Valeur absolue
En mathématiques, la valeur absolue (parfois appelée module, c'est-à-dire ) d'un nombre réel est sa valeur numérique considérée sans tenir compte de son signe. On peut la comprendre comme sa distance à zéro ; ou comme sa valeur quantitative, à laquelle le signe ajoute une idée de polarité ou de sens (comme le sens d'un vecteur). Par exemple, la valeur absolue de –4 est 4, et celle de +4 est 4. La valeur absolue se note par des barres verticales : ainsi, on écrit : |–4| = |+4| = 4. En programmation informatique, l'identificateur utilisé pour désigner la valeur absolue est usuellement .

Il existe de nombreuses généralisations de la valeur absolue dans des espaces plus abstraits (nombres complexes, espaces vectoriels, corps commutatifs voire corps gauches : voir par exemple l’article « Norme »). Cette notion est proche de celles de distance et de magnitude dans de nombreuses branches de la physique et des mathématiques.

Historique 
Il y a eu quatre étapes dans l'évolution de la notion de valeur absolue. Durant la première, sa définition était le « nombre sans son signe » ou la « distance à partir de zéro ». Cette définition était implicite, car il n'y avait pas eu de définition formelle.

Dans la deuxième étape, la valeur absolue était devenue une fonction, souvent utilisée dans le calcul d'erreurs. Un sens plus exact des applications de la valeur absolue à cette époque était « prendre positivement » un nombre ou « faire abstraction des signes ».

La troisième étape a découlé de la compréhension du nombre en tant que concept abstrait. La valeur absolue devint un concept spécifique défini pour chaque nombre, en plus de la méthode pour mesurer des nombres complexes. En 1821, Cauchy popularise son utilisation dans l'analyse formelle. À ce moment, il manquait une notation.

La quatrième et dernière étape découle de sa propre formalisation. Ceci était nécessaire pour l'évolution de l'analyse complexe.

Napier aurait utilisé les valeurs absolues dans l'élaboration des tables logarithmiques, alors que Descartes et Newton les auraient utilisées pour une théorie générale des équations polynomiales. Lagrange et Gauss utilisaient la valeur absolue dans la théorie des nombres pour résoudre des équations de calcul d'erreurs. Argand et Cauchy l'utilisaient pour mesurer la distance entre nombres complexes, et Cauchy l'a souvent utilisée dans l'analyse.

Valeur absolue d'un nombre réel

Première approche 
Un nombre réel est constitué de deux parties : un signe + ou – et une valeur absolue. Par exemple :
 +7 est constitué du signe + et de la valeur absolue 7 ;
 –5 est constitué du signe – et de la valeur absolue 5.
Ainsi, la valeur absolue de +7 est 7, et la valeur absolue de –5 est 5.

Il est fréquent de ne pas écrire le signe + ; on obtient alors :
 la valeur absolue de 7 est 7 ;
 la valeur absolue de –5 est 5, c'est-à-dire l'opposé de –5.

D'où la définition ci-dessous.

Définition 
Pour tout nombre réel , la valeur absolue de  (notée ) est définie par :
 

 
Nous remarquons que .

Propriétés 
La valeur absolue possède les propriétés suivantes, pour tous réels  et  :
 
 
 
 
 
  (inégalité triangulaire)
  (deuxième inégalité triangulaire, découle de la première)
  (inégalité triangulaire généralisée à une famille finie )
 
 
 

Ces dernières propriétés sont souvent utilisées dans la résolution des inéquations ; par exemple, pour  réel :

Enfin, si  est continue sur , alors

Valeur absolue et distance 
Il est utile d'interpréter l'expression  comme la distance entre les deux nombres  et  sur la droite réelle.

En munissant l'ensemble des nombres réels de la distance valeur absolue, il devient un espace métrique.

Une inéquation telle que  se résout alors simplement à l'aide de la notion de distance. La solution est l'ensemble des réels dont la distance au réel 3 est inférieure ou égale à 9. C'est l'intervalle de centre 3 et de rayon 9. C'est l'intervalle .

Extension aux nombres complexes 

La même notation s'emploie pour le module d'un nombre complexe. Ce choix est légitime parce que les deux notions coïncident pour les complexes dont la partie imaginaire est nulle. En outre, le module  de la différence de deux nombres complexes  et  est la distance euclidienne des
deux points  et .

 .
 Si  est nul, module de , soit la valeur absolue de .
 En représentation exponentielle, si  alors .

La fonction valeur absolue 

Cette fonction fait correspondre à tout ,  si celui-ci est positif ou  si celui-ci est négatif. La fonction valeur absolue est à valeurs positives, paire.

La fonction valeur absolue  définie par  est continue sur  mais n'est dérivable qu'en tout point de .

Si  est une fonction :
 la fonction  définie par  est une fonction paire coïncidant avec  pour tout  de  ;
 la fonction  définie par  est une fonction coïncidant avec  pour tout  tel que  et coïncidant avec  pour tout  tel que .

Valeur absolue sur un corps 
Une valeur absolue sur un corps K est une application qui à tout élément  de K fait correspondre un nombre réel positif noté  de telle sorte que, pour tous  et  de K :
  (axiome de séparation) ;
  (inégalité triangulaire) ;
 
Une telle application vérifie (pour tous  et  dans K) :
Si  (donc ) alors  (en particulier, la valeur absolue du neutre multiplicatif de K* est égale à ) ;
Si  et  ont même puissance n-ième pour un certain entier n > 0, alors ils ont même valeur absolue. En particulier (cas n = 2)  ;
L'application  est une distance sur K, qui munit K d'une structure de corps topologique ;
 si et seulement si  est topologiquement nilpotent, c'est-à-dire si  (pour la topologie associée à cette distance).

Si  alors  car .
Si  alors les deux réels positifs  et  sont égaux car ils ont même puissance n-ième.
L'application  est une distance sur K :
la symétrie résulte du point 2 :  ;
la séparation et l'inégalité triangulaire pour d sont des conséquences immédiates de leurs homologues pour  .

Deux valeurs absolues  et  sur K sont dites équivalentes si les distances associées sont topologiquement équivalentes (ou, ce qui revient évidemment au même : uniformément équivalentes). On peut démontrer qu'il existe même alors une constante  telle que .

Une valeur absolue est dite ultramétrique si, pour tous  et  de K,
.
C'est le cas si et seulement si cette valeur absolue est induite par une valuation à valeurs réelles.

Exemples 
 Le module défini sur ℂ est bien une valeur absolue, d'où le fait qu'on utilise la même notation.
Pour tout nombre premier p, la valeur absolue associée à la valuation p-adique, définie sur le corps ℚ, est une valeur absolue ultramétrique.

Notes et références

Voir aussi 

Valeur algébrique

Opération
Fonction remarquable
Fonction de référence