## Modelo del rendimiento de una cuenta de ahorro
> ___Interés compuesto continuo___.
Ya es sabido que para una tasa de interés nominal constante, si la frecuencia de capitalización aumenta, el monto compuesto resultante también aumenta. Cuando la frecuenca con la que el interés se capitaliza crece indefinidamente, se habla de que los intereses se generan de forma continua, llamándosele interés compuesto continuo al que se calcula de ese modo. Al trabajar con estamodalidad de interés, el monto compuesto no tiende a ser infinitamente grande como a veces se piensa, sino que tiende a acercarse a un valor límite.

Referencia: 
- https://es.slideshare.net/tmateo14/inters-compuesto-continuo
- https://es.wikipedia.org/wiki/Capitalizaci%C3%B3n_continua

___
El anterior fenómeno se puede pensar también, como que a cada instante de tiempo $t$ se obtiene un rendimiento proporcional al monto actual $C(t)$. En este caso, la constante de proporcionalidad es el interés compuesto continuo $r$. Un modelo que representa esta situación es la siguiente ecuación diferencial de primer orden 

$$\frac{d C(t)}{dt}=r\; C(t),$$

sujeto a la condición inicial (monto o capital inicial) $C(0)=C_0$.

La anterior, es una ecuación diferencial lineal de primer orden, para la cual se puede calcular la *solución analítica*.


```python
from sympy import *

# Para imprimir en formato TeX
from sympy import init_printing; init_printing(use_latex='mathjax')

t, r = symbols("t r")
C, f = map(Function, 'Cf')
```


```python
eqn = Eq(Derivative(C(t),t) - r*C(t), 0)
display(eqn)
dsolve(eqn, C(t))
```


$$- r C{\left (t \right )} + \frac{d}{d t} C{\left (t \right )} = 0$$





$$C{\left (t \right )} = C_{1} e^{r t}$$



con $C_1=C_0$.

___
¿Cómo podemos calcular la *solución numérica*?


```python
# Librerías para cálculo numérico
import numpy as np
# Librerías para integración numérica
from scipy.integrate import odeint
# Librerías para gráficos
import matplotlib.pyplot as plt
# Para que se muestren las gráficas en la misma ventana
%matplotlib inline
```


```python
# Modelo de capitalización continua
def cap_continua(CC, tt, rr):
    return rr * CC
```


```python
# Capital inicial
C0 = 5000
# Interés continuo del 1%
rr = 0.0004
tt = np.linspace(0, 3*360)
CC = odeint(cap_continua, C0, tt, args = (rr,))
plt.plot(tt, CC)
plt.xlabel('$t$', fontsize = 18)
plt.ylabel('$C(t)$', fontsize = 18)
plt.show()
```

Ver que lo anterior es una aproximación continua del modelo discreto de interés continuo cuando la frecuencia de capitalización tiende a infinito


```python

```

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Jupyter Notebook
SimulacionO2017/Modulo 1/Clase7_ModeloAhorro.ipynb
jcmartinez67/SimulacionMatematica_O2017
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MIT
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Qwen/Qwen-72B
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