Pi
(pi), appelé parfois constante d’Archimède, est un nombre représenté par la lettre grecque du même nom en minuscule (π). C’est le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. On peut également le définir comme le rapport de l'aire d'un disque au carré de son rayon.

Sa valeur approchée par défaut à moins de 0,5×10 près est  en écriture décimale.

De nombreuses formules de physique, d’ingénierie et bien sûr de mathématiques, impliquent , qui est une des constantes les plus importantes des mathématiques.

Le nombre  est irrationnel, c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. C’est même un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont  soit une racine.

La détermination d’une valeur approchée suffisamment précise de , et la compréhension de sa nature sont des enjeux qui ont traversé l’histoire des mathématiques ; la fascination exercée par ce nombre l’a même fait entrer dans la culture populaire.

L’usage de la lettre grecque π, première lettre de , n’est apparu qu’au  à l'initiative du mathématicien William Jones (et ensuite adopté et popularisé par Euler). Auparavant, sa valeur était désignée par diverses périphrases comme la « constante du cercle » ou son équivalent dans diverses langues.

Définition et premières propriétés

Définition 

Dans les dictionnaires et ouvrages généralistes,  est défini comme le rapport, constant dans le plan usuel qu'est le plan euclidien, entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Ce rapport ne dépend pas du cercle choisi, en particulier de sa taille. En effet, tous les cercles sont semblables et pour passer d’un cercle à un autre il suffit de connaître le rapport de la similitude. Par suite, pour tout réel positif , si un cercle possède un rayon  (ou un diamètre )  fois plus grand qu’un autre, alors son périmètre  sera aussi  fois plus grand, ce qui prouve la constance du rapport.

Par ailleurs, cette même similitude multipliera l’aire  par le carré de , ce qui prouve maintenant que le rapport  est constant. On peut montrer, par exemple par la méthode des indivisibles, que cette constante vaut également .

Le dessin ci-contre illustre une autre méthode, essentiellement due à Archimède  : le périmètre du polygone vaut à peu près  alors qu’en redistribuant les triangles formés on remarque que son aire vaut à peu près . Pour formaliser le « à peu près », il faudrait faire tendre le nombre de côtés du polygone vers l’infini, ce qui illustre déjà la nature « analytique » de .

Autres définitions 
La définition géométrique ci-dessus, historiquement la première et très intuitive, n'est pas la plus directe pour définir  mathématiquement en toute rigueur. Les ouvrages plus spécialisés, par exemple
définissent  par l'analyse réelle, parfois à l'aide des fonctions trigonométriques, mais introduites sans référence à la géométrie :

 Un choix fréquent est de définir  comme le double du plus petit nombre positif  tel que , où  peut être définie comme la partie réelle de l’exponentielle complexe, ou comme la solution d'un problème de Cauchy.
 Une autre définition est envisageable en considérant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle complexe qui découlent de sa définition par une série entière et qui font que l’application  est un morphisme de groupes continu et surjectif de (ℝ, +) vers le groupe (𝕌, ×) des complexes de module . On démontre alors que l’ensemble des nombres réels  tels que  est de la forme ℤ où  est un réel strictement positif. On pose alors . Le calcul intégral permet ensuite de vérifier que cette définition abstraite correspond bien à celle de la géométrie euclidienne.
 Le groupe Bourbaki propose une autre définition très voisine en démontrant l’existence d’un morphisme de groupes topologiques  de (ℝ, +) vers (𝕌, ×), périodique de , tel que . Il démontre que  est dérivable et que sa dérivée en  est de la forme  pour un certain réel , qu'il note .

Les deux méthodes précédentes consistent en réalité à calculer le périmètre du cercle, qu’on a défini par la fonction  ou la fonction .

 Mais on peut aussi définir  grâce au calcul intégral en posant
 ,ce qui revient à calculer (par exemple comme limite de sommes de Riemann) l’aire d’un demi-disque de , ou encore
 ,ce qui revient (par résolution de l'[[Équation différentielle d'ordre un à variables séparées#Cas particulier : l'équation autonome|équation différentielle {{math|1=x''' = –}}]]) à la définition ci-dessus de  comme le premier zéro de . On retrouve également cette intégrale quand on cherche à calculer la longueur du quart de cercle de rayon 1 paramétré par . On peut également poser
 , en relation avec le  théorème des résidus, où  est l'unique valeur telle que, pour tout lacet  rectifiable à un tour autour de , . 

 Ou bien à l’aide du dénombrement, en notant  le nombre de couples d’entiers naturels  tels que  et en définissant :  ,ce qui est une autre méthode pour calculer l'aire du quart de disque.

 Irrationalité 

Le nombre  est irrationnel, ce qui signifie qu’on ne peut pas écrire  où  et   seraient des nombres entiers. Al-Khwârizmî, au , est persuadé que  est irrationnel. Moïse Maïmonide fait également état de cette idée durant le .

Ce n’est cependant qu’au  que Jean-Henri Lambert prouve ce résultat. Il expose, en 1761, un développement en fraction continue généralisée de la fonction tangente. Il en déduit qu'un développement de , avec  et  entiers non nuls, s’écrit :

Or sous certaines hypothèses — vérifiées ici — un développement en fraction continue généralisée représente un irrationnel, donc quand  est un rationnel non nul,  est irrationnel. Or,  vaut  ; c’est un rationnel. Par contraposition, cela prouve que  n’est pas rationnel.

