О первой смешанной задаче в банаховых пространствах для вырождающихся параболических уравнений с меняющимся направлением времени
Работа посвящена изучению одного из разделов неклассических дифференциальных уравнений, а именно вопросов разрешимости для параболических уравнений с меняющимся направлением времени второго порядка. Известно, что в обычных краевых задачах для строго параболических уравнений гладкость начальных и граничных условий полностью обеспечивает принадлежность решений пространствам Гельдера, но в случае уравнений с меняющимся направлением времени гладкость начальных и граничных условий далеко не дает принадлежность решений этим пространствам. С.А. Терсеновым (для модельного параболического уравнения с меняющимся направлением времени) и С.Г. Пятковым (для более общего уравнения второго порядка) получены необходимые и достаточные условия разрешимости в Гельдеровых пространствах соответствующих смешанных задач. При этом начальные и краевые условия всегда предполагались нулевыми. Рассмотрены случаи, когда начальные и граничные условия принадлежат банаховым пространствам. Введены функциональные пространства, в которых надо искать решения. Получены соответствующие априорные оценки, позволяющие получать условия разрешимости указанных задач. Изучены свойства полученных решений. В частности, установлена эквивалентность условий Рисса и Литлвуда-Пэли, аналогичных условиям для решений строго эллиптических и строго параболических уравнений второго порядка. Доказана однозначная разрешимость первой смешанной задачи с граничными и начальными функциями из банахового пространства.