Intégrale de Riemann
En analyse réelle, l'intégrale de Riemann est une façon de définir l'intégrale, sur un  segment, d'une fonction réelle bornée et presque partout continue. En termes géométriques, cette intégrale s'interprète comme l'aire du domaine sous la courbe représentative de la fonction, comptée algébriquement.

Le procédé général utilisé pour définir l'intégrale de Riemann est l'approximation par des fonctions en escalier, pour lesquelles la définition de l'aire sous la courbe est aisée.
Les fonctions (définies sur un segment) pour lesquelles cette définition est possible sont dites intégrables au sens de Riemann. C'est le cas notamment des fonctions monotones ou continues par morceaux, ou même seulement réglées.

Définition par les sommes de Riemann 

La définition originale par Riemann de son intégrale utilisait les sommes de Riemann :

Définition par les sommes de Darboux

L'approche ultérieure, équivalente, par les sommes de Darboux, est présentée dans l'article Intégrale de Darboux. On peut la reformuler comme suit, en termes d'intégrales de fonctions en escalier encadrant .

Intégrale d'une fonction en escalier 

Pour toute fonction caractéristique  d'un intervalle  (avec , on pose

L'aire sous la courbe de cette fonction est égale à l'aire du rectangle de base  et de hauteur 1.

On étend par linéarité cette définition aux fonctions en escalier, c'est-à-dire aux combinaisons linéaires d'indicatrices  d'intervalles (non nécessairement disjoints) :

(dans le cas où certains des  sont négatifs, cela signifie que l'on comptabilise avec un signe moins les aires en dessous de l'axe des abscisses).

On démontre que cette définition est cohérente, c'est-à-dire que toutes les décompositions d'une fonction en escalier en combinaison linéaire d'indicatrices d'intervalles fournissent la même valeur pour son intégrale.

Intégrales inférieure et supérieure 
Pour que la condition de croissance

soit réalisée pour toute fonction  en escalier, il faut assigner à l'intégrale de  une valeur supérieure ou égale à toutes les « sommes inférieures de  » (les intégrales des fonctions en escalier qui minorent ), c'est-à-dire supérieure ou égale à leur borne supérieure, parfois appelée l'« intégrale inférieure de  » :

De même, pour que

soit vraie pour toute fonction  en escalier, il faut et il suffit que

et cette borne inférieure (prise sur les  en escalier qui majorent ) des « sommes supérieures de  » est appelée l'« intégrale supérieure de  ».

L'intégrale inférieure de  est toujours majorée par son intégrale supérieure mais elles peuvent être distinctes. Par exemple, elles sont respectivement égales à  et  si  n'est ni minorée, ni majorée, et à 0 et  si  est la fonction indicatrice de l'ensemble des rationnels du segment  avec .

On peut alors reformuler la définition de l'intégrale par Darboux, équivalente à celle de Riemann ci-dessus :

Propriétés
Toute fonction Riemann-intégrable est bornée.

Si  est bornée sur  et intégrable sur tout segment  tel que , alors elle est intégrable sur .

Si , définie sur , est intégrable, on note ∫ f son intégrale, et l'on a :
  est intégrable sur tout segment inclus dans  ;
si  alors  (relation de Chasles) ;
l'application  est lipschitzienne.

Autrement dit (sur ) :
tout produit, combinaison linéaire, ou limite uniforme de fonctions intégrables est intégrable ;
l'intégrale d'une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des intégrales ;
  est croissante ;
l'intégrale d'une limite uniforme est la limite des intégrales.

En particulier, toute fonction continue sur  (ou même seulement bornée et continue sauf en un nombre fini de points) est intégrable, ainsi que toute fonction monotone (ou même seulement monotone par morceaux).

Cet ensemble négligeable peut cependant être non dénombrable, comme pour la fonction caractéristique de l'ensemble de Cantor, qui n'est donc pas réglée.

Les hypothèses du théorème ci-dessus, sur la limite uniforme d'une suite de fonctions intégrables, sont amoindries dans le théorème suivant, mais pour obtenir la même conclusion, il faut supposer que  est intégrable (alors que dans le théorème de convergence dominée pour l'intégrale de Lebesgue, cette hypothèse supplémentaire n'est pas nécessaire).

Comparaison avec d'autres procédés d'intégration 
Un autre aspect de l'intégrale de Riemann est qu'elle ne concerne dans un premier temps que les fonctions bornées, sur un intervalle borné. Il faut une deuxième définition si l'une de ces conditions n'est pas vérifiée : voir Intégrale impropre. Dans le cadre de l'intégration au sens de Lebesgue il n'y a qu'une seule définition et par exemple  est une intégrale de Lebesgue au sens strict tandis que comme intégrale de Riemann elle est une intégrale impropre. De même pour . Cependant les intégrales au sens de Lebesgue sont toujours automatiquement absolument convergentes. Ainsi, l'intégrale  n'est ni une intégrale de Riemann au sens propre, ni une intégrale de Lebesgue, mais elle est une intégrale généralisée de Riemann (ou de Lebesgue), et sa valeur est . En désignant par  la somme de  et de la fonction indicatrice des rationnels positifs on voit que  donne un exemple d'une intégrale de Lebesgue généralisée qui n'existe pas en tant qu'intégrale de Riemann. Sa valeur est encore .
On obtient un procédé d'intégration plus général et plus satisfaisant, notamment vis-à-vis du passage à la limite, en introduisant l'intégrale de Lebesgue ou celle de Kurzweil-Henstock.

Une différence importante entre l'intégrale de Riemann et celle de Lebesgue est que dans cette dernière, on y remplace les fonctions en escalier par les fonctions étagées qui sont des combinaisons linéaires finies de fonctions indicatrices d'ensembles qui ne sont pas nécessairement des intervalles. La longueur de l'intervalle est remplacée par la mesure de l'ensemble.

Notes et références

Articles connexes 
 Intégrale de Daniell
 Intégrale de Stieltjes
 Intégrale d'Itō
 Mesure de Jordan

Théorie de l'intégration
Analyse réelle
Integrale