extracted_text:
МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РЕСПУБЛИКИ САХА (ЯКУТИЯ)
ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
РЕСПУБЛИКИ САХА (ЯКУТИЯ)
«РЕГИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ В Г. МИРНОМ»

      РАССМОТРЕНО
И РЕКОМЕНДОВАННО                                                                                .

К ИСПОЛЬЗОВАНИЮ          на
заседании кафедры/МО «_________»
Протокол №_____________
от
«_____»______________________2022
г.

МЕТОДИЧЕСКИЕ
УКАЗАНИЯ
по
выполнению индивидуальных практических заданий по разделу «Основы
тригонометрии» общеобразовательной дисциплины «Математика»

Составитель:

преподаватель естественно-научных
дисциплин Москалёва А.М.

Мирный

2022
год
Аннотация

Методические указания содержат
краткий теоретический материал (понятия, схемы, таблицы, формулы, графики),
задачи и упражнения по всем основным темам раздела «Тригонометрия» Подробные
решения примеров помогут студентам при подготовке к практическим, лабораторным
занятиям, при сдаче зачетов и экзаменов, а также для выполнения самостоятельных
работ. Индивидуальные задания по каждой теме являются обязательными зачетными
работами. Номер индивидуального задания соответствует номеру зачетной работы.
Каждому индивидуальному заданию соответствуют практические задания (далее –
номер). В каждом номере предусмотрены 30 вариантов практических заданий. Номер
может служить вариантом индивидуальной работы студента.

Пояснительная
записка
Дисциплина «Математика» входит в
состав общих общеобразовательных учебных дисциплин, формируемых из обязательных
предметных областей ФГОС среднего общего образования, для профессий СПО или
специальностей СПО соответствующего профиля профессионального образования, и
играет ведущую роль в общей и профессиональной системах образования студентов среднего
профессионального образования.
Содержание программы «Математика»
направлено на достижение следующих целей:
•
обеспечение
сформированности представлений о социальных, культурных и исторических факторах
становления математики;
•
обеспечение
сформированности логического, алгоритмического и математического мышления;
•
обеспечение
сформированности умений применять полученные знания при решении различных
задач;
•
обеспечение
сформированности представлений о математике как части общечеловеческой
культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные
процессы и явления.
Раздел «Основы тригонометрии» (темы в
отношении тригонометрических функций), включенные в содержание учебной
дисциплины и отраженные в практических заданиях данного методического пособия,
являются общими для всех профилей профессионального образования и при всех
объемах учебного времени независимо от того, является ли учебная дисциплина
«Математика» базовой или профильной.
Наряду с обеспечением высокой
математической подготовки обучающихся, которые в дальнейшем в своей
профессиональной деятельности будут пользоваться математическими знаниями и
навыками, важнейшей задачей обучения является обеспечение некоторого
гарантированного уровня математической подготовки независимо от специальности.
Федеральный государственный
образовательный стандарт третьего поколения среднего профессионального
образования подразумевает компетентностный подход в обучении. Основной задачей
преподавателя является не передача, "трансляция" знаний, а формирование
у обучающихся профессиональных компетенций, методов и способов самостоятельного
поиска и получения новых знаний, умения применять теоретические знания при
решении практических задач. При изучении дисциплины «Математика» наибольшие
трудности у студентов возникают при решении практических задач. Вместе с тем
именно решение задач в значительной степени способствует развитию технического,
инженерного мышления.
Целью данного пособия является помощь
студенту в организации его практической зачетной работы по разделу дисциплины
«Основы тригонометрии». В методических указаниях представлены все темы
практических работ раздела «Основы тригонометрии», способствующие оценки
качества обученности по предметным результатам в отношении дидактических единиц
раздела:

Содержание
  обучения (ДЕ) по разделу «Основы тригонометрии»

Характеристика основных видов
  деятельности студентов (на уровне учебных действий)

Основные
  понятия

Изучение
  радианного метода измерения углов вращения и их связи с градусной мерой.
  Изображение углов вращения на окружности, соотнесение величины угла с его
  расположением. Формулирование определений тригонометрических функций для
  углов поворота и острых углов прямоугольного треугольника и объяснение их
  взаимосвязи

Основные тригонометрические
  тождества

Применение основных
  тригонометрических тождеств для вычисления значений тригонометрических
  функций по одной из них

Преобразования простейших
  тригонометрических выражений

Изучение
  основных формул тригонометрии: формулы сложения, удвоения, преобразования
  суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму и
  применение при вычислении значения тригонометрического выражения и упрощения
  его. Ознакомление со свойствами симметрии точек на единичной окружности и
  применение их для вывода формул приведения

Тригонометрические уравнения и
  неравенства

Решение
  по формулам и тригонометрическому кругу простейших тригонометрических
  уравнений. Применение общих методов решения уравнений (приведение к
  линейному, квадратному, метод разложения на множители, замены переменной) при
  решении тригонометрических уравнений. Умение отмечать на круге решения
  простейших тригонометрических неравенств

Арксинус,
  арккосинус, арктангенс числа

Ознакомление
  с понятием обратных тригонометрических функций. Изучение определений
  арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа, формулирование их, изображение на
  единичной окружности, применение при решении уравнений

Тригонометрические

функции.
          Обратные тригонометрические функции

Ознакомление
  с понятием непрерывной периодической функции, формулирование свойств синуса и
  косинуса, построение их графиков. Ознакомление с понятием гармонических
  колебаний и примерами гармонических колебаний для описания процессов в физике
  и других областях знания. Ознакомление с понятием разрывной периодической
  функции, формулирование свойств тангенса и котангенса, построение их
  графиков. Применение свойств функций для сравнения значений тригонометрических
  функций, решения тригонометрических уравнений. Построение графиков обратных
  тригонометрических функций и определение по графикам их свойств. Выполнение
  преобразования графиков

В настоящих методических указаниях
дан краткий теоретический материал, необходимый для выполнения заданий, и
подробно рассмотрены решения типовых заданий, а также изложены требования к
выполнению и оформлению индивидуальных практических работ. Индивидуальные
задания по каждой теме являются обязательными зачетными работами. Номер
индивидуального задания соответствует номеру зачетной работы. Каждому
индивидуальному заданию соответствуют практические задания (далее – номер). В
каждом номере предусмотрены 30 вариантов практических заданий. Номер может
служить вариантом индивидуальной работы студента.

Содержание.

§ 1. Единичная тригонометрическая
окружность. Тригонометрические функции числового аргумента. Основные формулы
тригонометрии………....4 6
ИЗ
№1…………………………………………………………..……Индивидуальные практические
задания №1                                                                                …………….9
12
§2.   Тригонометрические
функции, их свойства и графики. Построение графиков тригонометрических функций
с помощью геометрических преобразований графиков…………………………………………….................17
19
2.1. Тригонометрические функции, их
свойства и графики………………..…17 19 2.2. Построение
графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований
графиков……………………….…………...19 21
Индивидуальные практические
задания №2ИЗ №2…………………………………………………………………………….27 29
§ 3. Обратные тригонометрические
функции…………………………………30 32
Индивидуальные практические
задания №3ИЗ №3…………………………………………………………………………….33 35
§ 4. Тригонометрические
уравнения…………………………………………....36 38
4.1. Простейшие тригонометрические
уравнения……………………….….....36 38
4.2. Тригонометрические уравнения,
приводимые к квадратным……………..37 39
4.3. Однородные тригонометрические
уравнения……………………...….….38 40
4.
4.Решение
тригонометрических уравнений, введением вспомогательного
угла……………………………………………………39
                                          42
4.5. Решение тригонометрических уравнений,
используя  формулы преобразования произведения в сумму и обратно…………………….………40 42
4.6.Решение тригонометрических уравнений с
помощью универсальной
подстановки……………………………………………………………….….…..41
43
 ИЗ №4…………………………………………………………...……………….42 44
Индивидуальные практические
задания №4
§ 5. Тригонометрические
неравенства…………………………………….…...47 50
5.1 .
Неравенства вида sin x 
a,
sin
x  a,
sin
x  a, sin
x  a…………….…….48
50
5.2. Неравенства вида cosx

a,
cosx

a,
cosxa, cosxa…….……….........50
52
5.3. Неравенства вида tgx

a,
tgx

a,
tgx

a, tgx

a……….……...………....52
54
5.4.
Неравенства вида ctgx  a,
ctgx

a,
ctgx

a, ctgx

a………………….…54
56
ИЗ
№5……………………………………………………………………Индивидуальные практические
задания №5                                                                                ……….56
58

3
§ 1. Единичная тригонометрическая окружность.
Тригонометрические функции числового аргумента.
Основные формулы тригонометрии.

         Единичная тригонометрическая
окружность  – это окружность, с радиусом 1 и центром
в начале координат.
 Горизонтальный (ось Ох) и вертикальный
(ось Оу) диаметры делят числовую окружность на четыре четверти.
Начальная точка А единичной
тригонометрической окружности   находится на оси x и имеет
координаты (1; 0).
         Отсчет по единичной
тригонометрической окружности может вестись как по часовой стрелке, так и
против часовой стрелки.
Отсчет
от точки А против часовой стрелки называется положительным
направлением. Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным
направлением.

Вектор OB,
соединяющий начало координат с произвольно выбранной точкой плоскости В(х,y),
называется радиус-вектором  этой точки . Опустим перпендикуляры на оси
координат.  Проекции точки В(х;у)  на оси координат равны х и у
соответственно. Рассмотрим прямоугольный треугольник ОАВ.
                                                                                OA     x                        AB      y
                                                                cos              
x;
sin              
y
                                                                                OB     1                        OB     1
4
Синус  угла ,
образованного
радиус-вектором  точки на  единичной окружности с  положительным направлением
оси Ox, есть ордината этой точки, т.е. : sin
y.

 Косинус угла  ,
образованного
радиус-вектором  точки на  единичной окружности с  положительным направлением
оси Ox, есть абсцисса этой точки:  cos
y.

Синус и косинус определены для любого
угла  и связаны между собой
(по теореме Пифагора) равенством: sin2cos21,
которое называется основным тригонометрическим тождеством.
 Отношение
синуса угла 
к косинусу того же угла называется
тангенсом
угла  : tg
sin
или tg
y .

                                                                       cos                  x

                         Тангенс
определен для всех углов, кроме            n,
     nZ
,
где
2
cosn
0,
Z
- множество целых чисел.
        
2        
Отношение
косинуса угла 
к синусу угла 
называется котангенсом
угла
 :
tg
cos
или tg
x . sin  y
Котангенс определён для всех углов,
кроме  n,
nZ
,
где  sinn
0,
Z
- множество целых чисел.
Так как точка В лежит на
единичной тригонометрической окружности 1
x
1,
1
y
1.
Следовательно, sin1,
cos1. Отрезок на оси Оx от -1 до 1 называется линией
косинусов.
Отрезок на оси Оy от -1 до 1 называется линией синусов.

AB y sin
OA x cos
tg
  , cos
0, ctg
  , sin
0.
                OA     x      cos                           AB      y      sin
Линия тангенсов параллельна
оси  Оy и проходит через точку (1;0)
Линия котангенсов
параллельна оси  Оx и проходит через точку  (0;1)

5
Радианная мера угла.

 Угол
в 1 радиан – центральный угол,  длина дуги которого равна радиусу окружности.
Радианная и градусная меры связаны зависимостью 1800 
радиан.

1радиан

1800 , 10 
 радиан.
                                                             180

Периодичность
тригонометрических функций .
Период косинуса равен 2:
сos(2n)

cos.

Период синуса равен 2:sin(2n)
sin.

Период тангенса равен :tg(n) tg.
Период
котангенса равен :ctg(n) 
ctg.

Четность
и нечетность тригонометрических функций. сos() 
cos, sin() 
sin, tg() 
tg, ctg() 
ctg

Знаки
тригонометрических функций.

Значения
тригонометрических функций при некоторых углах.

6

Формулы приведения.

Функции

У

гол


 

2



3
   

2

2

sin

cos

m sin

-cos


  sin

cos

m sin

-cos


  sin

cos

tg

m ctg


  tg

m ctg


  tg

ctg

m tg


  ctg

m tg


  ctg

Основные
тригонометрические тождества.
cos2sin21,
1tg2
cos12 ,
1ctg2
sin12,

tg
sin,
ctg
cos,
ctg  1 . cos   sin    tg
Формулы
для суммы и разности элементов.
sin()
sincoscossin,
sin()
sincoscossin,
cos()

coscossinsin,
cos()

coscossinsin,
tg()

tgtg
,
tg()

tgtg
,

                            1tgtg                     1tgtg
ctg()

ctgctg1,
ctg()

ctgctg1.

