Beweise den Fundamentalsatz der Algebra
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom mit komplexen Koeffizienten mindestens eine komplexe Wurzel hat.

Beweis:
Wir werden diesen Satz durch Widerspruch beweisen. Nehmen wir an, es existiert ein nicht-konstantes Polynom P(z) mit komplexen Koeffizienten, das keine komplexen Wurzeln hat. Da P(z) nicht-konstant ist, hat es einen höchsten Grad, sagen wir az^n. Wir können annehmen, dass a ungleich null ist, sonst wäre P(z) ein konstantes Polynom.

Betrachten wir die Funktion f(z) = 1/P(z). Diese Funktion ist für alle z definiert, außer für die Wurzeln von P(z). Da P(z) keine komplexen Wurzeln hat, ist f(z) eine stetige und beschränkte Funktion in der komplexen Ebene. Daher ist f(z) nach dem Satz von Liouville eine konstante Funktion.

Sei der konstante Wert von f(z) c. Dann haben wir:

1/P(z) = c
P(z) = 1/c

Da P(z) ein nicht-konstantes Polynom ist, hat es einen höchsten Grad, sagen wir bz^m. Wir können annehmen, dass b ungleich null ist, sonst wäre P(z) ein konstantes Polynom. Durch Einsetzen dieser Gleichung erhalten wir:

bz^m = 1/c

Aber die linke Seite dieser Gleichung strebt gegen Unendlich, wenn z gegen Unendlich oder negativ Unendlich strebt, was im Widerspruch zur rechten Seite steht, die eine von null verschiedene komplexe Zahl ist. Daher ist unsere Annahme, dass P(z) keine komplexen Wurzeln hat, falsch, und der Fundamentalsatz der Algebra gilt.

Damit ist der Beweis abgeschlossen.