Équations de Navier-Stokes
En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent le mouvement des fluides newtoniens (donc des gaz et de la majeure partie des liquides). La résolution de ces équations modélisant un fluide comme un milieu continu à une seule phase est difficile, et l'existence mathématique de solutions des équations de Navier-Stokes n'est pas démontrée. Mais elles permettent souvent, par une résolution approchée, de proposer une modélisation de nombreux phénomènes, comme les courants océaniques et des mouvements des masses d'air de l'atmosphère pour les météorologistes, le comportement des gratte-ciel ou des ponts sous l'action du vent pour les architectes et les ingénieurs, ou encore celui des avions, des trains ou des voitures à grande vitesse pour leurs bureaux d'études concepteurs, ainsi que l'écoulement de l'eau dans un tuyau et de nombreux autres phénomènes d'écoulement de divers fluides.

Ces équations sont nommées ainsi pour honorer les travaux de deux scientifiques du  : le mathématicien et ingénieur des Ponts Henri Navier, qui le premier a introduit la notion de viscosité dans les équations d'Euler en 1823, et le physicien George Gabriel Stokes, qui a donné sa forme définitive à l'équation de conservation de la quantité de mouvement en 1845. Entre-temps, divers scientifiques ont contribué à l'avancement du sujet : Augustin Louis Cauchy et Siméon Denis Poisson en 1829 et Adhémar Barré de Saint-Venant en 1843.

Pour un gaz peu dense, il est possible de trouver une solution approchée de l’équation de Boltzmann, décrivant le comportement statistique des particules dans le cadre de la théorie cinétique des gaz. Ainsi, la méthode de Chapman-Enskog, due à Sydney Chapman et David Enskog en 1916 et 1917, permet de généraliser les équations de Navier-Stokes à un milieu comportant plusieurs espèces et de calculer l'expression des flux de masse (équations de Stefan-Maxwell incluant l'effet Soret), de quantité de mouvement (en donnant l'expression du tenseur de pression) et d'énergie en montrant l'existence de l'effet Dufour. Cette méthode permet également de calculer les coefficients de transport à partir des potentiels d'interaction moléculaires.

La résolution mathématiquement rigoureuse des équations de Navier-Stokes constitue l'un des problèmes du prix du millénaire.

Cet article décrit diverses variantes des équations valables pour des milieux de composition homogène, les problèmes liés à la diffusion et aux réactions chimiques n'y sont pas abordés.

Lois de conservation

Notations et relations utilisées 
On utilise les notations conformes à la norme ISO/CEI 80000-2

 Les caractères en gras (comme ) désignent des vecteurs.

  est l'opérateur nabla exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes.
  est l'opérateur divergence exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes.
 désigne l'opérateur rotationnel exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes
 Le produit dyadique de deux vecteurs s'écrit
 
où  est le produit matriciel.
 Le produit doublement contracté   est l'opérateur défini par :

où  représente l'opérateur trace.

Quelques identités vectorielles utiles pour cet article :

Loi de conservation 

On peut définir une loi de conservation pour une variable extensive Φ de densité   entraînée à la vitesse  et comportant un terme de production volumique  par :

Formulation eulérienne 

La formulation la plus utilisée fait appel à un référentiel fixe naturel lorsque l'on traite un problème stationnaire ou instationnaire dans lequel le domaine de calcul est connu à l'avance. On fait alors appel aux variables eulériennes.

