extracted_text:
Работа с
одаренными детьми
 по математике в
5-6 классах

Учитель : Камышева Ирина Леонидовна

Перспективный план
работы с одаренными детьми по математике 2020-2021 учебный год

№

Мероприятия

Сроки

1

Входная
  диагностика развития ребенка, пополнение банка данных «одаренный ребенок» .

сентябрь

2

Выбор
  форм работы с учащимися, в том числе и дополнительного образования, на
  текущий учебный год с учетом диагностики и возрастных особенностей.

сентябрь

3

Участие
  в интеллектуальном конкурсе «Ак-Бота»

октябрь

4

Проведение
  олимпиады школьников по предметам:-математика

ноябрь

5

Пополнение
  банка педагогической информации по работе с одаренными детьми олимпиады по
  предметам,
-разработки
  интеллектуальных мероприятий,
-
  диагностические материалы по работе с одаренными учащимися

В течении года

6

Приобретение
  учебно-методической литературы, компьютерных программ для организации работы
  с одаренными детьми

В течении года

7

Интеллектуальные
  игры по математике

декабрь

8

Подготовка
  внеклассных мероприятий

январь

9

Изготовление
  наглядного материала для работы на уроках математики

март

10

Ярмарка
  достижений. Подведение итогов работы.

май

Талант-
это вера в себя, свою силу М. Горький
Что такое одарённость? Это подарок судьбы,
расположение звёзд при рождении или божественная тайна? Одарённость – стечение
трёх характеристик: интеллектуальных способностей, превышающих средний уровень,
креативности и настойчивости. Одарённый человек, словно яркая звёздочка на
небосклоне, требующая к себе особого внимания. Необходимо заботиться о нём,
чтобы он превратился в красивую, полную сил звезду. Кто-то сказал: «Судьба
ребёнка зависит от опыта и взглядов конкретного педагога, традиций ОУ,
жизненных амбиций родителей».
Система деятельности по организации работы
с одарёнными и талантливыми детьми я строю следующим образом:
 1. Выявление одарённых и талантливых
детей: анализ особых успехов и достижений ученика. Создание банка данных по
талантливым и одарённым детям. Диагностика потенциальных возможностей детей.
Психолого – педагогическое сопровождение детей.
2. Помощь одарённым учащимся в
самореализации их творческой направленности: факультативных, элективных курсов.
Организация и участие в интеллектуальных играх и марафонах, творческих
конкурсах, предметных олимпиадах, научно-практических конференциях.
 3. Контроль над развитием познавательной
деятельности одарённых и талантливых школьников: тематический контроль знаний в
рамках учебной деятельности. Контроль над обязательным участием детей данной
категории в конкурсах разного уровня.
4. Поощрение одарённых детей
5. Работа с родителями одарённых детей:
совместная практическая деятельность одарённого ребёнка, родителей и учителя.
6. Повышение профессионального мастерства
через курсовую подготовку и аттестацию. Использование возможностей Интернет.
7. Взаимодействие ОУ с другими структурами
социума для создания благоприятных условий развития одарённости

Цель :
организация работы с обучающимися, имеющими повышенный уровень мотивации,
включение обучающихся в исследовательскую деятельность и развитие их
математических способностей.

Основные задачи:
1.    Выявление
и развитие у обучающихся математических способностей.
2.     Овладение
конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в
практической деятельности.
3.    Интеллектуальное
развитие обучающихся, формирование качеств мышления, характерных для
математической деятельности.
4.    Формирование
представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимание
значимости математики для общественного прогресса.
5.    Формирование
навыков перевода различных задач на язык математики

Психолого-педагогические
основы развития одарённых учащихся в процессе обучения математике

§ 1. Понятия «одаренность» и «способности»

Одаренность.
Выражение
«одарённые дети» употребляется весьма широко. Если ребёнок обнаруживает
необычные успехи в учении или творческих занятиях, значительно превосходит
сверстников, его могут называть одарённым. Многочисленные труды (В.А.
Крутецкий, Ю. Д.Бабаева, М.А. Холодная, Н.С. Лейтес и др.) посвящены
рассмотрению понятия одарённый ребёнок, выявлению таких детей, особенностям
работы с ними, их психологическим проблемам.
Чтобы
разобраться в том, что такое «одаренность» и каких детей называют одарёнными
рассмотрим различные трактовки данного понятия.
Понятие
одарённость происходит от слова «дар» и означает особо благоприятные внутренние
предпосылки развития.
В толковом словаре под редакцией
Алабугиной одарённый определяется как талантливый. Талантливый –
человек с выдающимися природными способностями [55, с.249, 383].
В словаре Даля трактовки понятия
одаренность не приводится, однако автор приводит определение таланта. Здесь:
талантливый – даровитый, с природными способностями [14, с.643].
В Большом психологическом словаре под
редакцией Мещерякова талант трактуется как высокий уровень развития
способностей, проявляющихся в творческих видах деятельности [8].
Большая Советская Энциклопедия дает
следующее определение таланта: «Талант, выдающиеся способности, высокая
степень одарённости в какой-либо области» [7].
Помимо определения одаренности,
предлагаемых в словарях, рассмотрим несколько трактовок данного понятия
различными авторами.
«Одаренный
...человек, которому не надо учиться: он и так проложит себе дорогу ...», Э.
Кант [13, с.80].
«Одаренность
... есть интеллигентность. Интеллигентность есть способность мышления и
суждения», Э. Мейман, немецкий педагог и психолог [43, с.185].
«Одаренность
– результат длительного, подчиняющегося определенным закономер- ностям
процесса, суть которого заключается в выстраивании и обогащении индивидуаль-
ного ментального опыта», М.А. Холодная, российский психолог [57, с.288].
«Одаренными
называют тех, которые по оценке опытных специалистов, в
силу выдающихся способностей демонстрируют высокие достижения в одной или
нескольких сферах: интеллектуальной академических достижений, творческого или
продуктивного мышления, общения или лидерства, художественной деятельности,
двигательной сфере», Комитет образования США, (1972) [41, с. 153 - 154].
 «Одаренность
– результат сочетания трех характеристик: интеллектуальных
спо- собностей, превышающих средний уровень, творческого подхода и
настойчивости», Дж. Рензулли, американский психолог,
(1977) [41, с.226-230].
«Внутри
тех или иных специальных способностей проявляется общая одаренность
индивида, соотнесенная с общими условиями ведущих форм человеческой
деятельности», С.Л. Рубинштейн (1889 – 1960) российский психолог и философ [49,
с.480].
«Если
ребёнок обнаруживает необычные успехи в учении или в творческих занятиях,
значительно превосходит сверстников, его могут назвать одарённым», Ю. З.
Гильбух [13].
«Одаренность
... это чрезвычайно разнообразные сочетания способностей, от которых
зависит возможность
достижения большего или меньшего успеха в выполнении
той или иной деятельности», Б.М. Теплов, российский психолог [54, с.30].
«Одаренность
означает способность к той или иной деятельности, способность к быстрому
овладению умением выполнять эту деятельность и вносить в нее элементы
творчества. Одаренность может быть в области музыки живописи, скульптуры,
физики, математики, литературы» [40, с.59].
«Одаренность
– это системное, развивающееся в течение жизни качество психики человека,
которое определяет возможности достижения человеком более высоких (необычных,
незаурядных) результатов в выполняемой им определенной деятельности по
сравнению с другими людьми. Одаренный ребенок – это ребенок, который
выделяется яркими, очевидными, иногда выдающимися достижениями в том или ином
виде деятельности (в том числе и инициированной им самостоятельно)», Институт
психологии РАН, Институт психологии РАО [19, с.6].
«Одаренными
называют тех, кто показывает хорошие результаты или высокий уровень
способностей в одной или нескольких областях деятельности: общие
интеллектуальные способности, академические способности, продуктивное мышление,
способности к лидерству, художественные и артистические способности,
психомоторные способности», IV Международная конференция "Космос и
одаренность" [2].
«Одаренность –
развивающееся творчество. Наиболее общей характеристикой одаренности является
ярко выраженная познавательная потребность (стремление к новому знанию, способу
или условию действия), составляющая основу познавательной мотивации, которая у
одаренного ребенка доминирует над другими типами мотивации», российская
конференция РАО, 2001 [42, с.61].
Сравнивая
приведенные выше определения одаренности заметим, что основными
признаками одаренности служит наличие у человека выдающихся (высокого уровня)
способностей; а также развитый интеллект, опережающее развитие познания,
психологическое развитие, повышенный уровень умственного развития, творческий
подход, возможность достижения высоких результатов в различных видах
деятельности.
В работе
Б.М. Теплова "Способности и одаренность" он указывает: "При
установлении основных понятий об одаренности наиболее удобно исходить из
понятия способность. Три признака как, мне кажется, всегда заключаются в
понятии способность ...
Во-первых,
под способностями разумеются индивидуально-психологические особенности,
отличающие одного человека от другого...
Во-вторых,
способностями называют не всякие вообще индивидуальные особенности, а лишь
такие, которые имеют отношение к успешности выполнения какой-либо
деятельности...
В-третьих,
понятие способность не сводится к тем знаниям, навыкам или умениям, которые уже
выработаны у данного человека".
Действительно,
большинство приведенных выше определений понятия одаренность трактуется с
использованием слова «способности». Таким образом, понятие способности, на наш
взгляд, требует более подробного рассмотрения.
Способности
«Способности, индивидуальные
особенности личности, являющиеся субъективными условиями успешного
осуществления определённого рода деятельности. Не сводятся к знаниям, умениям и
навыкам; обнаруживаются в быстроте, глубине и прочности овладения способами и
приёмами деятельности. Высокий уровень развития способности выражается
понятиями таланта и гениальности», Большая Советская Энциклопедия [7].
Понятие таланта уже было рассмотрено в
первом пункте. Понятие же гениальности подробно описано в Большом
психологическом словаре: «Гениальность – высшая степень творческих проявлений
личности, выражающаяся в творчестве, имеющем выдающееся значение для жизни
общества» [8].
«Способность
– это такая деятельность, которая ориентирована на то существенное, что лежит в
основе большого числа частных явлений. В силу этого тот, кто овладел такого
рода деятельностью, в дальнейшем без всякого обучения успешно справляется с
любым частным явлением данного класса», Н. Талызина [53, стр. 272].
«Задатки
– врожденные, физиологические особенности человека,
которые служат основой развития способностей… Способности – это
формирующиеся в деятельности на основе задатков индивидуально-психологические
особенности, отличающие одного человека от другого, от которых зависит
успешность деятельности», Б.М. Теплов [54].
«Потенциально
из задатков может быть создано столько работающих способностей,
сколько существует каналов связи между окружающей средой и человеком с его
внутренним миром. Реально – в зависимости от организации учения и деятельности
человека на жизненном пути», В.В. Клименко, психолог [27, с.90].
«Развиваясь
на основе задатков, способности являются все же функцией не задатков, а
развития, в которое задатки входят как исходный момент, как предпосылки», Б.Г.
Ананьев, психолог [1, с.25].
«Психическое
развитие детей, обладающих выдающимися способностями, характеризуется некоторыми специфическими
особенностями по сравнению с развитием их «заурядных» сверстников. Одаренные
дети часто страдают от недостатка синхронии в темпах развития, интенсивное
развитие одного вида одаренности может сопровождаться замедленным развитием
другого», Ю.Д. Бабаева, психолог [4].
«Способности
– это свойства функциональных систем, реализующих отдельные психические
функции, которые
имеют индивидуальную меру выраженности, проявляющуюся в успешности и качественном своеобразии освоения и
реализации деятельности… Специальные способности есть общие способности,
приобретшие черты оперативности под влиянием требований деятельности», В.Д. Шадриков, психолог [60, с.177, 232].
В
рамках нашей работы целесообразно обратиться к раскрытию понятия специальных,
а, именно, математических способностей.
Математические способности
Российский
психолог В.А. Крутецкий предлагает следующее определение специальных
способностей: «Специальные способности (математические) – это
индивидуально
психологические особенности (прежде всего особенности
умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической
деятельности и обуславливающие при прочих равных условиях успешность
творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно
быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области
математики» [30, с.91].
Для
раскрытия сущности математических способностей В.А. Крутецкий выделяет две
группы свойств: 1) общие свойства личности; 2) свойства «математического ума».
По данным исследований В.А. Крутецкого, к первой относятся такие качества
математических способностей как целеустремленность, увлеченность математикой,
«своеобразную любовь к математическим символам». Ко второй – своеобразная
любовь к обобщению, способность «видеть общее в разных явлениях»,
«устанавливать связь разнородных явлений», «умение видеть главное, сущность
вопроса», «способность прийти от частного к общему». Логичность мышления,
умение выводить логические следствия, точность, сжатость, четкость мышления,
свойственная математикам, «потребность искать наиболее изящное решение»,
богатая фантазия, «способность мыслить, опуская многие звенья рассуждений»,
«характерная для школьного возраста склонность производить формальные операции
по определенным правилам» [30].
Как же определить
у ребенка наличие математических способностей? С целью выявления признаков
математических способностей в середине XX века В. А.
Крутецким был проведен опрос учителей-математиков нескольких московских школ. В
опросе участвовало 100 человек. (В скобках указан процент учителей,
выделяющих данный признак).
1. Быстрое овладение математическими
знаниями, умениями и навыками. Быстрота понимания объяснения учителя (95 %)
2. Логичность, самостоятельность мышления
(82 %)
3. Находчивость и сообразительность при
изучении математики (67 %)
4. Быстрое и прочное запоминание материала
(50 %)
5. Высокая степень развития способности к
обобщению, анализу и синтезу математического материала (50 %)
6. Пониженная утомляемость при занятиях
математикой (3 %)
7.Способность быстро переключаться с
прямого на обратный ход мысли (1,5%) [30].
Рассмотрим взгляды некоторых авторов на
признаки математических способностей.
По
мнению Д. Мордухай-Болтовского к признакам математических способностей
относятся: а) «сильная память» (математическая); б) «остроумие»; т.е. умение
находить в известном факте, подобное с данным, умение находить «сходное» в
совершенно разно- родных предметах; в) быстрота мысли [30].
А.Ф. Лазурский
отмечает следующие признаки: а) систематичность и последователь- ность
мышления; б) отчетливость мышления; в) способность к обобщениям; г) сообрази-
тельность; д) способность к установлению связи между приобретенными
математическими знаниями и явлениями жизни; е) память на числа [30].
Известный
математик А.Н. Колмогоров выделяет такие признаки математических способностей,
как: а) способность умелого преобразования сложных буквенных выражений,
нахождения удачных путей для решения уравнений, не подходящих под стандартные
правила, или, как это принято называть у математиков «вычислительные или
алгоритмические» способности; б) геометрическое воображение или «геометрическая
интуиция»; в) искусство последовательного, правильно расчлененного логического
рассуждения [28, с.9].
А.Н.
Колмогоров отмечает также, что математические способности проявляются в том, с
какой скоростью, как глубоко и насколько прочно люди усваивают математический
материал. Эти характеристики легче всего обнаруживаются в ходе решения задач. О
скорости усвоения математического материала можно судить по количеству заданий,
решенных учеником за определенный отрезок времени, а также по времени, которое
требуется разным школьникам для решения одной и той же задачи. Прочность
усвоения учебного материала устанавливается по результатам так называемых
отсроченных проверок, выявляющих ту часть из заранее разобранных задач, которую
ученик может решить сегодня. Глубина усвоения определяется тем, умеет ли ученик
преобразовывать для собственных нужд прием учебной работы, объясненный ранее
учителем. Не считается, что каждая из названных характеристик (скорость,
глубина, прочность) является обязательным и единственным показателем развитых
математических способностей. Речь идет о том, что если хотя бы одна из
названных представлена в достаточной мере, то можно утверждать существование
математических способностей у учащегося [28].
Итак, сравнение приведенных
определений способностей и задатков показывает, что главными признаками способностей
служат качества личности, определяющие успешность какой-либо деятельности;
свойства функциональных систем, реализующих психические функции. Специальные
способности определяются как общие способности, приобретающие черты
оперативности под влиянием требований деятельности
Сравнивая
различные взгляды на математические способности, мы подчеркиваем, что
главными признаками математических способностей являются: способность к
обобщению; логичность и формализованность мышления; гибкость и глубина,
систематичность, рациональность и аргументированность рассуждений; «сильная»
память.
Общий
анализ приведенных определений показывает:
1.
Понятия «одаренность», «способности» определяются разными учеными по-разному.
2.
Понятия «одаренность», «способности», «задатки» тесно связаны между собой и
часто определяются одно через другое.
3.
В предлагаемых различными исследователями определениях основных
понятий одаренности и способностей можно выделить ряд общих существенных
признаков: как правило, это – высокий уровень умственного развития
(интеллекта), определенные качества личности, которые обеспечивают достижения в
той или иной деятельности.
4.
Определение общей одаренности содержит те же признаки, что и
определение общих способностей высокого уровня развития.
5.
Одаренность
выступает как интегральное проявление разных способностей (об этом будет
упомянуто в § 2).
Поэтому в контексте нашей работы для целей разработки
варианта методики обучения математике учащихся общеобразовательной школы,
ориентированного на развитие одаренных (способных) детей можно рассматривать
понятия «одаренность ребенка» и «ребенок, обладающий высокими способностями»
как синонимичные.
Выводы
На основе
изложенного материала мы выделяем основные черты, присущие одаренным детям,
т.е. детям с высокими способностями в математике:
1.
Познавательная потребность.
а)
активность – ребёнок постоянно ищет смены впечатлений, новую информацию;
б)
потребность в самом процессе умственной деятельности;
в)
удовольствие от умственного напряжения.
2.
Интеллект. Характеризуется конкретностью мышления и способностью к
абстракциям.
а) быстрота
и точность выполнения умственных операций, обусловленных устойчивостью внимания
и прекрасной оперативной памятью;
б)
сформированность навыков логического мышления, стремление к рассуждению, обобщению,
выделению главного, классификациям;
в)
богатство словаря, быстрота и оригинальность словесных ассоциаций.
3.
Креативность1
а) особый
склад ума;
б)
установка на творческое выполнение задания;
в)
развитость творческого мышления и воображения.
Встает
вопрос: всегда ли проявляются все указанные черты, насколько широко они
проявляются, от каких факторов это зависит и как выяснить присуще ли ребенку
определенные из них? Рассмотрим какие виды одаренности существуют, по каким
критериям они классифицируются и каковы же принципы выявления детей, обладающих
высокими математическими способностями.

