file_name: ЕН.01 Математика. Лекция 1.doc

intro: Лекция № 1 "Введение. Матрицы и операции над матрицами. Определители и их свойства". Лекция по дисциплине ЕН.01 Математика для СПО по специальности Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям). План лекции: введение в курс дисциплины ЕН.01 Математика; Понятие матрицы. Элементы матрицы. Виды матриц; Действия над матрицами (сложение, вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу); Понятие определителя матрицы. Виды определителей. Свойства определителей; Минор. Алгебраическое дополнение. Обратная матрица.

математика

group: Дисциплины


extracted_text:
Государственное казенное общеобразовательное
учреждение Ростовской области
«Новочеркасская специальная школа-интернат №!»
Сценарий праздника,
посвящённого Дню
учителя
Разработала: учитель музыки
1 категории Удодова Г.К. 2018г.
Сценарий концерта в День учителя
1.Звучат фанфары.
Ведущий: Добрый день уважаемые родители и коллеги.
Сегодня для Вас наши дети приготовили небольшой
концерт,чтобы Вы отдохнули после рабочей недели и
получили положительный заряд эмоций.
Без музыки,земля наша пустой недостроенный дом в
котором никто не живёт. Так пусть в нашем доме всегда
звучит музыка и пусть больше в нём будет света, добра и
любви!
Ведущий:В некотором царстве
В школьном государстве
На улице спортивной
В маленькой стране
Жилибыли дети
Оли, Саши, Пети
Радовались жизни
Солнцу на земле
2.Спортивный танец «Солнышко
лучистое»
Не нужны бы были школы Еслиб не было детей!
Не смогли бы мы учиться
Без родных учителей!
3. ПЕСНЯ «ЕСЛИБ НЕ БЫЛО ШКОЛ»
Знай, педагоги здесь в России
Источник доброты и силы
Им сила знаний всем дана
Знай в жизни главная она
Они знакомят с миром нас
Когда приходим в первый класс
На 100 ребячьих «почему?»
Найдут ответ тебе ему
Запомни или запиши
Всю теплоту своей души
Нам отдают учителя
За это всех люблю их я!
Учительское сердце…Ну с чем его сравнить?
С Галактикой космической, Которой нет границ!
А может с солнцем ярким,
Что дарит людям свет?
С пучиною морскою,
Что дремлет сотня лет?
Нет, сравнивать не будем,
А скажем мы : «Стучи!
Учительское сердце, надейся, верь, люби!»
4. Песня «Мы любим вас, учителя!»
Чтоб сегодня все мы улыбались
Наши дети для вас постарались!
5. Танец «Бабушкистарушки»
6. Танец «Семечки»
Пора концерт заканчивать
Мы рады всем гостям!
Что выбрали вы время
И заглянули к нам! Так хочется,
Чтобы чаще были вместе родители и дети,
Тогда будет лучше всем жить на белом свете!
7. Песня «Это моя семья»

file_name: сценарий День учителя 2018.docx

intro: Цель: формирование у обучающихся представление о значении знаний в жизни человека. Задачи: обучающие: -закрепить и расширить знания и представления у обучающихся о празднике День учителя; -формировать эстетические качества, навыки в художественной деятельности; развивающие ... День учителя - праздник особенный, потому что празднует его сегодня каждый человек, разных профессий, кем бы он ни был. И неудивительно, ведь, прежде всего он чей- то бывший ученик.

дефектология

group: Педагогика


extracted_text:
ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 2
ЛЕКЦИЯ № 2
Тема: Матрицы и операции над матрицами. Определители и их свойства.
Цель занятия:  приобретение базовых знаний в области фундаментального
раздела математики – линейной алгебры. Ознакомить обучающихся с методом
решения систем линейных уравнений – методом определителей или методом
Крамера. Формировать навыки выполнения операций над матрицами и решения
систем двух (трех) линейных уравнений с двумя (тремя) переменными с помощью
формул Крамера. Формирование у обучающихся интереса к профессии и
профессиональных качеств – аккуратности, усидчивости, дисциплинированности.
1. Понятие системы трех линейных уравнений с тремя переменными.
2. Алгоритм решения системы трех линейных уравнений с тремя
План лекции:
переменными методом определителей.
Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач
лекции.
В школьном курсе алгебры 7 – 9 классов рассматриваются различные способы
решения систем линейных уравнений: метод подстановки, метод сложения, метод
двойного сложения, графический метод, метод сравнения. Возникает вопрос, а
существуют ли какиелибо другие способы решения данных систем.
Действительно, кроме методов, изучаемых в школе, существуют и другие,
доступные для обучающихся старших классов методы решения систем линейных
уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Эти методы
способствуют развитию внимания, памяти. При применении этих методов
встречаются новые понятия: «матрица», «определитель», «минор»,
«дополнение». Возникает необходимость уметь вычислять определители,
миноры, дополнения.
При решении систем линейных уравнений методом Гаусса также нужно уметь
выполнять преобразования над строками матриц.
Что же такое метод Крамера и как его применять для решения систем
двух (трех) линейных уравнений с двумя (тремя) переменными?
1. Понятие системы трех линейных уравнений с тремя переменными.

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений,
каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:
1 ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 2
Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что
число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В
школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще
говоря, неверно.
Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k1, k2, ..., kn),
которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в
это уравнение вместо переменных x1, x2, ..., xn дает верное числовое равенство.
Соответственно, решить систему уравнений — значит найти множество всех
ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и
число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:
1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно
редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким
методом решать систему.
2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение.
Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений.
Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет
бесконечное множество решений» — надо описать, как устроено это множество.

2. Алгоритм решения системы трех линейных уравнений с тремя
переменными методом определителей.
 Применим рассмотренную на прошлой лекции теорию определителей

    систем линейных уравнений.
к решению
    Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем
линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.
    Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких
линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если
определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован
в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может
быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное
решение.
Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при
неизвестных, называется определителем системы и обозначается
(дельта).
Определители
получаются путём замены коэффициентов при
соответствующих неизвестных свободными членами:
;
2 ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 2
Формулы Крамера для нахождения неизвестных:
.
.
 и
.
возможно только при условии, если
Найти значения
Этот вывод следует из следующей теоремы.
Теорема Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то
система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём
неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель
системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя
системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными
членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений
любого порядка.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений:
.                         (1)
Согласно теореме Крамера имеем:
Итак, решение системы (1):
Три случая при решении систем линейных уравнений
Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных
уравнений могут встретиться три случая:
Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное
решение  (система совместна и определённа)
Условия:    *
3 ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 2
Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное
множество решений (система совместна и неопределённа)
, **
Условия:  *
т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.
Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет
(система несовместна)
Условия:  *
Итак, система m линейных уравнений с n переменными
**
,
.
называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если
она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая
только одно решение, называется определённой, а более одного –
неопределённой.
Система трёх линейных неоднородных уравнений с тремя неизвестными:
Составим и вычислим основной определитель
 и вспомогательные
определители
а) Если

 ,
, то система имеет единственное решение, которое находится
по формулам Крамера:
 ,
б) Если
1)
 ,
, то возможны случаи:
 (2)
 , тогда система будет иметь бесконечно много решений,
она будет сводиться либо к системе состоящей из одного, либо из двух
уравнений (одну неизвестную перенесём направо и решим систему двух
уравнений с двумя неизвестными);
2) хотя бы один из определителей
 отличен от нуля, система не
имеет решения.
Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера
Пусть дана система
На основании теоремы Крамера
.
4 ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 2
где
………….
,

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с
коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными
членами:
5  Пример 2.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
.
Решение. Находим определитель системы:
Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения
вычисляем определители
По формулам Крамера находим:
Итак, (1; 0; 1) – единственное решение системы.
     Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях
отсутствуют какиелибо переменные, то в определителе соответствующие им
элементы равны нулю! Таков следующий пример.
Пример 3.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Задания для решения
.
Решение. Находим определитель системы:
Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и
повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов
определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно,
система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем
определители при неизвестных По формулам Крамера находим:
Итак, решение системы  (2; 1; 1).
Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители
при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет.
Проиллюстрируем следующим примером.
Пример 4.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Находим определитель системы:
Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных
уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет
решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных
Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система
несовместна, то есть не имеет решений. В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме
букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают
некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и
системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств какихлибо
явлений и предметов. То есть, изобрели вы какойлибо новый материал или
устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или
количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо
некоторых коэффициентов при переменных  буквы. За примерами далеко ходить
не надо.
Пример 5.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Здесь a  некоторое вещественное число. Решение. Находим определитель
системы:
Находим определители при неизвестных
По формулам Крамера находим:
,
.
Следующий пример  на аналогичную задачу, только увеличивается
количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое
действительное число.
Пример   6.  Найти   решение   системы   трёх   линейных   уравнений   с   тремя
неизвестными по формулам  Крамера:
         Решение.  Находим определители третьего порядка, используя  правило
Сарруса или разложение по элементам первой строки: Находим решение системы по формулам:

Ответ: ( 152; 270; 254)
Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить
Домашнее задание.
упражнения.
Выполнить задания
I.  Найти матрицу преобразования.
II. Вычислить определитель III порядка.
III. Решить систему методом Крамера.
Вариант 1.
1.  C =A+4B, если
A






03
2
812
34
2





,
B
 
301


14
2


1
03






.       2.
1

3
5

2
4
1
2
1

3
.
3.

x
x
4
1
2
  
x
3
x
1
2

3
x
x
1
2

x
2
3

x
3

5
x
3
Вариант 2.

