О КРАТНОЙ ПОЛНОТЕ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И РАСПАДАЮЩИМИСЯ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
В пространстве суммируемых с квадратом функций на отрезке [0, 1] рассматривается класс полиномиальных пучков обыкновенных дифференциальных операторов n -го порядка. Коэффициенты дифференциального выражения предполагаются постоянными. Краевые условия являются распадающимися и двухточечными в концах 0 и 1 ( l краевых условий берутся только в точке 0 (1 ≤ l ≤ n - 1), а остальные n - l - в точке 1). Дифференциальное выражение и краевые формы предполагаются однородными, то есть содержат только главные части. Предполагается, что корни характеристического уравнения пучков этого класса простые, отличны от нуля и лежат на двух лучах, исходящих из начала координат, в количествах k и n - k. Формулируются достаточные условия m -кратной полноты с возможным конечным дефектом системы корневых функций пучков этого класса в пространстве суммируемых с квадратом функций на основном отрезке. В случае l ≤ min{ k,n - k } даются достаточные условия 2 l -кратной полноты, а в случае l ≥ max{ k,n - k } - 2( n - l )-кратной полноты. Достаточные условия заключаются в отличии от нуля некоторых вполне конкретных определителей, построенных по коэффициентам краевых условий и корням характеристического многочлена. Даются оценки сверху возможны конечных дефектов. Доказательство проводится по несколько модернизированной «классической» схеме доказательства, восходящей к работам M. B. Келдыша, А. П. Хромова, А. А. Шкаликова и др.. В случае же, когда min{ k,n - k } < l < max{ k,n - k }, установлена ( n - k )-кратная полнота системы корневых функций. При этом используется предложенный ранее автором «метод порождающих функций». Этот метод заключается в использовании вместо «классических» порождающих функций для системы корневых функций введенных автором новых «обобщенных порождающих функций», зависящих от произвольного вектора параметров, и в подборе этих векторов параметров так, чтобы классическая схема доказательства по-прежнему работала.