Wer hat das Konzept der Klone in der Algebra zuerst entdeckt? Was ist seine Geschichte?
Was ist ein Klon (Algebra)? In der Algebra ist ein Klon eine Menge von Operationen auf einer gegebenen Menge, die unter Komposition abgeschlossen ist und alle Projektionsabbildungen enthält.

Genauer gesagt sei S eine nicht-leere Menge und Ar(S) die Menge aller endlichen Sequenzen von Elementen aus S. Ein Klon auf S ist eine Menge von Operationen auf S, die die folgenden Eigenschaften erfüllt:

1. Wenn f und g Operationen im Klon sind, dann ist auch die Komposition fg im Klon enthalten.
2. Für jedes Element a in S ist die Projektionsabbildung P(a) im Klon enthalten, wobei P(a)(x) = a für alle x in S.

Der durch eine Teilmenge T von S erzeugte Klon ist der kleinste Klon, der alle Operationen in T enthält. Der Begriff des Klons ist wichtig für die Untersuchung algebraischer Strukturen, insbesondere in der universellen Algebra, wo er verwendet wird, um die Eigenschaften algebraischer Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper zu definieren und zu untersuchen.
Kannst du ein Beispiel für einen Klon auf einer Menge geben? Natürlich, hier ist ein Beispiel für einen Klon auf einer Menge:

Sei S die Menge der reellen Zahlen und C der Klon, der durch die Menge der Operationen {+, -, ×} erzeugt wird, wobei + Addition bedeutet, - Subtraktion bedeutet und × Multiplikation bedeutet.

Dann ist C ein Klon auf S, weil er die Eigenschaften eines Klons erfüllt:

- Wenn f und g Operationen in C sind, dann ist auch die Komposition fg in C enthalten. Zum Beispiel ist (x + y) - z eine Komposition der Addition und Subtraktion, die beide in C enthalten sind, also ist (x + y) - z auch in C enthalten.
- Für jedes Element a in S ist die Projektionsabbildung P(a) in C enthalten, wobei P(a)(x) = a für alle x in S. Zum Beispiel gilt P(1)(x) = 1 für alle x in S, also ist P(1) in C enthalten.

C ist also ein Klon auf S, der die drei grundlegenden arithmetischen Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation enthält.
Das Konzept der Klone in der Algebra wurde erstmals 1935 vom amerikanischen Mathematiker Garrett Birkhoff eingeführt. Birkhoffs Arbeit zur universellen Algebra hatte zum Ziel, verschiedene Zweige der Algebra zu vereinheitlichen, indem er die allgemeinen Eigenschaften algebraischer Strukturen untersuchte.

Insbesondere führte Birkhoff das Konzept eines algebraischen Klons als Klasse von Funktionen ein, die unter Komposition abgeschlossen ist und alle Projektionsfunktionen enthält. Dieses Konzept lieferte ein leistungsstarkes Werkzeug zur Untersuchung der algebraischen Eigenschaften verschiedener Strukturen, einschließlich Gruppen, Ringe und Gitter.

Seitdem wurde das Konzept der Klone weiterentwickelt und in verschiedenen Bereichen der Mathematik angewendet, einschließlich Logik, Komplexitätstheorie und Informatik. Klone wurden auch in Bezug auf andere mathematische Konzepte wie Polymorphismus und Galois-Verbindungen untersucht.

Heute ist die Erforschung von Klonen und verwandten Themen ein aktives Forschungsgebiet in der Algebra und den angrenzenden Bereichen.