Новые границы алгебраической константы Никольского
Пусть = sup𝑃∈𝒫𝑛∖{0} max𝑥∈[-1,1] |𝑃(𝑥)| ∫︀ 1 -1 |𝑃(𝑥)| - константа Никольского между равномерной и интегральной нормами для алгебраических полиномов с комплексными коэффициентами степени не выше 𝑛. D. Amir и Z. Ziegler (1976) доказали, что 0.125(𝑛+1)2 6 6 0.5(𝑛+1)2 для > 0. Аналогичная оценка сверху получена T.K. Ho (1976). F. Dai, D. Gorbachev и S. Tikhonov (2019-2020) уточнили этот результат, установив, что = 𝑀𝑛2 + 𝑜(𝑛2) при → ∞, где ∈ (0.141, 0.192) - точная константа Никольского для целых функций экспоненциального сферического типа в пространстве 𝐿1(R2) и функций экспоненциального типа в 𝐿1(R) с весом |𝑥|. Мы доказываем, что для произвольного > 0 имеем 𝑀(𝑛 + 1)2 6 6 𝑀(𝑛 + 2)2, где ∈ (0.1410, 0.1411). Данное утверждение также позволяет уточнить точную константу Джексона-Никольского для полиномов на евклидовой сфере S2. Доказательство базируется на взаимосвязи алгебраических констант Никольского с тригонометрическими константами Бернштейна-Никольского и наших результатах об оценках последних (2018-2019). Также мы применяем характеризацию экстремального алгебраического полинома, полученную D. Amir и Z. Ziegler (1976), В.В. Арестовым и М.В. Дейкаловой (2015). С помощью этой характеризации мы составляем тригонометрическую систему для определения нулей экстремального полинома, которую решаем приближенно с необходимой точностью с помощью метода Ньютона.