extracted_text:
МУЗЫКАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА
Выполнила: Полякова Марина Алексеевна,
6 класс, МБОУ «СОШ № 23», г. Ангарск, Иркутская область.
Руководитель: Якущенко Вера Викторовна,
учитель музыки МБОУ «СОШ № 23», г. .Ангарск, Иркутская область 2010/2011 г.
Содержание
Введение
1. Основная теоретическая часть
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
История происхождения звуков
Подарок природы
Сравнение октавы, найденной музыкантами и природной октавы
Виды ладов
История происхождения черных клавиш
Что придумал Пифагор
Все равны!
Заключение
Список литературы
Стр. 1
Стр. 1
Стр. 1
Стр. 2
Стр. 3
Стр. 3
Стр. 4
Стр. 5
Стр. 7
Стр. 8
Стр. 9 Введение
«Музыка – это бессознательное упражнение души в арифметике»
Г. Лейбниц.
   Общение с музыкой вводит в мир не проходящих ценностей, помогает
выработать ценностные ориентиры, она воздействует на умы и сердца людей, на развитие
нравственного и эстетического убеждения, интересов, на формирование личности.
       Нынешние  школьники  прекрасно осведомлены  о репертуаре  современных певцов  и
групп,   они   с     восторгом   слушают   песни        «однодневки»   с   примитивным   текстом   и
гармонией.   Но   о   классической   музыке   пошлого   и   настоящего   имеют   смутное
представление. Школьники часто совершенно не сведущи в сфере музыкального искусства:
не имеют представления о сущности важнейших направлений в музыке, о произведениях и
композиторах.
     Создается впечатление, что в новом мире, мире электроники. Современной техники
старое музыкальное искусство не может претендовать на более или менее видное место. А
ведь музыка обладает могучим эмоциональным воздействием, она пробуждает в человеке
чувства,   делает   его   выше,   чище,   лучше,   так   как,   в   подавляющем   большинстве   она
предполагает положительного героя, возвышенные эмоции. Музыка стремится воплотить
этико – эстетический идеал    в этом ее особенность воздействия на человека. В этом и
актуальность моего исследования.
   Цель:
подойти   к   художественному   пониманию   мира   через   арифметический   подход   к
музыкальному искусству.
Задачи исследования:
 Развитие чувственной и эмоциональной сфер;
 Обретение   способности   открывать   совершенные   формы   в   действительности   и
искусстве, познать его законы и опираться на них в оценивании явлений жизни и в
своей личной практике.
Гипотеза:  в подсознании человека скрыта потребность в создании искусства, требующая
каждодневной реализации и удовлетворения. Следовательно, музыка может послужить той
силой,   которая   извлечет   из   недр   подсознания   эту   скрытую   потребность   в   искусстве,
развить задатки и способности, проявить свое творчество.
   Объект исследования: арифметика в музыке.
   Предмет исследования: энциклопедии, словари, художественная и научная литература,
периодическая печать, тезисы из Интернета.
Методы исследования:
 Изучение, обработка и анализ документов;
 Метод моделирования;  Метод проблемно – поисковых ситуаций.
     Методологической основой  работы является труд С. Газаряна «В мире музыкальных
инструментов»   в   котором   автор   знакомит   нас   с   историей   появления   музыкальных
инструментов, их устройством, физическими основами звучания.
   Постоянным источником размышлений стали взгляды и убеждения Годфрида Лейбница,
Пифагора.
История происхождение звуков

 Рассмотрим   краткую   историю   тех   звуков,   из   которых   человек     построит   все
   Границы музыкального диапазона простирается от 16 до 4700 герц. Если частота врастает
с 50 до 51 герца, с 800 до 803 герц, с 3000 до 3005 герц, заметно, что звук стал выше.
Человек,   если   посчитать,   может   в   этом   диапазоне   по   высоте   различать   около   100.
Фортепиано, охватывающее почти весь диапазон, насчитывает лишь 88 звуков.
     Скрипка позволяет музыканту легко взять около 400 звуков. Отличаемых друг от друга
по высоте, но скрипач использует коло 50 звуков.

