extracted_text:
Задачи с экономически содержанием
1. В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы:
 каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя
равными платежами (то есть за 4 года)?

Решение
Пусть X (рублей)  нужно платить ежегодно.
1 год:
В январе сумма долга составит 8052000*1,2 = 9662400.
После 1 платежа сумма долга станет равна 9662400  X.
2 год:
В январе сумма долга составит (9662400  X)*1,2.
После 2 платежа сумма долга станет равна (9662400  X)*1,2  X.
3 год:
В январе сумма долга составит ((9662400  X)*1,2  X)*1,2.
После 3 платежа сумма долга станет равна ((9662400  X)*1,2  X)*1,2  X.
4 год:
В январе сумма долга составит (((9662400  X)*1,2  X)*1,2  X)*1,2.
После 4 платежа сумма долга станет равна (((9662400  X)*1,2  X)*1,2  X)*1,2  X.
Так как кредит был погашен 4 равными платежами, то после 4 платежа долга не осталось, т.е.
(((9662400  X)*1,2  X)*1,2  X)*1,2  X = 0.
Решим это уравнение и найдем X.
((9662400*1,21,2X  X)*1,2  X)*1,2  X = 0,
(9662400*1,22  2,64XX)*1,2  X = 0,
9662400*1,23  4,368X  X = 0,
5,368X = 9662400*1,23,
X = 3 110 400.

Ответ: 3 110 400.
2. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
 каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.
Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя
равными платежами (то есть за 3 года)?

Решение
Пусть в банке было взято X млн. руб.
1 год:
В январе сумма долга будет составлять 1,2 X.
После 1 платежа сумма долга составит: 1,2 X  2,16.
2 год:
В январе сумма долга будет составлять 1,2⋅(1,2X−2,16)=1,22⋅X−2,592.1,2⋅(1,2X−2,16)=1,22⋅X−2,592.
После 2 платежа сумма долга
составит: 1,22⋅X−1,2⋅2,16−2,16=1,22⋅X−4,7521,22⋅X−1,2⋅2,16−2,16=1,22⋅X−4,752.
3 год:
В январе сумма долга будет
составлять 1,2⋅(1,22⋅X−4,752)=1,23⋅X−5,70241,2⋅(1,22⋅X−4,752)=1,23⋅X−5,7024.
После 3 платежа сумма долга
составит: 1,23⋅X−5,7024−2,16=1,23⋅X−7,86241,23⋅X−5,7024−2,16=1,23⋅X−7,8624. Так как кредит был погашен 3 равными платежами, то после 3 платежа долга не останется, т.е.
1,23⋅X−7,8624=01,23⋅X−7,8624=0,
1,23⋅X=7,86241,23⋅X=7,8624,
X=4,55X=4,55.
То есть в банке было взято 4,55 млн. руб.

Ответ: 4,55.
3. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата
таковы:
 каждый январь долг возрастает на а% по сравнению с концом предыдущего года;
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
Найдите число а, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый
год было переведено 55000 руб., а во второй 69000 рублей.

Решение
1 год:
В январе сумма долга составит (1+a/100)⋅100000=100000+1000a(1+a/100)⋅100000=100000+1000a.
После 1 платежа долг будет равен 100000+1000a−55000=45000+1000a100000+1000a−55000=45000+1000a.
2 год:
В январе сумма долга составит (1+a/100)⋅(45000+1000a)(1+a/100)⋅(45000+1000a).
После 2 платежа долг будет равен (1+a/100)⋅(45000+1000a)−69000(1+a/100)⋅(45000+1000a)−69000.
Так как кредит был полностью погашен за 2 года, то после выплаты 2 платежа долга не осталось, то есть
(1+a/100)⋅(45000+1000a)−69000=0,(1+a/100)⋅(45000+1000a)−69000=0,
45000+1000a+450a+10a2−69000=045000+1000a+450a+10a2−69000=0,
a2+145a−2400=0a2+145a−2400=0,
a1=15, a2=−160.a1=15, a2=−160.
Искомое a = 15%.

Ответ: 15.
4. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1300000 рублей. Условия его возврата
таковы:
 каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
На какое минимально количество лет можно взять кредит при условии, что ежегодные выплаты
были не более 350000 рублей?

Решение
Если нужно найти минимальное количество лет, на которые нужно взять кредит, то выплаты должны быть
максимальными, т.е. в условиях нашей задачи составлять 350 000 рублей в год.
1 год:
В январе долг станет равным 1 300 000* 1,1 = 1 430 000 рублей.
После 1 платежа в июле сумма долга составит 1 430 000  350 000 = 1 080 000 рублей.
2 год:
В январе долг станет равным 1 080 000*1,1 = 1 188 000 рублей.
После 2 платежа в июле сумма долга составит 1 188 000  350 000 = 838 000 рублей.
3 год:
Январь: 838 000*1,1 = 921 800.
После 3 платежа в июле: 921 800  350 000 = 571 800.
4 год: Январь: 571 800*1,1 = 628 980.
После 4 платежа: 628 980  350 000 = 278 980.
5 год:
Январь: 278 980*1,1 = 306 878.
5 платеж будет последним и составит 306 878 рублей.
Получили, что кредит можно взять минимум на 5 лет.

Ответ: 5.
5. В июле планируется взять кредит на сумму 69 510 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен
тремя равными платежами (то есть за три года), по сравнению со случаем, если кредит будет
полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение
Рассмотрим сначала, сколько рублей нужно заплатить всего, если кредит будет погашен за 2 года.
Пусть каждый год погашается X рублей. Тогда за 2 года всего банку будет уплачено 2X рублей.
С другой стороны, после наценки 10% долг банку в первый год составит 69510*1,1 = 76461 рублей.
После уплаты за 1 год, останется сумма 76461  X и на эту сумму будет снова начислено 10%.
За 2 год долг составит уже (76461  X)*1,1 и эта сумма и будет выплачена во второй раз.
Так как долг был выплачен 2 равными платежами, то получаем уравнение:
X+(76461  X)*1,1 = 2X,
84107,1 = 2,1X,
X = 40051.
Всего за 2 года банку будет уплачено 2*40051 = 80102 рублей.
Теперь найдем, сколько рублей нужно заплатить всего, если кредит будет погашен за 3 года.
Пусть каждый год погашается Y рублей. Тогда за 3 года всего банку будет уплачено 3Y рублей.
После наценки 10% долг банку в первый год составит 69510*1,1 = 76461 рублей.
После уплаты за 1 год, останется сумма 76461  Y и на эту сумму будет снова начислено 10%.
За 2 год долг составит уже (76461  Y)*1,1.
После второй выплаты банку Y рублей, останется сумма (76461  Y)*1,1  Y, на которую будет начислено
10%.
За 3 год долг составит уже ((76461  Y)*1,1  Y)*1,1. Эта сумму и будет последним 3 платежом.
Так как долг был выплачен 3 равными платежами, то получаем уравнение:
2Y+((76461  Y)*1,1  Y)*1,1 = 3Y,
3,31Y = 92517,81,
Y = 27951.
Всего за 3 года банку будет уплачено 3*27951 = 83853 рублей.
83853  80102 = 3751 рубль  искомая разница.
То есть, если погашать кредит 3 равными платежами, то придется заплатиь на 3751 рубль больше, чем если
погашать этот кредит 2 равными платежами.

