扇形の弧の長さと面積
Excel VBA　数学教室
数学総合サイトです。数学事典や数学問題集、Excel VBA による数値解析などを取り揃えております。
SHOP
Excel VBA
数学の本
数学日記
数学事典
数学よもやま話
演習問題
ホーム
数学公式集
扇形の弧の長さと面積
2017/12/20 2018/8/12 数学公式集
扇型 Circular Sector
円の中心 $O$ から円周上の $2$ 点 $P,\:Q$ に引いた $2$ 本の線分 $OP,\:OQ$ と、円弧 $PQ$ に囲まれた図形を 扇形 (circular sector) とよびます。$2$ 本の線分 $OP,\:OQ$ の間の角 $\angle POQ$ を 扇形の中心角 といいます。
扇形の弧（円弧）の長さ
下図のように、半径が $r$、角度が $\theta$ の扇形を考えます。
扇形の弧長（円弧の長さ）$l$ は中心角 $\theta$ に比例します。
この扇形と同じ半径をもつ円周の長さは $L=2\pi r$ なので、
\[l=2\pi r\,\frac{\theta}{360^\circ}\]
となります。角度を 弧度法 で表すと、
\[l=2\pi r\,\frac{\theta}{2\pi}=r\theta\]
という式で表されます。
扇形の面積
下図のように、半径 $r$、角度 $\theta$ の扇形を考えます。
扇形の面積 $S$ は中心角 $\theta$ に比例します。
この扇形と同じ半径をもつ円の面積は $S=\pi r^2$ なので、
\[S=\pi r^2\,\frac{\theta}{360^\circ}\]
となります。角度を 弧度法 で表すと、
\[l=\pi r^2\,\frac{\theta}{2\pi}=\frac{1}{2}\,r^2\theta\]
となります。
例題 01　扇形の弧の長さと面積を求めます
[例題 01] 半径 $4$, 中心角 $60^\circ$ の扇形の弧長 $l$ と面積 $S$ を求めてください。
[解答] 扇形の弧長は
\[l=2\pi\times 4\times\frac{60^\circ}{360^\circ}=\frac{4\pi}{3}\]
扇形の面積は
\[S=\pi\times 4^2\times\frac{60^\circ}{360^\circ}=\frac{8\pi}{3}\]
となります。
例題 02　扇形と正方形
[例題 02] 一辺が $2 \mathrm{cm}$ の正方形があります。図のように、この正方形の一辺と同じ長さの半径をもつ扇形によって正方形を切り取ります。この切り取られた赤い部分の面積を求めてください。
[解答] 赤い部分の面積を $S$ とします。正方形から扇形の面積を引けばよいので、
\[S=4-\frac{4\pi}{4}=(4-\pi)\,\mathrm{cm^2}\]
となります。　≫ 数学事典
Blog Cat
関連記事
コーシー・シュワルツの不等式（判別式を用いて証明します）
シュワルツの不等式　Schwarz's inequality　任意の実数 \(a_i, b_i\) について \ が成立します。等...
記事を読む
ガンマ関数の定義と解析接続
ガンマ関数　Gamma Function　整数における n! を複素数にまで拡大定義した関数がガンマ関数 Γ(z)です。数学者オイラーによっ...
記事を読む
コメントをどうぞ コメントをキャンセル
メールアドレスが公開されることはありません。
名前
メール
サイト
このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。
新着記事
[VBA] バーンスレイのシダ (Barnsley_fern)
ゴールシークによる非線形方程式の求解
[Excel] 統計分析の練習用データの作り方
モンティ・ホール問題（お得な箱の選び方）
[VBA] ハーシャッド数とズッカーマン数
カテゴリー
Excel VBA (96)
Excel関数グラフ (53)
LaTeX (3)
大人の数学・算数再学習 (30)
数学あれこれ (29)
数学公式集 (142)
数学日記 (22)
数学書籍 (23)
数学演習と解答 (128)
科学全般 (18)
算数問題と解答 (75)
計算の技術 (12)
理工系の書籍案内
微分積分
線形代数学
数学の洋書
熱・統計力学
量子力学
電磁気学
相対性理論
物理数学
テンソル解析 (基礎数学選書 23)
中古価格
￥1,898から
(2019/8/8 06:54時点)
WordPress Theme Simplicity
Copyright© Excel VBA　数学教室 All Rights Reserved.