огромнейшее здание музыки.
    Возьмем число 100, если на метровой линейке десятки обозначены длинными черточками
  это как бы каркас, в котором размещаются черточки поменьше – единицы.
       А теперь сравним с музыкальным звукорядом, количество звуков, располагаемых в
музыке, тоже имеет свой каркас – делится на октавы. В музыкальном звукоряде каждый 8
звук завершает одну октаву и открывает следующую. Отсюда значение слова «октава»
восьмой.
       В арифметике счет десятками произошел от десяти пальцев на руках. Музыкальная
октава   имеет   природное   происхождение,   в   основе   которого   лежит   слух   человека.   Как
пальцы определили границы десятков, так ухо человека определило границы октав.
    Если взять звук с определенной частотой и звук с частотой вдвое больше одновременно,
то   слышится   не   два   звука,   а   один.   Поэтому   не   было   смысла   давать   разные   названия
похожим звукам, а с каждым удвоением частоты названия повторяются. Например, звуки с
частотами: 55,110,220,440,880,1760,3520 герц называются  Ля. Если взять одновременно
две, три, четыре из этих частот или хоть все вместе, в любом случае мы услышим один
звук, а не сочетание разных звуков.
       Каждая из этих частот, сообразуясь со слухом человека, завершает одну октаву и
открывает другую. За основу берется звук Ля первой октавы, частота которого на всех
инструментах должна быть равна 440 герцам. Первой октавой в музыкальном звукоряде
считается   самая   часто   употребляемая,   на   клавиатуре   фортепиано   она   размещается
посередине,   правее   –   вторая,   третья,   четвертая   и   кусочек   пятой.   Левее   малая   октава,
большая октава, контроктава и кусочек субконтроктавы. Если построить такой же ряд для
Ре и Ми, числа будут другими, но каждая следующая частота будет удваиваться, завершая
одну октаву и открывая другую. Началом каждой октавы принято считать звук До. /3/.
      Если сравнить с метровой линейкой и назвать пятерку в третьем десятке, станет ясно,
что это число двадцать пять. А если назвать Ля третьей октавы, то можно без труда найти
на клавиатуре фортепиано один звук, единственный из восьми с таким же названием.
    Для музыки семь звуков внутри октавы так же естественны, как 10 пальцев на руках для
арифметики.
Подарок природы
       Тетива самого первого лука, колеблясь после выстрела,  давала готовым тот набор
музыкальных   звуков,   которыми  без  изменения  пользуемся   до  сих   пор.  С  точки   зрения
физики тетива и струна – одно и то же. Человек сделал струну, обратив внимание на
свойства   тетивы.   Звучащая   струна   колеблется   не   только   целиком,   но   одновременно половинками,   третями,   четвертями   и   т.д.   с   арифметической   стороны   половинки
колеблются вдвое чаще, чем целая струна, трети – втрое, четверти – вчетверо. Во сколько
раз меньше колеблющаяся часть струны, во столько раз больше частота ее колебаний. Если
вся струна колеблется с частотой 24 герца, то,   высчитывая колебания долей вплоть до
шестнадцатых получим ряд чисел, показанных в таблице  № 1. Эта последовательность
частот называется натуральной, то есть это природный звукоряд. Начальное число выбрано
произвольно, чтобы удобнее было считать. В музыке важны, прежде всего, соотношения
частот, а не их абсолютные данные, соотношения звуков между собой, а не численные
выражения каждого звука.
     Колеблющаяся струна дала природный звукоряд. Ни тетиву, ни струну нельзя считать
природными телами, потому что их сделал человек. Если мы возьмем природное тело –
полый   ствол   какого   –   нибудь   растения,   то   нельзя   заставить   столб   воздуха   в   стволе
колебаться неравными частями – только целиком, или половинками, или третями и т.д.
Если целый столб воздуха колеблется с частотой 24 герца, то половинки – 48 герц, трети –
72 и дальше все так же как в таблице №1. Значит, природный звукоряд одинаков и для
тетивы, и для струны, и для пустотелого ствола дерева.
     Определим границы октав – отметим удваивающиеся числа, это будут частоты, кроме
начальной 24, которая служит левой границей: 48,96,192 и 384. Между 24 и 48 никаких
других частот нет. Между 96 и 192 – три частоты. А между 192 и 384 – уже полная
природная  октава,   тот  звуковой  материал,  который  не  нужно  было  выбирать   – он  дан
готовым.
       Известно о природном звукоряде стало гораздо позже, чем оформился определенный
строй   музыкальных   инструментов.   Человек,   еще   ничего   не   зная   о   подарке   природы,
интуитивно подстраивал струны между собой так, чтобы они создавали благозвучие. Если
инструмент  был оснащен  грифом,  а гриф поначалу  делался  гладкий,  без порожков, то
музыкант   просто   скользил   пальцем   по   струне   как   угодно.   Нащупав   точки,   где   звуки
получались наиболее естественными, он оснастил эти места грифа порожками. /1. С. 56/.
     Когда   люди   открыли   природный   звукоряд,   изучили   и   сравнили   с   тем,   что   был   у
музыкантов,   оказалось.   Что   полная   природная   октава,   которая   образуется   девятью
последними   частотами   из   шестнадцати,   почти   совпадает   с   октавой,   найденной
музыкантами самостоятельно.
       Ухо   опередило   научные   исследования,   человек,   занимаясь   музыкой,   в   самом   деле
бессознательно упражнялся в арифметике.
         Это подарок природы, полученный с некоторым опозданием. А музыкальный слух,
который помог интуитивно нащупать естественный звукоряд, тоже дар природы.
Сравнение природной октавы и октавы, найденной музыкантами
   Когда люди открыли природный звукоряд, при сравнении они обнаружили почти полное
совпадение   с   октавой,   выработанной   музыкантами.   В   чем   же   заключается   разница?
(Таблица   №2).   Если   посмотреть   на   таблицу,   в   которой   природная   октава   сравнена   с
октавой,   выработанной   человеком,   видно,   что   музыканты   от   одной   частоты   природной
октавы,   отказались   совсем,   а   две   частоты   немного   изменили:   вместо   264   стало   256,   а
вместо 312 – 320. Музыканты обратили внимание на то, что сочетание некоторых трех
звуков между собой, воспринимаются особенно естественно и принято. Потом выяснилось,
что это были частоты, относящиеся друг к другу, как 4:5:6 (таблица №3). В природной
октаве есть только одно такое сочетание – это 192:240:288. Музыканты настраивали свои
инструменты так, что весь звукоряд превращался в сплошную цепь принятых для слуха
трезвучий. Этот ряд родился в Древней Греции, в разных странах называется по – разному, но удивительно схоже: в переводе на русский язык получается «согласие»,  «порядок»,
«стройность» и даже «мир», а в русском языке такая упорядоченная последовательность
звуков называется словом «лад». /4/.
Виды ладов
             К ладу можно присмотреться и с другой стороны чередованию целых тонов и
полутонов. Если взять в качестве начального звука    частоту 192, то интервалы выстроятся
так: тон, тон, полутон. А если начать с частоты 216, последовательность получиться иной:
тон. Полутон, тон, тон, тон, полутон, тон. С какой бы частоты не начинать отсчет, каждый
раз чередование  тонов и полутонов будет иным. Лад, как соотношение частот, един и
неизменен, а как соотношение целых тонов и полутонов может изменяться. Если мелодия
начинается с частоты 192 – это один лад, с частоты 216 – другой, с частоты 240 – третий и
т.д. (Таблица № 4). Каждому такому ладу греки дали свое название, их было семь    по
числу звуков в октаве. Лидийский лад в этом примере начинался бы с частоты 192. Шло
время,   и   постепенно   композиторы   стали   все   реже   употреблять   греческие   лады   в   их
исходно, им виде. Осталось два основных лада, их названия изменились на минор и мажор.
Их   главное   отличие   в   том,   что   у   мажора   первый   полутон   идет   третьим   по   счету   от
начального звука, а у минора   вторым.
                     Представим себе древнего музыканта, игравшего мелодию в лидийском ладу.
Начиная, как положено с частоты 192. Но вот ему захотелось начать эту мелодию с другой
струны, частота которой была 216, чтобы получилось повыше. Разумеется, что он не имел
никакого представления о частотах. В лидийском ладу полутон должен идти третьим по
счету. Но он шел третьим по счету только пока, мелодия начиналась с частоты 192. Когда
мелодия начиналась  с частоты 216, на инструменте в этом месте не оказалось полутона.
Третьим шел целый тон, поэтому мелодия не получилась.
             Семи струн в октаве хватает для исполнения любой мелодии,  не с каждой струны
ее можно начать. /2 /.
История происхождения черных клавиш
               В таблице № 5 определено отношение каждого звука лада к начальному, если
начальный  принять за единицу.  Также  в этой  таблице указаны  названия  интервалов  по
отношению к начальному звуку, они определяют место каждого звука в октаве. Названия
интервалов   легко   проводятся   и   запоминаются:   «прима»      первый,   «секунда»      второй,
«терция»  третий и так до октавы, которая означает «восьмой».  Лад – это, прежде всего,
соотношения, а не сами частоты. В других октавах другие частоты, а соотношения те же.
Например, квинта всегда составляет три вторых от примы, то ест от начального звука,
терция – всегда пять четвертых, октава – всегда ровно два.
       Проанализируем неудачную попытку древнего музыканта начать лидийскую мелодию с
другой струны. Ему нужно было сохранить соотношения. Возьмем в качестве основного
звука   частоту   216   и   выстроим   звуки   согласно   соотношениям,   которые   получались   от
частоты 192 (Таблица № 6). В пределах октавы появились новые частоты. Инструменту с
гладким грифом это не страшно: зажимая струны в любом месте можно сохранить нужные
соотношения.   Но   инструменты   наподобие     арфы,   в   которых     каждый   звук   издается
отдельной струной, нужно добавлять новые струны.
          Музыкант хотел иметь возможность начинать мелодию в любом ладу с любого звук
октавы. Он стал прибавлять новые струны на своем инструменте, дошел до двух с лишним
десятков и остановился, поняв, что таким путем задачу не решить. Подсчитано, что если
бы древний грек продолжал бы добавлять струны, ему нужно было бы иметь 85 струн в
каждой   октаве.   Может   быть,   он   бы   научился   играть   на   таком   инструменте   ценой
невероятных   усилий,   но   это   казалось   очень   обидным:   мелодии   хватает   семи   звуков   в октаве, а все остальные нужны лишь для того, чтобы можно было начинать любую мелодию
с любой струны.
        Древние музыканты нашли компромиссное решение: новые звуки они добавили только
там, где интервал тона пополам, а просто ввели вспомогательные звуки. Если вглядеться в
таблицу   №   7,   расположение   звуков   напомнит   черные   клавиши   фортепиано.   Форма
клавиатуры фортепиано происходит от древних греков, несмотря на то, что они в то время
не имели понятия о клавиатуре. До сих пор у этих дополнительных звуков нет собственных
названий. Они называются, например, «до – диез», что означает «выше до» или « ми –
бемоль», то есть «ниже ми». Один и тот же дополнительный звук можно назвать
 двояко.
Если он стоит между СОЛЬ и ЛЯ, его можно назвать и соль – диез, и ля – бемоль.
        Древние музыканты добавили пять дополнительных звуков в октаву только для того,
чтобы свободнее переходить из тональности в тональность и из лада в лад. Ладу вполне
хватает семи звуков в октаве. И если в какой – то местности бытует одна тональность   в
основе мелодии всегда лежит один и тот же начальный звук, то инструмент здесь по –
прежнему может обходиться семью звуками в октаве, как некоторые гармошки, народные
духовые и струнные инструменты.
           Но добавление  пяти  звуков не до конца решило  проблему.  Соотношения между
соседними звуками оставались разными. Искусственно введенные полутона не были равны
исконным   полутонам   лада,   поэтому   не   из   любой   тональности   в   любую   можно   было
переходить легко и просто.
Что придумал Пифагор
     Выдающийся грек Пифагор – математик, ученый, ноне так широко известно, что он был
еще и блестящим музыкантом. Сочетание этих дарований позволило Пифагору первым
догадаться о существовании природного звукоряда, но надо было еще доказать это.
     Когда – то Пифагор проходил мимо кузницы, откуда раздавались удары молотов. Ему
показалось, что в их звучании есть что – то необычное – один молот звучит низко, другой
высоко, но в то же время эти звуки были похожими, а когда удары молота, производились
одновременно,   их   голоса   неразличимо   сливались   в   один   голос.   Пифагора   так
заинтересовала   звуковая   математика,   что   он   построил   для   своих   экспериментов
специальный музыкальный инструмент – монохорд (в переводе – одно  струнник). Это был
продолговатый ящик с натянутой поверх его струной. Под струной, на верхней крышке
ящика, он расчертил шкалу, чтобы удобнее было приблизительно делить струну на части,
проделал множество опытов с монохордом и описал  математически  поведение  струны.
Опыты   Пифагора   легли   в   основу   науки,   которая   называется   сейчас   музыкальной
акустикой.

 Также   ему   принадлежит   математическое   объяснение   основ   гармонии.   Следуя
собственной теории совершенства малых чисел, он определил суть гармонии так: наиболее
естественно воспринимаются ухом частоты, которые находятся между собой в простых
соотношениях. Вот откуда октава 1:2 и трезвучие 4:5:6.
      Когда древнегреческие музыканты ввели пять дополнительных звуков и убедились, что
проблема   все   –   таки   осталась,   Пифагор   взялся   за   решение   уже   не   теоретической,   а
практической задачи: как настроить инструмент, чтобы не увеличивать количество звуков в
каждой   октаве   сверх   12   и   в   то   же   время   дать   возможность   музыкантам   свободнее
переходить из тональности в тональность и из лада в лад.
      Внутри октавы слитно с начальным звуком воспринимается квинта, которая составляет
с ним соотношение 3:2. Пифагор решил взять квинту за основу строя и вывел удивительно
красивую   формулу   (Таблица   №8).   Её   расшифровка   показана   на   таблице   №   9.   Вместо
единицы берется частота 384 герца – правая граница октавы, условно обозначается она –
ДО.   Вправо   от   ДО   квинта,   т.е.   пятый   звук,   считая   только   основные,   а   вместе   с дополнительными восьмой, будет СОЛЬ. Его частота – три восьмых от 384. т.е.576. Квинта
от СОЛЬ   РЕ. Частота его три вторых от 576 – 864. И так далее до фа – диез.
       Квинта влево от до – фа. Частота две трети от 384 – 255,9. Квинта от фа – си – бемоль.
Частота две трети от 384 – 255,9. Квинта от фа – си – бемоль. Частота две трети от 255,9 –
170,6. И так до соль – бемоль.
      Получился ряд из тринадцати частот. Тринадцати, а не двенадцати, потому что крайние
слева и справа частоты принадлежат одному и тому же звуку: фа – диез – то же самое, что
соль – бемоль.
         Теперь этот ряд, который охватывает почти весь музыкальный диапазон, предстоит
свести в одну октаву, т.е. последовательным умножением или делением на два (от этого
название звука не меняется) уложить в промежуток между 192 и 384. Если какая – то
частота после умножения или деления на два не улеглась в границы октавы, нужно еще раз
умножить или разделить на два. После этих действий получается октава, к которой пришел
Пифагор   (Таблица   №   10).   В   основных   частотах   произошли   небольшие   расхождения   с
прежним, идеально чистым строем. Вместо частоты 240 появилась частота 243, вместо 320
– 324,360 превратилось в 364,5.
     Эти незначительные изменения произвели революцию в музыкальном строе. Интервалы
более   или   менее   выровнялись.   Определились   точные   частоты   дополнительных   звуков.
Музыканты, пользуясь теми же 12 звуками в октаве, получили возможность переходить из
тональности  в  тональность  гораздо  свободнее.   Поэтому  Пифагоров   строй  продержался
более 2000 лет. Прежний конфликт музыканта с инструментом был улажен, но наметился
новый.
      В Пифагоровом строе между ФА и СОЛЬ стоят две частоты. Когда последовательным
делением на два привели крайнюю правую частоту фа – диез в октаву, получилось одно
число. А когда последовательным умножением на два привели в октаву крайнюю левую
частоту   си   –   бемоль,   получилось   другое.   Это   было   попутное   открытие   Пифагора:
пониженный звук не равен повышенному предыдущему. Здесь соль – бемоль не равен фа –
диез. Если продлить по квинтам формулу Пифагора вправо еще на 4 элемента – до – диез,
ре  –  диез,  соль  –  диез,   ля  –  диез  и   определить  все   арифметические   операции,   то  это
открытие для любого дополнительного звука. А чтобы не добавлять новые струны, это
противоречие разрешили так: усреднили две частоты и оставили, как было, между двумя
основными звуками один дополнительный, усреднение это стало традиционным. И сейчас,
например,   пианист   вынужден   пользоваться   одной   черной   клавишей   там,   где,   согласно
точным акустическим расчетам, их должно быть две. А скрипач может по – разному взять
соль – бемоль и фа – диез, как и другие повышенные и пониженные звуки. Их может взять
по – разному и тромбонист – кулиса его инструмента передвигается свободно.
               Устранение двух близких частот незаметно для слушателя с обычным слухом, но
новый   конфликт   музыканта   с   инструментом   выявляется,   если   подойти   к   расчетам
Пифагора с другой стороны.
           При расположении звуков по квинтам, самая левая частота соль – бемоль – 33,7, а
самая правая частота фа – диез – 4374. Если пройти от первого ко второму октавами. Т.е.
последовательным умножением на два. После семи умножений получится число 4313,6,
оно расходится с 4374 на 60 герц, хотя мы имеем дело с одним и тем же звуком. Целое
число   квинт   не   укладывается   в   целое   число   октав,   это   расхождение   называется
пифагоровой коммой, которая привела к конфликту. /1; с. 59/.

