Nombre de Bell
En mathématiques, le n-ième nombre de Bell (du nom de Eric Temple Bell) est le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments distincts ou, ce qui revient au même, le nombre de relations d'équivalence sur un tel ensemble.

Premières propriétés 
Ces nombres forment la suite d'entiers  de l'OEIS, dont on peut calculer à la main les premiers termes :Le premier vaut 1 car il existe exactement une partition de l'ensemble vide : la partition vide, formée d'aucune partie. En effet, ses éléments (puisqu'il n'y en a aucun) sont bien non vides et disjoints deux à deux, et de réunion vide.
Les  partitions de  sont , , et les trois partitions du type .
 Les nombres de Bell peuvent aussi se calculer de proche en proche par la relation de récurrence suivante, parfois nommée « relation d'Aitken » et en fait due au mathématicien japonais du  Yoshisuke Matsunaga:qui peut se démontrer ainsi :Ayant fixé un élément  dans un ensemble à  + 1 éléments, on trie les partitions suivant le nombre k d'éléments hors de la partie contenant x.Pour chaque valeur de  de 0 à , il faut donc choisir  éléments parmi les  éléments différents de , puis s'en donner une partition.
Les sept plus petits nombres de Bell premiers sont B = 2, B = 5,     et B (cf. suites  et  de l'OEIS). On ignore s'il en existe d'autres.

Série génératrice 
Pour manipuler tous les nombres de Bell, on peut s'intéresser aux séries génératrice et génératrice exponentielle associées, qui sont respectivement :

La première est par exemple utilisée pour étudier les classes de congruence des . Quant à la seconde série formelle, elle satisfait l'équation différentielle  : on le constate en écrivant la formule de récurrence sous la forme 

On en déduit qu'elle est égale à  à une constante multiplicative près (qu'on trouve par identification du terme constant) :

L'identification des coefficients conduit à la formule de Dobinski :

qui est le moment d'ordre n d'une loi de Poisson de paramètre 1.

D'autres propriétés 
Ils satisfont également à la congruence de Touchard : si p est un nombre premier quelconque alors

Chaque nombre de Bell est une somme des nombres de Stirling de seconde espèce :

Plusieurs formules asymptotiques pour les nombres de Bell sont connues ; l'une d'elles est 

où W est la fonction W de Lambert ; on obtient une approximation moins précise, mais plus commode d'emploi, à l'aide de l'encadrement  ; on pourra également remarquer la similitude de l'approximation précédente avec la formule de Stirling.

Voir aussi 

 Les nombres de Bell ordonnés, qui dénombrent les partitions ordonnées.
 Le triangle de Bell, qui permet d'obtenir simplement les nombres de Bell

Notes et références

Bibliographie 
 

Combinatoire
Bell