Метод конечных элементов высокого порядка точности решения краевых задач для эллиптического уравнения в частных производных
Предложена новая вычислительная схема метода конечных элементов высокого порядка точности решения краевых задач для эллиптического уравнения в частных производных, сохраняющая непрерывность производных приближенного решения в ограниченной области многомерного евклидова пространства. Кусочно-непрерывный базис метода конечных элементов генерируется с помощью интерполяционных полиномов Эрмита нескольких переменных и обеспечивает непрерывность не только приближенного решения, но и его производных до заданного порядка на границах конечных элементов в зависимости от гладкости переменных коэффициентов уравнения и границы области. Эффективность и порядок точности вычислительной схемы, алгоритма и программы демонстрируется на примере точно-решаемой краевой задачи на собственные значения для треугольной мембраны в зависимости от числа конечных элементов разбиения области и от размерности собственного вектора алгебраической задачи. Показано, что для достижения заданной точности приближённого решения схемой метода конечных элементов с интерполяционными полиномами Эрмита длина собственного вектора примерно в два раза меньше, чем для схем с интерполяционными полиномами Лагранжа, сохраняющих на границах конечных элементов только непрерывность приближённого решения. Вычислительная схема метода конечных элементов высокого порядка точности ориентирована на расчёты спектральных и оптических характеристик квантовомеханических систем.