 Лютнистам   эпохи   Возрождения   приходилось   каждый   раз   перед   концертом
приспосабливать лютню к нужным в данном выступлении тональностям – на грифе лютни
первое   время   не   было   врезанных   намертво   порожков,   гриф   просто   перевязывался   в
определенных местах тонким шнурком. Музыканты по – всякому передвигали порожки,
искали наилучших расположений, чтобы не сказывалась Пифагорова комма. Настройщики органов, сохраняя чистыми октавы, квинты и терции. Кое – как или
Пифагорову   комму   по   другим   интервалам,   которые   от   этого   получались   не   совсем
чистыми. Музыкант должен был заранее знать, как распределена Пифагорова комма и в
какой тональности его подстерегают фальшивые  звуки. При игре в двух – трех самых
употребляемых тональностях некоторые дополнительные звуки, представленные черными
клавишами, не используются вообще. По этим звукам рассовали комму. Но если органист
забудется и возьмет при импровизации какой – нибудь из этих звуков. Раздастся режущая
ухо фальшь. Эти фальшивые звуки были прозваны «волками».
               Музыкантам было трудно смириться с этим неудобством. Особенно досадовали
органисты:   органу   присуща   уникальная   длительность   звука.   На   лютне   фальшь   не   так
страшна: там звук быстро затухает. И совсем другое,  когда «волком воет» орган.
        В конце XYII века именно органист предложил реформу музыкального строя.
Все равны!
             Андреас  Веркмейстер   был  не  только  органистам,  но  и  теоретиком  музыки.   Он
равномерно распределил Пифагорову комму между всеми звуками внутри каждой октавы,
она   растворилась   и  стала   почти   незаметной.   Но  внутри  октавы   не  осталось   ни  одного
чистого интервала.
        Веркмейстер не пощадил даже квинту – этот интервал, тысячелетиями считающийся
незыблемым, стал чуть короче.
        Многих музыкантов поначалу возмутило предложение Веркмейстера – это  казалось
посягательством на первоосновы музыки. Прошло два – три десятилетия, прислушавшись,
почти все смирились с компромиссом, потому, что разница между чистой настройкой и
той,   что   предложил   Веркмейстер,   была   едва   уловимой,   а   достоинства   нового   строя
постепенно   стали   очевидными.   Исчезли   «волки».   Стало   возможным   переходить   из
тональности в тональность, из мажора в минор как угодно. В ладу остались семь основных
звуков, но теперь любой лад мог открываться с любой клавиши, хоть черной. Впервые
делом доказал это великий Бах, написав цикл произведений для всех 24 тональностей – 12
мажорных   и   12   минорных.   До   реформ   Веркмейстера   такое   количество   тональностей
существовало только теоретически, а на практике было невыполнимо, т.к. чуть ли не для
каждой из них пришлось бы заново перестраивать инструмент.
      Можно представить себе современную музыкальную шкалу, посмотрев на гриф гитары.
Каждое   расстояние   между   порожками   относится   к   соседнему,   меньшему,   как   корень
двенадцатой степени из двух относится к единице.
           Но проблемы все – таки остались. До сих пор музыканты с особо тонким слухом
чувствуют   неточность   настройки,   их   не   удовлетворяет   отсутствие   строгой   чистоты
звучания многих инструментов. Известно, как мучился композитор Александр Скрябин, не
находя в строе рояля чистых квинт, терций и других интервалов. Русский композитор и
музыкальный критик прошлого века Владимир Одоевский даже заказал себе рояль в октаве
которого было не 12, а 17 клавиш. Этот рояль сейчас  находится в московском Музее
музыкальной культуры имени М.И. Глинки.

 Компромиссным   остался   и   строй   оркестра.   Фортепиано,   челеста,   ксилофон
настраиваются   по   Веркмейстеру.   Медные   духовые   инструменты   играют   в   натуральном
строе.   Композиторы,   поручая   им   ту   или   иную   партию,   учитывают   те   звуки,   которые
особенно заметно расходятся с нынешним музыкальным строем.
         Настройка   гитары,   домры,   мандолины   –   проблема   для   музыканта.   Эти   и   другие
инструменты с порожками на грифе нельзя настроить абсолютно верно, потому что струны
между собой должны настраиваться чисто, а порожки в гиф врезаются по Веркмейстеру.
Например, звук на прижатой к пятому порожку второй струне на классической гитары,  не вполне соответствует звучанию открытой первой струны, а между тем это один и тот же
звук МИ.
         Математически все тональности равны, но почему – то у многих композиторов есть
любимые.
Заключение
          Музыку любят все. Попробуйте поставить в эту фразу какой – нибудь другой вид
искусства – и аксиома тут же превратиться в теорему.   «Вы любите театр?»  вопрос
закономерный, потому что задающий его заранее знает, каким будет ответ. «Вы любите
музыку?»  вопрос излишний, ибо ответ может быть только один.
     И все – таки аксиома эта не столь бесспорна, как кажется. В наше время любить музыку
стало   слишком   легко,   а   легкая   любовь   –   еще   не   любовь.   Театрал   вынужден   заранее
заботиться   о   билетах,   потом   собираться   идти   в   театр.   Любитель   живописи,   чтобы
посмотреть картины, отправляется в музей или в художественный салон, и хорошо, если
при этом ему не приходиться выстаивать длинную очередь. А музыка – вот она, рядом,
достаточно включить приемник или телевизор. Театр по телевизору, даже по цветному, не
театр, и живопись не живопись, а музыка и так хороша, тут главное звук, а не изображение.
Есть еще проигрыватели, магнитофоны – вон сколько возможностей. Кое – кто утверждает,
что   слушать   музыку   дома   даже   лучше,   чем   в   зале:   никто   не   шепчется,   не   шуршит
конфетными   бумажками,   не   кашляет,   не   скрипит   креслами.   И   если   у   вас,   вдобавок
современная стереофоническая аппаратура.
         Да,   это   так.   Радиотехника   открыла   нам   новые   пути   к   музыкальному   искусству,
позволила слушать музыку каждый день. Но вот что кажется странным: теперь мы гораздо
чаще говорим об аппаратах, которые воспроизводят записанный звук, чем об инструментах,
которые в руках человека  этот звук создают. Мы лучше знаем характеристики  разных
магнитофонов,   проигрывателей,   усилителей,   акустических   колонок,   чем   достоинства   и
недостатки музыкальных инструментов. Да что там достоинства и недостатки – мы не
всегда отличаем один инструмент от другого. Исполнение музыки отдалилось во времени и
пространстве,   а   на   расстоянии   не   мудрено   спутать   флейту   с   кларнетом   или   гобой   с
английским рожком.
      Оказывается, музыка подчинена физическим законам и математическим формулам.
Литература:
1. Газарян С.С. В мире музыкальных инструментов. Кн. для учащихся ст. классов. –
М.: Просвещение, 1985. – 223с., ил.
2. Энциклопедия для детей. Т. 7. Искусство. Ч. 1. – Э68е изд., испр./Глав. Ред. М.Д.
Аксенова. – М..6 Аванта +, 2001. – 688 с.: ил.
3. Энциклопедический  словарь юного музыканта Э68/сост. В.В. Медушевский,  О.О.
Очаковская. – М.: Педагогика, 1985. – 352с., ил.
4. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Музыка /авт. А.С. Кленов. Под общей ред.
О.Г. Хинн. – М.: ООО Фирма «Издательство АСТ», 1999. – 464с.

