О ФИНИТНОЙ ОТДЕЛИМОСТИ ПОДГРУПП В РАСЩЕПЛЯЕМЫХ РАСШИРЕНИЯХ ГРУПП
Пусть tt - расщепляемое расширение группы A с помощью группы B . Будем предполагать, что для каждого натурального числа n число всех подгрупп группы A индекса n конечно. И пусть Ω - класс групп, удовлетворяющий следующим условиям: (i) если X Ω, то любой гомоморфный образ группы X принадлежит Ω, (ii) если X Ω, то любая подгруппа конечного индекса группы X принадлежит Ω. Доказано, что следующие два условия равносильны. 1. В группе tt все Ω-подгруппы финитно отделимы. 2. В группах A и B все Ω-подгруппы финитно отделимы и, сверх того, в группе A финитно отделимы все подгруппы, высекаемые в A Ω-подгруппами группы tt . Этот результат является обобщением следующей хорошо известной теоремы Р. Алленби и Р. Грегораса. Если группа A является конечно порожденной, все подгруппы группы A финитно отделимы и все конечно порожденные подгруппы группы B финитно отделимы, то все конечно порожденные подгруппы группы tt финитно отделимы.