extracted_text:
Аб
12
2 КОНТРОЛЬНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
9                     з
8                   4
7  А. Р.
ЯЗАНОВСКИЙ, Д. Г. МУХИН ГЕОМЕТРИЯ

аттестация по всем темам курса

трехуровневый
  конфигуратор сложности
диагностические контрольные задачи
  — комплексная проверка усвоения темы вопросы для обязательной устной
  аттестации ответы ко всем заданиям рекомендации по оцениванию работ

КЛАСС

ЭКЗАМЕН
КОНТРОЛЬНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

А, Р,
РЯЗАНОВСКИЙ, Д. Г. МУХИН
ГЕОМЕТРИЯ
8 КЛАСС
 аттестация по всем темам курса  трехуровневый конфигуратор сложности  диагностические контрольные задачи —
комплексная проверка усвоенности темы  вопросы для обязательной устной аттестации  ответы ко всем заданиям  рекомендации по оцениванию робот
ИзДательство
« ЭКЗА МЕН»
МОСКВА
удк 3728:514 ББК 74.262.21
Р99
Рязановскнй А. Р.
Р99 Геометрия: 8 класс: контрольные
измерительные материалы / А. Р. Рязановский, Д. Г. Мухин. — М. : Издательство
«Экзамен», 2014. 96 с.
(Серия «Контрольные измерительные
материалы»)
ISBN 978-5-377-07660-5
Данное пособие полностью соответствует
федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения)
В данном пособии представлены
контрольные измерительные материалы по геометрии для учащихся 8 класса.
Тематика предлагаемых тестов охватывает все темы геометрии 8 класса,
соответствует программе общеобразовательных учреждений по геометрии и
аналогичным материалам Г ИА. Их использование позволит оценить усвоение
учащимися тем курса, а также подготовить их к тестовой форме проверки знаний.
В конце пособия предложены
диагностические контрольные задачи для комплексной проверки усвоенности тем, а
также вопросы для обязательной устной аттестации и ответы ко всем заданиям.
Приказом № 729 Министерства
образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен»
допущены к использованию в общеобразовательных учреждениях.
удк 372.8:514 ББК 74.262.21

Справочное
изДание
Рязановский Андрей Рафаилович
Мухин Дмитрий
Геннадьевич
ГЕОМЕТРИЯ
8 класс
КОНТРОЛЬНЫЕ
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Издательство
«ЭКЗАМЕН»
Гигиенический
сертификат
№ РОСС RU.
AE51. Н 16466 от 25.03.2013 г.
Главный
редактор Л. Д. Лаппо. Редактор И. М. Бокова
Технический
редактор Л. В. Паатова. Корректор Т. И. Шитикова
Дизайн обложки
А. А. Козлова. Компьютерная верстка М. А. Серова
I 07045, Москва, Луков пер., д. 8,
www.examen.biz E-mail: по общим вопросам: info@examen.biz; по вопросам
реализации: sale@examen.biz; тел./факс 641-00-30 (многоканальный) Подписано в
печать 23.12.2013. Формат 60х90/16. Гарнитура «Школьная».
Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 2,1. Усл
печ. л. 6. Тираж 10 000 экз. Заказ № 82
Общероссийский
классификатор продукции ОК 005-93, том 2;
                                953005     книги, брошюры, литература
учебная
Отпечатано в ООО
«Красногорская типография», l43405. Московская обл.. Красногорский р-н, г.
Красногорск, Коммунальный квартал, д. № 2. www.ktprnt.ru
ISBN 978-5-377-07660-5                                          Рязановский
А. Р., Мухин Д. Г., 20l4
С Издательство
«ЭКЗАМЕН», 2014
СОДЕРЖАНИЕ
Введение..................................................................
... .
Тест 1. Многоугольники (40—45)                                             8
Вариант 1 . Вариант 2
.
Тест 2. Определение, свойства сторон и углов параллелограмма (20—25) ...
..
1 1
Вариант 1  1 1
Вариант 2  12 Тест З. Свойство высот и
биссектрис углов параллелограмма (20—25)  14
Вариант 1  14 Вариант 2  15 Тест 4.Ромб, прямоугольник,
квадрат (35—40) ... ....
Вариант 1 .
Вариант 2. 18 Тест 5. Свойства и признаки
параллелограмма, ромбо, прямоугольника, квадрата (40—45) .. 20
Вариант 1 .. 20
     Вариант 2         .............. 2 1
Тест 6. Трапеция (25—30)22
Вариант 1 .. 22 Вариант 223
Тест 7. Средняя линия треугольника и трапеции. Теорема Фалеса, теорема о
пропорциональных отрезках (30—35) ..........25
Вариант 1 .. 25 Вариант 2 ..
26
Тест 8. Центральная и осевая симметрия (30—35)28
Вариант 1 .. 28
Вариант 2 ............ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 29
Содержание

Вариант 1 .
Вариант 2 ... ... ..
Тест 10. Теорема Пифагора. Обратная теорема
Пифагора ............. • ...е... 35
Вариант 135
Вариант 236
Тест 11. Подобные треугольники38
Вариант 138
Вариант 2 ............................ ..
39 Тест 12. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике А 1
Вариант 14 1
Вариант 2 .. 42
Тест 13. Практические задачи но
подобие (20—25) Вариант 1
Вариант 2 45
Тест 14. Значения синуса, косинуса и
тангенсо некоторых углов ........................„...........„......... .
Вариант 1
Вариант 2
Тест 15. Тригонометрические функции
острого угло и соотношения между ними. Значения тригонометрических функций
острых углов .................... 49 Вариант 1 .
Вариант 2 .... ... ... ... 50
Тест 16, Пропорциональные отрезки в круге 52
Вариант 1 52 Вариант 2 53
Тест 17. Окружность и касательная к окружности .......... 55
Вариант 1 ...55 Вариант 2
....................................е... 56

Содержание

Тест 18. Центральные и вписанные углы . 58
Вариант 1 ...58

Вариант 2 ......... ............59
Тест 19. Замечательные точки треугольника, Вписанная и описанная
окружности треугольника ... .... 6 1 Вариант 1 .. 6 1
Вариант 2 62
Тест 20. Вписанные и описанные четырехугольники 64
Вариант 1 .. 64
Вариант 2 ....... ...... ... ........ ... ... . .. .. 65
Тест 21. Векторы ... ... .............. ...
.............. 68
Вариант 1 .. 68
Вариант 270
Тест 22. Скалярное произведение векторов
(без координат) ...... . .. . ....... .. .. 72
Вариант 172
Вариант 2 ... . .. . .. . ... 73
Задачи к итоговому тесту по геометрии за курс 8 класса ( 120— 135)75
Вариант 175 Вариант 277
Диагностические контрольные 80 Вопросы для проведения итоговой
аттестации за курс геометрии 8 класса85
Ответы к тестом.......... ......... .. . ..........88
Ответы к диагностическим контрольным задачам......... 96
ВВЕДЕНИЕ
Содержание курса геометрии в 8
классе определяется не каким-либо учебником или учебным пособием. Для этого
существуют специальные документы: Программа изучения курса геометрии, Программа
развития и формирования универсальных учебных действий для основного общего
образования, ОГОС общего образования. Поэтому представленные в этой книге
материалы разработаны так, чтобы ими смогли воспользоваться учителя, работающие
по любым учебникам геометрии, входящим в Федеральный перечень учебников,
рекомендованных МОИН РФ к использованию в учебном образовательном процессе
общеобразовательных учреждений РФ. Вспомогательную роль: определение
последовательности тем тестов, которой мы придерживались в данном случае,
выполнял учебник «Геометрия 7—9» под редакцией Л.С. Атанасяна.
В этой книге собраны и расположены в
определённом порядке варианты небольших самостоятельных работ по курсу
геометрии для учащихся 8 классов общеобразовательных школ, которые изучают
предмет по УМК под редакцией Л.С. Атанасяна. Эти работы представлены в тестовой
форме.
Тематика предлагаемых тестов охватывает
все без исключения темы геометрии 8 класса.
Трудность заданий внутри каждого теста
постепенно возрастает с возрастанием номера задания, но, в то же время, вполне
посильна учащимся любых общеобразовательных школ.
Время выполнения заданий каждого
теста, по нашему мнению, не должно превышать продолжительности одного урока —
АО—А5 минут. Некоторые тесты рассчитаны на меньшее время. Рекомендуемое время
(в минутах) выполнения каждого теста указано в его заголовке в скобках.
Примерное оценивание работы мы
рекомендуем проводить так, чтобы удовлетворительная оценка была выставлена при
условии выполнения не менее 500/0 заданий теста с учётом всех
вопросов, которых иногда больше, чем самих заданий (в одном задании
6
Введение

может быть несколько вопросов). Таким
образом, возможные ворианты оценивания выполнения теста имеют следующий вид.

Процент

Оценко

Менее 50 0/0

два

5196-600/0

три

610,6-700/0

четыре

9196-1000/0

Две пятё ки

В книге — 22 теста, посвященных
всем темам планиметрии, изучаемым в 8 классе. Книга заканчивается итоговым
тестом, состоящим из 1 д заданий, разбитых на три части и списком
диагностических контрольных задач, которые помогут провести комплексную
проверку усвоенности тем. Их при желании учитель может рассматривать в
соответствующее время перед тестированием. Отметим, что третья часть итогового
теста содержит задачи олимпиадного характера, причём трудные задачи олимпиад.
Поэтому результаты решения этих задач мы рекомендуем оценивать только высокими
баллами. Это означает, что ученик может получить итоговую оценку «5», не решив
при этом ни одной задачи из части З. Здесь учитель должен ориентироваться на
общий уровень подготовки своих учащихся.
В заключение отметим, что наша книга
может быть полезна не только учителям математики, ученикам 7—8—9 классов,
студентам педагогических университетов, но также и родителям учеников, которые
захотят убедиться в успешности своих детей при изучении геометрии. Ко всем
тестам и дополнительным контрольным задачам имеются ответы, а иногда указания и
решения.
 Многоугольники (40—45)
ВАРИАНТ 1

Часть
1. Дон выпуклый десятиугольник А А ... А 1 0. Сколько
общих точек с прямой А А имеет отрезок А А Г Варианты ответов

1

Бесконечно много

Нельзя
  определить

2.

Дон
  невыпуклый десятиугольник А А ... А . Сколько общих точек с прямой А,А2 имеет
  отрезок А А г Варианты ответов

Бесконечно много

Нельзя
  определить

З.

Дан выпуклый семиугольник А 1 2А ... А . Сколько всего диагоналей
  выходят из его вершин А и А ? Варианты ответов

10

8

7

Нельзя
  определить

4.

Найдите
  сумму всех углов выпуклого семнадцатиугольника

Варианты ответов

6 120 0

3600

2 7000

17 000 0

Нельзя оп еделить

Часть ll
5.
Углы выпуклого четырёхугольника относятся как 2 : З : 7 : 6.
Найдите величины этих углов.
Тест 1. Многоугольники (40—45)

6.
Дан пятиугольник ABCDE (см. рис.), ZB = 40 0 , ZC= 60 0
, ZD = = 1 40 0, ZE= 20 0 . Найдите величину угла
А.

с
Какое наибольшее число острых углов может
иметь выпуклый шестиугольник?
ВАРИАНТ 2

Ч а ст ь
1. Дан выпуклый двенадцатиугольник А 1 2А ... А1 2 •
Сколько общих точек с прямой А А имеет ломаная А А1 2 •

Варианты ответов

Бесконечно много

Нельзя
  определить

2.

Дан невыпуклый двенадцатиугольник А 1 2А ... А 1 2. Сколько общих точек
  с прямой А А имеет ломаная АА А 1 2 Г• Варианты ответов

Бесконечно много

Нельзя
  определить

З.

Дан выпуклый восьмиугольник А 1 2А ... А . Сколько всего диагоналей
  выходят из его вершин А и А ? Варианты ответов

10

8

9

Нельзя
  определить

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 8
класс

4.
Найдите сумму всех углов выпуклого восемнадцатиугольни-

Варианты ответов

2 880 0

3600

з 240 0

6 480 0

Нельзя
  определить

Часть
5.
Углы выпуклого четырёхугольника относятся как 1 : 4 : 6 : 7.
Найдите величины этих углов.
6, Дан пятиугольник ABCDE (см.
рис.), ZB = 40 0, ZC = 20 0, ZD = = 1 90 0, ZE
= 30 0 . Найдите величину угла А.

