Устойчивость поверхности раздела тонких слоев жидкости при касательных высокочастотных вибрациях
В работе теоретически исследовано поведение системы двух равных по толщине тонких слоев несмешивающихся несжимаемых изотермических идеальных жидкостей под действием высокочастотных горизонтальных гармонических вибраций. Сосуд, содержащий жидкости, полагался замкнутым, двумерным, прямоугольным, со слабо деформируемыми боковыми границами, бесконечно протяженным в горизонтальном направлении. Из литературы известно, что для данной системы при достаточно тонких слоях основная неустойчивость - вибрационная неустойчивость Кельвина-Гельмгольца - носит длинноволновый характер. Поэтому задача решалась аналитически с использованием приближения «мелкой воды»: уравнения раскладывались в ряд по малым параметрам, один из которых был связан с малым отношением характерных вертикального и горизонтального масштабов, другой - с малыми возмущениями плоской поверхности раздела. Получены эволюционные уравнения в главном порядке разложения для поверхности раздела в подкритической области, то есть там, где интенсивность вибраций меньше критической (необходимой для возбуждения вибрационной неустойчивости Кельвина-Гельмгольца). Найдены решения системы этих эволюционных уравнений, соответствующие бегущим волнам с кноидальным или солитонным профилем поверхности раздела, причем солитонный профиль является предельным случаем кноидального. Установлена максимально возможная скорость таких бегущих волн. Показано, что решения существуют только в подкритической области, при критическом уровне интенсивности вибраций имеет место обратная бифуркация. Для частного случая бегущих волн - волн в квазистационарном режиме (с неподвижной поверхностью раздела), также называемого в литературе «застывшей волной», численно проведен анализ линейной устойчивости на основе разложения решения в ряд Фурье по горизонтальной координате. Продемонстрирована неустойчивость квазистационарных режимов к малым возмущениям.