Ответ: 3751.
В июле планируется взять кредит на сумму 4026000 рублей. Условия его возврата таковы:
 каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом прошлого года.
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен
четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет
полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)? Решение
Рассмотрим сначала случай, когда кредит будет погашен 4 равными платежами.
Пусть X (рублей)  сумма ежегодного платежа.
1 год:
В январе сумма долга составит 1,2 * 4026000.
После 1 платежа долг будет равен 1,2 * 4026000  X.
2 год:
В январе сумма долга
составит 1,2⋅(1,2∗4026000−X)=1,22⋅4026000−1,2X1,2⋅(1,2∗4026000−X)=1,22⋅4026000−1,2X.
После 2 платежа долг будет
равен 1,22⋅4026000−1,2X−X=1,22⋅4026000−2,2X1,22⋅4026000−1,2X−X=1,22⋅4026000−2,2X.
3 год:
В январе сумма долга
составит 1,2⋅(1,22⋅4026000−2,2X)=1,23⋅4026000−2,64X1,2⋅(1,22⋅4026000−2,2X)=1,23⋅4026000−2,64X.
После 3 платежа долг будет
равен 1,23⋅4026000−2,64X−X=1,23⋅4026000−3,64X1,23⋅4026000−2,64X−X=1,23⋅4026000−3,64X.
4 год:
В январе сумма долга
составит 1,2⋅(1,23⋅4026000−3,64X)=1,24⋅4026000−4,368X1,2⋅(1,23⋅4026000−3,64X)=1,24⋅4026000−4,368X.
После 4 платежа долг будет
равен 1,24⋅4026000−4,368X−X=1,24⋅4026000−5,368X1,24⋅4026000−4,368X−X=1,24⋅4026000−5,368X.
Так как кредит был выплачен 4 равными платежами, то после 4 платежа сумма долга рана 0, то есть:
1,24⋅4026000−5,368X=0,1,24⋅4026000−5,368X=0,
5,368X=1,24⋅40260005,368X=1,24⋅4026000,
X=1555200.X=1555200.
А за все 4 года выплаченная сумма составит 4⋅1555200=6220800.4⋅1555200=6220800.
Теперь рассмотрим случай, когда кредит был погашен 2 равными платежами.
Пусть Y (руб.)  размер ежегодного платежа.
1 год:
В январе сумма долга составит 1,2 * 4026000.
После 1 платежа долг будет равен 1,2 * 4026000  Y.
2 год:
В январе сумма долга
составит 1,2⋅(1,2∗4026000−Y)=1,22⋅4026000−1,2Y1,2⋅(1,2∗4026000−Y)=1,22⋅4026000−1,2Y.
После 2 платежа долг будет
равен 1,22⋅4026000−1,2Y−X=1,22⋅4026000−2,2Y1,22⋅4026000−1,2Y−X=1,22⋅4026000−2,2Y.
Так как кредит был выплачен 2 равными платежами, то после 2 платежа сумма долга рана 0, то есть:
1,22⋅4026000−2,2Y=0,1,22⋅4026000−2,2Y=0,
2,2Y=1,22⋅40260002,2Y=1,22⋅4026000,
Y=2635200.Y=2635200.
А за 2 года выплаченная сумма составит 2⋅2635200=5270400.2⋅2635200=5270400.
Тогда разница между выплатами за 4 года и за 2 года будет равна:
6 220 800  5 270 400 = 950 400.

Ответ: 950 400.
Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера
№1 при объеме t2 гб. входящей в него информации выходит 20t, а с сервера № 2 при объеме t2 гб. входящей
в него информации выходит 21t гб. обработанной информации; 25≤t≤5525≤t≤55.Каков наибольший объем
выходящей информации при общем объеме входящей информации в 3364 гб.? Решение
Пусть на сервере №1 обрабатывается x2 гб. информации, а значит выходит 20x гб. обработанной
информации.
И пусть на сервере №2 обрабатывается y2 гб. информации, а значит выходит 21y гб. обработанной
информации.
Так как общий объем входящей информации равен 3364 гб., то
x2+y2=3364.
При этом общий обхем выходящей информации равен 20x+21y.
Значит, нужно найти максимальное значение функции f = 20x+21y.
Из первого уравнения выразим y:
y2=3364−x2,y2=3364−x2,
Тогда
y=3364−x2−−−−−−−−√.y=3364−x2.
Найдем максимальное значение этой функии. Для этого вычислим прозводную функции f:
′
f =20+21
⋅(−2x)23364−x2−−−−−−−−√=20−21x3364−x2−−−−−−−−√.f =20+21
⋅(−2x)23364−x2=20−21x3364−x2.
′
f=20x+213364−x2−−−−−−−−√.f=20x+213364−x2.
20−21x3364−x2−−−−−−−−√=0,20−21x3364−x2=0,
21x3364−x2−−−−−−−−√=20,21x3364−x2=20,
400(3364−x2)=441x2,400(3364−x2)=441x2,
841x2=400⋅3364,841x2=400⋅3364,
x2=1600, x=40,  y=3364−1600−−−−−−−−−−√=1764−−−−√=42.x2=1600, x=40,  y=3364−1600=1764=42.
Так как x = 40 и y = 42 принадлежат отрезку [25; 55], то есть 25≤x≤55, 25≤y≤5525≤x≤55, 25≤y≤55, то это и
есть искомые значения.
В этом случае объем выходящей информации с сервера №1 равен 20*40 = 800 гб., а с сервера №2  21*42 =
882 гб.

Ответ: 1682.
fmax=800+882=1682.fmax=800+882=1682.
 Садовод привез на рынок 91 кг яблок, которые после транспортировки разделил на три
сорта. Яблоки первого сорта он продавал по 40 руб., второго сорта  по 30 руб., третьего сорта  по 20 руб.
за килограмм. Выручка от продажи всех яблок составила 2170 руб. Известно, что масса яблок 2го сорта
меньше массы яблок 3го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 1го сорта
меньше массы яблок 2го сорта. Сколько килограммов яблок второго сорта продал садовод?

Решение
Пусть x (кг)  масса яблок 1 сорта, y (кг)  масса яблок 2 сорта, z (кг)  масса яблок 3 сорта.
Тогда получаем 1 уравнение:
x+y+z = 91.
Так как яблоки 1 сорта садовод продавал за 40 руб. за кг., 2 сорта  за 30 руб., 3го сорта  за 20 руб., а всего
выручка составила 2170 руб., то получаем 2 уравнение:
40x+30y+20z = 2170.
С учетом уравнения 1 получим:
20(x+y+z)+20x+10y = 2170,
20*91+20x+10y = 2170,
20x+10y = 350,
2x+y = 35, откуда x = (35y)/2.
Так как масса яблок 2го сорта меньше массы яблок 3го сорта на столько же процентов, на сколько
процентов масса яблок 1го сорта меньше массы яблок 2го сорта, то получаем 3 уравнение:
100%  (y/z)*100& = 100%  (x/y)*100%,
или
y/z = x/y, откуда zx = y2. z = y2/x = (2y2)/(35y).
Подставим полученные выражения для x и z в первое уравнение:
35−y2+y+2y235−y=91,35−y2+y+2y235−y=91,
(35−y)2+2y(35−y)+4y2=182(35−y),(35−y)2+2y(35−y)+4y2=182(35−y),
3y2+182y−5145=0,3y2+182y−5145=0,
y1=21, y2=−245/3.y1=21, y2=−245/3.
Получили, что y = 21, то есть садовод продал 21 кг яблок 2 сорта.

