О решениях типа "кольцо" уравнений нейронного поля
В работе исследуется интегро-дифференциальное уравнение с интегральным оператором типа Гаммерштейна следующего вида: ∂ t u t, x =-τu t, x, x f+ R 2 ω x-y f u t,y dy, t≥0, x∈ R 2 . Данное уравнение формализует динамику распределения электрических потенциалов u t,x в плоской нейронной среде и носит название уравнения нейронного поля. Изучаются решения типа «кольцо», представляющие собой стационарные радиально симметричные решения, отвечающие состоянию активности нейронной среды в некоторой области, ограниченной двумя концентрическими окружностями, и состоянию покоя нейронного поля за пределами данной области. В работе предлагаются условия существования решений-колец, а также метод их приближенного численного нахождения. Используемые подходы основываются на замене в уравнении нейронного поля вероятностной функции f активации нейронов, имеющей сигмоидальную форму, функцией типа Хевисайда. Теоретическая часть работы сопровождается примером, иллюстрирующим процедуру исследования решений типа «кольцо» уравнения нейронного поля, содержащего типично используемую в математической нейробиологии функцию межнейронной связи, позволяющую учитывать, как возбуждающие, так и тормозящие взаимодействия нейронов. Подобно случаю решений-бампов (стационарных решений уравнения нейронного поля, отвечающих активации области нейронного поля, представляющей собой внутренность некоторой окружности), при высоких значениях порога активации нейронов имеет место одновременное существование двух решений - так называемых «широкого кольца» и «узкого кольца», сливающихся вместе при критическом значении порога активации нейронов, при превышении которого решений-колец не существует.