extracted_text:
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Гимназия № 12»
г. Новосибирска.
Программа деятельности Ученического самоуправления
«РЕСПУБЛИКА  ШКИД»
Авт
ор – разработчик :  старшая вожатая гимназии,
учитель английского языка первой квалификационной категории
Марина Владимировна Кумпицкая
1 Содержание
Паспорт Программы
Пояснительная записка
Раздел 1. Содержательнометодические основы комплексноцелевой
программы
1.1. Актуальность Программы
1.2. Цели и задачи Программы
1.3. Основные приоритеты Программы
Раздел 2. Структурная модель ученического самоуправления в школе
2.1. Принципы работы органов ученического самоуправления
2.2. Структура школьного ученического самоуправления
2.3. Структура классного ученического самоуправления
2.4. Основные направления деятельности ученического самоуправления
2.5. Законы школьного ученического самоуправления
2.6. Правила школьного ученического самоуправления
2.7. Нормативноправовые документы деятельности ученического
самоуправления
Раздел 3. Ожидаемые результаты
3
5
10
11
12
13
14
17
19
20
22
23
24
2 Наименование
Программы
Цель программы
Задачи
программы
Нормативно
правовые
основания для
разработки
программы
развития
Паспорт программы
«Ученическое самоуправление «Республика ШКИД»
Содействие становлению правовой, демократической,
самоуправляющей школы, обеспечивающей свободное развитие
личности, формирование социальной активности, воспитание
гражданственности, ответственности, уважительного отношения
учащихся к правам других людей.
Формирование уклада школьной жизни, обеспечивающего создание
социальной среды развития гимназистов, включающего урочную,
внеурочную и общественно значимую деятельность, систему
воспитательных мероприятий, культурных и социальных практик,
o
o
o
Развитие интеллектуальной и духовно – нравственной
сфер жизни детей и подростков; освоение ими  социального опыта,
основных социальных ролей
Формирование готовности обучающихся к выбору
направления своей деятельности в соответствии с личными
интересами, индивидуальными особенностями и способностями
Гуманизация и гармонизация взаимоотношений
педагогов, учащихся и родителей, вовлечение их в школьную работу.
1. Конвенция о правах ребенка;
2. Конституция Российской Федерации;
3. Гражданский кодекс Российской Федерации;
4. Федеральный Закон «Об образовании в Российской
Федерации»
5. Закон Российской Федерации «Об общественных
объединениях»;
6. Федеральный государственный образовательный  стандарт;
7. Устав муниципального общеобразовательного автономного
учреждения «Гимназия № 12»
8. Положение о Парламенте  МОАУ «Гимназия № 12»
9. Положение об  Ученическом самоуправлении
«Республика ШКИД»
10. Положение о Министерском Совете МОАУ «Гимназия
№ 12»
Разработчик
программы
Исполнители
мероприятий
программы
Кумпицкая Марина Владимировна – старшая вожатая гимназии
Участники образовательных отношений (педагоги, родители,
ученики, администрация гимназии, социальные партнеры)
Ожидаемые
Повышение значимости роли ученического самоуправления в жизни
3 результаты
программы





гимназии
Повышение у гимназистов интереса к работе в  «Республике ШКИД»
Раскрытие личностного потенциала учащихся через их
приобщение к общественной деятельности и школьным традициям,
участие в детскоюношеском движении, в школьных и внешкольных
организациях
Позитивная динамика развития познавательной,
коммуникативной и мотивационной сферы личности через
деятельность в органах ученического самоуправления
Высокая  потребность в общественнополезной деятельности
Развитое моральное сознание и компетентность в решении
моральных проблем на основе личностного выбора, осознанного и
ответственного отношения к собственным поступкам
Сформированность у учащихся мотивации к изучению
окружающего мира  и к самим себе.
Источники
финансирования
Бюджетные средства, предназначенные для реализации основной
образовательной программы  гимназии
Внебюджетные (грантовая поддержка, благотворительные и
спонсорские средства и др.)
4 Пояснительная записка
                    На формирование личности ребенка оказывает большое влияние
меняющаяся   социальная   и   политическая   среда.   Воспитательная   система
школы должна учитывать главное – личность, способную принимать решения,
прежде всего перед собой. В связи с этим самоуправление в школе должно
  прежде   всего,
быть,
  Программа   по
самоуправлению должна создавать условия для саморазвития человека как
  управлением   самим   собой.
субъекта   деятельности,   как   личности   и   индивидуальности.   Добиться
проявления каждого ребенка в деятельности школы можно, разбив детей на
группы   по   их   способностям,

           От того, какие ценности будут сформированы у детей сегодня, от того,
  желаниям   и   возможностям.
насколько они будут готовы к новому типу социальных отношений, зависит
путь развития нашего общества и в настоящее время, и в будущем.
    В связи с этим значительно возрастает роль детских организаций как
фактора социализации ребенка. Именно стремление в объединении, создании
своих   законов   и   правил,   по   которым   они   будут   жить,   самовыражаться,
самореализовываться   и   самоутверждаться   дали   возможность   появиться
разным   детским   объединениям.   И   сегодня   детское   движение   растет,   оно
возрождается.   Оно   представляет   многоцветную   картину,   многообразно,
разнотипно, разномасштабно и разнопланово.
     Социальное воспитание будет успешным лишь в том случае, если в
образовательном   учреждении   целенаправленно   создаются   соответствующие
условия для развития творчества, поддерживаются инициативы детей.
             Под руководством педагогов дети должны быть сориентированы на
вечные   абсолютные   ценности   –   человек,   семья,   Отечество,   труд,   знания,
культура,   мир,   земля.   Развитие   самоуправления   в   школе   –   основа   ее
демократизации.
                       В условиях стремительного развития и расширения доступности
открытых   информационных   сетей   трансляция   "готовых"   знаний   перестает
5 быть   главной   задачей   учебного   процесса,   снижается   функциональная
значимость и привлекательность традиционных методов обучения. С другой
стороны   школа   была   и   остается   одним   из   важных   факторов   социализации
личности. Носителем какого социального опыта, каких ценностей, отношений
будет выпускник, во многом зависит от характера той образовательной среды,
в которой происходит его становление и развитие. Инициатива   учащихся
гимназии возникает не случайно, поскольку она является выходом основной
идеи воспитательной системы.   Согласно концепции воспитательной работы
Гимназия   №   12   является   учреждением   повышенного   статуса.   Этим
определяются специфические особенности учебновоспитательного процесса
в ней.
Миссия   гимназии:
 Миссия гимназии   как   общеобразовательного
учреждения  состоит в создании условий для осуществления
 полноценной   воспитательной   деятельности,   формирующей   жизненные
  чувство   социальной
установки   и   нравственные   ориентиры,
ответственности;
 доступного   качественного   обучения   на   базовом,   углубленном   и
  формирование   у   учащихся   целостной
профильном   уровне,
универсальной   системы
обеспечивающих
дальнейшее

знаний,
  ключевых   компетенций,
непрерывной
выстраивание

образовательной траектории;
 условий   для   сохранения,   укрепления   здоровья   и   обеспечения
безопасного образовательного пространства.

Основная   идея:
  создание   необходимых   условий   для  «само»:
саморазвития,   самоактуализации,   самоопределения,   самосозидания   и
самореализации.
Цели гимназии:
1.Создание   системы   инновационной   деятельности,   направленной   на
развитие современного выпускника, укрепления взаимоотношений субъектов
6 информационнообразовательной   среды   современного   образовательного
учреждения.
2.Обеспечение   высокого   качества   гимназического   образования   в
соответствии   с   меняющимися   запросами   родителей     и   перспективными
задачами развития города Новосибирска.
Согласно   стратегии   достижения   цели   учащиеся   гимназии   имеют
возможность получения практического опыта самореализации. Одной из форм
получения   такого   опыта   является   участие   гимназистов   в   работе   органов
самоуправления.(приложение 1)
Гимназия № 12 ориентируется на социальный заказ, который  отражает
потребность   в   людях   творческих,   активных,   неординарно   мыслящих,
способных нестандартно решать поставленные задачи на основе критического
анализа ситуации формулировать новые перспективные задачи.  Учреждение
находится в центре Калининского района г. Новосибирска, который имеет
свою ярко выраженную специфику. Он один из самых крупных районов, в
  производственной
котором
инфраструктуры   города.   Гимназия   в   качестве   консолидированного   заказа
значительная   часть
сосредоточена

сталкивается   с   большим   разнообразием   образовательных   потребностей   и
ожиданий как непосредственно самих учащихся, так и их родителей. Поэтому
в   течение   многих   лет,   продолжая   многолетние   традиции   школы   №   110,
гимназия сохраняет  традиционные формы партнерства и сотрудничества как
с   представителями   родительской   общественности   в   вопросах   развития
образования,   так   и   с   самими   учащимися.   В   2004   года   образовательное
учреждение   было   аккредитовано   как   гимназия,   и   начался   новый   этап   в
развитии учебного заведения.
Исходя   из   требований   современного   развивающегося   общества,
важными   целевыми   индикаторами   для   современного   образовательного
учреждения становятся:
7  формирование   готовности   выпускников   к   осуществлению
осознанного   выбора   в   различных   сферах   в   быстроменяющемся
обществе;
 развитие у учащихся коммуникативности и толерантности в период
перехода   страны
  к   информационному   обществу,   в   период
расширения масштабов межкультурного взаимодействия, а в связи с
этим
 развитие     потребности   личности   в   непрерывном   образовании,   в
развитии своей мобильности и универсальности.
2 Вышеуказанные   индикаторы   основаны   на   идее   ответственности   и
инициативы самих учеников, что согласно компетентностного подхода
  осуществляя   смещение   с
изменяет   методику   преподавания,
односторонней   активности   учителя   на   самостоятельное   учение,
ответственность   и   активность   учеников,   способствуя   тем   самым
развитию   учебнопознавательной,   давая   основы   для   развития
социокультурной,   коммуникативной,   информационной   и   ценностно
смысловой компетенций.
Данные   тенденции   влияют   на   успешность   формирования   у   учащихся
особого   отношения   к   себе   как   субъекту   знаний,   практических   умений   и
способностей; на сформированность у обучающихся комплекса компетенций,
позволяющих им реализовывать свои замыслы в условиях многофакторного
информационного и коммуникационного пространства.
Организация     ученического   самоуправления     в   гимназии   проходит  в
форме имитационноролевой игры.   Имитационноролевая игра это метод
воспитания,   при   котором   обучающиеся   играют   определенные   роли   в
неформальной, но максимально реалистичной манере. Имитационноролевая
игра   основана   на   разыгрывании   условной   роли.   Исполнение   роли   дает
участникам возможность: исследовать свое "естественное", т.е., привычное,
поведение;   выйти   за   рамки   привычных   поведенческих   шаблонов;   освоить
8 действия   необходимые   на   рабочем   месте.   Подразумевается,   что   каждый
понимает,   как   действовать,   исходя   из   рамок   своей   роли.   Игра   позволяет
увидеть и зафиксировать не только образ действий, но и отношение человека
к тому, как он действует. Методики проведения ролевых игр способствуют
развитию   навыков   критического   мышления,   решению   проблем,   отработке
различных   вариантов   поведения   в   проблемных   ситуациях,   воспитанию
понимания   других   людей.   Через   игру   обучающиеся   могут   лучше   понять
собственные действия в реальной жизни, избавиться от страха за последствия
своих ошибок.
Имитационноролевая
высокоэффективной
образовательной   технологией,   именно   в   ней   становятся   возможным:
является