On obtient les équations de Navier-Stokes en appliquant la relation de conservation ci-dessus à la masse volumique , à la quantité de mouvement  et à l'énergie totale .
 Équation de continuité (équation de bilan de la masse)
 
 Équation de bilan de la quantité de mouvement
 
 Équation de bilan de l'énergie
 

Dans ces équations :
  représente le temps (unité SI : s) ;
  désigne la masse volumique du fluide (unité SI :) ;
  désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI :) ;
  désigne le tenseur des contraintes (ou tenseur de pression) qui, si on néglige le rayonnement, se décompose en :
 
  désigne le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI :) ;
  désigne le tenseur unité ;
  désigne la pression thermodynamique (unité SI : Pa) ;
  désigne la gravité ou toute autre force massique extérieure (unité SI :) ;
  désigne l'énergie totale par unité de masse (unité SI :) ; elle s'exprime en fonction de l'énergie interne par unité de masse  par :

  désigne le flux de chaleur dû à la conduction thermique (unité SI :). 
  désigne le flux de chaleur dû au rayonnement (unité SI :). 
Afin de clore le système il est nécessaire de décrire , , et  à partir d'hypothèses sur le fluide considéré.  est quant à lui l'objet d'un calcul de transfert radiatif éventuellement couplé à la résolution des équations de Navier-Stokes.

Quelques variations autour du système d'équations 

 On peut exprimer différemment l'équation de quantité de mouvement en remarquant que :

L'équation alors obtenue s'interprète comme la deuxième loi de Newton, en remarquant que le terme  décrit l’accélération des particules du fluide.
 Il est possible d'exprimer la conservation de l'énergie sous forme équivalente en transférant au premier membre le terme correspondant à la pression :
 
Le terme  peut être remplacé par  où  est l'enthalpie massique.
 En multipliant scalairement l'équation de quantité de mouvement écrite comme ci-dessus par la vitesse on obtient une loi de conservation pour l'énergie cinétique :

 En soustrayant cette équation de l'équation de conservation de l'énergie, en utilisant l'équation de conservation de la masse et l'identité

on obtient l'équation suivante sur l'énergie interne par unité de masse :

Formulation lagrangienne 

Dans certains problèmes le domaine occupé par le fluide peut varier considérablement au cours du temps. Il s'agit donc de problèmes instationnaires. C'est le cas dans les problèmes d'explosion ou en astrophysique. On fait alors appel aux variables lagrangiennes définies dans le repère noté . L'accélération de la particule fluide est donnée par la dérivée particulaire :

Le dernier terme de cette équation est le terme d'advection de la quantité . Celle-ci peut être scalaire, vectorielle ou tensorielle.

Pour la quantité de mouvement la dérivée particulaire vaut :

Les équations de conservation dans le système de coordonnées définies par  s'écrivent :
 Équation de continuité (ou équation de bilan de la masse)
 
 Équation de bilan de la quantité de mouvement
 
 Équation de bilan de l'énergie

Expressions dans des systèmes de coordonnées 
En utilisant l'expression des opérateurs dans les divers systèmes courants de coordonnées il est possible de détailler les expressions des équations.

Fluide newtonien, hypothèse de Stokes 

En première approximation, pour de nombreux fluides usuels comme l'eau et l'air, le tenseur des contraintes visqueuses est proportionnel à la partie symétrique du tenseur des taux de déformation (hypothèse du fluide newtonien) 

  désigne la viscosité dynamique du fluide (unité : Poiseuille (Pl) =  = ) ;
  désigne la seconde viscosité (ou viscosité volumique, en anglais ) du fluide (unité : Poiseuille (Pl) =  = ).
Ces coefficients dépendent en général de la masse volumique et de la température thermodynamique, comme au paragraphe suivant.

On utilise généralement l'hypothèse de Stokes pour relier la viscosité dynamique à la seconde viscosité :

Compte tenu de l'expression du tenseur des contraintes visqueuses l'équation de quantité de mouvement se met alors sous la forme :

L'hypothèse de Stokes est vraie pour les gaz monoatomiques. Elle constitue une bonne approximation pour des fluides simples comme l'eau et l'air. 

A contrario, de nombreux fluides complexes, tels que les polymères, les hydrocarbures lourds, le miel, ou encore la pâte de dentifrice, ne vérifient pas l'hypothèse du fluide newtonien. On recourt alors à d'autres lois de comportement visqueux, dites non newtoniennes (par exemple la loi du fluide de Bingham). La science qui étudie les relations entre contrainte et déformation pour de tels fluides est la rhéologie.