intro:
Нынешние школьники прекрасно осведомлены о репертуаре современных певцов и групп, они с  восторгом слушают песни -  «однодневки» с примитивным текстом и гармонией. Но о классической музыке пошлого и настоящего имеют смутное представление. Школьники часто совершенно не сведущи в сфере музыкального искусства: не имеют представления о сущности важнейших направлений в музыке, о произведениях и композиторах.
   Создается впечатление, что в новом мире, мире электроники. Современной техники старое музыкальное искусство не может претендовать на более или менее видное место. А ведь музыка обладает могучим эмоциональным воздействием, она пробуждает в человеке чувства, делает его выше, чище, лучше, так как, в подавляющем большинстве она предполагает положительного героя, возвышенные эмоции. Музыка стремится воплотить этико – эстетический идеал -  в этом ее особенность воздействия на человека. В этом и актуальность моего исследования.
   Цель:
подойти к художественному пониманию мира через арифметический подход к музыкальному искусству.
Задачи исследования:
•	Развитие чувственной и эмоциональной сфер;
•	Обретение способности открывать совершенные формы в действительности и искусстве, познать его законы и опираться на них в оценивании явлений жизни и в своей личной практике.
Гипотеза: в подсознании человека скрыта потребность в создании искусства, требующая каждодневной реализации и удовлетворения. Следовательно, музыка может послужить той силой, которая извлечет из недр подсознания эту скрытую потребность в искусстве, развить задатки и способности, проявить свое творчество.
   Объект исследования: арифметика в музыке.
   Предмет исследования: энциклопедии, словари, художественная и научная литература, периодическая печать, тезисы из Интернета.
Методы исследования:
•	Изучение, обработка и анализ документов;
•	Метод моделирования;
•	Метод проблемно – поисковых ситуаций.
   Методологической основой работы является труд С. Газаряна «В мире музыкальных инструментов» в котором автор знакомит нас с историей появления музыкальных инструментов, их устройством, физическими основами звучания.
   Постоянным источником размышлений стали взгляды и убеждения Годфрида Лейбница, Пифагора.

title: Исследовательская работа. Тема: Музыкальная арифметика


extracted_text:
Учебнотематическое планирование
по математике
Классы  8
Учитель _____________________________
Количество часов
Всего 175 часов; в неделю 5 часов , из них 3 часа в неделю алгебра и 2 часа в неделю  геометрия
Плановых контрольных уроков  14
Планирование   составлено   на   основе
 Федерального   компонента   государственного   стандарта   общего   образования   в   области   математики,
утвержденного приказом МО РФ №1089 от 5.03.2004 года, Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика 511 классы.
/Составители Г.М.Кузнецова, Н.Г.Миндюк. Дрофа, М., 2004. и авторских программ А. Г. Мордковича и Л.С.Атанасян
Учебники
1. «Алгебра 8. Часть 1. Учебник», А. Г. Мордкович, «Мнемозина», М., 2010
2. «Алгебра 8. Часть 2. Задачник», А. Г. Мордкович и др., «Мнемозина», М., 2010
3. «Геометрия 79», Атанасян Л. С. И др., «Просвещение», М.,2009.
Дополнительная литература
1. «Алгебра 8. Контрольные работы»,  Л.А. Александрова, «Мнемозина», М., 2009
2.
3. «Алгебра 79. Контрольные работы»,  А.Г. Мордкович, «Мнемозина», М., 2013
4. Мордкович  А. Г. Алгебра: тесты для 7–9 классов общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Е. Е. Тульчинская. – М.: Мнемозина,
 «Алгебра 8. Самостоятельные работы»,  Л.А. Александрова, «Мнемозина», М., 2009
2009.
5. Артюнян Е. Б., Волович М. Б., Глазков Ю. А., Левитас Г. Г. Математические диктанты для 59 классов. – М.: Просвещение, 1991
6. Н.Ф. Гаврилова Поурочные разработки по геометрии 8 класс. – Москва: «ВАКО», 2004.
7. Буланова Л. М., Дудницын Ю. П. Проверочные задания по математике для учащихся 58 и 10 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1992.
8. Зив Б. Г., Мейлер В. М. Дидактические материалы по геометрии за 8 класс. – М.: Просвещение, 2005
9. Математика: еженедельное приложение к газете «Первое сентября».
10. «Алгебра 78 класс. Тесты для промежуточной аттестации», Ф.Ф. Лысенко, «Легион», РотовнаДону, 2008 11. «Геометрия 79. Тестобучающая программа (учебнометодическое пособие», Хамитов Р.Г., «ТерраКонсалтинг», Казань, 2001
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Рабочая программа по математике составлена на основе:
 Федерального компонента государственного стандарта общего образования в области математики, утвержденного приказом МО РФ №1089
от 5.03.2004 года
 Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика 511 классы. /Составители Г.М.Кузнецова, Н.Г.Миндюк. Дрофа,
М., 2004.
 Рабочая программа по математике соответствует федеральному компоненту стандарта образования основного общего образования и
базисному учебному плану МОУ «Гимназия №»
 Авторских программ по линии А. Г. Мордковича, Ф.Л.Александровой
Цели обучения математики в общеобразовательной школе определяются ее ролью в развитии общества в целом и формировании личности
каждого отдельного человека.
Программой отводится на изучение алгебры по 3 урока в неделю, что составляет 105 часов в учебный год.  На обобщающее повторение в 8
классе по алгебре в конце года 13 часов, 3 часа «Простейшие комбинаторные задачи. Организованный перебор вариантов. Дерево вариантов», а
остальные часы распределены по всем темам.
 В рабочей программе предусмотрено 9 контрольных работ, которые распределены по разделам следующим образом: «Алгебраические дроби» 2
у   » 2 часа, «Квадратные уравнения» 2 часа,
часа, «Функция у = х  . Свойства квадратного корня» 1 час, «Квадратичная функция. Функция
k
x
«Неравенства» 1 час и 1 час итоговая контрольная работа.
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА.
Алгебра 8.
(«Алгебра 8 класс», автор А.Г.Мордкович и др., Мнемозина, 2010 г.)
1. Алгебраические дроби (21ч.)
2. Функция у = х  . Свойства квадратного корня (17 ч)
3. Квадратичная функция. Функция
у   (15 ч.)
k
x
4. Квадратные уравнения (21 ч.)
5. Неравенства (15 ч.)
6. Простейшие комбинаторные задачи. Организованный перебор вариантов. Дерево вариантов (3 ч)
7. Обобщающее повторение курса алгебры за 8 класс  (13 ч.) Данное планирование определяет достаточный объем учебного времени для повышения математических знаний учащихся в среднем звене школы,
улучшения усвоения других учебных предметов.
    Математическое образование в основной школе складывается из следующих содержательных компонентов: арифметика; алгебра; геометрия;
элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики. В своей совокупности они отражают богатый опыт обучения математике
в нашей стране, учитывают современные тенденции отечественной и зарубежной школы и позволяют реализовать поставленные перед школьным
образованием цели на информационном и практически значимом материале. Эти содержательные компоненты, развиваясь на протяжении всех лет
обучения, естественным образом переплетаются и взаимодействуют в учебных курсах.
    Таким образом, в ходе освоения содержания курса учащиеся получают возможность:






развить  представление о месте и роли вычислений в человеческой практике; сформировать практические навыки выполнения устных,
письменных, инструментальных вычислений, развить вычислительную культуру;
овладеть символическим языком алгебры, выработать формальнооперативные алгебраические умения и научиться применять их к решению
математических и нематематических задач;
изучить свойства и графики элементарных функций, научиться использовать функциональнографические представления для описания и
анализа реальных зависимостей;
развить  пространственные представления и изобразительные умения, освоить основные факты и методы планиметрии, познакомиться с
простейшими пространственными телами и их свойствами;
получить представления о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, об особенностях выводов
и прогнозов, носящих вероятностный характер;
развить  логическое мышление  и речь – умение логически обосновывать суждения, приводить примеры и контрпримеры, использовать
различные языки математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;
Цели обучения математике:


овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных
дисциплин, продолжения образования;
интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе,
свойственных   математической   деятельности:   ясности   и   точности   мысли,   критичности   мышления,   интуиции,   логического   мышления,
элементов алгоритмической культуры, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей;
 формирование представлений  об идеях и методах математики  как универсального  языка науки и техники,  средства моделирования