Ответ: 21.
15 января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график
его погашения.
Дата
Долг (в процентах от
кредита)

15.01
15.02
15.03
15.04
15.05
15.06
15.07
100% 90% 80% 70% 60% 50% 0%
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по
погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько
процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Решение
Пусть X  сумма кредита. В конце января долг составит 1,05X.
Пусть в феврале было погашено Y р. Тогда на начало февраля сумма долга составляет 1,05X  Y.
По условию это составляет 90% от суммы кредита. То есть 1,05X  Y = 0,9X, откуда Y = 0,15X. То есть за
первый месяц было погашено 15% кредита.
На конец февраля сумма долга составит 1,05(1,05XY) = 1,05*0,9X = 0,945X. В начале марта после
погашения Z р. сумма долга будет составлять 0,945X  Z. По условию это есть 80% от первоначальной
суммы кредита, то есть
0,945X  Z = 0,8X, откуда Z = 0,145X.
Это означает, что за второй месяц было погашено 14,5% от суммы кредита.
На конец марта сумма долга составит 1,05(0,945X  Z) = 1,05(0,945X  0,145X) = 0,84X. В начале апреля
после погашения T р. сумма долга составит 0,84X  T, что составляет 70% от суммы кредита, то есть
0,84X  T = 0,7X, откуда T = 0,14X. Значит за третий месяц было погашено 14% от первоначальной суммы
кредита.
Конец апреля. Сумма долга  1,05(0,84X  0,14X) = 0,735X. В начале мая, после погашения W р. сумма
долга составит 0,735X  W. По условию это есть 60% от суммы долга, то есть 0,735X  W = 0,6X, откуда W
= 0,135X.
За 4 месяц было погашено 13,5% от первоначальной суммы.
Конец мая. Сумма долга  1,05(0,735X  0,135X) = 0,63X. В начале июня, после погашения V р. сумма долга
составит 0,63X  V. По условию это есть 50% от суммы долга, то есть 0,63X  V = 0,5X, откуда V = 0,13X.
Значит, за 5 месяц было погашено 13% от суммы долга.
Последний месяц. Начало июля. Сумма долга равна 1,05(0,63X0,13X) = 0,525X. Вся эта сумма была
погашена. То есть последний платеж составил 52,5%.
Итого всего платежи составили: 15+14,5+14+13,5+13+52,5 = 122,5%.
122,5  100 = 22,5%.
Общая сумма выплат больше суммы самого кредита на 22,5%.

Ответ: 22,5.
В июле планируется взять кредит на сумму 4026000 рублей. Условия его возврата таковы:
 каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом прошлого года.
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга. На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен
четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет
полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

Решение
Рассмотрим сначала случай, когда кредит будет погашен 4 равными платежами.
Пусть X (рублей)  сумма ежегодного платежа.
1 год:
В январе сумма долга составит 1,2 * 4026000.
После 1 платежа долг будет равен 1,2 * 4026000  X.
2 год:
В январе сумма долга
составит 1,2⋅(1,2∗4026000−X)=1,22⋅4026000−1,2X1,2⋅(1,2∗4026000−X)=1,22⋅4026000−1,2X.
После 2 платежа долг будет
равен 1,22⋅4026000−1,2X−X=1,22⋅4026000−2,2X1,22⋅4026000−1,2X−X=1,22⋅4026000−2,2X.
3 год:
В январе сумма долга
составит 1,2⋅(1,22⋅4026000−2,2X)=1,23⋅4026000−2,64X1,2⋅(1,22⋅4026000−2,2X)=1,23⋅4026000−2,64X.
После 3 платежа долг будет
равен 1,23⋅4026000−2,64X−X=1,23⋅4026000−3,64X1,23⋅4026000−2,64X−X=1,23⋅4026000−3,64X.
4 год:
В январе сумма долга
составит 1,2⋅(1,23⋅4026000−3,64X)=1,24⋅4026000−4,368X1,2⋅(1,23⋅4026000−3,64X)=1,24⋅4026000−4,368X.
После 4 платежа долг будет
равен 1,24⋅4026000−4,368X−X=1,24⋅4026000−5,368X1,24⋅4026000−4,368X−X=1,24⋅4026000−5,368X.
Так как кредит был выплачен 4 равными платежами, то после 4 платежа сумма долга рана 0, то есть:
1,24⋅4026000−5,368X=0,1,24⋅4026000−5,368X=0,
5,368X=1,24⋅40260005,368X=1,24⋅4026000,
X=1555200.X=1555200.
А за все 4 года выплаченная сумма составит 4⋅1555200=6220800.4⋅1555200=6220800.
Теперь рассмотрим случай, когда кредит был погашен 2 равными платежами.
Пусть Y (руб.)  размер ежегодного платежа.
1 год:
В январе сумма долга составит 1,2 * 4026000.
После 1 платежа долг будет равен 1,2 * 4026000  Y.
2 год:
В январе сумма долга
составит 1,2⋅(1,2∗4026000−Y)=1,22⋅4026000−1,2Y1,2⋅(1,2∗4026000−Y)=1,22⋅4026000−1,2Y.
После 2 платежа долг будет
равен 1,22⋅4026000−1,2Y−X=1,22⋅4026000−2,2Y1,22⋅4026000−1,2Y−X=1,22⋅4026000−2,2Y.
Так как кредит был выплачен 2 равными платежами, то после 2 платежа сумма долга рана 0, то есть:
1,22⋅4026000−2,2Y=0,1,22⋅4026000−2,2Y=0,
2,2Y=1,22⋅40260002,2Y=1,22⋅4026000,
Y=2635200.Y=2635200.
А за 2 года выплаченная сумма составит 2⋅2635200=5270400.2⋅2635200=5270400.
Тогда разница между выплатами за 4 года и за 2 года будет равна:
6 220 800  5 270 400 = 950 400.

Ответ: 950 400.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок. Условия его
возврата таковы:
 каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;  в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего
года.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по
кредиту не превысил 1,8 млн рублей?

Решение
Так как мы ищем минимальный срок кредита, то первый платеж должен быть максимальным, т.е.
составлять 1,8 млн. рублей.
1 год:
В январе сумма долга станет равной 1,2 * 6 = 7,2 млн. руб.
После 1 платежа сумма долга будет равна 7,2  1,8 = 5,4 млн. руб.
6  5,4 = 0,6  разница между долгом в июле одного года и в июле следующего года.
Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль
предыдущего года, то каждый год долг в июле должен быть на 0,6 млн руб. меньше, чем в июле
предыдущего года.
В таком случае пусть осталось выплатить n платежей. Тогда
5,4  0,6n = 0,
n = 9.
Учитывая, что 1 платеж уже был сделан, то минимальный срок крелита составит 10 лет.
Заметим, что все ежегодные платежи не будут превышать 1,8 млн. руб.
Действительно, на 2 год в январе месяце долг составит 5,4*1,2 = 6,48. После выплаты он должен отличаться
от предыдущей суммы долга в июле на 0,6 млн. руб., значит, сумма долга в июле составит 5,4  0,6 = 4,8
млн. руб, а выплата за 2 год равна 6,48  4,8 = 1,68 млн. руб, что меньше, чем 1,8 млн. руб.
На (n+1)ый год в июле месяце долг составит 60,6n.
Долг на январь месяц будет составлять (60,6(n1))*1,2
Сумма выплаты за n год равна (60,6(n1))*1,2  (60,6n) = 1,92  0,12n.
1,92  0,12n<1,8
0,12n>0,12
n>1.
Получаем, что при n>1 ежегодные платежи не будут превышать 1,8 млн. руб.
Окончательно получаем, что кредит будет выплачен за 10 лет.

Ответ: 10.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на 5 лет. Условия его возврата
таковы:
 каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
 в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего
года.
Сколько млн рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?

Решение
1 год:
В январе сумма долга составит 10*1,1 = 11 млн. руб.
Пусть 1 платеж составил X млн. руб. Тогда после 1 платежа долг составит (11X) млн. руб.
Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль
предыдущего года, то разница между долгом каждый год будет равна
10  (11X) = (X  1) млн. руб.
Осталось выплатить долг еще за 4 года. Через 4 года долг в июле месяце будет равен
10  5*(X1).
Так как кредит был погашен за 5 лет, то последний долг равен 0, т.е. получаем уравнение:
10  5*(X1) = 0,
X1 = 2, X = 3.
То есть 1ый платеж составил 3 млн. руб.
После этого долг в июле составил 113 = 8 млн. руб.
Во 2 год в январе долг составит уже 1,1*8 = 8,8 млн. руб. И так как разница между долгом каждый год в
июле равна 3  1 = 2 млн. руб., то на июль 2го года долг составит 8  2 = 6 млн. руб. Значит, 2 платеж был
равен 8,8  6 = 2,8 млн. руб.
В 3 год в январе долг равен 1,1*6 = 6,6 млн. руб. На июль 3го года долг будет равен 6  2 = 4 млн. руб.,
значит, 3 платеж равен 6,6  4 = 2,6 млн. руб.
В 4 год в январе долг равен 4*1,1 = 4,4 млн. руб. На июль 4 года долг составит 4  2 = 2 млн. руб. И 4ый
платеж был равен 4,4  2 = 2,4 млн. руб.
На январь 5го года долг составит 2*1,1 = 2,2 млн. руб. И так как кредит был полностью погашен за 5 лет,
то это будет последний платеж и он будет равен сумме долга, т.е. 2,2 млн. руб.
Итого общая сумма платежей за 5 лет составила: 3+2,8+2,6+2,4+2,2 = 13 млн. руб.