                                ctg
ctg                       ctgctg

Формулы
двойных, тройных и половинных аргументов. sin2
2sincos,
cos2
cos2sin212sin2
2cos21,
tg2
12tg2 ,
ctg2
ctg2ctg21,
sin2
1cos2
2,    cos2
1cos2
2,

tg 
 tg        sin2

1cos2,

1cos2
sin2
sin33sin4sin3,
cos3
4cos34cos.

Формулы
преобразования произведения в сумму и обратно.
sincos
sin()
sin(),
coscos
cos()

cos(),

sinsin
cos()cos().
sin
sin
2sincos                      coscos
2coscos
                                                 2              2
                                      2              2
sinsin
2sincos                       coscos
2sinsin
                                                 2              2                                                         2              2
7
Примеры.
1.
Выразите в радианной мере величины углов: 500,
2160,
720. Решение:500 
50


5, 2160 
216


6, 720 
72


 2.
                                                                180     18                           180      5                            180         5
2.
Выразите
в градусной мере величины углов:  7,
5,
0,2.
                                                                                12      4
Решение:
7

 71800 
     0, 5

51800 
2250, 0,2


1800 
360 105
                                               12            12                       4           4                                 5        5
3.
Приведите  тригонометрическую функцию произвольного аргумента к
тригонометрической функции острого угла:   sin4050,
tg8630,
cos18,

5
21
                 ctg
.
4
Решение: sin4150 
sin(3600 550)

sin550,
tg8630 
tg51800 370
tg370
tg370,  cos18

cos4
2
 cos 2
 cos 2,

                            5                      5
              5
            5
ctg
21 
ctg5
 ctg 5.
                            4                    4
           4
4.
Найдите значения других трех основных тригонометрических
функций,
                                                   3                  3
                  если sin
   , 
.
                                                   5                   2
Решение:  Из
основного тригонометрического тождества получим cos
1sin2
. Угол :

3
находится в III четверти, 2
следовательно cos
0,
tg
0,
ctg
0.
Таким образом,

5.
Упростите выражение 1coscos2. sin2sin
         Решение:

1cos
cos2
1cos
2cos21

2cos2cos
cos2cos1

                                  sin2sin
2sincossin
sin2cos1         sin2cos1


sin
 tg.

cos
8
6.
Упростите
выражение
                                                                                2                                                                                2
sin
3cos
2
cos
3sin
2
cos  cos
3sin

sin
3
.
                       10          5            10          5
           10          5          10         5

Решение:
sin
3cos
2
cos
3sin
22
cos

cos
3sin

sin
32

                       10          5            10          5
           10          5          10         5

                                                     2                                                             2
 sin310

25
cos10

35      
sin2 710

cos2 710
1.
7.
Докажите
тождество tgtg
tgtg

2. tg   tg
Решение:
                      tgtg
tgtg                        tgtg                      tgtg
                                                         
tgtg:
 tgtg:


                tg tg                1tgtg                    1tgtg
tgtg
1tgtg
tgtg
1tgtg
                                                                                         1tgtg1tgtg
2.

                               1           tgtg          1           tgtg
ИЗ №Индивидуальные
практические задания №1 1.
1. Выразите в радианной мере величины углов.
1.1.
100,
135 0,
600;          1.15. 450,
160 0,
750;
1.2.
180,
150 0,
900;          1.16. 2160,
150,
600;
1.3.
300,
144 0,
1300;         1.17. 1300,
720,
1800;
1.4.
540,
135 0,
360;          1.18. 540,
1200,
1500;
1.5.
150,
120 0,
1800;         1.19. 180,
1080,
300;
1.6.
200,
125 0,
360;          1.20. 2520,
450,

2400;
1.7.
400,
225 0,
300;          1.21. 2100,
150,
600;
1.8.
450,
240 0,
180;          1.22. 500,
1440,
1200;
1.9.
360,
150 0,

2100;        1.23. 1080,
1350,
3000;
1.10.
600,
72 0,

2520;         1.24. 300,
3150,
360;
1.11.
720,
108 0,

2700;        1.25. 100,
2160,
180;
1.12.
1200,
135 0,
1440;       1.26. 550,
150 0,
1350;
1.13.
750,
2100,
360;  1.27. 720,
540,
300;
1.14.
1000,        540,
900;      1.28. 600,
75 0,
1440;
9
                             1.29. 2100,
500,
900                                   1.30. 150, 3000,
1000.
2. Выразите в градусной мере величины углов.
                         2.1.      7,
,
0,3;                                   2.16. 5,
,
0,4
                                            6        5                                                                   3        3
                         2.2.      5,

7,
0,2;                                2.17. 19,

7,
1,1
                                          18        9                                                                  36         6
                         2.3.      5,
11,
1,4;                                2.18. ,
13,
1,25
                                            9        18                                                                3        18
                         2.4.     5,

4,
1,5;                                2.19. 11,

3,
1,125
                                           36        5                                                                   6          5
                         2.5.      7,

2,
0,8;                                 2.20. 4,

29,
0,6
                                            9         3                                                                  5         36
                         2.6.      7,

5,
1,7;                                2.21. 19,

5,
1,8
                                           36       18                                                                 18         9
                         2.7.      2,

4,
0,25;                               2.22. 5,
,
0,3
                                            3         5                                                                 36       4
                         2.8.      8,
,
0,125;                               2.23. 11,

3,
0,9
                                            9        6                                                                   18         4
                              2.9.  ,

6,
0,6;                                   2.24. 23,

4,
1,7
                                          18        5                                                                   36         9
                            2.10. ,
11,
1,4                                    2.25. 2,
11,
1,4
                                           9        36                                                                  5          9
                            2.11. 3,

2,
0,5                                   2.26. 17,
,
1,2
                                            4         9                                                                  36        5
                            2.12. 2,

5,
0,9                                   2.27. 8,
19,
0,1
                                            5         9                                                                  9         36
                            2.13. 4,

3,
0,7                                  2.28. 5,

3,
1,25
                                            9         5                                                                 18        4
                            2.14. 7,
13,
1,2                                  2.29. 13,
11,
0,4
                                           18        36                                                                 9         36
                           2.15. 17,

2,
1,3                                 2.30.  ,

5,
1,46
                                            36         5                                                              18        9

3.
Приведите  тригонометрическую функцию произвольного аргумента к
тригонометрической функции острого угла:
3.1.
sin3400,
cos11,
tg(5230),
ctg 18;
                                                            9
                             7
10
3.2.
cos2950,
sin13,
ctg4470, tg 11;
                                                            8
                        6
3.3.
sin(3050),
cos15,
tg3920, ctg17;
                                                                  8
                           6

3.4.
sin(2670),
cos13,
ctg(6820),
tg11;
                                                                  3                                  5

3.5.
cos(3050),
sin17,
ctg2870,
tg
9;
                                                                 4                            5

3.6.
cos3650,
sin13,
tg(4510),
ctg 7;
                                                            4
                               5

3.7.
sin(3190),
cos15,
ctg(3410),
tg12;
                                                                7                                  5

3.8.
cos2790,
sin17,
tg7000, ctg10;
                                                            4
                           3

3.9.
sin3510,
cos17,
tg(5070),
ctg13;
                                                          4                                  3

3.10.
cos2840,
sin16,
tg(4510),
ctg 17;
                                                            7
                             6
3.11.
sin(3530),
cos14,
ctg(6050),
tg 12;
                                                                  3                                5
3.12.
cos(5000),
sin12,
tg(3610),
ctg 16;
                                                                 7                               3
3.13.
cos4230,
sin11,
ctg(2350),
ctg 19;
                                                           4                                 6
3.14.
sin(2890),
cos16,
tg(5060),
ctg 12;
                                                                  5                                5
3.15.
cos3040,
sin19,
tg(5210),
ctg 11;
                                                            6
                             3
3.16.
sin3120,
cos15,
tg(4240),
ctg 12;
                                                            9
                             5
3.17.
cos3120,
sin15,
ctg3080,
tg 10;
                                                            8
                        3
3.18.
sin(3160),
cos17,
tg2890,
ctg15;
                                                                  7
                           6

3.19.
sin(2090),
cos12,
ctg(6030),
tg14;
                                                                  5                                  5

11
3.20.
cos(2350),
sin13,
ctg2470,
tg11;
                                                                6                             5

3.21.
cos2840,
sin11,
tg(5210),
ctg13;
                                                            4
                                5

3.22.
sin(3060),
cos14,
ctg(3110),
tg17;
                                                                5                                  6

3.23.
cos2990,
sin
21,
tg6000, ctg12
;
                                                            5
                           7

3.24.
sin4510,
cos17,
tg(5200),
ctg14;
                                                          6                                  5

3.25.
cos2860,
sin17,
tg(4230),
ctg 18;
                                                            7
                             5
3.26.
sin(3440),
cos12,
ctg(6120),
tg 19;
                                                                  7                                6
3.27.
cos(5010),
sin13,
tg(3450),
ctg 18;
                                                                7                                5
3.28.
cos4030,
sin15,
ctg(3350),
ctg 11;
                                                           4                                 5
3.29.
sin(2790),
cos13,
tg(5160),
ctg 11;
                                                                  5                               5
3.30.
cos3340,
sin17,
tg(5520),
ctg 10.
                                                            6
                             3
4.
Найдите значения других трех основных тригонометрических

функций, если
4.1.
sin
12 , 
;

13
2
4.2.
cos
0,6, 
; 2
4.3.
sin

3 , 3

2;
                              5      2
4.4.
sin
0,8,

3;
2
4.5.
cos
 5 ,

3;

                                    13                   2
4.6.
cos
12 , 3

2;

13
2
4.7.
sin
0,6,

3;
2
4.8.
sin
5
,

;

                                  13     2
4.9.
cos
 3 , 
;

                                       5     2
4.10.
sin
12
,
3

2;

                                               13     2
4.11.
cos
0,8, 
;
2
4.12.
sin
12 ,

3;
                                               13                   2
12

4.13.
cos
0,6,

3;
    4.22. sin
0,8,

;

                                                                       2                                                           2
4.14.
cos

4
,

;
 4.23. cos
4 , 3

2;
                                         5     2                                                                    5      2
4.15.
sin
 5 , 
3;
  4.24. sin

4 ,

3;
                                        13                   2                                                      5                   2
4.16.
sin
3
,

;
      4.25. cos
0,8,

3;
                                    5     2                                                                                2
4.17.
cos
12 ,

3;
  4.26. sin
 3 ,

3;
                                        13                   2                                                     5                   2
4.18.
cos

3 , 
3;
    4.27. cos

4 ,

3;
                                         5                   2                                                        5                   2
4.19.
sin
4
,

;
     4.28. cos
0,8,
3

2;

                                    5     2                                                                               2
4.20.
sin
0,6,

;
 4.29.
sin

4 , 3

2;

                                                2                                                                       5     2
4.21.
cos
 5 , 
;   4.30. cos
12 , 
.