явлений и процессов;
воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном
развитии. Требования к уровню подготовки учащихся 8 классов
Учащиеся должны знать/понимать:
– значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения
математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
–  значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития
понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;
–  универсальный   характер   законов   логики   математических   рассуждений,   их   применимость   во   всех   областях   человеческой   деятельности;
вероятностный характер различных процессов окружающего мира;
должны уметь:
–  выполнять   арифметические   действия,   сочетая   устные   и   письменные   приемы;   находить   значения   корня   натуральной   степени,   степени   с
рациональным  показателем,   используя  при  необходимости  вычислительные  устройства;   пользоваться  оценкой  и  прикидкой  при  практических
расчетах;
– составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять
соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные;
–  выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и алгебраическими дробями; выполнять разложение
многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;
–  применять   свойства   арифметических   квадратов   корней   для   вычисления   значений   и   преобразований   числовых   выражений,   содержащих
квадратные корни;
–  решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные
нелинейные уравнения;
– решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы;
–  решать   текстовые   задачи   алгебраическим   методом,   интерпретировать   полученный   результат,   проводить   отбор   решений,   исходя   из
формулировки задачи;
– изображать числа точками на координатной прямой;
– определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами; изображать множество решений линейного неравенства;
– находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по её аргументу; находить значения аргумента по значению функции,
заданной графиком или таблицей;
– описывать свойства изученных функций, строить их графики;
– извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики;
– решать комбинаторные задачи путём систематического перебора возможных вариантов и с использованием правила умножения;
– вычислять средние значения результатов измерений; – находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;
– находить вероятности случайных событий в простейших случаях;
владеть компетенциями: познавательной, коммуникативной, информационной и рефлексивной;
решать следующие жизненнопрактические задачи:
– самостоятельно приобретать и применять знания в различных ситуациях;
– работать в группах;
– аргументировать и отстаивать свою точку зрения;
– уметь слушать других; извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа объектов;
– пользоваться предметным указателем энциклопедий и справочников для нахождения информации;
– самостоятельно действовать в ситуации неопределённости при решении актуальных для них проблем
           Для обеспечения  плодотворного  учебного процесса  предполагается  использование  информации   и  материалов   следующих  интернет
ресурсов:
Министерство образования РФ: http://www.informika.ru/; http://www.ed.gov.ru/; http://www.edu.ru/.
Тестирование online: 5–11 классы: http://www.kokch.kts.ru/cdo/.
Педагогическая мастерская, уроки в Интернет и многое другое: http://teacher.fio.ru.
Новые технологии в образовании: http://edu.secna.ru/main/.
Путеводитель «В мире науки» для школьников: http://www.uic.ssu.samara.ru/~nauka/.
Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия: http://mega.km.ru.
Сайты «Мир энциклопедий», например: http://www.rubricon.ru/; http://www.encyclopedia.ru/ №
Тема урока
Колво
часов
Виды деятельности учащихся
Планируемый результат
Дата проведения
по
по плану
факту
1
2
3
4
5
6
Основные понятия
Основное свойство
алгебраической дроби
Основное свойство
алгебраической дроби
Сложение и вычитание
алгебраических дробей с
одинаковыми знаменателями
Сложение и вычитание
алгебраических дробей с
одинаковыми знаменателями
Сложение и вычитание
алгебраических дробей с разными
знаменателями
1
1
1
1
1
1
Алгебраические дроби (21 ч)
Фронтальная работа, работа
на доске и в тетрадях
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях,
работа с учебником
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях,
работа с учебником
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях,
работа с учебником
Самостоятельная работа
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях,
работа с учебником
Иметь представление о числителе,
знаменателе алгебраической дроби,
значении алгебраической дроби и о
значении переменной, при которой
алгебраическая дробь не имеет смысла
Иметь представление об основном
свойстве алгебраической дроби, о
действиях: сокращение дробей, приведение
дроби к общему знаменателю.
Уметь применять основное свойство дроби
при преобразовании алгебраических дробей
и их сокращении; находить значение дроби
при заданном значении переменной
Иметь представление о сложении и
вычитании дробей с одинаковыми
знаменателями.
Знать алгоритм сложения и вычитания
дробей с одинаковыми знаменателями.
Уметь складывать и вычитать дроби с
одинаковыми знаменателями; находить
общий знаменатель нескольких дробей
Иметь представление о наименьшем общем
знаменателе, о дополнительном множителе,
о выполнении действия сложения и
вычитания дробей с разными
знаменателями 7
8
9
10
11
12
13
14
15
Сложение и вычитание
алгебраических дробей с разными
знаменателями
Сложение и вычитание
алгебраических дробей с разными
знаменателями
Сложение и вычитание
алгебраических дробей с разными
знаменателями
Контрольная работа 1
«Сложение и вычитание
алгебраических дробей»
Умножение и деление
алгебраических дробей.
Возведение алгебраической дроби
в степень
Умножение и деление
алгебраических дробей.
Возведение алгебраической дроби
в степень
Преобразование рациональных
выражений
Преобразование рациональных
выражений
Преобразование рациональных
выражений
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Самостоятельная работа
Индивидуальная работа
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях,
работа с учебником
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Самостоятельная работа
Фронтальная и
индивидуальная работа:
Знать алгоритм сложения и вычитания
дробей с разными знаменателями. Уметь
находить общий знаменатель нескольких
дробей
Знать алгоритм сложения и вычитания
дробей с разными знаменателями. Уметь
находить общий знаменатель нескольких
дробей
Знать алгоритм сложения и вычитания
дробей с разными знаменателями. Уметь
находить общий знаменатель нескольких
дробей
Уметь  расширять и обобщать знания об
упрощении выражений, сложении и
вычитании алгебраических дробей с
разными знаменателями; владеть навыками
контроля и оценки своей деятельности
Иметь представление об умножении и
делении алгебраических дробей,
возведении их в степень.
Уметь  пользоваться
алгоритмами умножения и деления дробей,
возведения дроби в степень, упрощая
выражения; – развернуто обосновывать
суждения
Иметь представление о преобразовании
рациональных выражений, используя все
действия с алгебраическими дробями.
Знать, как преобразовывают рациональные
выражения, используя все действия с
алгебраическими дробями.
Уметь преобразовывать рациональные 16
17
18
19
20
21
Первые представления о
рациональных уравнениях
Первые представления о
рациональных уравнениях
Первые представления о
рациональных уравнениях
Степень с отрицательным целым
показателем
Степень с отрицательным целым
показателем
Контрольная работа 2
«Алгебраические дроби»
22
Рациональные числа
1
1
1
1
1
1
1
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях,
работа с учебником
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Самостоятельная работа
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Индивидуальная работа
выражения, используя все действия с
алгебраическими дробями
Иметь представление о рациональных
уравнениях, об освобождении от
знаменателя при решении уравнений.
Иметь представление о составлении
математической модели реальной
ситуации. Уметь решать проблемные
задачи
и ситуации
Уметь решать рациональные уравнения и
составлять математические модели
реальных ситуаций
Иметь представление о степени с
натуральным показателем, о степени с
отрицательным показателем, умножении,
делении и возведении в степень степени
числа
Уметь  упрощать выражения, используя
определение степени с отрицательным
показателем и свойства степени
Уметь  расширять и обобщать знания об
упрощении выражений, сложении и
вычитании, умножении и делении
алгебраических дробей с разными
знаменателями; владеть навыками
контроля и оценки своей деятельности
Функция у = х  . Свойства квадратного корня (17 ч)
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях,
работа с учебником
Знать понятие рациональные числа,
бесконечная десятичная периодическая
дробь. Уметь определять понятия,
приводить доказательства 23
Рациональные числа
24
25
Понятие квадратного корня из
неотрицательного числа
Понятие квадратного корня из
неотрицательного числа
26
Иррациональные числа
1
1
1
1
27 Множество действительных чисел 1
28
29
30
Функция  у = х ,  ее свойства и
график
Функция  у = х ,  ее свойства и
график
Свойства квадратных корней
31
Свойства квадратных корней
1
1
1
1
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях,
работа с учебником
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Самостоятельная работа
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Самостоятельная работа
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Самостоятельная работа
Знать понятие рациональные числа,
бесконечная десятичная периодическая
дробь. Уметь определять понятия,
приводить доказательства
Знать действительные и иррациональные
числа. Уметь извлекать квадратные корни
из неотрицательного числа
Знать действительные и иррациональные
числа. Уметь извлекать квадратные корни
из неотрицательного числа
Иметь представление о понятии
иррациональное число. Уметь объяснить
изученные положения на самостоятельно
подобранных конкретных примерах
Знать о делимости целых чисел; о делении
с остатком. Уметь решать задачи с
целочисленными неизвестными
Уметь строить график функции у = х ,
знать её свойства; привести примеры
Знать свойства квадратных корней. Уметь
применять данные свойства корней при
нахождении значения выражений
Уметь применять свойства квадратных
корней для упрощения выражений и
вычисления корней; формировать вопросы,
задачи 32
33
34
35
36
Преобразование выражений,
содержащих операцию извлечения
квадратного корня
Преобразование выражений,
содержащих операцию извлечения
квадратного корня
Преобразование выражений,
содержащих операцию извлечения
квадратного корня
Преобразование выражений,
содержащих операцию извлечения
квадратного корня
 Контрольная работа № 3
«Функция у = х . Свойства
квадратного корня»
37 Модуль действительного числа
38 Модуль действительного числа
39
40
Функция  y= kx2, ее свойства и
график
Функция y = kx2, ее свойства и
график
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Самостоятельная работа
Индивидуальная работа
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Квадратичная функция. Функция
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях,
работа с учебником
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Иметь представление о преобразовании
выражений, об операциях извлечения
квадратного корня и освобождении от
иррациональности в знаменателе
Знать о преобразовании выражений, об
операциях извлечения квадратного корня и
освобождение от иррациональности в
знаменателе.
Уметь выполнять преобразования,
содержащие операцию извлечения корня,
освобождаться от иррациональности в
знаменателе
Уметь  расширять и обобщать знания о
преобразовании выражений, содержащих
операцию извлечения квадратного корня,
применяя свойства квадратных корней
Иметь представление об определении
модуля действительного числа. Уметь
применять свойства модуля
Знать определение модуля
действительного числа. Уметь: применять
свойства модуля
у     ( 15 часов)
Иметь представления о функции вида y=
kx2, о ее графике и свойствах.
k
x
Знать свойства функции и их описание по
графику построенной функции. Уметь
строить график функции y = kx2) 41
42
43
44
45
46
47
48
49
у  ,ее свойства и
k
x
у  ,ее свойства и
k
x
Функция
график
Функция
график
у   и
2kx
Контрольная работа 4
«Функции
у  »
Как построить график функции
y = f(x + l), если известен график
функции y = f(x)
k
x
Как построить график функции
y = f(x) + m, если известен график
функции y = f(x)
Как построить график функции
y = f(x + l) + m, если известен
график функции y = f(x)
Как построить график функции
y = f(x + l) +m, если известен
график функции y = f(x)
Как построить график функции
y = f(x + l) +m, если известен
график функции y = f(x)
Функция y =
= ax2 + bx + c, ее свойства и
график
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях,
работа с учебником
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Самостоятельная работа.
Индивидуальная работа
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях,
работа с учебником
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях,
работа с учебником
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Самостоятельная работа
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Иметь представления о функции вида
у  , о ее графике и свойствах.
k
x
Знать свойства функции и их описание по
графику построенной функции. Уметь
строить график функции
Знать свойства функций и их описание по
графику построенной функции. Уметь
строить графики функции
Иметь представление, как с помощью
параллельного переноса вправо или влево
построить график функции
y = f(x + l).
Иметь представление, как с помощью
параллельного переноса вверх или вниз
построить график функции y = f(x) + m.
Иметь представление, как с помощью
параллельного переноса вверх или вниз
построить график функции y = f(x + l) + m.
Уметь строить график функции вида y =
f(x + l) + m, описывать свойства функции
по ее графику
Иметь представление о функции
y = ax2 + bx + c, о ее графике и свойствах. 50
51
52
53
Функция y =
= ax2 + bx + c, ее свойства и
график
Функция y =
= ax2 + bx + c, ее свойства и
график
Графическое решение квадратных
уравнений
Контрольная работа 5
«Квадратичная функция.
Функция
у  »
k
x
54
Основные понятия
55
Основные понятия
56
Формулы корней
квадратного уравнения
1
1
1
1
1
1
1
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Самостоятельная работа
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Работа в парах.
Индивидуальная работа
Уметь строить графики, заданные
таблично и формулой
Уметь строить график функции
y = ax2 + bx + c, описывать свойства по
графику
Знать способы решения квадратных
