title: Обернена функція

text:
Алгебра і початки аналізу. 10 клас(за підручником Мерзляк А. Г.)

Тема уроку: Обернена функція
Поняття оберненої функції
На рисунках 47, 48 зображено графіки функцій f і g. Будь-яка горизонтальна пряма перетинає графік функції f не більше ніж в одній точці. Це означає, що кожному числу y0 ∈ E (f) відповідає єдине число x0 ∈ D (f) таке, що y0 = f (x0).
Функція g такої властивості не має.
Справді, з рисунка 48 видно, що значенню y0 відповідають два значення аргументу x1 і x2 такі, що y0 = g (x1) і y0 = g (x2).
Оборотна функція
Означення. Функцію y = f (x) називають оборотною, якщо для будь-якого y0 ∈ E (f) існує єдине x0 ∈ D (f) таке, що y0 = f (x0). Функція f (рис. 47) є оборотною. Функція g (рис. 48) не є оборотною.
Приклади оборотних функцій
Функції                                 є прикладами оборотних функцій (рис. 49). а) б) в)
 Функція y = x2 не є оборотною. Наприклад, значенню функції, яке дорівнює 4, відповідають два значення аргументу  x1 = –2 і x2 = 2.
Теорема 6.1
Теорема 6.1. Якщо функція є зростаючою (спадною), то вона є оборотною.
Доведення.
Припустимо, що існує зростаюча функція f, яка не є оборотною. Тоді знайдеться y0 ∈ E (f), для якого існують x1 і x2 (x1 < x2) такі, що
 f (x1) = f (x2) = y0.
Разом з тим функція f — зростаюча, і з нерівності x1 < x2 випливає, що f (x1) < f (x2). Отримали суперечність.
Аналогічно розглядається випадок, коли функція f є спадною.
Розглянемо функцію y = f (x), задану таблично:

Функція f є оборотною. Поміняємо рядки таблиці місцями і розглянемо функцію y = g (x), задану отриманою таблицею:

Функції f і g зв’язані такими властивостями:

Ці рівності означають, що коли f (x0) = y0, то g (y0) = x0. У таких випадках говорять, що функція g є оберненою до функції f, а функція f — оберненою до функції g. Такі функції f і g називають взаємно оберненими.
Взаємно обернені функції
Означення. Функції f і g називають взаємно оберненими, якщо:
D (f) = E (g) і E (f) = D (g);
для будь-якого x0 ∈ D (f) з рівності f (x0) = y0 випливає, що g (y0) = x0, тобто g (f ( x0)) = x0.
Можна показати, що другу умову в означенні можна замінити на таке: для будь-якого x0 ∈ D (g) з рівності g (x0) = y0 випливає, що f (y0) = x0, тобто       f (g (x0)) = x0.
Коли функція f не є оборотною, то не існує функції, оберненої до неї.
Будь-яка оборотна функція має обернену.
Приклад
Доведену теорему 6.2 ілюструють графіки взаємно обернених функцій, що розглядалися вище (рис. 51).
Первинне закріплення вивченого матеріалу
Яку функцію називають оборотною?
Сформулюйте теорему про оборотність зростаючої (спадної) функції.
Як пов’язані область визначення функції та область значень оберненої до неї функції?
Як пов’язані область значень функції та область визначення оберненої до неї функції?
Які дві функції називають взаємно оберненими?
Як розташовані графіки взаємно обернених функцій?
Якою є функція, обернена до зростаючої функції? до спадної функції?
Тренувальні вправи
Коментоване виконання вправ
Напівсамостійне виконання вправ
Вправи для повторення
195. Через першу трубу басейн можна наповнити водою за 9 год., а через другу — за 12 год. Спочатку 3 год. була відкрита перша труба, потім її закрили, але відкрили другу. За скільки годин було наповнено басейн?
Домашнє завдання
Читати § 6
Вивчити означення та теореми
Виконати вправи №№ 182, 185, 187, 189, 191
Прочитати розповідь про львівську математичну школу
Розв'язати задачу на повторення № 196


title: Площа паралелограма

text:
Площа паралелограма.
Епіграф:
«Недостатньо лише зрозуміти задачу,
Рівняння, нерівність. Необхідне
бажання їх розв’язати. Де є
бажання , знайдеться і шлях
до розв’язання»
                       Д. Пойа
(Угорський, швейцарський і американський математик)
Повторимо!
Яку фігуру називають паралелограмом?
Сформулюйте властивості паралелограма.
 Яку фігуру називають ромбом?
Сформулюйте властивості ромба.
Площа паралелограма
Теорема (про площу паралелограма).
     Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту,
     проведену до цієї сторони

А
В
C
D
M
N

a
b

Площа паралелограма дорівнює добутку двох його сторін на sin кута між ними.
S = absin

Площа ромба

a
a

a
ha
Площа ромба дорівнює півдобутку
його діагоналей.
Для допитливих

Площа опуклого чотирикутника з перпендикулярними діагоналями
дорівнює півдобутку діагоналей
Теорема:
РОМБ
ДЕЛЬТОЇД
Наслідки:
1. Площа ромба дорівнює півдобутку
його діагоналей.
2. Площа дельтоїда дорівнює півдобутку
 діагоналей
Висоти ромба, проведені з однієї вершини, рівні.
Розв’язуємо задачі
Задача 1.
Задача 2.
Задача 3.
Задача 4.

Задача 5.
А
В
C
D

M
N

БАЖАЮ УСПІХУ
У НАВЧАННІ!


title: порівняння предметів

text:
Мазур Карина

Бондарчук Ярина

Бунчук Аня

Глива Віка

Сивець Варя

Зонь Злата

Зонь Ярина

Кононко Ріта

Короленко Женя

Шевчук Софія

Чернікова Злата

Стрільник Таня

Сапронов  Микита

Середа Діана

Сивець Варя

Лехан Саша

Слободянюк
            Таня

Подолинна Іра

Сніжко Настя

Пташок Даринка


title: Повторні незалежні випробування

text:
Повторні незалежні випробування
Презентацію виконали:
Брешко В.
Герасимчук О.
Дерегуз І.
Сагайдачний І.

План
1.Формула Бернуллі
2.Найбільш ймовірне число появи події
3.Формула Пуассона
4.Потоки подій
5.Локальна формула Муавра-Лапласа
6.Інтегральна формула Муавра-Лапласа
7.Ймовірність відхилення відносної частоти появи події від її ймовірності
1.Формула Бернуллі
Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається так:

Приклад
Івестор укладає договір на фондовій біржі. Ймовірність укладення однієї угоди за один день становить 0,7.
   З припущення,що упродовж двох тижнів за день укладається не більше ніж одна угода,визначити ймовірність такої події А - буде укладено рівно 7 угод
Розв’язання
За умовою задач кількість випробувань n=10 ймовірність укладення угоди за один день p=0,7, а ймовірність того,що упродовж дня не буде укладено жодної угоди: q=1-0,7=0,3

2.Найбільш ймовірне число появи події
Частота  настання події А в n незалежних повторних випробуваннях називається найбільш ймовірним числом появи цієї події, якщо їй відповідає найбільша ймовірність. Вона визначається за формулою:

Розподіл може мати одне або два найімовірніші числа.

3.Формула Пуассона
Якщо в кожному з n незалежних повторних випробувань , а n велике, то

Приклад
Серед звітів державних підприємств трапляються не ефективні(в середньому одне на сотню). Знайти ймовірність того,що серед навмання відібраних 200 звітів зустрінеться 3 з не ефективних.
n=200  p=0,01  λ=np=2

Приклад
У середньому на підприємство приходить 2 дебіторські заборгованості за місяць . Знайти ймовірність того,що за 5 місяців надійде 3 дебіторські заборгованості.
 λ=2   t=5   m=3

4.Потоки подій
Потоком подій називається послідовність подій,що з'являються одна за одною у випадковій моменти часу.
Якщо потік є найпростішим,то ймовірність того,що за проміжок часу t деяка подія A трапиться m разів, знаходиться за формулою Пуассона:

5.Локальна формула Муавра-Лапласа
Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається такою наближеною залежністю:

Приклад
У середньому кожне відділення фірми підготувалось до перевірки на 80%. З найти ймовірність того,що перевірку пройдуть 120 із 140 відділень.

6.Інтегральна формула Лапласа
Імовірність того, що подія А відбудеться від  до  раз при проведенні n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А відбувається з імовірністю р, подається формулою:

Приклад
В бухгалтерія надійшло 200 звітів. Ймовірність того,що звіт оформлений правильно p=0,8. Знайти ймовірність того,що вірно оформлених звітів від 150 до 180.

7.Ймовірність відхилення відносної частоти появи події від її ймовірності
Для знаходження ймовірності відхилення відносно частоти від її ймовірності маємо формулу:


title: МАТЕМАТИЧНА МОРСЬКА ПОДОРОЖ

text:
МАТЕМАТИЧНА
МОРСЬКА ПОДОРОЖ
Встаньте, діти, всі рівненько,
Посміхніться всі гарненько.
Посміхніться ви до мене,
Посміхніться і до себе,
Привітайтесь: «Добрий, день!»
50
ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ
ПРИКЛАДИ 50
47
50
70
20
95
78
93
КАЛІГРАФІЧНА ХВИЛИНКА
6
РОБОТА ЗА ПІДРУЧНИКОМ
С. 12 № 52
+ 24=28
УСНИЙ РАХУНОК
ГРА « ВІДКРИЙ ВІКОНЕЧКО»
17-    =7
60+    = 100
  -45=20

УСНИЙ РАХУНОК
« ХТО НАЙПЕРШИЙ»
17+3
91+9
90-20
47-5
13-3
20
10
42
100
70
УСНИЙ РАХУНОК
« ЛАНЦЮЖОК»

50
+50
-10
-40
+20
+28
ТЕМА УРОКУ
Одиниці вимірювання довжини. Вимірювання і побудова відрізків. Додавання і віднімання іменованих чисел.
Ось листок і грибок,
Ще листок і грибок.
Скільки є усіх листків?
Скільки всього є грибів?
УСНО РОЗВ'ЯЗАЄМО ЗАДАЧІ
Якось бігло через ліс вісім кіз.
П'ять були з них білі-білі,
А останні сірі-сірі.
Скільки ж бігло через ліс
Сірих кіз?
УСНО РОЗВ'ЯЗАЄМО ЗАДАЧІ
Чотири книжки є у мене,
На п'ять більше є у Нати.
Скільки разом в нас книжок,
Треба вам дізнатись.
УСНО РОЗВ'ЯЗАЄМО ЗАДАЧІ
ПРИГАДАЙТЕ!
М
СМ
ДМ
ММ
ОДИНИЦІ ВИМІРЮВАННЯ ДОВЖИНИ
РОБОТА ЗА ПІДРУЧНИКОМ
С. 12 № 53,55
СКЛАДІТЬ ЗАДАЧІ ЗА МАЛЮНКОМ
80М
20М
СКЛАДІТЬ ЗАДАЧІ ЗА МАЛЮНКОМ
28М
? НА 8М МЕНШЕ
РОБОТА ЗА ПІДРУЧНИКОМ
С. 12 № 54
НА ДОПОМОГУ
8ДМ4СМ
7 ДМ
1ДМ6СМ
7ДМ1СМ
РОЗВ'ЯЖІТЬ ЗАДАЧУ
60
? НА 40 МЕНШЕ

?
60   40  = 20 (РИБ.)
60   20 =     ( РИБ.)
ГРА « ЗНАЙДІТЬ ВІДМІННОСТІ»
ЛОГІЧНІ ЗАДАЧІ
ГРА « ЩО НЕ ТАК?»
ЛОГІЧНІ ЗАДАЧІ
ГРА « ЩО НЕ ТАК?»
ЛОГІЧНІ ЗАДАЧІ
РОБОТА ЗА ПІДРУЧНИКОМ
ЛОГІЧНА ЗАДАЧА
С. 13 №58
НІНА
МАША
ДАРИНА
ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
С.13
№59,№60


title: Переставна властивість додавання та задачі на цю тему

text:
Переставна властивість додавання.Розв`язування задач і виразів в межах 10

УРОК

Маленький Гном завітав у гості
 2
Математичне інтерв’ю
 3
Цифровий малюнок
 4
Математичний диктант
+
= 8
+
= 6
9
6
-
= 3
+
= 10
 5
Гра «День –ніч»
+
Від  переставляння доданків сума не зміниться
=
-
-
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
=
+
=
=
 6
Відкриття нового знання
+
= 9
+
= 9
 7

Відкриття нового знання
+
= 9
+
= 9
 8

Відкриття нового знання
+
= 9
+
= 9
 9

Відкриття нового знання
+
= 9
+
= 9
 10

Відкриття нового знання
+
= 9
+
= 9
+
+
 11
Числовий відрізок

4 + 5 = 9
5 + 4 = 9
9 - 4 = 5
9 - 5 = 4
2 + 7 = 9
7 + 2 = 9
9 - 2 = 7
9 - 7 = 2
6 + 3 = 9
3 + 6 = 9
9 - 6 = 3
9 - 3 = 6
 12
Задачі
3 + 5
3 + 5 = 8(n.)
8 - 4
8 - 4 = 4(б.)
 14
Останній вузлик
 15
ВИ - МОЛОДЦІ! Дякую за гарну роботу на уроці!


title: Означення властивостей геометричной прогресії

text:
Матеріали до уроків
За підручником
«Алгебра.  9 клас»
Ю.І. Мальованого,
Г.М. Литвиненко,
Г.М. Возняк
9 клас

Готуємося до уроку

Використано матеріали  Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”.

Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів
№ 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т.

Мультимедійні технології на уроках алгебри
2011 рік

Зміст
Для роботи виберіть потрібну тему, в якій  слід вказати тему уроку.
Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями

            назад                          на початок
           вперед                         на кінець
            на  1 слайд              повернутися
            (додому)

Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей

Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною

Тема 3. Функція. Квадратична функція

Тема 4. Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня

Тема 5. Елементи прикладної математики

Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії

Тема 6
Арифметична та геометрична прогресії
Числові послідовності. Властивості числових послідовностей
Арифметична прогресія. Формула n-го члена  арифметичної прогресії
Сума перших n членів арифметичної прогресії
Геометрична прогресія. Формула n-го члена  геометричної прогресії
Сума перших n членів геометричної прогресії
Нескінченна геометрична прогресія (|q| < 0) та її сума
Розв’язування вправ

Пункт 11.1.
Пригадайте

1. Яку числову послідовність називають арифметичною  прогресією?

2. Чи можуть члени арифметичної прогресії дорівнювати нулю?

3. Чи може різниця арифметичної прогресії дорівнювати нулю?

Означення і властивості геометричної прогресії

Розглянемо числові послідовності:
1) 1; 2; 4; 8; 16; ...;

Особливість цих послідовностей полягає в тому, що кожний наступний член є результатом множення попереднього члена на одне й те саме для даної послідовності число.
Зокрема, кожен член першої послідовності множили на 2;
другої  — на      ; третьої — на         .

