Об алгоритмических проблемах в обобщенных древесных структурах групп Кокстера
К основным алгоритмическим проблемам в теории групп, поставленным М. Дэном, относятся проблемы равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах, а также проблема изоморфизма групп. П. С. Новиков доказал неразрешимость основных алгоритмических проблем в классе конечно определенных групп. Поэтому алгоритмические проблемы изучаюся в конкретных группах. Группы Кокстера введены X. С. М. Кокстером: всякая группа отражений является группой Кокстера, если в качестве образующих взять отражения относительно гиперплоскостей, ограничивающих ее фундаментальный многогранник. X. Кокстер перечислил все группы отражений в трехмерном евклидовом пространстве и доказал, что все они являются группами Кокстера, а всякая конечная группа Кокстера изоморфна некоторой группе отражений в трехмерном евклидовом пространстве, элементы которой имеют общую неподвижную точку. Ж. Тите в своих работах изучал группы Кокстера в алгебраическом аспекте, им решена проблема равенства слов в данных группах. Известно, что в группах Кокстера разрешима проблема сопряженности слов и неразрешима проблема вхождения. К. Аппелем и П. Шуппом определен класс групп Кокстера экстраболыного типа. Группы данного класса являются гиперболическими. Группы Кокстера с древесной структурой введены В. Н. Безверхним. В графе, соответствующем группе Кокстера, всегда можно выделить максимальный подграф, соответствующий группе Кокстера с древесной структурой. В данном классе групп В. Н. Безверхним и О. В. Инченко решен ряд алгоритмических проблем. В статье доказывается алгоритмическая разрешимость проблем корня и степенной сопряженности слов в обобщенных древесных структурах групп Кокстера, представляющих собой древесные произведения групп Кокстера экстраболыного типа и групп Кокстера с древесной структурой. В доказательстве основных результатов используется метод диаграмм, введенный ван Кампеном, переоткрытый Р. Линдоном и усовершенствованный В. Н. Безверхним.