Fonction zêta de Riemann
En mathématiques, la fonction zêta de Riemann est une fonction analytique complexe qui est apparue essentiellement dans la théorie des nombres premiers. La position de ses zéros complexes est liée à la répartition des nombres premiers. Elle est aussi importante comme fonction modèle dans la théorie des séries de Dirichlet et se trouve au carrefour d'un grand nombre d'autres théories. Les questions qu'elle soulève sont loin d'être résolues et elle sert aussi de motivation et de fil conducteur à de nouvelles études, à l'instar du rôle joué par le grand théorème de Fermat.

Premiers travaux sur la fonction zêta par Euler et Riemann

Prologue 

Le présent article commence par la définition de la fonction à partir de la série de Dirichlet puis cette définition est étendue au plan complexe privé de 1. On examine ensuite ce qui se passe en 1. La théorie de la fonction  de Riemann définit trois régions dans le plan complexe, la région de convergence  > 1, la bande critique 0 ≤ (s) ≤ 1, et la région  < 0. À partir de la relation fonctionnelle, le module de la fonction est estimé dans chacune de ces régions. Cela nécessite des formules permettant d'estimer la fonction ou d'autres fonctions qui lui sont liées. Puis on étudie les zéros. La relation fonctionnelle fournit les zéros réels et également l’ordre de ces zéros : ils sont simples. Dans la bande critique, il en existe une infinité. On estime donc ce nombre N(T) dans un rectangle de hauteur T. Le théorème de Hardy en place une infinité sur l'axe  = . On estime, avec beaucoup de difficulté, le nombre N(T) des zéros dont la partie imaginaire est comprise entre 0 et T et dont la partie réelle est . Pour étudier la répartition des zéros, différentes quantités les faisant intervenir sont estimées. Enfin, les conjectures classiques sont examinées : définitions, conséquences, critères équivalents.

Les recherches sur la fonction zêta constituent un domaine très technique. La plupart des preuves, nécessitant une formation spécialisée en théorie analytique des nombres, sont omises ici.

La théorie de la fonction  de Riemann est presque tout entière dominée par la question de la répartition de ses zéros. Comme l'explique la théorie générale des fonctions analytiques, toute fonction méromorphe s'écrit comme le produit de facteurs faisant apparaître les pôles et les zéros de cette fonction. L'hypothèse de Riemann selon laquelle tous les zéros non triviaux de la fonction  de Riemann sont de partie réelle égale à  renforce encore l'intérêt pour ces zéros. Aussi la théorie s'est-elle développée dans plusieurs directions : la première est celle de l'étude des zéros eux-mêmes. On a cherché à démontrer l'hypothèse de Riemann elle-même avant de se rendre compte des difficultés. L'objectif est alors devenu plus modeste : démontrer une partie de l'hypothèse de Riemann. D'un autre côté, la communauté mathématique croit en l'hypothèse de Riemann, aussi a-t-on cherché les conséquences de l'hypothèse de Riemann en prévision de sa démonstration. Cependant chaque nouvelle conséquence de l'hypothèse de Riemann est aussi une voie nouvelle pour l'infirmer.

Par exemple, on démontre que l'on a, sous l'hypothèse de Riemann, si  (où  est la constante d'Euler-Mascheroni), pour t assez grand :
   Si l'on démontrait l'existence d'une suite (t) tendant vers l'infini telle que
  il en serait fini de l'hypothèse de Riemann.

Les conséquences de l'hypothèse de Riemann sont nombreuses. On a ainsi cherché à les démontrer indépendamment de cette hypothèse, ce qui s'avéra parfois possible. Et chacune de ces conséquences est devenue un objectif en soi. Devant la difficulté posée par la démonstration de l'hypothèse de Riemann, on a aussi énoncé des hypothèses plus faibles qu'on a également tenté de démontrer, sans beaucoup plus de succès.

Premières considérations sur la fonction

Définition par la série de Riemann 

La fonction  de Riemann est une fonction analytique complexe méromorphe définie, pour tout nombre complexe s tel que  > 1, par la série de Riemann :
.
D'après la théorie des séries de Dirichlet, on déduit que la fonction ainsi définie est analytique sur son domaine de convergence.
La série ne converge pas en s = 1 car on a
 qui tend vers l'infini avec  (voir l'article détaillé « Série harmonique » pour d'autres démonstrations de ce résultat, et une estimation plus précise de la valeur des sommes partielles). La valeur s = 1 est donc une singularité de la fonction.

Valeurs de la fonction zêta pour s entier pair non nul 

Euler a calculé (dans le cadre de sa solution au problème de Bâle) la valeur de la fonction  pour les entiers strictement positifs pairs en utilisant l'expression de  sous forme de produit infini ; il en a déduit la formule :

valable pour tout entier , où les  sont les nombres de Bernoulli ().

Ces valeurs de  s'expriment donc à l'aide des puissances paires de  :

La formule  s'étend à  avec

.

On peut écrire le développement en série de Taylor : 

On en déduit que la série génératrice des  pour  est donnée par :
.
Par exemple, on a : , d'où on déduit la somme des séries :  et .

Valeurs de la fonction zêta pour s entier impair 

Pour les entiers impairs, le calcul n'est pas si simple. Ramanujan a beaucoup travaillé sur ces séries et Apéry a démontré en 1978 que , qui vaut environ , est irrationnel (voir les articles « Constante d'Apéry » et « Théorème d'Apéry »).

En 2000, Tanguy Rivoal a démontré qu'il existe une infinité de nombres irrationnels parmi les valeurs aux entiers impairs. En 2001,  a démontré que l'un au moins des quatre nombres ζ(5), ζ(7), ζ(9) et ζ(11) est irrationnel.