Поняття геометричної прогресії

Числова  послідовність
b1, b2, b3, ..., bn, … є геометричною прогресією, якщо для всіх натуральних n виконується умова
bn+1 = bn q, де q  0, bn 0.
З цієї рівності випливає, що

Відношення  будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи з другого, до попереднього члена дорівнює одному і тому самому числу q, яке називається знаменником геометричної прогресії.
Щоб задати геометричну прогресію, досить мати її перший член і знаменник.
Наприклад.
1). b1= 4 і q = 3.
Прогресія має вигляд
4; 12; 36; 108; ... .
2). b1= - 12 і q= - 1/3.
Маємо таку прогресію:

Числова послідовність, у якій перший член відмінний від нуля, а кожний наступний член дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме відмінне від нуля число, називається геометричною прогресією.

Геометрична прогресія.

Встановимо формулу загального члена геометричної прогресії
b1, b2, b3, ..., bn, …

 Згідно з означенням геометричної прогресії,
b2 = b1 q
b3 = b2 q
b4 = b3 q
……………….
bn-1 = bn-2 q
bn = bn-1 q

Помноживши почленно ці рівності, маємо:
b2 b3 ... bn-1 bn= b1 b2  b3  … bn-2  bn-1 qn-1

Поділимо обидві частини одержаної рівності на підкреслений добуток. Отримаємо шукану формулу:
bn = b1 qn-1

Формула n-го члена  геометричної прогресії

bn = b1 qn-1

Приклад 1.
Знайти шостий член геометричної прогресії, перший член якої дорівнює 8, а знаменник становить 1/2.
Розв'язання.
b6 = b1q5;

Приклад 2.
Другий член геометричної прогресії дорівнює 1/27, a п'ятий член дорівнює 1. Знайти перший член і знаменник прогресії.
Розв'язання.
b2 = b1q,
b5 = b1q4

b1  знаходимо з рівності b2 = b2 q

Формула n-го члена  геометричної прогресії

Приклад 3.
Знайти четвертий член геометричної прогресії (bn), якщо п'ятий її член дорівнює -6, а сьомий член дорівнює
-54.
Розв'язання.
Виразимо сьомий член прогресії через її п'ятий член і знаменник.
Маємо:
b7 = b5 q2.
Звідси

3 рівняння q2 = 9 маємо два значення q:
q1 = З, q2 = - З.
Щоб знайти четвертий член прогресії, досить п'ятий член поділити на q.
Якщо q = З, то b4 = (-6)/3=-2
якщо q = -3, то b4 = (-6)/(-3)=2

Отже, отримали два розв'язки:
bn = -2, bn - 2.

Геометрична прогресія. Формула n-го члена  геометричної прогресії

Геометрична прогресія має наступні властивості.

1. Будь-який член геометричної прогресії, починаючи з другого, є середнім пропорційним, (геометричним) двох сусідніх з ним, членів.
Тобто квадрат кожного члена геометричної прогресії, крім першого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів.

Якщо bm-1, bm, bm+1 - три послідовні члени геометричної прогресії, то

Властивості геометричної прогресії

Будь-який член геометричної прогресії, починаючи з другого, є середнім пропорційним, (геометричним) двох сусідніх з ним, членів.

2.

Властивості геометричної прогресії

Будь-який член геометричної прогресії, починаючи з другого, є середнім пропорційним, (геометричним) двох сусідніх з ним, членів.

2.   Добуток двох членів скінченної геометричної прогресії, рівновіддалених від крайніх членів, дорівнює добутку крайніх членів.

Доведемо цю властивість у загальному вигляді.
Доведення.
Нехай геометрична прогресія (bn) має n членів. Члени прогресії, що стоять на k-му місці від початку та на k-му місці від її кінця, відповідно дорівнюють:
bk=b1  qk-1
bn-k+1=b1  qn-k
Утворимо їх добуток:
bk  bn-k+1 = b1  qk-1  b1  qn-k = b1  b1  qn-1=
= b1  bn, що й треба було довести.

Яку числову послідовність називають геометричноюпрогресією?
Що називають знаменником геометричної прогресії?
Чи може хоча б один член геометричної прогресії дорівнювати нулю?
Як обчислити будь-який член геометричної прогресії, знаючи її перший член і знаменник?

Запитання для самоперевірки


title: Масштаб

text:
Якби в математиці не було краси, то, мабуть,не було б і самої математики . Бо, яка ж тоді сила притягувала б до цієї нелегкої науки найбільших геніїв людства?
                               М. Чайковський

« Світ – це книжка, і той, хто не подорожує, читає лише одну сторінку.»
                             Св. Августин
Тема уроку:
МАСШТАБ
Географія
Масштаб – це вираз, який показує, у скільки разів відстані на плані або карті менші від відстаней на місцевості.
 Масштаб буває:
       - числовим;
       - лінійним;
       - іменованим.
Математика
Відношення довжини відрізка на карті ( чи плані) до довжини відповідного відрізка на місцевості називається МАСШТАБОМ карти
( чи  плана).
Мандрівка
Три види задач на застосування поняття масштабуПерший вид задач.
1. Як знайти відстань на місцевості, якщо відома відстань на карті?
м. Кременчук     « Рошен»
м. Комсомольськ  ГЗК
Другий вид задач
2. Як дізнатися відстань на карті, якщо відома відстань на місцевості?
Опішня
Великі Будища музей «Весілля»
Решетилівка
Дібрівський кінний завод
Третій тип задач
3. Задачі на визначення масштабу.
м. КиївФабрика ялинкових прикрас
Музей води
До наступної зустрічі!


title: ІСТОРІЯ РОЗВИТКУ КОМБІНАТОРИКИ

text:
 ІСТОРІЯ РОЗВИТКУ КОМБІНАТОРИКИ
Комбінаторика - важливий розділ математики.
Справи давнини.
Перша згадка про питання, близькі до комбінаторних.
Комбінаторика в Давній Греції.
Комбінаторика та астрологія.
Комбінаторика в країнах Сходу.
Комбінаторика та азартні ігри.
Комбінаторика в ієрогліфах  та клинописі.
Комбінаторика в шифрах та анаграмах.
Комбінаторика в біології.
Хімічний пасьянс.
Комбінаторика епохи комп'ютерів.
Основоположники комбінаторики.

ЗМІСТ

Комбінаторика - важливий розділ математики, знання якого необхідно представникам різноманітних спеціальностей. З комбінаторними задачами доводиться мати справу фізикам, хімікам, біологам, лінгвістам, спеціалістам по кодах та ін. Комбінаторні методи лежать в основі рішення багатьох задач теорії ймовірностей та її застосувань.

З задачами, в яких доводиться вибирати ті чи інші предмети, розміщувати їх в певному порядку і відшуковувати серед різних розміщень найкращі, люди стикнулися ще в доісторичну епоху, обираючи найкращі розміщення мисливців під час полювання, воїнів під час битви, інструментів під час роботи. Певним чином розміщувалися прикраси на одязі, візерунки на кераміці. З ускладненням виробничих і суспільних відносин ширше приходилося користуватися загальними поняттями про порядок, ієрархію, групування. В тому ж напрямку діяв розвиток ремесел торгівлі.

Справи давнини
     Перша згадка про питання, близькі до комбінаторних, зустрічається в китайських рукописах, що відносяться до XII - XIII ст. до н.е. (точно датувати ці рукописи неможливо, тому що вони в 213 р. до н.е. імператор Цин Шихуан наказав спалити всі книги, тому до нас дійшли пізніше зроблені копії). В цих книгах писалося, що усе в світі являється поєднанням двох початків - чоловічого та жіночого
Перша згадка

Серед предметів, покладених в піраміду, де 35 століть тому назад був похований єгипетський фараон Тутанхамон, знайшли розкреслену дощечку з трьома горизонталями і 10 вертикалями та фігурки для давньої гри "сенет", про правила якої ми, можливо, ніколи не дізнаємось. Пізніше з'явились нарди, шашки й шахмати, а також їх різноманітні варіанти (китайські та японські шахмати, японські облавні шашки "го" і т.д.). в кожній з цих ігор доводилося розглядати різноманітні комбінації фігур, що мали здатність пересовуватись, та вигравав той, хто їх краще вивчив, знав переможні комбінації та вмів уникати програшів.

Говорити з повною впевненістю про рівень знань древніх греків в області комбінаторики  дуже  важко, оскільки до нас дійшли далеко не все з їх наукових досягнень. В 391 р. н.е. натовп монахів зруйнував центр язичної науки - олександрійський Музеум - і спалив більшу частину зберігаємої там бібліотеки, що налічувала багато тисяч томів.  Можна все ж таки судити, що певні уявлення про комбінаторику у грецьких вчених були.
Філософ Ксенократ, що жив в ІV ст.. до. н.е. підраховував кількість складів. В ІІІ ст.. до н.е. стоїк Хрисипп вважав, що кількість тверджень, отримуваних з 10 аксіом, перевищує мільйон. На думку Геппарха, із стверджуючих аксіом можна скласти 103 049 сполучень.  Конкретні комбінаторні задачі, що торкалися перерахунку невеликих груп предметів, греки розв'язували без помилок. Аристотель описав без пропусків всі види правильних тричленних силогізмів, а його учень Аристоксен з Тарента перерахував різноманітні комбінації довгих і коротких складів у віршових розмірах. Математик Папп (ІV ст. н.е.) роздивлявся число пар і трійок, які можна отримати з трьох елементів, не забороняючи їх повторення

Комбінаторика в Давній Греції

Велику  увагу грецькі вчені приділяли питанням, граничним між комбінаторикою та теорією чисел. Ще в VІ ст. до н.е. в школі філософа-ідеаліста і математика Піфагора виникло твердження, що світом правлять числа, а речі лише відображення чисел . Як і китайці, піфагорійці надавали особливе значення числу  36 - воно було для них не тільки сумою перших 4 парних і перших 4 непарних чисел, але й сумою перших трьох кубів.
        Символом бездоганності для піфагорейці вважали бездоганні числа, що дорівнювали сумі своїх дільників, наприклад,
 6 = 1 + 2 + 3            28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
        а символом дружби - дружні числа, кожне з яких дорівнює сумі дільників іншого числа (наприклад, 220 і 284). Пошук таких чисел потребував комбінаторної майстерності.
        Перехід від площини до простору дав можливість будувати ще більш складні числа. Наприклад з трикутників можна скласти піраміди. Підраховуючи кількість крапок в таких пірамідах, прийшли до пірамідальних чисел  1, 4, 10, 20, ..., що були сумами ряду 1 + 3 + 6 + 10 + ..., складеного з натуральних чисел. Проте подальше  узагальнення потребувало введення багатомірних просторів, що лежало за рамками можливостей давньогрецької математики.

Комбінаторика та астрологія
З ІІ ст. до н.е. починається спочатку поступовий, а потім все більш швидкий занепад науки. Одночасно з кабалістами і містиками комбінаторикою в ці темні століття занепаду науки займались астрологи. Їх цікавило питання про рух планет і їх "вплив" на долі людей. Особливе значення надавали вони порядку планет - зустрічі планет одному знаку Зодіаку. Астролог Бен Езра у 1140 році розрахував кількість суміщень семи планет по дві, по три і т. д.
Він знав, що число суміщень планет по дві дорівнює числу їх суміщень по п'ять, а число суміщень по три дорівнює дорівнює числу суміщень по чотири. В остаточному вигляді формулу для числа суміщень отримав математик Леві бен Гершон (початок XIV ст.), Проте його робота, написана на малодосяжному для багатьох вчених древньоєврейській мові, залишилась майже непоміченою
Комбінаторика в країнах Сходу
В VIII ст. н.е. почався розквіт арабської науки. Араби переклали багато творів грецьких учених, вивчили їх, а потім просунулись вперед по областях, мало звертавших увагу греків, - в науці про рішення рівнянь (саме слово "алгебра" - арабського походження), теорії та практиці обчислень та ін. Вирішуючи питання про знаходження коренів з будь-якого степеня, арабські алгебраїсти вивели формулу для степені суми двох чисел, яка відома під невірною історичною назвою "біном Ньютона".
          Напевно цю формулу знав поет і математик Омар Хайям (ХІ - ХІІ ст. н.е.). у будь-якому випадку вже і ХІІІ ст. таку формулу друкує в своїх творах Насир ад-Дин ат-Туси, а в XV ст. вона була ретельно досліджена Гияседдином ал-Каші.  Судячи по деяких європейських джерелах, східним до арабських оригіналів, для пошуків коефіцієнтів цієї формули брали число 10001 и зводили його до 2-го, 3-го, ......, 9-го степеня. Виходила таблиця в якій жирним шрифтом були виділені коефіцієнти бінома Ньютона.

Цікавились суміщеннями і в Індії. Ще в ІІ ст. до н.е. індійці знали числа Сkn і той факт, що сума C0n + C1n + … + Cnn дорівнювала 2n. А в ХІІ ст. індійський математик Бхаскара написав книгу "Лілаваті", в якій серед інших питань математики вивчає і проблеми комбінаторики. Він пише про застосування перестановок до підрахунку варіацій у віршоскладанні, різних розміщень в архітектурі та ін. Він також дає правила для пошуку числа перестановок та суміщень декількох предметів, при чому розглядає і випадок, коли в цих перестановках є елементи, що повторюються.

Одночасно з арабами вирахуванням біноміальних коефіцієнтів займались китайські математики. Вони склали до ХІІІ ст. н.е. таблицю  таких  чисел до n=8, наведену в книзі алгебраїста Чжу Ши-дзе "Ямшове дзеркало". Існують здогади, що І Сінь в VIII ст. н.е. вирахував кількість різних розміщень фігур у грі, що нагадувала шахи.
       Треба було лише визначити, скільки потрібно зробити кидків, щоб гра була йому така ж вигідна, як і перша. Шевальє вирішив, що треба кидати 24 рази. Адже при чотирьох кидках однієї кості шестірка випадала більш ніж у половині випадків, а так як друга кость дає шість варіантів випадання, то й треба помножити 4 на 6.Роздуми здавалися незаперечними, але досвід не підтвердив надій де Маре - тепер він став частіше програвати, ніж вигравати. В повному нерозумінні він звернувся до двох великих математиків Франції XVII ст. - Блезу Паскалю та П'єру Ферма. Розбираючись в цій та інших задачах, поставлених перед ними де Маре, вони сформулювали і довели перші теореми комбінаторики та теорії ймовірностей.

Значний поштовх до розвитку комбінаторики дали азартні ігри, які існували ще в глибоку давнину, але отримали особливе розповсюдження після хрестових походів. Найбільшу популярність отримала гра в кості - два чи три кубики з нанесеними на них очками кидали на стіл, і вигравав той, хто отримував більшу кількість очок. Одним з найазартніших гравців в кості у XVII ст. був шевальє де Маре, котрий без перестану знаходив нові види змагань. Наприклад, він запропонував, що буде кидати чотири кості і буде брати виграш лише у випадку, коли хоча б одна з них відкриється на шести. Проте скоро його партнери відмовились від такої гри - шевальє частіше вигравав, ніж програвав. Тоді де Маре придумав інший варіант - він кидав декілька раз пару костей і забирав виграш в тому випадку, якщо хоча б раз випадали дві шестірки.