с
Какое наибольшее число острых углов может
иметь выпуклый семиугольник?
 Определение, свойство сторон и углов параллелограмма (20—25)
ВАРИАНТ 1

Часть
Из приведённых предложений выберите
определение параллелограмма
1)   Параллелограмм
— четырёхугольник на плоскости, у которого противоположные стороны попарно
равны.
2)   Параллелограмм
— четырёхугольник на плоскости, у которого противоположные стороны попарно
параллельны. З) Параллелограмм — четырёхугольник на плоскости, у которого
противоположные углы попарно равны.
4) Параллелограмм — четырёхугольник на
плоскости, у которого противоположные углы попарно равны, противоположные
стороны попарно равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам.
     2.    В
параллелограмме ABCD ZA = 128 0 . Найдите углы В и С.
Варианты ответов

В

с

В

с

В

с

В

с

В

с

Невозможно найти

      З,     В
параллелограмме ABCD ZA = 1 1 цв. Найдите ZC.
Варианты ответов

10

15

1 10

165

Невозможно найти

4,

В параллелограмме
  сторону ВС. Варианты ответов

ABCD АВ

= 1 2, а периметр 80. Найдите

28

38

12

Невозможно найти

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 8
класс
Часть ll
5.
Периметр
параллелограмма ABCD ровен 34. Периметр треугольника АВС ровен 25. Найдите
длину диагонали АС пораллелограмма ABCD.
6.
Угол между диагоналями параллелограмма ABCD равен 60 0,
ZCAB = 20 0 . Найдите величину угла BCD, если известно, что он
тупой.
В параллелограмме ABCD угол А равен
60 0, ВС = 10, BD Ш Ш АВ. Найдите периметр параллелограмма.
8. В плоском четырёхугольнике две противоположные
стороны равны между собой, а две другие стороны параллельны. Будет ли этот
четырёхугольник параллелограммом? Ответ следует обосновать.
ВАРИАНТ 2

Часть
Из приведённых предложений выберите те,
которые не являются определением параллелограмма
1
) Параллелограмм — четырёхугольник на плоскости, у которого
противоположные стороны попарно равны.
2
Параллелограмм —
четырёхугольник на плоскости, у которого противоположные стороны попарно
параллельны.
З) Если пара параллельных прямых
пересекает другую пару параллельных прямых, то полученный в результате
четырёхугольники — параллелограмм.
4) Если у плоского
четырёхугольника противоположные углы попарно равны, противоположные стороны
попарно равны и диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот
четырёхугольник — параллелограмм.
Тест 2.
Определение, свойства сторон и углов параллелограмма (20—25)
2.     В параллелограмме
АВО ZB = 81 0 . Найдите углы А и С.
Варианты ответов

с

с

с

с

с

Невозможно найти

З, В параллелограмме АВО 5ZA = ZB. Найдите ZD.
Варианты ответов

зоо

600

1200

1500

Невозможно найти

4,

В параллелограмме АВО АВ = 40, а
  периметр 100. Найдите сторону ВС.
Варианты ответов

60

50

до

10

Невозможно найти

Часть
Периметр параллелограмма ABCD равен
78. Периметр треугольника АВС равен 46. Найдите длину диагонали АС
параллелограмма ABCD.
6. Угол между диагоналями параллелограмма ABCD равен
30 0, ZCAB = 100 . Найдите величину угла BDC, если
известно, что он тупой.
В параллелограмме ABCD угол А ровен
60 0, ВС = 40, ВО СО. Найдите периметр параллелограмма.
8. В плоском четырёхугольнике противоположные углы
попарно равны. Будет ли этот четырёхугольник параллелограммом? Ответ следует
обосновать.
 Свойства высот и биссектрис углов
параллелограмма (20—25)
ВАРИАНТ 1

Часть
В параллелограмме АВО прямая, содержащая
высоту, проведённую из вершины острого угла А, образует с прямой DC угол,
равный 12 0 . Найдите угол В.
Варианты ответов

12

24

68

102

Невозможно найти

2.

В параллелограмме АВО прямая, содержащая биссектрису
  ZA, образует с прямой ВС угол, равный 10 0 . Найдите угол D.
Варианты ответов

2

4

5

1200

Невозможно найти

З,

В параллелограмме ABCD АВ = 1 2. Найдите расстояние
  от середины CD до точки пересечения биссектрис углов С и D.
Варианты ответов

2

5

6

12

24

36

Невозможно найти

4.

В
  параллелограмме ABCD угол А равен 65 0 . Отрезки СС, и
СС — его высоты. Найдите величину ZC СС
Варианты ответов

1350

1350

1 150

650

Невозможно найти

Тест З. Свойства высот и биссектрис углов параллелограмма (20—25)

5.
В параллелограмме
АВО отрезок ВК — биссектриса ZB и точка К лежит но стороне AD, причём АК = 7, О
= 23. Нойдите периметр параллелограмма ABCD.
Варианты ответов

74

90

126

Невозможно найти

Часть ll
6.
Докажите, что точки пересечения всех четырёх биссектрис
параллелограмма являются вершинами прямоугольника.
Биссектрисы углов А и D параллелограмма
АВО делят сторону ВС но три части, отношение которых, считая от точки В, равно
2 : З : 2. Найдите длины сторон параллелограмма, если его полупериметр ровен 2
1 6.
ВАРИАНТ 2

Часть
В параллелограмме ABCD прямая, содержащая
высоту, проведённую из вершины острого угла А, образует с прямой ВС угол,
ровный 21 0 . Найдите угол D.
Варианты ответов

1 1 10

1210

210

1590

Невозможно найти

В параллелограмме АВО прямая,
содержащая биссектрису ZB, образует с прямой CD угол, равный 40 0 .
Найдите угол А.
Варианты ответов

210

590

1590

Невозможно найти

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 8
класс

З,

В параллелограмме ABCD ВС = 50. Найдите расстояние
  от середины AD до точки пересечения биссектрис углов А и D.
Варианты ответов

10

20

25

50

Невозможно найти

4,

В параллелограмме АВО
  высоты СС и СС? причём“ СС 2 = = 70 0 . Найдите величину угла D.
Варианты ответов

200

700

1 100

1 60 0

Невозможно найти

5.

В параллелограмме ABCD отрезок ВК —
  биссектриса ZB, точка К лежит на стороне AD, причём АК = 1 7, kD = 33.
  Найдите периметр параллелограмма ABCD.
Варианты ответов

100

132

1 ЗА

Невозможно найти

Часть
6. В параллелограмме ABCD на сторонах
ВС и AD отложены равные отрезки BF и DE соответственно. Отрезки AF и ВЕ
пересекаются в точке М, отрезки DF и СЕ пересекаются в точке Е. Докажите, что
MELF — параллелограмм.
Биссектрисы углов А и D параллелограмма
ABCD делят сторону ВС на три части, отношение которых, считая от точки В, равно
4 : З : 4. Найдите длины сторон параллелограмма, если его полупериметр равен
270.

 Ромб, прямоугольник, квадрат (35—40)
ВАРИАНТ 1

Часть
Из приведённых утверждений выберите верные
1)    Если в параллелограмме углы,
прилежащие к его одной стороне, равны то этот параллелограмм — ромб.
2)    Если в параллелограмме диагонали
равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
З) Если в четырёхугольнике
диагонали равны, перпендикулярны и одна из них является биссектрисой его
противоположных углов, то этот четырёхугольник — квадрат.
      2.     Диагональ
ромба образует с его стороной угол, равный 43 0 .
Найдите тупой угол ромба.
Варианты ответов

2

З

4

94

1 10

165

Невозможно найти

З.

В ромбе ABCD ZA = 60 0
  , АС = 28 и диагонали пересекаются в точке О. Найдите расстояние от О
  до стороны CD. Варианты ответов

14

7

10

6

Невозможно найти

4.

В
  прямоугольнике ABCD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в её середине —
  точке М и сторона AD = 120. Найдите периметр прямоугольника ABCD. Варианты
  ответов

1

2

4

480

зоо

360

720

Невозможно найти

Контрольные измерительные материалы
по геометрии. 8 класс

5.
В квадрате ABCD проведены биссектрисы углов ВАС и DAC,
пересекающие стороны ВС и CD квадрата в точках М и соответственно. Найдите
наибольший угол треугольника AML. Варианты ответов

135

75

67,5

Невозможно найти

Часть ll
6.
В ромбе ABCD ZA =
60 0, АС = 28 и диагонали пересекаются в точке О. Найдите высоты
ромба.
В прямоугольнике АВО биссектриса угла С
делит сторону AD в отношении 2 : 5. Найдите отношение длин сторон.
8. На сторонах ВС и CD квадрата ABCD отмечены точки
F и G так, что BF = CG. Найдите угол между прямыми BG и AF.
ВАНАНТ 2

Часть
Из приведённых утверждений выберите верные
1)   Если
в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны и равны, то этот четырёхугольник —
квадрат.
2)   Если
в четырёхугольнике диагонали являются биссектрисами его противоположных углов,
то этот четырёхугольник — ромб.
З) Если в параллелограмме равны
диагонали, то его углы, прилежащие к одной стороне, тоже равны.
2. Диагональ ромба образует с его
стороной угол, равный 58 0 . Найдите острый угол ромба.
Тест Д. Ромб, прямоугольник, квадрат (35—40)

Варианты ответов

2

з

4

5

32

64

72

84

Невозможно найти

з.

В ромбе ABCD ZA = 1 20 0,
  BD = 32 и диагонали пересекаются в точке О. Найдите расстояние от точки О до
  стороны ВС.
Варианты ответов

8

16

10

24

Невозможно найти

4.

В прямоугольнике ABCD
  биссектриса угла В пересекает сторону AD в её середине — точке М и сторона CD
  = 20. Найдите периметр прямоугольника ABCD.
Варианты ответов

160

100

80

120

Невозможно найти

5,

В квадрате АВО проведены
  биссектриса угла ВАС, пересекающая сторону ВС в точке М. Найдите больший угол
  треугольника АМС.
Варианты ответов

2

З

4

5

67,5

125

65

Невозможно найти

Часть
6.      В
ромбе АВО ZA = 1 20 0, BD = 32. Найдите высоты ромба.
В прямоугольнике АВО биссектриса угла С
делит сторону AD в отношении З : 7. Найдите отношение сторон этого
прямоугольника.
8. На сторонах ВС и CD квадрата АВО отмечены точки Р
и Т так, что ВТ = АР и отрезки ВТ и АР пересекаются в точке О. Найдите угол
ТОР.
 Свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата
(40—45)
ВАРИАНТ 1

Часть
1.
Докажите, что если в четырёхугольнике противоположные углы
попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
2.
В параллелограмме
ABCD отмечены середины М и сторон
АВ и CD соответственно. Диагональ BD
пересекает отрезки СМ и AL соответственно в точках F и К. Докажите, что
                              а)
ДВЕС = ОКА; 6) ЛВКА = дус; в)                   Ж = kD.
З. Докажите, что если высота, опущенная из тупого угла ромба, делит его
сторону пополам, то острый угол ромба равен 600.
4.
Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами
ромба.
5.
Дан квадрат ABCD и точки М, L, Р, Q на его сторонах АВ, ВС, СО, DA
соответственно. Известно, что АМ = BL = СР = DQ. Докажите, что MLPQ — квадрат.
Часть
6.
Внутри квадрата ABCD точка G выбрана так, что ZGAB = = ZGBA = 60 0
. Найдите величину угла AGC.

Тест 5. Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат (40—45)

ВАРИАНТ 2

Часть
1 . Докажите, что если в четырёхугольнике
противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник —
параллелограмм.
2.           В параллелограмме ABCD отмечены середины М и
сторон
АВ и CD соответственно. Диагональ BD пересекает
отрезки СМ и AL соответственно в точках F и G. Докажите, что
а) ACFL =
№.GM; б) ДВЕМ = ADGL; в) FG делит МС пополам.
з. Высоты ВН и BG, опущенные из тупого угла В ромба ABCD
таковы, что ВН = АН. Докажите, что ZBCG = 45 0 .
4, Через середину диагонали АС прямоугольника АВО
проведена прямая PQ, причём Р е ВС, Q е AD и АР = РС. Докажите, что AQCP —
ромб.
5, Дан квадрат АВО и точки М, Е, Р, Q
на его сторонах АВ, ВС, CD, DA соответственно. Известно, что ВМ = СС = DP = А О
Докажите, что отрезки МР и LQ перпендикулярны и точкой пересечения
делятся пополам.
Часть ll
6, Вне квадрата ABCD точка S выбрана так, что треугольник
ASD — равносторонний. Найдите углы треугольника BSA.
 Трапеция (25—30)
ВАРИАНТ 1

Часть
В равнобедренной трапеции ABCD
основания ВС = 2 см и AD = 20 см. Из вершины В на основание AD опущена высота
ВН. Найдите HD.
Варианты ответов

2

З

4

5

10

8

9

Невозможно найти

2.

В прямоугольной
  трапеции АВО (угол А прямой) основание ВС вдвое меньше AD и диагональ АС = 1
  см. Найдите боковую сторону CD трапеции ABCD.
Варианты ответов

2

З

4

5

2

з

4

Невозможно найти

з.

В трапеции
  ABCD основания ВС, AD, диагональ BD = 18 см, ZBAD = 60 0 и боковая
  сторона АВ перпендикулярна диагонали BD. Найдите высоту трапеции.
Варианты ответов

2

з

4

5

9

6

12

Невозможно найти

4,

В трапеции АВСО, ВС АО,
  ZBAD = 20 0 , дите угол между прямыми АВ и CD.
Варианты ответов

ZCDA = 70 0 . Най-

2

З

4

5

400

600

800

900

Невозможно найти

Тест 6. Трапеция (25—30)

Часть ll
5, В трапеции ABCD перпендикуляр, проходящий через
середину Н боковой стороны CD пересекает основание AD в его середине — точке О.
Найдите ZACD.
6. В трапеции ABCD, ВС AD, ZBAD = 40 0 . Диагональ
АС трапеции делит её на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапеции.
ВАРИАНТ 2

Часть

7

21

Невозможно найти

В равнобедренной трапеции ABCD
основания ВС = 12 см и AD = 30 см. Из вершины В но основание AD опущена высота
ВН. Найдите HD.
Варианты ответов

5

1 1

18

21

Невозможно найти

2.

