연속 함수일 필요는 없다
일반적 로비어 공간의 경우 측지선이 (열린 공 위상에서) 연속 함수일 필요는 없다. 그러나 닫힌구간 위에 다음과 같은 기저(기저 (위상수학))를 갖는 조르겐프라이 위상(순서 위상) 을 부여할 때, 측지선 는 의 열린 공 위상에 대하여 연속 함수이다. (조르겐프라이 위상은 표준적 위상보다 더 섬세한 위상이다.) 길이 로비어 공간 의 경우, 함수 가 속력 1의 측지선이 될 필요 충분 조건은 가 두 점 , 를 잇는 최단의 거리를 갖는 곡선인 것이다. 에 대하여, 다음과 같은 두 범함수를 정의할 수 있다. 이 둘은 에 대한 작용(작용 (물리학))을 이루며, 이 둘에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 정의할 수 있다. 는 곡선의 길이(길이를 갖는 곡선)이며, 는 단위 질량의 입자의 (비(非)상대론적) 운동 에너지이다. 길이 범함수는 매개 변수의 변환에 대하여 불변이지만, 에너지 범함수의 경우 그렇지 않다.
로비어 공간에서 측지선은 연속함수여야 하는가
측지선