Комбінаторика та азартні ігри
Ще тісніше пов'язана з комбінаторикою розшифровка клинописів. Історикам вдалося зясувати, що ці надписи було зроблено в епоху Ахеменідів, що правили в Ірані два з половиною тисячоліття тому назад. Були зроблені і припущення про мову надписів. А потім комбінаторний аналіз тексту виявив часте повторення певної групи знаків з семи знаків. Комбінаторика дозволила прочитати і крито-мікенське лінійне письмо. Перші надійні основи розшифровки цієї писемності заклала Аліса Д. Кобер, яка захистила у 1932 р. докторську дисертацію по математиці у Колумбійському університеті.
Навички в розгадці складних шифрів допомогли ученим, коли археологи почали відкопувати камені та черепи з таємними знаками - письменністю, що замовкла декілька тисячоліть тому. Одним з найкращих успіхів у розшифровці було читання французьким філологом Жаном Франсуа Шампольним  ієрогліфів, якими писали єгиптяни ще до того, як виникла наука у древніх греків. Це було торжеством комбінаторного методу у читанні забутих писемностей, заснованого на спостереженні за текстом, на співставленні повторюванні комбінацій слів та граматичних форм в поєднанні з уявою.

 Комбінаторика в ієрогліфах  та клинописі
Не тільки азартні ігри спонукали математиків до комбінаторних роздумів. Ще в кінці XVI ст. розшифровкою переписів між ворогами французького короля Генріха ІІІ та іспанцями займався один із творців сучасної алгебри Франсуа Вієт. А в Англії XVII ст. монархічні заколотники дивувались швидкості, з якою Кромвель проникав у їх замисли. Монархісти вважали шифри, якими вони користувались при переписі, нерозшифрованими, і вважали, що ключі до них були видані кимсь з учасників заколоту. І лише після падіння республіки та царювання Карла ІІ вони дізналися, що всі їх шифри розгадував один з найкращих англійських математиків того часу, професор Оксфордського університету Уолліс, котрий володів винятковими комбінаторними можливостями. Він назвав себе засновником нової науки "криптографії".

Комбінаторика в шифрах та анаграмах
          Тексти з переставленими літерами називаються анаграми. Проте не завжди анаграми дозволяли зберегти все у таємниці. Коли Гюйгенс відкрив перший супутник Сатурна та визначив його порядок обертання навколо планети, він виклав своє відкриття в анаграмі і відправив її своїм колегам. Проте вже згадуваний вище Уолліс, отримав цю анаграму, розгадав її, після чого склав свою анаграму та відправив її Гюйгенсу. Коли вчені обмінювалися розгадками анаграми, то вийшло так, немов Уолліс ще до Гюйгенса зробив те ж саме відкриття. Потім Уолліс зізнався, що пожартував із Гейгенсом, щоб довести безкорисність анаграм у справі таємності. Проте, хоча Гейгенс і сам був великим любителем і знавцем комбінаторики, він не оцінив жарту і розізлився.

Складність будови біологічних систем, їх строга ієрархічність, взаємо поєднання окремих процесів в цілому організмі роблять біологію підходящим полем для прикладання комбінаторних методів. Радянський біолог А. А. Любищєв припускав навіть, що схожість рослин та морозних візерунків на вікнах не випадково - в обох випадках проявляються певні закони комбінування частин в одне ціле.
Однією з найбільш складних загадок в біології ХХ ст. була будова "ниток життя" - молекул білка і нуклеїнових кислот. Поєднуючи комбінаторні розгляди з вивченням рентгенівських знімків, вченим вдалося розгадати будову багатьох білків, в тому числі гемоглобіну, інсуліну та ін.
Комбінаторика в біології
        Коли біологи почали вивчати передачу генетичної інформації у бактерій, то помітили, що в процесі цієї передачі хромосоми переходять від однієї бактерії до другої не цілком. Виникла  потреба визначити порядок розміщення генів у хромосомі. Французькі вчені Жакоб та Вальмон порівняли карти хромосом тапомітили їх комбінаторну схожість. Найбільшим досягненням комбінаторного підходу до проявів життя можна вважати розшифровку будови дезоксирибонуклеїнової кислоти (ДНК), зроблену в Кембриджі Ф. Криком та Дж. Уотсоном у 1953 р..

Небагато знайдеться днів в історії науки, які можна порівняти по своєму значенню з 17 лютим 1869 р. у цей день з хаосу хімічних елементів, кожен з яких мав свої властивості, виникла таблиця - був відкритий періодичний закон. Це відкриття було зроблено Дмитром Івановичем Мендєлєєвим, професором Петербурзького університету. Готуючи курс лекцій по загальній хімії, він задумався над порядком, в якому потрібно було розповідати про елементи. Розкладуючи свій хімічний пасьянс, великий вчений після напружених роздумів, знайшов правильне розміщення елементів. Кажуть, що кінцевий вигляд таблиці постав перед ним у сні, коли, стомлений неперервними роздумами над нею, він приліг відпочити.

Хімічний пасьянс

Не тільки у відкритті періодичної системи елементів виявилась корисною комбінаторика. Як відомо серед обмежених об'єднань зустрічаються і ізомери, тобто об'єднання, котрі мають один і той самий склад, але різну будову. Комбінаторика дала можливість перерахувати усі ізомери даного складу.
В цю епоху дискретної математики змінилась і роль давньої області дискретної математики - комбінаторики. З області, що цікавила більшу частину авторів задач та знаходила основні застосування в кодуванні і розшифровці          давні х писемностей, вона перетворилася на область, що знаходилась на магістральному шляху розвитку науки. За допомогою ЕВМ стало можливим робити перебори, що раніше потребували сотень і тисяч років. Тепер такі абстрактні образи математики, як математична логіка, загальна алгебра, формальні граматики, стали прикладними - для складання алгоритмічних мов, на яких пишуть програми для машин.

Комбінаторика епохи комп'ютерів

Основоположники комбінаторики
Яков Бернулли
Жозеф  Луи Лагранж
П'єр  Фермá
Леонард Эйлер
Коши Огюстен

 Є.П.Нелін.Алгебра: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. – Харків <<Гімназія>>,2011.-447 с.
Ерош И. Л. Дискретная математика. Комбинаторика — СПб.: СПбГУАП, 2001. — 37 c.
 Андерсон Джеймс Дискретная математика и комбинаторика = Discrete Mathematics with Combinatorics. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 960. — ISBN 0-13-086998-8
 Р. Стенли Перечислительная комбинаторика = Enumerative Combinatorics. — М.: «Мир», 1990. — С. 440. — ISBN 5-03-001348-2
 Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975.

Використані джерела:


title: протилежні числа

text:
ЧИСЛА
ПРОТИЛЕЖНІ
6 клас

0
5
1
А
-3
-6
6
В
М
К
Р
8
Познайте на  координатній прямій точки:
А(5), Р(-6), М(6), В(8), К(-3).

0
1
А
-3
-6
6
В
М
К
Р

Визначте відстань до кожної точки від
початку відліку.
Які точки однаково віддалені від почку відліку?
5
8

0
1
А
-3
-6
6
В
М
К
Р

5
8
 Дівчатка відійшли від початку відліку на 6 одиничних відрізків.В яку точку вони потрапили?
 Як потрібно рухатисяся, щоб потрапити в эці точки?
в протилежних напрямах

0
1
А
-3
-6
6
В
М
К
Р

5
8
  Такі числа 6 і -6 будуть протилежними. Спробуйте  сформулювати , які же числа називаються протилежними.
Означення: Два числа, що відрізняються тільки знаками, називаються протилежними.
Назвіть число, протилежне:
17
-17
-46
46
53,6
-53,6
-8,2
8,2
0
0
Яке число, протилежне додатньому числу?
Яке число, протилежне від’ємному числу?
Яке число, протилежне нулю?
Вкажіть пари протилежних чисел:
5,2
-5,2
-3,8
-8,1
3,8
8,1
-0,4
0,4

УСНО:
№ 869
ПИСЬМОВО:
№ 871,  875,
877,  881,  888.
Рефлексія
Я навчився…
Я зрозумів…
Тепер я можу…
Було важко…
Було цікаво…
Сьогодні я взнав…

ДОМАШНЄ  ЗАВДАННЯ
П. 31 – відповіді на питання 1 – 3.
№ 870,  874,  876,
    878,  912.


title: "Інтегральні мікросхеми"

text:
Інтегральні мікросхеми
Інтегра́льна мікросхе́ма— мініатюрний мікроелектронний виріб, елементи якого нерозривно пов'язані конструктивно, технологічно та електрично.
Виконує визначені функції перетворення і має високу щільність упаковки електрично з'єднаних між собою елементів і компонентів, які є одним цілим з точки зору вимог до випробувань та експлуатації.
За способом об'єднання розрізняють:
напівпровідникові,
монолітні (осн. тип),
плівкові,
гібридні.
Напівпровідникова мікросхема — всі елементи і міжелементні з'єднання виконані на одному напівпровідниковому кристалі (наприклад, кремнію, германія, арсеніду галію).
Плівкова мікросхема — всі елементи і міжелементні з'єднання виконані у виді плівок:
товстоплівкова інтегральна схема;
тонкоплівкова інтегральна схема.
Гібридна мікросхема — крім напівпровідникового кристалу містить трохи безкорпусних діодів, транзисторів і інших електронних компонентів, поміщених в один корпус.
За видом оброблюваної інформації:
цифрові
Аналогові
Аналого-цифрові
Аналогові мікросхеми — вхідні і вихідні сигнали змінюються за законом безупинної функції в діапазоні від позитивного до негативної напруги харчування.
Цифрові мікросхеми — вхідні і вихідні сигнали можуть мати два значення: логічний чи нуль логічна одиниця, кожному з який відповідає визначений діапазон напруги.
Аналого-цифрові мікросхеми сполучають у собі форми цифрової й аналогової обробки сигналів. В міру розвитку технологій одержують усе більше
поширення.
За складністю і якістю оцінки І.м. поділяються на:
малі І.м. (МІС),
середні І.м. (СІС),
великі І.м. (ВІС),
надвеликі І.м. (НВІС).
Надвелика інтегральна схема
(НВІС) — інтегральна мікросхема зі ступенем інтеграції понад 1000 елементів в кристалі.
Використовується в різних аналогових та цифрових елементах автоматики, вимірювальної та обчислювальної техніки.
 Призначення
Інтегральна мікросхема може володіти закінченим, як завгодно складним, функціоналом — аж до цілого мікрокомп'ютера
Аналогові схеми
 Операційні підсилювачі
Генератори сигналів
Фільтри (у тому числі на пьезоеффекте)
Аналогові умножители
 Стабілізатори джерел харчування
 Мікросхеми керування імпульсних блоків харчування
 Перетворювачі сигналів
Цифрові схеми

Логічні елементи
Тригери
Регістри
Буферні перетворювачі
Модулі пам'яті
Мікроконтролери
(Мікро)процесори (у тому числі ЦПУ в комп'ютері)
Однокристальні мікрокомп'ютери


title: ПОНЯТТЯ " ЗБІЛЬШИТИ В ..." " ЗБІЛЬШИТИ НА..."

text:
Заміна додавання множенням.
Поняття «на ...більше»,
« в… більше».
Задачі на множення.
Що ви
очікуєте
від уроку?
Перевірка
Домашнього
завдання
Гра « Виправте помилки»
№556
<         >          >
№ 555
2+5= 7 (накл)-у Олеся.
Відповідь: 7 наклейок
Усний
рахунок
Робота по таблиці
Гра « Пеньок»
30+3
61+2
63
70+3
Гра « Пеньок»
44+3
90-2
88
80+3
Гра « Пеньок»
29+9
20+9
60-40
29
Гра « Пеньок»
40+30
99-34
45-1
70
Гра « Пеньок»
100-12
100-0
34+6
88
Гра « Влучний стрілок»
Знайдіть істинні рівності
23+3=26
45-5=80
36-6=30
10+34=44
25+4=4
Математичний диктант
Закріплення
Вивченого
матеріалу
РОЗВ'ЯЗУЄМО ЗАДАЧІ
С. 96 №552,553
РОБОТА ЗА ПРАВИЛАМИ
С. 96
ПРАЦЮЄМО РАЗОМ
С. 97 № 554
Розв'язуємо
задачі
Усні задачі
Що на пасіці гримить?
 Будує вулики ведмідь.
 Він зробив їх двадцять сім.
 На два менше, ніж хотів.
29
Усні задачі
Сорок грибів знайшов я вперше,
 Гриць знайшов на десять менше.
 Ну,а хто з вас відгадав,
 Скільки Гриць грибочків мав?
30
Усні задачі
Тридцять грушок Коля мав,
 Ще п’ятнадцять – братик дав.
 На подвір’ї Коля сів,
 І п’ять грушок зразу з’їв.
 І подумав: «Чи не мало?»
 Скільки груш іще зосталось?
40
Логічні
вправи
Гра « Що зайве?»
Гра « Хто зайвий?»
Гра « Хто зайвий?»
Гра « Що не так?»
Гра « Що не так?»
Порахуйте усі ТРИКУТНИКИ
Домашнє завдання
С. 97 № 557


title: Красная Шапочка и Серый Волк

text:
    КРАСНАЯ
   ШАПОЧКА
И СЕРЫЙ ВОЛК

Сложение и вычитание
в пределах 10

Курипко Ольга Анатольевна
учитель начальных классов
ОШ №150 г. Донецка
Украина
2013

Интерактивный
тренажёр

http://pedsovet.su/
Конкурс интерактивных презентаций
«Интерактивная мозаика»
 Pedsovet.su
    КРАСНАЯ
   ШАПОЧКА
И СЕРЫЙ ВОЛК

Личный сайт http://shkolnayastrana.ucoz.ua
Сложение и вычитание
в пределах 10
      Автор:
Курипко Ольга Анатольевна
Украина  2013

Инструкция
Дорогой друг!
Предлагаю тебе поиграть и помочь
Красной Шапочке навестить больную бабушку.
Решай примеры и жми на цифру с  правильным ответом внизу слайда. Старайся не ошибаться.

Желаю успехов!

