О смешанной задаче E для вырождающихся на границе области параболических уравнений 2-го порядка
Исследуется вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для вырождающегося параболического уравнения 2-го порядка в случае, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа $L_2$. Данная тематика берет начало с классических работ Ф. Рисса [1] и Литтлвуда и Пэли [2], посвященных граничным значениям аналитических функций. Дальнейшее развитие этой тематики для равномерно эллиптических уравнений получило в работах В. П. Михайлова, А. К. Гущина [3-9]. Условие гладкости границы ($\partial Q\in C^2$) можно ослабить (см. [7]). При наиболее слабых ограничениях на гладкость границы (и на коэффициенты уравнения) критерий существования граничного значения установлен в [7-9]. При этом, как показано в работе [9], все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по совокупности переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не являются равноправными, ситуация более сложная. При этом постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения. В случае, когда значения соответствующей квадратичной формы вырождающегося эллиптического уравнения на векторе нормали отличны от нуля (вырождение типа Трикоми), корректна задача Дирихле, и свойства такого вырождающегося уравнения весьма близки к свойствам равномерно эллиптического уравнения. В частности, в этой ситуации справедливы аналоги теорем Рисса [1] и Литтлвуда - Пэли [2, 3]. В случае вырождения типа Келдыша ситуация более сложная. Постановка первой краевой задачи и поведение решения вблизи границы определяются порядком вырождения уравнения, а в случае «сильного» вырождения - коэффициентами при младших членах. Вопросам разрешимости первой краевой задачи для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений посвящено большое число работ. Достаточно отметить работы Ф. Трикоми [10], М. В. Келдыша[11], А. В. Бицадзе [12], С. А. Терсенова [13], И. М. Петрушко [14, 15], О. А. Олейник, Е. В. Радкевича [16], Г. Фикеры [17] и др. Из недавних работ можно отметить [18]. В настоящей работе рассматривается случай сильного вырождения параболического уравнения 2-го порядка, когда соответствующая квадратичная форма убывает как $r(x)$ и постановка первой смешанной задачи определяется коэффициентом при первой производной по нормали.