                                        13     2                                                                    13    2

5.
Упростите выражение
5.1.
sincos2 sin2;          5.10. cos2ctg2sin2sin2;
5.2.
1
cos1
cos;        5.11. cos2cos4sin4;

                                           sin                              5.12.    sin2tg2sin2ctg;
5.3.
1            sin
; 1 2cos2

tg
1
cos      5.13. ;
cossin
5.4.
1
2sincos
cos; sin24
1
     2 ; sincos 5.14.             tg

cos
5.5.
(1sin)(1sin)
;          1cos
cos2
cos    5.15. ;
sin2sin
5.6.
1sin2(costg)2;
        5.16. ctg21cos2cos2;
cos2
                                                                                5.17.       tg2sin2tg2sin2;
5.7.
 tgβctgβ;
      2                      2
                                                                                5.18.    3sin
2cos
2sin3cos
;
5.8.
1sin22
tgctg
;         costg
                           1
cos
                                  5.19.      ctgcos;
5.9.
1sin21tg2;        sin2
13
5.20. sin
cos2 sin2; 5.26. cos4sin4; 5.21. 1cos21ctg2; 5.27. 1sin2
;
cossin
5.22.
sinsin2ctgsin; 5.28. sin21ctgcos21tg;
5.23.
sin2
2ctg;          5.29. cos4cos2sin4; cos 
5.24.
sin1sin
cos22
;      5.30. cos12cos
cos22.
5.25.
cos2 ;
cossin

6.
Упростить выражение.
6.1.
sin2cos3cos2sin3sin;
6.2.
sin2sin3cos2cos3cos5;
6.3.
sin 2cos
cos
2sin;
                                  15         5           15         5
6.4.
coscos

sinsin

;
                                   7         42          7         42
2
6.5.
sincos
4

cossin
4
;
                               7          21           7        21

6.6.
cos540 cos90 sin540 sin90       2
;
6.7.
2sin120
cos180
cos120
sin180;
6.8.
cos6500coscos40800
cossin176500
sinsin8400
0 ;
sin17 
6.9.
sin
xsin2xsin3xcos
xcos2x;
6.10.
sin380
cos120

cos380
sin1202

cos400
cos100
sin400
sin1002;
6.11.
cos
xsin2x
sin
xcos2xsin
x;
6.12.
cos
xcos
x sin
xsin
x 
cos
x;
6.13.
sin7sin4cos4cos7cos11;
6.14.
cos4000
coscos131700
cossin104000sinsin131700
;
sin10 
6.15.
sin7cos4sin4cos73sin11;
14
2
6.16.
sincos

cossin


;
                               3         12           3        12
6.17.
cos 2cos
5sin
2sin
5;
                                    7          42           7          42
6.18.
2sin
2cos

cos
2sin

;
                                      5          15            5         15
6.19.
coscos

sinsin


2
;
                               5         20          5        20
6.20.
sin1500
coscos102000cossin15500sinsin201000
;
cos5 
6.21.
sin1230
cos330
cos1230
sin3302;
6.22.
sin2xcos3x2sin5xcos2xsin3x;
6.23.
cos3900
coscos151200
cossin123900
sinsin151200
;
sin12 
6.24.
cos2,5xcos1,5x
cos
x sin1,5xsin2,5x;
6.25.
sin350
cos100
cos350
sin100
2

cos150
cos100
sin150
sin100
2
;
6.26.
cos4xcos7xcos3xsin4xsin7x;
6.27.
cos1040
cos140
sin1040
sin140
3;
6.28.
sin280
cos120

cos280
sin120
sin400
;

2
6.29.
sin3800coscos121000
cossin384000
sinsin121000
;
cos40 
6.30.
sin4xcos3xsin7xcos4xsin3x.
7.
Докажите
тождество.
7.1.
sincos2 sincos2 
2;

7.2.
ctg2
cos2
sin12

sin2;

7.3.
2sincoscos2
sin4;

7.4.
1      cosctg
sin; sin
7.5.
1 
cos
 cos

 tg;
2
1sin
1sin
7.6.
4cos2cossin
sin4;

7.7.
1     sintg
cos; cos
15
7.8.
1
cos2sin2
 ctg;

1cos2sin2
7.9.
            sin
 sin
cos
2ctg;

1
cos
1cos
7.10.
1cossin22costg2 
cos2;

7.11.
1 
sin

1
;
tg
1
cos
sin
7.12. 2sin21
cos
sin;
sincos
7.13. cos3sin3sin
cos;

1sincos
7.14. ctgcossincos2tg
 cos2;


 cos4sin4
1;

7.15.
cos2
7.16.
1
sin2
cos2
 tg;

1 sin2
cos2
7.17.
1sin2
2
1;

sin
cos
7.18.
1 tgtg22             1ctgctg22

tg2;

 
7.19.
cos4sin4
cos2;

7.20.
cos2
sin
cos; cossin
7.21.
tg2sin2
cos12

cos2;

7.22.
1 
sin

ctg; sin
1
cos
1 2sin2
7.23.
 sin
cos;
sin
cos
7.24.
sin22cossinsin
cos22

2cos;


7.25.
cos2
2sin2

1
;
ctgtg
cos2
7.26.
sin2tg2sin2ctg
tg;

7.27.
cos2cos4sin4
sin2;

7.28.
1sin2

cos
sin;
sincos
7.29.
1 tgtg22             
1ctgctg22
1;

 
7.30.
1ctg2tg2cos2
ctg2.

16
§2.   Тригонометрические
функции, их свойства и графики.
Построение графиков тригонометрических функций с
помощью геометрических преобразований графиков.
2.1.
Тригонометрические функции, их свойства и графики.
 Основными тригонометрическими функциями
являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).
1. Функция y=sin(x).  График
функции y=sin(x) – синусоида:

 Основные
свойства:
1.
Область
определения вся числовая ось.
2.
Функция
ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3.
Функция
нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим
положительным периодом равным 2π.
5.
Нули
функции: (πk;0) , где k – целое.
6.
Интервалы
знакопостоянства: sin x 
0приx2n;
2n, nZ ;
sin
x 
0приx
2n;2
2n, nZ .

2. Функция y= cos(x).
График функции y= cos(x):

Основные
свойства:
1.
Область
определения вся числовая ось.
2.
Функция
ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3.
Функция
четная.
4.Функция периодическая с наименьшим
положительным периодом равным 2π.
17

k;０,
где k – целое. 5. Нули функции:  2 

6. Интервалы знакопостоянства: cosx

0приx2

2n;2

2n,
nZ
;

cosx  0приx2

2n;32
2n,
nZ
.



3.
Функция y=tg(x).
График функции y=tg(x) – тангенсоида:

 Основные
свойства:
1. Область определения вся числовая ось,
за исключением точек вида
x k
,
где k – целое.
2
2.
Функция
неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3.
Функция
нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим
положительным периодом равным π.
5.
Нули
функции: (πk;0) , где k – целое.
6.
Интервалы
знакопостоянства: tgx  0приxn;2
n,
nZ
;

tgx  0приx2
n;n,
nZ
.



4.
Функция y=ctg(x).
График функции y=ctg(x):
18

 Основные
свойства:
1.
Область
определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=πk,
где k – целое.
2.
Функция
неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3.
Функция
нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим
положительным периодом равным π.

k;０,
где k – целое.
5.
Нули
функции: 
2



6.
Интервалы
знакопостоянства: ctgx  0приxn;2
n,
nZ
;

ctgx  0при
x2
n;
2n,
nZ
.



2.2. Построение графиков тригонометрических функций с помощью  геометрических
преобразований графиков.

Виды
преобразований графиков функций.
1. Сжатие
графика к оси ординат.
Правило: чтобы построить
график функции f kx,
где k
1,
нужно график функции f x сжать
к оси Оу в k раз.
Пример
1

Построить график функции y 
sin2x
.
Сначала строим график  y  sin
x.
Период T  2.

Сжимаем синусоиду  к оси Оу  в 2
раза:
19

Таким образом, график функции y

sin2x
получается путём сжатия графика y 
sin
x
к оси ординат в два раза.
Период  функции y

sin2x
равен.

В целях самоконтроля можно взять 2-3
значения «икс» и устно либо на черновике выполнить подстановку:

Смотрим на чертёж, и видим, что это
действительно так.
Пример
2

Построить график функции y

cos3x.

График функции  y

cos
x
сжимается к оси Оу в 3 раза:

Период  T функции
y

cos
x
равен 2,
период функции y  cos3x
2
составляет
       . 3
2. Растяжение
графика функции от оси ординат
Правило: чтобы построить
график функции f 
1 x
,
где k
1,
нужно
                                                                                
k   
график функции f
x растянуть
от оси Оу в k раз.
Пример 3  Построить
график функции y  sin
x .
Строим 2
график y 
sin
x.

20
Период T 
2.

И растягиваем синусоиду от оси Оу в
2 раза:

путём растяжения графика y

sin
x
от оси ординат в два раза.
Период итоговой функции увеличивается в 2
раза: T  22
4.

3. Сдвиг
графика влево/вправо вдоль оси абсцисс Если к аргументу функции
добавляется постоянная, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика
вдоль оси Ох.
Рассмотрим функцию y

f
(x)
и положительное число b : Правило:
1) чтобы построить график функции y

f
(x
b),
нужно график y  f
(x)
сдвинуть вдоль оси Ох  на b
единиц влево; 2) чтобы построить график функции y

f
(x
b)
,
нужно график  y  f
(x)сдвинуть
вдоль оси  ОХ  на b единиц вправо.
Пример 4
Построить график функции y

sinx
.

                                                                                      2

График синуса y

sin
x
сдвинем вдоль оси Ох на  влево:

2

21

Внимательно присмотримся к полученному
красному
графику y 
sinx
 Это
в точности график косинуса y  cos
x.
Мы
                                                  2

получили геометрическую иллюстрацию формулы
приведенияsinx


cos
x.

                                                  2

   График  функции y

cos
x
получается путём сдвига
синусоиды y 
sin
xвдоль
оси Ох  на 
единиц влево. 2
Рассмотрим композиционное правило,
когда аргумент представляет собой линейную функцию: f
(kxb),
при этомk  0,b

0.

Функцию
f
(kxb)
необходимо представить в виде f (kxb)

f
kx

bk

и последовательно выполнить следующие преобразования:
1)      График
функции f (x)
сжимаем (или растягиваем) к оси (от оси) ординат: f
(kx).

2)      График
полученной функции f (kx)
сдвигаем влево (или вправо) вдоль оси  абсцисс на b
единиц, в результате чего будет построен k
искомый график f
(kxb).
Пример 5
Построить график функции y

sin2x


                                                                                        2

Представим функцию в виде y

sin2x
4 
и выполним следующие
преобразования: синусоиду y

sin
x
сожмём к оси Оу в два раза: y 
sin2x.

2) сдвинем вдоль оси Ох на   влево:
y

sin2x

.

                                                                                4                                      2

22

 Пример, вроде бы, несложный, а сделать
ошибку в параллельном
          .
переносе легко. График сдвигается на   , а вовсе не на
                                                                                4                               2
4.     Растяжение
графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить
график функции y  mf
(x),
где m
1,
нужно график функции y  f
(x) растянуть
вдоль оси Оу в m раз.
Пример
6

Построить график функции  y

2sin
x.
Строим график функции y  sin
x:

И вытягиваем синусоиду вдоль оси
Оу  в 2 раза:

Период функции y

2sin
x
не изменился и составляет T  2,
а вот
23
значения (все, кроме нулевых) увеличились по
модулю в два раза. Область  значений функции y 
2sin
x:
E(y)
2;2.
5.     Сжатие
графика вдоль оси ординат.
Правило:
чтобы построить график функции y 
f (x)
,
где m
1,
m
нужно
график функции y  f
(x) сжать
вдоль оси Оу вm   раз.
Пример
7

Построить график функции y

sin x.

Строим график функции y

sin
x:

Теперь сжимаем синусоиду вдоль
оси Оу  в 2 раза:

Аналогично,
период T  2
не изменился, а область значений функции y sin
x:
E(y)


12;12
.


6.     Симметричное
отображение графика относительно оси абсцисс
Правило:
чтобы построить график функции y 
 f (x),
нужно график y  f
(x) отобразить
симметрично относительно оси Ох.
Пример
8

Построить график функции y

sin
x.

Отобразим синусоиду симметрично
относительно оси Ох:
24

7.     Сдвиг
графика вверх/вниз вдоль оси ординат Правило:
1)
чтобы построить график функции y 
f
(x)
c,
нужно график y  f
(x)
сдвинуть ВДОЛЬ оси Оу на c
единиц вверх; 2) чтобы построить график функции y

f
(x)c,
нужно график y  f
(x)
сдвинуть ВДОЛЬ оси Оу на c
единиц вниз.
Пример
9.

Построить графики функций y

sin
x  2,
y

sin
x 1.

Комбинационное построение графика y

mf
(x)

c
в общем случае осуществляется очевидным образом:
1)      График
функции y  f
(x)
растягиваем (сжимаем) вдоль оси Оу. Если множитель отрицателен, дополнительно
осуществляем симметричное отображение относительно оси Ох.
2)      Полученный
на первом шаге график y  mf
(x)
сдвигаем вверх или вниз в соответствии со значением константы c.
Пример 10
Построить график функции y

cos x 
2

Строим график косинуса y

cos
x:

25
1)
Растягиваем
вдоль оси Оу в 1,5  раза: y  cos x;

2)
Сдвигаем
вдоль оси Оу на 2 единицы вниз: y 
cos x 
2.

Общая
схема построения графика функции с помощью геометрических преобразований
Рассмотрим функцию y

mf
(kxb)c,
которая «базируется» на некоторой функции y 
f
(x).

Для построения графика функции y

mf
(kxb)

c
–
на
первом шаге выполняем преобразования, связанные с аргументом функции, в
результате чего получаем график функции y 
f
(kxb);

–
на
втором шаге выполняем преобразования, связанные с самой функцией, и получаем
график функции y  mf
(kxb)
c.

