О разрешимости первой краевой задачи для одномерных уравнений внутренней эрозии
Рассматривается математическая модель изотермической внутренней эрозии без учета деформации пористой среды. Фильтрация подземных вод происходит в водоносном горизонте, который соприкасается с промерзшим песчаным грунтом. В процессе оттаивания грунта и при достижении определенной величины скорости фильтрации происходит вынос частиц грунта из области течения и образование подземных полостей. В результате увеличения и достижения критических размеров этих полостей обрушивается свод многолетнемерзлых пород. В качестве математической модели используются уравнения сохранения массы для воды, подвижных твердых частиц и неподвижного пористого скелета, а также закон Дарси для воды и подвижных твердых частиц (аналог классической модели Маскета-Леверетта) и соотношение для интенсивности суффозионного потока. В пункте 1 дается постановка задачи, приводятся вспомогательные сведения и формулируется теорема об однозначной классической разрешимости. В пункте 2 изложены семь лемм, в том числе установлены физические принципы максимума для насыщенности воды и пористости. Ключевым моментом является доказательство гельдеровской непрерывности насыщенности. Далее проверяются условия теоремы Шаудера о неподвижной точке.