Constructions cachées en algèbre abstraite (3)
Dimension de Krull, Going Up, Going Down
Thierry Coquand (∗) Henri Lombardi (†),

arXiv:1712.04728v1 [] 13 Dec 2017

janvier 2001

Résumé
Nous rappelons des versions constructives de la théorie de la dimension de Krull dans
les anneaux commutatifs et dans les treillis distributifs, dont les bases ont été posées par
Joyal, Espanõl et les deux auteurs. Nous montrons sur les exemples de la dimension des
algèbres de présentation finie, du Going Up, du Going Down, . . .que cela nous permet de
donner une version constructive des grands théorèmes classiques, et par conséquent de
récupérer un contenu calculatoire explicite lorsque ces théorèmes abstraits sont utilisés
pour démontrer l’existence d’objets concrets. Nous pensons ainsi mettre en oeuvre une
réalisation partielle du programme de Hilbert pour l’algèbre abstraite classique.

MSC 2000 : 13C15, 03F65, 13A15, 13E05
Mots clés : Dimension de Krull, Going Up, Going Down, Mathématiques constructives.
Key words : Krull dimension, Going Up, Going Down, Constructive Mathematics.

∗

Chalmers, University of Göteborg, Sweden, email : coquand@cs.chalmers.se
Equipe de Mathématiques, CNRS UMR 6623, UFR des Sciences et Techniques, Université de FrancheComté, 25 030 BESANCON cedex, FRANCE, email : lombardi@math.univ-fcomte.fr
†

1

Table des matières
Introduction

3

1 Définition constructive de la dimension de Krull
1.1 Chaı̂nes idéales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Collapsus simultanés . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Suites pseudo régulières et dimension de Krull . .
1.4 Dimension de Krull et principe local-global . . . .
2 Treillis distributifs, relations implicatives et
2.1 Treillis distributifs, idéaux, filtres et spectre
2.2 Treillis distributifs et relations implicatives
2.3 Dimension de Krull des treillis distributifs .

des anneaux commutatifs
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

dimension
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .

de
. .
. .
. .

Krull
16
. . . . . . . . . . . 16
. . . . . . . . . . . 20
. . . . . . . . . . . 22

3 Treillis de Zariski et de Krull dans un anneau commutatif

32

4 Going Up et Going Down
34
4.1 Dimension de Krull relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Going Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Going Down . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Bibliographie

45

2

Introduction
Nous rappelons des versions constructives de la théorie de la dimension de Krull dans les
anneaux commutatifs et dans les treillis distributifs, dont les bases ont été posées par Joyal,
Espanõl, et les deux auteurs ([7, 6, 12]). Nous montrons sur les exemples du Going Up, du
Going Down, de la dimension des variétés algébriques, que cela nous permet de donner une
version constructive des grands théorèmes classiques, et surtout de récupérer un contenu calculatoire explicite lorsque ces théorèmes abstraits sont utilisés pour démontrer l’existence d’objets
concrets. Nous pensons ainsi mettre en oeuvre une réalisation partielle du programme de Hilbert
pour l’algèbre abstraite classique.
Notre exposé est dans le style des mathématiques constructives à la Bishop (cf. en algèbre
[18]). Nous avons réduit au minimum l’appel aux notions de logique de manière à obtenir un
texte dont la forme ne rebute pas les algébristes. Lorsque nous disons que nous avons une
version constructive d’un théorème d’algèbre abstraite, c’est que nous avons un théorème dont
la preuve est constructive, dont la signification calculatoire est claire, et à partir duquel nous
pouvons récupérer le théorème classique correspondant par une utilisation immédiate d’un
principe non constructif bien répertorié. Un théorème abstrait classique peut avoir plusieurs
versions constructives intéressantes.
Dans le cas des théorèmes d’algèbre abstraite classique, un principe non constructif qui
permet de faire le travail en question est en général le théorème de complétude de Gödel, qui
permet de construire un modèle pour une théorie formelle cohérente. Lorsqu’il s’applique à
des structures algébriques de présentation énumérable (en un sens convenable) le théorème de
complétude de Gödel n’est autre qu’une reformulation du LLPO de Bishop (tout nombre réel
est ≥ 0 ou ≤ 0).
Notre volonté de ne pas utiliser le théorème de complétude de Gödel n’est pas au premier
chef un choix philosophique mais un choix pratique. L’usage du théorème de complétude de
Gödel conduit en effet à remplacer des preuves directes (cachées) par des preuves indirectes qui
ne sont au fond qu’un double renversement par l’absurde de la preuve directe, d’où la perte de
son contenu calculatoire. Par exemple dans la preuve abstraite du 17ème problème de Hilbert
on dit : si le polynome P n’était pas une somme de carrés de fractions rationnelles, on aurait
un corps K dans lequel on décèlerait une absurdité en lisant la preuve (constructive) que le
polynome est partout positif ou nul. La remise sur pied de cette preuve abstraite est de dire :
partons de la preuve (constructive) que le polynome est partout positif ou nul, et montrons
(par les arguments explicites présents dans les preuves classiques) que la tentative de construire
K échoue à coup sûr. Cela nous donne la somme de carrés que nous cherchions. Entretemps il
a fallu remplacer le théorème abstrait non constructif : “tout corps réel peut être ordonné” par
le théorème constructif : “dans un corps qui refuse toute tentative d’être ordonné, −1 est une
somme de carrés”. Et on passe du second au premier par le théorème de complétude de Gödel, tandis que la preuve constructive du second est cachée dans les manipulations algébriques
contenues dans la preuve classique du premier (cf. [11]).
Voici un plan rapide du papier.
Suites pseudo régulières, dimension de Krull des anneaux commutatifs
Dans la section 1 nous donnons des preuves “plus lisibles” pour certains résultats contenus dans
[12], lesquels y étaient démontrés en utilisant la notion de structure algébrique dynamique. La
notion centrale qui est mise en oeuvre est celle de spécification partielle pour une chaı̂ne d’idéaux
premiers. Les constructions abstraites de chaı̂nes d’idéaux premiers ont leur contrepartie constructive sous forme d’un théorème de collapsus simultané (théorème 1.14). Nous développons la
notion de suite pseudo régulière (une variante un peu affaiblie de la notion de suite régulière),
3

qui permet de caractériser constructivement la dimension de Krull. Nous montrons ainsi que la
notion de dimension de Krull a un contenu calculatoire explicite en terme d’existence (ou non) de
certains types d’identités algébriques. Ceci confirme l’adage selon ldequel l’algèbre commutative
admet une interprétation calculatoire comme machinerie de production d’identités algébriques
(certaines, parmi les plus fameuses, sont appelées des Nullstellensätze.) Enfin nous donnons une
version constructive du théorème qui affirme que la dimension de Krull est la borne supérieure
de la dimension des localisés en les idéaux maximaux.
Treillis distributifs, relation implicative et dimension de Krull
Dans la section 2 nous développons la théorie constructive de la dimension de Krull des treillis
distributifs, d’une part dans le style de la section 1, d’autre part dans le style de la théorie de
Joyal, et nous faisons le lien entre les deux points de vue. Nous faisons également le lien entre
le premier point de vue et les développements apportés par Español à la théorie de Joyal. Une
très grande simplification des preuves et des calculs est obtenue en mettant systématiquement
en avant la notion de relation implicative (en anglais entailment relation) qui a son origine dans
la règle de coupure du calcul des séquents de Gentzen, avec le théorème fondamental 2.10.
Treillis de Zariski et de Krull dans un anneau commutatif
Dans la section 3 nous introduisons le treillis de Zariski d’un anneau commutatif (ses éléments
sont les radicaux d’idéaux de type fini), qui est la contrepartie constructive du spectre de
Zariski : les points de ce dernier sont les idéaux premiers du treillis de Zariski, et les parties constructibles du spectre de Zariski sont les éléments du treillis booléen engendré par le
treillis de Zariski. L’idée de Joyal est de définir la dimension de Krull d’un anneau commutatif
comme étant celle de son treillis de Zariski, ce qui évite tout recours aux idéaux premiers. Nous
établissons ensuite l’équivalence entre le point de vue (constructif) de Joyal et le point de vue
(constructif) donné à la section 1 pour la dimension de Krull d’un anneau commutatif.
Going Up et Going Down
La section 4 développe la théorie constructive des fameux théorèmes de montée et de descente
(Going up et Goingd down) dans les extensions entières, ainsi que celle du Going down pour
les extensions plates.
Nous montrons que ces théorèmes apparemment très abstraits (qui affirment l’existence de
certains idéaux premiers) ont une signification tout à fait concrète en terme de machinerie de
construction d’identités algébriques. Cette version concrète implique la version abstraite par
une utilisation simple du théorème de complétude de Gödel. Et le plus important, la preuve
de la machinerie concrète est déjà à l’oeuvre de manière cachée dans la preuve abstraite du
théorème absrait. Nous avons besoin pour ce déchiffrage de développer un analogue constructif
pour la dimension de Krull relative d’une extension d’anneaux. Cet analogue constructif qui
semble au premier abord un peu étrange (définition 4.1) n’a pas été tiré du chapeau, mais a
été fourni comme un outil qui s’impose de lui-même dans le déchiffrage des preuves classiques.
On notera que les théorèmes constructifs établis dans cet article concernant la dimension
des anneaux de polynomes, celle des algèbres de présentation finie sur un corps, le Going up et
le Going down sont nouveaux (ils n’avaient pu être obtenus dans le cadre de la théorie de Joyal
tant qu’elle se limitait à parler du treillis de Zariski sans aller voir de plus près les calculs en
jeu en terme d’identités algébriques).
Conclusion
4

Cet article constitue une confirmation de la possiblité concrète de réaliser le programme de
Hilbert pour de larges pans de l’algèbre abstraite (cf. [1, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]). L’idée
générale est de remplacer les structures abstraites idéales par des spécifications partielles de ces
structures. La jolie et très courte preuve abstraite qui utilise les objets idéaux a une contrepartie
purement calculatoire au niveau des spécifications partielles de ces objets idéaux. La plupart
des théorèmes d’algèbre abstraite, dans la preuve desquels l’axiome du choix et le principe du
tiers exclu semblent offrir un obstacle sérieux à une interprétation explicite en termes de calculs
algébriques, auraient ainsi une version constructive, à partir de laquelle l’utilisation du théorème de complétude de Gödel fournirait la version classique abstraite. Plus important encore,
la preuve abstraite idéale contiendrait toujours, de manière plus ou moins cachée, la preuve
constructive du théorème constructif correspondant.
Signalons enfin qu’un traitement constructif du Principal ideal theorem de Krull est donné
dans [3].

1

Définition constructive de la dimension de Krull des
anneaux commutatifs

Soit un anneau commutatif A, on note hJi ou s’il y a ambigüité hJiA l’idéal de A engendré
par la partie J ⊆ A. On note M(U ) le monoı̈de ( 1 ) engendré par la partie U ⊆ A.

1.1

Chaı̂nes idéales

Définition 1.1 Dans un anneau commutatif A
— Une spécification partielle pour un idéal premier (ce que nous abrégeons en premier
idéal, en anglais idealistic prime) est un couple P = (J, U ) de parties de A.
— Un premier idéal P = (J, U ) est dit complet si J est un idéal, U est un monoı̈de et si
J + U = U.
— Soient P1 = (J1 , U1 ) et P2 = (J2 , U2 ) deux premiers idéaux. On dit que P1 est contenu
dans P2 et on écrit P1 ⊆ P2 si J1 ⊆ J2 et U2 ⊆ U1 .
On dit que P2 est un raffinement de P1 et on écrit P1 ≤ P2 si J1 ⊆ J2 et U1 ⊆ U2 .
— Une spécification partielle pour une chaı̂ne d’idéaux premiers (ce que nous abrégeons en
chaı̂ne idéale, en anglais idealistic chain) est définie comme suit. Une chaı̂ne idéale de
longueur ` est une liste de ` + 1 premiers idéaux : C = (P0 , . . . , P` ) (Pi = (Ji , Ui )). On
note C (i) pour Pi . La chaı̂ne idéale est dite finie si toutes les parties Ji et Ui sont finies.
— Une chaı̂ne idéale C = (P0 , . . . , P` ) est dite complète si les premiers idéaux Pi sont
complets et si on a les inclusions Pi ⊆ Pi+1 (i = 0, . . . , ` − 1).
— Soient deux chaı̂nes idéales de longueur `, C = (P0 , . . . , P` ) et C 0 = (P00 , . . . , P`0 ). On dit
que C 0 est un raffinement de C et on écrit C ≤ C 0 si Pi ≤ Pi0 (i = 0, . . . , `).
Nous regardons une chaı̂ne idéale C de longueur ` dans A comme une spécification partielle pour
une chaı̂ne croissante d’idéaux premiers (au sens usuel) P0 , . . . , P` vérifiant C ≤ (Q0 , . . . Q` ),
où Qi = (Pi , A \ Pi ) (i = 0, . . . , `).
Fait 1.2 Toute chaı̂ne idéale C = ((J0 , U0 ), . . . , (J` , U` )) engendre une chaı̂ne idéale complète
minimale
C 0 = ((I0 , V0 ), . . . , (I` , V` ))
1. Un monoı̈de sera toujours un monoı̈de multiplicatif.

5

définie par I0 = hJ0 i, I1 = hJ0 ∪ J1 i,. . ., I` = hJ0 ∪ · · · ∪ J` i, Ui0 = M(Ui ) (i = 0, . . . , `),
0
V` = U`0 + I` , V`−1 = U`−1
V` + I`−1 , . . ., V0 = U00 V1 + I0 = U00 (U10 (· · · (U`0 + I` ) + · · ·) + I1 ) + I0 .
En outre tout élément de V0 se réécrit sous forme
u0 · (u1 · (· · · (u` + j` ) + · · ·) + j1 ) + j0 = u0 · · · u` + u0 · · · u`−1 · j` + · · · + u0 · j1 + j0
avec les ji ∈ hJi i et ui ∈ M(Ui ).
Définition 1.3 Un idéal I et un monoı̈de S sont dits conjugués lorsqu’on a :
(s · a ∈ I, s ∈ S)
an ∈ I
(j ∈ I, s ∈ S)
s1 · s2 ∈ S

a∈I
a ∈ I (n ∈ N, n > 0)
s+j ∈S
s1 ∈ S

=⇒
=⇒
=⇒
=⇒

Dans ce cas, on dit aussi que le premier idéal (I, S) est saturé.
Par exemple un idéal premier détachable( 2 ) et le monoı̈de complémentaire sont conjugués.
Lorsqu’un idéal I et un monoı̈de S sont conjugués, on a
1∈I

⇐⇒

0∈S

⇐⇒

(I, S) = (A, A)

Définition 1.4 (Collapsus) Soit C = ((J0 , U0 ), . . . , (J` , U` )) une chaı̂ne idéale et C 0 = ((I0 , V0 ),
. . . , (I` , V` )) la chaı̂ne idéale complète qu’elle engendre.
— On dit que la chaı̂ne idéale C collapse ou encore s’effondre si on a 0 ∈ V0 . Il revient au
même de dire : il existe ji ∈ hJi i, ui ∈ M(Ui ), (i = 0, . . . , `), vérifiant l’égalité
u0 · (u1 · (· · · (u` + j` ) + · · ·) + j1 ) + j0 = 0
c’est-à-dire encore
u0 · · · · u` + u0 · · · · u`−1 j` + · · · + u1 j1 + j0 = 0
— Une chaı̂ne idéale est dite saturée si elle est complète et si les premiers idéaux (Ji , Ui )
sont saturés.
— La chaı̂ne idéale ((A, A), . . . , (A, A)) est dite triviale : une chaı̂ne saturée qui collapse
est triviale.
Notez que le premier idéal (0, 1) collapse si et seulement si 1 =A 0.
Le lemme suivant est immédiat.
Fait 1.5 Une chaı̂ne idéale C = ((J0 , U0 ), . . . , (J` , U` )) dans laquelle on a Uh ∩ Jh 6= ∅ pour
un indice h collapse. Plus généralement si une chaı̂ne idéale C 0 extraite d’une chaı̂ne idéale C
collapse, alors C collapse. De même si C collapse, tout raffinement de C collapse.
Les preuves des propriétés suivantes sont instructives.
Fait 1.6 Soit deux chaı̂nes idéales C1 = (P0 , . . . , P` ) et C2 = (P`+1 , . . . , P`+r ) d’un anneau A.
Soit C = C1 • C2 = (P0 , . . . , P`+r ).
2. Rappelons qu’une partie d’un ensemble est dite détachable lorsqu’on a un test pour l’appartenance à la
partie. Par exemple les idéaux de type fini d’un anneau de polynomes à coefficients entiers sont détachables.

6

(1) Supposons C1 saturée. Alors C collapse dans A si et seulement si P` • C2 collapse dans
A si et seulement si C2 collapse dans le quotient A/J` (P` = (J` , U` )).
(2) Supposons C2 complète. Alors C collapse dans A si et seulement si C1 • P`+1 collapse
dans A si et seulement si C2 collapse dans le localisé AU`+1 (P`+1 = (J`+1 , U`+1 )).
(3) Supposons C1 saturée et C2 complète. Alors C collapse dans A si et seulement si
(P` , P`+1 ) collapse dans A si et seulement si J` ∩ U`+1 6= ∅.
Preuve.
Laissée à la lectrice.

