Kannst du mir die Ableitungsregel erklären?
Die Kettenregel ist eine grundlegende Regel in der Differentialrechnung, die es ermöglicht, die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion zu finden. Eine zusammengesetzte Funktion ist eine Funktion, die gebildet wird, indem eine Funktion auf die Ausgabe einer anderen Funktion angewendet wird. Mathematisch ausgedrückt kann eine zusammengesetzte Funktion h(x) als:

h(x) = f(g(x))

dargestellt werden.

Die Kettenregel besagt, dass um die Ableitung der zusammengesetzten Funktion h(x) nach x zu finden, die Ableitung der äußeren Funktion f(u) nach ihrer Eingabe u (die in diesem Fall g(x) ist) genommen und mit der Ableitung der inneren Funktion g(x) nach x multipliziert werden sollte. Symbolisch kann es ausgedrückt werden als:

h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)

Hierbei ist h'(x) die Ableitung von h(x) nach x, f'(g(x)) die Ableitung von f(u) nach u, ausgewertet bei u = g(x), und g'(x) die Ableitung von g(x) nach x.

Lass uns ein einfaches Beispiel durchgehen, um die Kettenregel zu veranschaulichen:

Angenommen, wir haben zwei Funktionen f(u) = u^2 und g(x) = 3x + 1, und wir möchten die Ableitung ihrer zusammengesetzten Funktion h(x) = f(g(x)) nach x finden.

Zuerst finden wir die Ableitungen von f(u) und g(x) nach ihren jeweiligen Variablen:

f'(u) = 2u
g'(x) = 3

Nun wenden wir die Kettenregel an:

h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)

h'(x) = 2(g(x)) * 3

Da g(x) = 3x + 1 ist:

h'(x) = 2(3x + 1) * 3

Schließlich haben wir:

h'(x) = 6(3x + 1)

Lassen Sie uns weiter vereinfachen und die Ableitung h'(x) für die zusammengesetzte Funktion h(x) = f(g(x)) berechnen, wobei f(u) = u^2 und g(x) = 3x + 1. Wir haben zuvor gefunden:

h'(x) = 6(3x + 1)

Jetzt müssen wir nur noch die 6 verteilen:

h'(x) = 6 * 3x + 6 * 1
h'(x) = 18x + 6

Die Ableitung der zusammengesetzten Funktion h(x) nach x ist also:

h'(x) = 18x + 6

Das bedeutet, dass an jedem Punkt x die Änderungsrate oder die Steigung der Tangente an der Kurve von h(x) durch 18x + 6 gegeben ist. Die Kettenregel ermöglicht es uns, zusammengesetzte Funktionen leicht zu differenzieren, was besonders nützlich ist, wenn man es mit komplexeren Funktionen und Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Physik, Ingenieurwesen und Wirtschaft zu tun hat.