Formule intégrale de Cauchy
La formule intégrale de Cauchy, due au mathématicien Augustin Louis Cauchy, est un point essentiel de l'analyse complexe. Elle exprime le fait que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est complètement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur un chemin fermé contenant (c'est-à-dire entourant) ce point. Elle peut aussi être utilisée pour exprimer sous forme d'intégrales toutes les dérivées d'une fonction holomorphe.

Expression 

Soient :
  un ouvert simplement connexe du plan complexe ℂ ;
  → ℂ une fonction holomorphe sur  ;
  un chemin fermé inclus dans  ;
 et  un point de  n'appartenant pas à ce chemin.

On a alors la formule suivante :

où  désigne l'indice du point  par rapport au chemin . Cette formule est particulièrement utile dans le cas où  est un cercle C orienté positivement, contenant  et inclus dans . En effet, l'indice de  par rapport à C vaut alors 1, d'où :

Cette formule montre  que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est entièrement déterminée par les valeurs de cette fonction sur n'importe quel cercle entourant ce point ; un résultat analogue, la propriété de la moyenne, est vrai pour les fonctions harmoniques.

Principale conséquence 

Montrons que ceci implique que f est développable en série entière sur U : soit ,  tel que . 

Soit , et  le cercle de centre a et de rayon r orienté positivement paramétré par .

On a pour tout  : ,
ce qui prouve la convergence uniforme sur  de la série de terme général
 vers

,

et comme  est continue sur  compact, donc bornée, on a convergence uniforme de la série 

 sur ,

ce qui permet d'effectuer une inversion des signes somme et intégrale : on a ainsi pour tout z dans D(a,r): 

 avec 

et donc f est analytique sur U. On a supposé dans la démonstration que U était connexe, mais le fait d'être analytique étant une propriété locale, on peut généraliser l'énoncé précédent et affirmer que toute fonction holomorphe sur un ouvert U quelconque est analytique sur U.

De la formule de Taylor réelle (et du théorème du prolongement analytique), on peut identifier les coefficients de la formule de Taylor avec les coefficients précédents et obtenir ainsi cette formule explicite des dérivées n-ièmes de f en a: 
.

Démonstration de la formule 

On définit une fonction  par :

Cette fonction est continue sur  et holomorphe sur . On peut donc lui appliquer le théorème intégral de Cauchy :

En remplaçant  par sa valeur et en utilisant l'expression intégrale de l'indice, on obtient le résultat voulu.

Autres conséquences 

Cette formule a de nombreuses applications, outre le fait de montrer que toute fonction holomorphe est analytique, et permet notamment de montrer le théorème des résidus.

Voir aussi

Bibliographie

Article connexe 
Méthodes de calcul d'intégrales de contour

Théorie de l'intégration
Cauchy (formule integrale)
Augustin Louis Cauchy