§ 2. Диагностика
одаренности. Выявление одаренных детей

2.1
Виды одаренности

Дифференциация
видов одаренности определяется критерием, положенным в основу классификации.
Анализ качественных характеристик одаренности предполагает выделение различных
качественно своеобразных видов одаренности в связи со спецификой психических
возможностей человека и особенностями их проявления в тех или иных видах
одаренности. Анализ количественных характеристик одаренности позволяет описать
степень выраженности психических возможностей человека. Среди критериев
выделения видов одаренности можно отметить следующие (в выборе данных критериев
ориентируемся на исследования доктора психологических
наук, зам. директора Психологического института, научного руководителя
координационного совета центральной целевой программы "Одаренные
дети" Минобразования РФ В. И. Панова):
- вид
деятельности и обеспечивающие его сферы психики;
- степень
сформированности;
- форма
проявления;
- широта
проявлений в различных видах деятельности;
-
особенности возрастного развития [48].
1. По
критерию «вид деятельности и обеспечивающие его сферы психики» выделение видов
одаренности осуществляется в рамках пяти видов деятельности с учетом
включенности трех психических сфер и, соответственно, степени участия разных
уровней психической организации. К основным видам деятельности относится
практическая, теоретическая (учитывая детский возраст, мы предпочитаем говорить
о познавательной деятельности), художественно-эстетическая, коммуникативная и
духовно-ценностная. Сферы психики представлены интеллектуальной, эмоциональной
и мотивационно-волевой.
Соответственно,
могут быть выделены следующие виды одаренности:
- в
практической деятельности, в частности, можно выделить одаренность в ремеслах,
спортивную и организационную одаренность;
- в
познавательной деятельности – интеллектуальная одаренность различных видов;
- в
художественно-эстетической деятельности выделяются, например, хореографическая,
сценическая, литературно-поэтическая, изобразительная, музыкальная одаренность;
- в
коммуникативной деятельности, прежде всего следует выделить лидерскую
одаренность;
- в
духовно-ценностной деятельности – одаренность в создании новых духовных
ценностей и смыслов служения людям.
Каждый вид
одаренности предполагает одновременное включение всех уровней психической
организации с преобладанием того уровня, который наиболее значим для данного
конкретного вида деятельности. Например, музыкальная одаренность обеспечивается
всеми уровнями психической организации, при этом на первый план могут выходить
либо сенсорно-моторные качества, либо эмоционально-экспрессивные качества.
Каждый вид
одаренности по своим проявлениям охватывает в той или иной мере все пять видов
деятельности. Например, деятельность музыканта-исполнителя, будучи по
определению художественно-эстетической, кроме того формируется и проявляется в
практическом плане, коммуникативном плане (на уровне коммуникации с автором
исполняемого произведения и слушателями), духовностно-ценностном плане (на
уровне придания смысла своей деятельности в качестве музыканта) [48].
Классификация
видов одаренности по критерию видов деятельности, на наш взгляд, является
наиболее важной в плане понимания природы детской одаренности. Выделение видов
одаренности по критерию видов деятельности позволяет отойти от представления об
одаренности как количественной степени выраженности способностей и перейти к
пониманию одаренности как системного качества. При этом деятельность выступает
в качестве основания интеграции отдельных способностей. Следовательно,
одаренность выступает как интегральное проявление разных способностей (это
подтверждает вывод, сделанный в § 1).
2. По
критерию «степень сформированности одаренности» можно дифференцировать:
-
актуальную одаренность;
-
потенциальную одаренность.
Актуальная
одаренность – это психологическая характеристика ребенка с такими наличными
показаниями психического развития, которые проявляются в более высоком уровне
выполнения деятельности в конкретной предметной области по сравнению с
возрастной и социальной нормой.
Потенциальная
одаренность – это психологическая характеристика ребенка, который имеет лишь
определенные психические возможности для высоких достижений в том или ином виде
деятельности, но не может реализовать свои возможности в данный момент времени
в силу их функциональной недостаточности. Развитие этого потенциала зависит от
наличия или отсутствия ряда неблагоприятных причин (трудные семейные обстоятельства,
недостаточная мотивация, и т.д.).
Выявление
потенциальной одаренности требует высокой прогностичности используемых
диагностических методов, поскольку речь идет о еще не сформировавшейся системе
способностей, о дальнейшем развитии которой можно судить лишь на основе
отдельных признаков. Интеграция способностей, необходимая для высоких
достижений еще отсутствует. Потенциальная одаренность проявляется при
благоприятных условиях, обеспечивающих определенное развивающее влияние на
исходные психические возможности ребенка.
3. По
критерию «форма проявления» выделяют:
- явную
одаренность;
- скрытую
одаренность.
Явная
одаренность проявляется в деятельности ребенка достаточно ярко и отчетливо, в
том числе и при неблагоприятных условиях. Достижения ребенка столь очевидны,
что его одаренность не вызывает сомнения. Поэтому исследователю детской
одаренности с большей степенью вероятности удается сделать заключение о наличии
одаренности или о высоких потенциальных возможностях ребенка. Он может
адекватно оценить «зону ближайшего развития» и правильно наметить программу
дальнейшей работы с таким «перспективным ребенком». Однако не всегда
одаренность обнаруживает себя столь явно.
Скрытая
одаренность проявляется в деятельности ребенка в менее выраженной форме. Вследствие
этого проявляется опасность ошибочных заключений об отсутствии одаренности
такого ребенка. Его могут отнести к числу «неперспективных» и лишить помощи и
поддержки, необходимой для развития его способностей. Вместе с тем, известны
многочисленные примеры, когда именно такие «неперспективные дети» добиваются
высочайших результатов.
Причины
скрытой одаренности во многом связаны с наличием особых психологических
барьеров (социально-экономических, национально-культурных, связанных с
физическими ограничениями (нарушениями зрения, слуха, речи, движений)), Они
возникают на пути развития и интеграции способностей и существенно искажают
формы проявления одаренности [48].
Выявление
детей со скрытой одаренностью ни в коем случае не может сводиться к
одномоментному психодиагностическому обследованию большой группы детей.
Идентификация детей с таким видом одаренности – это длительный процесс,
основанный на использовании многоуровневого комплекса методов анализа поведения
ребенка, включения его в различные виды реальной виды деятельности, организации
его общения с одаренными взрослыми и т.д.
4. По
критерию «широта проявления в различных видах деятельности» можно выделить:
- общую
одаренность;
-
специальную одаренность.
Общая
одаренность проявляется по отношению к различным видам деятельности и выступают
в качестве основы их продуктивности. Психологическим ядром общей одаренности
являются умственные способности, вокруг которых выстраиваются эмоциональные,
мотивационные и волевые качества личности.
Общая
одаренность определяет уровень понимания происходящего, глубину эмоциональной и
мотивационной вовлеченности в деятельность, эффективность целеполагания и
саморегуляции.
Специальная
одаренность обнаруживает себя в конкретных видах деятельности и может быть
определена лишь в отношении отдельных областей деятельности (математика,
музыка, живопись, спорт и др.)
Общая
одаренность связана со специальными видами одаренности. В частности, под
влиянием общей одаренности проявления специальной одаренности выходят на
качественно более высокий уровень освоения конкретной деятельности. В свою
очередь специальная одаренность оказывает влияние на избирательную
специализацию общих психологических ресурсов личности, усиливая тем самым
индивидуальное своеобразие и самобытность одаренного ребенка [48].
5. По
критерию «особенности возрастного развития» можно дифференцировать:
- раннюю
одаренность;
- позднюю
одаренность.
Решающим
показателем здесь выступает темп психического развития ребенка, а также
возрастные этапы, на которых одаренность проявляется в явном виде. Необходимо
учитывать, что ускоренное психическое развитие, раннее обнаружение дарований
далеко не всегда связано с высокими достижениями в более старшем возрасте. В
свою очередь, отсутствие ярких проявлений одаренности в детском возрасте не
означает отрицательного вывода, относительно перспектив дальнейшего
психического развития личности.
Примером
ранней одаренности являются дети, которые получили название «вундеркиндов»2.
Вундеркиндами называют, как правило, детей с чрезвычайными, блестящими успехами
в каком-либо определенном виде деятельности – в музыке, рисовании, пении и т.д.
Особое место среди таких детей занимают интеллектуальные вундеркинды. Это «не
по годам» развитые дети, чьи возможности проявляются в крайне высоком опережающем
темпе психического развития. Для них характерно чрезвычайно раннее, с двух-трех
лет освоение чтения и счета, выбор сложной деятельности по собственному желанию
[48].
Итак, любой
индивидуальный случай детской одаренности может быть оценен с точки зрения всех
вышеперечисленных критериев классификации видов одаренности. Одаренность
оказывается таким образом, многомерным по своему характеру явлением. Для
исследователя одаренности – это возможность и, вместе с тем необходимость более
широкого взгляда на своеобразие одаренности конкретного ребенка.

2.2
Методы выявления и диагностики одаренности

В настоящее
время существуют два основных взгляда на процесс установления одаренности. Один
из них основан на системе единой оценки. Второй – на системе комплексной
оценки.
В рамках
первого из указанных подходов в качестве количественного показателя,
характеризующего индивидуальный уровень интеллектуального развития,
используется так называемый «коэффициент интеллекта» (IG),
который, определяется с помощью специальных тестов интеллекта.
В нашей стране в
последнее время широкое распространение получили всевозможные тесты,
направленные на выявление одаренности.
Исходя из системы
деления тестов по предмету диагностирования, т. е. по тому качеству, которое
оценивается с помощью предъявляемого теста этого, все тесты можно разделить на
два больших класса:
I. Тесты
достижений.
II.
Психологические тесты:
1. Интеллектуальные
тесты; 2. Тесты способностей; 3. Социально-психологические тесты; 4. Личностные
тесты.
Тесты
достижений конструируются в основном на учебном материале и предназначены для
оценки уровней овладения знаниями, умениями и навыками, а также для определения
общей и профессиональной подготовки применительно к конкретным предметам и
курсам обучения. Как правило, тесты достижений рассчитаны на групповую работу в
классе, аудитории колледжа, вуза. В ряде учебных заведений тесты заменяют
опросно-экзаменационную систему (в том числе при поступлении абитуриентов в
вузы).
Психологические
тесты классифицируются по разным основаниям. Здесь рассмотрим деление
психологических тестов на виды, при котором в качестве основания взят предмет
диагностики. Так, по предмету диагностики психологические тесты делятся на
интеллектуальные (тесты интеллекта), тесты способностей,
социально-психологические тесты и личностные (тесты личности).
Интеллектуальные
тесты предназначены для исследования и качественной оценки (измерения) уровня
интеллектуального развития индивида. К группе наиболее известных и широко
применяемых тестов интеллекта относятся тесты Д. Векслера [61] (предназначены
для измерения уровней развития мышления и отдельных когнитивных процессов -
восприятия, внимания, воображения, памяти и др.), батареи тестов Станфорд-Бине
[61] (включают задания, направленные на исследование широкого диапазона
способностей - от простого манипулирования до абстрактных рассуждений,
дифференцированных по возрастному критерию). Применение этих тестов интеллекта
позволяет выявить личностные качества испытуемых: уровни их активности и
мотивированности, уверенности, настойчивости, сосредоточенности и др. Среди
интеллектуальных тестов они занимают ведущее место в зарубежной психологической
диагностике. На основе применения батарей тестов Станфорд-Бине и аналогичных им
шкал умственного развития Бине-Симона рассчитываются количественные показатели
уровней интеллектуального развития испытуемых (IQ, англ. - Intelligence
Quotient). Этот коэффициент (IQ) адекватен понятию "интеллект" и
рассчитывается по формуле:

            Умственный
возраст
IQ =
----------------------------------- х 100.
            Хронологический
возраст.

В свою
очередь умственный возраст рассчитывается исходя из так называемого базового
возраста, определяемого по шкале умственного развития Станфорд-Бине. Это
максимальный возрастной уровень, ниже которого все тестовые задания оказываются
доступными для испытуемого. Умственный возраст определяется как сумма
"базового возраста" и поправочного коэффициента "К".
Коэффициент "К" соответствует определенному числу месяцев и
рассчитывается по специальной методике, в основу которой положено решение
испытуемым заданий с различной степенью трудности. Умственный возраст,
выраженный в годах, указывает, что данный индивид по своему умственному
развитию соответствует большинству людей такого-то возраста.
Такая
классификация коэффициента интеллекта нашла широкое применение как в
зарубежной, так и в отечественной психологической практике. Значения IQ,
полученные с помощью разных тестов интеллекта, могут не совпадать между собой
(шкала Станфорд-Бине, шкала Векслера и др.) [61].
Ребенок
считается одаренным, если коэффициент интеллекта, характеризующий уровень его
интеллектуального развития, превышает некоторое пороговое значение (в разных
источниках различные значения).
Согласно
выводам одних авторов этот показатель должен быть выше 120, согласно выводам
других - выше 130-135. А. Шведел и Р. Стоунбернер [43] отмечают, в частности,
что этот показатель должен превышать 135 баллов по шкапе Станфорд-Бине.
Высоко
одаренными считаются дети, IQ которых
превышает 160. Приведем классификацию коэффициентов интеллекта по шкале
Векслера.

КЛАССИФИКАЦИЯ
КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕЛЛЕКТА ПО Д. ВЕКСЛЕРУ

IQ

Уровень
  интеллекта

Процент
  проявления

130
  и выше

Очень
  высокий интеллект

2.2

120-129

Высокий
  интеллект

6.7

110-119

"Отличная
  норма"

16.1

90-109

Уровень
  большинства лиц

50.0

80-89

Сниженная
  норма

16.1

70-79

Пограничный
  класс

6.7

69
  и ниже

Умственный
  дефект

2.2

В западной
психодиагностике показатель IQ положен в основу определения степени
интеллектуального развития детей. Следует оговориться, что деление испытуемых с
помощью показателя IQ на индивидов с высоким интеллектуальным развитием и на
индивидов умственно отсталых в ряде случаев не может отражать действительное
положение вещей. "Натаскивание" и предварительная проверка по тестам
Бине-Симона может значительно повысить итоговый коэффициент IQ испытуемого.
Тесты
способностей – это методики, диагностирующие уровень развития общих и
специальных способностей, определяющих успех обучения, профессиональной
деятельности и творчества. Существует множество тестов для определения как
общих, так и специальных (профессиональных) способностей (музыкальных,
математических, спортивных и т.п.). Тесты способностей включают задания не
только на интеллект, но и на внимание, память, восприятие, ручную и пальцевую
моторику. Они широко используются в США для профессиональной ориентации и
расстановки кадров в армии, на флоте, в государственных учреждениях.
Разновидностью
тестов способностей, являются тесты креативности (о понятии креативности уже
говорилось в параграфе первом). Тесты креативности – совокупность методик для
изучения и оценки творческих способностей личности (способности порождать
необычные идеи, быстро решать проблемные ситуации, принимать нестандартные
решения). Практическое применение этих тестов не является в достаточной мере
надежным, так как творческие достижения требуют оптимального сочетания как
способностей, так и других качеств личности одновременно.
Социометрические
тесты имеют иную специфику. Социометрия, или "социальное измерение",
как метод предназначена для измерения межличностных взаимоотношений в малой
группе. Основоположником социометрии является американский психиатр и
социальный психолог Дж. Морено [6]. Среди отечественных психологов,
занимавшихся в разное время социометрическими исследованиями, известны имена
Е.С. Кузьмина, Я.Л. Коломинского, В.А. Ядова, И.П. Волкова и др. С помощью
социометрии определяется динамика межличностных и межгрупповых отношений,
изучается типология социального поведения людей в условиях групповой
деятельности, выявляется степень социально-психологической совместимости членов
группы.
Личностные
тесты – это психодиагностические методики, направленные на оценку
эмоционально-волевых компонентов психической деятельности индивида (отношений,
мотивации, интересов, эмоций, особенностей поведения) в определенных социальных
ситуациях. С помощью таких тестов выявляются устойчивые индивидуальные
особенности человека, определяющие его поступки. Личностные тесты по предмету и
цели психологического диагностирования можно разделить на три большие группы.
К первой из
них относятся, многофакторные личностные опросники, дающие разнообразую комплексную
оценку степени развитости психологических свойств личности. К ним относятся 16-факторный
личностный опросник Р. Кэттелла (16РF), Миннесотский многофакторный
(многопрофильный) опросник (ММРI), некоторые личностные опросники Г. Айзенка и
др. [6].
Ко второй
группе относятся проективные тестовые методики, разрабатываемые на основе
неопределенных стимулов. Третью группу составляют тестовые методики, выявляющие
отдельные устойчивые особенности личности (темперамент, отдельные
характерологические черты личности, мотивационные и эмоциональные проявления)
[6].
Однако и
при весьма квалифицированном использовании лучшие тесты не гарантируют защиты
от ошибок, кроме того, надо учитывать, что ни один из существующих тестов не
охватывает всех видов одаренности.
Определение
одаренности ребенка – сложная задача, при решении которой необходимо
использовать как результаты всестороннего психологического обследования, так и
сведения о школьных и внешкольных достижениях ребенка, получаемые путем опроса
родителей, учителей, сверстников. Только такой комплексный подход к диагностике
признается всеми научными концепциями при сохраняющейся дискуссионности вопроса
о структуре и факторах развития одаренности.
Многочисленные
психологические исследования (Л.С. Выготский, Ю.Д. Бабаева, Л.В. Попова и др.)
изменили первоначальные представления о высоком IQ (коэффициенте
интеллектуальности) как единственном критерии выдающихся достижений, продемон-
стрировали важнейшую роль творческого потенциала и личностной сферы, интересов
и специальных способностей, а также социальных условий в развитии одаренности.
Творческие
возможности человека прямо и непосредственно не связаны с его способностью к
обучению и далеко не всегда отражаются в тестах на интеллект.
По мнению
Л.С. Выготского [9], высокий уровень IQ не может рассматривается как основной
признак одаренности. Изучение психологической природы одаренности невозможно
без анализа эмоций, мотивов, творческих способностей, личностных особенностей
субъекта, социальных условий его развития и т. п.
Итак, второй из
выделенных подходов основан на комплексной оценке, включающей множество
оценочных определителей (тестирование, опрос учителей и родителей и др.).
Перечислим несколько методы, используемые в вышеназванном подходе.
Основными
методами являются наблюдение и эксперимент. При выявлении и
развитии одаренного ребенка нельзя обойтись без наблюдения за его
индивидуальными проявлениями. Чтобы судить об его одаренности, нужно выявить то
сочетание психологических свойств, которое присуще именно ему, то есть нужна
целостная характеристика, получаемая путем разносторонних наблюдений.
Преимущество наблюдения состоит в том, что оно может происходить в естественных
условиях, что очень выгодно для наблюдателя.
Существует
так называемый естественный эксперимент, когда, например, на уроке, или
занятиях кружка организуется нужная для исследователя обстановка, которая
является для ребенка совершенно привычной и когда он может не знать, что за ним
специально наблюдают. Применяют и так называемое включенное наблюдение, когда
сам наблюдатель является участником происходящего.
Следующий
метод – составление психологической характеристики. А.Ф.
Лазурский [47] разработал следующие правила составления психологической
характеристики:
 -
наблюдатель выбирает факты, представляя себе, по крайней мере, в общих чертах,
к какой именно стороне личности относится данное проявление;
 -
записываются только факты, и если отдельные наблюдения противоречат друг другу,
противоречия не следует сглаживать;
 - необходимо
также описывать и внешние условия, при которых данное проявление было замечено.

Лонгитюдные
исследования. Признаки одаренности ребенка важно наблюдать и изучать в
развитии. Для их оценки требуется достаточно длительное прослеживание
изменений, наступающих при переходе от одного возрастного периода к другому.
Такое исследование называется лонгитюдным (т.е. продленным, долгим). Имеется в
виду систематическое наблюдение над испытуемым на протяжении нескольких лет.
Изучение может быть непрерывным, изо дня в день, а может быть и с перерывами –
поперечные срезы. Как писал М. Я. Басов: «такие наблюдения за одним и тем же
ребенком дают возможность видеть, как быстро он изменяется в своем внешнем и
внутреннем облике, как расцветает его личность, усложняясь и дополняясь день
ото дня, месяц от месяца, год от года все новыми чертами» [47].
Иногда
поперечные срезы противопоставляют лонгитюду как непрерывному прослеживанию
изменений. Но если такие срезы достаточно часто повторяются, то они тоже
становятся особой формой лонгитюда. Содержательные психологические
характеристики – отдельных ли срезов или всего продольного ствола психического
развития могут сопоставляться друг с другом, давать основания для выделения и
классификации типов развития детей, в частности, вариантов хода развития
интеллекта и отдельных его сторон. В этой связи большой интерес для изучения
одаренности представляет так называемый биографический метод [47].
Издавна существующий интерес к биографиям выдающихся людей, привел к созданию
особого жанра психологических жизнеописаний. Изучения биографии ученых стало, в
частности, одним из способов выявления тех личностных и интеллектуальных
качеств, которые благоприятствуют творческой деятельности. В последнее
десятилетие изучение жизненного пути стало распространяться как весьма
эффективный подход к выяснению особенностей испытуемого. Разработка
биографического метода связана с применением таких способов получения
информации, как опросники [47], обращенные к самому исследуемому лицу,
беседы и интервью с ним, а также опросники для окружающих, изучение продуктов
деятельности, дневников, писем и т.д.
Знаток
американской психологической литературы по одаренности Л.В. Попова [47]
указывает, что среди новых диагностических методик на первый план выходит
биографический опросник, как более надежное, чем традиционные тесты, средство
выявления творческих возможностей и прогноза достижений. Вместе с тем
проявляется тенденция к формализации самих приемов биографического метода. В
частности, более обширными и стандартизированными становятся опросники.
Выявление
одаренных детей – длительный процесс, связанный с анализом развития конкретного
ребенка. Эффективная идентификация одаренности посредством какой-либо
одноразовой процедуры тестирования невозможна. Поэтому вместо одномоментного
отбора одаренных детей необходимо направлять усилия на постепенный, поэтапный
поиск одаренных детей в процессе их обучения по специальным программам (в
системе дополнительного образования), либо в процессе индивидуализированного
образования. Необходимо снизить вероятность ошибки, которую можно допустить в
оценке одаренности ребенка как по положительному критерию, так и по
отрицательному критерию: высокие значения того или иного показателя не всегда
являются свидетельством одаренности, низкие значения того или иного показателя
еще не являются доказательством ее отсутствия. Данное обстоятельство особенно
важно при интерпретации результатов тестирования. Так, высокие показатели
психометрических тестов интеллекта могут свидетельствовать всего лишь о мере
обученности и социализации ребенка, а не его интеллектуальной одаренности. В
свою очередь низкие показатели по тесту креативности могут быть связаны со
специфической познавательной позицией ребенка, но никак не с отсутствием у него
творческих способностей.

Выводы

При выявлении одаренных детей, как было сказано раньше
более целесообразно использовать комплексный подход. При этом может быть
задействован широкий спектр разнообразных методов. С учетом
вышесказанного можно сформулировать следующие критерии выявления одаренных
детей:
-
комплексный характер оценивания разных сторон поведения и деятельности ребенка,
что позволит использовать различные источники информации и охватить как можно
более широкий спектр его способностей;
-
длительность идентификации (развернутое во времени наблюдение за поведением
данного ребенка в разных ситуациях);
- анализ
его поведения в тех сферах деятельности, которые в максимальной мере
соответствуют его склонностям и интересам (включение ребенка в специально
организованные предметно-игровые занятия, вовлечение его в различные формы
соответствующей предметной деятельности и т.д.);
-
подключение к оценке одаренного ребенка экспертов, специалистов высшей
квалификации в соответствующей предметной области деятельности (математиков,
филологов, т.д.). При этом следует иметь в виду возможный консерватизм мнения
эксперта, особенно при оценке продуктов подросткового и юношеского творчества;
- оценка
признаков одаренности ребенка не только по отношению к актуальному уровню его
психического развития, но и с учетом зоны ближайшего развития (в частности, на
основе организации определенной образовательной среды с выстраиванием для
данного ребенка индивидуальной траектории обучения);
-
преимущественная опора на такие методы диагностики, как: наблюдение, беседа,
экспертные оценки учителей и родителей, естественный эксперимент.
Следует
подчеркнуть, что имеющиеся методы идентификации одаренности весьма сложны,
требуют высокой квалификации и степени обученности исследователя. Итак,
проблема выявления одаренных детей сложна и требует привлечения специалистов
высокой квалификации в различных областях.

