[{"text_idx": "#000001", "text": "Algebra topologio estas branc\u0302o de matematiko kiu uzas ilojn de abstrakta algebro por studi topologiajn spacojn.\nLa baza celo estas trovi algebrajn Invariantojn kiuj klasifikas topologiajn spacojn supren al homeomorfio, kvankam kutime la plej multaj klasifikas supren al homotopyekvivalenteco."}, {"text_idx": "#000002", "text": "Kvankam algebra topologio c\u0302efe uzas algebron studi topologiajn problemojn, uzante topologion por solvi algebrajn problemojn estas foje ankau\u0306 ebla.\nAlgebra topologio, ekzemple, enkalkulas oportunan pruvon ke c\u0302iu subgrupo de libera grupo denove estas libera grupo."}, {"text_idx": "#000004", "text": "Malsupre estas kelkaj el la c\u0302efaj temoj studitaj en algebra topologio:"}, {"text_idx": "#000005", "text": "En matematiko, homotopyogrupoj estas uzitaj en algebra topologio por klasifiki topologiajn spacojn.\nLa unua kaj plej simplanima homotopyogrupo estas la fundamenta grupo, kiu registras informojn pri bukloj en spaco.\nIntuicie, homotopyogrupoj registras informojn pri la baza formo, au\u0306 truojn, de topologia spaco."}, {"text_idx": "#000006", "text": "En algebra topologio kaj abstrakta algebro, homologio (delvis de grekaj \u03bf\u0314\u03bc\u03bf\u0301\u03c2 homoj \"identa\") estas certa g\u0302enerala proceduro por asocii sekvencon de abelaj grupoj au\u0306 modulojn kun antau\u0306fiksita matematika objekto kiel ekzemple topologia spaco au\u0306 grupo."}, {"text_idx": "#000007", "text": "En homologeca teorio kaj algebra topologio, kohomologio estas g\u0302enerala esprimo por sekvenco de abelaj grupoj difinitaj de ko-c\u0302ena komplekso.\nTio estas, kohomologio estas difinita kiel la abstraktaj\u0302ostudo de koc\u0302enoj, kocikloj, kaj kolimoj.\nKohomologio povas esti rigardita kiel metodo de asignado de algebraj Invariantoj al topologia spaco kiu havas pli rafinite algebra strukturo ol faras homologion.\nKohomologio ekestig\u0302as de la algebra dualigo de la konstruado de homologio.\nEn malpli abstrakta lingvo, koc\u0302enoj en la fundamenta signifo devus asigni \"kvantojn\" al la katenoj de homologeca teorio."}, {"text_idx": "#000008", "text": "Dukto estas topologia spaco kiu proksime de c\u0302iu punkto similas eu\u0306klidan spacon.\nEkzemploj inkludas la aviadilon, la sferon, kaj la Toron, kiu povas c\u0302ion esti realigita en tri dimensioj, sed ankau\u0306 la botelo de Klein kaj reela projekcia ebeno kiuj ne povas esti realigitaj en tri dimensioj, sed povas esti realigita en kvar dimensioj.\nTipe, rezultigas algebratopologian fokuson sur tutmondaj, ne-diferencieblaj aspektoj de duktoj;"}, {"text_idx": "#000009", "text": "Noda teorio estas la studo de matematikaj nodoj.\nDum inspirite je nodoj kiuj aperas en c\u0302iutaga vivo en s\u0302ulac\u0302oj kaj s\u0302nuro, la nodo de matematikisto malsamasas en tio ke la finoj estas akompanitaj kune tiel ke g\u0302i ne povas esti nefarita.\nEn preciza matematika lingvo, nodo estas enkonstruado de cirklo en 3-dimensia eu\u0306klida spaco, R 3.\nDu matematikaj nodoj estas ekvivalentaj se tia povas esti s\u0302ang\u0302ita en la aliajn per deformado de R 3 sur si mem (konata kiel c\u0302irkau\u0306a isotopy);\ntiuj transformoj egalrilatas al manipuladoj de tuberplena s\u0302nuro kiuj ne implikas distranc\u0302i la s\u0302nuron au\u0306 pasante la s\u0302nuron tra si mem."}, {"text_idx": "#000010", "text": "Simplicial komplekso estas topologia spaco de certa speco, konstruita \"gluante kune\" punktojn, linipartojn, triangulojn, kaj iliajn n-dimensia ekvivalentojn (vidu ilustraj\u0302on).\nSimplicial kompleksoj ne devus esti konfuzitaj kun la pli abstrakta nocio de simplicial aro aperanta en moderna simplicial-homotopeca teorio.\nLa sole kombineca ekvivalento al simplicial komplekso estas abstrakta simplicial komplekso."}, {"text_idx": "#000011", "text": "CW-komplekso estas speco de topologia spaco lanc\u0302ita fare de J. H. C. Whitehead por renkonti la bezonojn de homotopeca teorio.\nTiu klaso de spacoj estas pli larg\u0302a kaj havas kelkajn pli bonajn kategoriajn trajtojn ol simplicial kompleksoj, sed dau\u0306re retenas kombinecan naturon kiu enkalkulas komputadon (ofte kun multe pli malgranda komplekso)."}, {"text_idx": "#000012", "text": "Pli malnova nomo por la subjekto estis kombineca topologio, implicante emfazon de kiel spaco X estis konstruita el pli simplanimaj [2] (la moderna normilo por tia konstruo estas la CW-komplekso).