1.2

2

Collapsus simultanés

Notation et définition 1.7 Dans la suite nous utiliserons plusieurs notations pour un premier idéal ou une chaı̂ne idéale obtenu(e) en raffinant un(e) autre. Si P = (J, U ), C =
(P1 , . . . Pn ), nous notons
— P & {x ∈ P} ou encore (J, x; U ) pour (J ∪ {x} , U )
— P & {x ∈
/ P} ou encore (J; x, U ) pour (J, U ∪ {x})
— P & {I ⊆ P} pour (J ∪ I, U )
— P &{V ⊆ A \ P} pour (J, U ∪ V )
— C & x ∈ C (i) pour (P0 , . . . , Pi & {x ∈ Pi } , . . . , Pn )
/ Pi } , . . . , Pn )
— C& x∈
/ C (i) pour (P0 , . . . , Pi & {x ∈
— (a1 , . . . , am ; v1 , . . . , vp ) pour ({a1 , . . . , am } , {v1 , . . . , vp })
Un premier idéal Q = P & {I ⊆ P} & {V ⊆ A \ P} est appelé un raffinement fini de P si I et
V sont finis.
Collapsus simultané pour les premiers idéaux
Théorème 1.8 (Collapsus simultané pour les premiers idéaux)
Soit un premier idéal P = (J, U ) dans un anneau commutatif A.
(1) Soit x ∈ A. Supposons que les premiers idéaux P & {x ∈ P} et P & {x ∈
/ P} s’effondrent
tous les deux, alors P s’effondre également.
(2) Le premier idéal P engendre un premier idéal saturé minimum. Celui-ci s’obtient en
rajoutant dans U (resp. J) tout élément x ∈ A tel que le premier idéal P & {x ∈ P}
(resp. P & {x ∈
/ P}) collapse.
Preuve.
La preuve du point (1) est le truc de Rabinovitch. A partir de deux égalités u1 + j1 + ax = 0
et u2 xm + j2 = 0 (avec ui ∈ M(U ), ji ∈ hJi, a ∈ A, n ∈ N) on en fabrique une troisième,
u3 + j3 = 0 en éliminant x : on obtient u2 (u1 + j1 )m + (−a)m j2 = 0, avec u3 = u2 um
1 .
Le point (2) résulte du point (1) comme suit. Soit P 0 = (hJi , hJi + M(U )) le premier idéal
complet engendré par P. Soit P 00 = (I 0 , S 0 ) un premier idéal saturé qui raffine P. Soit P1 =
(K, S) le premier idéal décrit en (2). On a facilement P ≤ P 0 ≤ P1 ≤ P 00 . Il faut donc vérifier
que P1 est un premier idéal saturé. Nous allons voir que cela résulte du point (1) sans calcul
supplémentaire. Montrons par exemple que K + K ⊆ K. Soient x et y dans K c’est-à-dire
tels que (I; x, U ) et (I; y, U ) collapsent. Nous voulons montrer que (I; x + y, U ) collapse. Pour
cela, d’après le point (1), il suffit de montrer que P2 = (I, x; x + y, U ) et P3 = (I; x + y, x, U )
collapsent. Pour P3 c’est par hypothèse. Si nous complétons P2 , nous obtenons y = x + y − x
dans le monoı̈de, donc c’est un raffinement de (I; y, U ) et il collapse par hypothèse.
Les autres vérifications sont soit immédiates, soit par des arguments du même style, sans
nouveau calcul.
2
7

Notez que le saturé de (0, 1) est (N , A× ) où N est le nilradical de A et A× le groupe des
unités.
Corollaire 1.9 (théorème de Krull ou Nullstellensatz de Hilbert formel)
Soit P = (J, U ) un premier idéal dans un anneau commutatif A. Le théorème de complétude
de Gödel implique que les propriétés suivantes sont équivalentes :
— Pour tout j ∈ hJi, u ∈ M(U ), on a u 6= j.
— Il existe un idéal premier détachable Q tel que P ≤ Q, c’est-à-dire tel que J ⊆ Q et
U ∩ Q = ∅.
— Il existe un homomorphisme ψ de A vers un anneau intègre B vérifiant ψ(J) = 0 et
0∈
/ ψ(U ).
Preuve.
Voir la preuve du théorème 1.17 (plus général).

2

On en déduit immédiatement.
Corollaire 1.10 Soit P = (J, U ) un premier idéal dans un anneau commutatif A et (I, V ) le
saturé de P. Le théorème de complétude de Gödel implique que I est l’intersection des idéaux
premiers contenant J et ne coupant pas U , tandis que V est la réunion des complémentaires de
ces mêmes idéaux premiers.
Exemples de versions constructives
Nous donnons maintenant des exemples de versions constructives de théorèmes usuels en
mathématiques classiques concernant les idéaux premiers.
Nous introduisons tout d’abord des notations.
Notation 1.11 Soit P = (I, U ) un premier idéal d’un anneau A, x ∈ A et P 0 = (I 0 , U 0 ) le
saturé de P. On écrit
— x ∈ ! P pour signifier x ∈ I 0 ,
— x∈
/ ! P pour signifier x ∈ U 0 et
— x∈
/ P pour signifier ¬(x ∈ ! P).
Si X est une partie de A on note
— X ⊆ ! P pour signifier que tous les x ∈ X vérifient x ∈ ! P et
— X hors de ! P pour signifier que tous les x ∈ X vérifient x ∈
/ ! P.
Notez que le collapsus de P s’écrit donc 1 ∈ ! P et le non collapsus de P s’écrit 1 ∈
/ P.
Notre premier exemple concerne les anneaux arithmétiques, c’est-à-dire les anneaux dont
les idéaux de type fini sont localement principaux. Par exemple un anneau de Prüfer ou de
Dedekind est un anneau arithmétique. La définition constructive d’un anneau arithmétique A
est la suivante : pour tous x, y ∈ A on peut trouver un élément s ∈ A tel que dans As on a
hx, yi = hxi et dans A1−s on a hx, yi = hyi. Cela revient encore à dire qu’on peut trouver u, v,
w tels que ux = vy et (1 − u)y = wx.
Lemme 1.12 Énoncé classique. Dans un anneau arithmétique deux idéaux premiers incomparables sont comaximaux.
Énoncé constructif. Dans un anneau arithmétique deux premiers idéaux incomparables sont
comaximaux.
8

Preuve.
Le substitut constructif pour deux idéaux premiers incomparables est donné par deux premiers
idéaux P = (I, U ) et Q = (J, V ) incomparables au sens suivant : on connaı̂t deux éléments
x et y de A qui témoignent que P et Q ne peuvent pas être raffinés en des idéaux premiers
comparables. Autrement dit on a x ∈ ! P et x ∈
/ ! Q, y ∈ ! Q et y ∈
/ ! P. Autrement dit encore,
si P 0 = (I 0 , U 0 ) et Q0 = (J 0 , V 0 ) sont les saturés de P et Q on a x ∈ I 0 ∩ V 0 et y ∈ J 0 ∩ U 0 . La
conclusion est que I 0 +J 0 = h1i. La preuve est immédiate : on considère u, v, w comme ci-dessus
(définition constructive d’un anneau arithmétique), puisque x ∈ I 0 , y ∈ U 0 , (1 − u)y = wx et
P 0 est saturé, on a 1 − u ∈ I 0 , et de façon analogue on a u ∈ J 0 .
2
Il est clair que le théorème classique découle de sa version constructive. Et que le
théorème classique implique la version constructive en mathématiques classiques. Mais la version constructive n’a pas besoin d’idéaux premiers et elle a une signifcation calculatoire claire.
Notre deuxième exemple est le célèbre lemme d’évitement des idéaux premiers. Une version
constructive naturelle (qui implique l’énoncé classique) est le lemme 1.13 suivant. On peut
trouver une autre version constructive dans [18]. Nous verrons plus loin que dans un anneau
noethérien cohérent fortement discret, si P est l’un des premiers idéaux obtenus en saturant une
chaı̂ne idéale finie, alors P vérifie l’hypothèse de décidabilité requise pour les premiers idéaux
dans le lemme 1.13.
Lemme 1.13 (Lemme d’évitement des idéaux premiers). Soit I = hy1 , . . . , ym i un idéal de type
fini et P1 , . . . , Pn des premiers idéaux d’un anneau A. Supposons qu’on sache tester le collapsus
des raffinements finis des Pk . Alors on sait construire des raffinements finis Q1 , . . . , Qn de
P1 , . . . , Pn tels que ou bien pour un k on a I ⊆ ! Qk ou bien ∃x ∈ I ∀k x ∈
/ ! Qk .
Preuve.
Il suffit de recopier la preuve classique de [5].

2

Collapsus simultané pour les chaı̂nes idéales
Théorème 1.14 (Collapsus simultané pour les chaı̂nes idéales)
Soit une chaı̂ne idéale C = ((J0 , U0 ), . . . , (J` , U` )) dans un anneau commutatif A 
(1) Soit x ∈ A et i ∈ {0, . . . , `}. Supposons que les chaı̂nes idéales C & x ∈ C (i) et
C& x∈
/ C (i) s’effondrent toutes les deux, alors C s’effondre également.
(2) La chaı̂ne idéale C engendre une chaı̂ne idéale saturée minimum. Celle-ci s’obtient
en

(i)
rajoutant dans
U
(resp.
J
)
tout
élément
x
∈
A
tel
que
la
chaı̂ne
idéale
C
&
x
∈
C
i
i

(resp. C & x ∈
/ C (i) ) collapse.
Preuve.
Notons (1)` et (2)` les énoncés avec ` fixé. Remarquons que (1)0 et (2)0 ont fait l’objet du
théorème 1.8. Nous allons faire une preuve par récurrence sur `. Nous pouvons supposer la
chaı̂ne idéale C complète (cela n’influe pas sur l’existence des collapsus).
Le fait que (1)` ⇒ (2)` n’offre pas de difficulté, on raisonne comme dans le théorème 1.8.
Il reste donc à montrer ((1)`−1 et (2)`−1 ) ⇒ (1)` (pour ` > 0).
Si i < ` on utilise le fait 1.6 qui nous ramène à des chaı̂nes idéales de longueur i dans l’anneau
localisé AUi+1 et on applique l’hypothèse de récurrence.
Si i = ` on considère la chaı̂ne idéale de longueur ` − 1 ((K0 , S0 ), . . . , (K`−1 , S`−1 )) obtenue
en saturant ((J0 , U0 ), . . . , (J`−1 , U`−1 )) (on applique (2)`−1 ). Pour des ji ∈ hJi i et ui ∈ M(Ui )
arbitraires (0 ≤ i ≤ `), considérons les affirmations suivantes :
u0 · (u1 · (· · · (u`−1 · (u` + j` ) + j`−1 ) + · · ·) + j1 ) + j0 = 0
9

(α)

(u` + j` ) ∈ K`−1

(β)

∃n ∈ N u0 · (u1 · (· · · (u`−1 · (u` + j` )n + j`−1 ) + · · ·) + j1 ) + j0 = 0

(γ)

On a (α) ⇒ (β) ⇒ (γ). On a donc les propriétés équivalentes suivantes. Primo : la chaı̂ne idéale
C collapse dans A (certifié par une égalité de type (α) ou de type (γ)). Secundo : le premier
idéal (J` , U` ) collapse dans A/K`−1 (certifié par une égalité de type (β)). On est donc ramené
(sur l’anneau A/K`−1 ) au cas (1)0 traité au théorème 1.8.
2
Remarquons que nous ne nous sommes pas appuyés, dans la fin du raisonnement, sur le fait
1.6, qui n’est pas assez fort dans cette situation. Nous donnons dans le corollaire qui suit des
conséquences simples du théorème 1.14. Notez que le deuxième point permet une amélioration
dans l’utilisation du fait 1.6.
Corollaire 1.15
— Une chaı̂ne idéale C collapse si et seulement si toute chaı̂ne idéale saturée qui raffine C
est triviale.
— On ne change pas le collapsus d’une chaı̂ne idéale C si on remplace une chaı̂ne extraite
par sa saturée C 0 ou par n’importe quelle chaı̂ne idéale C 00 telle que C ≤ C 00 ≤ C 0 .
— Soit x1 , . . . , xk ∈ A. Supposons que les chaı̂nes idéales ((J0 , U0 ), . . . , (Ji ∪ {(xh )h∈H }, Ui ∪
{(xh )h∈H 0 }), . . . , (J` , U` )) s’effondrent pour tout couple de parties complémentaires
(H, H 0 ) de {1, . . . , k}, alors C s’effondre également.
— Soient X, Y ⊆ A, C = (P0 , . . . , P` ) une chaı̂ne idéale et C 0 = (Q0 , . . . , Q` ) sa saturée.
Supposons Pk = (Ik , Uk ) et Qk = (Jk , Vk ), alors la chaı̂ne idéale
(P0 , . . . , (Ik , X; Y, Uk ), . . . , P` )
collapse si et seulement si le premier idéal (Jk , X; Y, Vk ) collapse.
— Soient x ∈ A et C = (P0 , . . . , P` ) si chacune des chaı̂nes idéales
C & {x ∈ P0 }, C & {x ∈ P1 } & {x ∈
/ P0 }, . . ., C & {x ∈ P` } & {x ∈
/ P`−1 } et C & {x ∈
/ P` }
collapsent, alors C collapse.
Définition 1.16
— Deux chaı̂nes idéales qui engendrent la même chaı̂ne idéale saturée sont dites
équivalentes.
— Une chaı̂ne idéale équivalente à une chaı̂ne idéale finie est appelée une chaı̂ne idéale de
type fini.
— Une chaı̂ne idéale est dite stricte si on a Vi ∩ Ii+1 6= ∅ (i = 0, . . . , ` − 1) dans la chaı̂ne
idéale saturée qu’elle engendre.
— Une chaı̂ne idéale saturée C = ((J0 , U0 ), . . . , (J` , U` )) est dite figée si elle ne collapse
pas et si on a pour tout i = 0, . . . , `, Ji ∪ Ui = A. Une chaı̂ne idéale est dite figée si
sa saturée est figée. Donner une chaı̂ne idéale figée (stricte) revient donc à donner une
chaı̂ne (strictement) croissante d’idéaux premiers détachables.
Notre idée est que le théorème 1.14 révèle un contenu calculatoire “caché” dans les preuves
classiques concernant les chaı̂nes croissantes d’idéaux premiers. Cette idée est illustrée par le
théorème suivant qui, en mathématiques classiques, donne une caractérisation concrète des
chaı̂nes idéales qui spécifient incomplètement des chaı̂nes croissantes d’idéaux premiers.
Théorème 1.17 (Nullstellensatz formel pour les chaı̂nes d’idéaux premiers dans un anneau
commutatif) Soit A un anneau et ((J0 , U0 ), . . . , (J` , U` )) une chaı̂ne idéale dans A. Le théorème de complétude de Gödel implique que les propriétés suivantes sont équivalentes :
10

(a) Il existe ` + 1 idéaux premiers détachables P0 ⊆ · · · ⊆ P` tels que Ji ⊆ Pi , Ui ∩ Pi = ∅,
(i = 0, . . . , `).
(b) Pour tous ji ∈ hJi i et ui ∈ M(Ui ), (i = 0, . . . , `)
u0 · (u1 · (· · · (u` + j` ) + · · ·) + j1 ) + j0 6= 0
Preuve.
Seul (b) ⇒ (a) pose problème. Commençons par une preuve qui s’appuie, non sur le théorème
de complétude de Gödel, mais sur le principe du tiers exclu et le lemme de Zorn. On considère
une chaı̂ne idéale C1 = ((P0 , S0 ), . . . , (P` , S` )) maximale (pour la relation de raffinement) parmi
les chaı̂nes idéales qui raffinent C et qui ne collapsent pas. Tout d’abord, il est clair que C1 est
complète, puisqu’on ne change pas le collapsus en la complétant. Si ce n’était pas une chaı̂ne
d’idéaux premiers avec leurs compléments, on aurait pour un indice i : Si ∪ Pi 6= A. Dans ce
cas, soit x ∈ A \ (Si ∪ Pi ). Alors ((P0 , S0 ), . . . , (Pi ∪ {x}, Si ), . . . , (P` , S` )) doit collapser (par
maximalité). La même chose pour ((P0 , S0 ), . . . , (Pi , Si ∪ {x}), . . . , (P` , S` )). Le théorème 1.14
nous dit donc que la chaı̂ne idéale ((P0 , S0 ), . . . , (P` , S` )) collapse, ce qui est absurde.
Voyons maintenant une preuve dans laquelle intervient seulement le théorème de complétude
de Gödel, ce qui restreint l’usage du principe du tiers exclu par rapport à la preuve précédente.
Considérons la théorie formelle décrivant un anneau commutatif avec chaı̂ne croissante d’idéaux
premiers de longueur `. Dans cette théorie on prend des prédicats pour x ∈ Pi et x ∈
/ Pi .
Les axiomes sont ceux des anneaux commutatifs, ceux des chaı̂nes idéales complètes dans les
anneaux commutatifs, et pour chaque indice i les deux axiomes qui disent que les prédicats
x ∈ Pi et x ∈
/ Pi sont deux prédicats opposés :
∀a ∈ A (a ∈ Pi ∨ a ∈
/ Pi )

et

∀a ∈ A ((a ∈ Pi ∧ a ∈
/ Pi ) ⇒ Faux )

Cette condition force la chaı̂ne idéale à être formée d’idéaux premiers détachables. Rajoutons
comme constantes les éléments de A et comme axiomes, d’une part les égalités (du type a+b = c
ou ab = d) vraies dans A et d’autre part les axiomes qui traduisent Ji ⊆ Pi , Ui ∩Pi = ∅. D’après
le théorème 1.14 la théorie obtenue est cohérente. D’après le théorème de complétude de Gödel,
elle admet un modèle. Ce modèle donne un homomorphisme ϕ : A → B et une chaı̂ne croissante
d’idéaux premiers Q0 ⊆ · · · ⊆ Q` dans B avec ϕ(Ji ) ⊆ Qi et ϕ(Ui ) ∩ Qi = ∅. On considère les
Pi = ϕ−1 (Qi ) et on a gagné.
2
Cette deuxième preuve est un peu elliptique, voire carrément osée. Il y a un théorème
d’élimination des coupures qui est caché dedans. Pour plus de détails, on se reportera à [12].
On notera également que le théorème 1.17 implique (en deux lignes) le théorème de collapsus
simultané 1.14. Ce dernier peut donc être légitiment considéré comme la version constructive
du premier.
Un corollaire du théorème 1.17 serait une caractérisation de la chaı̂ne idéale saturée engendrée par une chaı̂ne idéale C au moyen de la famille des chaı̂nes d’idéaux premiers qui sont
des raffinements de C, comme dans le corollaire 1.10.