10,
 
1,

1.

1.  C =4A+B, если
A
2
03

812
34
2
,
B

 
301
14
2
1
03
.       2.
1 1
2 0
6 0
1

3

5
.
3.


x
10
x
4
1
2


2
x
x
7
x
2
1
3


x
x
2
5
x
1
2
3
Вариант 3.

x
1,
3
 
3,

0.

1.  C =A+3B, если
A
2
03

812
34
2
,
B

 
301
14
2
1
03
.      2.
1
2
1
2
1

1

4

5

1
.
3.

x
3
x
2
2
1

5
x
x
2
1

x
3
x
2
1

x
3

x
3

4
x
3
Вариант 4.
 
3,
 
1,

11.

1.  C =2A  B, если
A
2
03

812
34
2
,
B

 
301
14
2
1
03
.      2.
4

3
2

2
5
1
6
2

3
.






































































 3.


x
5
x
2
1
2


x
10
x
1
2


x
x
x
1
2
3
Вариант 5.

5,
x
3

0,
x
3
 
11.

1.  C =3A +B, если
A
3.
x
1
3
x
1
9
x
1



x
2
3
x
3,
3
2
 


6
x
x
7,
2
3



2
x
x
3.
3
2

2
03

812
34
2
,
B

 
301
14
2
1
03
.      2.
3
2
5

1
4
6
2
6
11
.
Контрольные вопросы:
1. Что называется матрицей?
2. Правила вычисления определителей третьего порядка?
3. Запишите формулы Крамера для решения системы трёх линейных
уравнений с тремя переменными.
1. Богомолов   Н.В.   Самойленко   П.И.   Математика:   Учебник.      М.:   Дрофа,
Литература:
2009.
2. Богомолов   Н.В.   Сборник   задач   по   математике:   Учебное   пособие.      М.:
Дрофа,  2009.
3. Омельченко В. П., Курбатова Э. В. Математика: Учебное пособие. – М.:
Феникс, 2009.
4. Щипачев В.С. Основы высшей математики. – М: Высшая школа. 2008.






























file_name: ЕН.01 Математика. Лекция 2.doc

intro: Лекция № 1 "Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными". Лекция по дисциплине ЕН.01 Математика для СПО по специальности Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям). План лекции: Понятие системы линейных уравнений. Алгоритм решения систем линейных уравнений методом определителей. Метод Гаусса. Метод обратной матрицы

title: Лекция № 2 "Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными".


extracted_text:
КАЛЕНДАРНО – ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ПО ТЕХНОЛОГИИ              1 КЛАСС
Приложение
а
к
о
р
у
№

Название раздела
и темы урока
Кол во
 ча
сов
Дата
провед
ения
Дата
реализа
ции
   ЧТО НАС ОКРУЖАЕТ
Что ты видишь вокруг.
1
2 Мир природы
3 Мир рукотворный
4
Окружающий мир надо беречь.
КТО ГДЕ ЖИВЁТ
5
6
7
8
Кто какой построил дом, чтобы поселиться
в нём.
Если захочешь – сделаешь. Урок  игра
Готовим праздник.
Подари сказку «Колобок». Урок  сказка
АЗБУКА МАСТЕРСТВА
Из чего сделан рукотворный мир?
Как устроены разные изделия?
9
10 Подсказывает природа. Урок  игра
11
12 Целое и части. Изделие и его детали.
13 Шаг за шагом. Урок  путешествие
14
Что можно изготовить из бумаги, а что – из
ткани?
Как соединить детали?
15
16
РАБОТАЕМ С БУМАГОЙ
Что можно сделать из бумаги? Урок
практикум
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
02.09
09.09
16.09
23.09
30.09
07.10
14.10
21.10
28.10
11.11
18.11
25.11
02.12
09.12
16.12
23.12
1
Характеристика деятельности учащихся
  понимать
С помощью учителя:
наблюдать  связи   человека   с   природой   и   предметным
миром:   предметный   мир   ближайшего   окружения,
конструкции и образы объектов природы и окружающего
мира;
наблюдать  конструкторско   –   технологические   и
декоративно – художественные особенности предлагаемых
изделий;
сравнивать, делать простейшие обобщения;
анализировать
предлагаемые   задания:
поставленную цель, отделять известное от неизвестного;
 планировать предстоящую практическую деятельность в
соответствии   с   её   целью,   задачами,   особенностями
выполняемого задания;
организовывать свою деятельность: подготавливать своё
рабочее   место,   рационально   размещать   материалы   и
инструменты,
  соблюдать   приемы   безопасного   и
рационального труда;
оценивать  результат   своей   деятельности:   точность
изготовления деталей, аккуратность выполнения работы;
принимать   участие   в   обсуждении   результатов
деятельности одноклассников;
обобщать  (осознавать   и   формулировать)  то   новое,   что
усвоено.
С помощью учителя: 17 Учимся наклеивать детали.
ПОМОЩНИКИ МАСТЕРА
Зачем человеку нужны помощники.
18
19 Познакомься с ножницами. Урок  сказка
20 Фантазии из бумаги.
21 Почему ножницы разные? Семья режущих
инструментов.
СНАЧАЛА РИСУЕМ
С кем линии дружат?
Какие бывают линии? Урок  практикум
22
23
24 Путьдорожка.
МНОГО И РОВНО
Размечаем круги. Урок  игра
Размечаем прямоугольники.
Размечаем треугольники.
Без инструментов. Урок  практикум
РАБОТАЕМ С ТКАНЬЮ
25
26
27
28
Иглы и булавки
29
30 Прямая строчка и её дочки.
31 Учимся красиво вышивать.
32 Хитрые узелки. Урок  игра
33 Учимся беречь книги
выполнять
 простейшие   исследования   (наблюдать,
сравнивать, сопоставлять) изученные материалы: их виды,
физические и технологические свойства, конструктивные
особенности используемых инструментов, приемы работы
освоенными приспособлениями и инструментами;
  анализировать  конструкторско   –   технологические   и
декоративно – художественные особенности предлагаемых
изделий,  выделять известное и неизвестное;
  осуществлять  практический поиск и открытие нового
знания   и   умения;   анализировать   и   читать   графические
изображения (рисунки);
 воплощать мысленный образ в материале с опорой (при
необходимости)   на   графические   изображения,   соблюдая
приемы безопасного и рационального труда;
 планировать последовательность практических действий
для реализации поставленной задачи;
  осуществлять  самоконтроль   качества   выполненной
работы   (соответствие   предложенному   образцу   или
заданию);
  обобщать  (осознавать и формулировать) то новое, что
открыто и усвоено на уроке.
С помощью учителя:
моделировать
конструктивными особенностями по образцу и рисунку;
  определять  особенности   конструкции,   подбирать
соответствующие материалы и инструменты;
 планировать последовательность практических действий
для реализации замысла.
 несложные   изделия   с   разными
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
13.01
20.01
27.01
03.02
17.02
24.02
02.03
16.03
23.03
30.03
06.04
13.04
20.04
27.04
04.05
11.05
18.05
2

file_name: КТП технология.docx

intro: Календарно - тематическое планирование по технологии для обучающихся 1 класса разработано на основе примерной программы и авторской программы Е.А. Лутцевой «Технология» в рамках проекта «Начальная школа XXI века» (научный руководитель Н.Ф. Виноградова), 2015 г. Содерэит характеристику деятельности учащихся по каждой теме.

