## 적분
- 미분과 반대되는 개념
- 부정적분(indefinite integral)
- 정적분(definite integral)

### 부정적분(indefinite integral)
- **정확하게 미분과 반대되는 개념, 반-미분(anti-derivative)**

- 부정적분으로 찾은 원래의 함수를 표기
    - $\int$ 기호(integral)로 나타내는 것이 일반적

- 도함수가 $f(x)$이므로 미분하기 전의 함수를 $F(x)$ 또는 $\int f(x)dx$로 쓴다. 
- $dx$는 $x$라는 변수로 적분했다는 것을 나타내는 기호로 편미분에 대응하는 적분을 표기할 때 필요하다.

    $ 
    \dfrac{dF(x)}{dx} = f(x) \;\;\leftrightarrow\;\; F(x) = \int_{}^{} f(x) dx + C 
    $

- $C$는 상수항을 의미
    - 상수항은 미분하면 0이 되므로 부정적분은 무한 개의 해가 존재 
    - $C$는 당연하므로 생략하고 쓰는 경우도 있다.

### 편미분의 부정적분
- 편미분을 한 도함수에서 원래의 함수를 찾을 수도 있다.
- $f(x, y)$가 함수 $F(x, y)$를 $x$로 편미분한 함수일 때

    $
    \dfrac{\partial F(x, y)}{\partial x} = f(x, y) \; \leftrightarrow \; F(x, y) = \int_{}^{} f(x, y) dx + C(y)
    $

- $f(x, y)$가 함수 $F(x, y)$를 $y$로 편미분한 함수일 때

    $
    \dfrac{\partial F(x, y)}{\partial y} = f(x, y) \; \leftrightarrow \; F(x, y) = \int_{}^{} f(x, y) dy + C(x)  
    $


### 다차 도함수와 다중적분
- 미분을 여러번 한 결과로 나온 다차 도함수로부터 원래의 함수를 찾아낼때

    $ 
    \iint f(x, y) dydx
    $

## 심파이를 이용한 부정적분
- 심파이의 `integrate()` 명령을 사용


```python
import sympy

sympy.init_printing(use_latex='mathjax')

x = sympy.symbols('x')
f = x * sympy.exp(x)
f
```




$$x e^{x}$$




```python
sympy.integrate(f)
```




$$\left(x - 1\right) e^{x}$$



### 정적분
- **독립변수 $x$가 어떤 구간 $[a, b]$ 사이일 때 그 구간에서 함수 $f(x)$의 값과 x 축이 이루는 면적**을 구하는 행위 or 값

    $
    \int_{a}^{b} f(x) dx 
    $
- 정적분 구하는 방법    
    - 미적분학의 기본 정리를 사용하여 푸는 방법
    - 수치적분(numerical integration)방법

#### 미적분학의 기본 정리(Fundamental Theorem of Calculus)
- 부정적분으로 구한 함수 $F(x)$를 이용하면 다음처럼 정적분의 값을 구할 수 있다. 

    $ 
    \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)  
    $

### 수치적분
- 함수를 아주 작은 구간으로 나누어 실제 면적을 계산해 값을 구하는 방법.


```python
import scipy as sp
def f(x):
    return 2 * x ** 3 - 4 * x ** 2 + x + 8
sp.integrate.quad(f, 0, 2)  # 수치적분, Scipy의 integrate 서브패키지의 quad 명령
```




$$\left ( 15.333333333333332, \quad 1.7023419710919066e-13\right )$$



### 다변수 정적분
- 입력 변수가 2개인 2차원 함수 $ f(x, y) $
- 두 변수로 모두 적분하는 것은 2차원 평면에서 주어진 사각형 영역 아래의 부피를 구하는 것과 같다.

    $  
    \int_{y=c}^{y=d} \int_{x=a}^{x=b} f(x, y) dx dy 
    $

### 다차원 함수의 단일 정적분
- 2차원 함수이지만 이중적분을 하지 않고 단일 정적분을 하는 경우
    - 하나의 변수만 진짜 변수로 보고 나머지 하나는 상수라고 간주하는 경우 

    $
    \int_a^b f(x, y) dx
    $

bbcf0f454778ff29a40606e6fe6918642ff9551e
ipynb
Jupyter Notebook
Math-Study/Integral.ipynb
kimchangkyu/TIL
721a46417734431f83bb8bd1f3fa831633b2419a
MIT
2019-12-28T10:33:45.000Z
2019-12-28T10:33:45.000Z
Math-Study/Integral.ipynb
kimchangkyu/TIL
721a46417734431f83bb8bd1f3fa831633b2419a
MIT
Math-Study/Integral.ipynb
kimchangkyu/TIL
721a46417734431f83bb8bd1f3fa831633b2419a
MIT
Qwen/Qwen-72B
1. YES
2. YES