Интервалы малой длины, содержащие алгебраическое число заданной высоты
Рациональные числа распределены равномерно, хотя расстояния между соседними рациональными числами в последовательности Фарея могут сильно разниться. Для алгебраических чисел это свойство не выполняется. В 2013 г. Д. Коледа [6, 7] нашел функцию плотности распределения действительных алгебраических чисел любой степени при их естественном упорядочивании. Можно доказать, что количество действительных алгебраических чисел степени и высоты 𝐻(𝛼) 6 асимптотически равно 𝑐1(𝑛)𝑄𝑛+1. Недавно было доказано, что существуют интервалы длины 𝑄-𝛾, > 1, свободные от алгебраических чисел 𝛼,𝐻(𝛼) 6 𝑄, однако уже при 0 6 < 1 их не менее чем 𝑐2(𝑛)𝑄𝑛+1-𝛾. В работе показано, что специальные интервалы длины 𝑄-𝛾 и при больших могут содержать алгебраические числа, однако их количество не превосходит 𝑐3𝑄𝑛+1-𝛾. Ранее аналогичный результат был получен А. Гусаковой [16] лишь для случая = 3 2 .