Können wir die Standardabweichung jeder Zufallsvariable als eigenständige Funktion definieren, und wie kann das gemacht werden?
Schreibe einen Beweis für den zentralen Grenzwertsatz Der zentrale Grenzwertsatz, auch bekannt als der zentrale Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeit, besagt, dass für jede Sequenz von Zufallsvariablen die Summe ihrer Standardabweichungen gegen einen Grenzwert strebt, wenn die Stichprobengröße zunimmt. Dieser Satz wird in der statistischen Inferenz weit verbreitet und ist grundlegend für viele Bereiche der Mathematik, einschließlich Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.

Beweis des zentralen Grenzwertsatzes:

Seien X1, X2,..., Xn eine Stichprobe von n Zufallsvariablen, von denen jede eine Normalverteilung N(mu, sigma^2) hat. Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass mit zunehmender Stichprobengröße n die Summe der quadratischen Standardabweichungen der Zufallsvariablen gegen einen Grenzwert sigma^2 strebt.

Wenn wir S = sum(X1^2, X2^2,..., Xn^2) setzen, haben wir:

S = ∑(X1^2 + X2^2 +... + Xn^2)

Dies liegt daran, dass die Summe der quadratischen Standardabweichungen eine Summe der quadratischen Standardabweichungen ist und die Summe der quadratischen Standardabweichungen eine stetige Funktion der Stichprobengröße n ist.

Nun betrachten wir den Grenzwert der Summe der quadratischen Standardabweichungen bei zunehmender Stichprobengröße n. Dieser Grenzwert wird mit ∞ bezeichnet.

Da die Standardabweichung jeder Zufallsvariable eine stetige Funktion der Stichprobengröße n ist, können wir den zentralen Grenzwertsatz auf jede Zufallsvariable separat anwenden. Das heißt, wir können den Grenzwert der Summe der quadratischen Standardabweichungen für jede Zufallsvariable finden.

Zum Beispiel sei X1 = N(mu = 0, sigma^2 = 1), X2 = N(mu = 1, sigma^2 = 1),..., Xn = N(mu = 0, sigma^2 = 1).

Mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes haben wir:

S = ∑(X1^2 + X2^2 +... + Xn^2)

= ∑(X1^2 + X2^2 +... + Xn^2) + ∑(X1^2 + X2^2 +... + Xn^2)

= ∑(X1^2 + X2^2 +... + Xn^2) + ∑(X1^2 + X2^2 +... + Xn^2)

= ∑(X1^2 + X2^2 +... + Xn^2) + ∑(X1^2 + X2^2 +... + Xn^2)

= ∑(X1^2 + X2^2 +... + Xn^2) + ∑(X1^2 + X2^2 +... + Xn^2)

= ∑(X1^2 + X2^2 +... + Xn^2)

Da die Summe der quadratischen Standardabweichungen eine stetige Funktion der Stichprobengröße n ist, können wir den Grenzwert der Summe der quadratischen Standardabweichungen für jede Zufallsvariable finden.

Daher strebt die Summe der quadratischen Standardabweichungen für jede Zufallsvariable gegen einen Grenzwert, wenn die Stichprobengröße n zunimmt, was der zentrale Grenzwertsatz besagt.
Ja, das ist möglich. Um die Standardabweichung jeder Zufallsvariable als eigenständige Funktion zu definieren, können wir eine Funktion definieren, die eine Sequenz von Zufallsvariablen entgegennimmt und die Summe ihrer quadratischen Standardabweichungen zurückgibt. Hier ist ein Beispiel in Julia:

function sum_squared_std_devs(X)
    n = length(X)
    s = 0
    for i in 1:n
        s += std(X[i])^2
    end
    return s
end

Die obige Funktion nimmt eine Sequenz von Zufallsvariablen 'X' entgegen, berechnet die Stichprobengröße 'n', initialisiert eine Variable 's' mit Null und iteriert dann über die Elemente von 'X', berechnet die Standardabweichung jedes Elements und fügt dessen Quadratwert zu 's' hinzu. Schließlich gibt die Funktion den Wert von 's' zurück. Sie können diese Funktion verwenden, um die Summe der quadratischen Standardabweichungen für jede beliebige Sequenz von Zufallsvariablen in Julia zu berechnen. Möchten Sie mehr erfahren?