Совершенные раскраски радиуса r>1 бесконечной прямоугольной решетки
Раскраска вершин графа G в n цветов называется совершенной радиуса r, если число вершин каждого цвета в шаре радиуса r зависит только от цвета центра этого шара. Совершенные раскраски радиуса 1 ранее изучались под различными названиями, в частности, их называли equitable partitions (равномерные разбиения). Понятие совершенной раскраски является обобщением понятия совершенного кода, по сути совершенный код является частным случаем совершенной раскраски. Совершенные раскраски бесонечной прямоугольной решетки могут рассматриваться как двумерные слова в конечном алфавите цветов. В работе доказано, что всякая совершенная раскраска радиуса r>1 этого графа является периодической.