игра

участников   проекта   путем   формирования   специальных   условий,
способствующих его активизации независимо от его желания. В результате
игры происходит:
 устойчивость   и   непрерывность   активной   мыслительной   деятельности
участников игры путем удлинения времени единовременного активного
включения,   или   же   спонтанной,   но   очень   глубокой   работой   мысли,
позволяющей   сохранять   активность   в   течение   некоторого   перерыва
между активной работой;
 формирование   навыков   самостоятельной,   творческой   выработки
управленческих и иных решений в условиях игрового имитационного
моделирования, повышенной мотивации и эмоциональности участников
проекта;
 перманентные   взаимные   коммуникации   всех   участников   игры
(обучающихся и   педагогического состава), развивающие обе стороны с
рефлексивных позиций;
                     Цель   игры    привлечение   гимназистов   к   активному   участию  в
формировании   гражданского   общества   и  развитие   в  них   необходимых   для
этого качеств.
Основные задачи игры:
9      обогащение социального опыта подростков;
   комплексное   психологопедагогическое   изучение   подрастающего
поколения   с   целью   отработки   социальнопедагогических   механизмов
гражданского становления и стимулирования социальной активности детей.
10 Раздел 1. Содержательнометодические основы программы
1.1 Актуальность программы для школьников
Школьное   ученическое   самоуправление   способствует   эффективной
социализации подрастающего поколения, накоплению им социального опыта,
подготовке   к   жизни,   к   решению   социальных   проблем   различной
сложности. Актуальность   и   необходимость   вовлечения   детей   в   процесс
школьного самоуправления объясняется с двух позиций:
1. С   точки   зрения   возрастных   психологических   особенностей для
подростка   характерна   повышенная   восприимчивость   к   социальным
явлениям;   для   него   необходимо   признание,   должно   быть   наличие
мотивации на взаимодействие в группе; ребенок готов к изменениям,
испытывает   потребность   в   своих   достижениях   и   своем
самоопределении;
2. С точки зрения педагогов, участие в школьном самоуправлении или в
деятельности  общественной организации способствует формированию
гражданской   позиции   и   ценностного   отношения   к   себе   и   другим;
позволяет   учащимся   повысить   социальную   компетенцию;   развивать
социальные   навыки   поведения   и   установок   на   самостоятельное
принятие решения социальных проблемных ситуаций.
Самоорганизация и самоопределение дают возможность естественного
вхождения   в   систему   открытых   гражданских   отношений.   В   условиях
совместной   деятельности   поведение   человека   становится   более
плодотворным,   чем   в   условиях   индивидуального   поведения.  У  подростков
возникает желание действовать в соответствии с теми ожиданиями, которые
они имеют по отношению друг к другу, что впоследствии проявляется в их
поведении. На поведение подростков влияют также требования социальной
среды в виде обязанностей, традиций, правил поведения и моральных норм.
При   этом   вырабатываются   необходимые   навыки   социального
взаимодействия,   умение   подчиняться   коллективной   дисциплине   и   в   то   же
11 время отстаивать свои права, соотносить личные интересы с общественными.
В сообществе сверстников, где взаимодействие строится на равных и статус
надо заслужить и уметь поддерживать, подросток вырабатывает необходимые
взрослому коммуникативные навыки, партнерские и лидерские качества.
Подростки стремятся к групповому объединению тогда, когда видят в
этом   перспективу   интересной   жизни,   возможность   решить   свои   проблемы.
Сознание   групповой   принадлежности,   солидарности   дает   подростку
чрезвычайно   важное   чувство   эмоционального   благополучия,   устойчивости,
формирует   чувство   ответственности   за   себя,   за   других.   Этим   и
определяется важность и необходимость создания эффективного школьного
ученического самоуправления.
Опираясь   на   синергетический   подход   к   образованию,   который
заключается   в   стимулирующем   обучении,   побуждающем   участника
образовательного процесса к собственным поиск ам и открытиям, гимназия
разработала модель   жизнеспособной   личности   ученика на   каждом
возрастном   этапе.   Реализация   участниками   микросоциума   (школой,
родителями, социальными партнерами) данной модели предполагает развитие
познавательной,
формирование системы отношений ученика к миру и себе.
  коммуникативной,
  мотивационной   сфер   ученика;
Формирование жизнеспособной личности ученика на каждом возрастном
этапе рассматривается участниками микросоциума как условие его успешной
социализации во взрослую жизнь.
1.2 Цель и задачи Программы

 Главной
самоуправления является содействие
демократической,   самоуправляющей   школы,   обеспечивающей   свободное
ученического
правовой,
целью

становлению

развитие   личности,   формирование   социальной   активности,   воспитание
гражданственности,   ответственности,   уважительного   отношения
12 учащихся   к   правам   других   людей. Поэтому цель   ученического
самоуправления определяется портретом

выпускника
общеобразовательной   школы. Выпускник   школы   –   это   не   только
высокообразованная,   всесторонне   развитая   творческая   личность,   но   и
личность,   обладающая   следующими   качествами:  высокая   нравственность,
гуманность,   толерантность   отношений;  патриотизм;  активная   жизненная
позиция; способность к самоопределению в социуме и культуре.
Достижение главной цели возможно через  решение следующих задач:
 развитие интеллектуальной и духовно – нравственной сфер жизни
детей и подростков;
 формирование   нравственных   качеств,
  воспитание   чувство
коллективизма,
  товарищества,
  ответственности,
  социальной
дисциплины;
гуманизация и гармонизация взаимоотношений педагогов, учащихся и

родителей, вовлечение их в школьную работу.
 1.3 Основные приоритеты Программы
Школьное   ученическое   самоуправление   в   содержании   своей
деятельности   консолидирует   различные   социальные   институты   вокруг
решения   таких   важных   проблем   современности   как   формирование
гражданской   позиции,   нравственной   ответственности   в   духе   ценностей
гражданского   общества.   Этим   обусловлена педагогическая   поддержка со
стороны   взрослых, эффективность которой   определяется   следующими
условиями:
                 1. Педагог должен четко представлять себе объекты, с которыми
ребенок может вступать в контакт в различных видах социальных отношений
(ребеноксемья,
ребенокмир).
  ребенокшкола,
  ребеноксреда,
  ребенокгосударство,
13 2. Педагог должен четко осознавать свою роль и функции в процессе
социализации   подростка   и   быть   компетентным   в   вопросах   социализации
личности.
                 3. Педагог должен в целом способствовать развитию и расширению
детского   самоуправления   в   условиях   воспитательной   системы   школы   и
организации педагогического взаимодействия.(Приложение 2 )
Раздел 2. Структурная модель ученического
самоуправления в гимназии.
 2.1   Принципы   работы   органов   ученического   самоуправления
         Функционирование системы ученического самоуправления основано на
следующих принципах:
1. Разделение полномочий органов самоуправления школы и их тесное
взаимодействие;
2. Выборность всех органов совместного и раздельного самоуправления
педагогов, учащихся и родителей;
3. Равноправие всех членов в органах самоуправления;
4. Подотчетность всех органов самоуправления и руководителей
избравшим их людям;
5. Систематическая сменяемость, обновляемость руководителей и органов
самоуправления, преемственность в их работе;
6. Широкая гласность и открытость в деятельности органов школьного
самоуправления;
7. Самостоятельность и свобода действий подчиненных, обсуждение
решений с исполнителями до их принятия;
8. Коллегиальность принятия решений и персональная ответственность за
их выполнение;
9. Учет объективных закономерностей, конкретных условий и
обстоятельств;
10.Законность принимаемых решений.
14 Реализация   перечисленных   принципов   позволяет   установить
демократический образ жизни в школе, создать благоприятные условия для
свободного развития личности, а, следовательно
2.2
  Структура
  школьного

ученического

самоуправления
Модель ученического самоуправления складывалась в школе постепенно: от
Совета старшеклассников и трех объединений по интересам на параллелях 1
4, 58, 911 классов – к системе органов ученического самоуправления, как
части государственнообщественного управления школы .
Структура   школьного   ученического   самоуправления  представляет
собой государственную   структуру   органов   управления, во   главе   которой
стоит Президент школы(Приложение 3), выбирается из учащихся 11 классов
на   один   год.   Выборы   Президента   школы   происходят   в   апреле   месяце,
подготовку   выборов   и   контроль   за   ними   осуществляет   центральная
избирательная комиссия школы.