1.3

Suites pseudo régulières et dimension de Krull

Dans un cadre constructif, il est parfois préférable de considérer une relation d’inégalité
x 6= 0 qui ne soit pas simplement l’impossibilité de x = 0. Par exemple un nombre réel est dit 6= 0
lorsqu’il est inversible, c’est-à-dire clairement non nul. Chaque fois que nous mentionnons une
relation d’inégalité x 6= 0 dans un anneau, nous supposons donc toujours implicitement que cette
relation a été définie au préalable dans l’anneau que nous considérons. Nous demandons que
11

cette relation soit une inégalité standard, c’est-à-dire qu’elle puisse être démontrée équivalente à
¬(x = 0) en utilisant le principe du tiers exclu. Nous demandons en outre que l’on ait constructivement (x 6= 0, y = 0) ⇒ x + y 6= 0, xy 6= 0 ⇒ x 6= 0, et ¬(0 6= 0). Enfin x 6= y est défini
par x − y 6= 0. En l’absence de précisions concernant x 6= 0, on peut toujours considérer qu’il
s’agit de la relation ¬(x = 0). Lorsque l’anneau est un ensemble discret, c’est-à-dire lorsqu’il
possède un test d’égalité à zéro, on choisit toujours l’inégalité ¬(x = 0). Néanmoins ce serait
une erreur de principe grave de considérer que l’algèbre commutative ne doit travailler qu’avec
des ensembles discrets.
Définition 1.18 Soit (x1 , . . . , x` ) une suite de longueur ` dans un anneau commutatif A.
— La chaı̂ne idéale ((0, x1 ), (x1 , x2 ), . . . , (x`−1 , x` ), (x` , 1)) est appelée une chaı̂ne idéale élémentaire. On dit qu’elle est associée à la suite (x1 , . . . , x` ). On la note (x1 , . . . , x` ).
— On dit que la suite (x1 , . . . , x` ) est une suite pseudo singulière lorsque la chaı̂ne idéale élémentaire associée (x1 , . . . , x` ) collapse. Précisément, cela signifie qu’il existe a1 , . . . , a` ∈
A et m1 , . . . , m` ∈ N tels que
m`
m2
1
xm
1 (x2 · · · (x` (1 + a` x` ) + · · · + a2 x2 ) + a1 x1 ) = 0

ou encore qu’il existe a1 , . . . , a` ∈ A et m ∈ N tels que
m+1
(x1 x2 · · · x` )m + a` (x1 · · · x`−1 )m xm+1
+ a`−1 (x1 · · · x`−2 )m xm+1
=0
`
`−1 + · · · + a1 x1

— On dit que la suite (x1 , . . . , x` ) est une suite pseudo régulière lorsque la chaı̂ne idéale
élémentaire associée ne collapse pas. Précisément, pour tous a1 , . . . , a` ∈ A et tous
m1 , . . . , m` ∈ N on a
m`
m2
1
xm
1 (x2 · · · (x` (1 + a` x` ) + · · · + a2 x2 ) + a1 x1 ) 6= 0

On notera que la longueur de la chaı̂ne idéale élémentaire associée à une suite est égal au
nombre d’éléments de la suite.
Le lien avec les suites régulières est donné par la proposition suivante, qui est immédiate.
Proposition 1.19 Dans un anneau commutatif A toute suite régulière est pseudo régulière.
Le lemme suivant est parfois utile.
Lemme 1.20 Soient (x1 , . . . , x` ) et (y1 , . . . , y` ) dans un anneau commutatif A. Supposons que
pour chaque j, xj divise une puissance de yj et yj divise une puissance de xj . Alors la suite
(x1 , . . . , x` ) est pseudo singulière si et seulement si la suite (y1 , . . . , y` ) est pseudo singulière
Preuve.
En effet, si x divise une puissance de y et y divise une puissance de x, on établit les relations
de raffinement suivantes :
(a; x)(x; b) ≤ (a; x, y)(x, y; b) ≤ la saturée de la suite (a; x)(x; b)
on rajoute le premier y en disant que yc = xk (y est donc dans le saturé du monoı̈de engendré
par x), on rajoute le second en disant que y m = dx (y est donc dans le radical de l’idéal engendré
par x). On en déduit par symétrie que (a; x)(x; b) et (a; y)(y; b) ont la même saturation.
2
Un corollaire immédiat du théorème 1.17 est le théorème suivant 1.21.
12

Théorème 1.21 (suites pseudo régulières et chaı̂nes croissantes d’idéaux premiers) Le théorème de complétude de Gödel implique le résultat suivant. Dans un anneau A une suite (x1 , . . . , x` )
est pseudo régulière si et seulement si il existe ` + 1 idéaux premiers P0 ⊆ · · · ⊆ P` avec
x1 ∈ P1 \ P0 , x2 ∈ P2 \ P1 , . . . x` ∈ P` \ P`−1 .
Ceci conduit à la définition suivante, qui assure un contenu constructif explicite à la notion
de dimension de Krull d’un anneau.
Définition 1.22 (Dimension de Krull d’un anneau)
— Un anneau A est dit de dimension −1 lorsque 1 =A 0. Il est dit de dimension ≥ 0 si
1 6=A 0, > −1 si ¬(1 =A 0) et < 0 si ¬(1 6=A 0).
Soit maintenant ` ≥ 1.
— L’anneau est dit de dimension ≤ ` − 1 si toute chaı̂ne idéale élémentaire de longueur `
collapse.
— L’anneau est dit de dimension ≥ ` s’il existe une suite pseudo régulière de longueur `.
— L’anneau est dit de dimension ` s’il est à la fois de dimension ≥ ` et ≤ `.
— Il est dit de dimension < ` lorsqu’il est impossible qu’il soit de dimension ≥ `
— Il est dit de dimension > ` lorsqu’il est impossible qu’il soit de dimension ≤ ` ( 3 ).
Notez que certaines de ces définitions utilisent la relation d’inégalité 6=A de l’anneau A.
Un anneau est donc de dimension (de Krull) ≤ ` − 1 si pour toute suite (x1 , . . . , x` ) dans
A, on peut trouver a1 , . . . , a` ∈ A et m1 , . . . , m` ∈ N tels que
m`
1
xm
1 (· · · (x` (1 + a` x` ) + · · ·) + a1 x1 ) = 0

En particulier un anneau est de dimension ≤ 0 si et seulement si pour tout x ∈ A il existe
n ∈ N et a ∈ A tels que xn = axn+1 . Tandis qu’il est de dimension < 1 si et seulement si il est
absurde qu’on puisse trouver x ∈ A avec, pour tout n ∈ N et tout a ∈ A, xn 6= axn+1 .
Notez que R est un anneau local de dimension < 1, mais on ne peut pas prouver constructivement qu’il est de dimension ≤ 0.
Notez aussi qu’un anneau est local zéro-dimensionnel si et seulement si on a
∀x ∈ A x est inversible ou nilpotent
Dimension de Krull d’un anneau de polynomes sur un corps discret
Nous avons tout d’abord.
Proposition 1.23 Soit K un corps discret, A une K-algèbre commutative, et x1 , . . ., x` dans
A algébriquement dépendants sur K. Alors la suite (x1 , . . . , x` ) est pseudo singulière.
Preuve.
Soit Q(x1 , . . . , x` ) = 0 une relation de dépendance algébrique sur K. Ordonnons les monomes
de Q dont le coefficient est non nul selon l’ordre lexicographique. On peut supposer sans perte
de généralité que le coefficient du premier monome non nul (pour cet ordre) est égal à 1. Si
m`
1 m2
xm
est ce monome, il est clair que Q s’écrit sous forme
1 x2 · · · x`
1+m`−1

m`
1+m`
m1
1
1
Q = xm
R` + xm
1 · · · x` + x 1 · · · x`
1 · · · x`−1

1 1+m2
1
R`−1 + · · · + xm
R2 + x1+m
R1
1 x2
1

2

ce qui est le collapsus recherché.

3. En fait, il existe une et une seule chaı̂ne idéale élémentaire de longueur 0 : (0, 1), donc il n’y avait pas
besoin de commencer par une définition particulière pour les anneaux de dimension −1. Dans ce cadre, on
retrouve les distinctions entre dimension ≥ 0 et dimension > −1, ainsi que entre dimension ≤ −1 et dimension
< 0.

13

On en déduit.
Théorème 1.24 Soit K un corps discret. La dimension de Krull de l’anneau K[X1 , . . . , X` ]
est égale à `.
Preuve.
Vue la proposition 1.23 il suffit de vérifier que la suite (X1 , . . . , X` ) est pseudo-régulière. Or elle
est régulière.
2
On notera que nous avons obtenu ce résultat de base avec un minimum d’effort, et que
notre preuve vaut évidemment en mathématiques classiques (avec la définition classique de la
dimension de Krull dès qu’on admet le théorème de complétude de Gödel). Ceci infirme l’opinion couramment admise que les preuves constructives sont nécessairement plus compliquées
que les preuves classiques.

1.4

Dimension de Krull et principe local-global

Monoı̈des comaximaux
Définition 1.25
(1) Des monoı̈des S1 , . . . , Sn de l’anneau A sont dits comaximaux si un idéal de A qui coupe
chacun des Si contient toujours 1, autrement dit si on a :
∀s1 ∈ S1 · · · ∀sn ∈ Sn ∃a1 , . . . , an ∈ A

n
X

ai s i = 1

i=1

(2) On dit que les monoı̈des S1 , . . . , Sn de l’anneau A recouvrent le monoı̈de S si S est
contenu dans les Si et si un idéal de A qui coupe chacun des Si coupe toujours S,
autrement dit si on a :
∀s1 ∈ S1 · · · ∀sn ∈ Sn ∃a1 , . . . , an ∈ A

n
X

ai s i ∈ S

i=1

Notation 1.26 Si (I; U ) est un premier idéal de A, nous notons S(I; U ) le monoı̈de M(U )+hIi
du premier idéal obtenu en complétant (I; U ).
L’exemple fondamental de monoı̈des comaximaux est le suivant : lorsque s1 , . . . , sn ∈ A
vérifient hs1 , . . . , sn i = h1i, les monoı̈des M(si ) sont comaximaux.
Les deux lemmes suivants sont aussi très utiles pour construire des monoı̈des comaximaux.
Lemme 1.27 (calculs immédiats)
(1) (associativité) Si les monoı̈des S1 , . . . , Sn de l’anneau A recouvrent le monoı̈de S et si
chaque S` est recouvert par des monoı̈des S`,1 , . . . , S`,m` , alors les S`,j recouvrent S.
(2) (transitivité) Soit S un monoı̈de de l’anneau A et S1 , . . . , Sn des monoı̈des comaximaux de l’anneau localisé AS . Pour ` = 1, . . . , n soit V` le monoı̈de de A formé par les
numérateurs des éléments de S` . Alors les monoı̈des V1 , . . . , Vn recouvrent S.
Lemme 1.28 Soit U et I des parties de l’anneau A et a ∈ A, alors les monoı̈des S(I, a; U ) et
S(I; a, U ) recouvrent le monoı̈de S(I; U ).
14

Preuve.
Pour x ∈ S(I; U, a) et y ∈ S(I, a; U ) on doit trouver une combinaison linéaire x1 x + y1 y ∈
S(I; U ) (x1 , y1 ∈ A). On écrit x = u1 ak + j1 , y = (u2 + j2 ) − (az) avec u1 , u2 ∈ M(U ),
j1 , j2 ∈ I(I), z ∈ A. L’identité fondamentale ck − dk = (c − d) × · · · donne un y2 ∈ A tel que
y2 y = (u2 + j2 )k − (az)k = (u3 + j3 ) − (az)k et on écrit z k x + u1 y2 y = u1 u3 + u1 j3 + j1 z k = u4 + j4 .
2
Corollaire 1.29 Soient a1 , . . . , an ∈ A. Soit Sk = S((ui )i>k ; uk ) (k = 1, . . . , n), S0 =
S((ui )i=1,...,n ; 1). Alors les monoı̈des S0 , S1 , . . . , Sn sont comaximaux.
Les monoı̈des comaximaux constituent un outil constructif qui permet en général de remplacer des arguments abstraits de type local-global par des calculs explicites. Si S1 , . . . , Sn sont
des monoı̈des comaximaux de l’anneau A, l’anneau produit des localisés ASi est une A-algèbre
fidèlement plate. Donc de très nombreuses propriétés sont vraies avec A si et seulement si elles
le sont avec chacun des ASi .
Nous le vérifions pour la dimension de Krull dans le paragraphe suivant.
Caractère local de la dimension de Krull
La proposition suivante est immédiate.
Proposition 1.30 Soit A un anneau. Sa dimension de Krull est toujours supérieure ou égale
à celle d’un quotient ou d’un localisé de A. Plus précisément toute chaı̂ne idéale élémentaire
qui collapse dans A collapse dans tout quotient et dans tout localisé de A, et toute chaı̂ne idéale
élémentaire dans un localisé de A est équivalente (dans le localisé) à une chaı̂ne idéale élémentaire écrite dans A. Enfin, si une chaı̂ne idéale élémentaire (a1 , . . . , a` ) de A collapse dans un
localisé AS , il existe m dans S tel que (a1 , . . . , a` ) collapse dans A[1/m].
Proposition 1.31 Soient S1 , . . . , Sn des monoı̈des comaximaux de l’anneau A et C une chaı̂ne
idéale dans A. Alors C collapse dans A si et seulement si elle collapse dans chacun des ASi .
En particulier la dimension de Krull de A est ≤ ` si et seulement si la dimension de Krull de
chacun des ASi est ≤ `.
Preuve.
Il faut montrer qu’une chaı̂ne idéale C collapse dans A si elle collapse dans chacun des ASi .
Pour simplifier prenons une chaı̂ne de longueur 2 : ((J0 , U0 ), (J1 , U1 ), (J2 , U2 )) avec des idéaux
Jk et des monoı̈des Uk . Dans chaque ASi on a une égalité
u0,i u1,i u2,i + u0,i u1,i j2,i + u0,i j1,i + j0,i = 0
avec uk,i ∈ Uk et jk,i ∈ Jk ASi . Après avoir chassé les dénominateurs et multiplié par un élément
convenable de Si on obtient une égalité dans A du type suivant
0
0
0
si u0,i u1,i u2,i + u0,i u1,i j2,i
+ u0,i j1,i
+ j0,i
=0
Q
0
avec si ∈ Si , uk,i ∈ Uk et jk,i
∈ Jk . On pose uk = i uk,i . En multipliant l’égalité précédente
par un produit convenable on obtient une égalité
00
00
00
+ u0 j1,i
+ j0,i
=0
si u0 u1 u2 + u0 u1 j2,i
P
00
avec si ∈ Si , uk ∈ Uk et jk,i
∈ Jk . Il reste à écrire i ai si = 1, à multiplier l’égalité correspondant
à Si par ai et à faire la somme.
2

15

Exemple d’application
En mathématiques classiques la dimension de Krull d’un anneau est la borne supérieure
des dimensions de Krull des localisés en tous les idéaux maximaux. Cela résulte facilement (en
mathématiques classiques) des propositions 1.30 et 1.31.
La proposition 1.31 devrait permettre d’obtenir constructivement les mêmes conséquences
concrètes (que celles qu’on obtient non constructivement en mathématiques classiques en appliquant la propriété ci-dessus) même lorsqu’on n’a pas accès aux idéaux premiers.
Nous nous contentons ici d’un exemple simple, dans lequel on a accès aux idéaux premiers. Supposons que nous ayions une preuve constructive simple que la dimension de Krull de
Z(p) [x1 , . . . , x` ] est ≤ ` + 1 (p est un nombre premier arbitraire, et Z(p) est le localisé de Z en
pZ). Alors nous pouvons en déduire le même résultat pour A = Z[x1 , . . . , x` ] en appliquant le
principe local-global précédent.
Soit en effet une liste (a1 , . . . , a`+2 ) dans A. Le collapsus de la chaı̂ne idéale élémentaire
(a1 , . . . , a`+2 ) dans Z(2) [x1 , . . . , x` ] se relit comme un collapsus dans Z[1/m0 ][x1 , . . . , x` ] pour
un certain m0 impair. Pour chacun des diviseurs premiers pi de m (i = 1, . . . , k), le collapsus de la chaı̂ne idéale élémentaire (a1 , . . . , a`+2 ) dans Z(pi ) se relit comme un collapsus dans
Z[1/mi ][x1 , . . . , x` ] pour un certain mi étranger à pi . Les entiers mi (i = 0, . . . , k) engendrent
l’idéal h1i, donc les monoı̈des M(mi ) sont comaximaux et on peut appliquer la proposition
1.31.

2
2.1

Treillis distributifs, relations implicatives et dimension
de Krull
Treillis distributifs, idéaux, filtres et spectre

Un treillis distributif est un ensemble ordonné avec sup et inf finis, un élément minimum
(noté 0) et un élément maximum (noté 1). On demande que les lois sup et inf soient distributives
l’une par rapport à l’autre (une distributivité implique l’autre). On note ces lois ∨ et ∧ . La
relation a ≤ b peut être définie par a ∨ b = b. La théorie des treillis distributifs est alors
purement équationnelle. Il y a donc des treillis distributifs définis par générateurs et relations.
Une règle particulièrement importante, dite coupure, est la suivante
(((x ∧ a) ≤ b) & (a ≤ (x ∨ b))) =⇒ a ≤ b
pour la démontrer on écrit x ∧ a ∧ b = x ∧ a et a = a ∧ (x ∨ b) donc
a = (a ∧ x) ∨ (a ∧ b) = (a ∧ x ∧ b) ∨ (a ∧ b) = a ∧ b
Un ensemble totalement ordonné est un treillis distributif s’il possède un maximum et un
minimum. On note n un ensemble totalement ordonné à n éléments (c’est un treillis distributif
si n 6= 0.) Tout produit de treillis distributifs est un treillis distributif. Les entiers naturels,
munis de la relation de divisibilité, forment un treillis distributif (mais le minimum absolu est
1 et le maximum absolu est 0). Si T et T 0 sont deux treillis distributifs, l’ensemble Hom(T, T 0 )
des homomorphismes (applications conservant, sup, inf, 0 et 1) de T vers T 0 est muni d’une
structure d’ordre naturelle donnée par
ϕ≤ψ

def

⇐⇒

∀x ∈ T ϕ(x) ≤ ψ(x)

Une application entre deux treillis totalement ordonnés T et S est un homomorphisme si et
seulement si elle est croissante et 0T et 1T ont pour images 0S et 1S .
La proposition suivante est facile.
16

Proposition 2.1 Soit T un treillis distributif et J une partie de T . On considère le treillis
distributif T 0 engendré par T et par les relations x = 0 pour les x ∈ J (T 0 est un quotient de
T ). Alors
— la classe d’équivalence de 0 est l’ensemble des a qui vérifient, pour au moins une partie
finie J0 de J :
_
a ≤
x dans T
x∈J0

— la classe d’équivalence de 1 est l’ensemble des b qui vérifient, pour au moins une partie
finie J0 de J :
!
_
1 = b ∨
x
dans T
x∈J0

— Plus généralement on a a ≤T 0 b si et seulement si il existe une partie finie J0 de J telle
que, dans T :
!
_
a ≤ b ∨
x
x∈J0

Dans la proposition ci-dessus la classe d’équivalence de 0 est appelée un idéal du treillis,
c’est l’idéal engendré par J. On le note hJiT . On vérifie sans difficulté qu’un idéal I est soumis
aux seules contraintes suivantes :
0∈I
x, y ∈ I =⇒ x ∨ y ∈ I
x ∈ I, z ∈ T =⇒ x ∧ z ∈ I
(la dernière se réécrit (x ∈ I, y ≤ x) ⇒ y ∈ I).
En outre pour tout homorphisme de treillis distributifs ϕ : T1 → T2 , ϕ−1 (0) est un idéal de
T1 .
Un idéal principal est un idéal engendré par un élément a. On a haiT = {x ∈ T ; x ≤ a}.
Tout idéal de type fini est principal.
La notion duale de celle d’idéal est la notion de filtre. Un filtre F est l’image réciproque de
1 par un homomorphisme de treillis distributifs. Il est soumis aux seules contraintes
1∈F
x, y ∈ F =⇒ x ∧ y ∈ F
x ∈ F, z ∈ T =⇒ x ∨ z ∈ F

Notation 2.2 On note Pf (X) l’ensemble des parties finies de l’ensemble X. Si A est une partie
finie d’un treillis distributif T on notera
_
_
^
^
A :=
x
et
A :=
x
x∈A

x∈A

On note A ` B ou A `T B la relation définie comme suit sur l’ensemble Pf (T ) des parties finies
d’un treillis distributif T .
^
_
def
A ` B
⇐⇒
A ≤
B
Notez que la relation A ` B est bien définie sur l’ensemble des parties finies parce que les lois
∧ et ∨ sont associatives commutatives et idempotentes. Notez que ∅ ` {x} ⇒ x = 1 et
17