title: Календарно - тематическое планирование по технологии для 1 класса


extracted_text:
ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 3
ЛЕКЦИЯ № 3
Тема: Решение систем линейных уравнений с тремя переменными методом
Гаусса,  матричным методом.
Цель занятия:  приобретение базовых знаний в области фундаментального
раздела математики – линейной алгебры. Ознакомить обучающихся с двумя
методами решения систем линейных уравнений – методом Гаусса и матричным
методом. Формировать навыки выполнения операций над матрицами и решения
систем двух (трех) линейных уравнений с двумя (тремя) переменными с помощью
метода Гаусса и матричного метода.  Формирование у обучающихся интереса к
профессии и профессиональных качеств – аккуратности, усидчивости,
дисциплинированности.
1. Метод Гаусса. Алгоритм решения системы трех линейных уравнений с
План лекции:
тремя переменными методом Гаусса.
2. Матричный метод. Алгоритм решения трех линейных уравнений с тремя
переменными матричным методом.
1. Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными
методом Гаусса.
2.
Метод   Гаусса,   называемый   также   методом   последовательного   исключения
неизвестных,   состоит   в   том,   что   при   помощи   элементарных   преобразований
систему   линейных   уравнений   приводят   к   такому   виду,   чтобы   её   матрица   из
коэффициентов  оказалась трапециевидной или близкой к трапециевидной.
Пример такой системы  на рисунке сверху.
В ней, как видим, третье уравнение уже не содержит переменных
уравнение  переменной
После   того,   как   матрица   системы   приняла   трапециевидную   форму,   уже   не
представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить
число решений и найти сами решения.
, а второе
 и
.
Преимущества метода Гаусса:
1 ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 3
1. При   решении   систем   линейных   уравнений   с   числом   уравнений   и
неизвестных более трёх метод Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера,
поскольку при решении методом Гаусса необходимо меньше вычислений;
2. Методом   Гаусса   можно   решать   неопределённые   системы   линейных
уравнений, то есть, имеющие общее решение, а, используя метод Крамера, можно
лишь констатировать, что система неопределённа;
3. Методом Гаусса можно решать системы линейных уравнений, в которых
число неизвестных не равно числу уравнений;
4. Метод   Гаусса   основан   на   элементарных   (школьных)   методах      методе
подстановки неизвестных и методе сложения уравнений.
Благодаря этим преимуществам, именно методом Гаусса чаще всего решаются
прикладные задачи на сплавы и смеси, стоимость или удельный вес отдельных
товаров   в   группе   товаров   и   другие,   в   которых   системы   линейных   уравнений
применяются для моделирования реальных объектов физического мира.
Повторяя   школьный метод   алгебраического   сложения уравнений   системы,   мы
выяснили,   что   к   одному   из   уравнений   системы   можно   прибавлять   другое
уравнение   системы,   причём   каждое   из   уравнений   может   быть   умножено   на
некоторые   числа.   В   результате   получаем   систему   линейных   уравнений,
эквивалентную   данной.   В   ней   уже   одно   уравнение   содержало   только   одну
переменную, подставляя значение которой в другие уравнений, мы приходим к
решению.   Такое   сложение      один   из   видов   элементарного   преобразования
системы.  При   использовании   метода  Гаусса   можем  пользоваться   несколькими
видами преобразований.
Элементарные преобразования системы линейных уравнений
При   решении   методом   Гаусса   систем   линейных   уравнений   с   любым   числом
уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы
можно:
1. переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале);
2. если   в   результате   других   преобразований   появились   равные   или
пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной;
3. удалять "нулевые" строки, где все коэффициенты равны нулю;
4. любую строку умножать или делить на некоторое число;
5. к   любой   строке   прибавлять   другую   строку,   умноженное   на   некоторое
число.
В   результате   преобразований   получаем   систему   линейных   уравнений,
эквивалентную данной.
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса с
Пусть дана система линейных уравнений
примером 3 на 3
2 ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 3
Решая   системы   линейных   уравнений   школьными   способами,   мы   почленно
умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при
первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При
сложении   уравнений   происходит   исключение   этой   переменной.   Аналогично
действует и метод Гаусса.
Для   упрощения   внешнего   вида   решения составим   расширенную   матрицу
системы:
В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при
неизвестных, а справа после вертикальной черты  свободные члены.
Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление
на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы.
Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений
можно переставлять местами уравнения:
С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и
всех последующих уравнений. Для этого ко второй строке матрицы прибавим
первую, умноженную на
 (в нашем случае на
), к третьей – первую строку,
).
 (в нашем случае на
умноженную на
Это возможно, так как
Если   бы   в   нашей   системе   уравнений   было   больше   трёх,   то   следовало   бы
прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на
отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.
В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы
уравнений,   в   которой   все   уравнения,   начиная   со   второго не   содержат
переменную x:
Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на
вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:
 и получим
3 ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 3
Теперь,   сохраняя   первое   уравнение   полученной   системы   без   изменений, с
помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих
уравнений.   Для   этого   к   третьей   строке   матрицы   системы   прибавим   вторую,
 (в нашем случае на
умноженную на
Если   бы   в   нашей   системе   уравнений   было   больше   трёх,   то   следовало   бы
прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на
отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.
В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе
линейных уравнений:
).
Мы  получили  эквивалентную  данной  трапециевидную  систему линейных
уравнений:
Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс
последовательного   исключения   переменных   продолжается   до   тех   пор,   пока
матрица системы не станет трапециевидной, как в примере.
Решение найдём "с конца"  это называется "обратный ход метода Гаусса".
Для этого из последнего уравнения определим z:
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y:
.
Из первого уравнения найдём x:
Итак, решение данной системы
Проверить решение системы можно и методом Крамера: в этом случае будет
выдан то же ответ, если система имеет однозначное решение. Если же система
имеет бесконечное множество решений, то таков будет и ответ.
.
Пример решения методом Гаусса системы линейных уравнений 4 на 4
Перед   нами   вновь   пример   совместной   и   определённой   системы   линейных
уравнений,   в   которой   число   уравнений   равно   числу   неизвестных.   Отличие   от
нашего   примера   из   алгоритма      здесь   уже   четыре   уравнения   и   четыре
неизвестных.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
4 ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 3
Решение.   Составляем   расширенную   матрицу   системы.   С   помощью   первого
. Для этого ко
уравнения исключаем из последующих уравнений переменную
второй   строке   прибавляем   первую,   умноженную   на
,   к   третьей   строке
первую, умноженную на
, к четвёртой  первую, умноженную на
.
Теперь   нужно   с   помощью   второго   уравнения   исключить   переменную
 из
последующих   уравнений.   Проведём   подготовительные   работы.   Чтобы   было
удобнее   с   отношением   коэффициентов,   нужно   получить   единицу     во   втором
столбце второй строки. Для этого из второй строки вычтем третью, а полученную
в результате вторую строку умножим на 1.
Проведём теперь собственно исключение переменной
 из третьего и четвёртого
уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на
, а к
четвёртой  вторую, умноженную на
.
5 Лекционное занятие № 3
ЕН.01 Математика
Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную
 из четвёртого
уравнения.   Для   этого   к   четвёртой   строке   прибавим   третью,   умноженную
на
. Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.
Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:
Следовательно,   полученная   и   данная   системы   являются   совместными   и
определёнными. Искомое решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения
имеем
Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем
.
, откуда
Далее, подставляем значения
.
 и
во второе уравнение системы:
, т.е.
.
Наконец, подстановка значений
 в первое уравнение даёт
Итак, данная система уравнений имеет единственное
, откуда
.
.
решение
Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы
Системы   линейных   уравнений   применяются   для   моделирования   реальных
объектов физического мира. Решим методом Гаусса одну из таких задач  на
сплавы.   Аналогичные   задачи      задачи   на   смеси,   стоимость   или   удельный   вес
отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.
Пример 2. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит
60% меди, второй  30%, третий  10%. При этом во втором и третьем сплавах
вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве
меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.
Решение. Составляем систему линейных уравнений:
6 ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 3
Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем эквивалентную систему
линейных уравнений:
Составляем расширенную матрицу системы:
Внимание,   прямой   ход   метода   Гаусса.   Путём   сложения   (в   нашем   случае
вычитания)   одной   строки,   умноженной   на   число   (применяем   два   раза)   с
расширенной матрицей системы происходят следующие преобразования:
Прямой   ход   метода   Гаусса   завершился.   Получили   расширенную   матрицу
трапециевидной формы.
Применяем обратный ход метода Гаусса. Находим решение с конца. Видим, что
.
,
Из второго уравнения находим
Из третьего уравнения
.
Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть,
третьего   уравнения,   тогда   приходится   решать   методом   Гаусса   систему   двух
уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот  неизвестных меньше, чем
уравнений.
О простоте метода говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу
Фридриху   Гауссу   на   его   изобретение   потребовалось   лишь   15   минут.   Кроме
метода   его   имени   из   творчества   Гаусса   известно   изречение   "Не   следует
смешивать   то,   что   нам   кажется   невероятным   и   неестественным,   с   абсолютно
невозможным"  своего рода краткая инструкция по совершению открытий.
2. Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными
матричным методом.
Любую систему линейных уравнений можно представить в матричном виде, а
затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы.
7 ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 3
Решение   систем   линейных   уравнений   матричным   методом   основано   на
следующем   свойстве   обратной   матрицы:   произведение   обратной   матрицы   и
исходной   матрицы   равно   единичной   матрице.  Обратная   матрица   обозначается
символом
Пусть нужно решить систему линейных уравнений:
.
Запишем эту систему уравнений в матричном виде:
Если   обозначим   отдельно   матрицу   коэффициентов   при   неизвестных,   матрицу
неизвестных и матрицу свободных членов
тогда
,
То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения умножить
на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных
 и приравнять
соответствующие элементы полученных матриц.
Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом
Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
разберём на следующем примере.
Решение состоит из следующих шагов.
Шаг 1. Составляем следующие матрицы.
Матрица коэффициентов при неизвестных:
Матрица неизвестных:
Матрица свободных членов:
8 ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 3
Это   сделано   для   того,   чтобы   применить   в   решении   уже   записанные
закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы:
По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной
системы.
Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:
.
Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:
Итак, получили решение:
.
Сделаем проверку:
Следовательно, ответ правильный.
Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка.
Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
Шаг 1. Составляем следующие матрицы.
Матрица коэффициентов при неизвестных:
Матрица неизвестных:
Матрица свободных членов:
Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:
9 ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 3
Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:
.
Итак, получили решение:
Сделаем проверку:
.
Следовательно, ответ правильный.
Решить систему методом Гаусса или матричным методом:
Задания для решения
10 3
2
1.
ЕН.01 Математика


