БАЙЕСОВСКИЕ ПЛАНЫ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ДУБОВА: ПРИМЕРЫ И ЭФФЕКТ ВЕТВЛЕНИЯ
При планировании эксперимента для нелинейных по параметрам моделей регрессии используются различные подходы - локально оптимальное планирование, минимаксное, максимино-байесовское и байесовское. Все эти подходы соответствуют различным уровням априорной информации о параметрах модели. В статье рассматривается байесовский подход для построения планов эксперимента для однопараметрической экспоненциальной модели регрессии. В качестве критерия оптимальности используются пять байесовских D-функционалов Дубова. Для этих функционалов в работах Григорьева, Дубова, Федорова, Аткинсона и Донева получены необходимые и достаточные условия оптимальности, обобщающие на байесовский случай классическую теорему эквивалентности Кифера-Вольфовица. В одномерном случае эти пять функционалов сводятся к трем функционалам, порождающим три класса байесовских планов. В общем случае для построения таких планов требуется задание априорного распределения, удовлетворяющего соответствующим условиям регулярности. В данной работе в качестве такого распределения рассматривается равномерное распределение. Для рассматриваемых функционалов Дубова и заданного априорного распределения в работе построены одноточечные байесовские планы и найдены их точки ветвления, т. е. такие параметры носителя априорного распределения, при которых спектр одноточечного плана пополняется второй точкой. При дальнейшем увеличении диаметра носителя происходит расширение спектра оптимального плана за счет ветвления второй точки спектра и т. д. Задача численного отыскания второй точки ветвления в работе не рассматривается. Для проверки байесовских планов на оптимальность используется теорема оптимальности Чалонера-Ларнца, из которой следует, что в общем случае спектр байесовского плана может содержать число точек, превышающее число неизвестных параметров модели. В статье на примере однопараметрической экспоненциальной модели показано, что три рассматриваемых функционала Дубова (а в общем случае - и все пять функционалов) обладают разным уровнем информативности. Для наиболее информативного критерия, имеющегося среди указанных трех функционалов Дубова, первая точка ветвления отнесена в бесконечность. Это означает, что для любого диаметра носителя собственного априорного распределения байесовский оптимальный план является одноточечным.