Метод гармонического баланса и глобальный анализ динамических систем
Одной из основных проблем при глобальном анализе колебательных систем является задача нахождения всех ее периодических режимов при данных соотношениях параметров и априорные соображения дают основания предполагать, что для систем дифференциальных уравнений с полиномиальной нелинейностью использование метода гармонического баланса (МГБ) для этих целей представляется весьма привлекательным. Действительно, МГБ позволяет свести поиск стационарных движений таких систем к решению систем полиномиальных уравнений, число решений которых, предположительно, может быть установлено с использованием теории многогранников Ньютона. А, далее, с помощью интервальных подходов или методов гомотопии, которые в настоящее время развиваются в рамках тропической геометрии, определить все множество решений полиномиальных уравнений и, тем самым, весь спектр движений динамической системы. В данной работе эта гипотеза апробируется на дифференциальном уравнении с кубической нелинейностью и гармонической вынуждающей силой. Рассматриваются две версии метода гармонического баланса, - тригонометрическая и комплексно-показательная. На их основе для дифференциального уравнения с кубической нелинейностью проводится построение полиномиальных уравнений и, в соответствии с теоремой Бернштейна, предпринимается попытка оценить число решений полученных систем. Затем, с использованием интервального метода бисекции определяются решения системы полиномиальных уравнений в заданной части фазового пространства, проводятся оценки сравнительной трудоемкости рассматриваемых версий гармонического баланса, отмечаются достоинства и недостатки описываемого подхода.