Au cours du , d’autres démonstrations furent trouvées, celles-ci ne demandant pas de connaissances plus avancées que celle du calcul intégral. L’une d’entre elles, due à Ivan Niven, est très largement connue. Une preuve similaire, version simplifiée de celle de Charles Hermite, avait été trouvée quelque temps auparavant par Mary Cartwright.

 Transcendance 

Non seulement le nombre  est irrationnel (voir section précédente), mais il est transcendant, c'est-à-dire non algébrique : il n'existe pas de polynôme à coefficients rationnels dont  soit une racine.

C'est au  que ce résultat est démontré. En 1873, Hermite prouve que la base du logarithme népérien, le , est transcendant. En 1882, Ferdinand von Lindemann généralise son raisonnement en un théorème (le théorème d'Hermite-Lindemann) qui stipule que, si x est algébrique et différent de zéro, alors x est transcendant. Or  est algébrique (puisqu'il est égal à –1). Par contraposition,  est transcendant, donc comme  est algébrique,  est transcendant.

Une conséquence historiquement importante de la transcendance de  est que celui-ci n'est pas constructible. En effet, le théorème de Wantzel énonce en particulier que tout nombre constructible est algébrique. En raison du fait que les coordonnées de tous les points pouvant se construire à la règle et au compas sont des nombres constructibles, la quadrature du cercle est impossible ; autrement dit, il est impossible de construire, uniquement à la règle et au compas, un carré dont l'aire serait égale à celle d'un disque donné.

De façon plus anecdotique, le fait que  soit transcendant a permis à Don Coppersmith de montrer que lorsqu'on partitionne un disque par  droites concourantes formant toutes entre elles des angles de  radians, les deux sommes d'aires obtenues en considérant une part sur deux sont différentes si et seulement si  est impair.

 Représentation décimale 
Les  chiffres de l'écriture décimale de  sont  (voir les liens externes pour davantage de décimales).

Alors qu'en 2013, on connaissait déjà plus de douze mille milliards de décimales de , les applications concrètes telles que l'estimation de la circonférence d'un cercle n'ont généralement pas besoin de plus d'une dizaine de chiffres. 
En 1881, Simon Newcomb relevait ainsi que dix décimales suffisent à calculer la circonférence de la Terre à une fraction de pouce près ; trente décimales, pour obtenir celle de l'univers visible, tel qu'il était appréhendé alors, avec une précision imperceptible au microscope le plus puissant du temps.
Dans les années 1990, la représentation décimale de  à  était estimée suffisante pour calculer la circonférence d'un cercle d'un diamètre du même ordre de grandeur que la taille de l'univers observable avec un degré de précision comparable à celle d'un atome d'hydrogène, compte tenu des estimations alors en vigueur.
En 2014, Donald Byrd, chercheur en informatique, revenait sur l'assertion de Newcomb pour l'actualiser à la lumière des avancées de la science depuis 1881 : il en concluait que pour un univers observable de  (soit ) et une précision de la longueur de Planck, il suffit d'environ 60 décimales.

Puisque  est un nombre irrationnel, sa représentation décimale n'est pas périodique à partir d'un certain rang. La suite des décimales de  a toujours fasciné les mathématiciens professionnels et amateurs, et beaucoup d’efforts ont été mis en œuvre afin d'obtenir de plus en plus de décimales et d'en rechercher certaines propriétés, comme l'occurrence de nombres premiers dans les concaténations de ses décimales (voir la section d'article « Nombre premier issu de troncature de constante »).

Malgré les importants travaux d'analyse et les calculs effectués, aucun modèle simple n’a été trouvé pour décrire cette suite de chiffres. Les premières décimales sont disponibles sur de nombreuses pages web, et il existe des logiciels qui peuvent en calculer des milliards et qu'on peut installer sur un ordinateur personnel.

Par ailleurs, le développement décimal de  ouvre le champ à d'autres questions, notamment celle de savoir si  est un nombre normal, c’est-à-dire que ses successions finies de chiffres en écriture décimale sont équiréparties. A fortiori,  serait alors un nombre univers, ce qui signifie qu'on pourrait trouver dans son développement décimal n'importe quelle suite finie de chiffres. En 2006, il n'existait pas de réponse à ces questions.

 Représentation fractionnaire 
Les fractions de nombres entiers suivantes sont utilisées pour mémoriser ou approcher  dans des calculs (nombre de chiffres significatifs exacts entre parenthèses) :

.

Voir ci-dessous pour d’autres approches fractionnaires (Histoire, Approximation numérique, fractions continues et Mémorisation de ).

 Approximation de  

On peut trouver une valeur approchée de  de façon empirique, en traçant un cercle, puis en mesurant son diamètre et sa circonférence, puis en divisant la circonférence par le diamètre. Une autre approche géométrique, attribuée à Archimède, consiste à calculer le périmètre  d’un polygone régulier à n côtés et à mesurer le diamètre d de son cercle circonscrit, ou celui de son cercle inscrit. Plus le nombre de côtés du polygone est grand, meilleure est la précision obtenue pour la valeur de .

Archimède a utilisé cette approche en comparant les résultats obtenus par la formule en utilisant deux polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, pour lesquels le cercle est pour l’un circonscrit et pour l’autre inscrit. Il a réussi, avec un polygone à , à déterminer que .

