Conjecture d'Euler
La conjecture d'Euler est une conjecture mathématique de théorie des nombres, réfutée, mais qui a été originellement proposée par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1772, et qui s'énonce de la façon suivante :Pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de n – 1 puissances n-ièmes n'est pas une puissance n-ième.

En d'autres termes, et de manière plus formelle :

Euler percevait cet énoncé comme une généralisation de la conjecture de Fermat, à savoir que pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de deux puissances n-ièmes n'est pas une puissance n-ième. Les deux énoncés coïncident pour n = 3. Euler ajouta que 

La conjecture d'Euler fut infirmée par L. J. Lander et T. R. Parkin en 1966 grâce au contre-exemple suivant :

En 1988, Noam Elkies trouva même une méthode pour construire des contre-exemples lorsque n = 4. Son plus simple contre-exemple fut le suivant :

.

Par la suite, Roger Frye trouva le plus petit contre-exemple possible pour n = 4 en utilisant, avec un ordinateur, des techniques suggérées par Elkies :

.

Aucun contre-exemple pour n > 5 n'est actuellement connu.

Conjecture voisine 

En 1967, Lander, Parkin et Selfridge ont conjecturé que si  et , il n'existe pas d'entiers strictement positifs  tels que

Cela impliquerait en particulier que

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes 
 Suite de Sidon
 
 Théorème d'Erdős-Suranyi

Liens externes 
 
 

Euler
Équation diophantienne