Fonction hyperbolique
En mathématiques, on appelle fonctions hyperboliques les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique. Les noms « sinus », « cosinus » et « tangente » proviennent de leur ressemblance avec les fonctions trigonométriques (dites « circulaires » car en relation avec le cercle unité ) et le terme « hyperbolique » provient de leur relation avec l'hyperbole d'équation .

Elles sont utilisées en analyse pour le calcul intégral, la résolution des équations différentielles mais aussi en géométrie hyperbolique.

Histoire 
Les fonctions hyperboliques ont été inventées par le jésuite Vincenzo Riccati dans les années 1760 alors qu'il cherchait, avec son collègue Saladini, à calculer l'aire sous l'hyperbole d'équation . La méthode géométrique qu'il employa alors était très similaire à celle que l'on peut utiliser pour calculer l'aire d'un cercle d'équation . Le calcul de l'aire du cercle fait intervenir les fonctions trigonométriques classiques que Riccati nommait cosinus et sinus circulaires. Par analogie, il appela alors les fonctions qu'il venait de créer cosinus et sinus hyperboliques. Ce fut un choix heureux, car cette ressemblance ne s'arrête pas à la méthode de calcul d'aire mais aussi à toutes les formules trigonométriques. Cependant, pourtant au fait du travail de son contemporain Euler, il n'utilisa pas la fonction exponentielle pour les définir mais seulement des considérations géométriques. L'autre grand mathématicien ayant étudié les fonctions hyperboliques est Jean-Henri Lambert, qui en fit une étude complète en 1770. Cette quasi-simultanéité fait que l'on attribue parfois à Lambert la paternité des fonctions hyperboliques, bien que les écrits de Riccati soient antérieurs de quelques années.

Définitions 
Les fonctions hyperboliques sont analogues aux fonctions trigonométriques ou fonctions circulaires. Ce sont les fonctions :

Sinus hyperbolique 

Définie comme étant la partie impaire de la fonction exponentielle, c’est-à-dire par :

La fonction  — ou  — est une bijection de classe  de ℝ sur ℝ strictement croissante, et impaire. Sa dérivée est le cosinus hyperbolique. Son application réciproque est l'argument sinus hyperbolique.

Cosinus hyperbolique 

Définie comme étant la partie paire de la fonction exponentielle, c’est-à-dire par :

La fonction  — ou  — est une application de ℝ dans  strictement croissante sur ℝ, et paire. La fonction  est de classe  sur ℝ et sa dérivée est le sinus hyperbolique. Sa restriction à ℝ est une bijection à valeurs dans  dont l'application réciproque est l'argument cosinus hyperbolique.

Tangente hyperbolique 

Définie par :

La fonction  — ou  — est une bijection de classe  de ℝ sur  strictement croissante, et impaire. Sa dérivée est . Son application réciproque est l'argument tangente hyperbolique.

Cotangente hyperbolique 

Définie par :

 est une bijection de classe  de ℝ* dans . Sa dérivée est . Son application réciproque est l'argument cotangente hyperbolique.

Sécante hyperbolique 

Définie par :

Cosécante hyperbolique 

Définie par :

Tableau de variations 

Les fonctions ,  et  sont impaires et la fonction  est paire, on peut donc réduire leur domaine d'étude à .

Propriétés 
Par construction,

On en déduit la formule suivante :

De même que les points  décrivent un cercle lorsque  parcourt ℝ, les points  décrivent une branche d'hyperbole.

Le paramètre  ne peut pas être interprété comme un angle, ni comme une longueur d'arc ; les fonctions hyperboliques sont périodiques, mais de période imaginaire pure.

La fonction  admet 1 pour minimum, en 0.

La fonction  est impaire et ainsi .

Les fonctions hyperboliques satisfont à des relations, très ressemblantes aux identités trigonométriques. En fait, la règle d'Osborn dit que l'on peut convertir n'importe quelle identité trigonométrique en une identité hyperbolique en la développant complètement à l'aide de puissances entières de sinus et cosinus, changeant  en  et  en , et remplaçant le signe de chaque terme qui contient un produit de deux sinus en son opposé.

Cela nous permet d'obtenir par exemple, les formules d'addition et de soustraction :
 
 
 
 
et des « formules d'angle moitié » (la deuxième étant valide si  est positif ou nul) :
 
 

De ces expressions on déduit les formules suivantes relatives à la tangente hyperbolique :

On a de même :

La fonction cosinus hyperbolique est convexe. Elle intervient dans la définition de la chaînette, laquelle correspond à la forme que prend un câble suspendu à ses extrémités et soumis à son propre poids.

Puisque la fonction exponentielle peut être prolongée à l'ensemble des nombres complexes, nous pouvons aussi étendre les définitions des fonctions hyperboliques à l'ensemble des nombres complexes.
Les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique sont alors holomorphes et même entières.

Applications réciproques

Argument sinus hyperbolique 

 — ou  — est l'application réciproque de . C'est une bijection de ℝ sur ℝ, impaire et strictement croissante. La fonction  est dérivable sur ℝ et sa dérivée est . La fonction  admet la forme logarithmique suivante :
.

Argument cosinus hyperbolique 

 — ou  — est l'application réciproque de la restriction de  à ℝ. C'est une bijection de  sur ℝ, strictement croissante. La fonction  est dérivable sur  et sa dérivée est . La fonction  admet une forme logarithmique :
.

Argument tangente hyperbolique 

 — ou  — est l'application réciproque de . C'est une bijection de  sur ℝ, impaire, strictement croissante. La fonction  est dérivable sur  et sa dérivée est . La fonction  admet une forme logarithmique :
.

Argument cotangente hyperbolique 

 — ou  — est l'application réciproque de . C'est une bijection de  sur ℝ*. La fonction  est dérivable sur  et sa dérivée est . La fonction  admet une forme logarithmique :
.

Argument sécante hyperbolique 
.

Argument cosécante hyperbolique 
.

Démonstrations de ces résultats 
Le calcul explicite de ces formes logarithmiques revient à résoudre, par exemple, l'équation  ; posant , on est amené à l'équation du second degré , dont la seule solution positive est  mais il peut être plus simple de remarquer que, puisque , on a .

Relations entre fonctions hyperboliques et fonctions circulaires 
Des formules d'Euler, on déduit immédiatement :
 
 
Ou encore :
 
 

D'autres relations entre fonctions hyperboliques et circulaires sont données par la fonction de Gudermann ou Gudermannien. Elles ont été dégagées par le mathématicien Christoph Gudermann. Le Gudermannien  de  peut être défini par . On en déduit de nombreuses relations entre les fonctions trigonométriques de  et les fonctions hyperboliques de . Par exemple :

Utilisation en géométrie hyperbolique 

Les formules de la trigonométrie sphérique restent valables en géométrie hyperbolique en remplaçant partout cos par cosh, sin par sinh et tan par tanh, et en n'oubliant pas de changer les signes correspondant à des produits d'un nombre pair de fonctions sin ou tan.

Notes et références

Voir aussi

Article connexe 
 Primitives de fonctions hyperboliques réciproques
 Loi sécante hyperbolique

Lien externe 

Exponentielle