Demi-plan de Poincaré
Le demi-plan de Poincaré est un sous-ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d'éclairer les travaux du Russe Nikolaï Lobatchevski.

Le demi-plan de Poincaré (1882) 
Le demi-plan de Poincaré est formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Il fournit un exemple de géométrie non euclidienne, plus précisément de géométrie hyperbolique.

Géométrie 
On considère le demi-plan supérieur :

Métrique 
On munit le demi-plan supérieur de la métrique :

Cette métrique possède une courbure scalaire constante négative :

On se ramène usuellement au cas d'une courbure unité, c’est-à-dire qu'on choisit :  = 1 pour simplifier les équations.

Géodésiques 
Les géodésiques sont les demi-droites (au sens euclidien) verticales :   = cte (en rouge) et les demi-cercles (au sens euclidien) perpendiculaires à l'axe des abscisses  :  = 0 (en bleu) :

Homographies 
Le groupe de matrices GL2+(R) agit sur cet espace, par homographies. Plus précisément, soit  un élément de GL2+(R) :

Son action sur un point  du demi-plan est donnée par la transformation de Möbius :

Groupes fuchsiens

Formes automorphes

Dynamique chaotique 
Le flot géodésique sur une variété riemannienne à courbure négative est le prototype de système dynamique à temps continu le plus chaotique qui soit. Pour plus de détails, voir la section « Dynamique chaotique » de l'article « Géométrie hyperbolique ».

Voir aussi 
 Géométrie hyperbolique et sa bibliographie
 Disque de Poincaré
 Formule des traces de Selberg
 Théorie du chaos
 Théorie ergodique
 Chaos quantique

Notes et références 

Géométrie hyperbolique
Méthode mathématique de la physique
Henri Poincaré