Истинные и фиктивные собственные значения системы граничных интегральных уравнений Мюллера
Теоретически и численно исследован спектр нелинейной задачи на собственные значения системы граничных интегральных уравнений Мюллера. В общем случае собственные значения этой задачи распадаются на два множества - множество истинных собственных значений, соответствующих исходной задаче на собственные значения оператора Гельмгольца, и множество фиктивных собственных значений, которые соответствуют так называемой вывернутой наизнанку задаче. Поэтому важно определить условия, при которых исходная задача на собственные значения оператора Гельмгольца на плоскости и соответствующая задача для интегрального оператора будут спектрально эквивалентны. Исходная задача на собственные значения оператора Гельмгольца сведена к нелинейной задаче на собственные значения системы граничных интегральных уравнений Мюллера. Решения исходной задачи и задачи, вывернутой наизнанку, найдены методом разделения переменных. Решение системы граничных интегральных уравнений Мюллера построено методом Галеркина. Сформулирована и доказана теорема эквивалентности для исходной задачи на собственные значения оператора Гельмгольца и системы граничных интегральных уравнений Мюллера. Численно проверено, что спектр нелинейной задачи на собственные значения системы граничных интегральных уравнений Мюллера, помимо истинных собственных значений, содержит фиктивные. Определен диапазон, который состоит только из фиктивных собственных значений, и показано, что эти фиктивные собственные значения явно отделены от истинных собственных значений. Доказанная теорема эквивалентности дает теоретическое обоснование применимости метода граничных интегральных уравнений Мюллера. Разработанные компьютерные программы могут быть непосредственно использованы при моделировании микродисковых лазеров.