extracted_text:
Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная
школа № 4»
Составитель Мехонцева М. Г.
Сборник задач для элективного курса
«Нестандартные методы
решения
уравнений и неравенств»
Учебно-методическое пособие
для учителей математики
1 Шадринск, 2015
Методы решения рациональных уравнений и неравенств
 Вынесение общего множителя
1. Разложение многочлена на множители
 Применение формул сокращенного умножения
 Выделение полного квадрата
2  Группировка
 Метод неопределенных коэффициентов
3  Деление на двучлен
Метод введения параметра
4 Решение уравнений
5 6 7 Симметрические и возвратные уравнения
8 9 10 11 Рациональные неравенства
Теоретическая справка
Блок 1. Метод интервалов
Неравенство   называется   рациональным,   если   левая   и   правая   его   части
являются   суммами   отношений   многочленов.   Одним   из   самых   мощных
методов решения неравенств.  Для этого неравенство приводится к виду
(x−x1)p1(x−x2)p2…(x−xk)pk
(x−xk+1)pk+1…(x−xm)pm
≥0 ,
где  pm  – кратность корня  xm.
При   этом   важно,   чтобы   разность   имела   вид
x−xm
¿
),   а   не
(xm−x)
.
Задача 1. Решить неравенство
Задача 2. Решить неравенства
4 −3(x−2)
3x−1
8 −1> 5−3x
2
.
3
x2+4
2.1
≥ 2x
x2+4                  2.2
2
5x−4
≤ 3
5x−4 .
Задача 3. Решить неравенства
5
4x2−9
3.1
>0                      3.2
9x2−1
2x2+5
≤0
3x2+11
16−x2 ≥0                    3.4
4
x2−25
≥ 3
25−x2
.
3.3
12 Задача 4. Решить неравенства
x2−x−6
2x2+9
4.1
≥0                    4.2
2
x2−2x−24
<
3
x2−2x−24
Задача 5. Решить неравенства
2x2
3x+7
5.1
≥0                    5.2
(x−3)2
x2−16
≤0
16−x2
(x+5)2 >0                    5.4
5.3
Задача 6. Решить неравенство
Задача 7. Решить неравенство
x3−9x2+20x
x−4
≤0 .
(x3−27)(x2−6x+9)
x2+x−2
≥0 .
x2
x2+2x+1
≥ −x
x2−2x−3 .
Домашнее задание
Задача 1.  Решить неравенства
2
x2+5
1.1
≤ 5x
x2+5                      1.2
3x2+1
3−2x<0
2x2
5x−4 > −3
5x−4                   1.4
x2+3
4x+5
≤ 2
4x+5
1.3
Задача 2. Решить неравенства
3
25x2−4
2.1
≤0                        2.2
4x2−1
2x2+3
>0
2
x2−81
2.3
≤ 5
x2−81                   2.4
4x2
36x2−49
<
−9
36x2−49
Задача 3.  Решить неравенства
x−2
x2−6x−40
3.1
≤0                   3.2
x2−5x+4
x2−2
>0
13 5x−x2+10
x2+5x+10
3.3
<0                   3.4
x2+2x−3
x2−6x+5
≤0
Задача 4. Решить неравенства
4.1
2x2
2x+5
≤0                           4.2
(x+7)2
x2−36
≤0
25−x2
(x−4)2≥0                         4.4
(x−1)(x+2)(x−3)2
(x+4)2(x−5)3 ≤0 .
4.3
Задача 5. Решить неравенства
x2+2x−2
x−3
5.1
≥1                      5.2
x2+3x−3
x+2
≤3
5.3
x−2
x+2
≥2x−3
4x−1                      5.4
2
x2−x+1
− 1
x+1
≥2x−1
x3+1
Уравнения и неравенства с модулем
Теоретическая справка
−а,еслиа≤0.
Блок 2. Модуль величины и его свойства
Определение.  |а|={ а,еслиа≥0,
Блок 3. Самые простые схемы
|f(x)|≤A⬄(f(x)−A)(f(x)+A)≤0
Примеры.
1. |5|=5.
|f(x)|≥A⬄[ f(x)≥A
2. |-10|=10.
f(x)≤−A
3. |π-3|=π-3.
Свойства модуля величины
1. |а|≥0.
|f(x)|=A⬄[ f(x)=A
2. |-а|=|а|.
f(x)=−A
3. |а|=0   <=> а=0.
|а|2=а2.
4.
Примеры.
√а2=|а| .
5.
1. |3x+5|≥4
[ 3x+5≥4
3x+5≤−4    [3x≥−1
Ответ.  x∊(−∞;−3]∪[ −1
3x≤−9   [x≥−1
;+∞).
3
x≤−3
3
14
2.  |x2−2x−7|=4
           [ x2−2x−7=4
x2−2x−7=−4    ⬄[x2−2x−11=0
⬄[ x=1±2√3 Блок  4. Неравенства вида  |f(x)|g(x).
|f(x)|g(x)      ⬄      [ f(x)>g(x)
f(x)<−g(x).
f(x)>−g(x)
Задача 1. Используя блок 3, решить уравнения
1.1|x2−x−5|=11.2|x2+5x+6|=2
1.3||x|−2|=2                      1.4 x2−|x|−2=0 .
Задача 2. Используя блок 3, решить неравенства
2.1  |x−1|<3          2.2  |x2+5x|<6          2.3  | x+1
2x−1|≤1.
Задача 3. Используя блок 3, решить неравенства
3.1  |x2−2x|>1       3.2   | x+3
2x−3|≥1 .
Задача 4. Используя блок 4, решить неравенства
15 4.1  ¿x2−4∨¿3x                4.2  x2−5x+9>¿x−6∨¿
4.3  |3x−2|>2x+1        4.4   x+5≤∨x2−3x∨¿ .
x2−4 |≤1.
Задача 5. Решить неравенство  |x2−5x+4

Домашнее задание
Задача 1. Используя блок 3, решить уравнения
|x2−3x−4|=21.2|x2−x−1|=1
1.1
1.3||x|−3|=21.4(x+2)2=2|x+2|+3.

Задача 2. Используя блок 3. Решить неравенства
2.1  |2x+5|<4        2.2  ¿x2−2x−3∨≤4         2.3  |x2−3x+2
x2+3x+2|<1.
Задача 3. Используя блок 3, решить неравенства
3.1  |x+5|>6         3.2  |3x+1
x−5|≥1                        3.3  |2x−1
x2−3|≥3.
Задача 4. Используя блок 4, решить неравенства
4.1|x−1|>1,5−2x             4.2  |x2−2x−3|<3x−3
4.3|x2−3|+2x+1≥0       4.4  |x2+3x|. Домножим
  обе   части   неравенства
|f(x)|−¿g(x)∨∨0  на положительное выражение
|f(x)|+¿g(x)∨¿ , тогда
(|f(x)|−|g(x)|)(|f(x)|+|g(x)|)∨0  ⬄ f(x)2−g(x)2∨0 ⬄
Задача 1. Используя блок 5, решить уравнения
|x+3|=2(3−x)1.2|x+3|=x2+x−6
1.1
17 1.3|x−1|=x2−3x−21.4|x2+x−3|=x
1.5|x2+x−1|=2x−1.

Задача 2. Используя блок 6, решить уравнения
2.1   |2x+1|x−3x−4=0       2.2   x|x|+8x−5=0
2.3   x2−5x|x−3|
x−3 −14=0         2.4   |x2−3|x|+1|=1.
Задача 3. Используя блок 6, решить уравнения
3.1   |x|−2|x+2|=6                 3.2  |x+2|−|x−4|=4
3.3 | x2−4 || x2−9 |=5             3.4  |x2−3x+2|+|x2−5x+6|=2 .
Задача 4. Используя блок 6, решить неравенства
4.1   |3x−2|x<1                         4.2   x2−5|x|+6>0
4.3   |x−1|+¿x+1∨≤4 .
Домашнее задание
Задача 1. Используя блок 5, решить уравнения
|x2−1|+x+1=01.2|2x+x2−3|=−(1−x)(3+x)
1.1
1.3|x2−2x|=3−2x1.4|3x2−x|=8+x
1.5|x−3|=−x2+4x−31.6x2+|x2+3x−4|=−3x+4.

Задача2. Используя блок 6, решить уравнения
2.1|x−2|x−6x+8=0
¿x−1∨ ¿
x−1=0
2.2x2+2x+3¿
18 ¿x−2∨¿=2.
2.3 x2+5x−6
¿

Задача3. Используя блок 6,  решить уравнения
3.1|x−1|+|x+2|−2x=1         3.2|x−3|+2|x+1|=4
3.3|x+5|+|x−8|=13                3.4  |x|+|x−2|+|2x−1|=4x−1
3.5|x2−x|+|x2−3x+2|=2           3.6 |x+1|−1
2|x−4|+x−8
=1.
Задача4. Используя блок 6, решить неравенства
4.1  2x2−3|x|+1≤0                          4.2   |1+2x|−|x+2|<2
|x+3|−1
2|x+4|−4
4.3
≤1                                         4.4   2|x+1|−|x−1|>3
¿x+3∨
4.5
>2.
x2+5x+6
¿
¿
Задача 5. Используя блок 7, решить неравенства
5.1  |3x−2|>¿2x+1∨¿                           5.2  ¿x+4−x2∨≤∨x2−5x+4∨¿
5.3  |2x2+x−1|>|x+1| .
Задача 6. Решить неравенство  ¿x2−5∨x∨+4∨≥|2x2−3|x|+1|.
Иррациональные уравнения и неравенства
Блок 8. Уравнения вида  √f(x)=g(x)
√f(x)=g(x){f(x)=g2(x)
g(x)≥0.

Теоретическая справка
Пример. Решить уравнение  √12−x=x.
Решение.  {12−x=x2
x≥0
⬄{x2+x−12=0
x≥0
⬄{[x=−4
x=3
x≥0
19
. f(x)≥0
g(x)≥0
⬄{f(x)=g(x)
Блок 9. Уравнение вида  √f(x)=√g(x)
√f(x)=√g(x)⬄{f(x)=g(x)
Решаем ту эквивалентную систему, которая ПРОЩЕ!
Пример. Решить уравнение  √x+2=√2x−5
Решение. {x+2=2x−5
⬄{ x=7

x+2≥0
x≥−2
Пример. Решить неравенство  √x+70
{x+72√4−x2
3.3  √(x−6)(x−12)2x+1
4.3  √2x−x2>4−x
4.4  √x2−5x−24≥x+2.
Задача 1. Используя блок 8, решить уравнения
Домашнее задание
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
√5x−1=x+1
√35−5x+2x=9
√8x2−7=3x−4
√2x2+8x+7−2=x
√1+x√x2+42=x+1.
Задача 2. Используя блок 9, решить уравнения
2.1  √x2−5x+1=√x−4
2.2  √8−5x=√x2−16
2.3  √6x2+2x−10=√x2−x−2.
Задача 3. Используя блок 10, решить неравенства
21 3.1  √7+3x<1−x
3.2  √6x+4≤3x−2
3.3  √x2−x−1≤2x+3
3.4  √4x−x2<4−x
5−¿x+1∨¿≤2+x
√¿
.
3.5
Задача 4. Используя блок 11, решить неравенства
4.1   √2x−x2+1≥2x−3
4.2  √x2−3x+2−3−x>0
4.3  x+4<√−x2−8x−12
4.4  √2x2+5x−6>2−x
4.5  √x2−4x>x−3.
Иррациональные уравнения и неравенства
Теоретическая справка
f(x)≤g(x)
Блок 12. Неравенства вида  √f(x)≤√g(x),√f(x)<√g(x)
√f(x)≤√g(x)⬄{ f(x)≥0
Блок 13. Метод расщепления
√f(x)<√g(x)⬄{ f(x)≥0
f(x)0
f(x)>0
g(x)−определена

Пример. Решить неравенство  √x2−3x+1≥√3x−4 .
⬄{(x−5)(x−1)≥0
x≥4
22
3
⬄x≥5.
g(x)−определена Блок 14. Две основных теоремы
  f1(x)=g1(x)иf2(x)=g2(x) называются
Определение.  Два   уравнения
равносильными на множестве  M, если совпадают множества их корней,
принадлежащие  M.
Определение. Если множество корней уравнения  f2(x)=g2(x)
множество корней уравнения   f1(x)=g1(x)
называется следствием уравнения  f1(x)=g1(x)
Теорема1.  Уравнение
уравнения  f(x)=g(x).
 содержит
, то уравнение   f2(x)=g2(x)
.
(f(x))2n=(g(x))2n
,   n∊N ,   является   следствием
Задача 1. Используя блок 12, решить неравенства
1.1
1.2
1.3
√x+2>√8−x2
√3x+1<√x+3
√4x2−4x+2≥√1+x−2x2.
Задача2. Используя блок 13, решить уравнения
2.1(2x−3)√2x2−5x+2=0
2.2√3x+4(9x2+21x+10)=0.