Стру
ктура школьного ученического самоуправления
15 Высшим органом самоуправления является  ученическая
конференция,  которая собирается 2 раза в год. Она  наделена следующими
полномочиями:
1) избирать кураторов подразделений УСУ;
2)   принимать   программу   деятельности   и   нормативные   документы
организации, вносить в них дополнения и изменения;
3)   реорганизовывать   или
направления деятельности;
  ликвидировать   деятельность   какоголибо
4) осуществлять отчет и анализ всей деятельности УСУ в начале и в конце
года.
В конце учебного года проводится вторая итоговая конференция под
названием «Достояние Республики» которая преследует воспитательную цель
педагогов   школы   по   развитию   творческих   способностей   учащихся,   их
самореализации   и   вырабатыванию   навыков   самостоятельной   работы   по
формированию осознанной граждансконравственной позиции. Руководство и
координацию   Ученической   конференции   осуществляет   Президент   школы,
избираемый общешкольным голосованием.
 Целью   деятельности     этой   конференции  является   обеспечение
межгруппового   единства   в  коллективе   школы   и  преемственности   в  работе
органов самоуправления.
Задачами деятельности Итоговой конференции  являются:
 развитие и сохранения традиций школы;
 представление интересов учащихся в процессе управления школой;
 координация   внутренней   деятельности,
  направленной   на
удовлетворение интересов членов школьного коллектива;
                 Конференция считается правомочной, если на ней присутствуют не
менее половины членов организации, если проголосовало больше половины
присутствующих   членов   организации.   Контроль   исполнения   принятых
решений осуществляет Президент УСУ.
16 Членом УСУ  может быть любой учащиеся, проявляющий активность в
делах   класса   и   школы,   признающий   настоящие   положения,   выполняющий
решения Конференции.
                      Все   члены   УСУ   «Республика   ШКИД»   подчиняются   закону   –
«Конвенции (Конституции) школьной республики. (Приложение 4)
Высшим органом законодательной власти ученического самоуправления
является Парламент   Гимназии, который состоит    из двух палат:   Палаты
Депутатов и Палаты Старост. Парламент  формируется на выборной основе
сроком на один год: в каждую палату учащимися 511 классов делегируется
по два представителя от класса, который избирается в классном коллективе.
А так же представители других структурных подразделений.(Приложение 5)
Целью   деятельности   Парламента является   реализация   права
учащихся на участие в управлении образовательным учреждением.
Задачи:
 Представление интересов учащихся в процессе управления школой;
 Поддержка и развитие инициатив учащихся в школьной жизни;
 Защита прав учащихся.
Парламент  собирается один раз в неделю. Он самостоятельно определяет
свою структуру, избирает из своего состава Спикера, решает общие вопросы
учебновоспитательного процесса, утверждает локальные акты, связанные с
ученическим самоуправлением. Деятельность Парламента регламентируется
Положением о Парламенте  МОАУ «Гимназия № 12»
Высшим

исполнительным

органом

ученического
самоуправления является  Правительство

или
  Министерский
Совет, которое   формируется   на   выборной   основе   сроком   на   один   год.
(Положение 6)
Целью   работы   Министерского   Совета   является   организация
разнообразной   деятельности   учащихся   в   урочное   и   внеурочное   время   и
17 содействие   учащимся   в   их   всестороннем   развитии   и   выработке   активной
жизненной позиции.
 Задачами деятельности Министерского Правительства  являются:
формирование   интереса   к   изучению   учебных   дисциплин   и   ведение
систематического контроля за успеваемостью и посещаемостью учащихся;
изучение   интересов   учащихся   и   их   привлечение   к   участию   в
мероприятиях школы;
реализация   возможностей   учащихся   практически   познакомиться   с
разными видами творчества и вовлечь их в общественную деятельность;
вовлечение   учащихся   в   систематические   занятия   физкультурой   и
спортом и пропаганда здорового образа жизни;
реализация плана воспитательной работы в школе;
информирование учащихся о событиях в школьной жизни.
В состав Министерского Совета  входят 6 министров: Министр науки и
образования,   Министр   культуры,   Министр   внутренних   дел,   Министр
физкультуры   и   спорта,   Министр   печати   и   информации,   все   они   из   числа
учащихся   1011   классов.   Кроме   того   в   Совет   входят   кураторы
волонтерского(Приложение   7),   вожатского   отрядов(приложение   8)   и   КВН.
На   первом   организационном   заседании   Школьного   правительства
голосованием   избирается   Председатель   Школьного   правительства,
кандидатура   которого   далее   утверждается   Президентом   школы.   Заседания
Школьного Правительства проводятся не реже 1 раза в неделю. Деятельность
Школьного   Правительства   или   Министерского   Совета   регламентируется
Положением о Министерском совете УСУ МАОУ «Гимназия № 12».
Все

участники

ученического

самоуправления
составляют общешкольный актив, обучение которого проводится в первый
понедельник   каждого   месяца,   на   заседаниях   подводятся   итоги   работы   за
прошедший   месяц   и   планируется   работа   на   новый   месяц.
2.3 Структура классного ученического самоуправления
18 (Приложение9)
                        Первичным   коллективом   ученического   самоуправления
является коллектив класса, в котором создается актив, состоящий из
старосты   и   его   заместителей   по   науке   и   образованию,   культуре,
здравоохранению,   физкультуре   и   спорту,   труду   и   социальному
развитию, печати и информации.
19 Староста класса – ответственное лицо, уполномоченное одноклассниками
для   организации   самоуправления   в   классе   и   помощи   классному
руководителю,   который   в   своей   деятельности   стремиться   к   сохранению   и
развитию   лучших   традиций   класса   и   школы.   Староста   избирается   и
переизбирается   общим   собранием   класса   из   числа   учащихся   этого   класса.
Кандидатура   старосты   согласовывается   с   классным   руководителем.   Срок
полномочий   старосты   определяется   общим   собранием   класса.   Староста
класса входит в состав Палаты старост Парламента  гимназии.
Организация ученического самоуправления в классах действует на тех
же принципах, что и школьное ученическое самоуправление и преследует цель
– вовлечение всех учащихся в общественную деятельность, способствующую
улучшению учебновоспитательного процесса в классе и в школе в целом.
С целью активизации  деятельности  коллективов классов в гимназии
создана рейтинговая система,   Положение о котором было рассмотрено и
утверждено   Парламентом.   Итоги   его   подводятся   по   четвертям   и   в   конце
учебного года. На итоговой Конференции «Достояние Республики» вручается
«Кубок   гимназии»   за   самый   активный   класс.   (Приложение   10)

20 2.4. Основные направления деятельности ученического самоуправления
Достижение   цели   и   решение   задач   Программы   будет   осуществляться
по основным   направлениям   деятельности   ученического   самоуправления:
Направление
Содержание деятельности
№
п/п
1
Представительское
направление «ЛИДЕРЫ»
 участие ученического совета в
обсуждении школьных проблем и
принятии решений;

выработка мнения учеников по
вопросам школьной жизни;
 участие в работе органов
21 Информационное
направление
общешкольного самоуправления.
 информирование школьников о
школьных проблемах и путях их
решения;
 информирование школьников о
деятельности ученического совета.
Организаторскодосуговое
направление
 поддержка социальнозначимых и
иных инициатив школьников;
2
3
4
Спортивное направление
 развитие досуговой деятельности
учащихся.
 КВН и ШОУ программы
 Спортивнооздоровительные
мероприятия

.Туризм
Волонтерское движение
(Приложение 7)
 Участие и разработка социально
значимых проектов;
 Проведение акции;
 Помощь ветераном локальных войн
 организация шефства старших над
Вожатский отряд
(Приложение 8)
младшими;
 Работа ЛДП
Направление внешних
связей

сотрудничество с внешкольными
структурами;
5
6
7
22  организация взаимодействия с
органами самоуправления соседних
школ;
 привлечение внешних ресурсов к
решению проблем.
 2.5 Законы школьного ученического самоуправления
Закон ответственности:
 Члену органов ученического самоуправления школы есть дело до всего,
что делается в школе. Он пользуется своим правом принимать
ответственные решения, брать на себя ответственность;
 Член органов ученического самоуправления настойчиво добивается
выполнения решений органов ученического самоуправления школы, он не
ждет указаний, а сам принимает решение и организует дело;
 Член органов ученического самоуправления школы не забывает о взятых
на себя обязательствах, каждое дело доводит до конца. Он  пример в
отношении к делу, к учебе и к труду;
 Член органов ученического самоуправления школы отвечает перед
органом ученического самоуправления за свои действия, которые он
совершал. За эти действия и за свою работу член органов ученического
самоуправления школы отчитывается на заседании органов ученического
самоуправления, а также на общем собрании учащихся школы или на
общешкольной ученической Конференции
 Закон внимательности:
 Член органов ученического самоуправления школы внимателен к людям, к
их мнениям и пожеланиям, ко всему, что делается в школе.
 Член органов ученического самоуправления внимательно читает
объявления о заседаниях органов ученического самоуправления.
Закон точности:
23  Член органов ученического самоуправления школы точен во времени и в
делах;
 Член органов ученического самоуправления держит свое слово.
Закон дисциплины:
 Член органов ученического самоуправления выполняет Устав школы, все
законы, правила, решения и поручения органов ученического
самоуправления;
 Член органов ученического самоуправления поступает в соответствии с
Положением, регламентирующем деятельность конкретного органа
ученического самоуправления.
24 2.6. Правила школьного ученического самоуправления
Правило свободного микрофона:
 Высказываться может каждый член органов ученического самоуправления,
но после того, как выступающий закончит говорить или истечет время его
выступления;
 Президент имеет исключительное право передавать «микрофон» (слово)
комулибо другому;
 Если ведущий не передаст никому «микрофон», его берет тот, кто раньше
других приготовился говорить  поднял руку (приоритетное условие для
того, чтобы взять микрофон) и ближе других находится к закончившему
выступление;
 Выступающего внимательно выслушивают.
Правило двух минут для выступления:
 Свободный микрофон можно «держать в одних руках» не дольше двух
минут;
 Выступая, помните: «Не говори длинно, а говори сжато».
Правило семи минут для доклада:
 Доклад может длиться не дольше семи минут;
 Для очень важного и содержательного доклада по решению органов
ученического самоуправления может быть дано дополнительное время.
Правило поднятой руки:
 Если хочешь сказать важное  подними руку, и тебя должны выслушать;
 Но если ктото поднял руку  ты, как и все, должен его выслушать
внимательно, не перебивая;
 Если поднято несколько рук, то очередность выступающих определяет
Президент.
Правило реплик:
25  Реплики с мест принимаются, но выступающие не перебиваются.
Правило свободы мнений:
 Для совета ровно значит: «Думаешь ли ты как все или думаешь иначе».
Правило конструктивной критики:
 Ты такой обычай знай: «Критикуешь  предлагай!»
Правило блокнота и ручки:
 На заседания члены органов ученического самоуправления приходят с
блокнотом и ручкой (карандашом) для того, чтобы записать все самое
главное, чтобы не забыть и потом рассказать учащимся.
 2.7   Нормативноправовые   документы   деятельности   ученического
самоуправления
К документам,
самоуправления, относятся:
  регламентирующим   деятельность   органов   ученического
1. Устав Муниципального общеобразовательного автономного учреждения
«Гимназия №12»;
2. Положение об  Ученическом самоуправлении «Республика ШКИД»
3. Положение о Парламенте МОАУ «Гимназия № 12»
4. Положение о Министерском Совете МОАУ «Гимназия № 12»
5. Положение о старосте класса МОАУ «Гимназия № 12»
6. План воспитательной работы МОАУ «Гимназия № 12»;
7. План работы Ученического самоуправления «Республика ШКИД» МАОУ
«Гимназия  № 12»
В ходе своей работы органы школьного ученического самоуправления ведут
следующую документацию:
1. учет посещаемости заседаний членами Парламента и старост
26 2. протоколы заседаний Парламента
3. справки о проведении мероприятий и контроле за деятельностью.
27 Раздел 3.Ожидаемые результаты
1. Повышение значимости роли ученического самоуправления в жизни
гимназии
2. Повышение у гимназистов интереса к работе в  «Республике ШКИД»
3. Раскрытие личностного потенциала учащихся через их приобщение к
общественной деятельности и школьным традициям, участие в детско
юношеском движении, в школьных и внешкольных организациях
4. Позитивная динамика развития познавательной, коммуникативной и
мотивационной сферы личности через деятельность в органах
ученического самоуправления
5. Высокая  потребность в общественнополезной деятельности
6. Развитое моральное сознание и компетентность в решении моральных
проблем на основе личностного выбора, осознанного и ответственного
отношения к собственным поступкам
7. Сформированность у учащихся мотивации к изучению окружающего
мира  и к самим себе.
8. Самоопределение участников по отношению к ученическому
самоуправлению, формулирование собственной концепции
самоуправления.
9. Освоение новых технологий педагогической деятельности.
10. Стремление детей, педагогов, родителей разделить свой опыт и успех с
теми , кто рядом и всем обществом.
11. Желание всех участников образовательного процесса воздействовать на
окружающее общество в целях позитивного его изменения.
28 КОНВЕНЦИЯ ШКОЛЬНОЙ РЕСПУБЛИКИ
Приложение 4
Члены Школьного Парламента, ПРИЗНАВАЯ:
1.  Положения Конвенции ООН о правах ребенка:
 на сохранение своей индивидуальности;
свободно формулировать и выражать собственные взгляды;

