Noyau de Dirichlet
En mathématiques, et plus précisément en analyse, le -ième noyau de Dirichlet — nommé ainsi en l'honneur du mathématicien allemand Johann Dirichlet — est le polynôme trigonométrique défini par :
.
C'est donc une fonction -périodique de classe . Elle vérifie de plus :
 si  n'est pas un multiple entier de , alors  ;
 si  est un multiple entier de , alors .

Le noyau de Dirichlet permet notamment d'améliorer la convergence des séries de Fourier. Il intervient aussi en optique, pour rendre compte des franges et des compositions d'ondes cohérentes.

Considérations élémentaires

Équivalence des deux écritures du noyau de Dirichlet 
Lorsque , c'est-à-dire lorsque  appartient à , le noyau de Dirichlet est la somme de  termes chacun égaux à , et vaut donc .

Lorsque , l'identité trigonométrique qui apparaît au début de l'article peut être établie par le calcul d'une somme d'une suite géométrique de raison  et en utilisant la formule d'Euler.

Propriétés du noyau de Dirichlet 
 C'est un polynôme trigonométrique, donc une fonction , -périodique ;
 il est pair ;
 sa valeur moyenne est  ;
 le comportement asymptotique de sa norme de la convergence en moyenne est :
.

Opérateur associé 
Le -ième terme de la série de Fourier d'une fonction -périodique et intégrable  s'écrit :

.

L'identité précédente est un produit de convolution, ou l'application d'un opérateur à noyau.

C'est à partir de cette expression et des propriétés du noyau de Dirichlet qu'on démontre le théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier.

Cet opérateur est un opérateur borné sur l'espace des fonctions continues, dont la norme d'opérateur est majorée par .

En spécialisant l'étude en un point  particulier, l'application  a pour norme d'opérateur  lui-même, qui tend vers l'infini avec . À l'aide du théorème de Banach-Steinhaus, on peut en déduire qu'il existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge au point .

Introduction au formalisme des distributions 
Le noyau de Dirichlet est  fois la somme d'ordre  du développement en série de Fourier du peigne de Dirac δ, qui est la distribution de période  donnée par

où δ est la « fonction » delta de Dirac, qui en réalité n'est pas une fonction mais une distribution. En d'autres termes, le développement en série de Fourier de la distribution δ s'écrit

La distribution périodique δ est l'élément neutre pour le produit de convolution défini sur l'ensemble des fonctions de période  par

Autrement dit,
pour toute fonction  de période , 
Le produit de convolution de  avec n'importe quelle fonction  de période  est égal à la somme d'ordre  du développement en série de Fourier de ,  qu'on a

où

est le -ième coefficient de Fourier de .

Notes et références 

 .

Articles connexes 
 Série de Fourier
 Noyau de Fejér

Analyse harmonique
Série de Fourier
Fonction remarquable
Trigonométrie