,1
x

x
,5
3

.7
x
3

x
2
,2
3


x
,7
3


3
x
.5

x
2
x
1

2
x
x
1
2

3
x
x
2
1
2


x
x
1
2

x
2
x
1

2
x
x
1










2.
3
2
2

3.
4.






x
1

x

1

2
x

1

x
x
3
1
2

x
4
x
1

2
x
x
1

2
x

x
3

x
2
2
2
2
3
2
x
x
3
x


,4


,7

.3
2
3


x
,3

x
,6
3

x
.4
3
3
Лекционное занятие № 3
5.
6.
,2
,3
.10
2












x
x
1

2
x
1

3
7
x
1

x
x
2
1

x
2
x
1
2

x
3
x
2
1
x
3
x
3
x

3
2

x

x
3
2

x
,3
3

x
,1
3


x
.1
3
2
Домашнее задание.
Учить определения, составить опорную схему конспекта, продолжить
выполнение заданий из Лекции № 2
     Задания для домашней работы:
I.  Найти матрицу преобразования.
II. Вычислить определитель III порядка.
III. Решить систему методом Крамера, Гаусса и матричным методом.
Вариант 1.
1.  C =A+4B, если
A






03
2
812
34
2





,
B
 
301


2
14


1
03






.       2.
1

3
5

2
4
1
2
1

3
.

3.




4
 



x
1
x
1
3
x
1
x
2
3
x
2
x
2

2
x
10,
3
 
x
1,
3


1.
5
x
3
Вариант 2.

1.  C =4A+B, если
A






2
03
812
34
2





,
B
 
301


2
14


1
03






.       2.
1 1
2 0
6 0
1

3

5
.





3.


4
x
x
10
2
1


7
x
2
x
x
3
1
2


x
5
x
x
2
3
2
1
Вариант 3.

x
1,
3

3,

0.

1.  C =A+3B, если
A






2
03
812
34
2





,
B
 
301


2
14


1
03






.      2.
1
2
1
2
1

1



4
5
1
.





3.

2
x
3
x
1
2

5
x
x
1
2

3
x
x
1
2
 
x
3
 
x
3


4
x
3
Вариант 4.
3,
1,
11.

1.  C =2A  B, если
A






2
03
812
34
2





,
B
 
301


2
14


1
03






.      2.
4

3
2

2
5
1
6
2

3
.
11 
3.





ЕН.01 Математика
5,
0,
11.

2
 
x
3
Вариант 5.
x
2
3
x
x
2
3
 

5
x
x
1

x
10
1

x
x
1
2

Лекционное занятие № 3
1.  C =3A +B, если
A






03
2
812
34
2





,
B
 
301


2
14


1
03






.      2.
3
2
5

1
4
6
2
6
11
.
3.





x
1
3
x
1
9
x
1

2
x
2


x
2

2
x
2


3
x
3

6
x
3
 
x
3
3,
7,
3.

1. Понятие матрицы и ее элементов.
2. Правила вычисления определителей в зависимости от порядка
Контрольные вопросы:
определителя?
3. Запишите формулы Крамера для решения системы трёх линейных
уравнений с тремя переменными.
4. Алгоритм решения систем линейных уравнений с тремя переменными
методом Гаусса и матричным методом.
1. Богомолов   Н.В.   Самойленко   П.И.   Математика:   Учебник.      М.:   Дрофа,
Литература:
2009.
2. Богомолов   Н.В.   Сборник   задач   по   математике:   Учебное   пособие.      М.:
Дрофа,  2009.
3. Омельченко В. П., Курбатова Э. В. Математика: Учебное пособие. – М.:
Феникс, 2009.
4. Щипачев В.С. Основы высшей математики. – М: Высшая школа. 2008.
12

file_name: ЕН.01 Математика. Лекция 3.doc

intro: Лекция № 3 "Решение систем линейных уравнений с тремя переменными методом Гаусса,  матричным методом" по дисциплине ЕН.01 Математика для СПО по специальности Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям). План лекции: алгоритм решения СЛУ методом Гаусса; алгоритм решения СЛУ методом обратной матрицы

title: Лекция № 3 "Решение систем линейных уравнений с тремя переменными методом Гаусса,  матричным методом.".


extracted_text:
ЕН.01 Математика

ЛЕКЦИЯ № 4
Лекционное занятие № 4
Тема: Дифференциальное и интегральное исчисление.
Цель занятия:  приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела
математики – математического анализа. Обобщить и систематизировать знания и умения
обучающихся по дифференциальному и интегральному исчислению.  Формирование у
обучающихся интереса к профессии и профессиональных качеств – аккуратности,
усидчивости, дисциплинированности.
План лекции:
1. Функция одной переменной. Пределы.
2. Непрерывность функции.
3. Производная, геометрический смысл.
4. Исследование функций с помощью производной.
5. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной.
6. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла. Геометрический смысл
определенного интеграла.
1. Функция одной переменной. Пределы

что
Предположим,
Пусть   функция y=f(x) определена   в   некоторой   окрестности
точки a.
независимая
переменная x неограниченно   приближается   к   числу a.   Это
означает,   что   мы   можем   придавать х значения   сколь   угодно
 a→ .
близкие к a, но не равные a. Будем обозначать это так x
Для   таких x найдем   соответствующие   значения   функции.
Может   случиться,   что   значения f(x)  также   неограниченно
приближаются   к   некоторому   числу b.   Тогда   говорят,   что
число b есть предел функции f(x) при x
Введем строгое определение предела функции.
Функция y=f(x) стремится к пределу b при x
каждого положительного числа
можно указать такое положительное число
из   области   определения   функции,
неравенству |x  a| <
Если b есть   предел   функции f(x) при x
 a→ , если для
ε
, как бы мало оно не было,
δ
, что при всех x ≠ a
  удовлетворяющих
.ε
  то
δ
, имеет место неравенство |
→
f(x)  b| <
 a→ .
  a
,
 b→  при x
 a→ .
 или f(x)
пишут
Несложно заметить, что предел функции должен обладать теми
же свойствами, что и предел числовой последовательности, а
 a→  функция имеет предел, то он
и если при x
именно
единственный.
Примеры.
1. Найти предел функции y=2x+1 при x
→
что если x
 1 с любой стороны, то соответствующие точки
→
 1. Используя график функции, можно увидеть,
 M(x, y) графика стремятся к точке
M(1, 3), т.е. можно предположить, что
.
1 ЕН.01 Математика
2. Найти предел функции y=ex+1 при x