В прямоугольной трапеции
  ABCD (угол А прямой) основание ВС вдвое меньше AD и боковая сторона CD= 1 О
  см. Найдите диагональ АС.
Варианты ответов

4

5

5

10

20

8

Невозможно найти

В трапеции ABCD основания ВС, AD,
диагональ BD = 28 см, ZBAD = 60 0 и боковая сторона АВ
перпендикулярна диагоноли BD. Найдите высоту трапеции. Варианты ответов

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 8
класс

4,

В трапеции АВО, ВС l l АО, ZBAD = 30 0, ZCDA = 100 0 .
Найдите угол между прямыми АВ и CD.
Варианты ответов

500

600

700

900

Невозможно найти

Часть
5, В трапеции ABCD перпендикуляр, проходящий через
середину Н боковой стороны CD пересекает основание AD в его середине — точке О.
Найдите AD, если СО = 5.
6. В трапеции ABCD, ВС AD, ZBAD = 80 0
. Диагональ АС трапеции делит её на два равнобедренных треугольника.
Найдите углы трапеции.
23
 Средняя линия треугольника и трапеции, Теорема Фалеса, теорема о
пропорциональных отрезках (30—35)
ВАРИАНТ 1

Часть
В треугольнике АВС, ВС = 36 см. Через
точку М, которая делит сторону АС так, что АМ : МС = 5 : 7, проведена прямая МЕ
параллельно прямой АВ, пересекающая ВС в точке [.
Найдите [С.
Варианты ответов

1 1

18

20

21

Невозможно найти

2.

Боковая сторона AD трапеции ABCD равна 51 см. Через
  точку М, которая делит боковую сторону ВС так, что ВМ : МС = = 1 1 : 6,
  проведена прямая МГЧ параллельно основанию АВ, пересекающая AD в точке ГМ.
  Найдите АН.
Варианты ответов

2

з

4

33

22

1 1

6

Невозможно найти

З.

Диагонали
  четырёхугольника равны 1 20 см и 248 см. Найдите периметр четырёхугольника,
  вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.
Варианты ответов

240

368

496

128

Невозможно найти

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 8
класс
4.
Дан произвольный четырёхугольник АВМТ (никакие пары
противоположных сторон не параллельны). Точки и Н — середины отрезков АМ и МВ.
Точки G и У — середины отрезков АТ и ВТ. Найдите периметр четырёхугольника
LHYG, если АВ + 20
Варианты ответов

2

4

40

зо

20

10

Невозможно найти

часть
5.
В трапеции ABCD на
боковой стороне CD отмечена точка Н ток, что СН : HD = 2 : 5. Прямая HG,
параллельная основаниям ВС и AD, пересекает сторону АВ в точке G. Найдите GH,
если ВС - 14, 0=21.
6.
В треугольнике АВС на стороне ВС отмечена точка D так, что CD :
DB = 1 : 2. В каком отношении прямая, проходящая через точку В и середину
отрезка AD делит сторону АС, считая от точки А.
ВАРИАНТ 2

Часть
В треугольнике DEC, ЕС = 56 см. Через
точку М, которая делит сторону х так, что DM : DC= З : 8, проведено прямая ML
параллельно прямой DE, пересекающая ЕС в точке [. Найди-
Варианты ответов

10

25

20

35

Невозможно найти

26
Тест 7. Средняя линия треугольника и трапеции. Теорема Фалеса... (30—35)

2.

Боковая сторона AD
  трапеции ABCD равна 32 см. Через точку М, которая делит боковую сторону ВС
  так, что ВМ : МС = = 7 : 9, проведена прямая МГЧ параллельно основанию АВ,
  пересекающая AD в точке Н. Найдите DN. Варианты ответов

2

З

4

5

18

28

38

9

Невозможно найти

З.

Диагонали четырёхугольнико равны 320 см и 68 см. Найдите периметр
  четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного
  четырёхугольника. Варианты ответов

2

з

4

5

640

388

136

252

Невозможно найти

4.

Дан произвольный
  четырёхугольник АВРГЧ (никакие пары противоположных сторон не параллельны).
  Точки и Н — середины отрезков АР и РВ. Точки G и У — середины отрезков АН и
  ВГЧ.
Найдите
  периметр четырёхугольника GLHY, если АВ + РГЧ = 30. Варианты ответов

2

4

5

10

20

40

Невозможно найти

Часть ll
В трапеции ABCD на боковой стороне CD
отмечена точка Н так, что СН : HD = 7 : 2. Прямая HG, параллельная основаниям
ВС и AD, пересекает сторону АВ в точке G. Найдите GH, если ВС- 9, = 36.
6. В треугольнике АВС на стороне АВ отмечена точка D
так, что AD : DB = 4 : З. В каком отношении прямая, проходящая через точку А и
середину отрезка CD делит сторону ВС, считая от точки В.
 Центральная и осевая симметрия
(30-35)
ВАРИАНТ 1

Часть
Укажите фигуры, из предложенных на
рисунке, которые имеют центр симметрии. (Фигуры: равносторонний треугольник,
равнобокая трапеция, окружность, параллелограмм, равнобедренный прямоугольный
треугольник.)

                                                 2              з          4           5
Варианты ответов

2

5

2. Укажите фигуру, из предложенных на рисунке, которая
имеет наибольшее число осей симметрии. (Фигуры: равносторонний треугольник,
звезда, крест, ромб, равнобедренный прямоугольный треугольник.)

                                                2                           4          5
Варианты ответов

2

З

4

5

З, Длина отрезка ВС = 1 см. Этот отрезок центрально
симметрично отобразили относительно точки О, лежащей на отрезке ВС ток, что ВС
: ОС = З : Д. Пусть точка В] центрально симметрична точке В. Найдите длину
отрезка В С.
28

Тест 8. Центральная и осевая симметрия (30—35)

Варианты ответов

2

5

4.
В треугольнике АВС, ZB = 40 0, ZC = 70 0,
проведена высота AD. Пусть точка С симметрична точке С относительно прямой AD.
Найдите угол ZBAC . Варианты ответов

зоо

700

доо

Не определён

Часть ll
5.
В треугольнике АВС на стороне ВС отмечена точка О. При симметрии
относительно точки О точки А, В и С переходят соответственно в точки А] , В и
Ст. Докажите, что четырёхугольник АСА С — параллелограмм.
6.
Нарисуйте фигуру, имеющую ровно 7 осей симметрии.
ВАРИАНТ 2

Часть
Укажите фигуру, из предложенных на
рисунке, которая не имеет центра симметрии. (Фигуры: равносторонний
треугольник, параллелограмм, окружность, звезда, флаг.)
                         2
Варианты ответов

2

5

2. Укажите фигуру, из предложенных на рисунке,
которая имеет наибольшее число осей симметрии. (Фигуры: равносторонний
треугольник, звезда, крест, ромб, два квадрата.)
                            2             З            4             5
Варианты ответов

2

з

4

5

2

З

4

5

З.

Длина отрезка ВС = 35 см. Этот отрезок центрально симметрично
  отобразили относительно точки О, лежащей на отрезке ВС так, что ВО : ОС = 5 :
  2. Пусть точка В, центрально симметрична точке В. Найдите расстояние между
  серединами отрезков В Си ВО.
Варианты ответов
                                  4

2

З

5

12

22,5

зо

17,5

4.

В
  треугольнике АВС, ZB = 30 0, ZC = 1 00 0, проведена
  высота AD. Пусть точка С симметрична точке С относительно прямой AD. Найдите
  угол ZBAC . Варианты ответов

2

4

1 100

700

400

Не определён

Часть l l
5.
В треугольнике АВС на стороне ВС отмечена точко О. При симметрии
относительно точки О точки А, В и С переходят соответственно в точки А] , Вт, и
С . Докажите, что четырёхугольник АВА В] — параллелограмм.
6.
Нарисуйте фигуру, имеющую ровно 9 осей симметрии.
зо
 Площадь (40—45)
ВАРИАНТ 1

Часть
Через внутреннюю точку квадрата, со
стороной 1 2 см, проведены прямые, параллельные его сторонам. Одна прямая делит
сторону квадрата в отношении 1 : 5, а другая — в от ношении 7 : 5. Образовалось четыре
четырёхугольника.
Найдите площадь наименьшего четырёхугольника.
Варианты ответов

8

10

24

7

2. В прямоугольнике площадью 1 20 см2, проведена
диагональ. Найдите площадь треугольника, две вершины которого совпадают с двумя
соседними вершинами прямоугольника, а третья вершина — середина проведённой
диагонали. Варианты ответов

10

40

зо

50

Нельзя определить

З. Прямоугольник разделён прямыми, параллельными его
сторонам на шесть прямоугольников, площади четырёх из которых указаны на
рисунке. Найдите площадь данного прямоугольника.

зо

36

24

6

Варианты ответов

125

130

120

1 15

Нельзя определить

4.

Через середину М
  стороны АВ треугольника АВС и через точку стороны АС, AL : [С = 2 : 5,
  проведена прямая МЕ. Определите, во сколько раз площадь треугольника АМЕ
  меньше площади четырёхугольника ВСМ[.
Варианты ответов

1

2

з

4

5

10

2

6

9

5

5.

Через середину стороны
  параллелограмма и через вершину, не принадлежащую этой стороне, проведена
  прямая, отсекающая от параллелограмма треугольник площадью, ровной 4. Найдите
  площадь параллелограмма. Варианты ответов

2

з

4

5

20

8

12

16

Нельзя определить

6.

Высота равнобокой трапеции, равная
  6 и опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка,
  больший из которых равен 1 О. Найдите площадь этой трапеции. Варианты ответов

2

з

4

5

42

60

36

80

Нельзя определить

Часть
7. Две стороны параллелограмма равны 1 О см и 1 2 см, а
одна из высот равна 6 см. Найдите вторую высоту параллелограмма.
8, Острый угол параллелограмма равен
30 0 , а высоты равны 1 О см и 20 см. Найдите площадь
параллелограмма.
Через вершину D параллелограмма ABCD
проведено прямая I параллельная АС. Через вершины А и С проведень: две
параллельные прямые, пересекающие прямую I соответственно в точках М и Е.
Найдите площадь четырёхугольника AMLC, если площадь ABCD равна 58 см?
32
Тест 9. Площадь (40—45)

ВАРИАНТ 2

Часть
Через внутреннюю точку квадрата со
стороной 24 см, проведены прямые, параллельные его сторонам. Одна прямая делит
сторону квадрата в отношении З : 1, а другая — в отношении 1 : 7. Образовалось
четыре четырёхугольника. Найдите площадь наименьшего четырёхугольника.
Варианты ответов

10

18

24

до

128

2. В прямоугольнике площадью 36 см2,
проведена диагональ. Найдите площадь треугольника, две вершины которого
совпадают с двумя соседними вершинами прямоугольника, а третья вершина —
середина проведённой диагонали.
Варианты ответов

9

5

12

6

Нельзя определить

з. Прямоугольник разделён прямыми, параллельными его
сторокам, на шесть прямоугольников, площади четырёх из которых указаны на
рисунке. Найдите площадь данного прямоугольника.

16

24

12

Варианты ответов

60

1 10

80

70

Нельзя определить

4. Через середину М стороны АВ треугольника АВС и
через точку стороны АС, CL : АС = 1 : 4, проведена прямая ML. Определите, во
сколько раз площадь треугольника АВС больше площади четырёхугольника ВС[М.
Варианты ответов

7,5

7,2

5,

Через середину стороны
  параллелограмма и через вершину, не принадлежащую ей, проведена прямая,
  отсекающая от параллелограмма треугольник площадью, равной 5. Найдите площадь
  параллелограмма. Варианты ответов

20

8

18

зо

Нельзя определить

6.

Высота равнобокой
  трапеции, равная 8 и опущенная из вершины но большее основание, делит его на
  два отрезка, больший из которых равен 1 2. Найдите площадь этой трапеции.
  Варианты ответов

1 12

96

64

48

Нельзя определить

Часть
7.
Две стороны параллелограмма равны 20 см и 50 см, а одна из высот
равна 1 1 см. Найдите вторую высоту.
8.
Острый угол
параллелограмма равен 30 0, а высоты равны 2 см и 4 см. Найдите
площадь параллелограмма.
Через вершину D параллелограмма ABCD
проведена прямая параллельная АС. Через вершины А и С проведены две
параллельные прямые, пересекающие прямую соответственно в точках М и Найдите
площадь четырёхугольника AMLC, если площадь параллелограмма ABCD равна 85 см2
 Теорема Пифагора. Обратная теорема Пифагора
ВАРИАНТ 1

Часть
В прямоугольном треугольнике АВС угол С
прямой, АВ = 20, ВС - 1 2. найдите АС. Варианты ответов:

16

18

Нельзя определить

2.

В прямоугольном
  треугольнике АВС угол С прямой, АВ = 26, катеты относятся как 5 : 1 2.
  Найдите больший катет.
Варианты ответов:

12

16

18

24

Нельзя определить

В треугольнике АВС ВН — высота. АВ = 1 7,
ВН = 1 5. Найдите АН.
Варианты ответов:

2

6

8

12

Нельзя оп еделить

4, В треугольнике АВС АВ = 7, ВС = 24, АС = 25. Выберите
верное утверждение:
Варианты ответов:

Угол А прямой

Угол В прямой

Угол С прямой

Треугольник АВС не является прямоугольным

Нет верных утверждений

Часть
5.
Найдите сторону
квадрата с диагональю дуб.
6.
Одно из
диагоналей прямоугольника равна 1 7, а одна из сторон ровно 8. Найдите периметр
прямоугольника.
В трапеции АВО CD = 7,5; ВС = д; AD = 8,5.
Углы А и В прямые. Найдите АВ.
8. В треугольнике АВС АВ = 1 3; ВС = 1 4; АС = 1 5. Найдите
высоту АН.
ВАРИАНТ 2

Часть
В прямоугольном треугольнике АВС угол С
прямой, АВ = за, ВС = 30. найдите АС. Варианты ответов:

12

16

18

Нельзя определить

2.