Играть

1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Дальше
10

1
2
3
10
5
6
7
8
9
0
Дальше
4

1
10
3
4
5
6
7
8
9
2
0
Дальше

1
2
3
10
5
6
7
4
9
0
Дальше
8

1
2
3
4
5
6
7
8
10
0
Дальше
9

1
10
2
4
5
6
7
8
9
3
0
Дальше

1
2
3
4
5
6
7
8
10
0
Дальше
9

1
2
8
10
5
6
7
4
9
0
Дальше
3

3
10
2
4
5
6
7
8
9
1
0
Дальше

1
2
3
4
5
6
9
8
10
0
Дальше
7

1
2
8
10
5
3
7
4
9
0
Дальше
6

1
2
3
4
5
6
9
8
10
0
Дальше
7

1
10
3
4
5
6
7
8
9
0
2
Дальше

1
2
8
10
6
3
7
4
5
0
Дальше
9

1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Дальше
10

1
10
3
4
5
0
7
8
9
2
Дальше
6

1
9
8
10
6
3
7
4
5
0
Дальше
2

1
2
3
4
5
6
9
7
10
0
Дальше
8

Выход

http://pixelbrush.ru/2012/12/03/skrap-nabor-krasnaya-shapochka.html#comment -  скрап набор Красная Шапочка
http://0lik.ru/uploads/posts/2010-03/1269290271_0lik.ru_85c1e243ae03.jpg - рамка
http://antalpiti.ru/files/99604/sororoka1.png - сорока
http://png2.ru/media/k2/items/cache/cd66a7a18d37d7e5dd969c249e9a1ecb_XL.jpg - волк
http://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/3/76/205/76205055_large_0_506f7_74382f18_L.png - ёжик
http://lib.podelise.ru/tw_files2/urls_23/1/d-754/754_html_m7c074d23.jpg - белочка
http://www.free-lancers.net/posted_files/4EF58F9D58E4.jpg -лисичка
http://smayli.ru/data/smiles/pticia-1118.gif - утка анимацияя
http://smayli.ru/data/smiles/babochkia-470.gif - бабочка анимация
http://artshare.ru/wp-content/uploads/2012/12/cone.jpg - шишка
http://infa.kharkov.ua/wp-content/uploads/2011/09/walnut.jpg - орех
http://files.anitalink.com/gamecache/hl/svencoop/sound/mw/forest.wav - звук леса
http://yadi.sk/d/07ubIVrZB3MTD - смех 1 (авторский)
http://yadi.sk/d/LhnhwkCpB3JGE - смех 2 (авторский)
http://stephane.brechet.free.fr/Sons/new/14_DOGGI.WAV - вой волка

Интернет ресурсы
Домой


ТЕМА УРОКУ.
Переставний закон додавання. Розв’язування задач за схемами.
ПАРК
ПОВТОРЕНЬ
ГАЛЯВИНА
УСНОГО РАХУНКУ
ВУЛИЦЯ
ПРИКЛАДНА
МАЙДАН
ЗАДАЧНИЙ
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ВЕСЕЛА
ПЕРЕРВА
РОЗВАЖАЛЬНИЙ
ЦЕНТР

КАЛІГРАФІЧНА ХВИЛИНКА
ПАРК ПОВТОРЕНЬ
ПАРК ПОВТОРЕНЬ
РОЗКЛАДІТЬ НА
РОЗРЯДНІ ДОДАНКИ
20+5
10+15
11+14
25
ПАРК ПОВТОРЕНЬ
РОЗКЛАДІТЬ НА
РОЗРЯДНІ ДОДАНКИ
20+53
70+3
71+2
73
ПАРК ПОВТОРЕНЬ
РОЗКЛАДІТЬ НА
РОЗРЯДНІ ДОДАНКИ
60+1
10+51
41+20
61
ПАРК ПОВТОРЕНЬ
РОЗКЛАДІТЬ НА
РОЗРЯДНІ ДОДАНКИ
81+11
91+1
90+2
92
ПАРК ПОВТОРЕНЬ
ПОРАХУЙТЕ ВІД

ДО
ПАРК ПОВТОРЕНЬ
НАЗВІТЬ ПРОПУЩЕНІ ЧИСЛА

23, 24, .   , .  , 27, . , 29, .
45, . , 47, .  , .  , 50
34, 35, 36, . , .  , 39 , .
56, 57, .  , . , . , 61

ПАРК ПОВТОРЕНЬ
НАЗВІТЬ СУСІДІВ
ПАРК
ПОВТОРЕНЬ
ГАЛЯВИНА
УСНОГО РАХУНКУ
ВУЛИЦЯ
ПРИКЛАДНА
МАЙДАН
ЗАДАЧНИЙ
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ВЕСЕЛА
ПЕРЕРВА
РОЗВАЖАЛЬНИЙ
ЦЕНТР

ГАЛЯВИНА УСНОГО
РАХУНКУ
КРУГОВІ ПРИКЛАДИ
10+1+1
80+20
100-90
12+70
82-2
27
20+3+4
21+6
60-40+7
20+3+3
10+17
ГРА « ХТО ЗАЛИШИТЬСЯ НА ГАЛЯВІ?»
55
100-40-5
20+30
60-5
20+35
41+4+10
ГРА « ХТО ЗАЛИШИТЬСЯ НА ГАЛЯВІ?»
99
80+10+9
100-1+0
26-6
50+50
60+39
ГРА « ХТО ЗАЛИШИТЬСЯ НА ГАЛЯВІ?»
РОБОТА ЗА ПІДРУЧНИКОМ
ГАЛЯВИНА УСНОГО
РАХУНКУ
С. 16
№70, 71
ПАРК
ПОВТОРЕНЬ
ГАЛЯВИНА
УСНОГО РАХУНКУ
ВУЛИЦЯ
ПРИКЛАДНА
МАЙДАН
ЗАДАЧНИЙ
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ВЕСЕЛА
ПЕРЕРВА
РОЗВАЖАЛЬНИЙ
ЦЕНТР

ВУЛИЦЯ ПРИКЛАДНА
СКЛАДІТЬ ПРИКЛАДИ
ЗА МАЛЮНКОМ
4+1=5
ВУЛИЦЯ ПРИКЛАДНА
СКЛАДІТЬ ПРИКЛАДИ
ЗА МАЛЮНКОМ
6+3=9
ВУЛИЦЯ ПРИКЛАДНА
СКЛАДІТЬ ПРИКЛАДИ
ЗА МАЛЮНКОМ
9+1=10
ВУЛИЦЯ ПРИКЛАДНА
ПЕРЕВІРТЕ ВЛАСТИВІСТЬ
ДОДАВАННЯ
3+2=5
ВУЛИЦЯ ПРИКЛАДНА
ПЕРЕВІРТЕ ВЛАСТИВІСТЬ
ДОДАВАННЯ
2+3=5
РОБОТА ЗА ПІДРУЧНИКОМ
УСНО
С. 16
№72
ВУЛИЦЯ ПРИКЛАДНА
РОБОТА ЗА ПІДРУЧНИКОМ
РОБОТА НА ВИБІР
С. 17
№73
АБО
 № 75
ВУЛИЦЯ ПРИКЛАДНА
ПАРК
ПОВТОРЕНЬ
ГАЛЯВИНА
УСНОГО РАХУНКУ
ВУЛИЦЯ
ПРИКЛАДНА
МАЙДАН
ЗАДАЧНИЙ
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ВЕСЕЛА
ПЕРЕРВА
РОЗВАЖАЛЬНИЙ
ЦЕНТР

РОЗВАЖАЛЬНИЙ ЦЕНТР
ФІЗКУЛЬТХВИЛИНКА
ПАРК
ПОВТОРЕНЬ
ГАЛЯВИНА
УСНОГО РАХУНКУ
ВУЛИЦЯ
ПРИКЛАДНА
МАЙДАН
ЗАДАЧНИЙ
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ВЕСЕЛА
ПЕРЕРВА
РОЗВАЖАЛЬНИЙ
ЦЕНТР

МАЙДАН ЗАДАЧНИЙ
СКЛАДІТЬ ЗАДАЧІ ЗА СХЕМАМИ
С. 17
№74
МАЙДАН ЗАДАЧНИЙ
С.17 №76
ЯКЕ ПИТАННЯ ЗАДАЧІ?
ЧИ ЗМОЖЕМО ВІДРАЗУ
ДАТИ ВІДПОВІДЬ?
ЯКОЮ ДІЄЮ?
ЧОМУ САМЕ ТАК?
ПАРК
ПОВТОРЕНЬ
ГАЛЯВИНА
УСНОГО РАХУНКУ
ВУЛИЦЯ
ПРИКЛАДНА
РОЗВАЖАЛЬНИЙ
ЦЕНТР

МАЙДАН
ЗАДАЧНИЙ
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ВЕСЕЛА
ПЕРЕРВА
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ГРА « ВПІЗНАЙТЕ ФІГУРУ»
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ГРА « ВПІЗНАЙТЕ ФІГУРУ»
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ГРА « ВПІЗНАЙТЕ ФІГУРУ»

ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ГРА « ВПІЗНАЙТЕ ФІГУРУ»

ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ГРА « ВПІЗНАЙТЕ ФІГУРУ»

ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ГРА « ВІДШУКАЙТЕ ЗАЙВЕ»

ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ГРА « ВІДШУКАЙТЕ ЗАЙВЕ»

ПАРК
ПОВТОРЕНЬ
ГАЛЯВИНА
УСНОГО РАХУНКУ
ВУЛИЦЯ
ПРИКЛАДНА
РОЗВАЖАЛЬНИЙ
ЦЕНТР

МАЙДАН
ЗАДАЧНИЙ
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ВЕСЕЛА
ПЕРЕРВА
ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
С. 17
№77, 78


title: Рахуємо з Машею

text:
Рахуємо
 з Машею

9+2=
10
12
11

10+3=
11
13
14

12-2=
10
9
11

10+10=
15
20
10

8+4=
11
12
10

18+1=
17
20
19

14-1=
15
13
12

17-7=
9
7
10

9+4=
12
14
13

16-4=
12
14
13

Браво!


title: Переставний закон додавання

text:
ТЕМА УРОКУ.
Переставний закон додавання. Розв’язування задач за схемами.
Квадратні рівняння. Прийоми усного розв’язування квадратних рівнянь
ПАРК
ПОВТОРЕНЬ
ГАЛЯВИНА
УСНОГО РАХУНКУ
ВУЛИЦЯ
ПРИКЛАДНА
МАЙДАН
ЗАДАЧНИЙ
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ВЕСЕЛА
ПЕРЕРВА
РОЗВАЖАЛЬНИЙ
ЦЕНТР

КАЛІГРАФІЧНА ХВИЛИНКА
ПАРК ПОВТОРЕНЬ
ПАРК ПОВТОРЕНЬ
РОЗКЛАДІТЬ НА
РОЗРЯДНІ ДОДАНКИ
20+5
10+15
11+14
25
ПАРК ПОВТОРЕНЬ
РОЗКЛАДІТЬ НА
РОЗРЯДНІ ДОДАНКИ
20+53
70+3
71+2
73
ПАРК ПОВТОРЕНЬ
РОЗКЛАДІТЬ НА
РОЗРЯДНІ ДОДАНКИ
60+1
10+51
41+20
61
ПАРК ПОВТОРЕНЬ
РОЗКЛАДІТЬ НА
РОЗРЯДНІ ДОДАНКИ
81+11
91+1
90+2
92
ПАРК ПОВТОРЕНЬ
ПОРАХУЙТЕ ВІД

ДО
ПАРК ПОВТОРЕНЬ
НАЗВІТЬ ПРОПУЩЕНІ ЧИСЛА

23, 24, .   , .  , 27, . , 29, .
45, . , 47, .  , .  , 50
34, 35, 36, . , .  , 39 , .
56, 57, .  , . , . , 61

ПАРК ПОВТОРЕНЬ
НАЗВІТЬ СУСІДІВ
ПАРК
ПОВТОРЕНЬ
ГАЛЯВИНА
УСНОГО РАХУНКУ
ВУЛИЦЯ
ПРИКЛАДНА
МАЙДАН
ЗАДАЧНИЙ
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ВЕСЕЛА
ПЕРЕРВА
РОЗВАЖАЛЬНИЙ
ЦЕНТР

ГАЛЯВИНА УСНОГО
РАХУНКУ
КРУГОВІ ПРИКЛАДИ
10+1+1
80+20
100-90
12+70
82-2
27
20+3+4
21+6
60-40+7
20+3+3
10+17
ГРА « ХТО ЗАЛИШИТЬСЯ НА ГАЛЯВІ?»
55
100-40-5
20+30
60-5
20+35
41+4+10
ГРА « ХТО ЗАЛИШИТЬСЯ НА ГАЛЯВІ?»
99
80+10+9
100-1+0
26-6
50+50
60+39
ГРА « ХТО ЗАЛИШИТЬСЯ НА ГАЛЯВІ?»
РОБОТА ЗА ПІДРУЧНИКОМ
ГАЛЯВИНА УСНОГО
РАХУНКУ
С. 16
№70, 71
ПАРК
ПОВТОРЕНЬ
ГАЛЯВИНА
УСНОГО РАХУНКУ
ВУЛИЦЯ
ПРИКЛАДНА
МАЙДАН
ЗАДАЧНИЙ
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ВЕСЕЛА
ПЕРЕРВА
РОЗВАЖАЛЬНИЙ
ЦЕНТР

ВУЛИЦЯ ПРИКЛАДНА
СКЛАДІТЬ ПРИКЛАДИ
ЗА МАЛЮНКОМ
4+1=5
ВУЛИЦЯ ПРИКЛАДНА
СКЛАДІТЬ ПРИКЛАДИ
ЗА МАЛЮНКОМ
6+3=9
ВУЛИЦЯ ПРИКЛАДНА
СКЛАДІТЬ ПРИКЛАДИ
ЗА МАЛЮНКОМ
9+1=10
ВУЛИЦЯ ПРИКЛАДНА
ПЕРЕВІРТЕ ВЛАСТИВІСТЬ
ДОДАВАННЯ
3+2=5
ВУЛИЦЯ ПРИКЛАДНА
ПЕРЕВІРТЕ ВЛАСТИВІСТЬ
ДОДАВАННЯ
2+3=5
РОБОТА ЗА ПІДРУЧНИКОМ
УСНО
С. 16
№72
ВУЛИЦЯ ПРИКЛАДНА
РОБОТА ЗА ПІДРУЧНИКОМ
РОБОТА НА ВИБІР
С. 17
№73
АБО
 № 75
ВУЛИЦЯ ПРИКЛАДНА
ПАРК
ПОВТОРЕНЬ
ГАЛЯВИНА
УСНОГО РАХУНКУ
ВУЛИЦЯ
ПРИКЛАДНА
МАЙДАН
ЗАДАЧНИЙ
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ВЕСЕЛА
ПЕРЕРВА
РОЗВАЖАЛЬНИЙ
ЦЕНТР

РОЗВАЖАЛЬНИЙ ЦЕНТР
ФІЗКУЛЬТХВИЛИНКА
ПАРК
ПОВТОРЕНЬ
ГАЛЯВИНА
УСНОГО РАХУНКУ
ВУЛИЦЯ
ПРИКЛАДНА
МАЙДАН
ЗАДАЧНИЙ
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ВЕСЕЛА
ПЕРЕРВА
РОЗВАЖАЛЬНИЙ
ЦЕНТР

МАЙДАН ЗАДАЧНИЙ
СКЛАДІТЬ ЗАДАЧІ ЗА СХЕМАМИ
С. 17
№74
МАЙДАН ЗАДАЧНИЙ
С.17 №76
ЯКЕ ПИТАННЯ ЗАДАЧІ?
ЧИ ЗМОЖЕМО ВІДРАЗУ
ДАТИ ВІДПОВІДЬ?
ЯКОЮ ДІЄЮ?
ЧОМУ САМЕ ТАК?
ПАРК
ПОВТОРЕНЬ
ГАЛЯВИНА
УСНОГО РАХУНКУ
ВУЛИЦЯ
ПРИКЛАДНА
РОЗВАЖАЛЬНИЙ
ЦЕНТР

МАЙДАН
ЗАДАЧНИЙ
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ВЕСЕЛА
ПЕРЕРВА
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ГРА « ВПІЗНАЙТЕ ФІГУРУ»
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ГРА « ВПІЗНАЙТЕ ФІГУРУ»
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ГРА « ВПІЗНАЙТЕ ФІГУРУ»

ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ГРА « ВПІЗНАЙТЕ ФІГУРУ»

ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ГРА « ВПІЗНАЙТЕ ФІГУРУ»

ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ГРА « ВІДШУКАЙТЕ ЗАЙВЕ»

ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ГРА « ВІДШУКАЙТЕ ЗАЙВЕ»

ПАРК
ПОВТОРЕНЬ
ГАЛЯВИНА
УСНОГО РАХУНКУ
ВУЛИЦЯ
ПРИКЛАДНА
РОЗВАЖАЛЬНИЙ
ЦЕНТР

МАЙДАН
ЗАДАЧНИЙ
ПЕРЕХРЕСТЯ
ФІГУРНЕ
ВЕСЕЛА
ПЕРЕРВА
ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
С. 17
№77, 78


«Прикрасимо ялинку». Табличне додавання і віднімання числа 5.


title: Математичний колобок

text:
Додавання і віднімання
на основі
десяткової нумерації.
 Задачі
на різницеве порівняння
Що ви
очікуєте
від уроку?
Перевірка
Домашнього
завдання
Гра « Виправте помилки»
14  10  17
30  57  3  20
20
29
30
Завершіть запис задачі
15-5=10
15+10=
Усний
рахунок
Робота по таблиці
Гра « Пеньок»
63
30+3
61+2
Гра « Пеньок»
88
40+3
90-2
Гра « Пеньок»
29
20+9
60-40
Гра « Пеньок»
44
99-34
45-1
Гра « Пеньок»
100
100-0
34+6
Усний рахунок
С. 10 №38,39
Математичний диктант
С. 10 №37
Закріплення
Вивченого
матеріалу
Гра « Влучний стрілок»
Знайдіть істинні рівності
23+3=26
45-5=80
36-6=30
10+34=44
25+4=4
Самостійна робота
С. 11 № 42
Перевірте себе
56  30  95  53
Колобок відпочиває
Розв'язуємо
задачі
Усні задачі
Що на пасіці гримить?
 Будує вулики ведмідь.
 Він зробив їх двадцять сім.
 На два менше, ніж хотів.
29
Усні задачі
Сорок грибів знайшов я вперше,
 Гриць знайшов на десять менше.
 Ну,а хто з вас відгадав,
 Скільки Гриць грибочків мав?
30
Усні задачі
Тридцять грушок Коля мав,
 Ще п’ятнадцять – братик дав.
 На подвір’ї Коля сів,
 І п’ять грушок зразу з’їв.
 І подумав: «Чи не мало?»
 Скільки груш іще зосталось?
40
Усні задачі
Було  18 трикутників, а
квадратів 6.
На скільки більше трикутників,
ніж квадратів?

12
Складіть задачі
С. 10 № 40
Робота за підручником
С. 10 № 41
4 роки
9 р
?
Логічні
вправи
Гра « Що зайве?»
Гра « Хто зайвий?»
Гра « Хто зайвий?»
Гра « Що не так?»
Гра « Що не так?»
Порахуйте усі квадрати
Домашнє завдання
С. 11 № 43


title: пр

text:
Множення раціональних чисел
Підготувала:
Рябуха Анна Юріївна
кандидат педагогічних наук,
учитель математики
Множення раціональних чисел з різними знаками
           Добуток двох раціональних чисел з різними знаками є від’ємним числом, а модуль добутку є добутком модулів множників.

       Щоб помножити два числа з різними знаками, треба помножити їх модулі і перед отриманим добутком поставити знак «–» (мінус).
     Наприклад:
     –2 · 5 = – (│–2│ · │5│) = – (2 · 5) = – 10

Множення раціональних чисел з однаковими знаками
    Добуток двох раціональних чисел з однаковими знаками є додатним числом, а модуль добутку є добутком модулів множників.
    Щоб помножити два від’ємні числа, достатньо помножити їх модулі.
     Наприклад:
     –2 · (–5) = │–2│ · │–5│ = 2 · 5 = 10

Множення на нуль та одиницю
Якщо один із множників – 0, то добуток дорівнює нулю.
а · 0 = 0 · а = 0
     Добуток може дорівнювати нулю тоді, і тільки тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.

         Якщо один із множників дорівнює 1, то добуток дорівнює іншому множнику.
а · 1 = 1 · а = а
Розкриття дужок
         Якщо перед дужками стоїть знак «–», то, розкриваючи дужки, потрібно змінити знак кожного доданка на протилежний.
a – (b + c) = a – (+b + c) = a – b – c
a – (b – c) = a – (+b – c) = a – b + c
a – (–b – c) = a – (–b – c) = a + b + c

Подібні доданки та їх зведення
         Подібними є доданки, які мають спільну буквену частину.
Числові доданки є подібними.
     Наприклад:
     2х + 3х або 6а – 3а

Число перед буквеною частиною називається коефіцієнтом.
Подібні доданки та їх зведення
   Заміну суми подібних доданків на один вираз називають зведенням подібних доданків.
     Наприклад:

     3a + 5a = 8a
      9b – 6b = 3b
     5x + 6x – x = 10x
Подібні доданки та їх зведення
    Щоб звести подібні доданки, треба додати їх коефіцієнти і результат помножити на їх спільну буквену частину.
     Наприклад:

    1,2у + 3,4у = (1,2 + 3,4) · у = 4,6у
     4а – 2,5а + 0,5а = (4 – 2,5 + 0,5) · а = 2а
Подібні доданки та їх зведення
        Щоб звести подібні доданки, треба правильно визначити їх коефіцієнти, а потім вже додавати ці коефіцієнти; під час зведення подібних доданків буквена частина не змінюється.
     Наприклад:

    3х + 5,2х = 8,2х
     5а – 2,6а = 2,4а
Подібні доданки та їх зведення
           У виразі може бути не одна, а кілька груп подібних доданків. У цьому випадку працюємо з кожною групою не змішуючи доданки.
Наприклад:

     5х + 3а – 2х + 4а =
 = 5х – 2х +3а + 4а =
 = 3х + 7а
Подібні доданки та їх зведення
         Якщо даний вираз містить дужки, то перш ніж звести подібні доданки, треба розкрити дужки, а потім виконувати дії.
Наприклад:

(3b – 4a) + (8a + 6b) =
 = 3b – 4a + 8a + 6b =
 = 3b + 6b – 4a + 8a =
 = 9b + 4a
Подібні доданки та їх зведення
    Якщо в алгебраїчній сумі є кілька (більше від одного) числових доданків, то їх також можна вважати подібними доданками (і не забуваймо їх додавати).
Наприклад:

7х + 3х – 4х + 5а =
 = 6х + 5а
Спростіть вираз:
Назвіть коефіцієнти виразів:
2,5abc
-0,003xy
nm
- 6m
-abcde
2,5
-0,003
1
-6
-1
Приклади розв’язування завдань
1. Знайди добуток:       37 · (– 5).

Розв’язання
37 · (– 5) =

2. Знайди добуток:       – 25 · (– 9).

Розв’язання
– 25 · (– 9) =
– (37 · 5) =
– 185.
+ (25 · 9) =
225.
Приклади розв’язування завдань
3. Назви коефіцієнт буквеного виразу:     7b.
Розв’язання
7.
Розв’язання
4. Назви коефіцієнт буквеного виразу:     – 5а.
– 5.
5. Назви коефіцієнт буквеного виразу:     – 0,8t.
Розв’язання
– 0,8.
6. Назви коефіцієнт буквеного виразу:     р.
Розв’язання
1.
Приклади розв’язування завдань
7. Зведи подібні доданки:     4m – 5m.
Розв’язання
4m – 5m =

8. Зведи подібні доданки :     2y + 3y – 9y.

Розв’язання
2y + 3y – 9y =
(4 – 5) m =
– m.
(2 + 3 – 9) y =
– 4 y.
Приклади розв’язування завдань
9. Виконай дії зручним способом:   – 0,2 · 39 · (– 5).

Розв’язання
– 0,2 · 39 · (– 5) =

10. Виконай дії зручним способом:  4 · 29 – 14 · 29.
Розв’язання
4 · 29 – 14 · 29 =
(– 0,2 · (– 5)) · 39 =
+ 1 · 39 =
29 · (4 – 14) =
29 · (– 10) =
39.
– 290.
Приклади розв’язування завдань
11. Обчисли:     (– 4,2)2.
Розв’язання
(– 4,2)2 =

12. Обчисли:     (– 0,8)3.

Розв’язання
(– 0,8)3 =
(– 4,2) · (– 4,2) =
+ 17,64.
(– 0,8) · (– 0,8) · (– 0,8) =
– 0,512.
Приклади розв’язування завдань
13. Спрости:     – 1,5а · (– 2b).
Розв’язання
– 1,5а · (– 2b) =

14. Спрости:     – 5х + 3у + 7х – 9у.
Розв’язання
– 5х + 3у + 7х – 9у =
+ 1,5 · 2 · а · b =
3аb.
(– 5х + 7х) + (+ 3у – 9у) =
2х – 6у.
Приклади розв’язування завдань
15. Доведи, що значення виразу:
– 0,6 (х – 3,7) + 0,2 (3х – 5)
не залежить від значення змінної.
Розв’язання
– 0,6 (х – 3,7) + 0,2 (3х – 5) =

Отже, значення виразу не залежить від значення змінної.
– 0,6 х + 2,22 + 0,6 х – 1 =
2,22 – 1 =
1,22.
Приклади розв’язування завдань
16. Розв’яжи рівняння:
Розв’язання

Приклади розв’язування завдань
17. Знайди значення виразу:
      – 8а – (4а – 6b), якщо b – 2а = –4.
Розв’язання

 – 8а – (4а –6b) = – 8а – 4а + 6b =
= (– 8а – 4а) + 6b =
= – 12а + 6b =
= + 6b – 12а  =
= 6 · (b – 2а) =
= 6 · (– 4) =
= – 24.
Приклади розв’язування завдань
18. Розв’яжи рівняння:   (х – 1) (х + 2) = 0.
Розв’язання

 (х – 1) (х + 2) = 0
 х – 1 = 0
або
 х + 2 = 0
 х = 1
 х = –  2
Приклади розв’язування завдань
19. Розв’яжи рівняння:
Розв’язання

Приклади розв’язування завдань
20. Обчисли зручним способом:
Розв’язання

Дякую за увагу


title: ДОПОМОЖІТЬ РІПКУ ВИРВАТИ

text:
Девіз самопідготовки:
ХТО НІЧОГО НЕ ПОМІЧАЄ,
ТОЙ НІЧОГО НЕ ВИВЧАЄ.
ХТО НІЧОГО НЕ ВИВЧАЄ,
ТОЙ ЗАВЖДИ РЮМСАЄ І СКУЧАЄ.
7 – 4 = 3
В казковому будиночку
Сім гномиків жили.
Чотири з них рибалити
На озеро пішли.
А решта вдома спали,
Щоб ми їх рахували!

ДОПОМОЖІТЬ РІПКУ
ВИРВАТИ!
1+4
2+4
3-1
6-5
2+2
2+4
3+3
РІПКА ВАМ ДЯКУЄ!
3+4
9-4
3+3
5+2
8-3
9-3
6+1
7

6

5

Молодці!

1   2  …   4   …  6

3
5
1 … 3 …  5 …

2
4
6
МОЛОДЦІ
?
<
?
>
МОЛОДЦІ
6 – 2 = 4
Шість кумедних ведмежат
 Біля броду борюкались.
 Двоє з них втекло до мами.
 Скільки ведмежат зосталось?
МОЛОДЦІ
5 – 1 =4
По дорозі їжак біг,
Ніс шість яблук на пиріг,
Одне упало, покотилось.
Скільки яблук залишилось?
МОЛОДЦІ

«РУКАВИЧКА»
«РІПКА»
“КУРОЧКА РЯБА”
“БІЛОСНІЖКА ТА СІМ ГНОМІВ”
“РАПУНЦИЛЬ”
“ЧЕРВОНА ШАПОЧКА”
“РУСАЛОНЬКА”
“РОБІН ГУД”
“ПОПЕЛЮШКА”
“БУРАТІНО”


Математична подорож материками Землі


title: "РАЗОМ ІЗ ВЕДМЕЖАТАМИ", математика, 1 клас

text:
       Разом  з
ведмежатами

Тренажер з математики
1 клас
Автор:
Рудакова Л.В.,
учитель Новотроїцької ЗШ І- ІІІ ст. № 4
Донецької області

6
9
8
старт
10 - 3 +2

6
8
7
старт
7 + 3 - 2

1
9
4
старт
0 + 9 + 0

5
7
3
старт
7 - 3 +1

7
6
5
старт
5 + 4 - 3

2
1
0
старт
2 + 5 - 6

6
10
0
старт
6 - 6 + 10

4
9
7
старт
2 + 7 + 0

5
8
4
старт
9 - 3 + 4 - 2

2
0
1
старт
10 - 9 + 1 - 2

4
5
3
старт
7 - ? = 2

7
8
10
старт
 ? – 5 = 3

6
8
2
старт
10 + 0 - 2

8
5
4
старт
6 - 3 + 2
вихід
http://cms.computerlessons.ru/photoalbum/big/2010/11/02/1271171129-13jj.jpg   фон

http://flowers.ck.ua/243-328-large/mishka-s-rozami-ja-s-toboj-817.jpg  ведмедик із квітами

http://mishki.ru/modules/pss_carousel/img/g01w1255ws.jpg  ведмедик сірий
Джерела


Кравчук Михайло Пилипович – видатний український математик (до 120 річчя з дня народження М. Кравчука)
Виконала:
вчитель математики Семеренко Лілія Анатоліївна
Степненської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів Запорізького району
«Моя любов - Україна і математика» - таким було його кредо
                       	Михайло  Кравчук – математик
                       	широкого масштабу.  Його  ім’я
                       	добре  відоме  у світовій
                     	математичній науці. Світ не знав
                       	лише, що він – українець.

Є.Сенета (Австралія)

М. П. Кравчук
«Син Неба»
    «Поет німого числа»
       «Лицар математики»
          «Творець музики чисел»
             «Корифей математики»
                «Титан математичної думки»
                    «Учений з обличчям Христа»
                          гордість українського народу і 					математики…
Сторінка 1.
Дитячі і студентські роки
Дитячі і студентські роки
	Народився майбутній вчений 27 вересня 1892 року у селі Човниця Ківерцівського повіту на Волині.
	Зараз  рідне село математика має такий вигляд.

Церква
Клуб
Пам’ятник
Дитячі і студентські роки
	У 1901 році сім’я переїхала до Луцька до будинку Фані Цукерман на вулиці Лагерній, нині Шопена , буд. №3.

	З 1901 по 1910 рік навчається в гімназії м. Луцьк
Дитячі і студентські роки
 	З 1910 по 1914 рр. навчався на математичному відділенні фізико-математичного факультету університету Святого Володимира в Києві.
Дитячі і студентські роки
Вечори проводив:
в Українському клубі (вул. Велика Володимирівська, 42);

в Народному домі, на Лук`янівці, де український театр під керівництвом М. Старицького  ставив свої вистави.