On peut également obtenir des valeurs approchées de  en mettant en œuvre des méthodes plus modernes. La plupart des formules utilisées pour calculer  se basent sur la trigonométrie et le calcul intégral. Cependant, certaines sont particulièrement simples, comme la « formule de Leibniz »  :

Cette série converge si lentement que pour calculer  avec une précision de six décimales il faut presque deux millions d'itérations.
Cependant, il est possible de définir une suite similaire qui converge vers  beaucoup plus rapidement, en posant :

et en définissant :

Le calcul de  demande alors un temps similaire à celui requis pour calculer les  termes de la série initiale, mais la précision est bien meilleure car  = 3,141592653… approche  avec neuf décimales exactes. On trouvera plus loin des méthodes de calcul plus élaborées, donnant des convergences bien plus rapides encore.

 Histoire 

L’histoire ancienne de , qu’on peut retracer grâce aux écrits disponibles, suit approximativement l’avancée des mathématiques dans leur ensemble. Certains auteurs divisent l’histoire de  en trois parties : la période antique durant laquelle  a été étudié géométriquement, l’ère classique, aux alentours du , où les outils du calcul intégral ont permis des avancées dans la connaissance du nombre , et la période des ordinateurs numériques.

 Antiquité 

Il semble que, très tôt, les mathématiciens aient été convaincus qu'il existait un rapport constant entre le périmètre du cercle et son diamètre, ainsi qu'entre l'aire du disque et le carré du rayon. Des tablettes babyloniennes datant de   et découvertes en 1936 présentent des calculs d'aire conduisant à une valeur de  de 3 + 1/8.

Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, copié au  avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes plus ancien encore. On y trouve utilisée plusieurs fois une méthode pour évaluer l'aire d'un disque en prenant le carré dont le côté est égal au diamètre du disque diminué d'un neuvième. Cette méthode conduit à une évaluation de  de 256/81.

Une justification possible de celle-ci s'appuie sur le schéma ci-contre. Si le disque a pour  l'aire du disque est légèrement supérieure à l'aire de l'octogone (irrégulier) obtenu en rognant les coins du carré de  Cet octogone a pour  l'aire du disque est alors évaluée à 64, soit l'aire d'un carré de  Le rapport entre l'aire du disque et le carré du rayon est alors évalué par 64/(9/2), c'est-à-dire 256/81. Mais l'hypothèse que ce procédé ait conduit à l'approximation du papyrus Rhind ne fait pas l'unanimité chez les historiens.

Vers 700 , le texte indien Shatapatha Brahmana donne une approximation de  : 25/8 (= 3,125) et le Baudhāyana Sulbasūtra en donne deux autres : 900/289 (≈ 3,11) et 1156/361 (≈ 3,20). Des calculs d'astronomie ont ensuite conduit à une autre approximation védique : 339/108 (≈ 3,139). Au début du , Aryabhata donne une approximation plus précise :  ≈ 3,1416. Comme  il s'agit d'un résultat remarquable, exact à 10 près.

C'est dans le traité d'Archimède (287 à 212 ) intitulé De la mesure du cercle que l'on peut lire une démonstration liant l'aire du disque et l'aire du triangle ayant une base de longueur le périmètre du cercle et pour hauteur le rayon, démontrant ainsi qu'une même constante apparaît dans le rapport entre aire du disque et carré du rayon et entre périmètre et diamètre.

Cette démonstration s'appuie sur la méthode d'exhaustion et un raisonnement par l'absurde. En partant d'un carré inscrit dans le cercle et d'un carré circonscrit au cercle et en multipliant indéfiniment par 2 le nombre de côtés, il prouve que l'aire du disque ne peut être inférieure ni supérieure à celle du triangle correspondant.

Sa démonstration exploite l'idée du découpage en quartiers : le cercle est découpé en plusieurs quartiers qui, mis bout à bout, dessinent des triangles curvilignes de même hauteur. En multipliant le nombre de quartiers, la base des triangles curvilignes est presque droite et la hauteur est proche du rayon ; la somme des bases correspond alors au périmètre du cercle et l'aire est alors de 1/2 de la base multipliée par la hauteur, c'est-à-dire 1/2 du périmètre multiplié par le rayon.

Dans le même traité, Archimède établit un encadrement du périmètre du cercle à l'aide des périmètres des polygones réguliers inscrit et circonscrit au cercle et possédant . Pour calculer les périmètres de ces polygones, il part d'hexagones inscrits et circonscrits et met en évidence les formules donnant le périmètre d'un polygone dont le nombre de côtés a doublé. Son calcul revient à démontrer que 3 + 10/71 <  < 3 + 1/7. La moyenne de ces deux valeurs est d'environ 3,14185. Archimède s'arrête à  car les calculs qu'il est amené à effectuer, avec valeurs approchées, sont déjà longs pour l'époque. Mais il met en place ainsi une méthode qui sera reprise par ses successeurs et qui permet en théorie une précision aussi grande que souhaitée. Il faut cependant une précision toujours plus grande dans les premiers calculs à chaque fois que l'on double le nombre de côtés du polygone. Ptolémée, scientifique grec ayant vécu trois siècles après Archimède, donne une valeur de , qu'il a pu obtenir grâce à Apollonios de Perga, ou bien en utilisant sa table trigonométrique et en multipliant par 360 la longueur de la corde sous-tendue par un angle d'un degré.

Si les calculs pratiques peuvent se faire avec une bonne précision en utilisant la valeur 3,14 comme approximation de , la curiosité des mathématiciens les pousse à déterminer ce nombre avec plus de précision. Au , en Chine, Liu Hui, commentateur des Neuf chapitres, propose comme rapport entre le périmètre et le diamètre la valeur pratique de 3 mais développe des calculs proches de ceux d'Archimède mais plus performants et fournit une approximation de  de 3,1416. Le mathématicien chinois Zu Chongzhi donne une approximation rationnelle encore plus précise de  :  (dont les développements décimaux sont identiques jusqu'à la ,  et ) et montre que , en utilisant l' appliqué à un polygone à . Cette valeur demeure la meilleure approximation de  au cours des  qui suivent.

