条件つき確率と乗法定理
Excel VBA　数学教室
数学総合サイトです。数学事典や数学問題集、Excel VBA による数値解析などを取り揃えております。
SHOP
Excel VBA
数学の本
数学日記
数学事典
数学よもやま話
演習問題
ホーム
数学公式集
条件つき確率と乗法定理
2017/6/17 数学公式集
[1] 条件つき確率　Conditional Probability
[2] 事象の独立性　Independence of Events
条件付き確率　Conditional Probability
ある事象 $A$ が起こったときに事象 $B$ が起こる確率を 条件付き確率 (conditional probability) とよび、$P(B|A)$ と表します。
上図のように標本空間 $S$ の中に事象 $A,\:B$ を考えるとき、$P(B|A)$ は $A$ の中で事象 $A\cap B$ が起こる確率なので、
\[P(B|A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}\]と表すことができます。ここで
\[P(A)=\frac{n(A)}{n(S)},\quad P(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}\]を代入すると
\[P(B|A)=\frac{n(A\cap B)}{n(S)}\frac{n(S)}{n(A)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\]となるので、乗法定理
\[P(A\cap B)=P(A)P(B|A)\]
を得ることができます。この定理を言葉で書くと、
[A, B がともに起こる確率] = [A が起こる確率]
[A が起こったときに B が起こる確率]
となります。乗法定理はより多くの事象を考える場合でも成り立ち、たとえば 3 つの事象 $A,\:B,\:C$ については
\[P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B|A)P(C|A\cap B)\]という式になります。
トランプから続けて 2 枚のスペードが引かれる確率
ジョーカーを除いた 52 枚のトランプのカードから続けて 2 枚引いて、2 枚ともスペードである確率を計算してみます。事象を $A,\:B$ を次のように定義しておきます。
[事象 A]　1 枚目のカードがスペードである。
[事象 B]　2 枚目のカードがスペードである。
最初は 52 枚のカードから 1 枚を引くので
\[P(A)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\]であり、次は 51 枚のカードから 1 枚を引くので
\[P(B|A)=\frac{12}{51}=\frac{4}{17}\]となります。2 枚ともスペードになる確率は乗法定理を用いて
\[P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=\frac{12}{51}\frac{4}{17}=\frac{1}{17}\]と計算することができます。
事象の独立性　Independence of Events
ジョーカーを除いた 52 枚のトランプのカードから 1 枚を引いて、それを戻してよくシャッフルし、もう 1 度カードを引きます。このとき 2 枚ともスペードである確率を計算してみます。事象を $A,\:B$ を次のように定義しておきます。
[事象 A]　1 枚目のカードがスペードである。
[事象 B]　2 枚目のカードがスペードである。
最初は 52 枚のカードから 1 枚を引くので
\[P(A)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\]となります。そして次もまた 52 枚のカードから 1 枚を引くので
\[P(B|A)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\]となります。よって乗法定理より
\[P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=\frac{1}{4}\frac{1}{4}=\frac{1}{16}\]と計算することができます。先ほどの例と異なって、2 回目にカードを引くときにスペードである確率は、（カードの総数が変わらないので）1 回目の結果がどのようなものであろうと影響を受けていません。すなわち
\[[P(B|A)=P(B)\]が成り立っていて、乗法定理は
\[P(A\cap B)=P(A)P(B)\]という簡単な式で表されます。このように 2 つの事象 $A,\:B$ があって、一方の事象が起こることが、他方の事象が起こることに影響を与えないとき、事象 $A$ と $B$ は 独立 (independent) であるといいます。また事象 $A$ と $B$ がでないときは、事象 $A$ と $B$ は 従属 (dependent) であるといいます。　≫ 数学事典
Blog Cat
関連記事
組合せと重複組合せの公式
組合せ　Combination 重複組合せ　Combination with Repetition　組合せ　Combinati...
記事を読む
ネイピア数 e の定義と無理数であることの証明
ネイピア数　Napier's Number 実数によるネイピア数の定義　Napier's Number defined by re...
記事を読む
コメントをどうぞ コメントをキャンセル
メールアドレスが公開されることはありません。
名前
メール
サイト
このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。
新着記事
[VBA] バーンスレイのシダ (Barnsley_fern)
ゴールシークによる非線形方程式の求解
[Excel] 統計分析の練習用データの作り方
モンティ・ホール問題（お得な箱の選び方）
[VBA] ハーシャッド数とズッカーマン数
カテゴリー
Excel VBA (96)
Excel関数グラフ (53)
LaTeX (3)
大人の数学・算数再学習 (30)
数学あれこれ (29)
数学公式集 (142)
数学日記 (22)
数学書籍 (23)
数学演習と解答 (128)
科学全般 (18)
算数問題と解答 (75)
計算の技術 (12)
理工系の書籍案内
微分積分
線形代数学
数学の洋書
熱・統計力学
量子力学
電磁気学
相対性理論
物理数学
高校数学でわかる複素関数 微分からコーシー積分、留数定理まで (ブルーバックス)
中古価格
￥823から
(2019/8/7 00:06時点)
WordPress Theme Simplicity
Copyright© Excel VBA　数学教室 All Rights Reserved.