§ 3. Психолого-педагогические условия и
методы развития одарённых детей

С психологической
точки зрения, одаренность, во-первых, представляет собой сложное психическое
образование, в котором неразрывно переплетены познавательные, эмоциональные,
волевые, мотивaционные, психофизиологические и другие сферы психики.
Во-вторых, oдapeнность
многолика, ее проявления зависят от возраста и характеризуются большой
индивидуальностью, что определяется исключительно своеобразным сочетанием
разных сфер психики одаренного человека.
В-третьих,
различны критерии, используемые для оценки феномена одаренности, вследствие
чего различают несколько видов одаренности.
Учитывая
многообразие, разноликость и индивидуальное своеобразие феномена одаренности,
выбор условий и методов работы с одаренными детьми требует предварительного
рассмотрения подходов различных педагогов и психологов к развитию одаренности.
В течение последних 10 лет психологами и педагогами
разрабатываются следующие концептуальные подходы к выявлению-развитию детской
одаренности.
1. Концепция возрастного
подхода к феноменам интеллектуальной одаренности, разработанная Н. С. Лейтесом
на стыке возрастной (детской) психологии и психологии индивидуальных различий.
Согласно этому подходу существуют особые внутренние предпосылки развития
способностей, присущие детскому возрасту. Н. С. Лейтес вводит понятие
"возрастная одаренность", подразумевая под этим проявляющиеся в ходе
созревания возрастные предпосылки одаренности. Таким термином привлекается
внимание к тому, что необычные возможнocти pe6eнка на том или ином возраcтном
этапе еще не означают сохранение этого уровня и своеобразие его возможностей в
более зрелые годы. Возрастной подход дает реальную базу для практической работы
с детьми, обнаруживающими признаки повышенных способностей и позволяет более
адекватно относиться к прогностическим возможностям диагностических измерений
[48, с.10].
2. Подход к
одаренности как проявлению творческого потенциала человека, теоретически
разработанный А. М. Матюшкиным и В. С. Юркевич и практически реализуемый его
сотрудниками в образовательных учреждениях разного типа. Здесь одаренность
понимаетcя как высокий уровень творческого потенциала, выражающийся прежде
всего в высокой исследовательской активности человека. Согласно этому подходу,
ранние и высокие проявления указанных признаков одаренности составляют
предпосылку последующего творческого обучения и творческого развития детей.
Поэтому особую роль приобретает задача раннего выявления детской одаренности и
разработки психологических и дидактических методов сохранения их творческого
потенциала. С этой целью В.С. Юркевич изучала познавательную потребность как
основное интеллектуально-личностное "ядро" развития общей одаренности
и как принципиальное условие развития самых разных интеллектуальных и
творческих возможностей ребенка. Неблагоприятное развитие этой потребности
ведет не только к снижению уровня и темпа развития самых разных способностей;
но и к личностным нарушениям. Кроме того, в исследованиях В. С. Юркевич
изучались пассивная и активная формы познавательной потребности. Пассивная
форма выражается в прямом накоплении уже имеющейся информации и ориентированна
на традиционные (дидактические) формы обучения. Активная форма познавательной
потребности в большинстве случаев приводит к реализации этой потребности в
самых разных проявлениях творческой активности. Впоследствии при адекватной
динамике личностного и интеллектуального развития эта активность превращается в
целенаправленную творческую деятельность [48, с.11].
3. Динамическая
теория одаренности, разрабатываемая Ю.Д. Бабаевой в продолжение идей Л.С.
Выготского. Ядро ДТО включает три базовых принципа
1. Принцип
социальной обусловленности развития, согласно которому вместо оценки уже
достигнутого уровня развития способностей на первый план выдвигаются задачи
поиска различных препятствий, мешающих этому развитию, анализа психологической
природы этих препятствий, установления и изучения причин их возникновения и т.
п. Подчеркивается, что эти преграды порождаются неприспособленностью ребенка к
окружающей его социально-культурной среде.
2. Принцип
перспективы будущего. Возникшие преграды становятся «целевыми точками»
психического развития, направляют его, стимулируют включение компенсаторных
процессов.
3. Принцип
компенсации. (Компенсация – одна из форм борьбы с препятствиями, возникающими
на пути психического развития. Возможность победить (или же, напротив,
потерпеть поражение) в этой борьбе определяется «силами» борющихся сторон,
размерами и качественными особенностями дефекта, характером порождаемых им
изменений в психике ребенка, богатством компенсаторного фонда субъекта. Победа
означает не только полноценное, но и сверхполноценное развитие (феномен
«сверхкомпенсации»)). Необходимость борьбы с препятствиями требует усиления и
совершенствования психических функций. Если этот процесс протекает успешно,
ребенок получает возможность преодолеть преграду и таким образом приспособиться
к социально-культурной среде. Однако возможны и другие исходы. Компенсаторного
«фонда» может не хватить для борьбы с преградой. Кроме того, компенсация может
пойти по ложному пути, порождая неполноценное развитие психики ребенка [9, с.
153-165].
Суть этой
концепции состоит, во-первых, в понимании одаренности как развивающегося
свойства целостной личности, а не "расчленении" одаренности на
интеллектуальную, личностную и другие составляющие; во-вторых - в оценке
одаренности с точки зрения наличия психологических барьеров, затрудняющих ее
проявление и развитие или приводящих к феномену диссинхронии (неравномерность в
развитии одаренных детей, отражающаяся в заметном несоответствии между их
высоким потенциалом и трудностями его практической реализации, между темпами
прогресса интеллектуальной, аффективной и моторной сфер). В исследовательском
плане эта теория связана с выявлением и изучением качественного своеобразия
различных видов одapeнности. С разработкой адекватных методов их диагностики, с
анализом генезиса одаренности и конкретных психологических механизмов ее
развития, с изучением личностных особенностей одаренного ребенка [48, с.11].
4. Экопсихологический
подход к развитию одаренности, разрабатываемый В. И. Пановым в рамках
экопсихологии развития человека (его психических процессов, психических
состояний и сознания). Одаренность в этом случае рассматривается как особая
форма проявления творческой природы психики. Поэтому она выступает как
становящееся системное качество психики, возникающее во взаимодействии индивида
с образовательной средой (семейной, школьной и т. п.). И обретающее форму
индивидуальности высокого развития психических процессов и состояний в сознании
учащегося. Отсюда следует, что основная задача современного образования
(педагога в первую очередь) заключается в создании образовательной среды
развивающего (творческого) типа, т.е. среды, обеспечивающей возможность
проявления и развития потенциальных способностей учащихся. Образовательная
среда подобного типа позволяет coздатъ условия для снятия психологических
барьеров развития учащихся и тем самым способствовать раскрытию творческого
начала всех сфер его психики [48, с.12].
5. Психодидактический
подход к обучению и развитию одаренных детей в условиях массовой
обшео6разовательной школы. Этот подход интенсивно разрабатывается, апробируется
и практически внедряется последние десять лет под совместным руководством В. П.
Лебедевой, В. А. Орлова и В. И. Панова в работе Центра комплексного
формирования личности РАО (пос. Черноголовка Московской области, 4 школы, 2500
учащихся). Суть психодидактического подхода заключается в использовании
проектирования и моделирования образовательной среды как основного метода
развивающего образования, обеспечивающего возможность выявления, обучения и
развития одаренных детей в условиях общеобразовательной школы. Психология
образовательной среды (проектирование, моделирование, экспертиза) в этой
подходе разработана В. А. Ясвиным, а диагностика ее влияния на познавательное,
личностное и физическое развитие детей была обобщена С. Д. Дерябо [48, с.13].
Нетрудно заметить,
что стержневым моментом, объединяющим перечисленные теоретические позиции,
является подход к одаренности как к процессу целостного развития личности и
сознания одаренных детей, реализующего творческий потенциал их развития.
Учитывая это, в качестве базовой характеристики одаренности
выделяется творческая активность человека как проявление творческой природы
психики и ее развития в зависимости от образовательной среды. С этой точки
зрения одаренность предстает как:
1) системное
свойство психики, возникающее в результате познавательного и/или иного
деятельностного взаимодействия между индивидом и образовательной средой;
2)
индивидуальность психического развития, которая выражается в
индивидуально-своеобразном сочетании свойств познавательной, эмоциональной и
личностной сфер сознания индивида и которая обеспечивает возможность достижения
им наиболее высоких результатов развития способностей в социально-значимых
видах деятельности;
3) развивающееся свойство психики, для
проявления и развития которого необходимыми условиями является не только
наличие природных задатков, но и соответствующей (вариативной и развивающей)
образовательной среды, включая соответствующие виды деятельности
(экопсихологический аспект одаренности).
Для
создания необходимой образовательной среды, упомянутой выше, существуют два
основных способа: ускорение и
обогащение традиционного образовательного процесса.
Ускорение
обучения.
Вопросы
темпа обучения являются предметом давних, до сих пор не утихающих споров, как
среди ученых психологов, так и среди педагогов и родителей. Многие горячо
поддерживают ускорение, указывая на его эффективность для одаренных учащихся.
Другие считают, что установка на ускорение – это односторонний подход к детям,
с высоким уровнем интеллекта, так как не учитывается их потребность в общении
со сверстниками, эмоциональное развитие и т.п. Каковы психологические
предпосылки обращения к ускоренному обучению?
Занятия
одаренного ребенка в обычном классе по стандартной учебной программе похожи на
тот случай, когда нормального ребенка по ошибке помещают в класс для детей с
задержкой умственного развития. Ребенок в таких условиях начинает
приспосабливаться, он старается быть похожим на своих одноклассников в самых
разных проявлениях, и спустя какое-то время его поведение будет похожим на
поведение всех остальных детей в классе. Он начинает подстраивать выполнение
заданий по качеству и количеству под соответствующие ожидания учителя.
Приведенное описание – лишь аналогия. Существуют различия между обучением
нормального ребенка в классе для детей с задержкой умственного развития и ситуацией,
где одаренный ребенок учится в обычном классе. Дело в том, что учитель,
получивший специальную подготовку для работы с умственно отсталыми детьми,
гораздо легче заметит нормального ребенка в своем классе, чем обычный учитель
выделит одаренного в классе обычном. Все специалисты сходятся в том, что
ускорение должно быть для одаренных детей. Существует несколько видов
ускоренного обучения. Рассмотрим их подробно.
Раннее
поступление в школу весьма желательно для девочек, т.к. они часто проявляют
готовность к школе раньше, чем мальчики. А так же потому, что их не очень
привлекает ускорение, которое можно использовать в последствии (девочки более
чувствительны к сложившимся взаимоотношениям с одноклассниками).
Ускорение
в обычном классе. Возможно и ускоренное прохождение стандартной учебной
программы в рамках обычного класса. Попытки такого рода целесообразнее на этапе
обучения в начальной школе. Частичная индивидуализация программы некоторых
детей под силу лишь энергичному, увлеченному педагогу с опытом и высокой
квалификацией.
Занятия
в другом классе. Одаренный ребенок может обучаться тому или иному предмету
с детьми более старшего возраста. Например, первоклассник, который очень хорошо
читает, может быть по чтению во втором или даже в третьем классе. Может быть,
так же посещение уроков в параллельном классе, где обучаются несколько иначе.
Эта
форма может быть успешной только при условии, что в ней участвует не один
ребенок. Посещение более старшего класса может быть разрешено группе детей, что
требует согласованной работы 2-3 учителей.
“Перепрыгивание”
через класс. Благодаря такому переводу ребенок оказывается в окружении
интеллектуально стимулирующих его учеников. Причем, ребенок не испытывает
социально-эмоциональных проблем, дискомфорта и пробелов в обучении при
перепрыгивании через класс. Проверка учащихся и опросы их родителей показали,
что эта практика имеет гораздо больше положительных последствий, чем
отрицательных.
Профильное
обучение. Под профильным обучением понимается средство дифференциации и индивидуализации
обучения, позволяющее за счет изменения в структуре, содержании и организации
образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и
способности учащихся. В настоящее время выделяют несколько моделей профильного
обучения: профильные классы, функционирующие в системе «школа-вуз»; классы
углубленного изучения отдельных (профильных предметов); профильные группы,
использующие индивидуальный учебный план. Система профильного образования в
общеобразовательном учреждении включает: базовые общеобразовательные предмета,
профильные предметы (предметы повышенного уровня, определяющие направленность
конкретного профиля обучения) и элективные курсы (обязательные для посещения
курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени
школы). Такой вид ускорения хорошо подходит учащимся с выраженной
расположенностью к какой-нибудь области знания – математике, химии, биологии,
иностранный язык. (Целесообразно использовать в старших классах, когда интересы
и способности в значительной степени определились) [29].
Способ
радикального ускорения. Имеется в виду особое ускорение, доказавшее свою
эффективность при обучении математически одаренных детей. Эта стратегия активно
используется в специальной программе Университета Джонса Хопкинса (Балтимор,
США), разработанной профессором Джулианом Стенли. Программа была начата более
двух десятилетий назад как экспериментальная и превратилась в общенациональную
с мировой известностью. В ней предлагается много ускоренных курсов по выбору для
школьников, начиная с 7-8 классов. Для учащихся, показавших высокие способности
по математике, предусмотрена возможность заниматься по университетской
программе.
Частные
школы. Мировой опыт показывает, что частные школы высоко эффективны в
обучении далеко продвинутых в умственном отношении детей. В нашей стране
практика деятельности частных школ очень мала по сравнению с зарубежным опытом.
Однако, на настоящее время в Москве функционирует несколько частных школ, в том
числе и для детей с высокими способностями. Приведем примеры таких школ.
Школа
«Премьер» - одна из первых частных школ Москвы (основана в 1991 году),
реализует индивидуальный подход, позволяющий максимально развить способности
каждого ребенка. Для успешности обучения по различным предметам классы делятся
на уровневые группы. Это практикуется при изучении иностранных языков,
математики и других учебных дисциплин, требующих дифференцированного подхода.
Частная
школа «Венда». Здесь предлагается использование компьютерных и мультимедийных
технологий на уроках; геометрия для 5-6 класса; прикладная психология;
эстетический цикл предметов; индивидуальные учебные планы для одаренных
детей; кружки и студии; спортивные секции; профилирование в старшей школе.
Цели
программы Дополнительного образования в частной школе «Самсон» направлены на:
развитие мотивации личности к познанию и творчеству как основы развития
образовательных запросов и потребностей детей; развитие и формирование
индивидуальности, личной культуры, коммуникативных способностей ребенка,
детской одаренности; использование интерактивных способов усвоения
образовательного материала; обеспечение личностно-мотивированного участия детей
в интересной и доступной форме деятельности.
Раннее
поступление в ВУЗ является естественным продолжением общей стратегии ускорения.
Необходимо предусмотреть психологическую поддержку для предотвращения
сложностей адаптации. При правильной организации такой работы у юных студентов
происходят положительные изменения в личностном развитии – они становятся более
независимыми, проявляют больше самоконтроля и самодисциплины, чем их сверстники
с высоким интеллектом, обучающиеся в школе. Исследователи, изучавшие
эффективность форм ускорения на всех возрастных этапах, единодушны в том, что
оптимальный результат достигается при одновременном соответствующем изменении
содержания учебных программ и методом обучения. "Чистое" ускорение в
какой-то степени напоминает скорую помощь, снимая некоторые срочные проблемы
развития незаурядных детей, но не предоставляя возможности удовлетворить их
основные познавательные потребности. Поэтому редко используется только
ускорение. Как правило, учебные программы основываются на сочетании двух
основных стратегий – ускорения и обогащения.
Обогащение
обучения
В
некоторых случаях обогащение подразделяют на «горизонтальное» и «вертикальное».
Вертикальное обогащение предполагает более быстрое продвижение к высшим
познавательным уровням в области избранного предмета, поэтому его иногда
называют ускорением.
«Горизонтальное»
обогащение традиционного содержания предполагает:
1)
усиление развивающих возможностей урока;
2) разработка
индивидуальных (авторских) программ;
3) кружки,
факультативы, олимпиады, конкурсы.
В
общеобразовательной школе урок является основной формой развития детской
одаренности, при этом внимание уделяется преобладанию развивающих возможностей
учебного материала над его информационной насыщенностью. Отсюда выделяются
следующие принципы разработки учителем урока, направленного на развитие
одаренных детей:
- усложнение
содержания учебной деятельности за счет углубления и большей абстрактности
предлагаемого материала;
- ориентация на
интеллектуальную инициативу учащихся;
- осуществление
учебно-познавательной деятельности в соответствии с познавательной потребностью
детей, а не по заранее разработанной логической схеме;
- преобладание
собственной работы мысли ученика над репродуктивным усвоением знаний;
- актуализация
лидерских возможностей;
- развитие
познавательной потребности.
Познавательная
потребность характеризуется выраженным чувством удовольствия от умственной
работы. Умственная работа выполняется не в результате долга, не для отметки, не
для того, чтобы победить на конкурсе, а потому, что хочется самому (т.е. по
потребности). По мнению В.С. Юркевич [61], любовь к умственной деятельности –
самая яркая характеристика любого одаренного ребёнка, именно от неё в
значительной мере зависит дальнейшее развитие способностей.
Средством
удовлетворения познавательной потребности является новое знание. Для развития
одаренности ребенка важно не столько усвоение знаний, сколько собственная
работа мысли. Чужие знания должны быть пропущены через себя, собственное
видение мира. Познание должно быть направлено, прежде всего, на процесс
познания, и результаты, конечно, важны, но не в первую очередь. Познавательная
потребность связана с положительными эмоциями и развивается, укрепляется от
радости при интеллектуальной деятельности. Таким образом, развитие
познавательной потребности лежит в основе развивающих функций урока; для этого
учителям необходимо использовать прежде всего эвристические обучения, среди
которых выделяют: проблемное изложение, частично-поисковые методы;
исследовательские методы.
Итак, обогащенный
урок качественно отличается от традиционного, на нем учителя используют методы
развития познавательного интереса, прежде всего, формирование готовности
восприятия учебного материала, выстраивание вокруг учебного материала
интересного сюжета, стимулирование занимательным содержанием, создание ситуаций
творческого поиска, психологические методы, например: «Мозговой
штурм» А. Осборна [58], «синектика» У. Гордона, тренинги, составленные Ю.Д.
Бабаевой для выявления и развития одаренности [4]. Остановимся более подробно
на методах развития познавательного интереса.
Формирование
готовности восприятия учебного материала представляет собой одно или несколько
заданий, направленных на подготовку учащихся к выполнению основных заданий и
упражнений урока. Выстраивание вокруг учебного материала игрового приключенческого
сюжета – это проведение в ходе урока игры, включающей в себя выполнение
запланированных учебных действий. Метод стимулирования занимательным
содержанием заключается в подборе образного, занимательного учебного материала
и добавление его к общему ряду учебных примеров и заданий, служит первым шагом
на пути формирования и развития познавательной потребности. К психологическим
методам относятся: творческое задание, создание проблемной ситуации, дискуссия,
создание ситуаций, в которых ребенок может творчески проявить себя.
Другим методом обогащения
образования является использование авторских программ в процессе работы с
одаренными детьми, которые реализуют принципы индивидуализации, дифференциации,
исследовательского обучения.
Принцип
индивидуализации обучения предусматривает создание каждому ученику
оптимальных условий для реализации способностей, всесторонний учет уровня
развития, формирование на этой основе личных планов развития и обучения,
программ для их стимулирования и коррекции. Предполагается персональный путь
реализации личностного потенциала каждого ученика. [50, 58].
Дифференцированное
обучение – это: 1) форма организации учебного процесса, при которой учитель
работает с группой учащихся, составленной с учетом наличия у них каких-либо
значимых для учебного процесса общих качеств (гомогенная группа) - уровневая
дифференциация; 2) часть общей дидактической системы, которая обеспечивает
специализацию учебного процесса для различных групп обучающихся – профильная
дифференциация. Дифференциация обучения (дифференцированный подход в обучении)
- это: 1) создание разнообразных условий обучения для различных школ, классов,
групп с целью учета особенностей их контингента; 2) комплекс методических,
психолого-педагогических и организационно-управленческих мероприятий,
обеспечивающих обучение в гомогенных группах. Принцип
дифференциации обучения – положение, согласно которому педагогический процесс
строится как дифференцированный. Одним из основных видов дифференциации
является индивидуальное обучение [50].
Основными задачами исследовательского
обучения являются:
– развитие способности к
самостоятельному творческому изысканию и дивергентному мышлению в процессе
этого изыскания;
– ознакомление детей с
методологией и методами исследования;
– развитие способности
анализировать происходящее и принимать ответственность за свое решение и
результаты своей деятельности;
– развитие навыков рефлексии.
По
словам А.И. Доровского [15], специальная программа для одаренных детей должна:
а) быть ускоренной, усовершенствованной и усложненной;
б)
качественно превосходить обычный курс обучения;
в)
корректироваться самими учащимися;
г)
способствовать развитию абстрактного мышления применительно ко всему учебному
материалу.
Л.В.
Попова [48] считает, что при разработке учебных программ следует исходить из
положений, основанных на общих особенностях одаренности: способность быстро
схватывать смысл принципов, понятий, положений; потребность сосредотачиваться
на заинтересовавших сторонах проблемы и стремление разобраться в них глубже;
способность подмечать, обдумывать подмеченное и выдвигать объяснения;
обеспокоенность, тревожность в связи со своей непохожестью на других детей.
Учебные программы для одаренных детей должны отличаться по содержанию,
процессу, требуемому результату и среде обучения. Конкретно это выражается в
том, что следует вводить в содержание темы или проблемы, требующие
междисциплинарного подхода в их изучении; особое внимание уделять развитию
умения учащихся работать самостоятельно. Необходимо, также, поощрять результаты,
которые бросают вызов существующим взглядам и содержат новые идеи. При
разработке любой программы и отдельного занятия следует постоянно держать в уме
то, что развитие способностей идет наиболее эффективно при использовании
активных форм обучения – групповых дискуссий, мозгового штурма, ролевой игры и
т.п.
При
реализации авторских программ необходимо помнить о трех типах нервной высшей
деятельности (адекватный, с преобладанием левого или правого полушария в
соответствии с решаемой задачей; левополушарный, или мыслительный, с
преобладанием функций левого полушария; правополушарный, или художественный, с
преобладанием функций правого полушария). Содержание учебной информации должно
соответствовать этим типам. Необходим учет четырех основных видов содержания
учебной информации: а) наглядно-образной; б) вербальной; в) знаковой; г)
ситуативно-поведенческой. При составлении программ для одаренных и способных
учащихся правильное сочетание этих видов содержания учебной информации имеет
существенное значение.
 Общеизвестно,
что среди людей большинство тех, кто все делает лишь правой рукой. Исследования
В. В. Клименко [27] подтверждают характеристики «правшей» и «левшей»: а)
«правша», следовательно, у него господствует левое полушарие. Поэтому ребенка
влечет в окружающем логика событий, склонность к углубленному анализу,
расчленению, сортировке, порядку во всем. Вывод: доминирует логическое мышление
и воображение; б) «левша», т.е. доминирует правый мозг. В данном случае у
ребенка поэтическое, образное, обобщающее и целостное восприятие мира. Вывод: у
учащегося доминируют чувства, левый мозг – механизм логически-языкового
мышления, он оперирует в деятельности цифрами, математическими формулами.
Правый мозг - это отражение пространства, в котором мы живем; ландшафты, их
глубину, пространственные отношения между предметами охватывает в единой
целостности. Но сам левша, двигаясь в этом пространстве, плохо ориентируется в
направлениях и расстояниях, чем правша. Механизмы правого мозга позволяют
человеку точно ощущать интонации речи, оперировать образами, переживать
чувства. Ниже приведена одна из классификаций действий, связанных с полушарной
спецификой М. Гриндера [57].
Левополушарный
ученик
Правополушарный
ученик
1. Видит символы
2.
Любит информацию в  письменной форме
3. Нужны ясные
инструкции 4.Анализирует от части к целому
5.Склонен к
логическим выводам
6.Фокусирован
внутренне
7.
Любит проверять работу
8.
Переживает реальность после чтения о ней.
1. Видит конкретные образы
2.
Любит информацию в наглядной форме
3.
Любит самостоятельность
4.
Анализирует от целого к части
5.
Склонен к интуитивным выводам
6.
Фокусирован внешне
7. Не
любит проверять работу
8.
Переживает реальность до чтения о ней.
У
некоторых людей проявляется «двурукость» (амбидекстры) [27, с. 193]. Правый и
левый мозг обмениваются своими приобретениями: правая рука, обучаясь письму,
передает свой опыт левой, один мозг берет у другого родственную информацию. У
правого левый мозг берет из чувственного материала то, что касается логики событий, а у левого правый наоборот: из
логики событий то, что эту логику окрашивает эмоциями и чувствами. Но
гармоничное, свободное содружество левого и правого мозга - явление редкое. У
праворуких и левшей асимметричная активность мозга, они не равны по силе, что ведет
к конкуренции между ними вместо произвольной работы. У «двурукого» активность
мозга значительно выше, гармоничнее, она направлена на познание и творчество.
Исследованиями В. В. Клименко выявлено, что преимущественное большинство
детей и подростков до 13 лет – левши! [27].
Следовательно,
необходимо учитывать и этот факт при разработке программ обучения и развития
одаренных детей.
Обогащение
образования включает в себя и внеклассные формы работы. Существует много
различных форм внеклассной работы (математические кружки, кружки по истории
математики, математические вечера, викторины, олимпиады, выпуск специальных
газет и журналов и т. д.). Для организации и проведения всей этой работы
следует привлекать учащихся старших классов, родителей.
Наиболее
распространенными формами внеклассной работы по математике являются
математические кружки, главная цель которых – проведение определенной
подготовительной работы, направленной на углубление изучения математики и
развитие интереса учащихся к математике. Эту основную цель можно детализировать
следующим образом:
1.
Развитие общего кругозора, общих способностей и интереса учащихся к занятиям
математикой. Ее достижение возможно введением определенных тем для дополнительного изучения; использованием на занятиях
исторического материала, математических игр, задач, со сказочным сюжетом и
задач прикладного (в частности, регионального) характера.
Развитие
умения подходить к решению задач в нестандартных ситуациях,
(задач
прикладного содержания; задач, в которых присутствуют лишние данные или,
наоборот, присутствует недостаток данных для решения; задач олимпиадного типа;
задач из дополнительных разделов программы по математике для классов и школ с
углубленным изучением математики), ознакомление с некоторыми нестандартными приемами
их решения, изучение методов решения задач, которые широко используются в
олимпиадных задачах (метод решения, который, как правило, заранее неизвестен
учащемуся, до него надо додуматься, выстроить его).
Развитие
умения объяснять свои решения последовательно и непротиворечиво, рассуждать при
решении задач, выполнять несложные исследования.
Развитие
умений саморазвития и самообучения с использованием приемов самостоятельной
учебной деятельности.
Подготовка
к участию в научно-практических конференциях, в олимпиадах, развитие умения
сконцентрироваться в экстремальных условиях и т. п.
В
состав кружка входят не только хорошо успевающие учащиеся, но и все проявляющие
интерес к математике. Используется математический кружок для решения
занимательных задач, развивающих способности учащихся; составление таких задач
на интересных для учащихся числовых данных гуманитарного характера; решение
исследовательских и олимпиадных задач; интеллектуальные игры.
Кружок
можно использовать в качестве занятий по подготовке к олимпиадам.
Под олимпиадой
понимается спортивное, учебное, научное соревнование, проводящееся с целью
выявить наиболее достойных из числа участников; конкурс [55].
В нашей стране
первые олимпиады прошли по математике, а было это более 60 лет назад сначала в
Ленинграде, потом в Москве. Весной 1934 г. в Ленинграде была проведена первая в
СССР школьная математическая олимпиада. I Московская
математическая олимпиада прошла в 1935 году, в ней приняло участие 314
школьников. В оргкомитет олимпиады вошли профессора-математики МГУ, среди них
А. Н. Колмогоров, Л, А. Люстерник, Л. Г. Шнирельман, В. Ф. Каган,
С. А. Яновская и др. Председателем оргкомитета стал президент Московского
математического общества И. С. Александров. Олимпиада ставила своей целью
выявить наиболее способных учащихся, привлечь внимание широких масс школьной
молодежи к важнейшим проблемам и методам современной математики и хотя бы
частично показать, над чем работает отечественная математическая наука, каковы
ее достижения и какие задачи стоят перед ней. Задачи для Московской
математической олимпиады подбираются таким образом, чтобы для их решения не
требовалось специальных знаний, выходящих за рамки стандартного школьного
курса, в то же время, эти задачи не ставят своей целью только проверку
успеваемости школьников (для этого есть контрольные и экзамены), но дают
возможность школьникам проявить свои математические способности, порешать
занимательные задачи, которые могут вызвать заинтересованность и дальнейшем
поиске, в более глубоком изучении математики [10].
С
каждым годом растет число стран, которые проводят национальные олимпиады, а с
1959 г. проводятся и международные математические олимпиады. Количество
участвующих в них стран увеличилось с 5-7 па первых олимпиадах до 30 и более в
настоящее время. За последнее десятилетие получили распространение различные
региональные международные математические соревнования школьников.
Математические олимпиады проводятся и различными учебными заведениями, а также
некоторыми математическими журналами [22].
Система
подготовки к олимпиаде состоит из работы кружка, индивидуальных и
факультативных занятий с одаренными учащимися по специально разработанной
программе. На занятиях учителю необходимо постепенно знакомить детей с задачами
олимпиадного типа, показывать методы их решения, которые незнакомы учащимся
(приложение). На кружковых занятиях основной целью следует считать решение
интересных и оригинальных задач, расширяющих и углубляющих знания учащихся,
получаемых на уроках.
Однако
каждая задача, особенно на первых занятиях кружка, не должна содержать
нагромождения многих трудностей логического, смыслового и вычислительного
характера. В противном случае у учащихся очень быстро пропадет интерес к
математике.
Если
же умело поддерживать любознательность учеников, предлагая им задачи,
соответствующие их знаниям, помогая в необходимых случаях, то это привьет им
вкус к самостоятельному мышлению и поможет развитию их математических
способностей [25].
Олимпиады,
пожалуй, наиболее адекватная и соответствующая математике форма отбора
одаренных школьников для дальнейшего их развития.
В последние годы
наряду с олимпиадами появились научно-практические конференции, на которых
школьники выступают с докладами и имеют научных руководителей. А олимпиады
стали своего рода интеллектуальными играми для маленьких профессионалов. Дети с
большим желанием и удовольствием участвуют в них.