On conjecture que toutes les valeurs aux entiers impairs sont irrationnelles et même algébriquement indépendantes sur ℚ(), en particulier transcendantes.

Valeurs numériques particulières utilisées en physique 
 .

  ;
 

 .

Développements en série de Dirichlet en lien avec quelques fonctions arithmétiques 
À partir de la série de Dirichlet de  on démontre les formules suivantes, en faisant appel à la convolution de Dirichlet des fonctions arithmétiques  qui vérifie :
.

Si  > 1,

,
où  est la fonction nombre de diviseurs (également notée d) : 

puisque 

Si  > 2,
, où  est la fonction somme des diviseurs : ,
puisque 

Les deux dernières formules sont des cas particuliers de l'égalité valide pour  avec  

, où  est la fonction diviseur à la puissance  : ,
puisque 

Si  > 1,
,
où  est la fonction de Möbius,
puisque 

En 1899, La Vallée Poussin démontra qu'il existe une constante K telle que , de sorte que la série précédente converge également pour s = 1, vers 0 :

Ce résultat, conjecturé par Euler, avait déjà été démontré par von Mangoldt en 1897. Von Mangoldt utilise dans sa preuve le théorème des nombres premiers, démontré en 1896. Et ce dernier théorème est en fait équivalent à la convergence vers 0 de la série ci-dessus, comme l'a finalement établi Edmund Landau en 1911.

Si  > 2,

,
où  est l'indicatrice d'Euler, 
puisque l'indicatrice d'Euler φ vérifie l'égalité 

Cette formule est un cas particulier de l'égalité valide pour  avec ,
, où  est la fonction totient de Jordan,
puisque 

Si  > 1,
,
où  est la fonction de Liouville.
,
puisque la fonction de Liouville vérifie l'égalité  où  est la fonction caractéristique (ou indicatrice) des carrés.

Si  > 1,
,
où  est la fonction de Möbius,
puisque 

Si  > 1,
,
où (n) désigne le nombre de facteurs premiers distincts de n,
puisque 

Si  > 1,

, où  est la fonction nombre de diviseurs (également notée d).

Si  > 2,

Cette formule est un cas particulier de l'égalité valide pour  avec ,

puisque  où 

Si  > 1,

Cette formule est un cas particulier de l'égalité valide pour  et ,

Les deux dernières formules sont des cas particuliers de la formule de Ramanujan valable si  avec  et ,

ce qui se déduit de la relation

Produit eulérien 

Le lien entre la fonction  et les nombres premiers avait déjà été établi par Leonhard Euler avec la formule, valable pour 

où le produit infini est étendu à l'ensemble  des nombres premiers. Cette relation est une conséquence de la formule pour les suites géométriques et du théorème fondamental de l'arithmétique. On appelle parfois cette formule produit eulérien.

Lien avec la répartition des nombres premiers 
Un autre lien existe avec cette fois la fonction de comptage  des nombres premiers inférieurs ou égaux à  :

On a en effet, pour  > 1 :

En fait, la position des zéros de la fonction  de Riemann fournit la position des nombres premiers. On peut même trouver une formule exprimant chaque nombre premier en fonction des zéros de la fonction  de Riemann.

Expression intégrale 
On a la formule intégrale, classique depuis Euler, valide si  > 1 :

où  désigne la fonction gamma, ce qui (par changement de variable) équivaut à :

.

On peut voir cette formule comme un cas particulier d'une transformation générale aux séries de Dirichlet. Elle se traduit en disant que la fonction  est la transformation de Mellin de la fonction .

Dérivées de la fonction zêta 
Une expression de la dérivée de la fonction  est donnée par la série de Dirichlet, convergente si  > 1 :

La dérivée d'ordre k est donnée par :

Que devient la série de Riemann sur l'axe  = 1 ? 
La théorie des séries de Dirichlet montre que pour , la série de Riemann
 
diverge grossièrement si , converge absolument si  et diverge si  et .

Dans le cas restant ( mais ), pour montrer qu'elle diverge aussi et préciser comment, il suffit d'affiner un peu la comparaison série-intégrale :

or

donc la série correspondante converge. Quant à l'intégrale , elle est égale, à une constante près, à , de module .
si , il en résulte que lorsque  tend vers l'infini, ce terme prend des oscillations de plus en plus importantes : la série diverge.
si  (et ), le module devient égal à , mais l'argument () ne tend pas vers une constante : la série diverge mais ses oscillations restent bornées par .

Extension à ℂ \ {1} 
La fonction  admet un prolongement analytique à tout le plan complexe, sauf . Il existe plusieurs démonstrations, faisant appel à différentes représentations de la fonction .

Par la formule d'Euler-Maclaurin 
La formule d'Euler-Maclaurin, appliquée à la fonction  sur l'intervalle [1, N], donne pour tout entier n  différent de 0 : 
 
où les coefficients  sont les nombres de Bernoulli (ils sont nuls si k est impair et différent de 1),

où les  sont les polynômes de Bernoulli et où  désigne la partie entière de .

En faisant tendre N vers l'infini et en restant dans le demi-plan  > 1, on en déduit pour tout entier n = 1, 2, 3… que
 

Les fonctions  étant périodiques et polynomiales sur [0 ; 1[, elles restent bornées sur l'intervalle d'intégration, donc l'intégrale à droite converge si  > 1 – n. Donc le membre de droite définit, sur  une fonction , holomorphe en dehors de 1, qui prolonge . L'unicité du prolongement analytique montre que les fonctions  et  sont identiques sur  > 1 – n. Ces identités permettent donc de définir une unique fonction méromorphe sur tout le plan complexe (avec un seul pôle en 1), coïncidant avec la fonction  déjà définie pour  > 1 et qu'on appelle encore .

