О ЕДИНСТВЕННОСТИ СЛАБОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ АГРЕГАЦИИ
В известной работе A. Bertozzi, D. Slepcev (2010) установлено существо вание и единственность решения смешанной задачи для уравнения агрегации ut -△A(x,u) + div(u∇K *u) = 0, описывающего эволюцию колонии бактерий в ограниченной выпуклой области Ω. В данной работе доказывается существование решения и единственность смешанной задачи для более общего уравнения β(x,u)t = div(∇A(x,u)-β(x,u)G(u)) + f(x,u). Слагаемое f(x,u) в уравнении моделирует процессы "рождения - уничтожения" бактерий. Класс интегральных операторов G(v) достаточно широк и содержит, в частности, операторы свертки ∇K *u. Векторное ядро g(x,y) оператора G(v) может иметь особенности. Доказательство единственности решения из работы A. Bertozzi, D. Slepcev опирается на факт сохранения "массы"∫︀Ω u(x,t)dx = const бактерий и использует выпуклость области и свойства оператора сверки. Наличие в уравнении "неоднородности"f(x,u) нарушает сохранение "массы". Предложенное в работе доказательство единственности пригодно для неоднородного уравнения, не использует выпуклость области Ω.