Задача3. Используя блок 13, решить неравенства
3.1 (3x+10)√x−4≤0
3.2 (x+2)√(4−x)(5−x)≥0
(x+8)√x2−5x+4>0
(x2−9)√25−x2<0.
3.3
3.4
Задача 4. Используя блок 13, решить неравенства
23 √8−2x−x2
x+10 ≤√8−2x−x2
2x+9
4.1
√2−x−x2
x−4 ≥√2−x−x2
2x+11
.
4.2
Задача 5. Используя блок 14, решить неравенства
5.1  √x+3+√3x−2≤7
5.2  3√x−√x+3>1
5.3  √x+3+√x+2−√3x+7>0 .
Задача 1. Используя блок 12, решить неравенства
Домашнее задание
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
√2x−1≥√x+4
√x+1>√x−1
√2x2+6x+3≥√−x2−4x
√ 8−x
x−10≤√ 2
2−x
√2−√3+x<√x+4.
Задача 2. Используя блок 13, решить уравнения
(x−3)√x2−5x+4=2x−6
(x+1)√16x+17=(x+1)(8x−23)
(x+4)√2x−4=(x+4)(x−1).
2.1
2.2
2.3
Задача 3. Используя блок 13, решить неравенства
(x+2)√(4−x)(5−x)≥0
3.1
24 x−3
(x−12) √¿≤0¿
(x+2)2(x−1)2√x−7≥0
√2x2+15x−17
10−x ≥0 .
3.2
3.3
3.4
Задача 4. Используя блок 13, решить неравенства
√12−x−x2
2x−7 ≤√12−x−x2
x−5
4.1
√6+x−x2
2x+5 ≥√6+x−x2
x+4
.
4.2
Задача 5. Используя блок 14, решить неравенства
5.1  √x+3+√x+15<6
5.2  √x−6−√10−x≥1
5.3  √x+3+√x+2−√3x+7>0.
Смешанные уравнения и неравенства
Задача 1. Решить уравнение
4−7x∨x+2∨¿=3x+2.
√¿
Задача 2. Решить неравенство  √x2+|x−4|−18>x−4.
Задача 3. Решить неравенство  √x−3≤3−|x−6|.
Задача 4. Решить неравенство  3√|x+1|−3≥√x2−2x−3.
Задача 5. Решить неравенство  |x−2√x+2|+¿2√x+3−x∨≤7.
Домашнее задание
25 Задача 1. Решить уравнение  3√x+4=5−2|x+2|.
Задача 2. Решить уравнение  √2−x2=|x|−1.
Задача 3. Решить неравенство  √x2+x+4≤2x+|3x−2|.
Задача 4. Решить неравенство  √|1−8x|−2≤x+1.
Задача 5. Решить неравенство  √x2−5+3>|x−1|.
Задача 6. Решить неравенство  2√x2−x−2≥|x+1|−2.
Задача 7. Решить неравенство  |x−2√x−3|+|x−√x−2|>6.
Теоретическая справка
Метод декомпозиции
Блок 15. Метод декомпозиции.
Введем два важных понятия: базовая функция и её эквивалент.
Базовая функция-это такое выражение, при замене которого
на эквивалент, множество решений неравенства не изменится.
Ниже приведен список базовых функций и их эквивалентов.
Впоследствии мы его значительно расширим.
Базовая функция
1.  ¿t∨¿
2.  |t1|−¿t2∨¿
3.  at2+bt+c
4.  √t1−√t2
5.  |t1|−√t2
6. at2+bt+c
Основная идея метода декомпозиции
Если левая часть неравенства представляет собой выражение
вида
Эквивалент
1.  t2
2.  t1
3. a, при D<0
4.  t1−t2 , при  t1≥0,t2≥0
5.  t1
6.  t2−(at2+bt+c)2,приD<0.
2
2−t2
2−t2,приt2≥0
|t|−¿
)
26 Задача 1. Решить неравенство
Задача 2. Решить неравенство
x2−7|x|+10
x2−6x+9
<0.
|x+2|−¿x∨ ¿
√4−x3
¿
>0.
Задача 3. Решить неравенство
(√3x+5−√x+3)(|x−4|−x2−2)<0.
Задача 4. Решить неравенство
Задача 5. Решить неравенство
√8−x−¿x−2∨¿≥1.
√x+2−¿x−2∨¿
¿
¿
(x+ 7
x)(√x2−10x+25−1
√10−x−1
)2
≥8(√x2−10x+25−1
√10−x−1
)2
.
Задача 1. Решить неравенство
Домашнее задание
x2−7|x|+12
x2−10x+25
<0.
Задача 2. Решить неравенство
(√3x+4−√x+1)(|8x−5|−|3x+2|)<0.
Задача 3. Решить неравенство  |x+3|−√x2−2x−3≥0.
Задача 4. Решить неравенство
Задача 5. Решить неравенство
√3x+2−√2x+1
√4−x
>0.
√2x2−3x−5
√x−2
<√x+1
27 Задача 6. Решить неравенство
|x+2|−√2x+12
|x+3|−√12+4x
≥0.
Задача 7. Решить неравенство
(x+ 9
x)(√x2−8x+16−1
√13−x−1
)2
≥10(√x2−8x+16−1
√13−x−1
)2
.
Дополнительные задачи
Задача1.(x−1)(x+2)(x−3)2
(x+4)2(x−5)2 ≤0.

Задача2. x2−5x+4
x2−2
>0.

Задача3.(x3−27)(x2−6x+9)
x2+x−2
≥0.

Задача4. x2+2x−2
x−3
≥1.

Задача5. x2−2x+3
x2−4x+3
≥−3.

Задача6. x−2
x+2
≥2x−3
4x−1.

Задача 7.
(x−5)(x+4)(x2+6x+9)≥0.
Задача 8.
(x2−10x+21)(x2−6x−7)
(x2+5x+6)(x2−4)
≤0.
Задача 9.
1
x<1.
Задача 10.
5x+8
4−x <2.
Задача 11.
2x
x2−9
≤ 1
x+2
.
28 Задача 12.
7
(x−2)(x−3)
+ 9
x−3 +1<0.
Задача 13.  2x2+2x+1− 15
x2+x+1
<0.
Задача 14.  |2x−3|=7.
Задача 15.  ||x|+2|=2.
Задача 16.
¿x2−x−2∨ ¿
x+1=3.
¿
Задача 17.  |x2+x−3|=x.
Задача 18.  |5x+2|=3−3x.
Задача 19.  |x−|x−|x−1|||=1
2
.
Задача 20.  |x|−|x−2|=2.
Задача 21.  |x|+|3x+2|+|2x−1|=5.
Задача 22.
x2+¿x−5∨¿=1.
|x2−4x|+3
¿
Задача 23.  |2x−1|<3.
Задача 24.  |x2+3x|2.
Задача 32.   |2−|x||<2|x|.
Задача 33.  ¿x2−5∨x∨+4∨≥|2x2−3|x|+1|.
Задача 34.  √2x−9=√6−x.
Задача 35.  √x2−4x+5=√x−1.
Задача 36.  √2x2−7x+5=1−x.
Задача 37.  √5x−1=1−x.
Задача 38.  √3+√5−x=√x.
Задача 39.  1+√1+x√x2−34=x.
Задача 40.
(x+1)√x2+x−2=2x+2.
Задача 41.
(x−1)√x2−x−6=6x−6.
Задача 42.  √2x−4−√x+5=1.
Задача 43.  √3x+1+√16−3x=5.
Задача 44.  √4x+8−√3x−2=2.
Задача 45.  2√x−1−√x+2−√5x−10=0.
Задача 46.  √ 2x−3
4x−1≥√ x−2
x+2 .
30 Задача 47.  x+4≤√x+46.
Задача 48.  x−3<√x+27.
Задача 49.  √x2−x−2≤x−1 .
Задача 50.  √x2−3x−18<4−x.
Задача 51.  √x2+3x+3<2x+1.
Задача 52.
√3−2x−x2
x+8 ≤√3−2x−x2
2x+1
.
Задача 53.
(x−1)√x2−x−2≥0.
Задача 54.
(x2+3x−10)√2x2+5x+2≥0.
Задача 55.  3√x+2≤6−|x−2|.
Задача 56.  √x2+2√x2−1+√x2−2√x2−1≤2.
Задача 57.  √x3+x2−4x+1≥|x−2|.
2
4
x3+37
(x+4)3≥1+
(x+4)2
≤(3x+1)2
1
Задача 58. {(x−1)2+4(x+1)2
Задача 59.  {(x2−5,6x+7,84)(x−2,5)≤0
Задача 60.  {
Задача 61.  { 1
x−2− 6
√x2+34≥6
25x2−3|3−5x|<30x−9
1
x−2 + 1
3−x≤5
2x2−2x+1
2x−1 ≤1
x−1+ 2
x−3≥0
31 Задача 62.
(
1
x2−7x+12
3−x)√6x−x2≤0
+x−4
Занятие 1.
Задачи. 1.  x∊(1,6;+∞).   2.1  x∊(−∞;1,5].   2.2  x∊(−∞;0,8)∪(0,8;+∞).
Ответы.
−1
3
x∊¿
3.1  x∊(−∞;−1,5)∪(1,5;+∞).   3.2
1
3 ¿ .    3.3
3.4   x∊(−∞;−5)∪(5;+∞).   4.1  x∊(−∞;−2]∪[3;+∞).
4.2   x∊(−∞;−4)∪(6;+∞).   5.1  x∊(−7
−4
x∊¿ ; 4¿ .
;+∞).   5.2
−4
x∊¿ ; 4¿ .
3
;
−4
x∊¿ ; 4¿ . 5.4  x∊[0;4)∪(4;5].   6.  x∊(−2;1)∪¿.
5.3
7.  x∊(−∞;−1)∪(−1;0]∪(3;+∞).
Домашнее задание. 1.1  x∊[0,4;+∞).  1.2  x∊(1,5;+∞).  1.3  x∊(0,8;+∞).
1.4x∊(−∞;−1,25).    2.1  x∊(−0,4;0,4)
.  2.2  x∊(−∞;−0,5)∪(0,5;+∞).
2.3  x∊(−∞;−9)∪(9;+∞).   2.4  x∊(−7
6).   3.1  x∊(−∞;−4)∪¿.
;7
)∪( 5+√65
3.2  x∊(−∞;−√2)∪(1;√2)∪(4;+∞).  3.3  x∊(−∞;5−√65
   4.1x∊(−∞;−2,5).   4.2x∊(−6;6)
3.4  x∊[−3;1)∪(1:5)
4.3x∊[−5;−4)∪(−4;5].   4.4  x∊(−∞;−4)∪(−4;−2)∪¿.
5.1  x∊(3;+∞).   5.2  x∊(−∞;−3]∪(−2;3].   5.3  x∊(−∞;−2)∪(0,25;1]∪[4;+∞).   5.4
x∊(−∞;−1)∪(−1;2]
2 ;+∞).
.
6
2
.
2
.   1.2  x=−1,x=−4.
Занятие 2.
Задачи. 1.1  x=−2,x=3,x=1±√17
1.4x=±2.
3.1  x∊(−∞;1−√2)∪(1+√2;+∞).  3.2  x∊[0;1,5)∪(1,5;6].
4.1  x∊(1;4).   4.2  x∊(−∞;1)∪(3;+∞).   4.3  x∊(−∞;0,2)∪(3;+∞).
x∊(−∞;−1)∪(5;+∞).  5.  x∊[0;1,6]∪[2,5;+∞).
   2.1   x∊(−2;4).   2.2  x∊(−6;−3)∪(−2;1).  2.3  x∊(0;0,5)∪(0,5;2).
  1.3   x=±4,x=0.

 4.4
32 2
2
,x=3±√17
   2.1  x∊(−4,5;−0,5)
.  1.2  x=±1,x=0,x=3.
Домашнее задание. 1.1  x= 3±√33
   1.4  x=1,x=−5.
1.3x=±1,x=±5.
2.2  x∊(1−2√2;1+2√2).  2.3  x∊(−2;−1)∪(0;+∞).   3.1  x∊(−∞;−11)∪(1;+∞).   3.2
x∊(−∞;−3]∪[1;5)∪(5;+∞). 3.3
x∊[ −1+√31
;−√3)∪(−√3;−4
3
x∊(2;5).
4.3  x∊(−∞;−1−√3]∪[1−√5;+∞).   4.4 x∊(−1−√5;−2)∪
(−2;−1+√5).   4.5  x∊(−0,75;1).   4.6  x∊R.  4.7   x∊(−∞;−1]∪[0;+∞).

