Seien *a* und *b* positive ganze Zahlen, so dass *ab + 1*  *a2 + b2* teilt. Beweise, dass *(a2 + b2) / (ab + 1)* das Quadrat einer ganzen Zahl ist.
Sei E ein normierter Raum und F ein Banachraum. Beweise, dass die Menge der beschränkten linearen Operatoren von E nach F (die du als Vektorraum mit geeigneten Operationen und Feld annehmen kannst), ausgestattet mit der Operatornorm, auch ein Banachraum ist. Um zu beweisen, dass die Menge der beschränkten linearen Operatoren von E nach F, bezeichnet als L(E, F), ausgestattet mit der Operatornorm, ein Banachraum ist, müssen wir zeigen, dass sie vollständig ist, d.h., dass jede Cauchy-Folge von Operatoren in L(E, F) gegen einen Operator in L(E, F) konvergiert.

Sei {Tn} eine Cauchy-Folge von Operatoren in L(E, F). Das bedeutet, dass es für jedes ε > 0 ein N gibt, sodass ||Tn - T_m|| < ε für alle n, m > N. Unser Ziel ist es zu zeigen, dass diese Folge gegen einen Operator T in L(E, F) konvergiert.

Zuerst müssen wir zeigen, dass Tn punktweise gegen einen Operator T konvergiert. Sei x ∈ E und fixiere ε > 0. Da {Tn} Cauchy ist, gibt es ein N, sodass ||Tn - Tm|| < ε für alle n, m > N. Betrachte nun die Ungleichung:

||Tn(x) - Tm(x)|| ≤ ||Tn - Tm|| * ||x|| < ε * ||x||.

Diese Ungleichung besagt, dass {Tn(x)} eine Cauchy-Folge in F ist. Da F ein Banachraum ist, ist er vollständig, daher konvergiert Tn(x) gegen ein Element T(x) ∈ F.

Nun müssen wir zeigen, dass T linear und beschränkt ist. Die Linearität folgt aus der Linearität jedes T_n. Um zu zeigen, dass T beschränkt ist, müssen wir zeigen, dass es eine Konstante C gibt, sodass ||T(x)|| ≤ C * ||x|| für alle x ∈ E.

Fixiere ε > 0 und sei N so gewählt, dass ||Tn - Tm|| < ε für alle n, m > N. Dann gilt für jedes x ∈ E:

||T(x) - TN(x)|| = ||lim(Tn(x)) - TN(x)|| = lim(||Tn(x) - T_N(x)||) ≤ lim(ε * ||x||) = ε * ||x||.

Wir können diese Ungleichung umstellen, um zu erhalten:

||T(x)|| ≤ ||T_N(x)|| + ε * ||x||
Um zu beweisen, dass (a^2 + b^2) / (ab + 1) das Quadrat einer ganzen Zahl ist, müssen wir zeigen, dass es eine ganze Zahl ist und dass seine Quadratwurzel eine ganze Zahl ist.

Zuerst beachte, dass (a^2 + b^2) / (ab + 1) eine ganze Zahl ist, genau dann, wenn (a^2 + b^2) - k(ab + 1) = 0 für eine ganze Zahl k ist. Durch Umstellen erhalten wir:

a^2 - kab + b^2 - k = 0

Wenn wir dies als quadratische Gleichung in a betrachten, muss die Diskriminante eine Quadratzahl sein, das heißt:

k^2 - 4(b^2 - k) = m^2 für eine ganze Zahl m.

Durch Vereinfachen erhalten wir:

k^2 - 4b^2 + 4k - m^2 = 0

Dies ist eine quadratische Gleichung in k, und auch ihre Diskriminante muss eine Quadratzahl sein, das heißt:

16b^2 - 4m^2 = n^2 für eine ganze Zahl n.

Dies kann umgeschrieben werden als:

(4b + n)(4b - n) = 4m^2

Da 4b + n und 4b - n beide gerade sind, können wir sie als 2r bzw. 2s schreiben, für ganze Zahlen r und s. Dann haben wir:

rs = m^2 / 4

und

b = (r + s) / 2

Durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung erhalten wir:

a^2 - (r + s)a + [(r - s) / 2]^2 = 0

Dies ist eine quadratische Gleichung in a, und auch ihre Diskriminante muss eine Quadratzahl sein, das heißt:

(r + s)^2 - 4[(r - s) / 2]^2 = t^2 für eine ganze Zahl t.

Durch Vereinfachen erhalten wir:

(r - s)^2 + t^2 = (r + s)^2

Dies ist der Satz des Pythagoras, und seine Lösungen sind:

r = uv, s = uw, t = u(v^2 - w^2)

wobei u, v und w positive ganze Zahlen mit v > w und (v - w) ungerade sind.

Daher haben wir:

b = (r + s) / 2 = uwv

und

a = (r - s) / 2 = u(v^2 - w^2)

Somit haben wir gezeigt, dass (a^2 + b^2) / (ab + 1) eine ganze Zahl ist, und ihre Quadratwurzel ist:

(a^2 + b^2) / (ab + 1) = (u^2v^2 + u^2w^2) / u^2vw + 1 = (v^2 + w^2) / vw + 1 = (v/w)^2 + 1

was offensichtlich eine ganze Zahl ist. Daher ist (a^2 + b^2) / (ab + 1) das Quadrat einer ganzen Zahl.