Вейвлет-преобразование обобщенных функций экспоненциального роста и их применение к решению уравнений теплопроводности
В работе поставлена задача определить и изучить вейвлет-преобразование для более широкого класса функций, в частности для обобщенных функций экспоненциального роста. Объектом исследования являются обобщенные функции экспоненциального роста, определенные на числовой оси, предметом исследования - вейвлет-преобразование обобщенных функций экспоненциального роста. Целью данной работы является изучение свойств вейвлет-преобразования на пространстве обобщенных функций экспоненциального роста. Во введении упоминаются сведения о полученных ранее результатах изучения вейвлет-преобразования. В основной части статьи определено вейвлет-преобразование на пространстве обобщенных функций экспоненциального роста. Приведены примеры преобразования Лапласа над вейвлет-преобразованием обобщенных функций экспоненциального роста. Рассмотрены некоторые свойства преобразования Лапласа над вейвлет-преобразованием на пространстве обобщенных функций экспоненциального роста, а именно преобразование Лапласа над вейвлет-преобразованием производной k-го порядка от обобщенной функции и преобразование Лапласа над вейвлет-преобразованием свертки двух обобщенных функций. Построены примеры вейвлет-преобразования обобщенной функции экспоненциального роста, где в качестве вейвлета используются вейвлет Соболева первого и вейвлет Соболева второго порядка. На рисунках приведены полученные результаты преобразования. Построены схемы для решения уравнений теплопроводности с обобщенной функцией в правой части. Эффективность полученных схем продемонстрирована на примере решения задачи Коши для уравнения теплопроводности с функцией Дирака в правой части. В заключении кратко перечислены полученные результаты, которые развивают теорию вейвлетов и находят свое применение не только в области теории вейвлет-преобразования, но и в теории обобщенных функций экспоненциального роста.