Асимптотический анализ открытой сети обслуживания с ограниченным числом заявок двух классов и случайным временем их ожидания в очередях
Сети массового обслуживания (МО) применяются при математическом моделировании различных экономических, компьютерных и других технических систем, связанных с обработкой заявок клиентов. Общее число обрабатываемых заявок в исследуемых системах изменяется с течением времени, что не позволяет применить в качестве модели замкнутую сеть МО, число обслуживаемых заявок в которой постоянно. Во введении описан объект исследования - открытая сеть с ограниченным числом заявок двух классов, время ожидания которых в очередях систем сети ограничено случайными величинами с экспоненциальным распределением. Параметры обслуживания сети постоянны, маршрут заявок определяется произвольной стохастической матрицей вероятностей перехода. Время обслуживания заявок в каждой линии систем распределено по показательному закону, заявки выбираются на обслуживание в соответствии с дисциплиной FIFO. Общее число заявок в сети ограничено. Состояние сети описано марковским случайным процессом. Целью исследования является асимптотический анализ данного процесса при большом числе заявок и нахождение среднего относительного числа заявок в системах сети в произвольный момент времени. В основной части показано, что плотность распределения вероятностей исследуемого процесса с определенной точностью удовлетворяет уравнению Колмогорова-Фоккера-Планка. Получена система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка с разрывными правыми частями для среднего относительного числа заявок в каждой из систем обслуживания в интересующий момент времени. Представлен пример расчета среднего относительного числа заявок в системах сети, являющейся моделью процесса обработки заявок клиентов в страховой компании.