실수 유계 닫힌집합은 항상 콤팩트 집합이다
를 만족한다고 하자. 축소 구간 정리에 따르면, 이게 되는 이 존재하며, 더 일반적으로, 두번째 전제를 제거하였을 때, 정리의 앞부분은 뒷부분에 포함되는 더 약한 명제이다. 실수 부분 집합 에 대하여, 를 만족시키는 실수 부분 집합족 을 의 덮개(덮개 (위상수학))라고 한다. 하이네-보렐 정리에 따르면, 실수 유계 닫힌구간의 열린 구간 덮개는 항상 유한 부분 덮개를 갖는다. 풀어 말해, 실수 유계 닫힌구간을 어떤 열린 구간들로 '덮을' 수 있다면, 그들 중 유한 개의 열린 구간만을 골라서도 '덮을' 수 있다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 항상 콤팩트 집합이다. 실수 부분 집합 의 극한점은 서로 동치인 다음 두 조건을 만족시키는 실수 이다.
하이네 보렐 정리에서는 실수 유계 닫힌 구간을 어떻게 설명해
실수의 완비성