В
  прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой, АВ = ЗА, катеты относятся кок 8
  : 1 5. Найдите меньший катет Варианты ответов:

12

16

18

24

Нельзя определить

З.

В
  равнобедренном треугольнике АВС ВН — медиана. АВ =
= ВС = 1 3, АС = 1 0. Найдите ВН.
  Варианты ответов:

2

6

12

16

Нельзя определить

36

Тест О. Теорема Пифагора. Обратная теорема Пифагора

4. В треугольнике АВС АВ = 20, ВС = 21, АС = 29.
Выберите верное утверждение: Варианты ответов:

Угол А прямой

Угол В прямой

Угол С прямой

Треугольник АВС не является прямоугольным

Нет верных утверждений

Часть l l 5, Найдите сторону ромба с
диагоналями 5 и 1 2.
6.       Сумма диагоналей прямоугольника равна 20, а одна
из сторон равна 8. Найдите периметр прямоугольника.
В четырехугольнике ABCD АВ = 1 3, ВС = 1
4, АС = 1 5. Углы А и В прямые. Найдите CD.
8. В треугольнике АВС АВ = 1 3, ВС = 1 4, АС = 1 5. АН —
высота. Найдите ВН и СН.
 Подобные треугольники
ВАРИАНТ 1

Часть
В прямоугольном треугольнике АВС, ZC = 90 0,
проведена высота СН. Сколько пар подобных треугольников образовалось при этом
построении? Варианты ответов:

2

Ни одной

2.

В треугольнике АВС, АВ = 1 2, ВС = 9.
  Отрезок МГЧ параллелен ВС, причем точка М лежит на стороне АВ, точка ГМ лежит
  на стороне АС, АМ = З. Найдите МН. Варианты ответов:

2

2,25

2,5

6

7

З.

В трапеции ABCD (ВС| |AD) диагонали
  пересекаются в точке О. Площадь треугольника ВОС равна З, а площадь
  треугольника AOD равна 27. Найдите АС, если АО = 6. Варианты ответов:

2

6

8

12

Нельзя определить

В треугольнике АВС но стороне АВ взяли
точку К, а на стороне ВС взяли точку ГЧ так, что ZBAN = ZBCk. АК = 0,5; КВ =
7,5; ВГЧ = 5. Найдите НС. Варианты ответов:

7,5

5

1,5

7

Нельзя определить

38
Тест 1 1. Подобные треугольники

Часть
5.
В треугольнике АВС на стороне АВ взяли точку К, а на стороне ВС
взяли точку ГЧ так, что АК : КВ = СГЧ : НВ = 2 : 1 . Во сколько раз площадь
четырехугольника АКГЧС больше площади треугольника КВН?
6.
В треугольнике АВС на стороне АС выбрали точку D так, что +
ZBDC- 180 0 . докажите, что АВ 2 = АС • АО.
В треугольнике АВС медианы АК и ВР
пересекаются в точке М. Площадь треугольника МКР равна 1 . Найдите площадь
треугольника АВС
8. В треугольнике АВС на стороне ВС выбраны точки ГМ
и К так, что ZBAN = ZACB, ZCAk = ZABC. ВГЧ = 1, КС = 4. Найдите
ВАРИАНТ 2

Часть
В прямоугольном треугольнике АВС, ZA = 90 0,
проведена высота АН. Сколько пар подобных треугольников образовалось при этом
построении? Варианты ответов:

2

Ни одной

2.       В
треугольнике АВС, АВ = 5, ВС = 1 О. Отрезок МН параллелен АВ, причем точка М
лежит на стороне АС, точка ГЧ лежит на стороне ВС, ВГЧ = 2. Найдите МН.
Варианты ответов:

2

2,25

2,5

39
Контрольные измерительные материалы по геометрии. 8
класс

з.

В
  трапеции ABCD (ВС ' lAD) диогоноли пересекаются в точке О. Площадь
  треугольнико ВОС ровно 5, о площадь треугольнико AOD ровно 20. Найдите ВО,
  если ВО = З. Варианты ответов:

2

6

9

12

Нельзя определить

4.

В
  треугольнике АВС на стороне АВ взяли точку К, а на стороне ВС взяли точку ГМ
  ток, что ZBAN = ZBCk. АК = 5; КВ = З; BN = 2. Найдите НС: Варианты ответов:

2

5

10

15

Нельзя определить

Часть l l
5.
В треугольнике АВС на стороне АВ взяли точку К, а на стороне ВС
взяли точку ГМ ток, что АК : КВ = CN : НВ = З : 1. Во сколько раз площадь
четырехугольника АКГЧС больше площади треугольника КВН?
6.
В треугольнике
kMN но стороне КГЧ выбрали точку D ток, что + ZMDN = 180 0 . докажите,
что мЮ = КН • ОК.
В треугольнике АВС медианы АК и ВР
пересекаются в точке М. Площадь треугольника АВС ровна 24. Найдите площадь
треугольника МРК.
8. В треугольнике АВС на стороне ВС выбраны точки N
и К так, что ZBAN = ZACB, ZCAk = ЛВС. ВН = 4, КС = 1 . найдите АК.
до
Тест 12. Пропорциональные отрезки в
прямоугольном треугольнике
ВАРИАНТ 1

Часть
Вычислите высоту прямоугольного
треугольника, проведенную к гипотенузе, если его катеты равны З и Д.
Варианты ответов:

2

2. В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой, СН —
высота, АВ = 1 5, АН = З. Найдите СН.
Варианты ответов:

5

6

7

8

9

В прямоугольном треугольнике АВС угол С
прямой, СН — высота. Найдите АН, если АН : НВ = 1 : 8, АС = 9.
Варианты ответов:

2

з

6

Нельзя определить

4. Высота прямоугольного треугольника равна 6, а проекция
одного из катетов на гипотенузу равна 1 2. Найдите гипотенузу.
Варианты ответов:

12

15

1 8

21

24

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 8
класс

Часть
5, Сторона ромба равна 1 0, а одна из диагоналей 1 6. Найдите расстояние
от центра ромба до его стороны.
6. Биссектрисы углов при боковой стороне АВ трапеции
ABCD пересекаются в точке К. Найдите расстояние от точки К до прямой АВ, если
АК = Мб, АВ = 2.
В прямоугольном треугольнике отношение
катетов равно 1 : 2. Найдите отношение проекций этих катетов на гипотенузу.
8. Дан прямоугольник ABCD. АВ : AD = 1 : З. АН —
высота треугольника BAD. Площадь треугольника АВН равна 1 . Найдите площадь
ABCD.
ВАРИАНТ 2

Часть
Вычислите высоту прямоугольного
треугольника, проведенную к гипотенузе, если его катеты равны 6 и 8. Варианты
ответов:

5

6

2.       В
прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой, СН — высота, АВ = 20, АН = 2.
Найдите СН. Варианты ответов:

5

6

7

8

9

В прямоугольном треугольнике АВС угол С
прямой, СН — высота. Найдите АН, если АН : НВ = 1 : З, АС = д.
42

Тест 12. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Варианты ответов:

2

4

Нельзя определить

4.
Высота
прямоугольного треугольника ровна 5, о проекция одного из катетов но гипотенузу
равна 2. Найдите гипотенузу.
Варианты ответов:

15

20

Часть l l
5.
Сторона ромба
равна 5, а одна из диагоналей 6. Найдите расстояние от центра ромба до его
стороны.
6.
Биссектрисы углов при боковой стороне АВ трапеции ABCD
пересекаются в точке К. Найдите расстояние от точки К до прямой АВ, если АК =
1, АВ = 2.
В прямоугольном треугольнике отношение
катетов ровно 2 : З. Найдите отношение проекций этих катетов но гипотенузу.
8.       Дан
прямоугольник ABCD. АВ : AD = 1 : 2. АН — ВЫСОТО треугольника BAD. Площадь
треугольника АВН равна З. Найдите площадь ABCD.
Тест 13, Практические задачи но подобие
(20-25)
ВАРИАНТ 1

1. Длина тени, отбрасываемой
тридцатисантиметровой линейкой, равна 15 см. Чему равна высота столба в метрах,
если отбрасываемая им тень составляет З м?
Варианты ответов:

4

5

6

Нельзя определить

Вычисление
недоступного расстояния. На рисунке отмечены измеренные расстояния СО, МО, АМ,
ZMCD = ZMBA.
Найдите АВ в меС 30M D
трах. (Рис. 1 ).
Варианты ответов:

270

130

100

зоо

Нельзя оп еделить

з.

Вычислите глубину колодца
  (расстояние до воды в метрах) по размерам, заданным на рисунке. (Рис. 2).
Варианты ответов:

А

АО- 10
  см ов = 90 см Найти ВН

2

4,5

4

4,5

Нельзя оп еделить

Тест 13. Практические задачи на подобие (20—25)

4.

Дан
  прямоугольный лист бумаги размерами 120 мм и 240 мм. Требуется определить
  площадь (в квадратных сантиметрах) подобного ему прямоугольника, полученного
  с помощью одного разреза данного прямоугольника. Варианты ответов:

24

56

72

108

Нельзя определить

ВАРИАНТ 2

1, Длина тени, отбрасываемой
тридцатисантиметровой линейкой, равна 10 см. Чему равна высота столба в метрах,
если отбрасываемая им тень составляет 2 м? Варианты ответов:

2

6

9

Нельзя определить

2.

Вычисление недоступного рассто- яния. На рисунке отмечены изме- 100
  ренные расстояния СО, МО, АМ, ZMCD = ZMBA. Найдите АВ в метрак (Рис. 1).
  Варианты ответов:

А м м
20 м

200

155

105

75

Нельзя определить

Вычислите глубину колодца
  (расстояние до воды в метрах) по размерам, заданным на рисунке. (Рис. 2).
Варианты ответов:

А

в
ов = 80 см Найти ВН

2

12

16

10

Нельзя оп еделить

4. Дан прямоугольный лист бумаги размерами 1 00 мм и 400
мм. Требуется определить площадь (в квадратных сантиметрах) подобного ему
прямоугольника, полученного с помощью одного разреза данного прямоугольника.
Варианты ответов:

15

25

50

100

Нельзя определить

Аб
Тест 14. Значения синуса, косинуса и
тангенса некоторых углов
ВАРИАНТ 1

Часть
Найдите sin 45 0 .
       2.      Найдите cos 30 0 .
        з.       Найдите
tg 60 0 .
4.
Найдите sin а, если cos а = 0,8. Варианты ответов:

0,64

0,36

5.
Найдите синус угла А треугольника АВС, если ZC = 90 0
, а косинус угла В равен 0,4.
Часть
6.
Вычислите 4 sin
30 0 ctg 45 0 — 8 sin 60 0 tg 30 0 .
Вычислите 1 0 мб cos 60 0 ctg
60 0 — 1 2 2 sin 45 0 tg 45 0 .
ВАРИАНТ 2

Часть
1.
Найдите sin 60 0 .
2.
Найдите cos 45 0
.
        з.       Найдите
tg 30 0 .
       4.        Найдите sin а, если cos а = 0,6.

Варианты ответов:

0,64

0,36

5, Найдите косинус угла А треугольника АВС, если ZC = 90 0,
а синус угла В равен 0,35.
Часть
6.      Вычислите     sin
60 0 cos 45 0 + С3 tg 30 0 .
Вычислите            cos 30 0 (cos 60 0 — ctg 45 0
).

Тест 15, Тригонометрические функции
острого угла и соотношения между ними, Значения тригонометрических функций
острых углов
ВАРИАНТ 1

Часть
1 , Дан прямоугольный треугольник ЮС, ZC = 900,
sin F = 0,64, найдите cos D.
Варианты ответов:

0,64

0,36

Нельзя определить

2.

В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС = 1 0, АС = 5.
Найдите cos ZA.
Варианты ответов:

0,25

0,75

Нельзя определить

В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой, СН — высота, АВ = 15,
  cos ZA = 0,6. Найдите АН. Варианты ответов:

9

5,4

2,5

7,2

9,6

4.

Диагонали ромба равны З и 4. Найдите синус угла между большей
  диагональю и стороной ромбо. Варианты ответов:

Нельзя оп еделить

5. Вычислите: sin 2 30 0 + sin 2 40 0
  + sin 2 50 0 . Варианты ответов:

1,25

1,5

з

Нельзя определить

часть
6. В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой, АС = 6,
медиана СО = 5. Найдите ctg ДСО.
Через вершину С треугольника АВС проведена
прямая CD, параллельная АВ, причем А и D лежат по разные стороны от прямой ВС.
DH — высота в треугольнике ВО. АС = 8, ВС = 6, АВ = 10. Найдите cos ZCDH.
8.
Найдите косинус угла при вершине равнобедренного треугольника,
если высота проведенная к боковой стороне меньше этой стороны в З раза.
9.
Докажите, что сумма синусов острых углов прямоугольного
треугольника не превосходит 2.
ВАРИАНТ 2

Часть
1.
Дан прямоугольный треугольник ЮС, ZC = 90 0, cos F =
0,4, найдите sin D.
Варианты ответов:

Нельзя определить

2.
В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС = 1 2, АС = 1 8.
Найдите cos д.
тест 15. Тригонометрические функции острого угла...