уравнений, применять на практике.
Уметь  расширять и обобщать знания об
использовании алгоритма построения
графика функции y = f(x + l) + m; владеть
навыками контроля и оценки своей
деятельности
Квадратные  уравнения (21 ч)
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях,
работа с учебником
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Работа в парах.
Иметь представление о полном и неполном
квадратном уравнении, о решении
неполного квадратного уравнения.
Уметь решать неполные квадратные
уравнения и полные квадратные уравнения,
разложив его левую часть на множители
Иметь представление о дискриминанте
квадратного уравнения, формулах корней
квадратного уравнения, об алгоритме
решения квадратного уравнения 57
Формулы корней квадратного
уравнения
58
Формулы корней квадратного
уравнения
59
Рациональные уравнения
60
61
62
63
64
65
Рациональные уравнения
Рациональные уравнения
Контрольная работа №6
«Формулы корней квадратного
уравнения»
Рациональные уравнения как
математические модели реальных
ситуаций
Рациональные уравнения как
математические модели реальных
ситуаций
Рациональные уравнения как
математические модели реальных
ситуаций
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Знать алгоритм вычисления корней
квадратного уравнения, используя
дискриминант. Уметь решать квадратные
уравнения по алгоритму, привести
примеры, подобрать аргументы,
сформулировать выводы
Уметь  решать квадратные уравнения по
формулам корней квадратного уравнения
через дискриминант
Иметь представление о рациональных
уравнениях и об их решении. Знать
алгоритм решения рациональных
уравнений.
Уметь  решать рациональные уравнения по
заданному алгоритму и методом введения
новой переменной;  формировать вопросы,
задачи
Уметь  решать квадратные уравнения по
формулам корней квадратного уравнения
через дискриминант, решать рациональные
уравнения
Иметь представление о рациональных
уравнениях и об их решении. Знать
алгоритм решения рациональных
уравнений.
Уметь решать рациональные уравнения по
заданному алгоритму и методом введения
новой переменной
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Самостоятельная работа.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Самостоятельная работа.
Индивидуальная работа
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Работа с учебником.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях. 66
67
Рациональные уравнения как
математические модели реальных
ситуаций
Частные случаи формулы корней
квадратного уравнения
68
Частные случаи формулы корней
квадратного уравнения
69
Теорема Виета
70
Теорема Виета
71
Контрольная работа  №7
«Квадратные уравнения»
72
Иррациональные уравнения
1
1
1
1
1
1
1
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Самостоятельная работа
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Самостоятельная работа.
Индивидуальная работа
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Уметь  решать задачи на числа, выделяя
основные этапы математического
моделирования
Знать алгоритм вычисления корней
квадратного уравнения с четным вторым
коэффициентом, используя дискриминант.
Уметь решать квадратные уравнения с
четным вторым коэффициентом по
алгоритму
Уметь решать квадратные уравнения с
четным вторым коэффициентом по
формулам корней квадратного уравнения с
четным вторым коэффициентом через
дискриминант
Иметь представление о теореме Виета и об
обратной теореме Виета, о симметрических
выражениях с двумя переменными.
Уметь  применять теорему Виета и
обратную теорему Виета, решая
квадратные уравнения
Уметь расширять и обобщать знания о
разложении квадратного трехчлена на
множители,
о решении квадратного уравнения по
формулам корней квадратного уравнения
Иметь представление об иррациональных
уравнениях, о равносильных уравнениях, о
равносильных преобразованиях уравнений,
о неравносильных преобразованиях
уравнения 73
Иррациональные уравнения
74
Иррациональные уравнения
75
Свойства числовых неравенств
76
77
78
79
80
Свойства числовых неравенств
Свойства числовых неравенств
Исследование функции на
монотонность
Исследование функции на
монотонность
Исследование функции на
монотонность
81
Решение линейных неравенств
82
Решение линейных неравенств
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Уметь  решать иррациональные уравнения
методом возведения  в квадрат обеих
частей уравнения, применяя свойства
равносильных преобразований
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Работа в парах.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Самостоятельная работа.
Неравенства  (15 ч)
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Самостоятельная работа
Знать свойства числовых неравенств.
Иметь представление о неравенстве
одинакового смысла, противоположного
смысла, о среднем арифметическом и
геометрическом, о неравенстве Коши
Уметь применять свойства числовых
неравенств и неравенство Коши при
доказательстве числовых неравенств
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Иметь представление о возрастающей,
убывающей, монотонной функции на
промежутке.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Самостоятельная работа
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Уметь построить и исследовать
на монотонность функции: линейную,
квадратную, обратной
пропорциональности, функцию корень
Иметь представление о неравенстве с
переменной, о системе линейных
неравенств, пересечении решений
неравенств системы.
Уметь  решать неравенства с переменной и
системы неравенств с переменной 83
Решение квадратных неравенств
1
84
85
86
87
88
Решение квадратных неравенств
Решение квадратных неравенств
Решение квадратных неравенств
Контрольная работа 8
«Неравенства»
Приближенные значения
действительных чисел
89
Стандартный вид числа
1
1
1
1
1
1
Самостоятельная работа.
Работа в парах.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Индивидуальная работа
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Иметь представление о квадратном
неравенстве, о знаке объединения
множеств, об алгоритме решения
квадратного неравенства, о методе
интервалов.
Уметь  решать квадратные неравенства по
алгоритму и методом интервалов
Уметь  решать квадратные неравенства по
алгоритму и методом интервалов
Знать о приближенном значении по
недостатку, по избытку, об округлении
чисел, о погрешности приближения,
абсолютной и относительной
погрешностях.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Знать о стандартном виде положительного
числа, о порядке числа, о записи числа в
стандартной форме
Простейшие комбинаторные задачи. Организованный перебор вариантов. Дерево вариантов (3 ч)
90
91
Простейшие комбинаторные
задачи. Организованный перебор
вариантов. Дерево вариантов
Простейшие комбинаторные
задачи. Организованный перебор
вариантов. Дерево вариантов
1
1
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях. 92
Простейшие комбинаторные
задачи. Организованный перебор
вариантов. Дерево вариантов
93
Алгебраические дроби
94
Рациональные уравнения
95
Квадратные уравнения
96
Квадратичная функция
97
Неравенства
98
Контрольная работа №9
(итоговая)
99
Решение тестовых заданий
100
Решение тестовых заданий
101
Решение тестовых заданий
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Обобщающее повторение курса алгебры за 8 класс  (13 ч)
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Индивидуальная работа
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
Уметь применять основное свойство дроби
при преобразовании алгебраических дробей
и их сокращении;  находить значение дроби
при заданном значении переменной
Уметь преобразовывать рациональные
выражения, используя все действия с
алгебраическими дробями
Уметь решать квадратные уравнения по
формулам корней квадратного уравнения
через дискриминант
Знать свойства функций и их описание по
графику построенной функции. Уметь
строить графики функции
Иметь представление о решении линейных
и квадратных неравенств с одной
переменной. Знать, как проводить
исследование функции на монотонность.
Уметь  обобщать и систематизировать
знания по основным темам курса алгебры 8
класса; владеть навыками самоанализа и
самоконтроля
Уметь  обобщать и систематизировать
знания по основным темам курса алгебры 8
класса
Уметь  обобщать и систематизировать
знания по основным темам курса алгебры 8
класса
Уметь  обобщать и систематизировать
знания по основным темам курса алгебры 8 102
Решение тестовых заданий
103
Решение тестовых заданий
104
Решение тестовых заданий
105
Решение тестовых заданий
1
1
1
1
работа на доске и в тетрадях.
класса
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Уметь  обобщать и систематизировать
знания по основным темам курса алгебры 8
класса
Уметь  обобщать и систематизировать
знания по основным темам курса алгебры 8
класса
Уметь  обобщать и систематизировать
знания по основным темам курса алгебры 8
класса
Уметь  обобщать и систематизировать
знания по основным темам курса алгебры 8
класса
Пояснительная записка
Рабочая программа по математике составлена на основе:
 Федерального компонента государственного стандарта общего образования в области математики, утвержденного приказом МО РФ №1089
от 5.03.2004 года
 Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика 511 классы. /Составители Г.М.Кузнецова, Н.Г.Миндюк. Дрофа,
М., 2004.
 Рабочая программа по математике соответствует федеральному компоненту стандарта образования основного общего образования и
базисному учебному плану МОУ «Гимназия №6»
 Авторских программ  по линии Л. С.Атанасян, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняк, И. И. Юдиной.
Цели обучения математики в общеобразовательной школе определяются ее ролью в развитии общества в целом и формировании личности
каждого отдельного человека. Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования. Она необходима для приобретения
конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, развития
пространственного воображения и интуиции, математической культуры, эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в
развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства.
Программа направлена на достижение следующих целей:
овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения практической деятельности изучения смежных дисциплин,
продолжения образования;
интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и
точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений; формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и
процессов;
воспитание культуры личности, отношения к математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно
технического прогресса;
развитие представлений о полной картине мира, о взаимосвязи математики с другими предметами.
В курсе геометрии 8го класса продолжается решение задач на признаки равенства треугольников, но в совокупности с применением новых
теоретических факторов. Теореме о сумме углов выпуклого многоугольника позволяет расширить класс задач. Формируется практические навыки
вычисления площадей многоугольников в ходе решения задач. Особое внимание уделяется применению подобия треугольников к доказательствам
теорем и решению задач. Даются первые знания о синусе, косинусе и тангенсе острого угла прямоугольного треугольника. Даются учащимся
систематизированные сведения об окружности и её свойствах, вписанной и описанной окружностях. Серьезное внимание уделяется формированию
умений рассуждать, делать простые доказательства, давать обоснования выполняемых действий. Параллельно закладываются основы для изучения
систематических курсов стереометрии, физики, химии и других смежных предметов.
Программой отводится на изучение геометрии по 2 урока в неделю, что составляет 70 часов в учебный год. Из них контрольных работ 5 часов,
которые распределены по разделам следующим образом: «Четырехугольники» 1 час, «Площадь» 1 час, «Подобие треугольников» 2 часа,
«Окружность» 1 час.
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА.
(«Геометрия 79 классы», автор Л.С.Атанасян и др., 2009 г.)
Геометрия 8.
1.Четырехугольники (14 ч)
2.П л о щ а д ь ( 1 4   ч )
3.П о д о б н ы е   т р е у г о л ь н и к и   ( 2 0   ч )
4 . О к р у ж н о с т ь   ( 1 5   ч )
5 . П о в т о р е н и е ( 7 ч )
Данное планирование определяет достаточный объем учебного времени для повышения математических знаний учащихся в среднем звене школы,
улучшения усвоения других учебных предметов.
Количество часов по темам изменено в связи со сложностью тем.
Промежуточная аттестация проводится в форме тестов, самостоятельных, проверочных работ и математических диктантов (по 10  15 минут) в
конце логически законченных блоков учебного материала. Итоговая аттестация предусмотрена в виде контрольной работы.
Требования к уровню подготовки учащихся.
В результате изучения курса геометрии 8го класса учащиеся должны уметь:
пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира;
распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;
изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразование фигур; вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей), в том числе: определять значение тригонометрических функций по заданным
значениям углов; находить значения тригонометрических функций по значению одной из них; находить стороны, углы и площади треугольников,
дуг окружности, площадей основных геометрических фигур и фигур, составленных из них;
решать геометрические задания, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения,
алгебраический и тригонометрический аппарат, соображения симметрии;
проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;
решать простейшие планиметрические задачи в пространстве.
№
Тема урока
Колво
часов
Виды деятельности учащихся
Планируемый результат
Дата проведения
по плану по
факту
1
2
3
Многоугольники
Многоугольники
Параллелограмм
Четырехугольники (14 ч)
1
1
1
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
З н а т ь :  определение многоугольника,
выпуклого многоугольника, формулу
суммы углов выпуклого многоугольника.
У м е т ь :  распознавать на чертежах
многоугольники и выпуклые
многоугольники, используя определение
З н а т ь :  формулу суммы углов
многоугольника. У м е т ь :  применять
формулу суммы углов выпуклого
многоугольника при нахождении элементов
многоугольника
З н а т ь :  определение параллелограмма и
его свойства. У м е т ь :  распознавать на
чертежах среди четырехугольников 4
5
6
7
8
9
Признаки параллелограмма
Признаки параллелограмма
Трапеция
Теорема Фалеса
Задачи на построение
Прямоугольник
10
Ромб, квадрат
11
Прямоугольник. Ромб. Квадрат.
(Решение задач)
1
1
1
1
1
1
1
1
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях.
Самостоятельная работа.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Решение задач по готовым
чертежам
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Знать: формулировки свойств и признаков
параллелограмма. Уметь: доказывать, что