Лекционное занятие № 4
 0. Используя график заданной функции, несложно
→
заметить,
.
Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций
равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
.
Пример.
Теорема   2. Предел   произведения   двух,   трех   и   вообще   конечного   числа   функций   равен
произведению пределов этих функций:
.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Следствие 2. Предел степени равен степени предела:
.
.
Пример.
Теорема   3. Предел   частного   двух   функций   равен   частному   пределов   этих   функций,   если
предел знаменателя отличен от нуля, т.е.
.
Примеры.
1.
2.
.
.
.
3. Рассмотрим
. При x 1→  числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится
к   0.   Но   так   как
,   т.е.
есть   бесконечно   малая   функция   при x→1,
.
то
Теорема   4. Пусть   даны   три   функции f(x),   u(x) и v(x),
удовлетворяющие   неравенствам   u(x)≤f(x)≤   v(x).   Если
функции u(x) и v(x) имеют   один   и   тот   же   предел
при x a→  (или x ∞→ ),   то   и   функция f(x)стремится   к   тому   же
пределу, т.е. если
Смысл этой теоремы понятен из рисунка.
, то
.
2 ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 4
Теорема 5. Если при x a→  (или x ∞→ ) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0
и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.
Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют

неравенству f(x)≥g(x) и имеют пределы
неравенство b≥c.
, то имеет место
ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ
Довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела
в заданной точке, но они имеют предел, если x a→ , оставаясь с одной
стороны от а, слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят понятия
односторонних пределов.
Если f(x) стремится   к   пределу b при x, стремящемся   к   некоторому
числу a так,   что x  принимает   только   значения,   меньшие a,   то
пишут
слева.
Таким образом, число b называется пределом функции y=f(x) при x a → слева.
и называют   b пределом функции f(x) в точке a
  если x a→  и   принимает   значения   большие a,
Аналогично,
и
называют b пределом   функции   в   точке а справа.   Т.е.   число b называется пределом   функции
y=f(x) при x a справа
Заметим,   что   если   пределы   слева   и   справа   в   точке a для   функции f(x) не   совпадают,   то
функция не имеет предела (двустороннего) в точке а.
Примеры.
  то   пишут
→
.
1. Рассмотрим   функцию y=f(x),   определенную   на   отрезке   [0,1]
следующим образом
Найдем

пределы
Очевидно,

, а
функции f(x) при x→3.
.
ТИПЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И СПОСОБЫ ИХ РАСКРЫТИЯ
Часто при вычислении пределов какойлибо функции, непосредственное применение теорем о
пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе
дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде,  чем применять эти
теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем.
Условные выражения
характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин,
при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов.
Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.
I. Неопределенность
.
1.
.
3 ЕН.01 Математика

Лекционное занятие № 4
2.
.
При разложении числителя на множители воспользовались правилом деления многочлена на
многочлен «углом». Так как число x=1 является корнем многочлена x3 – 6x2 + 11x– 6, то при
делении получим
3.
4.
II. Неопределенность
.
.
1.
.
При   вычислении   предела   числитель   и   знаменатель   данной   дроби   разделили   на x в   старшей
степени.
2.
3.
4.
.
.
.
При вычислении предела воспользовались равенством
, если x<0.
4 ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 4
Следующие   виды   неопределенностей   с   помощью   алгебраических   преобразований   функции,

стоящей под знаком предела, сводят к одному из рассмотренных выше случаев  или
III. Неопределенность 0 ∙∞.
.
IV. Неопределенность ∞ –∞.
.
1.
2.
3.
.
Замечательные пределы
 не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в
Функция
нуль. График функции изображен на рисунке.
Однако, можно найти предел этой функции при х 0.→
Выведенная формула и называется первым замечательным пределом.
Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности
.
Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами
Примеры.
.
1.
2.
.
5
. ЕН.01 Математика

Лекционное занятие № 4
3.
4.
.
.
Второй   замечательный   предел   служит   для   раскрытия   неопределенности   1∞ и   выглядит
следующим образом
Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе
степени   должно   стоять   выражение,   обратное   тому,   которое   прибавляется   к   единице   в
основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел
ко второму замечательному пределу).
Примеры.
1.
2.
4.
5.
.
3.
.
.
.
2. Непрерывность функции
.
Понятие непрерывности функции в точке
, если:
 называется непрерывной в точке

 определена в точке
Определение. Функция
1) функция
 в точке
2) существует конечный предел функции

этот предел равен значению функции в точке
, т.е.
Замечание.  При   нахождении   предела   функции
можно переходить к пределу под знаком функции, то есть
 и ее окрестности;
;
,   которая   является   непрерывной,
Определение.
непрерывной в этой области.
 Функция,   непрерывная   во   всех   точках   некоторой   области,   называется
Непрерывность функции на промежутке
Функция
Функция
 называется непрерывной справа в точке
 называется непрерывной слева в точке
, если
, если
.
.
6 ЕН.01 Математика

Функция
точке этого интервала.
Функция
интервале
точке  , то есть
 называется непрерывной в интервале
 называется непрерывной на отрезке
, то есть
, непрерывной справа в точке
Лекционное занятие № 4
, если она непрерывна в каждой
, если она является непрерывной в
 и непрерывной слева в
.
Свойства функций непрерывных на отрезке:
1. Теорема Вейерштрасса.  Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом
отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.
Непрерывная на отрезке
2. Теорема БольцаноКоши. Если функция
принимает   на   концах   этого   отрезка   неравные   между   собой   значения,   то   есть
 функция является ограниченной на этом отрезке.
 является непрерывной на отрезке
 и
,
, то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между
 и
.
Если функция
отрезка значения разных знаков, то существует такая точка
, которая непрерывна на некотором отрезке
, принимает на концах
 такая, что
.
Полезные теоремы о непрерывности функции
Теорема. Если функции
 и
 непрерывны в точке
, то функции
,
,
также непрерывны в точке
.
 задана функция
  задана на множестве
Пусть функция
Пусть на множестве
композиция функций (или сложная функция)
Теорема. Пусть функция
точке
Теорема.
непрерывна в этой точке.
. Тогда композиция функций
 непрерывна в точке
, а
. Тогда говорят, что на множестве
   множество значений этой функции.
 задана
.
, а функция
 непрерывна в
непрерывна в точке
.
 Каждая   элементарная   функция,   заданная   в   окрестности   некоторой   точки,
Приращение аргумента и функции
,   которая   определена   в   некотором   интервале
  и
 из этого интервала:
Рассмотрим   функцию
рассмотрим произвольную точку
Определение. Приращением аргумента
 в точке
Замечание. Из последнего равенства легко увидеть, что
Приращением функции
значений функции
будем иметь:
.
 называется разность
.
 называется разность соответствующих
  или, используя равенство из выше приведенного замечания,
 в точке
Теорема. Функция
приращению аргумента
 непрерывна в точке
 тогда и только тогда, когда бесконечно малому
 соответствует бесконечно малое приращение функции
:
Точки разрыва функции и их классификация
, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий  непрерывности
Определение.  Точка
функции, а именно:
1) функция
2) существует конечный предел функции

этот предел равен значению функции в точке
 определена в точке и ее окрестности;
 в точке
, т.е.

;
7 ЕН.01 Математика
называется точкой разрыва функции.

Лекционное занятие № 4
Определение. Если в точке
, то точка
Точка разрыва первого рода
 существуют конечные пределы
 и
 называется точкой разрыва первого рода.
Точка разрыва второго рода
, такие, что
Определение. Если хотя бы один из пределов
бесконечности, то точка
 называется точкой разрыва второго рода.
 или
 не существует или равен
Точка устранимого разрыва

Определение. Если существуют левый и правый пределы функции
другу, но не совпадают со значением функции
функция
, то точка
Замечание.
При   нахождении   предела   функции
переходить к пределу под знаком функции, то есть
 не определена в точке
 в точке
:
  в точке и они равны друг
 или
 называется точкой устранимого разрыва.
,   которая   является   непрерывной,   можно
3. Производная, геометрический смысл.
Пусть функция  y=f(x)  определена на промежутке [a;b]. Точка  x  [a;b]. В точке  x  функция
y=f(x) имеет значение f(x).Точка (x+∆x)[a;b]. В точке (x+∆x) функция y=f(x) имеет значение
f(x+∆x). Разность (x+∆х – x)  приращение аргумента. Обозначается  ∆x.
Разность f(x+∆x) – f(x) приращение функции. Обозначается ∆ y, т.е.
∆y = f(x+∆x) – f(x).
Составим отношение
Если ∆x  0, то
.
.

