АДАПТИВНЫЕ МЕТОДЫ ГРАДИЕНТНОГО ТИПА ДЛЯ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ С ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ТОЧНОСТЬЮ И ОСТРЫМ МИНИМУМОМ
В статье исследован универсальный метод градиентного типа для задач выпуклой минимизации с относительной точностью, а также получены новые результаты о линейной скорости сходимости специальных вариантов субградиентного метода для задач с острым минимумом и некоторыми обобщениями выпуклости. Предложен новый подход к выбору параметров и правилу остановки адаптивного варианта метода подобных треугольников на классе задач минимизации выпуклых положительно однородных функционалов. Это позволило получить аналог универсального градиентного метода для задач с относительной точностью и доказать оптимальную оценку его скорости сходимости на выделенном классе задач. Приведен пример результатов численных экспериментов, иллюстрирующих возможность повышения качества выдаваемого методом приближенного решения по сравнению с теоретической оценкой за счет введенного адаптивного критерия остановки. Рассмотрен вариант субградиентного метода для задач минимизации слабо $\beta$-квазивыпуклых липшицевых функционалов в случае острого минимума, и доказана линейная скорость сходимости. Наконец, предложен вариант субградиентного метода, который сходится с линейной скоростью на классе задач минимизации квазивыпуклых гельдеровых функционалов с острым минимумом. Показана применимость этого результата для функционалов со слабым острым минимумом (гельдеровым ростом), и сформулировано следствие для задач с относительной точностью.