Выводы

Подводя итог параграфу 3, можно сделать следующие выводы.
Существует несколько подходов к выявлению-развитию детской одаренности.
Стержневым моментом, объединяющим перечисленные теоретические позиции, является
подход к одаренности как к процессу целостного развития личности и сознания
одаренных детей, реализующего творческий потенциал их развития.
Учитывая это, в качестве базовой характеристики одаренности
выделяется творческая активность человека как проявление творческой природы
психики и ее развития в зависимости от образовательной среды.
Для
создания необходимой образовательной среды, существуют два основных способа: обогащение и
ускорение традиционного образовательного процесса. Виды
ускоренного обучения: раннее поступление в школу, перепрыгивание через классы,
профильные классы, занятия в других классах. Обогащение традиционного содержания
предполагает: усиление развивающих возможностей урока; разработку
индивидуальных (авторских) программ; кружки, факультативы, олимпиады, конкурсы.
Основные
психолого-педагогические методы развития одаренных детей, входящие в обогащение
и ускорение образовательного процесса должны включать решение специальных
математических и учебных задач, формирование ориентировочной основы умственных
действий при решении задач, эвристические, игровые, проблемные и активные методы обучения.
При
работе с одаренными детьми целесообразно учитывать принципы индивидуализации,
дифференциации, исследовательского обучения, а также особенности мышления
левополушарных и правополушарных учащихся.

§ 4. Проблемы
развития одаренных детей в процессе обучения математике

В
предыдущем параграфе рассмотрены различные условия и методы работы с одаренными
детьми. Существует множество авторских программ по выявлению и развитию детей с
высокими способностями, способов и подходов к данной задаче. Но, в настоящее
время, невозможно рассматривать одно из направлений в работе с одаренными и
способными детьми как основное, поскольку, во-первых, пока нет достоверных
способов отбора одаренных детей, и, во-вторых, развитие разных детей происходит
неодинаковыми путями и в разном темпе.
Говоря
об обучении одаренных детей, мы ориентируемся на развивающее обучение.
Идеи
развивающего обучения представлены в трудах ведущих педагогов и психологов
нашей страны (Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, В.В. Давыдов, Л.В. Занков и др.)
Основным принципом развивающего обучения является деятельностный метод,
направленный на формирование у учащегося готовности к саморазвитию. Основные
идеи, заложенные в принцип деятельности были сформулированы А. Н. Леонтьевым и
П. Я. Гальпериным, а затем обобщены Г. В. Дорофеевым и Л. Г. Петерсон:
-
процесс познания должен быть организован как самостоятельная деятельность
учащихся;
-
учитель – организатор процесса познания;
-
деятельность познающего должна иметь критериальное обеспечение в
виде программы или метода, в соответствии с которым она строится;
-
формирование способностей в процессе познания происходит в ходе
общения, коммутативного взаимодействия [32].
Перечисленные
выше идеи впервые получили теоретическое обоснование в трудах Д. Б. Эльконина,
В. В. Давыдова и Л. В. Занкова, которые выделяют следующие принципы концепции
развивающего обучения: обучение на высоком уровне трудности, высокий темп
изучения материала, способ восхождения мысли ученика от абстрактного к конкретному
[58].
Понятие
«развивающего обучения» обобщено Г. К. Селевко [51, с.180]: 1) под развивающим
обучением понимается новый, активно-деятельностный способ (тип) обучения,
идущий на смену объяснительно-иллюстративному способу (типу); 2) развивающее
обучение учитывает и использует закономерности развития, приспосабливается к
уровню и особенностям индивидуума; 3) в развивающем обучении педагогические
воздействия опережают, стимулируют, направляют и ускоряют развитие
наследственных данных личности; 4) в развивающем обучении ребенок является
полноценным субъектом деятельности; 5) развивающее обучение направлено на
развитие всей целостной совокупности качеств личности: РО = ЗУН + СУД + СУМ +
СЭН + СДП, где ЗУН - знания, умения, навыки; СУД - способы умственных действий;
СУМ - самоуправляющие механизмы личности; СЭН - эмоционально-нравственная
сфера; СДП - деятельностно-практическая сфера; 6) развивающее обучение
происходит в зоне ближайшего развития ребенка; 7) содержание развивающего
обучения дидактически построено в логике теоретического мышления (ведущая роль
теоретических содержательных обобщений, дедукция, содержательная рефлексия и
т.д.); 8) развивающее обучение осуществляется как целенаправленная учебная
деятельность, в которой ребенок сознательно ставит цели и задачи самоизменения
и творчески их достигает; 9) развивающее обучение осуществляется путем решения учебных задач; 11) технология обучения, основанная
на использовании мотивов самосовершенствования личности, представляет собой
новый уровень развивающего обучения и может быть названа саморазвивающим
обучением.
Открытым
вопросом является проектирование целей развивающего обучения математике как
основного способа развития способных учащихся. Рассмотрим несколько
методических исследований, направленных на проектирование целей развивающего
обучения математике.
Х. Ж.
Ганеевым выделяет 4 группы целей в системе развивающего обучения математике: а)
общие цели развития личности (максимальное развитие интеллектуальных
возможностей личности, достижение высокого уровня компетентности, достижение
открытого типа познавательного отношения к окружающей действительности,
осведомленность о своих познавательных возможностях, осознание общей структуры
учебной деятельности, овладение методологией учебно-познавательной и творческой
деятельности, приобретение опыта эмоционально-ценностного отношения к
познанию); б)
общие цели развития личности, в наилучшей степени
достигаемые средствами обучения математике (достижение единства эмпирического и
теоретического уровней познания, формирование визуального мышления,
формирование культуры доказательных рассуждений, овладение специальными
умственными операциями, осознание роли теоретических знаний); в) специальные
предметные цели развития личности, достигаемые в процессе изучения математики
(развитие математических способностей, раскрытие математических знаний в жизни,
формирование представлений о математизации знаний, грамотное владение
математическим языком, осознание структуры деятельности при изучении понятий,
доказательстве теорем и решении задач, овладение навыками исследовательской
деятельности при изучении математики и формирование опыта теоретической
деятельности в предметной области; г) овладение программным материалом [12,
с.20].
В
классификации целей обучения математике В. А. Гусева на основе идей целостного
формирования личности и дифференцированного подхода к обучению отражена
направленность на целостное развитие личности и выделены три блока целей
обучения математике: 1) получение всеми учащимися основ математических знаний,
умений и навыков; этот блок определяется учебными программами; 2) формирование
основных стержневых качеств личности, для которых обучение математике играет
существенную роль; здесь основным являются качества личности: а) составляющие
умственное воспитание (дедуктивное мышление, дисциплина и критичность
мышления), б) составляющие ее творческий характер (творческие способности), в)
связанные с формированием мировоззрения (понимание закономерности мира и
принципов познания, интерес к приобретению научного взгляда на развитие мира,
понятийное мышление), г) связанные с нравственным воспитанием (становление
нравственных черт личности), д) связанные с эстетическим воспитанием (чувства
прекрасного, воображение), е) связанные с трудовым воспитанием; 3) специальные
цели собственно математического образования (математическая речь, использование
математических инструментов, построение математических моделей,
пространственные представления, математическая интуиция) [20].
Однако
следует отметить, что цели развития учащихся в процессе обучения математике в
общеобразовательной школе не дифференцированы по уровням и, в частности, не
выделены цели развития одаренных учащихся. Такая попытка предпринята в
исследовании О. Б. Епишевой [21].
В
таблице 1 (Приложение 1) показано проектирование дифференцированных учебных
целей. При этом, по мнению О. Б. Епишевой, достижение определенного уровня
учебных целей зависит от уровня развития учащихся; в частности, третьего уровня
усвоения достигают как раз те учащиеся, которые проявляют способности к учебной
математической деятельности. В этом исследовании представлены и
дифференцированные развивающие цели обучения математике, основные категории
которых представлены в первом столбце таблицы 2 (Приложение 1).
Второй
столбец этой таблицы содержит примеры обобщенных типов этих целей 3-го уровня,
что, соответствует как компонентам математических способностей математического
мышления (3-й столбец таблицы 2). Четвертый столбец таблицы содержит типы
математических задач, соответствующих категориям развивающих целей (таблица 2
будет использоваться нами во второй главе работы при составлении системы задач,
направленной на развитие одаренных учащихся). В диссертационном исследовании О.
Б. Епишевой разработаны следующие условия достижения развивающих целей обучения
математике: 1) система обобщенных типов учебных задач, адекватная системе
целей; 2) система основных обобщенных приемов учебной деятельности как средства
решения учебных задач; 3) усвоение учащимися приемов учебной деятельности,
построенные на основе закономерностей развития ученика в процессе обучения и
закономерностей формирования обобщенных приемов учебной деятельности [20].
Рассмотрим
основные проблемы, возникающие при развитии способных детей. В рамках нашего
исследования было проведено анкетирование учителей средней общеобразовательной
школы № 335 с целью выявления наличия работы по развитию одаренных учащихся в
школе и проблем, вызванных такой работой. Большинство
опрошенных учителей (76-80%) считают, что в их классах есть одаренные в определенной
области дети. Этот вывод они делают, главным образом, на основе собственных
наблюдений (59%) и результатов учебной деятельности (15%).
При
этом все опрошенные (100%) считают, что с этими детьми необходима специальная
работа по развитию их способностей (большинство -58% - считает, что в первую
очередь общих). В школе в целом такая работа не проводится (67%), но многие
учителя пытаются проводить ее сами (34%) и считают, что она дает повышение
качественной успеваемости (24%) и уровня общего развития (49%).
В
противном случае наблюдается даже понижение уровня общего развития (49%) и
качественной успеваемости (5%). Проводимая учителями
работа осуществляется, главным образом, вне урока, т. к. на уроке они не
находят для нее времени.
Кроме
того, учителя испытывают следующие трудности в этой работе: отсутствие
психологической помощи (31%), отсутствие специальной методической литературы
(32%) и специальных дидактических материалов (12%) для работы с одаренными
детьми.

Основные способы работы учителей с одаренными

Основные проблемы, испытываемые ими при такой работе

-
  факультативы
-
  кружки
-
  подготовка к олимпиадам
-
  проведение конкурсов

- нет психологической помощи
- нет специальной методической
 литературы
- отсутствие дидактических материалов

Помимо анкетирования
педагогов, были проведены, также, беседы с родителями способных учащихся.
Результаты бесед показали, что основные проблемы родителей одаренных детей
заключаются в следующем:
- Отказ признавать одаренность
ребенка;
- Родительская гиперответственность
за талант ребенка;
- Незнание как строить
отношения с непонятными проблемами;
- Отсутствие финансовых
возможностей дать ребенку образование;
- Незнание, куда обратиться за
помощью.