5.  x∊[1;2)∪(3;4].
;√3)∪(√3;2].   4.1  x∊(0,5;+∞).
3]∪[ −1+√31
 4.2
3
   1.3  x=−1,x=2+√5.  1.4  x=1,x=√3.
 2.2  x=−4+√21 2.3  x=2,x=±7.

 2.4
4.1
x∊(−∞;1).
4.2
  1.2  x∊(−∞;−3]∪[1;+∞).   1.3  x=1,
 1.6  x∊[−4;1].  2.1  x=4+2√2
  x=−√3.
Занятие 3.
Задачи. 1.1  x=1.
1.5  x=1,x=√17−3
x=0,x=±1,x=±2,x=±3.
   1.2  x=±3.
.
2

 2.1  x=2.
 3.1  x∊⊘ . 3.2  x=3.

x=1,x=3.

3.4
x∊(−∞;−3]∪[3;+∞).
−7±√98
3.3
x∊(−∞;−3)∪(−2;0].  4.3  x∊[−2;2].
Домашнее задание.  1.1  x=−1.
1.4  x=2,x=−4
.  1.5  x=2,x=3.
3
x=−2±2√3.  2.2  x=−3.
  2.3  x=
3.3  x∊[−5;8].
 3.4  x=1.
x∊[−1;−0,5]∪[0,5;1].  4.2  x∊(−5
4.4  x∊(−∞;−6)∪( 2
∊(−∞;0]∪[2;3].   5.3  x∊(−∞;−1)∪(−1;0)∪(0;+∞).
6.  x∊[ −5
3].
;5
3
3

33
2
 3.5  x=0,x=2.
.   3.1  x∊[1;+∞).  3.2  x=−1.
  3.6  x=8.

;3).   4.3  x∊(−∞;−8]∪(−6;−2)∪(−2;+∞).
;+∞).   4.5  x∊(−2;−1,5).      5.1  x∊(−∞;0,2)∪(3;+∞).
3
 4.1
 5.2 16
  1.4  x=2+√5.   2.1  x=10.
 2.2  x∊⊘ .
;6]∪[12;+∞).  4.1
 1.2  x=1.  1.3  x=3.
13).  3.2  x∊[−2;−1,6)∪(0;2].  3.3  x∊( 71
Занятие 4.
Задачи. 1.1  x=3.
3.1  x∊(−∞;−2]∪[5;74
x∊(−∞;3].   4.2  x∊(−∞;0).   4.3  x∊⊘ . 4.4  x∊(−∞;−3].
  1.3  x=23.
Домашнее задание. 1.1  x=1,x=2.
1.5  x=0,x=9,5.
  2.3   x=−1,6.
3.2  x∊[2;+∞).    3.3  x∊[−1;1−√5
2 ;+∞).    3.4  x∊[0;2).    3.5  x∊[0;4].
4.1  x∊[1−√2;2].  4.2  x∊(−∞;−7
4.4  x∊(−∞;−10)∪(1;+∞).  4.5  x∊¿∪(4,5;+∞).
 2.2  x=−8.
2 ]∪[ 1+√5
9).   4.3  x∊[−6;−4+√2].
  1.4  x=−1.
   3.1  x∊[ −7
  2.1  x=5.
;−1).
 1.2  x=2.

3
Занятие 5.
2
3
3
x=2,x=0,5.
;1).
,x=−2
3
;6].   5.2  x∊(1;+∞).  5.3   x∊(−2;+∞).
Задачи.  1.1  x∊[ −1
 2.2  x=−4
3
 1.2  x∊(2;2√2].   1.3  x∊[ −1
.   3.1  x=4.
3]∪[ 1
;1
  3.2  x∊[−2;4]∪[5;+∞).
3.3  x∊(−8;1]∪[4;+∞).  3.4  x∊(−3;3).  4.1  x∊[−4;1]∪{2}.  4.2  x=1,
5.1  x∊[ 2
Домашнее задание. 1.1  x∊[5;+∞).  1.2  x∊[1;+∞).  1.3  x∊[−4;−3]∪[ −1
x∊⊘ . 1.5  x∊(−3−√5
2.3  x∊⊘ .  3.1  x∊[−2;4]∪[5;+∞).   3.2   x∊[3;12].   3.3  x∊[7;+∞).
3.4  x∊(−∞;−8,5]∪[1;10).   4.1  x∊[2;3]∪{−4}.   4.2  x∊[−2;−1]∪{3}.
5.1  x∊[−3;1].   5.2  x∊[ 16+√7
2 ;10].   5.3  x∊(−2;+∞).
;1].   2.1  x=0,x=5.
  2.2  x=−1,x=4.
2

;1].   2.1
2
  x=−2.
;0].   1.4
3
Занятие 6.
Задачи. 1.  x=0.
  2.  x∊(−∞;1−√57
2
]∪( 38
9 ;+∞). 3.  x∊{3}∪[6;7].
34 2
].  5.  x∊[0;6+2√5].
4.  x∊[3;11+√61
Домашнее задание. 1.  x=−3,75,x=−3,x=1,75.   2.  x=±1+√3
2 .
3.  x∊(−∞;0]∪[0,875;+∞).   4.  x∊[−5+√23;−0,125]∪[0,375;3−√5]∪
[3+√5;+∞).      5.  x∊(−∞;−2,25)∪(√5;+∞).   6.  x∊(−∞;−1]∪[ 1+√28
x∊(0,25;1)∪( 53+3√97
;+∞).
8
3 ;+∞).      7.
Занятие 7.
Задачи. 1.  x∊(−5;−2)∪(2;3)∪(3;5).   2.  x∊(−1;3√4).  3.  x∊¿∪
(1;+∞).   4.  x∊[−2;−1)∪[3;4).   5.  x∊(0;1)∪{4}∪{6}∪[7;9)∪(9;10].
Домашнее задание. 1.  x∊[−4;−3]∪[3;4].   2.  x∊[−1; 3
11]∪[1,4;+∞).
3.  x∊[−1,5;−1]∪[3;+∞).    4.  x∊[−0,5;4).   5.  x∊[2,5;3).  6.  x∊(−3;1)∪
[2;+∞).   7.  x∊(0;1]∪{3}∪{5}∪[0;12)∪(12;13].
 6.
 4.  x∊(3;+∞).   5.  x∊(−∞;1)∪[1,5;2]∪[3;+∞).
Дополнительные задачи.
1.  x∊(−∞;−4)∪(−4;−2]∪[1;5).   2.  x∊(−∞;−√2)∪(1;√2)∪(4;+∞).
  x∊(−2;1)∪[3;+∞).
3.
∊(−∞;−2)∪(0,25;1]∪[4;+∞).     7.  x∊(−∞;−4]∪[5;+∞).
8.  x∊(−3;−2)∪(−2;−1]∪(2;3]∪{7}.   9.  x∊(−∞;0)∪(1;+∞).
10.  x∊(−∞;0)∪(4;+∞).    11.    x∊(−∞;−3)∪(−2;3).    12.  x∊(−5;1)∪(2;3).      13.
x∊(−2;1).    14.    x=−2,x=5.
   17.  x=1,x=√3.    18.
  19.  x=1
x=−2,5,x=0,125.
6
20.  x∊[2;+∞).   21.  x=−1,x=2
3
24.  x∊(−1−√5;−2)∪(−2;−1+√5).   25.  x∊( 11−√57
27.  x∊(−∞;−2
;11+√57
3]∪[0,5;+∞).    28.  x∊(−∞;0).   29.  x∊[ −5
 23.  x∊(−1;2).
).   26.  x∊R.
3]∪[ 6
;2
  15.  x=0.
,x=0,5,x=1,5.

.   22.  x=−2
3
   16.  x=5.
,x=0,5,x=2.
;4].
7
4
4
3
35 3
 49.
  x∊[2;3].
  50.  x∊(−∞;−3].
3)∪
  35.  x=2,x=3.
  36.  x=1. 37.  x=0.
3]. 34.   x=5.
;5
;+∞).   33.  x∊[ −5
3
  39.  x=9,5.    40.  x=−3,x=2.
30.  x∊(−∞;−4]∪[−1;+∞).    31.  x∊(4;6)∪(6;8).   32.  x∊(−∞;−2
( 2
38.  x=4.
43.  x=0,x=5.
x∊[−27;9).
x∊{−3}∪(−0,5;1]∪[4;5].   53.  x∊{−1}∪[2;+∞).     54.  x∊¿∪
{−2}∪{−0,5}∪[2;+∞).    55.  x∊[−2;−1]∪{2}.   56.  x∊[−√2;−1]∪[1;√2].
57.  x∊[3√3;+∞).
  44.  x=2,x=34.    45.  x=2.    46.  x∊[2;4]. 47.  x∊[−46;3]. 48.
;+∞).   52.
  41.  x=−6,x=7.
 42.  x=20.
 51.  x∊( 2
3
Решение «банковских» задач в новой версии ЕГЭ2015
по математике.
Решение задач на сложные проценты
Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате
инвестирования   денег   при   условии,   что   сумма   начисленного   простого   процента   не
выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в
следующем платежном периоде сама приносит доход.
Сложные проценты  это проценты, полученные на начисленные проценты.
Формула сложного процента  это формула, по которой рассчитывается итоговая
сумма с учётом начисления процентов.
х  (1+ 0,01а)n   периодическое увеличение некоторой величины на одно и то же
число процентов.
х(1+ 0,01а)n,
где х  начальный вклад, сумма.
а – процент(ы) годовых
n время размещения вклада в банке
Но,  мы  можем  и уменьшать  цену,  поэтому  эту  формулу  можно  записать  и по
другому: х(1 0,01а)n  периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же
число процентов.
Пример:
Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 % годовых.
Через год на вашем банковском счету будет лежать
сумма SUM = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб.
Ваша прибыль  1000 рублей.
Вы решили оставить 11 000 руб. на второй год в банке под те же 10%.
36 Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.
Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10 000р) и на
второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3й год прибыль за 2й год
прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.
Этот эффект и получил название сложный процент.
Когда   вся   прибыль   прибавляется   к   основной   сумме   и   в   дальнейшем   уже   сама
производит новую прибыль.
Задача 1
Вкладчик  открыл счет в банке, внеся 2000  рублей  на вклад, годовой доход  по
которому составляет 12%, и решил в течение шести лет не брать процентные начисления.
Какая сумма будет лежать на счете через шесть лет?
Решим эту задачу по формуле сложных процентов
х (1 + 0,01а)n,
где х – первоначальный вклад.
а – процент годовых.
n  время размещения вклада в банке.
Применим эту формулу к нашей задаче
первоначальный вклад – 2000
процент годовых  12
n – 6 лет, значит
2000(1 + 0,12)6 = 2000*1,126 = 2000*1,973823 = 3947,65
ОТВЕТ: через 6 лет на счете будет лежать сумма в виде 3947 руб. и 65 коп.
Задача 2 (ЕГЭ 2006год)
После   двух  последовательных   снижений   цен  на   одно   и  то   же  число  процентов
стоимость товара с 400 рублей снизилась до 324 рублей. На сколько процентов стоимость
товара снижалась каждый раз?
Решим эту задачу по формуле сложных процентов – х (10,01а)n
Получим:
400*(10,01а)2=324
20(1 – 0,01а) = 18
1 – 0,01а = 0,9
а = 10
ОТВЕТ: стоимость товара каждый раз снижалась на 10%
Задача 3 (ЕГЭ 2006год)
По пенсионному вкладу банк выплачивает 12% годовых. По истечению каждого
года   эти   проценты   капитализируются,   то   есть   начисленная   сумма   присоединяется   к
вкладу. На данный вид вклада был открыт счет на 80000 рублей, который не пополнялся
и с которого не снимались деньги в течении двух лет. Какой доход был получен по
истечении этого срока?
37 Решение:
Эту задачу можно решить двумя способами: 1)по действиям
2)по формуле сложных процентов
Решение:
1)узнаем доход за первый год
80000*0.12=9600руб.
2)найдем сумму на счете после первого года
80000+ 9600= 89600руб.
3)определим доход за второй год
89600* 0,12= 10752 руб.
4)узнаем конечную сумму на счете
10752 + 89600= 100352руб.
5)найдем доход после двух лет
100352 80000= 20352 руб.
ОТВЕТ: по истечении двух лет получился доход в размере 20352 руб.
Эту же задачу решим по формуле банковских процентов: х(1 + 0,01а)n
Пусть: х – 80000 – начальный вклад
а – 12% годовых
n – 2 года, получим:
80000(1+ 0,12)2 = 80000 * 1,122 = 100 352 руб.
Этим узнали конечную сумму на счете после двух лет. Теперь надо узнать какой
доход был получен. Для этого из конечной суммы вычтем начальный вклад.
100352 – 80000 = 20 352руб.
ОТВЕТ: по истечении срока был получен доход в размере 29 352 руб.
Задача 4 (ЕГЭ 2006год)
Банк   предлагает   клиентам   два   вида   вкладов.   Первый   «До   востребования»   со
следующим порядком начисления процентов: каждые 6 месяцев счет увеличивается на
10%   от   суммы,   имеющиеся   на   счету   клиента   в   момент   начисления.   Второй   вклад
«номерной» с ежегодным начислением процентов по вкладу. Сколько процентов годовых
должен начислять банк по второму вкладу, чтобы равные суммы, положенные клиентом
на каждые из указанных счетов, через два года оказались снова равными?
Решение:
Решим эту задачу уравнением, применяя форму банковских процентов.
Пусть: х – начальный вклад; тогда через 6 месяцев сумма на счете будет равна
х*х+0,1=х(1+0,1);
через год сумма будет
х(1+0,1)+х(1+0,1)*0,1= х(1+0,1)2;
Тогда через два года сумма будет равна х(1+0,1)4
Сумма вклада «Номерной» через два года, после двух начислений равна х(1+0,01х)2
Получим уравнение:
х(1+0,01х)2 = х(1+0,1)4
1+0,01х=(1+0,1)2
100+