 на свободу мысли;
 на свободу ассоциаций и мирных собраний;
 право на образование, которое направлено на развитие личности, талантов,
умственных   способностей,   на   воспитание   уважения   к   правам   человека   и
основным   свободам,   на   подготовку   ребенка   к   сознательной   жизни   в
свободном обществе;
 право ребенка на защиту;
2.    ст. 43 Конституции РФ о праве на образование;
3. ст. 26 Закона РФ «Об образовании» об управлении государственными и
муниципальными   образовательными   учреждениями   на   принципах
единоначалия и самоуправления.
4.  Устав гимназии.
Учитывая необходимость сохранять и развивать традиции гимназии в
целях гармоничного развития личности гимназиста  и убежденные в том, что в
данной гимназии каждый ученик получает защиту, содействие и помощь всех
участников
НИЖЕСЛЕДУЮЩИМ:

воспитательного

процесса,
  СОГЛАСИЛИСЬ   С
                                                     ЧАСТЬ1
Данная Конвенция является основным законом ученического самоуправления.
29 С   т   а   т   ь   я   1:   В   МАОУ   «Гимназия   №   12»   существует   ученическое
самоуправление  «Республика ШКИД».
С т а т ь я 2: Ученическое самоуправление строится на следующих принципах:
гуманности к каждому человеку;

 приоритет прав и интересов учащихся;
 уважение мнения меньшинства и большинства;
 добровольность, равноправие всех членов самоуправления, гласность;
 открытость   для   всех   членов   самоуправления   и   для   сотрудничества   с
другими организациями;
 взаимная и личная ответственность;
 стремление к развитию.
С т а т ь я 3: Ученическое самоуправление является составляющей частью
управления гимназии и осуществляет связи с администрацией, родителями,
попечительским советом, педагогическим советом гимназии.
С т а т ь я 4: Членами  ученического самоуправления являются учащиеся 111
  членами   школьного   парламента   учащиеся   511   классов,
классов,
осуществляющие   свою   деятельность   на   реализацию   поставленных   целей   и
задач.
С т а т ь я 5: Органами ученического самоуправления являются:

законодательный орган – Школьный Парламент,
законосовещательный орган – министерский совет,

 исполнительный орган – старостат.
С т а т ь я 6: Органами ученического самоуправления в первичных
коллективах (классах) являются:

законодательный орган – общее собрание класса
 исполнительный  орган – совет класса и другие члены коллектива
30 С т а т ь я 7:Изменения   и дополнения в данную Конвенцию вносятся на
заседании Школьного Парламента при принятии большинства голосов.
                                                         ЧАСТЬ 2
ПРАВА ЧЛЕНОВ ОРГАНОВ УЧЕНИЧЕСКОГО САМОУПРАВЛЕНИЯ
С т а т ь я 1: Учащиеся, входящие в органы ученического самоуправления,
имеют право:
 избирать   и   быть   избранными   в   органы   ученического   самоуправления
(Школьный парламент) и оценивать их работу;
 участвовать   в   планировании   деятельности   .проявлять   собственную
активность в организации работы;
 выражать и отстаивать личные интересы своего коллектива;
 открыто и корректно выражать свое мнение, критиковать действия органов
  высказывать   свои   предложения   для
ученического   самоуправления,
рассмотрения их в дальнейшем на заседании Школьного парламента;
 представлять   интересы   ученического   самоуправления   в   районе,   городе,
области.
С т а т ь я 2: Министерский совет имеет право:
 представлять интересы ученического самоуправления в администрации, на
заседании педагогического совета и общего родительского собрания;
 возлагать ответственность за выполнения решений на членов совета;
 назначать ответственных из состава органов ученического самоуправления
за различные мероприятия;
 вести заседания совета.

31 ЧАСТЬ 3
                ОБЯЗАННОСТИ ЧЛЕНОВ ОРГАНОВ УЧЕНИЧЕСКОГО
                                             САМОУПРАВЛЕНИЯ
С   т   а   т   ь   я   1:   Учащиеся,   входящие   в   состав   в   органы   ученического
самоуправления, обязаны:
 соблюдать данную Конвенцию;
 выполнять решения органов ученического самоуправления;
 действовать   на   благо   гимназии,   заботиться   о   чести   и     поддержании   ее
традиций и авторитета;
 уважать взгляды, интересы, достоинство и свободу других людей;
 участвовать   в   организации   различных   мероприятий   самостоятельно   или
совместно с другими членами ученического самоуправления;
 показывать пример в учебе, в труде и в другой деятельности;
 беречь   имущество,   соблюдать   учебную   и   трудовую   дисциплину,   нормы
поведения;
 информировать классы о своей деятельности.
С т а т ь я 2:  Министерский совет обязан:
 следить за выполнением данной Конвенции;

 организовывать работу всех органов ученического самоуправления.
защищать интересы членов ученического самоуправления на всех уровнях;
32 33 Приложение 10
ПОЛОЖЕНИЕ О РЕЙТИНГОВОЙ СИСТЕМЕ УЧАСТИЯ КЛАССОВ В
ШКОЛЬНОМ    САМОУПРАВЛЕНИИ
Выписка из решения Школьного Парламента от 15.11.07
о создании в гимназии № 12 системы рейтинга участия классов
в школьном самоуправлении.
С целью введения элемента соревновательности и повышения активности
классных коллективов принять данное положение о рейтинговой системе.
 Каждому классу за участие в системе учебновоспитательного процесса
присуждается  10  баллов.
Класс, который не принимает участие в какихлибо мероприятиях,
штрафуется на 10 баллов.
Классам,   занявшим призовые места в какихлибо мероприятиях,
присуждается следующие баллы:

ГОРОД, РАЙОН
I место 40баллов
II место   30 баллов
III. место – 20 баллов

ГИМНАЗИЯ
I место – 50 баллов
II  место – 40 баллов
III место – 30 баллов
Классам      активным   участникам   Школьного   Самоуправления   по
решению Парламента могут присуждаться дополнительные 10 баллов.
За подсчет баллов несет ответственность министерство внутренних дел УСУ.
34

file_name: программа УСУ.docx

intro:
Эта программа является продуктом проекта, реализованным в МАОУ "Гимназии № 12" в течении 6.5 лет. Проект называется "Создание и внедрение модели самоуправления в гимназии".
Программа направлена на воспитание активно-жизненной позиции учащихся, их гражданских и патриотических чувств к своей Родине, к семье, к школе, к друзьям и ко всему тому, что окружает.

