#Spazi Vettoriali

##Introduzione ai vettori
I vettori sono utilizzato per esempio nella fisica.
$$
\vec{f} = m * \vec{a}
$$

##Vettori del piano
Come rappresentazione un vettore è una frecca orientata che nasce da un punto $O$ verso un punto $P$  


$$
OP = \vec{v}
$$
Ogni vettore ha 3 elementi:  
 * La direzione (Retta passante per O e P)
 * Il verso (Da O verso P)
 * Un intensità (La distanza da O a P)

##Somma di vettori
Dati due vettori con direzioni diverse la loro somma segue la regola del parallelogramma.  

Il vettore somma è la diagonale del parallelogramma costruito usando i die vettori come lati.  
Se hanno la stessa direzione muove la punta del primo vettore lungo il verso del secondo dell'intensità del secondo vettore. 

### Proprietà della somma
#### Vettore Opposto
Secondo questa regola, avendo due vettori $\vec v_1, \vec v_2$ con la stessa direzione e intensità ma verso opposto, la loro somma è un vettore di intensità 0, il vettore nullo. Il vettore sarà quindi chiamato **vettore oppsoto**  
$$
\vec v_1 + \vec v_2 = \vec0 \\
\vec v_2 = -\vec v_1
$$
#### Proprietà commutativa
Un'altra proprietà importante della somma dei vettori è la **proprietà commutativa**.
$$
\vec v + \vec w = \vec w + \vec v
$$
Non importa l'ordine con cui sommo i vettori, il risultato non cambia.
#### Proprietò associativa
Se devo sommare più di 2 vettori l'ordine con cui eseguo queste somme non cambia il risultato
$$
\vec v + \vec w + \vec z 
= (\vec v + \vec w) + \vec z 
= \vec v + (\vec w + \vec z)
$$

##Prodotto di un numero reale per un vettore
Dato un vettore $\vec v$ e un numero reale $a$ il loro prodotto è un vettore $a\vec v$ con le seguenti caratteristiche:
 * La stessa direzione di $\vec v$
 * La stessa direzione di $\vec v$ se $a$ è positivo, la direzione opposta se $a$ è negativo
 * L'intensità data dal prodotto fra $a$ è l'intensità di $\vec v = \lVert v \rVert$

###Proprietà del prodotto per un numero
####Azzeramento del prodotto
Il vettore $a\vec v$ sarò nullo se $a = 0$ o $\vec v = $ vettore nullo

####Proprietà distributiva
Il prodotto di un numero per la somma di due vettori è pari alla somma dei prodotti
$$
a(\vec v + \vec w) = a\vec v + a\vec w
$$
Il prodotto fra un vettore per la somma di due numeri reali è paro alla somma dei prodotti
$$
(a + v)\vec v = a\vec v + b\vec v
$$


##N-Uple (dieta)
Prendiamo l'esempio di una dieta.  
Per ogni cibi mi servono 3 informazioni principali:
 * Quantità di grassi
 * Quantità di carboidrati
 * Quantità di proteine

Ogni cibo lo possiamo quindi rappresentare con una terna di valori che rappresentano queste quantità.
$$
cibo_A = (30g, 20g, 40g)
$$
Generalizzando il concetto posso rappresentare un cibo con una n-upla, cioè n numeri dove ogni numero ha un suo significato e il cui insieme mi rappresenta le caratteristiche di questo cibo che a me interessano.  
###Coppie (in $R^2$)
Prendendo due coppie $(a, b), (c, d) \in R^2$
Posso definire delle operazioni
$$
\begin{align}
\text{somma} & = (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) \\
\text{prodotto con un numero} & = (a, b) * c = (ac, bc)
\end{align}
$$
Noto subito che anche qui si trovano delle proprietà
####Proprietà della somma
 |Proprietà              |Descrizione                                  |
 |-----------------------|---------------------------------------------|
 |Commutativa            |$(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)$          |
 |Associativa            |$((a,b)+(c,d))+(e,f) = (a,b)+((c,d)+(e,f))$  |
 |Esistenza del Neutro   |$(a,b) + (0,0) = (a,b)$                      |
 |Esistenza dell'Opposto |$(a,b) +(-a, -b) = (0, 0)$                   |

####Proprietà del prodotto per un numero
 |Proprietà                 |Descrizione                        |
 |--------------------------|-----------------------------------|
 |Distributiva alle coppie  | $m((a,b) + (c,d))= m(a,b)+m(c,d)$ |
 |Distributiva numeri       | $(m+n)(a,b) = m(a,b)+n(a,b)$      |
 |Esistenza del Neutro      | $1(a,b) = (a,b)$                  |
 |Composizione dei prodotti | $(mn)(a,b)=m(n(a,b))$             |

E' immediato vedere che:
 * Queste proprietà valgono indipendente del numero di elementi (n-upla)
 * Sono le stesse proprietà dei vettori del piano



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