Варианты ответов:

з

4

5

0,25

0,75

Ни одной

з.

В прямоугольном
  треугольнике АВС угол С прямой, СН — высота, АВ = 20, cos ZA = 0,6. Найдите
  АН.
Варианты ответов:

з

4

5

9

5,4

2,5

7,2

4.

Диагонали
  ромба равны 2 и 245. Найдите синус угла между большей диагональю и стороной
  ромба.
Варианты ответов:

2

4

Нельзя определить

5.

Вычислите:
  sin 2 40 0 + sin 2 50 0 + sin 2
  60 0 .
Варианты ответов:

1,25

1,75

Нельзя определить

Часть ll
6. В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой, ВС = 24,
медиана СО = 1 З. Найдите tg ZACO.
Через вершину С треугольника АВС проведена
прямая CD, параллельная АВ, причем А и D лежат по разные стороны от прямой ВС,
DH — высота в треугольнике ВО. АС = 8, ВС = 6, АВ = 10. Найдите sin ZCDH.
8.
Найдите котангенс угла при вершине равнобедренного треугольника,
если высота проведенная к боковой стороне меньше этой стороны в З раза.
9.
Докажите, что сумма косинусов острых углов прямоугольного
треугольника не превосходит Ф.

Тест 16. Пропорциональные отрезки в круге
ВАРИАНТ 1

Часть
В окружности две хорды пересекаются,
образуя четыре отрезка. Три из них имеют длину 2, З, 6. Найдите длину
четвертого, если он длиннее всех остальных. Варианты ответов:

8

9

12

18

2. Из точки А, лежащей вне круга,
проведены две его секущие. Первая пересекает окружность круга в точках В и С,
вторая — а точках D и Е, причём АВ = 2, ВС = 4, АЕ = 1 2. Найдите AD, если В
лежит между А и С; D между А и Е.
Варианты ответов:

2

4

5

Из точки А, лежащей на расстоянии 25 от
центра окружности радиуса 1 5, проведена касательная, точка Р — точка касания.
Найдите АР.
Варианты ответов:

20

40

50

4, В окружности хорда АВ и диаметр CD пересекаются в точке
К, причем АВ перпендикулярно CD. Найдите АВ, если СК = 1,
                 0         1
0.
Тест 1 6. Пропорциональные отрезки в круге

Варианты ответов:

5

7

1 1

6

9

Часть ll
5.
Окружность проходит через вершины А и В прямоугольника ABCD, и
пересекает его стороны ВС и АО в точках К и М соответственно. Из точки С
проведена касательная к окружности СР. Найдите СР, если АВ = 6, ВС = 9, а
радиус окружности равен 5.
6.
Из точки М к окружности проведены касательная МС и секущая АВ (т.
В лежит между А и М). Найдите МВ, если мс = 2di, = 2.
7.
Докажите, что если в окружности две хорды делятся точкой
пересечения в одном и том же отношении, то они равны.
ВАРИАНТ 2

Часть
В окружности две хорды пересекаются,
образуя четыре отрезко. Три из них имеют длину 2, З, д. Найдите длину
четвертого, если он длиннее всех остальных. Варианты ответов:

7,5

8

6

12

18

2, Из точки А, лежащеЙ вне круга, проведены две его
секущие. Первая пересекает окружность круга в точках В и С, вторая — о точках D
и Е, причём АВ = З, ВС = 6, АЕ = 1 8. Найдите DE, если В лежит между А и С; D
между А и Е.
Контрольные измерительные материалы по геометрии. 8
класс

Варианты ответов:

2

4

20

15

з.

Из точки А, лежащей на расстоянии 1 7 от центра
  окружности радиуса 8, проведена касательная, точка Р — точка касавия. Найдите
  АР.
Варианты ответов:

12

15

16

22,5

4.

В
  окружности хорда АВ и диаметр CD пересекаются в точке К, причем АВ
  перпендикулярно CD. Найдите АВ, если СК = 1,

Варианты ответов:

5

7

1 1

9

часть
5, Окружность проходит через вершины А и В прямоугольника
ABCD, и пересекает его стороны ВС и AD в точках Р и Q соответственно. Из точки
С проведена касательная к окружности СМ. Найдите СМ, если АВ = 5, ВС = 5, а
радиус окружности равен 6,5.
6. Из точки М к окружности проведены касательная МС и
секущая АВ (т. В лежит между А и М). Найдите МВ, если

7, Докажите, что если из точки М вне окружности проведены к
ней две секущие МВА и MCD, (В между М и А, С между М и D), причем МВ : ВА = МС
: СО, то МА = МО.
 Окружность и касательная к окружности
ВАРИАНТ 1

Часть
1 , Даны прямая и окружность радиуса
5. Дано расстояние d от центра окружности до прямой. Определите взаимное
расположение прямой и окружности:
А. Окружность и
прямая касаются.
Б. Окружность и прямая пересекаются в двух
точках, причем прямая не проходит через центр. В. Прямая проходит через центр
окружности.
Г. Прямая и окружность не имеют общих
точек.
Из точки А проведены две касательные к
окружности, причем В и С — точки касания, О — центр окружности. Найдите угол
ВАС, если угол ВОС равен 1 15 0 . Варианты ответов:

900

550

650

750

З,

Из
  точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС, В и С — точки
  касания. Оказалось, что А и О симметричны относительно ВС. Найдите ZBAC.
  Варианты ответов:

600

900

Нельзя определить

4.

Хорда АВ окружности удалена от центра окружности на 1 1 .
Найти АВ, если диаметр окружности равен 12.
  Варианты ответов:

10

1 1

12

13

Нельзя определить

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 8
класс

Часть
5.
Из точки А к
окружности с центром О проведены касательные АВ и АС, В и С — точки касания;
ДОВ = 8ZOAC. Найдите ZBOC.
6.
Радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их
центрами равно 2. Как расположены эти окружности?
7.
О — центр окружности, А — точка вне её. АО = 10, радиус
окружности равен 6, а угол ВАО равен 30 0 . Как расположена прямая
АВ относительно окружности?
8.
Дан прямоугольный треугольник с катетом 5 и гипотенузой 1 З.
Найдите максимальный возможный радиус окружности с центром в вершине прямого
угла, имеющей общие точки с гипотенузой треугольника
ВАРИАНТ 2

Часть
1. Даны прямая и окружность радиуса
7. Дано расстояние d от центра окружности до прямой. Определите взаимное
расположение прямой и окружности:
А. Окружность и прямая касаются.
Б. Окружность и прямая пересекаются в
двух точках, причем прямая не проходит через центр. В. Прямая проходит через
центр окружности.
Г. Прямая и окружность не имеют общих
точек.

2, Из точки А проведены две касательные к окружности, В и С
— точки касания, О — центр окружности. Найдите угол ВАС, если угол ВОС равен 15
0 .

Тест 17. Окружность и касательная к окружности

Варианты ответов:

150

900

1550

1 65 0

750

З.

Из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС, В и
  С — точки касания. Оказалось, что В и С симметричны относительно АО. Найдите
  ZBAC. Варианты ответов:

600

900

1500

Нельзя определить

4.

Хорда АВ окружности удалена от центра окружности на 2 1 . Найти АВ,
  если диаметр окружности равен 1 О Варианты ответов:

4

5

6

Нельзя определить

Часть l l
5. Из точки А к окружности с центром О
проведены касательные АВ и АС. дОВ = 8ZOAC. найдите ZBAC.
6, Радиусы двух окружностей равны 5 и
8, а расстояние между их центрами равно 1 . Как расположены окружности?
7.
О — центр окружности, А — точка вне её. АО = 10, радиус
окружности равен 6, а угол ВАО равен 45 0 . Как расположена прямая
АВ относительно окружности?
8.
Дан прямоугольный треугольник с катетом 1 2 и гипотенузой 20.
Найдите максимальный радиус окружности с центром в вершине прямого угла,
имеющей общие точки с гипотенузой.
 Центральные и вписанные углы
ВАРИАНТ 1

Часть
Хорда делит окружность на 2 дуги, градусные
меры которых относятся как 1 : З. Найдите вписанный угол, опирающийся на
меньшую из этих дуг.

зоо

450

600

750

900

2.

Дана
  окружность. Центральный угол АОВ равен 1 10 0 . Найдите вписанный
  угол ВСА, если отрезки АВ и ОС пересека-
ются.
Варианты ответов:

550

900

1250

700

З,

Окружность
  проходит через вершину прямого угла С и пересекает его стороны в точках А и
  В. Найдите радиус окружности, если АС = д, ВС = З.
Варианты ответов:

2

Нельзя определить

4.

Хорды АВ и CD окружности
  пересекаются в точке К, причем АВ = 8, СК = З, Dk = 4. Найти АК, если
  известно, что АО вк.
Варианты ответов:

4

5

6

Нельзя определить

Тест 1 8. Центральные и вписанные углы

Часть ll
5.
Хорда АВ окружности с центром О перпендикулярна ее радиусу ОС и
делит его но отрезки ОК = 1,5 и СК = 1 . Найдите длину хорды АВ.
6.
Найдите больший
из углов, образованных касательной к окружности в точке А и хордой АВ, равной
радиусу окружности.
Точка А лежит вне круга, ограниченного
окружностью о. Угол с вершиной А высекает на окружности о дуги градусной меры
40 0 и 88 0 . Найдите величину угла А.

550

900

1 100

700

8. Хорды АВ и CD окружности пересекаются с точке К. Найдите
угол АО, если сумма градусных мер дуг AD и ВС равна сумме градусных мер дуг DB
и АС.
ВАРИАНТ 2

Часть
Хорда делит окружность на 2 дуги,
градусные меры которых относятся как 1 : 5. Найдите вписанный угол, опирающийся
на меньшую из этих дуг.

зоо

450

600

750

900

2.
Дана окружность. Центральный угол АОВ равен 140 0 . Найдите
вписанный угол ВСА, если отрезки АВ и ОС не пересекаются.
Варианты ответов:
Контрольные измерительные материалы по геометрии. 8
класс

З.

Окружность проходит через вершину прямого угла Си пересекает его
  стороны в точках А и В. Найдите радиус окружности, если АС = 6, ВС = 8.
  Варианты ответов:

5

6

8

Нельзя определить

4.

Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке К, причем АВ
  = 13, СК = З, Dk = А. Найти АК, если известно, что АК <
Варианты ответов:

2

Нельзя определить

Часть l l
5.
Хорда АВ окружности с центром О перпендикулярна ее радиусу ОС и
делит его на отрезки ОК = 7,5 и СК = 1 . Найдите длину хорды АВ.
6.
Найдите градусную меру большей из дуг, заключенных между
касательной к окружности в точке А и хордой АВ, равной радиусу окружности.
Точка А лежит вне круга, ограниченного
окружностью о. Угол с вершиной А высекает на окружности о дуги градусной меры
20 0 и 82 0 . Найдите величину угла А.
8. Хорды АВ и CD окружности пересекаются с точке К. Найдите
угол АО, если сумма градусных мер дуг AD и ВС вдвое больше суммы градусных мер
дуг DB и АС.

Тест 19,

Замечательные
точки треугольника, Вписанная и описанная окружности треугольника
ВАРИАНТ 1
Часть
1. Определите положение центра
описанной окружности, если наибольший угол треугольника равен: А. 75 0 Б.
90 0 В. 100 0 Г.

1. Лежит вне. треугольника

2. Лежит внутри треугольнижа;

З. Лежит на сторне треугольника.

4. Недо-
«тоЧн•:,.
данных

5. Такого
трутль-

2, Медианы AD и СЕ треугольника АВС пересекаются в точке М.
Найдите AD + СЕ, если АМ + СМ = 8. Варианты ответов:

8

9

10

1 1

12

З. Центр вписанной в треугольник окружности находится в
точке пересечения его (выберите верное утверждение): Варианты ответов:

высот

биссектрис

Серединных перпендикуляров

медиан

Нельзя определить

4.
Центр описанной около треугольника окружности (выберите верное
утверждение): Варианты ответов:

Равноудален от его сторон

Лежит на
его средней линии

Равноудален от его вершин

Делит медианы в отношении 2:1
  считая от вершины

Лежит на пересечении
  высот треугольника

Контрольные измерительные материалы по геометрии. 8
класс

Часть I l
5.
Катеты СВ и СА прямоугольного треугольника АВС ровны 9 и 1 2
соответственно. М — точка пересечения медиан. Найдите длину отрезка СМ.
6.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС,
стороны которого ровны 10, 10 и 12.
Найдите отрезки, на которые гипотенуза
прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12 делится точкой касания вписанной
окружности.

2

з

4

1 1

12

13

14

15

8. Найдите расстояние от точки
пересечения высот равнобедренного треугольника до его основания, если один из
углов треугольника ровен 1 20 0, о боковая сторона ровно 1.
ВАРИАНТ 2

Часть I
1, Определите положение точки
пересечения прямых, содержощих высоты треугольника, если наибольший его угол:
А. 80 0 Б. 90 0 В. 100 0 Г.
55 0
                      2.
Лежит                                                    5. Такого
1. Лежит      З. Лежит на 4.
Недовнутри треугольни-
вне тре-                            стороне тре-
статочно
                      треуголь-                                                  ка
не суще-
угольника       угольника-   донных
ника :ств:. .ет.
2. Медианы AD и СЕ треугольнико АВС пересекаются в точке М.
Найдите AD + СЕ, если + ЕМ = 5. Варианты ответов:

          Тест 19. Замечательные точки д.                                               окружности
д.