Пример 11.
Найдите множество значений функции    y 3sin
5x 0,1.
Решение:
Область значений функции y

sin5x,
как и функции y  sin
x
равна 1;1.
Так как при умножении на -3 происходит растяжение в 3 раза вдоль Оу графика
функции y  sin5x
и  симметричное отображение графика функции y 
3sin5xотносительно
оси абсцисс, область значений функции y 
3sin5x
- отрезок 3;3.
А после сдвига вдоль Оу вниз на0,1 графика последней
функции, получаем окончательный ответ 3,1;2,9.

Пример 12. Используя
четностью/нечетность тригонометрических функций, исследовать на
четностью/нечетность функцию
y(x) 
x sin
x .
3cos x
26
Решение:
Поменяем знак  аргумента, получим,
y(x)

 x  sin(x)

 x sin
x   x

sin
x  y(x),
следовательно функция

3cos(x)    3cos
x  3cos x нечетная.

Индивидуальные
практические задания №2ИЗ № 2.
1.
Построить
график функции

1.1.
y

sin2x
      1.17.          6
       1.18. y

sin1
x 
1.2.
y  cos2x
      
2      3

                                            6
                                    1.19. y

cos2x

5
1.3.
y  sin3x
               6

                                           6
                                     1.20. y

sin
1
x 
1.4.
y

cos2x

5 
2
3 

6  1.21. y

cos1
x 
1.5.
y  sin2x
      
2      3

                                           3
                                    1.22.   y

sin1
x 
1.6.
y

cos
1
x  2    
2      6

                                    
2       3
                                 1.23. y

cos1
x 
1.7.
y  sin2x
      
2      3

                                           3
                                    1.24. y

sin3x

1.8.
y  cos3x
               6

                                            6
                                    1.25. y

cos3x

1.9.
y  sin2x

2          6

                                             3
                                   1.26. y

cos2x

1.10.
y

cos
1
x  2             3

                                    
2       3
                                 1.27. y

sin
1
x  2
1.11.
y  sin2x

2 
2      3

                                            3
                                   1.28. y

sin1
x  2
1.12.
y

cos1
x  5     
2      3

                                    
2       6
                                 1.29. y

cos1
x 
1.13.
y  sin3x

5   
2      6

                                            6
                                   1.30. y

sin
1
x  5
1.14.
y  cos3x
      
2      6

                                            6
                                    1.31. y

cos2x

2
1.15.
y  sin2x

5            3

                                            6

1.16.
y  cos2x

                                            6


27

2.
Построить
график функции. 2.1. y 
2sinx

                                                    6

2.2.
y  3cosx

2
                                                       3

2.3.
y  2sinx

                                                    6

2.4.
y  1
cosx

2
                                      2             3

2.5.
y  3sinx

                                                    3

2.6.
y  1
cosx

                                      2            6

2.7.
y  2sinx

                                                    3

2.8.
y  2cosx

5
                                                      6

2.9.
y  2sinx

2
                                                      3

2.10.
y  2cosx

                                                     6

2.11.
y  2sinx
 2
                                                      3

2.12.
y  2cosx

                                                     3

2.13.
y  2sinx
 5
                                                     6

2.14.
y  3cosx
 5
                                                      6

2.15.
y  3sinx
 5
                                                     6


3.
Построить
график функции
3.1.
y

cos1
x  2
1
                                  
2       3

3.2.
y  2sin
 x 1
3.3.
y  3sinx

1
                                           3

3.4.
y  2sinx

1
                                           6

3.5.
y  sin2x

2
1
                                            3

28
2.16.
y  3cosx

                                                  6

2.17.
y  1
sinx

                                   2           6

2.18. y

1 cosx

                                   2            3

2.19.
y  3sinx

                                                 6

2.20.
y  3cosx

                                                  3

2.21.
y  1
sinx

                                   2           3

2.22.
y  2cosx
 5
                                                      6

2.23.
y  1sinx

                                   2           3

2.24.
y  2cosx
 2
                                                      3

2.25.
y  3sinx
 2
                                                      3

2.26.
y  1
cosx

2
                                   2               3

2.27. y

1 sinx

2
                                   2               3

2.28. y

1 cosx

5
                                   2               6

2.29. y

1 sinx

5
                                   2               6

2.30. y

1 cosx

                                   2            6

3.6.
y  3sinx

5
 2
                                         6

3.7.
y  sin2x
 5

2
                                        6

3.8.
y  2cos3x
 5
                                            6

3.9.
y  sin3x


2
                                       6

3.10.
y  2cos3x
2

3.11. y
  
  cos2x
  
  
  2
               3.22. y 
  2cosx
  
  5
   2
                                       6
                                                                           6
  
3.12. y
  
  1 sinx
  
  1
              3.23. y 
  2cosx
  
  5
  1
                          2           3
                                                                          6
  
3.13. y
  
  cos3x
  
  1
                     3.24. y 
  sin1
  x 
  1
                                        6
                                                                
  2      6
  
3.14. y
  
  cos2x
  
  5
   2              3.25. y
  
  2cosx
  
  1

                                         6
                                                                        6
  
3.15. y
  
  2sinx
  
  
  2
                  3.26. y 
  2cos3x
  
  5

                                        6
                                                                             6
  
3.16. y
  
  3sinx
  
  2
                                    3.27. y
  
  3cos1
  x  2

                                                                                
  2       3
  
3.17. y
        sin2x
  1
                                3.28. y
  
  2sin2x
  

                                                                                        3
  
3.18. y
  
  sin1
  x  2
  1                  3.29. y
  
  1 sin2x
  

                               
  2       3
                                                           2             6
  
3.19. y
  
  3cos2x
  1
                                                                  5

3.30. y
                                                                                          
  2cos3x
      

3.20.
y  sin3x
         

2
                                          6

3.21.
y  2cosx

1
                                            3


4.
Найдите
область значений функции.
4.1.
y  1
cosx
  0,2;
  4.12.

                             2            3
                                           4.13.
4.2.
y  2,5sinx


0,4;

                                                 6
                                       4.14.
4.3.
y  5cos3x
0,7;

4.4.
y  cos2x

 2,2;    4.15.
                                              4

4.5.
y  3,4sin
x 1,5;
       4.16.
2
4.6.
y  2cos 
x
1;       4.17.
                                         
3      
4.7.
y  4,2sin
x 
2,5;
     4.18.
3
                                               
      0,1;
                        4.19.
4.8.
y  0,6sin            x

 4     
5;
   4.20.

4.9.
y  3
2sinx
  
                                                   6
                                     4.21.
4.10.
y  4cos2x
2,7;
4.11.
y
 sin3x

1,6;   4.22.
                                                  5

29
                     6

y 13cos2x;

y  7,1cosx
 2
3,2;

                            3

x
y 
5cos
  2,3; 4 y

5,2sin 
x

3;
                     
4     
y  2cosx


0,4;

                           3

y  2sinx


0,6;

                          6

y  2cos5x
3,7;

y  sin2x
 3

2,4;

                          4

         4       x
y     cos     3;

         5       5
y  2sin 
x
1,5;

 4     
x
y

4,1cos   0,5;

3

4.23. y
  
  2,2sin
  2
   x
   5,1;      4.28. y
  
  3,2cosx
   2
  5;
                                         
  3                                                                              3
  
4.24. y
  
  53sinx
  
  ;
                      4.29. y 
  0,5cos
  3x 
  2;

                                                  3
                                                                   4
4.25. y
  
  0,5cos2x
  
  2;
                               4.30. y
  
  2,5sin 
  x
   3.
4.26. y
  
  sin4x
  
  2
  3,4 ;                                    
  6     
                                              5
  
4.27. y
  
  43,5cos3x;

5.        Исследуйте
  функцию на четностью/нечетность.

5.1. y(x)

3tgxcossinx
x ;
5.2. y(x)

tgx
sin
x  ctg2x;

5.3. y(x)

3cos
xsin
x tgx;

5.4. y(x)

cgx3sin
tgxx
;
5.5. y(x)
 tg2xsin5xcos
x ;
5.6. y(x)

xctgx

2cos
x;

5.7. y(x)

sin2 x
cos
x  x3 tgx
;
5.8. y(x)

27tgx
cos
xx3
;

5.9. y(x)

2sin
x cos x;

5.10. y(x)

x3 tgx

6cos
x;

5.11. y(x)

2tgxsin2ctgxx        ;
5.12. y(x)

xx3 sincosxx
;

5.13. y(x)

5cos2 x

xtgx;

5.14. y(x)

2sin
x  xcos
x 5tgx;

5.15. y(x)

2ctgxtgx2x
;

5.16. y(x)
 tg2x
sin2
x
                                           cos
x       ;

5.17. y(x)

3xsin
x 5ctg2x;

5.18. y(x)

tg2xsin
x 5ctgx ;

5.19. y(x)

ctgxsin3 x4x
;
5.20. y(x)
 tgx3sin1xcos5x;
5.21. y(x)

3x2 ctgx

2xcos
x;

5.22. y(x)
 sin2
x 3cos
x ; 7x
5.23. y(x)

7x42tgxcos
x ;
5.24. y(x)

x2 sin
x 5cos x;

5.25. y(x)

x3 tgx
;
1
7ctgx
5.26. y(x)

2tgsin3x
x2x
;
5.27. y(x)

sinxxcos
2tgxx  ;
5.28. y(x)

5x2 cos
x 3xctgx
;
5.29. y(x)

2sin2 x

xcos
x;

5.30. y(x)

sinx2x3tgx5x2 .

§
3. Обратные тригонометрические функции.
Арксинусом
числа a1;1называется
угол x2
;2,
синус которого равен a. Т.е. arcsin
a  x 
sin
x  a,
x2
;2.

График функции y

arcsin
x.

30

Арккосинусом
числа a1;1называется
угол x0;,
косинус которого равен a. Т.е. arccos

x

cos
x  a,
x0;.

График функции yarccosx.

Арктангенсом
числа a;называется
угол x;,

                                                                                    2   2

тангенс
которого равен a. Т.е. arctga

x

tgx

a,
x;.

                                                                                    2   2

График функции y

arctgx.

31
Арккотангенсом
числа a;называется
угол x0;,
котангенс которого равен a. Т.е. arcctga

x

ctgx

a,x0;.

График функции y

arcctgx
.

Формулы, связывающие обратные
тригонометрические функции.
arcsin(x)
arcsin
x,
arcsin
x arccos
x
2
arcsin x 
arccos
1
x2 
arctg
x , x 
0 1
x2
arccos(x)
arccos
x,
arccos
x arcsin
x
2
arccos x 
arcsin
1
x2 
arcctg
x , x 
0 1
x2
arctg(x)
arctgx,
arctgx
arcctgx
2
                                                   1                     x                          1
arctgx 
arcctg
 arcsin     
arccos          ,
x 
0 x          1
x2      1
x2
arcctg(x)
arcctgx
,
arcctgx
arctgx

2

1        1          x
  arcctgx         arctg                arcsin   arccos  ,

x      0

                                                                            
x
Примеры.

                                                                                                                    3
1.
Вычислите
arcsin
2

 2arccos
2


arctg
3
.

Решение:
arcsin
23

 2arccos
22

 arctg 33 
3

2
34
6

3

32
6


 29
10
5
                                          
               .
                                   6                    6           3
2.
Вычислите
cosarcsin
4,
sinarcctg(2).

