Für $q \neq 1$ kann die n-te Partialsumme der geometrischen Reihe wie folgt berechnet werden:
    
$$
\sum_{k=0}^{n}{q^{k}} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}
$$

Zeigen Sie dies empirisch, indem Sie mithilfe von `sympy` die linke und rechte Seite in einer for-Schleife für $n = 1, \ldots, 5$ berechnen und deren faktorisierte Formen mit einem logischen Operator vergleichen. Geben Sie dies für jedes $n$ aus. Anschließend berechnen Sie die 5-te Partialsumme an der Stelle $q = 3$ (indem Sie mittels einer `sympy` Routine für $q$ den konkreten Wert übergeben) und geben diese aus.


```python
from sympy.abc import k, n, q
from sympy import Sum

for ni in range(1, 6):
    geom_series = Sum(q**k, (k, 0, ni))
    geom_formula = (1 - q**(ni + 1))/(1 - q)
    print(f'n = {ni}, Same factorized form: {geom_series.doit().factor() == geom_formula.factor()}')
```

    n = 1, Same factorized form: True
    n = 2, Same factorized form: True
    n = 3, Same factorized form: True
    n = 4, Same factorized form: True
    n = 5, Same factorized form: True



```python
geom_series = Sum(q**k, (k, 0, n))
geom_formula = (1 - q**(n + 1))/(1 - q)

subs_dict = {k: v for k, v in zip('nq', [5, 3])}
for function, label in zip(
    [geom_series, geom_formula],
    ['Series', 'Formula']
):
    print(f'{label}: {function.evalf(subs = subs_dict)}, n = 5, q = 3')
```

    Series: 364.000000000000, n = 5, q = 3
    Formula: 364.000000000000, n = 5, q = 3


f2723826f8953fc9e0704fd52ed34fb1c5abd1c2
ipynb
Jupyter Notebook
Daniel_Malzl_Aufgabe3.ipynb
dmalzl/mathcode
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MIT
Daniel_Malzl_Aufgabe3.ipynb
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Qwen/Qwen-72B
1. YES
2. YES