Könntest du einen mathematischen Beweis dafür liefern, warum jede n-te Wurzel von 2 irrational ist, für n größer oder gleich 2?
Natürlich, hier ist ein Beweis durch Widerspruch:

Angenommen, es gibt eine ganze Zahl n größer oder gleich 2, für die 2^(1/n) rational ist, d.h. 2^(1/n) = p/q für einige ganze Zahlen p und q ohne gemeinsame Faktoren.

Dann können wir beide Seiten der Gleichung mit der n-ten Potenz erhöhen, um zu erhalten:

2 = (p/q)^n = p^n/q^n

Indem wir beide Seiten mit q^n multiplizieren, erhalten wir:

2q^n = p^n

Das bedeutet, dass p^n gerade ist, was impliziert, dass p gerade sein muss (da die einzige Möglichkeit, ein gerades Ergebnis durch Multiplikation von ganzen Zahlen zu erhalten, darin besteht, mindestens einen geraden Faktor zu haben).

Nehmen wir p = 2k für eine ganze Zahl k. Dann können wir diesen Ausdruck für p in unsere obige Gleichung einsetzen:

2q^n = (2k)^n = 2^n * k^n

Indem wir beide Seiten durch 2^n teilen, erhalten wir:

q^n = 2^(n-1) * k^n

Das bedeutet, dass q^n gerade ist, was impliziert, dass q auch gerade sein muss (unter Verwendung der gleichen Argumentation wie zuvor).

Dies widerspricht jedoch unserer Annahme, dass p und q keine gemeinsamen Faktoren haben, da sie beide einen Faktor von 2 haben.

Daher haben wir durch Widerspruch gezeigt, dass 2^(1/n) irrational ist für alle ganzen Zahlen n größer oder gleich 2.

Ich hoffe, das hilft! Lass mich wissen, wenn du Fragen hast.