Выводы

На основе
вышеизложенного можно сделать вывод о том, что в исследованиях
развивающего обучения рассматриваются проблемы проектирования развивающих целей
математического образования, роль задач в их достижении, дифференциации,
индивидуализации и исследовательского обучения математике, обучения одаренных
детей в специализированных классах и школах, по специальным программам и
технологиям.
Однако
в настоящее время они не образуют целостной системы, которая составляла бы
часть методической системы и, в частности, системы развития одаренных
способностей учащихся в процессе обучения математике в общеобразовательной
школе, чему свидетельствуют приведенные выше результаты анкетирования
педагогов, собственные наблюдения, изучение литературы по данной теме.
Таким
образом, существует множество неразрешенных проблем, связанных с развитием
одаренных детей в общеобразовательной школе.
   § 5. Анализ учебно-методического
обеспечения процесса обучения математике с точки зрения выявления его
потенциала для развития одарённых учащихся

Проанализируем учебные
программы и учебники по математике для 5-6 классов с целью выявления в них
акцента на развитие именно одаренных учащихся. Учебная программа, как основной
документ общеобразовательного учреждения, менялась в процессе развития системы
образования. Так, в 1923 г. стержнем школьных программ было изучение трудовой
деятельности людей; в 50-е годы советской школы стали говорить о новом этапе ее
развития на основе всеобщего политехнического обучения, осуществляющего
связь между теорией и практикой, между умственным и физическим трудом в
процессе обучения и воспитания. При переходе на предметную систему преподавания
в советской школе тесным образом проявляется связь с трудовой жизнью. С уходом
из школы исследовательского метода, как основного метода учения, утрачены и некоторые
полезные аспекты жизненного, экономического воспитания школьников, все реже и
реже рассматриваются жизненные задачи, на примере которых учащиеся упражнялись
бы в применении математических знаний к решению несложных прикладных задач.
Одним из основных недостатков этих программ было отсутствие планирования
развития ученика, выявления его истинных способностей и необходимости работы с
ним на его уровне [21].
Характерная
особенность программы 1965-68гг. – это создание существенно новой для нашей
школы формы обучения – факультативных занятий по выбору учащихся, которые
призваны обеспечить индивидуальное развитие учащихся, основательную подготовку
в вуз; развитие системы школ и классов с углубленным изучением отдельных
предметов, цель которых была обеспечить приход в науку талантливых молодых
людей. В 1980 г. была принята программа, усиливающая прикладное содержание
школьного курса математики, в 1985 г. новая учебная программа, усиливающая
практическую направленность обучения.
Началом
современного этапа реформы математического образования в нашей стране является
1989 г., когда Госкомитетом СССР по народному образованию была разработана в
русле перестройки школы новая Концепция общего среднего образования [20]. В
1993 г. был утвержден базисный учебный план и разработан проект «Стандарта
среднего математического образования», в котором требования к математической
подготовке учащихся задаются в двух уровнях – «уровне возможностей» и «уровне
обязательной подготовки» в виде типовых заданий и процедур оценивания их
выполнения учащимися. Как отмечает Т. А. Иванова [26], требования этого
стандарта частично отражают и гуманитарный потенциал школьного курса
математики, но важнейшие его аспекты не являются результатами обязательного
усвоения, содержание которого определяется лишь умением решать типовые задачи.
Опубликованный
в 1996 г. проект нового Стандарта, ставший победителем на Всероссийском
конкурсе [21], стал шагом вперед по сравнению с предыдущим. В нем более полно
раскрываются гуманитарные аспекты образовательной области «Математика» и в
соответствии с ними сформулированы цели обучения математике такие, как
«интеллектуальное развитие обучающихся, формирование качеств мышления,
характерных для математической деятельности и необходимых человеку для
полноценного функционирования в обществе, формирование представлений об идеях и
методах математики как части общечеловеческой культуры, как форме описания и
методе
познания действительности, понимание значимости математики для
общественного прогресса» [31].
В
новой Концепции математического образования для 12-летней школы [46] отмечается
гуманитарная направленность общеобразовательного курса математики, обучение
математике ориентировано не столько на собственно математическое образование, в
узком смысле слова, сколько на формирование личности с помощью математики.
Целью учебного предмета «Математика» провозглашается формирование и развитие
мышления, способности к
абстрагированию; формирование важнейших качеств личности
(логическое
(дедуктивное) мышление, алгоритмическое мышление, многие качества
мышления – такие, как сила и гибкость, конструктивность и критичность и т. д.).
В качестве
основополагающего принципа концепции математического образования на первый план
выдвинут принцип приоритета развивающей функции в обучении математике.
Действующая
программа по математике для общеобразовательных учреждений в разделе
«Требования к математической подготовке учащихся» также задает два уровня:
уровень возможностей и уровень обязательной подготовки предусматривает
возможность изучения содержания курса с различной степенью полноты. Одной из
целей обучения в школе программа ставит интеллектуальное развитие учащихся,
формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и
необходимых для продуктивной жизни в обществе [46, с.8-10].
Следует
заметить, что ни в одной программе нет специального акцента на развитие именно
одаренных (способных) детей.
Проанализируем
учебники математики для 5-6 классов общеобразовательных школ на содержание в
них материала, подходящего для развития одаренных учащихся.
В
настоящее время в большинстве средних общеобразовательных школ используется
учебник математики для 5-6-х классов под редакцией Н. Я. Виленкина. Учебники и
учебные пособия под редакцией Н. Я. Виленкина [37, 38] имеют целью развитие
наглядно-образного и абстрактно-логического мышления. В учебниках имеются
задания, предусмотренные стандартом образования, достаточное количество
упражнений, необходимых для усвоения детьми изучаемого материала. В разделе
«Упражнения для повторения» выделена рубрика «Развивайте свои способности»,
обозначенная славянской буквой «мыслете» (задачи повышенной трудности, игры и
упражнения, специально рассчитанные на развитие мышления, памяти, внимания).
Они позволяют выявить учеников с недостаточно сформированным или неустойчивым
вниманием, неразвитой оперативной памятью и позволяют развивать
сообразительность, умение находить закономерности, развивать пространственное
воображение. Но количество такого материала мало для ребят одаренных,
увлеченных математикой, хотя и достаточно для учащихся, не обладающих высокими
математическими способностями. Теоретический материал, способствующий умению
говорить правильно, отмеченный под рубрикой Г - «глаголь» позволяет развивать и
обогащать лексикон учащихся. Наличие в учебнике достаточно большого количества
исторического материала, причем изложенного в очень доступной форме и
иллюстрированного картинками, позволяет повышать познавательный интерес
учащихся, развивать воображение, память, мышление.
Учебник
коллектива авторов: Г. В. Дорофеева, С. Б. Суворовой и др. под ред. Г. В.
Дорофеева (в комплекте с рабочими тетрадями, дидактическими материалами с
разноуровневыми упражнениями, задачами на смекалку и книгой для учителя) [35,
36, 34, 33] уделяет внимание формированию вычислительной культуры, делает
акцент на обучение приемам прикидки и оценки результатов действий и логическим
приемам решения текстовых задач. Изменен подход к изложению геометрического
материала - представлена наглядно-деятельностная геометрия, направленная на
расширение геометрического кругозора учащихся. Включен новый для российской
школы материал - элементы математической статистики, комбинаторики и теории
вероятностей. Каждый раздел завершается рассмотрением методов решения задач из
этого раздела и двухуровневой системой упражнений. В конце каждой главы в
пункте «Для тех, кому интересно» предлагается необязательный материал,
углубляющий или расширяющий знания учащихся проявляющих интерес к математике. В
конце каждой главы предусмотрены вопросы и задачи для повторения. По печатным
тетрадям Г. В. Дорофеева учащиеся знакомятся с большинством изучаемых в курсе
математики 5-6 классов отношений и свойств, некоторыми сведениями из системного
курса математики, овладевают основными логическими операциями сравнения, поиска
закономерностей, классификации и т. д. Изложение материала этих учебников по
математике характеризуется краткостью, сжатостью, мелкой рубрикацией,
последовательностью расположения и как следствие - связью с изученным раннее
учебным материалом. Это способствует удобному проведению различных видов
обобщений.
В
учебнике математики для 5-6 классов авторов Г. В. Дорофеева и Л. Г. Петерсон
реализуется деятельностный подход в обучении математике. Одним из принципов
такого подхода является принцип минимакса: содержание образования предлагается
на творческом уровне (уровне «максимума»), а административный контроль его
усвоения – на уровне стандарта («минимума»). Таким образом, принцип минимакса
является саморегулирующимся механизмом разноуровнего обучения; в месте с тем он
означает, что решение всех заданий из учебника всеми учениками не является
обязательным, каждый получает шанс тренировать свои способности в соответствии
со своим выбором. В содержание учебника включен такой материал, как: элементы
математической логики, задачи на метод проб и ошибок, метод перебора, различные
системы счисления (в качестве дополнительного параграфа в 6 классе),
геометрический материал (геометрические фигуры на плоскости и в пространстве,
симметрия фигур). Задачи, обозначенные буквой С, – это задачи на смекалку,
предлагаются авторами в конце каждой темы. Учебник ориентирован на развитие
мышления и творческих способностей школьников [16, 17, 18, 32]. Учитывая все
вышесказанное, следует отметить, что данный комплект учебников целесообразно
использовать для реализации развития одаренных детей в процессе обучения
математики.
Главным отличием
учебника математики для 5-6 классов С. М. Никольского и др. «Арифметика»
является наличие в конце каждой из глав пунктов под названием «Исторические
сведения» и «Занимательные задачи». Использование на уроках исторического
материала позволяет повышать познавательный интерес учащихся, расширять их
кругозор, повышать математическую культуру. Среди занимательных задач,
предлагаемых авторами учебника, присутствует достаточно много задач
олимпиадных, нестандартных, которые можно использовать при работе со способными
учащимися. Кроме того, все задачи дифференцируются по трем уровням сложности:
легкие, средней трудности и задачи «со звездочкой» (повышенного уровня
сложности). Таким образом, учебник вполне удобно использовать при обучении
способных детей в качестве дополнительного источника занимательных задач [3].
Учебник математики
для 5-6 классов А. Г. Мордковича и И. И. Зубаревой только начинает внедряться в
школы [23, 24]. Знакомство с новым материалом в учебнике осуществляется в
большинстве случаев через систему заданий (такие задания отмечены буквой У), т.
е. Изучения нового начинается с проблемной ситуации, что значительно облегчает
подготовку учителя к уроку. Среди задач, есть задачи повышенной трудности,
отмеченные знаком *, по замыслу авторов, однако, они предназначены не только
для работы с сильными детьми, но и, при, правильной организации учебного
процесса, для всех учащихся. Главное отличие учебника состоит в сдвиге
некоторых тем, связанных с обыкновенными дробями из курса 6-го класса в курс
5-го класса, усилением геометрической линии, а также включением в курс 5-6
классов представлением о комбинаторике, теории вероятностей и статистики. Учебник
рассчитан на учащихся с достаточно высоким уровнем подготовки, в частности на
детей, обладающих математическими способностями.
Основными
принципами учебного комплекта «Математика, 5-6 классы» («Учебник-собеседник» и
рабочие тетради не только с тренировочными упражнениями, но и с математическими
играми и занимательными задачами) коллектива авторов Л. Н. Шеврина и др. [39]
является учет особенностей психологического развития учащихся, опора на
жизненные ситуации, организация внутри учебника диалога с читателем, необычное,
увлекательное изложения. Через всю книгу проходит линия уроков под названием
«Учимся рассуждать при решении задач». Учебник построен в занимательной,
игровой форме, представляет собой путешествие пытливого ученика Смекалкина по
стране Математика. Но данный учебник скорее предназначен для работы с учащимися
средних способностей, поскольку не оснащен достаточным количеством трудных,
нестандартных задач, необходимых для развития одаренных учащихся.
 Математическое
развитие ученика в возрасте 10-12 лет происходит в рамках своеобразного
треугольника: «число – фигура – слово», где две последние составляющие хорошо
выражены в учебнике «Наглядная геометрия» для учащихся 5-6 классов И. Ф.
Шарыгина и Л. Н. Ерганжиевой [59], в основе которого лежит авторская концепция
геометрического образования и его значения в интеллектуальном, творческом
развитии человека. Существенные отличия данного курса от традиционного: а)
геометрический материал играет самостоятельную роль; б) фузионизм, т. е.
объединение изучения плоских фигур и пространственных тел; в) установка на
разнообразие и регулярное изменение видов учебной деятельности – наблюдение,
конструирование, экспериментирование и т.д., в результате которой учащиеся
самостоятельно добывают знания и развивают специальные качества и способности.
Данный курс способствует развитию интуиции и пространственного воображения,
располагает большими возможностями для эмоционального, эстетического и
духовного развития человека. Развитие указанных качеств, безусловно, очень важно
при формировании личности ребенка и его умственном развитии, но, несмотря на
это, учебник не достаточно снабжен материалом, необходимым для развития
одаренных учащихся.

Выводы

1. Одаренным является
ребенок, обладающий такими чертами, как: познавательная потребность, развитость
творческого мышления и воображения (креативность), высокий уровень интеллекта.
Главными признаками математических способностей являются: способность к
обобщению; логичность и формализованность мышления; гибкость и глубина,
систематичность, рациональность и аргументированность рассуждений; «сильная»
память. Понятия «одаренность» и «способности» тесно связаны между собой и часто
определяются одно через другое, поэтому можно считать их синонимичными.
2. При выявлении одаренных детей более целесообразно
использовать комплексный подход, включающий множество оценочных определителей
одаренности (тесты, наблюдения, эксперимент, опрос и др.), в отличие от
подхода, основанного на системе единой оценки, включающей лишь исследование
уровня интеллекта ребенка. Кроме того, выявление и диагностика одаренности –
сложная задача, требующая привлечения квалифицированных специалистов разных
областях.
3. Существует
несколько подходов к выявлению-развитию детской одаренности. Стержневым
моментом, объединяющим все теоретические позиции, является подход к одаренности
как к процессу целостного развития личности и сознания одаренных детей,
реализующего творческий потенциал их развития. Для создания условий развития
такого потенциала есть два способа: обогащение и ускорение традиционного
образовательного процесса. При работе с одаренными детьми целесообразно
учитывать принципы индивидуализации, дифференциации и исследовательского
обучения. Основные психолого-педагогические методы развития одаренных детей,
входящие в обогащение и ускорение образовательного процесса должны включать
решение специальных математических и учебных задач, формирование
ориентировочной основы умственных действий при решении задач, эвристические,
игровые, проблемные и активные методы обучения.
4.
Основными проблемами при работе педагога с одаренными детьми является
отсутствие психологической помощи, отсутствие специальной методической
литературы и специальных дидактических материалов. Говоря об обучении одаренных
детей, мы подразумеваем развивающее обучение, но отмечаем, что в настоящее
время не существует целостной системы, которая составляла бы часть методической
системы и, в частности, системы развития одаренных способностей учащихся в
процессе обучения математике в общеобразовательной школе.
5. На
современном этапе существует множество учебников, которые удобно и
целесообразно использовать при работе со способными учащимися. Но, анализируя
вышерассмотренные учебники, можно обозначить тот факт, что не один из
представленных учебников не содержит соответствующего набора задач (см. таблица
2), необходимых для развития математических способностей.
6. Специализированные
школы и классы, конкурсы и олимпиады по математике получили большое
распространение в нашей стране, но, как показывают исследования, они не решают
всех проблем развития одаренных детей. Решение проблем таких детей - задача
общеобразовательной школы.
7. Подготовка
конкретных методических разработок, направленных на развитие одаренных детей
при обучении математики непосредственно в средней общеобразовательной школе
является очень актуальной задачей. Подготовке таких разработок посвящена вторая
глава данной работы.

Методические
аспекты развития одарённых учащихся в процессе обучения математике в 5-6 классах

§
1. Проектирование целей обучения математике, направленных на развитие одаренных
учащихся

На
основе теории, рассмотренной в первой главе можно сформулировать следующие
основные положения методики развития одаренных детей в процессе обучения
математике:
-
Диагностика развития одаренных учащихся должна осуществляться на основе системы
комплексной оценки. Результаты диагностики должны использоваться в обучении для
учета результатов и коррекции методики развития учащихся.
-
Развитие одаренных учащихся средствами учебного предмета, в первую очередь,
означает развитие в процессе обучения их общих познавательных способностей до
высокого уровня, поэтому не только учебные, но и развивающие цели обучения
математике должны быть дифференцированы.
-
Проектирование целей развития одаренных учащихся должно осуществляться через
соотнесение общих целей развития учащихся в процессе обучения математике с
компонентами математических способностей и качествами математического мышления.
-
Система целей развития одаренных детей предполагает построение адекватной ей
системы математических и учебных задач, используемых в процессе применения
выбранных методов обучения.
-
Развитие одаренных учащихся возможно в общеобразовательной школе в условиях
дифференцированного обучения математике. После дифференциации развивающих целей
обучения должна осуществляться дифференциация обучения по следующим
направлениям: а) по уровню развития, что осуществляется через решение
одаренными учащимися соответствующих учебных и математических задач; б) по типу
мышления (левополушарному – словесные, дедуктивные, алгоритмические методы
обучения, правополушарному – наглядно-интуитивные, индуктивные); в) по методам
обучения на различных его этапах, выделенных в психолого-педагогических
исследованиях [54]: на первом – эмпирические, наглядные и практические методы,
развивающие пространственные представления и воображение; на втором –
проблемные и исследовательские, развивающие мышление; на третьем – решение
нестандартных задач, развивающих математические способности. Развитие ученика
означает его переход от низкого к среднему и затем высокому уровню
познавательных процессов и других компонентов способностей.
-
Внеклассная работа показывает принципиальную возможность такой дополнительной
организации их деятельности, при которой исчезают многие негативные явления
этого возраста. Внеклассная работа по математике должна быть направлена,
во-первых, на развитие общего кругозора, общих способностей и интереса к
занятиям математикой, которая в значительной степени способствует этому
развитию. Во-вторых, и особенно, для учащихся высокого уровня развития – это
такие традиционные формы работы, как решение нестандартных (олимпиадных) задач,
участие в олимпиадах, конкурсах и т.д.

Проектирование
целей обучения математике, направленных на развитие одаренных учащихся
Общие
развивающие цели обучения математике (высокого уровня) соотнесены с
компонентами математических способностей и качествами математического мышления,
а также с соответствующими им типами математических и учебных задач в таблице
2. Следует отметить, что многие типы задач служат для развития нескольких целей
(компонентов математических способностей, качеств математического мышления) и
поэтому повторяются. Это соотнесение является основой конструирования системы
задач при изучении каждой конкретной темы курса. Общие категории развивающих
целей в нашей работе конкретизированы для курса математики 5-6 классов, основу
которого составляет курс арифметики.
Изучение
арифметики имеет общей целью формирование у учащихся знаний о числах и
действиях с ними, вычислительных умений и их использование для решения
практических задач, вычислительной и алгоритмической культуры. В настоящее
время это предполагает также знакомство учащихся с элементами финансовой
математики, самообразовательные умения в работе с различными, в том числе
электронными средствами вычислений. Содержание курса арифметики в школе
позволяет ставить цели развития у учащихся познавательных процессов – внимания,
восприятия, памяти, представления, воображения, мышления (особенно такие
мыслительные операции, как сравнение и первичное обобщение, первичный анализ и
синтез, классификация и конкретизация; формулировка математических суждений
(правил, алгоритмов), индуктивные умозаключения), а также речи и умения
учиться.
Характерными
качествами мыслительной деятельности в данном случае являются: ее
алгоритмический стиль, обобщение и поиск закономерностей, что развивает
соответствующие качества ума (глубину, гибкость, самостоятельность,
осознанность, устойчивость), вычислительную культуру, элементы творческой
деятельности.
Близкая
связь арифметического материала с реальной человеческой практикой и внутренними
потребностями математики позволяет ставить цели развития элементов научного
мировоззрения. Курс арифметики обладает большим гуманитарным потенциалом; это –
история арифметики, исторические и занимательные задачи, текстовые
арифметические задачи самого разного содержания (например, краеведческого,
экологического, валеологического, литературного и т.д.), что дает возможность
ставить цели воспитания и развития интереса к математике и учебной деятельности
в целом, общей культуры (гуманитарной, экологической и т.д.), культуры общения,
чувства прекрасного, профессиональную ориентацию.
Таким образом,
основной целью развития одаренных детей является воспитание всесторонне
развитой, творческой, активной личности, являющейся потенциальным вкладом в
научное развитие страны.

§2.
Построение системы задач, направленных на развитие способностей учащихся в
процессе обучения математике

В
таблице 2 систематизированы основные типы математических и учебных задач,
направленных на развитие определенных компонентов способностей и образующих
систему, адекватную системе развивающих целей обучения математике. В данном
параграфе приведена иллюстрированная примерами методика построения системы таких
задач для курса арифметики 5-6 классов, которые использованы нами в
экспериментальной работе. Система задач строится на основе классификации по
нескольким основаниям:
1) Из
нашего анализа (первый столбец таблицы 2) следует первое и системообразующее
основание – по категориям целей. При этом одна и та же математическая
задача может служить достижению нескольких конкретных развивающих целей,
переформулироваться (конкретизироваться, специализироваться или обобщаться) в
зависимости от математического содержания и уровня и, следовательно, быть
компонентом нескольких развивающих задач. В то же время та или иная конкретная
развивающая цель может быть достигнута несколькими предметными и учебными
задачами.
2) Из
того же анализа (последние два столбца таблицы 2) следует второе основание – по
типам задач, соответствующим категориям целей и компонентам способностей.
3) От
математического содержания задач исходит следующее основание классификации – по
темам школьной программы. В приведенных ниже примерах содержатся задачи по
темам «Натуральные числа» и «Обыкновенные дроби».
4) По
уровням обученности и развития. Тогда согласно [20], I уровень – низкий, минимальный (задания на
различение, узнавание, припоминание, соотнесение, понимание на простом
материале и на простейшие умения), при котором требуется узнать ситуацию
применения простейших математических умений алгоритмического типа и
использовать их, т.к. развитие ученика в процессе специально организованного
обучения мы понимаем как постепенный его переход от низкого к среднему и затем
высокому уровню обученности, познавательных процессов и других компонентов
способностей, то многие необходимые для обучения типы задач для развития
способностей, как задачи высокого уровня, могут оказаться трудными для
большинства учащихся и должны быть, поэтому дифференцированы для начала работы.
IIуровень – средний, обязательный (задания на
различение, воспроизведение информации и понимание на более сложном материале,
применение знаний по образцу и в типичных ситуациях).
IIIуровень – уровень возможностей (задания на
применение обобщенных и системных знаний, на перенос знаний и приемов
деятельности в неизученные ситуации).
Например,
рассмотрим, которая по уровням обученности и развития может быть
представлена следующим образом:
Iуровень.
1)На
протяжении 155м уложено 25 труб. Определите длину одной трубы.
IIуровень.
1) На протяжении
155м уложено 25 труб длиной по 5м и 8м. Сформулируйте вопрос к данной задаче.
(Сколько уложено тех и других труб).
2)    В 9
часов утра на расстоянии 155м строителями уложено 25 труб. (Исключите лишние
данные в задаче).
3)    Если
длина одной трубы 5 м, то чтобы протянуть трубопровод длиной 155м
4)    необходимо
использовать 25 труб. Установите истинность или ложность
5)    данного
утверждения.
6)    Составьте
аналогичную задачу.
IIIуровень.
1)     Придумайте
задачу по следующим данным: 5 м, 8 м, 155 м, 25 штук.
2)     Составьте
задачу прямую и обратную данной: на протяжении 155м уложено 25 труб
длиной по 5м и 8м. Сколько уложено тех и других труб?
3)     Найдите
ошибку в решении данной задачи: 1) 5 + 8 = 13 (м); 2) 13 • 25 = 325 (м).
Ответ: всего уложено 325 метров трубы, а не 155 метров.
I уровень, т.к. задача одношаговая; II уровень., т.к.
задача требует размышления, обоснования; требует установить истинность или
ложность данного утверждения; III уровень,
т.к. требуется составить задачу по некоторым данным.
Примеры
задач по темам: «Натуральные числа», «Обыкновенные дроби»
Задачи на развитие внимания
1.Тип
задачи: Умение выделять существенное
1.1.
3а 40 секунд запомните 20 чисел и их порядковые номера:
1) 13;
2) 12;
3)10; 4) 23; 5) 22; 6) 20; 7) 33; 8) 32; 9) 30; 10) 43; 11) 42;
12) 40; 13)53; 14) 52;
15) 50; 16) 63; 17) 62; 18) 60; 19) 73; 20) 72.
1.2.
Вася записывает последовательность чисел. Определите правило, по которому он
записывает каждое следующее число и запишите несколько следующих: 12, 31, 24,
12, 51…
(Поставив
запятую после каждой третье цифры, ответ становится очевиден).
2.Тип
задачи: Задачи с несформулированным вопросом
2.2. В
двух кассах магазина находится 14000 рублей. Если из первой кассы переложить во
вторую 1500 рублей, то в обеих кассах будет поровну. (Сколько денег было в
каждой кассе?).
2.3. У
мальчика столько сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер,
чем братьев (Сколько братьев и сколько сестер в этой семье?).
3. Тип
задачи: Задачи на выделение геометрических элементов и фигур из общего фона
3.1.
Разрежьте фигуру (см. рис.) на 5 частей одинаковой формы и одинакового
размера так, чтобы в каждую часть попало ровно по одному серому квадратику.