 Formules et calculs jusqu’en 1900 

Jusqu’en 1400 environ, la précision des approximations de  n’excédait pas les . Les progrès en matière de calcul intégral et de séries vont permettre d’améliorer cette précision. Les séries permettent d’approcher  avec d’autant plus de précision qu’on utilise de termes de la série pour le calcul. Vers 1400, le mathématicien indien Madhava de Sangamagrama trouve ce qui constitue, en langage moderne, le développement de la fonction arc tangente (redécouvert par James Gregory et Gottfried Wilhelm Leibniz au ) :

Le cas particulier  est la série de Leibniz mentionnée plus haut — également connue sous le nom de série de Madhava-Leibniz — dont la convergence est trop lente.

Le cas particulier  :

converge bien plus vite, ce qui a permis à Madhava de donner une valeur approchée de  de 3,141 592 653 59, qui a  correctes. Mais ces travaux restèrent inconnus en dehors du Kerala jusqu'au , à la suite de la conquête de l'Inde par les Britanniques. Le record de Madhava a été battu en 1424 par le mathématicien perse Al-Kachi (Traité de la circonférence), qui a réussi à donner , en appliquant la méthode d'Archimède à un polygone de 

La première contribution importante venant d’Europe depuis Archimède a été faite par François Viète, qui en donne douze décimales, avec un encadrement du reste dans son Canon mathématique en 1579. Il est suivi par Adrien Romain, qui donne  en 1591, et l’Allemand Ludolph van Ceulen (1540-1610), qui a utilisé la même méthode géométrique afin de donner une estimation de  correcte à  près. Il a été si fier de son calcul, qui lui a demandé une grande partie de sa vie, qu’il a fait graver les décimales sur sa pierre tombale.

Il est immédiatement suivi par Willebrord Snell, son élève, qui trouve des méthodes plus rapides pour obtenir la même approximation. Dans la même période, les méthodes de calcul intégral et de détermination de séries et produits infinis pour des quantités géométriques ont commencé à émerger en Europe. La première formule de ce type est la formule de Viète :

exposée par Viète  en 1593, dans ses Problèmes variés. Un autre résultat célèbre est le produit de Wallis :

que l’on doit à John Wallis, qui l’a mis en évidence en 1655. Isaac Newton lui-même a utilisé le développement en série de  pour calculer  de  ; bien plus tard, il a déclaré : 

En 1706, John Machin a été le premier à trouver  de , en utilisant la formule :

et le développement ci-dessus en série entière de .

Les formules de ce type, maintenant connues sous le nom de formules de Machin, ont été utilisées pour battre plusieurs records de décimales connues de , et demeurent aujourd’hui les formules les plus connues pour calculer  grâce à des ordinateurs. Un record remarquable est détenu par le calculateur prodige Johann Dase qui, en 1844, à l’aide d’une formule de Machin, a calculé  de , à la demande de Gauss. La meilleure valeur obtenue à la fin du  est due à William Shanks, qui a passé quinze ans à calculer  puis  de , bien qu’à cause d’une erreur, seules les  étaient correctes. De nos jours, il est aisé d’éviter de telles erreurs, en faisant faire les calculs par l’ordinateur, et en utilisant deux formules différentes pour éliminer les risques d’erreur de calcul, de programmation, ou du microprocesseur.

Les avancées théoriques du  ont amené les mathématiciens à s’interroger sur la nature de , notamment sur l’absence de motifs périodiques dans ses décimales,
une hypothèse raisonnable au vu des calculs numériques, mais pour laquelle il fallait une approche radicalement différente pour la prouver rigoureusement. Ce tour de force a été réalisé par Johann Heinrich Lambert en 1761, qui fut ainsi le premier à prouver l’irrationalité de , par la suite Adrien-Marie Legendre a aussi prouvé que  aussi était irrationnel. Cette constante () jouait un rôle notable en mathématique, puisqu’elle apparaissait dans la solution du problème de Bâle, qui consistait à trouver la valeur exacte de

qui est  (comme prouvé par Leonhard Euler qui a établi à cette occasion une connexion profonde entre  et les nombres premiers). Dans la foulée, Legendre et Euler ont tous les deux conjecturé que  était un nombre transcendant, ce qui a finalement été prouvé en 1882 par Ferdinand von Lindemann.

 Origine de la notation 

C’est au cours du  que s’établit l’usage de la lettre grecque «  », première lettre du mot grec  (périphérie, c’est-à-dire circonférence), pour le rapport de la circonférence du cercle sur son diamètre.

À partir du , certains mathématiciens utilisent la notation  où  désigne la circonférence et  le diamètre. Le premier à utiliser simplement  est William Jones dans son livre  publié en 1706, à propos du calcul astucieux de ce nombre par la série de son ami Machin. Les mathématiciens continuent cependant d’utiliser d’autres notations. Parmi ceux-ci Euler se met à la notation de Jones dans sa correspondance à partir de 1736. Il l’adopte dans son livre  publié en 1748, ce qui eut certainement une grande influence. La notation finit par s’imposer vers la fin du .