данный четырехугольник является
параллелограммом
З н а т ь :  определение, признаки и свойства
параллелограмма. У м е т ь :  выполнять
чертежи по условию задачи, находить углы
и стороны параллелограмма, используя
свойства углов и сторон
З н а т ь :  определение трапеции, свойства
равнобедренной трапеции. У м е т ь :
распознавать трапецию, ее элементы, виды
на чертежах, находить углы и стороны
равнобедренной трапеции, используя ее
свойства
З н а т ь :  формулировку теоремы Фалеса и
основные этапы ее доказательства.
У м е т ь :  применять теорему в процессе
решения задач
З н а т ь :  основные типы задач на
построение. У м е т ь :  делить отрезок на п
равных частей, выполнять необходимые
построения
Знать: определение прямоугольника, его
элементы, свойства и признаки.
Уметь: распознавать на чертежах, находить
стороны, используя свойства углов и
диагоналей
Знать: определение ромба, квадрата как ча
стных видов параллелограмма.
Уметь: распознавать и изображать ромб,
квадрат, находить стороны и углы,
используя свойства
Знать: определение прямоугольника,
ромба, квадрата как частных видов
параллелограмма.
Уметь: распознавать и изображать
прямоугольник, ромб, квадрат, находить 12
13
14
15
16
17
18
Осевая и центральная симметрия
Решение задач по теме
«Четырехугольники»
Контрольная работа № 1 по
теме:
«Четырехугольники»
Понятие площади
многоугольника
Площадь квадрата и
прямоугольника
Площадь параллелограмма
Площадь треугольника
19
Площадь треугольника
1
1
1
1
1
1
1
1
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная ,
индивидуальная и
самостоятельная  работа.
И н д и в и д у а л ь н а я
р а б о т а
стороны и углы, используя свойства
Знать: виды симметрии в многоугольниках.
Уметь: строить симметричные точки и
распознавать фигуры, обладающие осевой и
центральной симметрией
Знать: определение, свойства и признаки
прямоугольника, ромба, квадрата. Уметь:
выполнять чертеж по условию задачи,
применять признаки при решении задач
Уметь: находить в прямоугольнике угол
между диагоналями, используя свойство
диагоналей, углы в прямоугольной или
равнобедренной трапеции, используя
свойства трапеции, стороны
параллелограмма
П л о щ а д ь ( 1 4   ч )
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
П р о в е р к а   д о м .
з а д а н и я
Фронтальная,
индивидуальная  и
самостоятельная работа.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная,
индивидуальная  и
самостоятельная работа.
Знать: представление о способе измерения
площади многоугольника, свойства
площадей. Уметь: вычислять площадь
квадрата
Знать: формулы площадей квадрата и
прямоугольника. Уметь: находить площади
квадрата и прямоугольника, используя
формулы
Знать: формулу вычисления площади
параллелограмма
Знать: формулу площади треугольника.
Уметь: доказывать теорему о площади
треугольника, вычислять площадь
треугольника, используя формулу
Знать: формулировку теоремы об
отношении площадей треугольников, 20
Площадь трапеции
21
22
23
24
25
26
27
28
Решение задач на вычисление
площадей фигур
Решение задач на вычисление
площадей фигур
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора
Решение задач по теме «Теорема
Пифагора»
Решение задач по теме «Площадь
многоугольника»
Решение задач по теме «Площадь
многоугольника»
Контрольная работа № 2 по
теме:
«Площадь многоугольника»
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная,
индивидуальная  и
самостоятельная работа.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная,
индивидуальная  и
самостоятельная работа.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
И н д и в и д у а л ь н а я
р а б о т а
имеющих по равному углу.
Уметь: доказывать теорему и применять ее
для решения задач
Знать: формулировку теоремы о площади
трапеции и этапы
ее доказательства. Уметь: находить
площадь трапеции, используя формулу
Уметь: решать задачи на вычисление
площадей. Знать и уметь: выводить
формулы площадей параллелограмма,
трапеции, треугольника
Знать: формулировку теоремы Пифагора,
основные этапы ее доказательства.
Уметь: находить стороны треугольника,
используя теорему Пифагора
Знать: формулировки теоремы Пифагора и
ей обратной. Уметь: выполнять чертеж по
условию задачи, находить элементы
треугольника, используя теорему
Пифагора, определять вид треугольника,
используя теорему, обратную теореме
Пифагора
Уметь: находить площадь треугольника по
известной стороне и высоте, проведенной к
ней. Находить элементы прямоугольного
треугольника, используя теорему
Пифагора. Находить площадь и периметр
ромба по его диагоналям
Уметь: находить площадь треугольника по
известной стороне и высоте, проведенной к
ней. Находить элементы прямоугольного
треугольника, используя теорему
Пифагора. Находить площадь и периметр 29
Определение подобных
треугольников
30
Отношение площадей подобных
фигур
31
Первый признак
подобия треугольников
Первый признак
подобия треугольников
  32
33
34
35
36
Второй и третий
признаки подобия треугольников
Второй и третий
признаки подобия треугольников
Решение задач по
теме: «Признаки
подобия треугольников»
Контрольная работа № 3 по
теме:
«Признаки подобия
треугольников»
ромба по его диагоналям
П о д о б н ы е   т р е у г о л ь н и к и   ( 2 0   ч )
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная,
индивидуальная  и
самостоятельная работа.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная,
индивидуальная  и
самостоятельная работа.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
И н д и в и д у а л ь н а я
р а б о т а
Знать: определение пропорциональных
отрезков подобных треугольников,
свойство биссектрисы треугольника.
Уметь: находить элементы треугольника,
используя свойство биссектрисы о делении
противоположной стороны
Знать: формулировку теоремы об
отношении площадей подобных
треугольников. Уметь: находить
отношения площадей, составлять
уравнения, исходя из условия задачи
Знать: формулировку первого признака
подобия треугольников, основные этапы
его доказательства.
Уметь: доказывать и применять при
решении задач первый признак подобия
треугольников, выполнять чертеж по
условию задачи
Знать: формулировки второго и третьего
признаков подобия треугольников. Уметь:
проводить доказательства признаков,
применять их при решении задач
Уметь: доказывать подобия треугольников
и находить элементы треугольника,
используя признаки подобия
Уметь: находить стороны, углы, отношения
сторон, отношение периметров и площадей
подобных треугольников, используя
1
1
1
1
1
1
1
1 37
Средняя  линия треугольника
38
39
40
41
42
43
Свойство медиан
треугольника
Пропорциональные отрезки в
прямоугольном треугольнике
Пропорциональные отрезки в
прямоугольном треугольнике
Практические приложения
подобия треугольников. Задачи
на построение.
Практические приложения
подобия треугольников. Задачи
на построение.
Практические приложения
подобия треугольников. Задачи
на построение.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная,
индивидуальная  и
самостоятельная работа.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная,
индивидуальная  и
самостоятельная работа.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
1
1
1
1
1
1
1
признаки подобия; доказывать подобия
треугольников, используя наиболее
эффективные признаки подобия
Знать: формулировку теоремы о средней
линии треугольника. Уметь: проводить
доказательство теоремы о средней линии
треугольника, находить среднюю линию
треугольника
Знать: формулировку свойства медиан
треугольника Уметь: находить элементы
треугольника, используя свойство медианы
Знать: понятие среднего пропорционально
го, свойство высоты прямоугольного
треугольника, проведенной из вершины
прямого угла. Уметь: находить элементы
прямоугольного треугольника, используя
свойство высоты
Знать: теоремы о пропорциональности
отрезков в прямоугольном треугольнике.
Уметь: использовать теоремы при решении
задач
Знать: как находить расстояние до
недоступной точки. Уметь: использовать
подобие треугольников в измерительных
работах на местности, описывать реальные
ситуации на языке геометрии
Знать: этапы построений. Уметь: строить
биссектрису, высоту, медиану
треугольника; угол, равный данному;
прямую, параллельную данной
Знать: метод подобия.
Уметь: применять метод подобия при
решении задач
на построение 44
Синус, косинус и тангенс острого
угла прямоугольного
треугольника
45
Значения синуса, косинуса,
тангенса для углов 300, 450, 600
46
Соотношение между сторонами и
углами прямоугольного
треугольника. Решение задач
47
Решение задач по теме
«Подобные треугольники»
48
Контрольная работа № 4 по
теме:
«Применение подобия
треугольников»
1
1
1
1
1
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная,
индивидуальная  и
самостоятельная работа.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
И н д и в и д у а л ь н а я
р а б о т а
Знать: понятие синуса, косинуса, тангенса
острого угла прямоугольного
треугольника. Основное
тригонометрическое тождество. Уметь:
находить значения одной из
тригонометрических функций по значению
другой
Знать: значения синуса, косинуса и
тангенса для углов 30°, 45°, 60°, 90°.
Уметь: определять значения синуса,
косинуса, тангенса по заданному значению
углов
Знать: соотношения между сторонами и
углами прямоугольного треугольника.
Уметь: решать прямоугольные
треугольники, используя определение
синуса, косинуса, тангенса острого угла
Знать и уметь: применять теорию подобия
треугольников, соотношения между
сторонами и углами прямоугольного
треугольника
при решении задач. Уметь: выполнять
чертеж по условию задачи, решать
геометрические задачи с использованием
тригонометрии
Уметь: находить стороны треугольника по
отношению средних линий и периметру.
Решать прямоугольный треугольник,
используя соотношения между сторонами и
углами. Находить стороны треугольника,
используя свойство точки пересечения
медиан
О к р у ж н о с т ь   ( 1 5   ч ) 49
Взаимное расположение прямой и
окружности
50
Касательная к
 окружности
51
Касательная к
 окружности
52
Градусная мера дуги окружности
53
Теорема о вписанном угле
54
55
Теорема об отрезках
пересекающихся хорд
Решение задач по теме
«Центральные и вписанные углы»
1
1
1
1
1
1
1
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная,
индивидуальная  и
самостоятельная работа.
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
 Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
П р о в е р к а   д о м а ш н е г о
з а д а н и я
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная,
индивидуальная  и
самостоятельная работа.
Знать: случаи взаимного расположения
прямой и окружности.
Уметь: определять взаимное расположение
прямой и окружности, выполнять чертеж
по условию задачи
Знать: понятие касательной, точек касания,
свойство касательной и ее признак. Уметь:
доказывать теорему о свойстве ка
сательной и ей обратную, проводить
касательную к окружности
Знать: взаимное расположение прямой и
окружности; формулировку свойства
касательной о ее перпендикулярности
радиусу; формулировку свойства отрезков
касательных, проведенных из одной точки.
Уметь: находить радиус окружности,
проведенной в точку касания, по
касательной и наоборот
Знать: понятие градусной меры дуги
окружности, понятие центрального угла.
Уметь: решать простейшие задачи на
вычисление градусной меры дуги
окружности
Знать: определение вписанного угла,
теорему о вписанном угле и следствия из
нее. Уметь: распознавать на чертежах
вписанные углы, находить
величину вписанного угла
Знать: формулировку теоремы, уметь
доказывать и применять ее при решении
задач, выполнять чертеж
по условию задачи
Знать: формулировки определений
вписанного и центрального углов, теоремы
об отрезках пересекающихся хорд. Уметь: 56
Свойство
биссектрисы угла.
 Серединный
перпендикуляр
57
58
Теорема о точке пересечения
высот треугольника
Вписанная
окружность
59
Свойство описанного
четырехугольника
60
Описанная
окружность
1
1
1
1
1
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная,
индивидуальная  и
самостоятельная работа.
Индивидуальный  опрос
 Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
находить
величину центрального и вписанного угла
Знать: формулировку теоремы о свойстве
равноудаленной каждой точки биссектрисы
угла и этапы ее
доказательства и понятие серединного
перпендикуляра, формулировку теоремы о
серединном перпендикуляре.  Уметь:
находить элементы треугольника,
используя свойства биссектрисы и
серединного перпендикуляра; выполнять
чертеж по условию задачи
Знать: четыре замечательные точки
треугольника, формулировку теоремы о
пересечении высот треугольника. Уметь:
находить элементы треугольника
Знать: понятие вписанной окружности,
теорему об окружности, вписанной в
треугольник. Уметь: распознавать на
чертежах вписанные окружности, находить
элементы треугольника, используя
свойства вписанной окружности
Знать: теорему о свойстве описанного
четырехугольника и этапы ее
доказательства. Уметь: применять
свойство описанного четырехугольника при
решении задач, выполнять чертеж по
условию задачи
Знать: определение описанной окружности,
формулировку теоремы об окружности,
описанной около треугольника. Уметь:
проводить доказательство теоремы и
применять ее при решении задач, различать
на чертежах описанные окружности 61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
Решение задач по теме
«Окружность»
Решение задач по теме
«Окружность»
Контрольная работа
№ 5 по теме:
«Окружность»
Повторение по теме
«Четырехугольники»
Повторение по теме «Площадь»
Повторение по теме «Подобные
треугольники»
Повторение темы
«Окружность»
Решение задач
Решение задач
Обобщающее повторение
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
И н д и в и д у а л ь н а я
р а б о т а
Знать: формулировки определений и
свойств. Уметь: решать простейшие
геометрические задачи, опираясь на
изученные свойства
Знать: формулировки определений и
свойств. Уметь: решать простейшие
геометрические задачи, опираясь на
изученные свойства
Уметь: находить один из отрезков
касательных, проведенных из одной точки
по заданному радиусу окружности;
находить центральные и вписанные углы по
отношению дуг окружности; находить
отрезки пересекающихся хорд окружности,
используя теорему о произведении
отрезков пересекающихся хорд
П о в т о р е н и е ( 7 ч )
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Фронтальная и
индивидуальная работа:
работа на доске и в тетрадях
Уметь применять теоретический материал
по пройденным темам при решении задач
Уметь применять теоретический материал
по пройденным темам при решении задач
Уметь применять теоретический материал
по пройденным темам при решении задач
Уметь применять теоретический материал
по пройденным темам при решении задач
Уметь применять теоретический материал
по пройденным темам при решении задач
Уметь применять теоретический материал
по пройденным темам при решении задач
Уметь применять теоретический материал
по пройденным темам при решении задач