Ответ: 13.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн рублей на некоторый срок (целое
число лет). Условия его возврата таковы:
 каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
 в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего
года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения
равнялась 47 млн рублей?

Решение
1 год:
В январе долг стал равен 20*1,3 = 26 млн. руб.
Пусть X (млн. руб.)  составил 1 платеж.
Тогда в июле после 1 платежа долг стал равен (26X) млн. руб.
Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль
предыдущего года, то эта величина равна 20  (26X) = (X6) млн. руб.
Пусть кредит был взят на n лет.
Тогда в nый год в январе долг будет равен
(20−(n−1)⋅(X−6))⋅1,3(20−(n−1)⋅(X−6))⋅1,3 млн. руб.
В июле nго года долг равен 20n(X6).
А выплату в n году можно посчитать по формуле:
(20−(n−1)⋅(X−6))⋅1,3−(20−n(X−6)).(20−(n−1)⋅(X−6))⋅1,3−(20−n(X−6)).
В 1 год платеж был равен X млн. руб.
Во 2 год
(20−X+6)⋅1,3−20+2X−12=33,8−1,3X−32+2X=1,8+0,7X.
(20−X+6)⋅1,3−20+2X−12=33,8−1,3X−32+2X=1,8+0,7X.
В 3 год
(20−2X+12)⋅1,3−20+3⋅(X−6)=41,6−2,6X−20+3X−18=3,6+0,4X.
(20−2X+12)⋅1,3−20+3⋅(X−6)=41,6−2,6X−20+3X−18=3,6+0,4X.
Имеем арифметическую прогрессию, разность которой равна 1,80,3X, а первый член прогрессии равен X.
Так как общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей, то получаем по формуле для
суммы n первых членов арифметической прогрессии:
Sn=2X+(1,8−0,3X)⋅(n−1)2⋅n=47,Sn=2X+(1,8−0,3X)⋅(n−1)2⋅n=47,
(2X+(1,8−0,3X)⋅(n−1))n=94.(2X+(1,8−0,3X)⋅(n−1))n=94.
Так как nый платеж является последним, то получаем уравение:
Откуда получаем, что
20−n(X−6)=0,20−n(X−6)=0,
n=20X−6.n=20X−6. (2X+(1,8−0,3X)⋅(20X−6−1))⋅20X−6=94.(2X+(1,8−0,3X)⋅(20X−6−1))⋅20X−6=94.
Подставляем в предыдущее уравнение (формула суммы n первых членов арифметической прогрессии):
20⋅(2X(X−6)+(1,8−0,3X)⋅20−(1,8−0,3X)⋅(X−6))=94⋅(X−6)2,20⋅(2X(X−6)+(1,8−0,3X)⋅20−(1,8−0,3X)⋅(X−6))=9
10⋅(2x2−12X+36−6X−1,8X+10,8+0,3X2−1,8X)=47⋅(X2−12X+36),10⋅(2x2−12X+36−6X−1,8X+10,8+0,3X2−1,8
4⋅(X−6)2,
X)=47⋅(X2−12X+36),
10⋅(2,3X2−21,6X+46,8)=47⋅(X2−12X+36),10⋅(2,3X2−21,6X+46,8)=47⋅(X2−12X+36),
23X2−216X+468=47X2−564X+1692,23X2−216X+468=47X2−564X+1692,
24X2−348X+1224=0,24X2−348X+1224=0,
2X2−29X+102=0,2X2−29X+102=0,
X1=8,5, X2=6.X1=8,5, X2=6.
Пусть X = 8,5. Тогда n = 20/2,5 = 8.
Если X = 6, то n посчитать невозможно, так как в знаменателе 0.
Получаем, что кредит был взят на 8 лет.

Ответ: 8.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его
возврата таковы:
 каждый январь долг возрастает на х% по сравнению с концом предыдущего года;
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
 в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего
года.
Найти х, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн
рублей, а наименьший  не менее 0,5 млн рублей.

Решение
1 год:
В январе сумма долга составит (1+x/100)⋅6(1+x/100)⋅6.
Пусть первый платеж равен Y, тогда в июле останется сумма долга, равная
(1+x/100)⋅6−Y.(1+x/100)⋅6−Y.
При этом в июле каждого года долг будет уменьшаться на одну и ту же величину, равную
6−((1+x/100)⋅6−Y)=Y−6x/100.6−((1+x/100)⋅6−Y)=Y−6x/100.
Так как кредит будет полностью выплачен за 15 лет, то получаем уравнение:
6−15⋅(Y−6x/100)=0,6−15⋅(Y−6x/100)=0,
Тогда в июле каждого года долг будет уменьшаться на величину, равную
Y−6x/100=0,06X+0,4−0,06X=0,4.Y−6x/100=0,06X+0,4−0,06X=0,4.
5Y−0,3X=2,5Y−0,3X=2,
Y=0,06X+0,4.Y=0,06X+0,4.
И в июле сумма долга будет равна 6  0,4 = 5,6 млн. руб.
2 год:
В январе сумма долга составит
(1+x100)⋅((1+x100)⋅6−Y)=5,6⋅(1+x100).(1+x100)⋅((1+x100)⋅6−Y)=5,6⋅(1+x100).
В июле долг уменьшится на 0,4 млн. руб. по сравнению с июлем предыдущего года и станет равным 5,6  0,4
= 5,2.
Тогда платеж за 2 год составит
5,6⋅(1+x100)−5,2=0,056x+0,4.5,6⋅(1+x100)−5,2=0,056x+0,4.
Каждый год платеж уменьшается на одну и ту же сумму, а именно на
Поэтому последний 15 платеж будет равен
0,06X+0,4−(0,056x+0,4)=0,004x.0,06X+0,4−(0,056x+0,4)=0,004x.
0,06X+0,4−14⋅0,004x=0,004x+0,4.0,06X+0,4−14⋅0,004x=0,004x+0,4.
Нам известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший
 не менее 0,5 млн рублей, поэтому получаем условия:
0,06X+0,4≤1,9,  0,004x+0,4≥0,5,0,06X+0,4≤1,9,  0,004x+0,4≥0,5, Откуда получаем, что искомая величина x = 25.

Ответ: 25.
x≤25,  x≥25.x≤25,  x≥25.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое
число лет). Условия его возврата таковы:
 каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
 в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего
года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения
равнялась 40 млн рублей?

