Image réciproque
En mathématiques, l'image réciproque — ou la préimage — d'une partie B d'un ensemble Y par une application f : X → Y est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : . Elle est donc caractérisée par :
.

Exemples 
L'image réciproque  d'un singleton  par une fonction f est l'ensemble des antécédents de y par f.
Considérons l'application  f : {1, 2, 3} → {a, b, c, d} définie par f(1) = a, f(2) = c, f(3) = d. L'image réciproque de {a, b} par f est f({a, b}) = {1}.

L'application « image réciproque » 
Avec cette définition, f est l'application  « image réciproque (par f) », dont l'ensemble de définition est l'ensemble des parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.

Mise en garde : lorsque f est une bijection, il ne faut pas confondre cette application sur les parties avec la bijection réciproque de f, également notée f, de Y dans X. L'image réciproque par f s'identifie avec l'image directe par cette bijection réciproque f. Pour éviter toute confusion, Birkhoff et Mac Lane parlent d'une « application d'ensembles » qu'ils notent f* au lieu de f.

Propriétés élémentaires 
Pour toutes parties  et  de  :
 ;
 ;
.
 Pour toute partie  de , .
En particulier si  est surjective alors .
On peut même prouver que  est surjective si et seulement si pour toute partie  de  on a .
 Pour toute partie  de , .
L'inclusion dans l'autre sens est fausse en général si  n'est pas injective.
On peut même prouver que  est injective si et seulement si pour toute partie  de  on a .
 Pour toute famille non vide  de parties de  :
 ;
.
 Si l'on considère de plus une application , alors l'image réciproque d'une partie  de  par la composée  est :

Notes et références

Articles connexes
 Relation binaire réciproque
 L'opération d'image réciproque en géométrie différentielle, aussi appelée « tiré en arrière » ou « pullback ».

Théorie des ensembles