Par une intégrale sur ℝ 
On part de l'expression intégrale vue plus haut, pour tout complexe s tel que  > 1 :

Le prolongement analytique est réalisé en écrivant

La seconde intégrale est une fonction holomorphe de s. On décompose en série de Taylor dans la première. Les  désignant les nombres de Bernoulli, comme on a, pour tout t tel que | t | < 2 en remplaçant dans la première intégrale et en intégrant terme à terme, on trouve

La série est convergente et définit une fonction holomorphe partout sauf aux entiers négatifs ou nuls (car pour s différent de ces valeurs, le rayon de convergence de la série entière de coefficients  n'est pas modifié lorsqu'on divise ces coefficients par les n + s – 1) et de même, au voisinage d'un entier négatif  –  k, elle est la somme d'une fonction holomorphe et du terme 

Quand s tend vers  –  k, (s) ayant un pôle simple en s = –  k ,  est par conséquent la somme d'une fonction qui tend vers 0 et du terme :

Ainsi, le prolongement méromorphe de  à tout le plan complexe n'a de pôle qu'au point 1, et l'on obtient au passage la formule d'Euler :
.

Par une intégrale de contour 
La fonction  se prolonge aussi analytiquement par l'intégrale 

 étant la fonction gamma.

 désigne un lacet longeant l'axe réel et englobant 0 parcouru de  à  dans le sens trigonométrique.

Une fois cette formule démontrée initialement pour  > 1, l'expression à droite restant valable pour tout valeur bornée de s définit donc une fonction analytique. D'après le théorème du prolongement analytique, elle représente le prolongement (sauf en s = 1) de la fonction .

Par la formule sommatoire d'Abel 
Utilisant la formule sommatoire d'Abel, on trouve pour  > 1,

La partie entière  se décompose en , où  désigne la partie fractionnaire de . On a alors :

Comme  est toujours compris entre 0 et 1, l'intégrale est convergente pour  > 0. À partir du prolongement pour  > 0 et en appliquant la relation fonctionnelle (valide pour 0 <  < 1, voir plus loin), on obtient le prolongement pour  ≤ 0 (sauf en s = 0).

Par la fonction êta de Dirichlet 
On peut encore étendre la fonction  sur  > 0 à partir de la définition de la série alternée (appelée fonction êta de Dirichlet) : 
.
Cette série est convergente pour s réel strictement positif, par application du critère des séries alternées ; il en est en fait de même pour  > 0, ce qui se démontre en utilisant le lemme d'Abel (on peut aussi montrer plus simplement la convergence absolue de la série ).

 
Cela réalise ainsi le prolongement de la fonction  sur  > 0, sauf pour  qui sont les zéros de 1 – 2. 

À partir du prolongement pour  > 0 et en appliquant la relation fonctionnelle (voir plus loin), on obtient le prolongement partout sauf en ces points.

Pour ces points, on peut appliquer soit la série de Dirichlet de , qui converge sur  = 1, soit une autre relation du même genre.

De ce queoù O est la notation de Landau, on déduit que la série 

est convergente pour  = 1. En procédant comme pour la fonction , on montre que : 

Il suffit donc de calculer la série seulement pour ces points car  se trouvant irrationnel, le dénominateur 1 – 3 ne peut être nul en même temps que 1 – 2 (sauf pour s = 1).

La fonction êta vérifie également  On déduit, pour  > 0, sous réserve de ce qui a été dit pour le prolongement par la fonction êta de Dirichlet pour les points , l'expression intégrale :

ou

Par la formule de Landau ou celle de Ramaswami 

Dans les formules précédentes, il est à remarquer que le prolongement ne s'obtient que dans une portion du plan et qu'il faut utiliser la relation fonctionnelle pour avoir un prolongement au plan tout entier. Les deux formules qui suivent n'ont pas ce défaut. Ces deux autres méthodes de prolongement de , sans conteste les plus simples, sont fondées, chacune, sur une formule exprimant  en fonction de (s + 1), (s + 2), …

On a ainsi la formule publiée par Edmund Landau :

 
 
 ,
 étant la factorielle croissante. La démonstration se fait en écrivant que  puis en inversant  et  et en utilisant la série binomiale
.

On a aussi la formule de Ramaswami :

 

Le prolongement analytique s'effectue par bandes de largeur 1. La série de Dirichlet étant absolument convergente sur  > 1, la formule choisie prolonge sur  > 0. En appliquant à nouveau la formule, on prolonge à  > –1, et ainsi de suite.

Propriétés diverses de la fonction

Comportement asymptotique 
Au voisinage de  (sur l'axe réel), on a

(on obtient ce développement en comparant le reste de la série à l'intégrale  )

Développement de Laurent au  voisinage de 1 

On a vu plus haut que :
.
Comme  est toujours compris entre 0 et 1, l'intégrale est convergente et le terme est borné.
Le premier terme vaut aussi , ce qui montre que la fonction  admet un pôle d'ordre 1 en  et de résidu . Cela constitue le théorème de Dirichlet.
Le développement en série de Laurent de la fonction  s'écrit donc
.
Les coefficients , appelés constantes de Stieltjes ou nombres de Stieltjes, sont donnés par :.
En particulier,  est la constante d'Euler-Mascheroni : .

Matsuoka, en 1985, a montré que :
. 

On sait aussi qu'asymptotiquement, la moitié de ces nombres sont positifs.

L'équivalent  montre que  est négative sur l'axe réel juste avant  (elle est positive après  de manière élémentaire puisque tous les termes de la série de Dirichlet sont alors positifs).

Le développement de Laurent à l'ordre 0, , donne la « valeur principale de Cauchy de la fonction » en  :.