 Ère informatique 

Alors que quelques dizaines de décimales de  sont largement suffisantes pour les calculs pratiques qu’effectue un physicien, la conquête des décimales du nombre  n’a pas cessé avec l’arrivée des ordinateurs, qui ont permis de calculer un très grand nombre de ces décimales.

En 1949, à l’aide de l’ENIAC, John von Neumann a obtenu  décimales de , à la suite d'un calcul qui a duré . Des milliers de décimales supplémentaires ont été trouvées au cours des décennies suivantes, l’étape du million de chiffres ayant été passée en 1973. Les progrès n’ont pas seulement été dus aux ordinateurs de plus en plus rapides, mais aussi aux nouveaux algorithmes utilisés. L’une des avancées les plus significatives a été la découverte de la transformée de Fourier rapide dans les années 1960, qui a permis aux ordinateurs de manipuler rapidement de très grands nombres.

Au début du , le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan a trouvé de nombreuses nouvelles formules faisant intervenir  ; certaines d’entre elles sont remarquables par leur élégance et leur profondeur mathématique. L’une de ces formules est la série suivante, donnant 8 nouvelles décimales à chaque nouveau terme :

La formule ci-dessous, possédant un lien étroit avec celle énoncée ci-dessus, a été découverte par David et Gregory Chudnovsky en 1987 :

Cette formule donne  décimales de  à chaque terme. Vers la fin des années 1980, les frères Chudnovsky l’ont utilisée pour battre plusieurs records de décimales de  calculées. Elle demeure la formule la plus utilisée pour calculer  sur des ordinateurs personnels.

Alors que les séries permettent d’obtenir des valeurs approchées de  avec un taux de précision supplémentaire à chaque terme qui est constant, il existe des algorithmes itératifs qui multiplient le nombre de décimales correctes à chaque étape, avec cependant l’inconvénient que chaque étape demande généralement un calcul « coûteux ». Une grande avancée a eu lieu en 1975 lorsque Richard Brent et  ont découvert indépendamment la formule de Brent-Salamin, qui double le nombre de décimales correctes à chaque étape. Il s’appuie sur un vieux résultat pressenti puis démontré par Gauss. En 1818, celui-ci démontre le lien existant entre la moyenne arithmético-géométrique M(1, ) de 1 et  — la longueur de la lemniscate de Bernoulli — et . La longueur de la lemniscate est  où  représente la distance OA entre le centre et un sommet de la lemniscate et où  est la constante de la lemniscate. Si on note , la constante de Gauss, c’est-à-dire l’inverse de M(1, ) alors : 

Salamin et Brent ont utilisé ce résultat pour construire l’algorithme qui porte leur nom, et grâce auquel la conquête des décimales de  va alors avancer conjointement avec celle des décimales de .

L’algorithme consiste à poser :

puis à définir les relations de récurrence suivantes :

et enfin à calculer ces valeurs jusqu’à ce que  et  soient assez proches. On a alors une valeur approchée de  donnée par :

En utilisant cet algorithme, seules  sont nécessaires pour calculer  de décimales. Un algorithme similaire qui quadruple la précision à chaque étape a été trouvé par Jonathan et Peter Borwein. C'est grâce à ces méthodes que, de 1981 à 1999, Yasumasa Kanada et ses associés ont battu le record du nombre de décimales de  à onze reprises (plus de 2×10 décimales en 1999).

En 1997, la formule BBP, découverte par Simon Plouffe, a fait de nouveau progresser la connaissance de . La formule,

est remarquable car elle permet de calculer n’importe quel chiffre de l’écriture de  en base hexadécimale ou binaire, sans calculer les précédents. Entre 1998 et 2000, le projet de calcul distribué PiHex a utilisé une variante de la formule BBP due à Fabrice Bellard pour calculer le  chiffre en binaire de , qui s’est révélé être 0.

Si une formule de la forme :

était trouvée, avec b et c des entiers positifs et p et q des polynômes de degrés fixés à coefficients entiers (comme pour la formule BBP ci-dessus), ce serait l’un des moyens les plus efficaces pour calculer n’importe quel chiffre dans l’écriture de  en base bc  (et donc en base b) sans avoir à calculer les précédents, en un temps dépendant uniquement de l'indice du terme calculé et du degré des polynômes.

En 2006, Simon Plouffe a trouvé plusieurs formules faisant intervenir . En posant q =  (constante de Gelfond), on a :

ainsi que :

où k est un nombre impair, et  sont des nombres rationnels.

Depuis 2010, les records utilisant le programme  se succèdent (voir la section «  » de l'article « Approximation de  »). Fin 2016, le record dépasse 2×10 décimales.

Le 14 mars 2019, jour du Pi Day, Google rend public le nouveau record de décimales calculé par une de ses employées au moyen de puissantes machines. Le nouveau record du monde s'établit à 31 415 milliards de décimales. Il a fallu 111 jours de calculs ininterrompus à Emma Haruka Iwao pour entrer dans le livre Guinness des records.

 Utilisation en mathématiques et en sciences 

 Géométrie 

 apparaît dans de nombreuses formules de géométrie impliquant les cercles et les sphères :

 se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de trois dimensions).

 Nombres complexes 

Un nombre complexe  peut s’exprimer en coordonnées polaires de la façon suivante :

L’apparition fréquente de  en analyse complexe a pour origine le comportement de la fonction exponentielle complexe, décrite par la formule d’Euler :

où  est l’unité imaginaire satisfaisant la relation 2 = −1 et  ≈ 2,71828 est la constante de Néper. Cette formule implique que les puissances imaginaires de  décrivent des rotations sur le cercle unité du plan complexe ; ces rotations ont une période de 360° = 2 rad. En particulier, une rotation de 180° =  rad donne l’identité d'Euler

 Suites et séries 

De nombreuses suites ou séries convergent vers  ou un multiple rationnel de  et sont même à l’origine de calculs de valeurs approchées de ce nombre.

