Об исследовании спектральных свойств дифференциальных операторов с гладкой весовой функцией
В работе исследуются спектральные свойства дифференциального оператора третьего порядка с суммируемым потенциалом с гладкой весовой функцией. Граничные условия являются разделенными. Метод изучения дифференциальных операторов с суммируемым потенциалом является развитием метода изучения операторов с кусочно-гладкими коэффициентами. Краевые задачи такого рода возникают при исследовании колебаний стержней, балок и мостов, составленных из материалов различной плотности. Дифференциальное уравнение, задающее дифференциальный оператор, с помощью метода вариации постоянных сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра. Решение интегрального уравнения находится методом последовательных приближений Пикара. С помощью исследования интегрального уравнения получены асимптотические формулы и оценки для решений дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор. При больших значениях спектрального параметра выведена асимптотика решений дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор. Асимптотические оценки решений дифференциального уравнения получаются аналогично асимптотическим оценкам решений дифференциального оператора с гладкими коэффициентами. Изучение граничных условий приводит к исследованию корней функции, представленной в виде определителя третьего порядка. Чтобы получить корни этой функции, была изучена индикаторная диаграмма. Корни этого уравнения находятся в трёх секторах бесконечно малого раствора, задаваемых индикаторной диаграммой. В статье изучено поведение корней этого уравнения в каждом из секторов индикаторной диаграммы. Вычислена асимптотика собственных значений исследуемого дифференциального оператора. Найденные формулы для асимптотики собственных значений позволяют исследовать спектральные свойства собственных функций изучаемого дифференциального оператора.