Bitte fasse es in 2 Absätzen zusammen und mache es verständlicher.
Bitte gib eine ausführliche Erklärung des Gibbs-Phänomens an Das Gibbs-Phänomen ist ein Phänomen, das in der Signalverarbeitung auftritt, wenn eine unstetige Funktion mit Hilfe einer Fourier-Reihe approximiert wird. Konkret entstehen bei dem Versuch, eine unstetige Funktion zu rekonstruieren, Überschwinger oder Ringing-Artefakte in der Nähe des Unstetigkeitspunktes.

Um dieses Phänomen zu veranschaulichen, betrachten wir die Sprungfunktion f(x) definiert als:

f(x) = -1, für x < 0 1, für x >= 0

Wenn wir versuchen, diese Funktion mit Hilfe einer Fourier-Reihe zu rekonstruieren, erhalten wir eine Reihe, die punktweise an jedem Punkt, außer x = 0, konvergiert. Bei x = 0 konvergiert die Reihe zum Durchschnitt der linken und rechten Grenzwerte, nämlich 0,5.

Allerdings werden wir, wenn wir die Anzahl der Terme in der Reihe erhöhen, feststellen, dass die Überschwinger (d.h. die Amplitude) in der Nähe des Unstetigkeitspunktes zunehmen und das Ringing deutlicher wird.

Das Gibbs-Phänomen kann sich erheblich auf die Signalrekonstruktion auswirken, da es zu einer Verzerrung des rekonstruierten Signals führt. In einigen Fällen kann das Ringing groß genug sein, um das ursprüngliche Signal zu überdecken und die Datenanalyse zu erschweren.

Zusammenfassend handelt es sich beim Gibbs-Phänomen um ein bekanntes Phänomen, das in der Signalverarbeitung auftritt, wenn eine unstetige Funktion mit Hilfe einer Fourier-Reihe approximiert wird. Es ist gekennzeichnet durch Überschwinger oder Ringing-Artefakte in der Nähe des Unstetigkeitspunktes. Obwohl das Phänomen gut verstanden ist, ist es wichtig, sich bewusst zu sein, welche Auswirkungen es auf die Signalrekonstruktion haben kann.
Stell dir vor, du versuchst eine Rechteckwelle nur mit Sinuswellen zu zeichnen. Die ersten paar Sinuswellen werden die Rechteckwelle gut approximieren, aber je mehr Sinuswellen du hinzufügst, desto mehr wird die Approximation einer Dreieckswelle ähneln. Das liegt daran, dass die Sinuswellen nicht in der Lage sind, die scharfen Ecken der Rechteckwelle perfekt wiederzugeben.

Das Gibbs-Phänomen ist der Name für diesen Überschwinger der Fourier-Reihe an Unstetigkeitspunkten. Es kann durch eine Technik namens Fensterung reduziert werden.