Критерий устойчивости линейных уравнений с одним запаздыванием в терминах матриц Ляпунова
Роль известного из теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго метода Ляпунова в случае систем с запаздыванием играет его аналог – метод функционалов Ляпунова–Красовского. Для исследования устойчивости линейных систем зачастую применяются так называемые функционалы полного типа. Эти функционалы строятся на основе специальных функциональных матриц – матриц Ляпунова. Представляет интерес решение вопроса о том, какими свойствами должна обладать матрица Ляпунова, чтобы система была устойчива. В работе 2011 г. А. В. Егорова и S. Mondi´e были найдены необходимые условия устойчивости для широкого класса линейных систем с запаздыванием. В данной работе доказано, что эти условия являются также достаточными для случая скалярного уравнения с одним запаздыванием. Доказательство критерия опирается на явное выражение для матрицы Ляпунова, полученное как решение специального дифференциально-разностного уравнения с граничными условиями.