 х = 110
 2
38 100       100
100+х = 12100
               100
100+х=121
Х=21%
ОТВЕТ: банк должен начислять 21% годовых, по «номерному» вкладу.
Вывод: решила задачу, применив свойство сложных процентов.
Задача 5 (ЕГЭ 2006год)
Для   определения   оптимального   режима   снижения   цен   социологи   предложили
фирме с первого января снижать цены на товар в двух магазинах двумя способами. В
одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 20%, в другом через
каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и тоже число процентов,
причем такое, чтобы через полгода (первого июля) цены снова стали одинаковыми. На
сколько   процентов   надо   снижать   ценны   товара   через   каждые   два   месяца   во   втором
магазине?
Решение:
Решим эту задачу с помощью формулы сложных процентов: х(1+0,01а)n
Пусть: х – начальная цена, тогда, через месяц, после первого понижения, в первом
магазине, цена на товар будет равна х(10,2) после второго понижения х(10,2)2;
Тогда, через полгода (после шести понижений) цена будет равна х(10,2)4
Цена товара, во втором магазине после трех понижений на а% будет равна
х(10,01а)2 Получаем уравнение:
х(10,01а)2= х(10,2)4
1 – а = (100 20)
 2
100         1002
100 – а = 80
100 1002
100 – а = 64
а = 36%
ОТВЕТ: на 36% надо снижать цены во втором магазине.

Задача 6 (ЕГЭ 2006 год)
В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от инфляции была
обязана в начале каждого квартала (3 месяца) повышать сотруднику зарплату на 2%.
Однако с связи с финансовыми затруднениями она смогла повышать ему зарплату только
раз в полгода (в начале следующего полугодия). На сколько % фирма должна повышать
зарплату каждые полгода, чтобы первого января следующего года зарплата сотрудника
была   равна   той,   которую   он   получил   бы   в   режиме   повышения,   предусмотренной
договором?
Решение:
Для решения составим таблицу:

Через
повышается
какое

время
на сколько % повышается
Какая зарплата будет
39 Через каждые 3 месяца
Через каждые полгода
2%
а%
 х(1+0,02)4
 х(1+0,01а)2
По таблице составим уравнение:
х(1+0,02)4 = х(1+0,01а)2
(1+0,02)2 = (1+0,01а)
102
1002    100
а = 4,04%
ОТВЕТ: через каждый полгода зарплату сотрудникам надо поднимать на 4,04%.
 2 = 100+

 а
Задача 7. Нахождение количества лет выплаты кредита.
Максим хочет взять в банке кредит 1,5 миллиона рублей. Погашение кредита происходит
раз   в   год   равными   платежами   (кроме,   может   быть,   последней)   после   начисления
процентов. Процентная ставка 10%   годовых. На какое минимальное количество лет
может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей?
Решение.
1)В конце первого года долг составит:
1500000 ∙ 1,1 – 350000 =1300000 (руб)
2) В конце второго  года долг составит:
1300000 ∙ 1,1 – 350000 = 1080000 (руб)
3)В конце третьего  года долг составит:
1080000 ∙ 1,1 – 350000 = 838000 (руб)
4)В конце четвертого  года долг составит:
838000 ∙ 1,1 – 350000 = 571800 (руб)
5)В конце пятого  года долг составит:
571800 ∙ 1,1 – 350000 = 278980 (руб)
6) В конце шестого  года долг составит:
278900 ∙ 1,1 =306878 (руб)
Эта сумма менее 350000 руб. Значит, кредит будет погашен за 6 лет.
Ответ: 6 лет
Задача 8. Вычисление процентной ставки по кредиту.
31 декабря 2014 года Валерий взял в банке 1000000 рублей в кредит. Схема выплаты
кредита следующая. 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на
оставшуюся сумму долга, затем Валерий переводит в банк очередной транш. Валерий
выплатил кредит за два транша, то есть за два года. В первый раз Валерий перевел в банк
660000 рублей, во второй раз – 484000 рублей. Под какой процент банк выдал кредит
Валерию?
40 Решение. Пусть а  процентная ставка по кредиту.
1)В конце первого года долг составит:
1000000 ∙ (1 + 0,01∙ а) – 660000 = 340000 + 10000∙а
2)  В конце второго  года  долг составит:
(340000 + 10000∙а) ∙ (1 + 0,01∙а) – 484000.
По условию задачи кредит будет погашен за два года. Составляем уравнение: (340000 +
10000∙а) ∙ (1 + 0,01∙а) – 484000 = 0;
а2
 + 134∙а – 1440 = 0
Решая уравнение, получаем, что  а = 10.
Ответ: 10%
Задача 9. Нахождение суммы кредита.
31 декабря 2014 года Максим взял в банке некоторую сумму денег в кредит под 10%
годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк
начисляет   проценты   на   оставшуюся   сумму   долга,   затем   Михаил   переводит   в   банк
2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя
равными платежами, то есть за 4 года?
Решение. Пусть S – сумма кредита.
1)В конце первого года долг составит:  (1,1х – 2928200) рублей
2)  В конце второго  года  долг (в рублях) составит:
(1,1х – 2928200)∙1,1 – 2928200 = 1,21х – 3221020 – 2928200 = 1,21х – 6149220
3)  В конце третьего  года  долг (в рублях) составит:
(1,21х – 6149220)∙1,1 – 2928200 = 1,331х – 6764142 – 2928200 =
=1,331х – 9692342
4)  В конце четвертого  года  долг (в рублях) составит 2928200 рублей:
(1,331х – 9692342)∙1,1 = 2928200;
1,4641х – 10661576 = 2928200;
1,4641х = 13589776;
х = 9281999,8.
Значит, сумма кредита равна 9282000 рублей.
 Ответ: 9282000 руб
Задача 10. Нахождение ежегодного транша.
31 декабря 2014 года  Роман взял в банке 8599000 рублей  в кредит под 14% годовых.
Схема   выплаты   кредита   следующая   –   31   декабря   каждого   следующего   года   банк
начисляет проценты на оставшуюся сумму долга(то есть увеличивает долг на 14%), затем
Роман переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Роман выплатил
долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?
Решение.
1)В конце первого года долг составит:
8599000∙1,14 – Х = 9802860 – Х
41 2)  В конце второго  года  долг составит:
(9802860  Х)∙1,14 – Х=11175260 – 2,14∙Х
3)  В конце третьего  года  долг (в рублях) составит:
(11175260 – 2,14∙Х) ∙1,14 – Х=12739796 – 3,4396∙Х.
Составим уравнение:
12739796 – 3,4396∙Х= 0
Х=3703860 рублей
Ответ: ежегодный транш составит 3703860 рублей.
Дополнительные задачи на проценты
Задача 1 (ЕГЭ 2006)
Вследствие   инфляции   цены   выросли   на   150%.   Дума   потребовала   от   правительства
возвращение   цен   к   прежнему   уровню.   Для   этого   цены   должны   быть   уменьшены   (на
сколько процентов)?
Решение:
Решим эту задачу с помощью пропорций.
Пусть: х – первоначальная цена
у – цена после повышения цен на 150%
х– 100% у = 250
 х; у = 2,5х (новая цена)
у– 250%      100
2,5х – 100% 100*
х ?%
40%      составила   первоначальная   цена   от   инфляции,   поэтому   цены   должны   быть
уменьшены на 60%
1
ОТВЕТ: цены должны быть уменьшены на 60%.
100%  40% = 60%

 х = 40%
2,5х
Задача 2
Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее количество таких тетрадей можно купить на
650 рублей, после понижения на 15%?
Решение:
Решим эту задачу пропорцией и по действиям.
Пусть: х – на сколько рублей понизилась цена тетрадей.
40 – 100% х = 40*0,15 = 6 (рублей)
х – 15%             100
1) 40 – 6 = 34 (руб.) стала стоить тетрадь
2) 650 * 34 = 19 (тетрадей) можно купить на 650 рублей
ОТВЕТ: 19 тетрадей можно купить на 650 рублей
Задача 3
42 Сколько   граммов   воды   надо   добавить   к   50г   раствора,   содержащего   8%   соли,   чтобы
получить 5% раствор?
Решение:
Решим эту задачу уравнением.
Пусть: х  количество воды, которое надо добавить
(50+х) – новое количество раствора
50* 0,08 – количество соли в исходном растворе
0,05(50+х) количество соли в новом растворе
Так   как   количество   соли   от   добавления   не   изменилось,   то   оно   одинаково   в   обоих
растворах – и в исходном, и в новом.
Получаем уравнение:
50*0,08 = 0,05(50+х)
50*8 = 5*(50+х)
400= 250+5х
5х= 150
х = 30 (г.)
ОТВЕТ: 30 граммов воды надо добавить, чтобы получить 5% раствор.
Вывод: решила задачу с помощью уравнения.
Задача 4.
Свежие грибы по массе содержат 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих
грибов из 22 кг свежих?
Решение: решим задачу с помощью таблицы и уравнения.
%воды Масса (кг) %
содержания
сухого
вещества
10%
88%
свежие
90%
22
х
12%
сухие
Из таблицы видно, что:
0,88х = 2,2
х = 2,2 = 2,5кг
    0,88
Ответ: 2,5 кг сухих грибов.
сухого

Масса
вещества
22*0,1=2,2
0,88х
Тригонометрические уравнения
43 44 45 46 Ответы
47 Список использованной литературы
1.   А.Г.Мерзляк,   В.Б.Полонский,   М.С.Якир.   Алгебраический   тренажер.   Москва,   издательство
«Илекса», 2001.
2. В.В.Ткачук. Математика абитуриенту. МЦНМО, 2001
3. С.Н.Олехник, М.К.Потапов, П.И. Пасиченко. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы
решения. Москва, издательство «Дрофа», 2001.
4. В.П.Моденов. Математика. Москва, издательство «Новая волна», 2002.
5. Математика. Сборник задач с решениями для поступающих в ВУЗы. Под редакцией В.М.Говорова,
Н.В.Мирошина. Москва, издательство «Астель», 2002.
6. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы под редакцией М.И. Сканави. Москва,
издательство «Оникс 21 век», 2003.
48

file_name: Сборник заданий для элективного курса в 10 классе.docx

description:
Решение уравнений
5

description:
Симметрические и возвратные уравнения
8

description:
Блок  4. Неравенства вида  |f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x).
|f(x)|<g(x) ⬄       { f(x)<g(x)
|f(x)|>g(x)      ⬄      [ f(x)>g(x)
f(x)<−g(x).
f(x)>−g(x)
Задача 1. Используя блок 3, решить уравнения
1.1|x2−x−5|=11.2|x2+5x+6|=2
1.3||x|−2|=2                      1.4 x2−|x|−2=0 .
Задача 2. Используя блок 3, решить неравенства
2.1  |x−1|<3          2.2  |x2+5x|<6          2.3  | x+1
2x−1|≤1.
Задача 3. Используя блок 3, решить неравенства
3.1  |x2−2x|>1       3.2   | x+3
2x−3|≥1 .
Задача 4. Используя блок 4, решить неравенства
15

description:
4.1  ¿x2−4∨¿3x                4.2  x2−5x+9>¿x−6∨¿
4.3  |3x−2|>2x+1        4.4   x+5≤∨x2−3x∨¿ .
x2−4 |≤1.
Задача 5. Решить неравенство  |x2−5x+4

Домашнее задание
Задача 1. Используя блок 3, решить уравнения
|x2−3x−4|=21.2|x2−x−1|=1
1.1
1.3||x|−3|=21.4(x+2)2=2|x+2|+3.