Этот предел называется производной функции y=f(x) в
точке x.
Определение: Производной функции y=f(x) в точке x
называется предел отношения функции к приращению
аргумента,   если   приращение   аргумента   стремится   к
.
Обычно, если данная функция обозначена буквой у, то ее производная может быть обозначена
нулю. Обозначают производную : f'(x) или
или
, читать: «производная функции у по х». Если
у', читать: «производная функции у» или
данная функция обозначена символом  f(x),  то ее производная может быть обозначена  f  '(х),
читать: «производная функции f(x)».
Определение: Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Функция y=f(x), которая имеет производную в точке x, называется дифференцируемой в этой
точке. Функция  y=f(x),  которая имеет производную в каждой точке некоторого промежутка,
называется дифференцируемой на этом промежутке.
Общее правило дифференцирования (нахождения производной) следующее:
8 ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 4
1) найти приращение  ∆y  функции, т. е. разность значений функции при значениях аргумента
х+ ∆x и x;
2) найти отношение ∆y/∆x, для этого полученное выше равенство разделить на ∆x;
3) найти предел отношения ∆y/∆x при ∆x  0.→

Пример 1. По определению найти производную функции
Решение. Выбираем произвольную точку
 в произвольной точке х.
 ; придаем приращение аргументу
 :
 ;
вычисляем приращение функции
, тогда
Следовательно,
Пример 2. Найти скорость равномерно ускоренного движения в произвольный момент времени
.
 .
 аргументу:
 .
 .
  Тогда
t и в момент t = 2 сек., если зависимость пути от времени
Решение.   Выбираем   произвольную   точку
Вычисляем приращение функции:
 .
 ;   придаем   приращение
скорость в произвольный момент времени будет равна
Скорость в момент времени t = 2 сек. соответственно будет
 .
 .
Вспомним основные правила дифференцирования:
1. Если
2. Если
 то
 .
 и
 – дифференцируемые функции, то
 .
3. Если
 и
 – дифференцируемые функции, то
Следствие. Если
4. Если
 и
 .
, то
 .
 – дифференцируемые функции и
 , то
 .
Следствие. Если
 , то
5. Если
 , то
 .
 .
9 ЕН.01 Математика

Лекционное занятие № 4
 – есть функция обратная к
 , то
6. Если
Для удобства нахождения производных составим таблицу основных производных.
Пусть
  дифференцируемая функция, тогда
 , где
 и
 .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
;
;
;
;
;
 ;
 ;
8.
9.
10.
11.
12.
13.
 ;
 ;
 ;
 ;
 .
Производная — это скорость изменения функции.
На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?
Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая
производная.
Вот другой пример.
Костя,   Гриша   и Матвей   одновременно   устроились   на работу.   Посмотрим,   как   менялся
их доход в течение года:
На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два
раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чутьчуть. А доход Матвея уменьшился до нуля.
Стартовые   условия   одинаковые,   а скорость   изменения   функции,   то есть  производная, —
разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.
Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?
10 ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 4
На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими
словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция
в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее
или медленнее.
Производная функции обозначается
. Покажем, как найти
 с помощью графика.
Нарисован   график  некоторой функции
.
Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто
вверх   идет   график   функции.   Удобная   величина   для   этого — тангенс   угла   наклона
касательной.
Производная   функции
проведённой к графику функции в этой точке.
 равна   тангенсу   угла   наклона   касательной,
. Возьмем  на нем точку
 с абсциссой
 в точке
Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной
и положительным направлением оси
Касательная к графику функции   это прямая, имеющая на данном участке единственную
общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную
к окружности.
Найдем
отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника
. Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен
:
.
Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением
.
Величина
тангенсу угла наклона прямой к оси
.
 в этом   уравнении   называется угловым   коэффициентом   прямой.   Она   равна
.
Мы получаем, что
Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.
Производная функции в точке
к графику функции в этой точке.
Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.
Геометрический и механический смысл производной
 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной
С   вычислением   производной   мы   сталкиваемся   всякий   раз,   когда   требуется   определить
скорость изменения одной величины  функции в зависимости от изменения другой величины
независимой переменной.
11 ЕН.01 Математика
Определение. Средней скоростью изменения функции
переменной от значения
к приращению
 независимой переменной, то есть
 к значению

Лекционное занятие № 4
 называется отношение приращения
 при переходе независимой
 функции
 Истинной или мгновенной   скоростью   изменения   функции
Определение.
заданном   значении   независимой   переменной
средняя скорость изменения функции при стремлению к нулю приращения аргумента
 при
 называется   предел,   к   которому   стремится
:
Механический смысл производной
Теорема. (Механический смысл производной)
Пусть   задан   путь
точки в момент времени   есть производная от пути   по времени  :
 движения   материальной   точки.   Скорость   данной   материальной
Задание. Тело   движется   прямолинейно   по   закону
скорость его движения в момент
Решение. Искомая скорость  это производная от пути, то есть
 с.
 (м).   Определить
В заданный момент времени
Ответ.
 (м/с).
 (м/с).
Геометрический смысл производной
Производная функции
образованного   положительным   направлением   оси
касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой
, вычисленная при заданном значении
, равна тангенсу угла,
 и   положительным   направлением
:
Замечание.   Геометрически   производная   представляет   собой   угловой   коэффициент
касательной к графику функции
 в точке
 .
12 ЕН.01 Математика

Лекционное занятие № 4
Пример. На рисунке №1 изображен график функции
абсциссой
Решение. Из геометрического смысла производной получаем, что
 . Найти значение
.
 и касательная к нему в точке с
Найдем   угол
.   Рассмотрим   треугольник
, а значит
    прямоугольный,   равнобедренный.   Тогда
А отсюда следует, что
Ответ.
Пусть функция y = f (x) на интервале (a, b) имеет производную
является функцией от x. Назовём её производной первого порядка.
Если функция
порядка и обозначается символами
 дифференцируема, то её производная называется  производной второго
, которая также
 или
.
Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной
третьего порядка и обозначается
 или
.
Производной любого nго порядка, или nй производной, называется производная от
производной (n – 1)го порядка:
 или
.
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Рассмотрим физический смысл производной второго порядка. Пусть материальная
точка M движется прямолинейно по закону S = S (t) со скоростью
движения, S (t) – путь, пройденный за время t. Тогда за время Δt скорость
приращение
. Отношение
, где t – время
 получит
 называется средним ускорением движения точки за время Δt. Предел этого
отношения при
обозначается
:
 называется ускорением точки M в данный момент времени t и
13 ЕН.01 Математика

.
Лекционное занятие № 4
Таким образом, вторая производная от пути по времени имеет физический смысл
ускорения точки при её прямолинейном и неравномерном движении. Если же точка движется
равномерно, т. е. с постоянной скоростью V (t) = const, то W (t) =
.
ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Пусть y   =   f(u), а u= u(x).   Получаем   функцию y,   зависящую   от   аргумента x: y   =
f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.
Областью   определения   функции y   =   f(u(x)) является   либо   вся   область   определения
функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области
определения функции y= f(u).
Операция "функция от функции" может проводиться не один раз, а любое число раз.
Установим правило дифференцирования сложной функции.
Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке  x0 производную
принимает в этой точке значение u0 = u(x0), а функция y= f(u) имеет в
точке u0 производную y 'u= f '(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже
имеет производную, которая равна y 'x= f '(u0)∙u '(x0), где вместо u должно быть подставлено
выражение u= u(x).
Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной
функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента
по x.
Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от
"внешней"   функции f,   рассматривая   ее   аргумент   просто   как   переменную,   и   умножить   на
производную от "внутренней" функции по независимой переменной.
Если   функцию y=f(x) можно   представить   в   виде y=f(u),   u=u(v),   v=v(x), то   нахождение
производной y 'x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.
По   доказанному   правилу   имеем y 'x= y 'u∙u 'x .
для u 'x получаем
  Применяя   эту   же   теорему
 и
Примеры.
, т.е.
y 'x = y 'x∙ u 'v∙ v 'x = f 'u (u)∙u 'v (v)∙v 'x (x).
1. y = sin x2. Тогда
.
2.
3.
4.
Исследование функции и построение графика
14 ЕН.01 Математика