Решение.

3.2. Какой фигуры нет на этом
рисунке?
A) круга; B) треугольника;
C) квадрата
D) прямоугольника; E) все
перечисленные фигуры есть.
Упражнения на развитие восприятия
1.Тип
задачи: «Поиск информации»
1.1.
Дана 100-клеточная таблица, заполненная цифрами (графическими изображениями,
геометрическими фигурами разной формы и двух цветов, с набором букв). Задание:
подсчитать, сколько раз встречается каждое из чисел от 0 до 9 (сколько раз
встречается тот или иной знак, фигура, цвет и т.п.).
2.Тип
задачи: Задачи на метод «проб и ошибок»
2.1. Между некоторыми цифрами 1, 2, 3, 4, 5 поставить знаки
действий и скобки так, чтобы значение выражения было равно 40.
2.2.
Ученик переписал числовое выражение 9664 : 32 – 2 · 195 – 37 · 5, значение
которого равно 3000. Где в этом выражении должны стоять скобки?
4.Тип
задачи: Задачи с неполным составом условия
4.1.
Класс получил общие и простые тетради – всего 42 штуки. Общая тетрадь стоит 6
рублей, а простая 1 рубль. Сколько тех и других тетрадей получил класс? (Нужно
знать общую стоимость тетрадей).
4.2. В
библиотеке всего 6100 книг на французском, английском и русском языках.
Французских книг больше английских на 25%. Сколько книг на каждом языке? (Нет
данных о количестве книг на каком-нибудь одном языке).
5. Тип
задачи: Задача с избыточным составом условия
5.1.
На автостоянке находятся 40 машин – автомобили и мотоциклы. У них вместе 100
колес и 40 рулей. Сколько тех и других машин?
6. Тип
задачи: Задачи с взаимопроникающими элементами (способность быстрого переключения с одного аспекта восприятия на другой).
6.1. Представьте первые пятнадцать чисел
натурального ряда, обходясь лишь одной цифрой 2, применяя ее только 5 раз и
используя арифметические действия

(Ответ: 1 = 2 + 2 – 2 – , 2 = 2 + 2 + 2 –
2 – 2, 3 = 2 + 2 – 2 + , 4 = 2 • 2 • 2 – 2 –2, 5 = 2 + 2 + 2 – , 6 = 2 + 2 +2 + 2 – 2 , 7 =
22 : 2 – 2 – 2, 8 = 2 • 2 • 2 + 2 – 2 , 9 = 2 • 2 • 2 +, 10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2, 11 = 22 : 2 + 2 – 2, 12 = 2 • 2 • 2
+ 2 + 2, 13 = (22 + 2 + 2) : 2, 14 = 2 • 2 • 2 • 2 – 2, 15 = 22 : 2 + 2 + 2.)

Задачи
на развитие памяти
1 .Тип
задачи: Задачи с различной степенью наглядности решения
1.1.
Юля и Саша решили посчитать кусты пионов, которыми был засажен школьный двор.
Обход пришкольного участка дети совершили в одном направлении, но считать
начали с разных кустов. Пион, который у Юли был восемнадцатым, у Саши он был
пятым, а пион, который у Юли был пятым, у Саши был – сорок вторым. Сколько же
кустов пионов росло вокруг пришкольного участка? Объясни числовые равенства: 1)
18 + 5 = 13 (л);
2) 42
+8 = 50 (л); откуда возникло при решении число 8?
2. Тип
задачи: Задачи в словесном и наглядном оформлении
2.1
.Пятиклассники поехали отдыхать летом в оздоровительный лагерь. В первый
автобус село 23 человека, а во второй на 5... . Продолжи задачу так, чтобы
условие соответствовало бы данному рисунку.

 1.
 2. ?
 3.

3. Тип
задачи: «Запомни сразу»
3.1.
а) комод, балда, букет, кладь, бритва, ковер; б) 246, 758, 371, 623, 782, 735;
в) Боря, Даша, Нина, Алик, Вика, Женя (задания в виде игры).
4. Тип
задачи: Задачи со сложным для запоминания условием
4.1. В
первый день со склада отгрузили 2/11 находящегося там картофеля, во второй день
вдвое больше, в третий день 1/5 остатка, после чего осталось 48 тонн. Сколько
картофеля было на складе?
5.Тип
задачи: Задания на выявление соотношения наглядно-образных, и словесно-
логических компонентов интеллектуальной деятельности
5.1.
1-ая часть задания: рассмотреть образец в течение 3 секунд; 2-ая часть задания:
узнать его среди 10 предъявленных ему весьма
сходных
изображений (10 секунд) и описать его признаки.
6.Тип
задачи: Задача с несколькими решениями
6.1.
Прямоугольник 3 х 5 разграфлен на 15 одинаковых квадратов и центральный квадрат
удален. Найдите 5 способов разрезания оставшейся фигуры на 2 равные части так,
чтобы линия разреза шла по сторонам квадрата.
Задачи на развитие представления и воображения
1. Тип
задачи: Задачи в словесном и наглядном оформлении
1.1.
Прямоугольник разрезали на три одинаковых квадрата, сумма периметров которых 24
см. Найдите площадь исходного прямоугольника. а) 16 см2; б)6 см2;
в)18 см2; г)12 см2.
1.2. В
квадрате 4 х 4 расставьте цифры от 1 до 4 так, чтобы в каждой строке и по
главным диагоналям каждая из названных цифр встречалась бы один раз.
Ответ:
2 4 1 3
1 3 2
4
3 1 4
2
 4 2 3
1
1.3. . Фигуры P, Q, R и S – квадраты.
Периметр квадрата P равен 16 м,
а периметр квадрата Q равен 24 м. Чему равен
периметр квадрата S ?
2. Тип
задачи: Задачи с различной степенью наглядности
2.1.
Можно ли замостить плоскость данной фигурой?
3. Тип
задачи: Задачи на «фантастические гипотезы»
3.1.
Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадет в несокрушимый столб?
4. Тип
задачи: Творческие задачи
4.1.
Придумай сказку, решением которой будет выражение 53 – 4 – 11 + 5.
4.2.
Составить описание, нарисовать картину о том, что произойдет, если в мире
что-либо изменится. «Если бы...: а) все объемные геометрические фигуры
превратились в плоские; б) хищники стали травоядными; в) все люди переселились
на Луну; и т.п.».
5. Тип
задачи: Гиперболизация (увеличение или уменьшение объекта
познания, его отдельные части или качества).
5.1.    Придумайте
самое длинное слово, самое малое число.
Задачи на развитие мышления
Анализ
1. Тип
задачи: Задачи на аналитический способ решения
1.1.
На двух кустах сидели 16 воробьев. Скоро со второго куста 2 воробья улетели
совсем, а затем с первого куста на второй перелетели 5 воробьев. После этого на
каждом кусте оказалось одно и то же число воробьев. Сколько воробьев было на
каждом кусте вначале?
1.2. У
двух зрячих один брат слепой, но у слепого нет зрячих братьев. Как это может
быть? (Ответ: это сестры).
2. Тип
задачи: Задачи на перестройку действия
2.1.
Третью часть пути турист прошел пешком, 2/5 оставшегося расстояния проехал на
велосипеде, после чего ему осталось преодолеть еще 120 км. Найди
запланированный путь туриста.
3 .Тип
задачи: Задачи с несколькими решениями
3.1.
На складе хранились яблоки в ящиках по 6 кг, 8 кг и 10 кг. Кладовщик должен
отпустить для школы 100 кг яблок целыми ящиками, не вскрывая ни одного из них.
По скольку ящиков каждого веса он должен брать, чтобы получилось ровно 100 кг
(Рассмотри 10 способов решения этой задачи и запиши их)?
4. Тип
задачи: Задачи с меняющимся содержанием
4.1.
За 1 час Вася прочитал четверть всех страниц книги. Сколько страниц осталось
ему почитать, если в книге 184 страницы? Составь задачу обратную данной.
4.2.
Составьте задачу заданного типа, но другого предметного содержания: у каждого
из пяти мальчиков было не меньше одного шара, а всего у них было 7 шаров. Мог
ли кто-либо из них иметь: а) 3 шара? б) 4 шара?
Синтез
1. Тип
задачи: Задачи на соединение
1.1.
Предлагается пять равносторонних ромбов с углами по 60º и 120º,
расположенных раздельно, в беспорядке. Что получиться в результате (соединения)
синтеза этих пяти равносторонних ромбов? (Ответ: в результате соединения
(синтеза) этих пяти фигур получится пятиконечная звезда)
2. Тип
задачи: Комбинаторные задачи
2.1. Сколько
двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? (Ответ: 25 чисел).
2.2.
Мальчик собрал в коробку пауков и жуков – всего 8 штук. Если пересчитать,
сколько всех ног в коробке, то окажется 54 ноги. Сколько же в коробке пауков и
сколько жуков? (У жука 6 ног, у паука 8 ног). Ответ: 5 жуков, 3 паука.
2.3.
Расставьте числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 в вершины прямоугольного
параллелепипеда так, чтобы сумма четырех чисел, расположенных на каждой из
шести граней параллелепипеда, была одинаковой.
3 .Тип
задачи: Задачи с несколькими решениями
3.1.
Решите анаграммы, дающие два решения, одно из которых – математический термин:
КТЕОВР,
ОУНСК, РТСКЕО.
Сравнение
1. Тип
задачи: Задачи на выделение существенного
1.1.
Найдите общие признаки у чисел: а) 25 и 52; б) 25 и 35; в) 3333 и 444; г) 7 и
19; д) 8 и 192; е) 3 и 711; ж) 201 и 20101.
1.2.
Найдите принцип «устройства» ряда и продолжи этот ряд:
а) 1,
1, 2, 3, 5, ... ; б) д, ж, з, к, ....
1.3.
Вставьте пропущенное число:
а)
19/30/11 23/../27 6)7/91/13 8/../3 в) 283/81/431 526/../783.
1.4. Установите,
чем с точки зрения математики отличаются и чем похожи слова: кот и ток; рост и
сорт; клоун и уклон; приказ и каприз?
2. Тип
задачи: Задачи, наталкивающие на самоограничение
2.1.
Всем членам семьи сейчас 73 года. Состав семьи: муж, жена, дочь и сын. Муж
старше жены на 3 года, дочь старше сына на 2 года. Четыре года тому назад всем
членам семьи было 58 лет. Сколько лет теперь каждому члену семьи? (Часто
считают, что задача составлена неправильно, т.к. 4 года тому назад всем четырем
членам семьи должно было быть на 16 лет меньше, а не на 15. Учащиеся не
учитывают того, что это указывает на то, что самого младшего члена семьи 4 года
назад еще не было)
Обобщение
1. Тип
задачи: Задачи с постепенной трансформацией из конкретного в абстрактный
1.1.
Преобразуйте данную задачу из конкретной в абстрактную и решите: АО «Кама»
должен был выпустить 100 детских велосипедов и поэтому наметил изготовлять по 4
велосипеда в день. Но рабочие перевыполнили план и изготовляли ежедневно на 1
велосипед больше, чем планировалось. На сколько дней раньше срока завод
выполнил заказ?
4. Тип
задачи: «Нереальные» задачи (Примечание: термин задач введен В.
А. Крутецким.)
4.1.
Пароход весь путь от А до Б (по течению) и обратно (против течения) шел с
максимальной скоростью. Фактически, ввиду наличия течения, скорость его была
различной: от А до Б он шел со скоростью 20 км /час, а обратно со скоростью 30
км/час. Какова его средняя скорость за весь путь?
5. Тип
задачи: Образование искусственных понятий
5.1.
Длина комнаты а м, ширина и высота по b м. Каков объем п таких комнат?
5.2.
Длина комнаты 6 м, ширина 3 м, высота с м. Каков объем Р таких комнат?
6.Тип
задачи: Составление задач заданного типа
6.1.
Составьте задачу заданного типа, но другого предметного содержания: в детском
саду 375 детей. Докажите, что среди них обязательно найдутся хотя бы два
ребенка, которые отмечают свое рождение в один и тот же день.
6.2.
Решите данную задачу и составьте задачу заданного типа. В коробке лежат
карандаши: 4 красных и 3 синих. В темноте берут карандаши. Сколько надо взять
карандашей, чтобы среди них было не менее одного синего?
Абстрагирование
и конкретизация
1.Тип
задачи: Задачи на общие рассуждения
1.1.
Объясните, почему сложение в столбик дает правильный результат?
 +351
 232
 583
Решение:
351 + 232 = (300 + 50 + 1) + (200 + 30 + 2) = (3 · 100+ 5 · 10 +
1) + (2 · 100 + 3 · 10 + 2) = (3 · 100 + 2 · 100 ) + (5 · 10 + 3 · 10 ) + (1 +
2) = 5 · 100 + 8 · 10 + 3 = 583 (свойства десятичной нумерации; разложение на
разрядные слагаемые; сочетательный и переместительный законы сложения;
распределительный закон умножения, табличное сложение; свойства десятичной
нумерации).
2. Тип
задачи: Взаимообратные задачи
2.1. Прямая.
В бак влили 16 литров воды, и при этом бак наполнился на 2/5 своего объема.
Каков объем бака?
Обратная.
В бак вместимостью 80 литров влили воды до 2/5 его объема. Сколько
литров воды влили в бак?
2.2. Прямая.
Площадь прямоугольника равна 48 см2. Чему равна длина
прямоугольника, если она больше ширины в 3 раза?
 Обратная.
Длина прямоугольника равна 12 см. Найдите его площадь, если ширина
прямоугольника в 3 раза меньше длины.
3. Тип
задачи: Задачи с постепенной трансформацией из конкретного в абстрактный
3.1. Преобразуйте
задачу в абстрактную и решите. На швейной фабрике «Москвичка» за месяц
производится 2150 женских костюмов. Сколько мужских и женских костюмов
производится на фабрике за 3 года, если женские костюмы составляют 3/4 от
количества производимых мужских костюмов?
Классификация
1. Тип
задачи: Задача на перестройку действия
1.1.
Зашифровывая слово «азиат», мы пишем «бикбу». Как таким же шифром написать
слово «европеец»?
1.2.
Половина пришкольного участка занята садом, 50% остатка огородом, остальная
площадь (0,3 га) занята цветами. Какова площадь пришкольного участка?
2. Тип
задачи: Задачи на выделение существенного
2.1.
Подумайте, что объединяет напечатанные заглавными буквами слова, и отметьте в
нижнем ряду слово, которое к ним подходит:
 ЧЕТЫРЕ,
ВОСЕМНАДЦАТЬ, СТО
а)
пять, б) одиннадцать, в) тридцать семь, г) нуль, д) один.
Систематизация
1. Тип
задачи: Поиск закономерностей
1.1.
Продолжите числовой ряд: 18, 20, 24, 32,.…
1.2.
Вставьте пропущенное число:
а)42/47/5
31/?/8; б)36/25/11 48/?/12; в) 6/66/11 5/?/12; г) 48/4/12 100/?/5.
1.3.
Вставьте пропущенное
 7 (Х – 5) = 14 7/2 14Х – 20 = Х + 6
 8Х =
4 (Х + 3) – 4 ? Х + 4 = 9
1.4.
Найти цифровое значение букв в этой условной записи сложения многозначных чисел
(одинаковые цифры обозначены одинаковыми буквами)
 +смех
 гром
 греми
1.5.
Вставьте пропущенное число.
 971
(27) 316
 568
(36) 845
 203
(?) 149
1.6.
Какие из предлагаемых чисел следует выбрать, чтобы вставить в круг?
60%
90% 75% 10% 25% 40%
Умозаключение
1. Тип задачи: Задачи
на доказательство
1.1.
В
школе учится 370 человек. Докажите, что среди всех учащихся найдутся два
человека, празднующих свой день рожденья в один и тот же день.
1.2.
Докажите,
что сумма ++++ меньше 1.
1.3.
Докажите, что два натуральных числа а и b
обладают следующим свойством: либо а, либо b, либо (а + b), либо (а – b)
делится на 3.
1.4. Два простых числа называются
близнецами, если они являются соседями в ряду всех нечетных чисел. Доказать,
что всякое число, находящееся между близнецами и большее 4, делится на 6.
2.
Тип задачи: Логические задачи
2.1.
В лесу проводился кросс. Одна белка сказала: «Первое место занял заяц, а второй
была лиса». Вторая белка сказала: «Заяц занял второе место, а лось был первым».
На что филин заметил, что в высказывании каждой белки одна часть верная, а
вторая – нет. Кто был первым и кто вторым в кроссе?
2.2.
В кафе встретились три друга: Желтов, Буров и Краснов. «Как замечательно, что
один из нас одет в желтую, другой в бурую, а третий в красную рубашку, но ни у
одного из нас цвет рубашки не соответствует нашей фамилии», - заметил человек в
красной рубахе. Какого цвета рубашка у Желтова?
Примеры
задач, приведенных выше, целесообразно использовать на уроках математики для
развития одаренных учащихся. Представленные задачи можно включать в различные
этапы урока. Во-первых, на этапе постановки целей учебной деятельности, где
задача создает проблемную ситуацию, пробуждает познавательный интерес к
изучению математики стимулирует активность детей. Во-вторых, на этапе
закрепления и применения изученного, где задачи служат целям формирования
умений и навыков математического характера и достижению развивающих целей.
В-третьих, для контроля и оценки усвоения, где задачи используются для
диагностики усвоения и развития учащихся. Задачи развивающего характера
решаются как устно, так и письменно, во время фронтальной, групповой и
индивидуальной самостоятельной работы (как в классе, так и дома), служат
средством углубления знаний учащихся, развития творческих и исследовательских
подходов к решению различных проблем средствами математики.
3.1 Организация
деятельности учителя и учащихся на уроке

Основная
деятельность учащихся, направленная на развитие средствами математики на каждом
этапе урока, состоит в решении специально подобранных математических и учебных
задач, которые наиболее целесообразно решать на данном материале и необходимо
решать для достижения поставленных целей урока. В решении задачи, особенно,
развивающего характера, самым важным является этап поиска решения,
обладающий неограниченными возможностями для всестороннего развития ученика,
особенно для развития его способностей.
Поиск
плана решения задачи по математике может осуществляться, во-первых, путем
общего анализа (аналитический метод), т.е. рассуждений «от вопроса к данным»;
во-вторых, с помощью рассуждений «исходя из данных задачи к вопросу»
(синтетический метод); в-третьих, с помощью предметной или графической модели
(схемы) задачи, а также иллюстрации к ней. Приведем общие рекомендации и советы
по осуществлению поиска решения задачи для одаренных учащихся. Основные из них:

1)
проанализировать содержание задачи и, если нужно, построить ее схематическую
или другую наглядную модель; 2) распознать вид (тип) задачи, т.к. в результате
можно получить готовый план ее решения (метод, прием, алгоритм); 3) сравнить
задачу с ранее решенными задачами, если нужно, разделить задачу на части, сравнимые
с ранее решенными задачами, к которым ее можно свести.
Таким
образом, и особенно при поиске решения развивающих задач, ученику необходимо
уметь использовать анализ, сравнение, обобщение, классификацию; умозаключения
по индукции, аналогии, дедукции; включать процессы памяти, представления и
воображения, интуицию, элементы творчества. Здесь возможны пути проб и ошибок,
использования собственных наблюдений и усвоенных закономерностей решения задач.
Для организации такой деятельности учащихся мы используем обучение их приемам
выполнения соответствующих действий, которые представляются в наглядной форме
или в устной беседе (для всех учащихся класса и индивидуально для учащихся с
разным типом мышления), в виде обобщенного приема поиска решения задачи (который
формируется к концу 5-го класса).
Обобщенный
прием поиска решения задачи (выполните одно или несколько
из следующих действий):
1)    изучите
содержание задачи, используя рисунок, чертеж, схему, краткую
2)    запись
или другую наглядную иллюстрацию содержания;
3)    если
нужно уточните формулировку задачи, определите, если можно тип
4)    задачи
и вспомните известный прием ее решения и другую известную информацию,
применимую к решению задачи данного типа;
5)    соберите
дополнительную информацию из опыта решения других типов
6)    задач,
преобразуйте информацию с учетом специфики данной задачи;
7)    проведите
общий анализ от вопроса к условию; можно использовать метод проб и ошибок;
8)    разделите,
если можно, условие или требование задачи на части, составьте план решения
каждой из них, затем объедините;
9)    вспомните
задачу, аналогичную данной, прием решения которой известен, сравните их и на
этой основе составьте план решения;
7)
временно измените условие или требование задачи так, чтобы можно было сравнить
полученную задачу с данной; затем использовать отмеченный выше прием аналогии;
8)
преобразуйте условие задачи с целью его сближения с вопросом;
9)       преобразуйте
вопрос задачи с целью его сближения с условием;
10)
замените понятия, содержащиеся в условии или вопросе задачи, их определениями;
11)   выберите
те определения понятий, которые подсказывают (или сокращают) путь рассуждений
или замените определение понятия его признаком;
12)   полностью
используйте условие задачи;
13)   выделите,
если можно, частные случаи задачи и воспользуйтесь отмеченным выше приемом
разделения на части;
14)
поставьте перед собой такие вопросы, которые а) упростят задачу,
б)
позволят осмыслить задачу с новой (неожиданной) точки зрения, в) позволят
использовать полученные знания и опыт решения других задач, г) побуждают к
самоконтролю;
15)
переформулируйте (неоднократно) задачу, посмотрите, нельзя ли составить задачу,
обратную (противоположную) данной и решить ее;
16)
проанализируйте все возможные решения, оцените их эффективность.
Обращаясь
к этому приему при поиске решения задачи, ученик определяет и выбирает наиболее подходящие для данной задачи и
отвечающие его собственному опыту действия. Это может происходить также путем
проб и ошибок, при коллективном обсуждении, в результате консультации с
учителем и т.п.
Покажем
пример использования учеником этого приема при поиске решения задачи на
с.56 § 2 главы II. «На складе хранились яблоки
в ящиках по 6 кг, 8 кг и 10 кг. Кладовщик должен отпустить для школы 100 кг
яблок целыми ящиками, не вскрывая ни одного из них. По сколько ящиков каждого
веса он должен брать, чтобы получилось ровно 100 кг (рассмотри 10 способов
решения этой задачи и запиши их)» (Примечание: нумерация графы деятельность учащихся
соответствует нумерации обобщенного приема поиска решения задач).
Прием деятельности Деятельность ученика
1) Изучите содержание задачи,
используя рисунок, чертеж, схему, краткую запись или другую наглядную
иллюстрацию содержания.
Изучает
содержание задачи рассматривает рисунок, перефразирует содержание задачи
примерно следующим образом: какие множители нужно брать к числам 6, 8, 10,
чтобы сумма этих произведений равнялась 100. Обозначает неизвестные множители: x, p, n. Представляет задачу в виде модели: 6 • x + 8 • p + 10 • n
= 100
3) Соберите дополнительную
информацию из опыта решения других типов задач, преобразуйте информацию с
учетом специфики данной задачи.
Припоминает,
что данная задача похожа на задачу нахождения неизвестных. Делает вывод, что не
знает способов решения данной задачи, но может использовать метод перебора.
13) Выделите, если можно,
частные случаи задачи и воспользуйтесь отмеченным выше приемом разделения на
части.
Пробует
метод перебора, в частности, (1 вариант), если использовать один ящик по 6кг,
то 6 • 1 + 8 • p + 10 • n = 100, значит 8 • p + 10 • n = 94. При умножении
любого натурального числа на 10 результат есть «круглое» число, следовательно,
необходимо подобрать такое количество ящиков по 8 кг, чтобы в сумме с одним ящиком
в 6 кг также получилось «круглое» число. Перебирая «в уме» и «на кубиках» (в
зависимости право-, левополушарности) определяет, что ящиков по 8 кг должно
быть 3. На данном этапе модель выглядит следующим образом:
6•1+8•3+10•n = 100, из чего следует незамедлительно вывод, что ящиков по 10 кг
должно быть 7 т.к. 6 • 1 + 8 • 3 + 10 • 7=100.
14) Поставьте перед собой
такие вопросы, которые позволят использовать полученные знания и побуждают к
самоконтролю;
Ставит
перед собой вопрос о возможности использовать данный прием и найти новый способ
решения. Аналогично ищет другие пути перебора ящиков (можно использовать
соревнование, кто больше найдет способов решения этой задачи) по 6кг, 8 кг и 10
кг, чтобы в сумме получилось 100 кг: 2) 6 • 2 + 8 • 1 + 10 • 8 = 100, 3) 6 • 3
+ 8 • 4 + 10 • 6 = 100, 4) 6• 4 + 8•2+10 •6= 100, 5) 6 • 5 + 8 • 5 + 10 • 3 =
100, 6) 6• 6 + 8• 3 +10 • 4= 100, 7) 6• 7 + 8• 1 +10 • 5 = 100, 8) 6• 8 + 8•
4+10 • 2 = 100, 9) 6 • 4 + 8 • 7 + 10 • 2 = 100 , 10) 6 • 1 + 8 • 8 + 10 • 3 =
100.
Мы планируем
работу на уроке по развитию способностей учащихся в группах, обозначенных
нами А, В, С и А1, А2, А3, которые будут менять свой состав в зависимости от
целей, поставленных учителем. Если идет работа на уровне «вдохновления»
учащихся (имеющих высокий уровень способностей), самостоятельный поиск знаний,
когда учитель вооружая учащихся некоторыми приемами, «техниками», алгоритмами,
освобождаясь от доминирующей информирующей роли, то используется уровневая
дифференциация для работы со всем классом. Здесь каждый учащийся получает
творческое задание по своему уровню развития, в своей уровневой группе.
Обозначение групп: А - I
уровень, В - II уровень, С - III
уровень. Учащиеся, имеющие более высокий III
уровень, получают задание более сложное - это группа С.
Если
организуется «выращивание» способностей каждого конкретного ребенка, то здесь
мы предлагаем работу перестраивать в другие группы, где в состав каждой из них
будут входить дети разного уровня развития. Конечная цель работы ученика в
такой разноуровневой группе и будет выращивание отдельных компонентов
способностей до определенного уровня (до которого ученик в данный момент не
дотягивает). Здесь большую роль играет как элемент соревнования, так и
зависимость итогового результата от каждой личности в отдельности. И неважно,
что первое время ребята, которые не справляются со своей частью задания, будут
отвлекать других учащихся своей группы. Это только первоначально, т.к. время
выполнения заданий фиксируется. Значит, отвлекая своих товарищей по творческой
группе, он тем самым тратит общее время, от этого зависит итоговый результат
всей разноуровневой группы. Это осознает в конце концов каждый ребенок и
самодисциплинируясь, подталкивает себя сам и с помощью ребят, на полную
самореализацию, что в конечном итоге скажется на развитии этой составляющей
способностей (группы: А1, А2, А3). Отличие собственно предлагаемой методики
работы с одаренными детьми от традиционного дифференцированного подхода состоит
в том, что мы используем способ обогащения как метод поддержки обучения
одаренных детей на обычном, повседневном уроке.
В
нашей стране способ обогащения чаще всего принимает форму дополнительных
занятий в разнообразных кружках (по математике и др.), секциях, школах
специальных дисциплин (музыки, рисования и т.д.). В этих кружках обычно есть
возможность индивидуального подхода к ребенку и работы на достаточно сложном
уровне, не позволяющем скучать. Таким образом, создается достаточная мотивация
и хорошие условия для прогресса одаренного ребенка. Проблема здесь заключается
в том, что ребенок, посещающий кружок, продолжает заниматься по
общеобразовательным предметам по той схеме, которая не соответствует
особенностям его интеллекта. Предлагаемая же методика, учитывающая особенности
учебной деятельности лево/правополушарных учащихся, позволяет ребенку уже на
обычном повседневном уроке иметь возможность не только обогащения средствами
изучаемого материала, но и ускорение в изучении по его способностям.

Олимпиадные
задачи       5-6 класс

1.Математические игры
Задача 1.Двое по  очереди берут из кучи
камни.  Разрешается брать любую степень двойки (1, 2, 4...). Взявший
последний камень выигрывает. Кто победит в этой игре?
Решение: Если
исходное число камней делится
на  3,  то  выигрывает
второй, беря
каждый раз по 1 или 2 камня и оставляя число камней,
которое
делится на 3.
Задача 2.В куче 1997 камней, которые двое берут по очереди.
Разрешается взять 1, 10 или 11 камней. Выигрывает взявший последний камень. Кто
должен победить?
Решение:  Первый. Начнём с конца. Выигрывающие остатки
камней:  0, 2, 4, 6, 8; 20, 22, 24, 26, 28; ...; 1980, 1982, 1984,
1986, 1988. Первым ходом первый игрок берёт 11 камней.
Задача 3.Изменим условие предыдущей задачи: взявший последний камень
проигрывает. Кто теперь победит?
Решение:  Победит снова первый. Выигрывающие остатки камней: 1,
3,  5,  7,  9;  21, 23, 25, 27, 29;
...; 1981, 1983, 1985, 1987, 1989. Первый      сначала берёт 10 камней.
Задача 4.Двое  по  очереди  берут камни из
двух куч.  За один ход  можно взять:  а) любое
число камней из одной кучи или б) из обеих куч поровну. Взявший последним
выигрывает. Кто должен выиграть?
Решение: Сначала  рассмотрим  пример  игры.  Пусть
первоначальное  значение камней в кучах - 1000
и  18.  Будем  записывать остаток камней в каждой
куче после каждого хода: (11, 18), (5, 12), (5, 3), (1, 3), (1, 2), (1, 1), (0,
0). Набор (1, 2), который обеспечил первому игроку победу, назовём
выигрывающим. Разность между числами равна d=2-1=1. Найдём
предыдущую  выигрывающую комбинацию:  взяв разность
d=2,   видим,  что первым числом должно быть такое,  какое
еще не встречалось в выигрывающих комбинациях (т.е. 3), а второе-сумма первого
и d  (т.е. )  По этому же принципу получим и следующие выигрывающие
комбинации: d =  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ...; a = 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12,   14,
16, 17,…; b = 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28 ...
Ответ:   Если начальная расстановка не является
выигрывающей   комбинацией, то первый игрок ставит выигрывающий набор
и  побеждает.      Если  начальная расстановка -
выигрывающая комбинация, то побеждает       второй.
Задача 5. В трёх кучах лежат 1997, 1998 и 1999 камней. Играют двое. За
один ход разрешается убрать две кучи, а третью разделить на три новые
(непустые) кучи. Выигрывает тот,  кто не может сделать
ход.  Кто победит-первый или второй игрок?
Решение: Выигрывает первый. Стратегия выигрыша проста: надо
добиваться, чтобы некоторых новых кучах число камней оканчивалось
цифрами  3  или  4,  а в остальных
новых кучах - не превышало 4.  Например, кучу из 1999 камней можно
разделить на такие три:  563, 663, 773 или 2, 3, 1994 и т. д. Легко
видеть, что противник не может воспользоваться той  же
стратегией.  Через несколько ходов первый игрок предложит 3 кучи: в
одной 3или 4 камня, в двух других - не более, чем по 4.  Второй игрок
может сделать ход, а следующий ход уже невозможен.
3.3.2. ЧИСЛОВЫЕ ЗАДАЧИ
Числовые
задачи часто представляют  собой  головоломки. Полезно
перед решением такой задачи не спешить, а дать возможность ученикам  немного
поиграть в них.
Задача
1. В выражении 4 + 32 : 8 + 4 *
3  расставьте скобки так, чтобы в результате получилось:
а) число 28
б) как можно
большее число
в) как можно
меньшее число.
Задача
2. Расшифруйте запись:

А

+

АБ

+

АБВ

БВБ

Задача 3.
В десятичной  записи  двух  натуральных  чисел  участвуют  только
цифры 1, 4, 6 и 7. Может ли одно из них быть в 17 раз больше другого?
Задача
4. Произведение четырех последовательных чисел равно 7920. Найти эти числа.
Задача 5. Установите, какой цифрой оканчивается
разность       4343  -  1717.
Решения  задач.
1.
Заметим,  что 28 = 4 + (32
:  8 + 4) * 3.Чтобы найти как можно большее число, надо в качестве
последнего действия выполнить умножение на 3, наибольшее число (4 + 32
:  8 + 4) * 3 = 36. Наименьшее число  (4 + 32) : [(8 +
4) * 3] = 1.
2. Условие задачи можно переписать так:  111А + 11Б +
В  = 101Б + 10В, или  111А = 90Б + 9Б. Сокращая на 3,
получаем   37А = 30Б = 3В. Так как правая часть равенства кратна
3, то А кратно 3, и  по смыслу задачи А  0.
Число  А  надо  искать  среди  чисел  3,
6, 9. Следовательно, единственный ответ: А=6, Б=7, В=4.
 3.Разобрать возможности для последней и предпоследней
цифр  меньшего числа.
Единственная  возможность  для   последней
цифры 1, однако ни одна из цифр 1 ,4, 6, 7 не может быть при этом на
предпоследнем месте.
4.Число
7920 надо разложить в произведение простых
чисел, а
затем   из   них  “собрать”  четыре  множителя  7920  =  8*9*10*11.
 5.Следует поискать закономерность для последней цифры натуральной
степени числа, оканчивающегося цифрой 3.Последовательность этих цифр 3, 9, 7,
1, 3, 9, 7, 1... Четвертое, восьмое, двенадцатое и т.д. места занимает цифра
1.Значит, 4340   заканчивается       цифрой
1, а 4343   - цифрой 7,  далее аналогично
1716  оканчивается цифрой 1, а 1717 -
цифрой 7. Так как оба числа 43  и 17   оканчивается
одной и той же цифрой 7, то их разность оканчивается нулем.
3.3.3. ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТ
Задача 1. Товар стоил тысячу рублей. Продавец
поднял цену на 10%, а через месяц снизил её на 10%.Сколько стал стоить товар?
Задача 2. Собрали 100 кг
грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность
снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания?
Задача
3. Цена входного билета на стадион была 1 рубль 80 копеек. После снижения
входной платы число зрителей увеличилось на 50% , а выручка выросла на 25%
.Сколько стал стоить билет после снижения?
Задача
4. По дороге идут два туриста. Первый из
них делает  шаги  на 10% короче и в то же время на 10%
чаще, чем второй. Кто из туристов идет быстрее и почему?
Задача 5. Цену за товар уменьшили на 10%, а затем
еще на 10%. Стоит ли он дешевле, если цену сразу снизить на 20%?
Решения и ответы.
1.После подорожания  товар
стоил 1100 рублей.  При снижении цены 1100 руб. – 100% , 110 рублей –
10% стоимости товара, следовательно, товар стал стоить 1100 - 110 =990 рублей.
Ответ:  990 рублей.
2.В 100 кг грибов содержится, по условию, 99 кг воды и 1 кг
сухого вещества. После подсушивания сухое вещество стало составлять 2% .Но если
2%  составляют 1 кг, то вся масса  грибов равна 50 кг.
3.Входная плата с каждых двух
зрителей до снижения была 3рубля 60 копеек. После снижения вместо каждых двух
зрителей стадион посещали три человека, платившие по 3руб.60 коп  +
90 коп.= 4 руб.50 коп. Стоимость билета  4 рубля 50 копеек : 3 = 1
рубль 50 копеек.
Ответ:  1 руб.50 коп.
4. Покажем, что медленнее идет тот из
туристов, кто делает шаги короче и чаще (первый). Когда второй турист делает 10
своих шагов длины s каждый, первый турист делает 11 своих шагов
длины  0,9s  каждый. Таким образом, первый турист проходит
расстояние 9,9s за то время, за которое второй  проходит
расстояние 10s, но 10s > 9,9s, так как s > 0.
5.Введем переменную x,
обозначив  через  нее  первоначальную цену, и
составим выражение для новой цены в случае поэтапного  снижения:
0,9*(0,9*x) = 0,81*x  и в случае снижения сразу на 20% - 0,8*x
3.3.4.ЛОГИЧЕCКИЕ ЗАДАЧИ
Задача
1. Можно ли, имея два сосуда емкостью 3 л и 5 л, набрать из водопроводного
крана 4 л воды?
Задача
2. В месяце три воскресенья выпали на
четные числа. Какой день недели был седьмого числа этого месяца?
Задача 3. У Винни - Пуха и Пятачка несколько воздушных шариков,
среди    которых есть большие и маленькие, а также синие и
зеленые. Докажите, что друзья могут взять по одному шару так, чтобы
они  одновременно  оказались разного размера и
разного     цвета.
Задача
4. На улице, встав в кружок, беседуют
четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не
Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье
стоит между девочкой  в  розовом платье и Валей. Платье
какого цвета носит каждая девочка?
Задача 5. На складе имеются
гвозди  в ящиках по  24, 23, 17  и 16 кг. Можно
ли отправить со склада 100 кг гвоздей,  не распечатывая ящики?
Решения и ответы.

1.Последовательность действий см. в таблице:

3 л

0

3

0

2

2

3

0

5 л

5

2

2

0

5

4

4

2.Через семь  дней  повторяется  каждый
день недели. Поэтому первые 28 дней содержат четыре понедельника, четыре
вторника и т.д. и четыре воскресенья. Причем, два воскресенья  падают
на четные числа,  а два - на нечетные. Значит, третье воскресенье
падает на 30 число. Таким образом, 2-го числа также было воскресенье, а 7-го
числа - пятница.
3. Можно рассуждать так. Пусть Винни - Пух возьмет какой-нибудь
большой шарик, а Пятачок - маленький. Если эти шарики оказались разных
цветов,  то задача решена. Пусть шарики оказались одного цвета,
например, синего. Тогда по условию  задачи среди оставшихся шариков
есть зеленый. Если это большой зеленый шарик, то пусть его возьмет Винни - Пух
вместо своего, а если - маленький, то пусть его возьмет
Пятачок.  После этого шарики у них будут разного цвета и размера.
4.Составим таблицу.

А
Аня

В
Галя

Г
Валя

Н
Надя

Зеленое  платье

-

-

+

-

Голубое  платье

-

+

-

-

Белое    платье

-

-

-

Розовое  платье

-

-

Ответ:  Галя в зеленом платье, Валя в голубом, Аня в белом,
Надя в розовом.
5.Например, так: четыре
ящика по 17 кг и два ящика по 16 кг.
3.3.5. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ( на другие темы )
Задача 1. Станок разрезает 300 шестиметровых
досок на  куски  по  2 метра в каждом за 1 час.
Сколько времени потребуется, чтобы на этом же станке разрезать 200
восьмиметровых досок такой же ширины  и  толщины на
куски по 2 метра в каждом?
Задача 2. Школа - интернат купила 675 метров
красной, синей и черной ткани для пошива пальто. Когда израсходовали половину
красной, две третьих синей, три четвёртых чёрной ткани, то  осталось
каждого  цвета  ткани  поровну. Сколько метров
ткани каждого цвета было куплено?
Задача 3. Поезд проходит мост
длиной 450 метров за 45 секунд, а мимо  светофора
за  15  секунд. Найдите  длину поезда и его
скорость.
Задача 4. Из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км,
выехали             одновременно
навстречу  друг  к  другу  два
всадника. Скорость первого всадника 15 км/ч,  второго - 10 км/ч.
Вместе с первым всадником выбежала собака, скорость которой 20 км/ч. Встретив
второго всадника, она повернула назад и побежала к первому, добежав до него,
снова повернула и так бегала до тех пор, пока всадники не встретились.
Сколько километров пробежала собака?
Задача
5. Что быстрее: проехать весь путь на велосипеде или половину пути проехать на мотоцикле, а
вторую половину пройти пешком, если  скорость  мотоцикла в
два раза больше скорости велосипеда, а скорость велосипеда в свою
очередь,  в два  раза больше скорости пешехода?
Решения
и ответы.
1.Для того, чтобы разрезать 300 шестиметровых досок на куски по
2  метра  каждый,  требуется сделать 600 распилов
(два распила на доску). Для того чтобы разрезать  200  восьмиметровых
досок, также требуется 600 распилов.
Ответ:  Один час.
2.За x обозначим количество красной ткани. 1 / 3 синей ткани
равна  x / 2,то  есть  3x / 2
купили  синей ткани, 4x / 2 = 2x купили чёрной ткани,
следовательно,   x + 3x / 2 + 2x = = 675.
Ответ: Купили 150 метров красной,225 метров синей,300 метров чёрной
ткани.
3.За 45 секунд поезд проходит
расстояние, равное длине моста и длине поезда вместе, а за 15 с расстояние,
равное длине поезда (сделайте рисунок). Следовательно, длину моста (450 м) он
проходит   за   30   с,   т.е.   его   скорость   равна     450:30=15(м/с).
Теперь можно найти длину поезда, ведь именно свою длину поезд
"протягивает" мимо светофора за 15 с со  скоростью 15 м/с,
его длина равна 15*15=225(м).
Ответ: 225(м).
4.Каждый час всадники
сближались на 25 км, следовательно, они встретились через 4 часа. Собака за это
время пробежала 80 км  (так как её скорость 20 км/ч).
Ответ:  80 км.
5. Мотоциклист половину и
велосипедист четверть пути проезжают  за одно и то же время. Велосипедист
половину пути и пешеход четверть пути также преодолевают за одно и то же время.
Следовательно, три четверти пути будут пройдены в первом и втором случаях за
одинаковое время. Остаётся преодолеть ещё одну четверть пути, которую на
велосипеде можно проехать быстрее.
Ответ:  На велосипеде быстрее.