                                                                      5
Решение:
32
              cosarcsin  

                               54 cosarccos 1
542


cosarccos 1
1625


cosarccos 259





cosarccos
3

3;

                                       5    5
                                                                                                1           1
sinarcctg(2)

sin
arcctg2

sin(arcctg2)

sinarcsin
1
22 

5
.
ИЗ № 3.
Индивидуальные
практические задания №3

1.
Вычислите


1.1.
2arctg
33

 arccos 0
 arcctg 3 ;


                                                      
 2          1
arcsin
arccos

arctg1
1.2.
    2     2
;

1.3.
2arccos1
arctg(
3)

arcctg 3 ; 3
1.4.
arcsin
1 arccos
23


arcctg(1);

                                                       2              
arcctg
33

 arcsin
1
1.5.
                      2
;

arccos 0
1.6.
arctg
3

2arcsin
22


arccos
0;

1.7.
3arcsin
12
 arccos
23


arcctg0;

                                                               
                                                            2

                                        arccos      arcsin
0
                                                           2

                        1.8.                                      ;

arctg1
                        1.9. arcsin
1  arccos
23


arcctg(1);

                                                       2              
1.10. 3arctg
33


2arccos
22 
arcctg(
3);

arctg 3 
arccos
1
                        1.11.                           2
;

2
arcsin
2
33
1.12. arcsin1
arccos
22

 4arcctg(1)
;

                         1.13. 2arccos
arctg  3
2arcctg  3
;

3
1.14. 2arcsin            2

arccos
23

 arcctg 3 ;

                                                          2               
arccos
23

 arcsin
1
                        1.15.                                  2
;

     3

arctg
  3 

1.16. 2arccos
22

 arctg0
 arcsin 23 ;

                                                        
                                                            2

                                        arccos     
 arctg(1)
                                                               
                        1.17.               2
                    ;

arcsin
                        1.18.
                        1.19.              1
1.20.
                       1.21. arcctg(1)

2arccos    
                                                                                         
                        1.22.              1                           
arctg0;

2
1.23.
1.24. 1.25.
2
34
1.30. .

arcctg1

2.
Вычислите

2.1.
sinarccos12,
tgarcsin(0,6);
     2.12. cosarcctg(4),
tgarcsin
3;

                                 13                                                                                          5
2.2.
cosarctg(2),
ctgarcsin
3;
       2.13. sinarccos(0,8),
tgarcsin
12;

                                                                    5                                                                    13
2.3.
sinarctg3,
cosarcsin(0,8);
         2.14. cosarctg4,
ctgarcsin
54;

2.4.
tgarccos
5
,
cosarcctg(3);

                               13                                   2.15. sinarctg3,
cosarcsin(0,8);

2.5.
ctgarccos
54,
sinarctg2;
      2.16. tgarccos1213,
cosarcctg
12;

2.6.
cosarcctg(3),
tgarcsin
12;
      2.17. ctgarccos1213,
sinarctg4;

                                                                    13                                      
2.7.
sinarccos
53,
tgarcsin 0,6;
        2.18. cosarcctg
12,
tgarcsin 0,8;

                                
2.8. cosarctg3,
ctgarcsin
53;
 2.19.
sinarccos1213,
tgarcsin(0,6);

2.9. sinarcctg(3),
cosarcsin
5
;
 2.20.
cosarctg
1,
ctgarcsin0,8;

                                                                      13                                    2
2.10. tgarccos135
,
cosarcctg2;
 2.21.
sinarcctg2,
cosarcsin135

;

2.11. ctgarccos
54,
sinarctg2;
    2.22. tgarccos                                                             0,63,cosarcctg 51;
;
2.23. ctgarccos
5,
sinarctg
2

1.26. ;

2
1.27. arcsin
12

arccos
23

arcctg(
3)
;

                                                
1.28. 2arcsin
arctg   3
2arcctg
3
1.29. 2arcsin
22


arccos
23


arctg
3
;


                               
arcsin
23
arccos
12

35

2.24. cosarcctg4,
tgarcsin1213;

2.25. cosarcctg
1,
ctgarccos0,6;

                                  2
2.26. sinarctg0,5,
cosarcsin1213;

2.27. tgarccos
53,
cosarcctg
12
;

                               

2.28. ctgarccos135 ,
sinarctg3;

2.29. cosarcctg(5),
tgarcsin
12;

                                                                    13
2.30. sinarccos0,8,
cosarctg(4).

§
4.
Тригонометрические уравнения.
Определение: Тригонометрическим
называется уравнение, в котором неизвестные находятся под знаком
тригонометрических функций.

4.1. Простейшие
тригонометрические уравнения.

Простейшими
тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:
sin
x  a,
cosxa,
tgx

a,
ctgx

a.
  Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти
множество всех углов (дуг), имеющих данное значение тригонометрической функции.

1)   sin
x  a

Если a 1
уравнение корней не имеет.
Если
a
1,
решение находим по формуле: x  (1)n arcsin
a n,
nZ
.


sin
x  0 
x
n;

       Частные
случаи: sin
x 1
x

 
2n;

                                                                                  2
                                                                                       
sin
x  1
x

 2  2n.
2)   cos
x  a

Если a 1
уравнение корней не имеет.
Если a
1,
решение находим по формуле:  x 
arccosa2n,
nZ
.

cos
x  0 
x

2  2n;

           Частные
случаи: cos
x 1
x

2n;
cos
x  1
x

2n.


3)tgx 
a
x

arctga
n,nZ
.

36

4)ctgx

a
x

arcctga
n,nZ
.

Примеры.

1.
Решить
уравнение sin x         2 .
2
Решение: x

1n
arcsin 2 n,nZ
,
т.е. x

1n

n,nZ
.

                                                                  2                                               4
2.
Решить
уравнение cos x2x


       3
                                                                                     4
        2
Решение:
2x
 
arccos
23


2n,nZ
;

                               4                 
2x


 5 
2n,nZ
;

4           6 x 


5
n,nZ
.

                             8      6
4.2. Тригонометрические
уравнения, приводимые к квадратным.

Уравнения вида Asin2
x  Bsin
x C 
0,
где A

0,
решаются приведением к квадратному путем замены sin x 
y.
(аналогично решаются уравнения с другими тригонометрическими функциями).
Примеры.

3.
Решить
уравнение   2sin2 x
sin
x 1
0.

    Решение:
 Введем новую переменную y

sin
x.
Тогда данное  уравнение можно записать в виде 2y2 
y
1
0.
Мы получили квадратное уравнение. Его
1
и  y2 1.
Следовательно, sin x 
или sinx

1.
корнями служат y1 
2
В первом случае получим решения
                                x

1k
arcsin  n,

                                т.е. x 
1n  n, nZ . 6
  Во втором случае  имеем: x



2n,
nZ
.

2
4.
Решить
уравнение 6sin2 x
5cos
x 2 
0.
Решение:
Заменяя sin2
x 1cos2
x , получим относительно cos x
квадратное   уравнение    6(1cos2 x)
5cos
x  2 
0
                     6cos2
x 5cos
x  4 
0
6cos2
x 5cos
x 4 
0
37
 Введем новую переменную y

cos
x.
Тогда 6y2 5y
4

0,
откуда y1 
 или y2
1 . Уравнение cos
x 1
не имеет решений, т.к.1
1
.
Решая
                уравнение                                cos
x               находим:

x  arccos
1

2n

x

 2

2n,nZ
.

                               2                           3
5. Решить
уравнение   tgx 3ctgx

0.

                                                                                1                                      3
                     Решение:
Заменяя ctgx      , получим tgx
         0,
откуда, т.к.
                                                                                tgx                                   tgx
tgx

0,
получаем  tg2x3

0.
Введем новую переменную y  tgx.
Тогда y2

3,
откуда y1 
3
или y2

3.
Следовательно,
                   tgx
       3

x

 n,
nZ
и tgx

 3  x

n,
nZ
.

33

4.3. Однородные
тригонометрические уравнения.
Однородные тригонометрические уравнения имеют ту же структуру, что и однородные уравнения любого другого
вида.  Отличительные признаки однородных уравнений:
а) все одночлены имеют одинаковую степень,
б) свободный член равен нулю,
в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными
основаниями.
Однородное тригонометрическое уравнение
– это уравнение двух видов:               asin
x bcos
x  0, ab

0
(однородное уравнение первой степени) либо
        asin2 x
bsin
xcos x ccos2 x

0,
abc

0 (однородное
уравнение второй степени).
Алгоритм
решения однородного уравнения первой степени:             1)
разделить обе части уравнения на cosx
(или на sin x). Делить можно на
число, не равное 0, а cosx  0,
т.к. в противном случае
asinx b0

0
и sinx

0,
следовательно sin2 x
cos2
x  0,
что неверно;
                                                                                sin
x                cos x
2)
воспользоваться
формулой tgx              (ctgx   );
                                                                                cos
x                sin x
3)
решить
получившееся уравнение.

Пример.
6.
Решить
уравнение   sin x 3cos
x  0.

Решение: sin
x 3cos x 
0
- однородное уравнение.  Разделить обе части уравнения на cosx.

sin x
Получим            
cos x

cos
  x           0
3       ,
  tgx
  
  cos
  x         cos x
38

3 
  0,
  tgx
  
   3

x 
arctg(
3)
n,
nZ
,
x


n,
nZ
.
3
Ответ: x 
 n,
nZ
3
Алгоритм
решения однородного уравнения второй степени:             1)
разделить обе части уравнения на cos2
x (или на sin2
x). Делить можно на число, не равное
0, а cos2
x  0,
т.к. в противном случае
cos x 
0,asin2
x bsin
x0c0

0
и sin
x  0,
следовательно sin2 x
cos2
x  0,
что неверно;
2)
воспользоваться
формулой tgx  sin x
(ctgx

cos x );

                                                                                cos
x                sin x
3)
решить
получившееся уравнение.

Примеры.
7.
Решить
уравнение 4sin2 x
3sin
xcos x 7cos2
x  0.
Решение:
4sin2 x
3sin
xcos x 7cos2
x  0
- однородное  уравнение. Разделим обе части уравнения на cos2
x.
                                            sin2 x        sin
xcos x        cos2
x
            Получим
4cos2 x
3      cos2 x     7
cos2 x
 0.

4tg2x
3tgx
7

0.
Замена переменной : y  tgx
         4y2 3y
7

0
D 
b2
4ac

9112
121,
y
 b
           D
 311,
y1
1,
y2

13
                                                                                2a                8                                   4
tgx
1
,  x

 n,
nZ
;

4
3
 13
n,
nZ
.

tgx

1
,  x

arctg
4
     4
Ответ: x
  n,
nZ
;
x

arctg13
n,
nZ
.

                                               4                                            4
8. Решить
уравнение 2sin2 x
sin2x
2cos2
x 1.

Решение:
Применим формулы sin2x

2sin
xcos x, 1
cos2
x sin2
x.  Получим
2sin2
x  2sin
xcos x 2cos2
x  cos2
x sin2
x, sin2
x  2sin
xcos x 3cos2
x  0-
однородное  уравнение. Разделим обе части уравнения на cos2
x.   sin2 x
sin
xcos x cos2
x
            Получим
cos2 x

2     cos2 x      3cos2 x

0.

tg2x 
2tgx
3

0.
Замена переменной : y  tgx
         y2 
2y
3

0
y1 1,
y2 3
tgx 1
,  x

 n, nZ ;
4
tgx
3
,  x

arctg3n,
nZ
.

39
Ответ: x

 n,
nZ
;
x

arctg3n,
nZ
.

4

4.4. Решение
тригонометрических уравнений, введением вспомогательного угла.
Рассмотрим уравнение вида: asin
x bcos
x  c,
a,b,c  0.

Разделим
обе части уравнения на a2 b2 .
Получим a   b          c sin x cos
x  .
14a224b32 14a224b32 14a224b32
           cos                              sin                                 C
Теперь коэффициенты уравнения обладают
свойствами синуса и кос инуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого
из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их
соответственно как cos
иsin
( здесь - так называемый вспомогательный
угол ), и наше уравнение принимает вид: cossin
x sincos
x  C
или sinx
C
и его решение
x

1n
arcsinC n,
nZ
,
где 
arccos         a        
arcsin       b        .

                                                                                a2 b2                                         a2 b2
Заметим, что cos
иsin
взаимно заменяемы.
Пример.
9. Решить
уравнение 3sin x cos
x 1.

                     Решение:
Здесь a 3,
b 1,        a2 b2 
2.

3
Делим
обе части уравнения на 2. Получим  sin x cos
x , 2
откуда
cossin x sincos x 
1 и
sinx


1
.

            6                  6              2                6
    2
Решив последнее уравнение, получим
x  
1n
arcsin 1
n,
nZ
;

6 2 x 
1n
 
n,
nZ
.

                         6     6

4.5. Решение
тригонометрических уравнений, используя  формулы преобразования произведения в
сумму и обратно.

Примеры.
10. Решить
уравнение 2sin2xsin6x

cos4x
Решение: Используя формулу sinsin
cos()
cos(),

40
получим  2sin2xsin6x

2cos(4x)
cos8x
cos4x
cos8x.
Тогда уравнение примет вид cos4x cos8x

cos4x,
откуда cos8x

0,

8x 

n,
nZ
,
x
 
n
, nZ
.

               2                              16      8

11. Решить
уравнение cos2xcos4xcos6xcos8x

0

Решение:
cos2xcos4xcos6xcos8x
0
Применим формулу  cos
cos
2coscos.

                                                                                2              2
2cos5xcos3x2cos5xcosx

0
2cos5x(cos3x cos
x)  0
Еще
раз применим формулу  cos
cos
2coscos,
получим
                                                                                2              2
4cos5xcos2xcosx

0
cos5x 
0
или          cos2x  0
или cos
x  0
5x 
 n,
nZ
2x
  n,
nZ
x

 n,
nZ
                       2                                                    2                                       2
x 
 n
, nZ
x
 
n
, nZ
                    10     5                                           4      2

4.6. Решение
тригонометрических уравнений с помощью x          2 x
                                                                                2tg                        1tg
                           универсальной
подстановки sin x           2
, cos
x              2
.