Лекционное занятие № 4
Алгоритм исследования функции
1. Находим область определения (D(f)) функции
2. Если область определения функции симметрична относительно нуля (то есть для любого
значения
 также   принадлежит   области   определения,   то проверяем
функцию на четность.
 и построения ее графика таков:
 из   D(f)   значение
.
Если
Для нас важно, что график четной функции симметричен относительно оси OY.
, то функция четная. (Примером четной функции является функция
)
Если
,   то   функция нечетная.   (Примером   нечетной   функции   является
)
функция
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Если   функция   является   четной   или   нечетной,   то   мы   можем   построить   часть   ее   графика
,  а затем соответствующим образом отразить ее.
для
3. Находим точки пересечения графика с осями координат.
Находим нули функции  это точки пересечения графика функции
(OX).
Для этого мы решаем уравнение
Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью
ОХ.
Находим точку пересечения графика функции
значение функции при
4. Находим   промежутки   знакопостоянства   функции,   то   есть   промежутки,   на   которых
функция
 сохраняет   знак.   Это   нам   потребуется   для   контроля   правильности
построения графика.
Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции
 с осью ординат (OY). Для этого ищем
, нам нужно решить неравенства
 с осью абсцисс
.
.
  и
.
5. Находим асимптоты графика функции.
6. Если функция периодическая, то находим период функции.
7. Исследуем функцию с помощью производной: находим промежутки возрастания и убывания
функции, а также точки максимума и минимума.
Для этого мы следуем привычному алгоритму.
а) Находим производную
б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения
точки.
в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых производная
положительна, являются промежутками возрастания функции.
Промежутки,   на   которых производная   отрицательна,   являются   промежутками убывания
функции.
Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума.
Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума.
8. И последний номер  точки перегибы и промежутки выпуклости и вогнутости.
  это стационарные
15 ЕН.01 Математика

Лекционное занятие № 4
Итак, давайте, для примера, исследуем функцию
1. Найдем D(y).
 и построим ее график.
Сразу отметим, что при
 знаменатель дроби равен нулю, следовательно, прямые

 являются вертикальными асимптотами графика функции
и
2. Исследуем функцию на четность. Область определения функции симметрична относительна
.
нуля (мы выкололи две симметричные точки:
 и
)
Получили,   что
функции симметричен относительно начала координат.
3. Найдем точки пересечения с осями координат.
а) Точки пересечения с осью ОХ (y=0)
,   следовательно,   функция
  нечетная,   и   график
б) Точка пересечения с осью ОY (x=0)
График нашей функции проходит через начало координат.
4. Найдем промежутки знакопостоянства.
Решим неравенство
Воспользуемся методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя, нанесем их на
числовую ось и расставим знаки:
Корень числителя:
Корни знаменателя:
Расставим знаки:
;
Итак,
  при
 и

  при
 и
5. Найдем асимптоты графика функции
.
16 ЕН.01 Математика

Лекционное занятие № 4
Вертикальные асимптоты мы уже нашли в  п.1, это прямые
 и
.
Уравнение горизонтальной асимптоты функции
 имеет вид
, где
.
Степень числителя дроби
 на единицу больше степени знаменателя, поэтому
не
существует, и график функции
Попробуем найти наклонную асимптоту.
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид
Коэффициенты
 и
 не имеет горизонтальной асимптоты.
 вычисляются следующим образом:
.
В нашем случае
.
числителя).
То есть уравнение наклонной асимптоты имеет вид
Нанесем асимптоты на координатную плоскость:
.
 (Степень   знаменателя   на   единицу   больше   степени
6. Найдем промежутки возрастанияубывания функции
 и экстремумы.
а) Найдем производную функции
б) Приравняем производную к нулю:
17 ЕН.01 Математика

Лекционное занятие № 4
 (корень четной кратности);
;
Корни знаменателя
В корнях четной кратности производная знак не меняет.
в) Нанесем нули производной   и корни ее знаменателя на числовую ось, расставим знаки и
найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания.
  также корни четной кратности.
Итак, мы нашли промежутки возрастания и убывания.
Найдем значение функции в точках экстремума:
Заметим, что, поскольку функция
 нечетная, и мы нашли, что
, мы могли бы
сразу написать, что
Итак, отметим в нашей координатной плоскости точки минимума и максимума функции и
точку пересечения графика функции с осями координат.
На рисунке ниже большими красными кружками обозначены точки, через которые проходит
график функции.
Теперь   учтем   промежутки   возрастания
убывания   и   промежутки   знакопостоянства
функции   (п.
ее
график. Помним, что график функции не
пересекает   абсциссы,
  он   лишь
приближается к ним!
  4)   и   построим
18 ЕН.01 Математика

Лекционное занятие № 4
После построения графика необходимо еще раз просмотреть все пункты исследования
функции и проверить, соответствует ли полученный график всем пунктам.
5. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной
История   понятия   интеграла   тесно   связана   с   задачами   нахождения   квадратур.   Задачами   о
квадратуре   той   или   иной   плоской   фигуры   математики   Древней   Греции   и   Рима   называли
задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.
Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны
с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским. С помощью этого
метода Евдокс доказал:
1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.
2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание.
Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи:
1. Вывод формулы площади круга.
2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.
Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.
Символ   введен Лейбницем в 1675 г. Этот знак является изменением латинской буквы  S.
Само слово «интеграл» придумано Бернулли в 1690 г. Оно происходит от латинского integro,
которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Действительно,
операция   интегрирования   обратная   операции   дифференцирования   т.е.   для   того,   чтобы
проверить   правильность   нахождения   интеграла   необходимо   продифференцировать   ответ   и
получить   подынтегральную   функцию.   Другими   словами   интегральное   исчисление   решает
задачу:   по   заданной   производной   или   дифференциалу   неизвестной   функции   требуется
определить   эту   функцию.   Отсюда   можно   сделать   вывод,   который   мы   запишем   в   виде
определения.
Определение 1: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на отрезке [a;b],
если во  всех точках этого отрезка выполняется равенство
   Так, функция F(x) = xm является первообразной для f(x)=mxm1, так как
(xm)’=mxm1.
 = f(x) или dF(x)=f(x)dx
xF

1
   Точно также функция F(x) =ln x есть первообразная для f(х)= x
, так как
1
(ln x)’= x
.
     Если F’(x)=0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянна на этом промежутке,
т.е. F(x)=C.
Признак постоянства функции:
19 ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 4
Все  первообразные  функции  f  можно записать  в  одну формулу,  которую  называют  общим
видом первообразных для функции f. Запишем это в виде теоремы.
  Теорема: Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в
виде  F(x)+C, где  F(x) – одна из первообразных для функции  f(x)   на промежутке  I,  C  –
произвольная постоянная.
   Этому свойству можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных
для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Oy.
                                  у
           0                            х
Три правила нахождения первообразных
Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G –
есть первообразная для f+g.
(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g
Правило   №2:  Если  F  –   первообразная   для  f,   а  k  –   постоянная,   то   функция  kF  –
первообразная для kf.
Правило №3: Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные (
(kF)’ = kF’ = kf
0k
), то функция

kxF
b

1
k
  первообразная для f(kx+b).
b







1
k

b
1
k

kxF

kxF



     Определение 2:    Выражение  F(x) +  C, где  C   произвольная постоянная, называют
неопределенным интегралом и обозначают символом

kb

f
kx

 dx
xf
)(
   Из определения имеем:

xf
)(
dx

CxF
)(

             (1)
   Неопределенный интеграл функции f(x), таким образом, представляет собой множество всех
первообразных функций для f(x).
    В равенстве (1) функцию f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx–
подынтегральным выражением, переменную x – переменной интегрирования, слагаемое C
постоянной интегрирования.
       Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того
чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать
результат и получить при этом подынтегральную функцию.
Свойства неопределенного интеграла.
  Опираясь   на   определение   первообразной,   легко   доказать   следующие  свойства

неопределенного интеграла
20 ЕН.01 Математика
Лекционное занятие № 4
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть если

xF

 = f(x), то







CxF
)(
)(
xf

dxxf
)(


dxxf
)(

dxxfd
)(



dx

dxCxF
)(



dxxf
)(
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
3. Неопределенный  интеграл от дифференциала  некоторой функции равен этой функции
плюс произвольная постоянная

dF
x
)(


dxxf
)(

CxF
)(

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен
алгебраической сумме их интегралов

xf
)(
2
xf
)(
1



dx


xf
)(
1
dx

xf
)(
2
dx
5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть если a=const, то

dxxaf
)(


xfa
)(
dx
dx

x
n
n

1

1

C
,(n  1)
n

x
dx

x
1.
2.

ln
Cx

x

dxa

x
a
ln
a

C
Таблица простейших интегралов
e
x
dxe

x
C
4. 
5. 
cos
6. 
sin
xdx

sin

Cx
xdx

cos

Cx
dx
3.
    Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными. Отметим частный
случай формулы 1:

Cx
1
    Приведем еще одну очевидную формулу:

0
, т. е. первообразная от функции, тождественно равной нулю, есть постоянная.

xdx

dx
приn
приn

0
x
2

1
C
C
2
Непосредственное   интегрирование
неопределенных   интегралов,
подынтегральной функции.
Основные формулы интегрирования
 –   интегрирование   с   использованием   таблицы
  основных   свойств   и   тождественных   преобразований
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
21 ЕН.01 Математика

Лекционное занятие № 4
8.
9.

