Algèbre de Lie
En mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien Sophus Lie, est un espace vectoriel qui est muni d'un crochet de Lie, c'est-à-dire d'une loi de composition interne bilinéaire, antisymétrique et qui vérifie la relation de Jacobi. Une algèbre de Lie est un cas particulier d'algèbre sur un corps.

Définitions, exemples et premières propriétés

Définition 

Soit K un corps commutatif.

Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel  sur K muni d'une application bilinéaire  de  dans  qui vérifie les propriétés suivantes :
  ;
 

Le produit  est appelé crochet de Lie (ou simplement crochet) de  et . Puisque le crochet est une fonction bilinéaire alternée de , on a aussi l'identité  pour tous  dans . L'identité (2) ci-dessus est appelée l'identité de Jacobi.

Une sous-algèbre de Lie de  est un sous-espace vectoriel de  stable pour le crochet de Lie. Toute sous-algèbre de Lie de  est munie de manière évidente d'une structure d'algèbre de Lie sur K.

Remarque : contrairement aux algèbres tensorielles (et aux algèbres de Clifford, dont les algèbres extérieures), les algèbres de Lie ne sont ni unitaires, ni associatives.

Quelques exemples classiques d'algèbres de Lie 

 Tout espace vectoriel  peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie en posant, . Une telle algèbre de Lie, où le crochet de Lie est identiquement nul, est appelée abélienne.
 À partir d'une algèbre associative sur un corps , on peut construire une algèbre de Lie de la façon suivante : on pose  (c'est le commutateur des deux éléments x et y). Il est facile de vérifier que l'on définit ainsi sur  une structure d'algèbre de Lie.
 Inversement, toute algèbre de Lie  est contenue dans une algèbre associative, appelée algèbre enveloppante, dans laquelle le crochet de Lie coïncide avec le crochet défini ci-dessus. Si  est non nulle, son algèbre enveloppante est beaucoup plus grande qu'elle-même.
 Comme exemple concret de la situation ci-dessus, considérons , l'espace des matrices  à coefficients dans K. C'est une algèbre associative pour le produit matriciel usuel. On peut donc également lui donner une structure d'algèbre de Lie, avec le crochet . On note  cette algèbre, lorsque l'on considère sa structure d'algèbre de Lie.
 Bien évidemment, tout sous-espace vectoriel de  stable par le crochet est une algèbre de Lie. Ainsi, on peut vérifier que l'ensemble des matrices de trace nulle est une algèbre de Lie, que l'on note .
 En fait, le théorème d'Ado montre que toute algèbre de Lie de dimension finie peut être vue comme une sous-algèbre de .
 Un autre exemple fondamental, plus géométrique, est le suivant. Soit  une variété différentielle. Alors l'espace vectoriel formé par les champs de vecteurs sur  possède une structure naturelle d'algèbre de Lie, sans être une algèbre.
 En particulier, l'ensemble des champs de Killing d'une variété riemannienne ou pseudo-riemannienne forme une algèbre de Lie, qui correspond au groupe d'isométries de la variété considérée.
 L'espace euclidien tridimensionnel ℝ avec le produit vectoriel comme crochet de Lie est une algèbre de Lie.

Morphismes et idéaux 

Un morphisme d'algèbres de Lie  est une application linéaire  qui respecte le crochet de Lie, c'est-à-dire telle que
.

Un idéal de  est un sous-espace vectoriel  tel que . C'est en particulier une sous-algèbre de Lie. Si une algèbre de Lie n'admet pas d'idéal non trivial, elle est dite simple.

Si  est un idéal de , on peut former le quotient de  par  : c'est l'espace vectoriel quotient , muni du crochet défini par . La projection  est alors un morphisme d'algèbres de Lie.

Une représentation d'une algèbre de Lie  est un morphisme . Autrement dit, c'est une application linéaire telle que .

