Дифференциальные формы: от Клиффорда через Картана к Кэлеру
Продемонстрированы пределы векторного, тензорного и спинорного дираковского исчислений для мотивации введения кэлерова исчисления интеграндов, заменяющего все три вышеперечисленные. При этом кэлерово исчисление вводится в три этапа. Во-первых, мы формулируем основы алгебры Клиффорда, лежащей в основе кэлерова исчисления, и пригодной как для евклидовых, так и для псевдоевклидовых векторных пространств любого числа измерений. Показано, что обычная векторная алгебра представляет собой "поврежденную" алгебру Клиффорда, причем "повреждение" рассматриваемого типа возможно лишь в 3-мерном векторном пространстве. Клиффордово произведение строится как сумма внешнего и внутреннего произведений, если, по крайней мере, один из сомножителей является вектором. Грубо говоря, эти произведения обобщают обычные векторное и скалярное произведения и включают в себя внешнюю алгебру. В качестве промежуточного шага на пути к исчислению Кэлера мы кратко формулируем основы исчисления внешних скалярно-значных дифференциальных форм Картана, рассматриваемых здесь как обычные скалярно-значные подынтегральные выражения в кратных интегралах. Мы также делаем небольшой экскурс в исчисление внешних векторно-значных дифференциальных форм, реализующих метод подвижного репера в дифференциальной геометрии. Далее мы представляем основы исчисления дифференциальных форм Кэлера. Оно относится к внешнему исчислению так же, как алгебра Клиффорда относится к внешней алгебре. Ввиду ограничений по объему и сложности, мы останавливаемся лишь на скалярно- значных дифференциальных формах, что вполне достаточно для приложений в области релятивистской квантовой механики с электромагнитным взаимодействием. Использование исчисления Кэлера не приводит к решениям с отрицательными энергиями.