Propriétés thermodynamiques 

Le système décrit ci-dessus est incomplet puisqu'il comporte 3 équations (dont une vectorielle) pour 5 inconnues (dont deux vectorielles) :  (si l'on néglige le flux de chaleur dû au rayonnement, ). On ajoute pour fermer le système des équations d'état de la forme 

où  représente la température thermodynamique ; par exemple la loi des gaz parfaits :

où  désigne la constante des gaz parfaits et  la masse molaire du fluide.

Le système est alors fermé si l'on suppose vérifiée la loi de Fourier :

où  désigne la conductivité thermique .

Propriétés de transport

Gaz 
Les propriétés de transport, viscosité et conductivité, résultent d'une distribution hors d'équilibre thermodynamique dans le milieu (ne satisfaisant pas la statistique de Maxwell-Boltzmann). On sait les exprimer en utilisant la méthode de Chapman-Enskog.

La viscosité s'exprime sous la forme suivante :

où  est une fonction lentement variable avec , découlant du potentiel d'interaction moléculaire. La viscosité d'un gaz varie donc approximativement comme . Elle est indépendante de la pression.

La conductivité est étroitement liée à la viscosité :
{|
|-
| rowspan="2" style="width:15em;"|  ||   pour un gaz monoatomique
|-
|  pour un gaz polyatomique
|}
où  est la capacité thermique massique à volume constant.  
Dans cette expression  correspond à la corrélation d'Eucken. La valeur exacte est plus proche de 1,3 en moyenne. Des calculs d'échanges au cours des collisions moléculaires permettent de préciser cette valeur, dépendante du gaz considéré et faiblement de la température.

Liquides 
La connaissance théorique pour les liquides est beaucoup moins avancée que pour les gaz et les prédictions dans ce domaine qualitatives : la viscosité diminue avec la température. La connaissance des valeurs repose sur les mesures.

La variation de la conductivité avec la température ne présente pas de tendance marquée.

Restrictions à des cas plus simples

Fluides incompressibles homogènes à viscosité constante 

L'écoulement d'un fluide est dit incompressible et homogène lorsque l'on peut négliger ses variations
de masse volumique. Cette hypothèse est vérifiée pour l'eau liquide à température fixe et les métaux en fusion. Elle est aussi vérifiée pour les gaz lorsque le nombre de Mach  est faible. En général, on considère l'écoulement incompressible lorsque . De plus ce type de problème se rencontre dans des situations où la variation de température dans le milieu est faible et où l'on peut donc considérer la viscosité constante. Ceci est particulièrement vrai dans des liquides comme l'eau (voir courbe ci-dessus). De ce fait l'équation de l'énergie est découplée des équations de continuité et de quantité de mouvement, c'est-à-dire qu'on peut déterminer la vitesse et la pression indépendamment de l'équation de l'énergie. L'expression des équations de continuité et de quantité de mouvement sont considérablement simplifiées. On obtient alors

 Équation d'incompressibilité (se confondant avec l'équation de bilan de la masse pour un fluide homogène)

 Équation de bilan de la quantité de mouvement

où  désigne la viscosité cinématique du fluide (unité SI : ).

Cette forme plus simple des équations de Navier-Stokes permet d'obtenir des solutions analytiques dans quelques cas :
 dans un tube cylindrique avec une différence de pression entre l'entrée et la sortie (écoulement de Poiseuille),
 entre deux plans dont l'un est en mouvement permanent par rapport à l'autre (écoulement de Couette),
 le jet de Landau-Squire, un exemple d'écoulement auto-similaire
 le tourbillon de Taylor-Green utilisé pour les benchmarks de méthodes de résolution numérique,
 le tourbillon de Lamb-Oseen.
Il existe quelques autres exemples de solutions analytiques.

En utilisant l'expression des opérateurs dans les divers systèmes courants de coordonnées il est possible de détailler les expressions.