Решение
1 год:
В январе долг стал равен 16*1,25 = 20 млн. руб.
Пусть X (млн. руб.)  составил 1 платеж.
Тогда в июле после 1 платежа долг стал равен (20X) млн. руб.
Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль
предыдущего года, то эта величина равна 16  (20X) = (X4) млн. руб.
Пусть кредит был взят на n лет.
Тогда в nый год в январе долг будет равен
(16−(n−1)⋅(X−4))⋅1,25(16−(n−1)⋅(X−4))⋅1,25 млн. руб.
В июле nго года долг равен 16n(X4).
А выплату в n году можно посчитать по формуле:
(16−(n−1)⋅(X−4))⋅1,25−(16−n(X−4)).(16−(n−1)⋅(X−4))⋅1,25−(16−n(X−4)).
В 1 год платеж был равен X млн. руб.
Во 2 год
(16−X+4)⋅1,25−16+2X−8=1+0,75X.(16−X+4)⋅1,25−16+2X−8=1+0,75X.
В 3 год
(16−2X+8)⋅1,25−16+3⋅(X−4)=2+0,5X.(16−2X+8)⋅1,25−16+3⋅(X−4)=2+0,5X.
Имеем арифметическую прогрессию, разность которой равна
1+0,75XX = 10,25X,
а первый член прогрессии равен X.
Так как общая сумма выплат после его погашения равнялась 40 млн рублей, то получаем по формуле для
суммы n первых членов арифметической прогрессии:
Sn=2X+(1−0,25X)⋅(n−1)2⋅n=40,Sn=2X+(1−0,25X)⋅(n−1)2⋅n=40,
(2X+(1−0,25X)⋅(n−1))n=80.(2X+(1−0,25X)⋅(n−1))n=80.
Так как nый платеж является последним, то получаем уравение:
16−n(X−4)=0,16−n(X−4)=0,
Откуда получаем, что
n=16X−4.n=16X−4.
Подставляем в предыдущее уравнение (формула суммы n первых членов арифметической прогрессии):
16⋅(2X(X−4)+(1−0,25X)⋅16−(1−0,25X)⋅(X−4))=80⋅(X−4)2,16⋅(2X(X−4)+(1−0,25X)⋅16−(1−0,25X)⋅(X−4))=80⋅(
(2X+(1−0,25X)⋅(16X−4−1))⋅16X−4=80.(2X+(1−0,25X)⋅(16X−4−1))⋅16X−4=80.
2x2−8X+16−4X−X+4+0,25X2−X=5⋅(X2−8X+16),2x2−8X+16−4X−X+4+0,25X2−X=5⋅(X2−8X+16),
X−4)2,
2,25X2−14X+20=5⋅(X2−8X+16),2,25X2−14X+20=5⋅(X2−8X+16),
9X2−56X+80=20X2−160X+320,9X2−56X+80=20X2−160X+320,
11X2−104X+240=0,11X2−104X+240=0,
Пусть X = 60/11. Тогда n = 16:16*11 = 11.
Если X = 4, то n посчитать невозможно, так как в знаменателе 0.
X1=4, X2=60/11.X1=4, X2=60/11. Получаем, что кредит был взят на 11 лет.

Ответ: 11.
РЕШАЛИ
Зависимость объема Q (в шт) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается
формулой Q=15000P, 1000≤P≤15000. Доход от продажи товара составляет PQ рублей. Затраты на
производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей.
Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь
внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На
сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Решение
Доход можно вычислить по формуле:
PQ=P(15000−P).PQ=P(15000−P).
Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей.
Обозначим прибыль через R. Тогда R вычисляется по формуле:
R=PQ−(3000Q+5000000)=P(15000−P)−(3000(15000−P)+5000000),R=PQ−(3000Q+5000000)=P(15000−P)
−(3000(15000−P)+5000000),
R=15000P−P2−45000000+3000P−5000000,R=15000P−P2−45000000+3000P−5000000,
R=−P2+18000P−50000000.R=−P2+18000P−50000000.
После снижения цены на 20% цена стала равна 0,8P. Соответственно прибыль будет вычисляться по
формуле:
R=−(0,8P)2+18000⋅0,8P−50000000.R=−(0,8P)2+18000⋅0,8P−50000000.
Так как прибыль не изменилась, то получаем уравнение:
R=−0,64P2+14400P−50000000.R=−0,64P2+14400P−50000000.
−P2+18000P−50000000=−0,64P2+14400P−50000000,−P2+18000P−50000000=−0,64P2+14400P−50000000,
0,36P2−3600P=0,0,36P2−3600P=0,
P1=0,  P2=10000.P1=0,  P2=10000.
Нам подходит значение P = 10 000 рублей. Соответственно новая цена равна 8000 рублей.
Теперь исследуем функцию R=−P2+18000P−50000000R=−P2+18000P−50000000 на максимум и найдем P,
при котором будет достигаться наибольшая прибыль.
Для этого найдем производную функции R=−P2+18000P−50000000R=−P2+18000P−50000000:
′
R =−2P+18000,R =−2P+18000,
′
R =0,
  P1=0,  P2=9000.R =0,
  P1=0,  P2=9000.
′
′
P = 9000  точка максимума данной функции, а значит при цене P = 9000 будет достигаться наибольшая
прибыль.
Найдем, на сколько процентов нужно увеличить цену P = 8000, чтобы получить новую цену 9000 рублей.
Имеем пропорцию:
8000  100%,
9000  x%.
8000x = 900000,
x = 112,5%.
112,5  100 = 12,5%.
То есть для достижения максимальной прибыли нужно увеличить новую цену на 12,5%.

Ответ: 12,5%.
15го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
 1го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
 со 2го по 14е число месяца необходимо выплатить часть долга
 15го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15е число
предыдущего месяца. Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в
кредит. Найдите r.

Решение
Пусть X (руб.)  взято в кредит в банке. Y (руб.)  первый платеж.
1 месяц (февраль):
1го февраля долг стал равен (1+r/100)⋅X(1+r/100)⋅X.
15 февраля сумма долга (после 1 платежа) будет составлять
(1+r/100)⋅X−Y.(1+r/100)⋅X−Y.
Так как 15го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15е число
предыдущего месяца, то эта сумма равна
X−((1+r/100)⋅X−Y)=Y−rX/100.X−((1+r/100)⋅X−Y)=Y−rX/100.
Кредит был взят на 39 месяцев, а значит после 39 платежей долг будет полностью выплачен.
X−39⋅(Y−rX/100)=0,X−39⋅(Y−rX/100)=0,
Y=X+39rX/10039=X/39+rX/100.Y=X+39rX/10039=X/39+rX/100.
Теперь найдем общую сумму погашения кредита.
Так как долг 15го числа каждого месяца уменьшаеся на на одну и ту же сумму по сравнению с 15 числом
предыдущего месяца, то и платеж каждый месяц уменьшается на одну и ту же величину.
1 марта сумма долга станет равна
(1+r/100)⋅((1+r/100)⋅X−Y)=(1+r/100)⋅((X+rX/100−X/39−rX/100)=(1+r/100)⋅((1+r/100)⋅X−Y)=(1+r/100)⋅((X+r
X/100−X/39−rX/100)=
=(1+r/100)⋅38X/39.=(1+r/100)⋅38X/39.
15 марта сумма долга будет составлять :
(1+r/100)⋅X−Y−(Y−rX/100)=X−2Y+2rX/100=(1+r/100)⋅X−Y−(Y−rX/100)=X−2Y+2rX/100=
=X−2X/39−2rX/100+2rX/100=37X/39.=X−2X/39−2rX/100+2rX/100=37X/39.
Значит, второй платеж равен
(1+r/100)⋅38X/39−37X/39=X/39+38rX/3900.(1+r/100)⋅38X/39−37X/39=X/39+38rX/3900.
Разница между платежами составляет:
Y−(X/39+38rX/3900)=X/39+rX/100−X/39−38rX/3900=Y−(X/39+38rX/3900)=X/39+rX/100−X/39−38rX/3900=
=rX/100⋅(1−38/39)=rX/3900.=rX/100⋅(1−38/39)=rX/3900.
Суммы платежей представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, где первый член равен Y
или X/39+rX/100, а разность прогрессии равна rX/3900.
Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит, то
есть общая сумма платежей равна 1,2X.
Найдем сумму всех 39 платежей по формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии:
S39=2(X/39+rX/100)−rX/3900⋅382⋅39=1,2X,S39=2(X/39+rX/100)−rX/3900⋅382⋅39=1,2X,
39⋅(2X/39+2rX/100−38rX/3900)=2,4X.39⋅(2X/39+2rX/100−38rX/3900)=2,4X.
Сократим все уравнение на X:
39⋅(2/39+2r/100−38r/3900)=2,4,39⋅(2/39+2r/100−38r/3900)=2,4,
2+78r/100−38r/100=2,4,2+78r/100−38r/100=2,4,
40r/100=0,4,40r/100=0,4,
То есть искомое значение r = 1%.

