Об устойчивости одного вида перманентных вращений механической системы с частным интегралом Гесса
В заметке рассматривается механическая автономная консервативная система с частным интегралом Гесса в известной задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Указанная система описывается шестью обыкновенными дифференциальными уравнениями. Проведено исследование устойчивости по Ляпунову четырех видов стационарных движений, для которых отличны от нуля все компоненты углов Пуассона. Предложенные стационарные движения являются перманентными вращениями. Исследование опирается на первый метод Ляпунова. С этой целью для дифференциальных уравнений возмущенного движения по матрице правой части в линейном приближении составляется характеристическое уравнение. Получение алгебраических выражений, их упрощение и факторизация осуществляется системой аналитических вычислений на современных персональных компьютерах. Для всех перманентных вращений установлены одинаковые характеристические уравнения. Анализ коэффициентов полученных уравнений позволил установить, кроме нулевых и чисто мнимых корней, наличие двух вещественных решений, отличных от нуля. В консервативных системах один из них будет положительным. Проведенные вычисления показали неустойчивость всех исследуемых перманентных вращений.