Расширение группы диэдра для 4-го уравнения Пенлеве с помощью степенного преобразования
Цель данной статьи - расширение дискретной группы диэдра преобразований для 4-го уравнения Пенлеве и нахождение способа решения уравнений расширенной орбиты 4-го уравнения Пенлеве. В работе были решены следующие задачи: 1) найдено степенное преобразование, замкнутое в классе полиномиальных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка; 2) дискретная группа диэдра преобразований 12-го порядка была расширена с помощью найденного степенного преобразования до псевдогруппы преобразований 84-го порядка; 3) построен граф этой псевдогруппы преобразований; 4) найденная псевдогруппа преобразований применена к 4-му уравнению Пенлеве; 5) найдены уравнения расширенной орбиты 4-го уравнения Пенлеве; 6) указан путь решения всех 84 уравнений расширенной орбиты 4-го уравнения Пенлеве через 4-й трансцендент Пенлеве. Автору статьи удалось найти еще одно (степенное) преобразование, замкнутое в классе дробно-полиномиальных ОДУ второго порядка, наряду с двумя образующими группы диэдра преобразований, благодаря чему удалось расширить группу диэдра преобразований 4-го уравнения Пенлеве. Причем полученное степенное преобразование имеет один произвольный параметр, поэтому порожденные этим преобразованием 72 уравнения также имеют дополнительный параметр, наряду с двумя произвольными коэффициентами 4-го уравнения Пенлеве. В работе использован метод построения дискретных групп и псевдогрупп преобразований, метод построения графов найденных дискретных групп и псевдогрупп преобразований, метод «размножения» разрешимых уравнений по найденной дискретной псевдогруппе преобразований.