Задача 2. Используя блок 3. Решить неравенства
2.1  |2x+5|<4        2.2  ¿x2−2x−3∨≤4         2.3  |x2−3x+2
x2+3x+2|<1.
Задача 3. Используя блок 3, решить неравенства
3.1  |x+5|>6         3.2  |3x+1
x−5|≥1                        3.3  |2x−1
x2−3|≥3.
Задача 4. Используя блок 4, решить неравенства
4.1|x−1|>1,5−2x             4.2  |x2−2x−3|<3x−3
4.3|x2−3|+2x+1≥0       4.4  |x2+3x|<x+4
4.5|4x2−1|<x+2               4.6  2|x+1|≥x−1
Блок 5. Уравнение вида  |f(x)|=g(x)
Существует   два   подхода   при   решении   данного
уравнения.
4.7|x3−1|≥1−x .
Способ   1.   Если  f(x)   проще,   чем  g(x),   то   применяется
следующая схема:
Задача 5. Решить двойное неравенство  1<¿2x−5∨≤3.
|f(x)|=g(x)⬄[ { f(x)≥0
{ f(x)≤0
f(x)=g(x)
f(x)=−g(x).
Уравнения и неравенства с модулем

Теоретическая справка
16
Способ 2. Если g(x) проще, чем f(x), тогда применяется
следующая схема:

description:
Блок 6. Метод интервалов при решении уравнений
и неравенств с модулем
1. На   числовой   прямой   отметьте   нули   всех
подмодульных выражений.
2. Определить знак каждого из этих выражений на
каждом из промежутков.
3. Раскрыть   модули   на   каждом   из   промежутков   и
решить полученное уравнение ( неравенство).
4. Из   полученных   решений   выбрать   только   те,
которые этому промежутку принадлежат.
5. Объединить ответы из всех промежутков.
Блок 7. Неравенства вида  |f(x)|−¿g(x)∨∨0
Под   знаком  ∨  мы   будем   понимать   любой   из   знаков
¿,≤,≥,>. Домножим
  обе   части   неравенства
|f(x)|−¿g(x)∨∨0  на положительное выражение
|f(x)|+¿g(x)∨¿ , тогда
(|f(x)|−|g(x)|)(|f(x)|+|g(x)|)∨0  ⬄ f(x)2−g(x)2∨0 ⬄
Задача 1. Используя блок 5, решить уравнения
|x+3|=2(3−x)1.2|x+3|=x2+x−6
1.1
17

description:
f(x)≥0
g(x)≥0
⬄{f(x)=g(x)
Блок 9. Уравнение вида  √f(x)=√g(x)
√f(x)=√g(x)⬄{f(x)=g(x)
Решаем ту эквивалентную систему, которая ПРОЩЕ!
Пример. Решить уравнение  √x+2=√2x−5
Решение. {x+2=2x−5
⬄{ x=7

x+2≥0
x≥−2
Пример. Решить неравенство  √x+7<x
Решение.
x∊( 1+√29
2
;+∞).
x≥0
x≥0
x+7≥0
⬄{x2−x−7>0
{x+7<x2
Ответ.  x∊( 1+√29
2 ;+∞) .
Задача 1. Используя блок 8, решить уравнения
1.1
1.2
1.3
1.4
√7−x=x−1
√x2+8=2x+1
√4+2x−x2=x−2
√4+x√18−x2=x−2.
Задача 2. Используя блок 9, решить уравнения
2.1  √5x−1−√3x+19=0
2.2  √6x2+2x−14=√x2−x−6.
20

description:
Задача 3. Используя блок 10, решить неравенства
3.1  √x2−3x−10<8−x
3.2  x+4>2√4−x2
3.3  √(x−6)(x−12)<x−1.
Задача 4. Используя блок 11, решить неравенства
4.1  √24−5x≥x
4.2  √1−4x>2x+1
4.3  √2x−x2>4−x
4.4  √x2−5x−24≥x+2.
Задача 1. Используя блок 8, решить уравнения
Домашнее задание
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
√5x−1=x+1
√35−5x+2x=9
√8x2−7=3x−4
√2x2+8x+7−2=x
√1+x√x2+42=x+1.
Задача 2. Используя блок 9, решить уравнения
2.1  √x2−5x+1=√x−4
2.2  √8−5x=√x2−16
2.3  √6x2+2x−10=√x2−x−2.
Задача 3. Используя блок 10, решить неравенства
21

description:
3.1  √7+3x<1−x
3.2  √6x+4≤3x−2
3.3  √x2−x−1≤2x+3
3.4  √4x−x2<4−x
5−¿x+1∨¿≤2+x
√¿
.
3.5
Задача 4. Используя блок 11, решить неравенства
4.1   √2x−x2+1≥2x−3
4.2  √x2−3x+2−3−x>0
4.3  x+4<√−x2−8x−12
4.4  √2x2+5x−6>2−x
4.5  √x2−4x>x−3.
Иррациональные уравнения и неравенства
Теоретическая справка
f(x)≤g(x)
Блок 12. Неравенства вида  √f(x)≤√g(x),√f(x)<√g(x)
√f(x)≤√g(x)⬄{ f(x)≥0
Блок 13. Метод расщепления
√f(x)<√g(x)⬄{ f(x)≥0
f(x)<g(x)
f(x)=0
g(x)−определена
Общее правило.   Знак   разности   совпадает   со   знаком
{g(x)=0
разности  f(x)−g(x)
 на ОДЗ:
f(x)≥0

√f(x)g(x)=0⬄[{
√f(x)−√g(x)∨0   ⬄{f(x)−g(x)∨0
√f(x)g(x)≥0⬄[{
{g(x)≥0
Решение. {x2−3x+1≥3x−4
√f(x)g(x)≤0⬄[{
{g(x)≤0
f(x)≥0
g(x)≥0
3x−4≥0
f(x)=0
f(x)=0
f(x)>0
f(x)>0
g(x)−определена

Пример. Решить неравенство  √x2−3x+1≥√3x−4 .
⬄{(x−5)(x−1)≥0
x≥4
22
3
⬄x≥5.
g(x)−определена

description:
Задача 12.
7
(x−2)(x−3)
+ 9
x−3 +1<0.
Задача 13.  2x2+2x+1− 15
x2+x+1
<0.
Задача 14.  |2x−3|=7.
Задача 15.  ||x|+2|=2.
Задача 16.
¿x2−x−2∨ ¿
x+1=3.
¿
Задача 17.  |x2+x−3|=x.
Задача 18.  |5x+2|=3−3x.
Задача 19.  |x−|x−|x−1|||=1
2
.
Задача 20.  |x|−|x−2|=2.
Задача 21.  |x|+|3x+2|+|2x−1|=5.
Задача 22.
x2+¿x−5∨¿=1.
|x2−4x|+3
¿
Задача 23.  |2x−1|<3.
Задача 24.  |x2+3x|<x+4.
Задача 25.  |x2−6x+8|<5x−x2.
Задача 26.  2|x+1|≥x−1.
Задача 27.  |x2+3x|≥2−x2.
Задача 28.  |x+2|<|x−2|.
29

description:
Задача 29.  ¿24x2−39x−8∨≤|18x2−25x+32|.
Задача 30.  |x|−2|x+1|+3∨x+2∨≥4.
Задача 31.
|4−x|−x
|x−6|−2
>2.
Задача 32.   |2−|x||<2|x|.
Задача 33.  ¿x2−5∨x∨+4∨≥|2x2−3|x|+1|.
Задача 34.  √2x−9=√6−x.
Задача 35.  √x2−4x+5=√x−1.
Задача 36.  √2x2−7x+5=1−x.
Задача 37.  √5x−1=1−x.
Задача 38.  √3+√5−x=√x.
Задача 39.  1+√1+x√x2−34=x.
Задача 40.
(x+1)√x2+x−2=2x+2.
Задача 41.
(x−1)√x2−x−6=6x−6.
Задача 42.  √2x−4−√x+5=1.
Задача 43.  √3x+1+√16−3x=5.
Задача 44.  √4x+8−√3x−2=2.
Задача 45.  2√x−1−√x+2−√5x−10=0.
Задача 46.  √ 2x−3
4x−1≥√ x−2
x+2 .
30

description:
Ответы
47

intro: Сборник заданий составлен по темам, изучаемым на элективном курсе по математике в 10 классе. В нем содержится теория и практика по темам: "Методы решения рациональных уравнений и неравенств",  "Неравенства с модулями", "Иррациональные уравнения и неравенства", "Метод декомпозиции" и другие темы.

title: Сборник заданий для элективного курса "Нестандартные методы решения уравнений и неравенств" в 10 классе


extracted_text:
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение  дополнительного образования
«Подпорожская детская школа искусств»
филиал «Никольское музыкальное отделение»
ПРИНЯТО
Малым педагогическим Советом
Протокол  №____
от  « _____» ______   201__ г.
УТВЕРЖДЕНО:
Приказ № ____
от «____» ______________ 201__  г.
 Дополнительная общеобразовательная программа
«Раннее эстетическое развитие»
 (наименование программы)
Занимательное сольфеджио
(наименование предмета)
Срок обучения 2 года
Возраст учащихся 56 лет

