Проблема Куроша, теорема о высоте, нильпотентность радикала и тождество алгебраичности
Работа посвящена взаимосвязи между проблемой Куроша и теоремой Ширшова о высоте. В центре внимания находится тождество алгебраичности, с помощью которого и получаются основные результаты, например прямое комбинаторное доказательство теоремы о нильпотентности радикала вместе с явными оценками на индекс нильпотентности. Доказано, что если A — конечно порождённая PI-алгебра, Y — её конечное подмножество и для любого ассоциативно-коммутативного кольца R\supset F любой фактор тензорного произведения R\otimes A, для которого все проекции элементов из Y алгебраичны, является конечномерной R-алгеброй, то A имеет ограниченную существенную высоту над Y. Если же, кроме того, Y порождает A как алгебру, то A имеет ограниченную высоту над Y в смысле Ширшова. Кроме того, работа содержит доказательство теоремы Размыслова–Кемера–Брауна о нильпотентности радикала конечно порождённой PI-алгебры, отличное от первоначального. Доказательство позволяет получить конструктивные оценки. Главной целью данной работы является развитие техники, связанной с тождеством алгебраичности, а также развитие своего рода «операционного исчисления» для операторов, связанных с символьными выражениями в PI-алгебрах (операторов «переноса» и «вставки»).