10.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
= tgx + C
cos x+ C
 = sin x + C
11.
12.
13.
 p ≠ 1, k ≠ 0
dx=  ln(kx+b)+C, где k
dx=
+C, где k
cos(kx+b)+C, где k
=
 dx= +C, где a
 =  arctg +C, a
 =
ln│
+│  C, a
+ C, a
dx=
=
=
=x ln x
 C
26.
Вычисление   интегралов   с   помощью   непосредственного   использования   таблицы   простейших
интегралов  и основных свойств  неопределенных интегралов  называется  непосредственным
интегрированием.
Пример 1.
Пример 2.
Это   наиболее   распространенный   метод   интегрирования   сложной   функции,   состоящий   в
преобразовании интеграла с помощью перехода к другой переменной интегрирования.
Пример 3. Сначала приведем полное решение:
22 ЕН.01 Математика
Комментарии:

Лекционное занятие № 4
(1) Используем формулу квадрата суммы
, избавляясь от степени.
(2) Вносим
(3) Используем свойства линейности интеграла (оба правила сразу).
 в скобку, избавляясь от произведения.
(4) Превращаем интегралы по табличной формуле
(5)   Упрощаем   ответ.   Здесь   следует   обратить   внимание   на   обыкновенную   неправильную
.
дробь
 – она несократима и в ответ входит именно в таком виде. Не нужно делить на
калькуляторе
! Не нужно представлять ее в виде
!
Пример 4. Найти неопределенный интеграл
Используя   свойство   неопределенного   интеграла,   вынесем   за   знак   интеграла   постоянную   2.
Затем, выполняя элементарные математические преобразования, приведем подынтегральную
функцию к степенному виду:
.
Пример 5.
Пример 6.
.
+C
.
Замена переменной.
Если   интеграл   затруднительно   привести   к   табличному   с   помощью   элементарных
преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки. Сущность этого метода
заключается в том, что путём введения новой переменной удаётся свести данный интеграл к
новому интегралу, который сравнительно легко берётся непосредственно.
Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:
1. Определяют,   к   какому   табличному   интегралу   приводится   данный   интеграл
(предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
2. Определяют,   какую   часть   подынтегральной   функции   заменить   новой   переменной,   и
записывают эту замену.
3. Находят   дифференциалы   обеих   частей   записи   и   выражают   дифференциал   старой
переменной   (или   выражение,   содержащее   этот   дифференциал)   через   дифференциал
новой переменной.
4. Производят замену под интегралом.
5. Находят полученный интеграл.
6. В   результате   производят   обратную   замену,   т.е.   переходят   к   старой   переменной.
Результат полезно проверять дифференцированием.
Рассмотрим примеры.
Примеры. Найти интегралы:
23 Лекционное занятие № 4
ЕН.01 Математика
1)
Введем подстановку:
)4

Дифференцируя это равенство, имеем:
Выразив отсюда
, получим:
. Подставив в данный интеграл вместо
 и
 их выражения, получим:
)4
Найдите интегралы:
Пример 1
.
Подстановка: cosx=t, sinxdx = dt,
Решение:
Пример 2.  e∫ x3x2dx
Подстановка:x3=t, 3x2dx=dt,
Решение:  e∫ x3x2dx= e∫ t(1/3)dt=1/3et+C=1/3ex3+C
Пример 3.
Пример 4.
 .
Пример 5.
.
.
Метод интегрирования по частям.
.
Метод   интегрирования   по   частям   основан   на   применении   формулы   дифференцирования
произведения двух функций.
Теорема   2.  Пусть   функции  u(x)  и  v(x)  определены   и   дифференцируемы   на   некотором
промежутке   Х   и   пусть   функция  u’(x)v(x)  имеет   первообразную   на   этом   промежутке.
Тогда   на   промежутке   Х   функция  u(x)v’(x)  также   имеет   первообразную   и   справедлива
формула

u x v x dx u x v x
( ) ( )
'( ) ( )



u x v x dx
( ) '( )
.
Эта формула называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Метод интегрирования по частям рекомендуется использовать для нахождения интегралов от
 и т. д., где n, k
– целые положительные постоянные,
 а также отыскание некоторых интегралов от
функций, содержащих обратные тригонометрические и логарифмические функции. В качестве
функции  u(x)   принимается   функция   которая   дифференцированием   упрощается   или
трансцендентные функции    ln x, arctg x, arcsin x.
,
cos

x
,
arcsin
x
,
arctgx
функции
ex
k

x
,
k
x
x
n
,
sin
ln
k

x
,
x
k
x
chx
k
,

x
cos


,
x
sin
x
R
,
x

x
,
24

file_name: ЕН.01 Математика. Лекция 4.doc

intro: Лекция № 4 "Дифференциальное и интегральное исчисление" по дисциплине ЕН.01 Математика для СПО по специальности Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям). План лекции: Функции одной независимой переменной. Пределы. Непрерывность функций. Производная, геометрический смысл. Исследование функций. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Функции нескольких переменных. Приложение интеграла к решению прикладных задач. Частные производные.

title: Лекция № 4 "Дифференциальное и интегральное исчисление".


extracted_text:
Календарнотематическое планирование по ПДД
на 20152016 учебный год
1 класс
№
п/п
Тема
1 Мы идем в школу.
2
3
Дорога и её элементы.
Опасности во дворах, связанные с транспортом.
Места для игр.
Виды пешеходных переходов. Пешеходный
светофор.
4
7
8
9
5 Мы знакомимся с дорожными знаками.
6 Мы – пассажиры. Правила пользования
общественным транспортом.
Правила перехода проезжей части по
нерегулируемому пешеходному переходу.
На загородной дороге.
Итоговое занятие
Итого:
Месяц
сентябрь
октябрь
ноябрь
декабрь
январь
февраль
март
апрель
май
Календарнотематическое планирование по ОБЖ
на 20152016 учебный год
1 класс
№
п/п
Тема
1
2
3
4
5
Чрезвычайные ситуации локального характера
Чрезвычайные ситуации природного и техногенного характера
Основы медицинских знаний
Формирование позитивного мышления
Безопасное поведение на улице, дороге, в транспорте
Итого:
Кол
во
часов
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
9ч
Кол
во
часов
2ч
4ч
1ч
1ч
1 ч
9ч
Календарнотематическое планирование по мерам пожарной безопасности
на 20152016 учебный год
1 класс
№
п/п
Тема
Месяц
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Огонь  друг и враг человека
Опасность шалости с огнём
Спичка – не для игры
Безопасный газ
Электричество в доме
Что делать при пожаре
Отчего возникают пожары и их предупреждение Март
Труд пожарных
Практическое занятие
Итого:
сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
Январь
Февраль
Апрель
май
Кол
во
часов
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
9ч

file_name: КТП ОБЖ ПДД и ПБ 1 класс.doc

intro: Календарно - тематическое планирование разработано по правилам дорожного движения, основам безопасности жизнедеятельности, пожарной безопасности для обучающихся 1 - х классов. Предложены темы, количество часов для каждого календарно - тематического планирования по правилам дорожного движения, основам безопасности жизнедеятельности, пожарной безопасности с целью формирования безопасного поведения.

title: Каленадарно - тематическое планирование по ПДД, ОБЖ, ПБ для 1 класса