Дитячі і студентські роки
     У п'єсах Старицький проводив інсценізацію творів:
 М. Гоголя “Тарас Бульба”, “Сорочинський ярмарок”, музична комедія “Різдвяна ніч”; О. Шабельської “Ніч під Івана Купала”,
І. Крашевського “Циганка Аза”,  Е. Ожешко “Зимовий вечір”; обробка п'єси Панаса Мирного “Перемудрив” (комедія “Крути, та не перекручуй”) та інші.
Сторінка 2.
Викладацька і наукова робота
Викладацька і наукова робота
	5 вересня 1917 р. прочитав свою першу (так звану випробну) лекцію з предмету чистої математики «Про функції, що справджують теорему додавання»

 	19 вересня (два тижні пізніше) — першу лекцію з питань теорії множин і одержав звання приват-доцента.
Викладацька і наукова робота
		1918 – 1920 рр. – працює приват-доцентом Київського університету св. Володимира.

Студенти університету
Засідання Вченої ради відновленого Київського університету,1934 р.
Учасники математичного семінару академіка
Д.О. Граве.
1930 р.
.
Викладацька і наукова робота
Сторінка 3.
Стрімкий злет
Стрімкий злет (1929 – 37 рр.– найплідніші в творчості М. Кравчука).
Стрімкий злет
На семінарі (червень, 1935).
Зліва направо (сидять): М. Бик, Д. Граве, Т. Леві-Чівіта (Італія), Г. Пфейфер,
М. Кравчук, М. Орлов;
(стоять):  Ю. Соколов, В. Дяченко, К. Бреус, В. Можар, О. Смогоржевський, Є. Ремез, А. Наумов, Й. Погребиський
Сторінка 4. Спогади студентів про вчителя…
Спогади студентів про вчителя… На його лекціях ніколи не було вільного місця, слухати його лекції приходили також біологи, хіміки, філософи, філологи, робітники…
		Павло Бондаренко (колишній студент Київського університету) :
	 «Лекції його – живі, дотепні: «Не думайте, що нескінченно малі – бідні змістом об’єкти, що всі вони – одноманітні та сірі як коти поночі…” — преамбула до порівняння нескінченно малих…»

		Валерій Ревуцький ( Канада 2002) :
	«… Я не є математик, але колись був студентом Київського політехнічного інституту, де він викладав… У 1929 році мені судилося бути присутнім на лекції академіка М. Кравчука в Київському політехнічному інституті, де він читав лекції з вищої математики. ..лекція… розрахована на студентів нашого інституту, проте на лекцію прийшло багато студентів з Київського університету..»

Спогади студентів про вчителя…
		Колишній студент Київського авіаційного інституту, пізніше – полковник М. Железняк:
	«..Завжди бадьорий, з лагідним голосом і чіткою мовою... Думки його чітко нанизувались на якийсь стрижень, випливали одна з іншої, наче рядки в талановитого поета…Мабуть, це дійсно була Людина – особистість – академік  Кравчук ”.

		Вероніка Черняхівська (в майбутньому обдарована поетеса):
	«…подивився своїми темними м’якими очима так гарно, усміхнувся якоюсь блискучою усмішкою, що, звичайно, я простила йому і тригонометрію, і його улюблені  (фі) і логарифми…

		Надія Суровцова (українська громадська діячка, публіцист, довголітній політв’язень):
	«…мене вабило, що він викладав вищу математику українською мовою».

Спогади студентів про вчителя…
		У важку смугу економічної розрухи й суспільно-політичного хаосу на межі 20-х років М. Кравчук з молодою дружиною Есфірою (одружились вони 1918 р.) виїздить на село. У 1919-1921 рр. він був викладачем і директором школи в с. Саварці (на Богуславщині).
	М. Кравчук з родиною. Одеса, 1935. Зліва направо: син Євген,М. Кравчук із дочкою Наталкою, Есфір Йосипівна (1894—1957) — дружина
Сторінка 5.
Здобутки учнів М. Кравчука

Здобутки учнів М. КравчукаАрхип Михайлович Люлька (1908—1984рр.)
Генеральний конструктор авіаційної техніки СССР, автор конструкції першого в світі двоконтурного турбореактивного двигуна, творець літаків з надзвуковою швидкістю.
академік АН СССР,
Герой Соціалістичної Праці, лауреат Ленінської та державних премій

Двигун АЛ-21 Ф3 конструкції А. М. Люльки.
Здобутки учнів М. КравчукаАрхип Михайлович Люлька
		В період 1965-1985 рр. розроблений під керівництвом генерального конструктора академіка А.М. Люльки турбореактивний двигун третього покоління.

	Двигун АЛ-31Ф, АЛ-21Ф-3 встановлені на літаках фронтової авіації.

Літак "Су-7"
Літак "Су-17"
Здобутки учнів М. КравчукаАрхип Михайлович Люлька
	Двигуни  встановлюютьсяі на винищувачі Су-27, палубні винищувачі Су-33, багатоцільові винищувачі Су-35, Су-30МК, фронтові бомбордирувальники Су-34.
 		Цей двигун і сьогодні залишається одним із найкращих у світі для літаків фронтової авіації.

 Літак «Су-30»
Літак «Су-35»
Літак "Су-33»
Здобутки учнів М. КравчукаСергій Корольов (1907-1966рр.)
	Сергій Павлович Корольов – радянський вчений, конструктор.
	Він створював радянську ракетно-космічну техніку, основоположник радянської космонавтики.

	Двічі Герой Соціалістичної праці, Лауреат Ленінської премії, академік наук СРСР. Підполковник.

Здобутки учнів М. КравчукаСергій Корольов
Перший штучний супутник Землі
Макет ракети «Восток»
Планер «Коктебель» конструкції двох Сергіїв, Корольова й Іллюшина
Музей космонавтики імені С. П. Корольова

Модель одного з літаків конструкції Корольова
Здобутки учнів М. КравчукаСергій Корольов
	1961 рік. 12 квітня, перед стартом «Востока-1». Останні настанови головного конструктора перед стартом

	1964 г. Екіпаж Восход-1 з Корольовим С.П.
Здобутки учнів М. КравчукаВолодимир Челомей(30.06.14-08.12.84)
Челомей Володимир Миколайович – провідний  творець радянського «ядерного щита» , приймав участь у створенні ряду двигунів та ін. об’єктів ракетної, космічної і авіаційної техніки

Доктор технічних наук, професор, академік АН СРСР, Двічі Герой Соціалістичної праці
учений у галузі механіки

Здобутки учнів М. КравчукаВолодимир Челомей
	В. Челомей – конструктор ракетно-космічної техніки — супутників «Протон», «Польот», «Космос-1267», орбітальних станцій «Салют-3» і «Салют-5».

В. Челомей в оточенні корифеїв радянської науки під час чергового запуску свого виробу
Орбітальна станція «Салют»
Сторінка 6.
Постраждав,  бо був… українцем (репресії)
Постраждав,  бо був… українцем 1937 року для професора Михайла Кравчука настала година випробування
	Вже заходили й перші хмари – провісники майбутніх трагічних років для української культури, науки, і взагалі – духовності, провісники великого голодомору 1932 – 33 рр., великого терору 1937 р.
	21 лютого 1938 року, М. Кравчука заарештовано. Інкримінували йому звісний тоді набір контрреволюційних стереотипів: націоналіст, шпигун.
	Судове засідання тривало півгодини.
	В останньому слові М. Кравчук просив дати йому можливість закінчити розпочату працю з математики.
	23 вересня 1938 р. ученого М. Кравчука
 було засуджено на 20 років тюремного
ув'язнення та 5 років заслання.

Постраждав,  бо був… українцем
…Лук’янівка – Новочеркаськ – Владивосток – Магадан…  – Колима

	Незважаючи на хворе серце і повністю підірване у в'язниці здоров'я, М.Кравчука визнали придатним до фізичної роботи в умовах Далекої Півночі. Його дорога пролягла до Магадана, а звідти ще далі на північ - на колимські золоті копальні. На Колимі М.Кравчука мучила цинга, через хворе серце напухали ноги. І при цьому він займався наукою!
Постраждав,  бо був… українцем
	9 березня 1942 року М. Кравчука не стало...
	“Замовчи, не жартуй...
 	Чуєш, сурми гудуть,
  	Чуєш, марш похоронний лунає...”
	Та не було ні маршу похоронного, ні промов, ні почестей, яких він і за життя не мав...
	Залишився Михайло Кравчук вже на віки вічні в колимській мерзлоті… І не діждався він своєї реабілітації через кільканадцять літ «у зв'язку з нововиявленими обставинами».
	15 вересня 1956 року вченого було реабілітовано «за відсутністю складу злочину», а в 1992 р. поновлено в складі дійсних членів Академії наук України.

Сторінка 7.
 Музей академіка Михайла Кравчука
 Музей академіка М. П. Кравчука
 (с. Човниця
Ківерцівського району)
Сторінка 8.
 Внесок у науку
Внесок у науку
	Протягом усього свого життя М. Кравчук активно працював для розвитку математичних наук в Українi: був засновником математичних кафедр у кiлькох київських iнститутах, дбав про створення української  математичної лексики  i т.д. Вiльно володiючи кiлькома мовами, вiн писав ними свої науковi працi , але найчастiше – рiдною мовою.
	Кравчук – автор понад 180 наукових праць
	Він працював у галузях вищої алгебри та математичного аналізу, теорії ймовірностей і математичної статистики. Уже давно існують на сторінках наукових досліджень і многочлени Кравчука, і моменти, і формули, і осцилятори, і матриці, і поліноми …
Многочлени
М.Кравчука
	Методи Михайла Кравчука застосовувалися в США, Японії та інших країнах при моделюванні кібернетичної техніки, зокрема при програмуванні багатьох складних явищ і процесів.
	Видає підручники для вищої школи, публікує підручники методики викладання, історії математики, філософії, постійно працює над удосконаленням математичної термінології.
	Оригінальні праці «Простір, час, матерія», «Сучасний атомізм», «Математична наука на Україні», «Вплив Ейлера на дальший розвиток математики», «Вступ до вищої математики», «Вибрані питання з основ аналізу нескінченно малих». Кожна із них вирізняється широким науковим світоглядом, аналізом проблем, дотичних до математики наук...
	Результати друкує в наукових виданнях(1925)
Внесок у науку
Сторінка з праці Кравчука
Підручник геометрії, написаний у 1920році
Внесок у науку
	(2003 ) науковці електроінженерного  Університету Малайї (Куала Лумпур, Малайзія) запропонувала новий метод реконструкцій зображень за допомогою моментів Кравчука.
	(2006 ) (на ІІІ Міжнародному симпозіумі з 3-вимірної обробки даних, візуалізації та передачі інформації) група грецьких учених доповіла про 3-вимірні пошукові алгоритми, що базуються на тривимірних моментах Кравчука, і мають на меті здійснення обробки тривимірних зображень.
	(2009 ) на Міжнародній спільній конференції з нейронних мереж (Атланта, Джорджія, США) групою французьких, американських і німецьких вчених було зроблена доповідь про ефективність застосування зважених 3-вимірних моментів Кравчука як засобу аналізу даних для розпізнання характеру пухлин.
	(2009 ). у видавництві Шпрінгер вийшла книга «Досягнення в теорії нейронних мереж) з підсумками 6-го Міжнародного симпозіуму з нейронних мереж у Китаї. Один з розділів – Аналіз зображень за допомогою моментів Кравчука, написаний групою китайських науковців.
	Його розробки американці та японці застосували на телебаченні.

Внесок у науку
	У виданні 2009 «Міжнародний журнал з комп’ютерних наук та безпеки мереж» вміщено статтю під назвою «Виділення ознак моментами Кравчука з метою нейронного розпізнавання арабських рукописних слів», яку написали марокканські фахівці. Цікаво, що в переліку посилань знаходимо статтю Кравчука 1929 року, опубліковану в працях Сільськогосподарського інституту. Уже згаданий вище Філіп Феінсілвер з університету Південного Іллінойсу та Рене Шотт  з університету Анрі Пуанкаре-Нансі 1 у своїй праці 2009 року «Про перетворення Кравчука» досліджують питання, пов’язані із застосуванням перетворень Кравчука в теорії кодування. Виявляється, активне використання поліномів та перетворення Кравчука для потреб цієї теорії розпочалося ще в 70-х роках минулого століття (теореми Дельсарта та Мас Вілльямса).

	  Крім того, він організатор першої в Україні (і однієї з перших у колишньому СРСР) математичної олімпіади школярів (1935).

Внесок у науку
	У США, в музеї американської історії, зберігається лист американця Джона Атанасова, винахідника першого електронного комп'ютера,  українському ученому:
 «Дорогий професоре Кравчук! Я знайшов Вашу серію публікацій, дуже корисну для моєї роботи. Я хотів би отримати копії будь-яких Ваших публікацій...»
	Копія від 1997 г. на комп'ютер  Атанасова -Беррі в Державному університеті штату Айова
	Наукові праці М. Кравчука використовували американські автори першого у світі комп’ютера. Відомо, що Джон Вінсент Атанасов при створенні першого комп'ютера користався з наукового доробку Кравчука.
Сторінка 9.
Вшанування пам’яті
Вшанування пам’яті
		З 2002 р проходять  Міжнародні наукові конференції, присвячені пам’яті академіка М.Кравчука. На них приїздять вчені з усіх областей України, з багатьох міст Білорусії, Литви, Росії, Австралії, США, Німеччини, Польщі, Китаю, Японії та інших країн.

ХІІІ Міжнародна наукова конференція імені Михайла Кравчука
	Цього року взяти участь у ній побажали 1350 науковців із 21 країни світу і всіх областей України, які представили близько 1000 доповідей.
Вшанування пам’яті
		Пленарним засіданням керувала доктор фізико-матем. наук професор Ніна Верніченко , яку називають духовною дочкою Михайла Кравчука.
		Ніна Афанасіївна - організатор міжнародних наукових конференцій імені академіка Михайла Кравчука, які відбуваються у Києві за участю вчених з багатьох країн світу.

