en tri dimensioj, la potenco de tiu formalismo estas sia g\u0302eneraleco: tiu metodo estas konvena kaj valida en spacoj kun iu nombro da grandeco.\nEn 3D, rotacioj havas tri gradojn da libereco, gradon por c\u0302iu linie sendependa aviadilo (bivektoro) en kiun la rotacio povas okazi.\nEstis konate ke paroj de kvaropoj povas esti uzitaj generi rotaciojn en 4D, donante ses gradojn da libereco, kaj la geometria algebraliro konfirmas tiun rezulton: en 4D, ekzistas ses linie sendependaj bivektoroj kiuj povas esti utiligitaj kiel la generatoroj de rotacioj."}, {"text_idx": "#000084", "text": "Elements of Vector Analysis , New Haven, p. 67\n^ Direct and inverse kinematics lecture notes, page 5\n^ Mebius, Johan (2007). \"Derivation of the Euler-Rodrigues formula for three-dimensional rotations from the general formula for four-dimensional rotations\". arXiv:math/0701759.\n^ [1] Physics - Mark Ioffe - W (t) lau\u0306 matrices\n^ [2] Physics - Kinematics - angula rapido"}]