О построении поля сил по заданным траекториям при наличии случайных возмущений
В статье построено силовое поле по заданному интегральному многообразию при наличии случайных возмущающих сил. При этом отдельно рассмотрены два вида интегральных многообразий: 1) траектории, зависящие от обобщенных координат и не зависящие от обобщенных скоростей, и 2) траектории, зависящие как от обобщенных координат, так и от обобщенных скоростей. Построение силового поля проводится в классе стохастических дифференциальных уравнений Ито второго порядка. При этом предполагается, что функции, входящие в правые части уравнения, должны быть непрерывными по времени и удовлетворять условию Липшица по обобщенным координатам и обобщенным скоростям, а также условию линейного роста по обобщенным координатам и обобщенным скоростям. Эти предположения обеспечивают в фазовом пространстве существование и единственность до стохастической эквивалентности решения задачи Коши построенных уравнений, являющегося непрерывным с вероятностью 1 строго марковским процессом. Для решения поставленных двух задач строятся стохастические дифференциальные уравнения возмущенного движения относительно интегрального многообразия. Причем, в случае, когда траектории зависят от обобщенных координат и не зависят от обобщенных скоростей, строятся уравнения возмущенного движения второго порядка, а в случае, когда траектории зависят как от обобщенных координат, так и от обобщенных скоростей, строятся уравнения возмущенного движения первого порядка. И далее, методом Еругина в обоих случаях выводятся необходимые и достаточные условия решения поставленных задач.