Локальная динамика двухкомпонентных контрастных систем параболического типа
Исследуется локальная динамика двухкомпонентных систем нелинейных параболических уравнений, один из коэффициентов диффузии которых является достаточно малым. Изучены как случаи, когда нелинейность зависит только от неизвестной функции, так и случаи “сильной” нелинейности, т.е. когда нелинейность зависит от производной неизвестной функции. Показано, что критические случаи в задаче об устойчивости стационара могут иметь бесконечную размерность. Изучены различные соотношения между двумя малыми параметрами – надкритичностью и малым коэффициентом диффузии. В критических случаях построены специальные нелинейные уравнения, не содержащие малых параметров, которые играют роль нормальных форм: их нелокальная динамика определяет в главном поведение решений исходной системы уравнений. Показано, что эти уравнения сводятся к семействам краевых задач параболического типа. Приведены явные формулы для их коэффициентов, а также для формул, связывающих решения аналогов нормальных форм и исходной задачи. Показано, что в результате бифуркации в окрестности состояния равновесия может сформироваться сколь угодно большое количество периодических решений, причем, как правило, они формируются на модах с асимптотически большими номерами. Отдельно изучены критические случаи с дополнительным вырождением, т.е. когда возникающая бифуркация имеет коразмерность два.