                                                                                (Ф. И.О.)
 Разработана  преподавателем:
     Царевой Т.Е. п. Никольский
2016г.
1. Пояснительная записка
Дополнительная общеразвивающая программа  художественной направленности
«Занимательное сольфеджио»
разработана на основе:
Федерального   закона   от   29   декабря   2012   года   №   273ФЗ   «Об   образовании   в
Российской Федерации»;
Концепции   развития   дополнительного   образования   детей   (утверждена
Распоряжением Правительства Российской Федерации  от 04 сентября 2014 года № 1726
р);
Приказа Министерства образования и науки Российской Федерации от 29 августа
  «Об   утверждении   Порядка   организации   и   осуществления
2013   года   №   1008
образовательной деятельности по дополнительным общеобразовательным программам»;
«Рекомендации по организации образовательной и методической деятельности при
реализации   общеразвивающих   программ   в   области   искусств»   (приложение   к   письму
Минкультуры России от 19 ноября 2013г. №1910139).
При разработке дополнительной общеразвивающей программы были использованы:
«Программа   по   сольфеджио   в   подготовительном   классе      И.   Москалькова   М.1998г.»,
«Программа по сольфеджио в 0 классе М. Котляревская – Крафт М.86г.».
Активное формирование музыкальных способностей, творческих и исполнительских
навыков   у   детей   младшего   возраста   в   условиях   музыкального   учебного   заведения,   в
частности,   в   подготовительных   группах   при   музыкальных   отделениях   школ   искусств
является одним из важнейших факторов, определяющих успех дальнейшего музыкального
обучения.
Специфика   музыкального   воспитания   у   детей   определяется   возрастными
особенностями. Дошкольникам свойственна конкретность мышления, непосредственность
и   эмоциональность   в   восприятии   различных   явлений   окружающей   жизни,   их   внимание
неустойчиво. Что постоянно требует смены впечатлений. Учитывая это, необходимо уметь
быстро   переключаться   на   различные   виды   деятельности.   При   этом   специфические
музыкальные задачи не должны заслонять задач общевоспитательного порядка: необходимо
детей   приучать   к   дисциплине,   труду,   развивать   чувство   ответственности,   уважения,
чуткости, воспитывать честность и доброту.
Работа по программе «Занимательное сольфеджио» строится по концентрическому
принципу: отдельные темы изучаются не поочередно, а в течение всего года.
Педагог планирует материал в зависимости от состава группы и уровня восприятия
детей.   В   данной   программе   используются   различные   дидактические   материалы   в   виде
наглядных   пособий,   помогающих   освоению   программных   требований:
  картинки,
передвижные нотки, «лесенка», магнитные доски с набором нотных знаков, карточки на
осязание, шумовые игрушки, музыкальные инструменты и т.д.
Главную   роль   в   обучении   детей   дошкольного   возраста   играет   разнообразие.   Им
близка творческая деятельность, которая проявляется интуитивно в играх, движение под
музыку, фантазирование.  Игра никогда не утомляет, она естественно включает  детей в
процесс   познания   окружающего   мира.   Игровая   ситуация   идеально   мобилизует   эмоции
ребенка, его внимание, его интеллект, служит превосходной двигательной разрядкой.
Цель учебного предмета Способствовать музыкальному воспитанию обучающихся, расширению их общего
музыкального   кругозора,   формированию   музыкального   вкуса,   развитию   музыкального
слуха, музыкальной памяти, мышления, творческих навыков.
Задачи учебного предмета
Обучающие
Формирование   первоначальных   музыкальных   представлений   и   навыков   и
приобретение элементарных сведений по музыкальной грамоте, воспитание чувства ритма,
музыкальноритмической памяти, музыкального слуха.
Воспитательные
Формирование   волевых   качеств:   внимание,   сосредоточенность,   активность,
дисциплинированность, уважение к товарищам и старшим, преодоление трудностей.
Развивающие
Развитие художественного вкуса, накопление музыкальных впечатлений, привитие
любви и интереса к творчеству.
Актуальность
  данной   образовательной   программы   заключается   в   раннем
приобщении   детей   к   музыке,   что   создает   необходимые   условия   для   всестороннего
гармонического   развития   личности   ребенка,   а   так   же   помогает   выявлению   детей,
обладающих профессиональными музыкальными данными.
Новизна  данной программы заключается в постановке единых  задач на занятиях
сольфеджио   и   ритмики.   Такой   принцип   построения   занятий     помогает   лучше   усвоить
изучаемый материал, при умелом его использовании обогащает урок различными формами
работы,   что   положительно   сказывается   на   эмоциональном   тонусе   учащихся,   их
работоспособности, активности восприятия.
Возраст обучающихся, на который рассчитана данная образовательная программа 5
6 лет.
Минимальный возраст детей для зачисления на обучение 5 лет.
Срок   реализации  дополнительной   общеразвивающей   программы   2   года,
продолжительность учебных занятий с первого по второй годы обучения составляет 35
недель в год.
Учебно  тематическое планирование
Тема
Количество часов
I год обучения
II год обучения
1. Теоретические сведения.
Нотная грамота. Регистры.
Длительности. Такты. Размер 2/4
Темп. Динамика. Мажор, минор.
2. Интонационные навыки.
Пение несложных попевок со словами и нотами.
Пение мажорного звукоряда.
3. Развитие метроритма.
Различные задания на ощущение метрической
пульсации.
Чтение ритмослогами мелодий песен, попевок,
4
3
3
5
2
3
3 3
4
1
4
дирижирование.
Чтение по записи ритмических упражнений
ритмослогами и на детских музыкальных
инструментах.
4. Музыкальное восприятие.
Слушание небольших музыкальных
произведений, определение характера.
5. Творческие навыки.
Досочинение мелодий, драматизация песен.
Рисунки и игра на детских музыкальных
инструментах
1. Теоретические сведения.
Ступени в гамме. Тоника. Тоническое трезвучие.
Размер 2/4, 3/4 , 4/4, дирижирование
Знакомство с интервалами.
Способы звукоизвлечения (штрихи).
2. Интонационные навыки.
Пение более сложных попевок со словами и
нотами, включая переменный лад.
3. Развитие метроритма.
Изучение ритмоформул в размере 2/4, ¾, 4/4.
Чтение ритмослогами ритмических упражнений
с дирижированием.
Ритмические диктанты.
4. Музыкальное восприятие.
Слушание небольших музыкальных
произведений, определение характера.
Знакомство с музыкальными инструментами.
Определение на слух: мажор, минор, движение
мелодии вверх, вниз, устойчивых и
неустойчивых ступеней.
5. Творческие навыки.
Досочинение мелодий, драматизация песен.
Рисунки и игра на детских музыкальных
инструментах
Всего:
3
5
2
1
6
4
3
3
3
1
1
4
                            70
Календарнотематические планы
1 год обучения
Сентябрьоктябрь
Теоретические
сведения
Шумовые и
музыкальные
звуки.
Клавиши
Интонационные
навыки
Несложные
попевки (12
звука).
Пение звукоряда
Развитие
метроритма
Долгие и
короткие звуки.
Метрическая
пульсация.
Музыкальное
восприятие
Творческие
навыки
Слушание и
определение
характера и
настроения,
Игра на
ложках.
Игра на фортепиано.
Регистры.
Октавы.
Название нот.
Знакомство с
«лесенкой».
Мажорминор
(лад).
Понятие метра.
 Длительности:
четвертная,
восьмая.
Теоретические
сведения
Нотный стан.
Скрипичный и
басовый и
ключи.
Расположение
нот на нотном
стане.
Сильная
слабая доли.
Такт.
Тактовая черта.
Размер 2/4.
вверх.
Песня про ноты.
Ритмическое
«эхо».
Простые
ритмические
упражнения со
словами.
инструментах
шумового
оркестра.
Рисунки.
описание
музыкального
образа.
Определение на
слух: марш,
песня, танец.
Движение
мелодии вверх,
вниз, на месте.
Интонационные
навыки
Пение попевок и
песенок со
словами и
ритмослогами.
Ноябрьдекабрь
Развитие
метроритма
Метризация
двусложных слов.
Ритмослоги Та и
Ти.
Чтение
ритмического
рисунка. Запись
ритма несложных
песенок.
Прохлопывание
ритма.
Дирижирование
на 2/4.
Ритмическая игра
«Не зевай».
Музыкальное
восприятие
Слушание и
определение
характера и
настроения,
описание
музыкального
образа.
Творческие
навыки
Отстукивание
ритма в
размере 2/4 на
ложках.
Театрализация
песен.
Рисунки.
Январьфевральмарт
Теоретические
Интонационные
навыки
Пение попевок и
песенок со
словами,
ритмослогами,
нотами.
сведения
Написание нот
I октавы.
Штиль,
прописывание
штилей.
Расположение
звуков на
клавиатуре.
Паузы.
Темп.
Тоника.
Развитие
метроритма
Чтение
ритмического
рисунка.
Ритмические
диктанты (запись
ритма несложных
песенок).
Самостоятельное
придумывание и
выкладывание
ритма в размере
Музыкальное
восприятие
Слушание и
определение
характера и
настроения,
описание
музыкального
образа.
«Угадай, чей
голос?» (тембр).
Творческие
навыки
Шумовой
оркестр»
(тутти).
Игра на
фортепиано
простейших
мелодий на 1
2 звука.
Игра «Не 2/4.
Ритмические
игры.
Осознание
темпа:
медленный,
умеренный,
быстрый.
зевай».
Досочинение
(допевание)
окончания
мелодии до
тоники.
Рисунки.
Теоретические
Интонационные
Развитие
Апрельмай
навыки
Пение попевок и
песенок со
словами,
ритмослогами,
нотами.
сведения
Длительности:
четвертная,
восьмая
(закрепление),
половинная ,
целая.
Размер ¾.
Громкость
звука
(динамика):
форте, пиано.
Мелодия и
аккомпанемент.
метроритма
Ритмические
диктанты
(запись
ритмического
рисунка
знакомых
песенок).
Дирижирование
2/4, ¾.
Ритмические
задания с
паузами.
Ритмическая
игра «Телефон».
2й год обучения
Сентябрьоктябрь
Музыкальное
восприятие
Определять на
слух размеры
2/4, ¾(полька,
вальс).
Определение
на слух лада
(мажор
минор).
Определение
громкости
(форте, пиано).
Творческие
навыки
Игра простейших
мелодий на
металлофоне и
фортепиано.
Шумовой
оркестр
(аккомпанемент).
Придумывание
слов на 3 доли.
Игра с нотами.
Досочинение
(допевание)
окончания
мелодии до
тоники.
Театрализация
песен.
Рисунки.
Теоретические
сведения
Повторение:
лад, метр,
динамика,
четвертные и
восьмые
длительности,
размеры 2/4 и
Интонационные
навыки
Пение попевок и
песенок словами,
нотами.
Развитие
метроритма
Ритмические
диктанты.
Мелодические
диктанты
(мозаика).
Дирижирование
на 2/4.
Музыкальное
восприятие
Слушание
музыкальных
произведений,
определение
характера и
настроения,
описание
Творческие
навыки
Игра на
ложках,
металлофоне
и фортепиано,
шумовой
оркестр.
Досочинение 3/4.
Написание
скрипичного
ключа.
Написание
песенок
нотами.
Игра «Угадай
ритм».
музыкального
образа.
Определение
движения
мелодии: вверх,
вниз, на месте.
Определение:
один звук,
много.
Определение на
слух размера.
(допевание)
окончания
мелодии до
тоники.
Театрализация
песен.
Рисунки.
Ноябрьдекабрь
Развитие
метроритма
Ритмические
диктанты.
Мелодические
диктанты.
Определение
сильной и слабой
долей.
Дирижирование
на 2/4 и 3/4.
Теоретические
Интонационные
навыки
Пение попевок и
песенок
словами, нотами.
Пение по нотам.
сведения
Ключиписьмо.
Ноты 1 октавы
письмо.
Штрихи
(легато,
стаккато, нон
легато).
Тонполутон.
Интервалы:
прима,
секунда.
Запись нотами
и деление на
такты песенок.
Музыкальное
восприятие
Слушание
музыкальных
произведений,
определение
характера и
настроения,
описание
музыкального
образа.
Определение
способа
звукоизвлечения.
Работа с
музыкальной
лесенкой.
Творческие
навыки
Исполнение
попевок на
металлофоне
и фортепиано.
Шумовой
оркестр.
Досочинение
(допевание)
окончания
мелодии до
тоники.
Театрализация
песен.
Рисунки.
Январьфевральмарт
Интонационные
навыки
Пение попевок и
песенок
словами,
нотами.
Пение по нотам.
Теоретические
сведения
Размеры: 2/4,  3/4
и 4/4.
Запись нотами и
деление на такты
песенок.
Знаки
альтерации.
Ступени в гамме
(осознание
Развитие
метроритма
Ритмические
диктанты.
Мелодические
диктанты.
Дирижирование
на 2/4, 3/4 и 4/4.
Игра «Телефон»
с записью ритма.
Музыкальное
восприятие
Слушание
музыкальных
произведений,
определение
характера и
настроения,
описание
музыкального
образа,
Творческие
навыки
Исполнение
попевок на
металлофоне
и фортепиано.
Шумовой
оркестр. устойчивости и
неустойчивости).
Тоническое
трезвучие
(мажорное,
минорное)
Изучение
ритмоформул.
Апрельмай
Теоретические
сведения
Интервалы:
прима, секунда,
терция.
Интонационные
навыки
Развитие
метроритма
Пение попевок и
песенок по
нотам.
Ритмические
задания с
паузами.
Запись песенок
нотами и
деление на
такты.
Пение песенок с
переменным
ладом.
Дирижирование
на 2/4,3/4 и 4/4.
Ритмические
диктанты.
Мелодические
диктанты.
Сочинение ритма.
определение
выразительных
средств.

Знакомство с
музыкальными
инструментами.
Театрализация
песен.
Рисунки.
Сочинение
мелодии на
заданный
ритм.
Творческие
навыки
Исполнение
попевок на
металлофоне
и фортепиано.
Шумовой
оркестр.
Театрализация
песен.
Сочинение
мелодии на
заданный
ритм.
Рисунки.
Музыкальное
восприятие
Слушание
музыкальных
произведений,
определение
характера и
настроения,
описание
музыкального
образа.
Определение
размера. Темпа.
Громкости,
лада,
направления
мелодии,
устойчивости
ступеней.

