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毕导在视频中提到的哥德尔不完备定理中，对于形式系统公理可判定性的说明有哪些需要注意的细节？<|im_end|>
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作为相关专业的学生，补充一处遗漏，作为科普视频可以因为篇幅和难度原因不讲具体内容，但应该提一下“这里有东西没讲”比较好。
视频的14:50处直接引用了“不存在一个k步的证明过程……”，这省略了“存在一个句子p，p(n)当且仅当n是一篇证明的哥德尔数”这个事实。这涉及到对证明有效性的检查，即每一行是否是公理或是由之前的行数由推理规则得到的；后者比较好检查，但前者需要“存在一个句子q，q(n)当且仅当n是一个公理的哥德尔数”这个事实，这需要对形式系统做额外的假设，即“一个句子是不是公理”是可判定的。这对Peano算数是成立的，但对某些包含Peano算数的足够强的形式系统是不成立的（举个极端的例子，把Peano算数中所有真命题作为公理的形式系统，参见https://en.wikipedia.org/wiki/True_arithmetic），这个形式系统是一致、完备的，哥德尔的证明无法作用于这个系统。
视频21:40处引用的命题是哥德尔的原文，原文中哥德尔的“形式系统”一词是指“递归的形式系统”，亦即形式系统中的公理是可判定的（...where "formal system" includes the assumption that the system is effectively generated，参见https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems）。但现在是2023年，通用的“形式系统”一词不自带递归这一假设，复述结论的时候还是小心一点比较好。
出于类似的原因，视频中对sub的讲解也不够严谨，并不是每个自然数到自然数的映射都可以在Peano算数中找到对应的句子的，证明中还应当有相当长一部分是在证明sub是递归的，因此能真的对应到Peano算数中的一个句子，进而对应到一个哥德尔数。<|im_end|>