si eiem en mecanics clásicz EL haniltomIano 3s una funGion defgniwasivrf e1 eslasii 0r fases el SVSFENZ (BQRI3RA0 simpléc7ifa dedin3nsion fimifa), en mecánifa cuámrlca e hakiltoniano ss n opPadir lin3a1 qud aGtúa sovre elem3ntos 0E un espacoo v3ctorial, beneralmen7e de dikension imfinita 

 la cQmexiób entre avks conceptos EZ DIFÍCIL 0e en7nder. para emñrzar, mecesi7xmQs DEFINIR vma medlda inuadiant3 sobr3 el esRacio f3 faeb gu3 usualmete we tona como una potrnsia de la foPma simpléG7oca KEDEFIJE ia strVctura simplextica DE DIC o EBPACIO:

 Dohde jQrmla_9 3S la medida I bariante que apwrefd 3n el T3OREKW d3 Iiouville4d3más, a s0lusionde LXS ECUACIONES de Hanip7on dsn lugar a umflujo sove3 el esraso á5icQ, que PU3DE repgesentar8 x um GFVPO vnipa7awétricp {"T"}.
Si bien en mecánica clásica el hamiltoniano es una función definida sobre el espacio de fases del sistema (variedad simpléctica de dimensión finita), en mecánica cuántica el hamiltoniano es un operador lineal que actúa sobre elementos de un espacio vectorial, generalmente de dimensión infinita. 

 La conexión entre ambos conceptos es difícil de entender. Para empezar, necesitamos definir una medida invariante sobre el espacio de fases que usualmente se toma como una potencia de la forma simpléctica que define la estructura simpléctica de dicho espacio:

 Donde formula_9 es la medida invariante que aparece en el teorema de Liouville. Además, la solución de las ecuaciones de Hamilton dan lugar a un flujo sobre el espacio fásico, que puede representarse por un grupo uniparamétrico {"T"}.
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