Relation fonctionnelle 
La fonction  satisfait à l'équation fonctionnelle :

valable pour tout nombre complexe s différent de 0 et 1, démontrée par Riemann en 1859. Ici,  désigne la fonction gamma.
 

De la relation fonctionnelle, on déduit que, pour s différent de 0 et de 1 :

La fonction  définie pour s différent de 0 et de 1 par
 
vérifie 
On en déduit que la fonction  est paire : .

On retrouvera ces deux fonctions dans l'étude des zéros non triviaux de .

Valeurs de la fonction zêta pour s entier négatif ou nul 

De la définition de la fonction zêta par une intégrale sur ℝ, on a déduit que pour tout entier naturel ,  est le nombre rationnel suivant :
où  est un nombre de Bernoulli. 

Pour  = 0, on a : 

Si   est pair mais non nul, le nombre de Bernoulli  est nul, d'où, avec   et  :

Si  est impair,  avec  : 

Par exemple :

C'est cette relation que Ramanujan écrivit en 1910 dans un article du Journal of the Indian Mathematical Society sous la forme :
 «  »

Définition de  et de sa dérivée 

La fonction  étant réelle sur l'axe réel et plus grande que 1, le logarithme de cette valeur existe et est réel. Il est donc naturel de choisir, parmi l'infinité des définitions possibles du logarithme d'une fonction analytique, celle qui prolonge le logarithme naturel sur la demi-droite . On prolonge donc par continuité les valeurs de  qui sont réelles sur .

Présentation élémentaire pour les nombres complexes du demi-plan Re(s) > 1 
On part de la formule du produit eulérien, dont on sait qu'il converge pour tout s dans  > 1. On peut se limiter à considérer dans un premier temps s = σ réel. On prend le logarithme du produit. Cela a un sens puisque (σ) ne s'annule pas sur σ > 1. On a alors 
Il reste à développer le logarithme en série entière, ce qui est possible puisque p ≥ 2 et σ > 1. Cela justifie que l'on définisse, pour tout complexe s satisfaisant  > 1 la série :

Cette série, normalement convergente sur tout compact du demi-plan  > 1, définit une fonction holomorphe sur ce demi-plan. 

Si s = σ > 1 est réel, alors

où  est le logarithme réel habituel. On en déduit que . Les deux fonctions  et  sont holomorphes sur  > 1 et elles coïncident sur la demi-droite . Par le principe de prolongement holomorphe, on a donc 

pour tout complexe s tel que  > 1. Par dérivation de l'égalité précédente, on obtient immédiatement .
En dérivant la série définissant D, on obtient :

de sorte que l'on a, pour  > 1, l'égalité :
 
où les seules valeurs de (n) non nulles sont définies par (n) =  p lorsque n = p, p étant premier et m entier non nul. Il s'agit de la fonction de von Mangoldt. La définition de la série D se réécrit alors 
 
Enfin en prenant le module de  on obtient  puis, prenant le logarithme réel on déduit

Convergence des séries de Dirichlet de ,  et  sur la droite  Re(s) = 1 

Pour les séries de Dirichlet de  et ,

,
où  est la fonction de Möbius,
l'application de la deuxième formule de Perron montre qu'elles convergent sur l'axe     en dehors de , tandis que la série de Dirichlet de 
  diverge en tout point de l'axe 1.

Extension de  à Re(s) ≤ 1 
Pour les complexes s autres que 1 tels que  ≤ 1, la définition du logarithme de  est plus délicate. La fonction  ayant une infinité de zéros,  admet une infinité de points de branchement. Dans les calculs, on pratique alors des coupures de la manière suivante. Une première coupure est pratiquée entre –2 et 1 (qui est aussi un point de branchement bien que  ne s'y annule pas). Pour les zéros triviaux, une coupure est pratiquée sur les intervalles [–4n – 4, –4n – 6[ pour tout n ≥ 0. Pour les autres zéros, encore hypothétiques, de la forme  avec  ∈ ]0, 1[, ils sont répartis symétriquement par rapport à l'axe  = . On pratique donc également une coupure parallèle à l'axe réel en reliant les deux zéros symétriques par rapport à l'axe  = . Pour les zéros de l'axe  = , la coupure pratiquée relie le point à l'infini au zéro considéré par une ligne parallèle à l'axe réel. Ce faisant, la fonction  est alors uniforme sur le domaine coupé.

Le choix effectué donne

Représentation de 1/ζ et fonction M de Mertens 
La fonction  est étudiée conjointement avec la fonction . On a une représentation par une série de Dirichlet sous la formule vue plus haut :

On peut en déduire que pour tout entier k > 1, la probabilité pour que k entiers > 0 pris au hasard soient premiers entre eux est égale à 1/(k), ce qu'on pouvait « prévoir informellement » à partir du produit eulérien mentionné au § « Liens avec les nombres premiers ».

L'application de la formule sommatoire d'Abel donne également

où  est la fonction sommatoire de (la fonction de) Möbius : .

La formule intégrale est valable pour  > 1. L'hypothèse de Riemann conjecture que l'intégrale converge et que la relation reste vraie pour   >   (s ≠ 1). On sait qu'elle est également valable pour s = 1 + t avec t  ≠  0.

La théorie de la fonction  est très obscure et cela probablement pour longtemps. On sait démontrer l'estimation suivante :
 

dont la preuve dépend directement de la plus grande région connue dans la bande critique qui ne contient pas de zéro de la fonction zêta (voir plus bas).

L'hypothèse de Riemann est équivalente à l'affirmation suivante : pour tout ε > 0,

Une autre conjecture est l'hypothèse de Mertens généralisée qui affirme que : , c'est-à-dire que 

pour une certaine constante A (voir plus bas). Elle entraîne la conjecture de Riemann.