доп. образование детей

group: Другое

title: Программа деятельности Ученического самоуправления "Республика ШКИД"


extracted_text:
Элективный курс «Алгебраические уравнения и способы их решения»
для учащихся девятого класса.
Среднее   (полное)   общее   образование   –   завершающая   ступень   общего
образования,   призванная   обеспечить   функциональную   грамотность   и
социальную адаптацию обучающихся.
  способствуют
Элективные   курсы,   проводимые   в   89   классах,
интенсификации  образовательного процесса в целом и призваны помочь
профессиональному ориентированию и самоопределению школьников.
Данный   элективный   курс   связан   с   реализацией   в   школьном   курсе
математики   одной  из  основных  содержательно –  методических  линий –
линий уравнений. Для того, чтобы научить решать уравнения учащихся,
необходимо рассматривать общие идеи и методы решения, чтобы развивать
у ребят математическое мышление. В данном элективном курсе делается
акцент на трех основных методах решения уравнений любого типа, в том
числе   и   алгебраических.   Это   метод   разложения   на   множители,   метод
введения новых переменных и функционально – графический. В каждом из
методов рассматриваются случаи, которые не изучаются в основном курсе
математики.   Учащиеся,   далее   желающие   продолжить   свое   обучение   в
профильных классах, связанных с более детальным изучением математики,
должны   владеть   методами   решения   уравнений   на   достаточно   высоком
уровне.
Цели данного курса:
 Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной
деятельности;
 Развитие   математических,
учащихся.
  интеллектуальных   способностей
Для   достижения   поставленных   целей   в   процессе   обучения   решаются
следующие задачи:
 Приобщить учащихся к работе с математической литературой;
 Выделять   логические   приемы   мышления   и   способствовать   их
осмыслению, развитию образного и ассоциативного мышления;
 Обеспечить диалогичность процесса обучения математике.
Данный курс предназначен для учащихся девятых классов, рассчитан на
десять часов аудиторного времени.
Курс призван помочь ребенку оценить как свой потенциал с точки зрения
перспективы   дальнейшего   обучения   в   классах   математического   и
естественно   –   научного   профилей,   так   и   повысить   уровень   его   общей
математической культуры.
В  результате изучения  курса  учащиеся  должны уметь применять  общие
методы решения уравнений в конкретных задачах. Тематическое планирование элективного курса.
№ занятия
Тема занятия
1  3
4  6
7  8
9  10
Метод   разложения   на   множители   при   решении
алгебраических уравнений
Метод   введения   новых   переменных   при   решении
алгебраических уравнений
Функционально   –   графический   метод   решения
уравнений
Решение   алгебраических   уравнений   различными
методами из вариантов ЕГЭ
Занятие № 1. Метод разложения на множители.
На   первом   занятии   рассматривается   суть   данного   метода,   учащимся
предлагается вспомнить уравнения, при решении которых использовался
данный метод (разложение квадратного трехчлена, стоящего в левой части
уравнения; использование формул сокращенного умножения при решении
уравнений,   в   левой   части   которых   многочлены;   способ   группировки   и
вынесение   общего   множителя).   Затем   обращается   внимание,   что   очень
часто эти методы работают вместе, дополняя один другой. И, наконец,
рассматривается ряд примеров.
Пример 1. Решить уравнение:
x
73
 x

06
Представим слагаемое 7х в виде суммы х + 6х и осуществим последующую
группировку. Тогда получим уравнение, равносильное исходному
( 2
xx

(6)1

x

0)1
. 
0)1

x
(6)1
x

2
x
0)6
,

06
2

(
xx
)(1

(
x
)(1
x


x
01


x
x




x
,1



x



x
2


,3
Следовательно, исходное уравнение имеет три решения.
Ответ: {3; 1; 2}.
Пример 2. Решить уравнение:
84
 x

0
63
x

0164
4
2
2
2
2
2
2

x
8
x


0)1


2
4
0)9
x
16
x
16


4(
x
)8



)(7
4
x
x

,07
x
4


x
4
09
x
(
x
(
x

x


x

Так   как   ни   одно   из   уравнений   совокупности   не   имеет   решений,   то   и
исходное уравнение, равносильное совокупности, корней не имеет.
Ответ: корней нет.

2
2
Однако, замечаем, что такие искусственные преобразования, которые были
выполнены   во     втором   примере,   не   всегда   видны   сразу.   Поэтому   для
решения таких уравнений используют ряд теоретических положений.
Теорема 1. Если
x

x
1
     корень многочлена p(x), то многочлен p(x)
можно   разложить   на  множители,   одним   из   которых   будет   двучлен
.
(
1xx
) Докажем   этот   факт.   Пусть
xxbxaxp
)(



3
4
2

mdx

.   Если

x1
корень данного многочлена, то p(x) = 0.
Тогда
)(
xxaxp
)(
1

(

xx
)(
1
x
2

2
)
x
1
(
xxc
)(
1


xx
)
1
xxd
(
()
1

xqxx
)()
1
2


xx
1
2
)
x
1
x



(
xxb
)(
1
.
Пример 3. Решить уравнение:
3
x

2 2
x

5
x

02
.
Заметим, что х = 1 является корнем уравнения. Воспользуемся тем же
способом, что при доказательстве теоремы 1. Тогда получим уравнение,
равносильное исходному уравнению
.
(
x

)(1
x
2

3
0)2
x
Рассматривая решение этого уравнения, решаем совокупность, состоящую
из   линейного   уравнения   и   квадратного   уравнения.,   корнями   которых
являются числа: 1;
. Значит, исходное уравнение имеет
3

2
17
17

3
;

2
три решения.
Ответ: {1;
}.
3

2

3
17
;

2
17
Для того, чтобы использовать этот прием решения, необходимо увидеть
хотя бы один из корней данного уравнения, а это не всегда бывает просто.
В этом случае поможет следующая теорема.
Теорема   2.   Если
x

x
1
  целочисленный   корень   многочлена  p(x)   с
целочисленными коэффициентами, то
  делитель свободного члена
x1
многочлена. Теперь   для   решения   уравнения   вида  p(x)   =   0,   где  p(x)   –   многочлен   с
целочисленными   коэффициентами,   можно   сформулировать   алгоритм
использования метода разложения на множители:
 Выписать все делители свободного члена данного многочлена;
 Выбрать   из   них   то   число,   которое   является   корнем   данного
многочлена;
 Разложить данный многочлен на множители, выделяя двучлен
);
(

xx
1
 Преобразовать данное уравнение к виду
(
к решению уравнения
.
0)( xq
  и перейти
xqxx

0)(
)1

3

13
решить
x
x
19
Дома:
6
x


по

0
12
алгоритму
данному
уравнение:


2
Занятие   №   2.   Метод   разложения   на   множители   с   использованием
схемы Горнера.
На   втором   занятии   с  учащимися   рассматривается   вопрос   о   разложении
многочлена степени ни ниже третьей на линейные множители и множители
второй   степени   с   использованием   схемы   Горнера.   Способ   решения
рассматривается на конкретных примерах.
Пример 1. Решить уравнение:
3

06
Выпишем делители числа 6: 1; 1; 2; 2; 3; 3; 6; 6.
При х = 1 125+6=0, 0=0, получаем верное равенство, следовательно, 1 –
корень многочлена, стоящего в левой части уравнения.
2 2
x
5
x
x


1
1
1
2
1
5
6
6
0
Тогда   данное   уравнение   примет   вид
(
x

)(1
x
2

x

0)6
,   которое
равносильно совокупности . Второе уравнение совокупности имеет два корня: 2 и 3.




x
x

,01
2 x


06
Следовательно, исходное уравнение имеет три корня.
Ответ: {2; 1; 3}.
Пример 2. Решить уравнение:
x
13
Выпишем делители числа 6: 1; 1; 2; 2; 3; 3; 6; 6.
Проверяя по порядку делители, убеждаемся, что 2 – корень многочлена.
5
3
x
x
x

06



2
3
4
2
1
1
3
5
5
5
13
3
6
0
Тогда данное уравнение можно переписать в следующем виде
x
(

0)3
5

5
)(2
x
x
x

2
3
Теперь найдем корень многочлена, стоящего во вторых скобках, им может
быть делитель числа 3: 1; 1; 3; 3. Проверяя по порядку делители,
  убеждаемся, что  3 –  корень  многочлена.  Разложим  его   на множители
степени ниже третьей.
3
1
1
5
2
5
1
3
0
Исходное уравнение примет вид
(
x

)(2
x

)(3
2

0)12
x
x
Найдем корни квадратного трехчлена, стоящего в третьих скобках. Ими
будут числа
.

1
,2
1
2
Значит, исходное уравнение имеет четыре решения.
Ответ: {2; 3;
}.

1
,2
1
2
Пример 3. Решить уравнение
4
5
x

4

4
x
13

3
x
6
2
x

9
02
x Корнями   многочлена,   стоящего   в   левой   части   уравнения   могут   быть
делители числа 2: 1; 1; 2; 2. Проверкой убеждаемся, что числа 1; 1; 2
являются корнями многочлена. Тогда исходное уравнение примет вид
(
x

0)14
x

)(1
)(1

x
x


2
4)(2
x
Корнями   квадратного   трехчлена,   стоящего   в   четвертых   скобках,   будут
числа
. Значит, исходное уравнение имеет пять корней.
1

2
2
2
1
,

2
Ответ: {1; 1; 2;
}.
1

2
1
,

2
2
2
Пример   4.
 Найти   значения  a  и  b,   при   которых   уравнение
  имеет корни 2 и 1. Найти остальные корни.
4
4

xbxax

3
2

02
x
Так как числа 2 и 1 являются корнями исходного уравнения, то при их
подстановке в уравнение вместо переменной х получим верные равенства.
64
4



8
22
a

ba
0
4
b
21
,0





,5
ba

2
ba



17


b
a

3
a
,5
12







a
b


,4
9
Исходное уравнение примет вид
4

4
x
4

3
x
9
2
x

02
x

Так   как   2   и   1   –   корни   исходного   уравнения,   то   разделим   многочлен,
стоящий   в   левой   части   уравнения   на   произведение   (х      2)(х   +   1).   В
,   корнями   которого
результате   получим   квадратный   трехчлен
4 2 x
1
являются   числа:   0,5   и   0,5.   Следовательно,   исходное   уравнение   имеет
четыре решения.
Ответ: {1; 0,5; 0,5; 2}.
Занятие № 3. Метод разложения на множители.
На третьем занятии учащимся предлагается поработать в компьютерном
классе,   решить   ряд   уравнений   с   использованием   метода   разложения   на множители   левой   части   уравнения.   На   этом   занятии   используется
мультимедийный   проектор   для   закрепления   теоретических   знаний   и
выработки   практических   навыков   в   использовании   данного   метода   при
решении   алгебраических   уравнений.   Используются   диски   «Математика
абитуриенту» и «Готовимся к ЕГЭ».
Занятие № 4. Метод введения новых переменных.
Умение   ввести   новую   переменную   –   важный   момент   математической
культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения
более прозрачной. Следует при решении уравнений не торопиться начинать
преобразования. Новая переменная в уравнениях иногда очевидна, иногда
ее   трудно   «увидеть»,   ее   можно   выявить   в   процессе   какихлибо
преобразований. Бывает так, что в одном упражнении полезно ввести не
одну, а две переменные.
Пример 1. Решить уравнение:
2

4
x
7
3
x

9

2
x
7
x

02
Так как х = 0 не является корнем уравнения, то разделим обе его части на
квадрат переменной х, затем выполним группировку и получим уравнение
(2
x
2


(7)
x
1
2
x

09)
1
x
Очевидно, что за новую переменную надо обозначить выражение
 .
x 1
t
x
Тогда
2
x

2
t
1
2
x
  и уравнение примет вид
.
2 2
t

057
t
2
Последнее уравнение решаем как квадратное и находим корни: 1; 2,5.
Остается решить совокупность еще двух квадратных уравнений
2




x
2
x

2

x

,01
x
5

02
Первое   уравнение   совокупности   решений   не   имеет,   второе   имеет   два
корня: 0,5; 2. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: {0,5; 2}. Пример 2. Решить уравнение:
.

