Об исчерпываемости сегментом и обобщениях этого понятия
В работе, выполненной в аксиоматике альтернативной теории множеств, вводится обобщение понятий σ- и π-классов на случай произвольного горизонта. Для этого, фиксируя некоторый новый горизонт A, более обширный, чем исходный сегмент конечных натуральных чисел, рассматриваются объединения и пересечения семейств теоретико-множественных классов, заиндексированных элементами A. Показано, что при таком обобщении изучаемых понятий основные свойства, имеющиеся у σ- и п-классов, сохраняются. В частности, если какой-то класс одновременно является и объединением, и пересечением классов упомянутого типа, то он теоретико-множественный. В качестве применения полученных результатов решена поставленная ранее автором проблема описания всех сегментов N, исчерпывающихся каждым из своих последовательных подсегментов. Оказывается, единственным таким сегментом является сегмент конечных натуральных чисел. Объединяя этот факт с ранее полученными результатами автора, получаем, что определить полный аналог семейства измеримых классов, замкнутого относительно произвольных объединений и пересечений при удалении горизонта, невозможно.