НЕКОТОРЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАУСОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ В n-МЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ RnЧАСТЬ I: ПОСТРОЕНИЕ ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ-НЕЙМАНА, ВОЗБУЖДЕННЫХ ГАУССОВСКИМИ СЛУЧАЙНЫМИ ПОЛЯМИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Rn
Пусть , , p - фиксированное вероятностное пространство. В измеримом евклидовом пространстве , n n R R , где Rn обозначает - алгебру измеримых подмножеств евклидового пространства Rn , рассматриваются две краевые задачи Дирихле-Неймана. Предполагается, что Q - некоторая открытая связная область из n -мерного евклидового пространства Rn , Q Rn с однородной и изотропной средой. Указанные задачи Дирихле-Неймана рассматриваются в области Q для эллиптических дифференциальных уравнений одного и того же порядка 2к и возбужденных одним и тем же гауссовским полем x, , x Rn с ядерным корреляционным оператором R , и ставится задача о существовании и единственности с вероятностью равным единице их решения u x, и v x, соответственно. Для этого рассматривается еще одна задача Дирихле-Неймана для главного дифференциального оператора порядка 2к, для которого строится функция Грина, 0G (x, y) (см. [3]), в пространстве Rn , которая в пространстве 2L (Q) - в пространстве действительных функций, интегрируемых со своим квадратом по мере Лебега, как ядро, порождает интегральный оператор Гильберта-Шмидта 0 G (см. [2,3]). Применив, далее, этот оператор 0 G к дифференциальным уравнениям, рассматриваемых в двух краевых задачах и, учитывая некоторые свойства функции Грина (см. [3]), мы эти дифференциальные уравнения краевых задач сводим к двум линейным преобразованиям L1(u(x, )) x, и 2L (v(x, )) x, с одним и тем же источником возмущения x, , где преобразованные поля u(x, ) и v x, , если L1 , L2 - взаимно-однозначные преобразования, являются единственным решением рассматриваемых краевых задач Дирихле-Неймана, а так как эти преобразования являются линейными, очевидно, что и их преобразованные величины u(x, ) и v x, также являются гауссовскими полями, так исходное поле x, , является гауссовским. Далее, как известно из теории случайных функций и случайных процессов, случайные поля u x, и v x, порождаю на - алгебре Rn вероятностные меры u и v соответственно, в данном случае гауссовские меры. Вторая часть данной работы полностью посвящена установлению условий, обеспечивающих абсолютную непрерывность u v = и эквивалентность мер u и v ~ u v и строгими математическими методами доказательствам некоторых утверждений, рассмотренных в первой части данной работы и вычислена будет также соответствующая плотность Радона-Никодима.