Контактная задача об изгибе двух балок с внутренним шарниром
Рассмотрен совместный изгиб двух балок Бернулли-Эйлера. Один конец каждой балки защемлен, другой - свободен. Длины и толщины балок различны. Длинная балка нагружена сосредоточенной силой, расположенной на свободном конце. Эта балка является составной - содержит внутренний шарнир. Между балками имеет место односторонний контакт без трения. Требуется найти упругие линии балок. Эта задача сводится к отысканию плотности сил взаимодействия балок и константы, описывающей заранее неизвестное слагаемое в перемещении незащемленной части составной балки. Сформулирована математическая постановка данной контактной задачи. Плотность ищется в виде суммы кусочно-непрерывной функции и дельта-функций, описывающих сосредоточенные силы. Доказана единственность решения контактной задачи и построено аналитическое решение. Установлено, что в зависимости от длин и толщин балок возможны два варианта контакта. Первый вариант: контакт в одной точке, расположенной на конце короткой балки. Второй вариант: контакт в этой же точке и еще в одной точке, расположенной на незащемленной части составной балки. Координата этой точки есть корень кубического уравнения. Полученное аналитическое решение использовано для оптимизации рассматриваемой конструкции. Задача оптимизации состоит в отыскании толщин балок, минимизирующих максимальное напряжение в конструкции при заданных нагрузке, длинах балок и общем прогибе. Эта задача решена численно для некоторых значений заданных параметров. На основе результатов численного решения предложена гипотеза о равнонапряженности оптимальной конструкции, позволяющая построить аналитическое решение рассмотренной задачи оптимизации.