 Méthode d’Archimède 

Les deux suites définies par  et  représentent, pour , les demi-périmètres des polygones réguliers à n côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique pour sn, exinscrit pour tn. On les exploite par des suites extraites dont l’indice (le nombre de côtés du polygone) double à chaque itération, pour obtenir  par passage à la limite d’expressions utilisant les opérations arithmétiques élémentaires et la racine carrée. Ainsi, on peut déduire de la méthode d'Archimède  une définition par récurrence des suites extraites de termes s et t (à partir de s = 2 et t = 4) ou encore s et t (à partir de s = 3/2 et t = 3) :

Il résulte de cette définition que les deux suites extraites correspondantes de la suite  vérifient :

(Alternativement, on peut démontrer, pour tout n ≥ 2, les deux premières relations à l'aide des identités trigonométriques  ( « Formules de l'arc moitié ») et  ( « Formules de l'angle double ») et les deux dernières, directement, en utilisant les identités trigonométriques  =  et  =  pour .)

On peut donc exprimer s2k+1 et s3×2k (pour k ≥ 1), puis
 (par passage à la limite) sous forme de formules où s'emboîtent des racines carrées :

ou encore :

Une autre expression de s2k+1, qui peut se déduire simplement de la première de ces deux égalités (multiplier par ), conduit au produit infini suivant (formule de François Viète, 1593) :

 Sommes et produits infinis 
  (formule de Madhava, Gregory et Leibniz)
  (produit de Wallis)
  (formule due à Ramanujan)
  (formule due à David et Gregory Chudnovsky)
 (!! = double factorielle, formule due à Forsyth et Ramanujan)

 Suites récursives 

Suite inspirée de la formule de Brent-Salamin (1975) :

Soient trois suites ,  et  définies simultanément par :

on a :

Le nombre de décimales correctes (en ) double presque à chaque itération.

 Fonction zêta de Riemann 

  (Euler)
 ,

Plus généralement, Euler démontra que ζ(2n) est un multiple rationnel de  pour tout entier positif n.

 Suite logistique 

Soit  la suite des itérés de la fonction logistique de paramètre  = 4 appliquée à un réel  choisi dans l’intervalle  (c’est-à-dire qu’on définit, pour tout  ≥ 0, ). La suite  quitte l’intervalle [0, 1] et diverge pour quasiment toutes les valeurs initiales.

On a  pour presque toutes les valeurs initiales .

 Intégrale 

Le nombre  apparait également comme étant le double de la limite du sinus intégral à l’infini :

 Probabilités et statistiques 

En probabilités et en statistiques, il existe de nombreuses lois qui utilisent la constante , dont :

 la loi normale d’espérance μ et d’écart type σ, dont la densité de probabilité s’écrit : 
 la loi de Cauchy, dont la densité de probabilité est : 

Les deux formules suivantes, tirées de l’analyse, trouvent des applications pratiques en probabilités. L’une permet de montrer la convergence de la loi binomiale vers la loi de Gauss et l’autre permet de calculer la densité d’une loi de Gauss.
  (formule de Stirling)
 

D’autre part, il existe diverses expériences probabilistes où  intervient dans la probabilité théorique. Elles peuvent donc servir, en effectuant un grand nombre d’épreuves, à déterminer une approximation de .

L’aiguille de Buffon est une expérience de probabilité proposée par Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon et consistant à calculer la probabilité qu’une aiguille de longueur a, lancée sur un parquet fait de lattes de , soit à cheval sur deux lattes. Cette probabilité p est : 

même si l'aiguille est courbe.

Cette formule peut être utilisée pour déterminer une valeur approchée de  :

où  est le nombre d’aiguilles lancées, et  celui d’aiguilles qui sont sur deux lattes à la fois.

Cette méthode présente rapidement ses limites ; bien que le résultat soit mathématiquement correct, il ne peut pas être utilisé pour déterminer plus que quelques décimales de  expérimentalement. Pour obtenir seulement une valeur approchée de 3,14, il est nécessaire d’effectuer des millions de lancers, et le nombre de lancers nécessaires croît exponentiellement avec le nombre de décimales voulu. De plus, une très faible erreur dans la mesure des longueurs L et a va se répercuter de façon importante sur la valeur trouvée de . Par exemple, une différence de mesure d’un seul atome sur une aiguille de longueur de  va se retrouver dès la neuvième décimale de . En pratique, les cas où l’aiguille semble toucher exactement la limite entre deux lattes va accroître l’imprécision de l’expérience, de sorte que les erreurs apparaîtront bien avant la neuvième décimale.

La méthode de Monte Carlo est une autre expérience probabiliste qui consiste à prendre au hasard un point dans un carré de , la probabilité que ce point soit dans le quart de disque de  est  ; cela peut se comprendre facilement étant donné que l'aire du quart du disque est  alors que celle du carré est .

 Propriétés diverses 

 Approximations numériques 
Comme  est transcendant, il n’existe pas d’expression de ce nombre qui fasse uniquement appel à des nombres et des fonctions algébriques. Les formules de calcul de  utilisant l’arithmétique élémentaire impliquent généralement les sommes infinies. Ces formules permettent d’approcher  avec une erreur aussi petite que l’on veut, sachant que plus on rajoute de termes dans le calcul, plus le résultat sera proche de .