Inégalités

Inégalité de Mertens 
En 1898, Franz Mertens démontre

Cette inégalité permet de démontrer que la fonction ζ(s) ne s'annule pas sur  = 1, ce qui est une étape cruciale dans la démonstration du théorème des nombres premiers.

Inégalité de Laforgia et Natalini 
L'inégalité de Laforgia et Natalini est la suivante :

 pour s > 1.

Inégalité de Ahsan, Lam-Estrada, Lopez-Bonilla et Lopez-Vazquez 
Ahsan, Lam-Estrada, Lopez-Bonilla et Lopez-Vazquez ont démontré l'inégalité suivante :
 pour s > 1.
Elle implique l'inégalité de Laforgia et Natalini.

Estimation de la fonction dans les diverses régions du plan

Presque périodicité 
La fonction  est presque périodique au sens de Bohr dans la région  > 1. Il en est de même de ses dérivées. La fonction  est également presque périodique sur  > 1 ainsi que ses dérivées. Par contre sur l'axe  = 1, la presque périodicité de Bohr cède sa place à la presque périodicité B2, au sens de Besicovitch.

La presque périodicité au sens de Bohr, sur la ligne  = σ, signifie qu'à ε près, la fonction se répète indéfiniment dans des intervalles de longueur L(σ, ε). Évidemment, plus ε est petit, plus L(σ, ε) est grand.

Estimations dans la région  > 1 
Dans le demi-plan  = σ > σ > 1 la fonction  est bornée. Ses valeurs satisfont à l'inégalité

Elle n'a donc aucun zéro dans le demi-plan  = σ > 1.

Ces deux bornes sont les meilleures possibles : on montre, pour chaque valeur σ, qu'il existe une suite de  tendant vers l'infini ayant cette valeur pour limite de la suite .

Franz Mertens démontra que pour σ > 1, on a

Une estimation, souvent utile, est donnée par la formule suivante pour les valeurs réelles de s supérieures à 1

Elle résulte de la formule issue de la formule sommatoire d'Abel déjà donnée en remarquant que l'intégrale est toujours positive et affectée du signe –.

Estimations sur  = 1 
La fonction  est presque périodique sur le demi plan  > 1. Elle y est donc bornée sur tout demi-plan fermé strictement inclus. La présence du pôle en 1 empêche toute extension de la presque périodicité au sens de Bohr à un demi-plan plus vaste. Il est donc important de connaître le comportement de la fonction sur l'axe  = 1.

La méthode de Vinogradov-Korobov sur les majorations des sommes d'exponentielles permet de montrer que l'on a, pour tout , l'inégalité 

On connaît, sans aucune hypothèse, une minoration de l'ordre des fonctions  et .
On a en effet ( = 0,577… est la constante d'Euler-Mascheroni)

 et

La fonction n'est donc pas bornée sur l'axe  = 1, même en dehors du voisinage de 1.

On connaît, sous l'hypothèse de Riemann, l'ordre exact des fonctions  et .
On a en effet

 et

Estimations sur   = 0 

Utilisant la formule des compléments et la relation fonctionnelle, on trouve pour  non nul

et de ce fait

Estimations dans la région  < 0 
L'application de l'équation fonctionnelle et de la formule de Stirling, et le comportement asymptotique de  permet de montrer que

pour σ < 0.

Estimation dans la bande critique 
On peut estimer, uniformément dans la bande critique,  par la formule

De la méthode de Vinogradov-Korobov on déduit la majoration suivante :
il existe deux constantes  et  strictement positives telles que pour tout  et , on ait

Dans l'état actuel des connaissances, d'après Ford, on peut prendre  =  et  = . La relation fonctionnelle permet d'estimer le module dans la bande .

Le théorème de Valiron 
Quand on regarde les applications arithmétiques de la fonction , on est frappé par l'usage quasi systématique des fonctions , , ou  mais la fonction  elle-même apparaît rarement au numérateur. Comme la région importante est la bande critique 0 ≤  ≤ 1, il est important de pouvoir traverser cette bande. Or la présence éventuelle de zéros sur le chemin complique singulièrement les calculs et les estimations. Le résultat suivant sert essentiellement à majorer la fonction  sur des chemins bien répartis.

Dans sa thèse soutenue en 1914, Georges Valiron a montré qu'il existait une infinité de valeurs de  dans tout intervalle  pour lesquelles on avait la minoration
 pour un certain δ fixe strictement positif.

On ne connaît aucune valeur de δ qui convient. On sait seulement que 0 ≤ δ ≤ 1. Sous l'hypothèse de Riemann, on peut prendre δ aussi petit qu'on veut.

La relation fonctionnelle approchée 
Comme indiqué dans la partie consacrée à l'estimation dans la bande critique, il est possible de calculer la fonction  dans la bande critique en utilisant une somme partielle de la série de Dirichlet. La relation fonctionnelle se traduit alors dans une relation approchée reliant les séries de Dirichlet partielles pour les exposants s et 1 – s. C'est la relation fonctionnelle approchée :

Pour 0 < σ < 1 et  avec , , on a

avec 

On peut, avec elle, obtenir une première estimation de , l'objectif étant de démontrer l'hypothèse de Lindelöf (voir plus loin).

La théorie de la fonction mu 
On utilise ici les résultats vus plus haut dans la partie .

L'estimation de  dans la partie  < 0 montre que la fonction  est d'ordre fini : elle est majorée par une puissance de .

Dans la région  > σ > 1, la majoration est celle d'une constante. 

La théorie des séries de Dirichlet montre que dans la bande critique, la fonction est encore d'ordre fini sauf en s = 1. La question qui se pose alors est celle de l'estimation de cet exposant. On appelle traditionnellement (σ) la borne inférieure des exposants  tels que .