                                                                                1
tg2 x                   1
tg2 x
                                                                                2                             2
Пример.
12. Решить уравнение 3sinx
4cosx

3.
Решение: Возможны 2 случая:
1) tg
x не
существует, т.е. x  
k
,
x

2k
.
Тогда
                                 2                                          2     2
3sin(
2k)
4cos(
2k)

4

3.

                                                                                2tg
x                      1tg2 x
                   2) tg
x
существует и sin x           2
, cos
x              2
.

                                 2                                            1
tg2 x                   1
tg2 x
                                                                                2                             2
                                                                                2tg
x             1tg2 x
Тогда уравнение примет
вид:  3           2   
4            2

3.

                                                                                1
tg2 x          1
tg2 x
                                                                                2                    2
 Откуда

6tg
x 
4

4tg2
x 
33tg2
x ;

                                                                                2                  2                  2

41

tg2
x  6tg
x 7

0.

                                                                                2          2
                                                    x                            2              6y
7

0,
y1 1,
y2 7.

Делаем замену: tg  
y.
Имеем y

2
                          x                                     и
tg
x  7

x

2arctg7

2n,
nZ
.

Тогда
tg        1
x
      
2n,
nZ
                          2                   2                                2

Индивидуальные
практические задания №4  ИЗ № 4.

1. Решите
простейшее тригонометрическое уравнение.

          1.1.       2sin
x
2

0;
                                1.16.     3tgx
3

0;

          1.2.       3
3ctgx

0;
                                  1.17. 2cos
x
3

0;

          1.3.      2cos
x
3

0;
                               1.18.       2
2cosx
0;

          1.4.      3tgx

3

0;
                                 1.19.     3tgx
3

0;

          1.5.       3

2sin
x  0;
                               1.20. 3tgx
    3

0;

1.6. 3ctgx
3

0;
1.21.
3

2sin
x  0;
1.7.
2cosx
2

0;
1.22.
12sinx

0;

          1.8.      12cosx

0;
                                   1.23. 2sin
x      3 
0;

          1.9.     2sin
x     3 
0;
                                 1.24. 2sinx1
0;

          1.10.      3ctgx
3
0;
                                1.25.      2
2sin
x
0;

1.11. 3ctgx

3

0;
1.26.
3
tgx

0;
1.12.
2sinx1
0;
1.27.
2cosx
2

0;

1.13. 2sin
x
2

0;
    1.28. 3 2cos
x  0;
1.14.
3tgx
3

0;
  1.29.
3ctgx
 3

0
;
1.15.
   3
2cos
x  0;
         1.30. 2cosx1
0.

2. Решите
простейшее тригонометрическое уравнение.

          2.1. sin
1
х 
 1 ;                          2.7.   sin2х

 1 ;
                                 
2      6
    2                                                                6
    2
          2.2. cos
1
х 
  2 ;                        2.8. cos
1
х  3
    ;
                                  
2      4
         2                                                   
2        4

          2.3. sin
1
х  5
 3 ;                         2.9. sin
1
х  2
 2 ;
                                 
2        6
      2                                                    
2        3
      2
          2.4. sin
1
х 
  1 ;                      2.10. cos
1
х 
  1 ;
                                 
2      3
       2                                                     
2      3
       2
          2.5. cos
1
х 
 1 ;                        2.11. sin2х

  1 ;
                                  
2      6
    2                                                               3
       2
          2.6. sin
1
х  3
    ;                  2.12. cos2х
3

  12 ;
                                 
2        4
                                                             
42
       2.13. cos
1
х  2
 2 ;                       2.22. sin
х

   2 ;
                                  
2        3
      2                                                   
3    6
      2
        2.14. cos2х

2
  2 ;                     2.23. cos2х
6

 12 ;
                                            3
      2                                                     
        2.15.  sin2х

   2 ;                    2.24. sin
3х
4

  23 ;
                                          4
         2                                                   
       2.16. cos2х

5
  3 ;                    2.25. cos3х

56
 12 ;
                                            6
      2
        2.17. cos2х

   2 ;                    2.26. sin2х

23
 22 ;
                                          4
         2
       2.18. sin
1
х 
  2 ;                   2.27. cos
3х
 23

 22 ;
                                 
2      4
         2
       2.19. cos2х

3
  3 ;                   2.28. sin2х

56
 23 ;
                                            4
         2
       2.20. sin3х

2
  1 ;                   2.29. cos
3х
6

  23 ;
                                           3
        2                                                    
       2.21. cos
1
х  5
 3 ;                     2.30. sin2х

34
  23 .
                                  
2        6
      2                                                    

3. Решить
простейшее тригонометрическое уравнение.

          3.1. tg2х

2
 3 ;                      3.11. ctg2х
6 
 0;
                                         3
      3                                                       
          3.2. ctg
х

2
 1;                     3.12. tg
3х
4

  3 ;
                                  
3     3
                                                             
          3.3. tg2х
 5
 3
;
                      3.13. ctg
12
х 6

1;

                                         6
                                                               
          3.4. ctg
х

  3 ;                      3.14. ctg
12
х 4

  33 ;
                                 
3    6
        3                                                      
          3.5.   ctg2х

  3 ;                      3.15. tg
12
х  56
 0;
                                          4
      3
          3.6. tg
1
х

 1;                     3.16. tg
12
х 3

 1;
                               
2      4

          3.7.   ctg2х

3
  3;                  3.17. ctg12
х 6

 0;
                                            4

          3.8. tg3х
 2
1;                    3.18. ctg
12
х  34
        3 ;
                                         3

          3.9. ctg
1
х  5
 3 ;                   3.19. tg2х
6 
1;

                                 
2        6
      3
        3.10. tg
х 
 1;
                       3.20. ctg
12
х  34
 33 ;
                               
3    6

43

    3.21. tg
1
х  2
 3 ;                           3.27.
                            
2        3

3.22. ctg
1 х 
 1;
    3.28.  2       3

3.23. tg2х

1;      3.29.
                                     3

       3.24. ctg2х

  3 ;                         3.30.
                                       3

    3.25. cos
1
х  2
  2 ;
                               
2        3
      2
     3.26. ctg2х

2
  3 ;
                                         3
      3

4. Решить
тригонометрическое уравнение:

4.1. 2sin2
x 5sin
x  2 
0;
4.16.
4.2. cos2
x 3cos
x  2 
0;
4.17.
4.3. 2sin2
x 3sin
x 1
0;
4.18.
4.4. tg2x
3tgx

2

0;
4.19.
4.5. 2cos2
x 3cos
x 2 
0;
4.20.
4.6. 2cos2 x
2cos
x  0
4.21.
4.7. 4sin2
x  4sin
x 3 
0;
4.22.
4.8. 2sin2
x 5sin
x 3 
0
4.23.
4.9. 2sin2
x 3sin
x 2 
0
4.24.
4.10. 2sin2sin
x 1
0;
4.25.
4.11. cos2
x cos
x 2 
0
4.26.
4.12. 2sin2
x sin
x  0;
4.27.
4.13. 2cos2
x 3cos
x 1
0;
4.28.
4.14. 4cos2
x 8cos
x 3 
0;
4.29.
4.15. 3ctg2x
5ctgx

2

0;
4.30.

5. Решить
тригонометрическое уравнение:

5.1. 2cos2
x sin
x 1
0;
5.11.
5.2. 4sin2
x 8cos
x 7 
0;
5.12.
5.3. cos2
x 3sin
x 3 
0;
5.13.

        5.4.     tgx
3ctgx

4;
                                5.14.
5.5. 2sin2
x cos
x 1
0;
         5.15. 5.6.     5sin2
x 6cos
x 6 
0;
       5.16. 5.7.     tgx

4ctgx
5

0;
      5.17.
5.8. cos2
x sin
x 1
0;
5.18.
5.9. 2cos2
x 3sin
x 3 
0;
5.19.
5.10. tgx
2ctgx
1
0; 5.20.
44
 tg2х


1;

              4

ctg2х

5
 0;
                 6

tg2х

3
  3 ;
              4

ctg3х

2
1.

                 3


4sin2 x
4sin
x 3 
0;
2cos2
x cos
x 1
0;

2sin2 x
2sin
x  0 2sin2
x 3sin
x  2 
0
3tg2x
tgx

2

0;

2cos2 x
cos
x 3 
0
2sin2 x
3sin
x 1
0;

4sin2 x
3

0;
4cos2
x 8cos
x 3 
0;
sin2
x sin
x 2 
0;
ctg2x
5ctgx
6

0;

2cos2 x
cos
x  0;
sin2
x 3sin
x  2 
0;
2cos2
x 5cos
x 3 
0;
2sin2
x sin
x 3 
0.

2sin2
x 3cos
x  0 tgx

4ctgx
5

0;
8sin2
x cos
x 1
0;
tgx

4ctgx
5

0;
2cos2
x sin
x 1
0;
sin2
x cos
x 4 
0;
tgx
4ctgx
3

0;
2cos2
x 5sin
x  0;
tgx

2ctgx
3

0;
sin2
x 3cos
x 1
0;

             5.21. 2cos2
x 3sin
x 3 
0;
                      5.26. tgx 
2ctgx

3;

             5.22. 2sin2
x 3cos
x  0;
                            5.27. 6sin2
x 5cos
x 2 
0;

5.23. 2ctgx
3tgx
5

0;
      5.28. 2sin2 x
3cos x 3

0;
5.24.
4cos2
x 4sin
x 1
0;
       5.29. 2cos2 x
sin
x 1
0;

            5.25. 2cos2
x 5sin
x 5 
0                         5.30. tgx
5ctgx
6

0.

6.
Решить
тригонометрическое уравнение:

6.1.
sinx
5cosx

0;
        6.16. 3sinx cosx

0;

6.2.
sin
x     3cos x 
0;
   6.17.
2sinx
3cosx

0;

6.3.
sinx
2cosx

0;
        6.18. sin x 
4cos
x  0;

6.4.
sin
x cos x 
0;
        6.19. 3sin x cos
x  0;

6.5.
4sinx
cosx

0;
        6.20. sinx 2cosx

0;

6.6.
5sin
x cos x 
0;
       6.21. 5sin x 
2cos
x  0;

6.7.
3sinx
2cosx

0;
      6.22. 4sinx cosx

0;

6.8.
3sinx
cosx

0;
        6.23. 3sinx 2cosx

0;

6.9.
3sin x   3cos
x  0;
   6.24.
3sin
x  cos x 
0;

6.10.
2sinx
cosx

0;
        6.25. 2sinx cosx

0;

6.11.
sin
x cos x 
0;
6.26.
sin
x 3cos x 
0;
6.12.
5sinx
3cosx

0;
6.27.
sinx
4cosx

0;

6.13.       sin
x 3cos x 
0;
       6.28. 5sin x cos
x  0;

6.14.       3sin x    3cos
x  0;
   6.29.
3sinx
5cosx

0;
6.15.
sinx
5cosx

0;
 6.30.
2sinx
3cosx

0.

7.
Решить
тригонометрическое уравнение:

7.1.
2sin2
x 3sin
xcos x 5cos2
x  0;
      7.16. sin2 x
5sin
xcos x  4cos2
x  0;

7.2.
3sin2
x sin
xcos x 2cos2
x  0;
        7.17. 3sin2 x
5sin
xcos x 8cos2
x  0;

7.3.
sin2
x 4sin
xcos x 5cos2
x  0;
        7.18. sin2 x
5sin
xcos x 6cos2
x  0;

7.4.
4sin2
x 3sin
xcos x 7cos2
x  0;
      7.19. 2sin2 x
3sin
xcos x cos2
x  0;

7.5.
3sin2
x  2sin
xcos x cos2
x  0;
       7.20. 3sin2 x
sin
xcos x 4cos2
x  0;

7.6.
2sin2
x 3sin
xcos x cos2
x  0;
        7.21. sin2 x
4sin
xcos x 3cos2
x  0;

7.7.
sin2
x 7sin
xcos x 6cos2
x  0;
        7.22. 2sin2 x
sin
xcos x 3cos2
x  0;

7.8.
3sin2
x 4sin
xcos x 7cos2
x  0;
      7.23. 3sin2 x
5sin
xcos x  2cos2
x  0;

7.9.
4sin2
x 3sin
xcos x cos2
x  0;
        7.24. 4sin2 x
sin
xcos x 5cos2
x  0;

7.10.
2sin2
x 5sin
xcos x 7cos2
x  0;
      7.25. sin2 x
7sin
xcos x 8cos2
x  0;

7.11.
3sin2
x 4sin
xcos x cos2
x  0;
        7.26. 2sin2 x
3sin
xcos x 5cos2
x  0;

7.12.
4sin2
x 5sin
xcos x cos2
x  0;
        7.27. 4sin2 x
sin
xcos x 3cos2
x  0;

7.13.
3sin2
x 2sin
xcos x 5cos2
x  0;
      7.28. 3sin2 x

2sin
xcos x 5cos2
x  0;

7.14.
sin2
x 7sin
xcos x 6cos2
x  0;
        7.29. 2sin2 x
5sin
xcos x 7cos2
x  0;
7.15.
3sin2
x 5sin
xcos x  2cos2
x  0;
  7.30.
4sin2
x 5sin
xcos x 9cos2
x  0.

