Максимизация степени устойчивости двухмассовой системы с ПИД-регулятором
Предмет исследования. Изучается степень устойчивости одноканальных ПИД-регули-руемых двух массовых систем. Управляющая сила действует на ту же массу, отклонение которой от положения равновесия является регулируемой величиной. Методика исследования. Исследование проводилось по следующей схеме. Сначала найдена параметризация объекта и управления, при которой задачу управления в обоих случаях (в зависимости от выбора управляемой и наблюдаемой массы) можно изучать с единых позиций (как одну задачу). Потом (в рамках этой задачи) найдено описание множества всех характеристических полиномов: показано, что это множество всех полиномов пятой степени с двумя линейными связями коэффициентов, и найдены эти связи. За счёт подбора масштаба времени эти связи были упрощены. Теперь задача поиска регуляторов, обеспечивающих наибольшую степень устойчивости, сводится к поиску наиболее устойчивых полиномов в классе полиномов пятой степени с двумя линейными связями. В классе полиномов с этими связями рассмотрены полиномы с не более чем тремя корнями на правой вертикали (т. е. сумма кратностей корней с наибольшей вещественной частью не более чем 3), и для них показано, можно непрерывно изменять коэффициенты полинома так, чтобы полином оставался в этом классе, а его правая вертикаль непрерывно сдвигалась влево до тех пор, пока на ней не окажется ещё один корень. Так на правой вертикали может быть собрано не менее четырёх корней. После этого можно, оставаясь в классе полиномов, непрерывно сдвигать влево правую вертикаль так, чтобы хотя бы два из этих четырёх корней на правой вертикали «склеились». Результат. Наибольшую степень устойчивости двух массовой системы обеспечивают регуляторы, для которых на правой вертикали характеристического полинома находится либо как минимум двукратный вещественный корень и комплексная пара, либо как минимум двукратная комплексная пара.