Par conséquent, les calculs numériques doivent utiliser des approximations de .

La première approximation numérique de  fut certainement 3. Dans les cas où une situation ne demande que peu de précision, cette valeur peut servir d’approximation convenable. Si 3 est une estimation par défaut, c’est parce qu’il est le rapport entre le périmètre d’un hexagone régulier inscrit dans un cercle et le diamètre de ce cercle.

Dans de nombreux cas, les approximations 3,14 ou 22/7 suffisent, bien que les ingénieurs aient longtemps utilisé 3,1416 ( significatifs) ou 3,14159 ( significatifs) pour plus de précision. Les approximations 22/7 et 355/113, avec respectivement 3 et  significatifs, sont obtenues à partir de l’écriture en fraction continue de . Cependant c’est le mathématicien chinois Zu Chongzhi (祖沖之 en sinogrammes traditionnels, 祖冲之 en sinogrammes simplifiés, Zǔ Chōngzhī en piyin) (429-500) qui a découvert la fraction 355/113 en utilisant la méthode d’Archimède pour calculer le périmètre du polygone régulier à  côtés inscrit dans un cercle. Aujourd'hui, les approximations numériques le plus souvent utilisées par les ingénieurs sont celles de constantes informatiques prédéfinies.

L’approximation de  en 355/113 est la meilleure qui puisse être exprimée avec uniquement  au numérateur et au dénominateur. L’approximation  /  (qui fournit 10 chiffres significatifs) en exige un nombre beaucoup plus important : cela vient de l’apparition du nombre élevé 292 dans le développement en fraction continue de .

 Constantes approchées prédéfinies en informatique 
Dans les calculs numériques usuels sur ordinateur, on utilise plutôt une constante correctement arrondie mais prédéfinie avec une précision d’au moins 16 chiffres significatifs (c’est la meilleure précision représentable par un nombre en virgule flottante au format standard IEEE 754 sur 64 bits, un type généralement désigné « double précision ») et choisie afin que le calcul de son sinus retourne 0 exactement par une fonction définie dans cette même précision. Ainsi le fichier d’entête standard <math.h> utilisé en langage C ou C++ définit la constante M_PI en double précision (le type flottant utilisé par défaut dans de nombreuses fonctions des bibliothèques mathématiques standards) à la valeur de  (parfois avec des chiffres supplémentaires si la plateforme supporte une précision plus étendue pour le type long double). La même valeur est utilisée en langage Java, qui s’appuie sur la même norme IEEE 754, avec la constante standard java.lang.Math.PI). On retrouve cette constante définie ainsi dans de nombreux langages de programmation, avec la meilleure précision possible dans les formats de nombres en virgule flottante supportés, puisque le type « double précision » de la norme IEEE 754 s'est imposé comme une référence de précision minimale nécessaire dans de nombreux langages pour d’innombrables applications.

Sur des microprocesseurs de la famille x86, les unités de calcul matérielles (FPU) sont capables de représenter des nombres flottants sur 80 bits (utilisables avec cette précision en langage C ou C++ avec le type long double mais sans garantie de support matériel), ce qui porte la précision de  à 19 chiffres significatifs. La dernière révision publiée en 2008 de la norme IEEE 754 comporte aussi la définition de nombres en virgule flottante en « quadruple précision » (ou quad) codés sur 128 bits, ce qui permettrait de définir une approximation de la constante  avec une précision de 34 chiffres significatifs (toutefois cette précision n’est pas encore prise en charge nativement par de nombreux langages de programmation car peu de processeurs permettent cette précision directement au niveau matériel sans un support logiciel supplémentaire).

Pour les plateformes ou langages ne supportant nativement que les nombres en « simple précision », codés dans la norme IEEE 754 sur 32 bits utiles, pourront être pris en charge 7 chiffres significatifs (le minimum de précision supporté en langage C par le type float), c’est-à-dire la constante correctement arrondie à  et équivalente en précision à celle donnée par la fraction 355/113 (cette fraction permet aussi des calculs rapides dans des logiciels pour des systèmes légers ne comportant pas d’unité matérielle de calcul en virgule flottante).

 Fractions continues 
La suite des dénominateurs partiels du développement en fraction continue de  ne fait apparaître aucun schéma évident :

Cependant :
.En tronquant ce développement juste avant le quotient partiel brusquement plus grand que les précédents (), on obtient la célèbre approximation de Ramanujan , qui donne  à 10 près.
il existe des fractions continues généralisées représentant  dont la structure est régulière :

 Questions ouvertes 

De nombreuses questions se posent encore :  et  sont deux nombres transcendants mais sont-ils algébriquement indépendants ou bien existe-t-il une équation polynomiale à deux variables et à coefficients entiers dont le couple  soit une solution ? La question est encore en suspens. En 1929, Alexandre Gelfond prouve que  est transcendant et en 1996,  prouve que  et  sont algébriquement indépendants.

Comme dit précédemment, on ignore encore si  est un nombre normal, ou même un nombre univers en .

 Culture populaire 

Sans doute en raison de la simplicité de sa définition, le nombre pi et particulièrement son écriture décimale sont ancrés dans la culture populaire à un degré plus élevé que tout autre objet mathématique. D’ailleurs, la découverte d’un plus grand nombre de décimales de  fait souvent l’objet d’articles dans la presse généraliste, signe que  est un objet familier même à ceux qui ne pratiquent pas les mathématiques.