	Більше чотирьох десятиліть тому, працюючи в Київському університеті в галузі математичної фізики, Ніна Опанасівна доклала дуже багато зусиль для того, щоб повернути із забуття ім’я і праці великого математика і патріота України
	Професор Н.Вірченко багато зробила, щоб ім'я М. Кравчука, великого патріота України, посіло гідне місце і в науці, і в історії.
Вшанування пам’яті
	В 2003 році на території Політехнічного інституту в Києві, вперше в Україні, відкрито пам'ятник всесвітньо відомому  математикові Михайлові Кравчуку «Моя любов – Україна і математика» – викарбовано на постаменті пам’ятника.
Вшанування пам’яті
		У 2009 р. Дарницькому районі Києва проїзд між Харківським шосе і вулицею Ревуцького ім'ям Михайла Кравчука одну з нових вулиць було названо на його честь

Вшанування пам’яті
	У Національному технічному університеті України «КПІ» щорічно проводяться конференції імені академіка Кравчука, відкрито аудиторію ім. М.Кравчука, засновані стипендії М.Кравчука для кращих студентів.
	1987 р. в с. Човниця – на батьківщині вченого відбулося відкриття погруддя та кімнати-музею (в школі)  академіка М.Кравчука.
	… Лише перед 75-річчям від дня його народження почали з’являтися про нього публікації (книжка М.Сороки «Поет німого числа», нариси М.Чайковського, Б.Білого, Н. Вірченко, В. Добровольського та ін.), пізніше – біографічні повісті М.Сороки «Михайло Кравчук» (1985), «Колимська теорема Кравчука» (1991) та ін.
Його ім’я було внесено ЮНЕСКО до переліку найвидатніших людей світу.
На будинку, де він жив, встановлена меморіальна дошка.
Видано 3 об’ємні книги наукових праць вченого: «Вибрані математичні праці»
(800стор., 2002);  «Науково-популярні праці (2003),  «Розвиток математичних ідей
Михайла Кравчука» (824 стор., 2004 ).
Крім цього написано сотні статей наукового та науково-популярного характеру                                   про М.Кравчука (На фото: Книга Г. М. Возняка “ Моя любов – Україна і математика ” )
	Луцька гімназія № 21 носить ім’я Михайла Кравчука.
	11 січня 2012 року Верховна рада України прийняла постанову про відзначення на державному рівні 120-річниці з Дня народження Михайла Кравчука.
Сторінка 10.
Зразок для наслідування
Зразок для наслідування
	 «… майже жодне явище в створенні математичної науки [в Україні – Н.В.] не сталося без його участі,… ані закладалися перші українські школи в місті і по селах, перші курси, перші українські університети (народний і державний),…, ані утворювалася математична термінологія або наукова мова… – нічого цього не робилося без найактивнішої участі Михайла Кравчука» (з характеристики на нього, надісланої до Всеукраїнської Академії наук 1929 р. у зв’язку з висуненням його кандидатури в дійсні члени академії).
	Формулами послугувались арабські вчені, розшифровуючи стародавнє письмо. Його перу належать перші підручники українською мовою і численні відкриття з вищої математики. Він – і педагог за покликанням.
	Його запрошували працювати за кордоном, але Він повертався в Україну. Він жив і горів безмірною любов’ю до України і до Математики. Увесь свій короткий вік працював невпинно й творчо на благо Науки, Освіти рідного народу.
 	Могутній інтелект українця йшов до фундаментальних розробок своїми, ще ніким не торованими шляхами. Ще не відаючи, що незабаром вони знадобляться для створення перших електронних обчислювальних машин, подолання сили земного тяжіння, розвитку телебачення…

Зразок для наслідування
	Так, минають роки, та формули безсмертні. ..            М. Кравчук пережив свою дочасну смерть – життя його триває і далі: у формулах і теоремах в чудесному поєднанні математичних символів та чисел.

	На небосхилі математичної науки яскравою зіркою світить ім’я Михайла Кравчука.

	Воно є зразком для наслідування та продовження його досліджень у працях сучасних і прийдешніх науковців в Україні й далеко за її межами…

Література
http://www.univ.kiev.ua/ua/geninf/history
http://h.ua/story/289951/#ixzz1yAfsrvea
Kravchukm@narod.ru
http://www.mathsociety.kiev.ua
h.ua/story/289951


title: Перетворення подібності та його властивості.Подібність фігур

text:
Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур
Гречуха Вікторія
Перетворення фігури F у фігуру F’ називають перетворенням подібності, або подібністю, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в одну й ту саму кількість разів.
A
B
C
A’
B’
C’
Основні властивості перетворення подібності
1. Переміщення можна розглядати як перетворення подібності з коефіцієнтом k = 1.
A
B
C
Це означає, що перетворення однієї фігури у фігуру’ буде називатися переміщенням, якщо k = 1.  Тобто фігура не збільшувалася і не зменшувалася
A
B
C
2. При перетворенні подібності точки, що лежать на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розташування.
Мається на увазі, якщо на відрізку AB поставить точку М, то вона перейде у відповідні точку М’ на подібному йому відрізку  A’B’.
A
B
C
M
A’
B’
C’
M’
3. При перетворенні подібності кут переходить у рівний
йому кут.
Тобто кут А перейде у кут А’ і вони будуть однакової величини. Кут В у кут В’, ф кут С у кут С’.
A
B
C
Основні властивості подібних фігур
1. Кожна фігура подібна сама собі з коефіцієнтом 1.
2. Якщо фігура F’ подібна фігурі F з коефіцієнтом k, то
фігура F подібна фігурі F’ з коефіцієнтом 1\k.
3. Якщо фігура F’ подібна фігурі F з коефіцієнтом k1, а фігура F’’ подібна фігурі F’ з коефіцієнтом k2, то фігура F’’ подібна фігурі F з коефіцієнтом k1k2.
Якщо A’B’C’ подібна фігурі ABC з коеф. k,то фігура навпаки буде подібна з коеф. 1/k.
k
1/k
Якщо фігура A’B’C’  подібна до фігури ABC з коефіціентом k₁ , а фігура A’’B’’C ‘’ подібна фігурі A’B’C’ з коефіціентом k₂, то фігура  A’’B’’C ‘’ подібна фігурі ABC  з коефіціентом k₁ * k₂.
k₁ * k₂
k₂
k₁
Дякую за увагу!


title: Основна властивість пропорції при розв’язуванні рівнянь

text:
Основна властивість пропорції
при розв´язуванні рівнянь
  ПОВТОРЮЄМО РАЗОМ:
? Пропорція ?

1.  Виберіть запис, що означає пропорцію:
                    а) а:в=с:d ; б) а+в=с+d;  в) а-в=с-d.
 2. Які числа є крайніми членами у пропорціях:
                            а) 5:4=20:16;    б)
 3. Які числа є середніми членами у пропорціях:
                  а) 5:4=20:16;    б)
4. З чисел: 3, 7, 18, 42 складіть пропорцію.
5. Сформулюйте основну властивість пропорції.

Як знайти невідомий член пропорції?
Візьміть цю властивість пропорції на озброєння, розв´язуючи рівняння :

х : 4 = 15 : 3.
Класифікуйте пропорції за невідомим членом:

1) 6  : х = 36 : 30 ;          2) 12 : 7 =  3 : х ;
3)                   ;                4 )                   ;

5)                   ;                  6) 2,5х : 14 =     : 30.

Математичний диктант
ПЕРЕВІРЯЄМО

В світі математики як у підводному царстві є багато нерозгаданих таємниць. Відкривайте їх, все глибше і глибше занурюючись в чарівний світ…  математики

 Які рівності є правильними?
а)                       б)

в)

 г)

Знайдіть невідомий член пропорції:
21 : 6 = х : 8.
 х = 21· 8 :6;
 х = 28.
Відповідь: х=28

    Якщо пропорція складається з великих або дробових чисел, її можна спростити.
280:210 = 52:39;    4:3 = 52:39;   28:21 = 4 : 3;
0,9 : 3,6 = 0,04 : 0,16;    9 : 36 = 4 : 16.
 Збільшуйте або зменшуйте відношення тільки в однакову
                               кількість разів!
                                                          Наприклад: 200:25 = 56: х
                                                                                8:1 = 56 : х;
                                                                                8 · х = 56;
                                                                                х = 7.

Розв'яжіть рівняння:
а) 600 : 900 = х : 72;
б) 2 : у = 2,5 : 1,25;
в) 3,6 : 1,2 = х :
г)

 Виконуйте рухи…
і слідкуйте за об’єктами, що рухаються.
Фізкультхвилинка “На морі”
Бажаєте всі разом побувати на морі ?
Завдання для кмітливих

Користуючись основною властивістю пропорції розв’яжіть рівняння

1).

2).
3).

4).
Підсумок уроку
Чим ми займалися під час уроку?

Чи досягли мети уроку?

 Як вам працювалося  на уроці?

А тепер оцініть рівень
оволодіння вивченим
матеріалом.
Намалюйте на полях
зошита
знаки:

Потрібна допомога
Потрібна допомога
Потрібна
допомога
Нічого не
засвоїв
Все
засвоїв

Бажаю всім присутнім
Я успіхів, удачі
Приходьте на уроки!
Розв’язуйте задачі.


title: "Практичне застосування інтегралів в економіці. Прикладні задачі."

text:
Практичне застосування інтегралів в економіці. Прикладні задачі.
Підготувала
учениця 11-а класу
Кошина Анна
	Традиційно практичний додаток інтеграла ілюструється обчисленням площ різних фігур, знаходженням обсягів геометричних тіл і деяких додатків у фізиці й техніці. Однак роль інтеграла в моделюванні економічних процесів не розглядається. Разом з тим, інтегральне вирахування має багатий математичний апарат для моделювання й дослідження процесів, що відбуваються в економіці.
Практичний додаток інтеграла
Попит на даний товар - сформована на певний момент часу залежність між ціною товару й обсягом його покупки.
Попит та пропозиція
Пропозиція на даний товар - сформована на певний момент часу залежність між ціною товару й кількістю товару, пропонованого до продажу.
Чим більша ціна, тим менший попит.
Чим більша ціна, тим більша пропозиція.
Відзначимо, що економісти порахували зручним зображувати аргумент (ціну) по осі ординат, а залежна змінну (кількість товару) по осі абсцис. Тому графіки функцій попиту та пропозиції виглядають у такий спосіб .
	І, нарешті, уведемо ще одне поняття, що грає більшу роль у мо-делюванні економічних процесів - ринкова рівновага. Стан рівноваги характеризують такі ціна й кількість, при яких обсяг попиту збігається з величиною пропозиції, а графічно ринкова рівновага зображується точкою перетинання кривих попиту та пропозиції.
Ринкова рівновага
D – пропозиція
S – попит
P* – рівноважна ціна
Q* – рівноважна кількість
E*(P*;Q*) – точка рівноваги
	Надалі для зручності аналізу ми будемо розглядати не залеж-ність Q = f(P), а зворотні функції попиту та пропозиції, що характеризу-ють залежність P = f(Q), тоді аргумент і значення функції графічно будуть зображуватися звичним для нас образом.
	Кожен споживач визначає для себе граничну максимальну суму грошей, яку він міг би заплатити за товар згідно зі своєю оцінкою його граничної корисності. Ця готовність платити є показником сприйняття цінності товару споживачем.
	Споживчий надлишок – це різниця між максимальною сумою, яку споживач був готовий заплатити за кількість товару, на яку він пред’являє попит, і фактично заплаченою сумою.
Споживчий надлишок
	Перейдемо тепер до розгляду додатків інтегрального аналізу для визначення споживчого надлишку. Для цього зобразимо на графіку зворотну функцію попиту P = f(Q). Допустимо, що ринкова рівновага встановилася в точці E*(q*; p*) (крива пропозиції на графіку відсутній для зручності подальшого аналізу).
	 Якщо покупець здобуває товар у кількості Q* за рівноважною ціною P*, то очевидно, що загальні витрати на покупку такого товару складуть P*Q*, що дорівнює площі заштрихованої фігури A.
Визначення споживчого надлишку
	Але припустимо тепер, що товар у кількості Q* продається продавцями не відразу, а надходить на ринок невеликими партіями Q. Саме таке допущення разом із припущенням про безперервність функції попиту та пропозиції є основним при висновку формули для розрахунку споживчого надлишку. Відзначимо, що дане допущення цілком виправдане, тому що така схема реалізації товару досить поширена на практиці й випливає з мети продавця підтримувати ціну на товар якнайвище.

Визначення споживчого надлишку
	Тоді одержимо, що спочатку пропонується товар у кількості Q1=Q, що продається за ціною P1 = f(Q1). Тому що по припущенню величина Q мала, то можна вважати, що вся перша партія товару реалізується за ціною P1, при цьому витрати покупця на покупку такої кількості товару складуть P1 Q, що відповідає площі заштрихованого прямокутника S1.
Визначення споживчого надлишку
	Далі на ринок надходить друга партія товару в тій же кількості, що продається за ціною

P2 = f(Q2), де Q2 = Q1+Q

– загальна кількість реалізованої продукції, а витрати покупця на покупку другої партії складуть P2Q, що відповідає площі прямокутника S2.
	Продовжимо процес доти, поки не дійдемо до рівноважної кількості товару Q* = Qn. Тоді стає ясно, якою повинна бути величина Q для того, щоб процес продажу товару закінчився в крапці Q*:

	У результаті одержимо, що ціна n-й партії товару Pn = f(Qn) = f(Q*) = P*, а витрати споживачів на покупку цієї останньої партії товару складуть PnQ, або площа прямокутника Sn.

Визначення споживчого надлишку
	Таким чином, ми одержимо, що сумарні витрати споживачів при покупці товару дрібними партіями Q рівні Q.
P1∆Q + P2∆Q + …+ Pn∆Q =
= f(Q1)∆Q + f(Q2)∆Q +…+ f(Qn)∆Q =
= S1 + S2 +…+ Sn

	Тому що величина Q дуже мала, а функція f(Q) безперервна, тих містимо, що   S1 + S2 +…+ Sn приблизно дорівнює площі фігури B, що, як відомо, при малих збільшеннях аргументу Q дорівнює певному інтегралу від зворотної функції попиту при зміні аргументу від 0 до Q*, тобто в підсумку одержимо, що

Визначення споживчого надлишку
	Згадавши, що кожна точка на кривій попиту показує, яку суму споживач готовий заплатити за покупку додаткової одиниці продукту, одержимо, що площа фігури B відповідає загальній грошовій сумі, що споживач готовий витратити на покупку Q* одиниць товару. Тоді
SВ - SА = SCS
 – споживчий надлишок при покупці даного товару - перевищення загальної вартості, що споживач готовий сплатити за всі одиниці товару, над його реальними витратами на їхнє придбання.

Визначення споживчого надлишку
	 Таким чином, споживчий надлишок можна порахувати за наступною формулою

Визначення споживчого надлишку

CS – споживчий надлишок
f(Q) – функція попиту
P* – рівноважна ціна
Q* – рівноважна кількість
	 Відомо, що попит на деякий товар задається функцією P = 4 - Q2, де q - кількість товару (у шт.), p - ціна одиниці товару, а рівновага на ринку даного товару досягається при P* = Q* = 1. Визначите споживчий надлишок.

Дано:
PD = 4 - Q2
P* = Q* = 1
(Q - кількість товару (у шт.),
P - ціна одиниці товару)
Знайти:
CS (споживчий надлишок)

Задача

Попит
Ринкова рівновага
P*
Q*
= 1
PD = 4 - Q2

Споживчий надлишок - ?
За виведеною формулою визначення споживчого надлишку маємо:

Розв’язання

Отже, за даний товар споживачі готові заплатити на           грн. більше за реальні витрати на його придбання.

Відповідь: CS =      грн.
Дякую за увагу!


title: Радіанна міра кутів

text:
Радіанна міра кутів
Радіанна міра кутів
Центральний кут, що опирається на дугу, довжина якої рівна радіусу кола, називається кутом в один радіан.
Довжина кола
С=2R.

Повний поворот рівний  3600,  і містить

радіан.
Одержали:  3600 =2 радіан.