{y} ` ∅ ⇒ y = 0. Cette relation vérifie les axiomes suivants, dans lesquels on écrit x pour
{x} et A, B pour A ∪ B.
A ` B
(A, x ` B) & (A ` B, x)

=⇒
=⇒

a ` a
A, A0 ` B, B 0
A ` B

(R)
(M )
(T )

on dit que la relation est réflexive, monotone et transitive. La troisième règle (transitivité)
s’appelle aussi la règle de coupure. Signalons aussi les deux règles suivantes de “distributivité” :
(A, x ` B) & (A, y ` B)
(A ` B, x) & (A ` B, y)

⇐⇒
⇐⇒

A, x ∨ y ` B
A ` B, x ∧ y

La proposition suivante est un corollaire de la proposition 2.1.
Proposition 2.3 Soit T un treillis distributif et (J, U ) un couple de parties de T . On considère
le treillis distributif T 0 engendré par T et par les relations x = 0 pour les x ∈ J et y = 1 pour
les y ∈ U (T 0 est un quotient de T ). Alors
— la classe d’équivalence de 0 est l’ensemble des a qui vérifient :
∃J0 ∈ Pf (J), U0 ∈ Pf (U )

a, U0 `T J0

— la classe d’équivalence de 1 est l’ensemble des b qui vérifient :
∃J0 ∈ Pf (J), U0 ∈ Pf (U )

U0 `T b, J0

— Plus généralement on a a ≤T 0 b si et seulement si il existe une partie finie J0 de J et
une partie finie U0 de U telles que, dans T :
a, U0 `T b, J0
Nous noterons T /(J = 0, U = 1) le treillis quotient T 0 décrit à la proposition 2.3. Soit
ψ : T → T 0 la projection canonique. Si I est l’idéal ψ −1 (0) et F le filtre ψ −1 (1), on dit que
l’idéal I et le filtre F sont conjugués. D’après la proposition précédente, un idéal I et un filtre
F sont conjugués si et seulement si on a :
[x ∈ T, I0 ∈ Pf (I), F0 ∈ Pf (F ), (x, F0 ` I0 )] =⇒ x ∈ I
[x ∈ T, I0 ∈ Pf (I), F0 ∈ Pf (F ), (F0 ` x, I0 )] =⇒ x ∈ F

et

Cela peut se reformuler comme suit :
(f ∈ F, x ∧ f ∈ I) =⇒ x ∈ I

et (j ∈ I, x ∨ j ∈ F ) =⇒ x ∈ F

Lorsqu’un idéal I et un filtre F sont conjugués, on a
1 ∈ I ⇐⇒ 0 ∈ F ⇐⇒ (I, F ) = (T, T )
On notera aussi T 0 = T /(J = 0, U = 1) par T /(I, F ). D’après la proposition 2.3, tout homomorphisme ϕ de T vers un autre treillis distributif T1 vérifiant ϕ(J) = {0} et ϕ(U ) = {1} se
factorise de manière unique par le treillis quotient T 0 .
On voit sur l’exemple des ensembles totalement ordonnés qu’une structure quotient d’un
treillis distributif n’est pas en général caractérisée par les classes d’équivalence de 0 et 1.
18

Classiquement un idéal premier I d’un treillis T 6= 1 est un idéal dont le complémentaire F
est un filtre (qui est alors un filtre premier). En mathématiques classiques il revient au même
de dire que
1∈
/I
et
(x ∧ y) ∈ I =⇒ (x ∈ I ou y ∈ I)
(∗)
ou encore de dire que I est le noyau d’un homorphisme de T vers le treillis à deux éléments,
noté 2. En mathématiques constructives il semble logique de choisir la définition (∗) qui est
moins contraignante, mais en donnant sa pleine signification constructive au “ou”. On définit
la notion de filtre premier de manière duale.
On appelle spectre du treillis distributif T et on note Spec(T ) l’ensemble ordonné Hom(T, 2).
Lorsque T 6= 1 il revient au même de considérer l’ensemble des idéaux premiers détachables
de T . La relation d’ordre correspond alors à l’inclusion renversée des idéaux premiers. On a
Spec(2) ' 1, Spec(3) ' 2, Spec(4) ' 3, etc. . .
Définition 2.4 Soit T un treillis distributif.
— Un premier idéal dans T est donné par un couple (J, U ) de parties de T . Nous le
considérons comme une spécification incomplète pour un idéal premier P qui vérifie
J ⊆ P et U ∩ P = ∅. Il est dit fini si J et U sont finis, trivial si J = U = T .
— Un premier idéal (J, U ) est dit saturé si J est un idéal, U un filtre et si J et U sont
conjugués. Tout premier idéal engendre un premier idéal saturé (I, F ) décrit à la proposition 2.3.
— On dit que le premier idéal (J, U ) collapse ou s’effondre si le premier idéal saturé (I, F )
qu’il engendre est trivial. Autrement dit le treillis quotient T 0 = T /(J = 0, U = 1) est
réduit à un point, c’est-à-dire 1 ≤T 0 0, ce qui signifie qu’il existe une partie finie J0 de
J et une partie finie U0 de U telles que
U0 ` J0
On a le théorème suivant analogue au théorème 1.8.
Théorème 2.5 (Collapsus simultané pour les premiers idéaux) Soit un premier idéal (J, U ) et
un élement x dans un treillis distributif T .
(1) Si les premiers idéaux (J ∪ {x}, U ) et (J, U ∪ {x}) collapsent, alors (J, U ) collapse
également.
(2) Le premier idéal (J, U ) engendre un premier idéal saturé minimum. Celui-ci s’obtient
en rajoutant dans U (resp. J) tout élément x ∈ A tel que le premier idéal (J ∪ {x}, U )
(resp. (J, U ∪ {x})) collapse.
Preuve.
Voyons le point (1). On a des parties finies J0 , J1 de J et des parties finies U0 , U1 de U telles
que
x, U0 ` J0 et U1 ` x, J1
donc
x, U0 , U1 ` J0 , J1

et U0 , U1 ` x, J0 , J1

Donc, par coupure,
U0 , U1 ` J0 , J1
Le point (2) a déjà été démontré (avec une formultaion légèrement différente) dans la proposition
2.3.
2
19

On remarquera le role décisif de la règle de coupure.
On en déduit.
Proposition 2.6 Le théorème de complétude de Gödel implique le résultat suivant. Si (J, U )
est un premier idéal qui ne collapse pas, il existe ϕ ∈ Spec(T ) tel que J ⊆ ϕ−1 (0) et U ⊆ ϕ−1 (1).
En particulier si a 6≤ b, il existe ϕ ∈ Spec(T ) tel que ϕ(a) = 1 et ϕ(b) = 0. Également, si T 6= 1,
Spec(T ) est non vide.
Un corollaire est le théorème de représentation suivant (théorème de Birkhoff)
Théorème 2.7 (Théorème de représentation) Le théorème de complétude de Gödel implique le
résultat suivant. L’application θT : T → P(Spec(T )) définie par a 7→ {ϕ ∈ Spec(T ) ; ϕ(a) = 1}
est un homomorphisme injectif de treillis distributifs. Autrement dit, tout treillis distributif peut
être représenté comme un treillis de parties d’un ensemble.
Sous une forme voisine on peut dire : tout treillis distributif peut être vu comme un sous
treillis distributif d’un treillis d’ensemble de parties. Un autre corollaire est le suivant.
Proposition 2.8 Le théorème de complétude de Gödel implique le résultat suivant. Soit
ϕ : T → T 0 un homomorphisme de treillis distributifs. Alors ϕ est injectif si et seulement
si Spec(ϕ) : Spec(T 0 ) → Spec(T ) est surjectif.
Preuve.
On a l’équivalence
a 6= b

⇐⇒

a ∧ b 6= a ∨ b

⇐⇒

a ∨ b 6≤ a ∧ b

Supposons que Spec(ϕ) est surjectif. Si a 6= b dans T , soit a0 = ϕ(a), b0 = ϕ(b) et ψ ∈ Spec(T )
tel que ψ(a ∨ b) = 1 et ψ(a ∧ b) = 0. Puisque Spec(ϕ) est surjectif il existe ψ 0 ∈ Spec(T 0 ) tel
que ψ = ψ 0 ϕ donc ψ 0 (a0 ∨ b0 ) = 1 et ψ 0 (a0 ∧ b0 ) = 0, donc a0 ∨ b0 6≤ a0 ∧ b0 et a0 6= b0 .
Supposons que ϕ est injectif. On identifie T à un sous treillis distributif de T 0 . Si ψ ∈ Spec(T ),
soient I = ψ −1 (0) et F = ψ −1 (1). Alors (I, F ) ne peut pas collapser dans T 0 car cela le ferait
collapser dans T . Donc il existe ψ 0 ∈ Spec(T 0 ) tel que ψ 0 (I) = 0 et ψ 0 (F ) = 1, ce qui signifie
ψ = ψ 0 ϕ.
2
Naturellement, il est difficile d’attribuer un contenu calculatoire (autre que le théorème 2.5)
aux trois résultats précédents. Une solution intuitive est de dire qu’on ne risque sûrement pas
de se tromper en faisant comme si un treillis distributif donné T était un sous treillis distributif
d’un ensemble de parties. Le but du programme de Hilbert est de donner un contenu précis à
cette affirmation intuitive. Que faut-il entendre précisément par “ne risquer sûrement pas de se
tromper” et par “en faisant comme si” ?

2.2

Treillis distributifs et relations implicatives

Une manière intéressante d’aborder la question des treillis distributifs définis par générateurs
et relations est de considérer la relation A ` B définie sur l’ensemble Pf (T ) des parties finies
d’un treillis distributif T . En effet, si S ⊆ T engendre T comme treillis, alors la connaissance de
la relation ` sur Pf (S) suffit à caractériser sans ambigüité le treillis T , car toute formule sur
S peut être réécrite, au choix, en forme normale conjonctive (inf de sups dans S) ou normale
disjonctive (sup de infs dans S). Donc si on veut comparer deux éléments du treillis engendré
par S on écrit le premier en forme normale disjonctive, le second en forme normale conjonctive,
et on remarque que
_ ^ 
^ _ 
Ai ≤
Bj
⇐⇒
&(i,j)∈I×J (Ai ` Bj )
i∈I

j∈J

20

Définition 2.9 Pour un ensemble S arbitraire, une relation sur Pf (S) qui est réflexive, monotone et transitive (voir page 18) est appelée une relation implicative (en anglais entailment
relation).
L’origine des relations implicatives est dans le calcul des séquents de Gentzen, qui mit le
premier l’accent sur la règle (T ) (la coupure). Le lien avec les treillis distributifs a été mis en
valeur dans [2, 4]. Le théorème suivant (cf. [2]) est fondamental. Il dit que les trois propriétés
des relations implicatives sont exactement ce qu’il faut pour que l’interprétation en forme de
treillis distributif soit adéquate.
Théorème 2.10 (théorème fondamental des relations implicatives) On considère un ensemble
S avec une relation implicative `S sur Pf (S). On considère le treillis distributif T défini par
générateurs et relations comme suit : les générateurs sont les éléments de S et les relations sont
les
A `T B
chaque fois que A `S B. Alors pour toutes parties finies A et B de S on a
A `T B =⇒ A `S B
Preuve.
On donne une description explicite possible du treillis distributif T . Les éléments de T sont
représentés par des ensembles finis d’ensembles finis d’éléments de S
X = {A1 , . . . , An }
V
V
(intuitivement X représente A1 ∨ · · · ∨ An ). On définit
alors
V
W deVmanière inductive la
relation A ≺ Y pour A ∈ Pf (S) et Y ∈ T (intuitivement, A ≤ C∈Y ( C)) comme suit
— si B ∈ Y et B ⊆ A alors A ≺ Y
— si on a A `S y1 , . . . , ym et A, yj ≺ Y pour j = 1, . . . , m alors A ≺ Y
On montre facilement que si A ≺ Y et A ⊆ A0 alors on a A0 ≺ Y. On en déduit que A ≺ Z si
A ≺ Y et B ≺ Z pour tout B ∈ Y . On peut alors définir X ≤ Y par A ≺ Y pour tout A ∈ X
et on vérifie que T est alors un treillis distributif 4 pour les opérations
0=∅

1 = {∅}

X ∨Y =X ∪Y

X ∧ Y = {A ∪ B | A ∈ X, B ∈ Y }

Pour ceci on montre que si C ≺ X et C ≺ Y alors on a C ≺ X ∧ Y par induction sur les
preuves de C ≺ X et C ≺ Y .
On remarque alors que si A `S y1 , . . . , ym et A, yj `S B pour tout j alors A `S B en utilisant
m fois la règle de coupure. Il en résulte que si on a A `T B, c’est à dire A ≺ {{b} | b ∈ B},
alors on a A `S B.
2
Comme première application, nous pouvons citer la description du treillis booléen engendré
par un treillis distributif. Rappelons qu’un treillis booléen est un treillis distributif muni d’une
loi x 7→ x qui vérifie, pour tout x : x ∧ x = 0 et x ∨ x = 1. L’application x 7→ x est alors un
isomorphisme du treillis sur son dual.
Proposition 2.11 Soit T un treillis distributif (6= 1). Il existe un treillis booléen engendré par
T . Il peut être décrit comme le treillis distributif engendré par l’ensemble T1 = T ∪ T ( 5 ) muni
4. T est en fait le quotient de Pf (Pf (S)) par la relation d’équivalence : X ≤ Y et Y ≤ X.
5. T est une copie de T disjointe de T .

21

de la relation implicative `T1 définie comme suit : si A, B, A0 , B 0 sont quatre parties finies de
T on a
def
A, B `T1 A0 , B 0 ⇐⇒ A, B 0 ` A0 , B dans T
Si on note TBool ce treillis (qui est booléen), T1 s’injecte naturellement dans TBool et la relation
implicative associée à TBool induit sur T1 la relation `T1 .
Preuve.
Voir [2].

2

Notez que d’après le théorème 2.10 on a x `T y si et seulement si x `T1 y donc l’homomorphisme canonique T → T1 est injectif et T s’identifie à une partie de T1 .

2.3

Dimension de Krull des treillis distributifs

Pour développer une théorie constructive de la dimension de Krull d’un treillis distributif
T il faut trouver un substitut constructif aux chaı̂nes croissantes d’idéaux premiers.
On peut le faire selon les mêmes lignes que ce qui a été développé pour les anneaux commutatifs dans la section 1, ou bien utiliser une idée de Joyal. Construire un treillis Kr` (T )
universel attaché à T tel que les points de Spec( Kr` (T )) soient (de manière naturelle) les
chaı̂nes d’idéaux premiers de longueur `. Nous allons exposer ces deux points de vue et montrer
qu’ils sont isomorphes.
Chaı̂nes partiellement spécifiées d’idéaux premiers
Définition 2.12 Dans un treillis distributif T
— Une spécification partielle pour une chaı̂ne d’idéaux premiers (ce que nous abrégeons en
chaı̂ne idéale) est définie comme suit. Une chaı̂ne idéale de longueur ` est un liste de
` + 1 premiers idéaux de T : C = ((J0 , U0 ), . . . , (J` , U` )). La chaı̂ne idéale est dite finie si
toutes les parties sont finies. Une chaı̂ne idéale de longueur 0 n’est autre qu’un premier
idéal.
— Une chaı̂ne idéale est dite saturée si les (Ji , Ui ) sont des couples d’idéaux et filtres
conjugués, et si on a les relations Ji ⊆ Ji+1 , Ui+1 ⊆ Ui (i = 0, . . . , ` − 1).
— On dit qu’une chaı̂ne idéale C 0 = ((J00 , U00 ), . . . , (J`0 , U`0 )) est un raffinement de la chaı̂ne
idéale C = ((J0 , U0 ), . . . , (J` , U` )) si on a Jk ⊆ Jk0 , Uk ⊆ Uk0 ,
— On dit qu’une chaı̂ne idéale C collapse ou encore s’effondre si la seule chaı̂ne idéale
saturée qui raffine C est la chaı̂ne idéale triviale ((T, T ), . . . , (T, T )).
Lemme 2.13 Une chaı̂ne idéale C = ((J0 , U0 ), . . . , (J` , U` )) dans laquelle on a Uh0 ` Jh0 avec
Uh0 ∈ Pf (Uh ) et Jh0 ∈ Pf (Jh ) (en particulier si Uh ∩ Jh 6= ∅) pour un indice h collapse.
Preuve.
Soit ((I0 , F0 ), . . . , (I` , F` )) une chaı̂ne idéale saturée qui raffine C. Puisque le premier idéal
(Ih , Fh ) collapse et puisque Ih et Fh sont conjugués, on a 1 ∈ Ih et 0 ∈ Fh . Pour tout indice
j > h on a donc 1 ∈ Ij donc 0 ∈ Fj . De même pour tout indice j < h on a 0 ∈ Fj donc 1 ∈ Ij .
2
Dans le théorème suivant les points (3) et (2) sont analogues à (1) et (2) dans le théorème
1.14.
Théorème 2.14 (Collapsus simultané pour les chaı̂nes idéales dans les treillis distributifs)
Soit une chaı̂ne idéale C = ((J0 , U0 ), . . . , (J` , U` )) dans un treillis distributif T.
22

(1) La chaı̂ne idéale C collapse si et seulement si il existe x1 , . . . , x` ∈ T et une chaı̂ne idéale
finie C 0 = ((J00 , U00 ), . . . , (J`0 , U`0 )) dont C est un raffinement, avec les relations suivantes
dans T (où ` est la relation implicative de T ) :
x1 , U00
x2 , U10
..
.
0
x` , U`−1
U`0

` J00
` J10 , x1
..
..
.
.
0
` J`−1 , x`−1
` J`0 , x`

(2) La chaı̂ne idéale C engendre une chaı̂ne idéale saturée minimum. Celle-ci s’obtient en
rajoutant dans Ui (resp. Ji ) tout élément a ∈ A tel que la chaı̂ne idéale ((J0 , U0 ), . . . , (Ji ∪
{a}, Ui ), . . . , (J` , U` )) (resp. ((J0 , U0 ), . . . , (Ji , Ui ∪ {a}), . . . , (J` , U` ))) collapse.
(3) Soit x ∈ T . Supposons que les chaı̂nes idéales ((J0 , U0 ), . . . , (Ji ∪ {x}, Ui ), . . . , (J` , U` ))
et ((J0 , U0 ), . . . , (Ji , Ui ∪{x}), . . . , (J` , U` )) s’effondrent toutes les deux, alors C s’effondre
également.
Preuve.
Voyons d’abord les deux premiers points. Il n’est pas vraiment restrictif de supposer que la
chaı̂ne idéale C est finie, car une fois le résultat établi dans ce cas, on passe au cas général en
regardant la chaı̂ne idéale donnée comme limite inductive des chaı̂nes idéales finies dont elle
est un raffinement. Nous supposons donc C finie. Nous remarquons alors que nous pouvons
systématiquement remplacer Ui0 par Ui et Ji0 par Ji . Soit C1 = ((I0 , F0 ), . . . , (I` , F` )) la chaı̂ne
idéale construite en (2). On va démontrer
(α) Si C vérifie les inégalités données en (1) toute chaı̂ne idéale saturée qui raffine C est
triviale (i.e., C collapse).
(β) La chaı̂ne idéale C1 est bien saturée.
(γ) Toute chaı̂ne idéale saturée qui raffine C raffine également C1 .
(δ) Si C1 est triviale, C vérifie les inégalités données en (1).
Cela suffira bien à montrer (1) et (2).
(α) Soit ((I00 , F00 ), . . . , (I`0 , F`0 )) une chaı̂ne idéale saturée qui raffine C. Considérons les inégalités
données dans (1)
x1 , U0 ` J0
x2 , U1 ` J1 , x1
..
..
..
.
.
.
x` , U`−1
U`

