О локально нильпотентном радикале Джекобсона в специальных алгебрах Ли
В статье проведено исследование возможности гомологического описания радикалов Джекобсона и локально нильпотентного для алгебр Ли, их связь с 𝑃𝐼-неприводимо представленным радикалом, а также изучены некоторые свойства примитивных алгебр Ли. Доказывается аналог теоремы Ф. Кубо для почти локально разрешимых алгебр Ли с нулевым радикалом Джекобсона. Показано, что радикал Джекобсона специальной почти локально разрешимой алгебра Ли над полем характеристики нуль равен нулю тогда и только тогда, когда алгебра Ли имеет разложение Леви = ⊕ 𝑍(𝐿), где 𝑍(𝐿) -центр алгебры 𝐿, - конечномерная подалгебра такая, что 𝐽(𝐿) = 0. Теорема Е. Маршалла обобщена на случай почти локально разрешимых алгебр Ли. Для произвольной специальной алгебры Ли показано включение 𝐼𝑟𝑟𝑃𝐼(𝐿) ⊂ 𝐽(𝐿), которое в общем случае является строгим. Приведен пример алгебры Ли 𝐿, для которой выполнено строгое включение 𝐽(𝐿) ⊂ 𝐼𝑟𝑟𝑃𝐼(𝐿). Показано, что для произвольной специальной алгебры Ли над полем характеристики нуль справедливо включение 𝑁(𝐿) ⊂ 𝐼𝑟𝑟𝑃𝐼(𝐿), которое в общем случае является строгим. Показано, что большинство алгебр Ли над полем являются примитивными. Приведен пример абелевой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем не являющейся примитивной. Приведены примеры, показывающие, что бесконечномерные коммутативные алгебры Ли являются примитивными над любыми полями; конечномерная абелева алгебра, размерности больше 1, над алгебраически замкнутым полем не является примитивной; пример неартиновой некоммутативной алгебры Ли являющейся примитивной. Показано, что для специальных алгебр Ли над полем характеристики нуль 𝑃𝐼-неприводимо представленный радикал совпадает с локально нильпотентным. Приведен пример алгебры Ли, локально нильпотентный радикал которой не является ни локально нильпотентным, ни локально разрешимым. Даются достаточные условия примитивности алгебры Ли, приводятся примеры примитивных алгебр Ли и алгебры Ли не являющейся примитивной.