Ответ: 1.
r=1.r=1.
Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции
на таком заводе равны 0,5х2+2x+60,5х2+2x+6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р
тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год
составит px−(0,5x2+2x+6)px−(0,5x2+2x+6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать
продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р
строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

Решение За 3 года прибыль составит:
3⋅(px−(0,5x2+2x+6)).3⋅(px−(0,5x2+2x+6)).
Нужно найти наименьшее значение p, при котором выполнится неравенство:
3⋅(px−(0,5x2+2x+6))≥78,3⋅(px−(0,5x2+2x+6))≥78,
px−(0,5x2+2x+6)≥26,px−(0,5x2+2x+6)≥26,
px≥0,5x2+2x+32,px≥0,5x2+2x+32,
p≥0,5x+2+32x.p≥0,5x+2+32x.
Так как нужно найти наименьшее значение p, то нужно исследовать функцию 0,5x+2+32/x0,5x+2+32/x на
минимум. Для этого найдем ее производную:
(0,5x+2+32/x) =0,5−32/x2,(0,5x+2+32/x) =0,5−32/x2,
′
0,5−32x2=0,0,5−32x2=0,
′
x = 8  точка минимума, поэтому минимальное значение p равно:
p=0,5⋅8+2+32/8=4+2+4=10.p=0,5⋅8+2+32/8=4+2+4=10.
x2=64, x1=8, x2=−8.x2=64, x1=8, x2=−8.
Искомое наименьшее значение p = 10.

Ответ: 10.

Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно
одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся
суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на
заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во
втором городе  200 рублей. Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда
рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух
заводах?

Решение
Пусть рабочие на первом заводе трудятся x2 часов, а значит производят x единиц товара.
За эту работу рабочие на первом заводе получат всего 250x2 рублей.
На втором заводе рабочие трудятся y2 часов и соответственно производят y единиц товара. Всего рабочие
второго завода получат 200y2 рублей.
Так как Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда, то
250x2+200y2=900000.
При этом за неделю будет произведено x+y единиц товара.
Значит, нужно найти максимальное значение функции f = x+y.
Из первого уравнения выразим y:
Тогда
200y2=900000−250x2,200y2=900000−250x2,
y=4500−1,25x2−−−−−−−−−−−−√.y=4500−1,25x2.
f=x+4500−1,25x2−−−−−−−−−−−−√.f=x+4500−1,25x2.
Найдем максимальное значение этой функии. Для этого вычислим прозводную функции f:
′
f =1+−1,25
⋅2x24500−1,25x2−−−−−−−−−−−−√=1−1,25x4500−1,25x2−−−−−−−−−−−−√.f =1+′
−1,25⋅2x24500−1,25x2=1−1,25x4500−1,25x2.
4500−1,25x2−−−−−−−−−−−−√−1,25x=0,4500−1,25x2−1,25x=0,
4500−1,25x2=1,5625x2,4500−1,25x2=1,5625x2,
2,8125x2=4500,2,8125x2=4500,
x=40, y=4500−1,25⋅1600−−−−−−−−−−−−−−−√=50.x=40, y=4500−1,25⋅1600=50.
x2=1600,x2=1600,
fmax=40+50=90.fmax=40+50=90.

Ответ: 90.
РЕШАЛИ Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся
абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более
совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе,
трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на
заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они
производят 5t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500
рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму
придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Решение
Пусть рабочие на первом заводе трудятся x2 часов, а значит производят 2x единиц товара. А на втором
заводе рабочие трудятся y2 часов и соответственно производят 5y единиц товара.
Так как Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара, то
2x+5y=580.
При этом сумма, которую придется еженедельно тратить на оплату труда будет равна
Чтобы найти наименьшую сумму, которую придется еженедельно тратить на оплату труда, нужно
исследовать функцию f на минимум.
Из первого уравнения выразим y:
f=500(x2+y2).f=500(x2+y2).
Подставим это выражение в функцию f:
y=(580−2x)/5.y=(580−2x)/5.
f=500(x2+(580−2x)/5)=500x2+20(580−2x)2.f=500(x2+(580−2x)/5)=500x2+20(580−2x)2.
f=580x2−46400x+6728000.f=580x2−46400x+6728000.
Исследуем эту функцию на минимум. Для этого найдем ее производную:
′
f =1160x−46400,f =1160x−46400,
1160x−46400=0,1160x−46400=0,
′
x=40  точка минимума.
Находим соответствующий y:
y=(580−80)/5=100.y=(580−80)/5=100.
Значит наименьшая сумма, которую придется еженедельно тратить на зарплату рабочим равна
500(402+1002)=5800000.500(402+1002)=5800000.

Ответ: 5800000.
Задачи на кредиты
1. В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы:
 каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными
платежами (то есть за 4 года)?
2. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
 каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.
Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными
платежами (то есть за 3 года)?
3. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы:  каждый январь долг возрастает на а% по сравнению с концом предыдущего года;
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
Найдите число а, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было
переведено 55000 руб., а во второй 69000 рублей.
4. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1300000 рублей. Условия его возврата таковы:
 каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
На какое минимально количество лет можно взять кредит при условии, что ежегодные выплаты были не
более 350000 рублей?
5. В июле планируется взять кредит на сумму 69 510 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя
равными платежами (то есть за три года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен
двумя равными платежами (то есть за два года)?
Задачи на кредиты
1. В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы:
 каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными
платежами (то есть за 4 года)?
2. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
 каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.
Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными
платежами (то есть за 3 года)?
3. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы:
 каждый январь долг возрастает на а% по сравнению с концом предыдущего года;
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
Найдите число а, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было
переведено 55000 руб., а во второй 69000 рублей.
4. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1300000 рублей. Условия его возврата таковы:
 каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
 с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
На какое минимально количество лет можно взять кредит при условии, что ежегодные выплаты были не
более 350000 рублей?
5. В июле планируется взять кредит на сумму 69 510 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя
равными платежами (то есть за три года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен
двумя равными платежами (то есть за два года)?

file_name: задачи на кредиты.docx

intro: В течение двух последних лет в тексты ЕГЭ по математике были внесены задачи с экономическим содержанием, что сразу заставило учителей математики изучать методы решения таких задач. В документе приводится подборка таких задач, взятых из различных источников. Задачи приведены с решениями, что позволяет эффективно применить их на уроках.

