볼프강 크룰과 아키즈키 야스오
가 가환환일 때, 속의 -정환 의 모든 원소는 -정수적 원소이다. 따라서, 최대 -정환이 존재하며, 이는 의 속의 정수적 폐포이다. (이는 가 비가환환일 때 성립하지 않는다. 이 경우 모든 정환은 극대 정환에 속하지만, 최대 정환은 일반적으로 존재하지 않는다.) 크룰-아키즈키 정리는 볼프강 크룰과 아키즈키 야스오(, 1902~1984)가 증명하였다. 모리-나가타 정리는 모리 요시로와 나가타 마사요시가 증명하였다.
크룰 아키즈키 정리를 증명한게 누구야
정수적 원소