Un lac du Canada, situé au Québec dans le territoire non organisé de Rivière-aux-Outardes, porte le nom de Lac 3.1416.

Une tradition anglo-saxonne veut que l’on fête l’anniversaire de  dans certains départements mathématiques des universités le 14 mars. Le 14 mars qui est noté « 3/14 » en notation américaine, est donc appelé la journée de pi.

  dans l’art 
Nombreux sont les sites ou ouvrages qui signalent la présence du nombre  dans les pyramides et, plus précisément, que  est le rapport entre le périmètre de la base et le double de la hauteur des pyramides. Il est vrai que la pyramide de Khéops possède une pente de 14/11 et que par conséquent, le rapport entre la base et la hauteur est de 22/14. Le rapport 22/7 étant une bonne approximation de , le rapport entre le périmètre et le double de la hauteur de la pyramide de Khéops est bien voisin de . Faut-il pour autant y chercher une intention ? Rien n’est moins sûr puisque la pente des pyramides n’est pas constante et que, selon les régions et les époques, on trouve des pentes de 6/5 (pyramide rouge), 4/3 (pyramide de Khephren) ou 7/5 (pyramide rhomboïdale) qui conduisent à un rapport entre périmètre et double de la hauteur éloigné de .

Il est en tout cas certain que  est présent dans la culture artistique moderne. Par exemple, dans Contact, un roman de Carl Sagan,  joue un rôle clé dans le scénario et il est suggéré qu’il y ait un message enfoui profondément dans les décimales de , placé par celui qui a créé l’univers. Cette partie de l’histoire a été écartée de l’adaptation cinématographique du roman.

Sur le plan cinématographique,  a servi de titre au premier long-métrage de Darren Aronofsky, à qui l’on doit notamment .  est un  mathématique sur la découverte de la séquence parfaite, révélant ainsi la formule exacte des marchés boursiers de  ou encore le véritable nom de Dieu.

Dans le registre musical, l’auteur-compositrice-interprète Kate Bush a sorti en 2005 son album , qui contenait le morceau «  », dont les paroles sont principalement composées des décimales de .

 Mémorisation de  

Au-delà de la mémorisation de , usuellement ses 3 à  chiffres ou par la remarquable valeur approchée de la fraction 355/113 ( significatifs), la mémorisation d’un nombre record de décimales de  a longtemps été et demeure une obsession pour de nombreuses personnes. Le , à Oxford, le jeune autiste Asperger Daniel Tammet récite (en ,  et ) . Le record de mémorisation de  reconnu en 2005 par le Livre Guinness des records était de  (Lu Chao, un jeune diplômé chinois, en  et ). En octobre 2006, Akira Haraguchi, un ingénieur japonais retraité, récite  de  en  et demie, mais cet exploit n'est pas validé par le Guinness des records.  Le record officiel passe en mars 2015 à  décimales en 9 h 27 min (Rajveer Meena, un étudiant indien), puis en octobre à  en 17 h 14 min (Suresh Kumar Sharma, un autre Indien).

Le 17 juin 2009, , un neurochirurgien et professeur ukrainien, affirma avoir mémorisé  de décimales de , qui ont été imprimées en . Bien qu’il n’ait pas récité les  de chiffres qu’il a dit avoir retenus (ce qui, au demeurant, lui aurait pris plus d'un an), certains médias prétendent qu’il était en mesure de réciter dix décimales sélectionnées aléatoirement parmi les volumes imprimés. La comparaison avec les valeurs officiellement retenues par le Guinness des records amène cependant les experts à mettre sérieusement en doute cette affirmation.

Il y a plusieurs façons de retenir les décimales de , dont des poèmes dont le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale, les mots de dix lettres représentant un 0. En voici un exemple :

Cette méthode présente ses limites pour la mémorisation d’un très grand nombre de décimales, où il semble plus opportun d’utiliser des méthodes comme la méthode des loci.

 The Tau Manifesto 

En 2001, le mathématicien Robert Palais écrit l'article , dans lequel il estime que la constante est mal définie et devrait être posée comme le rapport entre le périmètre d'un cercle et son rayon, amenant sa valeur numérique à ..., dans un souci de simplification des formules usuelles qui feraient intervenir plus souvent  que . Michael Hartl a repris ses arguments dans le Tau Manifesto, dans lequel il propose de privilégier l'usage d'une nouvelle constante, . Depuis, des défenseurs de  ont créé le Tau day au 28 juin (6/28) en concurrence avec le Pi day du 14 mars (3/14).

 Notes et références 

 Notes 

 Références 

 Voir aussi 

 Bibliographie 
 Éliette Abécassis, Le Palimpseste d’Archimède (roman), Albin Michel 

 Numéro spécial , Supplément au Petit Archimède, , mai 1980
. Traduction : À la poursuite de , Vuibert, 2006 
 
 Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon, Autour du nombre , Hermann, Paris, 1999 , 
, traduction française et adaptation de François Guénard : « Le nombre  », dans Les nombres. Leur histoire, leur place et leur rôle de l’Antiquité aux recherches actuelles, Vuibert 

 Articles connexes 
 Approximation de π
 Journée de pi
 
 PiHex
 Projet de loi pi de l'Indiana
 22 / 7 dépasse π

 Liens externes 
"L'odyssée de Pi", La Méthode Scientifique, France Culture, le 14 mars 2019
 Nombreuses informations historiques et mathématiques sur pi dans pi314.net

Les décimales de pi, sur images des Maths''

 
Histoire des mathématiques