Арифметические классы групп точечной симметрии трехмерных обобщенных регулярных решеток. II. Моноклинная и ромбическая сингонии
Во введении указан объект исследования - обобщенная регулярная решетка, порожденная произвольным базисом трехмерного евклидового пространства над числовым множеством ℜ. В качестве ℜ в статье рассмотрены евклидовы кольца Z, Z[√2], Z[√3], Z[ τ], где τ = (1 + √5)/2 - «золотое отношение». Статья является продолжением работ по классификации групп точечной симметрии трехмерных обобщенных регулярных решеток. Ранее были перечислены арифметические классы моноклинной сингонии, записаны группы-представители этих классов, а также определены множества их всевозможных расширений до геометрического класса mmm. Целью исследования является определение всех арифметических классов точечных групп обобщенных регулярных решеток в трехмерном евклидовом пространстве. В данной статье будет продолжено рассмотрение точечных групп моноклинной и ромбической сингоний. В основной части статьи произведено разделение полученных mmm-расширений на арифметические классы. Установлено, что mmm-расширения точечных групп из класса 2/ m α разделяются на два арифметических класса m α m α m α и m α m β m β для ℜ = Z и ℜ = Z[ τ] и на три арифметических класса m α m α m α, m α m β m β и m α m γ m γ для ℜ = Z[√2] и ℜ = Z[√3]; mmm-расширения точечных групп из класса 2/ m β разделяются на три арифметических класса m α m β m β, * m β m β m β и m β m β m β* для ℜ = Z и ℜ = Z[√ τ] и на пять арифметических классов m α m β m β, * m β m β m β, m β m β m β*, * m β m β m γ и m β m β m γ* для ℜ = Z[√2] и ℜ = Z[√3]; mmm-расширения точечных групп из класса 2/ m γ для ℜ = Z[√2] и ℜ = Z[√3] разделяются на пять арифметических классов m α m γ m γ, * m β m β m γ, m β m β m γ*, * m γ m γ m γ и m γ m γ m γ*. Приведены группы-представители перечисленных классов. В заключение для каждого ℜ составлены списки арифметических классов, из которых исключены повторяющиеся классы. В следующей части будут определены арифметические классы точечных групп mm2 и 222 ромбической сингонии, а также приведена общая схема классификации всех точечных групп низших сингоний для обобщенных ℜ-решеток. Полученные результаты могут быть применены в физике твердого тела для описания структуры веществ с некристаллографической симметрией.