З, Центр описанной около треугольника
окружности находится в точке пересечения его (выберите верное утверждение):
Варианты ответов:

высот

биссектрис

Серединных
  перпендикуляров

медиан

Нельзя определить

4.
Центр вписанной в треугольник окружности (выберите верное
утверждение):
Варианты ответов:

Равноудален от его сторон

Лежит на его средней линии

Равноудален
от его вершин

Делит медианы в
отношении
2:1 считая от вершины

Лежит но

двух высот треугольника

Часть ll
5.
Катеты СВ и СА прямоугольного треугольника АВС равны 1 8 и 24
соответственно. М — точка пересечения медиан. Найдите длину отрезка СМ.
6.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС,
стороны которого равны 5, 5 и 8.
Найдите отрезки, на которые меньшая
сторона прямоугольного треугольника с катетами 9 и 1 2 делится точкой касания
вписанной окружности.
8. Найдите расстояние от точки
пересечения серединных перпендикуляров равнобедренного треугольника до его
боковой стороны, если один из углов треугольника равен 1 20 0, а
основание равно 6.
 Вписанные и описанные
четырехугольники
ВАРИАНТ 1

Часть
Четырехугольник АВО вписан в окружность.
Определите возможный вид четырехугольника ABCD.
Варианты ответов:

Ромб с острым углом 80 0

Прямоугольная трапеция

Параллелограмм с углом

Равнобокая трапеция

Четырехугольник с углом 2 1 0 0

2. Средняя линия трапеции, описанной
около окружности ровно 5. Боковая сторона ровно 6. Найдите вторую боковую
сторону.
Варианты ответов:

5

6

7

Выберите верное утверждение:
Варианты ответов:

Все стороны
  четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны между собой

Биссектрисы
  четырехугольникс, в который можно вписать окружность,
пересекаются
  в одной точке

Все углы
  четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны между собой

Диагонали четырехугольника, вписанного в окружность, равны между собой

верных утверждений

                                                 Тест 20.                                               четырехугольники

4.
Выберите верное утверждение: Варианты ответов:

Любой параллелограмм можно вписать в окружность

В любой прямоугольник можно вписать окружность

Прямоугольную трапецию
  нельзя вписать в окружность

Любой ромб можно вписать в окружность

В тупоугольный треугольник нельзя вписать окружность

Часть
5.
В треугольник АВС вписано окружность, и к ней проведено
касательная, пересекающая сторону АВ в точке К, о сторону ВС в точке М.
Известно, что АК = З, КМ = 2, МС = А. Найдите периметр четырехугольника АКМС.
6.
Найдите периметр прямоугольника, вписанного в окружность, радиуса
1 З, если одно из его сторон равна 1 0.
7.
Окружность, проходящая через вершины В и С треугольника АВС,
пересекает сторону ВА в точке Р, а сторону СА в точке а. Известно, что ПРО = 40
0, ZABC = 75 0 . Найдите угол А.
8, В трапецию ABCD (ВС| lAD) можно вписать окружность.
Точко М лежит но стороне АВ, о N лежит но стороне CD. Можно ли вписать
окружность в четырехугольник AMND? Ответ обоснуйте.
ВАРИАНТ 2

Часть
Четырехугольник ABCD описан около
окружности. Определите возможный вид четырехугольника ABCD.
Контрольные измерительные материалы по геометрии. 8
класс

Варианты ответов:

Ромб с острым углом
600

Параллелограмм с соседними сторонами 2 см и см

Прямоуголь-
ник длина которого втрое больше ширины

Трапеция, сумма оснований которой равна боковой стороне

Ни один из вариантов не подходит

2. Средняя линия трапеции, описанной
около окружности равна 7. Боковая сторона равна 5. Найдите вторую боковую
сторону.
Варианты ответов:

10

9

8

7

6

Выберите верное утверждение: Варианты
ответов:

2

5

Все стороны
  четырехугольникс, около которого
можно описать
  окружность, равны между собой

Серединные
перпендикуляры
  четырехугольникс, около которого можно описать окружность, пересекаются в
  одной точке

Все углы
  четырехугольника, около которого
можно описать
  окружность, ровны между собой

Диагонали четырехугольникс, описанного около
  окружности, равны

верных утверждений

4.
Выберите верное утверждение: Варианты ответов:

2

4

параллелограмм можно описать около окруж-
НОСТИ

Существует ромб, в который нельзя вписать окружность

угольную трапецию
нельзя вписать
  окружность

любого прямоуголь-
ника можно описать окружность

поугольного треуголь-
ника нельзя
описать окружность

                                                 Тест 20.                                               четырехугольники

Часть
5.
В треугольник АВС вписана окружность, и к ней проведена
касательная, пересекающая сторону АВ в точке К, а сторону ВС в точке М.
Известно, что АК = 4, КМ = З, МС = 5. Найдите периметр четырехугольника АКМС.
6.
Найдите периметр прямоугольника, вписанного в окружность, радиуса
5, если одна из его сторон равна 6.
7.
Окружность, проходящая через вершины В и С треугольника АВС,
пересекает сторону ВА в точке Р, а сторону СА в точке а. Известно, что ZAPQ =
72 0 , ZABC = 63 0 . Найдите угол А.
8.
В трапецию ABCD (ВС| |AD) можно вписать окружность. Точка М лежит
на стороне АВ, а ГМ лежит на стороне CD, причем МГЧ AD. Можно ли вписать
окружность в четырехугольник AMND? Ответ обоснуйте.

Тест 21 . Векторы

Часть
На плоскости отмечены три точки: А, В и С.
Выберите верное равенство: а) АВ + ВС - АС = 6; 6) АВ + СВ - ВС = 6;
                       в)
АС                     - ВС = СВ; г) ВА + АС + СА = -И.
Варианты ответов:

б

В

Нет верных равенств

2.

Сколько
  пар равных векторов изображено на рисунке? (Рис. 1).
Варианты ответов:

2

4

Нет равных векторов

З.

Три равносторонних треугольника
  соединили в трапецию.(Рис. 2). Выразите через векторы а и Ь вектор АВ .
Варианты ответов:

Нельзя выразить

Тест 21 .
Векторы

4.
Дан треугольник ОАВ, ОА = а, ОВ = Ь. Выразите через
векторы а и Ь вектор ОМ, если точка М делит отрезок АВ в отношении АМ : МВ = 1
: 2.
Варианты ответов:

2

2

Нельзя выразить

5.
На рисунке
изображено сетка, образованная параллельными прямыми. Все образовавшиеся
параллелограммы равны между собой. (Рис. З). Выразите вектор АВ, через векторы
а и Ь.
6.
Векторы о и Ь не коллинеарны. Существуют ли такие число х и у,
что о + хь и уа — Ь коллинеарны? Если существуют, то укажите их значения, если
не существуют, то докажите это.
Векторы о и Ь не коллинеарны и для
некоторых чисел х и у верно равенство (2х + у)а — ЗуЬ = дха + (х — Ау + 1
Найдите эти х и у.
часть
8. В треугольнике АВС на стороне ВС
отмечена точка М так, что ВМ : МС = 2 : 1 и на отрезке АМ — его середина О.
Докажи-
те, что ВО = — ВС
+ ВА . з      2
9, В параллелограмме ABCD но его
сторонах отмечены точки — середина отрезка АВ и точка К на AD так, что АК : О =
= З : 1 1 . Отрезок kL пересекает диагональ АС в точке О. Выразите вектор АО
через векторы АВ и АО .
Контрольные измерительные материалы по геометрии. 8
класс

ВАРИАНТ 2

Часть
На плоскости отмечены три точки: А, В и С.
Выберите верное равенство: а) ВА — ВС + АС = б; б) ВА + СВ + ВС = О;
в) АС + СА - СВ = СВ; г) ВА + АС -
СА = ВА. Варианты ответов:

2

з

4

в

Нет верных равенств

2. Сколько пар равных векторов изображено на рисунке?
(Рис. 1).
Варианты ответов:

2

з

4

1

6

Нет равных векторов

Три равносторонних треугольника соединили
в трапецию (Рис. 2). Выразите через векторы а и Ь вектор АВ .

Варианты ответов:

Рис. 2

2

з

4

5

Нельзя выразить

4.
Дан треугольник ОАВ, ОА = а, ОВ = Ь. Выразите через векторы а и Ь
вектор ОМ, если точка М делит отрезок АВ в отношении АМ : МВ = 1 : 4.
Тест 21 .
Векторы

Варианты ответов:

5

5

Нельзя выразить

5.
На рисунке
изображена сетка, образованная параллельными прямыми. Все образовавшиеся
параллелограммы равны между собой. (Рис. З). Выразите вектор АВ, через векторы
а и Ь.
6, Векторы а и Ь не коллинеарны. Существуют ли такие числа
х и у, что а — (х + 1 и уа + хь коллинеарные Если существуют, то укажите их
значения, если не существуют, то докажите это.
Векторы а и Ь не коллинеарны и для
некоторых чисел х и у верно равенство (2х — бу)а — 3хЬ = —дуа + (х — у + 9)Б.
Найдите эти х и у.
Часть
8.
В треугольнике АВС на стороне ВС отмечена точка М так, что ВМ :
МС = З : 1 и на отрезке АМ — его середина О. Докажи-
те, что ОС = — АВ + ВС.
                               2          8
9.
В параллелограмме
ABCD на его сторонах отмечены точки — середина отрезка АВ и точка К на АО так,
что АК : КО = = : 1 5. Отрезок kL пересекает диагональ АС в точке О. Выразите
вектор АО через векторы АВ и АО .
Тест 22. Скалярное произведение векторов (без координат)
ВАРИАНТ 1

Часть
Найдите скалярное произведение
векторов а и Ь, если 1 а = 1, = 4, z(G, Б) = 1 20 0 .
Варианты ответов:

2

з

4

5

2

-2

На рисунке а и Ь направлены по
сторонам равностороннего треугольника, сторона которого равна 10. Найдите а •
Ь.

Варианты ответов:

2

з

4

5

-100

-50

50

100

Нельзя выразить

З,       При некотором положительном значении х векторы ха
— 2b и ха + 26 перпендикулярны. Найдите х, если а
Варианты ответов:

2

4

2

0,25

0,75

4, В треугольнике АВС АВ = вс= з, АС = 4. Найдите скалярное
произведение АВ • АС .
Тест 22. Скалярное произведение векторов (без координат)
Варианты ответов:

1

2

з

4

5

2

4

6

8

10

Часть ll
5.
В треугольнике мС, АВ = 20, ВС = 21, СА = 13, точка М — основание
высоты АМ. Вычислите ВА • вс + вс • АМ + + АМ • АС.
6.
Найдите угол между векторами 20 — Ь и а — ЗЬ, если векторы а и Ь
перпендикулярны и la
втпнт 2

Часть
Найдите скалярное произведение
векторов а и Ь, если ЗЛЫ = 4, ЦБ, Б) = 150 0 .
Варианты ответов:

2

з

4

5

6

—3

-6

2.

На рисунке а и Ь направлены по
  сторонам ромба с острым углом 60 0, сторона которого равна 6.
  Найдите а • Ь.

Варианты ответов:

2

4

5

-36

-18

36

18

З, При некотором отрицательном значении х векторы ха — 6b и
ха + 6b перпендикулярны. Найдите х, если Варианты ответов:

—6

-4

4,

В треугольнике АВС АВ = ВС = 10, АС = 12.
  Найдите скалярное произведение АС • АС. Варианты ответов:

12

45

64

72

100

Часть ll
5. В треугольнике АВС, АВ = д, ВС = З 15, СА = 61, точка
М — основание высоты АМ. Вычислите ВА • ВС + ВС • АМ + + АМ • АС.
Найдите угол между векторами 20 + Ь и —3а
+ Ь, если векторы а и Ь перпендикулярны и а
ЗАДАЧИ К
ИТОГОВОМУ ТЕСТУ ПО ГЕОМЕТРИИ ЗА КУРС 8 КЛАССА (120-135)
                   ВАРИАНТ 1

Часть
Биссектриса острого угла А
параллелограмма АВО пересекает сторону ВС в точке М, которая делит ВС на два
отрезка 8 см и 12 см. Прямая АМ пересекает продолжение стороны CD в точке Е.
Найдите длину отрезка DF.
Варианты ответов:

2

з

4

5

24

16

20

Нельзя определить

2.

Угол между высотами
  ромба ABCD, опущенными из вершины В, равен 123 0 . Найдите острый
  угол ромба.
Варианты ответов:

1

2

з

4

5

830

230

Нельзя определить

з.

Прямая, параллельная стороне АВ
  треугольника АВС, пересекает его стороны ВС и АС в точках К и соответственно.
  Известно, ВК = 4, kL = 8, АВ = 12. Найдите ВС.
Варианты ответов:

2

з

4

5

12

8

24

16

Нельзя определить

4.
Периметр ромба АВО равен 40, периметр треугольника ABD равен 32.
Найдите периметр треугольника АВС.

