# Práctica de multplicadores de Lagrange

En la clase pasada aprendimos la optimización por medio de multiplicadores de Lagrange cuando la función objetivo está sujeta a ciertas restricciones.

En resumen:

1. Obtener la función lagrangiana.
2. Derivar parcialmente.
3. Encontrar el punto crítico.
4. Evaluar el punto crítico.
5. Evaluar otro punto que cumpla la restricción.
6. Clasificar el punto crítico.


```python
from sympy import *    # cargar paquetes para hacer calculos matemáticos
init_printing(use_latex=True) 
```

## Ejemplo aplicado

Una empresa puede elaborar
su producto en dos de sus plantas. El costo de producir
$x$ unidades en su primera planta y $y$ unidades en la segunda
planta está dado por la función conjunta de costo
$C(x, y) = x^2 +2y^2+5xy+700$. Si la empresa tiene una
orden de suministrar 500 unidades, ¿cuántas unidades debe
producir en cada planta con el objetivo de minimizar el
costo total?



```python
x,y,l =symbols("x,y,l")
```


```python
C=x**2+2*y**2+5*x*y+700
C
```


```python
g=x+y-500 # x+y=500 pero se debe igualar a cero 
g
```


```python
L=C-l*g
L
```


```python
Lx=diff(L,x)
Ly=diff(L,y)
Ll=diff(L,l)
```


```python
pc=solve([Lx,Ly,Ll],[x,y,l])
pc
```


```python
C.subs([(x,125),(y,375)])
```


```python
solve(g.subs(x,100),y) # Punto para comparar
```


```python
C.subs([(x,100),(y,400)])
```

Esto implica que el punto crítico $(125, 375)$ es un máximo y 531.950 es el valor máximo de la función.

## Ejemplo de inversiones

Una inversión de $p$ dólares en las cuatro inversiones
A, B, C y D da como resultado un rendimiento
de $\sqrt{p}$, $\sqrt{1.2p}$, $\sqrt{1.3p}$ y $\sqrt{1.5p}$ dólares, respectivamente.
Una persona desea invertir \$12,000 en estas cuatro inversiones.
¿Cuánto deberá invertir en cada una de ellas para
maximizar el rendimiento anual?


```python
A,B,C,D,l =symbols("A,B,C,D,l")
```

A dinero invertido en el primer fondo

B dinero invertido en el segundo fondo

C dinero invertido en el tercer fondo

D dinero invertido en el cuarto fondo


```python
R=sqrt(A)+sqrt(1.2*B)+sqrt(1.3*C)+sqrt(1.5*D)
R
```


```python
g=A+B+C+D-12000 # A+B+C+D=12000
g
```


```python
L=R-l*g
L
```


```python
LA=diff(L,A)
LB=diff(L,B)
LC=diff(L,C)
LD=diff(L,D)
Ll=diff(L,l)

```


```python
pc=solve([LA,LB,LC,LD,Ll],[A,B,C,D,l])
pc
```


```python
round(R.subs([(A,2400),(B,2880),(C,3120), (D,3600)]),2)
```


```python
solve(g.subs([(A,2300),(B,2800),(C,3000)]),D) # Punto para comparar
```


```python
round(R.subs([(A,2300),(B,2800),(C,3000), (D,3900)]),2)
```

Se deben invertir 2400 dólares en el fondo A, 2880 dólares en el fondo B,3120 dólares en el fondo C,3600 US\$ en el fondo D para obtener un rendimiento máximo de 244.95 dólares al año.

# Ejercicios

Mediante el método de multiplicadores de Lagrange, determine y clasifique los puntos críticos de $f$ sujetos a las restricciones
dadas.

1. $f(x, y) =x^2  + y^2$  sujeto a $2x + 3y = 7$
2. $g(x, y) = x^2 + y^2 - 3xy$  sujeto a $2x + 3y= 31$.
3. $h(x, y) = 3x + 2y$  sujeto a $x^2 + y^2 = 13$.
4. $m(u, v, w, x) =3u^2 -v^2 + 2w^2 + x^2$  sujeto a $3u + v - 2w + 4x = 20$.

5.  La función de
producción de una empresa es $P(L, K) = 80L^{3/4}K^{1/4}$, en
donde $L$ y $K$ representan el número de unidades de mano de
obra y de capital utilizadas y $P$ es el número de unidades
elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene
un costo de $\$60$ y cada unidad de capital cuesta $\$200$ y
la empresa dispone de $\$40,000$ destinados a producción.

Aplicando el método de multiplicadores de Lagrange
determine el número de unidades de mano de obra y de
capital que la empresa debe emplear para obtener una
producción máxima. ¿Cuál es esa producción máxima de la empresa?

6. Si se gastan $x$ miles de dólares en mano de obra y $y$ miles de dólares en equipo, la producción de cierta fábrica
será de
$Q(x, y) = 60x^{1/3}y^{2/3}$ unidades. Si hay US$120.000 disponibles, ¿Cómo debe distribuirse el dinero, entre mano de obra y equipo,
para general la mayor producción posible? ¿Cuál es la producción?

7. La función de producción de una empresa es $P(L, K) = 800\sqrt{3L^2+1.5K^2}$, en donde $L$ y $K$ representan el número de unidades de mano de
obra y de capital utilizadas y $P$ es el número de unidades elaboradas del producto. Los costos unitarios de la mano de obra y del capital son
de $\$250$ y $\$50$ y la empresa dispone de $\$6750$ para gastar en producción.

Aplicando el método de multiplicadores de Lagrange
determine el número de unidades de mano de obra y de
capital que la empresa debe emplear para obtener una
producción máxima. ¿Cuál es esa producción máxima de la empresa?

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Taller multiplicadores de Lagrange para entregar.ipynb
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1. YES
2. YES