Ensemble de définition
En mathématiques, l'ensemble de définition  d'une fonction  dont l'ensemble de départ est noté  et l'ensemble d'arrivée  est l'ensemble des éléments de  qui possèdent une image dans  par , autrement dit l'ensemble des éléments  de  pour lesquels  existe :

On dit de  qu'elle est . L'ensemble de définition   est encore appelé domaine de définition (ou simplement domaine) de  ; quand   est un simple intervalle, on peut l'appeler intervalle de définition.

Il ne faut pas confondre l'ensemble de définition   de la fonction  avec son ensemble de départ . Il arrive toutefois que les deux soient égaux : la fonction est alors une application ; elle est alors dite  ou .

Exemple 
À titre de contre-exemple, considérons la fonction

Cette fonction n'est pas définie en 0 : «  » n'existe pas.

L'ensemble de définition de cette fonction est donc . Il diffère de son ensemble de départ,  ; cette fonction n'est donc pas une application.

Restriction
Cependant, il est toujours possible de transformer une fonction en application, par exemple en la restreignant à son domaine de définition. Cette restriction est notée habituellement . C'est une application par construction.

Ainsi, dans notre exemple, la fonction

est bien une application.

Prolongement 
Une autre solution pour transformer une fonction en application consiste à la prolonger, c'est-à-dire choisir une image dans l'ensemble d'arrivée pour chacun des éléments sans image de l'ensemble de départ. En particulier, si une fonction  n'est pas définie en un point , il est possible de la prolonger en ce point en la remplaçant par une autre fonction, appelée un prolongement de  en  et notée ici , et telle que :
 sur , le prolongement  coïncide avec   :

 au point , le prolongement de  a une valeur définie,  :

Ainsi, dans notre exemple, on peut transformer la fonction  en application en la prolongeant à l'origine par (par exemple) : .

Remarque : assez souvent, pour alléger les notations, le prolongement est noté de la même manière que la fonction initiale. Cette ambiguïté est sans conséquence si le prolongement est explicité et remplace aussitôt et définitivement la fonction initiale.

Voir aussi

Article connexe
Ensemble de définition d'une fonction multivaluée (autrement dit : d'une relation binaire)

Lien externe 

Théorie des ensembles
Fonction mathématique