\nEn la 1920-aj jaroj kaj 1930-aj jaroj, tie kreskigis emfazon de esplorado de topologiaj spacoj trovante korespondadojn de ili g\u0302is algebraj grupoj, kiuj kondukis al la noms\u0302ang\u0302o al algebra topologio.\nLa kombineca topologionomo dau\u0306re estas foje utiligita por emfazi algoritman aliron bazitan sur putrig\u0302o de spacoj."}, {"text_idx": "#000013", "text": "En la algebra aliro, oni trovas korespondadon inter spacoj kaj grupoj kiu respektas la rilaton de homeomorfio (au\u0306 pli g\u0302enerala homotopy) de spacoj.\nTio permesas al tia transfandi deklarojn pri topologiaj spacoj en deklarojn pri grupoj, kiuj havas grandan interkonsenton da mastrebla strukturo, ofte farante tiujn deklaron pli facilan pruvi.\nDu gravaj manieroj en kiuj tio povas esti farita estas tra fundamentaj grupoj, au\u0306 pli g\u0302enerale homotopeca teorio, kaj tra homologio kaj kohomologio grupoj.\nLa fundamentaj grupoj donas al ni bazajn informojn pri la strukturo de topologia spaco, sed ili ofte estas nonabelian kaj povas esti malfacilaj labori kun.\nLa fundamenta grupo de (finhava) simplicial komplekso havas finhavan prezenton."}, {"text_idx": "#000015", "text": "Scenaro en teorio de kategorioj"}, {"text_idx": "#000016", "text": "G\u0302enerale, c\u0302iuj konstruadoj de algebra topologio estas funktorial;\nla nocioj de kategorio, funktoro kaj natura transformo originis c\u0302i tie.\nFundamentaj grupoj kaj homologio kaj kohomologiogrupoj estas ne nur Invariantoj de la subesta topologia spaco, en la senco ke du topologiaj spacoj kiuj estas homeomorfaj havas la samajn rilatajn grupojn, sed iliaj rilataj morfismoj ankau\u0306 korespondas - kontinua mapado de spacoj persvadas grupon homomorfism sur la rilataj grupoj, kaj tiuj homomorfismoj povas esti uzitaj por montri neekzistadon (au\u0306, multe pli profunde, ekzisto) de mapadoj."}, {"text_idx": "#000017", "text": "Unu el la unuaj matematikistoj se temas pri labori kun malsamaj specoj de kohomologio estis Georges de Rham.\nOni povas uzi la diferencialstrukturon de difencigeblaj plurejoj per de Rham-kohomologio, au\u0306 c\u030cek au\u0306 fasko kohomologion por esplori la solveblon de diferencialaj ekvacioj difinitaj sur la dukto koncernita.\nDe Rham montris ke c\u0302iuj tiuj aliroj estis interelateitaj kaj ke, por fermita, orientita dukto, la Betti-nombroj derivitaj tra simplicial homologio estis la samaj Betti-nombroj kiel tiuj derivitaj trae de Rham-kohomologio.\nTio estis etendita en la 1950-aj jaroj, kiam Eilenberg kaj Steenrod g\u0302eneraligis tiun aliron.\nIli difinis homologion kaj kohomologion kiel funktorojn provizitajn per naturaj transformoj kun certaj aksiomoj (ekz., malforta ekvivalenteco de spacoj pasas al izomorfio de homologiogrupoj), konfirmitaj tiel c\u0302iuj ekzistantaj (Co) homologecaj teorioj kontentigis tiujn aksiomojn, kaj tiam pruvis ke tia aksiomigo unike karakterizis la teorion."}, {"text_idx": "#000018", "text": "Klasikaj aplikoj de algebra topologio inkludas:"}, {"text_idx": "#000020", "text": "Gravaj teoremoj en algebra topologio"}, {"text_idx": "#000022", "text": "Pli alta teorio de kategorioj"}, {"text_idx": "#000027", "text": "Malfermitan aron / fermitan aron"}, {"text_idx": "#000028", "text": "Algebra topologio estas branc\u0302o de matematiko en kiu oni per abstrakta algebro studas topologiajn spacojn."}, {"text_idx": "#000029", "text": "La maniero de algebra invariantoj"}, {"text_idx": "#000030", "text": "La celo estas kategoriigi au\u0306 klasifiki topologiajn spacojn. Pli malnova nomo por la afero estis kombina topologio, emfazanta pri tio kiel spaco X estas konstruita de pli simplaj aj\u0302oj. La baza maniero nun aplikita en algebra topologio estas esplori spacojn tra algebraj invariantoj, per surj\u0302etoj de ili ekzemple al grupoj kiuj havas grandan kvanton de regeblaj strukturoj, en maniero kiu konservas rilaton de homeomorfio de la spacoj. C\u0302i tiu permesas surbaze propozicioj pri topologiaj spacoj fari respektivajn propoziciojn pri grupoj, kiujn estas ofte pli facile pruvi."}, {"text_idx": "#000031", "text": "Du c\u0302efaj manieroj je kiuj c\u0302i tio povas esti farita estas tra fundamentaj grupoj, au\u0306 pli g\u0302enerale homotopeca teorio, kaj tra homologeco. La fundamentaj grupoj donas bazan informon pri la strukturo de topologia spaco, sed ili estas ofte ne komutaj kaj povas esti malfacile labori kun ili. La fundamenta grupo de finia simpleca komplekso havas finian prezenton."}]