Le morphisme  défini par  définit une représentation de , appelée représentation adjointe. L'identité de Jacobi exprime précisément le fait que  respecte le crochet. Le noyau de cette représentation est le centre  de l'algèbre de Lie .

Relation avec les groupes de Lie et les groupes algébriques 

Les algèbres de Lie sont naturellement associées aux groupes de Lie. Si  est un groupe de Lie et e son élément neutre, alors l'espace tangent en e à  est une algèbre de Lie ; la construction exacte de cette algèbre est détaillée dans la section correspondante de l'article Groupe de Lie. La même construction est valable pour les groupes algébriques.
On note en général en petites lettres gothiques l'algèbre de Lie associée à un groupe de Lie, ou à un groupe algébrique. Ainsi, comme on l'a déjà vu,  désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n et  désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n de trace nulle. De la même façon,  désigne l'ensemble des matrices carrées A de taille n antisymétriques, etc. Dans tous ces exemples, le crochet de Lie n'est rien d'autre que le commutateur : .

Si  est un morphisme de groupes entre deux groupes de Lie  et , et si l'on suppose  différentiable, alors sa différentielle en l'identité sera un morphisme entre les algèbres de Lie  et  de  et . En particulier, à une représentation de  différentiable, on associe une représentation de .

La classification des algèbres de Lie est utilisée de façon cruciale pour l'étude des groupes de Lie, des groupes algébriques et de leurs représentations.

Classification 
Si  et  sont deux sous-algèbres de Lie d'une algèbre de Lie , notons  le sous-espace vectoriel engendré par les éléments de la forme  pour  et .

Algèbres de Lie nilpotentes 

Une algèbre de Lie est dite nilpotente lorsque toute suite de commutateurs  finit par être nulle, lorsque n devient suffisamment grand.

Plus précisément, définissons  par  et .

S'il existe un i tel que =0, on dit que  est nilpotente. Cette notion est à mettre en parallèle avec celle de groupe nilpotent. Toute algèbre de Lie abélienne est nilpotente.

L'algèbre  des matrices triangulaires strictes, c'est-à-dire de la forme

fournit un exemple d'algèbre de Lie nilpotente.

Le théorème de Engel affirme qu'une algèbre de Lie est nilpotente si et seulement si l'image de la représentation adjointe est conjuguée à une sous-algèbre de .

Cependant, l'exemple de l'algèbre de Lie abélienne (donc nilpotente)  montre qu'il existe des sous-algèbres nilpotentes de  qui ne sont pas conjuguées à une sous-algèbre de .

Algèbres de Lie résolubles 

Définissons par récurrence  par  et 

S'il existe un i tel que =0, on dit que  est résoluble. Comme dans le cas des algèbres nilpotentes, cette notion correspond à celle de groupe résoluble. Il est facile de voir que toute algèbre de Lie nilpotente est résoluble.

Un exemple d'algèbre de Lie résoluble est donné par l'algèbre  des matrices triangulaires supérieures dans .

Le théorème de Lie montre que, si K est corps algébriquement clos et de caractéristique nulle, alors toute sous-algèbre de Lie résoluble de  est conjuguée à une sous-algèbre de .

Algèbres de Lie semi-simples et réductives 

On dit qu'une algèbre de Lie  est semi-simple lorsqu'elle ne contient pas d'idéal résoluble non trivial.
 est dite réductive lorsque sa représentation adjointe est semi-simple.

Lorsque K est de caractéristique nulle, et que  est de dimension finie, la semi-simplicité de  est équivalente à la non-dégénerescence de la forme de Killing  définie par , où tr désigne la trace. Par ailleurs,  est réductive si et seulement si  est semi-simple.

On peut montrer que, sous les mêmes hypothèses, toute algèbre de Lie semi-simple est en fait une somme directe d'algèbres de Lie simples.

Les algèbres de Lie simples de dimension finie sur le corps ℂ des
nombres complexes sont classifiées par les diagrammes de Dynkin. Il y a donc 4 familles d'algèbres de Lie simples (ou 3 si on considère  et  comme une même famille) et 5 algèbres de Lie exceptionnelles, correspondant chacune à un diagramme de Dynkin différent.