2
x
2
81
x

)
x
9(
2

40
Заметим, что левая часть уравнения имеет структуру
. Дополним ее
2
2 
ba
до   полного   квадрата,   добавив   и   вычтя   2ab.   Тогда   исходное   уравнение
примет вид

.   Теперь   можно   ввести   новую   переменную.
2

)
(
2
x

9
x
2
x
18

x
9

40

0
Обозначим выражение
2
x
9
x
  через  t   и подставим в уравнение, которое
примет   вид
2
t

18
t

0
40
.   Оно   имеет   два   корня:   20   и   2.   Остается
решить совокупность из двух квадратных уравнений, одно из которых не
имеет решения, а корнями другого являются числа
,
.
1
19
1
19
Исходное уравнение имеет два решения.
Ответ: {
}.
,
1
19
1
19
Пример 3.  Решить уравнение:
2
(2
x
2

x
(7)1

2

)1
(13
x
3

x
)1
Заметим, что правая часть уравнения раскладывается по формуле разности
кубов,   тогда   можно   ввести   две   переменные,   обозначив   через
  Тогда   исходное   уравнение   примет   вид
.
2
x

a
x
1
2
2
a

13
ab
,
x
 b
7

1
b
2
0

Разложим левую часть уравнения на множители, представив 13ab = 14ab +ab, тогда уравнение примет вид (2a +b)(a – 7b)=0. Получим
совокупность
.   Вернувшись   к   переменной   х,   получим

2
a

ba
,0


b
0
7



совокупность из двух квадратных уравнений. Решая их, получим четыре
корня: 1; 0,5; 2; 4. Следовательно, исходное уравнение тоже имеет четыре
корня.
Ответ: {1; 0,5; 2; 4}.
Следует   отметить,   что   можно   было   не   вводить   две   переменные,   если
догадаться разделить обе части уравнения на выражение, отличное от нуля
.   Тогда   в   качестве   новой   переменной   было   бы   выражение
2
(
x
 x
)1
2
.

1
x

2
x
1
x
Занятия № 5, № 6. Метод введения новых переменных.
На   этих   двух   занятиях   идет
алгебраических уравнений на конкретных примерах.
  отработка   данного   метода   решения
Пример 1. Решить уравнение:
2
(
x

4
x

)(1
x
2

4
x

)5
4
Пусть

2
x

4
x

1
a
Тогда

aa
(
)4
4

2


a
0
4
4
a


2
(
)2
a
0

a
0
2

a
2
          Корнями этого уравнения являются числа 3;1
2
2
x
x


4
4
x
x

2

0
1
3 Ответ:


1;3 
Пример 2. Решить уравнение:
4
x

8 2
x

0
9
Пусть
Тогда
2
x
 aa
,

0
2
a
 a
8

9
0

Корни этого уравнения: 1 и 9. 1 не удовлетворяет условию
0a
2
x

9
x
1

3
x
2

3
Исходное уравнение имеет два корня
Ответ:

3;3
Пример 3. Решить уравнение:
(
xx

)(1
x

)(2
x

15
)3
0
 Перемножим попарно множители.
2
(
x

)(3
xx
2

3
x

)2

15
0
Пусть
Тогда
2
x
 3
x
a
aa
(
)2

0
15
2
a

2
a

0
15
a
1

5
a

3








2

,5

.3
3
3
x
x
2
2
x
x
2
2
x
x


3
3
x
x


5
3
,0
.0 Первое уравнение совокупности не имеет корней, второе уравнение имеет
два корня:
 Исходное уравнение имеет два корня.

3

2
21
;
3

2
21
.
Ответ:

3

2
21
;
3

2
21
.
Пример 4. Решить уравнение:
2
(
x

)(2
xx
2

2
x

8
)7
Пусть
Тогда

2
a

7
2
x
 2
x

a
)7
aa
8
(

a

0
8
x
x
a
1








x
x

;1
a
2

8
2
2
2
2




2
2
2
2
x
x
x
x

,1

.8

,01

8
.0
.0










,0

8
2
x

(
)1
x

2
x
2

,1
x


x
,2


x
.4

Исходное уравнение имеет три корня.
Ответ:

.4,1,2
Пример 5. Решить уравнение:
2
(
x

7
x

)13
2

(
x

)(3
x

1)4
Пусть
2
x

7
x

13
a
Тогда данное уравнение в силу
(
x

)(3
x
виде:

)4
x
2
  можно записать в
7
x

12 2
a

0
a
a
1

;0
a
2

1
2
2




x
x


7
7
x
x

,0

,1
13
13
Решая данные уравнения, получим
x
1

;3
x
2

4
Следовательно, исходное уравнение имеет два решения.
Ответ:

4:3
Пример 6. Решить уравнение: (х  2)(х + 1)(х + 4)(х + 7)= 63.
Заметим, что
,
(
x

)(1
x

)4
x
2
5
x

4
(
x

)(2
x

)7
x
2
5
x

14
. Введем новую
переменную, обозначим через t выражение
2
x
 x
5

14
Тогда уравнение примет вид
aa
(
)18

63
2
a
 a
18

63

0
а =3 или а =21
Возвращаясь   к   переменной   х,   получим   совокупность,   равносильную
исходному уравнению.
85
. Второе уравнение совокупности корней не имеет, первое
2
2




x
x


5
5
x
x

,3

21
14
14
имеет два корня:

5

2
93
;
93
5

2
. Следовательно, исходное уравнение
имеет тоже два корня.
Ответ: {

5

2
93
;
5

2
}.
93
Пример 7. Решить уравнение:
2
(
x

x
)(1
x
2
.

)2
x
12 Обозначим через t выражение
, тогда уравнение примет вид
2
x
 x
1
.  Это   квадратное   уравнение   имеет   два   корня:   4   и   3.  Тогда
2
t
 t
12
0
исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений
2
2




x
x
,4

1

31
x
x

2
2




x
x


5
2
x
x
,0
0
            Первое уравнение совокупности
корней не имеет, второе имеет два корня: 2 и 1. Следовательно, исходное
уравнение имеет два корня.
Ответ:  {2; 1}.
Пример 8. Решить уравнение:
3
3
x

2
4
x

4
x

3
0
Выполнив   группировку   членов   многочлена,   стоящего   в   левой   части
уравнения и вынесем общий множитель. Тогда исходное уравнение будет
.   Рассматривая   условие
равносильно   уравнению
(
x

3)(1
x
2

0
)3
x
равенства   нулю   произведения,   получаем,   что   первый   множитель   равен
нулю   при   х   =   1,   а   второй   нулю   не   может   быть   равен   ни   при   каких
действительных   значениях   х.   Следовательно,   исходное   уравнение   имеет
одно решение.
Ответ: 1.
Пример 9. Решить уравнение:
4
x

3
5
x

8
x
2

5
x

01
Данное уравнение является симметрическим уравнением четвертой
степени.
Так как х = 0 не является его корнем, то разделим обе части уравнения на
квадрат   переменной   х.   Получим   уравнение
.

2
x

5
x

8

0

5
x
1
2
x
Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобки.
2
(
x

1
2
x

(5)
x


8)
0
1
x
.       Пусть
t
1
x
x
.   Тогда   уравнение   примет   вид
.
2
t

5
t

0
6 Это   уравнение   имеет   два   решения:   2;   3.   Возвращаясь   к   переменной   х,
получим  совокупность двух квадратных уравнений, левая часть одного из
которых представляет полный квадрат двучлена и имеет корень: 1. Второе
уравнение имеет корни:
. Следовательно, исходное уравнение
имеет три корня.
Ответ: {1;
3

2
5
;
2
}.
5
3

2
3

5
3
;
5

2
Занятия № 7, № 8. Функционально – графический метод.
Трансцендентно – алгебраические уравнения решаются функционально –
графическим методом, идея которого проста: если дано уравнение вида
f(x)=g(x), то нужно построить графики функций y = f(x)  и  y = g(x) и найти
точки   пересечения   этих   графиков.   В   этом   случае   корнями   исходного
уравнения   будут   абсциссы   точек   пересечения.     Этот   метод   позволяет
определить   число   корней   уравнения,   угадать   значение   корня,   найти
приближенные, а иногда и точные значения корней уравнения.
В   некоторых   случаях   при   решении   такого   типа   уравнений   построение
графиков  можно   заменить   ссылкой   на   какие  –  либо   свойства   функций.
Например, если одна из функций y = f(x)  или y = g(x) возрастает на всей
области определения, а другая убывает, то уравнение  f(x)=g(x) либо не
имеет корней, либо имеет один корень, который можно найти подбором
или угадать. Далее, подставив найденное значение в исходное уравнение,
можно проверить, действительно найден корень уравнения или нет.
Функционально – графический метод работает и в следующем случае: если
на множестве Х наибольшее значение одной из функций y = f(x)  или y =
g(x)   равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то
уравнение f(x)=g(x)  Равносильно на множестве Х системе уравнений
.
xf
)(
xg
)(


A
,
A



Пример 1. Решить уравнение:
.
x
2 x Построим   графики   функций

  и

y 
x
y
2 x

  в   одной   системе
координат.
Они   пересекаются   в   двух   точках   А(1;   1)   и   В(4;     2).   Значит,   исходное
уравнение имеет два решения: 1; 4.
Ответ: {1; 4}.
Пример 2. Решить уравнение:
5
x
 x
5

42

0
.
5
x

42
5
x
Построить   графики   функций
    и
y 
5x
y
42 
5
x
  достаточно   неудобно.
Поэтому обратим внимание,  что первая  из  этих  функций возрастает на
всем множестве действительных чисел, а вторая убывает, так как угловой
коэффициент прямой отрицательный. Значит, исходное уравнение имеет не
больше одного корня. Замечаем, что при х = 2 значения обеих функций
равны 32, т. е. при х = 2 данное уравнение обращается в верное числовое
равенство. Следовательно, 2 – корень исходного уравнения.
Ответ: 2.
Пример 3. Решить уравнение:
cos

2
x
x
2
.
2
x

2
Рассмотрим   функцию
y
2

x
.   Функция   квадратичная,   графиком
2
x

2
служит   парабола,   ветви   которой   направлены   вверх,   так   как   первый
коэффициент   положительный.   Значит,   в   вершине   параболы   функция
достигает своего наименьшего значения. у(1) = 1. Наибольшее   значение   функции
  равно   1   в   силу   ее
y
 2
cos

x
ограниченности.
Значит, исходное уравнение равносильно системе
.