file_name: р.п. 8 кл.doc

intro:
Рабочая программа по математике составлена на основе:
•	Федерального компонента государственного стандарта общего образования в области математики, утвержденного приказом МО РФ №1089 от 5.03.2004 года
•	Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика 5-11 классы. /Составители Г.М.Кузнецова, Н.Г.Миндюк. Дрофа, М., 2004.
•	Рабочая программа по математике соответствует федеральному компоненту стандарта образования основного общего образования и базисному учебному плану МОУ «Гимназия №»
•	Авторских программ по линии А. Г. Мордковича, Ф.Л.Александровой

математика

group: Дисциплины

title: Рабочая программа по математике 8 класс   по линии А. Г. Мордковича


extracted_text:
со стороной 1,6 является центром сферы, прохо-
. Найдите площадь   части сферы, содержащейся внутри
Классная работа.
Сфера. Шар. Решение задач
1. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара уве-
личить в 2 раза?
3. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три
раза?
4. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь
поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
5. Шар, объём которого равен 6π, вписан в куб. Найдите объём куба.
6. Даны два шара. Диаметр первого шара в 8 раз больше диаметра второго. Во
сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности
второго?
7. Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 81 грамм. Чему равна масса
шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 5 см? Ответ дайте в
граммах.
8. Вершина   куба
дящей через точку
куба. В ответе запишите величину
9.  Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95.
Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе
запишите S/π .
10. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем
конуса равен 6. Найдите объем шара.
Классная работа.
Сфера. Шар. Решение задач
1. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара уве-
личить в 2 раза?
3. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три
раза?
4. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь
поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
5. Шар, объём которого равен 6π, вписан в куб. Найдите объём куба.
6. Даны два шара. Диаметр первого шара в 8 раз больше диаметра второго. Во
сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности
второго?
7. Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 81 грамм. Чему равна масса
шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 5 см? Ответ дайте в
граммах.
. со стороной 1,6 является центром сферы, прохо-
. Найдите площадь   части сферы, содержащейся внутри
8. Вершина   куба
дящей через точку
куба. В ответе запишите величину
9.  Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95.
Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе
запишите S/π .
10. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем
конуса равен 6. Найдите объем шара.
.

file_name: Классная работа шар.сфера.docx

title: Решение задач на тему "Шар. Сфера"