 À un diagramme de Dynkin de type  correspond l'algèbre de Lie .
 À un diagramme de Dynkin de type  correspond l'algèbre de Lie .
 À un diagramme de Dynkin de type  correspond l'algèbre de Lie .
 À un diagramme de Dynkin de type  correspond l'algèbre de Lie .
 Les algèbres de Lie exceptionnelles, correspondant aux diagrammes de Dynkin restants (de type E6, E7, E8, F4 et G2) n'ont pas d'interprétation aussi simple.

L'algèbre de Lie  est, elle, réductive et son algèbre de Lie dérivée est .

Les algèbres de Lie semi-simples de dimension finie sur le corps ℝ des
nombres réels sont classifiées par les involutions d'algèbres de Lie complexes ou, de façon équivalente, par les . Ceci correspond à la notion d'.
Comme classe d'algèbre de Lie simple réelle, on peut citer :

 Les algèbres de Lie compactes. Ce sont les algèbres de Lie de groupes compacts. Il y en a exactement une qui correspond à chaque algèbre de Lie complexe.
 Les algèbres de Lie complexes vues comme algèbres de Lie réelles.
 Les autres peuvent être classées en familles AI, AII, AIII, BI, CI, CII, DI, DIII et en algèbres exceptionnelles
EI, EII, EIII, EIV (de type ) EV, EVI, EVII (de type ) EVIII, EIX (de type )
FI, FII (de type ) et GI (de type )
suivant la notation d').

Dimension infinie 
Il n'y a pas de classification générale des algèbres de Lie de dimension infinie mais plusieurs classes de telles algèbres ont été étudiées.
 Une algèbre de Kac-Moody est une algèbre de Lie définie abstraitement en termes de générateurs et relations codés par une matrice de Cartan généralisée non nécessairement définie positive. Elles peuvent donc être de dimension infinie. Leur classification générale est encore hors de portée mais plusieurs sous-types sont connus
 Une  possède la propriété que tous les sous-diagrammes de Dynkin de son diagramme de Dynkin correspondent à des sous-algèbres de Lie de dimension finie. Sa matrice de Cartan généralisée est alors de corang 1. Les algèbres de Kac-Moody affines ont été classifiées par Victor Kac. Elles sont très utilisées en physique théorique dans l'étude des théories conformes des champs et en particulier dans l'étude des modèles WZW.
 Une algèbre de Kac-Moody hyperbolique possède un diagramme de Dynkin connexe avec la propriété que si on lui retire une racine, on obtient une algèbre de Lie semi-simple de dimension finie ou bien une algèbre de Kac-Moody affine. Elles ont été également classifiées et sont de rang 10 au maximum. Leur matrice de Cartan généralisée est non dégénérée et de signature Lorentzienne (c’est-à-dire avec exactement une direction négative).
  ou algèbre de Borcherds : c'est un type d'algèbre de Lie généralisant le concept d'algèbre de Kac-Moody dont la matrice de Cartan généralisée peut posséder des racines simples nommées imaginaires pour lesquelles l'élément diagonal de la matrice de Cartan généralisée est négatif. Elles ont été introduites par Richard Ewen Borcherds dans le cadre de l'étude de la conjecture monstrous moonshine.

Généralisation 
Il existe différentes sortes de généralisations des algèbres de Lie, on citera les , les superalgèbres de Lie, les groupes quantiques, les algèbres de Leibniz, les .

Articles connexes 
 Algèbre de Hopf quasi-triangulaire
 Formule de Baker-Campbell-Hausdorff
 Formule de Trotter-Kato

Notes et références 

 N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Groupes et algèbres de Lie
 Jacques Dixmier, Algèbres enveloppantes, Éditions Jacques Gabay, Paris, 1996 
 
 
 Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1e édition, Springer, 2006. .