` J`−1 , x`−1
` J` , x`

Puisque I00 et F00 sont conjugués, la première inégalité donne x1 ∈ I00 . Donc x1 ∈ I10 , Donc la
deuxième inégalité donne x2 ∈ I10 . En poursuivant, on obtient à la dernière inégalité U` ` J` , x` .
avec x` ∈ I`0 , d’où le collapsus (lemme 2.13).
(β) Nous faisons la preuve avec ` = 3. Montrons d’abord que les Ij sont des idéaux. Nous
faisons la preuve avec j = 1. Pour montrer 0 ∈ I1 on prend x1 = 0, x2 = x3 = 1. De même
pour montrer J1 ⊆ I1 on prend un x ∈ J1 et x1 = 0, x2 = x3 = 1. Le fait que x ∈ I1 et y ≤ x
impliquent y ∈ I1 est immédiat : on garde les mêmes xi . Supposons maintenant x, y ∈ I1 et
montrons x ∨ y ∈ I1 . Par hypothèse nous avons des xi et yi vérifiant les inégalités suivantes.
x1 , U 0
x2 , U 1 , x
x3 , U 2
U3

`
`
`
`

J0
J1 , x1
J2 , x2
J3 , x3

y1 , U 0
y2 , U 1 , y
y3 , U 2
U3
23

`
`
`
`

J0
J1 , y1
J2 , y2
J3 , y3

On en déduit, en utilisant la distributivité
(x1 ∨ y1 ), U0
(x2 ∧ y2 ), U1 , (x ∨ y)
(x3 ∧ y3 ), U2
U3

`
`
`
`

J0
J1 , (x1 ∨ y1 )
J2 , (x2 ∧ y2 )
J3 , (x3 ∧ y3 )

Montrons maintenant que idéaux et filtres sont conjugués. par exemple avec I1 et F1 . Nous
supposons x ∧ y ∈ I1 , y ∈ F1 et nous montrons x ∈ I1 . Par hypothèse nous avons des xi et yi
vérifiant les inégalités suivantes.
x1 , U 0
x2 , U1 , (x ∧ y)
x3 , U 2
U3

`
`
`
`

J0
J1 , x1
J2 , x2
J3 , x3

y1 , U 0
y2 , U 1
y3 , U 2
U3

`
`
`
`

J0
J1 , y1 , y
J2 , y2
J3 , y3

On en déduit, en utilisant la distributivité
(x1 ∨ y1 ), U0
(x2 ∧ y2 ), U1 , x, y
(x2 ∧ y2 ), U1 , x
(x3 ∧ y3 ), U2
U3

`
`
`
`
`

J0
J1 ,
J1 ,
J2 ,
J3 ,

(x1
(x1
(x2
(x3

∨
∨
∧
∧

y1 )
y1 ), y
y2 )
y3 )

Les inégalités no 2 et 3 donnent par coupure
(x2 ∧ y2 ), U1 , x

` J1 , (x1 ∨ y1 )

La preuve est complète.
(γ) Nous faisons la preuve avec ` = 3. Soit ((I00 , F00 ), . . . , (I30 , F30 )) une chaı̂ne idéale saturée qui
raffine C. Montrons par exemple I1 ⊆ I10 . Soit x ∈ I1 , on a donc
x1 , U 0
x, x2 , U1
x3 , U 2
U3

`
`
`
`

J0
J1 , x1
J2 , x2
J3 , x3

On en déduit successivement x1 ∈ I00 ⊆ I10 , x3 ∈ F30 ⊆ F20 , x2 ∈ F20 ⊆ F10 , et enfin x ∈ I10 .
Remarquez que la preuve du point (α) peut être vue comme un cas particulier de celle du
point (γ).
(δ) est immédiat
Prouvons enfin (3). Nous avons x ∈ Ii et x ∈ Fi , donc C1 collapse (lemme 2.13). Donc C collapse.
2
Définition 2.15
— Deux chaı̂nes idéales qui engendrent la même chaı̂ne idéale saturée sont dites
équivalentes.
— Une chaı̂ne idéale équivalente à une chaı̂ne idéale finie est appelée une chaı̂ne idéale de
type fini.
— Une chaı̂ne idéale est dite stricte si on a Vi ∩ Ii+1 6= ∅ (i = 0, . . . , ` − 1) dans la chaı̂ne
idéale saturée qu’elle engendre.
24

— Une chaı̂ne idéale saturée C = ((J0 , U0 ), . . . , (J` , U` )) est dite figée si elle ne collapse pas
et si on a Ji ∪ Ui = T pour i = 0, . . . , `. Une chaı̂ne idéale est dite figée si sa saturée
est figée. Donner une chaı̂ne idéale figée (stricte) revient donc à donner une chaı̂ne
(strictement) croissante d’idéaux premiers détachables.
Nous regardons une chaı̂ne idéale de longueur ` comme une spécification partielle pour une
chaı̂ne croisssante d’idéaux premiers P0 , . . . , P` vérifiant Ji ⊆ Pi , Ui ∩ Pi = ∅, (i = 0, . . . , `).
Du théorème de collapsus simultané on déduit le résultat suivant qui justifie cette idée de
spécification partielle.
Théorème 2.16 (Nullstellensatz formel pour les chaı̂nes d’idéaux premiers dans un treillis
distributif) Le théorème de complétude de Gödel implique le résultat suivant. Soit T un treillis distributif et ((J0 , U0 ), . . . , (J` , U` )) une chaı̂ne idéale dans T . Les propriétés suivantes sont
équivalentes :
(a) Il existe ` + 1 idéaux premiers P0 ⊆ · · · ⊆ P` tels que Ji ⊆ Pi , Ui ∩ Pi = ∅, (i = 0, . . . , `).
(b) La chaı̂ne idéale ne collapse pas.
La preuve est identique à celle du théorème 1.17.
La Théorie de Joyal
L’idée de Joyal est de construire un treillis Kr` (T ) universel attaché à T tel que les points
de Spec( Kr` (T )) soient (de manière naturelle) les chaı̂nes croissantes d’idéaux premiers de
longueur `.
Donner une telle chaı̂ne revient à donner des homomorphismes µ0 ≥ µ1 ≥ · · · ≥ µ` de T
vers 2.
Si donc on a un treillis distributif K et ` + 1 homomorphismes ϕ0 ≥ ϕ1 ≥ · · · ≥ ϕ` de T
vers K tels que, pour tout treillis T 0 et tous ψ0 ≥ ψ1 ≥ · · · ≥ ψ` ∈ Hom(T, T 0 ) on ait une
homomorphisme unique η : K → T 0 vérifiant ηϕ0 = ψ0 , ηϕ1 = ψ1 , . . ., ηϕ` = ψ` , alors on
aura les éléments de Spec(K) qui s’identifient naturellement aux chaı̂nes d’idéaux premiers de
longueur ` dans T .
L’avantage est que K est toujours un objet qu’on peut construire explicitement à partir de
T , contrairement aux idéaux premiers et aux spectres.
Le fait qu’un objet universel Kr` (T ) existe toujours de manière constructive résulte de
considérations générales d’algèbre universelle.
La description explicite de Kr` (T ) a été simplifiée par la considération des relations implicatives ([2]). Plus précisément on a le théorème suivant
Théorème 2.17 Soit T un treillis distributif. On considère le problème universel suivant, que
nous appelons “problème de Krull” : trouver un treillis distributif K et ` + 1 homomorphismes
ϕ0 ≥ ϕ1 ≥ · · · ≥ ϕ` de T vers K tels que, pour tout treillis T 0 et tous ψ0 ≥ ψ1 ≥ · · · ≥ ψ` ∈
Hom(T, T 0 ) on ait un homomorphisme unique η : K → T 0 vérifiant ηϕ0 = ψ0 , ηϕ1 = ψ1 , . . .,
ηϕ` = ψ` . Ce problème universel admet une solution (unique à isomorphisme unique près). On
note Kr` (T ) le treillis distributif correspondant. Il peut être décrit comme le treillis engendré
par la réunion disjointe S de ` + 1 copies de T (on note ϕi la bijection de T sur la copie indexée
par i) munie de la relation implicative `S définie comme suit. Si Ui et Ji (i = 0, . . . , `) sont des
parties finies de T on a
ϕ0 (U0 ), . . . , ϕ` (U` ) `S ϕ0 (J0 ), . . . , ϕ` (J` )
25

si et seulement si il existe x1 , . . . , x` ∈ T avec les relations suivantes dans T (où ` est la
relation implicative de T ) :
x1 , U 0
x2 , U 1
..
.
x` , U`−1
U`

` J0
` J1 , x 1
..
..
.
.
` J`−1 , x`−1
` J` , x `

Preuve.
On montre d’abord que la relation `S définie sur Pf (S) dans le théorème est bien une relation implicative. Le seul point délicat est la règle de coupure. Pour simplifier les notations, on
prend ` = 3. Il y a alors 3 cas possibles, et on analyse un cas possible, où X, ϕ1 (z) `S Y et
X `S Y, ϕ1 (z), les autres cas étant semblables. Par hypothèse on a x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 tels que
x1 , U 0
x2 , U 1 , z
x3 , U 2
U3

`
`
`
`

J0
J1 , x1
J2 , x2
J3 , x3

y1 , U 0
y2 , U 1
y3 , U2
U3

`
`
`
`

J0
J1 , y1 , z
J2 , y2
J3 , y3

Les deux relations implicatives sur la deuxième ligne donnent
x2 , y 2 , U 1 , z

` J1 , x 1 , y 1

x2 , y 2 , U 1

x2 , y 2 , U 1

` J1 , x1 , y1

` J1 , x1 , y1 , z

donc par coupure

c’est-à-dire
x2 ∧ y 2 , U 1

` J1 , x1 ∨ y1

Finalement, en utilisant la distributivité
(x1 ∨ y1 ), U0
(x2 ∧ y2 ), U1
(x3 ∧ y3 ), U2
U3

`
`
`
`

J0
J1 , (x1 ∨ y1 )
J2 , (x2 ∧ y2 )
J3 , (x3 ∧ y3 )

et donc ϕ0 (U0 ), . . . , ϕ3 (U3 ) `S ϕ0 (J0 ), . . . , ϕ3 (J3 ).
Il reste à voir que le treillis Kr` (T ) défini à partir de (S, `S ) vérifie bien la propriété universelle
voulue. La solution du problème universel posé existe pour des raisons générales d’algèbre
universelle. Et on sait que Kr` (T ) est nécessairement engendré par S. Il suffit donc de définir
la relation implicative la moins contraignante possible (avec la condition que les ϕi forment
une suite croissante d’homomorphismes). Or la relation qui a été définie est clairement une
condition nécessaire. Puisque c’est une relation implicative, c’est bien la moins contraignante
possible.
2
Notez que les homomorphismes ϕi sont injectifs : on voit facilement que pour a, b ∈ T la
relation ϕi (a) `S ϕi (b) implique a ` b, donc ϕi (a) = ϕi (b) implique a = b.
26

Comparaison des deux points de vue
On est frappé par la ressemblance des preuves des théorèmes 2.14 et 2.17. En fait ces deux
théorèmes mis ensemble montrent qu’une chaı̂ne idéale C = ((J0 , U0 ), . . . , (J` , U` )) collapse dans
T si et seulement si le premier idéal P = (ϕ0 (J0 ), . . . , ϕ` (J` ); ϕ0 (U0 ), . . . , ϕ` (U` )) collapse dans
Kr` (T ). Ce n’est pas un hasard : vue la propriété universelle qui définit Kr` (T ) il revient au
même de se donner un idéal premier détachable de Kr` (T ) ou une chaı̂ne croissante d’idéaux
premiers détachables de T (de longueur `). On peut donc considérer qu’on a fait une preuve
inutile.
En mathématiques classiques, on pourrait organiser les choses comme suit. On définirait a
priori le collapsus d’un premier idéal (resp. d’une chaı̂ne idéale) comme signifiant l’impossibilité
d’un raffinement du premier idéal en un idéal premier (resp. de la chaı̂ne idéale en une chaı̂ne
croissante d’idéaux premiers). Les théorèmes de collapsus simultanés (théorèmes 2.5 (1) et
2.14 (3)) sont dans ce cadre immédiats. Par ailleurs, la caractérisation algébrique du collapsus
d’un premier idéal (J, U ) (c’est-à-dire U0 ` J0 pour des parties finies U0 ⊆ U et J0 ⊆ J) est
facile à établir. La description de Kr` (T ) donnée dans le théorème 2.17 implique donc (en tenant
compte de la caractérisation algébrique du collapsus d’un premier idéal) la caractérisation
algébrique du collapsus d’une chaı̂ne idéale, c’est-à-dire le point (1) du théorème 2.14.
En mathématiques constructives, on a défini le collapsus d’un premier idéal (resp. d’une
chaı̂ne idéale) comme signifiant l’impossibilité d’un raffinement du premier idéal en un premier
idéal saturé non trivial 6 (resp. de la chaı̂ne idéale en une chaı̂ne idéale saturée non triviale). Pour
faire résulter la caractérisation algébrique du collapsus d’une chaı̂ne idéale de la caractérisation
algébrique du collapsus d’un premier idéal et de la description de Kr` (T ) (ce qui éviterait de
faire “deux fois la même preuve”) il suffit d’expliquer comment la donnée d’une chaı̂ne idéale
saturée ((I0 , F0 ), . . . , (I` , F` )) de T permet de produire une suite croissante d’homomorphismes
(ψ0 , . . . , ψ` ) de T dans un treillis distributif avec ψk−1 (0) = Ik et ψk−1 (1) = Fk (k = 0, . . . , `). Or
il suffit d’appliquer le lemme suivant.
Lemme 2.18 Soit C = ((I0 , F0 ), . . . , (I` , F` )) une chaı̂ne idéale saturée dans un treillis distributif T . Soit TC le treillis distributif quotient de Kr` (T ) par ϕ0 (I0 ) = · · · = ϕ` (I` ) = 0, ϕ0 (F0 ) =
· · · = ϕ` (F` ) = 1. Soit π la projection canonique de Kr` (T ) sur TC et ψk = π ◦ ϕk . Alors
ψk−1 (0) = Ik et ψk−1 (1) = Fk (k = 0, . . . , `).
Preuve.
Par exemple ψk−1 (0) = {x ∈ T ; ϕk (x) =TC 0} est, par application de la proposition 2.3 égal à

x ∈ T ; ϕk (x), ϕ0 (F0 ), . . . , ϕ` (F` ) ` Kr` (T ) ϕ0 (I0 ), . . . , ϕ` (I` )
c’est-à-dire l’ensemble des x tels qu’il existe x1 , . . . , x` tels que (ci-dessous ` est la relation
implicative de T )
x1 , F0 ` I0
x2 , F1 ` I1 , x1
..
..
..
.
.
.
x, xk+1 , Fk ` Ik , xk
..
..
..
.
.
.
x` , F`−1 ` I`−1 , x`−1
F` ` I` , x`
Comme la chaı̂ne idéale C est saturée on a de proche en proche x1 ∈ I1 ⊆ I2 , x2 ∈ I2 , . . .xk ∈ Ik ,
et x` ∈ F` , . . ., xk+1 ∈ Fk+1 ⊆ Fk , d’où enfin x ∈ Ik .
2
6. A ceci près que la double négation (. . .impossibilité . . .non trivial ) dans la phrase est, naturellement, vue
sous forme d’une affirmation explicite.

27

Définition constructive de la dimension d’un treillis distributif
Puisqu’une chaı̂ne idéale C = ((J0 , U0 ), . . . , (J` , U` )) collapse dans T si et seulement si le premier idéal P = (ϕ0 (J0 ), . . . , ϕ` (J` ); ϕ0 (U0 ), . . . , ϕ` (U` )) collapse dans Kr` (T ), les deux variantes
dans la définition ci-dessous pour la dimension d’un treillis distributif sont bien équivalentes.
Définition 2.19 1) Une chaı̂ne idéale élémentaire dans un treillis distributif T est une chaı̂ne
idéale de la forme suivante
((0, x1 ), (x1 , x2 ), . . . , (x` , 1))
(avec les xi dans T ).
2) Un treillis distributif T est dit de dimension ≤ `−1 s’il vérifie l’une des conditions équivalents
suivantes
— Toute chaı̂ne idéale élémentaire de longueur ` collapse.
— Pour toute suite x1 , . . . , x` ∈ T on a
ϕ0 (x1 ), . . . , ϕ`−1 (x` ) ` ϕ1 (x1 ), . . . , ϕ` (x` )
dans Kr` (T ),
La condition dans (2) est que : ∀x1 , . . . , x` ∈ T

∃a1 , . . . , a` ∈ T tels que

` 0
` a1 , x 1
..
..
.
.
a` , x` ` a`−1 , x`−1
1 ` a` , x `

a1 , x 1
a2 , x 2
..
.