Варианты ответов:

26

28

32

36

Нельзя определить

5.
В равнобокой
трапеции большее основание равно 25, боковая сторона 1 5 и диагональ
перпендикулярна боковой стороне. Найдите меньшее основание трапеции. Варианты
ответов:

1 1

7

15

1 1

Нельзя определить

6.
В треугольнике АВС, АВ = 1 2, АС = 1 6, ВС = 1 0 вписана
окружность, касающаяся стороны АС в точке В . Найдите АВ . Варианты ответов:

9

10

2

Нельзя определить

В треугольнике АВС ВС = Ь, ВА = а.
Выразите через а и Ь вектор ВМ, где М — точка отрезка АС и АМ : МС = 1 : 2.
Варианты ответов:

2

20— Б

Нельзя определить

Часть l l
8.
В прямоугольном треугольнике АВС ZC = 90 0 , АС = 1 2,
sin (ZA) = 0,8. Найдите ВС, высоту СС, и длину отрезка ВС . ответ: 1 6; СС ВС =
1 2,8.
9.
В треугольник АВС длина ЕВ = 60 0 , ZA = 50 0 .
Окружность, проходящая через точки В и С вторично пересекает стороны АС и АВ в
точках К и соответственно. Найдите ZALk.
10.       Основание
Н высоты прямоугольного треугольника делит его гипотенузу АВ на отрезки,
отношение которых 1 : 4. Найдите площадь этого треугольника, если АВ = 25.

Задачи к итоговому тесту                          за
курс 8 класса ( 1 20— 1 35)

1 1. В трапеции ABCD, (АЩ СО),
отношение оснований равно 2 : З и диагонали пересекаются в точке О. Найдите
площадь треугольника COD, если площадь треугольника AOD равна 6.
12, Точки А, В, С и D в указанной последовательности лежат
на окружности радиуса 1 О и делят её в отношении 2 : З : : З. Найдите длину
отрезка, соединяющего середины сторон АВ и AD.
Часть
13.
В треугольнике АВС на стороне АС выбрана такая точка F, что ZABF
: ZFBC = 2 : З и отрезок BF разбивает треугольник АВС на два равнобедренных
треугольника. Найдите углы треугольника АВС
14.
В треугольнике
АВС, ZB = 80 0, проведена биссектриса BL. Через точку к окружности,
описанной около треугольника BCL, проведена касательная, пересекающая сторону
АВ в точке М. Найдите угол ALM.
ВАРИАНТ 2

Часть Биссектриса
острого угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке М, которая
делит ВС на два отрезка 5 см и 20 см. Прямая АМ пересекает продолжение стороны
CD в точке Е Найдите длину отрезка DF. Варианты ответов:

1 1

21

25

32

Нельзя определить

2. Угол между высотами ромба ABCD, опущенными из вершины В,
равен 67 0 . Найдите тупой угол ромба.

Варианты ответов:

2

з

4

103

93

1 13

123

Нельзя определить

Прямая, параллельная стороне АВ
треугольника АВС, пересекоет его стороны ВС и АС в точках К и соответственно.
Известно, ВК = 6, 1 6, АВ = 22.
Найдите ВС. Варианты ответов:

2

з

4

5

22

16

32

20

Нельзя определить

4,

Периметр ромба ABCD равен 52, периметр треугольника ABD равен 36.
  Найдите периметр треугольника АВС Варианты ответов:

2

з

4

5

60

70

50

Нельзя определить

5.

В равнобокой трапеции большее
  основание ровно 26, высота — 1 2 и диагональ перпендикулярно боковой стороне.
Найдите
  меньшее ОСНОВОНИе трапеции. Варианты ответов:

2

з

10

16

18

Нельзя определить

6, В треугольнике АВС, АВ = 6, АС = 8, ВС = 5 вписано
окружность, касающаяся стороны АВ в точке С . Найдите длину отрезка АС .

Варианты ответов:

2

з

4

7,5

Нельзя определить

В треугольнике АВС ВС
= Б, ВА = а. Выразите через векторы а и Ь вектор ВМ, где М — точка отрезка АС,
АМ : МС = З : 1 . Варианты ответов:

2

з

4

5

2

Нельзя определить

        Задачи к итоговому тесту                            за курс 8 класса (1
20—1 35)

часть
8. В прямоугольном треугольнике АВС ZC = 90 0,
АС = 1 8, sin (ZA) = 0,8, Найдите ВС, высоту СС 1 и длину отрезка ВС .
В треугольнике АВС длина ZC = 80 0,
ZA = 70 0 . Окружность, проходящая через точки В и С вторично
пересекает стороны АС и АВ в точках К и соответственно. Найдите ZAkL.
10, Основание Н высоты прямоугольного треугольника делит
его гипотенузу АВ но отрезки, отношение которых 1 : 9. Найдите площадь этого
треугольника, если АВ = 40.
1 1. В трапеции ABCD, (АЩ CD), отношение оснований равно З
: 5 и диагонали пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АОВ, если
ПЛОЩОДЬ треугольника COD ровна 50.
12, Точки А, В, С и D в указанной последовательности лежат
на окружности радиуса 12 и делят её в отношении 6 : 5 : 8 : 5. Найдите длину
отрезка, соединяющего середины сторон АВ и AD.
часть Ш
13. В треугольнике АВС на стороне АС выбрано токая точка F,
что ZABF : ZFBC= 1 : З и отрезок BF разбивает треугольник АВС на два
равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольника АВС.
14, В треугольнике АВС, 7— В = 70 0,
проведено биссектриса BL. Через точку к окружности, описанной около
треугольника ВСЕ, проведена касательная, пересекающая сторону АВ в точке М.
Найдите угол ALM.

ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Вершины параллелограмма лежат на
сторонах другого параллелограмма (по одной на каждой стороне). Докажите, что
точки пересечения диагоналей параллелограммов совпадают.
2. В параллелограмме АВО на стороне CD отмечена точка Е.
Прямые АЕ и ВС пересекаются в точке F. Найдите длины отСЕ и О, если АВ = 1 6,
AD = 5, З.
З. Докажите, что четырехугольник,
вершины которого являются серединами сторон равнобокой трапеции, является
ромбом.
4, В ромбе ABCD биссектриса угла DCA
перпендикулярна стороне AD. Найдите углы ромба.
5. В прямоугольнике серединный
перпендикуляр диагонали АС пересекает сторону ВС в точке К так, что ВК : КС = 1
: 2. На какие углы диагональ прямоугольника делит его угол?
6, Длина стороны квадрата kLMP равна 1 . На дуге окружности
с центром в точке радиуса 1, лежащей внутри квадрата, выбрана точка так, что
ZLMN = 75 0 . Найдите длину КН.
7.
Основания
трапеции равны 1 см и 4 см, а одна из диагоналей равна 6 см. Какой может быть
длина второй диагонали этой трапеции?
8.
В равнобокой
трапеции АВО (АВ = СО) проведена высота ВН. Точка К— середина АВ. Докажите, что
КН ' CD.
9.
В трапеции АВО с
основаниями ВС и AD известно, что ZBAC = BDC = 20 0, а угол между
диагоналями равен 80 0 . Найдите углы трапеции.
10.
Диагональ АС
параллелограмма ABCD ровна 1 8. Точка М — середина стороны АВ.
          Отрезки АС и         пересекаются в точке К.
Найдите АК и КС.
11.
В трапеции АВО
проведены два отрезка с концами на боковых сторонах, параллельные основаниям и
делящие боковые
Диагностические контрольные задачи

стороны на три равные части. Найдите длины
этих отрезков, если основания трапеции равны 1 4 и 26.
12.
Диагонали
четырехугольника ABCD пересекаются в точке О, причем АО = ОС. Точка К —
середина АО. Отрезок, соемнЯЮЩИЙ середины отрезков ВК и ВО равен 5 см. Найдите
сторону CD.
13.
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) О — середина высоты
ВН. Прямая АО пересекает сторону ВС в точке А . Найдите ВА : А С.
14.
В трапеции КМГЧР
(MNl КР) проведена прямая ML, параллельная НР и пересекающая сторону КР в точке
Найдите периметр треугольника, стороны которого — средние линии треугольника
ИМ, если КМ = 7, МН = 6, 1 2, NP= 5.
15.
В треугольнике АВС проведена средняя линия, параллельная стороне
АС. Она разделила треугольник на четырехугольник и треугольник. Их периметры
равны соответственно 1 2 и 1 1 . Найдите АС и периметр треугольника АВС
16.
На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К так, что ВК : КС
= З : 4. В каком отношении отрезок АК делит медиану ВВ, треугольника АВС
17, Диагонали трапеции перпендикулярны и равны 5 см и 1 2
см. Найдите среднюю линию трапеции.
18.
Диагонали трапеции перпендикулярны и равны 5 см и 1 2 см. Найдите
высоту трапеции.
19.
Три окружности, попарно касающиеся друг друга внешним образом,
имеют радиусы 2 см, 2 см, 1 см. Найдите радиусы окружностей, касающихся данных
трех окружностей.
20.
В прямоугольном треугольнике медиана и высота, опущенные на
гипотенузу равны соответственно 1 3 и 1 2. Найдите периметр треугольника.
21, Существует ли трапеция, основания которой равны 5 и 1 2, а диагонали
равны 6 и 1 О? (Ответ обоснуйте.)

22, В треугольнике АВС известно, что ВС = а, СА = Ь, АВ =
с. В каком отношении биссектриса угла А делит биссектрису угла В, считая от
точки В.
23.
Углы при большем
основании трапеции равны АО 0 и 50 0, 60ковые стороны
равны 8 и 6. Найдите основания трапеции, если средняя линия равна 1 1.
24.
Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них в
отношении З : 5. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до
оснований трапеции, если ее высота равна 24.
25.
Из отрезков длиной З, 6, 7, 9, 1 А, 1 8 составьте два подобных
треугольника и найдите отношение длин биссектрис меньших углов этих
треугольников.
26.
В треугольнике АВС угол А = 45 0 . AD, ВЕ и CF — высоты.
Найдите угол EDF.
Указание: докажите, что треугольники АВС и AEF
подобны. 27, В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна основаниям AD = 8 и
ВС = 2. + ZD = 2700 . найдите BD.
Указание: докажите, что треугольники ABD и CDB подобны.
28.
В треугольнике АВС ZB = 1 20 0, АН и СК — высоты.
Найдите площадь треугольника НВК, если площадь треугольника АВС
Указание: треугольники АВС и НВК подобны.
29.
Стороны
параллелограмма равны 5 и 26. Прямая, параллельная одной стороне
параллелограмма, разбивает его на два неравных подобных параллелограмма.
Найдите длины сторон этих параллелограммов.
30.
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА, ,
1 2
СС Найдите длину А, Ст, если АС = 39, sin В
=
13
31.
Определите синус и косинус острого угла, если сумма его тангенса
и котангенса равна 2, 9.
32.
Докажите, что если а, р — острые углы и а < р, то sin а <
sin р.
Диагностические контрольные задачи

33.
Докажите, что если а, — острые углы и а < р, то cos а > cos
р.
34.
Докажите, что если а, р — острые углы и а < р, то tg ос <
tg р.
35.
В трапеции ABCD
диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла А.
Найдите длину АВ, если периметр трапеции 35 см и ZD = 60 0 .
36.
Докажите, что прямая, проходящая через 2 точки пересечения двух
окружностей, делит пополам отрезок, соединяющий точки касания этих окружностей
с их общей касательной.
37.
Окружность
касается основания АС равнобедренного треугольника АВС в его середине, проходит
через вершину В и пересекает боковые стороны в точках М и Н. Докажите, что
прямые МН и АС параллельны.
38.
Окружность
касается гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений двух его катетов.
Докажите, что диаметр окружности равен периметру треугольника.
39.
Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается стороны АС в
точке К Известно, что АК = Д и ВС = 7. Найдите периметр треугольника АВС
40.
Вне прямоугольника ABCD отмечена точка К так, что ZBkD = = 90 0
. Найдите угол АКС.
41.
Докажите, что если угол опирается но диаметр окружности, о его
вершина лежит вне окружности, то этот угол острый.
42,
Докажите, что в равнобедренном треугольнике АВС, в котором один из углов равен
120 0 , отрезок ОН равен основанию. (О — центр описанной окружности,
Н — точка пересечения высот)
43.
В треугольник с углами 40 0, 60 0 , 80 0
вписано окружность. Найдите углы треугольника с вершинами в точках
касания.
44.
Окружность с центром но стороне АВ треугольника АВС проходит
через точку В, касается стороны АС в точке С и пересекает сторону АВ в точке D.
Найдите углы треугольников АВС и ВО, если ZABC = 30 0 .

45.
Даны два треугольника, у которых равны по два угла, а так же
одинаковые радиусы вписанных окружностей. Докажите, что эти треугольники ровны.
46.
Вершины четырехугольника CDEF лежат но окружности. Известно, что
его диагонали перпендикулярны, ZCED = 10 0, ZDEF = 70 0 .
Найдите углы четырехугольника CDEF.
47.
В окружность вписан семиугольник, одно сторона которого равна
радиусу окружности, о остальные ровны между собой. Найдите углы семиугольника.
48.
Окружность касается всех сторон пятиугольника, длины которых 5,
7, 9, 1 0 и 1 1 . Найдите отрезки, на которые точка КОСОНИЯ делит меньшую
сторону.
49.
Около трапеции ABCD (АВ I CD) можно описать окружность и в нее
можно вписать окружность. Найдите все ее стороны, если АВ = 2, а средняя линия
трапеции равна 7.
50, Около треугольника АВС описана окружность с центром О,
причем АО = АВ. Найдите угол С.
51. В
треугольнике АВС угол В равен 60 0 . AL и CN — биссектрисы. Их
пересечение — точка
А) Докажите, что около четырехугольника
LBNl можно описать окружность. Б) Докажите, что lN = lL.
ВОПРОСЫ ДЛЯ
ПРОВЕДЕНИЯ
ИТОГОВОЙ
АТТЕСТАЦИИ
ЗА КУРС
ГЕОМЕТРИИ 8 КЛАССА
1.
Многоугольники выпуклые и невыпуклые, Вершины, стороны, диагонали
многоугольника. Сумма углов выпуклого п-угольника. Виды четырёхугольников:
квадрат, прямоугольник, ромб, ромбоид, параллелограмм, трапеция, произвольный
четырёхугольник.
2.
Параллелограмм,
свойства углов, сторон и диагоналей параллелограмма.
з. Свойство биссектрис углов параллелограмма. Свойство
углов, образованных высотами параллелограмма, проведёнными из одной вершины 1
.
4. Признаки параллелограмма
(сформулировать и доказать не менее трёх признаков).
Ромб, свойства сторон и диагоналей ромба.
6.        Свойство
высот ромба.
Прямоугольник, свойство диагоналей
прямоугольника.
8.       Квадрат,
свойство диагоналей квадрата.
9, Трапеция, виды трапеций, свойство
углов и диагоналей равнобокой трапеции.
10.
Теорема Фалеса и
теорема о пропорциональных отрезках.
11.
Средняя линия треугольника и трапеции. Свойства средней линии
треугольника и трапеции.
Докажите, что биссектрисы противоположных углов
параллельны, либо совпадают, а биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне,
перпендикулярны.