8.
Решить
тригонометрическое уравнение:

45

8.1.
4sin2
x sin2x

3;
8.16.
8.2. sin2x
8sin2
x  5;
8.17.
8.3. 10cos2
x 2sin2x

3;
8.18.
8.4. cos2x
8sin2
x  6
2sin2x;
8.19.
8.5. sin2x2cos2x
1;
8.20.
8.6. sin2x
cos2x

2cos2
x; 8.21. 8.7. 6cos2
x sin2x

cos2x

2
8.22.
8.8. cos2
x 3sin2
x  2sin2x;
8.23.
8.9. 6sin2
x 2sin2x

5;
8.24.
8.10. 4sin2
x sin2x
1;
8.25.
8.11. cos2x2sin2x2

0;
8.26.
8.12. 2cos2
x  2sin2x

3;
8.27.
8.13. 2cos2x

2sin2
x  5
4sin2x;
8.28.
8.14. sin2x

4cos2
x 1;
8.29.
8.15. 2sin2x

32sin2
x; 8.30.

4cos2 x

2sin2
x  3sin2x;

1 4sin2
x  3sin2x;

2sin2x 
2cos2
x 1;

3sin2 x
sin2x

2;
2cos2
x  4sin2x

2cos2x
3;
sin2x

4sin2
x 1;
2sin2
x 2sin2x
1
0;
cos2x

4sin2
x  sin2x;
6sin2
x cos2x
3sin2x

0;
cos2x

2sin2x

8cos2
x 2;

4sin2 x

3
2sin
xcos x;
4cos2 x
sin2x
1;

2sin2 x

2sin2x
1;

4cos2 x
1
3sin2x;

9.     Решить
  тригонометрическое уравнение:

9.1.
  3sin x cos
  x 1;
       9.16. sin x cos
  x 1;

9.2.
  sin
  x  3cos x 
   2 ;          9.17. sin
  x   3cos x 
  2;

9.3.
  3sin
  x cos x 
  1;   9.18. 3sin
  x  cos x           2
  ;

9.4.
  sin x cos
  x  1;
      9.19. sin x   3cos
  x  2;

9.5.
  3sin x cos
  x            2
  ;
       9.20. sin x   3cos
  x 1;

9.6.
  sin x  3cos
  x  1;
    9.21. 3sin x 
  cos
  x   3
  ;

9.7.
  3sin x cos
  x   2
  ;
   9.22.
3sin
  x  cos x 
  2;

9.8.
  sin
  x  3cos x           2
  ;
       9.23. sin x   3cos
  x   3;

9.9.
  3sin x cos
  x            3;
        9.24. 3sin x cos
  x  1;

9.10.
  sin
  x  3cos x 
   2 ;          9.25. sin
  x   3cos x           3
  ;

9.11.
  3sin x cos
  x   3;
   9.26.
3sin
  x cos x 
  2;
9.12.
  sin x  3cos
  x           2
  ;
       9.27. sinx cosx
  1;

9.13.
  3sin
  x cos x 
  2;
      9.28. 3sin x cos
  x            3
  ;

9.14.
  sinx cosx
  
  1;     9.29. sin
  x   3cos x 
   3 ;
9.15.     3sin
  x cos x 
  2;   9.30. 3sin
  x cos x 
   2

10. Решить
  тригонометрическое уравнение:

10.1.
  2sin3xsin5x
  cos2x
  
  0;
    10.8. 2sinxsin5xcos6x
  
  0;
  10.2.
2cos2xcos4x
  cos6x
  
  0;
    10.9. 2cos3xsin4xsin7x
  
  0;

10.3.       2sin2xsin4xcos2x
  
  0;
    10.10.
10.4.       2cos3xcos7x
  cos4x
  
  0;
           2cos5xcos7x
  cos12x
  
  0;

10.5.       2sin3xsin4xcos7x
  
  0;
     10.11. 2sin xsin2x
  cos3x
  
  0;

10.6.       2cos2xsin4x
  sin2x
  
  0;
   10.12. 2cos3xcos5x
  cos2x
  
  0;

10.7.       2sin2xsin4xcos6x
  
  0;
    10.13. 2sinxcos3x
  sin4x
  
  0;

46

10sin2 x

3
2sin2x.

10.14. 2cos2xcos4xcos2x

0;

10.15. 2sin3xsin7xcos4x

0;

10.16. 2sinxcos3x
sin2x

0;

10.17. 2cos
xcos3xcos4x

0;

10.18. 2sinxsin3xcos2x

0;

10.19. 2cosxcos5x
cos6x

0;

10.20. 2cos
xsin5x
sin6x

0;

10.21. 2sin5xsin7xcos12x

0;

10.22. 2cos3xcos4x
cos7x

0;

10.23. 2cos3xsin5xsin2x

0;

10.24. 2sin
xsin3x
cos4x

0;

10.25. 2cosxcos2xcos3x

0
10.26. 2sin3xcos7xsin4x

0;

10.27. 2sinxsin4x
cos3x

0;

10.28. 2cosxcos3xcos2x

0;

10.29. 2cos2xsin4x
sin6x

0;

10.30. 2cos
xcos4xcos3x

0.

11.
Решить
тригонометрическое уравнение:

11.1.       sin
xsin3xsin5xsin7x

0;
 11.16.
cos3xcos5x

sin
x;

11.2.       cos2xcos6x

cos4x;
  11.17.
cos3xcos5xcos7xcos9x

0;

11.3.       sin5x
sin3x

cos4x;
 11.18.
cos7x
cosx

cos3x;

11.4.       sin
xsin3xsin5xsin7x

0;
 11.19.
cos4xcos10x

2cos7x;

11.5.       cosx
cos3x

cos2x;
 11.20.
cosxcos3xcos5xcos7x

0;

11.6.       sin6x
sin2x

2cos4x;
        11.21. sin2x sin4x

sin3x;

11.7.       cos2xcos4x
cos6xcos8x

0;
11.22.
sin3xsin5xsin7xsin9x

0;

11.8.       sin5x
sinx

2cos3x;
 11.23.
cos2x
cos6x

sin4x;

11.9.       cosx
cos5x

sin3x;
  11.24.
sin2xsin4x
sin6x
sin8x

0;

11.10.  cos3xcos5xcos7xcos9x

0;
11.25.
cos
xcos7x

2sin4x;

11.11.  sin2x
sin8x

sin5x;
 11.26.
sin3xsin5xsin7xsin9x

0;

11.12.  sin7x
sinx

cos4x;
  11.27.
sin3x
sin7x

2sin5x;

11.13.  cos
xcos9x

2cos5x;
 11.28.
cos
xcos3xcos5xcos7x

0;

11.14.  sin2xsin4xsin6xsin8x

0;
11.29.
sin5x
sinx

cos3x;
11.15.
sin7x
sinx

sin4x;
11.30.
cosx
cos9x

2sin5x.

12.
Решить
тригонометрическое уравнение:

12.1.       3cos
x  2sin x 2;
     12.15. 43cos
x  4sin x;

12.2.       3sinx
cosx

3;
        12.16. 4sinx 5cosx

4;

12.3.       2cos
x  sin x 1;
       12.17. 5cos x 
sin
x 1;

12.4.       4cos
x  3sin x 3;
     12.18. 3cos x 
sin
x 1;

12.5.       33sinx

2cosx;
     12.19. 7cosx 
3sinx
3;

12.6.       5sinx
7cosx

5;
    12.20. cosx  3sinx
3;

12.7.       2sin
x 3cos x 
2;
   12.21. 5cos x 
3sin
x 3;

12.8.       sinx
2cosx

1;
      12.22. 3sinx
cosx

3;

12.9.       3sin
x 2cos x 
3;
     12.23. 7cos x 
5sin
x 5;

12.10.  3sin
x 4cos x 
3;
   12.24. 2sin x cos
x  2;

12.11.  3cosx

2sinx
2;
      12.25. 3sinx 5cosx

3;

12.12.  7sinx
5cosx

7;
      12.26. 5sinx 
53cosx;

12.13.  5cos
x  4sin x 4;
     12.27. 2sin x cos
x  2;

12.14.  43cosx

4sinx;
     12.28. 2cosx

2sinx;

47
          12.29. 7sin
x 9cos x 
7;
                         12.30. 9cos x 
7sin
x7.

§
5. Тригонометрические неравенства. Определение:
Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком
тригонометрической функции, называется тригонометрическим неравенством.
 К простейшим тригонометрическим
неравенствам относятся следующие 16 неравенств:           sin
x  a,
sin
x  a,  sin
x  a, sin
x  a
; cosxa,
cosxa,
cosxa, cosxa
; tgx

a,
tgx

a,
tgx

a, tgx

a
; ctgx

a,
ctgx

a,
ctgx

a, ctgx

a
;
Здесь x является неизвестной
переменной, a может быть любым действительным числом.

5.1. Неравенства
вида sin x  a,
sin
x  a,
sin
x  a, sin
x  a.

                                         Рис.1                                                   Рис.2

1.
Неравенство
sin
x  a.

При a 1
неравенство sin x  a
не имеет решений.
При a 
1
решением неравенства sin x 
a
является любое действительное число.
При 1
a
1
решение неравенства sin x 
a
выражается в виде  arcsin a2n

x
arcsina2n,
nZ
(рис.1).

2.
Неравенство
sin
x  a.

При a 1
неравенствоsin x  a
не имеет решений. При a  1
решением неравенстваsin x 
a
является любое действительное число.
При  a
1
решение неравенства  sin x 
a
сводится к решению уравнения  sin x 1
48
При 1
a
1
решение неравенстваsin x 
a
выражается в виде  arcsin a2n

x
arcsin
a
2n,
nZ
(рис.1).

3.
Неравенство
sin
x  a.

При a 
1
неравенствоsin x  a не
имеет решений. При a 1
решением неравенстваsin x 
a
является любое действительное число.
При 1
a
1
решение неравенстваsin x 
a
выражается в виде  arcsin
a2n

x

arcsin
a
2n,
nZ
(рис.2).

4.
Неравенство
sin
x  a.

При a 
1 неравенствоsin
x  a
не имеет решений. При a 1
решением неравенстваsin x 
a
является любое действительное число.
При  a

1
решение неравенства  sin x 
a
сводится к решению уравнения  sin x 
1.

При 1
a
1
решение неравенстваsin x 
a
выражается в виде  arcsin
a2n

x

arcsin
a
2n,
nZ
(рис.2).

Примеры.

1.
Решить
неравенство sin x   23
.

Решение.
Отмечаем на оси  синусов  значение
23
.
Все значения sin x
2.
Решить
неравенство sin1
x  3
2
.

                                                                                3        4
      2
49
Решение.
                 Обозначим    x 
3  за u .  Получим неравенствоsinu
 2
.

                                                               4                                                                          2
Отмечаем на
оси  синусов  значение 22 .
Все значения sinu
меньшие   расположены ниже точки      2 на оси синусов. 2
                4                3        4      4
-
5
3
2n

1
x 
3
2n,
nZ
;

                4       4                3        4      4
1 
-
2
2n

x

 2n,
nZ
;

                                       3           2
3 Ответ:
6
6n 
x
             6n, nZ .
2
5.2. Неравенства
вида cosx  a,
cosx

a,
cosxa, cosxa.

                                         Рис.3                                                   Рис.4

1.
Неравенство
cosx

a.

50
При a 1
неравенство cosx  a не
имеет решений.
При a 
1
решением неравенства cosx  a
является любое действительное число.
При 1
a
1
решение неравенства cosx  a
выражается в виде  arccosa2n

x

arccosa2n,
nZ
(рис.3).
2.
Неравенство
cosxa.

При a 1
неравенствоcosxa не
имеет решений. При a  1
решением неравенстваcosxa
является любое действительное число.
При  a
1
решение неравенства  cosxa
сводится к решению уравнения  cos x 1
При 1
a
1
решение неравенстваsin x 
a
выражается в виде  arccosa2n

x

arccosa2n,
nZ
(рис.3).