Знакомство с
музыкальными
инструментами
Содержание программы
1й год обучения
Знание теоретических сведений
Звуки высокие, средние и низкие.
Направление движения мелодии.
Нотная   грамота:   название   нот   в  пределах   одной   октавы,   скрипичный   и  басовый
Понятие: пульс, сильная доля, размер 2/4, ¾.
Длительности: половинная, четвертная, восьмая, четвертная пауза.
•
•
•
ключи, название клавиш.
•
• •
•
•
•
•
Такт, тактовая черта.
Мажор и минор. Звукоряд, гамма.
Мелодия и аккомпанемент. Вступление, проигрыш, заключение.
Членение мелодии на фразы.
Темп. Динамика: форте, пиано.
Интонационные навыки
Основная задача – научить интонировать всех детей.
Пение несложных песен со словами в сопровождении педагога.
Интонирование небольших выученных песен и упражнений со словами
•
•
и нотами.
•
пенное движение вверх и вниз, повторы на одном звуке.
•
•
окраски.
Пение мажорных звукорядов.
Пение песен в мажоре и миноре. Осознание различной ладовой
Пение по нотам небольших мелодических фраз, включающих посту
Развитие метроритма
Различные   задания   на   ощущение   метрической   пульсации:   хлопки,   прыжки,
Упражнения  на  осознание  ритма:   повторение  хлопками   или   на  ударных  детских
•
ритмические жесты, игра на детских музыкальных инструментах.
•
инструментах ритмического рисунка небольших песенок выученных со словами.
•
•
•
•
инструментах.
Разучивание и чтение ритмослогами мелодий песен.
Осознание длительностей через ритмические упражнения.
Осознание размера 2/4 с дирижированием.
Чтение по записи ритмических упражнений ритмослогами и на детских ударных
Музыкальное восприятие
Слушание небольших музыкальных произведений.
Определение их характера, настроения, некоторых элементов музыкального языка:
Расширение   обогащения   словарного   запаса,   необходимого   при   описании
Расширение музыкального кругозора
Творческие навыки
Допевание (досочинение) окончания мелодии до тоники (осознание устойчивости).
Рисунки, рассказы о музыке.
Игра ритмических аккомпанементов на детских музыкальных инструментах.
Драматизация песен и музыкальных пьес.
•
•
лада, динамики, темпа.
•
музыкального образа.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
2 й  год обучения
Знание теоретических сведений
Ступени в гамме, тоника, тоническое трезвучие.
Мажорное и минорное трезвучие.
Знакомство с интервалами.
Размер 2/4, ¾, дирижирование. Затакт.
Навыки нотной записи.
Интонационные навыки
Пение более сложных песен, выученных по слуху с
•
сопровождением педагога.
•
Пение песен, включающих переменный лад. •
Пение мажорных и минорных трезвучий.
Развитие метроритма
Изучение ритмоформул в размере 2/4, ¾.
Чтение ритмических упражнений ритмослогами с дирижированием.
Повторение ритмического рисунка после проигрывания педагогом
•
•
•
на фортепиано («ритмическое эхо»).
•
•
Ритмические диктанты.
Ритмические аккомпанементы к песням и инструментальным пьесам.
Музыкальное восприятие
Художественноэстетическое восприятие музыкальных произведений: определение
•
содержания. Характера, музыкальных средств.
•
для детей.
•
•
устойчивых и неустойчивых ступеней.
Расширение музыкального кругозора из числа произведений классики, написанных
Знакомство с некоторыми музыкальными инструментами.
Определение   на   слух:   мажора   и   минора,   движения   мелодии   вверх   и   вниз,
Творческие навыки
Допевание (досочинение) окончания мелодии до тоники (осознание устойчивости).
Рисунки, рассказы о музыке.
Игра ритмических аккомпанементов на детских музыкальных инструментах.
Драматизация песен и музыкальных пьес.
•
•
•
•
Организационно  педагогические условия реализации образовательной
программы
Организация аудиторных занятий – мелкогрупповая (46 человек). Мелкогрупповая
форма занятий позволяет преподавателю построить процесс обучения в соответствии с
принципами   дифференцированного   и   индивидуального   подходов.   Продолжительность   1
занятия  – 45 минут. Форма   обучения – учебное занятие. Занятия  проводятся 1 раз в
неделю.
Перечень оборудования
   (инструменты, материалы и приспособления)
Наименование оборудования (инструментов, материалов и
Количество
приспособлений)
Классная комната для занятий с набором мебели (столы и
стулья)
Фортепиано
1
1
Перечень технических средств обучения
Наименование технических средств обучения
Количество
Компьютер
Мультимедийный проектор
1
1 Экран
1
Перечень учебно  методических материалов
Наименование учебно  методических материалов
Количество
         Учебно – методическая литература
          Нотная литература
Видеоматериалы
Наборы карточек, пособий, игры
Методы работы:
11
5
   62
   10
 словесный,
наглядный,
проблемно поисковый;



 метод игровой мотивации (использование дидактических игр);

научный метод (использование тестов,  карточек индивидуального опроса).
  Методические рекомендации
Большое значение имеет репертуар ученика. Необходимо выбирать произведения,
которые   будут   понятны   для   дошкольного   возраста   и     разнообразные   по   форме   и
содержанию. Необходимо  познакомить учащегося с историей  фортепиано, рассказать о
выдающихся фортепианных  исполнителях и композиторах.
Параллельно с формированием практических умений и навыков учащийся получает
знания   музыкальной   грамоты,   основы   гармонии,   которые   помогают   ему   в  обучении   по
предметам «Основы фортепиано», «Вокальное пение».
Методы   работы   над   качеством   звука   зависят   от   индивидуальных   способностей   и
возможностей   учащихся,   степени   развития   музыкального   слуха   и   музыкальноигровых
навыков.
Планируемые результаты  освоения образовательной программы
К концу обучения планируется приобретение следующих умений и навыков:
умение эмоционально и увлеченно слушать музыку и охотно говорить о ней;
слышать   комплекс   средств   музыкальной   выразительности,   характеризующих
содержание музыки;
выделять   тембры   инструментов   симфонического   оркестра,
характеристике музыкального образа;
определять жанровую принадлежность произведения (песня, танец, марш);
определять простую форму музыкального произведения (одно, двух, трехчастная).
  ведущие   в





результатов освоения образовательной программы
Система оценки
Основными   принципами   проведения   и   организации   всех   видов   контроля
успеваемости является систематичность и учет индивидуальных особенностей обучаемого.
Формы контроля успеваемости:
 контрольные уроки (с анализом результатов развития);
 открытые занятия для педагогов, для родителей;  концертные выступления;
 зачеты в конце учебного года.
Критерии оценки
Главным критерием обучения в подготовительном классе является:
 объем проделанной работы;
 темпы развития ученика;
 конечный результат – как итог.
 Список литературы
1.  Андреева М.,  Конорова Е. «Первые шаги в музыке».  М. «Советский
    композитор» 1991.
2.  Бырченко Т. «С песенкой по лесенке» методическое пособие для детских
     музыкальных школ.   М. «Советский композитор» 1983.
3.  Бырченко Т.,  Франио Г. «Хрестоматия по сольфеджио и ритмике».  М.
     «Советский композитор» 1991.
4.  Волков С. «Детям о музыке». М. «Музыка» 1999.
5.  Жигалко Е.,  Казанская Е.  «Музыка, фантазия, игра»  СПб.
   «Композитор» 1999.
6. «Играем и танцуем»  игры, танцы и упражнения для детей дошкольного
     возраста. М. «Советский композитор» 1992.
7.  Котляровская М.,  Крафт М.,  Москалькова И .,  Батхан Л.  «Сольфеджио».
    Ленинград  «Музыка» 1988.
8.  Металлиди Ж.,  Перцовская А.  Сольфеджио «Мы  играем, сочиняем и
    поем».  СПб.  «Композитор» 1998.
9. «Музыкальная шкатулка»  детские песни. М. 1995.
10.«Музыкальная палитра»  музыкальное воспитание в детском саду, семье
     и школе.  М. «Музыка» 2009.
11.Савинкова О.,  Полякова Т. «Раннее музыкальноритмическое развитие
     детей».  М. «Музыка» 1979.

file_name: Общеобраз. РЭР  Занимательное сольфеджио.doc

intro:
Программа разработана, как дополнительная общеобразовательная программа  для работы с учащимися Детской Школы Искусств. РЭР- это "Раннее эстетическое развитие", в эти группы ходят дети 5-6 лет.Программа рассчитана на 2 года.
Цель учебного предмета: способствовать музыкальному воспитанию обучающихся, расширению их общего музыкального кругозора, формированию музыкального вкуса, развитию музыкального слуха, музыкальной памяти, мышления, творческих навыков.                                                                                Работа по программе «Занимательное сольфеджио» строится по концентрическому принципу: отдельные темы изучаются не поочередно, а в течение всего года. А именно: теоретические сведения, интонационные навыки, развитие метроритма, музыкальное восприятие и творческие навыки.

музыка

group: Дисциплины

доп. образование детей

group: Другое

title: Дополнительная общеобразовательная программа  «Занимательное сольфеджио» в группах РЭР


extracted_text:
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение  дополнительного образования
«Подпорожская детская школа искусств»
филиал «Никольское музыкальное отделение»
ПРИНЯТО
Малым педагогическим Советом
Протокол  №____
от  « _____» ______   201__ г.
УТВЕРЖДЕНО:
Приказ № ____
от «____» ______________ 201__  г.
Календарно  тематическое планирование
Занимательное сольфеджио
(наименование предмета)
по предмету

 Дополнительная общеобразовательная программа
«Раннее эстетическое развитие»
 (наименование программы)
на  2016 /2017 учебный год
для учащихся 1 года обучения (пятилетки)