En particulier le treillis distributif T est de dimension ≤ −1 si et seulement si 1 = 0 dans
T , et de dimension ≤ 0 si et seulement si T est une algèbre de Boole (tout élément de T a un
complément).
Nous ne donnerons pas dans le cadre des treillis distributifs de définition pour dim(T ) < `
ni pour dim(T ) ≥ ` et nous nous contenterons de dire que dim(T ) > ` signifie l’impossibilité
de dim(T ) ≤ `. On pourra introduire les mêmes raffinements que dans la section 1.3 lorsqu’on
a une relation d’inégalité dans T qui n’est pas la simple impossibilité de l’égalité.
La deuxième variante est assez sympathique parce qu’elle permet d’obtenir facilement la
caractérisation plus simple suivante.
Lemme 2.20 Un treillis distributif T engendré par une partie S est de dimension ≤ ` − 1 si
et seulement si pour toute suite x1 , . . . , x` ∈ S
ϕ0 (x1 ), . . . , ϕ`−1 (x` ) ` ϕ1 (x1 ), . . . , ϕ` (x` )
dans Kr` (T ).
En effet les règles de distributivité permettent par exemple de déduire
a ∨ a0 , A ` b ∨ b 0 , B
de a, A ` b, B et a0 , A ` b0 , B. Par ailleurs tout élément de T est un inf de sups d’éléments de
S.
On remarquera l’analogie entre la formulation de cette condition et la définition de suite
pseudo régulière 1.18.
28

Connections avec la définition de Joyal
Soit T un treillis distributif, Joyal [6] donne la définition suivante de dim(T ) ≤ ` − 1. Soit
ϕ`i : T → Kr` (T ) les ` + 1 morphismes universels. Par universalité de Kr`+1 (T ), on obtient
` + 1 morphismes σi : Kr`+1 (T ) → Kr` (T ) tels que σi ◦ ϕ`+1
= ϕ`j si j ≤ i et σi ◦ ϕ`+1
= ϕ`j−1
j
j
si j > i. Joyal définit alors dim(T ) ≤ ` par le fait que (σ0 , . . . , σ` ) : Kr`+1 (T ) → Kr` (T )`+1 est
injectif. Cette définition peut se motiver à l’aide de la proposition 2.8 : les éléments dans l’image
de Sp(σi ) sont les chaı̂nes d’ideaux premiers (α0 , . . . , α` ) avec αi = αi+1 , et Sp(σ0 , . . . , σ` ) est
surjectif si et seulement si pour toute chaı̂ne (α0 , . . . , α` ) il existe i < ` tel que αi = αi+1 . Ceci
dit donc exactement qu’il n’y a pas de chaı̂nes d’ideaux premiers non triviales de longueur l + 1.
En utilisant le théorème de complétude de Gödel, on voit donc l’équivalence avec la définition
2.19. Nous allons montrer ici directement l’équivalence avec la définition 2.19.
Théorème 2.21 On a dim(T ) ≤ `, au sens de la définition 2.19, si et seulement si
(σ0 , . . . , σ` ) : Kr`+1 (T ) → Kr` (T )`+1 est injectif.
Preuve.
Pour simplifier les notations, nous nous limitons au cas ` = 2 et nous écrivons φi pour φ2i et
ψi pour φ3i . Notons que l’application σi : Kr3 (T ) → Kr2 (T )3 correspond en termes d’idéaux
premiers aux applications
(α1 , α2 , α3 ) → ((α1 , α1 , α2 , α3 ), (α1 , α2 , α2 , α3 ), (α1 , α2 , α3 , α3 ))
et que, classiquement cette application est surjective sur les chaines croissantes d’idéaux ssi
dim(T ) ≤ 2.
Si (σ0 , σ1 , σ2 ) est injectif on montre que l’on a
ψ0 (x1 ), ψ1 (x2 ), ψ2 (x3 ) ` ψ1 (x1 ), ψ2 (x2 ), ψ3 (x3 )
pour toute suite x1 , x2 , x3 en observant que l’on a pour chaque i
σi ψ0 (x1 ), σi ψ1 (x2 ), σi ψ2 (x3 ) ` σi ψ1 (x1 ), σi ψ2 (x2 ), σi ψ3 (x3 )
car σi ψi+1 (xi ) = φi (xi ) = σi ψi (xi ).
Réciproquement, supposons que l’on a
ψ0 (x1 ), ψ1 (x2 ), ψ2 (x3 ) ` ψ1 (x1 ), ψ2 (x2 ), ψ3 (x3 )
pour toute suite x1 , x2 , x3 et montrons que (σ0 , σ1 , σ2 ) est injectif. On doit montrer que l’on
a X ` Y dans Kr3 (T ) ssi σi (X) ` σi (Y ) dans Kr2 (T ) pour chaque i. Comme Kr3 (T ) est
engendré par ∪ψi (T ) il suffit en fait de montrer que si l’on a
σi ψ0 (a0 ), . . . , σi ψ3 (a3 ) ` σi ψ0 (b0 ), . . . , σi ψ3 (b3 )
pour chaque i alors on a
ψ0 (a0 ), . . . , ψ3 (a3 ) ` ψ0 (b0 ), . . . , ψ3 (b3 )
Pour ceci, on remarque que l’on a par hypothèse
ψ0 (a1 ), . . . , ψ2 (a3 ) ` ψ1 (a1 ), . . . , ψ3 (a3 )
29

et donc, il suffit de montrer
ψ0 (a0 ), . . . , ψi−1 (ai−1 ), ψi+1 (ai ai+1 ), . . . , ψ3 (a3 ) ` ψ0 (b0 ), . . . , ψ3 (b3 )
pour chaque i = 1, 2, 3. Montrons par exemple le cas i = 1 soit
ψ0 (a0 ), ψ2 (a1 a2 ), ψ3 (a3 ) ` ψ0 (b0 ), . . . , ψ3 (b3 )
On a par hypothèse
σ1 ψ0 (a0 ), . . . , σ1 ψ3 (a3 ) ` σ1 ψ0 (b0 ), . . . , σ1 ψ3 (b3 )
ce qui s’écrit
ϕ0 (a0 ), ϕ1 (a1 ), ϕ1 (a2 ), ϕ2 (a3 ) ` ϕ0 (b0 ), ϕ1 (b1 ), ϕ1 (b2 ), ϕ2 (b3 )
soit
ϕ0 (a0 ), ϕ1 (a1 a2 ), ϕ2 (a3 ) ` ϕ0 (b0 ), ϕ1 (b1 b2 ), ϕ2 (b3 )
Par universalité de ϕ0 ≥ ϕ1 ≥ ϕ2 appliquée à ψ0 ≥ ψ2 ≥ ψ3 ceci entraine
ψ0 (a0 ), ψ2 (a1 a2 ), ψ3 (a3 ) ` ψ0 (b0 ), ψ2 (b1 b2 ), ψ3 (b3 )
et comme ψ2 (b1 ) ` ψ1 (b1 ) ceci entraine bien
ψ0 (a0 ), ψ2 (a1 a2 ), ψ3 (a3 ) ` ψ0 (b0 ), ψ1 (b1 ), ψ2 (b2 ), ψ3 (b3 )
2
Connections avec le travail d’Español
Soit T un treillis distributif, Espanõl [6] donne une caractérisation élégante de dim(T ) ≤ `−1
en terme de l’algèbre de Boole engendrée par T . Le but de cette section est de présenter cette
caractérisation et de montrer son équivalence avec la définition 2.19.
La définition 2.19 dit que l’on a dim(T ) ≤ ` − 1 si et seulement si toute chaı̂ne idéale élémentaire (x1 , . . . , x` ) collapse. Le lemme suivant dit que l’on peut se limiter aux chaı̂nes idéales
élémentaires (x1 , . . . , x` ) telles que x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ x` .
Lemme 2.22 Si pour toute suite x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ x` la chaı̂ne idéale élémentaire (x1 , . . . , x` )
collapse alors dim(T ) ≤ ` − 1.
Preuve.
HUM je crois encore qu’il faut permuter droite et gauche, et donner un peu plus de détails,
en tout cas je n’ai pas compris
Soit y1 , . . . , y` une suite arbitraire. On considère alors x1 = y1 , x2 = y1 ∧ y2 , . . . Par
hypothèse on a a1 , . . . , a` tels que 1 = x1 ∨ a1 , 0 = x` ∧ a` et xi ∧ ai ≤ xi+1 ∨ ai+1 . Si on
prend b1 = a1 , b2 = a2 ∧ y1 , . . . on a alors 1 = y1 ∨ b1 , 0 = y` ∧ b` et yi ∧ bi ≤ yi+1 ∨ bi+1 et
donc la chaı̂ne idéale élémentaire (y1 , . . . , y` ) collapse.
2
Nous décrivons maintenant la caractérisation présentée dans [6]. Soit B l’algèbre de Boole
engendrée
par T . Rappelons [16] que tout élément de B peut être décrit comme une union finie
W
(ai − bi ) de différences formelles, avec ai+1 ≤ bi ≤ ai ∈ T. En général, on ne peut rien dire
sur la longueur minimale d’une telle suite.
Español [6] donne la caractérisation suivante de dim(T ) ≤ ` (au sens de Joyal).
30

W
On a dim(T ) ≤ 2k + 1 si et seulement si tout élément de B peut W
s’écrire 1≤i≤k (ai − bi ) et
dim(T ) ≤ 2k si et seulement si tout élément de B peut s’écrire a ∨ 1≤i≤k−1 (ai − bi ).
Pour simplifier les notations, si a1 , . . . , a` ∈ T on écrira
(a1 − a2 ) ∨ (a3 − a4 ) ∨ · · ·
pour
(a1 − a2 ) ∨ (a3 − a4 ) ∨ · · · ∨ (a2k−1 − a2k )
si ` = 2k et pour
(a1 − a2 ) ∨ (a3 − a4 ) ∨ · · · ∨ (a2k−1 − a2k ) ∨ a2k+1
si ` = 2k + 1.
Avec cette notation, la condition d’Español devient : on a dim(T ) ≤ ` si et seulement si
tout élément de B peut s’écrire
(a1 − a2 ) ∨ · · ·
pour une suite a1 , . . . , a` dans T . Pour montrer l’équivalence entre ces deux caractérisations,
on utilisera les faits suivants.
Lemme 2.23 Si x1 ≥ . . . ≥ x` et a1 ≥ . . . ≥ a` vérifient
(1 − x1 ) ∨ (x2 − x3 ) ∨ · · · = (a1 − a2 ) ∨ (a3 − a4 ) ∨ · · ·
on a
1 = x1 ∨ a1 , 0 = x` ∧ a` , xi ∧ ai ≤ xi+1 ∨ ai+1
Preuve.
Simple vérification.

2

Lemme 2.24 Si x1 ≥ x2 ≥ . . . et a1 , a2 . . . vérifient
1 = x1 ∨ a1 , 0 = x` ∧ a` , xi ∧ ai ≤ xi+1 ∨ ai+1
et on pose b1 = a1 ∨ x2 , b2 = ((a1 ∧ a2 ) ∧ x1 ) ∨ x3 , . . . alors on a
1 = x1 ∨ b1 , 0 = x` ∧ b` , xi ∧ bi ≤ xi+1 ∨ bi+1
et b1 ≥ b2 . . .
Preuve.
Simple vérification. On remarquera que l’on a b1 ≥ b2 ≥ . . .

2

Théorème 2.25 On a dim(T ) ≤ ` − 1, au sens de la définition 2.19, si et seulement si tout
élément de B peut s’écrire
(a1 − a2 ) ∨ · · ·
pour une suite a1 ≥ · · · ≥ a` dans T .
Preuve.
On suppose dim(T ) ≤ ` − 1 au sens de la définition 2.19. En général si x1 ≥ x2 ≥ . . . on a
(x1 − x2 ) ∨ (x3 − x4 ) ∨ . . . = x1 − ((x2 − x3 ) ∨ . . .)
et il suffit de montrer que pour toute suite x0 ≥ x1 , . . . ≥ x` on peut trouver a1 ≥ . . . ≥ a` telle
que
(x0 − x1 ) ∨ (x2 − x3 ) ∨ . . . = (a1 − a2 ) ∨ . . .
Comme (x0 − x1 ) ∨ (x2 − x3 ) ∨ . . . = x0 ∧ ((1 − x1 ) ∨ (x2 − x3 ) ∨ . . .) on se ramène au cas
x0 = 1, qui résulte du lemmes 2.24.
La réciproque résulte directement du lemme 2.23.
2
31

3

Treillis de Zariski et de Krull dans un anneau commutatif

Treillis de Zariski d’un anneau commutatif
Dans un anneau commutatif A, le treillis de Zariski Zar(A) a pour éléments les radicaux
d’idéaux de type
est l’inclusion).
Il est
treillis.
√ fini (la
√ relation
√ d’ordre
√
√
√ bien défini en tant
√ que √
Autrement dit
impliquent I1 I2 = J1 J2 (ceci définit I1 ∧ I2 ) et
√ I1 = J1 et I2 =
√ J2 √
√
I1 + I2 = J1 + J2 (ceci définit I1 ∨ I2 ). Le treillis de Zariski de A est toujours
√ un treillis
√
distributif, mais en général l’égalité n’est pas testable. Néanmoins une inclusion I1 ⊆ I2
peut être certifiée de manière finie si l’anneau A est discret. Ce treillis contient toutes les
informations nécessaires au développement du point de vue constructif concernant la théorie
abstraite et non constructive
du spectre de Zariski.
p
e
Nous notons e
a pour hai. Pour une partie
p S de A nous notons S la partie de Zar(A) formée
des se pour s ∈ S. On a ae1 ∨ · · · ∨ af
ha1 , . . . , am i et ae1 ∧ · · · ∧ af
· · · am
m =
m = a1^
Soient U et J deux familles finies dans A, on a
Y
p
6 ∅
U ` Zar(A) J ⇐⇒
u ∈ hJi ⇐⇒ M(U ) ∩ hIi =
u∈U

c’est-à-dire encore
(J, U ) collapse dans A

⇐⇒

eU
e ) collapse dans Zar(A)
(J,

Cela suffit à décrire ce treillis. Plus précisément on a :
Proposition 3.1 Le treillis Zar(A) d’un anneau commutatif A est (à isomorphisme près) le
treillis engendré par (A, ` ) où ` est la plus petite relation implicative vérifiant
0A

`
` 1A

x, y
xy

` xy
` x

x+y

` x, y

Preuve.
Il est clair que la relation U ` J définie par “M(U ) intersecte hJi” vérifie ces axiomes. Il
est clair aussi que la relation implicative engendrée par ces axiomes contient cette relation.
Montrons donc que cette relation est une relation implicative. Seule la règle de coupure n’est
pas directe. Supposons que M(U, a) intersecte hJi et que M(U ) intersecte hJ, ai. On peut alors
trouver m1 , m2 ∈ M(U ) et k, x tels que ak m1 ∈ hJi , m2 + ax ∈ hJi. En éliminant a ceci
entraine que M(U ) intersecte hJi .
2
Notez que l’application canonique de A dans Zar(A) est a 7→ e
a et que l’on a e
a = eb si et
seulement si a divise une puissance de b et b divise une puissance de a.
Proposition 3.2 Dans un anneau commutatif A il revient au même de se donner un idéal du
treillis Zar(A) ou un idéal radical de A. Si I est un idéal radical de A on lui associe l’idéal
I = {J ∈ Zar(A) | J ⊆ I}
de Zar(A). Réciproquement si I est un idéal de Zar(A) on lui associe l’idéal
[
I=
J = {x ∈ A | x
e ∈ I},
J∈I

qui est un idéal radical de A. Dans cette bijection les idéaux premiers correspondent aux idéaux
premiers.
32

Preuve.
Nous expliquons seulement la dernière affirmation. Si I est un idéal premier de A, si
J, J 0 p
∈ Zar(A) et J ∧ J 0 ∈ I, soient a1 , . . . , an ∈ A des “générateurs” de J (c’est-à-dire
J = ha1 , . . . , an i) et b1 , . . . , bm ∈ A des génerateurs de J 0 . On a alors ai bj ∈ I d’où ai ∈ I ou
bj ∈ I pour tout i, j. Il en résulte que l’on a ai ∈ I pour tout i ou bj ∈ I pour tout j. Donc
J ∈ I ou J 0 ∈ I et I est un idéal premier de Zar(A).
Réciproquement si I est un idéal premier de Zar(A) et si on a x
fy ∈ I alors on a x
e ∧ ye ∈ I et
donc x
e ∈ I ou ye ∈ I ce qui montre que {x ∈ A | x
e ∈ I} est un idéal premier de A.
2
Définition 3.3 On définit Kru` (A) := Kr` ( Zar(A)). On l’appelle le treillis de Krull d’ordre `
de l’anneau A
Théorème 3.4 Soit C = ((J0 , U0 ), . . . , (J` , U` )) une chaı̂ne idéale dans un anneau commutatif
f0 ), . . . , (Je` , Ue` )) collapse dans Zar(A).
A. Elle collapse si et seulement si la chaı̂ne idéale ((Je0 , U
Par exemple si C est finie, les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. il existe ji ∈ hJi i, ui ∈ M(Ui ), (i = 0, . . . , `), vérifiant l’égalité
u0 · (u1 · (· · · (u` + j` ) + · · ·) + j1 ) + j0 = 0
2. il existe x1 , . . . , x` ∈ Zar(A) avec les relations suivantes dans Zar(A) :
f0
x1 , U
f1
x2 , U
..
.
x` , Ug
`−1
Ue`

`
`
..
.

Je0
Je1 , x1
..
.
g
` J`−1 , x`−1
` Je` , x`

e
3. même chose mais avec x1 , . . . , x` ∈ A
Preuve.
Il est clair que 1 entraine 3 : on prend simplement
v` = u` + j` , v`−1 = v` u`−1 + j`−1 , . . . , v0 = v1 u0 + j0

et xi = vei

et que 3 entraine 2. Le fait que 2 entraine 1 peut se voir en reformulant 2 de la manière suivante.
On considère la chaı̂ne idéale C1 = ((K0 , V0 ), . . . , (K` , V` )) obtenue en saturant la chaı̂ne idéale
C. On définit les ` + 1 idéaux radicaux I0 , . . . , I` de A
— I0 = {x ∈ A | M(x, U0 ) ∩ hJ0 i =
6 ∅}
— I1 = {x ∈ A | M(x, U1 ) ∩ (hJ1 i + I0 ) 6= ∅}
.
— ..
— I`−1 = {x ∈ A | M(x, U`−1 ) ∩ (hJ`−1 i + I`−2 ) 6= ∅}
— I` = hJ` i + I`−1
Il est clair que Ii ⊆ Ki (i = 0, . . . , `). Dans la corrrespondance donnée en 3.2 ces idéaux
correspondent aux idéaux suivants de Zar(A)
f0 ` Je0 }
— I0 = {u ∈ Zar(A) | u, U
f1 ` Je1 , v}
— I1 = {u ∈ Zar(A) | (∃v ∈ I0 ) u, U
.
— ..
g
— I`−1 = {u ∈ Zar(A) | (∃v ∈ I0 ) u, Ug
`−1 ` J`−1 , v}
33

La condition 2 signifie alors que l’on a Ue` ` Je` , v pour un v ∈ I`−1 . Autrement dit, M(U` )
intersecte I` , or I` ⊆ K` . Donc C1 collapse, donc C collapse.
j0 ∈ I(J0 ),
Donnons une autre preuve directe que (2) entraine (3). On réécrit les relations implicatives
de (2) comme suit. Chaque Uei peut être remplacé par un uei avec ui ∈ A, chaque Jei peut être
remplacé par un radical d’idéal de type fini Ii de A, et on note Li à la place de xi pour se
rappeler qu’il s’agit du radical d’un idéal de type fini. On obtient :
L1 , ue0
L2 , ue1
L3 , ue2
ue3

`
`
`
`

I0
I1 , L1
I2 , L2
I3 , L3

La dernière ligne signifie que M(u3 ) coupe I3 + L3 ou encore I3 + hy3 i pour un élément y3 de
L3 , et donc aussi que l’on a u
e3 ` I3 , ye3 . Comme ye3 ≤ L3 dans Zar(A) l’avant-dernière ligne
implique ye3 , u
e2 ` I2 , L2 . On a donc remplacé dans ses deux occurences L3 par ye3 On raisonne
comme précédemment et on voit qu’on peut remplacer les deux occurences de L2 par un ye2
convenable, puis les deux occurences de L1 par un ye1 convenable. On a bien obtenu (3)
2
Corollaire 3.5 La dimension de Krull d’un anneau commutatif A est ≤ ` si et seulement si
la dimension de Krull du treillis de Zariski Zar(A) est ≤ `.
Preuve.
Appliquer le théorème précédent et le lemme 2.20.