2

x
cos
2

2
x
,12

1
x
Так   как   решением   первого   уравнения   системы   является   х   =   1,   то   при
подстановке этого значения переменной х во второе уравнение получаем
верное   числовое   равенство.   Следовательно,   исходное   уравнение   имеет
одно решение.
Ответ: 1.
Пример 4. Решить уравнение:
.
x
2
6
x
Рассмотрим функции
 и
y
x
2
y
6
x
Первая   функция
     показательная   с   основанием   больше   единицы,
возрастающая на множестве действительных чисел. Вторая – линейная с
отрицательным   угловым   коэффициентом,   убывающая   на   множестве
действительных чисел. Исходное уравнение может иметь не более одного
корня.   Подбором   убеждаемся,   что   при   х   =   2   исходное   уравнение
обращается в верное числовое равенство. Значит, 2 – корень исходного
уравнения.
Ответ: 2.
На седьмом занятии перед рассмотрением функционально – графического
метода   стоит   повторить   понятие   функции,   понятие   графика   функции,
рассмотреть свойство монотонности и ограниченности функций. Так как
занятия   проводятся   с   учащимися,   имеющими   хороший   уровень
обученности,   то   можно   познакомить   ребят   с   незнакомыми   для   них
функциями, сделав акцент на интересующих нас свойствах.
Занятия № 9, № 10. Решение алгебраических уравнений различными
способами.
На этих занятиях учащимся предлагаются задания, включенные в тексты
выпускных   и   вступительных   экзаменов,   в   тексты   ЕГЭ.   Еще   раз   стоит
обратить внимание на важность изучения данной темы. Пример 1. Решить уравнение:
3
x
 x
9

12
3

0
.
Методом  подбора   можно  убедиться, что
  является  одним  из  корней
3
исходного уравнения.
Разложим   многочлен,   стоящий   в   левой   части   уравнения   на   множители,
.   Для   этого   выполним   группировку
один   из   которых   имеет   вид
x
3
слагаемых с последующим вынесением общего множителя. Тогда исходное
уравнение   примет   вид
.   Многочлен,   стоящий   во
(
x

)(3
x
2

x
3

)12

0
вторых   скобках,   не   имеет   корней.   Значит,
  единственный   корень
3
исходного уравнения.
Ответ:
.
3
Пример 2. Решить уравнение:
2
(
x

x
)(1
x
2

x
)2

0
12
.
Решим данное уравнение методом введения новой переменной. Обозначим
через  t  выражение
.   Тогда   исходное   уравнение   примет   вид
2
x
 x
1
,   это   уравнение   имеет   два   корня:   4;   3.   Следовательно,
2
t
 t
12
0
исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений
2
2




x
x
,4

1

31
x
x
Первое уравнение совокупности корней не имеет, второе имеет два корня:
2 и 1. Значит, исходное уравнение имеет тоже два корня.
Ответ: 2; 1.
Пример 3. Решить уравнение:
2
(3
x

3
x

2
)1

2
(2
x

4
x

2
)1

2
5
x

0
. Так как нуль не является корнем исходного уравнения, то умножим обе
части   уравнения   на   выражение
  Получим   уравнение

.
1
2
x
(3
x

1
x

2
)3

(2
x

1
x

2
)4

5
0
,   которое   можно   решить   методом   введения
новой переменной. Обозначим через t   выражение
. Тогда раскрыв
x

1 
x
3
скобки   и   приведя   подобные   слагаемые,   получим   уравнение
,
t

42
t

0
3
корнями   которого   являются   числа   1   и   3.   Вернемся   к   переменной   х.
. Первое уравнение
Получим совокупность двух уравнений

,01
2
2




x
x

x
2

01
имеет два корня
 и
1
2

1
2
; второе уравнение имеет тоже два корня
1 и 1. Следовательно, исходное уравнение имеет четыре решения.
Ответ: {1; 1;
}.
 ;

1
2
1
2
Пример 4. Решить уравнение:
2
(
x

2
x

2
)7

2
(2
x

2
x

7)7

x
.
Раскроем   скобки   и   приведем   подобные   слагаемые.   Получим   уравнение,
равносильное исходному уравнению.
4
x

3
4
x

2
8
x

25
x

28
0
Если   это   уравнение   имеет   среди   корней   целое   число,   то   это   один   из
делителей свободного члена. Среди делителей числа 28 находим числа 1 и
4, которые при подстановке в уравнение обращают его в верное числовое
равенство, т. е. являются корнями этого уравнения. Разделив многочлен,
стоящий   в   левой   части   на   произведение   (х1)(х+4),   получим   в   частном
многочлен
, корнями которого являются числа
 и
2
x
 x
7

1
29
2
29
1
2
. Следовательно, исходное уравнение будет иметь четыре корня.
Ответ: {1; 4;
}.
;

1
29
2
29
1
2 Задачи с параметрами являются наиболее трудными для учащихся, хотя
для их решения не требуется никаких специальных знаний, выходящих за
пределы школьной программы по математике. Решение таких упражнений
дает   возможность   показать   глубокое   понимание   изучаемого   материала,
логическую   культуру.   На   последнем   занятии   учащимся   предлагается
рассмотреть два таких задания.
Пример 5. Найти все значения параметра а, при которых один из корней
уравнения
 в девять раз больше другого.
2
x

2(
a

)1
ax

0
2
Пусть
 и
1x
2x
  корни данного уравнения, а D – его дискриминант. Тогда,
чтобы ответить на вопрос задачи, надо решить систему
.

  Решая   первые   три   уравнения   системы   методом
,1

a
2
,







2
x
x
1
2

a
xx
21

x
,9
x
1
2
D
0
подстановки,   находим,   что   решением   системы   являются   значения   а:
.   Рассматривая решение неравенства системы, получаем, что оно
3
4
;

3
16
верно при
a
)
(
;
1
4
. Так как оба найденные значения параметра а лежат в
полученном промежутке, то условие задачи выполняется.
Ответ:
,
.
3a
4
3a
16
Пример   6.  Найти   все   значения   параметра   а,   при   которых   уравнение
2(
a

)1
x
2

(3
a

)1
x

(
a

)1
0
 имеет единственное решение.
Квадратное уравнение имеет одно решение, если дискриминант равен нулю
или первый коэффициент равен нулю. Пусть 2а+1=0. Тогда исходное уравнение примет вид

(3
a

)1
x

(
a

)1
0
.
Это линейное уравнение, решением которого является
, так как первый
1
3
коэффициент   равен   нулю   при   а   =   0,5.   Следовательно,   условие   задачи
выполняется и уравнение имеет одно решение.
Пусть 2а+1 отличен от нуля. Найдем дискриминант. Он имеет вид (а+1)
(а+5)   и   принимает   значение   нуль   при   а   =1   или   а=5.   Таким   образом,
условию задачи удовлетворяют три значения параметра а.
Ответ: 5; 1; 0,5.
Глава I. Основные определения и теоремы.
Определение   1.    Равенство   вида  f(x)   =g(x)   называется   алгебраическим
уравнением   с   одной   переменной   х,   где  f(x)
  и  g(x)   многочлены
относительно х
Пример 1.
 является алгебраическим уравнением с одной
2
x
 x
5

0
12
переменной.
Определение 2. Всякое значение переменной, при котором выражения f(x)
и g(x) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения
f(x) =g(x) или его решением.
Пример 1.  Уравнение 3х +15 = 0 имеет один корень: 5, т. к. 3(5) + 15 =
15 + 15 = 0, т.е. 0 = 0
Определение 3. Решить уравнение – это значит, найти множество всех его
решений или доказать, что их нет.
Пример 1. Уравнение 7х – 21 = 0 имеет единственный корень 3, т.к. при
этом и только при этом значении переменной 7х 21 = 0  обращается в
верное равенство.
Пример 2. Уравнение
  не имеет действительных корней, т. к. по
x
2
0
5
определению   квадрат   любого   числа   есть   величина   неотрицательная,   а
сумма положительного числа и неотрицательного всегда больше нуля.
Пример   3.   Уравнение
  имеет   бесконечное   множество
2
x

