Parallélogramme
En géométrie, un parallélogramme est un quadrilatère dont les segments diagonaux se coupent en leurs milieux.

Définitions équivalentes

En géométrie purement affine, un quadrilatère (ABCD) est un parallélogramme (au sens défini en introduction) si et seulement s'il satisfait l'une des propriétés équivalentes suivantes :
les vecteurs  et  sont égaux ;
les vecteurs  et  sont égaux.
Si de plus les quatre sommets sont trois à trois non alignés, ces propriétés sont aussi équivalentes à la suivante : les côtés opposés sont parallèles deux à deux, c'est-à-dire : (AB) // (CD) et (AD) // (BC).

En géométrie euclidienne, sous cette même hypothèse, ces propriétés sont aussi équivalentes à :
 le quadrilatère est non croisé et ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;
 il est convexe et ses angles opposés ont la même mesure deux à deux ;
 ses angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux ;
 c'est un trapèze (non croisé) dont les bases ont même longueur.

Propriétés 
Tout parallélogramme a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
Dans tout parallélogramme ABCD, on a l'identité du parallélogramme : AC + BD = 2(AB + BC).

Cas particuliers 
Un losange est un parallélogramme ayant au moins deux côtés consécutifs de même longueur. Il est même équilatéral.
Un rectangle est un parallélogramme ayant au moins un angle droit. Il est même équiangle.
Un carré est un losange rectangle.

Aire 

Soient  la longueur d'un côté du parallélogramme et  la longueur de la hauteur associée. L'aire  du parallélogramme vaut :

L'aire d'un parallélogramme est aussi donnée par un déterminant.

Antiparallélogramme 

Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux.

Dans un antiparallélogramme, les angles opposés ont la même mesure en valeur absolue.

Équipollence et vecteurs

Il est désormais classique de définir la notion de parallélogramme à partir de celle de vecteur  mais on peut inversement, à partir de la notion de milieu, définir (comme en introduction) celle de parallélogramme, puis celle d'équipollence de deux bipoints, et enfin celle de vecteur :
 on appelle bipoint tout couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
 deux bipoints (A, B) et (C, D) sont dits équipollents si ABDC est un parallélogramme ;
La relation d'équipollence est une relation d'équivalence.
 on appelle vecteur  la classe d'équivalence du bipoint (A,B), c'est-à-dire l'ensemble des bipoints équipollents à (A,B).
On retrouve alors qu'un quadrilatère (ABCD) est un parallélogramme si et seulement si .

Voir aussi

Aire d'un polygone
Parallélépipède

Théorème de Varignon

Notes et références 

Quadrilatère