On peut encore simplifier ces équations :
 en négligeant le terme inertiel , ce qui conduit à l'équation de Stokes,
 simplifier celui-ci, ce qui conduit aux équations de Stokes-Oseen.
Une expression de la pression peut être obtenue en prenant la divergence de l'équation de quantité de mouvement et en tenant compte de la relation d'incompressibilité :

Écoulements irrotationnels 

On définit le vecteur tourbillon par :

Où  désigne le rotationnel de la vitesse.

On peut établir une équation de conservation pour cette quantité, c'est l'équation de Helmholtz.

À partir des identités vectorielles suivantes

et en utilisant l'équation de continuité on peut écrire l'équation de quantité de mouvement sous la forme suivante :

Supposons que le vecteur tourbillon est nul, alors :

Puisque la vitesse  est un champ irrotationnel, on peut déduire qu'elle dérive d'un potentiel que l'on note  :

En particulier dans le cas incompressible si on reporte cette expression dans l'équation d'incompressibilité, on voit que le potentiel obéit à l'équation de Laplace :

Si, de plus, le fluide est homogène et que la force  dérive d'un potentiel, alors la propriété d'irrotationalité est automatiquement propagée en temps grâce à l'équation vérifiée par la vitesse.
 
Ces écoulements potentiels concernent les écoulements à faibles vitesses et peu visqueux : une voile de bateau ou une aile de planeur par exemple.

Analyse dimensionnelle

Équations adimensionnelles 
Les équations de Navier-Stokes font intervenir 9 quantités , et 4 dimensions : temps, espace, masse, température. Le théorème de Vaschy-Buckingham montre donc l'existence de 5 variables adimensionnelles permettant l'analyse du système. Ces variables sont par exemple les nombres de Mach, Reynolds, Prandtl, Froude et Goulard. Il existe d'autres variables comme les nombres de Knudsen, de Strouhal, de Péclet ou beaucoup d'autres, mais celles-ci ne sont pas indépendantes. Les nombres de Mach, Reynolds et Knudsen par exemple sont liés entre eux, de même que les nombres de Péclet, Prandtl et Reynolds. Pour écrire ces nombres il faut définir des quantités de référence qui sont caractéristiques du problème étudié.
Définissons les variables suivantes servant de références :
 une longueur , par exemple la taille du domaine ouvert dans un problème de milieu poreux ou de microfluidique ou le rayon de courbure de paroi en aérodynamique,
 une vitesse , une masse volumique  et une température , par exemple les valeurs en amont (condition aux limites), d'où on déduit une pression ,
 une seconde vitesse  pour la propagation des ondes sonores, par exemple  pour un gaz parfait,
 une énergie interne , par exemple  pour un gaz parfait,
 une viscosité  et une conductivité  éventuellement liée à  (voir propriétés de transport),
 une accélération ,
 un flux radiatif .
On peut alors définir pour ce problème les variables réduites suivantes :

et les variables adimensionnelles :

Le système d'équations en valeurs réduites s'écrit :
 conservation de la masse

où  est l'opérateur nabla adimensionné utilisé dans le système de coordonnées transformé.
 conservation de la quantité de mouvement

 conservation de l'énergie

avec

Dans le cas d'un gaz parfait

Cette approche est utilisable pour l'analyse des équations et la réalisation d'expériences jugées réalistes parce que respectant le critère d'analogie en termes de nombres adimensionnels. On peut aller au-delà en utilisant une technique de la physique mathématique nommée analyse asymptotique, formalisée par David Hilbert. Dans cette méthode on développe la solution en série d'un « petit paramètre » et on analyse les approximations aux divers ordres du développement. Un exemple en est le développement en nombre de Mach montré ci-dessous. Un autre exemple très connu est le développement en nombre de Reynolds utilisé pour la couche limite.

Écoulements à faible nombre de Mach 
Cette approche est utilisée dans les problèmes de combustion dans lesquels les vitesses sont faibles.

