Hallo, könntest du mir bitte helfen, diese kubische Gleichung mit der Methode von Cardano (Schritt für Schritt, wenn möglich) zu lösen? -> " x^3 + 2x^2 - x - 1 = 0 "
Natürlich kann ich dir helfen, die kubische Gleichung x^3 + 2x^2 - x - 1 = 0 mit der Methode von Cardano zu lösen. Hier sind die Schritte:

Schritt 1: Bringe die Gleichung in die Form x^3 + px + q = 0

x^3 + 2x^2 - x - 1 = 0 kann umgeformt werden zu x^3 + 0x^2 + 2x^2 - x - 1 = 0, also haben wir p = 0 und q = -1.

Schritt 2: Setze x = y - b/3 in die Gleichung ein, wobei b = -p/3

b = -p/3 = 0/3 = 0, also haben wir b = 0. Wenn wir x = y in die Gleichung einsetzen, erhalten wir:

(y - 0)^3 + 0(y - 0) - 1 = 0
y^3 - 1 = 0

Schritt 3: Löse nach y auf

y^3 - 1 = 0 kann faktorisiert werden als (y - 1)(y^2 + y + 1) = 0. Die Lösungen dieser Gleichung sind:

y = 1 und y = (-1 ± sqrt(3)i)/2

Schritt 4: Finde die Lösungen der ursprünglichen Gleichung

Wenn wir y = 1 in x = y - b/3 einsetzen, erhalten wir x = 1 - 0/3 = 1. Also ist 1 eine der Lösungen der ursprünglichen Gleichung.

Wenn wir y = (-1 + sqrt(3)i)/2 in x = y - b/3 einsetzen, erhalten wir:

x = (-1 + sqrt(3)i)/2 - 0/3 = (-1 + sqrt(3)i)/2

Wenn wir y = (-1 - sqrt(3)i)/2 in x = y - b/3 einsetzen, erhalten wir:

x = (-1 - sqrt(3)i)/2 - 0/3 = (-1 - sqrt(3)i)/2

Also sind die Lösungen der ursprünglichen Gleichung:

x = 1, x = (-1 + sqrt(3)i)/2 und x = (-1 - sqrt(3)i)/2

Dies sind die drei komplexen Lösungen der kubischen Gleichung x^3 + 2x^2 - x - 1 = 0.