математика

group: Дисциплины

title: Задачи с экономическим содержанием


extracted_text:
Урок по истории и культуры народов Марий Эл «Народные верования».
Султайкина Мария Леонидовна, учитель начальных классов
МОУ «Помарская СОШ» Волжского района РМЭ
Тема урока: Понятия «день – ночь», «свет – тьма» в народных верованиях.
Цель   урока:  довести   до сознания   детей,   что   значит   народные   верования;
раскрыть   содержание   понятий   «день   –   ночь»,   «свет   –   тьма»   в   народных
верованиях.
Задачи:
 Образовательная: сформировать представления о   народных верованиях.
Обеспечить усвоение учащимися понятий «день – ночь», «свет – тьма» в
народных верованиях.
 Развивающая:   развивать   умение   творчески   мыслить,   вести   диалог,
высказывать свое мнение, анализировать исторические факты.
 Коррекционная:   работать   над   значением   и проговариванием   новых
терминов, адекватно оценивать свою работу и работу учащихся.
 Воспитательная: работать над развитием нравственных качеств учащихся,
воспитывать уважение к народным верованиям.
Методы: словесноиллюстративный, частичнопоисковый, беседа, рассказ.
Тип урока: урок усвоения новых знаний.
Ход урока:
1 этап — организационный момент.
2 этап — актуализация опорных знаний.
Постановка проблемы, мотивация:
 Что такое народные верования?
     Зачем   нам   необходимы   знания   о   народном   быте?   Почему   интерес   к
национальным   традициям   усиливается   в   век   научнотехнического   процесса?
Предположения учащихся.
  Мы должны знать свои корни, особенности национальной культуры, не быть
"Иванами, не помнящими своего родства".
3 этап — объявление темы, целеполагание.
Формулировка темы урока с записью на доске: Понятия «день – ночь», «свет –
тьма» в народных верованиях.
   Почему возникли верования? (  Ответ: потому что человек не мог объяснить
явления природы.)
 Вы когданибудь задавали себе вопрос, что такое Свет и что для вас Тьма?
  В чём взаимосвязь понятий «день – ночь», «свет – тьма»?
 Предположения учащихся.
4 этап  изучение нового материала.
Рассказ учителя.
   В   стародавние   времена   пространство   для   людей   представлялось   не   только
трехмерным: ширина, высота, глубина. Пространство измерялось во времени
прошлое, настоящее и будущее как единое целое. Пространство измерялось и ещё одной тонкой мерой  светом и тьмой. Люди чувствовали эту меру на весах
своей   жизни.   Этими   понятиями   пронизаны   и   быт,   и   обряды,   и   сказки.
Окружающий мир стал миром противопоставлений: день  ночь, свет  тьма,
тепло  холодно, жизнь  смерть, солнце месяц, доля  недоля, левый  правый,
правда  кривда, мужское  женское, земля небо. И все эти понятия произошли
от чувства света и тьмы.
Ум предков поражала противоположность  в весеннем возрождении и зимнем
омертвении.
По представлениям древних славян жизнь на земле поддерживают светила. В
народных   сказках   к   солнцу,   месяцу   и   звездам   обращаются   герои   в   трудных
случаях жизни, и боги света помогают им: не дают погибнуть, посылают дары
плодородия. Славяне всегда  чувствовали  свое родство с богами света. "Мне
матушка  красно солнышко, батюшка  светел месяц, братцы  часты звездушки,
сестрицы  белы зорюшки"  так поется в народной песне. Но солнце почиталось
более других источников. "Как светило вечно чистое, ослепительное в своем
сиянии,  пробуждающее   земную   жизнь,  солнце   почиталось   божеством   благим,
милосердным,   имя   его   сделалось   синонимом   счастия".   "Придет   солнце   и   к
нашим окошечкам"(пословица).
Все боги славянские  солнечные. Все они постоянно борются за свет, тепло,
урожай, жизнь, гармонию. Жива несет возрождение, весну, любовь, а Мара
увядание, холод, смерть. Между богами света и тьмы идет нескончаемая борьба
за   владычество   над   миром,   как   извечная   борьба   добра   и   зла   вне   и   внутри
человека.
День, ночь  это высшие бессмертные существа. День  божество солнечного
света.   Ночь      божество   мрака.   Дневной   свет   и   тепло,   ночная   тьма   и   холод
определялись суточным движением солнца, а летняя ясность и зимние туманы,
закрывающие небо, метели и морозы  его годовым движением. Подобно тому,
как   с   утром   связывались   представления   о   пробуждающемся   солнце,   о
воскрешающейся повсюду жизни и деятельности, так и с весной связывалась
мысль о воскресении тепла, о пробуждении природы из зимнего сна. Наличие
родственных признаков у всех явлений (солнце и луна  супруги, заря утренняя и
вечерняя      сестры),   говорит   о   целостном   и   богатом   представлении   мира,   о
снисходительном отношении к тьме, о знании законов взаимодействия с нею.
В устном народном творчестве свет описывается как вещь или живое существо:
молоко, сукно, белая кошка, золотое веретено, золотой мост. В загадках свет
солнца ассоциируется с золотом, а луна  с серебром ("Золот хозяин  на поле,
серебрян пастух  с поля").
В заговорах и при лечении добрый целитель или человек обращается к свету, а
делающий злые наговоры  ко тьме. Хорошие люди у тьмы просили мудрости.
Наиболее   интимно   со   светом   связаны   глаза   человека,   причем   они   не   только
воспринимают свет извне, но и сами испускают его, а когда человек умирает, то
свет   его   гаснет.   В   обрядовых   причитаниях   не   зря   сравнивают   человека   со
светилами: "Угасло наше солнышко, не глядят очизвездочки". Наш предок гордо нес в себе свойства светил, свет мыслей и дел, мудрость в
отношениях, радость и творчество в делах своих, тем и здравствовал.

и

«свет
тьма».
понятия
Противоположность света и тьмы, тепла и холода, весенней жизни и зимнего
омертвения   —   вот   что   особенно   должно   было   поразить   наблюдающий   ум
человека.   Чудная,  роскошная   жизнь   природы,   громко   звучащая   в   миллионах
разнообразных голосов и стремительно развивающаяся в бесчисленных формах,
обуславливается силою света и тепла; без нее все замирает. Подобно другим
народам, наши праотцы обоготворили небо, полагая там ее вечное царство; ибо с
неба падают солнечные лучи, оттуда блистают и луна и звезды и проливается
благотворящий дождь..
В глубокой древности человек не отделял себя от природы, но это не значит, что
он не стремился   объяснить   мир,   в котором   жил.   Чуткий,   настороженный,
внимательный, человек древнейших времён просто не мог не ощутить незримо
присутствующую   в мире   силу,   от которой   зависели   и жизнь,   и смерть.   С   ней
связаны
И   вывод   тут   такой:   Тьма   и   Свет      лишь   два,   наиболее   популярных   пути,
осовения силы. Они ничем не хуже и не лучше пути стихий, природы, которые
имеют   свою,   абсолютно   иную   философию.   Просто   по   обычному   делению
понятий человеского разума  эти два направления оказались наиболее известны
и популярны.
Самостоятельная работа. (Записать свое понятие о свете и тьме в тетрадях)
Свет – это .....
Тьма – это .....
Самопроверка.
 Какие слова из ниженазванных взяли бы для объяснения данных понятий?
Словапомощники:   радость,   печаль,   утро,   день,   ночь,   месяц,   солнце,   туман,
гроза, гром, дождь, зло, добро, град, цветы, тепло, холод.
Народная фантазия, предания и легенды о Солнце и Месяце, как Богини
света и тьмы.
 Народная фантазия, создавшая для разнообразных явлений, связанных с небом,
различные   поэтические   олицетворения,   представляла   их   и   в   едином,
нераздельном   образе.   Варуна,   божество   неба,   по   индийским   преданиям,
устраивает свет и времена, выводит в путь солнце и звезды; солнце — его глаз, а
ветер, колеблющий воздух, — его дыхание. По литовскому преданию, божество
это олицетворялось в женском образе королевы Каралуни. Каралуни — богиня
света,   юная,   прекрасная   дева;   голову   ее   венчает   солнце;   она   носит   плащ,
усеянный звездами и застегнутый на правом плече месяцем; утренняя заря — ее
улыбка, дождь — ее слезы, падающие на землю алмазами. В народных сказках к солнцу, месяцу и звездам обращаются герои в трудных
случаях жизни, и божество дня, сострадая несчастью, помогает им. Вместе с
этим   солнце   является   и   карателем   всякого   зла,   т.   е.   по   первоначальному
воззрению — карателем нечистой силы мрака и холода, а потом и нравственного
зла — неправды и нечестия.
Солнце и Месяц были представляемы в родственной связи — или как сестра и
брат, или как супруги... По литовскому преданию, Солнце — "божья дочка" —
представляется женою Месяца; звезды — их дети. Когда неверный супруг начал
ухаживать   за   румяной   Денницею   (Аушрине   —   утренница,   планета   Венера),
богиня   Солнце   (по   другой   вариации   это   сделал   сам   громоносец   Перкун)
выхватила меч и рассекла лик Месяца пополам... Предание в высшей степени
поэтическое!   Художественная   фантазия   передала   в   нем   поразившие   ее
естественные   явления   природы:   когда   восходит   поутру   солнце   —   месяц
исчезает в его ярком свете; а когда удаляется оно вечером — месяц выступает
на небо, и перед самым утренним рассветом он действительно один блуждает по
небу с прекрасною денницею.
По народному поверью, Солнце и Месяц с первых морозных дней (с началом
зимы, убивающей земное плодородие) расходятся в разные стороны и с той поры
не встречаются друг с другом до самой весны; Солнце не знает, где живет и что
делает Месяц, а он ничего не ведает про Солнце. Весною же они встречаются и
долго рассказывают друг другу о своем житьебытье, где были, что видели и что
делали. При этой встрече случается, что у них доходит до ссоры, которая всегда
оканчивается   землетрясением;   наши   поселяне   называют   Месяц   гордым,
задорным   и   обвиняют   его,   как   зачинщика   ссоры.  Встречи   между   Солнцем   и
Месяцем   бывают   поэтому   и   добрые,  и   худые;   первые   обозначаются   ясными,
светлыми днями, а последние — туманными и пасмурными Как по литовскому,
так   и   по   славянским   преданиям,   от   божественной   четы   Солнца   и   Месяца
родились   звезды.   Малорусские   колядки,   изображая   небесный   свод   великим
чертогом   или   храмом,   называют   видимые   на   нем   светила:   месяц   —
домовладыкою, солнце — его женою, а звезды — их детками...
Работа над пословицами и поговорками о понятиях «день – ночь», «свет –
тьма». (Проверка предварительного домашнего задания)
 День да ночь и все вперед.
День дневать, ночь коротать.
День темен, да ночь светла (зимою).
Для злого и день, и ночь темны.
 Свет стоит до тьмы, а тьма до света.
Свет в поле  человек на воле.
Не нами свет начался, не нами и кончится.
Плохой друг  что тень в солнечный день: не отвяжется.
5 этап – закрепление изученного материала.
Игра «Верю – не верю» Ответить на вопросы, поставить + (да) и – (нет) в тетрадях.
1.   Как   и   в   стародавние   времена,   в   настоящее   время   тоже   пространство
измеряется одной тонкой мерой  светом и тьмой. (нет)
2.   Дневной   свет   и   тепло,   ночная   тьма   и   холод   определялись   суточным
движением   солнца,   а   летняя   ясность   и   зимние   туманы,   закрывающие   небо,
метели и морозы  его годовым движением.(да)
3. Богиня Мара несет возрождение, весну, любовь.(нет)
4. Солнце   знает, где живет и что делает Месяц, а он ничего не ведает про
Солнце.(нет)
5. Малорусские колядки, изображая небесный свод великим храмом, называют
видимые на нем светила: месяц — домовладыкою, солнце — его женою, а звезды
— их детками...(да)
Взаимопроверка.
6 этап – рефлексия.
 Выберите из предложенных учителем пословиц те, которые демонстрируют
развитие темы сегодняшнего урока.
 Объясните, что означают данные пословицы.
Ученье свет, неученье тьма.
Тьма свету не любит, злой добра не терпит.
Свет во радости, а страх во тьме.
 О чем интересно было слушать на уроке?
7 этап – домашнее задание. (По выбору)
   Подготовить   сжатый   пересказ   о   понятиях   «день   –   ночь»,   «свет   –   тьма»   в
народных верованиях.
 Рассказать предания и легенды о Солнце и Месяце. Нарисовать, как вы это
представляете.
Литература:
 А.Н. Афанасьев. Свет и тьма.