Le théorème de Phragmén-Lindelöf implique que la fonction  est une fonction convexe décroissante de σ.

On a de plus :
 (σ) =  – σ pour σ < 0 et 
 (σ) = 0 pour σ > 1.
 La propriété de convexité impose, dans la bande critique, (σ) ≤  – 
mais on ignore la valeur exacte de (σ) pour 0 < σ < 1.

La convexité donne () ≤  = .

La relation fonctionnelle approchée (voir plus haut) donne : () ≤  < .

On sait que () ≤  ≈  d'après M.N. Huxley.

Les zéros

Les zéros triviaux 

Par la relation fonctionnelle, il apparaît que la fonction  s'annule pour tous les entiers de la forme –2k, (k > 0) par suite du facteur , mais pas en  par suite du facteur . Ces zéros sont appelés les zéros triviaux.

La relation fonctionnelle permet de plus de montrer que chacun de ces zéros est simple puisque la valeur de la dérivée en –2k est :

Les zéros non triviaux 

Il existe d'autres zéros. On obtient de la relation fonctionnelle que la fonction  admet une infinité de zéros dans la bande  ∈ ]0, 1[. Pour cela, on remarque que la fonction
 
vérifie
 
On en déduit que la fonction
 est paire. On montre que les deux fonctions  et  sont deux fonctions entières d'ordre 1 et, comme  est paire, la fonction  est une fonction entière d'ordre  : elle admet donc, d'après la théorie générale des fonctions entières, une infinité de zéros. Ces zéros se traduisent par une infinité de zéros de  dans la bande  On ignore pour l'instant si l'hypothèse de Riemann (voir plus bas), qui affirme que tous ces zéros sont de partie réelle , est vraie.

Représentation sous forme de produit de facteurs primaires (produit de Hadamard) 
D'après le théorème de factorisation de Hadamard pour une fonction méromorphe, toute fonction méromorphe s'écrit sous forme de produit de facteurs dits primaires dans lesquels apparaissent les zéros et les pôles de la fonction. La représentation sous cette forme pour  prend la forme

où le produit s'effectue sur les zéros non-triviaux  de  et  est la constante d'Euler-Mascheroni.

Expressions de ζ'/ζ en fonction des zéros triviaux et non triviaux 
Indépendamment de l'expression en fonction des facteurs primaires de Weierstrass, la valeur  peut se calculer en fonction des zéros non triviaux les plus proches du point . On démontre que seuls les zéros à une distance de  inférieure à 1 interviennent vraiment. Le reste s'exprime dans la notation  . 

Il faut faire attention au fait que les expressions faisant intervenir une somme sur les zéros  ne sont généralement pas commutativement convergentes et que l'ordre de sommation intervient : on somme symétriquement par rapport à . D'autre part, les zéros  sont comptés autant de fois que leur multiplicité dans ces sommes.

La première expression intéressante, déduite du produit de Hadamard précédent, est :

La somme s'effectue sur les zéros non-triviaux  de  et  est la constante d'Euler-Mascheroni.

On en déduit :

Cette formule montre alors, sans l'hypothèse de Riemann,

Avec l'hypothèse de Riemann, la sommation peut être considérablement diminuée. On a

La bande critique et l'hypothèse de Riemann 

On appelle bande critique la bande 0 <  < 1. Il existe donc une infinité de zéros dans la bande critique mais, actuellement, on ne sait pas exactement où. L'hypothèse de Riemann affirme qu'ils sont tous de partie réelle . On a vérifié numériquement sur plus de  zéros que leur partie réelle était bien . 

Il a été démontré que l'axe  =  en avait une infinité, dont les 2/5 au moins sont simples. On sait également que la proportion des zéros de la forme  en dehors de l'axe  =  et tels que  tend vers 0 quand  tend vers l'infini, cette proportion décroissant également à mesure que  s'écarte de .

On appelle traditionnellement N(T) le nombre de zéros de la fonction  de Riemann dans le rectangle vertical décrit par sa diagonale . On note aussi N(T) le nombre de zéros se trouvant sur le segment . On a alors les estimations suivantes :

{{Démonstration|contenu=
On part depour laquelle on sait qu'on a, d'après la relation fonctionnelle : (s) = (1 – s).

Le nombre de zéros de (s) est le même que celui de  dans le rectangle défini par les sommets opposés 0 et , soit N(T).
En effet, la fonctionne s'annule pas dans la bande verticale ]0, 1[, celle-ci n'ayant que les zéros réels s = 0 et s = 1 (elle admet une infinité de pôles réels pour les demi-entiers négatifs par la fonction gamma.)

Si T n'est pas l'ordonnée d'un zéro,  est égal à la variation de l'argument de (s) le long du rectangle, conformément au principe de l'argument.

Or, (s) est réelle pour t = 0 et également pour σ = , de sorte que la variation totale autour du rectangle est 2 fois la variation autour de la moitié en partant de s = 2. Donc  est égal à la variation d'argument entre  et  et de  à  le long des droites.

D'où 

Comme  on a en utilisant la formule de Stirling complexe, 
car, la partie réelle de  ne s'annulant pas sur l'axe σ = 2 puisquela variation de l'argument de  entre 2 et  est inférieure à /2.

Il reste à montrer que le dernier terme est .

Si (ζ(s)) s'annule q fois entre  et , cet intervalle est divisé en q + 1 parties à travers lesquelles (ζ(s)) ne prend qu'un signe, soit + soit –. Donc dans chaque partie la variation de l'argument de ζ(s) n'excède pas . et ainsi la variation totale de l'argument est inférieure à (q + 3/2). Il reste à évaluer q.