2

N’a-t-on pas fait une preuve en trop dans la comparaison des deux points de vue
constructifs pour la dimension de Krull d’un anneau commutatif
HUM A Réécrire, je reste persuadé qu’il y avait du vrai dans le fait factCompar1 et que
cela permettrait de comprendre qu’on pourrait économiser des preuves et des calculs dans notre
exposé (ce qui ne veut pas dire que je voudrais raccourcir, je veux seulement mieux comprendre
les relations entre les deux points de vue). Henri
Des trois énoncés 1.14, factCompar1 et 3.4 (l’équivalence de 1 et 2), on peut déduire le
premier des deux derniers ou le dernier des deux premiers. Il serait instructif de mettre à plat
cette remarque et par exemple d’expliquer comment les calculs donnés pour justifier les deux
derniers impliquent un calcul sous-jacent au premier.

4
4.1

Going Up et Going Down
Dimension de Krull relative

Généralités sur la dimension de Krull relative
Nous développons ici un analogue constructif pour les chaı̂nes croissantes d’idéaux premiers
qui coupent tous un sous anneau donné selon un même idéal premier. Ce paragraphe est en
fait suffisamment général pour fonctionner dans le cadre d’un treillis distributif arbitraire (ici
c’est Zar(A)) avec les adaptations évidentes. Il n’y a pas de vrais calculs, seulement un peu de
combinatoire.
Définition 4.1 Soit A ⊆ B des anneaux commutatifs et C = ((J0 , U0 ), . . . , (J` , U` )) une chaı̂ne
idéale dans B.
34

— On dit que la chaı̂ne idéale C collapse au dessus de A s’il existe a1 , . . . , ak ∈ A tels que
pour tout couple de parties complémentaires (H, H 0 ) de {1, . . . , k}, on ait le collapsus de
la chaı̂ne idéale
({(ah )h∈H } ∪ J0 , U0 ), (J1 , U1 ) . . . , (J` , U` ∪ {(ah )h∈H 0 })
— On dit que la dimension de Krull (relative) de l’extension B/A est ≤ `−1 si toute chaı̂ne
idéale élémentaire ((0, x1 ), (x1 , x2 ), . . . , (x` , 1)) collapse au dessus de A.
— On dit que la dimension de Krull (relative) de l’extension B/A est ≥ ` si il existe
x0 , . . . , x` dans B tels que la chaı̂ne idéale élémentaire ((0, x1 ), (x1 , x2 ), . . . , (x` , 1)) ne
collapse pas( 7 ) au dessus de A.
— On dit que la dimension de Krull (relative) de l’extension B/A est < ` s’il est impossible
qu’elle soit ≥ `.
— On dit que la dimension de Krull (relative) de l’extension B/A est > ` s’il est impossible
qu’elle soit ≤ `.
On peut considérer le cas d’une extension d’anneaux plus générale : on a un homomorphisme
A → B non nécesssairement injectif. On peut alors adapter la définition précédente en remplaçant A par son image dans B.
On a un collapsus simultané relatif.
Théorème 4.2 (Collapsus simultané relatif pour les chaı̂nes idéales) Soit A ⊆ B des anneaux
commutatifs et C une chaı̂ne idéale de longueur ` dans B.

(1) Soit x ∈ B et i ∈ {0, . . . , `}. Supposons que les chaı̂nes idéales C & x ∈ C (i) et
C& x∈
/ C (i) collapsent toutes les deux au dessus de A, alors C collapse également
au dessus de A.


/ C (`) collapsent
(2) Soit x ∈ A. Supposons que les chaı̂nes idéales C & x ∈ C (0) et C & x ∈
toutes les deux au dessus de A, alors C collapse également au dessus de A.
C’est une conséquence facile du théorème (non relatif) 1.14, que nous laissons au lecteur. De là,
on déduit (en mathématiques classiques) une caractérisation des chaı̂nes idéales qui collapsent
relativement.
Théorème 4.3 (Nullstellensatz formel pour les chaı̂nes d’idéaux premiers dans une extension
d’anneaux commutatifs) Le théorème de complétude de Gödel implique le résultat suivant. Soit
A ⊆ B des anneaux commutatifs et C = ((J0 , U0 ), . . . , (J` , U` )) une chaı̂ne idéale dans B. Les
propriétés suivantes sont équivalentes :
(a) Il existe un idéal premier détachable P de A et ` + 1 idéaux premiers détachables P0 ⊆
· · · ⊆ P` de B tels que Ji ⊆ Pi , Ui ∩ Pi = ∅ et Pi ∩ A = P (i = 0, . . . , `).
(b) La chaı̂ne idéale C ne collapse pas au dessus de A.
Preuve.
On a évidemment (a) ⇒ (b). Pour (b) ⇒ (a) nous faisons la preuve (plus facile) qui s’appuie sur le principe du tiers exclu et le lemme de Zorn. On considère une chaı̂ne idéale
7. Du point de vue constructif on dira précisément : pour tout entier k et tous a1 , . . . , ak ∈ A il existe un
couple de parties complémentaires (H, H 0 ) de {1, . . . , k}, tel que la chaı̂ne idéale
({(ah )h∈H }; x1 ), (x1 , x2 ), . . . , (x` ; {(ah )h∈H 0 })
“ne collapse pas” au sens de la relation d’inégalité définie sur A (cf. l’explication au début de la section 1.3 page
11).

35

C1 = ((P0 , S0 ), . . . , (P` , S` )) maximale (pour la relation d’extension) parmi les chaı̂nes idéales
qui raffinent C et qui ne collapsent pas au dessus de A. Vu le collapsus simultané relatif, la
même preuve que pour le théorème 1.17 montre que c’est une chaı̂ne croissante d’idéaux premiers (avec leurs compléments). Il reste à voir que les Pi ∩ A sont tous égaux, ce qui revient à
dire S0 ∩P` ∩A = ∅. Si ce n’était pas le cas soit x ∈ S0 ∩P` ∩A. Alors ((P0 ∪{x}, S0 ), . . . , (P` , S` ))
et ((P0 , S0 ), . . . , (P` , S` ∪ {x})) collapsent (tout court) donc C1 collapse au dessus de A (avec la
partie finie {x}). C’est absurde.
2
On a le résultat constructif suivant.
Théorème 4.4 Soit A ⊆ B des anneaux commutatifs.
(1) Supposons que la dimension de Krull de A est ≤ m et que la dimension de Krull de
l’extension B/A est ≤ n, alors la dimension de Krull de B est ≤ (m + 1)(n + 1) − 1.
(2) Supposons que A et B sont munis du prédicat 6= 0 défini comme la négation de = 0.
Supposons que la dimension de Krull de l’extension B/A est ≤ n et qu’on a un test
pour le collapsus des chaı̂nes idéales élémentaires dans A. Si on donne une suite pseudo
régulière de longueur (m+1)(n+1) dans B, on peut construire une suite pseudo régulière
de longueur m + 1 dans A.
Preuve.
En mathématiques classiques la preuve est immédiate. On considère une chaı̂ne strictement
croissante dans B avec (m + 1)(n + 1) + 1 termes. Comme n + 2 termes consécutifs ne peuvent
avoir la même intersection avec A cela fournit une chaı̂ne strictement croissante de m+2 idéaux
de A, ce qui est absurde. En mathématiques constructives on peut mimer cette preuve et on
obtient le résultat sous forme constructive, ce qui nous donne une véritable information de
nature algorithmique. Voici ce que cela donne.
Nous prouvons d’abord le point (1).
Tout d’abord nous traitons le cas où A est de dimension zéro avec la dimension relative égale
à n. Nous voulons montrer que toute chaı̂ne idéale élémentaire de longueur n dans B collapse.
Soit C = ((0, x1 ), . . . , (xn , 1)) une telle chaı̂ne idéale élémentaire. Nous savons qu’elle collapse
au dessus de A. Soit F = {a1 , . . . , ak } la partie finie de A correspondante. Si F est vide c’est
bon. Si F n’est pas vide, on va montrer qu’on peut enlever un élément à F et on aura gagné
par induction. Soit donc F = H ∪ {ak }. Soit maintenant G et G0 deux parties complémentaires
de H. On a les collapsus (tout court) des chaı̂nes idéales suivantes, la première par collapsus au
dessus de A, la deuxième parce qu’elle contient ((0, ak ), (ak , 1)) et que A est de dimension 0 :
((G, x1 ), . . . , (xn ; G0 , ak ))
((0; x1 , ak ), . . . , (ak , xn ; 1))

donc aussi
donc aussi

((G; x1 , ak ), . . . , (xn ; G0 , ak ))
((G; x1 , ak ), . . . , (ak , xn ; G0 ))

Par collapsus simultané, les deux colonnes de droite donnent le collapsus de
((G; x1 , ak ), . . . , (xn ; G0 )). Comme on a aussi, puisque {ak } ∪ G ∪ G0 = F , le collapsus
(tout court) de la chaı̂ne idéale ((ak , G; x1 ), . . . , (xn ; G0 )), un collapsus simultané donne celui
de la chaı̂ne idéale ((G; x1 ), . . . , (xn ; G0 )). Et nous avons gagné.
Nous passons au cas général. Nous traitons l’exemple où m = 2, n = 3, qui, nous l’espérons,
est suffisamment éclairant. Nous devons donc considérer une suite de 3 × 4 = 12 éléments xi
de B et montrer que la chaı̂ne idéale élémentaire suivante collapse :
((0, x1 ), (x1 , x2 ), . . . , (x11 , x12 ), (x12 , 1))
Par hypothèse les chaı̂nes idéales
((0, x1 ), . . . , (x4 , x5 )),
((x4 , x5 ), . . . , (x8 , x9 ))
((x8 , x9 ), . . . , (x12 , 1))
36

et

collapsent au dessus de A, ce qui nous fournit trois listes finies F1 , F2 , F3 d’éléments de A et
les collapsus correspondants dans B. Nous pouvons montrer que la chaı̂ne idéale C collapse en
utilisant un processus de recollement analogue à celui utilisé lorsque m = 0. Nous commençons
par remarquer que toute chaı̂ne idéale du type
((0; x1 , b1 ), . . . , (b1 , x4 ; x5 , b2 ), . . . , (b2 , x8 ; x9 , b3 ), . . . , (b3 , x12 ; 1))
avec les bi ∈ A collapse parce qu’elle “contient” la chaı̂ne idéale
((0; b1 ), (b1 ; b2 ), (b2 ; b3 ), (b3 ; 1))
On va établir que toute chaı̂ne idéale du type
((0; x1 ), . . . , (x4 ; x5 , b2 ), . . . , (b2 , x8 ; x9 , b3 ), . . . , (b3 , x12 ; 1))
avec b2 , b3 ∈ A collapse elle aussi. Après on pourra recommencer (on supprimera b2 puis b3 ). On
voit qu’on peut reproduire à l’identique le cas déjà traité (A zéro dimensionnel) : en rajoutant
partout la queue ; x5 , b2 ), (x5 , x6 ) . . . , (b2 , x8 ; x9 , b3 ), . . . , (b3 , x12 ; 1)).
Nous prouvons ensuite le point (2).
Il faut reprendre la preuve du point (1) (en faisant comme un semblant raisonnement par
l’absurde) et regarder à quel endroit elle ne marche plus. Elle est basée sur des collapsus de
chaı̂nes idéales élémentaires dans A et des collapsus de chaı̂nes idéales élémentaires de B au
dessus de A. Les seuls endroits où cela ne marche plus à tout coup, c’est avec les collapsus
de chaı̂nes idéales élémentaires dans A. Or justement, on suppose qu’on a un test pour ces
collapsus-là. Donc l’un d’entre eux au moins ne marche pas, explicitement, et cela fournit la
suite pseudo-régulière que l’on cherche.
2
Cas des extensions entières
Dans la proposition suivante le point (1) est la version constructive du “théorème d’incomparabilité” (voir le théorème 13.33 du livre de Sharp [19].)
Proposition 4.5 Soit A ⊆ B des anneaux commutatifs.
(1) Si B est entier sur A la dimension de Krull relative de l’extension B/A est nulle.
(2) Plus généralement on a le même résultat si tout élément de B est un zéro d’un polynome
de A[X] ayant un coefficient égal à 1. Par exemple si A est un anneau de Prüfer intègre,
cela s’applique à n’importe quel sur-anneau de A dans son corps de fractions.
(3) En particulier, en appliquant le théorème 4.4 si dim(A) ≤ n alors dim(B) ≤ n.
Preuve.
On montre (2). On veut montrer que pour tout x ∈ B la chaı̂ne idéale ((0, x), (x, 1)) collapse
au dessus de A. La liste finie dans
donnée par les coefficients du polynome qui
P A est celle
i
annule x. Supposons que xk =
a
x
.
Soit
G, G0 deux parties complémentaires de
i6=k,i≤r i
{ai ; i 6= k}. Le collapsus de ((G, x), (x, G0 )) est donné par une égalité xm (g 0 + bx) = g avec
g ∈ hGiB , g 0 ∈ M(G0 ), b ∈ B. En fait nous prenons g ∈ G[x] et b ∈ A[x]. Si G0 est vide on
prend m = k, g 0 = 1. Sinon soit h le plus petit indice ` tel que a` ∈ G0 . Tous les aj avec j < h
sont dans G. Si h < k on prend m = h, g 0 = ah . Si h > k on prend m = k, g 0 = 1.
NB : on remarque que la disjonction porte sur r cas et non pas sur 2r cas :
— a0 ∈ G0 , ou
— a0 ∈ G, a1 ∈ G0 , ou
— a0 , a1 ∈ G, a2 ∈ G0 , ou
37

—

..
.
2

HUM Donner un exemple d’anneau intègre A avec A ⊂ B ⊂ F rac(A) et dim(B) > dim(A).

Dimension de Krull relative des anneaux de polynomes
Nous donnons la version constructive du théorème classique concernant la dimension de
Krull relative de l’extension A[x1 , . . . , xn ]/A.
Nous aurons besoin d’un lemme d’algèbre linéaire élémentaire.
Lemme 4.6 Soit V1 , . . . , Vn+1 des vecteurs de An .
— Si A est un corps discret, il existe un indice k ∈ {1, . . . , n + 1} tel que Vk est une combinaison linéaire des vecteurs qui suivent (si k = n + 1 cela signifie que Vn+1 = 0).
— Si A est un anneau commutatif, notons V la matrice dont les vecteurs colonnes sont les
Vi . Soit µ1 , . . . , µ` (avec ` = 2n − 1) la liste des mineurs de V extraits sur les n ou n − 1
ou . . . ou 1 dernières colonnes, rangée par ordre de taille décroissante. On pose µ`+1 = 1
(le mineur correspondant à la matrice extraite vide). Pour chaque k ∈ {1, . . . , ` + 1} on
pose Ik = h(µi )i<k i et Sk = S(Ik ; µk ). Si le mineur µk est d’ordre j, le vecteur Vn+1−j
est, dans l’anneau (A/Ik )Sk , égal à une combinaison linéaire des vecteurs qui suivent.
Preuve.
Pour le deuxième item, on applique les formules de Cramer.

2

Proposition 4.7 Soit B = A[X1 , . . . , Xn ] un anneau de polynomes. La dimension de Krull
relative de l’extension B/A est égale à n. Donc si la dimension de Krull de A est ≤ r, celle de
B est ≤ r + n + rn. Par ailleurs si la dimension de Krull de B est ≤ r + n celle de A est ≤ r.
Preuve.
La dernière affirmation résulte du fait que si la suite (a1 , . . . , ar , X1 , . . . , Xn ) est pseudo singulière dans B, alors la suite (a1 , . . . , ar ) est pseudo singulière dans A : on a en effet, en prenant
pour simplifier m = n = 2 une égalité dans B de la forme
p1 p2
p1 +1
m1 m2 p1 p2 +1
1 m2
1 m2
1 m2 +1
1 +1
am
R4 + am
R 3 + am
R2 + am
R1 = 0
1 a2 X 1 X 2 + a1 a2 X 1 X 2
1 a2 X 1
1 a2
1

En regardant dans le polynome du premier membre le coefficient de X1p1 X2p2 on trouve
m1 m2 +1
1 m2
1 +1
am
r2 + am
r1 = 0
1 a2 + a1 a2
1

qui donne le collapsus de (a1 , a2 ) dans A.
La deuxième affirmation résulte de la première (cf. théorème 1.24(1)).
La preuve de la première affirmation en mathématiques classiques s’appuie de manière directe
sur le cas de corps. Nous donnons une preuve constructive qui s’appuie également sur la cas
de corps (discrets). Nous reprenons la preuve de la proposition 1.23 et nous lui faisons subir
une relecture (le corps K est remplacé par un anneau A) qui nous permet de faire fonctionner
le définition du collapsus au dessus de A. Soit (y1 , . . . , yn+1 ) dans A[X1 , . . . , Xn ]. Considérons
une preuve simple (c’est-à-dire directement écrite comme une preuve d’algèbre linéaire) du fait
que les yi sont algébriquement dépendants sur A lorsque A est un corps discret.
P Par exemple
mn+1
si les yi sont des polynomes de degré ≤ d, les polynomes y1m1 · · · yn+1
avec i mi ≤ m sont
38


dans l’espace vectoriel des polynomes de degre ≤ dm, qui est de dimension ≤ dm+n
, et ils
n



m+n+1
m+n+1
dm+n
sont au nombre de n+1 . Pour une valeur explicite de m on a n+1 >
(car un
n
polynome de degré n + 1 l’emporte sur un polynome de degré n). On considère désormais que
mn+1
m1
m est
Pfixé à cette valeur. Rangeons les “vecteurs” y1 · · · yn+1 correspondants (c’est-à-dire tels
que i mi ≤ m) dans l’ordre lexicographique pour (m1 , . . . , mn+1 ). Nous pouvons nous limiter
à dm+n
+ 1 vecteurs. En appliquant le lemme 4.6, on obtient que dans chacun des anneaux
n
mn+1
est égal à une combinaison linéaire des vecteurs qui suivent.
(A/Ik )Sk un vecteur y1m1 · · · yn+1
Ceci donne, comme dans la preuve de la proposition 1.23 un collapsus, mais cette fois-ci nous
devons rajouter au début et à la fin de la chaı̂ne idéale élémentaire (y1 , . . . , yn+1 ) les “hypothèses
supplémentaires” : c’est donc la chaı̂ne idéale
((µi )i<k , y1 ; y2 ), (y2 ; y3 ) . . . , (yn−1 , (yn ), (yn ; yn+1 , µk )
qui collapse (pour chaque k). En effet, pour le collapsus d’une chaı̂ne idéale on peut toujours
passer au quotient par le premier des idéaux (ou par un idéal plus petit) et localiser en le dernier
des monoı̈des (ou en un monoı̈de plus petit).
Finalement, tous ces collapsus fournissent le collapsus de (y1 , . . . , yn+1 ) au dessus de A en
utilisant la famille finie (µi ).
2