                                                                                (Ф. И.О.)
 Составлено  преподавателем:
     Царевой Т.Е.
п. Никольский 2016г.
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Краткое содержание материала
Введение.   Знакомство   с   детьми.   Слушание:   П.   Чайковский
«Осенняя   песнь».   Попевка   «Пора   начать   урок».   Шумовые   и
музыкальные звуки.
Клавиатура фортепиано. Регистры. Попевка «Пора начать урок».
П. Чайковский «Осенняя песнь» (двигательная импровизация). «А
я по лугу»  игра на ложках (доли).
Попевка   «Пора   начать   урок».   Лад   (мажорминор),   музыкальные
примеры.   (самостоятельно).   «А   я   по     лугу»      игра   на   ложках
(доли).
Лад.   Осознание   метра   (доли).   Попевка   «Андрейворобей».
Слушание: Голынин «Медведь» (регистр). Знакомство с жанрами:
песня,   марш,   танец.   Двигательная   импровизация.   На   ложках
«Андрейворобей» (доли, ритм).
Слушание:   «Балет   невылупившихся   птенцов»   Мусоргского
(регистр,  двигательная   импровизация).  Понятия:  нотный   стан,
ноты.  Расположение   нот   (на   линейках,   между   линеек,   на
добавочных   линейках).   Лад   (закрепеление).   Попевка   «Андрей
воробей». Игра на ложках (доли, ритм).
Слуш.   песня,   марш,   танец.   Названия   нот:   до,   ре,   ми   (видео).
Ритмическая   сказка   «Алёша   и   дятел»   (ложки).   Игра   «Зайцы   и
медведь».
Слушание: Д. Кабалевский «Ёжик». Названия нот: фа, соль, ля, си.
Понятие звукоряда.  Песня «Про звукоряд». Игра с нотами.
Слушание: «Марш. Полька. Вальс». Знакомство с длительностями
и   ритмослогами:   четвертная   (та),   восьмая   (ти).   Игра   с   нотами.
Ритмическая игра «Зевакаторопыга».
Слушание: «Угадайка».   Движение мелодии вверх, вниз, на месте.
Знакомство   с   музыкальной   лесенкой.   Игра   «Ритмический
телефон». «Бимбом»  игра на ложках.
Слушание Ж. Металлиди « Игрушечная железная дорога» (поезд).
Осознание   темпа.   Скрипичный   и   басовый   ключ.   Расположение
ноты соль на нотном стане.
Слушание Р. Шуман «Смелый наездник». Направление мелодии.
Расположение нот «ДО» и «РЕ» на нотном стане и клавиатуре.
Октавы.   Пение   «Кошкин   дом»   словами,   ритмослогами,   игра
четвертными и восьмыми на ложках.
Слушание:
  Д.   Кабалевский   «Клоуны».   Пение   «Ключи».
Расположение нот «МИ» и «ФА» на нотном стане. «Кошкин дом»
словами и ритмослогами, выкладывание ритма. Игра «Сапожник»
Слушание: «Полька» (жанр; сильная, слабая доли). Такт, тактовая
черта.   Расположение   нот   I   октавы:   «ЛЯ»,   «СИ».   Ритмическое
упражнение «Потянулись»
  Слушание: сильная и слабая доли. Такт, тактовая черта. Пение:
«Светофор»  высота звука. Расположение нот I октавы.  «Слон»
пение   словами,   прохлопывание   ритма   с   ритмослогами,   сильные
Месяц
Сентябрь
Сентябрь
Сентябрь
Сентябрь
Октябрь
Октябрь
Октябрь
Октябрь
Октябрь
Ноябрь
Ноябрь
Ноябрь
Декабрь
Декабрь доли.
Слушание:   М.   Глинка   «Марш   Черномора».   Размер   2/4.
Дирижирование на 2/4. Ноты 1 октавы. «Слон»  пение словами,
нотами,   прохлопывание   ритма   с   ритмослогами,   выкладывание
ритма, деление на такты.
Повторение и закрепление материала.
Слушание: «Грустный клоун».  Письмонота «До». «Слон»  пение,
выкладывание   ритма,   деление   на   такты.   Театрализация   песни
«Уточки».
Слушание:   «В   пещере   горного   короля»   (темп).   Попевка
«Солнышко»   (смена   лада).   Письмонота   «Ре».   Ритмическое
упражнение   «Обезьянки».
  Метлов   «Часы»   на   ложках.
Театрализация песни «Уточки»
Письмо: нота ми. Понятия: восьмые и четвертные длительности,
штиль. Попевка: Метлов «Часы»  пение словами, игра на шумовых
инструментах (бубен, ложки, треугольник). Ритмическая игра «Не
зевай».  «Уточки»
Слушание: Рыбицкий «Кот и мышь». Письмо: нота «ФА». Песенка
«Длительности».   «Как   под   горкой   под   горой»   прохлопать   со
счетом. Упре «Обезьянки». Метлов  «Часы». Ритмическая игра
«Не зевай».
Слушание:   Рыбицкий   «Кот   и   мышь»   (повторно).       Письмонота
«Соль».     Определение   на   слух   темпа.     Пропевание   со   счётом
простейшего   мотива   в   размере   2/4,   выкладывание   карточками.
Попевка «Дореми»  пение словами, игра на ложках. Игра «Кот и
мыши».
Слушание:   Рыбицкий   «Кот   и  мышь»   (определение   темпа,   лада).
Чтение ритмического рисунка. Письмонота ля.  Попевка «Доре
ми»  пение словами, нотами, выложить мозаикой, игра на ложках.
Урок 23. Слушание: Э. Григ «Шествие гномов»(3 части). Письмо
нота «Си». Чтение ритмического рисунка.   Понятие паузы. Игра
«Угадай, чей голос?» (тембр).
Слушание: Э. Григ «Шествие гномов» (повтор). Игра в шумовом
оркестре.   Попевка: «Фасоль»  пение словами, нотами. Чтение
ритма. Паузазакрепление.  Пение: «Паузы».
Слушание: Э. Григ «Утро». Понятие динамики (форте  пиано).
Попевка «Фасоль (словами, нотами). Игра «Узнай по голосу».
Слушание   и   определение:   марш,   песня,   танец.   Длительности:
половинная, целая. Попевка «Ваня»  пение словами, нотами. Игра
«Узнай по голосу».
Слушание: смена динамики (работа с карточками). Закрепление
«пауза». Расположение звуков на клавиатуре (до, ре, ми).  Попевка
«Ваня»  пение словами, нотами. Ритмическая подвижная игра «Не
зевай».
 Слушание: Н. РимскийКорсаков «Полёт шмеля». Размер ¾.
«Люди работают»  пение, дирижирование, ритмопластика.
Придумать слова на 3 доли (3 слога). «Ах вы, сени»  игра на
ложках (всеми длительностями).
Слушание: С. Прокофьев «Вальс» («Детская музыка»). Пение
     Декабрь
Декабрь
Январь
Январь
Январь
Февраль
Февраль
Февраль
Февраль
Март
Март
Март
Апрель
Апрель
Апрель
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29 «Люди работают». Досочинить песенку в заданном ритме. Песенка
«Спите, зайцы»  допевание окончания мелодии до тоники.
Расположение звуков на клавиатуре (дореми). «Ах вы, сени»
шумовой оркестр.
Слушание: определить размер. Понятия: мелодия, аккомпанемент.
«Люди работают».  Дирижирование в размере 2/4 и 3/4. Допевание
окончания   мелодии   до   тоники.   Аккомпанемент
  шумовым
оркестром: «Калинка». Игра «Гусигуси».
Повторение пройденного материала за год.
Повторение пройденного материала за год.
Повторение пройденного материала за год.
Повторение пройденного материала за год.
Итоговая проверка по всем видам работ.
30
31
32
33
34
35
Апрель
Апрель
Май
Май
Май
Май

file_name: Сольф. РЭР- 5 лет.docx

title: Календарно-тематическое планирование по предмету "Занимательное сольфеджио" в группах РЭР


extracted_text:
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение  дополнительного образования
«Подпорожская детская школа искусств»
филиал «Никольское музыкальное отделение»
ПРИНЯТО
Малым педагогическим Советом
Протокол  №____
от  « _____» ______   201__ г.
УТВЕРЖДЕНО:
Приказ № ____
от «____» ______________ 201__  г.
Календарно  тематическое планирование
Занимательное сольфеджио
(наименование предмета)
по предмету

 Дополнительная общеобразовательная программа
«Раннее эстетическое развитие»
 (наименование программы)
на  2016 /2017 учебный год
для учащихся 2 года обучения (шестилетки)

                                                                                (Ф. И.О.)
 Составлено  преподавателем:
     Царевой Т.Е.
п. Никольский
1 №
урока
Краткое содержание материала
2016г.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Повторение:  «Угадайка»  (знакомые  пьесы);  песни,  игры,
ритмические упражнения по выбору детей.
Слуш.   Мусоргский   «Старый   замок».   Повторение:   ноты,
нотный стан, лад, метр, динамика, четвертные и восьмые
длительности,   метрические   доли.   Ритмический   диктант.
«Капризный дождик» шум.оркестр.
Повторение:   ноты  I  октавы;звукоряд;   письмо      ноты
Iоктавы   (карточки).
  Пение   словами   и   нотами
«Котёнок».«Паровозик»      устный   счет   на   2/4   с   паузами.
«Капризный   дождик»   шум.оркестр.   Обучающий   м/ф
«Весёлые нотки».
 «Повторение: «Темп». «Динамика».  Размеры 2/4 и 3/4.
Определение размера на слух и  дирижирование. Пение:
«Котёнок».  «Дождик»   ритмический диктант.
Театрализация песни «Люди работают».
Слушание: М. Мусоргский «Гном».  Письмо  скрипичный
ключ. «Солнышко» ритмическая сказка. Музыкальные
ступени (работа с магнитной доской). «Два кота»  пение
словами, нотами.
Слушание: игра «Деньночь» (спокойная бодрая музыка).
«Солнышко» ритм. Музыкальные ступени (работа с
магнитной доской). «Небо синее»  пение с
дирижированием, ритмический диктант,  игра на
фортепиано. «Два кота»  пение словами, нотами.
«Полька»  шумовой оркестр.
Слушание:   один звук  много, восходящие и нисходящие
звуки,   определение   динамики.   «Умница»      ритмический
рисунок, допевание мелодии до тоники. Небо синее»  игра
на   фортепиано.   Пение   словами,   нотами.   «Полька»
шумовой оркестр. Игра «Кот и мыши».
«Что мне понравилось, что я запомнил»  повторение   по
выбору детей.
  Слушание:   направление мелодии, одиндва звука. Ритм.
игра   «Гуляйотдыхай».   Письмо:   басовый   ключ.   «Небо
синее»  игра на фортепиано. «Солнышко»  ритмический
диктант.   «Два   кота»      пение   с   дирижированием.   Игра
«Слушай и хлопай».
Слушание:   «Тема   дедушки»   из   симф.   сказки   С.
Прокофьева   «Петя   и   волк».   Игра   «Угадай   ритм».
«Прозвенел звонок»  запись нотами, пение нотами, игра на
фортепиано, пение с дирижированием.
Понятие интервала. Интервал прима. Ритмическая сказка
«Петушок». Пение попевок по нотам, игра на фортепиано и
металлофоне, в шумовом оркестре.
Дата
7 сентября
14 сентября
21 сентября
28 сентября
5 октября
12 октября
19 октября
26 октября
9 ноября
16 ноября
23 ноября
Колво
часов
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Интервал секунда. Работа с музыкальной лесенкой. Пение
попевок, игра на металлофоне.
Работа с музыкальной лесенкой. Пение: «Лягушка». Пение
знакомых попевок нотами, игра на фортепиано.
Ритмические   сказки   «Дореми».   Мелодический   диктант
«Божья коровка», запись ритма и деление на такты, пение с
дирижированием.   Моцарт   «Турецкий   марш»      шумовой
оркестр.
Работа   с   музыкальной   лесенкой.   «Я   гуляю»      запись
нотами, ритма, деление на такты. Пение знакомых попевок
нотами, игра на фортепиано. «Три поросёнка»  допевание
мелодии до тоники.
Слушание музыкальных отрывков, определение сильной
слабой   доли.   Дирижирование  на     2/4   и  ¾.Пение   по
нотам.Ритмическая сказка «Сова»  прохлопать, записать
ритм в размере 2/4.
Повторение и закрепление пройденного материала.
Размер  2/4 ,  ¾  и 4/4.Произнести своё имя и определить
количество   долей.   Деление   на   такты.   Пение   по   нотам
простых, знакомых  попевок. Игра на фортепиано.
  Слушание:
Устойчивые   и   неустойчивые   ступени.
определение размера и основных выразительных средств.
Музыкальный   диктант   (мелодия,   ритм,   такты).   Пение
попевок по нотам. «Вальс»  шумовой оркестр.
«Ежик»  пение, запись нотами, деление на такты в размере
2/4. Игра «Телефон» (запись ритма). «Кукла»  допевание
мелодии до тоники.
Понятие тонического трезвучия. «Мажорное трезвучие»
пение. Работа с музыкальной лесенкой. «У котаворкота»
деление на такты в размере 2/4. «Светит месяц»  шумовой
оркестр.
«Минорное   трезвучие»      пение.   Слушание:   определение
мажорного   и   минорного   трезвучий.   «Радуга»      пение.
Деление на такты в размере 2/4. Игра «Не зевай».
Изучение   ритмоформул.   Пример   сочинения   мелодии   по
ритмоформуле.   Слушание:   «Сказочка   про   трезвучие».
«Боровик»  запись и пение, игра на фортепиано. «Рыбка»
дирижирование.
«Звонок»      пение   по   нотам.   Прохлопать   ритм   по
ритмоформуле.   Слушание:   определить   песня,   марш   или
танец. Дирижирование на 4/4(марш). «Улитка»  пение по
нотам.
Работа   с   ритмоформулами
мелодию). Слушание: пьеса по выбору детей.
«Рано по утру»  пение словами, нотами.
Слушание: определение размера, дирижирование. Пение по
нотам   и   игра   на   фортепиано   знакомых   попевок.
Ритмическая   сказка   «Кошкин   дом»      составить
(прохлопать,сочинить
30 ноября
7 декабря
14 декабря
21 декабря
11 января
18 января
25 января
1 февраля
15 февраля
22 февраля
1 марта
15 марта
22 марта
5 апреля
12 апреля
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3 тембр).
ритмоформулу.
Мелодический диктант (мозаика). «Куд  куда»  пение и
нотная   запись.   «Светит   месяц»,   «Полька»      шумовой
оркестр.
Слушание: определить лад, темп, размер и простучать ритм
музыкальных отрывков. «Дождик»  пение по нотам, игра
на фортепиано. Досочинение мелодии до тоники.
Знакомство   (выборочно)   с   духовыми   музыкальными
инструментами   (изображение,
  Музыкальный
диктант. «Светит месяц»  шумовой оркестр.
Знакомство   (выборочно)   со   струнными   музыкальными
инструментами.   «Музыкальная   шутка»      пение.   Пение
попевок   по   нотам   с   дирижированием.   Ритмические   игры
(«Не   зевай»,   «Телефон»).   Задание   на   самостоятельное
придумывание ритма.
  прима,
  Знакомство
(выборочно)   с   ударными   и   клавишными   музыкальными
инструментами. «Кукушка»  пение и игра на фортепиано.
Слушание:   интервалы.   «Земляника»      пение   словами,
нотами,игра
составление
ритмоформулы.«Колыбельная»      пение   по   нотам,
дирижирование. Музыкальный диктант. Шумовой оркестр.
Итоговая проверка по всем видам работ
  фортепиано,
  секунда,
  терция.

на

27
28
29
30
33
31,32 Интервалы:
34,35 Повторение (игры, пение, слушание по выбору детей).
Итого
:
19 апреля
26 апреля
3 мая
10 мая
17 мая
24 мая
31 мая
1
1
1
1
2
1
2
35
часов
4

file_name: Сольф. РЭР-6 лет.docx