Or q est le nombre de zéros deet donc q est nécessairement inférieur au nombre de zéros de  dans . On applique alors la formule de Jensen :

Ces estimations permettent de donner une estimation asymptotique pour le zéro de rang ,  sous la forme

Cette formule montre d'une part que l'ordre  de chaque zéro  est majoré par 

et d'autre part que la distance entre deux zéros tend vers 0. On a en effet

Pour les zéros de la droite critique, on sait qu'il existe une constante C telle que, pour tout T ≥ 2 on a

On ne connaît pas la valeur exacte de la constante C mais Conrey a démontré en 1989 que

Autrement dit, plus de deux cinquièmes des zéros de  sont sur la droite critique  = .

La fonction S(T) 
À partir de la fonction entière , qui satisfait  et  et dont les zéros sont les zéros non triviaux, on trouve avec le principe de l'argument

où , les arguments étant définis par variation continue sur le chemin  et en partant de la valeur .

La formule de Stirling complexe donne alors

On connaît relativement peu de chose sur  sans aucune hypothèse. On a l'estimation 
 déjà ancienne et qu'on n'arrive pas à améliorer.
Sous l'hypothèse de Riemann, on a

Dans les recherches sur , on a réussi à avoir quelques précisions supplémentaires sur le comportement de  qui reste mystérieux :
 dont on déduit que la moyenne de  est égale à zéro.

Cependant Selberg a montré que  était minoré par une quantité tendant vers l'infini pour une infinité de valeurs de T. Sur ces valeurs de T, on a

Selberg a également montré que
 qui montre que la moyenne de  sur [0, T] est .

Edward Charles Titchmarsh a montré d'autre part que  changeait de signes une infinité de fois.

La région sans zéro 

La plus grande région connue qui ne contient aucun zéro de la fonction  est donnée asymptotiquement par la formule suivante :

Les grandes conjectures

L'hypothèse de Riemann 

Elle exprime que tous les zéros qui se trouvent dans la bande critique sont de partie réelle égale à . Elle ne dit rien sur la multiplicité des zéros.

Cette hypothèse, formulée dès 1859 par Bernhard Riemann, a de très grandes conséquences dans le comportement asymptotique de nombreuses fonctions arithmétiques qui se trouvent liées à , ainsi que sur l'étude de la répartition des nombres premiers.

Les conséquences sur le comportement de la fonction  sont nombreuses. On en donne quelques-unes dans ce qui suit.

Cette hypothèse reste pour l'instant non démontrée, mais tous les zéros calculés jusqu'ici par ordinateur la vérifient.

Conséquences de l'hypothèse de Riemann sur la croissance de la fonction zêta 

L'hypothèse de Riemann entraine que l'on a δ = 0 dans le théorème de Valiron. En fait, on montre bien mieux sous l'hypothèse de Riemann car la fonction  est alors analytique régulière dans le demi-plan  > .

Sous l'hypothèse de Riemann, on a, uniformément pour tout σ tel que  < σ ≤ σ ≤ 1
 et même plus précisément, si l'on suppose , on a

De cela on déduit, pour tout σ > , car l'exposant dans la formule précédente est inférieur à 0, 
Autrement dit, l'hypothèse de Riemann implique l'hypothèse de Lindelöf (voir plus bas).

Il en résulte également l'estimation

On peut développer, sous l'hypothèse de Riemann, une théorie voisine de celle de la fonction  mais pour la fonction  (voir #La théorie de la fonction mu). 

En supposant σ >  et appelant (σ) le plus petit exposant  pour lequel on a , on montre que (σ) est une fonction convexe décroissante de σ satisfaisant aux inégalités 1 – σ ≤ (σ) ≤ 2(1 – σ). On montre aussi que la fonction (σ) de  est la même fonction (σ) que celle de .  Mais on ignore encore la valeur de (σ) pour tout  Pour σ ≥ 1, (σ) = 0.

L'hypothèse de Riemann et les zéros de la dérivée  
La question de la position des zéros de la dérivée  est liée également à l'hypothèse de Riemann. Littlewood a démontré le théorème

Ou bien la fonction  ou bien la fonction  a une infinité de zéros dans la bande 1 – δ < σ < 1, δ étant une quantité positive arbitrairement petite.

et Speiser a démontré que

L'hypothèse de Riemann est équivalente à l'absence de zéro non trivial de la dérivée  dans le demi-plan σ < .

De même, Yıldırım a démontré que
L'hypothèse de Riemann implique que (s) et (s) ne s'annulent pas dans la bande 0 <  < .

L'hypothèse de Lindelöf et l'hypothèse de densité 
La conjecture de Lindelöf est l'assertion que pour tout ε > 0 

Cela a entre autres pour conséquence immédiate que () = 0. On connaît alors la valeur exacte de la fonction . Le graphe de  est composé des deux seules demi-droites indiquées, qui se rejoignent en σ =  à la valeur 0. 

Cette hypothèse a de nombreuses formulations équivalentes intéressantes. En voici deux :
 Pour tout k ≥ 1, on a
 Pour tout k ≥ 1, et tout σ >  on a

L'hypothèse de Lindelöf a pour conséquence la raréfaction des zéros à mesure qu'on s'écarte de l'axe  σ = . Cette dernière propriété est appelée hypothèse de densité quand on la considère par elle-même.
Appelant N(σ, T) le nombre de zéros sur la droite  = σ et dont la partie imaginaire reste inférieure ou égale à T, on a, sous l'hypothèse de Lindelöf,

Par contre, on ignore si l'hypothèse de Lindelöf, qui a comme on vient de voir une influence sur la position des zéros, implique ou non l'hypothèse de Riemann.

Les hypothèses de Mertens 
Sur une table numérique allant jusqu'à   de la fonction de Mertens , Mertens en 1897 conjectura que l'on a

Cette conjecture a été réfutée en 1985 par Odlyzko et te Riele. Cependant, la conjecture généralisée de Mertens, qui s'exprime sous la forme
 pour un certain , n'est pas réfutée.