4.2

Going Up

Si A est un sous anneau de B, une chaı̂ne idéale de A qui collapse dans A collapse dans B
et la trace sur A d’un premier idéal saturé de B est un premier idéal saturé de A. Entre autres
choses, nous allons voir dans cette section que dans le cas des extensions entières on a aussi les
implications réciproques.
Lemme 4.8 Soit A ⊆ B des anneaux commutatifs avec B entier sur A. Soit I un idéal de A
et x ∈ A. Alors
√
√
x ∈ I ⇐⇒ x ∈ IB
Preuve.
√
P
Supposons x ∈ IB, i.e., xn =
ji bi , avec ji ∈ I, bi ∈ B. Les bi et 1 engendrent un
sous A-module fidèle et de type fini M de B et xn s’exprime comme combinaison linéaire à
coefficients dans I sur un système générateur de M . Le polynome caractéristique de la matrice
de la multiplication par xn (exprimée sur ce système générateur) a donc tous ses coefficients
(sauf le coefficient dominant) dans I.
2
Définition 4.9 Soit A ⊆ B des anneaux commutatifs, P = (J, V ) un premier idéal de B et
C = (P1 , . . . Pn ) une chaı̂ne idéale de B. On dit que (J ∩ A, V ∩ A) est la trace de P sur A. On
note P|A ce premier idéal de A. On dit que (P1 |A , . . . Pn |A ) est la trace de C sur A. On note
C|A cette chaı̂ne idéale de A.
Il est clair que la trace d’une chaı̂ne idéale complète (resp. saturée) est complète (resp. saturée).
Corollaire 4.10 (Lying over) Soit A ⊆ B des anneaux commutatifs avec B entier sur A.
— Soit P un premier idéal dans A.
(1) Si P collapse dans B, il collapse dans A.
(2) Si Q est le saturé de P dans B, alors Q|A est le saturé de P dans A.
— Le théorème de complétude de Gödel implique le résultat suivant. Tout idéal premier de
A est la trace sur A d’un idéal premier de B.
39

Preuve.
Nous prouvons le point (1), le reste en découle facilement. Si P = (I, U ) collapse dans B un
élément de M(U ) est dans le radical de hIiB = hIiA B donc, par le lemme précédent, dans le
radical de hIiA .
2
Théorème 4.11 (Going Up) Soit A ⊆ B des anneaux commutatifs avec B entier sur A. Soit
C1 une chaı̂ne idéale saturée de B et C2 une chaı̂ne idéale de A.
(1) La chaı̂ne idéale C = C1 • C2 collapse dans B si et seulement si la chaı̂ne idéale C1 |A • C2
collapse dans A.
(2) Soit C 0 la saturée de C dans B. La trace de C 0 sur A est la saturée de C1 |A • C2 dans A.
En particulier toute chaı̂ne idéale de A qui collapse dans B collapse dans A, et la trace sur A
de la saturée dans B d’une chaı̂ne idéale de A est égale à sa saturée dans A.
Preuve.
Posons C1 = ((J1 , V1 ), . . . , (J` , V` )) (dans B), C1 |A = ((I1 , U1 ), . . . , (I` , U` )) sa trace sur A et
C2 = ((I`+1 , U`+1 ), . . . , (I`+r , U`+r )). Notons (1)`,r et (2)`,r les énoncés avec ` et r précisés. Ces
deux énoncés sont en fait immédiatement équivalents, vu la caractérisation de la saturée d’une
chaı̂ne idéale en terme de collapsus. Notez aussi que (1)0,1 et (2)0,1 sont le Lying over.
Montrons (2)0,r ⇒ (1)`,r . La chaı̂ne idéale C1 |A est saturée dans A. On considère les anneaux
quotients A0 = A/I` ⊆ B 0 = B/J` . On a encore B 0 entier sur A0 . (2)0,r appliqué à ces quotients
donne (1)`,r en utilisant le fait 1.6 (1).
Il suffit maintenant de montrer (2)1,r ⇒ (1)0,r+1 . Soit (P1 , . . . , Pr+1 ) une chaı̂ne idéale dans A
qui collapse dans B. Soit Q1 le saturé de P1 dans B. La trace de Q1 sur A est P1 d’après le
Lying over. On applique donc (2)1,r avec C1 = Q1 et C2 = (P2 , . . . , Pr+1 ).
2
Corollaire 4.12 (Going Up, version classique) Le théorème de complétude de Gödel implique le résultat suivant. Soit A ⊆ B des anneaux commutatifs avec B entier sur A. Soient
Q1 ⊆ · · · ⊆ Q` des idéaux premiers dans B, Pi = Qi ∩ A (i = 1, . . . , `), et P`+1 ⊆ · · · ⊆ P`+r
des idéaux premiers dans A avec P` ⊆ P`+1 . Il existe Q`+1 , . . . , Q`+r , idéaux premiers dans B
qui vérifient Q` ⊆ Q`+1 ⊆ · · · ⊆ Q`+r et Q`+j ∩ A = P`+j pour j = 1, . . . , r.
Preuve.
On considère les chaı̂nes idéales C1 (dans B) et C2 (dans A) associées aux chaı̂nes données dans
l’énoncé. Par hypothèse, C1 |A • C2 ne collapse pas dans A, donc par le Going Up constructif,
C = C1 • C2 ne collapse pas dans B. On considère donc une chaı̂ne d’idéaux premiers de B
qui raffine la chaı̂ne idéale C (théorème 1.17). Comme C1 est figée elle ne bouge pas dans le
processus (sous peine de collapsus). Quant à la queue de la chaı̂ne Q`+1 , . . . , Q`+r , sa trace sur
A est figée, donc ne peut qu’être égale à P`+1 , . . . , P`+r (sous peine de collapsus).
2
Notons qu’il semble difficile de démontrer directement en mathématiques classiques le théorème
4.11 à partir du corollaire 4.12, même en utilisant le théorème 1.17 qui relie les chaı̂nes idéales
et les chaı̂nes d’idéaux premiers.
Corollaire 4.13 (Dimension de Krull d’une extension entière) Soit A ⊆ B des anneaux commutatifs avec B entier sur A.
(1) La dimension de Krull de A est ≤ n si et seulement si la dimension de Krull de B est
≤ n.
(2) Une suite pseudo régulière dans A est pseudo régulière dans B.
(3) Supposons qu’on a un test pour le collapsus des chaı̂nes idéales élémentaires dans A. À
partir d’une suite pseudo régulière dans B on peut construire une suite pseudo régulière
de même longueur dans A.
40

NB : dans les points (2) et 3 les anneaux sont supposés munis de l’inégalité ¬(x = 0).
Preuve.
(1) La proposition 4.5 (3) donne dim(A) ≤ n ⇒ dim(B) ≤ n, la dernière affirmation du
théorème 4.11 donne la réciproque.
(2) est obtenu par contrapposition à partir de la dernière affirmation du théorème 4.11.
(3) Comme la dimension de Krull relative de B sur A est nulle, on applique le théorème 4.4 (2).
2
Un corollaire du résultat précédent et du théorème 1.24 est le théorème suivant, qui nous dit
que la dimension de Krull d’une algèbre de présentation finie sur un corps discret est bien celle
que nous donne la mise en position de Noether.
Théorème 4.14 Soit K un corps discret, I un idéal de type fini de l’anneau K[X1 , . . . , X` ] et
A l’algèbre quotient. Une mise en position de Noether de l’idéal I fournit un entier r et des
éléments y1 , . . ., yr de A qui sont algébriquement indépendants sur K et tels que A est un
module de type fini sur K[y1 , . . . , yr ]. La dimension de Krull de A est égale à r.

4.3

Going Down

Cette section est recopiée sur le traitement donné dans le livre de Sharp. Comme on ne sait
pas en général calculer le polynome minimal d’un élément algébrique sur un corps, le premier
lemme est un peu moins simple que le lemme correspondant en mathématiques classiques, et
la preuve du going down introduit un algorithme qui recherche un polynome “faisant office de
polynome minimal pour le calcul en cours”.
Lemme 4.15 Soit A ⊆ B des anneaux intègres avec B entier sur A et A intégralement clos.
Soit I un idéal radical de A et x ∈ IB. Il existe un polynome S(X) unitaire dont les coefficents
non dominants sont dans I et qui annule x. Soit P un autre polynome de A[X] qui annule x.
Soit K le corps des fractions de A et Q le pgcd unitaire de P et S dans K[X]. Alors Q a ses
coefficents non dominants dans I, il annule x et il divise S et P dans A[X].
Preuve.
P
L’existence de S est facile, on écrit x = ak bk avec les ak dans I et les bk dans B, on considère
la sous A-algèbre unitaire C de B engendrée par les bk . C’est un A-module fidèle de type fini.
On écrit la matrice de la multiplication par x sur un système générateur du A-module C, elle
est à coefficients dans I, et on prend son polynome caractéristique.
Soit L le corps des fractions de B. Vue la relation de Bezout U P + V S = Q, on a Q(x) = 0
dans K[x] ⊆ L donc dans B. Vue la relation QS
√ 1 = S, et puisque A est intégralement clos, Q
et S1 sont à coefficients non dominants dans I = I. Enfin le quotient P1 = P/Q peut être
calculé dans A[X] par division euclidienne.
2
NB : ce lemme décrit précisément le contenu calculatoire du lemme en mathématiques classiques
qui affirme que le polynome minimum unitaire de x a ses coefficients non dominants dans I.
Proposition 4.16 (Going Down à une étape) Soit A ⊆ B des anneaux intègres avec B entier
sur A et A intégralement clos. Soit Q1 un premier idéal saturé de B, P1 = (I1 , U1 ) sa trace
sur A et P0 = (I0 , U0 ) un premier idéal saturé de A avec I0 ⊆ I1 . Si la chaı̂ne idéale (P0 , Q1 )
collapse dans B, alors le premier idéal Q1 collapse dans B (et a fortiori le premier idéal P1
collapse dans A).
41

Preuve.
Posons Q1 = (J1 , V1 ). Puisque Q1 est complet, le collapsus peut s’écrire sous la forme
u0 v1 = j0

avec u0 ∈ U0 , v1 ∈ V1 , j0 ∈ I0 B

On sait que j0 annule un polynome R unitaire à coefficients non dominants dans I0
X
R(X) = X k +
ai X i
avec ai ∈ I0
i<k

donc v1 annule R(u0 X)
0 = R(u0 v1 ) = uk0 v1k +

X

(ai ui )v1i

i<k

On sait aussi que v1 annule un polynome S unitaire à coefficients dans A de degré d.
k−i
Premier cas : ud0 S(X) = R(u0 X). Alors les coefficients non dominants de√ S, les b√
i = ai /u0
sont dans I0 , puisque P0 est saturé dans A. Donc v1k ∈ I0 B, donc v1 ∈ I0 B ⊆ I1 B ⊆ J1
(I0 ⊆ I1 ⊆ J1 et J1 est un idéal radical de B). Donc v1 ∈ V1 ∩ J1 .
Deuxième cas : On n’a pas cette chance. On va se ramener au premier cas. On applique le
lemme précédent avec v1 et l’idéal A. On obtient que v1 annule le polynome S1 pgcd unitaire
de R(u0 X) et S(X), à coefficients dans A. Soit d1 le degré de S1 . On considère le polynome
unitaire à coefficients dans A R1 (X) = ud01 S1 (X/u0 ). On a R1 (j0 ) = 0, R1 (u0 X) = ud01 S1 (X),
R1 (X) est le pgcd unitaire de R(X) et ud0 S(X/u0 ). On applique le lemme précédent avec j0 et
l’idéal I0 . On obtient que R1 a ses coefficients non dominants dans I0 . On est donc ramené avec
R1 et S1 au premier cas envisagé.
2
On notera que le début de la preuve (avant l’examen du deuxième cas, que Sharp évite par la
considération du polynome minimal de j0 ) est presque copié mot pour mot de la preuve dans le
livre de Sharp. Sharp n’utilise pas le mot de collapsus, il met dans l’hypothèse Q1 comme donné
par un vrai idéal premier, et il prouve que ce serait absurde d’avoir une égalité u0 v1 = j0 puisque
cela conduirait à v1 ∈ V1 ∩ J1 qui est contraire à son hypothèse. Ici se vérifie que notre travail
constitue pour l’essentiel la mise à jour d’algorithmes déjà existants sous une forme cachée
dans les preuves classiques. On retrouve ici aussi un trait saillant systématique dans les preuves
classiques, elles inversent inconsciemment le négatif et le positif par l’introduction d’objets
idéaux abstraits : le collapsus, qui est un fait bien concret, est vu sous forme négative (ce serait
absurde puisqu’on a dans l’hypothèse un vrai idéal premier) tandis que le non callapsus, qui
demande a priori une infinité de vérifications, et donc est par essence négatif, est ressenti comme
un phénomène de nature positive, qui garantit l’existence d’un objet abstrait. Le prix à payer
pour le confort apparent que procurent les objets abstraits idéaux, est de transformer les preuves
constructives en preuves non constructives, inconsciemment, par un double renversement de la
preuve (constructive directe) de P ⇒ Q en une preuve par l’absurde de ¬Q ⇒ ¬P , c’est-à-dire
une preuve de ¬¬P ⇒ ¬¬Q.
Théorème 4.17 (Going Down) Soit A ⊆ B des anneaux intègres avec B entier sur A et A
intégralement clos. Soit C1 une chaı̂ne idéale saturée de A et C2 une chaı̂ne idéale saturée de B,
non vides. Soit I` le dernier des idéaux dans la chaı̂ne idéale C1 et I`+1 le premier des idéaux
dans la chaı̂ne idéale C2 |A . On suppose I` ⊆ I`+1 . Si la chaı̂ne idéale C1 • C2 collapse dans B,
alors la chaı̂ne idéale C2 collapse dans B.
Preuve.
Si ` ≥ 1 et r ≥ 1 sont les nombres de premiers idéaux dans les chaı̂nes idéales C1 et C2 , notons
42

GD`,r la propriété que nous voulons montrer. On a déjà établi GD1,1 dans le Going Down à
une étape.
Puisque les chaı̂nes idéales C2 et C2 |A sont saturées, et vu le fait 1.6 (2) seul intervient en
matière de collapsus le premier des premiers idéaux de la seconde chaı̂ne idéale. Il nous suffit
donc de montrer GD`,1 , c’est-à-dire le cas où C2 ne contient qu’un premier idéal. On fait une
récurrence sur `. Soit C1 = (P1 , . . . , P` ) une chaı̂ne idéale saturée dans A, (Pk = (Ik , Uk )) et Q
un premier idéal saturé dans B. Supposons que C1 • Q collapse dans B. Soit C = (P2 , . . . , P` , Q)
et C 0 sa saturée dans B. Si Q2 = (J2 , V2 ) est le premier des premiers idéaux dans C 0 on a
I1 ⊆ I2 ⊆ (J2 ∩ A), donc on peut appliquer le Going Down à une étape (ou plus précisément
GD1,` ) : C 0 collapse dans B. Donc C collapse dans B. On peut maintenant appliquer l’hypothèse
de récurrence.
2
Corollaire 4.18 (Going Down, version classique) Le théorème de complétude de Gödel implique le résultat suivant. Soit A ⊆ B des anneaux intègres avec B entier sur A et A intégralement
clos. Soient Q`+1 ⊆ · · · ⊆ Q`+r des idéaux premiers dans B, Pi = Qi ∩A (i = `+1, . . . , `+r), et
P1 ⊆ · · · ⊆ P` des idéaux premiers dans A avec P` ⊆ P`+1 . Il existe Q1 , . . . , Q` , idéaux premiers
dans B qui vérifient Q1 ⊆ · · · ⊆ Q` ⊆ Q`+1 et Qj ∩ A = Pj pour j = 1, . . . , `.
Preuve.
Comme la preuve du corollaire 4.12.

2

Nous terminons avec un Going Down pour les extensions plates (cf. [17]).
Théorème 4.19 (Going Down pour les extensions plates) Soit A ⊆ B des anneaux avec B
plat sur A.
(1) Soit Q1 = (J1 , V1 ) un premier idéal saturé de B, P1 = (I1 , U1 ) sa trace sur A et
P0 = (I0 , U0 ) un premier idéal saturé de A avec I0 ⊆ I1 . Si la chaı̂ne idéale (P0 , Q1 )
collapse dans B, alors le premier idéal Q1 collapse dans B (et a fortiori le premier idéal
P1 collapse dans A).
(2) Soit C1 une chaı̂ne idéale saturée de A et C2 une chaı̂ne idéale saturée de B, non vides.
Soit I` le dernier des idéaux dans la chaı̂ne idéale C1 et I`+1 le premier des idéaux dans
la chaı̂ne idéale C2 |A . On suppose I` ⊆ I`+1 . Si la chaı̂ne idéale C1 • C2 collapse dans B,
alors la chaı̂ne idéale C2 collapse dans B.
Preuve.
Il suffit de prouver le point (1), car on prouve ensuite le point (2) comme le théorème 4.17. Soit
J0 = I0 B. Si (P0 , Q1 ) collapse dans B, on a v1 ∈ V1 , u0 ∈ U0 et j0 ∈ J0 avec v1 u0 + j0 = 0.
On écrit j0 = i1 b1 + · · · + ir br avec les ik ∈ I0 et les bk ∈ B. On obtient donc une relation de
dépendance linéaire sur A entre les éléments v1 , b1 , . . . , br de B.
 
v1
 b1 

(u0 , i1 , . . . , ir ) 
 ...  = 0
br
Puisque B est plat sur A cette relation de dépendance linéaire s’explique sous la forme suivante
 
 0
b1
v1
 b1 
 b02 

 
(u0 , i1 , . . . , ir )M = (0, . . . , 0) et 
 ...  = M  ... 
br
43

b0s

où M = (mk,` ) ∈ As×(r+1) et les b0k sont dans B. Chaque relation
u0 m0,` + i1 m1,` + · · · + ir m1,` = 0
implique que m0,` ∈ I0 puisque P0 est saturé. A fortiori m0,` ∈ J1 . Donc la relation
v1 = m0,1 b01 + · · · + m0,s b0s
2

est un collapsus de Q1 dans B.

Pour cette preuve, qui s’imposait d’elle-même, nous n’avons pas essayé de décrypter la
preuve très abstraite donnée par Matsumura pour le corollaire suivant.
Corollaire 4.20 (Going Down pour les extensions plates, version classique) Le théorème de
complétude de Gödel implique le résultat suivant. Soit A ⊆ B des anneaux avec B plat sur A.
Soient Q`+1 ⊆ · · · ⊆ Q`+r des idéaux premiers dans B, Pi = Qi ∩ A (i = ` + 1, . . . , ` + r), et
P1 ⊆ · · · ⊆ P` des idéaux premiers dans A avec P` ⊆ P`+1 . Il existe Q1 , . . . , Q` , idéaux premiers
dans B qui vérifient Q1 ⊆ · · · ⊆ Q` ⊆ Q`+1 et Qj ∩ A = Pj pour j = 1, . . . , `.

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