根据那道数学竞赛题目，如何定义一个矢量空间？
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矢量空间（Vector Space），也被称为线性空间（Linear Space），是线性代数中的一个基本概念。它是由一组元素（矢量）组成，这些元素遵循一定的加法和标量乘法的规则。以下是矢量空间的正式定义：

设 \( V \) 是一个非空集合，\( F \) 是一个域（例如实数域 \( \mathbb{R} \) 或复数域 \( \mathbb{C} \)），在 \( V \) 上定义了两种运算：

1. **加法**：对于任意 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \)，有 \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \in V \)。
2. **标量乘法**：对于任意 \( \mathbf{u} \in V \) 和任意 \( c \in F \)，有 \( c\mathbf{u} \in V \)。

且以下公理成立：

- **交换律**：对于任意 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \)，有 \( \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} \)。
- **结合律**：对于任意 \( \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V \)，有 \( (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \)，并且对于任意 \( c, d \in F \) 和任意 \( \mathbf{u} \in V \)，有 \( (cd)\mathbf{u} = c(d\mathbf{u}) \)。
- **零矢量**：存在一个元素 \( \mathbf{0} \in V \)，使得对于任意 \( \mathbf{u} \in V \)，有 \( \mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u} \)。
- **逆矢量**：对于任意 \( \mathbf{u} \in V \)，存在一个元素 \( -\mathbf{u} \in V \)，使得 \( \mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = \mathbf{0} \)。
- **分配律**：对于任意 \( c, d \in F \) 和任意 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \)，有 \( c(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c\mathbf{u} + c\mathbf{v} \) 和 \( (c + d)\mathbf{u} = c\mathbf{u} + d\mathbf{u} \)。
- **单位元**：存在一个元素 \( 1 \in F \)，使得对于任意 \( \mathbf{u} \in V \)，有 \( 1\mathbf{u} = \mathbf{u} \)。

满足以上所有条件的集合 \( V \) 就称为域 \( F \) 上的一个矢量空间，元素 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \) 称为矢量，\( F \) 中的元素称为标量。

矢量空间的基本性质包括直和、线性无关、基、维数等，这些都是矢量空间研究的重点内容。
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