Une troisième formulation est la forme affaiblie :

La forme généralisée implique la forme affaiblie.
La forme affaiblie implique l'hypothèse de Riemann (et donc l'hypothèse de Lindelöf) et la simplicité des zéros.

La conjecture des paires corrélées 
La conjecture (faible) des paires corrélées exprime que, pour un nombre ,

Cette dernière conjecture fait le lien avec la théorie des matrices aléatoires.

La conjecture de Hilbert-Polya 
Hilbert et Polya ont suggéré que la conjecture de Riemann serait démontrée si l'on pouvait trouver un opérateur hermitien  dont les valeurs propres (nécessairement réelles) soient exactement les parties imaginaires  des zéros non triviaux :

Un tel opérateur hermitien n'a pas encore été trouvé explicitement à ce jour. Néanmoins, cette équation aux valeurs propres suggère un lien avec un problème de mécanique quantique non relativiste qui est précisé dans le paragraphe suivant.

Propriétés statistiques des zéros non triviaux et chaos quantique 
Les propriétés statistiques des zéros non triviaux de la fonction  ressemblent asymptotiquement à celles des valeurs propres de matrices aléatoires de l'ensemble gaussien unitaire pour les systèmes non-invariants par renversement du temps (GUE). Cette conjecture est basée sur de nombreux résultats numériques, et fortement supportée par un théorème rigoureux de Montgomery. Ceci a conduit le physicien théoricien Michael Berry à conjecturer que les parties imaginaires  des zéros non triviaux pouvaient s'interpréter comme les valeurs propres d'un opérateur hamiltonien décrivant un système quantique non relativiste qui serait classiquement chaotique, et dont les orbites classiques ne possèdent pas la symétrie de renversement du temps. Mieux, un opérateur hamiltonien semblant posséder les bonnes propriétés a été exhibé par Berry et Jonathan Keating en 1999.

Les propriétés statistiques des zéros non triviaux continuent d'être l'objet d'intenses recherches, tant numériques qu'analytiques, ainsi que d'interprétations probabilistes.

Le problème des moments 
Malgré quelques progrès, on n'a pas réussi à résoudre la question de l'ordre de  dans la bande critique. Le problème de l'ordre moyen est lui, partiellement résolu. Il prend la forme de l'estimation de l'expression

Cette estimation est donnée par un théorème général sur les séries de Dirichlet :

Soient  et  deux séries de Dirichlet absolument convergentes, la première pour  > σ et la seconde pour  > σ.

Alors, pour α > σ et β > σ, on a

En l'appliquant à la fonction , on trouve immédiatement, pour σ > 1

et

On a donc cherché à étendre ces formules pour σ ≤ 1.

Le problème général des moments est donc l'évaluation des intégrales dépendantes de k, pour σ ≥ 

Les résultats, désormais classiques, sont les suivants :

 Pour le moment d'ordre 2 en σ = 
 Pour le moment d'ordre 2 en σ > 
 Pour le moment d'ordre 4 en σ = 
 Pour le moment d'ordre 4 en σ > 

Carlson a montré que, si l'on appelle σ la borne inférieure des σ pour lesquels on a 
, alors 
 pour , la quantité  étant l'équivalent de la fonction  de  pour la fonction .

Les moments d'ordre supérieur à 4 font encore l'objet d'intenses recherches. On sait qu'il existe une constante  telle que 

pour 2 ≤ k ≤ 6 et on conjecture qu'il en est ainsi pour les k supérieurs à 6, en particulier 8. 

L'importance du problème des moments est liée à l'hypothèse de Lindelöf (voir plus haut).

Applications diverses

Régularisation Zêta 

Par l'intermédiaire de la fonction  de Riemann, on a développé une méthode de régularisation des suites divergentes qui a trouvé des applications en physique, notamment dans l'effet Casimir.

Développement en série entière de ln Γ(1+t) 

Une formule due à Euler donne pour 

Elle permet à Euler d'écrire

Legendre écrit la formule d'Euler sous la forme plus commode numériquement

Suites de Farey et hypothèse de Riemann 

Ces suites peuvent être utilisées pour obtenir des formules équivalentes à l'hypothèse de Riemann.

Fonction de comptage des nombres premiers et théorème des nombres premiers 

La fonction de comptage des nombres premiers est définie par 

La non-annulation de la fonction  sur  = 1 a pour conséquence la véracité de la conjecture de Legendre-Gauss :

La région sans zéro permet ensuite de majorer le reste :

ce qui est encore bien loin de ce qu'on sait démontrer si l'hypothèse de Riemann est vraie

Le nombre premier de rang n 

En 1902, Cipolla montra le développement asymptotique

Grâce à une étude numérique de la fonction , Rosser et Schoenfeld ont montré, pour n supérieur ou égal à 20, que 

La borne inférieure a été améliorée par Dusart en 1999 qui montra, pour n >1,

Historique

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Bibliographie

Traités généraux

Livres en français

Livres en anglais 
 Eberhard Freitag et Rolf Busam, Complex Analysis, Springer,  édition, 2009 
 
 Karatsuba, Basic Analytic Number Theory, Springer-Verlag, 1993 
 
 
 , An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (), Cambridge University Press, 1995

Articles de revue

Articles connexes

Liens externes 
 Page personnelle de Tanguy Rivoal, et en particulier cet article sur les zéros de la fonction ζ
 Historique d'articles en français et en anglais sur la fonction  de Riemann

Analyse complexe
Riemann
Méthode mathématique de la physique
Théorie analytique des nombres
Bernhard Riemann
Leonhard Euler
Zeta Riemann