3.
Неравенство
cosxa.

При
a

1
неравенствоcosxa
не имеет решений. При a 1
решением неравенстваcosx  a
является любое действительное число.
При 1
a
1
решение неравенстваcosx  a
выражается в виде  arccosa
2n

x

2arccosa
2n,
nZ
(рис.4).

4.
Неравенство
cosxa.

При a 
1
неравенствоcosxa
не имеет решений. При a 1
решением неравенстваcosxa
является любое действительное число.
При  a

1
решение неравенства  cosxa
сводится к решению уравнения  cos x 
1.

При 1
a
1
решение неравенстваcosxa
выражается в виде  arccosa2n

x

2arccosa2n,
nZ
(рис.4).

Примеры.

3. Решить
неравенство cos x  .
Решение.
Отмечаем на оси  косинусов  значение  .
Все значения cosx меньшие  расположены левее точки  на оси косинусов.
    arccos
1 
,
2arccos
1  2

5.
                       2     3                        2              3      3
51

 2n,
nZ
4. Решить
неравенство cos3x
53
22
.


Решение.
               Обозначим 3x 
5  за u .  Получим неравенствоcosu

  2
.
                                                              3                                                                              2
                 Отмечаем на оси  косинусов  значение        .
Все значения cosu
2 
  34.

2 

5.3. Неравенства
вида tgx  a,
tgx

a,
tgx

a, tgx

a.

52

                                         Рис.5                                                   Рис.6

1.
Неравенство
tgx

a.

При любом действительном a
решение неравенства имеет вид:
arctga
n

x
n,
nZ
(рис.5).
2

2.
Неравенство
tgx

a.

При любом действительном a
решение неравенства имеет вид:
arctga
n

x
n,
nZ
(рис.5).
2

3.
Неравенство
tgx

a.

При любом действительном a
решение неравенства имеет вид:

            n

x

arctga
n,
nZ
(рис.6).
2

4. Неравенство
tgx

a.

При любом действительном a
решение неравенства имеет вид:

            n

x

arctga
n,
nZ
(рис.6).
2
Примеры.

5.
Решить
неравенство tgx 1.
Решение.
Отмечаем на оси тангенсов  значение 1. Указываем все значения
тангенса, меньшие 1 –ниже 1.
53

Отмечаем все точки тригонометрического круга, значение тангенса
в которых будет меньше 1.  Для этого мы  соединяем каждую точку оси тангенсов
ниже 1 с началом координат; тогда каждая проведенная прямая пересечет дважды
тригонометрический круг.
Учитывая, что   период тангенса равен ,
запишем ответ в
виде:n

x
n,
nZ
.

                                     2                    4
6.
Решить
неравенство tg2x

2
3.

                                                                                      3

Решение.
2
Обозначим 2x
     за u .
Получим неравенствоtgu 
3. 3
Отмечаем на
оси тангенсов  значение   3
. Указываем все

5.4. Неравенства
вида ctgx  a,
ctgx

a,
ctgx

a, ctgx

a.

54

                                         Рис.7                                                   Рис.8

1.
Неравенство
ctgx

a.

При любом действительном a
решение неравенства имеет вид: n

x

arcctga
n,
nZ
(рис.7).

2.
Неравенство
ctgx

a.

При любом действительном a
решение неравенства имеет вид: n

x

arcctga
n,
nZ
(рис.7).

3.
Неравенство
ctgx

a.

При любом действительном a
решение неравенства имеет вид:
arcctga
n

x
n,
nZ
(рис.8).

4.
Неравенство
ctgx

a.

При любом действительном a
решение неравенства имеет вид:
arcctga
n

x
n,
nZ
(рис.8).

Примеры.
7.
Решить
неравенство ctgx  3
.

3  Решение:

3
Отмечаем на
оси котангенсов  значение . Указываем все значения 3
котангенса,
большие       3 – правее     3
.
                                                                 3                        3
55

Учитывая,
что   период котангенса равен ,
запишем ответ в виде:
n

x
n,
nZ
.

3
8.
Решить
неравенство ctg3x
1.

                                                                                      6
Решение:
Обозначим 3x
  за u .
Получим неравенствоctgu 1. 6
Отмечаем на оси котангенсов  значение  -1. Указываем все значения котангенса, меньшие -1 – левее -1.

Индивидуальные
практические задания №5ИЗ № 5.

1.
Решите
простейшее тригонометрическое неравенство.

1.1.
3tgx
3

0;
  1.10.
2
2sin
x  0;

1.2.
2cos x
3

0;
         1.11. 3 tgx

0;

1.3.
2
2cosx
0;
  1.12.
2cosx
2

0;

1.4.
3tgx
3

0;
  1.13.
3
2cos
x  0;

1.5.
3tgx

3

0;
 1.14.
3ctgx
 3

0;

1.6.
3

2sin
x  0;
         1.15. 2cosx1
0;

1.7.
12sinx

0;
  1.16.
2sin
x
2

0;

1.8.
2sin x             3

0;
 1.17.
3
3ctgx

0;

1.9.
2sinx1
0;
   1.18.
2cos
x
3

0;

56
1.19.
3tgx
         3

0;
 1.25.
3ctgx
3

0;

1.20.
3

2sin
x  0;
     1.26. 3ctgx  3

0;

1.21.
3ctgx
3

0;
      1.27. 2sinx1
0;

1.22.
2cos
x  2 
0;
     1.28. 2sin x
2

0;

1.23.
12cosx
0;
1.29.
3tgx
3

0;
1.24.
2sin
x  3 
0;
1.30.
3
2cos
x  0.

2.
3. Решить
тригонометрическое неравенство.

3.1.2.1 tg2х

2
                                                       3
;
  3.11.2.11 ctg2х
6 
1;

                                3
      3                                                       
3.2.2.2 ctg
х

2
 1;                3.12.2.12 tg
3х
4

  3 ;
                        
3     3
                                                             
3.3.2.3 tg2х

5
                                                       3
;
  3.13.2.13 ctg
12
х 6

1;

                                6
                                                               
3.4.2.4 ctg
х

                                                          3
;
       3.14.2.14 ctg
12
х 4

  33 ;
                        
3    6
         3                                                      
3.5.2.5 ctg2х

 3 ;                  3.15.2.15 tg
12
х  56
 1;
                                4
      3
3.6.2.6 tg1
х 
 1;                 3.16.2.16 tg
12
х 3

 1;
                      
2      4

3.7.2.7 ctg2х

3
  3 ;            3.17.2.17 ctg
12
х 6

  3 ;
                                  4

3.8.2.8 tg3х

2
1;
             3.18.2.18 ctg12
х  34
 3 ;
                                3

3.9.2.9 ctg
1
х  5
                                                  3
;
  3.19.2.19 tg2х
6 
1;

                        
2        6
      3
3.10.2.10 tg
х

 1;               3.20.2.20 ctg
12
х  34
 33 ;
                      
3    6

57
3.21.2.21 tg
1
х  2
                                               3
;
 3.26.2.26 ctg2х
 2
 3
;

                      
2        3
                                                                        3
      3
3.22.2.22 ctg
1
х 
 1;              2.273.27.  tg2х


1;

                        
2      3
                                                                    4

3.23.2.23 tg2х
 1;
                2.283.28. ctg2х
 5
 3
;

                              3
                                                                           6
      3
3.24.2.24 ctg2х


 3 ;            2.293.29. tg2х
 34

 3 ;
                                3

3.25.2.25 cos
1
х  2
                                               2
;
 3.30.2.30 ctg3х
 2
1.
                         
2        3
      2                                                              3


58
Список литературы 1.
Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф.
образования. — М., 2014.
2.
Башмаков
М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. Пособие для
студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.
3.
Башмаков
М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред.
проф. образования. — М., 2014.
4.
Башмаков
М.И. Математика. Электронный учеб.-метод. комплекс для студ.
учреждений сред. проф. образования. — М.,
2015.
5.
Башмаков
М.И. Математика (базовый уровень). 10 класс. — М., 2014.
6.
Башмаков
М.И. Математика (базовый уровень). 11 класс. — М., 2014.
7.
Башмаков
М.И. Алгебра и начала анализа, геометрия. 10 класс. — М., 2013.
8.
Башмаков
М.И. Математика (базовый уровень). 10 класс. Сборник задач: учеб.
пособие. — М., 2008.
9.
Башмаков
М.И. Математика (базовый уровень). 11 класс. Сборник задач: учеб.
пособие. — М., 2012.
10.
Башмаков
М.И. Математика: кн. для преподавателя: метод. пособие. — М., 2013 Башмаков
М.И., Цыганов Ш.И. Методическое пособие для подготовки к ЕГЭ. — М., 2011.
11.
Галицкий
М.Л. Сборник задач по алгебре и началам анализа 10-11 класс: Учеб.
пособие. – М.: Просвещение, 1999.
12.
Гусев
В.А., Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика для профессий и специальностей
социально-экономического профиля: учебник для студ. учреждений сред. проф.
образования. — М., 2014.2. Алгебра и начала анализа. 10–11 кл.: Учеб.-метод.
пособие/ М.И. Башмаков, Т.А. Братусь, Н.А. Жарковская и др. – М.: Дрофа, 2001.
– 240 с.: ил. – (Дидактические материалы).
13.
Ершова
А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и
началам анализа для 10–11 классов. М.: Илекса, 2005г.
14.
Контрольные
и самостоятельные работы по алгебре: 10 класс: к учебнику А.Г. Мордковича
«Алгебра и начала анализа. 10–11 классы» /М.А. Попов. – М.: Издательство
«Экзамен», 2008.
15.
Сканави
М.И. «Математика в задачах для поступающих в вузы», – М.:
издательство «АСТ», 2010г.
Интернет-ресурсы
www.fcior.
edu. ru (Информационные, тренировочные и контрольные материалы).
www.school-collection.edu.ru (Единая коллекции цифровых образовательных
ресурсов).
www.math-ege.sdamgia.ru (Образовательный
портал для подготовки к экзаменам) www.resh.edu.ru  (Российская электронная
школа)

file_name: МУ по ВИПР по разделу_Основы тригонометрии (1).pdf

alt: МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И

alt: ИЗ №5……………………………………………………………………

alt: Котангенс определён для всех углов, кроме    n , n 

alt: Основные тригонометрические тождества

alt: Примеры. 1. Выразите в радианной мере величины углов: 50 0 , 216 0 ,  72 0

alt: Решение: Из основного тригонометрического тождества получим cos   1  sin 2 

alt: ИЗ № Индивидуальные практические задания №1 1

alt: Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если si

alt: 3.1. n   12 ,      ; 13 2 3.2. cos    0,6 ,    …

alt: 3.1. cos    3 ,      ; 5 2 3.2. sin    12 , 3  …

alt: Упростите выражение 4.1.  sin   cos   2  sin2  ; 5

alt: cos 3.1. (1  sin  )(1  sin  ) ; 1  cos   cos2  cos  5.15. ; sin2 …

alt: 3.1. sin2   cos3   cos2   sin3   sin  ; 3.2. sin2   sin3   cos2 …

alt: Докажите тождество. 4.1.  sin   cos   2   sin   cos   2  2 ;

alt: 3.1. ctg 2   cos 2   sin 1 2    sin 2  ; 3.2. 2sin   cos …

alt: Основные свойства: 1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x =π k , где k – целое

alt: Построить график функции y  sin2 x

alt: Период T функции y  cos x равен 2  , период функции y  cos3 x 2  составляет

alt: Рассмотрим композиционное правило, когда аргумент представляет собой линейную функцию: f ( kx  b ) , при этом k  0, b  0

alt: Оу в m раз. Пример 7

alt: Растягиваем вдоль оси Оу в 1,5 раза: y  cos x ; 2)

alt: Решение: Поменяем знак аргумента, получим, y (  x )   x  sin(  x )   x  sin x …

alt: Построить график функции. 2.1. y  2sin   x      6  2

alt: Построить график функции 1.1

alt: 2.24. y  3sin   x  2     3  2.25. y  1 cos  x  2 …

alt: Найдите область значений функции

alt: Обратные тригонометрические функции

alt: Арксинусом числа a    1;1  называется угол x      2 ;  2   , синус которого…

alt: Т.е. arctga  x  tgx  a , x     ;   

alt: Примеры.     3 1

alt: 1.8.   ; arctg 1 1.9. arcsin 1  arccos  23    arcctg (  1) ; 2  1.10. 3…

alt: Вычислите 2.1. sin   arccos 12   , tg  arcsin(  0,6)  ; 2

alt: 2.1. cos  arctg (  2)  , ctg   arcsin 3   ; 2.13. sin  arccos(  0,8)  ,…