Всплесковое разложение для функций на дифференцируемом многообразии
Ранее изучались вэйвлеты для случая нерегулярной сетки. Всплесковые (вэйвлетные) разложения для неравномерной сетки хорошо известны. Обработка числовых потоков, связанных с дифференцируемым многообразием, возможна с помощью локальных функций, но создание эффективных алгоритмов требует привлечения аппарата вэйвлетов. Цель данной работы состоит в том, чтобы представить схему вэйвлетных разложений с использованием аппроксимационных соотношений. Здесь рассматриваются достаточные условия вложенности пространств локальных функций на дифференцируемом многообразии, строятся вэйвлетные разложения и формулы декомпозиции/реконструкции, даются оценки числа арифметических операций и оценки величины вэйвлетных компонент. Классические подходы связаны с использованием преобразования Фурье или с применением лифтинговой схемы. В предлагаемой работе исходными являются аппроксимационные соотношения; упомянутые соотношения ведут к вэйвлетным разложениям, которые имеют асимптотически оптимальный порядок аппроксимации (по N-поперечнику стандартных компактов); во многих случаях координатные вэйвлеты оказываются координатными сплайнами, а их среднее значение (в противоположность классическим случаям) может быть ненулевым. Заметим также, что порядок малости вэйвлетной компоненты равен порядку аппроксимации, а коэффициент линейной зависимости сложности вычислений от входных данных просто оценивается с помощью порядка аппроксимации.