Нестационарное запаздывание установления нелинейных колебаний в системе двух связанных осцилляторов. Часть 1. Общие положения. Формирование упрощенной системы
Рассмотрено явление нестационарного запаздывания возбуждения высокоамплитудных хаотических колебаний в системе из двух связанных осцилляторов, один из которых является нелинейным. Приведено краткое описание двух реальных физических систем, допускающих возбуждение хаотических колебаний, обладающих нестационарным запаздыванием. Первая система представляет собой нормально намагниченную ферритовую пластину, обладающую магнитоупругими свойствами. Вторая система представляет собой электродинамический волноводный резонатор с намагниченным по нормали ферритовым диском. При поступающей мощности выше определенного порога в обеих системах колебания приобретают хаотический характер. Показано, что колебания в обеих системах могут быть описаны на основе одной и той же модели двух связанных осцилляторов, один из которых является нелинейным, а второй - линейным. Для такой модели приведена система двух дифференциальных уравнений второго порядка, нелинейность в которых представлена в виде степенного ряда по двум переменным. Первое уравнение содержит слагаемые кубической нелинейности, линейной и нелинейной связи со вторым уравнением. Второе уравнение содержит слагаемое линейной связи с первым уравнением. Возбуждение колебаний осуществляется путем подачи на первый осциллятор внешней силы синусоидального характера. Показано, что в такой системе при достаточном уровне внешнего сигнала возникают высокоамплитудные хаотические колебания. Начало возбуждения таких колебаний происходит скачком по прошествии определенного времени запаздывания относительно начала воздействия возбуждающей силы. Ввиду сложности исходной системы, в качестве главной задачи настоящей работы поставлено выделение из полной системы максимально упрощенного ядра, сохраняющего свойства высокоамплитудного хаоса с соответствующим запаздыванием. Такое выделение выполнено путем исключения второстепенных слагаемых обоих уравнений. В качестве первого шага упрощения рассмотрена возможность исключения внешнего возбуждения системы. При этом возбуждение колебаний осуществляется путем задания начального смещения или начальной скорости одного из осцилляторов. Для обеспечения незатухающих колебаний диссипативные слагаемые в обоих уравнениях положены равными нулю. Показано, что при надлежащем выборе начального смещения характер колебаний каждого из осцилляторов полностью подобен таковому для системы с внешним возбуждением. Выполнено сравнение зависимостей времени запаздывания от уровня внешнего возбуждения и начального смещения. Показано, что в обоих случаях зависимости, в основном, являются геометрически подобными и описываются законом обратной пропорциональности. Исследован характер колебаний системы по обе стороны от интервала реализации запаздывания. Установлено, что в обоих случаях, как внешнего возбуждения, так и начального смещения, характер колебаний по обе стороны от интервала реализации запаздывания остается одинаковым. В результате проделанного сравнения сделан промежуточный вывод об эквивалентности возбуждения колебаний системы из двух осцилляторов как внешним воздействием, так и заданием начального смещения. Отмечено, что причиной эквивалентности является тождество динамического потенциала в обоих случаях. С целью установления возможности дальнейшего упрощения системы связанных уравнений рассмотрена роль соотношения собственных частот того и другого осцилляторов. Показано, что возбуждение высокоамплитудного хаоса с соответствующим запаздыванием при надлежащем уровне начального смещения реализуется в непрерывном диапазоне соотношений частот осцилляторов вплоть до пяти относительных единиц. Установлено, что зависимость порогового уровня начального смещения от отношения частоты второго осциллятора к частоте первого является непрерывной и имеет четко выраженный возрастающий квадратичный характер. Исследована зависимость времени запаздывания от начального смещения при различных соотношениях частот. Показано, что при любой величине такого соотношении время запаздывания при увеличении начального смещения, начиная с определенного критического значения, спадает по закону обратной пропорциональности. Критическое значение смещения по мере увеличения соотношения частот также увеличивается. С целью исследования возможности дальнейшего упрощения системы рассмотрена роль слагаемого первого уравнения, отражающего линейную связь первого осциллятора со вторым. Показано, что исключение линейной связи при малой кратности частот приводит к уменьшению критического значения смещения, а при большой сохраняет прежним. Во всех этих случаях высокоамплитудный хаос сохраняется, а его запаздывание может достигать весьма больших значений. С целью дальнейшего упрощения системы рассмотрена роль собственной частоты первого осциллятора. Рассмотрены зависимости времени запаздывания от начального смещения при равенстве нулю частоты первого осциллятора и различных значениях частоты второго осциллятора. Показано, что в этом случае критическое значение смещения уменьшается тем сильнее, чем частота второго осциллятора ниже. Во всех случаях при исключении слагаемого, соответствующего частоте первого осциллятора, общий характер высокоамплитудного хаоса и соответствующего запаздывания сохраняется. В ходе проверки установлено, что исключение других слагаемых из первого уравнения нарушает возможность реализации высокоамплитудного хаоса с запаздыванием. Исключение потенциального слагаемого из второго уравнения нарушает его колебательный характер, так что также не является допустимым. Таким образом, на данном этапе рассмотрения дальнейшее упрощение системы признано нецелесообразным. В результате проделанного рассмотрения, из исходной полной системы уравнений для двух осцилляторов выделено ядро, ответственное за возбуждение высокоамплитудного хаоса с соответствующим запаздыванием. Уравнение для смещения первого осциллятора содержит вторую производную по времени, слагаемые кубической нелинейности и нелинейной связи со вторым осциллятором. Уравнение для смещения второго осциллятора содержит вторую производную по времени, потенциальное слагаемое, соответствующее частоте второго осциллятора и слагаемое линейной связи второго осциллятора с первым. При этом возбуждение системы может быть осуществлено путем задания начального смещения или начальной скорости любого из осцилляторов.