ОБ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ВЕЛИЧИН, СВЯЗАННЫХ С ГАММА-ФУНКЦИЕЙ
Изучается круг вопросов, связанных с интегральными представлениями гамма-функции и ее отношений. Основу нашего исследования составляют два классических результата теории функций. Один из них - широко известная первая формула Бине, другой - менее известное представление Мальмстена. Эти специальные формулы выражают значения гамма-функции в открытой правой полуплоскости через соответствующие несобственные интегралы. В работе показано, что оба результата допускают распространение на мнимую ось с исключенной точкой = 0. В процессе такого распространения применяются различные методы вещественного и комплексного анализа. Отсюда, в частности, получены интегральные представления для аргумента комплексной величины, являющейся значением гамма-функции в чисто мнимой точке. На основе упомянутой формулы Мальмстена в точках 𝑧 ̸= 0 из замкнутой правой полуплоскости дан подробный вывод интегрального представления для заданного через гамма-функцию специального отношения 𝐷(𝑧) ≡ Γ(𝑧 + 1/2)/Γ(𝑧 + 1). Такой факт на положительной полуоси отмечен без доказательства в небольшой заметке Душана Славича 1975 года. В той же работе приведены при > 0 двусторонние оценки величины 𝐷(𝑥), которая в натуральных точках совпадает с нормированным центральным биномиальным коэффициентом. Эти оценки означают, что 𝐷(𝑥) обвертывается на положительной полуоси своим асимптотическим рядом. В настоящей статье кратко обсуждается вопрос о наличии данного свойства у асимптотического ряда функции 𝐷(𝑧) в замкнутом угле | arg 𝑧| ≤ 𝜋/4 с исключенной вершиной. Из новой формулы, представляющей 𝐷(𝑧) на мнимой оси, получены явные выражения для величины |𝐷(𝑖𝑦)|2 и для множества Arg 𝐷(𝑖𝑦) при > 0. Указан метод доказательства второй формулы Бине, использующий аппарат простых дробей.