1.
2. Марийский   фольклор.   Мифы,   легенды,   предания.   ЙошкарОла:
 http://webcenter.ru
Марийское книжное издательство, 1991.
    3. Природа славян http://mifolog.ru
4. Противостояние света и тьмы http://kotomatrisi.ru

file_name: Свет и тьма.doc

intro:
Народные приметы, народные верования сопровождают нас в течение всей жизни. От старшего поколения дети слышат разные народные приметы. Наши предки были глубоко верующие люди. Цель данного мероприятия рассказать о понятиях «день – ночь», «свет – тьма» в народных верованиях, ознакомить
 преданиями и легендами о Солнце и Месяце. Мы должны знать свои корни, особенности национальной культуры.

title: Классный час "Народные верования"


extracted_text:
План работы
«Школы молодого учителя»
(первый год обучения)
Месяц
Сентябрь
1.
2.
Содержание работы
Час общения «Расскажи о себе».
Ответственные
Директор школы
Закрепление наставников.
Директор школы
Изучение   содержания   учебных   программ   и
  нормативных
3.
объяснительных   записок   к   ним,
документов по организации учебного процесса.
Зам. директора по УВР
О требованиях к оформлению классного журнала,
4.
журналов факультативных и кружковых занятий.
Зам. директора по УВР
О
5.
планирования.
подготовке

календарнотематического
Руководители ШМО
6.
Семинар «Подготовка учителя к уроку».
Советы опытных педагогов:
7.
«Как быстрее адаптироваться в школе», «Постарайтесь
не допустить следующих ошибок…»
Отв. за методическую
работу
Педагогинаставники
Октябрь
Знакомство   молодых   специалистов   с   традициями
1.
школы.
Директор школы
2.
Семинарпрактикум «Анализ урока учителем после
его проведения. Виды анализа». Цель: научить молодых
специалистов проводить самоанализ урока.
Отв. за методическую
работу
3. Час психолога.
Ноябрь
Консультация
1.
«Проектировочная
деятельность   классного   руководителя   и   планирование
воспитательной работы».

Педагогпсихолог
Зам. директора по ВР;
педагогинаставники
2.
Час психолога.
Педагогпсихолог
Декабрь
1. Посещение   уроков   наставников   и   анализ   их
структуры.
Отв. за методическую
работу; учителянаставники
2. Консультация   «Структура   урока   изучения   нового
материала».
3. Практическое   занятие   «Конструирование   и   защита
конспекта урока изучения нового материала».
Отв. за методическую
работу, руководители
ШМО
Зам. директора по УВР
Январь
1. Посещение   уроков   закрепления   и   развития   знаний,
умений, навыков педагоговнаставников.
Отв. за методическую
работу 2. Консультация   «Структура   урока   закрепления   и
развития знаний, умений, навыков».
3. Практическое   занятие   «Конструирование   и   защита
конспекта урока закрепления и развития знаний, умений,
навыков».
Отв. за методическую
работу, руководители
ШМО
Зам. директора по УВР
4. Обзор периодической педагогической печати.
Педагогбиблиотекарь
февраль
1. Посещение   уроков   изучения   нового   материала   и
уроков закрепления и развития знаний, умений, навыков
у молодых специалистов.
2. Консультация   «Структура   урока   обобщения   и
систематизации знаний».
3. Практическое   занятие   «Конструирование   и   защита
конспекта урока обобщения и систематизации знаний».
Март
1. Посещение   у   молодых   специалистов   уроков
обобщения   и   систематизации   знаний   с   последующим
педагогическим анализом.
2. Анализ педагогических ситуаций
Отв. за методическую
работу; учителянаставники
Отв. за методическую
работу, руководители
ШМО
 Зам. директора по УВР
Отв. за методическую
работу; учителянаставники
Зам. директора по УВР
Апрель
1. Тестирование   «Недописанный   тезис»:
учителем – значит…», «В хорошей школе всегда…».
  «Быть
Зам. директора по УВР
2. Круглый   стол   «Содержание,   формы   и   методы
работы педагога с родителями школьников».
Директор школы; зам.
директора по ВР
3. Час психолога.
Май
Итоговое занятие
День молодого специалиста.
Педагогпсихолог
Директор школы; отв. за
методическую работу

file_name: План работы школы молодого учителя_первый год обучения.doc

intro:
Работа с молодыми специалистами традиционно является одной из
самых важных составляющих деятельности методической работы в школе. Она посвящена анализу наиболее типичных затруднений учебного, дидактического характера, которые испытывают начинающие учителя в своей преподавательской деятельности. Начинающему учителю предстоит
определенный путь профессионального становления, первоначальной частью
которого является период адаптации - "вживания" в профессию. Для
успешной адаптации молодых специалистов в школе разработан план
работы «Школы молодого учителя». В данном плане работы "Школа молодого учителя" первого года обучения описана система работы по повышению профессиональной компетенции молодых специалистов (педагогов).План работы "Школы молодого учителя" (первый год обучения)

администрации

group: Педагогика