О некоторых степенных интегральных неравенствах для распределения Гаусса
Абота посвящена получению степенных оценок функции, где Ф(х) - функция Лапласа. Эта разность является нижней срезкой интеграла от плотности стандартного гауссова распределения и показывает вероятность попадания случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону в интервал (х, ∞). В силу широкого распространения в приложениях и теоретических исследованиях гауссова распределения возникает необходимость получения оценок этой функции. Особенность полученных в работе результатов состоит в том, что степени функции Q(х) оцениваются не через значение подынтегральных функций в некоторой точке, а через значения рассматриваемой функции в точке ax, где a - произвольное число из некоторого замкнутого интервала. Трудность получения этих оценок заключается в том, что плотность нормального закона является логарифмически вогнутой функцией. В работе оценивается третья и четвертая степень функции Q(х). Так, в теореме 1.1 показано, что для и справедливо неравенство Q3(х) < Q(aх). Аналогичный результат в теореме 1.2 сформулирован для четвертой степени функции Q(х) и интервала [1; 2]. Важно отметить, что полученные оценки являются неулучшаемыми по параметру а. Так, в теореме 1.3 показано, что правая граница для параметра а не может быть увеличена, а в теореме 1.4 показано, что левая граница не может быть меньше 1.