Les quantités manipulées sont supposées régulières. Le développement asymptotique commence par le choix du « petit paramètre » avec lequel chacune des variables est développée. Ici ce paramètre est  :

où  représente chacune des valeurs . On regroupe les termes correspondants au même ordre du développement. Ceux-ci sont égaux puisque les équations sont vraies pour toute valeur de .

Si l'on s'arrête à l'ordre 0, après retour aux quantités dimensionnées on obtient les équations suivantes :

L'équation d'état est écrite en utilisant l'ordre 0 de la pression, l'ordre 1 (« pression dynamique ») étant une quantité en  donc négligeable. Ceci a pour effet de supprimer le couplage entre masse volumique et ondes de pression.

On remarque que l'on a un système de 4 équations (dont une vectorielle) avec l'équation d'état pour 5 inconnues (dont une vectorielle) : , , ,  et . On ferme le système avec une équation concernant la pression (qui est constante en espace).
 Dans un système ouvert la condition aux limites impose la pression  (par exemple la pression atmosphérique pour un feu à l'air libre).
 Dans un système fermé, la masse totale reste constante au cours du temps. En intégrant sur le volume  du système, cela donne :

Lorsque l'équation d'état du gaz parfait est utilisable, l'expression précédente devient :

Remarques :
 À l'ordre 0,  n'intervient pas dans le bilan d'énergie.
 À cet ordre le rayonnement n'apparaît pas non plus, alors qu'il peut être un élément important du problème (en combustion par exemple). Ceci est dû au choix du nombre adimensionnel de Goulard, adapté aux écoulements à grande vitesse où l'énergie cinétique est grande devant l'énergie interne. Ici c'est le contraire et le bon nombre adimensionnel est . Le développement utilisant cette quantité conduit au terme  dans l'équation de l'énergie et donc permet au rayonnement d'apparaître à l'ordre 0.

Conditions aux limites

Conditions entrantes et sortantes 
Il n'y a pas, sauf exception, de conditions entrantes ou sortantes spécifiques au système de Navier-Stokes. En effet les effets visqueux sont généralement confinés en des endroits spécifiques connus à l'avance. Le domaine de calcul inclut donc ces régions et on est ainsi ramené au problème des conditions entrantes et sortantes pour les équations d'Euler. On peut ajouter que donner des conditions dans une région où les effets visqueux sont importants constitue une tâche des plus ardues.

Conditions pariétales 
Il n'est pas possible stricto sensu d'écrire des telles conditions aux limites. En effet, comme le montre la méthode de Chapman-Enskog dans le cas des gaz, le système de Navier-Stokes suppose au niveau microscopique une faible perturbation de la distribution de Maxwell-Boltzmann. Cette hypothèse est invalide au voisinage d'une paroi, laquelle perturbe fortement la distribution des vitesses et des énergies internes des molécules. La résolution de la région perturbée ou couche de Knudsen montre l'existence de sauts de vitesse et de température qui sont d'autant plus faibles que la pression augmente. Si celle-ci est suffisante on peut négliger des discontinuités et les conditions pariétales se réduisent alors aux conditions généralement données sans justification :
  à la paroi (condition d'adhérence),
 {{math|T'''  T}} à la paroi, où  est la température de paroi, donnée.

 Illustrations 

 Popularisation 
Les équations de Navier-Stokes font partie des problèmes du prix du millénaire de l'institut de mathématiques Clay. La résolution de ces équations, le cas échéant, sera récompensée d'un prix d'un million de dollars.

Les équations de Navier-Stokes sont le principal sujet du film Mary de Marc Webb, sorti en 2017.

 Notes et références 
 Notes 

 Références 

 Voir aussi 
 Bibliographie 
 
 .
 .
 
   Brian J. Cantwell, Fundamentals of Compressible Flows'', Cours de l'université de Stanford

Articles connexes 

Problèmes du prix du millénaire