 радіан
 1 радіан =
 2 радіан
 3
(радіан)
Знайти радіанну міру кутів , які рівні :
Якщо R=1см, то довжина кола
С=2R=2∙1=2(см).
Повний поворот також рівний  3600 =2 рад.
Одержали, що довжина дуги одиничного кола  чисельно рівна радіанній мірі,  відповідного кута повороту.


title: Основна властивість пропорції при розв´язуванні рівнянь


title: "Середнє арифметичне та його застосування при розв'язуванні задач"

text:
Середнє арифметичне та його застосування при розв'язуванні задач
Маршрут подорожі
Актуалізація опорних знань

                                         Вивчення нового матеріалу

                                        Закріплення матеріалу

                         Підсумок уроку

Домашнє  завдання

Математична зарядка

Правильні твердження: 2, 3, 5, 7, 9.
Твердження:
1. Запис натурального числа нічим не відрізняється від запису десяткового дробу.
2. Числа при додаванні називаються: доданок, доданок, сума.
3)   Числа при множенні називаються: множник, множник, добуток.
4)   При діленні на десятковий дріб кому переносимо вліво у діленому на стільки      цифр , скільки їх у дільнику після коми.
5)   Щоб знайти дріб від числа, потрібно це число помножити на даний дріб.
6)   3,5· 20= 7.
7)   7: 0,01 = 700.
8)   7,5 : 0,3 = 2,5.
9)   1,7 + 0,3 = 2.
10)  4,9 – 3 = 2,9.
Хвилинка кмітливості

Задача. Відстань від міста Масштаб до міста Середнє Арифметичне на карті
3 см. Визначити відстань на місцевості, якщо масштаб карти 1:200000.
Відповідь: 6 км.
Усний рахунок
50

                                                     ·0,2

                :100                                                                    ·10

                   ·0,01                                                                  :0,1
                                                         :5

   1
Карта країни «Арифметика»

Середнє арифметичне
Натуральні числа
Десяткові дроби
Масштаб
«Знати, уміти!»
Знати:
Правило знаходження середнього арифметичного двох або кількох чисел.
Уміти:
1) Знаходити середнє арифметичне двох або кількох даних чисел.
2) Розв’язувати задачі практичного змісту.

Усні вправи
Знайти середнє арифметичне
(Кожне завдання оцінюється одним балом).
1.   5 і 7;
2.   97 і 103;
3.   38 і 12;
4.   0,1 і 2;
5.   11 ,12 і 13;

Письмові вправи
 Заповнити таблицю
 (Учні працюють в парі з   товаришем)
Розв’язування задач
Автомобіль за перші дві години проїхав 117 км, а за три наступні – 204 км.  Скільки кілометрів в середньому він проїжджав за одну годину?
Відповідь: 64,2 км/год.
Господарство на площі 150 га зібрало по 32,7 ц пшениці з 1га,
а на площі 97 га – по 35,8 ц.
Яка середня урожайність з 1 га в цьому господарстві?
У фермера 5 корів. За 30 днів від них надоїли 4725 л молока. Скільки літрів  молока в середньому дає в цього фермера одна корова на день?
Відповідь: 31,5 л.
Логічна вправа
8
7

7
9
8
5
3
?
6

Домашнє завдання


title: Математична регата

text:
Математична регата
1. Розв’яжи рівняння:
1. 0,4
2. Спрости:
2.
3. Закінчи речення:Сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює …
3. … квадрату гіпотенузи – теорема Піфагора
4. У прямокутник АВСD вписано три круги однакового радіуса. Визнач довжину сторони ВС, якщо загальна площа кругів дорівнює 3π.

А
В
С
D
4. 6, бо
Задачі на кмітливість5. На руках 10 пальців. Скільки пальців на 10 руках?
5.  50, бо на одній руці 5 пальців
6. Звичайно місяць закінчується 30-м, або 31-м числом. У якому місяці є 28-ме число?
6. У кожному
7. Горіли 17 свічок. Три погасло. Скільки свічок залишилося?
7. Три, інші згоріли.
8. Трійка коней (одна упряжка) пробігла за годину 24 км. Скільки кілометрів за цей час пробіг кожен кінь?
8. 24 кілометри.


title: "Математична статистика"

text:
Математична статистика
Математична статистика-це наука,в якій досліджуються кількісні характеристики масових явищ.

Приклад. Із 87 дев’ятикласників однієї школи 7 мають оцінки,що відповідають І рівню навчальних досягнень,33-ІІ,31-ІІІ і 16-ІV рівню. Це кількісні характеристики проведеної контрольної роботи. Їх можна подати у вигляді таблиці або діаграми.
Частотні таблиці-це таблиці у статистиці,в яких числа другого рядка частоти.
Гістограми-це стовпчасті діаграми у статистиці.
Відносна частота значення вибірки-це відношення частоти значення до кількості усіх значень вибірки,виражене у відсотках.
Вибірка-це формулювання скінченої сукупності незалежних результатів спостережень.
Мода вибірки-це те її значення,яке трапляється найчастіше.Медіана вибірки-це число,яке “поділяє” навпіл упорядковану сукупність усіх значень вибірки.Середнє значення Вибірки-СЕРЕДНЄ АРИФМЕТИЧНЕ УСІХ ЇЇ ЗНАЧЕНЬ.
Вибірки характеризують центральними тенденціями:модою,медіаною,середнім значенням.


title: "Подібність Трикутників у нашому житті"

text:
Подібність Трикутників у нашому житті
Подібні фігури
Це фігури у яких відповідні кути рівні а сторони відповідно пропорційні
Використання Подібності Трикутників
Вимірювання Висоти
Спосіб Жуля Верна

A
B
C
D
E

Спосіб Фалеса

A
B
D
C
N

За допомогою зеркала

B
C
E
D
A

Подібність у природі та житті
20
Самоподібність
Само подібний об’єкт або  фрактал –  геометрична фігура, що має властивість само подібності, тобто складена з декількох частин, кожна з яких подібна до всієї фігури.
Самоподібність в фракталі Мандельброта
Фрактальна форма качана капусти сорту Романеско

Об'єкти, що володіють фрактальними властивостями в природі:
Корали
Морські зірки і їжаки
Морські раковини
Квіти і рослини (броколі, капуста)
Крони дерев і листя рослин
Кровоносна система і бронхи людей і тварин
Сніжинки
Хмари
Блискавки
Утворені на стеклах візерунки
Кристали
29


Навчальна презентація до уроку 19
“Середня лінія трикутника та її властивості”
Тема1.2. Трапеція. Теорема Фалеса
Варіант  І
Варіант  II
1). Розділіть відрізок на 8 рівних частин.
2). Дано: АК = КВ, ∠1 = ∠2. Довести: ВМ = МС.
3). На стороні АВ паралелограма ABCD  позначили точки М  і N, а на стороні CD — точки Е і F так, що                        BN = NM = МА = СЕ =EF=FD. Відрізки BE, NF, MD перетинають діагональ АС у точках В, Q, Р відповідно. Доведіть, що АР = PQ = QR = RC.

1). Розділіть відрізок на 9 рівних частин.
2). Дано: ∠B=58°, ∠C = 32°, EF⊥AB, АЕ = ЕВ. Довести: BF = FC.
3). У прямокутному трикутнику ABC  ∠ В = 90°, АС = 24 см, MN ∥ АС, DK ∥ АС, ВМ = MA, MD = DA, BE — медіана.
Самостійна робота
Питання та завдання класу
1). Чи є відрізок КР середньою лінією трикутника ABC (рис. а)?
2). Чи є відрізок PF середньою лінією трикутника MNK (рис. б)?
3). Відрізок АВ — середня лінія трикутника DFE (рис. в), DF = 20 см,  FE = 24 см. Чому дорівнюють відрізки DA, AF, FB,
4). Побудуйте середню лінію довільного трикутника.
5). Скільки середніх ліній можна побудувати в трикутнику?
6). Утрикутнику АВС відрізки FD і DE- середні лінії. Чи є середньою лінією відрізок  FE? (рис. г)

                            а)                                                                 б)                                                         в)                                                                         г)
Виконання усних вправ
1). Сторони трикутника дорівнюють  4 м, 6 м і 8 м. Чому дорівнюють середні лінії цього трикутника?

4 м
6 м
8 м
Виконання усних вправ
2). Доведіть, що відрізок, який сполучає середини двох сусідніх сторін прямокутника, паралельний одній із діагоналей. Знайдіть довжину цього відрізка, якщо діагональ прямокутника дорівнює 10 см.

В
А
D
С
10 см
L
K
Виконання усних вправ
3). Відрізок MN — середня лінія трикутника ABC. Знайдіть: а) сторону АВ, якщо MN = 3 см; б) сторони трикутника ABC, якщо NC = 6 см,  МN = 10 см,           МС = 12 см.

Cередини сторін чотирикутника є вершинами паралелограма
C
B
A
D
K
L
M
N
Oсновнa властивість медіан трикутника
Tри медіани трикутника перетинаються в одній точці та діляться нею у відношенні 2:1 починаючи від вершини

Питання та завдання класу
1). Точки А і В є серединами двох сторін трикутника. Як називається відрізок АВ?
2). Сторона АВ трикутника ABC дорівнює 6 м. Чому дорівнює середня лінія трикутника, паралельна цій стороні?
3). Середня лінія трикутника ABD паралельна стороні BD і дорівнює 4 см. Чому дорівнює сторона BD?
4). Точки М, P і О — середини сторін трикутника ABC. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо сторони трикутника МРО дорівнюють 3 см, 4 см і 5 см.

Домашнє завдання
Середній рівень
1). Середня лінія рівнобедреного трикутника, паралельна основі, дорівнює 3 см. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 16 см. (Відповідь: 6 см, 5 см, 5 см.)
Достатній рівень
2). У прямокутному трикутнику ABC (∠ В = 90°) ∠ ВАС = 30°, АВ = 44 см. Знайдіть відстань від середини катета АВ до гіпотенузи АС. (Відповідь: 11 см.)
Високий рівень
3). У рівнобедреному трикутнику ABC (АВ = ВС) точка М — точка перетину медіан, ВМ = 6 см. Знайдіть відстань від середини бічної сторони до основи трикутника. (Відповідь: 4,5 см.)


Урок - екскурсія
В світі тварин
Порівняння,
додавання  і  віднімання
дробів
з різними  знаменниками.
Урок - екскурсія
В світі тварин

1.
2.
3.
4.
Знайди помилки:
Яку  птаху  називають
птахою – легендою?
Знайди дріб,
що дорівнює
>
Порівняйте дроби і ви дізнаєтесь чия маса тіла більша
<
Порівняйте дроби і ви дізнаєтесь хто важчий
Із пункту  А  і пункта  В  назустріч одне одному мчаться кінь і гепард. Кожну годину кінь проходить       всього шляху, а гепард -       всього шляху. На яку відстань вони наближаться один до одного за 1 годину.
Якій  кішці  поклонялися  давні  індіанці?
Ягуар

5
1.            2.           3.
Віднови картинку
1
2
3
4
5
6
7
8
9
При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Медлер, однако большого интереса он не вызвал.
Теория календаря
 Непосида Стрекоза половину теплого літа спала, третю частину часу – танцювала, шосту частину – співала. А час, що залишився вона вмрішила присвятити подготовці до зими. Яку частину літа Стрекоза готувалася до зими?
Подумай
  Яка риба в святкові дні одягає шубу?
Физкультхвилинка
Розминка для розуму і рук
 В назві якої птахи сорок глосних?
Физкультхвилинка
Розминка для розуму і рук
Цього птаха називають
  «лісовим лікарем».
Физкультхвилинка
Розминка для розуму і рук
Найбільша птаха в світі.
Физкультхвилинка
Розминка для розуму і рук

Розв’яжіть рівняння і ви дізнаєтесь,
у якої комахи вуса довші за ноги.
ТАРАКАН
1.

с
е
н
ч
о
н
р
я
к

1.
Яке  перетворення  виконав
комп’ютер?
Підведемо підсумок
о
1.

2.
При  відніманні  отримуємо…
2.

и
р
і
з
н
ю
ц
с
е
н
ч
о
н
р
я
к
о
Підведемо підсумок
1.

3.
Яку  операцію  виконав
 комп’ютер?
2.
3.
я
о
п
я
і
р
в
н
и
р
і
з
н
ю
ц
с
е
н
ч
о
н
р
я
к
о
н
н
Підведемо підсумок

4.
Як називається число дробу,
яке пишеться над дробовою
 рискою?
3.
4.
ч
л
е
н
с
ь
и
и
к
1.
2.
я
о
п
я
і
р
в
н
и
р
і
з
н
ю
ц
с
е
н
ч
о
н
р
я
к
о
н
н
Підведемо підсумок

5.
За  контрольну  роботу
 вчитель  в  журнал
 кладе…
ц
о
і
к
у
н
5.
ч
л
е
н
с
ь
и
и
к
1.
2.
я
о
п
я
і
р
в
н
и
р
і
з
н
ю
ц
с
е
н
ч
о
н
р
я
к
о
н
н
3.
4.
Підведемо підсумок
Продовження буде…


"Перетворення простору"


title: Правильні многогранники

text:
ПРАВИЛЬНІ МНОГОГРАННИКИ
Правильних многогранників надзвичайно мало, але це дуже скромний за кількістю загін зумів пробитися у найбільші глибини різних наук
Льюїс Керролл
ТЕТРАЕДР

І група “ Тетраедр”
Правильним тетраедром називається многранник  у якого всі грані – правильні трикутники і в кожній вершині сходиться 3 ребра.

Елементи:  			Кількісні характеристики:
 		     Вершин – 4
		     Ребер –    6
                  Граней –   4

ГЕКСАЕДР

ІІ група “Гексаедр”
	У куба всі грані – квадрати, у кожній вершині сходиться по три ребра.
	Куб – це прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні.

Елементи:                   Кількісні характеристики :

     Граней – 6
     Ребер – 12
     Вершин - 8
Факти
Античні вчені вважали, що атоми Землі мають форму гексаедра.

Форму куба мають кристали кухонної солі, деякі алмази та кристали.
ОКТАЕДР
ІІІ група “Октаедр”
	Октаедр – це правильний многогранник, у якого грані – правильні трикутники і в кожній вершині сходяться чотири ребра.

Елементи:                  	Кількісні характеристики:
     Граней – 8
     Вершин – 6
     Ребер - 12
Факти
Філософом Аполлонієм доведена теорема про відношення об'ємів октаедра та ікосаедра.

Це відношення таке саме, як і відношення площ їх поверхонь
ІКОСАЕДР
ІV група “Ікосаедр”
	Ікосаедр – правильний многогранник, грані якого – правильні трикутники і в кожній вершині сходиться по 5 ребер.

Елементи                          	 Кількісні характеристики
     Вершин – 12
     Ребер – 30
     Граней - 20
Факти
Античні вчені вважали, що атоми води мають форму ікосаедра.

ДОДЕКАЕДР
V група “Додекаедр”
Додекаедр – це такий правильний многогранник, грані якого – правильні п'ятикутники і в кожній вершині сходиться по 3 ребра.

Елементи                      Кількісні характеристики
     Вершин – 20
     Ребер – 30
     Граней - 12
Факти
Античні вчені вважали, що форму додекаедра має Всесвіт.

Форму додекаедра мають кристали піриту (залізного колчедану)
Підсумок
Правильні многранники існували на Землі задовго до появи на ній людини – куби кам'яної солі, тетраедри сурянистого сірчанокислого натрію, октаедри хромових квасців, ікосаедри бору і додекаедри радіолярію та макроскопічних морських організмів.

Але тільки геометр побачив в них порядок і систему задовго до того, як фізики проникли в таємницю будови речовини.

Геометрія з її прозорою логікою, чіткістю побудов відкрила
           зовсім нове бачення правильних многогранників та їх
           нове застосування.


"Нільс Генрік Абель"