ОБ ИДЕАЛЬНЫХ И СОВЕРШЕННЫХ РАЗБИЕНИЯХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Разбиение натурального числа называется идеальным, если каждое меньшее число можно единственным образом представить в виде линейной комбинации частей этого разбиения с коэффициентами –1, 0 или 1. Указанное разбиение связано с известной задачей о взвешивании с помощью набора гирь, которые можно ставить на обе чашки весов. В статье предлагается простое доказательство вычислительных рекуррентных формул, связанных с подсчётом количества упорядоченных факторизаций натурального числа. С помощью аппарата производящих функций удается получить простое доказательство явной формулы Мак-Магона для подсчёта упорядоченных факторизаций натуральных чисел, а также некоторые новые соотношения в случае, когда канонические разложения чисел не содержат квадратов простых множителей. Для натуральных чисел, в разложении которых каждый простой множитель входит только один раз, установлена связь количества упорядоченных факторизаций с экспоненциальными числами Белла и Стирлинга второго рода.