12.
Площадь плоской фигуры, свойства площади. Площадь квадрота и
площадь прямоугольника.
13.
Площадь
параллелограмма, площадь ромба: формулы для вычисления площади параллелограмма
и площади треугольника. Площадь треугольника,
14.
Площадь треугольника: формулы для вычисления площади
треугольника. Свойство площадей треугольников, имеющих а) общую высоту (равные
высоты); б) общую сторону (равные стороны); общий угол (равные углы).
15.
Площадь трапеции, формулы для вычисления площади трапеции.
16.
Теорема Пифагора
и ей обратная.
17.
Подобные треугольники. Коэффициент подобия. Понятие о подобии
произвольных фигур. Подобные прямоугольники и подобные трапеции.
18.
Свойство подобных треугольников. Свойство площадей поДОбНЫХ
треугольников.
19, Признаки подобия треугольников.
20.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
21.
Свойство биссектрисы треугольника.
22, Тригонометрические функции острых углов: соотношения
сторон и углов прямоугольного треугольника. Простейшие свойства
тригонометрических функций острого угла.
23.
Значения тригонометрических функций для углов: 0 0; 30
0; 45 0; 60 0; 90 0 .
24.
Тригонометрические функции тупых углов и углов, больше
развёрнутого.
25.
Значения
тригонометрических функций для углов: 120 0, 135 0, 150 0,
1 80 0, 210 0, 225 0, 240 0, 270 0,
300 0, 315 0, 330 0, 3600.
Вопросы для
проведения итоговой аттестации за курс геометрии 8 класса
26.
Окружность и круг. Касательная к окружности. Расположение прямой
и относительной окружности (число общих точек прямой и окружности) и
относительно круга. Свойство касательной к окружности.
27.
Свойство касательных к окружности, проведённых через одну точку.
Единственность касательной к окружности, проведённой через данную точку
окружности.
28.
Касание окружностей и касание кругов.
29.
Центральные и
вписанные углы. Теорема о величинах центрального и вписанного углов,
опирающихся но равные дуги. Теорема о вписанном угле, опирающемся но диаметр и
ей обратная. Теорема об углах, опирающихся на одну дугу и ей обратная.
30.
Углы с вершиной внутри и вне круга. Угол между касательными,
проведёнными к окружности из одной точки. Угол между касательной и хордой.
31, Пропорциональные отрезки в круге.
32.
Замечательные
точки треугольника.
33.
Вписанные и описанные четырёхугольники, их свойство и признаки.
34.
Векторы.
Сложение, вычитание векторов. Коллинеарные векторы. Умножение вектора но число.
Разложение вектора по двум неколлинеарным вектором.
35.
Скалярное
произведение векторов и его вычисление. Свойство скалярного произведения.
Вычисление угла между векторами с помощью их скалярного произведения. Условие
перпендикулярности векторов. Проекция вектора.

ОТВЕТЫ К
ТЕСТАМ

Тест 1

Номер задания

1 вориант

2 вариант

1

2

2

з

4

40 0, 60 0 , 1 40 0,
  1 20 0

20 0, 80 0 , 1 20 0
  ,

6

2800

2600

7

Решение. Пусть ос,            1, 2,
6 углы выпуклого шестиугольника и 1, 2, З, 4 —
острые
  углы. Тогда
• 90 = 360 0
  . Но сумма           =
= 720 0 , Значит, ос5 + а >
> 360 0 и значит,
  хотя бы один из этих углов больше развёрнутого. Поэтому четырёх острых углов
  быть не может. Приведём пример шести-
угольника с тремя острыми углами:
  60 0 , 75 0, 1 70 0 , 1 70 0,

Ответ: З.

Решение.
  Пусть ос, 1, 2
7 углы выпуклого семиугольника и а.
  , 1 острые углы. Тогда
•      = 360 0 . но сумма
= 900 0 ,
  значит, а5 + а + а > > 540 0 и значит, хотя бы один из этих
  углов больше развёрнутого. Поэтому четырёх острых углов быть не может.
  Приведём
пример семиугольника с тремя
  острыми углами: 500, 75 0, 1 75 0, 175 0,
  175 0, 175 0, 75 0 .
2

7 Ответ; З.

Тест 4

Номер задания

1 вариант

2 вариант

2

2

2

з

2

1

4

5

6

7

2 : 7 или 5 .

З : 10 или 7: 10

8

900

900

Тест 5

Номер задания

1 вариант

2 вариант

6

1350

30 0, 75 0, 75 0

тест 2

Тест З

Номер
ЗОДОНИЯ

1 вариант

2 вариант

Номер задания

1 вариант

2 вариант

2

2

2

З

з

4

1

4

2

5

8

7

5

2

6

1 00 0

7

90, 90 126,
126 или 48,
48, 168,
168

72, 72, 198,
1 98 или
105, 105,
165, 165

7

120

8

Нет, этим свойством
  обладает трапеция с равными боковыми сторонами

Будет

Тест 6

Тест 7

Номер задания

1 вариант

2 ворионт

Номер задания

1 вариант

2 вариант

2

2

2

з

2

з

2

2

4

4

5

900

10

5

16

зо

6

20 0, 40 0,
1 400,
1 60 0, или
40 0, 80
1 000,

40 0, 80 0,
1 00 0,
1 40 0 , или
70 0 , 80 0 ,
1 00 0,
1 1 00

6

Тест 9

Номер задания

вариант

вариант

2

2

2

з

4

5

6

2

2

7

см или 7,2 см

см или 27,5 см

1 вариант
2

Номер задания

1 вариант

2 вариант

400

58 см?. Указание: площадь треугольника ADC составляет пловину площади
  каждого из параллелограммов ABCD и

85 см 2 .
  Указание: площадь треугольника ADC составляет половину площади каждого из
  параллелограммов ABCD и АМС.

Тест 10

Тест

Номер задания

1 вариант

2 вариант

Номер задания

1 вариант

2 вариант

В 15 раз

Тест 12

Тест 13

Номер задания

1 вариант

2 вариант

Номер задания

1 варионт

2 ворионт

тест 14

Номер задания

1 вариант

2 вариант

2

2

2

2

2

з

4

5

0,35

6

-2

2,5

7

-1,5

Тест 15

зиония

1 вариант

2 вариант

4

2

з

2

4

4

5

2

4

6

0,75

7

8

9

Ответ: пусть sin А + sin В = а,
  тогда sin А + + cosA= и — 1 = sin < 1. Следовательно, а? <2 — 0
  <osdi ч. т. д. Этот факт можно доказать и другим рассуждением. А именно:
Пусть sin А + sin В = t, тогда sin А + cos А =

стороны прямоугольного треугольника).

Ответ:
  пусть cos А + cos В = а, тогда sin А +

а 1 = sin                < < 1 .
  Следовательно, а? < 2 «э

зиония

1 вариант

2 вариант

9

0 2 + 2аЬ + Ы Следовательно Р =
     2аЬ                               2аЬ
 > О. Неравенство
докажем способом «от противного».
2аЬ
Пусть                        >
  1, тогда 2оЬ > + Ы
(а — < О, что невозможно. 2аЬ
Следовательно,                                       1
  . Отсюда

Другое
  доказательство этого факто приведено в задаче 9 варианта 1 .

тест 16

тест 17

Номер задания

1 вори- ант

2 вари- ант

Номер задания

1 вариант

2 вариант

з

з

2

2

4

4

З

2

2

З

2

5

4

4

4

4

2

5

1 60 0

200

6

2

6

Окружности касаются внутренним образом

Окружность меньшего
  радиусо лежит в круге, ограниченном окружностью большего радиуса, и общих
  точек окружности не имеют

93

Тест 17

Номер за ания

1 варионт

2 вариант

7

Пересекает окружность в в х точках

Окружность и прямая не имеют об их
  точек

8

12

16

Тест 18

Тест 19

Номер за ания

1 вариант

2 вариант

Номер ония

1 вариант

2 вариант

2

5—г

2

2

5

5

з

2

2

з

2

4

4

5

8

5

5

10

6

3000

6

6,25

25

6

7

240

7

З и б

8

900

1200

8

Тест 20

Номер за ония

1 вариант

2 вариант

2

2

2

з

2

2

4

5

14

18

6

68

28

7

650

450

8

Нельзя. Решение: Пусть
  в четырёхугольник AMND вписана окружность. Тогда, по тео еме AD + МГЧ = АМ +
  ND.

Нельзя. В трапеции ABCD (ВС —
  меньшее основание) выполняется равенство AD + ВС = АВ + CD.

Номер за ония

1 вориант

2 вориант

8

Из условия следует, что
AD + ВС = АВ + Со. вычтем из второго
  равенства первое. Получим, что ВС — МГЧ =
= ВМ + CN или ВС = ВМ +
  +MN + НС. Но последнее равенство невозможно, т.к. ВМ +

неравенству треугольника) П отиво
  ечие.

Для трапеции AMND АМ + + DN < АВ + DC (поскольку
АМ              и DN < Х). далее,
МГЧ + AD > ВС + AD, так как
МГЧ > ВС. В силу равенства АО + ВС = АВ + CD имеем АМ + DN  МЫ + AD.

Тест 21

тест 22

Номер з ания

1 вориант

2 вориант

Номер за ания

1 вори- ант

2 вориант

1

2

2

2

2

2

2

З

з

4

4

5

5

480

46

6

Существуют, например,

Существуют, например,

6

350

1350

7

9

АО =

АО =
27

Задачи к итоговому тесту

Номер задания

1 вориант

2 ворионт

2

З

2

4

5

2

95
диагностическим контрольным задачам

Задачи к итоговому тесту

Номер задания

1 вориант

2 ворионт

6

7

8

1 6,. СС _-9,6; вс = 1 2,8.

вс=24; сс = 144; вс = 1 9,2

9

700

зоо

10

125

240

1 1

9

18

12

13

ZA = 36 0 ,
= 90 0 ,
или

54 0

Д = 22,5 0, кв = 90 0 ,
      67,5 0 или

14

доо

350

ОТВЕТЫ К
ДИАГНОСТИЧЕСКИМ КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАЧАМ
2. СЕ = 6, О = 10; 4. 60 0, 60 0
, 1 20 0 , 1 20 0 ; 5. ЗО О и 60 0 ;
6. 1 ; 7. От 1 до
1 1 см; 9. 60 0 , 60 0 ,
1 20 0 , 1 20 0 или 70 0 , 70 0 , 1
1 0 0 , 1 1 0 0 ; 10. 6 и 12;
11. 1 8 и 22;
12. 20 см; 13. 1 : 2; 14. 9; 15. 1 и 22; 16. з : 2; 17. 6,5;
18. 60 см; 19. 43±2; 20. 10
13 + 26; 21. нет; 22. а + с ; 23. б и
16; 13
24. 9 и
15; 25. 1 : 2; 26. 90 0 ; 27. 4; 28. 1 ; 29. 5,5; 25; 25 и 1 ,                5
30. 1 5; 31. 2 и 5 ; 35. 7; 39. 22;
40. 90 0; 43. 70, 60, 50; 44. 300, 30 0,
ЈђЂ
1 20 0 и 30 0
, 60 0 , 90 0 ; 46. 1 40 0 , 70 0 ,
40 0 , 1 1 0 0 ; 47. 1 25 0 , 1 25 0 ,
1 30 0 , 1 30 0 , 1 30 0 , 1 30 0 ,
1 30 0 ; 48. 1 и д; 49. СО = 1 2, ВС = о = 7; 50. ЗО О или
1 500.

file_name: Геометрия. 8кл. КИМы._Рязановский, Мухин_2014 -96с.pdf

intro:
. 8кл. КИМы._Рязановский, Мухин_2014 -96с

Данное методическое пособие содержит контрольные работы, самостоятельные, а также тесты за курс геометрии в 8 классе. Данное пособие предназначено для учителей математики для выполнения контроля знаний , умений и навыков по геометрии за курс 8 классаГеометрия. 8кл. КИМы._Рязановский, Мухин_2014 -96с

Данное пособие содержит контрольные работы, самостоятельные, а также тесты за курс геометрии в 8 классе. Данное пособие предназначено для учителей математики для выполнентя контроля знаний , умений и навыков по геометрии за курс 8 класса