Гомоморфная устойчивость конечных групп
Множество Hom (G, H) гомоморфизмов группы G в группу H является группой относительно поточечного умножения тогда и только тогда, когда образы любых двух таких гомоморфизмов поэлементно перестановочны. В таком случае группа Hom (G, H) коммутативна. Для конечных групп G и H изучаются алгебраические свойства группы Hom (G, H), а также объединения Im (G,H) образов всех таких гомоморфизмов. Пусть exp(G) -минимальное среди всех таких положительных целых чисел n, для которых xn = 1 для каждого элемента x £ G; G' - коммутант группы G, q = exp(G/G1) и Qq(H) - подгруппа в H, порождённая элементами периода q. Доказаны следующие утверждения: - Если Hom (G, H) является группой, то Qq(H) коммутативна и группы Hom (G,H) и Hom (G/G', Qq(H)) изоморфны. Обратно, если Qq(H) коммутативна и ядро каждого гомоморфизма из Hom (G, H) содержит коммутант G', то множество Hom (G, H) является группой относительно поточечного умножения. - Если Im (G, H) - подгруппа в H, то Im (G, H) эндоморфно допустима. - Если G - такая конечная р-группа, что q = exp(G) = exp(G/G'), а H - регулярная р-группа, то Im (G, H) = Qq(H).