4
x

(
xx

)4
решений, т.  к. после  тождественных  преобразований  получим равенство
0=0.   Т.   е.   данное   уравнение   есть   тождественное   равенство,   верное   для
любого действительного значения х. Определение   4.  Тождество   (тождественное   равенство)   –   это   равенство
двух выражений с переменными, верное при всех допустимых значениях
входящих в него переменных.  Тождествами считаются и верные числовые
равенства,   а   также   равенства,   превращающиеся   в   верное   числовое
равенство для всех числовых значений букв, для которых эти выражения
определены.
Определение 5.  Тождественное преобразование выражения – это замена
выражения на тождественно равное ему выражение, т. е.  равное для всех
числовых значений входящих в него переменных.
К   тождественным   преобразованиям   относятся:   приведение   подобных
слагаемых, разложение на множители, приведение алгебраических дробей
к общему знаменателю и другие.
5
Определение 6. Областью определения  уравнения f(x)=g(x) или областью
допустимых значений переменной называют множество всех тех значений
переменной х, при которых оба многочлена  f(x) и g(x)  имеют смысл.
Определение 7. Если каждый корень уравнения (1) является одновременно
корнем   уравнения   (2),   то   второе   уравнение   называется   следствием
уравнения (1).
В   процессе   решения   уравнения   часто   приходится   применять   такие
преобразования, которые приводят к уравнению, являющемуся следствием
исходного. Уравнению – следствию удовлетворяют все корни исходного
уравнения,   но,   кроме   них,   уравнениеследствие   может   иметь   и   такие
решения,   которые   не   являются   корнями   исходного   уравнения,
«посторонние корни». Чтобы их выявить, все найденные корни уравнения –
следствия проверяют подстановкой в исходное уравнение.
Если при решении уравнения ряд преобразований были равносильными, а
некоторые нет, то необходимо проверить каждый из найденных корней.
Достаточно очевидным является утверждение: два уравнения равносильны
тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.
Определение 8.   Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются
равносильными   уравнениями.   Уравнения,   не   имеющие   корней,   также
считаются   равносильными.   Иными   словами,   два   уравнения   называются
равносильными, если множества их решений совпадают. При решении уравнений используют теоремы о равносильности:
Теорема 1.  Если какой – либо член уравнения перенести из одной части
уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение,
равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то
же   отличное   от   нуля   число,   то   получится   уравнение,   равносильное
исходному.
Теорема   3.
 Если   в   какойнибудь   части   уравнения   выполнить
тождественные   преобразования,   не   меняющие   области   определения
уравнения, то получится уравнение, равносильное исходному.
Эти   теоремы   гарантируют   равносильность   преобразований   без   каких   –
либо   дополнительных   условий.  Появление   дополнительных   условий   при
использовании   ряда   преобразований   связано   с   понятием   области
определения уравнения или области допустимых значений переменной.
6
Глава II. Алгебраические уравнения и методы их решения.
Алгебраическими

называются

уравнения
вида
     действительные

n

1
1
n
n
n




.........
xaxa
числа (коэффициенты),  n  – натуральное число, х – неизвестная величина.
При
  уравнение   называется   алгебраическим   уравнением  n  –   ого
axa
00

,.......
n
1
,   где
aa
,
0
1
a
0an
порядка.
Рассматривая   левую   часть   данного   уравнения   как   многочлен   от  n  –
переменных,   получим   другую   запись   алгебраического   уравнения:
P
(
xx
,
1
2
,.........
.,
x
0
)
n
 неизвестные.
, а
xi
Упорядоченный   набор   чисел
  удовлетворяет   этому
(
aa
,
1
2
,........
a
)
n
уравнению,   если   при   замене   хn   на   an   получается   верное   числовое
равенство.
Число,
  удовлетворяющее   алгебраическому   уравнению   с   одним
неизвестным, называется корнем этого уравнения. Множество всех наборов чисел   удовлетворяющих   данному   уравнению,   составляет   множество
решений этого уравнения.
Пункт   1.1   Метод   разложения   на   множители   при   решении
алгебраических уравнений.
В   общем   варианте   идея   этого   метода   состоит   в   том,   что   с   помощью
равносильных   преобразований   в   левой   части   уравнения   получают
многочлен,   а   в   правой   нуль.   Многочлен   известными   способами
раскладывается на линейные множители или многочлены второй степени.
Затем используем условие равенства нулю произведения.
  Рассматривается   либо   равносильная   совокупность   двух   систем,   когда
один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл, либо
совокупность двух уравнений, когда каждый из множителей равен нулю. Во
втором   случае   могут   быть   получены   посторонние   корни,   поэтому
обязательна проверка найденных корней. Следовательно, главная задача –
это   разложить   на   множители   многочлен,   получившийся   в   левой   части
уравнения,   в   произведение   многочленов   меньшей   степени.   Для   этого
существует несколько способов, которые чаще всего используются вместе.
Пункт   1.1.г.   Метод   подбора   корня   с   использованием   теории
многочленов.
Одним   из   способов   решения   алгебраических   уравнений   является
разложение многочлена, стоящего в левой части уравнения, на множители.
Особое место в теории многочленов занимает деление одного многочлена
на   другой.   С   делимостью   многочленов   тесно   связано   решение
алгебраических   уравнений   высших   степеней.   С   помощью   деления
многочлена на многочлен можно понизить степень уравнения, например,
свести решение уравнения третьей степени к решению уравнений первой и
второй степеней. Данный способ опирается на следующие положения:
 Если   многочлен

xaxa

1
n

n
n
n

1

.......

aa
,
0
n

0

с   целыми
коэффициентами имеет корень
   несократимая дробь, то p
x
0 
p
q
,
p
q
—делитель свободного члена, q – делитель старшего коэффициента;
 Если каким – либо образом подобран корень х =  многочлена
)(xPn
степени  n,   то   этот   многочлен   можно   представить   в   виде ,  где
   многочлен степени  на единицу

n
(
x
)(
x
 
)
P
меньше степени данного многочлена.
)(1 xPn
)(
1 x
P
n
Теорема.  Целые   корни   алгебраического   уравнения   с   целыми
коэффициентами(если такие есть) нужно искать только среди делителей
свободного члена уравнения.
Пример 10. Решить уравнение:
4
x

3
3
x

2
5
x

13
x

0
6
                                                                                12
Попробуем   разложить   многочлен,   стоящий   в   левой   части   уравнения   на
множители. Для этого найдем целый корень, если такой есть. Согласно
теореме этот корень следует искать среди делителей числа 6: 1; 1; 2; 2; 3;
3; 6; 6.
Проверяя по порядку, выясняем, что при х =2 значение многочлена равно
нулю, т.е. 2 – корень многочлена. Разделим данный многочлен на двучлен
(х  2), используя схему Горнера:
2
1
1
3
5
5
5
13
3
6
0
Данный многочлен можно записать в виде произведения
x

x
)(2
13
)3



6
5
3
5
5
x
x
x
x
x
x



(
2
3
2
3
4
Теперь попробуем найти целый корень получившегося многочлена третьей
степени. Его надо искать среди делителей числа 3: 1; 1; 3; 3.
При проверке выясняем, что при х = 3 значение этого многочлена равно
нулю, т.е. 3 – корень этого многочлена.
3
1
1
5
2
5
1
3
0
Данный многочлен можно записать в виде произведения
x

x
)(2
)(3
13
)1



6
5
3
2
x
x
x
x
x
x



(
2
3
4
2
Чтобы разложить квадратный трехчлен на линейные множители, найдем
его корни, используя формулу нахождения корней квадратного уравнения:
;
.

1
2
1
2
Следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня. Ответ: {3; 1
; 1+
2
; 2}.
2
Пример 11. Решить уравнение:
4
x

3
5
x

2
7
x

5
x

6
0
Обозначим многочлен, стоящий  в  левой  части уравнения через
  и
)(4 xP
найдем среди делителей числа 6 целые корни.
Так как
, то 2 – корень. Разделим данный многочлен на двучлен (х
P
)2(4 
0
 2).
2
1
1
5
3
7
1
5
3
6
0
xP
)(
4

x
(
3
)(2
x

2
3
x

x
)3
13
Аналогичными   рассуждениями   приходим   к   тому,   что   3   –   корень
многочлена
3
x

3 2
x

x
3
4
2
(


)1
x
)(2
x
)(3

x
xP
)(
Так   как   последний   многочлен   корней   не   имеет,  то   исходное   уравнение
имеет два корня: 2; 3.
Ответ: {2; 3}.
Пример 12. Решить уравнение:
3
x

3 2
x

2
x

2
0
Обозначим левую часть уравнения как
  и найдем его целый корень
)(3 xP
среди делителей числа 2. Так как
)1(3 P
0
, то 1 – корень. Тогда данный многочлен можно записать в
виде
xP
)(
3

x
(
2
)(1
x

4
x

)2
. Второй множитель, являющийся квадратным
трехчленом, имеет корни: 2
; 2+
2
.
2
Исходное уравнение имеет три корня.
Ответ: {2
; 2+
2
; 1}.
2
Пример 13. Решить уравнение:
5
4
x

4
4
x

3
13
x

2
6
x

9
x

2
0
Проверяя делители числа 2, находим, что при х=1, х=1 и х=2 значение
многочлена в левой части уравнения равно нулю, значит 1, 1 и – 2 – корни .
Выполнив   деление   данного   многочлена   на  произведение  (х1)(х+1)(х+2),
получаем
5
4
x

4
4
x

3
13
x

2
6
x

9
x

x
2
(
)(1
x

)(1
x

4)(2
x
2

4
x

)1
Корнями последнего многочлена в произведении являются числа:
;
2
1
2
.
1
2
2
Значит,  исходное уравнение имеет пять решений.
Ответ: {
1

2
1

2
;
2
2
}.
.2;1;1;


Пример 14. Решить уравнение:
4
6
x

3
5
x

2
14
x

0
2
x
                                                                                14
Выпишем делители свободного члена: 1;+1;2;+2. Проверив эти значения,
убеждаемся,   что   1—корень   уравнения.   Выполним   деление   многочлена,
стоящего в левой части уравнения на двучлен(x1) по схеме Горнера. 1
6
6
5
11
14
3
1
2
2
0
4
6
x

3
5
x

2
14
x

x
2
x
(
6)(1
x
3

11
x
2

3
x

)2
Выполнив   аналогичные   рассуждения,
  что   2—корень
полученного   многочлена   третьей   степени.   Выполним   деление   этого
многочлена на двучлен (x+2) по схеме Горнера.

  получаем,
6
6
2
4
6
x

3
5
x

2
14
x

x
2
x
(
)(1
x

6)(2
x
2

x

)1
11
1
3
1
2
0
Решая   квадратное   уравнение   по   формуле,   получаем,   что   его   корнями
являются числа:
1
3
;
1
2
Следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Ответ:{2;
;1}.
1
3
;
1
2

file_name: элективный курс по алгебре для учащихся 9 класса.docx

intro: Курс рассчитан на ребят,  увлекающихся математикой и в дальнейшем претендующих на обучение в математическом классе. В курсе рассмотрены виды алгебраических уравнений и способы их решения, не входящие в основную программу 9-ого класса. Дан  тематический план занятий и приведены планы конкретных занятий, разобраны примеры решения уравнений

математика

group: Дисциплины

title: Элективный курс по алгебре для учащихся 9-ого класса