3.3.6. ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
При решении
задач на делимость  полезно знать некоторые
признаки  делимости. Для некоторых делителей эти признаки
позволяют  устанавливать делимость без выполнения самого деления.
Так, например, ученикам 5 класса известны признаки делимости на 10, 5 и 2, 3,
9.
Задача 1. Найти наименьшее
число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 -
2,  на 4 - 3,  на 5 - 4,  на 6 - 5,
на  7 - 6, на 8 - 7, на 9 - 8, на 10 - 9.
Задача 2. При делении данного
числа на 225 в остатке получилось 150. Разделится ли данное число нацело на 75
и почему?
Задача 3. Найти все числа, большие 25000, но меньшие 30000,
которые  как при  делении на 393,  так и при
делении на 655 дают в остатке 210.
Задача 4. На складе  имеются ножи и вилки. Общее число тех и
других больше  300, но меньше 400.  Если ножи и вилки
вместе считать десятками
или   дюжинами,  то  в  обоих  случаях получается  целое
число десятков и целое  число  дюжин. Сколько  было  ножей
и  вилок на складе,  если ножей было на 160 меньше, чем
вилок?
Задача 5. Изменяется ли при делении с
остатком частное  и  остаток, если делимое и делитель
увеличить  в 3 раза (ответ подтвердить примером) ?
РЕШЕНИЯ
И ОТВЕТЫ.
1.Если прибавить к искомому числу единицу, тогда полученное
число будет делиться на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7,  на 8, на 9,
на 10. Таким наименьшим число является 10 * 9 * 4 * 7 = 2520, а искомое число
на 1 меньше, т.е. 2519.
Ответ:  2519
2.Да, так как 225 делится
на 75 и 150 делится на 75, следовательно, остаток  равен нулю. Данное
число можно записать так: 225x+150, где x - частное. На основании делимости
суммы ясно, что данное число делится на 75.
3.НОК (131,1965)=1965
4. Так как число ножей и вилок (вместе) кратно 10 и 12,
значит, оно делится на НОК (10 и12) = 60. .Между
числами  300  и  400 только 360 делится на 60.
Ответ:  Ножей 100, вилок 260.
5.Частное не изменится, а остаток
увеличится в 3 раза.
3.3.7. ЗАДАЧИ НА ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ.
При решении
многих задач используются сходные между собой приемы рассуждений, получившие
название “ принципа  Дирихле “. Задачи на  принцип Дирихле
воспитывают у учащихся умение устанавливать соответствие между элементами двух
множеств. На решение  задач  по  принципу Дирихле
нужно посвятить несколько  занятий, которые могут быть разделены
занятиями на другие темы. Принцип Дирихле можно давать прямо на первых уроках,
так как он достаточно рельефно характеризует специфику олимпиадных задач. Кроме
того, многие задачи используют идеи принципа Дирихле в решении всей задачи или
какой-то её части.
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ.
В самой
простой и несерьезной форме принцип Дирихле выглядит так: “нельзя посадить
семерых зайцев в три клетки так, чтобы в  каждой клетке находилось не
больше двух зайцев “. Другая формулировка “ принципа
Дирихле“:  если  n + 1 предмет поместить в n мест, то
обязательно хотя бы в одном месте окажутся хотя бы два предмета. Заметим, что в
роли предметов могут выступать и математические объекты - числа, места в
таблице, отрезки и т.д.
Задача 1. В корзине лежат 30 грибов - рыжиков  и
груздей. Известно, что среди  любых 12 грибов имеется хотя бы один
рыжик, а среди любых 20 грибов - хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько
груздей в корзине.
Задача
2. В мешке лежат шарики двух разных
цветов: черного и белого. Какое наименьшее
число  шариков  нужно  вынуть  из  мешка
вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика  одного
цвета?
Задача
3. В
магазин  привезли  25 ящиков с
тремя сортами яблок (в каждом  ящике яблоки только одного сорта).
Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков одного сорта.
Задача 4. В квадрате со стороной 1 м
бросили 51 точку. Докажите, что какие-то 3 точки из них можно накрыть квадратом
со стороной 20 см.
Задача
5. В бригаде 7 человек и их суммарный возраст 332 года. Докажите, что из них
можно выбрать трех человек,  сумма  возрастов которых не
меньше 142.
.
Решения и ответы.
1.19 рыжиков и 11 груздей.
Если  бы  в  корзине  нашлись  12
груздей, то  ни  один из них не был бы рыжиком,  следовательно,
количество груздей не превосходит 11. Если бы груздей было меньше
11,  то их было бы не больше 10. В этом случае можно было бы найти 20
не груздей,  следовательно, груздей - 11. Рыжиков - 19.
2.Достанем из мешка 3 шарика. Если
бы среди шариков было не более одного шарика каждого из двух цветов, то всего
было бы не более двух шариков - это очевидно,  и противоречит
тому,  что мы достали 3 шарика. С другой стороны, понятно, что двух
шариков может и не хватить. Ясно, что “ зайцами ” здесь являются  шарики,
а “ клетками” - цвета: черный и белый.
3.В решении этой задачи нам поможет обобщенный
принцип  Дирихле: “ Если в n клетках сидят не менее kn + 1 зайцев, то
в какой-то из клеток сидит, по крайней мере, k + 1 заяц. 25 ящиков –
“зайцев” -  рассадим по 3  “клеткам” - cортам. Так  как 25 = 3 * 8 + 1,
то,  применив обобщенный принцип Дирихле для n = 3, k = 8,получим,
что в какой-то “ клетке” – сорте не менее 9 ящиков.
4.Разобьем квадрат на 25
квадратов со стороной  20 см. По  обобщенному принципу
Дирихле в какой-то из них попадет по  крайней мере 3 точки из 51
брошенной.
Заметим, что
в основе принципа лежит идея  сложения  неравенств. Одно
замечательное  свойство  из неё гласит: ”
Если  сумма  n чисел равна S, то среди них есть
как  число не большее S:n и число не меньшее S:n ”.
5.Рассмотрим всевозможные тройки рабочих бригад. Сумма их суммарных
возрастов, как легко подсчитать, равна 15*332, а таких троек
35.  Значит, есть тройка, суммарный возраст в которой не меньше,
чем (15*332):35, что больше 142.
3.3.8. ЗАДАЧИ НА ИНВАРИАНТ.
Олимпиадные
задачи на инварианты можно условно разбить на  два вида:
те,  в которых требуется доказать некий инвариант,  т.е. он
явно определен, и те, в которых инвариант используется при решении  и
сразу не очевиден.  Принцип решения задач основан на поиске
характеристики объекта, которая не меняется при выполнении действий, указанных
в  задаче (инвариант объекта). Стандартным является рассуждение: пусть
на некотором шаге получился объект  А.
Применим  к  нему указанное действие и получим объект В.
Что у них общего? Что изменилось?
Задача
1. На доске написаны числа 1, 2, 3, ...,
101. Стирают произвольные числа  и  записывают разность
стертых чисел, повторяют эту операцию 100 раз и в результате получают
число  Р. Докажите, что Р отлично от нуля.
Задача
2. 100 фишек стоят в ряд. Любые две
фишки, расположенные через одну, можно менять местами. Удастся ли расположить
фишки в  обратном порядке?
Задача
3. Разместить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 по одному около вершин треугольника и около
середин его сторон так, чтобы сумма трех чисел, расположенных около любой
стороны, была одна и та же.
Задача
4: Можно ли в таблице 5 Х 5 клеток
расставить 25 чисел так, чтобы сумма  четырех  чисел  в
каждом квадрате 2 Х 2 была отрицательной, а сумма всех 25 чисел положительной?
Задача
5. Записано 4 числа: 0, 0, 0, 1.За один
ход разрешается прибавить по 1 к любым  двум из этих чисел. Можно ли
за несколько ходов  получить 4 одинаковых числа?
  Решения и ответы.
1.Надо учесть, что для двух
любых чисел их сумма и разность имеют одинаковую  четность.
В  качестве  инварианта  можно взять четность
суммы чисел, записанных на доске. Сумма чисел каждый раз будет нечетна,
т.е. Р нечетно и, значит, не   равно нулю.
2.Переставляя фишки, легко увидеть, что фишка, стоящая на нечетном месте, переходит
только на нечетные места, значит, фишка, стоящая на первом месте, не сможет
занять последнее  сотое (четное) место
3.Определим сумму чисел,
стоящих вдоль одной  стороны  треугольника. Обозначив через
a, b, c числа, стоящие в вершинах  треугольника, найдем эту
сумму:  (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + a + b + c):3, т.е.  ( 21 + a + b + c):3. Это число целое, значит, a + b
+ c  делится на 3. Заметив, что a + b + c не меньше, чем  1
+ 2 + 3 = 6 , и не больше, чем  4
+  5  +  + 6  =  15
,  можно утверждать,  что (a + b + c) находится среди
чисел  6, 9, 12,
15,  а  возможные  значения  суммы
чисел, расположенных вдоль стороны треугольника, таковы: 9, 10, 11, 12. Эти
четыре случая дают четыре решения (начиная от любой вершины, по часовой стрелке
переходим на сторону, на следующую вершину и т. д.): (2,6,1,5,3,4);
(1,4,5,2,3,6); (4,5,2,3,6,1); (5,3,4,2,6,1).
4.На рисунке изображена одна из таких возможностей. Все
суммы  в квадратах   2 Х 2 равны (-1), а сумма всех 25
чисел равна 2.

2

-1

2

-1

2

-1

-1

-1

-1

-1

2

-1

2

-1

2

-1

-1

-1

-1

-1

2

-1

2

-1

2

Ответ: Можно.
5.Нельзя, так как сумма
чисел будет всегда нечетной
 3.3.9. ЗАДАЧИ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ
С О Д Е Р Ж А Н И Е М
Задачи с
геометрическим содержанием выделены в отдельный параграф, но
предполагается,  что такие задачи могут решаться в течение всего
подготовительного курса.  Эти задачи позволяют
развивать  пространственное мышление и комбинаторные способности,
и   поэтому обращаться к ним следует по возможности
систематически.
Задача
1. Сколько углов образуют 5 различных
лучей, направленных из  одной точки?
Задача
2. Определите, чему равен угол между часовой и минутной  стрелками часов в
23 часа 45 минут.
Задача3. Разрежьте треугольник на два
треугольника,  четырехугольник и  пятиугольник, проведя две
прямые линии.
Задача 4. Разрежьте прямоугольник размером 4
* 8 на девять квадратов.
Задача
5. На прямой через равные промежутки
поставили 10 точек, они  заняли отрезок длины a. На другой
прямой  через те же промежутки поставили 100 точек, они заняли
отрезок длины  b. Во сколько раз a меньше b?
Задача
6. Расположите
на  плоскости 14 точек и соедините их, не пересекая, отрезками прямых так,
чтобы из каждой точки выходило ровно четыре отрезка.
Задача
7. Разрежьте фигуру
по линиям клеток так, чтобы получились четыре равные фигуры.

Задача
8. Разрежьте
фигуру на три равные части:

 Задача
9. Дан прямоугольник. Вдоль какой прямой его надо
разрезать  так, чтобы из двух получившихся частей можно было сложить ромб?
Постройте эту прямую с помощью циркуля и линейки.

Задача 10. Разрежьте прямоугольник, длина которого 9
 см, а ширина 4 см, на две равные части, из которых можно составить квадрат.

Задача 11.
Из
точки О на плоскости выходят четыре луча ОА, ОВ, ОС и ОД (не обязательно в этом
порядке). Известно, что АОВ = 40 , ВОС = 70  ,  СОД = 80  .Какие значения
может принимать величина угла между лучами ОА и ОД? (Величина угла между лучами
- от 0  до 180  .)

Задача 12. Разделите  фигуру на четыре равные
части:

 Задача
13. Стальную плитку размерами 73 х 19
 см обвели карандашом на бумаге. Найдите центр полученного прямоугольника,
имея  только плитку и карандаш.
 Задача
14. Из фигурок,  вид которых показан  на  рисунке,
сложите квадрат.

 Задача
15. На бумаге нарисован квадрат размером 5 х 5 клеточек.
Покажите, как  разрезать  его  по сторонам клеточек на 7 различных  прямоугольников.
Задача
16. Разрежьте
угол 8 х 8 на уголки из трех клеток (см. рис.)

Задача 17. Дан угол в 190 .Как с помощью
циркуля и линейки построить угол в 10?
 Задача
18. Сколько получится острых углов, если внутри
данного острого угла из его вершины провести 3 луча?
Задача
19. Имеется
монета. Сколько  нужно  таких же монет,  чтобы их  можно было расположить
вокруг данной монеты  так,  чтобы  все  они касались данной монеты и попарно
друг друга?
Задача
20. Можно
ли из одного куска проволоки получить такую фигуру, как на рисунке?

Задача
21.
В
точке А расположен гараж снегоочистительных машин. Одному водителю было
поручено убрать снег с улиц части  города, план которого изображен на рисунке.
Может ли он  закончить свою поездку на том перекрестке, где находится гараж,
если  по  каждой  улице своего участка города он может проехать только по
одному разу?
Задача
22. Можно
ли из проволоки, длина которой 20 см, согнуть такой            треугольник,
одна сторона которого была бы равна:1) 8
 см, 2) 10, 3) 12?

 Задача
23. Как, не отрывая карандаш от бумаги, разделить фигуру на рисунке на
шесть равных треугольников?
 Задача
24. Дан квадрат со стороной 4
 см. В него вписан второй квадрат так, что вершинами его служат средние точки
сторон  первого. В получившийся квадрат таким же образом вписан третий квадрат.
Вычислите периметр и площадь третьего  квадрата.
Задача
25. На прямой линии отмечены n точек. Сколько
лучей на ней они  определяют?
Задача
26. Имеются
13 равных квадратов. Как  составить  из  них  два  квадрата?
Задача
27. Листочек бумаги надо
разрезать на 8 частей, ограниченных отрезками. Сколько разрезов нужно для этого
сделать?
Задача
28 .Постройте замкнутую линию, состоящую из  трех  звеньев  и
проходящую через четыре данные точки, являющиеся вершинами квадрата.
 Задача
29. На плоскости даны 10 точек,  из которых каждая
соединена с каждой из остальных отдельной линией. Сколько таких линий?
Задача
30. Можно ли прямоугольник 34  х  20  покрыть
без  наложений прямоугольниками 2  х  3  и 3 х 3,  не
выходя за границы  большого прямоугольника?

Решения
и ответы.
1.20 углов
2.Угол между минутной и
отметкой “12” на циферблате равен 90, а угол между часовой стрелкой и отметкой
“12”  равен  четверти от  угла  между
“11” и “12” т.е.  равен 1/4*3600/ 12 = 7,50.
Тогда искомый угол равен  900 - 7,50 =
82 300 .
5.Можно  найти  расстояние  между
двумя ближайшими точками отрезка a, оно равно a /
9.  100  точек,  расположенных  на
прямой через расстояние a / 9, дадут 99таких отрезков, общая длина которых 99 *
а / 9 = 11 * а . Таким образом, b > a в 11 раз.

Диагностический
инструментарий по работе с одаренными детьми по математике.

1.Анкетирование
учащихся «Как распознать одаренность». Авторы: Л.Г. Кузнецова, Л.П. Сверч.
2.Карта наблюдений
за одаренными учениками.
3.Мониторинг
отслеживания работы одаренных учащихся на уроке и во внеурочное время.
4.Анкетирование
«Определение уровня познавательной потребности».
5.Анализ
достижений . Контрольные и творческие работы, в том числе и олимпиадные.
6. Наблюдение за
ходом развития ребенка в процессе обучения.

Учитель
математики:  Камышева И.Л.

Методическое
сопровождение работ с одаренными детьми по математике
1. Моклакова Н. А. Работа с одаренными
детьми . Учитель в школе. – 2010. – № 6. – С. 75 – 79.
2. Сивцева Л. Т. Проблема обучения
одаренных детей математике / Л. Т. Сивцева // Учитель в школе. – 2010. – № 4. –
С. 95 – 97.
3. Басманова А. В.
Научно-исследовательская работа по развитию творческих способностей учащихся /
А. В. Басманова // Учитель в школе. – 2010. – № 4. – С. 97 – 100.
4. Христенко Е. В. Одаренные дети в школе
(из опыта работы) / Е. В. Христенко, Л. А. Корешкова // Учитель в школе. –
2010. – № 3. – С. 80 – 85.
5. Друшлякова Е. В. Тестовая методика
выявления одаренных детей / Е. В. Друшлякова // Учитель в школе. – 2009. – № 1.
– С. 83 – 85.
6. Рыбкин С. С. О новых подходах в
обучении и развитии компьютерно-одаренных детей / С. С. Рыбкин // Учитель в
школе. – 2009. – № 2. – С. 85 – 89.
7. Акимова Е. А. Индивидуальное обучение
одаренного ребенка / Е. А. Акимова // Учитель в школе. – 2009. – № 3. – С. 85 –
86.
8. Ивенина Т. В. Организация
учебно-исследовательской деятельности одаренных школьников в образовательном
учреждении / Т. В. Ивенина // Учитель в школе. – 2009. – № 3. – С. 87 – 90.
9. Друшлякова Е. В. Способы выявления
одаренных учащихся / Е. В. Друшлякова // Учитель в школе. – 2009. – № 4. – С.
76 – 78.
10. Савенков А. Творчески одаренные дети:
выявление и развитие / А. Савенков // Учитель в школе. – 2008. – № 1. – С. 103
– 106.
11.Энциклопедия.
Я познаю мир. Великие ученые. – М.: ООО «Издательство АСТ» , 2003.
12.Энциклопедия
для детей. Математика. Т.11. – М., 1998.
13.Волович
М.Б Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. – М.:
Вентана – Граф; Мозаика-Синтез, 2006
14.Перельман
Я.И. Живая математика. –М.: Издательство  «наука», 1970
15. Бабинская
И.Л. Задачи математических олимпиад.  1975
16.
Игнатьев Е. В царстве смекалки.  1979.
17.Русанов
В.Н. Математические олимпиады младших школьников. 1990.
18.Шарыгин
И.Ф., Шевкин  А.В. Математика. Задачи на смекалку. 1995.
19.Сафонова
В.Ю.  Задачи для
внеклассной  работы  по  математике. 1994.
20.Гильбух
Ю. З. Внимание: одаренные дети. М.: Знание, 1991
21.Интернет
ресурсы для учителей математики:
-
Российское образование. Федеральный портал http://www.edu.ru/
- Все
образование. Каталог ссылок http://catalog.alledu.ru/
-
Учитель.ру -Федерация интернет- образования http://teacher.fio.ru/
- Естественно-научный образовательный портал (учебники,
тесты, олимпиады,контрольные) http://en.edu.ru/db/sect/3217/3284http://archive.1september.ru/mat/
- Задачник для подготовки к
олимпиадам по математике    http://tasks.ceemat.ru
- Математические олимпиады и
олимпиадные задачи
http://www.zaba.ru
- Международный математический
конкурс «Кенгуру»
http://www.kenguru.sp.ru
- Фестиваль педагогических
идей
festival.1september.ru

Скачано
с www.znanio.ru

file_name: Работа с одаренными детьми 5-6 классы математика.docx

alt: Талант- это вера в себя, свою силу

alt: Понятия «одаренность» и «способности»

alt: Н. Талызина [53, стр. 272]. «

alt: Выделение видов одаренности по критерию видов деятельности позволяет отойти от представления об одаренности как количественной степени выраженности способностей и перейти к пониманию одаренности как системного…

alt: Идентификация детей с таким видом одаренности – это длительный процесс, основанный на использовании многоуровневого комплекса методов анализа поведения ребенка, включения его в различные виды реальной…

alt: Е.С. Кузьмина, Я.Л. Коломинского,

alt: Необходимо снизить вероятность ошибки, которую можно допустить в оценке одаренности ребенка как по положительному критерию, так и по отрицательному критерию: высокие значения того или иного…

alt: Ускорение в обычном классе . Возможно и ускоренное прохождение стандартной учебной программы в рамках обычного класса

alt: Частная школа «Венда». Здесь предлагается использование компьютерных и мультимедийных технологий на уроках; геометрия для 5-6 класса; прикладная психология; эстетический цикл предметов; индивидуальные учебные планы для…

alt: Основными задачами исследовательского обучения являются: – развитие способности к самостоятельному творческому изысканию и дивергентному мышлению в процессе этого изыскания; – ознакомление детей с методологией и…

alt: П роблемы развития одаренных детей в процессе обучения математике

alt: Х. Ж. Ганеевым выделяет 4 группы целей в системе развивающего обучения математике: а) общие цели развития личности (максимальное развитие интеллектуальных возможностей личности, достижение высокого уровня…

alt: В диссертационном исследовании

alt: Целью учебного предмета «Математика» провозглашается формирование и развитие мышления, способности к абстрагированию; формирование важнейших качеств личности (логическое (дедуктивное) мышление, алгоритмическое мышление, многие качества мышления –…

alt: Изучение арифметики имеет общей целью формирование у учащихся знаний о числах и действиях с ними, вычислительных умений и их использование для решения практических задач, вычислительной…

alt: Тип задачи: Поиск закономерностей 1

alt: Основная деятельность учащихся, направленная на развитие средствами математики на каждом этапе урока, состоит в решении специально подобранных математических и учебных задач, которые наиболее целесообразно решать…

alt: Мы планируем работу на уроке по развитию способностей учащихся в группах , обозначенных нами

alt: Олимпиадные задачи 5-6 класс

title: План работы с одаренными детьми по математике 5- 6 классы