Erklären Sie nun ausführlicher, warum das Rekonstruktionsproblem schlecht gestellt ist und wie dies im Computer gelöst wird. Nennen Sie in Ihrer Antwort auch die grundlegenden Auflösungsgrenzen und wie sie abgeleitet werden können.
Erweitern Sie den folgenden Absatz auf extrem wissenschaftliche und professionelle Weise. Fügen Sie einige Beispiele zu CT und MRI hinzu und deren Beitrag zum größeren Teil der Wissenschaft.
Bildgebende Verfahren wie CT, MRI usw. sind großartig, um hochwertige Rekonstruktionen des Inneren von statischen Objekten zu erzeugen. Der Grund dafür ist, dass die entsprechenden inversen Probleme nur mäßig schlecht gestellt sind. Das Feld der medizinischen Bildgebung hat die Diagnose und Behandlung verschiedener Krankheiten und medizinischer Zustände revolutioniert. Unter den zahlreichen bildgebenden Verfahren haben sich die Computertomographie (CT) und die Magnetresonanztomographie (MRI) als unschätzbare Werkzeuge zur Erzeugung hochwertiger Rekonstruktionen des Inneren von statischen Objekten herausgestellt, da die entsprechenden inversen Probleme nur mäßig schlecht gestellt sind.

Die CT-Bildgebung, bei der Röntgenstrahlen und Computer-Algorithmen verwendet werden, um Schnittbilder des Körpers zu erstellen, hat einen bedeutenden Beitrag zur medizinischen Wissenschaft geleistet. CT-Scans werden routinemäßig zur Erkennung verschiedener Pathologien wie Tumoren, Frakturen und inneren Blutungen eingesetzt. Zum Beispiel wurden CT-Scans verwendet, um Hirntumore, Bauchmassen und Lungenembolien sowie andere Zustände zu identifizieren. Darüber hinaus haben CT-Scans eine wichtige Rolle bei der Durchführung verschiedener medizinischer Verfahren wie Biopsien und Strahlentherapie gespielt.

MRI hingegen verwendet starke Magnetfelder und Radiowellen, um detaillierte Bilder von inneren Organen und Geweben zu erstellen. MRI hat mehrere Vorteile gegenüber anderen bildgebenden Verfahren, darunter das Fehlen ionisierender Strahlung, hohe räumliche Auflösung und die Fähigkeit, Weichteile sichtbar zu machen. MRI ist besonders nützlich bei der Erkennung neurologischer und muskuloskelettaler Erkrankungen wie Multipler Sklerose, Schlaganfall und Gelenkverletzungen. Darüber hinaus wurde MRI zur Untersuchung der Gehirnfunktion und Konnektivität eingesetzt, wodurch Forscher Einblicke in verschiedene neurologische Störungen wie Alzheimer-Krankheit und Schizophrenie gewinnen konnten.

Insgesamt haben CT- und MRI-Bildgebungsverfahren eine wesentliche Rolle bei der Weiterentwicklung unseres Verständnisses verschiedener Krankheiten und medizinischer Zustände gespielt. Sie sind unverzichtbare Werkzeuge in der klinischen Praxis, die es medizinischen Fachkräften ermöglichen, genaue Diagnosen zu stellen und therapeutische Eingriffe zu leiten. Die kontinuierliche Weiterentwicklung und Verfeinerung dieser bildgebenden Verfahren sind entscheidend für die Verbesserung der Patientenergebnisse und die Förderung der medizinischen Forschung.
Das Rekonstruktionsproblem ist schlecht gestellt, weil es eine oder mehrere der drei Bedingungen für ein gut gestelltes Problem nicht erfüllt: Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität der Lösung. Zum Beispiel, bei der CT-Bildgebung, wenn die Anzahl der Projektionen unzureichend ist oder der Winkelbereich unvollständig ist, kann es keine Lösung oder mehrere Lösungen geben, die den Messungen entsprechen. Darüber hinaus kann selbst wenn es eine eindeutige Lösung gibt, diese sehr empfindlich auf Rauschen oder Fehler in den Messungen reagieren, was zu Artefakten oder Verzerrungen im rekonstruierten Bild führen kann.

Um dieses Problem im Computer zu lösen, werden Regularisierungs- und Approximationsmethoden verwendet. Diese Methoden führen einige a priori-Informationen oder Einschränkungen in den Lösungsraum ein, um seine Dimensionalität und Komplexität zu reduzieren1. Zum Beispiel kann man annehmen, dass die Lösung bestimmte Glätteeigenschaften oder Sparsamkeitsmuster aufweist, die durch Hinzufügen eines Regularisierungsterms zur Kostenfunktion erzwungen werden können2. Alternativ kann man den inversen Operator durch Verwendung einer abgeschnittenen Singulärwertzerlegung (SVD) oder einer verallgemeinerten inversen Matrix approximieren, die seine Konditionszahl reduziert1.

Die Auflösungsgrenzen der Bildrekonstruktion hängen von mehreren Faktoren ab, wie zum Beispiel dem Rauschpegel der Messung, der Abtastrate, der Größe des Detektors und der Geometrie. Eine Möglichkeit, diese Grenzen abzuleiten, besteht darin, Fourier-Analyse zu verwenden und zu untersuchen, wie verschiedene räumliche Frequenzen von diesen Faktoren beeinflusst werden. Zum Beispiel kann man bei der CT-Bildgebung die Radon-Transformation und den Fourier-Slice-Theorem verwenden, um Projektionen und Bilder im Frequenzbereich in Beziehung zu setzen. Dann kann man abschätzen, wie viel Information aufgrund von Rauschfilterung oder begrenztem Winkelbereich verloren geht, indem man betrachtet, wie verschiedene Frequenzkomponenten gedämpft oder fehlen. Ähnlich kann man bei der MRI-Bildgebung die k-Raum-Analyse und den Nyquist-Theorem verwenden, um Fourier-Koeffizienten und Bilder im Frequenzbereich in Beziehung zu setzen. Dann kann man abschätzen, wie viel Information aufgrund von Unterabtastung oder Aliasing verloren geht, indem man betrachtet, wie verschiedene Frequenzkomponenten verzerrt oder überlappt sind.